Mathématiques pour l`économie
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1. MATIQUES POUR L CONOMIE Dunod Toute reproduction non autoris e est un d lit Il Les quantificateurs V et V se lit quel que soit pour tout J se lit il existe au moins un Soit a0 41 a2 An une famille rang e ou suite de nombres r els les indices n pris dans N l ensemble des entiers naturels On consid re les propositions A les a sont tous nuls B les a sont non tous nuls C partir d un certain rang les a sont tous nuls Pour de telles propositions l emploi des signes V et 3 appel s quantificateurs permet de rendre m canique 1 l criture des contraires 2 la recherche de leur lien logique 3 la d monstration de leur valeur de v rit dans les cas o les a sont explicit s A R gles d utilisation 1 Le quantificateur V La proposition A les a sont tous nuls s crit Yn N an 0 se lit quel que soit n l ment de N an 0 signifie ag 0 ET a 0 ET a 0 ET etc 2 Le quantificateur 3 La proposition B les a sont non tous nuls s crit Jn N tel que a 0 se lit il existe au moins un l ment n N tel que a 0 signifie l un au moins des a est non nul 3 Passage d une proposition son contraire On remarque que A et B sont des propositions contraires ie B et B A Si on remplace la proposition2. b Consid rons la proposition D C et appliquons le point m thode ci dessus vu en 3 pour l crire l aide des quantificateurs Jp N tel que Yn N n gt p ay 0 C Yp E N Yn E N n gt p a 0 C Yp N Jn N tel que n gt p an 0 C Vp N Jn N tel que n gt p ET a 0 ou encore D C Vp N Jn N tel que n gt pET a 0 On a utilis la propri t de n gation de l implication vue plus haut savoir A gt B A ET B Point m thode P n p tant une proposition qui d pend de n et p la n gation de la propo sition Vn N dp N tel que P n p est n N tel que Yp N P n p B Exemples e Soit A la proposition suivante o N 0 1 2 d signe l ensemble des entiers naturels A Il existe dans N un entier plus grand que tous les autres l aide des quantificateurs s crit A heNtlquevkeN k lt n d o l criture m canique de son contraire A Yn N 3k N tel que k lt n A Vn E N 3k N tel que k gt n Langage math matique mode d emploi e 13 La connaissance intuitive des entiers naturels permet d affirmer que A est fausse Quant la d monstration de cette affirmation faisons la en d montrant que A est vraie Soit n un entier quelconque en consid rant k n 1 on a bien k Net k gt n Donc pour tout n N il existe
3. a 0 par a 0 les critures Langage math matique mode d emploi e 11 suivantes font appara tre les r gles permettant de passer d une proposition contenant des quantificateurs sa proposition contraire A Vn N an 0 l A Jn N tel que a 0 B Jn N tel que a 0 l l B Vn E N an 0 Point m thode Pour passer d une proposition son contraire on remplace le signe V par 1 on remplace le signe J par V on remplace la proposition sur laquelle porte le signe V par son contraire on remplace la proposition sur laquelle porte le signe 3 par son contraire 4 Propositions contenant deux quantificateurs a Consid rons la proposition C partir d un certain rang les a sont tous nuls C signifie il existe au moins un rang p N tel que a 0 ET ap 0 ET a 2 0 ET etc La proposition ap 0 ET a 41 0 ET a 2 0 ET etc peut s crire Vn gt p an 0 ou encore via la d finition 5 de donn e plus haut VnEN n2 gt p ar 0 C est la deuxi me criture que l on choisit R capitulation C partir d un certain rang les a sont tous nuls s crit 1p N tel que Yn N n gt p ay 0 se lit il existe au moins p N tel que pour tout n N sin gt p alors an 0 12 e MATH MATIQUES POUR L CONOMIE Dunod Toute reproduction non autoris e est un d lit
4. fonction sans contraintes II Convexit IV R capitulation des conditions V Extrema sous contraintes th or me d existence VI Extrema d une fonction sous contraintes d galit conditions n cessaires conditions suffisantes VII Extrema d une fonction sous contraintes d galit et d in galit conditions n cessaires conditions suffisantes Exercices 12 Equations de r currence I Equations de r currence lin aires d ordre 1 coefficients constants I Equations de r currence lin aires d ordre 2 coefficients constants IHI Equations de r currence d ordre 1 le cas g n ral Exercices Corrig s des exercices Index 325 325 327 332 337 339 341 352 357 361 361 367 375 380 383 435 Table des mati res e III Dunod Toute reproduction non autoris e est un d lit AN Les mod les math matiques ont un succ s inou dans le domaine de la phy sique par leur capacit pr dire les ph nom nes auxquels ils s appliquent m canique classique m canique quantique lectromagn tisme physique des particules astrophysique etc En un si cle les myst res de la physique ont r duit comme peau de chagrin Ce succ s en soi fascinant peut il fut ce de mani re beaucoup plus mo deste se reproduire dans le domaine de l conomie l La question est ou verte elle est l objet d un d bat l utilisation des mod les math matiques
5. mutandis on montre que A B ET B C A C est une proposition valide Cette validit exprime elle aussi la transitivit du connecteur gt Cette technique de preuve par table de v rit cl t toute discussion Langage math matique mode d emploi e 9 Tableau 1 8 A B C A B B gt C A cC B C A C Q V V V V V V V V V F V F V V V V F V V V V V V V F F V V V V V V V V F V F F V V V F F F V F F V F V F V F V V V F F F V V V V V D lt Bi implication e D finition 6 le connecteur bi implication Soit A et B deux propositions on d finit la nouvelle proposition A amp B lire A bi implication B ou encore A si et seulement si B par A amp B A B ET B gt A La table de v rit de A amp B est la suivante tableau 1 9 Tableau 1 9 A B A B B gt A A amp B V V V V V V F F V F F V V F F F F V V V On constate via la d finition 4 que si A amp B est vrai alors A B et r ciproquement Si A amp B est vrai on dit que quivaut logiquement B ou encore les propositions et B sont quivalentes Commentaires Dans la suite du cours pour noncer un th or me une propri t on crira A amp B pour dire A lt B est une proposition vraie c est dire A B De m me on crira A gt B pour dire A gt B est une proposition vraie 10 e MATH
6. Fonctions r elles d une variable r elle 87 I Limite d une fonction 87 II Fonctions quivalentes 96 MI Continuit 99 Exercices 108 Table des mati res e I 10 D rivation I La notion de d riv e IL Th or me des accroissements finis et applications III Recherche d extrema convexit Exercices Int gration I Primitive I Int grale d finie I Int grale g n ralis e Exercices Alg bre lin aire 1 I La structure espace vectoriel II Sous espace vectoriel syst me g n rateur syst me libre II Application lin aire IV Matrice d une application lin aire Exercices L ensemble C des nombres complexes I G n ralit s I quations dans C HI Espaces vectoriels sur C Exercices Alg bre lin aire 2 I D terminants I Diagonalisation d une matrice II Formes quadratiques Exercices Fonctions r elles de plusieurs variables r elles I Normes et distances sur R II Fonctions de deux variables et g n ralisation aux fonctions de n variables IHI Th or me des accroissements finis et applications Exercices II MATH MATIQUES POUR L CONOMIE 111 111 122 131 142 147 147 149 164 173 175 175 183 202 215 240 245 246 252 254 255 257 257 270 278 283 287 288 296 312 322 Dunod Toute reproduction non autoris e est un d lit 11 Recherche d extrema convexit I Pr sentation des probl mes IL Extrema d une
7. Math matiques pour l conomie Tout le catalogue sur www dunod com DITEUR DE SAVOIRS Math matiques pour l conomie Analyse Alg bre Cours et exercices corrig s Na la Hayek Ma tre de conf rences l universit Paris II Panth on Assas Jean Pierre Leca Ma tre de conf rences l universit Paris Panth on Sorbonne 5 dition DUNOD Le pictogramme qui figure ci contre d enseignement sup rieur provoquant une m rite une explication Son objet est baisse brutale des achats de livres et de d alerter le lecteur sur la menace que revues au point que la possibilit m me pour repr sente pour l avenir de l crit les auteurs de cr er des uvres particuli rement dans le domaine f DANGER nouvelles et de les faire diter cor de l dition technique et universi rectement est aujourd hui menac e taire le d veloppement massif du Nous rappelons donc que toute photocopillage reproduction partielle ou totale Le Code de la propri t intellec de la pr sente publication est tuelle du 1 juillet 1992 interdit LEPHOTOCOPLLAGE interdite sans autorisation de en effet express ment la photoco TUE LE LIVRE l auteur de son diteur ou du pie usage collectif sans autori Centre fran ais d exploitation du sation des ayants droit Or cette pratique droit de copie CFC 20 rue des s est g n ralis e dans les tablissements Grands Augustins 75006 Paris Dunod 2015 5 rue La
8. de ne pas alourdir inu tilement l criture on traite sur des exemples simples la d marche de d monstration qui conduit au r sultat Ne pas comprendre en premi re lec ture une d monstration n est pas g nant du tout par contre faire le choix d ignorer la d monstration c est d cider de rester dans la magie des mots du th or me incompris Manipuler les id es les concepts sans les comprendre est strictement interdit car dangereux pour l intelligence 4 Le calcul les exercices qui rassurent et indiquent la position de l tudiant sur le chemin de la compr hension Pour cela nous vous proposons des points m thode L int r t d un exercice est le questionnement qu il am ne les id es les initiatives qu il n cessite d o parfois l obligation de revoir le cours mais sans la d monstration bien s r la fin de chaque chapitre se trouvent des exercices dont les corrig s sont mis la fin du livre L tudiant mesurera son assurance et son savoir faire l envie qu il a de regarder la solution avant d avoir fini l exercice De par notre exp rience de l enseignement des notions introduites dans ce livre pour cette 5 dition nous l affirmons haut et fort Parler tous avec simplicit tout en restant ambitieux sur le sujet Quelques indications 2 En d but de chapitre on d signe par mots cl s des mots nouveaux impor tants que l on va d finir et qu il est indisp
9. du connecteur a Il est faux que A B A 1B On le constate ligne 3 ta bleau 1 6 Tableau 1 6 TETE EE V V F V 8 MATH MATIQUES POUR L CONOMIE Dunod Toute reproduction non autoris e est un d lit b A gt B B gt nA Propri t qui se d montre par la table de v rit suivante tableau 1 7 Tableau 1 7 Ce r sultat est tr s utile dans les d monstrations quand pour montrer que A B est une proposition vraie il est plus commode de montrer la valeur vraie de B gt A appel e l implication contrapos e de A gt B On nonce parfois ce r sultat L implication A B est quivalente B gt A sa contrapos e Nous donnerons plus loin un sens au mot quivalent c A B A ET B On peut pour d montrer ce r sultat soit construire la table de v rit ad hoc soit utiliser les propri t s du NON ET OU vues pr c demment Ainsi A B A OU B A ET B A ET B Commentaire La n gation d une implication n est donc pas une implication d L implication est transitive Propri t qui se traduit par Q A B gt GB gt A C est une proposition toujours vraie tableau 1 8 Commentaires La proposition A B B C A C est toujours vraie quelle que soit la valeur de v rit de ses variables A B C On dit qu elle est valide De la m me mani re mutatis
10. en conomie Pour participer ce d bat il est indispensable de comprendre les mod les formalis s de l conomie Il ne serait pas raisonnable de ne pouvoir acc der ces mod les par peur ou m connaissance des outils math matiques de base Loin de nous l id e que ces outils math matiques de base sont port e fa cile d intellect on affirme seulement qu il faut savoir s y prendre et ce de mani re pragmatique Aussi dans ce livre quatre tapes jalonnent le chemin de la compr hension 1 L criture le sens des mots la d finition rigoureuse des objets math ma tiques L exp rience nous a appris qu un tudiant qui sait et qui se trompe est un tudiant qui un endroit de sa copie n a plus g r son criture ou a n glig le sens des mots Ce n est pas l tudiant qui d raille c est son criture qui ne tient plus la route 2 Le raisonnement et son catalogue de r gles du jeu logique expliqu es ou d montr es en partie au chapitre 1 l tudiant les appliquera sans tat d intellect tel un automobiliste le code de la route 3 La d monstration pour d coder le chemin du labyrinthe qui m ne au th o r me gr ce elle ce qui paraissait magique devient vrai Chaque 1 Le mot conomie a pour racine grecque oikonomia r gle de vie domestique gestion de la maison Introduction 1 fois que la g n ralit n en est pas compromise afin
11. ensable de conna tre Au sein d un m me chapitre les d finitions propositions th or mes sont num rot s dans l ordre d arriv e Mutatis mutandis signifie en changeant ce qu il faut changer On emploie cette expression pour dire que les arguments du raisonnement restent les m mes seuls changent les objets auxquels ils s appliquent Dans tout le livre les mots fonction et application sont synonymes MATH MATIQUES POUR L CONOMIE Dunod Toute reproduction non autoris e est un d lit 1 LL math matique mode d emploi autoris s r pertori s cod s ind pendants du langage parl qui les exprime La logique est parfaitement intelligible n anmoins totalement inexplicable dans ses fondements S Kleene Dans ce cha pitre on code les r gles de la logique et de ses signes ET OU gt V J Il s agit d apprendre mieux cerner ce que d montrer veut dire E math matiques d montrer c est convaincre avec des arguments Mots clefs proposition vrai faux connecteur implication pour tout x il existe au moins un x ensemble union intersection produit de deux ensembles fonction application injection surjection bijection I Connecteurs logiques ET OU NON gt A Le vrai et le faux e D finition 1 On appelle proposition tout assemblage de lettres et de signes qui v rifie les trois conditions suivantes cet assemblage a une synta
12. i dans notre exemple se comprend ais ment puisque la chaussure c dont B vrai assure l existence convient tous les hommes A dans l criture de A 14 MATH MATIQUES POUR L CONOMIE
13. iangle quelconque la somme des angles est un angle plat C est une proposition on sait depuis le coll ge qu elle a la valeur vrai la b lt la bl P6 a et b deux nombres r els quelconques C est une proposition vraie pour un lyc en P7 si lt 0etf sur R alors af N sur R C est une proposition vraie pour un bachelier On remarquera la va ri t des lettres et des signes Pg tout entier pair sup rieur 4 est la somme de deux nombres premiers C est une proposition qui date de 1742 appel e la conjecture l de Goldback On ne conna t toujours pas sa valeur de v rit en effet s il est facile de v rifier que 8 5 3 10 7 3 24 11 13 le cas g n ral n a toujours pas t d montr On sait cependant que la propri t est vraie pour tout entier pair compris entre 6 et 33 x 106 1 Une conjecture est une proposition que l on subodore vraie quoique ni contredite ni d mon tr e 4 MATH MATIQUES POUR L CONOMIE Dunod Toute reproduction non autoris e est un d lit Po Il existe au moins un triplet x y z d entiers naturels strictement positifs tel que x y z Il suffit de chercher un peu On trouve 3 4 5 La proposition Po est donc vraie Tel est le sens de il existe au moins un On trouve aussi 5 12 13 puis 99 4900 49017 puis Mais cela est sans importance pour Po l existence lui seul du trip
14. let 3 4 5 pour x y 2 assure la valeur de v rit Vrai Po qu il y en ait d autres et combien en nombre fini ou pas est une tout autre question Pio Pour n gt 3 il n existe pas d entiers x y z non nuls tels que x 4 y z Il s agissait de la conjecture de Pierre Simon de Fermat 1601 1665 devenue un th or me en 1990 gr ce au math maticien anglais Andrew Wiles Il aura donc fallu plus de trois si cles pour savoir PQ vraie B Er ou non 1 D finitions e D finition 2 connecteur NON Soit une proposition on d finit la nouvelle proposition not e NON A ou encore A lire non A l aide de la table de v rit suivante tableau 1 1 Tableau 1 1 V est l abr viation de vrai F est l abr viation de faux e D finition 3 connecteurs O et ET Soit A et B deux propositions on d finit les nouvelles propositions A OU B ainsi que ET B l aide de la table de v rit suivante tableau 1 2 Tableau 1 2 Langage math matique mode d emploi e 5 Commentaires A et B sont deux propositions chacune vraie ou bien fausse il y a donc quatre cas possibles de valeur de v rit pour le couple A B La proposition ET B a clairement le sens de A et B du langage courant appel aussi langage de l observateur avec et conjonction de coordination La proposition A OU B a le sens de ou bien A ou bien B ou bien les deux Il
15. lundi ne signifie pas Je viendrai lundi 6 MATH MATIQUES POUR L CONOMIE Dunod Toute reproduction non autoris e est un d lit b A OU B A ET B On construit la table de v rit 1 4 Tableau 1 4 Ca je Lun nou nou er V F F V F F V F F V Les propositions A OU B et A ET B ont m mes valeurs de v rit sur les m mes lignes d apr s la d finition 4 A OU B A ET B c A ET B A O B On proc de comme dans b mutatis mutandis Commentaires Les critures ci dessus sont ambig es dans leur lecture on aurait d crire A OU B A ET B pour b et A ET B A OU B pour c On a implicitement sans le dire d cid que domine ET et OU qui eux m mes dominent D o la suppression des paren th ses et la simplification d criture On continuera par la suite C gt Si Alors e D finition 5 le connecteur implication Soit A et B deux propositions on d finit la nouvelle proposition A B lire A implique B ou bien A entra ne B ou encore si A alors B par A B A OU B D o la table de v rit de A B tableau 1 5 Tableau 1 5 Langage math matique mode d emploi e 7 gt Commentaires On retiendra que la proposition A B est toujours vraie sauf dans le cas o A vrai et B faux ligne 2 On ne tentera pas de donner d
16. on l a trouv k N tel que k gt n Donc Vn N Jk N tel que k gt n est une proposition vraie Conclusion A est vrai Commentaires Dans la proposition A l existence de l entier k une fois n choisi est tout fait concr te En effet on sait expliciter k en fonction de n k n 1 dans notre cas Pour un n choisi il n y a pas d unicit de l entier k k n 2 k n 3 etc conviennent aussi Dans notre exemple les entiers k qui conviennent d pendent toujours de n mais il peut ne pas en tre ainsi Pour d terminer la valeur de v rit de A on a tudi A e Soit H l ensemble des humains et C l ensemble des chaussures Consid rons la proposition A Tout le monde trouve chaussure son pied l aide des quantificateurs A s crit A Yh H Jc C tel que la pointure de c convienne h Si on change l ordre des quantificateurs dans la proposition A la nouvelle proposition B s crit B Jc C tel que Vh H la pointure de c convient h La traduction de B dans le langage courant est il existe une chaussure taille unique qui convient tous On retiendra de cet exemple la propri t g n rale suivante on change le sens d une proposition en changeant l ordre des quantifica teurs la proposition B dc C tel que Vh H implique la proposition A Vh H dc C tel que Implication qu
17. romigui re 75005 Paris www dunod com ISBN 978 2 10 072255 6 Le Code de la propri t intellectuelle n autorisant aux termes de l article L 122 5 2 et 3 a d une part que les copies ou reproductions strictement r serv es l usage priv du copiste et non destin es une utilisation collective et d autre part que les analyses et les courtes citations dans un but d exemple et d illustration toute repr sentation ou reproduction int grale ou partielle faite sans le consentement de l auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause est illicite art L 122 4 Cette repr sentation ou reproduction par quelque proc d que ce soit constitue rait donc une contrefa on sanctionn e par les articles L 335 2 et suivants du Code de la propri t intellectuelle Dunod Toute reproduction non autoris e est un d lit Table des mati res Introduction 1 1 Langage math matique mode d emploi 3 I Connecteurs logiques ET OU NON IL Les quantificateurs V et 3 11 IHI Application op rations sur les ensembles 15 Exercices 24 2 Les ensembles num riques N Z Q R 27 I Les entiers naturels N 28 IL L ensemble R des nombres r els 39 Exercices 51 3 Suites et s ries num riques 55 I Notations et d finitions 55 II La notion de limite et son langage de d finition 61 II Propri t s des limites 65 IV Premiers crit res de convergence 69 V Exemples 70 VI S ries num riques 80 Exercices 84 4
18. s agit du ou avec le sens inclusif qui inclut les deux cas Le ou fran ais langage de l observateur m me criture m me phon tique peut avoir un tout autre sens qui est ou l un ou l autre mais pas les deux Il s agit alors du ou exclusif qui exclut les deux cas Ainsi dans l expression tout ou rien seul le ou exclusif est coh rent dans l expression fromage ou dessert il faut choisir entre les deux ou chacun donnant un sens diff rent au bon vouloir du lec teur Le OU d fini tableau 1 2 est lui sans ambigu t Rigueur des math matiques oblige e D finition 4 P Q Si la proposition P et la proposition Q d pendent des m mes propositions A B C et sur chacune des lignes de leur table de v rit commune ont la m me valeur de v rit alors on dit qu elles sont gales et on crit P Q 2 Propri t s du NON ET OU Par le biais des tables de v rit on obtient les propri t s des trois connecteurs d finis plus haut a A A On construit la table de v rit tableau 1 3 Tableau 1 3 Les propositions A et A comprendre A et lire NON NON A ont les m mes valeurs de v rit sur les m mes lignes donc A A d apr s la d finition 4 Commentaires Dans le langage math matique deux n gations ont valeur d affirmation Ce n est pas le cas dans le langage courant Non je ne viendrai pas
19. u sens la proposition A B en l interpr tant par le Si A alors B du langage de l observateur Ainsi dire un ami Si demain il pleut alors je viens te voir sous entend Si demain il ne pleut pas alors je ne viens pas te voir et on n est plus dans le cadre de la d finition exprim e ligne 3 de la table de v rit de A B On doit regarder la table de v rit sans r fl chir sans r fl chir pour une fois Dans le langage math matique le seul sens d une proposition est sa valeur de v rit c est dire la propri t d tre vraie ou fausse On ne confondra pas A B proposition dont la valeur de v rit d pend de celles de A et de B avec l affirmation A B est vraie souvent utilis e pour noncer un th or me Dans gt B A est appel e condition suffisante pour B et B condition n cessaire pour A En effet dans le cas o A gt B est vraie lignes 1 3 4 de sa table de v rit Il suffit d avoir A vraie pour tre assur de B vraie On ne peut avoir vraie et B fausse le vrai de B est donc n cessaire au vrai de Exemple soit p un entier naturel A et B les propositions A p nombre premier strictement sup rieur 2 B p nombre impair Il est clair que gt B est une proposition vraie que A est suffisant mais pas n cessaire pour B que B est n cessaire mais pas suffisant pour A e Propri t s
20. xe correcte En d autres termes le lecteur sait le lire cet assemblage a une s mantique correcte En d autres termes le lecteur comprend ce qu il lit cet assemblage a une seule valeur de v rit la valeur vrai ou bien la valeur faux Langage math matique mode d emploi e 3 gt Commentaires Dans le langage math matique les lettres peuvent tre d alphabets diff rents latins ou grec et les signes vont de la parenth se virgule etc aux chiffres arabes 0 1 2 9 ainsi que romains I V X L C D M en passant par des dessins plus ou moins parlants 5 f Z etc que les math maticiens ont l art d inventer au fil de leurs th ories gt Exemples Consid rons les assemblages suivants Pi oui Z Ce n est pas une proposition car la syntaxe est incorrecte P La racine carr e de Napol on n est pas carr e Ce n est pas une proposition on la lit tr s bien mais on ne comprend pas S mantique incorrecte P3 12 x 14 168 C est une proposition on sait partir du cours moyen qu elle a la valeur vrai P4 XI x XIV CLXVIID C est une proposition la m me que P3 l criture pr s On remar quera que s il est courant de multiplier en chiffres arabes cela l est beaucoup moins avec les chiffres romains Pour faire de l arithm tique il fallait faire le bon choix de l criture et de ses signes Ps dans un tr
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