cohabitation entre le calcul numérique et la calculatrice
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1. les sommes et diff rences gt et J Noter que l instruction C amp J permet d effectuer un calcul partiel sans avoir recours aux parenth ses LO et QJ Lecture du r sultat Le r sultat n est pas toujours exprim en notation scientifique Certaines calculatrices travaillent en notation scientifique dans un mode sp cial MODE SCI qui permet de choisir le nombre de chiffres significatifs d sir s En tout tat de cause il n est que temps de retrouver le manuel d utilisation de sa calculatrice 1 crire en notation scientifique a 29 1 x 107 1 05 x 10 519 0 00085 471 08 7 59 x 107 is b 41 5 x 1077 x 9 x 10 4 747 x 2007 51 x 1074 51 x 10 0 Quels sont les nombres l affichage SNA e e crire a et b en notation scientifique 2 2 ax 10 4 51 73 x 1076 Une des trois galit s ci contre est _107 3x 107 fausse Laquelle 10 7 3x 1076 30 Annexe 2 Fiches l ves Seconde Modules de math matiques Janvier 1996 Calculs num riques avec ou sans calculatrice Premi re partie 25 35 minutes Il vous est demand de calculer chacune des dix expressions num riques Vous disposez d une feuille de brouillon sans calculatrice Pr sentez les r sultats sur le tableau de r sultats n 1 en les accompagnant de quelques calculs interm diaires et des commentaires que vous jugez n cessaires2. P2 p 15 Calculer a b c Les r sultats seront donn s sous forme de fractions irr ductibles 5 3 2 35 4 9 A exe 6 4 3 X C 4 3 36 7 10 5 3 2 e P2 p 15 Simplifier l criture des quotients suivants fl 3 2 941 T0 ae io 3 5 7 6 Ces nonc s proposent la m me activit calculatoire faite de manipulations sur les fractions de nombres entiers l un d entre eux parle d un jeu d criture et l autre d un calcul assorti d une condition d criture sur le r sultat Les r dactions d nonc s ne sont pas innocentes et fonctionnent comme des codes int gr s dans le contrat Ici l insistance sur l criture des nombres guide l l ve sur des m thodes dites de simplification Remarquons aussi que l criture fractionnaire impos e avec des nombres entiers invite l l ve ne pas utiliser la calculatrice Pour nous en persuader rempla ons le calcul A il y Par le calcul A 1 1 3 1 5 dont la pr sentation lin aire invite ps 3 5 table la calculatrice pour tout l ve qui sait et c est le cas en troisi me ou seconde que la calculatrice respecte les priorit s op ratoires Mais cet l ve ne pourra pas crire A I i 1 8175 gr ce ma calculatrice sans s opposer implicitement une D es 3 5 d marche simplificatrice qu il doit lire dans l nonc et qu il doit respecter pour faire valoir son travail Enhardissons nous en concevant l e
3. 513 316 217 A 35 X 5 X 35 e T2 p 27 Simplifier au maximum 35 _5 B 0 67 x 2 Interrogeons nous simplifier se comprend comme effectuer des simplifications successives selon des r gles connues ou conna tre tandis que donner une criture simplifi e indique la simplicit de l criture finale Pour A cette simplicit est elle r alis e par 2 x 3 x5 10 par 2 par 2 4 D autre part cet acc s la simplicit du r sultat final est de fait quasiment interdit de calculatrice cause de la complexit de l criture initiale Toujours pas de r f rence officielle dans les manuels pour la place des calculatrices sinon en marge du cours Seuls quelques exercices isol s clairement tiquet s proposent d employer la calculatrice C est le cas de l exercice r solu suivant accompagn d un point m thode T2 p 21 Effectuer les calculs suivants l aide de la calculatrice et pr senter les r sultats en notation scientifique 2 A 50 2 2x6 1x10 __3 01x107 0 73x107 95 2 x 10 o toute tentative de simplification serait suicidaire B 9 Nous qualifions ainsi une situation o l enjeu math matique r side dans la mise en oeuvre de r gles de simplification li es la structure sous jacente au syst me de nombres Nous distinguerons les situations alg briques g om triques graphiques et statistiques 10 Dans quel syst me num rique l l ve est il invit travailler
4. Cette note technique peut elle lever les r ticences des l ves manipuler les critures num riques sous les formes simplifi es propos es Nous en doutons et nous proposons deux raisons 1 Ces critures sont simples pour le math maticien savant car il les envisage au sein d une structure alg brique stable pour certaines op rations Q Q V2 dont l int r t math matique n est pas d gag ici Pourrait il l tre Dans quel type de probl me autre que celui de structure cette simplification est elle fonctionnelle 2 Ces critures ne sont pas simples pour l l ve math maticien de troisi me ou de seconde qui vient de les d couvrir et qui surtout dispose d une autre criture simple qu il conna t bien l criture d cimale avec des points de suspension si n cessaire Cette criture d cimale est stable pour toutes les op rations et l apparence de stabilit est renforc e chez l l ve par l usage des calculatrices 11 Il faut appr cier les efforts d explicitations pr sents dans ce manuel et quasi inexistants dans d autres 12 Il faut imaginer un syst me num rique hybride de D 12 Nous rejoignons l hypoth se que la d cimalisation des nombres con ue par juxtaposition ou m me par embo tement des syst mes de nombres Di constitue un obstacle pist mologique au passage conceptuel de l ensemble D l ensemble R Voici des exercices o le calcul num rique produi
5. Tor 9000 1 19 12 7 2000 1285 7000 5 LE 521 13 4 8721 2 1x0 26 E6 5213 865 813 4 786 134 18721 3 712 458 6 287 542 E9 3 31250 x0 04 8 V2 vV98 x 3x2 5 x2 4 gt 31 Seconde Modules de math matiques Janvier 1996 Calculs num riques avec ou sans calculatrice _ Premi re partie 25 35 minutes Il vous est demand de calculer chacune des dix expressions num riques Vous disposez d une calculatrice sans feuille de brouillon Pr sentez les r sultats sur le tableau de r sultats n 1 en les accompagnant des calculogrammes s quences de touches de la calculatrice et des commentaires que vous jugez n cessaires 9000 1 19 12 7 E4 222 1285 x 7000 1 26X 6 5 5 a E 2 1x 0 26 2 n 5 1 m 3 31250 x0 045 V2 498 7 3x2 5x2 4 EO 7 3 TABLEAU DE R SULTATS N 1 R sultats Calculogrammes et commentaires RE E6 5 213 865 813 4 786 134 18721 3 712 458 6 287 542 32 Seconde Modules de math matiques Janvier 1996 Calculs num riques avec ou sans calculatrice Deuxi me partie 15 25 minutes Il vous est demand de comparer vos r sultats de la premi re partie Vous disposez de calculatrices sans feuille de brouillon Apr s discussion entre vous vous inscrivez sur le tableau de r sultats n 2 un seul r sultat par expression num rique et vous accompagnez votre choix d une c
6. des moments o il officie dans les instructions officielles dans les programmes scolaires dans les manuels scolaires dans l valuation scolaire dans les activit s de classe Voici un premier exemple pris dans l valuation organis e par le minist re de l ducation Nationale l entr e en seconde septembre 1996 2 Calculer la valeur arrondie 10 de 4 7 x ES 2 4 7 6 76 0 95 _ V5 1 Selon ses concepteurs cet item teste l utilisation de la calculatrice dans un calcul relativement complexe Aucune erreur significative ne peut tre retenue de par sa complexit m me l expression propos e contient plusieurs sources d erreurs En d but de seconde les l ves ne ma trisent pas toujours l usage de leur calculatrice Les r sultats de la classef cet item permettront d appr cier le temps qu il faudra consacrer la prise en charge de cet apprentissage Que doit faire l l ve Le choix des nombres d cimaux non entiers et irrationnel l absence d encadrement ou de valeur approch e disponibles pour V5 la demande d une valeur arrondie du r sultat tout pousse l l ve dans les bras d une calculatrice Il devra alors transformer l expression num rique en une suite d instructions machine lire le r sultat l cran et le tronquer pour obtenir 8 507 Dispose t il de moyens de contr le capables notamment de valider le dernier chiffre En tout cas la 110 121 x V5 1 crite dans Q V5 lui est
7. du nombre de chiffres apr s la virgule On peut donc s attendre principalement aux r ponses suivantes 17 2 17 28 17 285 conduite d cimale 121 a conduite fractionnaire mais aussi 1 par refus de priorit ou par vitement de la division et accessoirement 17 285714 qui traduit une connaissance sur les critures d cimales illimit es des nombres rationnels 21 l ve B Pour cet l ve il suffit d ex cuter le calcul et de choisir le nombre de chiffres apr s la virgule en arrondissant ou pas L absence de consigne et de renseignement concernant la pr cision attendue conduira soit la mise en vidence de tous les chiffres de la calculatrice l exactitude assur e force de pr cision soit au choix d une approximation d cimale raisonnable 102 107 Paire A B Nous d duisons de nos analyses pr alables que la lecture d cimale de l expression va primer la lecture fractionnaire et que l efficacit d une calculatrice emportera la conviction de tous ceux qui n associent pas l exactitude l criture fractionnaire Nous envisageons aussi une remise en cause locale de l unicit du 121 r sultat sous la forme d une fausse galit comme 7 128 ou comme l 17 285 7 47 1 RE TES 13 21 E 5 12 7 39 Voici un exercice au coeur du contrat fractionnaire habituel exprim g n ralement par le verbe simplifier qui va conduire l l ve A vers i ou toute autre
8. L ex cution est r alis e essentiellement gr ce aux r gles de priorit et divers proc d s d approximation d cimale si besoin est Dans ce mode le calcul peut tre interpr t comme une suite d instructions disponibles sur toute calculatrice scientifique Il suffit d identifier entre autres le signe avec la touche EXE Avec les diteurs d expression actuels la transformation du calcul ressemble un recopiage condition d avoir lin aris l expression num rique d encha nement des buts et sous buts de contr le de l action mais elles ferment la porte d autres possibles 15 La valeur d un nombre n est pas le nombre lui m me A la question combien vaut V2 7 est il possible de r pondre V2 9 C est le syst me num rique choisi gr ce au contexte qui valorise le nombre 16 L ensemble D fait office de r servoir num rique ce qui renforce la d cimalisation des nombres r els 6 vivace chez les l ves jusque dans l enseignement sup rieur La simplification du calcul Elle ob it la n cessit de consolider les liens entre les diff rents nombres et de construire des structures num riques le plus souvent des sous corps de R Cette n cessit souvent dict e par des sollicitations alg briques conduit trouver un nombre l ment d un ensemble num rique structur La simplification est r alis e essentiellement gr ce aux r gles de simplification appel es ormules au lieu de th
9. or mes et pr sent es avec des lettres comme a x b a x b et rarement suivie de proc dures d approximation qui pourraient obliger sortir du syst me de nombres choisi Dans ce mode la transformation du calcul pour le rendre r alisable par la calculatrice passe par l laboration de programmes sp cifiques moins de disposer d une calculatrice dont les capacit s en calcul formel couvrent toutes les gammes imaginables de simplification Les nombres entiers sont privil gi s m me dans R Les a se ne formes p avb c aVb o a b c sont des entiers indiquent l arr t du calcul pour emp cher son ex cution ou sa simplification abusive Ex cuter 2 3V2 est un crime car le r sultat d cimal ne contient plus les bonnes informations sur la place du nombre 2 3V2 dans l ensemble structur R Simplifier 2 342 en 5V2 renie les r gles de priorit s op ratoires Ces m mes n cessit s conduisent sanctifier le nombre x et plus tard le nombre e qui ne sont pas r ductibles dans leur criture des entiers Ces deux modes parce qu ils n ins rent pas le calcul num rique de la m me fa on dans la math matique sont distingu s au point d tre s par s et m me oppos s dans les d marches didactiques L ex cution y appara t comme la production d une valeur la simplification comme la production d galit s num riques Par la premi re le calcul num rique sert d outil de r solution d un probl me qui lui est ext rie
10. autrement inaccessibles que supprimer des activit s en elle m me formatives De la m me fa on les dimensions de structuration de l action dont est porteur l instrument ont la m me ambivalence Elles rendent possibles pour le sujet de nouvelles modalit s d organisation de son action renouveler par exemple les conditions d implications r ciproques des buts et des moyens 15 De plus la machine travaille en laissant peu de traces si bien que la vigilance math matique change de nature et de forme Elle ne peut plus s exercer contin ment sur le processus de calcul lui m me la suite d galit s mais en deux temps distincts l un en amont quelles instructions l autre en aval quel r sultat Le contr le sur les instructions n cessite des apprentissages et des enseignements nouveaux le contr le sur le r sultat lui m me requiert souvent des connaissances math matiques diff rentes de celles qui sont en jeu dans le calcul lui m me appartenance du nombre un ensemble ordre de grandeur valeurs approch es etc N oublions pas qu un calcul num rique ne poss de d existence math matique qu au sein d un syst me de nombres qui englobe tant les nombres de l expression num rique que le nombre appel r sultat de calcul M me si le syst me de nombres n est pas toujours explicit en fin de troisi me et en seconde c est souvent l ensemble R par d faut il n est pas absent Celui de la calculatrice n est ni Q ni R et
11. encore moins l ensemble D contrairement aux apparences Aucun des nombres de la calculatrice n a les propri t s math matiques du nombre auquel il emprunte son criture d cimale La calculatrice fournit un mod le de R tr s performant dans de nombreux calculs mais ce mod le ne peut tre confondu avec l ensemble R officialis d s la classe de troisi me Deuxi me hypoth se centr e sur le calcul num rique Un calcul est une succession d op rations sur des nombres dont l aboutissement est le r sultat Nous appelons simplification du calcul toute conduite qui inscrit la totalit des op rations dans un syst me de nombres consid r comme une structure alg brique et qui identifie le r sultat un l ment de cette structure Nous appelons ex cution du calcul toute conduite qui consiste produire un nombre reconnu comme le meilleur repr sentant du r sultat dans un syst me de nombres consid r comme un r servoir num rique L ex cution du calcul Elle ob it la n cessit de disposer du r sultat du calcul sans vraiment s int resser au calcul lui m me Cette n cessit presque toujours dict e par l int gration du calcul dans une autre activit math matique ou non conduit trouver une valeur dite exacte ou dite approch e Nous l avons rencontr e dans les situations g om triques mais elle existe aussi en analyse les valeurs d une fonction num rique en statistiques la valeur moyenne d une s rie
12. le quotidien des classes de troisi me ou de seconde Essentiellement en produisant des normes des r gles des codes g n rateurs de conduites chez les l ves et les professeurs Nous regroupons quelques unes de ces r gles autour de deux lignes de force La territorialit de la calculatrice Sur initiative de l enseignant la calculatrice est cart e de certains calculs et l l ve apprend respecter publiquement cette territorialit notamment dans la r solution d exercices Cette territorialit cherche d une part interdire de calculatrice tout calcul que l enseignant con oit comme une simplification d autre part recommander la calculatrice s il s agit d une ex cution jug e difficilement accessible voire inaccessible la main Cette construction est lisible dans les consignes p remptoires du type calculer sans calculatrice ou calculer avec calculatrice dans les strat gies langagi res d ploy es par les auteurs de manuels calculer devient simplifier crire ou bien calculer devient calculer une valeur approch e de dans l insistance sur les expressions valeurs exactes valeurs approch es dans le choix des nombres et des symboles pr sents dans les calculs petits nombres entiers 2 chiffres au plus ou nombres d cimaux non entiers criture fractionnaire ou criture d cimale ete dans le choix du r sultat attendu obtenir un nombre entier c est un indi
13. me chose pour 5 12 7 39 B 90 47 13 1 21 15 7 12 39 9 01 chiffiearondi 1000111 EE err i M ES RE 25 Le terme fraction est employ pour les fractions de nombres entiers seulement et ceci pour toute la suite de l analyse 26 Fraction de nombres d cimaux non entiers BERNIE 98 B 0765306122449 A B 0 IT m res r sultats sur Act B A valeur exacte machine B de d cmaks Quelques commentaires L l ve priv de calculatrice r agit en respectant la consigne incluse dans les symboles op ratoires sa conduite est fractionnaire l o les fractions sont identifiables L l ve B la calculatrice en main choisit une conduite d cimale La confrontation A B effrite sensiblement la conduite fractionnaire au profit de la d cimalisation du r sultat Les autres exercices nous conduisent aux m mes constatations D s que la consigne professorale directement ou par interpr tation donne pouvoir la calculatrice ce pouvoir n est gu re contest Pour preuve l exercice E6 o presque toutes les r ponses propos es par les paires A B proviennent d une ex cution par la calculatrice sans recherche apparente du r sultat exact Mais si la consigne professorale fait fortement r f rence au mode de simplification comme dans l exercice E8 le pouvoir de la calculatrice est remis en cause le r sultat propos peut tre celui de la simplification apr s contr le gr ce la calculatrice
14. un corps alg brique clos qui sont autant de pr structures sur lesquelles on appuie le calcul alg brique i L ensemble des entiers naturels celui des entiers relatifs celui des d cimaux celui des rationnels sont les repr sentants les plus voyants de ces syst mes de nombres nous pouvons y ajouter les ensembles Di D3 contient tous les d cimaux avec exactement 3 chiffres derri re la virgule et certains sous corps de R comme Q V2 Soulignons que cette laboration d bouche sur l ensemble des nombres r els R espace mythique que tout l ve de troisi me et de seconde se doit d explorer pour tre en mesure d affronter l tude des fonctions num riques d finies et continues sur les intervalles de R La bijection entre l ensemble R et l ensemble des points d une droite la compl tude de R qui r pare les insuffisances des ensembles D et Q r soudre les quations et int grer plus tard les limites de fonctions sont autant de pr requis suppos s acquis lorsque d bute l Analyse Et voici notre deuxi me restriction nous travaillerons au niveau des classes de troisi me et de seconde l o s engage et se termine officiellement la construction de l ensemble R Dans le m me expos des objectifs et capacit s valables pour le programme de seconde on peut lire L emploi des calculatrices scientifiques vient renforcer les possibilit s d tude des questions num riques aussi bien pour effectuer des calculs que pou
15. 11 Puis les calculs comportant des radicaux e P3 p 43 Simplifier e P3 p 46 Calculer et crire sous la forme la plus simple possible 3V7 1 De nouveau des formulations langagi res qui se r f rent la simplification pour d signer le calcul Il s agit de persuader l l ve calculateur que les bons r sultats sont ceux qui s expriment avec des nombres entiers de discr diter en cons quence la calculatrice sous le pr texte qu elle ne peut pas fournir de tels r sultats handicap e qu elle est par ses approximations Pour ces raisons l exercice suivant T3 p 55 Prouver que A 4V8 x 2 2475 512 est un nombre entier devra tre compris par l l ve comme interdit sa calculatrice qui pourtant lui fournit ais ment le r sultat exact L autorisation d utiliser sa calculatrice viendra avec l exercice sp cifique la calculatrice e V rifier avec une calculatrice que V45 480 V5 0 Mais v rifier n est pas prouver Laissons la parole au manuel T2 p 24 qui dans un point m thode nous explique le mot simplifier Sans autre pr cision dans le contexte o nous sommes cela voudra dire obtenir l criture la plus lisible accessible et imm diate possible sans radicaux au d nominateur en pr f rant 4V3 448 avec le moins de symboles rD possible etc et qui note certaines expressions ne peuvent tre simplifi es telles 3 47 5 243 V2 3 11
16. Encore un article sur les calculatrices La provocation sera de courte dur e l artifice rh torique sert d avertissement au lecteur qu il ne cherche pas dans cet article le pros lytisme d un professeur de math matiques persuad des bienfaits du bon usage des calculatrices en classe Un titre plus s rieux et plus explicite serait COHABITATION ENTRE LE CALCUL NUM RIQUE ET LA CALCULATRICE LE POINT DE VUE DU CONTRAT DIDACTIQUE Alain BIREBENT Lyc e Pierre du Terrail Pontcharra didactique des math matiques Laboratoire Leibniz Cette cohabitation commen a il y a vingt ans La belle machine apte faire de belles math matiques aux yeux d un amateur de math matiques en quoi pouvait elle servir le professeur de math matiques et ses l ves D engagements en d sillusions d innovations en r sistances les ann es qui suivirent l intrusion de la calculatrice dans le monde des math matiques scolaires d montr rent que des questions didactiques aussi simples au premier abord que l int gration d un instrument de calcul dans une classe comportaient de redoutables cueils L un de ces cueils et non le moindre r side dans l inflation des opinions qui viennent de toutes parts sur le sujet Monsieur tout le monde Avec les calculatrices ils ne savent plus calculer de t te Le professeur votre coll gue Pour la plus petite addition ils se pr cipitent sur leur calculatrice quand ils en ont une cela favorise la pa
17. approch dans l enseignement secondaire priv de l gitimit se meurt lentement entra nant dans son agonie savoirs et pratiques qui lui taient attribu s C est l analyse num rique qui reprend sa charge les besoins en calcul approch et le report sur la classe de seconde des premiers contacts avec la valeur absolue renforce ce transfert Mais nous ne devrions pas enfermer notre r flexion au seul niveau de la transposition didactique D gager des rep res pist mologiques sur la nature du calcul num rique et ses rapports avec d autres sciences notamment l algorithmique et l informatique visiter l histoire compar e du calcul num rique et des instruments de 27 Le calcul d un nombre d riv celui d une int grale celui de la somme d une s rie rel vent ils du calcul num rique 26 calcul suivre l introduction dans l enseignement secondaire de la nouvelle g n ration de calculatrices capables de calculs formels prendre en compte les conditions et les cons quences de l appropriation d un instrument de calcul poursuivre l analyse des conceptions des l ves et des enseignants sur le calcul num rique et sur les calculatrices construire des situations didactiques nouvelles avec les calculatrices voil autant d approches crois es pour enrichir nos connaissances sur l objet premier de notre tude la cohabitation dans l enseignement secondaire entre le calcul num rique et la calculatrice Bibliog
18. ce de bonne conduite simplificatoire Cette territorialit diff rencie les conduites calculatoires qui deviennent soit simplificatoires soit ex cutoires Calculer rel ve d un algorithme manuel dont la machine est exclue son intervention est accept e la rigueur dans un contr le final et calculer Sr 5 rel ve d un algorithme con u pour la machine l intervention humaine est cantonn e la mise en place de cet algorithme et accept e la rigueur dans le contr le final Nous appelons algorithmes machinistes ou calculogrammes ou s quences machines les organisations des calculs directement int grables en machine Par exemple faas 4 3xnx1 5x3 14 14 Ces algorithmes ont remplac les m thodes de calcul num rique approch b ties sur les notions d encadrement d erreur absolue d erreur relative et sur l utilisation de tables ou de r gles calcul 1 ne subsistent que la notion d ordre de grandeur et de 19 A disparu galement l algorithme manuel d extraction d une racine carr e qui fournissait automatiquement la valeur d cimale approch e par d faut avec la pr cision d sir e Cet algorithme 18 chiffres significatifs L l ve doit apprendre sans justification th orique sous jacente se d barrasser de chiffres encombrants et douteux gr ce aux troncatures et aux arrondis Les trois tats du r sultat Le calcul d une expression num rique se termine avec la production d un uniq
19. criture fractionnaire exacte ou inexacte mais g ner l l ve B qui n imagine pas de se retrouver seul avec la calculatrice pour r ussir ce calcul Le recours aux parenth ses ou aux m moires de la machine lui est p nible Pourtant 13x21 7x39 et il reste effectuer d une part 47x21 13 d autre part 5x39 12x7 pour obtenir l criture En fait la calculatrice est l pour obtenir de bonnes valeurs approch es d cimales et on peut s attendre toutes les critures d cimales possibles comme 9 ou 9 009 ou 9 1 etc Lors de la confrontation A B l criture fractionnaire devrait nettement plus se maintenir que dans l exercice E1 puisque l expression num rique calculer ne comporte que des fractions 15 7 Er La pr sence du trait de fraction peut conduire l l ve malgr la mixit de l criture a b et 5 sur les sch mes contractuels de la simplification et aboutir des z 1 3 2 r ponses exactes Ou inexactes 6 98 2 3 L l ve B devrait en rester une ex cution du calcul soit sous forme lin aire 15 7 14 5 soit sous forme arborescente du type 22 15 7 EXE 2 14 l es gt 214 27 14 5 EXE 2 7 77 75 La confrontation A B consistera d apr s nous v rifier que gg 0765 et 196 7 f l importance relative du choix de mr indiquera l attractivit du contrat fractionnaire Sixi me partie Nous disposons de deux sources d informations sur le compo
20. d enseignement des nombres r els Petit x n 16 IREM de Grenoble NEYRET R 1995 Contraintes et d terminations des processus de formations des enseignants nombres d cimaux rationnels r els dans les Instituts Universitaires de Formation des Ma tres Th se Universit Joseph Fourier Grenoble 1 OLIVIER Y BOUVIER J P 1994 Calculatrices en math matiques C R D P Poitou Charentes RABARDEL P 1995 Qu est ce qu un instrument Les dossiers de l Ing nierie ducative n 19 C N D P ROBERT A 1993 l ments de r flexion sur l utilisation des calculatrices programmables en premi re S et en terminale C et D Rep res IREM n 11 SCHUBAUER L ONI M L 1988 Le contrat didactique dans une approche psycho sociale des situations d enseignement nteractions Didactiques Recherches n 8 Universit de Gen ve TROUCHE L 1994 Calculatrices graphiques la grande illusion Rep res IREM n 14 28 Annexe 1 Extrait de Terracher 1994 Maths Seconde d Hachette pp 19 et 21 B PRATIQUE DU CALCUL NUM RIQUE 1 Cela est s r le calcul est l activit de base dans tous les probl mes num riques D o la pr sence ici de quelques probl mes calculatoires mais pas n importe comment L chantillon de tels probl mes est certes modeste mais veut tre significatif de la diversit des r ponses qu am nent le calcul exact la main le calcul machiae que nous limiterons ici la calculatric
21. dactique Un des probl mes majeurs de la transposition didactique est la construction de l ensemble R Ce que nous r v le notre tude c est la domination des syst mes de nombres D et Di qui diabolisent les ensembles Q et R et r duisent la construction de R l adjonction de nombres non d cimaux l ensemble D De l d coule l incongruit de R par absence de sens pour les nombres r els En effet la n cessit de R n est r v l e qu au travers de nombres non d cimaux pr sent s comme exceptionnels et trait s soit par les r gles de simplification limit es aux fractions et aux radicaux soit par la d cimalisation L accent mis sur la simplification pour s opposer la d cimalisation d volue aux calculatrices tente en vain de remplacer une construction de R capable de donner un sens num rique au concept de nombre r el nous ne sommes pas s rs que le passage par le cadre g om trique sous la forme d une bijection entre l ensemble des points d une droite et celui des nombres r els suffise combler ce vide num rique Un autre probl me majeur de la transposition didactique est le calcul approch Ce que nous r v le aussi notre tude c est l effacement de la notion d approximation qui se confond maintenant avec celle de valeur d cimale approch e L obligation faite l enseignement du calcul num rique d utiliser et d interpr ter les r sultats d cimaux des calculatrices peut expliquer ce ph nom ne le calcul
22. de son identification avec le r sultat d cimal obtenu par ex cution Ces observations s inscrivent dans nos hypoth ses Par contre l exp rimentation nous pousse revenir sur les r gles contractuelles que nous avons formul es en int grant plus lisiblement la double constatation suivante l l ve traduit la recommandation d utiliser la calculatrice et encore plus l obligation comme un droit afficher pour lieu et place du r sultat du calcul le nombre d cimal obtenu par lecture directe de l cran et il agit comme si l valuation professorale portait sur le maniement de la calculatrice alors que l attente professorale concerne ce que le professeur appelle la ma trise du calcul l aide de la calculatrice L l ve donne la calculatrice la responsabilit du travail math matique inscrit dans le calcul pour ne prendre sa charge qu un travail de transcription du calcul en une suite d instructions pour la machine un calculogramme dont la ressemblance avec un programme de calcul ne doit pas faire illusion math matique Nous mettons le doigt sur un des effets du contrat qui dans sa nature actuelle d veloppe tr s peu d interactivit math matique entre le calculateur et la calculatrice Septi me partie A parler de pr sence didactique de la calculatrice nous refusions d embl e l id e de la neutralit de la calculatrice dans les actes d enseignement et les processus d apprentissages La calculatrice comme instrum
23. e et l estimation d un r sultat CALCUL EXACT Exercice D apr s Nouveaux Jeux de l Esprit et divertissements math matiques J P Alem d Seuil r solu 1 Que vaut x 83875 683470 83875683 469 x 83875683471 2 Simplifier l criture de et de B 1 5 2 4 50 E Lai x B x0755 Gx10 4 30 3 1 La taille des nombres impliqu s condamne la calculatrice au ch mage technique et nous dissuade de faire les calculs la main Cela dit observons que les trois entiers figurant dans l criture de x sont voisins Posons alors a 83875 683 470 Le nombre x s crit x a oles l a 1 Comme a 1 a 1 a 1 il vient x a a 1 d o finalement x 1 2 a Calcul de A Seuls les entiers 3 et 10 interviennent dans l criture de noter 30 3 x 10 De l l id e directrice du calcul essayer d obtenir pour une criture de la forme A 3 Xx 10 m et n entiers trouver Allons y courage SCORE l 310 x 107 _3 x107 3 x 107 3 x 10 77x10 2x3 x10 35x10 10 c est dire 31075 35 Conclusion A 3 243 b Calcul de B 3 La seule remarque 0 75 Fi guide le calcul 4 5 4 50 3 SI 450 x 3 3 pe 8 0795 x a 5 4 doi 5 5 1 noter On vite si l on peut l criture sg on crit directement T Regrouper et simplifier sont les ma tres mots du calcul la main m Regrouper les termes I faut regarder la form
24. e l allure la structure si l on y tient de l expression pour se faire une id e de l criture qu on peut esp rer obtenir pour le calcul de par exemple nous esp rons l criture 3 x 10 Voil ce qui nous guide dans la mani re de regrouper les termes a Simplifier C est simple utiliser les propri t s d gag es sur ce sujet r duction de termes simplification de quotients de puissances produits remarquables 1 Les capacit s d affichage sont d pass es 29 2 LE CALCUL MACHINE Exercice Effectuer les calculs suivants l aide de la calculatrice et pr senter les r sultats en r solu notation scientifique 3 01 x 107 0 73 x 107 5 2 A gt x107 2 2 x6 x107 B 3 95 2 x 10 a Calculons par la s quence machine suivante 5 EP 3 a 2 3 x J 22 x 61 e 4 Vient l affichage TPH Et donc en notation scientifique 4 1 34172 x 10 77 Le caicul de B pourra s effectuer par la s quence 301 E I u A07 E 2 2 2 9527 BA Le r sultat affich 1 FAZ est en rotation scientifique Nous crirons B 1 08298 x 107 Aussi sophistiqu e soit elle une calculatrice ne pense pas C est nous de r fl chir et pour le moins sur les deux points suivants a L organisation des calculs Une s quence machine doit respecter les priorit s alg briques du calcul les puissances les produits et quotients et
25. e voudrait exhaustive il tire de cela m me son efficacit particuli re Toute objectivation intempestive et n cessairement locale partielle en brouillerait le fonctionnement 22 D apr s Schubauer Leoni 1988 C est en effet dans ces cas de violation du pacte que certaines r gles sont alors nonc es et que la nature du contrat appara t Etudier ce qui est implicite dans la gestion contractuelle de la relation tripolaire enseignant l ve savoir n cessite la mise en oeuvre de d marches de recherches aptes atteindre le jeu des attentes mutuelles sans pour autant en entraver le fonctionnement 20 Nous pr sentons ici un extrait de cette exp rimentation autour des trois premiers exercices Analyse des exercices Tous les exercices sont b tis sur le m me socle math matique contenu dans la consigne calculer une expression num rique Ei L usage ou le non usage de la calculatrice est impos et la r daction d explications est fortement sugg r e En d cidant d indiquer l action math matique par le seul verbe calculer nous r duisons pour l l ve les possibilit s d interpr ter l intention didactique Il lui reste la consigne sur la calculatrice interdiction ou autorisation et l criture de l expression num rique dont nous pensons qu elle sert de balise fortement ancr e au contrat Pour cette criture nous avons crois deux variables la nature des nombres entier d cimal non
26. ent de calcul vit dans l enseignement actuel du calcul num rique sous le gouvernement d un contrat didactique qui lui est sp cifique dont notre tude a recherch les ressorts Sa 25 sp cificit tient nous pensons l avoir montr dans la d finition d un r le pour la calculatrice et dans l organisation des jeux de ce r le Les jeux du r le se taire dans les calculs dont on attend le r sultat exact intervenir rapidement et s rement dans les calculs dont on n attend pas le r sultat exact pour fournir une valeur d cimale approch e fiable de ce r sultat Par l analyse des manuels et avec l aide de l exp rimentation nous avons d gag les actes de ce contrat savoir les r gles reconnues par l enseignant et les l ves comme r gissant leur travail en commun sur le calcul num rique Cette tude d bouche nous semble t il sur une meilleure connaissance du contrat qui devrait nous permettre d expliquer certains comportements des enseignants et des l ves dans des situations didactiques mettant en jeu du calcul num rique et l usage de la calculatrice Elle rebondit alors sur d autres questions ce contrat peut il voluer ce contrat doit il voluer questions auxquelles il serait pr tentieux de r pondre en restant dans le cadre originel de cet article En guise de conclusion et pour ne pas esquiver l chement le d bat il nous semble qu on n chappera pas une tude plus approfondie de la transposition di
27. entier non d cimal et les symboles op ratoires division avec trait de fraction division avec le symbole puissances radicaux Nous avons aussi par r f rence nos hypoth ses utilis la variable territorialit avec trois valeurs territoire interdit la calculatrice T1 territoire recommand la calculatrice T2 territoire autoris la calculatrice T3 Nous avons vit que les calculs soient r alisables mentalement tout en les laissant la port e d un l ve de niveau moyen Nous v rifions l activit des r gles contractuelles rep r es pr c demmment en examinant les conduites des l ves des l ves B celles des paires A B et leurs choix Par exemple le calcul de 19 12 7 s int gre d apr s nos hypoth ses dans un contrat d ex cution dans l ensemble D que nous appelons contrat d cimal avec calculatrice autoris e voire recommand e Ce contrat induit chez l l ve m me d muni de calculatrice une conduite d cimale C est en interdisant la calculatrice l l ve que nous d voilons le contrat car l effet contractuel continue s exercer en produisant des y 121 nombres d cimaux au lieu de 7 D taillons les r ponses possibles pour chacun des trois calculs choisis E1 19 12 7 l ve A Cette division qui ne tombe pas juste doit quand m me tre effectu e 3 UN 12 ss ee PR sinon il serait crit 19 T Telle devrait tre la r action de cet l ve Restera le choix
28. es math matiques appel e commun ment calcul num rique et identifi e la gestion des nombres partir de leurs repr sentations symboliques Justifions cette restriction par l id e que la fonction premi re de la calculatrice est de calculer avec des nombres Le calcul num rique comprend les op rations num riques et leurs diff rentes techniques mentales crites ou instrumentales les transformations d expressions num riques et les r gles aff rentes le traitement des galit s et in galit s num riques les approximations Cette gestion originellement con ue au service d autres activit s math matiques compter mesurer rep rer comparer valuer num roter partager ordonner etc a d velopp ses propres finalit s et d fini un territoire math matique et didactique L enseignement fran ais lui offre une place consid rable dans les programmes du secondaire En t moigne l expos des objectifs et des capacit s valables pour le programme de la classe de seconde Les probl mes et m thodes num riques doivent tre largement exploit s ils jouent un r le essentiel dans la compr hension de nombreuses notions math matiques et dans les diff rents secteurs d intervention des math matiques ils permettent aussi d entra ner les l ves combiner l exp rimentation et le raisonnement en math matiques et concourent au d veloppement des qualit s de soin et de rigueur Il convient en outre de mettre en valeur
29. ignant le vice r dhibitoire d opacifier la d marche math matique de transformer la simplification en ex cution dont les qualit s formatrices sont jug es douteuses 19 d agir Ces r gles ne re oivent pas de cons cration officielle elles sont sujettes des volutions et des adaptations locales elles acceptent des interpr tations diff rentes chez les uns et chez l autre mais par leur pr gnance elles servent de r f rences pour la poursuite de l enseignement et constituent autant de significations didactiques Joshua 1988 du savoir concern Celles que nous avons d gag es ici partir des hypoth ses pr sent es pr c demment nous paraissent suffisamment stables et g n rales pour traduire un large ventail de comportements Malgr leurs effets contradictoires elles peuvent coexister dans une m me situation didactique Cinqui me partie Pour pouvoir observer certaines manifestations du contrat nous avons imagin pour des l ves de seconde une s rie d exercices qui croise deux m thodes placer les l ves hors du contrat habituel obliger les l ves un d bat suivi d une d cision Aussi certains exercices ont t con us avec l id e que l l ve cherchera inscrire sa r ponse dans les r gles du contrat alors que la question rompt avec le contrat Des qualit s de cette rupture d pend la possibilit pour nous d interpr ter la r ponse D autres exercices provoquent un d ba
30. inaccessible et l de valeur exacte de 16 000 d aucun secours Regardons maintenant dans des manuels Nous esp rons trouver dans le choix des exercices la formulation des nonc s les relations entre le cours et les exercices des manifestations contractuelles entre l auteur du manuel l enseignant et l l ve En effet le contrat didactique gouverne la r partition des t ches entre deux p les caract ris s le cours que l enseignant doit pr senter et que l l ve doit savoir c est le 5 Joshua et Dupin 1993 Bien que l valuation ne r sume pas le contrat didactique elle en est r v latrice en certains aspects importants L valuation ne sert pas seulement juger de la conformit de la production d l ves avec ce qui est attendu par le professeur Elle sert aussi une pr cision fine des aspects de l objet d enscignement trait qui seront r ellement de la responsabilit de l l ve Un aspect de l objet non inscrit aux contr les si cette absence est syst matique se dissout comme base du contrat didactique Ceci est vrai m me si par ailleurs une part importante de l activit de la classe lui est consacr e 6 19 de r ussite pour le lyc e de Pontcharra savoir institutionnel de l institution coll ge ou lyc e les exercices que l enseignant doit fabriquer et que l l ve doit r ussir Voici deux exercices typiques des entra nements au calcul num rique en classes de troisi me et seconde
31. les aspects algorithmiques des probl mes tudi s notamment propos de la gestion de calculs La richesse du calcul num rique qui peut tout aussi bien s incarner dans du quotidien que s inscrire dans les constructions th oriques les plus formalis es est travaill e par la transposition didactique C est ainsi que nous interpr tons l laboration successive de syst mes de nombres qui sont autant de r servoirs num riques dans lesquels on puise les solutions num riques des probl mes 1 m moire de D E A juillet 1996 r ecrit et condens 2 Chevallard 1985 Tout projet social d enseignement et d apprentissage se constitue dialectiquement avec l identification et la d signation de contenus de savoirs comme contenus enseigner Un contenu de savoir ayant t d sign comme savoir enseigner subit d s lors un ensemble de transformations adaptatives qui vont le rendre apte prendre place parmi les objets d enseignement Le travail qui d un objet de savoir enseigner fait un objet d enseignement est appel la transposition didactique 3 Chevallard 1989 On appelle ici syst me de nombres tout ensemble de nombres sur lequel on a d fini une addition une multiplication une relation d ordre total avec des propri t s qui autorisent toute quation du premier degr qui n est pas une identit poss der une solution unique et en font un domaine d int grit dont la forme rappelle celle d
32. me un travail math matique et il est d autant plus digne d int r t que la machine le fait vite et qu elle est la seule dans certaines circonstances pouvoir le faire Que la calculatrice agisse comme une bo te noire importe peu puisqu elle a la courtoisie de ne rien laisser para tre ou presque du travail math matique cristallis en elle Chevallard 1987 Cela se passait ainsi avec les tables trigonom triques Cela se passe encore ainsi avec la plupart des algorithmes d op rations qui une fois enclench s fournissent un r sultat incontest La quantit de math matiques invisibles qu elle contient renforce le pouvoir de la machine tt La remise en cause du pouvoir La calculatrice ne donne du pouvoir qu celui qui la courtise l utilisateur doit laborer les instructions les saisir il doit lire le r sultat et le communiquer il doit ma triser l instrument et m me apprendre son fonctionnement 4 14 Rabardel 1995 d crit l impact d un instrument sur l activit cognitive de son utilisateur et conclut ainsi le contr le de l ouverture du champ des actions possibles comme de l activit requise activit du sujet exig e par l instrument pour son utilisation et son appropriation constituent deux dimensions importantes de l usage ducatif des instruments Il pr cise auparavant Disposer d une machine forte puissance de calcul peut aussi bien permettre d explorer des types de t ches math matiques
33. mentionnent le recours la calculatrice les tables trigonom triques d autrefois et les points m thodes y reviennent longuement T3 p 202 P3 p 169 170 Mais pas plus que dans les situations alg briques susmentionn es la pertinence de son usage n est clair e ni justifi e Terminons cette analyse pr alable par un sourire 21 08 2 44 x 61 7 8 5 1995 1 12 x 0 56 T2 p 10 V rifier la calculatrice que Par quel miracle math matique des calculs si compliqu s avec des nombres d cimaux non entiers peuvent ils donner un nombre entier Faut il croire la calculatrice elle d ordinaire si suspecte de trahisons dans les divisions Changeons l exercice qui devient e Expliquer qu il faut avoir confiance dans la calculatrice quand elle fournit l galit 21 08 2 44 x 61 7 8 5 1995 1 12 x 0 56 mais qu il ne faut pas garder cette confiance quand elle indique que 123 456 23 Siad 123 457 1287 suivante Troisi me partie Nous sommes en mesure maintenant de pr senter deux hypoth ses conjointes pour d crire le contrat il int gre l appr ciation par chacun des partenaires du pouvoir math matique de l instrument de calcul il int gre la distinction dans le calcul num rique entre ex cution et simplification Cette description du contrat autour de deux sources de contraintes condense plusieurs constats la dualit du calcul num rique la fois outil de r
34. n accompagnant son int gration sociale 29 Nous pensons aussi aux proc dures langagi res les caculogrammes par exemple sans lesquelles il n y a pas d acc s la calculatrice dispose t on avec les calculatrices d un nouveau registre dans le langage symbolique math matique 27 CLAROU P 1994 995 R flexions propos de l utilisation des calculatrices dans l enseignement Petit x n 39 IREM de Grenoble CLAROU P 1995 996 R flexions propos de l utilisation des calculatrices dans l enseignement Petit x n 40 IREM de Grenoble C O P R E M 1987 Contributions l enseignement math matique contemporain Le calcul num rique C N D P DOUADY R 1986 Jeux de cadres et dialectique outil objet Recherches en didactique des math matiques vol 7 2 La Pens e Sauvage Grenoble IZORCHE M L 1977 Les r els en classe de seconde M moire de D E A Universit de Bordeaux 1 JACQUIER I 1996 Quelles conceptions des nombres chez les l ves de troisi me Petit x n 41 IREM de Grenoble JOSHUA S 1988 Le contrat didactique et l analyse des ph nom nes didactiques Interactions Didactiques Recherches n 8 Universit de Gen ve JOSHUA S DUPIN J J 1993 Introduction la didactique des sciences et des math matiques Presses Universitaires de France Paris KUNTZ G 1993 L outil informatique ne peut donner que ce qu il a Rep res IREM n 11 MARGOLINAS C 1988 Une tude sur les difficult s
35. ourte explication Notez que ce choix peut diff rer des deux r sultats obtenus dans la premi re partie E1 19 12 7 5 ee 86 4 786 134 18721 3 712 458 6 287 54 2 1x 0 26 E6 5213 865 813 4 786 134 18721 542 j n 5 l r 3 31250 x0 04 8 V2 4V98 T 3x2 5 x2 4 E10 NME D TABLEAU DE RESULTATS N 2 Explications E4 Te 1285 x 7000
36. r v rifier des r sultats ou alimenter le travail de recherche En particulier les l ves doivent savoir au moyen de leur calculatrice effectuer des calculs num riques Nous assistons un lent mouvement qui pousse les enseignants et les l ves confront s l enjeu didactique que repr sente le calcul num rique installer la calculatrice comme partenaire particulier de leurs bats Quel que soit le devenir de ce mouvement il nous semble opportun d en examiner les m canismes de d crire les rapports que construit l institution scolaire pour faire vivre ensemble le calcul num rique et la calculatrice Nous choisissons d tudier plus pr cis ment le contrat didactique qui a le m rite nos yeux d objectiver les actes d enseignement et les pratiques de classe d une part en les inscrivant dans un ensemble de contraintes qui s imposent aux partenaires enseignants et l ves dans le fonctionnement didactique d autre part en d crivant les comportements de ces partenaires dans des r gles contractuelles qu ils reconnaissent R sumons nous sous la forme d une question quel est le contrat actuel sp cifique la calculatrice pour du calcul num rique en classe de troisi me ou de seconde 4 Chevallard 1989 Le calcul alg brique constituera le mobile essentiel et l outil fondamental de la construction des syst mes de nombres successifs Deuxi me partie O traquer ce contrat Dans des lieux et
37. raphie ASSUDE T 1994 cologie de l objet racine carr e et analyse du curriculum Petit x n 35 IREM de Grenoble BIREBENT A 1996 Cohabitation dans l enseignement secondaire entre le calcul num rique et la calculatrice le point de vue du contrat didactique DEA de didactique des disciplines scientifiques Universit Joseph Fourier Grenoble BESSOT A LE THI HOAI A 1993 94 Une tude du contrat didactique propos de la racine carr e Petit x n 36 IREM de Grenoble BRONNER A 1997 tude didactique des nombres r els id cimalit et racine carr e Th se Universit Joseph Fourier Grenoble 1 BROUSSEAU G 1986 Fondements et m thodes de la didactique des math matiques Recherches en didactique des math matiques vol 7 2 La Pens e Sauvage Grenoble CHEVALLARD Y 1985 La transposition didactique Du savoir savant au savoir enseign 2nde dition 1991 La Pens e Sauvage Grenoble CHEVALLARD Y 1987 Soci t s math matisations math matiques soci t s Publication de l I U F M d Aix Marseille CHEVALLARD Y 1988 Deux tudes sur les notions de contrat ou de situation Publication de l IREM d Aix Marseille CHEVALLARD Y 1989 Le passage de l arithm tique l alg brique dans l enseignement des math matiques au coll ge petit x n 5 n 19 n 23 IREM de Grenoble 28 Dans quelle mesure l invention d un instrument de calcul agit elle sur la production math matique e
38. res obtenue directement par ex cution de 4 63 28 sans simplification Dans le deuxi me exercice nous n imaginons pas la couturi re couper 2 j m tres de galon mais plut t 503 centim tres La touche x de la calculatrice fait T affaire la place du nombre x Le couple exact inexact des exercices pr c dents a laiss place au couple approch inexact car la valeur exacte non d cimale ne pr sente plus d int r t Au jeu num rique d approximation la calculatrice s impose d embl e 2 A car il n est pas question de construire des encadrements de 2n f2 m me apr s sa transformation en 8x Et pourtant quel cr dit apporter la calculatrice La deuxi me d cimale apr s la virgule est elle saine si oui pourquoi 13 Hypoth se d j formul e par Izorche en 1977 et Margolinas en 1988 et travaill e par Bronner 1997 13 Dans le troisi me exercice pos au Brevet des Coll ges en 1990 il tait possible en utilisant des relations m triques AH x BC AB x AC de conduire l l ve au r sultat V819 exact AH ET Il y a volont manifeste de passer par les angles quitte valider la d marche par le recours la calculatrice On a alors AH AC xsin cos 0 3 28 107 pr s par d faut La calculatrice maintenant admise ou justifie une valeur approch e ou r alise un calcul jug impossible sans elle ou ex cute un calcul jug inint ressant Les parties cours maintenant
39. resse intellectuelle ou bien Il faudrait leur apprendre se servir d une calculatrice mais ou bien encore La calculatrice tue le calcul alg brique Le constructeur de calculatrices La calculatrice demande l l ve une rigueur tant sur la mani re d exprimer un probl me que sur la fa on d aborder les simulations num riques tr s vite cette demande am ne l l ve faire une analyse d taill e des situations En tant qu outil individuel l l ve est confront un choix de solutions son initiative tant sanctionn e par sa seule autocritique il doit s auto valuer pour en final ne proposer que la solution optimale Le parent d l ve Sans la calculatrice la plus performante mon enfant risque d tre p nalis Analyser ces opinions pour en faire autre chose que des opinions parce que les questions didactiques sous jacentes ne devraient pas rester des affaires d opinion c est un peu ce qui motive mon entr e en Didactique et le travail que je pr sente s inscrit petit x n 44 pp 5 32 1996 1997 6 dans l ambition de transformer certaines questions didactiques en questions de la Didactique Premi re partie Vingt ans d j disions nous on peut penser que l intrusion des calculatrices dans la classe de math matiques a chang les pratiques de calcul notamment les pratiques de calcul num rique Et voil notre premi re restriction nous nous en tiendrons cette partie d
40. rtement de l l ve ou de la paire d l ves d une part le r sultat qu il ou elle pr sente pour l expression d sign e d autre part les commentaires et explications qu il ou elle accepte de fournir sous la forme de calculs interm diaires de calculogrammes ou de commentaires Il faut y ajouter quelques indiscr tions orales recueillies par les professeurs qui nous furent transmises et une s ance d enregistrements de certains d bats chez les paires A B 2 S il est assez facile de recenser et de d nombrer les r sultats il s av re plus d licat de prendre en compte les explications associ es car elles sont brouillonnes et tr s diverses Nous nous efforcerons cependant d en int grer quelques unes dans notre analyse Pour chaque expression num rique i nous pr sentons un tableau des effectifs ramen s 100 des types de r ponses des l ves A et B un exemple de r ponse d une paire A B L gende pour ous ks tlean double r a 0 0 6 23 Cette s ance a eu lieu fin octobre 1996 Son exploitation n est pas int gr e dans cet article 24 Il s agit des valeurs d cimales approch es par d faut ou par exc s 107 pr s o n est un entier naturel 23 19 1 7 17 3 Pi bia 17 29 12 LE pee pes de enminer qui fausse Kg rement e r sula Ex pression E2 double r sultat rien o abandon o 7 1 onu 2 au tre d norinaur puis on fit la m
41. solution de probl mes et objet d tude pour impulser ou appuyer des d marches alg briques 14 l existence de syst mes de nombres choisis pour leur plasticit didactique soit r servoirs num riques soit pr structures alg briques la pr minence th orique de l ensemble pr construit R les capacit s actuelles des calculatrices essentiellement ax es sur l ex cution des calculs dans un syst me num rique inclus dans l ensemble D l obligation de mener des approximations num riques avec de faibles bagages th oriques Pr sentons chacune des deux hypoth ses de fa on plus d taill e Premi re hypoth se centr e sur la calculatrice La calculatrice dispose d une autorit math matique dans la mesure o ce qu elle affiche peut faire autorit Cette autorit rel ve d un pouvoir math matique qui s impose de facto aux l ves et l enseignant Ceux ci conjointement ou s par ment selon les situations composent avec ce pouvoir La reconnaissance du pouvoir Dans l exercice de P3 p 177 pr sent pr c demment la longueur AH s obtient par 3 xsin cos 0 3 et chacun s en remet la calculatrice en ne doutant pas qu elle fournisse un r sultat conforme aux exigences math matiques L galit ou la suite d galit s qui r sume math matiquement le calcul de l expression num rique devient une suite d instructions que r alise la machine Ce travail effectu par la machine appara t tous com
42. t entre deux l ves confront s deux r sultats diff rents et nous essayons de comprendre la d cision prise par les deux protagonistes Nous reproduisons dans l annexe 2 l ensemble des fiches fournies aux l ves lors de cette exp rimentation pr sent e aux l ves et aux professeurs comme une s ance modulaire dur e de la s ance 1 h 20 nombre d l ves lt 18 Sept classes du lyc e Pierre du Terrail Pontcharra soit un peu plus de 200 l ves y ont particip en f vrier 1996 L exp rimentation contient dix expressions num riques calculer Dans un premier temps chaque expression E re oit deux r ponses RA et RB de la part de deux l ves A et B L l ve A dispose d une feuille de brouillon sans calculatrice tandis que l l ve B dispose d une calculatrice sans feuille de brouillon Les deux l ves A et B fournissent des r sultats individuels puis sont r unis en paires A B Dans un deuxi me temps chaque paire A B disposant de calculatrices et de feuilles de brouillon examine les r ponses RA et RB puis produit une r ponse RAB 21 Nous pourrions parler de clauses mais ce terme juridique voque des engagements crits et des signatures que l on chercherait en vain dans notre contrat Citons de nouveau Chevallard 1988 De l entr e dans le contrat proc de un savoir qui ne peut tre mis en texte Savoir pratique par excellence comme dirait Bourdieu exemplairement rebelle toute recension qui s
43. t une signification g om trique car les nombres et les op rations renvoient des grandeurs et des manipulations de nature g om trique La plupart des activit s g om triques qui travaillent le th or me de Thal s celui de Pythagore et la trigonom trie comportent des calculs de longueurs d aires de volumes d angles Ainsi P3 p 52 Un rectangle a pour dimensions 28m et 63m a Calculer le diam tre du cercle circonscrit au rectangle b Un carr a la m me aire que celle du rectangle Calculer le p rim tre du carr P3 p 52 Une couturi re doit coudre un galon tout autour d une nappe circulaire de 2m2 Quelle longueur de galon doit elle pr voir e P3 p 177 La figure ci dessous repr sente un triangle ABC rectangle en A tel que BC 10cm et AC 3cm a Calculer AB b Calculer cos C en d duire une mesure de C 1 pr s c Sachant que H est le projet orthogonal de A sur BC calculer une valeur approch e 0 1 cm pr s de AH Remarquons tout de suite la demande de valeurs approch es pour que les r sultats retrouvent une intelligibilit li e la situation g om trique Comment expliquer autrement la pr sence des unit s de longueur et d angles Cette pr sence appelle celle des nombres d cimaux alors que les r sultats des calculs ne le sont pas n cessairement Dans le premier exercice la question a n attend certainement pas la r ponse D 7497 m tres mais plut t D 68 94 m t
44. te sa volont de r pondre le plus exactement possible et esp re que le professeur appr ciera ce souci d exactitude Mais ce dernier n accepte pas la remise en cause du contrat de simplification s il juge qu il n y avait pas de doute sur ses intentions La r gle n est pas employ e seulement par l l ve qui fuit ses responsabilit s Elle sert aussi au professeur qui demande de calculer avec le nombre x de l intervalle 0 7 2 dont le cosinus est 0 3 x cos 0 3 qui sait ne pas disposer d autres critures pour engager des proc dures de simplification avec les nombres transcendants il faudrait des outils plus perfectionn s comme les nombres complexes ou les s ries enti res et qui va se contenter sans justifier pleinement sa d marche de la valeur approch e fournie par la calculatrice Un contrat fonctionne d autant mieux qu il peut s articuler autour de quelques r gles p rennes qui permettent aux partenaires l ves et enseignant de penser et comme celui de la division normalisait l approximation sous sa forme d cimale et ludait ainsi la d licate question de la recherche de la pr cision obtenue par un algorithme 20 Notons que certaines calculatrices proposent des algorithmes pour simplifier simplifier les fractions mais aussi au del pour la nouvelle TI 92 Outre que leurs performances et leurs champs d action sont encore tr s limit s nombre de chiffres par exemple elles pr sentent aux yeux de l ense
45. ue nombre appel r sultat Voici une affirmation dont les fondements th oriques ne sont pas explicit s en classe mais qui agit comme une r gle contractuelle entre l enseignant et l l ve calculateurs L unicit du r sultat qui r alise le calcul il lui restitue sa r alit en permet en effet la critique objective Elle autorise la fois la contestation et la validation du r sultat mais elle doit s accommoder de la multiplicit des critures du nombre Le professeur rejette 5 828 qui ne remplace pas 3 2V2 comme r sultat de 42 etil accepte 3 V8 Notons que la calculatrice maintient l unicit du r sultat au prix d une d cimalisation qui fournit pr texte de nombreuses contestations Une deuxi me r gle contractuelle intervient alors le r sultat est soit exact soit approch soit inexact Ces trois tats distincts du r sultat aussi appel s valeurs organisent la coexistence entre l exactitude et l approximation ou plut t la proximit coexistence mise mal par l usage de la calculatrice Les contestations sur l exactitude du r sultat propos n aboutissent pas n cessairement son rejet car elles peuvent s accommoder de l annonce publique d une approximation L enjeu est alors quelquefois report sur la pr cision de cette approximation La pr cision devient le chemin vers l exactitude Dans le calcul de 1 2 s il annonce 5 82842712474 avec tous les chiffres de sa calculatrice l l ve manifes
46. ur par la seconde il est trait comme un objet dont les propri t s au regard de la structure alg brique et non les usages sont jug es int ressantes La concurrence pour ne pas dire l opposition entre les deux modes de calcul est une cr ation de la transposition didactique on ne la retrouve pas dans les activit s math matiques lib r es des finalit s didactiques qui au contraire mobilisent la concourance des deux modes Cette concurrence rejaillit sur les rapports entre l homme calculateur et la machine calculatrice Pour caricaturer l ex cution est machinale et la simplification est r fl chie 16 Neyret 1995 en tudiant les rapports aux syst mes des nombres la fin du coll ge et l entr e l LU F M Institut de Formation des Ma tres montre la force et la persistance de ce ph nom ne 17 Plut t que de trouver un nombre il s agit de retrouver le nombre sous un autre habillage une autre criture 18 Nous faisons r ference la notion de dialectique ouil objet que Douady 1986 d crit ainsi c est un processus cyclique organisant les r les respectifs des enseignants et des l ves au cours duquel les concepts math matiques jouent alternativement le r le d outil pour r soudre un probl me et d objet prenant place dans la construction d un savoir organis 17 Quatri me partie Comment le contrat didactique tel que nous le pr sentons r git il les rapports calculs calculatrices dans
47. xercice suivant e Utiliser une calculatrice pour donner le nombre a suivant sous forme de fraction irr ductible 7 Etonnant paradoxe ce que l l ve ne produit pas le cours il doit le savoir ce qu il produit la r solution de l exercice il peut l oublier Mais la r ussite de l l ve l exercice lui permet d assumer pleinement de son point de vue sa part du contrat Il revient l enseignant de d signer les savoirs en jeu de les op rationnaliser en exercices pour lesquels la r ussite de l l ve prouve l acquisition de connaissances sur les savoirs vis s 8 P2 Pythagore seconde T3 Terracher troisi me etc Ces manuels ont t choisis pour leur renomm e dans le milicu enseignant 10 a 6 4 3 L l ve pourrait effectuer la calculatrice la s quence suivante 5 6 3 4 2 3 X1 2 lire 11 et crire a Le fera t il Nous en doutons fortement Les parties cours des manuels ne comportent aucune th orisation susceptible d appuyer une telle d marche Ce sont les activit s pr paratoires les travaux pratiques comment s et les points m thodes qui en marge du cours se risquent pr senter l usage d une calculatrice mais en le restreignant l ex cution du calcul sous la forme d une suite d instructions directement issue des priorit s op ratoires voir annexe 1 Une autre situation alg brique concerne les puissances P2 p 118 Donner l criture simplifi e de l expression
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