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e - Base des articles scientifiques de l`Ircam

1. 13 convergence au sens de Cauchy 39 COUN EXC Men ia nt eo 132 convolution 34 61 courant de Chaleur siussosedersensds 14 crit re d optimisation 28 D d flation orthogonale 58 d riv e particulaire d une int grale 14 densit sp cifique 13 16 differences NICS o4 cnns ake sas dau aoe 57 dissipation intrins que 16 dissipation surfacique 16 E elemens Ses usines 57 el ments finis 55 58 60 elastice neare JE satire etre 25 energie Intere 4 ira Dior are yee es 13 energie cin tique 13 NCIC DDI Se rien 16 CMMODIC es en send en 14 entropie sp cifique 251 intimes das 18 equation int grale 37 39 78 equation variationnelle 28 equations du mouvement 15 espace de Sobolev 28 espace des fonctions admissibles 28 F fonction isotrope 21 IONCHONNEMES Sani ssm ose 129 fonctionnelle de Hamilton 29 fonctions d interpolation 55 formulation int grale 35 46 formulation r ciproque 88 H NEXACOIC Se Na ares 57 I identit de corps rigide 39 in galit de Clausius Duhem 16 in quation variationnelle 31 in quation d
2. 171 See also make mesh duplicate add 12 MAKE MESH RESTRICT QUADRILATERAL Take an quadrilateral from a mesh to make a new mesh This function is helpful to extract a sub mesh from an original mesh The result is a quadrilateral Description Syntax make mesh restrict quadrilateral mesh quadrilateral Parameters mesh The original mesh from which a sub mesh 1s to be extracted quadrilateral s The quadrilateral to be extrated given by a vector of its nodes Example define sub mesh make mesh restricted quadrilateral vector 1 2 3 4 See also For details see make mesh restricted point 13 MAKE MESH SINGLE POINT Description Syntax make mesh single point position vector Parameters position vector This parameter gives the coordinates of a point relative to an orthogonal Carte sian coordinate system Oxyz Discussion Starting from a point a complex finite element mesh can be obtain using the duplicate trans form and add functions see examples 172 Example Define a mesh named my mesh which contain a single point giving its coordinates define my mesh make mesh single point vector 0 1 0 0 Here the coordinates of the point are x 0 1 y 0 z 0 See also duplicate transform add 14 MAKE OBJECT FINITE ELEMENT Description This function is used to create a finite element object Its sound properties depend on the geome try mes
3. ki me noeud de El ment e de T i FIG VI 2 Projection par l ments finis de T sur 1 forc ment une valeur nodale puisqu il n y a aucune raison pour que la projection verticale selon l axe 1 des noeuds de la surface I co ncide avec des noeuds de la surface 17 Cependant selon l approximation classique par l ments finis il est possible de trouver t fonctions d interpolation N x telles que le d placement recherch puisse s crire Un 21 23 Ni wp U EE ou les termes UP up ai ei se Er a repr sentent les d placements des noeuds situ s sur la surface T7 l ensemble des indices correspon dants tant 27 Calcul de la condition de contact pour des probl mes plans Si les fonctions d interpolations sont choisies lin aires elles s crivent nn Site ri til N x ee six HARAS 0 ailleurs 84 et si la projection du ki me noeud de T se trouve appartenir l l ment e de la surface I cf figure VI 2 alors le terme recherch s crit un at 23 SU 1 CAD LEE TER VI 12 avec U up x Y xi sa Z Un 1 41 gk a 0 ti 21 o x Y x et sont les noeuds de l l ment e situ s sur IP et j k et k leur indice respectif appartenant 277 Le calcul de g x n cessite par ailleurs de conna tre a x et Y xf qui s obtiennent par Jap T p 1 1 4 P Le T _ 1 re
4. cart de temp rature 7 Compte tenu de l ordre de Vinvariant J resp 2 et 3 qui vaut 1 resp 2 et 3 la forme la plus g nerale est 1 pow ay PoSoT zl 2ul 5 PobT BIT 1 52 o 50 b X B et u sont maintenant des scalaires constants Les param tres et u sont les coeffi cients de Lam et d pendent du mat riau Le champ de contrainte initial 4 est uniforme puisque que le mat riau est suppos tre isotrope dans la configuration initiale Dans ces conditions en utilisant la relation 1 48 le tenseur de contrainte vaut Sev Dox 2uEK Mr E xr Br kr 1 53 et l entropie peut s exprimer par 1 s So br Bir E 1 54 Po Repr sentation eul rienne Le calcul du tenseur de contrainte eul rien sans dissipation intrins que est obtenue en consid rant la formule Oki PR KR LEE 1 55 0 issue de 1 37 et 1 30 Dans cette formule les termes a et x x peuvent tre remplac s par leur d veloppement au premier ordre a J l Umm 1 tr e PER k K TURR 0 o u est le vecteur des petits d placements Avec les lois de comportement lin aris es 1 50 pour les solides anisotropes et 1 53 pour les solides isotropes et en ne conservant que les termes du premier ordre il vient alors pour un solide anisotrope OI 1 tr e ae lian Sen Chimn emn Brit 1 56 et pour un solide isotrope Ok y 20K tr dx 4 2 k l
5. dt 2 2 dt La somme de l nergie cin tique et de l nergie de d formation associ e w ne varie donc pas dans le temps Or l nergie initiale est nulle puisque les champs w et w sont construits par diff rence des solutions u et u4 v rifiant les m mes conditions initiales donc T w W w 0 vt L nergie cin tique et l nergie de d formation tant positives le champ de vitesse w t est forc ment nul ainsi que le champ de d placement w Les solutions u et u sont donc confondues tout 33 instant t Comme il est possible de prolonger les champs u et u identiques sur la surface de Diri chlet par le champ de d placement connu u l application de la loi de Hooke permet de conclure que les vecteurs de contrainte x et x sont eux aussi les m mes Ce qui montre l unicit de la solution u x Lin arit du probleme P Soit S f t t la solution du probl me P associ e aux donn es f t i pour des conditions initiales uo Uo nulles D apr s la lin arit des op rateurs intervenant dans la formulation 11 37 cette solution peut s crire S f t a S f 0 0 S 0 t 0 S 0 0 a Multipliant par un scalaire a R la formulation IL 38 associ e la solution S f 0 0 il vient m at V k aU V apfrvr dv YV W Q Le couple W w au ax aU est donc la solution du probl me Pz avec les donn es af 0 0 Ce qui montre la lin arit de la solut
6. 0 qui correspond un solide fix sur sa surface l y l ensemble Uo d fini en VI 17 a une structure d espace vectoriel et l in galit d Euler est remplac e par une galit Le probl me de minimisation consiste donc simplement annuler la d riv e de la fonctionnelle d nergie potentielle soit k u v f v Vv wo amp 87 soit encore VI 21 k u v x ya v p f v pour tout v H Q Va u sur Ty Le terme x repr sente la force qui existe sur la surface de Dirichlet due aux d placements u qui lui sont impos s Solide en contact avec une fondation rigide Suppossons maintenant que le solide puisse venir en contact avec une fondation rigide Les condi tions de contact tablies en section 2 l quation VI 10 peuvent tre utilis es dans ce cas en consi d rant un des solides comme rigide En l absence de force de frottement sur la surface I du solide lastique les conditions de contact sont alors les suivantes Gap u lt 0 sur I op 0 on gt 0 VI 22 On Gap 0 o 7 u repr sente le d placement normal sur la surface de contact I Le probl me est maintenant de trouver un champ de d placement u qui minimise l nergie potentielle totale tout en respectant a la fois la condition de Dirichlet VI 17 et les conditions de contact VI 22 Math matiquement il faut r soudre le probleme VI 19 sur l ensemble U de la forme U veH Q yalv sur
7. Cv d o C est une matrice m x n donn e et d R un vecteur donn on suppose m lt n Alors une condition n cessaire pour que la fonctionnelle J admette en u MU un extremum relatif est l existence d une solution u R du syst me lin aire Au Ct f A u f Cu a7 C o x 7 Va 3 3 Minimisation avec contraintes in galit s Relations de Kuhn et Tucker Consid rons un probl me de minimisation d une fonctionnelle convexe J Q C E R d finie sur un ouvert convexe Q avec contraintes in galit s de la forme trouver u U o U est une partie non vide donn e de l espace vectoriel tel que A 24 U vE ov lt 0 1 lt i lt m EU et J u infyey J v o les contraintes y sont suppos es convexes Nous admettrons les relations de Kuhn et Tucker qui stipulent que si la fonctionnelle 7 admet en u un minimum relatif par rapport l ensemble M alors il existe des nombres 1 lt lt m tels que T u Dy A u e u 0 m Aiu gt 0 1 lt i lt m X rA w y i u 0 Et r ciproquement si il existe des nombres 1 lt 2 lt m tels que les relations de Kuhn et Tucker soient v rifi es alors la fonctionnelle J admet en u un minimum relatif par rapport l ensemble U On peut dire que les relations de Kuhn et Tucker sont aux contraintes in galit s ce que les multiplicateurs de Lagrange sont aux contraintes galit s On introdui
8. a v u Vu veE 131 d o d apr s A 4 J u v a u v f v VveE A 7 2 OPTIMISATION SANS CONTRAINTE On appelle optimisation sans contrainte le probl me trouver u tel que ucE et J u inf JI v A 8 o E est un espace vectoriel et 7 E R un fonctionnelle donn e 2 1 Equation d Euler D monstration Si u est un minimun de la fonctionnelle 7 sur alors quel que soit le vecteur v le vecteur u doit v rifier J u 60v gt J u OER Ce qui revient dire en reprenant la fonction d finie en A 2 que 0 gt 0 VOER VEE et donc que p 0 p 0 _ yl E 05 fp g HO Je GS ce qui montre d apr s A 3 que 0 J u v 0 Comme le vecteur v est arbitraire on en d duit que 7 u 0 Cette relation est appel e quation d Euler Th or me On en d duit que la solution u du probleme d optimisation sans contrainte A 8 est telle que J u 0 A 9 Fonctionnelle quadratique Dans le cas d une fonctionnelle quadratique sur IR JI R F v sv v f V ER que l on peut crire sous la forme TER gt J v 5 Av v v o est une matrice sym trique et f R un vecteur donn la formule A 7 nous permet d crire J u v Au v f v Au f v A 10 et donc que J u Au f Minimiser une fonctionnelle quadratique sur R revient donc resoudre le syst me lin aire Au
9. 38 solution l mentaire de Stokes 37 solution int grale 35 40 Somigliana identit 38 Successive Over Relaxation method SOR 88 surface de Dirichlet 25 surface de discontinuit 14 T aux de chalo ees 58 0 2 13 temp rature absolue 14 tenseur de Piola Kirchhoff 17 tenseur des contrainte de Cauchy 15 tenseur des vitesses de d formation 18 tenseur lagrangien de contrainte 20 th or me de la divergence 14 transformation orthogonale 20 U MM O Li o eowelauestentycttan bees scandens ad 32 V variables d tat 17 vecteur contrainte 37 39 42 visco lastiques 17 VISUELS Ed nai co ces 61 vitesse virtuelle 2 R SUM a synth se par mod lisation physique offre une d marche alternative aux techniques de syn L th se par mod le de signaux en s interrogeant sur les causes de la production du son et sur sa propagation Un objet sonore complexe est d compos en plusieurs sous structures l mentaires en interaction Cette th se tudie un assemblage de solides lastiques de formes quelconques isotropes ou anisotropes coupl s les uns aux autres et dont les interactions sont d crites par des conditions aux limites impos es leur fronti re Le com
10. See also duplicate translation make mesh transform view 5 DUPLICATE TRANSLATION Description Constructs a mesh by duplication using a translation Points are extruded into lines lines into quadrilaterals and quadrilaterals into hexahedras Syntax Duplicate rotation mesh rep translation vector Parameters mesh The mesh to be extruded by translation This mesh could contain points lines or quadrilaterals rep Number of extrusion translation vector vector of translation For instance translation in the z direction of length O 1 meter is given by the vector vector 0 0 0 1 Examples Duplicate a point into lines by translation Define a mesh named my mesh which contain a single point giving its coordinates define my mesh make mesh single point vector 0 1 0 0 Here the coordinates of the point are x 0 1 y 0 z 0 Duplicate the point into lines duplicate translation my mesh 5 vector 0 0 1 0 The mesh my mesh is now a line which contains 5 segments of length 0 1 meter generated by trans lation along the y axis Visualize the mesh Annexe E Manuel d utilisation de Modalys 166 Objets l ments finis view mesh my mesh Duplicate the previous line into quadrilaterals duplicate translation my mesh 2 vector 0 0 0 2 view mesh my mesh The 5 segments generate in the z direction a surface mesh named my mesh of 10 quadrilaterals 5 x 2 Each quadrilateral has a su
11. est pas permanent les particules de l un ou l autre solide sont ou ne sont pas en contact selon la distance qu il existe entre les objets La condition d imp n trabilit est maintenant d taill e dans le domaine continu puis dans le domaine num rique 2 1 Notations et conventions La condition de contact est tablie en adoptant une formulation maitre esclave dont la traduc tion anglaise est master slave indices m et s dans la suite C est une formulation classique que l on trouve par exemple dans l article de Laursen amp al 38 qui n cessite un choix arbitraire entre surface ma tre et surface esclave Il existe depuis une publication du laboratoire de m canique de Marseille 39 qui propose une formulation sym trique o les r les de maitre et d esclave sont inter chang s de mani re viter cet arbitraire Le lecteur est renvoy vers la lecture de cet article pour affiner la m thode classique pr sent e ci dessous Consid rons pour cela deux solides lastiques repr sent s sur la figure VI 1 occupant les domaines 2 et Qm dans leur configuration xo de r f rence Une particule mat rielle P resp Pm appartenant au solide lastique s resp m est rep r e par ses coordonn es lagrangiennes XS Xf X5 X3 resp X XT X23 X2 Si cette particule peut apr s d formation tre en contact avec l autre solide alors elle appartient une surface mat rielle que l on nomme
12. imp n trabilit condition de contact est crite en terme d une fonction intervalle G X t gap en anglais Elle correspond une mesure au point x y X t de la distance minimum qui existe entre les surfaces de contact potentielles dans la configuration d form e cf Fig VI 1 Gap X t sgn Gap Gap X t ou S S S EN XM _ S_ Sin Gone inf le RS 0 e K bet 1 VIS avec la convention siles solides ne se p n trent pas j j P au point x p X t 1 siles solides se p n trent Le point x correspond la projection orthogonale du point esclave x y sur la surface maitre ve cf Fig VI 1 Ainsi la condition d imp n trabilit des solides s nnonce par GX DE a er V1 6 2 2 Lin arisation de la condition de contact Il est clair vu les d finitions VI 4 que la fonction intervalle G X t d pend des d place ments des surfaces maitre et esclave et qu elle peut tre crite G u u Il sera utile pour la suite d tudier la variation de cette fonction intervalle lorsque les d placements changent d une mani re infinit simale dans des directions arbitraires v et v Pour cela la d riv e de Lie ou G teaux d rivative en terme anglo saxon est introduite par la d finition 1 VGap u u v v lim 7 Gap u v u 6v Gap u u Pour simplifier la notat
13. instrument quelles que soient sa forme et sa constitution mat rielle Cette exigence fixe un cadre de travail pour le concepteur d un tel programme Il ne doit pas seulement s int resser un type d instrument le d crire puis pr voir son comportement mais bien faire la part entre ce qu il y a de commun tout syst me producteur de son et ce qui peut tre trait en tant que param tre Il doit aussi prendre en compte les contraintes musicales Les processus de synth se doivent tre les plus courts possible de mani re r duire le laps de temps entre la pens e musicale et r alisation sonore effective Et ce souci d efficacit ne doit pas se faire au d triment de la qualit Il est videmment difficile d apr hender dans une th orie unificatrice tous les syst mes produc teurs de son Il existe n anmoins des principes qui s appliquent en toute g n ralit des syst mes physiques de g om tries et de constitution quelconques comme le montre le premier chapitre consa cr la m canique des milieux continus Cependant ces principes sont insuffisants pour permettre une pr vision de tous les ph nom nes acoustiques et il faut t t ou tard tenir compte de la nature physique du milieu tudi Le cadre d tude le plus g n ral qui soit se doit donc de particulariser le milieu physique envisag Ne pouvant consid rer tous les milieux de nature diff rente nous avons choisi de nous int resser l acou
14. l ments finis appliqu es la synth se sonore par mod les physiques In XV me Congr s Fran ais de M canique number 453 Nancy 2001 CFM 54 P O Mattei and D Habault Transitoires de plaques In CFA Congr s Fran ais d Acoustique Lille France 2002 SFA 55 J M Adrien R Causs and E Ducasse Sound synthesis by physical models application to strings In AES Proceedings Paris March 1988 AES 56 J M Adrien and J Morison Mosaic A modular program for synthesis using modal super position In Mod les Physiques Cr ation Musicale et Ordinateur volume 2 pages 371 384 Grenoble 1990 ACROE 57 J Bensoam C Vergez N Misdariis and R Causs Integral formalism and finite element method applied to sound synthesis by physical modeling In 7th ICA proceedings Rome 2001 ICA 58 Michel Bruneau Introduction aux th orie de l acoustique Universit du Maine 1983 59 L H Chen and D G Schweikert Sound radiation from an arbitrary body Acoustical Society of America 35 10 1626 1632 1963 60 C Do On the dynamic deformation of a bar against an obstacle In Siavouche Ed Nemat Nasser editor Variational Methods in the Mechanics of Solids proceedings Oxford New York Toronto 1980 Pergamon press 61 M A Hamdi Rayonnement acoustique des structures chapter 9 Eyrolles Paris 1988 194 62 M Jean Dynamics of rigid bodies with dry friction In G Del Piero and F
15. sur R Si U IR est associ une fonctionnelle quadratique du type J R gt J v Av v f v o An est une matrice sym trique et f R un vecteur donn la i me composante ufti du vecteur u est calcul e partir de la composante u par les relations ufti max u p Au f 0 1 lt i lt n A 17 Convexit d une fonctionnelle Soit J Q C E R une fonctionnelle d rivable sur un ouvert Q d un espace vectoriel et U une partie convexe de 2 La fonctionnelle 7 est convexe sur l ensemble U si et seulement si J v gt J u J u v u A 18 135 J u J u v u J u FIG A 4 Fonction convexe Une fonction convexe est situ e au dessus de son plan tangent L interpr tation g om trique est claire sur la figure A 4 la convexit exprime que la fonction est situ e au dessus de son plan tangent Une autre d finition de la convexit de 7 s obtient en reportant dans A 18 la relation A 5 Elle s crit u v EU et0 0 1 gt J u 1 0 u lt 0J u 1 8 J v Fonctionnelle quadratique Si u est la solution du probl me d optimisation A 1 et si J est une fonctionnelle quadratique du type A 6 la propri t A 7 J u v a u v f v permet d crire l in quation d Euler sous la forme J u v u a u v u f v u gt 0 Vveu A 19 et dans le cas o U est un sous espace
16. une fonction du temps pr s les m mes singularit s en x y que la solution l mentaire statique de Kelvin Cette solution ind pendante du temps v rifie les quations III 3 III 4 et LS sans le terme d inertie pG La solution de Kelvin est invariante par translation puisqu elle est d finie pour l espace infini homog ne Elle ne d pend donc que de la distance r r y x entre le point source x et le point courant y Puisque le milieu est homog ne elle v rifie de plus GF x y GF x y 4x Ay AE x y La solution de Kelvin pr sente donc pour r arbitrairement petit les singularit s suivantes 1 pa Les parties singuli res de la solution l mentaire de Stokes ne diff rent de celles de la solution de Kelvin qu au terme t pr s En allant vite on crit 1 1 G x y t t OT Di x y t 6 0 I 8 r2 Gt y 0 y Of 39 Il est maintenant possible de calculer la limite III 7 En effet en remarquant que la distance Ix y vaut puisque y Se et que l l ment de surface ds e dw x est proportionnel a l l ment diff rentiel d angle solide dw x il vient im GS yst oij u nj yst dsy oylarla t tim Gta y ePao x 0 E Se Se et lim TE x y t x u y t dsy u x t lim TF x y dw x Be ee w x up x t x 00 AT o w x est l angle solide sous lequel est vue la surface OC du point x Pour une surface
17. 1 31 1 My 1 k l E De VL38 Finalement la relation VI 28 de la section pr c dente donnant le d placement normal sur l e a la forme num rique suivante U X By Rt gt gt Cul kEX VI 39 jEAQUAT LED o les matrices HI et C sont calcul es partir de G par les formules VI 37 et VI 38 L ensemble des l ments n cessaires la r solution du probl me de contact par la m thode SOR sont maintenant r unis Ainsi quelques r sultats pour diverses indentations sont pr sent s aux figures VI 4 et VI S 0 _0 03 f 1 f I f 0 4 0 3 0 2 0 1 0 0 1 0 2 0 3 0 4 FIG VI 4 Ecrasement d un demi cylindre Ecrasement de 10 cm par un obstacle rigide plat et pression sur la surface de contact FIG VIS Indentation d un demi cylindre Indentation d l enfoncement d un rectangle rigide sur une dis tance de 30 cm Sym trie selon l axe des z Si l ensemble Xe des noeuds de la surface de contact I est ordonn en deux parties les noeuds pour lesquels z 0 suivis des noeuds pour lesquels z lt 0 alors la matrice C a la forme sym trique suivante Cii Cie C Cio Ci 93 Ce qui permet de chercher la pression de contact P seuleument sur la moiti de la surface de contact en appliquant I in galit variationnelle VI 32 trouver P tel que Q P ZP G gt 0 VQ sur l ensemble N Q R Q lt 0 1 lt i lt M 2 o Me est le nombre to
18. 2UEkl Atr dx Brogy 1 57 Avec Ckimn AKLMNOKKOLIOMmONn Bri BKL Kk L Ces tenseurs sont g n ralement exprim s sans les termes dus la pr contrainte 9 0 ou X 0 Ce qui donne successivement dans le cas anisotrope et isotrope les formules classiques suivantes Oki C himn mn Brit 1 58 Oki 2UEkx Atr dx Broz 1 59 Bien entendu pour terminer il faut ajouter a ces expressions la contribution des effets visqueux donn s par la formule 1 36 Ce qui donne Oa 0k F k 0 dxt 1 60 23 Il existe d autres mod les pour d cire la dissipation par viscosit pour des mat riaux m moire Pour ces mat riaux une fonction de relaxation C est introduite 6 7 et le tenseur de contrainte ox peut se mettre sous la forme t Cut On Ce rie ar 1 61 I kN Finalement les quations du mouvement 1 12 1 21 et la loi de comportement 1 60 ou 1 61 fournissent le cadre th orique qui permet une pr vision des mouvements et des efforts int rieurs partir des conditions initiales et des donn es sp cifiant les actions ext rieures exerc es sur le syst me tudi Chapitre I M canique des milieux continus 24 Il Probl mes aux limites en lastodynamique lin aire e but de ce chapitre est d exposer la formalisation math matique du probl me de propagation d onde dans un solide lastique en prenant en compte les conditions aux limites
19. 5 vide wH 5f BAGH Rae Ce qui donne pour I nergie cin tique 1 ee Eat F t dx 2 Jo pc C 1 t F r r 2pc Jo et pour l nergie de d formation ae di OU W t BAA dx 1 t F r dr 2pc Jo Ce qui permet d crire d 1 150 or on a d apr s le calcul de la vitesse ci dessus en x 0 od 0 5 FU d o D B W i0 t F 0 C8 Ce qui est l quation de conservation de nergie appliqu e la barre semi infinie On a aussi d 0 t ea 0 et d _ 0 t TWO F t 2 BARRE LIBRE LIBRE DE LONGUEUR FINIE Consid rons une barre de longueur L Les quations v rifi es par le noyau de Poisson sont 1 P P 2 D 3x2 Cl P 0 pour x E 0 LI C 9a OP EA t en z 0 C 9b OP EA 0 en x L C 9c Ox OP etn ete Raer n Ft ap amp 0 0 conditions initiales nulles C 9d V rifions que le noyau de Poisson s crit Cf figure C 2 1 2kL 2kL Peg eS ce ve a C 10 pc oT c c Ses d riv es spatiales et temporelles sont OP 1 se 2 5 Ta _ 5e SEE Or p C C OP 1 x aa x 2kL x 2kL t 6 t 6 t 7 ag re J on a bien en z 0 pal _ EA Ox pc 151 FIG C 2 Noyau de Poisson d un barre de longueur Z Noyau de Poisson P 0 t d une barre libre libre de longueur L au point x 0 en x L EAT PURES ne ne k 1
20. A finite ele ment method for a class of contact impact problems Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering 8 249 276 1976 47 J A C Martins and J T Oden A numerical analysis of a class of problems in elastodynamics with friction Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering 40 327 360 1983 48 D Talaslidis and P D Panagiotopoulos A linear finite element approach to the solution of va riational inequalities arising in contact problems of structural dynamics International Journal for Numerical Methods in Engineering 18 1505 1520 1982 49 H Antes and P D Panagiotopoulos The boundary integral approach to static and dynamic contact problems equality and inequality methods BirkhAuser Basel Boston 1992 50 R L Taylor and P Papadopoulos On a finite element method for dynamic contact impact problems International Journal for Numerical Methods in Engineering 36 2123 2140 1993 51 T A Laursen and J C Simo A continuum based finite element formulation for the implicit solution of multibody large deformation frictional contact problems International Journal for Numerical Methods in Engineering 36 3451 3485 1993 52 V Chawla and T A Laursen Energy consistent algorithms for frictional contact problems International Journal for Numerical Methods in Engineering 42 799 827 1998 53 J Bensoam C Vergez N Misdariis and R Causs Formulation int grale et technique des
21. Ainsi contrairement l approche pr c dente qui pr sentait les ph nom nes dans leur globalit ce seront ici des sous structures qui repr senteront une et une seule propri t physique pr cise Si bien qu un objet instrumental complexe se d crit par l assemblage de plusieurs sous structures Les r gles d assemblage doivent elles aussi faire l objet d une attention toute particuli re Puisqu il est princi palement question ici de propagation d ondes l interaction des l ments de l ensemble joue un r le primordial dans le comportement du syst me global Depuis maintenant deux d cennies plusieurs approches de la synth se par mod lisation physique se sont d velopp es dans cette direction Tous les formalismes d composent un syst me physique complexe en structures l mentaires en interaction dont les propri t s m cano acoustiques sont tu di es Elles diff rent seulement dans la mani re de traiter individuellement le comportement dyna mique de chaque l ment propagation guid e pour les guides d ondes de Julius Orion Smith Standford relation fondamentale de la dynamique pour les masses de Cordis Anima d velopp l Acroe ou mode de vibration dans Modalys d velopp par l quipe d acoustique instrumentale de l Ircam dans les ann es 90 La d finition m me de la structure l mentaire d pend du formalisme choisi pour d crire son comportement dynamique Dispose t on de l
22. Asin Ox oY 7 sin Acos oy IIL 34 Ce qui donne les conditions de Cauchy Riemann OP _0Q OG _ OE Ox Oy Ox Oy 48 To Yo FIG IILS Similitude directe Similitude directe d angle 0 et de rapport Ainsi toute fonction analytique ou holomorphe f dans Q R dont la d riv e ne s annule pas est conforme en tout point de Q Or on peut montrer que l image d une partie ouverte du plan complexe par une fonction holomorphe non constante est ouverte l image d un domaine 2 par une fonction holomorphe non constante est donc un domaine f Q De plus si f est injective f d finit une bijection de Q sur f Q dont l application r ciproque est holomorphe dans f Q f est alors une repr sentation conforme de Q sur f Q Les domaines Q et f Q sont dits conform ment quivalents ou encore isomorphes Transformation du Laplacien Soit une fonction deux fois diff rentiable et soit f une transformation conforme repr sentant Q sur f Q Cette fonction f associe chaque point x x y de Q un point X X Y f Q Soit X Y la fonction d finie par P X Y od x y avec X P x y Y Q x y Apr s quelques calculs il est possible en utilisant les conditions de Cauchy Riemann sur P et Q de relier les laplaciens des fonctions et par Ayo lf z PAx avec f z us i OQ OP oQ 1 IT Ox Oy Oy CE Les laplaciens et Ax sont dans le rapport d
23. Euler 31 incompressible 15 sir videos 19 invariants d un tenseur 21 ISOparam trique 57 M aOd ae asr Bik 58 L lASTAMNCICH E E EE S 31 lin arisation de la loi de comportement 21 WUC APIUC SAME den etat 33 lois de comportement 16 lois de conservation 12 M m thode d Arnoldi 60 methode d WU ZaWa rasne risas tiranina 88 malla eoi rete edad dues ner 55 mat riau thermo lastique 17 19 matrice du noyau de Poisson 60 Maxwell Betty r ciprocit 33 36 43 modes COMPLEXES Lure semer 63 196 N noyau de Poisson 40 44 46 51 52 O optimisation 25 27 31 129 131 133 135 optimisation sous contrainte de Dirichlet 30 P pertes visqueuses 19 Piola Lagrange pseudo tenseur 67 pr contraint 66 67 pr contrainte 17 premier principe de la thermodynamique 13 principe des puissances virtuelles 21 32 principe de Hamilton 29 R raideur g om trique matrice 70 repr sentation int grale 38 40 42 S saut d une fonction 14 second principe de la thermodynamique 14 solide anisotrope 22 solide 1Sotrope 20 solution l mentaire de Kelvin
24. Gp x y t g x y t g x y t Il est clair que cette fonction est identiquement nulle pour y 0 Le noyau de Poisson pour le probl me de Dirichlet ne peut donc pas se calculer par la m thode des images Physiquement cela revient placer une source de force l origine pr cis ment l o la barre est fix e Ce paradoxe n appara t pas en utilisant le noyau de Poisson puisqu il correspond la r ponse de la barre lorsque son extr mit x 0 subit un d placement impulsionnel Il est m me tr s facile d crire ce noyau de Poisson t C En effet cette solution l mentaire v rifie bien dans Q 0 00 l quation de propagation III 30 et la condition la limite Pp x t Ph 0 nx 0 Bien que la m thode des images soit inadapt e pour traiter les probl mes de Dirichlet est 1l possible de calculer d une mani re g n rale le noyau de Poisson par la m thode des images pour traiter les probl mes de Neumann comme il est montr ci dessus Malheureusement en lasticit cause du caract re vectoriel des champs d placements contraintes cette propri t est perdue ce titre d j en lasticit statique la solution l mentaire de Mindlin M Bonnet p 95 de 17 du demi espace de R E x1 x 2 3 x3 gt 0 de fronti re OE x3 0 ne correspond pas la superposition des solutions de Kelvin pour des points sources plac s sym triquement par rapport au plan
25. PER PHH EWA Wet PVD vray 1 D s lors il devient possible d estimer num riquement la ki me condition de contact sur I par l expression VI 11 condition de conna tre pour chaque noeud k la valeur 6 correspondante et les indices j k et j k des noeuds de F7 L algorithme suivant peut tre utilis 1 partant du premier noeud de I k 1 2 e 0 3 e e l 4 pour le eime l ment de 1 identifier les indices j k et j k des noeuds de l l ment e se trouvant sur la surface I dont les coordonn es selon l axe 1 sont respectivement x et 7 5 tudier le signe du produit P x x 2 xf 6 si P gt 0 la projection du ki me noeud n appartient pas l l ment e retourner au pas 3 7 si P lt 0 m moriser les indices j k et k la valeur 0 oa et la valeur de l intervalle Jap par l interm diaire des relations VI 13 8 retourner au pas 2 pour k k 1 D s lors la condition de contact num rique devient Us OUT 0 our lt g ke VL 14 Bien s r il faut envisager un algorithme un peu plus compliqu pour des probl mes tri dimensionnels mais qui reprend en l adaptant la d marche pr sent e ci dessus 3 CONTACTS STATIQUES Cette section est consacr e l tude du contact statique entre deux solides Le probl me est en visag dans le cadre des th ories math matiques d optimisation sous contrainte Apr s avoir rappel les
26. and on IGu 0n i VIL 27b le where Gg and G Gao N x y t on y t dsy re Cho N x yit On y t dsy re Jap Un Jap Let us see how this substitution is made The normal displacement on the contact surface I of the body x u x t u x t nx x have been decomposed as contact and external contributions Un 5t Won X t Unt x ET In this way the part of the displacement due to the contact pressure is Le ch N x y t on yit dsy VII 28 p where here the Poisson function NF x yit m nily NE x y t ng x X y re represents the normal displacement at point x I resulting from an impulse force applied at time t 0 at point y I in the direction normal to T7 The displacement u is a known function for a given set of external contributions p f t and u and can be expressed using VII 20 by the integral representation Txt GEG y Dm GO paf 5t doy sites y t nz x tf y t dsy DE x y t ng x Ut y t ds rA ra 107 In the same manor normal velocity can be decomposed as contact and external contributions as follows e TK door Nx x y t on yit dsy n X t VIL29 Le where now N gt is the Poisson velocity function of body which represents the normal velocity at point x resulting from the same excitation force as for the Poisson function So the relative normal displacement and velocity are functions of th
27. contraintes suppl mentaires Dans la pratique comment carter 2N z modes de la base modale Tout d abord il convient de supprimer les modes rigides ceux dont la pulsation propre est nulle Ensuite il faut mettre l cart les modes qui ne v rifient pas la condition de Dirichlet et qui sont pourtant g n r s par l algorithme it ratif par d flation orthogonale La base modale est donc repr sent e par une matrice de Ne Nz modes rang s en colonnes successives D S p Ne Nez IV 13 Dans ces conditions et d apr s la formule III 41 la version num rique du noyau de Poisson s crit P t 9 y t ew 8 IV 14 L allure de la matrice du noyau de Poisson est donn e la figure I V 4 Chaque l ment de matrice P t est une fonction du temps L indice renvoie au point d observation et l indice 7 au point d application de la source impulsionnelle Pour d crire les situations qui peuvent se pr senter les indices sont ordonn s en plusieurs ensembles 1 soit Nour l ensemble des indices correspondant au d placement d un noeud situ l int rieur du solide ou sur la surface de Neumann Si l indice 2 appartient cet ensemble l observation est un d placement si 7 en fait partie l excitation est une force l Chaque colonne de dimension Ne Nz comporte Nz composantes nulles d placement nul sur la surface de Dirichlet 61 2 soit N l ensemble des
28. de tenir compte du caract re singulier de la solution l mentaire utilis e Dans la suite ce choix porte sur la solution l mentaire de Stokes Ze vecteur unitaire dans la direction k f qy resp f q d signe la d riv e partielle de f par rapport la q coordonn e de y resp x 38 Fic M 2 Contour d int gration Le domaine Qe est construit en privant le domaine Q de la boule B x de centre x et de rayon La surface OQ est compos e de la r union des surfaces I et Se Le point x est volontairement plac un endroit o la normale est discontinue pour tablir un r sultat g n ral Identit de Somigliana L quation int grale de fronti re recherch e est obtenue en utilisant la repr sentation int grale II 1 pour un domaine 2 priv d une boule de centre x et de rayon Ce qui revient consid rer le contour d int gration Ne repr sent en figure III 2 Dans ces conditions est nul puisque x est en dehors de Q et l int grale de surface sur Q devient IX dsy lim a adsy iim f Jasy J ds Les int grales portant sur I ne posent pas de probl me puisque la singularit y x n est pas rencontr e Seule la limite suivante lim G x y t oiz u ni y t T x y t uily t ds HI 7 e gt 0 Js doit tre calcul e avec soin Singularit s de la solution de Stokes M Bonnet montre 17 que la solution l mentaire de Stokes pr sente
29. est r gie en l absence de source par l quation 2 2 pot TUE Ot Ox o E et p sont respectivement le module d Young et la masse volumique du mat riau et u est le d placement longitudinal Pour rester g n ral Q repr sente une partie de R ou R tout entier s il s agit d une barre infinie La solution l mentaire de la barre infinie est bien connue Elle correspond au champ de d pla cement cr en x par une source impulsionnelle plac e en y c est dire une source de la forme d x y t Cette solution g n ralement appel e fonction de Green s crit 1 EA g x y t Y maw C 4 111 31 2pc C p o Y est la fonction de Heaviside Cette solution v rifie en outre la condition de Sommerfeld Consid rons maintenant une barre semi infinie sollicit e en son extr mit x 0 par une force impulsionnelle et calculons le noyau de Poisson qui correspond au d placement Py x t de la barre pour tout x R Celui ci v rifie la condition la limite de Neumann 0 TEQ III 30 EAUX 0 t enx 0 En consid rant l quation de propagation III 30 cette condition la limite et la condition de Som merfeld dans le domaine de Laplace il vient le syst me d quations SP 32 4 P pa 1 en x 0 IIL 32b Ox Condition de Sommerfeld pour x 00 IIL 32c La solution g n rale de IIL 32a est P x s aet be La condition de Sommerfeld im
30. f 132 3 OPTIMISATION AVEC CONTRAINTES 3 1 In quation d Euler convexit d un ensemble Une partie U d un espace vectoriel est dit convexe si toutes les fois qu elle contient deux l ments u et v elle contient le segment ferm u v qui les joint Les vecteurs qui appartiennent au FIG A 1 Convexit dans R Par exemple un sous espace vectoriel est convexe une boule dans un espace vectoriel norm est convexe une intersection quelconque d ensembles convexes est convexe segment u v sont de la forme u Ow 0 0 1 avec w v u Si U est convexe alors tous les l ments de la forme u Ow 0 0 1 sont encore dans U Alors si u est le minimum relatif de la fonctionnelle J sur l ensemble U on a J u Ow J u gt 0 La d rivabilit de la fonctionnelle J en u permet aussi d crire que J ut Ow J u 0 7 u w e 9 lime 6 0 vVweu 0 0 Alors le nombre J u w J u v u est n cesairement positif ou nul sans quoi la diff rence J u Ow J u serait lt 0 pour 0 gt 0 suffisamment petit Th or me On en d duit donc que la solution u du probl me d optimisation avec contrainte A 1 sur un ensemble convexe U est telle que u Uet J u v u gt 0 Yeu A 11 Remarque Si Y est un sous espace vectoriel de alors quels que soient u v U et 0 R les l ments u 0v sont encore dans U par d finition 0 peut maintenant prendre des v
31. me solide fluide comme un tout et de calculer le noyau de Poisson correspondant C est un calcul long mais effectu seulement une fois Le calcul du champ de pression rayonn par une plaque rectangulaire encastr e appuy e ou libre compos e d un mat riau lastique ou visco lastique au contact d air en r ponse un impact lastique ou une impulsion de Dirac a t tudi par Mattei et Habault 54 Du fait de la g om trie particuli re du probl me ils utilisent le noyau de Green du probl me de Neumann pour le demi espace dans les quations de couplage Dans le cas d une structure coupl e un fluide l ger les techniques de perturbation conduisent une approximation du noyau de Poisson global A travers cet exemple nous voyons que la d marche propos e est tout fait envisageable Pour des configurations g om triques plus complexes 1l est n cessaire d employer la m thode num rique des l ments de fronti re d crite au chapitre III Cette m thode comporte n anmoins des eccueils pratiques li s aux probl mes de convergence dans le domaine temporel ou de fr quences fictives dans le domaine fr quentiel 17 et doit faire l objet d un travail rigoureux Ceci constitue une des perspectives de cette th se au m me titre que l tude du contact unilat ral avec frottement A notre connaissance les mod les les plus volu s calculent les forces tangentielles de contact en consid rant la pressio
32. placement et non pas une force est impos e ce noeud 62 Vibration d un solide pr contraint Petites d formations r gion hachur e 9 ve nant s ajouter aux d formations d une structure pr contrainte r gion Q 66 Condition d imp n trabilit La surface I est appel e surface de contact ou surface de glissement Le flux de masse travers cette surface est nul 75 Condition de contact dans la configuration d form e Une particule mat rielle P appartenant la surface potentielle de contact esclave I subit l instant t un d placement u et occupe dans la configuration d form e le point x p X t Le point de la surface maitre y le moins loign de x est not x y X t La mesure orient e de cette distance est r alis e par la fonction mat rielle G X t Par convention lorsque les points x et x occupent une position admissible non p n tration des solides le signe de la fonction Gap est n gatif La condition d imp n trabilit des solides s crit donc Gap X t lt 0 VXSETS 80 Projection par l ments finis de l sur 83 Ecrasement d un demi cylindre Un demi cylidre de rayon ext rieur 0 5 m est cras par un obstacle rigide dont l enfoncement est r gl par le param tre a 90 Ecrasement d un demi cylindre Ecrasement de 10 cm par un obstacl
33. s de m canique de Nancy Dans ce registre j aimerais saluer tous ceux qui j ai pu parler de mon sujet dans l effervecense viii de la d couverte ou du doute bien s r encore une fois Christophe Vergez mais aussi Thomas H lie souvent pris dans sa propre tourmente cr atrice Alexis Baskind Vincent Rioux Guillaume Vandernoot Diemo Schwarz Olivier Houix Gerald Kergoulay J ai pu appr ci aussi la grande disponibilit de Sylvie Benoit Florence Quilliard Alain Terrier G rard Bertrand Patrice Tisserand Emmanuel Rio et j aimerais leur montrer ma reconnaisance Remerciements Table des mati res Introduction I Propagation des ondes dans un solide I M canique des milieux continus 1 Lois de conservation gw hoa REY RE KOE NN DRE ew raadt ER Ee we 2 Equations du mouvement 2 1 Th or mes fondamentaux 22 Equations du mouvement non lin aires 3 Loi de comportement des Milieux visco lastiques 3 1 FIYPOUMeses wag no dd ee ee OE Soe ex 3 2 Cons quences du second principe de la thermodynamique 3 3 Lin arisation de la loi de comportement II Probl mes aux limites en lastodynamique lin aire 1 Probl me Po condition de Dirichlet homog ne 1 1 Equations du mouvement 1 2 Formulation variationnelle 1
34. surface for an initial velocity Vo 1 m s The contact surface is localized around the central node 9 and involves exceptionally the node 8 and symetric 10 The ninth node stay in contact 115 VILS5 Discussion and conclusion N tO 0 0 N 0 T Fe FP Ff SHON US 5 T SS Ne o a 2 30 Soe gt Oo Vv 2 go 29 ER SSS LEE 2 3 ea S GOSS fA es SSS Ee ass ESS ASSESS O Saas Sc a SE 2 SENS T OR Ao g SSS SS J KES oe CRU E Si OSS ETS SSNS TS AE 3 8 0 nes RS TE H j Oo 9 A S gos aa a t 535 TD S Le gS 25 SSS SSS a8 2 RSS nas ASSESSES Se RSS S SR SSS E 2 HSS TERS FE TS LES NO ges LT 1 D 2 f f D D E ea 2 hg O L Pas SES ZO 2 T 9 z nN i a ASSESS WSESSSSS i 5 Ge NS Ss S LE AN T S RSS l S8 F An O a gt 2 qu 2 Ea om O 4 oO y a D Z g2 a E oO gee 7 3 e 116 trajectory velocity interaction force a b FIG VII 9 Trajectory and velocity of a rigid body dropped on a rigid foundation for two different interaction forces Case a energy is conserved Case b the kinetic energy is lost at the first contact 6 APPENDIX 6 1 ENERGY DISSIPATION DURING CONTACT Let us ta
35. u u 27 u v u gt 0 Wel p gt 0 A 15 Identifiant cette in galit la relation A 14 il apparait que la solution u du probl me d optimisation avec contrainte A 1 sur un ensemble convexe U est la projection sur U du vecteur u pJ u u P u pJ u p gt 0 A 16 R solution num rique Autrement dit la solution u appara t pour tout p gt 0 comme un point fixe de l application give P v pJ v EUCE 134 Il est donc naturel de d finir une m thode d approximation permettant de calculer u appliqu e la fonction g tant donn un l ment uo E on d finit la suite ug pour k gt 0 par uk 1 g ux P u pT ux kZ0 Sous certaines conditions cette m thode appel e m thode du gradient avec projection pas fixe converge vers la solution du probl me de minimisation A 1 D un point de vue num rique cette m thode n cessite de pouvoir conna tre l op rateur de projection P sur une partie convexe ferm e Or cet op rateur n est pas connu explicitement en g n ral Un exception notable est celle des sous ensembles U de R de la forme _ a bi Par exemple si U R v R 0 gt 0 la i me composante de la projection d un l ment quelconque de w R sur R est Pw max w 0 comme l illustre la figure A 3 dans le cas bi dimensionnel J 2 w W AAA FIG A 3 Op rateur de projection Ici de R
36. 0 Duplicate the point into lines duplicate rotation my mesh 5 vector 0 1 0 vector 0 0 0 30 The mesh my mesh is now an arc which contains 5 lines generated by rotation of angle 30 degrees around the y axis Visualize the mesh view mesh my mesh Annexe E Manuel d utilisation de Modalys 164 Objets l ments finis Duplicate a line into quadrilaterals Define a line by translation of a point see duplicate translation define my mesh make mesh single point vector 0 0 1 0 duplicate translation my mesh 1 vector 0 0 05 0 view mesh my mesh Duplicate this line into quadrilaterals duplicate rotation my mesh 7 vector 1 0 0 vector 0 0 0 10 view mesh my mesh The mesh my mesh is now a surface which contains 7 quadrilaterals generated by rotation of angle 10 degrees around the x axis Duplicate quadrilaterals into hexahedras Using the quadrilaterals from the previous example generate hexahedras by rotation define my mesh make mesh single point vector 0 0 1 0 duplicate translation my mesh 1 vector 0 0 05 0 duplicate rotation my mesh 7 vector 1 0 0 vector 0 0 0 10 duplicate rotation my mesh 6 vector 0 0 1 vector 0 0 0 15 view mesh my mesh F 5 duplicate translation 165 The mesh my mesh is now a volume which contains 42 hexahedras generated by rotation of angle 15 degrees around the z axis
37. 00 00 ste a t 2 Sage NT BEHOS k 2 k 1 oo d t r 5 t r Sy S a e k 1 C C 0 152 Annexe C Noyau de Poisson unidimensionnel Oscillations amorties des syst mes n degr s de libert n pr sence d amortissement les valeurs propres wz et les vecteurs propres ne sont plus E r els mais complexes wk et Pp prennent des valeurs dans C La partie imagimaire de la pulsation repr sente l amortissement du mode correspondant Dans la plupart des cas les quations du mouvement sont projet es sur la base modale des modes propres non amortis En toute rigueur m me pour de petits amortissements le syst me n est pas diagonalisable sur cette base et une erreur est commise en adoptant cette m thode Or 1l est tout fait possible de calculer les modes propres complexes et de projeter les quations sur cette base C est l objet de cette annexe 1 EQUATIONS D UN SYST ME AMORTI En supposant que les matrices de raideur et d amortissement sont ind pendantes de la fr quence hypoth se des basses fr quences et en posant s tw l quation du mouvement d un syst me amorti peut se mettre sous la forme K SD s M U F s D 1 Ce qui peut s crire l aide de la repr sentation par le vecteur d tat X s pi D 2 154 sous la forme K o D Mt X s es D 3 soit encore A sB X s Q s D 4 2 CAS HOMOGENE SYSTEME AUX VALEU
38. 1 vector 0 0 0 5 view mesh my mesh Duplicate the quadrilateral into hexahedras by an homothety duplicate homothety my mesh 2 vector 0 5 1 0 1 5 The mesh my mesh contains now 2 hexahedras obtained by an homothety of center x 0 5 y 1 z 0 with an amplitude 1 5 To see the result with the homothety center define a mesh which contains the homothety point and add it to the previous mesh E 3 duplicate reflection 161 define center make mesh single point vector 0 5 1 0 define my mesh make mesh add list my mesh center view mesh my mesh In the medit application use keys P and g See also transform homothety make mesh view 3 DUPLICATE REFLECTION Description Constructs a mesh by duplication using a reflection Points are extruded into lines lines into quadrilaterals and quadrilaterals into hexahedras Syntax duplicate reflection mesh normal invariant point 162 Parameters mesh The mesh to be extruded by reflection This mesh could consist of points lines or quadrilaterals normal The vector normal to the symetry plane invariant point Any point in the symetry plane Example Duplicate a point into a line by reflection with the plane z 0 Define a point define my mesh make mesh single point vector 0 0 1 Duplicate the point into a line by reflection duplicate reflection my mesh vector 0 0 1 vector 0 0 0 The
39. 3 Optimisation de la fonctionnelle de Hamilton 2 Probl me Pg condition de Dirichlet non homog ne 2 1 Optimisation sous contrainte de Dirichlet 22 Muliplicateur de Lagrange 2 3 Propri t s de la solution du probl me Pa III Repr sentation int grale et formalisme de Green 1 Repr sentations int grales 1 1 Formulation int grale 1 2 Equation int grale 2 Formalisme de Green 2 1 Noyau de Poisson 2a Relation de sym trie du noyau de Poisson 3 Calcul du noyau de Poisson 3 1 Noyau de Poisson pour les demi espaces 3 2 Transformations conformes en dimension deux 3 3 Formalisme modal IV M thodes num riques 1 Discr tisation du probl me Py 1 1 M thode des l ments finis 1 2 Equations du mouvement dans le domaine discret Calcul du noyau de Poisson par repr sentation modale 2 1 Calcul num rique des modes propres de vibration 22 Version num rique du noyau de Poisson par repr sentation modale Expression de la solution num rique du probl me Pa 3 1
40. 58 retenu et la pond ration des v nements cette d riv e est plus ou moins pr cise et donc plus ou moins co teuse du point de vue num rique Il n est pas question ici de d crire davantage ces techniques dans la mesure o elles produisent in fine un syst me lin aire chaque pas de temps discret Dans la pratique le nombre de degr de libert peut tre tr s important Les machines actuelles ne permettent pas d inverser en temps r el de gros syst mes lin aires ou de se rapprocher du temps r el Pour des applications musicales il est pr f rable de partitionner les calculs en deux phases Les fonctions de base qui d pendent uniquement de la structure sont tout d abord d termin es modes de r sonance noyau de Poisson Le calcul du comportement dynamique correspondant des conditions particuli res d utilisation vient ensuite Des exemples sonores seront pr sent s lors de la soutenance 2 CALCUL DU NOYAU DE POISSON PAR REPR SENTATION MODALE 2 1 Calcul num rique des modes propres de vibration Les valeurs propres et les vecteurs propres de la structure discr tis e par l ments finis sont calcul es en r solvant le syst me classique A w B IV 10 obtenu en prenant soit la transform e de Fourier de IV 9 soit en discr tisant la formulation varia tionnelle III 37 Les matrices A et B valent K CO M 0 Ke tef 2 hs Pour des grands syst mes o le nombre de degr s de libert
41. Fig V2 de vitesse w est nul i e pray a Wk Nk Pb th wy nx 0 sur O Pq TeSP P q est la masse volumique du solide a resp b et n le vecteur unitaire normal a1 sortant du solide a FIG V2 Condition d imp n trabilit La surface I est appel e surface de contact ou surface de glissement Le flux de masse travers cette surface est nul 76 Selon cette hypoth se il est possible de simplifier les relations d interface 1 13 15 1 18 et I 20 qui traduisent respectivement les lois de conservation de la masse de la quantit de mouvement et de l nergie ainsi que le second principe de la thermodynamique Il sera montr en d tail au chapitre VII que ces simplifications m nent aux propri t s suivantes par conservation de la masse Les vitesses normales sont gales de part et d autre de la surface de contact effective Seules les vitesses tangentielles des particules peuvent subir une dis continuit la travers e de la surface de s paration Ceci est une cons quence vidente de la condition d imp n trabilit par conservation de la quantit de mouvement Le vecteur contrainte cgin est continu Sur la zone effective de contact la loi de l action et de la r action s applique C est la troisi me loi de Newton par conservation de l nergie et par le second principe de la thermodynamique En d composant les vitesses et les contraintes en composantes normale
42. Fran ais d Acoustique Lille France 2002 SFA 37 D J Ewins Modal testing Theory and practice Bru l amp Kjaer 1986 38 T A Laursen and V Chawla Design of energy conserving algorithms for frictionless dynamics contact problems International Journal for Numerical Methods in Engineering 40 863 886 1997 39 P Chabrand O Chertrier and F Dubois Complementarity methods for multibody friction contact problems in finite deformations International Journal for Numerical Methods in Engi neering 2001 40 N Kikuchi and J T Oden Contact Problems in Elasticity A Study of variational Inequalities and Finite Element Methods Siam Philadelphia 1988 41 R Glowinsky J L Lions and R Tremoli res Analyse num riques des in quations variation nelles Dunod Paris 1976 193 42 J Bensoam A reciprocal variational approach to the two body frictionless contact problem in elastodynamics International Journal for Numerical Methods in Engineering 2003 submitted 43 A Signorini Sopra alcune questioni di elastostatica In Atti della Societa Italiana per il Progresso delle Scienze 1933 44 A Signorini Questioni di elasticita nonlinearizzata e semi linearizzata In Rend de Matema tica Rome 1959 45 G Fichera Unilateral constraints in elasticity In Actes Congr s Int Math volume 3 pages 79 84 1970 46 T J R Hughes R L Taylor J L Sackman A Curnier and W Kanoknukulchai
43. Le probl me est envisag dans le cadre de l lasticit lin aire dynamique lastodynamique lin aire o dans un premier temps par souci de simplification les ph nom nes de viscosit et de propagation de chaleur ne seront pas pris en compte Toujours dans un souci didactique le comportement dynamique d un solide fix sur une partie de sa surface appel e surface de Dirichlet est d abord trait Dans ce cas il est d usage de parler de condition de Dirichlet homog ne nulle Ce probl me est not Po Dans un second temps le probl me Pz est envisag Il correspond l tude du comportement dynamique d un solide soumis des d placements u impos s sur sa surface de Dirichlet L tude du probleme Po permet d introduire les notions de formulation variationnelle et de prin cipe variationnel principe de moindre action de Maupertuis et Hamilton associ es aux quations diff rentielles du mouvement section 1 Ce cadre tant fix la formulation du probl me lasto dynamique P sous la forme d un probl me d optimisation sous contrainte devient plus vidente section 2 26 Pour les probl mes Po et P les m mes notations sont employ es Le solide lastique consid r est repr sent par le domaine Q limit par une surface OQ de classe C1 par morceaux cf figure II 1 La surface Q est compos e de deux surfaces disjointes d une part la surface de Neumann In sur laquelle le champ de force s
44. NF is a discrete time function representing the displacement at node 7 due to an impulse force applied on node 7 At the third step of the contact algorithm VII 37 the relative Poisson function N N N is used to compute the normal displacement at time tg which should exist in absence of contact k 1 Un k Un k XC N k DP 1 VIL39 l 0 where P represents the numerical approximation of the unknown contact pressure on In case of contact the relative velocity Ar yr k 1 U k U k X N k 1 P 1 VII 40 l 0 is computed using a similar matrix N N N This velocity is evaluated only on the time dependent surface l k which is represented by a set Az of nodal points in contact at time fp Finally to solve the integral equation VII 36 the relative velocity Poisson matrix N is evaluated for k 0 and leads for each time tg to the linear system N P k _ x VII 41 where N is the restriction of the matrix N 0 to the set A4 The solution P k of this linear system will give the possibility to continue the contact algorithm for time k k 1 8Here 6 is the Kroeneker symbol 110 rod a V 1 unit rod b initially at rest __ _ gt Se DvOWmawOOs S gt OT E L L FIG VIL3 Two identical rods one initially stationary and the other moving with constant velocity v 1 unit contact each other at time t 0 4 NUMERICAL EXAMPLES Two dynamic contac
45. R pour lequel une solu ton analytique EXISI s e sas eee eee we ee eM BE eRe RH Oe tasses Interpolation lin aire a une dimension a Champ de d placement a discr tiser b Fonctions d interpolation chapeau c Projection sur la base d l ment finis d Resultat obteni s 466 4664548 2 oe OS EES oe oS SS K 156 IV 2 IV 3 IV 4 V 1 V 2 VII VI2 VIL3 VI 4 VI S Fonction d interpolation lin aire en dimension deux Une fonction d interpolation est associ e un noeud du r seau pour lequel elle prend la valeur 1 Cette fonction est nulle pour toute maille ne contenant pas le noeud consid r 56 Modes g n ralis s Neuf premi res d form es modales d une barre fix e sur le sol Les fl ches repr sentent les forces qui s exercent sur la surface de Dirichlet ici le sol 59 Matrice de Green ou de Poisson Chaque l ment de matrice P est une fonction du temps Chaque colonne repr sente le d placement du solide et la force de r action sur la surface de Dirichlet Cette r ponse du syst me est due une excitation impos e au noeud correspondant La colonne 10 par exemple d crit les champs qui r gnent dans la structure lorsque une force est appliqu e au noeud 10 Le type d excitation force ou d placement d pend du noeud consid r le noeud 16 est plac sur la surface de Dirichlet la colonne 16 repr sente donc la r ponse du solide lorsqu un d
46. Ta Cette repr sentation int grale est valable en tout point x Q et v rifie en particulier la condition de Dirichlet en un point x Ig En effet la condition de Dirichlet III 16 v rifi e par le noyau de Poisson permet d affirmer que les deux premi res int grales de III 23 sont nulles et que la derni re donne wt PF x vit x g y t dsy 0 t d x y ik Uk y t dsy Ui x t Pa l a Ce qui est pr cis ment la condition de Dirichlet 11 28 du probl me Pz Repr sentation int grale des contraintes L application de la loi de Hooke II 27 la repr sen tation int grale III 23 compte tenu III 15 conduit out EEPE y ACL 1 24 F J Di P x y t tk y t dsy Xi P x y t Ug y t dsy rs Da Cette repr sentation int grale est valable pour tout point x Q et v rifie en particulier la condition de Neumann En effet compte tenu de la condition de Neumann III 17 v rifi e par le noyau de Poisson la projection de la repr sentation des contraintes III 24 sur la normale la surface I au point x l n donne aij u ng x t J oe P x y t tk y t dsy J 6 t 6 x y bin x y t tk y t dsy ti x t Pn Ce qui est pr cisemment la condition de Neumann 11 29 du probl me Pz Concernant la surface de Dirichlet T4 la force qui s y exerce x a u n est obtenue par projection de III 24 sur la normale au point x I4 et donne et AK y
47. an En tenant compte de l quation d quilibre statique V 3 le report de cette expression dans la formu lation variationnelle V 24 nous permet finalement de poser le probl me suivant Vv trouver u tel que l on ait p s rdut ofmtum rde Crime dade 2 Q Q ty Urk n dKds J pfr rdv t 0 ds V 25 O2 Q 00 4 MATRICE DE RAIDEUR G OM TRIQUE La discr tisation de la formulation variationnelle V 25 par la m thode des l ments finis m ne une nouvelle matrice appel e matrice de raideur g om trique Cette matrice est issue de la forme bilin aire koo u Or UL EAU V 26 Q Dans la plupart des codes d l ments finis il existe une routine de calcul d une matrice de raideur g om trique utilis e pour traiter les probl mes de flambage Cependant ces routines sont des boites noires qui n ont pas donn les r sultats escompt s Nous avons donc pr f r calculer nous m mes cette matrice pour un l ment fini particulier l l ment isoparam trique CUS 8 sommets et interpolation lin aire Le calcul de cette matrice est d taill a l annexe B et n cessite au pr alable la determination du champ de pr contrainte qui r gne dans le solide Dans la pratique la matrice de raideur g om trique IK est additionn e la matrice de raideur classique K avant d effectuer le calcul V 10 des modes et des pulsations propres de la structure consid r e Plusi
48. d l influence des sources plac es en dehors de cette surface C est un terme connu puisque les sources pf t et u sont connues II s crit a x t a k rela Pores vit pH yt de DE 7 DE I P x y t Myst dsy f ri x yit x at y t dsy Ea Pa En faisant de m me avec le solide b et en soustrayant une quation int grale portant sur l in connu est obtenue P x y t on y t dsy a x t a x t xere VI 2 I Le terme source est le membre de droite connu et le noyau P de cette quation int grale est la somme des noyaux de Poisson des solides a et b pk PO 4 po Cette m thode est bien adapt e pour assembler des objets qui avant leur interaction pr sentent une surface libre de tout effort Cependant lorsqu il existe r ellement une surface de Dirichlet par exemple lors de l assemblage d une corde et d une table d harmonie cette m thode ne fonctionne plus La surface de fixation n est pas une surface libre de tout effort Dans ce cas il faut envisager la m thode par condition de Dirichlet 1 3 M thode par condition de Dirichlet A l inverse de la pr c dente cette m thode pr suppose existence d un champ de d placement u sur I qui participe la cr ation du champ de force x x To La surface de contact permanente Ie est consid r e comme une surface de Dirichlet Le champ de force x est exprim gr ce l
49. d passent quelques centaines il est difficile d obtenir l ensemble des valeurs propres et vecteurs propres Du point de vue num rique le calcul des modes propres se fait par m thode it rative Apr s quelques manipulations simples le syst me IV 10 peut tre remplac par le syst me plus classique encore DY AY W o selon la technique utilis e la matrice D vaut D A B ou D UATU La matrice U est la factorisation de Cholesky de la matrice B La solution par it ration du probl me DY AY est obtenue en formant les it r s successifs z d un vecteur de d part Zo arbitraire par la relation z Dz l a es IV 12 1 Z p 1 Zp 1 Il est montr 28 27 que cet algorithme de la puissance directe converge vers le mode propre ayant la valeur propre la plus lev e la pulsation w la plus basse Pour obtenir les modes de pulsations plus lev es le proc d de d flation orthogonale est utilis Supposant p premiers vecteurs calcul s chaque nouveau vecteur propre est obtenu par un proc d it ratif du type V 12 A chaque nouvelle it ration l it r est projet sur l espace orthogonal aux p premiers vecteurs Ce type d algorithme fournit la base de m thodes plus sophistiqu es qui font l objet d tudes math matiques tr s pouss es Puisque ces m thodes ne sont pas proprement parler le sujet de cette th se nous nous contentons du point de vue pratique d utiliser les alg
50. de contact et or 0 n Onn Sa composante tangentielle alors hypoth se de non frottement s crit OT Oijlj Onni 0 sur I ou ro De plus si les solides lastiques ne sont pas en contact alors la contrainte surfacique est nulle et s il y a contact cette contrainte ne peut tre que positive pour une normale sortante du solide maitre donc entrante dans le solide esclave les objets ne pouvant exercer aucune force de rappel ou de traction l un sur l autre C est ce qui caract rise le contact unilat ral n 0 si Gap X t lt 0 si Gapl V1 9 t on gt 0 si Gap X t pour toute particule X de la surface I Remarquons que si les relations V1 9 sont v rifi es nous devons avoir OnGap X t 0 Ver La condition g n rale de contact unilat ral en l absence de frottement est obtenue en rassemblant tous ces r sultats Gap X t lt VX i or 0 a GaGa at VI 10 2 4 Approximation par l ments finis de la condition de contact Supposons que les domaines N et Qm soit discr tis s par l ments finis comme indiqu sur la figure VI 2 Si on approxime la condition de contact VI 10 par un tt lt Jap ti 1 lri Ere kex VII ou X est l ensemble des indices des noeuds se trouvant sur la surface I alors pour calculer k k r zS m 4 m k ul x us u il faut pouvoir estimer le d placement normal wu xf x5 qui ne correspond pas 83
51. est dire un nombre J v associ chaque configuration v qui permette de diff rencier la configuration u des autres configurations possibles v Si le choix de ce crit re est un crit re d optimisation 1l peut se mettre sous la forme math matique J u inff v ou J u supJ v Vv U 11 15 11 14 En d finissant la d riv e de J en u dans la direction v par l expression Ov VI u v lim il est montr l annexe A que le probl me d optimisation II 15 revient annuler la d riv e de 7 en u c est dire 11 16 trouver u U2 telle que VJ u v 0 VEU 1 17 Dans ce cas l unicit de la solution se d montre facilement par des consid rations nerg tiques 9 29 1 3 Optimisation de la fonctionnelle de Hamilton Quel est donc ce crit re dont la d riv e s annulant au point u fournit l quation variationnelle m t v k u t v W t v 0 vel L op ration qui consiste a passer de cette quation au crit re J n est pas triviale Elle correspond a une int gration On doit la r solution de ce type de probleme aux travaux de Lagrange d Alembert ou encore de Hamilton qui travaill rent plus g n ralement sur les syst mes diff rentiels issus de la m canique Newtonienne pour les mettre sous la forme quivalente d un probleme d optimisation Dans le cas qui nous int resse ceci nous am ne au principe de Hamilton Principe 1
52. est fait g n ralement pour les solides Pour plus de simplicit dans la suite de l expos les gradients de la temp rature ne seront pas consi d r s comme variables d tat Les variables d tat ind pendantes pour les milieux visco lastiques sont alors la temp rature actuelle 6 et le tenseur de d formation Lagrangien E mesurant la d forma tion de l tat actuel par rapport l tat initial J Salen on 3 d finit le mat riau thermo lastique par l axiome suivant Axiome 3 1 Un Mat riau thermo lastique est un mat riau pour lequel les fonctions thermody namiques s nergie interne et entropie massiques et le tenseur de Piola Kirchhoff sont des fonctions univoques des seules variables 0 et E 6Bien que le choix d un tenseur de d formation objectif soit plus ad quat dans la mesure o son utilisation r duit la dimension de l espace des tats Cette d finition convient aussi pour le mat riau visco lastique 13 3 2 Cons quences du second principe de la thermodynamique Compte tenu de la d finition du mat riau thermo lastique il est maintenant possible de tirer parti du second principe de la thermodynamique afin d obtenir une loi de comportement qui relie contrainte et d formation Cette loi de comportement est tablie dans les deux configurations eul rienne et lagrangienne et poss de un caract re non lin aire A terme cette loi de comportement est lin aris e au voisin
53. est possible de la calculer pour d autres syst mes que les solides pour une masse pour un tuyau sonore une salle de concert Sous cet angle 1l appara t que les diff rents formalismes de synth se sonore d composant un syst me complexe en sous structures l mentaires et tudiant leurs propri t s acoustiques ne sont pas si trangers les uns des autres Cette th se pourrait appara tre comme un long et fastidieux proc d d ductif qui tire d une th o rie et de son cort ge d quations un ensemble de pr visions Elle aimerait pourtant participer elle aussi une qu te dynamique qui entend purer les ph nom nes pour en extraire une v ritable com pr hension fond e sur ce que Bachelard appelle un r alisme de seconde position un r alisme en r action contre la r alit usuelle en pol mique contre l imm diat la v ritable pens e scientifique est m taphysiquement inductive elle lit le complexe dans le simple elle dit la loi propos du fait la r gle propos de l exemple renforce ce qui transparait derri re ce qui appara t Conclusion 126 Troisi me partie Annexes Probl mes d optimisation sous contraintes INTRODUCTION objet de l optimisation est la construction d algorithmes permettant d approcher une solution du probl me de la forme trouver u tel que ucU et J u inf J v A 1 o U est une partie donn e d un espace vectoriel E et J
54. et ceci dans toutes les directions de l espace nu sur e VI 1 o 2 o gt Par simple d rivation il est facile de v rifier que le champ de vitesse qu il soit dans la direction normale o tangentielle est continu la travers de I e Il n y a donc aucune dissipation d nergie m canique l interface Le probl me est de trouver les champs de d placement et de forces sur la surface de collage lorsque les solides sont par ailleurs soumis des champs de force volumique le poids par exemple et ventuellement d autres conditions aux limites portant sur des surfaces disjointes de I Puisque que les d placements sont identiques et les forces oppos es il suffit de 78 d terminer le couple u tel que u u u et o 0 0 surl Selon la configuration physique du syst me m canique deux m thodes sont possibles 1 2 M thode par condition de Neumann Cette m thode pr suppose qu il existe un champ de force surfacique sur I qui participe la cr ation du champ de d placement u x x Ie Gr ce la repr sentation int grale III 23 il est possible d exprimer ce champ de d placement en fonction de en utilisant le noyau de Poisson de chaque solide Cette expression est la somme de deux termes Pour le solide a cela donne r k wx x t f PU x y t on y t dsy x ET le Le terme amp correspond au d placement de la surface I
55. file diapason mesh define diapason fem make object finite element mesh diapason mesh modes 30 density 7700 young 2e11 poisson 3 freq loss 0 1 const loss 0 5 view object diapason fem E 1 compute modes 159 Compute the modes of vibration and visualize one of them compute modes diapason fem view mode diapason fem 18 20 5 In the medit application right click to obtain the main menu and choose Play sequence in the ani mation sub menu Use also the m key See also view mode make object finite element 160 2 DUPLICATE HOMOTHETY Description Constructs a mesh by duplication using an homothety Points are extruded into lines lines into quadrilaterals and quadrilaterals into hexahedras Syntax duplicate homothety mesh rep homothety point homothety amplitude Parameters mesh The mesh to be extruded by homothety This mesh could be constituted of points lines or quadrilaterals rep Number of extrusion homothety point Center homothety coordinates homothety amplitude Amplitude of the homthety Example Duplicate a quadrilateral into hexahedras by homothety Define a mesh named my mesh which contains a single quadrilateral see duplicate translation for details and visualize it define my mesh make mesh single point vector 0 0 0 duplicate translation my mesh 1 vector 1 0 0 duplicate translation my mesh
56. filtres r cursifs A chaque filtre est associ un mode de vibration 118 Convexit dans R Par exemple un sous espace vectoriel est convexe une boule dans un espace vectoriel norm est convexe une intersection quelconque d ensembles CONVEXES CSECONVEXG 6 ak hehe Rime anne ee tr SE OEE ES 152 Interpr tation g om trique L angle a form par les vecteurs Pw w et v Pw CSLIMI MEUTA Sin LAS ee EURE AD RAE MOREL ARE res 133 Op rateur de projection Ici de R sur R2 o oo 134 Fonction convexe Une fonction convexe est situ e au dessus de son plan tangent 135 Extremum pour un probl me deux dimensions 136 Point selle Interpr tation g om trique du point selle du Lagrangien L 139 El ment isoparam trique CUS Coordonn es physiques et intrins ques Le point M de coordonn es physiques x y z est rer sent par un point M dans le rep re intrins que de l l ment par ses coordonn es r s t 144 Noyau de Poisson d une barre semi infinie Noyau de Poisson du probl me de Neu mann pour une barre semi infinie La zone d influence de I onde est la zone hachur e delespacetemips 2 syssanta OSH a Sea 148 Noyau de Poisson d un barre de longueur L Noyau de Poisson P 0 t d une barre libre libre de longueur L au point 0 Isl To obtain the number of a node visualize the finite element o
57. fonc tions est trac e dans le cas uni et bidimensionnel Fig IV 1 et IV 2 respectivement Chaque fonction est associ e a un noeud du r seau pour lequel elle prend la valeur 1 Cette fonction est nulle pour toute maille ne contenant pas le noeud consid r D EA SLES X RLS ns 204 esos TL Q er 37 1 2 Equations du mouvement dans le domaine discret Syst me lin aire diff rentiel Ces expressions permettent d obtenir une version discr te de l quation variationnelle 11 38 Va Msa a KgaUa XaCap Fa Ze CraUa Or IV 3 V V3 Zo E En X Zhi pour laquelle les l ments de matrices de masse de raideur et de contrainte de Dirichlet sont respec tivement Mga m A Af pA A dv IV 4 Q Cu e A CPAS ds IV 6 l a ry Les composantes des vecteurs F et U tant Fg WOAS ofA dot f GAF ds IV 7 Q Ihn To o b b D a C u ds IV 8 l a Ta Prenant successivement V 0 puis Z 0 dans IV 3 le syst me diff rentiel lin aire suivant est obtenu EREHE IV 9 Les fonctions d interpolation globale A et d finissant une base d l ments finis sont employ es ici pour repr senter les champs d un point de vue formel Dans la pratique le calcul des fonctions d interpolations A et n est pas n cessaire inutil Il est pr f rable de calculer les matrices IV 4 IV 6 et les vecteurs IV 7 IV 8 par l interm diaire de quantit s p
58. formulation devient PEN Q P GP G gt 0 VQEN VI 32 avec n QeER Q lt 0 1 lt i lt M VI 33 o Me est le nombre total de noeuds de la surface de contact l e La proc dure it rative devient dans ce cas discret partant d un vecteur P tel que P lt 0 pour 1 lt i lt Me on d finit la suite PF pour k gt 0 par pr PF_p GP ap p gt 0 PEt min P 0 1 lt i lt M Cependant pour un 7 donn les valeurs ae avec 7 lt 2 sont d ja calcul es Il appara t donc plus k 1 2 judicieux d incorporer ces valeurs plus pr cises dans le calcul de P en d composant CP Eche Cure D G PF j 1 1 Ce qui permet de calculer la valeur interm diaire po par E PL w PF z S GR PEt 4 gt GE PE Gap VL 34 a j l j t 1 en ayant pos w pG Finalement la m thode SOR propose 1 de partir d un vecteur P tel que P lt 0 pour 1 lt i lt M 2 de calculer P 1 par P min PFY 0 1 lt i lt M VI 35 k 1 2 o le terme P est obtenu par VI 34 90 3 et de continuer la proc dure jusqu ce que le terme gt p Pr l a soit inf rieur une tol rance fix e par exemple lt 1074 Cette m thode de projection it rative comme l ont montr Glowinsky Lions et Tr moli res 41 converge lorsque k oo pour toute valeur de w telle que 0 lt w lt 2 Exemple FIG VI 3 Ecrasement d un demi cylindre Un demi cylidre
59. grales Il n est pas question ici de traiter ce probl me d licat et nous renvoyons le lecteur aux ouvrages sp cialis s sur le sujet 9 21 Nous nous conten terons de constater que pour des g om tries particuli res espaces semi infinis par exemple des solutions analytiques ont t obtenues Si l identit de Maxwell Betty II 42 est appliqu e au noyau de Poisson tat 1 et la solution du probl me Pz tat 2 il appara t lors du calcul de Yap U trois termes o figure la distribution de Dirac 50 5jucly t avy oly ily dsy Ey ixt ds Q i l a Ceci conduit selon la position du point x aux deux repr sentations int grales suivantes 1 xE QUT u x t Pi y x t pfr y t duy Py y x t te y t dsy 28 n EJ Xi y X t e y t dsy P PE DR Pi DARY dvy d 2 xxE Elu vb Pi y x t pfr y t duy Pi y xit tk y t dsy 111 29 Q T n Xily x t Ge y t dsy p Pixs t uh y PEx aR dy l a gt Les conditions initiales sont maintenant prises en compte 44 2 2 Relation de sym trie du noyau de Poisson Ces derni res repr sentations int grales n ont pas la m me forme que les formules III 23 et III 25 obtenues grace aux propri t s de lin arit des quations du mouvement Ces diff rences ne sont qu apparentes et sont lev es en consid rant les deux noyaux de Poisson P x y t et P x y t dans applicati
60. in the direction w v u According to VII 3 a more explicit variational formulation can be built using the mathemati cal expressions of the kinetic and total potential energy of the two body system This yields to the variational inequality on u K such that Vt 0 7 VIL 8 mi v u k uv u f v u gt 0 Vek where the traditional bilinear forms defined from x R for mass m and stiffness k respectively have been introduced as follow m u v gt prurvr dv k u v D nn nYk dU VII 9 x a b x a b The symbol p denotes the mass density of body x and C x1 are the components of the Hooke s tensor of elasticity which possesses the standard symmetries In formulation VII 8 f is a li near function on E representing the virtual work produced by external forces body forces p f and prescribed tractions t n f v gt f erwan x a b r t v a 1 4 Method of Lagrange multipliers Constrained minimization problems can be reformulated as saddle point problems using the me thod of Lagrange multipliers see Refs 40 and 10 Such formulation makes it possible to seek minima of functionals in linear spaces rather than closed convex sets This is done by introducing instead of the constraint set X the space W E x Z x N where Z H VAT xH AT VII 10 is the dual space of displacements on the Dirichlet surfaces while M is the admissible set for the Lagra
61. in the displacement curves VILS Discussion and conclusion 113 Va Gravity FIG VII 6 An elastic disk is dropped on an other one clamped on its lowered hemisphere edges The candidate contact nodes are numbered from 1 to 17 5 DISCUSSION AND CONCLUSION This work state a well posed contact problem by taking into account the balance laws postulated in continuum mechanics As a consequence in addition to the classical static contact condition a dynamic condition already postulated by Taylor 50 and Laursen 38 has been obtained from the fundamental physical principles and expresses the way the energy is dissipated during contact This result contribute to a better basic understanding of contact constraints in the dynamic context In addition this condition used here in a frictionless context is still true for frictional contact problems The perspective of this work is to extend this study to dynamical contacts with friction where both tangential and normal tractions have to be determined To our knowledge this problem is still open As mention by Talaslidis and Panagiotopoulos 48 due to unilateral constraints the estimation of the eigenvalue and eigenvector of the overall system is not possible Nevertheless in the present article and within the infinitesimal deformation theory semi analytical Green or Poisson functions are computed using individual mode expansion for each body The treatment of wave propagation
62. in the solids is then disconnected from the contact problem by itself and the reciprocal formulation is used in numerical computations reducing the number of unknown and giving a stable solution As the first numerical example shows the prediction capacity of the contact algorithm is restricted to the numerical quality of the Poisson function Since this function is pre processed the computa tional time to solve the contact algorithm remain constant for any desired degree of approximation Dissipative Green and Poisson functions arising from visco elastic unconstrained problem are also considered in the contact algorithm The result is a dissipative system with a dissipative less contact The possibility to predict with a reasonable computing time the sound produced by the interac tion of two elastic bodies irrespective of the material constitution and geometry constitute the major interest of this study These accurate distributed contact simulations can also be used to derive the parameters of point like non linear phenomenological models usually used in sound synthesis Chapitre VII Contact en dynamique 114 article de journal comit de lecture g h 1 mie A D O Mf O ND 1 1 1 1 5 1 O 15 20 25 Bo 35 Time crms FIG VII 7 Nine snapshops of a collision between two disks and contact force in mPa excerted on the contact
63. mesh my mesh is now line of length 2 meters To visualize the result with the symetry plane construct a quadrilateral in the plane z 0 and add it to the mesh line see duplicate translation for details define plane make mesh single point vector 1 1 0 duplicate translation plane 1 vector 2 0 0 duplicate translation plane 1 vector 0 2 0 define my mesh make mesh add list my mesh plane view mesh my mesh In the medit application use keys P and g See also transform reflection make mesh view 163 4 DUPLICATE ROTATION Description Constructs a mesh by duplication using a rotation Points are extruded into lines lines into qua drilaterals and quadrilaterals into hexahedras Syntax Duplicate rotation mesh rep rotation axis orig angle Parameters mesh The mesh to be extruded by rotation This mesh could be made of by points lines or quadrilaterals rep Number of extrusion rotation axis Axis of rotation For instance the z axis can be given by the vector vector 0 O 1 orig Origin of the rotation The origin x 0 y 0 z 0 is specified by vector 0 0 0 angle Angle of rotation in degrees Examples Duplicate a point into lines by rotation Define a mesh named my mesh which contain a single point giving its coordinates define my mesh make mesh single point vector 0 1 0 0 Here the coordinates of the point are x 0 1 y 0 z
64. num rique 17 Mise en oeuvre num rique La r solution de l quation int grale III 9 permet de d terminer les champs de d placement et de force inconnus sur OQ La m thode consiste discr tiser l quation int grale prise en un nombre fini de points de collocation x x pour fournir autant d quations que le probl me discret compte d inconnues Cette m thode a le d savantage d tre tr s co teuse en temps de calcul puisqu il faut d termi ner les champs de contrainte et de d placement sur toute la surface pour chaque nouveau probl me Pa D un point de vue pratique et pour des applications musicales les conditions aux limites pres crites changent avec le jeu du musicien et 1l faudrait chaque fois r soudre une quation int grale discr tis e du type III 9 Dans le cas g n ral le calcul de l int grale f S T x y e7dw x n est pas aussi trivial et d pend de la forme de la surface vanouissante Se choisie 17 40 2 FORMALISME DE GREEN L alternative la m thode pr c dente est de trouver une fonction de Green propre au domaine Q qui v rifie des conditions aux limites bien choisies de mani re obtenir non plus une quation int grale mais une solution int grale L examen de la repr sentation int grale III 1 montre que si la fonction de Green est choisie de mani re v rifier pour tout point source x les conditions aux limites homog nes sur les surfaces de Diri
65. numerical analysis A finite element approximation of the variational unconstrained problem VII 13a VII 13b is now considered in order to compute the Green and Poisson function Each domain is partitioned into a mesh of finite elements Q over which piecewise polynomial approximations of the displace ment field u at each time are introduced This process can lead to the construction of a family E of finite dimensional subspaces of each Sobolev space H Q Here h is an appropriate mesh parameter typically h is the diameter of the largest element in the finite element mesh The vector uj of E finite dimensional counterpart of the displacement vector u can be expressed as N uj x t X UZO xeni aorb VIL38 a 1l where y denote basis functions spanning and N is the total number of node of the finite element mesh 9 Since w x 68 at a node x OF U2 t ux x t holds If the summation convention is extended to the case a by gt aba the time derivatives of uj are ak x t DD a t OS ws x The finite element method applied to the variational problem VII 13a VII 13b makes it possible to compute for each discrete time t and for each body x a matrix N k using normal mode expansion VII 26 This matrix is an approximation of the Poisson functions N x y t of size Me x M where Me is the total number of nodal points on the candidate contact surface I The matrix components
66. of rotation in degrees Example transform rotation my mesh vector 0 1 0 vector 0 0 0 30 179 See also transform translation make mesh transform view 20 TRANSFORM TRANSLATION Description Transform a mesh by translation Syntax Transform rotation mesh translation vector Parameters mesh The mesh to be transformed by translation translation vector vector of translation For instance a translation in the y direction of length 0 1 meter is given by the vector vector 0 0 1 0 Example transform translation my mesh vector 0 0 1 0 See also duplicate rotation 21 VIEW MESH Description Visualize a mesh The Modalys application launch the medit application to visualize a mesh This application can be downloaded at http www rocq1 inria fr gamma medit medit html Syntax view mesh mesh Parameters mesh Name of the mesh to be visualized Examples Create a mesh named my mesh using the mesh tools see duplicate rotation for example and visualize it view mesh my mesh 150 See also view mode view object 22 VIEW MODE Description Animate a mode of vibration Syntax view mode finite element object num mode num frame rep amp Parameters finite element object The finite element object for which a mode is to be visualized num mode Number of the mode to be animated num frame Number of frames in the movie for one oscillat
67. ordre 1 sont de carr s sommables Pour tablir la relation IL 9 la fonction v doit aussi s annuler sur la surface Ig c est dire v rifier la condition de Dirichlet II 4 L espace des fonctions admissibles UN IVEE v 0 surly II 10 est introduit cet effet Il est aussi d usage de d finir sur l ensemble x les deux formes bilin aires m et k valeurs dans R par m a v puso dv u vEE et IL 11 Q k u v oki Uu vxidv uVEE II 12 Q Enfin il est pratique d crire la puissance ou le travail des forces ext rieures dans le champ de vitesse virtuelle v ou d placement virtuel par la forme lin aire de dans R pv pfrvr dv f thu ds 11 13 Q Pn Avec ces d finitions et notations la formulation variationnelle du probl me Po s crit sous la forme trouver la fonction t u t de 0 7 amp verifiant les conditions initiales II 6 et IL 7 telle que Vt 0 7 et Vv UY m u t v k t v W t v Autrement dit chaque instant t parmi toutes les configurations admissibles v du syst me m ca nique il existe une configuration privil gi e u t qui r pond aux exigences des lois de la m canique des milieux continus L ensemble des configurations u t pour toutes les dates t 0 7 correspond au d placement effectivement suivi par le syst me physique entre les instants t O ett 7 Il doit donc exister un crit re J c
68. origine thermique Le materiau est alors appel mat riau thermo lastique Dans le cas g n ral avec pertes visqueuses l in galit 1 34 peut s crire a b gt 0 Vb si les vecteurs a et b sont d finis par Okl Okl dki a b E 0 Le vecteur a est donc n c ssairement au moins une fonction de b soit a priori On On Jfu 0 Exr du 0 x E gk 0 EKL dki 0 x o le tenseur f et le vecteur g doivent tre choisis tels que fridki 9x0 x gt 0 Il reste maintenant choisir un m canisme de dissipation en principe d duit des constatations exp rimentales G n ralement la dissipation intrins que est consid r e comme fonction des vitesses de d formation et de la temp rature uniquement fri d k 0 dm k 0 gt 0 La dissipation thermique est consid r e comme fonction du gradient de temp rature et de la temp rature gx 0 VO Don a 0 gt 0 Pour ce choix de m canisme de dissipation les lois de comportement m canique et thermique sont Onl Oki k 0 det dk a 6 k 1 36 20 Cette derni re loi de comportement thermique est la loi de conductivit classique dite de Fourier o a 0 gt 0 est le coefficient de conductivit thermique la temp rature 0 Pour terminer la mod lisation il faut exprimer l nergie libre Y en fonction des variables d tat ind pendantes 0 E et ainsi obtenir par l interm diaire des formules 1 33 et 1 35 les e
69. pfely t doy 11 25 Q J XF x y t te y t dsy XE x y t ax y t ds Fs Tg o XF est l oppos du vecteur contrainte associ au noyau de Poisson Yay 2 Pjn x vit xely y EQ Cette repr sentation III 25 du vecteur contrainte sur la surface de Dirichlet peut aussi tre obtenue directement en consid rant la lin arit du syst me d quations du probl me Pa vis vis des donn es f t a 43 Formulation variationnelle En utilisant la m me m thode que celle utilis e pour traiter le probl me Pz il est possible d ob tenir une formulation variationnelle pour le noyau de Poisson P P X x y t Q x Ox 0 7 P x y t X x yit W Celui ci v rifie trouver P P X W tel que m P V KPE V Wer V YV W III 26a avec des conditions initiales nulles Cette formulation utilise la d finition suivante Vpn V 8 t 6 x y ex v q 6 t 5 x y er v r 111 27 d t 6 x y ex p WV EW La propri t d unicit du noyau de Poisson s obtient de la m me mani re que pour le probl me Pz La question de I existence est plus probl matique dans la mesure o les int grales mises en jeu dans cette formulation variationnelle doivent avoir un sens L ensemble W form de la composition de l ensemble de Sobolev et de l ensemble Z ne contient peut tre pas des fonctions suffisamment r guli res pour assurer la convergence des int
70. pour un l ment Cette matrice est issue de la forme bilin aire ko Uu v Op Ulm kav B 2 l ment o l int grale porte sur le volume de l l ment La matrice globale est ensuite assembl e partir des matrices l mentaires Deux types d interpolation interviennent dans la construction d un l ment fini l interpolation g om trique et l interpolation des d placements Un l ment fini est dit isoparam trique quand il est fond sur des interpolations identiques pour sa g om trie et son champ de d placement Connaissant les positions x Yi zi et les d placements u v w pour chaque 144 X FIG B 1 El ment isoparam trique CU8 Coordonn es physiques et intrins ques Le point M de coordonn es physiques x y z est rer sent par un point M dans le rep re intrins que de l l ment par ses coordonn es Py 850 noeud 2 de l l ment CU8 les 8 fonctions d interpolation A permettent d interpoler la position x y z et le d placement u v w d un point M quelconque de l ment par les formules AT stia interpolation g om trique 4 y Xi Lt s t yi s t 2 z A r s t zi w Si A r s t ui interpolation des d placements 4 v DA ql stu w 3e A i r 5 t wi avec la fonction d interpolation correspondant au noeud 2 1 Ai r s t gU rra ssi 1 tti ri Si ti prenant la valeur 1 selon le noeud consid r C
71. quations d quilibre statique la formulation variationnelle d un probleme de contact est pr sen t e L utilisation d une formulation r ciproque permet ensuite de poser un probleme d optimisation pour lequel la pression de contact est l inconnue La solution est finalement obtenue par une m thode de projection 85 3 1 Formulation variationnelle Fonctionnelle d nergie potentielle totale Consid rons un probl me de d formation d un solide hyper lastique Q c R soumis des forces de volume f et de surface t Un solide est dit hyper lastique s il existe une nergie potentielle diff rentiable w repr sentant l nergie de d formation par unit de volume qui caract rise le comporte ment m canique du mat riau du solide Cette fonction w est suppos e d pendre du gradient Vv X du champ de d placement v au point mat riel X et ventuellement de la position X soit w w Vv X X XE Dans ces conditions et en notant l ensemble des d placements admissibles nergie potentielle totale du syst me est d finie par une fonctionnelle V E R V v W X X de flv o dv dx dx2dx3 et f est une fonction lin aire sur repr sentant le travail d aux forces ex t rieures f et t Par exemple si f et t sont des fonctions lentement variables et mesurables de la variable X alors f aura la forme f v j tvav tv ds n o est une partie de la surface I du solid
72. qui ca ract risent l tat de la mati re En physique microscopique l tat de la mati re est essentiellement caract ris par 1 l agitation mol culaire mesur e par une variable macroscopique appel e temp rature 0 C est une fonction de la proportion d atomes excit s et d atomes l tat fondamental Un atome ex cit est consid r comme tant un atome qui vibre beaucoup autour de sa position moyenne L amplitude de ses oscillations augmente avec la temp rature C est ce qui provoque la dila tation c est dire l augmentation du volume d un corps Cet tat de vibration microscopique peut tre caract ris plus finement en distinguant deux tats la m me temp rature soumis des gradients de temp rature diff rents Auquel cas le gradient de la temp rature 0 sera consid r 2 la position relative des mol cules qui d termine l nergie des forces intermol culaires Cette position relative peut tre caract ris e plus ou moins finement par la masse volumique p c est dire par le nombre de mol cules par unit de volume dans la particule macroscopique en admettant une r partition statistiquement isotrope tout instant C est ce qui est fait g n ralement pour les gaz par un tenseur de d formation la distribution spatiale des mol cules est diff rente avant et apr s d formation Le tenseur de d formation permet de diff rencier ces tats C est ce qui
73. section 1 et les quations du mouvement en sont d duites en appliquant deux th or mes fondamentaux section 2 Le premier permet de calculer la d riv e particulaire d une int grale portant sur un domaine qui d pend du temps et le second permet de prendre en compte dans le volume du corps l infuence de l environnement qui agit sur sa fronti re La derni re partie traite de la loi de comportement des milieux visco lastique 1 LOIS DE CONSERVATION Axiome 1 1 Conservation de la masse La masse totale d un corps est invariante au cours du temps Selon cette loi la masse initiale totale du corps c est dire celle valu e dans sa configuration non d form e Ko at 0 est la m me que celle valu e n importe quel autre instant t c est dire dans sa configuration actuelle k La masse totale d un syst me mat riel occupant un volume Qo resp Q dans sa configuration Ko resp Kz s obtient comme l int grale d une densit volumique finie appel e masse volumique et not e po resp p M Po dv 0 lt po lt resp M pdv O lt p lt Qo Qi La loi de conservation de la masse stipule M pode p dv Oo Q Or la premi re int grale est ind pendante du temps La loi de conservation de la masse peut donc s crire d F dv dv 0 I 1 a 22 J To 1 1 Axiome 1 2 Conservation de la quantit de mouvement La variation de quantit de mouvement d un domaine fluide ou
74. temps de calcul de la pression de contact est essentiellement le m me que l on utilise cette m thode modale ou la m thode des diff rences finies Il n est donc pas inclu dans ces estimations comparatives 113 Ni me mode filtre r cursif en d ordre 2 2 me mode filtre r cursif D ordre ler mode filtre r cursif d ordre 2 FIG VII 10 Synth se modale Dans la pratique la convolution du noyau de Poisson avec les sources est r alis e par un banc de filtres r cursifs A chaque filtre est associ un mode de vibration o les constantes a Bi sont fonction de la pulsation du mode consid r et de la fr quence d chantillonnage il convient de rappeller qu il s agit l a l approximation spatiale pr s d une so lution temporelle exacte et qu il n est pas n cessaire d utiliser un sch ma d ordre plus lev Pour calculer le d placement et la vitesse en pr sence de pression de contact 1l faut donc compter une di zaine d op rations machine par mode et par noeud de la surface de contact Ce qui permet d valuer le temps de calcul par chantillon a I 10NmNr x La ou Nm Nr sont respectivement le nombre de modes et le nombre de noeud sur la surface de contact Le temps Top est le temps n cessaire pour effectuer une op ration l mentaire addition ou multiplication Il faut comparer cette estimation un calcul par diff rences finies Si Nu est le nombre t
75. termes 01 01 0 01 et Ow 013 sont a priori des fonctions de 0 J I gt et Iz 3 3 Lin arisation de la loi de comportement Dans approximation des d formations infinit simales ou le tenseur E est approxim par le tenseur E avec E lt 1 et des petites variations de temp rature T 0 0o lt 1 il est possible de lin ariser la loi de comportement 1 41 en limitant le d veloppement de 4 au second ordre en T et E Repr sentation lagrangienne La fonction 1 doit donc tre une fonction scalaire du second degr des variables 7 et E A une constante additive pr s sans importance puisque y n intervient que par ses d riv es dans la loi de comportement la forme la plus g n rale propos e par Salen on 3 est a 1 Lo 1 pow EL EKL posoT z KLMN KL MN 5 PobT BKxLEKLT 1 49 o Sp b sont des constantes scalaires X B sont des tenseurs du second ordre constants et A un tenseur du quatri me ordre constant qui v rifie les propri t s de sym trie suivantes AKLMN ALKMN AKLNM ALKNM AMNKL Compte tenu de l expression de w 1 49 la loi de comportement thermo lastique lin aire se d duit de 1 41 pour donner Skr Ekr AkzMNEMN BKLT 1 50 et l entropie massique s crit 1 s So br BKLEKL 1 51 Po 22 Solide isotrope Pour un solide isotrope la fonction w ne doit faire intervenir que les invariants du tenseur de d formations infinit simales E et l
76. the body This yields on the Neumann s surface I to the Poisson function N x y t with the sources t d x y ex xE yerk fi t o 0 VII 22 and on the Dirichlet s surface to the Poisson function D x y t with the sources 6 t d x y ex KEQ yeri fF t o 0 VIL 23 It is important to note that the integral representation VII 20 has the same form for a point x in the domain 2 or on the boundary 0Q T UI This is an alternative to the integral representation that uses the fundamental solution free space Green s function In this case a different expression exist depending on the position of the point field x see Ref 19 Modal theory The major problem of reciprocal method is to find the Green and Poisson functions related to an elastic body In practice only a few physical systems allow an analytical calculation of such functions Discontinuities in the fields make difficult to compute pure numerical solutions of the unconstrained variational problem with impulse sources Modal theory gives an opportunity to compute semi analytical function the Green function G and even the Poisson N for any point x and time t may be represented by a normal mode expansion x yit Le X an y t VIL24 where is the n th mode of the body x Substitution of the series representation into the va riational formulation VII 13a VII 13b with the convenient choice of v gives an ordina
77. to uy s U1 X2 U2 X1 ds Q Ihn Ia 34 L toile x repr sente l op ration de convolution oo Foe eo OO NM Ce chapitre a permis d obtenir une formulation variationnelle propre traiter un probl me de Di richlet non homog ne Celle ci s av rera utile au moment de se tourner vers la r solution num rique Nous allons voir maintenant comment r soudre ces quations HI Repr sentation int grale et formalisme de Green I n est en g n ral pas possible d obtenir de mani re analytique la solution des quations varia tionnelles du chapitre pr c dent Seulement quelques solutions analytiques existent pour des syst mes dont la g om trie et les conditions aux limites impos es sont simples par exemple une plaque rectangulaire bords appuy s Dans la plupart des cas il est n cessaire d employer des m thodes de calcul num rique Ce pendant avant d aborder ces m thodes de discr tisation spatiale et temporelle des quations varia tionnelles deux solutions particuli res de ces quations sont pr sent es Elles permettent d obtenir une formulation int grale des probl mes lastodynamiques et forment en quelque sorte une base sur laquelle les solutions sont projet es Les m thodes num riques d l ments finis et d l ments de fronti re sont alors clair es par les propri t s de ces fonctions l mentaires La premi re de ces solutions es
78. une part que l on peut exprimer le d placement U s partir du vecteur d tat X s U s l Inn ONN l X s et d autre part que par d finition a OX FO ONN En rempla ant dans D 17 on a donc U s Ivw Own lara a Fo et d apr s D 1 on en d duit en faisant s ww que 1 K iwD u M Iyn Own JE A iB JT OY Inn OnN OR iw rae NN PR iw Domaine fr quentiel D s lors il est possible d crire la matrice num rique de Green Elle corres pond la r ponse de la structure soumise une sollicitation harmonique de pulsation w G w K iwD M D 19 b iw s Domaine temporel La r ponse impulsionnelle de la structure est calcul e par simple transform e de Fourier Puisque 1 pour transform e de Fourier Y t e iw si ou Y t repr sente l chelon de Heaviside On a simplement t G t hear t erp D 20 ou est la matrice des vecteurs propres normalis s d finis par 1 p p b Manuel d utilisation de Modalys Objets l ments finis INTRODUCTION ne partie des r sultats de cette th se ont t impl ment s dans le code informatique Modalys Il s agit principalement du calcul des modes d une strucuture discr tis e par l ments finis Modalys est daur navant un code d l ment finis o 1l est possible de cr er un maillage partir de rien en utilisant des op rat
79. vectoriel a u v f v Vv U sous espace vectoriel de A 20 Et r ciproquement si u v rifie A 19 ou A 20 selon le cas alors c est la solution du probl me d optimisation A 1 3 2 Minimisation avec contraintes galit s Multiplicateurs de Lagrange Interpr tation g om trique de la m thode des multiplicateurs de Lagrange Consid rons un probl me de minimisation d une fonction J R R avec la contrainte x1 x2 0 La figure A 5 repr sente la courbe d crite par la contrainte amp x1 x2 O dans le plan x1 x2 et les courbes de niveau d finies par J 1 2 cste Il est clair que la solution de ce probl me est le point d intersection de la courbe y x1 x2 0 avec la courbe de niveau de J ayant la plus petite valeur Si en ce point les deux courbes sont continiment diff rentiables alors elles sont tangentes Puisque la normale n toutes courbes de la forme f x1 x2 cste est porportionnelle au son gradient n x V f les gradients VJ et Vy sont proportionnels et reli s par TJ r 0 ce qui constitue la condition n cessaire pour que le probl me ait une solution La constante est appel e multiplicateur de Lagrange 136 J is ts cste FIG A 5 Extremum pour un probleme a deux dimensions Pr sentation math matique Consid rons un probl me de minimisation d une fonctionnelle 7 Q C E R d finie sur un ouvert convexe Q avec contraintes
80. vitesses diff rentes il a fallu attendre le milieu du X X si cle pour que Kupradze 13 de Hoop 14 ou encore Wheeler et Sternberg 15 entres autres g n ralisent les travaux de Love 16 et obtiennent une formulation int grale conforme au caract re vectoriel des champs en pr sence champ de d placement champ de force Ces formulations int grales sont l origine de nombreux progr s dans la pr diction des ph nom nes de propagation d ondes dans les solides diffraction rayonnement propagation fracture etc quels que soient les mat riaux envisag s isotropes ou ani sotropes Aujourd hui avec les performances des ordinateurs les quations int grales qui d coulent de ce formalisme sont r solues par les techniques num riques d l ments de fronti re Ces techniques sont analys es et d crites dans de nombreux ouvrages citons par exemple les livres de Bonnet 17 et de Brebbia 18 1 1 Formulation int grale L application de l identit de Maxwell Betty II 42 aux probl mes lastodynamiques lin aires dans un domaine E ouvert contenant 9 permet de repr senter la solution u du probl me P en un point x OQ sous la forme int grale Ref 17 1 18 Kug K t J atyn fily t du in GF x vit oij u n y t TH x y t uily t ds fe mbo tec in Hot 6e y doy t pour x Q ouvert avec K 0 pour x Q 37 Autrement dit connaissant le champ de force volu
81. x y nj y y 00 II 6 4 Il existe autant de solutions l mentaires que de domaines F et de conditions aux limites sur OE Les plus utilis es sont celles de Helmholtz dans le domaine fr quentiel ou de Stokes dans le domaine temporel Ref 19 18 Ce sont des solutions l mentaires de l espace E R3 tout entier assujetties la condition de Sommerfeld qui stipule que le flux d nergie est sortant linfini et qu il n existe pas de source l infini 1 2 quation int grale Afin d obtenir une expression explicite de la solution du probl me Pz l aide de la repr senta tion int grale II 1 il est n cessaire de d terminer sur la surface OQ les valeurs du couple on u qui ne sont pas prescrites par les conditions aux limites D apr s les conditions IL 28 et 1 29 du probl me Pz la force x on qui s exerce sur la surface de Dirichlet l et le d placement u sur la surface de Neumann restent inconnus Il faut donc trouver une quation int grale qui permette de les calculer Or la relation III 1 ne vaut a priori que pour un point x l int rieur ou l ext rieur de Q c est dire en dehors de la surface OQ En effet les tenseurs mis en jeu peuvent pr senter une singularit pour x y et certaines int grales sur OQ cessent a priori d avoir un sens pour x Q La construction d une quation int grale n cessite une proc dure de passage la limite permettant
82. 1 tk At In addition the contact pressure o is postulated in this model to be a succession of impulse forces such that M eos N on x th d t ty ou x k VIL 32 k 0 Thus the convolution that appears in formula VII 30 can be replaced by the discrete sum k N x y t on y t SN x y k l on x 1 1 0 and can be split with respect to the contact pressure into instantaneous and historical terms k k 1 gt N x y k Don x l N x y 0 on x k gt N x y k lon x 1 1 0 1 0 Here N x y 07 is in fact the jump N x y 0t N x y 07 but N x y 07 is zero by causality 108 Thus the normalized distance between body a and b at time tg which should exist in absence of contact can be evaluated by k 1 w x k x k D N x y k l on x Ll dsy VII 33 le 1 0 This relative distance can be greater than the normalized gap function on a portion Te k of the candidate contact surface I see the contact condition VII 2 If this surface is not empty a contact occurs between the time tk and tg producing a pressure to avoid the penetration of the bodies In order to obtain a very simple algorithm the contact pressure is postulated to act at discrete time t and not between t _ and t4 In other word a small penetration is tolerated On the extended contact area l k which varies on time the particles velocities can be computed in the sam
83. 1 22 dt Qi CNE Lt Cette relation est obtenue en prenant en compte la conservation de la masse 1 12 et 1 13 dans la formule de d rivation 1 9 Energie libre Un autre forme d in galit fondamentale est obtenue en liminant h de 1 19 et 1 17 En tenant compte du fait que 0 gt 0 il vient q 791 20 1 23 p 0s T Okl k l Il est parfois utile d exprimer cette in galit en fonction de nergie libre sp cifique d Ee s 1 24 en liminant l nergie interne L in galit obtenue est appel e in galit de Clausius Duhem q e 86 on1 tte a GO1 0 125 Pint Pin La quantit Ping repr sente la dissipation intrins que volumique et la dissipation thermique volumique Il faut insister ici sur le terme volumique car ces expressions sont valables dans le volume Q 3 4 c est dire en dehors de la surface de discontinuit X des champs consid r s Pour les probl mes de contact o cette surface existe il faut pr ciser la notion de dissipation surfacique voir Chap VII 2 2 Les quations quilibre obtenues dans cette section sont appliquables en toute g n ralit des syst mes physiques de g om tries et de constitution quelconques Mais ces quations sont insuffi santes pour permettre une pr vision des mouvements et des efforts int rieurs partir des conditions initiales et des donn es sp cifiant les actions ext rieurs exerc es sur
84. 1 Un syst me dynamique volue de mani re optimiser la diff rence T V entre son nergie cin tique et son nergie potentielle totale moyenn e dans le temps T v T V dt 11 18 L nergie cin tique T correspond l int gration de la forme bilin aire m Elle est d finie de E x dans R par la forme 1 1 T v 5m v 5 pints dv IL 19 Quant l nergie potentielle totale V elle repr sente la diff rence de l nergie potentielle de d for mation issue de l int gration de la forme k et de la puissance des forces ext rieures s exer ant dans le champ de vitesse v 1 1 Viv 5 kv y v 7 Ori V UK dv for dv thr ds 11 20 n De fa on tre coh rent avec la formulation des probl mes statiques pour laquelle seule la fonction nelle d nergie potentielle totale V est minimis e la fonctionnelle de Hamilton sera crite dans la suite sous la forme de l oppos de 11 18 I v V T dt 11 21 La formulation variationnelle II 14 est alors quivalente la minimisation de cette fonctionnelle sur l ensemble des fonctions admissibles U Ce qui revient rechercher la fonction qui t fait correspondre u t d finie de 0 7 dans U telle que J u inf J v 11 22 A l inverse partant de la fonctionnelle de Hamilton il est possible de v rifier que le principe de minimisation ci dessus permet d obtenir la f
85. 11 41 pENe WP Ce qui donne d apr s III 40 la composante en d placement P en un point x QUT i t A 3 EgUT Pr x y t Y X ae Pi PRY y III 42 nen Pp A R y ETa et la composante de force sur la surface de Dirichlet X en un point x T4 i t 4 eOuyr X x y t Y t SO sin wpt Si OO xy 111 43 PEN MpWp amp x 5 y la Ces r sultats sont rassembl s dans le tableau II La repr sentation modale du noyau de Poisson respecte les relations de sym trie donn es la table 1 53 P x y t xE QUT xET4a yEeQur PF yt Eh XE yt L ahlt yels Part gt ph DE ASEE NY TAB II Repr sentation modale du noyau de Poisson La somme s tend sur tous les modes propres l ex ception des modes rigides et la fonction h t vaut h t Y t eet o Y est l chelon de Heaviside La M pw notation D d signe le pi me mode non rigide observ dans la direction 7 et la i me composante de la force qu il engendre sur la surface de Dirichlet I kN Dans ce chapitre nous avons montr que la solution du probl me aux limites Pz peut se pr senter sous la forme d une solution int grale o figurent explicitement les conditions aux limites gr ce au noyau de Poisson Cette formulation fournit sur la surface du solide les valeurs du couple force d placement qui ne sont pas prescrites par les conditions aux limites et permet ainsi de pr voir les rapports
86. 6 view mesh my mesh Select a part of the mesh my mesh 174 define my sub mesh make mesh restrict plane my mesh vector 0 0 1 vector 0 0 0 view mesh my sub mesh The mesh named my sub mesh represents the plane of equation z O the ground here restricted to the mesh my mesh Define a finite element objet using the mesh my mesh block the sub mesh my sub mesh and ask for 30 modes define my fem make object finite element mesh my mesh block my sub mesh modes 30 view object my fem To visualize the mesh and the sub mesh use c and e in the medit application see Fig E 1 Note that here the material parameters density young poisson and the losses are the defaults ones You can check them in the toplevel scm file in the mos init elk directory E 14 make object finite element 175 FIG E 1 To obtain the number of a node visualize the finite element object using the view object command and shift click the facet of interest Notes The function make access see Modalys Reference can be used on a finite element object Three direction can be declared normal trans0O or trans1 For example the instruction define my fem accessi make access my finite element const 1298 normal make an access on the 1298th node of the finite element mesh in a direction normal to its surface An access can be declared in the tangential direction o
87. 6 est plac sur la surface de Dirichlet la colonne 16 repr sente donc la r ponse du solide lorsqu un d placement et non pas une force est impos e ce noeud 63 lois de comportement 1 60 ou 1 61 Dans le domaine discret la prise en compte des effets vis queux se traduit par la pr sence dans les quations du mouvement d une matrice d amortissement D En sa pr sence les valeurs propres et les vecteurs propres du syst me ne sont plus r els mais complexes La partie imaginaire des pulsations propres repr sente l amortissement du mode corres pondant L annexe D montre comment prendre en compte ces modes complexes dans le calcul du Noyau de Poisson QU A Au terme de ce chapitre une solution num rique du probl me Pz avec conditions aux limites ar bitraires a t obtenue et ce pour des configurations g om triques quelconques Le calcul num rique du noyau de Poisson par repr sentation modale pr sente l avantage d tre syst matique Le calcul num rique du noyau de Poisson peut n anmoins tre envisag avec d autres techniques num riques par exemple la m thode des l ments de fronti re 64 Chapitre IV M thodes num riques Q NOR SITE ri SSSR Coos Ss Qe usqu a pr sent nous nous sommes int ress s l tude dynamique d une structure subissant de petites d formations par rapport sa configuration non d form e La lin arisation des quation
88. Academie de Nantes Universit du Maine TH SE DE DOCTORAT Sp cialit ACOUSTIQUE Pr sent e par Jo l BENSOAM pour obtenir le grade de DOCTEUR DE L UNIVERSIT DU MAINE REPR SENTATION INT GRALE APPLIQU E LA SYNTH SE SONORE PAR MOD LISATION PHYSIQUE M THODES DES L MENTS FINIS Soutenue le 20 juin 2003 Rapporteurs et membres du jury B DUBUS Charg de recherche hab CNRS IEMN ISEN Rapporteur M RAOUS Directeur de recherche CNRS LMA Rapporteur M BRUNEAU Professeur l Universit du Maine M BONNET Directeur de recherche CNRS LMS Polytechnique N JOLY Ma tre de conf rences Universit du Maine R CAUSSE Charg de recherche hab IRCAM P JOLY Directeur de recherche INRIA TH SE REPR SENTATION INT GRALE APPLIQU E LA SYNTH SE SONORE PAR MOD LISATION PHYSIQUE M THODES DES L MENTS FINIS Jo l BENSOAM Soutenue le 20 juin 2003 Julie Remerciements Mes remerciements sont tout naturellement adress s tous ceux qui ont permis de rendre ce tra vail possible et donc en premier lieu Ren Causs et Nicolas Joly qui ont accept s d encadrer cette th se L accueil et la gentillesse du premier ne sont pas sans rapport avec la concentration et l in vestissement que j ai pu consacr mon sujet Je voudrais remercier le second pour sa disponibilit attentionn lors de mes visites au Mans au cours desquelles j ai pu b n ficier de son exp r
89. Be Bee ee 6 1 ENERGY DISSIPATION DURING CONTACT Quelques remarques suppl mentaires Conclusion III Annexes A Probl mes d optimisation sous contraintes 1 D riv e d une fonctionnelle 1 1 D MOS Sd da ai emo na K DES ee 1 2 D riv e d une fonctionnelle quadratique Optimisation sans contrainte 2 1 E g atio d E ler sss erone retiri dtud ee or ce 44 Optimisation avec contraintes 3 1 In quation d Euler 4 ae d s seu ax 4 pee de ER n 3 2 Minimisation avec contraintes galit s 3 3 Minimisation avec contraintes in galit s 3 4 M thode de r solution B Matrice de raideur g om trique C Noyau de Poisson unidimensionnel 1 2 Barre semi infinie amp s se sis Ee di dos ss natale 1 1 Conservation de lenergie Kos hee GES 64 st ei ant ES Barre libre libre de longueur finie D Oscillations amorties des syst mes n degr s de libert l 2 Equations d un syst me amorti Cas homog ne syst me aux valeurs propres 2 1 D MMUONRS 2 664 ae Ne Re d e e REE ER Heo eG 2 2 Relations d orthogonalit des modes R solution dans le cas non hom
90. E R une fonctionnelle donn e Les conditions n cessaires font g n ralement intervenir la d riv e premiere de la fonctionnelle J c est le cas de l quation d Euler 7 u 0 lorsque U E o des in quations d Euler si U est convexe J u v u gt 0 Vv U Lorsque l ensemble U est de l une des formes suivantes contraintes galit s U VEE p v 0 1 lt i lt m ou contraintes in galit s U vEEyilv lt 0 L lt i lt m la r solution du probl me A 1 fait intervenir les d riv es premi res des fonctions par l interm diaire des multiplicateurs de Lagrange dans le premier cas ou par l interm diaire des relations de Kuhn et Tucker dans le second 130 Remarque La plupart des r sultats qui suivent sont tablis sur des espaces vectoriels r els R Cette pr sentation permet de d gager les concepts de l optimisation qui pourront tre tendus a des espaces vectoriels plus g n raux et en particuliers aux espaces vectoriels de fonctions champs acoustiques champs de d placement en lasticit utilis s pour r soudre des probl mes de la physique 1 D RIV E D UNE FONCTIONNELLE 1 1 D finition Pour minimiser une fonctionnelle sur un ensemble donn on est souvent amen tirer parti des propri t s de sa fonction d riv e Dans le cas o la fonctionnelle est d finie sur un espace vectoriel de fonctions par exemple la d finition de la d ri
91. Hogeschool Delft 1958 L T Wheeler and E Sternberg Arch Ration Mech Anal 31 51 90 1968 A E H Love In Proc R Math Soc volume 1 of 2 page 291 London 1904 M Bonnet Equations int grales et l ments de fronti re CNRS ditions Eyrolles Paris 1995 C A Brebbia Topics in boundary element research Volume 01 02 Springer Verlag Berlin New York 1985 A C Eringen and E S Suhubi Elastodynamics volume IT linear theory Academic Press New York 1975 P M Morse and H Feshbach Methods of mathematical physics volume Part I Mc Graw Hill New York 1953 pp 803 814 192 21 V A Kozlov V G Maz ya and J Rossmann Elliptic boundary value problems in domains with point singularities American Mathematical Society Rhode Island 1997 22 H Lamb On the propagation of tremors over the surface of an elastic solid Phil Trans R Soc A203 1 42 1904 23 K F Graff Wave Motion in Elastic Solids chapter 2 Dover Publications Inc New York 1975 24 A Alastuey M thodes th oriques pour la physique Cours de DEA de physique statistique et ph nom nes non lin aires de PENS Lyon 25 K J Bathe Finite element procedures in engineering Prentice Hall Englewood Cliffs New Jersey 1982 26 O C Zienkiewicz and R L Taylor The finite Element Method volume 1 and 2 McGraw Hill Ath edition 1991 27 J F Imbert Analyse des structure par l ments finis Cepadues Toulo
92. I resp E Cette particule est aussi rep r e par ses coordonn es eul riennes x xj x5 25 resp x xT x5 73 dans la configuration actuelle configuration d form e Son d placement est alors donn par mM us xr XF resp up x X i 1 2 3 a 4 a 80 Ps X XT X2 X3 Gap X t lt 0 Fic VI 1 Condition de contact dans la configuration d form e Une particule mat rielle P appartenant la surface potentielle de contact esclave r subit l instant t un d placement u et occupe dans la configuration d form e le point x y X t Le point de la surface maitre 72 le moins loign de x est not x p X t La mesure orient e de cette distance est r alis e par la fonction mat rielle Gap X t Par convention lorsque les points x et X occupent une position admissible non p n tration des solides le signe de la fonction Gap est n gatif La condition d imp n trabilit des solides s crit donc Gap X t lt 0 VX E TE 1 Une fonction y est suppos e exister permettant de relier ces deux types de coordonn es Xp IX 7 et KT So Xat VI 4 Cette fonction permet aussi de relier les surfaces mat rielles de contact T et I aux surfaces d for m es not es yf et y cf Fig VL1 Ye p Tit resp yo p e t En tout point X de la surface mat rielle esclave T et a tout instant t la condition d
93. J u f u2 27 u 31 J u un J u On a donc d une part dJ u a dp u 0 et puisque LH A T u ve d autre part on obtient la relation J u A ujy u 0 en posant A u ae ou encore 1l lt i lt m Les sont appel s multiplicateurs de Lagrange Ils expriment l influence d une variation de la contrainte sur la valeur que prend la fonctionnelle en son extremum u Th or me Si u est la solution du probl me de minimisation A 21 sur l ensemble U v E pi v 0 1 lt i lt m en lequel les d riv es y sont lin airement ind pendantes alors existe m multiplcateurs de Lagrange tels que mM J u X A ug u 0 A 22 i 1 L unicit des nombres est assur par l ind pendance lin aire des d riv es y Lagrangien L application du pr c dent th or me pour r soudre le probl me de minimisation A 21 revient donc chercher le couple u qui minimise le Lagrangien L v p EE x R gt L v u T v 3 mpi v A 23 1 1 dans l ensemble x R Ce faisant on est ramen un probl me de minimisation sans contrainte d crit en section 2 138 Fonctionnelle quadratique Supposons que l on recherche les extremums relatifs d une fonctionnelle quadratique 1 J R gt T v _ 5 AV v gt v o An est une matrice sym trique et f R un vecteur donn par rapport un ensemble de la forme U v eR
94. LL L 9 Ek KUKLE Er ON See Dar soit Th RIR LE V 17 Lin arisation du pseudo tenseur de Piola Lagrange Avec cette expression on peut faire appara tre 0 En effet d veloppons X gz au premier ordre au voisinage de l tat pr contraint KL ZKL E 0EKr O0Emn Emn Emn or E9 y repr sente la d formation avec u 0 soit d apr s V 8 ET Emn x on a donc Emn Emn Emn x Eun x 2 Ax OXy Ox AXn Ser yI N Peete Megan 7 Br MERN T AU Ge 69 d apr s V 8 p kp EUk p en n gligeant les termes d ordre deux en il vient 1 Eun Emn p M z tpg van Lq N Ly MEpq U Xq N En posant Aximn ODK1 0Emn 0 V OEKLOEMN V 18 on exprime le tenseur X x 7 au premier ordre au voisinage de l tat pr contraint par DKL ZKL E CAKLMN Tp M pq U Ta N V 19 Lin arisation du tenseur de contrainte Puisque par d finition che O twee tex le terme Che me OD ences de V 17 devient OT KER mL Ohm E Ckmpq pq U o l on a pos Comp O AKLMNEk Km Lip Mq N V 20 On a donc Ort Ckm ECkmpq pqa U 1 V 21 or la relation V 8 nous permet d crire Tim sous la forme Tim Sim EUi m Le report de cette expression dans V 21 nous donne finalement ht Oh ORmUl m Ckimn mn u V 22 Ceci constitue la lin arisation au voisinage de l tat pr contraint du pseu
95. Maceri editors Unilateral problems in structural analysis IV proceedings of the Fourth Meeting on Unilateral Problems in Structural Analysis Basel Boston 1991 BirkhAuser Verlag 63 J N Reddy Applied functional analysis and variational methods in engineering 1985 64 M Schatzman A hyperbolic problem of second order with unilateral constraints The vibrating string with a concave obstacle Journal of Mathematical Analysis and Applications 73 138 191 1980 65 L Schwartz M thodes math matiques pour les sciences physiques Hermann Paris 1979 66 V A Solonnikov On green s matrices for elliptic boundary value problems In Proc Steklov Inst Math volume 110 pages 123 170 1970 67 V A Solonnikov On green s matrices for elliptic boundary value problems In Proc Steklov Inst Math volume 116 pages 187 226 1971 68 M Tinnsten M Jonsson and O Johansson Prediction and verification of acoustic radiation Acta acustica 87 117 127 2001 B Boussinesq pseudo tenseur 67 C coefficients de Lam 22 COMBOS E E an ent eau i condition d imp n trabilit 79 condition de Dirichlet homog ne 26 condition de Dirichlet non homog ne 30 CONdILIONS 3440440 nt asus 132 conservation de l nergie 13 conservation de la quantit de mouvement 12 conservation de la masse 12 conservations des moments
96. OF La solution de Mindlin ne r sulte pas de l application de la m thode des images La solution de Mindlin est le noyau de Poisson de demi espace E avec condition de Neumann sur la surface OF surface libre Elle contient la solution de Boussinesq force normale pontuelle sur la surface OF et la solution de Cerruti force de cissaillement ponctuelle sur OF En lastodynamique il existe la solution bidimensionelle de Lamb pour le demi plan de R soumis a une force impulsionnelle sur sa surface par ailleurs libre de tout effort 22 19 Concernant le demi espace de R les calculs sont men s en effectuant une transform e de Laplace suivie d une transform e de Hankel K F Graff 23 d taille la proc dure de Cagniard qui permet d obtenir les transformations inverses de Laplace Il obtient le d placement la verticale de la source r 0 et sur la surface z 0 pour une force ponctuelle normale la surface du demi espace du type r F r t oa Y t 6La condition de Sommerfeld stipule que le flux d nergie est sortant l infini et qu il n existe pas de source l infini 47 F r t mas cnan lt _ gt FIG II 4 Noyau de Poisson en lastodynamique Il existe une solution l mentaire pour le demi espace de R qui correspond l application d une force ponctuelle dans la direction normale la surface z 0 3 2 Transformations conformes en dimension deux La m thode d
97. Pr y t est cette fois une fonction de la variable x Q correspondant une source plac e en y Q appliqu e dans la direction k k 1 2 3 Ce noyau v rifie donc les quations e Relation fondamentale de la dynamique sym trie du tenseur des contraintes et loi de comporte ment DE P pPF 6 t 6 x y ix xen III 13 PSP x EN III 14 2 P Chak xen III 15 e Conditions aux limites p 6 t d x y dix x 4 Dirichlet III 16 ue P n 6 t d x y dix x IT Neumann III 17 e Conditions initiales PF x y 0 0 x Q d placement initial IIL 18 P x y 0 0 x Q vitesse initiale III 19 Selon la position du point source y Q la solution l mentaire de Poisson se d cline en trois composantes dont l interpr tation physique est imm diate 1 le point source appartient l int rieur du domaine y Q Dans ce cas le noyau de Poisson correspond au tenseur de Green G x y t solution lastodynamique du probl me Pz avec le jeu de donn es pf o t o x y ex t u 0 IIT 20 Il est d fini pour x y Q x Q La composante G du tenseur de Green correspond au d placement du systeme m canique observ en x selon la direction 7 lorsqu une force im pulsionnelle est appliqu e en y l int rieur du domaine Q dans la direction k 2 le point source appartient la surface de Neumann y I n Dans ce cas le noyau de Poisson correspond au tens
98. RMAL STATEMENT OF THE PROBLEM Formal statement of the problem 1 1 Geometry and conventions We consider the two body contact problem show on Fig VII 1 where two bodies a and b are expected to come into contact during the time interval of interest 0 7 To simplify notations a star x is used to represent indifferently body a or b Let Q be an open bounded subset of the three dimensional Euclidean space R with a boundary 00 The set Q is occupied by an elastic body B A material point of B is represented by vector co ordinate X Xf X3 X3 in the undeformed reference configuration doted line in Fig VII 1 while in the deformed actual configuration at time t this particule is labeled by x X t xj x3 x3 solid line The material surface OQ of each body is decomposed as usual into three mutually disjoint parts T and T On T resp displacements t resp tractions t t are given We denote by I a portion of body x which is a candidate contact surface The actual surface on which a body comes into contact with the other one is not known in advance but is contained in the portion L of N In addition each body can be subjected to a body force f t such as gravity for instance The displacements of the bodies relative to the fixed spatial frame at time t are represented by a function u tE 0 7 u t ut t u t E where u t is the displacement field of body x at
99. RS PROPRES 2 1 D finitions Si est un vecteur propre du syst me D 4 associ la valeur propre 54 alors il v rifie l quation suivante l sB 0 D 5 En adoptant la notation matricielle les 2N vecteurs propres sont regroup s dans la matrice de dimension 2N x 2N T 0 O E On les valeurs propres associ es sont regroup es dans la matrice diagonale s de dimension 2N x 2N La matrice de dimension N x 2N est aussi introduite n o les sont les vecteurs propres associ s au syst me D 1 qu il faut exprimer Chaque v rifie K sD sM P 0 D 6 Il existe 2N vecteurs de ce type Les valeurs propres s sont les m mes que celles associ es au syst me D 5 La matrice est telle que 5 su a 2 2 Relations d orthogonalit des modes Repr sentation par vecteur d tat Si et sont deux vecteurs propres de D 5 associ s respectivement aux valeurs propres s et s on montre les relations suivantes OBO 6 b D 8 o l t b Sous forme matricielle les relations d orthogonalit D 8 se mettent sous la forme A sB 6 bils si D 9 r Puisque et B sont r elles on montre aussi que si s est une solution propre de D 5 alors son complexe conjugu sj tel que OF ets s est aussi solution propre 155 Repr sentation traditionnelle En reportant D 2 dans D 8 et en t
100. Solution num rique 2 Prise en compte des effets visqueux V Vibrations d une structure pr contrainte 1 W Syst mes de coordonn es et quations fondamentales 1 1 Description du probl me 1 2 Equations dans la configuration actuelle Q 1 3 Equations dans la configuration pr contrainte Lin arisation du pseudo tenseur de contrainte 2 1 Mise en vidence du tenseur de contrainte statique Equation variationnelle lin aris e dans la configuration initiale pr contrainte Matrice de raideur g om trique II Interaction entre solides VI Contact en lasticit 1 Couplage permanent es s 44 44e stades HERES SERS 1 1 Conditions de couplage 1 2 M thode par condition de Neumann 1 3 M thode par condition de Dirichlet 1 4 R solution des quations int grales Couplase unilat ral 4 ses as etes es be ebb oe ee ee ed 261 Notations et conventions 22 Lin arisation de la condition de contact 2 3 Condition de contact unilat ral sans frottement 2 4 Approximation par l ments finis de la condition de contact Contacts SIANIGUCS 6 5255 4 054586444 6805 68 4S SHEE HG ES de 3 1 Formulation
101. a n G 0 f t a Cette m thode est facilement applicable lorsque l intervalle entre les solides G u peut s exprimer au premier ordre en fonction du d placement u Ceci est rendu possible dans le cadre de I approxi mation des petits d placements en introduisant le jeu initial not G 0 Gap U Gap 0 Un En rempla ant ces expressions dans VI 27 le probl me de contact unilat ral est alors exprim sous la forme d une in galit variationnelle incluant l op rateur de Green G trouver on N tel que VI 29 qd an G 0n Jap p gt 0 Va N avec Jap Gap 0 n f t B VI 30 Puisque l op rateur G est d fini positif l in galit variationnelle VI 29 correspond la minimisa tion sur l ensemble convexe N de la fonctionnelle FH T gt R F a 5 G dr iplar L avantage de cette formulation est de r soudre le probl me de minimisation en ne mettant en jeu que des fonctions d finies sur la surface l e Le nombre de degr de libert n cessaire l approximation par l ments finis des quations se trouve donc consid rablement r duit De plus l in galit varia tionnelle VI 29 peut tre r solue par une m thode de projection puisque l op rateur de projection sur l ensemble N a une forme tr s simple Cf section 3 1 de l annexe A C est l objet de la m thode SOR Successive Over Relaxation method qui est une variante d
102. a repr sentation int grale III 25 Pour le solide a cela donne oi x t xy x t 10 vit xur y t dsy xETe if C one 79 Cette fois le terme xe x t correspond la force observ e sur la surface ll due l influence des sources plac es en dehors de cette surface Ce terme est connu et s crit la a E Pla XV x t N x x y t pf y t dvy k a k a F XO Nx yt Ep Y t dsy XO x yst ay y t dsy re re En effectuant la m me proc dure pour le solide b et en additionnant il vient l quation int grale d inconnu u J X x y t ugly t dsy bow x t z x i XETe VI 3 re 1 4 R solution des quations int grales Ces quations int grales sont r solues num riquement Les noyaux de Poisson sont calcul s pour chaque structure par la m thode modale et la relation force d placement peut alors s exprimer sous la forme d une convolution du type IV 15 Le temps est ensuite d coup en tranches de dur e At de mani re transformer le produit de convolution continu sous la forme d une somme discr te Seul un terme de cette somme doit tre d termin chaque pas d chantillonnage Ainsi de proche en proche l volution des syst mes en interaction est pr dit Toutes ces proc dures sont d taill es au chapitre VII lors de la r solution du contact unilat ral section 3 3 et 3 4 2 COUPLAGE UNILAT RAL Lorsque le couplage n
103. a E On Un pe n is the outward unit vector normal to 1 The second equation VIL 13b expresses the Dirichlet boundary conditions Finally the variational inequality VIL 13c expresses the unilateral and fric tionless contact condition on 1 5 Equation of motion Using the Green formula the classical strong form of the two body contact problem can also be obtained from the formulation VII 13 Px On Pak in Q x 0 7 VIL 15a ONU t on T x 0 7 VI 15b RU TT Xk on L x 0 7 VII 15c de Gap 0 On lt 0 ofp 0 Crit Jap U on Te x 0 7 VIL 15d On Op NE uh us ub This step is not a straightforward exercise In fact it can be shown that any sufficiently smooth so lution of VII 8 or VII 13 is also a solution of VIL 15 Conversely taking u and v in the convex set multiplying VII 15a by v u and integrating by parts over it is possible to obtain the variational inequality VII 8 and consequently VII 13 The relationship between the solution 102 of the variational inequality VII 8 or equivalently VII 13 and the solution of the classical pro blem VII 15 can be found in Ref 40 More precisely these relationships are only established by Kikuchi and Oden 40 in the static context where inertial effects are not taking into account To our knwoledege the question of existence and especially of uniqueness for the frictionless dynamic contact problems sta
104. a seule relation fondamentale de la dynamique Les structures sont des masses Connait on la propagation dans un tube Les structures sont des guides d ondes Enfin choisit on le formalisme modal Les structures sont celles dont les expressions ana lytiques des modes propres de vibration sont disponibles c est dire un petit nombre d objets vi brants pour la plupart une ou deux dimensions dont les g om tries et les conditions aux limites sont suffisamment simples plaque rectangulaire bords appuy s membrane circulaire fix e sur sa circonf rence corde tube ouvert ferm etc Le choix de se limiter aux seules structures simples dont les modes propres sont connus analytiquement comme c est le cas dans Modalys est un choix pratique L id e qui est l origine de cette th se est d exploiter les connaissances actuelles en ma ti re de calcul modal num rique pour envisager des structures de g om trie plus vari e voire de formes quelconques Cependant cette extension induit de nouvelles contraintes En effet les objets tridimensionnels interagissent n cessairement via leur surface Les conditions aux limites d pendent alors du temps et traduisent l influence du milieu ext rieur sur le syst me consid r Pour les objets simples trait s par Modalys cette difficult n appara t pas car les conditions aux limites sont immuables corde fix e ces extr mit s plaque support e et n interviennen
105. a une expression analytique connue Parmi ces configurations figurent les demi espaces de R n 1 2 3 Le calcul du noyau de Poisson est soit men directement souvent en passant dans le domaine de Laplace soit en utilisant la m thode des images deux sources sont plac es en miroir dans chaque demi espace et la superposition somme ou diff rence des champs qu elles cr ent permet d obtenir la solution l mentaire recherch e C est travers un exemple tr s simple une dimension qu est illustr ci dessous la m thode des images Ceci permet tra de bien fixer les limites de cette m thode et de faire la part entre fonctions de Green classiques et noyau de Poisson La connaissance de solutions l mentaires dans un demi espace permet aussi d envisager des g om tries plus complexes en utilisant les transformations conformes de coordonn es Cette m thode issue de la th orie des fonctions variables complexes est applicable aux probl mes bidi mensionnels 45 Bien qu l gante cette m thode ne permet pas d envisager le calcul du noyau de Poisson pour des configurations g om triques arbitraires Dans le cas g n ral et pour des syst mes finis dans l espace c est le formalisme modal que nous avons utilis et qui est d taill dans la derni re section 3 1 Noyau de Poisson pour les demi espaces Probl me une dimension La propagation d ondes de compression dans une barre de section
106. ace qui ont t g n r es par les d placements impos s u L quation II 37a repr sente bien le principe des puissances virtuelles prenant en compte la condition de Dirichlet homog ne ou non Il faut remarquer ici que la formulation vartiationnelle 11 37 peut encore s crire sous la forme tr s simple et classique Trouver U u x W tel que les cond initiales II 30 et I1 31 soient v rifi es et IL 38 m U V kU V E t V YV v k E W Et ce condition de d finir de nouvelles formes bilin raires de raideur et de masse agissant de W x W dans R se d duisant des anciennes par k U V k u v x v r klu r mU V m u v 11 39 Dans la formulation 11 38 appara t une nouvelle forme lin aire Y traduisant les influences ext rieures forces et d placements s exer ant dans le champ virtuel V WE v ar 11 40 pf v tl v p Klr nm LEIV 2 3 Propri t s de la solution du probl me P D monstration de l unicit _ Soient u x et U1 X1 deux solutions ventuelles du probl me Pz avec les m mes donn es f t u et les m mes conditions initiales up o Prenant dans 11 37 v K w avec w t Ut et X XxX respectivement v K w C dans la formulation variationnelle relative u et ajoutant il vient m w w k w w 0 soit encore Sm w w sk w w T W ww 0 m w w k w w T w w
107. age de l tat d quilibre Repr sentation eul rienne Compte tenu de la sym trie du tenseur des contraintes 1 16 le second principe 1 23 s crit encore TO gt 0 1 26 o d est le tenseur des vitesses de d formation dont l expression en fonction des d placements u est p 0s Oki dkl 1 dki 5 tel k 1 27 Puisque et E sont les seules variables d tat l nergie interne sp cifique et l entropie sp cifique s sont des fonctions d tat dans le sens o elles peuvent s exprimer en fonction des seules variables 0 et E Leurs d riv es temporelles sont donc a _ de O d _ 08 Os Si bien que le second principe 1 26 devient OS O Os Oc dk C 2 i PO ag POSE FRE ou dk nn 1 28 D une mani re quivalente il est possible de remplacer dans l in galit de Clausius Duhem 1 25 la d riv e particulaire de I nergie libre sp cifique par son expression en fonction des seules variables det E OW Op er 0 aa 1 29 En remarquant de plus que la d riv e particulaire E du tenseur de d formation est li e au tenseur des vitesses de d formation par Exp Tk KdkiTI L 1 30 un nouvelle in galit fondamentale est obtenue o o 8 0 om ptr r Ob OEK1 21 1 dei TO 0 1 31 iF ge Pint Pin Or puisque les quantit s du et 0 peuvent prendre ind pendamment des valeurs arbitraires il es
108. ail dans la premi re partie de ce document Les conditions aux limites cens es traduire les influences ext rieures subies par le sys t me taient des donn es du probl me Lorsque deux solides sont en interaction ce sont pr cis ment ces conditions de bord qu il faut d terminer Il est donc n cessaire d invoquer d autres principes pour r soudre ce nouveau probl me Le premier est le respect des lois de conservation non plus seulement dans le volume mais au niveau des interfaces entre solides Ces relations ont t tablies au chapitre I en consid rant une surface de discontinuit s parant deux corps m caniques Ici la prise en compte de cette surface prend tout son sens puisqu elle d crit la discontinuit effective de la densit de masse des solides en interaction Le second principe est un principe de bon sens il stipule que deux solides ne peuvent pas se p n trer l un l autre C est l une particularit des milieux solides qui n existe pas pour les milieux fluides Enfin il faut prendre en consid ration l tude men e en premi re partie de mani re inclure le comportement individuel de chaque sous structure dans la dynamique globale L examen des deux premiers principes permet d obtenir des informations capitales pour la suite Le principe d imp n trabilit peut encore se formuler sous la forme Deux solides ne se p n trent pas si le flux de masse travers leur surface de s pa ration I
109. al velocities disk1 Vo 1 m s_ and6m s a number of modes restricted to the number of elements in the rod i e 100 This truncation in the infinite modal series produces oscillations where accurate dicontinuities should exist at time t 0 t 20 s t 40 s etc These numerical Poisson functions are used in the contact algorithm and the results are ploted in Fig VIIL S5S 1 and zoomed in Fig VU 5 v The Velocity artefacts are linked to the modal trun cation It is then clear that the errors seen in the numerical solution are correlated to the numerical approximations of the Poisson functions independently of the contact algorithm 4 2 Three dimensional numerical example For curved contact surfaces the unilateral behavior on the boundaries may have a substantial in fluence on the response of the structures the structural systems even in cases of linear elasticity and small deformations exhibits nonlinear characteristics A collision between two elastic disks is consi dered here as an illustration of such a phenomenon An elastic disk subjected to gravity is dropped with two different initial velocities Vo 1 m s t and 6 m s on an other disk clamped on its edges see fig VII 6 For each initial velocity the contact algorithm uses the material and geometric characteristics given in table I to predict the temporal evolution of the two bodies by computing the distributed contact pressure The figures VII 7 and VII 8 help
110. aleurs en dehors de 0 1 et en particulier des valeurs n gatives Dans ces conditions la d monstration utilis e la section 2 1 est valable et permet affirmer que si u est solution du probl me d optimisation A 1 alors J u v 0 Vv U sous espace vectoriel de A 12 En particulier si Y E on retrouve la condition n cessaire 7 u 0 133 Op rateur de projection P L op rateur de projection permet d interpr ter l in galit d Euler A 11 Pour d finir cet op rateur on consid re un sous ensemble U non vide convexe ferm d un espace de Hilbert Etant donn un l ment quelconque w E il existe un et un seul l ment Pw tel que Pw EUet Pw w v Pw gt 0 Vveu A 13 et r ciproquement si un l ment u v rifie ueUet u w v u gt 0 Yeu A 14 alors u Pw Le vecteur u est la projection sur l ensemble U de l l ment w E Une interpr ta tion g om trique des in galit s ci dessus est donn e par la figure A 2 eS m W2 Wi FIG A 2 Interpr tation g om trique L angle a form par les vecteurs Pw w et v Pw est inf rieur m 2 Interpr tation de l in quation d Euler L in quation d Euler est inchang e si on multiplie le vecteur J u par un nombre strictement positif p gt 0 pJ u v u gt 0 veU p gt 0 Ajoutant et soustrayant le vecteur u on obtient une autre formulation de l in quation d Euler
111. ample define sub mesh make mesh restrict plane my mesh vector 1 0 0 vector 0 0 0 See also For details see make mesh restrict point make mesh finite element 170 11 MAKE MESH RESTRICT POINT Description Take a point or several points from a mesh to make a new mesh This function is helpful to extract a sub mesh from an original mesh Syntax make mesh restrict point mesh point s Parameters mesh The mesh from which the point or list of point 1s are extracted point s The point or a list of point given by its their number s in the mesh see wiew mesh to visualize the numbering Example Build your own mesh using the mesh tools duplicate add make mesh or simply read a file for example diapason mesh and visualize it define diapason make mesh read from file diapason mesh view mesh diapason Extract a point define point3 make mesh restrict point diapason 3 or a list of point define points make mesh restrict point diapason vector 1 2 3 to define two finite element objects blocked by different ways define femi make object finite element mesh diapason block point3 define fem2 make object finite element mesh diapason block points Visualize the objects view object fem1 view object fem2 Use the key c and g in the medit application to see the choosen boundaries CSS EE Q GE
112. ated e g Panagiotopoulos et al 48 49 By discretizing this inequality with respect to time and using a finite element method these authors also obtained a solution of the dynamic unilateral contact problem by solving a static pro blem at each time step In this case the contact conditions are devised on individual configurations without much regard to the temporal variation of the contact kinematic measures Taylor and Papa dopoulos 50 in the 90 s have shown that standard semi discrete time integrators are unsuccessful in modeling the kinematic contact imposed on the interacting bodies during persistent contact They have bypassed this difficulty by devising a special treatment of contact release conditions Since then Laursen et al 38 demonstrated that this dynamic kinematic condition guarantees the energy conservation for frictionless contact and proposed a formulation of dynamic contact problems which enables an exact algorithmic conservation of the linear momentum angular momentum and energy in finite element simulations The ability of the formulation to produce accurate results where more traditional integration schemes fail is emphasized by their numerical simulations Usually the variational inequality is obtained by adding a constraint to the classical equation of motion Conversely in the static case Fichera 45 or Oden and Kikuchi 40 showed that equations of motion with constraint can be derived from convex analysis and
113. bject using the view object command and shift click the facet of interest 175 Liste des figures et tableaux 158 Il Relation de sym trie du noyau de Poisson La premi re partie du tableau corres pond la relation classique de sym trie d un tenseur l mentaire de Green Les par ties hors de la diagonale expriment une nouvelle relation qui met en regard les ten seurs P et X il y a quivalence entre la r ponse en d placement de la structure suite l application d un d placement sur la surface de Dirichlet et la r ponse en force sur cette m me surface suite l application d une force au sein de la structure Il existe donc une relation de sym trie sans dualit entre excitation et r ponse 44 Repr sentation modale du noyau de Poisson La somme s tend sur tous les modes propres l exception des modes rigides et la fonction hp t vaut hp t Y t tet o Y est l chelon de Heaviside La notation D d signe le pi me mode non rigide observ dans la direction i et amp la i me composante de la force qu il engendre sur la surface de Dirichlet 4444 53 Material and geometric characteristics for the three dimensional numerical example 111 Bibliographie 190 1 2 3 4 5 6 7 3 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 A C Eringen and E S Suh
114. ce et des moments des efforts de volume par rapport l origine O Axiome 1 4 Conservation de l nergie ou premier principe de la thermodynamique La variation de l nergie cin tique T et de l nergie interne W d un domaine fluide ou solide 9 est gale la somme de la puissance P des forces agissant sur le syst me et du taux de chaleur Q re u par le syst me Math matiquement P W P 9 I 5 En m canique des milieux continus l existence d une densit sp cifique ou massique d nergie interne est postul e Elle permet d crire l nergie interne sous la forme W pe dv Q L nergie cin tique totale a pour forme 1 r p dv 2 Ja La puissance des forces de surface tn et de volume f est donn e par P p du tn uds or an Le taux de chaleur Q re u par le syst me se compose 1 d un terme de volume dont la contribution est l int grale de volume d une densit h qui corres pond aux taux de chaleur fourni par unit de masse aux l ments du syst me par I ext rieur 2 d un terme de conduction la fronti re OQ du domaine Q dont la contribution est l oppos e du flux d un vecteur courant de chaleur q sortant de la surface 00 Ce qui permet d crire Q ph du q n ds en OD o n est le vecteur unitaire normal la surface Q pointant vers l ext rieur du domaine Q4 Dans ces conditions le premier principe de la thermodynamique es
115. chlet I g et de Neumann Gi x y t 0 yeTa 11 10 Ti x y t 0 yel 111 11 alors la solution du probl me Pz peut s exprimer sous la forme d une solution int grale KUR x t pG x vit fily t du II 12 Q Gi x y t tly t ds TF x y t U y t ds ry l a p wo x GF x y t o x G x y t dy t pour x Q ouvert avec K 0 pour x Q S1 cette repr sentation int grale pr sente bien l avantage de fournir une solution en fonction des donn es f t elle pose un probl me lorsque les champs de contrainte ou de d placement in connus sur la surface OQ doivent tre d termin s Par exemple pour calculer le d placement sur la surface de Neumann I il faut pouvoir valuer la solution int grale III 12 pour x I et donc imaginer une fonction de Green pour laquelle une source impulsionnelle de force est plac e en x l n Dans quelle mesure cette exigence est elle compatible avec la condition la limite IL 11 qui impose pr cis ment la nullit des forces sur la surface de Neumann Les singularit s d une fonc tion de Green v rifiant les conditions aux limites III 10 et IIL 1 1 sont elles identiques celles de la solution l mentaire de Stokes III 8 Si elles diff rent peut on encore tablir une repr sentation int grale de surface du type III 9 o intervient l angle solide sous lequel la surface OQ est vue du point x A ce titre
116. cie pour ces conseils avis s et pour son r le efficient de pr sident de Jury J aimerais profiter de l occasion pour remercier aussi Hugues Vinet directeur scientifique de l Ircam pour avoir valoris ce travail au sein l institution et par la m me Nicholas Ellis pour avoir d velopp informatiquement certains r sultats Mais qu aurais je pu faire sans les changes riches et quoditiens entretenus avec Christophe Vergez et Nicolas Misdariis entre autres l origine du sujet de cette th se A les cotoyer j ai appris concr tement mon m tier de chercheur J esp re ne pas avoir abus de leur patience Ce travail a aussi pu aboutir grace l expertise de chercheur que j ai rencontr au cours de mon travail Je pense Philippe Souplet qui a eu la gentillesse de bien vouloir me recevoir pour envisager des r ponses aux questions math matiques li es aux repr sentatios int grales utilisant le noyau de Poisson Ce travail ne serait pas le m me sans l int r t amical et tr s pr cieux qu a port g n reusement Jonathan Ferreira Mes pens es vont aussi tous les acteurs du projet Sounding object pour avoir organis un workshop tr s fructueux et en particulier Davide Rocchesso qui a de plus relu avec pr cision un de mes articles Olivier Thomas m a aussi beaucoup aid dans la r daction de cet article et je me rem more avec d lice les discussions scientifiques passionn es que nous avions au congr
117. ciproquement on montre REF que le point selle du Langrangien L v u est la solution du probl me A 24 140 3 4 M thode de r solution Probl me primal et dual Finalement nous avons tabli que la solution u du probl me A 24 co ncide avec le premier argument du point selle du Lagrangien A 26 Si le second argument de ce point selle tait connu c est dire si tait solution du probl me trouver tel que AER GA sup G p A 29 HERY alors le probl me A 24 avec contraintes serait remplac par le probl me sans contrainte trouver u tel que u EE H u inf H v A 30 On appelle A 29 le probleme dual du probl me primal A 24 De m me u KR est la variable duale de la variable v E U C E Pour r soudre le probl me dual A 29 on calcule selon A 4 la d riv e de la fonction G G u G gt Gipi uy Puisque la fonction G admet un maximum en sur l ensemble convexe R l in quation d Eu ler A 11 montre que GA M A m S0 amp plu H A m lt 0 Yu ERY A 31 o est le produit scalaire dans IR D s lors les relations de Kuhn et Tucker peuvent prendre la forme Ju gt 5 1 Aiu y u 0 A 32 plua lt 0 pour tout u RY La premi re de ces quations qui correspond l annulation de la d riv e de H v en uy et qui permettrait de r soudre le probl me A 30 est d licate r soudre puisque d pend natu
118. conque Cependant ce type de choix de solution l mentaire n est pas fr quent et il a fallut adapter cette situation particuli re la th orie des quations int grales en aboutissant une formulation valide sur la surface des objets En effet les singularit s qui peuvent appara tre lorsque le point source co ncide avec le point d observation n c ssitent un traitement rigoureux C est la principale difficult qui a t lev e dans ce travail de th se les repr sentations int grales obtenues diff rent des solutions habituelles Dans une seconde partie les propri t s physiques qui auront t tablies serviront r soudre les probl mes d interactions entre les l ments de base principalement les probl mes de contact et d assemblage Cette partie constitue une alternative aux mod les ph nom nologiques g n ralement utilis s en synth se sonore pour traiter les interactions Ces mod les n cessitent l utilisation de pa ram tres non lin aires qui sont difficiles estimer a priori A l inverse dans ce travail le parti pris est de partir des principes premiers de la physique notamment des lois de conservation de la m ca nique des milieux continus pour aboutir in fine au comportement des structures en interaction en repoussant au plus loin les limites de l abitraire Ce travail ne serait pas abouti sans une application concr te La derni re annexe pr sente le manuel d utilisation du logicie
119. contact unilateral sans frottement Ces nouveaux objets et nouvelles possibilit s viennent s ajouter naturellement aux fonctionnali t s du logiciel Modalys Cependant ce logiciel a t con u sans qu il puisse tre possible de modifier les donn es au cours du calcul Le logiciel lis un fichier d intructions puis ex cute le calcul De r cents progr s en terme de temps calcul mettent aujourd hui l ordre du jour la modification du programme pour le rendre interactif Evidemment le travail est loin d tre achev et de nombreuses autres perspectives s imposent La synth se des instruments telle qu elle est envisag e ne prend pas en compte les effets du rayonnement Le son synth tique correspond la valeur d un champ d placement vitesse ou force pr dite la surface des objets voire l int rieur Or il est bien connu que le son rayonn distance d un objet correspond non seulement au rayonnement de chaque point de sa surface mais aussi l interaction de cette surface avec le fluide environnant Selon notre formalisme modulaire il serait possible d envisager ce probl me par l interaction de deux objets le solide et le fluide Cela n ces siterait de pr dire le couplage m cano acoustique sur l ensemble de la surface du solide en resolvant une quation int grale chaque pas d chantillonnage temporel Cette m thode est donc tr s co teuse Il est pr f rable de concevoir le syst
120. ction 19 transform rotation 20 transform translation 21 View Mesh sass sro Ra ded dw bwes Less Fes Lots sde 22 VEW MO LR ER Eo OX 23 VIEW ODJECl 224446264 ia pard pi taoa EEG D BEE ESE SES 24 RE RAIDE nn de eee eben Eee Hee Eee ye Es Liste des figures Liste des tableaux Bibliographie Index 157 158 160 161 163 165 167 167 168 168 169 170 171 171 172 176 176 174 178 178 179 179 180 180 181 184 187 189 195 Introduction a synth se par mod le de signaux se concentre sur la repr sentation temporelle de la vibration du son le signal sonore Helmholtz d s 1860 avait vu dans la vibration p riodique d un son la possibilit de le d composer en signaux l mentaires sinuso daux en utilisant la s rie de Fourier Mais il a fallu attendre le milieu du XX si cle pour que les techniques lectroniques permettent de synth tiser ces signaux Du concept de signal on est ainsi pass naturellement au concept de synth se le signal n est plus essentiellement un signal capt mais devient un signal synth tique Cette synth se par mod le de signaux se d cline en diff rentes formes La synth se additive l origine des premiers synth tiseurs analogiques construit un son par superposition de sinuso des Bient t les progr s du traite ment du signal utilis auss
121. d imp dance ou d admittance 54 Chapitre IIT Repr sentation int grale et formalisme de Green usqu a pr sent le probl me a t trait dans le domaine continu Pour pr voir le comportement dynamique d un solide de g om trie quelconque soumis des conditions initiales et des actions ext rieures arbitraires la m me d marche que celle utilis e pour les milieux continus peut tre mise en oeuvre en se pla ant dans le domaine discret D s lors la formulation variationnelle devient un syst me diff rentiel lin aire dont l inversion est rendue possible gr ce la version num rique du noyau de Poisson La premi re section de ce chapitre pr sente la discr tisation des quations varia tionnelles l aide de la m thode des l ments finis Le calcul du noyau de Poisson par repr sentation modale fait l objet de la deuxi me section Enfin l expression explicite de la solution du probleme aux limites en est d duite dans la derni re section 1 DISCR TISATION DU PROBL ME P 1 1 M thode des l ments finis L quation variationnelle 11 38 est discr tis e par la m thode des l ments finis Le domaine Q est repr sent par un maillage tridimensionnel d l ments finis sur lesquels une approximation du d placement est r alis e gr ce une famille de fonctions d interpolation polynomiale A Ce proc d introduit l espace de dimension Ne en lieu et place de l espace conti
122. de rayon ext rieur 0 5 m est cras par un obstacle rigide dont l enfoncement est r gl par le param tre a La formulation variationnelle r ciproque VI 29 et la m thode de projection it rative sont uti lis es pour r soudre le probl me de contact statique d un demi cylindre avec une fondation rigide Consid rons un demi cylindre fix sur le plan y 0 d paisseur e 0 05 m et de rayon int rieur et ext rieur valant respectivement r 0 4 et 0 5 m cf figure VI 3 Son centre est fix pour origine son module d Young vaut E 1000 N m et son coefficient de Poisson v 0 4 La surface ext rieure d un cylindre est de la forme y tVR2 2 R lt a lt R e lt z lt 0 Le cylindre peut tre en contact sur la partie inf rieure l e de cette surface La fonction qui caract rise I est y 4 V R a RITER La normale a sortante du demi cylindre est ne x P 14 672 4 n z 4 ny z 1 14 6 1 RP n x 0 91 Le vecteur N perpendiculaire la surface de la fondation est 0 N x Ny 1 0 Si la fondation rigide s enfonce dans le solide lastique d une distance a gt 0 alors le jeu initial se calcul par Gap 0 Ry f1 4S a Dans ce cas le d placement un x correspond au d placement selon l axe des y direction de la normale sortante la surface rigide surface maitre Op rateur de Green Le d placement sur la surface de contact I s c
123. do tenseur de contrainte o le suppl ment de contrainte de l quation V 16 est Okl dede T Ckimn mn U V 23 3 EQUATION VARIATIONNELLE LIN ARIS E DANS LA CONFIGURATION INITIALE PR CONTRAINTE L expression du pseudo tenseur des contraintes lin aris est remplac e dans la formulation varia tionnelle V 15 on Ekl i kdv pur 0p dv V 24 Q Q Saa ds t ctk k T o Ferdo OQ Compte tenu des propri t s de sym trie du tenseur de Piola Kirchhoff le tenseur C4 lpq jouit des propri t s de sym trie Ckipg Cikpa Cpakt Cklqp Ce qui r duit 21 le nombre de coefficients ind pendants dans le cas g n ral os el Ky Dre ST RSS ese iT eu 70 Pour pouvoir liminer la partie statique V 3 de cette formulation variationnelle sur Q on doit calcu ler et en lin ariser le rapport de Ce rapport peut tre trouv dans l ouvrage de Eringen et Suhubi 1 ds ds NI j Cu nan avec CL rr 0x 0x1 0x Compte tenu de V 8 on a d une part or Oem on EUm k Om EUm 1 Okt Eux Uk 2 et d autre part 7 1 eux k d o ds ds K 1 eux k Oki eluk Uk DENI 1 Ukk En O En Uk Uk Npn repr sente la d formation infinit simale dans la direction n L int grale de surface vaut donc __ ds _ tr a ety qa Ones me J t kds F tk Uk ktg Ent O ds aQ S an
124. e contact pressure ur x t ut u J N x y t only t dsy uy xX t VII 30 De an x t l N x y t on y t dsy x t VIL31 re where N x y t Ne x y t N x y t represents the relative Poisson function defined for y on the contact surface the plus sign is due to opposite normal unit vectors n and n Fi naly these integral representations VII 30 and VII 31 have been replaced into the contact condi tion VII 13c and VII 19 respectively to give the reciprocal variational problem VII 27 For static problems the dynamic contact condition VII 27b does not exist and the reciprocal variational problem can be alternatively formulated as a constrained minimization problem on the convex set N of the functional 1 FP Pn 5 Pn Go Pn r Pn Sapir where Go pn Jr N x Y Pn y dsy and N x y is a time independent Poisson function An iterative scheme to obtain a solution of such a problem using a variant of Uzawa s method can be found in 40 The dynamic problems are not so straightforward and the reciprocal formulation can be simplified using a time discretization that transforms convolutions into discrete sums 3 3 Time discretization and algorithm A time discretization of the two body contact problem is obtained by introducing a partition of the time domain 0 7 into M intervals of length At such that 0 to lt t lt lt tm T with tk
125. e la m thode d Uzawa que nous allons d crire a la suite voir aussi 40 et annexe A M thode d Uzawa L in galit variationnelle VI 29 est inchang e lorsqu elle est multipli e par un nombre stricte ment positif p On EN g on P G on Gap p 29 VaEN p gt 0 Ajoutant et soustrayant oy 4 On On On p G on Japl r 29 VaEN p gt 0 Tl est aussi possible d exprimer la fonction intervalle en fonction de sa valeur au pas pr c dent dans un algorithme it ratif Le proc d peut donc tre utilis dans un autre cadre que celui des petits d placements En revanche l utilisation du noyau de Poisson n cessite une th orie lin aire de propagation 89 il appara t d apr s A 14 que la solution est la projection sur l ensemble convexe N du vecteur p G on Jap On Px on p G on Jap p gt 0 Or l op rateur de projection a la forme simple Py q x min q x 0 x Te La solution est donc On Min On p G on Jap 0 surre p gt 0 VI 31 Il est donc naturel de d finir une m thode d approximation ee de calculer on tant donn un l ment arbitraire o H I on d finit la suite o pour k gt 0 par oft min o p G o gap 0 p gt 0 k gt 0 M thode SOR Notant que l in galit variationnelle VI 29 est d finie sur la surface de contact Ie l approximation par l ments finis de cette
126. e rigide plat et pression sur la surface de contact 92 Indentation d un demi cylindre Indentation d l enfoncement d un rectangle ri gide sur une distance de 30 cm 92 VII 1 Two elastic bodies a and b in their undeformed dash line and current solid line configuration The actual surface on which the body a comes in contact with the other one is not known in advance but is contained in the portion I of its boundary 98 VII 2 The surface I is called contact surface or sliding surface 103 VII 3 Two identical rods one initially stationary and the other moving with constant velo city v 1 unit contact each other at time t 0 110 VII 4 i Time discretization of the analytical Poisson functions valid for rod a or b 11 Numerical Poisson functions computed using normal mode expansion and zoomed in SUDNCUTEHI SL 666848 28445 66 Dee eee ee deb GS 111 187 VILS Impact of identical rods Subfigure 1 contact algorithm predictions using analytical Poisson functions Displacements velocities and contact pressure at contact point of rod a solid line and rod b dotted line 41 First 100 millisecond of interaction In this model the contact pressure is postulated to be a succession of impulse forces 111 Impact modeled by finite element method using numerical Poisson func tions The wave
127. e sur laquelle les forces de traction t sont appliqu es et ds est l l ment de surface Si l on se place dans le cadre de l approximation des petites d formations l nergie de d for mation est donn e sous la forme quadratique suivante w Z Ceci Ven v o v est le tenseur des d formations d fini par eij V 5 vig Vi Cijki X est le tenseur de Hooke qui regroupe les constantes d lasticit du mat riau Si bien que la fonctionnelle d nergie potentielle totale a pour forme 1 V E R Viv 5 kv v f v VI 15 en notant k la forme bilin aire de x R k v v Caves dv VI 16 Q Cette fonctionnelle est diff rentiable et sa d riv e s crit VV u v k u v f v Vu ve e 86 Condition de Dirichlet Le solide peut aussi tre soumis un d placement impos sur une partie I g de sa surface I L ensemble U des d placements admissibles sous ensemble de l espace de Sobolev H Q a donc pour forme U veH Q y v u surly VI1 17 o l op rateur de trace y4 v est une projection de H Q sur H T3 d finie par av vira VI 18 H T4 est l espace des d placements sur la surface l y Autrement dit l op rateur yq v est la restriction sur la surface T4 du champ de d placement v H Q Le syst me physique est l quilibre dans le cas o l nergie potentielle totale est minimale Math
128. e way x k x k N x y 0 on y k dsy VIL 34 e k where the velocity k xX k x k gt N x y k l on x Ll dsy VIL35 Me 1 0 is a known function consisting of external and historical contributions and does not depend on the contact pressure at time t Finally according to the dynamical contact condition VII 19 equa tion VII 34 must vanish in order to create non zero tractions and give the opportunity to calculate the contact pressure at time t by the integral equation N x y 0 on y k dsy x k VIL 36 L e k The contact algorithm can be summarized as initialize to 0 for all k 1 sample length for k 1 sample length compute u k by Eq VII 33 if ur k gt Gap then compute k by Eq VII 35 VII 37 compute o k for positive relative velocity by Eq VII 36 end k k 1 end Note that the relative velocity k is positive when a contact occurs between the bodies But since a small penetration is tolerated a negative velocity could be computed and a positive contact pressure would be produced To avoid such an error a test is done TThis small penetration is not a restriction in the model by calculating the exact moment of contact an algorithm without any penetration can be built This procedure slows down calculation without making real improvement and it is not chossen for ours applications 109 3 4 Approximation and
129. efine arc make mesh restrict quadrilateral diapason vector 4 x4r 2 2 r 1 x2r 3 4r duplicate rotation arc 6 vector 1 0 0 vector 0 side h 15 define branch make mesh restrict plane arc vector 0 0 1 vector 0 0 h duplicate translation branch s vector 0 0 2 side define fork make mesh add list arc branch define fork copy make mesh copy fork transform reflection fork copy vector 0 1 0 vector 0 0 0 define diapason make mesh add list base diapason fork fork copy save mesh diapason diapason mesh view mesh diapason define hold make mesh restrict quadrilateral diapason vector 63 189 188 62 182 define my finite element make object finite element mesh diapason modes 25 block hold young 19 5e10 density 7700 poisson 0 2 freq loss 0 const loss 0 view object my finite element compute modes my finite element set mode freq my finite element 0 0 set mode freq my finite element 1 0 save object my finite element diapason modal view mode my finite element 3 10 3 define my fem access in make access my finite element const 120 normal define my fem access out make access my finite element const 15 normal define my plectrum make object bi two mass 5 55 33 make pluck connection define my plectrum plk make access my plectrum const 1 tran
130. enant compte de la forme de A et de B en fonction de KK D et M les relations d orthogonalit v rifi es par les vecteurs PKP sis 8 M 2G D 10 SD si sj P M izbi sont obtenues Soit sous forme matricielle KG sd MSs fa D 11 D P M fs sE MS b Consid rons le cas o et sont complexes conjugu s Dans ce cas s s En crivant la valeur propre s sous la forme traditionnelle Si WW 4 1 E OG D 12 et en rempla ant et s s dans D 10 il vient PDE di 2 SS n n 0 D 13 PKP ki 3 R SOLUTION DANS LE CAS NON HOMOG NE 3 1 Repr sentation par vecteur d tat La solution du syst me D 4 est recherch e sous forme de combinaison lin aire de modes propres 2N X s X gx s Ox Oq s D 15 k 1 Dans ces conditions l quation D 4 pr multipli e par donne A sB Oq s 6 Q s dont la solution est i q s R s Q s D 16 avec 1 R s bils 8 0 Le report de D 16 dans D 15 permet d obtenir la solution du probl me dans la repr sentation par vecteur d tat X s Oq s OR s 0 Q s D 17 on en d duit donc d apr s D 4 que A sB a OR s 2N t eee D 18 k 1 be s Sk 156 4 MATRICE DE GREEN NUM RIQUE D apr s le chapitre IV la matrice de Green correspond l inverse de la matrice K sD s M Pour calculer cet inverse on remarque d
131. erage of the difference T V between kinetic and total potential energies will be an optimum In order to be consistent with the static formulation where variational inequalities arise from the minimization of the total potential energy we seek a minimizer of the Hamilton functional T v Vv T dt VIL3 0 on a constraint set that expresses the impenetrability condition VII 2 In other word the objective is to find a displacement u that minimizes the Hamilton functional J v on a constraint set K Mathematically find u such that J u inf J v VII 4 The constraint set depends on the physical problem and its definition plays an important role in the search of the extremum u For the two body contact problem we introduce the space Maa of admissible displacements v which verify the Dirichlet conditions defined by Una vV EE vf u on v u onl VILS The constraint set K consists of those displacement fields v which satisfy the kinematic contact condition VII 2 K v E Uaa Un Gap lt 0 nT VIL 6 100 where v v2 v is the normal component of the relative displacement on T2 This set K is not a linear space of but a nonempty closed convex subset of Thus by Euler inequality 10 the two body contact problem has the following variational form VI u v u gt 0 VvexX VII 7 ie u K such that where V J u v u is the G teaux derivative of J at u
132. erence algorithms The ability of the method to predict the contact interaction between two elastic bodies irrespective of the material constitution and geometry is highlighted by analytical and numerical simulations KEY WORDS contact problems Signorini frictionless contact elastodynamics Green functions finite elements INTRODUCTION The general problem of the equilibrium of a linear elastic body in contact with a frictionless foundation was formulated by Signorini 43 in 1933 who presented a more complete account of his theory in 1959 44 The first rigorous analysis of a class of Signorini problems was published by Fichera 45 The work of Fichera represents the first treatment of the question of existence and uniqueness of variational inequalities arising from the minimization of the total potential energy functional on a convex constraint set that expresses the impenetrability between the body and the foundation Since then the solution of the classical Signorini problem has been shown to be also the solution of a variational inequality that arises naturally from the principle of virtual work See for instance Oden and Kikuchi 40 who laid the mathematical framework for a variational statement of the Signorini s problem and took up the question of existence and uniqueness of solutions They also provided interpretations of weak solutions and discussed their relationship to the classical solution As customary saddle point the
133. erence of their enclosure at the surface I approached from the positive and negative sides of its positive normal e g f fT f7 These balance laws refer to the current deformed configuration of the bodies Eulerian confi guration For contact problems the boundaries of the bodies are unknown at the outset and must be determined from the solution of differential equations It is then convenient to employ a formu lation based on the reference undeformed configuration where the boundary conditions are known Lagrangian configuration This provides a reasonable amount of simplicity in dealing with contact problems even though the field equations may be more complicated Fortunately within the infini tesimal deformation theory there will be no distinctions among Lagrangian and Eulerian forms of balance laws and jump conditions see Ref 1 According to VII 17a the velocity undergoes a discontinuity through I e but this disconti nuity is purely tangential Equation VII 17b stipulates that the stress vector is continuous through I Decomposing the stress vector and the velocity into their normal and tangential components OkINI OnNk OT tele ilr nine l r Jp the conservation of energy through the contact surface VII 17c yields according to VII 17b On lux Nk OT l r lr lalr nm gt 0 onl VIL 18 Taking into account the conservation of mass VII 17a this leads to the tangential contact co
134. es conditions aux limites Un solide lastique est repr sent par un domaine Q limit par une surface OQ Ty UDa Solide Q contenu dans un ouvert E L application de l identit de Maxwell Betty permet de repr senter la solution u du probl me Pz sous la forme int grale Le Do maine Q est limit par une surface OQ Fn U Ia sur laquelle des conditions aux limites t et u sont impos es Contour d int gration Le domaine 2 est construit en privant le domaine Q de la boule B x de centre x et de rayon La surface OQ est compos e de la r union des surfaces I et Se Le point x est volontairement plac un endroit o la normale est discontinue pour tablir un r sultat g n ral M thodes des images Cette m thode consiste superposer les contributions de deux fonctions de Green de l espace infini dont les sources sont plac es sym triquement par rapport al origine 2 45 64445 ee 6686 SS Oh ERS Oe ee EES Noyau de Poisson en lastodynamique I existe une solution l mentaire pour le demi espace de R qui correspond l application d une force ponctuelle dans la direction normale la surface z 0 Similitude directe Similitude directe d angle 0 et de rapport Transformation conforme d un ruban La transformation conforme f z cosh 4 permet de passer du ruban infini au demi plan sup rieur de
135. es formules peuvent tre crites sous la forme matricielle t AVX u A U y AJY v AV z AZ w A W l Par exemple pour le noeud 6 on ar 1 s 1 et t 1 d o SC spi 145 avec LY ui T2 U2 AT Ay Ag Ag et X U B 3 Tg ug Le changement de coordonn es de l espace physique vers l espace intrins que de l l ment permet d exprimer plus simplement les calculs d int grales intervenant dans la forme lin aire B 2 En effet dans cette forme bilin aire interviennent des d riv es spatiales des champs de d placement L utilisation de la matrice jacobienne J permet de relier les d riv es dans les deux syst mes de coordonn es 2 Or J O 2 Feri ME Ot Oz Soit encore si le jacobien n est pas singulier A ou Ne ay s 5 J A U oz Ot A t Finalement on obtient Ou A ou A 0 0 7 A t 2 JT 0 0 IA U v t 0 JI 0 0 AJ 0 V Lo or NY w w SS gx ee Al gt Q oy 0 0 Al S oz Al S hs L Apr s quelques manipulations matricielles il est possible de mettre la forme bilin aire B 2 sous la forme Kool QIZI LQ de l ment o la matrice 9 x 9 Xo est fonction du tenseur de pr contrainte oo 00 0 0 Do 0 00 0 0 0 O0 Ce qui permet d crire la matrice de raideur g om trique l mentaire pour l ment isoparam trique CU8 a LT E TTL du B 4 l ment 2Le tenseur co
136. es qui permettent d envisager le calcul de ce noyau l mentaire dont la m thode modale Le quatri me chapitre consacr aux m thodes num riques expose la solution explicite du probl me aux limites l aide de la version num rique du noyau de Poisson Enfin la premi re partie se termine par l tude d un syst me m canique en vibration au voisinage d un tat d quilibre o r gne un champ de contrainte non nul Le spectre de vibration est alors modifi par la pr sence de cette pr contrainte corde table d harmonie archet de violon 10 ette th se fonde la mod lisation des instruments de musique sur les lois de la m canique Ce C chapitre propose une relecture synth tique des lois de la m canique de mani re faire ressor tir les principes physiques fondamentaux qui les sous tendent et qui seront la r f rence premi re de tous les d veloppements des chapitres suivants Il n est donc pas question ici de r crire un trait de m canique des milieux continus mais d insister sur la relation qui existe entre la pens e axiomatique de la m canique et la math matisation qui en d coule Les quations du mouvement d un corps en volution thermom canique peuvent tre tablies partir de lois de conservation En m canique classique cinq lois de conservation sont postul es ind pendamment de la g om trie et de la constitution des mat riaux tudi s Il s agit de la conservation de
137. es transformations conformes permet de calculer des solutions l mentaires pour des configurations de g om trie plus complexe L id e est de transformer un ouvert Q de R en un autre ouvert qui ait des sym tries plus simples et plus utiles que Q lui m me Typiquement le domaine Q est transform en le demi espace sup rieur y gt 0 pour lequel des solutions l mentaires analytiques existent Dans la suite ce proc d est utilis pour r soudre quation de Poisson o intervient le laplacien et permet de traiter des probl mes hydrodynamiques ou lectrostatiques Nous n avons pas encore faute de temps p tendre cette d marche aux probl mes de l lasticit mais il nous a parut int ressant de relater ici cette m thode l gante et syst matique 24 Ceci afin de montrer qu il peut exister des solutions l mentaires pour d autres configurations que les espaces infinis ou semi infinis D finition Effectuer une transformation conforme de R dans R c est trouver un changement de coor donn es X P x y Y Q x y qui soit associ une fonction analytique f z d finie par F P iQ Une fonction f z est analytique en 20 o iyo si sa d riv e au sens complexe f zo n est pas nulle La matrice jacobienne de f P iQ soit P Q J B 6 IIL 33 Oy Oy la forme d une similitude directe c est dire qu en posant 0x x xo et dy y Yo on a au premier ordre en x dy 0X Acos
138. est crit sous la forme d une matrice 3 x 3 amp dt 146 Cette int gration est r alis e par la m thode des points de Gauss sur l l ment cubique en coordon n es intrins ques Kaos L I Eo J tL det Jdrdsdt B 5 hexa dre Noyau de Poisson unidimensionnel 1 BARRE SEMI INFINIE Consid rons une barre semi infinie occupant l espace R 0 00 initialement au repos et soumise une force impulsive 6 t en son extr mit x 0 au temps t 0 Le probl me est le suivant LOP OFF EA SEP es C 1 c2 Ot Ox p a Avec les conditions initiales suivantes OP PG PG0 0 Er Bp 9 C 2 Et les conditions aux limites spatiales OP BAA 0 t en x 0 C 3a Condition de Sommerfeld pour x 00 C 3b Le moins dans la condition C 3b vient de la projection sur la normale sortante la barre n e de la force 6 t e Une transform e de Laplace est appliqu e ces quations La transform e de 148 P a t est 00 Pas LPs P x t e dt On note les propri t s suivantes PP P r Ox 0 P aa s P sPo x P x Compte tenu de la nullit des conditions initiales le syst me d quations devient OP 8 2 m 3e a 0 dans R C 4a OP EA en x 0 C 4b Ox Condition de Sommerfeld pour 7 00 C 4c La solution g n rale de C 4a est P x s aetc be t La condition de Sommerfeld impose a 0 et la condition la li
139. est possible de dire que le noyau de Poisson est la m thode des l ments finis ce que la fonction de Green de l espace infini est la m thode des l ments de fronti re d crite au chapitre III 1 2 En effet ces deux solutions l men taires fournissent des m thodes num riques qui permettent par inversion de r soudre des probl mes aux d riv es partielles La solution num rique IV 15 n est pas tout fait compl te Si la matrice de Poisson est calcul e par repr sentation modale le r sultat de la convolution V 15 donne un d placement nul sur la surface de Dirichlet Puisque ce d placement U est connu par hypoth se il suffit de le rajouter la solution Pour des applications musicales la formulation V 15 est particuli rement int ressante dans la mesure o elle d couple les aspects qui d pendent du solide de ceux qui d pendent des actions ext rieures Le calcul du noyau de Poisson P ne d pend que du solide c est dire de sa g om trie et de sa constitution mat rielle Les actions ext rieures en pratique le jeu du musicien sont prises en compte par le vecteur E F t U t La synth se sonore est donc divis e en deux phases la phase de conception d un instrument la lutherie virtuelle travers le calcul du Noyau de Poisson et la phase de jeu musical par le calcul de la convolution IV 15 T 3 2 Prise en compte des effets visqueux Par souci de simplicit les ph nom nes visqu
140. eur de Neumann N x y t d fini pour x y Q x I Il repr sente la r ponse en d placement du syst me correspondant a l application d une force unit concentr e en un point y de la surface de Neumann le reste de cette surface tant libre de tout effort soit math matiquement t 6 t 6 x y ex f a 0 111 21 3 enfin si le point source appartient la surface de Dirichlet y l 4 le noyau de Poisson prend la forme du tenseur de Dirichlet D x y t d fini pour x y Q x l y avec d t d x y ex f t 0 IIL 22 La composante D x y t du tenseur de Dirichlet est donc la r ponse en d placement du syst me observ dans la direction 2 lorsqu un d placement unit et non plus une force est impos en y Ig dans la direction k le reste de la surface de Dirichlet tant fix 42 Repr sentations int grales Dans cette section l aide du noyau de Poisson les repr sentations int grales des d placements et des contraintes associ es la solution unique du probl me P sont tablies Repr sentation int grale du d placement Par lin arit du syst me d quations du probl me Pa vis vis des donn es f t et avec des conditions initiales uo o nulles la repr sentation int grale du d placement u observ dans la direction 2 est simplement Uj x t Pf x y t pfr y t dvy III 23 a P x yit 1x V t dsy J P x yit j kly t dsy ive
141. eurs simulations num riques ont t effectu es montrant la modification du spectre de r so nance selon le type de pr contrainte impos e Lorsqu un solide est comprim les fr quences propres amp LE 71 d croissent et lorsqu il est tir elles augmentent Lorsque la pr contrainte est plus complexe on as siste une modification spectrale non homog ne int ressante Sur le plan exp rimental nous avons commenc mettre en place une exp rience permettant de valider ces mod les th oriques Il s agit de tordre une plaque d acier et de mesurer les modes et les fr quences de r sonance en effectuant une analyse modale 37 D j quelques mesures ont pu tre r alis es Cependant pour mener bien la comparaison calcul exp rience nous devons encore d velopper dans notre code informatique le calcul de la matrice de raideur g om trique pour des l ments de plaque ou de coque puisque l l ment CUS n est pas indiqu dans ce cas En effet pour donner des r sultats satisfaisant l l ment hexa drique doit avoir des dimensions dans toutes les directions de l ordre grandeur de l paisseur de la plaque Dans ces conditions le nombre d l ments devient trop important 40 000 pour notre exp rience 72 Chapitre V Vibrations d une structure pr contrainte Deuxi me partie Interaction entre solides 75 Le comportement dynamique d un solide a t tudi dans le d t
142. eux ont d abord t cart s de la mod lisation Il est pourtant possible de prendre en compte ces ph nom nes en utilisant selon le mod le retenu les 62 excitation 5 16 O O 0 0 oO Oo 0 o o o Oo o e 0 o Oo oO oOo o o o o o o o o 0 o o 0 0 o o o Oo o o o o o 0 0 o o o 0 0 D placement oO o O O O O o o o o fel o o o olel q o o o o fel o o r ponse p Oo oO 0 oOo e 0e oOo o O o o 0 0 0 e Oo o o o o o fel o o 0 0 fel o o o o e o o O O O O oO Oo O O o o O ox l O Oo oO e O O oO O oO O O oO o o o o O O oO Volume Q Surface I n Surface l 4 3 E Nxp w M j Naur 10 16 Ta Fic IV 4 Matrice de Green ou de Poisson Chaque l ment de matrice P est une fonction du temps Chaque colonne repr sente le d placement du solide et la force de r action sur la surface de Dirichlet Cette r ponse du syst me est due une excitation impos e au noeud correspondant La colonne 10 par exemple d crit les champs qui r gnent dans la structure lorsque une force est appliqu e au noeud 10 Le type d excitation force ou d placement d pend du noeud consid r le noeud 1
143. f the bodies endures a brutal change in its velocity in the direction normal to I Thus a particular attention must be dedicated to this additional difficulty 3 DUAL FROMULATION To compute a solution of the two body contact problem in case of stress and velocity discontinui ties we will prefer to use an integral representation with Green functions rather than finite difference algorithms such as Newmark and central difference schemes This method is usually called recipro cal formulation as it involves the inverse of the elasticity operator appearing in standard variational statements of linear elastodynamic problems This inverse operator is the Green function One of the advantage of this method is that the awkward problem of discontinuities is already treated in the definition of the Green function without the complications of contact problems Moreover since the contact pressure occurs only on the contact surface I the reciprocal formulation uses functions defined only on this surface It is then often possible to approximate the system using considerably fewer unknowns than with classical formulations and then save computational time To deal with integral representation using Green functions it 1s convenient to first investigate some aspect of the unconstrained problem by considering one of the two bodies This is the purpose of the next subsection where the mathematical tools needed for the reciprocal formulation will be defined A sem
144. f the mesh to be saved filename name of destination file in quote Example Create a mesh named my mesh using the mesh tools see duplicate rotation for example and save the mesh save mesh my mesh rotate mesh Mind the fact that the file format is the INRIA mesh format see the web page dedicated to medit http www rocq inria fr gamma medit medit html See also make mesh read from file 16 SET PHYSICAL Description Set some material properties to a finite element object This function can be used to avoid to redefine a finite element object The function compute mode must be applied in order to take into account the new material properties 177 Syntax and default set physical modalys object key value set physical my object density 7800 Parameters modalys object key density young poisson See also young 2e11 poisson 0 3 The modalys object to be updated Value Density of the material in kg m Some typical values are Oak 720 Brass 8500 Glass 2300 Nickel 8800 Quartz 2650 Copper 8900 Aluminium 2700 Silver 10500 Steel 7700 Young smodulus in N m This parameter is related to the elasticity of the material A rigid material gets higher values Some typical values are Glass 6 2e10 Brass 1 04e11 Quartz 7 9e10 Nickel 2 lell Aluminium 7el0 Copper 1 2e11 Steel 2e11 Silver 7 8e10 Poisson ratio of the material from 0 to 1 With a value of 1 the material keeps a cons
145. f the surface giving two node numbers define my fem accessi make access my finite element const 1298 1285 transO An access is created at node 1298 in the tangent plane pointing through the node 1285 Using transi the access is still in the tangent plane but points in the perpendicular direction If you are accustomed to the decoded notation please note the zth point of the mesh is referenced by the 3 values at 32 32 1 32 2 in the decoded array The 3 components represent the projection of the movement wished on the x axis y axis and z axis To obtain a node number see the figure E 1 The medit application can return in the console the coordinates of the vertices of a facet and their numbers within the mesh Picking result Quad 731 1298 1287 1273 1285 ref 0 DEFAULT_MAT 176 vertex 1298 0 105121 0 034156 0 023494 ref O vertex 1287 0 102209 0 033210 0 034919 ref 0 vertex 1273 0 098178 0 043712 0 034919 ref 0 vertex 1285 0 100975 0 044957 0 023494 ref 0 All the functions make connection can be used with a finite element object except make connection hole which does not make sens A finite element object can be stroke bowed plucked With an other Modalys object included an other finite element object See also make mesh set physical view object 15 SAVE MESH Description Save the mesh data in a file Syntax save mesh mesh filename Parameters mesh Name o
146. face OQ et de masse volumique p Un point mat riel p de l tat pr contraint se d place et coincide l instant t gt 0 avec le point p dans l tat actuel ou d form Le point p est rep r par ses coordonn es x avec k 1 2 3 Voir figure V 1 On d signe par eu x t le petit d placement pp De cette mani re on exprime les coordonn es du point p par ry Tk Eux X t V 8 1 2 Equations dans la configuration actuelle Q Le principe des puissances virtuelles s nonce dans la description eul rienne par la formulation variationnelle Vv trouver x tel que opidi du p yr r dv p fr rkdv J tL0Lds V 9 Q Q Q an ou d est le tenseur des vitesses de d formation dans la configuration actuelle Q 1 ir 5 00 021 801 324 A partir de ce principe on d rive la formulation forte non lin aire dans la configuration actuelle P Yk oui p fr dans Q V 10 ORIN LE SUT an V 11 Le tenseur de contrainte o4 est reli au tenseur de contrainte mat riel X xz de la configuration naturelle par Okl I x LEKLTk K avec XKL OW OEKL x V 12 et J det 9x 0Xx ry V 13 1 3 Equations dans la configuration pr contrainte Q On remarque que le tenseur di fait intervenir des d riv es partielles par rapport x Pour prendre en compte quation statique V 3 qui utilise des d riv es partielles par rapport x il faut expr
147. g n ralis s engendre l espace vectoriel W des couples u x dont le d pacement u est nul sur la surface de Dirichlet Relation orthogonalit En appliquant la formulation variationnelle III 37 au mode P dans le champ virtuel D D amp et r ciproquement il vient k P1 w m 6 7 0 k P wm 6 0 Selon l usage en soustrayant ces expressions et en consid rant la sym trie des formes k U V et m U V les relations d orthogonalit classiques sont obtenues m amp PI mi l k P B mw 5 III 38 Modes propres rigides Les modes propres rigides sont ceux pour lesquels la pulsation propre w corres pondante est nulle D apr s III 37 ceci conduit l quation variationnelle k B V k d v E vir r 9 VV v K E W Prenant successivement V 0 et V 0 amp dans cette quation il vient kP Pi E Dir 0 E Dir Ce qui montre que l nergie de d formation k D est nulle Le d placement est donc un mode de d placement sans d formation La d riv e spatiale de ce mode est donc nulle en tout point de 2 Or le mode qd est nul sur le bord puisque qu en choisissant V 0 k dans III 15 il vient K Di r 0 Wee Z 111 39 52 Par continuit du champ de d placement on en d duit que le mode est nul partout i e dans Q et que par cons que
148. galit s de la forme trouver u tel que ucU et J u inf J v A 21 Ve o U est une partie donn e d un espace vectoriel de la forme U v E pi v 0 1 lt i lt m Puisqu il existe m contraintes y l espace vectoriel est partitionn sous la forme E x amp avec E D Vje E R n Ea gt Vie E R i m 1 ei d signant la base canonique de R Si u est un extremum relatif de la fonctionnelle 7 sur l en semble M il existe au voisinage de u un ouvert O C un ouvert O gt C Ez et une application E O1 O tels que u1 U2 E O1 x Os C 1 et O1 x Oz NU v1 V2 E O X Oo Vi f v2 qui exprime la contrainte y v1 v2 0 La fonction f appel e fonction implicite est d rivable en U2 Oz et sa d riv e est obtenue en construisant la fonction h v2 y f v2 v2 qui est nulle La d riv e h de h s exprime par d rivation de fonctions de fonctions sous la forme 0 k v2 dryly f v2 Op v Ce qui permet d crire O2p v Vo f v2 S Alors la restriction G de la fonctionnelle 7 l ensemble O1 x O2 N U devient une fonctionelle d une seule variable v2 qui s crit G v2 I f v2 va 137 et le probl me de minimisation A 21 se r sout par l quation d Euler A 9 appliqu e G G u2 Cette d riv e peut s exprimer sous la forme G uz
149. h on the material parameters density young s modulus poisson ration loss parameters and on boundary conditions the fixed part of the mesh The dynamical behavior of this object is described by the modal theory the number of requested modes can be specified by the user Syntax and default make object finite element key value make object finite element mesh my mesh block my sub mesh modes 40 density 7800 young 2e11 poisson 0 3 freq loss 1 const loss 1 Parameters key Value mesh The mesh of the finite element object This mesh can be obtained using the function make mesh and the Modalys s mesh tools duplicate transform For the time being Modalys is able to deal with only one type of finite element hexahedra Thus the user must give here a mesh which contains only hexahedras In the future extensions will be made to extend the types of handled finite elements tetrahedras beams plates etc block The part of the mesh to be constrained A part or all of the surface of the finite element mesh points edges or plane can be fixed during the sound synthesis The dynamic behavior of an objet and thus its sound can be completly different depending on the definition of this fixed topology This sub mesh can be defined using the function make mesh restrict 173 key modes density young poisson freq loss const loss Example Value This value determ
150. i analytical method will also be described to compute those tools In the following subsection 3 2 the reciprocal formulation will be applied to the two body contact problem and this will lead to a very simple numerical algorithm described in subsection 3 3 and 3 4 3 1 The unconstrained problem Green and Poisson functions For the time being let us consider one of the two bodies say body x for example and suppose that the contact pressure on is a given prescribed traction on a If the sources p f t and the Dirichlet boundary condition u on are also prescribed the displacement field u solution of the variational formulation VII 13a VII 13b written for one solid is unique and can be expressed by 105 an integral representation see Refs 21 36 using Green and Poisson functions namely ur x t Gi x y t px ff y t duy J NE x y t t y t ds Q NE x y t on y t ni y dsy DE x y t u y t ds VII 20 rx rs where the star x denotes the convolution operation with respect to time In this formula the Green function G x y t is the solution of the variational unconstrained problem VII 13a VII 13b with the sources pxf 6 t 6 x y ex xEN ye t ut o 0 VII 21 where e is k th unit basis vector of R The Poisson functions N and D are the displacement fields corresponding to an impulsive source force and displacement respectively placed on the surface of
151. i dans d autres domaines principalement les t l communications offrent de nouvelles perspectives synth se soustractive i e l att nuation ou amplification par filtrage de certaines composantes fr quentielles d une source riche en harmoniques ou bruit e synth se par formes d onde granulaire formantique par convolution par modulation de fr quence ou synth se FM Ces techniques ont ainsi produit des r sultats concrets en mati re de synth se mais aussi en termes de reconnaissance vocale de transmission et compression de donn es Elles sont m me a l origine de nouveaux sons virtuels sans correspondance directe avec un processus traditionnel de production sonore Aussi sophistiqu es que soient ces techniques qu elles soient analogiques ou num riques toutes d coulent du concept de signal et ne visent qu reproduire les propri t s perceptives des sons sans se soucier de la fa on dont ils sont cr s et sans aborder les ph nom nes de propagation Or les objets sonores ne peuvent pas se r sumer aux seules variations des propri t s du signal m me s ils produisent in fine un signal De fait si les grandes lignes du son musical hauteur variation de timbre et d intensit sont bien reproduites l oreille la plus commune fait tout de suite la part entre un son naturel et un son artificiel Cette faiblesse appara t comme inh rente au cadre d analyse retenu Car si la synth se sonore produit un sig
152. ie du tenseur des contraintes et loi de comporte ment pfr orlu p x dans Q II 1 Okl Olk dans Q II 2 OK 1 Chinn a dans 2 IL 3 27 e Conditions aux limites sur I Dirichlet IL 4 on u n tk sur Neumann 11 5 e Conditions initiales u x 0 uo x dans Q d placement initial II 6 u x 0 o x dans Q vitesse initiale II 7 1 2 Formulation variationnelle La m thode des l ments finis que nous pr senterons plus loin n cessite une formulation faible du probl me aux d riv es partielles expos ci dessus Il s agit d une formulation quivalente pr sent e sous la forme d une quation voire d une in quation variationnelle G n ralement elle est elle m me issue d un probl me d optimisation d une fonctionnelle Principe des puissances virtuelles Pour obtenir une formulation variationnelle de ce probl me lastodynamique il suffit de multi plier la relation fondamentale de la dynamique IL 1 par une fonction v a priori arbitraire d int grer sur le volume Q et d utiliser la formule de Green d int gration par partie La premi re op ration donne of do oniar dv piney dv Q Q Q et l int gration par partie du second terme s crit Okt 1 U Uk dv ox u vx dv oki U Vri dv Q Q Q Op U N VE ds oki u Vgi dv AQ Q Le report de cette expression dans l quation pr c dente permet d obtenir pour toute f
153. ience et de son sens physique li s aux probl mes de m canique et aux m thodes num riques qui leurs sont appliqu s Michel Raous m a fait l honneur de bien vouloir trouver du temps dans son agenda tr s charg pour me faire part de ces remarques fort judicieuses sur les probl mes de contact Celles ci ont permis de rendre le document plus pr cis et plus rigoureux Je suis reconnaissant Bertrand Dubus de m avoir re u Lille pour voquer avec lui les questions que je me posais mi parcours pour l attention qu il a port ce m moire et pour avoir envisag au sein de son laboratoire une application des m thodes propos es Qu ils soient tous les deux remerci s d avoir accept d tre les rapporteurs de ce travail La rencontre avec Michel Bruneau qui remonte au si cle dernier lors de mon DEA au Mans en 1989 90 est pour moi de celle dont l importance est de nature infl chir les destin es Il a tou jours discr tement respectueusement et efficacement su me communiquer l envie de comprendre et d avancer et finalement pu me guider avantageusement dans ma courte vie de scientifique J esp re avoir t la hauteur de la confiance qu il a consenti m accorder J ai t tr s honor que Patrick Joly et Marc Bonnet aient montr un int r t pour mes travaux en participant au Jury de cette th se Et c est avec grand plaisir que j ai rencontr Marc Bonnet avant la soutenance Je le remer
154. il peut tre int ressant de lire le point de vue de Morse et Feshbach 20 qui crivent une repr sentation int grale dans laquelle ce terme n intervient pas 2 1 Noyau de Poisson Pour r soudre ces probl mes il est n cessaire d introduire une nouvelle fonction qui permettra de lever les paradoxes apparents Il s agit du noyau de Poisson qui correspond la r ponse du syst me m canique lorsqu il est sollicit par des sources impulsionnelles plac es indiff remment dans le domaine Q ou sur la surface 00 D finition du noyau de Poisson Nous devons la d nomination de noyau de Poisson ou fonction de poisson Kozlov Maz ya et Rossmann Ref 21 qui ont tudi un probl me g n ral aux d riv es partielles d fini sur un domaine Q de l espace euclidien R Ils consid rent ce probl me avec des conditions aux limites donn es sur la surface OQ suppos e r guli re de classe C Ils prouvent l existence et l unicit de plusieurs solutions l mentaires Parmi elles figure le noyau de Poisson pour lequel une distribution de Dirac est la condition la limite sur la fronti re OQ Enfin ils donnent une repr sentation int grale 41 de la solution du probl me g n ral avec condition aux limites arbitraires en fonction de ces solutions l mentaires Dans la suite nous adoptons leur d marche dans l tude des probl mes lastodynamiques Par pure convenance le noyau de Poisson not
155. imer les quations dans la configuration pr contrainte l aide du pseudo tenseur de Boussinesq ou de Piola Lagrange ou j 0xx 0x Omi avec j det Ax O21 5 V 14 68 Remarquons aussi que puisque l tat statique ne d pend pas du temps l acc l ration y s crit dx d du k k x z te FER e WR Ge Gye te teur Fp La formulation variationnelle V 9 exprim e dans la configuration pr contrainte devient alors Vv trouver u tel que eine cpiixindu PR efi inde tr ety Ox a a a an EU y ae V 15 ds avec 17 di 5 r bie 2 LINEARISATION DU PSEUDO TENSEUR DE CONTRAINTE Si l on parvient exprimer le pseudo tenseur de contrainte Gp non lin aire V 14 partir du tenseur de contrainte o qui caract rise l tat pr contraint statique sous la forme Okil OZ O kl V 16 o ox est le suppl ment de contrainte due aux forces dynamiques ef et et on aboutit un syst me lin aire qu il sera possible de r soudre par les techniques num riques traditionnelles On y parvient en effectuant un d veloppement limit au voisinage de la configuration pr contrainte 2 1 Mise en vidence du tenseur de contrainte statique Il est simple de faire appara tre og dans l expression du tenseur 6 en s inspirant de la formule V 4 en effet reportant V 12 dans V 14 on a Oi J Onr na AARET AK jJ xp 3x m mK UK
156. indices d crivant une force s appliquant sur la surface de Dirichlet si y appartient l observation est une force si 7 en fait partie l excitation est un d placement 3 enfin soit Nr l ensemble des indices correspondant au d placement d un noeud situ sur la surface de Dirichlet Dans ce cas la fonction de Poisson P t n a pas besoin d tre calcul e puisqu elle correspond th oriquement a une distribution de Dirac Voila pourquoi les lignes et les colonnes correspondantes par ailleurs nulles ont t retir es du sch ma de la figure IV 4 3 EXPRESSION DE LA SOLUTION NUM RIQUE DU PROBL ME P 3 1 Solution num rique D apr s les formules de repr sentation int grale III 23 et III 25 exprim es dans le domaine continu il est maintenant possible d crire la solution du probl me F dans le domaine discret sous la forme d une convolution 36 X t SN U t VE o la matrice P est donn e par IV 14 Cette matrice correspond en fait l inverse de convolution de l op rateur K Ct f 0 oct 0 0 t intervenant dans le syst me diff rentiel lin aire IV 9 Il existe donc une relation entre le formalisme int gral du noyau de Poisson et les techniques num riques de r solution de probl mes aux d riv es partielles par la m thode des l ments finis puisque ces techniques consistent apr s discr tisation des quations du mouvement inverser un syst me lin aire Il
157. ines the number of modes of vibration computed in the simulation of the object As this number is increased higher partials are added to the resultant sound Thus if ten modes are declared the lowest ten frequencies produced by the vibration of the object are computed see funcnamecompute modes Maximum de tail is obtained when the number of modes is high enough so that all frequency below the Nyquist frequency are accounted for Density of the material in kg m Some typical values are Oak 720 Brass 8500 Glass 2300 Nickel 8800 Quartz 2650 Copper 8900 Aluminium 2700 Silver 10500 Steel 7700 Young smodulus in N m This parameter is related to the elasticity of the material A rigid material gets higher values Some typical values are Glass 6 2e10 Brass 1 04e11 Quartz 7 9e10 Nickel 2 lell Aluminium 7el0 Copper 1 2e11 Steel 2e11 Silver 7 8e10 Poisson ratio of the material from 0 to 1 With a value of 1 the material keep a constant volume when a deformation occurs imagine a ballon plenty of water Lo wered values authorize a loss in the total volume when a compression is done on the material Define a mesh named my mesh to declare a finite element object see make mesh duplicate define my mesh make mesh single point vector 0 1 0 0 duplicate translation my mesh 1 vector 013 0 0 duplicate rotation my mesh 10 vector 0 1 0 vector 0 0 0 6 duplicate rotation my mesh 59 vector 0 0 0 1 vector 0 0 0
158. ion cette d riv e sera not e dans la suite VGap u v Nous allons montrer que cette variation peut s crire VGap u v n v v VI 7 o n est la normale sortante la surface ma tre 77 au point x En effet compte tenu de VIS la loi de d rivation d un produit donne VGap u v sgn Gap V Gap u v Vsgn Gap v Gap u V1 8 Le dernier terme est nul puisque le signe sgn Gap ne peut varier que lorsque la fonction intervalle Gap S annulle En remarquant par ailleurs que d une part le carr de la distance vaut Jap u Ov Gap ul AIF 20 x TA U T cb 82 et que par cons quent V Gap u l v a 27 vi ve 4 4 et que d autre part V Gap u v 2 V Gap u v Gap u il est possible d obtenir la variation de la distance par z Erop _ Rr Vv Gap U 7 Ix x V Gap u v Or une partie de cette expression comme l illustre la figure VI 1 repr sente pr cisement la nor male sortante la surface maitre au point x au signe pr s ot x per ep Ainsi appliquant VI 8 le r sultat VI 7 est obtenu 2 3 Condition de contact unilat ral sans frottement S il n y a pas de frottement les surfaces de contact et I sont suppos es parfaitement lu brifi es Si est le tenseur de contrainte de Cauchy on o jnjn sa composante normale sur la surface
159. ion rep Number of oscillations amp Amplication coefficient optional A default is computed to fit in the win dow Example See the command view mode diapason fem 18 20 5 in the compute mode example Right click in the medit application to obtain the main menu Choose Play sequence in the animation sub menu See also compute mode 23 VIEW OBJECT Description Visualize an object with the choosen boundaries Syntax view object my finite element Parameters my finite element The finite element object to be visualized 181 Examples view object my fem See also For details see make object finite element 24 FEM EXAMPLE new define side 0 002 define r 7 define s 21 define h 2 2 r side define base make mesh single point vector side side 0 duplicate translation base 1 vector 2 side 0 0 duplicate translation base 1 vector 0 2 side 0 duplicate homothety base 1 vector 0 0 2 side 1 define base_inv make mesh copy base transform reflection base_inv vector 0 0 1 vector 0 0 2 side define base make mesh add list base base_inv define diapason make mesh single point vector side side 0 duplicate translation diapason 1 vector 2 side 0 0 duplicate translation diapason 1 vector 0 2 side 0 duplicate translation diapason r vector 0 0 2 side d
160. ion H v en u est calcul e en utilisant A 4 soit en calculant Ay up Ov J u Ov u Cup 0v u d J u t Ov u Cup O C m ud soit Ay Up Ov H ua _ Ilu Ov Iu 0 0 u Cv Ce qui permet d crire toujours selon A 4 H u v J up v u Cv VveR Si u est la solution du probl me P d finie en A 33 alors Hi u v 0 gt J u Cu 0 Vv eR u R Si maintenant est la solution du probl me dual A 29 alors l expression pr c dente est valu e pour u A soit F uy v A Cv 0 Vv R A 34 142 Fonctionnelle quadratique Supposons que l on recherche les extremums relatifs d une fonctionnelle quadratique d finie sur Ik TER gt J v Z Av v fv o An est une matrice sym trique et f R un vecteur donn par rapport un ensemble de la forme U veR Cv d lt 0 o C est une matrice m x n donn e et d R un vecteur donn on suppose m lt n Le Lagrangien associ ce probl me L v u Av v v u Cv d admet un point selle u v rifiant les relations de Kuhn et Tucker A 32 qui s crivent compte tenu de A 10 sata Pha pour tout v E R A 35 Cu d u A lt 0 pour tout u RY M thode de substitution Cette m thode propose de substituer la solution de la premi re qua tion A 35 a u A f CA dans la seconde quati
161. ion par rapport la donn e de force volumique f S af 0 0 aS f 0 0 Par un raisonnement similaire il est simple d tablir la lin arit de la solution par rapport tous les arguments f t soit S arf aot az a15 0 0 T a28 0 t 0 F 3S 0 0 V a1 2 3 ER IL 41 Identit de r ciprocit de Maxwell Betty Soient U u1 X1 et Us u2 X deux solutions lastodynamiques associ es deux sys t mes de forces et d placements impos s f4 t1 et f2 t2 2 v rifiant les conditions initiales ug td et u2 U2 respectivement L identit de r ciprocit de Maxwell Betty est obtenue en sous trayant les formulations variationnelles 11 38 de chaque solution pour lesquelles la solution de l une est choisie comme champ virtuel de l autre Il vient d une part m U U2 k U U2 Wi t Us et d autre part m Ulz U1 k U2 U1 Yo t Uh Par soustraction et compte tenu de la sym trie de la forme bilin aire k U V d finie en II 39 on a m U U2 m Uy U1 Vi t Us W t Un Cette identit reste vraie si les deux solutions lastodynamiques sont prises a des instants diff rents T tetT t T L int gration de 7 0a7 t de l quation ainsi obtenue conduit compte tenu de la relation II 23 l identit de r ciprocit suivante pP t us usuy t jus t us t uo dv 11 42 Q p fu f xu w t Ug
162. ions g om triques de base translation rotation extrusion Un fois le maillage termin l utilisateur cr e un objet l ment finis en lui associant des caract ristiques materielles Young Poisson des param tres de viscosit et des condition aux limites Le code C d velopp au laboratoire calcule les matrices l mentaires d l ments finis isoparam triques les assemble et permet de r soudre un probl me aux valeurs propres sur des syst mes de grande taille 100000 l ments n fine le son de ces structures en interaction est synth tis Le code donne aussi la possibilit de visualiser les r sultats d form es anim es et offre plusieurs possibilit s de post traitement D autres d veloppements sont en cours notamment les matrices de raideur g om trique associ es au probl me de la pr contrainte Bient t d autres l ments finis verront le jour l ment de plaque et coques A travers ce manuel le lecteur est invit saisir le lien qui existe entre les programme de re 153 cherche et l activit musicale des compositeurs Le souci l Ircam tant de mettre a disposition le plus rapidement possible les outils issus de la recherche scientifique Modalys is a sound synthesis software developed at Ircam for research and musical applications This software allows one to build virtual instruments based on physical models to obtain the most entire range of expressive variations i
163. irichlet Physiquement l ensemble Z contient les forces agissant sur la surface de Dirichlet Le probl me de minimisation 11 32 est alors quivalent la d termination du couple u x W qui minimise le Lagrangien L v K E W L v k ER defini par er ee eae HV i dt 11 36 0 La notation repr sente le produit scalaire par dualit de H 1 2 fq x H 2 Ty R d fini par une int grale portant sur la surface l y lv nv 0ds Le couple u x W satisfait les quations VL u x v 0 Vve VL u x K 0 VR Z Ce qui fournit la formulation variationnelle du probl me Pa suivante trouver u x W tels que les cond initiales 11 30 et 11 31 soient v rifi es et m v k u v x v r w t v YWe II 37a u r K U p VEE Z II 37b 32 Interpr tation physique Il est clair que cette derni re quation II 37b est la condition de Diri chlet La premi re quation II 37a peut tre tablie en effectuant les calculs de la section 1 2 qui ont permis d obtenir le principe des puissances virtuelles II 9 sans faire l hypoth se v 0 sur la sur face de Dirichlet l y En refaisant ces calculs avec une vitesse virtuelle v arbitraire sur l 4 Eq II 8 et en identifiant avec la formulation variationnelle II 37a il vient CRU Xr sur la Ce qui exprime que le vecteur x correspond au vecteur contrainte on lequel repr sente les forces de surf
164. ke the simple example of a rigid body of mass m dropped from altitude h on a rigid foundation In absence of strain the variational formulation VII 13 1s reduced to find u o such that mu v P v on vUn Vv VII 42a De a a 20 Vpn lt 0 VII 42b where P mg is the weight of the solid and g the gravity constant Figure VII 9 represents two possible configurations trajectory velocity corresponding to two types of interaction between the body and the foundation case a The interaction force is an impulse force acting at time t te of magnitude 2mMvo 2h nlt mv vo V2 te 1 where vo is the velocity just before the impact time t te and the Dirac distribution No dissipation occurs in this case 117 case b The interaction force is also an impulse force but its magnitude is half the one of the first case After time te the interaction force remains constant and represents the weight of the body On t mvodz Y t t P Here Y is the Heaviside function The kinetic energy is completely lost at the first contact and then the energy is dissipated In both cases the momentum conservation stated by the variational formulation VII 42a is sa tisfied in the sense of distributions Moreover since the product o u is always null the formu lation VII 42b is also checked note that the unit vector is directed as it must be toward the foundation In fact an infinity of solutions exists be
165. l Modalys dans lequel une partie des r sultats ont t impl ment s la propagation non lin aire n est pas prise en compte XN TABLE DES MATIERES Premi re partie Propagation des ondes dans un solide our appliqu e que soit la probl matique de cette th se elle s inscrit dans un cadre th orique P assez vaste dont la synth se sonore n est pas le domaine d application privil gi Ce cadre est celui de la m canique des milieux continus utilis e 1c1 pour traiter le comportement dynamique des solides Le premier chapitre expose bri vement cette th orie de mani re obtenir les quations du mouvement qui seront r solues selon les cas dans la suite du document L influence des conditions aux limites sur les propri t s de r sonance d un syst me n est plus d montrer C est pourquoi le deuxi me chapitre accorde une large place la formalisation ma th matique des probl mes aux limites Dans ce contexte le formalisme int gral est particuli rement bien adapt dans la mesure o le comportement dynamique du syst me est compl tement d termin par les champs de contrainte et de d placement en vigueur sur la surface des objets Le troisi me chapitre introduit une solution l mentaire le noyau de Poisson qui permet d obtenir la solution du probl me aux limites sous la forme d une solution int grale o figurent explicitement les condi tions aux limites Viennent ensuite quelques pist
166. la masse de la quantit de mouvement des moments de l nergie et enfin de l entropie Par conservation il est sous entendu conservation dans le temps Une quantit se conserve si elle est invariante au cours du temps C est g n ralement vrai pour un syst me isol Lorsqu un syst me est soumis un environnement ext rieur il n est plus isol et la loi de conservation exprime la variation temporelle oe de la quantit Q pour traduire les changes du corps consid r avec son environne ment En m canique des milieux continus chaque quantit qui se conserve ou qui varie selon une loi Cette relecture s appuie plus particuli rement sur les ouvrages g n raux de m canique des milieux continus 1 2 3 4 En tout rigueur il faudrait parler des deux premiers principes de la thermodynamique plut t que de conservation de l nergie et de l entropie 12 donn e se pr sente comme une somme continue d une densit volumique c est dire une int grale portant sur le domaine Q occup par le corps consid r l instant t Ce domaine est celui qui suit le corps dans son mouvement propre Les quations du mouvement sont alors rendues explicites en valuant la d riv e particulaire i e temporelle de ces int grales et la principale difficult porte sur le fait que le domaine d int gration Q d pend du temps Dans ce chapitre les lois de conservation sont pr sent es tour tour
167. le syst me tudi Le bon sens permet de pr voir que des relations suppl mentaires doivent tre tablies de mani re traduire la nature physique des milieux envisag s Le d nombrement des inconnues introduites et des relations d ja obtenues le confirme 3 LOI DE COMPORTEMENT DES MILIEUX VISCO LASTIQUES Les relations suppl mentaires g n ralement appel es lois de comportement d pendent de la nature physique du milieu consid r solide fluide gaz mati re molle Pour d crire l tat de chaque milieu continu l existence de champs mat riels de grandeurs physiques ind pendantes est postul e Ainsi pour d crire un gaz la temp rature 0 et la masse volumique p peuvent tre choisies D crire l tat d un milieu continu c est d crire l tat de chacune de ses particules Les valeurs de ces champs de grandeurs physiques pour une particule P sont appel es variables d tat ind pendantes Ainsi pour une particule P d un gaz ces variables sont P t et p P t et sont ind pendantes dans le sens o l on peut donner chacune d elles une valeur arbitraire sans modifier les autres Dans le cas d un fluide il existe une relation entre la temp rature et la masse volumique sous la forme p f 0 Dans ce cas les variables 0 et p ne sont plus ind pendantes 17 A l aide de ces variables d tat ind pendantes il est possible de construire une loi de com portement d un milieu con
168. ly et Gap lt 0 surre VI 23 Le Lagrangien associ ce probl me est une fonctionnelle de l espace H Q x H712 Ta x N dans l ensemble R o N est l ensemble des forces de surface positives qui peuvent agir sur I Ne 6 30 Ce Lagrangien s crit L v K q V v r yaly r 4 Gap r VI 24 Compte tenu des relations de Kuhn et Tucker A 25 appendice A et de la d riv e VI 7 de la fonction intervalle Gap ce Lagrangien est stationnaire pour le triplet u X 0 qui v rifie k u v X Ya v p On Un p flv Vv H Q VI 25 ya u sur l y VI 26 q an Gap U r lt 0 VyeN VI1 27 ou Un V n est la projection du d placement virtuel v sur la normale sortante au solide rigide maitre entrante dans le solide esclave 3 2 M thode de r solution du probl me de contact statique Formulation r ciproque Cette m thode consiste calculer l aide du noyau de Poisson du solide lastique le champ de d placement u partir des deux premi res quations VI 25 et VI 26 en consid rant l inconnue 88 On Comme un param tre Ce d placement d pend naturellement aussi des forces de volume f et de surface t et de la condition de Dirichlet u Il est donc possible d crire u G oh f t u L op rateur G tant un op rateur lin aire la composante normale du d placement sur I a donc la forme Un G On n f t VI 28 avec Un f t
169. matiquement cela consiste r soudre le probl me suivant trouver le champ de d placement u tel que ucu et V u inf V v VI 19 L ensemble U est un ensemble convexe En effet il est facile de v rifier que pour deux l ments u et v de U l l ment w qui appartient au segment ferm u v qui a donc pour forme w u 6 v u 0 0 1 est tel que yq w u D apr s le th or me A 11 la solution u du probl me de minimisation VI 19 sur l ensemble convexe U v rifie l in galit d Euler VV u v u gt 0 veu soit encore dans le cadre de l approximation des petites d formations k u v u gt f v u Vveu De mani re quivalente il est aussi possible de construire le Lagrangien L d fini par L H Q x H Ta gt R L v K V v ya v r o H 2 T4 repr sente le dual de l espace H T4 Pour les physiciens c est l espace des forces de surface sur l y D s lors le probl me de minimisation sous contraintes VI 19 est remplac par un probl me de minimisation sans contrainte sur l espace W Q Ta H Q x H71 Ta Le nouvel objectif est de trouver le couple u x tel que u x W Q Ta et L u x a e VI 20 V k E Autrement dit le Lagrangien L v K est stationnaire pour le couple u x Ce qui donne les qua tions VV u v xlya v r 0 pour tout v Ht Q k ya u r 0 pour tout k H71 T4 Dans le cas
170. mique f et les champs sur la surface OQ de force surfacique on et de d placement u il est possible de calculer le champ de d placement dans le volume Q l aide d une solution l mentaire G Cette solution l mentaire g n ralement appel e fonction de Green bien qu il s agisse ici d un tenseur dont chaque composante est une fonction v rifie les propri t s suivantes 1 Le d placement G est une solution l mentaire lastodynamique associ e une force unitaire ff appliqu e dans la direction ex en un point fixe x F telle que pf y t 6 t 6 y x ex y xEE I 2 2 Le vecteur d placement G x y et le tenseur des contraintes lastiques x y qui lui est associ sont fonction du point courant y et de la direction k de la force d finie par la d finition III 2 le point x tant fix Les coordonn es cart siennes G x y et DE x y de toute solution l mentaire v rifient la relation fondamentale de la dynamique II 3 la sym trie des contraintes II 4 et la loi de comportement lin aire II 5 identique celle du probl me P loi de Hooke gt x y En pG x y d t d y En x dik II 3 k k Dax y Xa y II 4 Dny CoC pa CE II 5 3 La notation T associ e la solution l mentaire G d signe le vecteur contrainte en y c est dire la projection du tenseur de contrainte uF sur la surface Q de normale unitaire sortante n T x y E
171. mite C 4b permet de calculer b pour donner C 5 Par transform e inverse il vient x P z t Y t C 6 t Ye CO Ce noyau de Poisson repr sente le d placement dans la barre la position x et au temps t par unit de xc FIG C 1 Noyau de Poisson d une barre semi infinie Noyau de Poisson du probl me de Neumann pour une barre semi infinie La zone d influence de l onde est la zone hachur e de l espace temps x t force surfacique appliqu e en x 0 at 0 Pour les autres instants la condition la limite spatiale en x 0 est une condition de Neumann homog ne Cette fonction est donc le noyau de Poisson du probl me de Neumann V rifions les propri t s de ce noyau de Poisson La d riv e spatiale donne OP EA I x x A d6 t d t C Ox pc c C 149 et la condition C 3a est bien v rifi e La d riv e temporelle est OP 1 g a C7 oF oe C 7 Le d placement de la barre pour une force F t appliqu e en x 0 partir du temps t 0 est alors donn e par la convolution uot P x t x F t 1 f F r dr PC Jo Pour la vitesse cela donne x t P a t F t 1 F t pc C ou FAS P 2 t F D at FO _ 60e PW a 1 1 Conservation de l energie L nergie cin tique et l nergie de d formation par unit de surface s crivent E a E igs u E t dx W t EA d
172. n analytique existe 51 Ce qui n est pas une formule triviale Bien s r ceci n est qu une partie du noyau de Poisson et cette formule ne vaut que pour x et x l int rieur du ruban Pour conna tre totalement le noyau de Poisson du ruban il faut conna tre la solution pour le demi plan avec une source plac e sur la surface Y 0 puis effectuer nouveau la transformation par f z Cette m thode bien qu l gante ne permet pas d envisager le calcul du noyau de Poisson pour des configurations g om triques arbitraires Dans le cas g n ral et pour des systemes finis dans l espace c est le formalisme modal que nous avons utilis et qui est d taill dans la prochaine section 3 3 Formalisme modal La th orie modale s applique aux syst mes lin aires et permet d obtenir la solution d un pro bl me sous la forme d une combinaison lin aire de fonction propres Concernant le probl me Pz ces fonctions propres ou modes propres v rifient dans l espace de Fourier une formulation varia tionnelle issue de II 38 sans second membre Trouver D W tel que k V w m V 0 YV W IIL 37 Le mode propre g n ralis o associ la pulsation propre w diff re quelque peu d un mode classique puisqu il regroupe non seulement un d placement D mais aussi la force localis e sur la surface de Dirichlet La base form e de l infinit des modes propres
173. n normale de contact comme une donn e du probl me Or dans la r alit c est aussi une inconnue qu il faut d terminer lors de interaction En pr sence de dissipation par frottement la condition de contact dans la direction normale tablie au chapitre VII et qui fonde nos r sultats est toujours valable Il est donc possible d envisager un travail de recherche qui viserait a g n raliser ces resultats en pr sence de frottement Devant l ampleur du travail qui reste effectuer il est l gitime de se demander quelles sont les motivations des recherches portant sur la synth se sonore par mod lisation physique Car pour obtenir le son d un instrument la m thode la plus directe et la plus riche consiste jouer d un instrument r el Alors pourquoi s obstiner C est peut tre en soulignant les correspondances qui existent entre les diverses techniques de synth se sonore qu un l ment de r ponse peut merger D une certaine mani re tous les forma 125 lismes calculent un noyau de Poisson qui est la carte d identit sonore d une structure l mentaire fixant son comportement dynamique lorsqu elle est soumise des actions ext rieures En effet bien qu il soit ici calcul sous la forme d une combinaison lin aire de modes de vibration le noyau de Poisson existe ind pendamment de la th orie modale Comme nous l avons vu cette solution l mentaire d pend du syst me tudi et il
174. n the instrument in res ponse to intuitive controls An instrument as a complex structure is described by the mechanical acoustical interaction of its components strings tubes resonators sound board Some new research have been done recently to extend the sound prediction to three dimensional objects with the help of numerical methods In particular theoretical and numerical treatment of the unilateral and frictionless dynamic contact between two arbi trary elastic bodies was studied and highlighted by simulations implemented in Modalys This manual presents the new functions dedicated to finite element objects 1 COMPUTE MODES Description This function calculates the mode of vibration of a finite element object Mind the fact that each time a finite element object is defined modes must be calculated in order to process a sound synthesis This implies that the creation of a finite element object must be followed by the function compute modes It is not the case with other objects where this computation is implicitly done by Modalys Syntax compute modes my finite element object Parameters my finite element object The modes of vibration will be computed for this object Example Read a file for example diapason mesh in order to assign a mesh to a finite element object Give the desired parameters see the function make object finite element and visualize it define diapason mesh make mesh read from
175. nal ce n est pas son objet L objet de la synth se c est le son La synth se par mod lisation physique offre une d marche alternative en s interrogeant sur les causes plut t que sur les effets Quels sont les ph nom nes physiques de la production du son Comment se propage t 1l Voil les questions auxquelles le scientifique doit r pondre Au pr alable c est la question du choix du syst me de production sonore tudier qui se pose Si on s int resse au son musical c est naturellement l instrument qui redevient au centre des pr ocupations La formalisation des probl mes d passe alors le cadre de l analyse d un signal Prenons l exemple de l interaction d un archet et d une corde o se jouent des ph nom nes physiques de frottement de contact de glissement d chauffement tous encore mal compris des physiciens et des math maticiens Ce n est qu en simplifiant et en d composant le syst me que l on peut esp rer en comprendre le fonctionnement Plut t que de d velopper un mod le complet par instrument ou Les sons synth tiques et artificiels prennent une place de plus en plus importante au sein de l orchestre traditionnel M me les institutions les plus conservatrices font une part ces nouvelles techniques Le CNSM n accueille t 1l pas une classe d lectro acoustique par famille d instruments il faut chercher a rendre compte de leur diversit de mani re modulaire
176. ndition OT lir Ip lalr m0 onl and to the normal contact condition On lux ng 0 onl 3Conservation of mass momentum moment of momentum energy and second thermodynamic law 104 or equivalently since I can be replaced by in the linear theory on zre 0 VIL 19 These conditions indicate that only tangential tractions can generate energy dissipation by friction between particles on the contact surface In this article only frictionless contact problems are conside red so or 0 on I but the contact condition VII 19 is still valid even if the contact is considered with friction According to the contact condition VII 19 a non zero traction may only be generated if the normal velocity is continuous through the contact surface In other words during interaction the normal velocities of both bodies must be equal on the contact area which is quite intuitive This condition VII 19 is sometimes called the persistency condition and it is of particular importance in the design of numerical algorithms for dynamic contact problems see Laursen et al 51 38 52 and Taylor et al 50 In fact the impact between portions of the boundaries of elastic bodies is expected to produce propagating stress and velocity discontinuities Indeed just before contact the relative normal velo city r could be non zero this velocity must thus make a jump to vanish during contact That is to say that at least one o
177. nge multipliers pn defined by N pn EHT pa lt 0 onl VII 11 The set M is a subset of the dual space of displacements on I containing negative force The mini mization problem VII 8 is then equivalent to the determination of the saddle point u X on W of the Lagrangian L V K Pn E W Liv k pn ER 2The G teaux derivative of 7 at u in the direction v is defined by VI u v Jim J u 0v u 101 defined by L V K Pn I v gt K v ai Pn Un Gap p at VIL 12 0 x a b where ps and p are the duality pairing on He M xo 1 and a T3 x ee respectively This saddle point satisfies the following equations and inequation Find u X On W such that m v k u v b v VvEe VIL 13a D k u re 0 VEE Z VIL 13b x a b Di On Ur Ven pe 20 Von EN VII 13c where b v represents the forces acting on solids a and b bv f v gt X V rs On Un par WEE VIL 14 x a b The first equation VII 13a represents the principle of virtual work power applied to the bodies a and b subjected on one hand to external forces f v and to reaction forces x on their respective Dirichlet surface 1 and on the other hand to a contact pressure on normal to the contact surface I2 Note the sign reversal in the contact pressure in VII 14 according to Newton s third law On Un pa On Un p
178. nt la masse modale m m qui lui est associ e est nulle elle aussi Physiquement cela revient appliquer une force sur une surface rigide d un solide ne cr ant ainsi aucune d formation ni aucun d placement dans le solide Repr sentation modale du noyau de Poisson Le noyau de Poisson est projet sur la base des modes propres g n ralis s Plus exactement sur la base des modes propres sans les modes rigides De mani re exclure ces modes l ensemble d indice Ne p E N wp F i est introduit et le noyau de Poisson s exprime par x y t X ap y t x pENe Cette d composition est rempla e dans la formulation variationnelle III 26 Avec le choix judi cieux V elle devient Vpr m dip 1 k S ap 6 pENe pENe S ply t m 8 apk 4 Compte tenu des relations d orthogonalit III 38 l quation diff rentielle du second ordre en temps ss 2 Ma ly t 7 waq ly t Vpr amp est obtenue et r solue en utilisant la transform e de Laplace Les coefficients a v rifient alors sin wt aply t Y t S pENe pp o Y t est la distribution de Heaviside et 8 P y est le terme source associ au noyau de Poisson exprim dans le champ modal 5 BP y 0 x y ex P q OK yen G p EP 16 x y ex r 1 40 Le noyau de Poisson g n ralis P est donc Ph vit Y Y B x me t S BP y 1
179. nu de Sobolev E Le param tre h est une caract ristique du maillage typiquement la dimension du plus grand l ment Ce maillage permet aussi d obtenir une base d l ments finis de surface qui donne une approximation de l espace continu Z des fonctions d finies sur la surface de Dirichlet I g par l espace 56 Zp de dimension Nz La famille des fonctions d interpolation de l espace Zp est not e Ca Le vecteur UE W E x Z est approxim par le vecteur U En X Zn dont la projection sur cette base d l ments finis est he Uatt h rera Uat 4 amp Ua a E IV 1 Xi x Xa t a L pee Nz L approximation du vecteur virtuel V est videmment a V 1 2 Vi x e Oe 2 f IV 2 ki C x Ze E E Les fonctions d interpolation des formules IV 1 ou IV 2 sont des fonctions d interpollation li u x Y c b b a FIG IV 1 Interpolation lin aire une dimension a Champ de d placement discr tiser b Fonctions d interpolation chapeau c Projection sur la base d l ment finis d R sultat obtenu FIG IV 2 Fonction d interpolation lin aire en dimension deux Une fonction d interpolation est associ e un noeud du r seau pour lequel elle prend la valeur 1 Cette fonction est nulle pour toute maille ne contenant pas le noeud consid r n aire ou fonction chapeau Difficilement repr sentable en dimension trois l allure de ces
180. o x dans Q d placement initial 11 30 u x 0 o x dans Q vitesse initiale 11 31 Dans ce cas il faut chercher la solution du probl me parmi toutes les configurations v du syst me qui v rifient la condition de Dirichlet 11 28 La r solution de ce probl me d optimisation sous contrainte ne peut pas se r sumer a annuler la d riv e de la fonctionnelle de Hamilton En effet le minimum absolu de cette fonctionnelle n appartient pas forcement l ensemble des fonctions qui v rifient la contrainte de Dirichlet voir annexe A section 3 1 Compte tenu de l existence d une contrainte l quation variationnelle II 14 devient une in galit variationnelle Puisque qu il est d usage du point de vue du calcul num rique de traduire une quation variationnelle sous la forme d un syst me lin aire la pr sence d une in galit complique les choses Cependant en introduisant un multiplica teur de Lagrange il est possible de se ramener une simple quation De plus ce multiplicateur a une signification physique puisqu il repr sente la force de r action sur la surface de Dirichlet qui a t g n r e par les d placements impos s u Voyons dans le d tail cette d marche 2 1 Optimisation sous contrainte de Dirichlet Du point de vue math matique et avant l introduction d un multiplicateur de Lagrange le pro bl me d optimisation consiste rechercher le champ de vitesse qui t fait cor
181. og ne 3 1 Repr sentation par vecteur d tat Matrice de Green num rique 102 102 102 104 104 106 107 109 110 110 111 113 116 116 117 120 127 129 130 130 130 131 131 132 132 135 138 140 143 147 147 149 150 xii E Manuel d utilisation de Modalys Objets l ments finis 1 compute modes 2 duplicate homothety 3 duplicate reflection 0e mb ee ee de a ee wie be a 4 duplicate rotation ss 4 Los ss sans se Pe ee era kh wee we 5 duplicate translation 6 make mesh add 4 4 2444444 su ua sure s HED SO 7 make meshi Copy see o sadaa ae ome bo ee dedans he Ok Se Do 8 make mesh read from file 9 make mesh restrict edge 10 make mesh restrict plane 11 make mesh restrict point 12 make mesh restrict quadrilateral 13 make mesh single point 14 make object finite element SNS RE Rd Re ES or Co POESIE De se D a a a Re 17 transform homothety 18 transform refle
182. on A 35 b pour donner le probl me suivant trouver tel que AERY et BA Flyw A lt 0 Vue R avec B CA Ci et F d CA lf La derni re in quation a la forme d une in quation d Euler relative la maximisation de la fonction nelle quadratique TER J u Z Bu u F p ER sur l ensemble convexe U KR dont la solution peut tre obtenue num riquement par une m thode de gradient avec projection d crite en section 3 1 Les relations A 17 donnent dans ce cas AFTI max X p BA F 0 1 lt i lt m p gt 0 gt Remarquons le changement de signe p d la r solution d un probl me non plus de minimisation mais de maximisation La discr tisation de la formulation variationnelle V 25 par la m thode des l ments finis m ne une nouvelle matrice appel e matrice de raideur g om trique Cette matrice est issue de la forme bilin aire ko u OL mUl m kdv B 1 Q Dans la plupart des codes d l ment finis il existe une routine de calcul d une matrice de raideur g om trique utilis e pour traiter les probl mes de flambage Cependant ces routines sont des bo tes noires qui n ont pas donn les r sultats escompt s Nous avons donc pr f r calculer nous m mes cette matrice pour un l ment fini particulier l l ment isoparam trique CUS 8 sommets et interpolation lin aire La matrice de raideur g om trique est d abord calcul e
183. on de la relation de r ciprocit de Maxwell Betty II 42 D apr s la d finition III 27 ce calcul m ne au tableau de sym trie I yeNUT y Elua y EQUI Pily y t Pily yst Loy DPRD y Era Pily yst Xiyyit Xi y y st Xi y yt TAB I Relation de sym trie du noyau de Poisson La premi re partie du tableau correspond la relation classique de sym trie d un tenseur l mentaire de Green Les parties hors de la diagonale expriment une nou velle relation qui met en regard les tenseurs P et X A il y a quivalence entre la r ponse en d placement de la structure suite l application d un d placement sur la surface de Dirichlet et la r ponse en force sur cette m me surface suite l application d une force au sein de la structure Il existe donc une relation de sym trie sans dualit entre excitation et r ponse Ces relations de sym trie permettent de montrer que les formules int grales III 23 et III 25 d une part et les formules IIL 28 et 11 29 d autre part sont bien quivalentes Puisque la solu tion u x est unique il suffit simplement de rajouter dans les repr sentations int grales III 23 et III 25 le terme J o Pier RO Pi out doy de mani re prendre en compte les conditions aux limites 3 CALCUL DU NOYAU DE POISSON La principale difficult est de calculer le noyau de Poisson Il existe quelques configurations pour lesquelles le noyau de Poisson
184. onction v arbitraire la relation vive w out w pfr w On UW NV ds II 8 Q Q Q aQ Cette derni re int grale de surface peut se d composer en deux parties JOJO O n Dans la premi re int grale du membre de droite la condition la limite de Neumann II 5 est utilis e Il vient alors pour toute fonction v arbitraire s annulant sur la surface 4 p rVre dv f Oni U v_ dv pfrve dv f tuk ds II 9 Q Q Q ie C est une quation variationnelle g n ralement appel e principe des puissances virtuelles qui tra duit l quilibre dynamique entre les forces d inertie les forces lastiques et les forces ext rieures travaillant dans le champ de vitesse virtuelle v 8 En fait il convient de pr ciser au sens math matique les relations entre la solution du probl me variationnel et la solution du probleme classique aux d riv es partielles 28 Equation variationnelle Pour tre plus rigoureux il convient de trouver un espace vectoriel norm de fonctions v suffisamment r guli res de mani re ce que les int grales introduites ci dessus aient un sens Pour les probl mes d lasticit cet ensemble est l espace de Sobolev H Q associ au domaine Q E 2H 0 H 0 o chaque espace H Q correspond une direction de l espace tridimensionnel Les l ments de H Q sont des fonctions valeurs dans R fonctions scalaires dont les d riv es spatiales jusqu l
185. optimization theory It is then natural to seek a functional which is to the dynamic context what the total potential energy functional is to the static context The first section of this article is an attempt to show that the optimization of Hamilton s functional on a constraint set that expresses the contact condition can be used to obtain the formal statement of the two body dynamic contact problem In this framework general non linear programming methods are available and the problem can be formulated using saddle point theory where the Lagrange multiplier represents a contact pressure To this purpose Taylor s procedure 50 is followed in the linear context Unfortunately this statement is not sufficient since it is now clear that the energy balance must be considered to obtain a well posed problem In section 2 it is shown that the kinematic contact condition derived from the static one by Taylor 50 and postulated by Laursen 38 is in fact a consequence of the continuum mechanic balance laws and represents the way the energy is dissipated during contact Furthermore in all the works mentioned above finite difference methods were used to integrate the resulting equations of motion In section 3 the reciprocal formulation already used for static pro blems is applied to the dynamic context This method involves the inverse of the elasticity operator appearing in standard variational statements of linear problems One of the advantages of
186. orithmes existants dans la plu part des codes d l ments finis Les sources informatiques du code aster d EDF sont accessibles V2 Calcul du noyau de Poisson par repr sentation modale 59 FIG IV3 Modes g n ralis s Neuf premi res d form es modales d une barre fix e sur le sol Les fl ches repr sentent les forces qui s exercent sur la surface de Dirichlet ici le sol 60 sur internet et pr sentent l avantage d avoir t test es et valid es Les routines de diagonalisation de matrices crites en Fortran et fond es sur la m thode d Arnoldi 29 30 31 32 33 ont t impl ment es dans le code d l ment finis de notre laboratoire La figure IV 3 pr sente le r sultat d un calcul de modes propres pour une plaque fix e sur le sol obtenu avec le code du laboratoire Pour chaque mode la d form e modale est trac e ainsi que le vecteur force correspondant Au terme de ces calculs on dispose de valeurs approch es des pulsations propres et vecteurs propres d un syst me Il est clair que la pr cision des calculs augmente avec le nombre d l ments finis utilis s dans le maillage Pour obtenir des r sultats satisfaisants 1l est conseill de discr tiser une longueur d onde par plusieurs l ments finis une dizaine en pratique Ceci fixe une limite sup rieure la taille des l ments finis pour traiter un probl me dans une plage de fr quence donn e La m
187. ormulation variationnelle II 14 En effet avec la d finition de la d riv e II 16 les d riv es de l nergie cin tique et de I nergie potentielle totale sont respectivement VT u v m v Em v m v II 23 VV u v k u v v Vuve 11 24 3En utilisant les propri t s de la d riv e particulaire d une quantit d finie par unit de masse 1 22 30 Rempla ant ces expressions dans l quation II 17 qui exprime la nullit de la d riv e de la fonc tionnelle de Hamilton J il vient Im v k u v y v dt m v 5 0 0 Si la vitesse virtuelle s annule sur les bords de l intervalle temporel 0 7 le dernier terme dispara t Puisque le champ de vitesse virtuel est par ailleurs arbitraire cette derni re quation redonne bien la formulation variationnelle II 14 2 PROBL ME P CONDITION DE DIRICHLET NON HOMOG NE La th orie de Il optimisation permet alors d envisager le probleme lastodynamique Pz avec une condition de Dirichlet non homog ne dont les quations du mouvement sont rappel es ci dessous Probleme Pz e Relation fondamentale de la dynamique sym trie du tenseur des contraintes et loi de comporte ment ofr Oki 1 U pur dans 2 11 25 Okl Olk dans Q 11 26 copilu C kimnin dans 2 IL 27 e Conditions aux limites u u sur l y Dirichlet IL 28 onu tk sur l Neumann IL 29 e Conditions initiales u x 0 u
188. ortant sur chaque l ment fini puis d assembler les r sultats afin d obtenir le syst me d quations IV 9 qui r git toute la struc ture Les fonctions d interpolation sont alors d finies par l ment La m thode des l ments finis est abondemment trait e dans la litt rature Pour plus de d tails le lecteur peut se reporter aux ouvrages g n raux 25 26 Nous avons d velopp au laboratoire un embryon de code informatique utilisant la m thode des l ments finis Plus pr cis ment les algorithmes de calcul des matrices M K et C ont t impl ment s partir de la pr sentation de J F Imbert 27 pour l l ment isoparam trique CUS L l ment CUS est un hexa dre 8 sommets dont les fonctions d interpolation sont lin aires L int gration est r alis e num riquement en utilisant la m thode des points de Gauss Ce code a aussi t ajout au logiciel de synth se sonore Modalys R solution par diff rences finies Le syst me IV 9 peut tre r solu directement en employant des techniques de calcul par dif f rences finies Le domaine temporel 0 7 est d coup en M periodes de dur e AT telles que 0 to lt ty lt to lt ty T avec tri tn AT La d riv e seconde U t intervenant dans le syst me diff rentiel IV 9 est alors exprim e au temps discret t nAT en fonction des valeurs de la fonction U t aux temps nAT n 1 AT m i AT Selon l ordre du sch ma
189. ory Lagrange multipliers or penalty formulations were used to handle the contact constraint and finite element approximations were developed All these studies refer to static elasticity Several authors have attempted to find the numerical solution of dynamic contact problems using finite element methods Among them it is important to mention the work of Hughes et al 46 who presented a finite element formulation for linearly elastic contact impact problems valid for perfect frictionless condition on the contact surface Careful pro cedures compatible with waves propagation theory were used to enforce linear momentum balance when the impact or the release of the contact nodes occurs 97 Duvaut and Lions 6 have investigated the frictional dynamic contact problem with prescribed normal tractions on the contact boundary and were able to prove existence and uniqueness of solu tions The frictional effects are included in the variational formulation through a non differentiable functional which represents the virtual power of the friction force As a consequence of this non differentiability this dynamic contact problem provides also an example of physical system subject to a governing variational inequality Applications of the finite element method to solve this varia tional inequality including error estimates and adapted algorithms were presented by Martins and Oden 47 For unilateral contact a variational inequality was also formul
190. otal de degr s de libert du syst me et que le sch ma d int gration num rique est aussi d ordre deux on peut estimer le temps de calcul par chantillon T 10Naai x Lone La m thode utilis e ici devient donc int ressante a partir de Naat Z NmNr Ce qui fixe la limite a Ngq 2000 pour un syst me dont la surface de contact comporte 20 noeuds et pour lequel une centaine de modes a t utilis Ce qui revient a dire dans ce cas que la m thode modale est conomique pour des solides comportant environ 300 noeuds dans leur maillage tridi mensionnels respectif A partir de cette limite le temps de calcul reste constant puisque qu il ne d pend pas du nombre de degr s de libert total Nga 10Rventuellement fonction aussi d un coefficient d amortissement modal TLe temps de calcul restant est absorb dans le calcul des noyaux de Poisson 119 Pour r sumer la repr sentation int grale par noyau de Poisson devient plus conomique partir du moment o le temps de calcul de l tat du syst me d placement vitesse n cessaire la r solution d un probl me est inf rieur au temps de calcul requis par la m thode des diff rences finies Dans le cas d un probl me de contact l tat du syst me est compl tement d termin par l tat de la surface d interaction Une conomie est donc r alis e en ne calculant que l volution temporelle de cette partie du syst me Le nombre de degr
191. our calculer Gp il faut trouver un fonction holomorphe f qui transforme le ruban en un demi plan Pour cela la transformation de Schwartz Christoffel peut tre utilis e Cette transformation permet de passer d un demi plan un polygone en g n ral Elle s appuie sur le fait qu une fonction g z poss dant un point de branchement et une singularit faible en zo d ordre a 1 transforme une droite passant par ce point en deux demi droites faisant un angle az En appliquant la proc dure inverse pour passer du ruban au demi plan il est ainsi possible d obtenir la transformation illustr e en figure III 6 TZ f z cosh 7 gt La fonction de Green du demi plan E x y y gt 0 calcul e par la m thode des images est bien connue E 1 X Xol t Xo gp X Xo On log X DI avec Xo E Puisque le changement de coordonn es induit par f z est X R f z cosh cos Y S f z sinh sin La fonction de Green du ruban est TX TY TE TY 2 TEL g TL TY a EEA T CRE ee a Ar cosh 22 cos 32 cosh 722 cos T 0 sinh 32 sin TL sinh 722 sin 0 50 Chapitre III Repr sentation int grale et formalisme de Green iy f z d crit 1 1 quand y d crit h 0 _ A Fic NI 6 Transformation conforme d un ruban La transformation conforme f z cosh 4 permet de passer du ruban infini au demi plan sup rieur de R pour lequel une solutio
192. portement dynamique d un de ces solides est r git par un ensemble d quations qu il est commode de pr senter sous la forme d une quation variationnelle dont la solution math matique est propos e sous la forme d une solution int grale o figurent explicitement les conditions aux limites Cette op ration est rendue possible par l introduction du noyau de Poisson v rifiant des condition aux limites bien pr cises sur la surface de l objet consid r et qui se r v le tre un op rateur d admittance ou d imp dance bien utile pour traiter les int ractions entre solides Ce travail th orique est l origine d un code de calcul num rique qui permet de concevoir des objets sonores de formes arbitraires constitu s de mat riaux divers Avant de faire vibrer ces objets sonores peuvent avoir subit de grandes d formations qui modifieront leurs propri t s vibratoires Enfin l utilisateur du logiciel peut coupler ces objets soit par des assemblages permanents soit par contact unilateral sans frottement
193. pose a 0 et la condition la limite III 32b permet de calculer b pour donner P x s ee L expression du Noyau de Poisson en fonction du temps est alors obtenue par transform e de Laplace inverse soit 1 x Py x t Y t xE RT teR pc C Le calcul du noyau de Poisson peut aussi se faire en consid rant la m thode des images qui consiste sommer les contributions de deux fonctions de Green de l espace infini III 31 dont les sources sont plac es sym triquement par rapport l origine Gn x y t g x y t g x y t 46 med y X AAA E e 0 i FIG I 3 M thodes des images Cette m thode consiste superposer les contributions de deux fonctions de Green de l espace infini dont les sources sont plac es sym triquement par rapport l origine De par sa construction cette fonction v rifie une condition de Neumann homog ne en x 0 et coincide ave le noyau de Poisson pour y 0 sur le demi axe x 0 00 Ainsi il est possible d utiliser indiff remment la fonction Gyn x y 0 t ou Py x t dans une formulation int grale du type III 23 pour traiter le probl me de Neumann inhomog ne de la barre semi infinie I n en va pas de m me pour un probl me de Dirichlet pour lequel la solution l mentaire du demi espace est calcul e par la m thode des images en faisant la diff rence et non plus la somme de deux fonctions de Green sym triques par rapport l origine
194. possible d liminer la vitesse dans les quations du mouvement et ainsi d obtenir une quation int grale ne portant que sur les surfaces de contact dont l inconnue est la pression de contact Compar aux m thodes directes par diff rences finies ce proc d permet d envisager une conomie en terme de temps de calcul pour des syst mes de grande taille 96 INTERNATIONAL JOURNAL FOR NUMERICAL METHODS IN ENGINEERING Int J Numer Meth Engng 2003 00 1 32 Prepared using nmeauth cls A reciprocal variational approach to the two body frictionless contact problem in elastodynamics J Bensoam Ircam centre G Pompidou CNRS UMR 9912 Acoustic Instrumental Team I place I Stravinsky 75004 Paris France amp L A U M CNRS UMR 6613 Universit du Maine Le Mans France This paper deals with the theoretical and numerical treatment of the unilateral dynamic contact problem between two arbitrary elastic bodies without friction In addition to the classical variational statement that arises from static problems a dynamic contact condition is needed and found by adjusting the balance laws of physical quantities to the impenetrability condition In the context of infinitesimal deformation a reciprocal formulation is then used to reduce this well posed problem to one involving Green functions defined only on contact surfaces It is then often possible to approximate the system using considerably fewer unknowns than with finite diff
195. quilibre dynamique Dans la suite l int grale de volume sur Y repr sente l int grale sur Q en excluant les points situ s sur la surface de discontinuit gt De m me l int grale qui porte sur la surface 00 Y exclut la ligne d intersection de X avec 00 Fig I 1 M Q0 UN IAE 00 u o La d riv e particulaire d une int grale de volume portant sur le domaine Q Y de tout champ A scalaire vectoriel tensoriel discontinu sur gt est donn e par d OA a A dv Ai a dv Aux wx nx ds 1 9 dt J os a 5 Ot D la notation Aux K d signe la d riv e partielle de A par rapport la coordonn es x Le th or me g n ralis de la divergence stipule que pour tout champ A scalaire vectoriel ten soriel discontinu sur gt on a An ds k dv A nk ds 1 10 OQ E DES DE Les double crochets indiquent le saut de la fonction qu ils encadrent c est dire la diff rence des valeurs de la fonction de part et d autre de la surface de discontinuit orient e selon le choix de la normale If ft f 1 11 Le produit f n est ind pendant de toute orientation de la normale n 15 AQ Q Y uR OQ OO U AN AQ FIG I 1 Surface de discontinuit Un domaine fluide ou solide Q peut tre travers par une surface de discon tinuit X Deux solides en contact repr sent s par les domaines Q4 et Q tels que Q Q U peuvent avoi
196. r guli re cet angle vaut 27 La repr sentation int grale du champ de d placement en un point x de la surface OQ est alors obtenue en rempla ant ces limites dans la rep sentation int grale III 1 w x ut pGEG vit x Rt du 1 9 At Q J Gi x y t oij u ni y t TF x y t uly t ds OQ Ji fo uo x GE x y t to x G x y i Wy Il faut noter que ce r sultat provient de la forme particuli re de la surface Se calotte sph rique de la boule B x de centre x et de rayon et fait appel un type particulier et restrictif de convergence d int grales la convergence au sens de Cauchy x dsy lim dsy Qe Q B x AQ aE Un autre r sultat peut tre obtenu en choisissant un volume d exclusion diff rent de la boule B x Ceci montre que le vecteur contrainte T n est pas int grable sur une surface contenant x et met en lumi re une diff rence importante entre les solutions des quations de l lasticit tensorielles et les solutions d quations scalaires quation de Laplace quation des ondes pour lesquelles il existe un quivalent int grable Marc Bonnet propose une alternative a cette m thode classique en retranchant une identit de corps rigide aux quations int grales portant sur la surface Q avant de proc der au passage la limite Il obtient une quation int grale ind pendante du type de convergence des int grales ce qui facilite la mise en oeuvre
197. r une masse volumique diff rente A la travers e de la surface gt la masse volumique est alors discontinue 2 2 Equations du mouvement non lin aires En appliquant maintenant les deux th or mes 1 9 et 1 10 aux lois de conservations d crites dans la pr c dente section c est dire en prenant respectivement 1 A p A p A pOMAu A pe 5pu u et finalement A ps dans les formules 1 1 1 3 1 4 1 6 et 1 8 il est ais d obtenir les quations du mouvement suivantes Conservation de la masse 2r p k k 0 dans Q4 Xz 1 12 lol k we ng 0 sur gt 1 13 Conservation de la quantit de mouvement Of k Oki p k dans O d 1 14 ral p t wn ox n sur 3 1 15 Conservation des moments Okl Olk dans Ode 1 16 Premier principe de la thermodynamique conservation de I nergie p Okl k ph qi dans 0 h4 1 17 1 Girin o p t wi ny oki k q ni sur gt 1 18 Second principe de la thermodynamique entropie h dl ps Pa g gt 0 dans Q4 Xz 1 19 Isl a 51 nm gt 0 sur Dy 1 20 ou le tenseur des contraintes de Cauchy a t introduit en posant Onin tnk sur OD 1 21 16 Remarque Il est utile pour effectuer ces calculs d exprimer la d riv e particulaire d une quantit X d finie par sa densit sp cifique x densit par unit de masse sous la forme d A f px dv pX dv x p t winid S
198. ra To create an object with an external mesh file you must eventually end with a mesh containing only hexahedras In the future extensions will be made to be able to use other types of finite element Example define my mesh make mesh read from file diapason mesh view mesh my mesh See also view make mesh medit See also the GTS GNU project located at http gts sourceforge net samples html 9 MAKE MESH RESTRICT EDGE Take an edge or several edges from a mesh to make a new mesh This function is helpful to extract a sub mesh from an original mesh The result is an edge or a list of edges 169 Description Syntax make mesh restrict edge mesh edges Parameters mesh The original mesh from which a sub mesh is to be extracted edge s The edges to be extracted given by a vector of number of nodes Example define sub mesh make mesh restricted edge vector 1 2 3 4 1 See also For details see make mesh restricted point 10 MAKE MESH RESTRICT PLANE Description Take all the quadrilaterals that belong in a plane from a mesh This function is helpful to extract a sub mesh from an original 3D mesh The result is a mesh of quadrilaterals Syntax make mesh restrict plane mesh normal invariant point Parameters mesh The original mesh from which a sub mesh is to be extracted normal The vector normal to the plane invariant point Any point in the plane Ex
199. reflection at time t 20s and t 40s creates artifacts in the velocities iv First 100 millisecond of interaction A small penetration is observed in the displacement curves 112 VII 6 An elastic disk is dropped on an other one clamped on its lowered hemisphere edges The candidate contact nodes are numbered from 1 to 17 113 VII 7 Nine snapshops of a collision between two disks and contact force in mPa excerted on the contact surface for an initial velocity V 1 m s The contact surface is localized around the central node 9 and involves exceptionally the node 8 and symetric 10 The ninth node stay in contact 114 VII 8 Nine snapshops of a collision between two disks and contact force in mPa exerted on the contact surface for an initial velocity V9 6 m s When the contact surface extends itself beyond the node 8 and symmetric 10 the ninth node is no longer in contact and a gap appears compare with Fig VIL7 115 VII 9 Trajectory and velocity of a rigid body dropped on a rigid foundation for two different interaction forces Case a energy is conserved Case b the kinetic energy is lost at the ACCODTACE e i a dedans e a b e ee ee na Oe x 116 VIL16ynth se modale Dans la pratique la convolution du noyau de Poisson avec les Al A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 B 1 C 1 C 2 E 1 sources est r alis e par un banc de
200. rellement de uy Dans la pratique on pr f re introduire la fonction H VEE H v T v gt Hipi v Liv u et r soudre le probleme P suivant trouver u tel que du ee Hup inf Hv Luz inf L v u A 33 dont la solution unique u d pend contintiment du param tre u RP Si est une solution du probl me dual A 29 alors la solution uy du probl me P correspondant est une solution du probl me A 24 En effet puisque est une solution du probl me dual une partie de la relation A 28 est tablie G A L u A inf L v A Le sens de l in galite est invers puisqu il s agit d un maximum et non d un minimum 141 Il reste donc d montrer la relation sup L uy u L uy HERY pour tablir que le couple uy est le point selle du Lagrangien L et donc que u est solution du probl me A 24 Pour cela on crit la relation A 31 sous la forme X mpila lt S Ayila Yu ERT 1 1 Par suite Liu J u 3 myil i 1 lt Fux Myi ui L ux i 1 pour tout u R ce qui est pr cis ment la deuxi me in galit qu il fallait d montrer Exemple Appliquons le r sultat qui pr c de dans le cas o R et lorsque M est de la forme U veR Cv d lt o0 ou C est une matrice m x n donn e et d R un vecteur donn on suppose m lt n Dans ce cas H s crit H v I v ul Cv d La d riv e de la fonct
201. respondre u t d fini de 0 7 dans Uaa telle que J u inf J v IL 32 ad 31 o J est la fonctionnelle de Hamilton 11 21 et Uaa t l ensemble des vitesses admissibles d fini conform ment la condition II 28 par Uat veE v as sur l y 11 33 Contrairement U cet ensemble n est pas un sous espace vectoriel de mais un ensemble convexe D apr s la th orie de l optimisation sous contrainte cf annexe A ou 10 r soudre le probl me 11 32 c est trouver la fonction u t Ua t qui v rifie l in quation d Euler VI u v u gt 0 Vv uaa 11 34 Ce qui nous am ne l in quation variationnelle suivante 6 trouver la fonction t u t de 0 7 Uaalt verifiant les conditions initiales II 6 et IL 7 telle que Vt 0 7 et Vv Uaa m u t v u t kalt v u t W t v u t 0 11 35 2 2 Muliplicateur de Lagrange Le probleme d optimisation 11 32 soumis la contrainte de Dirichlet peut se ramener un pro bl me d optimisation sans contrainte Auquel cas l optimum est d termin par une quation et non plus une in quation traduisant l annulation de la d riv e d un Lagrangien bien choisi Math ma tiquement l ensemble convexe Uaa est remplac par un espace vectoriel W E x Z o l ensemble Z H V T4 est le dual de l ensemble H Ta lequel correspond aux d placements de la surface de D
202. rface of 0 1 x 0 2 meter Duplicate the previous quadrilaterals into hexahedras Take the quadrilaterals from the previous example and generate hexahedras by translation duplicate translation my mesh 6 vector 0 05 0 0 view mesh my mesh The mesh my mesh is now a volume which contains 60 hexahedras generated by translation of the previous surface in the x direction 167 See also duplicate rotation make mesh transform view 6 MAKE MESH ADD Description Add two or several meshes Syntax make mesh add ist of meshes Parameters list of meshes The meshes to be added together Example define sum mesh make mesh add list meshi mesh2 mesh3 view mesh sum mesh See also duplicate reflection 7 MAKE MESH COPY Description Copy a mesh Syntax make mesh copy mesh Parameters mesh The mesh to be copied Example define my mesh2 make mesh copy my mesh1 See also fem example 168 8 MAKE MESH READ FROM FILE Description Syntax make mesh read from file filename Parameters filename Name of mesh data file in quotes i e my mesh The mesh file must conform to the INRIA mesh format to be able to visualize it with Modalys see the web page dedica ted to medit http www rocq inria fr gamma medit medit html Discussion For the time being Modalys 1s able to deal with only one type of finite element hexahed
203. rit U i Gi F j ou 2 parcourt l ensemble A des degr s de libert de I et 7 l ensemble de degr s de libert total A sans compter les degr s de libert li s la surface de Dirichlet l 4 Pour exprimer le d placement normal U X au ki me noeud de I on consid re l ensemble Xe des noeuds de I e Le probl me tant trois dimensions on obtient US Gar 2 Notre Gen vjNy er Gir Ne k F i Cine k Dis j EA En remarquant que les forces F qui s exercent sur le syst me peuvent se d composer en trois parties q q jq y p p p 1 les forces de volume FY j appartenant l ensemble Ag des degr s de libert internes du solide 2 les forces de surface F j appartenant l ensemble Ar des degr s de libert de la surface Le EE La 3 les forces de contact F j appartenant l ensemble des degr s de libert de la surface T e on crit le d placement normal U N sous la forme US SH X Hey Fi X Hay F jedg jer jee Cg ee Ue ee gt avec Hz G 3k 1 5 kEXe JE A VI 37 De plus puisque les forces de frottement tangentielles sont exclues la force de contact au noeud est un vecteur de la forme Pa Fig x Fy Pny xi f Pisa Si bien que le d placement normal U d aux forces de pression P sur I s exprime par Up X HF N CaP ke ve GEA Ex 92 avec Cet Hr a ana ti Hgcai 1y My 21 G3R 1 31 2 M2 21 Gge
204. ry differential equation which can be solved analytically by Laplace transform method This yields to the Green function nt a x y t Le V t oy ez x EN yen VII 25 4Same procedure can be done for the contact surface Te 5 Althought Green functions are computed in this article by modal theory please note that other methods exist to obtain those kernels finite difference algorithms integral formalism 106 where Mn and wpn are respectively the modal mass and modal angular frequency associated to the n th mode respectively and Y t is the Heaviside function A similar expression can be built for the Poisson function where the point y lie on the Neumann surface instead of being in the domain Q nt x vit gt oie yoo pily ek xEM yelr VII 26 The Poisson function D can also be computed using normal mode expansion But since the modes vanish on the Dirichlet surface I a more complicated approach must be used see Ref 53 for details 3 2 Two body contact problem Applying this result to the variational constrained problem VII 13 the displacement and the velocity on the contact surface can be expressed as functions of the contact pressure The two body contact problem is then reduced to the impenetrability VII 13c and to the dynamical contact condi tion VII 19 with only one unknown the contact pressure find op N such that Pn On Galan Gap p 9 Vpn EN VII 27a
205. s Au terme de ce travail le noyau de Poisson se r v le tre un op rateur d admittance ou d imp dance bien utile pour traiter les int ractions entre solides Il nous semble que l introduction du noyau de Poisson est une r ponse aux exigences de g n ra lit et de rapidit d un logiciel de synth se sonore par mod lisation physique Son utilisation dans les calculs s pare la phase de conception de l instrument de la synth se sonore proprement dite 124 La conception et la fabrication de l instrument synth tique comme l instrument r el demande du temps Une fois r alis et aussi complexe soit il l instrument virtuel peut produire un son de qua lit rapidement voire en temps r el avec la puissance des machines actuelles lorsque le calcul est r alis avec quelques dizaines de modes et quelques points de couplage Ce travail th orique est l origine d un code de calcul num rique D abord crit au laboratoire il fait l objet d un d veloppement informatique qui sera livr au public du forum de l Ircam courant 2003 Au terme de ce travail de th se l utilisateur de ce code informatique peut concevoir des objets sonores de formes arbitraires constitu s de mat riaux divers Il peut aussi avant de faire vibrer cet objet lui faire subir de grandes d formations qui modifieront ces propri t s vibratoires Enfin il peut coupler ces objets soit par des assemblages permanents soit par
206. s du mouvement suffisait pour mod liser les propri t s de vibration du syst me tudi Cependant ce mod le ne peut rendre compte des propri t s dynamiques d un corps ayant subi une grande d for mation initiale Selon cette formulation les fr quences propres seront les m mes que le syst me soit pr contraint ou non ce qui est para t aller contre l intuition Pour d crire convenablement le compor tement dynamique d une telle structure 1l faut partir des quations non lin aires issues de la th orie de la m canique des milieux continus et par la suite lin ariser ces quations au voisinage de l tat statique pr contraint 1 SYST MES DE COORDONN ES ET QUATIONS FONDAMENTALES 1 1 Description du probl me Solide au repos Un solide lastique au repos est dans son tat naturel ou mat riel non d form Il occupe une r gion de l espace Ro de volume Qo de surface No et de masse volumique po La position d un point mat riel P est d crit par un syst me de coordonn es cart siennes X1 X2 X3 ou simplement 66 Xi Xo oa Fic V 1 Vibration d un solide pr contraint Petites d formations r gion hachur e Q venant s ajouter aux d formations d une structure pr contrainte r gion Q par X g avec K 1 2 3 Equilibre statique pr contraint Supposons que ce solide passe de son tat mat riel un tat statique pr contraint la suite d une d formation initiale cr e par de
207. s de libert compl mentaires i e en dehors de la surface de contact peut alors augmenter sans affecter le temps de calcul de l algorithme de contact En revanche cette m thode n cessite un pr calcul de la solution l mentaire propre chaque domaine consid r titre indicatif l algorithme de contact appliqu l exemple de la section 4 2 a t relanc pour calculer une seconde d interaction Le maillage de l anneau comporte 192 noeuds soit 576 degr s de libert 264 ddl pour l autre solide Compte tenu des caract ristiques du mat riau avec le maillage propos cube de 1 cm de cot il est possible d analyser le syst me jusqu une fr quence fe 1000 Hertz La fr quence d chantillonnage vaut fe 2 x fe soit At 5 1074 s Seuls les modes propres de fr quence propre inf rieure fe sont retenus 98 modes pour anneau et 66 pour l autre solide La surface de contact comporte 18 noeuds de contact Le Noyau de Poisson est calcul en moins d une seconde pour chaque solide Le temps de calcul pour une seconde de synth se est de 71 s sur une machine ordinaire 400 MHertz avec un programme crit en matlab sans soucis d optimisation 2Ce qui est impossible en utilisant la m thode des diff rences finies Conclusion 120 Conclusion Modalys est un logiciel de lutherie virtuelle et de synth se sonore Son id al est de pouvoir pr dire le son de n importe quel type d
208. s et tangentielles le bilan de puissance se met sous la forme On telp nk or l nilr Ialr n 20 surle Puisque la vitesse normale est continue de part et d autre de la surface de contact le premier terme est nul La dissipation c est dire la transformation de l nergie m canique en chaleur ne peut se produire que s il existe une discontinuit de la vitesse tangentielle wr Ir 0 les particules frottent d un cot l autre du plan tangent L hypoth se d imp n trabilit ne laisse envisager que peu de configurations d interaction Nous en voyons principalement trois le couplage permanent et le contact unilat ral avec ou sans frottement L assemblage permanent ou le collage de deux ou plusieurs solides est la premi re possibilit Connaissant s par ment les modes propres de vibration de deux structures il peut tre int ressant de pouvoir pr dire leur comportement une fois assembl s Lorsque deux solides se heurtent sans se coller le contact n est pas permanent la surface de contact volue au cours du temps et les solides n exercent aucune traction l un sur l autre La force de contact d un objet sur l autre est forc ment unilat rale Dans ce cas on parle de contact unilat ral avec ou sans frottement Les r sultats obtenus aux chapitres pr c dents permettent de r soudre ces probl mes d inter action entre solides Dans un premier temps ces r sultats sont utilis s po
209. s forces ext rieures de volume pf et ou de surface t II occupe alors une r gion de l espace de volume Q de surface OQ et de masse volumique p Le point mat riel P de l tat non d form se d place et coincide dor navant avec le point p dans l tat statique pr contraint Sa position est d crite par un syst me de coordonn es cart siennes 71 2 3 ou simplement par g avec k 1 2 3 Il se cr e dans le solide un champ de contrainte initial o Les quations d quilibre statique du solide pr contraint sont les suivantes pfr ox 0 dans Q V 1 te ann sur OF V 2 ou encore sous forme variationnelle on peut crire VV J ctitrade postot tr kds V 3 Q Q OQ On rappelle la d finition du tenseur de contrainte a7 en fonction du tenseur de contrainte mat riel 2 de la configuration naturelle one O ti ee avec KL OW OEK1L x V 4 et j det 9xx 0XK V5 67 D formation dynamique On suppose que le solide lastique se trouve dans l tat pr contraint jusqu l instant t 0 Par la suite c est dire pour t gt 0 il subit une petite d formation dynamique sous l effet de forces ext rieures de volume ef et de surface et qui s additionnent aux forces statiques lt 1 f f ef V 6 t cd V 7 Au cours de cette transformation dynamique les points de la r gion occupent une r gion de l es pace R de volume Q de sur
210. s the normal component of the relative velocity on I In order to obtain a well posed problem a new contact condition must be found specifying the value of this dissipation term This the purpose of section 2 This condition is called the dynamical contact condition as it 1s not necessary for static problems 2 2 Balance laws on the contact surface The dynamical contact condition will be found by adjusting the balance laws of physical quan tities on the contact surface to the impenetrability condition see Refs 1 2 3 4 This condition used in inequality VII 2 can be also formulated by Two bodies do not penetrate if the flux of mass through their separation surface le see Fig VII 2 of velocity w vanishes i e p lu k wr ne 0 onT VIL 16 where p is the mass density of body x and n the unit vector normal to TV outgoing from body a 103 body b FIG VIL 2 The surface I is called contact surface or sliding surface According to this hypothesis the balance laws of physical quantities give rise to the following pro perties on I l klr nk l 0 mass conservation VII 17a loxlr n 0 momentum conservation VIL 17b loxr kr ni lal NI energy conservation VIL 17c lalp n 0 2nd thermodynamic law VII 17d where is the Cauchy stress tensor and q the heat flux vector The jump llr is a spatial jump through the contact surface these brackets indicate the diff
211. s0 make connection pluck my fem access in my plectrum plk 0 1 const 50 5 55 33 make position connection to push plectrum define my plectrum mov make access my plectrum const 0 trans0 make connection position my plectrum mov make controller envelope 1 list list 0 00 1 List 0 50 5 5 3 3 333 make listening point on string 2929 133 make point output my fem access out 333 run the synthesis and play the sound run 2 make 2 seconds of sound play save diapason aiff Liste des figures et tableaux 184 I 1 II 1 II 1 II 2 II 3 II 4 MI 5 II 6 IV 1 Structure l mentaire seule et en interaction La premi re partie de la th se se consacre l tude d un solide lastique de forme quelconque isotrope ou aniso trope soumis des conditions aux limites arbitraires et voluant selon les lois de propagation lin aire Les r sultats de cette tude servent dans la seconde partie de th se r soudre les probl mes d interactions entre ces l ments de base Surface de discontinuit Un domaine fluide ou solide Q peut tre travers par une surface de discontinuit X Deux solides en contact repr sent s par les domaines 94 et tels que Q Q UM peuvent avoir une masse volumique diff rente la travers e de la surface gt la masse volumique est alors discontinue Solide lastique soumis d
212. solide Q est gale la r sultante F des forces agissant sur le domaine Math mathiquement L o dv F 1 2 dt Jo ou le terme de gauche est la variation de quantit de mouvement du domaine Q et le champ des vitesses des particules de 2 La r sultante des forces se compose de forces de volume la gravit par exemple et de forces de surface qui traduisent des actions locales de contact Cette distinction permet d crire la loi de conservation de la quantit de mouvement sous la forme d p dv odut tn ds 1 3 dt Ja a an ou tn est une force par unit de surface agissant sur la fronti re OQ du corps Cette force d pend comme son indice le laisse supposer de I orientation du vecteur unitaire n normal O Par conven tion ce vecteur pointe vers l ext rieur de Q4 La densit massique de force f rend compte des effets distance 3masse volumique p pour la masse densit massique ou sp cifique d nergie interne pour l nergie interne totale 13 Axiome 1 3 Conservation des moments La variation des moments d un domaine fluide ou solide Q est gale la r sultante des moments des forces agissant sur le domaine Math matiquement d pOM A dv pOM A f dv OM A ty ds 1 4 dt Ja o an ou le terme de gauche est la variation des moments du domaine Q par rapport une origine arbitraire O Le terme de droite est la somme des moments des efforts de surfa
213. stique des milieux visco lastiques en laissant de cot les milieux fluides ou gazeux Dans ce cadre nous n avons pris en compte qu une loi de comportement lin aire de mani re concentrer nos efforts sur les probl mes aux limites qui sont d terminant dans les processus de r sonance Ainsi un syst me physique complexe est d crit par l assemblage de solides coupl s les uns aux autres et dont les interactions sont d crites par des conditions aux limites impos es leur fronti re Dans ces conditions le comportement dynamique d un de ces solides est r git par un ensemble d quations qu il est commode de pr senter sous la forme d une quation variationnelle A ce titre nous montrons les rapports qui existent entre les quations du mouvement et le principe d optimisa tion de la fonctionnelle de Hamilton La solution math matique de cette quation variationnelle est propos e sous la forme d une so lution int grale o figurent explicitement les conditions aux limites et diff re quelque peu de la repr sentation int grale traditionnelle utilisant la solution l mentaire de l espace infini Cette op ration est rendue possible par l introduction du noyau de Poisson v rifiant des condition aux limites bien pr cises sur la surface de l objet consid r Maints efforts ont t consentis dans la d finition de cette solution l mentaire de mani re resoudre les paradoxes apparents qui se dressaient alor
214. t d 1 re ri dv pf u ph dv J tn q n ds 1 6 dt J a 2 Q ON D autres formes d nergie d origine lectromagn tique chimique peuvent tre pr sentes mais seuls les probl mes ther mom caniques sont envisag s ici 14 Axiome 1 5 Second principe de la thermodynamique La variation de l entropie H d un syst me est toujours plus grande que la somme des sources d entropie volumique et du flux entrant d entropie qui traverse la surface ofl Math matiquement d cue padu b nds 1 7 dt Q AQ o a est une densit sp cifique ou massique de source d entropie apport e par l ext rieur En m canique des milieux continus l entropie H est d crite par une densit d entropie sp cifique s telle que H ps dv Q Il est aussi possible d introduire la temp rature absolue 0 toujours positive 0 gt 0 et inf 0 0 de mani re relier le flux d entropie b au vecteur courant de chaleur q par la formule b 4 Le param tre h permet de d crire les sources d entropie sous la forme a 7 Le second principe de la thermodynamique devient alors d h 1 dv gt dv q n d 1 8 al v2 o U Ja gan S 2 EQUATIONS DU MOUVEMENT 2 1 Th or mes fondamentaux Consid rant le domaine 2 travers par une surface de discontinuit de vitesse w Fig I 1 les deux th or mes suivants sont fondamentaux pour d terminer les quations d
215. t alors le lagrangien associ au probl me A 24 sous la forme L v p E x R gt Liv u T v 3 mivi v A 26 1 1 Point selle du Lagrangien Maximun de G u Si les relations de Kuhn et Tucker sont v rifi es pour le couple u alors pour tout u gt 0 la fonction d finie par G p ER gt Gu J u mivi u L u p inf L v p A 27 139 H v FIG A 6 Point selle Interpr tation g om trique du point selle du Lagrangien L est inf rieur ou gale J u puisque y u lt 0 Or G A L u J u X Aivi u J u d apr s A 25b On en d duit donc que G A sup G u L u sup L u p HERY HERY Autrement dit est le maximum relatif cf figure A 6 sur IR de la fonction G u Minimum de H v Supposons toujours que le couple u v rifie les relations de Kuhn et Tu cker la fonction H v d finie par H v E Hv J v gt Xvi v L v sup L v u HERY tant une somme de fonctions convexes est convexe Cette fonction H v cf figure A 6 pr sente donc un minimum en u tel que H u inf H v L u A inf L v A Point selle du Lagrangien On a donc d montr que le couple u v rifiant les relations de Kuhn et Tucker donc solution du probl me A 24 v rifie la relation sup L u u L u inf L v A 28 ce qui constitue pr cis ment la d finition du point selle du Langrangien A 26 L v u R
216. t examples are presented in this section The first one is a collision between two identical rods This is a representative example which has been treated at least in three ar ticles 46 50 38 In this case an analytical Poisson function is available and used to test the contact algorithm A comparison is made between analytical and numerical results The second example deal with a three dimensional contact between two disk shaped elastic bodies that exhibits nonlinear characteristics 4 1 Impact between identical rods Two identical rods one initially stationary and the other moving with constant velocity v 1 unit come into contact at time t 0 see Fig VII 3 The material and geometric properties for each rod are density p 1 unit cross sectional area A 1 unit length L 10 unit Young s modulus E 1 unit Poisson s ratio v 0 Analytical results For a rod of length L the analytical Neumann Poisson function giving the displacement at point x 0 L that follow an impact at x 0 and t 0 is x 2kL amp 2kb 00 Y t Cr EC k 1 N 0 xz t pc C where c EA is the wave velocity in the rod see Ref 23 In this case c 1 unit A time discretization of this analytical Poisson function and its time derivative represented in Fig VII 4 1 are used in the contact algorithm with a sample rate set to 100 Hz The displacements velocities and contac
217. t la solution l mentaire de l espace infini Elle engendre une quation int grale qui est l origine des m thodes num riques d l ments de fronti re section 1 La seconde est le noyau de Poisson autre solution l mentaire v rifiant des conditions aux limites bien sp cifiques sur les fronti res du syst me consid r L usage de cette fonction fournit une solu tion int grale section 2 La derni re section pr sente quelques mani res de calculer cette solution l mentaire 36 FIG IIL 1 Solide 2 contenu dans un ouvert E L application de l identit de Maxwell Betty permet de re pr senter la solution u du probl me Pa sous la forme int grale Le Domaine Q est limit par une surface 0Q Ty U la sur laquelle des conditions aux limites t et u sont impos es 1 REPR SENTATIONS INT GRALES Les formules int grales obtenues par Helmholtz en 1860 pour des ondes acoustiques et par Kir chhoff en 1883 pour des ondes polarisation transverse sont l expression du principe de Huygens qui postule que chaque point d un front d onde agit comme une source mettant une onde sph rique 11 Depuis les formules int grales du type Helmholtz Kirchhoff ont t obtenues pour des ondes l c tromagn tiques satisfaisant une quation vectorielle de propagation 12 Pour les ondes lastiques qui pr sentent la propri t d tre compos es d ondes longitudinales et transervales se propageant des
218. t pas explicitement dans le calcul des interac tions entre objets Le formalisme doit donc tre am lior en d finissant pr cis ment un l ment de base FIG 1 Structure l mentaire seule et en interaction La premi re partie de la th se se consacre l tude d un solide lastique de forme quelconque isotrope ou anisotrope soumis des conditions aux limites arbitraires et voluant selon les lois de propagation lin aire Les r sultats de cette tude servent dans la seconde partie de th se r soudre les probl mes d interactions entre ces l ments de base Pour cela nous avons choisi une structure l mentaire ind pendamment du formalisme qui per met de d crire son comportement Il s agit d un solide lastique de forme quelconque isotrope ou anisotrope soumis des conditions aux limites arbitraires et voluant selon les lois de propagation lin aire Cela fournit un cadre d analyse volontairement limit et simplifi de mani re pouvoir traiter les probl mes de la fa on la plus exhaustive possible tout en gardant un niveau de g n ralit raisonnable permettant de repr senter nombre de situations concr tes Le choix des solides plut t que les gaz ou les fluides est un parti pris mais comporte n anmoins dans son traitement math ma tique certaines caract ristiques communes d autres milieux L tude de cet l ment de base fait l objet de la premi re partie de cette
219. t possible d obtenir des informations sur leur coefficient respectif Il faut bien remarquer ici que cette propri t n est pas toujours v rifi e dans le cas d un mat riau incompressible pour lequel la masse volumique est fonction de la temp rature p f 6 il existe alors une relation entre et dki par l interm diaire de la conservation de la masse Donc lorsque le milieu visco lastique n est pas i 8Pour un milieu incompressible la trace du tenseur de vitesse de d formation vaut dgk E i a 0 19 incompressible il est possible de prendre dx 0 et 0 x 0 dans 1 31 Puisque p gt 0 il vient dans ce cas eo 00 Le terme oe s est une fonction d tat des variables d tat 9 E et n est donc pas fonction de 6 Pour que la dissipation 1 32 soit non n gative dans toute volution thermom canique infinit simale c est dire pour toute valeur de 0 il faut que le facteur de 0 soit nul Il vient alors s 0 gt 0 VO 1 32 o O s et donc c 0 1 33 d apr s la d finition de l nergie libre 1 24 L in galit fondamentale se r duit maintenant oki ptk K OW OEKL t L dki TO gt 0 1 34 Pint Pin Remarque Si le tenseur de Cauchy ox vaut Or ptk K OW OEKL 11 1 35 la dissipation volumique intrins que est nulle Pint 0 Autrement dit si ox ox l volution du milieu se fait sans perte visqueuse les pertes sont seulement d
220. t pressure plot in Figs VII 5 and VII 5 i1 fit the plots found in Taylor and Papadopou los 50 Numerical results The rod is modeled by two node one dimensional linear elastic elements A uniform mesh of 100 elements is considered and the sample rate is also set to 100 Hz The two numerical Poisson functions displacement and velocity plot in Figs VII 4G1 and VII 4 ii1 differ essentially from analytical ones Fig VII 4 1 since they are computed using normal mode expansion VII 26 with 111 1 Analytical Poisson function 5 5m 3 E 4 54 5 oO oO 2 5 3t 5 3 5 O O O Bol Bol z a gt Bay Bak 51 a gh 0 0 5 10 15 20 25 5 10 15 20 25 1 05 0 0 5 1 1 5 150 200 200 100 2 2 8 100 8 100 8 50 mee O oO gt gt gt Or _50 5 10 15 20 25 5 10 15 20 25 1 05 0 0 5 1 15 1 Numerical 111 zoom numerical Time FIG VII 4 i Time discretization of the analytical Poisson functions valid for rod a or b 1 Numerical Poisson functions computed using normal mode expansion and zoomed in subfigure 111 TAB I Material and geometric characteristics for the three dimensional numerical example Elastic disks p 11 3 10 Kem E 10 4 10 Pa Density Young s modulus Poisson s ratio 037 Dimensions Rout 005m Thickness e 510 m Initial gap b 0 01 m 1 Initi
221. tact la propagation dans les solides tant d j prise en compte par le formalisme du noyau de Poisson En revanche on ne connait pas l tat du syst me chaque pas de temps en dehors de la zone de contact C est donc la que l conomie en terme de temps de calcul est r alis e Il va sans dire que cette conomie devient int ressante partir d un certain nombre de degr s de libert Pour un petit syst me la segmentation des calculs est inutile Quelle est donc cette limite Il est raisonnable de penser que cette limite est fonction du nombre de modes utilis s dans la synth se et du nombre total de degr s de libert du syst me En effet dans la pratique la convolution du noyau de Poisson avec la pression de contact qui permet d obtenir le d placement et la vitesse sur l ensemble des noeuds de la surface de contact est r alis e par un banc de filtres d ordre deux L tat des surfaces de contact d placement vitesse est obtenue chaque pas d chantilonnage par l addition des d placements et vitesses modales comme l illustre la figure VIT 10 Il est donc possible d estimer pour chaque pas d chantillonnage n le nombre d op ration machine qu il est n cessaire d effectuer Le sch ma r cursif d un oscillateur d ordre deux pour le mode t soumis une pression P est le suivant Un AjyUn 1 Olina T Ol ai 7 S VIL43 Un A Un 1 T Bi n 2 r 0 P n i F rare Le
222. tal de noeuds de la surface de contact et Z Cy Co Nk Les grandes lignes des r sultats pr sent s dans ce chapitre existent d j dans la litt rature 40 L utilisation d un noyau de Poisson calcul par la m thode modale constitue tout de m me une originalit Si ces r sultats sont d taill s ici c est aussi pour pr parer la r solution de probl mes de contact en dynamique en utilisant la formulation r ciproque 94 Chapitre VI Contact en lasticit e contenu de ce chapitre a fait l objet d un article soumis en janvier 2003 la revue Internatio L nal Journal for Numerical Methods in Engineering 42 Il s intitule A reciprocal variational approach to the two body frictionless contact problem in elastodynamics Comme le titre le laisse supposer le contact entre deux solides lastiques sans frottement est tudi en utilisant une formulation r ciproque Le cas dynamique est quelque peu diff rent du cas statique dans la mesure o il existe en dynamique une condition de contact suppl mentaire de ma ni re assurer la conservation de l nergie Cependant comme dans le cas statique chaque surface de contact est consid r e comme une surface de Neumann pour laquelle est calcul le noyau de Pois son La d riv e temporelle du noyau de Poisson est en fait un op rateur d admittance qui permet d exprimer la vitesse en fonction de la pression de contact Grace a cet op rateur il est
223. tant volume when a deformation occurs picture yourself a balloon plenty of water Lower values permit a loss in the total volume when a compression is done on the material make object finite element Description 17 TRANSFORM HOMOTHETY Transform a mesh by homothety Syntax transform homothety mesh homothety point homothety amplitude Parameters mesh homothety point The mesh to be transformed by homothety Center homothety coordinates homothety amplitude Amplitude of the homthety Example transform homothety my mesh vector 0 5 1 0 1 5 178 See also duplicate gt homothety 18 TRANSFORM REFLECTION Description Transform a mesh by reflection Syntax transform reflection mesh normal invariant point Parameters mesh The mesh to be transformed by reflection normal The vector normal to the reflection plane invariant point Any point in the reflection plane Example transform reflection my mesh vector 0 0 1 vector 0 0 0 See also duplicate reflection 19 TRANSFORM ROTATION Description Transform a mesh by rotation Syntax Transform rotation mesh rotation axis orig angle Parameters mesh The mesh to be transformed by rotation rotation axis Axis of rotation For instance the x axis can be given by the vector vector 1 0 0 orig Origin of the rotation The origin x 0 y 0 z 0 is specified by vector 0 0 0 angle Angle
224. ted above is still open Uniqueness of solution in the dynamic context is only proved by Duvaut and Lions 6 for frictional contacts assuming prescribed normal tractions Their demonstration based on energy considerations can not be applied in our case where the normal unilateral traction is an unknown In fact the two body contact problem is not yet well posed since several solutions can be obtained from the variational statement VII 8 or equivalently VII 13 Appendix 6 1 is an illustration of such a case 2 DYNAMICAL CONTACT CONDITION 2 1 Energy dissipation during contact As it is illustrated in appendix 6 1 any physically relevant solution of the contact problem has to be found by explicitely adressing the energy equation How the energy is dissipated in the two body contact problem To answer to this question let us compute the total time rate of change in energy kinetic T and internal W by replacing the virtual velocity v by the real velocity in VII 13a to obtain dE d T W a where the linear form b v is given by VII 14 This variation of energy according to the first principle of thermodynamics balances the total supply of energy through external forces and heat P Q According to VII 14 it is clear that the rate of work of all external forces is P fla D gt la x a b Thus the heat energy Q that enters the body per unit time is given by Q on Un pa where i
225. tenseur lagrangien de contrainte UKL po 3Y 3EkgL 1 41 pour d crire les ph nom nes sans dissipation intrins que r versibilit intrins que Solide isotrope Le principe de respect des sym tries de la mati re permet de pr ciser la forme qu a n cessairement la fonction 1 En effet si le solide est isotrope l nergie libre doit tre invariante pour toute transformation orthogonale S des coordonn es de la configuration de r f rence Une telle transformation orthogonale s crit math matiquement Nero Xe 1 42 21 NN SxMSLM SMKkSMLz dkz det Sxz l 1 43 Par cette transformation le tenseur des d formations E devient Ex SkmMEmNSin 1 44 L nergie libre doit donc pouvoir s crire w 0 E 0 SES VS orthogonal 1 45 La fonction est donc une fonction isotrope de son second argument E La th orie des fonctions isotropes montre que l nergie libre est n cessairement une fonction d invariants J1 2 et 3 du tenseur E Y y 0 11 Is Is 1 46 Par pure convenance on choisit comme invariants 1 1 I tr E h ztr E Iz 5tr E 1 47 o tr E repr sente la trace du tenseur FE Les d riv es partielles des invariants sont donn es par Oh OEK oK1 Ol 0EKxr Egz Ols 0EKxr ExkmEmz Ce qui permet d obtenir une expression du tenseur de contrainte en thermo lasticit isotrope Vey po OW 0h dx 0 01 Exz OW 0I3 Exu Em 1 48 dans laquelle les
226. th se et est abord e en utilisant les m thodes int grales D autres m thodes existent m thodes directes de calcul de la solution d un probl me aux quations diff rentielles par un algorithme it ratif mais l avantage des repr sentations int grales est par d finition de prendre en compte les ph nom nes sur la surface des objets Or c est pr cisemment par l interm diaire de leur surface que les objets tridimensionnels interagissent entre eux Ces m thodes proposent de traiter un probl me ellyptique par la d termination d une distribu ton de sources plac es sur le bord des structures La connaissance de cette distributions permet de r soudre le probl me y compris dans le volume G n ralement les sources utilis es correspondent des solutions l mentaires du milieu infini Cependant cette variante n cessite de r soudre des qua tions int grales pour chaque situation et peut s av rer tre tr s co teuses en terme de temps de calcul Le choix de la fonction de Green propre au syst me tudi ou plus exactement du noyau de Pois son comme nous le verrons dans le d tail de cette th se o figurent explicitement les conditions aux limites s est av r tre mieux adapt pour une utilisation musicale Les calculs sont r partis en deux phases l une permettant d obtenir la signature acousto m canique du syst me tudi et l autre donnant la r ponse de ce syst me soumis une excitation quel
227. this method is that the awkward problem of discontinuities which arises in contact problems is already treated in the definition of this operator usually called Green function Moreover since the contact pressure only occurs at the contact surface the problem itself reduces to one involving functions defined only on this surface It is then often possible to approximate the system using considerably fewer unk nowns than with classical finite difference methods At this point it is important to mention that this method is only applicable to small strain elasticity problems where Green functions make sense But the Green function can be considered as the first order term of Volterra kernels expansion and then futher investigations will be done to extend this algorithm to non linear elastodynamic by using those kernels Section 4 is concerned with two dynamic contact examples The first one is a collision bet 98 FIG VII 1 Two elastic bodies a and b in their undeformed dash line and current solid line configuration The actual surface on which the body a comes in contact with the other one is not known in advance but is contained in the portion I of its boundary ween two identical rods In this one dimensional case an analytical solution is available and can be compared to numerical results The second example exhibits nonlinear characteristics in the three dimensional contact between two disk shaped elastic bodies 1 FO
228. thode des l ments finis donne donc de meilleurs r sultats en basse fr quence Ceci est principalement d au fait que les fonctions d interpolation sont des polyn mes Babuska et Melenk 34 ont imagin des fonctions d interpolation construites partir de trains d ondes Dans certains cas la pr cision des calculs dynamiques devient ind pendante du nombre d l ments choisi Ils montrent qu il peuvent obtenir dans les autres cas des pr cisions de calcul nettement meilleures que celles des m thodes traditionnelles pour une densit donn e d l ments 351 2 2 Version num rique du noyau de Poisson par repr sentation modale Connaissant les modes propres num riques d une structure maill e par l ments finis une ma trice repr sentant le noyau de Poisson peut tre calcul e Avant de donner l expression de cette ma trice il est n cessaire de mieux carat riser la base modale constitu e de l ensemble des modes v rifiant IV 10 Les matrices A et B de taille Ne Nz semblent sugg rer que l espace vectoriel sur lequel on cherche une base diagonale est de dimension Ne Nz En fait il existe deux contraintes qui r duisent la dimension de l espace a Ne Nz La premi re contrainte est videmment celle de Dirichlet qui annule Nz composantes du d placement de chaque mode La deuxi me contrainte est la loi de Hooke qui relie la variation spatiale du d placement la force de Dirichlet Ce qui fait Nz
229. time t and the product of Sobolev spaces of l The displacement of a material particule P labeled by vector X is defined as u X t x X t X 99 each body E H Q x H O Throughout this study standard indicial notation and summation convention are employed Su perposed dots indicate differentiation with respect to time and commas denote partial diffe rentiation with respect to xg Thus OU Pui Ou w w De VK Dae etc 1 2 Contact condition The contact condition on the displacement field u of a linear elastic body in contact with a frictionless foundation is established by Oden and Kikuchi as u n lt gap onls VIL 1 where gap 1s a given function representing the normalized gap between the elastic body and the foundation and n is the outward unit vector normal to the contact surface I e The extension of this contact condition for Signorini problem to the two body contact problem has also been achieved The corresponding impenetrability condition is basically of the same form as the kinematic contact condition VII 1 except that now the relative displacement field u u u is used to give U Oi Onl VIL2 where u is the normal component of the relative displacement on the contact surface It 1 3 Hamilton s principle in elastodynamics and variational formulation Hamilton s principle states that a dynamical system will move so that the time av
230. tinu particulier solide fluide gaz en tirant toutes les cons quences du second principe de la thermodynamique travers l in quation 1 23 ou d une mani re quiva lente 1 25 Les lois de comportement d un solide visco lastique sont d taill es ci dessous 3 1 Hypoth ses Les milieux visco lastiques forment une classe de milieu continu destin e mod liser des so lides d formables Dans un milieu lastique on postule qu il existe pour chaque particule un tat privil gi appel tat initial partir duquel les d formations sont mesur es Dans l tat initial la tem p rature du corps est uniforme et vaut 99 Si le corps subit un chargement de la part de son milieu ext rieur ou re oit de la chaleur sa temp rature change et il se d forme Lorsque les influences ext rieures cessent 1l retourne son tat initial contrairement aux volutions plastiques Dans la plupart des cas cet tat initial est l tat naturel du milieu lastique l tat pour lequel la particule n est soumise aucune sollicitation m canique Cependant pour rester g n ral et pour pouvoir traiter les probl mes avec pr contrainte l tat initial est caract ris par un tenseur de contrainte de Cauchy o non nul Il reste maintenant choisir les variables d tat d un milieu visco lastique Selon J Garrigues 5 les connaissances en physique microscopique guident le choix des variables macroscopiques
231. to see the spatial pressure distribution on the contact surface The nodes on the candidate contact surface of the ring are numbered from 1 to 17 according to Fig VII 6 The contact surface extends itself for increasing impact velocity and provides a different behavior of the solids 112 Contact algorithm using analytical Poisson functions 1 ii O O 10 E 0 E _0 1 g 0 0 2 A A Velocities Velocities Contact pressure Contact pressure HE 5 10 15 20 25 30 0 5 0 ee A 0 5 0 5 10 15 20 25 30 Time Time Contact algorithm using numerical Poisson functions 111 iv 2 40 z 0 1 g 20 E 0 3 O _0 1 2 0 0 2 i 5 1 5 2 1 re ee 8 0 5 i E 0 T gt Contact pressure Contact pressure 40 0 0 0 10 20 30 0 10 20 30 4 0 5 0 es 0 5 fp 0 10 20 30 4 Time Time FIG VILS Impact of identical rods Subfigure 1 contact algorithm predictions using analytical Poisson functions Displacements velocities and contact pressure at contact point of rod a solid line and rod b dotted line 11 First 100 millisecond of interaction In this model the contact pressure on is postulated to be a succession of impulse forces 111 Impact modeled by finite element method using numerical Poisson functions The wave reflection at time t 20s and t 40s creates artifacts in the velocities iv First 100 millisecond of interaction A small penetration is observed
232. tween these two configurations depending on the way the energy is dissipated during impacts 7 QUELQUES REMARQUES SUPPLEMENTAIRES Pour clore ce chapitre quelques pr cisions s imposent Tout d abord l hypoth se des petits d placements est quelque peu transgress e concernant l exemple num rique tridimensionnel de la sec tion 4 2 En effet les d formations sont telles qu il n est pas vraiment l gitime d utiliser une for mulation lin aire du probl me en particulier les surfaces de contact T et T ne peuvent plus tre raisonnablement consid r es comme parall les Les caract ristiques des mat riaux de la table I ont t choisies de mani re forcer le trait Dans le cadre de l lastodynamique lin aire les d formations sont si faibles qu il aurait t impossible d obtenir une repr sentation graphique parlante a chelle unit D autre part il a t annonc dans introduction de ce chapitre que la m thode employ e permet de r duire le temps de calcul Il convient de pr ciser cette affirmation en disant que le temps de calcul est en fait divis en deux le temps n cessaire au calcul des noyaux de Poisson et le temps consacr l algorithme de contact Par rapport une m thode classique par diff rences finies l algorithme de contact propos ne porte pas sur l ensemble des degr s de libert du syst me mais sur un nombre r duit concernant uniquement les surfaces de con
233. u carr du facteur de la similitude A i e f z det J Transformation de la distribution de Dirac Il est l gitime de remplacer X Xo et Y Yo par leurs d veloppements limit s au premier ordre en xo et y Yo dans la distribution de Dirac X Xo X Xo d Y Yo qui est non nulle seulement dans un petit voisinage de 0 Il appara t alors P P dQ dQ et pes et y Jx 49 o J est la matrice jacobienne III 33 et on montre que _ N x Xo 111 36 Application Cette m thode est appliqu e un syst me r gi par l quation de Poisson Ag S o S est une source par exemple une charge q si on consid re un probl me lectrostatique Cherchons l expres sion de la fonction de Green d finie par AG p x Xo 6 x Xo dans 2 v rifiant en outre une condition de Dirichlet homog ne sur le bord OQ Compte tenu de III 35 et de III 36 le probl me envisag dans le domaine f Q correspondant la repr sentation conforme de Q s crit simplement Agp X Xo0 d X Xo dans f gD X Xo 0 sur fN S il est possible de calculer gp dans ce nouvel espace f Q la solution du probl me initial est alors obtenue en revenant dans 2 par Gp x Xo gp f x f Xo Il faut trouver par exemple une fonction f z qui transforme Q en le demi plan sup rieur de R Exemple Consid rons un demi ruban de hauteur h comme indiqu sur la figure III 6 P
234. ubi Elastodynamics volume I finite motions Academic Press New York 1975 P Germain Cours de M canique des milieux continus Masson Paris 1976 J Salen on M canique des milieux continus Ellipse Paris 1988 M Bruneau Manuel d acoustique fondamentale Hermes Paris 1998 J Garrigues M canique des milieux continus Cours de l Ecole Sup rieure de M canique de Marseille http esm2 imt mrs fr gar 2001 G Duvaut and J L Lions Les in quations en m canique et en physique Dunod Paris 1972 R Ohayon and C Soize Structural acoustics and vibration Academic Press 1998 R Dautray and J L Lions Analyse math matique et calcul num rique pour les sciences et les techniques Masson Paris 1984 tome I pp 194 201 R Dautray and J L Lions Analyse math matique et calcul num rique pour les sciences et les techniques Masson Paris 1984 P G Ciarlet Introduction l analyse num rique matricielle et l optimisation Masson Paris 1990 B B Baker and E T Copson The mathematical theory of Huygens principle Clarendon Oxford 1950 D S Jones The theory of electromagnetism Pergamon Oxford 1964 V D Kupradze Dynamical problems in elacticity progess in solid mechanics I N Sneddon and R Hill North Holland Amsterdam 1963 A T de Hoop Representation theorems for the displacement in an elastic solid and their application to elastodynamic diffraction theory PhD thesis Technische
235. ur traiter le probl me du couplage permanent de deux structures Puis de mani re envisager la deuxi me classe de pro bl mes la condition de contact unilat ral sera d taill e Elle permettra tudier en fin de chapitre les probl mes de contact en lasticit statique Ce travail pr liminaire servira introduire les ou tils qui permettront d aborder le cas dynamique L tude du contact dynamique entre deux solides lastiques sans frottement a fait l objet d un article de revue et constituera le second chapitre Le pro bl me du contact avec frottement en dynamique est un probleme qui requiert un traitement sp cifique et complexe Il ne sera pas trait ici mais fait l objet des perpectives de recherche 2 La taille de la surface de contact peut changer au cours du temps C est d ailleurs la principale difficult des probl mes de contact 1 COUPLAGE PERMANENT Cette section expose les conditions d un assemblage de deux solides lastiques par collage Connaissant les propri t s de chacun des solides le comportement dynamique de l ensemble est obtenu en utilisant deux m thodes de r solution 1 1 Conditions de couplage Consid rons deux solides a et b assembl s par collage sur une partie de leur surface commune not e I Les conditions qui expriment l assemblage sont simples les d placements u de part et d autre de la surface de contact sont identiques et les forces o sont oppos es
236. urfacique t x t est impos et d autre part la surface de Dirichlet T4 sur laquelle les d placements U x t sont suppos s connus Les forces impos es l int rieur du domaine Q sont caract ris es par la fonction f x t L objectif est alors de calculer le champ de FIG II 1 Solide lastique soumis des conditions aux limites Un solide lastique est repr sent par un domaine Q limit par une surface OQ Fn UT a d placement u x t et le champ de contrainte o x t dans le volume lastique 2 en fonction des donn es du probl me f t et Pour traiter les probl mes d interaction entre structures il est aussi n cessaire de d terminer les forces t et les d placements u sur la surface OQ qui ne sont pas prescrits par les conditions aux limites C est a dire les forces sur la surface de Dirichlet et les d placements sur la surface de Neumann 1 PROBL ME P CONDITION DE DIRICHLET HOMOG NE Cette section d cline et discute trois formulations des quations du mouvement probl me aux limites formulation variationnelle et optimisation 1 1 Equations du mouvement Compte tenu des hypoth ses formul es dans l introduction de ce chapitre lastodynamique li n aire sans ph nom ne visqueux ou thermique les quations dynamiques du mouvement concernant un solide lastique fix sur sa surface de Dirichlet sont les suivantes cf chap I Probl me Po e Relation fondamentale de la dynamique sym tr
237. use France 1984 28 M G radin and D Rixen Th orie des vibrations Application a la dynamique des structures Masson 1993 29 W E Arnoldi The principle of minimized iterations in the solution of the matrix eigenvalue problem Quart Appl Math 9 17 29 1951 30 R B Lehoucq Analysis and Implementation of an Implicitly Restarted Arnoldi Iteration PhD thesis Rice University Houston TX 1995 31 Z Jia Polynomial characterizations of the approximate eigenvectors by the refined arnoldi method and an implicitly restarted refined arnoldi algorithm Linear Algebra Appl 287 191 214 1998 32 Z Jia A refined iterative algorithm based on the block arnoldi process for large unsymmetric eigenproblems Linear Algebra Appl 270 171 189 1998 33 R B Lehoucq D C Sorensen and C Yang Arpack users guide Solution of large scale eigen value problems with implicitly restarted arnoldi methods Technical report SIAM Phildelphia 1998 34 I Babuska and J M Melenk The partition of unity method Comput Methods Appl Mech Engrg pages 289 314 1996 35 F Thlenburg Finite element analysis of acoustic scattering Springer 1998 36 J Bensoam N Misdariis C Vergez and R Causs Formulation int grale et technique des l ments finis appliqu es la synth se sonore par mod les physiques Repr sentations int grales utilisant la fonction de green et le noyau de poisson In CFA Congr s
238. v e n cessite une g n ralisation de la notion de d riv e au sens usuel Soit donc un ouvert Q d un espace vectoriel E et J Q C R une fonctionnelle d rivable au point u tentons d valuer la d riv e de J u Soit v un vecteur quelconque de l ensemble 2 tant ouvert il existe un intervalle ouvert J contenant 0 tel que la fonction dE IT gt 6 TJ7 ut Ov Wee A 2 soit bien d finie L application est d rivable par rapport 0 GO 6 0 u Ov I a Av et vaut 0 J u v A 3 pour 0 0 Puisque la d riv e de en 0 peut s crire 0 0 _ 5 T u Ov J u 0 0 0 0 0 0 on peut valuer la d riv e de la fonctionnelle 7 par J u Ov J u Wee A 4 J u v lim 0 0 ou encore dire que si J est d rivable en u alors J u Ov J u 0 T u v 9 lim 0 0 VWee A 5 1 2 D riv e d une fonctionnelle quadratique Les fonctionnelles quadratiques jouent un r le important en physique car elles permettent de repr senter l nergie potentielle d un syst me Elles se mettent sous la forme J NCE gt Iv 5a v v flv ER A 6 Si la forme a est bilin aire sym trique et si la fonction f est lin aire on peut calculer la d riv e de J selon A 4 On a en effet Jlu 0v Sa u v u 8v f u v A u da u v f u Of v 2 J u 0 a u v f v lc est dire que a u v
239. variationnelle 3 2 M thode de r solution du probl me de contact statique VIIContact en dynamique article de journal a comit de lecture 1 Formal statement of the problem 1 1 Geometry and conventions 1 2 CONACLCONAIUON s 42444448 MN NL ANS SI its en 1 3 Hamilton s principle in elastodynamics and variational formulation 1 4 Method of Lagrange multipliers 1 5 Equation of motion 55 39 55 57 58 58 60 61 61 61 65 65 65 67 67 68 68 69 70 73 77 77 TI 78 78 19 79 19 81 82 82 84 85 87 X 2 Dynamical contact condition ZA Energy dissipation during contact 2 2 Balance laws on the contact surface 3 Dual fromulation 2 3 1 The unconstrained problem 2 Two body contact problem 3 3 Time discretization and algorithm 3 4 Approximation and numerical analysis 4 Numerical examples 4 1 Impact between identical rods 4 2 Three dimensional numerical example 5 Discussion and conclusion 6 ADDED net de ee Don D D De Boeke dde oe SS
240. xpressions de l entropie sp cifique s de l nergie sp cifique interne et du tenseur des contraintes sans dissipa tion intrins que ox Repr sentation lagrangienne Tous les r sultats de la section pr c dente sont tablis en variables eul riennes dans la confi guration actuelle 4 Les densit s massiques s et demeurent inchang es en repr sentation la grangienne compte tenu de la conservation de la masse Il est utile pour la suite d crire l in galit fondamentale 1 25 dans la configuration de r f rence xko Ce changement de variable met en jeu le tenseur de Piola Kirchhoff X xz qui est reli au tenseur de Cauchy par Op Api dy Ver Ex L do 1 37 soit puisque dQ jdOQ 9 dQ on du 2xL KRL En multipliant 1 25 par et en posant QK JIkXK k 1 38 il est posible d obtenir la forme lagrangienne de l in galit de Clausius Duhem po d s0 EKL KL Ko y gt 0 1 39 ee Pint D o 0 K repr sente le gradient lagrangien de la temp rature En introduisant la d riv e particulaire 1 29 de il vient l quivalent de la formule 1 31 en repr sentation lagrangienne o po s 0 Or po OW OEKL Eki KG x gt 0 1 40 No Pint Pin Il est alors possible en invoquant l ind pendance des variables 0 Ex et 0 x de faire le m me raison nement qui a permis d obtenir les formules 1 32 1 34 et d introduire ainsi le

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