Sujets de TP - Mathématiques du Cnam
Contents
1. la condition de Kutta Joukovski d galit des pressions sup rieure et inf rieure au bord de fuite Indication La pdetool de Matlab permet de r cup rer les gradients constants par triangle de la solution par la fonction pdecgrad Mode d emploi egxu cgyu pdecgrad p t c u renvoie les 2 composantes des gra dients dans chaque triangle du maillage 11 TP5 Bielle avec cong 0 8 F J 0 6 F z 04 J 0 2 E 1 R aliser la g om trie de la bielle et r soudre un probl me en contraintes planes associ 2 D terminer une nouvelle g om trie afin d introduire les cong s n cessaires en utilisant la fonction spline de Matlab Ecoulement portant autour d un biplan en double profil NACA On propose ici l extension du calcul d coulement portant du TP4 au cas d un biplan constitu de deux profils naca superpos s D terminer les conditions aux limites pour la fonction de courant 4 sur les profils d ailes telles que l coulement v rifie la condition de Kutta Joukovski d galit des pressions sup rieure et inf rieure aux bords de fuite Indication La pdetool de Matlab permet de r cup rer les gradients constants par triangle de la solution par la fonction pdecgrad Mode d emploi cgxu cgyu pdecgrad p t c u renvoie les 2 composantes des gra dients dans chaque triangle du maillage On pourra tudier l effet du maillage et du confinement dimension de la boite sur la qualit2. ESCPI GM3 Second Cycle 2007 2008 MATH MATIQUES et M THODES NUMERIQUES T P 1 Premiers pas 1 R soudre le probl me du Laplacien avec conditions de Dirichlet et Neumann dans le cas des g om tries ci dessous Pr cis ment on consid re successivement les D C X S A B probl mes Au 0 puis Au 1 pour tout point x y EQ u 0 sur AB u l sur CD 1 w 0 sur BCUAD an Au 1 x y Q disque 2 u 0 sur rP Au 1 x y Q disque tronqu 3 u 0 sur PT Au 1 x y Q disque tronqu u 0 sur T 4 Ou 0 sur Tj 2 Calculer les modes propres du laplacien pour un carr un disque un rectangle etc en variant les conditions aux limites 3 R soudre le probl me Au 0 pour tout point z y EQ u T sur Ty z c u T 0 sur T r C u _ e On 5 On suppose T 100 Te 20 c 1 Tester d autres types de conditions aux limites 4 La temp rature ext rieure T est toujours suppos e fix e Calculer la temp rature T n cessaire pour obtenir une valeur donn e Qo du flux Qn chang avec l ext rieur travers le bord sup rieur du domaine 1 0 8 0 6 0 4 0 2 L 1 L L L 1 L L 1 L 1 0 8 0 6 0 4 0 2 0 02 0 4 06 0 8 1 FIG 1 G om trie et maillage du probl me 9 27 1 1 1 1 1 k 1 1 1 1 1 08 0 6 04 0 2 0 02 04 06 08 1 FIG 2 Isothermes de la solution du
3. des r sultats 12 Color von Mises Displacement u v 900 0 2 L 0 1 0 5 i i d 1 1 0 5 0 FIG 10 Contraintes de Von Mises sur la bielle avec cong 0 5 FIG 11 Maillage du domaine pour le biplan 13 Contour u Height u F1G 12 Ecoulement portant autour du biplan 14
4. eprendre les questions pr c dentes et r soudre avec MATLAB dans ce nouveau cas La situation actuelle Le chauffage par un liquide a t abandonn au profit d un chauffage du moule par des r sistances lectriques Ceci change fondamentalement le mod le Les ca naux contenant les r sistances font maintenant partie du domaine de calcul Les r sistances sont mod lis s par des zones o une puissance est apport e ce qui se mod lise par des valeurs non nulles du second membre f de l quation On sup pose donc maintenant le moule chauff par 4 r sistances lectriques et maintenu une temp rature de 20 degr s sur son bord inf rieur I4 de 50 degr s sur son bord sup rieur o et isol e thermiquement sur ses bords lat raux T o La mod lisation de ce probl me s crit kAu x y f dans Q u 20 sur u 50 sur o a 0 sur o avec k 50 f 0 surQ f 250 sur R2 et R4 f 50 sur R3 et R5 Question 4 Donner la nouvelle formulation variationnelle de ce probl me Question 5 R soudre ce nouveau probl me en utilisant la toolbox pdetool de Matlab Color u Color u FIG 5 Temp ratures avec le chauffage par liquide et les deux types de conditions aux limites Color u Color u FIG 6 Temp ratures avec le chauffage par r sistances et les deux types de condi tions aux limites Question 6 M mes questions dans le cas d un change convectif avec le milieu ext rieur selon du o 20 est d
5. gradient d une fonction potentiel solution du probl me Trouver une fonction d finie sur Q telle que Ag 0 pour x y EQ 0 sur AH 1 sur FG 6 20 0 sur ABCDEF dP 0 sur HG On On Interpr ter les conditions aux limites et r soudre avec Matlab Mod liser et r soudre avec la toolbox pdetool de Matlab le m me probl me en fonction de courant Cette fois Op _ d V E Ecoulement non portant autour d un profil NACA Potentiel R soudre le m me probl me en fonction potentiel puis en fonction de courant pour un coulement en fluide parfait autour d un profil d aile donn function y naca x t1 0 1775 sqrt x t2 0 075597 x t3 0 212836 x 2 t4 0 17363 x 73 t5 0 06254 x 74 y t1 t2 t3 t4 t5 On pourra tudier l effet du maillage et du confinement dimension de la bo te sur la qualit des r sultats 0 7 Contour 1 ux 2 uy2 2 Vector field uy ux 0 65 0 6 0 5 F 0 55 o 0 5 0 45 7 0 35 7 0 3 F1G 8 Ecoulement potentiel Ecoulement portant autour d un profil NACA On suppose maintenant le profil portant suivant D terminer la condition aux limites pour la fonction de courant sur le profil d aile telle que l coulement v rifie 10 Contour 1 ux 2 uy2 2 Vector field uy ux 0 8 0 8 J 0 4 0 2 FIG 9 Ecoulement portant
6. le de thermoformage On suppose tout d abord le moule chauff par le liquide circulant dans des ca naux dont on a repr sent les 4 sections maintenu une temp rature de 20 degr s sur son bord inf rieur T de 50 degr s sur son bord sup rieur Is et isol e ther miquement sur ses bords lat raux T o Le liquide chaud est ici suppos changer parfaitement sa temp rature avec les parois en acier du moule Soit u x y la temp rature en un point x y de Q La mod lisation de ce probl me s crit k Au x y f dans Q u 150 sur le contour des 4 canauxR2 R3 R4 R5 u 20 sur T u 50 sur Lo d S 0 sur lo avec k 50W K f 0W m Question 1 Rappeler la formulation variationnelle de ce probl me sous la forme Trouver appartenant V telle que a v lv Vue V en pr cisant l espace V choisi et les formes a et l Question 2 R soudre ce probl me en utilisant la toolbox pdetool de Matlab l ments finis P1 La g om trie exacte du moule et du profil 7 du parechoc seront pr cis s en s ance de TP La g om trie du profil 7 sera introduite grace une spline On tracera en sortie la courbe des temp ratures obtenues sur 7 Question 3 On consid re dans une nouvelle approche que les conditions aux limites sur les fronti res ext rieures o et T o mod lisent un change convectif selon du o 20 est donc la temp rature de l air ambiant et h 5 le coefficient de convection R
7. onc la temp rature de l air ambiant et h 5 le coefficient de convection TP3 Le but de ce TP est la r solution d un probl me d optimisation On dit aussi probl me inverse C est le vrai probl me de conception pour un ing nieur Une fois que l on est assur de savoir mod liser et calculer la solution du probl me partir des donn es g om triques et physiques on peut envisager le probl me plus int ressant mais plus difficile suivant Quelles sont les donn es qu il faut choisir pour obtenir un r sultat prescrit Dans notre probl me de moule chauffant la question est quelles valeurs de puissances doit on donner aux r sistances lectriques pour obtenir sur le pare choc y une temp rature homog ne de 150 degr s Voici la m thode on doit crire un programme d optimisation par une m thode de moindres carr s d terminant les valeurs donner aux puissances f dans les 4 r sistances R2 R3 R4 R5 pour obtenir la temp rature la plus proche possible de 150 degr s sur le profil 7 Ce probl me devra tre r solu l aide de la toolbox pde de Matlab TP4 Ecoulement potentiel Tuy re R soudre avec la toolbox pdetool de Matlab le probl me potentiel suivant On 1 Contour u Vector field ux uy 0 9 0 8 0 7 0 6 0 5 0 4 0 3 0 2 0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 1 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 0 1 FIG 7 Ecoulement potentiel dans une tuy re cherche le champ de vitesses sous la forme du
8. probl me TP2 Le but de ce TP2 ainsi que du TP 3 qui le suivra est de pr senter l utilisation d un outil de calcul comme aide la mod lisation Il s agit du calcul du champ de temp rature dans un moule de thermoformage de plastique Ce TP est issu d un vrai probl me pos par Renault pour l optimisation de moules qui taient utilis s pour le thermoformage de pare chocs ou boucliers Le probl me technologique est le suivant les pare chocs doivent tre cuits une temp rature uniforme de 150 degr s Comment chauffer les moules 0 80 100 80 80 67 _ 20 65 90 60 12 60 40 45 Ba LT 60 35 75 35 rm 88 20 80 17 10 20 20 15 0 0 100 0 F1G 3 Moule de thermoformage donn es g om triques La situation initiale Initialement les moules taient chauff s par un liquide maintenu une temp rature de 150 degr s circulant dans des canaux l int rieur du moule en acier Le moule r el est mod lis pour simplifier dans le cadre de ce TP par un mod le en dimension deux repr sentant tr s approximativement une section verticale du moule r el On consid re donc le domaine Q repr sentant une section plane d un moule chauffant pour thermoformage de plastique Figure 1 dont on cherche calculer la r partition de temp rature 80 R1 70 R2 60 R3 50 R5 40 gamma 30 20 R4 F1G 4 Mou
Download Pdf Manuals
Related Search