Extraits - Grenoble Sciences
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1. 0 2 6 2 0 a Pour chaque instant t calculer la moyenne C t et l cart type de la concentration plasmatique b Tracer en coordonn es semi logarithmiques la courbe repr sentative de C en fonction de t et v rifier que C peut tre consid r e comme somme de deux exponentielles valuer les demi vies correspondant ces deux exponentielles estimer la demi vie la plus courte et soustraire l exponentielle correspondante de C t puis estimer l autre demi vie m thode de l pluchage exponentiel c La valeur de l limination urinaire du m dicament a t d termin e on a trouv pour la p riode de 24 heures tudi e une dose moyenne de 92 mg cart type 10 mg En d duire une interpr tation des deux demi vies et proposer un mod le d change entre plusieurs compartiments sang reins liquide interstitiel d Sachant que pour ce m dicament les concentrations plasmatiques limites sont Coin Sug ml Cmax 15 ug ml Cox 20 ug ml proposer une posologie pour un traitement de longue dur e en indiquant le nombre d injections par jour et dosage de chaque injection voir exercice pr c dent EXERCICES DU CHAPITRE 8 QUATIONS DIFF RENTIELLES 263 3 QUILIBRE PROIES PR DATEURS La mise en quation de l quilibre proies pr dateurs tudi au chapitre 7 4 est bas e sur des relations entre accroissements des deux variables qui sont le nombre de proies L et le nombre de pr dateurs2. 2 CONTINUIT On dit qu une fonction positive de la variable x positive ou nulle x gt 0 est un module de continuit si est croissante partir de 0 0 et prend des valeurs arbitrairement petites sur l ensemble des r els strictement positifs x gt 0 Pour viter des complications inutiles dans la suite on admet pour une valeur not e sup rieure tout nombre positif Exemples les fonctions suivantes sont des modules de continuit la fonction lin aire x O kx aveck gt 0 la fonction x x la fonction x kx x aveck gt 0 la fonction racine carr e x Vx la fonction d finie par x tgx si x lt 5 et Q x si x25 On dit que la fonction f est continue en a s il existe un module de continuit tel que pour tout l ment b de E on ait Ib fa lt fb al Si la fonction f est continue en chaque l ment a de E on dit que la fonction fest continue sur l ensemble E ilb al fib fla fa Exemples e La fonction d finie par x 1 x est continue sur R car pour tout a r el 1 b 1 a b a b a lt 2 allb al b al 6 CALCUL DES INT GRALES 95 On tend la d finition de l int grale au cas a b lt a f dx f dx J Jb On a la formule de Chasles pour les j e int grales valable quelle que soit la position f dx f dx relative des trois nombres r els a b c 2 2 RELATIONS ENTRE INT GRALE ET PRIMITIVE
3. R on peut utiliser directement ces relations pour valuer de proche en proche les deux populations pour des intervalles de temps r guli rement espac s AL aLAt bLRAt 1 AR pRAt qLRAt c est exactement la m thode d Euler appliqu e au syst me de Volterra L aL bLR 2 R pR qLR On cherche des approximations de L et de R connaissant leurs valeurs initiales L et Ro pour t t qu on supposera gal 0 Les valeurs successives L R L2 R2 de L R pour t tgth t t h sont approch es par t to ti toth b t h L Lo Li Lo h Lo a bRo L Li hLi a bRi R Ro R Ro hRo qLo p R2 R hR qL p On obtient de meilleures approximations des solutions L R du syst me de Volterra en adaptant au syst me diff rentiel du premier ordre la m thode de Heun Les valeurs approch es L1 R1 L2 R2 de L R pour t to h t2 t h sont obtenues par correction partir des valeurs Ly Ri Lo Ro pr vues par la m thode d Euler t to ty toth b t h L Lo hLg a HR L gt L hL a R R Ro hRo q Lg R gt R hR q L P L Lo La L Lo a bRO B L a R L L2 L a bR L a bR R Ro Ry R1 Ro q Lo p L R q L R2 R2 DR q Li p R q Lap a Programmation Pour chacune des deux m thodes crire un programme en Pascal permettant d afficher les
4. Si F est une fonction d rivable telle que F f on dit que F est une primitive de f Obtention d une primitive de f La fonction Y d finie par l int grale V x f t dt est une primitive de f Ja En effet RE f t dt D apr s la continuit de f ce rapport tend vers f x quand h tend vers 0 car f x p h lt f t lt x p h A x h donc L fO dt G lt oh 8 h IX Expression de toutes les primitives de f Si Fest une primitive quelconque def on a r x a T t Q En effet la fonction d finie par F x f t dt a une d fiv e nulle sur a b elle est constante sur a b d apr s les propri t s des d riv es chapitre 3 5 3 et vaut F a Cons quences Si l on connait une primitive F de f l int grale de f sur a b s en d duit f x dx F b a Si l on ne connait pas de primitive de f x on peut en calculer une par calcul PO f t dt num rique a Formule fondamentale du calcul int gral La diff rence F b F a s appelle la variation de la fonction F entre a et b elle se note aussi F x D apr s la forme des primitives de f on l exprime comme l int grale entre a t de l expression F x dx qui est la diff rentielle dF de la fonction F chapitre 3 5 4 EXERCICES DU CHAPITRE 3 FONCTIONS 211 8 CAPACIT VITALE La capacit vitale est le volume d air maximum pouvant tre mobilis par une inspiration forc e suivie
5. logarithme Relations de d finition Graphes x log at ot a Cas particuliers x log et ot e logarithme n p rien not In x log iot St 1 logarithme de base 10 not log Relations fonctionnelles log auv log au log av log at a log at Rapport entre bases diff rentes a elog a a e log a log a t log at Nt log pt E Fa Ina AN log a b 0 4342 lt D riv es Int L log t 1 log at 1 In t t log E tin 10 t log at tina Croissance compar e on suppose o gt 0 Graphes Y et fp asd Lorsque t augmente ind finiment e tend vers l infini plus vite que t lim et e z lt 1 toe t 2 e t tend vers l infini plus vite que Int 4 toe Int ht
6. MATH MATIQUES POUR LES SCIENCES DE LA VIE DE LA NATURE ET DE LA SANT Jean Paul et Fran oise BERTRANDIAS Presses Universitaires de Grenoble 1997 La Collection Grenoble Sciences La Collection Grenoble Sciences fut cr e l Universit Joseph Fourier avec un triple objectif permettre d offrir aux tudiants et usagers des ouvrages des prix convenables constituer une m moire pour d excellents documents qui restent souvent chez leurs auteurs e r aliser des ouvrages correspondant vraiment un objectif clair en contrepoint des ouvrages r alis s par rapport tel ou tel programme plus ou moins officiel Certains documents sont publi s dans le seul cadre de l Universit Joseph Fourier D autres destin s un plus vaste public sont s lectionn s par des referees critiqu s par un comit de lecture et dit s dans cette collection sp cifique des Presses Universitaires de Grenoble Directeur de la Collection Grenoble Sciences Jean BORNAREL Professeur l Universit Joseph Fourier Grenoble 1 Comit de lecture de MATH MATIQUES POUR LES SCIENCES DE LA VIE DE LA NATURE ET DE LA SANT Bernard CHARLES Professeur l USTL Montpellier 2 Jean Pierre FERRIER Professeur l Universit Henri Poincar Nancy 1 Jean Ren JOLY Professeur l Universit Joseph Fourier Grenoble 1 D j parus Chimie Le minimum vital J Le Coarer Endocrinologie Fondements physiologiques S Idelman M
7. d une expiration forc e Le tableau ci contre donne la capacit vitale th orique c exprim e en cm en fonction de l ge g en ann es et de la taille t en cm Ces valeurs de c ont t obtenues aux Etats Unis partir de moyennes portant sur un grand nombre de mesures a Ce tableau exprime ccomme fonction des deux variables g ett Donner une repr sentation graphique de cette fonction sous forme de courbes de niveaux b On remarque que pour un ge fix la capacit vitale est approximativement lin aire relativement la taille Repr senter graphiquement le rapport c t en fonction de g et de t v rifier qu il ne d pend pratiquement pas de t et est affine en g c t a bg Renvoi chapitre 4 exercice 5 pour une valuation des coefficients a et b c Pour calculer la capacit vitale on utilise aussi des approximations affines On tudiera la suivante c 19 7 g 23 1 t 754 Comparer cette fonction celle qui est repr sent e par le tableau Construire un abaque donnant c en fonction de g et det en utilisant cette approximation R f rence J GERMOUTY La fonction respiratoire ditions des Laboratoires Diamant 1963 Taille Capa at vitae Age imn an 3 arr es 200 Food 20 15 20 160 40 4000 170 E 5J 160 2000 TO 150 EXERCICES DU CHAPITRE 7 MOD LES MATH MATIQUES 251 6 DOSAGE D UN M DICAMENT On injecte un certain m dicament par voie intraveineuse on d signe par C t la co
8. g n rales sont les suivantes l utilisation du m dicament est pr vue pour des traitements de tr s longue dur e l effet du m dicament est corr l la concentration plasmatique du m dicament e la concentration plasmatique doit tre sup rieure un certain seuil Cin sous peine d inefficacit du traitement e la concentration plasmatique ne doit pas d passer un certain plafond C assez proche de la concentration C consid r e comme toxique tox En p riode d exp rimentation un nouveau m dicament de ce type est essay sur 12 patients Une dose de 200 mg est administr e par injection intraveineuse et un dosage de la concentration plasmatique exprim e en ug ml est effectu divers instants t en heures partir de l instant 0 correspondant la fin de l injection Les r sultats sont donn s dans le tableau suivant donn es fictives t 0 1 2 4 6 8 12 16 20 24 n 1 11 0 8 5 7 0 5 5 4 7 4 4 3 7 3 1 2 6 2 2 n 2 10 4 8 1 6 7 5 4 4 7 4 3 3 5 2 9 2 4 2 0 n 3 12 0 8 6 7 2 5 8 5 3 4 7 4 2 3 3 2 8 2 4 n 4 10 1 7 9 6 5 5 2 4 5 4 0 3 3 23 2 3 1 9 n 5 10 5 8 0 6 7 52 4 6 4 1 3 4 2 8 2 3 1 9 n 6 9 0 7 0 5 9 4 8 4 2 3 7 2 9 2 4 2 0 1 5 n 7 10 2 7 9 6 5 5 2 4 6 4 2 3 4 2 8 2 4 2 0 n 8 11 2 8 4 7 0 ST 5 0 4 5 3 9 3 6 2 8 2 4 n 9 10 4 8 0 6 6 5 3 4 6 43 3 6 2 9 2 4 2 0 n 10 9 9 7 5 6 2 4 9 44 3 9 3 0 2 5 2 0 1 8 n 11 10 6 8 1 6 7 5 4 4 7 4 3 35 2 9 2 4 2 0 n 12 10 5 8 2 6 9 5 7 5 0 4 4 3 6 3
9. inimum Competence in Scientific English J Upjohn S Blattes et V Jans Introduction la M canique statistique E Belorizky et W Gorecki Exercices corrig s d Analyse tomes 1 et 2 D Alibert Bact ries et environnement Adaptations physiologiques J Pelmont La plong e sous marine l air L adaptation de l organisme et ses limites P Foster Listening Comprehension for Scientific English J Upjohn Electrochimie des solides C D portes ef al La Turbulence M Lesieur Exercices et probl mes corrig s de M canique statistique E Belorizky et W Gorecki La sym trie en math matiques physique et chimie J Sivardi re La cavitation M canismes physiques et aspects industriels J P Franc ef al L Asie source de sciences et de techniques M Soutif Enzymes catalyseurs du monde vivant J Pelmont L ergomotricit Le corps le travail et la sant M Gendrier Introduction aux vari t s diff rentielles J Lafontaine Analyse num rique et quations diff rentielles J P Demailly Speaking Skills in Scientific English J Upjohn M H Fries et D Amadis Thermodynamique chimique M A Oturan et M Robert EXTRAITS 54 MATH MATIQUES POUR LES SCIENCES DE LA VIE DE LA NATURE ET DE LA SANT Si la fonction f est croissante resp d croissante en chaque l ment a de E on dit qu elle est croissante resp d croissante sur l ensemble E et dans les deux cas on dit qu elle est monotone sur l ensemble E 5
10. l faut injecter au malade consid r pour que la concentration l instant initial t 0 soit la concentration maximum Cmax Au bout de combien de temps la concentration descend elle alors au dessous de la concentration minimum Cmin On veut d finir une posologie pour un traitement de longue dur e avec ce m dicament D terminer pour le patient consid r le nombre de piq res effectuer chaque jour et la dose injecter on d sire faire le moins de piq res possibles ces piq res tant faites aux m mes heures tous les jours L augmentation de la concentration au moment de chaque injection de m dicament est proportionnelle la quantit de m dicament inject e On se propose de d terminer automatiquement la posologie pour traiter tout nouveau malade devant tre soign avec le m dicament consid r Pour cela on fait subir chaque nouveau malade le test d crit dans la question c et on note les concentrations correspondantes C 0 C 1 crire un programme permettant en entrant les donn es obtenues au moyen du test d afficher les horaires des piq res et leur dosage R diger un mode d emploi de ce programme en vue de son utilisation dans un service hospitalier 252 MATH MATIQUES POUR LES SCIENCES DE LA VIE DE LA NATURE ET DE LA SANT 7 TUDE D UN M DICAMENT ANTI PILEPTI QUE Le m dicament tudi dans l exercice pr c dent tait un anti pileptique m dicament dont les caract ristiques
11. ncentration du m dicament dans le sang l instant t Apr s l injection la d croissance de la concentration C ob it la r gle suivante a b d AC yCAt o yest une constante positive Montrer que la concentration C t suit une loi exponentielle C t Qe Yt o Q est une constante dont on pr cisera la valeur On note T l intervalle de temps n cessaire pour que la concentration baisse jusqu au tiers de sa valeur l instant t c est dire C t T C t 3 V rifier que T ne d pend pas de tet de C t exprimer T en fonction de y Une dose de 200 mg est administr e un malade et un dosage de concentration est effectu divers instants t l instant t 0 correspond la fin de l injection Les r sultats sont donn s dans le tableau t en heures C en ug ml t 0 1 2 4 6 8 12 16 20 24 11 0 10 2 9 5 8 2 7 0 6 1 4 5 3 4 2 5 1 8 Repr senter graphiquement C en fonction de t en coordonn es r guli res et en coor donn es semi logarithmiques V rifier que C suit approximativement une loi exponentielle dont on valuera les constantes valuer l intervalle de temps T Pour que le m dicament soit efficace sans tre toxique sa concentration doit toujours rester comprise entre un seuil minimum Cmin et un seuil maximum Cmax c est dire Cmin lt C t lt Cmax Pour le m dicament consid r on a Cmin 5 ug ml Cmax 15 pg ml Indiquer quelle quantit de m dicament i
12. nt grale de Gauss exercice 2 du chapitre 6 en utilisant ces m thodes Les m thodes de simulation math matique et de visualisation bas es sur la r solution num rique des quations diff rentielles du premier ordre s adaptent la r solution des syst mes diff rentiels du premier ordre comme on l a vu dans l exemple du syst me de Volterra exercice 3 Ces m thode sont pr cieuses pour l tude des ph nom nes irr guliers dont un exemple typique est donn par le syst me de Lorenz exercice 5 qui est l analogue continu du comportement chaotique tudi dans le chapitre 7 exercice 4 pour des variables discr tes Une quation diff rentielle d ordre sup rieur peut se mettre sous la forme d un syst me diff rentiel du premier ordre pour faciliter la mise en vidence des propri t s des solutions par exemple l existence d un r gime permanent vers lequel tend l volution du syst me vibrations non lin aires exercice 6 5 SYST MES DIFF RENTIELS Les m thodes d Euler et de Heun utilis es dans l exercice 3 pour tudier num riquement le syst me de Volterra s appliquent de la m me fa on un syst me diff rentiel du premier ordre se pr sentant sous la forme x F t x y Z y G t x y z z H t x y z a Programmation crire un programme en Pascal permettant d afficher les valeurs successives de x y et z partir de leurs valeurs initiales lues au clavier Les fonctions F G et H seront d clar es dans le p
13. rogramme sous le mot clef function b Exp rimentation Un syst me simple de trois quations amenant des comportements irr guliers et apparemment erratiques des variables a t propos en 1963 par E Lorenz pour la mod lisation de mouvements de convection dans l atmosph re Il d pend de trois param tres s r et b x y x s y rx y Xz z xy bz 304 MATH MATIQUES POUR LES SCIENCES DE LA VIE DE LA NATURE ET DE LA SANT Fonctions puissances f t t Variable tstrictement positive Param tre r el quelconque Relations de d finition Graphes t te x tl amp x t avef gt 0 t gt 0 aod Relations fonctionnelles a 2 t u t u t tP ea t B _ tof Monotonie Fonction croissante si a gt 0 Fonction d croissante si a lt 0 Limites 1 1 quel que soit lim tea s SRRA te O sia lt 0 lim t fO sia gt 0 t gt 0 le sia lt 0 D riv es t a at Fonctions exponentielles f t a Variable t r el quelconque Param tre a strictement positif Relations de d finition Graphes partir des fonctions puissances change de la variable et du param tre y mt Relations fonctionnelles E at bt a b t dizas at au at u at at u at et In a e 2 71828182 a 1 Oza d 1 D riv es at atin a 7 et e 4 COMPL MENTS B RELATIONS ENTRE VARIABLES 305 Fonctions logarithmes f t logat Variable t gt 0 Param tre a gt 0 a 1 base du
14. valeurs successives de L et R partir de leurs valeurs initiales lues au clavier ainsi que les valeurs des constantes a b p et q La valeur du pas sera aussi lue au clavier de mani re pouvoir exp rimenter sur la pr cision des m thodes b Exp rimentation Ex cuter ce programme avec les donn es suivantes a 0 6 b 0 01 p 2 5 q 0 01 L 0 200 R 0 50 Relever dans un tableau les valeurs prises par L et R pour t par pas de 0 2 entre 0 et 6 Repr senter les fonctions L et R de la variable t dans les m mes axes Repr senter gra hiquement les couples L R ainsi obtenus ainsi que le point E de coordonn es p D Calculer le maximum et le minimum de L et de R Calculer la dur e d un cycle et la comparer l valuation de la p riode obtenue par lin arisation chapitre 7 4 4 vap 264 MATH MATIQUES POUR LES SCIENCES DE LA VIE DE LA NATURE ET DE LA SANT 4 VALEURS DE LA FONCTION DE GAUSS On consid re l quation diff rentielle y ty 1 a Trouver les solutions de cette quation V rifier que la solution f telle que f 0 0 est d finie par t f t et72 e qu JO b Exprimer la fonction de Gauss exercice 3 du chapitre 6 au moyen de f c Calculer 1 en r solvant num riquement l quation diff rentielle et comparer les r sultats obtenus par les diverses m thodes de r solution Comparer avec les r sultats obtenus par les m thodes de calcul num rique des int grales d Peut on calculer l i
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