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Mode d`emploi

1. H 44 Hesolutiohs d 1negallles uu 44 GNS tGOBSISRISS 44 Dennm onsdes er Let E 45 Donn es des ensembles de points ss 45 Integrales e asi nn 46 Somme produit factoriel coefficient binomial arrondis modulo it ration 47 Velo Un El EE 47 Equations diff rentielles aaa 47 et 48 Sigal Ee ENEE 48 Utiliser l diteur d quation Ouvrir de nouvelles lignes dans la liste des quations 49 Sources des signes et 49 Commentaires entr s par l diteur d quations 50 Navigation dans l diteur d quations 50 Exponer une QUATION surrena m UU 50 Raccourcis clavier de l diteur d quations 51 RO e ENT e EE 53 Calculs valuations num riques valuation num rique d une expression constante 55 valuation num rique des fonctions iii 55 valuation num rique des champs 56 valuation num rique des suites eene 57 valuation num rique des ensembles de points I I nar 57 Preci TOndo C 57 Pr paration
2. 75 Annexe 7 Surfaces de r volution partir d une courbe 20 77 Annexe 8 Conversion des fichiers Curvus Pro X cpx en Grapher gcx 78 Annexe 9 Les matrices dans Grapnher nennen nennen nnns 79 Malgr ses bugs qui ont des rem des Grapher est un logiciel remarquable qui devrait vous s duire Je vous souhaite dans son utilisation autant de plaisir que j en ai prouv Yves Barois Ce mode d emploi versions francaise et anglaise la documentation en anglais sur Internet des travaux divers construits avec Grapher sont accessibles sur http y barois free fr grapher 7 Vue d ensemble de Grapher G n ralit s eoo Implicit amp Explicit Curves gcx eoo de IE CE EM Jet Acten Zo mavant Zoemi arri re CentrerTorigine galiser les axes 1 801 H 555 pt Oy 3 5 3 5 cun ation s l f u sint 2 2 22 6558 L osu I sinu f u u gt m 7 cos t 7 cosu cost t 0 27 u 0 27 f u 4 2cosu 5 gt Explicit Curves 16 lt f u sinu cost 0 1 57 y sin x r 0 1 X COSy 5 cosS2y 1 ere 1 G i rves Explicit curves are given by expression of the form SS 2 y f x For cartesian cGordinates use polar coordinat s use r 8 a ikt Grapher est u
3. Les raccourcis clavier ci dessus peuvent varier l g rement avec le mat riel utilis ils ont t obtenus avec OS X 10 4 11 10 9 5 Grapher 1 1 2 5 iMac et MacBook Pro configur s en francais clavier fran ais AZERTY avec pav num rique 52 D finitions int gr es Fonctions dans l ensemble des r els R ou des complexes C Trigonom triques Hyperboliques sinh x Standard n x In x cosh x logarithme n p rien tanh x abs x valeur absolue coth x log X logarithme d cimal 1 si x gt 0 0 six 0 asinh x sign x 1 Six lt 0 X Vx y min x y valeur minimale de la liste arcsinh x acosh x hypot x y arcsin x arccosh x LD Hid atanh x max X y valeur maximale de la liste arccos x arctanh x C Complexes x est une expression complexe acoth x Re x partie r elle conj x conjugu forme a jb si x est pa ram tr e det x d terminant forme a jb Ee tracent la courbe arccot x inf rieur floor x ceil x sup rieur round x le plus proche atan2 Ay Ax R Fonctions sp ciales 1 2 complex x SI X est constante la dans le plan met sous forme a jb complexe Bessel exp int grale Airy R Fonctions sp ciales 2 2 Bessel mod Airy erf x fonction d erreur Bessel mod erfc x fonction d erreur compl mentaire Bessel sph r int gr de Fr
4. Remarques 1 Fonction de Bessel modifi e 2 Fonctions sph riques de Bessel et jn x selon choix fait dans les pr f rences de Domaine Domaine 0 m angle de la fonction 2 OU HI Grapher voir bug nr 10 voir bug nr 12 3 Fonctions d Airy voir bug nr 11 4 Les fonctions de Bessel existent pour n entier ou fractionnaire 5 Les harmoniques sph riques m x y n existent que si les fonctions sont r elles c est le cas si m 0 il faut m gt 0 etl m emploi en 3D uniquement par exemple en coordonn es sph riques cosa sina inverse du syst me 0 2 premi re d termination de l angle a Fr 0 Calculs valuations num riques valuation num rique d une expression constante Expressions pas de signe de la liste des quations ne contenant que des constantes de valeurs num riques fix es valeurs multiples exclues dans l ensemble des r els R ou des complexes C Si l expression est une constante ou une fonction constante d finie par une galit il faut entrer le nom de la fonc tion seul pour obtenir la valeur num rique f a b c de la figure Si la constante ou la fonction change de valeur le r sultat affich changera aussi b c R sultat affich dans la liste des quations Entrer l expression dans l diteur d quations Touche Retou
5. 0 32 marges T p riode ms z tmin 1 ensuite le titre du document pe I n 40 et un bref mode d emploi c vitesse de propagation c l rit ms T le premier param tre longueur d onde m Ee choisir la fr equence f A amplitude de l onde sinusoidale unit ad hoc min E vient un groupe qui v Donn es Limax P ne contient pas d quations A seulement des textes qui pr EXC ETIN sided 1000 222727227 cisent les d finitions des va T T riables et les unit s 0 750000 groupe suivant lt Donn es 2 c 330 contient deux donn es modifiables et deux variables interm diaires calcul es le param tre animer le temps t on verra comment plus loin au stade actuel de notre document il devrait tre pr c d du petit cercle vert et avoir une valeur t 1 par exemple la copie d cran le montre d j anim t tout nu pr c d du triangle noir quation de l onde notez la syntaxe pour que y ne soit d fini que pour x gt 0 groupe calcul des r glages de l animation nous l examinerons en d tail dernier groupe pour deux valeurs num riques les deux variables ont t d finies avant par des quations pour cal culer et afficher leurs valeurs il suffit d entrer leur nom tout seul dans la liste des quations Pensez utiliser Menu Fen tre Afficher la palette d
6. 4condition2 expression2 expression condition 4expression2 condition h condition expression condition expression X condition expr2 c 2condition expr2 Nom de coordonn e au lieu de f pour une quation de graphe La fonction n est pas d finie l les conditions ne sont pas pr cis es Conditions compliqu es possibles en utilisant les op rateurs ou 4 v 8 lt lt gt gt eEegun La derni re condition peut tre omise Fonction non d finie si la condition n est pas satisfaite Expression1 si la condition est satisfaite sinon expression2 fix Ix 0 sinx X xz 0 x x 2 1 2 3 2 2 0x 0 4 x lt x gt 0 cosx bx 2x2 1 logx 0 Fonctions p riodiques Grapher 2 2 2 5 voir bug nr 28 pour les noms de variables f t y f x T Xo g t f t 9c T xi y g x explicite Entr e manuelle Colonne 1 Colonne 2 Colonne 3 Principe r p ter l infini le morceau de graphe plac entre les abscisses x et x T T p riode de la fonction y f x apr s l avoir plac entre les abscisses xo et xo T D o 1 choix de la fonction d finition par morceaux souvent utile 2 examen du graphe explicite 3 choix du morceau de graphe 4 placement en abscisse de la p rio
7. A B B A A Bs b Multiplication par un scalaire a ou B complexe SE W Transposition de matrice Transposer une matrice c est permuter les lignes avec les colonnes a a a a Pu 11 12 11 21 A B b d d b 79 nxp 7 Ass T Ass Aus Org O A B o Aco B a B A 2o A B A o B A o B A b bj b b b b b b b D b b C C Co D xi di 4 D m T Ci2 o 0 f 11 A B AT 4 B vn Eat 93 F fi f ds Bs sp T T T Ca f age A est sym trique si A antisym trique si Multiplication de matrices matrice n x p X matrice p x q matrice n x q les seuls cas possibles dans Grapher matrice 2 x 2 X matrice 2 x 2 matrice 2 x 2 matrice 2 x 2 X matrice 2 x 1 matrice 2 x 1 en g n ral matrice 1 2 X matrice 2 x 2 matrice 1 x 2 le produit de matrices matrice 3 x 3 X matrice 3 x 3 z matrice 3 x 3 est non commutatif matrice 3 x 3 X matrice 3 x 1 matrice 3 x 1 matrice 1 3 X matrice 3 x 3 matrice 1 x 3 matrice 1x 2 X matrice 2 x 1 matrice 1 x 1 matrice 2 x 1 X matrice 1 x 2 matrice 2 x 2 matrice 1x 3 X matrice 3 x 1 matrice 1 x 1 matrice 3 x 1 X matrice 1 x 3 z matrice 3 x 3 matrice 2 x 1 X matrice 1 x 3 matrice 2 x 3 matrice 3 x 1 X mat
8. quations r glages Police et Taille par d faut Times Regular 18 Tailles relatives Variables en italiques Nombres r glages Nombres Nombre de d cimales Supprimer les z ros droite Notation scientifique de l ing nieur Utiliser jamais partir de toujours Nombres complexes Partie imaginaire i ou j la fin ou non Exemples effets des options choisies Avanc Pr cision num riques quatre curseurs de r glage Int gration choix de la m thode et de ses param tres Divers Valeurs angulaires polaires ou O 2r Mode trigonom trique radian degr grade Nombre maximal d it rations pour valuer les fonctions sp ciales Palette d quation Trois fa ons de l appeler Bouton XX sur l diteur d quations gt Afficher la palette d quation 49 gt raccourci clavier Menu Fen tre gt Afficher la palette d quation Onglets Standard Op rateurs Grec Symboles et cochez Utiliser les raccourcis lors de la frappe Palette d quation simplifi e Bouton Xx sur l diteur d quations Mod les d quations Nouvelle quation partir d un mod le d j vu plus haut D finitions int gr es Menu Aide Afficher les d finitions int gr es Pr cise la liste l orthographe et la syntaxe des constantes et fonctions reconnues par Grapher voir plus loin page 53 le tableau D finitions int gr es Le clavier Certains signes
9. d placement Est Ouest de la souris rotation du graphe autour de l axe Oz d placement Nord Sud de la souris rotation du graphe autour d un axe Est Ouest passant par l origine des axes avec la touche option alt le d placement Nord Sud de la souris donne une rotation d axe perpendicu laire l cran du moniteur z nith nadir qui permet par exemple d orienter l axe Oz dans une position autre que Nord Sud Si le bouton Action Rotation est gris pas de commandes sur la rotation Autres actions sur le graphe 3D Touche Majuscules Shift souris pour zoomer la figure en totalit Touche Pomme Commande souris pour d placer la figure en totalit dans la fen tre du graphe Boutons Agrandir et R duire modifient les chelles des trois axes cadre et axes gardant les m mes di mensions la figure trac e restant limit e aux m mes cotes Cette figure est finalement seule voir sa taille modifi e Autres utilisations Animations Menu quation gt Animation de parametre chap Initiation Lecon 3 page 15 explications d taill es 2D Menu Equation Cr ation d animation ch Initiation Lecon 5 page 27 explications d taill es 2D et 3D Ensembles de points Voir chapitre Initiation Lecon 6 page 31 pour leurs utilisations Champs scalaires et vectoriels Voir Menu Exemples gt 2D Examples gt Fields et gt 3D Examples gt Vector Field Voir bug nr
10. epsilon omicron upsilon lettre utiliser xi et chi et non ksi et khi l infini X ou taper infinity Signes d op rations plus 47 O plus clavier ou pav num rique OU moins ou X tirets clavier ou moins pav num rique multipli par clavier ou pav num rique T fraction M ou clavier ou pav num rique divis par X a exposant modulo 9oou lt n factoriel Op rateurs relationnels et bool ens gal constantes et fonctions facultatif z diff rent de clavier uniquement ou lt gt ou plus ou moins lt N ditable mais non op rationnel lt inf rieur lt lt inf rieur ou gal on peut taper aussi lt ou lt gt sup rieur lt gt on peut taper aussi ou gt gt sup rieur ou gal E NON logique XL on peut utiliser aussi le crochets intervalle dans les conditions amp ET logique amp comme A de la palette d quation 51 Pour obtenir EE RECH Taper Observations Symboles Grapher somme ANS produit 4 VI racine carr e y N V VI racine n i me NV fi int grale NB parenth ses ou Pour placer entre paren th ses accolades ou cro chets une expression exis M ou tante la s lectionner puis _ _ entrer le signe d sir cla crochets ft OU ft X vier ou palette d quation
11. A Essai d animation d indice P 0 5 0 Les coefficients ou expressions ne sont pas sous forme 0 iH de fonctions d indices 2 an gsn 0 n 3 Voici un exemple avec 3 coefficients et 4 valeurs de l indice qui repr sentent 4 cercles de 4 centres et rayons anim s par l indice k entier variant de 0 3 d ee 2 Le permet un nombre quelconque d expressions indic es et valeurs los n 3 l indice mais au prix de nombreuses lignes d criture d wan an Avec peu d expressions et valeurs d indice il est plus rapide d crire directement les 0 e n 2 quations finales sans indice n 3 gt M a ETE Cas particulier utilisation de matrices 2x1 ou 3x1 vecteurs fa T I bo bi bs etc Pour obtenir une expression lin aire des coefficients ou fonctions indic es de la forme Co 1 2 y ai f x bi g X ci h x f x m y g X on peut utiliser l criture plus condens e en deux quations ci contre e h x Elle n utilise pas vraiment les indices est limit e 3 coefficients ou expressions lt indi quivalent quations c es gt mais se montre tr s signes ao f x bog x coh x a f x bi g x e hix a f X bog x etc 73 ANNEXE 5 Matrices et d terminants solutions d quations lin aires Matrices et d terminants
12. Pour illustrer cette lecon on se propose de repr senter une onde progressive sinusoidale cr e en continu en O et se propa geant selon l axe Ox abscisses croissantes Dimensionnement pr cis du Graphe Cherchons la largeur maximum du graphe entrant sur une page A4 Portrait de TextEdit 1 4 1 9 210 mm moins les deux marges minimum de 1 inch 210 2 x 25 4 159 2 mm 159 2 25 4 x 72 451 3 pt points on adopte le nombre entier le plus proche soit 451 pour la hauteur prenons 306 pt Le choix est donc L 451 pt pour une largeur de 159 10 mm 451 72 x 25 4 H 306 pt pour une hauteur de 107 95 mm Ouvrez une nouvelle fen tre 2D de Grapher Menu Fichier Nouveau Nouvelle courbe Courbe 2D Default S lectionner puis Menu Format gt Disposition gt Taille gt Personnalis e gt entrez L 451 pt et H 306 pt comme dans la vue ci dessous changez d unit en passant des points aux millim tres pour lire L 160 356 mm et H 108 8 mm 125 Marges Arriere plan CAUSIT Marges Arri re plan _ Taille Personnalis e Taille Personnalis e Hauteur 306 pt Hauteur 108 8 mm Largeur 451 pt Largeur 150 356 Annuler Annuler T Ce ne sont pas les valeurs attendues La cause est le bug nr 3 par la vertu duquel Grapher 1 1 2 5 utilise 1 inch 2 25 6 mm v rifions 451 72 x 25 6 160 356 et 306 72
13. Cart siennes Cylindriques y y r sin0_ lt gt 40 atan2 y x X r cos 0 Z Z r Jx y 7 y r sin sin 0 atan2 y 510 0 Z COS 0 Arccos Conversion des coordonn es du vecteur Coordonn es 3D Cart siennes M x y 7 MN Ax Ay Az Ax y Ay z Az Cylindriques M r 0 2 MN Ar A0 Az Nr Ar A0 z Az Sph riques M r MN Ar AQ N r Ar 0 A0 Module du vecteur MN m Noms et domaines de variation abscisse x ordonn e y cote z radiale ro dans r dans l espace en entr e 0 en sortie azimutale dans 0 2 ou rt ri selon le choix commun avec atan2 y x fait dans les Pr f rences polaire colatitude c 0 Conversion des coordonn es du point Cylindriques lt gt Sph riques 2 r sino r z 0 e 7 r cos 0 Arccos 2 7 lt Cart siennes Sph riques Z JX 7 Relations approximatives UTILIS ES PAR GRAPHER Cylindriques Cart siennes Ax cos0 Ar r sinO AO Ay sinO Ar 1 cos0 AO AZ Az Sph riques Cart siennes 0 0 0 sinO r sing cos0 A0 Az cos Ar r sin relations exactes si Ax Az Aro Ar
14. an ne peuvent pas tre utilis s ailleurs Dans l quation d finissant une suite il y a un indice i par d faut appliqu aux 2 ou coordonn es en 2D une suite trace des points sur le graphe les l ments indic s de la suite ne sont pas utilisables ailleurs Dans les matrices maximum 3x3 extraire un l m nt au est possible mais pas simple voir Annexe 9 pages 82 83 Dans les ensembles de points mais pas d indice accessible on ne peut en extraire ni l ment ni ligne ni colonne Dans les op rations d finies par les signes gt et T pas de possibilit de citer un l ment ou facteur Grapher n ayant pas beaucoup de capacit s dans ce domaine il reste trouver des astuces Cas de coefficients ou expressions fonction de l indice Voici un exemple avec 2 coefficients a i 2 0 5i 2 coefficient fonction de i b i 3 1 coefficient fonction de i f i a i x b i fonction de l indice i f 0 courbe tracer droite y 2x 1 f 2 courbe tracer droite y 5 etc Chaque coefficient ou expression est fonction d un indice particulier Voici un exemple avec 3 coefficients a i 2 0 5i 2 coefficient fonction de i b j 3j 1 coefficient fonction de j c k k coefficient fonction de k f i j k a i x b j c k fonction des l indices i j et k y 0 0 courbe tracer droite y 2x 1 y 1 2 courbe tracer droite y x etc
15. gt 2 gt Retour puis supprimez les trois lignes de l exercice Vous tes fin pr t pour reprendre notre travail sur les quations diff rentielles Entrer les quations du probl me A 1 801 555 0 2 2 Faites le conform ment la liste des quations de la figure qui Equation diff rentielle comporte Y Donn es taille du graphe et chelle Oy cf bug nr 1 amp 2 05 titre du document w 0 5 quatre groupes titr s Te quatre lignes commentaires suppl mentaires YConditions initiales quatre quations pour les valeurs des param tres fonction 0 l quation diff rentielle les deux valeurs w qui la 3 SCH suivent seront inscrites par Grapher automatiquement SON M re v deux quations classiques y y x G riv e premiere yi d 0 Enregistrez sauvegardez fr quemment votre travail M quation diff rentielle solutions num riques 2 i Remarquez y 2 5 0 les d finitions globales de et w dont une d finition U 7 valeurs multiples il a fallu changer leurs noms en ajoutant in 0 000000 dice 1 pour leur donner une d finition diff rente en fin de liste M 9 15 707963 les virgules d cimales sans espace avant ou apres Solutions alg briques les quatre s parateurs lt virgule espace gt un pour la donn e o et trois pour
16. r gt i m cC raci Calcul des coordonn es de points d une courbe AO Evaluation 80 8 Recherche de racine Entr e Rechercher 4 racine Clic sur la courbe ou son quation menu Equation Eva x osm US Valeur ini luation gt Cliquez le point d sir sur la courbe ou entrez E une valeur de la variable et touche Retour gt affichage des z A i Valei coordonn es en bas de la fen tre calcul de la fonction de ses c Valeur d riv es premi re et seconde affichage sur le graphe du point y x choisi des tangente normale cercle osculateur en ce point et 53 0 707095 1 09973e 6 clic sur le bouton Trait gt affichage de leurs quations dans 0 707095 dy 0 999983 la liste Grapher 2 2 2 5 voir bug nr 31 dd dx diy 1 099712e 6 Affichaqe d Recherche des racines extrema points d inflexion M Position Affichage z 4 5 Tangente Position Clic sur la courbe ou son quation gt menu Equation gt Re x Tangente cherche de racine Choix de l option dans le menu Perpendiculaire contextuel gt Cliquez le point approch sur la courbe ou en Cercle de courbure c p ercle de courbure trez une valeur approch e de la variable et touche Retour gt Trait Trait pour obtenir le calcul des coordonn es du point particulier cher ch des d riv es premi re et seconde ce qui permet de v rifier les r sultats
17. relations exactes si Ax Ay Ar A8 sont des infiniments petits elles seront d autant plus pr cises que Ax Ay Ar A0 seront tits donc que m lt lt r ou que Ax x Ar r lt lt 1 et lt lt 1 rad Alors que les relations exactes NON UTILIS ES PAR GRAPHER devraient tre Mei ee e e y y Ax ln Ar sin 0 0 r sin8 atan2 y Ay Ax atan2 y x Module du vecteur MN exact m Ax Ay r Ar 2 Ar cosA0 Cons quences sur le trac graphe des champs vectoriels Les trac s sont calcul s partir des Ax Ay entr s pour d finir le champ ou obtenus par les relations approximatives de conversion si les entr es sont Ar dans ce dernier cas le graphe sera d autant plus erron que le module m du vecteur ne sera plus n gligable devant r POUR DES TRACES 5 DE CHAMPS VECTORIELS LES DEFINIR AVEC Ax et Ay Par contre les valuations num riques du champ en un point sont toujours exactes car calcul es directement avec les relations entr es pour le d finir qu elles soient Ax Ay ou Ar A6 Noms des coordonn es ils sont fig s dans Grapher Curvus pro X permettait de les changer voir bug nr 6 1 Afficher ou cacher une grille ou un axe menu Format gt Axes et grilles gt cocher ou d cocher 38 Coordonn es des points et vecteurs en 3D E MN est le vecteur en M d un champ vectoriel
18. 2 3 4 5 7 0 2 0 8 2 0 71 0 9 2 1 3 4 3 5 2 5 3 5 9 7 Chaque ligne de pixels du trait a sa couleur particuli re nuance de celle choisie pour le noir ce sont des m langes du noir absolu au gris le plus p le Ces variations de tons donnent l illu sion d une variation d paisseur du trait pour une m me largeur en pixels Le tableau ci dessus est valable pour les traits parall les aux axes Ox Oy Il n est pas limit en largeur de trait Le Colorim tre num rique des Utilitaires a permis de voir au pixel pr s comment sont faits les traits du cadre 1 07 1 42 1 78 2 13 2 49 2 84 Continuons notre travail choississez un cadre noir un trait de largeur 1 9 3 pxl et entrez la valeur de 3 pt 1 07 mm pour les quatre marges du graphe qui taient nulles jusqu maintenant par menu Format Disposition Marges unit le pt un clic sur le graphe d s lectionne le cadre et le r v le Contr le et talonnage du dimensionnement Menu dition Copier sous format PDF ou TIFF puis Coller dans TextEdit ou autre application Menu Fichier Exporter PDF Enregistrer puis Copier Coller ou glisser d poser dans TextEdit ou autre Mesurez les dimensions du graphe dans ces applications et apr s impression Mon constat iMac MacBook Pro OS X 10 4 11 10 9 imprimante Canon MP610 est que les dimensions pr vues entr es en points pt dans Grapher se retrouvent pr cise
19. 2 M 3 1 R radians degr s d cimaux grades le choix de domaine 0 2ri 7 ou n rr pour les angles polaires et les valeurs de la fonction anere Int gration atan2 y x Par d faut i M thode par d faut Romberg D riv es Seule la m thode de Romberg permet d valuer les int grales impropres h M thode de Romberg Autres Fonctions sp ciales P Tol rance 1 000000 Nombre d tapes 64 Normale lev e Nbre max d it rations 20 Ordre 5 Divers RACCOU RCIS CLAVIER DE L DITEUR D QUATIONS Valeurs angulaires polaires fm Mode trigonom trique Radians de la variable d angle polaire 0 Une liste compl te sera donn e plus loin en voici quelques uns RR d usage fr quent Pour ins rer une fraction tapez entrer un exposant a tapez entrer un indice ar tapez ouvrir des parenth ses tapez ouvrir des accolades d tapez VI taper une lettre grecque minuscule 0 tapez ome ga sur le clavier donne rr naviguer dans les symboles et expressions utilisez lt f gt EXPRESSIONS VALEURS MULTIPLES Dans l exemple 1 1 2 3 4 5 les valeurs num riques sont 1 1 2 3 4 5 ily a deux emplois de la virgule la virgule d cimale sans espace la s parant des parties enti re et d cimale du nombre le groupe lt virgule suivie d une espace
20. 4 Fl che Emplacement sur l axe e Format de nombre 12346104 Couleur paisseur du trait fleches et leurs dimensions ti Helvetica quette ici x etc Police Les possibilit s sont nombreuses testez les exercez vos talents de d corateur de graphe Y Format d tiquette Un clic sur un axe le s lectionne pr t pour appeler son Position le long de l axe r Inspecteur 1 Deux clics le s lectionnent et ouvrent la fen tre pop up perpendiculaire enf e de r glage de son chelle et de sa position Rotation 0 7 Times Police Personnalisation des courbes S lectionnez toutes les quations des courbes ho 2 en gardant la touche 86 appuy e appelez l inspecteur prenez une paisseur de trait de 1 9 et couleur Apple W Droite rouge r glez la r solution au minimum compatible avec un affichage correct et confirmez en cliquant le cercle fl ch pour r duire la taille des fichiers gcx Droite qo SAS Vous obtenez la figure ci contre W Courbe Faites de m me avec les courbes ho 1 en choississant R solution Basse lev e la couleur Apple vert M Droites Hemarque on peut s lectionner directement sur le graphe une seule courbe la fois en la cliquant et appe continues ler l inspecteur pour la personnaliser ou plusieurs courbes en les cliquant touche Majuscules Shift Domaine d integration Couleur p press e
21. txt Numbers dans iWork 08 et 09 puis Numbers 3 0 Menu Fichier gt Exporter gt CSV gt une des trois options gt titre destination gt Enregistrer gt fichier csv gt puis mo difier l extension csv en txt NeoOffice 3 1 2 Enregistrer sous gt Texte CSV csv gt Enregistrer gt choisir un codage S parateur de champ lt gt S para teur de texte laisser vide gt OK gt fichier csv gt puis modifier l extension csv en txt Formats des fichiers Les fichiers obtenus ainsi sont importables dans les ensembles de points de Grapher et leur format est MargeA1 TabB1TabC1 TabD 1 TabZ1Retour MargeA1 B1 C1 D1 Z1Retour MargeA2TabB2TabC2TabD2 TabZ2Retour ou MargeA2 B2 C2 D2 Z2Retour etc o Ai Bi Zi sont les coordonn es du point i une ligne par point une colonne par coordonn e aucun vide ANNEXE 2 Adaptation de la le on 4 Grapher 2 0 Le bug nr 23 apparu avec la version 2 0 de Grapher fait que ce dernier ne comprend plus que les d riv es du premier ordre on remplace ici l quation diff rentielle du deuxi me ordre de la le on 4 par une quation du premier ordre Ce bug n existe pas dans Curvus Pro X 1 3 2 ni dans Grapher 1 1 2 1 2 5 Modifications au texte de la le on 4 Page 20 Le probl me remplacer les lignes 3 7 par y l fe osinos 0 avec y y x et x e 0 zl T T co
22. 1 et n existe que pour l interpolation affine que repr sente t il La droite de regression est trac e sur le graphe personnali sez la avec l Inspecteur trait de 2 0 couleur Apple Bleu glis Sez d posez son quation sous la ligne de l ensemble de point correspon dant Trait Fermer Droite de r gression 2 r gression de y par rapport x y a x b a 0 414909 b20 746000 r eression de x par rapport y Parabole de r gression Ajoutez deux lignes de commentaires dans la liste des quations comme indiqu ci contre Enfin clic sur le bouton Fermer de la fen tre des r sultats de l inter Z polation 33 Calcul de la droite de r gression de x par rapport y Grapher ne connait que la r gression de y par rapport x carts selon Oy celle que nous voulons maintenant minimise les carr s des carts selon Ox D o les op rations suivantes S lectionnez l ensemble de points Droite de r gression Modifier les points Coordonn es affectez la colonne 2 x et la 1 y OK dans le graphe les points prennent une position sym trique par rapport la premi re bissectrice y x gt Interpolation gt affine gt Interpoler gt Trait gt Fermer nou velle quation de droite dans la liste trac e sur le graphe S lectionnez la nouvelle quation gt permutez y avec x gt touche Retour gt rangez la au bon endroit cf figure ci contre c est l quation de la droit
23. 10 9 10 2013 et Yosemite OS X 10 10 10 2014 Principales diff rences entre Curvus Pro X et Grapher POSSIBILIT S DISPARUES dans les Pr f rences les modules ajoutant trois fonctions en 2D en 2D Arri re plan transparent lors de l exportation menu Format facult de modifier les noms des coordonn es barre d outils le curseur en croix Coordonn es qui permettait en 2D l affichage de celles ci en tout point du plan ainsi que leurs diff rences entre deux points menu D finition maintenant quation Synth tiser un son selon la forme d une fonction menu Vue maintenant Pr sentation gt Passer en affichage 3D cette commande est rest e pour changer le type de graphe 2D 3D et vice versa elle permettait en plus dans Curvus Pro X de convertir d un simple clic une courbe 2D g n ratrice y f x en surface de r volution sans tre tenu d entrer son quation 3D Je regrette particulierement la possibilit de choisir les noms de coordonn es tr s commode pour personnaliser quations et axes et la synth se des sons tr s utile en acoustique pour en expliquer la g n ration AIDE ET EXEMPLES l aide a t consid rablement r duite devenu insuffisante et mal pr sent e c est tr s dommageable pour logiciel remarquable les exemples suivants ne sont pas pass s dans Grapher En 2D Bifurcation Diagram Examples of Functions Piecewise Defined functi
24. Bug nr 4 Curvus Pro X 1 3 2 Grapher 1 1 2 0 2 5 En 2D et 3D anomalie dans l enregistrement des champs de vecteurs Lorsqu on ouvre le fichier d un champ de vecteur on constate avec Grapher 1 1 et 2 0 les graphes des champs en 2D sont modifi s les coordonn es Ay ou sont nulles en tout point dans toutes les versions la fen tre secondaire menu quation valuation ne montre que la premi re coor donn e de vecteur Ax ou Ar en 2D Ax Aro ou Ar en 3D en deux 2D ou trois exemplaires 3D Le modifier l g rement l quation du champ gt touche Retour gt la r tablir gt touche Retour gt tout rentre dans l ordre Correction propos e Faire le n cessaire Bug nr 5 Grapher 1 1 2 0 2 5 Menu Pr sentation gt Passer en affichage 3D cette commande ne joue plus un de ses r les elle permettait par un simple clic d ouvrir dans Curvus Pro X un graphe et d y cr er une surface de r volution d axe Oz partir d une courbe g n ratrice y f x trac e en 2D ro et z remplacant y et x sans affichage de l quation modifi e Le rem de n est gu re plus compliqu d entrer directement l quation ro f z dans un graphe 30 Correction propos e Si l abandon de cette fonction n est pas d lib r r tablir son r le d origine Bugs nr 6 Grapher 1 1 et 2 0 Anomalies des coordonn es 8 et en 2D et 3D Pour connaitre les systemes de coordonn es utilis es et ou
25. Nouvel ensemble de points Deux mani res raccourci clavier Clic au pied de la liste des quations gt menu contextuel gt Nouvel ensemble de points Double clic sur la ligne pour titrer l ensemble de points Voir 6 page 31 pour l emploi Nouveau groupe Deux fa ons Clic au pied de la liste des quations gt menu contextuel gt Nouveau groupe Menu quation gt Nouveau groupe Double clic sur la ligne pour titrer le groupe Ne pas oublier d y glisser d poser ses quations viter les d finitions globales dans les groupes cf bug nr 20 et imp rativement les groupes vides avec Grapher 2 0 cf bug nr 22 Supprimer une ligne de la liste des quations NON UTILIS E AILLEURS Clic sur la ligne pour S lection gt touches Retour arri re ou P Suppr pour s lectionner plusieurs lignes pressez lt gt ou 96 Voir aussi bug nr 20 Nota Si la ligne effacer est utilis e dans d autres expressions d finitions de fonctions ou variables par exemple vous pou vez rendre incorrectes ces expressions triangle jaune lt Danger gt par exemple en ajoutant le signe en t te des expressions ce qui vous permet de les modifier plus tard L ordre des expressions de la liste peut tre remani de facon arbitraire par simple glisser d poser Sources des signes et symboles Pr f rences R glages sur signes et symboles Menu Grapher Pr f rences
26. OS X 10 4 11 10 9 configur s en francais Langue et Menu saisie des Pr f rences Syst me francais clavier fran ais AZERTY d Apple SOURCES DES SIGNES ET SYMBOLES le clavier Grapher modifie les r sultats des frappes de certaines touches qui sont diff rents de ceux d un trai tement de texte normal comme TextEdit les raccourcis clavier particuliers de Grapher a Palette d quation avec ses quatre onglets Standard Op rateurs Grec Symboles les D finitions int gr es constantes et fonctions reconnues par Grapher les Pr f rences de Grapher proposent des choix pour signes et symboles Nota Convention d criture pour indiquer les frappes faire au clavier une touche est repr sent e par le ou l un des symboles grav s dessus les symboles accol s montrent des touches appuy es ensemble si une espace s pare deux symboles il s agit de frappes successives OUVRIR UNE NOUVELLE LIGNE D QUATION Nombreuses possiblit s retenons pour le moment Clic sur le bouton au pied de la liste des quations puis menu contextuel raccourci clavier Cr ent une nouvelle ligne s lectionn e dans la liste des quations et la m me mention dans l diteur pr te tre conpl t e ou remplac e eoo A Action Zoom avant Zoom arri re Centrer l origine galiser les axes 1801 H 555 pt Oy 2 2 SUPPRIMER UNE LIGNE D QUATION NON UTILIS
27. R r els Exception pour la d finition du domaine de l indice d une s rie accolades inter dites parenth ses tol r es mais inutiles 44 k 1 25 ou 10 ou N44 10 4 03 O b 2 3i d 1 1 2 3 5 605 G ou qa 0 5 1 1 1 51 1 5 21 i2 1 2 1 4 2 2 et 1i2 1 2 1 4 2 33 donnent 2 s ries identiques de 6 termes 1120 126 donne les 7 entiers successifs de 120 126 120 126 donne les 7 entiers successifs de 120 126 D finitions des fonctions Fonctions pr d finies Voir menu Aide gt Afficher les d finitions directement utilisables dans les int gr es gt Fonctions expressions cos x ou cosx Inx ou arctan x ou J4 X ou hypot x y D finition d une fonction cas g n ral d finitions globales ou locales possibles signe ou indiff rent Ces fonctions du type f a b c sont utilisables dans d autres expressions avec d autres arguments par exemple pour un graphe 1 043 f y 2 25 ou y O nom arguments expression arguments ceux de nature vari e qui figurent dans l expression fonctions simples fonction multiple Grapher 2 2 2 5 voir bug nr 28 et 30 1 ou g X t ev f t u v 22t 2u v 1 f x cosx sinx tanx Fonctions d finies par morceaux signe ou indiff rent Grapher 2 2 2 5 voir bug nr 28 pour les variables condition expression
28. de initiale de la fonction p riodique 5 cr ation de cette fonction 6 trac de son graphe Importation d un fichier TXT txt nr 1 Points txt 2 9 0 5 1 01 1 29 1 1 25 1 17 1 5 1 18 0 87 2 1 69 0 61 2 5 1 7 0 78 3 2 0 82 3 5 2 24 1 16 4 2 19 1 79 4 5 2 71 2 33 2 91 50 1 01 1 29 1 09 1 25 2 32 1 50 1 18 9 87 2 00 1 69 0 61 2 50 1 78 0 78 3 00 2 00 9 82 3 50 2 24 1 16 4 00 2 19 1 79 4 50 2 71 2 33 5 00 2 90 2 91 45 1 2 y f x 3 choix x 05 T 1 3 4 choix xo 2 Signe ou indiff rent pour f t et g t Indiff remment signe ou 546 y f x 2 1 3 0 5 Cas particulier dents de scie avec y xVT ou y zx T s parateur de points s parateur de coordonn es 1 17 1 50 1 18 0 87 2 00 1 69 0 61 2 50 1 70 0 78 3 00 2 00 0 82 3 50 2 24 1 16 4 00 2 19 1 79 4 50 2 71 2 33 5 00 2 90 2 91 Description Points entr s par quations B ou M sdi k valeurs X iy f k ig k k valeurs X Ti r f k y joul 0 lou 0 g k z 2 i6 k valeurs quations param triques 2D de points s rie de valeurs discr tes pour k quations complexes 2D de points quations param triques 3D de points D K 0 05 6 x ies oct ki 0 0 5 6 X u y 2 02u u 0 0 5 5 7 0 Su X Hy Int
29. finition locale gt sur la m me ligne que l quation du cercle Par ailleurs lt R gt dis pose d une d finition globale dans les D finitions int gr es c est la Constante des gaz parfaits le bug nr 30 rend les deux d finitions incompatibles Le rem de remplacer R dans son quation par Ro ou autre nom disponible pour param tre Proposition de correction probablement caus par la modification cit e dans le bug nr 30 M me proposition Bug nr 32 Grapher 2 2 et 2 3 francais allemand espagnol italien mais PAS en anglais Menu quation gt Anima tion de param tre deux ic nes du bandeau ont disparu Lecture Pause et Arr ter voir figure haut page 18 le clic de souris reste op rationnel et n cessaire sur leurs emplacements Le rep rer les emplacements des ic nes l aide de la figure page 18 Proposition de correction r tablir ces deux ic nes Bug r solu avec Grapher 2 3 dans OS X 10 8 2 5 Bug nr 33 Grapher 2 2 et 2 3 francais allemand espagnol italien mais PAS en anglais Inspecteurs des graphes et des quations diff rentielles l ic ne Redessiner fl che circulaire a disparu voir figure haut page 25 le clic de souris reste op rationnel et n cessaire sur leurs emplacements pour la prise en compte des modifications Le rep rer les emplacements de l ic ne l aide de la figure page 25 Proposition de correction r tablir
30. grales et d riv es Int grales Int grales doubles d finies voir bug nr 26 Grapher 2 2 2 5 voir bug nr 29 dt f t y T du f u f x dt f t lo Graphe y F x F de la fonction y f x ou menu qua tion gt Int grer n fois retour par menu quation D river n fois Nota La variable d int gration ne doit jamais tre un nom de coordonn e modifier l int grale si c est le cas Calcul d int grale d finie entre les bornes x0 et x1 de la fonction f x ou menu Int gration gt 5 options aire surface longueur volume et surface de r volution D riv es Grapher 2 0 voir bug nr 23 faex y x li t 192 1 622 3 00 a f X 3x donne PC va t min max OU qp 800 et g t g f t n dx de f t CR d ecf t eum RH oun SUP pour y g x Syntaxes pour les d riv es f x LR f x g d f t Y 4 7 47 ad sete d de f t ou f t ou S lection de y f x puis menu qua tion gt D river faire n fois pour la d riv e n i me pour revenir menu gt Int grer faire n fois Ou taper l expression directement D riv e d quation param trique tous syst mes de coordonn es 2D 3D D riv e d une fonction de fonctions D riv es p
31. q e 51 06 O gt O gt x gt us 2 Io e 21 nuts Q lu s nsoo 1 uis x q e uz 0 x O gt q 21 q 2 zm gt Io e gt q Mz ol n 1 0 n xO 77 O uz gt lt gt lt gt Er Taxe 2 19485 qE ZO SIXE JO 20 ep e3eyins q uogenbe qz enin e ep qz uonenb3 oxe op 4nojne uomnejoH SIxp 10 X au puno4e e uneo peurejqo Jo seoeung O sexe sep qz equnoo eun p uomnejoJ Jed ep seoejung ANNEXE 7 Surfaces de r volution partir d une courbe 2D ANNEXE 8 Conversion des fichiers Curvus Pro X cpx en Grapher gcx Op ration 1 Changer l extension lt cpx gt en lt gcx gt Ouvrir le fichier dans Grapher Suite des op rations pour les graphes 2D V rifier que les noms de coordonn es dans les quations sont les m mes que ceux impos s par Grapher Agrandir la fen tre droite pour faire apparaitre le bord gauche du graphe Redonner la zone des quations une dimension
32. quation pour diter les expressions math matiques Commentaires entr s par l diteur d quations ne sont pas des quations d o l avertissement triangle jaune danger qui les pr c de Avant de les taper au clavier d cochez dans les Pr f rences Variables en italique sinon vos lettres seront pench es variables pour Grapher x a etc ou droites si consid r es autres sin cos L diteur d quations n est pas pr vu pour du traitement de texte normal ce qui suit un accent circonflexe est mis en exposant pas de ni possibles les signes suivant Majuscules plus Tiret sont mis en indice bref les raccourcis cla vier de l diteur d quations sont en fonction cf chapitre Expressions Si vous tapez un nom anglais pas d accent de lettre grecque minuscule il sera imm diatement traduit en lettre grecque sauf epsilon omicron upsilon mais xi et chi oui ksi et khi non les mots francais enferment souvent des lettres grecques par exemple alphab tiser remuer r pit nutation etc pour viter le mu grec dans remuer tapez une espace entre m et u puis revenez en arri re et supprimez l espace le proc d est g n ral cette traduction grecque ne se fait pas si Utiliser des raccourcis lors de la saisie est d coch Bien s r ces commentaires utilisent tous les signes et symboles des expressions Pensez Menu Fen tre Afficher la palett
33. sont des infiniment petits elles seront d autant plus pr cises que ces grandeurs seront petites donc que m lt lt r ou que Ax x Az z Ar r lt lt 1 et lt lt 1 Module du vecteur MN relations exactes MN m Ay Az EE x Ar y 21 t Ar cos Az Ar r Ar 2r sin sin cos A0 39 Relations exactes NON UTILIS ES PAR GRAPHER Cart siennes Cylindriques Ar 0 A0 r cos 0 Ar x y Ay y 1 An sin 0 A0 1 sinO lt atan2 x Ay y Ax x y x Ax y Ay AZ AZ Cart siennes Sph riques Ax r Ar cos 0 r sin cosO Ar x Ax z Az Z Ay Ar sin 0 A0 sin sin 0 4 A0 atan2 x Ay y AX y x y Ay Az Ar cos ee Z x Ax Ay 2 Az 4x 7 Cylindriques lt gt Sph riques Ar r Ar sin sin Ar dir Ar 7 Az Ar Z A0 4 A0 Az Ar cos r Agde 2 AZ ciues Z 2 n Ar 2 Az 15 2 Cons quences sur le trac graphe des champs vectoriels Les trac s sont calcul s partir des Ax Ay Az entr s pour d fin
34. un exemple accompagn des fen tres secondaires qu elle peut utiliser M Droite Y Remplir couleur W Rotation Taille C num Angle de rotation Largeur m T Y Texte chantillon Alignement vertical Y Ombre Ombre chantillon Flou Opacit Y Fichier joint Attach au champ r el Afficher la fen tre de l inspecteur bouton de la barre d outils ou menu Fen tre Afficher l inspecteur Syntaxe intuitive G n ralit s Entrez simplement n importe quelle quation telle que vous la trouvez dans les livres et Grapher la repr sentera pour vous On trouvera dans ce chapitre un premier aper u des expressions possibles une vue plus compl te est l objet du chapitre Expressions Voici quelques exemples d expressions y sinx graphe d fini par une quation explicite 2 2 22 implicite en coordonn es polaires Op rateurs caract res sp ciaux menu Fen tre gt Afficher la palette d quation ou lt 8 ou bouton Xx en D finitions de constantes et de fonctions Pour d finir une constante ou une fonction cr ez simplement la d finition avec l expression correspondante Exemples k 2 d finition d une constante f t 1 12 d finition d une fonction Ces d finitions peuvent tre aussi ajout es apr s l expression d une quation de graphe s par es par une virgule y sinkx k 2 Notez q
35. 1 17 0 87 0 61 0 78 0 82 1 16 1 79 2 33 2 91 1 18 0 87 2 00 1 59 0 61 2 50 1 70 0 78 3 00 2 00 0 82 3 50 2 24 1 16 4 00 2 19 1 79 4 50 2 71 2 33 5 00 2 90 2 91 Attention vitez les confusions entre virgule ou point d cimal et les s parateurs de colonnes ou rang es Exportation des coordonn es de points de Grapher S lectionnez l ensemble de points gt Modifier les points gt Exporter gt choisissez les options des s parateurs d cochez et nombre de chiffres n cochez un nom et une place Desktop pour le fichier gt Enregistrer 500000 1 010000 1 290000 _ Vous obtenez la figure ci contre avec des virgules d cimales si votre ordina 1 980000 1 250000 1 170000 teur est configur en francais 1 508008 1 188898 9 878998 9 2 000000 1 690008 0 610008 mE 2 500000 1 700000 0 780000 Astuce pour remplacer remplacer un caract re par un autre dans un fichier 3 000000 2 000000 0 820000 TXT txt 3 500000 2 240000 1 160000 4 000000 2 190000 1 790000 Double clic ouverture dans TextEdit menu Edition Rechercher 4 500000 2 710000 2 330000 Rechercher et remplacer gt Rechercher lt Remplacer par lt gt Tous gt 5 900000 2 900090 2 910000 menu Fichier enregistrez le Entrez les donn es du second ensemble de points de votre document Appliquez au fichier que vous venez de sauvegarder la proc dure Systeme d crite plus haut FORMAT EN COLONNES
36. 12 Personnalisation du cadre Y Droite S lectionnez en le cliquant le cadre du graphe appelez son inspecteur et r glez l paisseur du trait 1 0 M Droite Ajout d objets sur le graphe Y Droite Droite Le menu Objet Ins rer fl che ovale rectangle texte permet de placer sur le graphe ces objets dont trois peuvent recevoir du texte Y Remplir Une fois s lectionn par un clic et apr s ouverture de son inspec teur les diff rents r glages de l objet apparaissent couleur On montre ici l inspecteur de l objet Rectangle cadre ou non pais seur du trait couleur du cadre et int rieure orientation de l objet ombre Y Rotation simul e ou non avec ses options Options Fichier joint champ r el d coch l objet reste fixe dans le cadre du Angle de rotation graphe si on modifie les chelles et le centrage des axes Attach au champ r el coch le centre de l objet garde constantes ses abscisse et ordonn e Alignement vertical Y Texte L objet s lectionn est d formable en tirant ses poign es avec la sou 7 Ombre ris Si plusieurs objets ajout s sur le graphe sont s lectionn s on peut les Ombre grouper d grouper les aligner de diverses mani res menu Objet La superposition de plusieurs objets ou graphe objet dispose de r Pet glages quatre premi res Commandes du menu Objet Opacit On souhaite l gender les axes lt t s temps gt
37. 3D il n y a ni tiquette ni graduation chiffr e sur les axes Enregistrez votre travail Entrer les quations 3D Elles figurent sur la copie d cran ci contre Apr s cette op ra 5 e tion pensez enregistrer le document en cours 3 sint bcosu Pas de commentaires sur les dimensions du graphe et chelles d axes comme en 2D l enregistrement de ces infor M 21 PS Za u 0 230 mations se fait bien en 3D et les bugs nr 1 et 2 ne s appliquent 7 bsinu 2cost qu aux documents 2D Comme en 2D plus haut commentaires e i apr s les param tres B Ges Modifier personnaliser les courbes 3D et surfaces 4 Clic sur l quation gt appeler l Inspecteur gt r glages divers de la surface Les figures suivantes vous montrent gauche l inspecteur affect au travail en cours Tore repli droite un autre type d inspecteur pour une courbe 3D en bas une image du graphe final 28 Inspecteur Mise en page du graphe 3D Quo Inspecteur Q W Droite e 2 iti Kuma Droite Les commandes votre dispositions sont Droite Pa L Largeur 1 P lt gt souris pour agrandir r duire la figure Largeur 1 Kua Y Courbe souris pour d placer la figure Y Surface R solution o Bes N souris pour rotation de l image autour Droites extr mit s
38. 511208 0 5 0 2 n NF 9 _ 55 y0 3 y 0 0 x 5 5 3D H lices 0 1100 3 gt ro 0 100 3 0 0 9105 1 00 0 t 0 30 2210 bau 90 0 5100 5 1 kri 20 7 0 11 20 10 2 1011200 10 z 0 0 1 Suites Cette fonction de Grapher permet de placer sur le graphe des points de coordonn es xi et yi tant les i mes termes de deux suites Xn et Yn pour n de nmin Nmax On peut utiliser aussi les coordonn es polaires r en 2D et en 3D les trois coordonn es cart siennes x y z Syntaxe de l quation d une suite Sur une seule ligne X 4x 1 x X 021 Mi d rell 20 Yi l yi l Zone 1 D finitions des deux suites pas de restriction sur les noms des indices ou les d calages Zone 2 Valeurs des l ments initiaux des suites Zone 3 Domaine de l indice indices des l ments plac s sur le graphe 8 1 0 Ge 10 Yo l yi l 1 Signal Erreur de syntaxe Ce signal Danger s affiche dans la liste d quations devant les expressions qui comportent des erreurs de syn taxe II sera donc pr sent devant les commentaires ajout s dans cette liste II appara tra devant les expressions contenant des constantes ou variables non encore d finies dans ce cas le signal dispara tra d s que les d finitions convenables auront t faites Et bien s r il r
39. Pour ajouter une nouvelle ligne menu gt quation gt Nouveau ou les raccourcis clavier correspondants ou mieux le bouton au pied de cette liste L ordre de ces expressions peut tre remani de fa on arbitraire par simple glisser d poser Editeur d quations Entrer ou modifier ici la formule correspondant la ligne s lectionn e dans la liste des quations Graphe O l ment le plus important du document Grapher Vue du document courant graphes marges objets ajout s tel qu il sera export imprim ou copi sous format TIFF Pour ins rer un objet menu Objet Ins rer un e On peut faire apparaitre le point d insertion de texte dans les rectangles et formes ovales et dans le champ cr par Ins rer un texte Pour ins rer une quation la s lectionner en puis en 9 et la transf rer par glisser d poser proc d pour afficher sur le graphe le param tre d une animation Pour r gler le type de graphe sa taille les marges axes etc utilisez menu Fichier Format d impression ou Imprimer menu Format et menu Pr sentation toutes rubriques Inspecteurs Pour modifier les diff rentes propri t s d un l ment du graphe axe cadre courbe objet ajout etc telles que couleur paisseur du trait rotation d un objet texte etc s lectionnez le clic sur l l ment ou par le menu Format Axes et grilles et utilisez la fen tre de l inspecteur dont voici
40. affich e EE Nota Pas de transformation seul le nom du parametre est affich Remplacer par la valeur la valeur est affich e sans le nom Ajouter la valeur elle se place avec le signe apr s le nom du Apr s l affichage sur le graphe des cinq param tres n oubliez pas d entrer les quatre valeurs de r glage de l animation 18 Autres objets plac s sur le graphe Le graphe repr sent ici E l chelle 1 montre une V min 77 330000 pelen eg See de v max 2 565909 orae noir et un titre animation pour les r glages de n 40 000000 l animation 0 056818 Ont t utilis es les pro c dures suivantes menu Objet Ali gner les bords gauches pour les quatre para metres de l animation s lectionn s menu Objet Ins rer un texte menu Format Police gt Afficher les po lices gt Helvetica taille 13 amp 14 Bold et Regular pour les inscriptions t 48635064 inspecteur de ces M objets pour le cadre largeur 1 9 ligne continue noire et la couleur de fond Couleurs S curi s es Web FF6699 menu Objet Grou per r unir en un seul bloc apr s s lection vmin Vmax n p et leur titre commode pour d placer le tout sur le graphe clic sur la courbe Inspecteur largeur de trait 2 0 couleur Apple Rouge Compl tez votre graphe comme sur la figure ci dessus en utilisant ces proc dur
41. cimale en usage OS X configur en francais sans espace avant ou apr s Exception Point d cimal obligatoire pour le rep re de largeur de trait choisie partir des Inspecteurs Point d cimal obligatoire des r glages de la s quence de la fen tre d animation en Cr ation d animation Point d cimal obligatoire dans l affichage des coordonn es sous le graphe Nota le point d cimal est souvent possible la place de la virgule m me avec OS X configur en francais Les champs pr vus pour recevoir des nombres acceptent les constantes reconnues par Grapher e etc les para m tres de valeurs d finies dans la liste des quations des expressions constantes Par exemple si a 8 est une qua tion on peut entrer par le menu Pr sentation gt Limites du cadre les limites de l chelle des abscisses sous la forme a 3 a 4 les valeurs seront calcul es pour a 8 mais ne suivront pas les variations ult rieures de a Unit s d angles Menu Grapher gt Pr f rences gt Avanc gt Divers gt Valeurs angulaires polaires gt choisir 0 2m ou n m Menu Grapher Pr f rences Avanc Divers Modes trigonom triques choisir radian ou degr s d cimaux ou grades M v 2 1 22 33 44 5 5 6 6 1 100000 S parateurs dans une suite de nombres de fonctions d expressions Z gt 200000 122 3 300000 Soit le couple virgule espace soit le signe de ponc
42. es 3D Param triques nom du param tre au choix sauf coordonn es ordre coordonn es au choix f t u x sint cosu lt gt coordonn es cart siennes git u z14 D U U U y Hisint cosu t 0 7 gi D cost ol 3 cost e t u t tj 0 U U Un coordonn es cylindriques 0 u 2 0 2 0 Z h t u f t u Li 1 u Uj uU sint r 0 S t u tO 7r 0 QJ 1 coordonn es sph riques 43 Champs SInx siny x y r 0 Champ scalaire en 2D Champ scalaire en 3D 7 cos30 f x y Z ro 0 r gt Champs vectoriels Ax f x y r 00 Ay f x y r O Ar f x y r 0 AO f x y r 0 An Aw etc f x y z rg 0 r p dr Rieger y 101 g x y r 0 f x y Z rg 0 r p g x y Z rg x h x y 2 rg 0 r llalla D finitions explicites 20 D finitions explicites en 3D D finitions 2D pour chaque coordonn e D finitions 3D pour chaque coordonn e mettre A en t te de chaque groupe de coordonn es 0 Ar 0 x r cos AJ x bn 0 0 7 r Solutions d in galit s f x y r 0 s g x y 0 en 2D 3D f x y Z ry 8 r p s g x y Z rg p une ou plusieurs in galit s li es par les relations logiques NON ET OU OU EXCLU
43. fait dans Curvus Pro X 2 Attention aux bugs nr 6 2 et 23 si vous utilisez les versions 1 1 et 2 0 de Grapher ils peuvent rendre impossible la conversion des fichiers 78 ANNEXE 9 Les matrices dans Grapher D finitions nxp dimensions de la matrice n nombre de lignes p nombre de colonnes 1 num ro de ligne num ro de colonne Si n p matrice carr e d ordre si n 1 matrice ligne Si p 1 matrice colonne aij l ment ou terme coefficient entr e de la matrice rang e ligne ou colonne exemples les matrices identit et diagonales d ordre n sont des matrices carr es d ordre n e Matrices possibles dans Grapher 2x1 2x2 3x1 3x8 1x2 apr s transposition de 2x1 1x3 apr s transposition de 3x1 Elles sont d finies dans l ensemble C des complexes e D terminant d une matrice carr e e du dp det A m i b b b s b b b det B 4 Addition de matrices de m mes dimensions Addition de deux matrices Matrice oppos e US mE Ls nxp du du 413 As da da3 matrice nulle ou z ro 0 x x 1 0 0 matrice identit ou unit 0 1 0 0 0 1 b 0 0 matrice diagonale B 0 b 0 0 0 b du 414 7 44 4 bi b b b b b b b b b b ES b b b b b b b b b b b
44. graphe ind pendante de celle de la fen tre principale Bug nr 2 Grapher 1 1 2 0 2 5 L enregistrement se fait mal en 2D menu Fichier gt Enregistrer Enregistrer sous Ne sont pas sauvegard s le dernier emplacement sur l cran de la fen tre principale la taille du graphe les valeurs maximum et minimum de l chelle des ordonn es tr s tr s g nant Hemarque Les fen tres nouvelles de Grapher 1 1 fen tre secondaire Grapher gt Nouvelle courbe gt Courbe 2D ou 3D s ouvrent toujours la m me place sur l cran OS X 10 4 11 configur en francais d pendant de la langue utilis e par Grapher si c est l anglais bien plac es et couvrant la majeure partie de l cran si c est le francais les fen tres ont m me hau teur mais largeur moiti et sont situ es sur la moiti droite de l cran Cette anomalie a disparu avec Grapher 2 0 2 5 anglais ou francais Le rem de pour r tablir le graphe 2D apr s ouverture d un fichier GCX gcx menu Format gt Disposition gt Taille gt refaire le choix initial Taille du papier ou valeurs L et H faire deux fois de suite puis menu Pr sentation gt Limites du cadre gt entrer les valeurs minimum et maximum de y Cela oblige noter quatre valeurs num riques L H y min y max par exemple en t te de la liste des quations ou en fin de liste voir bug nr 27 Correction propos e compl ter l enregistrement en 2D 63 Bug nr 3 Curvus
45. gt s parateur entre chaque nombre fonction etc D FINITIONS GLOBALES ET LOCALES D finition globale le param tre est d fini par une quation particuli re exemple a 1 2 2 3 3 4 cette d finition peut tre ou non dans un groupe elle s applique toutes les expressions de la liste des quations contenant le param tre a D finition locale la d finition du param tre fait partie de l quation qui le contient exemple y ax 0 5 0 7 cette quation donnera deux courbes pour a 0 5 et 0 7 variable ou fonction qui a une d finition globale ne peut pas recevoir en plus une d finition locale Un parametre variable ou fonction qui n a pas de d finition globale peut recevoir une d finition locale diff rente dans chaque ligne d quation Nota Avant Grapher 2 2 d finitions globales et locales pouvaient cohabiter les d finitions locales primant sur les globales EXERCICE 1 Dans le document en cours entrez les expressions Wmax 1 1 2 3 4 5 en utilisant la palette d quation y OmaxX de pr f rence aux Wmax raccourcis clavier puis supprimez les trois lignes d quations 23 2 Recommencez le tout en ne vous servant que du clavier les frappes dans l diteur d quations apres effacement de sont pour les premi re et troisi me expressions gt 1 1 2 espace 3 4 espace 5 Retour lt
46. gt menu Waas A OQ O Rechercher Intersection quation gt Int grer gt remplacement la int grer la surface Valeur initiale fonction originale et de sa courbe par son int grale Menu quation gt D river pour 214159 x 0 22m revenir la fonction originale zii f dx yl 0 324149 Expression Valeur Calcul d une int grale d finie de X 0 467806 fonction 0 000000 y 0 233766 gt Y M thode Clic sur l quation menu Equation Int gration gt menu contextuel gt choix gt Runge Kutta d ordre 4 entrer l intervalle de l int grale m thode de calcul avec ses r glages gt Calculer Pour supprimer l aire d int gration sur le Nombre d tapes 64 graphe menu quation gt Supprimer le domaine d int gration V Calcul du point d intersection de deux courbes Affichage V Position gn S lectionner leurs deux quations clics avec touche ou 47 gt menu Equation gt Xr Recherche d intersection clic sur une courbe au voisinage de l intersection ou entrer une valeur approch e de la variable gt OK OK REMARQUE CONCERNANT LES SIX CALCULS PR C DENTS ils seront possibles ou non leurs fen tres r glages options menus contextuels peuvent changer selon la forme des quations explicites y f x ou x implicites param triques et le syst me de coordonn es utilis EXERCICE entrez l quation suppl mentaire simple y x dans la lis
47. la facon suivante i n n touche Retour la ou les valeur s affiche en fin de d finition de la suite dans la liste des quations Si des constantes valeurs multiples entrent dans la d finition de la suite il faut ne leur laisser qu une valeur chacune sinon le calcul se fera par d faut avec la derni re valeur pr vue de chaque constante Evaluation num rique des ensembles de points Le traitement des ensembles de points aboutit au trac de courbes de r gression l affichage de leurs quations et d autres param tres au calcul d un coefficient de corr lation Les proc dures n cessaires sont expos es en d tail dans la Lecon 6 Traiter un ensemble de points Courbes de r gres sion page 31 du chapitre Initiation Pr cision des calculs Affichage des valeurs num riques En virgule flottante avec 15 chiffres significatifs unit 14 d cimales e exposant Nombres entiers x 1016 1 soit 16 chiffres au maximum 2 avec n lt 53 57 Pr cision des calculs Pour ceux effectu s partir de donn es num riques exactes la pr cision est celle de l affichage que l on vient de d crire Pour les calculs par d autres m thodes int gration d rivation quation diff rentielles fonctions sp ciales etc elle varie et d pend des options de la rubrique Avanc des Pr f rences et de celles choisies dans les fen tres pop up de chaque type d op ration 58 Pr paration pr sent
48. la liste Grapher 2 2 2 5 voir bug nr 31 121 331919 dy 8 799306 dx dx Recherche des racines extrema points d inflexion SE 55 2 2 Position Affichage Clic sur la courbe ou son quation menu Equation Re TE cherche de racine gt Choix de l option dans le menu Mi Tangente ci contextuel gt Cliquez le point approch sur la courbe ou Perpendiculaire entrez une valeur approch e de la variable et touche Re Cercle de courbure tour gt pour obtenir le calcul des coordonn es du point particu Trait uu lier cherch des d riv es et seconde ce qui permet de v rifier les r sultats y ou y ou y tr s proche de z ro affi chage sur le graphe du point choisi des tangente normale cercle osculateur ce point et avec clic sur le bouton Trait gt affichage de leurs quations dans la liste Grapher 2 2 2 5 voir bug nr 31 25 Tracer la courbe de la d riv e d une fonction Clic sur l quation dans la liste gt menu quation gt D river gt remplacement de la fonction originale et de sa courbe par sa d riv e Recommencer d riv es successives Menu Equation Int grer pour revenir la d riv e pr c dente recommencez jusqu au retour la fonction originale Tracer la courbe de l int grale d une fonction Grapher 2 2 2 5 voir bug nr 29 Clic sur l quation dans la liste
49. majuscules ou minuscules on peut ajouter des indices et employer des mots de lettres et chiffres commen ant par une lettre t m 2m Le m me nom ne doit pas tre donn une constante et une fonction Cette copie d cran d une liste d quations montre quelques exemples de noms accept s ou refus s Grapher 2 2 2 5 voir bug nr 28 pour les noms de variables D finitions de domaines pour les variables Le domaine de variation doit tre pr cis pour LZ AN rM finis ou les param tres des quations param triques domaine continu Sr valeur maximum valeur minimum indiff rent OU a variable d une quation diff rentielle optionnel pour coordonn es 0 0 0 i T Vmin domaine continu valeur minimum en premier l indice des termes d une s rie entiers successifs OU E limin fmax valeur minimum en t te P Dans les autres expressions les domaines des variables qui sont des coordonn es du graphe sont impos s par Grapher par les limites du cadre pour x y 2 ro r 27 pour 0 rt pour o Expressions valeurs multiples est possible de concentrer plusieurs expressions en une seule formule de la liste des quations le proc d est applicable aux d finitions de constantes fonctions quations de graphes etc il suffit de placer les diff
50. marges du graphe modifient de facon incoh rente l emplacement des objets Apr s ouverture d un fichier gcx sauvegarde les objets attach s au champ r el ont retrouv leurs coordonn es mais la res tauration des dimensions et chelle sur Oy d origine du graphe les d place cf bug nr 2 donc finalenement il n y a pas de sauvegarde des objets attach s au champ r el Cette proc dure peut tre utile pour nommer des points remarquables ou placer des commentaires li s des courbes ils res teront correctement plac s et permettront des enregistrements du graphe seul avec divers grossissements ou modifications d chelles de coordonn es Case cocher Auto fonction non encore d couverte 60 Graphes 3D perspective et options de pr sentation Perspective Grapher pr sente les graphes 3D en vue perspective v ritable perspective conique trois points de fuite d o une d forma tion des graphes en particulier du cadre cube un peu surprenante compar e celle de la perspective cavali re habituelle en math matiques d autant plus que l observateur est plac tr s pr s du cadre du graphe Les parametres de la perspective de Grapher ne sont pas r glables et il n existe pas d option perspective cavali re Effets des zooms Menu pr sentation gt Zoom avant arri re 86 36 et boutons Agrandir R duire de la barre d outils ne modifient pas la dimension de la figure 3D dimensions des axes et
51. n offre pas tous les r glages n cessaires Principales 0 1 unit s Secondaires marque principale anh Appliquez la m me proc dure pour l axe des ordonn es et notez les valeurs maximum et minimum sur Oy Oy 0 3 cf bugs nr 1 et 2 Position Un clic sur un axe le s lectionne pr t pour appeler son inspecteur Un double clic le s lectionne et ouvre la fen tre de r glage de son chelle et de sa position qui est montr e ici En bas 2 Revenons l axe Ox apr s avoir cliqu OK dans la fen tre montr e ci contre cet axe est s lectionn ce qui permet d appeler son inspecteur pour K choisir les options suivantes Annuler OK 11 Personnalisation des axes Profitez du fait que l axe trait ci dessus est s lectionn et appelez son inspecteur en cliquant le bouton bleu de la barre d outils Essayez les nombreuses options visibles sur les vues suivantes et terminez avec celles qui y sont affich es 8 0 0 Inspecteur Format des marques de graduation V Droite Espacement r s Droite EB YA Marques largeur princip 8 4 N ven Fl ches lt largeur second 4 41 5 W k i W Axe LEES Emplacement M axe bordure Marques principales Num rot es V Marques secondaires Num rot es Num rot position tiquette d calage y r 358 Jvecteurunit Afficher min 4 max
52. num rateur d une fraction cr ez la frac _ tion par avant taper le dividende num rateur si c est un nombre d cimal il vous restera la compl ter du d nominateur diviseur 1 E a palette d quation propose galement le signe Signes de la multiplication ils peuvent tre amp point sans espace avant ni apr s plac entre deux nombres et obtenu par frappe au clavier ast risque ou par le point de l onglet Symboles de la palette d quation 3 1 2 0 6 classique x propos par cette palette 1242 M9 une ou des espaces entre deux nombres ou expressions 12 2 705 ou la juxtaposition d expressions entre parenth ses et de variables le point de ponctuation suivi d au moins une espace et rain plac entre deux nombres entiers n est pas reconnu comme signe math matique si l un au moins des y l x nombres des d cimales A sz 3 y a 4 La figure ci contre illustre ces nombreuses variantes 41 Point de ponctuation vs point de multiplication Dans une suite de chiffres sans espace avant ou apr s le point de ponctuation est un point d cimal Ayant la m me apparence entre deux nombres sans espace avant ou apres le point de multiplication est obtenu dans Grapher par frappe sur le signe de multiplication du clavier ast risque ou par le point de la palette d qua tion onglet Symboles est plac un petit peu plus haut que le point
53. point tous les x pairs Op rateur it ration r p tition n fois de la fonction f f f f t 30 l i gt sin 2n 1 x 0 5 ou I n valent 120 nzl 6 n H 99 Ka EN 1 01 et 2 99 valent 2 125966 et 125 6 valent 5 y 2 1 a 0 20 A B S Int vaut In In In t Matrices et d terminants Emploi voir Annexe 9 Les matrices dans Grapher n 1000 1001 1000 21 2 za 3 A B x A det A l T E osea Ad d ALA Ak HA gt Matrices autoris es entr e directe des l ments Matrices 1x2 et 1x3 possibles par trans position de matrices 2x1 et 3x1 Op rations habituelles possibles L op ration A multipli par la valeur absolue du d terminant de A Tous graphes param triques Ci dessous rotation de 0 d une ellipse sina sina di Equations diff rentielles Grapher 2 0 voir bug nr 23 Grapher permet le trac en 2D et 3D des courbes de solutions d quations diff rentielles ordinaires i e une seule variable d ordre i e celui de la d riv e d ordre le plus lev non limit a priori a fonction pouvant tre en 2D ou x y ou r 8 ou O r ou param trique x t amp y t ou r t O t en 3D les fonctions param triques dans les trois syst mes de coordonn es x y 2 ro 0 z a forme de l quati
54. pour la coller ensuite dans une autre application Ctrl clic ou clic droit dans le graphe gt menu contextuel Copier sous format TIFF PDF ou EPS ou menu dition Copier sous format TIFF PDF ou EPS En imprimant son image menu Fichier Format d impression puis Imprimer etc permet aussi de cr er un fichier PDF Pour un dimensionnement pr cis du graphe chapitre Initiation Lecon 3 pages 15 amp 16 Dimensionnement pr cis du graphe Contr le et talonnage du dimensionnement Cr ation et archivage de documents mod les Une fois cr et personnalis le est enregistr en fichier GCX penser au bug nr 2 pour le rendre accessible par le menu Exemples le ranger dans un dossier placer en Macintosh HD gt Biblioth que gt Application Support gt Apple gt Grapher gt Examples gt 2D Examples 3D Examples dossiers de modeles 62 Les bugs de Grapher Un peu d histoire Origine de Grapher Grapher 1 1 utilititaire de OS X 10 4 11 Tiger 11 2007 est la version Apple de Curvus Pro X version 1 3 2 2006 8 Quand un bug de Grapher existait d j dans Curvus Pro X mention en est faite dans le titre du bug Grapher 2 0 a remplac la version pr c dente dans OS X 10 5 Leopard 5 2008 Grapher 2 1 a suivi dans Snow Leopard OS X 10 6 10 2009 Grapher 2 2 dans Lion OS X 10 7 8 2011 2 3 dans 10 7 4 5 2012 et dans Mountain Lion 10 8 10 2012 Grapher 2 5 dans Mavericks OS X
55. pr sentation enregistrement et exportation du document Ouverture d un nouveau document eene nnn nnns 59 Formats des axes grilles et cadre du graphe 59 Personnalisation des courbes surfaces et points 60 Ajout d objets sur le graphe 2 24 60 Graphes 3D perspective et options de 61 Autres utilisations nnne nennen nnne nenne nin ne nnne san sensns 61 Informations noter avant enregistrement 2D 62 Enregistrement exportation mod les 62 Les bugs de Grapher Un peu d histoire 63 Les bugs de Grapher et leurs rem des nne nennen 63 Annexes Annexe 1 Ensembles de points du tableur Grapher 69 Annexe 2 Adaptation de le on 4 Grapher 2 0 70 Annexe Calculs avec les nombres complexes 71 Annexe 4 Expressions mdcees a nennen nnn rn 73 Annexe 5 Matrices et d terminants solutions d quations lin aires 74 Annexe 6 Syntaxe des expressions compl ments
56. rentes variantes entre accolades Exemples 0 5 cosx sinx x 3 courbes k 2 1 1 2 2 3 3 4 6 5 valeurs de deux mani res pour un m me r sul tat dans celles ci X 2 sint X ge Lt 236 y cos3t cos5t y Notez les s parateurs entre les valeurs et l absence d accolades pour l indice des termes d une s rie exception montr e sur la figure du paragraphe pr c dent 2 sint cos 13 54 t 0 27 42 Courbes coordonn es cart siennes 2D y sinx ou x siny ou y2x 2x4 coordonn es polaires 2D r sin 30 ou r f x y r 9 g x y r 8 m lange de coordonn es 2D x 4y 23 ou sin2x sin4y 0 1r Param triques nom du param tre au choix sauf coordonn es ordre des coordonn es au choix X x cos3t 4 l coordonn es cart siennes 2D A yj e t y sin5t r r 2 sint t 22222 coordonn es polaires 2D 2 0 0 e t 5 0 COS3t e x 1160 _ X cost coordonn es cart siennes 3D x g t t 0 0 ou cylindriques ou sph riques Snt t 10 0 z h t 7 10 x iy 0 iett t tit Explicites coordonn e quelconque du m me syst me avant le signe f X y coordonn es cart siennes 7 dens O 7 X t ro 0 coordonn es cylindriques fo sin30 r coordonn es sph riques r ou r 0 f X Y Z ro r 0 g x y Z ro r 0 p m lange de coordonn
57. seront ici pour les deux valeurs de w Profitez de l ouverture de l Inspecteur des courbes et de la palette Cou Position leurs d Apple pour visiter cette derni re qui en six onglets vous pr sente dix sept options et vous permet de m moriser les couleurs choisies ou cr es Affichez l quation diff rentielle sur le graphe pour cela S lection d un clic dans la liste des quations recopie dans l diteur d quations cliquez glisser sur l quation pour la s lectionner glissez d posez sur le graphe r glez forme et taille compl tez ventuellement avec l Inspecteur cadre couleurs fond inclinaison ombre Annuler Marques de graduation Principales 25 Automatique 24 Placez sur le graphe une l gende dans un cadre ovale voir le graphe final Utilisez les poign es pour former l ovale votre go t son inspecteur pour le cadre rouge Apple largeur 2 0 et le fond blanc Apple double cliquez dans la figure gt point d insertion gt menu Format gt Police gt Affichez les polices gt choix de la couleur du texte bleu de la police Helvetica 18 ombre du texte Constatez que vos frappes s inscrivent dans un cadre rectangulaire circonscrit l ovale et commencent en dehors ce qui ne facilite pas la mise en page qui 5 plus ais e avec l objet ins r Rectangle Pensez enregistrer sauvegarder fr quemment votre travail N Insp
58. seule modifica Systime cart tien tion affectez la colonne 3 y comme le montre la figure ci contre Colonnes Personnalisation des points et courbes EA y S lectionnez l ensemble lt Droite de r gression gt par clic dans la liste des quations ou sur un de ses points sur le graphe gt appelez l Inspecteur vue ci contre Annuler OK D cochez Polygone liens entre les points cochez Marques S et Droite choississez croix r glez leur taille clic sur le bouton zig zag r gler l paisseur des traits 2 0 clic sur le bouton couleur choisir Apple Bleu Remplir aucun Clic dans le graphe pour d s lectionner Inspecteur Y Droite Nota les deux boutons couleur et zig zag de la rubrique Droite jouent sur les M traits des Marques et Polygones Remplir sert pour l int rieur des marques amp Droite gt cercle carr losange Fl ches S Effectuez le m me travail pour l ensemble lt Parabole de r gression e gemet Marques cercle couleur Apple Rouge aucun Pour la droite de la quation trait de 2 0 Apple Cyan Pour la parabole de la seconde quation trait de 2 0 Apple Magenta V Marques Tailie ENREGISTREZ FR QUEMMENT VOTRE DOCUMENT 32 Polygone Y Ensemble de points 2D croix lignes bris es Votre graphe doit ressembler cette figure Quels probl mes r soudre
59. sont accessibles par le clavier comme dans les applications de traitement de texte des raccourcis clavier par ticuliers existent dans Grapher La liste en est donn e pages suivantes Raccourcis clavier de l diteur d quations Commentaires entr s par l diteur d quations Ce sont des textes que l on veut inscrire dans la liste des quations et ou que l on souhaite transf rer sur le graphe par glis ser d poser Ce ne sont pas des quations d o l avertissement triangle jaune danger qui les pr cede Avant de les taper au clavier d cochez dans les Pr f rences Variables en italique sinon vos lettres seront pench es variables pour Grapher x a etc ou droites si consid r es autres sin cos L diteur d quations n est pas pr vu pour du traitement de texte normal ce qui suit un accent circonflexe est mis en exposant pas de ni possibles les signes suivant Majuscules plus Tiret sont mis en indice bref les raccourcis cla vier de l diteur d quations sont suppos s activ s Si vous tapez un nom anglais pas d accent de lettre grecque minuscule il sera imm diatement traduit en lettre grecque sauf epsilon omicron upsilon mais xi et chi oui ksi et khi non les mots francais enferment souvent des lettres grecques par exemple alphab tiser remuer r pit nutation etc pour viter le mu grec dans remuer tapez une espace entre m et u puis revenez en arr
60. un objet d une altitude ho avec une vitesse initiale verticale vo on veut tracer le graphe donnant l altitude de l objet en ordonn e en fonction du temps en abscisse t temps en s gt 0 ho altitude initiale 1 et 2 m h altitude l instant t vo vitesse initiale vers le haut vers le bas va leurs 2 1 0 1 2 m s L quation du graphe est h ho vot 1 2gt avec g 9 81 m s Grapher n admet que x y comme noms de coor donn es cart siennes d ou les expressions utiliser ho 1 2 Vo 2 2 g 9 81 y ho Vo x 1 2 g x Ouvrez un nouveau document 2D mod le Classic r glez la taille maximum format A4 Paysage notez les dimensions ici lt L 801 H 555 pt gt entrez les quatre quations le r sultat est 0 9 8 ho Vox gx M hozl Vo 2 hoz2 Vo 2 M hozl Vo 1 hoz2 Vo 1 M hozl M hoz2 veel M 1 Vo M ho 2 Vo M 1 Vo 2 hoz2 Vo 2 R glages des axes et des limites du cadre Variable Menu Format Axes et grilles s lectionnez Axe des abscisses Vateuis Jo 1 1 Modifier gt entrez les valeurs minimum et maximum d sir es pour les i abscisses ajustez la graduation choississez la position de l axe comme le montre la vue ci contre Marques de graduation Ajuster automatiquement On aurait pu passer par le menu Pr sentation gt Limites du cadre mais il
61. 1913 E Aoi X x bi b b je b b b d 3450 4 103 i ab 16 C 2 X x b bi a bi D ab Puissance d une matrice carr e d ordre K fois A avec par convention A 1 AxA aA AF AP a 0 avec Inversion d une carr e r guli re d ordre n D finitions Une matrice carr e A est r guli re si det A z 0 singuli re si det A 0 81 matrice inverse de A r guli re AT telle que A X A I A AxB B xA A det A B det A Cas possibles dans Grapher JA sis 1 _ 1 da 41 det A da du b b b I m m b b b b m 0 30 b b b det B x b b 0 0 bb b b m b b m bib b b m Expressions des l ments en fonction de leur matrice Dans Grapher les matrices constantes s affichent avec leurs l ments qui sont donc lisibles le calcul matriciel est possible avec les matrices variables mais leurs l ments ne sont pas visibles dans les deux cas il n est pas possible de s lectionner un l ment pour le copier et le glisser dans une quation Les expressions ci dessous permettront leur utilisation Cas d une matrice 2x2 _ _ 1 a N AN A 42 0 1 N AN Cas
62. 198 2 094395 3 141593 4 188790 5 235988 6 283185 Importer Exporter Annuler wr 35 Essayez de reproduire ce graphe polaire HEXAGONE avec les informations de ces trois figures des 0 6667n options du menu Format des Inspecteurs des axes et des ensembles de points de l diteur d quations et des commandes du menu Ob jet La page suivante Annexe la Lecon 6 expose les quations utilis es par Grapher pour traiter la r gression affine Vous venez de terminer cette sixi me et derni re le on d initiation Grapher Vous avez fait preuve de d termination et pa tience cela m rite des applaudissement Ce logiciel est livr avec des exemples attention aux bugs nr 6 1 et 6 2 qui vous montrerons d autres possibilit s de Gra pher champs scalaires champs de vecteurs s ries des astuces de pr sentation des r gles de syntaxe des expressions ma th matiques etc Les deux chapitres suivants exposeront en d tail les syst mes de coordonn es et la syntaxe des expressions 36 Annexe la Lecon 6 Formulaire de la r gression affine D finitions n points de mesures DEA 19 n a coefficient de r gression de y par rapport x coefficient de r gression de x par rapport Droite de r gression de y par rapport x SEET n X Y gt a Se b K i avec Y a Xi b 1 1 1 1 Dr
63. 4 Les exemples fournis avec le logiciel sont une source d information ne pas n gliger une fois ouverts leurs fichiers GCX sont op rationnels et modifiables Voir bugs nr 6 amp 21 61 Informations noter avant enregistrement 2D Avant de sauvegarder un document 2D il faut noter quatre nombres L largeur du graphe unit le point plus pr cis et multilingue H sa hauteur unit le point plus pr cis et multilingue minimum et maximum de l chelle des ordonn es Oy l est commode de les inscrire en commentaires dans la liste des quations voir bug nr 27 Ces donn es sont n cessaires pour restaurer le document 2D original apr s ouverture d un fichier GCX cf bug nr 2 Enregistrement exportation modeles Sauvegarder le document en fichier GCX gcx 886 ou 47865 ou menu Fichier gt Enregistrer sous ou Enregistrer ou Tout enregistrer Voir bug nr 2 Le document pourra tre r ouvert pour le retravailler le modifier etc Exportation les quations Voir chapitre Utiliser l diteur d quations page 50 Exporter une quation une seule la fois Pour enregistrer la liste des quations faire une copie d cran par 47864 Exporter le graphe cr ant un fichier d image menu Fichier gt Exporter gt choisir le format TIFF r gler R solution PDF EPS ou JPEG r gler R solution et Compression En copiant son image dans le presse papier
64. 5 pt Vue ci contre de la fen tre de Grapher 2 5 apr s les r glages pr c dents et entr e des deux quations Entr e des quations Pour dessiner les fonctions de Bessel deux quations doivent tre cr es l quation de ces fonctions et celle donnant les valeurs des indices Cliquez le bouton gt menu au pied de la liste des quations et entrez la suivante y Ja x et pour cela tapez au clavier successivement J ensemble G ensemble n touche fl che droite parenth se gauche lettre x en principe est d j affich Pressez la touche Retour l quation s affiche dans la liste avec un signal Danger signalant une erreur de syntaxe car la variable n de l indice n est pas encore d clar e Un clic sur le triangle Danger ouvre une fen tre pop up Erreur de syntaxe cliquez OK et ignorez Pour les valeurs de l indice appelez une nouvelle quation par une de ces proc dures Cliquez le bouton gt menu Nouvelle quation au pied de la liste des quations Menu quation Nouvelle quation Tapez le raccourci clavier N effacez lt yz gt de l diteur d quations et entrez l une des formules suivantes pour d finir l indice n entiers de O 5 0 5 ou nz 0 5 ou 0 5 ou nz 0 5 ou nz 0 1 5 ou n 0 1 2 3 4 5 Touche Retour la quation ne pr sente plus d erreur de syntaxe et les six courbes s affich
65. E AILLEURS Clic sur la ligne pour s lectionner touche RetourArri re pour s lectionner plusieurs lignes pressez lt gt ou 36 Nota Si la ligne effacer est utilis e dans d autres expressions d finitions de fonctions ou variables par exemple vous pou vez rendre incorrectes ces expressions triangle jaune lt Danger gt par exemple en ajoutant le signe en t te des expressions ce qui vous permet de les modifier plus tard CR ER UN GROUPE Clic sur le bouton au pied de la liste des quations et menu contextuel NOMMER LE GROUPE Double clic sur sa ligne pour Grapher 1 1 voir bug nr 9 Les quations cr es pour ce groupe doivent y tre plac es par glisser d poser ce qui les d cale l g rement droite eno Palette d quation M MSM Palette d quation AFFICHER LA PALETTE D QUATION Menu Fen tre gt Afficher la palette d quation 5 Grec Symboles 1 Cette palette et une PALETTE SIMPLIFI E sont 4l wl s lel eS m accessibles par le menu contextuel du bouton 2 de l diteur d quations UTILISER LA PALETTE D QUATION Pour placer un symbole au point d insertion dans l diteur d quation Clic sur le symbole Cocher lt Utiliser les raccourcis lors de la frappe ils facilitent votre travail Utiliser des raccourcis lors de a saisie Utiliser des raccourcis
66. Mode d emploi pour m moire Grapher di Versions 1 1 2 0 2 1 2 2 2 3 2 5 a et Curvus Pro X 1 3 2 suivi d une liste des bugs et de leurs parades lt Quand tout le reste a chou lisez le mode d emploi gt dition du 16 avril 2014 1 Sommaire page Vue d ensemble de Grapher C I Ilir cca 4 Intermace tilisateuri l iliiyeu u uyu u usan 4 Jueces CR TE DE 5 Syntaxe eebe 5 EEGENEN EE 6 7 EXDOHNGZ VOS Creation eebe 7 Menus contextuelS s eebe EE 7 Initiation Le on T EE 8 Le on 2 Personnaliser la pr sentation d un document 11 Le on Cr er une animation Animation de 15 Le on 4 quations diff rentielles ir 20 Le on 5 Cr er une animation Cr ation d animation en 2D et 3D 27 Le on 6 Traiter un ensemble de points Courbe de r gression 31 oystemes de coordonn es de Grapher CDOIdODDees EE 38 Coordorii 66 S Ed 39 Expressions R gles g n rales de syntaxe des expressions 41 COUDES reni mu D ET 43 elle ter 43
67. Pro X 1 3 2 Grapher 1 1 2 0 2 5 En 2D menu Format gt Disposition gt Taille dans cette fen tre secondaire on constate des erreurs de conversion d unit s pour les largeurs et hauteurs les valeurs en pt et inch sont coh rentes 72 pt par inch de m me pour cm et mm 10 mm par cm la conversion pt inch en cm mm est erron e car faite sur la base de 25 6 mm par inch au lieu de 25 4 Apr s impression les dimensions du graphe sur le papier sont exactement celles donn es en pt ou inch dans la fen tre Taille erreur 0 2 96 pour L et 0 5 pour H si on passe aux mm les erreurs deviennent 1 0 et 1 3 96 surprenant dans un logiciel de math matiques dans Grapher configur en fran ais les inches ne s affichent pas mais r p tent le nombre de points pt l entr e de valeurs est impossible en inch on ne peut utiliser que pt cm ou mm on a remplac inch par pouce il ne fallait pas traduire et garder inch dans Grapher configur en anglais tout est affich avec l erreur de conversion et on peut entrer les dimen sions dans les quatre unit s de longueur Le multiplier les valeurs lues cm et mm par 25 4 25 6 0 992 ou utiliser les valeurs en pt et inch Correction propos e corriger la conversion pt inch en cm mm faire en sorte que les affichages et entr es en version francaise soient comme dans la version anglaise remplacer pouce par inch dans la traduction francaise
68. SIF x Les zones du graphe 2D ou la proposition est vraie sont color es diff remment du fond en 3D elles sont remplies de sph res ou boites y gt 2 9 y lt SINX ln 3 amp y 1 Expressions constantes Epressions constantes calculer ensembles R r els et C complexes expressions ne contenant que des valeurs num riques des noms de constantes e etc des constantes valeur unique d finies pr c demment La valeur num rique s affiche apr s l expression dans la liste des quations i e ou 3 229 OU Cg OU Y ou 2 31 1 51 ou In 3 21 D finitions de constantes signe nom f valeurs num riques constan tes valeur unique d j d finies cons tantes des d finitions int gr es nom valeur1 valeur2 valeurs etc valeur n peut tre une constante valeur unique ou non d j d finie nom mini mini r maxi maxi gt dernier terme souhait nom entier mini entier maxi Les d finitions de constantes ci des sus peuvent tre globales ou locales voir page 42 nom entier mini entier maxi ou indiff rent D finition d une constante valeur unique ensembles R r els et C complexes Constante valeurs multiples quelconques ensembles R r els et C complexes Constante valeurs multiples en s rie arithm tique de raison r R r els Constante valeurs multiples entiers successifs
69. Y Donn es communes quation retrouver coefficients a b c y 0 5x2 025x 2 points utilis s X Hy 2 0 51 1 1 251 x iy 3 325 3000000 3250001 matrice de calcul des coefficients 4 21 A 1311 931 Calculs avec les matrices matrice des coefficients retrouver 0 5 25 2 matrice des valeurs 0 5 1 25 325 v rification du calcul des valeurs de y E 1 250000 Aa 3 250000 2 000000 0 5000001 000000 1 250000 calcul des coefficients partir des x l 1 s enr As matrice des 3 coefficients retrouv s 0 500000 gt 0 250000 2 000000 La taille des matrices et d terminants tant limit e 8 3 le syst me lin aire r soudre est limit trois quations trois inconnues w Calcul avec les d terminants m thode de Cramer criture des 3 autres matrices 0 5 2 1 25 1 1 2 25 31 4 0 5 1 A 1 1 251 93251 4 2 0 5 1 1 1 25 93 325 calcul des coefficients m thode de Cramer det A a deW _ det Au II det A det A pr sentation des r sultats a 0 500000 bi 0 250000 2 00000 74 ANNEXE 6 Syntaxe des expressions compl ments Pr f rences choix de l unit d angle et ses limitations Grapher Pr f rences Avance Mode trigonom trique choisir entre degr grades radians L uni
70. ans l diteur d quations sont r put es r elles par d faut une variable par exemple t que l on veut complexe doit tre appel e complex t Exemple f t 1 complex t d finition d une fonction de t variable complexe x iy f e t 0 2 quart de cercle de rayon 1 dans le premier quadrant des axes Si on s tait content de d finir la fonction par f t 1 t seule la partie r elle de l expression complexe x iy soit 1 cos t apparaitrait sur le graphe une demi droite sur l axe Ox de x 1 Repr sentation graphique dans le plan complexe Ox axe r el Oy axe imaginaire la syntaxe doit tre x y f t t t1 t2 ou autre nom de param tre au lieu de e Re f e la forme param trique est possible 05 gt quart de cercle vu ci dessus ONE 71 ou encore pour l expression complexe z t 0 Syntaxe d une s rie complexe exemple 1 0 abs 2 m abd Tk 1 0 ro 0 k 0 10 Ok 1 E 90 im 8 o 1 0 Utilisation des fonctions pr d finies Accessibles par le menu Aide Afficher les d finitions int gr es Le Mode d emploi de Grapher en donne la liste page 53 en fin du chapitre Utiliser l diteur d quations en indiquant pour chaque fonction si l argument doit tre r el ou peut tre complexe Fonctions hyperboliques elles n admettent que des arguments r els Mais
71. artielles d une fonction de fonction Apostrophes et guillemets Max d riv e 3e Clavier ou palette d quation D riv es par rapport au temps t non utilisables car l abscisse ne peut pas tre t contrairement Curvus Pro X 46 D river trois fois 4 X 54 O taper les 2 lignes T valeur n lt 3 si param tre n sinon valeur num rique au lieu de n x d 5cost t 6 2 7 essayer pour n entier de 4 0 et y 3 t g t cost h t 2f t g t 2 22 ou y 7 h x Le 2 X cos2x cos x 1 vaut y 2 1 3 y f x y f x y f x y f x 6 I d d dein 3x6 CSINx qu CCOSX af sbs ditable pour exporter op rateur x Somme produit factoriel coefficient binomial arrondis modulo it ration f n n rngin n ou It et IT f n n n n d Kn Ki fa a a d ou ad x T y 2 T 1 n nj n gt etc Somme s rie de Fourier Factoriel et produit Coefficient binomial C n k Arrondi l entier sup rieur inf rieur Op rateur modulo calcul du reste de la division euclidienne de a par d Graphe dents de scie lin aires p riode T amplitude 1 1 Si une liste d entiers n cette condition ne garde que les n dont le reste de la division euclidienne par d est re L exemple trace la courbe y z In x avec un
72. ation enregistrement et exportation du document Ouverture d un nouveau document Choix du mod le de graphe Utiliser une des proc dure suivantes D marrer Grapher fen tre Nouvelle courbe choix Courbe 2D ou 3D choix du modele SEN ou menu Fichier gt Nouveau puis comme ci dessus ou menu Fichier gt Ouvrir un fichier GCX gcx Menu Fichier gt Ouvrir l l ment r cent gt fichier GCX gcx Double clic sur un fichier GCX Glisser D poser l ic ne d un fichier GCX sur celle de Grapher Menu Exemples choix d un exemple 2D ou 3D voir bugs nr 6 19 28 29 Si un document 2D est ouvert lt V 363 ou menu Pr sentation gt Passer en affichage 3D Si un document 3D est ouvert amp 362 ou menu Pr sentation gt Passer en affichage 2D R gler la taille de la fen tre En tirant son coin inf rieur droit pour l ensemble et en utilisant les deux poign es sur les bordures du graphe pour les di mensions des trois champs liste des quations diteur graphe Voir les bugs nr 1 amp 2 Choix des dimensions du Graphe En2D menu Format gt Disposition gt Taille et Marges voir chapitre Initiation Lecon 3 page 15 Dimensionnement pr cis du graphe pour taille maximum voir chapitre Initiation Lecon 4 page 20 Pr paration du document 3D voir chapitre Initiation Le on 5 page 28 lt R gler la taille
73. avec les en sembles de points Premier exemple un ph nom ne physique mesur par une grandeur y d pend d un r glage mesur par la grandeur x les appareils mesurent x et y avec des er reurs On recherche l aide du graphe la fonction y f x la plus pertinente Second exemple une tude statistique semble mon trer qu une caract ristique mesur e par y semble d pendre d une autre caract ristique x On recherche avec le graphe une fonction y f x possible et une valua tion de sa pertinence Que peut faire Grapher Il utilise les points x y et un type de courbe choisi par l utilisateur et calcule l qua tion de cette courbe qui minimise la somme x des car r s des carts en ordonn e entre les points mesur s et cette courbe Autrement dit Grapher d termine la courbe de r gression de y par rapport x selon le crit re des moindres carr s Grapher affiche la somme x des carr s des carts si la courbe est une droite une astuce permet le calcul de la droite de r gression de x par rapport y et d en d duire le coefficient de corr la tion entre x et y enfin le logiciel trace la courbe sur le graphe D o proviennent nos points 2 En partant des quations d une droite et d une parabole les deux quations que vous avez pla c es dans la liste on a pris 10 valeurs de x faible nombre permettant de remplir la main le tableau de l ensemble de points et fait calculer par Numbers les
74. be 3D gt choisir le gt S lectionner R gler la taille du graphe 3D La relation entre la taille du graphe sur l cran et ses dimensions apr s impression exportation transfert ou copi coll dans une autre application est la m me qu en 2D autrement dit un pixel sur l cran donnera 1 pt 1 72 inch 0 352778 mm sur la feuille A4 apr s impression En 3D le menu Format ne permet pas de choisir les dimensions de la figure la seule possibilit est de modifier largeur et hau teur du champ du graphe dans la fen tre en agissant sur les deux poign es au milieu des bordures gauche et haute pour obte nir le nombre d sir de pixels ou points pt l faut pour cela un moyen de mesure des dimensions en pixels d l ments affich s sur l cran on peut utiliser pour cela l application Capture gt menu Capture gt S lection gt affichage des dimensions en pixels du rectangle s lectionn entre les deux clics de s lection ou apr s dans Apercu gt menu Outils gt Inspecteur gt lire L et H dans la fen tre pop up Enregistrez votre travail lt Lecon5 3D gt Le fichier gcx conserve les dimensions de la fen tre 3D et du champ du graphe e ge Inspecteur Personnaliser axes cadre et arri re plan du graphe 3D Droite 2 Inspecteur V Droite CHANGER LE MODELE DE GRAPHE menu 45 Format gt Mod le de courbe gt selectionner un modele gt Appliquer propose les m me
75. cadre restant inchang s mais agissent sur celles du graphe par modification des chelles de coordonn es Fen tre pop up Angles de vue Les commandes accessibles par le menu Fen tre gt Afficher les angles de vue ou par 4 38V agissent sur l ensemble de la figure axes cadre graphe sans modification des chelles de coordonn es On peut entrer les valeurs suivantes et Ay d placent la figure horizontalement et verticalement dans le champ des graphes 2 simule son rapprochement ou son loignement en modifiant sa taille fonction exponentielle de Az R duire agrandir donne le m me effet mais la taille est proportionnelle au param tre affich gt 0 8 et y sont trois angles en degr s permettant d observer la figure depuis une direction quelconque par rap port aux axes de coordonn es On peut voir dans cette fen tre les mentions Par d faut Au dessus Avant Gauche et des boutons pour cr er d autres lignes Ce sont des commandes de r glages des sept param tres ci dessus pour des pr sentations normalis es comme le sugg re la lecture du fichier de pr f rence com apple grapher plist voir bug nr 25 La souris permet d obtenir toute combinaison pour afficher par exemple Par d faut 90 45 135 Au dessus 0 0 135 Avant 90 90 135 Gauche 90 90 180 en degr s dans l ordre Rotations du graphe en 3D Si le bouton Action Rotation est s lectionn
76. cette ic ne Bug r solu avec Grapher 2 3 dans OS X 10 8 2 5 Bug nr 34 Grapher 2 5 En 3D menu quation gt Animation de param tre la cr ation de vid o ne fonctionne pas Le rem de animation en fonction gt Nouvel enregistrement de l cran s lection par QuickTime Player 10 3 Proposition de correction r tablir la cr ation de vid o qui fonctionne bien en 2D Am lioration l aide de Grapher C est le but de ce document qui j espere facilitera l utilisation de Grapher qui malgr ses bugs reste un outil remarquable et gratuit Souhaitons cependant une suppression rapide par Apple des 19 bugs restant dans Grapher 2 5 67 ANNEXES 68 ANNEXE 1 Ensembles de points du tableur Grapher Un simple Copier Coller suffit Disposition sur les feuilles de calculs 1 coordonn e par colonne 1 point par rang e format des nombres nombre de d cimales signe moins pour les nombres n gatifs pas de s parateur des mil liers notation scientifique autoris e a virgule d cimale est impos e par OS X 10 6 10 9 configur s en francais le nombre de colonnes peut tre sup rieur celui des coordonn es on choisira dans Grapher la colonne affec t e chacune des coordonn es ni cellule ni rang e ni colonne vide l int rieur du tableau et uniquement des nombres sauvegarder le tableau de la feuille de calcul s lectionner et COPIER le b
77. choi t sir pour les ordonn es ce qui permettra finalement deux nuages systeme de points sur le graphe Syst me cart sien Importation des donn es des points d un fichier TXT Colonnes txt xj H Les donn es ci dessus ont t copi es dans des fichiers TXT txt voir les deux figures suivantes sous deux des formats en colonnes et en ligne accept s par Grapher Annuler OK Voir maintenant ANNEXE 1 du tableur Grapher 31 FORMAT EN COLONNES Tab Delimited Text une colonne par coordonn e une ligne par point s parateur de coordonn es par touche tabulation Importation Modifier les points gt supprimez les lignes r glez les colonnes gt Importer gt d cocher S para teurs de colonnes et de rang es utiliser s lectionner le fichier txt Ouvrir On glet Coordonn es gt Syst me cart sien gt affectez la colonne 1 x et la 2 gt gt les 10 points apparaissent sur le graphe FORMAT EN LIGNE points successifs s par s par un point virgule pour chaque point coordonn es dans le m me ordre s par es par un point Importation comme ci dessus mais cocher S parateurs de colonnes utiliser lt et lt pour les rang es eoo 0 50 1 00 1 50 2 00 2 50 3 00 3 50 4 00 4 50 5 00 1 01 1 25 1 18 1 69 1 70 2 00 2 24 2 19 2 71 2 90 Le on6 32 2FR txt 0 50 1 01 1 29 1 1 00 1 25 25 1 1 17 1 50 1 1 1 29
78. d cimal D finitions globales et locales 11 3 4 10 M 3 4 M a 10 D finition globale le param tre est d fini par une quation particu li re exemple a 1 3 4 10 cette d finition peut tre ou non dans un groupe elle s applique toutes les expressions de la liste des quations contenant le D finition locale la d finition du fait partie de l quation qui le contient exemple y bx b 1 1 2 cette quation donnera trois courbes pour b 1 1et2 Un param tre variable ou fonction qui a une d finition globale ne peut pas recevoir en plus une d finition locale Un param tre variable ou fonction qui n a pas de d finition globale peut recevoir M vy bx b 1 1 1 2 une d finition locale diff rente dans chaque ligne d quation b Nota Avant Grapher 2 2 d finitions globales et locales pouvaient cohabiter les d finitions M b locales primant sur les globales Z gt Noms des constantes variables parametres et fonctions a 21 2 Les lettres x y z ro r 0 b sont attribu es aux coordonn es 2D et 3D Les noms des d finitions int gr es menu Aide sont r serv s aux a24B2 E A constantes et fonctions de cette liste Sont disponibles pour des noms de param tres et fonctions les autres y a24B2 Ix lettres le reste de l alphabet grec sauf et A
79. d cimale n est pas accept e dans les exemples 30 seul le point d cimal y est possible Les rem des Pour Grapher 1 1 utiliser le point d cimal cause du rem de prescrit pour le bug nr 6 2 Pour Grapher 2 0 2 5 refaire tous les exemples dans des nouvelles fen tres qui sont corrig es des erreurs de noms de coordon n es et autorisent la virgule d cimale Correction propos e Refaire les exemples 3D dans des nouvelles fen tres voir bug nr 6 Bug nr 22 Grapher 2 0 Lorsqu on enregistre un document 2D ou 3D contenant un groupe vide le fichier GCX ainsi cr ne peut pas tre ouvert le travail effectu est donc perdu Le Ne pas laisser de groupe vide entrer une lettre ou un chiffre suffit dans les documents enregistrer Bug r solu dans Grapher 2 1 2 5 Bug nr 23 Grapher 2 0 Les d riv es et donc les quations diff rentielles d ordre sup rieur 1 ne sont plus reconnues contrairement Curvus Pro X 1 3 2 et Grapher 1 1 qui n avaient pas de limite l ordre des d riv es Le bug existe avec Leo pard 10 5 2 10 5 8 configur en francais ou en anglais Le remede Pas de solution Bug r solu dans Grapher 2 1 2 2 et 2 3 apr s mise jour OS X Lion 10 7 2 2 5 G nial Bug nr 24 Grapher 2 0 En 3D la cr ation d animation par le menu quation gt Cr ation d animation gt Orientation devient impossible d s lors que l on a modifi avec l inspecteur la courbe ou sur
80. d Lecture Pause gt de l animation Annulation R glages de Lecture Pause e Commande manuelle xit de l animation pas pas de l animation de l animation animation Animation QuickTime Cocher l quation choisie ne rien s lectionner puis menu Equation Cr ation d animation r glages Cr er l animati on Enregistrement on obtient un fichier mov qui s ouvre dans QuickTime Vue 3D Avec Grapher vous pouvez aussi tracer des graphes en 3D menu Fichier gt Nouveau gt Nouvelle courbe gt Courbe 3D ou menu Pr sentation gt Passer en affichage 3D ou encore N383 au clavier Exemple Entrer r theta phi qui se change automatiquement en pour obtenir le graphe suivant Pour changer l angle de vue cliquer sur la vue 3D et tirer la souris en pres sant l une des touches suivantes aucune Tourner 2 axes de rotation dans le plan de l cran option Tourner axe de rotation perpendiculaire l cran 4 majuscules Agrandir R duire 86 commande D placer Exporter vos cr ations Copier amp coller Pour copier l image du graphe choississez menu dition Copier sous format s lectionnez TIFF ou PDF ou EPS vous pourrez ensuite la coller sur la page de travail d un autre logiciel Exporter Pour exporter l image du graphe menu Fichier Exporter s lectionnez PDF ou EPS ou TIFF ou JPEG la r solution dans ces deux d
81. d une quation diff rentielle et d autres proc dures sauvegarder fr quemment votre travail au fur et mesure de son avancement les anomalies dues aux bugs nr 1 et 2 et comment les corriger syntaxe des quations diff rentielles modifier la valeur d un param tre utiliser des expressions valeurs multiples lire les coordonn es d un point sur une courbe celles de l intersection de deux courbes trouver les racines d une fonction la d river l int grer calculer une int grale d finie Cette lecon comporte des rappels et des redites qui peuvent vous irriter mais rappelez vous que lt L NSTRUCTION TRIOMPHE PAR LA R P TITION gt Le probl me Tracer les courbes repr sentatives de solutions d une quation diff rentielle du second ordre lin aire coefficients constants sans second membre dir hag la forme est 2 y 4 zy rs 0 y y x et x 0 conditions initiales pour 0 0 0 et y 0 pour 0 5 et o 0 et 5 Comparer les solutions num riques de l quation diff rentielle aux solutions alg briques s sont pour w z 0 y 0 coscox4l m 7 zo SINX et pour w 0 y r y 0 0 y T I i Optimiser les solutions num riques en r glant le pas dans les m thodes d Euler et Runge Kutta Se r server la possibilit de modifier les param tres et conditions initiales de l quation diff rentiel
82. d une matrice 3x3 das 1 0 N AN N AN a N AN A LNS ve 1 LNS 0 1 sN AN 4 N AN aN AN 9 1 a a4 Cas d une matrice 3x1 Zu 0 0 Asa 0 1 0 a N A 9 l a Cas d une matrice 2x1 du N A l a N A 0 a AN AA du 4 N 0 1 N 0 AN 0 l AN Cas d une matrice 3x2 di 0 1 0 AG Xe N 0 1 0 0 l 31 432 N AN N AN N AN a N AN a N AN a N AN Cas d une matrice 2x3 1 ll 12 13 N 0 1 0 45 4 0 0 1 a N AN a N AN a N AN N AN a N AN a4 N AN Syntaxe des matrices dans Grapher Cr ation de matrices matrices 2x2 3x3 2x1 3x1 op rateurs de la palette d quation compl ter les l ments peuvent tre r els ou complexes num riques ou litt raux constants ou variables expressions simples ou compliqu es matrices 1x2 1x3 par transposition de matrices 2x1 et 3x1 matrices 2x3 3x2 par produits de matrices 2x1 X 1x3 et 3x1 X 1x2 utilisables comme exemples seulement car on ne peut pas choisir tous les l ments 5 variables pour trouver 6 valeurs d l ments Utilisation des l ments des matrices matrices sous forme d op rateurs de la palette d quations ils s
83. du graphe gt Restauration du graphe N cessaire apr s redimensionnement de la fen tre ou ouverture d un fichier GCX cf bug nr 1 amp 2 voir chapitre Initiation Lecon 4 page 21 Ouverture d un fichier GCX et Modification de la fen tre de travail Formats des axes grilles et cadre du graphe Nous avons notre disposition En 2D Les outils voir chapitre Initiation Lecon 1 page 9 Les outils Menu Format gt Syst me de coordonn es Lin Log etc gt Disposition gt Marges et Arri re plan gt Axes et grilles et cadre Menu Pr sentation gt Limites du cadre et doublures des outils Les Inspecteurs de chacun des axes grilles et cadre Consulter aussi le chapitre Initiation Lecon 1 page 9 R glage fin des limites du cadre Lecon 2 page 11 R glage des axes et des limites du cadre page 12 Personnalisation des axes page 13 Personnalisation du cadre Lecon 3 pages 15 amp 16 Cadre pour le graphe et marges minimum page 17 Choix des chelles et gra duations des axes Voir le bug nr 2 En 3D Les outils menus Format et Pr sentation Inspecteurs comme en 2D Voir galement Chapitre Initiation Le on 5 page 28 lt Personnaliser axes cadre et arri re plan du graphe gt 29 lt Mise en page du graphe 3D o9 Personnalisation des courbes sur
84. e axe Ox galis sur Oy axes cadre et grilles A 2801 H 555 pt Ov 3 3 apparents Entrez les quations et commentaires de la figure Personnalisez l ellipse r solution minimum largeur de trait 2 0 couleur Apple Rouge Rotation d une ellipse Animation Enregistrez fr quemment votre travail lt Lecon5 2D gt uree h s DAP 100 Fen tre d animation 20 chantillonnage 5 0 ips Nombre d images 30 Ouvrez la par menu Equation Cr ation d animation Elle montre trois zones Param tre Animer Valeur initiaie Valeur finale T la premi re r gle la s quence Quick Time point d cimal obligatoire dans cette zone la suivante donne la liste des param tres de la liste f des quations condition bug nr 27 qu ils aient une d finition globale qu ils ne soient pr c d s dans la liste par au cune ligne comportant le triangle jaune danger qu ils ne soient pr c d s dans la liste par au cun groupe a troisi me zone permet divers types d animations Limites du cadre Dans la liste des quations nous avions mis intentionnelle Zoom avant Zoom arri re ment les commentaires la fin x gt 0 Il y a quatre param tres mais un seul est utilis dans une Facteur 0 quation de courbe et donc capable d animer un graphe Animations possibles en 2D 9 Co
85. e on 3 pages 18 4 19 lt Affichage automatique sur le graphe de valeurs volutives de param tres gt lt Autres objets plac s sur le graphe gt Lecon 4 page 24 Personnalisation du graphe Objets attach s au champ r el ou non Les objets ajout s sur le graphe peuvent tre attach s au champ r el ou non selon que l on a coch ou non la case ad hoc de l inspecteur Objet non attach au champ r el C est la situation par d faut case non coch e II garde une taille fixe et ses distances aux c t s haut et gauche du champ marges comprises du graphe restent constantes quand on modifie axes chelles marges dimensions du graphe taille de la fen tre etc Ces caract ristiques sont sauvegard es lors de l enregistrement et les objets retrouvent leurs places et tailles apr s ouverture du fichier gcx et restauration des longueur hauteur et chelle Oy du graphe bugs nr 2 Objet attach au champ r el Pour cela cocher la case de l inspecteur II garde une taille fixe et un point pr cis de cet objet garde constantes ses coordonn es x y lors des d placements des axes et des modifications d chelles des coordonn es Le point fixe de l objet est pour une fl che sa pointe et peut tre choisi pour les autres en d placant avec la souris la cible ronde dans le carr de l inspecteur en particulier bords ou coins Les modifications de la fen tre de travail de la taille et des
86. e d quation qui vous fournit divers symboles et aussi tout l alpha bet grec minuscules et majuscules Choix des chelles et graduations des axes Valeurs gt 0 250000 5 000000 Valeurs 3 000000 3 000000 Marques de qraduation Marques de graduation Menu Format gt Axes et grilles gt Axe des Ajuster automatiquement Ajuster automatiquement abscisses gt Modifier gt affichez les valeurs T T HOS prex Mia x i Principales 0 5 unit s Principales 1 0 unit s indiqu es dans figure faites m me pour l axe des ordonn es seconde fi Secondaires 4 par marque principale Secondaires 4 par marque principale gure terminez par un clic sur le graphe pour d s lectionner l axe Position Position Automatique 4b Automatique 17 Animation du param tre t Commencez par v rifier le bon d placement de la courbe en augmentant la valeur du param tre t on avait entr t 1 entrez successivement 1 1 1 2 1 3 la courbe se d place vers la droite c est bien le but recherch Notez que le param tre t n est toujours pas anim et donc pr c d d un cercle vert dans la liste des quations Animez le param tre t S lection clic du param tre dans la liste des quations gt menu quation gt Animation de param tre gt apparition du bandeau d animation et remplacement du cercle vert par un triangle noir devant le parametre dans la liste des quati
87. e d images 10 WEE EE La seule animation 3D possible par ce moyen est celle obtenue avec l onglet Orientation de la fen tre Animation reppr sen t e ci contre Cf bug nr 16 eme Animer Valeur initiale Valeur finale E D i e Les deux images r duites du graphe ob issent aux commandes de mises en page de ce dernier et permettent de construire une animation en choisissant deux vues diff rentes Cr er l animation puis partir de Grapher 2 5 nommez et enregistrez l animation comme fichier QuickTime mov avant Grapher 2 5 fen tre d essai de l animation gt enregis trement ventuel en fichier Quick Time mov R duire agrandir Limites du cadre BS Initiale Finale En 3D les animations de param tres sont possibles par la proc dure menu Equation Animation de param tre dej tudi e en lecon 3 pour les graphes 2D Utilisez l onglet Orientation choississez images initiale et finale cr ez votre animation testez la enregistrez et visionnez le fi chier Quick Time dans cette application comme dans la vue ci dessous F licitations Vous avez appris une autre facon de cr er des animations et surtout utiliser Grapher en 3D Vous en connais sez maintenant beaucoup sur cette application cependant n oubliez pas les nombreux bugs de Grapher et relisez souvent le chapitre qui les d crit 30 Lecon 6 T
88. e de r gression de x par rapport y a est le coefficient du m me nom personnali sez la largeur 2 0 couleur Apple Vert sur le graphe les deux droites de r gres sion sont tr s voisines proches galement de la droite des Courbes avant er reurs al atoires S lectionnez l ensemble de points r tablissez l affectation normale des colonnes 1 x et 2 y Calcul du coefficient de corr lation lin aire entre x et y 4 gt lt _ gt L 801 H 555 pt Oy 0 3 5 Y Courbes avant erreurs al atoires 04x 0 75 2 8 59 TX 6 X Droite de egression r gression de y par rapport x 0 a 0 414909 b 0 746000 r gression de x par rapport y x a y b a 2 324643 b 1 636602 coefficient de corr lation 0 414909 2 324643 0982097 Regression Parabola oa valeur absolue est la racine carr e du produit des coefficients de r gression de y par rapport x et de x par rapport y plus il est proche de 1 meilleure est la corr lation Faites le calculer par Grapher en vous inspirant de la liste des quations ci dessus ENREGISTREZ FR QUEMMENT VOTRE DOCUMENT Voici quoi doit ressembler votre graphe maintenant avec les points et les deux droites de r gression Nota les r sultats fournis par Grapher pour les deux droites de r gression ont t v rifi s par calcul manuel les valeurs des a b leurs carts types x son
89. e la valeur ou le nom du champ x dy Z Champs vectoriels En 2D les d finitions possibles les sont des fonctions de x y r 8 sont A 5A et Ax Ay Ar implique que la seconde coordonn e est nulle S lection dans la liste d quations gt menu quation gt valuation gt choisir les entr es gt touche Retour gt lire les sorties gt affichage optionnel du vecteur la position choisie Les entr es sont les deux ou la coordonn es qui suivent le signe A Les sorties sont les composantes coordonn es de la d finition du champ leurs d riv es premi res par rapport chacune des coordonn es des entr es la norme module norm et la divergence div 56 En 3D les d finitions possibles sont semblables celles en 2D soit d finition des trois coordonn es dans l un des trois syst mes Ax Ay Az Aro Az Ad soit d finition par une seule Ax Ay Az Aro Ar La proc dure est la m me S lection dans la liste d quations menu quation valuation choisir les entr es touche Retour lire les sorties gt affichage optionnel du vecteur la position choisie Cas trois coordonn es X m Ss r les sont des fonctions de x y Z r 0 E E s m lange de coordonn es autoris Z gie 7 oi Les entr es sont alors les trois coordonn es suivant les signe A les sorti
90. ecteur R glages pour les solutions de l quation diff rentielle W Droite Dans la liste d quations cochez et s lectionnez d un clic la solution alg Droite p s brique en cosox et sinwx ouvrez l Inspecteur choississez la r solution la plus basse donnant une courbe correcte cliquez la fl che circulaire apres Y Courbe chaque modification dans la partie Courbe voir fen tre ci contre R solution Basse 7 lev e Cochez la version w 5r 15 709 de l quation diff rentielle et s lec plaisantes G tionnez la d un clic avec un clic sur le fond du graphe les deux courbes conunues solutions num rique et alg brique apparaissent clairement elle devraient se Domaine d int gration Couleur p superposer parfaitement mais on peut am liorer le calcul de la solution num rique en ouvrant l Inspecteur apr s res lection de la courbe w 15 709 d Dans sa partie inf rieure lt quation diff rentielle gt vous pouvez choisir la Zeen m thode de calcul Euler ou Runge Kutta d ordre 4 et le pas de progres 7 Droite sion le pas est 0 01 essayez d autres valeurs 0 1 0 05 0 001 0 0005 cli 54 Droite V quez chaque fois le cercle fl ch Runge Kutta d ordre 4 et pas de 0 001 donnent une bonne superposition des deux courbes W quation diff rentielle Faites les m mes r glages avec la solution w et la seconde solution al I Rcs Int grate
91. enant Historique historique Pourquoi pas Journal de bord journal de bord pour plaire aux marins plut t qu aux historiens Bug r solu dans Grapher 2 1 2 5 Bug nr 14 Curvus Pro X 1 3 2 Grapher 1 1 2 0 2 5 En 2D lt Animation de param tre gt Dans une nouvelle fen tre 2D fen tre secondaire lt Nouvelle courbe gt Courbe 2D gt cr er une courbe anim e par un para ne pas lancer l animation Avec l outil D placer main changer la place des axes et grilles la courbe fixe suit les axes Lancer l animation m me man uvre la courbe anim e ne suit plus les axes mais reste li e au cadre du graphe Arr ter l ani mation man uvre encore la courbe fixe saute sa place normale sur les axes Enregistrer le graphe le rouvrir les effets ci dessus n existent plus Le rem de Inutile Proposition de correction Conserver cette curiosit Bug nr 15 Grapher 1 1 2 0 2 5 En 2D menu quation Cr ation d animation Les animations de l onglet R duire agrandir zooms divers n animent que les axes et grilles mais pas les courbes trac es qui restent parfaitement stables Ces types d animations sont sans int r t dans ces conditions Cela fonctionnait parfaitement dans Curvus Pro X 1 3 2 les effets de zoom portaient sur axes grilles et courbes Proposition de correction restaurer ces fonctions d animations Bug nr 16 Grapher 1 1 2 0 2 5 En 3D menu qua
92. ent original apr s l ouverture du fichier gcx de votre travail sauvegard ou si vous modifiez les dimensions de la fen tre sur laquelle vous travaillez 13 amp amp M M M M M M M M M M M F licitations partir de maintenant n h sitez pas modifier les diff rentes propri t s des objets en utilisant les inspecteurs ho 1 2 Vo 2 2 g 981 L 801 H 555 ptOy 0 3 Chute des corps l Yy ho vox ho 1 Vo 2 ho 2 Vo 2 ho 1 Vo ho 2 Vo ho 1 vue ho 2 0 ho 1 wues ho 2 ho 1 Vo 2 ho 2 Vo 2 h m altitude h ho vot gt g hy let2m W 2 1 0 1 2ms 14 Lecon 3 Cr er une animation Animation de Dans cette lecon vous allez apprendre comment cr er en 2D une animation et diverses proc dures dimensionner un graphe avec pr cision pour le copier coller dans TextEdit ou autre application entourer le graphe d un cadre en minimisant les marges ins rer des textes sur le graphe et choisir police et taille des caract res glisser d poser sur le graphe depuis l diteur d quations des textes quations parametres afficher en temps r el sur le graphe des valeurs de param tres calcul es dans Grapher animation de param tre cr er une animation Quick Time revoir quelques proc dures pratiqu es dans les lecons pr c dentes Le probl me
93. ent sur le graphe Pour supprimer une quation de la liste non utilis e ailleurs la s lectionner en la cliquant puis touche Retour arri re Les outils R glage grossier des limites du cadre minima et maxima des abscisses et ordonn es Les outils sont accessibles par la barre d outils le menu Pr sentation et des raccourcis clavier pour cinq d entre eux e O O 7 a X Si Action Zoom avant Zoom arri re Centrer l origine Eqgaliser les axes De gauche droite Fl che ou 881 outil de s lection Main ou 952 outil de d placement du graphe par glisser d poser Loupe 9o ou 383 outil de r duction agrandissement Le s lectionner le placer sur le graphe au point choisi pour rester fixe dans la fen tre 1 clic grossissement multipli par 2 1 clic avec N grossissement divis par 2 Bouton Zoom avant Loupe Agrandir 1 clic ou grossissement du graphe multipli par 2 Bouton Zoom arri re Loupe R duire 1 clic ou 98 grossissement du graphe divis par 2 Bouton Centrer l origine 1 clic ram ne l origine des axes au centre du graphe Bouton galiser les axes 1 clic rend l chelle des ordonn es gale celle des abscisses 1 clic avec rend l chelle des abscisses gale celle des ordonn es Utilisez ces moyens pour le graphe en cours de r alisation dans cette lecon R glage fin des limites du cadre M thode 1 Menu Pr sentati
94. erniers cas et le taux de compression JPEG Menus contextuels Clic droit ou ctrl clic gauche sur un objet peut ouvrir un menu contextuel Par exemple sur une quation il vous est pro pos Copier sous format TIFF ou PDF ou EPS ou Texte Copier l expression LaTeX Initiation Lecon 1 Cr er un document Dans cette lecon vous apprendrez cr er un document 2D et comment repr senter une s rie de fonctions de Bessel Vous apprendrez aussi comment inclure une l gende et comment changer les attributs de diff rents objets Ouvrir la fen tre de Grapher M thode 1 Lancer Grapher fen tre Nouvelle courbe Courbe 2D Choisir le modele S lectionner M thode 2 Grapher tant en fonction menu Fichier Nouveau fen tre Nouvelle courbe Courbe 2D Choisir le mod le gt S lectionner ou raccourci clavier amp gt fen tre Nouvelle courbe gt etc M thode 3 Grapher tant en fonction menu Fichier Ouvrir ou Ouvrir l l ment r cent choisir etc M thode 4 Double cliquer sur l ic ne d un fichier GCX gcx de Grapher M thode 5 Menu Exemples Cliquer un exemple 2D On prend ici la m thode 1 avec le mod le Default Mise en place de la fen tre Placer la fen tre convenablement sur l cran Pour modifier la fen tre approximativement bouton vert du coin sup rieur gauche plein cran taille normale poign e
95. ersonnalisez la courbe largeur 2 0 couleur Apple Rouge Trait Cris Parabole de r gression y ao a x a x ag71 892500 1 134440 0 270151 L quation de la courbe de r gression figure mainte nant dans la liste des quations comme sur cette figure Voici le graphe correspondant avec les points et la parabole de r gression En cochant la deuxi me quation de la liste vous pouvez comparer cette parabole avec celle qui a servi de base pour le calcul des points elles se rapprocheraient davantage si ceux ci taient en plus grand nombre est possible de proposer au calcul de r gression par Grapher une quation personnelle avec une liste de coefficients Les ensembles de points existent aussi en 3D avec calculs de surfaces de r gression Dessiner avec les ensembles de points ILE Coordonn es Systeme Ajouter Supprimer Y L option lt Polygone gt de l Inspecteur des ensembles de points lorsqu elle est coch e Syst me polaire S J relie les points entre eux dans leur ordre d inscription sur leur tableau de donn es Les angles polaires ont t entr s sous la forme lt n rt 3 gt avec n entier de 6 soit 1 de plus pour fermer la figure Pour obtenir rt au clavier taper lt NP gt Colonnes p Pi 9 21i Colonne 1 3 000000 3 000000 3 000000 3 000000 3 000000 3 000000 3 000000 Colonne 2 0 000000 1 047
96. es Essai de l animation Clic sur le t dans la liste des quations gt dans le bandeau d animation clic sur le bouton de droite gt entrez les r glages affich s sur le graphe avec la souris d placez le curseur vers la droite contr lez l effet sur le graphe en particulier v rifiez que le dernier pas et le retour au d part font avancer la courbe de la m me longueur sans saut anormal Clic sur le triangle du bandeau pour lancer l animation autre clic pour l arr ter Cr ation d un fichier Quick Time ZE Clic sur le bouton lt Cr ation de vid o gt du bandeau d animati R Vmin 9 3500001 De glages de voan 2 565909 on d ou l animation ENS parti 40 000000 partir de Grapher 2 5 gt Nommez et enregistrez dans la 0 056818 fen tre pop up l animation en fichier QuickTime mov qui s ouvre dans cette application avant Grapher 2 5 une animation interm diaire s ouvrait dans Grapher que l on pouvait ou non enregistrer en fichier Quick Time F licitations Vous avez eu le calme et l opini tret n cessaires pour arriver jusqu ici vous venez de cr er votre premi re animation tout en m morisant je l esp re un grand nombre d informations sur l utilisation de Grapher en 2D Encore un grand bravo 19 Lecon 4 quations diff rentielles pour Grapher 2 0 voir Annexe 2 Dans cette lecon vous apprendrez repr senter en 2D les solutions
97. es sont les trois composantes de la d finition la norme module la divergence et les d riv es partielles premi res des trois composantes de la d finition par rapport chacune des trois coordonn es des entr es Cas une coordonn e Les sont des fonctions de x y z ro r 8 m lange de coordonn es autoris Noter que Az seul implique les coordon n es cart siennes et que seul les coordonn es cylindriques dAx dAx dAx Ax implique Ay Az 0 entr es x z sorties Ax norm div dx dy dz dAy dAy dA Ay implique Ax Az 0 entr es x z sorties Ay norm div p dx dy dz dAz dAz dAz Az implique Ax 0 entr es x y 2 sorties Az norm div dx dy dz dA d dA Ar implique Az 0 entr es r 6 2 sorties Ar norm div 2 dr dO dz dAO dAO A0 implique Ar Az 0 entr es 6 7 sorties norm div dO dz dA Ar implique 0 entr es 0 sorties Ar norm div dr dO implique Av 0 entr es r sorties norm div d de de do valuation num rique des suites Le calcul et l affichage de la ou les valeur du ou des n i me terme d une suite s obtient en modifiant le domaine de l indi ce de
98. esnel Yi aX harmoniques sph riques 3D cosinus int gral Pi X polyn mes de Legendre associ s Bessel sph r sinus int gral Constantes math matiques 3 141 592 653 589 79 Nombre 2 718 281 828 459 05 Base des logarithmes n p riens y 0 577 215 7 Constante d Euler 0 577 215 664 901 533 oo non d fini Symbole de l infini Constantes physiques 2 99792458 8 m s 5 85418782e 12 F m F 9 648456e4 mol G 6 67332e 11 k planck 0 026 2e 34 7 5 1 38072 23 J K boltz 6 022 23 mol R 8 3144 J mol KE U 1 6605655 27 kg u 1 25663706143592e 6 Vitesse de la lumi re dans le vide Permittivit lectrique du vide Constante de Faraday Const gravitationnelle de Newton Constante de Planck Constante de Boltzmann Nombre d Avogadro Constante des gaz parfaits Unit de masse atomique Perm abilit magn tique du vide c ou c 2 997 924 58 8 8 854 187 817 12 9 648 533 65 21 4 G 6 673 84 80 11 6 626 069 57 29 34 k 1 380 648 8 13 23 N ou L 6 022 141 29 27 e23 R 8 314 462 1 75 m 1 660 538 921 73 e 27 4110 H m ou N A Domaines des fonctions trigonom triques inverses Math matiques acos x ou arccos x asin x ou arcsin atan x ou arctan x acot x ou arccot x 2
99. este en cas d expression incorrecte Exemple Suite de Fibonacci 48 Utiliser l diteur d quations a t utilis jusqu ici pour cr er des quations de graphes et des formules calculer peut servir aussi crire de brefs commentaires dans la liste des quations et r diger des expressions math matiques exportables dans d autres logiciels Dans ce dernier emploi il est plus limit que les diteurs d quations habituels une seule ligne la fois un syst me d qua tions ne peut tre repr sent que sous forme matricielle les seuls signes pouvant surmonter les lettres sont des points ni fl che ni barre ni chapeau en contre partie il est tr s facile utiliser gr ce des raccourcis clavier bien con us Ouvrir de nouvelles lignes dans la liste des quations Nouvelle ligne d quation Nombreuses possibilit s raccourci clavier Clic au pied de la liste des quations gt menu contextuel gt Nouvelle quation Menu quation Nouvelle quation N 3N raccourci clavier gt choisir des 20 mod les Clic gt menu contextuel gt Nouvelle quation partir d un mod le gt 20 mod les Menu quation gt Nouvelle quation partir d un mod le gt 20 mod les au choix Dans les trois premiers cas yz est affich dans l diteur d quations dans les trois autres c est une quation compl ter cf bugs 6 amp 19
100. et lt h m altitude gt on avait d coch lt tiquette gt x et y dans les inspecteurs des axes Faites le conform ment au pr sent la fin de cette lecon Attach au champ r el Y Fichier joint Ajout d quations sur le graphe Se fait par glisser d poser depuis l diteur d quations jusque sur le graphe l quation s lectionn e Ces nouveaux objets sont aptes recevoir les commandes du menu Objet ainsi que de l inspecteur et disposent de poign es pour changer leurs formes Ajoutez sur le graphe les quations du probl me donnant h ho vo variable t r glez leur taille leur place et alignez les de di verses fa ons voir le mod le final Pour cela commencez par cr er la nouvelle quation h h t transf rez la sur le graphe puis effacez la de l diteur d quation les deux autres existent d j dans la liste Ne modifiez pas les quations qui ont servi tracer les courbes Autres ajouts sur le graphe Les expressions math matiques cr es dans certains diteurs d quation MathType Equation Editor de Microsoft Office peuvent tre transf r es sur les graphes 2D de Grapher par Glisser D poser depuis la fen tre de l diteur jusqu au graphe Derni re information entrer sur le document Toujours cause des bugs nr 1 amp 2 vous ajoutez en t te de la liste des quations la ligne de texte suivante L 801 555 pt Oy 0 3 ce qui permettra de r tablir le docum
101. etour prenez un nombre d tapes assez grand un pas qui est une faible fraction de la p riode de l onde de plus utilisez la p riodicit pour viter une rupture du rythme du d placement lors du retour la valeur minimale ce retour devant constituer un pas Le groupe calcul des r glages de l animation dans la liste des quations vous montre la m thode de calcul on a pris une valeur arbiraire pour tmin Vmin 0 35 ces valeurs calcul es par Grapher tiennent compte des modifications ventuelles des donn es On va les afficher sur le graphe avec mise jour automatique si elles voluent vous restera entrer ces valeurs dans la fen tre de r glage de l animation de Affichage automatique sur le graphe de valeurs volutives de param tres Vous allez afficher les valeurs de t Vmin Vmax n p la pro c dure est celle ci Nouvelle quation entrer une fois de plus le nom du seul gt s lection dans l diteur d quations gt glisser d poser sur le graphe r gler la taille avec les l poign es gt double clic dessus gt fen tre s lection du pa Ajouter la valeur nota gt la valeur est affich e sur le graphe et sera tenue jour ajuster forme et taille avec les poign es supprimer de la liste des quations le nom du devenu inutile ou le garder dans la liste Remplacer par la valeur Annuler avec sa valeur
102. face SD en la compliquant augmentation de la r solution surface creuse ombres etc De plus lorsque c est arriv une fois la fen tre utilis e est d finitivement inapte toute cr ation d animation Ce bug n existait pas avec Grapher 1 1 Le Pas de solution Bug r solu dans Grapher 2 1 2 5 Bug nr 25 Grapher 2 0 2 5 En 3D menu Fen tre gt Afficher les angles de vue les quatre commandes lt Par d faut Au dessus Avant Gauche et celles cr es sont sans effet Le remede Utiliser la souris et ou l entr e directe des param tres pour obtenir tout angle de vue Proposition de correction restaurer ces fonctions Bug nr 26 Grapher 2 1 2 5 et probablement versions ant rieures Les int grales d finies doubles en 2D ou 3D entr es directement au clavier ou par le menu quation Int gration donnent des r sultats faux sauf cas particuliers de fonc tions constantes ou une seule variable Le Pas de solution autre que le calcul manuel Proposition de correction restaurer ces fonctions Bug nr 27 Grapher 1 1 2 0 2 5 Le menu Cr ation d animation ouvre une fen tre Animation qui donne la liste des param tres utilisables condition 1 qu ils aient une d finition globale 2 qu ils ne soient pas pr c d s dans la liste des quations par une ligne comportant le triangle jaune danger 3 qu ils ne soient pr c d s dans la liste des q
103. faces et points Utiliser les Inspecteurs en particulier les r glages de R solution Densit ou Pas gros consommateurs de Ko par exemple un graphe avec l quation y x donne un fichier GCX pesant 40 Ko en r solution minimum suffisante et 940 Ko en r solution maximum Apr s ces modifications ne pas oublier le clic sur le bouton de mise jour fl che circulaire Menu Format gt Recolorer les courbes s lectionn es Helire aussi dans le chapitre Initiation Le on 1 page 10 lt Modifier l apparence des courbes gt Lecon 2 page 12 Personnalisation des courbes Lecon 4 pages 24 amp 25 Personnalisation du graphe et R glages pour les solutions de l quation diff rentielle Le on 5 pages 28 lt Modifier personnaliser les courbes 3D et surfaces gt Lecon 6 pages 32 amp 35 36 Personnalisation des points et courbes Dessiner avec les ensembles de points Ajout d objets sur le graphe en 2D Proc d s utilisables On peut se servir de Menu Objet gt toutes les rubriques Glisser D poser des quations r dig es avec les diteurs d quations de Microsoft Office AppleWorks Math Type etc Revoir dans le chapitre Initiation Lecon 1 page 10 Ajout d objets sur le graphe Le on 2 page 13 lt Ajout d objets sur le graphe gt lt Ajout d quations sur le graphe gt lt Autres ajouts sur le graphe L
104. ff rentielle du premier ordre lin aire coefficients constants sans second membre 70 ANNEXE 3 Calculs avec les nombres complexes Choix de l unit d angle et ses limitations Grapher Pr f rences Avanc Mode trigonom trique choisir entre degr grades radians L unit choisie est utilis e dans les fonctions trigonom triques directes ou inverses mais pas dans la forme des nombres complexes ni dans les coordonn es angulaires les angles restent toujours en radians Exemples apr s choix de l unit degr e 30 donne une droite de coordonn e angulaire polaire 30 rad soit 81 127 de m me ei est un nombre complexe d affixe r 1 30 rad mais sin30 0 500 et cos30 i sin30 est un nombre complexe d affixe r 1 30 La seule solution pour entrer des angles en degr s dans les deux premiers cas est d afficher rv180 0 Menu Grapher Pr f rences Nombres Partie imaginaire i ou et case cocher lt la fin gt ne concerne que l affichage des r sultats des calculs des expressions complexes constantes Avanc Valeurs angulaires polaires joue aussi sur le calcul de l argument d une expression complexe constante Calculs d expressions complexes constantes Les r sultats sont toujours affich s sous la forme cart sienne a x ib a x bi a x jb ou a x bj Pour en calculer le module utiliser le signe valeur absolue de la palette d qua
105. gt touche Retour Menu quations Nouveau groupe ou ensemble de points qui resteront sans titre sauf celui de la au dessus Bug r solu dans Grapher 2 0 2 5 Bug nr 10 Grapher1 1 et 2 0 La fonction pr d finie de Bessel modifi e de deuxi me esp ce Ka x n existe plus que pour n out Le rem de Utiliser la relation de r currence entre Kn Kn 1 2 pour obtenir les Kn successifs pour nz2 Bug r solu dans Grapher 2 1 2 5 Bug nr 11 Grapher 1 1 L application quitte lorsqu on entre des quations contenant les fonctions d Airy Ai x et Bi x qui ne sont donc pas utilisables Le rem de Utiliser leurs d finitions voir http mathworld wolfram com AiryFunctions html Bug r solu dans Grapher 2 0 2 5 Bug nr 12 Curvus Pro X 1 3 2 Grapher 1 1 2 0 2 5 Sur les fonctions sph riques de Bessel et Dans Curvus Pro les deux donnent le graphe de Wal Dans Grapher 1 1 est nulle pour tous n et x et n est pas reconnue dans les versions 2 0 2 5 les deux fonctions sont reconnues mais nulles pour tous n et x Le rem de Utiliser leurs d finitions voir lt http mathworld wolfram com gt Attention j y et non J Y Proposition de correction Faire le n cessaire Bug nr 13 Grapher 2 0 en francais La cerise sur le g teau Dans la fen tre de choix entre courbes 2D ou 3D le graphe 2D anciennement et justement nomm Log log est appel maint
106. i re et supprimez l espace le proc d est g n ral Cette traduction en grec disparait si on d sactive les raccourcis clavier Bien entendu ces commentaires peuvent utiliser tous signes et symboles habituels des quations Navigation dans l diteur d quation Semblable celle des autres traitements de texte elle utilise en particulier a souris pointeur et curseur e menu dition Annuler R tablir Couper Copier Coller Supprimer la s lection et les touches Retour arri re et Suppr Do pour les modifications et lt 1 raccourcis clavier avec la touche Tab pour naviguer dans les champs des symboles 1 fl ches pour sortir des symboles et naviguer dans les expressions Exporter une quation Trois proc dures S lection dans la liste des quations gt quation dans l diteur gt clic droit ou Ctrl clic dans l diteur gt menu contextuel Copier sous format TIFF ou PDF ou EPS ou Texte Copier l expression LaTex S lection dans la liste des quations s lection dans l diteur menu dition Copier sous format TIFF ou PDF ou EPS S lection dans la liste des quations s lection dans l diteur menu dition Couper ou Copier Dans ce dernier cas et avec les formats TIFF PDF et EPS c est une image de l quation qui est enregistr e dans le presse papier et que l on pourra coller dans une autre application ce fichier d image n est pa
107. il est tr s facile de construire une ver sion pour argument complexe par exemple ecomplex x e complex x MyCOX 5 T puis tracer la courbe y mycosh ix gale cos x Logarithme complexe la fonction logarithme n p rien In x admet un argument complexe exemples r el In 2 0 693147 complexe In 2ei 0 693147 i t Ce n est pas le cas du logarithme d cimal log x r el log 2 0 301030 mais attention l anomalie log 2ei 0 693147 i m comme pour In 2e Exemple de calcul d un gain en dB partir du gain complexe A f en fonction de la fr quence f du signal TI Options du menu lt quation gt pour des courbes x iy f t D river et Int grer ne sont pas en service Recherche de racine n est en g n ral pas possible Int gration gt donne en g n ral des r sultats faux valuation op rationnel et correct en g n ral Recherche d intersection entre deux courbes fonctionne pour les couples d quations x iy f t et yzg x x iy f t et x2g y paire param trique x f t y g t et y h x ou x h y refus e pour des couples compos s d une quation x iy f t avec la seconde du m me type ou implicite ou paire param trique et de deux paires param triques 72 ANNEXE 4 Expressions indic es Recherche d expressions indic es dans Grapher Coefficients des polyn mes de r gression a1
108. ir le champ ou obtenus par les relations approximatives de conversion si les entr es sont Aro Az ou Ar dans ces derniers cas le graphe sera d autant plus erron que le module m du vecteur ne sera plus n gligable devant r POUR DES TRACES EXACTS DE CHAMPS VECTORIELS LES DEFINIR AVEC Ax Az Par contre les valuations num riques du champ en un point sont toujours exactes car calcul es directement avec les relations entr es pour le d finir qu elles soient Ax Az Aro Az ou Noms des coordonn es ils sont fig s dans Grapher Curvus pro X permettait de les changer voir bug nr 6 2 Afficher ou cacher le cadre ou un axe menu Format Axes et cadre cocher ou d cocher Si le cadre cube est en service son Inspecteur permet l affichage de grilles sur ses faces 40 Expressions R gles g n rales de syntaxe des expressions Format des nombres Voir lt Affichage des valeurs num riques gt en fin du chapitre lt Calculs valuations num riques gt Grands nombres limit s 21023 ou 10308 si l exposant est sup rieur Grapher affiche lt non d fini gt Menu Grapher Pr f rences nombre de d cimales suppression des z ros droite notation normale scienti fique ing nieur choix de i ou j et de leur place pour les nombres complexes Aucun s parateur tous les trois chiffres ni point ni virgule ni espace Virgule d
109. iser les trois systemes de coordonn es on peut aussi ajouter dans le dossier d exemples 3D un dossier de modeles de ce type Bug r solu dans Grapher 2 0 2 5 Tout est devenu coh rent avec x y 2 ro 2 b dans les nouvelles fen tres Les exemples utilisent les m mes coordonn es correctes dans 2 0 mais 0 et sont nouveau permut s sauf Toroid et Torus Knot dans Grapher 2 1 2 5 dont il faudra reb tir les exemples dans de nouvelles fen tres Bug nr 7 Grapher 1 1 30 coordonn es cylindriques et sph riques le syst me d axes s affiche incompl tement en pr visualisation fen tre de choix 2D 3D et dans la fen tre de travail Bug r solu dans Grapher 2 0 2 5 Bug nr 8 Grapher 1 1 et 2 0 En 2D dans les r glages des axes permis par l Inspecteur on peut modifier la posi tion du nom de l axe par rapport lui le curseur qui r gle la distance du nom l axe ne fonctionne pas correctement le nom reste toujours du m me c t Cela marchait tr s bien dans Curvus Pro X Le rem de Utiliser l Inspecteur pour supprimer le nom de l axe puis le menu Objet gt Ins rer un texte gt taper le nom de l axe le placer l endroit d sir Bug r solu dans Grapher 2 1 2 5 64 Bug nr 9 Grapher 1 1 On ne peut pas donner de noms aux ensembles de points ni aux groupes Un demi rem de Menu quation gt Nouvelle quation gt supprimer gt taper le titre souhait
110. iv e troisi me de f t 3 5 d finition d une constante g a calcul num rique de f t pour t a y f x ou y g x graphe de la d riv e troisi me de f x d D dt ot Ce format a des possibilit s diff rentes du pr c dent Format n 2 n f t ni gGx e fa dt ox avec l ordre n de la d riv e sous forme litt rale on peut tracer les graphes n 0 1 2 3 d finition de la constante n n aucune d finition de fonction n est possible du type g t y f x limit la d riv e troisi me n 3 dx avec l ordre de la d riv e sous forme num rique on peut tracer les graphes d d d d f x y f x f x f x avec f x y mil y SC X y ES y dx X X ar exemple 2520 F i Application s rie de Taylor de In x centr e sur a limit e aux 4 premiers termes em UR x a D x a a 11 a TH a Ind terminations dans Grapher x 1 2 xS 4 Jm i o 5 0 20 22 00 non d fini 2 09 1 76 uaejD moys AJjensn seoaid pesodejxnl BJ A S eoeuns o9juesoJdoi s sosodejxn xneeo40uu avens 27 Io e 51 Q uluis 6 z Qu zu 0 n 0 n n 6 q e 51 95 1 Qu nuis IS uz 0 ER 502 IS
111. l quation diff rentielle z 1 705 y les indices prime et seconde sont les guillemets oscillations amorties et croissantes anglais double ou simple apostrophe du clavier a 5 les espaces facultatives ajout es avant et apr s les d pO signes pour plus de lisibilit f cosoy sino SYNTAXE D UNE QUATION DIFF RENTIELLE A critique Sr E L expression la d finissant est en trois parties w pu 5 l quation elle m me les conditions initiales le domaine choisi pour la variable La forme de l quation est d riv e d ordre le plus lev z fonction du reste ce reste ne contenant que des d ri v es d ordres inf rieurs la fonction la variable les Personnalisation du graphe Variable Ajustez l chelle sur de 0 domaine choisi pour la variable ku EL menu Format Axes et grilles etc figure ci contre Avec les Inspecteurs choississez pour les courbes de l quation diff rentielle couleur Apple Noir largeur de trait 2 0 et pour celles des solutions Ajuster automatiquement alg briques couleur Apple Rouge trait de 2 0 galement il est possible de s lectionner plusieurs quations pour des r glages communs si vous s lec tionnez la ligne d une quations multiple ici l quation diff rentielle Secondaires 4 par marque principale toutes ses versions le
112. le pour examiner des fins didactiques l volution des solutions Pr paration du document Vous allez choisir un graphe avec marges d un demi inch 12 7 mm format A4 disposition Paysage de la dimension maxi mum compatible avec votre imprimante et le sauvegarder aussit t Voici la proc dure Menu Fichier Nouveau Nouvelle courbe Courbe 2D Margins S lectionner Agrandissez suffisamment la fen tre bouton vert ou tirette du coin inf rieur droit Menu Format gt Disposition gt Taille gt Personnalis e gt entrez L 801 et H 555 pt gt OK Faire une deuxi me fois cette op ration Menu Format Disposition Marges passez en unit s pt vous devez lire 36 pt 72 pt par inch Notez L et H en pt voir bugs nr 1 amp 2 Dans mon cas avec Grapher 2 1 2 5 2 801 H 555 pt donnent la taille maxi mum du graphe sur feuille A4 apr s impression Paysage 100 de m me avec L 555 H 801 pt Portrait 100 95 Nota 1 On peut aussi utiliser Format de papier au lieu de Personnalis e ou ne pas modifier la fen tre par d faut vous de voir 2 La taille du graphe sur l cran est 1 pixel par point de L et H Pr r glage des chelles des axes Menu Format Axes et grilles Axe des ordonn es Modifier entrez 2 2 d cochez 0 5 4 Automatique OK Axe des abscisses Modifier entrez 0 5 5 d cochez 0 5 4 Automatique OK Barre d
113. loc de donn es cellules transf rer dans Grapher Dans Grapher Ensemble de points Modifier les points s lectionner et supprimer touche Retour les donn es par d faut ou p rim es menu dition COLLER OK On peut copier coller les donn es en plusieurs tableaux successifs il entreront les uns la suite des autres dans l ensemble de points Nombre maximum de donn es inconnu on a d j essay plusieurs milliers de points avec succes De l ensemble de points de Grapher au tableur m me proc dure COPIER COLLER vers un bloc de cellules s lec tionn es dans la feuille de calcul Autres m thodes et formats de fichiers Avec Grapher 2 1 2 5 et OS X configur s en francais la virgule d cimale est obligatoire dans ces fichiers AppleWorks 6 2 9 Menu Fichier gt Enregistrer sous gt Texte ASCII gt titre destination ajouter l extension lt txt gt gt Enregistrer NB Les virgules d cimales sont devenues des points Ouvrir le fichier dans TextEdit Menu dition Rechercher Rechercher Rechercher virgule Remplacer par point gt Tout remplacer Enregistrer le fichier modifi avec l extension txt Excel Microsoft Office 2004 2008 et 2011 Enregistrer sous gt Texte s parateur tabulation gt titre destination gt Enregistrer NB On peut aussi Enregistrer sous CSV fichier csv puis modifier l extension csv en
114. lors de la saisie AFFICHER LES D FINITIONS INT GR ES Menu Aide Afficher les d finitions int gr es Voir liste et commentaires dans le chapitre Utiliser l diteur d quation PR F RENCES DE GRAPHER Zeg 31 du Menu Grapher Pr f rences Equations Nombres Avanc Police et taille par d faut Tailles relatives Symboles L onglet quations permet de modifier les tailles relatives NT S A symboles fractions exposants indices limites 55 y n Fractions Exposants Limites Pensez d cocher Variables en italique au moins quand SU vous entrez des lignes de texte dans l diteur d quation Variables en italique 22 2 Nombres Ze L t g L quations Nombres Avance L onglet Nombres pr cise le nombre de d cimales notation Goes scientifique ou ing nieur le choix i ou j pour les nombres com S SE plexes Supprimer les z ros droite 2 718282 0 014000 Notation 3 200000 4 Notation scientifique Utiliser M 16 4 Valeur personnalis e 3 1415926 R sultat affich 3 141593 Nombres complexes Partie imaginaire IM A a fin Complexe 2 000000 2 0000001 L onglet Avanc permet des r glages de la pr cision des calculs z z pz Avanc d autres pour l int gration num rique le choix de l unit d angle
115. mbre de colonnes sup rieur ou gal au nombre de coordonn es affectation d une colonne Ajouter Supprimer chaque coordonn e syst me de coordonn es au choix voir figures ci contre Colonne 1 Colonne 2 Colonne 3 0 500000 1 010000 1 290000 S 1 000000 1 250000 1 170000 L Entr e manuelle des donn es des points 1 500000 1 180000 0 870000 2 000000 1 690000 0 610000 Cliquez sur l ensemble de points le premier dans la liste 2 500000 1 700000 0 780000 des quations Modifier les points Points s lection 3 000000 2 000000 0 820000 nez les lignes existantes utilisez les touches amp ou 36 gt 3 500000 2 240000 1 160000 effacez les touche Retour arri re gt OK ce qui efface les 9 090009 2 299050 790989 points lt d faut gt sur le graphe 399999 Re m n 5 000000 2 900000 2 910000 Modifier les points gt Points gt avec les menus contex tuels Ajouter et Supprimer cr ez les nombres de lignes ici 4 10 et de colonnes 3 correspondants au nombre de Importer Exporter points et celui de leurs coordonn es Par double clic sur chaque nombre entrez les valeurs du tableau ci contre Onglet Coordonn es Syst me cart Annuler sien affectez la colonne 1 x et la 2 y OK les 10 points apparaissent sur le graphe Vous avez entr 30 coordonn es pour 10 points en trois co Points lonnes la premi re pour les abscisses les deux autres
116. ment sur la page de TextEdit le graphe y entre juste c est vrai aussi avec Pages sans toucher aux poign es de d formation et sur les pages imprim es Conclusion Pour obtenir des dimensions tr s pr cises des graphes entrez les en points pt 1 mm 72 25 4 pt eoo Lecon3MaxCopColTextEdit rtfd 5 Hehweticz J Normal 12 Lei s JI b b gt c b 10 2 14 8 10 12 14 16 18 20 La figure ci contre montre que les dimensions du v 0 350000 graphe ont t correctement calcul es il entre 4 R glages de usd 2 565909 exactement entre les marges de la page de Text mui l animation amp 4 000000 Edit qui sont indiqu es par les rep res de tabu p 0 056818 lation sur la r gle 16 Entrer les quations L 451 H 306 pt Marges 3 pt Oy 3 3 T i T Simulation d ondes progressives De haut en bas et de gauche Proc dure choisir f puis r gler l animation 2 Param tre animer droite on peut lire COR ot selon les valeurs affich es sur le graphe E la taille en pt et 440 P E les minimum et maximum de D finitions gt 0 Acos 2 Y l chelle des ordonn es toujours cause des bugs nr 1 amp 2 ici x distance depuis la source m t temps ms Calcul des r glage de l animation u gt P P PP jP P P P P SIAS 0 35 on a ajout la largeur des fr quence Hz
117. mmencez par choisir la taille de la fen tre Quick Time puis dur e chantillonnage nombre d images deux de ces trois Annuler nombres Ensuite choississez une ou plusieurs des animations suivantes Cocher un ou plusieurs param tres gt entrer valeurs initiales et finales Zoom avant ou arri re avec facteur pour zoom g n ral Zoom sur les chelles des abscisses et ou des ordonn es facteur 96 choisir terminez par clic sur Cr er l animation partir de Grapher 2 5 gt Nommez et enregistrez l animation en fichier QuickTime mov avant Grapher 2 5 une animation interm diaire s ouvrait dans Grapher que l on pouvait ou non enregistrer en fichier QuickTime TT Bug nr 15 les animations en 2D par Zoom n ont d effets que sur les axes et les grilles les courbes trac es restent parfaitement stables sauf si une animation par est configur e en l tat actuel de Grapher ces animations par Zoom sont sans int r t Essayez quand m me les diff rents modes d animations en vous aidant des donn es lues sur la figure 27 Ouverture de la fen tre 3D M thode 1 En partant d un document 2D gt menu Pr sentation gt Passer en affichage 3D gt supprimer toutes les quations gt menu Format gt Mod le de courbe choisir un mod le de graphe gt Appliquer M thode 2 Menu Fichier gt Nouveau gt Nouvelle courbe gt Cour
118. n tre en tirant sur son coin inf rieur droit et constatez vue et par le menu Format gt Disposi tion gt Taille gt Personnalis e gt que L et H ont chang mais l chelle des ordonn es non Pour r tablir le document appliquez une proc dure voisine de celle du paragrahe pr c dent Menu Format gt Disposition gt Taille gt Personnalis e gt entrez 801 et 555 pt gt Une seule fois suffit dans ce cas Remarque Si vous avez utilis lt Format de papier gt au lieu de lt Personnalis e gt pour r tablir le graphe remplacez lt entrez L 801 et H 555 gt OK gt par lt Format de papier gt OK gt r p ter Voici une vue de la fen tre de travail de Grapher telle qu elle doit se pr senter au stade actuel de vos travaux bien que n ta nt pas l chelle un cette image donne une bonne id e des tailles respectives des trois champs que vous utilisez la liste des quations l diteur d quations le graphe eoo Sans titre S a Si Action Zoom avant Zoom arri re Centrer l origine galiser les axes Inspecteur 12801 555 Oy 2 2 Editeur d quations x 21 Syntaxe des expressions La syntaxe utilis e dans Grapher pour crire les expressions math matiques est expos e en d tail dans le chapitre lt Expres sions en donner un premier apercu est le but de ce paragraphe Configuration test e ici iMac MacBook Pro
119. n logiciel de repr sentation graphique d quations concu sp cialement pour Mac OS X Il peut repr senter les relations math matiques suivantes e quations explicites ou implicites Courbes et surfaces param triques Solutions d quations diff rentielles Suites discr tes Champs scalaires et vectoriels In galit s et quations bool ennes Ensembles de points Grapher offre une interface conviviale permettant de cr er rapidement des graphes de qualit professionnelle De plus il pos s de des outils suppl mentaires tels que valuation et int gration Animation Courbes de r gression etc Interface utilisateur intuitive eoo Parametric Curves gcx 5 3 d Q Action Zoom avant Zoom arri re Centrer l origine galiser les axes 12801 555 pt Oy 2 5 4 5 Global Definition of a Parameter tz0 2x cos3t 2 1 3cos3t M X 3 sint y Local Definition of a Parameter M x 4 5 u cosu His 39 ma 9 0 10 y Barre d outils Utilisez la barre d outils pour s lectionner l action du curseur changer les limites du cadre montrer les inspecteurs etc Pour personnaliser la barre d outils menu Pr sentation gt Personnaliser la barre d outils Liste des quations Elle montre la liste de toutes les expressions math matiques ou de texte entr s par l diteur d quations des groupes et des ensembles de points
120. ndition initiale pour x 0 0 f pour 7 0 5 et 0 0 et 57 X sin 0 pour Z0 mm X X et pour 0 0 fe 1 2 T Page 24 Entrer les quations du probl me remplacer le paragraphe par Faites le conform ment la liste des quations de la figure qui comporte taille du graphe et chelle Oy cf bug nr 1 amp 2 2 1 801 H 555 pt Oy 2 2 titre du document Equation diff rentielle du ler ordre quatre groupes titres v Donn es deux lignes de commentaires suppl mentaires 5 trois quations pour les valeurs des param tres e w 0 5 W l quation diff rentielle les deux valeurs de o qui la suivent seront _ condition initiale 0 inscrites par Grapher automatiquement 3 f deux quations classiques CS y x quation diff rentielle solutions num riques COSQX M osinox y 0 f 0 M 920 000000 M 0 15 707963 YSolutions alg briques A oscillation amorties ou croissantes E S SIDC X _ y fe T COS0 X AC 97 critique Page 26 remplacer le graphe final par le suivant Pratique de la le on 4 Le reste du texte de cette le on est inchang les courbes obtenues sont les m mes vous pouvez la mettre en pratique avec profit car elle donne de nombreuses ex plications en plus de l utilisation des quations diff ren tielles quation di
121. normale Menu Format gt Disposition gt Taille entrer les dimensions L et H d origine si possible du graphe faire deux fois Menu Pr sentation gt Limites du cadre entrer les valeurs minimum et maximum des ordonn es voir bug nr 2 Noter ces valeurs L H ymin et ymax dans une fausse equation en t te de la liste des quations voir bug nr 27 Enregistrer le fichier modifi Nota 1 Il arrive que les courbes de certaines quations ne s affichent pas apr s la modification d extension l enregistrement du fichier restaur r sout ce probl me 2 Si les noms de coordonn es ne sont pas ceux impos s par Grapher il faudra r crire les quations autrement dit recommencer dans une nouvelle fen tre de Grapher tout le travail fait dans Curvus Pro X 3 Attention aux bugs nr 6 1 et 23 si vous utilisez les versions 1 1 et 2 0 de Grapher ils peuvent rendre impossible la conversion des fichiers Suite des op rations pour les graphes 3D V rifier que les noms de coordonn es dans les quations sont les m mes que ceux impos s par Grapher Agrandir la fen tre droite pour faire apparaitre le bord gauche du graphe Redonner la zone des quations une dimension normale Enregistrer le fichier modifi Nota 1 Si les noms de coordonn es ne sont pas ceux impos s par Grapher il faudra r crire les quations autrement dit recommencer dans une nouvelle fen tre de Grapher tout le travail
122. oite de r gression de x par rapport y 9 Y y y 1 x 214 E x D Y xy X ay b 1 1 Coefficient de corr lation Een dy Erreurs carts types 2 Sur les mesures y 0 sur n 2 sur les mesures x 0 m Sur a n si forte corr lation entre x et y 37 Sur b sur b 0 b quation a X b qui minimise b x a y quation X a Y b qui minimise z s 810 aucune corr lation entre x et y 1 lt y Ed x 2 n Y ex l 158 gt PT Syst mes de coordonn es de Grapher Coordonn es des points et vecteurs en 2D y MN est le vecteur en M Coordonn es 2D d un champ vectoriel Cart siennes x MN Ax N x Ax y Ay Polaires M r 0 MN Ar N r Ar 0 40 Module du vecteur MN m Noms et domaines de variation abscisse x ordonn e y radiale rayon Le en entr e 0 c en sortie angulaire angle polaire 0 2ri ou rt selon le choix commun avec atan2 y x fait dans les Pr f rences Conversion des coordonn es du point x r cos0 dx 2 ls JX y y r sin0 2 Conversion des coordonn es du vecteur Relations approximatives UTILIS ES PAR GRAPHER Ar cos 0 sinO AO Ay Ar r cos0
123. on gt Limites du cadre gt entrez x de 0 5 10 y de 0 5 Abscisses 1 1 puis OK dans la fen tre pop up de la figure ci contre X 0 5 10 chelle 1 unit s 2 475344 Ordonn es 1 0 5 r 11 1 chelle 1 unit s 4 471381 Annuler OK M thode 2 Menu Format gt Axes et grilles gt s lectionnez Axe des abs Variable cisses Modifier entrez les valeurs minimum et maximum pour les abscisses Valeurs 0 5 i 110 gt ajustez la graduation gt choississez la position de l axe gt OK Marques de graduation Ajuster automatiquement Utilisez la m me proc dure pour l axe des ordonn es Principales 1 00 unies Secondaires 4 par marque principale Position Notez les valeurs minimum et maximum des ordonn es voir description et re Automatique 2 m des des bugs nr 1 et 2 ici on note 0 5 1 1 Annuler v TO n n Modifier l apparence des courbes Avec l inspecteur Pour afficher ou effacer l inspecteur Bouton bleu Inspecteur de la barre d outils ou menu Fen tre Afficher les inspec teurs S lectionnez une ou plusieurs courbes soit sur le graphe soit dans la liste des quations et r glez dans la fen tre de l inspec teur l paisseur et la couleur du trait la r solution conditionne l encombrement du fichier sauvegard Avec le menu Format Recolorer les courbes s lectionn es S lec
124. on devant tre D riv e d ordre le plus lev z Expression de d riv es d ordres inf rieurs fonction variable Syntaxe d une quation diff rentielle dans Grapher Sur une seule ligne 9 d x O 0 x 0 I 40 10 d yJ x y dit lO 77 47 d x x y gt Zones 1 et 2 Les syntaxes possibles pour les d riv es ont t d crites plus haut Zone 2 ll y a n 1 conditions initiales pour une quation diff rentielle d ordre n ordre d criture indiff rent Toutes les conditions initiales sont pour la m me valeur initiale de la variable ou du parametre ici O qui est a premi re figurant dans les conditions initiales m me si plusieurs valeurs d faut la valeur minimum du domaine de la variable d faut la valeur minimum de l chelle de la variable sur la graphe Cette valeur initiale de la variable peut tre choisie dans ou hors du domaine sp cifi de la variable Zone 3 Les limites du domaine sont indiqu es dans l ordre minimum maximum Le domaine de la variable param trique doit toujours tre pr cis Si la variable est une coordon n e on peut dans Cer tains cas ne pas sp cifier son domaine x 7 725 y 0 2 3 x 2 5 5 Exemples 2D dv d Ox dx OU 5y DU OU y 557 v0 23 x 2 5 5 p Ellipses ou I L s n ES demi ellipses 3817 719 3s
125. ons t 1 429541 gt HE ki Clic sur le carr noir Arr ter gt annulation de l animation gt plus de bandeau le cercle vert revient devant le param tre Clic sur le bouton de droite R glages acc s aux r glages de l animation fen tre des r glages Clic sur le triangle noir Lecture Pause On Off de l animation vaut aussi pour le triangle de la liste des quations Clic sur le bouton film Cr ation de vid o mise en s quence Quick Time de l animation D placement du curseur avec la souris fonctionnement manuel de l animation Domaine des valeurs Animation R glages de l animation de Valeur minimale 0 35 nF FO v J Valeur minimale Vmin valeur maximale Vmax wi P pour le param tre qui passera de l une l autre en n Valeur maximale 2 565909 Lente Rapide pas 40 tapes p m 0 075 si Vmax 7 Vmin 3 tapes 40 0 056818 Lente Rapide selon votre go t Domaine continu si coch permet de d pla Domaine continu Aller retour cer le curseur en continu avec la souris sinon d pla cement par nombre entier de pas EST ENT Aller retour si coch le param tre monte et Annuler descend par pas entre les deux valeurs extr mes si non apr s avoir atteint Vmax il recommence Vmin Pour donner l apparence d un d placement quasi continu de l onde progressive notre courbe d cochez Aller r
126. ons Serie Stationary Wave Variable parameter Waves En SD Bipolar Field Implicit Surface Interferences Klein Bottle Surface of Revolution Ces exemples avaient un inter t didactique math matique syntaxe animation pr sentation spectaculaire LES NOUVEAUT S Il n y a malheureusement dans ce domaine aucune am lioration la seule nouveaut h las regrettable est l apparition d un grand nombre de bugs dont l inventaire et les moyens d y rem dier sont les sujets du paragraphe suivant Les bugs de Grapher et leurs remedes OS X en francais Bug nr 1 Grapher 1 1 2 0 2 5 En modifiant la taille de la fen tre principale en 2D on change les dimensions du graphe qui avaient t r gl es dans le menu Format les tendues des chelles des axes sont conserv es les objets ajout s ont gard les m mes cotes en pixels de l cran par rapport au coin haut gauche de l ouverture r serv e au graphe dans la fe n tre leurs tailles en pixels reste inchang es ils se sont donc d plac s par rapport au cadre du graphe ce dernier s est d form en modifiant le rapport L H tr s g nant Le rem de pour r tablir le graphe 2D apr s modification de la taille de la fen tre menu Format gt Disposition gt Taille gt refaire le choix initial Taille du papier ou valeurs L et H ou viter d avoir le faire en choisissant une fen tre assez grande au d part Correction propos e rendre la taille du
127. ont s lectionnables et utilisables par copier coller matrices constantes affichage possible de la matrice avec les valeurs num riques des l ments en entrant le nom de la matrice les l ments sont lisibles mais non s lectionnables ils peuvent tre exprim s en fonction de leur matrice comme indiqu plus haut puis utilis s normalement dans de nouvelle expressions matrices variables r sultant de calculs ou transformations ne sont plus affichables pour tre utilis s les l ments doivent tre exprim s en fonction de leur matrice Syntaxe vidente dans la plupart des cas A AT A B A B AxB A B AB AK aA d terminants matrices carr es de dimension gt 1 det A syntaxe de l inversion de matrice entrer 1 a pour r sultat det A x 1 matrice inverse x valeur absolue de son d terminant pour obtenir la matrice inverse il faut entrer 1 E ai daJ faex Quelques applications Changements de coordonn es 2D et 3D Rotations translations de graphes en 2D et 3D lectronique calculs des quadrip les on peut utiliser les admittances et imp dances complexes ainsi que toutes les matrices qui les caract risent et utiliser leurs l ments pour tracer des courbes de r ponse YB 17 05 2012 83
128. ontre utilis comme condition dans une quation e g fonctions d finies par morceaux de type quelconque sous r serve n entier la r ponse vrai faux joue son r le Expressions fonction p riodique d finie par morceaux exemple 2 Exemple de fonction p riodique d finie par morceaux sur une y p riode T20 8 entre x20 et x T O lt t amp t lt 02 0 3 0 5 f 024 02 0 amp t 0 5 0 8 0 5 t amp t 0 8 0 1 2 y f x f 8 0 8 0 75 0 5 0 25 0 0 25 0 5 0 75 1 1 25 1 5 X Expressions syntaxe des int grales Nota La variable d int gration ne doit jamais tre un nom de coordonn e Grapher admet diverses expressions contenant le signe somme max max b 29 expressions constantes calculer dt f t f t f t ex et OU autre param tre ou x T t t a t 0 min min fonctions avec graphe tracer tous syst mes de coordonn es 8o gx g x X A Tan WO ym fau h u y f t h t E f x ftx pas oublier l espace entre dt et la fonction Voir aussi bugs nr 26 28 et 29 75 Expressions syntaxe des d riv es Format n 1 f fet f mais pas f Ce format limit la d riv e troisi me permet les fonctions le calcul num rique les graphes Exemples f t E t d finition d une fonction de la variable t avec l expression E t g t f t d finition de la fonction d r
129. ontrent au lieu de r Le Pour Grapher 1 1 ne pas modifier comme pour le bug nr 6 2 Bug r solu dans Grapher 2 0 2 5 Bug nr 20 Curvus Pro X 1 3 2 Grapher 1 1 2 0 2 5 En 2D et 3D les d finitions globales de param tres ou de fonc tions incluses dans un groupe restent en vigueur tout en tant invisibles apr s suppression du groupe Exemple dans une nouvelle fen tre 2D on cr e un groupe et on y entre f x sinx cosx tanx gt on supprime le groupe il n y a plus rien dans la liste des quations on cr e l quation lt f x gt seule elle affiche sur le graphe les trois fonctions trigonom triques an ciennement d finies par f x effac e De plus la d finition globale de fonction ou parametre devenue invisible ne peut plus tre supprim e et pollue d finitivement la fen tre de travail il arrive que l on ne puisse plus y entrer de nouvelles quations Les rem des Ne pas ins rer dans les groupes de d finitions globales de param tres ou fonctions ou bien les sortir du groupe avant de supprimer ce dernier Si un groupe contenant une d finition globale t supprim recommencer le travail dans une fen tre neuve libre de fant mes d anciennes d finitions Correction propos e Savoir se contenter des rem des indiqu s me para t raisonnable Bug nr 21 Curvus Pro X 1 3 2 Grapher 1 1 2 0 2 5 Dans OS X configur en francais la virgule
130. outils de la fen tre gt touche Alt clic sur bouton galisez les axes l chelle des abscisses s ajuste sur celle des ordonn es sans Alt c est le contraire Dans l diteur d quation gt effacez yz gt tapez lt L 801 H 555 pt ou vos valeurs 2 2 gt touche Retour pour placer cette indication en t te de la liste des quations Hemarquez que vous avez lu les dimensions suivantes 28 48 19 733 1 28 cm qui devraient tre 28 258 19 578 1 27 voir bug nr 3 Menu Fichier gt Enregistrer sous gt titre quadiff lieu Desktop gt Enregistrer Le document est sauvegard sur votre bureau quittez Grapher Vous allez faire deux man uvres pour apprendre les parades aux bugs nr 1 amp 2 20 Ouverture d un fichier GCX fichier Grapher d extension gcx parade au bug nr 2 Comme d habitude double cliquez sur l ic ne du fichier GCX Grapher d marre et le document apparait constatez que les dimensions du graphe et l chelle des ordonn es ont chang Pour r tablir l tat original du document Menu Format gt Disposition gt Taille gt Personnalis e gt entrez L 801 et 555 pt gt Faire une deuxieme fois cette op ration Menu Pr sentation gt Limites du cadre gt entrez y 2 2 gt OK Conservez le document en l tat pour la seconde op ration Modification de la taille de la fen tre de travail de Grapher parade au bug nr 1 Modifiez la dimension de la fe
131. plaisantes A R solution A AH 1 continues d un axe perpendiculaire au plan de l cran et M zu uuo C passant par l origine des axes de Face Couleur coordonn es Couleurs E R solution radiale AD rr souris pour rotations autour de deux axes dans le plan de l cran et passant par l origine Creuse y PE QU wa des axes de coordonn es Contours Espacement 4 NEN J Personnalis 1 00000 C6 O Contours Espacement Essayez de reproduire cet aspect du graphe en Diable EHE utilisant les commandes ci dessus l inspecteur du mt xm cadre et celui de la surface la vue ci contre de ce Vids UN 22 dernier vous montre les r glages adopt s pour la Droites seulement Ombe Ox m Oy Oz Ww surface W Divers _ Droites seulement M Orientation de surface lisse SENE TE Orientation de surface lisse Surface ferm e dans la direction 1 C 2 Enregistrez votre travail Surface ferm e dans la direction _ 29 2 I TAT 4 7 I PAM d Agen A M a P tr PES Va HIN CU TH 47 Fen tre d animation 3D teren Menu quation gt Cr ation d animation gt fen tre des r Dur e 1065 glages de l animation chantilonnage 10 01 105 Taille 50 X Nombr
132. r la valeur num rique s affiche apres l expression dans la liste des quations R sultat affich sur le graphe Entrer l expression dans l diteur d quations s lection dans l diteur glisser d poser sur le graphe r gler la taille avec les poign es double clic dessus fen tre s lection de l expres b c sion Ajouter la valeur nota la valeur est affich e sur le graphe et sera tenue jour ajuster forme et taille avec les poign es sup Ajouter la valeur Annuler OK primer de la liste des quations le nom de l expression devenue ch nine inutile ou le garder dans la liste avec sa valeur affich e ENEE Nota Pas de transformation seul le nom de l expression est affich Remplacer par la valeur la valeur est affich e sans le nom Ajouter la valeur elle se place avec le signe apr s le nom de l expression Hemarque Seule la partie r elle d une valeur complexe s affiche sur le graphe Autres exemples 2 19 1 21 jet 04 31 3 42 EI 1 06204 1 641829 valuation num rique des fonctions Conditions Fonctions explicites ou param triques fonctions variables et param tres appartenant un seul syst me de coordonn es cart sien polaire cylindrique ou sph rique fonctions valeurs multiples ne s lectionner qu une seule des va leurs ou des courbes de la fonction
133. raiter un ensemble de points Courbe de r gression Dans cette lecon vous allez apprendre tracer des graphes de points et de facon plus d taill e d finition des ensembles de points entr e manuelle des donn es d un ensemble de points importation des donn es d un fichier TXT txt formats pour ce type de fichier exportation des donn es d un ensemble de points de Grapher traitement de mesures ou de donn es statistiques avec calculs de courbes de r gression dessin de figures avec des ensembles de points Pr paration du document Cr ez un document 2D mod le Margins taille et axes comme d finis ci pn contre entrez les quations indiqu es L 801 H 555 pt Ov 0 3 5 Pour entrer les deux lignes Ensembles de points ici not es Droite de Courbes avanr erreurs al atoires r gression gt et lt Parabole de r gression gt VA 4 075 soit menu Equation gt Nouvel ensemble de points soit clic sur bouton au bas de la liste des quation gt menu Z 2 gt s 59 contextuel Nouvel ensemble de points x ye O 9 X He soit NP raccourci clavier Droite de r gression Titrer un ensemble de points double clic sur la ligne gt taper le nom Z Parabole de r gression L ensemble de points de Grapher Points Coordonn es C est un tableau de coordonn es de points du graphe en 2D ou 3D une ligne par point no
134. revolution tion gt menu contextuel gt choix gt entrer l inter gt Expression valle de l int grale m thode de calcul avec ses 1 805622 r glages gt Calculer y 0 947706 Pour supprimer l aire d int gration sur le graphe menu Equation Supprimer le domaine d int gra Romberg tion Calcul du point d intersection de deux courbes Tol rance Nombre maximal d it rations S lectionner leurs deux quations clics avec Ordre 5 touche 86 ou 47 gt menu Equation gt Recherche Calculer Affichage d intersection clic sur une courbe au voisinage os Bisa de l intersection ou entrer une valeur approch e de la variable gt OK REMARQUE CONCERNANT LES CALCULS PR C DENTS ils seront possibles ou non leurs fen tres r glages options menus contextuels peuvent changer selon la forme des quations explicites y f x ou x f y implicites parametriques et le systeme de coordonn es utilis valuation num rique des champs Champs scalaires S lection dans la liste d quations menu quation valuation choisir les entr es touche Retour lire les sorties gt affichage optionnel de la position et du vecteur gradient sur le graphe Quelles que soient les coordonn es utilis es dans la d finition du champ les entr es sont toujours les coordonn es cart d d siennes x y ou x y z et les sorties 7 d dv et en 3D az o le remplac
135. rice 1 x 2 matrice 3 x 2 pour tout 1 Ian Formule g n rale C As xB nxq Si 2 asb pour tout j de lag Cas possibles dans Grapher dj dp bi bi T 10 3b 6 Aso XB X b b ab a b 21 22 21911 22921 21912 22022 a bi aibi Ca XB X b ab ra bh 21 4 21 21911 2921 A Wi K Ax 0 0 b b dj 4 dg bi b b eT Tas X az X b b b duu 4 b b 0 T a D T ab T 0 103 Se 65 ab abi T 6 363 ab T ab a b T 40 0 T 303 10 0 30 10 T 303 80 i du 413 bi Pi 6 xB b 4 b bi s dr b b b C us ET X 4 E b b b b b b Ur 65 10 ab T 0 103 65 b 1 Cia Dus X B5 4 E E a b Se 6 21 a 6 6 11 11911 11912 Se A X Bia x bi bi E b b 41011 34 19 b An X B 4 4 b 16 6 b a b 16 a b Aza 7 x b b b 0 a bi a bh a 6 a bh 1 11011 11012 1
136. s Droite I Y Cadre tions que menu Fichier Nouveau Nouvelle Ge e Rectangle englobant courbe gt Courbe 3D Couleurs de grille ARRIERE PLAN ECLAIRAGE LISSAGE pieces E ais Mur X Gauche et droite 2 Arriere menu Format Disposition onglets Ar v Aug le Face ri re plan couleur clairage des surfaces Z marques principales Num rot es T Divers lissage des droites Maries secondaires 1 Num roties GrilleX toutes s GrilleZ toutes AXES ET CADRE menu Format Axes et tiquette Mv mers 202 cadre s lectionner un axe Modifier r e r glages de l chelle gt OK gt appeler l Inspecteur Toma des marques de graduation usss gt r glages largeur des traits couleurs SE Sa e marques de graduations fl ches puis Marques largeur princip 40 7 Mur Z Bas M Arri re e s lectionner le cadre gt OK gt appeler l Inspec 25174 A teur gt r glage largeur des traits couleurs du i Grilte X aucune Grille Y aucune cadre cubique et de ses faces avec grilles possibles Choississez un mod le de courbe 3D r glez les chelles des trois axes 5 5 d cocher 1 1 Automatique avec leurs Ins pecteurs mettez des fl ches leurs extr mit s positives Avec l Inspecteur du cadre faites des essais de murs En
137. s de commande aux quatre coins de la fen tre ne joue que sur la dimension du graphe poign e de commande int rieure haute modifie la hauteur de l diteur d quation en gardant constante la hau teur totale de la fen tre poign e de commande int rieure gauche modifie la largeur de la liste des quations en gardant constante la largeur totale de la fen tre Voir descriptions et rem des des bugs nr 1 et 2 R glage pr cis de la taille et des marges du graphe 00 M thode 1 Menu Format gt Disposition gt Taille gt Personnalis e gt entrer largeur et hauteur avec les unit s de lon gueur autoris es entrer les marges du graphe qui s ajoutent celles de l imprimante M thode 2 Taille maximum sur feuille A4 selon essais avec votre installation Menu Format gt Disposition gt Taille gt Personnalis e gt entrer Lz801 555 pt et Hz 555 801 pt unit point Menu Format gt Disposition gt Marges gt entrer les marges du graphe qui s ajoutent celles de l imprimante Menu Fichier gt Format d impression gt A4 Paysage ou Portrait 100 96 Notez largeur et hauteur du graphe Voir description et du bug nr 3 On a choisi ici la taille maximum obtenue avec Grapher 2 5 sur feuille A4 m thode 2 lt Courbe 2D gt Margins gt valeurs des marges par d faut Pour imprimer A4 Paysage chelle 100 96 On a not L 801 pt H 55
138. s importable dans Grapher comme qua tion op rationnelle Le format Texte est un autre format d criture d quations compris par Grapher qui apr s importation affichera l quation avec les symboles math matiques d origine Le format LaTex est utilis dans de nombreux logiciels mais n est pas compris par Grapher 50 Raccourcis clavier de l diteur d quations Pour obtenir Su Nom Taper Observations Usage g n ral Nouvelle quation AN Nouvelle quation partir d un mod le 4 VN 8N Nouvel ensemble de points XP Supprimer une ligne d quation lt ou Afficher la palette d quation 47 Naviguer dans les champs des symboles 2 ou 4 Naviguer dans les expressions e T i gt et sortir des symboles virgule d cimale sans espaces s parateur point d cimal sans espaces signes des d riv es 1 et ou guillemets anglais simples ou doubles Indice 4 tiret du clavier parenth ses usage normal dans les expressions Ul accolades X valeurs et fonctions multiples crochets intervalles dans les conditions Lettres grecques et infini d delta minuscule VD A delta majuscule ND H mu minuscule pi minuscule P lettres grecques minuscules sauf nom de la N sans accents
139. t choisie est utilis e dans les fonctions trigonom triques directes ou inverses mais pas dans la forme des nombres complexes ni dans les coordonn es angulaires les angles restent toujours en radians Exemples apr s choix de l unit degr 0 30 donne une droite de coordonn e angulaire polaire 30 rad soit 81 127 de m me ei est un nombre complexe d affixe r 1 30 rad mais sin30 0 500 e et cos30 i sin30 est un nombre complexe d affixe r 1 30 La seule solution pour entrer des angles en degr s dans les deux premiers cas est d afficher rv180 0 Palette d quation menu Fen tre Afficher la palette d quation Case cocher Utiliser les raccourcis lors de la frappe En plus de l action sur les lettres grecques cf paragraphe au centre de la page 50 remplace lorsque la case est coch e le signe ast risque multiplication par un simple point dans les expressions Palette d quation Op rateurs Coefficient binomial m Le dernier op rateur calcule les coefficients binomiaux EC o p Expressions op rateur modulo Dans l exemple de la condition n on peut se rappeler l op rateur lt test d galit gt eq a b qui s crit aussi gt dans Mathlab ou Python la diff rence est que dans ces derniers logiciels la formule lt retourne gt 1 vrai ou 0 faux ce retour n existe pas dans Grapher sous forme explicite par c
140. t exacts pour six chiffres significatifs 34 Calcul d une courbe de r gression non affine A interpolation Vous allez utiliser le second ensemble de points pour calculer une courbe de r gression autre qu une droite toujours selon le crit re des moindres carr s Type d interpolation polynomiale Interpoler Ordre 15 Dans la liste des quations d cochez tout sauf l ensemble de N points Parabole de r gression ensuite a x S lectionnez cet ensemble gt Interpolation gt essayez successivement Param tre affine x 2 4915 et graphe mal adapt an exponentielle x 0 6148 graphe un peu mieux i polynomiale ordre 5 touche Retour graphe tr s bien X 0 0298 mais quation compliqu e polynomiale gt ordre 4 gt touche Retour graphe tr s bien X 0 0279 meilleur mais encore compliqu polynomiale ordre 3 touche Retour graphe tr s bien x 0 0826 mais encore trop compliqu polynomiale gt ordre 2 gt touche Retour graphe sa tisfaisant x 0 08319 quation assez simple cette option de vrait vous plaire donc Trait Fermer ce qui trace le graphe et entre l quation de la courbe de r gression parabole dans la liste R sultats dans la fen tre ci contre Valeur 1 892500 1 134440 0 270151 Incertitudes 1 176152 0 982421 0 174078 Description Valeur Y 0 083082 P
141. te des quations du document en cours et exp rimentez avec elle tout ou partie de ces calculs pour le calcul d intersection prenez une autre des quations d j pr sentes Voici sur la figure ci contre comment se pr sente votre graphe final seules les solutions de l quation diff rentielle sont coch es dans la liste des quations Si vous avez eu la patience d arriver ici quation diff rentielle du vous m ritez un grand bravo que dis je second ordre lin aire coefficients une ovation Un hommage votre m constants sans second membre moire n est pas de trop non plus car vous avez appris beaucoup sur Grapher 26 Lecon 5 Cr er une animation Cr ation d animation en 2D et 3D Dans cette lecon vous allez cr er des animations par un proc d diff rent de celui de la Lecon 3 et voir comment cr er des animations dans un graphe 2D pr parer un document 3D cr er la repr sentation d une surface r modifier son aspect personnaliser un graphe 3D 2 enregistrer les animations dans un fichier Quick Time 4 B 2 5cost cosa I Ssint sinc 0 2 gt QUU ZU Cr ation du graphe 2D yl 2 5costsina 5sint cosc h 2 Ouvrez un document 2D avant les caract ristiques suivantes mod le Margins taille et chelle sur Oy comme indiqu sur la figure ci contr
142. tion Cr ation d animation ni les animations de param tres dans cette fen tre pop up ni celles des onglets R duire agrandir et Limites du cadre ne fonctionnent La seule possible par cette proc dure est celle de l onglet Orientation Proposition de correction restaurer ces fonctions d animations Bug nr 17 Curvus Pro X 1 3 2 Grapher 1 1 et 2 0 Erreur sur le nom d une unit Menu Grapher Pr f rences Avanc Mode Trigonom trique l unit d angle gradient n existe pas c est grade Bug r solu dans Grapher 2 1 2 5 Bug nr 18 Grapher 1 1 Erreur de nom de coordonn e Menu Grapher Pr f rences Avanc Valeurs angulaires polaires dans le texte explicatif sous le menu contextuel la variable d angle polaire est ce qui est erron Bug r solu dans Grapher 2 0 2 5 Bug nr 19 Grapher 1 1 Erreurs de noms de coordonn es Menu quation gt Nouvelle quation partir d un mod le les noms des coordonn es figurant dans les mod les sont ceux par d faut de Curvus Pro X 1 3 2 et n ont pas t mis jour des modifications introduites par Grapher Bug nr 19 1 Grapher 1 1 En 2D il y a encore au lieu de 9 comme angle polaire Le Remplacer par 8 dans les mod les choisis Bug r solu dans Grapher 2 0 2 5 65 Bug nr 19 2 Grapher 1 1 En 3D les coordonn es cylindriques montrent au lieu de 8 les coordonn es sph riques m
143. tion ou la fonction pr d finie abs z pour l argument la fonction arg z Le r sultat du calcul arg z est toujours donn en radians quel que soit le choix fait dans les pr f rences Exposants sont admis les exposants 1 n entier gt 0 et le radical racine carr e les signes d op rations sui 2 3 n vants donnent des r sultats faux avec les complexes d d VI Par ailleurs dans le cas d exposant 1 n Grapher ne calcule qu une seule des n racines ni mes de l expression complexe z Syntaxe des expressions complexes Unit imaginaire on peut utiliser i et j indiff remment et les deux dans la m me expression condition que ces lettres n aient pas t d finies comme nombres r els C est en particulier le cas du modele d expression d une s rie i est l indice des termes par d faut dans ce cas n utiliser que j dans les expressions complexes des termes ou remplacer i de la s rie par une autre lettre Formes cart sienne et polaire Grapher accepte les expressions complexes sous les deux formes cart sienne f t i g t et polaire r t ei9 ou r t cos 8 t i sin O t o t est un param tre possible pour tracer des graphes en 2D Variables complexes dans cette note sur les nombres complexes toutes les variables et fonctions cit es jusqu ici taient r elles soit a b f t g t r t O t abs z arg z l exception de i et z Les constantes et variables d finies d
144. tionnez toutes les courbes en cliquant sur l quation on peut le faire sur le graphe en cliquant chaque courbe avec la touche Majuscule appuy e gt choississez un gradient pr d fini gt OK On obtient par cette m thode rapide une couleur diff rente pour chaque courbe Ajout d objets sur le graphe On va placer sur le graphe une l gende texte dans un cadre Pour cela Menu Objet Ins rer un rectangle le placer la position voulue avec la souris double cliquez dans le rectangle pour diter le texte choisi Pour changer de police ou de mise en page menu Format gt Police etc Texte etc et raccourci clavier S lectionnez le rectangle Bouton bleu Inspecteur ajoutez une ombre et autres r glages Cmpl ment d informations Ajoutez dans la liste des quations Fonctions de Bessel de 1 re esp ce Cf bugs nr 1 et 2 le texte suivant y pour n entier de 0 5 Noter que seule 4009 s annule pas pour x 0 L 801 Hz 555 pt Oy 0 5 1 1 ce qui permettra la r ouverture du document sauvegard de la remettre dans sa configuration originale Enregistrez votre document Menu Fichier Enregistrer sous gt titre etc Lecon 2 Personnaliser la pr sentation d un document Dans cette le on vous aller apprendre comment modifier diff rents param tres relatifs la pr sentation d un document Consid rons le probl me de cin matique suivant au temps t 0 on lance
145. tions se faisait alors sans aucune difficult il n y avait qu une seule sorte de fonction au lieu de deux aujourd hui l Aide tait compatible avec l usage l exemple ci dessus ne contredisait pas la syntaxe en service Bug nr 29 Grapher 2 2 2 5 En 2D menu quation Int grer et quation de graphe avec int grale ind finie la courbe est en pointill et erron e pour les valeurs n gatives de la variable Le Remplacer le nom de la variable sous le signe somme par un nom autre qu un nom de coordonn e Proposition de correction probablement caus par la modification cit e dans le bug nr 28 M me proposition Bug nr 30 Grapher 2 2 2 5 ou modification d lib r e Les d finitions locales ne priment plus d sormais sur les d finitions globales Le rem de Un param tre variable ou fonction qui a une d finition globale ne peut plus recevoir en outre des d finitions locales Un parametre variable ou fonction qui n a pas de d finition globale peut recevoir une d finition locale diff rente dans chaque ligne d quation Proposition de correction R tablir la coexistence possible des deux types de d finitions Bug nr 31 Grapher 2 2 2 5 Menu quation gt valuation gt entrer une valeur gt apr s clic sur le bouton Trait ou fermeture de la fen tre pop up valuation le cercle osculateur disparait du graphe Explication possible Le rayon du cercle est lt R gt et a une lt d
146. tuation point virgule les espaces 4 400000 HARMAN suppl mentaires sont admis Virgules d cimales sans espaces et s parateurs virgules espaces cohabitent sans ambiguit s dans une suite de nombres 9 500000 Dans la figure ci contre l expression de y montre un m lange tout fait viable de virgules 6 600000 point virgules et espaces dans une d finition valeurs multiples 2 3 JN 2 3 Signes d op rations d galit d in galit 552 4 Les signes gt gt lt gt peuvent tre pr c d s et suivis d espaces une espace plac e y 3 4 avant ou indique la multiplication espaces avant et apr s ne changent pas l op ration y gt 3 4 Le signe moins est indiff remment le tiret court ou long ou obtenu par X ys3 4 Dans les d finitions de constantes et de fonctions le signe gal est indiff remment z 9 5 54 ou z les deux points de ponctuation suivi du signe gal 5 Le signe de division tap apr s une espace introduit une fraction compl ter 2 3 apr s un nombre ou une expression place une barre 25 3 7 5 de fraction et un champ pour un d nominateur sous le nombre ou l expression AEN CW un nombre d cimal avec virgule d cimale suivi du signe de la division n est pas reconnu et s affiche lt partie enti re virgule partie d cimale en num rateur d une fraction j gt le m me nombre avec point d cimal s affiche correctement en
147. uations par au cun groupe En 3D voir aussi bug nr 16 Le tenir compte de ces contraintes en particulier en placant si n cessaire en fin de la liste des qua tions les quatre valeurs num riques inscrire cit es dans le du bug nr 2 Correction propos e inutile 66 Bug nr 28 Grapher 2 2 2 5 ou modification d lib r e D finitions des fonctions si les noms de variables sont des noms de coordonn es utilisables dans la fen tre de travail la fonction est consid r e comme une expression de forme fixe Exemple si f x 3 x aura f x 1 3 x et non x41 comme c tait le cas dans toutes les versions pr c dentes de Grapher et Curvus Pro X les noms de variables sont autres la fonction de fonction reste en service Exemple si f t 3 t on aura f t 1 3 1 1 2 et f x 1 3 x1 comme c tait le cas dans toutes les versions pr c dentes de Grapher Curvus Pro X Le 1 En tenir compte dans la syntaxe des fonctions 2 L exemple Periodic Functions doit tre modifi cause des f x et g x qui ne fonctionnent plus dans les nouvelles fen tres de Grapher 2 2 2 5 L Aide du logiciel ne men tionne pas cette subtilit dans l emploi des fonctions Proposition de correction Supprimer cette nouveaut d une inutilit absolue restaurer la syntaxe des fonctions telle qu elle tait dans Grapher 2 1 l utilisation des fonc
148. ue dans tous les cas le signe lt gt peut tre remplac par lt gt Fonctions d finies par morceaux Elles peuvent tre d finies de plusieurs mani res Le plus simple lt gt 98 gt Palette d quation gt Op rateurs gt utiliser le bouton x lt x 0 x 2x 1x20 pour entrer une expression du type y AV ag lt 1 1 x x 0 COS X gt 0 ST d l existe aussi une syntaxe raccourcie y x gt 1 f x ou y x gt 1 f x pour d finir y pour x 1 Notez que y n est pas d fini pour tout x Pour ajouter une condition alternative ajouter un terme s par par exemple gt 0 Expressions param tres valeurs multiples Vous pouvez entrer un param tre ou une fonction valeurs multiples en utilisant les accolades lt gt k 1 2 3 y cosx sinx tanx y 2 x k 1 1 5 5 y 1 1 gt Vous pouvez utiliser le symbole lt gt pour d finir un domaine de valeurs 41 5 kvarie de 1 5 par pas de 1 k 1 1 2 2 kvarie de 1 2 par pas de 0 2 Animations Animation de param tre Pour animer la valeur d un param tre d fini par une expression comme lt k 1 gt s lectionnez le dans la liste des quations et commandez menu quation gt Animation de param tre Apparait alors sous la barre d outils Creation d un oe QuickTime Valeur instantan e du param tre anim Y K ETT
149. ur Runge Kutta d ordre 4 g brique le pas de 0 01 semble assez petit pour un calcul correct la figure ci contre montre l Inspecteur des quations diff rentielles Taille du 0 001 C Le pas le plus adapt peut changer si vous modifiez le domaine de la va riable les chelles des axes les param tres de l quation diff rentielle Pensez enregistrer sauvegarder fr quemment votre travail Modification de param tre ou d quation Clic sur l quation clic sur le fond de l diteur traitement de texte dans l diteur d quations Essayez de changer la valeur de 0 1 0 3 1 0 5 pour voir voluer les solutions num riques de l quation diff rentielle Calcul des coordonn es de points d une courbe valuation O Recherche de racine Clic sur la courbe ou son quation gt menu Equation gt Entr e Rechercher EISE Evaluation gt Cliquez le point d sir sur la courbe ou en extremum bal trez une valeur de la variable et touche Retour affichage X 10 1257 B Valeur M point d inflexion des coordonn es en bas de la fen tre calcul de la fonction de x ses d riv es affichage sur le graphe Expression Valeur point choisi des tangente normale cercle osculateur en ce 0 463973 Ge point et 5 dv 1 248847 E m clic sur le bouton Trait gt affichage de leurs quations dans 2 y APRES
150. utilisables dans une fen tre de Curvus Pro ou Grapher qu elle soit nouvelle venant d un exemple ou d un autre graphe enregistr dans cette fen tre menu quation gt Nouvel ensemble de points gt Modifier les points gt Coordonn es gt Syst me choisir qui donne les noms des coordonn es utilisables dans cette fe n tre Bug nr 6 1 Grapher 1 1 2 0 2 5 En 2D les fen tres nouvelles ouvertes avec la fen tre secondaire Nou velle courbe gt utilisent x y et r 8 il en est de m me pour les graphes enregistr s partir de celles ci Mais les lt Exemples 2D gt sauf Polar Logarithmic utilisent la place de 6 il en est de m me pour les graphes obtenus par modifications des quations d un fichier d exemple Le le plus sage me d adopter et de reb tir les exemples 2D partir de nouvelles fen tres pour viter de future confusions d Correction propos e M me id e Bug nr 6 2 Grapher 1 1 En 3D les fen tres nouvelles montrent les noms de coordonn es x y z ro 8 z r On constate d ailleurs que les coordonn es sph riques n existent pas pour les fen tres neuves de Grapher 1 1 Mais les lt Exemples 3D gt sont rest s z ro 2 r Le rem de Conserver les exemples 3D en l tat travailler sur une fen tre ouverte partir d un exemple 3D que l on aura nettoy de ses quations cela permet d util
151. valeurs correspondantes de y pour chaque quation en y ajoutant des valeurs al atoires com prises entre 0 25 et 0 25 Calcul de la droite de r gression r gression affine e Interpolation D cochez les deux quations et le second ensemble de points Parabole de r gression de la liste pour effacer leurs courbes Type d interpolation affine Interpoler et points sur le graphe Cochez l ensemble Droite de r gres sion En regardant le nuage de points il apparait qu une droite re y a x b pr senterait assez bien la relation entre y et x si vous tes en accord avec moi sur ce point entrez une nouvelle quation proche de la premi re y 0 4x 0 75 et essayez d ajuster les Parametre Valeur Incertitudes deux coefficients pour que la droite colle au mieux avec les a 0 414909 0 028137 points b 0 746000 0 087292 Maintenant faites travailler Grapher S lectionnez l ensemble de points Droite de r gression gt gt Interpolation gt Type d interpolation affine gt Interpo ler gt Trait gt la fen tre figure ci contre vous donne les r sul tats a coefficient de r gression de y par rapport x b ordonn e de la droite pour une abscisse nulle Deserippon les incertitudes sur ces deux coefficients X 0 130625 X somme des carr s des carts en ordonn e entre q 1 000000 les points et la droite de r gression Nota le r sultat q est toujours gal
152. x 25 6 108 800 mm RAPPEL 1 inch 25 4 mm Notez L 451 H 306 pt cf bugs nr 1 amp 2 Cadre pour le graphe et marges minimum Nous avons besoin d un rep re des limites du graphe pour mesurer sa taille dans les fen tres d autres applications et apr s impression pour cela et pour un meilleur aspect du travail utilisons le cadre Caract ristiques du cadre on le fait apparaitre en cochant dans menu Format Axes et x grilles gt Cadre Droite s lection en cliquant sur sa ligne quatre rep res aux coins du graphe t moignent de la s lection du cadre le cadre est un trait de largeur paisseur r glable qui entoure l ensemble axes grilles courbes sans empi ter sur ces l ments il est dans la marge du graphe et ne sera visible apr s sauvegarde que si cette marge est au moins de m me largeur que le trait du cadre le choix du trait est obtenu apr s s lection et ouverture de l Inspecteur clic sur le premier bouton pour la cou leur clic sur le bouton zig zag qui ouvre le r glage des traits on y d finit le style du trac ligne continue ou tiret s et sa largeur paisseur rep r e par un nombre croissant par pas de 0 1 partir de 0 0 LE POINT D CIMAL EST ICI OBLI GATOIRE pour entrer cette valeur qui n est pas en points pt comme les largeur hauteur marges du graphe Y Droite 15 Caract ristiques du trait du cadre et marges minimum correspondantes pt
153. y ou y ou y tr s proche de z ro affichage sur le graphe du point choisi des tangente normale cercle oscula teur en ce point et avec clic sur le bouton Trait gt affichage de leurs quations dans la liste Grapher 2 2 2 5 voir bug nr 31 55 Tracer la courbe de la d riv e d une fonction Clic sur l quation dans la liste gt menu quation gt D river gt remplacement de la fonction originale et de sa courbe par sa d riv e Recommencer d riv es successives Menu quation Int grer pour revenir la d riv e pr c dente recommencez jusqu au retour la fonction originale Ces courbes permettent les calculs de coordonn es de points de racines extrema points d inflexion d crits ci dessus Tracer la courbe de l int grale d une fonction Grapher 2 2 2 5 voir bug nr 29 Clic sur l quation dans la liste menu quation Int grer remplacement de la fonction originale et de sa courbe par son int grale Menu quation D river pour revenir la fonction originale Cette courbe permet les calculs de coordonn es de points de racines extrema points d inflexion d crits ci dessus e Int gration N O Rechercher l intersection Calcul d une int grale d finie de fonction voir aussi bug nr 26 Int grer v l aire Valeur initiale la surface la longueur Clic sur l quation menu quation Int gra volume de r volution aire laterale de

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