Introduction aux algèbres d`opérateurs I : Des espaces de Hilbert
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1. ALG BRES D OP RATEURS I 3 les vecteurs isotropes i e de norme nulle comparer l interpr tation euclidienne bilin aire V2 2 1 V2 2 1 i 1 2 1 i 0 avec la version hermitienne sequilin aire 2 2 1 V2 2 1 i 1 2 1 i i 1 Il ne s agit pas loin s en faut de la seule fa on de construire un espace de Hilbert sur C On peut chercher la forme g n rale si e1 e est la base canonique on peut poser bij e e la condition 3 devient bij b i e que la matrice b est hermitienne gale sa transconjugu e quant la condition 4 elle dit que les racines du polyn me caract ristique de b qui sont n cessairement r elles sont strictement positives en d autres termes b est un hermitien strictement positif Il s agit en fait d une remarque g n rale si H est un espace de Hilbert et si u est un hermitien positif voir plus bas u x y d finit une autre structure d espace pr hilbertien sur le m me H L espace est hilbertien par rapport la nouvelle forme quand u est inversible 1 3 2 Espaces de suites Les espaces de suites an nen de nombres complexes jouent un r le essentiel Nous allons nous attarder sur les amp 1 lt p lt en pratique on ne rencontre gu re que les cas p 1 2 00 Pour 1 lt p lt on d finit as lp 34 lanl P et P x fx lt oo L in galit de Minkowsky2. TLe pr fixe latin sesqui veut dire un et demi ALG BRES D OP RATEURS I 2 TH OR ME 1 CAUCHY SCHWARZ Lx y lt x x y y l galit n ayant lieu qu en cas de colin arit D monstration On se place dans le cas o x y 0 Quitte remplacer x par ax la 1 on peut supposer que y R Alors pour R x y x y z x 2XA x y Xy y gt 0 Ceci n est possible que si le discriminant b 4ac est n gatif ou nul i e si x y x y y lt 0 et l galit n intervient que si x y 0 pour un appropri Cauchy Schwarz montre que x y x y x x y y x y x y lt z 2 y 8 2 la a a ul y 2 ie que x s v rifie l in galit triangulaire ce qui justifie la derni re partie de la d finition N 1 2 Espaces pr hilbertiens La pratique fait appara tre des espaces pr hilbertiens qui ne sont pas n cessaire ment s par s ils v rifient seulement x x 20 5 Dans la d finition d espace pr hilbertien on ne demande pas non plus la compl tude On appelle espace pr hilbertien un espace vectoriel complexe muni d une forme sesquilin aire positive ne v rifiant que 5 Alors x x est une semi norme et dans une premi re tape on peut s parer l espace i e quotienter par l ensemble L z z 0 qui est un sous espace vectoriel sur lequel la forme
3. La d composition est unique dans le sens suivant i Les r els tn du moins ceux qui sont gt 0 sont uniques on peut les arranger en une suite d croissante to gt t gt t2 gt finie ou tendant vers 0 ii On ne peut assurer l unicit de en fn que si la valeur propre tn est simple Si tn tn1 appara t avec la multiplicit k 1 c est le sous espace de dimension k 1 engendr par e Qfh en k fh x qui est uniquement d fini ALG BRES D OP RATEURS I 23 4 tats et repr sentations 4 1 x isomorphismes Un x homomorphisme d une alg bre stellaire B dans une alg bre stellaire C est une fonction pr servant la structure alg brique y compris l unit et l adjonction Le r sultat suivant tablit en quelque sorte le caract re alg brique de la norme TH OR ME 9 Soit p un homomorphisme de B dans C alors i y est de norme au plus 1 ii Si est injectif il est alors isom trique On parle alors d un isomorphisme D monstration Un homomorphisme preserve l inversibilit si uv 1 alors glu p v I I l autao adjonction si u u y u p u y u la positivit si u vv alors y u p uv p v p v Si y u AI est non inversible c est que u AJ ne l tait pas Sp y u C Sp u et donc p y u lt o u Pour un hermitien v p v o y v lt ow v en prenant v uu on obtient p u lw lt lv
4. u uu u u u u 2 u u u u 0 donc v u uu u est tel que vv 0 et donc v jvv 0 d o v 0 Soient E et F les sous espaces appel s espace initial espace final correspondant respectivement u u et uu PROPOSITION 13 u induit une bijection isom trique entre E et F D monstration Si x E x u x u x u u x z l et donc u induit une isom trie de dans K Elle est en fait valeurs dans F car uu u x uu u x u x Elle est valeurs sur F car on peut appliquer le raisonnement u qui fait le trajet inverse 8Ou plut t sa d monstration ALG BRES D OP RATEURS I 22 En g n ral les isom tries partielles se composent mal le cas typique tant celui de deux projecteurs ne commutant pas c est m me le cas le plus g n ral pour que la compos e uv de deux isom tries partielles u v soit une isom trie partielle il faut et il suffit que le projecteur final vu de v commute au projecteur initial u u de u TH OR ME 8 D COMPOSITION POLAIRE Soit u B H K soit E le sous espace initial de u i e le suppl mentaire orthogonal de keru F son sous espace final i e la cl ture topologique cl im u de imu i Si absu u u u B H alors ker u ker u im u cl imu et abs ul full ii Il existe une unique isom trie partielle de H dans K telle que u vlul et ker ker u ii
5. Sp u et comme P X u 0 u P Sp u COROLLAIRE 9 1 L equation uv vu I n a pas de solution parmi les op rateurs born s La majoration 22 donne imm diatement le th or me 3 on fait tendre R vers l infini avec M fixe 5Prolong e contin ment en 0 par la valeur 0 ALG BRES D OP RATEURS I 14 D monstration 1 vu uv donc 1 Sp vu Sp uv ou encore 1 Sp vu U 0 Sp vu U 0 mais il n y a pas de compact non vide Sp vu v rifiant cette quation En fait il y a des solutions mais avec des op rateurs non born s auquel cas Sp vu n est plus forc ment compact par exemple Sp vu Z La proposition suivante anticipe sur la d finition de l adjoint autrement dit elle suppose que l alg bre est munie d une involution PROPOSITION 10 Sp u Sp u si u est inversible alors Sp u t Sp u D monstration Seconde propri t si 0 et u A I est inversible alors u t ATLI X Lu t u A I est aussi inversible REMARQUE 7 J anticipe sur la suite des v nements je vais montrer que le spectre d un op rateur n est pas relatif l alg bre stellaire voir infra dans lequel on le place gt En r gle g n rale si u B C C son spectre d cro t Spelu C Spg u vu que l on a plus de chances d inverser un l ment dans une sur alg bre gt Ilya une limitation technique cette dim
6. tant HS qu en dimension finie C est en tout cas suffisant pour donner une d finition naturelle du produit tensoriel de deux op rateurs born s par exemple D FINITION 16 Si u B H v B K alors u v B H 8 K est d fini par u v f vfu 38 5 4 Op rateurs trace PROPOSITION 23 Si u est positif alors la quantit tr u 0 o tr u gt u en en 39 ne d pend pas du choix de la base D monstration En effet tr u N u par l quation 36 D FINITION 17 On appelle op rateur trace un op rateur u tel que u tr ul soit fini PROPOSITION 24 Les condition suivantes sont quivalentes i u est un hermitien positif trace ii Pour tout op rateur born a la s rie u en a en converge auquel cas u1 sup 22n u en a en lall lt 1 D monstration i ii Si u est trace et al lt 1 Vu est HS et aussi yua avec ull2 Vuall2 lt yllull et alors la s rie 3 ulen a e qui correspond au produit scalaire yu yua dans H H converge en fait Zn l u en a en lt vull2 l vual l2 lt ull par Cauchy Schwarz ii i imm diat prendre a I TH OR ME 17 i L ensemble des op rateurs trace forme un id al bilat re auto adjoint de B H de plus u v 1 lt ul1 v 1 en particulier est une norme sur cet id al SiO lt u lt
7. ull ce qui prouve i Supposons que p u lt u on peut supposer u de norme 1 et quitte le remplacer par uu que u hermitien positif Soit p u lt 1 et soit f une fonction continue de R dans R telle que f x 0 pour x lt f 1 1 Alors f u 0 puisque 1 Sp u alors que f y u 0 puisque Sp y u 0 Puisque par i y est continu w f u f p u 0 p n est donc pas injectif ce qui prouve ii En particulier une alg bre stellaire simple B sans id al bilat re ferm autre que B et 0 n admet qu une seule semi norme stellaire i e telle que juu u En effet toute semi norme stellaire induit une alg bre stellaire s par e compl t e C et un homomorphisme y de B sur C Si y n est pas isom trique c est qu elle n est pas injective auquel cas le noyau de d finit une id al bilat re clos non trivial PROPOSITION 15 L alg bre stellaire M C des matrices n x n sur C est simple D monstration Pour 1 lt i j lt n soit Bij la matrice avec un seul coefficient non nul gal 1 celui d indice ij Si M Aij alors D icpcn BkiM Bjk Xl si T est un id al bilat re non nul il contient donc T Mn C est isomorphe B C l adjoint correspondant la transconjuguaison transposition conjugaison En dimension infinie B H contient un unique id al bilat re clos non trivial celui des op rateurs co
8. w vw wv 0 alors u v 1 w et donc si P est un polyn me terme constant nul P u P v P w ce genre de polyn me est suffisant pour approximer f et fT et on conclut que f u f v f w fu f w f w comme v w sont positifs f w f v 0 f v v f w w i e u v u w w REMARQUE 11 Ceci n tablit en rien une structure de treillis sur les hermitiens on a quelque chose qui ressemble sup u 0 mais u et 0 commutent Si on se restreint des alg bres commutatives il y a bien treillis ce n est pas tuant tablir puisqu on est moralement dans C X R on prend le sup des fonctions Par contre B H est un anti treillis deux hermitiens positifs ont un sup ss ils commutent Cela permet d tablir des r sultats folkloriques genre tout op rateur est combinai son de 4 hermitiens positifs Mais continuons avec des r sultats plus nerveux TH OR ME 7 Si u C les propri t s suivantes sont quivalentes i uec ii u v pour un v hermitien iii u v v pour un v quelconque De plus dans le cas ii v peut tre choisi lui m me positif auquel cas le choix est unique Dans le cas o C est de la forme B H on peut rajouter les quivalents suivants iv u v v pour un op rateur v dans un B H K v u x x gt 0 pour tout x de H D monstration La partie la plus difficile du th or
9. CD lata es D ER Pre 6 1 lt i lt N 1 lt i lt N 1 lt i lt N passe la limite N et montre que x p est bien une norme et que les sont en fait des espaces de Banach Pour 1 lt p q lt et 1 p 1 q 1 on s assure que le dual de est bien 41 en particulier le dual de 4 est bien 4 en accord avec le fait que est un espace de Hilbert donc auto dual On d finit de m me f ar l Supyenlan et x lxll lt oo et on voit que le dual de est Mais le dual de ne se r duit pas l t n en est qu un sous espace clos il contient aussi pour chaque ultrafiltre U la forme pu an limy an Donc n est r flexif i e gal son bidual que pour 1 lt p lt Ce qui est malheureux vu que les cas p 1 sont les plus naturels Mais le passage de l espace de Hilbert aux alg bres d op rateurs sur permettr de simuler des situations du type ou la norme d un op rateur est du genre L alors que sa trace est du genre 4t est l exemple le plus standard d espace de Hilbert et d ailleurs il g n ra lise naturellement le cas de dimension finie La forme hermitienne est d finie par an bn n anbn la somme est absolument convergente en vertu de sx anbn lt VD lan ER lbn qui west autre que Cauchy Schwarz pour C et qui passe facilement la limite Une autre fa on de dire la m me chose on fait la limite induct
10. PROPOSITION 8 Sp uv Sp vu D monstration Bas e sur le fait que si 1 uv est inversible d inverse a alors 1 vau 1 vu 1 vu vauvu vau 1 vu va 1 uv u 1 de m me 1 vu 1 vau 1 et donc 1 vu est inversible REMARQUE 5 Si u est une isom trie partielle voir d finition 9 de H sur un sous espace propre de H alors Sp u u 1 Sp uu 0 1 TH OR ME 3 Sp u est un compact non vide D monstration La d monstration se base sur la possibilit de developper l inverse en s rie enti re Par exemple si u est inversible alors u A T le reste dans un voisinage de 0 l inverse est 37 X u 1 qui va converger pour A lt u cela montre que le spectre est ferm De m me le spectre est born car pour gt u la s rie Xp u converge vers l inverse de I Lu Le spectre est non vide soit p une forme lin aire continue sur B si Sp u la fonction 4 o u A I va tre holomorphe dans tout le plan complexe fonction enti re et de plus comme pour LA gt lul Iu XD 1 lt 1 A llull cette fonction enti re s annule linfini C est le moment d appliquer le th or me de Liouville une fonction enti re born e est constante et d en d duire que po u A I est identiquement nulle en particulier ll uTt 0 quelque soit y Par le th or me de Hahn Banach th or me 24 ce n est
11. forme est un produit uu on peut m me supposer u hermitien et mieux u lui m me positif le fait capital est qu un hermitien positif a une racine carr e L analogie courante est la suivante les op rateurs sont une version non commutative de leur spectre autrement dit les hermitiens sont les r els non commutatifs les unitaires jouant le r le des arguments complexes et et d ailleurs la d composition polaire infra exprime tout op rateur comme le produit d un module hermitien positif et d une isom trie partielle cependant REMARQUE 8 Le rayon spectral d un op rateur hermitien est gal sa norme lu u ur lu ce qui fait que u u d o o u lim u 2 ju M me remarque pour un op rateur normal olu o uu juu u Les op rateurs normaux forment une classe b tarde car d nu e de toute socia lisation alors que les unitaires socialisent par produit si u v sont unitaires uv l est aussi et que les hermitiens socialisent par somme si u v sont hermitiens u v l est aussi on n a rien de tel pour les op rateurs normaux Bien qu ils comprennent beaucoup plus que les unitaires et les hermitiens les op rateurs normaux sont avant tout un artifice rh torique qui vite de dupliquer les r sultats qui sont valables la fois dans le cas unitaire et dans le cas hermitien 3 5 Le calcul spectral Soit u un l ment herm
12. d un convexe est extr mal si on ne peut pas l crire sous la forme d une combinaison convexe non triviale i e avec 0 1 Typiquement les points extr mes du triangle a 5 7 a 5 y 1 sont les sommets correspondant a 1 8 1 y 1 Le triangle est l exemple d un simplere i e d un convexe compact avec unicit de la d composition en combinaison convexe d l ments extr maux ce qui est faux pour disons un carr D FINITION 11 On appelle tat pur un tat extr mal Par sym trie Ax 0 1 2 suffit ALG BRES D OP RATEURS I 25 Quelques petites propri t s des tats d abord PROPOSITION 16 p u p u D monstration Il suffit de montrer que p u R pour u hermitien Or comme lul u gt 0 p lul1 u gt 0 et donc pfu 1 2 p lul1 u p ul1 u R TH OR ME 10 Une fonctionnelle lin aire p sur C telle que p I 1 est un tat ssi elle est born e et sa norme p sup p u ul lt 1 est gale 1 D monstration Supposons que p est un tat et soit u C quitte multiplier u par un scalaire de module 1 on supposera que p u gt 0 On va d montrer que plu lt u Pour a on crit u v iw v w hermitiens et on observe que v lt ul Z et donc p v lt ul mais p u pu implique pfu p v R ciproquement si p sup p u ul lt 1 1 soit u hermitien et crivons plu a ib il faut
13. f E devient AR y x f lt 0 pour tout C ce qui n est possible que si y x f 0 gt On en d duit que 7 est lin aire par exemple m x y n x y impliquent que y x y x sont orthogonaux F il en est de m me de leur somme x x y y ce qui montre que m x x y y gt Le noyau m 0 est un sous espace clos gal Et x Vy Elz y 0 gt mT est un exemple le plus typique d hermitien positif voir infra en effet n x x a x r x a z x r x m x r x gt 0 L image de x est E son noyau est Et le projecteur associ Et est I x Ces espaces sont suppl mentaires c est dire que tout vecteur de H s crit de fa on unique comme x e e e E e ET avec de plus e e orthogonaur i e tels que e e 0 ce qui s exprime par la relation de Pythagore el llel le l 9 1 4 4 L anti isomorphisme Sie H x z e est une forme lin aire continue par Cauchy Schwarz x le lt lellx l galit tant atteinte pour x Ae ce qui montre que cette forme e a la norme le R ciproquement toute forme lin aire continue sur H est de la forme e pour un e bien choisi forc ment unique vu que x e f 0 pour tout x implique e f e f 0 Soit donc une telle forme qu on supposera non nulle et consi d rons le noyau E x p x 0 Il est imm diat que E
14. int rieur non vide autrement dit il y a un yo un r gt 0 et un n tels que X y lt n pour tout y tel que y yol lt r On peut se ramener r 1 auquel cas XI lt 2n 1 5 Bases orthonormales D FINITION 2 Un syst me orthonormal de H c est une famille e indic e par un ensemble J form e de vecteurs de norme 1 et deux deux orthogonaux e est appel une base quand de plus l espace vectoriel qu il engendre est dense dans H PROPOSITION 6 Un espace de Hilbert admettant la base e icr est isomorphe T D monstration Concr tement a veut dire que l on peut s autoriser une criture formelle a X ae avec a a e Le mode d emploi de cette s rie formelle est le suivant a aiei X biei X ab 10 la convergence tant assur e par IJ meill lal lt 11 i i i e la formule de Parseval lzel gt Lx e l 12 TH OR ME 2 ORTHONORMALISATION H admet une base orthonormale D monstration Par le lemme de Zorn on consid re un syst me orthonormal maxi mal e er et soit la cl ture de l espace engendr par ce syst me Si E tait distinct de H on pourrait rajouter au syst me un vecteur de norme 1 pris dans le suppl mentaire orthogonal de E Donc E H PROPOSITION 7 Deux bases orthonormales de H ont m me cardinal la dimension hilbertienne de H On omet la d monstration qui n est pas des plus
15. me repose sur le LEMME 7 1 Si u u C alors u 0 D monstration On crit u v iw avec v w hermitiens observons que v et w de spectre positif sont positifs D autre part le spectre de uu est au nombre 0 pr s le m me que celui de u u et donc est inclus dans R et donc l hermitien uu est positif On observe alors que u u uu v w ou encore u u uu v w ce qui ne se peut que si les deux membres sont nuls Comme u u u 0 u 0 ALG BRES D OP RATEURS I 20 Revenons nos moutons hermitiens i ii il suffit de prendre h yu ce qui nous donne une solution positive Tordons le cou l unicit si k est une autre racine carr e positive de u alors k u et yu appartiennent l alg bre stellaire engendr e par k qui est faite des f k en particulier u k et k vk yu ii iii imm diat iii i u v v admet une d composition u u7 et soit w vu w w u v uu u ut u ju u7 Mais u7 a un spectre positif ce qui fait que l hermitien w w est positif et donc nul par le lemme Il en est de m me de u7 Il est facile de conclure que u7 0 ii iv imm diat iv gt v u u x x u x v x gt 0 v i u x x gt 0 fait de u un hermitien Mais 0 lt uu x u x utu x u zx u x u z u x u7 x lt 0 ce
16. montrer que a gt 0 b 0 Pour s positif suffisamment petit I su lt 1 et donc 1 sa lt 1 s a ib p I su lt 1 ce qui montre que a gt 0 ce qui r gle le probl me de a On d finit maintenant vn u al inbl et on observe que lea llv vnll u aD n lt ju al n 6 29 et donc n 1 o vn lt u aZ n2b pour tout n absurde PROPOSITION 17 Si Sp u il y a un tat p tel que p u D monstration Pour 8 C a 8 Sp au BI et donc la 6 lt au BI Autrement dit on peut d finir une forme lin aire born e po sur le sous espace de C engendr par u I elle v rifie po u po 1 1 pol 1 Par Hahn Banach th or me 26 elle s tend en une forme continue de m me norme sur tout l espace Par le th or me pr c dent il s agit d un tat v rifiant p u TH OR ME 11 Soit u C alors i Si p u 0 pour tout tat p alors u 0 ii iii iv iii iv Si u est normal alors il y a un tat p tel que p u u Si p u R pour tout tat p alors u est hermitien Si p u R pour tout tat p alors u est positif D monstration i On obtient Sp u 0 et donc si u est hermitien u 0 Pour le cas g n ral il suffit d crire u v iw avec v w hermitiens i a donne u u 0 iii Le spectre est en plus inclus dans
17. possible que si u t 0 dr le de propri t pour un inverse REMARQUE 6 Le th or me admet une version effective on peut calculer la taille du spectre i e le rayon spectral o u inf r Yz Sp u z lt r c est le diam tre de la plus petite boule de centre 0 contenant le spectre cette valeur est effectivement atteinte par compacit i e il y a un l ment du spectre de module o u y compris quand o u 0 puisque le spectre est non vide Le rayon spectral repose sur la version explicite du th or me de Liouville qui se d montre tr s bien dans le cas d une fonction de C dans un Banach En effet si y est une fonction holomorphe dans un disque de rayon gt R gt 0 le th or me des r sidus ALG BRES D OP RATEURS I 13 permet de calculer les d riv es successives de y en 0 au moyen d une int grale sur le cercle de rayon R 1 n 2 2int i n 1 t a e e 21 0 Re 2iT Grosso modo cette int grale va diminuer quand R augmente Si y est born e par M sur le disque de rayon R on obtient les majorations suivantes pour les d riv es successives lp 0 lt Mn R 22 TE p 0 et donc le rayon de convergence de la s rie enti re 3177 n au moins gal R Ce qui montre que le rayon de convergence de la s rie de w est gal au rayon du plus grand disque sur lequel est d finie Mais il y a aussi une formule explicite pour le rayon de conver
18. pour la norme et auto adjointe close par adjonction est la forme la plus g n rale d alg bre stellaire th or me 14 Il y a un exemple plus l mentaire d alg bre stellaire l alg bre des fonctions continues sur un compact X muni de la multiplication l adjonction tant la conju gaison tout cela d fini ponctuellement avec IFI sup f x x X 25 La particularit de C X c est d tre commutative Le th or me 12 nous dira d ailleurs que toute alg bre stellaire commutative est de cette forme 3 4 Petite taxinomie des op rateurs Les l ments d une alg bre stellaire et donc les op rateurs sur un Hilbert sont principalement tudi s en fonction de leur relation leur propre adjoint Voil les cas les plus typiques Normal se dit d un op rateur qui commute son adjoint uu u u Alors l alg bre stellaire engendr e par u est commutative et u poss de une esp ce de diagonalisation Parmi les op rateurs normaux se trouvent les hermitiens et les unitaires Unitaire se dit d un op rateur u d inverse uw i e tel que uu u u I Ce sont les isom tries de H car u x u y x u u x x y et ils forment donc un groupe Le spectre d un unitaire est inclus dans le cercle U z 2 1 C est vident car u 1 cause de uu u et donc Sp u est inclus dans le disque unit D il en est de m me de Sp u Sp u ce
19. qui montre que Sp u c DNA DI U 114 coule en fait de u lt uu qui Mpique u lt u uU 6 iii d coul fait d 2 lt t i impli 2 lt 7 ALG BRES D OP RATEURS I 16 Hermitien ou auto adjoint se dit d un op rateur u gal son adjoint en d autre termes tel que u x x soit r el pour tout x Le spectre d un hermitien est r el voir infra et les bornes extr mes de son spectre sont les r els sup u x x x 1 et inf u x x x 1 L hermitien typique c est m me un th or me tout hermitien s crit ainsi est une somme u u Sym tries se dit d un hermitien unitaire i e tel que u u u Son spectre est inclus dans 1 1 et de fait on peut diagonaliser u comme la diff rence des projecteurs voir infra I u 2 espace propre de 1 et J u 2 espace propre de 1 Projecteur se dit d un hermitien idempotent u u u Son spectre est inclus dans 0 1 et u correspond une projection orthogonale sur un sous espace clos l image de u Hermitien positif se dit d un hermitien tel que u x x gt 0 pour tout x Les hermitiens positifs sont particuli rement importants car la structure d ordre de R suppl e aux d faillances de la topologie par exemple dans les questions de convergence de s ries Les hermitiens positifs ont un spectre inclus dans R L hermitien positif typique c est encore un th or me ils sont tous de cette
20. tapes S paration on quotiente par les vecteurs de norme nulle De fait le quotient ainsi obtenu not H K n est rien d autre que le produit tensoriel alg brique des espaces En d autres termes on aurait pu partir de HO K en remarquant que l quation 15 s tend par sesquilin arit en une forme strictement positive Compl tion il faut compl ter HOK On gardera en t te que si e ier je sont des bases orthonormales de HI K alors e f jerx est une base orthonormale de H 8 K REMARQUE 2 On aurait tendance caract riser le produit tensoriel au moyen d un probl me uni versel une fonction lin aire sur H amp K c est une autre mani re de parler d une fonction bilin aire sur H x K Rien n est plus faux ALG BRES D OP RATEURS I 10 i Une fonction y B H 8 K L induit bien une fonction bilin aire born e tout simplement parce que x y x y est une application bilin aire born e ii a ne marche pas dans l autre sens ainsi la fonction x y x y est une fonction bilin aire de norme 1 de H x H dans C Elle v rifie m en mn ce qui ne correspond pas un l ment du dual de H H qui est un espace de Hilbert les coefficients ne formant pas une s rie de carr sommable Moins abstraitement il n y a pas de forme lin aire sur H H telle que P em En mn en effet gt 1 n er Qen H H mais p 31 n e Den 1 n Le produit tens
21. v sont positifs et v est trace alors u l est iii Tout op rateur trace est HS et donc compact en fait l id al des op rateurs trace est le carr de l id al des op rateurs HS ALG BRES D OP RATEURS I 33 iv Un hermitien positif compact est trace ssi la suite associ e An est sommable D monstration i Imm diat partir du ii de la proposition 24 i Alors 0 lt yu lt yv et on applique le iii du th or me 16 iii En fait u 4 lu exprime un op rateur trace comme un multiple du carr d un op rateur HS iv Tout simplement parce que la trace de u s exprime dans une base o u est diagonale comme la somme des TH OR ME 18 La fonction trace qui associe tout op rateur u trace la quantit tr u JS ulen en 40 n v rifie les propri t s suivantes Lin aire tr u v tr u tr v tr Au Atr u Hermitienne tr u tr u Born e tr u lt jul 1 Positive tr u gt 0 pour u positive Fid le tr u gt 0 pour u positive et u 0 Cyclique Si u est trace et a est born e alors tr ua tr au D monstration On a fait peu pr s tout ce qu il fallait pour que la d monstration soit imm diate par exemple la proposition 24 montre que le produit au reste trace quand u l est On peut s attarder un instant sur la cyclicit si a est un unitaire alors ua a au a i e ua se comporte comme au
22. 0 lt u lt v par ordre d croissant et avec r p titions alors pour tout n n lt Hn Les op rateurs compacts correspondent l id e de suite tendant vers 0 On peut raffiner cette id e en celle de suite de carr sommable op rateurs de Hilbert Schmidt ou encore de suite sommable op rateurs trace 5 2 Op rateurs de Hilbert Schmidt PROPOSITION 22 Si em fn sont des bases orthonormales de H K on d finit pour u B H K le nombre N u 0 par D U u em fn l 33 Le nombre N u ne d pend pas du choix des bases de H et K D monstration On r duit le probl me progressivement i Il suffit de montrer que la valeur diminue toujours dans un changement de base ii Un changement de base s exprime par composition avec des unitaires N aub lt N u quand a b sont unitaires ou plus g n ralement de norme 1 iii On d compose le travail en deux N au lt N u N ub lt N u les deux tapes se d duisent l une de l autre au moyen de l adjonction iv N au lt N u se r duit en fixant f et en introduisant y u f l in galit D a em y lt D em y 34 m soit a y 2 lt lyl formule de Parseval equation 12 On a en fait tabli outre l ind pendance de N u du choix des bases les formules N aub lt jal lol Nu 35 N u X llen J u ulem em 36 D FINITION 14 u B H K est dit Hilbert Schmidt ou encor
23. D monstration Tout a est peu pr s vident sauf fC f u fC u v vf u si v commute u ii On a un plongement isom trique de C Sp u dans B d o il r sulte que le spectre de f u dans Bo soit Sp f u est inclus dans le spectre de f u dans C Sp u soit Spg f u f Sp u Ce west qu un d but mais c est assez pour d montrer le vii vii qui repose sur le fait que T 4 i e que Sp u est r el Il y a une mani re tr s l gante de le d montrer on forme e et on voit tout de suite que c est un unitaire son inverse est e et donc de spectre dans Bo inclus dans le cercle U par ce qui pr c de eSP C U ce qui n est possible que si Sp u C R ii J ai trouv plus didactique d annoncer l avance voir remarque 7 car on peut tre d rout par une d finition sensible a priori au contexte le fait que le spectre ne d pend pas de l alg bre dans laquelle on le prend On utilise uni quement le fait que le spectre d un hermitien est r el ce qu on vient d tablir L exemple le plus typique d application du th or me si u est positive son spectre est form de r els positifs on pourra donc d finir la racine carr e not e u ou y u de u En attendant la propri t suivante est bien pratique et bien jolie ALG BRES D OP RATEURS I 18 PROPOSITION 11 Tout op rateur est combinaison lin aire de deux hermitiens ou de quatre unitaires D m
24. En effet uu hermitien est bien inversible dans C et le reste dans B ce qui fait que u est inversible droite dans B De m me en consid rant u u on obtient l inversibilit gauche 3 3 Adjoints Si u B H K u induit une application lin aire u du dual K de K dans le dual H de H Or K et H sont anti isomorphes K et H autrement dit u d finit une ALG BRES D OP RATEURS I 15 fonction u de K dans H cette fonction est lin aire car les deux anti s annulent En fait u est l unique op rateur satisfaisant l adjonction u x y x u y 24 Les propri t s de u sont les suivantes i ur u est anti lin aire en particulier A u u ii u u est involutive u u comme toute bonne involution elle renverse la composition uv v u et dans le cas H K 7 I iii u u est une isom trie u u En effet par Cauchy Schwarz lull sup u x y 1e ul Z 1 etc iv Last but not least uu ull uu l sup uu x y ll ll gl lt 1 gt sup uu x xl lt 1 sup u x u ll ll lt 1 llu ll et donc uu gt u dont on tire uu u Une alg bre de Banach munie d une involution v rifiant i iv f est dite alg bre stellaire EXEMPLE 1 L exemple le plus naturel d alg bre stellaire est B H Plus g n ralement une sous alg bre de B H close
25. H est isomorphe au sous espace des vecteurs antisym triques modulo une homoth tie de la norme multipli e par le facteur n Ceci pour que si 1 n 1 sont orthogonaux de norme 1 la norme de z1 A A n soit 1 et non pas vn Forme muliti lin aire fonction multi lin aire valeurs dans les scalaires ici dans C ALG BRES D OP RATEURS I 11 D FINITION 6 L alg bre de Fock A H est d finie comme la somme directe des A H avec Ao H C A H H muni de la multiplication d duite par bilin arit de ne ODA mme Cm T18 QInQ Y1Q Q Ym 19 En fait on v rifie facilement que le produit est associatif en particulier on pourra noter 11 1x au lieu de x18 8Q n Par contre il n est born que localement car la norme du produit en tant application bilin aire de A H x A H dans Ap 4 H est major e par k l la racine carr e d un coefficient binomial bore qu on ne peut pas fondamentalement am liorer REMARQUE 3 On peut aussi si l on veut voir An H comme un sous espace de H avec la norme induite mais il faut faire attention crire z1 A A n Vnl r x1 z Par exemple pour n 2 z x2 n est pas l antisym tris 1 2 x1 2 2 x1 de x1 z2 mais son renormalis V2 2 x1 2 2 T1 3 Op rateurs born s 3 1 Norme Si H et K sont des Hilberts on note B H K l ensemble des applications lin a
26. Introduction aux alg bres d op rateurs I Des espaces de Hilbert aux alg bres stellaires Jean Yves Girard Institut de Math matiques de Luminy UMR 6206 CNRS 163 Avenue de Luminy Case 930 F 13288 Marseille Cedex 09 girard iml univ mrs fr Ce petit cours sur les alg bres d op rateurs Tende 22 24 Septembre 2002 s adresse des non sp cialistes qui n auraient pas l intention de le devenir typiquement des lo giciens Il n aborde pas ou tr s peu les alg bres de von Neumann qui sont un monde part pour en savoir plus on consultera 1 dont ces notes sont pour l essentiel un condens 1 Espaces de Hilbert 1 1 Cauchy Schwarz D FINITION 1 Un espace de Hilbert est la donn e d un espace vectoriel H complexe ainsi que d une forme sesquilin aire i e lin aire en la premi re variable Az N a y xl y A x y 1 et anti lin aire en la seconde x uy u y Ble y E y 2 Cette forme sequilin aire est de plus hermitienne y x y 3 et strictement positive x 0 gt z xz gt 0 4 Finalement H muni de la norme x x x doit tre un espace de Banach i e tre complet La condition 3 est quivalente x x R en effet A x y x y x y r y x y ilz iy x iy i x iy x iy L quation 3 est donc cons quence de 4 Venons en la norme le point de d part est l in galit de Cauchy Schwarz
27. R ALG BRES D OP RATEURS I 26 iv C est parce que o u u quand u est normal remarque 8 REMARQUE 13 Par Krein Milman le th or me reste valable si on remplace partout tat par tat pur et i iii sont obtenus facilement Le iv r sulte de consid rations sur les faces D FINITION 12 Une face d un convexe compact K c est un sous ensemble convexe F tel que si a 1 A bEFet0 lt A lt 1 alors a b E F En tant que convexe compact une face F de K v rifie Krein Milman donc a des points extr maux Il est imm diat que ces points extr maux sont encore extr maux dans K PROPOSITION 18 Si y est une fonction affine continue de K dans C et si z est un l ment de l image de y de module maximum alors l ensemble F p7 z est une face ferm e D monstration F est un convexe ferm Si k Ak 1 A k avec 0 lt lt 1 et si k z alors k lt y k ou p k lt lw k 1 mais alors PC llk p k Si p u z avec z ul on applique la proposition la fonction p p u et on en d duit que p u z sur une face ferm e non vide et donc que po u z pour un tat pur po En g n ral un tat pur ou non induit un espace de Hilbert en effet u v p v u d finit une forme hermitienne sur C Cauchy Schwarz nous donne alors l in galit 2 lo v u lt p u u p v v 30 4 3 Alg bres commutati
28. alentes i u est compact ii u est continue comme fonction de la boule unit de H avec la topologie faible dans H avec la topologie de la norme iii Si une suite n converge faiblement vers x alors u x converge en norme vers u x iv Toute suite born e n de H a une sous suite x telle que u x converge en norme v L image par u de la boule unit de H est pr compacte D monstration i ii u est continue si on met la topologie faible l arriv e i e sur l image de la boule mais cet espace tait d j compact par rapport la topologie de la norme et donc th or me 21 les deux topologies co ncident ii iii la partie non triviale c est que la suite n est born e en norme on utilise la borne uniforme de proposition 5 iii iv imm diat iv v imm diat car il s agit de la compacit d un espace m trique v i car l image de la boule unit est ferm e en norme proposition 4 PROPOSITION 20 i Les op rateurs compacts forment un id al bilat re ferm pour la norme ii u est compact ssi u l est si u est compact u l est iii Si f est une fonction continue de R dans R telle que f 0 0 et si u est compact alors f u est compact iv SiO lt u lt v et v est compact alors u est compact D monstration i peu pr s vident On utilise la d composition p
29. e HS quand N u est born e La quantit ull2 yN u est alors la norme HS de u TH OR ME 16 i L ensemble des op rateurs HS est un id al bilat re auto adjoint de B H ii u est HS ssi u l est ALG BRES D OP RATEURS I 31 iii Si0 lt u lt v et v est HS alors u l est iv Tout op rateur HS est compact v Un hermitien positif compact est HS ssi la suite associ e X est de carr sommable D monstration i Cela repose pour l essentiel sur le fait que 2 est une norme telle que u 2 lull2 et laubll2 lt llallllull2llbll ii Imm diat d composition polaire et id al iii Parce que Nu lt N v ce qui est imm diat sur l quation 33 iv On se ram ne au cas hermitien positif l aide de ii et on observe que les projecteurs voir ce qui pr c de le th or me 15 qui sont HS par iii sont de rang fini un projecteur de rang infini n est pas HS car 33 diverge On ce qui nous donne une suite de valeurs propres An et par le th or me 15 u est compact v Dans une base pour laquelle u est diagonale 36 s crit N u 3 X2 REMARQUE 14 L id al des HS n est pas ferm en norme puisqu il contient les op rateurs de rang fini et qu il y a des compacts non HS Idem pour l id al des op rateurs trace 5 3 Produits tensoriels Nous allons donner l autre d finition du produit tensoriel D FINITION 15 Si H K sont des e
30. e s par e moins fine qu une topologie compacte D monstration Si X X d notent le m me ensemble muni respectivement d une to pologie compacte et d une topologie s par e plus faible alors la fonction identique de X dans X est continue et envoie donc tout compact i e tout ferm sur un compact En d autres termes son inverse est continue et les deux topologies co ncident Sans oublier le classique TH OR ME 22 DE STONE WEIERSTRASS Si X est compact si A C C X est une sous alg bre qui s pare les points Va y E X x y gt If Af x Z f y et stable par conjugaison f A gt f A alors est dense dans C X A 2 Th or me de Baire TH OR ME 23 DE BAIRE Dans un espace m trique complet l union d une famille d nombrable de ferm s d int rieurs vides ce qu on appelle un ensemble maigre est d int rieur vide Parmi les cons quences Ou un espace localement compact ALG BRES D OP RATEURS I 35 TH OR ME 24 DE L APPLICATION OUVERTE Une application lin aire born e surjective d un Banach E dans un Banach F est ouverte i e l image de la boule unit de E contient un homoth tique non nul de la boule unit de F COROLLAIRE 24 1 Si de plus l application est injective son inverse est born TH OR ME 25 DU GRAPHE FERM Une application lin aire u du Banach E dans le Banach F est continue ssi son graphe est ferm D monstra
31. ence en norme et la dimension des espaces Epo E Epo Euo E correspond la multiplicit de 4o 1 u2 dans la suite des An En r sum TH OR ME 15 Un op rateur positif est compact ssi il est diagonalisable et si la suite An de ses valeurs propres non nulles avec r p titions est finie ou tend vers 0 COROLLAIRE 15 1 Un op rateur est compact ssi il est limite d op rateurs de rang fini i e l id al bilat re des op rateurs compact est la cl ture de l id al bilat re des op rateurs de rang fini PROPOSITION 21 Si H est de dimension finie et si O lt u lt v sont des hermitiens positifs de valeurs propres respectives A1 lt lt y H uy alors pour tout n n lt Un D monstration Evident partir de inf EuE dim E n et de Un inf EvE dim E n lemme suivant LEMME 21 1 n inf Eu E dim E n D monstration Ecrivons H K K o K est l espace engendr par des vecteurs propres 1 2 correspondant 1 1n Kn est un E tel que EuE An R ciproquement tant donn de dimension n la fonction qui projette E sur Kn 1 n est pas injective et donc un l ment non nul x E appartient _ mais alors Iu x gt X xll et donc EuE gt An ALG BRES D OP RATEURS I 30 COROLLAIRE 21 1 Si An et Un sont les num rations des spectres des op rateurs compacts positifs
32. est identique ment nulle L espace H I est alors muni d une forme strictement positive i e est un espace norm En tant qu espace norm H I admet un compl t qui est un espace de Banach i e un espace vectoriel norm complet et sur lequel la forme y se prolonge uniquement de fa on ce que l quation x x x soit v rifi e On obtient ainsi un espace de Hilbert f le s par compl t de H La plupart des espaces de Hilbert courants sont en fait des s par s compl t s d espaces pr hilbertiens La premi re partie de Cauchy Schwarz celle qui ne parle pas de l galit persiste dans le cas pr hilbertien il suffit de faire attention au cas y y 0 si x 0 on permute x et y si x x 0 on obtient 2A x y gt 0 ce qui n est possible qu avec x y 0 1 3 Exemples 1 3 1 Dimension finie L exemple le plus naturel vient de la g om trie euclidienne l espace de Hilbert n tant qu un espace euclidien complexifi au lieu de R on consid re C muni de Z Die ti La complexification permet de diagonaliser les rotations en r solvant l quation det M AI 0 par exemple pour une rotation d angle a cos a sin a 0 i e 2Xcos 1 0 quation qui n a de racines r elles que pour cosa 1 les solutions complexes sont cos sin a et corres pondent aux vecteurs propres V2 2 1 i L involution sur la partie droite vite
33. est un sous espace ferm continuit C est en fait un hyperplan car noyau d une forme lin aire non nulle Nous avons vu que cet hyperplan poss de un suppl mentaire orthogonal D qui est donc un espace de dimension 1 Si b D b 0 la forme lin aire b s annule sur E ce qui n est possible que si y est un multiple de b i e si y Ab 1b Donc le dual H de H est canoniquement isomorphe H au moyen de l application b b Attention Il s agit d un anti isomorphisme qui pr serve tout ce qu on veut part la multiplication par un scalaire Ab Ab 1 4 5 Topologie faible Les formes lin aires b induisent la topologie faible sur H la suite n tend vers x ssi pour tout b H la suite x b tend vers x b L int r t de la topologie faible vient du r sultat suivant PROPOSITION 2 La boule unit de H est faiblement compacte D monstration J explique l id e d abord on va consid rer B b H b lt 1 ce qui fait que x H de norme lt 1 s identifie avec la fonction b f b de B dans le disque unit D z z lt 1 i e un l ment de l espace D de toutes les fonctions de B dans D Ce monstre n en est pas moins compact pour la topologie produit th or me 19 de Tychonov et il ne reste donc qu v rifier que les fy ALG BRES D OP RATEURS I 7 forment un sous espace clos de D autrement dit que si f b x b f b p
34. gence d une s rie enti re X an c est 1 n A associ e est lim inf a On applique ceci la fonction u J dont le rayon de convergence sera donc o a et qui admet le d veloppement en s rie 57 X lu Cela nous donne liminf u comme valeur du rayon spectral ce qu on am liore en remarquant que u 1 lt fu qui donne lim inf u 1 lim u inf u 1 olu lim u inf u 1 23 En particulier si u est nilpotent son rayon spectral est nul ce qui est bien connu en dimension finie rappelons nous les matrices de Jordan triangulaires strictes et donc avec des valeurs propres nulles Nous verrons que dans une alg bre stellaire la norme d un op rateur normal e g hermitien est gale son rayon spectral PROPOSITION 9 Soit P un polyn me complexe alors Sp P u P Sp u D monstration Si Sp u alors on peut crire P u P A I sous la forme u I P u qui n est pas inversible d ou P A Sp P u R ciproquement si u E Sp P u crivons P u comme produit de facteurs du premier degr a X A X k dire que a u 1 1 u A 1 est non inversible c est dire que gt Soit a 0 ce qui correspond au polyn me constant u ce cas est imm diat modulo le fait que le spectre est non nul P Sp u u Sp u T gt Soit un des u 1 est non inversible Alors
35. i admet E pour sous espace initial F comme sous espace final iv Soit u un hermitien positif et une isom trie partielle telle que ker u ker 4 et u tu alors u et w ul D monstration Un exercice facile bas sur l galit luca u u uul 2 lul 12 dule ul lel 1 2 et la d composition En particulier on voit que u u u uul uu polaire de u est u Autrement dit u u u Nous allons appliquer la d composition polaire pour prouver le r sultat suivant qui n est pas du tout vident a priori PROPOSITION 14 Soit x H amp K alors il existe des familles orthonormales en fn et une suite tn de r els positifs de carr sommable telle que x tnen fn D monstration Si a H on peut d finir u a K par l quation u a b x a b u est une application anti lin aire de H dans K i e une application li n aire du dual H dans K Elle admet donc une d composition polaire u u u est un hermitien de B H B H On anticipe en remarquant que u est HS Hilbert Schmidt donc compact et diagonalisable dans une base en avec des valeurs propres tn de carr sommable On pose e fn Le vecteur 2 X tnen Q fn est tel que x em fn mntm tlu em fm Em fn ce qui donne x x il faudrait en fait compl ter le syst me orthonormal f en une base
36. i La repr sentation rm associ e p est d finie par m u v Lp uv Lp u Tolu est un morphisme d alg bres stellaires de C dans B Tout se ram ne r u v p v utuv lt p v lul I v lt llull w v iii Cette repr sentation est cyclique Cela veut dire qu il y a un vecteur p tel que les r u x soient denses dans p En fait plu To u p p 31 Bien entendu le vecteur cyclique x naturel est la classe de l identit I p et l quation 31 se ram ne pour l essentiel mp u p o p ul p u iv Ces repr sentations ne sont pas fid les i e isom triques Mais on peut sommer des repr sentations c est dire faire agir C sur des sommes directes Si on prend la somme directe de tous les H il suffit de se restreindre aux tats purs on obtient une repr sentation fid le en effet pour u normal il y a un p tel que Ir u lull et on passe tout de suite au cas g n ral par la technique u u En r sum nous avons prouv du moins dans les grandes lignes le c l bre th or me TH OR ME 14 Tout alg bre stellaire est isomorphe une sous alg bre d un B H ALG BRES D OP RATEURS I 28 5 La trace 5 1 Op rateurs compacts D FINITION 13 Un op rateur u B H est compact quand l image par u de la boule unit de H est compacte au sens de la topologie de la norme PROPOSITION 19 Les conditions suivantes sont quiv
37. inimum ne peut tre atteint qu en un seul point Prenons maintenant une suite x E telle que x lt 1 1 n Comme les m dianes Zn Tn K 2 sont dans E leurs normes sont gt 1 ce qui nous donne au vu de la remarque faite supra En k Tnll lt 12 n et donc En k n lt 4 n Autrement dit les approximants x forment une suite de Cauchy cette suite converge donc dans l espace de Banach H vers un l ment e du ferm E Soit maintenant f E alors pour 0 lt 1 lt 1e A f e e E et donc le A f e gt 1 ce qui s crit 2AR e f e X f ell gt 0 ce qui west possible que si R e e f lt 0 e est le seul v rifier cette propri t car si e est tel que R e e f lt 0 pour tout f E alors lel lje 2Re e e le e l gt e ce qui force e e 1 4 3 Sous espaces suppl mentaires On applique la construction dans le cas suivant au lieu de projeter l origine sur un convexe quelconque on projette un point quelconque sur un sous espace clos donn disons E soit donc m l application ainsi obtenue Que peut on en dire gt D abord comme 0 F x x lt ll gt Ensuite m est idempotente n x gt n x est l unique y E tel que y x f 0 pour tout f E C est parce que E est un espace vectoriel et que la condition R y x y f lt 0 pour ALG BRES D OP RATEURS I 6 tout
38. int grale Mais pour 1 lt p lt l expression f f f dm P ne v rifie pas fl 0 f 0 f est nulle mais seulement un ensemble n gligeable pr s On ne travaille pas vraiment avec des fonctions mais avec des classes d quivalence par rapport la relation f x g x sauf sur un ensemble de mesure nulle ainsi L X m est il form des fonctions born es un ensemble n gigeable pr s Et l espace L X m des fonctions de carr sommable muni de la forme hermitienne f g f fg dm n est pas un Hilbert ce n est qu un pr Hilbert L espace s par pas besoin de le compl ter est not L ou encore L X m L espace L correspond aux classes de fonctions sommables i e telles que la norme f f dm soit finie l espace L correspond aux classes de fonctions essen tiellement born es i e telles que la norme inf A m x f x lt 0 soit finie ce qui veut exactement dire qu un l ment de la classe de f est born Le th or me d orthonormalisation th or me 2 montre qu au fond les L n ap portent rien de neuf ils font par contre consid rablement varier le point de vue Par exemple si X m est le segment 0 1 muni de la mesure de Lebesgue une orthonormalisation typique se fait au moyen de la base en n Z d finie par en x EE cos 2rnx isin2rnx L criture de f L comme f 3 anen appara t comme un d veloppement de Fourier en s ries trigo
39. inution de spectre Dans B si u n est pas inversible mais cependant limite d une suite un d l ments inversibles il est imm diat que u 0 en effet si un ou une de ses sous suites reste born e on a uun t T u u u 0 et donc uu s approche de I mais distance lt 1 de J on est toujours inversible s rie enti re convergente et si uun est inversible u l est aussi contradiction Par contre si le m me u est inversible dans C la fonction v v t est continue et born e dans un voisinage de u mais on a vu que l inverse dans B mais c est le m me n est born dans aucun voisinage de u On applique a au cas d un point fronti re du spectre Spg u si u T west pas inversible mais limite des un inversibles tout a dans B cette situation persiste dans C gt En r sum si le spectre d cro t sa fronti re augmente Par exemple Spg u est le disque ferm de rayon 1 et Spe u est le m me disque priv du disque ouvert de rayon 1 2 gt Dans le cas qui nous int resse on en d duira qu un hermitien u inversible dans l alg bre stellaire C l tait d j dans B vu que 0 est point fronti re le spectre d un hermitien est r el voir infra et donc form de points fronti res gt On en d duit que si B C C sont des alg bres stellaires B est une sous alg bre pleine de C i e que tout l ment u B inversible dans C l est d j dans B
40. ires born es de H dans K i e telles que la norme lul sup llu x x H fx lt 1 20 soit finie B H K est un espace de Banach et de plus si v B H K et u B K L alors uv B H L est telle que juv lt ul v Le cas le plus important est celui o H K et l on note tout simplement B H l alg bre de Banach ainsi obtenue Parmi les l ments de cette alg bre l unit not e 1 ou 7 de norme 1 sauf le gag H 0 3 2 Spectre Dans une alg bre de Banach comme B H on d finit le spectre d un l ment u D FINITION 7 Si u B Sp u est l ensemble des C tels que u I ne soit pas inversible REMARQUE 4 Si H est de dimension finie v est inversible ssi il est injectif dire que u A I n est pas inversible revient dire que est valeur propre de u Cette propri t n est plus 3Les auteurs pr f rent ne pas mettre l unit dans le cahier des charges de l alg bre ce que je ne fais pas j emploie alg bre dans le sens d alg bre unif re ALG BRES D OP RATEURS I 12 vraie en dimension infinie cause des endomorphismes injectifs mais non surjectifs voir remarque 1 Si X est un espace compact l espace C X des fonctions continues valeurs complexes sur X est une alg bre de Banach commutative Si f C X alors Sp f est l image de la fonction f Certains r sultats font intervenir Sp u Sp u U 0 Par exemple
41. it de H est un ferm de K par rapport la norme D monstration En effet u est faiblement continue donc l image B de la boule unit est faiblement compacte donc ferm e Elle le reste dans toute topologie plus forte qui a plus de ferm s REMARQUE 1 Mais l image d un op rateur born n est pas forc ment ferm e L exemple typique est fourni par l op rateur u qui une suite n associe la suite x n L image de la boule unit par u est non seulement ferm e en norme mais compacte i e u est ce qu on appelle un op rateur compact L image de u est dense puisqu elle contient toutes les suites de support fini et donc elle n est pas ferm e puisque la suite n 1 n n est pas dans l image de u Incidemment u nous fournit l exemple d un op rateur et c est m me un hermitien positif injectif mais non inversible ce qui illustre la diff rence entre spectre voir infra et valeurs propres 0 Sp u mais il n y pas de vecteur z 0 tel que u z 0 z 0 On rappelle aussi le r sultat classique de borne uniforme ALG BRES D OP RATEURS I 8 PROPOSITION 5 Si X C H est faiblement born i e pout tout y H l ensemble X y x y x X est born alors X est born en norme D monstration Soit E C H le sous ensemble y X y lt n alors En est ferm et H est l union des En Par le th or me de Baire th or me 23 un des Ep est d
42. itien d une alg bre stellaire B la plus petite sous alg bre Bo C B contenant u et donc forc ment u puisque u u est commutative Nous allons montrer que Bo est isomorphe l alg bre des fonctions complexes continues ALG BRES D OP RATEURS I 17 sur le spectre de u C Sp u Ce r sultat se g n ralise toute alg bre stellaire com mutative est isomorphe une alg bre C X o X est un espace compact voir infra Si P est un polyn me nous savons d finir P u qui est un op rateur normal De plus Sp P u P Sp u ce qui montre que P u sup P 2 z E Sp u et en particulier si P Q coincident sur Sp u ce qui ne peut vraiment se produire que quand le spectre est fini on obtient P u Q u On a donc une isom trie lin aire d une partie de C Sp u les fonctions f qui sont des restrictions de polyn mes Sp u mais ces fonctions sont denses dans C Sp u d Stone Weierstrak th or me 22 et donc nous avons effectivement construit une isom trie TH OR ME 4 chaque fonction complexe continue f sur Sp u on peut associer un op rateur f u B tel que IAA I ii Sp f u de F Sp u iii 1 u iv u u si v est la fonction identit z z v af bg u af u bg u i x vi fg u f u g u v f u fQu est normal il est hermitien exactement quand f est valeurs r elles u viii i
43. ive i e r union des Hilberts C et le r sultat est un pr hilbertien s par dont le compl t est isomorphe ALG BRES D OP RATEURS I 4 L importance particuli re de vient des bases orthonormales tout Hilbert H admet une base orthonormale e er I tant de cardinal fix c est le th or me d orthonormalisation voir infra Les cas importants sont gt I fini alors H est isomorphe C U gt I d nombrable alors H est isomorphe 2 Le cas I non d nombrable n est pas courant il faut beaucoup de termes nuls tous sauf un nombre d nombrable pour que le carr de la norme e7 la converge Un Hilbert de base au plus d nombrable est s parable e admet un sous ensemble dense d nombrable La plupart des espaces int ressants sont s parables avec pour seule exception les alg bres de von Neumann qui le sont rarement Parmi celles ci qui admet un sous ensemble non d nombrable celui des fonctions caract ristiques de sous ensembles de N form de vecteurs une distance mutuelle de 1 alg bre de von Neumann commutative est le dual d un espace s parable t quand on travaille avec des alg bres de von Neumann on se concentre sur celles qui ont un pr dual s parable 1 3 3 Espaces de fonctions Si X m est un espace mesur on peut adapter mutatis mutandis la construc tion des espaces ce qui donne les espaces LP X m la somme est remplac e par l
44. modulo un changement de base ce qui montre l galit dans ce cas En g n ral on crira a comme combinaison de quatre unitaires et on concluera On peut mettre en dualit les op rateurs trace et les op rateurs born s par u a tr a u 41 On voit que Kula lt llulhlal 42 luli sup u a l llall lt 1 43 lall sup u a l llull lt 1 44 Par exemple on tablit 44 en prenant u yx avec yx z z x y yx a tr a yx tr yx a tr y a x y a x La dualit op rateurs trace op rateurs born s ressemble la dualit 71 2 ALG BRES D OP RATEURS I 34 A R sultats standards Quelques classiques de la topologie de la th orie des espaces de Banach A 1 Espaces compacts TH OR ME 19 DE TYCHONOV Le produit d une famille quelconque d espaces compacts est compact COROLLAIRE 19 1 Beaucoup d espaces munis de la convergence simple sont compacts ainsi i La boule unit de H est faiblement compacte ii La boule unit de B H est faiblement compacte ii L espace des tats d une alg bre stellaire est faiblement compact Sur un convexe compact le standard est TH OR ME 20 DE KREIN MILMAN Tout convexe compact est l enveloppe convexe ferm e de sa fronti re extr me i e de l ensemble de ses points extr maux Un r sultat souvent utilis est le suivant TH OR ME 21 Il n y a pas de topologi
45. mpacts voir infra La fonction y de M C dans Mnm C qui remplace chaque coefficient a par une matrice de taille m x m form e de coefficients tous gaux a sur la diagonale nuls en dehors est un isomorphisme Si no lt n lt lt Nk lt est une suite croissante d entiers dont chacun divise le suivant on obtient ainsi un syst me direct d alg bres stellaires Ce syst me admet une limite directe alg brique munie d une unique norme stellaire ce qui permet de le compl ter pour en faire une alg bre ALG BRES D OP RATEURS I 24 stellaire la limite directe du syst me On peut classer les alg bres ainsi obtenues par l exposant de chaque nombre premier dans la suite n un entier ou o0 ce qui permet de les caract riser isomorphisme pr s L exemple le plus courant est celui de ny 2 ce qui donne les exposants oo pour 2 0 pour p gt 2 ce qu on crit 2 alg bre CAR Mais on pourrait tout aussi bien construire une alg bre correspondant 3 52 11 ou encore 2 3 5 7 4 2 tats D FINITION 10 On appelle tat sur une alg bre stellaire B une forme lin aire p positive p u u R et normalis e p T 1 EXEMPLE 2 L tat le plus typique de C X est p f f x qui est pur voir infra une com binaison lin aire convexe d tats purs i e une somme de Riemann est un tat En r sum un tat sur C X est une mesure de masse 1 L tat le plus typique de B H es
46. nom triques car 2cos27nx en E n 2sin ng en e n et le fait que cette base r alise une isom trie entre deux espaces correspond LF dm Y Jan 7 qui est un cas particulier de la formule de Parseval 12 ALG BRES D OP RATEURS I 5 1 4 L espace dual 1 4 1 La m diane C est un pur calcul euclidien consid rons un triangle de somments 0 x y et la m diane partant de 0 c est dire le vecteur x y 2 Un calcul imm diat sur les formes bi or sesqui lin aires nous donne Il ul 20 y 2 I y 21 8 Cette galit nous permet dans certaines circonstances de majorer la taille du troi si me c t x y En effet si les c t s x y ont des normes lt 1 et si la m diane a une norme gt 1 on voit que 2 x y 2 lt 2 4e 2e 2 ce qui donne y lt 8e 4e lt 12e pourvu que e lt 1 1 4 2 Projection sur un convexe Supposons que E C H soit un sous ensemble ferm non vide de H et de surcro t convexe si x y E E et 0 lt A lt 1 alors x 1 yEE PROPOSITION 1 Le minimum inf x x E est atteint en un point unique de E Ce point est aussi le seul point e E tel que R e e f soit n gatif pour tout f E D monstration On suppose le minimum gal 1 si x y E avec x lyl 1 alors le point x y 2 E a une norme lt 1 y 2 1 y 2 ce qui montre que le m
47. olaire u u u Lu u tu et le fait que les compacts forment un id al bilat re iii f peut tre approxim e par des polynomes coefficient constant nul Pour un tel polyn me P u uP u est compact et donc f u est compact comme limite en norme d op rateurs compacts ALG BRES D OP RATEURS I 29 iv Alors yv est compact par iii D autre part Ia u x z lt v e z lt VS IZ On en d duit que Va est compact par l quivalent ii de la proposition 19 et son carr u est encore compact Il est facile de voir qu un projecteur orthogonal est compact exactement quand il est de rang fini car si n num re un syst me orthonormal dans l image de 7 T Tn Zn n a pas de sous suite convergente Si 0 Sp u et si u est compact alors le plus grand projecteur E tel que AE lt u not E est forc ment de rang fini puisque E est compact Posons pour n gt 0 An sup dim Ez gt n 32 On voit que la suite An est d croissante au sens large A9 gt gt A2 gt et num re le spectre de u avec r p titions et omission possible de la valeur 0 Enfin au cas o la suite est infinie elle tend vers 0 En fait si on remplace la suite par une suite strictement d croissante num rant la partie non nulle du spectre sans r p titions soit un on voit que u poEpo En Epo HE En 2 la somme infinie tant prise au sens de la converg
48. on continue sur le spectre ce qui sera possible si par exemple Sp u ne contient aucun r el n gatif ou nul 3 6 Hermitiens positifs D FINITION 8 Un op rateur u est positif quand il est hermitien de spectre inclus dans R Les op rateurs hermitiens sont ordonn s voir th or me 5 par u lt v ssi v u est positif TH OR ME 5 Soit C l ensemble des hermitiens positifs de C i C est un c ne ferm dans C ii Si u u C alors u 0 D monstration i On utilise la remarque suivante si u est hermitien et a gt u u est positif ssi u a lt a imm diat en regardant le spectre Ceci permet de montrer que C est ferm a permet aussi de montrer la cl ture par somme si lu llull lt luli lv lvl lt lell alors u v a lt a avec a Jul Ilol La cl ture par mutiplication par un scalaire gt 0 est imm diate i Imm diat u est normal de spectre 0 donc de norme 0 ALG BRES D OP RATEURS I 19 Quleques propri t s des hermitiens positifs TH OR ME 6 Un hermitien u peut tre exprim sous la forme d une diff rence u u d hermitiens positifs tels que utu u u 0 Cette expression est unique et de plus ul sup llu fu D monstration Soient f x sup x 0 f x inf x 0 alors u f u et u f u sont positifs et v rifient les propri t s d sir es L unicit est un peu plus d licate si u v
49. onstration u u est hermitien u u est anti hermitien gal l oppos de son adjoint et donc u 1 2 u u i 2 i u u Un hermitien de norme lt 1 se d compose lui m me en moyenne de deux unitaires si f t t iv1 t il est imm diat que f t f t FOF 1 f t F t 2t et donc f u est unitaire et u 1 2 f u f u REMARQUE 9 Si H est de dimension finie n tout hermitien de B H est diagonalisable en fait les valeurs propres 1 An num rent avec r p titions le spectre de u f u n est rien d autre que l op rateur dont la matrice dans la m me base a les coefficients diagonaux f A f An REMARQUE 10 Peut on tendre le th or me 4 au cas o u est un op rateur normal On a bien envie de d finir f u au moyen d approximations uniformes au moyen de polyn mes en z Z et tout va reposer sur un point que nous ne sommes pas encore en mesure d tablir si P X Y est un polyn me alors Sp P u u P z 2 z Sp u Cela est vident partir d un r sultat venir th or me 12 en effet il suffit de se placer dans l alg bre commutative engendr e par u u et on peut sans vergogne remplacer u par une fonction continue amp sur un compact X auquel cas P u u devient la fonction z P L z e z Ca peut permettre de d finir des amusettes genre logarithme d un op rateur il faut videmment pouvoir d finir le log de fa
50. oriel rassurons les fans des cat gories est bien solution d un probl me universel mais par rapport une version plus restrictive de morphisme les op rateurs HS Hilbert Schmidt Grosso modo un op rateur u est Hilbert Schmidt quand u u est trace voir infra En fait la d finition la moins compr hensible mais la plus synth tique du produit tensoriel c est l espace des op rateurs HS de H dans K muni de tr v u ce qui fait que ul tr u u voir section 5 3 2 3 Espace de Fock Il y a en fait deux versions la sym trique et celle qui nous occupe ici l antisy m trique version hilbertienne de l alg bre ext rieure Si H est un Hilbert et n gt 2 on note H le produit tensoriel de n copies de H D FINITION 5 An H est d fini comme le s par compl t de l espace pr hilbertien Hil muni de l unique forme v rifiant ti Q Q En Y1 8 Yn n det x yj 16 Il convient de v rifier que la forme est positive Or consid rons le sous espace clos A c HI form des tenseurs antisym triques si o est une permutation de 1 n elle se propage en un unitaire de Hl v rifiant FELS RE To 1 8 To n 17 et est d fini comme l ensemble des x H tels que o x 1 7z La projection orthogonale m sur A est d finie par z 1 o x 18 ce qui nous donne z y nl n x y nl r x rn y En d autres termes l espace An
51. our tout b alors f est de la forme fy Mais f sera une forme anti lin aire born e sur H et donc de la forme d sir e Bien entendu la convergence faible n implique pas la convergence usuelle ainsi dans L zi nilnenN avec dij 1 si j amp j 0 sinon est une suite de vecteurs en fait la base canonique qui tend faiblement vers 0 mais dont la norme est constamment 1 et qui ne peut donc pas tendre vers 0 normalement Bizarrement c est le seul contre exemple cause de la PROPOSITION 3 Si x x faiblement et si x x alors x x normalement D monstration Par hypoth se x b x b pour tout b faisons donc b x Ce qui nous donne z x x x et donc x zi x x x Ile 2R x x tend vers 0 La topologie faible est l exemple d une topologie affaiblie i e obtenue partie du dual de l espace c est la topologie la moins fine la plus faible qui rend continues les formes lin aires continues au sens de la norme En cons quence si u B H K voir section 3 1 est continu en norme il reste continu quand H et K sont munis de leurs topologies faibles La r ciproque est d ailleurs vraie si u est continu au sens des topologies faibles l image par u de la boule unit est un compact et est donc born e i e continue en norme En fait PROPOSITION 4 L image par un op rateur u B H K de la boule un
52. passionnantes On garde en t te que les cas importants sont les cas o le cardinal est fini ou d nombrable i e le cas s parable ALG BRES D OP RATEURS I 9 2 Quelques constructions hilbertiennes 2 1 Sommes directes D FINITION 3 Si H K sont des espaces de Hilbert on peut munir la somme directe alg brique HKR d une structure d espace de Hilbert au moyen de coylz By x x y ly 13 En particulier x y x y Cette d finition s tend une somme indic e par un ensemble quelconque e g d nombrable an rn X an 24 14 Cette quation s applique d abord dans la somme directe alg brique et d finit un espace pr hilbertien s par que l on compl te Ce compl t est form des sommes formelles n telles que 3 n lt pour lesquelles l quation 14 fait tou jours sens En fait ceci g n ralise le cas d une base orthonormale qui appara t comme la d composition d un espace de Hilbert en somme directe d espaces de dimension 1 2 2 Produits tensoriels D FINITION 4 Si H K sont des espaces de Hilbert on consid re l espace vectoriel engendr par les tenseurs formels x y x H y K Cet espace est muni d une unique forme sequilin aire positive telle que yl zx y x x ul y 15 L espace de Hilbert H amp K est par d finition le s par compl t de cet espace pr hil bertien H amp K se construit en deux
53. qui montre que uu x u x 0 i e u x x 0 ce qui west possible g n ralit s sur les formes hermitiennes 3 positives que si u7 0 ce qui nous am ne u 0 COROLLAIRE 7 1 Si u C alors v uv CT si de plus v C et u v commutent alors uv CT D monstration Dans le second cas y u v appartiennent la plus petite alg bre stellaire engendr e par u v qui est commutative donc ils commutent On crit alors uv v u y u u y v u yv gt 0 Le premier cas est tr s proche v uu v yu yu v yu v vuv COROLLAIRE 7 2 Si u est un hermitien de B H les bornes de Sp u sont inf u x l 1 26 sup u x x xl 1 27 D monstration Vient de v et de m u sup AT gt u M u inf u gt A I PROPOSITION 12 Soient u v positifs alors i Si u lt v et u inversible alors v lt u ii Si u lt v alors yu lt yv TCe qui suit peut servir dans beaucoup d autres cas ALG BRES D OP RATEURS I 21 D monstration i u lt v et u inversible impliquent 0 lt m u lt m v et donc v est inversible On obtient v l 2uv l 2 lt I donc ut 20 tu 2 u 2v71 2 2 Jju uv 1 2 lt 1 ce qui donne ul 25 lul 2 lt I qui redonne v lt u ii On continue avec u inversible pour le moment Nous avions obtenu ut 2v7 2 lt 1 remarquant que v7
54. r p u p uv qui est une fonctionnelle positive lt p On peut consid rer p u p u 1 v qui en est une autre et on crira p p v 1 p v p 1 p v 1 1 p v p ce qui fait que p est une combinaison convexe ce qui force p 1 p v p ou encore pluv plu p v ce qui s tend par bilinarit tous les v Il faut faire un peu attention p v 0 mais alors p 0 R ciproquement tout caract re est born et v rifie p p 1 donc est un tat Si p p 1 p avec 0 lt 1 et u hermitien on a p u lt p u par Cauchy Schwarz 30 de m me pour p On crit 0 p u plu AP u 1 A o u Ap u 1 Ap u gt AC p u p u ce qui fait que p p coincident sur tous les hermitiens et sont donc identiques 4 4 Le th or me GNS Alias Gel fand Neumark Segal ce th or me permet de repr senter toute alg bre stellaire comme une sous alg bre d un B H Je donne juste une id e de la m thode i Etant donn un tat p on peut consid rer l espace C muni de la forme her mitienne u v p v u comme un espace pr hilbertien Appelons H le s par compl t de C Comme la norme d espace pr hilbertien est inf rieure la norme originale l espace a seulement besoin d tre s par autrement dit H est le quotient de C par l id al gauche ferm u E C p u u 0 i
55. spaces de Hilbert on d finit le produit tensoriel H amp K comme l espace des fonctions HS de H dans K muni de la forme u v D ulem v em 37 m Il est facile de montrer que la somme de l quation 37 converge car born e par llull2llv 2 en fait u u N u par 36 C est un espace de Hilbert Le lien avec la d finition de la section 2 2 se fait ainsi i Six H y K on peut consid rer le HS z amp y d fini par x y z x z y i R ciproquement si h est un l ment du produit tensoriel au sens de la sec tion 2 2 on lui associe un HS de H dans K y z y A z 8y Il ne reste qu d montrer que ces deux transformations sont des isom tries r ci proques ce qui est sans surprise On termine dans l abstract nonsense en remarquant que la formule 33 peut s tendre au contexte multilin aire par exemple dans le cas d un op rateur bilin aire born de H x K dans L il suffit de faire une triple sommation a permet de d finir le 107 s agit de fonctions antilin aires de H dans K ALG BRES D OP RATEURS I 32 produit tensoriel ternaire et modulo l utilisation de l adjoint a permet aussi de voir que le produit tensoriel r soud un probl me universel par rapport aux applications bilin aires HS Mais on est quand m me pas tout fait dans le cadre cat gorique standard puisqu on ne pas faire une cat gorie de morphismes HS l identit n
56. t p u u x x o x 1 tat pur une combinaison lin aire convexe d tats purs par exemple en dimension finie la trace normalis e 1 k 97 0 i e est un tat Plus g n ralement ce peut tre un plu tr uv o v est un hermitien positif de trace 1 ici encore j anticipe Sur l alg bre CAR la limite directe des M x C voir supra les traces norma lis es induisent un tat appel trace Plus g n ralement on peut construire un tat sur l alg bre CAR comme limite directe d tats px sur Max C par exemple en se donnant x 0 1 tant donn e m Mar41 C que l on crit comme une a b matrice form e de matrices 2 X 2 on remplace chacune de ces matrices par c Aga 1 x d ce qui donne m M C on d finit pp 1 mM pp m Le cas Apk 1 2 est celui de la trace le cas Ag 0 correspond un tat pur La construc tion GNS infra construit partir des suites Ag des repr sentations de l alg bre CAR qui jouent un r le important dans la th orie des alg bre de von Neumann Les tats forment un ensemble convexe si p p sont des tats et 0 lt lt 1 alors p 1 p est encore un tat Cet espace est compact en topologie faible i e pour la convergence simple Le th or me de Krein Milman th or me 20 dit alors que cet ensemble est la fermeture convexe de l ensemble de ses points extr maux On rappelle qu un point
57. tion Si le graphe G est ferm c est un espace de Banach et la premi re projection est une bijection born e de G sur E dont l inverse est donc born A 3 Hahn Banach C est un th or me qui prend plusieurs formes on en donne juste une TH OR ME 26 D EXTENSION Une forme lin aire born e sur un sous espace E du Banach E se prolonge tout l espace en une forme born e de m me norme Attention il s agit d une forme i e d une fonction lin aire valeurs dans C B Dimension finie B 1 La diagonalisation R f rences 1 R V Kadison and J R Ringrose Fundamentals of the theory of operator algebras vol I Pure and applied mathematics Academic Press 1983 vol ITI contains the solutions of exercises of vol I
58. ul 2y 1 4 Jut 2y 1 4u1 4 lt 1 qui est une cons quence de p ab o ba proposition 8 et donc vAul 2y 14 lt T ce qu on transforme en yu lt 4 0 Il faut encore tablir le r sultat quand u n est pas inversible pour cela on remplace u v par u e l v e T et on remarque que Vu Vu VU E L yu quand e 0 et le r sultat est donc cons quence de la continuit de la relation d ordre i e de la fermeture topologique de C REMARQUE 12 Il ne faudrait pas croire que ce type de r sultat se g n ralise dans le style si f est croissante alors f pr serve l ordre des hermitiens Exemple typique la fonction f u u voir infra En fait h h pr serve l ordre exactement quand 0 lt a lt 1 3 7 La d composition polaire On utilise notre connaissance des hermitiens pour tablir un r sultat qui g n ra lise dans la mesure du possible la d composition famili re pet d un complexe D FINITION 9 Un op rateur u B H K est une isom trie partielle quand u u est un projecteur Remarquons qu un hermitien v est un projecteur ssi Sp v C 0 1 puisqu alors v v r sulte du fait que t t sur le spectre En particulier si u u est un pro jecteur la proposition 88 nous montre que Sp uu C 0 1 et donc uu est aussi un projecteur On pr f rera cependant la d monstration plus explicite bas e sur la formule uuu u 28 facile tablir u uu
59. ves TH OR ME 12 Toute alg bre stellaire commutative est isomorphe C X pour un X compact ap propri D monstration C est presque de l abstract nonsense il suffit de prendre pour X l ensemble des tats purs avec une difficult la fronti re extr me d un convexe com pact n est pas toujours ferm e donc remettons cette difficult plus tard Il est clair qu on peut associer u la fonction p gt pu Cest une isom trie d apr s ce qui pr c de et m me un morphisme d alg bres par le th or me 13 qui suit Donc C est isomorphe un sous espace ferm de C X Ce sous espace s pare les points point i de la remarque 13 est clos par somme produit et conjugaison on conclut par Stone Weierstraf th or me 22 que le sous espace c est tout C X Je suis all tr s vite car cette manipulation est extr mement famili re Bourbaki fait justement et perfidement vous voyez qui il vise des gens qui l ont d ailleurs amplement m rit remarquer que ce n tait point le cas du temps de Gel fand ALG BRES D OP RATEURS I 27 La d monstration r clame la cl ture de la fronti re extr me Elle r sulte du TH OR ME 13 Les tats purs d une alg bre stellaire commutative C sont exactement les caract res deC i e ceux qui satisfont p uv p u p v C est un ensemble clos donc compact D monstration Si p est extr mal et si 0 lt v lt I on peut consid re
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