Mode d`emploi
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1. 21 a Un cadre et une difficult le jet de deux d s 21 b Une variable EE EE 22 c DENHIONS ea p e oeoa eg Sege SE Da 24 d Variable en analyse et en probabilit s 25 e Exemple exercice une urne de Polya 25 II 2 Esp rance d une variable al atoire r elle 26 a IR et EE EE 26 b Propri t s de l esp rance 29 II 3 Variance et cart type 30 a EELER ee ter eee LE EVENE EE 30 b Deux formules EE CHENE TA MER ES 31 C Variable centr e r duite nnna aaa 33 56 Proba univers fini P1 IV Lois usuelles 34 IVI LO Umire eer E A Ee En Ne SE 34 IV 2 Loide Bernoullin esras dena een es Se E de E 34 a DERNIUON ee E ME Ee EE E A e E 34 b Variable de Bernoulli et fonction indicatrice d un v nement 35 IV Loi binomiale vs SET SRE A CAR AR SET SSSR Res 35 a D MO Hire da ne drame du me 35 b Esp rance variance Lune E me D arte 36 V In galit s classiques 39 V 1 In galit de Markov are e ad a San ete a ME nt does M 39 V2 In galit de Bienaym Tchebychev 41 VI Image d une variable al atoire par une fonction 42 VE L D finioneNotation s 2 2 54 8 unes E hr te ee 42 NEZ LOL n aile sinus da DR EE mn nil ai Les 42 VI 3 Esp rance formule de transfert 43 VIICouple de variables al atoires 45 VIL 1 Loi conjointe lois marginales 45 a E2. Indication examiner les petites valeurs de n peut donner des id es 25 Proba univers fini P1 IIL2 Esp rance d une variable al atoire r elle a D finition D finition Soit X une variable d finie sur un espace probabilis fini Q P valeurs r elles On d finit l esp rance de X E X 3 P w X w wEQ Ainsi l esp rance de X est la moyenne des valeurs prises par X pond r e par les probabilit s d obtention de ces valeurs Si la loi de X est uniforme cette esp rance est la moyenne arithm tique des valeurs prises par X Dans tous les cas c est un barycentre Et c est un nombre r el R criture transfert Soit X une variable d finie sur un espace pro babilis fini Q P valeurs r elles Soit A a1 an R un ensemble fini contenant X Q Alors E X _ P X ax ak k 1 C est bien s r cette formule ou on utilise pour le calcul pratique on voit sou vent qu on s int resse si peu l univers Q qu on ne prend pas la peine de le d finir La premi re d finition semble alors peu utilisable On a donc trans f r le probl me de Q P vers A Px o A est une partie de R qui contient X Q D monstration Pour tout k P X a P X Uodl A Pao weX l ap Et donc n D amp P X ap X w P w k 1 k 1 weXx l ag 26 Proba univers fini P1 car si w X7 ar X w ay Et comme les ay sont suppos s distincts Q e
3. et la r union est disjointe donc P X Y Ax B SS P X x et Y yj Dell plx al gt P X x P Y yj Dell pls al P pux i 1 P X P Y B q Erran j l La r ciproque est assez simple en consid rant le cas particulier o A et B sont des singletons VIL4 Images de va ind pendantes par des fonctions Proposition Si X et Y sont ind pendantes f X et g Y le sont avec des notations videntes D monstration Si a et b sont dans l ensemble d arriv e de f et g respective ment on peut crire P F X g Y a b P X Y faa x e abp Plet Gol P Y gaby P a P 8 Y b Il ce qui conclut VIL5 Variance covariance a Covariance D finition Si X et Y sont deux variables al atoires r elles sur un es pace probabilis fini on d finit leur covariance Cov X Y E X E X Y E Y On calcule 50 Proba univers fini P1 Cov X Y E XY E X Y E Y X E NE Y E XY E X E Y E Y E X E X E Y E XY E X E Y On peut donc noncer Formule Cov X Y E XY E X E Y b Covariance de variables ind pendantes Proposition Si X et Y sont des variables al atoires r elles ind pen dantes E XY E X E Y et donc Cov X Y 0 D monstration X et Y sont d finies sur un espace probabilis fini Q et on note X Q x1 xp et Y Q y1 Yg Alors E X Y H xiyiP
4. gt 0 P X Y x y P X xetY y P X x PEUT y P X x Pyix x y P X x Py iy P X x P Y y Et si P X x 0 comme X Y x y implique X x ce qui signifie que l v nement X Y x y est inclus dans l v nement X x on a n cessaire ment P X Y x y 0 P X x P Y y pour tout y On en d duit bien iii 48 Proba univers fini P1 Supposons r ciproquement iii et soit x E tel que P X x gt 0 On a pour tout y EF Pis ll Px x Y y _PY yetX x BECK P Y y Py y et comme les probabilit s atomiques i e des v nements l mentaires ca ract risent la loi on d duit bien i D finition On dit que X et Y sont ind pendantes lorsqu elles v ri fient une des trois propri t s pr c dentes b Caract risation Remarque pr liminaire Cette caract risation peut tr s bien tre prise comme d finition de l ind pendance de deux variables al atoires Proposition X et Y sont ind pendantes si et seulement si pour toute partie A de E et toute partie B de F P X Y eAxB P XEA P YEB C est bien naturel mais d montrons le quand m me Supposons X et Y ind pendantes on peut supposer A et B finies quitte les remplacer par AN X Q et BN Y Q respectivement On notera donc Lo Xp et B y1 Val Alors X Y A x B U X x etY y G j el1 plx 1 ql 49 Proba univers fini P1
5. t grale mais notre cadre int grale de Riemann ne rend pas tr s naturelle l interpr tation de l esp rance comme int grale et l in galit de Bienaym Tchebychev qui en est une cons quence Simples et pourtant d j bien utiles L in galit de Bienaym Tchebychev per met par exemple de montrer la loi faible des grands nombres VI In galit de Markov Proposition In galit de Markov Soit X une variable al atoire r elle d finie sur un espace proba bilis fini Q P Alors pour tout r el strictement positif a P X 2a lt Ge Il est assez banal de dire que cette in galit majore la probabilit pour une va riable al atoire de prendre de grandes valeurs grandes se comprenant en valeur absolue Elle peut aussi tre crite Proposition In galit de Markov Soit X une variable al atoire r elle d finie sur un espace proba bilis fini Q P Alors pour tous r els strictement positifs a et k E IX1 ak P X 2a lt D monstration Il s agit de montrer que aP X z2 a lt E X ce qui est vident si on voit l esp rance comme une int grale mais passons 39 Proba univers fini P1 Une premi re d monstration Une id e est d crire EXD 3 P IXI ax ak k 1 o X Q 1 Gul on consid re alors 1 kefl n ag 2 a Ona E X A P IXI od or kel gt a P IXI ou kel aP X 2 a l v nement X gt a tant la r unio
6. Des exp rimentations ont permis de mesurer la sensibilit et la sp cificit de ce test Sensibilit la probabilit pour un individu malade d tre test positif est 0 99 Sp cificit la probabilit pour un individu non malade d tre test n gatif est 0 999 On teste un individu pris au hasard dans la population Le test est positif Quelle est la probabilit pour qu il soit malade Exercice suppl ment au pr c dent Avec le m me test et la m me maladie pour quelle proportion de malades dans la population arrive t on la conclu sion la probabilit pour qu un individu test positif soit malade est 0 9 on doit trouver le r sultat suivant une proportion d environ 9 malades pour 1000 personnes Remarque On consid re trois urnes X Y et Z Dans l urne X il y a 99 boules noires une boule blanche dans l urne Y il y a 999 boules blanches une boule noire Dans lurne Z il y a 9999 boules blanches une boule noire On tire au hasard une premi re boule dans l urne Z Si cette premi re boule est blanche on tire une deuxi me boule dans l urne Y Sinon on tire la deuxi me boule 17 Proba univers fini P1 dans l urne X Quelle est la probabilit pour que la premi re boule soit noire sachant que la deuxi me l est Exercice On lit dans un journal Alors qu ils ne repr sentent que 13 de la population les jeunes de 18 24 ans repr sentent 30 des tu s sur les
7. 0 0 1 36 1 36 1 36 1 36 1 36 1 36 On a ainsi d crit la loi du couple X S appel e loi conjointe Si A est une partie de 1 6 et B une partie de 2 12 on pourra calculer P XE A SEB P XEAetSeB P J P X xeS s x s E AxB J P X xetS s x s EAxB Par exemple en ajoutant des 0 et des 1 36 le tableau ci dessus permet de cal culer PE lt X lt 4et6 lt S lt 8 1 4 45 Proba univers fini P1 en fait en l occurrence il n y a pas tellement de 0 ajouter Faisons la somme des nombres inscrits dans chaque colonne on obtient en premi re ligne le rappel de la valeur de s en deuxi me ligne la somme des pro babilit s figurant dans la colonne correspondante 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 36 2 36 3 36 4 36 5 36 6 36 5 36 4 36 3 36 2 36 1 36 et on retrouve la loi de S d j vue plus haut Comme cette somme se fait naturellement dans la marge du bas du tableau ou dans celle du haut on l appellera loi marginale De m me dans la marge de droite ou de gauche du tableau on reconstituerait la loi de X en faisant la somme de chaque ligne moins int ressante on trouve 1 6 sur chaque ligne X suit une loi uniforme b D finitions Le vocabulaire conjointe et marginale d signe l aller et retour entre les lois de X et de Y d une part la loi de X Y d autre
8. X Y x yj G el1 plx 1 q l gt XiY P X xi P Y yj G el1 plx 1 q D q GP EAN yjPY y i 1 j 1 E Y E Y E X 51 Proba univers fini P1 VIL6 Ind pendance de n variables n gt 2 D finition Proposition Soit Q P un espace probabilis fini n un entier gt 2 X1 Xn des variables al atoires d finies sur cet es pace valeurs dans des ensembles E1 E respectivement Les propositions suivantes sont quivalentes entre elles i Pour toutes parties A de E1 A de E les v nements X1 A1 Xn An sont mutuellement ind pendants ii Pour toutes parties A de Ei An de En P X A1 Xn An P X A1 P X An iii Pour tout x1 Xn X1 Q x x X Q PER EE Ie DEN ET D monstration Il est judicieux de revoir la d finition de l ind pendance mu tuelle de n v nements avant d aborder cette d monstration ii est simple ii i on doit montrer que si 1 est une partie finie de 1 n P NX EA Tel P X eA jel et apparemment ii ne donne cela que pour J 1 n Mais il suffit de d finir Aj Ej si j g I pour pouvoir appliquer ii en effet X E Q ne modifie pas l intersection et P X E 1 ne modifie pas le produit ii gt iii est simple on prend les A gaux des singletons iii gt ii On peut supposer les A finis quitte remplacer A p
9. d cubique il ny a pas vraiment de face du dessus sur un d t tra drique L expression le d tombe sur la face i doit donc tre prise au pied de la lettre Remarque 2 Le lemme de Novikov dit que pour une probabilit uniforme sur un ensemble de cardinal pq o p et q sont deux nombres premiers distincts 19 Proba univers fini P1 trois v nements qui sont deux deux ind pendants le sont mutuellement C est le cas pour un lancer de d quilibr 6 faces Si on n aime pas les d s t tra driques on peut donc jouer deux fois pile ou face ou lancer deux fois un d classique on pourra alors trouver un contre exemple analogue celui donn ci dessus Remarque il ne faut donc pas comprendre mutuellement dans le sens deux deux o On dit parfois que n variables al atoires n gt 2 sont ind pendantes dans leur ensemble pour signifier qu elles le sont mutuellement C est peut tre un vocabulaire plus clair 20 Proba univers fini P1 III Variables al atoires ILL D finition loi d une variable al atoire a Un cadre et une difficult le jet de deux d s On jette deux d s quilibr s L univers naturel est l ensemble Q j l1 lt si j lt 6 muni de la probabilit uniforme DOEN On peut s interroger sur cet univers pourquoi distinguer le r sultat 5 6 et le r sultat 6 5 lorsque les d s sont jet s ces deux r sultats sont indiscer n
10. dans B de AN B l additivit donne alors P AnB P B P B Mais on a aussi AU B AUB et ANB amp ce qui redonne encore par additivit P AU B P A P B et le r sultat s en d duit Proposition Si A et B sont deux v nements d un espace probabilis Q P ona AcB gt P A lt P B Proba univers fini P1 Cette propri t est la croissance et se d duit de l existence lorsque A c B d une partie C telle que AnC et AUC B autrement dit C B A ce qui donne P A P C P B et permet de conclure car P C gt 0 On dit parfois A implique B pour A c B D finitions L v nement impossible est o Sa probabilit est 0 on a en effet U et N on peut alors appliquer l additi vit Deux v nements A et B sont dits incompatibles lorsque AN B 9 autrement dit lorsque A et B est l v nement im possible Dans un univers fini la distinction entre v nement impossible et v ne ment de probabilit nulle na pas grand int r t si des v nements l men taires sont de probabilit nulle on peut sans dommage les enlever lunivers En revanche il faut bien faire attention ne pas confondre ces deux notions dans d autres cas si on tire au hasard un nombre dans le segment 0 1 avec probabilit uniforme la probabilit que ce nombre soit dans a b o a lt b est b a rapport de la mesure du segment a b au segment 0
11. est face suit une loi de Bernoulli 34 Proba univers fini P1 D finition On appelle variable de Bernoulli toute variable al atoire X valeurs dans 0 1 sa loi est donc donn e par P X 1 p P X 0 1 p o p 0 1 On dit que X suit une loi de Bernoulli de param tre p ou que X suit une loi Z p Esp rance variance Si X suit une loi Z p alors E X p V X p l p pq o l on note q 1 p Notons que la loi Z 1 2 est une loi uniforme La loi de Bernoulli mod lise les exp riences al atoires deux issues dont l une est souvent appel e succ s et l autre chec b Variable de Bernoulli et fonction indicatrice d un v nement Soit Q P un espace probabilis fini Si A est un v nement quelconque autre ment dit une partie de Q on consid re sa fonction indicatrice qu on appelle plus bri vement son indicatrice 1 4 d finie par Voice A la w 1l et VHEQ A Latolz0 1 est une variable al atoire et suit une loi Z p avec p P A R ciproque ment toute variable de Bernoulli X est l indicatrice de l v nement X 1 IV3 Loi binomiale a D finition On joue encore Pile ou Face avec une pi ce pas forc ment quilibr e On suppose que la probabilit de tomber sur Pile est p et on note q 1 p On lance n fois la pi ce n N et on d signe par X le nombre fois o on obtient Pile D taillons 35 Proba univers fini P1 On peut
12. nement le deuxi me lancer donne un 5 seront en g n ral assez raison nablement consid r s comme ind pendants Mais l ind pendance de deux v nements n est pas toujours fournie par une hypoth se raisonnable elle peut tre non intuitive et fournie par le calcul Il faut aussi viter les confusions l ind pendance n est pas une notion ensem bliste si on change de probabilit sur l univers Q la notion d ind pendance changera Par exemple on se convaincra facilement qu il est tr s rare que deux v nements disjoints soient ind pendants Moins intuitive encore est l ind pendance de plus de deux v nements D finition On dit que la famille d v nements A 1 lt i lt m est ind pendante ou que les A sont mutuellement ind pendants lorsque pour toute partie finie 1 de 1 2 m R Ai iel la iel Pour que les soient mutuellement ind pendants il est donc n cessaire qu ils le soient deux deux Mais cela n est pas suffisant Consid rons un exemple On lance un d t tra drique quilibr les faces sont marqu es 1 2 3 4 On consid re les v nements suivants A le d tombe sur la face 1 ou la face 2 B le d tombe sur la face 2 ou la face 5 C le d tombe sur la face 1 ou la face 3 On v rifiera que ces v nements sont deux deux ind pendants mais ne le sont pas mutuellement Remarque 1 Contrairement ce qui se passe pour un
13. un d on effectue 1000 lancers et on obtient le bilan suivant dans la seconde colonne le nombre de fois o le chiffre indiqu dans la premi re a t obtenu 167 165 163 170 163 172 OO OD D ra Deux questions int ressantes se posent est on pr t consid rer que le d est quilibr sinon quelle valeur attribuerait on aux diff rentes probabilit s d obtenir 1 6 pour mod liser le lancer de ce d une r ponse math mati quement fond e nest pas si facile mais elle se basera t sur l tude des fr quences empiriques d obtention des diff rents chiffres 0 167 0 165 0 163 0 170 0 163 0 172 La notion de fr quence empirique s tend aux v nements ci dessus la fr quence empirique observ e de l v nement le chiffre obtenu est pair est 165 170 172 0 507 1000 Notons B cet v nement Et soit A l v nement le chiffre obtenu est sup rieur ou gal 4 Le rapport nombre de fois o A et B sont r alis s nombre de fois o B est r alis est aussi le quotient des fr quences empiriques 170 172 1000 z 0 675 165 170 172 1000 s interpr te naturellement si on sait que le r sultat est pair il y a environ deux chances sur trois pour qu il soit sup rieur ou gal 4 si le d est quilibr Cette fr quence empirique est intuitivement une approximation de la probabi lit que A soit r alis sachant que B l est On adopte d
14. x pour x X Q 24 Proba univers fini P1 on a d ailleurs pour l exemple de la variable al atoire S fait le tableau de ces P S k pour conna tre sa loi d Variable en analyse et en probabilit s Lorsqu on crit sin x on appelle x la variable et sin est appel fonction ou application Ici quand on crit X w on appelle X variable al atoire certes mais va riable quand m me Et w on ne l appelle pas en fait w n a pas vraiment d importance on remarquera qu on parvient l liminer des notations Et en pratique la d termination de lunivers Q tait souvent p nible artificielle et superflue Ne reste donc que X et surtout le plus important la loi de X Quant au vocabulaire quand x varie son sinus varie aussi Les deux sont donc fon d s r clamer le titre de variable e Exemple exercice une urne de Polya Ici plut t que de vider une urne on va la remplir Soit une urne contenant une boule blanche et une boule noire On dispose par ailleurs d une r serve suffisante de boules blanches et noires et on r p te n fois l action suivante On tire une boule dans l urne Si cette boule est blanche respectivement noire on la remet dans l urne et on rajoute une boule blanche respectivement noire dans l urne On d signe par X la variable al atoire nombre de boules blanches dans lurne apr s ces n tirages Quelle est la loi de X
15. 1 Mais la proba bilit que ce nombre soit gal a est nulle pour tout a Or cet v nement n est pas impossible Proba univers fini P1 Exercice paradoxe de Monty Hall On consultera avec plaisir et int r t la longue histoire des controverses autour de ce paradoxe par exemple sur la page wikipedia qui lui est consacr e Donnons en une version br ve Un candidat participe un jeu t l vis dans lequel il fait face trois portes identiques ferm es Derri re deux de ces portes il n y a rien Derri re la troi si me un fabuleux tr sor qui lui reviendra s il choisit cette porte Le candidat choisit donc une porte Puis intervient l animateur du jeu qui sait ce qu il y a derri re chacune des portes Il est donc en mesure de dire au candi dat en d signant une des deux portes non choisies par celui ci derri re cette porte il wy a rien Le candidat a alors le choix garder la porte qu il avait ini tialement choisi ou changer son choix et donc videmment choisir celle des deux autres portes que l animateur n a pas d sign e Que doit il faire Exercice tirage dans une urne avec remise loi binomiale 1 Dans une urne il y a n boules blanches nz boules rouges On effectue r tirages successifs avec remise on tire une boule au hasard on regarde sa couleur on la remet dans l urne On fait cela r fois Calculer la probabi lit pour que l on tire k fois une boule rouge 0 lt k l
16. Proba univers fini P1 Mode d emploi On passera suffisamment de temps sur le I et le II pour bien comprendre la notion essentielle en probabilit s de conditionnement Il est donc conseill de faire tous les exercices Les exercices d application typique de la formule de Bayes ne seront pas beaucoup revus en sp et quand on en a fait deux ou trois on voit bien comment cela fonctionne La suite variables al atoires est lire attentivement plusieurs fois mais elle ne doit pas tre trop difficile si on a bien compris I et IL Il y a d ailleurs beaucoup moins d exercices les vacances sont quand m me des vacances autant les faire consciencieusement P1 Espaces probabilis s finis I Probabilit s sur un ensemble fini I 1 Univers v nements probabilit Consid rons une exp rience al atoire typique le lancer d un d al a et ha sard viennent des mots latin et arabe signifiant d m me le mot chance vient du jeu d osselets puis de d s voir par exemple le Robert historique de la langue fran aise On s int resse bien s r au nombre de points figurant sur la face sup rieure du d Les r sultats possibles sont donc 1 2 3 4 5 6 D finition On appelle univers l ensemble des r sultats ou issues ou r alisations d une exp rience al atoire L univers associ l exp rience al atoire pr c dente jet de d est donc natu rellement l ensemble 1 2 3 4 5 6 Sup
17. X Y E Y V X V Y 2Cov X Y On voit l encore tout l int r t du point de vue euclidien b Cas d ind pendance Proposition Si X et Y sont ind pendantes VOX Y V X V Y ou si l on pr f re la variance d une somme de deux variables al atoires est gale la somme des variances de ces variables c Variance d une somme de n variables al atoires On consid re n variables al atoires X1 X sur le m me espace probabilis Q P Formule n V Xi Xn V X 2 A Cov x X i 1 1 lt i lt j lt n Il s agit l encore d une formule de d veloppement d un carr scalaire une d monstration par r currence est donc simple d Cas d ind pendance Proposition La variance d une somme de variables al atoires deux deux ind pendantes est gale la somme des variances de ces variables al atoires Il nest pas n cessaire de supposer ces variables mutuellement ind pendantes 54 Proba univers fini P1 VIL8 Application la loi binomiale Proposition Si X1 X sont mutuellement ind pendantes et suivent une loi de Bernoulli Z 1 p Z p la somme X1 Xn suit une loi binomiale Z n p c est bien s r le m me p pour toutes les X D monstration Chaque X peut prendre deux valeurs 0 ou 1 Donc Y X Xn est valeurs dans 0 n Soit P l ensemble des parties k l ments de IO n Une somme de termes gaux 0 ou 1 tant le nombre de ce
18. a diff rence avec la question pr c dente dans laquelle par exemple tous les objets sauf x dans b et x dans bz d une part tous les objets sauf x dans b et x dans bz d autre part sont deux issues ou r alisation diff rentes Alors qu ici tous les objets sauf un dans b et le dernier dans bz c est une issue f Des objets indiscernables dans des bo tes indiscernables On consid re l exp rience suivante placer au hasard r objets indiscernables dans n bo tes indiscernables D finir un univers associ cette exp rience L Premi re propri t additivit Proposition Soit P une probabilit Si A1 Am sont des v ne ments deux deux disjoints m gt 2 alors 3 P A i 1 P m LIA i 1 D monstration par r currence sur m On appelle cette propri t additivit m m Il arrive d ailleurs que la r union disjointe J A soit not e a insistons il i 1 i 1 n est coh rent de noter une r union comme ceci que lorsqu elle est disjointe i j gt Ain Aj Cette notation est aussi coh rente avec les fonctions caract ristiques que l on verra plus tard Proba univers fini P1 Corollaire Si P est une probabilit sur Q si A w1 m est un v nement alors P A Ploi i 1 Autrement dit une probabilit est d termin e par les probabilit s des single tons I 4 Probabilit uniforme D finition Soit N Card Q La p
19. a probabilit de l v nement G i On a partitionn cet v nement en deux sous v nements apparition d un double i apparition d un i et d un 6 Remarque 2 Lesp rance de gain 25 centimes justifie dans ce cadre son nom donn par Huyghens en latin expectatio On peut en effet justifier math ma tiquement l intuition suivante si on joue un grand nombre n de fois on 27 Proba univers fini P1 aura de bonnes chances de perdre une somme voisine de nx25 centimes Tout cela demande bien s r tre pr cis Mais les lois des grands nombres et l esp rance de gain positive pour lui permettent au forain de gagner mo destement sa vie Alors qu il suffit d une probabilit non n gligeable de gain int ressant pour que le client accepte de jouer D finition On dit qu une variable al atoire est centr e lorsqu elle a une esp rance nulle 28 Proba univers fini P1 b Propri t s de l esp rance Proposition Les propri t s qui suivent rappellent quelque chose l esp rance ne serait elle pas une int grale si mais le point de vue de Riemann n est pas id al pour d velopper cette id e Si X et Y sont deux variables al atoires r elles si et p sont deux r els E aX BY aE X BE Y lin arit Si X est une variable al atoire positive i e X est valeurs dans RT alors E X gt 0 positivit Si X et Y sont deux variable al atoire
20. ables Alors pourquoi ne pas prendre comme univers les paires i j en ac ceptant i j pour un double ui Pourquoi pas en effet Mais la probabilit uniforme sur cet univers ne convien drait pas la mod lisation du ph nom ne al atoire consid r La probabilit d obtenir 6 6 un double 6 n est en effet pas la m me que celle d obtenir 5 6 un 5 et un 6 Penser que ces deux probabilit s sont gales est un biais cognitif plus sim plement une erreur tr s r pandue et pas seulement par ceux qui ne font pas de math matiques connu sous le nom de biais d quir partition On peut se convaincre assez ais ment du fait qu il est plus probable d obte nir une paire 5 6 qu un double 6 par exemple en imaginant que les deux d s sont de couleurs diff rentes s il y a un d rouge et un d bleu les v nements rouge donne 5 bleu donne 6 rouge donne 6 bleu donne 5 et rouge donne 6 bleu donne 6 sont quiprobables Une autre mani re de raisonner est de r fl chir au fait qu il wy a pas de diff rence entre le lancer simultan de deux d s et le lancer successif de deux d s On peut se tester en examinant le probl me suivant 21 Proba univers fini P1 Deux joueurs A et B misent Puis le joueur A lance une pi ce Si elle tombe sur Pile il gagne Sinon il la relance Si elle tombe sur Pile il gagne Sinon il perd et c est B qui gagne Le gagnant em
21. agore E X E E X E X E X EX V X et on retrouve la premi re formule sur la variance De plus X est la distance euclidienne de X au sous espace des constantes Donc o aX b o aX ce qui permet de retrouver rapidement la deuxi me formule V aX a V X est assez simple 32 Proba univers fini P1 c Variable centr e r duite On dit que la variable al atoire X est centr e r duite lorsque E X 0 et V X 1 Soit X une variable al atoire de variance non nulle Notons comme d habitude m E X o y V X Alors la variable al atoire 8 X m o Y est centr e r duite Autrement dit on peut crire X m oY o Y est centr e r duite D monstration Utilisation simple de formules d j vues 33 Proba univers fini P1 IV Lois usuelles Quelques lois classiques sont conna tre avec leurs esp rances et leurs va riances IV 1 Loiuniforme Soit X une variable al atoire d finie sur un espace probabilis fini Q P et soit E X Q x1 Xn On dira que X suit une loi uni forme lorsque Px est la probabilit uniforme sur x1 Xn l Vkelt nl JI elle S Lesp rance et la variance de X sont alors Xite Xn ONE ne n VOD a a We IV2 Loi de Bernoulli a D finition On joue Pile ou Face avec une pi ce pas forc ment quilibr e La variable al atoire qui prend la valeur 1 si le r sultat du lancer est Pile et 0 si c
22. ar A nX Q Chaque A est r union finie disjointe de singletons l implication n est plus alors qu une question d criture pas tr s amusante mais signalons donc que toutes les r unions crites ci dessous sont finies et disjointes ce qui autorise utiliser ladditivit 52 Proba univers fini P1 P X1 Ais Xn An P U N X x Lo Xn E A1 X X An i 1 SS P X1 Xn E A1 XX An gt l IP x i 1 Xi J 1 X1 Xn E A1 XX An A P Xi xi EA bm VIL 7 Variance d une somme Lesp rance d une somme de variables al atoires est la somme des esp rances de ces variables Mais la variance de la somme n est pas la somme des va riances a Variance d une somme de deux variables On consid re deux variables al atoires X et Y sur le m me espace probabilis Q P V X Y E X Y EX Y E X BUCH 2E XY E X ECHT 2E X E Y V X V Y 2Cov X Y On a donc Formule V X Y V X V Y 2Cov X Ni Evidemment plut t qu un calcul direct cette formule est une formule eucli dienne en munissant l ensemble des variables al atoires sur Q P du produit scalaire X1Y E XY 53 Proba univers fini P1 et en notant la norme euclidienne associ e alors V X IX E X Et donc d veloppement d un carr scalaire V X Y X Y E X vr X E X Y E Y X E X Y BEI 2 X E
23. ats sur l esp rance et la variance d une somme de variables al atoires ind pendantes mais faire les calculs directement est un int ressant exercice de sommation On consid re 36 Proba univers fini P1 donc une variable al atoire X qui suit une loi Z n p E X A afro pt k 0 n Ein DE SE k1 1 n 1 np K a p l j j 0 J np p 1 p np avec une r indexation j k 1 De la m me mani re L n ko Ak kin el Jon ar Ca e a Frs Il bd 3 VE li gel ll TM k era T A p Il n n 1 De k 1 7 n 2 n n 1 Dir dees np 1 n n 1 p np et donc VO n n 1 p np np npl p npq Il y a une m thode plus astucieuse pour r aliser ces sommations calculer de deux mani res diff rentes la d riv e et la d riv e seconde en 0 de el x xet 37 Proba univers fini P1 d une part en d rivant sous cette forme d autre part en d veloppant par la formule du bin me puis en d rivant C est beaucoup plus rapide mais tr s astucieux la bonne m thode reste videmment d utiliser l interpr tation d une variable Z n p comme somme de n variables Z p ind pendantes voir plus loin Il faut retenir Si X suit une loi Z n p alors E X np V X np l p npq o l on note q 1 p 38 Proba univers fini P1 V In galit s classiques Deux in galit s tr s simples l in galit de Markov qui est une in galit in
24. babilis fini Q P valeurs dans E et F respectivement Soit x E tel que P X x gt 0 On d finit la loi conditionnelle de Y sachant X x par P YEeEBetX x VBE P F Pyix x B Px x Y B PIX x Cette loi conditionnelle not e Py x est assez clairement une probabilit voir probabilit s conditionnelles La loi conditionnelle de Y sachant X x se caract rise par les probabilit s des v nements l mentaires P Y yetX x Prix Prat y ee e et ensuite pour toute partie B de F P Y yetX x Pyix x B Px xY y n a S ve Bok P X x 47 Proba univers fini P1 VIL3 Couple de variables al atoires ind pendantes a D finition Proposition Soit X Y deux variables al atoires d finies sur un espace probabi lis fini Q P valeurs dans E et F respectivement On note Px Py leurs lois Alors il y a quivalence entre les trois propri t s suivantes i Pour tout x E tel que P X x gt 0 la loi conditionnelle de Y sachant X x est celle de Y i e Py x x Py ii Pour tout y F tel que P Y y gt 0 la loi conditionnelle de X sachant Y y est celle de X i e Pxiy y Px ii Pour tout x y E x F P X Y x y P X x P Y y D monstration Pour la d monstration on va montrer i e iii on en d duira ii iii par sy m trie en changeant les r les de X et de Y Supposons donc i Si y F si P X x
25. c est la loi de S c est dire la probabilit pour S de prendre telle ou telle valeur 23 Proba univers fini P1 C D finitions D finition variable al atoire Soit Q P un espace probabilis fini On appelle variable al atoire sur Q P toute application X d finie sur Q valeurs dans un ensemble E D finition loi d une variable al atoire Soit X une variable al a toire d finie sur l espace probabilis fini Q P valeurs dans l ensemble E Pour toute partie A de E on d finit Px 4 DIN LA o X_ A w Q X w A est aussi not X A ou X A On a donc Px A P XE A P XE A Px est la loi de X Proposition propri t s de la loi d une v a Soit X une variable al atoire d finie sur l espace probabilis fini Q P valeurs dans l ensemble E Soit Px sa loi Pr UE SD A P XE On a P E 1 et pour toutes parties A et B de E ANB gt Px AuU B Px A Px B M me si E n est pas fini on dira que Px est une probabilit sur E Proposition caract risation de la loi d une v a Soit X une variable al atoire d finie sur l espace probabilis fini Q P valeurs dans l ensemble E Remarquons que l ensemble X Q X w w Q est fini Soit Py la loi de X Alors si AE P E PC PRE xEX Q NA o l v nement X x est l v nement X x Px est donc caract ris e par la donn e des P X
26. consid rer l univers Q 0 1 ensemble des suites finies de n entiers gaux 0 ou 1 on repr sentera par exemple Pile par 1 et Face par 0 Une issue ou r alisation de l exp rience est donc une suite de n entiers gaux 0 ou 1 On peut repr senter une telle suite par un n uplet L v nement X k est l ensemble des n uplets dans lesquelles 1 figure k fois et 0 n Kk fois Il y a k tels v nements l mentaires nombre de n uplets comportant k 1 et n k 0 chacun de ces n uplets se caract risant par les places occup es par les k 1 La probabilit de chacune de ces r alisations est p 1 pi formule des pro babilit s compos es car le r sultat de chaque lancer est implicitement et rai sonnablement suppos ind pendant des autres Finalement n SEN D finition On dit qu une variable al atoire suit une loi binomiale de param tres n N et p 0 1 ou qu elle suit une loi Z n p lorsqu elle est valeurs dans 0 n et v rifie n vken P X Kk La loi Z n p est donc la loi du nombre de succ s dans l exp rience consistant r p ter n fois des exp riences de Bernoulli ind pendantes de param tre p C est aussi la loi de la somme de n variables ind pendantes de loi Z p voir plus loin La loi de Bernoulli est une loi binomiale particuli re n 1 b Esp rance variance La bonne id e est de d duire ces r sultats des r sult
27. e quart d un homme et d une femme le quart restant de deux femmes Quelle est la probabilit pour que les deux membres du jury que devra affronter Pierre Simon soient daltoniens Exercice On lance deux fois un d quilibr En conditionnant par le r sultat du premier lancer trouver la probabilit que la somme des deux r sultats soit sup rieure ou gale 8 Exercice On consid re trois urnes U1 U2 U3 contenant 12 boules chacune Dans Un il y a 4 boules rouges 4 noires 4 blanches 16 Proba univers fini P1 Dans U il y a 6 boules rouges 2 noires 4 blanches Dans Lt il y a 2 boules rouges 6 noires 4 blanches Un individu jette un d Si le d donne 1 ou 2 il tire une boule au hasard dans l urne U4 Si le d donne 3 ou 4 il tire une boule au hasard dans l urne Ub Si le d donne 5 ou 6 il tire une boule au hasard dans l urne U3 Un observateur qui ne voit pas le r sultat du lancer de d et ne peut pas distinguer les urnes mais conna t les donn es du probl me constate que la boule tir e est rouge SU devait faire un pari il aurait s rement int r t miser sur le fait que le d a donn 3 ou 4 Calculer la probabilit pour qu effectivement le r sultat du lancer de d ait t un 3 ou un 4 Exercice Dans une population 1 personne sur 10 000 est atteinte d une mala die que l on peut donc qualifier de relativement rare On dispose d un test de d tection de cette maladie
28. ent un peu toutes impossible de deviner vue laquelle est la plus plausible Vous les es sayez donc l une apr s l autre Quelle est la probabilit pour que ce soit la ki me cl test e qui vous ouvre la porte 1 lt k lt n 14 Proba univers fini P1 D finition Syst me complet d v nements Soit Q P un espace probabilis fini On appelle syst me com plet d v nements une famille A 1 lt lt m d v nements deux deux incompatibles dont la r union est certaine i e un famille de parties de Q deux deux disjointes et dont la r union est Q ce qui signifie presque que A1 Am est une partition de Q ceci pr s qu il peut y avoir des A vides Par exemple si A est un v nement A A est un syst me complet d v ne ments Proposition Formule des probabilit s totales Soit A 1 lt i lt m un syst me complet d v nements tels que Vief l m DA gt 0 Alors pour tout v nement B P B OPA nee CS 2 08 k 1 k 1 Proposition Formules de Bayes Soit A et B deux v nements tels que P A gt 0 et P B gt 0 Alors _ P A PA B Pg A sp Si de plus P A gt 0 alors P A PA B Pg A P A PA B P A 9 Pac B Et plus g n ralement si Aj j lt i lt m est un syst me complet d v nements tels que Vi 1 m P A Z 0 pour tout k on a P Ax Pa B PEAR 3 P A P4 B SE D monstration de la formule des probabilit s totales Il suf
29. ers fini P1 l v nement f X y est r union disjointe des v nements X x pour x Ay et donc PX d i XEAy EY yeY Q A P X 3x f x xeX Q car X Q est r union disjointe des A pour y Y Q Exercice On suppose que X suit une loi binomiale de param tres n et p n N p 0 1 on note X Z n p Calculer l esp rance de la variable al a toire l Y 1 X 44 Proba univers fini P1 VII Couple de variables al atoires VILL Loi conjointe lois marginales a Exemple On lance deux fois un d quilibr On consid re les variables al atoires X r sultat du premier lancer valeurs dans E 1 2 3 4 5 6 et S somme des r sultats des deux lancers valeurs dans F 2 3 12 Le couple X S est ainsi une variable al atoire valeurs dans Ex F Si x s E x F on notera X x S s l v nement X S x s qui n est autre que l v nement X x n S s que l on crit aussi X x et S s Dans le tableau ci dessous l intersection de la ligne x et de la colonne s on trouve P X x S s 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 36 1 36 1 36 1 36 1 36 1 36 0 0 0 0 0 1 36 1 36 1 36 1 36 1 36 1 36 0 0 0 0 1 36 1 36 1 36 1 36 1 36 1 36 0 0 ololojo 0 1 36 1 36 1 36 1 36 1 36 1 36 0 Ou BI D I 0 0 0 0 0 0 0 1 36 1 36 1 36 1 36 1 36 1 36 0 0 0 0
30. et la variable al atoire fonction constante qui prend pour unique valeur ce nombre r el 31 Proba univers fini P1 Corollaire E X lt E X D monstration et consid rations euclidiennes L in galit r sulte directement de la premi re formule et de la positivit de la variance et c est la d monstra tion la plus courte mais il est int ressant de la voir autrement si vous avez reconnu une ressemblance avec Cauchy Schwarz bravo Rappelons que X Y E XY d finit c est tr s simple v rifier un produit scalaire sur l espace des variables al atoires r elles d finies sur l espace probabilis fini Q P On note la norme euclidienne associ e X V E X L in galit de Cauchy Schwarz s crit alors IOC vil lt VE X2 VE Y et prenant Y constante et gale 1 IE X lt VE X qui lev e au carr donne bien l in galit voulue Continuons exploiter ce point de vue euclidien et cherchons la projection or thogonale de X sur le sous espace des variables fonctions constantes cette projection a est caract ris e par X a l1 0 car la variable constante 1 engendre le sous espace vectoriel des constantes Ce qui quivaut E X a 0 ou encore a E X Lesp rance de la variable al atoire X peut donc tre vue comme sa projection orthogonale sur le sous espace des constantes On peut alors faire un dessin appliquer le th or me de Pyth
31. fit d crire B J Akn B k 1 15 Proba univers fini P1 et de remarquer que la r union est disjointe Il suffit alors d utiliser l additivit On utilise cette formule pour d composer le calcul de la probabilit d un v nement en plusieurs cas soit par commodit soit par n cessit Pour la com modit voir le deuxi me exercice Pour la n cessit voir le premier exercice D monstration des formules de Bayes La premi re formule se d duit de P ANB P A PA B P B Pg A les deux autres s en d duisent par formule des probabilit s totales Les applications typiques de la formule de Bayes se reconnaissent facilement voir troisi me exercice et suivants et justifient l appellation qui en est parfois donn e de probabilit des causes Exercice Pierre Simon doit passer l preuve de Tipe des concours et se de mande s il est judicieux d utiliser son feutre vert pour les transparents Son prof de math pas avare il faut bien le dire de d tails oiseux dans les nom breux conseils qu il donne pour l oral a signal que les personnes daltoniennes voyaient tr s mal cette couleur Sur internet on peut lire que 8 des hommes sont daltoniens alors que seulement 0 5 des femmes le sont Par l ami d un cousin du voisin de son oncle qui travaille dans l administration du T traconcours Pierre Simon a appris que la moiti des jurys de l preuve de Tipe taient compos s de deux hommes l
32. inition On appelle probabilit sur un ensemble fini Q toute ap plication P de Q dans 0 1 telle que P O 1 et telle que V A B P Q ANnB 9 gt P AUB P A P B Un espace probabilis fini est un couple Q P o Q est un en semble fini et P une probabilit sur Q Attention au vocabulaire une probabilit sur Q n est pas d finie sur Q mais sur P Q Dans la suite si Q P est un espace probabilis fini on se permettra d apnpeler v nement toute partie de Q I 2 Quelques univers a Poker On consid re l exp rience al atoire suivante tirer 5 cartes dans un jeu de 52 cartes D finir un univers associ cette exp rience Quel est son cardinal b Bridge On consid re l exp rience al atoire suivante tirer 13 cartes dans un jeu de 52 cartes D finir un univers associ cette exp rience Quel est son cardinal c Tirages r p t s Quel univers correspond un tirage Pile ou Face r p t n fois d Des objets dans des bo tes On consid re l exp rience suivante placer au hasard r objets x1 x dans n bo tes b1 b D finir un univers associ cette exp rience Quel est son cardinal Proba univers fini P1 e Des objets indiscernables dans des bo tes On consid re l exp rience suivante placer au hasard r objets indiscernables dans n bo tes b1 b D finir un univers associ cette exp rience Quel est son cardinal On comprendra bien l
33. n Lorsqu un v nement s interpr te naturellement comme intersec tion d v nements en g n ral successifs Exercice Une urne contient n boules blanches n boules noires On retire les boules une par une au hasard Quelle est la probabilit de tirer 1 boule blanche puis une noire puis une blanche etc Exercice On fait l hypoth se certes discutable que la probabilit de na tre un 2 d cembre est la m me que celle de na tre un 18 juin ou un 14 juillet et on supposera en revanche que personne ne na t un 29 f vrier 1 Trouver la probabilit pour que dans un groupe de dix personnes il ny en ait pas deux dont l anniversaire tombe le m me jour 13 Proba univers fini P1 2 M me question pour un groupe de 40 personnes 3 Avec une calculatrice ou un ordinateur trouver le plus petit nombre N v rifiant dans un groupe de N personnes il y a plus d une chance sur deux pour qu elles aient toutes des jours anniversaires diff rents Exercice Dans une urne se trouvent 365 boules num rot es autrement dit discernables On tire N fois une boule au hasard Apr s chaque tirage on remet la boule Quelle est la probabilit pour qu on tire N boules diff rentes Exercice Dans un tablissement scolaire o les serrures sont nombreuses on vous a pr t un trousseau de n clefs pour ouvrir une porte et vous avez ou bli de demander laquelle tait la bonne En plus elles se ressembl
34. n disjointe des v nements X g ke T Une deuxi me d monstration Cette d monstration peut para tre moins l mentaire voire astucieuse mais elle ne l est pas lorsqu on voit l esp rance comme une int grale d cid ment elle vaut la peine d tre comprise Notons A X a wEeQ X w gt a Ona al1 lt X l4 1 Rappelons que 1 est l indicatrice de A c est une variable al atoire qui vaut 1 sur et 0 ailleurs L in galit 1 qui dit que pour tout w Q on a alaw lt X w 11 w se v rifie alors en distinguant deux cas w A et w g A Cette in galit 1 est une in galit entre variables al atoires on la v rifie en distinguant deux cas w A et w g A Par croissance E ala SE IXI 14 2 Mais E al 4 aE 1 1 aP A aP X 2 a Et X 14 lt X Ilo X d op par croissance encore aP X 2 a lt E X 14 lt EXD ce qui conclut En rempla ant a par af et X par X on obtient la g n ralisa tion annonc e la fonction x ch tant croissante sur R 40 Proba univers fini P1 V2 In galit de Bienaym Tchebychev Une des plus importantes cons quences de l in galit de Markov est l in galit de Bienaym Tchebychev Proposition In galit de Bienaym Tchebychev Soit X une variable al atoire r elle d finie sur un espace proba bilis fini Q P Alors pour tout r el strictement positif a V X EE a D mo
35. nstration On applique l in galit de Markov avec p 2 la variable al atoire X E X Cette in galit majore la probabilit de s carter de la moyenne Sa cons quence la plus c l bre est la loi faible des grands nombres et c est en l tudiant que Bernstein a trouv sa d monstration du premier th or me de Weierstrass Remarque L orthographe de Tchebychev est tr s fluctuante dans la litt rature math matique Exercice 1 On lance 1000 fois une pi ce quilibr e minorer la probabilit pour que le nombre de Pile soit compris entre 450 et 550 2 Onlance n fois une pi ce quilibr e On note Z le nombre de Pile Trou IS l DIV n 2 On demande un n qui convient pas le plus petit ver n pour que lt 0 05 gt 0 99 41 Proba univers fini P1 VI Image d une variable al atoire par une fonction VI 1 D finition Notation Soit X une variable al atoire sur un espace probabilis fini Q P valeurs dans un ensemble E Soit F un autre ensemble ventuellement le m me d ailleurs a n est pas g nant et dh une application d finie sur une partie de E contenant X Q valeurs dans F GARE On peut donc d finir sur Q la variable al atoire Y poX w p X w Y est la compos e de X par Mais on dira plut t que Y est l image de X par db Et on notera Y X plut t que Y po X Sans en parler on a d j consid r ce genre d objet si X es
36. onc la d finition suivante 11 Proba univers fini P1 D finition Soit Q P un espace probabilis fini B un v nement tel que P B gt 0 Pour tout v nement A i e pour toute partie A de Q on d finit la probabilit conditionnelle de A sachant B par P ANB P B Se lit en g n ral P de A sachant B Pg A P A B Proposition Pg est une probabilit sur Q D monstration P3 est une application d finie sur Z Q valeurs r elles posi tives Et m me valeurs dans 0 1 par croissance de P Clairement Pg Q 1 Et si AN A AN B Nn A N B et donc P AUA nB P B P ANB U A NB 8 P B P AnB P A nB P B Pg A Pg A Pg AU A La notation Pg A est bien souvent pr f rable la notation P A B N anmoins cette derni re est au programme il faut la conna tre 12 Proba univers fini P1 II 2 Probabilit s compos es probabilit s totales probabilit s des causes Proposition Formule des probabilit s compos es Si A et B sont deux v nements si P B 0 alors P ANB P B Pg A Plus g n ralement si A1 Am sont des v nements et si P AN 1NAm 1 0 alors P A N A2 N Am P A1 P A 42 P nAn a Am ou encore R m Ax Seck m Par A I D Al k 0 avec la convention habituelle TI A Q Q tant neutre pour j 1 N On remarque que Po P D monstration par r currence Utilisatio
37. part D finition Soit X Y deux variables al atoires d finies sur un espace probabilis fini Q P valeurs dans E et F respectivement La loi conjointe de X et Y est la loi du couple X Y qui est une variable al atoire valeurs dans E x F D finition Avec les notations pr c dentes les lois marginales du couple X Y sont les lois de X et de Y On a vu sur un exemple que les lois marginales se d duisaient facilement de la loi conjointe si X Q x1 Xp et Y Q y1 Yq on remarque que Y yj 1 lt lt 4 est un syst me complet d v nements ce qui permet d crire q Viell pl P X x P X x etY yj j l et de m me p vjellLqg PY y P X xietY yj i 1 46 Proba univers fini P1 En revanche il est illusoire de penser reconstituer le tableau partir de ses marges autrement dit Remarque importante Les lois marginales ne d terminent pas les lois conjointes Y Y a D a D Par exemple et donnent les m mes a 1 4 1 4 a 1 6 1 3 b 1 4 1 4 b 1 3 1 6 lois marginales loi uniforme sur a b pour X loi uniforme sur a p pour Y mais pas la m me loi conjointe dans le premier cas la loi de X Y est la pro babilit uniforme sur a b x a p dans le second cas la loi de X Y n est pas uniforme VII2 Loi conditionnelle D finition Soit X Y deux variables al atoires d finies sur un espace pro
38. plication X Y E XY est un produit scalaire sur l espace des variables al atoires r elles d finies sur l espace probabilis fini Q P d monstration sans difficult Si on note la norme euclidienne associ e et d la distance on a O X IIX E X d X E X 30 Proba univers fini P1 b Deux formules V X E X EW V aX b amp V X a et b sont des constantes r elles D monstration Pour la premi re formule X est une variable al atoire r elle sur un espace pro babilis fini Pour plus de clart il est judicieux de renommer l esp rance no tons E X Alors V X E X E X 24X AT E X 2AE X 4 E X EX On a utilis la lin arit de l esp rance et le fait que l esp rance d une variable al atoire constante est gale cette constante on ne sera pas sans remarquer le curieux assortiment de mots figurant dans l expression variable al atoire constante tant une constante est peu variable et pas si al atoire que a Pour la deuxi me formule on peut par exemple utiliser la premi re V aX b E aX b E aX b E a X 2abX b aE X b a E X 2abE X b a E X 2abE X b a V X on utilise les m mes propri t s que dans la d monstration pr c dente Rappel Contrairement aux usages courants en analyse on note ici de la m me mani re un nombre r el
39. porte la mise Deux personnages c l bres Diderot et D Alembert avaient r fl chi au pro bl me suivant combien doivent miser les deux joueurs pour avoir des chances gales Pour que le jeu f t quitable d Alembert disait que A devait miser deux fois plus que B Pour Diderot A devait miser trois fois plus Qui avait raison b Une variable al atoire Int ressons nous la somme S des deux d s c est une application S Q E Iva i j o on peut prendre E N E R ou au plus juste E 2 12 Retenons ce der nier point de vue inutile de rajouter des valeurs qui ne peuvent tre atteintes par S On calcule assez facilement k P S k 2 1 36 3 2 36 4 3 36 5 4 36 6 5 36 7 6 36 8 5 36 9 4 36 10 3 36 11 2 36 12 1 36 On peut alors d finir sur 2 12 une probabilit Ps de la mani re suivante 22 Proba univers fini P1 Vke 2 12 Ps k P S Kk Ce qui permet de d finir la probabilit de toute partie de 2 12 Par exemple 5 6 5 16 4 Ps 6 7 8H PISE TR ee SSP RE BTE RSS 0 444 Cette probabilit sur 2 12 qui est d ailleurs tout ce qui nous int resse si on veut parier sur la somme des deux d s est appel e la loi de S On remarquera que ce n est pas du tout une loi uniforme Pourquoi appeler S une variable al atoire parce qu elle prend des valeurs al atoires chaque issue de l exp rience al atoire correspond une valeur Ce qui nous importe
40. posons le d quilibr Par raison de sym trie on aura autant de chance d obtenir un 2 qu un 6 On dira que toutes les issues sont quiprobables On pourrait alors d finir une probabilit sur lunivers Q 1 2 3 4 5 6 par l Vief l 6 POS pES Proba univers fini P1 Evidemment il se peut que le d soit pip Pour d finir une probabilit conve nable la raison de sym trie ne fonctionnera plus on aura recours aux statis tiques Supposons que l on s int resse la parit du r sultat il vaudrait mieux dans ce cas jouer pile ou face mais a viendra On consid re l v nement al atoire le r sultat est pair On lui associe la partie A 2 4 6 de Q Et on d finit naturellement D finition Soit Q un univers fini On appelle v nement toute partie de Q on appelle v nement l mentaire tout singleton w o wEQ Revenons notre probabilit on associe l v nement A la probabilit N p A pli 3x Te A OI Plus g n ralement on pourrait d finir sur un ensemble fini Q une probabilit p comme tant une application p Q 0 1 telle que 3 Dia 1 wEQ puis d finir la probabilit d un v nement A par p A po WE mais cette d finition serait h t rog ne p serait d finie la fois sur Q et sur P O Il vaut mieux donc d finir p seulement sur Z Q on pourra donc crire Dol mais pas p w Proba univers fini P1 D f
41. r elles telles que X lt Y ie VwueQ X w lt Viol alors E X lt E Y croissance Si X est une variable al atoire r elle alors E X lt E IX1 SiXestconstante Voie X w a alors E X a 29 Proba univers fini P1 IIL3 Variance et cart type a D finitions On a d fini l esp rance d une variable al atoire comme une valeur moyenne On peut essayer de quantifier la dispersion ou variation de X autour de cette valeur moyenne Une id e serait de consid rer E IX E X mais ce n est pas tr s maniable et il y a mieux Si on se souvient que la norme euclidienne est plus agr able que Il car elle est associ e un produit sca laire on comprendra que l on pr f re D finition Soit X une variable al atoire r elle sur un espace proba bilis fini Q P On d finit sa variance V X E X E X X E X est la variable al atoire w X w E X On re marque que V X gt 0 ce qui permet de d finir l cart type de X O X V V X On a alors une propri t simple Proposition Une variable al atoire sur un espace probabilis fini a une variance nulle si et seulement si elle est constante Remarque Si a est un nombre r el on note aussi a la variable al atoire constan te gale a notation d j utilis e pour a E X qui est un nombre mais est aussi consid r comme une variable al atoire constante Remarque L ap
42. robabilit uniforme sur Q est l unique probabilit telle que 1 Voie E On a alors pour tout v nement T Card A CardQ P A Dans le cas de la probabilit uniforme sur un univers fini le calcul de la pro babilit d un v nement quivaut au calcul de son cardinal C est donc un pro bl me de d nombrement Exercice On lance deux fois un d quilibr Quelle est la probabilit pour que la somme des deux r sultats obtenus soit gale 2 gale 7 sup rieure ou gale 8 Exercice On tire 5 cartes d un jeu de 32 cartes Quelle est la probabilit qu il y ait parmi ces 5 cartes au moins un Roi et au moins un Coeur si on a le Roi de Coeur on consid re qu on a bien un Roi et un Coeur Proba univers fini P1 L5 Autres propri t s D finition Proposition Soit Q P un espace probabilis Soit A un v nement c est dire une partie de Q L v nement A Q A compl mentaire de est appel v nement contraire de A Sa probabilit est P A 1 P A D monstration On a AN A et AU A Q on peut donc crire P A P A P AU A P Q 1 D finition Proposition Soit Q P un espace probabilis A et B deux v nements Les v nements AU B et AN B sont respecti vement appel s A ou B et A et B Ona P AU B P A P B P ANnB On peut faire un petit dessin et consid rer par exemple le compl mentaire P
43. routes R diger une phrase quivalente la pr c dente sous la forme suivante un jeune de 18 24 ans a fois plus de chance de trouver la mort sur la route qu une autre personne Exercice Je viens d emm nager je nai pas encore vu mes voisins mais je sais qu ils ont deux enfants 1 Quelle est la probabilit que ces deux enfants soient des filles 2 J ai vu un de ces deux enfants c est une fille m me question 3 On m a dit que l a n e de ces enfants est une fille m me question On fait les hypoth ses suivantes chaque naissance la probabilit d avoir une fille ou un gar on est la m me Les naissances sont ind pendantes IL3 Ind pendance D finition On dit que deux v nements Aer B d un espace probabi lis Q P sont ind pendants lorsque P ANB P A P B Remarquons que cela quivaut dans le cas P B gt 0 Pet Al P A et donc aussi dans le cas P A gt 0 PA B P B ce sont ces deux derni res critures qui constituent la d finition raisonnable de l ind pendance savoir si A est ou n est pas r alis ne nous donne aucune 18 Proba univers fini P1 information sur le fait que B le soit ou ne le soit pas Mais la d finition retenue a le double avantage d tre sym trique et de na pas faire d hypoth se de non nullit des probabilit s de Aer B Lorsqu on jette deux fois un d l v nement le premier lancer donne un 2 et l v
44. s termes gaux 1 on a Y k Ur IePk A fNX 1un N X 0 icl icell n W Les Ar sont deux deux disjoints par ind pendance mutuelle P An p0 p et donc le cardinal de Dr tant bien connu et la r union tant disjointe n pr b Le r sultat est d montr La variance d une variable de loi de Bernoulli Z p tant pq p l p on retrouve tr s simplement et sans formule de somma tion p nible que la variance d une loi binomiale Z n p vaut npgq 55 Proba univers fini P1 Table des mati res I Probabilit s sur un ensemble fini 2 LI Univers v nements probabilit 2 K nek ENER 6 a PLANS a LUE le Tue 4 a POKER br an She TR EN PROS e 4 b Bridges hentai ie ORNE RER ot 4 c Tirages T D L S a ad Leo der ae e D e UN OE E EE EA 4 d Des objets dans des bo tes 4 e Des objets indiscernables dans des bo tes 5 f Des objets indiscernables dans des bo tes indiscernables 5 I 3 Premi re propri t additivit 5 I 4 Probabilit uniforme 6 LE AULTES NEIER o ocs am deeg ES E EE EE dE 7 II Conditionnement ind pendance 11 LE Conditionnement NAN aea EE 11 II 2 Probabilit s compos es probabilit s totales probabilit s des causes 13 II 3 Ind pendance Age Ee See ee die ho nd ane 18 II Variables al atoires 21 II 1 D finition loi d une variable al atoire
45. st la r union disjointe des X7 ag certains de ces ensembles pouvant tre vides sans que cela soit g nant Le r sultat s ensuit Exemple Reprenons la variable S somme de deux d s vue plus haut On a 1 2 2 1 252 E S 2x 3 x 11 x 12 x 36 36 36 36 36 calculer en regroupant les termes en k et 14 k dans la somme Exercice Dans une f te foraine pour une mise initiale de 3 euros le joueur est invit lancer deux d s que Ton supposera quilibr s Si le r sultat est un double le joueur r cup re sa mise et empoche en plus le montant en euros gal la somme des points obtenus Si un d et un seulement fait appara tre un 6 le joueur r cup re sa mise et gagne en le montant en euros indiqu sur l autre d Sinon la partie est perdue et avec elle les trois euros 1 Calculer lesp rance de G gain en euros du joueur bien entendu une perte est comp t e comme un gain n gatif Solution Soit i 1 6 L v nement apparition d un double i a pour pro babilit 1 36 Et cet v nement correspond une valeur de G gale i Soit i 1 5 l v nement apparition d un 6 et d un i a pour probabilit 2 36 et cet v nement correspond un gain G i Dans tous les autres cas G 3 Lesp rance cherch e est donc Le 3 1 E G i 2 i 20x 3 36 el 4 Remarque 1 Pour i 1 2 5 on n a pas directement calcul l
46. t r On pourra noter n n l et q 1 p Ge n M n1 N2 On utilisera sans forc ment l expliciter l ind pendance des tirages par exemple P la premi re boule est rouge et la deuxi me est blanche P la premi re boule est rouge x P la deuxi me boule est blanche 2 Cette fois il y a dans lurne n boules blanches nz boules rouges n3 boules noires Calculer la probabilit pour qu apr s m tirages avec re mise on ait tir exactement k boules blanches et boules rouges et donc m k boules noires k Z lt m n cessairement On pourra noter n no n3 PE r n n2 N3 q n n N3 n N2 N3 Exercice tirage dans une urne sans remise loi hyperg om trique 1 Dans une urne il y a N boules blanches Nz boules rouges On effectue r tirages successifs sans remise donc n cessairement r lt N N N3 Calculer la probabilit pour que l on tire n fois une boule blanche et ug fois une boule rouge o n lt Nu n2 lt No ni m r Proba univers fini P1 2 Dans une urne il y a N boules blanches N boules rouges On tire r boules simultan ment donc n cessairement r lt N N N2 Calculer la probabilit pour que l on tire n fois une boule blanche et nz fois une boule rouge o n lt Ni n2 lt N2 M m r 10 Proba univers fini P1 II Conditionnement ind pendance UI Conditionnement Revenons sur le lancer de d On prend
47. t une variable al a toire r elle X est l image de X par la fonction x gt x X est l image de X par la fonction valeur absolue VI 2 Loi On reprend la d finition pr c dente La loi Py de Y est d finie sur Z F par Py SEN gt 0 1 B cx P YEB mais bien videmment on veut comme d habttude se d barasser de Q et tant qu faire de P d autant que ce qu on conna t en pratique c est la loi Px de X et non P 42 Proba univers fini P1 On remarque donc que pour toute partie B de F Py B P Y B P poXEB P X eh Ei Px p 8 On a donc VBEZ F Py B Px p B Cela dit l ensemble des valeurs prises par Y est fini si y est une valeur prise par Y ona PY y P Xep im A P X 2 A PxUx h A PU sg x h n xep1 y zehun VL3 Esp rance formule de transfert Soit X une variable al atoire d finie sur un espace probabilis fini Q P va leurs dans un ensemble E Soit f une fonction d finie au moins sur X Q valeurs r elles Alors E f X XC PX 9 f xeX Q Cette formule transf re le calcul de l esp rance de Q P vers E Px et donc est fondamentale car on ne formalise en g n ral pas Q P pas unique trop compliqu pas utile D monstration Notant Y f X EY PY yy yeY Q Or Y Q f x x X Q Pour tout y Y Q notons Ay x X Q f x y Alors PY Ms DUU zs is A PX x XEAy 43 Proba univ
48. xemples gg mand E EME E EE EE 45 b D DHIUONSEE EE Ee RUE EE 46 VIL2TLorconditonnell 2 rases fau Mis Save an tenus avis 47 VIL3 Couple de variables al atoires ind pendantes 48 a D MO SSI Sem mp eee en 48 b Caract ensaton a De Ee EN RER TER RS E 49 VILA Images de v a ind pendantes par des fonctions 50 VII 5 Variance covariance 50 a Ce 50 b Covariance de variables ind pendantes 51 VIL6Ind pendance de n variables n22 52 VII 7 Variance d une somme 53 a Variance d une somme de deux variables 53 b Cas d ind pendance 54 c Variance d une somme de n variables al atoires 54 57 Proba univers fini P1 d Cas d ind pendance c sas mind EE VIL8Application la loi binomiale 58
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