Logique combinatoire - UVT e-doc
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1. AB A B D monstration A A B A A A BEL A BY A B Consensus A B HAC A B A CHB C BC est le consensus par rapport A des termes A B et AL On peut ajouter le consensus l expression ne change pas D monstration Postulats et th or me de l aLg bre de boole A B AC B C A B AC B C A A A B A B C HAC AC E A B 1 CH AC 1 8 A B HACI A B AC Dre t a ACI D monstration A C BC AHO B C lt A B AC B C A B C HCHAC HE C AC E E C 1 A A C B C Th or me de Morgan A B A B A RA B D monstration ALA EE EE ENT ALEM B EECHER 2 La repr sentation symbolique des l ments de logique 2 La repr sentation symbolique des l ments de logique Sch ma lectrique contacts Pour mieux comprendre l op ration logique r alis e par un op rateur logique nous repr senterons le sch ma lectrique contact dont le fonctionnement est quivalent Un contact repr sente par ses deux positions les deux tats d une variable d entr e 8 Etat logique 0O 1 Contact au a aA a a Ftatlogique 0 1 Contact au a N K Par convention nous repr sentons toujours des contacts au repos Exemples sentation symbolique des l ments de logique D VE A 0 A 3 Fonctions l mentaires de la logique combinatoire Simulation Simulation 3 Fonctions l mentaires de la logique combinatoire 3 1 Fonctions simple2. 2 4 Soustraction 2 4 1 Soustraction directe 2 4 1 Soustraction directe Il faut noter que comme en arithm tique d cimale si on veut dans un rang soustraire 0 1 par exemple on effectue 10 1 et on retranche 1 de retenue au rang suivant Cette op ration de supprimer de rang imm diatement sup rieur qu on avait momentan ment ajout pour faire l op ration Arithm tique binaire Exemples Ex 1 Effectuer la soustraction de A B avec A 111 et B 101 111 101 010 D A B 111 101 010 Ex 2 Effectuer la soustraction de A B avec A 10etB 1 10 AUIE UE SUUSLAULIUTI Arithm tique binaire 01 Ex 3 Effectuer la soustraction de B avec A 11 et B 101 011 1101 11110 Remarques On note que A lt B donc la diff rence A B est n gative On remarque aussi que on a une suite illimit de 1 1110 Transformation d une soustraction en addition par le compl ment vrai Arithm tique binaire Si la diff rence est n gative l op ration de soustraction devient tr s complexe puisqu on ne sait pas quand il faut arr ter l op ration Pour r soudre ce probl me on transforme les soustractions en addition en prenant le compl ment vrai du nombre soustraire Pour effectuer correctement ces op rations il faut fixer le nombre de bits Par exemple nous allons fixer le nombre de bits 4 Ex 1 Effectuer la soustraction de B avec 0101 et B 0011 A B
3. Table de v rit SRE 3 Fonctions l mentaires de la logique combinatoire HR UI UI UI Les diff rentes portes logiques SYMBOLE SYMBOLE NOM ET Norme MILSTD notation QUATION 086B fran aise D aa VW 3 Fonctions l mentaires de la logique combinatoire Des exemples d exercices interactifs r alis s par JC Michel free fr Exercice de simulation Les diff rentes portes logiques Exercice de simulation Ou exclusif Simulation logiciel de simulation Logic Simulator Applet dessiner interconnexion couper ex cution l Dessiner le logigramme en Choisissant les portes logiques 2 Etablir les connexions 3 Lancer la simulation Lien vers d autre cours Logique combinatoire Auteur Syst mes logiques combinatoires Ecole polytechnique f d rale de Lausanne La logique combinatoire Robert Papanicola Logique combinatoire R mi Lechartier Cours sur la logique combinatoire Gilles Bouvier et G na l Valet Les syst mes combinatoires Yvan Cr vits Logique combinatoire avec des chronogrammes int ractifs en javascript Nicolas Midoux Encodage et D codage Net TroniquE Multiplexage et D multiplexage NeT_TroniquE Affichage Num rique NeT_TroniquE Additionneur amp Soustracteur netProbl MATHique Circuits Combinatoires St phane Martin 1 les Repr sentations d une fonction logique 1 les Repr sentations d une fonction logique 1 1 Variables et fonctions lo
4. 1 1 Le codeur 1 1 1 D finition 1 1 2 Codeur d cimal binaire 1 1 3 Codeur prioritaire 1 2 D codeur 1 3 Transcodeur 22 1 2 1 D finition 1 2 2 R alisation d un d codeur deux entr es 1 2 3 Mise en cascade de d codeurs 1 2 4 Applications 1 2 D codeur 1 2 1 d finition Un d codeur est un dispositif qui effectue l op ration inverse du codeur c est dire pour n l ments en entr es on peut avoir 21 combinaisons possibles en sortie que l on peut associer un ensemble de 21 l ments chiffres lettres symboles 1 LE CODEUR D CODEUR TRANSCODEUR 2 sorties mais une seule active la fois Dour une combinaison donn e des n entr es n Entr es gt 1 2 2 R alisation d un d codeur deux entr es Un d codeur binaire 2 entr es E4E doit avoir 4 sorties 22 4 So S4 So S3 Parfois ce d codeur est appel 1 parmi 4 1 4 La table de v rit du d codeur 1 4 EJ EN HN EN Les quations des 4 sorties sont jajaja defe je RAR efef RER RA E Ge Ka S0 ELE Sl ELEO S2 ELEO 53 L U 1 LE CODEUR D CODEUR TRANSCODEUR J L GN 1 2 3 Mise en cascade de d codeurs En appliquant la m thode pr c dente on peut r aliser un d codeur plusieurs entr es Toutefois d s que l on cherche r aliser un d codeur de plus de 3 ent es il est pr f rable d adopter une structure en XY dite matrice de
5. 1 4 Repr sentation d une fonction par sa table de v rit La repr sentation d une fonction peut tre d finie par sa table de v rit D cimale THET EE CEE RRRSRSESER CREER CREER CEEE CEET RIRES EE D e E 1 5 Repr sentation d une fonction par logigramme 1 6 Repr sentation d une fonction par chronogramme 1 les Repr sentations d une fonction logique Le chronogramme c est le graphe de l volution temporelle des variables et des fonctions logiques A D D Li E LR m m m m m m m m L E Li E EI E EI EI EI EN D DN em j F E s J fi i nm temp Chronogramme d une fonction ET 2 Repr sentation de veitch et karnaugh 2 Repr sentation de veitch et karnaugh 2 1 Repr sentation graphique 2 2 Repr sentation de karnaugh d une fonction 2 1 Repr sentation graphique II s agit d une extension de celle de Venn Dans ce diagramme on repr sente chaque zone du plan ci dessous par un carr sous la forme du tableau ci dessous 2 1 1 Cas de 2 variables A B EA SR ENS Exemple repr sentation de la fonction O exclusif AB A Dad P 2 Repr sentation de veitch et karnaugh 2 1 2 Cas des 3 variables Veitch Code binaire naturel Remarques Chaque case de la table de Karnaugh ou de Veitch repr sente une des 21 combinaisons des n variables de la fonction C
6. la fois gt 1 1 2 Codeur d cimal binaire Un codeur binaire traduire un certain nombre de chiffres d cimaux en binaire Co y O Cr GAMO LE CODEUR D CODEUR TRANSCODEUR Le codage des chiffres de 0 9 en binaire n cessite 10 entr es et 4 sorties Le symbole couramment utilis est le suivant Entr es Sorties Dans sa version la plus simple un codeur est un ensemble de circuit OU Soit la table de codage suivante Les quations des sorties sous la 1 re forme canonique LE CODEUR D CODEUR TRANSCODEUR Aus 22 1 3 5 7 9 A4 2 3 6 7 Ao amp 4 5 6 7 A3 2 8 9 1 1 3 Codeur prioritaire Le codeur prioritaire est un codeur binaire particulier dont voici les caract ristiques Si maladroitement plusieurs entr es peuvent tre actives en m me temps le codeur fera un choix parmi celles ci Il va coder le poids le plus lev en effet par exemple si on a appuy en m me temps sur les deux commandes N 1 et N 4 le r sultat cod est 101 ce qui ne correspond aucune de deux combinaisons d entr e Un codeur prioritaire donne comme r sultat 0100 qui correspond N 4 Le circuit int gr 74147 est un codeur prioritaire Ce codeur regroupe la fois les fonctions de bases qui sont les r unions de commande et les fonctions des conditions de priorit s 1 LE CODEUR D CODEUR TRANSCODEUR 1 LE CODEUR D CODEUR TRANSCODEUR
7. Retrouver ces valeurs en utilisant le compl ment 2 REPR SENTATION BINAIRE DE L INFORMATION EXERCICE 4 Ecrire les nombres d cimaux suivants en BCD 48 48 157 103 124 EXERCICE 5 A l aide des interrupteurs r aliser les circuits lectriques pour allumer une lampe qui fonctionne suivant les quations logiques suivantes LI A B L2 A B L3 A B A C L4 A B C D Lien vers d autre cours Logique combinatoire Auteur Syst mes logiques combinatoires Ecole polytechnique f d rale de Lausanne La logique combinatoire Robert Papanicola Logique combinatoire R mi Lechartier Cours sur la logique combinatoire Gilles Bouvier et G na l Valet Les syst mes combinatoires Yvan Cr vits Logique combinatoire avec des chronogrammes int ractifs en javascript Nicolas Midoux Encodage et D codage Net TroniquE Multiplexage et D multiplexage NeT_TroniquE Affichage Num rique NeT_TroniquE Additionneur amp Soustracteur netProbl MATHique Circuits Combinatoires St phane Martin 1 postulats et th or me de l ag bre de boole 1 postulats et th or me de l ag bre de boole 0 1 1 Postulats 1 1 1 Inversion 1 1 2 Commutativit 1 1 3 Associativit 1 1 4 Distributivit 1 1 5 Absorptions 1 1 6 Association d une fonction avec son compl ment 1 1 7 El ment neutres 1 1 8 El ment nul 1 1 9 Idem potence ou relation d une variable avec elle m me 1 1 10 Th or mes de Morgan 0 1 2 T
8. d codage Cependant compte tenu du nombre limit de connexions sur un circuit int gr il est souvent utile de mettre en cascade les d codeurs pour permettre le d codage d un grand nombre de combinaisons L utilisation d une entr e suppl mentaire permet ainsi la mise en cascade des d codeurs Cette entr e est appel e entr e de Validation V Strobe S Si l entr e de validation V 1 le d codeur fonctionne normalement par contre si V 0 toutes les sorties du d codeur sont z ro La table de v rit du d codeur 1 4 avec entr e de validation Les quations logiques des 4 sorties en fonction des entr es V E et E sont 1 LE CODEUR D CODEUR TRANSCODEUR S0 ELE Sl ELEC S2 ELEC S3 ELEO 7 Symbole So E1 S E S2 53 Validation R aliser d un d codeur 3 entr es par des d codeurs deux entr es Le principe de la mise en cascade des d codeurs consiste utiliser l entr es de validation comme entr e principale pour le d codage E2 En effet l entr e de validation permet de s lectionner ou de valider l une de boftier de d codeur circuit d codeur en fonction de sa valeur Si E 0 on s lectionne le d codeur du haut N 1 eton bloque le d codeur N 2 par contre si E 1 on valide le d codeur N 2 er on bloque le d codeur N 1 1 LE CODEUR D CODEUR TRANSCODEUR EME CERTERETECERTERETECERTEEREErErrFErrrErErrrFErErrrErErTr E E Validation D codeur a 3
9. 3 1 1 Fonction non ou inverse 3 1 2 Fonction OU OR 3 1 3 Fonction ET and 3 2 Fonctions logique 3 2 1 Fonction OU NON Nor 3 2 2 Fonction ET NON NAND 3 3 Fonctions complexes 3 3 1 Fonction OU exclusif 3 3 2 Le comparateur logique 3 1 Fonctions simples Pour chacune des fonctions simples nous donnons la d finition le symbole associe et la table de v rit aa 3 1 1 Fonction NON ou inverse La fonction non ou fonction compliment e ou fonction inverse 3 Fonctions l mentaires de la logique combinatoire E SE Symbole de l inverseur Table de v rit 3 1 2 Fonction O OR Une affirmation appara t en sortie si le signal est affirmatif sur au mois une des entr es On repr sente l op rateur O deux entr es comme le montre la figure ci dessous E1 E2 ost Symbole de l op rateur O Table de v rit 3 Fonctions l mentaires de la logique combinatoire SRE RE RE UI UI La sortie vaut 1 lorsque l un au moins des signaux d entr e E1 ou E2 vaut 1 L quation Bool enne de l op rateur Ou est alors S E1 OU E2 E1 V E2 E1 E2 O 3 1 3 Fonction ET and Une affirmation appara t en sortie lorsque chacun des signaux appliqu s sur les bornes d entr e est affirmatif E E za E Simulation symbole de l op rateur ET Table de v rit 3 Fonctions l mentaires de la logique combinatoire O 3 2
10. 4 1 Principe de changement de base Nombres et syst me de num ration Soit un entier N dans une base A et qui s crit dans une base B comme suit NB an1xBnl a p 2B02 a4B1 a ol Si nous divisons N par B nous obtenons un quotient Q4 et un reste R4 tels que NB Q B R B a xBn2 a p 2B03 a4 80 Le reste R repr sente le terme r Si nous divisons Q4 par B nous obtenons un quotient Q et un reste R tels que Q4 ap 4 xB n 34ap 2Bn 44 mT 4o a Le reste R repr sente le terme a et ainsi de suite jusqu on obtient le premier quotient inf rieur B La division peut s effectuer dans n importe quel base condition de savoir compter facilement dans la base en question 1 4 2 Conversion d un entier d cimal en son quivalant dans une base quelconque Nombres et syst me de num ration Pour convertir un nombre d cimal une autre base on divise ce nombre par la base puis on divise successivement les quotients obtenus par cette base jusqu a ce que le dernier quotient soit z ro L quivalent du nombre est donn par les restes successifs L exemple ci dessous illustre la m thode pour la conversion de 200 10 en base 8 reste 0 poids faible reste 1 reste 3 poids fort Le nombre recherch est 310 1 4 3 Conversion d un nombre d cimal en base B 200 divis par 8 et le quotient est 25 25 divis par 8 et le quotient est 3 3 divis par 8 et le quotient est 0 On arr te la di
11. Etats logiques Les deux tats que peuvent prendre une variable binaire sont appel s des tats logiques Un tat logique prendra la valeur binaire 0 ou 1 Dans l exemple pr c dent on peut crire que lorsque L interrupteur a est ouvert a 0 L interrupteur a est ferm a 1 La lampe S est teinte S 0 La lampe S est allum e S 1 On peut imaginer d autres situations de variables binaires 1 postulats et th or me de l ag bre de boole 0 1 1 Postulats L alg bre de Boole est un ensemble quelconque d l ments E muni de Trios lois de composition suivantesL Addition bool enne Produit bool en Compl mentation Addition bool enne not e ou V appel OU Produit bool en not ou appel ET Compl mentation not d appel NON Les l ments de E satisfont aux propri t s suivantes 1 1 1 Inversions L inverse de l inverse d une fonction est gal la fonction elle m me Gd 1 1 2 Commutativit 1 postulats et th or me de l ag bre de boole Les fonctions O et ET sont commutables par rapport chacune des variables d entr es Fonction OU OU P BOUA AVB BVA A B B A B ET A A B BA A A B B A Fonction ET AET B 1 1 3 Associativit Les fonctions OU et ET sont associatives A B C A B C A B C A B C A B C A B C O bk 1 1 4 Distributivit La fonction ET est distribu
12. Fonctions logiques compl tes 3 2 1 Fonction O NON Nor La fonction NOR est la fonction inverse de la fonction OR La sortie vaut 0 lorsque l un au moins des signaux d entr e vaut 1 donc en d duit facilement sa table de v rit E E Symbole de l op rateur NOR Table de v rit 3 Fonctions l mentaires de la logique combinatoire L op rateur NOR est un op rateur complet puisqu on peut r aliser facilement toutes les fonctions simples r alisation de la fonction inverse relier les deux entr es ensembles mettre toujours 0 l une des entr es r alisation de la fonction ET II suffit inverser les deux entr es par deux portes NOR mont s en inverseur r alisation de la fonction OU II suffit d inverser la sortie de la porte NOR par une deuxi me porte NOR mont e en inverseur 3 2 2 Fonction ET NON NAND La fonction NAND est la fonction inverse de la fonction AND E E S E7 E2 E Ev Symbole de l op rateur NAND Table de v rit 3 Fonctions l mentaires de la logique combinatoire L op rateur NAND est un op rateur complet puisqu on peut r aliser facilement toutes les fonctions simples r alisation de la fonction inverse relier les deux entr es ensembles mettre toujours 1 l une des entr es r alisation de la fonction OU II suffit inverser les deux entr es par deux portes NAND mont s en inverseur r alisation de la fonction ET Il suffit d
13. be a c b bhHb e a Tctbch b c Exercice 4 Fd a b a c b e 4 b a c be b c d 2 7 6 Simplification par la m thode de Karnaugh La m thode de Karnaugh pour la simplification d une fonction logique est base sur la remarque suivante Consid rons les 2 termes d une somme logique abc abc a b c abe a c b b ac Une variable dispara t par regroupement de deux termes qui contiennent les m mes variables l exception d une seule qui appara t sous forme vraie dans un terme et sous forme compl ment e dans l autre La variable qui dispara t est celle qui apparaissait sous les deux formes 7 SIMPLIFICATION DES FONCTIONS Remarque Il est possible de regrouper les cases par des puissances de 2 C est dire par 2 par 4 par 8 cet 2k Dans un tableau de Karnaugh de 4 variables les regroupements doivent tre en ligne ou en colonne ou en carr Il faut utiliser tous les cases qui ont 1 au moins une fois de m me il est recommand de chercher regrouper le plus grand nombre possible de cases car les simplifications obtenues sont plus importantes Les regroupements peuvent s entrecroiser et se superposer e Lorsque l on regroupe 2 cases on ram ne un seul terme les deux termes correspondants de l quation bool enne La variable qui change de valeur dans les deux cases n y figure plus e Lorsque l on regroupe 4 cases on ram ne un seul terme les quatre termes correspondants de l quation
14. bool enne Les deux variables qui changent de valeur dans les quatre cases n y figurent plus e Lorsque l on regroupe 8 cases on ram ne un seul terme les huit termes correspondants de l quation bool enne Les trois variables qui changent de valeur dans les huit cases n y figurent plus Pour une fonction de n variables un regroupement de 2k cases r sultant de k simplifications successives correspond un terme de n k variables Exercice 1 S1 ob abcd ab cd abe d abc d abc d S1 a b c a b c a c d a c d Exercice 2 S2 abcd a bcd abcd abed abcd abc d ab d abde 7 SIMPLIFICATION DES FONCTIONS Exercice 3 S3 abcd Lo bed abcd a b c d abcd abc abhds KREESSER S1 b c d a c d a b d a c d Logiciel de simplification http www puz com sw karnaugh index htm t 7 SIMPLIFICATION DES FONCTIONS 7 7 Simplification par la m thode de Quine MC Cluskey Plus lourde appliquer que celle de Karnaugh cette m thode n est en g n rale employ e que quand le nombre des variables est important gt 5 Elle pr sente l int r t d tre syst matique et donc programmable M thode On crit la fonction sous la 1 re forme canonique on classe alors les mon mes dans un tableau par groupes de combinaisons comportant le m me nombre de 1 dans l expression binaire Ces groupes prennent le nom de classes On dresse ainsi le tableau suivant Classe 0 CO pas de 1 valeur num rique d
15. chaque zone du diagramme une ligne de la table de v rit Pour avoir une repr sentation de cette fonction qu il suffit d indiquer dans chaque zone la valeur de la fonction 0 ou 1 1 les Repr sentations d une fonction logique Cas 4 variables 0001 0101 1101 1001 0011 0111 1111 1011 Le d veloppement de cette repr sentation l univers bool en m ne aux notions de min termes et max termes Un min terme est donc repr sent par un produit logique comportant tous les termes de base sans exception sous leur forme vraie ou leur forme compl ment e Un max terme est donc repr sent par la somme logique comportant tous les termes de base sans exception sous leur forme vraie ou leur forme compl ment e min termes et max termes pour 3 variables Valeur Min termes Max termes A B C criture Notion criture Notion 1 les Repr sentations d une fonction logique Selon les formules g n rales donn es ci dessous le compl ment d un min terme est un max terme et vice versa LRU MM O est l indice notant le rang de M ou m 2n 1 est la valeur max de l indice i n est le nombre de variables On remarque que m et Ms sont compl mentaire 1 les Repr sentations d une fonction logique t 1 3 Repr sentation d une fonction par son quation logique La repr sentation d une fonction peut tre d finie par son quation logique par une suite de termes F abed abcd a bcd abcd
16. en mode parall le c est dire chaque fil tant affect un l ment binaire du mot Pour transmettre les l ments binaires en s rie c est dire les uns la suite des autres sur un seul fil I faut r aliser une transformation Parall le s rie en utilisant un multiplexeur num rique associ un compteur binaire Pendant la 1 re top d horloge on transmet le LSB bit de poids 0 2 me top bit de pois 1 ainsi de suite jusqu on transmet le bit MSB Soit l exemple convertir en mode s rie une information de 4 bits disponible en parall le Un compteur 2 tages peut d livrer 4 adresses Il est mis z ro au d but et chaque impulsion fait progresser de un le compteur donc l adresse envoy e La figue 1 montre une organisation possible On recueille en sortie S l information s rie le premier bit pr sent tant celui qui est connect l entr e n 0 le deuxi me bit pr sent tant celui qui est connect l entr e n 2 et ainsi de suite ao ai a a3 C1 Co Ci Chronogramme de la conversion parall le s rie 9 Multiplexeur Demultiplexeur CG C1 C2 C3 Y A DC A B C A DC A B Ca AG Al D AS BG B1 B2 B3 S As Dr A1 B B1 As Bo As B Ba O 9 Multiplexeur demultiplexeur 9 Multiplexeur demultiplexeur mmm 2 2 D multiplexeur 2 2 1 D finition 2 2 2 R alisation d un d multiplexeur deux voies sorties 2 2 3 R alisation 2 2 4 Concentration d
17. ent es Synth se d un d codeur BCD Table de v rit Di BEHRRHRHD PERCORRE Les sorties Lo R HEGER Lo kekeke d s Za Za ds Zu 5 Se 57 1 LE CODEUR D CODEUR TRANSCODEUR 7 RER RES EE Les quations logiques des 10 sorties On utilise le diagramme de Karnaugh pour trouver les expressions de 10 fonctions Zu a SA en fonction des variables d entr es a a Sur le diagramme de Karnaugh il a des 6 cases vides puisqu on arr te la conversion 10 Pour les cases vides on les remplit par des f Calculons par exemple S2 La table de v rit de S2 S2 a2 a1a0 Les quations des autres sorties sont Tt 42 61 40 SI c3 4241 40 S2 42 a1 40 53 a2 al a0 S4 a2 A 40 S5 a2 E 56 a2 a140 5 fol o CHE GHz OU cp 1 2 4 Applications 1 G n ration des fonctions logiques Soit la fonction F logique d finie par sa table de v rit suivante 1 LE CODEUR D CODEUR TRANSCODEUR R aliser cette fonction par un d codeur Solution On exprime F sous la premi re forme canonique num rique en associant les entr es A B C respectivement aux poids 4du code binaire pur e Si 2 On observe sur la table de v rit que la fonction est gale 1 pour 0 2 4 6 donc pa r 0 2 4 6 La fonction F est une fonction de 3 variables qui sont A B C Pour r aliser cette fonction avec un d codeur 3 entr es et 8 sorties il suffit de faire la somme logiqu
18. inverser la sortie de la porte NAND par une deuxi me porte NAND mont e en inverseur e 3 3 Fonctions complexes 3 Fonctions l mentaires de la logique combinatoire 3 3 1 Fonction Ou exclusif La fonction OU exclusif est une fonction de deux variables uniquement qui prend la valeur 1 si une seule variable est gale 1 Donc la fonction vaut 1 lorsque les valeurs de deux variables d entr es sont diff rentes c est dire E1 0 et E2 1 ou E1 1 et E2 0 S E E Se Gm E gt Symbole de l op rateur O exclusif E E Simulation imulation Table de v rit Les propri t s de la fonction ou exclusif sont o commutativit A B B A a associativit A PO C A BE C A BBC o l ment neutre 0 A 0 A 3 Fonctions l mentaires de la logique combinatoire Le compl ment de la fonction O exclusif est gal au Ou exclusif des variables dont l une est compl ment e NON A B NON B A B NON A L op rateur Ou exclusif est l op rateur programmable suivant la valeur de la commande P la relation entre la sortie et l entr e est diff rente S E Si P 0 S E Si P 1 E p L op rateur programmable suivant la valeur de P 3 3 2 Le comparateur logique Le comparateur logique ou la fonction co ncidence ou identit est la fonction compl mentaire de la fonction OU S E E Se S E E2 E Symbole de l op rateur comparateur logique exclusif E E
19. la mani re suivante N An 1An 2 A 140 Nombres et syst me de num ration 1 1 2 Le syst me binaire Dans le syst me binaire on a que deux symboles qui sont 0 et 1 donc la base du syst me binaire est 2 On donne dans le tableau ci dessous l quivalence des nombres d cimaux de 0 15 dans le syst me binaire Syst me d cimal Syst me binaire 0 0000 1 0001 2 0010 3 0011 4 0100 o 0101 6 0110 7 0111 8 1000 Nombres et syst me de num ration On v rifie facilement qu on associe au nombre 1110 en base 2 couramment repr sent par 1110 2 le nombre 14 10 en binaire En effet 1110 0x20 1x21 1xX22 1x23 0 2 4 8 14 Les symboles binaires sont souvent appel s bit on dit par exemple que le nombre 1110 2 a 4 bits par contraction de l expression anglaise BINARY DIGIT chiffre binaire Nombres et syst me de num ration fr 1 1 3 Le syst me octal Le syst me octal est form par 8 symboles qui sont 0 1 2 3 4 5 6 7 donc c est syst me a base 8 1 1 4 Le syst me duod cimal Le syst me duod cimal est form par 12 symboles qui sont 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 i donc c est syst me a base 12 HR EEEE EEEE Nombres et syst me de num ration On associe au nombre 1 amp Dao 42 le nombre 3346 en effet on a 1B 2 7 0 12042 1214 D 1224 1 123 3346 40 1 1 5 Le syst me hexad cimal Le syst me hexad cimal est syst me a base 16 Il
20. porte NOR deux entr es a et b par alb a b ab Exemples Ext Fle a b cHp d a b c pi al cl pHa Ex2 F2 ab ctphd ab otd d aldb cl pid Repr sentation de Karnaugh d une fonction La repr sentation d une fonction peut tre d finie par Par une suite de termes F abed abrc d abcd abcd Par sa table de v rit O BEE O SCH Lu O O D _ o _ SRE E o _ SRE D o WR WR WR WR WR a _ DRE Table de Karnaugh de la fonction F 3 Expression d une fonction Jl 4 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 la deuxi me forme canonique 4 LES Fonctions f bool ennes 4 LES Fonctions f bool ennes Les fonctions fhbool ennes sont des fonctions non d finies pour certaines valeurs des variables d entr es comme le montre l exemple suivant Soit un chariot anim par un moteur M double sens de rotation Droite Gauche Le chariot se d place entre deux but es A et B en fonction de l tat du moteur M marche ou arr t D terminer l quation logique du moteur M en fonction des boutons de fin de cours et B Eut e gauche M Eut e droite B A M 1 quand le moteur fonctionne M 0 quand le chariot se trouve en A ou en B M 1 quand le chariot n est pas en A ou en B On se propose de chercher la fonction logique du moteur M Si le chariot se trouve en but e gauche c est A 0 te B 1 donc M 0 Si le chariot se trouve en but e droite c esta A 1 te B 0
21. syst me de num ration Nombres et syst me de num ration Les codes binaires pond r s 1 1 Terminologie 1 2 Syst me de comptage 1 3 Nombres binaires fractionnaires 1 4 Convention entre syst me de num ration bases differentes 1 5 Representation des nombres binaires sign s 1 1 Terminologie 1 1 1 Le syst me d cimal 1 1 2 Le syst me binaire 1 1 3 Le syst me octal 1 1 4 Le syst me duod cimal 1 1 5 Le syst me hexad cimal Nombres et syst me de num ration 1 1 1 Le syst me d cimal Le syst me de num ration le plus utilis est le syst me d cimal qui utilise les dix symboles suivants 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Le nombre de symbole utilis dans un syst me s appelle sa base La base du syst me d cimal est 10 Dans un nombre chaque terme est associ une valeur Cette valeur est gale la base lev e une puissance qui d pend de sa position du terme dans le nombre D une fa on g n rale chaque nombre doit tre exprim par les symboles qui le forme multiplier par des puissances croissantes de sa base comme le montrent les exemples suivants 5871 1x100 7x101 8x10 2 5x105 562 2x100 6x101 5x102 D une mani re g n rale un nombre entier positif N s exprime dans une base B au moyen de B symboles a de la mani re suivante N a Bmt a p 2B0 2 a Bl a ol Dans la pratique la base est sous entendue et l on se contente de juxtaposer les coefficients a et on crit N de
22. un grand nombre de donn es 9 2 D multiplexeur 9 2 1 D finition Un d multiplexeur DMux est un circuit combinatoire ayant une entre d information n entr es d adressage affichage et 2n sorties Ce circuit r alise l aiguillage d information La diff rence entre le Mux et le DMux r side dans le sens de circulation de l information O kb 9 2 2 R alisation d un d multiplexeur deux voies sorties symbole e Op So Sorties ET S Voies S Au Au Entr e de commande Sch ma quivalent Table de v rit 9 Multiplexeur demultiplexeur Pour A0 0 onaS0O E Pour A0 1 onaSi E La sortie non s lectionn e est l tat 1 rr A rr EE Ea 9 2 3 R alisation SO AO0E AO E donc S0 A0 E SI AO E A0 donc S1 E A0 E SO Si Ao R alisation d un d multiplexeur deux voies 9 Multiplexeur demultiplexeur Table de v rit d un multiplexeur quatre voies Toutes les cases hachur es ont pour valeur logique un 1 puisqu on sait que les sorties non s lectionn es du d multiplexeur sont l tat 1 S0 A0 A1 donc S est So E Ao A 9 2 4 Concentration d un grand nombre de donn es 9 Multiplexeur demultiplexeur Concentration de donn es et transmission parall le donnees donnees 1 1 e donnees e 3 multiplexees 3 d A adresse adresse Lien vers d autre cours Logique combinatoire Auteur
23. 0000 0000 0000 1 0001 0001 0001 0001 0001 Repr sentations binaires de l information 0010 0010 0011 0100 0100 1000 0101 1001 0110 1010 0111 1100 1000 1101 1001 1110 HAUT 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1100 1101 0010 0011 0110 0111 1001 1010 1011 1110 0010 0011 0100 1000 1001 1010 1011 1100 3 1 3 Codes d cimaux binaires sym trique ou codes auto compl mentaires Repr sentations binaires de l information Nous parlons que le but recherch ici est la simplicit de l obtention le compl ment 9 d un nombre qui interviennent dans certaines m thodes de traitement des nombres n gatifs Nous rappelons la d finition du compl ment 9 d un nombre N compos de k chiffres est gale 10K 1 N Le code EXCES de 3 et le code AIKEN sont fr quemment utilis s ils sont Codes EXCES XS3 Codes EXC S XS3 est un code d cimal auto compl ment e obtenu partir des combinaisons du code BCD auxquelles on ajoute syst matiquement 3 0011 Ce code a t cr pour permettre la r alisation simple des op rations de soustraction En effet le compl ment 9 d un nombre s obtienne en prenant le compl ment 1 de chaque des chiffres du code binaire c est dire en rempla ant les 0 par des 1 et r ciproquement Code AIKEN Code AIKEN C est un code d cimal pond r auto compl mentaire avec les poids des l ments binaires sont 2421 Par l interm diaire de ce c
24. A Oppos B A C P C B 1101 A CB 0101 1101 0101 1101 0010 dans cet exemple on prend que les quatre bis les mois significatifs puisque nous avons fix le nombre 4 bits On constate que le r sultat est positif puisque le dernier bit le plus gauche est gal 0 et de valeur absolue gale 249 donc la diff rence est 0010 quivalent 2 0 Ex 2 Effectuer la soustraction de B A avec 0101 et B 0011 Arithm tique binaire B A B Oppos A B C A C A 1011 B C A 0011 1011 0011 1011 1110 On constate que le r sultat est sur 4 bits le dernier bit le plus gauche est gale 1 donc ce r sultat est n gatif Pour chercher sa valeur absolue il faut chercher le compl ment vrai du r sultat C r sultat 0010 donc la diff rence de B A est gale 240 2 5 Division Arithm tique binaire Les remarques faites de la multiplication binaire s appliquent galement la division binaire En effet pour la division il suffit donc de comparer les nombres en pr sence le diviseur et le dividende et d crire un bit UN au quotient si la soustraction est possible dividende diviseur gt 0 et un bit ZERO si elle ne l est pas C est dire que le diviseur ne peut tre contenu qu une seule fois le dividende ou pas du tout Ces op rations sont effectu es chaque reste partiel de la division Exemple effectuer la division de par B avec 1101 et B 101 e l est pa
25. A y 1 0 lei 21 F y sr 0 0 a 0 1 bet 21 0LUei 21 UD 200 btvtg0Ulktztit0lkiatztI 3 Expression d une fonction Exemple CT EE RR RR RR RW premi re forme canonique Tr AO LH AL Op Ex seconde forme canonique rx 00 0 A0 DO ky LOI y LD 01 x y x y x y 0 skagiltsg G n ralisation Il faut d velopper par rapport aux 1 puis par rapport aux 0 En pratique on d duit directement l expression de F partir de la table de v rit comme suit 3 Expression d une fonction a somme de produits On consid re que les lignes ouF 1 Dans ces lignes une variable gale z ro on fait correspondre son compl ment une variable gale un on fait correspondre elle m me Pour chaque ligne on crit le produits logique correspondant puis on termine en faisant la somme de ces produits H SR D E E BB 3 Expression d une fonction F x zx y ZHY V ZzHXx V Z Une forme appara t dans les ouvrages est une repr sentation par association chaque mi terme sa valeur soit binaire soit d cimale Forme binaire F 001 010 101 110 Pour simplifier la repr sentation des fonctions on fait la conversion binaire d cimale On doit obligatoirement fixer l ordre des variables x y et z c a d le poids des bits dans la base 2 le poids de x est 2 le poids de y est 1 et de poids de z est 0 Donc on peut crire la fonction comm
26. CBN est N Partie enti re N 2 N 2 REPR SENTATION BINAIRE DE L INFORMATION REPR SENTATION BINAIRE DE L INFORMATION 3 3 Donn es non num riques Les donn es non num riques correspondent aux caract res alphanum riques et aux caract res sp ciaux c est dire les lettres de l alphabet A B C Z les chiffres 0 1 9 et le autres symboles etc Le codage est fait par un tableau de correspondance propre chaque code utilis Parmi le plus connus on peut citer les codes 3 3 1 BCD 3 3 2 ASCII 3 3 3 EBCDIC 3 3 1 BCD Binary Coded Decimal un caract re est cod sur 6 bits gt 3 3 2 ASCII American Standard Code for Information Interchange cod sur 7 bits 3 3 3 EBCDIC gt REPR SENTATION BINAIRE DE L INFORMATION Extended Binary Coded Decimal Internal Code cod sur 8 bits OR 3 4 Exercice EXERCICE 1 l Convertir les nombres d cimaux suivants en nombres binaires octal puis hexad cimal 1226192025 LES 2 Convertir les nombres binaires en d cimaux 1011 10110 1011011 EXERCICE 2 Trouver la relation de r currence pour convertir un nombre N de la base b la base bk et inversement V rifier cette relation pour la conversion des nombres de l exercice 1 EXERCICE 3 Ecrire les nombres d cimaux suivants en binaire dans la repr sentation module plus signe avec un format de huit l ments binaires 48 48 17 24 15
27. DCB ou Binary Coded Decimal BCD Dans les ordinateurs on utilise les syst mes logiques donc les donn es sont trait es sous forme binaire Par exemple le nombre 25 en d cimal devient 11001 en binaire Cette repr sentation peut prendre un nombre consid rable des bits pour les grands nombres d cimaux On rappelle que le syst me d cimal est celui qui convient le mieux aux Hommes pour la repr sentation des nombres tandis que le syst me binaire est celui qui convient le mieux aux syst mes logiques On peut imaginer des syst mes des num rations acceptables la fois par l homme et les machines On peut prendre tout chiffre d cimal par un groupe de 4 bits comme le montre le tableau Ce code est le syst me D cimal Cod en Binaire connu sous le DCB ou par les Anglo saxons par le code BCD En effet avec ces codes chaque chiffre du nombre d cimal correspond un groupe de 4 bits du nombre binaire que l on obtient par conversion directe d cimale binaire comme le montre l exemple suivant La conversion du nombre 75 d cimal en BDC 0111 1001 La conversion du nombre 154 d cimal en BDC 0001 0101 0100 Le syst me de num ration le plus utilis est le syst me binaire naturel 4 bits pond r avec les poids 1 2 4 8 Toutefois il existe d autres fa ons de pond rer les chiffres binaires Quatre codes sont donn s dans le tableau ci dessous code 4321 code 4421 code 5221 code 5421 d cimal 8421 4321 4421 5221 5421 0 0000 0000
28. Logique combinatoire Kachouri Abdennaceur ENIS D partement GE Universit Virtuelle de Tunis 2006 Nouvelle page 1 Introduction Ce module porte sur les circuits logiques combinatoire Il couvre plus sp cifiquement la repr sentation des nombres l alg bre de Boole et les fonctions l mentaires la description et la simplification des fonctions logiques On se concentre sur l tude d taill e des circuits logiques combinatoires multiplexeur d codeur m moire additionneur unit arithm tique et logique encodeur de priorit g n rateur et v rificateur de parit comparateur Le module s adresse d abord aux personnes qui s int ressent une connaissance de base aux circuits num riques et l architecture des ordinateurs Il s inscrit dans le programme du dipl me techniciens sup rieures en g nie lectrique et informatique et aux l ves ing nieurs et aux tudiants en ma trise de physique Module de base aucune connaissance base ne requise pour comprendre ce cours Ce Guide d tude a pour objectif de vous pr parer suivre le cours Il d finit en quelque sorte un mode d emploi non seulement pour le mat riel didactique du cours mais aussi pour le cheminement que vous devez adopter et les diff rentes exigences auxquelles vous devez r pondre Nouvelle page 1 Bonne lecture et bon cours Le but de ce module est de se familiariser la circuits logique combinatoire Plus sp cifiqueme
29. ca abcd a Par sa table de v rit D cimale zech i E K O BEEREEER A H BREEERRR G P BEERREER 5 H LT IT WEE P 2 Repr sentation de veitch et karnaugh A chaque case de la table de Karnaugh on associe le nombre d cimal correspondant son quivalent en code binaire naturel DCBA Num rotation d cimale des cases dans le diagramme de karnaugh Par convention le nombre d cimal quivalent une case associe au nombre binaire exprim par DCBA est gale D 23 0 22 B 214 A 20 Pour les entr es DCBA qui vaut respectivement 0000 on associe la case 0 Pour les entr es DCBA qui vaut respectivement OM on associe la case M Pour les entr es DCBA qui vaut respectivement 1110 on associe la case 14 Nous remarquons que chaque case correspond une combinaison des variables des entr es On remplie chaque 2 Repr sentation de veitch et karnaugh case par la valeur de la fonction c est dire on remplie les cases associes la fonction par 1 quand la valeur de la fonction est gale 1 les autres cases sont remplies par 0 P 7 SEN 3 Expression d une fonction 3 Expression d une fonction 3 1 Formes canoniques d une fonction logique 3 2 Relation de Shannon dans le cas d une variable 3 3 Relation de shannon dans le cas de deux variable 3 1 Formes canoniques d une fonction logique Une forme est dite canonique quand toutes les variables
30. cimale 0 classe 1 Ci un 1 valeur num rique d cimale 1 2 8 16 2k classe 2 C2 deux 1 valeur num rique d cimale 3 5 6 9 R gles de calcul e Un mon me d une classe ne sera r ductible qu avec un mon me plac dans la classe pr c dente ou suivante adjacente e un mon me ne sera r ductible avec un autre plac dans une classe voisine que s il existe entre les valeurs num riques d cimales correspondantes une diff rence gale 2i avec CN e On tablit alors un 2 me tableau dans lequel on regroupe galement les mon mes adjacents r unis en rempla ant dans leur expression binaire le chiffre supprim par un tiret e On effectue alors une nouvelle r duction entre les mon mes des classes du 2 me tableau ce qui donne selon les m mes principes un 3 me tableau et ainsi de suite jusqu ce que toutes les r ductions possibles aient t effectu es e il reste grouper dans les diff rents tableaux les mon mes sur lesquelles aucune r duction n est possible Logique combinatoire Auteur LE CODEUR D CODEUR TRANSCODEUR LE CODEUR D CODEUR TRANSCODEUR 1 1 Le codeur 1 1 1 D finition 1 1 2 Codeur d cimal binaire 1 1 3 Codeur prioritaire 1 2 D codeur 1 3 Transcodeur 1 1 Le codeur 1 1 1 D finition Un codeur est dispositif qui traduit les valeurs de ces entr es dans un code choisi De fa ons g n rales il y a sorties et Bllentr es mais une seule entr e active
31. constituant le mot d entr e apparaissent dans les termes exprimant la valeur de la fonction Il existe deux formes canoniques pour une fonction donn e appel e 1 re forme canonique et 2 me forme canonique gt 3 2 Relation de Shannon dans le cas d une variable Soit f x fonction de la variable bool enne on peut crire JEJ x0 mn En v rifie facilement que pour x 0 f 0 0 f 1 1 f 0 f 0 pour x 1 f 1 1 f 1 O f 0 HI Si la fonction f x est exprim e sous cette formule somme de produits OD 0n dit que la fonction est exprim e sous la premi re forme canonique A partir de 1 on peut crire JEX JU 7 0 En applique le th or me de Morgan il vient JEFE tE e 3 Expression d une fonction Si la fonction f x est exprim e sous cette formule sous cette forme produit de sommes IKZ on ait que la fonction est exprim e sous la seconde forme canonique i 3 3 Relation de Shannon dans le cas de deux variables Soit f x y fonction de 2 variables bool ennes ind pendantes x et y on peut crire premi re forme canonique RESF ayay VEL FUYE A11 7 0 0 FOYE 7 0 1 7 0 0 ts ut att La yr 0 Lx 5 7 0 0 On voit donc qu il est possible d crire une fonction sous la forme d une somme de produits logiques En remarquant qu un terme n existe que si la valeur correspondante de f i j 1 seconde forme canonique 0 91 AL D AVEC AO tert 200 70 1 ALH
32. d addition soustracteur bech kk Unit Arithm tique et logique Introduction sur PLA Nouvelle page 1 5 13 R alisation des fonctions logiques Approche p dagogique Ce cours est con u selon une approche p dagogique propre la formation distance Le mat riel didactique et la formule utilis e vous permettent d adopter une d marche d apprentissage autonome Vous pouvez ainsi g rer votre temps d tude et prendre en charge votre formation Toutefois cette prise en charge est soutenue par la personne responsable de l encadrement le tuteur ou la tutrice pendant toute le semestre Sa t che est de vous faciliter les conditions d apprentissage et de vous aider dans votre d marche de fa on ce que vous atteigniez les objectifs du cours Il va de soi que le tuteur ou la tutrice ne donne pas les r ponses des activit s not es Vous pouvez communiquer avec votre tuteur ou votre tutrice par le courrier lectronique offert sur le site du cours ou en posant vos questions sur le forum Votre tuteur ou votre tutrice y r pondra l int rieur de 48 heures file G dossier3 logique guide htm 6 of 12 14 06 2011 12 12 49 Nouvelle page 1 Haut de la page Charge de travail et calendrier Ce module est offert distance sur une semestre de 13 semaines Le volume de travail exig pour l tude du module et la r alisation des valuations est de 2 heures par semestre En moyenne la charge de trava
33. donc M 0 Si le chariot se trouve ni en but e gauche et ni en but e droite avec A 0 et B 0 donc M 1 Si le chariot se trouve la fois en but e gauche et en but e droite avec A 1 et B 1 quelle est la valeur de M Comme cette situation n est jamais r alis e on peut attribuer pour M n importe quelle valeur 1 ou 0 Dans ce cas il est pr f rable de mettre de f Le f peut tre un 0 et un 1 TT 4 LES Fonctions f bool ennes En fonction des contraintes technologiques on attribue f la valeur 0 ou 1 si f 0 l quation de f AB A 8 si f 1 l quation de Af A A 7 SIMPLIFICATION DES FONCTIONS 7 SIMPLIFICATION DES FONCTIONS 7 5 Simplification par les m thodes alg brique 7 6 Simplification par la m thode de Karnaugh 7 7 Simplification par la m thode de Quine Mc Cluskey 7 5 Simplification par les m thodes alg brique Cette m thode consiste appliquer les principes de l alg bre de Boole et tout particuli rement en regroupant des termes l aide des identit s remarquables En ajoutant des termes d j existant En supprimant un terme superflu consensus en choisit par fois la fonction compl ment e si elle a un minimum des termes Exemples Exercice 1 Pott a a a b a a ab a b b b a b ab a b lt cab bab aa b b a b ab Exercice 2 7 SIMPLIFICATION DES FONCTIONS F a b c a beta betabe a b ete hab e e a b 5 i Exercice 3 F3 a b c abc a
34. e des sorties Zu e S Ze comme le montre la figue ci dessous D codeur 3 entr es Porte OR F 2 Adressage d une m moire 1 d codeur d adresse La repr sentation informatique d une m moire est celle d une boite aux lettres Chaque case est identifi e par un num raux Ce num ro est d livr par l une des sorties d un d codeur interne ayant par exemple n bits d entr es Ces n bits entr es sont appel es lignes d adressage de la m moire donc dans une m moire on trouve un d codeur d adresse 2 La s lection du bo tier Chip Select 1 LE CODEUR D CODEUR TRANSCODEUR Pour avoir une extension d une zone m moire on utilise des d codeurs pour s lectionner l une des bo tiers de m moire La s lection du bo tier est assur e par le signal CS Chip Select d livr par le d codeur d adressage 3 Remarque Il existe divers types de d codeurs certains sont m me propres une application bien d finie comme le SN 7447 qui set d interface entre le BCD et afficheurs 7 segments 7442 74154 74155 8 LE CODEUR D CODEUR TRANSCODEUR 8 LE CODEUR D CODEUR TRANSCODEUR 1 3 Transcodeur 1 3 1 D finition 1 3 2 Exemple 1 3 3 Le passage inverse de code Gray en code binaire 8 3 Transcodeur 8 3 1 D finition Le code binaire pur n est pas universellement utilis Pour des applications donn es comme par exemple les transmissions des donn es num riques qui font souvent appel d autr
35. e suite Forme d cimale F 1 2 5 6 F 5 3 1 2 5 6 Notation plus condens es F 1 2 5 6 b produit de sommes On consid re que les lignes ouF 0 Dans ces lignes 3 Expression d une fonction une variable gale z ro on fait correspondre elle m me une variable gale un on fait correspondre son compl ment Pour chaque ligne on crit la somme logique correspondant puis on termine en faisant le produit de ces sommes E ER E EE EE EE S ES 3 Expression d une fonction F rty z 2 Gt yz La repr sentation par l association d cimale I 7 4 3 0 Remarque En pratique une s rie de circuits int gr s ne comprend qu un nombre limit de diff rents types de portes En g n ral seules les portes NAND et NOR sont utilis es Porte NAND Pour r aliser une fonction logique par des portes NAND il faut de faire deux compl mentations n gations successives de la fonction exprim e sous la premi re forme canonique ou sous la deuxi me forme canonique On note la porte NAND deux entr es a et b par alb a b a b Exemples ca Fab cHp d F a b cH p d SEENEN Ex2 F9 bictpta a bicit pid Porte NOR 3 Expression d une fonction Pour r aliser une fonction logique par des portes NAND il faut de faire deux compl mentations n gations successives de la fonction exprim e sous la premi re forme canonique ou sous la deuxi me forme canonique On note la
36. emploie 16 l ments qui sont Base 0 1 2 131415 16 7 18 9J A IB ICIDIJE IF 16 Base 01112 31415161 1819110111112113114 15 10 Nombres et syst me de num ration 1 2 Syst me de comptage D autres syst mes de num ration sont fr quemment utilis s Ces syst mes sont Base 1 Le comptage avec les doigts cailloux entailles Base 2 syst me binaire logique symbolique ordinateurs Base 5 syst me quinaire Azt ques Base 7 notes musicales jours de la semaine Base 8 syst me octal ordinateur Base 10 syst me d cimal adopt par l Homme Base 12 syst me duod cimal gamme des notes et demi tons mois de l ann e heures Base 16 syst me hexad cimal ordinateur Base 20 comptage sur les doits des mains et des pieds Mayas Base 24 Heures du jour Nombres et syst me de num ration JOYL UVU UVUIVY ITHTIUIWYO kat YLVLUUIIULYOY VUVOIILY D ON Y IUTIV d 1 3 Nombres binaires fractionnaires D une fa on g n rale pour un syst me de num ration de base B la partie fractionnaire d un nombre est d finie comme tant la somme des produits des symboles constituant ce nombre par des puissances n gatives associe aux poids de ces symboles NE a xB l a 2B2 a_ pB La conversion binaire d cimale d un nombre binaire fractionnaire est tr s simple Voici un exemple 0 101 1x2 1 0x2 2 1x2 3 0 625 10 1 4 Conversion entre syst me de num ration bases diff rentes 1
37. es codes Non Retour Z ro NRZ Manchester Bipolaire etc Un transcodeur est un dispositif permettant de convertir un nombre N du code 1 au code 2 8 3 2 Exemples 1 Transformation du code binaire pur 4 bits en code Gray 2 Faire la transformation inverse RE 1 Le passage du code binaire en code Gray La table de v rit D cimale Db Ch EI SEL 8 LE CODEUR D CODEUR TRANSCODEUR La simplification des fonctions Ag Bg Cg et Dg par le tableau de Karnaugh est la suivante go sc ni En RK Ag Ab Bb CS CS CS auo p b b b nm M Cg CDD Db 2 Le passage inverse de code Gray en code binaire 8 LE CODEUR D CODEUR TRANSCODEUR La simplification des fonctions Db Cb Bb Ab par les tableaux de Kargnauh est la suivante IDbCb BbAb 00 01 11 10 mn Kn oi E cw nu bD Kn RK nm Em Kc Ab Dg Cg Bg Ag CE SZ RS Cd Con Dg Op T 9 Multiplexeur Demultiplexeur 9 Multiplexeur Demultiplexeur 2 1 Multiplexeur 2 1 1 D finition 2 1 2 Symbole d un multiplexeur 2 1 3 Application 2 1 4 Concentration d un grand nombre de donn es 2 2 D multiplexeur 9 1 multiplexeur 9 1 1 D finition Un multiplexeur est un circuit combinatoire N entr es d information et une sortie unique Cette sortie prend la valeur de l une des entr es s lectionner par une adresse cod e sur n bits N 21 Tout se passe com
38. ette combinaison est d sign e par les coordonn es de la case La seule diff rence en le diagramme de Karnaugh par rapport au diagramme de Veitch est l utilisation du code Gray Lorsqu on passe d une case la voisine dans le cas du diagramme de Karnaugh les cases adjacentes il n y a qu une seule variable qui change En effet chaque fronti re de la table repr sente le changement d une variable et 2 Repr sentation de veitch et karnaugh d une seule Il a lieu de noter l adjacente des cases de la premi re et la derni re ligne de m me de la premi re et la derni re colonne 2 1 3 Cas des 4 variables On n utilise que le diagramme de Karnaugh 2 1 4 Cas des 5 variables Dans le cas de 5 variables on a le choix entre repr sentation par un seul tableau ou bien par deux tableaux Un seul tableau Dans ce cas on v rifie facilement les cases adjacentes comme pour les cas pr c dents ED CBA 000 001 011 010 110 111 101 100 00 III EEE EEE 1 EE 1 T C1 EE 1 Se 5 S z Q g T O O ki sen E ul 2 ES s v D e SCH D sS z 2 iD E D ch TL ET HUH THE Ti TD ET HE T O 8 D O Q 8 Q ts S K 2 Repr sentation de veitch et karnaugh 2 Repr sentation de veitch et karnaugh SE Repr sentation de karnaugh d une fonction La repr sentation d une fonction peut tre d finie par Par une suite de termes F abed a bcd a b
39. gique 1 2 Repr sentation VENN EULER 1 3 Repr sentation d une fonction par son quation logique 1 4 Repr sentation d une fonction par sa table de v rit 1 5 Repr sentation d une fonction par logigramme 1 6 Repr sentation d une fonction par chronogramme 1 1 Variables et fonctions logiques Une variable logique ou binaire que nous notons A est une grandeur qui ne peut prendre que deux tats not s 0 ou 1 et ne peut pas varier de fa ons continue Une fonction logique F X x de n variables x4Xx2 X est une fonction qui ne prend comme chacune des variables que deus valeurs 0 ou 1 O 1 2 Repr sentation VENN EULER Le logicien anglais Venn a labor des diagrammes logiques Il repr sente la variable par un domaine l espace ext rieur ce domaine est alors repr sentatif de la variable compl ment e Soit une variable binaire peut prendre que l un de deux tats possibles que l on repr sente par 0 ou 1 On convient que A prend la valeur 1 l int rieur du domaine et la valeur 0 l ext rieur voir figure 1 les Repr sentations d une fonction logique Cas de deux variables A et B Dans le cas de deux variables on trace deux domaines l un repr sente A et l autre repr sente B L intersection des 2 domaines repr sente le produit logique A B et la r union des 2 domaines repr sente la somme logique A B On peut encore repr senter plus facilement le diagramme de Venn en correspondant
40. h or mes de l alg bre de Boole Georges BOOLE Math maticien britannique n LINCOLN 1815 1864 Un des promoteurs de la logique math matiques contemporaine En 1854 Boole crivit un article intitul Investigation parmi les lois de pens e les math matiques classiques quoique extr mement utiles dans la recherche intellectuelle ne peuvent prendre en compte tous les aspects de la pens e donc Boole a pos les fondement d une nouvelle alg bre appela Alg bre des classes En 1938 la technique t l phonique atteignait un haut degr de complexit et les m thodes de Boole furent soudainement red couvertes gr ce un article publi par C E Shannon et intitul Analyse symbolique des circuits de commutation relais Shannon d couvrit que l alg bre des classes de Boole tait un outil l postulats et th or me de l ag bre de boole puissant qui permettait d analyser et de repr senter les circuits complexes bas s sur un fonctionnement deux tats 1 Variable binaire 3 1 1 D finition Une variable binaire est une variable qui ne peut prendre que deux tats Exemple On consid re le sch ma lectrique suivant L interrupteur a peut tre soit ferm soit ouvert Il poss de donc deux tats possibles de fonctionnement La lampe S poss de galement deux tats possibles de fonctionnement qui sont teinte allum e On peut donc dire que les variables a et S sont des variables binaires
41. il hebdomadaire est donc d environ 1 heure Certains le ons ou sections ou sont un peu plus longs lire que d autres mais ils exigent moins de travail sous forme d exercices Un calendrier p dagogique d taill est propos au Tableau 3 Tableau 3 Calendrier p dagogique Nouvelle page 1 Lecture du guide p dagogique Lecture de la le on 1 Auto valuation Lecture de la le on 2 CU Lecture de la le on 3 Auto valuation Lecture de la le on 4 Travail Auto valuation Lecture de la le on 5 Auto valuation Lecture de la le on 6 Auto valuation Nouvelle page 1 10 11 12 Lecture de la le on 7 Auto valuation Lecture de la le on 8 Travail Auto valuation Lecture de la le on 9 Auto valuation Lecture de la le on 10 Auto valuation Lecture de la le on 11 Auto valuation Lecture de la le on 12 Auto valuation Nouvelle page 1 Lecture de la le on 13 13 3 Auto valuation 14 1 2 3 R vision 15 Examen final sous surveillance Date de l examen valuation des apprentissages L auto valuation Cette valuation n est pas not e Elle est pr sent e sous forme d activit s d int gration de questions r pondre ou d exercices effectuer Cette auto valuation met l accent sur les points les plus importants de la mati re Le corrig des exercices est disponible mais nous vous sugg rons de ne le consulte
42. it Z RO 0 on examine de la m me fa on les bits imm diatement inf rieur Il est vident que si rang apr s rang les bits sont identiques c est que les 2 nombres sont gaux Arithm tique binaire 2 2 Addition Les r gles de l addition en l arithm tique binaire sont r sum es ci dessous Exemples Table d addition Ex 1 A 10etB 1 on cherche S A B S 10 1 11 Ex 2 A 11 etB 1 on cherche S A B Arithm tique binaire Ex3 A 101etB 111 calculer S A B 1 1 CG retenue de 1 1 1 100 S 100 101 retenue de 1 1 111 1100 S 1100 Arithm tique binaire 2 3 Multiplication Comme en num ration d cimale la multiplication de deux nombres binaires se faire selon le proc d classique en utilisant la table de multiplication ci dessous On obtient alors une suite de produits partiaux d cal s l un par rapport l autre d un rang vers la gauche et qui sont ensuite additionn s pour trouver le r sultat de la multiplication Exemples Ex 1 Calculer le produit P AB avec 110 et B 101 Arithm tique binaire 110 101 110 000 110 produis partiels 11110 produit Remarques La multiplication d un nombre par 2 4 8 2K se fait en ajoutant 1 2 3 k z ros droite de ce nombre si c est un entier ou d calant la virgule de 1 2 ou de 3 k rangs vers la droite si le nombre est fractionnaire Arithm tique binaire Arithm tique binaire
43. ivalents d cimaux quivalents binaires 1011 0111 1010 1001 B7 A9 16 10110111 10101001 2 Exemple 2 Donner l quivalent hexad cimal de N 11010111 1 2 On rearoupe les bits 4 par 4 de par et d autre de la viraule en compl tant par des z ros si c est n cessaire Nombres et syst me de num ration N 1101 0111 1000 N D7 8 46 Par la m me m thode de conversion d un nombre exprim dans une base B son quivalent dans le syst me d cimal on associe le nombre 1AF 16 au nombre 431 10 Arithm tique binaire Arithm tique binaire 2 1 Introduction 2 2 Addition 2 8 Multiplication 2 4 Soustraction 2 5 Division 2 1 Introduction Le m canisme des op rations appris et acquis en arithm tique d cimale peut tre rigoureusement appliqu au syst me binaire En particulier le maniement des retenues quand elles existent est identique Pour effectuer les op rations de soustraction ou de division de deux nombres binaires il est n cessaire de comparer ces deux nombres La proc dure d une comparaison de 2 nombres binaires A et B est la suivante On examine chaque bit en commen ant par le rang le plus lev Si ce rang le nombre A pr sente un bit UN 1 alors que le nombre B pr sente un bit Z RO 0 le r sultat de la comparaison est A gt B Si c est le cas contraire on en d duit que A lt B Si les 2 nombres pr sentent la m me valeur un bit UN 1 ou un b
44. me s il avait aiguillage de l une des entr es vers la sortie S n Entr es A adresse Adresse 9 Multiplexeur Demultiplexeur i 9 1 2 Symbole d un multiplexeur Exemple de r alisation R aliser un multiplexeur 4 entr es d information Ep E Es el Pour s lectionner une entr e parmi les quatre il faut 2 entr es d adresse Ab A Table de v rit nb Fb cl O O L quation de sortie S A1 A0EC A1 A0E1 A1 40 2 A 1A0E3 R alisation 1 r alisation Par des portes l mentaires 9 Multiplexeur Demultiplexeur AG A B C A B Co A BC Mux 1 4 r alis par des portes l mentaires 2 r alisation par un d codeur 9 Multiplexeur Demultiplexeur Eo E1 A1 Ao R alisation d un Mux 1 4 par un d codeur et des portes logiques 3 R alisation par des multiplexeurs1 2 Pour r aliser un Mux 1 4 on peut utiliser trois Mux 1 2 comme le montre la figure ci dessous S A150 4151 CE VE S0 E040 140 Sl E A0 340 Eo So E E E 9 Multiplexeur Demultiplexeur Mux 1 4 r alis par 3 Mux 1 2 SO prend la valeur de EU ou E1 en fonction de la valeur de A0 De m me S1 prend la valeur de E2 ou E3 en fonction de la valeur de AC L aiguillage de SO ou S1 vers la sortie d pend de la valeur de A1 S A150 4151 SN S0 0A0 EI A0 Sl E240 E 3A0 Multiplexeur de mots d entr e Un multiplexeur de mot travaille simultan ment
45. nt au terme de ce module l tudiant ou l tudiante sera en mesure De Ma triser la repr sentation binaire des nombres sign s non sign s D utiliser les r gles de l alg bre de Boole D identifier les symboles des fonctions logiques l mentaires De d finir leurs tables de v rit D laborer les quations ainsi que les chronogrammes d une fonction combinatoire De concevoir un logigramme partir d un quation logique Ma triser la repr sentation et la simplification des fonctions logiques tudier les diff rents types de circuits utilisant la logique combinatoire Nouvelle page 1 Contenu du cours Tableau 1 Le contenu du module se compose de 3 chapitres subdivis s en 13 le ons ou sections parties um ration et codage Les codes binaires pond r s conversions Les codes binaires non pond r s Arithm tique binaire Repr sentations des nombres sign s Addition soustraction des nombres non sign s Addition soustraction des nombres sign s Nouvelle page 1 2 3 Als bre de BOOLE les r gles de l alg bre de Boole lg bre de BOOLE 2 Repr sentation des variables et des fonctions Fonctions l mentaires et circuits associ s Simplification des fonctions logiques Propri t s et simplification des fonctions Les circuits codeurs d codeurs transcodeurs Les circuits multiplexeurs d multiplexeurs r p Les circuits
46. ode on peut avoir deux repr sentations du nombre 4 1010 et 0100 et du nombre 6 1100 et 0110 d cimal Code Exc s de 3 Code AIKEN 0 0011 0000 1 0100 0001 2 0101 0010 3 0110 0011 Repr sentations binaires de l information REPR SENTATION BINAIRE DE L INFORMATION REPR SENTATION BINAIRE DE L INFORMATION 3 2 Codes binaires purs codes binaires r fl chis Code Gray Reflex D finition distance entre deux nombres On appelle distance entre 2 combinaisons successives d un code le nombre de bits qui changent de l une l autre Par exemple la distance entre 1001 et 1010 est de 2 de m me la distance entre 1011 et 1100 est de 3 Les codes r fl chis sont dits distance unitaire parce qu il n y a toujours qu un seul bit qui change entre deux combinaisons successives Quand cette propri t est encore v rifi e entre la derni re et la premi re combinaison on a affaire avec un code r fl chi cyclique Les codes r fl chis les plus utilis s sont les codes Gray du nom de leur inventeur Le code binaire pur est le code qu on a d fini au paragraphe pr c dent Premi re m thode Le code binaire r fl chi ou le code gray connu aussi par le code cyclique est tr s r pondu Il est fait d une combinaison simple de 0 et de 1 r fl chie progressivement tandis que le syst me s accro t Les deux premiers nombres du code Gray sont le O et le 1 qui repr sentent le z ro et le un On obtient les deux nombre
47. r qu apr s avoir compl t les exercices Ces derniers vous pr parent aux valuations not es Les travaux not s Ces travaux visent v rifier l acquisition de vos connaissances et votre comp tence appliquer et Nouvelle page 1 transf rer les notions tudi es des situations concr tes Le fran ais utilis dans vos travaux d valuation doit tre correct Un travail illisible jug irrecevable par votre professeur vous sera retourn pour tre refait Vous devez obligatoirement r aliser et retourner aux dates pr vues voir la fiche calendrier les travaux not s et passer l examen final sous surveillance Examen sous surveillance L examen final sous surveillance porte sur toute la mati re du cours et sera constitu de Expliquez ici le type d examen questions objectives d veloppement tudes de cas probl mes etc L utilisation des notes de cours et de la calculatrice sera autoris e ou non selon le cas L ensemble des valuations not es compte pour 100 de la note du cours En voici titre d exemple Pond ration Seuil de passage 70 un partage o Syst mes de num rotation et repr sentation binaire lt Le tn DS i em gege Wf gt et e A 1 Nombres et syst me de S mtmes de num rotaffon num ration 2 Arithm tique binaire Ot 3 Repr sentations binaires de 8 l information Test d auto valuation Liens vers d autres cours Nombres et
48. respondante Si le terme existe et ne d pend pas de d on connectera l entr e correspondante 1 Si le terme n existe pas on connectera un 0 l entr e correspondante Exemple r aliser la fonction 1 abe abe acid aded Par un Mux On crit S sous la premi re forme canonique Les variables d c b et a sont affect es respectivement des poids du code binaire pur c est dire 29 2 ol 20 9 Multiplexeur Demultiplexeur Sl cbed ma bed a b cd abe d abed tabcd d S 0 5 7 4 5d 0 d 2 d 0 2 4 5 7 4 On utilise un Mux 3 entr es d adresse et 8 entr es d information E0 E1 E2 E3 E4 E5 E6 E7 EO est connect e 1 puisque le terme 0 est ind pendant de d et d E1 est connect e 0 puisque le terme 1 n existe pas E2 est connect e 1 puisque le terme 2 existe et d pendant de d E3 est connect e 0 puisque le terme 3 n existe pas E4 est connect e 0 puisque le terme 4 n existe pas E5 est connect e 1 puisque le terme 5 est ind pendant de d et d E6 est connect e 0 puisque le terme 6 n existe pas E7 est connect e 1 puisque le terme 7 existe et d pendant de d 1 al entrees 5 sortie 1 1 cha adresse Connexion 9 Multiplexeur Demultiplexeur Conversion parall le s rie On rappelle qu l int rieur des unit s de traitement ou des ordinateurs les calcules et les traitements se font sur des mots binaires des 4 8 12 16 32 64bits Ces mots sont disponibles
49. s Exemple effectuer la division de par B avec 1101 et B 101 _1101 101 107 4 11 Repr sentations binaires de l information Repr sentations binaires de l information Les codes non pond r s 3 1 Les codes d cimaux binaires 3 2 Codes binaires purs codes binaires r fl chis Code Gray Reflex 3 3 Donn es non num riques 3 1 Les codes d cimaux binaires 3 1 1 Introduction 3 1 2 Codes d cimaux binaires pond r s DCBou BinaryCoded Decimal BCD 3 1 3 Codes d cimaux binaires sym trique ou codes auto compl mentaires 3 1 1 Introduction Supposons que nous disposions de n chiffres de base B on peut alors former DI combinaisons diff rentes permettant de constituer Bn permutations Chacune de ces permutations constitue un code valable pour la repr sentation des B nombres entiers Toutefois parmi tous ces codes seul un petit nombre pr sentent des propri t s int ressantes que nous allons tudier L op ration qui tablit une correspondance entre une donn e quelconque en une grandeur binaire s appelle le codage ou encodage Le codage est une application bijective L application inverse est appel e le d codage L op ration qui consiste transposer une grandeur binaire donn e dans un code A en une autre grandeur binaire quivalente dans un code B s appelle le transcodage Repr sentations binaires de l information Er 1 3 1 2 Codes d cimaux binaires pond r s
50. s suivant en r fl chissant la combinaison par rapport un premier miroir et en ajoutant un 1 au digit de rang imm diatement sup rieur voir l exemple ci dessous On proc de de la m me mani re pour retrouver les quatre nombres suivants puis 8 nombres puis les 16 nombres ainsi de suite avec des puissances de deux En pratique on ne d passe pas 4 5 bits pour le codage en Gray Le tableau ci dessous regroupe la repr sentation de code gray de 0 15 0 00 REPR SENTATION BINAIRE DE L INFORMATION miroir tren deuxi me miroir 100 101 Code d cimal Code binaire 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 Code gray 0000 0001 0011 0010 0110 0111 0101 0100 REPR SENTATION BINAIRE DE L INFORMATION Deuxi me m thode Il existe plusieurs moyens de construire un code Gray En voici un qui prend pour code de d part un code binaire naturel n bits Prenons par exemple la combinaison du code CBN 4 bits quivalente 12 10 1 100 b3 b b4 De On conserve syst matiquement le bit le plus gauche ici le bit b3 Le bit suivant b2 est conserv si le pr c dent b3 0 invers si le pr c dent b3 1 On poursuit le m me raisonnement jusqu au bit bO 1 0 0 b3 b2 b1 bO CR REPR SENTATION BINAIRE DE L INFORMATION troisi me m thode M thode par le calcul de la valeur de N exprim en le code gray par rapport N exprim en
51. sur plusieurs bits Il peut tre consid r comme un ensemble de multiplexeurs de 1 parmi N fonctionnant en m me temps avec la m me adresse Dans cette famille de Mux on trouve par exemple Multiplexeur de 2 mots de 4 bits Multiplexeur de 3 mois de 4 bits Multiplexeur de 4 mots de 2 bits 54 74153 Table de v rit du 74153 TT LELLLLE ha a A Haaa Haa s TT TION III LL DD D 9 Multiplexeur Demultiplexeur 9 1 3 Application G n ration de fonction Pour r aliser une fonction logique par un Mux on effectue les op rations suivantes On crit l quation de la fonction logique sous la premi re forme canonique on d termine le nombre d entr e On crit l quation du Mux caract ris par le nombre d entr e d adresse nombre d entr e d adresse nombre d ent es de la fonction 1 Identification de deux quations Prenons par exemple une fonction de 4 variables a b c d qui s crit sous la premi re forme canonique F abed abc d abed ab c d L quation du Multiplexeur 3 4 1 entr es d adresse est la suivante S A2 A1 40 F0 A9 A1 AO0 1 A2 A1 AO E2 49 41 AO E7 On r alise les identifications e Un mon me abc avec un terme A2A1A0 homologue e La variable d avec les entr es E0 E7 telle que Si le terme existe et d pend de d on connectera d l entr e correspondante Si le terme existe et d pend de d bar on connectera d bar l entr e cor
52. tive par rapport la fonction OU a A B C A B A C La fonction O est distributive par rapport la fonction ET a A B C A B A 0C 1 postulats et th or me de l ag bre de boole 1 1 5 Absorptions o A A B A a A A B A CR mmm 1 1 6 Association d une fonction avec son compl ment a A AU a ALA CR KN 1 1 7 Elements neutres L l ment neutre pour l addition est 0 A 0 A a L l ment neutre pour le produit est 1 A 1 A CR kb 1 1 8 El ment nul 1 postulats et th or me de l ag bre de boole L l ment nul pour l addition est 1 A 1 1 o demostration A 1 A H I AH A A A A L l ment nul pour le produit est 0 A 0 0 mg 1 1 9 Idem potence ou relation d une variable avec elle m me A A A S A A A t kb 1 1 10 Th or mes de Morgan Compl mentation d un produit logique Le compl ment d un produit logique est gal la somme logique des facteurs compl ment s de ce produit o ARA RR Compl mentation d une somme logique Le compl ment d une somme logique est gal au produit des termes compl ment s de cette somme AB A B O Postulats et th or me de l aLg bre de boole Postulats et th or me de l aLg bre de boole 0 1 2 Th or mes de l alg bre de Boole Lois d absorption A B A D monstration AB A1 AB A 1 B A 1 A A A B A D monstration A A B AA AB ABB
53. vision 200 10 310 8 La m thode la plus g n rale de conversion d un nombre d cimal en un nombre base quelconque B est celle des divisions successives par B de la partie enti re et les multiplications successives par B de la partie fractionnaire Nombres et syst me de num ration 1 4 4 Conversions entre les syst mes base 2 8 16 Conversions octal binaire Pour convertir un nombre octal en binaire il suffit de remplacer chaque chiffre par son quivalent base 2 exprim par 3 bits On utilise la r ciproque de cette propri t pour effectuer la conversion binaire octale que le nombre soit entier ou fractionnaire Exemple 1 Donner l quivalent binaire de 63g 110 011 633 110011 Exemple 2 Donner l quivalent binaire de 63 54 g 6 3 5 4 110011 101100 63 54 g 110011 101100 2 Exemple 3 Donner l quivalent octal de N 1001110 1001 5 Nombres et syst me de num ration On regroupe les bits 3 par 3 de par et d autre de la virgule en compl tant par z ro si c est n cessaire N 1 001 110 100 100 N 116 44 3 Conversions Hexad cimale binaire Pour convertir un nombre hexad cimal en binaire il suffit de remplacer chaque chiffre par son quivalent base 2 exprim par A bits On utilise la r ciproque de cette propri t pour effectuer la conversion binaire hexad cimale que le nombre soit entier ou fractionnaire Exemple 1 Convertir le nombre N B7 A9 qu
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