LEÇON N˚ 81 : Exemples d`approximation d`une
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1. qui sera le m me que le second cran ci dessous apr s remplissage Il faut ensuite appuyer deux fois sur Enter et entrer dans l cran gra phique Y touche Diamond puis W encore appuyer sur la fl che du haut pour bien faire appara tre la ligne Plot1 d finie pr c demment et descendre sur Y1 pour entrer la fonction exponentielle Une fois entr e retourner gr ce au curseur sur la ligne Y1 appuyer sur F6 et s lectionner Thick On obtient alors le troisi me cran Il ne reste plus qu modifier la fen tre graphique comme indiqu avant de lancer le trac de la courbe obtenu sur le quatri me cran 3 Setup 11 Er Oooo n oo S S O oo HH J S de5 CPE J o J y 273 J sse25 J Jo aeg PTE OS RS ES arg 236e PS RS d ES PS PS O O if y RE a nE ghein Jeni Enter SAlE FUNC 050 PLOT 1 Flot 154 xeir FUNC 0730 RAD AUTO FUNC 130 81 3 2 Un autre probl me Soit S le probl me suivant y y zr f x y y 0 0 1 Soient n 4 zo 0 b 4 et donc h 1 On trouve alors que VRECA O esh Ur Ye h fre Ur Ur Ye 2x UWr E d o le tableau suivant ax 0 1 2 37 47 ue JOTOTTTATI Soient maintenant n 4 o 0 b 4 et donc h 1 Dans ce cas VkE arep js Uk 1 Yk h tr Yk Yk Yk k Tk d o le tableau suivant 2r 0 1 2 28774 wlojojrj2 3_ 2 Soient n 8 o 0 b 4 et donc h 1 2 Les calculs donnent alors le tableau suiva2. LE ON N 81 Exemples d approximation d une solution d une quation diff rentielle par la m thode d Euler l expos pourra tre illustr par un ou des exemples faisant appel l utilisation d une calculatrice Cette le on a t r alis e par C cile F Pr requis Fonction d riv e Tangente une courbe quation Dans tout cette le on f d signe une fonction de classe sur un ouvert U U x Ua C R o Yo un point appartenant U 61 1 Objectifs De nombreux probl mes en radioactivit par exemple conduisent tudier une relation entre une fonction et sa d riv e Exemple activit de N noyaux radioactifs la date t A N A N b o d signe une constante radioactive gale la probabilit de d sint gration d un noyau donn par unit de temps en s7 On souhaite r soudre de mani re plus g n rale le probl me suivant s l y x f z y x y Xo Yo o y Ui gt U une fonction d pendant du param tre x simplement not e y dans la suite On conna t l expression de la fonction f dont on cherche approcher la primitive par rapport x Lorsque cette solution primitive de f par rapport x existe puisque f est continue ne peut tre exprim e partir de l expression de la fonction f on cherche une approximation affine par morceaux de cette solution y sur un intervalle xo b ou b zo o b U1 Ce
3. gures de gauche qui donnent la construction de F mais celles de droite qui se basent sur f puisqu on rappelle qu on ne conna t pas et on ne peut calculer les nombres d riv s y x y 3 Le G AN mie Approximation d une solution d une quation diff rentielle Remarque 1 Comme vu sur les graphiques pr c dents le cas pratique peut s av rer plus ou moins efficace selon la fonction f donn e les fonctions donn es pour les deux cas repr sent s ci dessus sont respectivement x 1 et f x y VY 10x avec pour conditions initiales respectives y 2 1 et y 1 L et dont les solutions respectives normalement non connues mais on a choisi ici de r soudre les quations diff rentielles afin de pouvoir repr senter leur solution titre de comparaison sont f x y L e r KO I a Z 107 10 o y On constate effectivement que la m thode pratique est plus pr cise que la m thode id ale dans le premier cas et vice y versa dans le second Rappelons une derni re fois que les graphiques dans le cas id al ont t r alis s titre de compa raison puisqu on ne peut techniquement pas construire le cas id al ne connaissant pas la solution y et par cons quent les nombres y p Th or me 1 La courbe 6 de la solution y peut tre approch e par la courbe de la fonction F affine par morceaux d finie en reliant les points de coordonn es k Yk pour
4. nt 5 amp AE nair Approximation d une solution d une quation diff rentielle A 2 eg Soient maintenant n 8 o 0 b 4 et donc h 1 2 On obtient alors le tableau suivant l 3 5 7 he a a GORE 1 5 17 49 129 321 769 d 4 8 16 32 64 128 256 On sait que la solution de ce probl me est la fonction y exp x z 1 On affiche donc cette courbe toujours titre de comparaison et nos deux nuages de points obtenus pour n 4 les U et n 8 les x On constate que plus n est grand plus l approximation est pr cise T A E F FEF Y FEF Fr p E Regraph i RAC AUTO FUME ds 81 3 3 l aide d un programme On peut aussi crire un programme voir sur le sitehttp pedagomaths ifrance com de C cile F rubrique Calculatrice Voyage 200 c est le programme appel euler qu on peut appliquer un probl me tel que celui ci afin de d terminer la courbe qui approchera la solution de ce probl me sur l intervalle 1 5 On peut gale ment afficher la solution y ln x afin de voir que le programme fonctionne bien FAC AUTO La fonction logarithme a t plac e en Y1 et on l a repr sent en Thick 2010 par Martial LENZEN Aucune reproduction m me partielle autres que celles pr vues l article L 122 5 du code de la propri t intellectuelle ne peut tre faite sans l autorisation expresse de l auteur
5. tout k 0 n o y est d fini par l Yo Y Lo Yk 1 Yk f Tk Yk h VkeE 0 n 1 d monstration Soit k 10 n 1 Une fonction affine de coefficient directeur c sur k k 1 passant par k Yk a pour quation y yk clx zk Or on a ici que c f k Yk approximation de y xx donc Yk 1 Yk Jr Yk Ek 1 Tk d o le r sultat A 81 3 Exemples 81 3 1 L exponentielle On sait que la fonction x exp x est l unique solution de y y f x y avec y 0 1 On pose zo O et n 5 On s int resse l approximation de la courbe sur l intervalle 0 1 On a alors 1 0 1 1 6 w l h z et VkeE 0 4 yes Yk f Tr Yk h Yk Yk E Yk d o le tableau suivant PIE J Puis on trace l aide de la calculatrice notre polygone de nuage de points et la fonction solution y exp x La fen tre graphique utilise x 0 4 1 4 avec un pas de graduation de 0 05 et y 0 3 avec un pas de graduation de 1 4 o 7E r h S 2 Q Q 2 GO w E Approximation d une solution d une quation diff rentielle Eater Mode d emploi allumage de la calculatrice aller dans Data Matrix afin de construire une nouvelle Data appel par exemple expo Remplissez alors le tableau l aide de celui ci dessus afin d obtenir le premier cran ci dessous Un appui sur F2 puis sur F1 nous am ne ensuite un cran
6. tte approximation sera not e F et sa courbe 6p 2 Approximation d une solution d une quation diff rentielle 81 2 M thode Soit n un entier naturel non nul fix et b U4 un r el diff rent de xo 1 On commence par consid rer une subdivision de xo b ou b x0 en n sous intervalles isom triques b x VkE 0 n 1 zeu 2x h o h T n 2 On approche la fonction y solution de S par une fonction affine par morceaux F telle que V k 0 n 1 Vxe tx trul F x Fle Il ne reste plus qu d finir la fonction F pour tout k 0 n 1 Dans l id al il faudrait que sur o 1 Cr Soit la tangente en x la courbe solution sur k k 1l pour tout k 1 n 1 F soit de m me coefficient directeur que la tangente en k la courbe trac e en bleu pour information et d ordonn e l origine donn e par l galit Fr xx Frail tk Cependant ce proc d ne peut tre retenu car on ne conna t ni la fonction y ni par cons quent le nombre y xx f r y xx qui nous donne le coefficient directeur de la tangente en p Dans la pratique nous choisirons donc pour approximation de y xx f xx y xx le nombre xx Yk puisque yy est une approximation du nombre y x Voici quatre figures qui correspondent respectivement aux cas id aux et pratiques Cas id al l ATTENTION ce ne sont pas les fi
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