Les maths dans le calendrier : le calendrier perpétuel
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1. 5 modulo 7 Entre le premier mars de l ann e 0 et le premier mars de l an n e a on a C si cles comportant 24 ou 25 ann es bissextiles dont E C 4 en comportent 25 l Cx 5 E C 4 7 Pour notre exemple 1 0 C 20 donc E C 4 5 donc 1 20 x 5 5 0 7 En effet pour C 19 on a E C 4 4 donc1 5x19 4 1 7 On peut maintenant conna tre l indice de n importe quel jour J si on conna t l indice de J Pour cela on part de l indice connu d un jour J le 14 juillet 2002 est un dimanche I J 0 Donc 0 I J 0 2 3 6 I Jo 4 7 donc I Jp 4 7 donc I J 3 Le premier mars de l ann e fictive J est donc un mercredi Pour n importe quel jour J on a alors 1 3 13 bL 1 h f7 Indices pratiques Pour une plus grande commodit d utilisation les indices th oriques l Ij L 1 sont remplac s par des indices pra tiques d finis ci dessous et pr sent s dans les tableaux d in dices de la page ci contre on pose i l 1 q 7 i est l indice du quanti me on pose ji l 3 de mani re ce que l indice du mois de janvier n soit 0 i est l indice du mois on pose i L i est l indice de la fin du mill sime On pose in I 6 de mani re avoir is pour le d but du mill sime 19 i est l indice de d but de mill sime On a alors I J 3 13 1 i 3 i io 6 7 donc KJ i iz i io 7 Cas du calendrier julien D2. son reste modulo 7 Calculs 5xC E C 4 3 juillet L q 11 7 105 0 7 13 6 7 p KVI Cahier p dagogique CC 99 automne 2002 Pour notre exemple J est le premier mars 2000 J est le premier mars 2002 J est le premier juillet 2002 A JoJ est la dur e alg brique de l instant J vers l instant J exprim e en nombre de journ es A JoJ A JoJ1 A Jih A 3333 A J3 A JoJ est la dur e de l instant J premier mars de l ann e C vers l instant J premier mars de l ann e s culaire pr c dant a Pour la calculer on a besoin de conna tre le d but C du mill sime Le reste modulo 7 de ce nombre est not o A J J est la dur e de l instant J premier mars de l ann e s culaire pr c dant l ann e a vers la date J 2 premier mars de l ann e a Pour la calculer on a besoin de conna tre la fin U du mill sime Le reste modulo 7 de ce nombre est not l A 3 73 est la dur e de l instant J premier mars de l ann e a vers l instant J premier jour du mois M Pour la calculer on a besoin de conna tre le mois M Le reste modulo 7 de ce nombre est not J J3J est fa dur e de l instant J premier jour du mois M vers l instant J Pour la calculer on a besoin de conna tre le quanti me q Le reste modulo 7 de ce nombre est not I On a donc I J d signant l indice de la date J I J G l I 7 Calcul de L Entre les dates J et J
3. il y a q 1 jours donc est congru q 1 modulo 7 B q 117 Pour notre exemple q 1 13 donc h 6 Calcul de I Pour mars on a I 0 31 3 7 donc pour avril on aura E 3 30 2 7 donc pour mai on aura L 3 2 5 et ainsi de suite Pour le mois de f vrier d une ann e normale la diff rence A J J3 est gale 28 soit O modulo 7 Pour f vrier d une ann e normale on aura alors I O Pour le mois de f vrier d une ann e bissextile la diff rence A J23 est gale 29 soit 6 modulo 7 Pour f vrier d une ann e bissextile on aura alors I 6 Pour le mois de janvier d une ann e normale la diff rence Cahier p dagogique CC 99 automne 2002 A J2J3 est gale 28 31 soit 4 modulo 7 Pour janvier d une ann e normale on aura alors I 4 Pour le mois de janvier d une ann e bissextile la diff ren ce A J J est gale 29 31 soit 3 modulo 7 Pour janvier d une ann e bissextile on aura alors I 3 On obtient donc le tableau suivant o n d signe une ann e normale et b une ann e bissextile pour notre exemple l 3 mois f vrier n mars novembre Juin septembre d cembre janvier b avril juillet janvier n octobre mai f vrier b ao t SnEURD rx gt Calcul de 1 Du premier mars d une ann e au premier mars de l ann e sui vante la dur e est de 365 jours si la deuxi me ann e est nor male et de 366 jours si
4. la deuxi me ann e est bissextile 365 1 7 et 366 2 7 donc une ann e normale cr e un d calage de 1 et une ann e bissextile un d calage de 2 Pour calculer la dur e du premier mars de l ann e s culaire pr c dant a vers le premier mars de l ann e a on calcule le nombre total d ann es et le nombre d ann es bissextiles ren contr es Le nombre total d ann es est U et ie nombre d ann es bis sextiles rencontr es est la partie enti re de U 4 on a com menc au premier mars pour ne pas se poser le probl me de savoir si l ann e s culaire est ou non bissextile 1 3 365xU 1XE U 4 U E U 4 7 L U E U 4 l Pour notre exemple I 2 U 2 donc E U 4 0 Pour C 00 I 0 pour C 01 I l pour C 02 h 2 pour C 03 I 3 pour C 04 l 5 pour C 06 I 6 gt Calcul de Ig dans le calendrier gr gorien Dans le calendrier julien une ann e sur 4 est bissextile donc l intervalle s parant deux ann es s culaires cons cutives est form de 25 ann es bissextiles et de 75 ann es normales le d calage correspondant un si cle est donc 125 congru 6 modulo 7 Dans le calendrier gr gorien seule une ann e s culaire sur 4 est bissextile La dur e s parant le premier mars d une ann e s culaire du premier mars de l ann e s culaire non bissextile suivante comporte 24 ann es bissextiles et 76 ann es nor p XVII males Le d calage correspondant est donc de 124 congru
5. Les maths dans le calendrier le calendrier perp tuel Certains de nos l ves de 1 e S ayant choisi le calendrier comme th me de recherche de TPE nous avons voulu leur donner des outils math matiques utiles et adapt s leur niveau De nombreux articles ont t crits sur le calendrier perp tuel Le but de celui ci est d expliciter la r alisation des tableaux d indices que l on utilise pour d terminer le jour de la semaine correspondant une date donn e Introduction Les notions utilis es ici sont la congruence modulo 7 et la partie enti re d un nombre r el cf encadr s 4 et 5 Chaque entier tant congru au reste de sa division eucli dienne par 7 et les restes possibles tant 0 1 2 3 4 5 6 on peut ranger de mani re unique chaque entier dans une des 7 classes d quivalence modulo 7 On attribue chacun des 7 jours de la semaine un nombre appel indice du jour dimanche 0 lundi 1 mardi 2 mer credi 3 jeudi 4 vendredi 5 samedi 6 On fait ensuite calculer aux l ves les restes de la divi sion euclidienne par 7 de nombres importants pour le calen drier nombre de jours dans un mois nombre de jours dans une ann e Apr s avoir expliqu aux l ves ces notions on peut leur poser quelques petits exercices simples les mettant en jeu cf encadr 1 pour les r ponses 1 Si un mois commence par un lundi par quel jour com mence le mois suivant 2 Si une ann e commence pa
6. Si l ann e est bissextile le d calage sera de 5 x 31 2x 30 29 5x3 2x2 11 7 6 7 Le 1 septembre sera un dimanche i 6 7 0 7 Donc le 25 septembre sera un mercredi 7 24 2 7 3 Entre le premier janvier 1900 et le premier janvier 2002 il y a 102 ann es dont 25 bissextiles et 77 non bissextiles 25x2 77x 1 127 1 7 Le premier janvier 1900 tait un lundi 5 Entre le premier janvier 1900 et le premier janvier 1981 il y a 81 ann es dont 20 bissextiles car 1900 n est pas bis sextile Entre le premier janvier 2000 et le premier janvier 2081 il y a 81 ann es dont 21 bissextiles car 2000 est bissextile om ea 7 Avant la r forme gr gorienne l intervalle s parant le premier janvier de deux ann es s culaires cons cutives compor tait toujours 25 ann es bissextiles Apr s la r forme gr gorienne deux cas se pr sentent Voici un exemple de chacun Entre le premier janvier 1600 et le premier janvier 1700 il y a 100 ann es dont 25 bissextiles car 1600 est bissextiie Entre le premier janvier 1700 et le premier janvier 1800 il y a 100 ann es dont 24 bissextiles car 1700 n est pas bissex tije Encadr 2 L exemple du 14 juillet 2002 q 14 M juitlet C 20 U 02 Date origine fictive 1er mars 0 dans le ler mars 2000 1er mars 2002 1er juillet 2002 14 juillet 2002 calendrier gr gorien Dur e A J9 20 si cles A J J 2 ans A J 1 4 mois A Jo 13 jours en jours
7. ans le cas du calendrier julien J est le premier mars de l ann e julienne fictive 0 qui n est pas le m me que pr ce demment On choisit pour J le jeudi 4 octobre 1582 derni re date julienne avant la r forme gr gorienne Rome On a pour cette date I J 4 3 3 h 4 1 54 15x6 6 7 Donc Jo 3 4 4 6 4 7 donc KJ 1 Le premier mars julien 00 aurait t un lundi D o pour un jour J quelconque du calendrier julien K3 J 1 li h h i 7 p XVIII On a alors KJ 1 3 1 1 3 1 h 7 i3 iz i To 3 7 Pour obtenir J i3 i i ig 7 on doit avoir i 3 7 On pose donc 15 lg 4 Notes et r f rences 1 R f rences sur ie calendrier perp tuel CC n 20 id es pour la programmation d un calendrier gr gorien par Maurice Carmagnole CC n 31 construction et mode d emploi d un calendrier perp tuel maquette par Jean Paul Parisot CC n 76 un calendrier perp rtuel algorithme par Michel Toulmonde CC n 91 le calendrier perp tuel maquette par Michel Montangerand Une fiche du HS 3 Le temps et les constellations est consa cr e au calendrier perp tuel Pour cet article nous nous sommes inspir s de l article de Roger Cuculi re les math matiques du calendrier dans Pour la Science de novembre 1986 2 Les tableaux d indices Ils sont pr sents dans les articles cit s plus hauts et dans les ph m rides du BDL Bureau des long
8. edu 1000 m 100c 10d u qu on subdivise en deux l ments le d but C mc 10 m c C est le nombre de cen taines du mill sime la fin du mill sime U du 10 d u a 100 C U Une ann e s culaire la derni re d un si cle est caract ri sable par U 0 Pour notre exemple q 14 M juillet a 2002 donc C 20 U 02 On fait intervenir trois autres dates associ es Jy et J de la fa on suivante e J est le premier mars de l ann e s culaire pr c dant ou identique l ann e a e J est le premier mars de l ann e a e J est le premier jour du mois M de l ann e a p XV Encadr 1 Solutions des exercices 1 Si un mois commence par un lundi s il comporte 28 jours le mois suivant commence par un lundi 28 0 7 s il comporte 29 jours le mois suivant commence par un mardi 29 1 7 s il comporte 30 jours le mois suivant commence par un mercredi 30 2 7 gt s il comporte 31 jours le mois suivant commence par un jeudi 31 3 7 2 Entre le premier janvier et le premier septembre de l ann e il y a 5 mois 31 jours 2 mois 30 jours et 1 mois 28 jours si elle est non bissextile 1 mois 29 jours si elle est bissextile Calcuions le d calage si l ann e est non bissextile 5 31 2 30 28 5x3 2x2 01 7 5 7 Le d calage de 5 jours livre avec premier janvier lundi 1 5 6 samedi Donc le 25 septembre sera un mardi 6 24 2 7
9. if k tel que a 7 xk b Ceci se note a b 7 Propri t 1 la relation de congruence modulo 7 est une relation d quivalence dans l ensemble Z des entiers Elle est r flexive on a pour tout entier a a a 7 En effeta 7 0 a Elle est sym trique quets que soient les entiers a et b si a b 7 alors b a 7 En effet s il existe un entier k tel que a 7 k b alors it existe un entier k telque b 7 k a Elle est transitive quels que soient les entiers a b c si a b 7 et si b c 7 alors a c 7 En effet s il existe un entier k et un entier k tels que a 7 k betb 7 K calors a 7 k 7 k c 7 k k c D finition 2 on appelle classe d quivalence d un entier l ensemble de tous les entiers qui iui sont congrus La classe de l entier 29 contient les entiers 1 8 16 23 29 6 13 20 27 C est aussi la classe de l entier 1 D finition 3 division euclidienne par 7 c est la division de l cole primaire Pour tout entier relatif a il existe un unique couple d entiers relatifs q r v rifiant a 7 q ret0 lt r lt 7 a est le quotient euclidien de a par 7 etetr le reste modulo 7 de l entier a On a alors a r 71 Les classes d quivalence de la congruence modulo 7 sont donc celles des 7 restes possibles 0 1 2 3 4 5 6 Propri t 3 si deux entiers sont congrus modulo 7 alors ils ont m me reste dans la divis
10. ion eucii dienne par 7 En effet si a b 7 et si b a pour reste r dans la divison euclidienne par 7 alorsa 7 k betb 7 K ret0 lt r lt 7 donc a 7 k k r et 0 lt r lt 7 donc pour reste r dans la division euclidienne par 7 Propri t 4 la congruence modulo 7 est compa tible avec l addition ta soustraction et la multipli cation dans Z Pour tous entiers a b c d sia bf 7letsic d1 7 alors a c b d 7 a c b df7 ac bd 7 En effet s il existe un entier k et un entier k tels que a 7 k bet c 7 kK d alors atc 7 k k b d a c 7 k k b d ac 7 7 kk 7 kd 7 Kb bd Encadr 5 Partie enti re d un nombre r el Pour tout r el x il existe un unique entier relatif n appel partie enti re du r el x et not E x tel que n lt x lt n i 26 7 3 71 E 26 7 3car3 lt 26 7 lt 4 Le reste de la division eudlidienne de 26 par 7 est 26 7x3 26 7XxE 26 7 35 26 7 3 71 E 26 7 4car 4 lt 26 7 lt 3 Le reste de la division euclidienne de 26 par 7 est 26 7x 4 26 7xE 26 7 2 Plus g n ralement le reste modulo 7 du naturel n est n 7 x Efn 7 Cahier p dagogique CC 99 automne 2002
11. itudes 3 La r forme gr gorienne Ce sujet est trait dans tous les ouvrages sur les calen driers C est l occasion de citer ici quelques r f rences La question du calendrier Abb Chauve Bertrand La Renaissance du livre Paris 1920 Le calendrier Histoire du monde Ph Vidal d Traditionneites 1978 Le calendrier Paul Couderc que sais je PUF n 203 6e dition 1986 HS n 3 le temps et les constellations Jos e Sert C cile Schutman et Gilbert Walusinski 1991 Calendriers et chronologie Jean Paul Parisot et Fran oise Suagher Masson 1996 Le temps compt le temps cont David Ewing Duncan NIL ditions La saga des calendriers ou ie frisson mill nariste Jean Lefort Pour la Science Belin 1998 Num ro sp cial de M13 sur les calendriers Jacques Gispert bulletin de l Association Marseillaise d Astronomie d c 99 centre d animation de quartier du Petit Bosquet 213 avenue de Montolivet 13012 Marseille Rythmes du temps astronomie et calendriers Emile Bi mont De Boeck 2000 recension dans le CC 91 Le calendrier ma tre du temps Jacqueline de Bourgoing D couvertes Gallimard n 400 recension dans le CC 95 Cahier p dagogique CC 99 automne 2002 encadr 3 Tableaux d indices lundi Mardi P cs Mercredi Indices i3 du quanti me Jeudi Vendredi 4 4 ii 18 25 L indice du quan
12. r un lundi quel jour est le 25 septembre 3 Sachant que le premier janvier 2002 tait un mardi quel jour tait le premier janvier 1900 4 Quel jour de la semaine tes vous n en faisant le calcul partir de la date o est pos l exercice 5 Quel est le nombre d ann es normales et le nombre d an n es bissextiles s parant a le premier janvier de l ann e 1981 du premier janvier de l ann e s culaire la pr c dant soit l ann e1900 b le premier janvier de l ann e 2081 du premier janvier de l ann e s culaire la pr c dant soit l ann e 2000 6 Quel est le nombre d ann es bissextiles et d ann es nor males s parant le premier janvier de deux ann es s culaires successives Cahier p dagogique CC 99 automne 2002 Ce dernier exercice est l occasion de parler aux l ves de la r forme la base du calendrier gr gorien Rome en Espagne et au Portugal le lendemain du jeudi 4 octobre 1582 fut le vendredi 15 octobre Etant donn e une date J quel est le jour de la semaine qui lui correspond On choisit dans un premier temps une date origine J le premier mars d une ann e fictive 0 La correction des ann es bissextiles se faisant la fin du mois de f vrier il est commode de choisir le premier mars On se donne une date J par exemple le 14 juillet 2002 Une date est form e de quatre l ments le quanti me q du jour dans le mois le mois M le mill sime a m
13. ti me est le Samedi reste modulo 7 du quanti me du mois Dimanche Le d fa Indices des jours mai f vrier b ao t f vrier n mars novembre juin at Indices i du mois septembre d cembre Saus TNE janvier b avril juillet janvier n octobre Indices i de fin de mill sime partir de l indice O pour la fin de mill sime 00 on ajoute 1 pendant trois ans et la quatri me ann e on ajoute 2 Indices i de d but de mill sime julien jusqu au 4 octobre 1582 gr gorien partir du 15 octobre 1582 A partir de 00 J on retranche 1 chaque d but de mill sime A partir de 15 G on retranche 1 puis trois fois 2 puis on recommence Cahier p dagogique CC 99 automne 2002 p XIX Encadr 4 La congruence modulo 7 Sur un cadran d horloge douze graduations horaires ies instants 10 h 22h 34h 2h 14h voient l aiguille la m me piace et 5 h apr s 10 h il est 3 h Pour faciliter ces raisonnements arithm tiques le math maticien allemand C F Gauss inventa en 1801 24 ans l arithm tique modulaire dont voici un petit r sum dans le cas du nombre 7 Les nombres 1 8 7 1 15 2 x7 1 22 3 x7 1 6 1x7 1 13 2x7 1 sont congrus 1 modu lo 7 Ils ont le m me reste dans la division euclidienne par 7 1 D finition 1 a et b tant deux entiers relatifs on dit que a est congru b modulo 7 s il existe un entier relat
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