Representación con Sage de cuencas de puntos finales inducidas
Contents
1. Definici n Un semiflujo discreto en un conjunto espacio topol gico X es una aplicaci n continua p N x X gt X tal que i p 0 x x Vx X ii y n p m x p n m x Vx X Vn meN Denotaremos a un semiflujo discreto en X por X p y cuando no haya lugar a confusi n usaremos X y n x p n x para abreviar Un semiflujo discreto X y induce una aplicaci n continua yt X gt X y una aplicaci n continua f X gt X induce un semiflujo discreto p NxX X p n x f x Hern ndez Mara n Rivas U R III Jornada Sage Python Vigo 2012 21 de junio de 2012 3 51 Marco te rico Algoritmos Manual de usuario Aplicaciones Dificultades 00000000000000 oOo00000000000000000000000 00000 000 Marco te rico y justificaci n matem tica de los algoritmos Semiflujos discretos Definici n Un semiflujo discreto en un conjunto espacio topol gico X es una aplicaci n continua p N x X gt X tal que i p 0 x x Vx X ii y n p m x p n m x Vx X Vn meN Denotaremos a un semiflujo discreto en X por X p y cuando no haya lugar a confusi n usaremos X y n x p n x para abreviar Un semiflujo discreto X y induce una aplicaci n continua yt X gt X y una aplicaci n continua f X gt X induce un semiflujo discreto e Nx X gt X p n x f x Dado un semiflujo discreto X X f la trayectoria de un punto x X px viene dada por la sucesi2. f p Cualquier funci n racional compleja h C C induce una aplicaci n extensi n f ht CU co gt CU oo que dota a CU co de una estructura de semiflujo discreto mediante la f rmula n p f p Por otro lado disponemos de la aplicaci n natural w CU oo gt M CU co dada por w p p f p f p la cual permitir descomponer el espacio C U oo en cuencas de atracci n disjuntas asociadas a puntos finales F z En el siguiente ejemplo estudiamos la funci n racional h z CG donde F z 4z 1 y G z 5z En este caso la aplicaci n inducida f ht en X CU oo posee seis puntos fijos Po 0 p 0 809017 0 587785i p 0 809017 0 587785i p3 0 309017 0 951057i pa 0 309017 0 951057i ps 1 F z En el siguiente ejemplo estudiamos la funci n racional h z CG donde F z 4z 1 y G z 5z En este caso la aplicaci n inducida f ht en X CU oo posee seis puntos fijos Po 0 p 0 809017 0 587785i p 0 809017 0 587785i p3 0 309017 0 951057i pa 0 309017 0 951057i ps 1 Por tanto consideraremos la esfera dividida en siete partes X X EOE U PD UD U D O ILD donde D D U Dp U Dp U Dp U Dp U Dp A cada regi n se le asocia un color diferente Color Tipo de punto fijo asociado 0 3 Repulsor u Atractor S Atractor E Atrac
3. de usuario Aplicaciones Dificultades 000000000000000 o000000000000000e00000000 00000 000 Algoritmos para dibujar fractales Estrategias de asignaci n de color Dibujaremos un fractal usando el punto fijo al que converge la trayectoria quiz no exista ninguno y el n mero de iteraciones necesarias para alcanzar la convergencia y una de las siguientes estrategias 1 Punto fijo al que converge la trayectoria se asigna un color a la cuenca de atracci n de cada punto fijo de modo que cada punto x se colorea seg n el punto fijo al cual F x converge se marca con un nuevo color si despu s de un cierto n mero de iteraciones la sucesi n no converge 2 N mero de iteraciones se asigna el color atendiendo al n mero de iteraciones necesarias para alcanzar alg n punto fijo con una determinada precisi n 3 Combinaci n de las estrategias anteriores se asigna un color a cada cuenca de atracci n de un punto fijo pero haciendo que este color sea m s claro o m s oscuro en funci n del n mero de iteraciones necesarias para alcanzar la ra z con la precisi n prefijada Hern ndez Mara n Rivas U R III Jornada Sage Python Vigo 2012 21 de junio de 2012 33 51 Marco te rico Algoritmos Manual de usuario Aplicaciones Dificultades 000000000000000 000000000000000060000000 00000 000 Algoritmos para dibujar fractales Punto fijo al que converge la trayectoria Hern ndez Mara n Rivas U R III Jornada Sage Python Vi
4. n f x nen Hern ndez Mara n Rivas U R III Jornada Sage Python Vigo 2012 21 de junio de 2012 3 51 Marco te rico Algoritmos Manual de usuario Aplicaciones Dificultades O 0000000000000 ooooooooooo0000000000000 00000 000 Marco te rico y justificaci n matem tica de los algoritmos Puntos finales asociados a un semiflujo discreto Dado un espacio m trico X d y un semiflujo discreto y Nx X gt X llamaremos semiflujo discreto m trico al triple X d p Definici n Dado un semiflujo discreto m trico X X d f se define el espacio de puntos finales de X como el conjunto cociente MX d om xex donde f x F y si y s lo si d f x f y gt 0 x y X Un elemento a f x M X d se denomina punto final del semiflujo discreto m trico Hern ndez Mara n Rivas U R III Jornada Sage Python Vigo 2012 21 de junio de 2012 4 51 Podemos definir la aplicaci n natural w X gt MX d dada por w x F x x f x f2 x Marco te rico Algoritmos Manual de usuario Aplicaciones Dificultades o00e000000000000 o000000000000000000000000 00000 000 Marco te rico y justificaci n matem tica de los algoritmos Cuencas de puntos finales Podemos definir la aplicaci n natural w X gt MX d dada por w x f x x f x F x Definici n Sea X d un semiflujo discreto m trico El subconjunto denotado por Xa w a a M
5. por un par de polinomios homog neos coprimos A z t B z t de grado n entonces f es una funci n racional de grado n que tiene n 1 puntos fijos teni ndose en cuenta la multiplicidad Hern ndez Mara n Rivas U R III Jornada Sage Python Vigo 2012 21 de junio de 2012 111 51 Como S es un subespacio de R la m trica euclidea usual de R induce una m trica euclidea df en S Usando la biyecci n 971 P C gt S podemos trasladar las estructuras m tricas de S a P C mediante la expresi n di z t 2 1 d 0 Iz e Como S es un subespacio de R la m trica euclidea usual de R induce una m trica eucl dea df en S Usando la biyecci n 971 P C gt S podemos trasladar las estructuras m tricas de S a P C mediante la expresi n di z 2 t a 0 z 41 9 12 Una f rmula expl cita para dE vlene dada por di z t 2 t t zt zt zt i Zt zt Be AD 3 tt zZ fr zrz ar SE tt zz t t z Z tt zZ t t zz tt zz t t 2 2 Marco te rico Algoritmos Manual de usuario Aplicaciones Dificultades 0000000000e0000 o00000000000000000000000 00000 000 Marco te rico y justificaci n matem tica de los algoritmos Aplicaci n tangente de una funci n racional Definici n Sea f P C gt P C una funci n anal tica y p P C un punto fijo Entonces se dice que p es superatractor at
6. punto fijo al que converge la trayectoria quiz no exista ninguno y el n mero de iteraciones necesarias para alcanzar la convergencia y una de las siguientes estrategias 1 Punto fijo al que converge la trayectoria se asigna un color a la cuenca de atracci n de cada punto fijo de modo que cada punto x se colorea seg n el punto fijo al cual F x converge se marca con un nuevo color si despu s de un cierto n mero de iteraciones la sucesi n no converge Marco te rico Algoritmos Manual de usuario Aplicaciones Dificultades 000000000000000 o000000000000000e00000000 00000 000 Algoritmos para dibujar fractales Estrategias de asignaci n de color Dibujaremos un fractal usando el punto fijo al que converge la trayectoria quiz no exista ninguno y el n mero de iteraciones necesarias para alcanzar la convergencia y una de las siguientes estrategias 1 Punto fijo al que converge la trayectoria se asigna un color a la cuenca de atracci n de cada punto fijo de modo que cada punto x se colorea seg n el punto fijo al cual F x converge se marca con un nuevo color si despu s de un cierto n mero de iteraciones la sucesi n no converge 2 N mero de iteraciones se asigna el color atendiendo al n mero de iteraciones necesarias para alcanzar alg n punto fijo con una determinada precisi n Hern ndez Mara n Rivas U R III Jornada Sage Python Vigo 2012 21 de junio de 2012 SS 51 Marco te rico Algoritmos Manual
7. puntos fijos de la funci n f compuesta dos veces consigo misma f f o f corresponden a cuencas de puntos fijos y de 2 ciclos de f si dos puntos fijos de f conforman un 2 ciclo la cuenca de atracci n de este 2 ciclo es la uni n de las cuencas de estos dos puntos fijos e Este hecho puede generalizarse a una funci n compuesta n veces f def compose h num lal la if num lt 1 print Rational function must be composed once at least for cont in range num 1 H h subs x H return H def homogenize f g F R 0 G R O fdeg f degree x gdeg g degree x deg max fdeg gdeg if fdeg 0 monf z aqlil xq 0 for q in f coefficients x for m in monf d m degree z F F m t deg d else F f t deg if gdeg 0 mong z qlil q 0 for q in g coefficients x for m in mong d m degree z G G m t deg d else G g t deg return F G def composeHomogenize f g n if g degree x 0 comp compose f n homo homogenize comp g else a comp compose h n simplify_rational simple num comp numerator den comp denominator homo homogenize num den A homo 0 B homo 1 return A B Dibujaremos un fractal usando el punto fijo al que converge la trayectoria quiz no exista ninguno y el n mero de iteraciones necesarias para alcanzar la convergencia y una de las siguientes estrategias Dibujaremos un fractal usando el
8. solaux if con 0 soli insert 0 1 0 return soli Utilizando la biyecci n dada entre P C y S y la m trica euclidea en podemos obtener la distancia entre dos puntos de P C sphereBijection 1 0 0 0 1 chordalMetric 1 0 1 1 1 41421356237310 def sphereBijection twotuple z twotupleL0 t twotuple 1 return conjugate z t conjugate t z conjugate t t conjugate z z I conjugate z t conjugate t z conjugate t t conjugate z z conjugate t t conjugate z z conjugate t t conjugate z z def chordalMetric twotuple twotuplel ti sphereBijection twotuple t2 sphereBijection twotuplel m1 Matrix t1 0 t1 1 t1 2 m2 Matrix t2 0 t2 1 t2 2 1 return n norm mi m2 Con el fin de encontrar el punto final asociado a un punto x P C se tiene que iterar componer consigo misma la funci n f para obtener una sucesi n finita x f x F2 x f3 x f4 1 x f x Al programar en el ordenador se debe considerar un n mero m ximo de iteraciones y prefijar una precisi n c para determinar cu ndo debemos detener el proceso iterativo Es por ello que trabajaremos siempre con sucesiones tales que k lt Marco te rico Algoritmos Manual de usuario Aplicaciones Dificultades 000000000000000 o0000e000000000000000000 00000 000 Descripci n de los algoritmos Iteraci n de la funci n racional Con el fin de encontrar el
9. un semiflujo discreto m trico Si y Fix X podemos interpretar que y es un punto final y 0 10 y MX d Hern ndez Mara n Rivas U R III Jornada Sage Python Vigo 2012 21 de junio de 2012 6 51 Se pretende estudiar funciones racionales complejas extendidas sobre la esfera de Riemann h CU 00 gt CU oo Para ello se consideran las siguientes estructuras S CU oo P C S variedad diferenciable de dimensi n 2 P C variedad compleja de dimensi n 1 Consideremos la biyecci n 0 S gt P1 C dada por P m m m in 1 n La aplicaci n inversa de 0 0 P C gt S viene dada por la f rmula e t zt i t zt tt zZz Triz jeep Ppa ge Dado un punto z t P C al par z t se le conoce como las coordenadas homog neas del punto y t z z t son las coordenadas absolutas de dicho punto En los algoritmos usaremos las siguientes coordenadas homog neas normalizadas para cualquier punto de P C aa ee 1 si t gt el 1 t z si t lt 2 El uso de coordenadas homog neas normalizadas evitar el desbordamiento de las coordenadas z t en nuestros programas a uP ayuP ap Sea h u la expresi n de una funci n Fee e oo racional compleja a C a 0 Si tomamos u z t y n max p q tenemos a zPt P de a172P 14 1 P 1 me apt O e aT e eo DIE Tanto el numerador F z t a
10. 0 08000 000 Par metros de entrada fractalPlot e fractalPlot M N xmin xmax ymin ymax points 100 function onlyPosition iter 25 prec 3 ncomp 1 colorfunction spectral M N son el numerador y el denominador de la funci n racional dada en la variable x respectivamente La tupla xmin xmax ymin ymax representa los v rtices del rect ngulo en el que se dibujar el fractal points es un entero que representa el n mero de puntos del gr fico function indica la estrategia que se emplear al dibujar el fractal iter es un entero que representa el n mero m ximo de iteraciones prec es un entero tal que si la distancia entre dos puntos es menor que 107 P entonces el algoritmo considera que los dos puntos son el mismo ncomp es un entero que representa el n mero de veces que la funci n racional se compone consigo misma colorfunction es un colormap de Sage que se usa para asignar un color a cada punto del plano complejo Hern ndez Mara n Rivas U R III Jornada Sage Python Vigo 2012 21 de junio de 2012 43 51 Marco te rico Algoritmos Manual de usuario Aplicaciones Dificultades 000000000000000 ovo00000000000000000000000 00900 000 Par metros de entrada fractalPlotInsideDutside e fractalPlotInsideOutside M N points 100 function onlyPosition iter 25 prec 3 ncomp 1 reflection 1 colorfunction spectral M N son el numerador y el denominador de la funci n
11. 21 de junio de 2012 38 51 Marco te rico Algoritmos Manual de usuario Aplicaciones Dificultades 000000000000000 000000000000000000000600 00000 000 Algoritmos para dibujar fractales fractalPlotInsideDutside Hern ndez Mara n Rivas U R III Jornada Sage Python Vigo 2012 21 de junio de 2012 39 51 Marco te rico Algoritmos Manual de usuario Aplicaciones Dificultades 000000000000000 000000000000000000000060 00000 000 Algoritmos para dibujar fractales spherePlot Hern ndez Mara n Rivas U R III Jornada Sage Python Vigo 2012 21 de junio de 2012 40 51 Marco te rico Algoritmos Manual de usuario Aplicaciones Dificultades 000000000000000 00000000000000000000000e 00000 9000 Algoritmos para dibujar fractales spherePlot vs cubicSpherePlot Hern ndez Mara n Rivas U R III Jornada Sage Python Vigo 2012 21 de junio de 2012 41 51 El programa es muy f cil de usar Para dibujar el fractal asociado a una determinada funci n racional es suficiente con especificar los polinomios que forman su numerador y denominador en la variable x y ejecutar una de las siguientes subrutinas dependiendo del tipo de fractal que queramos dibujar fractalPlotinsideDutside fractalPlot spherePlot o cubicSpherePlot M 4 x 5 1 N 5 x 4 fractalPlotInside0utside M N 100 positionPlusConvergence Marco te rico Algoritmos Manual de usuario Aplicaciones Dificultades 000000000000000 o0000000000000000000000
12. Marco te rico Algoritmos Manual de usuario Aplicaciones Dificultades o000000000000000 o00000000000000000000000 00000 000 5Dge III Jornada Sage Python Vigo 2012 Representaci n con Sage de cuencas de puntos finales inducidas por funciones racionales Luis Javier Hern ndez Paricio Miguel Mara n Grandes y Mar a Teresa Rivas Rodr guez Universidad de La Rioja 21 de junio de 2012 Hern ndez Mara n Rivas U R III Jornada Sage Python Vigo 2012 21 de junio de 2012 1 51 Marco te rico O Algoritmos Manual de usuario Aplicaciones O Dificultades Marco te rico Algoritmos Manual de usuario Aplicaciones Dificultades 00000000000000 oOo00000000000000000000000 00000 000 Marco te rico y justificaci n matem tica de los algoritmos Semiflujos discretos Definici n Un semiflujo discreto en un conjunto espacio topol gico X es una aplicaci n continua p N x X gt X tal que i p 0 x x Vx X ii y n p m x p n m x Vx X Vn meN Denotaremos a un semiflujo discreto en X por X p y cuando no haya lugar a confusi n usaremos X y n x y n x para abreviar Hern ndez Mara n Rivas U R III Jornada Sage Python Vigo 2012 21 de junio de 2012 3 51 Manual de usuario Aplicaciones Dificultades Marco te rico Algoritmos 000 00000000000000 oOo00000000000000000000000 00000 Marco te rico y justificaci n matem tica de los algoritmos Semiflujos discretos
13. R III Jornada Sage Python Vigo 2012 21 de junio de 2012 48 51 e Nuestros algoritmos pueden emplearse con el prop sito de obtener una estimaci n num rica del rea en la esfera de las cuencas de atracci n asociadas a las ra ces de un polinomio as como la probabilidad de que un punto xy CU co pertenezca a una u otra regi n e Nuestros algoritmos pueden emplearse con el prop sito de obtener una estimaci n num rica del rea en la esfera de las cuencas de atracci n asociadas a las ra ces de un polinomio as como la probabilidad de que un punto xy CU co pertenezca a una u otra regi n e Algunas partes de los algoritmos pueden ser tambi n tiles para hacer un estudio m s detallado de los conjuntos de Julia de los fractales obtenidos calculando por ejemplo su dimensi n fractal y otros invariantes homot picos y homol gicos Marco te rico Algoritmos Manual de usuario Aplicaciones Dificultades 000000000000000 o00000000000000000000000 00000 ooe Aplicaciones de los algoritmos Aplicaciones futuras e Nuestros algoritmos pueden emplearse con el prop sito de obtener una estimaci n num rica del rea en la esfera de las cuencas de atracci n asociadas a las ra ces de un polinomio as como la probabilidad de que un punto xy CU co pertenezca a una u otra regi n Algunas partes de los algoritmos pueden ser tambi n tiles para hacer un estudio m s detallado de los conjuntos de Julia de l
14. X d se denomina cuenca del punto final a Existe una partici n inducida en X X a a T X d a la que llamaremos w descomposicion del semiflujo discreto m trico X d Hern ndez Mara n Rivas U R III Jornada Sage Python Vigo 2012 21 de junio de 2012 51 51 Marco te rico Algoritmos Manual de usuario Aplicaciones Dificultades 000e00000000000 o00000000000000000000000 00000 000 Marco te rico y justificaci n matem tica de los algoritmos Puntos fijos y peri dicos Definici n Sea X un semiflujo discreto y x un punto de X i x es un punto fijo si para todo ne N n x x ii x es un punto peri dico si existe n N n 0 tal que n x x Los subconjuntos de los puntos fijos y peri dicos de un semiflujo discreto se denotar n por Fix X y P X respectivamente Hern ndez Mara n Rivas U R III Jornada Sage Python Vigo 2012 21 de junio de 2012 6 51 Marco te rico Algoritmos Manual de usuario Aplicaciones Dificultades o000e00000000000 o00000000000000000000000 00000 000 Marco te rico y justificaci n matem tica de los algoritmos Puntos fijos y peri dicos Definici n Sea X un semiflujo discreto y x un punto de X i x es un punto fijo si para todo ne N n x x ii x es un punto peri dico si existe n N n 0 tal que n x x Los subconjuntos de los puntos fijos y peri dicos de un semiflujo discreto se denotar n por Fix X y P X respectivamente Sea X d
15. arecen al dibujar las esferas ParametricPlot3D de Mathematica e Lentitud en los c lculos Hern ndez Mara n Rivas U R III Jornada Sage Python Vigo 2012 21 de junio de 2012 50 51 Marco te rico Algoritmos Manual de usuario Aplicaciones Dificultades 000000000000000 o000000000000000000000000 00000 000 Dificultades encontradas al programar en Sage e Incoherencias entre los atributos degree coefficients monomials de los polinomios dependiendo de si son de una o de varias variables y del anillo en el que se definen e Manejo de constantes en determinados anillos e Falta de correspondencia entre las paletas de color asociadas a gr ficos en dos y tres dimensiones e Reorganizaci n autom tica indebida de los colores de una paleta de color en los gr ficos obtenidos con density plot e Jmol problemas al cargar los gr ficos y puntos que no aparecen al dibujar las esferas ParametricPlot3D de Mathematica e Lentitud en los c lculos e Y por supuesto poca experiencia programando en Sage Hern ndez Mara n Rivas U R III Jornada Sage Python Vigo 2012 21 de junio de 2012 50 51 Muchas gracias por su atenci n
16. directamente como un punto final e As toda cuenca de atracci n de una ra z del polinomio complejo primitivo es precisamente la cuenca del punto final asociado e Si p es una ra z del polinomio complejo original el significado de que un punto x est en la cuenca correspondiente al punto fijo p es que al aplicar a ese punto x la funci n racional asociada al m todo num rico con el que estamos trabajando estaremos aproxim ndonos cada vez m s a la ra z p del polinomio dado Hern ndez Mara n Rivas U R III Jornada Sage Python Vigo 2012 21 de junio de 2012 47 51 Marco te rico Algoritmos Manual de usuario Aplicaciones Dificultades 000000000000000 o00000000000000000000000 00000 oeo Aplicaciones de los algoritmos Conexiones con la Geometr a Fractal Intuitivamente se puede decir que un punto x X pertenece al conjunto de Fatou si existe un entorno abierto U de x tal que w x w y Vy U es decir si la cuenca de un punto final asociada a cualquier punto muy cercano a x es la misma que la cuenca del punto final a la que pertenece x El conjunto de Julia es la frontera de las cuencas de atracci n de los puntos fijos atractores de f incluyendo a co En consecuencia se puede considerar que el conjunto de Julia est formado por puntos que se encuentran en la frontera de las cuencas de puntos atractores y por tanto el resto de puntos de X est n en el conjunto de Fatou Hern ndez Mara n Rivas U
17. eraciones Consideremos la sucesi n ordenada de puntos fijos x1 X2 Xn 1 Del mismo modo dado un punto x CU oo consideremos la sucesi n de iteraciones x f x F2 x f3 x OO Si existe 1 n 1 tal que la distancia cordal entre f x y el punto fijo x es menor que 107 entonces positionIterationNumber debe devolver i k en otro caso k I y la salida debe ser 0 donde es el n mero m ximo de iteraciones prefijada de antemano positioniterationNumber A B fixedPointsZeros A B 25 4 0 1 0 1 i 1 0 25 positionIterationNumber A B fixedPointsZeros A B 25 4 0 1 0 09 i 1 5 23 Hern ndez Mara n Rivas U R III Jornada Sage Python Vigo 2012 21 de junio de 2012 25 51 def positionIterationNumber U V fixedpointlist iter precision twotuple result newstep U V iter precision twotuple if result 1 iter return position fixedpointlist precision result 0 result 1 else return 0 result 1 Marco te rico Algoritmos Manual de usuario Aplicaciones Dificultades 000000000000000 o000000000e00000000000000 00000 000 Descripci n de los algoritmos Derivada de una funci n racional en un punto fijo Para saber si un punto fijo es superatractor atractor indiferente o repulsor podemos calcular la derivada de la funci n racional en ese punto usando el siguiente algoritmo fixedPointsTangentMapNorm A B 1 0 1 0 1 33333333333333 Supongamos q
18. go 2012 21 de junio de 2012 34 51 Marco te rico Algoritmos Manual de usuario Aplicaciones Dificultades 000000000000000 000000000000000006000000 00000 ooo Algoritmos para dibujar fractales Numero de iteraciones Hern ndez Mara n Rivas U R III Jornada Sage Python Vigo 2012 21 de junio de 2012 35 51 Marco te rico Algoritmos Manual de usuario Aplicaciones Dificultades 000000000000000 000000000000000000600000 00000 000 Algoritmos para dibujar fractales Combinaci n de las estrategias anteriores Hern ndez Mara n Rivas U R III Jornada Sage Python Vigo 2012 21 de junio de 2012 36 51 e Con la funci n fractalPlot obtenemos un fractal coloreado en un rect ngulo e Con la funci n fractalPlot obtenemos un fractal coloreado en un rect ngulo e fractalPlotInsideOutside devuelve dos discos en el primero se representa la intersecci n de las cuencas de atracci n con el disco unidad y en el segundo mediante inversi n obtenemos la intersecci n de las cuencas con el complementario del disco en CU oo e Con la funci n fractalPlot obtenemos un fractal coloreado en un rect ngulo e fractalPlotInsideOutside devuelve dos discos en el primero se representa la intersecci n de las cuencas de atracci n con el disco unidad y en el segundo mediante inversi n obtenemos la intersecci n de las cuencas con el complementario del disco en CU oo e Con la funci n spherePlot se obtiene un frac
19. igo misma Marco te rico Algoritmos Manual de usuario Aplicaciones Dificultades 000000000000000 000000000000000000000000 00000 000 Par metros de entrada cubicSpherePlot e cubicSpherePlot M N numdiv 60 function onlyPosition ter 25 prec 3 comp 1 e M N son el numerador y el denominador de la funci n racional dada en la variable x respectivamente e numdiv es un entero que indica el n mero de subdivisiones de las caras del cubo que se proyecta sobre la esfera unidad e function indica la estrategia que se emplear al dibujar el fractal iter es un entero que representa el n mero m ximo de iteraciones e prec es un entero tal que si la distancia entre dos puntos es menor que 107 Pre entonces el algoritmo considera que los dos puntos son el mismo e ncomp es un entero que representa el n mero de veces que la funci n racional se compone consigo misma Hern ndez Mara n Rivas U R III Jornada Sage Python Vigo 2012 21 de junio de 2012 46 51 Marco te rico Algoritmos Manual de usuario Aplicaciones Dificultades 000000000000000 o00000000000000000000000 00000 eco Aplicaciones de los algoritmos Funciones racionales inducidas por m todos iterativos num ricos e Todos los ceros de un polinomio complejo son puntos fijos de la funci n racional obtenida a partir de l mediante los m todos num ricos iterativos m s usuales e Cada punto fijo de esta funci n racional asociada puede interpretarse
20. letas de color asociadas a graficos en dos y tres dimensiones e Reorganizaci n autom tica indebida de los colores de una paleta de color en los gr ficos obtenidos con density_plot e Incoherencias entre los atributos degree coefficients monomials de los polinomios dependiendo de si son de una o de varias variables y del anillo en el que se definen e Manejo de constantes en determinados anillos e Falta de correspondencia entre las paletas de color asociadas a graficos en dos y tres dimensiones e Reorganizaci n autom tica indebida de los colores de una paleta de color en los gr ficos obtenidos con density_plot e Jmol problemas al cargar los gr ficos y puntos que no aparecen al dibujar las esferas ParametricPlot3D de Mathematica Marco te rico Algoritmos Manual de usuario Aplicaciones Dificultades 000000000000000 o000000000000000000000000 00000 000 Dificultades encontradas al programar en Sage e Incoherencias entre los atributos degree coefficients monomials de los polinomios dependiendo de si son de una o de varias variables y del anillo en el que se definen e Manejo de constantes en determinados anillos e Falta de correspondencia entre las paletas de color asociadas a gr ficos en dos y tres dimensiones e Reorganizaci n autom tica indebida de los colores de una paleta de color en los gr ficos obtenidos con density_plot e Jmol problemas al cargar los gr ficos y puntos que no ap
21. os fractales obtenidos calculando por ejemplo su dimensi n fractal y otros invariantes homot picos y homol gicos e Se ha comenzado a desarrollar en Sage un algoritmo que permite hallar los n meros de Betti asociados a las cuencas de atracci n de puntos finales inducidas por funciones racionales mediante el c lculo de la homolog a de complejos c bicos Hern ndez Mara n Rivas U R III Jornada Sage Python Vigo 2012 21 de junio de 2012 49 51 e Incoherencias entre los atributos degree coefficients monomials de los polinomios dependiendo de si son de una o de varias variables y del anillo en el que se definen e Incoherencias entre los atributos degree coefficients monomials de los polinomios dependiendo de si son de una o de varias variables y del anillo en el que se definen e Manejo de constantes en determinados anillos e Incoherencias entre los atributos degree coefficients monomials de los polinomios dependiendo de si son de una o de varias variables y del anillo en el que se definen e Manejo de constantes en determinados anillos e Falta de correspondencia entre las paletas de color asociadas a gr ficos en dos y tres dimensiones e Incoherencias entre los atributos degree coefficients monomials de los polinomios dependiendo de si son de una o de varias variables y del anillo en el que se definen e Manejo de constantes en determinados anillos e Falta de correspondencia entre las pa
22. punto final asociado a un punto x P C se tiene que iterar componer consigo misma la funci n f para obtener una sucesi n finita x f x 20 f2 x F5 1 x F5 x Al programar en el ordenador se debe considerar un n mero m ximo de iteraciones y prefijar una precisi n c para determinar cu ndo debemos detener el proceso iterativo Es por ello que trabajaremos siempre con sucesiones tales que k lt 1 Despu s de cada iteraci n se nos presentar n dos posibles opciones 1 Si la distancia cordal desde F 71 x hasta f x es menor que 107 entonces tomamos como salida la lista f x k en otro caso se aplica 2 2 Si k lt I se lleva a cabo una nueva iteraci n y se aplica de nuevo 1 en otro caso si k se toma como salida F x Hern ndez Mara n Rivas U R III Jornada Sage Python Vigo 2012 21 de junio de 2012 2351 def newstep U V iter precision pointinternumber point pointinternumber number 0 imagepoint rationalFunction U V point while chordalMetric point imagepoint gt 10 precision and number lt iter point imagepoint imagepoint rationalFunction U V point number number 1 else return imagepoint number Marco te rico Algoritmos Manual de usuario Aplicaciones Dificultades 000000000000000 o0000000e0000000000000000 00000 000 Descripci n de los algoritmos Determinaci n del punto fijo al que converge una trayectoria y del numero de it
23. racional dada en la variable x respectivamente points es un entero que representa el numero de puntos del grafico function indica la estrategia que se empleara al dibujar el fractal iter es un entero que representa el n mero m ximo de iteraciones prec es un entero tal que si la distancia entre dos puntos es menor que 107 P entonces el algoritmo considera que los dos puntos son el mismo ncomp es un entero que representa el n mero de veces que la funci n racional se compone consigo misma reflection es un n mero igual a 1 1 que indica el signo de la reflexi n del m todo de inversi n colorfunction es un colormap de Sage que se usa para asignar un color a cada punto del plano complejo Hern ndez Mara n Rivas U R III Jornada Sage Python Vigo 2012 21 de junio de 2012 44 51 e spherePlot M N points 100 function onlyPosition iter 25 prec 3 ncomp 1 M N son el numerador y el denominador de la funci n racional dada en la variable x respectivamente points es un entero que representa el numero de puntos del grafico function indica la estrategia que se emplear al dibujar el fractal iter es un entero que representa el n mero m ximo de iteraciones prec es un entero tal que si la distancia entre dos puntos es menor que 107 Pre entonces el algoritmo considera que los dos puntos son el mismo ncomp es un entero que representa el n mero de veces que la funci n racional se compone cons
24. ractor indiferente o repulsor s la norma de la aplicaci n tangente en ese punto es 0 menor que 1 igual a 1 mayor que 1 respectivamente Hern ndez Mara n Rivas U R III Jornada Sage Python Vigo 2012 21 de junio de 2012 13 751 Marco te rico Algoritmos Manual de usuario Aplicaciones Dificultades o0000000000e0000 o0o00000000000000000000000 00000 000 Marco te rico y justificaci n matem tica de los algoritmos Aplicaci n tangente de una funci n racional Definici n Sea f PLC gt P C una funci n anal tica y p PY C un punto fijo Entonces se dice que p es superatractor atractor indiferente o repulsor si la norma de la aplicaci n tangente en ese punto es 0 menor que 1 igual a 1 6 mayor que 1 respectivamente Sean x y PLC gt S cartas dadas por x z t z t e y z t t z Dom x z t P C t 4 0 Dom y z t P C z 40 Dado p z t P C para determinar si un punto fijo es superatractor atractor indiferente o repulsor basta comprobar si Abs xfx1 z si t 1 t 1 Ip A naa Abs yfy gt t si z 1 z 1 es 0 menor que 1 igual a 1 mayor que 1 Hern ndez Mara n Rivas U R III Jornada Sage Python Vigo 2012 21 de junio de 2012 13 51 Cualquier funci n racional compleja h C C induce una aplicaci n extensi n f ht CU co gt CU oo que dota a CU co de una estructura de semiflujo discreto mediante la f rmula n p
25. rcanas al origen polo sur de la esfera mientras que la de la derecha muestra las pr ximas al punto del infinito polo norte de la esfera Hern ndez Mara n Rivas U R III Jornada Sage Python Vigo 2012 21 de junio de 2012 17 51 Hemos visto que el conjunto z1 t1 2441 tn 1 de ceros del polinomio homog neo A z t t B z t z coincide con el conjunto de A z t puntos fijos de f z t B z t Hemos visto que el conjunto z1 t1 2441 tn 1 de ceros del polinomio homog neo A z t t B z t z coincide con el conjunto de E A z t puntos fijos de f z t ae gt Si t 0 es ra z de B 1 t yzZi Zn son las ra ces de A z 1 B z 1 z 0 entonces 1 1 0 21 1 Zn 1 es el conjunto de los puntos fijos de f e Si t 0 no es ra z de B 1 t y 21 Zn Zn 1 son las ra ces de A z 1 B z 1 z 0 entonces z1 1 Zn 1 2541 1 es el conjunto de los puntos fijos de f def fixedPointsZeros U V w var w con V z 1 t 0 solaux solve U z w t 1 V z w t 1 w 0 w to_poly_solve true solution_dict true def errorEq boo false k 0 while k lt len solaux and boo false if w in solaux k keys k k 1 else boo true return boo if errorEg sol1 print There was a problem with function solve cannot solve equation U w 1 V w 1 w else soli homogeneousNormalization n t w 1 for t in
26. tal 3D en la esfera unidad en el que se muestran todos los puntos fijos con un tama o mayor que el resto de puntos Marco te rico Algoritmos Manual de usuario Aplicaciones Dificultades 000000000000000 0000000000000000000e0000 00000 000 Algoritmos para dibujar fractales Algoritmos e Con la funci n fractalPlot obtenemos un fractal coloreado en un rect ngulo e fractalPlotInsideOutside devuelve dos discos en el primero se representa la intersecci n de las cuencas de atracci n con el disco unidad y en el segundo mediante inversi n obtenemos la intersecci n de las cuencas con el complementario del disco en CU oo e Con la funci n spherePlot se obtiene un fractal 3D en la esfera unidad en el que se muestran todos los puntos fijos con un tama o mayor que el resto de puntos e El subprograma cubicSpherePlot devuelve lo mismo que spherePlot pero la esfera que se obtiene con la primera funci n es ligeramente distinta a la que se obtiene con la segunda pues sus puntos se distribuyen sobre su superficie de una forma diferente concretamente proyectando un cubo sobre la esfera unidad Hern ndez Mara n Rivas U R III Jornada Sage Python Vigo 2012 21 de junio de 2012 STL SL Marco te rico Algoritmos Manual de usuario Aplicaciones Dificultades 000000000000000 000000000000000000006000 00000 000 Algoritmos para dibujar fractales fractalPlot Hern ndez Mara n Rivas U R III Jornada Sage Python Vigo 2012
27. tor P Atractor OOO 0 o D gt O1 VN Ra Atractor Marco te rico Algoritmos Manual de usuario Aplicaciones Dificultades 000000000000060 ovo00000000000000000000000 00000 000 Cuencas de puntos finales inducidas por una funci n racional en C U oo Relaci n entre regiones colores y puntos fijos A cada regi n se le asocia un color diferente Regi n Color Tipo de punto fijo asociado X D 0 Dp w w po 1 Repulsor Dy e w pn 2 Atractor Dp w w p2 3 Atractor Dp a Ups 4 Atractor Drevne yim 5 Atractor Dp 6 6 Atractor En X 1 D se pueden encontrar puntos cuya cuenca de atracci n est asociada a un punto final que no est vinculado a ning n punto fijo por ejemplo cuencas de 2 ciclos 3 ciclos o puntos tales que tras un n mero prefijado de iteraciones forman parte de una sucesi n que a n no ha convergido a ning n punto fijo Los dem s colores corresponden a las cuencas asociadas a los diferentes puntos fijos Hern ndez Mara n Rivas U R III Jornada Sage Python Vigo 2012 21 de junio de 2012 16 51 Marco te rico Algoritmos Manual de usuario Aplicaciones Dificultades 000000000000006 o00000000000000000000000 00000 000 Cuencas de puntos finales inducidas por una funci n racional en C U oo Representaci n de las cuencas de atracci n La esfera de la izquierda muestra las regiones ce
28. ue A z t B z t son polinomios homog neos y que z t es un punto fijo representado en forma de coordenadas homog neas normalizadas Entonces el subprograma fixedPointsTangentMapNorm devuelve una lista con dos elementos el punto fijo considerado z t y la norma de la derivada de la funci n racional en ese punto Hern ndez Mara n Rivas U R III Jornada Sage Python Vigo 2012 21 de junio de 2012 27 51 a b var a b def fixedPointsTangentMapNorm A B twotuple nor homogeneousNormalization twotuple if nor 1 1 return nor abs derivative A a 1 B a 1 a a nor 0 else return nor abs derivative B 1 b A 1 b b b nor 1 e El programa posee un argumento opcional que permite trabajar con las parejas de polinomios asociadas a f2 f e El programa posee un argumento opcional que permite trabajar con las parejas de polinomios asociadas a f2 f e La utilidad de esto radica en que las cuencas de atracci n de los puntos fijos de la funci n f compuesta dos veces consigo misma f f o f corresponden a cuencas de puntos fijos y de 2 ciclos de f si dos puntos fijos de f conforman un 2 ciclo la cuenca de atracci n de este 2 ciclo es la uni n de las cuencas de estos dos puntos fijos e El programa posee un argumento opcional que permite trabajar con las parejas de polinomios asociadas a f2 f e La utilidad de esto radica en que las cuencas de atracci n de los
29. zPt P ayzP 1t P H 4 apt como el denominador G z t z1t 9 biz0 71029414 bgt son polinomios homog neos en las variables z t de grado n de forma que F z t G z t e PC h u Esta t cnica permite trabajar con funciones racionales complejas en P C utilizando coordenadas homog neas normalizadas Marco te rico Algoritmos Manual de usuario Aplicaciones Dificultades 00000000e000000 o00000000000000000000000 00000 000 Marco te rico y justificaci n matem tica de los algoritmos Puntos fijos de una funci n racional Lema Si f es una funci n racional compleja representada por un par de polinomios homog neos coprimos A z t B z t de grado n entonces el conjunto z t Zn 1 tn 1 de ceros de A z t t B z t z es el conjunto de puntos fijos de f Hern ndez Mara n Rivas U R III Jornada Sage Python Vigo 2012 21 de junio de 2012 IL SU Marco te rico Algoritmos Manual de usuario Aplicaciones Dificultades o00000000e000000 o00000000000000000000000 00000 000 Marco te rico y justificaci n matem tica de los algoritmos Puntos fijos de una funci n racional Lema Si f es una funci n racional compleja representada por un par de polinomios homog neos coprimos A z t B z t de grado n entonces el conjunto z1 t1 Zn 1 tn 1 de ceros de A z t t B z t z es el conjunto de puntos fijos de f Lema Si f es una funci n racional compleja representada
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