Propagation des incertitudes et calcul de courbes [...]
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1. Date 10 03 2015 Page 9 9 Responsable Irmela ZENTNER Cl U2 08 05 R vision 13030 Figure 3 2 3 a Exemple de nuage de points et courbe de r gression variable Y en fonction du PGA 4 Bibliographie bib1 Saporta G Probabilit s analyse de donn es et statistique Editions Technip 2006 bib2 Zentner I Numerical computation of fragility curves for NPP equipment Nuclear Eng Design 240 6 2010 1614 1621 bib3 EPRI Seismic Probabilistic Risk Assessment Implementation Guide Final Report 1002989 20083 bib4 Lefebvre Y de Rocquigny E Dutfoy A Delcoigne F Sudret B Cagnac A Guide M thodologique pour le traitement des incertitudes Note EDF R amp D HT 56 2007 01798 2007 bib5 De Rocquigny et al Uncertainty in Industrial Practice Wiley amp Sons Ltd 2008 bib6 Ellingwood B R Kinali K Quantifying and communicating uncertainty in seismic risk assessment Structural Safety 31 2 2009 Documentation Code_Aster R4 05 05 G n ration de signaux sismiques U1 03 02 M thodes d acc s aux objets Aster U2 08 07 Calculs param triques Distribution de calculs U1 04 00 Interface d acc s Code_Aster astk Manuel d utilisation Fascicule u2 08 Fonctions avanc es et contr le des calculs Copyright 2015 EDF R amp D Document diffus sous licence GNU FDL http www gnu org copylett fdl html2. 03 05 Tr s souvent on peut supposer que les diff rentes sources d incertitudes sont ind pendantes On peut alors effectuer des tirages al atoires selon les m lois marginales des variables al atoires Dans certains cas on peut aussi inclure des grandeurs plus complexes non scalaires comme les matrices al atoires ou encore les processus stochastiques On parle aussi de plan d exp rience pour d signer la m thode de tirage et l chantillon qui en r sulte Dans Code Aster la simulation de Monte Carlo selon un plan d exp riences est possible l aide de l option calculs distribu s U2 08 07 R alisation du plan d exp rience Toutes les m thodes dont les tirages sont ind pendants peuvent tre mises en uvre via la distribution des calculs avec Code Aster En particulier on peut faire appel aux tirages al atoires selon la m thode de l hypercube Latin Latin Hypercube Sampling LHS ou le quasi Monte Carlo suites quasi al atoires comme la suite de Sobol bib4 bib5 Variables al atoires les incertitudes sur les param tres du mod le l ments finis param tres mat riaux valeurs d un jeu d une raideur de but e lastiques d un module d Young etc Matrices al atoires En dynamique des structures sur base modale les variables al atoires peuvent tre les valeurs des matrices g n ralis es de masse de raideur et d amortissement du mod le aux l ments finis Dans cette approche on fait des tirage
3. de ces matrices al atoires l aide de l op rateur GENE MATR ALEA U4 36 06 Dans cette approche on mod lise la fois les incertitudes de mod le et de mod lisation par une approche probabiliste dite non param trique Excitations al atoires l op rateur GENE FONC ALEA permet de g n rer des signaux al atoires stationnaire partir de la densit spectrale de puissance L op rateur GENE ACCE SEISME permet de g n rer des signaux sismiques non stationnaire en amplitude et en contenu fr quentiel Dans d autres cas on peut disposer d une base de donn es contenant des signaux qui mod lisent un ph nom ne physique al atoire Cela peut tre le cas en analyse sismique o un ensemble d acc l rogrammes mesur s in situ peut tre fourni par des sismologues Manuel d utilisation Fascicule u2 08 Fonctions avanc es et contr le des calculs Copyright 2015 EDF R amp D Document diffus sous licence GNU FDL http www gnu org copylett fdl html Code Aster default Titre Propagation des incertitudes et calcul de courbes Date 10 03 2015 Page 4 9 Responsable lrmela ZENTNER Cl U2 08 05 R vision 13030 2 2 2 3 Il existe deux possibilit s pour r aliser le plan d exp rience 1 soit on cr e l chantillon des jeux de param tres au pr alable selon la m thode de tirage souhait e et on le stocke dans un fichier de donn es pour cela on
4. peut utiliser un logiciel d di comme OpenTURNS ou encore les toolbox d di s de Python et Matlab2 soit on utilise l un des op rateurs du Code Aster pour g n rer une r alisation d un processus stochastique ou d une matrice al atoire Dans le cas d un calcul dynamique transitoire on peut ainsi utiliser des chargements temporels al atoires g n r s par le Code Aster On peut bien s r utiliser les deux options conjointement Remarque Si dans le cadre d une analyse sismique on dispose d un chantillon de Ns acc l rogrammes on peut se ramener pour le plan d exp rience une variable al atoire discr te prenant des valeurs de 1 Ns Chaque entier d signe l une des r alisations du processus al atoire c est dire un acc l rogramme Le tirage par Hypercube Latin consiste alors parcourir les entiers de Ns Attention Les commandes GENE MATR ALEA et GENE FONC ALEA g n rent la m me suite de variables al atoires l int rieur d une m me ex cution de Code Aster Ainsi d une ex cution l autre un fichier de commande strictement identique m mes appels aux commandes dans le m me ordre avec les m mes arguments fournira exactement les m mes r sultats Ceci est d au fait que le g n rateur de variables al atoires utilis par Code Aster est toujours initialis la m me valeur Si l on souhaite g n rer des r sultats diff rents d une ex cution l autre alors il faut utiliser le mot cl INIT AL
5. probabilit conditionnelle de d faillance d une structure ou d un composant en fonction du niveau d excitation sismique La mod lisation et la propagation des incertitudes d crites ci dessus permettent galement la d termination des courbes de fragilit Il suffit d introduire un crit re de d faillance et de v rifier chaque calcul de Monte Carlo si la d faillance est atteinte ou non Les ingr dients principaux pour l tablissement de courbes de fragilit par simulation num rique sont les suivants D termination de l excitation sismique consid rer base de donn es d acc l rogrammes D finition de crit res de d faillance Mod lisation des incertitudes et propagation par simulation num rique Monte Carlo Estimation des param tres m diane et cart type logarithmique de la courbe de fragilit log normale La courbe de fragilit d un composant peut tre d finie partir de la notion de capacit La capacit d un composant est la valeur du param tre repr sentatif de l action sismique partir de laquelle le composant est d faillant L approche courante consiste mod liser la capacit par une variable al atoire suivant une loi log normale telle que A 4A E o est la capacit m diane et d signe une variable al atoire log normale de m diane unit et d cart type logarithmique B Aussi la capacit d un composant et ainsi sa courbe de fragilit est caract ris e p
6. Code Aster pes default Titre Propagation des incertitudes et calcul de courbes Date 10 03 2015 Page 1 9 Responsable Irmela ZENTNER Cl U2 08 05 R vision 13030 Propagation des incertitudes et calcul de courbes de fragilit R sum Ce document donne les l ments pour la mise en uvre de simulations num riques de Monte Carlo via la distribution de calculs avec Code_Aster Les cinq principaux ingr dients sont e la cr ation du plan d exp rience tirage des variables al atoires des Ms cas d tudes e la mise sous format Code Aster pour le lancement de Ns tudes m caniques fichier distr e les calculs Code Aster e les lectures des r sultats de calcul et criture dans un fichier unique e le post traitement statistique calcul d estimateurs statistiques classiques comme la moyenne l cart type etc l estimation des param tres d une courbes de fragilit log normale POST _DYNA ALEA autres post traitements Manuel d utilisation Fascicule u2 08 Fonctions avanc es et contr le des calculs Copyright 2015 EDF R amp D Document diffus sous licence GNU FDL http www gnu org copylett fdl html Code Aster default Titre Propagation des incertitudes et calcul de courbes Date 10 03 2015 Page 2 9 Responsable lrmela ZENTNER Cl U2 08 05 R vision 13030 Table des Mati res a iniikot IUT iko n sr dan PEE
7. E ae tete notament term etre ronge nee son Dunes A frein dass riiuaee 3 2 Simulation de Monte Carlo avec Code Aster eee 3 2 1 R alisation d plan d experience crussir aaa ENEE 3 2 2 D finition et lancement des tudes distribu es avec Code_Aster nnnnssssnsnnnnnnnnrrnnnnnrnrnnnnnns 4 2 3 R cup rer les r sultats des calculs dans un fichier 4 3 PosEtraltements SIAtISTIQU S L 222 25080 0 banrmtoeetonvetraneade ou aan anus aiaa ae kaaa aaa 4 9 1 Calcul des grandeurs Statistiques es donmineanereenninentmineen dre enairat 4 9 2 Calcul de courbes de fagi 2 a A Re nn a on n e dem tent anne 5 9 2 V D TINTIONSE in aaia aaa EAA aaa iaaa anaa a EAA 5 3 2 2 valuation des param tres par maximum de vraisemblance 6 Manuel d utilisation Fascicule u2 08 Fonctions avanc es et contr le des calculs Copyright 2015 EDF R amp D Document diffus sous licence GNU FDL http www gnu org copyleft fdl html Code Aster ut Titre Propagation des incertitudes et calcul de courbes Date 10 03 2015 Page 3 9 Responsable Irmela ZENTNER Cl U2 08 05 R vision 13030 1 Introduction La m thode num rique de Monte Carlo consiste faire Ms simulations num riques du mod le m canique afin d valuer les grandeurs statistiques des r sultats de calcul Les 3 principales tapes d une propagation des incertitudes par simulation de Monte Carlo sont eLa mod lisation des incertitudes G n ra
8. EA En revanche GENE ACCE _SEISME g n re des signaux sismiques ind pendants al atoires D finition et lancement des tudes distribu es avec Code _Aster Il faut dans la fen tre astk 1 d finir l tude d terministe fichier comm maillage etc nominale 2 d finir dans le comm les valeurs nominales des param tres incertains qui seront modifi s ensuite selon le plan d exp rience 3 d finir toujours dans le comm la ou les variables d int r t et crire ces variables dans un fichier r sultat sous format python 4 d finir un r pertoire output type repe o seront crit ces r sultats 5 d finir le plan d exp rience dans le distr jeux de param tres pour les tudes lancer 6 aller dans l onglet Option choisir distrib yes cf U1 04 00 88 7 dans l onglet Option choisir classe distr si calculs sur le serveur centralis 8 si utile ajouter un fichier de type hostfile d finissant les machines disponibles cf U1 04 00 9 Pour plus de d tail on peut consulter le tutoriel U2 08 07 R cup rer les r sultats des calculs dans un fichier Les r sultats des calculs distribu s avec Code Aster sont crites dans des fichiers de sortie qu on retrouve dans les Ns r pertoires nomm s CALC i 1 Ns cf U2 08 07 Afin de proc der au post traitement par un logiciel de statistique comme OpenTURNS ou encore les toolbox d di s de Python e
9. a courbe de fragilit pour chaque chantillon bootstrap ce qui donne un chantillon de courbes de fragilit s On d termine alors les fractiles pour l chantillon de courbes de fragilit s obtenu En g n ral on tire autant d chantillons bootstrap qu on dispose de valeurs dans l chantillon original Il est n anmoins possible de travailler avec un nombre de tirages inf rieur en renseignant NB TIRAGE par d faut le nombre de tirages correspond la taille de l chantillon original ici Ms Dans l exemple ci dessus on d termine donc les courbes enveloppes fractiles 1 0 et 0 0 ainsi que la m diane 0 5 et les fractiles 0 05 et 0 95 Dans le graphique ci dessous on donne un exemple de courbe de fragilit pour 4 0 68 et B 0 25 D s 2m SPR D4 po 0 3 F Tasse probabilit conditionnelle de d faillance Paala i fi i 0 0 25 0 5 0 75 1 1 25 1 5 niveau sismique A PGA Figure 3 2 2 a Probabilit conditionnelle de d faillance en fonction du PGA 3 2 3 valuation par r gression lin aire La r gression est une m thode tr s r pandue pour d terminer les param tres d une courbe de fragilit log normale Elle est pratiqu e surtout aux Etats Unis pour valuer la fragilit des structures civiles comme les routes les ouvrages d art et b timents publics Dans cette approche on relie la variable d int r t Y le drift par exemple la valeur de l indicateur sismique a
10. ar deux param tres qui sont la m diane capacit m diane et l cart type B Ainsi la probabilit de ruine pour un niveau d acc l ration a donn peut s crire bib3 bib2 P a p x dx p ln a An loi log normale o d signe la fonction de r partition d une variable al atoire gaussienne centr e r duite L utilisation du mod le lognormal poss de l avantage de n cessiter un nombre r duit de simulations par rapport un calcul direct des probabilit s de d faillance En effet dans un calcul direct sans hypoth se de loi a priori il faut d terminer des probabilit s d v nements rares les probabilit s en queue de distribution ce qui demande un nombre de simulations de Monte Carlo tr s importants Dans ce qui suit nous pr sentons deux m thodes l estimation par maximum de vraisemblance et la r gression lin aire pour valuer ces deux param tres Si l endommagement ou la d faillance d une structure sont caract ris s par une variable d int r t Y continue assortie d un seuil Y on peut exprimer la probabilit de d faillance du niveau de S dommage pour un s isme de niveau a comme P a P Y gt Y Ja Manuel d utilisation Fascicule u2 08 Fonctions avanc es et contr le des calculs Copyright 2015 EDF R amp D Document diffus sous licence GNU FDL http www gnu org copylett fdl html Code Aster default Titre Propagation des incertitudes et calcul de cou
11. la d marche incertitudes on peut noter 4 On aboutit ainsi l expression de la courbe de fragilit log normale P a L B o f ole avec l cart type de l erreur de r gression GO En pratique la valeur de la capacit m diane peut tre d duite directement de la courbe de r gression et s exprime partir des param tres de cette derni re comme exp eu Il est important de souligner que ce mod le permet de tenir compte du comportement h t rosc dastique la variance de Y d pend des param tres du mod le et n est pas constante L op rateur POST_DYNA ALEA U4 84 04 permet d estimer les param tres de la courbe de fragilit lognormale par r gression partir de la table TAB2 du 3 2 2 via le mot cl FRAGILITE TAB POST POST_DYNA ALEA FRAGILITI E _ F TABL RESU TAB2 METHODE REGRESSION SEUIL 0 05 F LA TITRE courbe 2 INFO 2 L exp rience montre que la dispersion variabilit de Y augmente avec le niveau sismique En revanche au contraire de la m thode de maximum de vraisemblance l cart type logarithmique ne d pend pas du seuil Manuel d utilisation Fascicule u2 08 Fonctions avanc es et contr le des calculs Copyright 2015 EDF R amp D Document diffus sous licence GNU FDL http www gnu org copyleft fal html Code Aster ra default Titre Propagation des incertitudes et calcul de courbes
12. la suite des x L op rateur POST DYNA ALEA U4 84 04 permet d estimer les param tres de la courbe de fragilit lognormale partir de la table TAB1 via le mot cl FRAGILITE TAB POST POST DYNA ALEA FRAGILITE F TABL RESU TABI AM INI 0 3 BETA INI 0 1 ETHODE EMV Manuel d utilisation Fascicule u2 08 Fonctions avanc es et contr le des calculs Copyright 2015 EDF R amp D Document diffus sous licence GNU FDL http www gnu org copyleft fal html Code Ast ou oae _ASier default Titre Propagation des incertitudes et calcul de courbes Date 10 03 2015 Page 7 9 Responsable Irmela ZENTNER Cl U2 08 05 R vision 13030 FRACTILE 0 0 0 05 0 5 0 95 1 0 NB TIRAGE Ns LA LA TITRE courbe 1 INFO 2 On donne des valeurs initiales des param tres et B estimer point de d marrage pour l algorithme d optimisation via AM INI et BETA INI Si l on renseigne le mot cl FRACTILE on d termine galement les fractiles intervalles de confiance de la courbe de fragilit par une m thode de r chantillonnage dite m thode de bootstrap Le r chantillonnage consiste tirer de nouveaux chantillons partir des valeurs de l chantillon original Ces tirages s effectuent avec remise voir bibi pour plus de d tails Ensuite on d termine les param tres de l
13. on maximale a Ces v nements arrivent avec la l sont ceux probabilit P ja donn e par l expression 1 Les estimations des param tres p et 4 qui minimisent In Z Bo arg min In Z m B A Cette tape peut tre mise en uvre en post traitement des r sultats de calculs Dans le fichier de commande Code Aster il faut pour chaque simulation v rifier si on a d faillance ou non titre d exemple si le crit re de d faillance consiste en une contrainte admissible on v rifie si la contrainte maximale calcul e d passe cette contrainte Puis on fait crire laide de CREA TABLE les r sultats des simulations dans une table de r sultats Cette table doit contenir deux colonnes PARA NOCI et DEFA qui renseignent respectivement la valeur a la valeur PGA ou tout autre indicateur et la valeur x 1 ou 0 TABI CREA TABLE LISTE _F PARA PARA NOCI LISTE R PGA F PARA DEFA LISTE I xi Dr Remarque Si on renseigne une colonne DEMANDE au lieu de DEFA alors cette colonne doit contenir les valeurs de la demande sismique variable d int r t d crivant la d faillance ou l endommagement par exemple une contrainte ou d placement maximale TAB2 CREA TABLE LISTE _F PARA PARA NOCI LISTE R PGA _F PARA DEMANDE LISTE I demande Le mot cl SEUIL doit alors tre renseign dans POST DYNA ALEA pour d terminer
14. par exemple le PGA via une relation du type Y ban Dans l expression ci dessus est une variable al atoire log normale qu on peut d finir partir de la variable normale centr e r duite U exp U et les variables b et c sont les param tres du mod le Ces derniers sont obtenus par une r gression lin aire l aide de l expression suivante Manuel d utilisation Fascicule u2 08 Fonctions avanc es et contr le des calculs Copyright 2015 EDF R amp D Document diffus sous licence GNU FDL http www gnu org copyleft fdl html Code Aster default Titre Propagation des incertitudes et calcul de courbes Date 10 03 2015 Page 8 9 Responsable Irmela ZENTNER Cl U2 08 05 R vision 13030 In Y In b cin a e o est une variable al atoire normale Gaussienne centr e d cart type GO telle que amp oU Avec ces notations la probabilit de d faillance s crit comme une probabilit conditionnelle en fonction du niveau sismique a et pour un seuil Y P a P Y gt Y ja 1 P Y lt Y ja f En tenant compte de l expression log normale de la variable Y on obtient l expression analytique de la courbe de fragilit In ba lY P a 0 5 A l aide de la droite de r gression on peut exprimer le seuil m dian Y partir de la capacit m diane comme Y ban Si on consid re un seuil critique best estimate qu on assimile la valeur m diane dans
15. rbes Date 10 03 2015 Page 6 9 Responsable lrmela ZENTNER Cl U2 08 05 R vision 13030 3 2 2 Des variables d endommagement Y classiques pour une structure en b ton sont le drift d placement diff rentiel entre deux tages d un b timent ou encore la baisse des premi res fr quences propres Les notations introduites ici seront utilis s pour l valuation d une courbe de fragilit par r gression linaire 3 2 2 valuation des param tres par maximum de vraisemblance Dans ce qui suit on consid re que l acc l ration maximale a t choisie pour caract riser le niveau d excitation sismique et donc la capacit La d marche suivie consiste alors mod liser le r sultat des exp riences num riques par une variable al atoire de Bernoulli X En effet pour chaque simulation num rique j on a deux issues possibles soit on a atteint le niveau critique et on a d faillance x 1 soit on n a pas d faillance x 0 De m me pour chaque simulation on peut d terminer la valeur de l acc l ration maximale a L estimation des param tres d une courbe de fragilit peut se faire par la m thode du maximum de vraisemblance La fonction de vraisemblance maximiser pour ce probl me s crit L P pa a 1 P sja a i l 1 x i Dans cette expression la r alisation x de X prend donc la valeur 1 si on a d faillance ou 0 s il n y a pas d faillance pour le chargement l acc l rati
16. t Matlab R il faut rassembler l chantillon de sorties dans un fichier de r sultats unique Ceci peut se r aliser de mani re tr s ais e via un script python Post traitements statistiques 3 1 Calcul des grandeurs statistiques Manuel d utilisation Fascicule u2 08 Fonctions avanc es et contr le des calculs Copyright 2015 EDF R amp D Document diffus sous licence GNU FDL http www gnu org copyleft fal html Code Aster default Titre Propagation des incertitudes et calcul de courbes Date 10 03 2015 Page 5 9 Responsable Irmela ZENTNER Cl U2 08 05 R vision 13030 3 2 3 2 1 Dans le cadre d une approche par simulation de Monte Carlo on s int resse non seulement un r sultat de calcul d terministe mais on souhaite valuer moyenne m diane cart type fractile et d autres statistiques d crivant la variable de sortie Ceci permet notamment d associer des intervalles de confiance aux r sultats de calcul Apr s avoir r cup r l chantillon des sorties on peut faire appel au logiciel pr f r comme OpenTURNS les toolbox d di s de Python et Matlab R pour r aliser ces post traitements statistiques En outre des courbes de fragilit log normales peuvent tre valu es l aide de l op rateur POST DYNA ALEA de Code Aster Ceci est d crit plus en d tail dans le paragraphe suivant Calcul de courbes de fragilit D finitions Les courbes de fragilit donnent la
17. tion d un chantillon de Vs r alisations des donn es al atoires en entr e du mod le m canique param tres al atoires et processus stochastique eLa propagation des incertitudes Calcul des Ms grandeurs r sultats correspondant ces donn es eLe calcul des estimateurs statistiques des grandeurs recherch es moyenne cart type fractiles valuation de courbes de fragilit sismique Dans le cadre d une tude m canique avec Code Aster on peut faire appel aux fonctionnalit s de distribution d tudes param triques afin de r aliser une telle analyse probabiliste En effet dans le cas courant o les Ms tirages et simulations m caniques sont ind pendants on peut au pr alable tablir un plan d exp riences des cas d tude lancer On lance ensuite les Vs tudes correspondantes et les grandeurs statistiques sont calcul es en post traitement des r sultats La d marche et sa mise en uvre avec Code Aster sont d crites dans ce document Simulation de Monte Carlo avec Code Aster 2 1 Dans le cadre de la simulation de Monte Carlo la mod lisation des incertitudes passe par la g n ration de variables al atoires et ventuellement de processus stochastiques Dans ce qui suit on suppose que l utilisateur ait choisi des lois caract risant bien les m param tres incertains Pour ce faire on peut avoir recours des r sultats d essais le jugement d expert ou encore le principe du maximum d entropie voir R4
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