Des nombres - Sesamath.ch
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1. a crire la liste de tous les diviseurs de 6 b Calculer la somme de tous ces diviseurs l exception de 6 c Que remarque t on 0 0e 0 0 0 0 0 0e 0e On appelle nombre parfait tout entier qui a cette particularit d V rifier que 496 est un nombre parfait e Trouver tous les nombres parfaits compris entre 20 et 30 EEJ Nombres divisibles par 7 a 35 et 6300 sont ils divisibles par 7 Justifier b En utilisant la question a d montrer que 6335 est divisible par 7 c D montrer dans le cas g n ral que si x et y sont deux nombres entiers divisibles par 7 alors leur somme x y est divisible par 7 noncer cette conjecture sous forme si alors et identifier clairement hypoth ses et conclusions d La r ciproque est elle vraie Justifier e D montrer le m me r sultat qu en b en utilisant un crit re de divisibilit par 7 f En crivant le nombre 6349147 comme une somme de quatre multiples de 7 d montrer que 6349147 est un multiple de 7 g crire un nombre entier de 15 chiffres qui soit divisible par 7 IZ Combien peut on trouver d entiers naturels inf rieurs 1000 dont le reste est 12 dans la division euclidienne par 25 a D montrer que si un entier est multiple de 30 alors il est aus2. est positif reste absente En Occident les nombres n gatifs apparaissent relativement tard et il faudra attendre plusieurs si cles avant que les math maticiens ne les acceptent en tant que nombres r els Michael Stifel 1487 1567 connaissait parfaitement leurs propri t s et les introduisit en 1544 dans son Aritmetica Integra mais il les appelait numeri absurdi J rome Cardan 1501 1576 les acceptait comme solutions de certains probl mes mais il les qualifiait de nombres fictifs Albert Girard 1595 1632 fut le premier en donner une interpr tation g om trique le signe s explique en g om trie en r trogradant et les solutions par reculent l ou les solutions par avancent Blaise Pascal 1623 1662 consid rait pour sa part la soustraction de quatre z ro comme un pur non sens j en sais qui ne peuvent comprendre qui de z ro t quatre reste z ro Au milieu du 18 si cle les explications donn es dans l Encyclop die au sujet des nombres n gatifs et de leur utilisation restent encore assez peu claires et l on y explique que si un nombre n gatif se trouve tre la solution d un probl me c est que ce probl me est mal pos Ainsi des si cles durant certains utilis rent les nombres n gatifs dans leurs calculs souvent avec subtilit et adresse tentant d laborer tant bien que mal des justifications concr tes tandis que d autres continu rent protester contre leur usage
3. la 33 ann e le 4 me mois de la saison de l inondation sous la majest du roi de Haute et Basse Egypte A user R un des rois Hyksos c est le scribe A h mos qui copia cet crit Ce document retrouv dans les ruines du Rameseion Th bes fut achet en 1858 par A Henry Rhind un antiquaire E e E 00 ee 0 0 0 0 0 0 cossais D chiffr vers 1890 il est actuellement conserv au British Museum de Londres Le papyrus de Rhind expose la solution de probl mes nonc s de mani re fort concise portant sur divers sujets d arithm tique et de g om trie op rations utilisant les fractions partages calculs des aires de formes g om triques simples dont le cercle et des volumes de r cipients mensurations de pyramides Par exemple le probl me n 24 Inconnue son septi me le tout est 19 Autrement dit La somme d un nombre et de son septi me est 19 quel est ce nombre La r ponse donn e suivie d une 1 1 ete La qu avaient les Egyptiens d utiliser les fractions est tr s particuli re la fois primitive et sophistiqu e En effet l exception de 23 et plus rarement 34 pour lesquels ils disposaient de hi roglyphes sp ciaux ils calculaient par quanti mes c est dire que seules les fractions ayan
4. plus anciens textes math matiques chinois connus le Jiuzhang suanshu L art du calcul en neuf chapitres distingue nombres positifs et n gatifs par des b tonnets de bambou ou d ivoire peints en rouge ou en noir b tonnets que les administrateurs des r gions de l empire transportaient dans leurs sacs comme instruments de calcul L ouvrage en question donne d ailleurs plus ou moins explicitement les r gles des signes pour les deux op rations fondamentales que sont l addition et la multiplication Mais pour les chinois les nombres taient toujours issus de situations concr tes un nombre repr sentant toujours une certaine quantit de quelque chose Les nombres n gatifs ne se rencontraient donc que comme auxiliaires de calcul et n taient pas consid r s comme des solutions possibles un probl me donn Comme nous le verrons plus loin dans les math matiques grecques les nombres rest rent toujours li s une interpr tation g om trique De ce fait des nombres n gatifs ne furent pratiquement jamais envisag s contrairement aux nombres irrationnels Les nombres n gatifs r apparaissent bien plus tard en Inde D s le huiti me si cle les Hindous montrent une parfaite connaissance de ces nombres et de leur manipulation essentiellement dans des probl mes 29 Exercices d approfondissement 610 commerciaux Mais la justification d une r gle telle que le n gatif multipli par le n gatif
5. D s le 19 si cle les nombres n gatifs conquirent enfin un statut comparable celui des nombres positifs Mais la justification d une r gle telle que la r gle des signes ch re Stendhal ne sera donn e qu en 1867 par Hermann Hankel 1814 1899 de fa on formelle et d finitive Source Alg bre Mode d emploi Charri re LEP EJ 5rahmagupta Une dette moins z ro est une dette Un bien moins z ro est un bien Z ro sh nya moins z ro est nul kham Une dette retranch e de z ro est un bien Alors qu un bien retranch de z ro est une dette Le produit de z ro par une dette ou par un bien est z ro Le produit de z ro par lui m me est nul Le produit ou le quotient de deux biens est un bien Le produit ou le quotient de deux dettes est un bien Le produit ou le quotient d une dette par un E 0000 0 ee 0 0 0 bien est une dette Le produit ou le quotient d un bien par une dette est une dette Source Brahmagupta Br hmasphutasiddh nta cit par Ifrah G Histoire universelle des chiffres T 1 p 976 EJ Hanc marginis exiguitas non caperet a Existe t il des triangles rectangles dont toutes les mesures de c t s sont des entiers b tant donn s deux c t s quelconques
6. division soit se r p ter partir d un certain rang d s qu on retombe sur un reste d j obtenu pr c demment dans ce cas le r sultat de la division sera un nombre d cimal infini p riodique Voir les exercices 19 22 Chapitre 01 Nombres 17 M thodes et notions essentielles CEFET dE Puissances D finition Puissance d exposant entier positif Soit a un nombre r el et n un entier naturel non nul Alors on d finit a a a a a produit de n facteurs a est la n puissance de a a est appel la base et n l exposant de cette puissance Remarques 2 z Leg ainis z ADE O a se lit a au carr en r f rence l aire d un carr de c t a 3 Z Z A O a selit a au cube en r f rence au volume d un cube d ar te a Th or me Propri t s des puissances Soit a et b deux nombres r els non nuls et n et m des entiers naturels non nuls alors on a m n n m EN a a a Attention en g n ral la bl a b par exemple 49 3 4 3 4 25 Exemple Comparer 53 Le i 52 5 et 25 On ram ne tous les nombres une m me base ou un m me exposant pour pouvoir les comparer facilement Ee LE PL 5252 5 25527256 d o 5 25 lt 5 lt 57 lt 5 D finition Puissance d exposant nul Soit a un nombre r el non nul Alors on d finit a 1 Remarque 0 n est pas d fini D finition P
7. entiers est le r sultat de leur addition L Le produit de deux entiers est le r sultat de leur multiplication O La diff rence de deux entiers est le r sultat de leur soustraction O L oppos d un entier est le m me entier auquel on a chang son signe Ordre des op rations et parenth ses Pour calculer une expression arithm tique on d cide d effectuer les diff rentes op rations en suivant l ordre indiqu par les r gles ci dessous les op rations l int rieur d une paire de parenth ses qui ne contient pas de parenth se O les puissances et les racines O les multiplications et les divisions de gauche droite les additions et les soustractions de gauche droite Le r le principal des parenth ses dans l criture math matique est de s parer les op rations les unes des autres Si on n avait pas de convention sur l ordre des op rations il faudrait mettre entre parenth ses chaque expression contenant une op ration et les deux nombres s y rapportant Remarque Si dans une criture sans parenth se il ne reste que des additions et des soustractions il faut effectuer ces op rations de gauche droite Exemple 1 calculer 7 2 3 6 En effectuant en premier la multiplication on obtient 7 6 6 puis de gauche droite on obtient 7 Exemple 2 calculer 14 2 4 6 3 4 3 1 2 6 2 1 7 3 On traite les parenth ses les plus imbriqu es en premier 14 2 4
8. manifest le d sir de remercier son ing nieux conseiller par un don PART 1135 Echauffement HEMA Les maths peuvent rapporter gros exceptionnel Pri de fixer lui m me sa r compense le sage aurait alors demand 1 grain de bl pour la premi re case de l chiquier 2 grains pour la deuxi me 4 pour la troisi me et ainsi de suite en doublant toujours le nombre de grains jusqu la soixante quatri me et derni re case Selon la l gende encore le prince ordonna de satisfaire imm diatement une demande si modeste Que pensez vous de sa strat gie Indication on pourra utiliser l estimation 21 1024 10 Calculer 3 2 7 11 4 3 10 2 5 2 1 7 EM Placer les parenth ses qui permettent de trouver le r sultat indiqu a 35 5 5 3 2 4 16 b 35 5 5 3 2 4 41 EX Compl ter a 3 4 15 26 sont des entiers ese b 67 O et 2 sont des entiers ecese c l oppos de 18 est c 35 5 5 3 2 4 28 d 35 5 5 3 2 4 4 d la de 5 et 8 est gale 13 e la de 4 et 9 est gale 5 f 16 55 de 8 et 6 est gal 48 EM Sur votre calculatrice il y a deux symboles A quoi servent ils JZ EM noncer et justifier les crit res de divisibilit par 2 3 et 5 En connaissez vous d autres EM Un chocolatier vient de confectionner 28313 pralin s identiques Il a pr vu de placer ces pralin s dans des bo tes contenant chacune 29 pralin s Combien de bo
9. tes parviendra t il remplir au maximum et combien de pralin s non emball s restera t il Voir la th orie 1 4 et les exercices 1 12 CHETIT 11183 Calculer avec les fractions Calculer la main et avec la calculatrice et donner une r ponse sous forme irr ductible 3 5 5 12 Fa b 5115 N olu1 PE 4 Chapitre 01 Nombres Pr reauis et activit s de d couverte de a 3 2 5 f 102 100 33 51 12 415 6 23 34 34 66 9 120 56 De 492 49 144 36 16 516 3 z14_17 1 15 12 8 E F EM Calculer 4 I directement l aide de la calculatrice donner le r sultat sous forme 1 9 3 d une fraction irr ductible et indiquer la s quence de touches utilis e EX Rendre irr ductible 216 b 1122 1826688 720 1496 829280 EM Exprimer en heures et fractions d heures a 75 minutes b 55 minutes c 66 minutes EEE Proportions Combien faut il changer de CHF pour obtenir 350 Euros au taux de change du jour le chercher sur internet EM Commenter cette annonce d un journaliste A une nouvelle hausse de 15 sur le tabac interviendra le 1 septembre prochain qui ajout e la hausse de 10 survenue le ler mars aura augment le prix du paquet de cigarettes d un quart sur l ann e EH Une poule et demi pond un uf et demi en un jour et demi Combien d ufs pondront 12 poules en 12 jours Voir la th orie 5 6 et les exercices 13 18 7 41 1431 Nombres rati
10. tre l origine de la premi re grande crise de l histoire des math matiques l poque de Pythagore pr cis ment La math matique grecque ses d buts est ins parablement li e a des sp culations partie scientifiques partie philosophiques et mystiques sur les proportions les similitudes et les rapports en particulier les rapports simples exprimables par des fractions petits num rateur et d nominateur et ce fut l une des tendances caract ristiques de 31 Exercices d epprofondissement 32 l cole pythagoricienne de pr tendre tout expliquer par le nombre entier et les rapports d entiers Mais ce fut l cole pythagoricienne justement qui d couvrit l incommensurabilit du cot du carr avec sa diagonale Ne supportant pas l id e qu il pouvait exister dans l Univers certaines choses inexprimables par des nombres entiers ou des fractions ils s efforc rent de tenir cette d couverte secr te mais cela ne fut pas possible longtemps Un de leurs l ves un certain Hippasos de Metaponte r v la publiquement l existence de ce nouveau type de nombres les irrationnels Cette r v lation fut l une des causes de la fin de l cole pythagoricienne et dit on de la mort myst rieuse par noyade d Hippasos Plus tard il fut d montr que tout nombre entier est soit un carr parfait soit le carr d un nombre irrationnel Au XIXe si cle enfin le math maticien allemand Georg Can
11. 11 X 1010 x 10000010 x 1100000 10 10 X 1010 Voir la th orie 9 11 Irrationnels r els racines EFJ Calculer lorsque cela est possible donner s il y a lieu le r sultat sous la forme d un entier ou d une fraction irr ductible a 36 e V25 16 b 5 15 EE ae 2 j B g 12 d 144 h V0 1 EX En utilisant des d compositions en produits de facteurs premiers extraire les entiers des racines carr es suivantes a 784 c 52 b 7056 d 7840 Chapitre 01 Nombres 0 0e 0 0 0 0 0 0e 0e e 9801 g V12321 f 450 h V108 4 l EUX Transformer Jg Pour obtenir une expression sans racine au d nominateur 41 Simplifier au maximum 640 Pr 11000 2 32 b ia Es d V50 2 8 7V2 2 vV27 243 7V12 VI8 20 6 5 3V32 mh EFJ crire les nombres suivants avec des d nominateurs entiers a a 5 6 45 1 3 2 V5 b f 13 5 42 uos 2s IN ai V3 9 d 5 h 18 EEJ Calculer et simplifier le r sultat 1279 25 2 5 2 3 16 6 LE 3 EZ Classer par ordre croissant a est un nombre r el strictement positif a Va l a 1 Ja F2 PE Voir la th orie 12 13 Calculatrice E Effectuer les calculs suivants avec la calc
12. 4 8 16 31 62 124 248 496 e 28 est le seul parfait entre 20 et 30 EEJ Nombres divisibles par 7 a 35 5 7 et 6300 9007 b 6335 6300 35 900 7 5 7 7 5 900 c Si hyp x et y sont deux nombres entiers divisibles par 7 alors concl leur somme x y est divisible par 7 D monstration e xety sont divisibles par 7 par hyp e donc il existe k et m entiers tels que x 7k et y 7m multiple de 7 donc x y 7 k 7 m 7 k m par d f de donc x y est bien multiple de 7 par d f de multiple de 7 d Fausse contre exemple 3 4 est divisible par 7 mais ni 3 ni 4 ne le sont e Un nombre est divisible par 7 si et seulement si le r sultat de la soustraction du nombre de dizaines ne pas confondre avec chiffre des dizaines par le double du chiffre des unit s est divisible par 7 f 6349147 6300000 49000 140 7 g 7777777177111711 EZ 40 EJ Multiples de 30 a D monstration e x mult de 30 par hyp donc il existe k entier tel que x 30 k par d f de mult de 30 donc x 3 10 k 5 6 k e donc x est bien multiple de 3 et de 5 par d f de multiple de b Fausse contre exemple 15 est divisible par 3 et 5 mais par par 30 _491 at _ 1233109 200 3 999000 581 37 b 2500 ad 30 a 266 112 27889 45 99 8100 101 5 b 99 d 33 1 1 117 2 3 9 18 1194 03 euros 36 1 m s b 5 216 Chapitre 01 Nombres Exercices d app
13. 6 3 4 3 1 2 6 2 1 7 3 14 2 4 3 4 3 1 2 4 1 7 3 14 2 4 3 4 3 1 2 4 1 7 3 14 2 4 3 4 3 6 7 3 oh a o 7 3 oS 14 2 4 3 12 3 14 14 14 14 0 ARMASI R gle des signes L Le produit de deux nombres positifs est un nombre positif plus fois plus plus CI Le produit de deux nombres n gatifs est un nombre positif moins fois moins moins L Le produit d un nombre positif et d un nombre n gatif est un nombre n gatif moins fois plus moins et plus fois moins moins Chapitre 01 Nombres M thodes et notions essentielles AE Multiples diviseurs D finitions Si a et b sont deux entiers naturels non nuls tels que a b k o k est un entier relatif alors on dit que a est un multiple de b ou a est divisible par b ou b est un diviseur de a ou b divise a Exemple 12 est divisible par 3 3 est un diviseur de 12 12 est un multiple de 3 Le PGDC de deux entiers est leur Plus Grand Diviseur Commun Le PPMC de deux entiers est leur Plus Petit Multiple Commun L Deux entiers sont premiers entre eux si leur pgcd est gal 1 O Un entier diff rent de 0 et 1 est premier s il admet exactement deux diviseurs O Un entier qui n est pas premier et diff rent de 0 et 1 est compos 0 et 1 ne sont ni premiers ni compos s O Le quotient est le r sultat de la division ERLI Division euclidienne D finition Effect
14. Chapitre O1 Nombres Voir aussi e compl ment f 2 g Syst mes de num ration r4 E 3 4 6 i Chiffres devanagari Inde MF H re V A q mn D Chiffres des Arabes d Orient TITI d 7927 Chiffres gobar Arabes d Occident E YPS y v An 9 0 Chiffres de Maxime Planude I LLI Rss 20 Apices de Bo ce IX si cle T3 4B 3co Chiffres du XIIF si cle T3LRGT AQIo Chiffres du XII si cle 254 678390 Chiffres du XVI si cle Evolution de l criture des chiffres Source www cosmovisions com chiffresChrono htm w Probl me On note 3 on prononce 3 factorielle le produit 1 2 3 on note 4 le produit 1 2 3 4et ainsi de suite Si on calculait le produit 17 que trouverait on pour les trois derniers chiffres Par combien de z ros 627 se termine t il Copyleft Edition 2015 16 Pr reauis et activit s de d couverte Se La l gende rapporte que le jeu d checs aurait t invent par un sage indien Sessa fils de Daher qui voulait rappeler son souverain trop orgueilleux les principes de justice et d quit avec lesquels il devait gouverner Dans ce jeu en effet le Roi quoique la pi ce la plus importante a toujours besoin de toutes ses troupes m me du plus humble de ses fantassins pour se d fendre et vaincre l ennemi dans une bataille Le prince aurait t si enchant d une le on donn e de si belle mani re qu il aurait
15. USAJI La calculatrice un outil bien ma tris Ces exercices sont con us pour la calculatrice officielle II s agit avec cette calculatrice d tre le plus efficace et pr cis possible pour effectuer les calculs demand s en utilisant si besoin des parenth ses ou les m moire Pour chaque calcul vous devez tre capable de d crire pr cis ment par exemple en donnant la suite de touches utilis e la fa on dont la calculatrice a t utilis e Calculer l aide de la calculatrice la valeur arrondie au milli me de a 41 2 3 d 37 f le quart de la 325 201569 2 82589 r ponse g 42 52 b 25 e 0 25 0 5 pr c dente a aa h 4 amp 7 6 76 0 95 i 5 001 EJ Effectuer les calculs suivants en utilisant l criture scientifique de la calculatrice a 7 28 10 3 10 b 7 28 10 3 10 EX Simplifier le plus possible En l aide de la calculatrice 2 2 EM Calculer 35 Puis 5 EM Comment la calculatrice traite t elle l ordre des op rations Effectuer des calculs pour v rifier Chapitre 01 Nombres Pr reauis et activit s de d couverte de si l ordre des op rations est le m me que celui convenu par les math maticiens EM Calculer Le l aide de la calculatrice en donnant un r sultat irr ductible A U Convertir en nombre d cimal et donner le r sultat sous forme de fraction irr ductible EJ Utiliser la machine pour obtenir directement une estimation de 2 7 arron
16. V 9 16 7 Simplifier une expression contenant une ou plusieurs racines carr es EN Effectuer les multiplications et divisions l aide des propri t s FA Extraire les facteurs carr s de la racine EJ Ne pas laisser de racine au d nominateur rendre le d nominateur entier Exemple La simplifier v3 V27 et V5 V0 45 re a een noms edit Exemple 1b simplifier les nombres 36 et 058 25 0 08 36 _ V36 _6 v0 56 PE 2 e 56 5 25 V25 5 V0 08 0 08 1 0 08100 8 Exemple 2 crire le nombre v32 sous la forme ab o a et b sont deux nombres entiers positifs b tant le plus petit possible 132 16 2 On fait appara tre le produit d un carr parfait 425 lt le plus grand possible par un entier 42 On d compose la racine carr e du produit puis on 4 2 4 2 H applique la d finition d une racine carr e Exemple 3 crire 12 sous la forme d un quotient sans racine au d nominateur 20 Chapitre 01 Nombres ee 0 ee 0 0 0 0 0 0 0 ee 0 ee 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 M thodes et notions essentielles 25 V25 _ 5 gt On d compose la racine carr e du quotient afin de I2 a O simplifier le num rateur 54 7 5 7 On multiplie le num rateur et le d nominateur par F7 7 gt 7 puis on applique la d finition d une racine carr e R duire une somme diff rence de racines carr es Exemple r duire la som
17. ans chaque cas a Lorsque je calcule un e uua je peux changer de place les deux nombres sans modifier le r sultat de l op ration b Lorsque je calcule un e le r sultat de l op ration est modifi si j change de place les deux nombres EX Rechercher les tymologies des mots chiffre nombre entier entier naturel et entier relatif EX D terminer le ppcm et le pgcd de 73644 et 10098 KJ Un challenge sportif regroupe 105 filles et 175 gar ons Les organisateurs souhaitent composer des quipes comportant toutes le m me nombre de filles et le m me nombre de gar ons Comment les aider pour qu ils puissent constituer un nombre maximal d quipes tous les l ves doivent tre dans une quipe Donner ensuite le nombre de filles et de gar ons dans chaque quipe Expliquer la d marche Lors du tournage d un film le r alisateur dispose de 651 figurants habill s en noir et de 465 figurants habill s en rouge Il doit former des quipes constitu es de figurants v tus de rouge et de figurants v tus de noir de la mani re suivante dans chaque groupe il doit y avoir le m me nombre de figurants habill s en rouge dans chaque groupe il doit y avoir le m me nombre de figurants habill s en noir le nombre d quipes doit tre maximal Quelle sera la composition d une quipe E Parmi les nombres 12 30 27 246 325 4238 6 139 et 900810 indiquer ceux qui s
18. aux Les deux offres publicitaires ci dessous sont quivalentes a BOUM SUR LES PRIX 20 de r duction b OFFRE SPECIALE 25 de produit en plus Trois ma ons montent un mur de 600 briques en une heure En combien de temps avec une efficacit identique cinq ma ons monteront ils un mur de 1200 briques 23 Exercices d entra nement 24 BEA L essentiel dans l usage des nombres c est de s en former une id e nette quand je dis un j ai id e d une seule chose existante et isol e quand je dis deux c est la m me chose prise deux fois trois c est la m me chose prise trois fois et ainsi de suite Il n en est pas de m me des fractions l esprit les con oit bien moins facilement que les nombres entiers si je dis une demie je con ois la m me chose partag e en deux parties si je dis un tiers il faut concevoir la m me chose partag e en trois parties tant que je n ai qu une fraction cela va bien mais quand je veux les comparer cela n est pas ais et vous verrez que parmi les personnes qui n ont pas exerc leur esprit compter il y en aura peu qui puissent vous dire sur le champ de combien un demi est plus grand qu un tiers de combien un quart est plus grand qu un cinqui me et vous avez vu parce qu on vous a dit qu il faut faire un certain calcul pour les r duire au m me d nominateur notre esprit ne con oit et ne compare facilement que les nombres fractio
19. die au milli me EM Trouver le ppcm de 3644 et 4568 et le pgcd de 23456656 et 2234544 Comment effectuer cette suite de trois calculs le plus efficacement possible avec la calculatrice a 33 b 339 c 1339 Peut on retrouver r utiliser modifier un calcul effectu pr c demment Comment fait on pour r cup rer le r sultat du dernier calcul par exemple pour le r utiliser dans un nouveau calcul Comment effectuer la r p tition successive de la m me op ration par exemple calculer les 8 premi res puissances successives de 2 Comment efface t on un message d erreur ou la ligne en cours d dition Quelle diff rence y a t il entre les touches INS DEL et CLEAR 7 15 4 Mettre 15 dans la 1 m moire puis utiliser la m moire pour calculer 7 15 puis Comment r initialiser la calculatrice On consid re l expression AE Yy a La calculer l aide de la calculatrice pour x 10 et y 10 b La calculer l aide de la calculatrice pour x 10 et y 10 c La r duire alg briquement le plus possible pour x et y quelconques d Que peut on conclure des calculs pr c dents Voir les exercices 45 48 11 Chapitre 01 Nombres M thodes et notions essentielles MEME Des entiers D finitions O 0 1 2 3 4 5 6 7 8 et 9 sont les chiffres avec lesquels on construit les nombres O 0 1 2 3 sont des entiers naturels O 2 1 0 1 2 sont des entiers relatifs La somme de deux
20. e Fermat une des plus fameuse de l histoire de l Arithm tique Un tr s grand nombre de preuves incorrectes a t publi et les travaux qu elle a suscit s ont conduit au d veloppement de domaines enti rement nouveaux des math matiques Les plus grands math maticiens y ont contribu et des livres par centaines y sont consacr s Bien que v rifi e dans de tr s nombreux cas pour tous les exposants inf rieurs 150000 par exemple elle est rest e un probl me ouvert pendant plus de trois cent cinquante ans Ce n est qu en juin 1993 que le math maticien Andrew Wiles professeur l Universit de Princeton et sp cialiste de la th orie des nombres annonce que la conjecture de Fermat est d montr e Six mois plus tard il faut d chanter La d monstration ne r siste pas aux v rifications de d tail faites par quelques experts elle pr sente une lacune f cheuse Finalement en octobre 1994 la communaut math matique apprend qu Andrew Wiles a triomph des difficult s la conjecture de Fermat est devenue un th or me Chapitre 01 Nombres 0 00 0 ee 0 0 0 0e Une r f rence pour aller plus loin Le Dernier Th or me de Fermat de Simon Singh Poche 1999 EMA un peu d histoire Source base m
21. ercices d approfondissement devin ce probl me demande de trouver trois nombres entiers a b c tels que a b c ce qui en soi n est pas nouveau Mais 14 si cles plus tard entre en sc ne Pierre Simon de Fermat 1601 1665 Juriste et conseiller au Parlement de Toulouse il consacre ses loisirs aux math matiques Ce qui ne l emp che pas de faire d importantes d couvertes qu il publie d ailleurs rarement Selon l usage de l poque il en donne souvent communication dans des lettres ses amis A sa mort en 1665 il est un des math maticiens les plus connus d Europe Lorsque son fils se met en devoir de rassembler toutes les notes et les lettres de son p re il tombe sur un exemplaire de l Arithmetica de Diophante une traduction en latin datant de 1621 annot de la main de son p re En marge du probl me qui nous int resse on peut lire D composer un cube en deux autres cubes une quatri me puissance et g n ralement une puissance de m me nom au dessus de la seconde puissance est une chose impossible et j en ai assur ment trouv l admirable d monstration La marge serait trop exig e et ne la contiendrait pas Ce qu affirme Fermat c est que si n est un nombre entier sup rieur 2 il n est pas possible de trouver trois entiers non nuls a b c tels que a b c Comme on n a retrouv aucune trace de sa d monstration cela est rest une conjecture devenue la conjecture d
22. est il toujours possible de construire un triangle rectangle en ajoutant un 3e c t c tant donn s deux c t s quelconques dont les mesures sont des entiers est il toujours possible de construire un triangle rectangle en ajoutant un troisi me c t qui soit aussi de mesure enti re d Un triplet pythagoricien est un triplet de nombres entiers dont la somme des carr s des deux premiers vaut le carr du troisi me Donner des exemples de tels triplets e Existe t il une infinit de triplets pythagoriciens Justifier L histoire de la recherche de triplets pythagoriciens se confond en quelque sorte avec l histoire des math matiques Une tablette babylonienne dat e entre 1900 et 1600 avant notre re la tablette 322 de la collection Plimpton de l Universit Columbia New York contient une liste de 15 triplets qui sont les exemples les plus anciens connus Source commons wikimedia org f Que penser de la d nomination triplets pythagoriciens Si Pythagore Platon ou Euclide parmi d autres math maticiens grecs donnent plusieurs si cles avant JC plusieurs r gles pour les former c est avec Diophante d Alexandrie vers 250 ap J C que leur tude prend un nouvel essor Dans le 2e livre de son uvre ma tresse l Arithmetica il pose et r sout de fa on originale le probl me suivant diviser un carr en deux autres carr s Alg briquement parlant on l aura Chapitre 01 Nombres Ex
23. issants la boulangerie le prix payer est proportionnel au nombre de croissants achet s X y nombre de croissants prix payer en CHF 2 2 80 5 7 00 2 80_7 00_16 80_ 12 16 80 2 G 20 Utiliser ou d terminer un pourcentage Exemple 25 filles et 20 gar ons de deux classes de 2 ont effectu un devoir commun 60 des filles et 50 des gar ons ont obtenu la moyenne Calculer le pourcentage d l ves qui ont obtenu la moyenne dans l ensemble de ces deux classes On calcule le nombre de filles qui ont obtenu la moyenne 60 _ 60 25 a 100 2 filles 100 filles 15 filles On calcule le nombre de gar ons qui ont obtenu la moyenne 50 50 20 2 100 0 gar ons 100 On calcule le nombre total d l ves dans les deux classes 25 20 45 l ves gar ons 10 gar ons On calcule le nombre d l ves ayant eu la moyenne 15 10 25 l ves La proportion 25 45 p 100 donne Donc p 25x100 45 p 55 56 abejus2inod 2 21 PUU0 1NOd ss Donc environ 56 des l ves des deux classes ont obtenu la moyenne Voir les exercices 13 18 gt criture d cimale L criture d cimale ou d veloppement d cimal d un nombre est bas e sur la d composition de ce nombre en puissances de 10 Exemple 2435 78 2 10 4 102 3 101 5 100 7 10 8 10 et 405 03 4 102 0 101 5 100 0 10 310 sont crits sous forme d cimale Chapitre 01 Nombre
24. me V5 2V5 745 PE 75 On remarque que V5 est un facteur commun aux trois termes de la somme 2475 Onfactorise par V5 615 On donne l criture demand e dans l nonc Exemple crire 272 718 sous la forme cyd o c et d sont deux entiers relatifs d tant le plus petit possible On d compose 72 et 18 pour faire appara tre le 2V36 2 7V9 2 produit d un carr parfait le plus grand possible par un m me entier 236 12 79 42 nr la racine carr e de chacun des 2 6V2 7 3V2 On applique la d finition d une racine carr e 12122212 gt V2 est un facteur commun aux deux termes HAE 21062 Onfactorise par V2 942 On donne l criture demand e dans l nonc Rendre entier un d nominateur en multipliant par le conjugu Exemple Quel est le conjugu de 3 2 Etde 1 5 Le conjugu de 3 2 est 3 2 et celui de 1 5 est 1 5 18 13 13 12 On amplifie par le conjugu du d nominateur et on utilise les propri t s des racines Exemple rendre entier le d nominateur de et simplifier au maximum 18 13 _ 18 3 J3 2 _V18 3 3 3 V18 2 392 W32 3 21 13 12 3 2 54 19 V36 16 9 6 3 6 16 3 6 3 16 2 6 3 Chapitre 01 Nombres 21 M thodes et notions essentielles EEE Irrationalit et nombres r els D finition Un nombre r el est un nombre dont le d veloppement d cimal est quelconque Il peut donc tre s
25. ment valaient autant que vous l ont bien admise Nous savons que vous avez beaucoup d esprit vous voulez apparemment vous singulariser Quand a M Dupuy il traitait mes timides objections timides cause de son ton d emphase avec un sourire de hauteur voisin de l loignement Je me rappelle distinctement que quand je parlais de ma difficult de moins par moins un fort il me riait au nez tous taient comme Paul Emile Teisseire et apprenaient par coeur Je leur voyais dire souvent au tableau la fin des d monstrations Il est donc vident etc Rien n est moins vident pour vous pensais je Je fus longtemps me convaincre que mon objection sur x ne pourrait pas absolument entrer dans la t te de M Chabert que M Dupuy n y r pondrait jamais que par un sourire de hauteur et que les forts auxquels je faisais des questions se moqueraient toujours de moi J en fus r duit ce que je me dis encore aujourd hui il faut bien que par donne soit vrai puisque videmment en employant chaque instant cette r gle dans le calcul on arrive des r sultats vrais et indubitables Stendhal La vie d Henry Brulard Chapitre 01 Nombres 0 00 0 ee 0 0 0 De 14 17 ans Hen
26. mmer Voir la th orie 9 11 et les exercices 23 37 9 Activit Racines carr es Vrai o faux Justifier a V4 2 b amp a EM Calculer et donner le r sultat sous la forme d une fraction irr ductible s 27 b V125 5 75 0 6477 0 6427 d 1 7 EM En utilisant des d compositions en produits de facteurs premiers extraire la racine carr e 324 suivante EM R duire la somme vV12 13 2V9 3 EM Transformer pour obtenir une expression sans racine au d nominateur puis simplifier au maximum 2 BAA S 27 Chapitre 01 Nombres ddo 18 3 8 2 2 45 V2 V3 Pr reauis et activit s de d couverte Se Ko Par it Irrationalit Conjecture 0 9 1 Vrai ou faux EM Qu est ce qu un nombre irrationnel Donner des exemples EX D terminer les expressions qui apr s avoir t valu es donnent un nombre rationnel 3 3 2 IS m2 50 m n 34 2 1 5 5 5 0 0024 s EM Qu est ce qu un nombre r el Donner des exemples EM D montrer que y2 ne peut pas s crire comme une fraction EM En d duire qu il existe un nombre infini de nombres irrationnels Quel est le nombre le plus proche de 2 EX Comment sont m lang s les nombres rationnels et irrationnels EM Que peut on dire de x Quelle est sa d finition Est il irrationnel Existe t il des nombres non r els Voir la th orie 12 13 et les exercices 38 42 TE
27. nitive le nombre qui dans notre syst me de num ration serait repr sent par 1 suivi de soixante trois z ros L Ar naire se termine ainsi je con ois roi G lon que ces choses para tront incroyables la plupart de ceux auxquels les math matiques ne sont point famili res mais ceux qui y sont vers s et qui ont m dit sur les distances et les grandeurs de la Terre du Soleil et du Monde entier les admettront apr s ma d monstration Et c est pourquoi j ai cru qu il n tait pas hors de propos que toi aussi tu en prennes connaissance 1 10 Quel est le nom de 10 Des nombres encore plus consid rables apparaissent dans l astrophysique actuelle Certains astrophysiciens ont calcul que dans 102 ann es toutes les toiles seront teintes que dans 101 ann es toute la mati re se m tamorphosera en boules de fer et que dans 10 ann es lors d un gigantesque feu d artifice toute la mati re de l Univers s vaporera en lumi re Les math maticiens de leur c t font encore mieux Dans des probl mes de d nombrement de la th orie des graphes ils en arrivent consid rer par exemple le nombre de 1010 o 10 Folkman 10 Et cependant rien n emp che notre imagination de concevoir des nombres plus grands encore et de se faire ainsi une premi re id e de l infini Source Alg bre Mode d emploi G Charri re Ed LEP EM Quel est le plus grand nombre que vous sachiez no
28. nnaires dont le d nominateur est le m me parce qu il regarde le d nominateur comme un tout dont il voit les diff rentes parties Cet inconv nient n a pas lieu dans l arithm tique d cimale Joseph Louis Lagrange 1736 1813 e Qui tait Joseph Louis Lagrange e Illustrer avec nos notations son propos Voir la th orie 5 6 Nombres rationnels BETZ crire sous forme de nombre d cimal si BE mE 45 9 7 0 34 453 b 56 d 78 f 78 EX crire comme fraction irr ductible a 0 375 d 0 65 f 10 013 b 1 2 e 0 249 c 0 027 256 Ecrire sous forme d cimale 225 PAJ Ecrire 1 223 sous forme de fraction irr ductible Voir la th orie 7 8 0 00 0e 0 0 0 0e 0 0 Puissances B X crire chacun des nombres suivants comme une puissance de 10 a 100000 b un milliard c 1 PZ Mille milliards de mille sabords disait le capitaine Haddock Ecrire ce nombre comme une puissance de 10 25 Combien de temps faudrait il pour crire tous les nombres de 1 un million en admettant qu on crit trois chiffres par seconde en moyenne FJJ Combien faudrait il de chiffres pour aN 101 crire sous forme d cimale 10 Quel est le 272000 ou 2437200 plus grand nombre FJJ Par q
29. odifi e par jmd Charri re Alg bre mode d emploi LEP Des fouilles arch ologiques entreprises partir du milieu du XIXe si cle en M sopotamie ont livr plus de 500 000 tablettes d argile marqu es de signes cun iforme Environ 300 d entre elles concernent les math matiques et rel vent en majorit de la p riode pal o babylonienne c est a dire sont contemporaines de la dynastie d Hammourapi vers 1700 av C L tude de ces documents permet d appr cier les connaissances math matiques des habitants du Croissant fertile Nous avons d j rencontr une telle tablette au point 4 Sur une autre petite tablette qui fait actuellement partie de la Yale Babylonian Collection sous la cote YBC 7289 on voit trac un carr avec ses deux diagonales Source http commons wikimedia org Sur le cot on peut peut traduire et trouver le nombre 30 et sur une diagonale les nombres 1 24 51 10 et 42 25 35 a Interpr ter ces nombres en base 10 On constate donc que les g om tres babyloniens qui nous l avons d j vu taient familiers avec le th or me de Pythagore plus de mille ans avant Pythagore savaient valuer la racine carr e de 2 avec une pr cision remarquable En effet l approximation 1 24 51 10 correspondant 1 414212963 en notation d cimale la pr cision est de l ordre du millioni me b V rifier ce calcul Ce probl me du calcul de la diagonale du carr va
30. oduit 1516 des num rateurs sur produit des f d nominateurs 13 lt On simplifie la fraction par 3 et par 7 58 2 2 3 lt On obtient la fraction finale 40 irr ductible D finition Deux nombres sont inverses l un de l autre si leur produit est gal 1 2 r 1 Tout nombre x non nul admet un inverse not x7 qui est le nombre x Exemple Donner les inverses des nombres 5 I et 2 UH 1 CN LH 1 1 7 3 L inverse de 5 est 5 l inverse de 3 est 3 l inverse de 3 est 7 Remarques l inverse de l inverse d un nombre est ce nombre lui m me a b O si b est une fraction non nulle a 0 et b 0 alors son inverse est la fraction a D finition division des fractions Diviser par une fraction non nulle c est multiplier par son inverse 8 5 Exemple calculer 73 et donner le r sultat en simplifiant le plus possible E 5 On s occupe d abord du signe le r sultat est positif car il UTE yaun nombre pair de facteurs n gatifs 823 On multiplie la premi re fraction par l inverse de la 75 lt deuxi me T83 24 lt On multiplie les num rateurs entre eux et les 7 75 D d nominateurs entre eux en simplifiant si possible HEURE Proportions D finition On dit que deux grandeurs x et y varient proportionnellement si leur rapport est constant Chapitre 01 Nombres 15 M thodes et notions essentielles Exemple Lorsqu on ach te des cro
31. oit fini soit infini p riodique soit infini non p riodique Exemple 1 875 1 87575757575 1 875 1 1234567891011121314151617 et 2 sont tous des nombres r els D finition Un nombre r el qui n est pas un nombre rationnel est appel nombre irrationnel Exemple 1 1234567891011121314151617 est un nombre dont le d veloppement d cimal est infini et non p riodique Ce n est donc pas un nombre rationnel Th or me 2 est un nombre irrationnel Remarque la d monstration utilise le principe du raisonnement par l absurde Droite r elle On peut associer tout point d une droite un nombre r el et r ciproquement tout nombre r el un point de la droite Cela signifie que les nombres r els recouvrent exactement la droite Une telle droite est alors appel e la droite r elle O r gt R Voir les exercices 38 44 22 Chapitre 01 Nombres Exercices d entra nement e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e Calculs EM Placer les parenth ses aux bons endroits pour que les galit s suivantes soient vraies 24 27 30 33 0 c 2 3 42 5 3 6 a 1 2 3 4 0 b FA Calculer 3 9 4 11 1 8 25 23 1 7 EJ Compl ter et donner un exemple num rique d
32. onnels crire les fractions suivantes sous forme d cimale 21 2 20 20 a 5 b g C d 17 EM crire les nombres d cimaux suivants sous forme de fractions irr ductibles a 2 c 12 347 e 1 4 b 0 0 d 145 789678 f 21 314 Voir la th orie 7 8 et les exercices 19 22 Chapitre 01 Nombres Pr reauis et activit s de d couverte Se CAF T44 1 3 Puissances Parmi les expressions suivantes quelles sont celles qui sont gales x 9 0 a X 2 x 12 2 10 12 b x d x 416 e X 2 x 1 10 f XX EM Transformer 0 0000045789 en criture scientifique avec et sans calculatrice 70522 35 8 70 260 75 23 EJ Calculer 147 94 42 9 215 5 2027 c 987654321 1 EE 1 EM Simplifier le plus possible et donner une r ponse sans exposants n gatifs a et b des rationnels non nuls 5a bP 25 ab b F a 7 Aller JUG Puissance s PHT a ab T eT Selon les Indiens le nombre de fils de Bouddha est dix mille milliards de milliards de milliards de milliards Ecrire ce nombre comme une puissance de 10 EM Quel est le nombre le plus grand 2 a Essayer avec la calculatrice Que d duire b Trouver une autre piste EM D terminer le dernier chiffre de 2 CAGA UEO R ver Dire d un nombre qu il est grand n a gu re de sens Dans la vie primitive les objets usuels ou les v nements familiers se comp
33. ont divisibles a par2 b par3 c par5 d par9 EX Lors d un spectacle d une compagnie de danse tous les danseurs font un premier num ro quatre par quatre simultan ment puis un second six par six tous ensemble encore Chapitre 01 Nombres Pourront ils tous participer un num ro pour lequel il faut des groupes de 24 Justifier ET Donner le quotient et le reste de la division euclidienne de a 63 par 4 c 3245 par 135 b 218 par 12 d 32 par 50 EFJ Effectuer la division euclidienne de 934856 par 30464 EFJ Dans le roman de Jules Verne Phil as Fogg doit faire le tour du monde en 80 jours Combien cela repr sente t il de semaines S il part un jeudi quel jour reviendra t il Voir la th orie 1 4 Fractions proportions FEJ Calculer la main et avec la calculatrice et donner une r ponse irr ductible 38 12 4 64 16 p 33 24 5 4 412 18 44 48 6 325 10 4 35 a Fe a 5 s l 3 14 17 1 q 112 240 14t H i 288 96 E Pour faire un g teau je fais fondre une tablette de 100 g de chocolat dont la teneur en cacao est de 70 avec une tablette de 200 g dont la teneur en cacao est de 85 a Calculer la masse de cacao contenue dans le m lange ainsi constitu b Quel est le pourcentage de cacao dans ce m lange EIJ Un TGV a parcouru 540 km 240 km h de moyenne Calculer la dur e du trajet et donner la r ponse en heures minutes et secondes BIC Vrai ou f
34. ploi Charri re LEP Chapitre 01 Nombres 0 0 0 ee 0 0 0 0 0 0 ee 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Il y a quelques ann es apr s une conf rence quelqu un me dit Vous semblez toujours lier math matiques et amusement Je fus inspir de lui r pondre Si ce n tait pas amusant pourquoi en ferions nous Ralph P BOAS math maticien am ricain 1912 1992 A savoir en fin de chapitre Calculer v les nombres entiers naturels et relatifs oppos d un entier v diff rence entre chiffre et nombre ordre des op rations le vocabulaire li aux op rations somme diff rence produit diff rencier une op ration de son r sultat v g rer des calculs complexes parenth ses imbriqu es et ordre des op rations v d terminer ppcm pgcd effectuer une division euclidienne avec quotient et reste Voir la th orie 1 4 et les exercices 1 12 Fractions proportions v fractions num rateur d nominateur amplifier simplifier fractions irr ductibles ma triser les op rations sur les fractions v r duire en fraction irr ductible la main et avec calculatrice lt proportionnalit r soudre des probl mes de proportions Voir la th orie 5 6 et les exercices 13 18 Nombres rationnels nombre d cimal p riode nombre rationnel v convertir un nombre rationnel frac
35. ri Beyle dit Stendhal tudia l Ecole centrale de Grenoble une des premi res institutions o l enseignement des math matiques dispens de jeunes l ves tait influenc par les cours de l Ecole Normale issue de la R volution fran aise Dans La vie d Henry Brulard 1835 ouvrage autobiographique reflet d une passion pour le dessin et les math matiques et d une adolescence o sa r volte contre son p re et contre la soci t le conduit se d clarer ath e et jacobin on constate que l enseignement re u ne parvint pas satisfaire la curiosit du jeune Stendhal lorsqu il voulut comprendre l origine de la r gle des signes Le marquis de Condorcet auteur d un projet de r forme de l instruction publique 1792 est convaincu du d veloppement ind fini des sciences et affirme que le progr s intellectuel et moral de l humanit peut tre assur gr ce une ducation bien orient e Il crit peu avant sa mort tragique il m a paru qu en g n ral on ne devrait rien enseigner aux enfants sans leur en avoir expliqu et fait sentir les motifs Si l on peut appr cier l reintage de ses ma tres r ussi par Stendhal il faut savoir reconna tre ceux ci quelques circonstances att nuantes puis es dans une histoire bimill naire celle des nombres n gatifs La premi re apparition de nombres n gatifs remonterait aux d buts de la dynastie Han deux si cles environ avant notre re Un des
36. rofondissement EH Syst me de num ration Notre syst me de num ration est dit positionnel en base 10 Qu est ce que cela signifie Est il possible de repr senter les quantit s avec d autres syst mes Qu en est il historiquement Voir le compl ment librement t l chargeable sur http sesamath ch manuel matugym 1 lt FA Litt rature Mon enthousiasme pour les math matiques avait peut tre eu pour base principale mon horreur pour l hypocrisie L hypocrisie mes yeux c tait ma tante S raphie Mme Vignon et leurs pr tres Suivant moi l hypocrisie tait impossible en math matiques et dans ma simplicit juv nile je pensais qu il en tait ainsi dans toutes les sciences o j avais ou dire qu elles s appliquaient Que devins je quand je m aper us que personne ne pouvait m expliquer comment il se faisait que moins par moins donne plus C est une des bases fondamentales de la science qu on appelle alg bre On faisait bien pis que ne pas m expliquer cette difficult qui sans doute est explicable car elle conduit la v rit on me l expliquait par des raisons videmment peu claires pour ceux qui me les pr sentaient M Chabert press par moi s embarrassait r p tait sa le on celle pr cis ment contre laquelle je faisais des objections et finissait par avoir l air de me dire Mais c est l usage tout le monde admet cette explication Euler et Lagrange qui apparem
37. s M thodes et notions essentielles CPE Olli Nombres rationnels D finition Un nombre rationnel est un nombre qui peut s crire sous forme d une fraction Exemples 1875 15 0 t t l rero ee 1 875 estun nombre rationnel car 1000 8 O 2 3 estun nombre rationnel car o Notation 2 3 2 333 o le 3 se r p te infiniment se lit 2 virgule 3 p riodique O V2 n est pas un nombre rationnel On peut en effet d montrer qu il n est pas possible d crire ce nombre sous forme d une fraction Th or me Le d veloppement d cimal d un nombre rationnel est toujours fini ou infini p riodique Transformations criture d cimale criture fractionnaire Exemple 1 crire x 2 34 sous forme de fraction irr ductible On trouve deux multiples de x pour lesquels la m me p riode commence juste apr s la virgule On soustrait les deux nombres On simplifie des deux c t s On trouve x et on simplifie si n cessaire x 2 34 donc 10x 23 4 lt et 100 x 234 4 100x 10x 234 4 23 4 lt 90x 211 lt 211 lt 7 90 cri 200 pae Exemple 2 Ecrire X 7 sous forme d cimale On effectue la division la main afin de d terminer avec certitude la p riode x 11 7647058823529411 Remarque pour une fraction quelconque le processus de division peut sera un nombre d cimal fini soit s arr ter au moment o on trouve un reste nul dans ce cas le r sultat de la
38. s grands nombres Comparer des grands nombres Pour comparer deux grands nombres on essaye de les transformer pour qu ils aient soit la m me base soit le m me exposant Exemple comparer 32 et 251 HA so oo 5200 donc 25200200 Calculer une grande somme Confront une grande somme on peut parfois la r duire astucieusement Exemple calculer 1 2 2 2 2 2 MERER A ER eot LAA A a A DAD D EA On a E pem Estimer un grand nombre Pour estimer un tr s grand nombre que la calculatrice ne permet pas de manipuler error on peut le comparer une puissance de 10 On utilise souvent l approximation 2 10 Exemple estimer 22212 Dao zZ Jozo 2 10 jin 10 TORE Voir les exercices 23 37 Chapitre 01 Nombres 19 M thodes et notions essentielles PAT TT Racines carr es D finition La racine carr e d un nombre positif ou nul a est le nombre positif ou nul b tel que b a Notation La racine carr e se note avec le symbole J par exemple 12 pour la racine carr e de 12 Exemples 16 4 car 4 gt 0 et 47 16 et il est faux d crire que 16 4 16 n existe pas car aucun nombre lev au carr est gal 16 Th or me Propri t s des racines carr es Soit a et b deux nombres r els positifs ou nuls et n un entier naturel non nul 7 2 2 a a et Va a Attention en g n ral Va bZ Va Vb parexemple 5 4 9 16
39. si multiple de 3 et de 5 b La r ciproque est t elle vraie BJ crire comme fraction irr ductible a 2 455 c 1 3 b 0 2324 d 1 23 e 1 234343 Effectuer les calculs suivants et donner le r sultat sous la forme d une fraction irr ductible a 1 13 4 7 d 0 450 3 b 0 75 0 26 e 1 85 c 70 16 J il tait une fois un honorable caravanier de Boukhara qui levait ses trois fils dans un esprit empreint la fois de rigueur et de tol rance Lors d une violente temp te de sable dans le d sert du Kyzylkoum il mourut d puisement non sans avoir eu le temps de r diger son testament Les rares rescap s de Chapitre 01 Nombres Exercices d entra nement cet v nement une fois de retour au caravans rail remirent ce testament aux trois fils afflig s En plus des legs obligatoires fix s par la loi ils re urent dix sept chameaux Mais ce propos les directives paternelles paraissaient tr s pr cises Vous partagerez les chameaux entre vous trois au plus vieux la moiti au deuxi me par l ge le tiers au plus jeune le neuvi me Mais tr s rapidement les fils r alis rent l impossibilit du partage Comme l accoutum e en fin d apr s midi ils se rendirent la maison de th et demand rent conseil Les r ponses fus rent Vendez les chameaux et partagez vous l argent Le testament est nul et non avenu ses dispositions sont inex cutables Vous devez rester collec
40. t un num rateur gal 1 leur taient d usage facile avec un symbolisme ad quat pour les repr senter Il s ensuit que l un des premiers probl mes rencontr s tait de repr senter toute quantit fractionnaire en une somme de fractions unitaires Pour ce faire les scribes se r f raient des tables et notamment des tables qui donnent pour chaque fraction de la forme 2 n fractions unitaires diff rentes v rification est mani re sa repr sentation en somme de Le papyrus de Rhind contient une telle table de division de 2 par tous les nombres impairs compris entre 5 et 101 2 1 1 2_1 1 _ 1 5 3 15 n 17 12 51 68 2 _1 1 1 97 56 679 776 Il est tr s vraisemblable que beaucoup de ces r sultats ont t obtenus par t tonnements Il est int ressant de remarquer que contrairement aux Egyptiens les Babyloniens avant eux et les Romains longtemps apr s adopt rent des expressions fractionnaires d nominateur constant 60 pour les premiers 12 pour les seconds Chez les Babyloniens les multiples et les sous multiples de l unit se succ dent en notation positionnelle suivant le syst me sexag simal comme nous pour notre syst me d cimal La division du degr en 60 parties gales date de cette poque 3000 ans avant J C Chez les Romains le d nominateur tant 12 chaque quantit fractionnaire est convertie approximativement en douzi mes Source Alg bre mode d em
41. taient sur les doigts des mains De nos jours les multiples op rations de codage de notre vie courante du num ro min ralogique au num ro de t l phone utilisent des nombres de six chiffres ou plus Estimer les distances entre les astres du ciel ou le nombre de particules dans l Univers conduit des nombres encore plus grands V nus la d esse de l Amour a servi de ou 1 0720 marraine la plan te qui est hormis la Lune le corps c leste le plus proche de la Terre On peut souvent voir Venus de jour avant m me le coucher du Soleil ou t t le matin Son nom populaire est l Etoile du Berger et sa distance au Soleil est d environ 100 millions de kilom tres Alpha Centauri est l toile la plus proche de la Terre hormis le Soleil 4 3 ann es lumi re nous s parent d elle soit environ 40 000 milliards de kilom tres Chapitre 01 Nombres Pr reauis et activit s de d couverte de Avec de tels nombres se pose la question de la notation et de l ordre de grandeur Cette id e est amorc e dans l Ar naire d Archim de 287 212 av J C L ouvrage intitul l Ar naire est r dig sous la forme d une longue lettre dans laquelle Archim de d trompe le roi G lon de l id e que l on ne pourrait crire un nombre assez grand pour repr senter la quantit prodigieuse de grains de sable que contiendrait une sph re aussi grande que la sph re toil e et il d montre que ce nombre ne d passerait pas en d fi
42. tion vers nombre d cimal et vice versa Voir la th orie 7 8 et les exercices 19 22 Puissances v puissances enti re positive nulle et n gative calculs la main et avec calculatrice manipuler des puissances de 10 criture scientifique v interpr ter une pyramide de puissances Voir la th orie 9 11 et les exercices 23 37 Chapitre 01 Nombres 33 Irrationnels r els racines carr es v racines carr es extraire les facteurs carr s simplifier des expressions rendre rationnel le d nominateur v nombres irrationnels nombres r els d montrer que racine de 2 est irrationnel Voir la th orie 12 13 et les exercices 38 44 Calculatrice v utiliser efficacement la calculatrice v les r sultats fournis par la calculatrice ne sont pas forc ment exacts v diff rence entre un r sultat exact et un r sultat approch Voir les exercices 45 48 Quelques exercices types en vid o la le http www sesamath ch manuel matugym le complements ch01 sexercer video 0 E 0 0 O ee 0 0 0 0 0 0 0 0 ee 0 0 0 8 0 0 E 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ee 0 0 E 0e 34 Chapitre 01 Nombres
43. tivement propri taires du troupeau Ce testament pose un probl me insoluble Faites le partage qui se rapproche le plus des volont s de votre p re Donnez donc les chameaux plus pauvre que vous A la tomb e du jour la discussion interminable et oiseuse n avait toujours pas apport une solution satisfaisante les trois fr res d sirant avant tout respecter le plus scrupuleusement possible les indications de leur p re C est alors qu apparut califourchon sur son ne Nasreddin Affandi l homme consid r comme le plus sage de tout le Khworezm Tous estim rent qu il serait bon de s en remettre son jugement On lui demanda donc son avis sur l affaire Il r fl chit longuement tout en caressant sa belle barbe fris e Son ne impatient se mit braire C est alors que Nasreddin prit la parole en s adressant aux trois h ritiers Je ne poss de qu un seul chameau mais je l ajouterai volontiers au dix sept qui vous reviennent Toi l a n tu en recevras la moiti soit neuf chameaux Toi le deuxi me tu en prendras le tiers ce qui fait six chameaux A toi le plus jeune reviendra un neuvi me du tout soit deux chameaux Chacun d entre aura donc re u plus qu il n en esp rait et si je compte bien cela fait dix sept Le chameau restant qui n est autre le mien que je le reprendrai Ass nant quelques rapides coups de talons dans les flancs de son bourricot il disparut bien avant q
44. tor 1845 1918 cr ateur de la c l bre th orie des ensembles d montra qu il y a beaucoup plus de nombres irrationnels que de nombres rationnels Ses tonnantes d couvertes dans le domaine des ensembles infinis soulev rent de grandes controverses L opold Kronecker son ma tre et l un de ses adversaires les plus acharn s le traita de corrupteur de la jeunesse alors que David Hilbert l un de ses plus fid les partisans crivait Du paradis que Cantor a cr pour nous nul ne doit pouvoir nous chasser EM En Egypte Les gyptiens il y a quatre mill naires d j se posaient des questions math matiques Nos connaissances sur l tat des math matiques cette poque se fondent sur quelques rares manuscrits qui attestent d un niveau relativement lev aussi bien en math matiques qu en astronomie N oublions pas que l gypte utilisait un calendrier de 365 jours Cependant de fa on g n rale les objectifs de la math matique gyptienne sont essentiellement d ordre pratique li s au commerce au fisc au cadastre ou l art de la construction Un des plus anciens documents qui nous soient parvenus date de 1650 avant J C Il s agit d un texte crit en hi ratique forme cursive des hi roglyphes sur papyrus Il commence par cette introduction qui a permis de le dater Calcul exact L acc s la connaissance de toutes les choses existantes et de tous les secrets obscurs Ce livre fut copi
45. ue tous les auditeurs eurent appr ci la sagesse de ses paroles Source Alg bre mode d emploi G Charri re Ed LEP Expliquer cette apparente contradiction EX Le taux de change du jour est de 1 euro Chapitre 01 Nombres 0 0 0 0 0 0 0 E pour 1 075 CHF Combien faut il d euros pour obtenir 2000 CHF EX En France la vitesse maximale autoris e sur autoroute est 130 km h Convertir cette vitesse en m s Le tableau suivant donne la longueur de l orbite de quatre plan tes de notre syst me autour du Soleil en km ainsi que le nombre de jours qu elles mettent pour parcourir cette orbite Exprimer la vitesse de chaque plan te sur leur orbite en m s et en km h KAJ Calculer et donner la r ponse sous forme d une faction irr ductible 1p LA DT 1 2 4 2 4 1e a 2 21 dr 1 m KEJ Calculer et simplifier a 1 57 b 2 3 KZ Rendre le d nominateur entier 4 2 1 13 Fi De c T543 R PONSES DES EXERCICES SUPPLEMENTAIRES ET a 43 5 2 5 c 12 4 7 2 20 b 8 3 6 4 50 a 10 d 144 4 7 2 77 b 10 EM 3 3 43046721 a 1 2 3et 6 27 Exercices d entra nement 28 b 6 c Cette somme est gale au nombre initial d 1 2
46. uel chiffre se terminent les nombres suivants a 2100 b 111 c 1727 FJJ Un automate effectue deux fonctions il l ve un entier donn au cube et il divise un entier donn par 8 En commen ant par le nombre 2 peut on obtenir l aide de cet automate les nombres a 64 b 22 EIJ Quel est le plus grand nombre entier que votre calculatrice puisse manipuler EX Ecrire sous la forme la plus simple possible a un nombre r el non nul 1 a f EFJ Simplifier le plus possible en donnant une r ponse sous forme de fraction irr ductible 2 18 14 d 64 2 7 ANS r b 2 2 2 1 13 e 144 4 5 1 5r 5 1 1 2 10000 e adios EEJ Simplifier le plus possible et de sorte qu il n y ait aucun exposant n gatif dans la Chapitre 01 Nombres Exercices d entra nement r ponse a et b des r els b non nul b a b 2 8 b b EZ Simplifier au maximum les puissances dans les expressions suivantes 4a b 5a b 5 3 5 4 a 35 L NES ab 2b 6 6 4 4 2 la 2 2 6 y ME d 22 gt 6v5 x 4 3 3 2 2 aa i as S r EH Soit a 0 0004 Ecrire en notation scientifique a a c e 10a b at d a f 102527 4550 EX crire en puissances de 10 et simplifier a 0 07 3000 0 002 0 1 50 b 0 000025 20000 0 0003 0 004 7000000 Classer par ordre croissant 10 y 1n100 X 10 100000
47. uer la division euclidienne de a par b c est trouver deux entiers get r T tels que a q b r et 0 lt r lt b q1 qest le quotient et r le reste de la division euclidienne r Exemple effectuer la division euclidienne de 183 par 12 183 63 12 La On a donc 183 12 15 3 avec 3 le reste et 12 le quotient 3 Voir les exercices 1 12 EME Fractions D finition Une fraction est un nombre de la forme O p est un entier relatif et q un entier relatif q non nul On appelle p le num rateur et q le d nominateur de la fraction Exemples me 2 1540 Mer gt Sont des fractions 5 7 88 2 5 O sia 0 on a par exemple an On parle alors de fraction nulle a T n est pas d fini par exemple 2 et e ne sont pas des fractions Chapitre 01 Nombres 13 M thodes et notions essentielles D finition galit de deux fractions Deux fractions F et a sont gales si et seulement si ad bc Exemple 2_10 S 5735 car 2 25 10 5 D finitions Une fraction est irr ductible lorsque son num rateur et son d nominateur sont premiers entre eux Amplifier simplifier une fraction Amplifier une fraction c est multiplier le num rateur et le d nominateur par un m me entier non nul Simplifier une fraction c est diviser le num rateur et le d nominateur par un m me diviseur commun diff rent de 1 Remarque quand on amplifie o simplifie une fraction on obtient une nou
48. uissance d exposant entier n gatif Soit a un nombre r el non nul et n un entier naturel Alors on d finit Exemple calculer 2 Avec les d finitions de puissances et l ordre des op rations 2j crire en notation scientifique Tout nombre rationnel non nul peut tre crit en notation scientifique c est dire sous la forme a 10 o a est un nombre d cimal dont la distance z ro est comprise entre 1 et 10 10 exclu c est dire ayant un seul chiffre non nul avant la virgule et o n est un nombre entier relatif Le nombre a est appel mantisse 18 Chapitre 01 Nombres M thodes et notions essentielles Exemple 1 crire le nombre 6 430 en notation scientifique On d place la virgule de mani re obtenir un nombre ayant un seul chiffre non nul avant la virgule puis on multiplie par la puissance de 10 de mani re avoir galit 6430 6 43 10 lt L criture scientifique du nombre 6340 est donc 6 43 10 Exemple 2 l criture scientifique du nombre 0 00370 est 3 70 10 ILA LET SE Pyramides de puissances D finition Nous interpr terons une pyramide de puissances x comme PE e 2 o Exemple 1 calculer 2 K 2 20 2 65536 et donc 2 4 2 16 256 e 2 Exemple 2 avec combien de z ros s crit le nombre 10 10 102 _ 4 n100 Tr 7 10 10 10 Ce nombre s crit donc avec 100 z ros SNS JUGON Travailler avec de
49. ulatrice Donner un r sultat arrondi au milli me 3211 08 432 44 61 7 1 120 56 93 1 LE 12 345 905 78 EYJ on consid re le nombre V10 54410 10 210 25 Exercices d entra nement 26 a Le calculer l aide de la calculatrice l aide d une identit 105 210 b D velopper remarquable le nombre c Le calculer en utilisant le r sultat du b et sans utiliser la calculatrice d Comparer avec le r sultat du a et conclure Calculer l aide de la calculatrice le nombre 1234567899 1234567898 a Que pensez vous du r sultat b Sans calculatrice calculer ce nombre l aide de l identit remarquable diff rence de deux carr s a b a b a b c Que peut on d duire des calculs pr c dents EFJ Calculer l aide de la calculatrice le nombre 123456789 123456787 123456791 a Poser x 123456789 et exprimer ce nombre en fonction de x b D velopper et r duire l expression trouv e en a des calculs c Que peut on d duire pr c dents EXERCICES SUPPLEMENTAIRES ET Si cela est n cessaire placer des parenth ses pour que les galit s ci dessous soient vraies Attention ne pas mettre de parenth ses inutiles a 43 5 2 5 c 12 4 7 2 20 b 8 3 6 4 50 d 14 4 7 2 77 IJJ crire chacun des nombres suivants comme une puissance de 10 a cent mille milliards b mille milliards de millions Calculer 3
50. velle fraction gale celle de d part Additionner ou soustraire des fractions Pour additionner ou soustraire des fractions L on met les fractions au m me d nominateur en ambplifiant l une l autre ou les deux L on additionne ou on soustrait les num rateurs et on garde le d nominateur commun A 13 11 Exemple Calculer l expression 1 30 12 Multiples de 30 30 60 90 120 lt On cherche le plus petit multiple Multiples de 12 12 24 36 48 60 commun non nul 30 et 12 60 132 115 lt On amplifie chaque fraction afin 60 30 2 125 d avoir le m me d nominateur i commun 60 26 55 lt On effectue les multiplications 50 60 60 d entiers au num rateur et au d nominateur 60 26 55 lt On additionne les num rateurs et on 60 garde le d nominateur le 7 lt On simplifie si possible 60 20 Multiplier des fractions Pour multiplier des fractions et obtenir un r sultat irr ductible on peut O simplifier chaque fraction si n cessaire O crire la fraction comme produit des num rateurs sur produit des d nominateurs O simplifier O effectuer les multiplications Chapitre 01 Nombres M thodes et notions essentielles Exemple effectuer le produit gt et donner le r sultat sous forme irr ductible 8 18_2 9 lt On simplifie les fractions 60 32 15 16 2 9 lt On crit la fraction comme pr
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