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THÈSE - autiwa

1. 1 3 2 Migration des plan tes massives type IT 1 3 3 L amortissement de l excentricit et de l inclinaison Load L ucer tu d EAZ session rara RER 1 3 5 R capitulatif des interactions dans le code N corps 2 Le Code N Corps 2 1 Pr sentation d Mercury lt 2 2 co 2 6 4 EUX a a ea 2 2 Algorithmes d int gration lt s s oko o x x x ee der 2 3 Mode d emploi du code N corps modifi 7 11 13 14 14 14 15 22 28 30 31 32 33 35 35 42 43 44 44 2 31 Note techaiqu c s e hsc x9 R e ES e X AR Ed 50 2 3 2 Param tres divers 2 44 rl ee d hou Bee P eg 51 2 3 3 Donsit de striate 5 pa d mb oro d EE E da RO EE 51 2 34 Irradiation de l toile centrale lt oc soci s xx 52 UE BU co 2 PLC cie a R d a que ss e its 53 236 CLIPS a d ok eee A EU EE toe PS 54 foot Wee 4465 64 EOS e ie bi ERAGE does 55 238 MISS uda ba A Re EAE XR e EG p n GARD 56 2A DIGUE TD cs smor a we Ex e S e BOR DE GU cl ee qs OK E 58 2 41 Profil de densit de surface sa oro PES ox pas 59 242 Table Opacl ex koc 64 eo R 70 mono REDS PEERS Es 59 283 Pro lde temperatis wok cda 30x Bow Gd X a OX SS 59 20 Migration typed s muso poi eder ome A 60 2 6 Amortissement deBgll 222 5 xA E REX X X eR OS 61 2 7 Effet de l excentricit sur le couple decorotation 61 2 8 D sactivation des effets du disque 2 2 61 2 9 Vali
2. 60 2 6 Amortissement deeet I 61 2 7 Effet de l excentricit sur le couple de corotation 61 45 46 2 8 D sactivation des effets du disque 2 9 Validit des l ments orbitaux CHAPITRE 2 LE CODE N CORPS 47 Afin d tudier la formation plan taire et les interactions avec le disque de gaz j ai utilis un code de simulation N corps qui permet de regarder l volution d un nombre arbitraire de corps orbitant autour d un astre central Chambers 1999 Ce choix est apparu naturellement Au d but de ma these j ai fait quelques simula tions hydrodynamiques avec le code Genesis d velopp par Arnaud Pierens J ai rapi dement constat que ce genre de simulations bien que mod lisant de mani re pouss e le disque ne permettait pas d tudier de mani re approfondie la dynamique plan taire Le temps de calcul n cessaire pour une simulation limite en effet grandement le nombre de corps ainsi que la dur e d int gration J ai donc souhait me tourner vers un code N corps afin de privil gier la dynamique plan taire et de modifier ce programme afin d y inclure les effets d un disque de gaz sur la dynamique plan taire J ai ainsi gagn en temps de calcul et j ai ouvert un vaste champ d investigation sur les param tres du disques le nombre de corps en interaction me permettant de faire des syst mes plan taires tr s divers parfois avoir plusieurs centaines d embryons pour p
3. 0 a E X LLI E j 2 fet i eee 9 ei Se eae EE oed TD d d 3 L 4e A A set sil 5 0 0 2 0 4 0 6 0 8 1 0 time million years FIGURE 2 1 volution de l erreur au cours du temps pour une simulation contenant trois pla n tes d une masse terrestre chacune cette simulation tant lanc e successivement avec chacun des algorithmes disponibles dans Mercury Les algorithmes symplectiques ont cependant un inconv nient Le pas de temps fixe d un int grateur symplectique ne permet pas de r soudre correctement les rencontres proches entre les corps du syst me Chaque fois que le pas de temps d un algorithme symplectique est chang son hamiltonien change aussi et entraine une variation d ner gie du syst me dont l nergie va osciller autour d une nouvelle valeur moyenne Nous cherchons maintenant d terminer l algorithme le plus appropri pour notre tude Nous souhaitons faire voluer un syst me avec plusieurs dizaines d embryons plan taire pour plusieurs millions d ann es le syst me n tant pas conservatif cause des divers effets du disque que nous impl mentons Nous souhaitons r soudre correctement les orbites mais avoir un temps de calcul raisonnable La premi re contrainte est la dissipation En effet notre syst me n est pas conservatif Tous les algorithmes N corps disponibles BS BS2 et RADAU ne fonctionnent donc pas correctement ces derniers r clament un pas de temps extr me
4. 35 1 3 1 Migration des plan tes de faible masse typeI 35 Couple du disque sur la plan te 35 Couple de Lindblad 44 4444 85465444 444 da 35 Couple co orbital ou de corotation 38 Mod lisation dans le code N corps 42 1 3 2 Migration des plan tes massives type ll 42 1 8 89 L amortissement de l excentricit et de l inclinaison 43 1 3 4 L accr tion du gaz e a acs d iada os o mr 44 1 3 5 R capitulatif des interactions dans le code N corps 44 13 14 1 1 FORMATION STELLATRE 1 1 Formation stellaire Les toiles se forment partir de l effondrement gravitationnel d un nuage de gaz Quand ce dernier est suffisamment massif masse au del d une masse critique dite masse de Jeans de l ordre de quelques masses solaires m me si ca d pend de la configuration 7 ee peu peu se fragmente en syst me d coupl s Au centre de chaque fragment se forme un c ur pr stellaire mesure que la temp rature et la pression augmente jusqu atteindre les conditions n cessaires l allumage de la fusion de l hydrog ne On obtient alors une proto toile appel e classe 0 Durant l effondrement du nuage la conservation du moment angulaire emp che la contraction du nuage en particulier dans le plan perpendiculaire l axe de rotation du nuage Ceci ajout la pression de radiation apparue depuis la formatio
5. FIGURE 1 5 volution de la densit de surface en fonction du temps dans une simulation qui mod lise la dissipation du disque protoplan taire par volution visqueuse et photo vaporation t 6 20 Myr le disque est totalement dissip Figure adapt e de Alexander et al 2006 Le principe de la photo vaporation est que le rayonnement de l toile permet de dissocier le dihydrog ne ainsi que de fournir de l nergie cin tique aux atomes du gaz partir d un rayon rg qui repr sente la distance partir de laquelle l nergie fournie par les photons de l toile devient suffisante pour contrebalancer les effets de sa gravit la photo vaporation permet d vaporer une partie du gaz superficiel du disque Le disque va alors se creuser jusqu s parer le disque en deux Les parties internes du disques ne sont alors plus aliment es par les parties externes Des simulations montrent que les parties externes se dispersent rapidement une fois les parties internes accr t es Alexander et al 2006 FIGURE 1 5 montre l volution du profil radial de densit en fonction du temps en pr sence de l volution visqueuse et de la photo vaporation 1 2 3 Profil de temp rature Du point de vue de la temp rature il y a principalement deux types de disques les disques actifs la source de temp rature est le disque lui m me qui par chauf fage visqueux frottements va convertir de l nergie gravitationnelle en chaleur C
6. R ARY vR R AR E R ARJO R AR Ot RPPog R E R O R v R ARPX R AR dQ dQ R AR v3 R R 777 cm On fait tendre AR vers 0 et de mani re similaire au bilan de masse obtenu pr c demment il vient alors A EE a dQ Z exo gt Renzo 5 ver B 1 BILAN DE MOMENT ANGULATRE 102 R et t sont des variables ind pendantes on peut donc sortir R de la d riv e partielle temporelle afin de faire appara tre une forme qui fait penser une quation de continuit Ben uos o 3 dQ LET RPEN R vpXYOQ gt HRE R et t tant des variables ind pendantes on peut crire o o o dQ RO ua Ea XR B R g ERD 5 oao 7 vert T Bs 00 ae ae On suppose que 0 vu que le potentiel gravitationnel est ind pendant du temps on ne consid re pas une masse variable de l toile due Paccr tion et sachant que R ne d pend pas explicitement de t en utilisant la formule Ouv Ou Ov dx On UR on peut crire 0 OX OR E R Q EQ LA B 9 Ot De m me i RurEO d RvgX R Q r B Or R d o R Q pp RURE REvR E RO B 10 En utilisant B 9 et B 10 dans B 8 on fait alors appara tre 1 17 page 19 ce qui donne oX o dQ 2 k Lr ra 2 pros ae 2 H 3 R mq a R Q 3 RURE REvn gt R Q 5 XR ac 0 dx 0 o o 2 PUT E 20 gt CM 3 d RQ R r UgM RXUR Ar mo XR 24 3 RXvg Br Br
7. G W Wetherill Formation of the earth Annual Review of Earth and Planetary Sciences 18 205 256 1990 doi 10 1146 annurev ea 18 050190 001225 J P Williams and L A Cieza Protoplanetary Disks and Their Evolution ARA amp A 49 67 117 September 2011 doi 10 1146 annurev astro 081710 102548 BIBLIOGRAPHIE 111 E Winston S T Megeath S J Wolk J Muzerolle R Gutermuth J L Hora L E Allen B Spitzbart P Myers and G G Fazio A Combined Spitzer and Chandra Survey of Young Stellar Objects in the Serpens Cloud Core ApJ 669 493 518 November 2007 doi 10 1086 521384 J Wisdom and M Holman Symplectic maps for the n body problem AJ 102 1528 1538 October 1991 doi 10 1086 115978 S J Wolk and F M Walter A Search for Protoplanetary Disks Around Naked T Tauri Stars AJ 111 2066 May 1996 doi 10 1086 117942 A Wolszczan and D A Frail A planetary system around the millisecond pulsar PSR1257 12 Nature 355 145 147 January 1992 doi 10 1038 355145a0 Z Zhu L Hartmann and C Gammie Nonsteady Accretion in Protostars ApJ 694 1045 1055 April 2009 doi 10 1088 0004 637X 694 2 1045
8. ce m canisme devrait tre moins efficace compte tenu du fait que dans de telles zones de convergence les embryons de masse diff rentes ne migrent pas la m me position dans le disque Dans de telles zones il pourrait tre beaucoup plus difficile de former les cha nes de r sonances essentielles pour notre m canisme Troisi mement alors que le disque se dissipe le profil de couple et la position des zones de convergences sont aussi alt r es Lyra et al 2010 Horn et al 2012 Enfin la turbulence est cens e tre commune dans les disques protoplan taires Ar mitage 2011 M me si la turbulence n affecte pas l volution long terme d une plan te isol e dans un disque radiatif Pierens et al 2012 on s attend ce qu elle modifie la capture en r sonance et l volution des excentricit s voir Pierens et al 2011 78 4 2 FORMATION DES SUPER TERRES CHAUDES 4 2 Formation des super Terres chaudes Les d tections d exoplan tes par vitesse radiale et transit montrent que 30 50 des toiles de la s quence principale poss dent au moins une plan te de moins de 10 Ma sur des orbites comprises entre 85 et 100 jours Mayor et al 2011 Howard et al 2010 Howard et al 2012 Fressin et al 2013 De plus les super Terres 1 10 M chaudes sont pr f rentiellement d tect es dans des syst mes multiples Udry and Santos 2007 Lissauer et al 2011 Pourtant m me si ces syst mes peuvent nous s
9. sur le couple de corotation Afin de tenir compte d un effet mis en vidence par Bitsch and Kley 2010 une petite modification a t effectu e dans le calcul du couple total I exerc par le disque sur la plan te En effet il a t montr que l excentricit d une plan te a une influence sur sa zone fer cheval et par extension sur son couple de corotation l c Un param tre d amortis sement D compris entre 0 et 1 a ainsi t ajout au calcul du couple total TET DT 2 9 o To 2 Xr Q et Tz est le couple de Lindblad La valeur du param tre d amortissement D est donn e par une formule qui a t calcul e pour coller au mieux aux simulations de Bitsch and Kley 2010 d taill e dans Cossou et al 2013 et recopi e ici P b D a l a anno tanh 0 2 10a a 045 b 346 c 2 34 2 10b ou x repr sente la demi largeur de la zone fer cheval divis e par le demi grand axe 2 8 D sactivation des effets du disque Quand une plan te sort des bornes du disques les effets d amortissement de e et 7 sont d sactiv s au m me titre que la migration d la pr sence du disque Ce cas sur vient rarement au bord externe du disque g n ralement 100 AU mais est beaucoup plus probable au bord interne g n ralement 0 1 AU 62 2 9 VALIDIT DES L MENTS ORBITAUX 2 9 Validit des l ments orbitaux Lorsque d une rencontre proche entre deux plan tes leurs int
10. 2008 Plus de d tails sur le mod le utilis sont disponibles 8 2 page 47 Le disque utilis poss de les param tres suivants b h 0 4 y 7 5 u 2 35 o 5 10 T 5700K R 4 65 10 AU Disk Albedo 0 5 X R 300 R g cm La migration d une plan te dans ce disque est repr sent e FIGURE 4 8 page suivante Ce graphique permet de visualiser les zones de stabilit s et l volution future d une plan te dans un disque en fonction de sa masse et de sa position initiale Quand le couple est positif la plan te migre vers l ext rieur vers la droite du graphique Quand le couple est n gatif la plan te migre vers l int rieur vers la gauche du graphique Au cours de sa migration si la plan te rencontre une ligne noire cela signifie qu elle s arr te la car le couple de migration est nul Cette lecture n est possible que pour des 1 voir A 1 page 97 pour la signification des symboles usuels 80 4 2 FORMATION DES SUPER TERRES CHAUDES plan tes isol es dont l excentricit est faible En effet les perturbations induites par d autres plan tes peuvent modifier l tat final pr dit par un tel diagramme de m me que l amortissement du couple de corotation par l excentricit d une plan te qui va lui totalement changer le couple de migration ressenti par la plan te Evolution of the total torque FT 40 1 35 30 25 0 20 15 3 10 5 2 246 8 101214 16 18 20 Semi major axis AU P
11. E 25 9 9 n Uu S 20 0 5 E 0 5 15 2 10 E 2 1 5 amp 1 5 2 2 10 12 14 16 18 20 5 10 15 20 25 30 Semi major axis AU Semi major axis AU a b h 0 5 b b h 0 76 pour T et 0 5 pour To FIGURE 4 16 Comparaison d un cas o la longueur de lissage est fix e b h 0 5 et d un autre cas o la longueur de lissage a t fix e 0 76 pour le couple de Lindblad et 0 5 pour le couple de Corotation correspondant aux valeurs conseill es pour les deux couples s par s Masset 2002 Pour plus de d tails sur les cartes de migration 8 3 2 3 page 65 Inclure des formules pour la migration de type I nous offre une libert suppl mentaire par rapport aux simulations hydrodynamique celle de fixer une longueur de lissage b h diff rente pour le couple de Lindblad et pour le couple de Corotation Suivant les prescriptions donn es par Masset 2002 j ai donc calcul la carte de migration d une simulation o je fixe une longueur de lissage b h 0 76 pour le couple de Lindblad et une longueur de lissage b h 0 5 pour le couple de Corotation J obtiens alors les cartes repr sent es FIGURE 4 16 toujours dans le cas du disque de r f rence mon cas moi J aimerais voir si elle saurait m expliquer pourquoi dans mon cas j ai une plan te et pas elle 4 3 8 Masse mol culaire moyenne La masse mol culaire moyenne u va varier dans le disque principalement cause de l vaporation de certaines esp ces chimi
12. Rayons cosmiques EM D croissance de AI a M canisme prin cipal d ionisation de diff rentes zones du disque Les zones o l ionisation est tr s faible appe l es dead zones sont des positions o on pense que la viscosit turbulente est extr mement faible z AU logso Cer Ls 11 15 1 20 0 25 011 2 3 4 5 6 7 8 9 10 r AU b Taux effectif d ioni sation esp par atome d hydrog ne pour un disque avec a 107 et M 1077 Moyr7 Les lignes de r f rence correspondent aux valeurs de Cog sui vante 10719 107 et 10723571 Cette figure est bas e sur la figure 6 de Tlgner and Nelson 2006 FIGURE 1 8 Repr sentation de l ionisation dans un disque protoplan taire On voit donc que les mod les de viscosit constante ou alpha sont incapables de rendre compte de la pr sence de ces zones de mani re intrins que Il est possible de modifier artificiellement les profils de viscosit pour faire appara tre de telles zones mais ca reste ad hoc Dans la suite je n ai pas mod lis de dead zone m me s il est probable qu elles aient un effet sur la migration le mod le sans dead zone n est encore pas suffi samment bien compris pour que le rajout de ces zones sans ionisations soit pertinent 1 2 5 La poussi re Le disque protplan taire est principalement compos de gaz hydrog ne et h lium en majorit Pourtant m me si la poussi re ne repr sente qu environ 196 de la masse du disque elle
13. Vestibulum nisl ipsum rhoncus quis adipiscing sed sollicitudin ut quam Mots clefs Blabla blabla blabla blabla blabla blabla blabla Mv ENGLISH THESIS TITLE Abstract Lorem ipsum dolor sit amet consectetuer adipiscing elit Phasellus blandit massa non tellus Pellentesque blandit Etiam sapien Quisque sed massa ac tortor accumsan bibendum Donec et orci quis mi sollicitudin consectetuer Donec malesuada Pellentesque bibendum pellentesque elit Morbi et diam ac wisi auctor fringilla Cras nec arcu sed velit dapibus blandit Maecenas mollis aliquet quam In eget sem nec orci fringilla sagittis Suspendisse cursus placerat massa Pellentesque non metus Morbi congue tellus eget tellus Suspendisse justo Suspendisse potenti Praesent interdum lorem in velit Nullam sit amet nisl eget wisi consectetuer consequat Mauris vel felis Nulla sed neque Nulla facilisi Maecenas accumsan gravida wisi Maecenas sodales gravida neque Mauris in est a ante molestie gravida In id neque Ut augue Duis fringilla ullamcorper risus Nullam at lorem Quisque consequat turpis ac libero Ut auctor ante commodo magna Donec in magna Integer sodales Donec ac nibh eu felis suscipit elementum Fusce convallis dolor sit amet dolor Nulla sit amet pede Maecenas et ante vitae risus tempus facilisis Nullam ut tellus et lacus sollicitudin condimentum Maecenas vitae lorem Quisque nec leo varius est euismod posuere Integer ac diam in enim pellentesque pu
14. ne migre pas Les zones de convergences pourraient ainsi concentrer les embryons pla n taires et tre le lieu de formation de plan tes ou c urs massives Lyra et al 2010 Horn et al 2012 Cependant durant leur migration vers la zone de convergence les plan tes vont inter agir entre elles et se placer en r sonance de moyen mouvement Mean Motion Resonance MMR s opposant ainsi l accr tion illimit e de mati re la zone de convergence Mor bidelli et al 2008 S ndor et al 2011 Malgr cela des collisions ont bien lieu la zone de convergence Quand les embryons sont emprisonn s dans une chaine de r sonance avec suffisamment de corps pour engendrer des perturbations les r sonances peuvent se briser et des collisions se produire entre les corps du syst me De plus la turbulence pourrait casser les r sonances et augmenter le taux d accr tion Bitsch and Kley 2010 ont montr que le couple de corotation tait att nu quand une plan te avait une excentricit telle que son orbite oscille sur une distance de l ordre de la demi largeur de la zone fer cheval x 68 4 1 D CALAGE DE LA ZONE DE CONVERGENCE Quand deux plan tes sont en r sonance cause de la migration convergente leurs excentricit s sont excit es de mani re continues malgr la pr sence du disque qui a tendance amortir les excentricit s et circulariser les orbites par exemple Cresswell and Nelson 2008 Ce ph nom ne devr
15. nous avons fait une s rie de 100 simulations chacune int gr e pour un million d ann es avec deux plan tes de 3 Ma plac s al atoi rement entre 1 et 10 UA avec la m me zone de convergence artificielle plac e 3 UA que pr c demment FIGURE 4 5 montre que dans tous les cas les plan tes sont bloqu es dans des r sonances allant de 11 10 3 2 ordre de la r sonance de 10 2 Conform ment ce qui tait attendu les excentricit s maintenues gr ce aux r sonances diminuent 74 4 1 D CALAGE DE LA ZONE DE CONVERGENCE mesure que l ordre des r sonance augmente et ceci induit un d calage moins important du syst me plan taire par rapport la zone de convergence 3 UA L amplitude du d calage vers l int rieur de la position d quilibre varie de 0 2 1 5 UA Dans deux simulations les plan tes ont commenc si proches l une de l autre qu elles se sont retrouv en r sonance co orbitale r sonance 1 1 Dans ces cas l leurs excen tricit s sont rest es tr s faibles et les deux plan tes ont migr en co orbite jusqu la zone de convergence nominale 3 UA 4 1 6 volution avec plus de deux plan tes On se concentre maintenant sur le cas multi plan tes Nous avons lanc 10 simula tions pour des cas avec deux trois cinq ou dix plan tes initialement toutes de 3 M Les plan tes taient plac es al atoirement entre 1 et 10 UA et taient sur des orbites de faible inclinaison et excen
16. veros lee ee ce r20 r dr or B 11 On injecte alors B 11 dans 1 17 page 19 afin de supprimer v de l expression et obtenir finalement ANNEXE B PHYSIQUE DES DISQUES 103 On d cale le signe moins au niveau de la d riv e de la vitesse angulaire cette derni re tant g n ralement n gative ca permet d avoir un terme positif dx 10 1 3 dQ Ot r r 9 Or tai dr p 5 cq On fait maintenant l approximation que le mouvement est k plerien avec pour pre mi re cons quence que Q y SX On peut alors simplifier l quation L 1 0 1 o py 3 GM Ot r r i om Or 2Y y 2 Conclusion de la partie On obtient alors l quation suivante ax LE vart B 13 Bibliographie D R Alexander and J W Ferguson Low temperature Rosseland opacities ApJ 437 879 891 December 1994 doi 10 1086 175039 R D Alexander C J Clarke and J E Pringle Photoevaporation of protoplanetary discs II Evolutionary models and observable properties MNRAS 369 229 239 June 2006 doi 10 1111 j 1365 2966 2006 10294 x Ph Andr The initial conditions for protostellar collapse observational constraints EAS Publications Series 3 1 38 2002 P J Armitage Dynamics of Protoplanetary Disks ARA amp A 49 195 236 September 2011 doi 10 1146 annurev astro 081710 102521 S A Balbus and J F Hawley A powerful local shear instability
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18. Fischer E B Ford J J Fortney J Tarter F R Girouard M J Holman J A Johnson T C Klaus P Machalek A V Moorhead R C Morehead D Ragozzine P Tenenbaum J D Twicken S N Quinn H Isaacson A Shporer P W Lucas L M Walkowicz W F Welsh A Boss E Devore A Gould J C Smith R L Morris A Prsa T D Morton M Still S E Thompson F Mullally M Endl and P J MacQueen Planet Occurrence within 0 25 AU of Solar type Stars from Kepler ApJS 201 15 August 2012 doi 10 1088 0067 0049 201 2 15 A W Howard G W Marcy J A Johnson D A Fischer J T Wright H Isaacson J A Valenti J Anderson D N C Lin and S Ida The occurrence and mass distribution of close in super earths neptunes and jupiters Science 330 6004 653 655 2010 I Hubeny Vertical structure of accretion disks A simplified analytical model ApJ 351 632 641 March 1990 doi 10 1086 168501 J M Hur On the transition to self gravity in low mass AGN and YSO accretion discs A amp A 358 378 394 June 2000 J M Hur and A Pierens A local prescription for the softening length in self gravitating gaseous discs A amp A 507 573 579 November 2009 doi 10 1051 0004 6361 200912348 M Ilgner and R P Nelson On the ionisation fraction in protoplanetary disks I Comparing different reaction networks A amp A 445 205 222 January 2006 doi 10 1051 0004 6361 20053678 J A Johnson R P Butler G
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20. W Marcy D A Fischer S S Vogt J T Wright and K M G Peek A New Planet around an M Dwarf Revealing a Correlation between Exoplanets and Stellar Mass ApJ 670 833 840 November 2007 doi 10 1086 521720 5 J Kenyon and B C Bromley Terrestrial Planet Formation I The Transition from Oligarchic Growth to Chaotic Growth AJ 131 1837 1850 March 2006 doi 10 1086 499807 W Kley and A Crida Migration of protoplanets in radiative discs A amp A 487 L9 L12 August 2008 doi 10 1051 0004 6361 200810033 K A Kretke and D N C Lin The Importance of Disk Structure in Stalling Type I Migration ApJ 755 74 August 2012 doi 10 1088 0004 637X 755 1 74 108 BIBLIOGRAPHIE C J Lada A A Muench K L Luhman L Allen L Hartmann T Megeath P Myers G Fazio K Wood J Muzerolle G Rieke N Siegler and E Young Spitzer Obser vations of IC 348 The Disk Population at 2 3 Million Years AJ 131 1574 1607 March 2006 doi 10 1086 499808 L Landau and E Lifschitz M canique des fluides vol 6 ditions Mir Paris 752pp 1989 D N C Lin and J Papaloizou On the tidal interaction between protoplanets and the protoplanetary disk III Orbital migration of protoplanets ApJ 309 846 857 October 1986 doi 10 1086 164653 J J Lissauer D Ragozzine D C Fabrycky J H Steffen E B Ford J M Jen kins A Shporer M J Holman J F Rowe E V Quintana N M Batalha W J Bo
21. atteindre des temp ratures sup rieures 1000 K Enfin j ai souhait comparer ces deux lois d opacit avec une table d opacit Hur 2000 Cette table d opacit de Rosseland correspond la composition suivante X CHAPITRE 4 M CANISMES DE FORMATION 87 0 70 Y 0 28 et Z 0 02 et est bas e sur Seaton et al 1994 Alexander and Ferguson 1994 Henning and Stognienko 1996 Evolution of the total torque Frot Po Evolution of the total torque Frot Fo 35 1 1 ag 80 0 5 E 0 5 m m E 25 0 E 0 g a 0 5 9 0 5 15 E 2 1 2 af As s a 5 1 5 a 1 5 2 2 2 4 6 8 10 12 14 16 2 4 6 8 10 12 14 16 Semi major axis AU Semi major axis AU a Bell and Lin 1994 b Chambers 2009 Evolution of the total torque Ttot l o Evolution of the total torque Frot Fo 20 1 1 18 16 0 5 E 0 5 9 14 7 0 0 E 1 E 9 10 0 5 a 0 5 H T E 8 E D 1 2 1 S S 2 4 1 5 a 1 5 2 2 2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 2 4 6 8 10 12 14 16 Semi major axis AU Semi major axis AU c Zhu et al 2009 d Hur 2000 FIGURE 4 12 Cartes de migration obtenues pour le m me disque mais avec un mod le d opa cit diff rent L irradiation ayant un effet important sur la carte de migration elle a t d sac tiv e ici afin de mieux mettre en valeur les diff rences entre les mod les d opacit s Notez que les chelles ne sont pas identiques FIGURE 4 3 5 montre les diff rentes cartes de migration que l on ob
22. cet exemple les deux plan tes continuent leur migration s par ment la fin de la simulation la plan te de 17 4 M est sa zone de couple nul 15 7 AU Il est aussi possible pour la plan te migrant vers l ext rieur de capturer en r so nance une plan te dans une configuration stable comme le montre FIGURE 4 11 page suivante Dans cette m me simulation deux autres plan tes massives sont form es en vert et bleu au bord interne mais elles n taient pas massives suffisamment t t pour migrer vers l int rieur Ainsi le m me m canisme par un simple effet de timing permet de cr er soit des syst mes compacts de super terres chaudes soit des embryons de plan te g ante qui pourront accr ter du gaz dans les parties externes du disques au del de la ligne des glaces On a enfin un troisi me et dernier cas o une plan te grossit suffisamment rapidement pour migrer vers l ext rieur mais est entrain e vers l int rieur en tant captur e en r sonance avec une plan te de l ordre de sa propre masse ce qui inverse son sens de migration 84 4 2 FORMATION DES SUPER TERRES CHAUDES o Collisions Semi major axis AU 16 5 14 lt 12 Most massive 10 2 most massive 3 most massive ug a 4 E 2 0 o 0 5 1 0 1 5 Time million years FIGURE 4 11 Formation d un coeu
23. d nu de toute onde d ce m me mode Les interf rences entre toutes les ondes de densit s de tous les modes donne deux ondes de densit s que l on observe dans des simulations hydrodynamique Les positions successives des interf rences constructives sont donn es par Ogilvie and Lubow 2002 eq 13 et 24 Le potentiel gravitationnel de la plan te peut se d composer en s rie de Fourier o chaque mode m entier a une d pendance sinusoidale en azimut et poss de m maxima et m minima Pour chaque mode m du potentiel gravitationnel de la plan te on d finit deux r sonances une r sonance interne ILR Inner Lindblad Resonance et une r sonance externe OLR Outer Lindblad Resonance associ es aux positions suivantes dans le cas d un disque froid H R lt 1 Ward 1997 rozr M i Tp 1 49a TILR M lp 1 49b Pour un mode m donn e partir des anneaux de rayon rypr m et rorg m vont tre lanc es m ondes de densit s Dans le cas des bras spiraux dans une galaxie c est principalement un mode m 2 qui propage une onde spirale de part et d autre d une barre centrale source des ondes de densit Dans le cas d une plan te dans un disque des ondes de densit sont lanc es pour chaque mode m Par interf rence constructive Ogilvie and Lubow 2002 la somme de toutes les ondes de densit s mises par tous les modes du potentiel gravitationnel vont r sulter en la formation d une onde de densi
24. des plan tes Dans toute la suite quand je parlerai de table d opacit je d signe le fait d utiliser un tableau deux dimensions proposant des valeurs de l opacit pour diff rentes temp ratures et densit La table d opacit est donc d finie ici par opposition ce que j appelle des lois d opacit mod les dans lesquels l opacit est d finie par des lois de puissance fonction de la temp rature et de la densit dans diff rents r gimes de temp rature et densit Ainsi une table d opacit est simplement une tabulation de l opacit alors qu une loi d opacit correspond un ajustement par une loi de puissance G n ralement c est la loi d opacit Bell and Lin 1994 qui est utilis e aussi bien dans les simulations hydrodynamiques 2D et 3D que dans les simulations N corps Une autre loi d opacit existante est Zhu et al 2009 loi quelque peu am lior e par rapport Bell and Lin 1994 l augmentation des capacit s des ordinateurs ayant permis de faire des calculs plus pr cis De plus nous utilisons aussi le mod le d opacit tr s simple d crit par Chambers 2009 dans lequel l opacit est constante et gale k 3 jusqu 1380 K o une transi tion s op re vers une loi de puissance Ce mod le nous permet de voir l effet d un mod le par rapport un cas o l opacit est constante En effet dans le cas d un disque protopla n taire seules les r gions les plus internes sont susceptibles d
25. diff rente du disque 4 1 1 Introduction Des plan tes de faible masse 1 60 M interagissent avec le disque de gaz dans lequel elles se forment et g n rent des ondes de densit dans le disque Goldreich and Tremaine 1979 La plan te elle m me est influenc e par cette onde de densit et migre par migration de Type I Ward 1997 Dans les disques isothermes la migration de Type I est gouvern e par le couple diff rentiel d aux ondes de Lindblad et le couple de corotation Pour les plan tes la migration qui en r sulte est rapide et dirig e vers l toile centrale Tanaka et al 2002 Dans les disques radiatifs un couple li au gradient d entropie apparait dans la zone en fer cheval de la plan te Ce dernier peut contrebalancer le couple diff rentiel de Lind blad au point de transformer la migration vers l int rieur pr c demment pr sent e en migration vers l ext rieur Ainsi dans de tels disques la migration peut tre dirig e soit vers l int rieur soit vers l ext rieur Paardekooper and Mellema 2006 Kley and Crida 2008 Ceci rend possible l existence de zones dans les disques o la migration s arr te Ces derni res sont appel es zone de convergence CZs Lyra et al 2010 Mordasini et al 2011 Paardekooper et al 2011 la zone de convergence le couple de corotation positif compense exactement le couple diff rentiel de Lindblad n gatif Ainsi la zone de convergence une plan te
26. durant ma th se j ai t amen les red montrer et j ai eu besoin de bien plus d tapes d taill es de calcul que ce que j ai pu trouver dans les papiers J ai donc entrepris de le refaire en d tail et je regroupe ici les tapes de calcul et les astuces n cessaires pour arriver aux quations B 1 Bilan de moment angulaire On cherche faire le bilan de moment cin tique sur l anneau d crit FIGURE 1 3 page 18 Son moment cin tique est d fini par Je R mav B m R RARE 9k RARX R R RAR T 27 RBARX R O R B 1 ou X et 2 sont la densit de surface et la vitesse angulaire du gaz la position R dans le disque Le flux de moment cin tique est simplement d fini comme la quantit de moment ci n tique emport e ou apport e par le flux de masse d finis pr c demment 1 16 page 19 dJ R P AFu R V R dFu R F O R dJ R 2rv R X R RO R e B 2a dJ R AR P dM R AR V R 4 AR dFy R AR R AR O R AR dJ R AR 270 R ARJE R AR R ARP Q R AR B 2b ceci s ajoute la variation de moment cin tique induite par la friction entre an neaux concentriques en d autres termes dus la viscosit du disque Cette variation de moment cin tique est repr sent e sous la forme d un couple exerc par les anneaux internes et externes celui consid r Le taux de cisaillement A est donn par Ap B 3 dr et repr sente le
27. e parfois vortensit et l entropie Chacun de ces deux couples poss de une partie qui peut saturer en fonction des conditions physiques Pour illustrer le principe de la saturation et sans consid rer un couple en particu lier il convient de d finir certains temps caract ristiques afin de comprendre l origine de ce couple non satur et pourquoi ce dernier peut saturer Figure 1 12 repr sente sch matiquement les 3 temps principaux mis en jeux BEN tutun EJ tin BM Cs avec la plan te Vand je Plana A 7 Etoile FIGURE 1 12 Dans le r f rentiel tournant avec la plan te qui est donc fixe dans ce rep re repr sentation d une orbite de corotation ainsi que des diff rents temps caract ristiques mis en jeux tip est le temps mis par un l ment fluide pour effectuer une orbite de corotation temps qui peut tre gal 130 fois la p riode orbitale de la plan te tu turn est le temps mis par un l ment fluide pour effectuer un demi tour devant la plan te tgig peut tre suivant le cas le temps radiatif traq ou le temps visqueux tyig n cessaire pour homog n iser les propri t s thermodynamiques de l l ment fluide avec son environnement On d finit tout d abord hi comme le temps mis par un l ment fluide pour effectuer une co orbite compl te dans la zone de fer cheval Ceci d pend de la distance de l l ment fluide au rayon de corotation Mais le temps de libration le plus court est 40 1
28. et 1 3 million d ann es dans le cas d crit FIGURE 4 6b 1 12 million d ann es les deux plan tes externes sont pi g es dans une r sonance orbitale 4 3 Elles migrent alors vers l int rieur cause de la soudaine excitation de leurs excentricit s via la r sonance Cette perturbation se propage alors vers le syst me interne et les excentricit s de toutes les plan tes augmentant soudainement le syst me total se met peu peu migrer enti rement vers l int rieur 5000 ans plus tard les deux plan tes externes encore les m mes sortent puis entrent de nouveau en r sonance 4 3 perturbant de nouveau le syst me Finalement 1 13 million d ann es les deux plan tes externes sortent d finitivement de la r sonance 4 3 Retrouvant leur libert de corps isol les deux plan tes migrent vers la zone de convergence avec leurs excentricit s de nouveau quasi nulle la r sonance n tant plus l pour maintenir les excentricit s face l amortissement du disque Sans le couple n gatif des deux plan tes externes l quilibre des couples du syst me global est modifi En r action le syst me interne de trois plan tes migre vers l ext rieur vers une nouvelle zone d quilibre o le couple total exerc sur le syst me de trois plan tes est nul Ceci explique alors pourquoi les 5 plan tes migrent brutalement vers l ext rieur Cependant les deux plan tes externes entrent rapidement en r sonance 5 4 Pendant les qu
29. growth of protoplanets in protostellar discs MNRAS 318 18 36 October 2000 doi 10 1046 j 1365 8711 2000 03605 x M Ogihara S Ida and A Morbidelli Accretion of terrestrial planets from oligarchs in a turbulent disk Icarus 188 522 534 June 2007 doi 10 1016 j icarus 2006 12 006 G I Ogilvie and S H Lubow On the wake generated by a planet in a disc MNRAS 330 950 954 March 2002 doi 10 1046 j 1365 8711 2002 05148 x G I Ogilvie and S H Lubow Saturation of the Corotation Resonance in a Gaseous Disk ApJ 587 398 406 April 2003 doi 10 1086 368178 S J Paardekooper and G Mellema Halting type I planet migration in non isothermal disks A amp A 459 L17 L20 November 2006 doi 10 1051 0004 6361 20066304 S J Paardekooper and J C B Papaloizou On corotation torques horseshoe drag and the possibility of sustained stalled or outward protoplanetary migration MNRAS 394 2283 2296 April 2009 doi 10 1111 j 1365 2966 2009 14511 x S J Paardekooper C Baruteau A Crida and W Kley A torque formula for non isothermal type I planetary migration I Unsaturated horseshoe drag MNRAS 401 1950 1964 January 2010 doi 10 1111 j 1365 2966 2009 15782 x S J Paardekooper C Baruteau and W Kley A torque formula for non isothermal Type I planetary migration II Effects of diffusion MNRAS 410 293 303 January 2011 doi 10 1111 j 1365 2966 2010 17442 x J C B Papaloizou and J D
30. impl ment e dans le code en utilisant le mod le 1D de disque qui d finit pour toute position du disque une temp rature une densit de surface et tous les autres param tres n cessaires comme l chelle de hauteur En utilisant ces param tres on obtient ainsi le couple qu exerce le disque sur la plan te en fonction de sa masse et de sa position via la formule semi analytique de Paardekooper et al 2011 Les deux diff rences principales entre le cadre du mod le de Paardekooper et al 2011 et le disque que j ai mod lis c est que dans mon cas je n ai pas un profil de temp rature en loi de puissance avec une seule loi de puissance mais j ai une loi de puissance d finie point par point C est dire que pour chaque zone du disque la temp rature est calcul e de mani re coh rente avec les autres param tres du disques et que l indice de la loi de puissance correspondante est calcul e en fonction des temp ratures autour La deuxi me diff rence est que j ai un profil pour l chelle de hauteur H et le rapport d aspect h H R du disque au lieu d avoir un rapport d aspect constant pour tout le disque De plus certaines erreurs se sont gliss es dans ce papier Bitsch and Kley 2011 appendice A fait remarquer en particulier qu il manque un facteur 4 dans l quation 33 Ainsi la formule que j ai utilis pour calculer la conductivit thermique x est 167 7 1 oT 2 5 A Shp H Q 2 5 Il y a aussi u
31. in weakly magnetized disks I Linear analysis II Nonlinear evolution ApJ 376 214 233 July 1991 doi 10 1086 170270 C Baruteau and F Masset On the Corotation Torque in a Radiatively Inefficient Disk ApJ 672 1054 1067 January 2008 doi 10 1086 523667 C Baruteau and F Masset Recent Developments in Planet Migration Theory In J Souchay S Mathis and T Tokieda editors Lecture Notes in Physics Berlin Springer Verlag volume 861 of Lecture Notes in Physics Berlin Springer Verlag page 201 2013 doi 10 1007 978 3 642 32961 6 6 K R Bell and D N C Lin Using FU Orionis outbursts to constrain self regulated protostellar disk models ApJ 427 987 1004 June 1994 doi 10 1086 174206 K R Bell P M Cassen H H Klahr and T Henning The Structure and Appearance of Protostellar Accretion Disks Limits on Disk Flaring ApJ 486 372 September 1997 doi 10 1086 304514 J Binney and S Tremaine Galactic Dynamics Second Edition Princeton University Press 2008 B Bitsch and W Kley Orbital evolution of eccentric planets in radiative discs A amp A 523 A30 November 2010 doi 10 1051 0004 6361 201014414 104 BIBLIOGRAPHIE 105 B Bitsch and W Kley Range of outward migration and influence of the disc s mass on the migration of giant planet cores A amp A 536 A77 December 2011 doi 10 1051 0004 6361 201117202 B Bitsch A Boley and W Kley Influence of viscosity and the adi
32. k 1 3 3 i 1 j 1 1 fr T S Tor dV 1 v tant la viscosit cin matique et p la densit volumique de gaz CHAPITRE 1 FORMATION PLAN TAIRE 27 Le tenseur est sym trique on a donc Try Tor G 27 dV 2 1 27 2 f r dS dz dr En utilisant une vitesse angulaire k plerienne Q 4 4 on obtient alors fw a as OE _ 9 A La variation d nergie cin tique est n gative cette perte est convertie en chaleur par chauffage visqueux Le chauffage visqueux int gr sur toute la surface du disque peut ainsi tre d fini comme OE Cvis tot Ot de sorte qu on peut crire le chauffage visqueux par unit de surface comme tant gal a 9 Chis gY 1 36 Bilan On cherche maintenant la temp rature d quilibre du disque compte tenu de tous les termes rentrant dans l quation bilan de l nergie du disque Il vient alors en consid rant le chauffage visqueux l irradiation de l toile centrale le chauffage par l enveloppe et les pertes par radiation la surface du disque 0 Fen T Cen Cir C uis 2 H x H 20Ten 20 T 1 LE br d QUE T4 0 2c 37 G 1 y 1 37 Dans la pratique c est une quation de l on r sout de mani re num rique par it ration En effet beaucoup de param tres d pendent de la temp rature alors m me que c est la variable que l on recherche Ce calcul est lui m me extr mement d pendant
33. l toile est directement r fl chie vers l espace r_ star et t_ star sont respectivement le rayon de l toile en AU et sa temp rature en Kelvin La mani re dont est mod lis e l irradiation de l toile centrale est d taill e dans 8 1 2 3 page 24 CHAPITRE 2 LE CODE N CORPS 53 2 3 5 Viscosit Il est possible de d finir plusieurs types de viscosit via l option viscosity type constant alpha et alpha dz constant Ce param tre permet de d finir une viscosit v constante dans tout le disque La valeur de la viscosit associ e est d finie dans le param tre viscosity en cm s viscosity type constant viscosity 1e15 cm 2 s alpha Ce param tre permet de d finir une viscosit via la prescription alpha de Shakura and Sunyaev 1973 La valeur du param tre alpha sera lue dans le param tre alpha viscosity type alpha alpha 5e 3 alpha dz Ce param tre permet de d finir une viscosit alpha par morceau permettant de mod liser une dead zone On aura donc 3 zones avec 3 alpha diff rents Pour d finir ces zones l il faut donner dans le param tre alpha dz trois valeurs de o et dans radius dz deux valeurs de distance orbitales en AU pour d finir les bornes de la dead zone viscosity type alpha dz alpha dz 0 005 0 0001 0 005 radius_dz 1 0 10 0 in AU Quand cette option est activ e une modification au profil de densit est appliqu e afin de mod liser une sous densit
34. l toile qui domine la dynamique du gaz En n gligeant l effet de la pression de ce dernier on peut donc crire la vitesse angulaire du gaz comme tant gale la vitesse angulaire k plerienne GM R3 o G est la constante de gravitation et R la distance l toile Dans la pratique il est noter que la vitesse est l g rement sous k plerienne Q 1 3 Il existe une force de cisaillement entre deux anneaux de gaz concentriques d s leur diff rence de vitesse Cette diff rence de vitesse g n re des frottements cause de la viscosit du disque v dont nous parlerons plus en d tail plus loin 8 1 2 4 page 28 qui chauffe le gaz en lui faisant perdre de l nergie En cons quence une partie de l nergie gravitationnelle du gaz est convertie en chaleur qui est ensuite vacu e par le rayonnement de corps noir du gaz La premi re cons quence est qu un terme visqueux va appara tre dans l quation de l nergie comme nous le verrons par la suite La deuxi me cons quence c est que le gaz perd de l nergie et donc d rive lentement vers l toile centrale qui accr te petit petit le gaz du disque On d finit donc une vitesse de d rive n gative vi vr r orient e vers l toile qui entraine petit petit le gaz du disque avec v n gatif Dans la suite de la section nous allons nous int resser la conservation de diff rentes quantit s que ce soit la masse ou le moment angulaire P
35. le profil de temp rature au travers du chauffage visqueux notamment Il est aussi crucial de garder l esprit que la loi de puissance n est qu un mod le issu notamment des observations qui sondent les parties externes des disques au del de plusieurs dizaines d unit s astronomiques Extrapoler ces lois de puissances jusqu aux parties les plus interne est une tr s grande approximation qui a des cons quences im portantes pour les plan tes dont le lieu de formation se situe vraisemblablement dans les parties internes 1 2 8 Limites et approximations dues la mod lisation Tout d abord le bord interne est une des parties les plus complexes d un disque protoplan taire Ce bord interne correspond des zones diff rentes pour le gaz ou pour la poussi re La poussi re disparait quand la temp rature du disque d passe 1500K environ temp rature au del de laquelle la partie r fractaire des grains se sublime Le gaz quant lui ne se propage pas non plus jusqu la surface de l toile en raison du champ magn tique important autour des jeunes toiles Le bord interne est ainsi d termin par le rayon de co rotation de l toile c est dire la distance laquelle une particule en rotation k plerienne orbite la vitesse de rotation de l toile Le champ magn tique de l toile tournant la vitesse de rotation de l toile ce rayon de co rotation correspond ainsi au rayon en dessous duquel le gaz est frein par le ch
36. le profil de densit surfacique n est quasiment pas modifi par la plan te Ces plan tes qui ne creusent pas de sillon gap dans le disque de gaz vont migrer vers l int rieur On appelle cette migration la migration de type I Couple du disque sur la plan te Un couple gravitationnel repr sente l change d nergie associ une force gravita tionnelle Le couplage gravitationnel entre les ondes de densit et la plan te qui les cr es abouti un couple qui agit sur la plan te pee I PA V D Er dr db 1 48 AN A chaque fois qu il sera mentionn couple celui ci fera r f rence au couple du disque sur la plan te Ainsi si le couple est n gatif sous entendu du disque sur la plan te le disque va prendre de l nergie la plan te qui va ainsi migrer plus proche de son toile vu que son nergie cin tique diminue Si le couple est positif la plan te migre vers l ext rieur cette derni re prenant de l nergie au disque Couple de Lindblad La pr sence d une plan te dans un disque de gaz entraine la cr ation d ondes de densit s aux r sonances de Lindblad Goldreich and Tremaine 1979 Le couplage gra vitationnel entre les ondes de densit et la plan te qui les cr es abouti un couple qui agit sur la plan te Il est tout d abord int ressant de remarquer l origine des bras spiraux dans les ga laxies Ce sont essentiellement des ph nom nes statistiques que l on peut r sumer en deu
37. le temps de vie d un disque protoplan taire autour de quelques millions d ann es Cette information est obtenue de plusieurs tudes de d amas d toiles d ges diff rents dans lesquelles on mesure le taux d toiles poss dant un exc s infrarouge signe de pr sence d un disque Williams and Cieza 2011 70 80 des toiles jeunes t lt 1 Myr poss dent un disque Winston et al 2007 Gutermuth et al 2008 40 22 1 2 LES DISQUES PROTOPLAN TAIRES 50 des toiles dans des amas d ge compris entre 2 et 3 millions d ann es en poss dent un Lada et al 2006 Sung et al 2009 tandis que moins de 20 des toiles dans des amas d environ 5 millions d ann es ont un disque Currie et al 2009 Par la raret des disques en train de se dissiper les observations sugg rent aussi que les disques se dissipent tr s rapidement avec un temps de dispersion d environ 10 ans Simon and Prato 1995 Wolk and Walter 1996 La dissipation visqueuse n ex plique alors pas comment le disque peut subsister pendant plusieurs millions d ann es mais se dissiper compl tement en 500 000 ans Clarke et al 2001 ont montr qu il tait possible d expliquer ce comportement deux temps caract ristiques l aide de la photo vaporation Evolution of surface density M 21M 10 2s T T T T 5k t 0 Myr t 4 Myr 2 tz2 Myr t 6 Myr logio Z g cm Nm 1 1 1 911101 0 1 1 10 R AU
38. les du syst me solaire en vigueur il tait parfois m me dangereux d mettre l hypoth se que d autres plan tes ou d autres formes de vies puissent exister l id e de la pluralit des civilisations tant indissociable de la question de la pluralit des mondes physiques Ces questions que l on pouvait consid rer comme philosophiques ou m taphysiques ont chang de registre depuis la d couverte il y a une vingtaine d ann es de la premi re exoplan te Wolszczan and Frail 1992 Bien que cette derni re fut d couverte en 1992 c est v ritablement en 1995 avec 51 Peg b Mayor and Queloz 1995 que la chasse aux exoplan tes a v ritablement com menc Depuis multipliant les campagnes d observations les missions d di es et les techniques de d tection on arrive 20 ans apr s la premi re d couverte un catalogue d exoplan tes toujours plus fourni montrant une population extr mement riche et va ri e Le nombre variant continuellement il n y a pas de sens donner un chiffre sans la date associ e mais au jour du 20 f vrier 2013 on compte pas moins de 861 plan tes confirm es Avant toute chose il est important de noter le nombre Non pas le nombre exact mais plut t les cons quences qu implique une liste de plusieurs centaines de plan tes Ce ne sont pas des objets rares Si auparavant on pouvait encore en douter il ne fait aujourd hui plus aucun doute que les plan tes sont des objets communs C est d autant p
39. o B et amp sont l intensit et l opacit sp cifique d pendant de la fr quence l inverse les opacit s de Planck concernent les disques optiquement mince o on ne peut plus consid rer uniquement la d riv e du flux La moyenne est alors effectu e sur l intensit sp cifique directement 1 1 PB d 1 45 kp y By dv ra oun o i B dv repr sente l intensit totale tandis que B et k sont l intensit et l opacit sp cifique d pendant de la fr quence Dans la pratique on fait bien souvent l approximation que le disque est optiquement pais ce qui est g n ralement vrai dans les parties internes du disque 0 1 15 AU lieu de formation des plan tes Pour autant le calcul des opacit s est loin d tre trivial et plusieurs mod les proposent des tables d opacit s dont le d tail des propri t s est diff rent Le choix du mod le a donc des implications importantes sur le mod le de formation plan taire comme je le d taillerai dans la section 8 4 3 5 page 86 32 1 2 LES DISQUES PROTOPLAN TAIRES En formation plan taire le mod le le plus utilis est Bell and Lin 1994 Mais dans mes tudes j ai utilis en tout et pour tout 4 modeles diff rents Bell and Lin 1994 Zhu et al 2009 Chambers 2009 Hur 2000 noter que Bell and Lin 1994 Zhu et al 2009 sont des mod les qui proposent diff rents fonctions analytiques pour d finir une opacit par morceaux Chambe
40. pour l opacit le profil de temp rature la viscosit et par extension toute la physique du disque est le fait de consid rer les propri t s de la poussi re comme fig es dans le temps Au cours de la vie du disque la poussi re volue Sa distribution de taille change la quantit totale de poussi re est modifi e notamment par l accr tion Et enfin mesure que la poussi re se retrouve dans des embryons de plan te de plus en plus gros la quantit de poussi re disponible sous la forme de petites particules diminue d autant CHAPITRE 1 FORMATION PLAN TAIRE 35 1 3 Interaction disque plan te On ne peut tudier s par ment le disque ou les plan tes c est un syst me global en interaction qui volue depuis la formation du disque et les poussi res qu ils contient jusqu la dissipation du disque et la possible pr sence d une ou plusieurs plan tes tant donn que j ai impl ment les interactions disque plan te partir de mod les calibr s sur des simulations hydrodynamiques je ne vais pas red montrer ici les formules analytiques mais plut t m attacher pr senter avec les mains le principe de chacun des ph nom nes physiques mis en jeux 1 3 1 Migration des plan tes de faible masse type I Ce type de migration ne concerne que les plan tes de faible masse de l ordre de 10M pour lesquelles l interaction de mar e entre la plan te et le disque a une r ponse lin aire c est dire que
41. puis une sur densit avant et apr s le bord interne de la zone morte L cart maximum de ces bumps est de 1596 de la valeur de la densit au bord interne de la zone morte ceci s ajoute un lissage des valeurs de o entre la valeur gauche et la valeur droite de la transition selon une tangente hyperbolique La transition s effectue typiquement sur une longueur gale 1096 de la position de la transition dans le disque si la transition est LAU alors la transition a lieu sur 0 1 AU autour de la transition 54 2 3 MODE D EMPLOI DU CODE N CORPS MODIFI 2 3 6 Opacit Afin de pouvoir les comparer j ai ajout au code la possibilit de tourner avec dif f rents mod les pour l opacit Les diff rents mod les sont Bell and Lin 1994 Zhu et al 2009 Chambers 2009 Hur 2000 bell opacity_type bell L opacit est alors calcul e en utilisant le mod le fourni par Bell and Lin 1994 zhu opacity_type zhu L opacit est alors calcul e en utilisant le mod le fourni par Zhu et al 2009 chambers opacity_type chambers L opacit est alors calcul e en utilisant le mod le fourni par Chambers 2009 Ce mod le est tr s simplifi et utilis une opacit constante sur un grand r gime de temp rature pour ensuite faire une transition vers une loi de puissance tr s haute temp ra ture hure opacity type hure L opacit est alors calcul e en utilisant le mod le fourni p
42. se passer avant que le disque de gaz ne se dissipe ce qui intervient au bout de quelques millions d ann es Les noyaux de ces plan tes sont suppos s se former au del de la ligne des glaces limite radiale virtuelle au del de laquelle on peut trouver de l eau sous forme solide autour de 4 UA En effet au del de cette limite la quantit de mati re solide augmente et donc le taux d accr tion augmente aussi A La formation des embryons de plan tes g antes n est toujours pas clair On ne sait pas vraiment s il y a une zone privil gi e ou non la limite virtuelle de la ligne des glaces pourrait ne pas tre valable la glace ne rajoutant qu environ 50 de masse en plus noter qu il n y a pas de pression et donc pas de liquide dans l espace juste du gaz ou du solide Pour une simulation donn e si on augmente le taux d accr tion de la plan te celle ci sera plus massive et aura donc une inertie plus grande Elle mettra donc plus de temps migrer par migration Type II car son inertie s y opposera D un autre cot si la plan te n a pas encore cr de gap la migration de Type I est plus rapide mesure que la masse augmente 1 3 5 R capitulatif des interactions dans le code N corps Num riquement le couple de migration type I est pris en compte en utilisant les formules semi analytiques d velopp es par Paardekooper et al 2011 L amortissement de l inclinaison et de l excentricit quant elles son
43. stabilit du syst me global Certaines plan tes peuvent entrer dans la cavit interne du disque pouss es par le syst me non encore stabilis Elles ne percoivent alors plus aucun effet du disque que ce soit la migration ou l amortissement de l excentricit et de l inclinaison Dans ce cas de figure elles peuvent ne plus tre en r sonance avec le reste du syst me M me si durant l volution il est possible que la plan te la plus interne sorte du disque entre en collision avec l toile centrale ou soit eject e il est tr s facile de main tenir un syst me compact au bord interne en raison du fort couple positif qui va s exercer sur le plan te la plus interne du syst me alors que ce dernier cherche migrer vers l in t rieur Migration vers l ext rieur candidats de plan tes g antes Lors de la migration vers l int rieur de tous les embryons il est possible pour une plan te de grossir suffisamment vite pour ressentir un couple positif Ce couple positif est cens entrainer une migration vers l ext rieur de la plan te ce serait syst matiquement le cas si cette derni re tait isol e Mais dans son voisinage se trouvent d autres plan tes qui elles migrent vers l int rieur Tr s rapidement la plan te va entrer en r sonance avec un embryon plan taire qui migre vers l int rieur L effet d crit 8 4 1 page 67 s applique alors La migration diff rentielle et le rapport de masse ont ici une importance capit
44. taires 1 2 1 Formation et volution Durant les diff rentes phases de formation de l toile alors m me que le disque de gaz et de poussi re se dissipe a lieu la formation des plan tes mesure que le nuage s effondre sur lui m me et afin de satisfaire la conservation du moment angulaire ce dernier voit sa rotation acc l rer m me si la rotation du nuage mol culaire tait infime au d part C est ainsi que le disque d accr tion r sultat de l effondrement du nuage de gaz est en rotation L effondrement d un nuage mol culaire s effectuant sur plusieurs ordres de grandeurs en distance l acc l ration de la rotation CHAPITRE 1 FORMATION PLAN TAIRE 15 Coeur dense Proto toile jeune Proto toile toile T Tauri toile T Tauri pr stellaire phase d accr tion volu e volu e 1 000 000 yr 0 yr 30 000 yr 200 000 yr 1 000 000 yr 10 000 000 yr gt 1 i i i 1 iw f Y i S 10 2 sis gies v2 Dx HE jp lt P gt O 18 o Zi
45. te nance 3 2 avec la plan te interne Ainsi la position finale des plan tes est d termin e par leur masse respective ou pour cette exp rience par la masse de la plan te externe vu que la masse de la plan te interne est fixe Plus la deuxi me plan te est massive et plus le d calage du syst me plan taire par rapport la zone de convergence est important En effet une plan te externe plus massive induit une excentricit plus importante pour la plan te interne ce qui corres pond un amortissement plus important de son couple de corotation l e et un d calage plus important de la zone d quilibre du syst me Compte tenu du fait que chaque plan te poss de une masse et une excentricit diff rentes elles ressentent une zone de convergence diff rente une pour chaque valeur de e x Pour autant l importance du d calage vers l toile centrale de la position d quilibre est principalement d termin e par la dynamique de la plan te la plus massive et de sa nouvelle zone de convergence FIGURE 4 4 repr sente uniquement un sous ensemble de toutes les simulations de cette exp rience Pour des masses plus importantes les deux plan tes taient dans des r sonances diff rentes ce qui causait des discontinuit s dans le diagramme rendant difficile sa lecture Malgr tout le comportement du syst me de deux plan tes est qua litativement le m me CHAPITRE 4 M CANISMES DE FORMATION 73 4 1 5 Effet des r son
46. te creuse un sillon gap le long de son orbite alors il n y a pas de couple co orbital tant donn que le gaz est d pl t S il n y a pas de diffusion temps de diffusion fag tr s long alors le couple va saturer tr s rapidement typiquement quelques dizaines d orbites Mod lisation dans le code N corps Les couples de Lindblad et de Corotation ont t int gr s aux simulations num riques en utilisant le mod le de Paardekooper et al 2011 Plus de d tails sur l impl mentation de ces formules et le mod le de disque utilis dans la section 2 page 47 1 3 2 Migration des plan tes massives type II Par massive on entend une plan te qui va induire des modifications importantes du profil de densit du disque L approximation du r gime lin aire n est alors plus valable CHAPITRE 1 FORMATION PLAN TAIRE 43 Je pr sente ici tr s succinctement ce type de migration que je n ai pas consid r tout au long de ma th se Je me place dans le r gime lin aire et me suis concentr sur les c urs de plan te g ante et les plan tes telluriques J ai donc n glig tous les effets non lin aires d aux grandes masses et en particulier la cr ation d un sillon par les plan tes Quand une plan te dans un disque devient suffisamment massive la r ponse du disque n est plus lin aire et des ondes de densit induites par la plan te forment des chocs non loin de l o elles sont mises La r pulsion entre le disq
47. 18 R R 1 232 T Q Tos 2nvX R AR T R ARJ 1 23b En utilisant 1 19 page pr c dente 1 20 1 23 dans 1 18 page pr c dente il vient alors Ot r Or o go Or 720 a 1 24 Dans le cas d un disque K plerien Q on obtient finalement CHAPITRE 1 FORMATION PLAN TAIRE 21 ax a NE vex 1 25 Le calcul d taill est disponible 8 B 1 page 100 Cette quation a n cessit les approximations suivantes dQ 1 On suppose que le potentiel gravitationnel est ind pendant du temps Car 0 c est dire que la masse de l toile est constante l accr tion ayant un effet n gli geable 2 On suppose que le mouvement du gaz est k plerien QN S ce qui n est pas rigoureusement vrai la pression du gaz rendant le mouvement l g rement sous k plerien Temps de vie et dispersion du disque 8 0 0 0 4 0 8 1 2 1 6 2 0 2 4 FIGURE 1 4 Evolution visqueuse d un anneau de mati re de masse m et de rayon Ro La densit de surface est montr e comme une fonction de la longueur d dimensionn e x R Ro et du temps adimensionn 7 12vt R 2 Cette quation permet de mod liser l volution visqueuse d un disque au cours du temps FIGURE 1 4 tir e de Pringle 1981 et recalcul e illustre l volution visqueuse d un anneau de mati re de masse m dans des unit s adimensionn es de distance et de temps On situe g n ralement
48. 3 INTERACTION DISQUE PLANETE obtenu la distance x de la corotation et vaut Baruteau and Masset 2008 eq 52 Am STTp dal cl pts 1 52 Lib o xs est la demi largeur de la zone de fer cheval half width of the horseshoe re gion Paardekooper et al 2010 eq 44 11 041 fq s 1 53 ec Vi aam Dans le cas d une plan te de 20 Mz 1 AU dans un disque avec h 0 05 et M 1Ms ce temps de libration vaut tip 38Porbital Le temps tu turn repr sente quant lui la dur e n cessaire un l ment fluide pour effectuer un demi tour devant la plan te c est dire pour parcourir la zone de longueur 2x devant la plan te Il est d finit par Baruteau and Masset 2008 eq 64 3 4 H r locum D P 1 54 o Ry rp q 3 est le rayon de Hill de la plan te Dans le cas d une plan te de 20 Mg 1 AU dans un disque avec h 0 05 et M 1Mo ce temps vaut tuum 1 6Porbital Un troisi me est dernier temps tar rentre en jeu c est le temps de diffusion Selon le processus physique mis en jeu ce temps peut tre t aq OU tyisc traa repr sente le temps de diffusion par refroidissement radiatif Ce temps est plus long quand on se rapproche de l toile car le rayonnement est plus rapidement r absorb Le temps radiatif au travers de la zone de corotation est de l ordre de 2 7 La 1 55 o x est la demi largeur de la zone de corotation et x est
49. 4 10 K contribue aussi au bilan d nergie du disque en apportant la contribution uniforme suivante NEU d Re 1 28 Remarque La temp rature de l enveloppe tant tr s faible cette derni re ne contri bue que dans les parties externes du disque l o la densit de surface du gaz est tr s faible rendant du m me coup le chauffage visqueux extr mement t nu lui aussi Chauffage par l toile La surface du disque recoit de la lumi re de l toile centrale Soit R L respecti vement le rayon et la luminosit de l toile Soit e l alb do du disque que l on choisi typiquement gal 0 5 CHAPITRE 1 FORMATION PLAN TAIRE 25 Le flux incident est alors Menou and Goodman 2004 eq 7 LU ze Firr Arr 1 29 o a avec lt 1 repr sente l angle entre les rayons incidents et la surface du disque D apr s notamment Chiang and Goldreich 1997 eq 5 cet angle peut tre crit comme H a ja Fr E 1 30 On note que dans cette expression le premier terme illustre le fait que l toile n est pas ponctuelle et que ceci a un effet sur l irradiation d s que l on s approche de cette derni re Le deuxi me terme repr sente la surface du disque qui intercepte le rayonne ment incident et qui est fonction de la variation d chelle de hauteur du disque plus le disque est vas et plus la paroi qui intercepte le rayonnement est abrupte Il vient enfin en exprimant la luminos
50. 9 20 1 2 LES DISQUES PROTOPLAN TAIRES o X et Q sont la densit de surface et la vitesse angulaire du gaz la position R dans le disque Le flux de moment cin tique est simplement d fini comme la quantit de moment cin tique emport e ou apport e par le flux de masse d finis pr c demment 1 16 page pr c dente dJ R 2rv R X R RO R e 1 202 dJ R AR 270 R ARJX R AR R ARPO R AR 1 20b ceci s ajoute la variation de moment cin tique induite par la friction entre an neaux concentriques en d autres termes dus la viscosit du disque Cette variation de moment cin tique est repr sent e sous la forme d un couple exerc par les anneaux internes et externes celui consid r La force visqueuse par unit de longueur est d finie par dO Rasidi 1 21 dF V v ra dQ ot A r dr est le taux de cisaillement T La force visqueuse induite par les anneaux entourant l anneau consid r est alors Q Fi R 21vER R g 1 22a Q R AR 2nvX R AR gt Fout dr R AR g 1 22b L anneau interne tournant plus vite la force est dirig e dans le sens de rotation g A l inverse l anneau externe tourne moins vite il tend freiner l anneau de r f rence et s oppose son mouvement La force est donc oppos e au sens de rotation Ainsi le couple T PA F issu de chacun des anneaux entourant celui de r f rence E s crit Ty 2
51. Afin de pouvoir calculer le profil de temp rature on a besoin de choisir un mod le pour l opacit Je ne d taillerai pas ici les diff rents mod les car une tude compl te sur le sujet a t effectu e afin de comprendre l influence du choix du mod le sur les r sultats des simulations Par contre quel que soit le mod le on a g n ralement une d pendance en fonction de la densit et de la temp rature L opacit est donc un param tre de la r solution de l quation qui nous permet d avoir la temp rature L opacit n est pas dans notre mod le une quantit qu on fixe a priori mais plut t un des param tres de sortie de la r solution de l quation de l nergie dans le disque 2 4 3 Profil de temp rature Afin de construire le profil de temp rature point par point on r sout pour chaque position dans le disque d finie dans le profile l quation de l nergie 1 37 page 27 De mani re consistante cette quation a pour param tre d entr e la position et on cherche trouver les valeurs de la temp rature T chelle de hauteur H profondeur optique 7 diffusivit thermique x Toutes ces valeurs sont fix es une fois qu un ensemble coh rent de valeurs satisfont l quation Afin de r soudre cette quation du type f x 0 j ai utilis une version modifi e de la m thode zbrent de Numerical Recipes Press et al 1992 60 2 5 MIGRATION TYPE I 2 5 Migration type I La migration de type I est
52. Fazio Spitzer Observations of NGC 1333 A Study of Structure and Evolution in a Nearby Embedded Cluster ApJ 674 336 356 February 2008 doi 10 1086 524722 Y Hasegawa and R E Pudritz The origin of planetary system architectures I Multiple planet traps in gaseous discs MNRAS 417 1236 1259 October 2011 doi 10 1111 j 1365 2966 2011 19338 x C Hayashi Structure of the Solar Nebula Growth and Decay of Magnetic Fields and Effects of Magnetic and Turbulent Viscosities on the Nebula Progress of Theoretical Physics Supplement 70 35 53 1981 doi 10 1143 P TPS 70 35 T Henning and R Stognienko Dust opacities for protoplanetary accretion disks influence of dust aggregates A amp A 311 291 303 July 1996 BIBLIOGRAPHIE 107 B Horn W Lyra M M Mac Low and Z S ndor Orbital Migration of Interacting Low mass Planets in Evolutionary Radiative Turbulent Models ApJ 750 34 May 2012 doi 10 1088 0004 637X 750 1 34 A W Howard G W Marcy S T Bryson J M Jenkins J F Rowe N M Batalha W J Borucki D G Koch E W Dunham T N Gautier III J Van Cleve W D Cochran D W Latham J J Lissauer G Torres T M Brown R L Gilliland L A Buchhave D A Caldwell J Christensen Dalsgaard D Ciardi F Fressin M R Haas S B Howell H Kjeldsen S Seager L Rogers D D Sasselov J H Steffen G S Basri D Charbonneau J Christiansen B Clarke A Dupree D C Fabrycky D A
53. HAPITRE 1 FORMATION PLAN TAIRE 23 les disques passifs la source de chaleur temp rature est l toile centrale qui claire le disque Un disque peut la fois tre actif et passif mais g n ralement on essaie d approximer de consid rer que l un est n gligeable devant l autre De plus un disque aura des zones actives et des zones passives c est dire que certaines zones seront principalement chauff es par la viscosit alors que d autres le seront par l irradiation de l toile Afin de d terminer le profil de temp rature il faut crire l quation de conservation de l nergie qui va tenir compte de tous les termes source et toutes les pertes par unit de surface On a tout d abord les pertes par rayonnement de corps noir Ensuite il y a les termes sources Pour un disque actif le terme source est le chauffage visqueux Pour un disque passif c est l irradiation de l toile Chiang and Goldreich 1997 Dans notre cas il y a un terme d l enveloppe du disque un d l irradiation de l toile centrale et enfin un dernier d au chauffage visqueux sm pu noir la temp rature ci Rayonnement de corps i de surface Teff i Chauffage visqueux principalement au centre avec T gt T ap Chauffage par l enveloppe du disque b i 10K li FIGURE 1 6 Repr sentation du bilan thermique d un disque i i i Irradiation de l toile i i Refroid
54. S PROTOPLAN TAIRES Sachant que la vitesse du son d finie par c kgT p HMH a dans le cas d un gaz parfait on peut alors crire la relation suivante entre l chelle de hauteur et la vitesse du son cs HO 1 12 On consid rera dans la suite les quantit s moyenn es selon z et en particulier on d fini la densit de surface X de la fa on suivante 00 X f pdz B 00 22 d X y2npgyH 1 13 Bilan de masse FIGURE 1 3 Repr sentation d un anneau de largeur AR et du bilan de moment angulaire de ce dernier On cherche dans un premier temps faire le bilan de masse de l anneau consid r Sa masse s crit Ma 21 RARX R 1 14 Soit v la vitesse radiale du gaz avec v lt 0 dans notre cas Cette vitesse est responsable d un certain taux d accr tion du gaz du disque sur l toile centrale On cherche maintenant mod liser cette accr tion pour le bilan de moment cin tique sur l anneau Pour cela on cherche exprimer la variation de masse de l anneau ainsi que le moment cin tique emport par cette variation de masse CHAPITRE 1 FORMATION PLAN TAIRE 19 Au bord interne R par unit de temps la masse entrant ou sortant de l anneau peut tre exprim e comme un flux dFy X 2er 9 d 1 15 En effet en multipliant la circonf rence de l anneau par la vitesse on obtient une sorte de surface par unit de temps qui repr sente ce qui sort de la fron
55. Si aie 513 o E Sig o 12 nin 1 1 4 Ere aio ia EIS i g H Y 1 se Phase pr stellaire A Phase protostellaire MS Phase pr s quence principale 1 Classe 0 Classe BY Classe Il Classe Ill 2 2 2 2 2 g E 2 2 8 8 2 1 10 100 1000 1 10 100 1000 1 10 100 1 10 100 1 10 100 A um A um A um A um A um FIGURE 1 1 Classification empirique des diff rents stades de formation des toiles de faible masse du c ur dense pr stellaire la classe III Sch ma bas sur Andr 2002 est d autant plus grande Initialement il est hautement improbable que le moment angulaire du nuage soit parfaitement nul C est ainsi que m me si sa rotation est imperceptible lors des premiers stades de son effondrement gravitationnel le disque d accr tion fini toujours en rotation 1 2 2 volution hydrodynamique du disque Vue de dessus Vue de profil A o l FIGURE 1 2 Repr sentation de la r partition radiale et azimutale de gaz dans un disque protoplan taire Densit de mati re Avant de consid rer l volution d un disque il est important de regarder sa masse par rapport la masse de l toile centrale En effet si la masse du disque est de l ordre de la masse de l toile alors des instabilit s se d veloppent et on ne peut plus n gliger l autogravit du disque Le param tre de Toomre Q d fini par Toomre 1964 Goldreich and Lynden Bell 1965 KCs 7Gd cy est un indicateur de la stabilit du
56. VS qui prend le relai Dans notre cas plusieurs approximations sont faites L algorithme BS2 ne fonctionne que pour les syst mes conservatifs On suppose que la variation d nergie induite par la migration est totalement n gligeable pendant le bref labs de temps de la rencontre proche Le nombre de collisions est suffisamment faible pour que les propri t s symplec tiques de l int grateur soient conserv es On suppose de plus que les variations d nergies induites par ce biais sont n gligeables devant la dissipation induite par le disque qui est de l ordre de l nergie initiale du syst me plan taire Il reste alors une chose d terminer c est le pas de temps fixe que l on doit choisir afin de r soudre correctement les orbites Pour cela on se place dans un cas simplifi sans les effets du disque et on souhaite savoir la condition sur le pas de temps afin que l orbite soit correctement calcul e 2 3 Mode d emploi du code N corps modifi part la premi re section qui donne quelques d tails techniques le but de cette partie est de pr senter les diff rentes options du code modifi Ces options sont lues partir d un fichier commun disk in Si une option n est pas pr sente la valeur par d faut sera lue partir du code Le fichier disk out r capitule toutes les valeurs de toutes les options et param tres importants du code Remarque Il est possible de mettre des commentaires dans le fichier disk in qu
57. W UNIVERSIT DE BORDEAUX N d ordre 1234 THESE Pr sent e par Christophe Cossou pour obtenir le grade de DOCTEUR EN SCIENCES DE L UNIVERSIT BORDEAUX 1 Sp cialit Astrophysique Plasmas Corpuscules Migration et accr tion d embryons plan taires dans un disque radiatif Soutenue le xx Xxxxxxxxx XXXX Apr s avis de Alessandro MORBIDELLI Rapporteurs Caroline TERQUEM Devant la Commission d examen form e de Aaaaa BBBBBBBB Astronome Universit Paris VI LESIA Pr sident du Jury Sean N RAYMOND Charg de recherche Universit Bordeaux 1 LAB Directeur de th se Arnaud PIERENS Maitre de conf rence Universit Bordeaux 1 LAB Directeur de th se Richard P NELSON Professor Queen Mary University of London Examinateur Tii JJJJJJJJJJJJ Professeur Aix Marseille Universit OAMP Examinateur Kkkkkkkkkkkk LLLLLL Professeur Aix Marseille Universit OAMP Examinateur Alessandro MORBIDELLI Charg de Recherche Nice OCA Rapporteur Caroline TERQUEM Lecturer Oxford University of Oxford Rapporteur 2013 Th se pr par e au Laboratoire d Astrophysique de Bordeaux Observatoire Aquitain des Sciences de l Univers OASU UMR 5804 LAB 2 rue de l observatoire 33 271 Floirac CEDEX R sum Lorem ipsum dolor sit amet consectetuer adipiscing elit Phasellus blandit massa non tellus Pellentesque blandit Etiam sapien Quisque sed m
58. abatic index on plane tary migration A amp A 550 A52 February 2013 doi 10 1051 0004 6361 201118490 J E Chambers A hybrid symplectic integrator that permits close encounters between massive bodies MNRAS 304 793 799 April 1999 doi 10 1046 j 1365 8711 1999 02379 x J E Chambers An Analytic Model for the Evolution of a Viscous Irradiated Disk ApJ 705 1206 1214 November 2009 doi 10 1088 0004 637X 705 2 1206 S Chapman and T G Cowling The mathematical theory of non uniform gases an account of the kinetic theory of viscosity thermal conduction and diffusion in gases Cambridge University Press 1970 E Chiang and G Laughlin The minimum mass extrasolar nebula in situ formation of close in super Earths MNRAS 431 3444 3455 June 2013 doi 10 1093 mnras stt424 E I Chiang and P Goldreich Spectral Energy Distributions of T Tauri Stars with Passive Circumstellar Disks ApJ 490 368 November 1997 doi 10 1086 304869 C J Clarke A Gendrin and M Sotomayor The dispersal of circumstellar discs the role of the ultraviolet switch MNRAS 328 485 491 December 2001 doi 10 1046 j 1365 8711 2001 04891 x C Cossou S N Raymond and A Pierens Convergence zones for Type I migration an inward shift for multiple planet systems A amp A 553 L2 May 2013 doi 10 1051 0004 6361 201220853 P Cresswell and R P Nelson Three dimensional simulations of multiple protoplanets embedded in a
59. age on peut se trouver CHAPITRE 4 M CANISMES DE FORMATION 91 dans un cas o il y a migration syst matique vers l int rieur b h 0 7 ou migration quasi syst matique vers l ext rieur b h 0 2 Si une valeur de 0 2 semble peu r aliste au regard de la migration plan taire M ller et al 2012 il est courant de voir des simulations effectu es avec b h 0 3 0 6 Masset 2002 de Val Borro et al 2006 Paardekooper and Papaloizou 2009 Une longueur de lissage 0 6 lt b h lt 0 76 sous estime le couple de corotation et sur estime le couple de Lindblad Masset 2002 M me si les valeurs pr conis es par les tudes de sensibilit s se situent autour de 0 6 0 7 les tudes faisant des simulations hydrodynamiques utilisent plus couramment une valeur de b h 0 4 Paardekooper et al 2011 Il n existe donc pas de valeur optimale pour la longueur de lissage quand le disque que l on mod lise est utilis pour tudier la migration plan taire Si cette section ne conclue pas quant une valeur utiliser pour b h c est avant tout pour insister sur le fait que la seule conclusion tirer c est que la longueur de lissage est une source importance d incertitude dans nos mod les Une longueur de lissage importante resp faible a tendance favoriser la migration vers l int rieur resp l ext rieur Evolution of the total torque Frot Fo Evolution of the total torque Frot Po 40 1 1 35 0 5 0 5 g 30 5
60. ait son tour modifier le couple de corotation et ainsi modifier l quilibre entre couple diff rentiel de Lindblad et couple de corotation En cons quence la migration de la plan te elle m me devrait tre modifi e Nous pr sentons des simulations de migration convergentes de plan tes de faible masse M 1 10 Me dans un disque de gaz id alis voir 8 2 3 8 page 57 On utilise un modele simplifi de r troaction de l excentricit sur le couple de corotation Nous montrons que les plan tes qui prises de mani re isol migrent la zone de convergence ne migrent plus au m me endroit quand il y a plusieurs plan tes Au lieu de ca elles migrent une position d quilibre d cal e vers l int rieur du disque qui correspond une somme nulle des couples exerc es sur le syst me La position de cette zone d quilibre d pend de l excentricit maintenue par pertur bation mutuelle de chaque plan te constituante du syst me 4 1 2 M thode On mod lise une Zone de Convergence CZ Convergence Zone artificielle qui imite une zone de convergence ind pendante de la masse c est dire que la position de la zone de convergence est la m me pour toutes les plan tes quelle que soit leur masse 8 3 2 2 page 65 En particulier on s int resse la zone de convergence que l on peut trouver une transition d opacit telle que celle repr sent e sur FIGURE 4 1 o l on peut voir un renversement brutal du couple qui
61. al appea rance A amp A 24 337 355 1973 M Simon and L Prato Disk Dissipation in Single and Binary Young Star Systems in Taurus ApJ 450 824 September 1995 doi 10 1086 176187 J Stoer and R Burlisch Introduction to numerical analysis Springer Verlag New York Heidelberg Berlin 1980 H Sung J R Stauffer and M S Bessell A Spitzer View of the Young Open Cluster NGC 2264 AJ 138 1116 1136 October 2009 doi 10 1088 0004 6256 138 4 1116 H Tanaka and W R Ward Three dimensional Interaction between a Planet and an Isothermal Gaseous Disk II Eccentricity Waves and Bending Waves ApJ 602 388 395 February 2004 doi 10 1086 380992 H Tanaka T Takeuchi and W R Ward Three Dimensional Interaction between a Planet and an Isothermal Gaseous Disk I Corotation and Lindblad Torques and Planet Migration ApJ 565 1257 1274 February 2002 doi 10 1086 324713 C Terquem and J C B Papaloizou Migration and the Formation of Systems of Hot Super Earths and Neptunes ApJ 654 1110 1120 January 2007 doi 10 1086 509497 A Toomre On the gravitational stability of a disk of stars ApJ 139 1217 1238 May 1964 doi 10 1086 147861 S Udry and N C Santos Statistical Properties of Exoplanets ARA amp A 45 397 439 September 2007 doi 10 1146 annurev astro 45 051806 110529 W R Ward Protoplanet Migration by Nebula Tides Icarus 126 261 281 April 1997 doi 10 1006 icar 1996 5647
62. ale Si la diff rence de vitesse est trop grande alors les deux plan tes ne peuvent pas former un syst me en r sonance La r sonance est rapidement cass e et les deux corps continuent leur migration Ceci est d autant plus vrai si le rapport de masse est important car la br ve augmentation d excentricit qui a lieu lors d une capture en r sonance n aura que peu d effet sur la plus grosse plan te Cette derni re sera tr s peu sensible aux perturbations gravitationnelle de son compagnon r sonant et continuera sa migration vers l ext rieur sans quasiment ralentir FIGURE 4 10 page ci contre illustre ce sc nario Cette derni re atteint par collisions la masse de 6M4 au bout de 300000 ans alors qu elle se trouve 1 2 AU ce qui est suffisant pour qu elle puisse migrer vers l ext rieur Cependant les perturbations gravi tationnelles des autres corps qui eux migrent vers l int rieur l emp chent de se comporter comme une plan te isol e Dans les quelques dizaines de milliers d ann es suivants 3 nouvelles collisions ont lieu La plan te fait maintenant 13 M La diff rence de masse avec ses voisins imm diats lui permet de migrer vers l ext rieur malgr les perturbations r sonantes qui augmentent son excentricit Comme d taill 8 4 1 4 page 71 plus le rapport de masse est important et plus la migration est domin e par la plan te massive Dans un syst me r sonant avec rapport de masse lev la petite plan te a une e
63. amp magn tique et est rapidement accr t le long des lignes de champ En consid rant un syst me toile disque isol il n y a pas d arr t brutal de la distribution de mati re au bord externe qui est donc plus une limitation num rique n cessaire aux simulations qu autre chose La r alit est repr sent e plus fid lement par une d croissante continue de la mati re difficile repr senter tant pour le bord externe que pour la distribution azimutale du disque G n ralement on consid re donc que la taille verticale du disque est gale une chelle de hauteur grandeur caract ristique de la d croissance exponentielle verticale de la densit de mati re tandis que la taille radiale du disque d pend de la physique que l on consid re Dans mon cas j ai souvent pris un bord externe 100 AU Je vais ici essayer de r capituler les approximations qui ont t faites jusque l sur la physique des disques et qui vont se retrouver implicitement dans tout code qui impl mente les quations d crites ci dessus 1 On suppose que les disques voluent de mani re isol e Les tudes sugg rent que les toiles se forment majoritairement dans des amas clusters l int rieur desquels la plupart des toiles font partie de syst mes binaires ou multiples Duquennoy and Mayor 1991 M me si cette approximation permet la mod lisation de l volution du disque il est probable que des effets de voisinages aient des co
64. ances Dans la position d quilibre d un syst me de deux plan tes l ordre de la r sonance entre les deux corps est aussi important pour une r sonance de moyen mouvement p q p p est l ordre de la r sonance Deux plan tes en r sonance 3 2 auront des excentricit s plus importantes que si elles taient en r sonance 11 10 L explication simple est qu une r sonance d ordre moins lev implique des conjonctions plus fr quentes et ainsi des perturbations plus importantes voir Murray and Dermott 2000 pour plus de d tails La r sonance dans laquelle un syst me de deux plan tes se place d pend de la vitesse de migration relative et du taux d amortissement de l excentricit par le disque voir par exemple Mustill and Wyatt 2011 Ces deux derniers param tres sont d termin s la fois par le disque le profil de couple et les positions initiales des plan tes o S HO x un 4 3 3 2 i e Inner Planet WW f 4 e Outer Planet l l l l gt pg _ e e Orbital Distance AU HHHHNNMNNNMNUW NADVONADOO e Inner Planet e Outer Planet 005 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 Period Ratio FIGURE 4 5 demi grand axe final en haut et excentricit en bas de deux plan tes de 3 Me pi g es dans diff rentes r sonances de moyen mouvement Pour une plan te de 3 Mg la demi largeur de la zone fer cheval vaut environ 0 014 Afin de tester l effet des r sonances
65. ar Hur 2000 la diff rence de tous les autres mod les que j ai impl ment celui de Hur 2000 est directement une table d opacit sans faire intervenir de loi de puissance pour diff rents r gimes la diff rence des autres mod les il n introduit pas d incertitudes suppl mentaire via les loi de puissance qu il d fini En effet dans le cas qui nous int resse c est dire la migration plan taire via la formule de Paardekooper et al 2011 l indice des loi de puissance pour la densit de surface et la temp rature a une tr s grande influence sur la couple effectif du disque Et les transitions d opacit s tr s marqu es lors de la transition des lois de puissance CHAPITRE 2 LE CODE N CORPS 55 fait apparaitre des zones particuli res dans le disque qui n ont parfois aucune r alit physique mais ont de grandes cons quences sur le r sultat des simulations De m me le lissage qu elles introduisent masquent certaines zones d int r t qui ne sont mises en vidence qu avec une table d opacit o tous les effets fins ont t pr serv s 2 3 7 Turbulence Pour activer la turbulence dans le disque c est dire l effet que la turbulence peut induire sur la migration plan taire il suffit d utiliser le param tre suivant is_turbulence 1 La turbulence n est ici qu une migration stochastique de moyenne nulle qui perturbe les plan tes et leur migration Le modele utilis est le m me que celu
66. assa ac tortor accumsan bibendum Donec et orci quis mi sollicitudin consectetuer Donec malesuada Pellentesque bibendum pel lentesque elit Morbi et diam ac wisi auctor fringilla Cras nec arcu sed velit dapibus blandit Maecenas mollis aliquet quam In eget sem nec orci fringilla sagittis Suspendisse cursus placerat massa Pellentesque non metus Morbi congue tellus eget tellus Suspendisse justo Suspendisse potenti Praesent interdum lorem in velit Nullam sit amet nisl eget wisi consectetuer consequat Mauris vel felis Nulla sed neque Nulla facilisi Maecenas accumsan gravida wisi Maecenas sodales gravida neque Mauris in est a ante molestie gravida In id neque Ut augue Duis fringilla ullamcorper risus Nullam at lorem Quisque consequat turpis ac libero Ut auctor ante commodo magna Donec in magna Integer sodales Donec ac nibh eu felis suscipit elementum Fusce convallis dolor sit amet dolor Nulla sit amet pede Maecenas et ante vitae risus tempus facilisis Nullam ut tellus et lacus sollicitudin condimentum Maecenas vitae lorem Quisque nec leo varius est euismod posuere Integer ac diam in enim pellentesque pulvinar Etiam sodales tristique eros Curabitur non magna Suspendisse blandit metus vitae purus Phasellus nec sem vitae arcu consequat auctor Donec nec dui Donec sit amet lorem vel erat tristique laoreet Duis ac felis tincidunt arcu consequat faucibus Vestibulum ultrices porttitor purus In semper consequat dolor Nunc porta
67. au and Lifschitz 1989 16 3 OE 1 q 3 nav 1 32 Qu Ov Tik F 73 26 1 2 LES DISQUES PROTOPLAN TAIRES o 7 pv est la viscosit dynamique partir de Landau and Lifschitz 1989 15 8 et 15 17 on extrait de mani re assez directe l expression du tenseur 7 en coordonn es cylindriques jg Tro E tN Or r Op Or T _ l v d _ 0 1 dv Tye 2 1 52 Z Tye Sei 52 1 33 Ov 90v Ov Ta 2 qui Ta 52 G sachant que le tenseur est sym trique en statique ce qui donne Ter Tro Trz Tik Tro Tor Tos 1 34 Trz Tos Tz partir de ces expressions nous allons proc der quelques simplifications moyen nant quelques approximations On consid re tout d abord que v 0 en invoquant le fait que le disque est l quilibre hydrostatique verticalement Ensuite on n glige tous les termes en o car le disque est axisym trique On n glige enfin tous les termes en v devant les termes en v tant donn que la vitesse de d rive li e l accr tion est beaucoup plus petite que la vitesse de rotation due au mouvement k plerien En effet la vitesse de d rive est une cons quence des pertes d nergie par frottement visqueux entre deux anneaux due la diff rence de vitesse de leur mouvement k plerien Seul le terme T reste Ov U que d Or r avec Vy rQ dQ Tro T dr 1 35 Il vient alors OE 1 z T 2 dV at 2 Ju
68. corps i et j Un int grateur symplectique est un int grateur qui au lieu d appliquer directement le hamiltonien H sur le syst me va s parer ce dernier en deux ou plusieurs parties et ap pliquer ces sous hamiltoniens successivement Un int grateur symplectique r soud donc le probl me de mani re approch e en n gligeant les termes crois s des sous hamiltoniens Afin de minimiser l erreur d cette approximation il faut choisir judicieusement la s paration du hamiltonien afin d avoir une partie dominante par rapport l autre Par d finition un algorithme symplectique conserve l nergie au cours du temps m me si l nergie fluctue au cours du temps autour d une valeur moyenne 1 Basiquement un code symplectique est un code qui conserve parfaitement l nergie de par sa d finition en terme d hamiltoniens CHAPITRE 2 LE CODE N CORPS 49 Les int grateurs symplectiques ont deux avantages importants sur les int grateurs classiques 1 Les fluctuations instantan es de l nergie dues un algorithme symplectiques sont plus grandes que celles d un algorithme N corps mais la diff rence de ces derniers l erreur ne croit pas au cours du temps FIGURE 2 1 2 Ils sont moins couteux en temps de calcul en particulier quand la majeure partie de la masse est contenue dans un seul corps bien adapt pour l tude d un syst me plan taire autour d une toile donc 2 li rr
69. culaire moyenne n a que peu d effet Il ne nous est donc pas apparu important de prendre cette variation en compte les changements induits sur la carte de migration tant bien inf rieur l influence du mod le d opacit par exemple Cette effet nous parait donc totalement n gligeable au regard des incertitudes de notre mod le Discussion et limite du modele Sommaire 51 tude de sensibilit 22 add odes a et doit ere 94 5 1 1 Le choix de la table d opacit et son impl mentation 94 5 1 2 Mod lisation de la viscosit 94 5 2 Approximations 2 siss eae 94 5 2 1 Profil de densit du gazen2D 94 5 2 2 La mod lisation des bords du disque 94 5 2 3 Pas d effet indirect des ondes de densit sur les autres plan tes 94 DA AMORE p dus eo de de mi EERE EER SE 4 94 A 94 5 3 1 Snow line comme source de particules 94 93 94 5 1 TUDE DE SENSIBILIT 5 1 tude de sensibilit 5 1 1 Le choix de la table d opacit et son impl mentation 5 1 2 Mod lisation de la viscosit 5 2 Approximations 5 2 1 Profil de densit du gaz en 2D 5 2 2 La mod lisation des bords du disque 5 2 3 Pas d effet indirect des ondes de densit sur les autres plan tes 5 2 4 Auto gravit 5 3 Id es 5 3 1 Snow line comme source de particules Conclusion J ai cherch tout au long de ma th se d velopper un code n
70. de la d finition que l on choisi pour l opacit et de la d pendance de cette derni re en fonction de la temp rature la densit ou la pression 28 1 2 LES DISQUES PROTOPLAN TAIRES 1 2 4 La viscosit du disque La viscosit mol culaire viscosit g n ralement consid r e quand on tudie la dyna mique d un fluide peut tre d finie par Vm C 1 38 o c est la vitesse du son dans le milieu et A libre parcours moyen dans le gaz avec une concentration de particule n est 1 NO mol A 1 39 On cherche ici faire un calcul d ordre de grandeur on ne se pr occupe pas des d tails plus fins qui seraient normalement n cessaire pour calculer une viscosit mol culaire On prend pour section efficace de collisions celle de l hydrog ne mol culaire Chap man and Cowling 1970 Omo 2 x 10 cm 1 40 On consid re ensuite un disque dont la densit de surface X 1 AU vaut X 500 g cm En utilisant 1 13 page 18 on a alors p 2 67 10 9 g cm Il vient la concentration n 6 8 101 cm On obtient alors une viscosit mol culaire 1 AU de l ordre de Vm 1 0 x 108 cm s 1 41 Le temps caract ristique de l volution visqueuse qui en d coule est alors ty lt 6 5 x 10 ans 1 42 c est dire plus d un million de fois le temps de vie observ des disques protoplan taires qui se situe autour du million d ann es Williams and Cieza 20111 En cons que
71. de simulations hydrodynamiques 2D le mod le se base sur des moyennes azimutales des diff rentes quantit s physiques Le lissage du potentiel gravitationnel est ici n cessaire afin de diluer la densit de surface et reproduire au mieux l aspect 3D du disque On comprend alors ais ment que la longueur de lissage va tre reli e l chelle de hauteur du disque qui est elle aussi une mesure de l extension azimutale du disque Plusieurs groupes ont cherch tudier la longueur de lissage en d tail en particulier pour trouver la valeur optimale utiliser Hur and Pierens 2009 M ller et al 2012 90 4 3 EFFETS DES PARAM TRES DU DISQUE Ces tudes cherchent trouver la longueur de lissage qui permet de reproduire les simulations 3D l aide des simulations 2D Une longueur de lissage relativement importante b h 0 75 est n cessaire pour reproduire correctement le couple de Lindblad Masset 2002 Pour le couple de coro tation la zone fer cheval tant tr s proche de la plan te ce dernier est extr mement sensible la longueur de lissage En effet Masset 2002 a montr que dans certains cas le couple de corotation pouvait tre plus d un ordre de grandeur plus important en fonction de la valeur du lissage que l on applique La valeur pr conis e est alors autour de b h 0 5 0 6 Ainsi Masset 2002 conclue qu il est peu probable de trouver une valeur optimale pour la longueur de lissage les valeurs opt
72. des plan tes de plusieurs masses terrestres vont pouvoir accr ter du gaz mais la proximit de ces plan tes leur toile centrale pourra avoir une effet dissipatif sur leur atmosph re Ensuite Terquem and Papaloizou 2007 ont montr que la formation de syst mes compacts est possible Ici le mod le que nous avons repris est tr s similaire leur mod le ceci pr s que nous avons mod lis la migration de mani re consistante avec le disque avec possibilit de couple positif et n gatif en fonction de la masse et de la position de la plan te Ce que notre mod le montre en plus du mod le de Terquem and Papaloizou 2007 c est que m me avec migration vers l ext rieur des syst mes compacts peuvent se former au bord interne avec des propri t s tr s similaires aux propri t s des syst mes observ s Mais de plus dans le m me mod le la formation de c urs de plan tes g antes dans les parties externes est possible 4 3 Effets des param tres du disque Jusqu pr sent je me suis concentr sur des cas particuliers Dans le cas de la formation de super Terres je n ai montr qu un seul disque 8 4 2 page 78 Dans le cas du d calage de la zone de convergence j ai montr un disque artificiel mod lisant une zone de convergence 8 4 1 page 67 Je vais montrer dans les paragraphes qui suivent que la migration est extr mement sensible aux param tres du disque Kretke and Lin 2012 ont d j tudi l i
73. disque par rapport l autogravit Q 16 1 2 LES DISQUES PROTOPLAN TAIRES Dans ce param tre 7G repr sente la masse du disque La vitesse du son c est li e la pression thermique la fr quence picyclique amp d termine quant elle la force du cisaillement dans le disque Si Q 1 alors le gaz est instable gravitationnellement et il commence s effondrer sur lui m me et former des surdensit s condition que le temps de refroidissement soit inf rieur 3 fois la p riode orbitale 7 lt 37 Gammie 2001 Si Q gt 1 le disque est stable partir du param tre Q on peut d river une condition sur le rapport de masse entre toile et disque pour que l auto gravit soit n gligeable ce qui donne Gammie 2001 Ma lt H M R 1 2 Nous ne consid rerons que des disques dont la masse Ma est faible devant la masse de l toile M Si tel n tait pas le cas le temps pour que le disque perde suffisamment de masse pour se retrouver dans le cas qui nous int resse sera court devant la vie du disque et le temps de formation plan taire tant donn qu on ne s int resse qu aux derniers stades de la formation plan taire savoir quand les embryons plan taires ont une masse de l ordre du dixi me de masse terrestre au minimum il est raisonnable de penser que le disque sera dans un stade peu dense o l approximation Q gt 1 sera valable Dans un tel cas c est le potentiel gravitationnel de
74. dit des l ments orbitaux 62 M canismes individuels 63 3 1 Les R sonances de Moyen Mouvement MMR 64 3 1 1 D finition oso Eoo AAA EUR Lane Rn 64 3 1 2 R sonances et excentricit 65 3 1 3 Stabilit et ordre des r sonances 65 3 2 Les Zones de Convergence 5 4 4 4 4 44 be he de 4 pou 65 321 Existence et int r t du 65 3 2 2 Les diff rents types 65 3 43 Diagrammes de couple am 65 3 2 4 R sonances et Accr tionSs 65 M canismes de formation 66 4 1 D calage de la Zone de Convergence 67 ALI Introductions 20x35 oA eum di OSS 67 Lgs o 22 x Mor Re Bore oe Ye ee A e a E A E A 68 4 1 3 Le cas de deux plan tes 4 14 Effet du rapport de miass c cora 4 b 4 9x RR 4 1 5 Effet des r sonances 224 ss komo he sa A 4 1 6 volution avec plus de deux plan tes AI Discussion A A A be DEG lt 4 2 Formation des super Terres chaudes IL Moldes sico dd 2444 644 4 ad A 122 Conditions ubl y da a e e e l 4 2 3 Syst mes possibles lt soss 2 2 ooo Ew a de Peed dde DISCUSSION y se kde e Ry A SAN we a os 4 3 Effets des param tres du disque 43 1 VISCOSILS AUS s dou Lis ok E x x E CE x E LME 4 3 2 Profil de densit desu
75. e ce soit pour commenter une ligne enti re ou pour mettre en fin de ligne apr s un param tre l aide du caract re exactement comme en Fortran90 2 3 1 Note technique Le code est en grande partie le code mercury Chambers 1999 Les effets du disque ont t inclus dans la partie mfo user pr vue pour inclure des effets propre chaque utilisateur CHAPITRE 2 LE CODE N CORPS 51 Pour autant le code a t concu de mani re modulaire en portant une attention particuli re au temps d ex cution et la souplesse d utilisation La plupart des effets sont d sactivables par une simple option dans un fichier de param tre sp cifique au effets du disque disk in Prenons un exemple Le couple exerc par le disque sur la plan te peut tre issus des formules de Paardekooper et al 2011 ou bien suivre plusieurs lois artificielles permettant de tester certains effets dans des cas simplifi s Pour autant cette souplesse d utilisation ne se fait pas au d triment de la c l rit du code car au lancement du code les options sont lues et des pointeurs de fonctions permettent au code d ex cuter directement la bonne fonction lors de l int gration sans avoir tester chaque pas de temps quelle fonction doit tre lanc e Un programme externe nomm test disk permet d effectuer des tests unitaires sur diff rentes fonctions afin de v rifier quand bon nous semble que chaque fonction n est pas perturb e par les autres
76. e densit de surface du gaz est calcul puis approxim par une loi de puissance ce qui donne 35 X R 1700 7 g cm 1 47 La premi re chose c est que c est une masse minimale c est dire qu on suppose que toute la masse de poussi re pr sente dans le disque de gaz se retrouve dans la masse finale des plan tes ce qui est hautement improbable que ce soit cause notamment de Paccr tion sur l toile ou de la disparition d embryons de plan tes soit en tombant dans P toile soit par jection du syst me Ce profil est malgr tout une base de travail vu qu il est extr mement difficile de d duire ces informations des observations des disques Malgr tout les tudes semblent montrer que l on s attend un profil moins abrupt que X r 2 plus proche de X x r Bell et al 1997 Mais on voit quand m me que l on a une grande libert sur la densit de surface du disque la fois parce qu on sait ce jour peu de choses ce sujet mais aussi et surtout 3 MMSN Minimum Mass Solar Nebulae CHAPITRE 1 FORMATION PLAN TAIRE 33 parce qu au cours de son volution le disque de gaz va voir sa densit de surface varier norm ment En variant le profil on tudie donc aussi diff rentes tapes de formation d un m me disque Le profil de densit de surface que ce soit au travers de X ou de l indice de la loi de puissance a une grande influence sur les autres param tres du disques notamment
77. e angulaire d une particule fluide ou d une plan te dans le disque constante de Boltzmann Temp rature Masse mol culaire moyenne du gaz constituant principal du disque Densit de surface du disque de gaz Densit volumique du disque de gaz rapport adimensionn entre la masse de la plan te et la masse de son toile E H RQ M TABLE A 1 Liste de la plupart des variables utilis es tout au long de la th se Les param tres avec un p en indice indiquent simplement que c est la valeur du param tre la position orbitale de la plan te A 2 Propri t s du disque La prescription alpha pour la viscosit d un disque est d finie par v ac H A 1 ge A 2 umy 98 A 3 PROPRI T S DES ORBITES K PLERIENNES 1 kT Ho e A 3 A 4 o my est la masse d un atome d hydrog ne On consid re que la densit de surface est gale la densit volumique int gr e sur la taille verticale 2H du disque X 2pH A 5 A 3 Propri t s des orbites k pleriennes wwe o Physique des disques Sommaire B 1 Bilan de moment angulaire 100 Conclusion de la partie 103 99 100 B 1 BILAN DE MOMENT ANGULATRE Ce chapitre est destin d tailler les calculs red montrant les quations fondamen tales de la physique des disques Dans le premier chapitre de la th se je fais des d monstrations somme toute assez succinctes mais
78. e de densit tait rigide elle s enroulerait sur elle m me au bout de quelques orbites seulement ce qui n est pas le cas ici Binney and Tremaine 2008 e 0 0ce l FIGURE 1 9 Illustration de l origine des bras spiraux dans une galaxie au travers de l exitation coh rente de l excentricit par les bras eux m mes Dans le cas e 0 les orbites des toiles repr sent es par les traits noir sont des cercles parfaits Dans le cas 0 lt e lt 1 les orbites sont toutes tr s l g rement excentriques et les arguments du p rih lies l g rement d cal s mesure que les demi grands axes augmentent Pour l interaction entre une plan te et un disque protoplan taire c est exactement le m me principe Le potentiel de la plan te excite les excentricit s des l ments fluides voisins jusqu former une onde de densit autour de la plan te La diff rence principale est que le perturbateur est un potentiel gravitationnel tournant ce qui modifie la forme des ondes de densit comme illustr FIGURE 1 10 page ci contre CHAPITRE 1 FORMATION PLAN TAIRE 37 mode m 3 Illustration de la superposition Interf rence des modes m 3 et m 4 de tous les modes m FIGURE 1 10 G n ration d ondes de densit dans le disque protoplan taire d la pr sence d une plan te Chaque mode m met m ondes de densit de part et d autre de la position radiale de la plan te Un anneau interne aux positions du mode m est
79. elques 0 15 million d ann es suivants elles entrent p riodiquement en r sonance 76 4 1 D CALAGE DE LA ZONE DE CONVERGENCE 5 4 mais la migration vers l ext rieur continue car la plupart du temps elles ne sont pas en r sonance et leur excentricit reste relativement faible La migration globale vers l ext rieur du syst me s arr te 1 335 million d ann es quand les deux plan tes externes traversent la r sonance 5 4 et sont pi g es dans la r sonance orbitale 6 5 Cette confi guration stabilise le syst me excite les excentricit s des plan tes externes et entraine la migration globale du syst me tout entier vers l int rieur marquant la fin de cet pisode chaotique Le reste de l volution est compos du m me type de perturbations Les perturbations proviennent des plan tes qui entrent ou sortent des r sonances et qui se propagent alors au reste du syst me Quand les plan tes sortent de r sonance leur excentricit d croit rapidement entrai nant une migration vers l ext rieur Par opposition les plan tes entrant en r sonance voient leur excentricit croitre et tre maintenue un niveau constant non nul qui en traine une migration vers l int rieur Au travers de ces perturbations des syst mes entiers subissent des migrations chao tiques relativement modestes qui illustrent la difficult pour le syst me de maintenir une chaine de r sonance pendant de longues p riodes La totalit des syst me
80. embler bien plus compacts que le syst me solaire au premier abord d un point de vue gravitationnel ils poss dent peu pr s le m me espacement en terme de rapport de p riode et de rayon de Hill mutuel Fang and Margot 2013 FIGURE 4 7 montre les propri t s statistiques des plan tes d tect es dans des sys t mes multiples incluant les candidats Kepler 40 35 30 225 5 2 20 15 a 10 Distribution 1 10 100 1 10 100 period ratio n Distribution Distributio 0 1 10 100 1000 0 01 0 1 1 10 mass Earths Semi major axis AU FIGURE 4 7 Propri t s des exoplan tes d tect es dans des syst mes multiples N gt 2 Donn es 01 01 2013 http exoplanets org Plusieurs m canismes de formations tentent d expliquer la pr sence de super Terres ces plan tes ayant une masse de 1 10 Ma tout en tant compatible avec les contraintes observationnelles Deux mod les principaux peuvent ce jour expliquer la formation de ces plan tes Le premier modele la formation in situ Chiang and Laughlin 2013 n est pos sible que si le disque est suffisamment massif localement pour permettre la formation de plan te de plusieurs masses terrestres La formation est alors semblable celle des plan tes telluriques dans le syst me solaire Wetherill 1990 Kenyon and Bromley 2006 CHAPITRE 4 M CANISMES DE FORMATION 79 Le deuxi me mod le implique la migration de type 1 Terquem and Papa
81. ent des plan tes beaucoup plus petites en r sonance La seule diff rence entre le cas syst me compact et le cas plan te g ante est le timing En effet il y a deux points importants D une part les embryons de faibles masses migrent vers l int rieur quelle que soit leur position initiale De plus les embryons en dessous d une certaine distance migrent tous vers l int rieur quelle que soit leur masse Les plan tes qui ne r pondent pas ces crit res migreront inexorablement vers le bord interne Il faut donc dans le cas pr sent qu un embryon atteigne la masse critique de 5 My au CHAPITRE 4 M CANISMES DE FORMATION 85 del de 1 UA pour pouvoir migrer vers l ext rieur et devenir un c ur de plan te g ante Quand nous parlons ici de syst me compact il faut garder l esprit que le disque est toujours pr sent Nous ne faisons pas voluer le disque au cours du temps la dissipation aura donc certainement un effet Les r sonances pr sentes syst matiquement au bord interne cause de la migration auront des chances de dispara tre si des d stabilisations surviennent pendant la dissipation En effet le syst me n est stable qu cause de la dissipation induite par le disque de gaz Pourtant il est difficile de conclure car la mani re dont le disque est dissip aura une incidence sur la configuration finale du syst me Ensuite nous n avons pas tenu compte de l accr tion de gaz sur les super terres D un cot
82. ep cz m min 4 AU CHAPITRE 2 LE CODE N CORPS 57 mass_dep_m_min 1 m_earth torque_profile_steepness 1 0 linear indep M me chose que pr c demment on peut d finir un couple artificiel qui d fini une zone de convergence ind pendante de la masse c est dire qu on ne sp cifie que la position de la zone de convergence dans le disque On a donc torque_type linear_indep indep_cz 3 0 AU torque_profile_steepness 1 0 Une pente de 1 signifie que le couple l T augmente de 1 tous les 10 AU Evolution of the total torque lolo 60 ex 50 40 30 20 a 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Semi major axis AU FIGURE 2 3 Cette carte repr sente l effet du disque dans le cas de l option linear indep pour une plan te en fonction de sa position en abscisse et de sa masse en ordonn e La ligne noire repr sente la zone de couple nul c est dire une zone o la migration de la plan te s arr te tanh _indep Ici on d fini aussi une zone de convergence ind pendante de la masse mais au lieu d avoir une volution lin aire du couple mesure qu on s loigne de la zone de convergence on a une tangente hyperbolique qui sature une valeur que l on peut donner en param tre La valeur du couple de saturation d fini la valeur absolue du couple vers laquelle on va tendre quand on est tr s loin de la zone de convergence Si on est l ext rieur ce sera cette valeur de saturation p
83. eractions gravitation nelles rendent caduque les formules qui permettent de calculer les l ments orbitaux partir des vitesses et positions car ceci suppose qu on est dans le cas d une orbite k plerienne isol e Dans de tels cas on peut avoir des demi grands axe n gatifs des excentricit s sup rieures 1 Si c est d j en soit un probl me physique c est aussi et surtout un probl me num rique car cela fait apparaitre des Not A Number NaN quand par exemple on a le demi grand axe en argument d une racine carr e Ceci a donc pour cons quence concr te de faire planter le code au mieux ou pire de le faire tourner avec tous les param tres de la simulation peu peu gangr n s par des NaN En cons quence j ai d cid de remplacer dans la plupart des calculs de mes simula tions le demi grand axe par le rayon r 1 x y z qui lui n est pas sensible ce genre de divergences Quand il y a une excentricit il est clair que le rayon est diff rent du demi grand axe Mais les excentricit s tant g n ralement faible l erreur faite sur le demi grand axe reste faible De plus les rencontres proches repr sentent un temps n gligeable de la simulation au regard des centaines de milliers d ann es sur lesquelles on int gre les orbites On consid re donc que la migration induite sur les plan tes pen dant leur temps de rencontre proche est totalement n gligeable au regard du reste de la simulation M canismes indi
84. es la zone de convergence Au lieu de cela les embryons migrent rapidement vers la zone de convergence et sont pi g s dans des cha nes de r sonance Ceci entraine l aug mentation brutale de leur excentricit qui reste suffisamment importante pour att nuer le couple de corotation La zone d quilibre de la chaine de r sonance dans le disque est d termin e par la somme des couples ressentis individuellement par les plan tes chaque CHAPITRE 4 M CANISMES DE FORMATION 77 terme tant la somme d un couple de corotation att nu et d un couple diff rentiel de Lindblad non att nu Dans la pratique cette zone de couple nul effective est d termi n e principalement par la zone de convergence d cal e de la plan te la plus massive de la chaine de r sonance Ce n est pas une vraie zone de convergence car chaque plan te voit une zone de convergence diff rente en fonction de son excentricit Le d calage vers l int rieur existe parce que les excentricit s des plan tes sont main tenues par les perturbations r sonantes L amplitude de l excentricit d une plan te est le r sultat de la comp tition entre l excitation r sonante et l amortissement de l excen tricit par le disque Pour des excentricit s suffisamment importantes un syst me entier de plan tes en r sonance peut migrer jusqu au bord interne Changer les propri t s du disque pourrait ainsi changer les valeurs typiques des excentricit s en modifia
85. es disques Il restera pourtant toujours des incertitudes quant aux propri t s des poussi res taille et quantit ainsi que son volution au cours du temps La poussi re tant une source majeure d opacit dans le disque son volution au cours du temps doit avoir une influence toute aussi majeure que nous ne pouvons que n gliger l heure actuelle malgr les implications que cela peut avoir sur la formation des plan tes 4 3 6 Effet de l irradiation En choisissant ou non d inclure l irradiation dans l quation de l nergie permet tant de calculer le profil de temp rature on change de mani re importante la carte de migration Evolution of the total torque Frot Po Evolution of the total torque l iou T o 1 1 E 0 5 E 0 5 E 0 E 0 Uu n 0 5 p 0 5 E E t 1 E 1 s E 2 1 5 a 1 5 2 2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Semi major axis AU Semi major axis AU a Avec irradiation b Sans irradiation FIGURE 4 13 Influence de l irradiation sur la carte de migration travers le profil de tem p rature Afin de visualiser plus facilement les effets Bell and Lin 1994 a t utilis pour l opacit CHAPITRE 4 M CANISMES DE FORMATION 89 Afin de visualiser l effet de l irradiation nous avons utilis les lois d opacit s de Dell and Lin 1994 En effet le principal effet de l irradiation est de lisser le profil de temp rature Sans irradiation une transition d opacit marq
86. esure que ce derni re amorti et dissipe l onde Couple co orbital ou de corotation mode m 3 Illustration de la superposition Interf rence des modes m 3 et m 4 de tous les modes m FIGURE 1 11 partir de la d composition en s rie de Fourier du potentiel gravitationnel de la plan te chaque mode m a pour cons quence m zones de libration dans la zone de corotation avec la plan te Les interf rences entre l infinit de modes m fait appara tre des orbites fer cheval horseshoe orbits dans la r f rentiel tournant avec la plan te La zone de corotation a ici t exag r e pour plus de lisibilit De la m me mani re que pr c demment pour le couple de Lindblad on peut repartir de la d composition en s rie de Fourier du potentiel gravitationnel de la plan te Pour chaque mode m de la d composition on voit appara tre m zones de libration centr es sur le rayon de la plan te et r parties en azimut Figure 1 11 repr sente le mode m 3 puis une juxtaposition de mode et finalement le r sultat des interf rences constructives entre tous les modes m de la d composition CHAPITRE 1 FORMATION PLAN TAIRE 39 Le couple de corotation provient des changes gravitationnels que va avoir une par ticule fluide en co orbite avec une plan te Il existe deux types de couples issus du gradient de deux quantit s physiques distinctes la vorticit sp cifique vorticit divis e par la densit de surface appel
87. et donne des r sultats corrects la fois physiquement et num riquement 2 3 2 Param tres divers Ici je regroupe des param tres du disque qui n cessitent simplement une valeur b h 0 6 adiabatic index 1 4 mean molecular weight 2 35 disk edges 0 1 100 sample 800 b h est la longueur de lissage du potentiel gravitationnel d une plan te qui di verge dans les simulations hydrodynamiques et qui est un param tre des formules de Paardekooper et al 2011 adiabatic index est l indice adiabatique comme son nom l indique De m me mean molecular weight est la masse mol culaire moyenne y disk edges d fini les deux extr mit s du disque les bords internes et externes sample d fini le nombre de points qu auront les profils radiaux des diff rents para m tres du disque Ces points ne sont pas r partis uniform ments il y a plus de points au bord interne qu au bord externe afin d avoir une volution plus fine des param tres en fonction du rayon 2 3 3 Densit de surface surface density permet de d finir le profil en loi de puissance pour la densit de surface Surface density 500 0 5 52 2 3 MODE D EMPLOI DU CODE N CORPS MODIFI Ici on a d fini le profil suivant X R 500 R 9 5 g cm Mais il est aussi possible de donner un profil tabul de densit de surface en fonction du rayon en param tre d entr e en sp cifiant le param tre suivant surface_density manual A
88. explorer ces deux mod les et de les comparer quand cela nous est donn de le faire lonisation et dead zones Pour qu une instabilit magn to rotationnelle ait lieu c est dire qu il y ait un couplage entre le champ magn tique et les mouvements du disque il faut qu une partie au moins du disque soit ionis Dans ces r gions ionis es on pourra alors avoir transport du moment angulaire via la viscosit turbulente Sans ionisation il n y a pas de couplage entre le champ magn tique et la mati re et donc pas de turbulence induite par ce m me champ Or comment ioniser FIGURE 1 8a page suivante repr sente les diff rents processus d ionisation dominants en fonction de la zone du disque consid r e Mais si le taux d ionisation d croit en fonction de la distance orbitale Ilgner and Nelson 2006 comme le montre FIGURE 1 8b page suivante il en va de m me avec la densit de surface du disque Il est donc probable que certaines zones du disques ne soient pas ionis s en pourcentage du nombre total d atomes disponibles et donc que le transport du moment 30 1 2 LES DISQUES PROTOPLAN TAIRES angulaire s y fasse peu ou pas du tout Gammie 1996 Ces zones appel es dead zone sont donc des zones o la turbulence est faible ou inexistante et o la viscosit et par cons quent beaucoup plus faible Processus d ionisation dominant EM Temp rature MI Rayons X stellaires m Rayons X stellaires durs
89. f Comets Their Origin and Evolution Proceedings of TAU Collog 83 held in Rome Italy June 11 15 1984 Edited by Andrea Carusi and Giovanni B Valsecchi Dordrecht Reidel Astrophysics and Space Science Library Volume 115 1985 p 185 page 185 1985 J Fang and J L Margot Are Planetary Systems Filled to Capacity A Study Based on Kepler Results ApJ 767 115 April 2013 doi 10 1088 0004 637X 767 2 115 D A Fischer and J Valenti The Planet Metallicity Correlation ApJ 622 1102 1117 April 2005 doi 10 1086 428383 F Fressin G Torres D Charbonneau S T Bryson J Christiansen C D Dressing J M Jenkins L M Walkowicz and N M Batalha The False Positive Rate of Kepler and the Occurrence of Planets ApJ 766 81 April 2013 doi 10 1088 0004 637X 766 2 81 C F Gammie Layered Accretion in T Tauri Disks ApJ 457 355 January 1996 doi 10 1086 176735 C F Gammie Nonlinear Outcome of Gravitational Instability in Cooling Gaseous Disks ApJ 553 174 183 May 2001 doi 10 1086 320631 P Goldreich and D Lynden Bell I Gravitational stability of uniformly rotating disks MNRAS 130 97 1965 P Goldreich and S Tremaine The excitation of density waves at the Lindblad and corotation resonances by an external potential ApJ 233 857 871 November 1979 doi 10 1086 157448 R A Gutermuth P C Myers S T Megeath L E Allen J L Pipher J Muzerolle A Porras E Winston and G
90. i d taill dans Ogihara et al 2007 Le principe est de d finir un potentiel turbulent dans le disque fait de la superposition de pertur bation individuelle qui ont des modes m temps de vie tm et position dans le disques diff rents Dans le cas typique il y a 100 modes diff rents dans le disque 100 Purv R 0 0 y RIO S ALQR 0 t 2 2 k 1 avec R Ry n Ay ke o cos Med dx Qutx sin mty At 2 3 est une constante adimensionn e d termin e al atoirement en suivant une distri bution gaussienne Ry et x sont respectivement les coordonn es radiales et azimutales du mode k choisies al atoirement et de mani re uniforme pour l un entre les bornes du disque pour l autre entre 0 et 27 Chaque mode k poss de un nombre de mode mj d termin e selon une distribution logarithmique entre m 1 et m 150 le nombre de mode d terminant l extension radiale et la dur e du vie du mode k ox T Ry Amy est l extension radiale de ce mode tandis que Qg repr sente la vitesse angulaire k plerienne la position R Ry Atj 0 27 R myc est la dur e de vie du mode k Les modes apparaissent et disparaissent en fonction de leur temps de vie et sont remplac s afin qu il y ait toujours 100 modes diff rents dans le disque un instant t Chaque mode k est cr un instant to et se termine quand ty t toj gt Atp 56 2 3 MODE D EMPLOI DU CODE N CORPS MODIFI 2 3 8 Migrati
91. imales pour les couples de Lindblad et de corotation tant incompatible M ller et al 2012 sugg re d utiliser une longueur de lissage b h 0 7 tout en notant que des diff rences notables subsistent avec les simulations 3D Hur and Pierens 2009 en tudiant des disques sans plan tes conseillent la plage de valeur suivante 0 13 lt b h lt 0 29 Paardekooper et al 2010 2011 et les formules analytiques ou semi analytiques qu ils fournissent pour d crire la migration de type I 1 50 page 38 1 60 page 42 1 61 page 42 introduisent une telle d pendance Evolution of the total torque Frot Po Evolution of the total torque Frot Po 1 40 1 0 5 35 0 5 30 0 da 0 0 5 20 0 5 1 15 Si 10 215 1 5 2 2 10 12 14 16 18 20 Planet mass Mearth Planet mass Mearth Semi major axis AU Semi major axis AU a b h 0 2 b b h 0 4 Evolution of the total torque Frot Po Evolution of the total torque Ftot Po 1 1 E 0 5 E 0 5 E 0 E 0 Uu u a 0 5 n 0 5 E E 1 1 m m 2 1 5 a 1 5 2 2 10 12 14 16 18 20 Semi major axis AU Semi major axis AU c b h 0 6 d b h 0 7 FIGURE 4 15 Effet de la longueur de lissage b h du potentiel gravitationnel sur la carte de migration du disque de r f rence Ici seule la longueur de lissage change Pour plus de d tails sur les cartes de migration 8 3 2 3 page 65 FIGURE 4 15 montre qu en fonction de la longueur de liss
92. insi le profil de densit de surface sera lu partir du fichier sur face density _ profile dat qui doit tre constitu de deux colonnes la premi re tant la valeur du rayon en AU et la deuxi me la densit de surface en g cm Les lignes doivent tre class es par ordre croissant de distance orbitale les premi res lignes tant les points les plus proches de l toile et les derni res les points les plus lointains Remarque Une interpolation sera r alis e si la discr tisation du fichier d entr e est diff rente de celle du code ceci s ajoute un param tre suppl mentaire inner_smoothing_width 0 05 Ce param tre repr sente la longueur d amortissement de la densit de surface au bord interne du disque afin que la densit de surface au bord interne soit tr s faible Cette longueur est exprim e en pourcentage de distance orbitale du bord interne c est dire que si le bord interne est 0 1 AU alors dans le cas pr sent le lissage sera effectu sur une longueur de 0 005AU 2 3 4 Irradiation de l toile centrale is irradiation permet de d finir si on veut inclure ou non l irradiation dans le calcul de l quilibre nerg tique du disque is irradiation 1 disk albedo 0 5 r_star 4 65e 3 AU t star 5700 K Les param tres sont relativement explicite mais pour d tailler disk albedo est l albedo moyen du disque protoplan taire il repr sente le fait qu une partie de la lumi re incidente de
93. ions gravitationnelle de deux corps en r sonance 4 1 4 page 71 Quand ce n est pas le cas le plus gros corps est celui qui a l excentricit la plus faible mais c est aussi celui qui impose la stabilisation du syst me de deux corps l o lui ressent le couple du disque le plus faible CHAPITRE 4 M CANISMES DE FORMATION 81 25 20 Evolution of the total torque Tio 15 10 40 pm 35 30 0 1 03 05 07 0 9 Semi major axis AU O H N W A U Planet mass M 1 FIGURE 4 9 Cette carte repr sente la migration d une plan te pr s du bord interne en fonction de sa position en abscisse et de sa masse en ordonn e La ligne noire repr sente la zone de couple nul c est dire une zone o la migration de la plan te s arr te Cette carte n est valable que pour des plan tes sur des orbites circulaires e 1 c est dire quand l amortissement du couple de corotation par l excentricit est n gligeable 4 2 3 Syst mes possibles En dessous d une certaine masse limite qui d pend des param tres du disque mais qui se situe g n ralement entre 2 et 10 Mg les plan tes migrent toutes vers l int rieur quelle que soit leur position initiale dans le disque Pour le disque consid r ici FIGURE 4 8 page pr c dente cette limite se situe environ 4 M L volution peut suivre deux cas de figures diff rents mais non exclusifs Dans un premier cas les embryons migrent vers l int rieur et il n y a
94. ions plan taire Ils nous permettent aussi de mieux comprendre notre propre syst me et comment il s est form et surtout de le placer dans cette immense horlogerie qu est le catalogue de syst mes exoplan taires notre disposition Formation Plan taire Sommaire 1 1 Formation stellaire 14 1 2 Les disques protoplan taires 14 1 2 1 Formation et volution 14 1 2 2 Evolution hydrodynamique du disque 15 Structure verticale du disque 17 Bilan d masse s 22 522930 420002 a BOR pe 18 Bilan de moment cin tique angulaire 19 Temps de vie et dispersion du disque 21 12 3 Profil de temp rature e 4 44 54 0 02 xk eau s 22 Refroidissement radiatif 23 Chauffage par l enveloppe 24 Chauffage par l toile 24 Chauffage VISqueux sonos 2244 ee db RR DR da 25 Blois aa a Gea ook a ie Do bn 27 12 4 L viscosit du disque 2222640054884 be 0a yaa 28 Les disques alpha n lt ei da Dane doe sida 29 Ionisation et dead zones 29 12 5 La pousser uo ko S R om Room N ee ER aE Roos 30 12 06 Opacit di disque 2 5929 a ES 31 1 2 7 Profil de densit de surface 32 1 2 8 Limites et approximations dues la mod lisation 33 1 3 Interaction disque plan te
95. issement radiatif Par toute la surface du disque qui est une temp rature Ter en surface on a des pertes par rayonnement de corps noir Pon 20Tog 1 26 ou o est la constante de Stephan Ces derni res doivent tre multipli par deux en effet il y a des pertes par rayonnements des deux cot s du disque une position donn e 24 1 2 LES DISQUES PROTOPLAN TAIRES Tes est une estimation de la temp rature effective du disque sa surface Hubeny 1990 T4 DR 1 27 Toff avec 3 V3 1 Tef ge 4 Ar 1 27b o 7 2 2 est la profondeur optique verticale moyenne amp tant l opacit du disque l opacit sera d taill e dans 1 2 6 page 31 Cette temp rature effective est le r sultat d un transfert de rayonnement depuis le c ur du disque une temp rature T qui se refroidit et chauffe les diff rentes couches successives jusqu atteindre le bord du disque Il r sulte alors une temp rature Teg plus faible que la temp rature dans le plan du disque Chauffage par l enveloppe Enveloppe LS 4 a E gt ps A FIGURE 1 7 Repr sentation de l effondrement d un nuage mol culaire et des diff rentes parties qui composent le syst me en effondrement L enveloppe FIGURE 1 7 provient de l effondrement continu du nuage mol culaire C est un reste diffus qui alimente continuellement le disque en mati re Mais cette en veloppe qui poss de une temp rature que l on fixe ici T
96. it de l toile en fonction de sa temp rature et de son rayon l expression suivante 2 Cire 29 4 1 amp E Er E Z 1 31 r2 r dr Vr Remarque Il faut cependant noter qu une approximation implicite t faite c est de dire que hp h o hy est la position verticale dans le disque o les photons stellaires sont absorb s En effet l absorption des photons ne d pend pas simplement de la densit mais aussi de l opacit du disque aux photons stellaires qui d pend de la composition du disque Dans le cadre d un disque optiquement pais il devient possible de consid rer hp h Chauffage visqueux On consid re un fluide incompressible Il peut para tre tonnant de consid rer un disque de gaz comme tant un fluide incompressible Mais en fait l aspect compressible va surtout se manifester lors de la mise l quilibre g n rant des ondes de chocs par exemple Mais une fois le disque stabilis tout se passe comme si on avait un fluide incompressible C est mat rialis par le fait que la vitesse dans le disque est consid r e comme inf rieure la vitesse du son dans le milieu cs au del de laquelle on aura des ondes des chocs ayant une incidence sur le bilan thermique Ainsi donc en consid rant un fluide incompressible on peut partir de l expression de la variation d nergie cin tique qui est l inverse du chauffage les pertes cin tiques tant converties en chaleur par la viscosit Land
97. joue un r le au moins aussi important que le gaz lui m me cause de la pression quasi inexistante dans le disque en raison des faibles densit s solide et gaz sont les seules phases existantes il n y a pas de liquides dans l espace La poussi re repr sente la mati re solide du disque en grains plus ou moins fin allant du nanom tre microm tre jusqu des tailles plan taires en fin de formation Cette poussi re est un compos extr mement complexe manipuler Elle contient diff rents compos s solides en fonction de la temp rature certaines temp ratures et densit des compos s se volatilisent et d autres non La ligne des glaces repr sente la distance partir de laquelle de la glace d eau apparait augmentant de mani re drastique la quantit de poussi re dans le disque De plus la poussi re est aussi responsable de l opacit du disque c est dire sa capacit laisser passer ou non la lumi re A travers l opacit la poussi re a donc une CHAPITRE 1 FORMATION PLAN TAIRE 31 influence sur la temp rature du disque qui se refroidit plus ou moins efficacement et qui absorbe le rayonnement stellaire plus ou moins efficacement 1 2 6 Opacit du disque Un param tre crucial des mod les de disques protoplan taires est l opacit du disque qui repr sente l absorption du rayonnement incident par une cellule de gaz Cette der ni re d pend principalement de la composition chimique de la poussi re
98. la zone de convergence artificielle est de s affranchir de la forme tr s complexe du profil r el et ne garder que la zone de convergence afin d en tudier les effets de mani re isol e Bitsch and Kley 2010 montrent que la structure de la zone fer cheval est modifi e quand l excentricit augmente En cons quence son couple de corotation Po li cette r gion du disque diminue Nous avons labor une formule simple qui reproduit l effet de l excentricit sur Po par une simple calibration des simulations 3D de Bitsch and Kley 2010 _ _ Tele a Tole 0 eee tanh tanh 0 4 1 o x repr sente la demi largeur de la r gion fer cheval en unit de distance orbitale de la plan te consid r e e est l excentricit de la plan te et notre ajustement statistique donne les valeurs suivantes pour les param tres de la fonction a 0 45 b 3 46 c 2 34 4 2 On d fini xz comme Paardekooper et al 2010 eq 44 1 1 044 fq s gt 4 3 MEE iin h a o y est l indice adiabatique q le rapport entre les masses de la plan te et de l toile h le rapport d aspect et b h la longueur de lissage du potentiel gravitationnel de la plan te d pendance issue des formules de Paardekooper et al 2011 FIGURE 4 2 page suivante montre que notre formule simple 4 1 correspond bien la tendance des simulations hydrodynamiques de l effet de e sur Ic en particulier pour
99. la diffusivit thermique tic repr sente la diffusion d une quantit physique par la viscosit Ce temps est plus court quand on se rapproche de l toile Le temps visqueux la zone de corotation tuisc est de l ordre de Masset 2001 2002 Ogilvie and Lubow 2003 g Ty Y 1 56 V Quand la grandeur physique consid r e est la vortensit ou vorticit sp cifique seul tyise est prendre en compte Quand c est l entropie les deux temps tyise et trag sont importants Figure 1 12 page pr c dente r capitule les temps mis en jeux et quoi ils correspondent Pour que le couple de corotation soit non satur on doit satisfaire aux in quations suivantes Baruteau and Masset 2013 eq 31 ti tu turn lt taint lt 1 57 4 x est la demi largeur de la zone de fer cheval half width of the horseshoe region CHAPITRE 1 FORMATION PLAN TAIRE 41 tU turn est le temps n cessaire pour faire le demi tour devant la plan te en gros pour traverser la zone gale 2x5 tip est le temps de libration c est dire le temps mis par une particule fluide pour faire le tour de la zone en fer cheval ti quant lui est le temps de diffusion de la quantit physique consid r e Suivant les cas il peut y avoir plusieurs temps de diffusion qui sont important auquel cas les in galit s doivent tre satisfaites pour tous les temps de diffusions mis en jeux tairr lt ty turn Lib lt tairr
100. lanet mass M FIGURE 4 8 Cette carte repr sente l effet du disque sur une plan te en fonction de sa position en abscisse et de sa masse en ordonn e La ligne noire repr sente la zone de couple nul c est dire une zone o la migration de la plan te s arr te Cette carte n est valable que pour des plan tes sur des orbites circulaires e lt 1 c est dire quand l amortissement du couple de corotation par l excentricit est n gligeable Un zoom sur le bord interne du disque FIGURE 4 9 page suivante montre la zone de couple positif juste avant le bord interne d la d croissance rapide de la densit de surface et l important couple de corotation qu il engendre 4 2 2 Conditions initiales Initialement dans le syst me on g n re des embryons dont la masse varie de 0 1 2 Mg pour une masse totale allant de 30 100 M Des masses al atoires diff rentes d un embryon l autre permettent d viter les biais d s aux masses gales En effet deux embryons de m me masse migrent la m me vitesse ce qui n a aucune raison physique de se produire syst matiquement dans un disque Deux plan tes migrant la m me vitesse ne peuvent pas entrer en collision ou se placer en r sonance deux v nements cruciaux pour notre m canisme de formation De plus quand deux corps sont en r sonance il y a un effet du rapport de masse sur les niveaux r ciproques d excentricit Des masses gales maximisent les perturbat
101. le sa xn ko komm mm mem m E 3mm mon a he wy 79 42 2 Conditions IDltlal s sie esaa sasa d m o om ey 80 423 Syst mes possibles 81 Formation au bord interne syst mes compacts 81 Migration vers l ext rieur candidats de plan tes g antes 82 4 24 DISCUSSION e uou bao ras Hal A Naam So on 84 4 3 Effets des param tres du disque 85 4 3 1 Viscose du SGU sss ura x dd ges Boe eR Lu 86 4 3 2 Profil d densit de surface co 244 4 474 Bean as 86 43 9 Profil de temperature sen ene w acne sure RR Lu 86 434 Masse du disque 2 2 ms e zoom 86 435 Table dopadte s roa a osea ara a dh S 86 4 3 6 Effet delirradiation 88 43 7 Longueur de lissage 89 4 3 8 Masse mol culaire moyenne 91 66 CHAPITRE 4 M CANISMES DE FORMATION 67 4 1 D calage de la Zone de Convergence Cette partie a fait l objet d un article publi dans le journal Astronomy amp Astro physics Cossou et al 2013 Une zone de convergence est une zone du disque agissant comme un pi ge plan te la migration emmenant les plan tes dans cette zone du disque o elles se stabilisent Ici nous cherchons montrer que dans le cas multi plan taire les choses sont un peu diff rentes Des plan tes en r sonance ne se comportent plus de la m me mani re mais plut t comme un syst me dans sa globalit migrant dans une zone
102. lement masqu e dans les quations ou tables qu on utilise pour rendre compte de la d pendance de l opacit en fonction de la temp rature et de la densit On fait souvent l approximation de la masse mol culaire moyenne u est constante et typiquement gale u 2 35 Or en fonction des transitions d opacit la quantit de poussi re va brusquement varier engendrant une variation de y Cette masse mol culaire moyenne a en particulier une importance dans le calcul de l chelle de hauteur H du disque et la vitesse du son cs D finir le profil de densit de surface du disque comme une loi de puissance reste une approximation Ca l est d autant plus que le disque est tendu Du reste la masse du disque et l indice de la loi de puissance sont peu contraints donnant une grande libert dans le profil de densit dont il faut tenir compte pour mettre en perspective les r sultats que l on obtient Le modele choisi pour la viscosit constante ou prescription alpha n glige bien souvent la pr sence de dead zone o l ionisation n est pas suffisante pour que l on puisse d finir une viscosit turbulente L absence de ces zones dans un disque mod lis est bien entendu une approximation des fins de simplifications mais masque certaines propri t s intrins ques des disques dont les cons quences sur la formation plan taire sont encore mal connues Une derni re approximation et qui a des cons quences importantes
103. les excentricit s faibles Il faut tout de m me noter qu il y a peu de points ex p rimentaux et qu il semble y avoir des fluctuations al atoires influencant les valeurs mesur es Afin de r aliser nos simulations nous avons utilis la version modifi e de l int grateur Mercury Chambers 1999 d crite 8 2 page 47 Nous avons utilis en particulier la zone de convergence artificielle d crite FIGURE 4 1 page ci contre Nous supposons que le disque poss de le profil de densit de surface suivant X R 500 R 1 AU g cm 4 4 70 4 1 D CALAGE DE LA ZONE DE CONVERGENCE 1 0 a Bitsch Kley 2010 g 0 8 nes eq 4 1 o s E 0 6 D 6 0 4 s o 0 2 o 7 0 0 e x FIGURE 4 2 Diminution du couple de corotation Tc en fonction de l excentricit e On suppose que l att nuation 0 lt D lt 1 du couple de corotation en fonction de l extencit e est la m me dans un disque isotherme ou radiatif Ainsi on extrait la valeur de D partir de la figure 2 de Bitsch and Kley 2010 en faisant la diff rence entre la valeur pour le disque radiatif et celle pour le disque isotherme et normalisant de sorte que D vale 1 dans le cas e 0 Ce profil est alors utilis dans le calcul de T o et de l amortissement induit par le disque sur e et I 5 dJ Pour impl menter la migration induite par le couple du disque I on note que I F et
104. loizou 2007 Dans ce cas l il n est pas n cessaire de supposer un disque extr mement massif afin de former plusieurs super terres Les deux mod les permettent d expliquer l espacement observ Le mod le impli quant la migration de type 1 pr dit aussi que les syst mes multiples vont tre proches de r sonances de moyen mouvement On peut en effet observer des pics sur FIGURE 4 7 page pr c dente autour des r sonances 3 2 et 2 1 Dans le cas de la formation in situ on s attend des plan tes assez pauvres en eau alors qu en impliquant la migration la vari t de composition des plan tes ainsi form es est beaucoup plus grande Raymond et al 2008 Il existe de plus d autres mod les impliquant des r sonances s culaires avec des plan tes g antes plus loin dans le syst me la photo vaporation de super Neptunes circularisation des plan tes excentriques Ces mod les sont pr sent s et compar s dans Raymond et al 2008 et ne sont pas discut s ici 4 2 1 Mod le Nous utilisons les formules de Paardekooper et al 2011 afin de mod liser la mi gration de type I Cette migration est impl ment e de mani re coh rente dans tout le disque Le bord interne est simplement mod lis par une diminution brutale de la densit de surface mais le couple induit est lui toujours calcul selon les m mes formules L amortissement de l excentricit et de l inclinaison est lui issu des formules de Cress well and Nelson
105. lus flagrant quand on note que la grande majorit des exoplan tes d tect es l ont t autour d toiles moins de 400 pc du Soleil comme illustr dans FIGURE 1 page suivante En multipliant les m thodes de d tections et les instruments et surtout en ayant de plus en plus de plan tes il devient possible d estimer la probabilit pour qu une toile h berge au moins une plan te Mayor et al 2011 D autres tudes estiment m me la sensibilit de cette fr quence d occurence en fonction de param tres stellaires Fischer and Valenti 2005 Johnson et al 2007 Howard et al 2012 ou plan taires Mayor et al 2011 Howard et al 2010 Mais le point qui me semble le plus int ressant est la d couverte de types de plan tes 1 Plan te orbitant autour d une toile autre que notre Soleil 11 12 Zone de d tection des Z exoplan tes 500pc FIGURE 1 Image de la voie lact e avec indication de la position approximative du syst me solaire ainsi que de la zone en noir contenant la majorit des exoplan tes d tect es ce jour qui n existent pas dans le syst me solaire En un mot diversit Que ce soient les jupi ters chauds comme 51 Peg b ou les super terres comme Gliese 1214 b ces plan tes n ont pas d quivalent dans le syst me solaire Ces vari t s de composition de taille de sys t mes nous offrent un champ de connaissance toujours plus grand dans lequel tester nos mod les de format
106. lusieurs millions d ann es chose impossible dans les simulations hydrodynamiques du d but de ma th se o 20 corps pendant quelques dizaines de milliers d ann es tait un maximum Ce choix a bien entendu introduit son lot d incertitudes et d approximations qui sont discut s dans la partie 5 page 94 La pr sente section a pour but de pr senter le code N corps que j ai utilis ainsi que les diff rents effets du disque que j ai mod lis J ai avant tout souhait pr senter les parties qui ont des cons quences sur la physique du disque que ce soit en terme de choix d un mod le particulier ou de limitations num riques qu il est bien de garder l esprit quand on interpr te les r sultats 2 1 Pr sentation de mercury Le code N corps choisi est le code mercury Chambers 1999 Ce code offre la possi bilit de choisir un algorithme parmi 5 diff rents BS BS2 RADAU MVS et HYBRID ayant des propri t s diverses Dans le cadre de ma th se je n ai utilis que l algorithme HYBRID qui utilise l algorithme MVS la plupart du temps mais change pour l algo rithme BS2 lors de rencontres proches Il est possible de d terminer quel moment on consid re qu une rencontre est proche dans le fichier de param tre de programme j ai laiss le param tre par d faut La raison de ce changement est assez simple MVS est un algorithme symplectique c est dire pas de temps constant dans lequel on d fini un hamiltonien que l
107. lvinar Etiam sodales tristique eros Curabitur non magna Suspendisse blandit metus vitae purus Phasellus nec sem vitae arcu consequat auctor Donec nec dui Donec sit amet lorem vel erat tristique laoreet Duis ac felis tincidunt arcu consequat faucibus Vestibulum ultrices porttitor purus In semper consequat dolor Nunc porta Vestibulum nisl ipsum rhoncus quis adipiscing sed sollicitudin ut quam Keywords Blabla blabla blabla blabla blabla blabla blabla Remerciements Lorem ipsum dolor sit amet consectetuer adipiscing elit Phasellus blandit massa non tellus Pellentesque blandit Etiam sapien Quisque sed massa ac tortor accumsan bibendum Donec et orci quis mi sollicitudin consectetuer Donec malesuada Pellen tesque bibendum pellentesque elit Morbi et diam ac wisi auctor fringilla Cras nec arcu sed velit dapibus blandit Maecenas mollis aliquet quam In eget sem nec orci fringilla sagittis Suspendisse cursus placerat massa Pellentesque non metus Morbi congue tel lus eget tellus Suspendisse justo Suspendisse potenti Praesent interdum lorem in velit Nullam sit amet nisl eget wisi consectetuer consequat Mauris vel felis Nulla sed neque Nulla facilisi Maecenas accumsan gravida wisi Maecenas sodales gravida neque Mauris in est a ante molestie gravida In id neque Ut augue Duis fringilla ullamcorper risus Nullam at lorem Quisque consequat turpis ac libero Ut auctor ante commodo magna Donec in magna Integer
108. ment faible qui n est pas repr sentatif de la pr cision demand e pour l int gration N corps la variation d nergie num rique tant masqu e par la variation d nergie induite par les effets du disque 50 2 3 MODE D EMPLOI DU CODE N CORPS MODIFI Il nous reste les algorithmes MVS et HYBRID La deuxi me contrainte ce sont les rencontres proches et les collisions Nous savons qu un algorithme symplectique ne les traite pas correctement et si c est une erreur n gligeable dans le cas o il y en a peu ca ne l est absolument plus dans notre cas le nombre de rencontre proche pouvant tre tr s important notamment dans la phrase d accr tion en d but de simulation L algorithme MVS ne parait donc pas adapt contrairement HYBRID qui a t construit pour tre la fois symplectique et g rer correctement les rencontres proches moyennant une erreur plus importante lors du changement d algorithme L algorithme HYBRID est l algorithme MVS pas de temps constant la majorit du temps Il a donc les avantages d un algorithme symplectique savoir la conservation de l nergie et la rapidit d ex cution Lors de rencontres proches d termin es par une distance minimale d approche entre deux corps soit en rayon de Hill soit en nombre de pas de temps l algorithme BS2 est utilis le pas de temps devient donc variable afin de r soudre correctement la rencontre et ventuellement la collision Une fois fini c est de nouveau M
109. n de la proto toile conduit la formation d un tore autour de l toile centrale en quelques dizaines de milliers d ann es Ce stade est appel classe I Le tore de gaz est chaud et par cons quence enfl principalement cause de l nergie gravitationnelle r siduelle mais aussi par le chauffage de la proto toile centrale En quelques centaines de milliers d ann es ce tore devient un disque mesure que le rayonnement de corps noir vacue l nergie par la surface mesure que le tore refroidit et compte tenu de la conservation du moment angulaire qui emp che une contraction rapide dans le plan perpendiculaire l axe de rotation il s aplatit jusqu former un disque Un million d ann es environ apr s la formation de la proto toile le disque mince est form et la proto toile est devenu une toile T Tauri objet de classe II Apr s quelques millions d ann es typiquement 10 millions d ann es le disque se dissipe et on est dans le cas d toiles T Tauri volu es ou objets de classe III Ces d nominations en classe peuvent sembler trange mais elles proviennent en pre mier lieu de l tude des spectres d toiles jeunes qui pr sentent diff rentes caract ris tiques en fonction du stade d volution de l toile FIGURE 1 1 page suivante r sume la formation stellaire les diff rentes phases et en particulier les caract ristiques du spectre d mission de ces objets 1 2 Les disques protoplan
110. nce quand on parle de viscosit v dans un disque ce n est pas la viscosit mol culaire classique bien trop faible aux densit s rencontr es On suppose g n ralement une viscosit due la turbulence qui est beaucoup plus importante que la viscosit mol culaire mais qui peut tre trait e par les m mes quations Il est rare que la viscosit soit calcul e de mani re coh rente L importante augmen tation du temps de calcul n apporterait pas forc ment beaucoup plus de pr cisions tant donn les nombreuses incertitudes sur la poussi re le couplage et le champ magn tique La premi re hypoth se est de consid rer une viscosit constante Ce n est certai nement pas satisfaisant s rement loign de la v rit mais on n a ainsi qu un seul param tre et on n ajoute pas de surcouche de complexit apportant son lot suppl men taire d incertitude Reste qu une viscosit constante dans un disque tr s tendu par exemple allant de 0 1 AU 100 AU n est certainement pas coh rent avec la physique du disque Un autre mod le tr s r pandu pour la viscosit du disque est la prescription a 2 Viscosit cin matique CHAPITRE 1 FORMATION PLAN TAIRE 29 Les disques alpha On peut introduire un param tre adimensionn Shakura and Sunyaev 1973 Dans ce formalisme plusieurs hypoth ses sont faites On consid re que la turbulence est sub sonique L chelle des tourbillons des turbulences est pl
111. ne erreur dans l quation 35 car le disque se refroidit par la surface sup rieur et la surface inf rieure Mais comme j utilise dans mon code une quation de l nergie 1 37 page 27 un peu plus complexe o j ai tenu compte de ce fait l cette erreur n a pas d incidence sur le calcul du couple Les formules nous donnent alors un couple exerc par le disque sur la plan te partir de ce couple on d finit un temps de migration tmig COMME J tmig 2p 2 6 o J est le moment angulaire total de la plan te et T J est le couple total exerc par le disque sur la plan te L acc l ration due la migration jm est alors donn e par _3 T Umig lmig o Y est la vitesse instantan e de la plan te CHAPITRE 2 LE CODE N CORPS 61 2 6 Amortissement de e et I L amortissement de l eccentricit e et de l inclinaison d une plan te plong e dans un disque protoplan taire est mod lis e dans le code via les formules de Cresswell and Nelson 2008 eq 9 11 et 12 M M HN twave 2 Oo 2 8a 2 Mp Xil T h wae I 0 14 n 0 06 2 0 18 55 Gan 2 8b nc s I 0 30 ge 0 24 x 0 14 n F 2 8c L amortissement de J est arr t quand l inclinaison descend en dessous de I lt 5 10 rad afin d emp cher les plan tes d tre parfaitement dans le plan x y es sentiellement pour emp cher des probl mes num riques 2 7 Effet de l excentricit
112. nfluence des param tres du disque sur la migration Cependant s ils ont inclus des effets fins sur le bord interne et la migration l opacit est par exemple une simple loi de puissance Nous montrerons que l opacit est un param tre sensible du modele et qu il est important de la mod liser le plus finement possible Bitsch et al 2013 ont tudi en particulier l effet de la viscosit v et l indice adia batique y sur la migration dans le disque au travers de simulations 3D 86 4 3 EFFETS DES PARAM TRES DU DISQUE 4 3 1 Viscosit du disque Le couple de migration est sensible la valeur de la viscosit v En particulier c est le temps de diffusion visqueux qui modifie le niveau de saturation de la zone de corotation et donc la valeur du couple de corotation Pourtant la carte de migration poss de une deuxi me sensibilit au mod le de visco sit Selon que l on choisi une viscosit constante ou une prescription alpha dans laquelle la viscosit y croit avec la distance cela a une influence sur l volution du couple en fonction de la position dans le disque 4 3 2 Profil de densit de surface 4 3 3 Profil de temp rature 4 3 4 Masse du disque 4 3 5 Table d opacit Le mod le utilis pour d terminer les opacit s dans un disque est bien souvent peine nomm et tr s peu discut Pourtant l opacit est une grandeur physique qui a une influence tr s importante sur la physique du disque et la migration
113. ns quences dans tout ou partie des syst mes stellaires 34 1 2 LES DISQUES PROTOPLAN TAIRES 10 11 On consid re que le gaz est en rotation k plerienne Q On n glige l autogravit du disque Ma lt 4M en consid rant que la p riode o ce n est pas le cas est courte devant le temps de vie du disque et que ce dernier tend rapidement vers une configuration ot l autogravit est n gligeable SL Pour cela on n glige la pression du gaz qui tendance rendre la rotation l g rement sous k plerienne On consid re qu il n y a pas de variation de la gravit d la variation de masse de l toile induite par l accr tion Ca entra ne alors e Dans le calcul du chauffage visqueux on n glige la vitesse azimuthale la vitesse radiale ainsi que toutes les d riv es en w compte tenu que le disque est axisym trique On se place dans le cadre d un disque optiquement pais quand on choisi d utiliser des moyennes de Rosseland pour l opacit Si c est physiquement coh rent avec les parties internes du disque ca ne l est parfois plus dans les parties externes surtout si le disque est tr s tendu Le modele d opacit a une grande influence sur la physique du disque En parti culier chaque mod le fait des hypoth ses sur la m tallicit les propri t s de la poussi re notamment la taille des grains Chacune de ces hypoth ses joue sur l opacit d une mani re qui est tota
114. nt le temps caract ristique d amortissement des excentricit s Cependant changer les propri t s du disque a aussi des cons quences sur d autres gran deurs influencant le syst me tel que le profil de couple exerc par le disque sur les plan tes En changeant les propri t s du disque il n est pas vident de dire quelles se ront les cons quences sur l volution des plan tes compte tenu du fait que les plan tes pourront tre dans des r sonances diff rentes avec des excentricit s et des crit res de stabilit diff rents La zone de convergence d pend des param tres du disque tels que la viscosit les profils de temp rature et de densit de surface voir par exemple Paardekooper et al 2011 Ici nous avons utilis un profil de disque issu de mod les complexes mais qui reste malgr tout artificiel M me si les r sultats d pendent d un mod le particulier ils sont robustes aux variation du profil de couple en fonction de la distance orbitale tant qu une zone de convergence existe pour rassembler les embryons au cours de l volution Dans un disque plus r aliste on s attend quelques diff rences En premier lieu il pourrait exister plusieurs zones de convergence dans un m me disque ayant pour origine des processus physiques diff rents Lyra et al 2010 Hasegawa and Pudritz 2011 Ensuite des zones de convergences d pendantes de la masse des plan tes peuvent exister dans les parties externes du disque o
115. on r sout pour faire voluer les orbites La conservation de l nergie est moins bonne que pour un algorithme pas de temps adaptatif mais le point tr s important est que cette conservation de l nergie est bien meilleure au cours du temps C est dire que l o les algorithmes tels que BS BS2 et RADAU verront leur erreur sur l nergie augmenter au cours du temps les algorithmes symplectiques vont eux voir leur erreur rester plus ou moins constante au cours du temps Dans le cadre de mes simulations j ai accord une importance limit e aux variations d nergie tant donn que les couples que l on rajoute pour simuler la pr sence du disque de gaz font que l nergie n est pas conserv e pour une plan te donn e Cependant il est 48 2 2 ALGORITHMES D INT GRATION important de bien r soudre les orbites et c est ce point qui est le plus crucial ici En effet quelques tests ont permis de contraindre le pas de temps minimal qu il est n cessaire d avoir en fonction de la distance orbitale d une plan te La contrainte de pas de temps dans mes simulations vient donc d une distance minimale en dessous de laquelle les orbites ne sont pas correctement calcul es Cette limite afin d viter tout probl me est choisie pour tre en dessous du bords interne du disque de gaz que je d fini 2 2 Algorithmes d int gration Dans mercury il y a cinq algorithmes diff rents notre disposition MVS Wisdom and Holman 1991
116. on real C est le cas le plus classique Il n y a pas besoin de d finir d autres param tres la migration induite par le disque de gaz sera simplement calcul e partir du mod le de Paardekooper et al 2011 torque_type real mass dependant Evolution of the total torque fiot l o 60 50 40 30 20 10 0 Planet mass M 5 10 15 20 25 30 35 40 Semi major axis AU FIGURE 2 2 Cette carte repr sente l effet du disque dans le cas de l option mass dependant pour une plan te en fonction de sa position en abscisse et de sa masse en ordonn e La ligne noire repr sente la zone de couple nul c est dire une zone o la migration de la plan te s arr te On d finit une zone de convergence artificielle qui va d pendre de la masse des plan tes On va donc devoir d finir deux bornes en masses et deux bornes en distance orbitale qui vont d terminer cette ligne de couple nul l int rieur resp ext rieur de cette s paration virtuelle la migration sera vers l ext rieur resp int rieur Ensuite on d fini une pente lin aire plus ou moins importante pour voir quelle vitesse on va tendre vers la valeur de saturation mesure qu on s loigne de la zone de convergence Une pente de 1 signifie que le couple T To augmente de 1 tous les 10 AU En r sum on a ces param tres suivants d finir torque type mass dependant mass dep cz m max 30 AU mass dep m max 60 m earth mass d
117. on d fini une acc l ration de migration am telle que Cresswell and Nelson 2008 eq 14 U me 4 5 an 4 5 o v est la vitesse de la plan te et tm J 82 le temps de migration J est le moment cin tique Dans toutes les simulations les plan tes tait initialement sur des orbites faible excentricit e lt 0 001 et faible inclinaison 7 lt 1 Chaque simulation a t int gr e pendant trois millions d ann es avec un pas de temps compris entre 0 4 et 3 jours 4 1 3 Le cas de deux plan tes FIGURE 4 3 page suivante montre l volution de deux plan tes de 1 Ma initiale ment plac es de part et d autre d une zone de convergence situ e 3 UA Alors qu elles se rapprochent l une de l autre les deux plan tes croisent une s rie de r sonances and finissent pi g es dans la r sonance 7 6 Les excentricit s des deux plan tes atteignent alors un quilibre entre excitation r sonante et amortissement par le disque Cette ex centricit d quilibre est environ gale 0 5 fois la demi largeur de la zone fer cheval x et amortit le couple de corotation environ 80 de sa valeur nominale quand e 0 Les plan tes se stabilisent et arr tent de migrer 1 77 et 1 96 UA toutes les deux l int rieur de la position nominale de la zone de convergence Compte tenu de leurs excentricit s la zone de convergence de la plan te la plus interne est d cal e 1 95 UA tandis qu elle est d cal e 1 74 UA
118. ortissement exponentiel dont les temps caract ristiques sont 0 780 es 1 62 n om I 0 544 A 1 62b T twave o le temps caract ristique de l volution orbitale twave est donn par Tanaka and Ward 2004 eq 49 M M HM hum e pq 1 63 we My Dip x p 1 63 Le temps caract ristique d amortissement pour l excentricit et l inclinaison est si milaire et de l ordre de Tanaka and Ward 2004 Te M TI v h Tmig 1 64 44 1 3 INTERACTION DISQUE PLANETE Des simulations hydrodynamiques montrent que le m me ph nom ne d amortisse ment se produit pour des valeurs plus grandes de e et J tout en tant dans un r gime diff rent que celui faible valeurs e i lt H R Cresswell et al 2007 On explique cela pour l inclinaison par le fait qu grande inclinaison la plan te peut sortir du disque est ressentir un amortissement r duit Pour l excentricit quant elle on invoque le fait que durant son orbite la plan te va voir sa vitesse varier par rapport celle du disque de gaz Papaloizou and Larwood 2000 1 3 4 L accr tion du gaz Dans le mod le d accr tion de coeur les plan tes g antes sont d abord des coeurs rocheux qui grossissent jusqu atteindre une masse critique de l ordre de 15M5 Une fois cette masse atteinte le coeur commence accr ter rapidement du gaz jusqu former une g ante gazeuse Ceci implique que la formation des plan tes g antes doive
119. our cela nous allons d finir un CHAPITRE 1 FORMATION PLAN TAIRE 17 anneau de r f rence portion du disque sur laquelle nous allons faire le bilan Le but est ici de pr senter d o viennent les quations et plus pr cis ment d o viennent les termes des quations Afin de d crire l volution hydrodynamique du disque de gaz nous allons utiliser successivement la conservation de la masse et la conservation du moment an gulaire Les d monstrations qui vont suivre ont t d j faites de nombreuses fois notamment par Pringle 1981 Structure verticale du disque On s int resse la r partition de masse verticalement dans le disque Afin de d finir les quantit s importantes qui s y rapporte nous allons crire l quation de l quilibre hydrostatique On a alors E 1 4 E e 1 5 y est orient vers l toile centrale selon la direction r en sph rique En projetant sur l axe z pour effectuer le produit scalaire et en faisant l approximation que r a on obtient alors 1 P 2 Qz 1 6 p Oz En consid rant un disque isotherme selon z et d apr s la loi des gazs parfaits pkgT pma je il vient Op um pQ g RAT pz 1 8 On obtient alors p z po exp 1 9 o po est la densit volumique du disque de gaz dans le plan m dian et H l chelle de hauteur du disque est d finie par dans la limite isotherme kgT H 1 10 uma 1 10 18 1 2 LES DISQUE
120. pas suffisamment de collisions durant leur migration pour qu ils puissent migrer vers l ext rieur un quelconque moment On se trouve alors dans le cas d une formation au bord interne d crite 8 4 2 3 Dans un deuxi me cas une ou plusieurs plan tes grossissent suffisamment par colli sion pour ressentir un couple positif vers l ext rieur Plusieurs sous cas de figures sont alors possibles d crits 4 2 3 page suivante Formation au bord interne syst mes compacts Des embryons migrent vers l int rieur de mani re isol e ou par vague de sous syst mes en r sonance En raison de la diminution rapide de la densit de surface pr s du bord interne la plan te ressent un fort couple positif principalement d au couple de corotation FI GURE 4 9 Un syst me de plan tes en r sonance se forme alors les plan tes internes migrant vers l ext rieur les plan tes externes migrant elles vers l int rieur Ce syst me en r sonance va naturellement chercher s quilibrer Cet quilibre est dict par le fait que 82 4 2 FORMATION DES SUPER TERRES CHAUDES chaque plan te ressent un couple non nul elle poss de aussi une excentricit cause des autres corps en r sonance et ce syst me compact est continuellement soumis des perturbations d autant plus importantes que le nombre de corps en r sonance est grand Des collisions et r arrangements ont alors lieu diminuant ainsi le nombre de corps et augmentant la
121. passe de positif n gatif voir par exemple Masset 2011 1 0 r r CZ shape in real disk o atanh model fit L 30 5 L aT MAP ad 50 02 2 20 5 2 1 01 6 FIGURE 4 1 Le couple total de notre disque standard est repr sent en rouge La ligne bleue pointill e repr sente le profil de couple ressenti par une plan te de 10 Mg autour d une transition d opacit calcul partir des quations de Paardekooper et al 2011 noter qu une fonction de Heavyside n a pas t utilis e car la marche d escalier dans le profil r el n est due qu au fait que la table d opacit n a pas t liss e On s attend ce que la transition soit plus douce dans la r alit CHAPITRE 4 M CANISMES DE FORMATION 69 La position de la zone de convergence tait 3UA l int rieur de 3 UA le couple est positif et gal To E r 0 la migration se fait donc vers l ext rieur Au del de 3 UA le couple total est gal I og Ici q est le rapport entre les masses de la plan te et de P toile h est le rapport d aspect qui d pend du profil de temp rature mais vaut typiquement 0 05 Xp rp et sont respectivement la densit de surface la distance orbitale et la vitesse angulaire pour la plan te Le couple total est la somme du couple diff rentiel de Lindblad j que l on suppose constant et ind pendant de e et le couple de corotation Ic Le principal int r t de
122. ple total est nul Cependant les perturbations entre plan tes ajoutent un aspect erratique la migration des plan tes M me les syst mes les plus stables subissent des p riodes d instabilit s durant lesquelles les plan tes d rivent radialement dans la m me direction Ces p riodes sont d clench es par la sortie d une r sonance d un couple de plan tes l int rieur du syst me Cette sortie de r sonance se propage alors comme une perturbation travers tout le syst me L amplitude et la fr quence de ces p riodes chaotiques varient d une simulation l autre Par exemple dans la simulation FIGURE 4 6a page suivante la chaine de r sonance subit plusieurs petites perturbations sans grandes cons quences car leur amplitude est faible devant la distance entre les plan tes Par opposition les perturbations de la si mulation FIGURE 4 6b page ci contre sont bien plus importantes CHAPITRE 4 M CANISMES DE FORMATION 75 3 0 2 8 2 6 2 4 o 2 2 S 2 0 1 8 1 6 0 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0 Time million years a Simulation relativement stable m me si de courts pisodes de pertubations des r sonances ont lieu AU 0 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0 Time million years b Simulation qui poss de un comportement chaotique soutenu qui p p FIGURE 4 6 Deux exemples de simulations avec 5 plan tes Consid rons en particulier l pisode chaotique entre 1 1
123. pour la plan te externe situ e 1 96 UA On CHAPITRE 4 M CANISMES DE FORMATION 71 Convergence Zone 0 0 0 2 0 4 0 6 0 8 1 0 Time million years FIGURE 4 3 Simulation de la migration convergence de deux plan tes de 1 Ma vers la zone de convergence situ e 3 UA la r troactio de l excentricit e sur le couple de corotation Te tant incluse voir Figure 4 2 constate alors qu aucune des deux plan tes n est une position d quilibre Chacune d elle ressent un couple dirig vers l autre plan te du syst me de sorte que la migration tend rapprocher les plan tes tandis que les r sonances les maintiennent loign es Le d calage de la zone d quilibre provient ici de l quilibre nouveau entre le couple de Lindblad rest inchang et le couple de corotation att nu par l excentricit Les deux plan tes se stabilisent autour d une zone o le couple total exerc sur le syst me dans sa globalit est nul m me si chaque plan te prise s par ment ressent un couple de migration non nul Aucune des deux plan tes n est ici une zone de convergence m me celle calcul e en tenant compte de l att nuation du couple de corotation Il est clair que les excentricit s des plan tes excit es par les interactions entre plan tes sont le facteur cl pour d terminer la force du couple de corotation et la position effective de la zone de stabilisation du syst me Pour deux plan tes de m me ma
124. protostellar disc A amp A 482 677 690 May 2008 doi 10 1051 0004 6361 20079178 P Cresswell G Dirksen W Kley and R P Nelson On the evolution of eccentric and inclined protoplanets embedded in protoplanetary disks A amp A 473 329 342 October 2007 doi 10 1051 0004 6361 20077666 T Currie C J Lada P Plavchan T P Robitaille J Irwin and S J Kenyon The Last Gasp of Gas Giant Planet Formation A Spitzer Study of the 5 Myr Old Cluster NGC 2362 ApJ 698 1 27 June 2009 doi 10 1088 0004 637X 698 1 1 M de Val Borro R G Edgar P Artymowicz P Ciecielag P Cresswell G D Angelo E J Delgado Donate G Dirksen S Fromang A Gawryszczak H Klahr W Kley W Lyra F Masset G Mellema R P Nelson S J Paardekooper A Peplinski A Pierens T Plewa K Rice C Sch fer and R Speith A comparative study of disc planet interaction MNRAS 370 529 558 August 2006 doi 10 1111 j 1365 2966 2006 10488 x 106 BIBLIOGRAPHIE E D Onghia M Vogelsberger and L Hernquist Self perpetuating Spiral Arms in Disk Galaxies ApJ 766 34 March 2013 doi 10 1088 0004 637X 766 1 34 A Duquennoy and M Mayor Multiplicity among solar type stars in the solar neigh bourhood II Distribution of the orbital elements in an unbiased sample A amp A 248 485 524 August 1991 E Everhart An efficient integrator that uses Gauss Radau spacings In A Carusi and G B Valsecchi editors Dynamics o
125. qu en arrivant la r gion de U turn de l autre cot l l ment fluide ait pu quilibrer ses conditions physiques avec le milieu environnant Cette condition est illustr e par l in galit suivante Lib tait lt ES 1 58 Mais il faut de plus que la diffusion ne soit pas trop efficace sous peine que la valeur du couple de corotation diminue pour atteindre la valeur pr dite par une analyse lin aire 42 1 3 INTERACTION DISQUE PLANETE Ceci donne alors la deuxi me in quation tU turn lt tar 1 59 De la m me mani re que pour le couple de Lindblad la r solution num rique des quations nous permet d avoir des expressions analytiques pour les couples de corotation Il y a d une part les couples soumis saturation Paardekooper et al 2010 eq 45 3 0 4 YPehs baro To 1 1 G d x 1 60a 0 4 0 4 on Lo y 104 b h 22 gm 1 60b et les couples non soumis saturation dits lin aires Paardekooper et al 2010 eq 17 3 Qi oh embar Do 0 7 d Fr 1 61a 0 4 14 041 179 S sace Lg E 22 x y gm 1 61b d et sont respectivement les exposants des lois de puissance pour les profils 1D de densit de surface et d entropie Dans la pratique ce couple peut tre positif migration vers l ext rieur ou n gatif migration vers l int rieur en fonction des variations des quantit s physiques par rapport leur valeur nominales Remarque Si la plan
126. ques diff rentes temp ratures La plupart sont 92 4 3 EFFETS DES PARAM TRES DU DISQUE totalement n gligeable vu leur abondance limit e Le probl me aurait pu se poser au bord interne du disque o la temp rature est tr s importante Dans cette r gion l la masse mol culaire moyenne peut varier cause de la photodissociation de la mol cule H5 En supposant que le rapport d abondance He H 0 1 la masse mol culaire initialement de u 2 35 passe alors environ u 1 3 Evolution of the total torque Ttot To Evolution of the total torque Fiot Fo 1 1 E 0 5 E 0 5 E 0 E 0 n un e 0 5 yal 0 5 E E 9 1 9 d E E amp 15 1 5 2 2 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 Semi major axis AU Semi major axis AU a u 2 35 b 1 3 FIGURE 4 17 Influence de la masse mol culaire moyenne y sur la carte de migration Seules les parties tr s internes du disque sont ici repr sent es Le m me disque est utilis seule la masse mol culaire change afin de refl ter l influence de la photodissociation de Hz en HI quand la temp rature devient importante FIGURE 4 17 montre l influence de la masse mol culaire moyenne sur la carte de migration pour un disque donn On s attend ce que la photodissociation de H5 ne devienne importante que dans les parties tr s internes bien en dessous de 1 UA Dans ces r gions l on constate que la variation de la masse mol
127. r alit physique Le modele d opacit choisi a donc une grande influence sur la carte de migration et donc le comportement des plan tes dans un disque l heure actuelle compte tenu de la puissance des ordinateurs le choix d une loi d opacit par rapport une table d opacit ne se justifie absolument plus En effet les approximations suppl mentaires qu engendrent une loi d opacit compar une table brute ne sont absolument pas com pens es par le gain de temps de calcul que cela engendre Dans mon cas la routine impl mentant la table d opacit est m me plus rapide que la routine pour les lois d opa cit s La seule diff rence est qu il faut stocker un tableau contenant la table d opacit ce qui n est absolument pas limitatif avec les ordinateurs actuels Les mod les d opacit s tant une source d incertitude pour toutes les simulations num riques que ce soit des simulations N corps ou des simulations hydrodynamiques 2D ou 3D je pense qu il est important d apporter une attention particuli re au choix du mod le l heure actuelle dans le cas particulier de la migration plan taire la valeur de l opacit ainsi que la pente qu elle engendre sur le profil de temp rature sont des sources importantes d incertitudes Il pourrait tre int ressant de r aliser une tude d envergure afin de r aliser une table d opacit tenant compte des nouvelles capacit s des ordinateurs afin de coller au mieux ce que l on sait d
128. r de plan te g ante en rouge qui capture en r sonance une plan te de faible masse migrant tr s lentement vers l int rieur 4 2 4 Discussion Quand les embryons sont plus petits qu une certaine masse critique d pendant des propri t s du disque la migration est syst matiquement vers l int rieur Un syst me compact de plan tes qui grossissent par collisions se forme alors au bord interne qui retient ce syst me par le fort couple de corotation positif qui s exerce juste avant le bord interne en raison de la forte d croissante de la densit de surface Masset et al 2006 Pendant la migration vers l int rieur si un embryon grossit suffisamment vite il peut commencer migrer vers l int rieur Durant cette migration des r sonances vont se former avec les corps qui migrent pour la plupart vers l int rieur Par excitation r sonante la migration vers l ext rieur peut tre ralentie voire stopp e et les plan tes peuvent de nouveau migrer vers l int rieur Pourtant dans certains cas une plan te suffisamment massive peut migrer vers l in t rieur emprisonnant des corps plus petits dans des r sonances orbitales avant de se placer une zone de couple nul dans les parties externes du disque dans celui pr sent ici vers 15 UA Ce m canisme peut alors former conjointement des syst mes compacts de super terres proches du bord interne ou des c urs de plan tes g antes dans les parties ex ternes avec possiblem
129. rface 4 33 Pron de temperature c o o xk 4 ox X xw A XXe 04 Moss chu 64 4 8 AAA RA 4 35 TEMPI ONERE eu ud 8 aet es d Ae de nex UE Ree eR e n 4 3 6 EH de l iiradiation 4 p 9 26 Le Re E oele p tg ele BE 4 37 Longueur de lissage o nce ina me pen a TERMES 4 3 8 Masse mol culaire moyenne 5 Discussion et limite du mod le 51 Etude de sensibilit sue e n x 5 1 1 Le choix de la table d opacit et son impl mentation 5 1 2 Mod lisation de la viscosit 52 Approximations amp xoxo ka dd AAA A E o 5 2 1 Profildedensit dugazen2D 5 2 2 La mod lisation des bords du disque 5 2 3 Pas d effet indirect des ondes de densit sur les autres plan tes Dad CAMINITO uos cr A A 5 3 1 Snow line comme source de particules Conclusion 93 94 94 94 94 94 94 94 94 94 94 95 A Formulaire A 1 Variables usuelles A 2 Propri t s du disque A 3 Propri t s des orbites k pleriennes B Physique des disques B 1 Bilan de moment angulaire Bibliographie 96 97 97 98 99 100 104 Introduction Oscillant en fonction de l humeur de l poque le d bat de la vie ailleurs et de l exis tence d autres plan tes a anim la communaut scientifique depuis l antiquit Souvent influenc par les convictions religieuses et les mod
130. rise n gativement tandis que c est la valeur positive qui est utilis e l int rieur On a donc les param tres suivants d finir 58 2 4 DISQUE 1D torque_type tanh_indep indep_cz 3 0 AU saturation torque 1 0 in Gamma_0 Evolution of the total torque FT 60 1 50 z 0 5 40 un 30 0 9 20 0 5 a 10 0 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Semi major axis AU FIGURE 2 4 Cette carte repr sente l effet du disque dans le cas de l option tanh_ indep pour une plan te en fonction de sa position en abscisse et de sa masse en ordonn e La ligne noire repr sente la zone de couple nul c est dire une zone o la migration de la plan te s arr te manual Il est aussi possible de rentrer manuellement un couple total en fonction de la position de la plan te dans le disque Les valeurs seront alors lues partir du fichier torque profile dat La premi re colonne sera les positions dans le disque en AU tandis que la deuxi me colonne sera le couple exerc par le disque en unit de To c est dire que l effet de la masse de la plan te sur la vitesse de migration sera toujours pris en compte dans le code au travers de la d pendance de T o en fonction de la masse de la plan te et de la masse du disque 2 4 Disque 1D Afin de calculer les effets d un disque de gaz une mod lisation de ce dernier est n cessaire Le but tant d avoir une grande souplesse le disque impl ment est bien entendu tr s
131. rs 2009 propose un mod le tr s simple opacit constante K 3 tant que la temp rature est inf rieure 1380 K puis une simple loi de puissance fonction uniquement de la temp rature au del Enfin le mod le dans Hur 2000 ne d finit pas de fonctions par morceaux mais utilise simplement une table d opacit fonction de la temp rature et de la densit L avantage de ce type de m thode est qu on ne rajoute pas d incertitudes par des fits en loi de puissance c est donc principalement pour a que j ai choisi cette table d opacit pour mon mod le standard 1 2 7 Profil de densit de surface Un point crucial dans la mod lisation physique d un disque protoplan taire est son profil de densit de surface X a signifie d une part qu on fait l approximation d un disque mince et que toutes les quantit s qu on consid re par la suite sont moyenn es selon la direction verticale z Que l on fasse voluer la densit de surface ou non on doit choisir un profil initial Ce profil est g n ralement sous forme d une loi de puissance de la forme 5 R Xy E 1 46 Un profil largement utilis est celui de la Masse Minimale de la N buleuse Solaire Hayashi 1981 Dans cet article le profil de densit est calcul partir de la masse des plan tes La quantit de solide contenu dans les plan tes est r partie dans des anneaux en lieu et place des plan tes puis partir d un rapport gaz sur poussi re le profil d
132. rucki S T Bryson D A Caldwell J A Carter D Ciardi E W Dunham J J Fortney T N Gautier III S B Howell D G Koch D W Latham G W Marcy R C Morehead and D Sasselov Architecture and Dynamics of Kepler s Candidate Multiple Transiting Planet Systems ApJS 197 8 November 2011 doi 10 1088 0067 0049 197 1 8 W Lyra S J Paardekooper and M M Mac Low Orbital Migration of Low mass Planets in Evolutionary Radiative Models Avoiding Catastrophic Infall ApJ 715 L68 L73 June 2010 doi 10 1088 2041 8205 715 2 L68 C Marchal and G Bozis Hill Stability and Distance Curves for the General Three Body Problem Celestial Mechanics 26 311 333 March 1982 doi 10 1007 BF01230725 F S Masset On the Co orbital Corotation Torque in a Viscous Disk and Its Impact on Planetary Migration ApJ 558 453 462 September 2001 doi 10 1086 322446 F S Masset The co orbital corotation torque in a viscous disk Numerical simulations A amp A 387 605 623 May 2002 doi 10 1051 0004 6361 20020240 F S Masset On type I migration near opacity transitions A generalized Lindblad torque formula for planetary population synthesis Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy 111 131 160 October 2011 doi 10 1007 s10569 011 9364 0 F S Masset A Morbidelli A Crida and J Ferreira Disk Surface Density Transitions as Protoplanet Traps ApJ 642 478 487 May 2006 doi 10 1086 500967 M Mayor and
133. s de 5 plan tes que nous avons mod lis s est rest e stable dans le sens o aucune collision n a eu lieu Mais l amplitude de la migration chaotique subie par le syst me varie d un syst me l autre Les deux exemples de FIGURE 4 6 page pr c dente montrent les deux cas les plus extr mes Les simulations avec 10 plan tes taient encore plus chaotiques et des collisions ont eu lieu Le point le plus important pour d terminer l amplitude des oscillations chaotiques d un syst me est l ordre des r sonances Des r sonances d ordre p faible par exemple 3 2 maintiennent des excentricit s lev s et sont moins stables car elles sont sensibles aux variations d excentricit Dans le m me temps les r sonances d ordre p lev par exemple 11 10 maintiennent des excentricit s plus faibles et sont moins sensibles aux perturbations d excentricit Par exemple FIGURE 4 6a page pr c dente les perturbations sont rapidement amor ties tandis que dans le panneau du bas la fr quence des perturbations est suffisamment importante pour que le syst me n ait pas le temps de les amortir et ne tendent donc pas vers une configuration stable Dans ce contexte un syst me compact est donc plus stable qu un syst me plus tendu ce qui est exactement l oppos d une situation pure ment gravitationnelle Marchal and Bozis 1982 4 1 7 Discussion Au travers de cette partie nous avons montr que les plan tes ne sont pas forc ment pi g
134. s frottements induits par la rotation diff rentielle La force visqueuse par unit de longueur est d finie par dQ Fis VLA vir d V yor dr B 4 ANNEXE B PHYSIQUE DES DISQUES 101 La force visqueuse induite par les anneaux entourant l anneau consid r est alors Fi R 25 R x dFys R N REB Iv ER T R g B 5a T FR AR 2n R AR x dFyig R AR Foui R AR 2nvd R AR R AR B 5b L anneau interne tournant plus vite la force est dirig e dans le sens de rotation g A l inverse l anneau externe tourne moins vite il tend freiner l anneau de r f rence et s oppose son mouvement La force est donc oppos e au sens de rotation Ainsi le couple T PA F issu de chacun des anneaux entourant celui de r f rence Anani s crit 4 Pin Re T Ty VER R B 6a To R AR A Fou Tour 2nvd R ARP R AR B 6b On fait maintenant un bilan des variations de moment angulaire pour l anneau de gaz Pour cela on dit que la variation de moment angulaire que l on crit en d rivant Ja t est gale aux variations de moment angulaires induites aux bords de l anneau par change de masse laquelle s ajoute la diff rence entre les deux couples visqueux qui s appliquent au bord externe et interne Ce qui donne dJa dt dj R AR EUR E Tac Dy B 7 En utilisant B 1 page pr c dente B 2 page ci contre B 6 dans B 7 Li 27 R ARX R O R
135. sauf quand la temp rature devient suffisamment importante pour que la totalit de la poussi re se sublime g n ralement au del de 1500 K l opacit tant alors r gie par les mol cules du gaz En fonction de la temp rature et de la pression diff rentes esp ces se condensent ou se subliment modifiant les propri t s de la poussi re notamment la quantit de poussi re disponible et donc Popacit L opacit d pend de plus de la longueur d onde les raies d absorptions n tant pas uniform ment r parties sur toute la gamme de longueur d onde Ce dernier param tre est g n ralement int gr dans des mod les d opacit Citons notamment les opacit s moyennes de Plank et de Rosseland principales opacit s utilis s dans les disques Ce sont des quantit s moyenn es sur tout un spectre rendant les opacit s ind pendantes de la longueur d onde Dans le cas de l opacit de la moyenne de Rosseland on fait l approximation que le disque est optiquement pais de sorte qu on peut n gliger le flux total pour se concentrer uniquement sur la d riv e du flux C est dire en d autres termes que seul le flux provenant du gaz environnant arrive jusqu la zone consid r e le reste tant absorb D au cot optiquement pais du disque on perd l information sur le flux total ce qui simplifie les calculs L opacit moyenne de Rosseland xp est alors d finie comme po 1 pe d 1 44 KR m 9D du Ky V
136. simplifi Toutes les quantit s sont int gr es et invariantes selon la hauteur z et la position azimutale dans le disque r sultant en un mod le radial 1D de toutes les quantit s Dans la mesure du possible les quantit s du disque ont t calcul es de mani re consistante Je vais pr senter dans la suite de mani re chronologique comment sont calcul es les grandeurs physiques du disque CHAPITRE 2 LE CODE N CORPS 59 2 4 1 Profil de densit de surface Le profil de densit de surface est d fini au d but de la simulation comme une loi de puissance de la forme E R Yy x RS 2 4 o X est la densit de surface 1 AU et d l indice de la loi de puissance Ce profil de densit de surface est d fini pour une certaine tendue radiale On d fini donc un bord interne Rin et un bord externe Rout Le bord interne est g n ralement 0 1 AU et le bord externe 100 AU Afin de calculer les valeurs suivantes ce disque est chantillonn et toutes les valeurs n cessaires sont ensuite calcul es chacun de ces points Le profil de densit de surface est le param tre d entr e le plus important Il est celui partir duquel on calcule toutes les autres quantit s du disque temp rature chelle de hauteur etc Le profil tant une loi de puissance un amortissement est effectu au bord interne du disque afin que la valeur de la densit au bord interne soit proche de z ro 2 4 2 Table d opacit
137. sodales Donec ac nibh eu felis suscipit elementum Fusce convallis dolor sit amet dolor Nulla sit amet pede Maecenas et ante vitae risus tempus facilisis Nullam ut tellus et lacus sollicitudin condimentum Maecenas vitae lorem Quisque nec leo varius est euismod posuere Integer ac diam in enim pellentesque pulvinar Etiam sodales tristique eros Curabitur non magna Suspendisse blandit metus vitae purus Phasellus nec sem vitae arcu consequat auctor Donec nec dui Donec sit amet lorem vel erat tristique laoreet Duis ac felis tincidunt arcu consequat faucibus Vestibulum ultrices porttitor purus In semper consequat dolor Nunc porta Vestibulum nisl ipsum rhoncus quis adipiscing sed sollicitudin ut quam Table des mati res Introduction 1 Formation Plan taire Ll Formation belli oiga 69444 ko Form AO y e SON es e 1 2 Les disques protoplan taires 0 0 80 8 121 Formation et Evolution lt s kx exo e OR 3 x XR X EEE 1 2 2 Evolution hydrodynamique du disque 1 2 3 Profil de temp rature 12 4 La viscosit du disque 22 km d s on 1250 LA POURS uon sh Qe era ESE EE EES d s eee ES LA Opacit du dile 2 4 xpo 49865 AAA 1 2 7 Problde densit de surface 2244443 o a ooo o Ls 1 2 8 Limites et approximations dues la mod lisation 1 8 Interaction disque plan te 1 3 1 Migration des plan tes de faible masse type I
138. sse le m me comportement qualitatif est observ quelle que soit la masse ou la r sonance consid r e Une plus grande excentricit implique un amortissement plus fort du couple de corotation Ic et une stabilisation du syst me de plus en plus proche de leur toile 4 1 4 Effet du rapport de masse Nous tudions maintenant le cas de deux plan tes de masses diff rentes FIGURE 4 4 page suivante repr sente les positions finales d une s rie de simulations simples dans lesquelles une plan te de 10 M est plac e syst matiquement 3 UA en compagnie d une autre plan te plac e 4 UA et dont la masse varie successivement entre 0 1 et 3 M Dans FIGURE 4 4 page suivante la plan te externe est syst matiquement en r so 72 4 1 D CALAGE DE LA ZONE DE CONVERGENCE Ref 10M Outer Planet Convergence Zone equilibrium position AU 990 cop 2000 a o o 6 0000004 coq gua 28 00 cm me ec tot aias Ref 10M e Outer Planet 10 0 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0 mass of the outer planet M FIGURE 4 4 Syst me final d une s rie de simulations avec initialement une premi re plan te 3UA de 10 Ma et une deuxi me plan te 4 UA dont la masse varie de 0 1 3 Mg Les gra phiques montrent la position d quilibre des plan tes en haut et les excentricit s normalis es par rapport la demi largeur de la zone fer cheval e x en bas en fonction de la masse de la deuxi me plan
139. t r sultante FIGURE 1 10 Il est important de remarquer que la position de la r sonance externe d ordre m est syst matiquement plus proche que la r sonance interne associ e Ainsi en sommant sur tous les modes on arrive la conclusion que le couple total externe l emporte toujours sur le couple total interne Ward 1997 38 1 3 INTERACTION DISQUE PLANETE Ainsi le couple de Lindblad est g n ralement n gatif pour des modeles typiques de disques protoplan taires Ward 1997 La r solution num rique des quations lin aris es permet de trouver une formule analytique pour le couple de Lindblad Iz D la r solution num rique qui doit s af franchir de la divergence du potentiel gravitationnel en r ro cette formule introduit une longueur de lissage permettant de s affranchir de la singularit du noyau du Green du potentiel gravitationnel Paardekooper et al 2010 eq 14 0 4 0 71 yT To 2 5 1 78 0 1d x 1 50 o y est l indice adiabatique et 8 et d sont les exposants des lois de puissance pour les profils de temp rature et de densit de surface Le couple est ici exprim en unit de T o couple de r f rence d fini par q 410 2 py 1 Lprp Qp 1 51 Notons aussi que le processus physique du transport du moment angulaire de la plan te est r alis par l onde de densit Le moment angulaire est emport par l onde de densit qui l change avec le gaz environnant m
140. t mod lis es via les formules de Cresswell and Nelson 2008 Le Code N Corps Sommaire 2 1 Pr sentation de Mercury AT 2 2 Algorithmes d int gration 48 2 3 Mode d emploi du code N corps modifi 50 2 3 1 Note t chniqu oa a sads po ee ops ko cue 3 ox Ren pu a 50 232 Param tres div f oor eS e oko Pa 51 2 9 9 Densit d surface saa 4 eee ee RD Rn 51 2 3 4 Irradiation de l toile centrale 52 Zia o 24 Lana Ue Wok mox OA e WX ESD n e UU d 53 CONSTANT eps A QS x rue dede d ded 53 alpha a cux once Gh we oe A ete ale hee Saba 53 A AE IE 93 2 340 ODACGIDO uus uoo woe e AS b ERA EEE SSD 54 bell es Li SSSR TS YU A uen d xeu a ded Ses 4 54 PMU da Ao s xt vede ted A od geh bodie stud ufa Ah we eo Sr 54 Chat DELES uox wh UAR Sob uo Auk Re VOR Gb UR UE S 54 l T Bee te ta hd dt Be dd ars 54 2 3 7 Wurbulene cisma iaa a a R3 x 55 2 3 8 Migration saa no do abausir de sina a RE Rw ee 56 Pedl xg and Se a ad a dog 56 mass dependant 56 neat TOR os aae ede ehh cH acabe d 57 tarih UE a xa ue acie AU aeu A A 97 MILD xo ocre ad a e BE 58 2 4 Disque LD ss i ono ok eom dns dou como xo Rom A 8 58 2 4 1 Profil de densit de surface 59 242 Table d oOpacit iud hao a pus a es 59 24 3 Profilde temp rature 222222 nd RT es 59 2 5 Migration type D 4 amp 54 eo wci e 9
141. t penser ces r sonances avec Jupiter sont des CHAPITRE 3 M CANISMES INDIVIDUELS 65 zones d pl t es en ast roides La raison profonde n est pas parfaitement connue mais il semblerait que ce soit d au chaos Je ne saurais pas expliquer exactement ce que ca veut dire par contre La r sonance imposte une valeur de a mais des changes sont possibles entre les deux corps en r sonance je ne sais pas bien de quelles valeurs par contre et il est possible que par ce biais l eccentricit puisse augmenter et ainsi d pl ter la lacune de kirkwood en favorisant les collisions entre les objets en r sonance et les autres qui sont dans la ceinture 3 1 2 R sonances et excentricit 3 1 3 Stabilit et ordre des r sonances 3 2 Les Zones de Convergence 3 2 1 Existence et int r t 3 2 2 Les diff rents types 3 2 3 Diagrammes de couple a m 3 2 4 R sonances et Accr tions M canismes de formation Sommaire 4 1 D calage de la Zone de Convergence 67 ALI Tutroduchlonh gounuosonckceoesoeg Gr de de dba eaed od ened 67 1 2 M th d s uos uper Hoe Y ego gw AY eR Rx S 68 4 1 3 Le cas de d ux plan tes 25224222999 dmm 70 4 1 4 Effet du rapport de masse 71 4 1 5 Effet des r sonances 73 4 1 6 Evolution avec plus de deux plan tes 74 Alt DISCUSSION uuo use RR d Rb ais ses 76 4 2 Formation des super Terres chaudes 78 432 1 Mod
142. ti re virtuelle repr sent e par l anneau en r R La flux de mati re doit tre n gatif si la masse sort de l anneau Les l ments de surface tant orient s vers l ext rieur un vecteur vitesse colin aire d implique que la mati re sort de l anneau Ceci explique la pr sence du signe n gatif dans l expression du flux de mati re On a ainsi aux deux bords de l anneau dFy R BR 27R v R 1 16a dFy R AR 2n R AR v R AR XZ R AR 1 16b v tant n gatif on a bien une perte de masse en r R et un gain de masse en r R AR La conservation de la masse implique alors que la d riv e temporelle de la masse de l anneau est gale au flux de masse travers sa surface On a ainsi 2 2TRARE R dFu R dFy R AR En faisant tendre l paisseur AR de l anneau vers 0 on obtient alors dX 10 Bilan de moment cin tique angulaire On fait maintenant un bilan des variations de moment angulaire pour l anneau de gaz Pour cela on dit que la variation de moment angulaire que l on crit en d rivant Ja t est gale aux variations de moment angulaires induites aux bords de l anneau par change de masse laquelle s ajoute la diff rence entre les deux couples visqueux qui s appliquent au bord externe et interne Ce qui donne d a _ jr dJ R AR dJ R Toa Pin 1 18 Le moment cin tique de l anneau est d fini par T H m v R T 2x R ARX R O R 1 1
143. tient avec le m me disque de r f rence mais pour les 4 mod les d opacit consid r s On consid re la carte avec la table d opacit FIGURE 4 12d comme r f rence En effet les lois d opacit s utilisent une table d opacit en amont partir de laquelle elles d duisent des lois de puissances par morceau afin de reproduire au mieux la table d opa cit La table d opacit se traduit par une carte de migration complexe o chaque aspect de la table se traduit sur la carte par une variation brutale de la migration L opacit a une grande influence sur l migration que ce soit au niveau du temps de diffusion qui r gi la saturation que vis vis du profil de temp rature L importance de l opacit se manifeste au travers du temps de diffusion radiatif Une opacit plus grande induit un temps de diffusion radiatif plus important On constate par ailleurs que les lois d opacit lissent fortement la carte de migration comparer la carte pour la table d opacit d Hur 2000 avec les 3 autres Notons en particulier une transition d opacit dans Bell and Lin 1994 qui n existe pas dans les autres mod les et qui entraine une zone de convergence ind pendante de la masse dans le cas pr sent 1 3 UA Cette transition d opacit li e l vaporation des grains de glace d eau n est en effet introduite que dans ce mod le les autres mod les consid rant 88 4 3 EFFETS DES PARAM TRES DU DISQUE qu elle n illustre aucune
144. tricit Comme pr c demment chaque simulation a t int gr e pendant trois millions d ann es dans un disque statique sans dissipation Dans les cas avec 3 plan tes on trouve 3 sc narii diff rents Dans un premier cas les 3 plan tes sont prises dans une chaine de r sonance et migrent vers l int rieur toutes ensemble jusqu une zone d quilibre o le couple total exerc sur le syst me est nul Cette zone est typiquement entre 2 et 2 5 UA Les excentricit s des trois plan tes ne sont pas identiques la plan te au centre de la chaine de r sonance est g n ralement la plus excit e Dans le deuxi me sc nario le plus probable deux plan tes entrent en r sonance et migrent vers l int rieur tandis que la troisi me et derni re plan te est trop loin dans le disque pour tre elle aussi prise en r sonance avec les deux autres Cette derni re plan te migre alors la zone de convergence 3 UA tandis que les deux plan tes internes stoppent leur migration autour d une zone d quilibre o le couple total exerc sur le syst me est nul Enfin dans un troisi me sc nario une collision a lieu et le syst me revient un cas deux plan tes de masse diff rente comme vu pr c demment FIGURE 4 4 page 72 Pour les cas 5 et 10 plan tes la situation est plus complexe Les syst mes de 5 plan tes forment des chaines de r sonances et migrent vers l int rieur en direction d une position d quilibre o le cou
145. tu turn lt tairr lt tiib 2 SU 2 u c 0 42 il e gt 2 e o o L 41 c LLI Cas Cas Cas lin aire satur non satur 8 v 1 1 3 w 1 1 3 q 1 1 v a 1 1 2 a 1 QU a 1 1 eg i ef 3 28 S I E 9 I r E S I Distance Distance Distance FIGURE 1 13 Dans le r f rentiel tournant avec la plan te repr sentation du m canisme g n ral l origine du couple de corotation Lorsque les temps de diffusion tai sont plus grande que le temps de libration tip le couple de corotation sature car le gradient de vortensit entropie au travers de la r gion fer cheval tend s aplatir Ce dernier est restaur quand les temps de diffusion tai sont plus courts que le temps de libration ti Dans ce cas la valeur optimale du couple de corotation est obtenue lorsque les temps de diffusion tir sont de l ordre de la moiti du temps de libration tj5 2 Dans la limite o les temps de diffusion tgig sont plus courts que le temps de demi tour tu turn l amplitude du couple de corotation d croit pour atteindre la valeur pr dite par une analyse lin aire Figure 1 13 illustre les trois cas possibles en fonction des commensurabilit s entre les diff rents temps caract ristiques mis en jeux L id e g n rale afin d viter la saturation c est qu on doit restaurer le gradient d en tropie de vortensit au travers de la zone fer cheval Il faut donc que les processus diffusifs soient suffisamment efficace pour
146. u e comme celles de Bell and Lin 1994 se r percute directement sur le profil de temp rature FIGURE 4 14 On voit donc apparaitre des zone de convergences dues des transitions d opacit s qui sont totalement d form es par l irradiation comme on peut le constater sur FIGURE 4 13 page ci contre 103 ES Avec irradiation N Sans Irradiation NN SN NN ON N DS g NN Ra E gt s 2 10 gt lt 5 A ES e ENS N NS N P T INL PR 10 Lolli 10 10 10 10 a UA FIGURE 4 14 Profil de temp rature avec ou sans irradiation L irradiation est calcul e avec les param tres T 5700 K R 4 65 10 3 AU disk albedo 0 5 Ainsi sans irradiation les deux transitions d opacit s 1 3 et 2 9UA induisent un changement brutal de la pente du profil de temp rature ce qui a pour effet de changer le sens de migration de positif n gatif puis l inverse Dans les parties externes l irradiation a pour effet de diminuer la pente du profil de temp rature qui tend vers un profil en R quand le disque est purement passif 4 3 7 Longueur de lissage Dans les mod les num riques des disques protoplan taires le potentiel gravitationnel doit tre modifi afin ne pas diverger aux tr s faibles distances mutuelles En particulier des probl mes peuvent survenir quand on mod lise des objets tels des plan tes par des masses ponctuelles De m me dans le cas
147. ue et la plan te devient si forte qu une cavit annulaire se forme autour de l orbite de la plan te creusant le disque de gaz Lin and Papaloizou 1986 Une fois que la cavit est form e la plan te est dite en migration de type II son orbite agit alors essentiellement comme une barri re entre les deux parties du disque de gaz interne et externe Du gaz peut parfois sauter le gap ou tre accr t par la plan te mais cette derni re voit son mouvement r git par le disque de gaz se retrouvant entrain e par la migration de celui ci Quand la plan te creuse un sillon et que sa masse est inf rieure ou de l ordre de la masse locale du disque M lt Majoc avec lequel elle interagit alors le temps de migration de la plan te est contr l par le temps visqueux du disque car cette derni re se comporte comme une particule de ce disque Nelson et al 2000 1 3 3 L amortissement de l excentricit et de l inclinaison Une plan te sur une orbite non circulaire e Z 0 g n re des ondes suppl mentaires cause de son excentricit De m me une orbite l g rement inclin e induit des ondes cause de l inclinaison de la plan te Des calculs analytiques sur les quations lin aris es valables quand e et I sont faibles e i lt H R montrent que les ondes dues l excentricit ou l inclinaison ont tendance amortir l l ment orbital qui est leur origine Tanaka and Ward 2004 eqs 45 47 trouvent un am
148. um rique simple et modulaire avec une id e en t te pouvoir tester les interactions et ou diff rences entre diff rents mod les que ce soit pour la viscosit l opacit ou m me des r troactions subtiles comme celle de l excentricit sur le couple de corotation 95 Annexe D Formulaire Sommaire A 1 Variables usuelles 97 A 2 Propri t s du disque 97 A 3 Propri t s des orbites k pleriennes 98 96 ANNEXE A FORMULAIRE 97 Ici sont r pertori es bon nombre de formules que j ai utilis et qui relient des gran deurs physique entre elles Dans la mesure du possible une source est donn e o la formule est mentionn e Ceci a pour but de centraliser ces formules li es la physique des disques et que j ai parfois eu du mal retrouver parmis la quantit d articles ou de livres traitant du sujet A 1 Variables usuelles Dans la th se j utilise couramment les m mes notations pour une propri t physique donn e Ici je fais un inventaire des notations afin qu on puisse s y r f rer et pour gagner en clart dans le texte en m vitant de red finir chaque fois les m mes unit s 2 Viscosit du disque Cs vitesse du son a param tre adimensionn pour la pres cription du disque permettant de d finir une viscosit fonction de la vitesse du son H chelle de hauteur du disque h H R rapport d aspect du disque Q vitess
149. un code symplectique c est dire qui conserve l nergie au cours du temps et dont le pas de temps est fixe c est le seul avoir un pas de temps fixe BS Stoer and Burlisch 1980 un algorithme pas de temps variable r put robuste et plut t long tourner BS2 Press et al 1992 Bas sur BS il pr sente l inconv nient de ne pas fonc tionner pour les syst mes non conservatifs Il est cens tre deux fois plus rapide que BS RADAU Everhart 1985 Ne fonctionne pas bien pour les rencontres proches et les orbites tr s excentriques Est cens tre deux trois fois plus rapide que BS HYBRID Chambers 1999 Ce code utilise MVS en temps normal puis lors d une rencontre proche utilise BS2 afin de r soudre correctement les orbites Il y a donc principalement deux cat gories les int grateurs symplectiques o le param tre fixe est le pas de temps h c et les int grateurs N corps o le param tre est la pr cision en terme de conservation d nergie d un pas de temps l autre le pas de temps n tant pas fixe Ici seuls MVS et HYBRID utilisent une partie symplectique alors que BS BS2 et RADAU sont purement N corps On d fini le Hamiltonien H de notre probl me N corps comme tant la somme des nergies cin tiques et potentielles de chaque corps N p N N mim H De T ex Z 2 1 i 1 i 1 j i 1 o m est la masse du corps i p son impulsion et r la s paration entre les
150. us petite que l chelle de hauteur du disque Le m canisme qui a le plus de chance d tre l origine de la viscosit alpha est l Instabilit Magn to Rotationnelle MRI Balbus and Hawley 1991 En cons quence on peut d finir la viscosit v associ e la turbulence comme tant v ac H 1 43 o cs est la vitesse du son et H l chelle de hauteur du disque a avec a lt 1 est alors un param tre adimensionn qui permet de d finir plus ou moins l intensit des turbulences et donc la viscosit qui leur est associ e Une valeur typique d a se situe entre 107 et 1074 Ce mod le permet de d finir une viscosit non constante dans le disque de gaz ce qui semble d j plus coh rent avec un disque de gaz tendu 0 1 100 AU par exemple Pourtant le mod le a n est pas forc ment la panac e en comparaison du mod le viscosit constante En effet la complexit est ici masqu e dans la valeur qu il faut attribuer au param tre a D une part il est difficile d estimer la valeur du param tre a mais en plus il n y a aucune raison physique qui permet de justifier qu a soit constant dans tout le disque approximation g n ralement sous jacente au choix de la prescription a pour la viscosit Ceci justifie donc que l on mette ces deux mod les en concurrence sans placer le mod le au dessus du mod le viscosit constante Les incertitudes tant tellement grandes dans les deux cas il est justifi d
151. vec q 1 sont les plus fortes On dit que q est l ordre de la r sonance plus l ordre est petit et plus la r sonance est forte A Mais ce n est pas le seul param tre prendre en compte pour valuer la force d une r sonance et je suis bien incapable de tous les d crire Pour une r sonance p q p on d finit un certain nombre d angles 0 dits angles de r sonance de la forme Oiri p q jA2 ph iw q 7 wo 3 1 avec i allant de 0 q o sont les longitudes moyennes w les longitudes du p ricentre et les indices 1 et 2 se r f rent respectivement la plan te interne et externe Pour une r sonance p q p on a donc q 1 angles de r sonance Les angles de r sonances mesurent l angle entre les deux plan tes au point de conjonc tion Si un seul de ces angles est en libration oscillation autour d une valeur moyenne au lieu de circuler librement de 0 27 alors on dit que les plan tes sont en r sonances Le nombre d angles en libration permettra aussi d avoir une id e de la force de la r sonance Exemple Soit une r sonance 7 2 les angles de r sonances sont 0 143 2A 501 02 T 241 Aw 1702 03 7 2 241 3 1 2002 0 T 241 201 3702 05 7A2 241 lw 402 06 TAg 241 5 9 pis ZA ZA GA Remarque Les lacunes de Kirkwood font elles aussi intervenir des r sonnances mais contrairement ce qu on pourrai
152. viduels Sommaire 3 1 Les R sonances de Moyen Mouvement MMR 64 Sd IDEM zone a E da ae eR eee A 64 3 1 2 R sonances et excentricit 65 3 1 3 Stabilit et ordre des r sonances 65 3 2 Les Zones de Convergence 65 3 2 1 Existence et int r t gt 4 a au 4e z oko a 65 3 2 2 Leg diff rents types ia cad ono RR mn m 9 X ee bbe ass 65 3 2 3 Diagrammes de couple a M 65 3 2 4 R sonances et Accr tions 65 63 64 3 1 LES R SONANCES DE MOYEN MOUVEMENT MMR 3 1 Les R sonances de Moyen Mouvement MMR 3 1 1 D finition Les r sonances de moyen mouvement sont des configurations orbitales particuli res de deux plan tes dans lesquelles il existe un lien entre les p riodes orbitales des plan tes Exemple si deux plan tes sont en r sonance 3 2 ca signifie que la plan te interne effectuera 3 orbites pendant que la plan te externe en effectuera 2 Ces configurations particuli res conf rent une stabilit accrue aux plan tes Plus la r sonance est forte et plus il sera difficile pour les plan tes d en sortir On met g n ralement une r sonance sous la forme p q p o p et q sont des entiers Cette forme permet de mettre en vidence un des param tres qui permet de rendre compte de la force de la r sonance En effet plus q est petit et plus la r sonance est force Ainsi les r sonances a
153. x points 36 1 3 INTERACTION DISQUE PLANETE 1 Une onde de densit se forme par la pr sence de sur densit locales comme des nuages de gaz g ants D Onghia et al 2013 Une fois form e il est possible que l onde de densit s auto entretienne en modifiant les excentricit s des l ments qui la composent Binney and Tremaine 2008 2 L onde ainsi cr e n est pas une onde mat rielle rigide en rotation mais une onde de densit statistique Le bras spiral n est ainsi pas constitu d une population fixe d toile Les toiles constituant le bras spiral changent avec le temps mais statistiquement la position des toiles dans la galaxie dessine une onde de densit o le nombre d toiles est plus grand FIGURE 1 9 sch matise l apparition d onde de densit Dans le cas gauche des orbites concentriques parfaitement circulaires sont ajout s On ne voit rien de particulier Par contre dans le cas droite on choisi des orbites tr s l g rement excentriques chaque tape on rajoute une orbite en agrandissant l orbite pr c dente et en la tournant l g rement On voit ainsi apparaitre deux ondes de densit s dans le disque simplement dues l orientation des orbites excentriques Cla signifie en particulier que la vitesse de rotation de l onde de densit n est pas li e la vitesse de rotation des toiles qui la composent Ceci permet de r soudre le winding problem c est dire le fait que si l ond
154. xcentri cit importante son couple de corotation est fortement att nu ce qui n est pas le cas de la plan te massive Cette derni re migre comme si elle n tait pas en r sonance et partir de l soit elle emporte le syst me avec elle soit comme dans le cas pr sent la CHAPITRE 4 M CANISMES DE FORMATION 83 a AU Time years mass Earths Time years FIGURE 4 10 Formation d un coeur de plan te g ante La plan te dont l volution est not e en bleu devient massive suffisamment vite pour pouvoir migrer vers l ext rieur Les cercles repr sentent des collisions Les autres courbes bleu qui disparaissent sont des embryons qui rentrent en collision avec la plan te consid r e et fusionnent avec elle r sonance fini par se briser et les deux plan tes continuent leur migration s par ment Dans la suite de la simulation la plan te est trop massive pour tre arr t e La plan te massive migrant vers l ext rieur elle capture en r sonance un embryon de faible masse Les deux plan tes migrent alors vers l ext rieur emport es par la migration de la plan te la plus massive Pourtant le syst me n est pas stable Les perturbations finissent par briser le syst me de deux plan tes qui a alors deux possibilit s Soit une collision survient augmentant sa masse soit la br ve rencontre se termine par un change d orbite Dans

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