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LE TEMPS DE LA DYNAMIQUE ET LA DYNAMIQUE DU TEMPS

1. Universal Edition Wien 1991 1993 Bien s r ces deux exemples sont extr mes mais ils r v lent un premier temps produit commun l quation et la partition le temps de la r alisation R alisation de la signification des sym boles par exemple pour l quation et r alisation de la construc tion de l interpr tation via parfois l analyse pour la partition Ce temps est produit avant l interpr tation tout comme il est produit avant la r solution de l quation De ce temps il n en sera pas question ici puisque nous allons aller pour ainsi dire plus loin et entrevoir le temps de la solution de l quation de l interpr tation in vivo de la partition elles m mes Mais il me semble qu il y a l dans ce temps de la r alisation un exemple de temps produit qu il serait int ressant d tudier en particulier au vu des rapports entre math matiques et musique Nous allons donc dans le texte qui suit essayer de pr senter quelques quations diff rentielles parmi les plus simples qui 6 T PAUL soient et tenter de montrer comment va merger un temps de l quation et un temps de la solution beaucoup plus riche et nous le verrons plus fac tieux Deux temps tout comme en mu sique le temps de la partition et le temps de l interpr tation diff rents eux aussi 2 LE TEMPS G OM TRIS Notre point de d part sera donc post r alisation
2. juste apr s juste apr s 0 ni celui formellement identiquement nul O0 X lim juste apr s 0 juste apr s 0 mais est bien O0 lim juste apr s D juste apr s 0 TEMPS DYNAMIQUE 11 qui prend tout son sens dans cette intrication amp lim C est ce passage la limite qui fait d coller le temps produit par la solution c est le g nie du calcul infinit simal g nie la fois dans son sens intellectuel et dans son sens diabolique mal fique peut tre Un passage a l infini tout comme c est un autre passage l infini qui r sout le paradoxe de X non 6 DES SOLUTIONS ET LES TEMPS QU ELLES PRODUISENT Syst mes m langeant chaotiques fl che du temps irr versibi lit tels sont les noms de concepts souvent avanc s dans les dis cussions pr sentant les surprises des syst mes dynamiques De tels syst mes sont par essence complexes et leur explication au non sp cialistes passent trop souvent par d exquises figures images dont la beaut intrins que cache souvent la nature des choses qu elles repr sentent Nous allons donc consid rer des quations plus simples dont les solutions nous montreront di verses surprises directement conceptuelles 6 1 L avion supersonique et le temps fini l accord final Le fameux bang de l avion supersonique passant au dessus de notre t te est un exemple de singularit de la solutio
3. diff rentes impulsions donn es par la t te Ici point de t te qui bouge il y a plusieurs solutions et m me une in finit non d nombrable de l quation un point c est tout Et TEMPS DYNAMIQUE 19 l on voit que le temps produit par l quation par exemple le temps de d part o la solution va commencer a bouger n est pas d termin c est un temps que l on doit choisir Car face cet ind terminisme en effet on doit choisir On Qui Non plus la solution elle m me puisque qu pr sent elle est multiple elle englobe toutes les d cisions appr hendables tout le jeu des possibles La bonne solution doit tre et est choisie par un l ment ext rieur physique id ologie applications en fait c est le math maticien qui choisit au moyen de divers crit res et qui dira a posteriori que l on cherchait une solution de tel ou tel type Musicalisons ce n est plus l interpr tation qui choisit dans le jeu des possibles mais bien l interpr te lui seul Nous y voil l quation comme l uvre ouverte produit la production du temps C est d j une esp ce de dramaturgie C est d ailleurs en termes dramatiques que le math maticien en g n ral la recherche d unicit de solutions d couvre cette multiplicit per ue comme ubiquit malvenue Mais cela sugg re aussi la question suivante Peut on faire rentrer ce geste ext rieur dans l
4. On obtient ainsi quelque chose de bien semblable une ligne m lodique dans une partition Cette analogie nous sera utile plus bas Rappelons qu une quation telle que celle que nous consid rons contient deux fois le symbole 9 donc deux justes un juste apr s t mais aussi un juste c t 0x Mais le lecteur se convaincra ais ment que la construction pr sent e en section 5 marche pour les deux justes De plus si l quation tait o o ces deux justes seraient exprim s dans l quation de la m me fa on ils auraient un r le quivalent Cette sym trie x t donne facilement que la solution est en fait une fonction de la quantit t x le lecteur fera ais ment le calcul que tout fonction de la forme p t x u t x est solution de l quation On voit TEMPS DYNAMIQUE 13 donc que cela correspond une propagation vitesse constante gale 1 on a une identification temps espace Si l on avait pris l quation o o la solution serait fonction de At x et la fonction serait simple ment translat e la vitesse translater une fonction vitesse constante consiste prendre son graphe et d placer chaque point du graphe par la m me quantit 1 x t dans le premier cas x t dans le second quoi cela correspond il Tout simplement pousser chaque point de la courbe x p t x graphe de la fonction x p t x horizontalement la v
5. ao a dt avec 0 lt 0 lt 1 On trouve imm diatement deux solutions partant de x 0 0 z t cot ev x_ t cot 1 0 3 1 0 i _ o V 5 et Co 5 Le lecteur non math maticien et ne connaissant que la notion de d riv e d une puissance 240 01 1 telle qu elle a t pr sent e dans la section 5 est 2 2 A N d2 d d invit v rifier ces dires gr ce la r gle 57 r Nous avons l une situation nouvelle une seule quation four nit deux solutions aussi l gitimes l une que l autre Seulement deux solutions Non car une troisi me existe encore celle o rien ne se passe o identiquement comme l on dit en math matique x t 0 pour tout valeur de t Trois solutions donc En fait on a beaucoup plus de solutions puisque x t 0 pour tout valeur de t est une solution de la dynamique il suffit de d cider du moment du d part o z t 0 que l on peut choisir n importe quel instant On peut donc construire une solution en restant immobile l origine jusqu n importe quel temps to puis commencer bouger le long d une des trajectoires x ou _ d finies plus haut Cette nouvelle solution quel que soit l instant de d part to est encore solution de l quation On voit l la diff rence avec la situation de la section pr c dente o diff rentes solutions correspondaient diff rentes conditions initiales
6. diff rentes temps ayant une fin lors d un choc temps multiples pour les probl mes mal pos s temps al atoire enfin lors de situations chaotiques ou quantiques L analogie avec l interpr tation d une uvre musicale ferm e ou ouverte se trouve ainsi illustrer le propos math matique car il s agit bien dans les deux cas d une production de temps se r v lant lors de l interpr tation solution d une partition quation La solution d une quation diff rentielle n est pas indic e par le temps elle ne subit pas le temps elle le produit CNRS ET CMLS COLE POLYTECHNIQUE 91 128 PALAISEAU CEDEX E mail address paul math polytechnique fr
7. revenons dF 0 ou plut t celle ci peine plus g n rale dF dt Peu importe ici la signification des quantit s F et G Seuls comptent t le temps et d le grand ordonnateur de la diff rentiation dF dt est une quation qui en toute rigueur signifie F t dt F t dtx G pour dt infiniment court mais qui en toute humanit signifie plut t si je connais F maintenant l quation me dit ce qu est F juste apr s mais qui donc signifie aussi TEMPS DYNAMIQUE 9 si je connais F juste apr s l quation me dit ce qu est F juste apr s juste apr s qui signifie encore si je connais F juste apr s juste apr s l quation me dit ce qu est F juste apr s juste apr s juste apr s et qui signifie encore si je connais F juste apr s juste apr s juste apr s l quation me dit ce qu est F juste apr s juste apr s juste apr s juste apr s On voit appara tre le m canisme l quation permet de passer du futur imm diat au futur lointain Juste par it ration En principe Mais en fait est ce vraiment juste par it ration Quelle est la signification de ce dt infiniment court C est ce que nous allons voir maintenant 5 L QUATION PRODUITE DANS LE TEMPS ET LE TEMPS PRODUIT PAR LA SOLUTION Le temps de l quation est le temps des justes apr s un banal temps it r celui de la trotteuse de notre montre qui saute toutes les secondes Est il sub
8. LE TEMPS DE LA DYNAMIQUE ET LA DYNAMIQUE DU TEMPS THIERRY PAUL R SUM Le temps apparait habituellement dans la r solution des quations diff rentielles comme un simple param tre le curseur d une dynamique habitant dans un espace absolu et immuable L quation forme fugue g n rerait donc pour toujours et partir d une donn e initiale th me un flot tel une fugue qui ne s arr terait jamais Les math matiques r centes on fait voler en clat ce c t par trop passif du temps et nous ont montr que le temps pouvait au cours du temps changer de statut et n cessiter une ouverture de la notion d espace de nouveaux paradigmes Nous pr sentons plusieurs exemples d une telle dynamique du temps et tenterons d exhiber quelques r sonances avec le temps musical TABLE DES MATI RES Avertissemnt Mode d emploi Introduction Le temps g om tris Le temps du probl me et le temps de la solution Qu est ce qu une quation diff rentielle L quation produite dans le temps et le temps produit par la solution 6 Des solutions et les temps qu elles produisent 6 1 L avion supersonique et le temps fini l accord final 6 2 L uf sur la t te I et le chaos le geste de l interpr tation 6 3 L uf sur la t te II et le temps multiple l uvre ouverte Intermezzo 7 De l uf droite et gauche au spin l al atoire intrins que quantique et l uvre ouverte dramatis e 8 Vraise
9. MPS DU PROBL ME ET LE TEMPS DE LA SOLUTION Une quation est donc pos e dans plut t sur un espace temps g om tris absolu en g n ral Le vocabulaire nous le dit d j qui pose une quation comme on pose un probl me sur la table Peut tre doit on y voir l un optimisme positiviste h rit e d une philosophie toute laplacienne mais il semble que l on imagine difficilement de concevoir une quation dans un espace temps o le temps serait par exemple contraint C est pourtant le cas de la dynamique quantique nous y reviendrons L quation a longue vie potentielle donc Mais la solution qu elle g n re pourtant va avoir une tout autre vie et je vais essayer de montrer comment la solution d un probl me d une quation va d velopper son propre temps qui pourra ne plus rien avoir voir avec le temps g om tris dans lequel sur lequel l quation tait pos e Ce surgissement d un nouveau temps lors du surgissement de la solution l quation en est elle responsable Oui bien s r mais pour reprendre une formule famause elle n en est pas cou pable La preuve en est que des solutions diff rentes associ es des conditions initiales diff rentes vont produire des temps de qualit s fort diff rentes Produire Le mot est l ch qui va nous proposer un lien avec le surgissement hors d une uvre musicale que repr sente une de ses interpr tations L analogie nous semble en eff
10. a solution dans l quation Qui est un pendant de sa version musique Peut on 20 T PAUL faire rentrer ce geste de l interpr te dans l interpr tation dans l uvre La r ponse viendra la prochaine section INTERMEZZO Drame et math matiques n ont pas la r putation de faire bon m nage Ces derni res tant consid r es souvent comme chappant au sensible Et pourtant comment ne pas voir de dramaturgie dans le faire des math matiques dans les espoirs les d sillusions contenus dans le parcours de l laboration d un r sultat Mais aussi comment ne pas dramatiser les r sultats eux m mes Com ment ne pas voir dans le temps que met une courbe devenir cercle lorsqu elle cherche optimiser sa courbure une volution faisant r f rence une fin une certaine forme de mort esth tique Le pli de la solution de l quation aux d riv es pratielle vue plus haut ne dispute t il pas la douleur du retournement de la vague de Hokusai 7 DE L UF DROITE ET GAUCHE AU SPIN L AL ATOIRE INTRINS QUE QUANTIQUE ET L UVRE OUVERTE DRAMATIS E Nous avons termin la discussion sur la multiplicit des solu tions d une quation par une question celle de savoir si le geste du choix d une solution pouvait tre inclus dans l quation elle m me ou en tous cas dans la dynamique qu elle repr sente La m canique quantique a r alis cela avec les succ s que l on conn
11. ait et avec les scandales que l on sait Le premier et plus important succ s a mon sens tient dans le miracle de la forma lisation math matique coh rente de la m canique quantique La puissance et l intention de l uvre ouverte cf clat dues au hasard en temps r el pour l interpr te par exemple cr pat le chef d orchestre est une dramaturgie TEMPS DYNAMIQUE 21 Le miracle des math matiques coh rentes de la m canique quantique qui met cet al a dans l quation elle m me est elle au fond autre chose 8 VRAISEMBLANCE AL ATOIRE QUANTIQUE MANOVICH AND ALL THAT Nous n avons pas parl dans ce texte des aspects probabi listes de la m canique quantique Cela tout d abord pour viter toute confusion avec une vision par trop statistique de la th orie quantique C est bien pourtant cet aspect probabiliste qui donne parfois l id e d une vraisemblance classique en quelque sorte du r sultat de la dynamique quantique l chelle macroscopique Une propri t fondamentale du probable quantique est le jeu restreint des possibles vraie d finition de l al atoire tel qu il nous semble tre partag entre le monde quantique et le monde merveilleux des uvres ouvertes de la musique contemporaine Et si l on se pose une des questions fondamentales du forma lisme quantique celle de savoir quel peut tre le sens profond d un v nement individuel ayant une certaine probabilit il nous s
12. c est dire que nous allons consid rer que notre quation nos quations sont pr tes tre r solues point de myst re de compr hension des symboles Tout comme une partition suffisamment analys e pour que chaque partie soit jouable en particulier sans am bigu t de notation L quation pr par e vit dans un espace et un temps bien d finis et en g n ral g om tris s comme nous l a appris la science moderne tout comme la partition vit avant d tre jou e dans un espace de notations connues de tous les interpr tes Et c est bien probablement l obtention de ce consensus qui a de m me valu la g om trie ce r le universel que l on a bien voulu voir dans les sciences modernes jusqu l av nement de la m canique quantique Ce temps g om tris exact pendant de l espace par exemple pour les quations de la dynamique a bien s r la vertu de poser clairement les quations les probl mes Mais nous allons essayer de montrer sur quelques cas simples comment il refl te mal la temporalit des solutions des quations temporalit bien plus complexe plus sensuelle en quelque sorte que celle de l quation et qu une identification entre ces deux temps r duirait n ant Exactement comme la lecture d une partition classique par un ordinateur pourtant parfaitement apte y comprendre toutes les notations d truit la musique qu elle contient TEMPS DYNAMIQUE 7 3 LE TE
13. emble utile de la confronter au pendant musical d une interpr tation par un l interpr te d une uvre ouverte O louverture est cens e tre referm e par le hasard clat de Pierre Boulez nous semble tre une certaine forme de paradigme de cette situation Que se passe t il dans clat Chaque ex cution de l uvre est bien une r alisation diff rente en principe chaque fois Tout comme est diff rente chaque fois le point lumineux qui va apparaitre lorsque l onde de l lectron va arriver sur l cran Car il s agit bien du m me lectron qui arrive chaque fois sur l cran tout comme il n y a qu une partition de l uvre nomm e clat 22 T PAUL Mais le m canique quantique associe un peu plus ce sc nario chaque tat de l lectron est associ e une amplitude de proba bilit Et c est cette probabilit que la succession d v nements lectron un point de l cran va dessiner par compilation Tout comme Lev Manovich dans ces juxtapositions superpositions de couvertures de magazines ue Campbel Campbel Campbel Campbel Campbel 9 EN GUISE DE CONCLUSION Nous avons essay de montrer dans ce petit texte comment une quation diff rentielle pourtant pos e dans un temps sta tique g om tris absolu pouvait donner lieu des solutions d veloppant leurs propres temps et comment ces derniers pou vaient tre de natures fort
14. et d fendable l interpr tation d une partition serait en bien des points semblable l mergence de la solution d une quation Ou plut t l interpr tation serait une solution de la partition Laissons pour le moment de savoir si un tel rapprochement est justifi ou s il se justifie au cours de cet article pour ne retenir que cette dichotomie entre deux temps que pourtant tout voulait identifier le temps du probl me et le temps de la solution 8 T PAUL 4 QU EST CE QU UNE QUATION DIFF RENTIELLE quation diff rentielle Le mot fait peur quation et diff ren tielle en plus Il fait peur aussi face notre culture qui a du mal se lib rer encore une fois d un ersatz du paradigme laplacien si les ph nom nes sont complexes les lois les r gissant doivent l tre Plut t elles se doivent de l tre faute de quoi elles ne seraient pas prises au s rieux Vers la fin du XIXi me si cle un miracle pourtant s est pro duit une quation simple peut avoir des solutions complexes et surtout une grande vari t de solutions C est en quelque sorte une revanche de la nature peut tre sur la dynamique scien tifique de l re classique qui avait r ussi ce pari incroyable de mod liser les ph nom nes fondamentaux de la science classique pourtant si complexes et diversifi s par des quations simples et universelles Regardons donc simplement ce qu est une quation diff rentielle Et
15. itesse R soudre une quation de cetype est aussi simple que cela Si maintenant d pend de x olt 2 Aa pt 2 et bien la solution sera translat e tout simplement par une vi tesse diff rente en chaque point ce qui signifie que l on devra d placer chaque point du graphe au dessus de x la vitesse A x L quation qui nous pr occupe o o est a peine plus compliqu e Cette fois la vitesse de propagation d pend non seulement de x mais aussi du temps Et en plus elle est gale la solution m me chaque point du graphe doit tre translat une vitesse qui n est autre que la valeur de la fonction au point x justement L quation est a peine plus compliqu e mais la solution elle va l tre comme le montre le raisonnement suivant accessible tous 14 T PAUL L volution de la courbe est donn e en faisant en sorte que le point x p t x bouge horizontalement la vitesse p t x les points les plus hauts bougent donc plus vite que les points plus bas et il continue toujours en tre ainsi puisque les points du graphe se d placent horizontalement ce qui implique que les plus hauts restent les plus hauts Que le lecteur dessine lui m me le dessin lui montrera le sc nario suivant se mettre en uvre une bosse telle une vague commence se d placer gentiment se d formant l g rement au fil du temps mais tr s vite les points plus haut veulent passer devant les p
16. mblance al atoire quantique Manovich and all that 9 En guise de conclusion DU URSS RH I D ND ND 20 21 22 2 T PAUL AVERTISSEMNT Les lignes qui suivent voudraient avant tout convaincre le lecteur non math maticien de certaines analogies entre math matiques et musique et non d une quelconque homologie MODE D EMPLOI Cet article contient des formules que les math maticiens ou plus g n ralement les scientifiques sauront lire et ou comprendre Mais cet article s adresse principa lement aux autres les formules revendiquant de ne jouer qu un r le illustratif ou d exemple Le lecteur devra donc avoir un peu de patience face des expressions inaudibles Il devra simplement penser que bien souvent se trouve l le lot du math maticien en action pour qui il a t fondamental d apprendre ne pas comprendre 1 INTRODUCTION La formulation moderne des quations de l lectromagn tisme les c l bres quations de Maxwell est la suivante dF 0 Voil bien une quation simple d apparence Deux lettres et deux signes math matiques Un seul signe m me si l on songe que au fond 0 et 0 ne font qu un Nous voyons donc un second membre nul comme souvent il se doit et un premier membre convoquant une inconnue F le tenseur lectromagn tique et une lettre qui est en fait un signe math matique d celui de la diff rentiation Comment pourrait on rapprocher cela d une
17. n d une quation aux d riv es partielles Ce bang ressemble parfaite ment au bruit produit par l explosion d un b ton de dynamite et pourtant se distingue de ce dernier par le fait que l avion n explose pas Ce n est pas l avion qui explose mais bien la solu tion de l quation sonore issue de ce dernier Voyons cela de plus pr s sur l exemple simple de l quation qui suit dite de Burger 1 Pour les lecteurs qui voudraient aller un peu plus loin dans la compr hension de cette OO OO dissym trie entre Slim e tlim songer que l indication est elle m me une limite X 0 0 N Jim X par d finition Il ya donc bien deux limites dans Slim ou lim qui donnent lieu des gt p r sultats diff rents selon comment elles sont prises 12 T PAUL L quation est la suivante o o Il y a deux variables et pour cette raison on note la place de d mais l id e est la m me exactement la m me que dans la section 5 on applique le m me argument t puis z p est une fonction de deux variables c est dire que p t x est un nombre et p repr sente le processus qui associe ce nombre aux deux valeurs des variables t et x que l on note t p t x Si l on fixe la valeur du temps t alors p t x est une fonction de x seulement et l on peut tracer son graphe les points du plan dont l abscisse est x et l ordonn e p t x ne pas oublier que t est fix
18. oints plus bas puisqu ils sont plus rapides Tel une vague justement lorsque commence se former un rouleau y y u aal T p NX x Ks caract ristique ASN issue de P 2 des A caract ristique issue de Q F Golse Distributions analyse de Fourier quations aux d riv es partielles Cours l cole polytechnique 2010 TEMPS DYNAMIQUE 15 Ici dans cette figure la fl che du temps est transverse la feuille de papier et les points issus de P et Q s ils restent bien la m me hauteur se d placent chacun la vitesse constante P et Q respectivement ce qui n emp che pas le pli de se former Comment ne pas penser Katsushika Hokusai La Grande Vague de Kanagawa 1831 Rien de bien g nant avec la vague qui roule sauf qu alors elle n est plus le graphe d une fonction C est ce qui s st pass pour la troisi me courbe de la figure la solution imagin e l ins tant t n est plus le graphe d une fonction donc rate la qualit premi re que doit avoir la solution classique d une quation tre une fonction Il y a eu choc bang 16 T PAUL Si l on veut comprendre en quoi il est g nant que la courbe ne soit plus le graphe d une fonction il suffira d imaginer ce graphe comme une ligne m lodique jou e la clarinette Que doit jouer le a clarinettiste lorsqu il se trouve confront la vag
19. partition longue suite de pages remplies de notes Voyons donc une partition Celle ci TEMPS DYNAMIQUE 3 i Fiaim ye inma Fierro Boulez Tempo 1974 Bien s r il faut penser que cette page de musique est faite pour tre r alis e comme elle le f t d ailleurs Donnant lieu un chef d uvre de quelques 45 minutes Mais on se plait imagi ner que les baroqueux du XXIi me si cle se plairont un jour revendiquer cette page de musique comme seule admissible et encore condition de la jouer sur lectroacoustique d poque Cette partition doit donc tre r alis e tout comme justement doit tre r alis e notre quation de Maxwell en les quations fon damentales qui r gissent les lois de l lectricit et du magn tisme 4 T PAUL Car il s agit dans dF 0 de l expression la plus ramass e des quations de l lectromagn tisme de Maxwell qui se d veloppent comme suit divD p divB 0 rotE 0 D rot j Sa c qu il faut encore coupler entre autres Et pour explosante fixe la partition se r alise se d veloppe ainsi localement TEMPS DYNAMIQUE 5 on EAEE m gt p EmA i R p pp z peaa P rr
20. re tr s pe tit qu au fond l impulsion la vitesse est plus importante que le d placement r el Ce geste qui fait que l uf tombe d un c t ou de l autre ce geste appartient la solution elle m me Diff rentes solutions qui partiront de conditions initiales de vitesse diff rentes ont des cons quences fort diff rentes mais ne font qu interpr ter clas siquement l quation C est donc un geste de l interpr tation et non de l interpr te tel qu il va agir dans la section suivante R sumons nouveau il suffit d un mouvement de la t te non d un d placement d un mouvement aussi petit que l on veut involontaire m me ind celable en effet on la fois du d terminisme et de l impr dictibilit mais il FAUT un petit mouvement une intervention un geste En fait l quation produit une seule solution pour chaque condi tion initiale c est dire pour chaque petite impulsion du mou vement de la t te C est la solution qui d cide de son temps espace tout comme l interpr tation d cide de l ex cution d une uvre musicale une interpr tation baroque et une interpr tation ann es 50 sont deux conditions initiales qui g n rent deux so lutions de l uvre 6 3 L uf sur la t te II et le temps multiple l uvre ouverte Consid rons maintenant une situation faisant preuve d ind terminisme 18 T PAUL Consid rons l quation d 9
21. ue d Hokusai Que doit elle il jouer apr s avoir jou les deux premi res courbes de la figure pr c dente et se trouve confront la troisi me On ne peut jouer la troisi me courbe comme les deux pr c dents la r gle doit changer on doit passer dans un nouveau paradigme musical comme nous le verrons plus bas Le moment o certains points veulent passer devant d autres o la vague se casse est la fin de quelque chose rien apr s n est plus comme avant la solution a v cu elle n existe plus comme solution de l quation Mais elle existe cependant encore elle doit tre interpr t e R sumons et musicalisons un peu e le bang supersonique vient de l quation l avion mais l avion continue voler diff rence avec la dynamite e le choc cr e une fin pour la solution la fin de quelque chose dans son temps pas la fin du monde e tout comme un accord d ut majeur sonne la fin de l ex cution pas la fin de l uvre partition 6 2 L uf sur la t te I et le chaos le geste de Pin terpr tation Qui n a pas jou enfant ce jeu qui consiste garder le plus longtemps possible un uf cru sur sa t te On sait bien que t t ou tard l uf tombe bien que tout le monde re connait que si aucun mouvement n est effectu rigoureusement TEMPS DYNAMIQUE 17 l uf doit rester immobile On sait aussi que le d placement de la t te responsable de la chute de l uf peut t
22. versif de se demander si on ne peut y voir le temps d une certaine musique lectronique ou celui de certains minimalistes Que le lecteur non math maticien et non scientifique ne s ef fraie pas Il est facile de comprendre ce passage la la limite dE Elet t F0 dt t 0 t dans des cas tr s simple 10 T PAUL La fonction constante F t 1 t fait cole on obtient bien s r SF 0 puisque F t 6t F t 0 Prenons maintenant la ns F t t Alors F t t t t et donc danaa Mais si F t t t x t alors F t t t 2t t t et donc Fts F 2t t d o la limite t 0 aa 2t Le lecteur se convaincra alors que si F t t x t xt DEL k fois dF t Haier 7 k 2 alors 27 kt il se rappellera a b 2 ED TJ o j 1 2 3 j en accord avec les cas k 7 1 2 vus plus haut Il P aussi ais ment que la formule est m me vraie pour k non entier partir de l intervient un l ment essentiel en fait la solu tion se construit non par it ration comme entrevu dans la section 4 mais par r solution par it ration plus passage la limite dans le sens que nous venons de voir Et ces deux limites cohabitent mal ensemble leur effectivit conjointe d pend de l ordre dans lequel on les effectue en quelque sorte Ce que les informaticiens connaissent bien d ailleurs Le temps de la solution n est donc pas celui de l quation O0 lim

LE TEMPS DE LA DYNAMIQUE ET LA DYNAMIQUE DU TEMPS

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