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Testo - MaCoSa

1. Un aumento di circa mezzo metro in 5 anni di cui la met nel giro di un solo anno non pu essere solo frutto di nuove tecniche di salto nuove forme di allenamenti Secondo voi a quale fattore pu essere attribuito 1l grosso di questa evoluzione iii Ue ___mm _y_ _ s o n 0 _fcoeno soglio figura 10 soo Fei a 19100 19200 19500 1940 1950 1960 1970 1950 1950 Si potrebbero analizzare altri sport andare pi a fondo per studiare l incidenza di tecniche e attrezzature dall asta in bamb o metallo all asta in fibra di vetro dalla pista in terra alla pista in materiali sintetici dall impugnatura del giavellotto con una certa forma a un nuovo modello di impugnatura ecc cercare di individuare dai grafici se si possono ipotizzare dei limiti alle prestazioni umane ad esempio quale velocit si potr raggiungere nella specialit dei 100 m di corsa Ma ci fermiamo qui non era nostro scopo tanto andare a fondo in questa analisi quanto illustrare il ruolo che pu svolgervi la matematica In particolare abbiamo visto quante informazioni quanti approfondimenti si possano ottenere utilizzando opportunamente alcuni semplici modelli matematici Abbiamo tuttavia visto anche come questi strumenti non siano sempre di uso semplice La difficolt non sta nel fare qualche conto in questo ci aiutano egregiamente le CT ma nell usare il modello adeguato e nell interpretare opportuna
2. 96 al tb k al tb v k 4 3 al tb v ab k gt al tb v ab tr k gt Invece di mettere in memoria k possiamo ricorrere al tasto 0 Gum che consente di sommare il numero che appare sul visore a quello che in M calcoliamo una volta per tutte il valore di k 3 293 1074 e lo annotiamo usiamo per non ribattere addendi al tb gi sommati in precedenza usiamo o per richiamare man mano la somma parziale cio battiamo la sequenza riportata sotto a sinistra a destra riportata la sequenza impiegabile con alcuni calcolatori tascabili programmabili alai 8 293 El AE Qaam CENE OE i seo he rb kt re Le 8 293 LET 4 BAIE v M4 Me x 8 293 E 4 EHE p FA R E 8 293 E 4 A E aeaaeae CDEEGRCONERNE tr M4 ME x 8 293 E 4 FAE Procedi nel modo indicato al primo uso di o EUr ricordati di liberare la memoria da eventuali dati registrati in precedenza riporta i risultati dei calcoli e degli arrotondamenti completando lo schema 4 3 e infine traccia il diagramma usando l apposito cerchio graduato riportato sotto verifica se ottieni una rappresentazione simile a quella raffigurata sulla destra 40 Le statistiche 1 150 In ciascuna delle rappresentazioni grafiche considerate per rappresentare 1 valori numerici della tabella iniziale abbiamo calcolato la misura di una grandezza geometrica Individuala e completa 1l seguente schema istogra
3. indichi un numero che abbia questo gruppo di cifre come periodo Ad esempio 3 4570570570 indicher che questo numero inzia per 3 4 e poi seguito da una ripetizione senza fine del gruppo di cifre 570 Come calcoleresti 3 222 4 3 222 3 555 3 222 2 174 I numeri 2 In casi semplici come quelli del quesito 10 facile eseguire il calcolo Il procedimento impiegato in accordo con il significato che le operazioni assumono quando con i numeri reali vengono rappresentate grandezze fisiche Vediamo ad es il calcolo di 0 333 0 333 Possiamo sommare le cifre a partire da sinistra Calcolando 0 3 0 3 trovo la lunghezza del segmento che si ottiene concatenando due segmenti lunghi 0 3 Calcolando 0 33 0 33 trovo la lunghezza del segmento che si ottiene concatenando due segmenti lunghi 0 33 Man mano ottengo misure pi precise della lunghezza del segmento che si ottiene concatenando due segmenti lunghi 0 333 gt figura 5 Procedendo nel calcolo vengo a generare il numero 0 666 0 0 3 FHH D 0 3 0 6 1 figura 5 D 0 33 HeH 0 t t 1 0 33 0 66 Quanto fanno 0 666 0 333 e 0 333 3 Quanto fanno 2 3 1 3 e 2 3 3 Trovi qualche contraddizione Tra due istanti possiamo sempre pensare che vi sia un istante intermedio tra due punti della retta dei numeri possiamo sempre pensare di prendere un punto a met strada Sapresti scrivere un numero compreso tra 4 999 e 5 000 Sulla retta della seguent
4. T SEC 47 righe di DATI 47 dati min max 68 129 media 99 4259593 considerare 99 42553 0 5 99 92553 S amp g0 che poi posso arrotondare a 99 9 7 a Per una spiegazione consulta la 25 109 95 115 seconda voce valori medi de Gli oggetti matematici 65 135 e Tra i seguenti diagrammi qual il box plot di T Sec Perch Verifica la tua risposta usando Stat A EE E H E M D E c Un ente pubblico ordina alla ditta SifanStat specializzata in indagini statistiche lo studio dei tempi di arrivo degli utenti ai propri sportelli Un dipendente della SifanStat si piazza all ingresso del locale in cui sono collocati gli sportelli e per circa un ora in un orario di punta misura il tempo che intercorre tra l arrivo di un utente e il successivo contando complessivamente l arrivo di 134 utenti I tempi che ha rilevato troncati ai secondi sono riportati in stf come file di nome t arrivi stf Sotto riprodotto parzialmente lo stato dello schermo dopo l analisi di T Arrivi con Stat AVE 134 dati in 134 righe min max 1 173 SALA media 29 0522388 mediana 21 Rida ei fa o a adi moda 0 10 freq rel modale 25 3731 eee a 5 3 25 9 50 221 T dae La almi a Completa la parte punteggiata e indica in quante classi stato suddiviso l intervallo 0 200 b Utilizzando solo gli output numerici del programma min max percentili media moda avresti potuto concludere qualcosa sull andame
5. moltiplico per 100000 il risultato della addizione 45 79 789 26 invece che 1 due addendi 45 79 e 789 26 Nel caso 2 il nuovo termine stato ottenuto estraendo il divisore che era comune ai termini di una sottrazione e mettendolo come fattore dell intera differenza divido per 17 il risultato della sottrazione 45 12 invece che 1 due termini della sottrazione 45 e 12 Possiamo riassumere entrambi i casi dicendo che il termine iniziale stato trasformato estraendo il fattore moltiplicatore o divisore che era comune ai termini di una addizione o di una sottrazione e mettendolo come fattore dell intera somma o differenza Questo tipo di trasformazione viene chiamato raccoglimento a fattore comune Nelle trasformazioni evidenziate in corsivo nei casi 3 e 4 il nuovo termine ottenuto distribuendo il fattore moltiplicatore o divisore di una somma o una differenza tra i diversi termini di essa nel caso 3 divido per 3 gli addendi 15000 e 75 invece che il risultato dell addizione nel caso 4 moltiplico per 4 i termini della sottrazione 90 e 1 invece che 90 1 Questo tipo di trasformazione viene chiamato distribuzione del fattore comune Le due trasformazioni sono l una l inversa dell altra e possono essere sintetizzate con la stessa formula che letta da sinistra a destra d una trasformazione letta da destra a sinistra d l altra e Per ottenere tale formula inserisci nei riquadri sottostanti 1 simboli
6. o BALL ET 34 Le statistiche 1 Una regola per eseguire gli arrotondamenti alle unit dunque la seguente se la cifra di posto inferiore a quello delle unit cio se la cifra dei decimi 0 1 2 304 si prende il numero troncato alle unit se 5 6 7 809 si prende il numero troncato alle unit e aumentato di uno Completa la colonna centrale della seguente tabella usando una tra le formule 3 1 e 3 2 e arrotondando le percentuali agli interi Completa la colonna destra senza usarla come hai proceduto 1926 19450 COSO OT TS TTI a E m 1m Ah i A A g pr Vr e 2008 Sapreste spiegare perch nel 1945 i consumi alimentari rappresentavano una parte cos rilevante del totale 190000 ZIE 1650000 Analogamente a come abbiamo fatto per i consumi 140000 alimentari e non possiamo rappresentare mediante Pr istogramma le varie voci di consumo presenti nella 20000 tabella 1 1 50000 Ecco a fianco la rappresentazione relativa al 1985 40000 20000 0 al th y ab tF Individua quale tra i seguenti istogrammi rappresenta i consumi nel 1965 Non essendo stati riportati 1 valori numerici devi trovare la soluzione procedendo per esclusione Motiva la tua risposta l istogramma non va bene perch l istogramma Nella figura 8 sottostante sono rappresentati mediante istogrammi 1 vari tipi di consumi negli anni 1926 1945 1965 1985 e 2008 E indicata
7. 1 Qual la scala di B cio per quale numero ho moltiplicato le dimensioni reali per ottenere B 2 Qual la scala di C 3 Disegna una riproduzione di A in scala 4 4 Il disegno D ti sembra una riproduzione proporzionata di A Perch Con quali misure e calcoli puoi confermare questa tua Impressione La chiave riprodotta in D appare pi tozza rispetto a quella raffigurata in A per essere proporzionata come A dovrebbe essere pi lunga Per tradurre questa impressione in termini quantitativi possiamo calcolare il rapporto tra lunghezza della chiave e altezza dell impugnatura nel caso A vedi figura seguente 2 5 cio la lunghezza 2 volte e 1 2 l altezza nel caso D 2 cio la lunghezza 2 volte l altezza Invece nel caso B abbiamo come in A il rapporto 2 5 B 10 D 6 A IEF i e Ki 6 3 2 SfZ 2 9 1044 2 9 Invece di calcolare 10 4 e trovare che il risultato 2 5 come nel caso di 5 2 potevamo osservare direttamente che il rapporto 10 4 uguale al rapporto 5 2 Infatti 10 5 2 IZ 4 2 2 2 2 5 2 5 i La scrittura Sa sta a indicare che cea pu essere semplificato e trasformato in ca Procediamo analogamente quando per fare 600 40 ci riconduciamo al calcolo di 30 2 600 60 10 60 44 60 30 2 30 2 30 40 4 10 448 4 2 2 2 2 2 In pratica utilizziamo il fatto che se i termini di una divisione vengono entrambi moltiplicati o entrambi divisi per uno stesso nu
8. 120 Sia h la funzione composta illustrata a lato ADI i Esplicita il termine che ne esprime l output 100 Ma i 100 la figura adestra illustra la trasformazione di alcuni numeri mediante la applicazione go 75 80 di f e poi di g ai T i 25 agi A 1 20 o ff Abbiamo visto che applicando a un input la funzione f e poi la funzione g del quesito 34 cio applicando la funzione g f l output ottenuto uguale all input In altre parole g f x x ossia g f la funzione x x Calcola f g x per alcuni valori di x a tua scelta e cerca di esplicitare il termine che esprime l output per un generico input x Due funzioni f e g vengono dette una funzione inversa dell altra se applicando g a un output di f riottengo l input che avevo dato a f e i se applicando f a un output di g riottengo l input che avevo dato F a g vedi figura a lato Le funzioni x gt x 1 25 e x x 0 8 sono X gg dunque una l inversa dell altra Pi in generale sono tali x xk e x gt x 1 K cio x x k 8H fH z i i Se batto 9 sul visore riottengo 9 se batto 3 riottengo 3 La radice quadrata 5 dunque a funzione inversa dell elevamento al quadrato Se batto 3 non riottengo 3 figura 5 calcolando la radice di 9 trovo 3 cio il numero positivo y tale che y y 9 non il numero negativo 3 figura 5 98 La automazione 2 La funzione che si ottiene componendo elevamento al quadrato e
9. 169 170 Qual prendendo come modalit gli intervalli 150 154 155 159 1960 1990 aa aaia E se si prendono gli intervalli 150 152 153 155 figura 4 alutati tracciando su carta quadrettata istogrammi simili a quelli di figura 3 1 156 6 157 11 157 16 160 2 168 7 170 12 165 P N ART 2 1 3 162 8 157 13 163 18 162 4 150 9 159 14 165 OEE 5 167 10 164 ta EGOR OORE Riproduci qui a fianco gli istogrammi corretti che hai tracciato su carta quadrettata 10 Due persone hanno calcolato l altezza media 128 T delle alunne del quesito 9 utilizzando il programma 1 7 1a o r Stat scheda 1 di Le statistiche quesiti 33 e23 in doi due diversi modi vedi figura a fianco Qual la a 150 differenza tra i due procedimenti 19 dati in 19 righe 19 dati in 14 righe min max 150 170 min max 150 media 161 368421 media 161 368421 mediana 162 mediana 162 La situazione analizzata nei quesiti 9 e 10 mette in luce alcuni problemi Un primo problema che si possono ottenere istogrammi con andamento abbastanza diverso da quello degli istogrammi di fig 2 In questo caso ci dovuto al fatto che abbiamo considerato solo le informazioni relative alle diciassettenni di una particolare scuola mentre nel caso di fig 2 avevamo a disposizione la totalit dei ventenni Se la scuola fosse stata di dimensioni molto maggiori si sarebbero ottenuti istogrammi dall andamento simile a quello degli
10. 752 01 arrotondando 750 abbiamo arrotondato alle decine di metri in quanto anche a era cos arrotondato Come si vede con una pendenza come questa 55 750 7 3 avanzamento orizzontale e avanzamento lungo la strada sono praticamente indistinguibili entrambi sono arrotondabili a 750 m A maggior ragione anche nel caso della strada con minore pendenza 55 1250 4 4 possiamo confondere a con s e quindi prendere s 1250 Per strada 2 205 Per trovare la forza di spinta F in kg che la bicicletta deve produrre nel caso della strada lunga s possiamo usare il grafico di F in funzione di s F peso h s 62 55 s 3410 s Con la rappresentazione seguente possiamo ricavare che in corrispondenza di s 750 si ha F pari circa a 5 Usando la formula otteniamo F 3410 s 3410 750 4 546 arrotondando 4 5 Calcola il valore F della forza di spinta che la 40 bicicletta deve produrre percorrendo la strada lunga s arrotonda il risultato a due cifre significative F carca I 1000 3 Meccanismi che trasformano i movimenti Riassumiamo quanto abbiamo visto finora e Le caratteristiche di una strada in salita possono essere espresse numericamente in due modi indicando la pendenza della strada cio il rapporto tra dislivello superato e corrispondente avanzamento in orizzontale indicando l angolo di inclinazione e facile passare dall uno all altra e viceversa con metodi grafici
11. Nel software MaCoSa presente il programma Stat che consente di creare leggere o modificare archivi di dati in inglese file pronuncia fail e di fare analisi statistiche su archivi di dati Nella cartella STF di file per Stat sono presenti anche alcuni file relativi a esempi ed esercizi proposti in questa scheda Ecco che cosa si pu ottenere per il file alunne stf che contiene i dati sulle altezze delle alunne esaminati nel 2 della scheda Le statistiche 3 117 GUARDA in fondo alla finestra sinistra Xalunne stf To 165 j j 4 4 percentili Stat trova il massimo e il minimo tra i dati e a richiesta premendo S calcola i percentili Come vedi ritroviamo che la mediana 50 percentile 162 Se si richiede il tracciamento dell istogramma di distribuzione con plot occorre spacificare come deve classificare 1 dati 1 un intervallo che contenga minimo e massimo e 2 il numero delle classi in cui suddividerlo Per comprendere il modo in cui devono essere scelti gli intervalli puoi eseguire il quesito 10 Per ora a utilizza Stat per leggere il file alunne e poi per creare un nuovo file contenente le altezze delle alunne dopo la venuta della superspilungona ultima riga della tabella dopo figura 7 nel seguente modo 1 apri alunne stf copialo incollalo nella finestra destra 2 sostituisci 11 dato 150 col dato 200 clicca I b utilizza Stat per trovare la me
12. aperta solo quando chiusa l uscita dell altro corridoio Quale porta scegli QO Hai scelto la porta meno conveniente Stai nel corridoio per pi di un giorno 9 Arrivi in una stanza con due uscite Una sbarrata da una ragazza bionda che indossa una maglietta con la scritta PEACE L altra sbarrata da un guerriero dall aspetto feroce e minaccioso 10 La ragazza con un sorriso ti lascia passare Ringraziala con un bacio 11 La ragazza vede la tua pistola e ti fa un NO con la testa La vede anche il guerriero che si fa avanti minaccioso Immobilizzalo con la tua pistola ed esci dalla stanza Nella fuga perdi un oggetto 12 Un contatore Geiger segnala che la stanza contaminata da radiazioni Un uscita bloccata da un uomo dalla pelle verde a macchie viola E un precedente visitatore che si attardato troppo Se hai la tuta protettiva puoi soccorrerlo e portarlo fuori dalla stanza aprendo la porta che lui ha davanti Altrimenti non indugiare c un altra uscita imboccala subito Appena sarai fuori da questo labirinto cercherai atuto 13 Ti trovi in una stanza le cui uscite A e B sono comandate da un automatismo che apre A se calcoli velocemente il risultato della operazione che appare qua sotto apre B ma solo dopo 2 minuti altrimenti 14 DIVIDING ROOM Sei nella stanza dove si fanno le divisioni Se hai la calcolatrice puoi trattenerti Con poca fatica troverai un bottone con cui aprirai la porta finale e uscirai da questa
13. 126 equazione iniziale 2 x 35 35 126 35 ho applicato 35 3 x 126 35 la funzione 35 stata annullata dalla funzione inversa 35 4 x 91 ho effettuato 1 calcoli numerici Completa il seguente grafo scrivendo gli altri dati della tabella 1 1 che corrispondono a frecce o riquadri figura 4 200708 Come posso calcolare il numero degli studenti che nel 2006 07 erano iscritti alla 1 e nel 2007 08 non si sono pi iscritti a scuola cio che hanno abbandonato gli studi Devo trovare il numero y da associare alla freccia che parte dal riquadro 181 e arriva nel riquadro ABB Ho gi trovato che il valore associato alla freccia che da 181 va in 126 91 Le statistiche 4 127 Quindi poich il valore associato a un nodo la somma dei valori associati alle frecce che 11 escono da esso ho 36 gi 181 36 y 91 gt Cerco di isolare y 1 181 36 y 91 equazione iniziale 2 181 y 36 91 trasformo il 2 membro nella forma y usando 1 5 3 181 y 127 effettuo 1 calcoli numerici 4 181 127 y 127 1274 applico 127 5 181 127 y la funzione 127 annullata dalla sua inversa 127 6 54 y effettuo 1 calcoli numerici 7 y 54 scambio tra loro i membri dell equazione Calcola in maniera analoga il numero degli studenti che nel 2006 07 2 2 erano iscritti alla 2 e nel 2007 08 non si sono pi iscritti a scuola 06707 fiao 245 aiutandoti con il grafo a fianco sli 0708 fize
14. 2 di A 3 cm di B 1 cm a B A 3 di A 20cm di B 10cm di C 5cm 1 Se A la ruota motrice qual il rapporto di trasmissione Quale sarebbe se invece lo fosse B 2 Nel secondo caso la trasmissione non avviene mediante una catena o una cinghia ma per contatto diretto Fissato come positivo il verso antiorario posso dire che se A ruota a 100 giri min verso antiorario B ruota a 300 giri min verso orario Il rapporto di trasmissione da A a B quindi 3 qual invece il rapporto di trasmissione da B ad A 3 Nel terzo caso a fianco qual il rapporto di trasmissione se A la ruota motrice e C la ruota finale Quale sarebbe se invece la ruota motrice fosse C e la ruota finale fosse A Quale sarebbe se la ruota motrice fosse A e la ruota finale fosse una ruota D a contatto diretto con C e uguale ad essa 13 A fianco sono raffigurati sovrapposti alcuni rettangoli di area 4 se come unit di lunghezza si prende l unit scelta per gli assi di riferimento con due lati disposti lungo gli assi di riferimento Completa mettendo una opportuna equazione al posto di la seguente descrizione della curva per cui passano i vertici dei rettangoli opposti al punto 0 0 amp y ANDx gt 0 Considera l ingranaggio raffigurato a lato Sotto sono indicate tre funzioni che esprimono la velocit di rotazione in giri min di B di C e di D in funzione della velocit di rotazione di A Associa a ogni funzi
15. 3 radice quadrata A L lt gt Ta Y lt gt Ta L lt gt L UA vedi nota 4 divisione 2x 15 lt gt 2x 2 15 2 lt gt x 15 2 7 5 Nei casi 1 2 e 3 abbiamo applicato a entrambi i membri una funzione a 1 input Nel caso 4 abbiamo applicato la funzione 2 cio ad essere pi Membro negazione membro precisi abbiamo applicato sia a sinistra che a destra di la funzione mana SR che a due input prendendo come primo input ciascun membro a dell equazione come secondo input lo stesso termine 2 in modo da garantire l eguaglianza delle uscite Analogamente nell esempio iniziale 181 x 127 avevamo applicato 127 cio la sottrazione prendendo come primo input i membri dell equazione e come secondo input 127 Nota Il caso 3 rappresenta l equivalenza tra la formula che esprime l area di un quadrato in funzione della misura del lato e la formula inversa che esprime il lato in funzione dell area Se con A e L avessimo inteso rappresentare numeri qualunque l equivalenza corretta sarebbe stata Algebra elementare 147 A L e 0 lt L lt gt YTA L in quanto la sostituzione di Y L con L produce un termine equivalente solo se L non negativo 42 14 4 4 La automazione scheda 2 6 Analogamente l equivalenza a fianco vale solo se N 0 In altre parole S P N impiegabile anche nel caso in cui non acquisto nulla S P 0 0 se non compro nulla non spendo nulla P S N no
16. 9 3 8 2 9 16 9 I numeri che possono essere espressi come rapporto tra due numeri interi cio nella forma m n con m e n numeri interi e naturalmente n 0 vengono detti numeri razionali Il nome deriva dal fatto che in Latino i calcoli e in particolare i rapporti venivano chiamati rationes In italiano sopravvissuta la parola razione con il significato di porzione calcolata es razione di viveri che spetta ad un soldato razione giornaliera di latte da dare a un neonato Deriva dal Latino dal verbo frangere che significa spezzare pensa all italiano infrangibile anche la parola frazione che significa parte e che come sai in matematica usata per indicare un modo particolare di esprimere 1 rapporti m n come frazione viene letto m n esimi Abbiamo gi visto che tutti 1 numeri razionali sono periodici il risultato di una divisione tra interi presenta sempre un periodo Viceversa possibile trasformare ogni numero periodico nella forma m n Ad esempio col programma Poligon che approssima i numeri decimali mediante frazioni ottengo 0 140140140140140140140 140 999 0 203203203203203203203 203 999 10 45454545454545454545 115 11 e posso verificare che effettivamente 140 999 0 140140140 203 999 0 203203203 115 11 10 454545 Esprimi i seguenti numeri perodici sotto forma di rapporto tra numeri interi e verifica man mano la correttezza della risposta usando la CT 0 303030 0
17. I 39 x Il problema a cui ti trovi di fronte analogo a quello che ti si presentato affrontando un quesito del paragrafo 3 Quale Per evitare situazioni come quella del quesito precedente ci conviene trovare direttamente la posizione in cui tracciare i raggi che separano i settori invece che trovarla man mano come somma dei valori arrotondati delle singole ampiezze Dopo avere tracciato il raggio iniziale che passa per la posizione 0 la posizione del primo raggio di separazione pu essere trovata usando direttamente 4 2 mettendo il valore del primo dato datol al posto di dato e poi arrotondando il risultato la posizione dei successivi raggi pu essere calcolata prendendo come dato man mano datol dato2 dato1 dato2 dato3 e arrotondando 1 risultati in questo modo che procedono il programma Stat e programmi simili a fianco riprodotto il diagramma che viene visualizzato nel caso del quesito precedente per ottenere il diagramma a settori occorre cliccare due volte Plot Vediamo per esteso il calcolo delle ampiezze angolari seguendo questo nuovo procedimento k 360 72000 21902 k 109 5 21912 34522 k 282 2 21912 34522 9720 k 330 5 21912 34522 9720 5704 k 359 0 110 282 invece di 283 331 invece di 332 359 invece di 361 di Proviamo a tracciare 1l diagramma a settori relativo ai consumi nel 1985 Dovremo calcolare con k 360 434100 al k 96 32
18. In modo pi espressivo possiamo dire che il dispositivo B permette di distribuire il lavoro da generare su una traiet toria di lunghezza doppia per cui viene dimezzata la forza da esercitare Losssssossosooosoococooecoeoooooooceoeoosoccocooeoeooeocceoococsoecoccoecoececoococcoccccoccecoeocni Quali svantaggi e quali vantaggi pu avere il dispositivo B rispetto al dispositivo A Alla luce di quanto osservato il dispositivo B distribuisce il lavoro su una traiettoria pi lunga in modo che si deve tirare la fune con una forza minore provate a discutere il problema iniziale cio a confrontare le difficolt delle due strade che congiungono Pasotto a Pasopra figura 8 Determiniamo la forza di spinta F che deve produrre la bicicletta di Betta in funzione della lunghezza della strada s nel caso in cui Betta e bici pesino in tutto 62 kg Nell ipotesi irrealistica che la bicicletta possa procedere verticalmente essa eserciterebbe una forza verticale di 62 kg per un tratto pari al dislivello h Procedendo per una strada il lavoro viene distribuito su un tratto di lunghezza maggiore per cui minore la forza di spinta F da esercitare Se la lunghezza della strada s il fattore di riduzione h s 204 Per strada 2 lavoro F s peso h F peso h s 62 kg Nel supporre che F s sia uguale a peso h stiamo trascurando l energia SL Fasopra che la bicicletta impiega per vincere la resistenza dell aria le piccole pasto SG h
19. Secondo voi basso un adulto alto 168 cm mentre l altezza media dei maschi che avevano 20 anni nel 1992 174 cm fig 2 In figura 16 sono evidenziati 1 percentili di ordine 5 25 50 figura 16 75 e 95 stimati fino ai decimi della distribuzione dell et di I laurea alla fine degli anni 80 tabella 4 1 I dati cadono in 22 i 41 da 22 anni a 40 anni e rotti la mediana 50 percentile io 27 5 il 50 centrale dei dati cade tra 26 2 25 percentile e 29 2 75 percentile Sotto all istogramma raffigurata una rappresentazione grafica alternativa chiamata box and whiskers plot diagramma a scatola e baffi o pi in breve box plot una figura lineare si sviluppa solo orizzontalmente non in due dimensioni come gli istogrammi che sintetizza in modo efficace come si i Da EH 50 centrale dei dati n io 4 D a a A AI distribuiscono 1 dati min 5 25 50 75 95 max Il box scatola rappresenta il 50 centrale dei dati le tacche 262 292 lungo i baffi rappresentano il 5 e il 95 percentile la tacca dentro al box rappresenta la mediana 246 200 344 Il fatto che il box sia spostato verso sinistra cio che il baffo sinistro sia molto pi corto di quello destro corrisponde all allungamento verso destra dell istogramma Il box plot avrebbe potuto essere tracciato anche riferendosi a percentili di ordine diverso ad es 1l 3 e il 97 al posto del 5 e del 95
20. Una persona vuole ingrandire un disegno mediante una fotocopiatrice che ha una scala di ingrandimento fissa Se la fotocopiatrice aumenta le dimensioni del 25 cio le moltiplica per 1 25 100 1 25 fotocopiando la fotocopia del disegno si ottiene un aumento totale delle dimensioni del 50 Siano f x gt x 1 25 e g x gt f f x vedi disegno a lato Esplicita il SA termine che esprime l output di g Una persona utilizzando una fotocopiatrice con scala di ingrandimento riduzione variabile riproduce parte di una cartina geografica prestatale da un amico impiegando il fattore di scala 125 cio ingrandendola del 25 Successivamente quando ormai non ha pi a disposizione la cartina si rende conto che con la fotocopia ingrandita non pu pi impiegare la comoda scala 1 cm 1 km della cartina originale Decide allora di fotoridurre la fotocopia impiegando il fattore di riduzione 75 cio di ridurla del 25 Cos crede di riottenere le stesse dimensioni della cartina originale E giusto il ragionamento che ha fatto 100 cm fattore di ingrandimento 100 cm 125 100 cm 1 25 125 cm 125 cm fattore di riduzione 125 cm 75 Quale fattore di riduzione doveva applicare per riottenere 100 cm Le statistiche scheda 1 fine 2 ha E 175 Sia f la funzione x gt x 1 25 cio sia f x x 1 25 PA 150 A Sia g la funzione x gt x 0 8 cio sia g x 140 140 x 0 8 a i h 120
21. a b con l intenzione di distribuire la negazione e Dimostra con un esempio che i due termini non sono equivalenti e spiega qual l errore H Guadagno Incasso Spesa Spesa ottenta da Guadagno Incasso Spese e Spiega qual l errore con la sostituzione Spese Spesa Spesa Algebra elementare 145 Non difficile capire n ricordare le propriet che si utilizzano per manipolare 1 termini Basta un minimo di riflessione o qualche esempio numerico per vedere quando una regola di riscrittura trasforma un termine in uno equivalente La difficolt sta nell individuare man mano quale regola di riscrittura applicare e nell applicarla nel modo giusto come hanno messo in luce gli esercizi precedenti Gli errori esaminati in questi esercizi possono essere raggruppati in tre classi 1 Casi in cui non si presta attenzione alla struttura del termine e si applica una regola HRE di riscrittura a una espressione che non un sottotermine Fd NG H e Ad es nel caso A del ques 13 non si tenuto conto che x y non un sottotermine di cha x yz Infatti x yz esplicitando tutti 1 simboli di operazione e delimitando i sottotermini Z RI con parentesi assume la forma x y z E cos in B 2a 2b non un sottotermine in E x x non un sottotermine infatti 1 x x sta per 1 x x x 2 e Nel caso C si interpretato x come sottotermine di x x mentre in questo caso VA NG il primo rappresenta la so
22. che si legge effe di x B oppure si conosca una tabella che contenga una quantit finita di valori di x e 1 corrispondenti valori di y in questo caso POLIGON richiede la battitura delle coppie x y e se si vuole l indicazione di non congiungere un punto al successivo Nel caso A ci si descrive la funzione assegnandole un nome nel riquadro in basso nel modo illustrato sopra si considerata la funzione dell ultimo esempio e si scelto per essa il nome F Se poi si clicca il bottone Imp il programma importa questa definizione Sulla finestra scorrevole a destra viene visualizzata la definizione consentendoci di rivederla in un secondo momento ed eventualmete di copiarla e incollarla in altri documenti Poi nel riquadro x in alto indico l intervallo di valori in cui voglio far variare x separando l estremo sinistro da quello destro con e nel riquadro y il nome della funzione Infine clicco Plot Nel riquadro x compare N 101 per dirci che il programma ha approssimato il grafico con 101 segmentini una linea poligonale di 101 lati Nella finestra scorrevole in basso a destra compare una lista in cui sono richiamati gli intervalli per le x e per le y attualmente associati alla finestra grafici Ma se osserviamo la finestra grafici non riusciamo a distinguere il grafico di F infatti inzialmente ad essa viene associata una parte di piano in scala monometrica Se facciamo un doppio clic su o riusciamo a ottimizzar
23. di fronte all esecuzione di 10 243 10 2 3 e 10 12 13 battendo i tasti nello stesso ordine dei segni di operazione e cio cerca di capire qual l ordine in cui esegue le operazioni Le CT dotate di tasti parentesi consentono di calcolare 5 1 3 direttamente senza usare la memoria utente o In genere si tratta di CT che hanno incorporata la priorit delle operazioni Vediamo come pu funzionare una CT di questo tipo tasti visore interno Dopo la battitura di LH la CT non calcola 5 1 ma essendo stato premuto tiene in sospeso 5 5 Appena si batte E la CT completa il calcolo di 1 3 visualizza il risultato 5 4 e alla battitura di E calcola 5 4 f NA Quale sequenza di tasti puoi impiegare per eseguire con una CT dotata di tasti di parentesi il seguente calcolo 3 5 1 1 5 1 3 2A 14 514 sai E taa 5 5 eee Riscrivi a 1 piano i termini seguenti introducendo solo se necessario opportune parentesi 15 15 2 2DI dozzine 274 do Luceenenienee LOS curr 10243 gt carini Vediamo ora come si comportano le CT dotate di parentesi di fronte a calcoli pi complessi Se si batte 2 EAK 1 2 edd A a BIBI possono visualizzare uno dei seguenti messaggi 1 E o Error o un lampegg o 2 10 3 un altro numero Quali CT completano correttamente il calcolo La tua CT o la CT dotata di parentesi di un tuo compagno come si comporta Quante operazioni devono essere in grado di tenere in sospeso le CT
24. edo 120 Le statistiche 3 La tabella 6 3 contiene il peso medio di maschi e femmine di altezza e fascia di et fissate Contiene inoltre il peso ideale di maschi e femmine di et adulta non viene indicato un unico dato ma un intervallo ad es il peso ideale delle donne alte 150 cm pu andare da 44 a 54 kg nel senso che una donna alta 150 cm con scheletro particolarmente leggero ha come peso ideale 44 kg e una con scheletro particolarmente pesante ha come peso ideale 54 kg Il peso ideale di una certa categoria di soggetti viene definito convenzionalmente come il peso a cui corrisponde l et media di morte pi alta 1 soggetti con quel peso mediamente vivono pi a lungo dei soggetti con altro peso peso medio kg peso ideale kg pica co 24 anni 49 nm da T a 160 599 653 53 64 6 3 oo er ns s 7 E E o 2a sos fe fo sulla popolazione italiana anno 1990 MOREAECNENEN o 555 _617_ _ 8 o o ss esa sa or o os 364 6 35_ e Una ragazza robusta alta 160 cm e pesante 60 kg legge preoccupata in una rivista femminile in un articolo sulle diete che il peso ideale di una donna della sua altezza 50 kg Perch ci che scritto sulla rivista una stupidaggine e Un uomo di 45 anni e alto 180 cm che a vent anni pesava 64 kg ora pesa 81 kg Da una statistica sul giornale legge che a mezz et un uomo della sua altezza pesa mediamente 80 kg Ritenendo allora
25. iscritti A1 D2 C2 D1 54 iscritti alla 2 nel 2006 07 che non si sono pi iscritti iscritti alla 3 nel 2006 07 che non si sono pi iscritti 128 Le statistiche 4 Completa la seguente tabella valore in espressione generale ITI LS iscritti alla 1 nel 2006 07 che non si sono pi iscritti iscritti alla 1 nel 2006 07 Tale rapporto nel caso dell ITI 54 su 181 cio 0 298 si chiama tasso di abbandono dalla classe prima alla classe seconda Esso ci dice che il numero degli abbandoni pari a Totalelscritti 0 298 Se espresso in forma percentuale 29 8 arrotondando 30 si legge anche ogni 100 studenti iscritti 30 abbandonano Analogamente si parla di fasso di interesse su un prestito su un deposito bancario per indicare il rapporto tra interesse e somma iniziale cio quante lire di interesse vengono pagate ogni 100 Ad esempio l interesse pagato a una banca per un prestito di 70000 gravato da un interesse del 5 5 interesse 70 000 poni 70 000 0 05 3500 Tassi di abbandono analoghi a quelli trovati valgono anche a livello nazionale Potete confrontare i dati qui analizzati con quelli ufficiali sia italiani che relativi alla vostra regione che potete ricavare in rete dal sito dell ISTAT Dietro a questo fenomeno vi sono molti fattori Ad es in genere la valutazione pi rigorosa rispetto a quella praticata nella scuola media Ci pu essere motivato con
26. pendenza media variazione verticale variazione orizzontale 17 125 0 136 13 6 arrotondando 14 Ci in accordo col segno gt gt gt abbiamo arrotondato a due sole cifre non aveva senso considerare pi cifre in quanto sia 17 che 125 sono valori approssimati ad esempio se il valore esatto del dislivello fosse 17 4000 e quello della strada percorsa orizzontalmente fosse 124 000 avremmo ottenuto 17 4 124 14 03 invece di 13 6 Osserviamo che aver trovato che la pendenza media del tratto considerato del 14 non significa che in tutto il tratto ad ogni metro di avanzamento orizzontale corrispondono 14 cm di innalzamento vi possono essere pezzi di strada in cui la pendenza inferiore e pezzi di strada in cui la pendenza superiore 6 5 SESSO 50 100 In prossimit del passo parte un sentiero che conduce alla cima di un monte Stima quale pendenza si deve affrontare nell ultimo tratto del sentiero dalla quota 725 alla vetta vedi figura sopra al centro 2 Sopra a destra sono raffigurate due salite con le pendenze del 20 e del 50 Traccia una salita con la pendenza del 100 e una con la pendenza del 200 Utilizzando un goniometro o la porzione di cerchio graduato riprodotta a destra pi riga e squadra misura l angolo di inclinazione di ciascuna di queste due salite Per strada 2 201 Betta e Rina hanno imparato facilmente a leggere sia le curve di livello che le indicazio
27. 3 1 e passante per 5 1 pu essere fatto tracciare col comando C 3 1 5 1 Esiste software che consente il tracciamento di figure con il mouse e di avere contemporaneamente una loro descrizione algebrica Ecco sotto il tracciamento dello stesso cerchio realizzato col software libero GeoGebra a cui puoi accedere da qui realizzato cliccando l icona che corrisponde al tracciamento di un cerchio a partire dal suo centro e un suo punto e quindi cliccando centro e punto Oltre alla figura ne ottieni anche una descrizione algebrica Se vuoi puoi poi modificare la figura trascinandone col mouse col pulsante destro schiacciato uno dei due punti che la identificano 158 La automazione 4 1 GeoGebra Aela File Modifica Visualizza Opzioni Strumenti Finestra Guida Aill ll e el P s circonferenza dato e i 4 A LINI sie il centro e un punto Xx Q Oggetti liberi A 3 1 B 5 1 Oggetti dipendenti c x 3 y 1 4 Inserimento v Comando Applicazioni di questo tipo vengono chiamate di geometria dinamica Tra gli esercizi troverai alcune attivit che ti consentiranno di esercitarti al loro uso 6 Esercizi Prova a calcolare e descrivere lo stato del foglio A elettronico passando dallo stato visione formule allo stato visione valori nel caso illustrato a fianco A2 10 A1 A3 formule Se davanti ad una coordinata metto essa non viene F G
28. B_ lt gt A l B lt gt Per trasformare il termine iniziale nel termine finale 2 2 2 2Ww w WwZ 2ZW 2w w wz 2wz 2w w 1 2 wz 2w w wZzZ W 2 W Z 2 W Z 2 W Z 2 W Z 2 W Z 2 W Z si sono applicati 1 seguenti procedimenti Scrivi nei riquadri il numero d ordine con cui sono stati usati calcolo di addizione riordino di moltiplicazioni semplificazione di frazione raccoglimento a fattor comune raccoglimento a fattor comune 150 Algebra elementare Dividendo o moltiplicando i due termini di una frazione per uno stesso numero diverso da 0 si ottiene una frazione equivalente un modo in cui possono essere espresse verbalmente le regole a c a a ac ii b c b b b c Calcola mentalmente la divisione 7526 5 e spiega a parole come hai proceduto Quale propriet suggerisce la figura a fianco a b T b A Quali regole di riscrittura puoi dedurne A lovora one b a ST opposta di cio a b e10 Un disegno che occupa un rettangolo lungo 17 cm e Li nl largo 8 3 cm deve essere ingrandito fino a occupare un rettangolo lungo 40 cm Indicata con x la larghezza del o nuovo rettangolo scrivi un equazione che traduca la frase x sta a 40 come 8 3 sta a 17 e risolvila arrotondando 1l risultato ai millimetri ell Abbiamo pi volte rappresentato la relazione tra valore in C e valore in F di una temperatura sia sotto forma di grafico sia sotto forma di equazione f 32 1 8c Eff
29. Calcola con una riga millimetrata la distanza tra le posizioni che corrispondono al vertice in alto a sinistra e al vertice in basso a destra 2 ma attento la scala di questa cartina diversa della cartina dell esercizio precedente procedi come nel quesito Confronta questo valore con quello che puoi ottenere con una CT procedendo come nel quesito 15 Per strada 1 185 Nel disegno 1 seguente rappresentato il pavimento di una stanza di forma quadrata e comprende due preziose lastre di marmo scuro di uguali dimensioni disposte come in figura Il nuovo proprietario dell appartamento vuole rifare il pavimento cercando di riutilizzare le due lastre Fa allora qualche schizzo disegni 2 5 per studiare la possibilit di disporre al centro della stanza un quadrato di marmo chiaro facendo meno tagli possibile sulle due lastre La parte di pavimento non occupata dal marmo scuro composta da due quadrati Nella nuova configurazione assume la forma di un unico quadrato ma naturalmente non cambia estensione Perch il proprietario dell appartamento con questo ragionamento ha fatto anche una dimostrazione del teorema di Pitagora disegno a sinistra Traccia Indica con a e b le misure dei lati dei due quadrati iniziali Lo spazio per il marmo _____ bianco ha quindi estensione a 5 Indica con c la misura del lato del quadrato che questo spazio assume nella configurazione finale lato che anche l i
30. Funzioni a l e a 2 input I registri di lavoro e la gerarchia delle operazioni La memoria utente e 1 tasti parentesi I numeri delle CT e la loro codifica interna Altri tasti funzione La radice quadrata 6 Composizione di funzioni Funzioni inverse Z Esercizi Sintesi PE n I Funzioni a l e a 2 input Prima di approfondire la conoscenza e l uso del calcolatore ci soffermiamo ad indagare ulteriormente il funzionamento delle calcolatrici tascabili CT delle quali abbiamo gi fatto uso numerose volte si tratta di uno strumento di lavoro d uso comune sia a scuola che nella vita di cui opportuno avere una buona padronanza e la cui conoscenza ci pu servire come introduzione allo studio dei calcolatori Infatti le CT sono macchine che registrano ed elaborano le informazioni in maniera simile ai calcolatori anche se in genere sono in grado di trattare solo dati numerici e non sono programmabili ma usano solo programmi incorporati per chiarezza useremo 1 termini calcolatori tascabili o pocket computer per indicare 1 mezzi di calcolo tascabili e programmabili Ad es se voglio trovare qual la percentuale corrispondente a un dodicesimo posso calcolare l espressione decimale di 1 12 usando il tasto M batto 12 premo 4 ottengo 8 3333 2 input funzione output Con la sequenza 12 ho comunicato alla CT che deve operare sul dato 12 mediante la funzione x 1 x che che trasforma un numero nel suo recipr
31. I 1 Segna con l evidenziatore nelle parti della scheda indicate frasi e o formule che descrivono il significato dei seguenti termini propriet commutativa dopo ques 6 registro di lavoro 2 memoria utente 3 mantissa della notazione scientifica dopo ques 18 numeri macchina 4 insieme di definizione prima di ques 27 composizione di funzioni 6 funzione inversa dopo ques 36 valore assoluto dopo ques 36 2 Su un foglio da quadernone nella prima facciata esemplifica l uso di ciascuno dei concetti sopra elencati mediante una frase in cui esso venga impiegato 3 Nella seconda facciata riassumi in modo discorsivo senza formule come in una descrizione al telefono il contenuto della scheda non fare un elenco di argomenti ma cerca di far capire il filo del discorso Le statistiche 3 103 Le statistiche Alcuni modelli per la rappresentazione dei dati Scheda 3 Lo sviluppo corporeo 0 Introduzione 1 Istogrammi di distribuzione 2 Media aritmetica moda mediana 3 Campionamento 4 Percentili normalit 5 Concludendo 6 Esercizi Sintesi 0 Introduzione Giovanni basso Maria troppo alta A volte sono semplici osservazioni altre volte sono giudizi un po maligni Ma che cosa vuol dire basso che cosa vuol dire alta In base a quale valutazione riusciamo a distinguere quando una persona alta bassa o di altezza normale Sicuramente siamo in
32. I cronometri cos come tutti gli odierni orologi al quarzo sono precisissimi sgarrano di pochi secondi al mese Quindi se un orologio dotato di un pulsante start stop e visualizza 1 centesimi di secondo siamo sicuri che il tempo che intercorre tra due successive pressioni del pulsante rappresentato correttamente troncato ai centesimi di secondo dal numero che viene visualizzato Nei cronometraggi delle gare tuttavia non viene impiegato un unico cronometro ma i tempi vengono misurati contemporaneamente da pi cronometristi Poi vengono presi come tempi i valori medi troncati ai centesimi dei tempi registrati dai diversi cronometristi e Discuti questa scelta alla luce dell analisi del file t sec stf contenuto in Stf in cui sono stati registrati 1 valori in centesimi di secondo che una persona normale non un allenato cronometrista ha ottenuto misurando ripetutamente con un orologio A il tempo che impiega un altro orologio B a scattare in avanti di 1 s ad esempio la persona ha dato lo Start sull orologio A appena l orologio B ha visualizzato 15 31 08 e ha dato lo Stop appena B ha visualizzato 15 31 09 e ha trascritto il tempo visualizzato da A poi ha fatto lo stesso per esempio dalla visualizzazione di 15 31 46 a quella di 15 31 47 ecc Sotto riprodotto l esito dell analisi con Stat Nota Le misure ottenute con l orologio sono froncate ai centesimi di secondo Alla media visualizzata devo quindi aggiungere 0 5 cio
33. K x 3 Che relazione intercorre tra la pendenza di F e la pendenza di G figura 6 20 20 In figura 7 sono tracciati i grafici di due funzioni F e G Sul grafico di F stato evidenziato il punto 1 5 2 25 che esprime il fatto che l output di F corrispondente all input 1 5 2 25 1 Evidenzia il punto che rappresenta quale output ha F se l input 1 5 2 Qual l output di G se l input 2 25 cio qual la radice quadrata di 2 25 Evidenzia il punto che esprime questa associazione 3 Siano H F G e K G F Calcola gli output di H e di K per gli input 0 1 1 2 2 3 3 vedi tabella a fianco Prova a esprimere H x e K x senza ricorrere a F e G H x K x 4 Traccia 1 grafici di H e di K 5 Tracciando il grafico di F si fatta variare x su tutto l intervallo 2 3 Dove conviene farla variare per 1 grafici di G e H La automazione 2 99 7 Esercizi I numeri macchina positivi con ordine di grandezza n di una ipotetica CT dotata di registri con mantisse a due cifre vanno da 1 0 10 a 9 9 10 La prima cifra pu andare da 1 a 9 9 possibilit la seconda da 0 a 9 10 possibilit Quindi questi numeri in tutto sono 9 10 90 HE En 10 numeri 10 numeri 10 i AL inizianti EE inizianti n i imizianti con con z all con 9 2 91 Se la CT registrasse 3 cifre si andrebbe da 1 00 10 a 9 99 10 Per ciascuna delle 9 possibili scelte della prima
34. Le statistiche 3 113 1 Di 140 150 160 170 180 190 A lato sono raffigurati 1 box plot relativi alle altezze dei MEAN RA ventenni italiani nel 1881 nel 1961 e nel 1976 I dati utilizzati media 162 8 tare per il 1881 erano classificati in 140 145 185 190 peril edia 169 2 i 1961 in 145 150 185 190 per il 1976 in 150 155 VO VO VO O O E UO UO UO 190 195 Questo spiega i diversi punti di partenza arrivo dei media 172 0 E baffi i0 150 160 170 180 190 Qual l intervallo con estremi arrotondati ai centimetri in cui cade il 90 centrale delle altezze dei ventenni del 1881 E nel caso del 1961 E in quello del 1976 Le mediane differiscono in maniera significativa dalle medie indicate in figura I percentili permettono di affrontare in modo serio questioni come che cosa vuol dire essere di altezza normale Ad esempio che cosa si intende dicendo che una persona bassa Che la sua altezza inferiore all altezza mediana Ma in tal caso le persone si dividerebbero quasi tutte in alte o basse e sarebbero normali solo poche persone Per dare un significato oggettivo alla valutazione dell altezza dobbiamo fissare delle convenzioni Ad esempio potremmo dire che sono nella media le altezze che cadono entro il 50 centrale dei dati cio tra il 25 e il 75 percentile e che sono basse quelle
35. Un buon confronto visivo sia tra le varie voci che tra ogni voce e il totale offerto da un ulteriore tipo di rappresentazione il diagramma a settori circolari Il totale viene rappresentato con un cerchio che suddiviso in settori circolari in modo che le loro ampiezze siano proporzionali ai dati Ad esempio se consideriamo 1 consumi del 1985 suddivisi soltanto in alimentari e non alimentari otteniamo il diagramma a fianco non alimentari alimentari Come stato ottenuto Il procedimento del tutto analogo a quello impiegato per le percentuali Per esse si visto che si pu e calcolare per ogni dato quanta parte del totale cio il rapporto dato totale nel nostro caso 116148 434100 0 267 cio i consumi alimentari sono 0 267 volte il totale dei consumi e prendere la stessa porzione di 100 0 267 volte 100 cio 0 267 100 26 7 arrotondabile a 27 dato 3 1 percentuale 100 oppure totale Moltiplicare ogni dato per lo stesso fattore moltiplicativo che trasforma il totale in 100 ossia per il rapporto 100 totale 100 3 2 percentuale dato TTT totale Abbiamo anche osservato che facile verificare l equivalenza di 3 1 e di 3 2 moltiplicando per 100 prima della divisione per totale o dopo di essa si ottiene comunque lo stesso numero Nel caso dei diagrammi a settori circolari il totale viene rappresentato dall intero cerchio cio da 360 L ampiezza in gradi da associare
36. brutta avventura 15 Un custode ti si fa davanti minaccioso Se vuoi puoi provare a buttarti dalla finestra Altrimenti aspetta e vedi che vuole il custode Che fai ti butti dalla finestra F o aspetti il custode C 16 AMEN e buona digestione al coccodrillo 17 Si apre una botola e precipiti in un tunnel Improvvisamente ti trovi in una stanza che gi conosci 18 Il leone che hai davanti affamatissimo Svelto gettagli del cibo e scappa 19 Non vero che questa stanza non ha uscite scritto su un cartello Una voce ridente afferma L affermazione sul cartello falsa Val la pena che tu ti metta a cercare un uscita s n 20 Hai sbagliato risposta Riprova Osservando il comportamento della macchina da gioco durante i tuoi tentativi potrai capire come completare il seguente diagramma cliccalo per ingrandirlo che indica come la macchina prosegue a seconda delle risposte del giocatore La automazione 1 Fi Completa il diagramma scrivi a fianco di ogni freccia che esce da un riquadro con domande la risposta corrispondente e metti in ogni riquadro vuoto OK quando esso corrisponde all uscita dal castello stregato e KO quando corrisponde a un insuccesso Poi osservando il diagramma completato individua quali sono i casi scelta degli oggetti iniziali scelte durante il percorso in cui il gioco si conclude positivamente Statistiche Analogamente al caso precedente se non lo avete gi fatto nell
37. costanti e variabili vengono chiamate anche atomi Ad esempio se alle costanti 5 e 3 applico la addizione o la sottrazione ottengo i termini 5 3 e 5 3 se a questi termini applico la moltiplicazione ottengo il termine 5 3 5 3 Non ho scritto 5 3 5 3 ma ho racchiuso tra parentesi 1 termini 5 3 e 5 3 in modo da chiarire che la moltiplicazione era applicata ad essi nella loro interezza non solo a 3 e 5 Le parentesi servono per delimitare all interno di un termine 1 pezzi che ne rappresentano dei sottotermini cio 1 termini di cui dobbiamo calcolare il valore per ottenere il valore del termine complessivo 5 3 5 3 viene interpretato come la moltiplicazione avente per termini 5 3 e 5 3 dobbiamo prima calcolare il valore di ciascuno di questi sottotermini e poi calcolare 1il valore del termine complessivo La struttura di un termine pu essere visualizzata mediante schemi come i seguenti relativi al termine 5 3 5 3 1 9 3 9 3 Le statistiche 4 123 Lo schema illustra la costruzione del termine a partire dai suoi atomi Lo schema 2 in cui le frecce sono invertite rispetto allo schema analizza la struttura del termine scomposizione in sottotermini man mano pi elementari fino ad arrivare agli atomi Lo schema 3 una descrizione del termine 5 3 5 3 che esplicita soltanto gli atomi e le funzioni impiegate per costruirlo Disegna gli schemi del tipo 2 relativi ai termini descritti a fianco Scriv
38. da MAtematica per COnoscere e per SApere volume 1 gruppo didattico MaCosSa Introduzione 1 MACOSA MAtematica per COnoscere e per SApere INTRODUZIONE Questo un libro di testo che forse troverete un po diverso dal solito libro di matematica Infatti esso tutto costituito da schede di lavoro che in parte dovrete completare voi affronta come appare anche dai titoli delle schede temi sia matematici che non matema tici non comprende solo calcoli da fare formule da capire ma anche molte parti da leggere presente in una versione in rete all indirizzo http macosa dima unige it sup da cui potete recuperare sia le schede di lavoro in formato html utili sia per il lavoro individuale che per proiezioni in aula sia ulteriori esercizi che si aggiungono a quelli presenti nelle schede oltre a software e ad altro materiale e fa riferimento ad una specie di dizionario matematico Gli oggetti matematici che troverete in rete e in cui potrete rivedere gli argomenti matematici affrontati nelle schede di lavoro Il libro impostato in modo da attuare le indicazioni presenti nei Nuovi programmi che non fanno altro che riprendere e sviluppare quelle presenti nelle precedenti versioni l in segnamento della matematica deve essere articolato in percorsi didattici che stimolino la partecipazione attiva degli studenti e che introducano e sviluppino 1 concetti matematici a
39. importante culturalmente e operativamente per usare correttamente e consapevolmente le CT e capire di fronte a una situazione problematica quali calcoli occorre svolgere per risolverla inutile saper fare velocemente divisioni e moltiplicazioni se non si sa come affrontare il calcolo di una percentuale La automazione 4 157 e Saper stimare l ordine di grandezza ed eventualmente qualche cifra significativa del risultato sia attraverso calcoli approssimati sia facendo considerazioni legate alla situazione se dobbiamo determinare l altezza di un palazzo ci aspettiamo che il risultato sia di poche decine di metri nel caso dello spessore di un foglio di carta ci aspettiamo una misura vicina al decimo di millimetro ci serve sia a fare valutazioni nei casi in cui si devono compiere delle scelte in tempi rapidi sia a controllare le uscite della CT un tasto mal premuto pu dar luogo a risultati errati e conoscere le possibilit e 1 limiti della CT in modo da impostare correttamente 1 calcoli e da interpretarne le uscite Possiamo fare considerazioni analoghe per i programmi per il calcolo simbolico svolgono in frazioni di secondo calcoli che a mano richiederebbero molto pi tempo e che sarebbe facile sbagliare per errori di distrazione E in genere come abbiamo gi osservato sono integrati in programmi pi generali che consentono anche di fare grafici ed elaborazioni numeriche permettendoci di combinare varie tecniche risolut
40. la circonferenza della pedalata S1 gt S2 51 6 1 fattore per cui moltiplicata la velocit di rotazione di 2 l 1 2 2 rapporto tra la circonf della ruota e quella della pedalata Quindi il lavoro prodotto con una pedalata viene distribuito su un traiettoria doppia che viene ripetuta 3 volte cio su un percorso che 2 3 6 volte il percorso del pedale La forza di spinta perci 6 volte pi piccola della forza esercitata sul pedale In conclusione F F 6 ovvero F F 6 Qual l intensit della forza arrotondata ai kg che Betta deve esercitare sui pedali nei due casi nel caso della strada 1 kg nel caso della strada 2 kg Nel caso della strada 1 occorre esercitare una forza di quasi 30 kg nel caso della strada 2 ne bastano poco pi di 15 Se non si vuole fare troppo sforzo conviene decisamente questa strada Nel caso la bicicletta sia dotata di cambio 3 della scheda 1 di La automazione si pu modificare 1l fattore per cui viene moltiplicata la velocit di rotazione Vedi qui se sei interessato ad approfondire l argomento ot nu catena di 24 denti Tasti dala u_rrFrT r rT r__ ____ 15 15 trasmissione ruota dentata denti motrice Consideriamo ora il motorino di Rina Certamente non avr problemi per il tratto di strada che con giunge Pasotto e Pasopra Rina ha gi affrontato pi volte salite del genere Qualche problema potrebbe esserci per l ultimo
41. la rotazione antioraria se NuGradi gt 0 oraria altrimenti Sulla figura a lato sono rappresentate la posizione e la direzione iniziali di un robot I quadretti hanno lato di 1 m Traccia le traiettorie che il robot compirebbe se fosse programmato nei seguenti modi 1 FOR i 1 TO 4 AV 6 RO 90 NEXT 2 FOR i 1 TO 8 AV 7 RO 45 NEXT 3 FOR i 1 TO 3 AV 8 RO 120 NEXT Considera il programma in QB bohl txt a cui puoi accedere cliccando cerca di prevedere che cosa appare sullo schermo alla fine dell esecuzione Verifica poi la tua previsione eseguendolo Come sopra per boh2 txt e boh3 txt l istruzione COLOR imposta il colore delle uscite vedi l help 1 Segna con l evidenziatore nelle parti della scheda indicate frasi e o formule che descrivono il significato dei seguenti termini spostamento dopo q 6 e dopo q 9 teorema di Pitagora dopo q 16 operatori logici q e4 2 Su un foglio da quadernone nella prima facciata esemplifica l uso di ciascuno dei concetti sopra elencati mediante una frase in cui esso venga impiegato 3 Nella seconda facciata riassumi in modo discorsivo senza formule come in una descrizione al telefono il contenuto della scheda non fare un elenco di argomenti ma cerca di far capire il filo del discorso La matematica e lo spazio I 187 La matematica e lo spazio I modelli geometrici Scheda 1 Traslazioni vettori e distanze 0 Introduzione 1 Il piano cartesiano 2 Tras
42. nel seguente modo Battitura del 1 dato SS Il hu Emi EN Sua introduzione compare l indicazione che stato inserito 1 dato Battitura del 2 dato Scelta di assegnare al dato una frequenza n di volte per cui prenderlo Battitura della frequenza gt I lt Do Il LAI Introduzione per 3 volte di 6 compare l indicazione che i dati inseriti sono 4 pd a kle E o E E gt Il Co DI Compare la media aritmetica dei dati introdotti Ricordiamo che nei tasti delle CT spesso si usa x per indicare il dato introdotto ad esempio e indicano il calcolo del reciproco e il calcolo dell opposto del numero visualizzato Analogamente e LET indicano il calcolo della somma e 1l calcolo della media della sequenza di dati introdotti Il simbolo S la lettera greca sigma che viene pronunciata come la nostra esse qui viene usata per ricordare la parola somma indica l aggiunta di un nuovo dato alla sequenza di dati che devono essere sommati e di cui deve essere calcolata la media in alcune CT presente anche per indicare la cancellazione dell ultimo dato della sequenza serve per correggere eventuali errori di battitura I calcoli statistici in genere appaiono come significati secondari di qualche tasto ad esempio Alcune CT sono dotate di un apposito tasto STAT o un tasto simile che attiva il significato statistico dei tasti questo permane fino a che non si ribatte e Tra i due procedimenti esemplifica
43. popolazione pi facilmente confrontabile con consumi relativi ad altri tempi quesiti 47 e 48 o ad altre zone geografiche quesito 49 Sapendo che la popolazione presente in Italia nel 2008 era di 59 6 milioni trova il consumo pro capite totale e quello per ciascun gruppo di beni arrotondando il risultato alle migliaia e usando il tasto memoria della CT SIG dato hai messo in memoria Esprimi la relazione tra consumo complessivo consumo pro capite e numero di abitanti completando le formule 5 2 consumo pro capite 5 3 consumo complessivo 5 4 numero di abitanti La seguente tabella 5 5 che contiene 1 consumi medi mensili per famiglia relativi all anno 2007 ci mostra che il consumo calcolato per tutto il paese diverso da quello di ciascuna delle due zone geografiche settentrionale e centrale meridionale e insulare zone che indicheremo con SC MI Ad esempio in MI una famiglia per i trasporti mediamente spende molto meno che in SC il dato relativo a tutta l Italia compreso tra quello delle due zone Ci conferma l osservazione che abbiamo fatto circa la natura fittizia dei valori medi aliment tabacco vestiario abitaz trasporti altro totale 85 SG MI ltalia 52 Dalle prime voci della tabella sembra che la spesa familiare mensile in Italia sia pari alla media aritmetica di quelle nelle due zone SC e MI Ma le ultime colonne successive fanno emergere qualche dubbio Controlla n
44. prevista l IVA del 20 cio 11 20 del prezzo di vendita viene versato allo stato come imposta A quanto si deve vendere il prodotto per incassare al netto dall imposta 4 50 traccia procedi in maniera analoga al quesito precedente PrezzoVendita PrezzoSenzalIVA Dalla tabella del quesito 11 osserviamo che la variazione dei dati assoluti dal 1972 al 1980 di 7 cm sia per gli uomini che per le donne mentre la variazione dei numeri indici corrispondenti diversa 116 3 112 8 3 5 in un caso 121 8 117 6 4 2 nell altro Come mai 1 Segna con l evidenziatore nelle parti della scheda indicate frasi e o formule che descrivono il significato dei seguenti termini grafico di una relazione dopo fig 4 pendenza media dopo ques 8 aumento medio dopo ques 8 numero indice dopo ques 11 variazione percentuale prima di ques 13 sistema monometrico ques 17 grandezza che varia in funzione di un altra 3 2 Su un foglio da quadernone nella prima facciata esemplifica l uso di ciascuno dei concetti sopra elencati mediante una frase in cui esso venga impiegato 3 Nella seconda facciata riassumi in modo discorsivo senza formule come in una descrizione al telefono il contenuto della scheda non fare un elenco di argomenti ma cerca di far capire il filo del discorso La automazione 2 87 La automazione Dalle macchine semplici alle macchine programmabili Scheda 2 Le calcolatrici tascabili
45. quattro operazioni M 2 Consideriamo il tasto 5 Il calcolo della funzione x x che trasfor i BS ma x in x pu essere realizzato componendo una funzione duplicatore cio la funzione a 1 input e 2 output che preso un dato restituisce il dato stesso e una sua copia e una moltiplicazione figura 4 elewarmnento al quadrato figura 4 Pi complicato interpretare il funzionamento del tasto L La automazione 2 95 Provate a battere le seguenti sequenze di tasti e annotate 1 risultati ottenuti 2 keli HAEl 2 amp 7268 26276 2 be 3 E Nel caso di potenze a esponente intero come 1 2 e 3 sappiamo che il calcolo pu essere effettuato attraverso una sequenza di moltiplicazioni o di divisioni per la base a partire da 1 1 2 1 2 2 1 2 2 27 1 2 2 1 2 2 2 Basterebbe quindi impiegare il programma per eseguire la moltiplicazione o quello per eseguire la divisione e un contatore per tenere il conto delle volte che tale operazione stata effettuata Nel quesito 26 abbiamo tuttavia visto che la CT esegue il calcolo anche nel caso in cui l esponente non intero per 2 7 viene dato come risultato 6 4980192 Si tratta di un valore compreso tra 2 4 e 2 8 ma a prima vista non si riesce a comprendere come questo numero possa essere ottenuto a partire dagli input 2 e 2 7 Su questo problema ritorneremo pi avanti quando avremo messo a punto i concetti matematici che ci permetteranno di affrontarlo
46. seguendo i tratti indicati dalle frecce raggiunge il 1 e 3 da destra flip flop cambiandone lo stato Se invece batto 0 non arriva alcun impulso elettrico ai flip flop che rimangono tutti in stato 0 Completa lo schema in modo da illustrare anche la codifica di 7 100 La automazione 2 La calcolatrice allegata simula il funzionamento di una calcolatrice Verifica con degli opportuni esempi che dovrai riportare e commentare se essa ha o no la priorit delle operazioni Quindi a Usala per rivedere gli esempi considerati nella scheda in particolare quelli di 2 e di 4 b Qual il massimo numero intero a cui pu essere elevato 10 prima di arrivare all overflow c Che cosa si ottiene se a partire da 10 si batte ripetutamente il tasto di estrazione di radice quadrata Ciascuno dei due schemi a fianco rappresenta la composizione di due funzioni f e g Scegliendo tra x gt x 5 x x 2 x x stabilisci che A x g Het cosa sono fe g nei due casi E schema A fix QX B x g x 5 schema B fix gx Completa gli schemi a fianco dando il nome giusto fo ga x 3 xd ciascuna scatola sapendo che nai na 2 f x 3 x gx x Ch Completa gli schemi a fianco dando il nome giusto f o g ax y 3 ciascuna scatola sapendo che fix gt 3 x g x gt 2x 1 s roxtl Per calcolare l elevamento al quadrato mediante una CT invece del tasto di funzione a 1 argomen
47. sguardo inclinato di 20 per inquadrare la cima della montagna dobbiamo inclinare il tubo di 20 contemporaneamente il filo a piombo ruota di 20 sul cerchio graduato attaccato alla tavoletta possiamo leggere questa rotazione figura 7 202 Per strada 2 A 2437 Siamo presso un ansa di un fiume Per trovare a che altitudine ci troviamo consultiamo la cartina Da essa possiamo dedurre che il monte che possiamo scorgere alto 2437 m e usando la scala che la distanza in orizzontale tra noi e la cima del monte di circa 1350 m Utilizzando un piccolo goniometro verticale troviamo che l angolo di inclinazione 1350 con cui vediamo la cima del monte di 28 Come possiamo calcolare il dislivello tra noi e la cima del monte e quindi la nostra altitudine traccia utilizza figura 6 per trovare la pendenza del nostro sguardo quindi da questa e dalla distanza in orizzontale deduci il valore arrotondato a 2 cifre del dislivello in metri 2 Affrontare le salite Rina e Betta hanno scelto un itinerario che comprende la strada che abbiamo considerato in figura 1 Meticolose le due ragazze vogliono programmare ogni dettaglio Ad esempio vogliono valutare se a Betta con la sua bicicletta al bivio presso Pasotto convenga prendere la strada a destra o quella a sinistra Esaminiamo anche noi la situazione Innanzitutto confrontiamo l avanzamento orizzontale lungo le due strade Le cartine infatti riproducono abbastanza
48. trova lo spostamento complessivo con cui Kappa raggiungerebbe l uscita c Se Kappa avesse scelto la traiettoria pi lunga senza percorrere pi volte lo stesso pezzo di strada quale sarebbe stato lo spostamento complessivo d Calcola la distanza in linea d aria tra posizione di Kappa e uscita Due localit A e B sono separate da un fiume dal letto molto A A ie ampio Viene deciso di congiungere A e B con una strada i I CORIO a comprendente un ponte che per motivi tecnici deve essere di si e e pui opel e ubi iii i ooe a a illustrati tre progetti per la costruzione di questa strada celicca GREED CHERDDED IEEE l immagine per ingrandirla Sapresti stabilire senza fare calcoli RS i cu PELLA z EEEE quale dei tre progetti rende A e B pi vicine nel senso della silla scalata Sigla a distanza lungo la strada Traccia Su un foglio quadrettato riproduci la strada che si otterrebbe da ciascun progetto componendo diversamente 1 vettori che rappresentano 1 tre tratti rettilinei prima il tratto del ponte poi il tratto da A al letto del fiume poi il tratto dal letto del fiume a B Ricordando che f x Ixl dimostra che la distanza euclidea e la distanza urbanistica tra due punti A e B coincidono se 1 due punti hanno la stessa ascissa o la stessa ordinata La matematica e lo spazio I 197 A fianco tacciato il grafico di x Ixl per x che varia nell intervallo 10 10 Prova a tracciare senza fare calc
49. una croce i cui bracci supponiamo si prolunghino senza fine Essa comprende tutta la striscia di piano che va dalla ordinata 5 alla ordinata 5 e tutta la striscia di piano che va dalla ascissa 5 alla ascissa 5 Possiamo perci descriverla come x y 5 lt x lt 5 0 5 lt y lt 5 Nello scrivere x y S lt x lt 5 5 lt y lt 5 abbiamo inteso che la condizione sia vera quando siano vere S lt X lt 5 e 5 lt y lt 5 cio quando siano vere entrambe contemporaneamente Abbiamo gi osservato ques e4 della scheda 1 di Per strada che la congiunzione e nel linguaggio comune non sempre impiegata con questo significato Ad esempio nella frase l uso di questo medicinale sconsigliato alle persone con et minore di 5 anni e maggiore di 70 anni non si intendono indicare le et che siano contemporaneamente minori di 5 e maggiori di 70 anni tali et non esistono ma si intende alle persone con et minore di 5 anni e a quelle con et maggiore di 70 anni Nello scrivere x y 5 lt x lt 5 o 5 lt y lt 5 abbiamo inteso che la condizione sia vera quando sia vera almeno una tra le due condizioni 5 lt x lt 5 e 5 lt y lt 5 Nel linguaggio comune invece un o tra due condizioni spesso viene usato per indicare che deve essere vera una sola tra le due condizioni Volendo evitare ambiguit con gli usi delle congiunzioni nel linguaggio comune possiamo ricorrere agli operatori logici OR AND e NOT Quindi possiamo
50. 1 1 3 1 numeri vengono impiegati per rappresentare misure anche se nel caso dei voti non si tratta di misure in senso stretto non chiaro che cosa si misuri la bravura di un alunno o il suo com portamento durante una prova di verifica che pu essere condizionato da fattori emotivi dagli argomenti specifici dei quesiti e in che modo venga effettuata la misura una interrogazione una prova scritta possono essere valutate diversamente da insegnanti diversi o dallo stesso insegnante in giornate diverse Nel caso delle grandezze fisiche la misurazione consiste in un procedimento per associare numeri a grandezze ma non detto che questi numeri rappresentino sempre delle quantit mentre 0 cm pu indicare un oggetto di altezza nulla e un oggetto di 20 kg pesa il doppio di un oggetto di 10 kg la temperatura di 0 non indica un assenza di calore si pu infatti scendere sotto a 0 e non ha senso dire che le ore 20 sono il doppio delle 10 Nel caso 1 4 il numero viene usato per tener conto dell ordine di arrivo degli utenti ad uno sportello di informazioni in un ufficio o in un negozio usualmente molto affollati Non detto che misuri la quantit delle persone arrivate due persone possono essere venute insieme per chiedere la stessa informazione o fare lo stesso acquisto e aver preso un solo biglietto una persona pu avere strappato per sbaglio due biglietti in genere quando si arriva al biglietto numero 99 si riparte co
51. 1 45 kg 4 50 kg Prevedi un peso massimo di 5 kg Memorizza come F e come G le due funzioni e dopo aver tracciato il grafico della prima traccia quello della seconda Cerca di ottenere una rappresentazione simile a quella a lato la figura riprodotta stata rimpicciolita e modificata in MOdo Liu ALL LL da evidenziare meglio griglia e grafici usa l help oiin pAg TT per trovare suggerimenti Per ora non sei in grado di comprendere tutte le informazioni fornite dall help ad esempio il significato di alcune funzioni e costanti alcuni modi di descrivere le funzioni Ricordiamo che il simbolo indica l elevamento a potenza 3 2 sta per 32 Nell help viene osservato che un solo clic su o d luogo a un sistema monometrico questa espressione derivante dal greco monos che significa unico indica che sui due assi si scelta la stessa unit di misura Con 3 7 2 4 5 x1 x2 si indica l intervallo di numeri che va da 3 a 7 da 2 a 4 5 da x1 a x2 e pi precisamente l insieme dei numeri che sono maggiori o uguali a 3 e minori o uguali a 7 Usando Poligon stato tracciato il grafico della funzione F che ad ogni anno associa la quantit in migliaia dei disoccupati italiani considerata nel quesito 5 La funzione presentata sotto forma di tabella Non conoscendo l espressione generale del termine F x si dovuto scegliere il tracciamento punto per punto Pi precisamente si sono introdotte man
52. 1 dati relativi alle singole voci in questo modo potevamo valutare come cambiava l incidenza di una voce indipendentemente dai cambiamenti di valore della moneta e qui non possiamo confrontare direttamente l evoluzione dei record dei due sessi poich i due grafici partono da valo ri diversi 165 e 203 cm nel 1932 allora possiamo porre uguale a 100 il record maschile del 1932 e modificare in pro porzione quelli degli altri anni fare lo stesso per i record femminili e rappresentare graficamente i dati cos trasformati In pratica mentre prima esprimevamo in forma percentuale il rapporto tra ogni dato e il totale cio _ dato 100 calcolavamo totale ua l T i 100 ovvero moltiplicavamo ogni dato per il fattore di proporzionalit totale 100 du sa totale record 100 ora calcoleremo 100 ovvero record PT__ record iniziale record iniziale Quindi per trovare come rappresentare ad es il record femminile di 209 cm si pu calcolare il rapporto tra 209 e il record iniziale 165 ed esprimerlo in centesimi 209 165 1 2666 126 666 Quindi 209 il 126 666 per cento di 165 cio posto 165 uguale a valori reali valori nel modello arrot ai decimi 100 209 diventa 126 666 Se si devono trasformare pi dati conviene il 2 metodo calcolare 1936 207 165 101 970 __ __ 102 0 sai DE Di er facilitare la rappresentazione consideriamo solo un anno ogni 4 103 940 103
53. 2 cifre b Usando il disegno e una riga determina le pendenze che corrispondono a un inclinazione di 30 a una di 45 e a una di 60 c Viceversa determina gli angoli di inclinazione che corrispon dono a una pendenza del 80 a una del 120 e a una del 160 La tabella seguente si riferisce alla figura sotto a sinistra a h s tOO 50 Allego 5 100 O 100 100 55 114 1271 100 5100 1249 TOO 60 116619 100 10 100 4988 t00 bo LEI 2666 Lo Lo LOL LIL LO0 70 12240056 100 Z0 1101 9804 boo o Lay bol 29 1030776 100 80 128 0623 100 30 104 4031 IOO 85 131 244 T00 S5 L05 9491 LO 90 134 53 62 100 40 107 7033 LO 95 Laredo Ll 100 45 109 6386 100 100 141 4214 Essa mette in luce che se la pendenza h non molto alta avanzamento orizzontale a e spostamento lungo la strada s differiscono di una quantit molto piccola si deve arrivare alla pendenza del 15 per avere una variazione percentuale che supera l 1 a 100 s 101 1 Se la strada avanza orizzontalmente di 135 m e ha una pendenza del 20 usando la tabella sapresti trovare quanto differisce dall avanzamento orizzontale la lunghezza della strada Se la strada lunga 120 m e ha una pendenza del 20 sapresti trovare quanto differisce dall avanzamento orizzontale la lunghezza della strada 208 Per strada 2 La tabella precedente pu essere ottenuta con l allegato programma QB o con l allegato programma JS Prova a generarla con uno dei due programmi e
54. 20 Spiega perch ha sbagliato e indica uno o pi modi in cui avrebbe potuto descrivere correttamente il procedimento di calcolo Di fronte al compito trova il valore di 3 5 4 2 5 Maria e Veronica procedono rispettivamente cos e 3 5 4 2 5 15 2 5 10 2 12 e 3 5 4 2 5 10 2 15 2 5 12 L insegnante considera sbagliata la risposta di Veronica Secondo voi ha ragione Perch Esempio C Abbiamo incontrato l uso di con un ulteriore significato Ad es se riferendoci a una CT indichiamo con V il numero contenuto nel visore e con M quello contenuto nella memoria utente possiamo indicare l azione che esegue la CT quando si preme con M M V Con questa scrittura intendiamo dire che la CT modifica il valore in memoria prendendo come nuovo valore il vecchio aumentato di V Anche nella descrizione di altri procedimenti di calcolo abbiamo usato scritture simili Ad esempio se con C indichiamo un contatore con la scrittura PONI C C 1 abbiamo inteso incrementa C di 1 In questi casi invece di si pu usare Nei nostri esempi scriveremmo rispettivamente M M V e C C 1 Lo stesso uso di viene fatto nelle assegnazioni dei linguaggi di programmazione Descrivi usando l azione comandata alla CT dal tasto LAI e quella comandata dal tasto ME Esempio D Quando definiamo x x x o definiamo f x 3x 1 usiamo per dire nel seguito sta per il termine cio x f x una abbreviazione del
55. 3 cubetti che 3 sommare 7 strati di 3 5 cubetti due termini ottenuti entrambi applicando B gt sa 7 ripetutamente la moltiplicazione a partire dagli stessi _y_ __ __ sottotermini t1 t2 tn sono termini equivalenti e Da To A lato illustrata la struttura di due termini equivalenti IRE j f3 ottenibili l uno dall altra con un riordino del prodotto E T a IA o 2 k 4 5 f 142 Algebra elementare Calcola mentalmente 2 6 50 3 3 nel modo che ritieni pi conveniente e scrivi il termine che corrisponde al procedimento che hai impiegato an Per calcolare 17 29 13 118 con una CT senza priorit conviene considerare il termine equivalente 13 118 17 29 Perch E la propriet del riordino della somma o quella del prodotto a garantire questa equivalenza Per la divisione vale la propriet del riordino se la risposta affermativa spiega il perch se negativa mostra un controesempio Delle propriet del riordino abbiamo dato solo delle spiegazioni intuitive difficile andare oltre Ad es ci possiamo convincere dell equivalenza di a b c con c a b o con b c a casi particolari del riordino della somma con qualche calcolo a mano su alcuni esempi numerici La dimostrazione che ci valga in generale molto complicata Possiamo convincerci che l equivalenza vale in generale interpretando fisicamente la addizione se cambio l ordine con cui congiungo tre aste non cambia la lunghezza
56. 37 3 cio una variazione in pi o in meno di 0 1 rispetto alla temperatura 37 2 che abbiamo letto figura 9 TI TRENT ea col 37220 Con questa scritta il fabbricante del termometro ci assicura che materiali e tecniche di fabbricazione impiegate il procedimento con cui sono state incise le tacche sulla scala il modo in cui sono state posizionate la colonnina di mercurio e la scala graduata garantiscono che la misura vera pu differire dalla misura letta al pi di 0 1 A volte si usa la scrittura 37 2 0 gradi per indicare una temperatura di cui si conosce la misura 37 2 letta con uno strumento che ha la precisione di 1 decimo di grado La matematica e i suoi modelli 1 9 Da quanto ora osservato segue che anche i numeri quando sono impiegati per descrivere una grandezza assai spesso non la descrivono esattamente ma in maniera approssimata In altre parole il numero che esprime la misura di una grandezza un modello di questa A seconda dello strumento di misura impiegato o delle informazioni che si hanno a disposizione si possono ottenere misure pi o meno precise cio modelli che rappresentano pi o meno fedelmente la grandezza Anche in questo caso non esiste il modello migliore Ad esempio per valutare lo stato di salute di una persona come informazione sulla sua temperatura corporea un dato come 38 4 sufficiente e pi leggibile di un dato come 38 391 che sarebbe rilevabile con un termometro pi
57. 44 il record femminile ha una variazione del 3 rispetto a quello di 4 anni prima C un altro quadriennio in cui il record femminile ha avuto la stessa variazione percentuale Qual Sia per gli uomini che per le donne individua il quadriennio o i quadrienni in cui vi stata la massima variazione percentuale e quello o quelli in cui vi stata la minima variazione percentuale maschi quadrienni con var max con var min femmine quadrienni con var max con var min 3 Ancora sui grafici Le funzioni Uso di Poligon 0 altro software Nelle schede di questa unit didattica abbiamo considerato diverse relazioni di proporzionalit cio relazioni del tipo grandezza2 grandezzal k Si dice anche che grandezza2 varia proporzionalmente a grandezzal k viene detto fattore di proporzionalit il fattore moltiplicativo che applicato a grandezzal d grandezza2 Per abbreviare la scrittura invece di grandezzal e di grandezza2 possiamo usare variabili costituite da una sola lettera ad esempio x e y La relazione pu allora essere riscritta nella forma y kx oppure poich il risultato di una moltiplicazione non muta scambiando 1 e 2 termine y xk Abbiamo anche visto altre situazioni in cui i valori di una grandezza y possono essere individuati sulla base dei valori assunti da un altra grandezza x Ad esempio il costo di una corsa ferrovi
58. 55m asperit del terreno energia che aumenta all aumentare di s j Nota 1 Studiando la situazione sollevamento casse abbiamo costruito un modello fisico di essa abbiamo introdotto il concetto di lavoro con un significato ristretto rispetto a quello impiegato nel linguaggio comune Abbiamo fatto anche varie astrazioni Ad es abbiamo supposto che l energia meccanica lavoro prodotta dall uomo venisse trasmessa integralmente dai due dispositivi mentre in realt un po di energia si disperde a causa degli attriti si trasforma in energia termica cio in riscaldamento delle rotelle delle aste attorno a cui ruotano C indubbiamente un legame tra fatica dell uomo e lavoro che egli produce se aumentano il peso della cassa o il dislivello aumenta la fatica Tuttavia l uomo consuma pi energia dell energia meccanica che produce Ad es se a met del dislivello l uomo si ferma per riposare un po in questo frattempo continua a consumare energia anche se in quantit minore per tenere stretta la fune deve mantenere i muscoli delle mani e delle braccia in contrazione per stare in posizione eretta deve agire su altri muscoli e comunque deve usare un po di energia per azionare il cuore 1 polmoni Analogamente c un legame tra sforzo che si deve fare per sorreggere un oggetto e forza che si deve applicare Ma a parit di peso a seconda della posizione in cui ci mettiamo facciamo uno sforzo maggiore o minore Infatti il c
59. 62 720 100 Metti gli input nelle prime due caselle e clicca totale 720 dato 62 percentuale 8 61111111111111 Sotto illustrato come stato realizzato il programma che potete visualizzare usando un opportuno comando del browser visualizza sorgente pagina html o altro a seconda del browser che state impiegando lt head gt lt script language javascript gt function Calc document C r value Number document C d value 100 Number document C t value lt script gt lt head gt 1 4 lt center gt Metti gli input nelle prime due caselle e clicca lt br gt lt form name C gt totale lt input type text name t value 0 size 24 gt dato lt input type text name d value 0 size 24 gt lt input type button name pulsante value onClick Calc gt lt br gt percentuale lt input type text name r value 0 size 24 gt lt form gt lt center gt Potete provare ad usare il programma e ad esplorarne la struttura Pi avanti vi sar spiegato come usare questo semplice e comodo linguaggio di programmazione La automazione 3 133 2 Ambienti di programmazione Un computer in grado di tradurre in operazioni macchina un programma scritto in un qualunque linguaggio di programmazione a patto che gli venga fornito in input anche un opportuno programma traduttore La CPU di un computer pu eseguire direttamente solo un programma che le arrivi sotto forma di una sequ
60. 636 Pi precisamente consideriamo gli anni 1932 1936 1940 1984 1988 cio gli anni in cui si sono svolte o si sarebbero dovute svolgere le Olimpiadi e i record che in quegli anni erano in vigore Completa la tabella a lato 1980 236 201 __ 121 818 116 3 121 8 19842391207 _ 125 454 1988 2431209 _ 126 666 1992 244209 _ 126 666 1996 Paspo9o _ 126 666 una volta per tutte il fattore di proporzionalit k 100 165 memorizzarlo e man mano calcolare record k usa opportunamente la CT Le statistiche 2 77 Esaminando 1 valori del modello si ha un idea pi immediata di come sono evoluti i record Infatti pi facile confrontare un numero con 100 che con 203 o con 165 Questi valori con cui abbiamo rappresentato i dati vengono detti numeri indici cio numeri che indicano Infatti non danno informazioni sull entit dei dati reali numeri assoluti ma indicano soltanto come questi sono variati rispetto al dato che stato posto eguale a 100 Questo dato assunto come punto di riferimento viene chiamato dato base Abbiamo quindi dato 100 2 1 numero indice PP 100 ovvero 2 2 numero indice dato dato base dato base A volte il dato base viene associato a numeri diversi da 100 in particolare 1 e 1000 numeri indici fit A fianco sono riprodotti i grafici EE dei numeri indici dei record i consider
61. 6Olitri 90litri Se si ingrandisce una figura con il fattore di scala k il suo volume cresce maggiormente di un fattore pari a k3 Completa la tabella seguente indicando per ciascuna delle figure il rapporto tra l intera figura e la parte evidenziata C e Z sono cubi EstensioneInteraFigura EstensioneParteEvidenziata Gli sfereogrammi consentono il confronto di dati con ordini di grandezza molto diversi 42 Le statistiche 1 A fianco sono riportati due diagrammi in cui i dati vengono rappresentati con dei cubi Il cubo trasparente rappresenta il totale 100 dei consumi nel 1985 i cubi al suo interno rappresentano l incidenza di alcune voci di spesa Nel caso della spesa per pesce nell Italia settentrionale l incidenza dello 0 6 su un istogramma non avremmo potuto rappresentarla efficacemente pesce pane pesce cereali cereali 5 I valori medi I dati riportati nella tabella iniziale sono dati collettivi indicano cio il consumo complessivo della popolazione italiana Dividendo 11 consumo complessivo per il numero degli abitanti si trova il consumo medio per abitante o consumo pro capite Se indichiamo con N la quantit degli abitanti e con C41 C2 Cy 1 consumi di ciascuno degli N abitanti possiamo scrivere CI FECIT ss FEN consumo pro capite __ N Pi in generale si chiama media di pi numeri il rapporto tra la loro somma e la loro quantit numero numeron numeroy
62. CD invertita si dice che hanno la stessa direzione e verso opposto Ma che cos una freccia Per ricondurci a concetti matematici possiamo rappresentare gli spostamenti invece che parlando di frec ce riferendoci alle coordinate dei punti di partenza e di arrivo Lo spostamento da A a B pu essere descritto indicando la variazione orizzontale xA xB che indiche remo anche con Ax e la variazione verticale yA yB che indicheremo anche Ay Ax sta per d ifferenza delle x infatti A la lettera greca delta maiuscola che si legge come la lettera italiana D ay 4 Nel primo caso della figura 4 abbiamo Ax gt 0 e Ay gt 0 spostandosi da A a B aumentano sia la ascissa che l ordinata Nel secondo caso abbiamo Ax gt 0 e Ay lt 0 spostandosi da P a Q aumenta la ascissa ma diminuisce l ordinata figura 5 Quanto valgono Ax e Ay nel caso a sinistra Possiamo descrivere il cambiamento di posizione che fa variare la coordinata orizzontale di Ax e la coordinata verticale di Ay come una funzione che dato un punto x y gli associa il punto x Ax y Ay Nel caso a sinistra di fig 4 abbiamo applicato la funzione x y gt x 8 y 4 Dal punto A 1 3 si passa al punto B 1 8 3 4 9 7 Anche nel caso a destra abbiamo applicato a C la stessa funzione C 4 1 gt D 4 83 1 4 12 5 Nel caso di fig 5 abbiamo invece applicato la funzione x y gt x 8 y 4 Rispetto alla precedente questa funzione rappresenta il cambiam
63. Comunque tutte le verifiche sperimentali su figure a forma di triangolo rettangolo disposte su superfici piane hanno sempre confermato questa relazione Nel quesito e3 presentato un ragionamento che dimostra in generale questa propriet la parola teorema indica appunto che questa propriet pu essere dimostrata Sotto raffigurato un triangolo rettangolo e tre righe millimetrate disposte lungo 1 suoi lati Con le righe troviamo che le misure in mm dei cateti cadono negli intervalli di indeterminazione 53 54 e 30 31 a Usando 2 3 trova l intervallo di indeterminazione in cui cade l ipotenusa b Verifica se c contraddizione tra l intervallo cos trovato e quello che si ottiene misurando direttamente l ipotenusa i 53 lt cateto lt 54 2809 lt cateto 7 lt 2916 lt cateto lt lt cateto lt Con il teorema di Pitagora 2809 lt ipotenusa lt 2916 lt ipotenusa lt Con la misura diretta lt ipotenusa lt coli 3 Descrizioni dei percorsi Supponete di essere nella localit A figura 1 State chiacchierando con degli amici quando arriva un auto L uomo al volante vi chiede come pu raggiungere la localit B Come gli rispondete A lato riprodotta la mappa di un tesoro tracciato il percorso che si deve seguire per raggiungerlo partendo dal molo raffigurato nell unica insenatura dell isola che permette l attracco I lati del reticol
64. Diremo anche che l intervallo 6 11 cio l insieme dei punti compresi tra 6 e 11 e l intervallo 1 4 hanno lunghezza o ampiezza 5 Analogamente l intervallo 4 5 9 ha ampiezza 4 5 gt gt intervallo in Gli oggetti matematici In corrispondenza delle tacche cio dei punti che delimitano una divisione dall altra abbiamo numeri che da un certo punto in poi proseguono sempre con la cifra 0 172 I numeri 2 2 6 2 9 2 0 5 1 de _ ___ mv mu b b bbbWl W li110VFSI UYLeELell I attorno al punto 3 alla prima scansione in tacche si ha la id con la successiva suddivisione siii 29 30 ddl 32 con un ulteriore suddivisione 2 98 2 99 3 00 3 01 3 02 poi 2 998 2 999 3 000 3 001 3 002 Comunque sia che scriviamo 3 sia che scriviamo 3 0 3 00 3 000 o 3 000 sottointendendo una sequenza senza fine di 0 vogliamo identificare sempre lo stesso punto sono da intendere come diverse rappresentazioni dello stesso numero Analogamente 420 7 420 70 420 7000 sono diverse come sequenze di simboli ma sono uguali come numeri Metti in ordine di grandezza le seguenti misure che supponiamo esatte 0 53 m 1 18 m 1 2 m 4 Rappresenta 1 numeri 0 53 1 18 e 1 2 sulla retta dei numeri 0 0 5 1 Un alunno di scuola media di fronte alla domanda se sia pi lungo uno spago che misuri esattamente 2 37 m o uno che misuri esattamente 2 8 m risponde che pi lungo il secondo
65. G x 3 x 2 e F x 3 x x f F x 3 x 2 Consideriamo l operazione di composizione di funzioni cio quella che prese due funzioni F e G le trasforma nella funzione composta G F G di F che a x associa G F x trasforma x con F e poi applica G per questo la funzione viene letta anche come F composto G N Si tratta di un operazione commutativa cio G composto F uguale a F composto G Nel sistema di riferimento seguente sono stati tracciati il grafico della relazione y x cio della funzione che a ogni input x associa un output uguale Ad esempio a 0 associa 0 a 80 associa 80 a 100 associa 100 il grafico della funzione F che aumenta l input di 50 x gt x 50 ad esempio F a 0 associa 50 a 80 associa 130 a 100 associa 150 il grafico della funzione G che aumenta l input del 50 x x 1 50 100 x viene moltiplicato per 1 e 1 2 ad esempio G a 0 associa 0 a 80 associa 80 40 120 a 100 associa 100 50 150 il grafico della funzione H che applica all input due successivi aumenti di 50 cio x gt F F x il grafico della funzione K che applica all input due successivi aumenti del 50 cio x gt G G x Cercate di associare a H e a K 1 due grafici che nella figura sono ancora senza nome e spiegate il ragionamento che avete svolto per arrivare alla risposta 102 La automazione 2 Sl ili retin Fix zx450 GE x 1 50 100 Hix FIFE 100 KiE GIGIE ap all
66. H variata durante la riproduzione Nel caso a fianco se in F1 ho A5 C 2 A5 C 2 e riproduco la formula in H4 che cosa ottengo i Rei Se e ea Se in 2 1 metto in B8 la formula B1 A1 100 viene calcolata e associata a B8 la percentuale dei ripetenti sugli iscritti alla prima nel 2006 07 81 181 100 Se seleziono e ricopio B8 in D8 quale formula viene effettivamente registrata in D8 Che cosa rappresenta Con una formula di assegnazione si possono effettuare calcoli riferiti a insiemi di celle Ad es se voglio calcolare il totale degli iscritti nelle 5 classi di cui alla talella 2 1 posso mettere in una cella libera come A6 la formula Sum A1 A5 che ha come valore la somma dei valori associati alle celle che stanno nel rettangoli di celle che va da AI ad A5 nel calcolo vengono saltate le celle che sono vuote a s 2006 07 a s 2007 08 totale iscritti ripetenti totale iscritti ripetenti Se riempio C6 nel modo sopra illustrato e ne copio il contenuto in D6 che cosa vi appare Quale formula devo mettere in E6 per ottenere la percentuale dei ripetenti tra gli iscritti nel 2007 08 E quale formula devo mettere in El per ottenere la percentuale degli iscritti alla prima nel 2007 08 Come devo scrivere questa formula in modo che riproducendola in E2 si ottenga la percentuale degli iscritti alla seconda La automazione 4 159 Prova ad eseguire e ad esaminare i seguenti script e ad individuarne gli eventuali
67. Ha risposto correttamente Se la risposta affermativa spiega perch se la risposta negativa cerca di individuare quale ragionamento errato c dietro alla risposta dell alunno Nota Quando non si esprimono valori esatti ma valori approssimati con le scritture 420 7 e 420 70 o con 3 0 e 3 00 in genere si intendono informazioni differenti 420 7 una approssimazione con 4 cifre significative e 420 70 un approssimazione con 5 cifre significative 3 0 una approssimazione con 2 cifre significative e 3 00 un approssimazione con 3 cifre significative Nel caso in cui 1 numeri esprimano misure in metri e si stiano considerando arrotondamenti 420 7 indica una misura arrotondata ai decimetri 420 7 la tacca dei decimetri pi vicina e 420 70 indica una misura arrotondata ai centimetri 420 70 la tacca dei centimetri pi vicina Se invece fossero stati troncamenti 420 70 avrebbe indicato un valore compreso tra 420 70 e 420 71 Analogamente se si afferma che la popolazione di una certa citt 2 40 109 2 40 milioni di abitanti si intende che essa sia arrotondata a 3 cifre cio che sia compresa tra 2395000 e 2405000 abitanti Ricordiamo che dato un numero c Cn j C2 C Coe C_4 0 0 0 0c C _j in cui la cifra c sia diversa da 0 n viene detto ordine di grandezza del numero Cio n il posto della prima cifra diversa da 0 del numero Ad esempio 4567 85 ha ordine di grandezza 3 o delle migliaia e 0 0149 ha
68. LOCATE i 59 INPUT Uaa dig al R C LOCATE L AHA R riga colonna viene scritto a partire dal 50 ig a legel fnmetiem calli schermo GOTO Posizione posto della 1 riga dello inizialmente i vale 1 L utente assegna a R il valore 2 e a C il infatti lt 0K gt Help gt valore 1 Il PRINT scrive O al 1 posto della 2 riga i 1 1 aumenta i a 2 cos che il successivo prompt compare sulla 2 riga sempre al partire dal 50 posto Quando l utente tenta di assegnare a R il valore 0 il calcolatore blocca l esecuzione e segnala il messaggio d errore Invalid function call o Chiamata di funzione non valida indicando che l errore avvenuto durante l esecuzione dell istruzione LOCATE non possibile chiedere il posizionamento della penna di scrittura fuori dallo schermo la prima riga la riga 1 Il programma di cui qui puoi esaminare Riga Colonna primo punto 1 lt C lt 50 3 lt R lt 23 10 1 e caricare testo nel modo indicato a destra usa l istruzione LOCATE per tracciare degli spostamenti indicati riferendosi ai punti cardinali Vediamo sotto che cosa appare sullo schermo dopo che ai prompt si risponde direzione n s e w n numero passi 5 direzione n s e w e numero passi 4 direzione n s e w s numero passi 5 direzione n s e w n numero passi 5 direzione n s e w e numero passi 4 direzione n s e w s numero passi direzione n s e w nu
69. Maria dice a Paolo Pensa un numero intero raddoppialo aggiungi 25 moltiplica per 2 aggiungi 10 dividi per 4 Dimmi che cosa ottieni e 10 indoviner quale numero hai pensato 1 Maria non una maga semplicemente toglie 15 al numero finale ottenuto da Paolo Verificate con qualche prova che il trucco funziona 2 Proviamo a dimostrare che il trucco funziona in ogni caso cio che qualunque sia il numero x pensato togliendo 15 al numero ottenuto alla fine si riottiene x Il calcolo man mano eseguito da Paolo pu essere cos descritto 2 2x 25 10 x 2x o 2x 25 2 2x 25 2 2x 25 10 a Il termine finale il numero ottenuto Sottrai 15 e verifica che si ottiene effettivamente x 2 2x 25 10 10 4x 60 n n 1887771538 77153 D5 3 Vediamo come stato inventato questo gioco Indicando con Q il numero finale si descritto il problema sotto forma di equazione e si ricavata x in funzione di Q Cio si risolta rispetto all incognita x l equazione 2 2x 25 10 ERE Completa le seguenti trasformazioni 2 2x 25 10 Q a lt gt sa 2 2x 25 10 lt gt 4x 50 10 lt a 60 lt e TER lt gt k 4 Inventa una nuova versione di questo gioco La visione di un film in un Cineclub costa 5 ai soci e 6 ai non soci La tessera annuale costa 10 In quali casi conviene farsi soci Per rispondere risolvi prima la seguente equazione rispetto a N 10 5N 6N Algebra ele
70. Se intendiamo la distanza in senso temporale dobbiamo rispondere per Otto Infatti Otto ha la fermata dell autobus sotto casa mentre da A e da B occorre percorrere un bel pezzo a piedi prima di arrivare sulla strada in cui passa l autobus Se intendiamo la distanza lungo la strada dobbiamo rispondere che essa minore per l alunno che abita in A La distanza in linea d aria invece minore per l alunno che abita in B 2 Calcola la distanza in linea d aria tra la casa di Otto e la scuola arrotondata ai metri distanza sulla figura in mm scala figura in mm realt in m 250 distanza reale inm scala 250 180 Per strada 1 Calcola la distanza lungo la strada tra la fermata in cui Otto prende il bus e la fermata di arrivo cio la lunghezza del cammino percorso dall autobus Ti conviene calcolare le lunghezze reali di ciascun tratto rettilineo e poi sommarle o fare prima la somma delle lunghezze sulla figura e poi moltiplicare questo valore per la scala Si pu osservare che il solo percorso dell autobus maggiore della distanza in linea d aria casa scuola Se l autobus seguisse un percorso parzialmente diverso svoltando a destra al primo incrocio dopo la casa di Otto strada tratteggiata meno fittamente secondo te percorrerebbe pi o meno strada rispondi senza fare misure e calcoli 5 Verifica la congettura calcolando la lunghezza di questo percorso 6 Si poteva verificare la congett
71. a 152 4 Allora potevamo scegliere come a b invece dell intervallo 150 171 l intervallo 149 5 170 5 Il grafico sarebbe comunque venuto uguale anche se riferito a una porzione di asse orizzontale pi a sinistra di 0 5 b Cosa avremmo ottenuto come classe modale Nota Come media viene visualizzato il numero 161 3684 risultato approssimato di 156 168 19 Non tutte le cifre di esso sono significative poich i dati non erano esatti ma arrotondati agli interi Se i dati sono pochi la media che si ottiene deve essere arrotondata agli interi Ma se i dati sono almeno una decina come in questo caso poich le approssimazioni per difetto e quelle per eccesso in parte si compensano si pu prendere la media arrotondata ai decimi Pi in generale se i dati fossero arrotondati alla cifra di posto n si pu arrotondare la media alla cifra di posto n 1 Quindi possiamo prendere come altezza media 161 4 Se 1 dati sono almeno un migliaio si pu arrotondare la media fino alla cifra di posto n 2 ad es se i dati arrotondati agli interi la media pu essere arrotondata ai centesimi Questa scelta pu essere motivata con considerazioni di calcolo delle probabilit che per ora non siamo in grado di affrontare 118 Le statistiche 3 ell Nelle gare di corsa non particolarmente importanti e fino a qualche decennio fa in tutte le gare 1 tempi non vengono rilevati con apparecchiature elettroniche ma a mano con dei cronometri
72. anche l incidenza percentuale di ciascuna voce di consumo Controlliamo le percentuali relative al 1926 19 altave abtra altaveabtra altaveabtra altaveabtra altaveabtra Le statistiche 1 35 Per fare il calcolo con la CT possiamo usare una tra le due formule 3 1 e 3 2 totale 124205 dato assume man mano 1 valori 77749 3226 17659 6849 3420 15302 Per evitare di battere 6 volte il valore di totale il che oltre a portar via tempo fa aumentare la probabilit di premere dei tasti sbagliati e scrivere un numero diverso da 124205 possiamo impiegare la memoria della CT Qui ci riferiremo a CT simili a quelle della figura 1 In fondo alla scheda abbiamo riportato 1 tasti per l uso della memoria di cui dispongono le pi diffuse CT Rinviamo alle indicazioni ivi contenute chi disponga di una CT di tipo differente Usando 3 1 posso ricopiare totale nella memoria M della CT M totale battendo 124205 M con la CT di o 124205 ET con la CT di sinistra destra nel caso della CT di sinistra se in M gi registrato un dato occorre prima pulire la memoria con EM e poi battere 77749 E 77749 E 100 100 3226 E MF x 3226 E Re x 100 OPPIIS 100 E 17659 E ME x 17659 E EL x 100 100 Per evitare di battere 100 posso limitarmi a calcolare con la CT 1 rapporti dato totale cio battere solo 77749 E il 3226 E sd 0 77749 Es Es e mentalmente
73. annotate e cos via Alla fine sommate le distanze e trovate cos un valore che esprime la lunghezza della spezzata Con la riga e la scala grafica potete poi trovare la lunghezza reale in metri Confrontate e analizzate 1 diversi valori ottenuti e stabilite che misura prendere come avanzamento orizzontale lungo la strada di destra al avanzamento lungo la strada a sinistra 750 m a2 avanzamento lungo la strada a destra m Easont In figura 8 sono schematizzate le due strade s e s2 Paentio Si G sono le loro lunghezze a1 e a2 sono i corrispondenti avan Bi zamenti h il dislivello da superare Le due strade parto Pasopra no da uno stesso punto e arrivano in uno stesso punto so Pasotto amp h no due modi differenti per superare il dislivello A Voglia az mo capire la diversit delle prestazioni sforzo fatica figura necessarie per affrontare il dislivello con le due strade Esaminiamo la situazione a partire da un esempio pi semplice figura 9 Per strada 2 203 In un magazzino le casse vengono sollevate su un soppalco di altezza h a volte con il dispositivo A una carrucola fissa a volte con il dispositivo B taglia o paranco che si ottiene agganciando la fune della carrucola al supporto che la regge e inserendo una rotella dotata di gancio A destra illustrato meglio 1il dispositivo B Con A occorre tirare la fune di un tratto h con B occorre tirare la fune di un tratto doppio tirando
74. b awb aqrtixi lt gt k over 5 4 Perche usare la CT perch usare programmi per il calcolo simbolico Con le CT si possono svolgere le 4 operazioni e calcoli pi complessi in frazioni di secondo mentre a mano per gli stessi calcoli si impiegherebbe molto pi tempo e sarebbe facile commettere piccoli errori di distrazione dimenticare uno zero o un riporto scrivere o leggere male una cifra interpretare male un incolonnamento e ottenere risultati molto diversi da quelli corretti Ormai da molti decenni la capacit di eseguire a mano velocemente complicati calcoli aritmetici non pi considerata una abilit intellettuale particolarmente significativa richiede solo un po di addestramento a svolgere alcune attivit di tipo meccanico che non a caso sono alla portata di dispositivi molto elementari poco pi complessi di un contagiri Fino a circa mezzo secolo fa per certi calcoli ad esempio per le radici quadrate e per gli elevamenti a potenza si usavano delle tavole numeriche che elencavano una grande quantit di input e 1 relativi output Fino a qualche anno fa in molti libri scolastici sono sopravvissute tavole simili per calcoli di questo tipo o per altri calcoli che affronteremo pi avanti funzioni trigonometriche logaritmi funzioni di tipo probabilistico e alcuni insegnanti vietavano l uso delle CT in classe la scuola a volte recepisce in ritardo i cambiamenti nella cultura e nelle professioni Ci che
75. caso delle pendenze stradali che possono arrivare a valori di poco superiori al 10 non c grande differenza tra lunghezza della strada percorsa e avanzamento orizzontale Ad esempio nel caso sopra raffigurato la base del triangolo e il lato obliquo hanno lunghezza pressoch eguale In particolare nel caso della nostra linea ferroviaria che come abbiamo visto vedi figura 6 assai meno inclinata del triangolo raffigurato possiamo considerare praticamente eguali l avanzamento in orizzontale e la lunghezza della strada ferrata percorsa figura 8 gii 5 Da fig 7 si vede che il dislivello tra Longarone e Calalzo e poco pi di 300 m La distanza tra Longarone e Calalzo circa 25 km cio 25000 m Qual approssimativamente la pendenza di questo tratto di linea rapporto tra dislivello e distanza 300 25000 0 012 centesimi 4 Esercizi In questa seconda scheda abbiamo richiamato altri tipi di modelli matematici tabelle e equazioni per esprimere il legame tra due grandezze nel nostro caso tra percorrenza e prezzo e loro rappresentazioni grafiche 1 concetti di rapporto e di proporzionalit il concetto di pendenza Abbiamo visto anche in questa scheda che l impiego di modelli matematici opportuni per quanto spesso dia luogo a rappresentazioni semplificate delle situazioni pu facilitare le decisioni la comunicazione la comprensione dei fenomeni Negli es
76. catena una CT fornisce sempre lo stesso risultato a b c si pu riscrivere come a c b a b c gt a b c gt a c b gt a c b Calcola 12345678 0 123456 12345670 e 12345678 12345670 0 123456 con la tua CT e confronta 1 due risultati ottenuti I tuoi compagni hanno ottenuto gli stessi risultati a 1 1 ac a b c pu essere riscritto come a c b T Calcola 1 3 3 1 e 1 3 3 1 con la tua CT e confronta 1 due risultati ottenuti I tuoi compagni hanno ottenuto gli stessi risultati Gli ultimi due quesiti mostrano che non sempre due termini equivalenti anche quando la CT li esegue nel giusto ordine danno luogo allo stesso risultato Nella scheda 2 di La automazione spiegato ci che all origine degli strani risultati ottenuti Concludendo possiamo osservare che l equivalenza tra termini pu essere considerata da punti di vista diversi Dal punto di vista del tempo di calcolo con una CT 357 69 e 69 357 sono 533 n 2 si no equivalenti in quanto per calcolarli devo battere esattamente gli stessi tasti i f 1778 28 Invece 69 357 e 357 69 non lo sono nel primo caso devo battere un tasto in 350 1400 pi Per fare un altro esempio nel caso eseguissi i calcoli a mano 7 254 pi dispendioso di 254 7 vedi l illustrazione a fianco 1778 148 Algebra elementare Nel quesito 18 abbiamo visto due termini non equivalenti dal punto di vista della precisione del calcolo se si opera con una CT a sec
77. cavatappi non viene trasformato direttamente in altro movimento ma serve solo ad alimentare il carillon cio a fornirgli l energia necessaria per dare una nuova forma sonora alle informazioni registrate sul cilindro dando la corda si comprime una molla a spirale che poi rilascia lentamente l energia immagazzinata Il carillon pu essere considerato un automa cio un robot una macchina in grado di regolare e guidare autonomamente alcuni dei propri movimenti o di simulare altri comportamenti animali o pi propriamente umani Infatti una volta che stato caricato si comporta come un uomo che suoni uno xilofono In maniera simile funzionano ad esempio i robot impiegati per il controllo automatico delle tastiere nelle fabbriche che producono macchine da scrivere o da calcolo sono dotati di dispositivi che percuotono 1 tasti delle macchine da provare con movimenti simili a quelli eseguiti dalle mani di un uomo Il ruolo del motore svolto dalla molla che ha immagazzinato la carica gli ingranaggi che trasmettono al cilindro il movimento generato dalla molla sono macchine semplici mentre il sistema cilindro lamelle l automatismo che in base alle informazioni descritte dai pioletti sceglie quando e quali lamelle azionare Consideriamo ora una caldaia impiegata per il riscaldamento di un caseggiato o di un appartamento Supponiamo che come gran parte delle caldaie oltre a un interruttore manuale abbia due forme automatiche di accens
78. che completano correttamente il calcolo La automazione 2 91 4 Inumeri delle CT e la loro codifica interna Di fronte al calcolo di 10 3 le CT possono dare risultati differenti Ad esempio 1 3 3333333 2 3 333333333 Le CT del tipo 1 visualizzano cifre del risultato quelle del tipo 2 ne visualizzano 10 Di fronte al calcolo di 20 3 CT che visualizzino lo stesso numero di cifre ad es 8 possono dar luogo a uscite diverse 1 6 6666666 2 6 6666667 Nel caso 1 il risultato viene troncato a cifre nel caso 2 viene arrotondato a cifre In questo secondo caso la CT deve conoscere almeno un altra cifra del risultato per stabilire se lasciare immutata 1 8 cifra o aumentarla di 1 deve sapere se la 9 cifra minore di 5 o no per eseguire i calcoli deve quindi impiegare pi cifre di quelle che compaiono sul visore Quali risultati forniscono CT del tipo 1 e CT del tipo 2 di fronte al calcolo di 1234 0 1234567 Vediamo come si comporta una CT se si batte 10 6 12345678 L 12345678 E Poich 10 6 1 666 e aggiungere e togliere lo stesso numero 12345678 non dovrebbe modificare il risultato con una CT che visualizza 8 cifre ci aspetteremmo di ottenere 1 6666666 o 1 6666667 Tuttavia ci non accade ma si possono ottenere ad esempio 1 2 3 4 5 Provate a eseguire questo calcolo con la vostra CT e osservate 1l risultato Sapete spiegarvi come sia possibile che il risultato venga visualizzato
79. che ne esprimer in forma assai sintetica 1l contenuto e che verr ripreso nelle schede di lavoro che useremo durante 11 suo svolgimento Ad esempio questa la prima scheda scheda 1 di La matematica e i suoi modelli unit didattica introduttiva che cerca di dare un idea di come studieremo la matematica durante l anno Naturalmente non tutto il lavoro sar guidato o svolto su schede di lavoro A volte le lezioni saranno condotte direttamente dall insegnante a voce e con l ausilio della sola lavagna A volte saranno 1 singoli alunni che dovranno cercare di spiegare in maniera comprensibile ai compagni alcuni argomenti o la soluzione di alcuni problemi A volte si lavorer nel laboratorio computazionale cio in un aula attrezzata con personal computer che d ora in poi chiameremo pi semplicemente aula computer I Una cartina della rete ferroviaria Consideriamo un genere di situazioni in cui prima o poi quasi tutti con maggiore o minore frequenza si imbattono dover scegliere l itinerario e l ora in cui affrontare un viaggio in treno I coniugi Van Per Tren una coppia di olandesi che nell estate di un certo anno stanno trascorrendo le vacanze in Italia vogliono trasferirsi col treno da Bologna a Vicenza partendo al mattino fra le 8 e 30 e le 11 Consultano l orario ferroviario in vigore che hanno acquistato presso un edicola per decidere quale percorso seguire Per individuare le linee impiegabili esaminano l indice grafico stampato
80. che pu essere generata 1 scrivi un numero intero con il procedimento 1 10 a lato sia che lo si arresti avendo se vuoi scrivi scrivi una sequenza finita di citre vuoi continuare 1 10 2 scrivi eseguito almeno il passo 1 sia che non lo si arresti Per precisare 3 scrivi una cifra che si sta trattando di un numero generico e non di un numero intero 4 vai a 3 o limitato si usa l espressione numero reale Su questa parola torneremo tra poco I numeri 1 163 Scrivi un po di cifre del numero reale generabile con il procedimento meccanico 1 scrivi 27 descritto a lato cio in cui stato determinato il modo in cui devono essere prese le 2 scrivi 04 cifre 3 vai a 2 6 Descrivi un procedimento meccanico per gererare il numero reale 2 666 e cos via con altri 6 Descrivi un procedimento meccanico per gererare il numero che il risultato di 1 22 I numeri interi traggono il loro nome dal fatto che vengono usualmente impiegati per indicare quantit di oggetti non frazionabili Ad esempio una popolazione pu essere di 152 518 abitanti non di 152518 5 abitanti cio di 152518 abitanti e mezzo Naturalmente usando unit di misura maggiori dell abitante si pu ricorrere anche a numeri non interi ad esempio la popolazione precedente potrebbe essere espressa come 152 518 migliaia di abitanti Se poi ad esempio si considera la popolazione media di un comune di una certa provincia s
81. che su OK nel caso in questione se A l area del cerchio di raggio r la soluzione r non significativa r in quanto misura di una lunghezza non pu essere un numero negativo Avrei potuto trasformare la formula in modo meno automatico indicando passo passo le funzioni da applicare ai due membri della equazione avrei potuto scrivere l espressione 1 7 ottenendo la visualizzazione della riga 2 sotto riprodotta che indica l applicazione di r ai due mebri dell equazione 1 con il comando Semplifica si ottiene 3 cio l esecuzione della applicazione a questo punto si applica la radice ai due membri scrivendo l espressione 3 selezionando il simbolo con il mouse o scrivendo sqrt al suo posto si ottiene 4 con Semplifica si ottiene 5 che equivale al risultato ottenuto prima la riga 6 vista in precedenza l a n r Ha S 2 T i 2 a E 5 2 rl T x 3 ce r T Esistono anche applicazioni per scrivere espressioni matematiche che non consentono per di effettuare calcoli simbolici La figura seguente riproduce una fase della costruzione di una formula mediante il sottoprogramma per costruire formule di cui dotato OpenOffice un ambiente software d uso gratuito che include numerose applicazioni per elaborare testi immagini dati Anche con queste applicazioni per scrivere una formula occorre padroneggiarne la struttura O Selezione X o aA f x Za 8 LI a Fa a axb a b aab a b a
82. cifra avremmo 10 possibili scelte della seconda cifra Per ciascuna delle 9 10 90 possibili scelte della prima coppia di cifre Tu 10 Ma avremmo 10 possibili scelte per la 3a cifra a lato sono raffigurate le 10 mantisse osi aventi 1 e 0 come prima coppia di cifre Quindi questi numeri sono 9 10 10 Analogamente le possibili mantisse di una CT a 4 cifre sono 9 10 10 10 OCEL possibilit per la prima cifra 10 per le altre 9101010 L esponente n un numero intero che pu andare da 99 a 99 cio pu assumere 199 valori diversi Quindi una CT con registri a 4 cifre di mantissa e 2 di esponente ha 9000 numeri macchina positivi per ognuno dei 199 ordini di grandezza possibili cio 199 9000 numeri macchina positivi A questi sono da aggiungere altrettanti numeri negativi e il numero 0 Quindi questa CT ha 199 9000 2 1 3 582 001 numeri macchina Quanti sono i numeri macchina della CT considerata nella figura 1 Lo schema a lato d un idea di come sia realizzabile tecnologicamente la codifica binaria delle cifre decimali battute dalla tastiera di una CT I quadratini in basso rappresentano i 4 flip flop con cui viene memorizzata la cifra decimale amp battuta I triangolini neri rappresentano 1 raccordi tra tratti orizzontali e tratti 4 verticali consentono alla corrente di passare dal tratto orizzontale al tratto 5 verticale ma non viceversa Inizialmente 1 flip flop sono in stato 0 Se in corrispondenza di 5 invio ung impulso questo
83. comandare col mouse il tracciamento del cerchio di cen tro 0 0 e raggio 10 Il programma ci fornisce anche l equazione corrispondente i Oggetti liberi Con programmi analoghi si potrebbero anche trovare le coordinate dei vari punti iu B 10 0 J Oggetti dipendenti del cerchio Ecco ad es come si potrebbe trovare con Poligon l ordinata del punto A 0 0 di ascissa 3 raffigurato sotto a sinistra il comando 0 10 G x 100 trova la x i d x y 100 tra 0 e 10 che verifica l equazione G x 100 il successivo comando show evidenzia il punto indicato G x 3 2 x 2 0 10 G x 100 se x 9 539392014169456 R2 91 show 3 r2 91 Trova a mano le coordinate del punto precedente e quelle degli altri punti evidenziati sopra a destra ottenuti con opportuni ribaltamenti 4 Formule e figure geometriche Nel seguito a meno di indicazioni contrarie quando parleremo di distanza intenderemo sempre la distanza euclidea La matematica e lo spazio I 193 Abbiamo visto che l insieme dei punti che distano 10 dall origine LL Perla y 100 assume la forma di un cerchio In effetti presi un punto C del piano e un E E E numero positivo r il cerchio di centro C e raggio r viene definito come fida deeper Fiati Met l insieme dei punti che distano r da C deh Sa Abbiamo poi osservato che la figura ottenuta pu essere descritta SALLE LE CCIE O TLET come l insieme dei punti x y che rendono ve
84. come un unica variabile e ha lasciato A in maiuscolo Affinch Derive con le opzioni scelte interpreti il secondo termine dell equazione come mr occorre che questo venga battuto in una delle seguenti forme pi r 2 pi r 2 pi r 2 Invece di pi si pu anche battere Ctrl P che in Derive equivale alla lettera greca x in alternativa si pu cliccare sul simbolo x che compare nella finestra di dialogo di Crea Se si clicca su 1 appare evidenziata la relativa formula Per spostarsi da una riga all altra si possono usare anche 1 tasti freccia e Queste e le altre frecce direzionali azionate tenendo premuto 1l tasto Shift Maiusc consentono anche di evidenziare i vari sottotermini che costituiscono un termine o una formula e la freccia passa ai sottotermini immediati dell espressione evidenziata e le frecce e permettono di passare da un sottotermine immediato di un espressione a un altro sottotermine immediato della stessa espressione e la freccia permette di passare dall espressione evidenziata all espressione di cui essa sottotermine immediato 2 Con Derive possibile in be a evidenziare bc e c d e bc motiva la risposta importante padroneggiare la struttura di un termine o di una formula non solo per svolgere a mano trasformazioni algebriche ma anche per usare i programmi di calcolo simbolico con Derive possibile costruire nuove espressioni utilizzando sottotermini di espressioni gi costrui
85. consumi riportati sotto la voce altro 168 7 migliaia di miliardi Le statistiche 1 33 Come possiamo procedere con un metodo numerico In due modi esprimere in forma percentuale il rapporto tra il dato e 1l totale dato 3 1 percentuale 100 totale oppure moltiplicare il dato per il fattore di proporzionalit rapporto tra nuovi valori e valori originali 100 3 2 percentuale dato totale evidente che 3 1 e 3 2 sono equivalenti moltiplicando per 100 prima della divisione per totale o dopo di essa si ottiene comunque lo stesso numero Utilizzando 3 1 o 3 2 calcola la percentuale delle spese per alimentari 116148 miliardi rispetto al totale dei consumi 434100 miliardi nell 85 e riportala cos come visualizzata dalla CT Scrivi anche quali valori hai sostituito alle variabili presenti nella formula dato totale percentuale visualizzata dalla CT Si pu procedere analogamente per trovare la percentuale dei consumi non alimentari Si ha dunque percentuale costituita dai consumi alimentari 26 756047 percentuale costituita dai consumi non alimentari 73 243953 Se ci interessa rappresentare 1 dati su diagrammi a striscia come quelli di fig 6 dobbiamo trovare la lunghezza in quadrettini delle varie parti in cui suddividere la striscia Nel caso di 26 756047 dobbiamo decidere se prendere 26 o 27 quadrettini cio se approssimare la percentual
86. dal programma incorporato nel mangiacassette e trasformati in forma sonora sia un programma introdotto dall utente per regolare assieme al programma incorporato la produzione di musica del mangiacassette QUALE moneta stata introdotta F USCIRE monete da FAI USCIRE E monete da F l USCIRE C monete da In situazioni come queste 1l confine tra dati e programmi una questione di punto di vista 5 Scatole nere Sotto sono raffigurati in maniera schematica l aspetto esterno e ci che all interno di un particolare contagiri macchina che trasforma movimenti rotatori in informazioni sulla quantit di giri compiuti nel momento in cui sta per essere compiuto il 15 giro Esso impiega due ruote dentate e numerate Il numero dei giri compiuti appare nelle due finestrelle Nel disegno sono raffigurati diversi successivi stati del contagiri Ad ogni giro completo di una ruota la ruota a sinistra di questa avanza di uno scatto Qual il massimo numero di giri che questa macchina riesce a contare correttamente Che cosa visualizza il contatore al compimento del 100 giro Abbiamo esplorato anche se non in dettaglio gli aspetti interni del funzionamento del termostato del timer e nel quesito precedente del contagiri Si tratta di dispositivi che vengono inseriti in macchine complesse per attivare disattivare o regolare il funzionamento di alcune apparecchiature Nel seguito analizzeremo le
87. dell oggetto che ottengo A b C a Ad Saga a b C E b b RA Sa ae atb tc c a b b t c ta Analogamente interpretando la moltiplicazione come modello matematico per il calcolo dell estensione di una superficie rettangolare possiamo convincerci del fatto che a d b d c d equivale a a b c d a d b d c d atb c d e e a Ja a b C atbtc Ad essere rigorosi ricorrere a queste spiegazioni fisiche un po un cane che si morde la coda le operazioni aritmetiche sono state inventate per affrontare pi facilmente problemi relativi a grandezze fisiche economiche non possiamo capovolgere la situazione e dedurre certe propriet delle operazioni aritmetiche dal fatto che operando concretamente con grandezze fisiche con valori monetari si verificano certi fatti un circolo vizioso anche verificare alcune propriet di base la possibilit di riordinare un addizione di raccogliere a fattor comune facendo un po di calcoli a mano o con la CT su alcuni esempi numerici Infatti nell esecuzione dei calcoli spesso senza che ce ne accorgiamo vengono gi usate queste propriet Ad esempio consideriamo l esecuzione a mano di 24 32 troviamo 48 facendo 24 2 troviamo 720 3 2 mettendo uno zero finale e facendo 24 3 sommiamo 48 e 720 Nel far ci abbiamo trasformato 24 32 in 24 2 24 3 10 e E 24 32 24 2 30 24 2 24 30 24 2 24 3 10 gt 24 2 24 3 10 768 Comunque poich non
88. di scompare il 5 e compare 1l risultato della moltiplicazione 60 A questo punto la CT pu dimenticare 12 e deve invece memorizzare 60 battuto 9 dopo la pressione di compare il risultato di 60 9 e la CT dimentica anche 60 I dispositivi per la conservazione dei dati vengono chiamati registri o memorie di lavoro Batti 1 2 x 5 E Quale risultato ottieni E lo stesso ottenuto dai tuoi compagni L ultimo esercizio mette in luce che non tutte le CT sono costruite in modo da rispettare le priorit tra le operazioni La automazione 2 89 Come sai il termine 1 2 5 deve essere interpretato come 1 2 5 cio il suo valore deve essere calcolato eseguendo le operazioni non a catena man mano che vengono incontrate ma dando la precedenza alla moltiplicazione rispetto alla addizione Invece 2 2 1 10 2 9 2 3 devono essere interpretati come 8 2 2 non 8 2 2 1 10 2 non 1 10 2 9 2 3 non 9 2 3 cio devono essere calcolati a catena in quanto presentano operazioni con uguale livello di priorit Invece alcune CT non danno il risultato 11 ma eseguono il calcolo a catena cio calcolano 1 2 5 dando come risultato 15 Cerchiamo di capirne il motivo tasti visore interno I 1 1 Consideriamo una CT che non sbaglia 214 Dopo la battitura di la CT non esegue 1 2 ma tiene in sospeso l 2 1 2x perch la moltiplicazione prioritaria rispetto alla addizione o S 1 2 Alla battitura di E ese
89. e quella che lo diventa a 16 5 Concludendo Proponiamoci di fare anche noi un indagine statistica ad esempio su due aspetti le altezze dei ragazzi e delle ragazze tra i 14 e i 18 anni per operare un confronto con i dati delle tabelle 4 3 e 4 4 e sulla lunghezza dei capelli dei ragazzi e delle ragazze della vostra et Precisate meglio gli obiettivi della vostra indagine e discutete come organizzarla affinch si possano ottenere informazioni utili e attendibili Per adesso potrete accontentarvi di prendere come campione 1 ragazzi delle classi della vostra scuola restringendovi alla sola vostra classe per quanto riguarda la lunghezza dei capelli Eventualmente potrete confrontare i risultati della vostra indagine con quelli ottenuti con un indagine simile da alunni di altre scuole e con 1 risultati che si ottengono mettendo insieme tutti i dati Raccolti i dati registrateli e analizzateli opportunamente ad esempio usando il programma Stat gt gt quesito e9 Se fate copia dei vostri dati e la stessa operazione viene fatta da altre classi mettendo poi insieme 1 dati raccolti otterrete un campione pi numeroso su cui ripetere l analisi Con questa scheda abbiamo visto ulteriori modelli matematici usati per fare statistiche e abbiamo esaminato alcuni problemi relativi al loro impiego Le statistiche 3 115 Le ultime osservazioni sul campionamento ci offrono lo spunto per sottolineare che l uso dei modelli statistici sogge
90. errori uno due tre quattro cinque sei Se usi Mozilla gli errori sono visualizzati nella Console degli Errori accessibile dal menu Strumenti cancella gli eventuali errori di script precedenti se usi Internet Explorer e non compaiono messaggi di errore controlla nel menu Strumenti alla voce Opzioni Internet Avanzate che non siano selezionate le voci Disattiva Debbugging degli Script e che sia selezionata la voce Visualizza gli Errori di Script Prova a realizzare con GeoGebra la figura Prova a realizzare con GeoGebra la figura seguente e descrivi come hai operato per seguente e descrivi come hai operato per ottenerla ottenerla G 39 A 8 Prova a realizzare con GeoGebra la figura Prova a realizzare con GeoGebra la figura seguente e descrivi come hai operato per seguente e descrivi come hai operato per ottenerla ottenerla e10 Usando Derive o un altra applicazione che consente di svolgere calcoli simbolici prova a scrivere i seguenti termini e la seguente equazione Poi con la stessa applicazione prova a risolvere l equazione rispetto a b2 X y X y Ta gX y a y a Area z wa Z W b1 b2 h 2 Le figure seguenti dovrebbero ricordarti alcune costruzioni realizzabili con riga e compasso cliccale per ingrandirle Le elenchiamo in ordine sparso asse di un segmento triangolo equilatero divisione di un segmento in tre parti uguali bisettrice di un angolo Per ciascuna costruzione 1 associa ad essa la r
91. essere lo scarto di un paio di centimetri sulla misura incidono la posizione della colonna vertebrale che pu variare anche in relazione alla stanchezza della persona la posizione della testa la cura con cui viene letta la scala graduata con un bimbo piccolo che difficile da tener fermo lo scarto pu essere anche maggiore x A questo punto dovrebbe essere chiaro che il concetto di normalit convenzionale e dipende dal contesto Ad esempio se un regista cerca per una parte un uomo n troppo alto n troppo basso pu dare l incarico di cercare un uomo la cui altezza rientri in quella della maggioranza degli uomini Questa espressione informale pu essere tradotta dai collaboratori del regista nella ricerca di una persona la cui altezza cada nel 50 centrale delle altezze cio tra il 25 e il 75 percentile In altre situazioni si possono assumere come altezze normali intervalli pi piccoli ad es tra il 30 e il 70 percentile cio 1l 40 centrale dei dati o pi grandi ad es dal 3 al 97 percentile cio il 94 centrale et 3 10 25 50 75 90 97 Veniamo infine a dati che vi riguardano pi 4 3 da vicino M 15 153 160 164 170 175 178 184 Le tabelle 4 3 e 4 4 contengono alcuni percentili relativi alle altezze a varie et dei ragazzi e delle ragazze italiane nate intorno al 1980 a i 153 156 160 164 167 im 44a 1s i50 155 158 161 165 168 172 F
92. funzioni di altri automatismi senza preoccuparci delle tecniche meccaniche magnetiche elettriche elettroniche che essi impiegano internamente per trasformare gli stimoli esterni cambiamenti di temperatura rotazione delle ruote dell automobile in nuovi stimoli accensione della caldaia rotazione del contachilometri Considereremo questi automatismi come delle scatole nere cio li considereremo come degli oggetti che trasformano cose che entrano in cose che escono senza preoccuparci di conoscere tutti i dettagli del processo attraverso cui avviene questa trasformazione Ci siamo gi comportati cos ad esempio di fronte alla macchina da gioco con cui abbiamo giocato a Jl castello stregato abbiamo cercato di capire come modifica il suo comportamento di fronte alle nostre scelte senza preoccuparci degli aspetti tecnici di come avviene la trasformazione delle informazioni che noi battiamo nelle informazioni che appaiono visualizzate sullo schermo Analogamente abbiamo descritto il funzionamento del variatore automatico di velocit e quello della macchina cambia monete senza entrare nei dettagli tecnologici 64 La automazione 1 Facciamo ancora un esempio tratto dalla matematica La divisione intera tra due numeri interi positivi M e N cio il calcolo del numero delle volte che N sta in M pu essere eseguita in pi modi Se conosco algoritmi per la addizione e la sottrazione posso a contare quante volte posso sottra
93. grado di esprimere con un numero l altezza di una persona Giovanni alto 155 cm C un modello matematico che ci permetta di stabilire quando l altezza di una persona normale Non si pu rispondere nettamente con un s o con un no Possiamo tuttavia affermare che la matematica ci permette di affrontare la questione e di metterne in luce la complessit Questa scheda sar dedicata a questo argomento Vedremo che non pu esistere una definizione assoluta di normalit ma che esistono degli strumenti matematici per valutare la relazione tra l altezza di una persona e quella del complesso delle altre persone e pi in generale per valutare la relazione tra un particolare aspetto di un certo oggetto ad esempio il peso di un uovo e il modo in cui tale aspetto si manifesta nella collettivit di cui quell oggetto fa parte ad esempio il complesso delle uova prodotte dall allevamento da cui l uovo considerato proviene RETE l l 1 Istogrammi di distribuzione VERE 1 RSA ii de e a Abbiamo gi visto scheda 1 5 che per rappresentare con un CAL LEE unico numero come si manifesta un fenomeno collettivo si pu PRI ricorrere alla media aritmetica dei dati relativi ai singoli soggetti blade e a a Il grafico di figura 1 riporta la altezza media dei maschi ventenni cia di li atuiaca toe avons italiani in vari anni nel corso di pi di un secolo aaa DIL LL LL LL LL Nel 1881 l altezza media dei maschi ventenni era di 162 8 cm cocii
94. grandezza di quanto si spendeva nel 2008 in trasporti Gli spostamenti quotidiani sono quelli che incidono in massima parte su questa spesa in prima approssimazione possiamo limitarci a un mezzo di trasporto pubblico e supporre che una persona facesse mediamente due corse al giorno e che un biglietto costasse circa 2 Nel 2008 in Italia vi erano 60 milioni di persone Dobbiamo quindi calcolare costo di un biglietto n delle corse n dei giorni in un anno n dei presenti in Italia 2 2 365 60000000 Calcola questo valore senza usare la CT come suggerito nel quesito precedente e confronta l ordine di grandezza del risultato con quello del valore indicato dalla tabella e12 Stima in modo simile a quanto fatto nell es precedente la quantit di parole presenti in questa scheda e la spesa complessiva in quaderni sostenuta in un anno dagli studenti della tua scuola e13 Accantonando 1 alla settimana quanto tempo impiegherai per mettere da parte la somma di 600 48 Le statistiche 1 La tabella seguente permette di confrontare l evoluzione in lire delle retribuzioni e quella della spesa pro capite per beni alimentari Le percentuali riportate nell ultima colonna non indicano esattamente quanta parte dello stipendio veniva spesa mediamente in alimentari infatti con uno stipendio venivano mantenute pi persone la retribuzione considerata quella di una particolare categoria di lavoratori ve ne era
95. in forma pi compatta si usa scrivere 8 4 3 6 Quindi possiamo scrivere 8 4 3 6 11 2 Cio si definisce come addizione tra vettori la funzione che a due vettori vi h1 k1 e v2 h2 k2 associa il vettore h1 h2 k1 k2 che viene indicato v1 v2 e chiamato somma di vi e v2 Possiamo perci dire che la traslazione frutto della composizione di due traslazioni wyrwa N determinata dal vettore che la somma dei vettori delle due traslazioni successivamente applicate Sommare vettori si traduce nel fare l addizione delle prime componenti e l ad S dizione delle seconde componenti Poich queste addizioni possono essere riordinate senza cambiare risultato possiamo concludere che cambiando l ordine con cui sommiamo pi vettori il vettore risultante rimane immutato 5 A fianco sono raffigurati tre vettori a b e c clicca l immagine per ingrandirla e l esito della loro successiva applicazione cio dell ap plicazione di a b c al punto A Si ottiene il punto B A conferma di quanto osservato sopra anche l applicazione di c a b sposta A in B Verifica che pure c b a e b a c spostano A in B Data la traslazione Th k la traslazione T h k viene detta sua traslazione opposta Se v il vettore h k il vettore h k viene indicato con v e viene chiamato vettore opposto di v Ad es 1 vettori rappresentati in fig 4 a sinistra e in fig 5 sono l uno l opposto dell altro B A A B 6 Completa la figura a
96. in generale per 1 modelli matematici l uso della matematica per analizzare un problema non basta per garantire l esattezza dell analisi poich nel rappresentare una situazione con un modello matematico si scelgono solo alcuni aspetti tralasciandone altri e anche gli aspetti presi in considerazione sono spesso rappresentati approssimativamente voce modello de Gli oggetti matematici Abbiamo fatto queste osservazioni anche a proposito dei valori medi Ad esempio il voto medio di matematica alla fine dell anno in una classe pu essere 6 e 1 2 ma ben diversa la situazione in cui quasi tutti gli alunni abbiano 6 o 7 da quella in cui vi siano anche molti 4 5 e 8 In questa scheda discuteremo altri strumenti matematici impiegati nelle statistiche Come argomento per le nostre esemplificazioni prenderemo 1 record sportivi I Il salto in alto I grafici In figura 1 sono rappresentati graficamente i record di salto in alto maschile e gli anni in cui essi sono stati stabiliti a partire dal 1912 anno in cui si sono svolte le Olimpiadi di Stoccolma I punti che rappresentano i vari record non si distinguono molto bene Per ottenere una rappresentazione pi leggibile possiamo far passare l asse orizzontale invece che per il punto dell asse verticale che rappresenta 0 cm per quello che rappresenta una quota maggiore ad esempio 198 cm il primo record registrato di 200 cm Possiamo cos dilatare il grafico verticalmente e ottenere la figur
97. indicata Traccia n guasti per anno n guasti n anni 0 16 n anni per guasto n anni n guasti 1 n guasti per anno 1 0 16 6 25 ma 16 un arrotondamento per cui 0 155 lt n guasti per anno lt 0 165 gt lt 1 n guasti per anno lt Quindi la conclusione corretta potrebbe essere che Usando lo script del quesito 15 verifica analogamente a quanto si fatto per la divisione che migliorando la precisione con cui approssimo x e y possono migliorare quanto voglio la precisione del risultato della moltiplicazione di x per y e dell elevamento di x alla y Per ciascuna delle seguenti coppie di termini individua per quali valori di x e di y sono equivalenti traccia prova a dare a x e y 1 valori 1 0 1 x1 2 y122 e xy x13 y18 e xy 4 2 x e 2 x Dispongo delle formule U A 4B e V C 6B che mettono in relazione alcune grandezze Devo effettuare per pi valori di A B e C il calcolo di U V di U V e di U V Utilizzando opportunamente le regole di riscrittura 5 5 5 8 trasforma le formule seguenti in modo che mi consentano di svolgere 1 calcoli battendo sulla CT il minor numero possibile di tasti di operazione U V A 4B C 6B U V A 4B C 6B U V A 4B C 6B Per costruire una riga graduata occorre operare delle suddivisioni di segmenti in parti uguali Ma come si pu fare ci se non si dispone gi di un altra riga graduata con cui effettuare le misure
98. inferiori al 25 percentile e alte quelle che superano il 75 percentile Considerazioni analoghe si potrebbero fare per l et di laurea Si tratta comunque sempre di valutazioni statistiche basate su scelte convenzionali e che devono essere riferite a valutazioni pi generali della situazione che si sta considerando Facciamo due esempi I Se ritenessimo statisticamente normale laurearsi tra il 25 e il 75 percentile cio nel caso considerato tra 1 26 e 1 29 anni non potremmo certo considerare anormale nel senso di tipo strano uno studente che si laurea a 25 anni o ritenere che chi si iscrive all universit possa preventivare come normale cio come obiettivo accettabile la conclusione degli studi a 29 anni 2 Se un pediatra dispone della tabella a fianco dei percentili per le altezze delle bambine di 12 mesi e visitando una bimba di 1 anno trova che alta circa 3 ops pops pope 68 cm pu supporre che vi sia qualche ritardo nella crescita Infatti la sua Gigi i nalr N altezza inferiore al 3 percentile il 97 delle bimbe della sua et ha un altezza superiore Ovviamente in questa valutazione il pediatra deve tener conto dell altezza dei genitori se anche la loro altezza cadesse tra 1 primi percentili il fenomeno non sarebbe particolarmente preoccupante Inoltre deve effettuare la misura con cura eventualmente ripetendola pi volte gi con un adulto da una misurazione all altra ci pu
99. istogrammi di fig 2 Un secondo problema che ci possono essere pi mode la scelta del numero degli intervalli influenzando la forma dell istogramma pu anche condizionare la quantit delle classi modali che si ottengono 108 Le statistiche 3 Val la pena di osservare che vi sono situazioni in cui la forma dell istogramma diversa da quelle a campana degli istogrammi di fig 2 per motivi di fondo non perch sono poche le informazioni raccolte o perch non si sono scelti in modo opportuno gli intervalli Ad es in figura 5 sono riportati gli istogrammi di distribuzione di frequenza assoluta delle altezze degli alunni maschi delle classi due prime e due terze presenti nella succursale di una scuola secondaria superiore L istogramma a sinistra si riferisce agli alunni delle prime quello al centro agli alunni delle terze quello a destra al totale degli alunni Discutete la relazione tra la forma dell istogramma relativo all intera succursale e quella degli altri due figura 3 H E 160 165 170 175 160 GT 170 175 160 165 170 175 N Un terzo problema che l altezza media delle alunne del quesito 9 161 cm arrotondando non cade nella moda 162 164 cm In questo caso ci dipende dal numero delle alunne piccolo rispetto al totale delle diciassettenni Ma vi sono fenomeni che danno comunque luogo a istogrammi di distribuzione con moda molto diversa dalla media Ad es nel caso della distribuzione dell et di laure
100. l insieme dei numeri che sono maggiori o uguali a 170 e che sono minori di 175 cio l insieme dei numeri x tali che 170 lt x lt 175 A D a N I Si usa anche la scrittura 170 175 il pallino pieno vuoto indica che l estremo non compreso Nel caso in cui avessimo voluto includere 175 avremmo scritto 170 175 o i70 175 4 a Come rappresenteresti l insieme dei numeri x tali che 170 lt x lt 1757 b e l insieme dei numeri x tali che 14 lt x lt 177 0 c Come completeresti questa frase l insieme dei numeri x tali che l intervallo rappresentabile con 4 1 4 3 d e in modo da descrivere l intervallo rappresentabile con 4 1 4 3 e Se 48 cm la lunghezza arrotondata ai centimetri di un oggetto in quale tra 1 seguenti intervalli puoi concludere che cade la lunghezza esatta 48 49 47 5 48 5 48 49 47 5 48 5 47 48 in modo da descrivere Tornando a figura 2 come sono state ottenute le percentuali rappresentate mediante gli istogrammi Le altezze dei ventenni sono state classificate negli intervalli raf 160 165 170 175 180 155 190 figurati a fianco dna Le statistiche 3 105 Il termine classificare in questo caso non significa mettere in graduatoria assegnare un posto della classifica ma significa ripartire in classi cio collezioni insiemi aggregati opportunamente definite Le classi in cu
101. la fune per 50 cm la rotella mobile si alza di soli 25 cm Infatti il tratto di fune tirato si distribuisce su due tratti verticali In ogni caso sia col dispositivo A che col dispositivo B l effetto l innalzamento della cassa di un dislivello h Se P il peso della cassa in fisica questo effetto viene espresso dicendo che stato prodotto un lavoro pari a P h Ad es se la cassa pesa 40 kg e il dislivello di 4 m il lavoro prodotto per sollevare la cassa sul soppalco 40 4 160 kgm Il simbolo kgm indica l unit di misura chilogrammetro il lavoro per sollevare di 1 m un peso di 1 kg Se la cassa pesasse 20 kg il lavoro prodotto sarebbe la met 20 4 80 kgm Se la cassa pesasse 60 kg cio 11 50 in pi anche il lavoro sarebbe il 50 in pi cio 60 4 240 kgm invece di 160 kgm Il lavoro varia proporzionalmente anche al dislivello se il dislivello fosse la met cio 2 m anche il lavoro sarebbe la met infatti 40 2 80 kgm Il lavoro stato definito come P h proprio perch fosse proporzionale sia al peso P che al dislivello A Nota Stiamo esprimendo le forze in chilogrammi e 1l lavoro in chilogrammetri come si fa spesso nelle applicazioni quotidiane Nelle scienze fisiche invece occorre tener conto che 1l chilogrammo viene usato per misurare le masse degli oggetti a seconda di dove essi sono collocati al livello del mare su un aereo o sulla luna possono essere attratti verso il centro della terra o de
102. la possibilit di scrivere essere autore di un espressione Nella finestra di dialogo che appare batto l espressione seguente e infine premo A pir 2 La automazione 4 155 pi viene usato per indicare pi greca Non serve battere il segno di moltiplicazione Derive normalmente usa come variabili singole lettere e quindi comprende che r una nuova variabile pi non viene interpretato come p i in quanto pi una parola riservata come GoTO in molti linguaggi di programmazione Nella parte superiore dello schermo appare 1 a T r Il simbolo in matematica viene spesso usato al posto della parola numero qui indica espressione numero 1 La variabile A viene visualizzata in minuscolo in quanto Derive normalmente scrive tutte le variabili in minuscolo senza tener conto delle dimensioni impiegate dall utente Se dal menu scelgo Dichiara posso modificare queste convenzioni linguistiche di Derive scelgo Stato Algebra Inserimento nei successivi sotto menu e nella finestra di dialogo che compare successivamente modifico le opzioni qui rappresentate con sottolineature NomeVariabile Carattere Parola Maiuscole Minuscole Sensibile NonSensibile Seleziono Parola invece di Carattere e Sensibile invece di NonSensibile Compaiono 2 CaseMode Sensitive 3 InputMode Word Se poi riscelto Crea batto esattamente ci che avevo battuto prima ottengo 2 4 A pir Derive nella riga 4 ha interpretato pir
103. mano x e y nei riquadri x e y e si via via cliccato Plot Inizialmente si sono scelti usando Scala gli intervalli delle x e delle y da associare alla finestra Si ottenuto il grafico riprodotto sotto a sinistra Si poi introdotto un salto si scritto S nel riquadro x e si cliccato Plot e si tracciato il segmento che va da x 75 y 200 a x 85 y 200 come nuovo asse x Infine si modificata la scala ottenendo 1l grafico riprodotto a destra Completa le indicazioni sulla scala e le divisioni del secondo grafico e controlla le tue risposte impiegando Poligon Prova poi ad effettuare il tracciamento di nuovi assi usando il comando origine vedi l help in alternativa usa altro software div oriz diw vert 50 5 8 lt BA 50 y 300 82 Le statistiche 2 4 Le tecniche e le attrezzature Abbiamo visto quesiti 9 e 10 che l evoluzione del salto in alto ha avuto due accelerazioni in corrispondenza dello sviluppo di nuove tecniche di salto Dopo la seconda guerra mondiale sono stati messi a punto nuovi stili di scavalcamento ventrale l assicella viene superata avvolgendosi attorno ad essa con il ventre e con il petto Dopo la stasi che seguita a questa rapida evoluzione stato messo a punto lo scavalcamento dorsale stile Fosbury siamo agli inizi degli anni 70 Sull evoluzione delle prestazioni sportive incidono molti altri fattori Da una parte incide il complessivo mig
104. mestolone ha a che fare con le discipline il problema di come al variare delle dimensioni di un certo oggetto possono variare altre caratteristiche ad es nel caso di un recipiente la resistenza delle pareti nel caso di un teatro il modo in cui si diffondono i suoni un problema tipico della scienza delle costruzioni Associate con delle linee ogni argomento elencato a sinistra con la disciplina o le discipline tra quelle elencate a destra a cui vi sembra faccia capo e astronomia accelerazione avverbi e biologia densit di popolazione elettroni e chimica equazioni eredit genetica fisica gruppi sanguigni iperbole e geografia lunghezza dell ombra di oggetti alla luce del sole ottava e linguistica probabilit rapporti e matematica risorgimento trasformazioni di energia e storia zuccheri e musica Una disciplina pu essere descritta come un sistema di conoscenze terminologie simboli modelli volti a interpretare o spiegare una certa categoria di problemi o di fenomeni Ad esempio la fisica cerca di determinare 1 fattori e le condizioni che sono all origine dei movimenti dei corpi della trasmissione dei suoni e della luce dei fenomeni elettrici delle caratteristiche dei materiali La linguistica cerca di individuare 1 principali meccanismi attraverso cui nelle varie lingue a partire dai suoni vengono formate le parole le frasi 1 discorsi La matematica come le altre d
105. nel 2006 07 e il n degli iscritti alla 2 nel 2006 07 che non sono ripetenti e il rapporto tra il n degli iscritti alla 2 non ripetenti e il totale degli iscritti alla 2 nel 2006 07 e il rapporto tra gli iscritti alla 5 nel 2006 07 e il totale degli iscritti alla scuola 2 Viceversa descrivi a parole il significato dei seguenti termini cio il tipo di informazione che si pu ottenere con essi a partire dalle tabelle C e C5 D5 e C5 D5 CS e C3 C1 C2 C3 C4 C5 Individua 1 valori numerici dei seguenti termini per ciascuna delle due scuole e indica quali rappresentano l incidenza percentuale del fenomeno della ripetenza al 1 anno e BI A1 100 RI RESERO ATEI lia e BI A1 100 li AT lio e BI A1 100 li JE PEE Sia p la percentuale degli iscritti al 1 biennio nel 2006 07 che sono ripetenti cio sia p B1 B2 A1 A2 100 Sai riscrivere questa formula senza usare parentesi p Se disponi di una CT senza tasti di parentesi come puoi calcolare p vedi quesito 4 senza trascrivere risultati di calcoli intermedi sulla carta Ricordiamo che Gli oggetti matematici un termine numerico un espressione costruita a partire da variabili e costanti attraverso l applicazione di funzioni 4 operazioni radice quadrata elevamento a potenza cambio segno valore assoluto In analogia con la chimica in cui l atomo la pi piccola parte di un elemento che conserva le propriet chimiche dell elemento stesso
106. nel quesito e7 vengono introdotti alcuni aspetti del problema Consideriamo il tasto W Esso permette di calcolare la funzione estrazione della radice quadrata Come sapete si tratta della funzione che a x associa il numero positivo o nullo se x 0 il cul quadrato sia x cio il numero y tale che y x l origine la radice la provenienza del valore x cio il valore originale prima dell elevamento al quadrato Infatti se ad esempio batto 9 sul visore ottengo 3 se poi batto riottengo 9 figura a fianco 3 il numero positivo il cui quadrato 9 Se invece batto 4 E sul visore compare un messaggio d errore non esiste siga alcun numero il cui quadrato faccia A in quanto la moltiplicazione di un d errore numero per s stesso non d mai un risultato negativo Possiamo dire che il termine 4 4 indefinito radice quadrata i Analogamente ottengo un messaggio d errore se batto 0 o se batto SE 5 E o E il termine x indefinito se y 0 L insieme degli input a cui una funzione f fa corrispondere un output viene detto insieme di definizione o dominio di f Nel caso della radice quadrata x 4x il suo insieme di definizione costituito dai numeri maggiori o uguali a 0 Nel caso del reciproco x 1 x l insieme di definizione costituito dai numeri diversi da 0 Nel caso della divisione x y x y costituito da tutte le coppie di numeri x y con y diverso da 0 L insieme di definizione de
107. nella prima pagina dell orario una cartina in cui sono riprodotte le linee ferroviarie e sono indicati i relativi quadri dell orario Primolano 4_130 Bassano O Chioggia Nella figura 1 riprodotta la porzione dell indice grafico contenente le linee che possono interessare ai signori Van Per Tren Per rendere pi leggibile la figura abbiamo indicato solo le sigle delle citt capoluogo di provincia e 1 nomi completi delle altre localit che sono capilinea Ad esempio la linea descritta nel quadro 130 collega Vicenza e Primolano 4 La matematica e i suoi modelli 1 Se foste al posto dei Van Per Tren quali quadri consultereste per decidere quali treni prendere io 2184 84 114484 codice del treno B 2073 10939 2075 km B A C tipo di treno km B C B 0 Bologna 844 1054 1100 ora 844 sta per 8 44 O Milano C 910 1150 12 Tavernelle 1110 Sat ui 21 S Giovanni 904 1119 148 Verona P N 1046 1320 1343 25 Amola 1124 151 Verona P V 1324 30 Crevalcore 915 1129 Caldiero al 164 157 S Martino 1331 35 Bolognina 1134 chilometro della 164 Caldiero 1337 38 Camposanto linea Milano Vicenza 172 S Bonifacio 1351 43 S Felice 929 1142 178 Lonigo 1357 50 Mirandola 936 1148 183 Montebello 1403 60 Poggio Rusco 948 1157 192 Altavilla 1412 66 Revere Scalo 1202 200 Vicenza 1120 1422 1406 68 Revere 1205 70 Ostigli
108. numeri 1 11 1011 102 13 B _13 uoj um 15 D In un contagiri che usa un sistema di 70 cifre la ruota iniziale a destra di posto 0 scatta ad ogni giro la ruota che segue di posto l scatta ogni 0 scatti della iniziale la ruota che segue di posto 2 scatta ogni 10 scatti della precedente cio ogni 10 10 0 scatti della iniziale la ruota che segue di posto 3 scatta ogni 10 scatti della precedente cio ogni 10 10 10 0 scatti della iniziale In un contagiri che usa un sistema di 8 cifre la ruota iniziale a destra di posto 0 scatta ad ogni giro la ruota di posto 1 scatta ogni 8 scatti della iniziale la ruota di posto 2 scatta ogni 8 8 82 scatti della iniziale la ruota di posto 3 scatta ogni 8 8 8 85 scatti della iniziale Quindi il numero 562 scritto usando il sistema di cifre 0 1 2 7 viene generato a partire da 0 con 5 volte 8 8 incrementi unitari scatti della ruota iniziale in modo da far scattare 5 volte la ruota di posto 2 e arrivare a 500 6 volte 8 incrementi unitari in modo da far scattare 6 volte ruota di posto 1 e 2 increneti unitari cio 2 scatti ruota di posto 0 con cui infine arrivare a 560 arriviamo a 562 In definitiva 562 scritto usando il sistema di 8 cifre 0 1 2 7 corrisponde nell usuale rappresentazione a 82 5 8 6 2 64 5 8 6 2 370 Trova la rappresentazione decimale di 1120 e di 1012 nei casi in cui si siano impie
109. operazione formati da due caratteri In particolare si oltre a lt e gt si possono poi usare i simboli logici invece di not usano invece di invece di amp amp invece di and Il invece di or Prova a modificare lo script precedente in modo che dimezzi circa 1 confronti da eseguire tenendo conto che un numero naturale non divisibile per numeri maggiori della sua met e minori di esso Esamina la nuova versione del programma precedente a cui puoi accedere da qui e spiega il fun zionamento dei Tag textarea in essa presenti e Nei casi precedenti i passi da eseguire crescono al crescere Quanti passi dell input Vi sono situazioni in Questo e il gioco del tre kappa piu uno Cui ci non accade Provate ad Immetti un numero K se esso e pari viene calcolato kz altrimenti 3 k 1 eseguire lo script illustrato a la Si ripete prendendo questo numero come nuovo kK i Si procede in modo analogo fino a quando non si arriva a 1 to relativo al gioco del 3k I a Quanti passi ci vogliono per arrivare a 1 cui potete accedere da qui per introduci un intero maggiore di uno e clicca 31 rendervene conto Il gioco il numero di passi per arrivare a 1 106 spiegato nello script stesso Esso Completato termina quando si arriva ad 1 Si arriva sempre ad 1 o ci sono numeri a partire dai quali il gioco non termina Provate a Vi sono input minori di 31 che danno un outp
110. oppure cos b 24 16 24 6 4 16 In questi casi quali vantaggi hanno i procedimenti b rispetto ai procedimenti a I procedimenti b sono esempi di applicazione della regola di riscrittura 5 1 gi considerata in precedenti schede Algebra o della regola 5 2 che pu esserne considerata un caso particolare se si interpreta la divisione come moltiplicazione per il reciproco 5 1 a b a b 5 2 Abbiamo gi visto che per c 1 2 5 1 diventa 5 3 5 3 5 4 Completa 5 4 Torniamo all esempio alla fine del paragrafo precedente Per effettuare questo calcolo possiamo prima impiegare la propriet 5 4 T10 T2 1 10 2 45 e quindi ricondurci al calcolo della radice quadrata di 5 176 I numeri 2 Vediamo qualche altro esempio di semplificazione di procedimenti di calcolo prova anche a riscriverli scrivendo le frazioni a due piani usando invece di 1 4 3 9 2 4 9 3 2 36 6 6 2 7 2 5 4 112 415 7 4 2 5 28 10 2 8 3 7 3 2 3 7 2 3 9 3 3 4 7 3 5 2 7 2 3 2 5 3 2 3 14 6 15 6 14 15 6 29 6 4 8333 Si sono impiegate le riscritture 5 5 a b c d a c b d 5 6 a b c d a b d 0 5 7 a b c b a c b 5 8 a b gt a 0 b 0 Per ciascuno degli esempi 1 4 indica quali riscritture sono state operate Nota Nell utilizzare queste regole di riscrittura occorre pre
111. per mettere a punto un modello matematico non ci basta sapere come devono essere scritti 1 numeri ma dobbiamo anche definire dei modi opportuni per confrontare e operare sui numeri Cio non possiamo considerare i numeri come una semplice collezione di oggetti ma abbiamo bisogno di organizzarli di dare ad essi una struttura I numeri 1 165 Ad es abbiamo visto che i numeri interi positivi possono essere impiegati per contare al succedersi di certi eventi o certe azioni passiamo man mano da un numero al numero successivo Non ci basta conoscere che cosa sono i numeri interi positivi ma dobbiamo anche sapere il modo in cui a partire da 1 si possono generare uno dopo l altro tutti gli altri numeri interi positivi Se partiamo da 0 invece dei numeri interi positivi consideriamo i numeri non negativi numeri positivi pi 0 che vengono pi in breve chiamati numeri naturali In altre parole dobbiamo conoscere la funzione n successore di n che dato un numero mi dice come passare al numero successivo cio al suo successore Indicata con S la funzione successore e con S n il successore di n si ha S 0 1 S 1 2 S 2 3 Volendo si pu estendere la funzione ai numeri negativi ad esempio S 2 1 S 1 0 salendo in ascensore al piano 2 2 piani sotto terra segue il piano 1 al piano 1 segue il piano 0 piano terra Esempio 1 Supponiamo di voler stabilire in quale tra due strade A e B passano pi automobili tra le 8
112. pezzo di strada prima del passo che ha una pendenza media del 14 e potrebbe pre sentare qualche tratto con una pendenza superiore se Betta anche con il rapporto di trasmissione pi bas so non ce la facesse potrebbe sempre spingere a mano la bicicletta un altro conto sarebbe spingere il ciclomotore Il ciclomotore ha un motore monocilindrico a due tempi Vediamo come funziona In un cilindro metallico chiuso superiormente da un coperchio detto testata del motore pu scorrere un pistone che mediante un asta puleggia mobile biella pu far ruotare l albero motore l albero su cui inse rita la puleggia motrice che mediante una cinghia trasmette il movi mento alla puleggia fissata alla ruota posteriore del ciclomotore La biella sporgenza dell albero motore che si incerniera con la biella viene chia mano il mata manovella Il movimento in su e in gi del pistone generato dii GF da ripetute esplosioni di benzina nebulizzata che avvengono nella parte superiore del cilindro come spiegato in dettaglio nell appendice alla fine del paragrafo albero motore Per strada 2 207 Ad ogni posizione della manovella corrisponde una determinata posizione del pistone Quindi se la manovella ovunque si trovi compiendo 1 2 3 giri ritorna sulla stessa posizione anche il pistone ritorna alla stessa quota Ad es se la manovella ruotata di Re 240 rispetto alla direzione verticale in alto dopo 1 giro rota
113. possiamo porci l obiettivo di dimostrare tutto a scuola non si pu riinventare in pochi anni tutta la matematica che stata messa a punto in millenni n la scuola preuniversitaria ha l obiettivo di formare dei piccoli matematici confidando sul fatto che le operazioni aritmetiche e gli algoritmi di calcolo usuali siano stati definiti bene a volte ricorreremo ad esemplificazioni di tipo fisico o a esperimenti numerici per giustificare alcune propriet Nel quesito 7 hai visto che per calcolare 17 29 13 118 con una CT senza priorit conviene considerare 13 118 17 29 Per precisare in che modo abbiamo riordinato la somma possiamo dire che abbiamo applicato la regola di riscrittura a b c cta b La direzione della freccia indica il verso in cui viene effettuata la sostituzione 9 Se per calcolare 50 13 2 ci riconduciamo riordinando al calcolo 50 2 13 100 13 1300 quale regola di riscrittura abbiamo impiegato abc Ar_ Considera il calcolo a lato 17 16 3 17 3 16 20 16 36 questa espressione non indica solo delle uguaglianze ma anche il verso in cui sono a gt m ma 18 eseguiti i calcoli come se ci fosse al posto di Prima di fare dei calcoli numerici ho riordinato il primo termine della divisione cio ho rimpiazzato il sottotermine 17 16 3 con il sottotermine equivalente 17 3 16 Invece di dire che ho applicato la seguente regola di riscrittura 1 all intero termine possiamo dire che ho applic
114. procedimenti 25 ZO 35 40 1 Sommo le frequenze percentuali delle varie et a partire dall et minore cio dalla 70 colonna pi a sinistra dell istogramma e mi fermo quando raggiungo il 50 Mentre nel caso delle altezze delle alunne si sono ordinati i dati in una tabella e si presa la casella 50 centrale qui come se appilassi 1 rettangolini che formano l istogramma passando da figura 9 A a figura 9 B e considerassi quello che sta a met della striscia ottenuta cio il rettangolino per cui passa la quota che indica il 50 l et mediana di laurea dunque di 27 anni In altre parole il 50 degli studenti si laurea entro i 27 anni e l altro 50 si laurea a un et non inferiore ai 27 anni 40 2 Opero sull istogramma di figura 6 la linea di divisione verticale che lo taglia in due parti di area uguale fig 0 passa per l intervallo che rappresenta 1 27 anni z0 20 figura 10 10 Consideriamo l altezza dei ventenni nel 1976 anno intermedio tra il 1961 e il 1992 considerati all inizio della scheda in cui l altezza media era di 172 0 Procedendo con il metodo 2 posso capire che la verticale che ne divide a met l istogramma fig 11 passa per il rettangolo indicato dalla freccia cio che l altezza mediana compresa tra 170 e 175 cm Per procedere con il metodo 1 posso considerare la tabella 2 2 in cui riprodotta la distribuzione percentuale dei ventenni nel 1976 rappresentata graficamente in fig 1
115. puoi scegliere a tuo piacere Abbiamo trovato che nel 1926 la voce trasporti 3420 milioni L aveva un incidenza del 3 sul totale dei consumi 124205 milioni L Prova a calcolare il 3 di 124205 Riottieni il valore 3420 Trovate una spiegazione per questo fenomeno Dalla tabella 1 1 risulta che in Italia nel 2008 si sono spesi 17 587 milioni 17587000000 di in tabacco Ovviamente questo dato non esatto ma stato arrotondato ai milioni cio stato espresso in milioni e poi arrotondato alle unit Inventa qualche valore che potrebbe rappresentare la spesa esatta Osservate gli istogrammi di figura 8 Il fatto che sia diminuita l incidenza percentuale delle spese alimentari significa che gli italiani mangiano meno di un tempo e10 Non abbiamo sotto mano la CT e vogliamo eseguire alcuni calcoli Non ci interessa il risultato esatto ma solo una stima di esso Possiamo precedere come nei seguenti esempi 1860 2 103 20 10 5 1073 0 005 376891 4 105 4 105 15384 187 15000 200 3000000 89325 714213 9 104 7 105 63 109 6 101 cio arrotondando i numeri a 1 o 2 cifre significative ed eseguendo 1 calcoli sui valori arrotondati Esegui analogamente le seguenti operazioni 843 279615 843 279615 3675843 19 2681 354 3000 400 30 4 7 m e11 Vogliamo controllare o avere un idea pi concreta dei dati della tabella 1 1 Proviamo ad esempio a stimare da soli l ordine di
116. quale matematica utile per usare consapevolmente un calcolatore In questa unit didattica cercheremo di affrontare alcuni di questi aspetti a partire dalla domanda che cosa fanno le varie macchine come possiamo distinguerle in base al tipo di attivit che svolgono Ci soffermeremo poi ad analizzare pi a fondo 1 casi in cui una macchina pu funzionare senza il controllo diretto dell uomo cio ad analizzare 1 procedimenti automatizzati Presteremo particolare attenzione agli aspetti matematici linguaggi e modi per descrivere questi funzionamenti e al ruolo del calcolatore Il tema dell automazione e la riflessione sull uso del calcolatore verranno ulteriormente approfondite in successive unit didattiche I Un gioco d avventura e alcune elaborazioni statistiche al calcolatore Avviamo il discorso con due attivit che potrete svolgere nell aula computer un gioco al calcolatore e alcune elaborazioni statistiche automatizzate Il castello stregato Battendo alcuni tasti o azionando altri dispositivi ad esempio un mouse in modi che dipendono dal tipo di calcolatori e da come essi sono stati predisposti trasformerete provvisoriamente 1 personal computer in macchine da gioco con cui affrontare il gioco d avventura Il castello stregato se stai leggendo la scheda da computer puoi cliccare qui per avviare il programma se usi Windows puoi anche cliccare qui 56 La automazione 1 Farete uno o due tentativi per cercare di uscir
117. radice quadrata associa ai numeri negativi 1 loro opposti 3 9 3 mentre lascia invariati gli altri numeri 3 gt 9 3 0 0 gt 0 Il numero che si ottiene come output viene chiamato valore assoluto del numero che si dato come input Quindi 3 e 3 hanno entrambi 3 come valore assoluto Il valore assoluto di un numero x viene indicato xl Quindi 16 31 6 31 6 3 Concludendo si pu dire che l elevamento al quadrato ha come funzione inversa la radice quadrata solo se lo delimitiamo imponendo ARENA la condizione che i suoi input non siano negativi se come input a n prendo un numero a gt 0 componendo l elevamento al quadrato e la azl radice quadrata riottengo a Molte CT impiegano lo stesso tasto per il quadrato e per la radice quadrata Battendo direttamente 1l tasto viene calcolata la radice o il quadrato in alcune CT come in quella virtuale presente in Windows battendo prima un apposito tasto IN o O O viene calcolata la funzione inversa Siano F e G le funzioni cos definite F x x 1 25 ingrandimento del 25 G x x 0 8 riduzione del 20 gi considerate nei quesiti 34 e 35 In figura 6 sono riprodotte parti dei grafici realizzate con Poligon di tali funzioni e delle funzioni H F G e K G F Due dei 4 grafici si sovrappongono 1 Associa ad ogni grafico la o le funzioni corrispondenti 2 Come avresti potuto descrivere direttamente H e K senza ricorrere a F e G H x
118. ranza dei testimoni pretende di riconoscerlo tra un gruppo di fotografie di volti di individui sospetti Il secondo esperimento fa riferimento ai disegni in figura 3 Osservate i segmenti AB CD EF GH Provate mentalmente senza misure o altri calcoli a confrontare AB con CD ed EF con GH Successivamente verificate le conclusioni suggerite dalle vostre impressioni con quelle che potete ottenere usando opportunamente la quadrettatura che fa da sfondo ai disegni La matematica e i suoi modelli 3 21 figura 3 e Anche il ritratto del volto di una persona ad opera di un grande pittore secondo voi un modello di tipo diverso rispetto a una fotografia In che senso 2 Le discipline Dopo tanti anni di scuola possiamo riflettere su che cosa sono le discipline cio 1 campi in cui vengono organizzate le conoscenze e gli studi Le materie scolastiche non sono altro che raccolte di argomenti che fanno capo a una o pi discipline nella scuola media in Lettere studiavate un po di grammatica un po di storia della letteratura in Osservazioni scientifiche studiavate un po di biologia un po di fisica Tra i modelli che abbiamo richiamato nel paragrafo 1 alcuni non fanno capo a una specifica disciplina 1 proverbi le immagini mentali Altri fanno invece parte di particolari discipline il modello di figura 1 impiegato in geografia economica le regole grammaticali sono parti della linguistica anche il problema del
119. rappresentare il valore della scheda telefonica di Mario dal momento dell acquisto a quello del suo esaurimento Perch hai escluso gli altri due grafici 1 2 3 4 3 6 7 S Sotto 1 2 3 4 5 amp 7 S 9 10i 1 2 3 4 3 6 F7 G 9A jQ l A B C Provate a calcolare mentalmente come fareste in una situazione normale senza ricorrere a meccanismi di calcolo scolastici il tempo in min che trascorre tra le seguenti coppie di ore e descrivete su un foglio il ragionamento che avete impiegato per ciascuna di esse a dalle 18 11 alle 21 20 b dalle 13 26 alle 15 24 c dalle 10 57 alle 16 29 d dalle 7 38 alle 9 06 Indichiamo con m i minuti trascorsi tra l ora hl m1 e l ora h2 m2 dello stesso giorno ad esempio nel caso a del quesito e5 h 18 m 11 h2 21 e m2 20 mentre m se hai fatto i calcoli giusti 189 Si vuole preparare un programma per calcolare m mediante un calcolatore Quale o quali tra le seguenti formule corretto impiegare in aiuto o a conferma delle tue conclusioni fai una verifica con i dati del quesito 10 Prova a spiegare gli errori commessi nella o nelle formule scorrette 1 m 12 60 m2 h1 60 ml 2 m h2 h1 60 m2 ml 3 m h2 60 m2 h1 60 ml 4 m h2 h1 60 m2 ml La matematica e i suoi modelli 3 19 La matematica e i suoi modelli Un esempio tratto dalla vita quotidiana Scheda 3 1 I modelli 2 Le discipline 3 Come studieremo la matematica
120. salvalo in modo da tabulare la funzione attuale nell intervallo 0 5 ogni 0 5 ossia in 0 0 5 1 e Modificalo poi per studiare x Tx4 D x in 5 5 ogni 0 5 lt pre gt tabulazione di x gt fx x3 1 tabulazione di x amp minus amp gt amp radic x x lt sup gt 3 lt sup gt 1 1 gt 3 lt script language javascript gt 1 1 gt 3 3798088 with Math 1 2 gt 3 8234451 function Ar h n a round h pow 10 n pow 10 n 1 3 gt 4 3371754 for x 1 x lt 3 x x 1 10 A Ar x 7 x a y sqrt x pow x 3 1 Ar y 7 y a 2 7 gt 22 3261677 document write x t amp minus amp gt t yt n 2 8 gt 24 6253201 lt script gt 2 9 gt 27 0919386 lt pre gt 3 gt 29 7320508 In Poligon ci sono vari modi per realizzare la tabulazione di una funzione Ma in questo caso semplice battere F x sgr x x43 1 e poi via via F 1 F 1 1 F 1 2 Prova a farlo A lato illustrato come si pu trovare la lunghezza dell ipotenusa si un triangolo 2 2 rettangolo note le lunghezze dei cateti teorema di Pitagora In questo modo pos siamo determinare la distanza di un punto x y dall origine 0 0 Sotto a sinistra questo calcolo realizzato con Poligon in maniera simile potrebbe essere realizzato con molti altri progammi si definisce una funzione D che esprime la distanza di unpunto dall origine e poi ad es per determinare la distanza di 1 2 di batte D 1 2 e se ne ottiene il valore eventualmente esp
121. si ha che applicando una tensione elettrica con una batteria x VI se lo strato P reso positivo rispetto a N la corrente circola facilmente figura A se lo strato P reso negativo rispetto a N il materiale si comporta come isolante figura B SHEELS e tl Questo fenomeno spiega l origine della parola semiconduttore Un flip flop un dispositivo leggermente pi complesso di quello raffigurato nella figura precedente realizzato combinando mediante collegamenti elettrici pi strati di semiconduttore opportunamente trattati Grosso modo funziona cos figura C attraverso successivi impulsi elettrici applicati su un apposito capo il flip flop pu passare dallo stato di conduttore allo stato di isolante poi di nuovo a quello di conduttore e cos via figura C Le CT e pi in generale i calcolatori memorizzano le informazioni mediante flip flop collegati elettricamente Indicando con 0 e con 1 i due stati che pu assumere un flip flop possiamo dire che le informazioni vengono codificate impiegando l alfabeto 0 1 Questo il motivo per cui quando si ha a che fare con mezzi di calcolo elettronici la quantit di informazione registrata la capacit di memorizzazione di un dischetto la ampiezza di un documento vengono misurate in bit 1 bit sono i simboli O e 1 con cui viene rappresentato il codice impiegato internamente dai dispositivi elettronici La parola bit deriva dall inglese binary digit cif
122. spazio bianco Nell usuale linguaggio matematico spesso si usa questa convenzione Occorre per farlo in casi in cui sia chiaro che scrivendo ad es np si intende che n e p rappresentano variabili distinte non lettere che compongono la variabile di nome np Non ci sono sicuramente ambiguit nei contesti in cui si usano solo variabili composte da una sola lettera eventualmente seguita da un indice Negli altri casi pu convenire esplicitare il simbolo della moltiplicazione o racchiudere le variabili tra parentesi le parentesi devono essere necessariamente usate se come variabili si usano espressioni che contengono spazi bianchi Ecco ad esempio alcuni modi per indicare la formula che lega il costo totale al costo unitario costo numero dei pezzi costo unitario c np cu c np cu Costo NumeroPezzi CostoUnitario c np cu In genere quando si scrivono a e A si intendono due variabili differenti come in A a b ma in molti linguaggi di programmazione Basic Pascal Fortran e in altre applicazioni due nomi di variabile che differiscano solo per la dimensione maiuscolo minuscolo di qualche carattere vengono considerati equivalenti In JavaScript invece caratteri diversi per dimensione sono differenti Ricordiamo inoltre che nei linguaggi di programmazione e in alcune applicazioni bisogna sempre esplicitare il simbolo di moltiplicazione In altre ci non necessario in Poligon ad esempio x x pu essere scrit
123. spiega l impostazione di esso Sotto sono raffigurate tre porzioni inventate di superficie terrestre un vulcano un valico che mette in comunicazione tre valli i tratteggi rappresentano sentieri che provengono da esse una collina Associa a ogni porzione di superficie terrestre la corrispondente carta delle curve di livello e completa l indicazione delle quote l unit di misura con cui sono indicate il metro Motiva le risposte Se L 1l lavoro prodotto esercitando una forza di intensit di F lungo una traiettoria di lunghezza s la relazione tra queste tre grandezze espressa dalla equazione L F s da cui si ricavano F Ls e s L F Se in queste equazioni fissiamo il valore di una delle tre variabili otteniamo delle formule che ci permettono di esprimere le rimanenti due variabili una in funzione dell altra ad esempio esprimendo L in kgm F in kg e s in m se F 40 abbiamo L 40 s e s L 40 se invece fissato il lavoro ad esempio se L 160 abbiamo F 160 s e s 160 F In un dizionario scientifico sotto alla voce proporzionalit troviamo Date due generiche grandezze x e y si dice che x e y sono proporzionali o direttamente proporzionali se esiste un numero costante k 0 tale che x y k Si dice che sono inversamente proporzionali se esiste un numero costante k 0 tale che x y k Completa la seguente tabella mettendo una crocetta in una delle caselle e completando le frasi a destra Proporzionali I
124. svolti nel seguente modo Tl 124205 EE 77749 LAC EE 3226 L C1 EHE In genere non presente il tasto per il cambio segno Mentre con una usuale CT per calcolare 5 3 devo battere 5 3 con questi calcolatori posso battere 5 3 che viene interamente riprodotto sul visore e poi premere il calcolatore legge l intera espressione e dal contesto capisce che il segno da intendersi come cambio segno invece che come simbolo della sottrazione In genere non presente neanche il tasto per il reciproco e x sono indicati rispettivamente con e A o La automazione 1 55 La automazione Dalle macchine semplici alle macchine programmabili Scheda 1 Che cosa trasformano le macchine O Introduzione 1 Un gioco d avventura e alcune elaborazioni statistiche al calcolatore 2 Movimenti e informazioni 3 Macchine semplici motori automatismi 4 Dati e programmi 5 Scatole nere 6 Logica di funzionamento e diagrammi di flusso Z Segnali e codici 8 Il calcolatore 9 Esercizi Sintesi 0 Introduzione Sin dalla nascita siamo abituati a convivere con le macchine Usiamo macchine per spostarci passeggini autobus biciclette ascensori svagarci carillon giocattoli televisioni radio mangiacassette videogiochi organizzare il tempo orologi conservare e preparare il cibo frigoriferi macchine per il caff frullatori comunicare telefono t
125. taglio dei capelli viaggi in treno in Italia I dati si riferiscono ai consumi finali ad esempio viene conteggiato quanto paga per una bibita chi va al bar ma non quanto la bibita stata pagata dal proprietario del bar Inoltre sono state escluse le spese fatte da enti pubblici ad esempio 1 soldi spesi dai Comuni per le divise dei vigili Per questi motivi 1 dati riportati nella tabella vengono chiamati consumi finali interni privati Nel seguito spesso li chiameremo pi semplicemente consumi 24 Le statistiche 1 in milioni di lire 1 1 in miliardi di lire vero che i consumi totali del 1985 sono inferiori a quelli del 1945 Scrivi in cifre esprimendoti in lire invece che in milioni o miliardi di lire 1 consumi totali del 1945 e del 1985 del T015 a ini a del 1985 prin Secondo te perch nella tabella si sono usate unit di misura diverse due dati scritti per esteso sono uno molto pi grande dell altro Si usa dire anche che hanno ordini di grandezza 454 100 000 000 OOO i diversi Pi precisamente nel caso di 434100 miliardi si dice migtiais EE ET 7 koa Muoni migqnala dl mignala che l ordine di grandezza delle centinaia di migliaia di liard miglisia di do miliardi infatti il 4 sottolineato indica che l ammontare migliaia di miliardi centinaia di migliaia di miliardi composto da 4 volte 100000 miliardi e poi da 3 volte 10000 miliardi 4 volte 1000 miliardi e 1 v
126. text name b value 0 size 24 gt lt br gt lt input type button name pulsante value onClick Piu gt lt input type button name pulsante value onClick Men gt lt input type button name pulsante value x onClick Per gt lt input type button name pulsante value onClick Div gt lt br gt lt input type text name r value 0 size 24 gt lt br gt lt br gt Caselle per copiare valori lt br gt lt input type text name x value 0 size 24 gt lt input type text name y value 0 size 24 gt lt br gt lt input type text name z value 0 size 24 gt lt input type text name v value 0 size 24 gt lt form gt lt center gt e A lato riprodotto il contenuto di un altro file a cui puoi accedere lt head gt o lt script cliccando qui Esso fornisce come uscita il numero 10 E contenuto language javascript gt tutto nell intestazione e l uscita comandata dal solo comando i 0 document write non ci sono caselle form in cui mettete input o while i lt 10 i i 1 output document write i lt script gt lt head gt Questo script contiene tre comandi una assegnazione 1 0 un ciclo while su cui ora ci soffermiano e il comando di scrittura descritto sopra I comandi sono separati da un 3 punto e virgola while condizione assegnazioni esegue le assegnazioni fin tanto che la condizione risulta essere vera In questo caso i viene inc
127. trasformare il risultato in forma percentuale e arrotondarlo a valori percentuali interi sul visore forma percent arrotond Completa la tabella a fianco usando la CT per calcolare i rapporti e il calcolo mentale per le ultime due colonne Controlla se hai ottenuto le stesse percentuali riportate nella figura 8 I si si nani saom 0055142708 Geom asse Usando la formula 3 2 si pu procedere diversamente Si pu mettere in M il risultato di 100 totale cio il fattore di proporzionalit e ogni volta calcolare dato M Descrivete la sequenza di tasti che dovete premere per effettuare questo calcolo e su qualche dato verificate la correttezza dei risultati che si ottengono in questo modo Dal confronto degli istogrammi di figura 8 possibile notare come sia cambiata dal 1926 al 1985 l incidenza di ciascuna voce sul totale Individuate per quali voci tale incidenza aumentata per quali diminuita per quali questi cambiamenti sono stati maggiori Quali osservazioni potete fare di conseguenza sui cambiamenti nelle condizioni di vita Quali consumi pensate siano compresi sotto la voce altro Abbiamo visto come utilizzare una CT per realizzare elaborazioni statistiche l utente individuato il procedimento da impiegare fa eseguire 1 singoli calcoli alla macchina Con un computer si possono realizzare le stesse elaborazioni limitandosi a introdurre i dati senza specificare man mano le operazi
128. un fatto matematico che non pu essere messo in discussione Ma anche se si fanno esattamente 1 calcoli numerici non detto che si siano presi 1 dati pi significativi o che si sia scelto il modello matematico pi adeguato per rappresentare il fenomeno da analizzare I dati statistici vanno letti e interpretati per quello che sono senza trarre conclusioni errate e cercando di valutare criticamente quelle che gli altri ci propongono In questa unit didattica verranno presentati e discussi alcuni dei modelli matematici pi utilizzati nelle statistiche diffuse dai mezzi di informazione Prenderemo in considerazione esempi riferiti a campi diversi scelti tra quelli di interesse pi generale l economia delle famiglie consumi e redditi lo sport 1 record le caratteristiche fisiche della popolazione dimensioni e sviluppo del corpo la scuola promossi bocciati abbandoni In questa prima scheda vedremo l impiego di alcuni strumenti matematici per elaborare statistiche sui consumi e sul reddito in Italia con particolare riferimento alle condizioni di vita nel corso del Novecento I dati impiegati sono in gran parte tratti dalle pubblicazioni dell Istat Istituto nazionale di statistica che raccoglie ed elabora informazioni relative a numerosi aspetti sociali ed economici dell Italia I Rappresentazioni dei numeri Nella tabella 1 1 riportato quanto si speso in beni di consumo alimenti vestiti automobili e in servizi
129. uscita 2 Sono TOR 2 robot mangiatutto abitante della stanza in cui sei entrato e custode della sua unica uscita Il meccanismo di apertura faticoso da azionare e per avere l energia necessaria devo essere alimentato 3 Appena entri nella nuova stanza la porta ti si chiude dietro Sei al BUIO 4 Sei entrato in una stanza con 2 uscite X e Y Ti vengono incontro due strani personaggi dall aspetto identico grassi vestiti di rosso con un buffo cappello Una voce roca ti dice Stai attento Hai di fronte due gemelli Uno dice solo verit L altro quando dice una falsit poi dice una verit e viceversa Il primo gemello ti dice Io sono sempre sincero Il secondo Io sono sempre sincero Il primo ancora Ti conviene passare per X Quale uscita scegli 5 Dai da mangiare a Tor 2 un oggetto tra quelli che possiedi 6 La nuova stanza vuota Nell aria si diffonde una musica MONEY dei Pink Floid Boh roba un po vecchia ti viene da pensare Attraversi la stanza La porta d uscita non ha maniglia ma al centro ha una fessura con sopra una piccola iscrizione Here money 7 Sei precipitato in un POZZO profondo 5 m Le pareti sono viscide Fai 3 m di salita e poi di notte scivoli di 2 m Arrivato in cima al pozzo ti trovi di fronte a due porte La porta A conduce in un corridoio la cui uscita rimane aperta solo fino al 4 giorno dalla tua caduta all inizio del 5 si chiude La porta B conduce in un corridoio la cui uscita
130. vettori per descrivere 1 cambiamenti di posizione e la somma di vettori per descrivere l effetto complessivo di due successivi cambiamenti di posizione se una formica si sposta di a lungo un foglio e se poi il foglio viene spostato di b sul tavolo possiamo descrivere lo spostamento complessivo della formica con la somma a b dei vettori corrispondenti ai due spostamenti Si pu dimostrare che lo spostamento complessivo lo stesso se 1 due movimenti sono contemporanei 196 La matematica e lo spazio I Oltre agli spostamenti in fisica vengono rappresentati con vettori anche le velocit le forze e varie altre grandezze Si tratta di grandezze di cui si pu dare una descrizione completa indicando oltre alla loro misura intensit la loro direzione Ad esempio un peso di 15 kg pu essere rappresentato con un vettore lungo 15 vettore che trasla un punto in una posizione distante 15 Pi precisamente si parla di un vettore di modulo 15 Infatti dato un vettore v h k si chiama modulo di v la distanza dalla posizione iniziale alla posizione dopo l applicazione della traslazione Tv cio Y h k Si pu inoltre dimostrare che la composizione di due di esse la composizione di due velocit la composizione di due forze d luogo alla grandezza una velocit una forza rappresentata dal vettore che la somma dei vettori che rappresentano le due grandezze composte come si vede nella figura precedente a destra
131. x 140 ABE Se voglio trovare il numero degli studenti che nel 2006 07 erano iscritti alla 1 e nel 2007 08 non si sono pi iscritti nel caso di altre scuole senza ripetere ogni volta tutto il procedimento con cui siamo passati dall equazione 181 36 y 91 all equazione y 54 mi conviene procedere una volta per tutte impiegando variabili invece che numeri 15 A tal fine completa il grafo seguente che generalizza quello della figura 4 cio metti variabili al posto dei numeri impiegati nel grafo di figura 4 2007708 Come nel caso dell ITI dobbiamo trovare il valore y della freccia che va da Al a ABB Invece di 181 36 y 91 figura 4 abbiamo figura soprastante A1 DI y C2 D2 Procediamo come per 181 36 y 91 1 A1 D1 y C2 D2 2 A1 D1 y C2 D2 3 A1 y DI C2 D2 equazione iniziale 4 A1 D2 y D1 C2 D2 D2 applico D2 PI PI riordino 1l 2 membro lo riordino ulteriormente per arrivare alla forma y N 5 A1 D2 y DI C2 la funzione D2 annullata dalla sua inversa D2 6 Al D2 C2 D1 y 7 y Al D2 C2 DI analogamente annullo al 2 membro D1 e C2 scambio tra loro 1 membri dell equazione 16 Completa la seguente tabella non risolvere altre equazioni ma osserva sul grafo soprastante come passando da una classe alla successiva cambiano i nomi delle variabili ITI LS iscritti alla 1 nel 2006 07 che non si sono pi
132. 0 123 x 12 3 faccio 10 led J Upo 0047 932 21 e 0 12 faccio 100 LR di 4 1504 232 123 2460 2583 2 583 faccio 1000 I numeri 2 173 Somma prodotto e differenza di due numeri interi sono ancora numeri interi Quindi anche somma prodot to e differenza di due numeri limitati sono ancora numeri limitati Vediamo un esempio di divisione 38 7 unit 38 7_ SOI decimi ia 307 28 4 centesimi 2 2017 14 2 millesimi 6 gt 60 7_ SAAE 4 a Quindi 38 7 5 unit 4 decimi 2 centesimi 8 millesimi 5 428 6 Calcola in modo simile 23 12 e 14 700 trovando 1 risultati approssimati per troncamento ai millesimi Tutte le cifre di una divisione tra interi possono essere ottenute facilmente con lo script di cui gui puoi esaminare il testo e che puoi eseguire cliccando qui Ecco che cosa puoi ottenere Introduci i numeri interi positivi m e n e batti ripetutamente Calcola Riavvia per il valore di un altro rapporto m B afp passo 542857142857142857142857142857142857142857142857142 Verifica che se nel modo ora descritto esegui le divisioni 6 25 e 24 7 ottieni 1 valori descrivibili nel modo seguente e cerca di spiegare perch ci accade 1 scrivi 0 24 1 scrivi 3 3 1 2 scrivi 0 3 2 2 scrivi 428571 3 val a 2 3 val a 2 Il gruppo di cifre che si ripete cio il gruppo di cifre stampato al passo 2 viene detto periodo I numeri precedenti so
133. 0 e una sua parte lunga 27 cio pari a poco pi di 1 4 di striscia Se invece del modello grafico si usa solo la rappresentazione delle parti sotto forma di centesimi del totale si parla di rappresentazione in parti percentuali o semplicemente percentuali Questa espressione deriva dal fatto che al posto dell espressione 27 centesimi 27 100 si usa spesso l espressione 27 per cento scritta in genere cos 27 22 Con diagrammi come quelli di fig 6 si perdono delle informazioni sulla situazione rappresentata rispetto a diagrammi come quello di fig 5 quali In compenso quali informazioni in pi si ottengono 100 1 2 0 5 5S0cent 250100 50 1 14 0 25 250ent 200 100 s254 i4 0 75 75 cent 75 i00 75h UG E E E 35 5 cent E E a E E E 1 5 0 2 20 cent 200 100 20 20 25 33 35 0 75 100 Come suggerisce il disegno precedente per rappresentare il rapporto tra 2 e 5 su una striscia graduata puoi procedere in due modi 1 dividere la striscia in quinti cio in 5 parti uguali e prenderne 2 oppure 32 Le statistiche 1 2 calcolare 2 5 esprimere il risultato in centesimi e considerare una quantit di segmentini pari al numero di centesimi cos trovato Procedi in entrambi i modi sulle due strisce riportate qui sotto LIRA 211 100 211 100 Come sono state calcolate le percentuali riportate in fig 6 Ricordiamo f La matematica e i suoi mode
134. 00 434100 JEA 80 Le statistiche 2 Questo grafico lo avevate tracciato a mano su un foglio di carta millimetrata Vediamo come potete realizzarlo al calcolatore usando il programma Poligon se siete in ambiente Windows In modo simile potete usare altri programmi Nel caso del tracciamento a mano dopo aver stabilito l intervallo dei valori di x e l intervallo dei valori di y che voglio rappresentare sulla carta millimetrata fisso gli assi di riferimento e in base alla porzione di carta che voglio occupare scelgo su di essi scale opportune Nel caso di Poligon il computer a tracciare il grafico sulla base delle informazioni che gli fornisco introducendo dati e comandi in opportuni riquadri e cliccando opportuni bottoni Essendo fissa la porzione di schermo destinata ai grafici le scale sui due assi vengono automaticamente determinate dalla mia scelta degli intervalli per x e per y 043400 n 101 u F Plot F x x 360 434100 Assi MIPIC 150000 4 50 Gavel 100000 lt s lt 400000 aleu ul 400 lt y lt 400 BE 05 425 54 100 400 CLP ESE ITE Dy Fyotagradi 4 4s44 RICA ile FE x x 360 434100 Poligon consente di tracciare grafici di funzioni di cui A sia noto il termine che esprime y in funzione di x ad esempio nel nostro x fix caso sappiamo che y vale x 360 434100 Se la funzione viene indicata con 1l iRU output nome f il valore di y associato a x viene in genere indicato con f x
135. 01101 e un programma traduttore per tradurre il programma in linguaggio evoluto in una sequenza di bit che sia la versione in linguaggio macchina del programma Ecco come viene trasformata da un programma taduttore l assegnazione 23 JER scritta in un linguaggio Basic corrispondente alla formula a fianco 9 1 Ecco i passaggi con cui da tale grafo si pu risalire alla scrittura nel linguaggio di programmazione partendo dai nodi a sinistra in basso 23 cs DOG a Anax 9L 2n xX Oaa 25 wR Sla Se sei in ambiente Windows cliccando QUI puoi avviare il programma F Compilazione o il pi semplice programma Albero che realizza e visualizza 0 2 3 trasformazioni e grafi come nell esempio precedente Anche il programma vl x Poligon premette di analizzare la struttura dei termini se definita una funzione V2 v0 vl F batti F x ottieni la visualizzazione di come il programma ne imposta il Pea l v4 v v calcolo come nell esempio a lato ue i vo v4 v5 a Scrivi un assegnazione che corrisponda alla seguente sequenza di assegnazioni elementari R2 1 3 R3 RIAR2 RO R3 RI b Scrivi le assegnazioni elementari e traccia il grafo corrispondenti all assegnazione C F U N In un ambiente di programmazione la traduzione in linguaggio macchina pu essere avviata operando con il mouse o premendo una opportuna combinazione di tasti La nuova versione viene memorizzata tem poraneamente quando
136. 02 26 2624 26 ok Siano f x gt 2x x 2x 1 gx x3 2x 2 Completa le seguenti eguaglianze esprimendo 1 numeri mancanti in base dieci f 10 f 2 f 3 f 4 g 10 g 2 g 3 g 4 2121 10 2121 2121 3 2121 4 1022 10 1022 1022 3 1022 4 Usa Poligon o un altro programma per calcolare in corrispondenza di opportuni input gli output di opportune funzioni in modo da controllare gli esiti dell es precedente Spiega come hai proceduto Per mettere a segno un particolare orologio digitale dopo aver reso lampeggianti con opportune pressioni di uno dei pulsanti le cifre da modificare quelle delle ore o quelle dei minuti occorre premere ripetutamente l altro pulsante fino a che non si arriva ai valori giusti Indichiamo con S la funzione successore per le ore quella che ad ogni ora associa l ora successiva dopo la pressione del pulsante e con S2 la funzione successore per i minuti S la funzione successore per 1 numeri naturali 168 I numeri 1 1 Descrivi gli insiemi di numeri naturali A1 e A2 che costituiscono il dominio di S e di S2 2 Completa la seguente tabella indicando quanti e quali sono gli elementi del tipo specificato EDBDEE EVB gt BNRR dei naturali dotato di S A1 dotato di S1 A2 dotato di S2 elementi da cui applicando ripetutamente il successore si ottengono tutti gli altri elementi elementi che non possono essere output della funzione successore Abbi
137. 030303 4 0131313 40 131313 10 40 131313 40 0 131313 quindi 4 0131313 Si pu quindi concludere che l insieme dei numeri razionali coincide con l insieme dei numeri periodici I numeri 2 177 Da 5 7 e 5 8 s1 pu derivare 5 9 a b c d a d c b b c che mette in luce che la somma di due numeri razionali ancora un numero razionale mm 5 9 vale anche con al posto di basta interpretare la sottrazione come addizione dell opposto Da essa e da 5 5 e 5 6 possiamo concludere che applicando le quattro operazioni a numeri razionali si ottengono ancora numeri razionali Questo fatto pu essere espresso dicendo che l insieme dei numeri razionali ovvero l insieme dei numeri periodici chiuso rispetto alle quattro operazioni Questa terminologia vuol ricordare il fatto che se sono nell insieme dei numeri razionali e applico le quattro operazioni non esco da tale insieme L insieme dei numeri limitati invece non chiuso rispetto alla divisione 10 3 fa 3 333 che non limitato Completa la seguente tabella mettendo OK se l insieme chiuso rispetto all operazione indicata mettendo un esempio di operazione che fa uscire dall insieme altrimenti da sottointendere che sono da escludere i casi in cui la divisione non definita Nella tabella accanto ad alcuni insiemi numerici sono indicati i simboli con cui vengono usualmente denotati la q con cui viene indi
138. 1 N 1 10 e13 1 Senza fare disegni stabilisci se si incontrano e in che punto le due rette che sono grafico delle p 8 funzioni X 3x 4 e xH 2x 6 2 Come sopra nel caso delle funzioni x 7x 14 e x 7x 15 e14 due meno il prodotto di A pi B per sette una possibile descrizione verbale di 2 A B 7 Prova a descrivere verbalmente A B A B 3 A B A A 3 B Z vd B X A X A B X A B e15 Associa ad ognuno dei seguenti termini il grafo ad albero che lo rappresenta X 3 x 3 Xx _ a 2 2 a 2 a A B C f m EA _ ti PA PA PA 5 a s a OFL EA dd i a x a x 5 a PA 3 x e16 Un negoziante incassa in un anno 280 mila ne spende 25 per una commessa stipen dio contributi e 150 per pagare i fornitori e guadagna 70 mila A quanto ammontano le altre spese telefono energia elettrica tassa sui rifiuti manutenzioni Questo problema pu essere schematizzato sia con un equazione che con un grafo Incasso CostoCommessa CostoForniture AltreSpese Guadagno CostoFormtuyre AaltreSpese altreSpese Incasso 220 NEGOZIO 250 CostoCommessza 245 Guadagno Per risolvere il problema appoggiandosi al grafo si possono mettere a fianco delle frecce che rappresentano flussi di denaro conosciuti i relativi valori e si possono poi conglobare in un unica freccia i valori in uscita che sono noti arrivando al graf
139. 1 10 per esteso diventa 100 2 posizioni dopo il posto 0 i decimale 107 diventa 0 01 2 posizioni prima del posto 0 DIGO LoGIO Avanzare di 1 posto equivale a moltiplicare per 10 avanzare di 2 posti cio a moltiplicare due volte per 10 equivale a moltiplicare per 100 o GEeo o Gia Analogamente retrocedere di 1 posto equivale a dividere per 10 retrocedere di 2 10 posti cio dividere due volte per 10 equivale a dividere per 100 aa ge E T 1 0 e o Lo o e Quindi come 10 dove n pu essere 1 2 3 4 cio un qualunque numero j intero positivo non altro che il risultato della ripetizione della moltiplicazione per aoe eith 10 cos 107 non altro che il risultato della ripetizione della divisione per 10 0 1 1071 1 10 ROC 0 01 10 2 1 10 10 1 100 l m 0 001 10 3 1 10 10 10 1 1000 Oltre a quanto visto per le potenze di 10 abbiamo che 23 sta per 2 2 2 74 sta per 7 7 7 7 x sta per x x Il risultato del calcolo di a viene chiamato potenza n esima ennesima di a L operazione con cui a partire da a e n si ottiene a viene detta elevamento di a alla potenza n esima a e n vengono chiamati rispettivamente base ed esponente dell elevamento 9 Completa se possibile quanto segue prima osserva i due esempi 9 _ 25 5 faccio 1 5 gt 25 deduco che 25 5 6 6 6 186 6 faccio 1 gt 6 36 216 deduco che non e
140. 1 Cumulando cio sommando man mano tali frequenze si ottiene la tabella 2 3 i cui valori vengono detti frequenze percentuali cumulate Il passaggio dalla tabella 2 2 alla tabella 2 3 non altro che la traduzione numerica i50 i60 170 180 190 dell appilamento con cui da un istogramma di distribuzione come fig figura 11 9 A si passa a quello a striscia come fig 9 B 110 Le statistiche 3 Sotto 165 170 riportata la percentuale di ventenni con altezza minore di 170 cm 38 8 la somma di 0 7 2 9 11 2 e 24 0 La colonna successiva ci dice che il 67 7 ha altezza minore di 175 cm Quindi il valore che separa le altezze in cm del 50 dei ventenni pi bassi da quelle del 50 dei ventenni pi alti cio la mediana cade in 170 175 3 Campionamento Facciamo un ultima osservazione a proposito della tabella 2 1 Essa non il frutto di un esame che ha riguardato tutte le diciasettenni italiane ma solo una parte di esse Si tratta comunque di un numero non troppo piccolo di ragazze che ci consente di fare delle deduzioni su come distribuita l altezza del complesso delle diciasettenni italiane Quando per studiare un certo aspetto di un particolare insieme di oggetti persone animali prodotti si compiono osservazioni solo su una parte di essi questa parte estratta dall insieme totale degli oggetti viene chiamata campione l analisi statistica cos effettuata viene chiamata indagine cam
141. 1 I modelli In questa unit didattica introduttiva abbiamo richiamato vari esempi di modelli matematici cio di concetti matematici impiegati per rappresentare situazioni di vario tipo ad esempio i numeri per rappresentare misure di grandezze e le equazioni per esprimere relazioni tra grandezze Provate a citare qualche altro modello matematico visto in questa unit didattica Vediamo ancora alcuni esempi di modelli riferiti a discipline e campi diversi e Iafigura I un modello grafico che rappresenta una situazione della attivit agricola tipica dei paesi sottosviluppati Questa situazione spesso viene chiamata circolo vizioso della miseria espressione che sta a indicare un fenomeno che di per s non ha vie d uscita la povert dei raccolti mantiene la popolazione in stato di miseria e a causa della miseria la popolazione non riesce a trovare i mezzi per migliorare 1 raccolti Si tratta di una rappresentazione grafica simile ai diagrammi di flusso In questo caso le frecce non indicano il flusso dell esecuzione ma relazioni di causa effetto la freccia raccolti scarsi sottoalimentazione significa che a causa della scarsit dei raccolti la popolazione si nutre in misura insufficiente Completate il diagramma mettendo correttamente le frecce nell anello superiore NESSUN RICAVO IMPOSSIBILTA DI INVESTIMENTI PER IMPIEGO DI TUTTA L PROGUZIONE MIGLIOR ARE L PRODUZIONE AGRICOLA PER LA SUSSISTENZA RACCOLTI SCARSI
142. 16 151 156 159 162 166 169 172 T a51 156 159 162 166 169 172 114 Le statistiche 3 Discutete le principali differenze tra maschi e femmine messe in luce dalle tabelle 4 3 e 4 4 19 Supponiamo che il film discusso prima del quesito 18 si ambienti in Italia nel 2006 e che la parte sia p quella di un italiano cinquantenne Allora i collaboratori del regista possono utilizzare la tabella 4 2 Tra quali valori deve essere compresa l altezza della persona che deve sostenere tale parte Le figure 1 e 2 e le tabelle 4 2 4 3 e 4 4 sono riferite al complesso degli italiani In zone diverse del paese la distribuzione delle altezze si pu manifestare in maniera piuttosto differente Ad esempio l altezza media dei maschi ventenni nel 1976 che sul totale dell Italia era 172 0 cm in Sardegna era 168 5 cm in Abruzzo 171 1 cm e in Friuli Venezia Giulia 175 6 cm L altezza di una ragazza o di un ragazzo che risiede in Abruzzo regione che presenta una distribuzione delle altezze quasi uguale a quella del complesso dell Italia ma ha i genitori originari della Sardegna o del Friuli dovrebbe essere riferita pi ai dati di questa regione che a quelli nazionali cio a dati che sono slittati in un caso di quasi 4 cm in meno nell altro di quasi 4 cm in pi rispetto a quelli delle tabelle 4 3 4 4 Le tabelle 4 3 4 4 sono da interpretare tenendo conto oltre che di questo aspetto anche del fatto che 1 te
143. 1955 o nel 1985 il potere di acquisto man mano diminuito in altre parole man mano aumentato il denaro necessario per comprare una stessa quantit di beni Anche il potere di acquisto di 1 ora minore di quello che aveva nel 2002 quando entrato in vigore Del resto evidente che ad es il consumo di sigarette sigari tabacco da pipa dal 1926 al 1985 non pu essere cresciuto come cresciuta la spesa in tabacco Questa passata da 3 miliardi a 9 mila miliardi cio si moltiplicata per 3000 mentre la popolazione nel frattempo non neanche raddoppiata passata da circa 40 milioni a circa 60 milioni sicuramente un fumatore degli anni 80 non fumava migliaia di volte quanto fumava uno degli anni 20 Visto che non ha senso confrontare direttamente le differenze di una singola voce di consumo da un anno all altro possiamo studiare come cambiato il modo di spendere i soldi esaminando come sono mutati i rapporti tra una voce di spesa e l altra Alcuni cambiamenti balzano all occhio osservando la tabella Ad esempio nel 1945 si spendeva circa la stessa cifra in tabacco e in trasporti nel 1985 si spendeva molto pi in trasporti Altri confronti sono meno evidenti Vedremo ora dei metodi di rappresentazione dei dati che ci faciliteranno questo studio L istogramma in figura 2 rappresenta graficamente i consumi alimentari e non alimentari nel 2008 Abbiamo deciso di rappresentare 100 miliardi di euro con l altezza di 2
144. 29 gt 5 dunque X compreso tra 2 2 e 2 3 e proviamo con X 2 21 dunque X compreso tra 2 23 e 2 24 Il procedimento che impiega una CT simile Qui ne trovi una descrizione pi approfondita Questo procedimento nel caso della radice quadrata di 5 d luogo alla sequenza di uscite 2 2 2 2 23 2 236 2 2360 2 23606 2 236067 2 2360679 2 23606797 2 236067977 2 2360679774 Nel caso della radice di 10 si ottengono 3 3 1 3 16 3 162 3 1622 3 16227 Nel caso della radice di 1000 30 31 31 6 31 62 31 622 Nel caso di 0 1 0 3 0 31 0 316 0 3162 0 31622 Impiegando questo procedimento trova la radice quadrata di 0 4 troncata ai centesimi Eseguendo la moltiplicazione X X a mano si pu trovare la radice quadrata di un qualunque numero positivo A con quante cifre si vogliono Ad esempio dopo aver trovato il troncamento di 15 a 16 cifre 2 236067977499789 potremmo trovare quello a 17 cifre eseguendo la moltiplicazione per s stesso di 2 2360679774997891 poi eventualmente di 2 2360679774997892 Naturalmente per eseguire questa moltiplicazione impiegheremmo molto tempo probabilmente faremmo vari errori Comunque in via teorica disponendo di carta e penne a volont di pazienza e di una vita sufficientemente lunga potremmo individuare una qualunque quantit finita di cifre di 45 La CT invece ci fornir soltanto una quantit fissata di cifre Ad esempio ci potrebbe fornire come val
145. 4 nelle seguenti figure un raggio gi tracciato utilizza la numerazione indicata e tieni conto che 4 un quinto di 20 40 60 J 180 360 270 Individua quale tra i seguenti diagrammi rappresenta i consumi nel 2008 Usa la tabella 1 1 riprodotta anche all inizio del paragrafo per capire quali diagrammi scartare e motiva la risposta il diagramma non va bene perch Vediamo come effettuare il calcolo quando si devono rappresentare pi di due parti ad esempio per ottenere diagrammi come quelli del quesito precedente Sembra pi conveniente l uso di 4 2 si calcola il fattore di proporzionalit k 360 totale una volta per tutte lo si memorizza e poi si calcola ripetutamente datok Ecco che cosa si batterebbe con tre particolari CT la colonna a destra si riferisce a un particolare calcolatore tascabile programmabile 360 E 434100 Elm 36061434100 lGa EIE 360 LA 434100 EHE 116148 x Me 116148 x Ru 116148 Le K EHE 9306 x me 9306 x et 9306 E EHE Con questo procedimento 1 5 dati della tabella seguente verrebbero rappresentati dalle ampiezze angolari sotto indicate di cui riportiamo anche gli arrotondamenti alle unit di grado datol dato2 dato3 dato4 dato5 totale valori originali agi ampiezze arrotondate Prova a rappresentare questi dati completando il diagramma a settori seguente Incontri delle difficolt Le statistiche
146. 5 1 Modd S eee e N A volte si usa l espressione pi estesa media aritmetica per distinguere questo valore da altri tipi di valori medi di cui discuteremo pi avanti Il consumo pro capite dunque la media aritmetica dei consumi effettuati da tutti gli abitanti I consumi complessivi indicati nella tabella sono stati ottenuti servendosi dei dati relativi alla vendita dei vari tipi di beni e di servizi non sommando i consumi abitante per abitante dai dati sulle vendite si riesce a ottenere quanto ha speso il complesso degli italiani cio il valore di cj c2 cy non i valori di cj C2 CN Di quale informazione ulteriore rispetto a quelle fornite finora nella scheda hai bisogno per calcolare il consumo pro capite per l abbigliamento nel 2008 Sapendo che la popolazione presente in Italia nel 2008 era di 59 6 milioni calcola il consumo pro capite per l abbigliamento ed esprimilo opportunamente arrotondato in euro E come se ogni persona avesse speso per vestirsi nel 2008 anche se la spesa per l abbigliamento un fenomeno che non si manifesta in maniera uniforme nella popolazione ma c ovviamente chi spende di pi e chi meno Analogamente se impieghiamo 2 ore per percorrere in auto una distanza di 170 km diciamo di aver tenuto una media di o che siamo andati ad una velocit media di 85 km h anche in questo caso tuttavia il movimento della macchina non uniforme nel tempo del viaggio
147. Alcune CT sono dotate anche di un tasto O che permette di cancellare e poi eventualmente ribattere corrette le ultime cifre del numero battuto a patto che non si sia gi premuto un tasto di operazione Altre osservazioni Alcune CT hanno alcuni tasti sovrastati da una seconda scritta Premuti normalmente funzionano secondo la scritta impressa sul tasto premuti dopo aver schiacciato un opportuno tasto in genere O O o LI funzionano secondo la scritta soprastante In alcune CT il tasto O O Indicato con change the sign Molte CT sono dotate di un tasto l ma il suo funzionamento pu variare molto da una CT all altra Per questo non lo impiegheremo Vi sono CT dotate dei tasti di parentesi su ci ci soffermeremo in seguito CT capaci di memorizzare formule e procedimenti di calcolo Vi sono CT che permettono di visualizzare sul visore non un solo dato ma un termine contenente dati operazioni e parentesi In genere hanno un tasto lEHE o ENTER o con cui l utente pu comunicare alla CT di avere finito di battere il termine e ordinarle si completare il calcolo Infine vi sono calcolatori tascabili programmabili dotati di tasti per le lettere oltre che tasti per le cifre che sono impiegabili anche come CT Per memorizzare i dati si possono usare lettere qualunque Spesso moltiplicazione divisione ed elevamento alla potenza invece che con x une Ad esempio i calcoli illustrati prima del quesito 30 possono essere
148. CT somma spettante se si nel periodo A se si in B se si in C el7 Se invece le tre persone del quesito e16 devono formare 1000 unit monetarie contribuendo in parti eguali qual la somma in moneta circolante che ciascuno deve versare somma spettante se si nel periodo A se si in B se si in C Le statistiche 1 49 Ecco il risultato di 20 3 ottenuto con tre CT differenti Descrivi il comportamento di ciascuna delle tre CT usando 1 concetti introdotti nel 6 1 6 6666666 2 6 6666667 3 6 666666666 Un piccolo caseggiato suddiviso in 6 appartamenti di diverse dimensioni tre di 76 m e tre di 69 m Alcune spese comuni coloritura dei muri esterni cambiamento del portone riparazione del tetto vengono ripartite in proporzione alla diversa estensione degli appartamenti Per facilitare i conteggi la superficie di ogni appartamento viene espressa in millesimi di caseggiato cio viene posta uguale a 1000 la superficie complessiva degli appartamenti e vengono calcolate in proporzione le quote millesimali corrispondenti ai diversi appartamenti Calcola la quota millesimale arrotondata ai decimi di ogni appartamento e spiega il procedimento che hai impiegato Il prodotto W viene venduto a peso Sonia compra del W spendendo 8 35 Tornata a casa non ricordandosi del prezzo di W pesa la quantit acquistata e trova che il suo peso di circa 760 grammi circa poich la b
149. Grandezze di questo genere caratterizzate da intensit e direzione e che si compongono secondo la regola del parallelogramma ossia dando luogo ad un vettore somma che si dispone lungo la diagonale del parallelogramma che ha per lati le frecce che rappresentano 1 vettori sommati vengono dette grandezze vettoriali In fisica quindi oltre ai vettori spostamento si considerano 1 vettori forza 1 vettori velocit Il modello matematico vettore viene dunque impiegato per rappresentare molte pi situazioni e non solo geometriche rispetto a quelle da cui siamo partiti nell u d Per strada 6 Esercizi Quali sono le coordinate dei punti evidenziati nella figura a fianco Esprimile approssimate ai decimi ammettendo che sul valore indicato ci possa essere al peggio un errore di un decimo in pi o in meno ad esempio scrivi xp 1 8 anche se dal disegno puoi solo dedurre che xp 1 80 1 A partire da un punto al centro di un foglio di carta quadrettata rappresenta i punti intermedi e il punto finale in cui si arriva applicando successivamente le traslazioni 17 2 T3 4 e T 10 2 A fianco raffigurato un labirinto al cui interno nel punto segnato con un cerchietto c il signor Kappa La crocetta rappresenta l uscita clicca l immagine per ingrandirla a Trova la traiettoria pi breve con cui Kappa pu uscire dal labirinto b Utilizzando le graduazioni tracciate e tenendo conto che ogni divisione rappresenta 1 m
150. Introduzione In questa scheda ci soffermeremo su alcuni modi per descrivere mediante variabili simboli di operazione e parentesi mediante opportune rappresentazioni grafiche le relazioni che intercorrono tra dati diversi e su alcuni procedimenti per trasformarle Vedremo anche che la relazione tra un valore da calcolare e altri valori noti pu avere formulazioni diverse che pur essendo equivalenti dal punto di vista algebrico non sono tali dal punto di vista della esecuzione del calcolo 1 Formule per elaborare dati Termini numerici La tabella 1 1 contiene 1 dati relativi alle iscrizioni alle classi di un Istituto Tecnico Industriale ITI in due anni scolastici consecutivi classe 4 classe 5 5 Co aei gira soa i 234 4 23 1 1 1 a s 2006 07 a s 2007 08 n ripetenti n ripetenti A A B C D classe 1 classe 2 2 146 38 _ 126 35 classe 3 3 245 48 140 37 4 BI E una tabella in cui le righe sono indicate da numeri e le colonne da lettere con una notazione simile a quella impiegata spesso nelle piantine delle citt Cos il numero degli iscritti alla 1 nell a s 2006 07 contenuto nella casella o cella A1 il numero degli iscritti alla 4 nell a s 2007 08 che ripetono l anno contenuto nella cella D4 Con la stessa notazione della cella indichiamo anche il dato in essa contenuto Ad esempio A1 il numero degli iscritti alla 1 nel 2006 07 La tabella 1 2 con
151. L 915 103 L 21 2 1945 2 09 104 L 7 34 104 L 28 5 1965 19eto5L_ iais 10 1985 _204106L_ inie 0 2005 290e sorote __ w Rappresenta graficamente l evoluzione della percentuale della spesa alimentare del quesito e18 puoi usare Poligon sia per il grafico che per controllare i valori trovati basta ad es che batti 1 94 10 3 9 15 10 3 100 nel box in basso a sinsitra per ottenere la prima percentuale Poligon pu essere impiegato anche per tracciare figure che non siano grafici di funzioni Ad esempio si pu ottenere la figura a fianco Indica la sequenza di punti che forniresti a Poligon o del software che stai impiegando in classe per ottenere questa figura e verifica la tua risposta al calcolatore Un supermercato fa un offerta 3 per 2 su alcuni prodotti Cio se il cliente compra 3 pezzi di un prodotto in offerta ne paga 2 soli Calcola lo sconto percentuale che corrisponde a questa offerta PrezzoScontato CostoUnitario 2 2 rapporto ____ ___ 666 66 6 PrezzoIniziale CostoUnitario 3 3 arrotondando alle unit 100 Il prezzo iniziale viene diminuito scontato del Un paio di jeans viene offerto in saldo a 57 con uno sconto del 20 Qual era il prezzo in origine traccia il prezzo scontato l 80 del prezzo iniziale cio PrezzoScontato PrezzolIniziale 0 8 quindi PrezzoIniziale Su un particolare prodotto
152. Le figure seguenti illustrano ordinatamente come si pu suddividere un segmento AB in 10 parti uguali disponendo di un segmento PQ e facendo opportune costruzioni geometriche Spiega a parole il procedimento impiegato B i B 2 a 4 PO R 1 n l m F R 1 Segna con l evidenziatore nelle parti della scheda indicate frasi e o formule che descrivono il significato dei seguenti termini retta dei numeri 2 numeri uguali 2 4 numeri limitati 3 numeri periodici 3 indeterminazione 4 numeri razionali 5 chiuso rispetto a 5 numeri irrazionali 5 2 Su un foglio da quadernone nella prima facciata esemplifica l uso di ciascuno dei concetti sopra elencati mediante una frase in cui esso venga impiegato 3 Nella seconda facciata riassumi in modo discorsivo senza formule come in una descrizione al telefono il contenuto della scheda non fare un elenco di argomenti ma cerca di far capire il filo del discorso Per strada 1 179 Per strada La matematica per i movimenti e i mezzi di trasporto Scheda 1 Da casa a scuola 0 Introduzione 1 Scale distanze direzioni spostamenti Uso delle coordinate Descrizioni dei percorsi 4 Esercizi Sintesi gt A 0 Introduzione In questa unit didattica prenderemo in considerazione la matematica che serve per descrivere e studiare 1 movimenti Considereremo sia gli spostamenti lungo percorsi stradali sia 1 movimenti che ven
153. Tinea Fadova Calalzo 10 s 100 150 158 Un treno Milano Roma parte alle 7 55 alle 9 36 arriva a Bologna 219 km e ne riparte alle 9 40 alle 10 41 arriva a Firenze 316 km e ne riparte alle 10 50 Alle 12 43 arriva a Roma alla stazione Ti burtina 626 km Quali espressioni devi battere come x e come y per ottenere con Poligon il grafico seguente che esprime la posizione in km del treno lungo la linea Milano Roma in funzione del tempo in ore ricorda che ad es 10 17 sta per 10 h 17 cio 10 17 60 h verifica la tua risposta al calcolatore y Y y y y DOS ON IENE DORES TOT TOTO _ vi Dal grafico vedi freccia si pu dedurre che alle 12 il treno se in orario transita al 510 km pio O o o O xi 7 r 13 divis oriz 1 vi 10 l i i divis vert 100 84 Le statistiche 2 Il costo di un particolare viaggio in pullman passato da 1 7 a 2 1 Calcola il rapporto tra prezzo nuovo e prezzo vecchio e da questo valore ricava l aumento percentuale del prezzo della corsa Un vestito che costa 19 viene venduto in liquidazione a 16 Calcola il rapporto tra prezzo nuovo e prezzo vecchio e da questo valore ricava lo sconto percentuale corrispondente e6 Una maglia il cui prezzo 70 viene venduta con uno sconto del 25 cio ad un prezzo pari al 75 0 75 del prezzo di listino Qual il prezzo scontato Traduci in una formula la frase La distanza tra due local
154. Troverete delle spiegazioni insoddisfacenti o che rimandano l una all altra oltre appunto a qualche esempio chiarificatore che funge da prototipo Un dizionario non pu definire tutto ma si deve servire di un certo numero di parole il cui significato viene assunto come conosciuto dall utente Consideriamo ad es un particolare dizionario della lingua inglese Alla fine del dizionario riportato come The defining vocabulary un elenco di circa 2000 parole conoscendo le quali possibile comprendere le spiegazioni dei significati di tutte le altre Se ad esempio cerchiamo prune troviamo dried plum Cerchiamo dried e troviamo past participle of dry PRUNE DRIED PAST Il significato di participle di past e di of non descritto esaurien i Siae temente dal dizionario ci sono dei giri di parole e degli esempi DRY pete infatti si tratta di parole che fanno parte del defining vocabulary PLUM RED sono nodi finali nel grafo a fianco I loro corrispondenti italiani sono sE participio passato e di E n Per il verbo dry troviamo make dry WITH Il verbo make e l aggettivo dry fanno parte del defining vocabu Er IT lary I loro corrispondenti italiani sono il verbo fare rendere e l aggettivo secco Per plum troviamo red blue red or yellow fruit with a stone in it Le parole presenti in questa definizione fanno tutte parte del defining vocabulary La traduzio
155. Velocit media e consumo pro capite sono esempi di valori medi cio di particolari modelli matematici impiegati per sintetizzare attraverso un unico numero il comportamento di un certo fenomeno La velocit media non tuttavia un esempio di media aritmetica cio non esprimibile nella forma 5 1 per approfondimenti ques 56 Anche se il consumo pro capite come abbiamo detto un dato fittizio sovente utile Vediamo perch risolvendo gli esercizi seguenti Il consumo totale di caff in Italia stato nel 1881 e nel 1981 rispettivamente di 140 e 2277 migliaia di quintali Puoi dire che un italiano nel 1981 beveva 2277 140 16 volte circa la quantit di caff che beveva un italiano cent anni prima Perch Le statistiche 1 43 Controlla la tua risposta completando la seguente tabella relativa al consumo di caff popolazione ital migliaia consumo totale quintali cons pro capite g ab 1881 29 791 140108 1981 56 557 227710 arrotondando il risultato ai grammi ossia esprimendo il risultato in grammi e arrotondandolo poi alle unit Indica il procedimento seguito per eseguire 1 calcoli Il consumo totale di zucchero nel 1986 del Portogallo e dell Irlanda stato rispettivamente di 275 616 e 145 181 tonnellate Puoi dire che in Portogallo si mangiava pi dolce che in Irlanda Perch Il consumo pro capite sovente preferibile perch essendo indipendente dalla numerosit della
156. a figura 1 pulsantiera di un ascensore Esaminiamo ora un fenomeno che varia con continuit Ad esempio 1l trascorrere del tempo Consideriamo un recipiente pieno d acqua con un piccolo foro sul fondo da cui escano gocce l acqua sia mantenuta allo stesso livello da un rubinetto controllato da un galleggiante in modo che le gocce escano con frequenza costante cio passi sempre lo stesso tempo tra la caduta di una goccia e la caduta della goccia successiva Il livello dell acqua e la dimensione del foro siano tali che cada una goccia ogni secondo figura Supponiamo che ogni goccia che cade faccia avanzare di una posizione un contatore meccanico Il contatore passa da 000 a 001 002 003 Se azzero questo contasecondi quando inizia un certo fenomeno e se quando questo o o o o o 0 SAL termina il contatore segna ad esempio 138 dir che l fenomeno durato 138 iu a j Lollo lollo lio U sec secondi figura 2 Questo numero una misura del tempo trascorso Non rappresenta tuttavia o o o o c 2 sec esattamente la durata del fenomeno ch NRE f PA ija e quando azzero il contatore la goccia uscita per ultima dal foro ha gi percorso un Lo o o iie sai po di strada impiega quindi meno di 1 secondo a completare la caduta e a far figura 2 scattare il contatore sulla posizione 1 perci quando il contatore scatta a 138 in realt trascorso un tempo compreso tra 137 e 138 secondi e d al
157. a vai a La parola input che abbiamo gi usato indica qualcosa che entra in una macchina energia informazioni in questo caso INPUT viene usato per dire al calcolatore di attendere che l utente batta un numero Se non hai idea di come funzioni il programma puoi cliccare qui Per poter eseguire un programma come 1 2 il computer deve essere in grado di memorizzare il testo del programma cio nel caso di 1 2 la seguente sequenza di caratteri dove con 0 e abbiamo indicato lo spazio bianco pressione della barra spaziatrice e l a capo caratteri normalmente invisibili 100INPUTOT 2200K 100 T 2300 INPUTOD 2400PRINTOD K4500GOTO 0304 132 La automazione 3 Come le usuali CT memorizzano i numeri sotto forma di sequenze di bit cos un computer memorizza sotto forma di una sequenza di bit anche il testo del programma utilizzando uno specifico codice Deve inoltre essere in grado di leggere la sequenza di bit con cui ha codificato il programma e decidere man mano quale operazione eseguire una memorizzazione un richiamo dalla memoria un calcolo o una visualizzazione operazioni che nelle CT non programmabili vengono comandate direttamente da tastiera o un trasferimento dell esecuzione a un altro punto del programma Per fare tutto ci il computer deve avere e un programma incorporato per codificare il programma battuto dall utente e un dispositivo di memorizzazione in cui registrare il il programma
158. a 1 alla 2 cio il valore da mettere al posto del 2007708 Poich il valore associato a un nodo la somma dei valori associati alle frecce che vi arrivano dobbiamo trovare il valore che nella seguente equazione 2 1 occorre sostituire a ovvero quello che occorre sostituire a x nell equazione 2 2 affinch la relazione che esse 126 esprimono sia verificata 35 2 1 35 126 2 2 x 35 126 Ricordiamo che un equazione una espressione del tipo terminel termine2 terminel e termine2 vengono chiamati rispettivamente primo e secondo termine o membro dell equazione Possiamo descrivere il nostro problema dicendo che dobbiamo risolvere l equazione 2 2 rispetto a x La variabile impiegata per indicare il valore da trovare viene detta incognita Il valore trovato viene chiamato soluzione dell equazione Questa equazione pu essere trasformata facilmente nella forma x a Xt 35 126 come evidenzia la figura a fianco x 35 126 equivale a _______ e i 126 35 x ossiaa x 126 35 35 126 35 x Posso vedere ci anche come un caso particolare della equivalenza tra a b c e a c b formule in Gli oggetti matematici Posso anche dire per isolare la variabile x devo annullare 35 cio la funzione x x 35 e per ottenere ci trasformo l equazione applicando z 35 d 35 z a entrambi i suoi membri l operazione inversa 35 x x 35 1 x 35
159. a 2 Nel 1934 stato stabilito un record Se s quale E nel 1960 2 Qual era il record in vigore nel 1920 sses Segna in figura 2 in corrispondenza degli anni 1917 1919 e 1922 1 punti che rappresentano 1 record in vigore in tali anni Nelle figure 3 e 4 sono riportati due possibili completamenti del grafico di figura 2 72 Le statistiche 2 ENN aa ppn PA La SERENO E p i Ai 200 g 2 w fig 1 100 anni 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010 ali a i i i X H gt gt RR RE III E A E N a a RESI z B l Le oa T DE Le E Due n a o r 3 S DD 5 e i 5 E i o fig PEEP EI I E EI LN O O et E 0 da n R B Ti ioon a O a e a h O a i m UE ion a pae dale e a Seti ca a e Re ie e 1940 1920 4930 1940 1950 1960 1970 19380 14990 2000 200 a Quale dei due grafici rappresenta per ogni anno qual era il record in vigore La rappresentazione in figura 4 evidenzia meglio l evoluzione dei risultati della specialit del salto in alto ma i segmenti con cui sono stati congiunti 1 p
160. a 956 1209 79 Roncanova 1216 84 Nogara 1006 1222 90 Pellegrina 1228 95 Isola d Scala 1018 1240 103 Buttapietra 1301 114 Verona P N 1038 1226 1317 km B A B B A A 0 Bologna 840 1040 O Venezia 1035 1145 1150 47 Ferrara 912 37 Padova 11021116 1221 1228 ui ES 47 Mestrino si 80 Rovigo 931 52 Grisignano 1112 Sa sd 60 Lerino 1119 1134 123 Padova 1006 1146 68 Vicenza 1127 1136 1240 1249 Esaminate i quadri che abbiamo riprodotto parzialmente indicando con A B e C le categorie di treni allora in vigore e stabilite quale dei due itinerari pi corto chilometri percorsi con l itinerario BO VR VI chilometri percorsi con l itinerario BO PD VI Questo itinerario anche 1l pi breve cio quello che comporta un tempo di percorrenza inferiore Perch 2 Che cosa viene rappresentato fedelmente Il signor Van Per Tren non capisce come sia possibile che ii l itinerario che sulla cartina appare molto pi corto sia in realt pi lungo quesito 2 Si rende conto che nella cartina la descrizione delle linee ferroviarie stata semplificata impiegando tratti rettilinei per cui un itinerario potrebbe essere molto pi lungo di come appare D altra parte poich si tratta di linee che attraversano la pianura gli sembra improbabile la presenza di numerose curve PD BO La matematica e i suoi modelli 1 5 Prende allora la sua guida t
161. a che gli devono essere restituite in tutto 100 Rappresenta questa complessa situazione con un grafo e trova a quanto ammontano 1 debiti di B Quali sono i nodi iniziali e finali del grafo 1 Segna con l evidenziatore nelle parti della scheda indicate frasi e o formule che descrivono il significato dei seguenti termini riordinare un prodotto 2 portar fuori la negazione ques 12 rimpiazzare un sottotermine dopo ques 9 raccogliere a fattor comune dopo ques 10 trasformare un equazione 3 equivalenza dal punto di vista della precisone del calcolo dopo ques 19 2 Su un foglio da quadernone nella prima facciata esemplifica l uso di ciascuno dei concetti sopra elencati mediante una frase in cui esso venga impiegato 3 Nella seconda facciata riassumi in modo discorsivo senza formule come in una descrizione al telefono il contenuto della scheda non fare un elenco di argomenti ma cerca di far capire il filo del discorso La automazione 4 153 La automazione Dalle macchine semplici alle macchine programmabili Scheda 4 Altro software 1 Hardware e software una breve sintesi 2 I fogli elettronici 3 I programmi per il calcolo simbolico 4 Perch usare la CT perch usare programmi per il calcolo simbolico 5 I programmi di geometria dinamica 6 Esercizi Sintesi I Hardware e software una breve sintesi Per immagazzinare dati programmi senza ingombrare permanentemente la memoria del c
162. a commutativa o pi in breve che sono commutative una funzione Sa F a 2 input si dice commutativa quando comunque si diano a F due input x e y se x y u allora si ha anche y x gt u Molte CT sono dotate anche del tasto o Le la sequenza a b fa calcolare e visualizzare 1l risultato di al Questa funzione a 2 input commutativa o no nel primo caso spiega il perch nel secondo caso mostra un contro esempio cio indica una coppia di input il cui output dipende da quale tra essi si prenda come base e quale come esponente 2 I registri di lavoro e la gerarchia delle operazioni Vediamo che cosa appare sul visore man mano che eseguiamo il calcolo di tastiera visore 12 5 9 con una CT o con la calcolatrice di un cellulare 12 Quando premiamo L sul visore si continua ancora a leggere 12 quando battiamo id il secondo termine della moltiplicazione 5 il numero 12 scompare Ci significa che la CT dopo la battitura di 5 oltre che del 5 stesso si ricorda del 12 battuto in gt a preceden A altrimenti non saprebbe quale calcolo eseguire za u uire Per far questo deve essere dotata di opportuni dispositivi in cui memorizzare le o C 9 informazioni che le vengono comunicate attraverso la tastiera numeri e operazioni e ne saranno almeno due per conservare i termini dell operazione e uno per L___69 due p t dell op p conservare opportunamente codificato il segno dell operazione Dopo la pressione
163. a ha inciso su questo aumento anche in altri modi ad es le donne longilinee un tempo incon travano pi difficolt nel parto e quindi mediamente avevano meno figli pian piano questo svantaggio stato colmato ed aumentata la trasmissione del patrimonio genetico da parte delle donne pi alte 104 Le statistiche 3 Abbiamo dunque visto un primo aspetto che rende relativo il significato di essere basso l altezza media variata nel tempo Un maschio nato nel 1941 cio ventenne nel 61 e alto 165 cm di quanto sotto all altezza media dei suoi coetanei E un maschio della stessa altezza nato nel 1972 Ma non basta calcolare la distanza dell altezza di una E i i persona dall altezza media Bisogna anche vedere se ad n media 162 6 esempio sono molte o sono poche le persone nate nel na er 1972 e con altezza inferiore di 9 o pi centimetri rispetto i all altezza media Per fare questa valutazione possiamo 5 riferirci agli istogrammi della figura 2 che 0 PA k ed aa rappresentano le percentuali dei ventenni maschi le cui 743 50 4 55 3 60 4 65 2 r0 4 75 3 80 altezze cadono in alcuni intervalli di misure zo 4961 O E 23 jazz 1R Questi istogrammi sono stati realizzati impiegando aal o o media 168 8 dati pubblicati dall Istat e gi classificati negli intervalli Fee a di altezza indicati ali i EA peA prr 5 zra eaa paa pe os altezze fino a 149 cm altezze da 150 a 154 cm ol e i li a
164. a opportunamente l equivalenza discussa in el1 per calcolare mentalmente 97 103 el4 Le figure a lato sono un cerchio e un quadrato ma non sono rappresentate in un sistema monometrico Assegna valori alle tacche in modo che nel sistema di riferimento che ottieni tali figure siano effettivamente un cerchio e un quadrato 1 Segna con l evidenziatore nelle parti della scheda indicate frasi e o formule che descrivono il significato dei seguenti termini piano numerico prima di fig 1 spazio a dimensioni prima di es 2 traslazione dopo es 3 vettore dopo es 3 distanza euclidea 3 distanza urbanistica 3 cerchio 4 modulo di un vettore 5 grandezza vettoriale 5 2 Su un foglio da quadernone nella prima facciata esemplifica l uso di ciascuno dei concetti sopra elencati mediante una frase in cui esso venga impiegato 3 Nella seconda facciata riassumi in modo discorsivo senza formule come in una descrizione al telefono il contenuto della scheda non fare un elenco di argomenti ma cerca di far capire il filo del discorso Per strada 2 199 Per strada La matematica per 1 movimenti e i mezzi di trasporto Scheda 2 Fuori citt in bicicletta o in motorino 0 Introduzione 1 Le pendenze 2 Affrontare le salite 3 Meccanismi che trasformano i movimenti 4 Esercizi Sintesi 0 Introduzione Nella scheda 1 di Per strada abbiamo considerato gli spostamenti in una zona pianeggiante di picco
165. a presso l Universit di Genova nel triennio 1984 86 figura 6 la media 28 anni mentre la moda 26 anni attualmente a causa dell introduzione di due successivi livelli di laurea l et della conclsione degli studi si alzata di circa un anno Infatti il valore della media subisce l influenza della coda costituita dalle persone che si laureavano con grande ritardo studenti lavoratori perdigiorno mantenuti dalla famiglia benestante E figura 6 questa coda che sta alla destra della classe modale fa aumentare il valore della media rispetto a quello della moda ZI 30 SI 40 Se nella scuola del quesito 9 l alunna alta 150 cm si ritira e contemporaneamente si iscrive una diciasset tenne spilungona brava giocatrice di pallacanestro alta 182 cm l altezza media diventa 163 1 cm la distribuzione delle altezze non cambia particolarmente ma il nuovo valore di 182 cm anomalo rispetto alla altre Li altezze figura 7 influisce non poco sul valore della media che aumenta di quasi 2 cm ARRESE E E S E T T20 DSG a a z a i 7l 7A Pr 20 o I I figura 7 52 55 58 l d amp 7 70 73 79 82 Questo esempio e quello relativo all et di conclusione degli studi universitari mettono in luce che la media aritmetica un valore medio che non sempre significativo Nel caso delle altezze delle alunne diciassettenni abbiamo visto che il piccolo numero di esse fa s che neanche la moda sia particolarmente indi
166. a quella delle quote di alcuni posti particolari come cime laghi passi paesi figura 1 Pasopra 4 s i pacfar fa 559 Pasotto gt 4 7 gt 7 12 x oltre 12 Una curva di livello o isoipsa che in greco significa di uguale altezza una linea costituita da punti che rappresentano posizioni della superficie terrestre che sono alla stessa quota sul livello del mare altitudine Ad esempio il paesino Pasopra che alla quota di 644m sta nella striscia compresa tra la curva di livello alla quota 625 m e la curva di livello alla quota 650 m 200 Per strada 2 Una cartina con curve di livello un modello cartografico che consente di farsi un idea tridimensionale del territorio rappresentato In figura 2 a sinistra raffigurato il plastico che si pu ottenere sulla base delle curve di livello della porzione di cartina di figura 1 Come si vede si tratta di un plastico a scalini che solo una approssimazione della forma della superficie terrestre reale Ad es la parte piana compresa tra la curva di quota 625 e la curva di quota 650 nella realt non piana ma comprende una superficie che pi o meno gradualmente passa dalla quota 625 alla quota 650 E non detto che sia sempre in salita la strada dopo Pasopra potrebbe presentare un tratto in discesa per poi risalire fino alla quota 650 figura 2 Per avere un idea di come nella realt varia l altitudine si veda in figura 2 a destra il profil
167. a supporre che la mediana sia circa 172 cm E un valore stimato non sono certo che sia l arrotondamento a 3 cifre della 170 175 mediana Infatti ho diviso 170 175 in 5 parti uguali come se le altezze che cadono in questo intervallo si distribuissero uniformemente ripartendosi equamente tra 170 171 171 172 288 50 67 7 174 175 Per una valutazione senza incertezze dovrei conoscere come le altezze si distribuiscono effettivamente in tali intervalli Come avrei potuto stimare il valore della mediana senza ricorrere a queste rappresentazioni grafiche Devo trovare un metodo numerico per associare a 50 la posizione y a 175 corrispondente nell intervallo 170 175 cio il valore che lo suddivide allo stesso modo in cui 50 suddivide l intervallo che va da 38 8 a 67 7 288 T T 50 388 _ 11 2 il rapporto R tra la parte a sinistra e il totale totale 67 7 388 28 9 dell intervallo figura 14 e parte b 9 gt Quindi la distanza tra 170 e pari all ampiezza di 170 175 per R figura 14 11 2 28 9 0 3875 38 75 cio 5 R Per trovare devo aggiungere all estremo sinistro dell intervallo tale distanza 170 5 11 2 28 9 171 937 arrotondando 172 Con la CT posso eseguire il calcolo nel modo a fianco 5 11 25 28 9 170 L assunzione che le altezze si distribuiscano uniformemente tra 170 e 175 equivale a considerare le variazioni di altezza proporzionali alle variazioni del
168. a un particolare dato pu quindi essere calcolata usando le formule che si ottengono da 3 1 e 3 2 mettendo 360 al posto di 100 Scrivi queste formule 4 1 ampiezza 4 2 ampiezza L incidenza della voce alimentari nell 85 stata rappresentata con un angolo di 96 Impiegando la CT e usando 4 1 o 4 2 verifica la correttezza di questa scelta Scrivi qui sotto l ampiezza cos come appare sul visore della CT e il suo arrotondamento agli interi 180 ampiezza sul visore ampiezza arrotondata 20 Marco dice invece di calcolare 116148 360 434100 o 116148 434100 360 sfrutto il fatto che 1 consumi alimentari sono il 27 del totale e per trovare la porzione di cerchio calcolo il 27 di 360 27 100 360 In questo modo ottiene 97 2 e quindi rappresenta i consumi alimentari con un settore ampio 97 Come mai Marco ottiene un valore diverso dal nostro 38 Le statistiche 1 Per confrontare 4 con 20 posso impiegare il rapporto 4 20 lasciandolo indicato cos o calcolando il risultato della divisione 4 20 0 2 20 Posso anche dire che 4sta volte nel 20 20 sta a 4 come staa 1 20 5 volte 4 il rapporto tra e 1a5 4sta a 20 come I sta a 5 Sdi ss il rapporto tra 4 e 20 uguale al rapporto tra 1 e 4 volte 20 Completa le frasi precedenti e facendo corrispondere a 20 l intero cerchio traccia il settore corrispondente a
169. aio altezze da 180 cm in su per il 1881 e il 1961 WERE FOA FI RIO PE E altezze fino a 159 cm altezze da 160 a 164 cm Hi 1992 nedia 1 altezze da 190 cm in su per il 1992 25 mesta sa Gli istogrammi man mano si sono spostati verso 2 n destra ma hanno mantenuto pi o meno la stessa forma i oo Ci visualizza il fatto che le diversit genetiche sO caio all interno della popolazione si sono mantenute e che il ol ad E miglioramento delle condizioni di vita ha fatto s che 59 60 4 65 9 70 4 75 9 S0 4 85 9 90 tutti ciascuno con le potenzialit ereditate svilup passero maggiormente l altezza figura 2 L intervallo di altezze pi frequente cio in cui cade la maggiore percentuale di misure di altezza nel 1881 160 164 cm Quali sono quelli degli altri anni 90l ia VE E E In figura 2 con 170 174 abbiamo indicato l intervallo di misure i cui valori troncati ai centimetri sono 170 171 172 173 o 174 cio le misure che vanno da 170 0 cm a 174 9 cm Nel disegno a fianco sono 1 valori che cadono tra le due 169 i 170 zi 72 173 tra i nin ni in en sa Ma i pian frecce cio i valori maggiori o uguali a 170 000 e DA fOEDEGEDRAfrEDEfUbEE fr bbELEDREfUbDE VEDE AEAEE EE EEEN minori di 175 000 169 170 i7i 172 173 174 175 Quando di un intervallo di valori numerici si vogliono descrivere esattamente gli estremi si usano scritture come la seguente 170 175 Essa indica
170. al l errore B 2a 2b x y 2 a b x y raccogliendo 2 a fattor comune e Dimostra con un esempio che 1 due termini non sono equivalenti e spiega qual l errore C x x xx x eliminando a 2 a 2 le negazioni cio applicando la regola gt a a x e Opera la sostituzione x 1 verifica che i termini non sono equivalenti e spiega qual l errore D 10 x 2 x ca a applicando gt Sx c b b cio eliminando 1l fattore 5 comune ai due termini della divisione e Dimostra con un esempio numerico che 1 due termini non sono equivalenti e spiega qual l errore E 1 x x 1 1 1 applicando a a 1 e Verifica con CT che 1 x x in genere non vale 1 e spiega qual l errore La figura a lato illustra il seguente fatto eseguire gli spostamenti a e b opposti a due spostamenti a e b equivale a eseguire lo spostamento a b opposto allo spostamento complessivo somma di a e b Quale tra 1 e 2 la propriet matematica corrispondente 1 la propriet distributiva della negazione rispetto alla addizione 2 la propriet distributiva della addizione rispetto alla negazione Completa le regole di riscrittura che corrispondono a questa propriet a b a b Riportiamo altri errori F x x 3 e Spiega qual l errore dopo aver svolto correttamente il calcolo trasformando la differenza in somma e poi distribuendo la negazione G ab
171. alla fine del paragrafo precedente ci d comunque un idea di come ci possa essere realizzato con una corrente elettrica che cambi tensione a scatti Analogamente in un disco magnetico le informazioni digitali vengono rappresentate attraverso il sus seguirsi lungo 1 solchi di zone con diversi livelli di magnetizzazione Da alcuni anni sono impiegati anche 1 CD in una successiva scheda si vedr come questi rappresentano le informazioni I calcolatori ai nostri giorni sono in genere dotati anche di dispositivi per generare suoni a partire da loro registrazioni in forma digitale per ricevere immagini da una TV I calcolatori sono macchine dotate di programmi incorporati nella CPU e in grado di ricevere ed eseguire programmi forniti dagli utenti attraverso cd via cavo I programmi incorporati sono usati dal calcolatore per eseguire le operazioni di base conteggi e operazioni aritmetiche elementari codifiche e de codifiche confronti tra segnali seguendo un ordine che dipende dai programmi e dai dati forniti dall e sterno Considerando 1 calcolatori con dati e programmi si intendono sempre informazioni di tipo digitale In gran parte degli impieghi vengono elaborati dati di tipo numerico Anche quando 1 dati sono pi in generale di tipo alfanumerico il calcolatore li codifica sempre in forma numerica e li elabora utilizzando al goritmi cio procedimenti di calcolo Tutto ci dovrebbe farvi comprendere l importanza che ha
172. alla moltiplicazione che invece vale solo rispetto all addizione Esamina le seguenti manipolazioni di termini e cerca di individuare e correggere gli eventuali errori I 3x 3 x 1 x 1 4 gt 3x 3 4 V X 4 gt 3x 3 4 cancellando x kx x kx ag n k eliminando il fattor comune L X M 3xy y 9y 3x 9y y portando fuori il fattor comune 4 In questo esercizio abbiamo visto un altra categoria di errori Anche queste sono situazioni in cui non si presta attenzione alle propriet degli oggetti matematici rappresentati dalle espressioni manipolate in questi casi la disattenzione dovuta all uso di espressioni verbali come cancello porto fuori semplifico senza tener conto delle diversit di significato rispetto al linguaggio comune Nel primi due calcoli si sono usate le espressioni cancello e elimino nel significato corrente in si fatto x x niente e 1 1 niente mentre si sarebbe dovuta applicare la regola a a 0 in L si fatto x x niente mentre si sarebbe dovuta applicare la regola a a 1 In M si usato porto fuori y come nel linguaggio comune senza tener conto che si tratta di una espressione usata convenzionalmente per indicare l applicazione di ad bd cd a b c d e che quindi occorre pensare 3xy y 9y come 3xy 1 y 9y usando a gt t a 146 Algebra elementare Ogni volta che si fa un passo durante la trasformazione di un termine
173. amato grafo di flusso I vari riquadri vengono detti nodi Le frecce che li collegano vengono spesso chiamate archi I nodi in cui non arrivano frecce vengono detti nodi iniziali quelli da cui non partono frecce vengono detti nodi finali 126 Le statistiche 4 Nel nostro caso tutti 1 riquadri che si riferiscono alla condizione degli alunni nel 2006 07 sono nodi iniziali mentre quelli che si riferiscono alla condizione nel 2007 08 compresi ABB e DIP sono nodi finali se estendessimo il grafo considerando anche l anno scolastico 2008 09 i nodi relativi al 2007 08 non sarebbero pi finali perch da essi partirebbero frecce verso 1 nodi relativi all anno successivo Vogliamo quantificare 1 flussi di alunni cio mettere in ciascun riquadro il numero degli alunni che si trovano nella condizione indicata e mettere a fianco di ogni freccia il numero di alunni che passano dalla condizione di partenza alla condizione di arrivo La tabella 1 1 ci fornisce 1 valori corrispondenti solo ad alcuni riquadri e ad alcune frecce Vediamo se possibile determinare i valori mancanti Iniziamo cercando qual il numero degli studenti che nel periodo considerato vengono promossi dalla 1 alla 2 2006 07 181 146 Possiamo completare il grafo di flusso come in figura 3 cio mettere nei nodi e a fianco delle frecce 1 valori che ci sono noti dalla tabella 1 1 e cercare di individuare il valore del particolare flusso che ci interessa passaggio dall
174. ambito della scheda 1 di Le statistiche 1 S 1 3 trasformerete provvisoriamente i personal computer in macchine statistiche Vediamone un esempio d uso per studiare come nel 1926 1 consumi degli italiani si ripartivano nelle varie voci vedi tabella seguente poni di lire L utente per ciascuna voce batte una lettera seguita dal dato corrispondente Poi clicca I per introdurre 1 dati farli leggere dal computer In un altra finestra compare la distribuzione percentuale TLCLTL a 77749 bh 3226 o 17659 d 6849 e 3420 124205 dati in 6 righe media E mediana Ah 2 587325 Bi 242 9973195 Ci 14 217625 Di 5 5142715 EE rolas Pi La SLN95G Cliccando Plot compare in un ulteriore finestra il relativo istrogramma cliccando un altra volta Plot comparirebbe la rappresentazione come diagramma a settori circolari Prova a usare questa macchina statistica per fare elaborazioni statistiche che hai gi realizzato impiegando CT e sussidi grafici carta millimetrata o quadrettata riga goniometro e confronta quanto hai ottenuto nei due modi 2 Movimenti e informazioni Che cosa fa la macchina da gioco considerata nel paragrafo precedente Legge i messaggi che il giocatore invia attraverso la tastiera e risponde con altri messaggi Possiamo dire che una macchina che trasforma informazioni in informazioni Analogamente la macchina statistica legge le informazioni che l utente batte o comunica cl
175. amo imparato nella scuola elementare Analogamente possiamo comprendere come possa funzionare il tasto o un tasto simile presente su alcune CT che opera nel modo seguente batto premo batto 18 premo ottengo input funzione input output Dati come input 1 numeri interi 170 e 18 vengono visualizzati due output il risultato della divisione intera cio il troncamento agli interi di 170 18 che a volte viene indicato 170 18 cio 9 infatti 170 diviso 18 fa 9 e rotti e preceduto da una R il relativo resto cio infatti prendendo 18 parti grandi 9 ottengo 162 e mi rimane ancora 170 162 da suddividere Senza eseguire a mano l algoritmo della divisione e senza usare l eventuale tasto L calcola con la CT il resto della divisione intera di 29523 per 137 Come hai proceduto Il tasto calcola una funzione a 2 input e 2 output A volte invece che di funzione a 2 input e 2 output a 2 input e 1 output a l input e 1 output si parla di funzione a 2 argomenti e2 xiy quoziente intero valori 2 argomenti e 1 valore 1 argomento e 1 valore Ad x xAyl y resto esempio la funzione cambio segno una funzione a 1 argomento e 1 valore Come vengono calcolate le funzioni corrispondenti agli altri tasti Senza preoccuparci di descrivere esattamente qual il procedimento impiegato vediamo come una CT potrebbe essere stata programmata in modo da effettuare il calcolo a partire dai procedimenti per eseguire le
176. amo visto quali informazioni vengono codificate dai primi 15 caratteri dei numeri di codice fi scale 1 primi 6 caratteri di DPINMRS7D50D969V codificano cognome e nome 1 successivi 5 codifi cano data di nascita e sesso i successivi 4 cio D969 codificano la localit di nascita La lettera fi nale V nel nostro esempio non rappresenta informazioni ma un carattere di controllo di correttez za del numero di codice fiscale Per capirne il significato pensiamo a una situazione di questo genere In un ufficio della ditta BatDat occorre battere su calcolatore una grande quantit di dati presenti in pratiche che provengono da altri uffici Per ridurre la probabilit che vengano commessi errori di scrittura la direzione dell azienda decide che in tutte le pratiche 1 dati siano scritti aggiungendo sulla destra preceduta da una cifra che rappresenti la somma delle cifre calcolata come nella prova del 9 dalla somma delle cifre si sottrae ripetutamente 9 fino ad ottenere un numero a 1 cifra diverso da 9 Ad es il dato 3 milioni e 457 mila 14 viene scritto 3457014 6 in quanto 3 4 5 7 0 1 4 3 9 7 1 4 3 7 14 4 10 5 gt 1 5 6 Se per un errore di battitura o per un precedente errore di trascrizione il dato viene introdotto sul calcolatore come 347014 6 il calcolatore trova 3 4 7 0 1 4 1 e poich 1 6 segnala la presenza di un errore La cifra aggiunta sulla destra del numero funge da controllo Analogamente il carattere fina
177. anco illustrato come funziona que sto automatismo il disegno sproporzionato la puleggia motrice PASSERA dovrebbe avere un diametro pi piccolo La puleggia motrice dotata di un dispositivo che fa variare la distanza tra i due dischi che la compongono al variare della ve locit di rotazione dell albero motore vengono sfruttate le variazioni della forza centrifuga se diminuisce la pendenza della salita il numero di giri al minuto del motore aumenta e i due dischi della puleggia motri ce si avvicinano aumentando il diametro della puleggia stessa nel disegno passa da 18 a 35 mm A sua volta la puleggia condotta composta da due dischi che si avvicinano allontanano facendo variare il dia metro della puleggia se la cinghia di trasmissione diminuisce aumenta la tensione Nel caso del disegno essendo aumentato il diametro della puleggia motrice quello della puleggia condotta diminuisce passa da 80 a 63 mm Calcola il rapporto di trasmissione nelle due situazioni raffigurate t entrata 1 Segna con l evidenziatore nelle parti della scheda indicate frasi e o formule che descrivono il significato dei seguenti termini curva di livello dopo fig 1 profilo altimetrico dopo fig 2 e prima di fig 4 spezzata prima di ques 8 proporzionalit diretta e inversa ques e6 ed e7 2 Su un foglio da quadernone nella prima facciata esemplifica l uso di ciascuno dei concetti sopra elencati mediante una frase in cui esso venga
178. ando la memoria con due pressioni di il numero che sul visore scompare si pu tuttavia ricorrere a qualche trucco ad es se in M c 3579 e sul visore ho 0 132547 posso fare 0 E con il ho impostato 0 132547 con i due MRC ho cancellato 3579 da M con 0 ho calcolato 0 132547 0 a questo punto ho 0 132547 sul visore e la memoria libera posso quindi premere M4 Le CT prive del tasto 5 e del tasto 6 possono azzerare la memoria impiegando 1 cio al posto di si pu battere 0 per bisogna ricordarsi di fare questa operazione prima di impostare i calcoli dovendo battere il numero 0 perdiamo il contenuto di V che avremmo voluto memorizzare Se non si ha 1 si possono impiegare 4 e 3 cio si pu battere si richiama il contenuto di M e poi lo si sottrae da M stessa azzerandola V M M M V 0 in breve M M M 0 Alcune CT sono prive del tasto 4 In genere in questi casi al suo posto si pu battere Alcune CT sono dotate di due memorie M1 e M2 e dei tasti ma mz STO fa MI V Mall fa V MI Analogamente agiscono e Ma Le statistiche 1 53 Osservazioni sui tasti di cancellazione Come si visto il tasto pu funzionare a volte come 7 a volte come 8 ma in tal caso caso c anche un tasto EE In alcuni casi funziona come 7 se premuto una volta come 8 se premuto due volte In alcuni casi in presenza di e CE il tasto cancella anche i dati messi in M
179. ante Posso tuttavia dare anche questa interpretazione l altezza media di due persone pari all altezza di una terza persona che abbia lo stesso dislivello dalla prima e dalla seconda Ad es 170 cm la media di 162 e 178 cm infatti 162 178 2 340 2 170 Ma 170 anche il valore a met tra 162 e 178 162 8 170 178 8 170 e Leggi la spiegazione generale di questo fatto presente alla prima voce va Lo lori medi de Gli oggetti matematici Poi osserva la figura seguente che illu stra due modi per trovare la lunghezza media M di due segmenti lunghi a e b uno usare la formula M a b 2 l altro usare M a completa e Prova a calcolare a mente lo stipendio medio mensile m di una famiglia composta solo da marito e moglie lei con stipendio di 2 milioni e 400 mila x lui con stipendio di 2 milioni e 500 mila lire y usando le formule 1 m x y 2 2 m x y x 2 Quale procedimento trovi pi conveniente Perch e Ia localit C esattamente a met strada tra una localit posta al 34 km x di una certa strada statale e una localit B posta al 112 km y Calcola a quale chilometro m si trova C Quale procedimento tra 1 e 2 trovi pi conveniente Perch e2 Per controllare attraverso un procedimento numerico la dimostrazione geometrica dell equivalenza delle formule 1 e 2 gt quesito el per il calcolo della media tra x e y completate 1 seguenti passagg
180. are un modo per trovare questa distanza senza E e ae E operazioni di tal genere ma servendosi delle sole coordinate della fermata del buse H dell ingresso della scuola osservate la figura a fianco Trova con questo metodo la distanza in linea d aria arrotondata alle decine si metri e confrontala con il valore trovato con il quesito 13 variazione della coordinata orizzontale 170 suo quadrato variazione della coordinata verticale 180 suo quadrato somma dei due quadrati radice quadrata di tale somma Scrivi una sequenza di tasti che ti permetta di calcolare con una CT tale distanza a at dai dati 170 e 180 senza annotare sulla carta risultati intermedi La propriet che abbiamo impiegato cio il teorema di Pitagora figura 9 pu essere espressa nella forma 2 2 cateto 3 OVVEro 2 2 2 2 ipotenusa cateto 2 3 ipotenusa cateto 1 cateto dove con ipotenusa cateto e cateto abbiamo indicato le misure delle lunghezze dell ipotenusa e dei due cateti in una fissata unit di misura figura 9 Per strada 1 183 Il quesito 15 ci conferma la validit di questa propriet la misura diretta della distanza in linea d aria ipotenusa uguale a quella che si ottiene utilizzando 2 3 Non tuttavia una conferma definitiva abbiamo considerato non misure esatte ma misure approssimate alle decine di metri poi abbiamo verificato la propriet solo in un caso particolare
181. aria determinabile con la tabella tariffaria se si conosce la lunghezza del tragitto il volume di un cubo calcolabile a partire dalla lunghezza dello spigolo per specificare l ammontare della popolazione italiana il record del salto in alto dobbiamo precisare qual la data presa in considerazione per quantificare 1 consumi alimentari annui degli italiani dobbiamo riferirci a un anno particolare Si dice anche che y varia in funzione di x il costo di una corsa ferroviaria varia in funzione della lunghezza del percorso il costo di un prodotto venduto a peso varia in funzione del peso stesso il volume di un cubo varia in funzione della lunghezza dello spigolo La relazione che intercorre tra x e y in questi casi chiamata funzione Usando input ouipui una terminologia informatica possiamo dire che y l output corrispondente all input x o e y nel disegno a fianco la scatola nera rappresenta la funzione che ad x associa y Nel caso della relazione di proporzionalit il grafico della relazione che ad x associa y assume l aspetto di una retta che passa per il punto 0 0 get li A fianco ad esempio riprodotto in piccolo il grafico gi considerato nel elle lei lag dl quesito e21 della scheda 1 dove con x si sono indicati i dati relativi ai i consumi degli italiani nel 1985 e con y le ampiezze dei corrispondenti settori circolari cio il grafico della relazione ld o 360 si pletri ii ii ie 434100 a 1000
182. aritmetiche si sono sviluppate essenzialmente nell ambito delle attivit di scambio economico successiva stata la loro descrizione in termini astratti Anche a scuola in genere si passa dall introduzione dei concetti matematici in situazioni concrete a una loro definizione formale Ad es si pu imparare a sommare e sottrarre valori monetari utilizzando alcune equivalenze Sapendo che 1 equivale a 2 50 cent che 50 cent equivalgono a 5 10 cent e conoscendo alcune semplici addizioni 1 e 1 fanno 2 3 e 4 fanno 7 si possono fare gran parte dei calcoli economici elementari 3 1 e 50 cent e 50 cent fanno 3 1 e 1 cio 4 1 Anche ai nostri giorni molte persone sanno operare solo in questo modo senza saper rappre sentare il calcolo come 3 0 5 0 5 4 Anche noi in situazioni di questo genere procediamo mentalmente in modi simili Ma per usare le addizioni in altri contesti o per usare una calcolatrice abbiamo dovuto imparare a rappresentare numeri e operazioni in astratto 3 Come studieremo la matematica Secondo le indicazioni dei programmi in vigore in Italia per tutti gli ordini scolastici dalla scuola elementare a quella superiore l obiettivo principale dell insegnamento della matematica far conoscere agli alunni i tipi di modelli matematici pi diffusi nelle applicazioni 1 linguaggi e le simbologie necessarie per impiegarli e le loro propriet pi importanti la natura approssim
183. artieri di provenienza la moda il quartiere C Nel caso delle 4 E C D tieri G D C teri altezze abbiamo gi individuato le classi modali nel quesito 3 figura 3 Nel caso della distribuzione rappresentata dalla tabella 1 1 trova se possibile la moda e la media aritmetica Nelle situazioni come quella delle altezze in cui le modalit sono numeri o intervalli numerici la moda indica un valore medio cos come la media aritmetica cio un valore o un intervallo di valori che riassume caratterizza quantitativamente il modo complessivo in cui si manifestato il fenomeno in questione Ad esempio per il 1992 possiamo dire esprimendosi in cm sia che l altezza media dei ventenni era di 174 1 sia che la classe modale 170 175 vedi figura 2 A differenza della media la moda e pi in generale la forma dell istogramma non dipende solo dai dati ma anche dalla scelta degli intervalli in cui classi ficare 1 dati Ad es in fig 4 sono riportati due istogrammi della distribuzione percentuale delle altezze dei ventenni nel 1992 alternativi a quello di fig 2 Nella tabella 2 1 sono riportate le altezze arrotondate ai cm delle 19 alunne diciassettenni di una scuola I dati sono riportati secondo l ordine alfabetico dei nomi delle alunne al posto dei nomi delle alunne abbiamo indicato il numero d ordine Qual la moda se si prendono come modalit direttamente le misure in centimetri cio 1 valori 150 151
184. astiera di uno sportello automatico fare calcoli calcolatrici Si potrebbe continuare con un lunghissimo elenco pi lungo di quanto l per l si possa pensare Siamo tanto abituati a questa convivenza che non facciamo neanche caso a tutte le macchine con cui abbiamo a che fare durante la giornata Eppure fino a poco tempo fa un paio di secoli che sono piccola cosa rispetto alla storia dell umanit era stata inventata solo una piccola parte delle macchine attuali queste macchine poi erano in genere assai pi rudimentali delle attuali e solo poche persone avevano avuto la possibilit di conoscerle Come cambiato il modo di vivere in seguito a questa massiccia diffusione delle macchine Come mutato 1l modo in cui si lavora si studia si pensa Quali sono le attivit le abilit le conoscenze umane che pian piano sono state incorporate nelle macchine Riflettere su queste domande pu essere utile per capire meglio come organizzata la societ in cui viviamo e per comprendere il ruolo che in essa nella vita quotidiana nei mestieri svolgono le macchine quanto pu essere affidato o dipende dalle macchine quanto dipende dalle scelte umane Pu essere utile anche per capire come l evoluzione tecnologica porta dei cambiamenti nello sviluppo e nello studio delle discipline Ad esempio nel fare matematica quali attivit possono essere delegate al calcolatore invece che essere svolte a mano E quanta e
185. ata del loro uso per rappresentare situazioni reali Nel corso dell anno studieremo la matematica cercando di tener presenti tutti questi aspetti alternando e momenti in cui vedremo come un concetto matematico pu originarsi dallo studio di una questione di altra natura e momenti in cui vedremo come la descrizione intuitiva di un concetto matematico pu essere sostituita da una definizione formale come nel passaggio da attivit di calcolo con le monete ad attivit di calcolo con i numeri e momenti in cui applicheremo la matematica e momenti in cui ne studieremo propriet astratte e momenti in cui affronteremo situazioni nuove e momenti in cui ci alleneremo con esercizi pi ripetitivi Rispetto a quanto previsto per la scuola media da una parte applicheremo la matematica a situazioni pi complesse dall altra studieremo 1 concetti matematici da punti di vista pi generali Le statistiche 1 23 Le statistiche Alcuni modelli per la rappresentazione dei dati Scheda 1 I consumi e i redditi 0 Le statistiche 1 Rappresentazioni dei numeri 2 Rappresentazioni proporzionali istogrammi appresentazioni percentuali approssimazioni Specchietto con i principali tasti presenti sulle CT pi diffuse 0 Le statistiche Chi il capocannoniere del campionato Settembre 2008 record di precipitazioni Sono aumentati gli incidenti stradali Qual la percentuale di italiani che evade le tasse La pop
186. ati nella tabella precedente SIRENE TE SERE Eeee ET SEO COTTE I n nea figura 7 OE EON POR PI E EI EE i 3 Ae Fh x iS ssa a ue ven i sa ta A anni 1004 1940 1950 1960 1970 1950 1990 Sui grafici si pu osservare che in una prima fase anni 30 la specialit femminile progredita pi lentamente di quella maschile che era praticata gi da molti anni ed era in fase di netta evoluzione Successivamente le donne hanno avuto miglioramenti man mano pi intensi fino a che il numero indice del loro record ha sorpassato quello degli uomini Tra il 1932 e il 1952 il primato di salto in alto per le donne aumentato di 7 cm per gli uomini l aumento stato di 8 cm cio maggiore Passando dai dati assoluti ai numeri indici l aumento ancora maggiore per gli uomini 32 DI M F 203 _100 165 100 211 1039 172 1042 Possiamo dire che il record femminile in questo periodo aumentato del 4 2 cio di 4 2 centesimi vedi figura 8 mentre quello maschile aumentato del 3 9 O 0 100 figura 8 100 segmentini AH 104 2 segmentini 4 2 centesimi 4 298 in pi 104 2 La variazione assoluta tra dato iniziale e dato finale cio dato finale dato iniziale spesso meno espressiva della variazione percentuale cio della variazione descritta in centesimi del dato iniziale Quando non si disponga gi di una rappresentazione in numeri indici che abbia il dato iniziale come dat
187. ato in positivo o in negativo l evoluzione della specialit Sicuramente la stasi negli anni 40 dovuta alla seconda guerra mondiale le Olimpiadi del 1940 e del 1944 non sono state disputate Quali possono essere state le cause dell impennata nella seconda met degli anni 50 e della ripresa dopo il 19702 Vogliamo costruire un modello che ci consenta di confrontare meglio l andamento a partire dal 1932 dei record maschili e dei record femminili tenendo conto che la differenza tra le quote raggiunte dagli uomini e quelle raggiunte dalle donne dipende anche dalla diversa costituzione fisica e in particolare dalla diversit di altezza Un idea pu essere quella illustrata in figura 6 dilatare o contrarre verticalmente i due grafici fino a far coincidere il punto di partenza Nella figura i grafici sono stati entrambi contratti verticalmente di pi quello dei maschi meno quello delle femmine in modo da farli partire dal medesimo punto H Come possiamo realizzare questa trasformazione Possiamo procedere in modo simile a come abbiamo operato nella Scheda 1 per confrontare come cambiavano i consumi in epoche diverse 76 Le statistiche 2 maschi 205 165 femmine O 1952 1955 figura 6 e l non potevamo confrontare direttamente i dati relativi a anni diversi poich era cambiato il valore e il tipo della moneta quindi per ogni anno trasformavamo in 100 o in 360 il totale dei consumi e modificavamo proporzionalmente
188. ato la regola di riscrittura 2 al primo termine della divisione Algebra elementare 143 a b c atc b d d 2 atbtc atctb a 1 1 a Nel seguente calcolo sono usate due volte le regole rei ara ea l equivalenza tra a b e a 1 b stata discussa nella scheda 2 di La automazione 14 6 l 1 1 l 14 6 5 2 14 5 6 2 14 6 5 2 10 2 2 10 3 i 3 I 7 3 7 3 a Qual il sottotermine pai due casi in cui si applicata la prima regola ii i i i oo ooo Nota Stiamo usando la parola regola non nel senso di modo di comportarsi a cui occorre attenersi cio di norma precetto obbligatorio o consigliato ma nel senso un po diverso di descrizione sintetica di un procedimento meccanico Cio non tanto come in contro le regole del calcio prendere la palla con le mani quanto come in nella maggior parte dei casi per formare il plurale dei nomi che finiscono in e puoi usare questa regola Abbiamo gi usato Le statistiche scheda 1 quesito e23 la propriet distributiva della moltiplicazione rispetto alla addizione illustrata anche nella figura precedente a b c ab ac e pi in generale a b c ab tac e b c a ba ca Possiamo quindi applicare le regole di riscrittura a b c a b ta cc b c a b a c ca per distribuire il fattore moltiplicativo a tra 1 termini di una sequenza di addizioni cio per portarlo den
189. ato sono ampi circa 10 m cio circa 10 passi Un cercatore di tesori approda all isola senza disporre della mappa Ha solo tre pergamene un po rovinate contenenti l indicazione del percorso ui ce Da PIE Pr figura 10 a Osserva le tre pergamene riprodotte sopra cerca di capirne 1l significato e completale b Usando la 1 o la 2 pergamena sapresti determinare la posizione del tesoro rispetto al punto di partenza senza tracciare tutto il percorso c Quali delle tre descrizioni del percorso diresti che usano indicazioni assolute quali relative Perch Se operiamo in ambiente Windows vediamo come possiamo descrivere con un programma degli spostamenti nelle direzioni dei quattro punti cardinali Prima di far ci consideriamo un semplice programma che illustra l uso della seguente istruzione QBasic LOCATE TermineNumerico TermineNumerico L azione comandata da LOCATE se m e n sono 1 valori arrotondati agli interi dei termini t e t2 quella di collocare la penna di scrittura del calcolatore sulla riga di caratteri m esima alla n esima colonna Ecco il programma e un suo esempio d uso 184 l j figura 11 o o Con CLS viene pulito lo schermo da even tuali scritte Alla prima esecuzione della 5 riga il prompt Per strada 1 Figa colonna 2 riga colonna 3 Figa colonna 4 Q Figa colonna 3 riga colonna 2 Figa colonna i riga colonna 1 Figa colonna W CLS 1 1 Posizione
190. bottone si tratta del nome che apparir su di esso Nel caso del sotto oggetto di tipo button l attributo onClick specifica che se si verifica l evento pulsante cliccato viene avviata l azione o metodo Calc descritta dalla omonima function cos in Javascript vegono chiamati i sottoprogrammi Il programma in senso stretto racchiuso tra 1 comandi script che in questo caso descritto non nel corpo della pagina web ma nella intestazione ed costituito solamente dalla function Calc Il contenuto della function delimitato da e e in questo contenuto da una sola assegnazione Essa legge 1 contenuti ossia 1 valori value delle caselle di nome d e t del modulo di nome C e calcola il valore da mettere nella casella r Nelle assegnazioni presente document in questo modo viene indicata la pagina web attualmente visualizzata In breve document C d value indica la propriet value della propriet o sotto oggetto d della propriet o sotto oggetto C dell oggetto document Number serve per specificare che gli oggetti contenuti nelle caselle sono da intendere come numeri non come testi la somma di 3 e 4 viene intesa altrimenti come 34 invece che come 7 La automazione 3 135 Ricordiamo infine che nelle istruzioni di JS lettere diverse solo per la dimensione come a e A sono considerate diverse La spiegazione sembra complicata ma accompagnata da delle prove risulter facile Fa
191. cativa Ci si vede bene anche dall istogramma di distribuzione fig 7 in alto la classe 159 161 cm che centrale rispetto all istogramma ha una colonna pi bassa rispetto a classi pi laterali mentre per le altezze di coetanei dello stesso sesso ci aspettiamo un andamento pi a campana come per gli istogrammi di fig 2 In situazioni come quelle di questi due esempi pu essere utile impiegare un ulteriore tipo di valore medio il valore del dato al centro dell elenco dei dati ordinati o mediana Nel caso delle 19 diciassettenni ordinando le loro altezze cio passando dalla prima alla seconda riga della tabella seguente troviamo che l altezza centrale cio quella al 10 posto di 162 cm Dopo lo scambio di alunne terza riga l altezza centrale diventata 163 cm Se fosse venuta un ipotetica superspilungona di 2 metri la mediana non sarebbe ulteriormente aumentata La media aritmetica invece come si vede nella colonna finale sarebbe aumentata di un altro centimetro 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 media 156 168 162 150 167 157 170 157159 164 157 165 163 165 166 160 163 162 155 150 155 156 157 157 157 159 160 162 162 163 163 164 165 165 166 167 168 170 161 4 155 156 157 157 157 159 160 162 162 163 163 164 165 165 166 167 168 170 182 163 1 155 156 157 157 157 159 160 162 162 163 163 164 165 165 166 167 168 170 200 164 0 Le statistiche 3 109 Vediamo come interpretare graficamente la mediana Nel
192. cato l insieme dei numeri razionali deriva dal fatto che essi sono rappresentabili come quozienti esatti di numeri interi addizione sottrazione moltiplicazione divisone razionali Q decimali limitati __ 108 inez __ naturali N __ Sembrerebbe che restando all interno dei numeri razionali si possano fare tutti 1 calcoli che si possono fare con 1 numeri reali R In realt non cos Ad es si pu dimostrare che la radice quadrata di 2 quella di 3 quella di 5 e quelle di moltissimi altri numeri anzi le radici quadrate di una quantit infinita di numeri non sono numeri razionali In altre parole l insieme dei numeri razionali non chiuso rispetto all operazione di estrazione della radice quadrata I numeri non razionali vengono detti irrazionali Osserviamo che in questo caso si fa un uso dell aggettivo irrazionale del tutto diverso da quello fatto nel linguaggio comune in cui viene impiegato per indicare fenomeni di cui non si riescono a spiegare 1 motivi che avvengono in modo caotico e atteggiamenti non meditati non calcolati anche questo uso deriva dal Latino con rationes oltre ai calcoli in senso stretto venivano indicati i calcoli nel senso di ragionamenti meditazioni elaborate in italiano usiamo comportamento razionale razionalmente Infatti non detto che un numero irrazionale si sviluppi in modo caotico non spiegabile secondo un qualche schema Si pensi ad ese
193. cciamone alcune e Se provi a cliccare qui si avvia la calcolatrice N di cui a lato illustrato un possibile Metti gli input nelle prime due caselle e scegli l operazione funzionamento metto 3 e 4 nelle caselle di 3 4 input scelgo la divisione e nella casella di output E 5 5 GE ottengo il risulato 0 75 Nelle quattro caselle in 075 basso posso copiare e incollare input o output Caselle per copiare valori dalle caselle precedenti O O La struttura di questo documento sotto D g riprodotto simile a quella del documento Completato precedente ci sono quattro bottoni che comandano quattro diversi sottoprogrammi function in fondo sono aggiunte quattro caselle in cui si possono copiare 1 valori ma che non sono richiamate da altri punti del programma lt head gt lt script language javascript gt function Piu document C r value Number document C a value Number document C b value function Men document C r value Number document C a value Number document C b value function Per document C r value Number document C a value Number document C b value function Div document C r value Number document C a value Number document C b value lt script gt lt head gt lt center gt Metti gli input nelle prime due caselle e scegli l operazione lt br gt lt form name C gt lt input type text name a value 0 size 24 gt lt input type
194. cciare dei segmenti verticali si ottiene cos un nuovo tipo di istogramma o dei segmenti che congiungono un punto all altro come in figura 4 74 Le statistiche 2 STI rp Ma i punti dei segmenti cos tracciati non rappresentano un effettiva associazione tra le due grandezze considerate Ad esempio nel caso di figura 4 il punto di ascissa 1918 la cui ordinata circa 202 non indica che nel 1918 stato stabilito il record di 202 cm 205 41 k1918 2023 iiiz 1910 1920 1930 Invece 1 punti del grafico di figura 3 rappresentano tutti una relazione tra le grandezze anno e record in vigore Ad esempio il punto 1918 201 indica che nel 1918 era in vigore il record di 201 cm Pi in generale questo grafico rappresenta le coppie A R cos descrivibili nell anno A era in vigore il record R 1910 1920 1930 I grafici delle figure 1 e 2 sono costituiti entrambi dai punti A R cos descrivibili il record R stato stabilito nell anno A Essi differiscono solo per la scala numerica che stata fissata sull asse verticale in una al punto in comune con l asse orizzontale stato assegnato il valore 0 e alla distanza tra due tacche stato associato il valore 5 cm nell altra allo stesso punto stato assegnato il valore 198 e alla distanza tra due tacche si associato il valore 1 La scelta di scale opportune assai importante per rendere pi leggi bile un grafico o pi evidente 1l fenomeno che con esso
195. ci Come si chiama questa propriet dell addizione Chiamiamo propriet del riordino dell addizione la propriet pi generale cio 1 5 Due termini ottenuti entrambi applicando ripetutamente l addizione a partire dagli stessi sotto termini t4 t2 tp sono termini equivalenti 11 Per la sottrazione vale la propriet del riordino motiva la risposta La possibilit di riscrivere una differenza sotto forma di addizione a b a b consente come gi visto di riscrivere una sequenza di addizioni e sottrazioni in una di sole addizioni in modo da poterla riordinare Completa la seconda trasformazione in analogia alla prima in cui si sono trasformate le sottrazioni in addizioni per poi poter effettuare un riordino 5 4 x 7 gt YN5 4 x 7 gt 3 45 x 13 9 113 79 gt taua gt 0 0 gt 113 13 79 9 2 Grafi di flusso equazioni incognite Abbiamo visto quesito 3 che nel 2006 07 nelle prime dell ITI il 44 8 erano ripetenti contro il 16 8 del liceo Queste percentuali non consentono di dare una valutazione adeguata del fenomeno degli insuccessi scolastici Ad esempio nel caso delle classi 1 dell ITI sarebbe opportuno tener conto di quanti erano gli iscritti in 1 nell anno precedente se nel 2005 06 gli iscritti alla 1 fossero molto pi dei 181 del 2006 07 gli 81 ripetenti costituirebbero una percentuale di bocciati inferiore al 44 8 inoltre occorrerebbe
196. codificato e un certo numero di memorie utente da associare alle variabili T K D e e un ulteriore programma incorporato per tradurre il programma codificato nell azionamento dei vari dispositivi di calcolo memorizzazione Esistono linguaggi di programmazione pi sofisticati Sotto a sinistra si vede come il programma 1 2 pu essere riscritto usando il QBasic che ha la caratteristica di essere molto semplice e di essere liberamente riproducibile A destra presentata una stesura del programma in un altro linguaggio una versione di Pascal il nome Pascal deriva da quello del famoso filosofo e scienziato francese vedi che nella prima met del 1600 invent una delle prime calcolatrici da tavolo per fare addizioni e sottrazioni INPUT Tot program Percentuali ki 100 Tot var tot k dato real 1 3 label 10 Introd d zione begin INPUT dato readin tot PRINT dato k k 100 tot GOTO Introduzione 10 readin dato write dato k goto 10 end Esistono infine linguaggi di programmazione incorporati in tutti 1 browser in Mozilla in Internet Explorer in cui sono redatti 1 programmi che usiamo per cercare l orario di un treno prenotare un posto al cinema Uno dei pi usati tra questi linguaggi JavaScript in breve JS Il programma precedente assume la forma a cui puoi accedere da Completato qui e che vedi visualizzata a lato Questo quanto vede l utente per calcolare
197. con cos poche cifre bg La CT del tipo 1 dopo il calcolo di 10 6 ha al suo interno 1 666 Battuto 12345678 e 12345678 appena si batte la CT esegue la addizione operando solo 12345679 666 con cifre In questo modo ottiene come risultato 12345679 perdendo le cifre 666 successive alla ottava Da questo quando l utente batte 12345678 wu i sottrae 12345678 dando come risultato finale 1 GGG asss 00000001 La CT del tipo 2 rispetto a quelle del tipo 1 hanno l unica differenza di i eseguire le operazioni operando con pi di 8 cifre cio nei registri di lavoro e 12345678 nella memoria utente possono conservare pi cifre di quelle che appaiono sul 777337773 20207 zi i LAAT O GG visore Quindi durante il calcolo di 1 666 12345678 la CT non perde subito la I 9 cifra del risultato il 6 dopo il punto decimale con un confronto stabilisce che _ 2 non minore di 5 e quindi registra il risultato aumentando di 1 l ottava cifra E 12345679 6 gt 12345680 La sottrazione di 12345678 d quindi 2 DI 1 L40606 La CT del tipo 3 ha registri con 10 cifre e opera con 10 cifre 12345678 Completa la spiegazione esaminando le CT dei tipi 4 e 5 e analizza il e ASTE comportamento della tua CT 12345679 66 1234506078 00000001 66 Una CT con visore a cifre se ottiene come risultato di un calcolo 0 00000000001 lo visualizza nella forma esponenziale 1E 11 1 10 in quanto la sua scri
198. d es la prima operazione pu essere vista come soluzione del problema l orologio segna le 13 27 dopo che trascorsa 1 h e 5 qual era l ora iniziale cio se retrocedo di 1 h e 5 quale posizione assumono le lancette ovvero fino a dove retrocede la freccia che segna l ora sulla retta dei tempi non importa che 1 disegni siano belli non serve che siano tracciate tutte le divisioni bastano schizzi comprensibili Adesso sono le 14 45 Devi ancora vedere ascoltare sul videoregistratore un disco per lo studio della lingua inglese che dura 75 minuti Poi vuoi andare al campo sportivo ad allenarti per 2 ore per gli spostamenti andata e ritorno dal campo ci vogliono 40 minuti Devi assolutamente essere a casa alle 19 30 Calcoli a mente quanto tempo ti rimane per stare fuori con gli amici e Quanto ottieni Descrivi a parole il procedimento che hai impiegato per trovare la risposta Nella fig 12 riprodotta in parte una cartina realizzata con la tecnica usata per quella di fig 6 ma riferita a una zona pi ampia per cui sono pi evidenti le deformazioni rispetto alla superficie terrestre Indica due tratti che hanno lunghezza diversa sulla cartina ma uguale sulla superficie terrestre Indica una linea che sulla cartina curva ma corrisponde a una traiettoria rettilinea sulla superficie terrestre n Pa 2 E n ci amp merica figura 12114 nota 0 nin a equatore La matema
199. dalla quarta tensione e per un ultimo ms dalla sesta tensione Se fissiamo due tensioni V1 e V2 convenendo che V1 rappresenti il punto e V2 la linea il segnale elettrico raffigurato a fianco rappresenta il segnale Morse 6 Il calcolatore Una tipica macchina che opera ricevendo e producendo segnali digitali il calcolatore Nella figura 8 disegnato un personal computer calcolatore d uso personale cio impiegabile da un solo utente Esso dotato al suo interno di un automatismo chiamato unit centrale di elaborazione usualmente indicata con la sigla CPU la P della sigla deriva dal fatto che in inglese l elaborazione di dati viene chiamata processing che elabora le informazioni che gli arrivano sotto forma di segnali elettrici digitali da e la tastiera come traduzione dei caratteri battuti e dischi magnetici estraibili o fissi come traduzione di segnali magnetici registrati e o da altri dispositivi da un mouse come traduzione di messaggi selezionati sullo schermo da cavi collegati pi o meno direttamente ad altri computer informazioni informazioni Le nuove informazioni che escono sotto forma di segnali elettrici digitali dalla CPU sono poi trasformate e in informazioni alfanumeriche che appaiono sullo schermo e oin segnali magnetici registrati su disco E 0 Non ci preoccupiamo per adesso dei modi in cui le informazioni vengono codificate e rappresentate elettricamente L esempio visto
200. dell altezza sono troncate agli interi 3 e 6 In altre parole 3 cm lt base lt 4 cm 6 cm lt altezza lt 7 cm figura A Posso concludere che l area della piastra compresa tra 3 6 18 cm e 4 7 28 cm le aree dei rettangoli intreno ed estreno La figura a L rovesciata pi grande figura C la differenza tra il rettangolo esterno e il rettan golo interno La sua area la differenza tra la appros simazione per eccesso 28 cm e quella per difetto 18 cm I numeri 2 175 Questa differenza viene chiamata indeterminazione o incertezza Dunque 18cm lt area lt 28cm indeterminazione 10 cm Che cosa posso concludere se considero le tacche dei millimetri figure B e D cm lt area lt i cm indeterminazione cm Lo script a cui puoi accedere da qui automatizza il calcolo della approssimazione con cui si pu conoscere il risultato di una operazione effettuata su dati approssimati cio automatizza il calcolo dell intervallo di indeterminazione del risultato di un operazione tra dati di cui sono noti gli intervalli di indeterminazione Sotto visualizzato che cosa di pu ottenere per 1 casi considerati sopra Operazioni tra INTERVALLI di INDETERMINAZIONE xi 3 8 x 3 9 y2 6 5 IX Fi min 24 32 max 25 35 indet 1 03 34 6 7 18 28 10 64 6 5 24 32 25 35 1 03 Nota I calcoli vengono effettuati in modo approssimato e in base due Le ultime cifre potrebbero diff
201. descrivere le due figure con x y 5 lt x lt 5S OR 5 lt y lt 5 x y 5 lt x lt 5 AND 5 lt y lt 5 Ecco le rappresentazioni grafiche di A OR B e di A AND B n Unione di A e di B intersezione di A e di B Descrivi la figura 3 dopo il ques 14 Nota Cerchio o circonferenza Il quadrato solo il contorno In vari testi di geometria italiani ci che qui abbiamo chiamato cerchio viene chiamato circonferenza mentre con il nome cerchio si intende comprendere anche la parte interna Ad es x y 100 descriverebbe una circonferenza x y lt 100 un cerchio Analogamente nel caso della figura successiva al ques 12 c chi chiama quadrato solo il contorno Ixl lyl 10 e chi chiama quadrato il contorno con la parte interna Ixl lyl lt 10 Questioni analoghe valgono per 1 triangoli le sfere solo la superficie o anche la parte interna Noi non sposeremo una posizione particolare Il contesto man mano chiarir a quale figura ci riferiremo 5 Geometria e realt I modelli matematici che abbiamo considerato in questa scheda punti traslazioni vettori figure vengono studiati in un area della matematica chiamata geometria Questo nome di origine greca deriva da gh e metron che in greco significavano terra e misura e come primo significato indicava le tecniche per la misura dei campi per la suddivisione dei terreni in parti di forme opportune In questo senso sopravvis
202. di cio sono stati divisi per 1 milione o per 1 miliardo ossia moltiplicati per 1 10 10 o per 1 10 107 Anche le relazioni inverse sono relazioni di proporzionalit Ad esempio riferendosi alla figura 4 oltre a distanza in B distanza in A 2 1 1 anche distanza in B distanza in A z del tipo 2 1 passando da A a B un tratto lungo 4 viene trasformato in un tratto lungo 4 2 passando da B a A un tratto lungo 5 viene trasformato in un tratto lungo 5 1 2 Generalizzando P_i E ia crandezza grandezza 2 Se sulla CT batti 8 che cosa ottieni Descrivi questo fatto completando la frase Il reciproco del di 8 8 3 Rappresentazioni percentuali approssimazioni A fianco tracciato l istogramma relativo al 1985 della f tabella 1 1 Esso consente di valutare facilmente la dimensione di un tipo di consumo rispetto all altro miliardi ma non fornisce immediatamente un idea di quanta parte del consumo totale sia Z00000 ciascuno di essi Per una informazione di questo tipo conveniente rappresentare 1 due rettangoli consecutivamente con un diagramma a striscia come il seguente 00000 E E E RE RE E E RE E E EEE SOQOOO ASA 6 alimentari F 200000 aliment non aliment Le statistiche 1 31 Qual 11 fattore di proporzionalit che moltiplicato per la lunghezza in quadrettini di un rettangolo d il corrispondente valore r
203. di avere un peso normale decide di non dare pi importanza alle sollecitazioni della moglie pesi troppo stai pi attento nel mangiare Ti sembra sensata questa conclusione I grafici a lato rappresentano il peso medio P in funzione DETTO I E I j baltici 40 49 anni dell altezza h nel Caso delle donne tra 20 e 24 anni e nel Caso di pic a a quelle tra 40 e 49 anni ques e16 Il pallini sono la traduzione zop Hpi FERRI ZEUSA FEESL SERER dei dati della tabella 6 3 le linee punteggiate che li congiun 0 i iL ue gono consentono di trovare i pesi medi corrispondenti ad altre go Hh H HH altezze nell ipotesi che tra un pallino e l altro la variazione del peso medio sia proporzionale a quella dell altezza Trova cos sa arrotondato ai kg il peso medio delle donne di 20 24 anni alte 167 cm e confrontalo con quello che ottieni usando direttamente i 4g dati della tabella e un opportuno metodo numerico 4 e q e8 150 160 170 150 Potete effettuare delle altre indagini statistiche Ad es comprare qualche chilo di patate di una qualit fissata in un particolare negozio pesare ciascuna patata e studiare come si distribuisce il peso delle patate o fare un indagine simile per qualche altro prodotto alimentare Oppure potete scegliere un marciapiede di una grande strada una direzione di cammino e misurare l intervallo di tempo che intercorre tra il passaggio di un pedone e il successivo scegliete un punto c
204. dia che poi arrotondi come i dati di partenza e la mediana dei nuovi dati Fsaminiamo come si comandato a Stat il tracciamento dell istogramma riportato nel quesito e9 Si voleva ottenere un istogramma come quello di figura 8 7 intervallini ampi 3 150 152 153 155 168 170 Poich 150 151 152 stanno in 150 153 153 154 155 stanno in 153 156 168 169 170 stanno in 168 171 possiamo scegliere come a b l intervallo 150 171 e farlo suddividere in 7 intervallini Il programma calcola le frequenze relative visualizza la frequenza della classe modale la moda 162 165 cio 162 164 e la sua frequenza relativa 0 2631 cio 26 3 e sceglie automaticamente il sistema di riferimento in modo da rappresentare l intero istogramma a Dal grafico riportato nel quesito e9 ricava arrotondate agli interi le frequenze percentuali delle modalit 153 155 e 156 158 utilizza il fatto che in questo caso la colonna pi alta rappresenta 26 3 e quindi i livelli tracciati con la punteggiatura distano 10 al computer si pu anche cliccare col mouse sul grafico e leggere le coordinate nella piccola finsetra a destra Volendo essere pi precisi si poteva tener conto che i dati delle altezze non sono esatti ma sono arrotondati vero che ad es 150 151 152 come numeri esatti 150 000 151 000 152 000 stanno in 150 153 ma se li intendiamo come misure arrotondate essi rappresentano altezze che vanno da 149 5
205. dine con cui si susseguono le varie stazioni e un indicazione approssimativa delle direzioni delle diverse linee La cartina di figura 2 che rappresenta meno fedelmente distanze e angoli rispetto alla cartina di figura 6 in cambio avendo un sistema di riferimento ortogonale paralleli e meridiani rappresentati con rette tra loro perpendicolari offre una lettura pi facile delle coordinate Possiamo dire che le diverse rappresentazioni cartografiche di una certa regione della superficie terrestre sono differenti modelli di essa Facciamo qualche altro esempio di modello Il diagramma in figura 8 un modello che rappresenta la temperatura corporea di una persona degente in ospedale figura 8 Diagramma della temperatura corporea registrata in una persona degente in ospedale al mattino e al pomeriggio per alcuni giorni consecutivi e porzione del diagramma che si otterrebbe con pi rilevamenti sistematici 146 15 6 L andamento della linea ottenuta congiungendo i punti corrispondenti ai successivi rilevamenti d immediatamente un idea complessiva di come variata la temperatura ma non una rappresentazione fedele dell andamento della temperatura dal 13 giugno al 19 giugno Ad esempio la parte di grafico che va dal punto corrispondente alla mattina del 14 a quello corrispondente al pomeriggio del 16 costantemente in salita mentre nella realt la temperatura potrebbe aver avuto delle oscillazioni A fianco del diagramma o
206. disequazioni posso spesso omettere le parentesi utilizzando le priorit tra gli operatori logici NOT OR e AND Stabilisci l ordine di priorit tra questi operatori sulla base della seguente tabella ottenuta con un programma simile a quello di eS Per rendere pi leggibili le condizioni ed evitare di commettere errori conviene comunque usare le parentesi senza ricorrere alle priorit 186 Per strada 1 condizione falsa condizione wera 1 NOT P AND Q NOT P AND Q053 CNOT P AND Q Pz 1 Qz 1 E Gi Fi Pr 1 J E 1 G P D Q 1 1 1 1 P Qi a E 1 Fi P OR Q AND R OP OR Q AND R P OR Q AND RI Pi 1 z 1 Rr 1 1 1 1 Pz 1 z 1 Ri B 5 i Pisl I d Ri l l 1 Pi 1 0 W Ri amp 1 Gi 1 P 9 Q 1 Rz 1 1 i Pd Lil Ri G E 5 G F 0 Ez 1 A 5l G P p R n A Anche con i fogli elettronici si possono usare operatori logici In genere 1 fogli elettronici usano 1 come vero e 0 come falso Gli argomenti degli operatori logici devono essere racchiusi tra parentesi e separati con una virgola o un punto e virgola a seconda del tipo di foglio di calcolo ad esempio non si scrive Al OR A2 ma OR A1 A2 o OR AI A2 Prova a realizzare con un foglio elettronico la tabella sotto raffigurata sono riprodotti sia lo stato formule che lo stato valori del foglio e prova a usare il foglio elettronico per predisporre tabelle simili a quella del quesito precedente Nota Nella riga 1 non sono state messe costanti nume
207. distanze con un righello 1 punti della figura a sinistra non hanno la stessa distanza dal punto 0 0 e le due diagonali della seconda figura non hanno la stessa lunghezza Ma dal punto di vista matematico riferendosi al piano cartesiano e alla distanza euclidea siamo di fronte anche in questi casi a un cerchio e a un qua drato Abbiamo gi fatto una analoga distinzione tra pendenza stradale e pendenza dei grafici Come possiamo descrivere numericamente cio mediante una formula numerica la parte interna al cerchio di figura 6 cio all insieme degli x y che rendono vera l equazione x y 100 Si tratta dei punti che hanno distanza d da O inferiore a 10 cio tali che d lt 100 Quindi questa figura pu essere descritta con la disequazione x y lt 100 x y x y lt 100 Come descriveresti numericamente la parte interna al quadrato della figura successiva al ques 12 Come descriveresti numericamente il quadrato punteggiato nella successiva figura 1 i quadretti hanno lato 1 194 La matematica e lo spazio I Nel piano cartesiano molte figure possono essere descritte mediante equazioni x y2 100 Ixl lyl 10 o mediante disequazioni x y lt 100 Ixi lyl lt 10 o mediante combinazioni di equazioni e disequazioni Ad esempio la figura dell ultimo quesito era descrivibile come x y 5 lt x lt 5 5 lt y lt 5 Nel caso dell illustrazione 2 la figura tratteggiata
208. due lati che formano l angolo retto si sovrapponga alla freccia S1 Quindi poniamo una riga nella posizione 2 al posto della riga si pu usare un altra squadra e facciamo scorrere la squadra fino ad arrivare alla posizione 3 Il lato della squadra che era sovrapposto a S1 durante il movimento ha mantenuto la stessa inclinazione per cui ora ci consente di individuare la direzione di S1 Come si vede meglio nell ingrandimento una freccia passante per il centro del cerchio graduato e diretta come SI passa per la terza divisione in cui suddiviso il settore che va da E a N figura 4 E mi ce E GAM ne ET lE IA 0 LL ELEZLEZZZZZ ZE ZE ZE LE ZII E r g pg my Le tacche sono distanziate di 15 l una dall altra infatti da E a N vi sono 6 divisioni Quindi la direzione compresa tra 30 E N e 45 E N possiamo approssimarla meglio dicendo che circa 35 E N direzione ruotata di circa 35 verso nord rispetto alla direzione est Per strada 1 181 Trova la direzione dello spostamento S2 lavora sulla figura 1 impiegando una riga e una squadra o due squadre al posto di una squadra puoi impiegare un libro o un altro oggetto che abbia due spigoli consecutivi perpendicolari direzione di 2 In figura 5 sono tracciati due punti PI e P2 e una freccia che rappresenta lo spostamento S che porta da PI a P2 Traccia 1 punti Q2 T2 e V2 in cui si arriva partendo da Q1 T1 VI e applicando lo spostamen
209. e C7 metto rispettivamente il numero dei maschi iscritti in 1 nel 2006 07 e quello delle femmine iscritte e in B8 metto la formula B7 A1 100 viene calcolata e associata a B8 la percentuale degli iscritti maschi Se seleziono e ricopio B8 in C8 viene registrata in D8 la formula C7 A1 100 che rappresenta la percetuale delle femmine Se non avessi davanti ad Al ricopiando in C8 avrei invece ottenuto C7 B1 100 che non avrebbe rappresentato la percentuale delle femmine Con una formula di assegnazione si possono effettuare calcoli riferiti anche a insiemi di celle Ad esempio se volessi calcolare il totale degli iscritti nelle 5 classi della scuola potrei mettere in una qualunque cella libera ad esempio in A6 la formula di assegnazione Sum A1 A5 Infatti Sum A1 A5 ha come valore la somma dei valori associati alle celle che stanno nel rettangolo di celle che va da A1 ad A5 Nel calcolo vengono saltate le celle del rettangolo che sono vuote in alcuni fogli invece di Sum occorre impiegare un nome differente 3 I programmi per il calcolo simbolico Vi sono applicazioni dedicate ad attivit di tipo matematico che tra 1 loro sottoprogrammi ne hanno alcuni destinati alla effettuazione di calcoli simbolici Qui accenniamo a una di esse di uso particolarmente semplice Derive versione per Windows Vediamo ad esempio come scrivere e trasformare A mr Se scelgo Espressione dal menu Crea Author o se clicco l icona matita ho
210. e con una penna o con un altro oggetto Le linee della realt hanno sempre uno spessore e prima o poi se non ritornano su se stesse come nel caso di una circonferenza finiscono Questa invece anche se nel tracciarla sulla carta le diamo un certo spessore e una lunghezza limitata una linea che immaginiamo infinitamente sottile e che si sviluppi senza fine in entrambe le direzioni Supponiamo inoltre che comunque si prendano su di essa due punti distinti si possano prendere tra essi quanti altri punti si vogliono Nelle linee della realt invece prima o poi i punti andrebbero a sovrapporsi cos come nei nastri misuratori usati nella pratica le tacche non si possono infittire pi di tanto In altre parole siamo di fronte a un modello matematico astratto Quando parleremo di punto della retta dei numeri non intenderemo un punto tracciabile concretamente che ha sempre qualche dimensione ma una posizione sulla retta dei numeri che pu essere individuata esattamente con un numero reale La retta dei numeri illustra in forma schematica l uso dei numeri reali per rappresentare grandezze fisiche Non altro che una generalizzazione delle usuali scale graduate impiegate negli strumenti di misura Mentre sulla scala termometrica diciamo che tra 6 e 11 o tra 1 e 4 vi una differenza di 5 sulla retta dei numeri diremo che tra il punto 6 e il punto 11 o tra il punto 1 e il punto 4 vi la distanza 5 senza unit di misura
211. e e salire al 6 piano perch trovi l ufficio o occorre che compia le due azioni in un certo ordine prova a leggere la frase invertendo le condizioni prende e sale b se x minore di le positivo 1 x maggiore di 1 pu essere espressa con se sono vere le condizioni x minore di 1 e x positivo allora puoi trasformare in maniera analoga se la maglia gialla e rossa si tratta di un giocatore della Roma c PORO falsa nel caso in cui siano false sia P che Q vera negli altri casi Nelle seguenti frasi la congiunzione o usata nello stesso significato di OR se hai l ombrello o indossi l impermeabile ti bagnerai poco se noleggia una Alfa o se noleggia una Golf spende 120 al giorno Nota In JavaScipt gli operatori logici sono indicati in modi diversi da quelli qui indicati Quali Il programma in JavaSript a cui puoi accedere da qui consente di studiare quando vera la condizio ne P AND Q AND R Prova ad usarlo Poi modificalo per studiare P OR Q ORR e P AND Q OR In un termine aritmetico che contenga pi operazioni posso spesso omettere le parentesi le operazioni sono eseguite a partire da sinistra a meno che non si incontrino operazioni con diverse priorit Ad es 3 2 5 2 viene interpretato come 3 2 542 in quanto gli operatori che compaiono sono considerati con il seguente ordine di priorit Analogamente in una condizione che contenga pi equazioni o
212. e le 9 del mattino di un certo giorno Per fare questo ci basta considerare i numeri interi positivi e la funzione successore S Due persone si piazzano alle ore 8 presso le due strade partono dal numero 0 e ad ogni passaggio di macchina fanno corrispondere una applicazione di S cio si comportano seguendo questo schema 1 prendi come n il numero 0 3 1 2 se passata una nuova auto calcola S n e prendilo come nuovo n 3 val a 2 Alle 9 le due persone si fermano e confrontando i due valori nA e nB a cui sono arrivate possono stabilire in quale delle due strade sono passate pi automobili In questa situazione il modello matematico impiegato dunque la struttura numerica costituita dall insieme dei numeri naturali il cui numero 0 viene assunto come elemento iniziale e dalla funzione successore S Non ci serve considerare altre funzioni ad esempio la somma o il prodotto Esempio 2 Consideriamo la stessa situazione dell esempio 1 Vogliamo per calcolare anche quante auto sono passate complessivamente per le strade A e B In questo caso dobbiamo arricchire la precedente struttura numerica considerando anche la funzione somma m n gt m n Esempio 3 Esaminiamo invece la situazione 1 4 del quesito 2 e supponiamo che vengano impiegati blocchetti di biglietti numerati da 1 a 99 ogni persona in arrivo stacca il biglietto superiore del blocchetto in uso esauriti 1 biglietti viene messo in uso un nuovo blocchetto id
213. e Gli oggetti matematici 3 Equazioni equivalenti I procedimenti per riscrivere termini sono spesso impiegati per trasformare formule Ad es nel passare da percentuale parte totale 100 a percentuale parte 100 totale si trasforma il secondo membro dell equazione Altre volte si opera contemporaneamente su entrambi i membri dell equazione Ad es per trasformare 181 x 127 nella forma x abbiamo fatto 181 x 127 gt 181 127 x 127 127 gt 54 x lt gt x 54 Il simbolo lt serve per indicare che la formula alla sua sinistra equivalente a quella alla sua destra E una sintesi dei simboli gt e lt usati rispettivamente nel significato di implica A implica B se l equazione A vera allora vera anche l equazione B e segue da A segue da B se l equazione B vera allora vera anche l equazione A Nel primo passaggio abbiamo applicato a entrambi i termini dell equazione l operazione inversa di 127 cio 127 in modo da isolare la x Nell ultimo passaggio abbiamo scambiato primo e secondo membro sfruttando la simmetria dell eguaglianza a b equivale a b a In generale per trasformare un equazione si utilizzano oltre all eventuale scambio dei due membri procedimenti di questo genere applicare a entrambi i membri una stessa funzione Vediamo qualche altro esempio 1 negazione x 42 lt gt x 42 lt x 42 2 reciproco 1 x 8 lt 1 x 8 lt gt x 1 8 0 125
214. e Scrivi nella tabella 1 valori che assumono a b e c nei casi considerati tieni conto che ad esempio 45 17 pu essere pensato come 45 1 17 e 90 1 come 90 1 00 00 DDD 1 Segna con l evidenziatore nelle parti della scheda indicate frasi e o formule che descrivono il significato dei seguenti termini posto di una cifra dopo ques 8 potenza n esima tra ques e ques 10 notazione scientifica dopo ques 16 ordine di grandezza dopo ques 16 proporzionalit prima di ques 19 percentuale prima di ques 22 dopo ques 24 media aritmetica 5 approssimazione per arrotondamento e troncamento prima di ques 26 dopo ques 58 2 Su un foglio da quadernone nella prima facciata esemplifica l uso di ciascuno dei concetti sopra elencati mediante una frase in cui esso venga impiegato 3 Nella seconda facciata riassumi in modo discorsivo senza formule come in una descrizione al telefono il contenuto della scheda non fare un elenco di argomenti ma cerca di far capire il filo del discorso Esempio di svolgimento parziale di quanto richiesto nel riquadro 1 Vedi le parti gi evidenziate in rete per le voci posto di una cifra notazione scientifica ordine di n n grandezza potenza n esima nel paragrafo 1 2 posto di una cifra Nella misura 37 169 km la cifra di posto 3 rappresenta i metri potenza n esima L area di una faccia di un cubo si ottiene elevando alla seconda la mi
215. e VI Dolomiti arrivando fino a Calalzo di Cadore posto all inizio della Valle d Ampezzo vicino al Lago di Cadore Pensano quindi di raggiungere Vicenza facendo scalo non a pO 1 Verona ma a Padova cos da poter fare una puntata di un giorno nelle Dolomiti 3 1 Su una guida trovano indicato un treno che viene indicato come Freccia delle Dolomiti Stimolati dal nome che suggerisce alte velocit pensano di impiegarlo per Padova a raggiungere Calalzo Compodatseso 1540 Nella tabella 3 1 sono state riportate dall orario le ore in cui il treno sosta nelle S Giorgio 1546 varie stazioni Per le stazioni in cui la sosta pi lunga indicata sia l ora di arrivo che Camposampiero 1550 quella di partenza Castelfranco 1602 1622 Stimiamo la velocit media con cui percorso il tratto Padova Calalzo Montebelluna 1636 3 0 25 Cornuda 1646 15 30 18 30 18 55 il tempo impiegato 3 h e 25 min Fener 1657 l Feltre 1715 la distanza 158 km 101 Bribano 1733 il tempo 3 h e rotti la distanza 150 km e rotti 150 50 3 quindi il treno in 1 A fa 114 Belluno 1747 mediamente circa 50 km 121 Polpet 1755 1 132 Longarone 1808 Controlliamo questa stima con la calcolatrice 158 Calalzo 1855 La matematica e i suoi modelli 2 15 Calcolate la velocit media con cui il treno percorre il tratto Padova Calalzo distanza Padova Calalzo km tempo Padova Calalzo min velocit Padova Calalzo d
216. e con il numero intero 26 oppure con il numero intero 27 RE I NR OT Q T 50 100 26 T2 Possiamo scegliere tra una approssimazione per troncamento cio togliere tutte le cifre successive al posto degli interi ossia tutte le cifre dopo il punto decimale ottenendo 26 o al numero pi vicino cio prendere l intero pi vicino a 26 756 ottenendo 27 questo secondo procedimento viene di solito chiamato arrotondamento Se tra le tacche di separazione tra quadrettini si prende come fatto procedendo graficamente quella pi vicina al 2675 7524 punto che rappresenta il dato esattamente si deve Z 7 procedere per arrotondamento e prendere 27 Si procede analogamente per 73 243 si ottiene 73 ma in questo caso si otterrebbe lo stesso valore per troncamento ZI 26 2T 23 T2 75 T4 Ta Nota Molti impiegano la parola arrotondamento per indicare una qualunque approssimazione con un numero inferiore di cifre noi nel seguito useremo in genere la parola arrotondamento nel significato di approssimazione al numero pi vicino In quali casi troncando e arrotondando alle unit si ottiene lo stesso numero intero Completa la tabella seguente Quindi evidenzia sul disegno sottostante l intervallo dei numeri che vengono arrotondati a 73 ed evidenzia diversamente quello dei numeri che vengono troncati L intersezione tra i due intervalli l intervallo dei numeri cercati mo _ ma ns nma _ Aaea aaaea e _
217. e dal castello stregato L impresa non sar facile anche perch oltre a comportare qualche ragionamento e un po di fortuna richiede anche un po di pratica nell uso della tastiera del calcolatore Converrete presto che non conviene procedere con tentativi alla cieca ma che meglio cercare di far tesoro degli insuccessi per individuare qual il comportamento che la macchina da gioco tiene di fronte alle vostre mosse Per aiutarvi qua sotto sono riprodotti con qualche taglio e modifica i messaggi scritti che la macchina da gioco pu inviare durante la vostra avventura 1 Sei in un castello stregato Le stanze hanno porte da cui si pu passare in una sola direzione Se sbagli uscita non puoi tornare indietro Se ti comporterai non in modo improvvisato riflettendo sulle cose da fare ma senza perder troppo tempo forse riuscirai a uscire Alle domande che ti verranno fatte rispondi battendo la lettera iniziale maiuscola della risposta e poi il tasto A CAPO per far partire il tuo messaggio La stanza in cui ti trovi ha 3 uscite Sul pavimento ci sono una carta BANCOMAT B un FARETTO F una PISTOLA a raggi laser P una CALCOLATRICE C una TUTA protettiva T un sacchetto di MERENDINE M Scegli 3 oggetti e inizia la tua avventura ma tieni presente che per attraversare e l uscita A devi superare una barriera di raggi x l uscita B devi pagare con il Bancomat l uscita C devi dirigere un fascio di luce in un apposito foro Scegli l
218. e figura 6 individua il punto 4 9 poi il punto 4 99 poi il punto 4 999 Procedendo in questo modo se potessi operare sulla retta dei numeri astratta e con strumenti in grado di tracciare punti senza spessore ti avvicineresti sempre pi al punto 5 Che distanza da 5 ha il punto 4 999 e il punto 4 999999 figura 6 A ERI impossibile distinguere il punto 4 999 dal punto 5 il punto 0 999 dal punto 1 Analogamente impossibile distinguere ad esempio 67 2999 dal punto 67 3 Anche in questi casi diremo che siamo di fronte a numeri uguali Quindi 0 999 1 4 27999 4 28 14 Prova a calcolare 0 373737 0 416416416 Abbiamo visto con vari esempi che in qualche modo si riescono a sommare i numeri periodici Nel caso del quesito precedente siamo riusciti a capire che il risultato 0 790153790153790153 Non tuttavia un procedimento comodissimo Ancora pi complicato il caso del prodotto Se poi i numeri su cui operare non sono periodici non possiamo con sicurezza stabilire le cifre del risultato nel caso di una addizione non possiamo prevedere se passando a sommare nuove cifre otterremo dei riporti che faranno cambiare le ultime cifre calcolate Vi tuttavia un modo pi generale per operare con i numeri reali Lo illustreremo a partire da alcuni esempi figura 7 In figura 7 riprodotta una piastra rettango lare Usando una riga graduata posso trovare che le misure in centimetri della base e
219. e la misura esatta compresa tra 183 27 sec e 183 28 sec ovvero dire che 183 27 sec la approssima per difetto a meno di un errore di 0 01 sec Con strumenti pi precisi potremmo arrivare all intervallo 138 273 138 274 e cos via 183 27 183 28 14 Per pi di tanto non possiamo migliorare la misurazione prima o poi arriviamo ai limiti delle nostre possibilit tecnologiche eventi utilizzabili come tic dispositivi impiegabili per il conteggio A ci da aggiungere il fatto che non possibile avviare e arrestare il cronometro esattamente all inizio e alla fine del fenomeno Se impiego un cronometro che mi consente di arrivare alla misura 133 27 sec troncata ai centesimi di secondo non detto che la cifra 7 sia significativa Se faccio partire il cronometro con un ritardo di circa 15 centesimi di secondo e lo arresto con circa 37 centesimi di secondo di ritardo la misura risulta essere allungata di un intervallo di tempo pari a circa 37 15 22 centesimi di secondo la misura corretta quindi circa 138 05 secondi L errore introdotto dall utente 22 centesimi di secondo supera quello dello strumento 1 centesimo di secondo quesito ell della scheda 3 di Le statistiche La misura esatta della durata che stiamo considerando potrebbe essere in secondi 138 27356018 e cos via con infinite altre cifre ma noi non potremo mai conoscerla completamente Per misurare lunghezze procediamo in modo simile Prendiamo un nastr
220. e la presenza di dispersioni di calore anche se modeste l attrito degli ingranaggi l attrito del tappo contro la bottiglia il surriscaldamento dei fili del telefono Ogni tanto l uomo deve anche introdurre combustibile nel serbatoio cio alimentare il ciclomotore ma il ciclomotore che trasforma questo alimento in movimento a differenza della bicicletta questa macchina come l automobile l aeroplano gli animali e l uomo stesso semovente cio in grado di produrre autonomamente l energia meccanica per spostarsi N In altre parole una macchina semovente composta da una macchina semplice macchina come la bicicletta o il cavatappi che trasforma solo movimenti a cui viene applicato un motore macchina in grado di produrre movimento trasformando altre forme di energia Nel ciclomotore con variatore automatico non automatizzata solo la produzione del movimento ma anche i cambiamenti di comportamento di fronte al variare della pendenza della strada o della resistenza opposta dal vento o Non c solo un motore ma anche un automatismo cio un dispositivo che in grado di modificare il comportamento della macchina senza il diretto intervento dell uomo ma sulla base di informazioni prelevate autonomamente motore automatismo bicicletta gt ciclomotore gt ciclomotore con variatore Nel caso del nostro ciclomotore l automatismo il variatore automatico di velocit Anche la macchina da gioco del parag
221. e la scala Poi possiamo modificarla cliccando o o spostarla cliccando gt lt 0 v Otteniamo quanto rappresentato sopra qui rappresentato con colori invertiti Se clicchiamo col mouse su un punto della finestra grafici vengono visualizzate nella finestra in basso a destra le x e y che corrispondono approssimativamente ad esso nell esempio il punto della griglia corrispondente alla 3 tacca grossa dell asse x e alla 1 dell asse y Volendo possiamo scegliere direttamente gli intervalli per le x e le y da associare alla finestra indicandoli nei riquadri sx e sy e cliccando Scala Volendo possiamo cambiare il numero dei segmentini da tracciare mettendo in x N a destra dell indicazione dell intervallo delle x aggiungendo la lettera P facciamo s che il grafico sia tracciato per punti dei segmentini vengono solo tracciati gli estremi Le statistiche 2 61 Per tracciare il nuovo grafico senza mantenere la visione del vecchio dobbiamo prima di cliccare Plot fare un clic su N Se dopo il nome della funzione si mette una barra verticale seguita da un numero da 1 a 15 si pu cambiare il colore del A Fi El 0 434100 n 50 p bf 11 l grafico Ecco un esempio Usando Poligon od altro software traccia sullo 110 p9 niinniin unnn ninun nunn stesso sistema di riferimento i grafici delle relazioni ibi iii A che esprimono il costo in euro in funzione del peso i gg dba prezzi
222. e le spese per macchinari irrigazione e In figura 2 raffigurato un mestolo e un suo modello ingrandito realizzato nello stesso materiale legno o metallo in scala 3 a 1 Volendo immaginare una situazione realistica possiamo pensare che il mestolone sia stato fatto realizzare in questo modo a un artigiano falegname o fabbro per impiegarlo in una Sagra del Minestrone 20 La matematica e i suoi modelli 3 Il mestolone riproduce 11 mestolo originale esattamente sia per forma che per materiale Ma al primo impiego per estrarre la minestra dal pentolone il manico cede si spezza o si piega a seconda del materiale Sapete spiegare come ci sia possibile figura 2 e Una nota regola grammaticale asserisce che Un nome singolare terminante in ie al plurale mantiene la stessa forma Gli altri nomi singolari terminanti in e passando al plurale cambiano e in i Esempi il cane i cani l odore gli odori la cantante le cantanti la serie le serie la specie le specie Vi sono tuttavia numerose eccezioni il re 1 re il bue 1 buoi il caff 1 caff la moglie le mogli la superficie le superfici la cassaforte le casseforti il guastafeste i guastafeste il salvagente 1 salvagente il capostazione 1 capistazione Poi vi sono nomi che non hanno plurale il latte la sete l equatore il fogliame Infine vi sono le parole di origine straniera al plurale quando s
223. e riceve un partito con la sua percentuale di voti e valutiamo di quanto variato percentualmente il consenso di A e di B possiamo renderci conto delle sciocchezze che ha detto il leader di A Completa 1 seguenti calcoli consenso nuovo di A 17 1 0 9293 92 9 diminuzione del 7 1 consenso precedente di A 18 4 consenso nuovo di B 27 8 o za 2 diminuzione del consenso precedente di B 29 6 Per risolvere le difficolt che hanno messo in luce i quesiti 13 e 14 si pu usare il termine punti percentuali Nel caso del quesito 14 possiamo dire che A ha perso 1 3 punti percentuali e che B ha perso 1 8 punti percentuali Nel caso del quesito 13 possiamo dire che il record femminile dal 1952 al 1960 aumentato di 8 5 punti percentuali Ma non si tratta di variazioni percentuali del consenso di un partito o di variazioni percentuali del record nel caso del partito A il numero 1 3 rappresenta centesimi del totale dei voti non dei voti di A nel caso dei record 8 5 rappresenta centesimi del record del 1932 non del record del 1952 Nel caso di diminuzioni percentuali si pu evitare di fare mentalmente la differenza tra il rapporto percentuale e 100 si pu infatti usare facilmente la CT Ad esempio dopo aver trovato che consenso nuovo di Alconsenso vecchio di A 0 9293 possiamo sottrarre da tale numero 1 ottenendo 0 0706 7 06 se arrotondiamo ai decimi 7 1 Scrivi la sequenza di tasti che imp
224. e un numero compreso tra N1 e N2 N1 0 e N2 100 si z Premi C 2 Dico un numero N compreso tra N1 e N2 3 SeX N la partita finita Il numero dei mesi giusto 0 E NES si aZ i 4 Se X gt N restringo la zona di ricerca a destra di N cio prendo N come Premi A nuovo N1 altrimenti restringo la ricerca a sinistra di N cio prendo N i I numero dei giorni giusto come nuovo N2 i ar Premi A 5 Ripeto a partire dall istruzione 2 Premi E remi L idea quella di far tesoro degli insuccessi se X maggiore del numero che ho detto inutile che nei successivi tentativi dica numeri pi piccoli analogamente se X minore del numero che ho detto inutile poi tentare con numeri pi grandi Provate a trovare una strategia pi efficiente che non si limiti a prendere un numero qualunque compreso tra N1 e N2 Discutetene in classe e poi rappresentatela sotto forma di istruzioni numerate o di diagramma di flusso 7 Segnali e codici Il telefono modifica la forma delle informazioni non il loro significato trasforma i suoni in segnali elettrici che poi possono essere ritrasformati in suoni Invece la calcolatrice trasforma informazioni in informazioni con un nuovo significato Ad esempio battendo 16 9 sul visore ottengo 25 che un informazione del tutto nuova da 25 non sono in grado di risalire ai numeri che ho battuto come addendi potrei aver battuto 20 e 5 o 11 e 14 0 Ma che cos il si
225. eale fattore di proporzionalit diagramma realt e il fattore inverso che moltiplicato per ciascun dato d la lunghezza in quadrettini del rettangolo corrispondente fattore di proporzionalit realt gt diagramma Se vogliamo confrontare i consumi relativi ad anni diversi ci conviene utilizzare diagrammi a striscia della stessa lunghezza Una scelta possibile la seguente COUAR CATZ ZA lt lt lt 63 100 1926 r O BHO 1985 F ES 1 i alimentari non alimentari Si pu ad esempio osservare che l incidenza dei consumi non alimentari nell arco di 60 anni cio in due generazioni dai nonni ai loro nipoti raddoppiata Le rappresentazioni sono state ottenute rappresentando il totale dei consumi con 100 quadrettini Perch questa scelta Perch comoda Infatti da una parte come vedremo fra poco la scelta del numero 100 facilita 1 calcoli Dall altra 1 dati vengono rappresentati da numeri di quadrettini compresi tra 0 e 100 facili da ricordare e per l abitudine che abbiamo ad utilizzare sistemi di misura decimali per es a esprimere mezzo metro come 50 cm un quarto di etto come 25 grammi un terzo di litro come 33 cl facili da confrontare tra loro e con il totale 100 Possiamo addirittura fare a meno del diagramma una volta che sappiamo che nel 1985 i consumi alimentari erano 27 centesimi del totale riusciamo a immaginarci una striscia lunga 10
226. econda RisultatoPrecedente B3 Sostituendo alle variabili i loro valori 25 18 10 7 2 43 10 7 2 53 7 2 60 2 62 Tuttavia calcolando mentalmente la somma 25 18 10 7 2 pu convenire procedere diversamente ad esempio nel modo indicato sotto a sinistra per sfruttare il fatto che 18 2 fa 20 operando come se il termine fosse 18 2 10 25 7 o quello indicato a destra per sfruttare il fatto che 18 7 fa 25 operando come se 1l termine fosse 18 7 25 10 2 18 2 10 25 7 1B 7 25 10 2 25 18 10 7 2 Zs z10 7 dI 18 10 F 2 I i 20 Ei A 50 12 E I1 a Calcola mentalmente la somma 17 16 4 3 nel modo che ritieni pi conveniente e scrivi il termine che corrisponde al modo in cui hai operato A B r_ ______ _ In ciascuno di questi calcoli mentali abbiamo DOCODAREENERNE 14 g riordinato i termini di una sequenza di addizioni tr Li i da Ae 23 oe Questi riordinamenti non modificano il risultato gt gt gt 11 9 come illustrato per due casi particolari nella figura 1 ji figura 1 Gi I Associa a 73 7 4 w e agli altri due termini il grafo corrispondente 3x 3x 3x T3 t 4tw ER 0 n Ve DE 7 tr tr tz 4 A B C D se N i x PON det e 3 PO ZO NOON AN a FARSI to BE i b t to Uk Le statistiche 4 125 Nella figura A esemplificata in particolare l equivalenza tra t t gt e 9 t dove t e t sono termini numeri
227. edio di un foglio Ho un disegno e una sua riduzione realizzata con una fotocopiatrice che pu riprodurre copie con le scale 50 51 52 149 150 La distanza tra due punti del disegno originale di 17 mm quella tra i corrispondenti punti nella fotocopia di 12 mm Sapendo che le misure sono troncate ai millimetri cio ad es che la prima misura cade tra 17 e 18 mm puoi individuare esattamente la scala di riproduzione utilizzata o puoi delimitarla cio la scala al massimo e al minimo Una lamiera a forma di trapezio ha dimensioni in mm vedi figura a b 24041 b 357 1 h 1141 Trovane l area trova l intervallo di indeterminazione per a b poi per a b h e quindi per a b h 2 So che 1000 cm 1 litro d olio pesa 930 10 g cio che il suo peso in grammi ha come intervallo di indeterminazione 920 940 Qual il volume di 1000 g 1 kg di olio Traccia Se il peso fosse esattamente 920g avrei indicando con V il volume in cm e con P il peso in grammi V P 1000 920 da cui esprimendo V in funzione di P V 1000 920 P se P 1000 ho V 1086 956 Analogamente se il peso fosse esattamente 940 grammi avrei Su un giornale leggo il tasso annuo di guasto degli apparecchi telefonci della ditta X 16 cio un apparecchio ha mediamente 0 16 guasti all anno questo vuol dire che l apparecchio ha problemi mediamente ogni 6 25 anni corretta questa conclusione Segui la traccia
228. egna con l evidenziatore nelle parti della scheda indicate frasi e o formule che descrivono il significato dei seguenti termini termine e atomi dopo ques S sottotermine dopo ques S grafo di flusso 2 equazione dopo fig 3 incognita dopo fig 3 riordinare una somma dopo ques 2 Su un foglio da quadernone che poi inserirai dopo l ultima pagina della scheda nella prima facciata esemplifica l uso di ciascuno dei concetti sopra elencati mediante una frase in cui esso venga impiegato 3 Nella seconda facciata riassumi in modo discorsivo senza formule come in una descrizione al telefono il contenuto della scheda non fare un elenco di argomenti ma cerca di far capire il filo del discorso La automazione 3 131 La automazione Dalle macchine semplici alle macchine programmabili Scheda 3 Il calcolatore I Dalla calcolatrice al calcolatore 2 Ambienti di programmazione 3 Automatizziamo qualche procedimento di calcolo in JavaScript 4 Ancora due esempi in JS 5 Esercizi Sintesi I Dalla calcolatrice al calcolatore Alle calcolatrici non programmabili possiamo far eseguire solo singole operazioni di e addizione moltiplicazione e calcolo di altre funzioni il cui programma stato incorporato dal costruttore e immagazzinamento o estrazione di dati dalla memoria utente A un calcolatore o computer o macchina calcolatrice programmabile possiamo far gestire l esecuzione di un generico a
229. ei fattori che sono stati all origine di un certo evento dell antichit e alla descrizione di questo evento che vengono fatte da un manuale di storia non siamo di fronte a una rappresentazione fedele di ci che accaduto ma a una rappresentazione semplificata che cerca di cogliere gli aspetti e le cause che l autore ritiene essenziali Cio siamo di fronte a un modello di quell evento che evidentemente non matematico e anche molto soggettivo un altro storico pu interpretare e collegare diversamente le varie informazioni sull evento che si hanno a disposizione 10 La matematica e i suoi modelli 1 Le discipline la matematica la chimica la linguistica la geografia fanno un ampio uso di modelli cio di rappresentazioni semplificate o convenzionali che sono utili per facilitare 1 ragionamenti la comunicazione delle idee lo stesso facciamo anche noi nella vita quotidiana Vi sono tuttavia alcune differenze fondamentali tra 1 modelli della matematica e i modelli impiegati in altre discipline e in altri campi Su questi aspetti ci soffermeremo maggiormente nell ultima scheda dell unit didattica 5 Esercizi Nella figura 10 sono rappresentate su una striscia di carta quadrettata in una scala opportuna le posizioni lungo la linea Bologna Venezia delle stazioni di Bologna e di Padova La linea ferroviaria rappresentata rettificata cio raddrizzata fino ad assumere forma rettilinea vengono rappresentate le d
230. ei tre istogrammi a fianco vedi quesito 5 e tabella 1 1 sono istogrammi di distribuzione cio in quali casi l area pj T n complessiva dei rettangoli rappresenta un totale i4 iui fe esn H e le aree dei vari rettangoli rappresentano parti 4 k BIOA TAg disgiunte senza elementi in comune del n n nnt 9 E E U c E R Eog k totale Sg c2 5 ea di di e c D U n E o TE a 2 v 2 z Baag S I j D E E 2 Media moda mediana Tra la distribuzione delle altezze e quella delle zone di provenienza degli alunni vi una diversit di fondo In un caso abbiamo modalit di tipo numerico valori numerici che vengono classificati in intervalli di numeri nell altro no localit che vengono classificate in quartieri Nel primo caso quindi sull istogramma le modalit devono essere rappresentate con un certo ordine nel secondo caso l ordine non particolarmente significativo i due istogrammi di distribuzione di frequenza assoluta della figura 3 possono essere considerati equivalenti Le statistiche 3 107 l l LL a Inoltre mentre nel primo caso ha senso parlare di media aritmetica alumni x Luino x dei dati nel secondo non ha senso parlare di quartiere medio di x lt va PURE N TR x x x X provenienza In entrambi i casi si pu considerare la modalit pi x X x E E frequente Essa viene detta moda o classe modale Nel caso dei LA EE OE lt 5 Xx XxX x x QUar XOKO K_GuUar qu
231. el colore e del tipo di foglio impiegato non ci preoccupiamo neanche troppo dello spessore della linea tracciata Cerchiamo cio di astrarre solo la figura geometrica cio l insieme dei punti cio di posizioni esatte che con quel disegno si vorrebbe rappresentare Quando di un oggetto reale consideriamo la figura geometrica che esso forma facciamo un astrazione non solo perch trascuriamo colore materiale dell oggetto ma anche perch in genere la sua forma solo una approssimazione della figura geometrica considerata Ad esempio anche se diciamo che un tavolo rotondo in realt la superficie di base del tavolo non ha rigorosamente la forma di un cerchio comunque si cerchi di fissare un centro C non si avr mai che tutti i punti del bordo sono esattamente equidistanti da C Impiegando strumenti di misura man mano pi precisi prima o poi si trovano delle differenze Infatti il bordo presenta inevitabilmente qualche irregolarit per quanto piccola possa essere Anche quando usiamo il concetto di piano facciamo una astrazione Ad es quando diciamo che un territorio piano in realt trascuriamo le piccole asperit che comunque il terreno presenta Quando poi considerassimo una rappresentazione cartografica del territorio e cercassimo di trovare la distanza tra due punti mediante la formula 3 1 se il territorio molto ampio troveremmo un valore abbastanza diverso da quello che troveremmo usando la scala ripor
232. elativa immagine 2 spiega con tue parole come la si effettua e 3 perch funziona Quindi 4 realizza con Geogebra le quattro costruzioni 160 La automazione 4 La figura a lato dovrebbero ricordarti una costruzione realizzabile con riga e DB compasso cliccala per ingrandirla 1 spiega con tue parole come la si effettua i 2 realizzala con Geogebra 3 la costruzione suggerisce una semplice relazione tra perimetro dell esagono regolare e il raggio della circonferenza in cui esso inscritto quale 4 qual il perimetro di un esagono regolare inscritto in una circonferenza di raggio lungo 10 cm possiamo dire qualcosa sulla lunghezza della circonferenza e13 La figura a lato mostra una successione di triangoli rettangoli cliccala per ingrandirla Tutti hanno un vertice in A Gli angoli retti sono quelli di vertici B C D Le circonferenze hanno tutte raggio 1 1 Quanto sono lunghe le ipotenuse AC AD AE 2 Come posso costruire un segmento lungo esattamente 72 3 Costruisci la figura con Geogebra i 1 Segna con l evidenziatore nelle parti della scheda indicate frasi e o formule che descrivono il significato dei seguenti termini file 1 variabili di un foglio elettronico 2 geometria dinamica 5 2 Su un foglio da quadernone nella prima facciata esemplifica l uso di ciascuno dei concetti sopra elencati mediante una frase in cui esso venga impiegato 3 Nella seconda facc
233. ell ultima colonna della tabella del quesito 30 Fa 100 Trovate una spiegazione per questa stranezza del risultato e scrivetela in forma sintetica qua sotto 4 Diagrammi a settori circolari altri diagrammi Qui sotto abbiamo riprodotto parzialmente la tabella 1 1 sui consumi degli italiani e l istogramma relativo al 1985 Abbiamo gi osservato che mediante gli istogrammi si possono fare rapidamente delle valutazioni a occhio riferendoci al 1985 possiamo osservare che la spesa per 1 consumi alimentari e quella per la voce altro hanno maggiore incidenza delle altre voci che le spese per vestiario abitazione e trasporti hanno un peso simile non siamo per in grado di valutare dal disegno quale incidenza abbia ciascuna categoria di consumi rispetto al totale per ovviare a ci sopra alle colonne si possono scrivere le percentuali come abbiamo fatto nel caso raffigurato migliaia di PA Mr in miliardi di lire ul Me in milioni di euro so M ce INTE OOOO inmilfoni diese Le statistiche 1 37 La rappresentazione a striscia facilita il confronto visivo tra una voce e 1l totale alimentari tabacco west abitaz trasporti altro Po LE a_i p a Fe 1985 ma risulta pi difficile il confronto tra le varie voci Ad esempio si ha immediatamente un idea dell incidenza della voce vestiario ma rispetto all istogramma risulta meno evidente che inferiore a quella della voce abitazione
234. elle varie versioni A completa e B ridotta La Matematica e i Suoi Modelli 1 La Matematica e i Suoi Modelli 2 La Matematica e i Suoi Modelli 3 Le Statistiche 1 ARA UCOMAzione E vers B senza ques 16 Le Statistiche 2 La Automazione 2 vers B senza 4 Le tecniche e le attrezzature vers B senza in 4 riquadro sui flip flop Le Statistiche 3 vers B senza ques 20 e 21 Le Statistiche 4 La Automazione 3 Algebra elementare La Automazione 4 vers B con considerazioni abbreviate vers B senza l uso di Derive in 3 dopo ques 4 e ques 3 e senza ques el3 I Numeri 1 vers B senza 4 Le basi di numerazione e senza el0 el12 I Numeri 2 vers B senza ques 19 21 e10 e13 Per Strada 1 Il primo volume finisce con Per Strada 2 La Matematica e lo Spazio 1 inteso come limite massimo a cui si pu arrivare in prima le scuole con programma Per Strada 2 debole possono fermarsi subito prima o vers B senza Note 1 e 2 in 2 e ques e19 dopo Per Strada 1 Nota per l insegnante e per chi si occupa di Didattica della Matematica Indicazioni pi dettagliate sono presenti in rete nella Guida per gli insegnanti a cui potete essere indirizzati se ci inviate un messaggio di posta elettronica macosa dima unige it In rete sono presenti anche oltre al software e ad altri materiali riferimenti ad articoli e a pubblicazioni varie che si rifersicono alla impostazione di MaCoSa Sono ben accette critiche suggerimenti segnalaz
235. ematico per studiare le situazioni in cui gl ci si pu muovere solo in verticale e in orizzontale come nel caso di Otto Bus j scheda 1 di Per strada quando va a piedi dalla fermata dell autobus a scuola cio __ B in cui se A e B sono le posizioni a fianco raffigurate non ci sono percorsi pi brevi a i per andare da A a B di p q o r o di traiettorie simili possiamo definire 2 10 3 2 d Pi1 P2 Axl IA yl lxo xl ly2 y4l Nel caso raffigurato abbiamo d A B Ixp xAl lyg yal 8 4 12 La distanza definita dalla relazione 3 2 viene chiamata distanza urbanistica Il nome deriva dal fatto che essa rappresenta la distanza tra due incroci in una citt in cui le strade sono tutte disposte orizzontalmente o verticalmente Il programma in JS allegato calcola la distanza euclidea e la distanza urbanistica tra due punti del piano Sotto ne riprodotto un esempio d uso Metti x1 y1 e x2 y2 Quindi clicca DIST 1 a E 12 y2 DIST distanza euclidea 11 180339887498949 distanza urbanistica 13 x1 Un particolare robot si pu muovere solo in due direzioni perpendicolari e nelle direzioni opposte Rappresentiamo il pavimento con il sistema di si riferimento a fianco in cui l asse orizzontale e lasse verticale rappresentano le direzioni in cui il robot si pu muovere e l origine rappresenta il punto in cui collocato inizialmente il robot Con il lato di un quadretto rappresentiamo 1 m Per va
236. ene riazzerato il contatore QUALE moneta stata introdotta FAIUSCIRE A monete da 0 50 2 no Fal USCIRE una moneta da 0 50 FAIUSCIRE A monete da 0 50 4 2 PONI contatore contatore 1 PONI contatore 0 FAIUSCIRE E monete da 0 20 FAIUSCIRE C monete da 0 10 La macchina cambia monete programmabile Infatti il tipo della moneta introdotta viene individuato confrontandola con tre monete campione cambiando le monete campione si modifica il comportamento che corrisponde al primo riquadro del diagramma Inoltre possono essere modificati i valori con cui confrontare 1 contatori Completa il diagramma seguente in modo da descrivere il funzionamento della macchina nel caso sia impiegata in un paese in cui siano in circolazione solo monete da 1 2 5 e 10 unit monetarie Decidi prima quali monete far cambiare e in che modo La automazione 1 63 Nota La distinzione tra dati e programmi non sempre netta Ad esempio nel caso del termostato la temperatura che viene selezionata dall utente potrebbe essere considerata una informazione che modifica il programma come i valori che abbiamo sostituito nel diagramma della macchina cambia monete e potrebbero essere considerate come dati solamente le temperature dell acqua man mano rilevate Nel caso del mangiacassette una cassetta introdotta pu essere considerata sia una sequenza di dati che vengono elaborati
237. enere chiamati bandierine La levetta non altro che un interruttore non appena una bandierina urta la levetta questa scatta ruotando di mezzo giro e la finestrella segnala il cambiamento di stato da ON accensione a OFF spegnimento o viceversa Nel caso raffigurato si in on Appena vengono raggiunte le 22 la bandierina urta la levetta e s1 passa in off Si torna in on alle 6 del mattino alle 9 si ripassa in off per ritornare in on alle 18 e cos via In alcuni timer esistono pi fori ad esempio uno per ogni quarto d ora consentendo una scelta pi precisa dei tempi di accensione e dei tempi di spegnimento La automazione 1 61 q informazioni me informa zioni Il timer come abbiamo visto composto da un orologio che man mano aggiorna l ora e da un dispositivo di controllo che in base all ora segnata e alla collocazione delle bandierine decide lo stato che deve assumere l interruttore In genere sulle caldaie vengono azionati entrambi i dispositivi per cui la caldaia accesa solo quando sono in on sia l interruttore del termostato che quello del timer 6 Inserisci opportunamente delle bandierine e posiziona su on o su off l interruttore in modo che il timer raffigurato a fianco che attualmente segna esattamente le 15 tenga in accensione la caldaia nelle seguenti fasce orarie dalle 7 alle 10 dalle 17 alle 19 dalle 21 alle 23 il tempo reale di accensione sar inferiore a causa delle ulteriori in
238. eniva cos indicato come calcolare l indice capitario Prendi il reddito annuo lordo in cio senza escludere quanto versato come imposta sottrai 6000 dividi per il numero dei componenti della famiglia e infine dividi per 1000 Se indichiamo con I l indice capitario con R il reddito lordo totale della famiglia e con N il numero dei componenti quale o quali delle seguenti formule traducono il procedimento sopra descritto Quanto vale I secondo le tre formule nel caso di una famiglia di 4 persone con reddito lordo complessivo di 70 000 R 6000 R 6000 TER 6 000 DT N 2 j el B 1 000 1 000 1 000 b Supponiamo di disporre di una tabella come quella sottostante che riporti per vari anni i seguenti dati popolazione con et compresa tra 6 e 13 anni inclusi popolazione con et compresa tra 6 e 18 anni inclusi numero degli studenti iscritti alla scuola elementare o alla scuola media inferiore numero totale degli studenti iscritti a scuola esclusa l universit e altre forme di istruzione post diploma Le statistiche 4 129 Vogliamo analizzare come cambiato negli anni il A 2 lt E i tasso di frequenza alla scuola secondaria superiore cio anno 6 13 anni 6 18 anni adi a o il rapporto tra il numero degli alunni di scuola secondaria superiore e quello dei ragazzi tra 1 14 e 1 18 anni Quale o quali tra le seguenti formule ti permettono di effettuare il calcolo Motiva la risposta esplicitando il signif
239. enti modi 1 eseguendo direttamente 2 41 3 1 1 1 3 28 2 contando il numero delle volte che compare 1 sia N1 il numero delle volte che compare 2 sia N gt il numero delle volte che compare 3 sia N il numero delle volte che compare 4 sia N3 e infine calcolando 1 N 2 N gt 3 N3 4 N4 28 Quale dei due metodi hai trovato pi conveniente perch Nel manuale d uso per le CT prodotte dalla ditta ZZ si legge Le calcolatrici ZZ sono predisposte anche per 1 calcoli statistici per un insieme di numeri possibile calcolare la loro media la loro somma Vediamo un esempio in alcuni modelli il tasto per introdurre 1 dati indicato con ATA invece che con E 50 Le statistiche 1 Oa boMeobohsE Azzeramento generale Battitura del 1 dato I LAI Sua introduzione compare l indicazione che stato inserito 1 dato 3 Il x Battitura del 2 dato Sua introduzione compare l indicazione che i dati inseriti sono 2 Battitura del 3 dato Sua introduzione compare l indicazione che i dati inseriti sono 3 Battitura del 4 dato Sua introduzione compare l indicazione che i dati inseriti sono 4 Compare la media aritmetica dei dati introdotti Compare la somma dei dati introdotti Compare il numero dei dati introdotti 3 3 3 3 Il Il Il Il Do LTL ILSeALA Lo LOS Nei modelli delle calcolatrici ZZ che sono dotati del tasto invece di battere tre volte il dato 6 si poteva procedere
240. entico al precedente Qui si sta impiegando una struttura numerica differente costituita dai numeri interi compresi tra 1 e 99 e da una funzione successore differente da S chiamiamola S S 1 2 S 2 3 S 98 99 S 99 1 Sulla base del solo modello matematico non possibile stabilire tra il possessore del biglietto 93 e il possessore del biglietto 47 chi arrivato prima Infatti il 93 potrebbe essere stato staccato da un blocchetto precedente Bisogner far ricorso anche ad altre considerazioni Sei in coda per entrare in un ufficio del catasto assieme ad un altra cinquantina di persone Tu hai 1l numero 47 e vedi un altra persona che ha il numero 93 Come potresti stabilire chi dei due arrivato prima Nelle successive schede di questa unit didattica approfondiremo lo studio delle strutture numeriche 4 Basi di numerazione La tabella seguente illustra la scrittura dei numeri in diverse basi Le cifre vengono ordinate alfabeticamente 0 la cifra iniziale a cui seguono nell ordine 1 2 3 9 A B Dopo il numero 0 vengono generate in ordine alfabetico le parole non inizianti per 0 composte da un solo carattere poi quelle composte da due caratteri poi quelle composte da tre caratteri e cos via Provate a completare la tabella 4 1 e ad individuare come si trova in generale la rappresentazione decimale del numero 100 0 n comparse della cifra 0 scritto impiegando un sistema di c cifre 166 I
241. ento di posizione opposto 9 7 viene riportato in 1 3 Queste funzioni vengono dette traslazioni dal latino translatio che significa trasporto trasfe rimento Pi in generale dati due numeri h e k viene detta traslazione di passi h k la funzione che associa al punto x y il punto x h y K I passi di una traslazione non sono altro che le variazioni Ax passo orizzontale e Ay passo verticale delle coordinate tra i punti in input e i punti in output La traslazione che porta da un punto A a un punto B ha passi Ax xB xA Ay yB yA La coppia Ax Ay viene indicata pi brevemente con AB con sovrapposta una freccia come abbiamo visto in fig 3 o con la scrittura B A il meno indica che una specie di differenza la variazione per andare da A a B e viene chiamata vettore AB 190 La matematica e lo spazio I In figura 1 sono raffigurati il punto A il punto C e l origine O e i punti che si ottengono da essi con la traslazione di passi 8 4 A 2 3 B 2 8 3 4 10 7 C 4 2 D 4 8 2 4 12 2 O 0 0 gt N 0 8 0 4 8 4 I vettori AB CD e ON sono uguali sono diversi modi per indicare la traslazione di passi 8 4 xB xA XD XC XN XO yB yA yD yC yN y0 4 La parola vettore nel linguaggio comune significa portatore ad esempio la persona che effettua la consegna di una merce viene chiamata il vettore il razzo impiegato per mettere in orbita un satellite artificia
242. enza di bit che a gruppi rappresentino direttamente le operazioni macchina da effettuare Il linguaggio che ha come alfabeto i simboli 0 e 1 in cui vengono scritti questi programmi viene detto linguaggio macchina I linguaggi di programmazione evoluti come quelli usati sopra non descrivono direttamente singole operazioni macchina ma come abbiamo visto impartiscono comandi pi sofisticati a cui corrispondono pi comandi del linguaggio macchina usano come caratteri quasi tutti 1 simboli della tastiera e indicano i comandi con nomi che ne richiamano il significato per questo vengono detti linguaggi evoluti o di alto livello Per usarli il computer deve essere dotato di un ambiente di programmazione cio un programma che contiene come sottoprogrammi e un programma redattore editor per registrare i caratteri battuti dall utente in genere presente anche un help che richiama uso e significato dei comandi propone esempi Un editor una applicazione per leggere elaborare testi come NotePad BloccoNote in Windows che registra i documenti codificando i vari caratteri lettere cifre virgole spazi bianchi e altri simboli attraverso byte ossia sequenze di 8 bit 1 caratteri codificabili in questo modo sono 256 infatti le diverse sequenze di cifre che riesco a costruire con 0 e 1 sono 2 2 2 2 2 2 2 2 256 Il codice impiegato chiamato ASCII pronuncia aski Ad esempio P codificato con 01010000 l a capo con 000
243. eoggi nnl eener ci nel 1981 era di 172 9 cm Qual stato l aumento medio annuo in questo intervallo di tempo _ mm anno 1800 1950 2000 In cent anni l altezza media aumentata pi di 10 cm La crescita stata particolarmente rapida negli anni 70 cio per gli uomini nati negli anni 50 e che hanno trascorso la loro infanzia negli anni della ripresa e dello sviluppo economico che sono seguiti alla seconda guerra mondiale dal 1971 al 1981 vi stato un aumento medio di 2 7 mm anno Negli ultimi anni la crescita tende a rallentare probabilmente si stabiliz zer centimetro pi centimetro meno intorno ai 175 cm Un fenomeno analogo forte crescita nel XX seco lo con rallentamento negli ultimi decenni si verificato in tutti i paesi industrializzati anche tra le donne L aumento dell altezza media dovuto essenzialmente al miglioramento delle condizioni di vita soprat tutto nell alimentazione per ricordare alcuni dati nel 1880 l italiano medio ha consumato 15 kg di carne 29 nel 1960 e 54 nel 1970 ma anche nell assistenza sanitaria e nell attivit fisica si pensi all elevamento dell obbligo scolastico e alla progressiva riduzione del fenomeno del lavoro minorile questi miglioramenti hanno fatto s che 1 bambini e gli adolescenti abbiano avuto sempre pi modo di sfruttare al massimo le potenzialit di crescita presenti nel patrimonio genetico ereditato dai genitori Il miglioramento nell assi stenza sanitari
244. ercizi che seguono vi vengono proposte alcune attivit relative agli esempi e agli strumenti matematici considerati nella scheda lel Scrivi su un foglio le frasi con cui spiegheresti per telefono come calcolare approssimativamente il prezzo del viaggio Belluno Calalzo in un treno di categoria B a una persona che abbia sottomano un orario ferroviario simile a quello dei Van Per Tren indice grafico in prima pagina quadri orari nelle pagine successive Supponi che la persona non abbia pratica di orari ferroviari e che tu non abbia sottomano un orario ferroviario e una calcolaltrice per dirgli direttamente il prezzo Ricorda che devi spiegare alla persona sia come calcolare il chilometraggio che come da questo risalire al prezzo del biglietto Quale tra 1 tre grafici A B e C potrebbe rappresentare quanto si deve pagare in un negozio per l acquisto di una certa quantit di patate Perch hai escluso gli altri due grafici La matematica e i suoi modelli 2 17 Quale tra i tre grafici seguenti potrebbe rappresentare le ore di sole tra il novembre 2008 e l agosto 2010 Perch hai escluso gli altri due grafici Die MAR GIU SET DICO NERO GIU DIT WER GIU SET Dl MWER GIU DiE MAR GIU SET DICO NERO GU A B C A Mario si rotto il cellulare e in attesa di mettere insieme i soldi per comprarsene un altro acquista una scheda telefonica da 10 e la esaurisce con varie telefonate in una decina di giorni Quale dei tre grafici seguenti potrebbe
245. ere minore la forza da applicare Possiamo dire che il cavatappi trasforma l energia meccanica prodotta dall uomo distribuendola su uno spazio diverso Anche il telefono trasforma energia dalla cornetta del telefono entrano informazioni sotto forma di energia meccanica le oscillazioni della membrana del microfono provocate dalla nostra voce e nel cavo circolano informazioni sotto forma di energia elettrica Noi non ci occuperemo di questi aspetti che potrai approfondire successivamente nello studio della fisica Continueremo quindi a parlare di macchine che trasformano informazioni e movimenti anche se si tratta di una modellizzazione che dal punto di vista della fisica non sarebbe del tutto rigorosa Telecomando stufa elettrica cric calcolatrice tascabile macchina distributrice di bevande serratura tra queste macchine sai trovare quelle che trasformano movimenti in movimenti e quelle che trasformano informazioni in informazioni 3 Macchine semplici motori automatismi Consideriamo una bicicletta dotata di cambio Possiamo 99 schematizzare ci che fa questa macchina con il grafo a lato uomo A movimento informazioni COr cambio l uomo produce movimento azionando i pedali la bicicletta trasforma la rotazione dei pedali in rotazione delle ruote il movimento che si ottiene non dipende solo dal movimento dei pedali ma anche dal rapporto di trasmissione che l uomo ha scelto questa informazione viene comunicata a
246. erire dal valore che ci si attende Ad esempio nel caso sopra esemplificato si potrebbe ottenere 1 0299999999999976 invece di 1 03 Ma ormai sappiamo effettuare facilmente questo arrotondamento a mano Come illustra il seguente esempio migliorando la precisione dei termini dell operazione si pu migliorare quanto si vuole la precisione del risultato calcolo di x y con x 410 3 162277660168 e y 2 1 414213562373 utilizzando i troncamenti di x e di y a cifre di posto man mano pi piccolo ricorda che dire che 3 1 un troncamento ai decimi equivale a dire che il valore esatto compreso tra 3 1 e 3 2 x y min max indet Fadl Dad 1 4 L 2066060000 As AB911428 O 21904761a Sad ssl Lal Le a LLADD ll Zig 24o 09a UUL 20TA FsVGd Slo Ly4ld Ladlbo Zyg29540204 he ra OLG Aa Va UULA TO Tis Come si pu osservare man mano che divido per 10 l indeterminazione di x e di y all inizio 0 1 poi 0 01 ottengo il risultato con un indeterminazione che man mano si divide circa per 10 5 I numeri razionali Abbiamo visto come possono essere calcolate le operazioni tra numeri reali In molti casi si possono utilizzare propriet che permettono di semplificare il calcolo Vediamo prima alcuni esempi di semplificazione di calcoli su dati esatti e Devo calcolare 53 23 Posso procedere cos a 53 23 125 8 1000 oppure cos b 53 23 5 2 10 1000 Devo calcolare 247 6 Posso procedere cos a 24 16 576 36 16
247. esi in modo che una persona che non conosca le priorit possa interpretarli correttamente il primo termine gi completato come esempio 59 147 7 gt 59 147 7 73 27 125 573 17 25 E suda 53 12 25 R A8 37 5 19 3 gt Lucie Come possibile eseguire correttamente il calcolo di 1 2 5 con una calcolatrice dotata di due soli registri di lavoro senza fare calcoli a mente o annotarsi o ricordarsi risultati intermedi e di 5 8 4 e di 5 1 2 e di 4 3 2 5 Si tratta di esempi con numeri che consentono il calcolo mentale in questo modo potete fare pi velocemente e facilmente i tentativi e le loro verifiche 3 La memoria utente e i tasti parentesi Per fare un calcolo come a b c o a b c con una CT che non ha incorporata la gerarchia delle operazioni posso usare la propriet commutativa dell addizione e trasformare il termine dato in quello equivalente b cta b c a riconducendomi a un calcolo in cui le operazioni devono essere eseguite una dopo l altra a partire da sinistra 90 La automazione 2 Di fronte a a b c o a b c posso interpretare la sottrazione come la somma di a e di b c quesito 3 e grazie alla propriet commutativa dell addizione scambiare i due termini a e b c Posso perci calcolare b c a b c a Ossia battere b Esc E al Per calcolare AT non posso battere a E b c che invece calcola o nei il secondo termine della divisione tutto b c Posso ricorrere al tas
248. espressioni che pur essendo diverse come sequenze di simboli sono uguali come numeri In altre parole per caratterizzare il concetto di numero non possiamo limitarci a dire sequenza di cifre ma dobbiamo anche precisare quando due di queste sequenze sono da considerare uguali come numeri 164 I numeri 1 Due quadrati con lato di 15 cm tracciati su una lavagna con gessi di colore diverso ad esempio verde e bianco sono due figure indubbiamente differenti una verde e l altra bianca Possiamo dire che sono due figure geometriche uguali Trovi qualche analogia tra questa situazione e ad esempio il caso dell eguaglianza di 0 750 e 75 I numeri possono essere rappresentati in molti altri modi Ad esempio in codice Morse e in codice BCD sostituendo una ad una le cifre di un numero scritto in notazione decimale con altri simboli nel primo caso con una particolare sequenza di punti e di linee nel secondo caso con un gruppo di 4 bit Ovvero usando i procedimenti 1 9 e 1 10 con sistemi di cifre diversi dall usuale se uso come cifre 0 e 1 posso ottenere ad esempio 0 1000 01 1 1010 1111 se uso come cifre 0 1 e 2 ottengo ad esempio 2 212 0 10 201 se uso come cifre 0 1 2 9 A B C D E e F ottengo ad esempio 1A B F A 0 1 0B Il problema precisare quando due numeri scritti usando diversi sistemi di cifre sono da considerare uguali La questione semplice per quanto riguarda i numeri in
249. etici ed elettronici che lo compongono viene detta hardware termine inglese il cui significato originale ferramenta derivato da hard duro e ware oggetto per indicare letteralmente una collezione di oggetti duri mentre 1 programmi vengono indicati con il termine software neologismo cio nuova parola che significherebbe letteralmente collezione di oggetti molli I programmi d uso generale con cui si possono creare file di vario genere vengono chiamati anche applicazioni e i file programmi testi disegni collezioni di dati creati e leggibili mediante essi vengono detti documenti Sono applicazioni anche 1 browser ossia 1 programmi per leggere e attivare 1 collegamenti presenti in ipertesti come questo 2 I fogli elettronici Tra gli strumenti per automatizzare procedimenti di calcolo particolarmente usati sono da ricordare 1 fogli elettronici spread sheet Ne esistono vari tipi tutti con un funzionamento simile senza particolari dif ferenze nelle prestazioni tra i prodotti a pagamento e quelli freesoftware liberamente utilizzabili presenti nei CD allegati a riviste informatiche o scaricabili via Internet Essi permettono di preparare elaborare e rappresentare graficamente tabelle di dati simili alla seguente relativa ad una scuola secondaria superiore gi considerata nella scheda 4 di Le statistiche Nelle celle A1 BI A2 B2 s1 possono mettere costanti numeriche costanti stringa o e
250. ettua i cambi di unit di misura sotto indicati procedendo sia graficamente scrivi nel primo il valore che riesci a stimare col grafico sia ricorrendo all equazione scrivi nel secondo il valore che ottieni arrotondato ai decimi c 6060 f f 32 1 8c c 12 f f 32 1 8c 32 32 Cus sel T 00 vela 1 8 1 6 Due cineclub praticano le seguenti tariffe il primo 10 di tessera annuale pi 5 a film il secon do 20 di tessera annuale pi 3 5 a film Senza entrare nel merito dei film proiettati indicato con N il numero di film all anno che si vedranno stabilisci per quali valori di N conviene l iscrizione al primo club e per quali conviene l iscrizione al secondo Risolvi questo problema in due modi 1 Scrivi le equazioni che rappresentano il costo C annuale in funzione di N nei due casi per il primo cineclub abbiamo gi visto nel quesito e3 che C 10 5N 2 Risolvi rispetto a N l equazione 10 5N al posto di metti il termine che rappresenta il costo in funzione di N nel caso del secondo club Oppure 2 bis Traccia il grafico delle due equazioni C 10 5N e C e trova l intersezione dei loro grafici sotto gi tracciato il grafico della prima equazione la retta che passa per 1 punti 0 10 punto che corrisponde alla situazione 0 film costo annuale di 10 e 10 60 punto che corrisponde alla situazione 10 film costo annuale di 60 Algebra elementare 15
251. fedelmente l avanzamento orizzontale lungo una strada non la lunghezza della strada stessa la superficie terrestre viene spiaccicata sul piano orizzontale per cui si perde la dimensione verticale qui ovviamente parlando di orizzontale e verticale non ci riferiamo al foglio di carta ma allo spazio tridimensionale Per la strada a sinistra che quasi rettilinea possiamo procedere come in fig 3 e trovare che tra 1 due bivi intercorrono 750 10 mi Ape KE Pa La strada a destra presenta varie curve Per procedere DA i possiamo approssimarla con una spezzata cio con una d linea ottenuta concatenando pi segmenti Singolarmente o a gruppi calcolate l avanzamento e orizzontale lungo questa strada in uno dei due seguenti Pi modi 500 750 1000 a su una striscia di carta tracciate una sequenza di segmenti allineati lunghi quanto i segmenti che compongono la spezzata P1 P2 P6 come in fig 3 segnate sulla striscia due tacche in corrispondenza di Pi e di P2 poi ruotate la striscia intorno a P2 in modo da poter segnare una tacca in corrispondenza di P3 e cos via Utilizzando la scala grafica trovate la lunghezza reale in metri che corrisponde alla distanza tra la prima e l ultima tacca b Usando una riga millimetrata trovate la distanza di P1 da P2 arrotondata ai millimetri cio posto lo Zero della riga su P1 scegliendo la tacca dei millimetri pi vicina a P2 la annotate poi trovate la distanza di P2 da P3 e la
252. fianco cio trova qual la traslazione che occorre far seguire alla traslazione di vettore 10 5 per ottenere complessivamente la traslazione di vettore T 4 6 9 In altre parole trova che cosa occorre mettere al posto di in v u Tios 2 b a Il vettore w del quesito precedente quanto occorre aggiungere a v per ottenere u du In analogia al caso dei numeri vedi figura a fianco si dice che w il vettore A differenza tra v e u Si scrive anche w u v u meno v Le sue componenti sono la differenza delle componenti di v e u Se u h1 k1 e v h2 k2 allora u v h1 h2 k k2 La matematica e lo spazio I 191 3 Distanza euclidea e distanza urbanistica Generalizzando il concetto di distanza in linea d aria visto nella scheda 1 dell u d Per strada definiamo distanza euclidea tra due punti P1 e P2 il numero 3 1 d P1 P3 Ax Ay T x x Y3 y Calcola e arrotonda a 5 cifre la distanza euclidea tra 1 punti P e R del quesito 4 d P R L aggettivo euclidea deriva dal nome Euclide del matematico dell antica Grecia vissuto nel III secolo a C a cui dovuto il primo trattato organico di geometria astratta In realt ai tempi di Euclide non era ancora stato inventato l uso delle coordinate e quindi lui non esprimeva la distanza come in 3 1 L aggettivo stato aggiunto poich oltre a questa distanza ne possono essere definite altre Se vogliamo considerare un modello mat
253. figura 1 CAPACIT LAVORATIVA LIMITATA SOTTO ALIMENTAZIONE ENERGIE RIDOTTE Il significato del diagramma abbastanza evidente la povert dei raccolti comporta sia vedi l anello inferiore sottoalimentazione e quindi limitazione della capacit lavorativa sia vedi l anello superiore l impossibilit di vendere o accumulare una parte della produzione in modo da realizzare interventi per migliorare la coltivazione macchinari fertilizzanti piante pi produttive o resistenti opere di irrigazione ah Senza interventi esterni queste popolazioni contadine non sono in grado di uscire da questo circolo vizioso Il doppio anello sta a indicare che non bastano aiuti alimentari che possono ridurre temporaneamente solo il fenomeno rappresentato dall anello inferiore ma occorre un intervento volto a migliorare l attivit agricola invio di macchinari costruzione di impianti per produrre macchinari aiuti per lo sviluppo delle vie di comunicazione dell istruzione scolastica rapporti di mercato pi equo con prezzi stabiliti non solo nell interesse dei paesi pi ricchi Il modello individua solo 1 fattori pi importanti trascurandone altri che possono essere rilevanti in situazioni specifiche mutamenti climatici o interventi dannosi impiego non controllato di prodotti chimici coltivazioni intensive di particolari piante che possono insterilire il terreno forme di cooperazione tra 1 contadini che consentono di distribuir
254. figura 11 ad esempio possibile trovare che a 20 di inclinazione corrisponde la pendenza 3 6 10 0 36 36 valore approssimato viceversa possibile trovare che a una pendenza del 14 corrisponde un inclinazione di 8 valore approssimato figura 11 m Il Lul LU LILLIL LI LULL LL II mpy MI JULIU Kaim IL LIL LUI LLLLI Mr TT e Il lavoro energia meccanica che la bicicletta o un altro mezzo di trasporto deve produrre per superare la salita direttamente proporzionale al dislivello ci vale se trascuriamo l incidenza della resistenza dell aria e di altri fattori che disperdono energia in quantit che dipende anche dalla lunghezza del percorso seguito e A parit di dislivello h la forza F di spinta che la bicicletta o un altro mezzo di trasporto deve esercitare lungo la direzione della strada tanto minore quanto pi lunga la strada s F peso h s Nel caso di Betta la forza di spinta della bicicletta lungo le due diverse strade sarebbe S 750 m pendenza 7 3 F 4 5 kg S gt 1250 m pendenza 4 4 F 2 17 kg Riferendovi a vostre esperienze ritenete che tali valori coincidano con la forza che Betta deve esercitare sui pedali o no Prima di affrontare con calcoli e con ragionamenti pi rigorosi la risoluzione di un problema bene in tutti 1 casi in cui possibile cercare di fare una stima intuitiva dei risultati Ci pu essere utile anche nel guidarci nella risoluzione I
255. gati sistemi a 3 8 e 16 cifre Ricordiamo che la rappresentazione binaria chiamata anche rappresentazione in base due e che le altre rappresentazioni della tabella 4 1 sono chiamate in base tre in base otto in base sedici La rappre sentazione standard chiamata in base dieci Quando scriviamo un numero in genere sottointendiamo che sla scritto in base dieci cio nel sistema in cui 10 rappresenta dieci Ricordiamo che quando si usano altre basi queste vengono spesso specificate con una notazione come la seguente 3045 g indica il numero che in base rappresentato da 3045 Vedi nel riquadro seguente come si pu trovare la rappresentazione in base 5 di 67 quindi affronta l esercizio Completa 2001 3 6 11D9 0 0 4 0 0 g 16 Quanto detto per i numeri interi positivi si pu estendere a tutti 1 numeri interi 8 pu essere scritto 1000 o 10 g o 22 3 I numeri 1 167 e Devo mettere assieme 67 usando potenze di 5 grandi il pi possible e 25 lt 67 lt 125 quindi parto dalla cifra di posto 2 e Quante volte posso prendere 25 2 poich 25 2 50 lt 67 lt 25 3 Devo ancora formare 17 Quante volte prendo 5 3 poich 5 3 lt 17 lt 5 4 Devo ancora mettere assieme 2 Quante volte posso prendere 1 2 GE RA EE OLII Quindi 67 232 s 5 Esercizi Con i numeri impiegati per indicare le stanze degli alberghi non ha in genere senso fare operazion
256. gnificato di un informazione Un informazione viene comunicata attraverso un repertorio di segnali Ad es parlando con una persona le comunichiamo informazioni su nostre idee su fatti accaduti su nostre emozioni attraverso parole tono della voce gesti delle mani sguardi atteggiamenti del volto o di altre parti del corpo Tutti questi segnali che lanciamo vengono recepiti e interpretati dal nostro interlocutore in base alle convenzioni acquisite attraverso l esperienza l educazione scolastica Mentre la comunicazione attraverso segnali verbali capita solo da un interlocutore che parli la nostra lingua gli altri segnali sono regolati da convenzioni spesso valide per tutte nazionalit l agitazione di una mano aperta viene quasi ovunque interpretata come un saluto il verso mmm come indice di dubbio o di perplessit Un insieme di segnali e delle relative convenzioni che danno significato alle infor mazioni che con essi si comunicano viene detto codice Ad esempio 1 colori rosso giallo Dt Lo f e verde e la convenzione per cui 1 tre colori significano rispettivamente non si pu passare sta per venire rosso si pu passare costituiscono il codice dei semafori Il codice del linguaggio naturale non sempre facilmente interpretabile Ad es di fronte alle frasi l accusa di Luigi ingiusta e la guida di Maria mi sar di grande aiuto non si riesce a capire senza ulteriori informazioni se Lu
257. gono generati o trasformati da un mezzo di trasporto Vedremo anche come la matematica ci possa permettere di collegare questi aspetti geometrici a problemi importanti per usare consapevolmente un mezzo di trasporto come quello del comportamento da tenere al variare della pendenza della strada o quello della sicurezza stradale Alcuni aspetti pi strettamente matematici verranno man mano approfonditi nell u d La Matematica e lo Spazio I Scale distanze direzioni spostamenti Partiamo da un problema familiare Lo studente Otto Bus ogni mattina prende un autobus che lo porta dalla localit in cui abita alla cittadina in cui ubicata la scuola poi percorre a piedi la strada dalla fermata di arrivo alla scuola In figura 1 riprodotta parte di una carta stradale che contiene sia la casa di Otto che la scuola casa di Otto percorzo del bus figura 1 Sulla cartina indicata la scala grafica Misura la lunghezza arrotondata ai millimetri del tratto che rappresenta 250 m ed esprimi sotto forma di rapporto la scala numerica figura realt cio il fattore di ingrandimento per passare dalle misure sulla figura alle misure reali scala figura realt 250 m mm Qual il valore numerico di questo rapporto scala figura realt Un compagno di classe di Otto abita nella localit indicata con A un altro nella localit B Per chi fra Otto e questi compagni minore la distanza della scuola da casa
258. gue 2 5 ne memorizza il risultato 10 senza Leda visualizzarlo e poi completa e esegue l operazione 1 che aveva tenuto in el 1 5 sospeso C 1 10 E EE A tasti visore interno Cd H 1 Consideriamo una CT che sbaglia ___ 1 Appena battiamo L esegue l operazione gi impostata cio 1 2 e subito C__11 2 dopo memorizza il risultato 3 33 Appena battiamo esegue l unica operazione rimasta impostata cio 3 5 53 ci significa che in grado di memorizzare solo due dati e una operazione C 3x5 15 15 Le CT che sbagliano in realt non sbagliano Si comportano seguendo il programma che stato incorporato dal costruttore programma che prevede l esecuzione dei calcoli a catena appena viene premuto il tasto o un nuovo tasto di operazione viene eseguita l operazione precedentemente impostata Sta all utente utilizzare la CT rispettandone e sfruttandone al meglio le caratteristiche In una CT che non sbaglia invece incorporato un programma pi complesso che effettua dei controlli sul tasti di operazione battuti quando viene premuto un nuovo tasto di operazione l operazione precedentemente impostata non viene eseguita se la nuova operazione prioritaria se la nuova operazione o e l operazione precedentemente introdotta o questa viene tenuta in sospeso in attesa che venga completato il calcolo della nuova operazione 9 Introduci nei termini seguenti solo quando necessario parent
259. gura 3 che rappresenta i successivi stati del nuovo apparato misuratore 170 I numeri 2 Ogni cronometro si basa sul ripetersi con frequenza costante di un certo evento la caduta di una goccia il pendolo che passa per la verticale la molla che passa per la posizione di riposo l oscillazione di un cristallo di quarzo figura 3 eccitato elettricamente Chiamiamo tic questi eventi Nei cronometri o o o o o 0 0 sec moderni che si basano in genere sull oscillazione di cristalli di quarzo il numero o o o o o 0 1 sec visualizzato non scatta ad ogni tic come accade nei modelli di cronometro sopra omonima visti ma tra uno scatto e il successivo intercorrono molti pi tic In questo modo n diventa trascurabile il conteggio di un tic in pi o in meno LOLLL SBC Ad esempio se vengono visualizzati 1 centesimi di secondo e vi sono 8000 tic EERE EE E al secondo un tic in pi o in meno corrisponde a una variazione di 1 8000 0 000125 sec che trascurabile rispetto a 0 01 sec EHEHEHEH N Dunque possiamo ritenere che un moderno cronometro che segni i centesimi o o 0 1 3 8 2 sec di secondo visualizzi esattamente il numero dei centesimi di secondo trascorsi tra quando stato fatto partire e quando stato arrestato Non otteniamo tuttavia il valore esatto del tempo trascorso ma solo il suo troncamento al centesimi di secondo Nel caso in cui venga visualizzata la misura 183 27 sec oi possiamo solo concludere ch
260. he non sia preceduto a poca distanza da un semaforo che condizionerebbe il flusso delle persone e studiare come si distribuiscono questi tempi Oppure potete misurarvi tutti gli alunni della classe non affebbrati la temperatura corporea in pi ore diverse e per pi giorni consecutivi raccogliere i dati e discutere che cosa si deve intendere come temperatura normale 1 Segna con l evidenziatore nelle parti della scheda indicate frasi e o formule che descrivono il significato dei seguenti termini intervallo di numeri dopo ques 3 classificare in modalit dopo ques 4 frequenza assoluta relativa e percentuale dopo ques 5 distribuzione di frequenza dopo ques 6 classe modale 2 mediana dopo fig 7 frequenza cumulata dopo fig 11 percentile dopo fig 15 indagine campionaria 3 2 Su un foglio da quadernone nella prima facciata esemplifica l uso di ciascuno dei concetti sopra elencati mediante una frase in cui esso venga impiegato 3 Nella seconda facciata riassumi in modo discorsivo senza formule come in una descrizione al telefono il contenuto della scheda non fare un elenco di argomenti ma cerca di far capire il filo del discorso Le statistiche 4 121 Le statistiche Alcuni modelli per la rappresentazione dei dati Scheda 4 Gli abbandoni scolastici 0 Introduzione 1 Formule per elaborare dati Termini numerici 2 Grafi di flusso equazioni incognite 3 Esercizi Sintesi 0
261. he non stanno per esteso sul visore in una particolare forma esponenziale detta notazione scientifica di cui abbiamo gi visto un esempio nella figura 1 il numero 41 610 000 000 000 la cui prima cifra ha posto 13 viene rappresentato come 4 161 1013 Altri esempi 28 Le statistiche 1 17412 5 ha ordine di grandezza delle migliaia la prima cifra ha posto 3 la sua rappresentazione in notazione scientifica 7 4125 10 0 000 001 305 la prima cifra diversa da 0 ha posto 6 la sua rappresentazione in notazione scientifica 1 305 1079 h che negli esempi precedenti 4 161 7 4125 1 305 ha sempre una sola cifra diversa da 0 a sinistra del punto decimale Invece di dire che 0 073 7 3 1072 ha ordine di grandezza dei centesimi si pu dire pi in breve che ha ordine di grandezza 2 Cio si pu definire ordine di grandezza di un numero l esponente della sua scrittura in notazione scientifica Batti su una CT 1 seguenti numeri nella forma esponenziale indicata seguiti da Otterrai le loro espressioni in notazione scientifica trascrivile e completa quanto segue 12378 milioni 12378E6 ordine di grandezza 0 236 miliardesimi 0 236E 9 ordine di grandezza 2 Rappresentazioni proporzionali istogrammi Torniamo alla tabella 1 1 Il confronto diretto tra dati relativi ad anni diversi non facile non possibile paragonare il valore di 1 lira nel 1945 con quello di 1 lira nel
262. i aritmetiche Ad es se nell albergo sono occupate tutte le stanze fino alla stanza 410 e tutte le stanze successive alla 507 non possiamo dire che le stanze rimanenti sono 507 410 97 Perch Possiamo tuttavia fare dei confronti e ad es stabilire in base ai loro numeri quale tra due stanze collocata pi in alto Come Redigi un programma in JS o in un altro linguaggio che traduca il procedimento del quesito 5 e3 Scrivi una ventina di cifre di ciascuno dei numeri descritti dai seguenti procedimenti e3 Scrivi adi cifre di ci dei descritti dai l di 1 scrivi 45 34 1 scrivi 13 1 scrivi 0 03 2 scrivi 0 2 scrivi 568 2 poni n 1 3 val a 2 3 val a 2 3 scrivi n volte 2 4 scrivi 47 5 poni n n 2 e vai a 3 Descrivi con un procedimento simile a quelli dell esercizio precedente il risultato dei seguenti calcoli 2 13 13 11 16 8 105 5 48 41 3 7 Nella ditta BatDat il controllo dei dati non viene effettuato con calcoli manuali ma usando un programma al calcolatore che procede secondo il altro The cosa 7 Une cifra Li l diagramma di flusso a lato la casella col bordo e spesso quella di avvio Qui sotto riportato un esempio d uso del programma Sai spiegare il altro ero procedimento di calcolo impiegato dal program eni ma ricorda che rappresenta la divisione 2425282926242 26 dato errato OMMettte sommati me Volto 2425282926 6 24 6 ok Resto Cifracontrolto 79 2495282
263. i V X Xi 2 V X x 2 y x X 2 2 2 2 Indica tra i seguenti istogrammi quale pu rappresentare la distribuzione 1 dell et dei morti in un paese sviluppato 2 dell et dei morti in un paese sottosviluppato 3 dell altezza delle femmine adulte di una citt 4 delle altezze degli adulti maschi e femmine di una citt 116 Le statistiche 3 e4 Ho un istogramma di distribuzione dalla forma simmetrica in cui media e mediana cadono entrambe nella classe centrale Se tolgo pezzi da colonne a destra della colonna centrale e li sposto pi a destra quale tra mediana e media resta immutata quale aumenta perch AI n Peta TEF glay mml TESH K mediana Tra gli istogrammi raffigurati nel quesito e3 quale ha sicuramente la media inferiore alla mediana quale pu avere media e mediana che cadono nella classe modale quale pu avere media e mediana che cadono in una stessa classe diversa dalla classe modale Hai visto nel quesito el che la media tra due numeri 180 coincide con il valore che sta a met tra essi 150 i l i l 120 Il disegno a fianco suggerisce che per trovare la media tra 100 120 e 180 posso operare su 20 e 80 la distanza tra 120 e 180 uguale alla distanza tra 20 e 80 ottenuti togliendo 100 per cui posso trovare il valore che sta a met di questi ultimi e poi riaggiungere 100 media tra 120 e 180 media tra 20 e 80 100 Tale procedimento
264. i E poi le corrispondenti sequenze di assegnazioni elementari come nel P Xx 3 precedente esempio 5 7 2 3 5 Gli schemi seguenti illustrano la differenza dei termini B1 A1 100 e B1 A1 100 considerati nel quesito 3 Bi _ BI A ih Al BI Al 100 BIFfAI SF a A1 100 7 ati a 812A1 100 i P 100 100 Come sai quando i sottotermini non sono evidenziati da parentesi l ordine di esecuzione viene stabilito con ulteriori regole Ad esempio 1 5 3 5 viene interpretato come 5 3 5 cio come la addizione applicata ai termini 5 e 3 5 non bisogna calcolare il valore di 5 3 per ottenere il valore finale 5 3 non da intendere come un sottotermine di 5 3 5 2 A1 BI 100 viene interpretato come A1 B1 100 3e 10 30 20 10 30 20 viene interpretato come 100 100 100 100 100 100 4 3 102 4 viene interpretato come 3 102 4 non come 3 10 4 5 un passivo di 1 milione pu essere indicato con 10 infatti 109 viene interpretato come 10 non come 10 9 che invece vale 10 10 10 10 10 10 10 ogni moltiplicazione per un numero negativo cambia il segno quindi alla fine si ottiene un risultato positivo cio rappresenta un attivo di 1 milione In alcuni casi esempi 2 e 3 si procede dando la precedenza alla prima operazione incontrata in altri casi la precedenza viene stabilita diversamente Pi precisamente 1 3 Si stabiliscono i seguenti livelli d
265. i di eguale lunghezza sui due assi altitudine Cin km linea Padova Calalzo figura 6 Cin km 190 10 20 100 Fone m T Longa Calalzo Fa Per esaminare meglio come varia la pendenza della linea ferroviaria dilatiamo il grafico verticalmente Otteniamo figura 7 un modello meno fedele ma che consente di distinguere meglio 1 tratti con diversa pendenza Viene in particolare evidenziato come l ultimo tratto Longarone Calalzo sia quello con la maggiore pendenza 16 La matematica e i suoi modelli 2 altitudine Cin ml s00 figura 7 Tinea Padova Calalzo 100 i Cin kml 10 20 100 190 Come si pu esprimere in forma pi precisa il concetto di pendenza Indicando di quanti metri o centimetri millimetri si innalza la strada ogni 100 metri o centimetri millimetri di avanzamento in orizzontale Ad esempio il cartello stradale riprodotto in figura 8 a sinistra segnala una discesa pericolosa con pendenza del 8 8 per cento la strada inclinata come il triangolo disegnato a destra che ha la base lunga 100 unit di misura e alto 8 unit di misura In altre parole il rapporto tra spostamento verticale e spostamento orizzontale lo stesso che intercorre tra 8 e 100 8 100 0 08 8 centesimi Se percorro un tratto di discesa che corrisponde ad uno spostamento orizzontale di 25 metri mi abbasso di 8 centesimi di 25 metri cio di 25 0 08 2 metri i a 100 Si noti che nel
266. i di input ma devono essere battuti direttamente nelle varie celle della tabella Se ci si accorge che si sbagliata la battitura di un dato o se comunque si vuole cambiarlo basta posizionarsi sulla cella con il mouse o con i tasti direzionali e ribatterlo automaticamente vengono ricalcolati e modificati anche i valori delle celle A7 e A8 Il foglio elettronico ogni volta che si modifica una cella ricalcola tutti i valori Con opportuni comandi con la tastiera o il mouse si possono selezionare delle celle memorizzarne il contenuto e riprodurlo in altre celle Se si tratta di una costante essa viene riprodotta tale e quale se una formula pu essere riprodotta in forma modificata Ad esempio nella tabella precedente la formula in A8 abbandoni tra 2 e 3 non stata battuta direttamente stata selezionata la cella A7 abbandoni tra 1 e 2 e se ne riprodotto il contenuto in A8 Nella riproduzione la formula stata automaticamente modificata poich rispetto ad A7 ci siamo spostati in basso di un posto automaticamente le variabili vengono modificate in modo da riferirsi a celle tutte abbassate di un posto A1 viene trasformata in A2 C2 in C3 cio A1 D1 C2 D2 viene trasformata in A2 D2 C3 D3 Nello stesso modo possiamo trovare automaticamente le espressioni che rappresentano gli abbandoni negli anni successivi Se davanti a una coordinata metto essa non viene variata durante la riproduzione Ad es se in B7
267. i la 3a cifra iniziale 5 Arrotonda a due cifre significative i seguenti numeri eZ e 84126500 aren 300 DO sia 0925 50 siae DATI Li Pi in generale se X un numero e per arrotondare X alla cifra di posto n se la cifra immediatamente a destra 0 1 2 30 si sostituiscono con 0 tutte le cifre a destra del 4 posto n se 5 6 7 80 si aumenta di uno la cifra di posto n e 9 si sostituiscono con 0 tutte le cifre alla sua destra e per arrotondare X a n cifre significative si arrotonda alla n esima cifra iniziale 7 Esercizi Completa la seguente tabella che ricorda il significato di alcuni prefissi impiegati per trasformare una unit di misura in un suo multiplo o un suo sottomultiplo moltiplicatore prefisso espressione verbale 0 000 000 000 001 1 1000 000 000 000 10712 1000 10 1000000 10 1000 000 000 _ 1000 000 000 000 E maggiore un migliaio di miliardi o un miliardo di migliaia o un milione di milioni un migliaio di miliardi 10 105 10943 1012 un miliardo di migliaia 109 10 un milione di milioni a I seguenti dati rappresentano la retribuzione annua lorda in lire di un dipendente pubblico di medio livello negli stessi anni considerati nella tabella 1 1 la retribuzione lorda lo stipendio non gravato da imposte nel caso di un dipendente di questo livello le imposte incidevano complessivamente per una percentuale che nei vari anni ha oscillato i
268. i parla in italiano mantengono la stessa forma Ad es per considerare parole connesse all uso dei calcolatori il file gt 1 file un file termine inglese che si legge fail un documento memorizzato mediante un calcolatore 1l mouse i mouse il mouse termine inglese che si legge maus un dispositivo che consente di muovere liberamente la penna del calcolatore sullo schermo la routine le routine una routine termine francese che si legge rutin un breve programma o una parte di programma che traduce uno specifico procedimento di calcolo Le regole grammaticali non rappresentano dunque fedelmente come si deve parlare Sono solo dei modelli con essi si cercano di individuare i modi in cui si manifestano pi frequentemente certi comportamenti linguistici al fine di dare dei punti di riferimento che aiutino le persone nella formulazione e nella comprensione dei discorsi Sapete trovare qualche eccezione alla regola i nomi maschili terminanti in o passando al femminile modificano o in a e Anche i proverbi sono dei modelli Ad esempio rosso di sera buon tempo si spera rappresenta il modo in cui in genere evolve un particolare fenomeno naturale Individuate tra 1 seguenti proverbi quelli che hanno la stessa morale cio quelli che sono modelli della stessa norma di comportamento le morali rappresentate in tutto sono tre 1 non dir quattro se non l hai nel sacco 5 non tutto oro
269. i priorit tra le operazioni elevamento a potenza moltiplicazione e divisione cambio segno addizione e sottrazione 1 4 Nel caso in cui una espressione che compare nel termine possa essere intesa come applicata a due diverse operazioni ad es A1 in BI A1 100 pu essere intesa come secondo termine di o come primo termine di si sceglie l operazione prioritaria secondo l elenco 1 3 o se le operazioni sono di pari livello due addizioni un addizione e una sottrazione una divisione e una moltiplicazione si d la precedenza alla prima operazione cio a quella pi a sinistra A1 viene intesa come termine di poich di pari livello e viene dopo e Nell esempio 1 il termine 3 a fianco sia del simbolo che del simbolo In base all elenco 1 3 ha la priorit quindi il termine complessivo viene interpretato come 5 3 5 e Nell esempio 3 potrei intendere 30 100 o come 2 termine dell addizione cio da usare per il calcolo di 10 100 30 100 o come 1 termine della sottrazione per il calcolo di 30 100 20 100 Poich addizione e sottrazione hanno lo stesso livello di priorit viene data la precedenza alla prima operazione cio all addizione e Nell esempio 4 possiamo intendere 10 come termine sia dell addizione che dell elevamento a potenza Poich la seconda operazione ha priorit in base all elenco 1 3 lo consideriamo come termine di questa Osserviamo che 124 Le sta
270. i pu ottenere un numero non intero se gli abitanti della provincia sono 945 387 e 1 comuni sono 612 la popolazione media di un comune di 945387 612 1544 75 abitanti Il termine numeri reali invece un modo diverso in cui vengono indicati gli oggetti matematici di solito chiamati semplicemente numeri Dietro all uso di questa denominazione pi estesa vi il fatto che esistono degli oggetti matematici pi generali che vengono chiamati numeri complessi di cui farai la conoscenza pi avanti nel corso degli studi Quando si vogliono evitare confusioni si aggiunge la specificazione reali Noi che per il momento non avremo a che fare con i numeri complessi in genere ometteremo l aggiunta dell aggettivo reali Comunque possiamo osservare che stato scelto l aggettivo reali perch questi numeri sono quelli impiegati per rappresentare misure fisiche ed economiche 2 Numeri uguali Ecco alcuni altri esempi di uso dei numeri 2 1 I genovesi posero questa lapide nell anno MCMVI a ricordo 2 2 Sono gi le 7 30 2 3 Come risultato di 10 18 si ottiene 1E18 Questi esempi corrispondono alla definizione di numero a cui siamo arrivati nel paragrafo precedente espressione opportunamente costruita con cifre e un eventuale e un eventuale III 7 30 1E18 sono numeri Nel caso della notazione esponenziale impiegata dai mezzi di calcolo es 2 3 siamo di fronte ad espressioni impiegate per rappresentare in for
271. i vengono distribuiti i dati vengono spesso chiamate anche modalit Per fare un altro esempio se si volesse fare una statistica sul quartiere di provenienza degli alunni di una scuola le modalit sarebbero 1 vari quartieri Il numero delle altezze che cade in un certo intervallo viene chiamato frequenza di quell intervallo Nel caso dell indagine sulla provenienza degli alunni la frequenza di un quartiere il numero degli alunni che proviene da esso Pi in generale se considero un certo insieme di oggetti ventenni alunni di una scuola e per ciascuno di essi raccolgo una particolare informazione altezza quartiere di provenienza la frequenza di una modalit il numero delle informazioni che vengono classificate in quella modalit o in altre parole il numero delle volte che quella modalit si manifesta alunno sport alunno sport 5 Nella tabella a fianco per ogni alunno indicato lo Anna tennis Giorgio pallacanestro sport maggiormente praticato Classifica queste Barbara nessuno Irene salto in alto informazioni secondo le quattro modalit indicate nella Bruno calcio Laura pallavolo tabella sotto a sinistra in ogni casella scrivi in Carlo ping pong Luciano nessuno piccola dimensione i nomi degli alunni che verificano Clara calcio Manuela tennis sia la propriet orizzontale che la propriet Dario nuoto Nicola calcio verticale Davide pallavolo Paola nessuno Indica quindi le corrispondenti frequen
272. ia gli adulti consumano a testa mediamente 1 5 di litro 200 ml di latte al giorno mentre 1 bambini ne consumano mediamente 1 2 litro 500 ml a testa Poich 200 500 2 350 corretto affermare che il consumo medio giornaliero di latte di un membro della famiglia Bianchi di 350 ml Si presenta una situazione analoga se confrontiamo le velocit medie su due tratti di strada con quella relativa all intero percorso Le statistiche 1 45 Il signor Rossi per raggiungere il posto di lavoro deve percorre 12 km per arrivare al casello autostradale pi vicino e ulteriori 35 km di autostrada In un dato giorno il signor Rossi andando a lavorare impiega 30 minuti per il tratto cittadino e 20 minuti per il tratto autostradale e Qual la velocit media del signor Rossi in ciascuno dei due tratti Vtrattol Vtratto2 e Qual la velocit media del signor Rossi sul percorso complessivo p e Confronta v con la media di Vtrattol Vtratto2 media di Vtrattol Vtratto2 6 Cifre significative Abbiamo visto che un numero pu essere approssimato agli interi e per troncamento cio togliendo tutte le cifre successive al posto delle unit o e per arrotondamento cio prendendo l intero pi vicino e pi precisamente se la cifra a destra di quella delle unit cio se la cifra dei decimi 0 1 2 304 prendendo il numero troncato alle unit se 5 6 7 809 prendendo il numero troncato alle unit e aumentato di
273. iata riassumi in modo discorsivo senza formule come in una descrizione al telefono il contenuto della scheda non fare un elenco di argomenti ma cerca di far capire il filo del discorso I numeri 1 161 I numeri Le strutture numeriche e i loro usi Scheda 1 Usi dei numeri hu Che cos un numero umeri uguali e strutture numeriche asi di numerazione I Z A oo w D I Che cos un numero Consideriamo la definizione che ne d un diffusissimo vocabolario della lingua italiana Def 1 ente matematico che caratterizza un insieme di cose o di persone Le bilie hanno la caratteristica di avere la forma di una sfera Qual l ente matematico che caratterizza l insieme delle bilie E un numero Def 1 non certo soddisfacente Forse gli autori del vocabolario avrebbero voluto intendere Def 2 ente matematico usato per indicare una quantit di cose o di persone Considera le frasi seguenti Ti sembra che l uso di numeri fatto in esse sia in ogni caso in accordo con la definizione tentata sopra Per quali motivi 1 1 Sei alto 178 cm 1 2 Ho preso 6 di inglese 1 3 Ieri eravamo a 3 gradi oggi pi freddo siamo a 2 gradi 1 4 Ci sono prima io lei ha il numero 27 io il 25 E sicuramente migliore la seguente definizione tradotta da un noto vocabolario della lingua inglese Def 3 un elemento del sistema di simboli usato per contare e per rappresentare misure Nei casi 1
274. iato 1 anno e scelto un verso punta della freccia con questa unit di misura si sono rappresentati gli altri valori Le statistiche 2 73 e e ogni coppia di dati uno in relazione con l altro stata rappresentata con un punto se datol il valore di una grandezza e dato2 il corrispondente valore dell altra a partire dal punto che su un asse rappresenta dato si traccia una retta parallela all altro asse lo stesso si fa per dato2 l intersezione delle due rette il punto che rappresenta il fatto che dato in relazione con dato2 i valori dato e dato2 vengono detti coordinate del punto il punto viene designato anche con datol dato2 datol e dato2 vengono detti rispettivamente ascissa e ordinata del punto 240 LIL III Benne on nn oro n fig 3 210 200 POLLS ELL EBD D p D E P D ED i i an 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1950 1990 2000 2010 CM ri 240 fig 4 210 cicci nni 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1960 1990 2000 2010 In alcuni casi si ottengono grafici che coprono interamente l intervallo numerico rappresentato sull asse orizzontale come nella figura a fianco le ascisse sono le distanze d su una cartina in scala 1 5000 le A Ta ic ordinate sono le corrispondenti distanze D nella realt Nei casi in cui si ottengono punti isolati come ad esempio nel caso di figura 2 per facilitare la lettura del grafico invece ST dei soli punti si possono tra
275. ibtbbtporto titttrtttt t t t titttttitt fribtbbtport tittttttt bfribbbtrbri btribbbtpboro tittttttt A scala 1 Ricorda che ad esempio scala 1 15000 scritto anche 1 15000 o a due piani nel modo riprodotto a destra si legge scala 1 a 15000 o 1 quindicimillesimo o 1 diviso 15000 e indica che le distanze reali sono state divise per 15000 cio moltiplicate per 1 15000 ossia che per ottenere le distanze reali occorre 15000 moltiplicare per 15000 le distanze sulla cartina 1 b Descrivi in poche parole come hai proceduto per calcolare la scala di riduzione figura 11 Considera la cartina in figura 2 Individua i capoluoghi di regione aventi approssimativamente le seguenti coordinate geografiche 14 E 41 N 8 E 45 N II E 46 N 16 E 38 N Determina approssimativamente le coordinate dei seguenti capoluoghi di regione Bari Aosta Trieste A fianco sono rappresentate tre ore mediante tre diversi dispositivi Rappresenta ciascuna ora anche mediante dispositivi degli altri due tipi ore 9 ai ore 10 Considera 1l seguente problema Per registrare un programma televisivo il cui inizio e la cui fine sono previsti rispettivamente per le 21 40 e per le 23 25 basta un disco in cui sono disponibili ancora 120 minuti o ne occorre uno nuovo Giovanni sostiene che per risolvere il problema si deve calcolare 23 25 21 40 Laura afferma che conviene calcolare 21 40 2 00 e Chi dei d
276. icato di ogni sottotermine della formula che hai scelto D C A C B A 1 TassoFreq __ 2 TassoFreq ___ 3 T F 1 q iui 2 q ip 3 TassoFreq s L uso di variabili per rappresentare un procedimento di calcolo consente a volte anche di analizzare meglio il procedimento impiegato e di individuare dei procedimenti equivalenti ma pi semplici a Per calcolare l area della figura a fianco possiamo sommare le aree dei due triangoli evidenziati cio fare a h 2 b h 2 Ma trasformando i due addendi e raccogliendo a fattor comune il sottotermine h 1 2 otteniamo a h b h l l ah b h a b h 2 2 2 2 1 a b h 2 Si vuole calcolare l area complessiva delle pareti di una stanza da tappezzare nel calcolo non si tiene conto delle porte e delle finestre infatti si pu risparmiare qualche ritaglio di carta ma non dei tratti interi di rotolo Sotto raffigurato lo sviluppo piano delle quattro pareti Scrivi una formula che consenta di calcolare l area a partire dalle dimensioni a b e h effettuando il minor numero possibile di calcoli Motiva la o b Non sempre facile trasformare un termine in un termine pi semplice da calcolare Ad esempio in uno scritto del 1610 in un epoca in cui gi si usavano nomi per rappresentare numeri generici ma non era ancora studiato e diffuso il calcolo simbolico un matematico si porta dietro per molti passaggi un termine come b c k k c sen
277. iccando qualche bottone e le elabora producendo altre informazioni 58 La automazione 1 Nella figura 1 sono disegnate due macchine d uso pi quotidiano il cavatappi e il telefono Quali sono le loro funzioni Il cavatappi raffigurato trasforma il movimento rotatorio che facciamo compiere ai due bracci nel movimento rettilineo della vite che tira il tappo Il telefono trasforma i messaggi sonori comunicati con la voce in segnali elettrici che viaggiano attraverso il cavo e viceversa trasforma i segnali elettrici in messaggi sonori che raccogliamo con l orecchio Possiamo dire che il cavatappi una macchina che trasforma movimenti in movimenti e che il telefono come la macchina da gioco una macchina che trasforma informazioni sotto forma di suoni o di segnali elettrici in informazioni sotto forma di segnali elettrici o di suoni Cio schematizzando movimento cavatappi movimento informazioni telefono informazioni messaggio messaggio In realt il cavatappi non trasforma solo movimento Per muovere le mani e percorrere uno spazio s dobbiamo applicare sui bracci una forza F a sua volta la vite oltre a muoversi percorrendo uno spazio s gt esercita una forza F sul tappo L idea che sta dietro alla macchina cavatappi proprio quella di distribuire il lavoro che si deve compiere per estrarre il tappo applicare una forza F per un tratto s su uno spazio maggiore in modo da rend
278. ieghi per fare completamente questo calcolo Dai grafici di figura 7 si ha l impressione che le donne dal 1950 al 1990 abbiano guadagnato rapidamente terreno sugli uomini Sembra infatti che il record femminile sia cresciuto molto pi velocemente del record maschile Dai grafici di figura 5 emerge invece che in quegli anni record maschili e femminili sono cresciuti pi o meno con la stessa velocit Questa errata impressione dovuta al fatto che 1 numeri indici rappresentano le percentuali rispetto ai dati del 1932 senza tener conto dei successivi miglioramenti per le donne 2 cm in pi sono sempre un aumento di 2 165 100 1 2 punti percentuali per gli uomini 2 cm in pi sono sempre un aumento di 2 205 100 1 0 punti percentuali Per un miglior confronto dell andamento dei record maschili e dei record femminili possiamo rappresentare graficamente le variazioni percentuali ogni 4 anni cio rappresentare per il 1936 la variazione percentuale rispetto al 1932 per 1l 1940 la variazione percentuale rispetto al 1936 e cos via Si ottengono i grafici di figura 9 Le statistiche 2 79 variazioni percentuali di 4 anni in 4 anni del record maschile di salto in alto in vigore 36 40 44 48 52 56 60 64 69 72 TG 20 S4 88 92 96 variazioni percentuali di 4 anni in 4 anni del record femminile di salto in alto in vigore 5 36 40 44 48 52 56 60 64 68 72 76 80 84 88 92 96 figura9 Dal secondo grafico si osserva che nel
279. igi l accusato o l accusatore e se con guida ci si riferisce a un opuscolo turistico prestato da Maria o alla presenza di Maria in persona La presenza di frasi come queste rende difficile spesso sia la comprensione che la traduzione in un altro codice e in particolare in una lingua straniera ad es guida in inglese viene tradotta diversamente quando rappresenta un opuscolo guida e quando rappresenta la guida da parte di una persona Nel caso del codice gestuale non possibile neanche precisare quali sono i segnali che si usano spesso si inventano spontaneamente dei gesti e l interlocutore nonostante non li avesse mai visti in genere riesce a comprenderli 68 La automazione 1 In ogni caso spesso l interpretazione soggettiva alla frase di una persona interlocutori che hanno una diversa conoscenza della persona o del suo ambiente possono dare significati differenti Se restringiamo la nostra attenzione a informazioni comunicabili ed elaborabili mediante macchine non possiamo utilizzare convenzioni soggettive ma dobbiamo trovare un modo meccanico per assegnare significati ai segnali Vediamo come ci sia realizzabile Fissiamo un sistema di segnali come sistema di riferimento ad esempio quello dei segnali alfanumerici cio 1 segnali costruiti con lettere cifre segni di interpunzione in altre parole si tratta dei segnali realizzabili con una macchina da scrivere Allora possiamo definire come significato di un messaggi
280. ii I Possiamo anche applicare la regola opposta a b a b Del resto abbiamo gi altre volte usato il fatto che dividere per a e poi per b equivale a dividere per a b Usando queste regole e trasformando divisioni in moltiplicazioni per reciproci o viceversa possiamo ad esempio riscrivere il termine sotto a sinistra nel modo seguente 1 x 1 1 1 1 1 Xy y yx X X Ww Zz W Z Z W ZW ZW xy terminel un termine frazionario cio del tipo ZW termine2 Trasformalo in un termine con solo moltiplicazioni e reciproci A e B sono due grandezze legate dalla relazione a fianco dove h e k sono dei valori fissati L equazione considerata esprime A in funzione di B La formula inversa pu essere ottenuta nel modo seguente A hB 2kB B A A hB 2kB B lt gt A hB 2kB 1B lt gt A h 2k 1 B lt gt B h 2k 1 dove per applicare il raccoglimento a fattor comune si prima trasformato B in 1 B commento al ques 16 M Sotto sono indicati per esteso 1 procedimenti usati da due alunni per trovare B in funzione di A nel caso della relazione a fianco Completa le parti mancanti indica quale dei due procedimenti sbagliato e cerca di capire quale ragionamento ha seguito l alunno che ha sbagliato A hB 2kB B 1 A hB 2kB B lt gt A h 2k 0 B lt gt A B lt nman B 2 A hB 2kB B lt gt A hB 2kB B lt A hB 2kB 1 B lt gt A
281. il fatto che la scuola superiore fornisce dei titoli di studio che devono garantire il possesso di una preparazione professionale o culturale adatta a svolgere un certo mestiere o ad accedere a certi studi universitari Un altro fattore la presenza di problemi di raccordo tra 1 livelli scolastici tra scuola media inferiore e scuola media superiore ma anche tra scuola superiore e universit e in parte tra scuola elementare e scuola media a volte si d per scontato che gli alunni all ingresso nella scuola superiore sappiano cose che non hanno studiato o non si considerano e approfondiscono le cose che invece hanno studiato altre volte non c raccordo tra i programmi scolastici seguiti vi sono molte scuole superiori che non seguono le indicazioni nazionali in relazione sia ai contenuti dell insegnamento che al raccordo che deve esservi tra le diverse discipline Vi sono poi questioni sociali pi complesse su cui non ci soffermiamo 3 Esercizi Abbiamo visto che l uso di variabili e di formule comodo per descrivere in forma concisa cio breve e precisa un procedimento di calcolo a Per poter ottenere alcune agevolazioni economiche nell iscrizione a una particolare universit occorre che il reddito totale annuo della famiglia non sia troppo elevato Il reddito viene valutato mediante un indice capitario che deve essere inferiore a un certo limite Nel 2009 sul bando che descrive le modalit per accedere alle agevolazioni v
282. il tuono viene percepito dopo il lampo in un secondo il suono percorre 300 m contro 1 300000 km della luce la luce aveva lo svantaggio di propagarsi solo in linea retta senza aggirare gli ostacoli come poteva fare 1l suono L elettricit permise di superare queste difficolt una variazione di tensione elettrica pu essere comu nicata attraverso 1 cavi velocemente come un raggio visivo e lungo un qualunque percorso Le prime applicazioni alle telecomunicazioni telecomunicazione significa comunicazione a distanza in greco tele significa a distanza furono la trasmissione di segnali in codice Morse il telegrafo Successivamente l elettricit venne impiegata per trasmettere anche i suoni il telefono La automazione 1 69 Nel primo caso codice Morse si tratta si segnali di tipo digitale nel secondo suoni di segnali che non possono essere espressi direttamente mediante un insieme finito di simboli Soffermiamoci sui segnali digitali e vediamo come possono assumere la forma di segnali elettrici Sugli altri tipi di segnali suoni immagini ci soffermeremo in un altra unit didattica Consideriamo 1 segnali digitali costituiti dalle espressioni in cifre decimali dei numeri interi Se fissiamo 10 tensioni elettriche diverse e un intervallo di tempo ad esempio 1 ms cio un millisecondo possiamo trasformare direttamente il numero 146 nel segnale elettrico costituito per 1 ms dalla prima tra le tensioni fissate per un altro ms
283. ilancia di Sonia va di 5 grammi in 5 grammi il peso esatto in grammi potrebbe essere 762 o 759 0 Quanto costa al chilogrammo W AI variare del peso il costo di W varia in proporzione a peso doppio corrisponde doppio costo e cos via Qual il fattore di proporzionalit peso in kg gt costo in Qual il fattore di proporzionalit peso in g costo in Impiegando un foglio di carta millimetrata trova l ampiezza del settore con cui rappresentare l incidenza della voce alimentari nel100 F 1985 quesito 36 procedendo graficamente figura 7 riprodotta HH a fianco SS HH Sull asse verticale invece delle percentuali rappresenta le ampiezze angolari con 1 mm rappresenta 2 quindi con 1 cm rappresenta 20 con 18 cm 360 Verifica se ottieni 96 Procedi analogamente per le altre voci e confronta i valori trovati con quelli che avevi ottenuto nel quesito 41 d jt T Luigi in attesa dell autobus all uscita da scuola in centro citt vuole fare un piccolo studio statistico trovare quante persone viaggiano mediamente in un automobile in un ora di punta Durante due successivi rossi di un semaforo vicino annota su un foglio per ogni macchina ferma il numero dei passeggeri compreso l autista che ha a bordo Fa 28 annotazioni 2 l 3 1 l 1 2 4 1 2 2 1 2 3 1 l 3 1 4 l 2 2 1 3 l 1 l 3 Qual il numero medio di passeggeri rilevato da Luigi Effettua il calcolo con la CT nei due segu
284. ili degli italiani nel 1945 cio 1 198 270 000 000 12 tieni conto che una CT in genere in grado di visualizzare solo 8 o 10 cifre non tutte le 13 cifre del 1 termine della divisione Le statistiche 1 25 Una persona ha sostenuto le seguenti spese in euro 28 50 1 25 160 30 0 50 4 65 Per calcolare il totale batte sulla sua CT 2850 125 L 16030 L 50 L 465 Ottiene 19520 Quant la spesa totale Perch la persona ha proceduto in questo modo invece di battere 28 50 1 25 1 160 30 0 50 4 65 Completa quanto segue 54300000 _54 3_ milioni 2436 17 milioni 1 1 milioni _ 00000 incifre TTT ei 1 100 000 000 miliardi Ia di migliaia 436 2 miliardi in cifre RISI Mr decine di milioni 1250 migliaia 21 2 migliaia in cifre 41 610 000 000 000 decine di migliaia di miliardi clicca per ingrandire ee l Molte CT consentono di effettuare calcoli operando su e ottenendo come risultati numeri costituiti da pi di 8 o 10 cifre 33533 ESSE Provate a calcolare con la vostra CT 730000 57000000 pongpa Ada Molti di voi otterranno un risultato come quello che appare nelle i Rent ment rent en CT di figur al j Es s 14 fs feefe e E n toro e e gt n irm i La lettera e che compare sulla CT di sinistra in quella a destra DODO oou col al suo posto c uno spazio bianco sta per esponente Infatti ot E questa scritta una abbreviaz
285. ilioni 163 alle decine 0 3695 ai centesimi 84126500 ai milioni 2 471 al centesimi Consideriamo la seguente tabella completata nell es e3 relativa alla retribuzione annua lorda di un pubblico dipendente di medio livello in diversi anni in cui vigeva la lira Si sono aggiunti in fondo i dati non arrotondati presenti nelle statistiche ufficiali da cui provengono e le cifre a cui sono stati approssimati 1926 1945 1965 1985 POI ord grand PET CETERO non arrotondato arrotondamento alle 46 Le statistiche 1 Tutti i dati come si vede bene nella loro scrittura in forma esponenziale sono stati arrotondati alla terza cifra iniziale cio alla terza cifra contando verso destra a partire dalla prima cifra diversa da 0 Nel caso di 17099865 L la terza cifra iniziale cifra sottolineata era quella delle centinaia di migliaia la cifra alla sua destra era 9 9 maggiore di 4 quindi 0 stato aumentato di 1 e si ottenuto 171 Nel caso di 9151 L la terza cifra iniziale era quella delle decine alla sua destra c era 1 1 minore di 5 quindi la cifra non stata aumentata In tutti i casi si dice che 1 dati sono stati arrotondati a 3 cifre significative Se 9151 fosse stato arrotondato a 1 cifra significativa cio alla la cifra iniziale avremmo ottenuto 9000 se fosse stato arrotondato a 2 cifre significative avremmo ottenuto 9200 infatt
286. impiegato 3 Nella seconda facciata riassumi in modo discorsivo senza formule come in una descrizione al telefono il contenuto della scheda non fare un elenco di argomenti ma cerca di far capire il filo del discorso INDICE Introduzione La matematica e 1 suoi modelli 1 La matematica e 1 suoi modelli 2 La matematica e 1 suoi modelli 3 Le statistiche 1 La automazione 1 Le statistiche 2 La automazione 2 Le statistiche 3 Le statistiche 4 La automazione 3 Algebra elementare La automazione 4 I numeri 1 I numeri 2 Per strada 1 La matematica e lo spazio 1 Per strada 2 13 19 23 55 71 87 103 121 131 139 153 161 169 179 187 199
287. inili I numeri indici e le variazioni percentuali 3 Ancora sui grafici Le funzioni Uso di Poligon o altro software 4 Le tecniche e le attrezzature 5 Esercizi Sintesi 0 Introduzione Nella scheda 1 abbiamo considerato alcuni modelli matematici usati nelle statistiche Abbiamo visto come con rappresentazioni grafiche e numeriche si possa facilitare il confronto tra dati diversi tra le parti che compongono un totale tra una parte e il totale ma anche come in cambio si possano perdere altre informazioni Consideriamo ad esempio l incidenza della carne bovina sul totale della carne consumata pro capite Impiegando rappresentazioni percentuali possiamo dire che in 60 anni dal 1926 al 1985 passata dal 47 al 32 A prima vista si potrebbe concludere che diminuito il consumo di carne bovina ma ci non vero si passati dal consumo pro capite di 10 1 kg all anno a quello di 25 1 kg all anno cio dividendo per 365 da 28 a 70 grammi al giorno Infatti se la parte percentuale diminuisce ma nel frattempo aumenta il totale il dato pu comunque aumentare voce rapporto de Gli oggetti matematici Abbiamo anche visto che dalla conoscenza del totale e della parte percentuale non si pu ritrovare il valore esatto del dato Infatti le percentuali vengono arrotondate con valori approssimati voce approssimazioni de Gli oggetti matematici Per le statistiche valgono le osservazioni che abbiamo fatto pi
288. io il modello formula ha invece il vantaggio di essere facilmente memorizzabile e di essere cos impiegabile quando non si hanno a disposizione altre fonti di informazione Calcolate i prezzi per 144 e 501 km impiegando 1 2 e confrontateli con quelli ricavati da Internet Abbiamo introdotto la formule 1 2 e il grafico di fig 1 come rappresentazioni semplificate della tabella 1 1 In realt l aspetto pi importante che esse ci consentono di comprendere il ragionamento seguito da chi ha predisposto la tabella delle tariffe chi amministra le Ferrovie ha voluto fissare il prezzo in modo che fosse formato da una quota fissa e da una parte pi o meno proporzionale alla lunghezza del tragitto percorso 2 Quale tipo di biglietto conviene Consultando Internet trovano che nel periodo in cui vogliono venire in Italia sono in vigore alcune tariffe agevolate In particolare soffermano l attenzione su un particolare biglietto chilometrico costa 42 e pu essere impiegato per fare pi viaggi fino a una percorrenza complessiva di 500 km Usando la formula che stima 1 prezzi dei biglietti come possono affrontare quesiti come 1 seguenti 2 A Se devo fare un viaggio di 500 km mi conviene fare un biglietto normale o un biglietto chilometrico B E se devo fare un viaggio di 200 due di 100 ed uno di 90 km i DE Zall 3 La Freccia delle Dolomiti EL I nostri amici olandesi osservano che da Padova si possono raggiungere in treno l
289. ione di 4 161 1013 4 161 10 000 000 000 000 13 zeri 13 l esponente della potenza di 10 per cui deve essere moltiplicato il numero scritto a sinistra di e cio 1013 10 10 10 10 13 volte 10 l unit di misura con cui viene rappresentato il numero Anche chi usa la CT pu usare scritte analoghe per battere numeri che altrimenti non starebbero sul visore Infatti in queste CT presente un tasto E a volte indicato con EXP o EE o IE come in fig 1 Ad esempio per calcolare 37 miliardi 128 si pu battere 37 LE 9 El 128 E A lato descritto un modo in cui eseguibile 1l calcolo del quesito 5 119827 E E11265 Completa la descrizione e riporta il risultato ottenuto con la CT Osservate il riquadro a fianco 056 415 7 1000 0 100 5 10 6 1 401 1 0 01 8 0 001 Esso ricorda che cosa si intende per posto di ent e et una cifra cifra di posto 3 millesimi cifra di posto 2 centesimi cifra di posto 1 decimi cifra di posto O unit Ad esempio 7 cifra delle migliaia o di posto 3 indica quante volte deve essere preso 1000 cio la potenza 103 8 cifra dei millesimi o di cifra di posto 1 decine posto 3 indica quante volte deve essere preso cifra di posto 2 centinaia cifra di posto 3 roigliazia 0 001 cio la potenza 107 In altre parole Infatti in una potenza di 10 l esponente indica la posizione in cui va scritta la cifra 1 26 Le statistiche
290. ione di errori da parte di tutti 1 lettori La matematica e i suoi modelli 1 3 La matematica e i suoi modelli Un esempio tratto dalla vita quotidiana Scheda 1 0 Che cos una scheda di lavoro 1 Una cartina della rete ferroviaria 2 Che cosa viene rappresentato fedelmente 3 Diverse rappresentazioni cartografiche 4 I modelli matematici 5 Esercizi 0 Che cos una scheda di lavoro Lo studio della matematica che affronteremo insieme in classe sar in gran parte guidato da schede di lavoro come quella che stiamo leggendo in questo momento Alcuni di voi probabilmente hanno gi usato schede di lavoro nella scuola elementare o nella scuola media Gli altri faranno comunque presto a prendere confidenza con questo strumento Una scheda di lavoro in genere costituita da parti di testo in cui vengono presentati o discussi alcuni argomenti e da parti che l alunno deve completare per approfondire o trovare risposte ad alcune questioni La lettura della scheda e le risposte ai quesiti proposti devono essere affrontate a volte individualmente altre volte collettivamente insieme ai compagni e all insegnante Il lavoro durante l anno scolastico verr articolato in unit didattiche Le unit didattiche nell insegnamento sono pi o meno come 1 capitoli in un libro in esse vengono raggruppati argomenti che sono simili o affini o che sono collegati dal filo del discorso che viene seguito Ogni unit didattica avr un titolo
291. ione spegnimento Con la prima vedi figura 3 l utente seleziona una data temperatura La caldaia automaticamente passa ripetutamente dallo stato di accensione allo stato di spegnimento in modo da mantenere l acqua circolante alla temperatura indicata Questo automatismo chiamato termostato composto essenzialmente da un termometro che rileva la temperatura dell acqua e da un dispositivo di controllo che verifica se questa temperatura si discostata troppo da quella selezionata e in tal caso fa cambiare stato all interruttore Se ad esempio il termostato predisposto per una tolleranza di 2 e se stata scelta la temperatura di 46 non appena la caldaia fa raggiungere all acqua la temperatura di 48 il termostato comanda lo spegnimento della caldaia non appena poi la temperatura scende al di sotto di 44 il termostato comanda l accensione della caldaia e cos via informazioni n calore i fr ACQUa interruttore liceale termostato E EEAS l aa informa zioni Uomo figura 3 40 50 60 70 80 La seconda forma di automatismo un timer vedi figura 4 Il modello raffigurato funziona in questo modo Un orologio fa ruotare un anello che sul bordo esterno in corrispondenza di ogni ora presenta dei piccoli fori L ora indicata dalla levetta posta in alto a sinistra Ad esempio nella figura l orologio segna esattamente le 21 Nei fori si possono inserire dei pioletti in g
292. ioni incorporate negli automatismi non modificabili dall utente Sai individuare nella macchina statistica del paragrafo 1 l utilizzo di informazioni del primo tipo e di informazioni del secondo tipo Chiameremo dati le informazioni del primo tipo le informazioni che durante il normale funzionamento provengono man mano dall esterno e programma l insieme delle informazioni del secondo tipo le informazioni incorporate o registrate prima dell entrata in funzione Il nome programma deriva da pro particella che sta per prima e da gramma che significa scrittura Cio indica le cose pre scritte le cose che si devono fare 62 La automazione 1 Voi conoscete o dovreste conoscere i programmi scolastici Analogamente esistono i programmi di lavoro 1 programmi di un azienda Si tratta di descrizioni pi o meno dettagliate e a seconda dei casi pi o meno vincolanti di eventi comportamenti azioni che si devono o si intendono svolgere I programmi che regolano il funzionamento degli automatismi sono invece ferrei gli automatismi devono comportarsi senza sbagli e senza improvvisazioni mentre nel caso dei programmi che regolano le attivit umane sono spesso permesse varianti ripensamenti spazi di autonomia Val la pena di osservare che il carillon ha un comportamento rigido produce sempre e solo la stessa musica Per cambiare musica occorrerebbe cambiare il cilindro del carillon Variatore automatico e ter
293. iprendendo la dimostrazione sospesa prima del quesito 9 d O P Y x 5 x 5 7 Y x 10x 25 xf 10x 25 Y 2x 50 gt 150 d 0 A In conclusione secondo la distanza euclidea A effettivamente pi vicino a O di ogni altro punto del segmento ST Abbiamo visto che per un robot che possa muoversi solo orizzontalmente e verticalmente i punti che distano 10 m sono disposti nel modo raffigurato a fianco Per un robot che invece possa muoversi in tutte le direzioni solo 1 4 punti posti sugli assi distano 10 gli altri hanno distanza inferiore Possiamo determinare quali sono per il secondo robot i punti che distano 10 cio calcolare le coordinate dei punti pi lontani in cui si pu arrivare partendo dall origine e percorrendo 10 m Oppure possiamo far fare questo calcolo direttamente al computer e fargli rappresentare graficamente 1 punti corrispondenti Iniziamo ad osservare che T x2 y2 10 equivale a x y 100 Possiamo procedere con una applicazione che trasforma le formule in rappresentazioni grafiche come Poligon sotto 1 comandi con cui possiamo ottenere la rappresentazione grafica a destra F x y x 2 y 2 plot x F x y 100 y 10 10 10 10 di Lab vediamo che si tratta del cerchio di centro O e raggio 10 Possiamo verificare 19 la cosa col comando oe C 0 0 10 che traccia un cerchio centrato in 0 0 e raggio 10 vediamo che la figura si sovrappone alla precedente Con GeoGebra si pu
294. iscipline si sviluppa attraverso la messa a punto di modelli la definizione di termini e simboli specifici ma a differenza di esse non si occupa di una particolare area di fenomeni 22 La matematica e i suoi modelli 3 I modelli della matematica vengono applicati alle situazioni pi diverse Si pensi alle quattro operazioni alle percentuali e ai grafici concetti matematici impiegati per rappresentare situazioni tratte praticamente da tutti 1 campi Facciamo un esempio Se abbiamo una tabella di dati che descrive come una grandezza cambia al variare di un altra noi sappiamo costruirne il grafico indipendentemente dal tipo di grandezze per costruire il grafico di figura 4 non impieghiamo considerazioni di fisica 1 tabella di geografia 2 o di economia 3 ma in tutti e tre 1 casi ci riferiamo solamente al valore numerico dei dati Analogamente se dobbiamo calcolare il 12 di un certo dato sappiamo applicare l algoritmo di calcolo indipendentemente dal tipo di dato non solo ad esempio nel caso in cui si tratti di uno sconto sul prezzo di un prodotto peso dell oggetto figura 4 Possiamo comportarci in questo modo poich conosciamo questi concetti grafico percentuale in astratto Pi in generale tutti i modelli matematici vengono definiti autonomamente senza riferirsi a fenomeni particolari anche se si sono originati in particolari situazioni o attivit Ad es i numeri le operazioni le prime propriet
295. istanza tempo km h Nota 1h 60 min quindi per passare da una velocit in km min al suo valore in km h occorre moltiplicare per 60 Velocit intorno ai 50 km h non sono certo da freccia sono di poco superiori alle velocit che riesce a tenere un ciclomotore La signora Van Per Tren per valutare se la bassa velocit media pu dipendere dalla lunghezza delle soste nelle stazioni e dal fatto che vi sono molte fermate le quali in ogni caso rallentano la marcia decide di rappresentare su carta quadrettata il moto del treno vedi figura 5 Calalzo 4 150 km Belluno 100 km da de dei ci e e i N A go oe i cale i i de a E ge ae a a ce o o a a d E e figura 5 50 km t o ooa a a Castel o franco A 205 Padova 60 120 120 minuti trascorsi I pallini neri rappresentano la posizione del treno lungo la linea ferroviaria al trascorrere del tempo ad esempio quello evidenziato col cerchietto rappresenta il fatto che secondo la tabella alle 17 46 dopo 136 minuti dalla partenza il treno alla stazione di Belluno I pezzi di grafico orizzontali rappresentano le soste nelle stazioni Ad es durante il tragitto Padova Calalzo il treno sosta a Castelfranco tra le 16 02 e le 16 22 cio per 20 minuti dal 32 al 52 minuto dalla partenza ci rappresentato dal tratto orizzontale indicato dalla freccia tracciato in corrispondenza di Castelfranco I Van Per Tren osservano che dove vi sono molte fermate il grafic
296. istanze ferroviarie che intercorrono tra Bologna e le altre stazioni non le direzioni che man mano assume la strada ferrata a Quanti chilometri rappresenta un quadretto grande Quanti uno piccolo b Completa la figura indicando con due frecce le posizioni di Ferrara e di Rovigo O O Bologna figura 10 4 Ferrara S0 Rovigo 123 Padova Nella figura 11 sono rappresentate le stesse stazioni della linea Bologna Venezia viste in fig 10 a Con un righello o con una striscia di carta millimetrata misura la distanza nella figura tra Bologna e Padova e tenendo conto della distanza ferroviaria reale calcola la scala di riduzione della nostra rappresentazione t t ttt t t t H t t t t t t t t t t t t t H t tttttt t t H t titttt t tt t H t titttt t tt t t t ttt ttttt t t t titttrt t tt t t ttttttt t t t t t t t ttttttt t t t t t ttt ttttt t t t t t tt ttttt t t t tittttt tt t t t t ttttttt t t t t t ttttt t t H t t ttttttt t t t tttttt t t t t t titttttitt tribtbbtport tittttttt fPribbbtpbri titttrttitt tribtbbtport tbittttttt fribbbtpbiri tribtbbtport tittttttt t t t t tttttt t t ttt t titttrtttt tribtbbtprire titttrttitt tribtbbtporo t t t tittttttt tr
297. it si ottiene dividendo la distanza tra le corrispondenti posizioni sulla cartina per il fattore di scala usando le variabili DistanzaRealt DistanzaCarta e FattoreScala Traduci in una formula la frase Detraendo le trattenute dallo stipendio lordo si ottiene lo stipendio netto usando le variabili StipendioNetto Trattenute e StipendioLordo Traduci in una formula la frase L imposta pari al 22 per cento del valore che si ottiene detraendo le trattenute dal reddito lordo usando le variabili Imposta Trattenute e RedditoLordo A fianco sono tracciate alcune rette che nel p d sistema di riferimento fissato rappresentano delle relazioni tra 1 numeri rappresentati sull asse orizzontale e 1 numeri rappresentati sull asse verticale Lie tt Sotto sono elencate alcune relazioni tra un se I generico numero x rappresentato sull asse i ae dd orizzontale e un generico numero y rappresentato latente tasti sull asse verticale Si associ ad ogni retta la aara ae N a relazione che essa rappresenta per motivare la a scelta fatta si individui un punto x y appartenente AT i T a NG ie aiaia alla retta considerata ma non alle altre rette wo e a 1 x il doppio di y IRC KEPI ANNEE PEA y ZON CE T FEP PERSERNE SERE F 4 y 130 di x a aa 5 y x2 Completa a fianco il grafico della relazione tra i numeri x Tip rappresentati sull asse orizzontale e i numeri y rappresentati sull asse fvirpiirinhMb bobDPLinbniLi verticale c
298. itabilmente tanto meno precisa quanto pi grande la superficie da rappresentare Perch Come avrai notato le cartine delle figure 2 e 6 non hanno i contorni lisci Sono state infatti tracciate mediante un piccolo personal computer Le immagini prodotte sullo schermo del calcolatore che appaiono costituite da tanti piccoli rettangolini figura 7 sono state poi riportate su carta mediante una stampante figura 7 Ingrandimento di come pu apparire sullo schermo di un calcolatore la parola ROMA sottolineata con un tratto punteggiato I punti vengono rappresentati con rettangolini R hi L luminosi e 1 segmenti e le curve che compongono le lettere vengono approssimate con LE ini insiemi di rettangolini La realizzazione delle immagini stata eseguita fornendo al calcolatore le coordinate geografiche di moltissimi punti del contorno dell Italia peninsulare e facendogli calcolare le posizioni dei rettangolini dello schermo con cui rappresentare 1 vari punti Il modo in cui effettuare questo calcolo stato comunicato al calcolatore mediante un programma cio una sequenza di istruzioni battute attraverso la tastiera con cui si sono descritte le varie formule e i vari procedimenti da impiegare per ottenere date le coordinate geografiche di un punto le coordinate schermo del rettangolino con cui rappresentarlo Cambiando il programma si possono ottenere diverse rappresentazioni piane cio diversi tipi di cartine dell I
299. ive e di controllare meglio ci che stiamo facendo Fino a qualche anno fa era importante che un matematico o un fisico e in parte un ingegnere avesse un buon allenamento nello svolgere calcoli di tipo simbolico anche se a dire il vero nella sua attivit non avrebbe mai incontrato 1 calcoli complessi che venivano proposti come esercizi in molti libri di scuola un matematico e un fisico si trova spesso di fronte a formule che difficile trasformare perch vi entrano in gioco funzioni particolari pi strane delle radici quadrate e degli elevamenti a potenza non perch siano formule lunghe a numerosi piani con tante lettere combinate in modi intricati come accade negli esercizi di cui abbiamo parlato L impiego delle applicazioni per il calcolo simbolico ha diminuito ulteriormente l importanza di questo allenamento A maggior ragione fra qualche anno quando i mezzi di calcolo saranno ancora pi diffusi e di pi piccole dimensioni i pochi che nella vita si troveranno ad avere a che fare con calcoli simbolici di una certa complessit non avranno da affrontarli a mano le parti pi meccaniche le demanderanno a un computer Sar invece importante che essi sappiano e descrivere situazioni mediante opportune formule e leggere un termine o una formula la sua articolazione in sottotermini conoscere le nozioni di base del calcolo simbolico scegliere le regole di riscrittura da applicare trovare le funzioni inverse e te
300. l riscaldamento 6 2 SCALDA l acqua a 65 Descrivi con un diagramma di flusso il riquadro FAI ENTRARE L ACQUA I digrammi di flusso possono essere impiegati anche per descrivere il comportamento che deve tenere una persona in certe circostanze Ad esempio nell opuscolo delle istruzioni per l uso di un particolare orologio da polso nel capitolo Messa a punto dell ora e del calendario si trovano l illustrazione seguente e il diagramma 6 3 Il diagramma seguito dalla nota IMPORTANTE La sequenza precedente deve essere rigorosamente seguita per ogni nuova messa a punto g u QUALE numero po z sizionata la manopola I FAI ENTRARE l acqua FAI il prelavaggio FAI USCIRE l acqua FAI ENTRARE l acqua AFFI lo sportello del detersivo iltasto T schiacciato no SCALDA SCALDA l acqua a 65 l acqua a 55 FAI il lavaggio FAI USCIRE l acqua FAI ENTRARE l acqua Fal il risciacquo FAI USCIRE l acqua SCALDA l aria POSIZION A la manopola sul numero Q I diagrammi di flusso sono usati in particolare quando si vuole indicare una sequenza di azioni che deve essere seguita rigorosamente Al posto dei diagrammi di flusso sono usate pi spesso delle istruzioni numerate Ad esempio al posto del diagramma 6 3 si potrebbe trovare la seguente sequenza 1 Se sul quadrante appare la data premere il pulsante A 2 Premere il pulsante B 3 Per corregge
301. l angolo di inclinazione sappiamo che una pendenza del 100 corrisponde a un inclinazione di 45 ma ci difficile avere un idea degli angoli corrispondenti a pendenze diverse Infatti come abbiamo visto nel quesito 3 non c proporzionalit tra angoli di inclinazione e pendenze al raddoppiare dimezzare della pendenza non si raddoppia dimezza l angolo di inclinazione Per trovare ad esempio l angolo di inclinazione corrispondente a un tratto di strada lungo 5 m e con un dislivello di 2 5 m possiamo procedere cos figura 5 e fissiamo una retta orizzontale e un punto Q su di essa e con un compasso tracciamo un cerchio di centro Q e raggio 5 cm e con una riga e una squadra tracciamo una retta parallela alla retta gi tracciata e distante 2 5 cm da essa fino a incontrare il cerchio in un punto P e il segmento che congiunge P con Q ha l inclinazione voluta e con un goniometro troviamo che l angolo di inclinazione di 30 igura 5 5 Come avremmo potuto trovare P senza usare il compasso fig ue Possiamo ricorre a metodi grafici anche per i problemi inversi ad esempio per trovare la pendenza che corrisponde a un angolo di inclinazione data n 6 Osservando figura 6 stabilisci qual la pendenza di un 5 tratto di strada inclinato di 20 figura 6 Il goniometro verticale figura 7 permette di misurare l angolo di inclinazione con cui osserviamo un oggetto Nel caso raffigurato lo
302. l esecuzione finisce essa viene persa Questo per esempio quanto accade con il JavaScript In altri casi la traduzione in linguaggio macchina viene memorizzata in un file eseguibile e pu essere avviata successivamente anche fuori dall ambiente di programmazione Questo tipo di traduzione viene detta compilazione Ad es in Windows tutti i file con estensione EXE sono dei programmi compilati 134 La automazione 3 Nello stendere un programma in un linguaggio evoluto dobbiamo tener presenti delle regole di scrittura che garantiscano che il testo battuto sia effettivamente traducibile in linguaggio macchina L insieme di queste regole di scrittura viene detto sintassi Anche nella lingua naturale esistono delle regole sintattiche Ad esempio uno dei modi in cui si pu comporre una frase in italiano articolo nome verbo dove articolo nome e verbo devono essere raccordati in numero sing plu e eventualmente in genere m f e rispettare altre eventuali condizioni es davanti ai nomi maschili singolari se iniziano con z x gn pn ps s seguita da consonante o i seguita da vocale si pu mettere uno non un negli altri casi si pu mettere un non uno Ma si tratta di regole che spesso presentano eccezioni e su cui spesso esistono opinioni contrastanti ad es qualcuno sostiene che davanti a pn pneumatico pneumotorace occorre 0 si pu usare un In realt non si tratta di regole ma di modelli che usiamo per orientarci nel
303. l esito dei confronti realizzati se la levetta incontra la bandierina viene cambiato stato all interruttore e si invia cos alla caldaia l ordine di accendersi o di spegnersi quando la sostanza termometrica si dilata oltre una certa lunghezza pu azionare l interruttore facendogli cambiare stato quando il galleggiante raggiunge la posizione fissata pu interrompere l ingresso del liquido Abbiamo anche visto che le informazioni possono corrente elettrica che i f alimenta il rubinetto essere comunicate sia da ingranaggi cinghie di trasmissione tubi che conducono liquidi che da segnali elettrici Ad esempio il galleggiante della figura 5 invece di chiudere direttamente l apertura del tubo facendo leva sul perno potrebbe azionare un interruttore che comandi la chiusura di un rubinetto azionato elettricamente vedi figura 6 figura 6 rubinetto azionata elettricamente La automazione 1 65 Analogamente nel caso del contagiri potremmo fare a meno degli ingranaggi che collegano le ruote Potremmo semplicemente far s che ogni volta che una ruota completa un giro venga attivato con un interruttore un dispositivo elettrico che faccia scattare di una posizione in avanti la ruota posta a sinistra I contatori automatici sono automatismi del tutto analoghi ai contagiri ma che permettono di contare cose diverse dai giri basta che al posto della ruota pi a destra quella di cui il contagiri conta 1 giri mettia
304. l linguaggio comune Tuttavia facendo matematica non ci sogneremmo mai di considerare DPT NMR 50D57 D969V un numero e se volessimo considerare 38155 80 un numero interpreteremmo il simbolo come segno della divisione cio intenderemmo 38155 80 come termine numerico che vale 476 9375 In altre parole DPT NMR 50D57 D969V e 38155 80 sono espressioni che non fanno parte del sistema di simboli impiegato per contare e rappresentare misure La definizione Def 3 dunque un po restrittiva rispetto al linguaggio comune Rispetto alla matematica invece un po vaga Infatti non spiega al lettore del vocabolario come fatto questo sistema di simboli Proviamo a precisare noi questa descrizione un numero intero ogni espressione costituita da una sequenza finita di cifre eventualmente preceduta dal segno scrivi una cifra _ Cio un espressione ottenuta arrestando in un qualsiasi momento il procedimento 1 9 avendo eseguito almeno una volta il passo 2 1 se vuoi scrivi 1 dl hai scritto una SEQUENZA 1 9 2 scrivi una cifra FINITA DI CIFRE 3 vai a 2 scrivi una cifra Pi in generale un numero ogni espressione costituita da I t to dal ed stai scrivendo un un numero intero eventua mente seguito dal segno e da NUMERO REALE una sequenza di cifre finita numero limitato o senza fine numero illimitato Esempi 12 12 0512 12 34343434 7 7 17385261402 0 01 In altre parole un numero ogni espressione
305. la divisione per 0 non definita Dovremmo quindi scrivere S Spesa P Prezzo Unitario N Numero Pezzi Acquistati S P N lt gt P SN S S P N e N 0 lt Pa Su problemi di questo genere torneremo in seguito man mano che li incontreremo 4 Equivalenza algebrica e altri tipi di equivalenza Un uso tipico dei procedimenti di trasformazione di termini in termini equivalenti quello per svolgere un calcolo mediante una CT Qui sotto nella 1 riga sono indicati tre calcoli che si vogliono eseguire disponendo di una CT che non ha incorporata la priorit delle operazioni e senza usare la memoria Nelle righe successive sono indicati i procedimenti di riscrittura impiegati per arrivare man mano a un calcolo eseguibile a catena le prime due colonne rappresentano due alternative per lo stesso calcolo Per ogni regola di riscrittura indica nell espressione soprastante il sottotermine che corrisponde ad a quello che corrisponde a b Completa l ultima riga indicando la sequenza di tasti da battere 10000 27 175 97 10000 27 175 97 PI TO A 235 168 a b b a a b b a i i 27 175 97 10000 27 175 97 10000 atToaT ta d ab bea ab _ bea 748 71 175 97 27 10000 175 97 27 10000 Abbiamo visto che trasformando termini in termini equivalenti calcolabili a catena si pu rendere pi semplice l uso di una CT Ma di fronte a due termini equivalenti calcolabili a
306. la estensione comprendente la casa e la scuola di Otto Bus Abbiamo soffermato la nostra attenzione soprattutto sugli aspetti spaziali distanze cambiamenti di posizione impiegando modelli di tipo geometrico e algebrico formule numeriche Un analisi pi completa avrebbe preso in considerazione anche 1 tempi di percorrenza le diversit tra un giorno della settimana e l altro e avrebbe comportato l impiego di ulteriori modelli matematici In el6 vi viene proposta una serie di attivit che approfondiscono l analisi della situazione Ora esaminiamo una nuova situazione una gita in bicicletta o in motorino I Le pendenze Betta e Rina decidono di fare insieme una gita in campagna Betta con la sua bicicletta e Rina con il suo motorino Vogliono andare in una zona nuova che non conoscono Per sceglierla consultano alcune cartine Per decidere l itinerario cercano di tener conto anche del tempo che dovranno impiegare e delle difficolt del percorso Quindi prendono in considerazione non solo la lunghezza della strada ma anche le salite che essa presenta devono valutare se il ciclomotore di Rina e le gambe di Betta ce la faranno ad affrontarle e devono tener conto che nei tratti in salita l andatura sar pi lenta che nei tratti in pianura Alcune cartine sono del tipo di quella parzialmente raffigurata in figura 1 che presenta l indicazione sia delle curve di livello sia della pendenza dei tratti di strada pi ripidi oltre
307. la figura 8 a sinistra riprodotto l istogramma di distribuzione delle altezze delle alunne in classi di altezza ampie 3 cm questa volta realizzato rappresentando le varie modalit una attaccata alla successiva senza lasciare spazio in mezzo in questo modo la base dell istogramma rappresenta l intervallo di altezze che va da 150 cm a 170 cm Nella parte centrale della figura indicato qual il quadretto corrispondente a ciascuna alunna nel caso in cui l istogramma fosse costruito seguendo l elenco dei dati ordinati seconda riga della tabella precedente ed evidenziato il quadretto corrispondente al dato centrale cio alla mediana il 10 quadretto che preceduto e seguito dallo stesso numero di quadretti 9 Nella parte destra tratteggiata la linea verticale che suddivide l istogramma in due parti di uguale area Essa passa per l intervallo 162 164 come ci dovevamo aspettare da quanto visto sopra il quadretto corrispondente al dato centrale sta nella colonna 162 164 cm GO 53 56 59 62 65 65 50 53 56 59 62 65 68 50 53 56 59 62 65 680 52 55 S 61 64 67 70 52 55 S 61 64 67 70 52 55 S 61 64 67 F Nel caso dell et di laurea non dispongo dei dati A figura DL dei singoli studenti ma solo dell istogramma di U distribuzione di fig 6 riprodotto a lato figura 9 A B DE Non posso quindi procedere come ho fatto per linz l altezza media delle alunne Posso tuttavia individuare la mediana seguendo due diversi S0
308. la frequenza cumulata Quindi vedi fig 5 potevo anche procedere cos variazioni proporzionali nell indice de Gli oggetti matematici 179 k fattore di proporzionalit pendenza VariazioneAltezza 5 VariazioneFrequenzaPerecentualeCumulata 28 9 OSE Quindi alla variazione della frequenza percentuale cumulata da 38 8 a a 50 11 2 corrisponde 38 8 50 67 7 a figura 15 VariazioneAltezza 11 2 k 11 2 5 28 9 1 937 112 Le statistiche 3 Analogamente a come ho proceduto per la mediana il valore che delimita superiormente il primo 50 dei dati ordinati posso trovare per ogni percentuale p 1il valore che delimita superiormente il primo p dei dati Ad es da fig 9 B posso ricavare che il 10 degli studenti si laurea entro 1 25 anni e il 90 si laurea dopo il compimento dei 25 anni e che il 75 degli studenti si laurea entro 1 29 e il 25 si laurea avendo gi compiuto i 29 anni Infatti tagliando il diagramma a striscia alle quote 10 e 75 vado a cadere nei rettangoli che rappresentano le et di 25 anni e 29 anni rispettivamente Usando fig 9 B completa la seguente tabella 4 1 dove et indica l et che separa il primo p degli studenti ordinati per et al momento della laurea dai rimanenti 4 1 et Gnam 25 123 Il valore corrispondente a una frequenza cumulata del p viene detto p esimo percentile o percentile di ordine p Ad es nel nostro caso il 50 percentile cio
309. la mate matica nella comprensione del funzionamento e nella padronanza dell uso di un calcolatore Nel corso di questo e del prossimo anno vedremo quanta e quale matematica stia dietro alle capacit di un calcolatore L importanza assunta dall informatica cio dallo studio dei principi che regolano il funzionamento e l uso dei calcolatori informatica deriva da trattamento automatico delle informazioni dipende sia dal ruolo insostituibile che il calcolatore ha assunto in tutte le attivit per quanto riguarda la archiviazione e la ricerca di informazioni si pensi all anagrafe alla gestione delle scorte e degli acquisti nei magazzini nelle farmacie sia dal fatto che gran parte delle macchine che ci circondano funzionano collegate a calcolatori o sono dotate al loro interno di piccoli calcolatori cio di una CPU e di dispositivi per introdurre programmi 70 La automazione 1 All origine di questo secondo fenomeno vi la possibilit di sostituire collegamenti meccanici tra le componenti di una macchina ingranaggi leve con collegamenti di tipo elettrico governati da programmi Ci oltre a consentire di ridurre i costi i dispositivi elettronici oggi costano molto poco consente di modificare il comportamento di una macchina cambiando i programmi senza sostituire o limitando la sostituzione delle parti meccaniche Si pensi ad esempio alla verniciatura delle automobili o al montaggio di pezzi di carrozzeria u
310. la mediana 27 il 10 percentile 25 il 75 29 Tabelle come 4 1 o quelle che si ottengono con una diversa scelta delle percentuali possono essere considerate un alternativa agli istogrammi di distribuzione percentuale Ad esempio la forma allungata verso destra dell istogramma di fig 10 o fig 9 A trova corrispondenza nel fatto che il 40 che segue la mediana cio gli studenti che vanno dal 50 al 90 percentile spaziano dai 27 ai 31 anni mentre il 40 che precede la mediana cio gli studenti che vanno dal 10 al 50 percentile spaziano in un intervallo molto pi piccolo dai 25 ai 27 anni La differenza tra l intervallo che va dal 5 al 50 percentile e quello che va dal 50 al 95 ancora maggiore nel primo caso si spazia su 4 anni di et dall et di 24 anni a quella di 27 nel secondo si spazia su 8 anni dall et di 27 a quella di 34 Anche nel caso delle altezze dei ventenni nel 1976 possiamo calcolare 1 percentili procedendo con metodi simili a quelli impiegati per la mediana Possiamo ottenere ad esempio la tabella 4 2 dove l ultima riga indica 1 valori che poi sono stati arrotondati nei dati riportati nella seconda Confrontate la forma dell istogramma relativo a questi dati figura 11 con le informazioni ricavabili dalla tabella dei percentili Secondo voi normale che alla fine degli anni 80 uno studente si laureasse a 28 anni mentre ci sono studenti che si laureavano a 22 e 23 anni
311. la produzione interpretazione dei messaggi verbali Poi anche se ci esprimiamo in modo un po sgrammaticato in genere ci capiamo allo stesso di fronte al cartello attendi lo cane morzica non abbiamo difficolt a interpretarlo come Attenti il cane morsica Nel caso dei linguaggi di programmazione le regole sintattiche sono invece definite senza ambiguit ed eccezioni per questo si parla di linguaggi formali e devono essere rispettate rigorosamente L help indica le regole sintattiche da rispettare per costruire 1 programmi Ad esempio le seguenti istruzioni dei programmi del 1 paragrafo k 100 Tot document C r value Number document C d value 100 Number document C t value k 100 Tot sono tutte assegnazioni che secondo i rispettivi help debbono avere nei primi due casi la forma variable expression nell altro variable expression In altri linguaggi le assegnazioni debbono avere forme diverse variable lt lt expression 0 variable lt expression O set variable expression O variable expression O 3 Automatizziamo qualche procedimento di calcolo in JavaScript Vediamo ora qualche semplice programma realizzato in JavaScript Incominciamo da quello considerato alla fine di 1 di cui abbiamo gi riportato un esempio d uso e il testo Ha la struttura di una pagina Web un documento in HTML hypertext markup language linguaggio per contrassegnare ipertesti Abbiamo visto come esso appare visualizzato da un br
312. lazioni e vettori 3 Distanza euclidea e distanza urbanistica 4 Formule e figure geometriche 5 Geometria e realt 6 Esercizi Sintesi 0 Introduzione Generalizziamo le considerazioni svolte nella prima scheda dell u d Per strada Non ci riferiremo pi a carte stradali a posizioni in una citt a movimenti lungo una strada ma a superfici generiche a punti a linee generate da un punto in movimento In altre parole vogliamo considerare uno spazio astratto considerare definizioni e propriet svincolate da particolari situazioni Ci avr un duplice vantaggio Da una parte potremo ragionare pi liberamente ad esempio senza tener conto dei problemi di appros simazione non preoccupandoci del fatto che le strade possono non essere perfettamente piane trascurando la presenza di piccole asperit Dall altra le propriet studiate potranno essere applicate a molte altre situazioni non solo alle cartine stradali 1 Il piano cartesiano Per ora vogliamo considerare solo posizioni movimenti che avvengono su superfici piane Ma che vuol dire superficie piana Quando usiamo questo termine abbiamo in mente dei prototipi come la parte superiore di un tavolo una piazza piatta e con il fondo liscio la parete di un muro la superficie di uno stagno E questo il modo in cui impariamo il significato di gran parte delle parole che usiamo Provate a cercare su un dizionario il significato di piano piatto
313. le dei numeri sono riportate parzialmente due codifiche che utilizzano espressioni costruite con il simbolo I P sic e una codifica che utilizza come simboli lettere Per ogni codifica cerca di individuare il ui procedimento pi semplice possibile con cui ti sembra p sia stata generata la scrittura dei numeri inferiori a 12 e utilizzalo per rappresentare 1 numeri successivi fino a 15 ss Perri IX se I ARERR 7 1 E I segnali alfanumerici e i segnali morse e in generale i segnali che hanno la forma di espressioni cio di sequenze di simboli costruite mediante un fissato insieme finito di simboli vengono detti segnali digitali Il termine deriva dalla parola inglese digit che significa cifra significa anche dito e non un caso le dita delle mani molto probabilmente hanno costituito il primo codice impiegato dagli uomini per rappresen tare i numeri Hanno avuto particolare importanza nello sviluppo delle comunicazioni 1 segnali elettrici Fino a met dell Ottocento i messaggi su lunga distanza oltre ad essere recapitati da messaggeri pote vano essere comunicati solo con il suono tamtam messaggi urlati e passati da persona a persona O con le immagini messaggi di fumo segnalazioni con fal con bandiere Ma sia le onde sonore che 1 raggi di luce necessitavano di molti passaggi intermedi per essere comunicati a grandi distanze Inoltre mentre il suono aveva lo svantaggio di viaggiare abbastanza lento
314. le dei numeri di codice fiscale viene determinato in funzione dei caratteri precedenti Naturalmente l esattezza del carattere di controllo non garantisce l esattezza del numero di codice 1 caratteri di controllo sono tanti quante le lettere dell alfabeto mentre i numeri di codice fiscale sono ben di pi a Usando questo metodo calcola la cifra di controllo di 187236 di 73641 di 12345678 di 2345678 b Commettendo un solo errore di battitura si pu introdurre invece di 3457014 un numero che abbia la stessa cifra di controllo e nel caso di 3457214 e commettendo due errori di battitura Una azienda che produce elettrodomestici identifica ogni prodotto che esce dalla fabbrica con un numero di codice composto dalle 2 cifre finali dell anno di produzione e 3 caratteri che indicano il numero progressivo di produzione usando 1l sistema di 36 cifre 0 1 9 A Y Z ades 09001 e 09002 identificano i primi due elettrodomestici prodotti nel 2009 Quanti elettrodomestici ha prodotto nel 2008 se l ultimo pezzo prodotto in tale anno ha numero di codice 08B2X Usa opportunamente Poligon o un altro programma per trovare le rappresentazioni decimali di 232 e di 232 g Come troveresti analogamente quelle di 2233 1012 g e BD2 g e12 Come definiresti una funzione somma per il caso che segue in modo che se indichiamo con m n il risultato della sua applicazione a m e a n m e n numeri interi tra 1 e 99 m 1 sia il numero de
315. le viene chiamato razzo vettore deriva dal verbo latino vehere che significa portare dallo stesso verbo derivano vettura veicolo evidente il motivo per cui stato scelto questo nome per i passi delle traslazioni Se v il vettore h k indicheremo con Tv o con Th la traslazione di passi h k che chiameremo anche traslazione determinata da v o traslazione di vettore v Indicheremo con Tv x y il traslato del punto x y cio il punto x y K Vedi la figura sottostante a sinistra I numeri h e k vengono chiamati le componenti di v Il nome deriva dal fatto che Tv pu essere vista come il frutto della composizione di una traslazione orizzontale di passo h e una traslazione verticale di passo k o viceversa di una traslazione verticale di passo k e una traslazione orizzontale di passo A Nella figura a fianco a destra rappresentato un punto P e 1 punti ottenuti da esso applicando prima T8 4 punto Q e poi T3 6 punto R 4 Qual la traslazione che porta da P a R Che relazione c tra 1 suoi passi e quelli delle altre due traslazioni Come abbiamo gi visto nella scheda 1 di Per Strada quesiti 19 b ed e1 la traslazione complessiva ha come Ax la somma dei Ax delle traslazioni successivamente applicate e come Ay la somma dei loro Ay Nel caso del quesito precedente la composizione di T8 4 e di T3 6 la traslazione determinata dal vettore 8 3 4 6 11 2 Per rappresentare 8 3 4 6
316. lgoritmo che gli possiamo descrivere Consideriamo ad esempio il calcolo della ripartizione percentuale di una serie di dati Usando una CT possiamo procedere in questo modo 1 batto 100 2 batto El 1 1 3 batto totale 4 batto faccio calcolare il fattore di proporzionalit per cui moltiplicare 1 dati 5 batto MH O o lo faccio mettere nella memoria 6 batto dato 7 batto 8 batto MEl IEtW o 9 batto faccio calcolare 1l fattore la percentuale di dato rispetto a totale 10 ritorno a 6 Come si vede l utente che deve gestire l esecuzione dell algoritmo 1 1 cio comandare alla CT man mano quale operazione compiere I calcolatori sono invece in grado di leggere e tradurre automaticamente in una sequenza di operazioni macchina calcoli memorizzazioni un programma che illustri l intero procedimento cio una descrizione dell algoritmo 1 1 fatta in un opportuno linguaggio comprensibile dal calcolatore Molti computer tascabili o pocket computer e tutti i calcolatori di maggiori dimensioni sono in grado di eseguire il seguente programma 1 2 scritto in linguaggio Basic 10 INPUT T l utente deve battere totale 1 2 20 K 100 T 30 INPUT D 40 PRINT D K l utente deve battere dato 50 GOTO 30 facile comprendere il significato di questo programma che ha la forma di una sequenza di istruzioni numerate PRINT in inglese significa stampa GOTO deriva dall inglese go to che signific
317. lioramento delle condizioni di vita si visto nella scheda 1 come sono cambiati 1 consumi la gente rispetto ad un secolo fa ha un alimentazione pi ricca ha pi tempo libero svolge pi attivit sportiva 0 almeno questo si verificato nei paesi pi sviluppati la gente coinvolta solo circa 1 4 dell umanit Quindi pi facile che un talento naturale abbia la possibilit di mettere in luce e sviluppare le proprie doti Il miglioramento delle condizioni di vita incide anche sull evoluzione del corpo umano Ad esempio nel corso degli anni aumenta l altezza della popolazione dal 1912 al 2006 l altezza media maschile in Italia passata da 166 cm a 175 cm Poi gli atleti trovano aiuto nella medicina e nella biologia che approfondendo la conoscenza del funzionamento del corpo umano individuano diete metodi di allenamento ma anche sostanze chimiche dannose per l organismo che possono migliorare le prestazioni Esaminiamo un altro sport il salto con l asta specialit fino a pochi anni fa solo maschile Nella figura 10 tracciato il grafico che visualizza la relazione tra 1 record di salto con l asta e gli anni in cui sono stati stabiliti Il periodo preso in considerazione va dal 1912 al 1994 fino al 2009 il record non stato migliorato I punti A R dove A l anno in cui stato stabilito il record R sono stati congiunti con dei segmenti Di quanti centimetri migliorato il record dal 1960 al 1965
318. ll elevamento al quadrato x x comprende invece tutti i numeri x sempre definito Prova a eseguire 1 seguenti calcoli con la CT e 1 stabilisci se il termine corrispondente definito o indefinito 2 scrivi senza semplificazioni tale termine 2 EA 0 E 28 6 E13 E2 EIM 5 GJ 8 E Mal 3 E 3 EJ Eid 6 E3 2 3 E E Le CT non sempre calcolano esattamente la radice quadrata di un numero Come di 10 3 le CT calcolano una approssimazione con una quantit finita di cifre cos nel caso ad esempio di 410 con una CT a 10 cifre ottengo 3 162277660 che non la radice quadrata esatta di 10 Perch 3 162277660 non la radice quadrata esatta di 10 Ma una CT come pu essere in grado di calcolare la radice quadrata di un numero A cio di trovare il numero X che al quadrato faccia A o trovare una sua approssimazione Dovr usare un procedimento meccanico basato su operazioni elementari che la macchina in grado di eseguire 96 La automazione 2 Per trovare una risposta proviamo a vedere come possiamo calcolare YA sfruttando le quattro operazioni Un idea pu essere quella di procedere per tentativi consideriamo ad esempio A 5 e proviamo con X 2 il suo quadrato X X 4 quindi 2 troppo piccolo e proviamo con X 3 X X 9 quindi 3 troppo grande e proviamo prendendo X compreso tra 2 e 3 proviamo con X 2 1 X X 4 41 lt 5 proviamo con X 2 2 X X 4 84 lt 5 proviamo con X 2 3 X X 5
319. lla bicicletta mediante la leva del cambio Come sai cambiare il rapporto di trasmissione serve ad adattare 1l comportamento della bicicletta al tipo di percorso Ad esempio se si deve affrontare una salita conviene passare ad un rapporto che a ogni pedalata faccia corrispondere meno giri della ruota in modo che il dislivello da superare venga distribuito in un maggior numero di pedalate uomo Consideriamo un ciclomotore con variatore di aiman iesirea o fazione ESIN AI velocit automatico como formazioni Anche se questa macchina impiegata per scopi simili alla macchina precedente ne differisce per vari aspetti movimento informazioni strada i combuy i La automazione 1 59 mentre la moto in funzione l uomo non produce movimento ma attraverso la manopola dell acceleratore fornisce solo informazioni che regolano l afflusso del combustibile il rapporto di trasmissione viene variato automaticamente dal ciclomotore stesso sulla base della resistenza che incontra cio sulla base delle informazioni che gli vengono dalla strada che sta percorrendo Il ciclomotore non produce solo movimento ma disperde nell ambiente anche calore e gas di scarico Nel seguito del discorso trascureremo aspetti come questo che per quanto importanti sono secondari rispetto alla discussione che stiamo svolgendo Del resto anche nel caso della bicicletta del telefono e del cavatappi avremmo dovuto considerar
320. lla luna con una forza maggiore o minore Si usa allora il Newton che corrisponde circa alla forza con cui al livello del mare attratta verso il centro della terra una massa di circa 1 hg o in alcune scienze tecniche 1l chilogrammo forza che pari alla forza con cui al livello del mare attratta verso il centro della terra una massa di circa 1 kg Per approfondimenti vedi in fondo e18 9 Gino per fare uno scherzo a Luisa la prende sotto alle ascelle e la solleva di circa 50 cm Enrico copione fa lo stesso scherzo a Paola sollevandola di circa 40 cm Luisa pesa 54 kg Paola 62 Quindi Enrico ha sollevato un peso maggiore Ha anche prodotto pi lavoro Ritornando al magazzino possiamo dire che con entrambi i dispositivi 1l lavoro prodotto P h l intensit F2 della forza con cui viene sollevata la cassa pari al peso P della cassa I dispositivi non generano autonomamente il lavoro F2 h ma trasmettono il lavoro prodotto dall uomo Nel caso A l uomo deve tirare la fune di un tratto h La forza F1 che applica viene trasmessa uguale dalla fune per cui Fi F2 Il lavoro prodotto dall uomo viene trasmesso nella stessa forma forza di uguale intensit e traiettoria di uguale lunghezza dal dispositivo Nel caso B l uomo deve tirare la fune di un tratto doppio cio pari a h 2 Quindi produce un lavoro F1 h 2 In uscita dal dispositivo il lavoro assume la forma F2 h Da F1 h 2 F2 h ricaviamo F2 F1 2 ovvero F1 F2 2
321. lla persona arrivata subito dopo la persona con il biglietto m m 2 sia il numero della persona 2 posti dopo la persona con il biglietto m Prima completa gli esempi seguenti e poi tenta di dare una definizione generale 90 9 90 10 33 50 33 80 1 Segna con l evidenziatore nelle parti della scheda indicate frasi e o formule che descrivono il significato dei seguenti termini numero intero 1 numero 1 rappresentazione in base 2 numeri naturali 3 successore 3 2 Su un foglio da quadernone nella prima facciata esemplifica l uso di ciascuno dei concetti sopra elencati mediante una frase in cui esso venga impiegato 3 Nella seconda facciata riassumi in modo discorsivo senza formule come in una descrizione al telefono il contenuto della scheda non fare un elenco di argomenti ma cerca di far capire il filo del discorso I numeri 2 169 I numeri Le strutture numeriche e i loro usi Scheda 2 La struttura dei numeri reali e altre strutture numeriche I numeri reali La retta dei numeri umeri limitati e numeri periodici pprossimazioni e operazioni tra numeri reali 5 I numeri razionali 6 Esercizi Sintesi N Z D gt I I numeri reali I numeri interi costituiscono un modello matematico impiegato per misurare o individuare lo stato di fenomeni che variano a scatti Ad esempio per individuare i piani di un edificio assumendo come riferimento il piano terr
322. lle ampiezze degli intervalli nel modo raffigurato a destra per Mor4 non con rettangolini di ugual base come fatto a sinistra L altezza dei rettangoli viene modificata in modo che le loro aree rimangano proporzionali alle frequenze relative e sulla scala verticale vengono rappresentate le frequenze percentuali unitarie Ad esempio 65 75 rappresentato figura a destra da un rettangolo alto circa 2 ci significa che in un intervallo ampio un anno che sta in 65 75 cade mediamente il 2 delle et di morte ad es circa il 2 dei morti aveva 65 anni il 2 ne aveva 66 Essendo 65 75 ampio 10 anni in esso cade il 10 2 20 delle et di morte La stessa percentuale la possiamo ottenere direttamente se prima di cliccare plot mettiamo nel riquadro a sinistra di S Sull istogramma di sinistra le colonne invece sono alte tanto quanto le percentuali Istogrammi come quello di sinistra sono ottenibili introducendo 1 dati classificati in insiemi generici non in a 46 intervalli nella forma b 25 Per ulteriori informazioni vedi l help e la voce distribuzione de Gli oggetti matematici 9 3124 b Secondo te come procede Stat per calcolare la media aritmetica quando i dati sono stati introdotti in forma classificata come nel caso di Mor4 La tabella 6 1 contiene la distribuzione dell et dei morti in Italia in vari periodi I dati sono in centinaia di persone Nel caso del decennio 1881 90 per ogni fascia di et rip
323. lli scheda 2 che il legame tra due grandezze proporzionali rappresentato graficamente da una retta passante per il punto 0 0 un punto che si muova sulla retta conserva inalterato il rapporto tra coordinata verticale e coordinata orizzontale Da ci segue la possibilit di calcolare le percentuali con un metodo grafico z 10 20 Vediamo in dettaglio il procedimento da impiegare e a destra la sua esemplificazione riferita a figura 7 come si trova la percentuale dei consumi alimentari nel 1985 cio il rapporto tra il dato 116 e il totale 434 scegliamo opportune scale in modo da per ottenere numerazioni degli assi facilmente rappresentare facilmente sull asse orizzontale i leggibili con un quadretto grande abbiamo dati e sull asse verticale le relative percentuali rappresentato in orizzontale 50 e in verticale 10 tracciamo la retta che unisce 0 0 e totale 100 abbiamo unito 0 0 e 434 100 per ogni dato individuiamo il punto di questa retta abbiamo proceduto verticalmente partendo dalla che ha come ascissa dato posizione sull asse orizzontale che rappresenta 116 fino a intercettare il grafico l ordinata di questo punto la percentuale cercata abbiamo proseguito orizzontalmente incontrando l asse verticale nella posizione che corrisponde circa alla tacca 27 la tacca pi vicina percentuali figura 7 Procedi analogamente per trovare la percentuale costituita dai
324. lta comportati come ME se ti premo 2 volte comportati come 7 CE deriva dall inglese clear the entry che significa sgombra l entrata cio il visore clx sta per sgombra x dove x sta al posto della nostra V V 0 cancella il contenuto di V cio metti in V il numero 0 in modo che io possa ribattere l ultimo numero che ho battuto vedi anche le successive osservazioni sui tasti di cancellazione 8 AC deriva dall inglese clear all che significa sgombra tutto cancella il numero che su V e i numeri che ho battuto in precedenza in modo che io possa ribattere l intera operazione non vengono cancellati 1 dati messi in M vedi anche le successive osservazioni sul tasti di cancellazione 9 tasto presente in alcune CT MU possiamo ricordarlo come mantieni l ultimo cancella le operazioni e i dati battuti in precedenza mantenendo solo l ultimo dato cio quello che appare sul visore Indicazioni per l uso dei tasti di memoria Con le CT dotate del tasto 1 si pu impiegare questo tutte le volte che si vuole memorizzare un dato In questo modo possiamo evitare di azzerare prima la memoria come si dovrebbe fare col tasto 2 Le CT prive del tasto 1 possono impiegare 2 dopo aver prima eventualmente azzerato la memoria cio LT equivale a AA Con una CT priva del tasto 1 e dotata del tasto 6 se in M gi memorizzato un numero non facile memorizzare il numero che appare sul visore cancell
325. lutare la strada che il robot deve percorre per spostarsi da una posizione a un altra possiamo impiegare la ci distanza urbanistica Sono gi stati raffigurati quattro tra 1 punti pi lontani che il robot pu raggiungere percorrendo 10 m Come sono disposti gli altri punti che con la distanza urbanistica distano 10 m dall origine Per il robot del quesito 8 tutti 1 punti del segmento ST raffigurato a fianco in un ingrandimento della figura di sopra hanno uguale distanza dal punto O Per un robot che invece possa muoversi in ogni direzione sembra che il punto A i 5 5 sia pi vicino a O di ogni altro punto di ST Proviamo a dimostrare questa IO ai congettura usando 3 1 per questo robot infatti possiamo usare la distanza Sia P un generico punto di ST ottenuto traslando A di x metri a destra e x metri in basso Calcoliamo e confrontiamo d 0 P e d 0 A d 0 A 52 52 50 d 0 P x 5 x 5 2 Per confrontare con 50 il termine T x 5 x 5 ci conviene sviluppare x 5 e x 5 termini equivalenti in Gli oggetti matematici Per fare ci usiamo il fatto che a b a 2ab b 192 La matematica e lo spazio I 9 Per giustificare fisicamente l equivalenza a b a 2ab b osserva la figura a b fianco e completa quanto segue a b eh O n IS Pg ee tai Applica la riscrittura a b gt a 2ab b a x 5 e a x 5 2 x 5 x 5 x 5 Z Dunque r
326. m tariffa 1 1 28 6 46 7 90 9 144 13 50 165 16 313 24 70 501 38 50 769 52 50 1023 72 50 Per organizzarsi i prossimi viaggi nel modo pi conveniente i nostri meticolosi amici cercano di capire meglio come variano le tariffe La signora Van Per Tren che per mestiere fa l insegnante di matematica esaminando la tabella riesce a capire l andamento delle tariffe Noi cercheremo di aiutarci con un grafico su carta quadrettata del prezzo del biglietto al variare della percorrenza figura 1 da bj___ a 100 200 300 400 500 600 700 800 9001000 100 200 300 400 500 600 700 800 9001000 percorrenza in km Come si vede 1 punti che rappresentano la tabella si dispongono all incirca lungo una retta che parte dal punto di ascissa 0 e di ordinata 4 e arriva nel punto di ascissa 1000 e ordinata 70 come si vede meglio in figura 2 100 200 300 400 500 600 700 800 9001000 figura 3 figura 4 Le figure 3 e 4 richiamano il significato della proporzionalit Supponiamo che le tariffe crescano esattamente come rappresentato dal grafico rettilineo rappresentato in figura 3 ogni 200 km in pi la tariffa aumenta di 13 20 infatti 200 1000 5 e 66 5 13 20 Generalizzando consideriamo la figura 4 muovendo lungo la retta r il vertice P del rettangolo tratteggiato questo viene ingrandito se P viene allontanato da Q o rimpicciolito se P viene avvicinato a Q mantenendo la stessa forma le dimensioni base e altezza variano in proporzione cio veng
327. ma abbreviata un numero usualmente scritto usando solo cifre Anche nel caso 2 1 siamo semplicemente di fronte a una diversa scrittura del numero 1906 In 2 2 si impiegato il simbolo per delimitare la parte che indica la quantit di ore dalla parte che indica la quantit di minuti cio riferita a un unit di misura 60 volte pi piccola Analogamente a volte per indicare l estensione di terreni ad esempio sui certificati catastali si usano scritture come 6 05 17 ha ettari per intendere un area di 6 ha 5 a are e 17 ca centiare qui il delimita la parte che indica la quantit in una unit di misura da quella che la indica in una unit di misura 100 volte pi piccola 9 Esprimi la durata di 7 h 30 min e l area 36 05 17 ha con l usuale scrittura decimale solo cifre e punto 7Th30min h 36 05 17 ha ha 2 1 2 3 sono tutti esempi di scritture riconducibili meccanicamente attraverso una decodifica a espressioni che concordano con la definizione che abbiamo dato Diremo quindi che ad es CC 200 e 2E2 sono tre modi diversi per indicare lo stesso numero Assumeremo comunque 200 come notazione standard di esso Analogamente a volte si scrive 01 02 o 001 002 invece di 1 2 A volte si trova scritto pure 37 invece di 0 37 Anche in questi casi si tratta di diverse rappresentazioni di uno stesso numero Cos a volte lo stesso numero viene indicato con 7 3 7 30 7 300 Siamo di fronte a
328. ma battuta possiamo osservare che Otto si sposta dal riquadro El al riquadro A4 cio di circa 3 riquadri a destra e 4 in alto cio di circa 150 m a destra e 200 m in alto Per essere pi precisi invece che alle coordinate del tipo A1 B2 ci possiamo riferire a coordinate numeriche gt numeri scritti a tratteggio nella figura 7 Otto partito circa dal punto 25 30 cio 25 m a destra rispetto al bordo sinistro della cartina e 30 m in alto rispetto al bordo inferiore 9 Come puoi descrivere il punto finale di arrivo di Otto E come lo spostamento fermata scuola Abbiamo dunque visto che uno spostamento pu essere descritto sia con la coppia di informazioni direzione distanza sia con la coppia di informazioni variazione della coordinata orizzontale variazione della coordinata verticale Nel caso dello spostamento fermata scuola abbiamo figura 8 a sinistra 182 Per strada 1 variazione della coordinata orizzontale 170 variazione della coordinata verticale 180 Son PI S N 170 Come descriveresti lo spostamento opposto scuola fermata Qual la distanza lungo la strada della scuola dalla fermata del bus E quella della fermata del bus dalla scuola Non vi sono traiettorie pi brevi per raggiungere la scuola di quella seguita da Otto cio della traiettoria E1 E2 D2 D3 A3 A4 abbiamo indicato oltre ai riquadri iniziale e finale quelli in cui avvengono le svolte Tuttavia poich le st
329. meglio distinguerla dalla frequenza relativa la frequenza non relativizzata viene spesso chiamata frequenza assoluta quantit delle informazioni che vengono reguenza assoluta di una modalit n l n freq classificate in tale modalit frequenza assoluta di tale modalit frequenza relativa di una modalit T__ rr totale delle informazioni classificate 106 Le statistiche 3 a Qual la frequenza relativa della modalit fare uno sport praticabile sia in squadra che individualmente di cui al quesito 5 esprimila in forma percentuale b Qual la frequenza relativa dell intervallo di altezze in cm 165 170 nel 1961 fig 2 Una tabella che associ ad ogni modalit le corrispondenti frequenze con cui si manifesta un certo fenomeno viene detta distribuzione di frequenza o pi semplicemente distribuzione di quel fenomeno rispetto alle modalit scelte Ad esempio la tabella 1 1 la distribuzione di frequenza degli sport praticati dagli alunni del quesito 5 rispetto alle modalit indicate Z sta per praticabile individualmente S sta per praticabile a squadra La tabella 1 2 la distribuzione di frequenza delle altezze degli italiani maschi ventenni nel 1992 rispetto agli intervalli indicati Per essere pi precisi nel questo caso dovremmo parlare di distribuzione di frequenza relativa o di distribuzione percentuale Gli istogrammi di figura 2 vengon
330. mentare 149 Abbiamo che ab ab ab ab aaa bbb gt a3 b Possiamo esprimere la trasformazione del termine iniziale nel termine finale dicendo che abbiamo portato l elevamento a potenza dentro alla moltiplicazione o che abbiamo distribuito l elevamento a potenza rispetto alla moltiplicazione Pi in generale abbiamo la regola di riscrittura ab a b Ad esempio possiamo usare tale regola con c 2 per calcolare velocemente 300 3002 3 100 32 100 9 10000 90 000 Si pu dimostrare che tale regola d luogo a termini equivalenti anche quando c non un numero intero positivo Completa i seguenti calcoli specificando che cosa c 4007 4 1007 1 1 4 0 01 0 25 0 01 0 0025 G T1600 16 100 16 1002 T16 T100 c Nota Nell applicare questa regola di riscrittura analogamente a quanto si visto a proposito delle regole per riscrivere le equazioni occorre fare attenzione Ad es non sempre si pu distribuire la radice quadrata cio l elevamento alla 1 2 T 9 4 J 9 4 Nel caso a fianco sopra si otterrebbe la trasformazione in un termine che non definito mentre moltiplicando direttamente avremmo ottenuto 9 4 136 6 Abbiamo visto nel quesito precedente che l operazione di passaggio al reciproco 1 1 1 essendo equivalente ad un elevamento alla 1 si pu distribuire rispetto al prodotto ab Gai Pa b cio che si pu applicare la regola a fianco
331. mente le informazioni che esso ci pu fornire Le statistiche 2 83 5 Esercizi Bog A TES D uo y In un opuscolo per turisti americani F 20 resente il grafico riprodotto a lato che 200 dem sere ro Pr pr p 8 p l l 100 212 mette in relazione la misura della i i l i l i i i 180 temperatura in gradi Celsius 0 centigradi con quella in gradi 160 Fahrenheit usati nei paesi di lingua ian i inglese Ad esempio il punto 0 32 indica che a 0 C corrispondono 32 F il punto 100 212 che a 100 C 100 gt corrispondono 212 F Che cosa indicano gli altri punti che abbiamo circolettato ind agp cerca di ricavare dal grafico i valori approssimati DEI alle unit tollerando l errore di un grado in pi o in meno pie 20 0 20 40 80 s 100 SC Il grafico seguente rappresenta l altitudine della linea ferroviaria Padova Calalzo LMSM 2 Calcola arrotondata a 2 cifre la pendenza media di tale linea ferroviaria cio il rapporto tra variazione complessiva di altitudine e strada percorsa orizzontalmente come abbiamo visto nel caso delle pendenze stradali si pu approssimare l avanzamento orizzontale con la lunghezza del tratto percorso quindi puoi prendere 158 km come strada percorsa orizzontalmente Se la linea ferroviaria avesse pendenza costante cio avesse la rappresentazione grafica tratteggiata quale sarebbe la sua pendenza altitudine Cin m SO0 l EE tO
332. mero diverso da 0 il risultato non cambia 30 Le statistiche 1 Questa la traduzione numerica di quanto abbiamo osservato a proposito delle riproduzioni in scala se le dimensioni di un oggetto i due lati del tavolo o la lunghezza e l altezza della chiave o vengono moltiplicate per la stessa scala il rapporto tra tali dimensioni non viene modificato Pi in generale ogni volta che si moltiplica un insieme di dati per un fattore fissato si ottiene una rappresentazione proporzionale dei dati di partenza cio tale che il rapporto tra una coppia qualunque dei nuovi valori uguale al rapporto tra la coppia dei valori originali Per questo motivo una relazione del tipo 2 1 grandezza2 grandezzal k dove k un numero diverso da 0 fissato viene detta relazione di proporzionalit Il numero k viene detto fattore di proporzionalit Nel caso particolare delle scale se k gt 1 si parla di fattore o scala di ingrandimento se 0 lt k lt 1 di fattore di riduzione Completa le seguente tabella relativa a quattro diverse rappresentazioni proporzionali grandezzal grandezza2 k fig 3 a sinistra distanzareale distanzanella pianta fig 3 adestra distanzarele distanza nella pianta Meura 4 distanzaina 2 figura 2 valore monetario in miliardi di 150 Anche nel caso della tabella 1 1 abbiamo una rappresentazione proporzionale i dati reali sono stati rappresentati in milioni o in miliar
333. mero passi 6 direzione n s e w n numero passi 5 direzione n s e w e numero passi 8 direzione n s e w s numero passi 3 direzione n s e w w numero passi direzione n s e w e numero passi direzione n s e w s numero passi direzione n s e w numero passi 8 direzione n s e w numero passi direzione n s e w numero passi direzione n s e w e numero passi 6 direzione n 5 8 W37 000000000 00000000 0000000 0 0 0 0 0 0 0 0 o 00000000 0 T 0 0 0 0 0O d 000000 00000000 4 Esercizi Nella figura a lato sono raffigurati tre spostamenti a b e c Traccia una freccia che rappresenti lo spostamento complessivo che si ottiene componendo ordinatamente questi tre spostamenti Come potresti descrivere numericamente questo spostamento Prova a comporre a b c in ordine diverso e raffigura lo 100m spostamento complessivo Come potresti calcolare lo spostamento complessivo senza fare disegni Potevi concludere che lo spostamento complessivo immutato ER ragionando solo sulla descrizione numerica dei tre spostamenti ai Inizialmente ci si posiziona al 1 posto della riga 10 Poi si avanza di 5 passi verso N viene tracciata la prima gamba della M di MAT Si finisce con lo spostamento di 6 passi verso E viene completata la Completa la descrizione degli spostamenti se vuoi puoi controllare le risposte usando il programma 100 m
334. mma lunghezza diagramma a striscia aesssssssssssssssesses diagramma a settori circolari A volte questi diagrammi vengono anche chiamati areogrammi in quanto i dati non vengono rappresentati solo con segmenti aventi lunghezze ad essi proporzionali o con angoli aventi ampiezze ad essi proporzionali ma con delle figure di area proporzionale nel caso degli istogrammi abbiamo tracciato dei rettangoli di ugual base aventi per altezza le lunghezze ottenute nel caso dei diagrammi a striscia abbiamo tracciato dei rettangoli di ugual altezza e aventi per base le lunghezze ottenute e 1 rettangoli in cui una dimensione stata fissata hanno area che varia proporzionalmente all altra dimensione nel caso dei diagrammi a settori circolari abbiamo tracciato dei settori di egual raggio e formanti angoli delle ampiezze ottenute e 1 settori circolari di raggio fissato hanno area che varia proporzionalmente all ampiezza dell angolo Si possono realizzare istogrammi e diagrammi a settori circolari anche rappresentando i dati con delle figure solide aventi volumi proporzionali ai dati In figura 9 sono contenute diverse rappresentazioni degli stessi dati tre istogrammi in cui i dati sono stati raffigurati con rettangoli di ugual base con segmenti o con parallelepipedi di ugual base due diagrammi a settori in cui i dati sono stati raffigurati con settori di uno stesso cerchio o con spicchi di u
335. mo un dispositivo elettrico che faccia avanzare la ruota alla sua sinistra ogni volta che viene attivato da un particolare stimolo esterno Ad esempio si possono contare le monete da 0 50 che vengono introdotte in un distributore automatico se un opportuna apparecchiatura invia a tale dispositivo un segnale elettrico ogni volta che riconosce come una moneta da 0 50 l oggetto che entrato dalla fessura Per dare un idea concreta di come possono essere connessi automatismi elementari in modo da ottenere automatismi pi complessi torniamo alla macchina divisione Supponiamo che la macchina proceda per addizioni ripetute Potrebbe allora impiegare un contatore automatico per contare le addizioni una valvola di controllo per arrestare l esecuzione e un automatismo in grado di fare le addizioni A sua volta quest ultimo automatismo cio una macchina addizione potrebbe essere realizzato con contatori e valvole di controllo Quanti contatori e quante valvole di controllo impieghereste per realizzare una macchina addizione 6 Logica di funzionamento e diagrammi di flusso Abbiamo impiegato dei particolari diagrammi per descrivere il funzionamento della macchina da gioco e della macchina cambia monete Come abbiamo gi ricordato questi diagrammi non descrivono esattamente il funzionamento della macchina considerata ma lo schematizzano cercando di mettere in luce quale potrebbe essere l organizzazione complessiva della macchina i collegamen
336. mostato hanno un comportamento pi flessibile infatti leggono dati provenienti dall esterno Tuttavia il loro comportamento programmato in maniera fissa hanno un programma incorporato L automatismo che si ottiene accoppiando un termostato e un timer ha un livello di flessibilit maggiore in quanto parzialmente programmabile dall utente questo automatismo legge dati e regolato complessivamente da un programma di cui una parte fissa e una parte modificabile dall utente 9 Telefono telecomando calcolatrice tascabile sportello di informazioni automatico lavatrice tutti operano utilizzando automatismi Per ciascuno di essi sapete individuare l eventuale presenza di dati che entrano di programmi fissi e di programmi modificabili Consideriamo una macchina cambia monete che operi nel modo seguente se l utente introduce una moneta da 2 vengono restituite 3 monete da 50 centesimi 2 da 20 e 1 da 10 se introduce una moneta da 1 vengono restituite 1 moneta da 50 centesimi 2 da 20 e 1 da 10 se introduce una moneta da 50 centesimi vengono restituite 1 moneta da 20 e 3 da 10 Il diagramma 4 1 schematizza il funzionamento di questa macchina Il diagramma 4 2 dettaglia meglio il comportamento descritto da fai uscire A monete da 0 50 man mano che scende una moneta un dispositivo contatore scatta in avanti di 1 quando stata raggiunta la quantit prevista risposta s viene arrestato 1l flusso di monete e vi
337. mpi dello sviluppo dell altezza possono variare da individuo a individuo Vi pu essere il ragazzo alto 170 cm a 15 anni oltre il 50 percentile e che negli anni successi non cresce pi scendendo sotto al 25 percentile e quello che a 15 anni alto 160 cm sotto al 25 percentile ma che continua a crescere e a 18 anni raggiunge 1 175 cm oltre il 50 percentile I tempi dello sviluppo dell altezza sono cambiati nel corso degli anni oltre all altezza media fig 1 cambiata anche l et in cui ciascuno raggiunge la propria altezza massima Attualmente in Italia praticamente tutti 1 maschi tabella 4 3 oltre 1 18 anni non aumentano pi in altezza e praticamente tutte le femmine tabella 4 4 a 16 hanno gi raggiunto l altezza massima Agli inizi del Novecento queste et erano spostate in avanti di 5 o 6 anni Differenze tra maschi e femmine tra individuo e individuo e tra epoche diverse analoghe a quelle osservate per lo sviluppo dell altezza valgono anche per lo sviluppo sessuale Ad esempio nel 1890 in Europa una donna era in grado di procreare figli mediamente a partire dai 16 anni nel 1990 questa et media era scesa a 13 anni Per i maschi queste et vanno spostate in avanti di circa 2 anni Pure in questo caso si tratta di valori medi anche per queste et si potrebbero considerare istogrammi di distribuzione o tabelle di percentili Ad esempio vi pu essere la ragazza che sessualmente adulta a 11 anni
338. mpio a 0 5050050005000050000050 che posso generare scrivendo un 5 separato da un numero man mano incrementato di uno di 0 esso non si sviluppa in modo irrazionale in quanto le sue cifre si susseguono secondo uno schema fissato Apri questo script Esso genera un numero razionale o irrazionale Come puoi modificarlo in modo che generi un numero che non sia tale 6 Esercizi Un aiuola ha forma triangolare Sapendo che le misure della base e dell altezza sono rispettivamente 255 5 cm e 185 5 cm che cosa puoi concludere sul valore dell area dell aiuola Una scatola metallica di forma cubica ha lo spigolo di 21 5 0 1 cm Che cosa puoi concludere sul valore del suo volume Una ruota ha diametro di 453 1 mm Sapendo che 3 141 lt p lt 3 142 e non conoscendo altre cifre di p che cosa puoi concludere sulla lunghezza della circonferenza della ruota Il 37 degli abitanti con almeno 40 anni di un certo comune ha la licenza media a Sapendo che gli abitanti con almeno 40 anni del comune sono 31572 quanti sono quelli con la licenza media poich la percentuale arrotondata cio cade tra 36 5 e 37 5 non potrai trovare un valore esatto ma un intervallo di indeterminazione b Qual l arrotondamento alle migliaia di questa parte di popolazione 178 I numeri 2 So che una pila di 250 fogli dello stesso tipo pesa 860 5 grammi ed alta 2 4 0 1 cm Individua con la miglior precisione possibile il peso medio e lo spessore m
339. n ogni caso alla fine opportuno controllare la sensatezza dei risultati ottenuti Ad esempio se con un particolare procedimento trovassimo che la forza che Betta deve esercitare sui pedali di circa 1 kg ci contraddirebbe le considerazioni affrontate nel quesito 14 la forza da esercitare deve essere dell ordine di grandezza delle decine di chilogrammi 206 Per strada 2 N La spiegazione del fatto che la forza da esercitare sui pedali maggiore della forza di spinta effettivamente prodotta semplice se il pedale percorre una traiettoria lunga s la bicicletta percorre un tratto di strada s maggiore di s per cui l intensit F della forza di spinta che viene generata nel punto di contatto tra ruota posteriore e terreno inferiore all intensit F della forza esercitata Precisiamo quanti tativamente queste considerazioni ruota dentata a cui y viene trasmesso ate il movimento ei rocchetta figura 12 S 57 60 ruota dentata motrice i f moltiplica F F 6 z z F In figura 12 disegnata la bicicletta di Betta e la moltiplica ha il triplo di denti del rocchetto per cui la ruota posteriore ad ogni pedalata fa 3 giri cio ha velocit di rotazione tripla di quella dei pedali e il pedale lungo 17 cm per cui con una pedalata viene percorsa una traiettoria circolare con diametro di 34 cm il diametro della ruota posteriore della bici di 68 cm la circonferenza della ruota perci 2 volte
340. n si ottiene un indicazione equivalente quesito 3 M V non equivale V M Il caso D assomiglia al caso C siamo di fronte alla descrizione di un comando sia f x 3x 1 ma anche a E si pu dire che x x x x x x7 f x 3x 1 sono equazioni che qualunque valore si assegni a x sono vere per definizione La verit di 5 2 3 invece frutto di una dimostrazione calcolando trovo che effettivamente 3 2 fa 5 In casi come F si intende che l equazione deve essere vera quando le variabili considerate la variabile x in questo caso abbiano il significato descritto x sia il numero degli studenti Per fare un altro esempio A a b vera se con A si intende l area in m di un rettangolo con lati consecutivi di misure a e b in m non vera per ogni scelta di numeri da sostituire a a b e A Accanto a equazioni sempre vere o vere solo per particolari valori assegnati alle variabili che vi compaiono vi sono equazioni sempre false 1 1 3 x x 1 qualunque numero si metta al posto di x il valore di x 1 diverso dal numero x Tra le seguenti equazioni quali sono sempre vere quali lo sono per qualche ma non ogni scelta di valori da assegnare alle variabili quali sono sempre false Motiva le risposte a b ab x 4 x y 0 u w 8 Tx x 100 2xX X X Nota Nell equazione a b ab non stato evidenziato 11 simbolo di moltiplicazione tra le variabili del termine destro ma al suo posto si lasciato un piccolo
341. n tempo per ogni tipo di automobile occorrevano dei macchinari ad hoc oggi vengono utilizzati dei macchinari programmabili per cui se l azienda decide di cambiare modello pu senza grosse spese e in tempi rapidi limitarsi a modificare i programmi 9 Esercizi Qui sotto raffigurato il diagramma del q 1 ma in parte modificato sono state invertite le risposte a una domanda Trova quali sono i casi in cui si conclude positivamente l avventura se la macchina da gioco viene programmata in modo da seguire questo diagramma ricorda che all inizio per scegliere la porta A occorre avere la tuta per scegliere B occorre il bancomat per scegliere C occorre il faretto E E Quale z R Qual ua le x a MEM Il diagramma di flusso a lato illustra il funzionamento di un termostato applicato a una caldaia TF la temperatura in gradi centigradi fissata dall utente T la temperatura man mano rilevata dal termostato Il termostato predisposto per una tolleranza di 2 cio accende la caldaia quando T dista al pi di 2 gradi da TF Completa il diagramma mettendo s o no a fianco delle frecce uscenti dai riquadri di test e indicando la destinazione della freccia che esce da SPEGNI Il riquadro VIA rappresenta l accensione del termostato I riquadri ACCENDI e SPEGNI rappresentano accensione e spegnimento della caldaia RILEY A la temperatura T TARSA RILEY A la temperatura T TAIRE Le istr
342. n un nuovo blocchetto di biglietti Def 3 pi precisa di Def 2 non si parla di una generica indicazione di quantit di oggetti ma si parla di conta e di misurazione Inoltre descrivendo i numeri come le espressioni usate per contare e misurare non si esclude che queste espressioni siano usate anche per altri scopi Considera le frasi seguenti Anche in questi casi i numeri sono usati per misurare per tener conto di un ordine di arrivo o per indicare una posizione in qualche altro tipo di elencazione 162 I numeri 1 1 5 Versa i soldi nella Banca Carige sul conto n 38155 80 1 6 Il mio numero di codice fiscale DPT NMR 50D5S7 D969V 1 7 Telefonami al numero 010 210407 1 8 Le abbiamo riservato la camera 507 al 5 piano In 1 5 stato usato per separare i due numeri 38155 e 80 38155 il numero del conto in senso stretto 80 un numero che ne specifica il tipo A volte si trova scritto equivalentemente 3815580 38155 80 non dunque un numero come quelli usati comunemente in matematica ma piuttosto indica una coppia di numeri Nel caso 1 6 siamo di fronte a un numero ancora pi strano Vediamo che cosa rappresenta DPT NMR 50D57 D969V DePeTris aNnaMaRia femmina 57 gt 40 nata il 17 57 40 4 D la lettera dell alfabeto 50 nel comune di Genova D969 Il numero di codice fiscale del fratello Calogero invece DPT CGR 53M07 D969Q egli nato il 7 agosto 1953 per 1 maschi il gi
343. nata di produzione prenderne il 10 sarebbe troppo dispendioso occorrerebbe impiegare troppi dispositivi di lettura scrittura su disco magnetico prenderne lo 0 5 sufficiente Non facile rispondere a questa domanda occorre tener conto di altri fattori e utilizzare concetti matematici che per adesso non abbiamo ancora affrontato Le statistiche 3 111 Riprenderai il problema del campionamento pi avanti nel corso degli studi dopo che avrai imparato 1 primi elementi di calcolo delle probabilit cio della parte della matematica che si occupa dei fenomeni casuali 4 Percentili e normalit Abbiamo visto che la mediana delle altezze dei ventenni del 1976 cade tra 170 e 175 cm i ventenni del 1976 pi bassi di 170 cm sono il 38 8 e quelli pi bassi di 175 cm sono il 67 7 quindi l altezza che delimita il 50 dei ventenni pi bassi compresa tra queste due misure figura 12 In altre parole messi in ordine di altezza i ventenni quello che sta a met stato classificato nell intervallo 170 175 38 8 67 7 figura 12 Per determinare con pi precisione il valore della altezza mediana posso osservare vedi figura 13 che rappresenta l appilamento dei rettangoli dell istogramma che il 50 pi vicino a 38 8 che a 67 7 e quindi supporre che la mediana sia pi vicina a 170 che a 175 170 175 i es 165 170 170 175 175 180 figura 13 Haaa aa aaa aaa aaa ui aag W 67 2 LL La figura a lato f
344. nche di un tasto T che se premuto riduce la temperatura di riscaldamento dell acqua da 65 a 55 Inoltre dotata di un tasto A che premuto esclude la asciugatura Il funzionamento di questa particolare lavastoviglie descritto dal 6 1 diagramma 6 2 prelavaggio con acqua fredda Alla fine del lavaggio la lavastoviglie riposiziona la manopola su O e rimane in attesa che venga selezionato un nuovo programma il primo riquadro continua ad essere riattraversato fino a che non viene selezionato un numero diverso o fino a che non viene premuto l interruttore arrestando l alimentazione elettrica della lavastoviglie asciugatura con aria calda lavaggio con acqua calda risciacquo con acqua fredda risciacquo con acqua calda 66 La automazione 1 13 Il diagramma di flusso non completo manca la destinazione di due frecce e vi sono due test da completare vedi le finestrelle punteggiate Completa il diagramma in modo che sia in accordo con la tabella precedente Come nel caso della macchina cambia monete quando abbiamo descritto pi in dettaglio il riquadro fai uscire A monete da 0 50 possiamo analizzare pi a fondo il funzionamento della scatola nera lavastoviglie cercando di descrivere la logica di funzionamento della sotto scatola nera che regola il riscaldamento dell acqua Ecco una possibile rappresentazione attiva il riscaldamento La temperatura dell acqua supera 65 no dizattiva i
345. ne frutto rosso blu rosso o giallo con dentro un nocciolo Hai capito il significato di prune Come tradurresti in italiano prune Per definire il nostro generico spazio piano in modo non ambiguo abbandoniamo il dizionario e utilizzia mo 1 numeri oggetti matematici di cui ormai abbiamo precisato in modo abbastanza chiaro il significato 188 La matematica e lo spazio I Abbiamo gi considerato la retta dei numeri come modello matematico delle traiettorie rettilinee di cui abbiamo come prototipi 1 raggi di luce la traiettoria di un sasso lasciato cadere da una certa altezza un filo teso un punto cio una posizione della traiettoria viene identificato con un numero reale scheda 2 de numeri Ora possiamo definire come modello matematico delle superfici piane l insieme delle coppie x y di numeri reali che chiameremo piano numerico o pi semplicemente piano L idea abbastanza naturale non altro che una generalizzazione dell uso delle coordinate nelle carte geografiche Come alla retta numerica abbiamo associato l idea intuitiva di una scala graduata su cui si possono tracciare tacche man mano pi fitte cos al piano numerico associamo l idea intuitiva di un reticolato su cui con lenti man mano pi potenti si possono andare a scoprire quadrettature di lato man mano pi piccolo Nella figura 1 sono raffigurate localizzazioni man mano pi precise del punto x y con x 2 8763 e y 1 1635 Con lenti o
346. nel XVII secolo che invent l uso delle coordinate per dare una descrizione matematica del concetto di spazio La retta e il piano vengono chiamati anche rispettivamente spazio a I dimensione un punto indi viduato da un numero reale cio da una coordinata e spazio a 2 dimensioni un punto individuato da due numeri reali cio da due coordinate Se invece vogliamo considerare posizioni e movimenti che non stanno su una traiettoria rettilinea o su una superficie piana ad esempio il volo di un aereo dobbiamo ricorrere a fre coordinate Ad esempio per indicare la posizione in cui si trova un sommergibile o un aereo possiamo usare due numeri x e y per individuare la posizione sulla superficie del mare e un numero z per individuare la profondit o l altitudine Lo spazio tridimensionale l insieme delle terne x y z di numeri reali 2 A fianco raffigurata una porzione di superficie marina viaggia l aereo aA a da su cui stato fissato un sistema di riferimento x y I numeri associati agli assi rappresentano centinaia di metri livello del mare La nave chiara raffigurata ha coordinate x 4 y 2 dista 400 m dalla linea assunta come asse y e 200 m dalla linea assunta come asse x Viene usata anche una retta graduata verticale per rappresentare livelli diversi dal livello del mare asse z Ad esempio il sommergibile raffigurato che sta esattamente sotto vello a cui viaggia alla nave chiara ha come questa
347. ner conto dei loro insiemi di definizione queste abilit sono utili sia per lo svolgimento dei semplici calcoli simbolici che ricorrono frequentemente nelle attivit scientifiche sia per scegliere comandi sottotermini usando un programma di calcolo simbolico per scrivere e elaborare una certa espressione e conoscere le modalit d uso e il funzionamento dell applicazione per il calcolo simbolico impiegata e e comunque essere consapevole che con altre applicazioni possono cambiare le convenzioni 1 nomi usabili come variabili 1 simboli e 1 modi in cui indicare le costanti e le funzioni Questi sono i motivi per cui in tutto il mondo nella scuola viene dato molto meno peso all addestramento al calcolo letterale Del resto chi proseguir gli studi in facolt scientifiche raramente avr a che fare con calcoli simbolici complessi In genere gli studenti che nella scuola superiore hanno avuto un insegnamento della matematica che ha investito pi tempo in attivit di questo genere a scapito di attivit meno meccaniche sono quelli che negli studi universitari incontrano maggiori difficolt 5 I programmi di geometria dinamica Esiste software come Poligon e Derive con cui si possono descrivere figure da tracciare dandone una descrizione algebrica come punti sotto forma di equazione o indicando le coordinate di alcuni punti che consentono di ricostruirle Ad esempio in Poligon il cerchio raffigurato a lato di centro
348. nesino che con abilissimi ragionamenti sa fare 1 calcoli in un attimo pu utilizzare un procedimento meccanico Passando dalla macchina divisione ad automatismi di altro tipo ci preoccuperemo di descrivere non pi un algoritmo aritmetico ma pi in generale un procedimento con cui dalle informazioni in ingresso si possa arrivare alle informazioni in uscita Il procedimento dovr consistere in una opportuna combinazione di elaborazioni elementari Basta che sappiamo che queste elaborazioni elementari e il loro collegamento sono eseguibili da una macchina Abbiamo gi visto che vi sono macchine in grado di eseguire conteggi abbiamo visto come pu essere realizzato ni perno attorno a E un contagiri cui ruota l asta bi confronti tra informazioni abbiamo visto come un De gaie nE 27 i particolare timer confronta l ora attuale con le ore fissate dall utente quando la levetta tocca la bandierina le due y livello ore vengono a coincidere analogamente un termostato massimo pu controllare la temperatura sulla base della bi RERE listini I at et Rat a n n n n n a n a n tubo da cui arriva il liquido dilatazione della sostanza impiegata dal termometro e un fd i galleggiante pu essere impiegato per controllare il I livello di un liquido vedi figura 5 questi dispositivi figura 5 sono tutti esempi di valvole di controllo scelte tra modi alternativi in cui proseguire l elaborazione compiute sulla base del
349. ni del tipo gt gt gt Riescono quindi a leggere e confrontare anche le cartine che hanno uno solo dei due tipi di indicazione Le ragazze hanno anche comprato un libretto in cui sono suggeriti alcuni itinerari per gite in bicicletta ogni itinerario rappresentato con una cartina priva di curve di livello e di indicazioni di pendenza a cui per accoppiato un profilo altimetrico come quello illustrato in figura 4 relativo al tratto di strada che parte da Pasotto sull asse orizzontale indicata la strada percorsa su quello verticale indicata l altitudine entrambe in metri Come si pu notare l inclinazione del grafico non riproduce fedelmente l inclinazione della strada Ad esempio l ultimo tratto di salita che ha una pendenza del 14 rappresentato pi ripido della strada con pendenza del 50 raffigurata nell illustrazione considerata nel quesito 3 Del resto nessuno di voi ha mai visto strade cos inclinate figure 6 e 7 della scheda 2 di La matematica e i suoi modelli bpa e Ss 2 amp Tk e Dosso 1000 2000 Il sistema di riferimento impiegato in fig 4 e quello dell immagine nella parte destra di fig 3 sono monometrici I profili altimetrici non riproducono fedelmente l angolo di inclinazione di un tratto di strada cio l angolo di cui la strada ruotata verso l alto rispetto al piano orizzontale Del resto neanche l indicazione numerica della pendenza ci suggerisce immediatamente un immagine visiva del
350. no altre con stipendi pi bassi altre con stipendi pi alti e vi erano redditi non da lavoro dipendente negozianti artigiani professionisti imprenditori proprietari terrieri La tabella d comunque un idea di come cambiata l incidenza delle spese alimentari 4 6 5 1 02 1019 5 2 10 1985 1 16 10 4 5 7 107 Completa la tabella Nella 5 colonna spesa arrotondata approssima i valori a 3 cifre significative nell ultima arrotonda le percentuali alle unit Per calcolare il rapporto non battere i dati della spesa pro capite scritti nella colonna 5 ma utilizza il valore che la CT ha ancora sul visore Ad esempio la seconda riga stata calcolata nel seguente modo 9 42 E 114 5 El si scritto nella 4 colonna il numero 2 09333 E4 comparso sul visore E 7 34 E 4 Ex 1003 si scritto nell ultima colonna l arrotondamento del numero comparso sul visore si scritto nella 5 colonna l arrotondamento del dato scritto nella 4 Rispetto alla prima met del Novecento la quantit e la qualit dei beni alimentari che una persona consuma sicuramente aumentata Tuttavia dall ultima colonna della tabella del quesito precedente o dai grafici di figura 8 si vede che la porzione di stipendio spesa per l alimentazione diminuita Ci si spiega col fatto che oggi mediamente si guadagna molto pi di allora anche in valore effettivo Se vero che si possono fare molte pi spese in generi non alimenta
351. no scritti anche nella forma 0 2 40 e 3 428571 Con la soprallineatura abbiamo indicato la ripetizione della sequanza di cifre segnate I numeri che da un certo posto in poi presentano un periodo cio una sequenza di cifre che si ripete vengono detti periodici Il risultato di una divisione tra due numeri interi m e n sempre un numero periodico Infatti come abbiamo visto per un caso particolare nel quesito 7 1 valori che pu assumere il resto sono 0 1 2 n 1 dividendo per 7 come resto posso ottenere 0 1 2 o 6 Prima o poi ottengo un valore gi ottenuto in precedenza dopo l esecuzione continua ripetendosi esattamente nello stesso modo fino a riottenere nuovamente lo stesso resto e cos via Col programma precedente ottengo che 450 29 fa 15 51724137931034482758620689655172413793103448275806 Quanto lungo il periodo di questo numero Quanto pu essere lungo al massimo il periodo di m n Perch 9 I numeri con periodo 0 come possono essere chiamati 4 Approssimazioni e operazioni tra numeri reali Abbiamo richiamato come si fanno le operazioni con i numeri limitati Abbiamo visto che le divisioni tra numeri limitati possono dar luogo a numeri non limitati ma comunque periodici Vediamo ora come si possono eseguire le operazioni tra numeri non limitati Nel seguito per semplicit di scrittura converremo che a meno di indicazioni contrarie un gruppo di cifre che si ripeta per tre volte e sia seguito da
352. no stesso cilindro Le rappresentazioni dei dati con figure geometriche solide a volte vengono chiamate sftereogrammi Le statistiche 1 41 I nomi che abbiamo impiegato sono derivati dalla lingua greca gramma significa disegno ist s significa telaio istogramma indica quindi una rappresentazione grafica a forma di telaio 1 dati vengono rappresentati con delle figure disposte lungo righe parallele cos come accade per 1 fili nel telaio stere s significa solido A volte si usano anche altri nomi Ad esempio i diagrammi a settori circolari vengono chiamati anche diagrammi a torta gli istogrammi a volte vengono chiamati diagrammi a barre quando si usano segmenti o diagrammi a colonne o a canne d organo quando si usano rettangoli di egual base Vi sono poi gli ideogrammi cio diagrammi in cui i dati sono rappresentati mediante figure simboliche in quantit o dimensione che varia in proporzione ai dati Spesso vedi figura 10 non sono altro che degli istogrammi dall aspetto un po pi frivolo LISI figura 10 alim tab west abit traspo altra alim tab west abit trasp altro Nei giornali e alla televisione alcuni tipi di ideogrammi sono spesso usati in maniera errata Un giornale per visualizzare il confronto tra la quantit di vino che in un anno beve in media un abitante del paese A e quella che beve in media un abitante del paese B usa l ideogramma a fianco Discutete la correttezza di questa rappresentazione
353. ntare 1020 su una CT si pu battere 1 E 20 che sta per 1 1025 Per 10 occorre invece battere 1 E 5 EA Infatti per visualizzare 5 occorre battere 5 e poi cambiargli segno con l apposito tasto Utilizzando la CT controlla 1 calcoli del quesito 12 Quanto visto nei quesiti 11 e 12 pu essere riassunto nell unica formula seguente dove m e n rappresentano numeri interi qualunque positivi o negativi o nulli 10 10 10 Infatti ad esempio 109 1074 1094 pu essere riscritta come 10 104 10 2 Anche 109 104 pu essere trasformato in 106 1074 e calcolato usando questa formula Tuttavia pu essere comodo ricorrere direttamente alla formula 10 10 Ricordiamo che pi in generale se a un qualunque numero positivo o negativo e m e n sono numeri interi positivi o negativi o nulli valgono le formule s107 m a 1 3 al al aq t 14 g al Se sostituisci a m il numero 0 e poi esegui 1 calcoli che si possono fare come SI trasforma la formula 1 4 SII TOTI OI ET IO Il tasto della CT a sinistra in figura 1 corrisponde al tasto della CT a destra entrambi trasformano il numero che appare sul visore nel suo reciproco Con la CT trova il reciproco di 10 4 0 1 0 2 0 25 5 Poi spiega servendoti di una delle formule viste l equivalenza tra le due espressioni 1 x e x utilizzate per indicare i tasti delle due CT suo reciproco C Le CT esprimono 1 risultati c
354. nto dell istogramma c Tenendo conto della quantit dei dati a disposizione e del fatto che essi sono troncati come puoi esprimere il fempo medio che intercorre tra due arrivi vedi le note ai quesiti precedenti d Tra i diagrammi riprodotti nel quesito precedente qual il box plot di T Arrivi Perch Verifica la tua risposta usando Stat e13 Stat consente di analizzare pure dati gi classificati in 0 1 46 1 15 25 15 25 58 intervalli anche di diversa ampiezza vedi l Help 25 45 186 45 65 870 65 75 1071 Consideriamo il file Mor4 stf che contiene la distribuzione 75 100 3124 5380 dati dell et dei morti in Italia nel 1990 I dati sono in centinaia di persone ad es sono morte 25 centinaia di persone nella fascia 1 14 anni cio in 1 15 avevano compiuto 1 anno e non ancora 1 15 Le statistiche 3 119 n La tabella Istat da cui sono stati riportati 1 dati indicava l ultima classe come 75 e pi cio 75 09 intervallo che non pu essere introdotto con Stat poich co non un numero finito Si introdotto 75 100 supponendo che sia trascurabile la percentuale dei morti ultracentenari a Utilizzando Stat trova l et media dei morti nel 1990 l intervallo in cui cade il 50 centrale delle et di morte e traccia l istogramma relativo a Mor4 A 100 Nota L istogramma di distribuzione di dati gi classificati in intervalli viene tracciato con rettangolini con basi proporzionali a
355. ntorno al 15 Completa le righe sottostanti forma esp 1926 9 15 10 L 1945 7 34 10 L 1965 1 42 10 L 1985 1 71 10 L ord grand 1926 migliaia 1945 1965 1985 per esteso 1926 9150 1945 1965 1985 Le statistiche 1 47 Se con le forbici dimezzo un foglio di carta poi sovrappongo le due parti ottenute e le taglio a met poi sovrappongo 1 foglietti cos ottenuti e procedo con un nuovo taglio alla fine ottengo 2 2 2 foglietti infatti ad ogni taglio raddoppio il numero dei foglietti Quanti foglietti otterrei con 6 tagli E con n n numero intero positivo qualunque Impiegando il tasto della CT calcola quanti foglietti si otterrebbero impiegando una taglierina al posto delle forbici con 10 tagli 1 Moltiplicando tra loro due numeri entrambi minori di 1 ottieni ancora un numero minore di 1 2 Moltiplicando tra loro due numeri entrambi maggiori di 1 ottieni ancora un numero maggiore di 1 3 Che cosa puoi concludere sulla moltiplicazione tra due numeri uno maggiore e l altro minore di 1 Rispondi e motiva le tue risposte se il caso ricorrendo a degli esempi Quindi riassumi le tue conclusioni nella tabella a fianco Nelle caselle a seconda dei casi devi mettere gt 1 che sta per numero maggiore di 1 lt 1 che sta per numero minore di 1 o D che sta per dipende Disegna la pianta della tua classe comprendente la cattedra e 1 banchi su un foglio di carta millimetrata indicando la scala che
356. nversam proporz 1 AI triplicare di s L i AI raddoppiare di F L i AI raddoppiare di s F In alternativa alle definizioni richiamate nel quesito e6 possiamo dire che x e y sono proporzionali se esiste una costante k 0 tale che al variare di x e di y sia sempre vera la condizione y k x e che sono inversamente proporzionali se una proporzionale all inversa dell altra cio se esiste una costante k 0 tale che al variare di x e di y sia sempre vera la condizione y 1 x k a Motiva l equivalenza tra queste e le precedenti definizioni b Siano A un disegno e B una sua fotoriduzione di scala fissata Sia x la distanza tra due punti qualunque di A e sia y la distanza tra i corrispondenti punti di B x e y sono proporzionali inversamente proporzionali o nessuna delle due cose traccia indica con k la scala si ha y c Siano A un disegno e B la sua fotoriduzione ottenuta con una fotocopiatrice con scala di riproduzione variabile Sia x la lunghezza che aveva in A un particolare che in B diventa lungo 5 cm e sia y la scala x e y sono come in b traccia indica con k la lunghezza che il particolare assume in B si ha k d Siano A un disegno e B una sua fotoriduzione di scala fissata Siano x l area di una particolare figura in A e y l area della sua riproduzione in B x e y sono come in b traccia indica con k la scala y Per strada 2 209 Se per allentare un bull
357. o base per calcolare la variazione percentuale occorre prima trovare il rapporto percentuale tra dato finale e dato iniziale Quindi si calcola quanti centesimi in pi nel caso di aumento o in meno nel caso di diminuzione vi sono rispetto al 100 In formule dato finale 2 3 rapporto percentuale P ____ 100 n indice con base dato iniziale dato iniziale 2 4 variazione percentuale rapporto percentuale 100 78 Le statistiche 2 Come esempio calcoliamo con la CT la variazione percentuale tra il record femminile del 1952 172 cm e quello del 1960 186 cm Dobbiamo battere 186 E1 172 Otteniamo 1 08139 108 139 centesimi arrotondando 108 1 186 1 081 volte 172 186 172 pi 8 1 centesimi di 172 la variazione dell 8 1 in pi Di quanto variato il numero indice dei record femminili passando dal 1952 al 1960 uguale alla variazione percentuale trovata sopra Perch questa diversit rispetto alla situazione del quesito 12 Elezioni politiche nel paese XX Il Partito A passa dal 18 4 dei voti al 17 1 Il partito B passa dal 29 6 al 27 8 dei voti Il leader del partito A afferma Abbiamo tenuto pi del partito B Noi siamo scesi solo poco pi dell 1 mentre loro sono scesi quasi del 2 In effetti la variazione da 18 4 a 17 1 1 3 pi vicina a 1 che a 2 mentre quella da 29 6 a 27 8 1 8 pi vicina a 2 che a 1 Tuttavia se rappresentiamo il consenso ch
358. o dei due funziona e l altro no Esamina i due codici sorgente e spiega il perch di questo comportamento Metti X e Y e clicca FAI i Metti X e Y e clicca FAI xX 10 Y 20 Y 20 E i i 20 10 Completato Sotto a sinsitra riprodotto un esito di un programma in JavaScript che realizza il cambio monete descritto dal diagramma di flusso a destra Cambi eseguiti 2 0_50 0 50 0 50 0 20 0 20 0 10 1 0 50 0 20 0 20 0 10 0 50 0 20 0 10 0 10 Moneta introdotta 12 Uscita 0 50 0 50 0 50 0 20 0 20 0 10 Completato Nei link seguenti puoi esaminare tre versioni cambio1l cambio2 e cambio3 dello script Una che usa i comandi if e for una che usa switch case e while ed una che usa un altra versione di if Esamina 1 programmi e cerca di spiegare in modo comprensibile il funzionamento di queste istruzioni Nota In cambio1l la parte che segue lt head gt racchiusa tra lt body gt e lt body gt Sono comandi non essenziali che identificano la parte del file che viene visualizzata In questo caso sono stati inseriti per specificare il font che devono impiegare i caratteri visualizzati se esamini cambio1 vedi che dopo lt head gt c lt body style font family Times New Roman font size 100 gt che specifica che fino a lt body gt il font Times New Roman e che le sue dimensioni sono al 100 se cambi font dal menu del browser esse vengono cambiate in cambio2 e cambi
359. o del rilievo che sorge a ovest del passo il profilo visto secondo una sezione che passa per il laghetto pi grande e che evidenziato nella parte bassa della figura Tenendo conto delle altitudini indicate e aiutandoti con figura 2 completa figura 1 mettendo al posto dei punti interrogativi le quote delle corrispondenti curve di livello La carta riprodotta in figura 1 ci dice che provenendo da sud l ultimo tratto di strada prima del passo ha una pendenza che supera 1 12 gt gt gt Dopo c una discesa con pendenza tra il 7 e 11 12 lt lt gli angolini sono invertiti a indicare che si tratta di una salita per chi proviene da nord Ricordando che la pendenza il rapporto tra variazione verticale e variazione orizzontale possiamo dire che nell ultimo tratto prima del passo ad ogni 100 m di avanzamento orizzontale corrisponde mediamente un aumento di quota superiore ai 12 m nella discesa immediatamente seguente ad ogni 100 m di avanzamento orizzontale corrisponde un abbassamento compreso tra i 7 e 1 12 m Proviamo a controllare la prima di queste indicazioni cio gt gt gt Su una striscia di carta figura 3 a sinistra facciamo due segni per rappresentare la strada dalla quota di 675 m al passo che alla quota di 692 m Disponendo la striscia lungo la scala grafica troviamo che il tratto di strada considerato si estende orizzontalmente per circa 125 m Quindi poich il dislivello di 692 675 17 m abbiamo
360. o della misura del tempo occorre tener conto anche degli errori cio delle variazioni rispetto alla misura corretta che introduce chi misura nel posizionare il nastro misuratore non possibile far corrispondere esattamente la tacca 0 alla prima estremit dell asta nel leggere la misura vi pu essere qualche incertezza nel determinare la tacca corrispondente alla fine dell asta animazione I numeri 2 171 I numeri reali 0 pi semplicemente numeri sono 1 modelli matematici impiegati per rappresentare le misure esatte Come abbiamo visto si tratta di un modello astratto con una misurazione non possibile determinare con infinite cifre il valore di una grandezza Tuttavia il suo uso ci consente di fare ragionamenti pi semplici senza tener conto delle limitazioni delle misure Ci consente di parlare di tempi uguali senza misure esatte come potremmo dire che due fenomeni hanno la stessa durata rettangoli come potremmo dire che quattro angoli hanno la stessa ampiezza sfere come potremmo dire che un oggetto comunque lo si posizioni ha sempre lo stesso spessore Nei casi pratici naturalmente dovremo poi tenere conto di queste astrazioni 2 Voglio tagliare una trave di legno in modo da ottenere tre blocchetti di legno uguali tali che appilati uno sull altro mi consentano di formare una pila alta 17 cm a Qual la misura esatta della terza parte di 17 cm b A quale distanza approssimata ha senso t
361. o in alfabeto Morse riale codice vedi figura 7 la sua traduzione con gli usuali caratteri di stampa TUMORE leiss Pi in generale se fissiamo come riferimento i segnali alfanumerici possiamo dire che un codice consiste in un repertorio di segnali S e nelle regole per tradurre in S le informazioni espresse in forma alfanumerica L operazione con cui viene effettuata questa traduzione viene chiamata codificazione o codifica L operazione opposta cio l operazione per passare da un sistema di segnali S al sistema preso come riferimento nel nostro caso il sistema alfanumerico viene chiamata decodifica figura 7 Il significato di un informazione in questo ambito pi ristretto rispetto al linguaggio naturale dunque la forma che essa assume nel sistema di riferimento cio la forma che assume con la decodifica Ad esem pio codificando ACAB in codice Morse otteniamo la sequenza di segnali te Viceversa la decodifica di d ACCA questo il significato di Spesso si usa la parola codice anche per indicare 1l risultato della codificazione ad esempio si usa dire Il codice a barre di un prodotto o il codice fiscale di una persona mentre in senso stretto il codice a barre il procedimento che trasforma numeri in barre e il codice fiscale il procedimento che trasforma una sequenza di nomi date in una nuova sequenza di simboli alfanumerici Nella tabella 7 1 accanto alla scrittura decima
362. o metallico su cui fissiamo una tacca 0 e alla distanza di 1 metro la tacca 1 riportando successivamente 1 metro possiamo segnare le tacche 2 3 Con questo nastro misuratore possiamo effettuare misure approssimate al metro Per esempio possiamo stendere il nastro a fianco ad un asta con la tacca 0 a una estremit dell asta se all altra estremit corrisponde una tacca compresa tra 2 e 3 possiamo concludere che l asta misura 2 m una misura approssimata per difetto troncata con errore al pi di 1 metro Lal Lal Lal 3 0 IA 0 1 0 3 0 5 0 0 9 14 15 15 17 1921 2 352 527 2 9 0 2 0 4 0 6 0 8 12 14 16 16 22024 262 8 CE D Possiamo poi suddividere ogni divisione cio ogni parte di nastro compresa tra due tacche ad esempio tra la tacca 0 e la tacca 1 in 10 parti uguali In corrispondenza delle vecchie tacche possiamo aggiungere 0 0 0 0 1 1 0 2 2 0 3 3 0 in corrispondenza delle nuove tacche scriveremo 0 1 0 2 0 9 1 1 1 2 Con ulteriori suddivisioni potremmo migliorare la misura ma non si potr mai arrivare alla misura esatta Del resto le estremit dell asta non sono perfettamente lisce nonostante ci che pu apparire a prima vista o al tatto Con una lente potente o con un micro scopio figura 4 si possono osservare piccoli rilievi ad esempio di qualche decimo di millimetro Arrivati alla misura 2 708 2 m 7 dm 8 mm non ha senso procedere figura 4 oltre D altra parte come nel cas
363. o non ha pendenza inferiore Ci fa svanire l ipotesi che la lentezza del treno sia dovuta soprattutto alle molte fermate Ma viene un altra idea la causa principale pu essere la natura del percorso una linea ferroviaria che dalla pianura va in montagna quindi avr da superare tratti in salita e presumibilmente tratti con numerose curve se le locomotrici non sono molto efficienti e la strada ferrata non in buono stato difficilmente si possono tenere alte velocit Da fig 5 esaminando le pendenze individuate il tratto tra due fermate successive in cui il treno pi lento e quello in cui pi veloce Quindi usando la tabella 3 1 calcolate la velocit media del treno in tali tratti TAO pit LENTO irnaiinrraoon Velocit n MEDIA near VCLOCHA rr Il tratto in cui il treno viaggia pi lentamente anche il pi lungo e quindi quello in cui la velocit media risente meno delle fasi di partenza e arrivo in stazione Ci sembra confermare l idea dei Van Per Tren che la lentezza del treno dipenda dalla natura del percorso Consideriamo il profilo altimetrico della linea Padova Calalzo in modo da vedere se il tratto in questione affronta effettivamente una zona particolarmente montuosa DI In figura 6 il profilo stato rappresentato impiegando la stessa scala per la distanza da Padova lungo la linea ferroviaria asse orizzontale e per la altitudine asse verticale 10 km sono stati rappresentati con segment
364. o quindi chiamati isfogrammi di distribuzione percentuale 1 1 sport che sport che sport che nessuno sia I che S I ma non S S ma non I sport frequenza 4 3 8 5 1 Il simbolo co che si legge infinito impiegato per l ultimo intervallo indica una quantit infinita cio 190 ca rappresenta l intervallo costituito da tutti i numeri maggiori o uguali a 190 Anche gli istogrammi relativi ai consumi impiegati nella scheda 1 sono istogrammi di distribuzione gli oggetti sono le lire o euro spesi in consumi le informazioni sono i beni o i servizi per cui le varie lire sono state spese le modalit sono le categorie di beni e di servizi considerate Si parla di istogrammi di ripartizione o distribuzione assoluta dei consumi se sulla scala verticale sono rappresentati 1 dati assoluti di istogrammi di ripartizione percentuale se sono rappresentate le percentuali Gli istogrammi possono essere usati per visualizzare il confronto 2001 tra due o pi quantit ma non sempre si tratta di istogrammi di distribuzione A differenza del caso raffigurato a sinistra ripartizione della popolazione italiana nelle tre zone geografiche a destra popolazione ligure in vari anni non siamo di fronte a un istogramma di distribuzione 1 rettangoli non rappresentano le parti che compongono un totale un abitante conteggiato nel 2001 pu essere stato conteggiato anche nel 1991 nel 1981 Quali o quale d
365. o sulla destra Di qui si pu ricavare che AltreSpese 280 245 35 mila Risolvi il problema usando l equazione sostituisci prima alle variabili che rappresentano grandezze note 1 relativi valori utilizzando come unit di misura le migliaia di euro Negli esercizi seguenti vedremo altri problemi che si possono schematizzare e risolvere con un grafo ma che non facile risolvere con tecniche di calcolo simbolico 152 Algebra elementare Nei grafi a fianco cerca di trovare i valori di y e di x Vi sono casi in cui ci ti risulta impossibile Vi sono casi in cui per x o per y puoi trovare pi valori Tre paesi immaginari A B e C vivono in un economia chiusa ciascun paese esporta solo negli altri due e importa solo dagli altri due Supponiamo che ciascun paese sia commercialmente in pareggio esporta tanto 30 E quanto importa Possiamo perci rappresentare gli scambi commerciali con un Li grafo Se A esporta merci per 30 milioni in B e per 50 milioni in C e se C importa per altri 10 milioni da B ed esporta per 40 milioni in A a quanto ammontano gli E scambi commerciali di B cio quale numero deve essere scritto nel riquadro B del grafo Cinque amici hanno dei debiti crediti tra di loro A deve 40 a D D deve 80 a E C deve soldi sia a D che a E ma non si ricorda quanto deve a ciascuno B deve dei soldi a D ma non si ricorda quanti C sa che ha un debito complessivo di 30 D sa di essere in pareggio E s
366. o3 non in cambiol 138 La automazione 3 Il file riprodotto a sinistra accessibile da qui realizza la tabulazione di x gt Tx x3 1 riprodotta parzialmente a destra un file senza intestazione head Sono utilizzate delle funzioni round arrotondamento agli interi sqrt radice quadrata pow elevamento a potenza diverse dalle usuali operazioni artimetiche per impiegare le quali occorre usare una libreria ossia una parte secondaria del linguaggio JavaScript che caricabile usando with Math Il sottoprogramma Arr h n mette in a all arrotondamento di h alla n esima cifra dopo il punto decimale serve per avere degli arrotondamenti corretti in quanto l ultima cifra potrebbe differire da quella corretta L elenco dettagliato delle funzioni di JS lo trovi qui Il significato dei simboli Html amp minus amp gt amp radic lt sup gt lo puoi capire da solo lt PRE gt e lt PRE gt delimitano una parte di testo preformattato cio scritto in un font monospazio tutti i caratteri sia 1 che w occupano lo stesso spazio gli spazi bianchi vengono tutti considerati gli a capo vengono realizzati anche senza un lt br gt t e n indicano una tabulazione cio il posizionamento dei caratteri su successive colonne a distanza prefissata l una dall altra e un a capo Modificando solo for x 1 x lt 3 x x 1 10 e y sqrt x pow x 3 1 puoi tabulare altre funzioni in altri intervalli e Modifica il file e
367. oco reciproco 1 Per effettuare questa trasformazione la CT deve essere in grado di registrare il dato che ho introdotto con 1 tasti 1 e 2 e deve avere incorporato un Dx programma per l esecuzione del calcolo del reciproco n I tasti e sono tasti di funzione a input dopo la loro pressione viene segno visualizzato un numero che la CT calcola sulla base di un solo dato di input il e numero che appariva sul visore prima della pressione di o FA Se invece vogliamo calcolare il costo di un prodotto che pesa 2 45 hg e venduto al prezzo di 1 80 hg usiamo il tasto L nel modo seguente batto premo batto premo ottengo input funzione input output La moltiplicazione cos come la addizione la sottrazione e la divisione sono sd funzioni a 2 input l output viene calcolato sulla base di due dati di input 12 EE numeri che l utente ha battuto prima e dopo il tasto 0 o E o E MESE 12 moltipli _60 Gli input di una funzione a volte vengono introdotti direttamente 5 ere 63 dall utente altre volte sono output di funzioni calcolate in j precedenza Ad esempio di fronte a 12 5 9 la CT prima calcola La 5 E IS 12 5 e poi calcola 60 9 60 non viene introdotto dall utente Sulle CT non si possono introdurre direttamente i numeri negativi per visualizzare 6 occorre prima battere 6 e poi premere sc il tasto di cambio segno Scrivi la sequenza di tasti che devi si 5 battere per eseguire il calcolo di 3 5 Per ba
368. ola il valore consumo medio per famiglia in trasporti relativo all Italia arrotondalo a 3 cifre perch e confrontalo con quello contenuto in 5 5 consumo medio per famiglia in Italia consumo complessivol numero di famiglie TOTI E ii STA 100 p 2388 10000 p RITI E et ri al aa i i A I yoe 2388 OOE arrotondando a 3 cifre Scrivi la sequenza di tasti che conviene utilizzare per eseguire 11 calcolo precedente con la tua CT Abbiamo visto che la media aritmetica dei consumi per famiglia delle due zone geografiche non coincide con il consumo per famiglia italiano Ci dipende dal fatto che le spese per famiglia delle due zone influiscono diversamente sul consumo complessivo in quanto il numero delle famiglie per cui vengono moltiplicate diverso nei due casi Si dice che la spesa familiare di ciascuna zona ha un peso diverso sulla spesa familiare in Italia Dalla tabella 5 5 si vede che la spesa media in Italia pi vicina alla spesa media in SC che a quella in MI Infatti in SC sono presenti pi famiglie che in MI e quindi il valore relativo a SC pesa maggiormente facendo avvicinare a s il valore relativo all intero paese La situazione analoga a quella raffigurata a fianco il punto di equilibrio pi vicino all oggetto che pesa maggiormente 55 La famiglia Bianchi composta da due bambini piccoli dai loro due genitori e dai nonni paterni In questa famigl
369. olazione italiana invecchia Al gioved il programma serale pi seguito dagli italiani Il Partito ha guadagnato un punto percentuale rispetto alle precedenti elezioni Campionato di rugby la capoclassifica sta tenendo una media di 39 2 punti per partita ogni giorno sui giornali alla televisione nelle discussioni con gli amici ci troviamo di fronte a statistiche cio alla valutazione dei fenomeni pi disparati mediante numeri o rappresentazioni grafiche che ne indicano la frequenza o le dimensioni o l incidenza o le variazioni nel tempo o SI tratta dell uso della matematica socialmente pi diffuso dopo la misura del tempo lettura dell orologio calcolo del tempo trascorso e il calcolo economico calcolo del costo di un prodotto a partire dal costo unitario calcolo del resto E si tratta dell uso che presso la maggioranza delle persone caratterizza il ruolo della matematica le cifre non mentono i dati parlano da soli sono dei luoghi comuni assai diffusi che rivelano l idea che le rappresentazioni matematiche dei fenomeni diano luogo a valutazioni rigorose Questo pregiudizio spesso sfruttato da chi vuole convincere gli altri della bont delle proprie scelte o della convenienza del prodotto che vende o del fatto che le cose in un certo campo vanno bene o vanno male si sparano un po di percentuali e di grafici come a dire le cose stanno cos lo dice la matematica 2 2 fa 4
370. oli 1 grafici di x lxl 10 e di x lxl e II gi traccia i punti del primo sono ottenibili da quelli del grafico di x Ixl abbas I a sandone l ordinata di 10 cio applicando la traslazione verticale di passo Ay 10 i punti del secondo sono ottenibili dallo stesso grafico cambiando il segno dell ordinata Descrivi le figure sopra tratteggiate nelle forma x y condizione Disegna su carta quadrettata la figura x y NOT 9 lt x y lt 25 Disegna su carta quadrettata le figure 1 x y x 1 0 OR y 2 0 2 x y x 1 0 AND y 2 0 3 x y x 1 y 2 0 4 Ry amp Dy 2 0 Una macchina automatica deve fare un foro in un parallelepipedo di metallo vedi la figura a lato Nel programmare la macchina in quale dei seguenti modi descriveresti il foro 1 6 lt x lt 8 AND 3 lt y lt 7 AND 0 lt z lt 3 z 2 6 lt x lt 8 AND 3 lt z lt 7 AND 0 lt y lt 3 3 6 lt x lt 8 AND 3 lt z lt 7 AND 1 lt y lt 4 1 D feti e e ai diz54S 7a 0l ba ell Utilizzando un ragionamento fisico analogo a quello impiegato nel quesito 9 giustifica l equivalenza di a2 b a a b a b Verifica questa equivalenza anche con metodi algebrici i i b CUI SS a b a b A a b Mediante la CT calcola 443 42 13 42 Che cosa ottieni Trasforma il termine usando l equivalenza discussa nel quesito precedente con a 43 e calcola il nuovo termine Utilizz
371. olo simbolico termini ed equazioni equivalenti 0 Introduzione 1 Il simbolo 2 Calcolo simbolico Termini equivalenti 3 Equazioni equivalenti 4 Equivalenza algebrica e altri tipi di equivalenza 5 Esercizi Sintesi 0 Introduzione In pi occasioni abbiamo fatto uso di formule per rappresentare relazioni tra grandezze di vario genere e le abbiamo manipolate In questa scheda cercheremo di generalizzare 1 procedimenti impiegati 1 Il simbolo Il simbolo e le equazioni vengono usate in molti contesti Gli attribuiamo sempre lo stesso significato Consideriamo alcuni esempi Esempio A Usiamo l espressione 3 2 5 per indicare che 3 pi 2 fa 5 Per indicare che 5 scomponibile negli addendi 3 e 2 usiamo invece di preferenza l espressione 5 3 2 In realt le due equazioni affermano entrambe che i termini 3 2 e 5 hanno lo stesso valore Tuttavia nell uso comune viene spesso interpretato come pu essere sostituito con 3 2 5 viene inteso come 3 2 pu essere sostituito con 5 5 3 2 viene inteso come 5 pu essere sostituito con 3 2 Esempio B Per calcolare 3 2 con una CT battiamo 3 2 Qui rappresenta il comando per la CT di eseguire 1l calcolo impostato e visualizzarne il risultato 1 Indica la sequenza di tasti da premere per calcolare 3 2 4 con una CT senza priorit 2 Tizio per descrivere le operazioni che man mano esegue nel calcolo a mano di tale termine scrive 3 2 5 4
372. olta 100 miliardi a PERA DCO a Qual l ordine di grandezza di 1 198 270 000 000 Nota 1 Per rendere pi leggibile il numero 1198270000000 spesso come abbiamo fatto nel quesito si scrive 1 198 270 000 000 separando con degli spazi bianchi le cifre prese a tre a tre a partire dalla cifra delle unit In questo modo ci facile leggere 11 numero come 1 198 270 000 migliaia o come 1 198 270 milioni o come 1198 miliardi e rotti A volte si usa anche la scrittura 1 198 270 000 000 Sono usate anche mn e 1 198 270 000 000 ma ci si pu fare solo se per separare parte intera e parte frazionaria di un numero si usa invece di 1333 e 5 decimi gt 1 333 5 mn e 1 198 270 000 000 ma ci si pu fare solo se per separare parte intera e parte frazionaria di un numero si usa invece di 1333 e 5 decimi gt 1 333 5 Nota 2 A volte considerando ad esempio il numero 857 non si dice che ha ordine di grandezza delle centinaia ma che ha ordine di grandezza del migliaio perch 857 vicino a 1000 Analogamente del numero 9306 miliardi si pu dire sia che ha ordine di grandezza delle migliaia di miliardi sia che ha ordine di grandezza della decina di migliaia di miliardi vicino a 10000 miliardi Come fai a calcolare con una calcolatrice tascabile d ora in avanti useremo spesso CT al posto di calcolatrice tascabile o calcolatrici tascabili i consumi totali mens
373. omputer per memorizzare informazioni da usare su pi computer si ricorre a supporti per la memorizzazione sui quali possono essere registrate e lette con tecniche opportune sequenze di bit di varia lunghezza Pi personal computer possono essere collegati in rete in modo da poter mettere in comune dati programmi risorse ad es una stampante L insieme dei programmi in linguaggio macchina che il calcolatore impiega per il suo funzionamento per gestire programmi vari per comunicare con unit periferiche stampanti supporti di memorizzazione detto sistema operativo i sistemi operativi pi diffusi al momento sono Windows Mac OS Linux Una sequenza di informazioni registrata in forma codificata nella memoria del computer o su un supporto di memorizzazione con un nome specifico viene detta file termine inglese il cui significato originale archivio ad es un file pu essere costituito da una successione di dati numerici da un programma da un testo da una rappresentazione grafica La misura della memoria di solito viene espressa mediante un unit pari a 21 1024 byte detta kilobyte e indicata con KB o pi in breve K poich 1024 1000 Per quantit maggiori si ricorre ai Megabyte 1 MB K 1 milione di byte nota si usa KB invece di kB in quanto con la k minuscola si indicherebbero esattamente 1000 B La struttura fisica del calcolatore cio l insieme dei dispositivi meccanici elettrici magn
374. on sono di natura meccanica come accadeva per i contatori delle schede precedenti sequenze di ruote che cambiavano posizione automaticamente sotto l azione di ingranaggi e leve ma sono costituiti da sequenze di particolari dispositivi simili a interruttori detti flip flop che sotto l azione di impulsi elettrici possono assumere due sole posizioni SI tratta di dispositivi elettronici a differenza degli usuali interruttori che presentano un braccio mobile che pu collegare o sconnettere il filo in cui passa la corrente non contengono parti meccaniche ma impiegano alcuni materiali che hanno la propriet di cambiare la capacit di conduzione in seguito all applicazione di una opportuna tensione elettrica la parola elettronico trae origine dal fatto che le particelle cariche elettricamente il cui spostamento d luogo alla corrente elettrica sono chiamate elettroni Il pi noto di questi materiali detti semiconduttori il silicio Forse hai sentito parlare di Silicon Valley la Valle del Silicio non una localit da film western ma una valle della California cos soprannominata poich vi sono nate molte fra le pi importanti industrie del settore elettronico Un semiconduttore pu essere trattato opportunamente in modo da assumere propriet elettriche diverse dette di tipo N e di tipo P Se una stessa fettina di un semiconduttore viene trattata in modo da presentare uno strato con caratteristica P e uno con caratteristica N
375. onda del termine che considero posso conoscere il risultato con tutte o con una parte delle cifre I termini del quesito 19 da questo punto di vista non sono equivalenti neanche procedendo a mano Calcolando 1 3 posso ottenere 0 33 o se vado avanti nella divisione 0 33333 e cos via ma a un certo punto mi devo fermare Nel moltiplicare questo risultato per 3 ottengo 0 99 o 0 99999 o ma non ottengo mai esattamente 1 Se invece di 1 3 3 calcolo 1 3 3 ottengo esattamente 1 3 3 3 3 1 Dal punto di vista teorico in tutti 1 casi sopra considerati avevamo di fronte termini equivalenti Per distinguere questa equivalenza teorica dalle equivalenze pi operative di cui abbiamo appena discusso possiamo parlare di termini algebricamente equivalenti Quindi diremo che a b c algebricamente equivalente a a c b cio equivalente dal punto di vista del calcolo simbolico anche se pu non esserlo dal punto di vista del calcolo numerico 5 Esercizi Tra le seguenti equazioni quali fissata u e presa w come incognita hanno un unica soluzione Quali hanno un unica soluzione se si fissa w e si prende u come incognita prima di fare calcoli simbolici cerca di descrivere a parole il significato dell equazione e prova a ragionare su degli esempi numerici ad es risolvere la prima equazione rispetto a w un problema che pu essere espresso con quali sono i numeri w che sommati a u danno 0 u w 0 uw l u w w lul u w u 0w
376. one devo applicare sull impugnatura di una chiave perpendicolarmente a essa una forza con intensit di 10 kg e se nel frattempo F la mia mano descrive una traiettoria lunga 15 cm quanto lavoro compio Se faccio la stessa operazione con una chiave con impugnatura di lunghezza doppia quanto lavoro compio quanta forza devo applicare F Per cavare il tappo nella situazione raffigurata a fianco occorre esercitare sui bracci del cavatappi una forza complessiva di 25 kg Sapendo che l arco s1 descritto dalle mani lungo 15 cm e che lo spostamento s2 del tappo di 3 cm deduci quanto vale la forza d attrito tra tappo e bottiglia e10 Considera la figura a lato Siano Fu l intensit della forza che esercita verticalmente l uomo Ft l intensit della forza d attrito prodotta dal tappo contro la bottiglia D la distanza dal perno del punto in cui fa forza la mano d la distanza dal perno del punto in cui incernierata la vite del cavatappi Ovviamente d costante Per ognuna delle coppie Fu e Ft Fu e D Ft e D supposta fissata la terza grandezza stabilisci se c una relazione di diretta o di inversa proporzionalit Motiva la risposta Perch i ciclisti affrontando salite molto ripide procedono a zig zag e12 Nella figura seguente sono illustrati in scale diverse tre meccanismi di trasmissione a cisacuno dei quali in ordine sono riferiti 1 seguenti quesiti Affrontali diametri 1 di A doppio di quello di B
377. one la ruota finale B C o D corrispondente e tracciane sul medesimo sistema di riferimento il grafico Le ruote A B C e D hanno diametro di rispettivamente 20 10 15 e 5 cm Fix gt 2x G x gt 2 3 F x H x gt 3 G x Da una cartina ricavo che una funicolare ha un percorso rettilineo che si sviluppa orizzontalmente per 850 metri cio tale la lunghezza della sua proiezione su un piano orizzontale Su una guida della citt leggo che tale percorso ha una inclinazione costante di 25 Utlizza opportunamente la figura seguente e una riga per determinare il dislivello superato dalla funicolare e la pendenza del percorso Spiega come hai proceduto 210 Per strada 2 SUGLI rr IIII LI FORNO pie L LI E E E E E Ciascun alunno utilizzando una cartina o misure pi o meno dirette mediante un contachilometri dell auto della moto del bus utilizzando l orario ferroviario contando i passi se fatti uguali trova la distanza lungo la strada D della propria abitazione dalla scuola inoltre per una settimana misura ogni mattina il tempo T per raggiungere la scuola sottraendo l eventuale tempo speso per chiacchierare con amici e per altre soste Con questi dati a si studiano con opportuni modelli matematici di tipo grafico e di tipo numerico il modo in cui si distribuiscono 1 valori di D relativi all intera classe b dopo che ogni alunno ha calcolato la media aritmetica TM dei val
378. oni aritmetiche da eseguire basta che il procedimento di calcolo sia stato memorizzato sotto forma di programma Vediamo ad esempio l uso del programma Stat per studiare come nel 1926 i consumi degli italiani si ripartivano nelle varie voci vedi tabella seguente 36 Le statistiche 1 milioni di lire L utente per ciascuna voce batte una lettera seguita dal dato corrispondente Poi clicca I per introdurre 1 dati farli leggere dal computer In un altra finestra compare la distribuzione percentuale Cliccando Plot compare in un ulteriore finestra il relativo istogramma TDLCLTIL 124205 dati in righe media E mediana A e2 058732 Bi 2 09973195 C 14 217623 D 5 5142713 E 2 753512 F 12 3159 55 Prova a usare Stat per calcolare le percentuali e fare gli istogrammi relativi alla tabella 1 1 e confronta con figura 8 quanto ottieni Nel 1989 in Italia un abitante ha consumato mediamente 26 3 kg di carne bovina 26 5 kg di carne suina 30 3 kg di carne di altro tipo pollo agnello pesce nel 1969 gli stessi consumi sono stati rispettivamente di 23 5 9 3 e 17 5 kg Per entrambi gli anni calcola alutandoti con la CT la distribuzione percentuale del consumo di carne e utilizzando un foglio di carta millimetrata tracciane l istogramma Rifai le stesse elaborazioni statistiche usando il programma Stat e confronta quanto hai ottenuto nei due modi Calcola la somma delle percentuali riportate n
379. ono moltiplicate per uno stesso numero 14 La matematica e i suoi modelli 2 DI In altre parole il rapporto base altezza costante se la base tot volte l altezza in tutte le riproduzioni proporzionate la base continua a essere tot volte l altezza Invece il rettangolo ottenuto spostando il vertice P nel punto non appartenente a r un ingrandimento sproporzionato del rettangolo tratteggiato la base stata ingrandita maggiormente dell altezza Dunque ogni chilometro la tariffa aumenta di circa 66 1000 0 066 Questo 0 066 km il rapporto approssimativo tra l aumento del prezzo e l aumento della percorrenza In conclusione possiamo dire che grosso modo le tariffe crescono regolarmente all aumentare della lunghezza del percorso e che il prezzo euro pi euro meno dato dalla formula 1 2 PREZZO in 4 n di CHILOMETRI PERCORSI 0 066 tnt 5 Il punto a mezza altezza un simbolo per indicare la moltiplicazione Lo useremo spesso in alternativa al simbolo x Una formula che come questa abbia la forma cio sia costituita da due termini separati dal simbolo di eguaglianza viene detta anche equazione La formula 1 2 rappresenta le tariffe ferroviarie in forma assai concisa Tuttavia non le rappresenta esattamente ma in modo approssimato Consultare Internet o altre fonti di informazione delle Ferrovie indispensabile se si vuole conoscere esattamente il costo di un viagg
380. ordine di grandezza 2 o dei centesimi Per confrontare due numeri positivi occorre 1 in prima istanza confrontare i loro ordini di grandezza Ad es 0 031 e 0 0079 hanno ordini di grandezza 2 e 3 Il primo maggiore del secondo quindi 0 031 maggiore di 0 0079 2 se il passo 1 non stato risolutivo cio se i numeri hanno stesso ordine di grandezza sia esso n confrontare le cifre iniziali cio le cifre di posto n Ad es 35689 e 40205 hanno stesso ordine di grandezza 3 minore di 4 quindi il primo numero minore del secondo 3 se il passo precedente non stato risolutivo confrontare le cifre successive cio porre n n e confrontare le cifre di posto n Ad es 0 46 cio 0 46000 e 0 4 cio 0 40000 hanno stesso ordine di grandezza 1 stessa cifra di posto 1 ma differenti cifre di posto 2 6 maggiore di 0 quindi il primo numero maggiore del secondo 4 se il passo precedente non stato risolutivo procedere come in 3 e cos via 3 Numeri limitati e numeri periodici Come si fanno le operazioni tra numeri reali Voi sapete eseguire le operazioni con 1 numeri limitati cio con i numeri composti da una sequenza finita di cifre o meglio che da un certo punto in poi hanno tutte le cifre uguali a 0 Sono i punti che corrispondono a tacche Si procede riconducendosi ad operazioni con numeri interi Vedi gli esempi seguenti riferiti al calcolo di 1456 3 47 932 12 3 0 21 12 0 3 1456 30
381. ore di T5 il suo troncamento 2 2360679 o il suo arrotondamento 2 2360680 a 8 cifre Comunque in genere sufficiente conoscere una quantit piccola di cifre Un officina deve realizzare una piastra di lamiera di forma quadrata che abbia area di 5 m Gli strumenti con cui vengono tagliati 1 fogli di lamiera possono essere regolati utilizzando delle scale graduate che arrivano a rappresentare i decimi di millimetro Qual l approssimazione di 45 che sarebbe sufficiente conoscere per realizzare la piastra 6 Composizione di funzioni Funzioni inverse Abbiamo visto in 1 che per calcolare x y quando il tasto E della CT non funziona si pu ricorrere ai tasti X moltipli im e Lx componendo opportunamente la funzione E Ly cazione bai reciproco a 1 input e 1 output e la funzione moltiplicazione a 2 input e 1 output Cerca nel 1 un grafo che rappresenti la composizione di due funzioni entrambe a 2 input e 1 output Ingrandisco un disegno con fattore di scala 2 e poi ingrandisco il nuovo disegno con fattore di scala 3 Posso rappresentare ci con il grafo a fianco in cui f la funzione x gt x 2 g la funzione x gt x 3 e g indica la funzione ottenuta componendo f e g cio x gt g f x x 2 3 x 6 In questo caso sia f che g sono la moltiplicazione di un input variabile per un fattore costante per cui vengono rappresentate con scatole in cui entra 1 sola freccia La automazione 2 97
382. ori di T rilevati durante un intera settimana si studia il modo in cui si distribuiscono 1 valori di TM relativi all intera classe c si calcolano poi i valori V D TM dei vari alunni e si studia il modo in cui si distribuiscono d si procede come in c per VS D TS dove TS il tempo impiegato al sabato e si fanno opportuni confronti tra quanto ottenuto per D TM V e VS La tabella ottenuta con i programmi considerati in e4 pu essere ottenuta anche con gli allegati programmi QB e JS Prova a generarla anche con uno di essi e spiega l impostazione di esso Nella scheda abbiamo usato come unit di misura per la forza il chilogrammo kg Ad essere rigorosi avremmo dovuto chiamarlo chilogrammo forza kgf in quanto il chilogrammo l unit di misura della massa La massa di un corpo non dipende dalla posizione del corpo mentre il suo peso cio la forza che lo attrae verso il centro della terra diminuisce all aumentare dell altitudine Non uguale neanche a parit di altitudine essendo la Terra leggermente schiacciata e per effetto della forza centrifuga il peso ai poli maggiore che all equatore In alternativa al kgf si usa in fisica il Newton che la foza che applicata ad un corpo di massa 1 kg gli imprime una accelerazione di 1 m s Per esercitarti sull argomento vedi questo script albero Motore Tuota pusteTiore e19 Il ciclomotore di Rina dotato di un variatore automatico del rapporto di trasmissione A fi
383. orno di nascita viene indicato senza aggiungere 40 Quali sono il sesso e la data di nascita di M Rovati se il suo numero di codice fiscale inizia con RVTMRA60L60 Nel caso 1 5 eravamo di fronte a una espressione 38155 80 che aveva lo scopo di identificare una particolare cosa un conto corrente bancario 1 6 non ha invece solo lo scopo di identificare una persona come potrebbe essere il numero associato ad un alunno nel registro di classe ma ha anche quello di rappresentare alcune informazioni su di essa Infatti il codice fiscale un codice che traduce in una sequenza di 16 simboli lettere o cifre tutta una serie di informazioni 010 210407 in 1 7 rappresenta un punto terminale della rete telefonica di un certo distretto telefonico ad es il tratto di linea a cui sono collegati gli apparecchi telefonici di un particolare appartamento di una data citt un numero che non ha alcun significato quantitativo del resto non letto come 10 milioni 210 mila 407 Alcune cifre possono invece indicare alcuni riferimenti geografici della zona dell appartamento in cui arriva la linea telefonica Nel caso 1 8 il numero 507 indica una particolare camera dell albergo Negli alberghi e in genere nelle ditte e negli enti che hanno uffici disposti su pi piani la numerazione delle stanze ha questo significato stanza 507 7 stanza del 5 piano Infine gli usi della parola numero fatti in 1 5 e in 1 6 sono sicuramente legittimi ne
384. orpo umano una macchina assai complessa per cui al variare della posizione le forze che devono esercitare i vari muscoli cambiano e cambia il modo in cui parte di esse vengono scaricate sulle strutture portanti ossa delle gambe del tronco Nota 2 Generalizzando il caso del sollevamento dei pesi data una forza di intensit costante F che trainando o spingendo un oggetto produce un movimento man mano diretto come la forza con traiettoria lunga s viene chiamato lavoro fatto dalla forza il prodotto F s Le macchine semplici gt scheda 1 di La automazione sono macchine che come il paranco del nostro esempio trasformano il movimento prodotto dall operatore in un altro movimento in modo da cambiare forma al lavoro Nel caso del paranco dell argano del piede di porco e del cavatappi una traiettoria lunga s viene trasformata in una traiettoria di lunghezza s2 minore in modo che la forza esercitata viene trasformata in una forza maggiore Nel caso della bicicletta invece alla traiettoria percorsa dal pedale corrisponde una traiettoria percorsa dalla bicicletta che pi lunga la forza che dobbiamo esercitare sui pedali maggiore della forza con cui un altra persona a piedi ci dovrebbe spingere ma in cambio possiamo muoverci pi velocemente Usando il teorema di Pitagora possiamo trovare il valore di s in metri relativo alle due strade Per la strada pi breve abbiamo s Y a h 7502 552 565525
385. ortato il numero medio dei morti in un anno ad es nell intervallo di anni di et 5 10 vi sono stati in media 343 centinaia di morti all anno anni 0 4 5 9 i0 19p0 29 p0 39 10 4950 59 0 74p5 so a 1988 68 10 31 66 70 161 423 1516 2983 1881 90 1951 1988 La tabella 6 2 indica troncata agli interi del totale dei morti IT 6 l et mediana dei morti e l et mediana di dei morti nella fascia 5 c0 69 quelli morti dopo aver compiuto 5 anni e Completa la tabella usando Stat Procedi nel seguente modo a I dati della tabella 6 1 sono registrati nei file mor1 1881 90 mor2 1951 e mor3 1988 Analizza questi file e completa la prima riga di 6 2 e controlla la mediana del 1951 b Modifica morl mor2 e mor3 togliendo la prima riga di dati in modo da rappresentare solo i morti con almeno 5 anni di et e d nomi 1 2 e 3 ai file ottenuti c Analizza 1 nuovi file e completa la seconda riga di 6 2 6 2 Infine commenta la tabella 6 2 Per confrontare gli istogrammi di mor3 e di mor4 vedi ques el3 conviene ricorrere a istogrammi non a basi uguali Perch Completata la tabella seguente scegli tra 73 anni e 83 anni qual stata nel 1988 l et mediana dei morti maschi e quale quella dei morti femmine _ _ 0 59 6074 morti nel 1988 829 16 1516 28 2983 56 5328 100 per classi di et 552 20 946 34 1278 46 2776 100
386. os definita di x e y sono in relazione se sono entrambi interi positivi e hanno come ini iizilizizi zii ZELL e12 o f Completa a fianco il grafico della relazione Siebel SEE ERE Genelehe x e y sono interi appartenenti all intervallo 3 3 tali che x gt y Sono gi tracciati 1 punti corrispondenti alle seguenti diseguaglianze 2 gt 1 2 gt 0 1 gt 2 1 gt 3 Le statistiche 2 85 e13 A fianco sono riprodotte le rette che sono grafici l 5 GU 3 II i d r npronnnnnnnnnnnnn nunn pnnn nnnm delle relazioni PONS PUNS FOTS TETT EENT Oo PNE i y x Ri ra ali aa a ui Calcola la pendenza spostamento i iL fi i verticale spostamento orizzontale delle tre rette 5 7 6 1 iL ELl AT DI E TE OTA E E AN IT ELET Eos drone ei a Ea 4 4 TE EREN E E E CA T e14 Le relazioni del quesito e13 rappresentano y in funzione di x Dato x si pu ricavare y sia usando le equazioni che ricorrendo al grafico ad esempio nel caso di y x 1 2 si pu stabilire che a 3 viene associato 3 6 osservando che l unico punto con x 3 del grafico ha y 3 6 Liiati Nel caso del grafico di figura 2 che rappresenta i record e peT gli anni in cui sono stati stabiliti e che stato parzialmente 4220 riprodotto a sinistra non siamo di fronte a una i i DE rappresentazione del record in funzione dell anno non basta usi fissare un anno per individuare un particolare record in quanto LL 210 nello s
387. owser applicazione come Mozilla Internet Explorer per interpretare i documenti Html e ne abbiamo visto il documento sorgente cio il testo redatto con un qualunque editor comprendente il contenuto verbale del documento e i tag contrassegni ossia i comandi racchiusi tra parentesi angolari lt e gt che contengono indicazioni sui formati in cui visualizzare il contenuto verbale le eventuali immagini da inserire 1 collegamenti ad altri documenti e indicano le azioni da eseguire descritte tra i comandi script I tag head intestazione lt head gt e lt head gt delimitano la parte del sorgente in cui sono contenute informazioni o comandi riferiti all intero documento Seguono comandi indicano ci che viene visualizzato 1 tag center fanno s che esso sia raffigurato centrato invece lt br gt break comanda un a capo La parte del documento organizzata in caselle modulo tra 1 tag form essa forma un oggetto ossia un componente a cui con la propriet name viene dato nome C Le caselle sono dei sotto oggetti del modulo specificati con 1 tag input a ciascuna viene dato un nome t d pulsante r ed altre propriet a tre specificate come type text viene assegnata size dimensione 24 sono delle celle che possono accogliere 24 caratteri sull altra casella specificata come type button torniamo tra poco value assegna un eventuale valore iniziale agli oggetti precedenti nel caso del
388. partire dall analisi di situazioni reali e dalla discussione di problemi culturali di pi ampio respiro anche mediante interazioni con le altre discipline I programmi contengono argomenti come la Statistica e la Probabilit presenti da molti anni sin dalla scuola elementare ma che spesso sono stati trascurati Prevedono inoltre una forte riduzione delle attivit meccaniche di calcolo letterale e numerico a favore di una padronanza consapevole dell uso dei mezzi di calcolo anche questo aspetto fondamentale stato sovente non osservato In MaCoSa si tiene conto di questi aspetti e si d grande importanza all uso appropriato dei linguaggi della matematica e alla applicazione corretta dei modelli matematici equa zioni funzioni diagammi alle situazioni reali aspetti entrambi importanti per usare consapevolmente la matematica di oggi Questo libro non opera di un singolo autore ma il risultato del lavoro di insegnanti della scuola superiore e dell universit che hanno preparato le schede di lavoro e le hanno sperimentate in varie classi Anche la vostra esperienza ci sar utile per rivedere e migliorare il materiale Grazie della collaborazione Nucleo di Ricerca Didattica MaCoSa 2 Introduzione Nota Il volume stampato dalla casa editrice Aracne contiene la versione forte delle schede Nello schema seguente sono indicate le parti che possono essere omesse in alcune schede In rete sono presenti le schede n
389. pionaria il procedimento con cui si sono estratti gli oggetti di cui raccogliere le informazioni viene chiamato campionamento Un famoso esempio di indagine non campionaria sulla popolazione italiana costituito dai censimenti che vengono effettuati ogni dieci anni 1971 1981 1991 intervistando attraverso opportuni questionari tutti gli italiani Se chiedeste a ciascuno studente delle classi prime della vostra scuola quale numero di scarpa porta e analizzaste 1 dati cos raccolti che cosa realizzereste un indagine campionaria sugli studenti delle classi un indagine campionaria sui ragazzi 1 della vostra scuola italiani di 14 15 anni E un indagine completa sugli studenti delle classi 1 un indagine completa sui ragazzi E ut i L della vostra scuola italiani di 14 15 anni Supponiamo che con l indagine del quesito 12 si voglia effettuare un analisi statistica sui ragazzi italiani di 14 15 anni Il campione scelto ti sembra rappresentativo cio adeguato a fornire informazioni estendibili all intera popolazione italiana di 14 15 anni termini campionaria campionamento derivano dalla parola campione intesa come esemplare rappresentativo pensa al rappresentante che mostra campioni dei beni prodotti dalle ditte per cui lavora La parola stata poi estesa al significato statistico di parte rappresentativa di un certo insieme di soggetti E importante fissare l attenzione sull aggettivo rappresenta
390. potenusa di un triangolo rettangolo di cateti z bi a e b L estensione di questo quadrato uguale a Perci a b a Con il programma in JavaSript a cui puoi accedere da qui o con quello in QB accessibile da qui puoi analizzare il significato degli operatori logici ottenendo esiti simili al seguente Stampo se sono vere o false le condizioni P x y Q z w e le condizioni NOT P P AND Q P OR Q P Q NOTP P ANDQO PORQ x y 2 2 z w 2 2 V V F V V x y 2 2 z w 2 1 V F F F V x y 2 1 z w 2 2 F V V F V x y 2 1 z w 2 1 F F V F F Gli operatori logici sono comodi per rappresentare condizioni che non sono rappresentabili con un unica equazione o un unica disequazione Ad es 0 lt x lt 10 una abbreviazione della condizione x maggiore di 0 e minore di 10 che pu essere espressa con 0 lt x AND x lt 10 o x lt 10 AND x gt 0 o Infatti P AND Q vera solamente nel caso in cui siano vere sia P che Q penultima colonna delle uscite sopra riportate Nel linguaggio comune la congiunzione e a volte viene usata nello stesso significato di AND in se Gianni ha fretta e senza auto gli presto la mia si intende dire che se sono vere entrambe le condizioni Gianni ha fretta Gianni senza auto l auto viene prestata In genere e ha invece significati diversi a se prende l ascensore e sale al 6 piano trova l ufficio a cui deve rivolgersi basta che la persona compia le due azioni di prendere l ascensor
391. pportunamente potenti possiamo conoscere quante cifre vogliamo di x e di y ordinate 2 3 HE assex 2 ascisse 4232 41 OM 2 3 45 Rappresentando graficamente dati relativi a fenomeni di vario genere figura 2 dove un punto x y del grafico rappresenta il fatto che nell anno x il record in vigore era y centimetri gt scheda 2 di Le statistiche spesso a divisioni orizzontali e verticali uguali vengono associati intervalli numerici di diversa ampiezza cio la scala orizzontale e quella verticale vengono scelte differentemente Invece quando su un pp foglio di carta millimetrata o quadrettata si vogliono rappresentare semplicemente delle figure geometriche punti che rappresentano solo posizioni linee o altri insiemi di punti che non rappresentano relazioni tra grandezze ma solo traiettorie o altre parti di spazio la graduazione orizzontale e quella verticale vengono scandite con la stessa unit di 1932 1986 misura in figura 1 l intervallo 0 1 rappresentato da divisioni uguali sia sulle rette figura 2 graduate verticali che sulle rette graduate orizzontali CITI 110 A A anni La retta graduata orizzontale di ordinata 0 viene chiamata asse x La retta graduata verticale di ascissa 0 viene chiamata asse y Il punto 0 0 che sta all incrocio di queste due rette viene chiamato origine A volte il piano numerico viene chiamato piano cartesiano a ricordo di Cartesio matematico e filosofo francese vissuto
392. presentano le relazioni indicate a fianco Associa ad ogni relazione il grafico corrispondente 1 x y c Quale tra le precedenti relazioni pu essere scritta nella forma y x 2 y x d Qual l insieme di definizione delle due relazioni che sono anche funzioni 3 x ye y gt 0 x y La automazione 2 101 Puoi ottenere la figura B del quesito e8 come grafico di un unica funzione Usa opportunamente Poligon o un altro programma per ottenere tale figura e10 Usa Poligon o un altro programma per tracciare il grafico della funzione identit F x x funzione che restituisce l input identico a come entrato il grafico della funzione reciproco G x 1 x e il grafico della funzione cambio segno H x x scegli un sistema di riferimento monometrico Se uno di questi grafici passa per il punto x y secondo te passa anche per il punto y x prova con qualche esempio La funzione reciproco e la funzione cambio segno hanno la propriet di coincidere con la loro funzione inversa Prova a spiegare e motivare questa affermazione e12 Usando Poligon o un altro programma traccia 1 grafici di F e G nei casi seguenti e prova a concludere se F x e G x sono termini equivalenti Poligon interpreta ABS e R2 come simboli delle funzioni valore assoluto e radice quadrata a F x Abs x G x R2 x 2 b F x Abs x G x Abs x c F x Abs x 2 G x Abs x 2 d F x x 1 x G x x x x G x 3 x 2
393. pu essere utile soprattutto per 1 primi tempi provare a esplicitare a parole e con una regola di riscrittura il procedimento che si impiegato Questo aiuta a controllare se sono presenti errori Si rallenta un po la velocit di calcolo ma questa non la cosa pi importante l importante non commettere errori Come gi osservato in caso di incertezza nel trovare il procedimento da usare o nel controllo della regola scelta o della sua applicazione pu essere utile fare qualche esempio numerico o pensare a qualche situazione d uso di tipo geometrico fisico come si visto dopo il ques 8 o nel ques 14 o di altro genere ad es il ricordo che premendo 2 volte sul visore ricompare il numero di partenza pu suggerire la regola 1 1 a gt a Del resto ai nostri giorni anche 1 calcoli simbolici vengono svolti utilizzando opportuni programmi al calcolatore Ci che occorre scrivere 1 termini correttamente cio seguendo il linguaggio convenzioni simboli utilizzato dal programma che si impiega e dare man mano i comandi giusti per effettuare le trasformazioni che ci interessano E per entrambe queste cose occorre avere chiara la struttura del termine su cui si opera e saper individuare le regole di riscrittura che si vogliono applicare Nel paragrafo di esercizi sono presenti altre riflessioni sulla riscrittura dei termini altre saranno affrontate in schede di lavoro successive Per una sintesi potrai poi usar
394. quadretti Di conseguenza i consumi alimentari 137469 10 sono stati rappresentati con poco pi di 2 quadretti e quelli E i E non alimentari 800471 10 con 8 quadretti Il confronto tra le altezze 23 se dei due rettangoli ci d subito un idea visiva del rapporto tra i due a n consumi Infatti il rapporto tra le altezze dei rettangoli uguale al i 22 rapporto tra i dati che esse rappresentano Per comprendere meglio questo fatto facciamo riferimento alla figura 3 di in cui sono raffigurate due diverse piantine su carta millimetrata della detail G cucina di un appartamento Le basi dei vari mobili sono state raffigurate copta posas tracciando lati con lunghezza pari alla lunghezza reale degli spigoli alim non alim moltiplicata per la scala cio per il fattore di riduzione vengono moltiplicate per 1 100 cio divise per 100 in un caso vengono moltiplicate per 1 200 cio divise per 200 nell altro Poich tutte le distanze vengono moltiplicate per lo stesso fattore 1 mobili non vengono rappresentati sproporzionatamente sia in una piantina che nell altra le basi dei mobili mantengono la forma che hanno nella realt Le statistiche 1 29 1 100 i1cm im figura a 1i mm 10 em clicca per ingrandire 18 Sotto raffigurata in dimensioni reali disegno A con tratteggio fitto la chiave di un piccolo armadietto B e C sono due sue riproduzioni in scala un ingrandimento e un rimpicciolimento
395. quel che luccica 2 col tempo e con la paglia maturano le nespole 6 non vendere la pelle dell orso prima d averlo ucciso 3 l abito non fa il monaco 7 dai tempo al tempo 4 Roma non fu fatta in un giorno 8 ride bene chi ride ultimo e Facciamo un ultimo esempio Come le fotografie sono modelli delle situazioni fotografate perdono la tridimensionalit modificano parzialmente i colori tagliano delle parti e altre non le mettono bene a fuoco cos le immagini mentali che fissiamo nella nostra memoria sono modelli di ci che abbiamo visto Ma queste per certi aspetti sono pi ricche per altri pi povere delle fotografie Infatti memorizzando perdiamo molti aspetti su cui non abbiamo fissato l attenzione e nello stesso tempo arricchiamo la nostra immagine inserendo aspetti che traiamo da altri ricordi o deduciamo dalle nostre conoscenze Se ci riflettete un attimo troverete sicuramente molti esempi che confermano questa osservazione Comunque ricordiamo due tipi di esperimenti famosi Il primo si riferisce alle testimonianze oculari nella costruzione degli identikit o nel riconoscimento mediante fotografie i ricordi sono spesso inconsciamente deformati dai pregiudizi dai prototipi di criminale che il testimone ha in testa o dai suoi tentativi di interpretare 1 fatti ad es da molti esperimenti risulta che dopo la visione di un filmato di un delitto in cui non si vede mai il volto del colpevole la grande maggio
396. ra binaria cifra impiegata nella notazione numerica binaria cio a due cifre Il vantaggio dei dispositivi di registrazione elettronici rispetto ai dispositivi meccanici ruote dentate e simili quello di essere estremamente pi piccoli con opportune tecniche produttive in una piastrina grande quanto un unghia possono essere realizzati circuiti elettrici contenenti migliaia di flip flop e pi facili da produrre I registri della CT che stiamo considerando nel nostro esempio sono organizzati nel modo illustrato nella figura 2 DIRE suit mm 1 il segno e ogni cifra I segni vengono codificati con 1 bit 0 il segno viene codificata con 4 bit Questa rappresentazione dei numeri viene chiamata BCD che sta per binary coded decimal notazione decimale codificata con un alfabeto binario figura 3 Provate a descrivere un procedimento per generare in ordine le cifre in codice BCD e completate la tabella Quanti bit impiega la nostra CT per memorizzare un numero Come codifica internamente il numero 0 1 la nostra CT figura 3 94 La automazione 2 5 Altri tasti funzione La radice quadrata In una CT sono incorporati memorizzati in opportuni dispositivi elettronici programmi per eseguire le quattro operazioni Cos come nel calcolo a mano possiamo utilizzare procedimenti diversi la conta oppure le tabelline per eseguire queste operazioni con le CT possono essere utilizzati programmi che traducono algo
397. ra l equazione x4y 100 precoci beh ME hetere LO Invece di scrivere l insieme degli tali che sia vera la condizione T si RELA ERRE REA i possono usare le abbreviazioni ni na fa tc T o a T o a r EE E EE EEE Quindi il cerchio centrato nell origine e di raggio 10 pu essere descritto come x y x y7 100 Traccia in figura 6 l insieme di punti descrivibile come x y x2 y2 29 Il cerchio di figura 6 lo avremmo ottenuto anche tracciando il grafico in 10 10 della funzione x gt T 100 x e della funzione x gt 100 x Nel quesito 8 abbiamo visto che l insieme dei punti che distano 10 dall origine secondo la distanza urbanistica ha la forma di un quadrato La distanza urbanistica di P x y da O IxI Iyl Non altro che la somma dei valori assoluti delle componenti del vettore P 0 Ad esempio il punto 6 4 dista 10 da 0 0 in quanto per spostarmi orizzontalmente da x 0 a x 6 devo variare la x di 6 per spostarmi da y 0 a y 4 devo variare la y di 4 cio di 4 in meno la somma dei valori assoluti delle variazioni 10 Possiamo dunque dire che il quadrato rappresentato a lato x y Ixl lyl 10 Se non avessimo scelto un sistema monometrico E pendenza in Gli oggetti matematici avremmo potuto ottenere per il nostro cerchio e il nostro quadrato le rappresentazioni a lato L aspetto non pi quello di un cerchio o di un quadrato se misuriamo fisicamente le
398. racciare i segni in cui posizionare la sega 5 cm o 6 cm o 5 6 cm o 5 8 cm o perch c Stima di quanto potrebbe differire da 17 cm la pila che si ottiene con i blocchetti cos costruiti Nota Con una misurazione non si possono trovare tutte le cifre che esprimono il valore di una grandezza Tuttavia vi sono grandezze di cui si conosce la misura esatta Si tratta di grandezze il cui valore viene assegnato convenzio nalmente ad es si assumono come misura della temperatura dell acqua in ebollizione al livello del mare cio alla pressione di 1 atmosfera il valore 100 000 C e come misura della temperatura dell acqua che sta solidificandosi al livello del mare il valore 0 000 C Si possono poi conoscere esattamente le misure di grandezze che possono dedursi con calcoli matematici da altre misure esatte Ad es possiamo dire che un quadrato che abbia lato lungo esattamente 2 4 cm ha area pari esattamente a 2 4 5 76 cm 2 La retta dei numeri I numeri vengono spesso rappresentati disposti lungo una linea retta che possiamo immaginare come l unione di due nastri misuratori senza spessore e senza fine disposti su direzioni opposte e con la tacca 0 in comune Il nastro destro rappresenta i numeri positivi il nastro sinistro quelli negativi Questa linea viene chiamata retta o linea dei numeri o A e 1 O 1 2 Ri 4 na Naturalmente questa linea non da intendere come una linea del tipo di quelle che si possono tracciar
399. rade della cittadina si incontrano perpendicolarmente formando un reticolato vi sono altri percorsi brevi come quello scelto da Otto El e4 A4 basta che a partire dalla fermata del bus si proceda percorrendo le strade El E3 D3 D4 A4 orizzontali solo verso destra e le strade verticali solo verso l alto cio avvicinandosi sempre alla scuola F Quante sono le traiettorie che comportano la minima percorrenza Aiutati completando la tabellina a fianco in cui sono gi parzialmente riportate alcune traiettorie minime la riga in corsivo rappresenta la traiettoria seguita da Otto nf WI NINNI Wu BRISES fEl fee e AF O 00 N S Vi A LU N SALUTI 0 Dunque se le strade sono parallele ai bordi abbiamo 2 1 distanza lungo la strada lvariaz della coord orizzontalel lvariaz della coord verticalel Se voglio conoscere la distanza in linea d aria fermata scuola e non dispongo di una riga come posso procedere Posso ad es disporre una striscia di carta lungo lo spostamento fermata scuola e con una mati ta o con delle piegature segnare su di essa la posizione della fermata del bus e quella dell ingresso della scuola Spostando la striscia lungo uno dei bordi posso poi individuare la corrispondente distanza in metri Opera in questo modo in figura 7 sulla riproduzione della cartina Quale valore p arrotondato alle decine di metri trovi Bai 0 L Qualcuno di voi sa escogit
400. rafo 1 regolata da un automatismo che sulla base delle scelte man mano compiute dal giocatore sulla base del tempo trascorso sulla base degli oggetti di cui il giocatore dispone stabilisce 1 messaggi da far comparire sul video Lo stesso si pu dire per la macchina statistica 4 Come puoi schematizzare con grafi simili al precedenti ci che entra e ci che esce da uno sportello di informazioni automatico da un automobilina telecomandata dal contachilometri di un automobile Confronta le tue idee con quelle dei tuoi compagni e poi riproduci i grafi che avete concordato 5 Nelle macchine del quesito 4 sono presenti automatismi 60 La automazione 1 4 Dati e programmi Consideriamo un carillon E una macchina che produce suoni autonomamente Sulla superficie laterale di un cilindro sono fissati dei pioletti man mano che 1il cilindro ruota 1 pioletti urtano e fanno vibrare delle lamelle metalliche di diversa lunghezza a cui corrispondono diverse note musicali lamella urtata pri anr f informazioni i sezione del Hii cilindro figura 2 La musica prodotta pu essere interpretata come una sequenza di informazioni si susseguono una nota un intervallo di tempo una nuova nota un nuovo intervallo di tempo informazioni che sul cilindro sono rappresentate dalla disposizione dei pioli L uomo interviene solo inizialmente per dare la carica Questo movimento dell uomo a differenza del caso della bicicletta o del
401. re i secondi premere A al segnale orario 4 Premere C 5 Se si vogliono regolare le ore premere ripetutamente A fino a ottenere il numero voluto 6 Premere C 7 Se si vogliono regolare i minuti premere ripetutamente A fino a ottenere il numero voluto 8 Premere C 9 Sesi vuole regolare il mese premere ripetutamente A fino a ottenere il numero voluto 10 Premere C 11 Se si vuole regolare il giorno premere ripetutamente A fino a ottenere il numero voluto 12 Premere B La automazione 1 67 Istruzioni numerate e diagrammi di flusso possono essere impiegati per rappresentare non solo comportamenti che si devono tenere ma anche strategie con cui si pu affrontare un problema Consideriamo un esempio molto semplice il gioco Indovina numero 6 3 a i Sul quadrante mostrata cal Un giocatore A pensa e scrive su un foglio un numero intero che pu andare da 0 a 100 Un altro giocatore B tenta di indovinare il numero Ad ogni tentativo A deve dire a B se ha indovinato il numero e in tal Sremit ci caso la partita finita se l ha superato o se rimasto al di sotto Nelle partita successiva A e B invertono i ruoli E cos via Alla fine vince chi ha fatto complessivamente meno tentativi a vuoto no Le istruzioni numerate seguenti rappresentano la strategia pi elementare Premi A che si pu seguire abbiamo indicato con X il numero da indovinare I numero dei minuti giusto a 1 Devo cercar
402. rementato di 1 fino a che raggiunge il valore 10 e Cliccando qui viene avviato un programma per calcolare la somma e la media di una quantit qualunque di dati l utente dato 17 batte un dato clicca e automaticamente vengono 3 somma 40 aggiornati i valori del contatore della somma e della media 13 333332233322224 media Il bottone azzera annulla i valori introdotti se lo si AZ7ER clicca viene avviato il sottoprogramma Via che azzera o cancella 1 valori assegnati alle diverse variabili Completato Si noti che la media nel caso esemplificato viene visualizzata come 13 3 34 invece che come 13 3 33 1 calcoli vengono effettuati in base 2 e come vedrai meglio pi avanti l ultima cifra nel caso di un risultato approssimato pu differire dal valore corretto 136 La automazione 3 lt head gt lt script language javascript gt 1 0 sum 0 function Via i 0 sum 0 document M dato value document M media value document M n value 0 document M s value 0 function Calc i i t1 sum sum tNumber document M dato value document M s value sum document M n value i document M media value sum i lt script gt lt head gt lt center gt lt form name M gt dato lt input type text name dato value size 24 gt lt input type button name altro value onClick Calc gt lt br gt n lt input type text name n value 0 size 3 gt somma lt input type
403. resso anche in forma abbreviata in questo caso 45 Se non disponessi di un tale programma potresti realizzare un programmino in JS che si comporti nel modo esemplificato sotto a destra Fallo D x y SQR x12 y22 D 1 1 1 414213562373095 R2 2 ____MettixeyecliccaDIST_____ D 1 2 2 23606797749979 R2 5 x ys D SQR 2 SQR 2 2 2 23606797749979 D 2 2 2 82842712474619 2R2 2 L1Eomeletato Qui trovi il file contenente il programma 1 3 per il QBasic Se sei in Windows prova ad aprire il QBasic se non lo hai gi salvato in qualche cartella in cui puoi salvare anche l help per informazioni sul linguaggio vedi da esso ad aprire il progamma precedente dopo averlo prima salvato even tualmente nella stessa cartella del QBasic e ad eseguirlo Per terminare l esecuzione premi Ctrl C 1 Segna con l evidenziatore nelle parti della scheda indicate frasi e o formule che descrivono il significato dei seguenti termini programma traduttore 2 sintassi 2 tag 3 form 3 2 Su un foglio da quadernone nella prima facciata esemplifica l uso di ciascuno dei concetti sopra elencati mediante una frase in cui esso venga impiegato 3 Nella seconda facciata riassumi in modo discorsivo senza formule come in una descrizione al telefono il contenuto della scheda non fare un elenco di argomenti ma cerca di far capire il filo del discorso Algebra elementare 139 Algebra elementare Calc
404. ri occorre per osservare che queste spese spesso sono diventate necessarie sono aumentati 1 beni e i servizi che dobbiamo pagare per sopravvivere Ad esempio oggi quasi tutti devono impiegare dei mezzi di trasporto per raggiungere il posto di lavoro Per essere aggiornati su ci che succede per conoscere nuove disposizioni di legge per orientarsi nelle scelte politiche dobbiamo leggere giornali guardare la televisione mentre un tempo con una societ meno complessa citt pi piccole era pi facile accedere diversamente alle informazioni Per andare a scuola fino a 16 19 o pi anni dobbiamo acquistare libri pagare tasse d iscrizione mentre un tempo non c erano gli attuali livelli di obbligo scolastico e 1 mestieri richiedevano titoli di studio pi bassi Del resto senza l aumento dei redditi non vi sarebbe stato sviluppo produttivo affinch 1 beni prodotti vengano venduti necessario che le persone abbiano la possibilit economica di acquistarli Sal trovare altri beni e servizi che ora ma non nella prima met del Novecento sono diventati di sussistenza Nel periodo A le monete in circolazione di taglio pi piccolo sono quelle da 5 e 10 centesimi di euro nel periodo B sono 5 e 10 lire nel periodo C quelle da 2 e 1 lira Tre persone devono suddividersi in parti eguali 1000 unit monetarie o L Quale somma in moneta circolante spetterebbe a ciascuno nei tre periodi 1000 3 sul visore della
405. riche o formule ma stringhe che servono per la lettura della tabella Le formule sono state scritte nella riga 2 poi sono state riprodotte nelle righe successive 1 riferimenti delle celle sono stati modificati automaticamente dal foglio elettronico A E 1 A LE MOTA LA AME O AORE i AGE NOTA LA ANDE AORE 2_ i Li ENotCAZIi And AZ BZ Or 42 82 ii Sn e 5_ 1 iO i 3MotC AS And AS BS Orl 43 BS ea E RE i a a D1 NAg And Ad B4 Ur A4 B4 aN a RE SR LARE MCR Cri LARE S_ 0 0 i eMotC AS i And AS BS Or 45 85 2A IS E LARE o Y SS Redigi due 0000000000 O A fianco riportato INPUT maxi maxj 2 3 programmi 3 30 un programma con un FOR i 1 to maxi 1 1 che generino O O 0 O esempio di uscite PRINT i J 1 3 le figure a fianco 0000000000 000000 Quali sono le uscite NEXT 2 1 Li NEXT 2 2 Redigi due 0000000000 000000 se come input batto js 0000000000 00000 I a 1 22 programmi 0000000000 0000 a coppia 1 2 0000000000 000 9 che generino 1000000000 o0 E se batto 2 1 le figure a fianco O I movimenti lungo il pavimento dei robot impiegati in una particolare fabbrica sono programmabili in una opportuna estensione del linguaggio QB che contiene le istruzioni AV NuMetri e RO NuGradi dove NuMetri deve essere un numero non negativo e NuGradi un numero qualunque L azione comandata da AV NuMetri l avanzamento di NuMetri metri Quella comandata da RO NuGradi la rotazione su se stesso di NuGradi gradi
406. ritmi diversi pi o meno veloci Ad esempio si pu calcolare 27 65 attraverso incrementi unitari oppure mediante l algoritmo della somma in colonna posso far avanzare il contatore che contiene 27 di 65 posizioni contate una per una 65 scatti oppure posso far avanzare di 5 posizioni il dispositivo in cui ho messo 7 gt 8 gt 9 0 1 gt 2 e poich si di passati attraverso la posizione 0 incrementare di 1 il dispositivo in cui c era 2 3 per tener 39 conto del riporto far avanzare di 6 posizioni il dispositivo in cui ora c 3 gt 4 5 6 7 8 gt 9 arrivando 7 cos al risultato 92 con solo 12 scatti 92 Abbiamo anche visto quesito 4 che se fosse incorporato un programma per calcolare il reciproco di un numero la CT potrebbe fare a meno di un programma specializzato nel calcolo delle divisioni potrebbe utilizzare tale programma e quello per il calcolo delle moltiplicazioni Viceversa potrebbe non avere un programma specializzato nel calcolo dei reciproci e calcolare il reciproco mediante un programma specializzato nel calcolo delle divisioni Comunque non ci preoccuperemo di analizzare in dettaglio questi aspetti Ci limitiamo ad ammettere che le CT abbiano incorporati opportuni programmi per calcolare le quattro operazioni il reciproco e il cambio segno si tratter di programmi pi o meno simili agli usuali algoritmi per il calcolo con 1 numeri decimali limitati che abbi
407. rre N da M sottrazione ripetuta quanto fa 1400 400 Posso sottrarre 400 1 volta mi rimane 1000 anzi 2 mi rimane 600 anzi 3 mi rimane 200 ma non di pi 1l risultato 3 oppure b contare quante volte devo a partire da 0 addizionare N per arrivare a M o il pi vicino possibile a M senza superarlo addizione ripetuta quanto fa 1400 400 Posso prendere 400 1 volta arrivo a 400 anzi 2 arrivo a 800 anzi 3 arrivo a 1200 ma non di pi il risultato 3 L operazione pu essere schematizzata cos x E la macchina che trasforma x e y in x y questo il modo in cui spesso viene indicato il risultato della divisione intera per distinguerlo dal valore esatto non troncato agli interi indicato con x y a i Wi j bne intera ingresso uscita CNY In questo modo abbiamo descritto la relazione tra dati in ingresso e dati in uscita indipendentemente da come venga svolto il calcolo La scatola nera potrebbe incorporare un programma che procede nel modo a nel modo b o in un altro modo Se vogliamo solamente capire come possa funzionare una macchina come questa basta che descriviamo un qualunque algoritmo di calcolo per la sottrazione In questo modo diamo una interpretazione razionale del possibile funzionamento della macchina Infatti mettiamo in luce che per far uscire il valore di x y la macchina invece di nascondere al suo interno un piccolo mago che sa indovinare il risultato o un piccolo giappo
408. sero tutti circonferenze eguali Questo modello realizzato materialmente nei globi terrestri girevoli Anche questa modellizzazione assai efficace nasce da una semplificazione vengono trascurati 1 rilievi come se la superficie terrestre fosse tutta al livello del mare e soprattutto non si tiene conto che la Terra leggermente schiacciata ai Poli il suo spessore all altezza dell equatore di circa 12760 km mentre tra 1 due Poli di circa 12715 km In particolare mentre un grado di longitudine corrisponde a 111 1 km un grado di latitudine lungo l equatore corrisponde a 111 3 km I modelli che abbiamo considerato fin qui raffigurazione sul piano di superfici non piane diagrammi numeri per rappresentare grandezze coppie di numeri per rappresentare posizioni sfera approssimante la Terra sono tutti modelli matematici nel senso che sono rappresentazioni semplificate di fenomeni o aspetti della realt realizzate impiegando oggetti matematici figure numeri Naturalmente non esistono solo modelli matematici Ad esempio un trenino elettrico che sia il modello in scala ridotta di una locomotiva reale non un modello matematico in quanto realizzato impiegando tecniche e concetti non riconducibili solo alla matematica ad esempio il funzionamento del motorino si basa su principi di fisica la scelta e la lavorazione dei materiali fa riferimento a nozioni di chimica e di altre discipline Oppure si pensi alla ricostruzione d
409. si vuol rappresentare Bisogna comunque osservare che se non si tiene conto della scala scelta si pu essere indotti a valutazioni errate Ad es il grafico di fig 2 rispetto a quello di fig 1 pu far sopravvalutare 1 miglioramenti che si sono verificati nel salto in alto 5 Sotto sono raffigurati diversi grafici della tabella a fianco la disoccupazione in on disoccupati Italia in alcuni anni del secolo scorso ss in migliaia 12 1 Quali grafici pensi sarebbe stato pi facile trovare in un giornale finanziato da 1978 gruppi economici vicini ai partiti che in quegli anni erano al governo 2 Quali 1979 pensi sarebbe stato pi facile trovare in un volantino sindacale 1980 TS 79 S0 Si sz 400 A 200 200 200 na 100 100 200 T3 79 20 al 2z TS 79 S0 Si sz fo 19 20 91 sz 6 Torniamo al salto in alto Di quanti centimetri migliorato il record dal 12 all 88 Dal 1960 al 1963 il record ha avuto un aumento di cm Dal 1963 al 1978 ha avuto un aumento Ai isea cm Possiamo dire che nei due periodi l evoluzione della specialit stata egualmente rapida motiva la tua risposta facendo riferimento al grafico di fig 3 o a quello di fig 4 durata aumento del aumento medio intervallo di anni durat 1960 1963 1963 1978 Nel periodo 1960 1963 il grafico pi ripido che nel periodo 1963 1978 In altre parole la sua pendenza media rapporto tra avanzamento verticale e avan
410. siste n tale che 186 6 16 4 10 si 81 0 5 See 16 2 81 Zeer 27 9 2 sta per 1 2 2 2 Riassumendo Generalizzando quanto visto per il numero 10 osserviamo che dividere ripetutamente n volte per un numero a equivale a dividere per a quindi A Osserva 13 3 o 2 2 OLI ga 1 0 333 gt 0 111 quindi 0 111 1 3 3 37 1 3 Completa 2 01252 1 B Poich 8 25 1 8 equivale a 1 2 2 2 Spiega come calcoleresti a mente 68 8 sfruttando questa idea posto 3 Utilizzando quanto suggerito dall esempio a fianco completa i i 1 seguenti calcoli o o C el o e e 10 g HAHAE lt 1 106 107 3 2 5 10 10 i Lel e te e led Le 10 10 1072 102 posto 5 calcolo di 107 105 Le statistiche 1 27 Usando quanto suggerito dall esempio a fianco completa n 6 104 o 6 Cio 10 107 12a 109 104 BAe eee Ici x10 10 10 Eome t 10 t 102 1022 posto 2 calcolo di 10 10 1072 10 Un grano di polline ha lo spessore di circa 107 m 0 00001 m cio 0 01 mm pari a un centesimo di millimetro Il diametro della Terra di circa 107 m cio 10000 km infatti 10000 104 1 km 103 m e 104103 1043 107 Quanti grani di polline occorrerebbe sovrapporre per ottenere una pila spessa come la Terra cio quante volte 107 m sta in 10 m esprimi il risultato sia come potenza di dieci che a parole Per rapprese
411. so cambiando anche l operazione principale Ad es distribuendo un fattore moltiplicativo si trasforma un prodotto in una somma raccogliendolo si trasforma una somma in un prodotto fig 2 Queste trasformazioni servono per semplificare 1 successivi calcoli numerici o per risolvere equazioni o per scrivere in modo pi comodo da usare delle formule o Nel paragrafo Esercizi troverai vari esempi di utilizzo 144 Algebra elementare Sotto nella prima colonna sono elencate alcune regole di riscrittura Nella seconda colonna indicato un termine con evidenziato in corsivo un sottotermine Nella terza colonna scrivi come si trasforma il termine dopo la applicazione della regola al sottotermine evidenziato Nella quarta indica quale descrizione verbale fra quelle elencate si addice meglio alla regola somma TA 2 trasformare una divisione in b b 0 25 250 prodotto achy ab 3005948 Sia Care una deren i somma a b a b i De 3 4 trasformare una somma in E differenza baro barbe 1 3 0 9 5 pmo O un prodotto Riportiamo alcuni errori di calcolo simbolico trasformazione di termini in termini fatti da alunni di scuola secondaria superiore in alcuni casi per chiarezza o brevit descriviamo con una regola di riscrittura il procedimento che intendevano applicare A x yz y xz applicando a x y la regola di riscrittura a b b a e Dimostra con un esempio che 1 due termini non sono equivalenti e spiega qu
412. so di risultati negativi Completa la seguente tabella 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9999999 109 massimo numero macchina 11 1 0000000 1077 minimo numero macchina positivo 1 0 0 o o o o o 9 9 p massimo numero macchina negativo BEREE RERENEN g B g i E g E K E E E B a minimo numero macchina Inumeri macchina di una CT cio 1 numeri che essa in grado di memorizzare non soltanto hanno un minimo e un massimo entro cui devono variare ma sono in quantit finita Eseguendo a mano ripetutamente l operazione 2 a partire da un numero qualunque ottengo via via un numero maggiore del precedente In questo modo posso generare una quantit grande a piacere di numeri diversi In maniera analoga eseguendo a mano ripetutamente l operazione 2 a partire da un qualunque numero positivo ottengo una quantit grande a piacere di numeri via via pi piccoli Che cosa accade se eseguo questi calcoli con una CT La possibilit di rappresentare internamente non un qualunque numero ma solamente una quantit finita di numeri una caratteristica non solo delle CT ma anche dei calcolatori di qualsiasi dimensione Infatti un registro di lavoro o un qualsiasi altro dispositivo realizzato dall uomo essendo costituito da una quantit finita di componenti pu registrare solo una quantit finita di espressioni Vediamo un po pi in dettaglio come vengono memorizzati 1 numeri macchina La automazione 2 93 In una CT i registri di lavoro n
413. sofisticato 9 In uno stesso giorno su due quotidiani di una stessa nazione europea compaiono due articoli dedicati all inizio dell anno scolastico In entrambi si vuole dare un idea di quanto costi il mantenimento agli studi disponendo dell informazione che nell anno precedente una famiglia spendeva mediamente 1 264 70 in istruzione Nel primo giornale questa spesa viene indicata con mille e 264 euro nel secondo con mille e trecento euro Nessuno sceglie 1 264 70 euro Che differenze ci sono tra questi tre modi di indicare la spesa considerata Quale dei tre avresti scelto tu Perch Considerando le rappresentazioni cartografiche abbiamo incontrato un ulteriore tipo di modello di natura numerica Abbiamo infatti ricordato che per rappresentare una posizione in una cartina o un punto in una generica superficie piana fissato un sistema di riferimento si utilizza una opportuna coppia di numeri le coordinate del punto Questa coppia di coordinate il modello con cui rappresentiamo il punto A seconda della approssimazione con cui vogliamo rappresentare una posizione possiamo avere coordinate pi o meno precise Ad esempio possiamo dire che Firenze ha coordinate 11 E 44 N o che ha coordinate 11 16 E 43 45 N Sempre nell ambito delle rappresentazioni della superficie terrestre abbiamo impiegato un altro modello abbiamo identificato la Terra con una sfera in particolare abbiamo supposto che meridiani ed equatore fos
414. spedaliero raffigurata parte di un diverso diagramma che si potrebbe ottenere se la temperatura fosse rilevata ogni giorno sistematicamente alle 6 alle 12 alle 18 e alle 24 Il fenomeno temperatura corporea non rappresentato esattamente anche per altri aspetti Innanzi tutto i pallini sono tracciati al centro delle due colonne che rappresentano la prima met e la seconda met di un giorno anche se le temperature non vengono rilevate alle 6 del mattino e alle 6 del pomeriggio Poi la temperatura registrata col termometro non il valore preciso della temperatura Infatti leggendo il termometro si cerca di individuare la tacca della scala numerica che pi vicina all estremit della colonnina di mercurio il numero ottenuto ci d una misura della temperatura fino ai decimi di grado non oltre Ad esempio se la colonnina arriva fra la tacca 37 2 e la tacca 37 3 e ci sembra che sia pi vicina alla prima tacca diciamo che la temperatura 37 2 ma in realt potrebbe avere un valore superiore a 37 2 ed essere ad esempio 37 236 Per ottenere 1 centesimi di grado sarebbe necessaria un ulteriore suddivisione della scala graduata per ottenere 1 millesimi di grado ne occorrerebbe ancora un altra e cos via Inoltre sul retro del termometro troviamo una scritta come quella riportata nella figura 9 Essa significa che impiegando un altro termometro dello stesso modello si sarebbe potuta ottenere la temperatura 37 1 o la temperatura
415. spetto a una certa variabile viene chiamata calcolo simbolico per distinguerla dal calcolo numerico con cui si ottiene un nuovo valore numerico a partire da altri valori numerici 3 2 6 un calcolo numerico 3 2 2 3 e x a x ax sono calcoli simbolici A volte invece che di calcoli simbolici si parla di calcoli letterali con riferimento al fatto che oltre che su numeri si opera anche su espressioni che contengono lettere e nomi o di calcoli algebrici Quest ultima dizione deriva dalla parola algebra con cui si intende quella parte della matematica che si occupa dello studio delle propriet delle operazioni e delle formule equazioni disequazioni oltre che di altri argomenti a cui accenneremo successivamente Man mano nel corso dello studio della matematica incontreremo svariate tecniche di calcolo simbolico Abbiamo gi incontrato e usato pi o meno esplicitamente varie tecniche In Le Statistiche 4 abbiamo visto ad es come usare la propriet del riordino della somma per tra sformare 17 16 4 3 in 17 3 16 4 Come sai vale anche la propriet del riordino del prodotto il risultato di una moltiplicazione non viene modificato dalla commutazione dei suoi due termini A RS 4 6 vedi figura 1 A per contare i quadretti posso sia fare 4 HHE HERO 4 volte 6 che fare 6 volte 4 n TOLTO e pi in generale vedi figura 1 B per contare i figura 1 7 3 5 i ei 3 5 7 3 5 cubetti posso sia sommare 5 strati di 7
416. spressioni come quella nella cella A7 che nell uso vengono chiamate formule a s 2006 07 a s 2007 08 2 1 totale iscritti ripetenti totale iscritti ripetenti Lo oA J B C D classe 19 E classe 2 E a seni LE 7 _ a1 D1 2D2 _ __ 8 42 D 2 c3 D3 ___ __ 154 La automazione 4 La formula in A7 va interpreta come un assegnazione PONI A7 A1 D1 C2 D2 che in questo caso equivale ad assegnare alla cella A7 il valore 181 36 126 35 Con opportuni comandi azionabili con la tastiera o il mouse si pu far s che sullo schermo la tabella passi dallo stato precedente a quello parzialmente riprodotto sotto con la visualizzazione del valore assegnato alle celle contenenti formule A7 rappresenta gli abbandoni tra 1 e 2 anno da Al ex iscritti al 1 si tolgono DI ri iscritti al 1 e passati al 2 uguale a C2 totale iscritti al 2 meno D2 ripetenti Analogamente A8 rappresenta gli abbandoni tra 2 e 3 Le variabili A1 DI impiegate in queste assegnazioni a differenza di quelle impiegate nei linguaggi di programmazione non sono dei nomi generici ma nient altro che le coordinate delle celle della tabella Esse rappresentano il valore numerico della cella o il valore associato alla cella da un altra assegnazione Se in B7 metto la formula A2 100 quale valore viene associato a B7 E se ci metto la formula A7 I dati da elaborare non vengono introdotti mediante istruzion
417. stare qualche attenzione Ades non posso trasformare 2 4 3 in 4 2 3 cio in 46 in quanto 4 2 e 4 3 sono termini indefiniti Analogamente non posso trasformare 2 5 3 3 in 2 3 3 5 cio in 0 in quanto 5 3 3 indefinito Non detto che usando 5 5 5 8 si renda effettivamente pi semplice il calcolo Ad esempio nel caso 4 probabilmente il procedimento seguente pi comodo 7 3 5 2 2 333 2 5 4 8333 Comunque questi esempi mettono in luce che le quattro operazioni applicate a numeri reali che possono essere espressi nella forma m n con m e n numeri interi danno luogo a risultati che possono essere espressi nella forma m n Ci spesso molto vantaggioso Ad es se devo calcolare 2 666 0 111 posso ricordare che il primo termine il risultato di 8 3 e che il secondo il risultato di 1 9 e usando 5 5 ottenere 8 1 3 9 8 27 Se voglio calcolo 8 27 se no lo lascio cos usando l algoritmo della divisione posso poi in un qua lunque momento calcolare facilmente il valore di 8 27 con la precisione che voglio Oltre tutto se poi dovessi effettuare altri calcoli con questo numero la sua rappresentazione come 8 27 potrebbe facilitarmi 1 procedimenti Ad es se dovessi poi effettuare una moltiplicazione per 6 potrei fare cos 8 27 6 48 27 e volendo lasciare nella forma m n anche questo risultato oppure usando la semplificazione di frazioni fare 8 27 6 8 6 27 8 2 3
418. sura dello spigolo il volume si ottiene invece elevandola alla terza 3 In questa scheda abbiamo esaminato alcune statistiche di tipo economico e abbiamo visto alcuni strumenti matematici utili per rappresentare e analizzare dati Abbiamo considerato come cambiato il modo di spendere i soldi per i vari tipi di beni e di servizi nel Novecento Abbiamo visto come rappresentare numeri molto grandi e molto piccoli a mano o con la calcolatrice come confrontare numeri di diversa grandezza il riassunto deve proseguire riferendosi ai paragrafi successivi 52 Le statistiche 1 Specchietto con i principali tasti presenti sulle CT pi diffuse Nel seguito M e V indicano rispettivamente la memoria e il visore della CT Per ogni tasto indicato il comando che diamo alla CT con la pressione di esso 1 STO deriva dall inglese store che significa immagazzina M V ricopia in M il numero che in V cancellando da M ci che vi avevi copiato in precedenza 2 Gun M M V somma al numero che in M il numero che in V 3 M M V sottrai dal numero che in M il numero che in V 4 RCL deriva dall inglese recall che significa richiama V M richiama il contenuto di M cio fai apparire su V il numero che in M 5 CM deriva dall inglese clear the memory che significa sgombra la memoria M Q cancella il numero registrato in M cio metti in M il numero 0 6 se ti premo 1 vo
419. suta la parola geometra con cui viene indicato il professionista che fa rilevamenti topografici e si occupa di altre questioni riguardanti il territorio strade piccole costruzioni all universit vengono chiamati geometri anche i matematici che si occupano di geometria ma questa una terminologia per addetti ai lavori Ora di questi aspetti si occupano appunto i geometri gli architetti gli ingegneri IL matematico studia in generale i modelli matematici per rappresentare lo spazio senza legarsi a una particolare situazione forme ed estensioni di terreni oggetti movimenti di pianeti macchine elettroni disposizioni delle parti che compongono un edificio un animale una molecola chimica La matematica e lo spazio I 195 Abbiamo visto ad esempio che per il matematico la distanza 3 1 o 3 2 un numero senza l indicazione di una unit di misura quando il piano viene visualizzato su un foglio di carta che si stabilisce una unit grafica con cui rappresentare ad esempio le unit o le decine Oppure quando si associa al nostro piano astratto una situazione concreta che si stabilisce l unit di misura con cui esprimere le distanze Quando facendo matematica consideriamo un cerchio disegnato con un compasso il centro la po sizione in cui stata messa la punta del compasso il raggio la distanza tra mina e punta non ci preoccupiamo del colore con cui stato tracciato o d
420. talia o se si forniscono 1 dati opportuni di altre porzioni della superficie terrestre Un tempo questi calcoli venivano fatti a mano L uso del calcolatore ha solamente facilitato e sveltito il lavoro Naturalmente fornendo le coordinate geografiche di pi punti e impiegando dei calcolatori e delle stampanti pi sofisticate si possono ottenere rappresentazioni cartografiche con 1 contorni pi precisi Ma come abbiamo visto per quanto si possa migliorare la precisione con cui tracciare i contorni le rappresentazioni che si ottengono essendo piane non possono riprodurre fedelmente parti della superficie terrestre 8 La matematica e i suoi modelli 1 4 I modelli matematici Nessuna delle cartine considerate riproduce esattamente ci che rappresenta Per altro alcune sono pi fedeli di altre ma ci non vuol dire che siano migliori Se l indice grafico fosse stato tracciato su una cartina come quella di fig 6 avremmo s ottenuto una rappresentazione pi fedele della posizione delle varie localit ma di pi difficile lettura Invece l editore dell orario ha modificato opportunamente la collocazione spaziale delle diverse stazioni in modo da facilitare la lettura dei nomi delle localit e dei numeri dei quadri relativi alle varie linee All utente che consulta l orario non interessa infatti che siano conservati i rapporti tra le distanze o gli angoli formati dalle linee che si incontrano in un nodo ma interessa solamente l or
421. tata sulla cartina ed entrambi questi due valori sarebbero diversi da quello che si otterrebbe con una misura diretta La superficie della terra infatti sferica solo piccole porzioni di essa il territorio di una citt quello di una provincia possono essere approssimate abbastanza fedelmente con delle parti di piano Per territori pi ampi comunque si fissi un sistema di coordinate non si riesce a trovare una corrispondenza tra le distanze calcolate con 3 1 e quelle misurate direttamente scheda 1 de La matematica e i suoi modelli Non esistono confini netti tra la geometria e le altre aree della matematica Ad esempio per fare geometria si usano anche i numeri le funzioni le equazioni Viceversa per analizzare 1 valori di una grandezza che varia nel tempo o il modo in cui si distribuisce una serie di dati o si ricorre spesso alla rappresentazione grafica dei valori numerici e allo studio della forma della figura che cos si ottiene Anche i grafi e 1 diagrammi di flusso in qualche modo ricorrono a dei concetti di tipo geometrico I modelli geometrici servono dunque non solo per rappresentare lo spazio fisico ma anche per vi sualizzare altri modelli matematici funzioni equazioni statistiche Anche in altre discipline i modelli geometrici vengono impiegati non solo per rappresentare figure traiettorie ma pure altre situazioni Consideriamo ad esempio il concetto di vettore Noi abbiamo introdotto i
422. te possibile comandare l esecuzione di una trasformazione algebrica solo su un sottotermine invece che sull intera espressione Cos come per 1 linguaggi di programmazione anche Derive e gli altri programmmi di calcolo simbolico sono caratterizzati da una distinzione tra regole di scrittura aspetto sintattico come scrivere espressioni corrette e regole di interpretazione aspetto semantico quale significato dare a queste espressioni Ad es se scrivo l espressione 0 0 non viene segnalato alcun errore si tratta di un termine sintatticamente corretto Se aziono il comando Semplifica Derive cerca di eseguire la divisione e ottengo la visualizzazione di in questo modo Derive indica che si tratta di un termine indefinito Vediamo un esempio di manipolazione simbolica come invertire A nr per ricavare r in funzione di A Evidenzio 1 Scelgo Algebricamente dal menu Risolvi Appare una finestra di dialogo con visualizzata l equazione 1 In alternativa avrei potuto battere direttamente l equazione nella finestra di dialogo In un opportuno riquadro devo selezionare la variabile rispetto alla quale voglio risolvere l equazione cio r Se clicco su OK appare 2 5 SOLVE a x r r Se poi aziono Semplifica Base ottengo la coppia di formule 6 r a Ix r Ta x 156 La automazione 4 Queste si sarebbero potute ottenere direttamente se nella finestra di dialogo di Risolvi si fosse cliccato su Semplifica invece
423. tener conto di quanti dei bocciati in 1 nel 2005 06 non si sono ri iscritti Cerchiamo di elaborare delle informazioni pi significative che tengano conto dei flussi di alunni da una classe all altra e degli abbandoni Consideriamo l ITI Supponiamo per semplicit che nei due anni scolastici considerati nessuno studente s1 sia trasferito in un altra scuola secondaria superiore e che non si siano iscritti studenti provenienti da altre scuole secondarie superiori Degli iscritti alla 1 nell a s 2006 07 alcuni sono stati promossi in 2 alcuni sono stati bocciati e ripetono la 1 nel 2007 08 altri ancora promossi o bocciati non si sono riiscritti nel 2007 08 hanno abbandonato la scuola Un fenomeno analogo si verifica per gli altri anni di corso La figura 2 illustra il flusso degli alunni tra il 2006 07 e il 2007 08 Il riquadro SM indica l insieme degli alunni che nel 2006 07 frequentavano la scuola media inferiore e che nel 2007 08 sono diventati nuovi alunni dell ITI Il riquadro DIP indica l insieme dei ragazzi che alla fine del 2006 07 hanno superato positivamente l esame finale di 5 cio che da alunni si sono trasformati in diplomati Il riquadro ABB indica coloro che nel 2007 08 non si sono iscritti all ITI pur non avendo concluso gli studi cio coloro che hanno abbandonato Gli altri riquadri indicano le varie classi SM 13 23 za 43 53 2006 07 figura 2 ree 200708 ABE Un diagramma di questo genere viene chi
424. teri modello matematico per contare ogni volta che si passa To A To A m 4 To 4 da un oggetto a un altro nel caso si stia contando una T C quantit di oggetti o da un evento al successivo nel caso ati di danza si scatta da un numero intero al numero To intero successivo I numeri si susseguono come nei contatori Nella figura a lato ricordato il funzionamento di un contagiri decimale n I numeri interi positivi vengono impiegati come si stia scandendo una successione di eventi scorrere dei x I A 1 E A i a a a l I giorni ordine di arrivo in una gara movimenti in un passo 2 cifre 0 1 9 e di un contagiri binario cifre 0 1 Per passare da una rappresentazione con il sistema a c cifre alla rappresentazione decimale si fa una somma di potenze di base c Ad esempio la scrittra in forma binaria 110 corrisponde a 1 2 1 2 0 2 1 4 1 2 0 1 6 La scittura in base 60 del tempo arrotondato ai secondi 13 05 corrisponde a 13 601 5 60 13 60 5 1 785 secondi Per questi motivi la rappresentazione con il sistema a c cifre viene chiamata rappresentazione in base c Per indicare le basi di rappresentazione dei numeri precedenti si usa indicare la base di rappresentazione come pedice e per le basi di numerazione superiori a 10 in genere si usano A B C per indicare le cifre dieci undici dodici Nei due casi precedenti 110 in base 2 e 13 05 in base 60 si usano scrit
425. termine x x del termine 3x 1 Non ci dobbiamo porre il problema se il termine a sinistra equivale al termine a destra essi sono equivalenti per definizione 140 Algebra elementare Esempio E Quando diciamo che la propriet commutativa dell addizione afferma che a b b a intendiamo che 1 termini a b e b a sono equivalenti cio che per ogni coppia di numeri a e b il calcolo di a b e quello di b a danno luogo allo stesso valore o pi in breve che l equazione a b b a vera Esempio F Nella scheda 4 di Le Statistiche abbiamo usato l espressione x 35 126 per rappresentare matematicamente la relazione tra alcuni dati uno dei quali gli studenti passati dalla 1 alla 2 indicato con x ci era sconosciuto Cio abbiamo usato non per la descrizione di una propriet matematica o per una definizione ma per descrivere un modello matematico di una particolare situazione Svolgendo 1 calcoli abbiamo trovato che l equazione x 35 126 vera se x 91 In A E e F il simbolo corrisponde al concetto di eguaglianza si afferma che 3 2 eguale a 5 Che x 35 eguale a 126 equivalente affermare che 5 uguale a 3 2 che 126 uguale a x 35 Nei casi B e C invece indica delle azioni esegui il calcolo impostato calcola e metti nell oggetto indicato a sinistra il valore indicato a destra Anche se nel caso C siamo di fronte a scritture simili a equazioni scambiando le espressioni ai lati di no
426. terruzioni determinate dal termostato Se si ponessero solo una bandierina in corrispondenza delle 7 una in corrispondenza delle 17 e una in corrispondenza delle 23 che cosa accadrebbe Le informazioni utilizzate dagli automatismi per regolare il comportamento delle macchine a cui sono applicati possono essere distinte in due tipi e Alcuni automatismi durante il funzionamento ricevono informazioni man mano provenienti dall ambiente o man mano introdotte dall uomo Sono di questo tipo la temperatura fornita dal termometro e quella selezionata dall uomo impiegate dal termostato per decidere quando trasmettere all interruttore un segnale elettrico che ne cambi lo stato le informazioni sulla resistenza incontrata durante il percorso man mano ricevute dal variatore automatico del ciclomotore per regolare il rapporto di trasmissione e Alcuni automatismi utilizzano anche informazioni che hanno gi incorporate al loro interno o che comunque vengono introdotte all entrata in funzione non man mano durante il normale funzionamento Sono di questo tipo il numero e la disposizione delle bandierine nel timer si tratta di informazioni introdotte dall utente la disposizione dei pioletti nel sistema cilindro lamelle del carillon e il modo in cui il costruttore ha regolato il variatore di velocit fissando come deve variare il rapporto di trasmissione al variare delle informazioni provenienti dall esterno si tratta di informaz
427. tesso anno possono essere stati stabiliti pi record Ad sen esempio in corrispondenza dell ascissa 1960 abbiamo 3 punti del grafico di ordinate 212 213 e 222 Si pu invece esprimere l anno in funzione del record dato un record posso trovare in maniera univoca l anno in cui iii nei i 1 i SR FIS stato stabilito nel grafico a destra in cui sono stati 1960 Pepi jema i ae porse scambiati i due assi di riferimento non vi sono punti con la ii medesima ascissa 210 220 Nel caso delle relazioni di e10 ell el2 siamo di fronte a situazioni in cui y funzione di x el5 Riproduci a fianco le tre rette passanti per 0 0 con pendenze 0 5 ET TT i 1 e 1 5 che ottieni con Poligon come grafici di tre opportune funzioni ii li i iii F G ed H e scrivi le espressioni di F x G x e H x Indica le x e le y minima e massima rappresentate sulla finestra grafici usa un sistema monometrico Calcola la pendenza dei tre tratti rettilinei T lu iraniana fina che compongono 1l grafico a lato e ie 0 80 Le statistiche 2 Tenendo conto quesito el che 1 punti 0 32 e 100 212 appartengono alla retta che rappresenta il grafico della temperatura in gradi Fahrenheit in funzione della temperatura in gradi Celsius trova la variazione in F corrispondente alla variazione di 1 C Completa la tabella seguente arrotondati 1 valori a 3 cifre vedi i quesiti e14 e 57 della scheda 1 capite capite 1926 1 94 103
428. text name s value 0 size 24 gt lt br gt media lt input type text name media value size 24 gt lt br gt lt input type button name via value AZZERA onClick Via gt lt form gt lt center gt 4 Ancora due esempi in JS e Il programma Poligon che se sei in ambiente Windows puoi attivare da qui consente di trovare i numeri primi maggiori di 1 per cui esattamente divisibile un numero dato 1580 intero positivo se batto FATT 1580 ottengo 2 2 5 79 Il 1245102079 158 216 295 79 1580 programmino in JS a cui accedi da qui consente di trovare tutti i numeri interi positivi per cui divisibile un dato nu mero intero positivo A destra ne illustrato un esempio d uso Completato lt head gt lt script language javascript gt function divisor d 2 n document cal n value document cal v value 1 while d lt n q n d if q 0 document cal v value document cal v value t d d d 1 lt script gt lt head gt lt form name cal gt dato lt input type text name n value size 7 gt lt input type button name value Calcola onClick divisor gt lt br gt lt input type text name v value size 100 gt lt form gt Qualche commento In JS MoN indica il resto intero della divisione di M per N vale 0 se N un divisiore di M if condizione assegnazioni esegue le assegnazioni quando la condizione vera In una condizione possono essere usati simboli di
429. ti e 1 passaggi di informazioni segnali elettrici azionamenti di leve tra i vari dispositivi Diremo che ci che si cerca di descrivere non tanto il funzionamento quanto la logica di funzionamento della macchina Analogamente quando parliamo della logica di un certo avvenimento non intendiamo riferirci alla sequenza particolareggiata dei fatti attraverso cui esso si svolto ma al filo logico cio al fattori alle condizioni ai collegamenti di vario tipo che hanno determinato il susseguirsi degli eventi Questi diagrammi sono costituiti da riquadri che rappresentano le singole attivit che deve svolgere la macchina e da frecce che li collegano indicando l ordine di esecuzione Paragonando il comportamento della macchina al flusso di un fiume che tocca diverse localit o al flusso del traffico che si snoda attraverso un particolare itinerario possiamo dire che il diagramma rappresenta 1l flusso dell attivit della macchina Per questo motivo questi diagrammi vengono chiamati diagrammi di flusso Vediamo un altro esempio Un particolare modello di lavastoviglie prevede tre programmi di lavaggio 1 2 3 selezionabili con una manopola La lavastoviglie quando viene accesa esegue il lavaggio secondo il programma selezionato dalla manopola Se selezionato il numero 0 la lavastoviglie non compie alcuna azione La tabella 6 1 seguente descrive il tipo di lavaggio effettuato nei tre casi La lavastoviglie dotata a
430. ti nel manuale d uso quale corrisponde al procedimento 1 del quesito e22 quale al procedimento 2 e Quale conteggio viene automatizzato rispetto ai procedimenti senza impiego dei tasti statistici e Come potresti usare 1 tasti statistici per battere una sequenza di tasti alternativa a quella del quesito 54 e Prova a usare il programma Stat o un altro programma simile per effettuare gli stessi calcoli esemplificati nei manuali delle due CT nella finestra di input batti 1 dati su righe diverse se un dato ha frequenza maggiore di uno metti una virgola e la frequenza subito dopo il dato ogni volta che clicchi I vengono ricalcolate la media e il numero totale dei dati Considera i seguenti procedimenti di calcolo in particolare le parti indicate in corsivo 1 45 79 100000 789 26 100000 45 79 789 26 100000 per semplificare l impostazione del calcolo sulla CT riducendo il n di tasti da battere 2 45 17 12 17 gt 45 12 17 per battere sulla CT un unica divisione per 17 3 15075 3 15000 75 3 15000 3 75 3 5000 25 5025 nel calcolo mentale pi facile dividere per 3 separatamente 15000 e 75 4 89 4 90 1 4 gt 904 144 gt 360 4 356 nel calcolo mentale pi facile moltiplicare per 4 separatamente 90 e 1 Le statistiche 1 51 Nel caso 1 il nuovo termine stato ottenuto estraendo il moltiplicatore che era comune ai termini di una addizione e mettendolo come fattore dell intera somma
431. tica e i suoi modelli 2 13 La matematica e 1 suoi modelli Un esempio tratto dalla vita quotidiana Scheda 2 I Quanto costa un viaggio in treno 2 Quale tipo di biglietto conviene 3 La Freccia delle Dolomiti 4 Esercizi 1 Quanto costa un viaggio in treno Come avrete capito le vacanze dei signori Van Per Tren sono un pretesto per proporvi alcuni esercizi con cui riprendere confidenza con le nozioni di matematica che avete studiato nella scuola media inferiore e introdurre il lavoro che svolgeremo quest anno Nella realt chi intraprende un viaggio si pone qualche problema in meno dei nostri amici Comunque andiamo avanti nella nostra finzione I Van Per Tren che cercano di amministrare nel miglior modo possibile i soldi che hanno deciso di spendere per le vacanze oltre al problema del tempo impiegato dai vari treni si pongono anche quello del costo del viaggio Cercano nell orario ufficiale 1 prezzi ma non li trovano e non trovano neanche un modo per calcolarli sulla base della distanza chilometrica Allora cercano su Internet nel sito delle Ferrovie dello Stato le tariffe di alcune corse per i tipi di categoria intermedia che nella scheda 1 abbiamo chiamato B e cercano di capire come si formano i prezzi Ecco i dati che recuperano per alcune corse i prezzi sono in euro relativi all anno in cui i Van Per Tren stanno facendo le vacanze e sono relativi ai viaggi in 2 classe km tariffa km tariffa km tariffa km tariffa k
432. tiene dati analoghi relativi a un Liceo Scientifico LS 1 2 a s 2006 07 a s 2007 08 totale totale iscritti TIPSEN iscritti MEAM _B C D classe 1 N eis 28 classe 2 classe 3 lo 111 10 classe 4 Zi BZ classe 5 ER BEE es In ogni cella contenuto il medesimo tipo di informazione presente nella corrispondente cella della tabella 1 1 anche se il valore numerico dell informazione cambia da una scuola all altra Ad esempio A3 rappresenta in entrambi i casi il numero degli iscritti alla 3 nel 2006 07 ma in un caso A3 vale 245 nell altro vale 135 In altre parole A3 una variabile voce formule in Gli oggetti matematici In genere le variabili sono indicate con una lettera eventualmente seguita da altre lettere o da cifre o altri simboli particolari abbiamo visto vari esempi nelle schede precedenti altri li vedremo in seguito parte totale x y datol dato2 n Vandata X n dati ValoreIniziale 122 Le statistiche 4 Anche C4 e D4 sono variabili rappresentano rispettivamente il numero complessivo degli iscritti alla 4 nel 2007 08 e il numero di quelli ripetenti L espressione C4 D4 un termine che indica il risultato della sottrazione di D4 da C4 rappresenta cio il numero di iscritti alla 4 che non sono ripetenti Scrivi delle espressioni che indichino come ottenere a partire da una delle precedenti tabelle 1 seguenti valori e il n dei ripetenti iscritti alla 2
433. tistiche 4 a 3 e La scrittura a due piani della divisione consente di scrivere invece di a 3 2 b 2 b e Viceversa se si vuole scrivere l elevamento a potenza usando una scrittura a un piano si pu impiegare il simbolo e scrivere 10 2 3 invece di 1075 e A volte si usano scritture diverse anche per la radice quadrata ad esempio si scrive 4 100 400 invece di 100 400 Abbiamo gi osservato che non tutte le C7 sono costruite in modo da x 2 3 sta per x 2 3 rispettare le priorit tra le operazioni La automazione scheda 2 2 x 2 3 sta per x 2 3 4 2 5 sta per 4 2 5 6 71 9 sta per 6 7 9 Anche il programma Poligon Le statistiche scheda 2 4 le rispetta 3 2 sta per 3 2 A fianco riprodotto la parte dell help che le richiama 6 x sta per 6 x I linguaggi di programmazione invece in genere le rispettano Introduci parentesi nei termini seguenti in modo che una persona che non conosca le priorit descritte in 1 3 e 1 4 possa interpretarli correttamente il primo termine gi completato come esempio a b c a b c2 a b c Lee a b c T 3 102 a b 2 a Nenne Il valore del termine B1 B2 B3 B4 BS riferito alla tabella 1 2 cio il totale degli iscritti al LS nel 2006 07 che stavano ripetendo la classe pu essere calcolato cos come indicato dalla scrittura del termine cio in base alla convenzione 1 4 eseguendo la prima addizione B1 B2 poi la s
434. tiva non basta prendere un po di soggetti e fare su questi 1 calcoli per ottenere delle informazioni significative sulla totalit dei soggetti Supponiamo che l Istat voglia analizzare un particolare aspetto delle condizioni di vita degli italiani tra un censimento e l altro ad esempio il numero dei componenti delle famiglie e non abbia il tempo e i mezzi per fare un indagine completa su tutti gli italiani Pu estrarre un campione di famiglie e analizzare 1 dati di queste Ma deve fare l estrazione non privilegiando una zona geografica una fascia di et dei genitori una condizione economica rispetto ad altre infatti il fenomeno si presenta in maniera diversa al variare della regione dell epoca e dell et in cui si sono sposati 1 genitori delle condizioni sociali ed economiche un campione che fosse fatto quasi tutto di famiglie dell Italia centrale o che privilegiasse le famiglie di recente formazione rappresenterebbe poco fedelmente 1l complesso delle famiglie italiane Inoltre il campione deve essere sufficientemente numeroso Ad esempio se una fabbrica di dischetti per calcolatori vuole fare un indagine sulla quantit di letture registrazioni che si possono fare sui dischetti prodotti prima che questi si danneggino e ovviamente non sottopone ad una prova di durata tutti i dischetti cos facendo distruggerebbe tutta la propria produzione deve decidere quanti dischetti prendere a caso durante ad esempio una particolare gior
435. to e Infatti posso interpretare la divisione come il prodotto di a per 1 b c quesito 4 e grazie alla commutativit della moltiplicazione scambiare i due termini a e 1 b c Posso cio calcolare 1 b c a ossia battere b c all Nei casi precedenti potevamo anche usare il tasto di memoria e ad esempio nell ultimo caso battere b c E M a EMail Invece a b c d non si pu trasformare in un termine che sia calcolabile a catena Con una CT senza gerarchia devo usare il tasto di memoria Ricorrendo al tasto di memoria posso dopo aver eventualmente azzerato la memoria con mc battere a bl d Il tasto di memoria comanda alla CT di copiare o addizionare a seconda del modello di CT o del tipo di tasto come abbiamo gi avuto modo di vedere il numero che appare sul visore in un apposito registro Questo registro a diversit dei registri di lavoro non un dispositivo di memorizzazione gestito automaticamente dalla CT ma azionato direttamente dall utente Per distinguerlo dalle memorie di lavoro lo chiameremo memoria utente Invece di a se non voglio usare una scrittura a due piani posso scrivere a b Per convenzione l elevamento a potenza ha priorit rispetto a moltiplicazione e divisione 2 5 cio 2 52 da interpretare come 2 5 cio 2 5 2 non come 2 5 cio 2 5 X2 Le CT rispettano questa priorit Interpreta il comportamento della tua CT o quella di un tuo compagno che sia dotata di
436. to potrei usare oltre che il tasto di funzione a 2 argomenti Le anche se ovviamente in questo modo dovrei battere pi tasti e occupare pi registri di lavoro della CT a Come potrei impiegare in alternativa al tasto ll b Prova a battere 2 0 5 L e confronta il risultato con quello della battitura di 2 Fall Ripeti la prova con numeri diversi da 2 Che cosa puoi ipotizzare circa il valore di a c Sappiamo che a a a se m e n sono numeri interi Potenze 1 in Gli oggetti matematici Se vogliamo che questa equazione sia vera anche quando m e n non sono interi dobbiamo avere in particolare a a al a Come puoi collegare questa conclusione con quanto visto in b d Una persona vuole costruire una cisterna di forma cubica che abbia il volume di 10 m Sapendo che il volume del cubo lato lato lato cio lato la persona per trovare la misura in metri dello spigolo della cisterna si propone di calcolare il numero che elevato alla 3 faccia 10 Per far ci utilizzando una CT batte 10 3 ottenendo sul visore 2 1544347 Conclude che lo spigolo della cisterna deve misurare 2 m e 15 cm Prova a motivare il procedimento impiegato da questa persona traccia usa il fatto che a a a a con m 1 3 Qui sotto sono riprodotti parzialmente 3 grafici a Quali dei tre grafici rappresentano delle funzioni a 1 input e 1 output cio in quali casi ad ogni x corrisponde al pi un y b I tre grafici rap
437. to S cio effettuando cambiamenti di posizioni descrivibili con frecce uguali sia in lunghezza che in direzione a quella che va da PI a P2 1 Fi sti P figura 5 W N La traiettoria seguita da Otto composta da tanti tratti rettilinei 74 per cui la sequenza di spostamenti a b c d e f g h i grun E rappresentati in figura 6 la descrive in maniera esauriente S1 descrive il cambiamento di posizione complessivo che risulta IBlhti i i z af ali dalla successione degli spostamenti a b c d e f g h i Anche la ka A x aa8i successione di spostamenti a S2 e f g h i d luogo allo figura 6 spostamento complessivo S1 2 Uso delle coordinate Il tragitto che Otto percorre a piedi pu essere esaminato pi in dettaglio servendosi di una cartina meno ridotta figura 7 In questa cartina non sono indicati 1 cosiddetti punti cardinali Per indicare gli spostamenti possiamo riferirci alle direzioni orizzontale a destra orizzontale a sinistra verticale in basso verticale in alto Ad esempio il primo tratto di strada percorso da Otto va da una posizione del riquadro El a circa la stessa posizione del riquadro E2 e poich un riquadro largo nella realt 50 m possiamo dire che si tratta di uno spostamento orizzontale di circa 50 metri verso destra Come possiamo descrivere lo spostamento complessivo dalla fermata del bus all ingresso della scuola In pri
438. to sia x x on che xx senza spazi bianchi questo programma ammette infatti solo le variabili numeriche di una sola lettera x per cui non possono sorgere ambiguit per Derive esamina il sottomenu Stato Algebra di Dichiara Una relazione tra numeri o altre grandezze espressa mediante un equazione spesso pu essere rappresentata efficacemente anche utilizzando altri linguaggi 5 Completa 1 riquadri seguenti Algebra elementare 141 spese NEGOZIO al posto di guadagno incasso al posto di parte percentuale al posto di agam totale 100 2 Calcolo simbolico Termini equivalenti L equazione 3 2 5 pu essere usata per passare da 3 2 x al termine equivalente 5 x dicendo che ho fatto la sostituzione 3 2 5 cio che al posto di 3 2 ho messo 5 Analogamente posso dire che usando una sostituzione del tipo a b b a posso passare dal termine 5 x al termine equivalente x 5 o che posto f x 10 x 7 al posto di 10 2 7 10 3 7 10 4 7 posso scrivere f 2 f 3 f 4 Cio le equazioni sempre vere che siano tali per definizione o perch lo si dimostrato possono essere usate per effettuare delle trasformazioni di termini in termini equivalenti La manipolazione di un termine o di un equazione per riscriverla in una forma equivalente ad esempio la riscrittura di un termine per poi poterlo calcolare pi facilmente con una CT o a mente la riscrittura di un equazione che si vuole risolvere ri
439. togliere uno stesso numero da tutti 1 valori di cui si fa la media e poi riaggiungerlo al risultato pu essere esteso al calcolo della media di pi di due valori Applicalo per calcolare la media di ciascuno dei seguenti insiemi di dati a 253 254 259 256 b 2 5 2 1 2 3 c 1037 1045 1000 1002 Completa la seguente formula in modo che rappresenti il procedimento descritto nel quesito precedente X1 X2 X3 Xp xj h x2 h x3 h xab o n n 0 C Celsius corrispondono a 32 F Fahrenheit e 100 C corrispondono a 212 F Le variazioni in C sono proporzionali alle variazioni in F Voglio trovare l equivalente in F di 30 C Procedo come dopo fig 13 parte 30 totae 100 iii Per arrivare da 32 a devo addizionare 180 R 180 30 100 18 3 54 32 212 1 Qual la rappresentazione in F della temperatura di 30 C 2 Scrivi la formula che generalizza il procedimento al caso di una tem 0 3 100 iii _ peratura c in gradi Celsius qualunque indicando con f la corrispondente temperatura in gradi Fahrenheit f 32 180 Il rapporto tra variazione in F e variazione in C 180 100 1 8 cio alla variazione di 1 C corrisponde quella di 1 8 F variazioni proporzionali nell indice de Gli oggetti matematici Usando questa informazione posso dedurre che f 32 c 18 3 Questa formula equivalente a quella che hai trovato in 2
440. tra parte se il fenomeno finisce quando 1l contatore pur segnando ancora 138 sta per scattare a 139 il tempo trascorso potrebbe essere di quasi 139 secondi In definitiva possiamo concludere solamente che il tempo trascorso compreso tra 137 e 139 secondi Diremo che 138 secondi una misura approssimata della durata del fenomeno considerato e che il valore vero della misura pu discostarsi da essa di 1 secondo in pi o in meno In breve scriviamo durata 13841 sec o 138 1 s come si usa in fisica Supponiamo di modificare il nostro ipotetico cronometro ad acqua allarghiamo il foro e aumentiamo il livello dell acqua in modo che le gocce escano pi velocemente esattamente 10 gocce al secondo Aggiungiamo una ruota dentata sulla destra del contatore e scriviamo preceduta da un punto la cifra ad essa corrispondente Il contatore passer da 000 0 a 000 1 000 2 Supponiamo che con il nuovo apparato misuratore il fenomeno considerato termini quando il numero segnato 138 2 138 2 sec una misura della durata del fenomeno pi precisa della precedente Viene letta 138 punto 2 secondi o 138 secondi e 2 decimi di secondo infatti l intervallo di tempo che deve ripetersi 10 volte per fare 1 sec viene detto decimo di secondo Tuttavia anche questa misura non esatta Con un ragionamento analogo al precedente possiamo concludere che vi pu essere un errore di un decimo di secondo durata 138 2 0 1 sec Completa fi
441. tro al sottotermine b c Ad es per calcolare a mente 4 157 si pu rimpiazzare 157 con 150 7 e poi distribuire 4 4 157 4 150 7 4 150 4 7 600 28 628 4 Nel passaggio da 4 150 7 a 4 150 4 7 la struttura del termine cambiata nel modo raffigurato a fianco l operazione principale non pi la moltiplicazione ma la addizione cio il termine si presenta come una somma di termini invece che come un prodotto di termini 150 7 4 150 4 7 figura 2 Le equazioni che descrivono la propriet distributiva lette alla rovescia danno luogo alle regole di riscrittura a bta c a b c b a c a b c da che permettono di raccogliere a fattor comune o portare fuori dal termine a b a c o dal termine b a c a 1il fattore moltiplicativo a Ad esempio se Lj e L sono le misure di due lati consecutivi di un rettangolo per esprimere il perimetro P possiamo scrivere P L L L L Lj Lj L5 L 2 L 2 L gt 2 L L2 dove abbiamo riordinato l addizione abbiamo operato due riscritture del tipo ata gt 2a L L gt 2L L L gt 2L e infine abbiamo raccolto 2 a fattor comune Qual l operazione principale del termine 2 Lj 2 L E quella di 2 L L Rappresenta a lato con due grafi tali termini Le manipolazioni simboliche di un termine in alcuni casi cambiano solo il posto di alcuni sottotermini es x y y x negli altri cambiano la struttura spes
442. tt che non completano gli studi si manifestava nell Italia Settentrionale e Centrale SC e nell Italia Meridionale e Insulare MI negli anni 80 somma degli iscritti in 1 licenziati dal ripetenti negli stessi 1982 83 anni al Tom somma degli iscritti in 1 dal 1980 81 al 1983 84 1729 215 1246 Ho considerato gli iscritti in 1 di quattro anni scolastici successivi e 1 licenziati nel quadriennio slittato in avanti di due anni in quanto uno studente che completa regolarmente gli studi consegue la licenza media alla fine dell anno scolastico di due anni successivo a quello in cui si iscritto alla classe prima Per non conteggiare pi volte le persone che hanno ripetuto la 1 devo sottrarre 1 dati B dai dati A ad es un iscritto alla 1 nell 80 81 che nell 81 82 ripeta la classe viene conteggiato due volte nella colonna A Quale tra le seguenti formule permette di calcolare il tasso di licenza cio la percentuale delle persone entrate nella scuola media che ne escono completando gli studi 1 A B V A 2 C A B 3 A BY C 4 C A Mediante la formula individuata nel quesito precedente si ottiene che il tasso di licenza nel periodo considerato del 96 in SC e dell 86 in MI Utilizzando questi dati trova i rispettivi tassi di abbandono della scuola media Discutete quali possono essere 1 fattori principali del grosso divario tra i due tassi che ottenete facendo anche riferimento ad aspetti analizzati nella scheda 1 1 S
443. ttere 1 seguenti termini con una CT in quali casi devi usare e in quali devi usare l cerchia 1 simboli che devi introdurre usando 7 1 3 8 2 3 8 3 3 8 4 7 5 5 9 3 88 La automazione 2 Possiamo quindi dire che la sottrazione equivalente a una opportuna composizione figura a fianco della funzione cambio segno e della funzione addizione Si rotto il tasto E della tua CT 1 Come puoi calcolare 432 3 usando e di 2 Completa la figura a fianco in modo da descrivere come la di visione pu essere ottenuta componendo opportunamente la funzione reciproco e la funzione moltiplicazione divizione In formule xX y X y ques 3 x y x 1 y ques 4 5 Che cosa ottieni man mano sul visore della CT battendo 5 Per calcolare 7 5 ques 2 occorre battere 7 5 Si visto ques 3 che si pu fare a meno di battendo 7 5 E cio calcolando 7 5 6 Per quanto visto nel quesito 5 invece di 7 5 potevo battere cio calcolare direttamente Nei casi della sottrazione e della divisione se si commutano cio scambiano il 1 e il 2 input si ottiene un output differente 7 3 a meno che 1 e 2 input siano uguali Nel caso della addizione 7 DOSE e della moltiplicazione l output non cambia Per esprimere ci si o sala 2 g Usa dire che addizione e moltiplicazione soddisfano la propriet 2 m Ci d
444. tto a interpretazioni erronee o distorte pi di altri modelli matematici Il motivo risiede nel fatto che con essi spesso non si rappresentano tanto le caratteristiche di un particolare oggetto o persona quanto le condizioni che riguardano una collettivit le caratteristiche essenziali dell andamento complessivo di un fenomeno che varia nel tempo il modo in cui vengono raccolte le informazioni su tutta la popolazione o su quanta parte di essa ogni quanto tempo con quale modalit di rilevamento e il fatto che le caratterisitiche delle persone o degli eventi singoli possono discostarsi molto dalla valutazione complessiva che emerge introducono notevoli elementi di approssimativit Alcuni degli esercizi seguenti offrono occasioni per esemplificare e approfondire questa riflessione 6 Esercizi Nel caso delle rappresentazioni procapite kg di carne consumata per abitante m di superficie per abitante m di spazio abitativo per famiglia L di reddito per lavoratore la media pu essere interpretata come rapporto tra due grandezze un totale espresso in una data unit di misura kg L m m e una popolazione di persone famiglie Nel caso dell altezza media questa interpretazione non ha senso vero che faccio la somma delle altezze e la divido per il numero delle persone ma questa somma non la posso interpretare come altezza totale delle persone non posso dire che l altezza media di 174 cm per abit
445. ttrazione non una negazione per cui x non un H sottotermine nella regola a a entrambi i sono invece simboli di negazione e Nel caso D si voleva semplificare 1l termine dividendo per 5 i due termini della divisione ma si preso come primo termine 10 invece che tutto 10 x 2 Casi in cui si applica una regola di riscrittura dimenticando di introdurre quando necessario delle parentesi per delimitare il sottotermine a cui si applica la regola e Nell esempio H si trasformato Guadagno Incasso Spese mettendo brutalmente Spesa Spesa al posto di Spese Guadagno Incasso Spesa Spesa Se non si introduce una coppia di parentesi il secondo termine della sottrazione diventa Spesa invece di Spesa Spesa cio occorre scrivere Guadagno Incasso Spesa Spesa e Anche nell esempio F si fatto un errore simile si pensato giustamente di modificare x x 3 trasformando le sottrazioni in addizioni dell opposto ma invece di fare l opposto di tutto x 3 si fatto solo quello di x Cio si ragionato seguendo mentalmente questo procedimento x x 3 invece che nel seguente modo corretto x x 3 x x 3 x x 3 0 3 3 Xx t x 3 x t x 3 0 3 3 3 Nel caso G invece si inventata una regola in analogia con altre senza preoccuparsi se corrisponde a qualche propriet vera si inventata la distributivit della negazione rispetto
446. ttura per esteso richiederebbe troppe cifre Analogamente se si calcola 12345678 12345678 sul visore si ha 1 5242E14 cio la rappresentazione esponenziale di 152420000000000 Il risultato stato arrotondato a sole 5 cifre significative per far spazio all esponente di 10 amp 45 Ti_i altre CT troncano altre visualizzano 6 cifre Se si batte 1 2345678 1 2345678 si ha INVECE spus 1 5241577 cio il risultato approssimato con 8 cifre significative FFEESEHEERERAZ 92 La automazione 2 Nel caso di 12345678 12345678 anche nel registro di lavoro il risultato era approssimato solo a 5 cifre 18 Batti 12345678 L 12345678 sulla tua CT annota il risultato e poi batti E 1E14 cio dividi p per 10 4 Il nuovo risultato ha la stessa quantit di cifre significative del risultato annotato Il fatto che si sia ottenuto 1 5241577 cio un numero con il massimo numero di cifre visualizzabili dalla CT significa che all interno a differenza di quanto accade sul visore la registrazione dell esponente non riduce lo spazio per la registrazione delle cifre significative Vediamo pi in dettaglio come sono memorizzati 1 numeri in un registro di lavoro Riferiamoci a una CT che approssima a 8 cifre significative Il numero viene registrato in notazione scientifica ossia nella forma h 10 dove h ha una sola cifra diversa da 0 a sinistra del punto decimale e n l ordine di grandezza Ad esempio il risultato di 12345678 12345678
447. ture come le seguenti 110 e D5 go 3 Le strutture numeriche Abbiamo visto che a volte 1 numeri vengono usati semplicemente come stringhe cio come sequenze di caratteri per identificare oggetti ad esempio un apparecchio telefonico In matematica invece 1 numeri non sono solamente delle sequenze di caratteri Anzi abbiamo visto che a un numero non associata un unica rappresentazione simbolica esistono rappresentazioni simboliche diverse che vengono considerate uguali come numeri Per adesso abbiamo approfondito questo aspetto relativamente ai numeri interi successivamente lo affronteremo pi in generale per tutti 1 numeri reali Il riquadro a lato raffigura un impiego di Poligon o di un altro qualunque F x x programma di tipo matematico per calcolare in corrispondenza di alcuni valori di ii O input i valori di output della funzione x x In tutti i casi considerati si ottenuto F 7E1 70 sempre 70 Spiega questo comportamento del programma La matematica si interessa degli usi dei numeri non come semplici nomi ma come elementi impiegati per costruire modelli matematici percentuali medie equazioni funzioni grafici che consentano di rappresentare e studiare le relazioni che intercorrono tra grandezze e fenomeni di vario genere A differenza del caso dei numeri telefonici in cui non ha alcun senso stabilire se un numero telefonico precede o segue un altro o ad es calcolare la somma di due numeri telefonici
448. udine di circa 111 km e questo vale sia presso l equatore che presso i poli Quindi nel globo rappresentato nella figura 5 la distanza che intercorre tra due qualunque paralleli successivi in questo globo 1 paralleli tracciati differiscono l uno dall altro per 15 di latitudine corrisponde in ogni caso a circa 111 15 1665 km Invece la distanza tra un meridiano e quello che ha un grado in pi di longitudine pu differire notevolmente da una zona all altra Quanti chilometri corrispondono a uno spostamento di un grado di longitudine lungo l equatore Avvicinandosi ai poli la distanza tra due qualunque meridiani a quale valore tende ET paratei visti fe di fronte figura 5 uv meridiani visti dall alto Nella cartina di figura 2 la distanza tra due meridiani rimane immutata spostandosi da sud a nord mentre in realt due meridiani che differiscono per un grado di longitudine a Reggio Calabria distano circa 87 km e a Trento circa 77 km Quindi neanche questa cartina rappresenta fedelmente le distanze dilata orizzontalmente le zone meridionali e contrae orizzontalmente le zone settentrionali anche se di poco La cartina di figura 6 rappresenta con maggiore fedelt le distanze La matematica e i suoi modelli 1 7 figura 6 Tuttavia neanche questa cartina del tutto fedele esercizio 8 Nessuna cartina pu essere una perfetta riproduzione in scala di una porzione della superficie terrestre E la riproduzione inev
449. ue ha ragione secondo te Qual la soluzione del problema Perch La matematica e i suoi modelli 1 11 Le due figure seguenti a sinistra riproducono lo stato di un orologio in due momenti successivi 10 42 e 13 04 di uno stesso giorno La figura successiva visualizza come si pu calcolare il tempo trascorso riferendosi alle posizioni delle lancette la lancetta corta ruotata di 2 ore e rotti la valutazione di quanto ruotata la lancetta lunga ci permette di valutare 1 rotti ruotata di 22 minuti ea f 2h 13 04 La stessa differenza di tempi pu essere calcolata riferendosi alla retta dei tempi nel modo sotto illustrato dalla prima alla seconda freccia intercorrono e 2 divisioni che rappresentano 1 h e 18 4 divisioni che rappresentano un minuto per un totale di 2 h e 22 min kee il 11 30 12 12 30 3 10 42 13 04 Con rappresentazioni simili a queste con cui abbiamo determinato il valore della differenza tra 10 42 e 13 04 illustra le seguenti operazioni e 19 12 18 51 7 31 5 42 pensale come differenze di tempi e procedi come nel caso precedente e 11 08 3 55 20 49 2 27 23 30 2 02 pensale come determinazione dell ora finale ad es per la prima addizione dalle 11 08 l orologio avanza di 3 h e 55 qual la posizione finale delle lancette ovvero della freccia che segna l ora sulla retta dei tempi e 13 27 1 05 10 14 3 15 pensale come determinazione dell ora iniziale a
450. umericamente tale ipotesi su questa voce spesa per trasporti in SC spesa per trasporti in MI 2 Quale sarebbe stato il modo corretto per ottenere il consumo medio per famiglia in Italia a partire da quelli di SC e MI Avremmo dovuto ricordare il significato di consumo medio cio usare 5 2 mettendo consumo per famiglia e numero di famiglie al posto di consumo pro capite e di numero di abitanti Proviamo a farlo 44 Le statistiche 1 Usando i dati della seguente tabella A e la relazione 5 3 possiamo completare le prime due righe dell ultima colonna riquadri con Con una semplice somma possiamo completare anche la colonna centrale altro riquadro con Sotto riportato il nuovo aspetto B della tabella Non sono stati ancora completati 1 calcoli Si noti che 1 calcoli sono stati impostati in modo da non portarsi dietro tutti gli zero Possiamo quindi passare a C in cui abbiamo tenuto presente che per sommare le prime due righe dell ultima colonna possiamo procedere senza tener conto dei 2 zero finali e poi aggiungerli alla fine consumo per famiglia consumo complessivo in trasporti in trasporti se T___a1567 e000 o A 260 09 768000 GET RIINA NI EIA IE DI I Co 415 67 16 200 000 41567 162 1000 B 260 09 7 680 000 26009 768 100 23 880 000 numero di famiglie 415 67 16 200 000 41567 162 1000 C 260 09 7 680 000 26009 768 100 23 880 000 41567 1620 26009 768 100 Usando 5 2 calc
451. uno Sotto sono raffigurate due situazioni la 1 e la 34 in cui troncamento e arrotondamento sono diversi e una la 2 in cui coincidono 26 TD T5 24 159 61 la tal n 28 TZ T4 75 138 140 141 AF Za Per troncare 238 712 alle migliaia poich 238712 238 712 migliaia trovato il troncamento agli interi di 238 712 cio 238 possiamo prendere 238 mila ossia 238 000 Per arrotondarlo alle migliaia poich l arrotondamento agli interi di 238 712 239 prendiamo 239 mila ossia 239 000 In altre parole per troncare alle migliaia sostituiamo con 0 tutte le cifre a destra di quella delle migliaia per arrotondare alle migliaia procediamo analogamente e poi aumentiamo di 1 migliaio il numero ottenuto se la prima cifra a destra di quella delle migliaia maggiore o uguale a 5 Qui sotto sono raffigurati alcuni arrotondamenti alle decine e ai decimi realizzabili con ragionamenti simili 13 961 ai decimi viene troncato con 13 900 o 13 9 poich la cifra a destra di quella dei decimi 6 che non minore di 5 per ottenere l arrotondamento dobbiamo aggiungere 0 1 1 decimo 13 9 gt 14 0 alle decine 267 5 ui TIZA 1396 1 _____ 250 280 720 750 1580 1550 1400 1410 Tr dr ai decimi n 2 675 x 13 361 __ j 25 28 72 i 19 13 5 13 9 14 0 14 1 tali Con ragionamenti simili esegui i seguenti arrotondamenti 3456 alle decine 6825750 al m
452. unti che rappresentano i record man mano stabiliti sono fittizi La rappresentazione di figura 3 evidenzia meglio la durata dei vari record e permette di trovare per ogni anno il record in vigore La durata dei record non comunque rappresentata del tutto fedelmente abbiamo considerato gli anni in cui i record sono stati stabiliti non le date esatte Le rappresentazioni nelle figure 1 4 vengono tutte chiamate grafici A volte la parola grafico viene usata come sinonimo di diagramma cio di rappresentazione grafica Pi spesso viene usata per indicare un particolare tipo di diagramma impiegato per rappresentare la relazione che intercorre tra i valori numerici di due grandezze Abbiamo gi rappresentato per es la relazione tra percorrenza e tariffa ferroviaria tra tempo trascorso e posizione del treno lungo la linea ferroviaria LMSM 2 tra dato assoluto e percentuale LS 1 e ora tra anno di conseguimento e valore del record e le grandezze sono state rappresentate su due assi di riferimento cio due rette non F parallele in genere perpendicolari ai cui punti sono stati associati 1 valori delle datoz grandezze mediante una opportuna scala numerica nel caso dei record f sl fissato un punto a cui stato associato un dato valore ad es un punto a cui dat stato associato 1910 si fissato un segmento a cui stato associato un altro valore ad es al segmento tra due tacche stato assoc
453. ura senza fare misure e calcoli ia s aiutati con la figura 2 in cui P1 X Y P2 e P1 U V W P2 sono i due tratti di percorso alternativi e utilizza la propriet che la somma delle lunghezze di due lati di un triangolo maggiore della lunghezza del terzo Lu i LT figura 2 i Y We P2 Sia che segua il solito tragitto sia che segua il nuovo il bus si sposta comunque dal punto P1 incrocio dopo la casa di Otto al punto P2 incrocio prima dell ingresso nella cittadina Quando non si vuole descrivere tutta la traiettoria percorsa da un oggetto in movimento ma si vuole descrivere solo come la posizione di arrivo cambiata rispetto a quella di partenza si usa il concetto di spostamento lo spostamento per andare da un punto P a un punto Q caratterizzato da due elementi la direzione con cui da P si punta verso Q la distanza in linea d aria di Pda Q Gli spostamenti possono essere rappresentati con frecce nella figura Je N 3 la freccia SI rappresenta lo spostamento casa scuola di Otto la a freccia S2 rappresenta lo spostamento da P1 a P2 del bus Nella cartina le direzioni possono essere individuate riferendosi ai punti cardinali Gui raffigurati Ad esempio quando il bus passa davanti alla casa di Otto CRA diretto nella direzione NE nord est figura 3 Vediamo come possiamo determinare la direzione di S1 cio dello spostamento casa scuola Possiamo porre una squadretta nella posizione 1 figura 4 in modo che uno dei
454. uristica dell Europa e si posiziona sulla pagina che contiene la rappresentazione cartografica dell Italia La cartina riprodotta parzialmente nella figura 2 abbiamo omesso le isole e abbiamo segnalato solo i capoluoghi di regione presenta una reticolatura che consente di individuare la posizione di una localit note le sue coordinate geografiche longitudine e latitudine La guida contiene infatti un elenco in ordine alfabetico di numerose localit con l indicazione delle loro coordinate Ad esempio Firenze ha coordinate 11 16 E longitudine 43 45 N latitudine figura 2 meridiano di __ CR riferimento inno i m ipenn eian 60 E 45 N ii 2 figura 3 parallelo di riferimento equatore Confrontando le due cartine i Van Per Tren si rendono conto immediatamente che nella prima cartina f12 1 le localit non sono disposte come nella seconda fig 2 Per curiosit aiutandosi con una piccola riga graduata e con la calcolatrice tascabile calcolano il rapporto tra le distanze in linea d aria di Bologna da Venezia e da Trento cos come risultano dalla seconda cartina poi calcolano il rapporto tra le stesse distanze cos come appaiono sulla prima cartina e confrontano i due rapporti ottenuti 5 Facciamo anche noi lo stesso confronto Che cosa possiamo concludere L indice grafico cio la cartina riprodotta nella figura 1 non rappresenta le linee ferroviarie con totale fedelt Abbiamo potuto osser
455. ut maggiore di 106 Se volete approfondire le conoscenze su JavaScript cliccate qui La automazione 3 137 5 Esercizi F x i 0 1 Abbiamo descritto una funzione F e abbiamo ottenuto ad es con Poligon una i pa yO sua descrizione come quella a lato in cui v5 indica il valore di F x Cerca di v2 v1 1 descrivere F x sia con un grafo ad albero sia con un unico termine in cui compare ve i 1 a la sola variabile x sia nella usuale scrittura a pi piani sia nella scrittura ad un piano Li E M A A M quella che useresti in un programma Abbiamo descritto una funzione G nel modo a lato G x 24 x 1 1 x 1 1 Cerca di descrivere G x sia mediante una sequenza di assegnazioni elementari come nel testo del quesito precedente sia nella usuale scrittura a pi piani sia con una grafo ad albero Abbiamo descritto una funzione H nel modo indicato a lato Cerca 2 3x 5 di descrivere H x sia con un grafo ad albero sia nella scrittura ad un BG o 7 2x piano quella che useresti in un programma Scrivi il termine rappresentato dal grafo ad albero seguente sia in una scrittura a pi piani che in una scrittura ad 1 piano qui RAD indica la radice quadrata dl N_____ o S N 3 __ __ dl __ A 2 RAD 4 A B B Sotto sono riprodotti esiti di due programmi JS nomel e nome2 che vorrebbero produrre la p scrittura di Cognome Nome se l utente mette in X il Nome e in Y il Cognome Un
456. uzioni numerate seguenti rappresentano un procedimento di calcolo che ai numeri in ingresso m e n dove n un numero intero non negativo fa corrispondere in uscita un numero p 1 LEGGI m Questo procedimento corrisponde a un operazione aritmetica a te nota Per 2 LEGGIn rispondere prova a seguire queste istruzioni per i seguenti valori di m e di n 3 PONI p 0e i 0 4 SEi nVAIal passo 7 m n P 5 PONI p p m e i i 1 5 0 6 VAI al passo 4 5 l 7 SCRIVIp 5 2 Completa poi il seguente diagramma in modo che rappresenti la stessa operazione PONI p 0 e i 0 PONI p p m e i j 1 1 Segna con l evidenziatore nelle parti della scheda indicate frasi e o formule che descrivono il significato dei seguenti termini macchina semplice 3 motore 3 automatismo 3 dati e programma dopo ques diagramma di flusso 6 codice 7 codifica e decodifica 7 segnali digitali 7 2 Su un foglio da quadernone nella prima facciata esemplifica l uso di ciascuno dei concetti sopra elencati mediante una frase in cui esso venga impiegato 3 Nella seconda facciata riassumi in modo discorsivo senza formule come in una descrizione al telefono il contenuto della scheda non fare un elenco di argomenti ma cerca di far capire il filo del discorso Le statistiche 2 71 Le statistiche Alcuni modelli per la rappresentazione dei dati Scheda 2 I record 0 Introduzione 1 Il salto in alto I grafici 2 Record maschili e femm
457. vare subito confrontando i quadri orari che non sono segnalate tutte le stazioni ferroviarie ma solo quelle delle localit principali o che sono capilinea o nodi in cui si incontrano pi tratti di linea ferroviaria Abbiamo poi visto che le lunghezze dei tratti che congiungono le stazioni sono sproporzionate Ma allora quali aspetti vengono riprodotti fedelmente Viene riprodotto fedelmente l ordine in cui le stazioni rappresentate si susseguono lungo le varie linee ferroviarie Viene inoltre conservato l ordine con cui i diversi tratti di linea si innestano in un nodo ferroviario 6 La matematica e i suoi modelli 1 e Nella figura 4 sono riprodotte porzioni di tre possibili indici grafici sono stati omessi 1 riferimenti numerici ai quadri Quali conservano entrambi gli aspetti sopra indicati Quali non li conservano e perch Primolano T 3 Diverse rappresentazioni cartografiche Abbiamo usato la cartina della figura 2 per concludere che l indice grafico figura 1 non rappresenta fedelmente le distanze tra le localit Ma la cartina della figura 2 rappresenta fedelmente le distanze Una nave che da Genova proceda verso sud scendendo di un grado di latitudine percorre 111 km circa 100 metri pi 100 metri meno Percorre la stessa distanza se parte da Bari e sale di un grado di latitudine In generale la distanza sulla superficie terrestre tra un parallelo e quello che ha un grado in pi di latit
458. viene interpretato come 1 5241577 10 e vengono memorizzati separatamente 1 5241577 h e 14 n La configurazione del registro che contiene questo numero illustrata nella figura I segno mantissa segno esponente figura 1 rappresentazione interna di 1 5241577 10 4 punto decimale sottointeso I numeri h e n vengono detti mantissa ed esponente della notazione scientifica Oltre alle cifre della mantissa e dell esponente vengono memorizzati 1 loro segni nella figura li abbiamo indicati con poich sla mantissa che esponente in questo caso sono positivi Memorizza 1 miliardo e batti ripetutamente almeno una dozzina di volte ME Che cosa appare sul visore Batti 1 1E98 100 E Che cosa ottieni Con il primo calcolo dopo la visualizzazione di 1E99 alla successiva moltiplicazione compare un messaggio d errore Esso indica che c stato un overflow cio uno straripamento il risultato di 10 1 miliardo eccede la capacit di memorizzazione della CT La CT consente di rappresentare numeri che in notazione scientifica abbiano esponente al pi pari a 99 Il massimo numero rappresentabile detto infinito macchina dunque 9 999 9 10 Con il secondo calcolo invece del risultato corretto 1E 100 viene visualizzato 0 quando un calcolo ha come risultato un numero positivo inferiore a 107 la CT lo memorizza come 0 Un fenomeno di questo genere viene chiamato underflow Fenomeni analoghi si verificano nel ca
459. x 4 e y 2 ha poi z 5 sommergibile od 500 m sotto il livello marino Completa la tabella che segue 5 peii La matematica e lo spazio I 189 mezzo x y zZ nave chiara 4 2 i sommergibile 4 2 5 aeroplano nave scura 2 Traslazioni e vettori Nel seguito spesso useremo la seguente convenzione Se nel corso di un ragionamento indichiamo un punto con P con P1 con P2 allora indichiamo le sue coordinate rispettivamente con x y X1 X2 Se invece indichiamo un punto con una lettera diversa ad esempio con A con B allora indichiamo le sue coordinate con xA XB Consideriamo 1 cambiamenti di posizione Spostandosi da A a B da C a D o da O a N figura 3 si compie lo stesso cambiamento di posizione Intuitivamente possiamo descrivere ci dicendo che le tre frecce da A a B da C a De da O ad N hanno la stessa direzione e la stessa lunghezza In fisica la freccia che rappresenta il cambiamento di posizione per andare da A a B viene chiamata spostamento e viene indicata con una freccia sovrapposta ad AB come nel disegno a lato Due spostamenti vengono considerati uguali quando sono frecce con la stessa direzione e la stessa lunghezza figura 3 Nota In qualche libro di fisica invece di direzione si parla di direzione orientata e si usa direzione come sinonimo di inclinazione In particolare di due spostamenti che hanno direzioni opposte come quello che porta A in B e quello che porta D in C la freccia
460. za accorgersi che distribuendo k e riordinando diventa b k b c k kc bk ck kc bk ck ck bk ck ck bk 0 bk In uno scritto del 1620 il risultato di un problema di geometria scritto nella forma sotto riportata Prova a riscriverlo in una forma pi semplice indicando i procedimenti di riscrittura che hai impiegato V a m n m b a na Un equazione contenente pi variabili permette di descrivere in maniera sintetica le relazioni che intercorrono tra pi grandezze Spesso con opportune trasformazioni possibile riscriverla esprimendo una grandezza in funzione di altre Ad esempio se a e y sono le misure in gradi degli angoli di un triangolo sappiamo che vale la seguente propriet o 8B y 180 Da essa possiamo ricavare ad esempio in funzione di B e y a 8 y 180 lt gt a B vy 180 lt gt a 180 B 7y a Dalla formula che esprime la misura in F f in funzione della misura in C c ricava la formula inversa che esprime c in funzione di f f 32 1 8 lt gt 18c lt gt ps SO lt gt t b Considera la prima figura del quesito e2 Esprimi b in funzione di a h e A A a b h 2 lt gt 2A lt gt 2A h lt gt b lt gt b 130 Le statistiche 4 Anche nella scuola media inferiore esiste il fenomeno dell abbandono scolastico anche se meno vistoso di un tempo Vediamo come posso utilizzare le seguenti tabelle per studiare come l abbandono della scuola media inferiore iscrit
461. zamento orizzontale maggiore Senza andare a misurare con il righello 1 due avanzamenti possiamo esprimere numericamente la pendenza mediante l aumento medio annuo cio il rapporto tra aumento del record variazione dei valori rappresentati sull asse verticale e numero degli anni trascorsi variazione dei valori rappresentati sull asse orizzontale Abbiamo visto che nel primo periodo l aumento di 2 cm all anno e che nel secondo di 0 4 cm all anno Possiamo pure dire che nel primo periodo il record cresciuto pi velocemente 220 210 60 T So Le statistiche 2 75 2 Record maschili e femminili I numeri indici e le variazioni percentuali Per approfondire l analisi dell evoluzione del salto in alto consideriamo anche 1 record femminili La figura 5 presenta sullo stesso sistema di riferimento il grafico dei record maschili e quello dei record femminili pi precisamente sono considerati solo gli anni in cui si sono svolte o si sarebbero dovute svolgere le Olimpiadi e 1 record che in quegli anni erano in vigore Il grafici partono da 1932 infatti prima lo sport femminile non esisteva ufficialmente 1940 1950 1960 1970 1980 1990 9 a In quali periodi i record femminili sono evoluti pi velocemente b Sono i periodi in cui sono evoluti pi velocemente anche 1 record maschili c Come hai stabilito ci L andamento simile dei due grafici fa supporre che vi siano dei fattori comuni che hanno condizion
462. ze nella Elena nessuno Roberta Judo tabella a destra calcolando anche 1 totali per riga e per Enrico judo Sabina pallacanestro colonna Fabrizio nessuno Valerio pallanuoto Classificazione Frequenze fare uno sport praticabile non fare uno sport praticabile fare non totale in squadra in squadra fare uno sport praticabile individualmente non fare uno sport praticabile individualmente Dopo aver classificato 1 dati e stabilito la frequenza delle varie modalit per calcolare le percentuali rappresentate in istogrammi come quelli di fig 2 ogni frequenza viene divisa per il numero totale dei dati N Nel caso di fig 2 la frequenza di ogni intervallo espressa in forma percentuale stata divisa per il numero totale dei ventenni ed Un rapporto di questo genere cio il rapporto tra la frequenza di una modalit e il numero totale delle informazioni classificate viene chiamato frequenza relativa infatti non esprime direttamente il numero delle volte con cui la modalit si verificata ma lo relativizza ne esprime la relazione quantitativa con il totale delle informazioni classificate Quando la frequenza relativa espressa in forma percentuale essa viene chiamata anche frequenza percentuale Nel caso della provenienza degli alunni dire che per il quartiere X si ottenuta una frequenza relativa del 29 significa che il rapporto tra gli alunni provenienti da X e il totale degli alunni 0 29 Per
463. zione di altri 360 cio di 240 360 600 dopo 2 giri rotazione di 600 460 360 960 il pistone ritorna nella stessa posizione Ci d 240 600 luogo a un grafico costituito da un tratto di linea che si ripete erlodicamente in forma immutata 2100 giri min P l Provate a descrivere a parole in maniera il pi possibile esauriente l andamento di questo grafico Il motorino dotato di variatore automatico gt 3 della scheda 1 di La automazione per cui all aumentare della pendenza passa automaticamente a un rapporto di trasmissione pi basso In base alle caratteristiche descritte sulle istruzioni d uso sappiamo che la massima forza di spinta in uscita di 35 5 kg Supponiamo che il peso di Rina e del ciclomotore sia di 130 kg Utililizzando le informazioni precedenti spiega perch Rina con il suo motorino pu affrontare una strada che supera un dislivello di 27 m con un tratto lungo 100 m cio una strada con pendenza circa del 27 Vedi qui se sei interessato ad approfondire il funzionamento del motorino 4 Esercizi Considera la parte centrale della figura 2 Stima a occhio la pendenza media per passare proveniendo da ovest dalla quota di 650 m alla quota di 675 m e quella per passare da 675 m a 700 m Considera il disegno riprodotto a lato a Spiega perch da esso si pu dedurre che un inclinazione di 25 corrisponde a una pendenza del 47 valore arrotondato a

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