Tutorial Cabri - Algo de mates
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1. En funci n de la posici n de M con respecto a los puntos A B y C se observa la norma y la orientaci n del vector MP Se puede luego hacer las conjeturas siguientes entre otras e Una nica posici n de M permite anular la suma de los tres vectores el problema tiene una soluci n nica Esta soluci n est en el interior del tri ngulo ABC e El cuadril tero MANB es un paralelogramo e El cuadril tero MCPN es un paralelogramo e Para que la suma sea nula los vectores MN y MC deben ser colineales de las mismas normas y de sentidos contrarios es decir opuestos e Pasa siempre por un mismo punto y ese punto es la soluci n del problema e El extremo P del representante de la suma es un punto dependiente de M Se define pues as una transformaci n que asocia P a M La soluci n del problema es un punto invariante de esta transformaci n Siguiendo las constataciones hechas la b squeda se orientar en una o en otra direcci n Supongamos por ejemplo haber observado que los vectores MN y MC deben ser opuestos Se tiene entonces otro problema para qu posiciones de M esos dos vectores son colineales Desplace M de tal manera que los dos vectores sean colineales Se observa que M recorre una recta y que esta recta pasa por C e igualmente por el punto medio de AB Esta recta es entonces la mediana en C del tri ngulo A B y C jugando roles sim tricos el punto est tambi n sobre las otras dos median2. Construya cuatro puntos cualesquiera con la herramienta Puntos Punto nombr ndolos A B C M sobre la marcha es decir tecleando su nombre justo despu s de su creaci n Cabri II Plus permite crear vectores Cada vector es cl sicamente representado por una flecha Construya ahora un representante del vector MA con la herramienta L neas Vector seleccionando en primer lugar M luego A Este representante tiene su origen en M Se hace lo mismo para MB y MC Construya luego un representante de la suma activando la herramienta Construcciones Suma de dos vectores LG seleccionando los dos vectores y luego el origen del representante de la suma oi en este caso elegiremos M Llame N al extremo de este representante Por ltimo construya de la misma manera un representante de la suma de los tres vectores con M como origen sumando MN MA MB Llame P al extremo de este representante A A Figura 3 1 A la izquierda A partir de tres es puntos cualesquiera A B C y de un punto M construimos representantes de los vectores MA MB y MC A la derecha Con la ayuda de la herramienta Construcciones Suma de dos vectores construimos MN MA MB y MP MA MB AMC Se pueden ahora buscar las soluciones del problema por manipulaci n Para hacer esto active la herramienta Manipulaci n Apuntador y y desplace el punto M La suma de los tres vectores se actualiza a cada instante durante el desplazamiento
3. Los puntos medios se construyen gracias a la herramienta Construcciones Punto Medio e Para construir el punto medio de AB seleccione sucesivamente A y B El punto medio de un segmento o de un lado de un pol gono puede ser construido haciendo clic directamente sobre el segmento o el lado El nuevo punto puede ser nombrado sobre la marcha llam mosle C Se procede de la misma forma para los otros dos lados construyendo el punto medio A de BC y el punto medio B de CA Figura 2 2 A la izquierda Los puntos medios est n construidos con la herramienta Construcciones Punto medio que acepta los dos v rtices un segmento o el lado de un pol gono A la derecha Las medianas est n construidas con la herramienta L neas Recta y su color se ha cambiado con la herramienta Atributos Color La herramienta Manipulaci n Apuntador W permite desplazar libremente los objetos de la figura en este caso los tres puntos A B y C El conjunto de la construcci n se actualiza autom ticamente al desplazar uno de estos puntos Puede as explorar la construcci n en numerosas configuraciones Para identificar los objetos libres de una figura es suficiente activar la herramienta Manipulaci n Apuntador D luego hacer clic sobre un espacio vac o de la hoja manteniendo el bot n del rat n oprimido Los objetos libres se ponen a parpadear La herramienta L neas Recta permite construir las tres medianas Para constru
4. INTERF ED CAP TULO EXPLORACI N RECTA DE EULER DE UN TRIANGULO P17 CAP TULO LA BUSQUEDA DEL PUNTO MISTERIOSO P 24 CAP TULO EL CUADRIL TERO DE VARIGNON P 27 Iniciaci n CAP TULO INICIACI N IN FILOSOF A La filosof a de Cabri II Plus es de permitir el m ximo de interacciones rat n teclado entre el usuario y el software y en cada caso de hacer lo que el usuario espera que haga el software respetando por una parte los comportamientos usuales de las aplicaciones y del sistema y por otra el comportamiento matem tico m s plausible Un documento Cabri II Plus est compuesto de una figura construida libremente sobre una hoja nica de papel virtual de un metro cuadrado 1 m por 1 m Una figura est compuesta de objetos geom tricos puntos rectas c rculos e igualmente de otros objetos n meros textos f rmulas Un documento puede tambi n incluir macro construcciones que permiten memorizando construcciones intermedias extender las funcionalidades del software La aplicaci n permite abrir simult neamente varios documentos y soporta el Cortar Copiar Pegar entre documentos abiertos EA INTERFASE La figura anterior muestra la ventana principal de la aplicaci n y sus diferentes zonas Al lanzamiento de Cabri II Plus la barra de atributos la ventana de ayuda y la ventana de descripci n no son visibles La barra de t tulo indica el nombre de
5. superior Otros documentos son tambi n suministrados con Cabri II Plus Estos est n disponibles como documentos PDF en el repertorio de instalaci n del software o en el CD ROM de instalaci n El primer documento REFERENCIA pdf es una descripci n completa del software El segundo documento PROFUNDIZACI N pdf presenta otras actividades m s avanzadas de nivel preparatoria y primer ciclo universitario Las actividades de esos documentos son independientes las unas de las otras El lector esta invitado a hacer las construcciones detalladas as como los ejercicios propuestos Nuestro sitio www cabri com le dar acceso a las ltimas actualizaciones y a las novedades relacionadas con nuestros productos en particular las nuevas versiones de este documento El sitio contiene v nculos hacia decenas de p ginas Internet y referencia igualmente numerosos libros sobre la geometr a y sobre Cabri II Plus Todo el equipo de CABRILOG le desea largas y apasionantes horas de construcciones de exploraciones y de descubrimientos 2007 CABRILOG SAS Manuel de Cabri Il Plus Autor inicial Eric Bainville Actualizaciones Julio Moreno Marzo 2007 Evoluciones www cabri com Errores a se alar supportUcabri com Creaci n gr fica configuraci n de pagina y relecturas Cabrilog CONTENIDO INICIACI N 2 CAPITULO FILOSOFIA P6 emleilff le D AN g a A j C T In WI a 2 pan q A DW H PRIMERA CONSTRUCCION P 10 1 D G
6. del teorema Deje ahora A B y C fijos y desplace D de manera que PORS sea rect ngulo Como sabemos que es un paralelogramo es suficiente que uno de sus ngulos sea recto para poder afirmar que es un rect ngulo Mida el ngulo de v rtice P en este caso seleccione los puntos S P el v rtice del ngulo y Q Figura 4 3 Se mide el ngulo en P del paralelogramo PQRS La herramienta Medida Medida de ngulo puede igualmente proporcionar la medida de un ngulo previamente marcado con la herramienta Texto y s mbolos Marcar un ngulo fs Esta herramienta espera tres puntos que definen el ngulo en el mismo orden que para la herramienta Medida Medida de ngulo Desplazando D de manera que PORS sea un rect ngulo las soluciones encontradas parecen claramente alineadas De hecho si se construyen las diagonales AC y BD del cuadril tero inicial se ve que los lados de PORS son paralelos a esas diagonales y luego que PORS no es un rect ngulo sino solamente cuando AC y BD son perpendiculares Vamos ahora a redefinir D para que PORS sea siempre un rect ngulo Trace la recta AC con la herramienta L neas Recta seleccionando A y C luego la perpendicular a esta recta que pasa por B con la herramienta Construcciones Recta Perpendicular H seleccionando B y la recta AC D es actualmente un punto libre en el plano Vamos a modificar su defin
7. gonos fondo Las im genes son recalculadas durante las animaciones y las manipulaciones de la figura e Texto El estilo la fuente y los atributos de texto de cualquier objeto pueden ser cambiados libremente e Ventana de descripci n Una ventana puede ser abierta para listar todas las etapas de la construcci n de una figura e Guardado de una sesi n Guarde una sesi n durante la utilizaci n del software Una sesi n puede ser rele da en la pantalla o puede ser impresa para estudiar la progresi n de los alumnos e identificar claramente las dificultades encontradas durante una experimentaci n e Importaci n Exportaci n de figuras Las figuras pueden ser transferidas hacia o desde una calculadora gr fica que utiliza Cabri Junior TI 83 Plus y Tl 84 Plus Todas estas novedosas funcionalidades pueden aportar una nueva dimensi n a la pr ctica de su ense anza Este documento esta dividido en dos partes La parte 1 INICIACI N esta destinada a los usuarios que utilizan Cabri II Plus por primera vez Permite familiarizarse con la interfase de Cabri II Plus y con las convenciones de uso del rat n Sin embargo la experiencia muestra que la introducci n a Cabri II Plus es muy r pida y que en clase los alumnos hacen ya geometr a en su primera media hora de uso del software La parte 2 EXPLORACI N est destinada a los nuevos usuarios y propone actividades de los niveles educativos secundaria y preparatoria medio y medio
8. suma MA MB MC de las distancias a los tres puntos A B C dados Se trata del punto de Fermat del tri ngulo ABC Pierre Simon de Fermat 1601 1665 Exploraci n CAP TULO EL CUADRIL TERO DE VARIGNON En este cap tulo presentamos algunas construcciones alrededor del teorema de Varignon Construya un cuadril tero cualquiera ABCD Active la herramienta L neas Pol gono M luego seleccione cuatro puntos n mbrados A B C y D sobre la marcha Para terminar el pol gono vuelva a seleccionar A despu s de haber construido D Construya a continuaci n los puntos medios P de AB Q de BC R de CD y S de DA con la herramienta Construcciones Punto Medio e Esta herramienta espera la selecci n de A luego de B para construir el punto medio de AB Se puede igualmente seleccionar directamente el segmento AB si ste existe ya sea como segmento o como lado de un pol gono como es este caso Construya finalmente el cuadril tero PORS con la herramienta L neas Pol gono ba Manipulando la construcci n con la herramienta Manipulaci n Apuntador Observe que PORS parece ser siempre un paralelogramo Vamos a preguntar a Cabri II Plus sobre el paralelismo de PQ y RS as como de PS y QR utilizando la herramienta Propiedades Paralelo a Seleccione los lados PQ luego RS se despliega un texto confirmando que los dos lados son paralelos Verifique de la misma forma q
9. CABRI II Plus CABRILOG Creador de Herramientas Matem ticas MANUAL DEL USUARIO BIENVENIDO Bienvenido al mundo din mico de Cabri II Plus Nacido al final de los 80 en el seno de un laboratorio de investigaci n asociado al CNRS Centro Nacional de la Investigaci n Cient fica y a la Universidad Joseph Fourier de Grenoble Cabri G ometre cuenta hoy con m s de 100 millones de usuarios en computadoras o calculadoras gr ficas Texas Instruments en todo el mundo Cabri II Plus es ahora desarrollado y distribuido por la sociedad Cabrilog fundada en marzo del 2000 por Jean Marie LABORDE director de investigaci n del CNRS y padre espiritual de Cabri II Plus La construcci n en computadora de figuras geom tricas tiene una nueva dimensi n con respecto a las construcciones cl sicas que utilizan l piz papel regla y comp s Cabri II Plus posee un gran n mero de funcionalidades potentes y f ciles de utilizar Las figuras de las m s simples a las m s complicadas pueden ser manipuladas libremente En cualquier momento se puede probar la construcci n de una figura hacer conjeturas medir calcular borrar ocultar mostrar objetos poner colores o textos modificar el punteado o bien recomenzar todo Cabri II Plus es el l der de los softwares para el aprendizaje y la ense anza de la geometr a Esta dirigido tanto a los profesores como a los alumnos y puede ser utilizado desde la escuela primaria hasta la universida
10. as y entonces finalmente en la intersecci n de las tres medianas Para una actividad en clase faltar a a n proponer a los alumnos y alumnas una construcci n del punto soluci n y demostrar esta conjetura elaborada por exploraci n El poder de convicci n de una construcci n din mica es mucho m s efectivo que el de una figura est tica realizada sobre una hoja de papel En efecto es suficiente manipularla para verificar la conjetura en un gran n mero de casos Una conjetura que permanece v lida despu s de la manipulaci n ser correcta en la gran mayor a de los casos Para una mejor utilizaci n en clase ser interesante abordar los siguientes puntos entre otros con los alumnos y alumnas e Una construcci n din mica visualmente correcta es correcta Una construcci n din mica correcta constituye una respuesta al problema En qu momento un razonamiento puede ser calificado de demostraci n Qu le falta a una construcci n din mica correcta para ser una demostraci n La demostraci n debe estar basada sobre el proceso de elaboraci n de la figura Ejercicio 3 Extender el problema a cuatro puntos buscando los puntos M tales que MA MB MC MD 0 Ejercicio 4 Enumerar el conjunto de los caminos de exploraci n y de las demostraciones para el problema inicial tres puntos accesibles para un alumno de segundo de preparatoria Ejercicio 5 Estudiar y construir el punto M que minimiza la
11. culo es el punto medio del segmento Para construir el punto medio active la herramienta Construcciones Punto Medio es luego desplace el apuntador sobre el segmento El texto Punto medio de ste segmento es mostrado al lado del apuntador el cual toma la forma Haciendo clic se construye el punto medio del segmento SE Y Je ae semirrecta K Vector Triangulo Poligono Pol gono regular 1 19 Hkh He Punto medio de ste segmento AO EEN ER D Figura 1 4 Construcci n del punto medio del segmento Active en seguida la herramienta Curvas C rculo Q y desplace el apuntador a las proximidades del punto medio construido El texto Este punto como centro es mostrado haga clic para seleccionar el punto medio del segmento como centro del c rculo Enseguida la herramienta c rculo espera un punto de la circunferencia Durante el desplazamiento un c rculo centrado en el punto medio del segmento y que pasa por el apuntador se traza din micamente como anteriormente con el segmento Cuando el apuntador pasa en las proximidades de un extremo del segmento el mensaje pasando por este punto es mostrado Al hacer clic el c rculo que pasa por ese extremo se construye A Este punto como centro pasando por ste punto Figura 1 5 Construcci n del c rculo que tiene por di metro el segmento Puede activar el Apuntador herramienta Manipulaci n Apuntador para manipular
12. d Algunas funcionalidades del software son espec ficas de las Plataformas Mac OS o Windows las teclas Ctrl y Alt de Windows corresponden a las teclas 3 y Alt AT para Mac OS El clic derecho de Windows corresponde al Ctr1 clic en Mac OS e Interfase Los nuevos iconos son m s grandes y m s legibles Los men s contextuales hacen aun m s intuitiva la utilizaci n de Cabri Il Plus resolviendo f cilmente las situaciones de ambig edad de selecci n o cambiando los atributos de cualquier objeto en algunos clics e Etiquetas Nombre todos los objetos y posicione el nombre en cualquier parte o alrededor de un objeto e Expresiones Defina y eval e din micamente expresiones con una o m s variables e Graficaci n instant nea Trace y estudie f cilmente las gr ficas de una o varias funciones e Lugares Construya lugares de puntos o de objetos lugares de lugares o intersecciones con lugares Las ecuaciones de curvas algebraicas construidas con la herramienta Lugar pueden ser mostradas e Rectas inteligentes Despliegue solamente la parte til de una recta El tama o de esta porci n de recta puede ser modificado a voluntad e Colores Elija los colores de los objetos y de los textos as como los colores de relleno con la ayuda de la nueva paleta de colores extendida o utilizando los colores variables din micamente e Im genes Bitmaps JPEG GIF Ligue una imagen a ciertos objetos de una figura puntos segmentos pol
13. erramienta y lo que ser construido Se activa oculta con la tecla F1 per Widows e F1 per Mac La ventana de descripci n contiene una descripci n de la figura en formato de texto Ah se encuentra el conjunto de los objetos construidos y su m todo de construcci n Se activa con el comando Opciones Mostrar la descripci n y se oculta con Opciones Ocultar la descripci n o con la tecla tecla F10 per Widows e F10 per Mac Finalmente la zona de trabajo representa una porci n de la hoja de trabajo Es en la zona de trabajo donde se efect an las construcciones geom tricas EEN UTILIZACI N DEL RAT N La mayor parte de las funcionalidades del software se realizan utilizando el rat n Las acciones sobre el rat n son el desplazamiento la presi n sobre un bot n y la liberaci n de un bot n En ausencia de indicaci n contraria se tratar del bot n izquierdo del rat n e Una secuencia presi n liberaci n es llamado clic e Una secuencia presi n liberaci n presi n liberaci n es llamado doble clic e Una secuencia presi n desplazamiento liberaci n es llamado deslizar depositar Cuando se desplaza el rat n en la zona de trabajo el software nos informa de tres maneras lo que producir un clic o un deslizar depositar e la forma del apuntador e el texto mostrado al lado del apuntador e una representaci n parcial del objeto en construcci n Seg n sea el caso el texto y la representaci n parcial
14. i II Plus un nuevo documento vac o es creado y se puede inmediatamente comenzar una construcci n Vamos en primer lugar a construir el segmento que ser una de las diagonales del cuadrado Active la herramienta L neas Segmento haciendo clic sobre el icono de la recta y manteniendo el bot n del rat n oprimido para desplegar el paquete de herramientas Desplace en seguida el apuntador sobre la herramienta segmento y suelte el bot n del rat n para activarla Sei Ye semirrecta SS Figura 1 1 Selecci n de la herramienta Tr nguto L neas Segmento Poligono Poligono regular Figura 1 2 Construcci n del primer punto Una imagen del segmento final se desplaza con el apuntador hasta que el segundo punto sea construido 1 19 Hk 47 Es Figura 1 3 El segmento es construido despu s de la creaci n del segundo punto La herramienta L neas Segmento queda activa permitiendo la construcci n de otro segmento Desplace ahora el apuntador a la zona de trabajo donde toma la forma kx Un simple clic crea el primer punto Contin e desplazando el apuntador en la zona de trabajo Un segmento trazado entre el primer punto y el cursor materializa el segmento que ser construido Se crea el segundo punto haciendo clic La figura consta ahora de dos puntos y un segmento Para construir el cuadrado podemos utilizar el c rculo que tiene a este segmento por di metro El centro de ese c r
15. ici n y hacerlo un punto libre sobre la perpendicular a AC que pasa por B Active la herramienta Construcciones Redefinir un Objeto t luego seleccione D Aparece un men que indica las diferentes opciones de redefinici n para D Escoja Punto sobre un objeto luego seleccione un punto sobre la perpendicular D se desplaza entonces a ese punto y est desde ahora obligado a permanecer sobre la recta La redefinici n es un medio de exploraci n muy potente que permite quitar o a adir grados de libertad a los elementos de una figura sin tener que volver a crearla completamente Figura 4 4 El punto D est redefinido de manera que PQRS sea siempre un rect ngulo Este punto conserva a n un grado de libertad es m vil sobre una recta Ejercicio 7 Encontrar una condici n necesaria y suficiente para que PQRS sea un cuadrado Redefinir una nueva vez D para que la construcci n produzca solamente cuadrados Figura 4 5 El punto D no tiene ning n grado de libertad y PORS es siempre un cuadrado 31
16. ida Calculadora yl Seleccione la distancia GH luego el operador la barra de divisi n y la distancia GO Haga clic sobre el bot n para obtener el resultado que se puede deslizar depositar sobre la hoja Cuando un n mero est seleccionado herramienta Manipulaci n Apuntador se puede aumentar o disminuir el n mero de decimales mostrados con la ayuda de las teclas y Se puede mostrar as la raz n con una decena de cifras despu s del punto para constatar que permanece constante e igual a 2 Ejercicio 1 Completar la figura construyendo el c rculo circunscrito al tri ngulo centrado en O y que pasa por A B y C Se utilizar la herramienta Curvas C rculo Ejercicio 2 Construir a continuaci n el c rculo de los nueve puntos del tri ngulo Se trata del c rculo centrado en el punto medio de OH y que pasa por los puntos medios A B y C de los lados las bases de las alturas y los puntos medios de los segmentos HA HB y HC Figura 2 7 La figura final con el c rculo circunscrito al tri ngulo y el c rculo de los nueve punto del tri ngulo Exploraci n CAP TULO LA B SQUEDA DEL PUNTO MISTERIOSO En este cap tulo presentamos una actividad que pone de manifiesto las posibilidades de exploraci n ofrecidas por Cabri Il Plus A partir de tres puntos A B C dados vamos a buscar los puntos M que verifican la igualdad vectorial M MB MC 0
17. ineados o Los puntos no est n alineados seg n el estado actual de la figura A la derecha La recta de Euler del tri ngulo resaltada por su espesor ha sido modificada con la herramienta Atributos Espesor Constatamos manipulando la figura que el punto G parece permanecer entre O y H e incluso que su posici n relativa sobre el segmento OH no cambia Verifiqu moslo midiendo las longitudes GO y GH Active la herramienta Medida Distancia o Longitud Esta herramienta permite medir la distancia entre dos puntos o la longitud de un segmento seg n los objetos seleccionados Seleccione entonces G luego O la distancia GO aparece medida en cm Haga lo mismo para GH Una vez efectuada la medida puede editar el texto correspondiente por ejemplo a adi ndole los caracteres GO delante del n mero GO 1 04 cm GO 1 04 cm l GH 2 08 cm l GH 2 08 cm Ao K S GE i NX D X X E E PN Ee LA B A G y y A Los puntos est n alineados Los puntos est n alineados GH GO 2 000000000 Figura 2 6 A la izquierda La herramienta Medida Distancia o longitud permite obtener las distancia GO y GH LA la derecha Con la ayuda de la calculadora herramienta Medida Calculadora se calcula la raz n GH GO y se verifica num ricamente que es igual a 2 Desplazando la figura vea que GH parece ser el doble de GO Vamos a calcular la raz n GH GO para verificarlo Active la herramienta Med
18. ir la recta AA se ale sucesivamente A luego A La herramienta Atributos Color Y permite cambiar el color de los objetos Se elige el color en la paleta luego se seleccionan los objetos a colorear Despu s de haber activado la herramienta Puntos Punto aproxime el apuntador al punto de intersecci n de las tres medianas En este punto Cabri II Plus busca crear el punto de intersecci n de dos rectas Como hay ambiguedad tenemos ah tres rectas concurrentes Aparece un men que permite elegir cu les dos de las tres rectas utilizar para la construcci n del punto En el momento del desplazamiento del apuntador sobre las opciones del men la recta correspondiente aparece punteada parpadeando Una vez que se han seleccionado dos rectas el punto de intersecci n es creado Llam mosle G sobre la marcha Recta Mediatriz i Recta Mediatriz Figura 2 3 Construcci n del punto de intersecci n de las medianas y resoluci n de las ambiguedades de selecci n Las alturas se construyen con la herramienta Construcciones Recta Perpendicular GK Esta herramienta crea la nica recta perpendicular a una direcci n dada que pasa por un punto determinado Requiere la selecci n de un punto y de una recta o de un segmento una semirrecta o de un lado de un pol gono El orden de la selecci n no es importante Para construir la altura desde A seleccione A y el lado BC Lo mismo para las alturas desde B
19. l archivo que contiene la figura o Figura n 1 2 si a la figura no se le ha asignado a n un nombre La barra de men s permite acceder a los comandos de la aplicaci n que corresponden a los comandos usuales encontrados usualmente en los softwares Barra de titulo Barra de men s SS Cal Il Plus Figure n 1 2 A Descripci n de La figura Barra de herramientas fu B Punto Punto sobre un objeto _ A EJ H D E y Barra de atributos NB 0 PS Ventana de SN descripci n A E Zona de trabajo Pobre ste c rculo ET el c rculo determinado por un centro y un punto que ge Ve n t ana d e ay u d a sw Barra de estado En lo que sigue de este documento designaremos la opci n Acci n del men Men por Men J Acci n Por ejemplo Archivo Grabar como designa la entrada Grabar como del men Archivo La barra de herramientas proporciona las herramientas que permiten crear y manipular la figura Est constituida de varios paquetes de herramientas conteniendo cada uno una herramienta visible que corresponde a un icono de la barra La herramienta activa se representa por un bot n oprimido con un fondo blanco Las otras herramientas se representan por botones no oprimidos con un fondo gris Un clic corto sobre un bot n activa la herramienta correspondiente Una presi n prolongada sobre un bot n despliega el paquete de herramientas y permite ah elegir otra herramienta Esta otra her
20. la figura Desplaz ndolo sobre Desplaz ndolo sobre los extremos del segmento que son los puntos libres de la figura el apuntador se convierte en qh y se muestra el texto Este punto Se puede desplazar el punto con deslizar depositar En ese caso el conjunto de la construcci n es actualizado el segmento es redibujado su punto medio es desplazado en consecuencia y el c rculo sigue Para construir nuestro cuadrado nos falta encontrar la otra diagonal que es el di metro del c rculo perpendicular al segmento inicial Vamos a construir la mediatriz de este segmento perpendicular a ste y que pasa por su punto medio Active la herramienta Construcciones Mediatriz luego seleccione el segmento para construir la mediatriz w JHO be Recta perpendicular Al Recta paralela Punto medio Mediatriz Bisectriz Suma de dos vectores Comp s Transferencia de medidas gar Redefinir un objeto 1 19 Hkh He Atriz de ste segmento Ao 4 2 Figura 1 6 Construcci n de la mediatriz del segmento que determina la otra diagonal del cuadrado Para terminar la construcci n del cuadrado active la herramienta L neas Pol gono M Esta herramienta espera la selecci n de una secuencia de puntos que definen un pol gono cualquiera La captaci n termina cuando se vuelve a seleccionar el punto inicial o se hace doble clic al seleccionar el ltimo punto Los dos puntos de intersecci n del c rculo
21. pueden no ser mostrados Los diferentes cursores son los siguientes d Y d A S d d Un objeto existente puede ser seleccionado Un objeto existente puede ser seleccionado o desplazado o utilizado en una construcci n Aparece cuando se hace clic sobre un objeto existente para seleccionarlo o utilizarlo en una construcci n Varias selecciones son posibles bajo el apuntador Un clic provocar la aparici n de un men que permite precisar los objetos a seleccionar entre todas las posibilidades Un objeto existente esta siendo desplazado Un objeto existente esta siendo desplazado Se ala el modo de desplazamiento de la hoja Se puede entrar en ese modo en todo momento manteniendo la tecla Ctr1 Windows o 27 Mac OS oprimida En ese modo deslizar depositar desplazar la hoja en la ventana Aparece durante el desplazamiento de la hoja Indica que un clic va a crear un nuevo punto libre sobre la hoja Indica que un clic va a crear un nuevo punto que puede ser libre sobre un objeto existente o en la intersecci n de dos objetos existentes Indica que un clic va a rellenar el objeto bajo el apuntador con el color actual Indica que un clic va a cambiar el atributo por ejemplo el color el estilo el espesor del objeto bajo el apuntador S Y E EN PRIMERA CONSTRUCCION Para ilustrar este cap tulo de INICIACI N construiremos un cuadrado a partir de una de sus diagonales Al lanzamiento de Cabr
22. ramienta ser la visible de ese paquete y la que estar activa La barra de herramientas puede ser reorganizada libremente por el usuario y eventualmente bloqueada en una configuraci n fija para una utilizaci n en clase ver el cap tulo 8 PREFERENCIAS Y PERSONALIZACION en REFERENCIA pdf En lo que sigue de este documento designaremos la herramienta Herramienta del paquete Paquete por Paquete Herramienta con el icono correspondiente recordado en el margen ciertas etiquetas demasiado largas para ser contenidas en el margen han sido abreviadas Por ejemplo L neas Semirrecta representa la herramienta Semirrecta del paquete de herramientas L neas Los iconos de la barra de herramientas pueden ser mostrados en dos tama os Para cambiar de tama o basta hacer clic sobre el bot n derecho del rat n y seleccionar Peque os iconos despu s de haber desplazado el cursor en la barra de herramientas a la derecha de la ltima herramienta La barra de estado en la parte inferior de la ventana indica de forma permanente la herramienta activa La barra de atributos permite modificar los atributos de los objetos colores estilos tama os Se activa con el comando Opciones Mostrar los atributos y se oculta con Opciones Ocultar los atributos o con la tecla F9 per Widows e ZG per Mac La ventana de ayuda proporciona una ayuda sucinta sobre la herramienta seleccionada Indica los objetos esperados por la h
23. to medio Como se sabe las tres alturas las tres medianas y las tres mediatrices son respectivamente concurrentes y estos puntos de concurrencia est n alineados sobre una recta llamada recta de Euler del tri ngulo Para construir un tri ngulo elija la herramienta L neas Tri ngulo A La manipulaci n de la barra de herramientas se encuentra descrita en la parte 1 INICIACI N de este documento Una vez la herramienta Tri ngulo activada L neas Tri ngulo A es suficiente crear tres nuevos puntos en la hoja de trabajo haciendo clic en zonas vac as Se pueden nombrar los puntos justo despu s de su creaci n sobre la marcha simplemente introduciendo sus nombres por el teclado Una vez construido el tri ngulo los nombres pueden ser desplazados alrededor de los puntos por ejemplo para colocarlos en el exterior del tri ngulo C Figura 2 1 Tri ngulo ABC construido con la herramienta L neas Tri ngulo Los puntos fueron nombrados sobre la marcha tecleando su nombre al momento de su creaci n A B Para desplazar el nombre de un objeto utilice la herramienta Manipulaci n Apuntador ky haciendo deslizar el nombre se hace clic y se desplaza el cursor manteniendo el bot n del rat n presionado Para cambiar el nombre de un objeto active la herramienta Texto y S mbolos Nombrar Al luego seleccione el nombre una ventana de edici n aparece para efectuar las modificaciones 1L onard Euler 1707 1783
24. ue PS y OR son paralelos Pierre Varignon 1654 1722 C C Figura 4 1 A la izquierda A partir de un cuadril tero cualquiera ABCD se ha construido el cuadril tero PQRS cuyos v rtices son los puntos medios de los lados de ABCD LA la derecha Construcci n de las diagonales de PQRS las cuales se muestra que se cortan en su punto medio Construya luego las dos diagonales PR y OS con la ayuda de la herramienta L neas Segmento y su punto de intersecci n con la herramienta Puntos Punto Existen varias formas de demostrar que I es el punto medio de PR e igualmente de OS y por consiguiente que PORS es un paralelogramo Por ejemplo con un c lculo baric ntrico P es el baricentro de 4 1 B 1 y R de C 1 D 1 y entonces el punto medio de PR es el baricentro de 4 1 B 1 C 1 D 1 sucede lo mismo para el punto medio de QS Por consiguiente los dos puntos medios est n confundidos en un punto el punto de intersecci n 1 El teorema de Varignon es el siguiente el cuadril tero PORS construido a partir de los puntos medios de un cuadril tero ABCD cualquiera es un paralelogramo y su rea es la mitad de la de ABCD Ejercicio 6 Se ha establecido como se mencion anteriormente la primera parte del teorema Para demostrar la segunda parte relativa al rea de PORS podremos ayudarnos de la figura 4 2 Figura 4 2 Construcci n que permite establecer la segunda parte
25. y C De la misma forma que para las medianas elija un color para las alturas y construya su punto de intersecci n H La herramienta Construcciones Mediatriz eA permite construir la mediatriz de dos puntos de un segmento o de un lado de un pol gono Es suficiente seleccionar el segmento o sus extremos Denote O al punto de intersecci n de las tres mediatrices Figura 2 4 A la izquierda Las alturas est n construidas con la herramienta Construcciones Recta Perpendicular A la derecha Las mediatrices est n construidas con la herramienta Construcciones Mediatriz La herramienta Propiedades Alineados a nos da la posibilidad de verificar si los tres puntos O H y G est n alineados Seleccione sucesivamente esos puntos luego designe un lugar sobre la hoja de trabajo para depositar el resultado El resultado es un texto que indica si los puntos est n o no alineados Cuando la figura es manipulada el texto se actualiza al mismo tiempo que los otros elementos de la figura Con la herramienta L neas Recta construyamos la recta de Euler del tri ngulo seleccionando dos de los tres puntos por ejemplo O y H La herramienta Atributos Espesor la utilizaremos para modificar el aspecto de esta recta LE Ae Dee Figura 2 5 A la izquierda Verificaci n del alineamiento de los tres puntos O H y G La herramienta Propiedades Alineados crea un texto Los puntos est n al
26. y de la mediatriz no est n a n expl citamente construidos pero Cabri II Plus permite construirlos impl citamente en el momento de su utilizaci n Figura 1 7 Construcci n del cuadrado construyendo impl citamente las intersecciones entre el c rculo y la mediatriz XA Punto en sta intersecci n 15 Seleccione un extremo del segmento texto Este punto como primer v rtice del pol gono luego desplace el apuntador sobre una de las dos intersecciones entre el c rculo y la mediatriz El texto Punto en esta intersecci n indica que un clic va a construir el punto de intersecci n y al mismo tiempo va a seleccionarlo como v rtice siguiente del pol gono Seleccione entonces ese punto luego el otro extremo del segmento luego el otro punto de intersecci n y finalmente seleccione de nuevo el punto inicial para terminar la construcci n del cuadrado JZ le 12 Figura 1 8 Su primera construcci n con Cabri II Plus Exploraci n CAP TULO RECTA DE EULER DE UN TRI NGULO Construiremos un tri ngulo cualquiera ABC y a continuaci n las tres medianas de ese tri ngulo las rectas que unen un v rtice con el punto medio del lado opuesto Enseguida construiremos las tres alturas del tri ngulo las rectas perpendiculares a un lado y que pasan por el v rtice opuesto Finalmente construiremos las tres mediatrices de los lados del tri ngulo las rectas perpendiculares a un lado y que pasan por su pun
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