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textes des travaux pratiques experimentaux

1. L air est aspir par un ventilateur centrifuge plac l aval du tube L entr e d air s effectue par un convergent parabolique se raccordant au tube avec un largissement brusque Le ventilateur est command par un mo teur lectrique vitesse variable il est reli au tube par un diffuseur la sortie du ventilateur l air est ject vers le haut travers un diaphragme permettant de faire varier la section de sortie Le r glage de la vitesse de rotation du moteur s effectue l aide d un autotransformateur dont la plage de r glage est gradu e de 0 50 Hz En aval du tube proximit du diffuseur une bride en Plexiglas munie d une prise de pression statique et d une sonde axiale de pression totale permet l exploration des pressions totales et par suite des vitesses le long d un diam tre du tube Toutes les prises de pression statique sont reli es un capteur capacitif Furness dont la r ponse est lin aire avec la pression Le capteur est mont dans un pont de Wheastone et l unit de lecture est calibr e en mm d eau 2 4 Mode op ratoire On effectuera les mesures pour un seul r gime qui sera pr cis en s ance 45 Hz semble convenir On attendra que la vitesse du moteur soit stabilis e avant de commencer le relev des mesures On pourra utiliser ou s inspirer du tableau de r sultats donn en Annexe 1 Relever les caract ristiques ambiantes temp rature et press
2. 24 3 9 Bibliographie at ie Mure es nee but 25 TABLE DES MATI RES A Planim tre et calcul de surfaces A 1 A 2 A 3 A 4 PEIMCID de n de a ERAT AR AMAR MOd d MPIOT yuya S em AM Comment a marche ret cre dbs s ant nr s Bibliographia s w amal Y SG u a B Conseils pour la r daction B 1 B 2 B 3 B 4 B 5 B 6 Objectif ew da E E B a H A G CS aqe ws m Say Re sens Figures ettableaux u 4 4 uu een Calculs Go Q un s Qu wal de QE TE Ok NU dm d ie Commentaires x 2 4 dah dae de haut hi Massa kuq Conclusion yastaaa ae gerard da et UE R OE ue A 27 27 28 28 29 Chapitre 1 Instabilit de Couette Taylor Sommaire LL Objectif s rene ee AO dan Re ane 4 1 2 L coulement de Couette Taylor 4 1 3 Stabilit de l coulement de base et bifurcations 5 14 Mode op ratoire
3. 6 14 1 Dispositif exp rimental 6 1 42 Acquisition et traitement des images 6 15 Analyse des r sultats 7 1 5 1 talonnage du moteur 7 152 tude de l instabilit primaire 7 1 5 3 tude de l instabilit secondaire 8 1 6 Annexe th orique s ss le do A ee ae 8 1 7 Bibliographie css er a ue le een 9 1 1 Objectif L objectif de ce TP est de d terminer et caract riser les instabilit s primaire et secondaire dans un coulement de Couette Taylor Le fluide remplit l inter espace entre deux cylindres concentriques en mou vement de rotation relatif l un par rapport l autre 1 2 L coulement de Couette Taylor On s int resse l coulement d un fluide confin entre deux cylindres concentriques le cylindre int rieur tournante une vitesse angulaire le cylindre ext rieur la vitesse angulaire Qo Figure 1 1a Une g om trie analogue a t utilis e en TP de Rh ologie du L3 de la fili re de M canique Physique vis cosim tre de Couette pour la mesure des viscosit s s agit d un cas particulier du dispositif de Couette Taylor 1923 les deux cylindres pouvant dans le cas g n ral tourner dans le m me sens ou en sens inverse
4. 1 4 e Ro m 1 4 CHAPITRE 1 INSTABILIT DE COUETTE TAYLOR 6 Les rouleaux de convection sont d abord initi s sur les bords haut et bas du cylindre puis diffusent lentement vers le centre Plus Re est proche de la valeur critique Rec plus la diffusion est lente ce ra lentissement est connu sous la d nomination de divergence critique Il est donc important d attendre suffisamment longtemps entre deux variations de la tension afin de laisser le temps l instabilit de cro tre puis de saturer On introduit le param tre de contr le adimensionn _ Re Re Ce param tre s annule au seuil 0 lorsque Re Rec est positif lorsque Re gt Rec et n gatif sinon L amplitude de la modulation du champ de vitesse dans la direction z augmente avec Re Au del d une nouvelle valeur critique Q de la vitesse angulaire Re du nombre de Reynolds une instabilit secondaire se d veloppe sur la structure de rouleaux Le nouvel tat bifurqu est caract ris par une ondulation spatiale des rouleaux toro daux qui varie au cours du temps perte de la stationnarit et brise l axisym trie Ce r gime existe en fait sur une plage tr s troite du nombre de Reynolds et se d stabilise son tour au profit d un r gime de chaos spatio temporel dans lequel des d fauts topologiques sont contin ment cr s et annihil s dans les structures de rouleaux 1 5 1 4 Mode op ratoire 1 4 1 Dispositi
5. Le montage est suppos rigoureusement axisym trique Dans la suite on consid rera le cas o la cylindre ext rieur est immobile dans le r f rentiel du hall Q2 0 L coulement de Couette Taylor est un cas d cole pour l tude des instabilit s hydrodynamiques et de la transition vers la turbulence C est aussi un cas mod le pour l tude du comportement des films de lubrifiant dans les pi ces tournantes roulements bille etc Pour de petites vitesses angulaires l coulement de base est stationnaire et spatialement uniforme et caract ris par une vitesse purement azimutale CHAPITRE 1 INSTABILIT DE COUETTE TAYLOR 5 a FIG 1 1 a Dispositif de Couette Taylor b Structure en rouleaux toro daux du premier tat bifurqu Q 2 yE 2 E 1 1 7 l 17 1 qui devient dans la limite Ro Ri lt R J R ug RIQ TE 1 2 Au del d une valeur critique Qe de vitesse angulaire l coulement de base devient instable vis vis de rouleaux toriques deux deux contrarotatifs qui s tendent tout autour du cylindre Figure 1 1b L coulement reste stationnaire et axisym trique mais la sym trie de l tat par translation verticale conti nue est bris e En augmentant encore l coulement structur devient son tour instable pour finalement transiter vers la turbulence 1 3 Stabilit de l coulement de base et bifurcations La nature de l insta
6. tude de l instabilit secondaire Le nouvel tat n est plus stationnaire mais pr sente une oscillation temporelle la fr quence f 27rw La plage d existence de cet tat est tr s r duite en nombre de Reynolds Re on se contentera donc de 3 ou 4 points de mesure 1 D terminer l amplitude des oscillations en fonction de Re Mesurer galement la mani re dont varie la pulsation w des oscillations en fonction de 2 Tracer les courbes et w Q en fonction de de l extrapolation de la courbe A e 0 la valeur seuil es Res de l instabilit secondaire 1 6 Annexe th orique L tude de stabilit lin aire d un tat de base consiste consid rer le comportement d une petite pertur bation d amplitude infinit simale sur l tat de base ce qui permet de lin ariser l quation d volution vis vis de l amplitude de la perturbation Pour un coulement fluide cette quation est donn e par l quation de Navier Stockes que l on peut formellement crire 0 a t F U r o x est la coordonn es spatiale 2 ou 3 dimensions R un param tre de contr le par exemple le nombre de Reynolds La variation du param tre de contr le sera responsable partir d une valeur critique Re de la transition d un tat un autre qualitativement diff rent la transition s accompagne d une brisure de sym trie Pour cela il faut que deux forces antagonistes au moins soient en co
7. 0 865 2 6 3 R gime turbulent aux grands nombres de Reynolds Dans la limite des grands nombres de Reynolds la loi de Nikuradse reste valable Cependant des consid rations th oriques ont permis de proposer une solution asymptotique pour Re oo sans toutefois n gliger les termes de viscosit au voisinage de la paroi L exp rience montre qu elles sont acceptables d s que Re gt 150 Les calculs th oriques n ont pourtant pas encore permis de d terminer les divers coefficients qui interviennent dans cette solution asymptotique ni ses zones de validit Les valeurs donn es sont ainsi d origine exp rimentale Le profil transverse de vitesse est alors suppos se d composer en trois r gions Figure 2 2 1 La sous couche visqueuse loi lin aire Au contact imm diat de la paroi se d veloppe une sous couche visqueuse laminaire d paisseur 7 5ro 2 2 220 Dans cette zone la loi de vitesse est lin aire TO 0 2 21 Ur CHAPITRE 2 COULEMENT TURBULENT 16 V u Y NE E esa gt FIG 2 2 Profil moyen de vitesse dans la conduite en r gime turbulent 2 Zone interm diaire loi logarithmique Cette zone est approximativement d finie sur l intervalle 0 Re qui suppose d embl e Re gt 150 Dans cette zone des consid rations semi th oriques ont permis d tablir pour le p
8. 2 2 Frott m nts VISQueux nt 12 2 3 Description de l installation 12 2 4 Mode Op TAOI s p a E RA Lau amp S da ane 13 2 5 Analyse des T sultats pus mn uu ben SO Rt Brand ve 13 2 5 1 Frottement pari tal 13 2 5 2 Profil d vitesseradial 2 14 25 3 tude du r gime turbulent 14 2 6 Annexe th orique NR gun 15 2 6 1 Lois en r gime laminaire 15 2 6 2 R gime turbulent aux bas nombres de Reynolds 15 2 6 3 R gime turbulent aux grands nombres de Reynolds 15 2 7 Annexe tableau de r sultats 17 3 coulement autour d une aile 19 321 Objectif Ms 7 pit kU ia ee 19 3 2 Caract ristiques d une aile 19 3 37 Fore s tmoments seigi RUE Susa a W h babe be O 20 34 Coefficients a rodynamiques 22 3 5 D crochage de later state Ad T 23 36 Profil de l aile tudi e 23 3 7 Mode op ratoire et analyse des r sultats
9. corde en pied G la corde en bout d aile 5 la surface alaire 3 3 Forces et moments On d finit les efforts a rodynamiques suivant Figure 3 3 L la portance Mpa le moment de tangage de bord d attaque la force axiale N la force normale R la force r sultante v 3 3 Efforts a rodynamiques CHAPITRE 3 COULEMENT AUTOUR D UNE AILE 21 note p s la distribution surfacique de pression et 3 la distribution surfacique de frottement par contrainte de cisaillement visqueux sur l intrados indice et l extrados indice du profil Figure 3 4a v pi s b FIG 3 4 a Distribution de pression sur un profil b Distribution de pression sur l intrados et l extrados Examinons les efforts appliqu s sur un l ment de surface de l aile situ c t extrados puis c t intra dos Figure 3 4b Sur l extrados pour un l ment dse pe cos 0 ds Te sin 0 dse 3 1 pe sin dse cos dse 3 2 Sur l intrados pour un l ment ds dN pi cos 0 ds sin 0 ds 3 3 dA pi sin 0 ds Ti cos 9 ds 3 4 Les forces normale et axiale totales par unit d envergure s obtiennent en int grant les forces l mentaires c t extrados et intrados entre le bord d attaque et le bord de fuite BF BF N pe cos Te sin 0 dse f a pi cos 0 t sin 0 ds 3 5 BA BA BF BF A l pe sin Te
10. cos 0 dse p sin 0 7 cos 0 ds 3 6 BA BA On en d duit la portance L et la train e D L N cosa Asin a 3 7 D N sin a Acos a 3 8 Si l on d compose les forces normale et axiale en une partie provenant de la distribution de pression et une partie provenant de la distribution de frottement N N N 3 9 A A A 3 10 CHAPITRE 3 COULEMENT AUTOUR D UNE AILE 22 et identiquement pour la train e D D D 3 11 o D est la tra n e de pression et D la tra n e de frottement De m me que pour les efforts on peut calculer le moment de tangage au bord d attaque sur l extrados pour un l ment ds pe cos Te sin 0 z dse pe sin 0 cos 0 z dse 3 12 sur l intrados pour un l ment ds p cos sin 0 z ds p sin 0 cos 0 z ds 3 13 Le moment r sultant des efforts appliqu s sur le profil calcul au bord d attaque est alors BF MBA dMpa i 3 14 BA 3 4 Coefficients a rodynamiques Les diff rents coefficients a rodynamiques sont d finis partir de la pression dynamique 1 5 PUS 3 15 Les coefficients de pression et de frottement pari tal sont d finis en tout point de l aile le coefficient de pression au point j le coefficient de frottement Pour une aile compl te on d finit les coefficients par rapport la su
11. cylindrique lisse pour des conditions aux limites constantes impos es Reynolds a montr en 1883 qu il existe deux sortes de r gime suivant la valeur du nombre de Reynolds Re lt 2 1 v o U et D sont respectivement une vitesse et une dimension caract ristiques D 2ro est le diam tre du tube et v la viscosit cin matique du fluide Lorsque Re est petit l coulement est stationnaire et laminaire les lignes de courant sont des droites parall les l axe de la conduite Au contraire lorsque Re est grand l coulement est instationnaire et turbulent les lignes de courant voluent rapidement au cours du temps A l entr e de la conduite l coulement ne s tablit pas imm diatement Sur une certaine longueur L appel e longueur d entr e la r partition des vitesses dans une section droite d pend de la section 10 CHAPITRE 2 COULEMENT TURBULENT 11 consid r e le gradient dp dx n est pas encore constant La longueur d entr e d pend du r gime de l coulement laminaire ou turbulent et de Re 17 Annexe th orique rappelle les diff rents cas Au cours de cette tude on supposera l coulement de l air comme incompressible ce qui est raison nable tant que les vitesses d coulement sont n gligeables devant la vitesse du son dans le fluide 2 2 1 D bit On d compose le champ de vitesse V en une composante moyenne et un champ fluctuant instantan de moyenne nulle Dans un rep re cart sien x
12. da Lo cos 0 18 L expression A 1 devient alors 1 s Litn Ebon D Va X DAL A 4 Lorsque M parcourt la courbe ferm e C puisque A fait un aller retour da 0 dB 0 A 5 D autre part comme sin a 5 est une fonction partout d finie dans le domaine d limit sur un tour complet dsin a 8 0 A 6 et donc dcos a 8 da dcos a dB de sorte que finalement i i 5 Lila cos a da A 8 Dans ce cas si le compteur marquait O au d part il convient de soustraire 10 au r sultat ou plus simplement de parcourir le contour en sens inverse ANNEXE A PLANIM TRE ET CALCUL DE SURFACES 29 Calculons maintenant le d placement enregistr par la roulette suppos e en Cette route enregistre la composante des d placements dans la direction Z perpendiculairement la direction de la tige AM Le d placement l mentaire de est dO L da A 9 cos Le vecteur unitaire ayant pour composantes _ p sin 8 Ga 10 il vient L dOA L cos a p da A 11 et finalement S A 12 A 12 En r alit pour des raisons techniques la roue n est pas exactement situ e en A mais l g rement d cal e On peut montrer que cela ne modifie le r sultat qu une constante de proportionnalit pr s La graduation indiqu e par le compteur est donc prop
13. fourche Dans le m me temps le temps caract ristique mis par la perturbation pour croitre est donn par la solution lin aire A t Age 7 avec et Ao l amplitude initiale la perturbation On voit donc qu au seuil lorsque gt 0 le temps caract ristique diverge c est le ralentissement critique On peut donc assimiler ici Re Re Re Physiquement la dynamique de la perturbation devient tr s lente m me temps que l amplitude devient tr s faible de sorte qu il est difficile exp rimentalement de mesurer directement le seuil de l instabilit En revanche 1 9 on voit qu au voisinage du seuil l amplitude volue e 2 Il suffit donc d extrapoler la courbe A2 R en 0 pour determiner la valeur critique Rec du param tre de contr le Asat 0 lorsque 0 c est dire R Re Le m me raisonnement peut tre conduit pour un mode d instabilit oscillant w Z 0 Dans ce cas l amplitude est complexe et l quation d enveloppe dite de Ginzburg Landau complexe s crit 22 irowo a ia A A 1 10 les diff rents param tres sont r els La transition de l tat 0 vers le nouvel tat A 2 est appel e bifurcation de Hopf 1 7 Bibliographie D J Tritton Physical Fluid Dynamics 2 4 edition 1988 Clarendon Press Oxford E Guyon J P Hulin L Petit Hydrodynamique Physique 2001 EDP Science
14. lev s viscosit de l air entraine le d collement de la couche limite c t extrados et l apparition d une zone de recirculation c t extrados c est dire un coulement localement contraire au sens de l coulement incident figure 8 Cet coulement engendre une surpression de c t extrados et par cons quent une perte de portance c est le d crochage de l aile s coulement attach aile portante coulement d coll d crochage de l aile FIG 3 6 coulement attach et d coll 3 6 Profil de l aile tudi e Le National Advisory Committee for Aeronautics NACA d veloppa partir des ann es 1930 plu sieurs s ries de profils tr s largement utilis s par la suite Dans le cadre de ce T P le profil d aile tudi est le NACA 23012 Figure 3 7 un profil de la s rie 5 chiffres Il est muni de 24 prises de pression statique num rot es de 1 12 c t extrados et de 13 24 c t intrados L aile a pour envergure b 291 mm et pour corde c 100 mm Les coordonn es de l ensemble de ces prises de pression sont donn es dans le tableau 3 1 D apr s les notations pr c dentes Cp est le coefficient de pression sur l extrados et Cp est le coeffi cient de pression sur l intrados De m me l on d signe par Cp le coefficient de pression sur la partie amont aux maxima d paisseur de l aile c t extrados et z c t intrados et Cp le coefficient de pression
15. 2 5 3 tude du r gime turbulent Sur un m me graphique repr senter cf Annexe th orique la courbe exp rimentale U r U en fonction de la loi parabolique de Poiseuille correspondant au r gime laminaire la loi de Nikuradse en r gime turbulent D terminer pour cela la valeur de l exposant n la mieux adapt e l coulement de la conduite Conclusion CHAPITRE 2 COULEMENT TURBULENT 15 2 6 Annexe th orique 2 6 1 Lois en r gime laminaire Lorsque l coulement est laminaire cf TP coulement laminaire du L3 de M canique Physique le profil de vitesse radial suit la loi parabolique de Poiseuille a 2 15 Um ro On montre aussi que le coefficient de perte de charge est donn par 64 A 2 16 Re 2 16 et la longueur d entr e si D 2ro par L p 0 03 Re 2 17 2 6 2 R gime turbulent aux bas nombres de Reynolds Lorsque l coulement est turbulent le profil de vitesse n est plus parabolique Nikuradse a propos comme loi empirique U r rN 1 2 18 a Z 2 18 Cette loi constitue une bonne approximation tant que ro r ro lt 0 9 Au del elle ne respecte pas la tangente horizontale n cessaire en r 0 De plus elle implique que vitesse moyenne d bitante et vitesse maximale sur sont li es par la relation Uq _ 2n Um n 1 n 1 GE On a par exemple 6 7 8 9 10 Us Um 0 791 0 817 0 837 0 852
16. Master M1 M canique Physique Universit Paris 11 P MEC 407A TEXTES DES TRAVAUX PRATIQUES EXPERIMENTAUX 1 Universalleonardo Ann e Universitaire 2007 2008 Table des mati res 1 Instabilit de Couette Taylor 4 25 Sahaya a kaa Pb ar qk ed Dial as 4 1 2 L coulement de Couette Taylor 4 1 3 Stabilit de l coulement de base et bifurcations 5 14 r Mode op ratoire x C i aaa Cha GG E E Dre NS D S 6 14 1 Dispositif exp rimental 6 1 4 2 Acquisition et traitement des images 6 15 Analyse des r sultats 4 248 Babe ou w h p bi it 7 15 1 talonnage du moteur 7 1 5 2 tude de l instabilit primaire 7 1 5 3 tude de l instabilit secondaire 8 1 67 Annexe th orique one ds de Ml ee BALAI r Cb hsna 9 8 E7 Bibliographie mas R RO SSS ed Res ea 9 2 coulement turbulent 10 2112 Objectif no daiane ae S 10 2 2 L coulementenconduitecylindrique 10 224 D bit D EE D 11 2
17. application num rique V rifier que ces expressions litt rales sont homog nes la grandeur physique recherch e avant de faire l application num rique On vitera galement d crire toutes les d cimales d un r sultat le nombre de d cimales doit tre repr sentatif de la pr cision des mesures un nombre de Reynolds de 132 23411165 n a pas beaucoup de sens on crira plut t Re 132 B 5 Commentaires faut tre pr cis dans l emploi du vocabulaire et utiliser toujours le m me terme pour la m me gran deur physique m me si cela provoque des r p titions Le texte du compte rendu doit comporter le d veloppement des calculs et les r sultats num riques qui sont demand s dans l nonc du TP Chaque figure doit faire l objet d un commentaire qui doit commencer par le descriptif des axes et des courbes Par exemple La figure 3 repr sente l volution de la vitesse axiale en fonction de la direction radiale pour trois d bits diff rents On fera galement la discussion des carts qui peuvent appara tre dans la comparaison entre les me sures et la th orie Les r ponses aux questions qui sont pos es par le charg de TP feront l objet d un commentaire crit Par contre il est inutile de recopier l ensemble du texte ou des quations de l nonc Si l quivalent fran ais existe s abstiendra d utiliser des termes anglo saxons tels que shift gap fit lorsque des quivalents fran ais existent A moi
18. bilit produisant des cellules de Taylor peut se comprendre en consid rant un l ment de fluide toro dal c est dire le fluide compris entre r et r dr et entre z et z dz consid rant toutes les valeurs azimutales 0 Supposons que la particule fluide soit l g rement d plac e dans la direction radiale de r r dr Puisque dans ce cas elle tourne plus rapidement que son environnement le gradient de pression radial associ l coulement de base ne sera pas suffisant pour compenser la force centrifuge induite par ce d placement La particule fluide va alors s carter un peu plus encore de sa position initiale Inversement une particule fluide d plac e vers un rayon l g rement inf rieur tendra se d placer plus encore vers le cylindre int rieur instabilit centrifuge La viscosit en retour aura tendance s opposer au mouvement de la particule fluide et donc restabiliser l coulement Il existe ainsi une comp tition centrifuge viscosit responsable de l existence d une valeur seuil de l instabilit Pour comparer les deux effets centrifuge et visqueux on construit un nombre de Reynolds bas sur la distance inter cylindres Re QRi Re 1 3 u Dans le cas o l cart Ro R entre les deux cylindres est tr s petit devant R1 l tude de stabilit lin aire de l tat de base donne pour valeur du nombre de Reynolds critique pour Q Qe cf Annexe th orique Ri Re 41 184
19. cam ra CCD et un ordinateur Mac G4 quip d une carte d acqui sition d images et d un logiciel de traitement d images du domaine public ImageJ Le logiciel permet de faire des captures d images desquelles il est possible d extraire des profils d intensit suivant une ligne spatiale permet galement de construire des diagrammes spatio temporels il s agit de s lectionner une ligne sur l image traversant le plus grand nombre de rouleaux possibles et de suivre l volution de cette ligne en fonction du temps L axe horizontal de l image produite repr sente alors la ligne d espace l axe vertical le temps Les niveaux de gris codent l intensit sur la ligne d espace CHAPITRE 1 INSTABILIT DE COUETTE TAYLOR T Viscosity of Aqueous Glycerine Solutions in Centipoises mPa s Temperatur e C Glycerine percent weight 0 k 8 1 005 0 8007 0 6560 0 5494 04688 0 4061 0 3565 10 2 k 1 31 1 03 0 826 0 680 0 575 0 500 20 2 107 0 731 0 635 30 v 146 0 956 0 816 40 L 2 07 1 30 1 09 3 10 1 86 153 5 08 2 85 2 29 6 80 3 66 2 91 7 73 4 09 3 23 9 40 4 86 3 78 13 6 6 61 5 01 20 8 9 42 6 94 33 5 14 2 100 60 0 22 5 15 5 68 1 25 1 17 1 78 3 28 0 19 0 89 316 212 106 354 236 121 39 9 264 142 454 297 166 51 9 336 1 59 8 385 235 69 1 43 6 284 81 3 506 AViscosity of water taken from Properties of Ordinary Water Substance N E D
20. de l aile On s attachera d crire l volution de ces deux forces en fonction de l angle d attaque du fluide sur l aile 3 2 Caract ristiques d une aile Le profil d une aile d avion est con u de telle sorte que l coulement d air autour de l aile engendre une force de portance verticale et dirig e vers le haut qui compense le poids de l avion lui permettant ainsi de voler Cette force est engendr e par la diff rence de pression qui s tablit entre les deux parois de l aile Figure 3 1 Dans tout ce qui suit le rep re x y z est le rep re cart sien attach l aile extrados p TT v 2 PES Less gt id phare V xs p intrados FIG 3 1 Distribution de pression et de vitesse autour d une aile On d finit pour un profil d aile dans le plan z z les grandeurs suivantes Figure 3 2a c la corde 19 CHAPITRE 3 COULEMENT AUTOUR D UNE AILE 20 e l paisseur z la ligne de cambrure moyenne ou squelette U la vitesse l infini amont a l angle d incidence s l abscisse curviligne Z x ligne de cambrure moyenne bord d attaque kz gt EASE K x gt de fuite C U cos lt amp gt U b FIG 3 2 a D finition d un profil b D finition d un profil De m me pour l aile vue de dessus dans le plan x y on d finit Figure 3 2b b l envergure cr la
21. e est plac e dans une soufflerie Deltalab dont la vitesse d aspiration peut varier de 0 40 m s s lectionnera sur le bo tier de commande la vitesse num rot e 6 la gamme recouvre des valeurs allant de CHAPITRE 3 COULEMENT AUTOUR D UNE AILE 25 1 10 La soufflerie est quip e d un tube Pitot dont la position verticale peut tre modifi e Chacun des 24 capteurs de pression r partis sur l aile est reli un bo tier affichage num rique Furness Controls Limited permettant une lecture directe de la pression pari tale mesur e en mm d eau en diff rents points du profil 1 Rappeler que sont les pressions totale Pr et statique Ps mesur e par le tube de Pitot Quelle valeur s attend on mesurer pour la pression totale Expliquer pourquoi la pression effectivement mesur e Pr sur la voie 20 est l g rement n gative Justifier que la pression statique Ps doit tre tr s sensiblement inf rieure la pression totale Pr Est ce effectivement le cas Ps sur la voie 20 De la mesure de Pr et Ps d duire la vitesse de l coulement incident U l aide du tube de Pitot plac en dehors du sillage de l aile 2 Pour le profil 23012 muni des prises de pression et pour les valeurs 5 2 2 5 8 12 16 20 de l angle d incidence a Relever les pressions en mm d eau pour chacune des prises situ es sur l aile et calculer en chaque point le coefficie
22. e induit sur les parois de la conduite une contrainte pari tale responsable d une perte de charge pi sur la distance x Pi Ps To 1 2 9 Tp Ti Tf 2 A partir de la contrainte pari tale on d finit les grandeurs suivantes La vitesse de frottement en 2 10 Pair Le nombre de Reynolds de frottement P V 2 11 v Le coefficient de frottement Tp M gt gt 2 12 Pair U2 2 6 Le coefficient perte charge A 4f 2 13 2 3 Description de l installation Le dispositif exp rimental sch matis sur la Figure 2 1 permet l tude d un coulement d air en r gime turbulent dans une conduite cylindrique lisse de diam tre D 2ro jusqu des nombres de Reynolds voisins de 200 000 On tudiera ici la r partition des pressions le long du tuyau et la distribution des vitesses dans une section transverse l coulement tabli Diffuseur Bride en plexiglass Convergent Manom t re diff rentiel Multi FIG 2 1 Sch ma de principe de la conduite L installation comprend un tube lisse en laiton tir de longueur 6 45 m de diam tre D 79 2 mm perc de 14 prises de pression statique r parties de la fa on suivante CHAPITRE 2 COULEMENT TURBULENT 13 n 1 2 31415160178 9 10 11 12 13 14 x cm 2 54 5 5 10 20 30 50 70 90 110 210 310 410 510 613
23. esure une aire alg brique Par exemple l aire trouv e pour un 8 parfait sera z ro L aire sera trouv e positive si C est parcouru dans le sens des aiguilles d une montre n gative dans l autre sens L aire est mesur e dans une unit arbitraire Pour conna tre la valeur r elle de l aire mesur e il est donc n cessaire de pr alablement calibrer l appareil Pour cela on parcoure le contour d une aire de r f rence par exemple un carr de c t 1 Un rapport de proportionnalit permet alors de conna tre l aire inconnue dans les unit s du probl me On peut avoir une id e de l erreur commise sur le calcul de l aire par cette m thode en r p tant plusieurs fois la mesure A 3 Comment a marche Le principe de l appareil repose sur celui des int grales curvilignes Au cours du d placement de M o et 5 varient et le point A d crit un arc de cercle Le point O doit ainsi tre plac l ext rieur de la courbe C afin que ne d crive pas un cercle complet mais un aller retour sur le m me arc de cercle Dans le r f rentiel orthonorm Oxy de la figure si z et y sont les coordonn es variables du point M on a pour l aire S 1 s f sdy vae y A 1 2 Je o C est orient dans le sens trigonom trique Les coordonn es du point M sont donn es par x L cosa cos y 8 2 Par diff renciation on obtient dx Lisina da Losin 0 48 A 3 dy Licosa
24. f exp rimental Le dispositif exp rimental est form de deux cylindres concentriques de rayons respectifs R 32 25 0 04 mm Rz 35 05 0 04 mm La rotation du cylindre int rieur est assur e par un moteur courant continu La tension aux bornes du moteur est d livr e par une alimentation courant stabilis A chaque vitesse de rotation correspond une tension bien d finie que vous pouvez contr ler l aide du voltm tre connect sur le moteur Le liquide qui remplit l espace libre entre les deux cylindres est compos d un m lange de glyc rol d eau et de quelques gouttes de Kalliroscope Ce dernier est constitu d eau et d cailles organiques qui refl tent la lumi re et permettent d observer les structures dans l coulement les mol cules assimilable des plaquettes s alignent parall lement au champ de vitesse Leur orientation par rapport l observa teur modifie l intensit de la lumi re diffus e le contraste optique r v le donc les zones cisaill es de l coulement Le Kalliroscope modifie tr s peu la viscosit du m lange En revanche celle ci d pend tr s sensiblement de la temp rature Le tableau de la Figure 1 2 vous permet de d terminer la viscosit du fluide que vous utiliserez durant votre travail Afin de rendre le m lange homog ne d saccoupler les deux cylindres de leur base et secouer le m lange 1 4 2 Acquisition et traitement des images Vous avez votre disposition une
25. ion atmosph riques 2 En d duire la masse volumique pair de l air dans les conditions du jour On rappelle que po 1 293 kg pour l air dans les conditions normales 273 15 K 101325 Pa Dans les autres cas une correction pourra tre n cessaire En assimilant l air un gaz parfait on a alors pV nRT soit Pair PT p PT On rappelle que 101325 Pa correspondent une colonne de 760 mm de mercure 3 Estimer la viscosit cin matique de l air en vous basant sur le tableau suivant TCC 20 40 Vair X10 9m2 s71 13 2 15 0 170 4 Mise fonctionnement l installation Suivre les instructions plac es sur la commande du moteur 5 Mesures de pression pari tale relever les hauteurs h de colonne d eau pour les 14 prises de pression statique 6 Distribution radiale de vitesse Mesurer la vitesse en fonction de la position dans le tube en d pla ant progressivement le tube de Pitot l aide du vernier et en relevant pour chaque position la diff rence Ah y en hauteur de colonne d eau entre les prises de pression totale et statique Il est n cessaire de faire une trentaine de mesures en serrant plus les points pr s de la paroi par exemple tous les 0 5 mm pr s de la paroi puis tous les 1 mm puis tous les 2 mm pr s du centre 7 la fin des mesures arr ter le moteur selon les instructions plac es sur la commande du moteur 2 5 Analyse des
26. ique de l air x 10 8m2 s 15 C 15 0 20 C 15 6 23 C 15 7 Masse volumique peau de l eau pure kg m 3 3 8 C 1000 5 C 999 99 10 C 999 73 15 C 999 13 18 C 998 62 20 C 998 23 25 997 07 30 C 995 67 Variation axiale de pression n 1 2 314151617 8 9 10 11 12 13 14 x 2 54 5 5 10 20 30 50 70 90 110 210 310 410 510 613 hn CHAPITRE 2 COULEMENT TURBULENT Profil radial de vitesse y mm Ah mm U m s mm mm2 us y ro ro r ro Re ro Chapitre 3 Ecoulement autour d une aile Sommaire Objectif y Sir anse SD SSS pig wS a 19 3 2 Caract ristiques d une aile 19 3 3 Forces et moments 20 3 4 Coefficients a rodynamiques 22 3 5 D crochage de 23 3 6 Profil de l aile tudi e 23 3 7 Mode op ratoire et analyse des r sultats 24 3 8 Bibliographie u y lara W 25 3 1 Objectif L objectif de TP est de d terminer la portance et la tra n e d une aile d avion partir de mesures de pression en diff rents points
27. mentant encore l g rement R le mode est lin airement amplifi En liminant dans N les termes non lin aires r sonants avec le mode lin airement instable on aboutit l ordre non lin aire le plus bas en A une quation d amplitude dite de Ginzburg Landau To gr 1 8 o et d pendent du d tail de l exp rience et ventuellement du mode consid r La forme de l quation d amplitude respecte les sym tries de la nouvelle structure Sont ainsi absents les termes en afin d as surer l invariance de la dynamique par le changement Lorsque gt 0 les non lin arit s saturent le d veloppement de l instabilit lin aire et la transition est super critique absence d hyst r sis En re vanche si lt 0 le terme en renforce l instabilit lin aire et il faut aller chercher la saturation l ordre sup rieur en l occurrence en A Lorsque lt 0 le terme lin aire conduit d j un amortissement de la perturbation dans ce cas la solution 0 perturbation nulle est stable Lorsque gt 0 la perturbation R 1 6 CHAPITRE 1 INSTABILIT DE COUETTE TAYLOR 9 se d veloppe jusqu ce que le taux de croissance effectif A s annule qui se produit lorsque l amplitude de la perturbation atteint l une des deux valeurs Z E 1 9 x C est la saturation non lin aire Une telle bifurcation est dite bifurcation
28. mp tition lorsque la premi re pr domine l tat de base est stable lorsque la seconde pr domine l tat de base se d stabilise au profit du nouvel tat En faisant varier R on joue sur le rapport relatif entre ces deux forces On note U x t la solution de base laquelle on superpose une petite perturbation x t et l on teste le comportement de la solution U x t U x t x t dans l quation 1 6 Pour cela lin arise l quation vis vis de autour de la solution de base U ce qui conduit une quation du type D L NQ 1 7 t o L est un op rateur lin aire repr sent par une matrice et N un vecteur regroupant tous les termes non lin aires en Pour certaines valeurs du couple w k l op rateur L contient des valeurs propres positives cela signifie que le taux de croissance du mode w k consid r est positive et donc que l am plitude de la perturbation croit exponentiellement au cours du temps instabilit lin aire Si en revanche les valeurs propres de L sont n gatives pour tout mode w k alors toutes les perturbations sont amorties et l tat de base U est stable Pla ons nous dans le cas o l un des modes we a un taux de croissance nul stabilit marginale tous les autres modes tant amortis On est alors au seuil l instabilit Dans la suite on supposera que la bifurcation m ne vers un tat stationnaire et donc que w 0 En aug
29. ns de d cider de r diger le rapport enti rement en anglais qui peut tre un exercice tr s b n fique on s abstiendra dans ce cas d y m langer une terminologie fran aise B 6 Conclusion La conclusion d une dizaine de lignes au maximum a pour but de faire la synth se de fa on concise des principaux r sultats obtenus au cours du TP Les probl mes qui ont t rencontr s en cours de manipulation peuvent tre mentionn s ce niveau Enfin on voquera en une phrase les perspectives ou les applications g n rales du TP Leurs quivalents fran ais tant d placement cart ajustement
30. nt de pression Cy hr et hs tant respectivement les pressions totale et statique relev es au Pitot exprim es en mm d eau p _ h ho hr hs b Reporter sur une courbe les diff rents Cp obtenus en fonction de x c et sur une autre courbe en fonction de z c Relier les points afin d obtenir des courbes ferm es semblables celles sch matis es sur la Figure 3 9 On parcourra la courbe des points 13 24 puis 12 1 Indiquer le sens de parcours sur la courbe 3 21 train e portance Cp 3 9 Courbes C x c et 2 dont les aires correspondent Cy et CA c Placer sur la courbe x c les points B de l aile comme indiqu s sur la Figure 3 10 et sur la courbe C 2 c les points E et T d En n gligeant les effets du frottement visqueux int grer soit l aide du planim tre soit en comptant les carreaux sur du papier millim tr la courbe C z c pour obtenir CA et la courbe 2 pour obtenir En d duire en fonction de l angle d incidence a les valeurs des coefficients de portance de tra n e Cp 3 Discuter de l volution des coefficients de portance et de tra n e Cp en fonction de l angle d incidence a 4 Tracer la polaire de l aile et commenter les r sultats 3 8 Bibliographie T M Faure A rodynamique appliqu e Editions Dunod E A Brun A Martinot Lagarde J Mathie
31. orsey 184 New York 1940 FIG 1 2 Viscosit dynamique du m lange eau glyc rol en fonction de la fraction de glyc rol colonne de gauche et de la temp rature ligne du haut N B Les unit s de mesure sont des centipoises CGS ou des mPa s SI 1 mPa 5 107 5 1 5 Analyse des r sultats 1 5 1 talonnage du moteur Tracer la courbe en augmentant lentement la tension V aux bornes du moteur puis en diminuant la tension Discuter les ventuelles discontinuit s de pente observ es sur la courbe Pouvez vous en d duire une estimation des seuils de bifurcation 1 5 2 tude de l instabilit primaire 1 D terminer l oeil le seuil de l instabilit Recommencer plusieurs fois par des rampes ascendantes puis descendantes de tension autour de la valeur critique Trouvez vous une valeur identique de la tension seuil selon que vous augmentez ou diminuez la tension En d duire le Reynolds critique Rec Comparer la valeur trouv e la valeur th orique 2 En augmentant la tension V aux bornes du moteur d terminer comment varie le contraste optique A ainsi que la longueur d onde de la structure torique Tracer la courbe En d duire la valeur critique Re par extrapolation de la valeur de Re lorsque 0 cf Annexe th orique et la comparer celle obtenue l oeil Conclure 3 Comparer R2 Conclure CHAPITRE 1 INSTABILIT DE COUETTE TAYLOR 8 1 5 3
32. ortionnelle et donc l aire 5 A 4 Bibliographie J Bass de Math matiques Tome paragraphe 24 19 Annexe B Conseils pour la r daction Sommaire B 1 Objectif R A Star 30 B 2 Introduction ANO d qe S sz ete EE Sens 30 B 3 Figures et tableaux 30 4 Calculs NS PANNE Bite ee e ias 31 B 5 Commentaires as OT B ET EI PR 31 B 6 Conclusion ER 31 1 Objectif L objectif du compte rendu est permettre un seul tudiant refaire l ensemble du avec l aide de l nonc en 2 heures au lieu de 4 heures Pour cela une r daction claire est n cessaire est inutile de recopier le texte ou les sch mas de l nonc B 2 Introduction L introduction d une dizaine de lignes au maximum doit exposer de fa on g n rale le cadre du TP Elle ne doit pas reprendre l introduction de l nonc mais replacer le sujet dans le contexte du cours Cette partie du compte rendu doit galement mettre en vidence les objectifs des manipulations et les diff rentes tapes pour y parvenir B 3 Figures et tableaux Les figures doivent pr senter les r sultats des mesures Il est toujours pr f rable de tracer une courbe plut t que de se contenter d un tableau de valeur
33. r sultats 2 51 Frottement pari tal 1 Tracer la courbe h en fonction de x 2 En d duire la longueur d entr e L Comparer la valeur exp rimentale avec les valeurs th oriques donn es en Annexe th orique pour les r gimes laminaire et turbulent Conclusion CHAPITRE 2 COULEMENT TURBULENT 14 3 Calculer la valeur la contrainte pari tale 7 moyenne sur tout le tube En d duire les valeurs de la vitesse de frottement u et du nombre de Reynolds de frottement puis la valeur de la force de frottement F exerc e par le fluide sur la longueur du tube 2 5 2 Profil de vitesse radial La pression statique et pair tant constants dans une section droite justifier dans quelle mesure on peut crire TT _ Pm U 2g Ah 2 14 Pair O Pm 998 le fluide manom trique est de l eau 1 Tracer la courbe U en fonction de r Que vaut Um 2 Tracer la courbe U en fonction de r 3 Int grer cette derni re pour obtenir la vitesse moyenne d bitante de l coulement Ug En d duire le d bit volumique moyen q et le nombre de Reynolds Re associ l coulement 4 Calculer le nombre de Mach Ma V rifier la validit de l hypoth se d incompressibilit l air 5 Calculer la valeur des coefficients de frottement f et de perte de charge Comparer la valeur de celles d duites des diff rentes formules empirique ou th orique de Blasius et Prandtl Karman cf Annexe th orique
34. rface de l aile le coefficient d effort axial C 4 4 le coefficient d effort normal le coefficient de portance le coefficient de tra n e Cp 225 MBA le coefficient de moment C Fa Se On peut alors d finir la polaire de l aile par la courbe f Cp Gustave Eiffel a ainsi nomm cette courbe Figure 3 5 car si l on adopte la m me chelle sur les deux axes un point M de la courbe repr sente en amplitude le coefficient de la r sultante a rodynamique et en angle coordonn es polaires l angle form entre cette r sultante et la vitesse de l coulement incident La finesse f d un profil ou d une aile est le rapport entre le coefficient de portance et le coefficient de train e L CL f D 3 16 La finesse est fonction de la forme du profil ou de l aile mais galement de l angle d incidence Pour une aile d avion elle est de l ordre de 25 et atteint 50 pour une aile de planeur La finesse f correspond aussi au rapport entre la distance parcourue horizontalement et la distance parcourue verticalement pour un vol plan sans vent ext rieur CHAPITRE 3 COULEMENT AUTOUR D UNE AILE 23 VC C C arctan P Cp FIG 3 5 Polaire d une aile 3 5 D crochage de l aile Pour des angles d incidence o inf rieurs environ 15 l coulement reste attach sur l aile Par contre pour des angles plus
35. rofil radial de vitesse UT 5 651 ee 5 6 2 22 u To T Entre les zones 1 et 2 7 5 lt ro r ro lt 30 existe une zone de transition mal connue 3 Zone centrale loi parabolique La derni re zone est d finie sur l intervalle restant 0 2 lt r ro lt 1 Dans cette zone la communaut s accorde sur une loi parabolique du type F 2 X z 2 23 Ur 0 Moyennant quelques approximations on peut tablir pour Re grand une relation entre la vitesse d bitante moyenne et la vitesse maximum sur l axe U Um 4 Mur 2 24 Suivant le profil de vitesse choisi il existe plusieurs formules donnant le coefficient de perte de charge Formule exp rimentale de Blasius 0 3164 Re 1 4 si Re lt 105 2 25 Formule de Prandtl Karman d duite des lois logarithmiques 1 VA Le calcul de connaissant Re se fait alors par it rations successives en prenant pour valeur initiale 0 02 ordre de grandeur classiquement rencontr 2VAIn Re 0 8 2 26 1 2 An_11ln Re 0 8 2 27 Enfin la longueur d entr e se comporte en r gime turbulent comme L 5 0 8 2 28 CHAPITRE 2 COULEMENT TURBULENT 2 7 Annexe tableau de r sultats Pression atmosph rique mm de mercure P Pa Temp rature ambiante To RE Masse volumique pair de p 3 Viscosit cin mat
36. s qui ne permet pas une bonne interpr tation des r sultats N anmoins les tableaux doivent tre joints au compte rendu pour permettre une v rification des valeurs La premi re ligne du tableau comporte les grandeurs mesur es la seconde ligne les unit s Chaque tableau doit avoir un titre global et un num ro Par ailleurs quand une comparaison entre plusieurs s ries de mesures ou une comparaison entre des mesures et une th orie vous est demand e il faut tracer l ensemble des r sultats sur une m me figure Le choix des chelles doit tre dict par une r gle de simplicit utiliser des graduations r guli res multiples de 2 ou de 5 lorsque vous employez une chelle lin aire De m me lorsqu une courbe est trac e la main il faut choisir un multiple de 2 ou de 5 carreaux Par exemple pour repr senter des vitesses on peut prendre 2 carreaux pour 10 m s ou 5 carreaux pour 10 m s mais viter 3 carreaux pour 10 m s Chaque figure doit poss der un titre global et un num ro Les titres des axes des abscisses et des ordonn es doivent figurer et donner la grandeur repr sent e par exemple la vitesse V ainsi 30 ANNEXE B CONSEILS POUR LA R DACTION 31 que son unit par exemple m s Si la grandeur est sans dimension il convient de le pr ciser Lorsque plusieurs trac s sont report s sur la m me figure une l gende doit identifier les diff rentes courbes par des symboles traits ou couleurs diff rents Les point
37. s CNRS Editions P Berg Y Pomeau Vidal L Ordre dans le Chaos 1984 Hermann Ed Chapitre 2 coulement turbulent Sommaire ZT Objectif cu a OR eee b u pu SSS 10 2 2 L coulement en conduite cylindrique 10 2 211 AD BH h Mc d T Nero TAT D NAY DA 11 2 2 27 Frottements VISQUEUX 2 us ele Causa 12 2 3 Descriptiondelinstallation 12 2 4 Mode op ratoire 13 2 5 Analyse des r sultats 13 2 51 Frott ment parietal Bee ea S sa 13 2 5 2 Profil de vitesse radial 14 2 5 3 tude du r gime turbulent 14 2 6 Annexe th orique 15 2 6 1 Lois en r gime laminaire 15 2 6 2 R gime turbulent aux bas nombres de Reynolds 15 2 6 3 R gime turbulent aux grands nombres de Reynolds 15 2 7 Annexe tableau de r sultats 17 2 1 Objectif L objectif de ce TP est de caract riser la turbulence d un coulement en conduite cylindrique 2 2 L coulement en conduite cylindrique Lors de l coulement d un fluide dans une conduite
38. s de mesures seront repr sent s sous la forme de symboles points croix carr s losanges tandis que les volutions th oriques ou les r sultats de calculs seront repr sent s par des lignes continues traits pointill s ne faut pas h siter employer des couleurs pour distinguer les diff rentes courbes Les erreurs de mesures seront report es sous la forme de barres d erreur sur les points de mesure Si l erreur est constante pour tous les points elle peut tre donn e uniquement dans le titre de la figure B 4 Calculs Une calculatrice scientifique est souvent n cessaire pour r aliser les calculs pendant une s ance de TP N anmoins il est recommand de regrouper autant que possible les diff rents termes num riques d une expression puis de les simplifier avant de faire le calcul num rique Par exemple UD _ 12 3 2 2x 107 _ 12 3 2 2 41 22 15 x 10 6 15 1072 108 104 On gagne toujours exclure du calcul num rique le produit des puissances de 10 Leur produit peut en effet tre fait simplement la main alors qu il est fr quemment l origine d erreurs de manipulation sur une calculatrice Pour viter un certain nombre d erreurs dans les conversions d unit il est fortement conseill d effectuer les applications num riques en utilisant des unit s SI On fera galement attention lorsqu un d veloppement analytique est demand bien distinguer l expression litt rale de l
39. sur la partie aval aux maxima d paisseur de l aile figure 10 Si l on n glige l effet du frottement connaissant la distribution du coefficient de pression Cp sur le profil on obtient alors les coefficients d effort axial et d effort normale CHAPITRE 3 COULEMENT AUTOUR D UNE AILE 24 IZA 2 3 4 151611778 x o 2 22 FIG 3 7 Profil 23012 n prise 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 x mm 22 31 6 2 83 15 5 20 1 26 7 33 0 43 1 53 0 68 1 84 1 z mm 3 4 40 53 60 71 75 77 7 7 71 63 47 2 7 n prise 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 x mm 10 2 8 5 8 7 7 14 7 196 26 3 32 6 42 7 52 6 67 7 83 7 z mm 1 0 1 7 2 3 2 5 3 3 3 8 4 3 4 4 4 3 4 1 3 2 1 9 TAB 3 1 Coordonn es des prises de pressions du profil NACA 23012 1 1 CN Co w c d x c f Cp d x c 3 17 0 0 z2 c z2 c GE n 06 9 4 0 3 18 Z1 C Z1 C Et l expression des coefficients de portance et de tra n e CN cos a Ca sin a 3 19 CN sino CA cos a 3 20 Z A 0 x LH 2 FIG 3 8 Distribution de pression pour le calcul des coefficients de portance et de tra n e 3 7 Mode op ratoire et analyse des r sultats L ail
40. u M canique des Fluides Editions Dunod CHAPITRE 3 COULEMENT AUTOUR D UNE AILE FIG 3 10 Points rep res de l aile 26 Annexe Planim tre et calcul de surfaces Sommaire Principe E MT M g SE 27 2 Mode d emploi 28 A 3 Comment a marche 28 Bibliographie US 29 A 1 Un planim tre est un appareil astucieux qui permet de mesurer l aire d une surface alg brique plane en Principe parcourant la courbe ferm e qui la limite FIG A 1 Sch ma de principe du planim tre S est la surface mesurer C le contour parcourir pour cela L appareil est sch matis sur la Figure A 1 O est un point fixe OA est une tige de longueur Li pouvant tourner librement dans le plan autour de AM est une tige de longueur constante Lo pouvant tourner librement dans le plan autour du point M est une loupe qui permet de suivre pr cis ment la courbe C Pr s de A solidaire du bras AM est plac une roue qui par frottement sur le papier enregistre les d placements perpendiculaires la direction AM Le d placement est enregistr par un compteur 10 tours 27 ANNEXE A PLANIM TRE ET CALCUL DE SURFACES 28 A 2 Mode d emploi L appareil m
41. y 2 _ avec U f U F t dt V t F t 2 2 W P u P t En principe l int gration doit se faire sur une dur e T infiniment longue En pratique on se contente d une dur e longue devant le temps caract ristique des fluctuations L coulement moyen dans la conduite tant axial il en r sulte que V W 0 Dans un syst me de coordonn es cylindriques r x la sym trie cylindrique impose U 7 U r x On supposera d autre part que le profil transverse de vitesse moyenne en r gime turbulent est ind pendant de x suffisamment loin de l entr e de la conduite U F U r On d finit alors les grandeurs suivantes La vitesse moyenne maximum Um atteinte sur l axe de sym trie de la conduite Um U r 0 2 3 Le d bit volumique moyen travers une section transverse de surface 5 d D r 45 2 4 5 La vitesse moyenne d bitante U 2 0 Z gt U r d r 2 5 i Le nombre de Reynolds Re de l coulement d fini sur le diam tre du tube 2roU Tie ee 2 6 v Le nombre de Mach U Ma 2 7 Cs o c est la vitesse du son dans l air L air tant consid r comme un gaz parfait diatomique cs 2 8 avec T la temp rature du milieu y Cp Cv 7 5 1 4 R 8 31 J mol Mair 29 x 1073 kg mol 1 CHAPITRE 2 COULEMENT TURBULENT 12 2 2 2 Frottements visqueux La viscosit du fluid

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