Le problème d`arithmétique dans l`enseignement des
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1. page 4 n est pas permis d ignorer Locution d O Gr ard qui appara t pour la premi re fois dans Instructions de 1887 et qui sera int gralement reprise dans celles de 1923 Le projet est clair pr parer l enfant la vie et de cultiver son esprit par un enseignement utilitaire selon une m thode intuitive et inductive partant des faits sensibles pour aller aux id es l enseignement du calcul doit tre concret simple progressif C est sur les faits qu il faut appuyer les calculs les id es Pour ce faire le professeur pour commencer se sert d objets sensibles fait voir et toucher les choses met les enfants en pr sence de r alit s concr tes puis peu peu les exerce en d gager l id e abstraite comparer g n raliser raisonner sans le secours d exemples mat riels Instructions 1923 Ces textes franchement color s d empirisme institutionnalisent quasiment un enseignement sensualiste empiriste pour reprendre ici une expression de H Aebli 1966 En toute logique les probl mes types occup rent une place centrale dans les manuels d ailleurs les diteurs ne manquaient d en indiquer le nombre sur la page de titre de leurs manuels soulignaient leur caract re tr s modernes tr s pratiques nouveaux et int ressants Royer Court 1924 6 et agr mentaient leur pr face des mots cl s du plan d tude concret simple pro2. Guy Brousseau et G rard Vergnaud Grenoble La Pens e Sauvage 148 160 Rousseau J J 1966 Emile ou de l Education Paris Garnier Flammarion 629 p Royer M Court P 1924 Arithm tique Paris Armand Colin 436 p Salin M H 1976 Le r le de l erreur dans l apprentissage des math matiques l cole primaire M moire de DEA Bordeaux IREM 36 p Sarrazy B 1994 Peut on formaliser les proc dures de r solution des probl mes d arithm tique l cole l mentaire Les sciences de l ducation pour l re nouvelle 3 31 54 Sarrazy B 1995 Le contrat didactique Revue Fran aise de P dagogie 112 85 118 Sarrazy B 1997 Sens et situations une mise en question de l enseignement des strat gies m ta cognitives en math matiques Recherches en didactique des math matiques 17 2 Grenoble La Pens e Sauvage 135 166 Sarrazy B 1998 Questions de sens Quelques r flexions propos de l usage de th ories psychologiques dans l enseignement des math matiques Conf rence au XX V me Colloque des Professeurs de Math matiques charg s de la Formation des ma tres Evolution de l enseignement des math matiques et de la Formation des ma tres Loctudy COPIRELEM Savoie P 2000 Quelle histoire pour le certificat d tudes Histoire de l Education 85 janv 2000 49 72 Sorel M 1987 L ducabilit de l appareil cognitif
3. computation informationnelle prend alors le pas sur la construction des connaissances L apprenant se substitue l l ve les probl mes se transforment en m ta probl mes Ce mouvement se traduit dans les programmes par l instauration d un enseignement m thodologique un apprentissage la r solution de probl me qui conduira paradoxalement une sorte de d math matisation de l enseignement pour apprendre des math matiques il ne s agit plus de faire r soudre des probl mes l l ve mais de lui apprendre les r soudre Entre un enseignement principalement orient par les besoins de la soci t de 1887 1938 et un enseignement d duit des mod lisations du sujet apprenant de 1980 nos jours n y aurait il aucune alternative Tout se passe comme si les r formes oscillaient entre ces deux positions extr mes M me si nous pensons que les r formes sont impuissantes r guler des dysfonctionnements didactiques car elles engendrent de multiples effets id ologiques et politiques qu elles ne peuvent pas contr ler ne pourrait on pas esp rer tout le moins une tierce voie qui sans mollesse permettrait de r introduire un v ritable d bat d mocratique sur l Ecole propos d une de ses principales missions diffuser des savoirs et des connaissances pour le plus grand nombre d l ves La question r currente des valeurs et des id ologies soustendues par les
4. Goussiez 1972 Enqu te sur l introduction de la math matique moderne l Ecole El mentaire La math matique l cole l mentaire Paris APMEP 99 109 Harle A 1984 L arithm tique des manuels de l enseignement l mentaire fran ais au d but du XXEME si cle Th se de 3 cycle Paris Universit de Paris VII 296 p IREM de Grenoble collectif 1979 Quel est l ge du capitaine Grand N Grenoble IREM et CRDP 19 63 70 Lemoine A 1923 Arithm tique du Certificat d Etude 8 dition Paris Hachette Leyssenne P 1900 La deuxi me ann e d Arithm tique certificat d tudes Paris Armand Colin 408 p Maingueneau D 1979 Les livres d cole de la R publique 1870 1914 discours et id ologie Paris Le Sycomore Marijon A 1929 Le probl me d arithm tique et la tradition L enseignement Public Paris Delagrave n f vrier 107 119 Marijon A Lecomp 1923 L enseignement du calcul l cole primaire Rapport pour le Minist re Minist re de l ducation nationale de la jeunesse et des sports direction des coles 1991 Les cycles l cole primaire Paris Hachette CNDP 128 p Minist re de l ducation nationale Direction des coles 1981 Contenus de formation l cole l mentaire cycle moyen Paris CNDP 140 p Paradis F 1968 Etude g n tique de l influence des donn es non pertin
5. l ve proc dent au hasard effectuent n importe quelle op ration ou choisissent le r sultat qui leur semble le mieux adapt apr s plusieurs essais 3 Certains ne traitent qu une partie du probl me sans encha ner avec le reste du probl me Pour corriger ces difficult s il est demand aux ma tres d amener les l ves d composer le probl me en un ensemble de sous questions en fonction du but atteindre et d appliquer un certain nombre de r gles heuristiques directement inspir es des th ories du traitement de l information Ces le ons pr cise les textes MEN 1981 41 doivent tre organis es de fa on modulaire et couvrir trois classes de comportements cens s intervenir simultan ment dans la r solution d un probl me 1 Savoir rechercher et s lectionner l information pertinente les informations donn es sont elles toutes n cessaires Sont elles suffisantes etc 2 Savoir organiser l information 3 Savoir exploiter l information pertinente Ces orientations que nous avons discut es ailleurs Sarrazy 1998 re pr cis es par le texte relatif la mise en place de la Nouvelle Politique pour l cole de 1990 seront baptis es comp tences transversales et appara tront sous la rubrique traitement de l information MEN 1991 36 52 La centration exclusive sur l l ve qui deviendra le leitmotiv de la Nouvelle Politique pour l Ecole mais aussi
6. es aux dysfonctionnements pr c demment rep r s et d autre part d accr diter scientifiquement les id es maintenant mieux connues des th oriciens de l ducation nouvelle Mais le d calage entre les productions de la recherche les id es novatrices impuls es par les mouvements p dagogiques les orientations officielles et les pratiques des ma tres n ira qu en s accentuant Par exemple les quelques militants de l ducation nouvelle sont rapidement marginalis s et parfois m me pers cut s selon l expression de Prost le d put Raffin Dugens est d plac et envoy 100 km de sa femme et au lendemain de la premi re guerre C lestin Freinet quitte l enseignement public pour pouvoir appliquer librement les m thodes qui sont pr cis ment celles que conseillent les instructions officielles Prost 1968 279 280 Au c ur du probl me l enfant Si chacun y compris les Instructions s accorde sur l importance de lui faire confiance si certains comme Freinet par exemple mettent en place des dispositifs p dagogiques de telle fa on que ce leitmotiv ne reste pas qu une simple d claration de principe la grande majorit des professeurs reste tr s r serv e ou prudents quant aux implications pratiques de ce principe l enfant disent les textes doit tre consid r comme dou de bon sens et d intelligence qu il suffit d veiller On doit faire confiance aux e
7. es novatrices des th oriciens de l ducation nouvelle Une rupture importante appara t en 1970 et conduira la naissance d un nouveau champ scientifique la didactique des math matiques le probl me devient le moyen privil gi de donner du sens aux connaissances enseign es L essor de la psychologie cognitive marquera fortement les ann es 80 le traitement de l information prend le pas sur la construction des connaissances Ce mouvement se traduit par l instauration d un enseignement m thodologique et conduira paradoxalement une sorte de d math matisation de l enseignement pour apprendre des math matiques il ne s agit plus de faire r soudre des probl mes l l ve mais de lui apprendre les r soudre La loi organique du 30 octobre 1886 compl t e par le d cret et l arr t du 18 janvier 1887 contribueront fortement fortifier la toute jeune cole la que mars 1882 obligatoire et gratuite juin 1881 dans son autonomie ses programmes et son organisation L enseignement de l arithm tique ne d bute pas comme sous l Ancien R gime au dernier niveau de l cole l mentaire et ne se limite plus l apprentissage du comptage des quatre op rations et de la r gle de trois le probl me d arithm tique y prend place Si depuis il a toujours t plus ou moins au centre de l enseignement des math matiques les rapports entre probl me et enseignement ont consid
8. et ne fait que ralentir ses progr s 1900 4 Un bon enseignement doit se fonder sur les connaissances utiles la vie sociale vie usuelle commerce industrie et agriculture et doit La noosph re du grec noos esprit pens e et sphaira corps rond d signe litt ralement la partie de l espace o se cr e une pens e Le terme appara t pour la premi re fois sous la plume de Teilhard de Chardin dans Le ph nom ne humain 1955 Chevallard l introduira dans le champ de la didactique des math matiques pour d signer le lieu o s op re l interaction entre le syst me d enseignement et l environnement soci tal 1991 24 5 dans lequel les repr sentants du syst me d enseignement les membres des commissions minist rielles les repr sentants de la soci t parents d l ves sp cialistes de la discipline auteurs de manuels des revues scientifiques ou militantes d battent de ce qu il conviendrait de faire dans le syst me d enseignement 7 Ces recueils se pr sentent sous la forme de petits ouvrages 7x13 cm Les premi res pages sont r serv es la pr sentation du mode d emploi du recueil Chaque page contient trois choses le prix la quantit et le compte fait Le prix est toujours en haut de chaque page la quantit commence les lignes et le compte fait finit chaque ligne Si l usage de certaines propri t s de la proportionnalit f x y f x f y par ex
9. s mn motechniques sous lesquels dispara t la r alit math matique Dottrens 1936 p 41 42 18 L obligation d usage d un manuel est fix e par le d cret du 29 janvier 1890 ce d cret fut abrog sous le r gime de Vichy Cf A Choppin 1980 4 et s page 7 V 1970 du calcul la math matique Une importante rupture dans la d finition des finalit s ducatives appara t en 1970 L enseignement des math matiques bien s r n y chappe pas ses contenus et ses m thodes sont radicalement r form s Alors que les orientations pr c dentes pla aient l avant plan la vie courante et usuelle soulignaient la n cessit d tablir une relation troite entre les math matiques de l cole et les n cessit s de la vie afin d viter de substituer la th orie m me la plus belle l usage Instructions du 20 09 1938 les nouveaux textes rompent radicalement avec ces orientations L ambition d un tel enseignement n est donc plus essentiellement de pr parer les l ves la vie active et professionnelle en leur faisant acqu rir des techniques de r solution de probl mes catalogu s et sugg r s par la vie courante mais bien de leur assurer une approche correcte et une compr hension r elle des notions math matiques li es ces techniques Circulaire du 2 01 1970 L abandon du terme calcul au profit de celui math matique au singulier en r f rence
10. t Platon R publique VII 526 b Nous le verrons ce ph nom ne se radicalisera dans les ann es 80 Ill Les instructions de 1923 Quasiment 40 ans plus tard les instructions de 1887 n ont pas vieilli les nouvelles 1923 se situent explicitement dans leur prolongement et marquent clairement leur volont de continuit quel besoin r pond la r forme Le plan dress par les auteurs de nos lois scolaires s est il r v l d fectueux En aucune fa on Chaque fois qu on en relit l expos dans les instructions de 1887 on est rempli d admiration En r formant l institution nous entendons rester fid les aux principes fondateurs Instructions du 20 juin 1923 Le but affich par les r formateurs ne diff re pratiquement pas de celui de leurs pr d cesseurs fournir chaque l ve un savoir l mentaire de base afin de lui permettre de s adapter rapidement sa future vie sociale dans ses aspects domestiques et civiques L objet de l enseignement primaire n est pas d embrasser sur les diverses mati res auxquelles il touche tout ce qu il est possible de savoir mais de bien apprendre dans chacune d elles ce qu il 8 Le syst me m trique tel qu il existe aujourd hui fut institu par les lois du 18 germinal de lan III 7 avril 1795 et du 19 frimaire de l an HI 10 d cembre 1799 Il est rendu obligatoire et exclusif le 2 novembre 1801 mais il faudra attendre
11. 6 sugg rait aux donneurs de probl mes un crit re de difficult raisonnable Je souhaite dit il ne voir jamais donner au certificat d tudes ou aux bourses un probl me dont un inspecteur d Acad mie litt raire n aper oive pas imm diatement la solution 1929 114 IV De 1938 1970 l mergence de contradictions Les instructions de 1938 puis celles de 1945 n apporteront que fort peu de modifications celles de 1923 notamment pour les cycles l mentaires et moyens Elles visent principalement renforcer le caract re pratique des classes de fin d tudes Le volume horaire attribu l enseignement du fran ais et du calcul est augment aux d pends de l histoire de la g ographie et de la le on de choses dont les programmes ont t modifi s Les instructions de 1945 se r f rent explicitement celles de 1923 et 1938 qui pr cisent elles une fois de plus n ont pas vieilli Affirmation de continuit aussi dans la d finition de la m thode pr conis e elle doit tre utile intuitive et active et dans les objectifs assign s l enseignement du calcul qui doit viser la ma trise des quatre op rations en vue de la r solution des probl mes de la vie courante Le d veloppement de la p dagogie exp rimentale Buyse 1935 la diffusion naissante des id es piag tiennes permettent d une part quelques novateurs d apporter des r ponses plus pr cises et plus argument
12. aux math matiques bourbachiques marque cette volont de rupture certains iront m me jusqu proposer d abandonner la pratique du calcul num rique D autres resteront plus prudents et pointeront les dangers associ s aux interpr tations orthodoxes de la r forme C est le cas de Daniau qui dans un bulletin de l APEMP de 1972 crivait Il ne faut pas se dissimuler qu une interpr tation erron e et h tive des programmes dans leur libell laconique a pu faire croire que le calcul perd de son importance parce que certaines questions ont t limin es du champ d tude la r gle de trois les pourcentages le prix de vente le b n fice etc ou que l introduction de certaines op rations a t volontairement retard e la soustraction par exemple Daniau 1972 133 La distinction entre d marche raisonn e et calcul qu tabliront ult rieurement les instructions officielles de 1980 MEN 1981 42 n est certainement pas sans aucun lien avec ce manich isme didactique et la p joration du calcul num rique les nouveaux textes permettront de re pr ciser la place et l importance qu il convenait de lui accorder sans pour autant puiser la question r currente du rapport entre l enseignement des algorithmes et leur usage comme instrument de r solution dans des situations nouvelles cf Sarrazy 1995 La question n est pas nouvelle Rappelons que 35 ans plus t t Bu
13. conceptualisation des connaissances en jeu Il s agissait moins d enseigner l arithm tique que de r ussir l examen Ce n est d ailleurs pas sans une certaine ironie que Marijon 5 Cf le passage dans lequel Platon 1989 1117 cherche convaincre Glaucon que les futures lites doivent s orienter vers la science du calcul non dans un esprit vulgaire mais jusqu ce qu ils soient parvenus au moyen de la seule intellection contempler la nature des nombres ne pratiquant pas cette science comme font trafiquants et marchands de d tail en vue d acheter ou de vendre mais tant pour faire la guerre que pour donner l me m me de l aisance se d tourner de la g n ration et s orienter vers le vrai vers le r el 14 T faudra attendre le d but des ann es 70 avec la naissance de la didactique des math matique Brousseau 1972 pour tudier les conditions sous lesquelles un probl me peut engendrer des effets didactiques Leyssenne 1905 dans la pr face de la 102 dition de La Deuxi me Ann e d arithm tique ne manque pas de pr ciser que l ouvrage a reproduit un grand nombre de probl mes donn s dans les concours cantonaux et dans les examens pour le certificat d tude et pour les brevets de capacit s ces probl mes pr cise t il contribueront enlever ces diverses preuves ce qu elles ont d inconnu et de redoutable dans l imagination des jeunes gens page
14. ens la plupart des connaissances enseign es en 1880 comme la soustraction par exemple le sont un an voire deux ans plus tard ailleurs Prost 1968 281 Le d calage entre les possibilit s de conceptualisation des l ves et les savoirs enseign s eut pour principal effet de r duire l enseignement au dressage comme on peut le deviner travers cet extrait d un avant propos d un manuel scolaire de 1858 L exp rience a d montr qu un grand nombre de jeunes gens qui connaissent parfaitement la mani re d op rer les quatre principales r gles de l Arithm tique sont cependant embarrass s pour en faire l application aux probl mes qui leur sont propos s Pour obvier cet inconv nient nous avons plac la suite de chaque partie un grand nombre de probl mes d application pour servir d exercice leur intelligence et leur faire contracter l habitude du calcul F P B 1858 Cette Ecole r ceptive comme elle sera baptis e ult rieurement par ses d tracteurs est fortement marqu e par l empirisme largement dominant au 19 et sera vivement critiqu e dans ses principes et ses m thodes par les th oriciens de l ducation nouvelle N emploie t on pas d un bout l autre des 8 ou 10 ann es de scolarit des m mes m thodes d enseignement comme si l esprit rev tait la m me forme 7 ans et 17 ans Et ces m thodes ces programmes d exposition sont pa
15. manuels les pratiques des professeurs a souvent masqu ces questions Caspard 1984 nous pensons avec Rouchier 1980 10 que la didactique aurait un r le non n gligeable tenir dans ce d bat Cet appareil critique doit aussi tre instrument de connaissance donc un instrument utile aussi bien pour le d bat politique pour les luttes sur l cole que pour l action du professeur Une des fonctions de la didactique pourrait tre alors comme le souhaite Brousseau 1989 de contribuer mettre un frein un processus qui consiste transformer le savoir en algorithmes utilisables par des robots ou des humains sous employ s et diminuer la part de r flexion noble dans toutes les activit s humaines pour en faire la d volution quelques uns Pour sacrifier au dieu de la soi disant efficacit l enseignement pr te son concours aujourd hui la r duction algorithmique et la d math matisation J esp re profond ment que la didactique pourra combattre cette d possession et cette d shumanisation Quasiment 15 ans apr s ce souhait n est malheureusement pas d suet les modes et discours changent mais les in galit s persistent s aggravent m me Si les didacticiens peuvent d jouer des fausses pistes ou d noncer des fausset s il ne leur appartient pas de jouer directement dans le champ scolaire mais peuvent contribuer leur mani re d voiler certaines r gles du jeu et d voluer ainsi c
16. rablement vari L examen de la place qui lui sera accord e des th ories ou des id ologies p dagogiques qui la justifieront constituera ici un analyseur pour rep rer les transformations des mod les dominants de l enseignement des math matiques dans la scolarit obligatoire Ce texte se propose d identifier depuis les grandes r formes de la fin 19 si cle sous l impulsion des Jules Ferry Paul Bert Ren Goblet Ferdinand Buisson la fois dans les plans d tude pour l cole primaire et dans les productions de la B Sarrazy Le probl me d arithm tique page 1 n 1 ses n A 5 i A noosph re les continuit s et les ruptures dans les fonctions assign es au probl me afin de mettre en vidence les diff rentes logiques parfois contradictoires qui ont contribu caract riser ce qu on pourrait appeler une culture scolaire du probl me l Utilit sociale et usage scolaire Sous l Ancien R gime les unit s de mesure diff raient selon les r gions les villes et parfois m me les quartiers Ces variations exigeaient souvent des calculs complexes aussi faisait on appel des arithm ticiens professionnels pour traiter ces probl mes de conversion Vial 1980 Etienne de Bl gny ou son contemporain le lyonnais Bertrand Fran ois Barr me 1640 1703 dont le nom fut conserv pour d signer les recueils de comptes faits sont certainement les plus connus d entre eux Ils se
17. 8 p Caspard P 1984 De l horrible danger d une analyse superficielle des manuels scolaires Histoire de l Education n 21 67 74 Chevallard Y 1988 Sur l analyse didactique deux tudes sur les notions de contrat et de situation doc ron o Aix Marseille IREM n 14 92 p Chevallard Y Johsua M A 1991 La transposition didactique du savoir savant au savoir enseign Grenoble La pens e sauvage 240 p Choppin A 1980 L Histoire des manuels scolaires une approche globale Histoire de l Education n 9 1 25 Clapar de E 1909 Psychologie de l enfant et p dagogie exp rimentale Gen ve K ndig Comptes faits de Barr me en francs et en centimes pr c d s d une instruction sur la mani re de s en servir suivis du calcul de l int r t demi pour cent par mois par jour et par ann e Limoges Bardou 1855 226 p Coquin Viennot D Larroze Marracq H 1997 Apprendre lire un nonc de probl mes l cole Revue de Psychologie de l Education PUR tome1 2 193 209 Daniau J 1972 Les principes d une didactique de la math matique l cole l mentaire La math matique l cole l mentaire APMEP 1972 p 133 F P B 1858 Nouveau trait d arithm tique d cimale 45 me ed Tours Paris Mame et Poussielgue Rusand 384 p Goumy E 1933 L arithm tique et la g om trie l cole primaire Verdun d R Marchal
18. Carrefours de l ducation n 15 janv juin 2003 83 101 Le probl me d arithm tique dans l enseignement des math matiques l cole primaire de 1887 1990 Bernard SARRAZY DAEST Laboratoire de Didactique et Anthropologie des Enseignements des Sciences et Techniques Universit Victor Segalen Bordeaux 2 R sum Le probl me d arithm tique a toujours t un instrument didactique privil gi pour enseigner les math matiques mais ses usages ont consid rablement vari depuis la fin du 19 L examen des fonctions qui lui sont attribu es dans les plans d tude des diverses r formes ou dans les discours p dagogiques constituera ici un analyseur pour rep rer les mod les dominants de l enseignement des math matiques Quatre p riodes seront ainsi d finies une premi re de 1887 1938 se caract rise par un enseignement magistral principalement fond sur l ostension Pratique utilitaire et concret il vise transmettre au futur citoyen les rudiments du calcul n cessaires la r solution de probl mes types directement inspir s par vie sociale ou domestique Mais les difficult s engendr es par ce type d enseignement conduisent les professeurs n enseigner que des solutions types que l l ve doit m moriser faute de les conceptualiser De 1938 1970 des contradictions apparaissent entre la volont officielle tr s utilitaire dans ses finalit s et dogmatique dans ses m thodes et les id
19. aires l mentaires id Cette double exigence utilitaire et pist mique r v le un souci majeur de l cole r publicaine qui tente de concilier deux vis es contradictoires si l Ecole doit permettre au plus grand nombre d l ves de s approprier les connaissances exig es par la vie courante elle doit aussi d gager une lite solidement pr par e pour le lyc e cf Savoie 2000 Malgr les s v res critiques des pratiques sous tendues par ces principes ils domineront quasiment jusqu en 1970 Parmi les critiques deux sont int ressantes relever La premi re est celle d un inspecteur d Acad mie Goumy 1933 120 125 129 Goumy est l un des premiers remettre en cause l id e de probl me pratique pourtant tr s en vogue dans les ann es 30 Ces m thodes d plore t il ne procurent que des solutions bon compte toujours locales et vacuent par des effets Topaze dirait on aujourd hui des questions plus essentielles aff rentes au fonctionnement du contrat didactique Brousseau 1998 Sarrazy 1995 ll Cf les analyses de Marijon 1923 116 ou la th se de Harle 1984 qui montre bien ces effets d inertie partir d une analyse de contenu des manuels scolaires parus entre 1882 et 1930 12 Ce ph nom ne appara t lorsque par exemple le professeur se trouve dans une impasse s il dit l l ve ce qu il doit faire il prive alors l l v
20. ations probl mes relativement aux connaissances enseigner restent d finir tel sera l objet d tude des didacticiens des math matiques dont le cadre d tude avait t pr sent par G Brousseau l occasion du congr s de l APMEP Association des professeurs de math matiques pour l enseignement primaire de Clermont Ferrand en 1970 cadre qui posera les premiers jalons de ce qui deviendra la Th orie des situations didactiques en math matiques cf Brousseau 1998 VI 1980 l mergence du m ta Avec les ann es 80 commence une nouvelle p riode Ces ann es rappelons le ont t fortement marqu es par le d clin d int r t l gard du constructivisme piag tien et corr lativement par la mont e en force de la psychologie cognitive plus particuli rement des th ories du traitement de l information Le sujet psychologique d tr na le sujet pist mique si cher Piaget mergera alors assez rapidement l id e d optimiser l apprentissage des math matiques par l usage de dispositifs directement inspir es des mod les fonctionnalistes Le courant m ta cognitif s imposa massivement au point m me d tre quasiment officialis d s 1981 par les textes officiels Il ne suffit pas de demander aux l ves de r soudre des probl mes m me en multipliant les exemples pour qu ils progressent dans leur capacit le faire Un apprentissage sp cifique d ordre m thodologiq
21. ce Marijon un inspecteur g n ral du d but du 20 si cle l encontre des examinateurs des auteurs de manuels et des enseignants eux m mes dans une publication de L enseignement public de 1929 lors qu il crit que La force de la tradition a maintenu strictement nos questions d arithm tique dans le cadre fix par les calculateurs experts et nous en sommes rest s tr s peu pr s aux nonc s du temps de Barr me Marijon 1929 112 Des vertus didactiques cognitives serait plus juste sont alors attribu es au probl me con u comme cat gorie g n rique dont la pratique r guli re permettrait de faciliter myst rieusement l acquisition de notions plus complexes l instar du latin qui dans les ann es 60 70 tait cens faciliter l ensemble des apprentissages ou encore la mani re de Platon qui voyait dans les math matiques un moyen d apprendre apprendre N As tu d j fait cette observation que ceux qui de nature sont aptes calculer en grandissant r v lent leur naturelle promptitude entrer si je puis dire dans toute tude que les esprits lents s il arrive qu ils aient t form s et entra n s l dedans m me s ils n y trouvent aucune utilit y gagnent au moins cependant de devenir tous plus prompts apprendre qu ils ne l taient de nature pour tous ces motifs c est l un objet d tude ne pas laisser de c
22. de quoi parle t on Pourquoi Revue Education permanente 88 89 7 19 Vial J 1980 Les instituteurs douze si cles d histoire Paris ditions universitaires P Delarge 259 p Zakhartchouk J M 1990 Lecture d nonc s et de consignes CRDP de Picardie page 14
23. e de comprendre ce qu il devait effectivement faire s il ne lui dit rien l l ve reste bloqu ou produit une erreur l enseignant sugg re alors la r ponse en la dissimulant sous des codages didactiques de plus en plus transparents Brousseau 1998 du type Te souviens tu du probl me que nous avons fait la semaine derni re C est bien 5 que tu as cris ici Es tu certain de ta r ponse 2 2 gale qua etc page 5 I s agit d viter d expliquer aux l ves le probl me qu ils vont avoir r soudre On leur donne ainsi la mauvaise habitude d attendre les explications du ma tre avant de faire effort par eux m mes et de guetter au passage durant ces explications l indication qui r v lera la nature de l op ration ou des op rations faire Pendant que le ma tre parle l esprit des l ves est tendu vers ce seul but surprendre les mots qui indiquent le m canisme faire jouer pour obtenir la r ponse Or de deux choses l une ou l l ve tombe juste et il obtient une r ponse exacte sans avoir r fl chi un seul instant ou il se fourvoie et le d sastre est complet De toute fa on l exercice propos est devenu inutile car un probl me n est pas seulement un pr texte faire r soudre des op rations arithm tiques Goumy 1933 125 L analyse est didactiquement correcte mais le mod le alternatif propos par Goumy reste insuffisant I
24. e premier tiers de ce si cle Par exemple d s 1923 Marijon et Lecomp 1923 demandaient aux enseignants de faire r diger aux l ves des nonc s de probl mes Selon leur rapport les instituteurs obtenaient des r sultats remarquables et les auteurs voyaient l un excellent moyen de familiariser les esprits avec l arithm tique qui a donn des satisfactions de nombreux ma tres des pays trangers De la m me fa on l introduction de donn es non pertinentes dans un nonc si fr quente aujourd hui n est pas elle non plus une pratique nouvelle Elle appara t pour la l re fois Etats Unis en 1923 dans le Stanfort Achievement Test cf Paradis 1968 125 dans les ann es 30 Buyse 1935 410 et Goumy 1933 128 souligneront l int r t de ce type d exercice Goumy avait remarqu que beaucoup d enfants m me ceux qui parvenaient la solution exacte du probl me utilisaient sans s en apercevoir les donn es inutiles que l enseignant avait gliss es dans le probl me page 11 privil gi de donner du sens aux connaissances math matiques enseign es la situation probl me se substitue alors aux probl mes types 4 Le d veloppement rapide des technologies informatiques et des mod lisations des processus de pens e le d clin de la psychologie g n tique face l extraordinaire progression des th ories du traitement de l information marqueront fortement les ann es 80 La
25. emple est n cessaire pour son l utilisation leur formulation reste implicite travers les exemples fournis en d but d ouvrage A 45 francs 55 centimes combien valent 84 A la page pour 45 francs vous prendrez d abord pour 80 3600 fr pour 4 180 fr et la page pour 55 centimes 80 vous donneront 44 et 4 vous donneront 2 20 Extrait de Comptes faits de Barr me en francs et en centimes 1855 C est le cas de E de Bl gny par exemple qui nous devons la pr sence de probl mes pratiques en liaison avec la vie quotidienne dans les manuels d arithm tique Vial 1980 74 Ces probl mes devaient toujours manifester un lien explicite avec la vie courante les habillages des nonc s taient le plus souvent en rapport avec le commerce l industrie l agriculture la gestion domestique page 2 x a ne 5 contribuer la transmission des valeurs morales et des comportements sociaux promouvoir Mais les moyens de l enseignement sont rarement d ductibles des finalit s qui lui sont assign es dans les r formes c est d ailleurs une des raisons pour laquelle celles ci sont si souvent impuissantes r guler ce qu elles se proposent de corriger Les possibilit s d assimilation et de conceptualisation des l ves sont quasiment ignor es par les concepteurs de programmes comme en t moigne l important d calage entre les curricula fran ais et ceux des autres pays europ
26. entes dans les probl mes d arithm tiques raisonn s Les Sciences de l Education pour l re nouvelle 3 4 265 286 Perrin Glorian M J 1994 Th orie des situations didactiques naissance d veloppement perspectives in M Artigue et col eds Vingt ans de didactique des math matiques en France Hommage Guy Brousseau et G rard Vergnaud Grenoble La Pens e Sauvage 97 page 13 147 Piaget J 1969 Psychologie et p dagogie Paris Deno l 265 p Platon 1989 Oeuvres compl tes Paris Gallimard Encyclop die de la pl iade 1950 Programmes et instructions de l enseignement primaire 1947 Chamb ry EDSCO Editions scolaires Biblioth que P dagogique Prost A 1968 Histoire de l enseignement en France 1800 1967 Paris Armand Colin 528 p Robert M 1972 R flexions sur le programme r nov La math matique l cole l mentaire Paris APMEP 15 59 Rebi re M 1991 R le de l nonc dans la r solution de probl mes M moire de D E A Universit de Bordeaux 2 D partement des Sciences de l Education 1991 96 p Rebi re M 1993 L nonc de probl me un r cit particulier Cahiers P dagogiques 316 p 30 31 Rouchier A 1980 In Memoriam Recherches n 41 Rouchier A 1994 Naissance et d veloppement de la didactique des math matiques in M Artigue et col eds Vingt ans de didactique des math matiques en France Hommage
27. es historiques Cf Maingueneau 1979 Limitons ici exemplifier la contribution des habillages des probl mes dans la valorisation de certaines pratiques sociales En cinq jours un fumeur consomme un demi hectogramme de tabac valant 12 fr le kilogr On demande 1 ce que cette habitude de fumer co te chaque ann e celui qui l a contract e 2 combien de litres de vin il pourrait acheter avec l argent ainsi employ si un hectolitre de vin co te 40 fr Certificat d tudes primaires Ardennes In Leyssenne 1900 108 probl me n 26 C est rappelons le en 1899 que A Ferri re fonde le Bulletin Internationnal des Ecoles Nouvelles qui visait entre autres faire pression sur les minist res de l instruction publique afin de transformer la l gislation scolaire dans le sens des progr s moral intellectuel et physique de l enfant 7 L obsolescence est aujourd hui un ph nom ne bien identifi par les didacticiens Brousseau 1998 cf les notions d usure morale et biologique du savoir Chevallard Joshua 1991 page 3 jous 8 syst me m trique en constitue un des exemples des plus manifestes Le probl me n chappa pas cet effet Doublement m me puisque d instrument didactique il devint peu peu un objet d enseignement cens poss der des propri t s didactiques intrins ques ind pendantes des connaissances utiles sa r solution C est d une certaine fa on ce que d non
28. eux qui en ont le pouvoir la responsabilit de cr er les conditions d une v ritable ducation d mocratique R f rences bibliographiques Aebli H 1966 Didactique psychologique application la didactique de la psychologie de Jean Piaget Neuch tel Delachaux et Niestl 163 p Barr me 1689 Livre facile pour apprendre l arithm tique cit par Vial 1980 74 Bl gny E de 1751 L arithm tique facile in Les El mens cit par Vial 1980 74 Brousseau G 1972 Processus de math matisation La math matique l cole l mentaire Paris APMEP 428 457 Brousseau G 1986 Fondements et m thodes de la didactique des math matiques Recherches en didactique des math matiques 7 2 33 115 Brousseau G Brousseau N 1987 Rationnels et d cimaux dans la scolarit obligatoire Universit de Bordeaux I IREM 535 p Brousseau G 1989 Utilit et int r t de la didactique des math matiques pour un professeur de coll ge Petit x 21 47 68 page 12 Brousseau G 1994 Perspectives pour la didactique des math matiques in M Artigue et col eds Vingt ans de didactique des math matiques en France Hommage Guy Brousseau et G rard Vergnaud Grenoble La Pens e Sauvage 51 66 Brousseau G 1998 Th orie des situations didactiques Grenoble La pens e sauvage 395 p Buyse R 1935 L exp rimentation en p dagogie Bruxelles M Lamertin 46
29. forme de 70 quelques id es fortes s imposeront c est le cas par exemple du r le constructif de l erreur et de activit des l ves dans leur apprentissage Salin 1976 C est aussi dans le mouvement de cette r forme que les Instituts de Recherche sur l Enseignement des Math matiques IREM seront cr s et desquels mergera un 17 Ces instructions seront reprises quasiment dans leur int gralit par celles de 1945 pour le cours sup rieur Cf Programmes et instructions de l enseignement primaire EDSCO 1947 p 42 page 8 nouveau champ d tude la didactique des math matiques Mais les diff rences id ologiques entre les diverses institutions recherche administration et enseignement n ira qu en s amplifiant contrairement aux v ux des r formateurs le foss se creuse entre des conceptions p dagogiques manant des diff rents secteurs de recherche didactique sciences de l ducation psychologie etc et des pratiques d enseignement qui restent largement magistrales D s 1972 des interrogations apparaissent comme en t moignent les inqui tudes de Robert dans un bulletin de l APMEP Une telle mutation est elle possible actuellement alors que la majorit des ma tres n est ni recycl e ni encadr e Que beaucoup d entre eux n ont que des notions fragiles et souvent approximatives d ensemble si bien qu l usage elles risquent d engendrer des confusion
30. gressif ou gradu Les progr s des techniques ditoriales et les transformations sociales conduiront dans les ann es 20 quelques changements mineurs les illustrations les couleurs apparaissent les habillages des probl mes se mettrent au go t du jour sport d couvertes du moment Mais les sch mas didactiques n ont quasiment pas chang depuis 1887 L enseignement reste tr s centr sur les contenus sur la qualit de son organisation de ses progressions et sur l enseignement de solutions types que les l ves devaient d faut de les comprendre m moriser et reproduire Ces probl mes sont class s par s ries et bien gradu s Ils sont pr c d s d exemples r solus montrant comment il faut conduire l analyse du probl me et comment on dispose la solution Royer Court 1924 7 La partie pratique de l ouvrage comprend des probl mes class s en s ries soigneusement gradu es et dont la plupart sont des questions propos es aux examens du Certificat d tudes primaires Lemoine Pr face de Arithm tique du Certificat d Etude 1923 Le manuel doit tre un livre de bon usage pour reprendre ici l expression courante du moment Utile pour l l ve car il doit lui assurer une bonne formation pratique mais aussi et surtout il doit tre un outil pr cieux pour les ma tres pour assurer leurs l ves une solide pr paration au certificat d tudes prim
31. l repose en effet sur l id e platonicienne de l existence chez l l ve d une sorte de logique inn e qui lui permettrait par l observation et la r flexion de d couvrir par lui m me la solution Le probl me doit obliger l l ve observer et r fl chir tablir un rapport entre les donn es d terminer pour parvenir au r sultat le proc d le plus rapide et le plus l gant id Mais cette insuffisance ne doit pas masquer un int r t majeur de son analyse ce n est plus le ma tre qui doit obliger l l ve mais le probl me Mais quelles devraient tre les propri t s de ce type de probl me pour rendre n cessaire la rapidit et l l gance d une r solution La question demeurera sans r ponse pendant plus de 30 ans La seconde critique est celle de Marijon Elle s inscrit davantage dans la perspective d une sociologie des pratiques scolaires que dans celle d une analyse didactique Marijon s tonne de la lente voire de l inexistante volution des pratiques d enseignement de l arithm tique mais ni le conservatisme des enseignants bien que manifeste ni les directives officielles ne sont suffisants pour expliquer ces r sistances au changement La responsabilit dit il doit tre imput e aux donneurs de probl mes aux examinateurs du certificat d tudes Quelques soient les prescriptions minist rielles les ma tres continueront
32. la loi du 4 juillet 1837 promulgu e par Louis Philippe le 8 du m me mois pour fixer sous peine d amendes sa mise en application d finitive au 1 janvier 1840 art 479 du Code p nal En appui de cette d cision le Conseil royal de l instruction publique rendit obligatoire son enseignement et interdit les ouvrages se r f rant aux anciennes d nominations Aussi la plupart des r gles de conversion qui taient alors enseign es ne pr sentaient plus aucune utilit sociale et pourtant leur enseignement persista durant plusieurs d cennies Sur cette question Cf R Buyse 1935 402 qui remet en cause l opinion fort r pandue dans les milieux scolaires selon laquelle l enseignement de solutions types ne favorise non seulement pas la discipline mentale mais n aurait aussi gu re d utilit pratique 10 Cette position est clairement expos e dans la R publique As tu d j fait cette observation que ceux qui de nature sont aptes calculer en grandissant r v lent leur naturelle promptitude entrer si je puis dire dans toute tude Que les esprits lents s il arrive qu ils aient t form s et entra n s l dedans m me s ils n y trouvent aucune utilit y gagnent au moins cependant de devenir tous plus prompts apprendre qu ils ne l taient de nature pour tous ces motifs c est l un objet d tude ne pas laisser de c t Platon R publique VII 526 b
33. le caract re la fois atomistique et modulaire de cet enseignement constituent selon nous deux indices de l officialisation de ce qu on pourrait appeler une didactique psychologique qui paradoxalement conduira en partie d math matiser l enseignement des math matiques VII Vers une d math matisation de l enseignement Dans la perspective d accro tre l efficacit du traitement de l information dans la r solution de probl me il est aujourd hui habituel de demander aux l ves de rep rer les donn es inutiles d un nonc sans m me lui demander de le r soudre de r diger un nonc de probl me bref de consid rer l nonc de probl me et non le probl me comme un objet d tude Sous l impulsion du m me mouvement s est d velopp e une didactique de l nonc de probl me ramenant celui ci un type de texte particulier Rebi re 1991 1993 Coquin Viennot Larroze Marracq 1997 Zakhartchouk 1990 L id e est relativement simple comprendre un nonc exige la mise en uvre de strat gies de traitement sp cifiques de ce type de texte il s agit donc de les enseigner aux l ves afin qu ils d veloppent les comp tences langagi res ad hoc Si la formulation s est mise au go t du jour par l importation de la nomenclature de la linguistique textuelle ou de celle de la psychologie 2 Des chercheurs de l IREM de Grenoble 1979 avait soumis l no
34. nc suivant des l ves de 9 10 ans Sur un bateau il y a 26 moutons et 10 ch vres Quel est l ge du capitaine plus des trois quarts d entre eux calcul rent l ge du capitaine en additionnant les donn es num riques de l nonc Ce ph nom ne connu depuis sous le nom de l ge du capitaine est aujourd hui bien identifi par les didacticiens comme un des effets manifeste du contrat didactique G Brousseau 1998 Y Chevallard 1988 Sarrazy 1995 et permet d expliquer pourquoi la majeure partie des l ves produisent une r ponse num rique ce probl me inhabituel page 10 cognitive les dispositifs didactiques n ont pas vraiment t transform s par ces innovations on pourrait m me voir l une des raisons de la diffusion rapide de cette id ologie p dagogique dans les classes plus une proposition d action appara t innovante et didactiquement peu co teuse pour les professeurs plus elle aurait de chances d tre rapidement adopt e En r sum les instructions officielles de 1980 et 1985 pr tendent apporter des r ponses aux soi disantes difficult s rencontr es par les l ves Ces difficult s sont tautologiquement interpr t es comme le fait de d faillance des proc dures de s lection ou de traitement de l information situ es l uvre dans la r solution de probl mes con ue comme un ensemble autonome et isolable de proc du
35. nfants mais aussit t elles h sitent et nuancent les enfants oublient si vite Ce sont des terres vierges qu il faut d fricher grand effort M me si les Instructions semblent voluer dans le sens d une meilleure prise en compte des possibilit s de conceptualisation des l ves l enseignement reste largement domin par l empirisme et par le sch ma traditionnel transmission r ception m morisation Au del des raisons d j voqu es effets Barr me par exemple on peut penser que l obligation qui est faite aux professeurs d utiliser un manuel scolaire n est certainement pas sans aucun lien avec cette sorte d inertie didactique qui sera vivement d nonc e dans les ann es 60 En r sum cette p riode 1938 1970 se caract rise par l mergence d une forte tension entre des pratiques qui restent dans l ensemble franchement magistrales et les id es impuls es par les mouvements p dagogiques ducation nouvelle p dagogie exp rimentale qui soulignent l importance de s int resser davantage au sens du probl me et d accorder une place centrale l activit de l l ve Si l on veut que l enfant soit capable de comprendre des math matiques il faut aller au del de formulation vide de sens il s agit d carter la r solution d op rations ou de probl mes au moyen de r gles que l on applique sans savoir ce que l on fait ou de proc d
36. parler d int r ts d escompte de m lange ou de fractions Et si par hasard il s en trouvait d assez hardis pour laisser de c t ces sujets d mod s il serait rare qu un examinateur ne v nt pas un jour leur faire sentir combien ils ont eu tort de ne pas enseigner ce qui se faisait partout c est surtout des examinateurs que d pend l abandon rapide des vieilles habitudes dont les ma tres sont les premiers d plorer la p rennit Marijon 1929 118 9 En raison des nonc s propos s au certificat d tudes par les examinateurs les auteurs de manuels sont quasiment contraints de reproduire le m me type de probl mes dans leurs ouvrages On comprend alors que les ma tres quant eux ne peuvent pas ne pas les utiliser visant l gitimement la r ussite de leurs l ves aux deux probl mes propos s l examen En cons quence les coliers sont condamn s absorber toute l ann e durant un nombre trop lev de probl mes types Rapport de Marijon et Lecomp 1923 en 1923 par exemple les l ves devaient r aliser de 6 10 probl mes par jour partir de P ques Ces probl mes pr sentaient de telles difficult s que la plupart d entre eux taient incapables de les comprendre seule la m morisation d algorithmes types s imposa comme moyen didactique pour leur permettre de r ussir l examen mais vacua du m me coup tout autre proc d orient vers une meilleure
37. r s adapter aux exigences de la vie sociale Les difficult s pos es par les probl me types conduisent les professeurs n enseigner que des solutions types que l l ve doit m moriser 2 Dans une seconde p riode 1938 1970 des contradictions apparaissent entre la volont officielle tr s utilitaire dans ses finalit s et dogmatique dans ses m thodes et les id es novatrices diffus es sous l impulsion des th oriciens de l ducation nouvelle et des recherches en p dagogie exp rimentale Mais le syst me d enseignement ne semble pas adh rer de facto ces id es novatrices Les effet Barr me contribuent r duire ces contradictions en l gitimant les usages traditionnels par ailleurs critiqu s Un faisceau de raisons la d mocratisation de l enseignement le d phasage important entre le savoir enseign et le savoir savant le baby boum des ann es 60 70 l influence de l pist mologie g n tique piag tienne conduiront aux r formes des ann es 1970 3 1970 marque une rupture importante tant dans les contenus que dans les formes de l enseignement et conduira la naissance d une nouvelle discipline scientifique la didactique des math matiques Avec les ann es 1970 le probl me appara t alors comme le moyen 1 T ne s agit pas vraiment d une innovation m me si ce fut pr sent et v cu comme tel car bon nombre des exercices qui taient pr conis s taient d j pratiqu s dans l
38. res de sch mes ind pendants des connaissances en jeu ou vis es L enseignement m ta cognitif s impose alors comme un moyen quasiment officiel de corriger ces difficult s invoqu es et impose implicitement le bien fond d un apprentissage des op rations de pens e Sorel 1987 15 Or les principes sur lesquels reposent un tel enseignement tel le principe de la transversalit des proc dures de r solution ne sont pas aussi fond s qu ils pr tendent l tre Sarrazy 1994 1997 Par exemple les conditions de production de ces difficult s ne sont jamais invoqu es aussi peut on s interroger sur les effets en terme de d math matisation par exemple cons quent la mise en uvre de telles rem diations didactiques apprendre r soudre un probl me ne saurait tre confondu ni avec la r solution elle m me ni avec l apprentissage des connaissances n cessaires sa r solution Structurellement nous retrouvons ici une erreur analogue qui jadis avait inspir un enseignement par des probl mes types VII Conclusion R sumons nous Quatre grandes p riodes se d gagent de ce panorama 1 La premi re de 1887 1938 se caract rise par une officialisation d un enseignement magistral h rit des J suites du 17 si cle principalement fond sur l ostension Cet enseignement pratique utilitaire et concret permettait de transmettre au futur citoyen les rudiments du calcul afin de pouvoi
39. ront sollicit s pour r diger les premiers manuels d arithm tique et marqueront ainsi l enseignement des math matiques Directement li s aux usages sociaux de l arithm tique ces manuels pr sentaient un grand nombre de r gles r gle de troc d alliage de la fausse position de soci t d int r t dont la plus connue et la plus utile selon Barr me tait la c l bre r gle de trois qui dispara tra avec les programmes de 1957 Ces r gles devaient tre apprises par c ur par les l ves et devaient tre appliqu es dans la r solution de probl mes types Cette conception perdurera quasiment jusqu en 1970 Il Les instructions de 1887 un enseignement utile et concret Les instructions de 1887 furent naturellement fortement influenc es par ces orientations l enseignement de l arithm tique y est pr sent comme la transmission et la m morisation d un ensemble de r gles devant permettre l l ve de traiter des sifuations types L utilit imm diate garantissant la signification sociale des connaissances enseign es devait guider les professeurs dans leurs choix p dagogiques foin des th ories abstraites affirmait Leyssenne inspecteur g n ral de l enseignement primaire un des auteurs les plus c l bres de manuels d arithm tique leur enseignement vacue toute possibilit d instruire l l ve sur des sujets d une utilit imm diate et incontestable
40. rtout calqu s sur la logique de l adulte et nullement sur les tendances naturelles correspondant chaque ge de l enfant Clapar de 1909 133 134 Mais ces critiques et les r gulations qu elles appelaient ne furent pas entendues par les r formateurs Les logiques noosph riennes qui pr sident aux r formes sont tr s souvent diverses voire contradictoires tout le moins incompatibles Par exemple les pr occupations didactiques y sont assez souvent absentes car contreviennent probablement l acad misme platonique des r formateurs du m me coup les traditions enseignantes s av rent consid rablement tenaces et les professeurs r sistent faute d instruments d analyses ad quats qui leur permettraient d envisager d autres conditions de l enseignement que celles qu ils ont eux m mes connues Ces ph nom nes d inertie sont aujourd hui bien connus et bon nombre d entre eux pourraient s expliquer par ce que nous pourrions appeler en r f rence au c l bre arithm ticien effet Barr me il consiste produire des justifications du maintien de l enseignement d un ensemble de connaissances devenues obsol tes pour des diverses raisons par des arguments ad hoc mais ind pendants des connaissances elles m mes ou de leurs usages non didactiques l enseignement des r gles de conversion bien apr s l adoption du Ce sujet fut tr s largement trait dans les recherch
41. s des erreurs ou tout simplement de tourner court Robert 1972 15 L avenir ne la d mentira pas Bien que multiples on peut penser que les raisons de cet chec ne sont pas structurellement diff rentes de celles qu avait point es Marijon quelques ann es plus t t propos des donneurs de probl mes et des manuels comme en t moigne cet avertissement de Goussier La r f rence inconditionnelle aux nouveaux manuels est le plus grand obstacle une v ritable r forme on exposera en chaire des notions nouvelles dont on m aura pas forc ment compris l int r t et l opportunit Les enfants n auront appris qu appliquer d autres recettes L A P M doit combattre l influence de la commercialisation d une publicit inconsid r ment logieuse doit mettre en garde les coll gues contre l utilisation aveugle de manuels si valables soient ils Goussiez 1972 En r sum si la r forme de 1970 choue dans son utopie pist mique elle marquera fortement l enseignement des math matiques par le passage qu elle inaugure d une instruction utilitaire et concr te une ducation math matique D sormais l id e s impose de confronter l l ve des situations d sormais baptis es situations probl mes pour lui permettre d apprendre des math matiques Mais la question des conditions de possibilit de cet apprentissage les propri t s de ces situ
42. ue est n cessaire MEN Direction des coles 1981 41 Soulign dans le texte L id e n est pas nouvelle mais elle s duisante Elle appara t chez Platon et r appara t sous une forme nouvelle en 70 comme le rappellent N amp G Brousseau l id e d une m ta math matique tait contenue implicitement dans l esprit de la r forme Puisque les math matiques sont un moyen de fabriquer la connaissance apprendre les math matiques c est apprendre apprendre 1987 426 Signalons aussi que ces orientations m ta avaient t discr tement sugg r es par certains IREM 18 Pour un panorama plus complet voir Rouchier 1994 Perrin Glorian 1994 1 Pour un d veloppement plus d taill des raisons de l chec de la r forme voir G Brousseau 1994 55 56 page 9 comme celui de Grenoble par exemple suite l pisode bien connu des didacticiens des math matiques du probl me du capitaine un v ritable apprentissage de la r solution de probl me devait se faire sous bien d autres formes que les probl mes nonc s 1979 70 Ce qui fut fait principalement sous l gide de l INRP Trois arguments empiriques seront alors avanc s dans les textes de 1980 pour justifier la pertinence d un tel enseignement 1 Les l ves rencontrent des difficult s pour analyser une situation afin de r pondre la question qui leur est pos e 2 Un grand nombre d
43. yse 1935 402 403 avait d j signal l importance de ne pas confondre l enseignement du calcul avec celui des math matiques r duire le second au premier conduirait les l ves proc der selon les clauses du contrat classique en effectuant un type d op ration en fonction de crit res de surface de l nonc comme l exemplifient les propos de cette fillette Quand il y a beaucoup de nombres j additionne Quand il n y a que deux nombres et beaucoup de chiffres je soustrais Buyse id 400 404 C est dans le m me esprit qu en 1956 le Bureau International d ducation pr cisera que l enseignement des math matiques doit viser a d amener l l ve former les notions et d couvrir lui m me les relations et les propri t s math matiques plut t que de lui imposer une pens e toute faite b d assurer l acquisition des notions et des processus op ratoires avant d introduire le formalisme et de ne confier l automatisme que les op rations assimil es Cit par Piaget 1969 74 Ces quelques rappels montrent quel point les conditions d appropriation par les professeurs ou les d cideurs des r sultats de recherche sont complexes et que les rapports de la recherche ducationnelle avec les pratiques des professeurs sont loin d tre aussi bi univoques qu on serait spontan ment ou na vement tent le croire Cependant malgr l chec relatif de la r
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