Home

Etude et caractérisation des réseaux de Bragg fibrés « Fiber Bragg

1. z 1 93 E 43 Chapitre 1 Propagation de la lumi re dans les fibres optiques Cette quation montre que l indice de r fraction vu par un champ lectrique au sein d une fibre optique d pend non seulement de l intensit du champ incident mais aussi de l intensit des autres champs copropagatifs Ainsi si nous supposons la propagation de deux impulsions solitoniques d enveloppes respectives Ai et Az et ayant une pulsation centrale et o la phase non lin aire induite au cours de la propagation va d pendre des deux impulsions et s exprimera par exemple pour Ai de la fa on suivante D z la 0 1 2 A opk 1 94 Nous voyons ici qu intensit gale le terme de phase crois e 27A r z sera deux fois plus important que le terme d auto modulation de la phase Les cons quences de la XPM notamment sur la propagation d impulsions en r gime WDM ne pourront donc pas tre n glig es 44 Chapitre 1 Propagation de la lumi re dans les fibres optiques R f rences 1 2 4 5 6 10 11 12 13 14 15 G P Agrawal Fibre optic communication system 3nd Ed John Wiley amp Sons Inc 2002 G P Agrawal Nonlinear Fiber Optics Academic Press Optics and Photonics New York 3edition 2001 G Millot and P Tchofo Dinda Encyclopedia of modern optics Elsevier in press 2004 A Boskovic S V Chernikov J R Taylor
2. sse 103 R flectivit en intensit d un r seau de Bragg fibr dont les param tres sont longueur L 8mm et x 5cm soit 6n 2 x 10 sila longueur de Bragg A 1550nm La r flectivit maximale Rmax peut atteindre des valeurs sup rieures 95 quand KL gt 2 et vaut ici 100 KL 4 104 La solution 4 26 pour quelques valeurs des param tres etv les lignes solide repr sentent la raie partie r elle d E rouge et E bleue et les lignes tir es sont les parties imaginaire correspondantes L exposition en trait plein noire le totale intensit du champ lectrique E E 2 eese enne nennen nennen tne 109 L intensit du champ lectrique pour un soliton avec d 1 2 v 0 110 La variation de la longueur FWHM en fonction de et 110 VIII Tableau 1 1 Tableau 1 2 Liste des tableaux l amplitude dela r sonance pour une fibre optique en silice dans la plage de longueur d onde 500 1600 nm sisi caract ristiques des fibres optiques standard ssss sss Introduction g n rale Introduction G n rale Introduction g n rale Ce que l exp rience nous a montr est que nos capacit s communiquer distance ont une influence norme sur l volution de notre soci t La diffusion actuellement courante d Internet et de ses outils informatiques n a d ailleurs jamais donn une grande sinc rit ce pr
3. Figure 2 13 a multiplexeur OADM bas sur un interf rom tre Mach Zehnder deux r seau de Bragg identique sont photo imprim a la longueur A2 sur les deux bras de l interf rom tre b multiplexeur OADM bas sur un coupleur 0 le r seau de Bragg est photo imprim a la longueur 22 dans la r gion du couplage la fonction d insertion de A2 est repr sent 65 Chapitre 2 Etude g n rale des r seaux de Bragg fibr s CIRCULATOR CIRCULATOR INPUT i GRATING outeur Figure 2 14 Filtres optiques a association d un r seau de Bragg et d un FFP b association d un r seau de Bragg et deux FFP G n ralement ce composent est un circulateur Son principe est d crit sur la figure Sur la m me figure est montr un autre filtre en ajoutant un second circulateur coupleur la fonction d insertion peut tre inclues dans le composant Le filtre est transform en un OADM optical add and drop multiplexeur Cependant les circulateurs sont co teux Et c est possible de les remplacer par des dispositifs fibres comme un interf rom tre Mach Zhender ou le m me r seau de Bragg est imprim sur ces deux bras 27 ou bien coupleur 100 ou 0 o le r seau de Bragg est imprim dans sa r gion de couplage 28 11 4 2 Filtre optique 29 Un exemple d application du r seau de Bragg comme filtre optique en association avec un Fabry P rot est d crit dans cet exemple IL4 2 1 Filtre compos
4. I 6 M thode de Fourier pas divis La m thode de Fourier pas divis est une m thode pseudo spectrale rapide qui permet de r soudre num riquement l quation de Schr dinger non lin aire 2 C est un outil puissant qui coupl un bon ordinateur permet de simuler la propagation d impulsions dans les fibres optiques et donc de d velopper des simulateurs de syst mes de transmission d informations par fibres optiques Dans ce m moire une grande partie des simulations num riques pr sent es ont t r alis es l aide de cette 25 Chapitre 1 Propagation de la lumi re dans les fibres optiques m thode de r solution et gr ce des algorithmes d velopp s sous un environnement Matlab Le principe de cette m thode est de consid rer l quation de Schr dinger non lin aire 1 22 comme pouvant se mettre sous la forme suivante DR D N A 1 49 Oz O D repr sente l op rateur des effets lin aires ici la dispersion chromatique d ordre 2 auquel peuvent venir s ajouter la dispersion d ordre 3 ou les pertes de la fibre N repr sente l op rateur des effets non lin aires ici l auto modulation de phase auquel peuvent venir galement s ajouter des effets d ordres sup rieur effet Raman stimul auto raidissement Ces op rateurs sont donn s ici par 2 at 1 50 Il est reconnu que la dispersion chromatique et la non lin arit agissent simultan ment au cours de la propagation d
5. Any z n v z co 2 cy 2 3 O An z est la modification moyenne de l indice de r fraction v z la visibilit ou apodisation de la modulation A la p riode de la modulation et z sa phase On peut identifier ainsi les simulations de diff rents types de r seaux dont la 4 3 4 lett 4 i 0 0 wt Z mm e Figure 2 5 Modulations d indice de diff rents types de r seaux a R seau uniforme b r seau pas variable c r seau amplitude variable d r seau apodis e r seau saut de phase f r seau chantillonn 53 Chapitre 2 Etude g n rale des r seaux de Bragg fibr s modulation d indice est repr sent e par la figure 2 5 a b f Les r seaux uniformes Am z 0 z et v z sont constants et ne varient pas avec Z Les r seaux pas variable chirp s 0 z est non nul le pas du r seau varie avec z x Les r seaux a amplitude variable An z varie en fonction de z de fa on gaussienne Les r seaux apodis s v z varie d une fa on sinuso dale et An p z est constant Les r seaux sauts de phase la phase z varie par endroit de facon discontinue par sauts Les r seaux chantillonn s v z varie d une facon p riodique Plusieurs m thodes existent pour d crire le comportement des r seaux de Bragg afin de les caract riser et de calculer la r flectivit de la fibre r seaux de Bragg Parm
6. 55um a 0 2dB km la puissance critique Raman est d environ 2W tandis que pour une ligne T l com compos e de SMF avec L 100km Ap 80um eta 0 2dB km cette puissance passe 590mW Le ph nom ne de diffusion Raman stimul e peut alors tre exploit pour la g n ration de nouvelles fr quences et de larges continuums ou encore tout simplement comme amplificateur en ligne afin de compenser les pertes d un syst me T l com En effet la bande spectrale du gain Raman tant relativement large 20 THz soit environ 100nm ce dispositif permet d amplifier une large bande de canaux dans des syst mes multiplex s en longueur d onde WDM Par contre ce ph nom ne poss de galement le d faut majeur d amplifier naturellement les canaux de basses fr quences qui sont situ s dans la courbe de gain Raman form e par les canaux de hautes fr quences et de briser ainsi l quilibre du spectre La diffusion Raman peut tre ajout e dans l quation NLS pour des impulsions pas trop courtes FWHM gt 1ps suivant l expression donn e par 38 Chapitre 1 Propagation de la lumi re dans les fibres optiques e 4l T Ot 2 DPI UM CUN JAP A 1 79 amp 28 o T repr sente la pente de la courbe au centre du gain Raman typiquement T 3 5fs 2 Il est alors possible de montrer qu au cours de la propagation ce terme correspond un d calage de la fr quence centrale des impulsions qui pour un soliton
7. J Fatome Propagation d impulsions ultra courtes a 160 Gb s dans des lignes de fibres optiques g r es en dispersion Th se Doctorat Bourgogne France 2004 P A Andrekson H Sunnerud and M Karlsson System Impacts of Polarization Mode Dispersion presented at ECOC 03 Rimini 2003 K Hayata A Misawa and M Koshiba Split step finite element method applied to nonlinear integrated optics J Opt Soc Am B 7 1990 p 1772 46 Chapitre 2 Etude g n rale des r seaux de Bragg fibr s Etude g n rale des r seaux de Bragg fibr s 47 Chapitre 2 Etude g n rale des r seaux de Bragg fibr s II 1 Introduction Ce chapitre pr sente plus en d tail les r seaux de Bragg fibr Cette explication d bute par la d couverte de ceux ci la m thode de fabrication et quelques l ments th oriques Sans toutefois d crire en d tail tous les aspects math matiques de la m thode de calcul du spectre optique des r seaux de Bragg les l ments principaux et la nomenclature utilis e y sont d voil s Dans la mesure o le lecteur est peu familier avec les m thodes de simulation des r seaux de Bragg il est fortement conseill de lire la r trospective effectu e par Turan Erdogan en 1 II 2 Rappel historique Les r seaux de Bragg Le r seau de Bragg est un filtre passif photo induit dans le coeur d une fibre optique permettant la r flexion s lective de longueurs d onde Il consiste
8. Mais pour certains mat riaux poss dant des qualit s optiques non lin aires c est a dire dont les propri t s indice de r fraction ou absorption peuvent tre modifi es par la pr sence de lumi re la propagation d impulsions optiques dans l espace ou dans le temps peut tre alt r e En particulier si l indice de r fraction du milieu est modifi par le biais de la lumi re il est possible sous certaines conditions d liminer l largissement 77 Chapitre 3 Th orie des ondes solitaires et solitons optiques temporel ou spatial de l impulsion Ceci se produit lorsque l effet de dispersion chromatique ou de diffraction est contrebalanc par l effet de la modification auto induite de l indice de r fraction On parlera alors de solitons temporels optiques dans le cas d une compensation de la dispersion chromatique et de solitons spatiaux optiques lors de la neutralisation de la diffraction du faisceau Par ailleurs en optique lin aire deux faisceaux ou impulsions peuvent se croiser sans interagir En r gime nonlin aire il en va tout autrement puisque le milieu est justement sensible l intensit totale du champ coupl et d pend donc des amplitudes des diff rentes composantes en pr sence Les solitons bien qu existant en r gime nonlin aire ont la propri t extraordinaire de pouvoir survivre un croisement en pr servant leur nergie leur quantit de mouvement et leur forme Il s agit d une propri t
9. nous avons introduit le coefficient de r flexion en amplitude r K avec 1 r K TA T 4 20 2 eT m Irc exprime en effet la quantit d nergie qui est transf r e de l onde progressive vers l onde r gressive r fl chie par le r seau de Bragg 103 Chapitre 4 Th orie des solitons dans les r seaux de Bragg fibr s 0 8 0 6 ge O 4 o 4 3 2 O I 2 3 q k Figure 4 2 R flectivit en intensit d un r seau de Bragg fibr dont les param tres sont longueur L 8mm et x 25cm soit n 2x10 si la longueur de Bragg A 1550nm La r flectivit maximale peut atteindre des valeurs sup rieures 95 quand KL 2 2 et vaut ici 10096 KL 4 15 la figure 4 2 nous pr sentons titre d illustration la caract ristique en r flexion d un FBG devenu un composant fibr stantard dans les syst mes de t l communications par fibres optiques Cette fonction est obtenue en r solvant les quations coupl es lin aires dans le domaine fr quentiel 4 14 partir de conditions initiales appropri es 14 15 On observe que la r flexion d un r seau fini est tr s importante pr s de 99 et relativement uniforme sur une plage de fr quences r duites 2x correspondant la largeur de la bande interdite Les ondes la longueur d onde 4 mais aussi des longueurs d onde voisines subissent donc la r flexion de Bragg La r flectivit
10. I Anomalous dispersion Appl Phy Lett vol 23 pp 142 1973 3 L F Mollenaueur R H Stolen and J P Gordon Experimental Observation of Picosecond Pulse Narrowing and Solitons in Optical Fibers Phys Rev Lett vol 45 pp 1095 1098 1980 4 Y Silberberg Collapse of optical pulses Opt Ltt 15 1282 1284 1990 Chapitre 1 Propagation de la lumi re dans les fibres optiques Propagation de la lumi re dans les fibres optiques Chapitre 1 Propagation de la lumi re dans les fibres optiques I 2 G n ralit s sur les fibres optiques La fibre optique est un guide d onde di lectrique constitu essentiellement de silice fondue SiOz De mani re g n rale et sch matique la figure 1 1 a en illustre la structure gr ce un d veloppement en trois dimensions La fibre optique est constitu e d un coeur cylindrique de quelques um de diam tre a et d indice optiquen Une gaine ext rieure d un diam tre plus lev b et d indice ng enrobe le cceur tandis qu une gaine plastique de protection enveloppe le tout Le guidage de la lumi re dans le coeur de la fibre est assur par r flexion totale l interface coeur gaine et est obtenu lorsque l indice de r fraction du c ur est sup rieur celui de la gaine optique Le c ur et la gaine tant principalement constitu s de silice fondue la diff rence d indice entre ces deux parties est obtenue par adjonction de dopants Le Germanium ou le
11. X c x and Z c z We now proceed to solve for 4 A for successive orders in e Bal ancing the o c terms gives 1 LU ioa i Jes 7 This linear problem has the solution _ i 1 ikt Ur x amp a 1 Jew 8 3 2 Next we continue computing higher order corrections to A A_ Balancing the o c terms gives 1 D LU ie 4 J rufa i Jew cc 9 Note that the right hand side has slowly varying terms arising from U since B e js in the null space of L the physical requirement that 1 HAt 0 araa 0 10 In order to see the impact of higher order effects we continue to balance o c terms 1 c t and this gives rise to T i 1 LU ia Qoa 470 4 jS C4 E Je KL cc 11 Using 10 we have 1 0 i0 4 ji amp 3I 4 A 12 Therefore the equation for U3 can be rewritten as T 2 PT l 5 Le LU icta 0 4 2A 0 A tag 0 4 E e KL ec 13 whose solution 1s 1 2 2 1 3 1 ikt i 03 14 U Ig ria 0 4 24 0 A 37044 4 cc 14 Eq 14 represents the perturbation terms that must be added to the NLS equation when we consider the higher order effects in the FBG structure With this result the NLS equation changes into PNLS equation which is presented as follows 1 1 1 i 02 4 3T AP A 33A i 21 2 4 0 4 420 4 0 15 10 4 4 05 3 A t z Tu 214 0 4 15 The above PNLS equation represents the nonlinear puls
12. adoptons la solution de l amplitude complexe qui s crit sous la forme A z q z te 4 48 Avec q z t la fonction d enveloppe complexe et O z t kz ot est le shift lin aire de la phase En ins rant cette solution dans l quation 4 47 et en levant le terme exponentiel et l quation r sultante s crit o oo 3o 1 395 D xs id pdt cae OG adc q xim 2k gi G TEL 4 ET ai de 8k po 4 49 Oo 2 Di 2 3r a gi 2lg 0 4 q 0 q 0 adl q DM d 470 4 dans le suivant nous recherchons les solutions des ondes solitaires dont les valeurs asymptotique ne s approchent pas de z ro lorsquele temps s approche l infini Cr o0 et en utilise la fonction d essai Ansatz suivante q z t iff Atanh Py t Bz ipsech P t B2 4 50 Ou les param tres P et 5 sont la largeur d impulsion et le d calage de l inverse de vitesse de groupe respectivement L amplitude q z t s crit sous la forme azt 22 B 2Bpsech P t 2 o 22 sech P t Ba 450 Substituant l quation 4 50 dans l quation 4 49 on s parant les termes de tanh aux termes de sech pour que les coefficients aux termes ind pendants contenants des combinaisons ind pendantes de ces fonctions hyperboliques soient gales a z ro apr s la s paration entre les parties r elles et imaginaires nous obtenons les huit 8 quations param triques suivantes 26 3 2 3r 2 A P 0
13. globale R du FBG est d autant plus lev e que la longueur Ldu r seau ou la variation d indice n est grande De plus on peut montrer que la plage de longueurs d onde ou de fr quences affect e par le r seau qui est proportionnelle ak s largit lorsque la profondeur de modulation n augmente n apparait ainsi comme une mesure de l efficacit du FBG r fl chir l nergie d une onde qui y est inject e c est dire transmettre l nergie d une onde progressive vers une onde r gressive La description des propri t s des FBGs s est limit e jusqu pr sent aux seuls effets lin aires d interaction lumi re mati re Lorsque la r ponse non lin aire de la fibre 104 Chapitre 4 Th orie des solitons dans les r seaux de Bragg fibr s est prise en compte la propagation des ondes dans les FBG est profond ment modifi e Des solutions solitons peuvent exister a des fr quences proches mais en dehors de la bande interdite Bien plus des structures d ondes solitaires peuvent encore se propager dans la bande interdite IV 2 3 Th orie des modes coupl s non lin aires La th orie de modes coupl s a la simplicit qu elle peut facilement tre prolong e pour introduire des non lin arit s Nous commengons partir de l quation non lin aire 4 1 avec la polarisation non lin aire donner par 1 10 Comme E et P sont des vecteurs et sont ainsi impairs sous la sym trie d inversion le coefficient du second
14. la r ponse non lin aire comme instantan e La contribution lectronique la non lin arit a en effet un temps de r ponse estim quelques femtosecondes au plus tandis que la contribution mol culaire retard e que nous n gligeons ici a un temps de l ordre de 60 70 fs dans la silice 9 Enfin nous avons omis la contribution non locale de la r ponse non lin aire cubique parfaitement n gligeable dans le contexte qui nous occupe 7 partir des quations constitutives 1 24 et 1 26 pour les polarisations lin aire et non lin aire P n l quation de propagation 1 27 des ondes lumineuses dans les fibres en silice peut se r crire pour chaque composante E de l amplitude complexe du champ lectrique comme suit 2 AEG 0 T E 9 0 uyo B 7 0 1 28 C 1 5 Les sym tries des tenseurs de susceptibilit Nous introduisons pr sent les relations entre les composantes des tenseurs de susceptibilit qui conduisent leur simplification Nous commen ons par les relations qui d coulent de sym tries propres aux tenseurs sans hypoth se particuli re quant au milieu de propagation La premi re sym trie r sulte du fait que les vecteurs E Pet D sont des grandeurs purement r elles car physiquement mesurables En particulier les composantes lin aires P F t obtenues partir des quations 1 24 et 1 26 et les composantes non lin aires P 7 1 obtenues pareillement partir des qua
15. qui d termine l change d nergie entre les modes tel que repr sente le coefficient g n ral du 1 1 2zAn4 z 1480 o 2m UMP A 2 dz couplage moyen DC dont le premier terme donne la syntonisation detuning wave vector initiale des deux modes ind pendante de z z le second terme d crit la perte d absorption dans le r seau et le troisi me est un ventuel chirp dans le cas des r seaux pas variable Le facteur de confinement est consid r gal 0 8 cas d une fibre optique monomode IL3 1 Solutions analytiques pour r seaux de Bragg uniformes Les coefficients de couplage o et k sont constants pour un r seau uniforme de 0 L Dans ce cas les quations pr c dentes peuvent tre r solues analytiquement en d rivant les quations 2 4a et 2 4b on obtient alors oU e ou 2 5a uy k oy 2 5b En appliquant les conditions limites U 0 1 et V L 0 on obtient le coefficient de r flexion ci dessous r V 0 ksinh I 0 IL Q 6 Jk 0 cosh Je a n ic sinh Je 0 Z par la suite la r flectivit associ e au r seau de longueur Z qui est donn e par n2 ae Rare sinh Jk o IL 2 7 56 Chapitre 2 Etude g n rale des r seaux de Bragg fibr s Les quatre param tres essentiels d un r seau de Bragg sont alors son pas sa longueur le profil de son indice de r fraction et sa force de couplage K La Figure 2 7 illustre une simulation
16. 2 devant eux s appelle Modulation de phase crois e XPM et les autres dites Auto modulation de la phase SPM IV 2 3 1 Soliton de Bragg Les solitons de Bragg se propag s des fr quences pr s mais en dehors de la bande interdite ces solitons r sultant de la compensation de la dispersion du r seau par la non lin arit de la fibre o le r seau de Bragg est inscrit Sipe et De Sterke ont montr que la propagation de ces solitons est d crite par une quation de Schr dinger non lin aire NLS standard qu on peut d river des quations aux modes coupl s 4 25 compl t es de termes repr sentant la contribution non lin aire la propagation auto et intermodulation de phase Des solitons brillants qui se propagent sans d formations peuvent donc exister dans le r gime de dispersion normale de fibre puisque la dispersion du r seau l emporte sur la dispersion mat rielle Lorsque la r ponse non lin aire de la fibre est prise en compte la propagation des ondes dans les FBG est profond ment modifi e Des solutions solitons peuvent exister des fr quences proches mais en dehors de la bande interdite Bien plus des structures d ondes solitaires peuvent encore se propager dans la bande interdite dite Gap Soliton Aux sections qui suivent nous allons pr senter ces ondes solitaires Gap solitons comme propagation des impulsions dans la bande interdite puis caract riser ces ondes solitaires et finalement r soudre
17. 2001 8 Dominguez Adame et al Soliton pinning by long range order in a periodic systems Phys Rev E 52 2183 1995 9 Cuenda amp Sanchez Soliton dynamics in a simple model of DNA Importance of the sequence nonlinear dynamics of spatio temporal selforganization barcelona UC3M 2004 10 Arai et al Wall solution with weak gravity limit in five dimensional supergravity Phys Lett B 556 192 204 2003 11 Ichinose _ Some properties of domain wall solution in the randall sundrum model Class Quantum Grav 18 5239 5248 2001 12 Th se Doctorat Bourgogne France 2004 13 Korteweg amp de Vries On the change of form of long waves advancing in a rectangular canal and on a new type of long stationary waves Philosophical Magazine 39 422 443 1895 14 Zabusky amp Kruskal _ Interactions of solitons in a collisionless plasma and the recurrence of initial states Physical Review Letters 15 240 243 1965 94 Chapitre 3 Th orie des ondes solitaires et solitons optiques 15 Bullough The wave par excellence the solitary progressive great wave of equilibrium of the fluid an early history of the solitary wave In m lakshmanan solitons springer series in nonlinear dynamics new york 150 281 1988 16 Bullough amp Caudrey Solitons and the korteweg de vries equation Integrable systems in 1834 1995 Acta Applicandae Mathematica 39 193 228 1995 17 Segev Special issue on solitons Opt
18. Fraz o L M Marques S Santos J M Baptista and J L Santos Simultaneous Measurement for Strain and Temperature Based on a Long Period Grating Combined With a High Birefringence Fiber Loop Mirror IEEE Photon Techno Lett vol 18 pp 2407 2409 2004 Li Xiaohong Wang Dexiang Zhao Fujun and Dai Enguang Simultaneous independent temperature and strain measurement using one fiber bragg grating based on the etching technique Microwave and optical technology lett vol 43 pp 478 481 2004 X Chapeleau et al Determination of strain distribution and temperature gradient profils from phase measurements of embedded Fibre Bragg Gratings J Opt Pure and Appl Opt vol 8 pp 775 781 2006 LRIANT Fiber Bragg grating for optical telecommunication C R Physique pp 41 49 2003 J L Rebola A V T Cartaxo Performance Optimization of Gaussian Apodized Fiber Bragg Grating Filters in WDM Systems Journal of lightwave technology Vol 20 No 8 pp 1537 1544 August 2002 F BAKHTI F BRUYERE X DAXHELET X SHOU J DA LOURA S LACROIX P SANSONETTI Electron Lett 35 12 pp 1013 1014 1999 F BAKHTI P SANSONETTI C SINET L GASCA L MARTINEAU S LACROIX X DAXHELET F GHONTIER Electron Lett 33 9 pp 1312 1324 1999 B ORTEGA J CAMPANY J L CRUZ Wavelength division multiplexing all fiber hybrid devices based on Fabry Perot s and Gratings Journal of lightwave technlology vol 17 No7 pp1241 1247 July 1999 I RIAN
19. accordabilit continue L association de plusieurs r seaux a des diff rentes longueurs d onde permet de r aliser des lasers multi longueurs d onde 11 4 5 Les amplificateurs L aplatissement du gain de l amplificateur EDFA essentiel dans la transmission WDM est aujourd hui l une des principales applications de r seau de Bragg FBG L insertion d un filtre optique o son spectre repr sente l inverse de celui de du gain de l EDFA est aujourd hui la solution unique Les r seaux de Bragg court p riode sont g n ralement utilis s pour l galisation du gain La p riode du r seau est chirp et la modulation de l indice est faite pour former le spectre Leur seul inconv nient c est qu il faut ajouter un isolateur pour supprimer les r flexions sur l amplificateur Deux autres types de r seaux peuvent ma triser ce probl me de r flexion r seau inclin de court p riode et r seau longue p riode II 5 Conclusion Nous avons pr sent dans ce chapitre une tude g n rale sur les r seaux de Bragg fibres optiques et d crit ensuite les deux param tres caract ristiques des r seaux de Bragg son pas et son indice de r fraction Ensuite nous avons tabli la relation de la r flectivit de ce r seau en fonction de la longueur d onde afin de trouver enfin la relation entre la longueur d onde de Bragg et les perturbations ext rieures d formations temp rature pression qui modifient le pas et l indice de r fra
20. apr s une distance consid rable de propagation Mais vraiment les points noirs des communications optiques ont t s clart s par la d couverte th orique de soliton optique par Hasegawa et Tappert en 1973 2 puis de son observation exp rimentale en 1980 par Mollenauer et ses collaborateurs 3 Alors les chercheurs et les industriels taient d s lors capables de faire propager une impulsion sans d formation la vitesse de la lumi re sur de tr s longues distances et avec une large bande passante D origine intrins quement non lin aire la propagation de soliton ou d onde solitaire constitue en effet un ph nom ne universel qui apparait d s lors qu une non lin arit auto induite affecte la dispersion spatiale et ou temporelle naturelle d un ph nom ne ondulatoire De mani re simple un soliton est une d formation locale d une Introduction g n rale grandeur physique l vation d un fluide enveloppe d un champ lectromagn tique ou paquet d ondes localis qui en perturbant suffisamment la r ponse d un environnement mat riel adapt peut compenser l talement lin aire naturel de la d formation elle m me La propagation peut ainsi devenir invariante et dans certains cas robuste vis vis de perturbations externes ou de collisions ventuelles avec d autres solitons En optique on classe jusqu pr sent les ph nom nes solitoniques dans deux grandes cat gories selon que la ou les dimensio
21. chromatique Lorsqu une onde lectromagn tique se propage dans un mat riau di lectrique elle interagit avec les lectrons li s ce mat riau La dispersion chromatique exprime alors le fait que la r ponse de ce milieu et en particulier son indice de r fraction nlo d pende de la fr quence de londe incidente Loin des fr quences de r sonance du mat riau la d pendance de l indice de r fraction vis vis de la pulsation peut tre valu e avec une bonne approximation gr ce aux quations de Sellmeier donn es par 1 2 2 2 TONES 2 e y E 1 3 j O cj A et B repr sentent respectivement la pulsation la longueur d onde dans le vide et l amplitude de la ji me r sonance Comme le montre l quation 3 la somme s tend sur toutes les fr quences de r sonance du mat riau consid r et correspond pour une fibre optique en silice dans la plage de longueur d onde 500 1600 nm une somme de trois termes m 3 d finie par les trois r sonances suivantes 2 m A nm Bj 1 68 4043 0 6961663 2 116 2414 0 4079426 3 9896 161 0 8974794 Comme la vitesse de propagation d une onde monochromatique dans un milieu d indice n est donn e par Ties avec c c l rit de la lumi re dans le vide une impulsion lumineuse compos e de plusieurs composantes spectrales et voyageant au sein d une fibre optique verra ses composantes spectrales se propager des vitesses diff rentes pour f
22. compensatrices montrent plus d att nuation lors de la transmission donc il faut ajouter des amplificateurs En outre ces fibres sont sensibles aux effets non lin aires Ces derni res ann es l utilisation des r seaux chirp s pour remplacer les fibres compensatrices est devenue de plus en plus fr quente Par exemple un r seau de Bragg est utilis en r flexion en association avec un circulateur Le principe est montr sur la figure 2 15 Les grandes longueurs d ondes sont imm diatement r fl chies tandis que le plus courtes se propage un peu plus La solution est int ressante puisque on remarque des pertes minimes peu encombrantes et l insensibilit aux effets non lin aires La dispersion introduite peut tre exprim approximativement par Incident signa o A m Ap Figure 2 15 principe de la compensation de la dispersion chromatique en utilisant un r seau de Bragg chirp en association avec un circulateur 67 Chapitre 2 Etude g n rale des r seaux de Bragg fibr s naL SURGIT sini DC cAA AA mm 2 23 o Let AA repr sentent respectivement la longueur et la variation de la longueur d onde n l indice effectif du coeur et c la vitesse de la lumi re qui sont remplac eff respectivement par 1 45 et 3 108 m s La formule prouve que la compensation de la dispersion de 100km de fibre de transmission est possible pour un canal en utilisant un r seau de longueur inf rieur 100 m
23. d calage de l onde vers la zone interdite dans le Gap ce qui permis la formation d une impulsion propageant dite Gap soliton Aux puissances lev es cet quilibre est r alis dans quelques centim tres de propagation d impulsion et ayant la m me forme forme unique d avoir une gamme compl te des vitesses de z ro jusqu la vitesse de la lumi re dans le milieu uniforme selon l endroit de la fr quence du champ lectromagn tique Introduction g n rale Ce manuscrit a pour objectif d apporter une contribution aux efforts engag s au cours de la d cennie r pandue par les physiciens sp cialiste de l optique non lin aire a raison d identifier clarifier et classifier les conditions de g n ration des impulsions qui sont localis es dans un domaine temporel et dite Gap soliton et la dynamique non lin aire de leur propagation Pour cet objectif de notre th se nous avons organis ce manuscrit en quatre chapitres distincts suivant Le but du premier chapitre est de pr senter quelques g n ralit s sur la propagation de la lumi re dans les fibres optiques Nous introduirons les notions de base la compr hension du m canisme de transport de l information notamment l quation de Schr dinger non lin aire qui gouverne l volution du champ lectrique comme une onde porteuse de l information lors de sa propagation dans une fibre optique Le deuxi me chapitre sera enti rement consacr la d couverte d
24. degr y doit dispara tre en n importe quel mat riel car les tenseurs dela susceptibilit microscopique d ordre 2 sont dirig s al atoirement et se compensent en moyenne ce qui annule le tenseur de susceptibilit macroscopique X4 Agrawal 14 Nous supposons en plus une non lin arit faible ainsi nous consid rons seulement le terme non lin aire principal d ordre 3 7 Avec cette supposition la polarisation non lin aire sera simplifi e Pus EXE zt 4 21 Et l quation d onde non lin aire devient a elz a 8 3 ai ED 4 22 Le second membre de l quation 4 22 peut s crit sous la forme 49 amp 29 a PEt a eny E z th 4 E ae REG 7 4 23 C L insertion de l ansatz 4 9 dans Eq 4 12 rapportent beaucoup de termes mais puisque nous supposons la faible non lin arit et l approximation de l enveloppe qui varie lentement 4 11 on obtient l quation 3 2 37 ow 2 lu Pe iol Pe prso QE E e E jen 4 24 C En rassemblant les deux quations 4 24 et 4 13 finalement on trouve les quations non lin aires de modes coupl s 105 Chapitre 4 Th orie des solitons dans les r seaux de Bragg fibr s 2 QE z t 240 e ct E f JE 0 c t Oz s 4 25 2 6E z t 2 E z t rE ef Jz f 0 c t Oz 3 2 avec le coefficient de couplage non lin aire T te et K am c c Les termes non lin aires avec des
25. des imperfections g om triques de la fibre optique occasionn es par son proc d de fabrication Elle se caract rise alors par une faible bir fringence r partie le long de la fibre de mani re al atoire Comme le montre la figure 1 4 la PMD se mod lise usuellement en consid rant la fibre optique comme une concat nation de troncons bir fringents de faible longueur Az 10m et de bir fringence An dont les axes neutres subissent une rotation al atoire la fin de chaque troncon 2 17 18 Si la PMD ne pose aucun probl me pour des ondes continues ou des impulsions tr s larges elle devient un effet pr dominant pour des impulsions ultra courtes 1ps En effet comme le montre la figure L4 lorsqu une impulsion est inject e dans une fibre optique poss dant une PMD non n gligeable son tat de polarisation va varier de mani re al atoire au cours de sa propagation Au sein de chaque tron on bir fringent les deux composantes de polarisation orthogonales vont se d placer des vitesses diff rentes et engendrer apr s propagation dans un grand nombre de tron ons un Figure 1 4 Mod lisation de la dispersion modale de polarisation dans une fibre optique 32 Chapitre 1 Propagation de la lumi re dans les fibres optiques retard total al atoire appel DGD differential group delay et donc un largissement et une d formation al atoire des impulsions 17 18 Le DGD est une variable stochastique puisqu il v
26. entre les deux extr mit s de la fibre avec l onde aller et l onde r fl chie par la face cliv e de la fibre une modulation d indice durable de pas A tait apparue dans le c ur iA Aas 27 2 2 n Gr ce la relation de Bragg il est facile de v rifier que la longueur d onde r fl chie par ce r seau est la longueur d onde incidente Des montages plus volu s par insolation transverse montage du miroir de Lloyd 4 ou du masque de phase 5 6 ont permis par la suite de fabriquer des r seaux r fl chissant une longueur d onde diff rente de la longueur d onde d insolation et de lancer v ritablement l int r t pour ce type de r flecteur pour le filtrage en longueur d onde des r seaux DWDM Ces deux principales m thodes qui peuvent tre utilis es la fois pour photo inscrire des guides plans int gr s et des fibres sont bri vement d crites ci dessous II 2 3 Inscription par le montage du miroir de Lloyd Division du front d onde Le faisceau laser UV est largi dans le plan horizontal gr ce un t lescope cylindrique afocal pour qu il ait une taille deux fois plus grande que celle du r seau voulu Figure 2 2 50 Chapitre 2 Etude g n rale des r seaux de Bragg fibr s Ensuite une lentille cylindrique parall le a la fibre permet de focaliser le faisceau dans le plan vertical sur le coeur a photo inscrire La fibre est alors plac e de telle sorte qu une partie de la fibre soit in
27. est une superposition de modes guid s le mode fondamental HE11 non d g n r et de modes radi s on n glige toutefois les modes radi s car on a suppos que la propagation avait lieu sans pertes 11 Ce champ poss de trois composantes E E et E non nulles Or dans les fibres optiques monomodes usuelles la diff rence d indice entre le coeur et la gaine est faible de l ordre de 10 3 de sorte que la composante longitudinale E E E Nous faisons ici l hypoth se que nous pouvons la n gliger c est l approximation de guidage faible 2 12 Le champ dans une fibre optique monomode s approche ainsi d une onde plane le front d onde devenant strictement plan sur l axe de la fibre Cette approximation nous permettra dans la suite de reprendre le formalisme d velopp pour les ondes planes pour l appliquer la propagation dans les fibres optiques L extension de ces r sultats est justifi e la section pr c dente Enfin on suppose que l anisotropie la r ponse non locale lin aire et la non lin arit peuvent tre consid r es comme des perturbations par rapport la r ponse lin aire isotrope soit respectivement 10 22 Chapitre 1 Propagation de la lumi re dans les fibres optiques E gt A ijz PANNE E K o 1 39 O est une amplitude du champ lectrique de grandeur typique Cette relation est parfaitement v rifi e dans les fibres optiques en silice ot il s av re que c
28. fibres optiques des processus de m lange quatre ondes et de l effet Kerr Ces deux effets sont de toute premi re importance tout niveau dans notre travail de th se Enfin les termes non lin aires d ordres sup rieurs habituellement n glig s car les effets qu ils produisent sont tr s faibles loin des r sonances Pour tenir compte de la causalit la r ponse au temps t affecte le champ au temps 14 7 et de l ventuelle non localit de la r ponse P la r ponse en un point 7 affecte les points en r p chaque terme de la s rie 1 9 est en fait une double int grale sur le temps de oo t et sur la coordonn e spatiale r sur un volume V autour du point consid r La fonction de r ponse du milieu est donc contenue dans les tenseurs de susceptibilit di lectrique y et y Un certain nombre de sym tries existent au sein des tenseurs de susceptibilit qui conduisent leur simplification La sym trie la plus importante est celle du milieu car elle impose une sym trie sp cifique la r ponse optique En particulier nous avons d j soulign que la r ponse non lin aire quadratique 7 tait nulle puisque la silice est un milieu centro sym trique Nous verrons plus loin section I 5 les autres sym tries prendre en compte dans les fibres optiques et maintenons pour l instant la g n ralit du tenseur Nous supposons encore que les ondes lumineuses trait es ici peuvent tre consid r es co
29. firent te tee eit a Ces nr 45 Chapitre II tude g n rale des r seaux de Bragg fibr s ss 47 IL T Int odUCtiOTI sn ete ei niet lente ce Qut ua eee oua 48 II 2 Rappel historique Les r seaux de Bragg en 48 1I 2 2 M thodes d inscription ane thee ctp teen dada tintin 50 1I 2 3 Inscription par le montage du miroir de Lloyd Division du front d onde 50 II 2 4 Inscription par le montage du masque de phase Division d amplitude 52 1I 2 5 Les types de r seaux de Bragg droit pas courts ss 53 II 3 Mod lisation des r seaux de Bragg fibre Th orie des modes coupl s 54 II 3 1 Solutions analytiques pour r seaux de Bragg uniformes 56 1I 3 2 Solution num rique pour les r seaux de Bragg non uniformes 59 1I 3 4 M thode de simulation matricielle 59 1I 3 5 Transducteur r seau de Bragg enlist MU ane 2 60 1I 3 6 Sensibilit du r seau de Bragg l allongement reati uum PE ai 61 II 3 7 Sensibilit du r seau de Bragg la temp rature sss 63 1I 3 8 Sensibilit du r seau de Bragg la pression hydrostatique sss 63 1I 3 9 Mesure simultan e de temp rature et de d formation ss 63 II 4 Application des r seaux de Bragg la t l communication sss 64 IIL4 1 Filtrage et multiplexage ire 65 MA
30. gligeable devant le changement de son indice de r fraction et de la longueur physique 19 On proc de avec les m mes tapes pr c dentes en tenant compte que 1 av et que Le d calage de la longueur d onde en fonction de la variation de pression consid r e hydrostatique peut donc s crire comme suit 2 A z zl E ins an AE Q 21 o E est le module de Young de la fibre O E est le module de Young de la fibre II 3 9 Mesure simultan e de temp rature et de d formation Comme nous avons vu pr c demment le r seau de Bragg est la fois sensible aux d formations la temp rature et la pression Il est donc courant de mesurer les deux param tres dominants par exemple les d formations et la temp rature simultan ment Pour ce faire plusieurs techniques ont t d j propos es n cessitant dans la majorit des cas deux quations ind pendantes Citons en quelques unes 63 Chapitre 2 Etude g n rale des r seaux de Bragg fibr s L utilisation d un capteur r seau de Bragg dont la fibre introduite une fibre optique compos e de deux axes lent et rapide pour la propagation de la lumi re ce qui est traduit par deux valeurs de An diff rentes suivant l axe lent ou rapide La bir fringence de cette fibre conduit ensuite deux d calages diff rents de la longueur d onde de Bragg et ensuite deux param tres perturbateurs estimer 22 Deux r seaux de Br
31. la longueur d onde de Bragg d sir e L inconv nient principal de cette m thode est la n cessit d avoir une source relativement coh rente la fois temporellement et spatialement De plus il est difficile d optimiser le profil de modulation forc ment gaussien pour am liorer la r ponse spectrale du r seau 11 2 4 Inscription par le montage du masque de phase Division d amplitude Un masque de phase est constitu par une lame de silice sur laquelle ont t grav es des bandes rectangulaires espac es de 2L de m me profondeur constituant un r seau Ce dernier diffracte environ 8096 de la lumi re du laser incident dans les ordres 1 et 1 lorsque la profondeur est judicieusement choisie Ainsi il se forme une figure d interf rences dont les franges insolent le guide perpendiculairement son axe et cr ent une modulation de l indice du coeur avec un pas L deux fois plus petit que celui du masque Figure 2 4 Ordre 1 m Ordre 1 C ne d interf rence AN EAE ay TED ER Tcr Masque de Fai phase Fibre photosensible Figure 2 4 Sch ma d exposition ultraviolette de la fibre 52 Chapitre 2 Etude g n rale des r seaux de Bragg fibr s 11 2 5 Les types de r seaux de Bragg droit a pas courts D une mani re g n rale un r seau de Bragg est une modulation p riodique de l indice An z du coeur de la fibre On peut formuler cette perturbation d indice comme suit 7 8 9
32. lange quatre ondes FWM La premi re partie de ce chapitre tait essentiellement consacr e la propagation d un seul champ lectrique au sein d une fibre optique Cependant en r alit et en particulier dans des applications T l coms multiplex es en longueur d onde WDM bon nombre de signaux diff rentes longueurs d onde se propagent simultan ment au sein de la m me fibre optique La pr sence de ces signaux diverses longueurs d onde engendre alors sous certaines conditions un grand nombre d effets non lin aires comme le m lange quatre ondes la modulation de phase crois e l instabilit modulationnelle induite l amplification Raman ou la diffusion Brillouin stimul e 1 2 3 20 D une mani re g n rale ces effets non lin aires traduisent la g n ration de nouvelles fr quences par l interaction non lin aire et l change d nergie de signaux qualifi s de pompes vers de nouvelles fr quences qualifi es galement de Stokes ou d anti Stokes Consid rons deux champs lectriques E et E de pulsations respectives et tel que gt et se propageant simultan ment au sein d une fibre optique Si nous supposons les deux champs lectriques polaris s rectilignement suivant le m me tat de polarisation le champ total s crit simplement E E b Dans l hypoth se o l cart tot O O as de fr quence Ao o a est faible devant la fr quence centrale o Lu
33. lasers puls es taient n cessaires afin de g n rer les premiers solitons spatiaux les solitons Kerr Il est aussi envisageable d avoir recours des mat riaux exhibant une plus forte r ponse non lin aire A ce titre des efforts consid rables portant sur l am lioration des mat riaux ont t r alis s Depuis la d monstration des solitons spatiale photo r fractifs l aide de source continues de faible puissance et m me l aide de sources blanches lampe incandescence a r volutionn ce champ de recherche La physique des solitons spatiaux reste plus riche car la diff rence des solitons temporels le pi geage se produit dans une ou deux dimensions transverses et dans des mat riaux non lin aires de diff rents types Le soliton spatial est d autant plus fascinant qu il comporte diff rents aspects qui ne trouvent pas d quivalent chez son homologue temporel par exemple l auto focalisation en configuration 1 D la spiralit 27 l existence de vortex optiques la formation de motifs complexes ou des structures localis es dans les cavit s tout ceci est observable gr ce des configurations 2 D stables Ces multiples aspects des solitons spatiaux ont grandement stimul l int r t pour ce champ de recherche comme en t moigne le nombre fleurissant de r sultats publi s depuis une dizaine d ann es Rapidement nous allons d crire quelques exemples cl s de ce champ de recherche pour illustrer la richesse de ces
34. les constituent Elles n ont pourtant jamais t observ es exp rimentalement en raison de l impossibilit d injecter de la lumi re dont la fr quence serait choisie dans la bande interdite associ e au milieu p riodique Nous pouvons maintenant terminer ce m moire en envisageant diff rentes perspectives et futurs d veloppements bas s sur ce travail de th se Parmi ces perspectives il serait dans un premier temps int ressant d approfondir l tude sur la dynamique des solitons dans les r seaux de Bragg fibr s comme une porteuse de l information compenser par la variation de leur indice de r fraction avec une dispersion am nag e D autres tudes plus fondamentales peuvent finalement nourrir ces perspectives comme la caract risation de l instabilit modulationnelle au sein d un r seau gestion de la dispersion ou encore le d veloppement d une technique de r flectom trie pour la mesure locale des param tres physiques d une ligne de transmission bas e sur ce genre de soliton Ce travail peut tre approfondi et nous sommes p n tr s que ces applications seront tr s riches dans les domines de la physique la chimie et la biologie o le comportement dynamique est d crit par l quation de Schr dinger A titre d exemple nous pouvons mentionner les fonctions des traitement parall le la technique de filtrage et d amplification optique dans les lignes de transmission fibres optiques des op rations logiques du r
35. les r seaux de Bragg non uniformes Cette m thode dite matricielle elle est plus rapide et plus stable que la m thode num rique expliqu e pr c demment 11 3 2 puisque on divise le r seau de Bragg non uniforme en N 1 sections Figure 2 10 consid r es uniformes Uo U LI Un P fi NEG peg Po i Vo ZEE AE i Vy HII l 7 5 5 n i i Ay Ay Figure 2 10 Repr sentation sch matique de la simulation matricielle 59 Chapitre 2 Etude g n rale des r seaux de Bragg fibr s Avec An z et A et K constants dans cette section On applique d abord sur chaque section la m thode analytique 1L3 2 afin de trouver la matrice de propagation travers chaque section uniforme A On peut ensuite calculer le produit des matrices individuelles pour trouver les amplitudes de sortie suivant la relation 18 P3 ro 2 10 V L V 0 f a tel que T MS PU pad D Ty L amplitude du coefficient de r flexion est d termin e par V T T avec les conditions limites U 0 Uo 1 et 0 11 3 5 Transducteur r seau de Bragg tant donn l influence de la temp rature et des d formations sur les param tres n et A du r seau de Bragg la longueur d onde r fl chie sera ainsi sensible et variera aussi en fonction de ces ph nom nes physiques La figure 2 11 montre le principe pour mesurer les variations de temp rature et de P Signal d e
36. lin aires 4 13 Pour ce faire on r sout d abord les quations E z Safer fpe 4 16a E z 0 be b e 4 16b o les coefficients constants f f b b sont d termin s par les conditions initiales et o K Q est la contribution du r seau la constante de propagation En introduisant cette solution dans les quations coupl es 4 14 on constate que les constantes ne sont pas toutes ind pendantes mais satisfont les relations suivantes K q fi xh K q b f K g b f K q f Se Pour que le syst me 4 14 poss de des solutions non triviales il faut n cessairement que K v rifie la relation de dispersion suivante K 4J e gt Q K N Kk 4 18 n L allure de cette relation est repr sent e la figure 4 1 102 Chapitre 4 Th orie des solitons dans les r seaux de Bragg fibr s Figure 4 1 Relation de dispersion montrant une bande PBG videmment cette quation a seulement un gap de bande au lequel est centr a Z nc nA Q 0 et sa largeur est donn e par AQ 2e voir la figure 4 1 Dans le cas n particulier o seule l onde progressive se propage initialement dans le r seau on peut calculer ais ment la solution dans le domaine temporel par transform e de Fourier inverse de la solution 4 16 Sur la base des relations 4 17 et de la relation de dispersion 4 18 on obtient E 2 0 fe 4 192 E zt r K fe 4 19b o
37. onde soliton hydrodynamique en eau profonde L observation a rienne d note la stabilit de ces ondes Ce paragraphe n a pas pour but de lister l ensemble des vari t s solitons Toutefois la vue de cette croissante et rapide volution du domaine en optique et pour une meilleure appr hension de notre tude ce chapitre tentera de rendre compte des variantes li es aux solitons optiques Nous insisterons tout particuli rement sur la famille constitu e par les solitons spatiaux Car m me si ce jour seuls les solitons temporels ont trouv une formidable application pour les t l communications nous verrons comment et pourquoi les ph nom nes solitoniques spatiaux poss dent des propri t s dynamiques remarquables qui en font de s rieux candidats pour la r alisation de circuits int gr s reconfigurables et peuvent par cons quent participer aux traitements de l information par voie tout optique En finalit ce premier chapitre nous permettra de pr senter les solitons spatiaux photor fractifs et ainsi d introduire le cadre de nos recherches dans ce domaine III 2 Observation d une onde solitaire et ses cons quences John Scott Russell tait principalement un ing nieur et un architecte naval plut t qu un math maticien mais son nom est bien connu aujourd hui des math maticiens par sa d couverte exp rimentale de la vague solitaire 1 Il nota la propagation dans un canal troit et peu profond de cette onde de tr
38. ph nom nes tant dans la vari t de la physique exploit que dans les configurations particuli res gr ce auxquelles il est possible d envisager un grand nombre d applications 85 Chapitre 3 Th orie des ondes solitaires et solitons optiques Intensit Figure 3 6 Exemple de soliton spatial a deux dimensions IIT2 1 3 Les solitons spatio temporels balles de la lumi re Au carrefour des solitons spatiaux et temporels les solitons spatio temporels viennent compl ter la gamme d j riche en diversit des solitons La propagation d une impulsion optique intense et focalis e est gouvern e par l entrejeu entre la diffraction la dispersion de vitesse de groupe et les diff rents processus non lin aires pr sents Sous certaines conditions les non lin arit s peuvent tre utilis es pour compenser la fois la diffraction et la dispersion de la vitesse de groupe et ainsi produire simultan ment un soliton dans l espace et dans le temps Figure 3 7 28 Une propagation invariante 2 1 D pourrait donc tre envisageable dans un milieu non lin aire saturant avec en plus une dimension temporelle Au del de leur int r t scientifique ces v ritables boules de lumi re constituent une source d applications potentielles notamment en traitement tout optique de l information commutation ultrarapides contr le de trajectoire op rations logiques trois dimensions 29 Pour parvenir r pondre un tel cha
39. pulsation et au vecteur d onde de l onde acoustique L onde acoustique ainsi g n r e module l indice optique de la fibre et constitue localement un r seau optique de type Bragg qui r fl chit alors une partie de la lumi re incidente sous la forme d une onde Stokes 1 20 Le d calage de l onde Stokes v est donn par la relation suivante 1 82 o n est l indice optique du milieu 4 la longueur d onde de la pompe et v la vitesse de propagation de l onde acoustique au sein du milieu 1 8 5 Auto raidissement Le ph nom ne d auto raidissement d une impulsion traduction fran aise de self steepening est un effet non lin aire d ordre sup rieur ne consid rer que pour des impulsions ultra courtes FWHM lt 1ps et nerg tiques 2 L auto raidissement est 40 Chapitre 1 Propagation de la lumi re dans les fibres optiques le fruit de la d pendance de la vitesse de groupe vis a vis de l intensit Il se manifeste par une vitesse de propagation plus rapide sur les bords de l impulsion qu au centre de celle ci o la puissance y est maximum Cons quemment le profil d intensit adopte une forme asym trique qui empire avec la distance de propagation L auto raidissement peut tre mod lis dans l quation de Schr dinger non lin aire par l addition d un nouveau terme 2 Al A OA f A iyapa 2 UMA 1 83 Oz 2 Ot Oy Oat o repr sente la fr quence de la porteuse I 8 6 M
40. r seaux de Bragg fibr s dont nous pouvons ici en rappeler la probl matique Quel mod le physique on peut le choisir permettra de d crire la dynamique non lin aire des solitons optiques dans ces r seaux Quel m thode on doit choisir pour r soudre ce genre d quations tant que sont non int grables due la pr sences des termes non lin aires et dispersives d ordre lev Questions difficiles puisque jusqu pr sent les solitons des r seaux de Bragg fibr s ont t examin s seulement dans divers mod les de base r gis par l quation de Schr dinger non lin aire incluant exclusivement l effet Kerr et l effet de la dispersion chromatique Pour pallier cette difficult nous avons choisis une m thode semi analytique la m thode de l amplitude complexe coupl e qui consiste rapprocher le champ exacte par une fonction d essai Ansatz qui est sous forme d une combinaison lin aire des solitons noir et brillant La r alisation de ce projet a comport des tapes cl s qui sont suivantes La premi re consistait maitriser la th orie de l optique non lin aire dans les fibres optiques Dans laquelle nous introduirons les notions de base la compr hension du m canisme de transport de l information dans les fibres optiques La deuxi me tait concern e par la compr hension des r seaux de Bragg fibr fabrication mode d emploi application et caract risation En premier lieu de chercher commencer de vo
41. sur le d but de la fibre sous les effets conjugu s de la dispersion chromatique anormale et de la non lin arit Dans le cas de puissances lev es et de longueurs de fibre suffisamment grandes l intensit de l onde continue se voit alors modul e la fr quence correspondant au maximum de gain L expression analytique du gain d instabilit modulationnelle IM est obtenue partir de l analyse de stabilit d une onde continue inject e dans l quation NLS et de la relation de dispersion qui en d coule Le gain d instabilit g Q en fonction du d calage fr quentiel Q prend alors la forme suivante 2 3 19 g 4r BA o 2 1 74 4yP RIS o P repr sente la puissance de l onde continue inject e dans la fibre optique Le gain maximum gmax et la pulsation dite optimale Qopt qui va se d velopper au cours de la propagation peuvent alors tre ais ment d duits et s expriment respectivement de la fa on suivante E max 27P 1 75 Q 2yP Q Ee t 1 76 042 VA 1 8 2 Diffusion stimul e au sein d une fibre optique et Les ph nom nes de diffusion stimul e se distinguent des autres effets non lin aires dans le sens o ils impliquent un changement d tat d nergie de la mati re En effet une transition nerg tique des mol cules du mat riau convertit une partie de l nergie du signal incident qui se d peuple donc au cours de sa propagation en deux nouveaux signaux appel s ond
42. tr s pr cieux tant pour les sciences fondamentales que pour les t l communications optiques hait d bit La dynamique de ce type de soliton est d crite partir de l quation de Ginzburg Landau cubique quinitique correspondant des syst mes avec gains pertes saturables filtrage spectral dispersion diffraction et non lin arit 93 Chapitre 3 Th orie des ondes solitaires et solitons optiques R f rences 1 J S Russell Report on waves Report of the fourteenth meeting of the british association for advancement of science Londres 311 390 Plates XLVII LVII 1844 2 Janssen Nonlinear four wave interactions and freak waves ECMWF library Shinfield Park England 2002 3 Benjamin amp Feir The disintegration of wave trains on deep water part 1 Theory Journal of Fluid Mechanics 27 417 430 1967 4 Moriconi _ Charge density wave assisted tunneling between hall edge states Phys Rev B 64 195118 2001 5 Cornell amp Wieman Nobel lecture Bose einstein condensation in a dilute gas the first 70 years and some recent experiments Rev Mod Phys 74 875 893 2002 6 Ketterle Nobel lecture When atoms behave as waves Bose einsteincondensation and the atom laser Review of Modern Physics 74 1131 1151 2002 7 Saffman amp Skryabin Coupled propagation of light and matter waves Solitons and transverse instabilities Spatial solitons S Trillo and W E Torruellas Berlin 433 448
43. un soliton spatial en milieu de Kerr Les auteurs r ussirent en effet supprimer l instabilit de modulation transverse du soliton 1D 33 35 en pratique un faisceau laser d enveloppe fortement elliptique et ainsi montrer son existence malgr l absence de frustration d une des dimensions transverses Pour ce faire le faisceau localis suivant la dimension soliton petit axe de l ellipse tait modul par des franges d interf rences suivant la dimension transverse homog ne grand axe de l ellipse correspondant une longueur de diffraction L tr s sup rieure la longueur du milieu L En s assurant que la puissance contenue dans chaque frange brillante ne d passait pas P l instabilit de modulation tait inhib e Suivant l autre dimension une propagation soliton devenait alors observable sur plusieurs longueurs de diffraction lapproximation d une propagation 1D ayant t r alis e L autre possibilit plus vidente de se placer exp rimentalement dans une configuration 1D spatiale consiste en l utilisation d un guide planaire monomode De mani re analogue 88 Chapitre 3 Th orie des ondes solitaires et solitons optiques l utilisation d une fibre optique et tant que la non lin arit reste faible le confinement lumineux propre la propagation guid e permet en effet de s parer les comportements des variables transverses et ainsi de consid rer que la non lin arit n agit que sur la dimensio
44. y D 1 v 0 08et 0 725 50 second quilibre entre les pertes et les gains Ce second quilibre permet d avoir des solutions localis es Donc en ce qui concerne l tude des balles de lumi re nous avons plusieurs param tres gain perte non lin arit dont l interaction permettent de donner une certaine dynamique au soliton spatio temporel La forme l amplitude et la largeur de ces impulsions sont tous fix s et d pendent des param tres de l quation qui gouverne Mais il existe quelques rares exceptions cette r gle dans des cas tr s sp cifiques Ces deux quilibres non lin aires sont fortement li s fournissant des propri t s uniques ces formations localis es Ainsi les solitons dissipatifs ne sont pas simplement les extensions des solitons qui ont t tudi s depuis forts longtemps dans des syst mes Hamiltoniens Ils repr sentent tr s souvent des attracteurs dans les syst mes dynamiques tudi s de dimensions infinies En g n rale les solitons dissipatifs sont relativement stables vis avis des fluctuations de ses param tres et de bruit Ils sont aussi potentiellement tol rants l inclusion de termes d ordre sup rieur dans l quation de propagation ou l augmentation de la dimension spatio temporelle du probl me contrairement aux solitons Hamiltoniens 92 Chapitre 3 Th orie des ondes solitaires et solitons optiques III 3 Conclusion La d couverte du soliton a t
45. z t Telle que elr 1 Wr IV 2 1 la m thode de la th orie des modes coupl s lin aires Premi rement nous nous consid rons seulement une susceptibilit lin aire et n gliger la contribution non lin aire de la polarisation nous modelons l indice de r fraction d un r seau de Bragg fibr qui a t d crit dans les paragraphes pr c dentes comme suit n z 7 amp ncos 2k z 4 2 99 Chapitre 4 Th orie des solitons dans les r seaux de Bragg fibr s En utilisant la relation entre l indice de r fraction n z et la fonction di lectrique elz Nous voyons que la fonction di lectrique pour une fibre de Bragg est donn e par e z m 27 6ncos 2k z 4 4 O nous avons n glig les termes d ordre dn car dans le FBG n lt lt n Le d veloppement de la fonction di lectrique par la s rie de Fourier donne z amp Ye ehm 4 5 m oo mz0 m Avec k A Puisque nous sommes int ress s a la propagation de la lumi re aux fr quences pr s de la fr quence de Bragg lt k nous pouvons supposer que le principal ordre n effectue le r sultat des coefficients de Fourier 2 on va n gliger l absorption elz est r elle et on utilise 2 pour crire z amp 2R cos 2k z 4 6 et voyez cela pour amp n et R n n si n 0 la solution g n rale de l quation 4 1 prend la forme E z t E eh 4 p enmt 4 7 avec E E_ des amplitud
46. 1 45 appartient la classe remarquable d quations non lin aires int grables qui peuvent tre r solues exactement pour un tat initial arbitraire au moyen de ma m thode de diffusion inverse Les solutions d pendent du signe de la dispersion Une solution exacte de cette quation peut tre mise sous la forme suivante A z t NYP sec ea cxf 3 2 do 27 O N est l ordre du soliton donn par RP EP 3 3 L 2 ce param tre sans dimension mesure l importance relative des effets dispersifs et non lin aires et la puissance cr te pour g n rer le soliton fondamental N 1 est d termin e par L L est donn e par nl LA 66 Be 3 4 Seul le soliton temporel fondamental N 1 se propage sans d formation tous les autres solitons d ordre sup rieur N gt 1 subissent un mouvement de d formation r curent durant leur propagation De ce fait le soliton temporel fondamental est tr s attractif pour la transmission de l information dans les syst mes de communication optique Il peut tre excit dans une fibre optique pour des niveaux de puissance tr s faibles disponibles avec des diodes lasers Par exemple pour une fibre dispersion 1 d cal e 1ps km la longueur d onde A 1 55ym avec y 3W km et pour 10ps nous obtenons la puissance cr te suivante P 3 3mW Il est noter le caract re invariant de l intensit au cours de la propagation et la grande stabilit
47. 10 la compression d impulsion 11 12 la limitation 13 et les op rations de logique Dans ce chapitre nous allons pr senter l tude asymptotique de la dynamique des Gap de soliton dans le r seau de Bragg fibr On va utiliser la m thode d analyse chelle multipli pour r duire le syst me d quations non lin aires coupl es NLCME une quation dite l quation de Schr dinger non lin aire perturb e PNLS qui caract rise et faire la description de la propagation non lin aire des impulsions au bords de la zone du gap de la bande photonique PBG Nous nous pr sentons les solutions des ondes solitaires pour l quation non lin aire de Schr dinger perturb e PNLS d crivant la propagation des pulsations lumineuses de femtoseconde dans le r seau de Bragg fibr comme un soliton brillant et un soliton noir En outre nous avons galement calcul les param tres physiques importants et int ressants tels que la largeur de puissance d impulsion pour les solitons de Bragg lumineux brillants et noirs IV 2 Propagation des impulsions lumineuses dans les r seaux de Bragg fibr s La propagation d un rayonnement lectromagn tique dan une r seau de Bragg fibr est r gie par l quation d onde obtenue partir des quations de Maxwell le d tails dans les chapitres pr c dentes voir les paragraphes I 2 La combinaison de ces quations on obtient e z 6 2 a ap SD ds uM 4 1 0 E
48. 2 0 2 4 6 8 10 Position a u Position au c 6 0 57 v 0 0 d 6 0 57 v 0 95 E E Bu _Bu ELE 10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 10 Position au Position a u e 0 957 v 0 0 f 0 957 v 0 95 Figure 4 4 La solution 4 26 pour quelques valeurs des param tres etv les lignes solide repr sentent la raie partie r elle d E rouge et E bleue et les lignes tir es sont les parties imaginaire correspondantes L exposition en trait plein noire le totale intensit du champ lectrique E E 109 Chapitre 4 Th orie des solitons dans les r seaux de Bragg fibr s fwhm Figure 4 6 La variation de la longueur FWHM en fonction de 6 etv donn e par 241 v E 5 0 L cosh 1 cos pm sin 6 r P Lorsquev 0 les amplitudes de ces deux ondes alors en opposition de phase sont identiques et le gap soliton est immobile dans le r seau Le gap soliton stationnaire a t observ num riquement pour la premi re fois par Chen et Mills 1 dans des r seaux discrets unidimensionnels Les graphes 4 4 montrent comment l amplitude et la largeur du gap soliton varient en fonction du param tre Quand 0 le gap soliton est large et son amplitude est faible C est la limite de faible intensit l inverse le gap soliton est troit et Intensity 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 Position Figure 4 5 L intensit du champ lectrique pour un s
49. 4 51 4k a oe 3 2 3r 2 2 P 0 4 52 1 30 2 3r 2 5 2 2 9P 4k 0 4 53 RET Yo 4 53 114 Chapitre 4 Th orie des solitons dans les r seaux de Bragg fibr s 1 30 2 3r 2 2 2 MAC 4k a p A 0 A Ok geo tait Y 1 3o 2 3r gt z o sepe eee Ak o0 A k 0 VE apes tut di x 4 3E ag yay ie o 0 AK 2k 8k o 30 1 3r DL an Con eds ne Ep o o 30 1 T dar C ne ERa ea 4 54 4 55 4 56 4 57 4 58 L s quations de 4 51 a 4 58 sont compatibles pour l quation de Schr dinger non lin aire aux ordres lev s si on impose quelque restriction aux param tres A p Pour cela nous avons trouv deux cas possibles qui produisent deux types de solutions de l quation 4 49 l une est un soliton brillant et l autre un soliton sombre sous certaines conditions param triques Premier cas B A O0et pz0 Dans ce cas les huit quations de 4 51 a4 58 seront r duites en quatre quations et la solution de 4 49 s crit sous la forme Et l intensit donner par la z t avec q z t ipsech P t B z psec ALP t B z 2 3 Ce pl 2k 8k 1 3o 2k 8k o a Kel ye 2 30 1 2k ap 1 k IB BE elei 30 2k 8k o k p I ns I 2k T 2kT 2kT 1 3 2k 8k 4 59 4 60 4 61 4 62 115 Chapitre 4 T
50. 69 Toutes ces longueurs caract risant les diff rents effets rencontr s dans une fibre optique sont tr s utiles pour d finir le r gime de propagation mod lisant au mieux notre syst me En effet suivant les param tres exp rimentaux si L L nous pourrons consid rer que le syst me est purement dispersif et donc pouvant tre mod lis par l quation 1 53 et inversement si L L le syst me sera non lin aire et mod lis par l quation 1 66 I 8 Solitons fondamentaux L utilisation d impulsions solitoniques pour la transmission d informations par fibres optiques fut propos e en 1973 par Hasegawa et Tappert 14 Le soliton est la manifestation d un quilibre parfait au sein de la fibre optique entre la non lin arit li e 34 Chapitre 1 Propagation de la lumi re dans les fibres optiques l effet Kerr et la dispersion chromatique d ordre 2 8 Ce ph nom ne est observable en r gime de dispersion anormale f lt 0 o le chirp g n r par l auto modulation de phase SPM en tout point de la fibre est contrebalanc par le chirp li la dispersion chromatique d ordre 2 de sorte que L L4 2 En l absence de perte et d effet d ordre sup rieur le soliton est alors capable de voyager au sein de la fibre optique sans aucune d formation 2 3 8 Cette vue simplifi e de l impulsion solitonique en a donc fait le candidat id al pour la transmission d informations par fibres optiques
51. Bragg gratings Opt Lett 1997 22 1837 9 Pelinovsky DE Brzozowski L Sargent EH Transmission regimes of periodic nonlinear optical structures Phys Rev E 2000 62 4536 9 Aceves AB Optical solitons theoretical and experimental challenges In Porsezian K Kuriakose VC editors Lecture notes in physics vol 613 Berlin Germany Springer Verlag 2003 Aceves AB Fibich G Ilan B Gap soliton bullets in waveguide gratings Physica D 2004 189 277 86 Senthilnathan K Porsezian K Ramesh Babu P Santhanam V Bright and dark Bragg solitons in a fiber Bragg grating IEEE J Quantum Elect 2003 39 11 R sum Ce travail est la convergence de trois domaines des fibres optiques la th orie d optique non lin aire dans les fibres optiques les r seaux de Bragg fibr s FBGs pour Fiber Bragg Gratings et enfin l tude th orique de la propagation non lin aire des solitons dans les r seaux de Bragg fibr s Au premier lieu Nous avons pr sent quelques g n ralit s sur la propagation de la lumi re dans les fibres optiques Nous introduirons au lecteur les briques essentielles la construction de ce m moire notamment l quation de Schr dinger non lin aire qui gouverne l volution du champ lectrique lors de sa propagation dans une fibre optique ainsi que les diff rents ph nom nes physiques qui lui sont associ s La deuxi me partie tait concern e par la compr hension des r seaux de Bragg fibr e fabrication mode d emploi a
52. L Gruner Nielsen and O A Levring Direct continuous wave measurement of n2 in various types of telecommunication fiber at 1 55um Opt Lett vol 21 pp 1966 1968 1996 Y Namihira A Miyata and N Tanahashi Nonlinear coefficient measurements for dispersion shifted fibres using self phase modulation method at 1 55um Electron Lett vol 30 pp 1171 1172 1994 K S Kim R H Stolen W A Reed and K W Quoi Measurement of the nonlinear index of silica core and dispersion shifted fibers Opt Lett vol 19 pp 257 259 1994 Y P Svirko and N I Zheludev Polarization of Light in Nonlinear Optics John Wiley amp Sons New York 1998 A Hasegawa Optical Solitons in Fibers 2nd ed Springer Verlag Berlin Heidelberg New York 1990 Handbook of Mathematical Functions M Abramowitz and I A Stegun eds Dover Publications Inc New York 1972 D David D D Holm and M V Tratnik Hamiltonian Chaos in Nonlinear Polarization Dynamics Physics Reports 187 281 367 1990 D Marcuse Theory of Dielectric Optical Waveguides Quantum Electronics Principles and Applications Academic Press New York 1974 D Gloge Weakly Guiding Fibers Applied Optics 10 2252 2258 1971 H Kogelnik and C Shank Coupled Wave Theory of Distributed Feedback Lasers Journal of Applied Physics 43 2327 2335 1972 A Hasegawa and F Tappert Transmission of stationary nonlinear optical pulses in dispersive die
53. La solution exacte de l quation NLS peut tre tablie analytiquement sur la base de la Transform e de Diffusion Inverse Inverse Scattering Transform ou par une approche de type Fourier pas divis 2 8 et s exprime sous la forme d une s cante hyperbolique 5 iP A z t NAP sec t of 1 70 fo yY o N est l ordre du soliton et to la largeur 1 e de l impulsion reli e sa largeur mi hauteur par FWHM 2In 1 V2 1 7631 1 71 et Po repr sente la puissance cr te du soliton fondamental N 1 reli e aux param tres de la fibre par le crit re L Ly suivant 8 15 33 P lal 1 72 2 0 Une longueur caract ristique du soliton est sa p riode spatiale qui est notamment tr s utile pour les solitons d ordre sup rieur N gt 1 Pcr te N2P0 et qui est d finie par c 1 x te L L i Zo D 479 2 TA 1 73 1 8 1 Bref sur l instabilit modulationnelle IM Lorsqu une onde optique continue se propage dans une fibre optique en r gime de dispersion anormale 0 cette onde devient instable vis vis des petites perturbations pr sentes au sein de la fibre sous forme de bruit optique 2 3 19 Le spectre de l onde continue initialement tr s troit se voit alors enrichi par deux lobes 35 Chapitre 1 Propagation de la lumi re dans les fibres optiques lat raux qui repr sentent les courbes de gain des petites perturbations dont l amplitude croit exponentiellement
54. Phosphore permettent par exemple d augmenter l indice de la silice fondue et seront donc introduits dans la partie centrale de la fibre tandis que l addition de Fluor qui permet de diminuer l indice du verre sera pr f rentiellement employ e pour former la gaine La figure 1 1 b montre par exemple l volution du profil d indice sur une section transverse d une fibre optique dite saut d indice L indice est constant et homog ne dans le cceur et la gaine de la fibre mais varie de mani re discontinue leur interface Ces fibres se distinguent de celles dites gradient d indice dans lesquelles l indice d croit de mani re continue du centre jusqu l interface coeur gaine Pour des fibres saut d indice qui sont les fibres les plus r pandues dans le domaine des T l coms le guidage est obtenu pour une diff rence d indice entre le c ur et la gaine aussi petite que 10 1 2 1 Pertes optiques La transmission de la lumi re par fibres optiques exploite le principe de la r flexion totale l interface coeur gaine Bien que les technologies actuelles permettent de minimiser au mieux les pertes li es au guidage il existe in vitablement des pertes intrins ques dues la diffusion Rayleigh de la lumi re par la silice 1 2 Si une puissance Po est inject e au sein d une fibre optique de longueur L la puissance effectivement transmise Pr s exprimera par 1 2 Chapitre 1 Propagation de la lumi re dans
55. Sipe JE Gap solitons In Wolf E editor Progress in optics vol XXXIII Amsterdam The Netherlands Elsevier 1994 p 203 60 chapter 3 Aceves AB Optical gap solitons past present and future theory and experiments Chaos 2000 10 584 9 Kurizki G Kozhenkin AE Opatrny T Malomed BA Optical solitons in periodic media with resonant and off resonant nonlinearities In Wolf E editor Progress in optics vol XXXXII Amsterdam The Netherlands Elsevier 2001 p 93 146 chapter 2 Eggleton BJ Slusher RE de Sterke CM Krug PA Sipe JE Bragg grating solitons Phys Rev Lett 1996 76 1627 30 Eggleton BJ de Sterke CM Slusher RE Nonlinear pulse propagation in Bragg gratings J Opt Soc Amer B 1997 14 2980 93 Taverner D Broderick NGR Richardson DJ Ibsen M Laming RI All optical and gate based on coupled gap soliton formation in a fiber Bragg grating Opt Lett 1998 23 259 61 Taverner D Broderick NGR Richardson DJ Laming RI Ibsen M Nonlinear self switching and multiple gap soliton formation in a fiber Bragg grating Opt Lett 1998 23 328 30 8 Broderick NGR Taverner D Richardson DJ Nonlinear switching in fiber Bragg grating Opt Express 1998 3 447 53 Broderick NGR Taverner D Richardson DJ Ibsen M Laming RI Optical pulse compression in fiber Bragg gratings Phys Rev Lett 1997 79 4566 9 Broderick NGR Taverner D Richardson DJ Ibsen M Laming RI Experimental observation of nonlinear pulse compression in no uniform
56. T S GURIN J GOURHANT P SANSONETTI C BUNGARZEZEAU R KASHYAP Select topics in Quantum electron 5 5 199 1312 1324 2003 X NORMANDIN F LEPLINGARD E BOUROVA C LECLERE T LOPEZ JJ GUERIN D BAYART in proceedings of conference optical fiber communications OFC 02 2002 72 Chapitre 3 Th orie des ondes solitaires et solitons optiques Th orie des ondes solitaires et Solitons optiques 73 Chapitre 3 Th orie des ondes solitaires et solitons optiques III 1 Introduction Voil plus de 170 ans pass s que le concept d onde soliton a t avanc pour la premi re fois par un ing nieur de la navigation fluviale cossaise J S Russel 1 Une onde hydrodynamique parvenait se propager sans changer de forme ou diminution de vitesse sur un canal troit et peu profond Dans son sens le plus g n ral les solitons sont des ondes auto pi g es et localis es ne subissant aucun talement lors de leur propagation dans un environnement dispersif Les solitons existent en vertu d un exact quilibre entre la dispersion ou la diffraction qui tend l expansion de l onde localis e et l effet non lin aire qui contre balance l effet dispersif diffractif Cette caract ristique est unique cela implique qu travers l effet nonlin aire l onde induit simultan ment un puit de potentiel et se capture elle m me dans son propre potentiel induit Encore plus fascinant les solitons se propagent et peuvent interagir av
57. Z Filtre OP ti QUE oor terret eR ite t toe etit Dae e e e ce ege alate See 66 1I 4 2 1 Filtre compos d un r seau de Bragg et d un FFP sss 66 II 4 3 Compensation de la dispersion chromatique eee 67 H44 E EiaurPilg ice s 68 11 4 5 Les amplificateurs aeree e e eda et rtl epa tet tede iia oet 69 I ESSE SIDT 69 IG R f rences sin RAR er ete t ede diserta eter pe eee tein tins ths eas sinus nas col 0 Chapitre III Th orie des ondes solitaires et Solitons optiques 73 TET Introductions ee abet ean el t ut e ai 74 II 2 Observation d une onde solitaire et ses cons quences 75 IIL 2 1 Les Solitons optiques sine 77 II 2 1 1 Les solitons temporels esses a iA 78 1I 2 1 2 Les solitons spatiaux 82 1I 2 1 3 Les solitons spatio temporels balles de la lumi re 86 IIL 2 2 Les diff rents types de solitons optiques en fonction de leur origine physique 87 IIE2 2 1 Les solitons Kerr oreet err tnter e ien irte edet tendra OO 1II 2 2 2 Les solitons dans des cristaux liquides 89 1II 2 2 3 Les solitons dans les r seaux de Bragg fibr e 90 III 2 3 bes solitons dissipatifs 5 eee S e e a tace e ce tra enis 90 ESSE M 93 HA R f rences i rrt ret as isi Eu tede rei eet Lente DU EPA ie ende E AGE 94 Chapitre IV Th orie d
58. agg dimensions diff rentes parce que la sensibilit aux d formations et la temp rature d pend de la longueur de la fibre et du diam tre de la gaine 23 Deux r seaux de Bragg dop s de niveaux diff rents de Germanium s par s par un single Bragg Grating ces deux r seaux pr sentent des sensibilit s diff rentes la temp rature et des r ponses identiques aux d formations ce qui permet mesurer ces deux param tres simultan ment 24 III 4 Application des r seaux de Bragg la t l communication Les r seaux de Bragg photoinscrits dans les fibres optiques sont devenus indispensables pour l galisation du gain des amplificateurs la stabilisation en longueur d onde des pompes ou des sources et pour les Lasers fibre Leurs avantages majeurs sont de faibles pertes d insertion une tr s faible sensibilit la polarisation et une conception extr mement flexible Ces avantages en font galement des candidats tr s attractifs pour les applications de filtrage complexe ou de compensation de dispersion chromatique fine Bragg grating at Bragg grating at A wavelength hy wavelength hy A M Figure 2 12 a Filtre passe bande fabriqu par un r seau de Bragg associ avec un circulateur b un multiplexeur OADM fabriqu avec association d un r seau de Bragg et deux circualteurs 64 Chapitre 2 Etude g n rale des r seaux de Bragg fibr s III 4 1 Filtrage et mu
59. alement tabli en 1965 par Zabusky et Kruskal 14 qui sont parvenus montrer que l quation dite de Korteweg de Vries admet comme solutions des solitons dont celui de Russell 15 16 Au del de cette premi re et formidable observation du soliton hydrodynamique nombre de chercheurs se sont tourn s vers cette nouvelle re de recherche la physique nonlin aire B n ficiant d outils math matiques aboutis et devenus incontournables ils purent d s le d but des ann es 70 explorer ce domaine dans tous les champs de la physique Depuis l av nement du laser des effets optiques nouveaux d pendant de l intensit de la lumi re ont t mis en vidence On les regroupe sous le terme d optique nonlin aire Ils autorisent notamment l interaction entre faisceaux lumineux par l interm diaire des milieux qu ils traversent Ils permettent d imaginer des r alisations de dispositifs tout optiques en particulier dans le domaine des t l communications et du traitement du signal 76 Chapitre 3 Th orie des ondes solitaires et solitons optiques IIL 2 1 Les solitons optiques 17 18 Toute impulsion ou paquet d ondes a une tendance naturelle a s taler durant sa propagation dans un milieu En optique une onde localis e dans l espace o dans le temps peut subir un talement soit de son enveloppe temporelle soit de ses dimensions spatiales ou m me des deux simultan ment Pour une impulsion temporelle l talemen
60. anche cet effet provoque une variation de la phase de l impulsion par elle m me que l on qualifie alors d auto modulation de phase qui conduit un d phasage non lin aire 33 Chapitre 1 Propagation de la lumi re dans les fibres optiques y y AQ nz d pendant de la puissance et du profil de l impulsion initiale et qui augmente lin airement avec la distance de propagation Pour une impulsion de type gaussienne ou s cante hyperbolique la phase non lin aire est rendue maximale au E 2 centre de l impulsion o D 7P z avec P 4c puissance cr te de l impulsion Comme la phase non lin aire varie temporellement la fr quence instantan e varie galement le long de l impulsion L auto modulation de phase modifie donc le profil spectral de l impulsion en g n rant des photons de fr quences inf rieures la fr quence de la porteuse o sur le front montant de l impulsion et respectivement sup rieures sur le front descendant De m me que pour la dispersion l impulsion acquiert alors un chirp ou glissement de fr quence d fini par 2 3 y ajA 0 CP EG dat t w 0 1 68 Finalement comme pour les effets de dispersion nous pouvons d finir une longueur caract ristique des effets non lin aires Lnl qui repr sente la longueur de fibre n cessaire une accumulation de phase non lin aire au centre de l impulsion gale a 1 et qui s exprime par 2 L 1
61. and A z t are the envelope functions of the forward and backward traveling wave both of which are assumed to be slowly varying in space and time 0 is the carrier frequency at which the pulse spectrum is initially centered and kg is the propagation constant To describe nonlinear pulse prop agation in FBGs we use the nonlinear coupled mode equations that are valid only for wavelengths close to the Bragg wavelength Using 1 and 2 in the Maxwell equations one obtains the following set of nonlinear coupled mode equations 11 0A s 1 0A 2 2 riu 2 3 KA AL A4 2D A 4 0 3a 0A 1 04 2 2 A T A 4 0 ix s ay RAs A_ A_ 20 A A_ 0 3b In the linear case 0 the solution of these equations is given by oy Uexpli k z wf cc 4 K Mezghiche et al Chaos Solitons and Fractals 41 2009 491 496 493 U 2 where k satisfy the dispersion relation k k2 In particular problem has the solution 4 5 eei We note that the solution satisfies pn 0 where L is the operator L Ph A 5 In the nonlinear coupled mode equations we find the solution of the above equation in the linear case and then intro duce the nonlinearity into the coupled mode equations Therefore using the method of multiple scales 23 24 we look for solutions of the form A 1 sa n X 2 ene ikt EU amp U 8 U3 6 where t t n amp t
62. ande interdite Il y a eu des d monstrations exp rimentales des gaps de solitons dans les deux r gimes avec des vitesses aussi inf rieures 5096 de la vitesse de la lumi re et dans les r seaux sans plus de 20 centim tres de longueur D une mani re g n rale les Gap solitons sont la classe sp ciale des solitons de Bragg Pour la premi re fois Chen et moulins 1 ont analys les propri t s de ces Gap solitons en structure p riodique non lin aire Ensuite Sipe et Winful 2 Christodoulides et Joseph 3 Aceves et Wabnitz 4 et Winful et autres 5 ont obtenu les solutions analytiques pour les solitons de Bragg Mais exp rimentalement beaucoup de travail faites pour la d monstration et l observation de la g n ration des gap de soliton Pour la premi re fois Eggleton et autres 6 7 ont examin la propagation non lin aire d impulsion par les r seaux de Bragg aux fr quences en dehors de l espace de bande o le r seau est transmissive mais fortement dispersif et ont avec succ s d montr la propagation des solitons de Bragg Taverner et autres 8 9 ont rapport la premi re observation de la g n ration de ce type de soliton aux fr quences dans la zone de la bande de gap photonique Les chercheurs r cemment ont r alis les applications potentielles de ces 98 Chapitre 4 Th orie des solitons dans les r seaux de Bragg fibr s solitons en structures p riodiques pour les dispositifs tout optiques
63. ans la fibre optique Cependant la m thode de Fourier pas divis est bas e sur une approximation qui consiste dire que sur de tr s courtes distances de propagation h les op rateurs D et N commutent Les effets lin aires et non lin aires peuvent alors tre d coupl s et appliqu s successivement l impulsion consid r e Comme le montre la figure 1 2 la propagation entre les points z et z h se fait donc en deux tapes Dans un premier temps seule la dispersion chromatique est appliqu e l impulsion N 0 puis dans un deuxi me temps D 0 et seuls les effets non lin aires agissent Dans ces conditions la r solution de l quation 1 23 conduit deux tapes 26 Chapitre 1 Propagation de la lumi re dans les fibres optiques 0 7 mm Fibre optique A z t Figure 1 2 Illustration sch matique de la m thode de Fourier pas divis Etape 1 pas dispersif Comme l op rateur diff rentiel a est quivalent une multiplication par iw dans t l espace des fr quences pour plus de simplicit l op rateur D est calcul dans le domaine de Fourier suivant A z h t 2 TF exp hD TF A z Ah 1 51 A z h t TF ec o iorr ac 2l gen Etape 2 pas non lin aire L op rateur N s applique ensuite dans le domaine temporel A z h t explaN JA z h t cur e expla JA ht ns A z h t expliz Al n A z h t En r it rant ces deux op rati
64. anslation sur plusieurs kilom tres 75 Chapitre 3 Th orie des ondes solitaires et solitons optiques A la suite de cette observation Russell r alisa plusieurs exp riences l aide d un canal artificiel t moignant de sa conviction sur le caract re inconnu de ce ph nom ne Il pu d terminer la forme typique en s cante hyperbolique de l onde solitaire ainsi que la relation qui lie sa vitesse et son amplitude Le travail exp rimental de Russell a aid stimuler une renaissance en hydrodynamique th orique en Grande Bretagne George Green George Airy Philip Kelland et Samuel Earnshaw tous ont essay de d crire th oriquement la vague solitaire mais sans succ s Airy s opposait l accent mis par Russell sur sa grande vague primaire soutenant le fait qu elle n tait ni grande ni primaire mais juste une cons quence de la faible profondeur de l eau G G Stokes tait plus prudent mais doutait galement qu une vague solitaire pouvait se propager sans changement de forme Une th orie approximative mais n anmoins correcte fut enfin donn e par Boussinesq 1871 et Rayleigh 1876 Mais il fallut attendre les travaux de Korteweg et de Vries 13 1895 qui d couvrirent l quation non lin aire d crivant la propagation d ondes de grande longueur d onde la surface d un canal troit et peu profond pour mettre un terme cette querelle La pleine signification de la vague solitaire et sa g n ralisation ont t fin
65. approximated Nonlinear Schr dinger NLS equation that results from reducing the NLCM equations using the multiple scale analysis Generally speaking the gap solitons are the special class of Bragg solitons For the first time Chen and Mills 6 have analyzed the properties of these gap solitons in nonlinear periodic structure Thereafter Sipe and Winful 7 Christodoulides and Joseph 8 Aceves and Wabnitz 9 and Winful et al 10 have obtained the analytical solutions for the Bragg solitons These solitons in FBGs have been extensively reviewed in 11 13 Recently conducted experiments have provided strong evidence for the existence of both theoretically predicted gap solitons and Bragg solitons in FBGs For the first time Eggleton et al 14 15 examined nonlinear pulse propaga tion through Bragg gratings at frequencies outside the band gap where the grating is transmissive but highly dispersive and successfully demonstrated the propagation of Bragg solitons Taverner et al 16 17 reported the first observation of gap soliton generation in a Bragg grating at frequencies within the photonic band gap The researchers recently have realized the potential applications of these solitons in periodic structures for all optical switching 18 pulse compres sion 19 20 limiting 21 22 and logic operations 18 21 In this paper we present the asymptotic study of gap soliton dynamics in a fiber Bragg grating We use a careful multiple scales anal
66. arie al atoirement suivant le cheminement de l tat de polarisation du signal le long de la fibre optique x PMD 227 ex __ 4x 1 65 E m PMD aPMD l o x repr sente le DGD divis par sa valeur moyenne PMD c est dire x DGD PMD I 1 2 Effets non lin aires 1 7 2 1 Auto modulation de la phase SPM L auto modulation de la phase SPM d une impulsion est la manifestation directe de la d pendance de l indice de r fraction vis vis de l intensit 2 3 Nous verrons par la suite que c est la combinaison de cet effet avec celui de dispersion chromatique qui est l origine de l existence des impulsions solitoniques 2 3 L auto modulation de la phase se traduit par l accumulation d une phase non lin aire g n r e au cours de la propagation et qui va engendrer contrairement la dispersion un largissement du spectre des impulsions La propagation d une onde lumineuse de champ A z t dans un milieu non lin aire et non dispersif peut tre mod lis e par l quation diff rentielle de Schr dinger non lin aire 1 48 dans laquelle B est nul c est dire A 12 Aya 1 66 Oz Cette quation peut tre ais ment r solue et sa solution prend alors la forme suivante A z t 0 r expli7 A 0 0 z 1 67 L quation 1 67 montre que c 2 AQ 2 et que par cons quent le profil d intensit n est pas modifi par l auto modulation de phase au cours de la propagation En rev
67. ark Bragg solitons References 1 Erdogan T Fiber grating spectra J Light Technol 1997 15 1277 94 2 Ibsen M Durkin MK Zervas MN Grudinin AB Laming RI Custom design of long chirped Bragg gratings application to gain flattening filter with incorporated dispersion compensation IEEE Photon Technol Lett 2000 12 498 500 3 Trillo S Conti C Assanto G Buryak AV From parametric gap solitons to chaos by means of second harmonic generation in Bragg gratings Chaos 2000 10 590 4 Zobay O Potting S Meystre P Wright EM Creation of gap solitons in Bose Einstein condensates Phys Rev A 1999 59 643 496 K Mezghiche et al Chaos Solitons and Fractals 41 2009 491 496 Rupasov V Singh M Quantum gap solitons and soliton pinning in dispersive medium and photonic band gap materials bethe ansatz solution Phys Rev A 1996 54 3614 Chen W Mills DL Gap solitons and the nonlinear optical response of super lattices Phys Rev Lett 1987 58 160 3 Sipe JE Winful HG Nonlinear Schr dinger solitons in periodic structure Opt Lett 1988 13 132 4 Christodoulides DN Joseph RI Slow Bragg solitons in nonlinear periodic structures Phys Rev Lett 1989 62 1746 9 Aceves AB Wabnitz S Self induced transparency solitons in nonlinear refractive periodic media Phys Lett A 1989 141 37 42 Winful HG Marburger JH Gamire E Theory of bistability in nonlinear distributed feedback structures Appl Phys Lett 1979 35 379 81 de Sterke CM
68. cabal Ceol g ulla agtill 8 139 LUN UNIVERSITE BADJI MOKHTAR 7 b Jes ual Anat BADJI MOKHTAR UNIVERSITY o ile Ke i Facult des Sciences D partement de Physique Ann e 2011 THESE Pr sent en vue de l obtention du dipl me de Doctorat Etude et caract risation des r seaux de Bragg fibr s Fiber Bragg Gratings Option Physique des Rayonnements Par MEZGHICHE KAMEL Directeur de Th se A EL AKRMI Professeur U Badj Mokhtar Annaba Devant le jury Pr sident S GHEMID M Conf rences U Badj Mokhtar Annaba Examinateurs S BOUZID Professeur U Mentouri Constantine M GHERS Professeur U Badj Mokhtar Annaba H TRIKI Professeur U Badj Mokhtar Annaba K ALIOUA M Conf rences C Universitaire souk ahras Remerciements Ce travail de th se a t effectu au sein de Laboratoire de Physique de Rayonnement Groupe de l quipe de recherche Physique et technologie de loptique non lin aire de l Universit de Badji Mokhtar Annaba Je tiens remercier Monsieur Abdessetar El Akrmi directeur de cette entit de m y avoir accueilli J exprime toute ma gratitude pour la deuxi me fois Abdessetar El Akrmi professeur l Universit de Annaba pour avoir accept la responsabilit universitaire de ce travail ainsi que pour son aide pr cieuse aux moments cl s de son d roulement Je remercie les diff rents membres du jury d avoir accept de lire et d valuer mon trava
69. consid r e homog ne et isotrope 21 d o MN g Paes Poles t l 2 17 o P sont les coefficients de Pockel Dans le cas de la d formation longitudinale 2 ve En tenant compte des relations pr c dentes 2 16 et 2 17 et l quation de r sonance du r seau de Bragg nous arriverons a AA Ney h Pv vpi rele 2 18 Ay 2 o est la d formation appliqu e et v est le coefficient de Poisson Le d calage de la longueur d onde AA pour une d formation longitudinale appliqu e est alors donn par la relation AA As 1 P e 2 19 avec P le coefficient de photo lasticit de la fibre 62 Chapitre 2 Etude g n rale des r seaux de Bragg fibr s 1I 3 7 Sensibilit du r seau de Bragg la temp rature Lorsqu un r seau est soumis une variation de temp rature il se dilate ou se contracte ce qui modifie son pas et son indice de r fraction N gligeant l effet de la temp rature sur le diam tre du coeur 19 la variation de la longueur d onde peut s crire AA amp la a AT 2 20 o a LA Lo 5 10 C repr sente le coefficient de dilatation thermique de la AOT On fibre a Le 694 105 C Coefficient thermo optique de la fibre et AT la d eff variation de temp rature II 3 8 Sensibilit du r seau de Bragg la pression hydrostatique Pour les fibres optiques monomodes l influence de la variation de pression AP sur le diam tre est n
70. cott F Y Chu and D W McLaughlin The Soliton A New Concept in Applied Science Proceedings of the IEEE 61 1443 1483 1973 21 C M de Sterke and J E Sipe Extensions and Generalizations of an Envelope Function Approach for the Electrodynamics of Nonlinear Periodic Structures Physical Review A 39 5163 5178 1989 22 C M de Sterke and J E Sipe Coupled Modes and the Nonlinear Schr dinger Equation Physical Review A 42 550 555 1990 23 N M Litchinitser B J Eggleton C M de Sterke A B Aceves and G P Agrawal Interaction of Bragg Solitons in Fiber Gratings Journal of the Optical Society of America B 16 18 23 1999 24 B J Eggleton C M de Sterke and R E Slusher Bragg Solitons in the Nonlinear Schr dinger Limit Experiment and Theory Journal of the Optical Society of America B 16 587 599 1999 25 P Millar M De La Rue T F Krauss J S Aitchison N G R Broderick andD J Richardson Nonlinear Propagation Effects in an AlGaAs Bragg Grating Filter Optics Letters 24 685 687 1999 26 Kamel Mezghiche F Azzouzi A El Akrmi A simple ansatz for obtaining exact solutions of high dispersive nonlinear Schro dinger equations in fiber Bragg gratings Chaos Solitons and Fractals 41 491 496 2009 118 Conclusion g n rale Conclusion G n rale 119 Conclusion g n rale Ce sujet de th se s inscrit dans le contexte de l tude et la caract risation des
71. ction du r seau de Bragg sous test Cette relation longueur d onde excitation est la base pour concevoir les capteurs r seau de Bragg sans oublier le rapport qualit prix o ce prix est traduit par la facilit de mise en oeuvre et le nombre de composants utilis s Finalement les r seaux de Bragg sont des composants pr sents dans les syst mes de t l communication Ils sont id aux une fois utilis s en association avec des lasers fibre des amplificateurs fibre ou des diodes laser En outre leur grande flexibilit et leur conception les rends tr s int ressants pour des applications adapt es aux besoins de l utilisateur telles que l galisation du gain ou la compensation chromatique de dispersion Leur efficacit spectrale lev e leur fait la solution presque unique pour l espacement de canal tr s bas Et m me pour de futurs syst mes de capacit lev e exigeant la commande telle que la dispersion 69 Chapitre 2 Etude g n rale des r seaux de Bragg fibr s chromatique accordable ou l galisation dynamique de gain FBG peut jouer un r le important 70 Chapitre 2 Etude g n rale des r seaux de Bragg fibr s R f rences 1 2 13 14 15 16 17 18 T Erdogan Fiber Grating Spectra JLT 15 8 p 1277 1294 1997 K O Hill Y Fujii D C Johnson B S Kawasaki Photosensitivity in optical fiber waveguides application to reflection filter fabricat
72. d phasage d pendant du profil d intensit auto modulation de phase ce d phasage peut modifier le front optique et induire l auto focalisation Figure 3 5 On notera toute l importance du signe de la non lin arit repr sent e par la variation d indice de r fraction An Pour un faisceau dit brillant c est dire profil gaussien la diffraction dans le mat riau a les m mes effets qu une lentille divergente d focalisation il faut 84 Chapitre 3 Th orie des ondes solitaires et solitons optiques donc induire une variation d indice de r fraction positive qui cette fois sera traduit par un effet de lentille convergente focalisation pour pouvoir compenser exactement la vergence de la diffraction et aboutir l effet soliton spatial d sir Un mat riau dont l indice de r fraction diminue sous clairement produirait un accroissement de la diffraction et donc une divergence amplifi e du faisceau Au m me titre un effet focalisant trop lev peut aboutir une sur focalisation Cette sur focalisation peut dans certains cas endommager le mat riau Par comparaison aux solitons temporels les solitons spatiaux exploitent la non lin arit de mat riaux massifs ou planaires sur des distances de propagation beaucoup plus courtes de l ordre du centim tre L accumulation de l effet non lin aire n tant plus envisageable compar aux longueurs des fibres optiques de fortes puissances provenant de sources
73. d un apport consid rable dans la communaut scientifique en ce sens qu il a permit d expliquer plusieurs ph nom nes qui taient jusque l mal compris Ainsi apr s plusieurs tentatives pour expliquer l onde de translation que J Scott Russell avait d observer les chercheurs ont finalement d couvert que le ph nom ne soliton na t d un quilibre d licat entre deux effets incluant la non lin arit et la dispersion de milieu Dans ce cas le soliton optique Hamiltonien ces effets sont essentiellement l auto modulation de phase et la dispersion anormale Nous avons vu que le soliton pouvait tre soit temporel ou soit spatial ou bien les deux la fois En effet si l indice de r fraction du milieu est modifi par l interm diaire de la lumi re il est alors possible dans certaines circonstances de supprimer l largissement temporel ou spatial de l impulsion On parle alors de soliton temporel dans le cas de la compensation de la dispersion chromatique et soliton spatial lors de la neutralisation de la diffraction de faisceau Lorsqu on arrive radiquer la fois la dispersion et la diffraction on parlera alors de soliton spatio temporels A cot des solitons conservatifs il existe des solitons dans les syst mes dissipatifs dans ce cas en plus de l quilibre entre la dispersion et la non lin arit il faut que les pertes et les gains non lin aires se compensent L tude des solitons dissipatifs temporels a t d un int r t
74. d un r seau de Bragg et d un FFP Un filtre bas sur un r seau de Bragg imprim sur fibre un circulateur optique et un Fabry p rot est d crit sur la figure 2 14 le signal d entr e est r fl chi par le FBG est dirig a travers le circulateur vers le Fabry p rot Donc le filtre global consiste en la mise en cascade de deux filtres ind pendants chacun est caract risa par sa propre fonction de transfert Trsc f et Trpp f et la fonction de transfert global est T f STasU eF 66 Chapitre 2 Etude g n rale des r seaux de Bragg fibr s 11 4 3 Compensation de la dispersion chromatique 25 La dispersion chromatique lors de la transmission par fibre avec la dispersion de la polarisation des modes est un des principaux facteurs limitatifs de l augmentation du d bit de transmission L impulsion n est pas vraiment monochromatique dans les fibres dispersives Les diff rentes fr quences du spectre d impulsion se propagent diff rentes vitesses ce qui entraine l largissement de l impulsion Les impulsions peuvent se recouvrir ce qui d t riore la transmission de l information Le probl me s aggrave quand le d bit augmente En effet quand le d bit augmente les impulsions sont plus courtes et spectralement plus larges On peut liminer cette dispersion en utilisant des fibres dispersion n gatives par contre de grande longueur de fibres sont exig es et ca devient encombrant et co teux et en plus les fibres
75. dans la plupart des situations exp rimentales on peut montrer que la propagation non lin aire des ondes dans les fibres optiques est valablement d crite par l quation non lin aire de Schr dinger NLS 0A B A j gt RHET iyA A 1 45 I y Q Ag Oy 2o 1 46 C s 24 Chapitre 1 Propagation de la lumi re dans les fibres optiques ou A est l aire effective de la fibre optique qui tient compte de la variation de l intensit le long de la section transverse de celle ci grace la distribution F x y du mode de propagation A est d finie par 2 fire vf aa LL 1 47 ce Fc dxdy Nous obtenons la c l bre quation de Schr dinger non lin aire NLS donn e par 2 11 0A Bz OA _ iA A 1 48 Qe 2 a Cette quation est la base de nombreux travaux de recherche dans le domaine des T l coms et a t d montr e dans les fibres optiques en 1973 par Hasegawa et Tappert 14 Dans sa version la plus simple l quation NLS ne tient compte ni des pertes optiques ni des termes de dispersion et de non lin arit d ordre sup rieur mais nous verrons par la suite que cette quation peut tre g n ralis e d autres effets L quation NLS d montr e par Hasegawa et Tappert permet tout de m me de d crire des ph nom nes aussi vari s que la dispersion chromatique d ordre 2 l auto modulation de phase l instabilit modulationnelle ou encore la propagation de solitons 2 3
76. dark Bragg solitons properties in the same expressions and their ampli tude may approach nonzero when the time variable approaches infinity Among these solutions we can find solitary wave and periodic wave solutions representing the propagation of different waveforms in fiber Bragg grating 2008 Elsevier Ltd All rights reserved 1 Introduction Fiber Bragg Gratings FBGs consist of a periodic modulation of the refractive index along the core of the fiber This periodicity creates a photonic band gap and results in strong reflectivity near the Bragg wavelength The narrow band width and large dispersion of FBGs makes them ideal for linear dispersion compensator and for add drop filters in WDM systems In the nonlinear regime Bragg gratings are bistable devices 1 and could thus form the basis of an all optical switch It is well known that in a transparent medium with a periodic variation in its optical properties there are ranges of frequencies stop gaps photonic band gaps PBG at which light cannot propagate 1 However in the presence of Kerr nonlinearity the intensity of the wave can sufficiently modify the nonlinear index of refraction to shift the wave out of the gap and permit pulse formation and propagation 2 The pulse propagation through the FBG is described by the nonlinear coupled mode NLCM equations which are nonintegrable in general Therefore the ana lytical solutions of the NLCM equations are not solitons but solitary wav
77. de l impulsion solitonique en particulier sa largeur temporelle lors de la propagation Cette 81 Chapitre 3 Th orie des ondes solitaires et solitons optiques i We Qu D Figure 3 3 Propagation d un soliton temporel dans une fibre optique pour le cas de N 1 totale invariante en a fait donc l impulsion candidate id ale pour les transmissions trans oc aniques tr s haut d bit Nous sommes au c ur de la technique de transmission par solitons temporels 25 Ainsi la possibilit d une auto compensation des deux effets de la propagation dispersion chromatique et auto modulation de phase cons quence directe de l effet de Kerr va permettre de s chapper de la logique propre la conception de ces syst mes pour lesquels la propagation est trait e comme un ph nom ne p nalisant mais incontournable le soliton temporel impulsion particuli re garantissant cet quilibre id al en est la cl IIL2 1 2 Les solitons spatiaux Les solitons spatiaux correspondent des faisceaux optiques dont la diffraction naturelle a t exactement compens e par l effet non lin aire du milieu de propagation sensible l intensit L effet de lentille induit optiquement par la modification de l indice va permettre l autofocalisation du faisceau durant sa propagation Lorsque lautofocalisation contrebalancera exactement l largissement du faisceau d la 82 Chapitre 3 Th orie des ondes solitaires et soliton
78. de Bragg pour diff rentes valeurs de ki 57 La r flectivit d un r seau de Bragg pour diff rentes valeurs de An 58 Repr sentation sch matique de la simulation matricielle 59 Principe d un Capteur Fibre Optique r seau de Bragg sess 60 a Filtre passe bande fabriqu par un r seau de Bragg associ avec un circulateur b un multiplexeur OADM fabriqu avec association d un r seau de Bragg et deux Circualteurs ns err T eo OR SOON RE SERRE SOROR utes nas E na tn ER 64 a multiplexeur OADM bas sur un interf rom tre Mach Zehnder deux r seau de Bragg identique sont photo imprim a la longueur 2 sur les deux bras de l interf rom tre b multiplexeur OADM bas sur un coupleur 0 le r seau de Bragg est photo imprim la longueur 2 dans la r gion du couplage la fonction d insertion de Az est repr sent vests sn vec L 65 Filtres optiques a association d un r seau de Bragg et d un FFP nenns 66 b association d un r seau de Bragg et deux FFP 66 VII Figure 2 15 Figure 2 16 Figure 3 1 Figure 3 2 Figure 3 3 Figure 3 4 Figure 3 5 Figure 3 6 Figure 3 7 Figure 3 8 Figure 4 1 Figure 4 2 Figure 4 4 Figure 4 5 Figure 4 6 principe de la compensation de la dispersion chromatique en utilisant un r seau de Bragg chirp en association avec un circ
79. de la r flectivit du r seau de Bragg uniforme de 4 mm de longueur en fonction de la longueur d onde pour 4 1309 45nm n 1 441 et une modification moyenne de l indice de r fraction gale 5x10 4La variation de la 0 75 R B os 0 25 0 0 4 A um 13085 1 309 i 1 3095 131 1 3105 Ap Figure 2 7 La r flectivit du r seau de Bragg uniforme en fonction de A KL 10 0 75 0 25 gt normalisee 0 99975 1 0 1 00025 1 0005 Figure 2 8 La r flectivit d un r seau de Bragg pour diff rentes valeurs de k 57 Chapitre 2 Etude g n rale des r seaux de Bragg fibr s r flectivit d un r seau de Bragg uniforme pour diff rentes valeurs de K est simul e a la figure 2 8 Ces courbes sont repr sent es en fonction de la longueur d onde normalis e A 1 max LE IN o N est le nombre total des p riodes du r seau N 2 L Il est int ressant de noter ici que les r seaux de Bragg plus longs en augmentant N pour K donn r sultent en des spectres plus troits La figure 2 9 nous montre l allure de la r flectivit d un r seau de Bragg de 4 mm de longueur simul e pour 1 1309 45nm n 1 441 en fonction de la longueur d onde eff pour diff rentes valeurs deAn Nous remarquons que nous obtenons une r flectivit plus importante et une largeur spectrale plus grande en augmentant la valeur de An qui repr sente la modification moyenne de l indice de r fractio
80. de mat riau se fait soit par r orientation mol culaire sous l effet d un champ lectrique appliqu ou par effet thermo optique La non lin arit est ici non localis e et saturante L observation exp rimentale d un soliton 2D dans un cristal liquide a t obtenue par Karpierz 44 45 Les interactions solitons dans ce mat riau ont t tudi es par Chen La propagation de ce genre de solitons sur des longueurs de l ordre du centim tre a t observ e par Hutsebaut et al 46 89 Chapitre 3 Th orie des ondes solitaires et solitons optiques IIL2 2 3 Les solitons dans les r seaux de Bragg fibr e Les Solitons dans les r seaux de Bragg fibr e Gap Solitons sont des bandes nonlin aire optiques sont r alis es par la balance entre la nonlin airit et la dispersion du r seaux de Bragg fibr de telle sorte la p riodicit de l indice de r fraction cr er un bande photonique interdite photonic band gaps PBG dont la lumi re ne peuvent pas propager dans cette zone Dans la pr sence d effet de Kerr nonlin aire l intensit des ondes lumineux suffisant de modifi l indice de r fraction nonlin aire pour cr er un d calage de l onde vers la zone interdite PBG dans le Gap et permis de la formation d une pulsation de propagation dite gap soliton Le d tail sur ce type de soliton sera fait dans le chapitre VI III 2 3 Les solitons dissipatifs Les syst mes dissipatifs sont largement r pandus dans la natur
81. des travaux sur la formation 48 Chapitre 2 Etude g n rale des r seaux de Bragg fibr s de structures photo induites dans la fibre avec l utilisation de lasers mettant dans le visible a d montr que la modification de l indice de r fraction tait caus e par la formation de d fauts et que ce processus tait bas sur une absorption a deux photons Au fil du temps plusieurs autres m thodes d criture de r seaux ont t d velopp es afin d en accroitre l efficacit et d offrir plus de flexibilit dans le choix de la r ponse spectrale des r seaux En effet les r seaux de Hill permettaient seulement de r fl chir la longueur d onde correspondant la longueur d onde du laser utilis pour l inscription Ces m thodes utilisent la transparence l ultraviolet de la gaine de la fibre pour inscrire le r seau par exposition transversale du c ur On peut ainsi utiliser un laser ultraviolet pour l criture tout en obtenant des r seaux r fl chissant des longueurs d onde du spectre infrarouge Il faut aussi noter que l utilisation du laser ultraviolet de longueur d onde de 244 nm permet la formation de d fauts dans la matrice de verre et ce pour une absorption un seul photon De cette facon les d fauts ne d pendent plus de la probabilit d interaction entre deux photons pour former les d fauts ce qui accentue le nombre de d fauts produits et par cons quent la modification induite l indice de r fraction C
82. e Les structures dites conservatives ou hammettiennes sont des mod les commodes pour l analyse du comportement dynamique de syst mes simples mais ces syst mes conservatifs sont ineptes d crire la plupart des comportements dynamiques aux temps long En inspectant dans la nature nous nous rendons compte que toutes les particules sont plong es dans des milieux dissipatifs qui alimentent leur mouvement en permanence Le terme syst me dissipatif a t employ par Nicolis et Prigogine 47 pour d crire les syst mes thermo dynamiques hors d quilibre Depuis environ une d cennie de nombreux syst mes ouverts non lin aires ont t intens ment tudi s dans le cadre de l tude th orique des solitons dissipatifs la perception erron e commun ment r pandue au sujet des syst mes dissipatifs est qu ils ne peuvent que perdre de l nergie Ces syst mes sont non isol s car ils sont en contact avec une source externe qui peut leur fournir de l nergie n cessaire pour compenser les pertes Ce transfert d nergie est n cessaire pour maintenir en vie la structure Les structures localis es dans ces syst mes c est dire les solitons dissipatifs connaissent un grand int r t dans le milieu scientifique Ces solitons dissipatifs peuvent tre consid r s comme des composantes l mentaires des structures plus compliqu es De m me lorsqu ils existent les solitons dissipatifs peuvent former des mol cules 33 Les 90 Chapit
83. e Stokes et onde anti Stokes d cal s en fr quence d une quantit d pendant du mat riau 2 3 Les deux principaux effets de diffusion 36 Chapitre 1 Propagation de la lumi re dans les fibres optiques rencontr s dans une fibre optique sont les diffusions Raman et Brillouin stimul es Le paradoxe de ces deux effets tient dans le fait que les diffusions Raman et Brillouin peuvent aussi bien avoir des cons quences dramatiques sur la propagation d impulsions dans une fibre optique comme elles peuvent tre utilis es volontairement pour convertir des fr quences tre a la base de lasers fibr s ou encore servir d amplificateur 1 2 1 8 3 Diffusion Raman Stimul e SRS Le principe de base de la diffusion Raman stimul e SRS est repr sent sur la figure 1 5 Le mat riau initialement dans son tat fondamental absorbe une fraction hQ de l nergie des photons incidents pour voluer vers un tat excit correspondant une r sonance de vibrations intramol culaires En cons quence les photons r sultant de ce processus sont r mis de mani re co propagative une fr quence plus basse donn e par o 0 O et sont usuellement appel s photons Stokes o repr sente le shift ou d calage Raman qui est de l ordre de 13THz fr quence de r sonance de vibration du r seau pour une fibre standard T l com 23 24 De mani re similaire si le nombre de mol cules dans l tat excit est
84. e d une non lin arit positive C est le cas le plus courant qu on rencontre en particulier dans les fibres optiques qui poss dent un r gime de dispersion anormale pour A gt 1 3um dans la bande de transparence gr ce la contribution de la dispersion modale La deuxi me combinaison qui permet d obtenir un soliton temporel correspond l association d une non lin arit n gative et d un milieu de propagation de dispersion normale 2 gt 0 23 Dans les deux autres cas la non lin arit ne fait que renforcer la 79 Chapitre 3 Th orie des ondes solitaires et solitons optiques dispersion lin aire qui se traduit par un largissement temporel de l impulsion encore plus cons quent La figure 3 2 illustre le principe du soliton temporel dans le cas d une dispersion anormale En r gime lin aire a les fr quences lev es du spectre se propagent plus vite que les fr quences basses de sorte que l impulsion arrive d form e apr s propagation L effet non lin aire b va produire un d calage de fr quence se traduisant par le ralentissement des fr quences lev es et l acc l ration des fr quences basses front d impulsion On voit alors que le d phasage non lin aire peut compenser l effet de la dispersion C est sans doute gr ce l optique guid e notamment dans les fibres optiques que cette propri t n est pas rest e une curiosit d int r t acad mique Malgr une non lin arit tr s faible l
85. e de groupe vis vis de la fr quence il est commun ment appel coefficient de dispersion de la vitesse de groupe GVD Cependant la communaut scientifique des T l coms lui pr f re volontiers le param tre D qui s exprime en ps km nm et qui remplace souvent B dans la litt rature Les deux param tres sont simplement reli s par 27c D 1 7 az VA 10 Chapitre 1 Propagation de la lumi re dans les fibres optiques D une mani re g n rale Dest la somme de deux contributions la dispersion chromatique du mat riau D et la dispersion du guide D 2 Pour la silice pure la dispersion D s annule au voisinage d une longueur d onde de 1 27um tandis que D d pend essentiellement des caract ristiques g om triques de la fibre optique Cependant la contribution du guide ne d cale que tr s l g rement la longueur d onde de dispersion nulle qui se situe en g n rale autour de 1 3um pour des fibres standards saut d indice La longueur d onde de dispersion nulle permet alors de d finir deux r gimes de propagation s par s parA Le premier r gime de dispersion est qualifi d anormal D 0 les composantes spectrales de plus basse fr quence se propagent alors plus vite que les composantes de haute fr quence et ce inversement pour le deuxi me r gime qualifi de normal et pour lequel D 0 Cette valeur de 1 peut ais ment tre modifi e en jouant sur la nature et la quantit des dopants
86. e propagation in a periodic medium with higher order effects outside the PBG structure in an FBG Here it should be noted that for the first time Aceves derived this kind of PNLS 494 K Mezghiche et al Chaos Solitons and Fractals 41 2009 491 496 equation in his recent work 22 As we discussed in the introduction we are interested in analyzing Bragg solitons with higher order effects in a periodic medium Here we investigate Bragg solitons at both upper and lower branches of the PBG It also physically means that we consider both positive upper branch and negative lower branch Kerr nonlin earities in our investigation and correspondingly they give rise to both bright and dark Bragg solitons 3 Bright and dark Bragg solitons To construct both bright and dark Bragg solitons for the PNLS equation that describes the nonlinear pulse prop agation with higher order effects in the periodic medium We will proceed with the analysis of Eq 15 by separating A z t into the complex envelope function q z t and linear phase shift z t kz wt according to A z q z re 16 Substituting the expression into Eq 15 and removing the exponential term we can rewrite Eq 15 as 3 o o o 3o 1 i 23 w 2 i 5g 2 g 0 20 i0 q GE Lr 2 TE Joa z a gto O5q ar 1 a le q I lal dq 90 4 17 in the following we look for the solitary wave solutions whose asymptotic values are nonzero when the time variable approach
87. e r seaux de Bragg la m thode de fabrication et quelques l ments th oriques qui les consternent sans toutefois d crire en d tail tous les aspects math matiques de la m thode de calcul du spectre optique des r seaux de Bragg les l ments principaux et la nomenclature utilis e y sont d voil s Le troisi me chapitre pr sentera des ph nom nes solitoniques sp cieux en optique Nous d crirons quelques principes physiques g n raux qui r gissent les familles de solitons leur propagation et instabilit s et nous finirons par la nouvelle cat gorie des solitons qui se forment dans les syst mes non conservatifs tel que les solitons dissipatifs Le dernier chapitre sera vou la pr sentation de l tude asymptotique de la dynamique des Gap de soliton dans le r seau de Bragg fibr On va utiliser la m thode d analyse a chelle multiple pour r duire le syst me d quations non lin aires coupl es NLCME a une quation dite l quation de Schr dinger non lin aire perturb e PNLS qui g re la propagation non lin aire des impulsions aux bords de la zone du gap de la bande photonique PBG Et finalement conclusion et perspectives cl tureront ce travail Introduction g n rale R f rences 1 T H Maiman Stimulated optical radiation in Ruby masers Nature vol 187 pp 493 1960 2 A Hasegawa and F Tappert Transmission of stationary nonlinear optical pulses in dispersive dielectric fibers
88. e superposition d ondes planes repr sentant les fr quences spatiales ayant le m me vecteur d onde en module k 2 no c Chacune de ces ondes planes diff rent par leur direction de propagation par rapport l axe de propagation d un angle a Ainsi chaque onde plane tant caract ris e par la projection de son vecteur d onde sur l axe de propagation les vitesses des ondes relativement cet axe sont donc diff rentes De cette facon on comprend ais ment que l onde plane dont le vecteur d onde est colin aire l axe optique se propagera plus vite que les autres composantes 83 Chapitre 3 Th orie des ondes solitaires et solitons optiques Figure 3 4 Propagation d un faisceau en r gime lin aire a non lin aire b la variation induite de l indice de r fraction est approxim e un guide saut d indice EFFET LINEAIRE EFFET LINEAIRE T 1 VECTEUR D OND e I I 1 DIFFRACTION eS SOLITON SPATIAL TI 1 zi 1 i 1 H Om aA c AUTOFOCALISATION i 2c EFFET NON LINEAIRE _ i I 1 UN eee E a EFFET NON LINEAIRE Figure 3 5 Repr sentation qualitative de la formation d un soliton spatial du faisceau poss dant une constante de propagation proportionnelle coso Durant la propagation le d phasage entre ces diff rentes composantes se traduit par un largissement de la taille du faisceau optique diffraction Si une non lin arit introduit un
89. eaux de Bragg fibr s Th orie des Solitons dans les r seaux de Bragg fibr e 97 Chapitre 4 Th orie des solitons dans les r seaux de Bragg fibr s IV 1 Introduction Les Solitons dans les r seaux de Bragg fibr s Bragg Solitons sont des bandes non lin aire optiques sont r alis es par l quilibre du balance entre la non lin arit et la dispersion du r seaux de Bragg fibr de telle sorte la p riodicit de l indice de r fraction cr er des bandes photonique interdite photonic band gaps PBG dont la lumi re ne peut pas se propager dans cette zone Dans la pr sence d effet Kerr non lin aire l intensit des ondes lumineuse suffisant de modifi l indice de r fraction non lin aire pour cr er un d calage de l onde vers la zone interdite PBG dans le Gap et permis de la formation d impulsion de propagation dite Gap soliton Aux puissances lev es cet quilibre est r alis dans quelques centim tres de propagation d impulsion et ayant la m me forme forme unique d avoir une gamme compl te des vitesses de z ro jusqu la vitesse de la lumi re dans le milieu uniforme selon l endroit de la fr quence du champ lectromagn tique Deux limites particuli res qui ont attir beaucoup d attention sont quand la fr quence de soliton est Y int rieur de l espace de bande interdite correspondant la formation des solitons lents ou m me stationnaires d espace et Y pr s eten dehors de l espace de b
90. ec d autres solitons Fig 1 1 et poss dant donc ce titre les m mes propri t s qu une particule solitons Cependant les observations d crites par Russell en ce temps l n ont pas b n fici de plus d attentions Il fallut attendre la fin du XX me si cle pour que le domaine des solitons et la science non lin aire commencent merger Notamment de nouvelles manifestations de ce ph nom ne d ondes solitaires ont pu tre identifi es dans un grand nombre de domaine de la physique gt Ondes hydrodynamiques 2 3 en eau profonde Figure 1 1 et peu profonde mascarets tsunamis Ondes de densit de charge dans les plasmas 4 Ondes de mati re 5 7 dans les condensas de Bose Einstein Excitations sur les chaines d ADN 8 9 VON ON ON Murs de domaine 10 11 en supergravit pour ne citer qu eux Les solitons se manifestent donc naturellement dans la plupart des syst mes non lin aires Ainsi malgr la diversit des syst mes dans lesquels les solitons se r v lent malgr les multiples m canismes physiques mis en jeu ces diff rentes vari t s de solitons ont une caract ristique commune et universelle ce sont toutes des entit s auto pi g es poss dant un comportement particulaire 74 Chapitre 3 Th orie des ondes solitaires et solitons optiques a b Figure 1 1 a Interaction oblique entre deux solitons hydrodynamiques en eau peu profonde 12 b Propagation d un train d
91. en trouver dans d autres sources 1 3 Nous nous appuierons essentiellement sur les d veloppements pr sent s dans le livre consacr l volution non lin aire de la polarisation par Svirko et Zheludev 7 et le livre de chevet de notre service crit par Agrawal 2 L 3 1 quations de propagation Nous commen ons avec les quations de Maxwell qui d crivent les lois fondamentales pour le champ lectrique E le d placement lectrique D le champ magn tique H etl induction magn tique B 1 7 8 interagissant avec un milieu V D p 1 17 a VELIE 1 17 b Ot V B 0 1 17 c veli TJ 1 17 d t 15 Chapitre 1 Propagation de la lumi re dans les fibres optiques pet y repr sentent respectivement la densit de charge d espace et la densit de courant du milieu On s int resse ici aux fibres optiques en silice milieu di lectrique non magn tique et sans charge d espace de sorte que les quations de Maxwell s crivent plus simplement V D 0 1 18 a Vora ot 1 18 b V B 0 1 18 c vere ot 1 18 d En combinant ces quations on obtient dans le domaine temporel x qp AE 1 19 c of O l on a utilis 4 avec c la vitesse de la lumi re dans le vide la permittivit c du vide et 44 la perm abilit du vide I 4 R ponses lin aire et non lin aire du milieu Une onde lumineuse est compos e d un champ lectrique et d un champ magn tique
92. en une perturbation p riodique longitudinale de l indice de r fraction du c ur de la fibre Quand la lumi re se propage dans la fibre le r seau r fl chit les longueurs d onde qui v rifient la relation 2n4 2 1 A est la p riode de la modulation d indice Cette modulation d indice s obtient par exposition du coeur de la fibre a une intense figure d interf rence cr e partir d un laser ultraviolet qui excite ainsi des d fauts dans le coeur de la fibre optique et modifie le verre Cette exposition a pour effet d augmenter l indice de r fraction des r gions expos es aux fortes intensit s Les premiers r seaux inscrits l int rieur d une fibre optique ont t produits en 1978 Ottawa au Centre de recherches sur les communications par Hill et al 2 Ces chercheurs ont observ que l injection d un laser monomode ions d argon de forte puissance dans une fibre dop e au germanium menait apr s un certain temps d exposition la r flexion partielle de la lumi re inject e En proc dant des mesures spectrales ils ont remarqu que la r flexion du r seau tait tr s s lective et que la r flexion maximale correspondait la longueur d onde du laser inject Le r seau inscrit tait form gr ce la pr sence d une onde stationnaire cr e par la lumi re inject e et celle r fl chie par le bout de la fibre Ce type de r seau par injection guid e a t baptis r seau de Hill La suite
93. es Solitons dans les r seaux de Bragg fibr s 97 Vcl IWHEFOQUCE OD seta ttem decade editae tense hatter cete B fe ated tates Let native 98 IV 2 Propagation des impulsions lumineuses dans les r seaux de Bragg fibr s 99 IV 2 1 La m thode de la th orie des modes coupl s lin aires sss 99 IV 2 2 Relation de la dispersion lin aire 102 IV 2 3 Th orie des modes coupl s non lin aires 105 1V 2 3 1 S0liton de Bragg es ounce Reit me beet rte dO DRE Pes 106 IV 2 3 2 Onde solitaire Gap Soliton solution de l quation non lin aire de modes COUPLES NC 106 IV 2 4 Les solutions exactes de l quation de propagation non lin aire de type solitons de bp t 111 IV 2 4 1 R solution de l quation non lin aire perturb e en utilisant la m thode d amplitude complexe combin e eere 114 IAS Meroe IDE ager ian 116 IV 4 R f rences eee tine re RR caet pene Aaa aA N EA TAAA TEE 117 Conclusion G n rale osea ao ecd edm aede uri ieiuna D caddie nil 119 Annexe Kamel Mezghiche F Azzouzi A El Akrmi A simple ansatz for obtaining exact solutions of high dispersive nonlinear Schro dinger equations in fiber Bragg gratings Chaos Solitons and Fractals 41 491 496 2009 VI Figure 1 1 Figure 1 2 Figure 1 3 Figure 1 4 Figure 1 5 Figure 1 6 Figure 2 1 Figure 2 2 Fi
94. es constantes et la relation de dispersion est k s Ee y ke 4 8 Cette solution d crit deux ondes planes ind pendantes se d placent dans des directions oppos es On appelle l onde avec l amplitude E le mode de propagation vers l avant et l une avec E le mode contra propagation forward and backward propagating mode L id e principale de la th orie de modes coupl s est que si la modulation d indice n est petite la solution a toujours la m me forme que 4 7 mais les amplitudes E E deviennent d pendent faiblement de z et f Ainsi nous posons l Ansatz fonction d essaie 100 Chapitre 4 Th orie des solitons dans les r seaux de Bragg fibr s E z t E eh E enmt 4 9 et substituant nouveau dans l quation d ondes 4 1 et on obtient l expression E E E E E t ik 0 ds js e ik KE pes oz Oz ez Oz el E x E 2 2 i t koz 2 oje 07707 LCO or ar E E s tio Z ope jen 0 4 10 Touts les termes aux non d riv s et de facteur on s annule parce qu ils sont des solutions de l quation d ondes non perturb s En outre nous supposons que les enveloppes E E_ changent lentement en fonction de temps et de l espace avec le respect oy etk Explicitement on utilise 2 oM E al Kp 4 11 75 Alors on va n gliger toutes les secondes d riv es Apr s ces simplifications et quelques transformati
95. es effets sont particuli rement faibles Sur la base de ces hypoth ses l amplitude complexe du champ lectromagn tique prend la forme 16 E z v A z oet 1 40 Ou B o 2m est la constante de propagation isotrope Dans une fibre optique B o et n a sont la constante de propagation de mode et l indice de mode respectivement La d pendance fr quentielle rassemble tout la fois la dispersion mat rielle de la silice et la dispersion du guide d onde Le champ se d compose donc en une porteuse oscillant rapidement e et une enveloppe d amplitude complexe A z La porteuse contient les effets de la composante isotrope lin aire de la r ponse du milieu tandis que l enveloppe lentement variable prend en compte les perturbations introduites par l anisotropie la r ponse non locale lin aire et la non lin arit L hypoth se d enveloppe lentement variable revient supposer que 1 A p oz 1 02A p Oz A 1 41 Si l on exprime l quation 1 25 pour le champ 1 27 en tenant compte de cette derni re hypoth se et en utilisant les quations 1 32 1 34 et 1 35 on obtient 13 CN a Su A Ky A A A 1 42 avec j ifr uj e A n T4 1 43 Kj _ 3 Zim 4 n 23 Chapitre 1 Propagation de la lumi re dans les fibres optiques Les indices i j k et font ici r f rence aux composantes x ou y Ces quations sont les quations d enveloppe o l
96. es effets de la r ponse lin aire locale et non locale sont contenus dans le premier terme du membre de droite Uy o tandis que les effets non lin aires sont pris en compte par le second terme x On a par ailleurs n glig la dispersion de la r ponse non locale et de la r ponse non lin aire dont les effets d passent le cadre de notre tude Les quations d enveloppe 1 42 nous permettront dans la suite d tablir l quation d volution de la polarisation en les param tres de Stokes la section 1 3 Elles nous permettent aussi de d river les quations qui r gissent la propagation des impulsions dans les fibres optiques monomodes Dans ce cas cependant les ondes ne sont plus planes Leurs profils transverses correspondent au mode fondamental de la fibre et est approximativement gaussien quand la fibre est isotrope La g om trie unidimensionnelle de la fibre permet de simplifier encore les quations La distribution modale transverse des ondes qui s y propagent est simplement prise en compte par un terme repr sentant l aire effective du coeur pour un signal seul ou par une int grale de recouvrement des signaux s il y en a plusieurs Puisque la non lin arit cubique donnant lieu l effet Kerr est tr s faible dans les fibres optiques en silice on peut alors appliquer un traitement perturbatif aux quations d enveloppe Moyennant quelques hypoth ses explicit es par exemple dans la r f rence 10 et rencontr es
97. es faibles pertes de propagation dans les fibres optiques permettent d obtenir des d phasages non lin aires cumul s importants et donc d explorer ce domaine de la propagation en r gime de soliton Les solitons eux m mes constituent un vecteur de transport des informations fonctionnant haut d bit et sur de tr s grandes distances De plus le signal n est plus un vecteur relativement passif de l information mais peut Dispersion chromatique s MIRE me LINE GNT a RE bleu rapide t rouge lent s Fibre optique al t bleu ralentit SOLITON TEMPOREL Try t Lr rouge acc l r D calage non lir aire de fr quence Figure 3 2 Sch ma de principe de la propagation des solitons dans les fibres La non lin arit de la fibre produit une d rive de fr quences qui compense exactement celle produite par la dispersion L impulsion soliton se propage alors sans d formation 80 Chapitre 3 Th orie des ondes solitaires et solitons optiques devenir un moyen de se pr munir contre les imperfections du canal du fait de son insensibilit aux faibles perturbations En revanche cette technique fait apparaitre des probl mes nouveaux dus entre autres aux couplages avec les sources de bruit instabilit modulationnelle ou l instabilit de polarisation 24 Th oriquement la dynamique de la propagation non lin aire des solitons temporels est gouvern e par l quation de Schr dinger non lin aire
98. es infinity gt co and make the ansatz q z t if Atanh Po t f z ip sec h Po t Biz 18 where P and f are the pulse width and shift of inverse group velocity respectively The amplitude q z t is qlz t CE f 2Bp sec h Po t B1z p 2 sec Pot 2 19 However for general cases the ansatz 18 can describe the features of both bright and dark solitary waves Substitut ing Eq 18 into Eq 17 and setting the coefficients for the independent terms containing independent combinations of hyperbolic functions equal to zero one obtains eight independent equations The resulting equations are il w ipu 2 e 20 pl i 2 o 21 i 2 s Sa Po p t ent o 22 8k 4k Gr ays 8 ge UE eon 2 0 23 ol se z Z4 AK 4 a 0 24 iet ey y 4 5 AJ N 25 a piPo BP e a DP yo P e E 26 plaire j zi jg 0 27 For the higher HNLS equation Eqs 20 27 are compatible if we impose some restrictions on the parameters A p We found that there are two types of solitary wave solution of Eq 17 under the following parametric conditions i Case 1 B 2 0 and p 0 In this case these eight equations can reduce to four equations and the solution 18 can be written in the form q z t ip sec h Po t Biz 28 K Mezghiche et al Chaos Solitons and Fractals 41 2009 491 496 495 and its intensity is
99. es optiques Cette relation traduit la conservation de l nergie mais le processus ne peut tre efficace que s il s op re galement une conservation du moment cin tique c est dire Ak k k k k 20 1 87 ou encore en fonction de l indice optique et de la fr quence n 0 0 N O Q n amp o n o o 0 1 88 L quation 1 87 est finalement connue comme tant la condition d accord de phase du processus de m lange quatre ondes 1 8 7 Modulation de phase crois e XPM Nous avons vu dans le paragraphe pr c dent que la r ponse non lin aire d un mat riau l incidence de deux ondes de pulsation et tait une somme de quatre termes d finie par Ps Pu a P a P Co a P 20 o 1 89 avec 1 22 2X Pu o 2nyi IE 2E JA 1 90 1 2 2Y P a nad I 2l A 1 91 Pa 20 o 2nyn lE E 1 92 Comme nous l avons expos les deux derniers termes correspondent au processus de m lange quatre ondes qui n cessite une condition d accord de phase g n ralement non remplie spontan ment Les deux derniers termes peuvent donc tre n glig s pour l analyse de la modulation de phase crois e XPM D une mani re similaire celle dont r sulte l expression de n dans l quation 1 14 nous obtenons les expressions de n q et n par 2 E eg 12 12 gt 12 o Es E ny a n 2E Jer o Ef en IE 28 2
100. es that can propagate through FBG without changing their shape Gap solitons are realizations of a balance between nonlinearity and grating assisted dispersion in optical fibers At high powers this balance is achieved within a few centimeters of pulse propagation and has the unique feature of having a full range of velocities from zero to the speed of light in the uniform medium depending on the location of the frequency of the electromagnetic field with respect to the gap created by the grating In recent times Corresponding author Tel fax 213 38 87 28 35 E mail address kamel Ipr gmail com K Mezghiche 0960 0779 see front matter 2008 Elsevier Ltd All rights reserved doi 10 1016 j chaos 2008 02 013 492 K Mezghiche et al Chaos Solitons and Fractals 41 2009 491 496 research on gap soliton phenomena has extended not only to other classical optical media e g quadratic dielectrics 3 but also to condensed matter waves 4 and quantum systems 5 to name some What is common to these works is that they are all in one dimensional geometries 1 e the distance of propagation z plays the role of time whereas physical time plays the role of a spatial variable Two particular limits that have attracted much attention are when the soliton frequency is 1 inside the band gap corresponding to the formation of slow or even stationary gap solitons and 2 close to and outside the band gap These are obtained from the
101. es types de r seaux portent le nom de r seaux de Bragg photo inscrit de type 1 Typiquement la figure d interf rence utilis e pour crire les r seaux de Bragg est obtenue avec un l ment diffractif appel masque de phase L utilisation de cet l ment offre la possibilit de modifier la p riode du r seau inscrit sans modifier la longueur d onde du laser d criture Cette m thode de fabrication a permis aux Figure 2 1 Sch ma d un r seau de Bragg et leurs spectres 49 Chapitre 2 Etude g n rale des r seaux de Bragg fibr s r seaux de Bragg de se construire une niche dans le domaine des t l communications optiques ceux ci tant tr s s lectifs en longueur d onde Diff rentes applications de ces filtres ont vu le jour telles que s lecteur d un canal optique stabilisateur externe de diode laser compensateur de la dispersion chromatique galisateur du gain des amplificateurs optiques l Erbium et diff rents types de capteurs optiques II 2 2 M thodes d inscription Les premi res photos d inscriptions de r seaux de Bragg ont t effectu es par injection longitudinale d un faisceau d un laser argon ase 488nm dans une fibre Laser ayant un cceur dop l oxyde de germanium 3 Les auteurs avaient remarqu lors de leurs exp riences une r flexion de la longueur d onde incidente de plus en plus importante au cours du temps En effet gr ce la cr ation d une onde stationnaire
102. essentielle du soliton dont le comportement est rapprocher des particules Math matiquement cette propri t repose sur le fait que les quations diff rentielles auxquelles ob it la propagation sont int grables18 L int grabilit dans ce sens d finie une solution analytique exacte Notons qu en optique ce cas est restrictif aux solitons Kerr scalaires g r s math matiquement par l quation de Schr dinger Nonlin aire NLS 19 unidimensionnelle d finie par Zakharov et Shabat 20 en 1972 Il faut donc retenir que l ensemble des autres quations non lin aires qui sont non int grables rassemble la classe des ondes solitaires comme solution repr sentant une famille beaucoup plus large ne b n ficiant pas d une stabilit de type corpusculaire comme la collision in lastique de deux entit s On fait donc g n ralement la diff rence entre onde solitaire et onde soliton mais nous utiliserons durant tout le manuscrit la nomination de soliton pour d crire un ph nom ne ne subissant pas de variation de son enveloppe durant sa propagation et b n ficiant de propri t s de stabilit IIL2 1 1 Les solitons temporels Dans le cas des solitons temporels il s agit de compenser la dispersion naturelle du milieu de propagation l aide de l effet non lin aire 21 22 La dispersion est 78 Chapitre 3 Th orie des ondes solitaires et solitons optiques caract ris e par le coefficient 2 qui donne la dispersion de
103. eto k satisfait la relation de dispersion k amp Dans le cas particulier ayant la solution A 1 4 exp ikt cc 4 37 A id k L 4 38 k i A On va noter que la solution satisfait il i 0 ou L est un op rateur Dans les quations non lin aires de modes coupl s nous trouvons la solution de l quation ci dessus dans le cas lin aire et puis pr sentons la non lin arit dans les quations de mode coupl e Par cons quent en utilisant la m thode d analyse chelle multipli 23 24 nous recherchons des solutions de la forme A 1 E ze exp ikt U amp U amp U 4 39 o z amp r amp t X amp x et Z e z on va r soudre maintenant pour A A dans les ordres successives de d veloppement en fonction de terme de O e Le d veloppement sera 1 ikt LU i0 A i po La solution de ce probl me lin aire est i I Deal ef 4 40 2E 3 112 Chapitre 4 Th orie des solitons dans les r seaux de Bragg fibr s Puis nous continuons le calcul pour les ordres de corrections lev s de A A Le d veloppement de l ordre ae donne 1 5 2 1 ikt LU i0 A 0 37 A A je tee 4 41 1 On note que la variation lente des termes autour U lorsque ye est dans l espace non nulle de L la condition physique sera i A o 3r A A 0 4 42 Ti Dans les effets d ordre plus sup rieur nous con
104. f rieures ont t ainsi d montr es 7 Dans ce paragraphe nous allons pr senter l tude asymptotique de la dynamique des Gaps de soliton dans le r seau de Bragg fibr On va utiliser la m thode d analyse chelle multipli e pour r duire le syst me d quations non lin aires coupl es NLCME une quation dite l quation de Schr dinger non lin aire perturb e PNLS qui caract rise et d crit la propagation non lin aire des impulsions au bords de la zone du gap de la bande photonique PBG Nous nous pr sentons les solutions des ondes solitaires pour l quation non lin aire de Schr dinger perturb e PNLS d crivant la propagation des pulsations lumineuses femtoseconde dans le r seau de Bragg fibr e comme un soliton brillant et un soliton noir En outre nous avons galement calcul les param tres physiques importants et int ressants tels que la largeur de puissance d impulsion pour les solitons de Bragg lumineux brillants et noirs L volution et la propagation non lin aire des impulsions aux bords de la zone interdite de la bande photonique s crit comme 4 25 111 Chapitre 4 Th orie des solitons dans les r seaux de Bragg fibr s gin nien KA_ z t TE AP 21A 0 c Ot Oz E 4 35 A A 0A zt E cs or era fa f 24A 0 c Ot Oz Dans le cas lin aire T 2 0 la solution de ce syst me d quations est donn e par A k U exp i k z t cc 4 36 U Telle que U o
105. fondamental est gal 8 5 lr 0 1 80 o t0 est la largeur 1 e du soliton et z la distance de propagation Ceci s explique ais ment par la diffusion Raman stimul e En effet lorsque les impulsions sont tr s courtes et nerg tiques FWHM lt 1ps elles poss dent un spectre suffisamment large pour qu au cours de leur propagation le gain Raman amplifie les composantes spectrales de basses fr quences rouge gr ce l nergie v hicul e par les hautes fr quences bleu qui jouent alors le r le de pompe Ce processus connu en anglais sous le nom de self frequency shift se poursuit au cours de la propagation et augmente progressivement le d calage fr quentiel du spectre de l impulsion vers les basses fr quences d o le signe moins dans l quation 1 58 1 8 4 Diffusion Brillouin Stimul e SBS L effet de diffusion Brillouin stimul e SBS est le premier ph nom ne non lin aire rencontr lors de l injection d une onde lumineuse quasi continue et de forte puissance dans une fibre optique 2 3 Par cons quent la diffusion Brillouin se trouve tre un des premiers effets limitant le rapport signal sur bruit dans les syst mes T l coms 20 D un point de vue g n ral la diffusion Brillouin stimul e se manifeste par la g n ration d une onde Stokes contra propagative contenant une grande partie de l nergie incidente Nous comprenons alors ais ment la n cessit de s affranchir de ce p
106. gement de phase de la lumi re se propageant dans la fibre optique sous la forme 20 Ag A BL pat LE an aa 2 12 On Od o p est la constante de propagation et d est le diam tre du coeur de la fibre Cette quation d crit trois effets l allongement physique de la fibre la modulation de l indice du coeur et le changement de la constante de propagation d l effet de Poisson respectivement Ce troisi me terme est n gligeable devant les autres termes parce que l influence des d formations sur le diam tre de la fibre est n gligeable devant le changement de son indice de r fraction et de sa longueur physique En divisant l quation pr c dente sur la phase initiale sans d formations appliqu es 4 BL on obtient 61 Chapitre 2 Etude g n rale des r seaux de Bragg fibr s Bo Sn n 2 13 hy n L Si une fibre r seaux de Bragg est soumise une perturbation m canique uniforme un d calage de longueur d onde aura lieu et en effectuant le d veloppement de Taylor sur l quation 2 11 on obtient An BAI dg A 2 14 A ng D apr s les quations pr c dentes on trouve et 2 15 h Ag Quand la fibre est soumise une d formation cela entra ne une d formation e R z telle que L On obtient alors AA B AN LU MNA 2 16 noy Pour trouver l expression deAn on se sert des l ments du tenseur eff d formation optique de la mati re de la fibre
107. given by q z t psech Po t f1z where k ME a 29 m ox a 3 Bi E m 1 esee 30 1 3 T 3 D k 3w 8k 8k 4 3 Daa ju bg ccs nie 31 2kT 2kr 4 4 30 2k 8k and the dispersion relation is w 5 32 from 28 and 29 we can see that this solution describe a bright solitary wave depend on the specific nonlinear and dispersive feature of medium intensity and the pulse width is related to the intensity P 2kT p ii Case 4 0 and p 0 in this case the solution 18 written in the form q z t Atanh Po t fl z 33 and its intensity 1s la z 0 4 1 sec Pot Biz 34 2 where 4 51 P 2E o 2 A TUA 35 3 1 1 2e to 4k v 36 2kT o 3 1 2 o 3o 1 T FP LIA 3 fi 2 8i 8i 0 DE 7 With the dispersion relation is 4 3 38 from above Eqs 33 38 we see that this solution describe a dark solitary wave In conclusion we have obtained two types of solitary wave solutions for the PNLS equation describing propagation of femtosecond light pulses in FBGs We have used a multiple scales analysis to derive a perturbed one dimensional NLS for the amplitude of the gap solitons in FBGs From PNLS equation bright and dark Bragg solitary wave solu tions have been constructed and reduced by the ansatz form We have also calculated the important and interesting physical parameters such as power and pulse width for both bright and d
108. gure 2 3 Figure 2 4 Figure 2 5 Figure 2 6 Figure 2 7 Figure 2 8 Figure 2 9 Figure 2 10 Figure 2 11 Figure 2 12 Figure 2 13 Figure 2 14 Liste des figures a structure d une fibre optique en 3 dimensions 8 b variation de l indice de r fraction dans une fibre saut d indice 8 Illustration sch matique de la m thode de Fourier pas divis 27 Repr sentation d une impulsion optique ayant acquis un Chirp eese 30 Mod lisation de la dispersion modale de polarisation dans une fibre optique 32 Sch ma des transitions nerg tiques la base de la diffusion Raman 37 Principe du processus de m lange quatre ondes 42 Sch ma d un r seau de Bragg et leurs spectres ss 49 Sch ma du montage de photo inscription par miroir de Lloyd 51 Modulation d indice d un r seau fabriqu par la m thode du miroir de Lloyd 51 Sch ma d exposition ultraviolette de la fibre eee 52 Modulations d indice de diff rents types de r seaux a R seau uniforme b r seau pas variable c r seau amplitude variable d r seau apodis e r seau saut de phase f r seau chantillonn 53 Propagation des champs travers le r seau de Bragg 55 La r flectivit du r seau de Bragg uniforme en fonction de 57 La r flectivit d un r seau
109. h nom ne d abord afin d augmenter l efficacit des ph nom nes non lin aires co propagatifs souhait s mais galement afin d viter le retour de puissance dans les sources lasers ou autres amplificateurs 39 Chapitre 1 Propagation de la lumi re dans les fibres optiques La diffusion Brillouin est un ph nom ne semblable la diffusion Raman dans le sens o il s agit dans les deux cas de la g n ration partir d une onde pompe d une onde Stokes d cal e vers les basses fr quences et dont la puissance volue de mani re exponentielle avec la distance de propagation Cependant les ordres de grandeur des quantit s caract ristiques de ces ph nom nes gain largeur de la bande spectrale d calage fr quentiel de l onde Stokes et puissance critique sont radicalement diff rents et ce principalement parce que l origine physique de la diffusion Brillouin est diff rente de celle de l effet Raman Il s agit ici essentiellement de l interaction entre 3 ondes la pompe l onde Stokes Brillouin r tro diffus e et une onde acoustique Un photon de l onde pompe est en fait annihil pour g n rer un photon Stokes et un phonon acoustique L nergie et le moment cin tique tant conserv s les fr quences et les vecteurs d onde satisfont 02 p Os et ka kp ks 1 81 Ou sont les pulsations et kp k les vecteurs d onde respectivement des ondes pompe et Stokes Q et k correspondent quant eux la
110. h orie des solitons dans les r seaux de Bragg fibr s et la relation de dispersion est O ae 4 63 A partir des quations 4 59 a 4 63 on montre que la solution d crit une onde solitaire brillante Deuxi me cas 24 0et p 0 Dans ce cas la solution de 4 49 s crit sous la forme q z t A tanh P t B z 4 64 1 2 Et leur intensit est g z Al sech P Az Avec nA et o 2k pl 4k 4 65 EE Ak o 1 QK o 2 T 4k 4 66 3 i a 30 op E A 4 67 A n T 8k 2k EDN 4 et la relation de dispersion est 2 4 La solution dans ce cas repr senter une onde solitaire sombre En conclusion nous avons obtenu deux types de solutions des ondes solitaires pour l quation de Schr dinger non lin aire perturb e PNLSE qui d crive la propagation des impulsions lumineuses dans les FBGs en r gime femtoseconde Nous avons galement calcul les param tres physiques importants et int ressants tels que la largeur de puissance et d impulsion pour les deux types de solitons brillant et sombre 116 Chapitre 4 Th orie des solitons dans les r seaux de Bragg fibr s R f rences 1 W Chen and D L Mills Gap solitons and the nonlinear optical response of super lattices Phys Rev Lett vol 58 pp 160 163 1987 2 J E Sipe and H G Winful Nonlinear Schr dinger solitons in periodic s
111. i elles on peut citer UV La m thode de Rouard dont le r seau est divis en plusieurs plans uniformes couches minces afin de calculer la r flectivit m me pour les formes complexes son inconv nient principal tant le temps de calcul tr s long 9 La m thode de scattering inverse de Gel Fand Levitan Marchenko bas e sur la th orie des modes coupl s et qui a pour but de concevoir des filtres optiques avec des propri t s sp cifiques 10 La m thode de la th orie de Bloch qui consiste trouver les modes propres exacts du r seau de Bragg 11 La m thode des modes coupl s associ e aux Marcuse 12 Snyder 13 Yariv 14 et Kogelnik 15 qui a t choisie pour ce travail gr ce son taux de r ussite en modulant et analysant divers syst mes opto lectroniques fibr s II 3 Mod lisation des r seaux de Bragg fibre Th orie des modes coupl s Pour appliquer cette th orie dans le cas du r seau de Bragg il faut consid rer que la fibre est monomode sans perte et que l interaction a lieu seulement entre 54 Chapitre 2 Etude g n rale des r seaux de Bragg fibr s modes contra propagatifs La diff rence entre les indices de r fraction du coeur et de la gaine tant tr s petite on consid re alors que les champs lectriques et magn tiques se Pour appliquer cette th orie dans le cas du r seau de Bragg il faut consid rer que la fibre est monomode sans per
112. iber core refractive index which translates into a narrowband spectral reflection FBGs are widely used nowadays in the telecommunications field for example as reflection filters or dispersion compensators Moreover their sensitivity to temperature and strain make them ideal for sensing applications in particular due to their very small size their immunity against electromagnetic fields and their multiplexing capabilities And finally we describes the interaction phenomenon of solitons in this type of fibers FBGs Initially of research to start by the formation of solitons in FBGs the difficulties emerged for modeling to solve the nonlinear coupled Schr dinger equation of which characterizes the state of solitons in the fiber Bragg grating The three points quoted above were used for like effective tools to model and to define of Bragg solitons types who allowing to propagate in FBG This work was the object to describe a selection article appeared in the specialized press heading a Simple ansatz for Obtaining Exact Solutions of High dispersive Nonlinear Schrodinger Equations in Fiber Bragg Gratings published in Chaos Solitons and Fractals Key words Fiber Bragg grating nonlinear coupled Schr dinger equation Bright solitons Dark solitons eoooogpZ Hed AT Hp 2 Go K ddt Xydboydaf ftNj Fiber Bragg Seno eC HP BIA girar 2 G C5 AP Obtfeggr uf dat COP f FR 2LLf F fegf PDA grating KE U hdo CAD FBG Zer
113. ics and Photonics News 13 27 76 2002 18 Agrawal Optical solitons Nonlinear fiber optics San Diego 135 202 2001 19 Darzin amp Johnson Solitons An introduction Cambridge university press 1983 20 Zakharov amp Shabat Exact theory of two dimensional self focusing and one dimensional self modulation of waves in nonlinear media Soviet Physics JETP 34 62 69 1972 21 Hasegawa amp Tappert Transmission of stationary nonlinear optical pulses in dispersive dielectric fibers I Anomalous dispersion Applied Physics Letters 23 142 144 1973 22 Hasegawa amp Tappert Transmission of stationary nonlinear optical pulses in dispersive dielectric fibers Ii Normal dispersion Applied Physics Letters 23 171 173 1973 23 Dumais et al Bright temporal soliton like pulses in self defocusing al gaas waveguides near 800 nm Opt Lett 21 260 1996 24 Blow et al Polarization instabilities for solitons in birefringent fibers Optics Letters 12 202 204 1987 25 Mollenauer et al Experimental observation of picosecond pulse narrowing and solitons in optical fibers Physical Review Letters 45 1095 1098 1980 26 Stegeman amp Segev Optical spatial solitons and their interactions Universality and diversity Science 286 1518 1523 1999 27 Buryak et al Induced coherence and stable soliton spiraling Phy Rev Lett 82 81 84 1999 28 Wise amp Di Trapani The hunt for light bullets spatiotemporal sol
114. il M Ghemid Sebti maitre de conf rences l Universit de Annaba M Mokhtar Ghers professeur l Universit de Annaba Mlle Houria Triki professeur l Universit de Annaba et Samia Bouzid professeur l Universit de constantine M Kamel Alioua maitre de conf rences au centre universitaire souk ahras Merci Faycal AZZOUZI pour les encouragements incessants et son soutien Merci aussi Mme Hamaizi Yamina pour sa gentillesse et ses encouragements Cette th se ne serait pas sans mes Parents et mes S urs et mon fr re qui m ont toujours accompagn et encourag dans mes efforts pour acc der toujours plus de connaissance Je les en remercie ici Je tiens aussi remercier toutes les personnes du laboratoire de physique des rayonnements avec lesquelles j ai pu travailler Tout d abord hamza abdelhak Ali Larfi et samir bouzina qui m a accompagn durant ces longues ann es Je m excuse aupr s des personnes que j ai oubli R sum Ce travail est la convergence de trois domaines des fibres optiques la th orie d optique non lin aire dans les fibres optiques les r seaux de Bragg fibr s FBGs pour Fiber Bragg Gratings et enfin l tude th orique de la propagation non lin aire des solitons dans les r seaux de Bragg fibr s Au premier lieu Nous avons pr sent quelques g n ralit s sur la propagation de la lumi re dans les fibres optiques Nous introduirons au lecteur les brique
115. illim tres 30 11 4 4 Laser fibre 25 La photo inscription des r seaux de Bragg sur fibre est la solution optimum pour mettre fin a la cavit des lasers a fibre dop par des terres rares Directement imprim dans la fibre dop e ces miroirs sont int gr s sans pertes Des lasers mettant de diverses longueurs d onde peuvent tre r alis s en choisissant correctement le dopant et les longueurs d onde du r seau figure 2 16 Par exemple pour un Laser 1 5um avec erbium comme dopant et laser 1 3um et thulium comme dopant Les lasers bas s sur l effet Raman o son principe est d crit sur la figure sont devenus de plus en plus int ressants Une cavit d une dizaine de m tres de longueur est remplac par des pairs de miroirs qui r fl chissent au longueur d onde de stockes espac es de 13 2 THz et qui demeurent transparente pour les autres longueur d ondes 31 Id al pour cette application les IFBG ont largement contribu s au d veloppement des Lasers Raman La possibilit d accorder la longueur d onde de r seau de Bragg FBG en utilisant la 1480 1315 1175 1175 1315 1480 Pump it I gt idi idt ae a 1117 1395 1240 1240 1395 Emission nm nm nm nin nm Photoimprinted Bragg gratings Figure 2 16 Laser Raman fibre 1480 nm en utilisant des r seaux de Bragg en cascade 68 Chapitre 2 Etude g n rale des r seaux de Bragg fibr s temp rature ou bien une d formation permet une
116. in two parallel dielectric waveguides Bell Syst Tech J vol 50 pp 1791 1816 1971 A W Snyder Coupled mode theory for optical fibers J Opt Soc Amer vol 62 pp 1267 1277 1972 A Yariv Coupled mode theory for guided wave optics IEEE J Quantum Electron vol QE 9 pp 919 933 1973 H Kogelnik Coupled wave theory for thick hologram gratings Bell Syst Tech J vol 48 pp 2909 2947 1969 J E Sipe et al Propagation through nonuniform grating structures J Opt Soc Am vol A 11 pp 1307 1320 1994 J Skaar Synthesis and characterization of fiber Bragg gratings Ph D dissertation Norwegian University of Science and Technology 2000 Skaar J Wang L and Erdogan T On the synthesis of fiber Bragg gratings by layer peeling IEEE J Quant Electron vol 37 pp 165 173 2001 71 Chapitre 2 Etude g n rale des r seaux de Bragg fibr s 19 20 23 24 30 31 A Orthonos and K Kalli Fiber Bragg Grating Fundamentals and Applications in Telecommunications and Sensing Boston Artech House 1999 Graham Ian Duck Distributed Bragg Grating Sensing Strain Transfer Mechanics and Experiments PhD dissertation University of Toronto 2000 A D Kersey T A Berkoff and W W Morey High resolution fibre grating based strain sensor with interferometric wavelength shift detection Electron Lett vol 28 pp 236 238 1992 O
117. inalement engendrer un talement de l impulsion Nous voyons donc ici les cons quences dramatiques que peut avoir la dispersion chromatique sur un syst me de transmission d informations par fibres optiques et l int r t imm diat pour les T l coms de trouver le moyen de s en affranchir Traditionnellement la communaut scientifique Chapitre 1 Propagation de la lumi re dans les fibres optiques rend compte des effets de dispersion en d veloppant la constante de propagation en s rie de Taylor autour de la fr quence de la porteuse suivant 2 1 1 B UO B B o 0 5 Bo nac D 1 4 O B B e p 8 3 pour m 1 2 0o P Le lecteur pourra remarquer que les param tres j et f sont des quantit s physiques intuitives dans le sens o Z traduit simplement la vitesse laquelle l nergie de l impulsion se propage En effet le param tre correspond l inverse de la vitesse de groupe v et s exprime par Ant 1 5 Quant au coefficient Z il repr sente la d pendance de la vitesse de propagation de l nergie vis vis de la fr quence de l onde Il est le param tre de dispersion chromatique d ordre 2 donn e constructeur essentielle pour la caract risation des fibres optiques et indispensable pour les ing nieurs concepteurs des syst mes T l coms f s exprime en ps2 nm et est donn par frs lle Do 1 6 00 v 00 f traduisant la variation de la vitess
118. incipe Si on consid re que les cordes vocales constituent les premiers instruments de communication distance ils n en d pendent pas moins de la gravit visuelle ou auditive de leur partenaire autrement dit de la sensibilit du r cepteur Ces instruments ne sont efficaces que sur une distance relativement courte et il apparait donc relativement difficile de pouvoir les consid rer comme le point de d part des recherches sur les t l communications par fibres optiques Alors le concept de r seau de t l communication par cable ou par fibre tait n mais le taux de transfert d informations tait encore limit par la faible bande passante la forte att nuation et le caract re analogique du syst me L invention du laser a permis la mise en oeuvre exp rimentale des processus d absorption ou de diffusion plusieurs photons Ainsi la g n ration de second harmonique r alis e en 1961 1 peut tre consid r e comme l acte de naissance de l optique non lin aire et le point de d part de la t l communication optique Leur compacit leur quasi monochromatisme et leur forte puissance poss dent l avantage de pouvoir tre inject s au sein d un guide d onde La fibre optique telle que nous l utilisons aujourd hui est le fruit d une recherche forte sur de nouveaux guides d onde faiblement dissipatifs Gr ce des progr s rapides de chimie des coefficients de pertes tr s faibles furent atteints la quantit de lumi re achemin e
119. ind pendamment du signe de epiac es dd P 2 la dispersion par 29 Chapitre 1 Propagation de la lumi re dans les fibres optiques a 1 t 0 5 9 E 0 5 Q NT 20 0 20 Temps ps Figure 1 3 Repr sentation d une impulsion optique ayant acquis un chirp o L d signe la longueur de dispersion c est dire la distance de propagation au bout de laquelle l impulsion s est largie d un facteur 42 Son expression est donn e par 2 t Lj 9 Nous pouvons galement remarquer sur l expression 1 61 qu au cours de la NT propagation l impulsion acquiert une phase quadratique du type 6 z t at b z La fr quence instantan e c est dire la d riv e temporelle de la phase s carte donc de la fr quence de la porteuse selon une quantit qui varie lin airement le long de l impulsion OP 4 est et qui augmente avec la distance de propagation 2 3 Cette quantit da appel e chirp ou glissement de fr quence Le chirp s explique clairement par le fait que les diff rentes composantes spectrales de l impulsion se d placent a des vitesses diff rentes par le biais de la dispersion chromatique Comme l illustre la figure 1 3 dans le cas d un r gime de dispersion anormale PB Ov OoX0 les composantes de plus hautes fr quences se d placent plus vite que les composantes de plus basses fr quences Au cours de la propagation les comp
120. ion Applied Physics Letters 32 10 p 647 649 1978 L Brilland Etude et r alisation de r seaux de Bragg inscrits dans une fibre optiquemonomode pour une fonction d galisation du gain des amplificateurs a fibres dop es Th se de doctorat de l Universit des Sciences et Technologies de Lille 2000 G Meltz W W Morey amp W H Glenn Formation of Bragg gratings in optical fibers by a transverse holographic method Opt Lett Vol 14 15 pp 823 825 1989 K O Hill B Malo F Bilodeau D C Johnson amp J Albert Bragg grating fabricated inmonomode photosensitive optical fiber by UV exposure through a phase mask Appl Phys Lett Vol 62 10 pp 1035 1037 1993 J Martin amp F Ouellette Novel writing technique of long and highly reflective in fibre Bragg gratings Electron Lett Vol 30 10 pp 811 812 1994 A Othonos Fiber Bragg gratings Rev Sci Instrum 68 pp 4309 4341 1997 R KASHYAP Fiber Bragg Gratings Academic press 1999 Wang ZH Peng GD Chu PL Improved Rouard smethod for fiber and waveguide gratings Optics communications vol 177 pp 245 250 2000 Rosenthal A Horowitz M Inverse scattering algorithm for reconstructing strongly reflecting fiber Bragg gratings IEEE Journal of quantum electronics vol 39 no 8 pp 1018 1026 2003 Y Maand L D Marks Bloch wave solution in the Bragg case Acta Cryst Vol 45 pp 174 182 1989 D Marcuse The coupling of degenerate modes
121. ir la formation des solitons dans les r seaux de Bragg fibr les difficult s ont surgi pour la mod lisation de r soudre l quation de Schr dinger non lin aire coupl s qui caract rise l tat des solitons dans les r seaux de Bragg fibr s La troisi me partie a pr sent les ph nom nes solitoniques sp ciaux en optique Nous avons d crit quelques principes physiques g n raux qui r gissent les familles de solitons leur propagation et instabilit s ainsi la nouvelle cat gorie des solitons qui se forment dans les syst mes non conservatifs Dans la derni re nous avons tudi th oriquement la dynamique non lin aire dans les r seaux de Bragg fibr s Nous avons investigu en particulier les 120 Conclusion g n rale propri t s de propagation des ondes quand elles satisfont exactement ou approximativement la condition de Bragg dans le r seau fibr Dans les r seaux fibr s la propagation d ondes est alors g n ralement interdite a cause de la forte r flexion de Bragg qu elles subissent Si l on tient compte de r ponse non lin aire de la fibre la th orie pr voit cependant l existence de toute une famille d ondes solitaires les gaps solitons pouvant se propager toutes les vitesses de groupe possibles dans la fibre L volution des ondes solitaires au sein de r seaux d indice uniformes est d crite par un syst me d quations aux modes coupl s pour les deux composantes contra propagatives qui
122. ire des fibres il n existe pas de situation correspondante o il y a intermodulation de phase sans automodulation des ondes 18 N anmoins m me si l on ne peut lui attribuer d interpr tation physique dans le contexte des r seaux de Bragg ce mod le pr sente l avantage d tre compl tement int grable par la technique de diffusion inverse Mikhailov et Kuznetsov 19 ainsi que Kaup et Newell 17 ont montr qu il poss de des solutions solitons et les ont calcul es explicitement La m thode de r solution des quations aux modes coupl es revient alors rechercher des solutions au syst me 4 25 au moyen d une transformation appropri e des solitons du mod le de Thirring massif Les quations aux modes coupl es n tant pas strictement int grables au sens math matique ces solutions sont des ondes solitaires qui se propagent sans d formation et non des solitons Sans entrer dans des arguties vides de sens remarquons qu il existe depuis les premiers travaux d Aceves et Wabnitz 4 une suspicion sur la nature des gaps soliton Les simulations indiquent en effet qu ils r sistent aux collisions entre elles Or ce comportement est propre aux solitons et est g n ralement utilis comme crit re pour les d finir 20 Les solutions de ces quations gap solitons peuvent s crire sous la forme 4 18 E a explin 0 4 26 107 Chapitre 4 Th orie des solitons dans les r seaux de Bragg fibr s O
123. itons Optics and Photonics News Special Issue on Solitons 13 28 32 2002 29 McLeod et al 3 1 dimensional optical soliton dragging logic Physical Review A 52 3254 3278 1995 30 Liu et al Generation of optical spatiotemporal solitons Physical Review Letters 82 4632 4634 1999 95 Chapitre 3 Th orie des ondes solitaires et solitons optiques 31 Barth lemy et al Propagation soliton et auto confinement de faisceaux laser par non lin arit optique de kerr Optics Communications 55 201 206 1985 32 Maneuf et al Propagation de faisceaux solitons quasi monochromatiques caract ristiques spatio temporelles et spectrales Journal of Optics Paris 17 139 145 1986 33 N Akhmediev Adrian Ankiewicz Eds Dissipative Solitons Lect Notes Phys 661 Springer Berlin Heidelberg 2005 34 E GARMIRE et al 1966 op cit 35 35 V E ZAKHAROV amp A M RUBENCHIK op cit 1974 36 G P Agrawal Fibre optic communication system 3nd Ed John Wiley amp Sons Inc 2002 37 G P Agrawal Nonlinear Fiber Optics Academic Press Optics and Photonics New York 3edition 2001 38 S MANEUF et al Stable self trapping of laser beams Observation in a nonlinear planar waveguide Opt Commun 65 193 8 1988 39 J S AITCHISON et al Observation of spatial optical solitons in a nonlinear glass waveguide Opt Lett 15 471 3 1990 40 J S AITCHISON et al Observation of spa
124. l quation 41 Chapitre 1 Propagation de la lumi re dans les fibres optiques 1 9 nous donne la polarisation non lin aire r sultant de l interaction du champ total sur le mat riau incident par 1 2 3 xt 698 Py z em e tot i tot 1 84 4 En rempla ant E par son expression nous obtenons FETE 2 2 gt ayy ox B 2mm E 2 JE E 25 E ETE ETE 1 85 Tandis que les deux premiers termes traduisent la r ponse non lin aire du mat riau la pulsation eto les deux derniers termes correspondent la g n ration de deux nouvelles ondes Le signal g n r la plus basse fr quence 2 est classiquement qualifi d onde Stokes tandis que le signal g n r a la pulsation 2 o est nomm anti Stokes Les g n rations de ces deux nouvelles fr quences partir des pompes initiales sont appel es ph nom nes de m lange quatre ondes FWM partiellement d g n r Comme le montre la figure 1 6 a nous pouvons galement voir ce ph nom ne de m lange quatre ondes comme une interaction entre quatre photons o deux photons de fr quence et o s annihilent pour g n rer deux nouveaux photons de fr quence et de sorte que le spectre final visible sur la figure 1 6 b v rifie O O 1 86 Figure 1 6 Principe du processus de m lange quatre ondes 42 Chapitre 1 Propagation de la lumi re dans les fibr
125. l quation aux modes coupl s dans la zone pr s et en dehors de cette bande pour trouver les solitons de bragg IV 2 3 2 Onde solitaire Cap soliton solution de l quation non lin aire de modes coupl s Les quations aux modes coupl s non lin aires du r seau de Bragg fibr s 4 25 poss dent des solutions analytiques exactes dans la bande interdite Nous 106 Chapitre 4 Th orie des solitons dans les r seaux de Bragg fibr s avons vu a la section pr c dente quels taient les m canismes physiques qui rendaient possible la propagation de telles impulsions gap soliton La m thode de r solution des quations 4 25 a t d abord propos e et utilis e par Christodoulides et Joseph 3 dans le cas o les ondes inject es v rifient exactement la condition de Bragg c est dire lorsque leur fr quence est au centre de la bande interdite lin aire Aceves et Wabnitz ont ensuite tendu la m thode la recherche des solutions correspondant toutes les fr quences 4 ou tous les nombres d onde 16 au sein de la bande interdite d un r seau de Bragg fibr Le point de d part de leur raisonnement consiste remarquer que les quations aux modes coupl s non lin aires du r seau de Bragg fibr s 4 25 se r duisent au mod le de Thirring massif en l absence des termes d automodulation de phase 17 Le mod le de Thirring massif d crit certains probl mes de transparence auto induite mais en optique non lin a
126. lectric fibers I Anomalous dispersion Appl Phy Lett vol 23 pp 142 1973 L J Richardson W Forysiak and N J Doran Trans Oceanic 160 Gb s Single Channel Transmission Using Short Period Dispersion Management IEEE Photon Technol Lett vol 13 pp 209 211 2001 45 Chapitre 1 Propagation de la lumi re dans les fibres optiques 16 17 18 19 20 21 22 23 24 M Westlund H Sunnerud J Li J Hansryd M Karlsson P O Hedekvist and P A Andrekson Long term automatic PMD compensation for 160 Gbit s RZ transmission Electron Lett vol 38 pp 982 983 2002 P K A Wai C R Menyuk and H H Chen Stability of solitons in randomly varying birefringent fibers Opt Lett vol 16 pp 1231 1233 1991 P A Andrekson H Sunnerud and M Karlsson System Impacts of Polarization Mode Dispersion presented at ECOC 03 Rimini 2003 A Hasegawa and W F Brinkman Tunable Coherent IR and FIR Sources Utilizing Modulational Instability IEEE J Quantum Electron vol 16 pp 694 697 1980 D A Fishman and J A Nagel Degradations Due to Stimulated Brillouin Scaterring in Multigigabit Intensity Modulated Fiber Optic Systems J Lightwave Technol vol 11 pp 1721 1728 1993 Y Aoki K Tajima and I Mito Input power limits of single mode optical fibers due to stimulated scattering in optical communication systems J Light Wave Technol 6 pp 710 1988
127. les fibres optiques a b Gaine optique n Gaine C ur n plastique Figure 1 1 a structure d une fibre optique en 3 dimensions b variation de l indice de r fraction dans une fibre saut d indice P P expl L 1 1 O a d signe le coefficient de perte lin ique de la fibre en km t Mais le coefficient est en g n ral exprim en d cibel par kilom tre dB km et est donn par 2 10 P Qg Pl 24 3430 1 2 La limite fondamentale des pertes optiques est en fait impos e par la diffusion de Rayleigh qui d croit avec la longueur d onde en Va 2 La fibre n tant pas fabriqu e de mani re parfaite il r sulte du processus de fabrication des variations locales de l indice de r fraction qui diffuse alors la lumi re dans toutes les directions 1 2 D autres facteurs peuvent finalement contribuer aux pertes intrins ques de la fibre La pr sence d ions OH due au processus de fabrication repr sente des impuret s qui sont responsables d un pic d absorption autour de 1400 nm Diverses r sonances ou tout simplement la courbure de la fibre peuvent galement contribuer augmenter les pertes dans la fibre Les pertes intrins ques atteignent toutefois un minimum de 0 2 dB km centr autour de la longueur d onde de 1550 nm qui a donc t choisie pour transmettre les informations sur de longues distances Chapitre 1 Propagation de la lumi re dans les fibres optiques 1 2 2 Dispersion
128. les peuvent tre qualifi s de non lin aires pour peu que leur origine soit suffisamment importante Dans le cas d une onde lumineuse si l amplitude du champ incident devient trop importante la r ponse du mat riau n est alors plus simplement proportionnelle au champ initial mais fait intervenir diff rents harmoniques et sera donc qualifi e de non lin aire 2 3 12 Chapitre 1 Propagation de la lumi re dans les fibres optiques En supposant que la fibre soit isotrope et que le champ lectrique initial E soit polaris rectilignement la polarisation r sultant de l interaction onde mati re peut alors s exprimer sous la forme d un d veloppement en s rie de puissance de E Cette s rie est g n ralement vue comme la somme de deux contributions un premier terme dit lin aire P car proportionnel au champ incident et un deuxi me terme qualifi de non lin aire P car proportionnel des ordres sup rieurs de E La polarisation prend finalement la forme suivante 2 3 ee ee ZAE P P P Sag ET yp E 1 9 O pA et 49 sont respectivement les tenseurs de susceptibilit d ordre 1 et 3 de la silice fondue Le lecteur remarquera l absence du tenseur de susceptibilit d ordre 2 yP dans l quation 1 9 En effet la fibre optique tant compos e de silice fondue sous forme d un verre amorphe il n existe pas de direction privil gi e d orientation des mol cules Par cons quent les tenseurs de s
129. llenge scientifique c est dire g n rer un soliton spatio temporel stable et localis nergie finie il faut r unir les conditions suivantes e une non lin arit auto focalisante e une dispersion anormale 86 Chapitre 3 Th orie des ondes solitaires et solitons optiques Elargissement temporel Elargissement spatial SOLITON SPATIO 77 TEMPOREL Figure 3 7 Illustration du concept de la balle de lumi re a en r gime lin aire b en r gime non lin aire e un ou deux processus pouvant pr venir un collapse58 de l impulsion non lin arit saturante par exemple A ce stade des recherches certains travaux s orientent vers des mat riaux aux propri t s quadratiques pour b n ficier de la non lin arit saturante Ce domaine de recherche est en plein essor puisque la toute premi re observation de soliton spatio temporel a t faite par Liu et al 30 en 1999 sur une seule dimension transverse en exploitant un processus quadratique III 2 2 Les diff rents types de solitons optiques en fonction de leur origine physique Les trois types de solitons mentionn s plus haut temporel spatial et spatio temporel peuvent tre cr es par diverses non lin arit s sources laser et structures Cette diversit a g n r la cr ation de diff rentes cat gories de solitons partir de leur origine physique tels que les solitons Kerr les solitons dans les cristaux liquides les solit
130. ltiplexage 25 Agissant en tant que filtres s lectifs de longueur d onde les r seaux de Bragg uniformes de courtes p riodes ont t vis s la premi re fois vers des applications du filtrage et du multiplexage Le coefficient de r flexion est proportionnel la transform e de Fourier du profil longitudinal de l indice de r fraction Le spectre du filtrage peut alors tre obtenu en ajustant la p riode du r seau et la variation de lindice de r fraction pour des rejets lev s des canaux adjacents formes rectangulaires multi cr te etc Aujourd hui les techniques avanc es d criture des FBG permettent la r alisation de presque n importe quelle forme spectrale d sir e en contr lant la r ponse de la phase Les r seaux de Bragg sur fibres sont donc d excellents candidats pour les futurs syst mes WDM complexes mais avec des filtres peu co teux adapter cette conception Un exemple de filtre d j d montr contenant un espacement entre canaux de 25 ou de 12 5 GHz montrant simultan ment des formes rectangulaires et une dispersion nulle 26 Le r seau de Bragg de p riodes courtes r fl chit la lumi re pr s de la longueur d onde de Bragg et demeure transparente pour les autres Pour tre utilis s dans un r seau le r seau de Bragg doit s associer un autre composant avec plusieurs entr es et sorties pour extraire le signal utile Bage painga UAN MM Bragg grating at hy wavelength a b
131. mme quasi monochromatiques En pratique cette approximation s av re valable tant que l enveloppe des ondes varie en un temps de l ordre de 100 fs au moins 2 Le champ lectrique d une onde lectromagn tique dont le spectre est centr autour de la fr quence o et la r ponse optique lin aire peuvent s crire en termes de leurs amplitudes spectrales complexes E r et P r Er Eco Ec e p 1 A aire TN 1 24 EU 5B ok PO r oo 18 Chapitre 1 Propagation de la lumi re dans les fibres optiques Sous cette forme il apparait imm diatement que le champ lectrique E r et la polarisation lin aire P r c restent des grandeurs r elles Dans le domaine spectral on peut alors montrer que 7 8 l amplitude spectrale de la polarisation lin aire devient B o yi o E 0 9 T OV E 1 25 ijz Avec y 6 6 est le symbole de Kronecker et V d finit un gradient dans la direction orthogonale a la direction de propagation z Dans cette quation les indices se rapportent aux coordonn es spatiales x y z la sommation r p t e sur tous les indices successifs est de mise bien qu elle ne soit pas explicite ici afin d all ger les notations Nous conserverons cette notation dans la suite Dans l quation constitutive lin aire 1 25 nous avons s par la r ponse locale Xs de la r ponse optique non locale Ce du milieu Dans la silice la r ponse locale se t
132. n Cette conclusion assure la possibilit de concevoir des r seaux de Bragg courts qui fournissent quand m me de tr s bonnes r flectivit s en diminuant An amp n 0 0005 0 75 Te 4 DE EE EE 0 25 0 0 Figure 2 9 La r flectivit d un r seau de Bragg pour diff rentes valeurs de An 58 Chapitre 2 Etude g n rale des r seaux de Bragg fibr s IL 3 2 Solution num rique pour les r seaux de Bragg non uniformes La r solution des quations 2 4a et 2 4b dans le cas des r seaux de Bragg non uniforme n est plus possible analytiquement ceci nous oblige a chercher des solutions num riques parce que les param tres An z 0 z et v z d finis en 11 3 ne sont plus constants mais varient avec z on d finit le coefficient de r flectivit r z v z u z et on d rive les quations de propagation afin de trouver l quation diff rentielle suivante de Ricatti 17 2jo z r z jke r z 2 9 E On applique la condition de limite r L 2 0 et on utilise la m thode de Runge Kutta pour int grer l quation pr c dente de z L z 0 afin de trouver une valeur approch e de r 0 le coefficient de r flectivit Cette m thode est tr s simple mais plus lente que la m thode de simulation matricielle parce qu elle demande un nombre d tapes important afin d assurer la convergence II 3 4 M thode de simulation matricielle Une autre m thode a t propos e pour tudier
133. n invariante toujours transverse concerne le temps ou l espace ce sont les solitons respectivement temporels et spatiaux tandis que les solitons couplant ces deux grandeurs dits solitons spatio temporels ou balles de lumi re n en sont exp rimentalement qu leurs pr mices En effet la recherche de soliton spatio temporels autoconfin s dans les trois dimensions spatiales et dans le domaine temporel est un probl me mythique de l optique non lin aire 4 Au cours de ces derni res ann es un niveau de compr hension a t atteint sur les conditions d existence de stabilit et g n ration des solitons optiques spatio temporels qui sont des paquets d ondes capables de se propager dans les milieux optiques non lin aires sans se disperser ni de se diffracter L tude de la propagation des solitons optiques dans les r seaux de Bragg fibr s est le fruit d une nouvelle destination due cette compr hension Alors les solitons dans les r seaux de Bragg fibr s Gap Solitons sont des bandes non lin aire optiques se manifestent par l quilibre du balance entre la non lin arit et la dispersion du r seaux de Bragg fibr e de telle sorte que la p riodicit de l indice de r fraction cr e un gap des bandes photonique dont la lumi re ne peut pas se propager dans cette zone La pr sence suffisante de d effet Kerr non lin aire et l intensit des ondes lumineux modifient l indice de r fraction non lin aire raison de cr er un
134. n transverse x non guid e c est dire libre 37 38 Ainsi la confirmation exp rimentale de l existence du soliton Kerr spatial fut nouveau apport e par le groupe de l IRCOM dans un guide plan en disulfure de carbone 38 Ensuite en quelques ann es le soliton Kerr spatial tait d montr dans des guides plans en verre 39 puis en semi conducteur 40 et enfin en polym re 41 l heure actuelle le milieu non lin aire le plus utilis dans l tude des solitons spatiaux Kerr est le semi conducteur Al Ga As car il peut procurer selon sa stoechiom trie un indice non lin aire ultrarapide et relativement lev 500 fois celui de la silice avec des pertes par absorption minimales 42 Les verres chalcog nures sont de plus en plus tudi s pour leurs figures de m rite int ressantes associ es des coefficients de Kerr de l ordre de mille fois la silice 43 Le disulfure de carbone quant lui de par son tat liquide qui permet la r alisation de guides plans sans recourir de fastidieuses tapes technologiques de fabrication reste un excellent support pour des tudes ph nom nologiques comme la n tre car il procure un indice non lin aire cent fois plus lev que celui de la silice en r gime picoseconde IIL2 2 Les solitons dans des cristaux liquides Les cristaux liquides constituent galement un milieu digne d int r t pour les solitons La modification de l indice de r fraction dans ce type
135. ns in Fiber Bragg Gratings publier dans Chaos Solitons and Fractals Mots cl s R seaux de Bragg fibr s quation de Schr dinger non lin aire coupl s solitons brillant solitons sombre
136. ns les fibres optiques 15 1 3 1 quations de pIOpdgdtioficaninadsasdantgdmnteinidpd en atate pd medir Rad 15 1 4 1 R ponses lin aire et non lin aire du milieu 16 1 4 2 Les sym tries des tenseurs de susceptibilit 20 1 5 L s quations d enveloppe ett debct er Dn dee i ard dc e cO 22 1 6 M thode de Fourier pas divis inner 25 I 7 Effets rencontr s par une impulsion lors de sa propagation 28 AG Etets lin aires onnie 28 1 7 1 1 Dispersion chromatique d ordre 2 GVD ss 28 1 7 1 2 Dispersion chromatique d ordre 3 TOD sss 31 1 7 1 3 Dispersion des modes de polarisation PMD ss 32 L2 Effets on lin aires sains aai aia 33 1 7 2 1 Auto modulation de la phase SPM eene 33 8 Solitons fondamentaux aie nrbe tit adea menus 34 1 8 1 Bref sur l instabilit modulationnelle IM sss 35 1 8 2 Diffusion stimul e au sein d une fibre optique 36 1 8 3 Diffusion Raman Stimul e SRS eese ennt 37 1 8 4 Diffusion Brillouin Stimul e SBS sees 39 8 5 Auto raldIsse meli teteiete sien te tte tits ies icto iet toe rette a 40 1 8 6 M lange quatre ondes FWM sese tnnntenntnn ttt ntnn nn 41 1 8 7 Modulation de phase crois e XPM seen 43 EO Ref ren6es descente een ha ever
137. ntr e MAS gt A Perturbation appliqu e sur la FBG Signal r fl chi Signal transmis Figure 2 11 Principe d un Capteur Fibre Optique r seau de Bragg 60 Chapitre 2 Etude g n rale des r seaux de Bragg fibr s d formations en se servant d un capteur a fibre optique a r seaux de Bragg Fiber Bragg Grating ou FBG dans la litt rature scientifique anglo saxonne deux configurations de mesures sont d montr es dans l exemple en r flexion ou en transmission La longueur d onde caract ristique du r seau d pend de la temp rature et des d formations appliqu es la fibre Il est donc d usage de distinguer trois contributions qui sont la temp rature T l allongement m canique dans l axe optique et la pression hydrostatique AP selon la relation B e INT AE ChE 2 11 B o a b et c sont les coefficients d pendant des propri t s intrins ques du mat riaux de la fibre Ainsi une mesure pr cise de la variation de par rapport une r f rence initiale permet d estimer l amplitude de la variation du ph nom ne inducteur 19 11 3 6 Sensibilit du r seau de Bragg l allongement relatif On suppose que les d formations principales appliqu es sur une fibre optique sont compos es de deux composants transversal gn et axial z Ainsi pour calculer la r ponse de la fibre optique classique une d formation appliqu e nous pourrons mesurer le chan
138. o ET HS GI LO 4 GUE HARAS HET ne 2 dir Osdu f edafj m yloff Kfegk Bak ORf tdDP f nT Hj eZ t eNFOf 2 TEA AT e HS 2 9205 EGR HE Co Orari KES Di LE aai OGF Cn f O5 eGR f Ri Edit Red A NK VS ye A ig FBG 3fe o et Hp A Kfecek LE eG ONj FBG dhZsfenk ei Gad N Kj P fiber core ET H6 2 dA PH etr Map C54 dip A eAp tO 3fenucgio G DA U Af 2 Gu 2 dD gt GAGOIA Off Ge FAD Gee ADT galf EI dg K q RF GE YA k yg GPU ipa KENUF feof tnep KR GH Go LP ER SACR f aGdgA GP lot o2 TH KAK 2 A 2 dj4 B2 Lf ANOS Uf da yA NE EX At dell OS ggf OS fede ufa Nislj2 T Zheiproj Ar OSI eT Hp td 4 0 OS UMA ACL pag KEET fA FBG 3fetot T Hp KED PIE UKAY NIB T KORE rXedE PU enet tad 0 Pf HERT KIG GE aigeddretr UM eAsdiA feh KS Ces or R 3e Udy YADU zhj L Z Kok GA xA DAL y def fEN je TL XE At FZ fen A Simple ansatz for Obtaining Exact Solutions of High dispersive Nonlinear Schrodinger Equations in Fiber Bragg Gratings Chaos Solitons and Fractals t DAXE Table des mati res Introduction G n rale tritici bedding secca onini mt dd 1 Chapitre I Principes de base de l optique non lin aire ss 6 1 2 G n ralit s sur les fibres optiques nn 6 2 T Pertes optiques isset d e peri anne nee Dana rca inei n Do ER ass D Le RR a 7 2 2 Disp rsion chromatique ti eie teet adi es viento cele date 9 2 3 Effet Kerr optique decise e ea ev in mt con 12 I 3 Propagation non lin aire da
139. oliton avec d n 2 v 0 110 Chapitre 4 Th orie des solitons dans les r seaux de Bragg fibr s intense quand 6 z limite de forte intensit La largeur a mi hauteur full width at half maximum FWHM depend de 6 Il est claire que la largeur L whm est constante pour 6 gt 0 4z mais sid 0 L whm gt 00 nous constatons aussi que la variation de Liest faible par rapport a v c est dire une faible variation de la largeur en fonction de la vitesse IV 2 3 Les solutions exactes de l quation de propagation non lin aire de type solitons de Bragg L existence de solitons de Bragg pr s mais en dehors de la bande interdite r sultant de la compensation de la dispersion du r seau par la non lin arit de la fibre o le r seau de Bragg est inscrit 21 22 Sipe et de Sterke ont montr que la propagation de ces solitons est d crite par une quation de Schr dinger non lin aire NLSE standard qu on peut d river des quations aux modes coupl s 4 25 compl t es de termes repr sentant la contribution non lin aire la propagation auto et intermodulation de phase 4 21 22 Les solitons de Bragg ont t observ s exp rimentalement dans des FBG 6 7 23 24 et dans des guides semi conducteurs 25 Leur caract ristique principale est de pouvoir se propager des vitesses largement inf rieures celle de la lumi re dans la fibre en l absence du r seau Des vitesses de pr s de 50 in
140. ons alg briques nous obtenons E Z n OB KE_ ie pie z KE z 2m Oz c Ot KE e to ptr 0 4 12 2ikoz O les termes probl matique sont celles avec e Ces termes cependant peuvent tre n glig s parce qu ils ont peu d effet sur E Nous sommes int ress s par la lumi re aux fr quences autour avec la fr quence spatiale correspondante k Puisque nous supposons que l enveloppe change lentement on peut imaginer que les effets des termes de la fr quence spatiale k peuvent tre ramen s en dehors Ce genre d approximation est connu comme approximation tournante des vagues d ondes Rotating Wave Approximation RWA Ainsi quand nous n gligeons ces termes de fr quence plus lev e et employons l orthogonalit des ondes planes nous obtenons finalement les quations lin aires de mode coupl s LCMEs 101 Chapitre 4 Th orie des solitons dans les r seaux de Bragg fibr s 0 t QE zt a KE_ z t Ot Oz E OE _ z t m o 4 13 0 c Ot Oz Et les quations aux modes coupl s lin aires dans le domaine spectral dans le domaine fr quentiel 14 s crit comme E o Liri iq 9 E z o ixE z o Z _ OE z x 4 14 ig o E z o ikE z o g a a B a B et Q o o 4 15 IV 2 2 Relation de la dispersion lin aire Cherchons pr sent les solutions continues de fr quence w aux quations aux modes coupl s
141. ons quadratiques les solitons de cavit ou encore les solitons dans les milieux photo r fractifs soliton de Bragg 87 Chapitre 3 Th orie des ondes solitaires et solitons optiques 111 2 2 1 Les solitons Kerr La physique des solitons Kerr repose sur une modification id alement locale localit spatiale et instantan e localit temporelle de l indice de r fraction lin airement proportionnelle l intensit optique ce que traduit la relation An n I 3 7 On parle alors d effet Kerr optique par analogie avec l effet Kerr lectro optique traditionnel pour lequel l indice de r fraction peut varier proportionnellement l intensit d un champ lectrique statique L origine microscopique d un tel effet r side dans une anisotropie induite de la polarisabilit du milieu Elle peut tre lectronique d formation du nuage lectronique p riph rique d atomes ou mol cules mol culaire r orientation d une mol cule anisotrope Si on peut consid rer qu une des premi res observations de ph nom ne solitonique en optique fut celle de Garmire et al 34 son caract re 2D et l emploi d un milieu de Kerr ne permirent cependant pas de stabiliser la propagation comme nous l avons pr c demment expliqu C est pourquoi il fallut attendre 1985 31 et l ing niosit de Barth lemy Maneuf et Froehly 32 de l Institut de recherche en communications optiques et micro ondes IRCOM Limoges pour d montrer la propagation d
142. ons un grand nombre de fois grace a un ordinateur de proche en proche nous avons acc s au champ lectrique en fonction de la distance de propagation et r alisons ainsi une simulation num rique de la propagation de la lumi re dans une fibre optique 27 Chapitre 1 Propagation de la lumi re dans les fibres optiques I 1 Effets rencontr s par une impulsion lors de sa propagation I 1 1 Effets lin aires L1 1 1 Dispersion chromatique d ordre 2 GVD La propagation d une onde lumineuse de champ A z t dans un milieu lin aire et dispersif peut tre mod lis e par l quation diff rentielle de Schr dinger non lin aire 1 48 dans laquelle y prend une valeur nulle 2 3 OA _ _ B OPA Oz 2 at Cette quation est g n ralement r solue dans le domaine de Fourier dans lequel 1 53 l quation 1 53 s exprime A Po 1 54 o A z d signe la transform e de Fourier TF de A z t donn e par A z AC t exp iat dt 1 35 L quation 1 54 se r sout alors facilement de sorte que A z e A 0 oje pie 1 56 ou A 0 o d signe la transform e de Fourier du champ initial A 0 t Nous pouvons remarquer ici que le module de A 0 reste constant au cours de la propagation Cela signifie que la dispersion chromatique d ordre 2 change la phase des composantes spectrales au cours de la propagation mais ne modifie pas le spectre de l impulsion qui restera donc constant tout au long de la pr
143. ont utiles dans la suite pour r duire de mani re drastique la complexit du tenseur non lin aire initialement compos de 81 l ments Nous poursuivons nos d veloppements en d composant le tenseur de susceptibilit lin aire locale en deux parties l une isotrope indic e s et l autre anisotrope indic e a 45 0 z 0 x50 1 37 En vertu des sym tries 32 g est r el et 77 est hermitien Le tenseur d peut encore s crire Xj 0 0 21 Chapitre 1 Propagation de la lumi re dans les fibres optiques O nous avons introduit le tenseur di lectrique Les termes isotrope et anisotrope de ce tenseur sont d finis partir de l quation 1 37 qui devient alors Xj 7 6 x 0 ds e o s X a La constante di lectrique elo est r ele par les relations 1 32 Elle est li e l indice de r fraction moyen du milieu n elo n La dispersion chromatique des fibres en silice suppos es sans pertes est donc la contribution isotrope de la r ponse lin aire locale r elle au passage de la lumi re 77 Inclut l anisotropie lin aire du milieu c est dire sa bir fringence lin aire 1 8 Les quations d enveloppe Dans une fibre optique monomode une onde lectromagn tique se propage avec un vecteur d onde k orient essentiellement selon l axez confondu avec l axe de la fibre Nous savons par ailleurs que le champ qui se propage dans une telle fibre
144. opagation Finalement la transform e de Fourier inverse de l quation 1 56 donne le champ lectrique de l impulsion en fonction de la distance de propagation qui s exprime par A z t f Ao ew f o z iat do 1 57 28 Chapitre 1 Propagation de la lumi re dans les fibres optiques Nous pouvons illustrer cette s rie d quations en prenant l exemple d une impulsion gaussienne pour laquelle le champ lectrique initial s crit A O t cxf m 1 58 ou to d signe la demi largeur A de l intensit reli e sa largeur mi hauteur FWHM par 2 FWHM 24In21 1 665t 1 59 En utilisant l quation 1 57 il vient qu la distance z le champ lectrique s crit 2 3 2 1 60 to exp Ji iB z 2r if z A z t Nous pouvons remarquer sur l quation 1 60 que l impulsion garde sa forme gaussienne au cours de la propagation tout en s largissant Par cons quent et ce afin de satisfaire la loi de conservation de l nergie sa puissance cr te diminue progressivement Finalement et afin de mieux mettre en vidence le ph nom ne d largissement nous pouvons r arranger l expression 1 60 pour obtenir 1 AU ee we Le 05 Bc 2if zt B i 5 en a SES ii i 5 B 2 2 arctan t B 2 1 61 Nous d duisons alors de l expression 1 61 que la largeur de l impulsion gaussienne s exprime en fonction de la distance de propagation et ce
145. osantes de basses fr quences vont donc s accumuler sur le front descendant de l impulsion tandis que les hautes fr quences s accumuleront sur le front montant Le front montant de l impulsion tant alors plus rapide que le front descendant il s en suit un largissement inexorable de l impulsion 30 Chapitre 1 Propagation de la lumi re dans les fibres optiques 1 1 1 2 Dispersion chromatique d ordre 3 TOD Nous avons vu dans le paragraphe pr c dent que la dispersion chromatique d ordre 2 induisait un largissement des impulsions au cours de leur propagation Bien que dans un milieu lin aire cet effet soit en g n ral pr dominant il est parfois n cessaire d inclure dans le mod le des termes d ordre sup rieur comme la dispersion d ordre 3 TOD baptis e galement pente de la dispersion En effet lorsque la longueur d onde du signal est proche du z ro de dispersion de la fibre optique 2 x0 ou si l impulsion poss de un spectre tr s large par exemple pour une dur e d impulsion relativement courte FWHM 1ps le terme de dispersion chromatique d ordre 2 ne peut alors plus tre consid r comme constant le long du spectre des impulsions Il devient alors n cessaire d inclure le terme correspondant 8 Ce terme s inclut ais ment dans l quation de Schr dinger non lin aire puisqu il correspond un terme d ordre sup rieur dans le d veloppement de Taylor de la constante de propagation exprim par l
146. outage dynamique de l information et 121 Conclusion g n rale pour quoi pas du cryptage et du d cryptage a haut d bit sans oublier la r g n ration des bits optiques 122 Annexe Kamel Mezghiche F Azzouzi A El Akrmi A simple ansatz for obtaining exact solutions of high dispersive nonlinear Schro dinger equations in fiber Bragg gratings Chaos Solitons and Fractals 41 491 496 2009 Available online at www sciencedirect com CHAOS ScienceDirect SOLITONS amp FRACTALS E ELSEVIER Chaos Solitons and Fractals 41 2009 491 496 www elsevier com locate chaos A simple ansatz for obtaining exact solutions of high dispersive nonlinear Schr dinger equations in fiber Bragg gratings Kamel Mezghiche F Azzouzi A El Akrmi Radiation Physics Laboratory Faculty of Sciences Department of Physics Badji Mokhtar University P O Box 12 23000 Annaba Algeria Accepted 14 February 2008 Abstract We present solitary wave solutions for the perturbed nonlinear Schr dinger PNLS equation describing propaga tion of femtosecond light pulses through the fiber Bragg grating structure where the pulse dynamics is governed by the nonlinear coupled mode NLCM equations Using the multiple scale analysis we reduce the NLCM equations into the perturbed nonlinear Schr dinger PNLS type equation Unlike the reported solitary wave solutions of the PNLS equation the novel ones can describe bright and
147. par exemple GeO ou P205 introduits au sein de la fibre lors de sa fabrication mais galement en jouant sur le profil d indice de la fibre En cons quence les connaissances scientifiques et technologiques actuelles permettent en fait aux industriels de pouvoir disposer d une gamme tr s compl te de fibres optiques qui les autorise imaginer des syst mes T l coms comportant aussi bien des fibres dispersion nulle positive ou n gative mais galement de pouvoir choisir le signe de la pente de dispersion 2 Le tableau suivant rassemble quelques exemples des fibres optiques standard aux caract ristiques vari es 1550 nm Fibre 1550 nm D ps km nm S ps km nm Pertes dB km Aire effective um DSF dispersion shift fiber 0 0 09 0 22 55 NZ DSF non zero dispersion shift fiber 6 6 0 07 0 22 55 LEAF large effectif area fiber 4 2 0 085 0 22 72 TL Teralight 8 0 058 0 2 60 SMF 28 single mode fiber 17 0 07 0 2 80 Reverse TL 16 0 116 0 28 25 RDF reverse dispersion fiber 25 0 11 0 35 25 DCF dispersion compensating fiber 90 0 45 0 6 20 11 Chapitre 1 Propagation de la lumi re dans les fibres optiques Ce tableau illustre parfaitement la grande diversit qu offrent actuellement les industriels en mati re de fibres optiques Un deuxi me param tre important pour les concepteurs de syst mes T l coms est la pente de la dispersion S qui s exprime en ps km nm2 S souligne la d pendance de D vi
148. pplication et caract risation De mani re g n rale Les r seaux de Bragg fibr s sont des changements permanents et p riodiques de l indice de r fraction du cceur de la fibre qui r fl chissent une faible largeur spectrale Les FBGs sont couramment utilis s dans le domaine des t l communications par exemple comme filtres en r flexion ou comme compensateurs de dispersion Leur sensibilit aux variations de temp rature et aux contraintes en font des l ments de premier choix pour diverses applications senseur en particulier grace leur tr s petite taille leur immunit aux champs lectromagn tiques et enfin les multiples possibilit s de multiplexage Et finalement on d crit le ph nom ne d interaction les solitons dans ce type de fibre FBGs En premier lieu de recherche commencer de voir la formation des solitons dans les r seaux de Bragg fibr e les difficult s ont surgi pour la mod lisation de r soudre l quation de Schr dinger non lin aire coupl s qui caract rise l tat des solitons dans les r seaux de Bragg fibr s Les trois points cit s ci dessus ont servi comme outils efficaces pour mod liser et d finir des types des solitons de Bragg qui permettant de propager dans les r seaux de Bragg fibr s Ce travail a fait l objet de d crire une s lection d article parus dans la presse sp cialis e intitul A Simple ansatz for Obtaining Exact Solutions of High dispersive Nonlinear Schrodinger Equatio
149. quation 1 4 Tenant compte de cet effet l quation 1 53 devient fae GE UA QA Qr DOF 6 or De mani re analogue au paragraphe pr c dent cette quation peut tre r solue de 1 62 mani re analytique pour finalement comme l quation 1 57 donner le champ de l impulsion en fonction de la distance de propagation par A z t 7 AG esL poz iat a 1 63 Comme au paragraphe pr c dent nous pouvons noter que le module de 0 reste constant au cours de la propagation Cela montre que les dispersions chromatiques d ordre 2 et d ordre 3 changent uniquement la phase des composantes spectrales mais ne modifient pas le spectre de l impulsion au cours de sa propagation Afin de comparer l impact de ces deux ordres de dispersion il est utile d introduire une deuxi me longueur de dispersion L caract risant la dispersion d ordre 3 Son expression est donn e par 31 Chapitre 1 Propagation de la lumi re dans les fibres optiques La dispersion d ordre 3 jouera un role significatif si L lt L c est dire pour une dispersion d ordre 2 tr s faible ou pour une impulsion poss dant un spectre tr s large 1 1 1 3 Dispersion des modes de polarisation PMD La dispersion des modes de polarisation PMD est devenue l heure actuelle un des effets les plus limitatifs pour les t l communications optiques tr s haut d bit 1 2 15 16 En effet la PMD repr sente la cons quence directe
150. qui varient sinuso dalement haute fr quence Quand la lumi re se propage dans un milieu mat riel elle va donc induire des d placements de charges au sein du mat riau Dans un milieu di lectrique les particules charg es en l occurrence les lectrons vont osciller dans le champ lectrique appliqu Elles forment des dip les lectriques Les contributions de la composante de champ magn tique de l onde et des quadrip les sont beaucoup plus faible et sont habituellement n glig es C est l approximation dipolaire lectrique Les r ponses des dip les oscillants s additionnent pour former la polarisation macroscopique P qui d crit l interaction lumi re mati re Dans un milieu non magn tique ce vecteur peut s crire sous la forme 16 Chapitre 1 Propagation de la lumi re dans les fibres optiques fonctionnelleP P E Pour en tenir compte de mani re explicite dans le d veloppement on introduit les quations constitutives du milieu D amp E P 1 20 B mH 1 21 Quand londe est peu intense c d pour des petites amplitudes du champ lectrique appliqu les charges peuvent suivre presque exactement les oscillations du champ et la relation entre le champ E et la polarisation P est essentiellement lin aire Autrement dit les effets sont proportionnels aux causes quand plusieurs causes s ajoutent il en va de m me de leurs effets Quand l amplitude s accroit le mouvement des charge
151. raduit par des effets dispersifs temporel dispersion chromatique et spatial bir fringence lin aire tandis que la r ponse non locale du milieu est la cause de l activit optique ou bir fringence circulaire de la fibre Nous verrons la section L8 1 quelles sont les causes intrins ques et extrins ques de l anisotropie des fibres optiques responsable de leur bir fringence Si l on pose D 1 D iol D er P r 1 c oe P v o e 1 26 On peut montrer pareillement que les quations constitutives pour les composantes de l amplitude complexe de la polarisation non lin aire prennent la forme suivante a es m P r lex o OE Gr o E r E r 0 1 27 Pour obtenir les quations 1 11 et 1 23 nous avons effectu un certain nombre d hypoth ses D abord nous n avons retenu que les composantes de champ lectrique de m me fr quence non sign e Seuls demeurent alors des termes en o et les troisi mes harmoniques en3o Dans l quation 1 25 nous avons de plus suppos que ces derniers termes oscillent rapidement et sont donc n gligeables loin des conditions d accord de phase P r 3 j 0 Nous avons effectu une sommation jusqu alors implicite sur toutes les permutations des fr quences et des composantes E i etE pour 19 Chapitre 1 Propagation de la lumi re dans les fibres optiques autant qu elles produisent une r ponse a la fr quence o Enfin nous avons consid r
152. rdson M Ibsen and R I Laming Optical pulse compression in fiber Bragg gratings Phys Rev Lett vol 79 pp 4566 4569 1997 12 N G R Broderick D Taverner D J Richardson M Ibsen and R I Laming Experimental observation of nonlinear pulse compression in no uniform Bragg gratings Opt Lett vol 22 pp 1837 1839 1997 13 D E Pelinovsky L Brzozowski and E H Sargent Transmission regimes of periodic nonlinear optical structures Phys Rev E vol 62 pp 4536 4539 2000 14 G P Agrawal Nonlinear Fiber Optics Academic Press Optics and Photonics New York 3edition 2001 15 R KASHYAP Fiber Bragg Gratings Academic press 1999 117 Chapitre 4 Th orie des solitons dans les r seaux de Bragg fibr s 16 S Wabnitz Forward Mode Coupling in Periodic Nonlinear Optical Fibers Modal Dispersion Cancellation and Resonance Solitons Optics Letters 14 1071 1073 1989 17 D J Kaup and A C Newell On the Coleman Correspondence and the Solution of the Massive Thirring Model Lettere al Nuovo Cimento 20 325 331 1977 18 C M de Sterke and J E Sipe Gap solitons in Progress in Optics E Wolf Ed Amsterdam The Netherlands Elsevier 1994 vol XXXIII ch 3 pp 203 260 19 E A Kuznetsov and A V Mikhailov On the Complete Integrability of the Two DimensionalClassical Thirring Model Theoretical and Mathematical Physics 30 193 200 1977 20 A C S
153. re 3 Th orie des ondes solitaires et solitons optiques solitons dissipatifs sont beaucoup plus complexes que ceux des syst mes conservatifs car en plus de la dispersion et la nonlin airit ils changent de l nergie et ou de la mati re avec une source externe tr s proche Ils existent dans des syst mes ouverts hors d quilibre sont d crits par un champ impulsionnel et peuvent vivre ind finiment dans le temps si les param tres qui leur donnent naissance restent constants au cours de la propagation Ils peuvent voluer ou changer de forme p riodiquement mais disparaissent lorsque les changes d nergie ou de mati re avec l ext rieur cessent ou si les param tres du syst me ne coincident plus ceux de la formation d un soliton Ces structures solitons dissipatifs apparaissent typiquement en biochimie en optique dans les syst mes thermiques comme g n riques D autre part nous pouvons tendre les analogies aux syst mes plus compliqu s tels que l esp ce animale dans la nature qui peut tre consid r e comme structure localis e dont les processus internes doivent tre quilibr s Leur existence r sulte d un ajustement d une s rie de param tres temp rature pression humidit etc de facon appr ciable et ils cessent de vivre si l apport d nergie de l ext rieur s arr te L une des quations g n riques qui permettent de d crire la propagation des solitons dissipatifs est l quation complexe c
154. s vis de la longueur d onde et est d finie par _ Sect OA 1 8 Ce param tre correspond a la dispersion chromatique d ordre 3 TOD et repr sente sous une autre forme le param tre f de l quation 1 4 Cet effet se traduit par le fait que la dispersion chromatique d ordre 2 varie le long du spectre des impulsions et que par cons quent chacune des composantes spectrales voient un coefficient de GVD diff rent 2 La dispersion chromatique d ordre 3 est un effet d ordre sup rieur qui peut tre observ pour des impulsions ayant un spectre tr s large en particulier pour les impulsions ultracourtes dont la largeur totale mi hauteur FWHM est inf rieure 1ps 1 2 3 Effet Kerr optique Lorsqu une onde lumineuse se propage dans un milieu di lectrique le champ lectrique incident induit un d placement des charges et par suite il se produit une polarisation au sein de ce mat riau 2 3 Si ce champ est de faible intensit devant le champ atomique du mat riau et suffisamment loign de ses fr quences de r sonances la r ponse du milieu se traduit alors par une r ponse proportionnelle au champ incident Nous sommes alors en pr sence d une r ponse lin aire c est dire que la polarisation induite par le champ ext rieur poss de la m me fr quence que le champ qui lui a donn naissance avec une amplitude qui lui est proportionnelle La nature aimant la complexit la plupart des ph nom nes observab
155. s essentielles la construction de ce m moire notamment l quation de Schr dinger non lin aire qui gouverne l volution du champ lectrique lors de sa propagation dans une fibre optique ainsi que les diff rents ph nom nes physiques qui lui sont associ s La deuxi me partie tait concern e par la compr hension des r seaux de Bragg fibr e fabrication mode d emploi application et caract risation De mani re g n rale Les r seaux de Bragg fibr s sont des changements permanents et p riodiques de l indice de r fraction du coeur de la fibre qui r fl chissent une faible largeur spectrale Les FBGs sont couramment utilis s dans le domaine des t l communications par exemple comme filtres en r flexion ou comme compensateurs de dispersion Leur sensibilit aux variations de temp rature et aux contraintes en font des l ments de premier choix pour diverses applications senseur en particulier grace leur tr s petite taille leur immunit aux champs lectromagn tiques et enfin les multiples possibilit s de multiplexage Et finalement on d crit le ph nom ne d interaction les solitons dans ce type de fibre FBGs En premier lieu de recherche commencer de voir la formation des solitons dans les r seaux de Bragg fibr e les difficult s ont surgi pour la mod lisation de r soudre l quation de Schr dinger non lin aire coupl s qui caract rise l tat des solitons dans les r seaux de Bragg fibr s Le
156. s ne sera plus une r plique du champ appliqu et les contributions non lin aires deviennent importantes Pourvu que ces nouveaux termes demeurent petits par rapport au terme lin aire on peut d velopper la polarisation P en s rie de puissances du champ lectrique E Dans les fibres optiques en silice ce d veloppement est donn e par P r t PO F 1 PO r r 1 22 avec POR ext E 1 23 POG Ser BEE L expression 1 22 est valable pour autant que la s rie de puissances converge C est effectivement le cas lorsque chaque terme d ordre sup rieur est bien plus petit que les termes d ordre inf rieur qui le pr c dent Dans la plage des longueurs d onde auxquelles on s int resse typiquement de 0 5um a 0 2m cette hypoth se est v rifi e car on est loin des r sonances du milieu On peut mieux comprendre l importance de la polarisation dans le milieu si l on se souvient que tout dip le oscillant met aussi un rayonnement sa fr quence d oscillation Il modifie donc le champ optique qui induit la polarisation Ainsi le premier terme tient compte de la r ponse lin aire du milieu la fr quence du champ appliqu Le terme quadratique n est nul ici car la silice pr sente une sym trie d inversion Le second terme du d veloppement est donc cubique en champ 17 Chapitre 1 Propagation de la lumi re dans les fibres optiques Il repr sente la r ponse non lin aire de la silice responsable dans les
157. s optiques diffraction naturelle l observation d un soliton spatial sera possible Deux concepts simples permettent de comprendre la formation d un soliton spatial e Un mod le g om trique du guide auto induit un faisceau de largeur limit e se propage en ob issant aux lois de la diffraction caract ris e par la longueur de Rayleigh bs em 1A 3 5 D o r est le rayon de l ouverture n l indice lin aire de r fraction et la longueur d onde optique C est la longueur de propagation au bout de laquelle le diam tre du faisceau a t multipli par deux Dans le cas o un milieu de non lin arit positive est plac droite de l ouverture le faisceau induit une augmentation d indice An proportionnelle l intensit L angle critique de r flexion totale entre le deux milieux 0 aA permet de d finir une longueur caract ristique d auto focalisation dans 0 l approximation des petits angles d veloppement limit Ly r 0 1 3 6 are B n CS Un soliton spatial correspond un quilibre entre diffraction et auto focalisation c est dire v rifiant l galit Lp Ly gt 0 4 La figure 3 5 d crit ce mod le g om trique bas sur un guide induit approxim a un saut d indice An Un second mod le bas sur le d phasage photo induit et la distorsion des fronts d onde 26 est galement possible un faisceau suppos monochromatique peut tre repr sent par un
158. s trois points cit s ci dessus ont servi comme outils efficaces pour mod liser et d finir des types des solitons de Bragg qui permettant de propager dans les r seaux de Bragg fibr s Ce travail a fait l objet de d crire une s lection d article parus dans la presse sp cialis e intitul A Simple ansatz for Obtaining Exact Solutions of High dispersive Nonlinear Schrodinger Equations in Fiber Bragg Gratings publier dans Chaos Solitons and Fractals Mots cl s R seaux de Bragg fibr s quation de Schr dinger non lin aire coupl s solitons brillant solitons sombre Abstract This work connects of three domains of fiber optics the theory of nonlinear optical in fiber optics the fiber Bragg gratings FBG and the theory study of the nonlinear propagation of solitons in fiber Bragg gratings Firstly we presented some general information on the propagation of light in fiber optics We will introduce to the reader the bricks essential to construct of this memory in particular the nonlinear Schr dinger equation which controls the evolution of the electric field during its propagation in a fiber optic as well as the various physical phenomena which are associated for him The second part was concerned with comprehension of the fiber Bragg gratings fabrication uses mode application and characterization Generally fiber Bragg gratings are fiber optic devices characterized by permanent and periodic changes of the f
159. sol e a la fois par le faisceau incident et par le faisceau r fl chi par le miroir de Lloyd Ce dernier est r gl pour r fl chir la moiti du faisceau incident Des franges d interf rences apparaissent alors sur la fibre et cr e ainsi une modulation d indice proportionnelle a l insolation UV re ue Figure 2 3 Ensuite une lentille cylindrique parall le a la fibre permet de focaliser le faisceau dans le plan vertical sur le coeur a photo inscrire La fibre est alors plac e de telle sorte qu une partie de la fibre soit insol e a la fois par le faisceau incident et par le faisceau r fl chi par le miroir de Lloyd Ce dernier est r gl pour r fl chir la moiti Lentille de focalisation Fibre ou guide e Polarisation cylindrique optique int gr Faisceau UV T lescope Miroir de Lloyd afocal Figure 2 2 Sch ma du montage de photo inscription par miroir de Lloyd Indice Modulation d indice Indice moyen Figure 2 3 Modulation d indice d un r seau fabriqu par la m thode du miroir de Lloyd 51 Chapitre 2 Etude g n rale des r seaux de Bragg fibr s du faisceau incident Des franges d interf rences apparaissent alors sur la fibre et cr e ainsi une modulation d indice proportionnelle l insolation UV recue Figure 2 3 Le pas du r seau photo inscrit est li l angle entre le miroir et le faisceau ce qui permet de r gler tr s facilement
160. suffisamment lev celles ci peuvent interagir avec les photons incidents pour retourner dans leur tat fondamental et ainsi mettre des photons de type Anti Stokes la fr quence o 9 Qm Finalement cet effet est maintenant largement utilis par les amplificateurs de Anti Stokes Ohba megs DIETE Etat excit Etat fondamental Figure 1 5 Sch ma des transitions nerg tiques a la base de la diffusion Raman 22 37 Chapitre 1 Propagation de la lumi re dans les fibres optiques type Raman En effet lorsque la puissance de l onde Stokes devient non n gligeable devant celle du signal qui lui a donn e naissance nous observons alors un r gime de diffusion Raman stimul e dans lequel les basses fr quences sont continuellement amplifi es par les hautes fr quences Ce r gime d fini de facon arbitraire intervient lorsque la puissance de l onde Stokes devient gale la puissance de la pompe en sortie de fibre et est donc d fini par une puissance critique d injection donn e par 16A crit 8 Leg 1 77 O Aeg est l aire effective de la fibre gr le gain Raman typiquement 10 13m W pour une fibre standard et Leff la longueur effective de la fibre due ses pertes intrins ques et donn e par 2 EE ie exp aL Lig 1 78 a O a est le coefficient de pertes de la fibre optique en m et L la longueur de la fibre en m tre Typiquement pour une fibre DSF de L 5km A
161. t est d la dispersion chromatique les diff rentes composantes de fr quence qui constituent l impulsion voyagent des vitesses diff rentes En fonction de la nature m me de la dispersion positive ou n gative le front de l impulsion voyagera donc plus ou moins vite que l arri re de l impulsion d o un talement chromatique Une impulsion spatiale pr f rentiellement appel e faisceau subira un talement sous l influence naturelle de la diffraction Un soliton optique 17 18 est donc tout simplement la compensation auto induite de ces talements Dans un milieu lin aire on sait par diff rents proc d s technologiques rem dier la dispersion naturelle temporelle ou spatiale Spatialement la m thode la plus commune est l utilisation de guides d onde Dans de telles structures caract ris es par une variation locale de l indice de r fraction le comportement de la propagation d un faisceau est modifi par une r flexion totale interne la limite entre une r gion haut indice et une plus faible indice de r fraction Sous certaines conditions li es l interf rence constructive entre les diff rentes r flexions le faisceau pi g forme un mode guid Un exemple de guide d onde est le guide planaire di lectrique que l on nomme commun ment guide 1 1 D ou 1D car l on consid re dans ce cas un axe de propagation et un seul axe transverse guidant Une fibre optique constitue donc un guide 2 1 D
162. te et que l interaction a lieu seulement entre modes contra propagatifs La diff rence entre les indices de r fraction du coeur et de la gaine tant tr s petite on consid re alors que les champs lectriques et magn tiques se propagent dans l axe optique de la fibre ce qui permet de n gliger les effets de polarisation dus la structure de la fibre 16 Consid rons donc un r seau de Bragg avec L la longueur du r seau A son pas n l indice de r fraction du mode guid et longueur d onde de Bragg eff sch matiquement illustr la figure 2 6 Elles se propagent dans l axe optique de la fibre ce qui permet de n gliger les effets de polarisation dus la structure de la fibre 16 partir de la th orie des modes coupl s on peut d river le syst me d quations bien connu d crivant l volution des amplitudes des champs U z et V z se propageant dans le r seau de Bragg donn par partir de la th orie des modes coupl s on peut d river le syst me d quations bien connu d crivant l volution des amplitudes des champs U z et V z se propageant dans le r seau de Bragg donn par L io z U z ik zV z 2 4a Z L io zW z ik z U z 2 4b Z A 1 L 233222222 Figure 2 6 Propagation des champs a travers le r seau de Bragg 55 Chapitre 2 Etude g n rale des r seaux de Bragg fibr s O k z v 2 repr sente le coefficient g n ral du couplage alternatif AC
163. tial solitons in AlGaAs waveguides Electron Lett 28 1879 80 1992 41 U BARTUCH et al Experimental investigations and numerical simulations of spatial solitons in planar polymer waveguides Opt Commun 134 49 54 1997 42 J S AITCHISON et al The nonlinear optical properties of AlGaAs at the half band gap IEEE J Quantum Electron 33 341 8 1997 43 S SPALTER et al Strong self phase modulation in planar chalcogenide glass waveguides Opt Lett 27 363 5 2002 44 Karpierz __ Spatial solitons in liquid crystals Soliton driven photonics A D Boardman and A P Sukhorukov Dordrecht 41 2001 45 Bajdecki amp Karpierz _ Application of nonlinear reorientation in nematic liquid crystals Soliton driven photonics A D Boardman and A P Sukhorukov Dordrecht 2001 46 Hutsebaut et al __ Faisceau soliton par r orientation mol culaire d un cristal liquide en phase n matique planaire JNOG22 A02HUT11 2003 47 G Nicolis and I Prigogine self organization in nonequilibrium systems From dissipative structures to order through fluctuations John Wiley amp sons New York 1977 48 Y Kuramoto Chemical Oscillations Wave and turbulence dissipative solitons Springer verglag Berlin 1984 49 J D Moores on the ginzburg lanau laser mode locking model with fifth order saturable absorber term Opt Commun 96 65 70 1993 96 Chapitre 4 Th orie des solitons dans les r s
164. tinuons le d veloppement ole avec les termes 7 t c est dire 4 1 LU iT afaa 4 6 A n L a kee 4 43 2k 4k 1 Par l utilisation de la relation 4 42 on trouve 0 0 A i Gr Af A 4 44 Par cons quent l quation pour U peut tre r crite comme Peas LU iL auf oA 2A 8 A ds A e e cc 4 45 2k i 4k 1 Dont le solution est de la forme soil 2 2 Yu 1 ikt U i T 44 0 A 240 4 8 A e ce 4 46 4k 2k 1 L quation 4 39 repr sente les termes de perturbation qui doivent tre ajout es l quation de Schr dinger NLS dans la structure de FBG quand nous consid rons les effets d ordre lev Avec ce r sultat l quation non lin aire de Schr dinger NLSE change en une quation de Schr dinger non lin aire perturb PNLS qui est pr sent e comme suit 1 ais erp o A A70 47 0 4 47 io A 2 0 AV STA A 5 A i C 2k 7 8p L quation ci dessus repr sente la propagation non lin aire perturb e des impulsions dans un milieu p riodique r seau de Bragg FBG avec les effets d ordre lev en dehors de la bande interdite photonique band gap PBG 113 Chapitre 4 Th orie des solitons dans les r seaux de Bragg fibr s IV 2 3 1 R solution de l quation non lin aire perturb e en utilisant la m thode d amplitude complexe combin e Pour r soudre l quation non lin aire perturb e de Schr dinger nous
165. tions 1 25 et 1 26 sont r elles Ceci implique 7 10 2 2 y co 1 29 T 9 y co 1 30 19 xg co 1 31 20 Chapitre 1 Propagation de la lumi re dans les fibres optiques Ensuite on fait l hypoth se d un milieu sans pertes ce qui revient n gliger toute absorption ou dissipation lors de la propagation de la lumi re dans la fibre Cette hypoth se est effectivement v rifi e dans les fibres optiques standard si la distance de propagation est nettement inf rieure au kilom tre partir de consid rations sur la conservation d nergie et en se servant des relations 1 27 on peut montrer que 7 11 10 0 2 Co x co 1 32 T o co co 1 33 1 x co 1 34 Enfin il faut ajouter un ensemble d identit s entre les composantes du tenseur non lin aire et seulement lui qui d coulent de ses sym tries des permutations de fr quences Celles ci r sultent de l quation 1 27 qui doit tre ind pendante de l ordre dans lequel les fr quences et apparaissent dans les composantes spectrales E r o E r c et E r Elles s expriment comme suit 12 2810 za zi 1 35 A partir des relations 1 35 l expression 1 27 devient D gt 3 ON ld hace PT peiores Zi E FOE F o E ro 1 36 Le facteur 3 4 provenant ici de la sommation r alis e sur toutes les permutations des fr quences Plus largement ces sym tries nous ser
166. tructure Opt Lett vol 13 pp 132 134 1988 3 D N Christodoulides and R I Joseph Slow bragg solitons in nonlinear periodic structures Phys Rev Lett vol 62 pp 1746 1749 1989 4 A B Aceves and S Wabnitz Self induced transparency solitons in nonlinear refractive periodic media Phys Lett A vol 141 pp 37 42 1989 5 H G Winful J H Marburger and E Gamire Theory of bistability in nonlinear distributed feedback structures Appl Phys Lett vol 35 pp 379 381 1979 6 B J Eggleton R E Slusher C M de Sterke P A Krug and J E Sipe Bragg grating solitons Phys Rev Lett vol 76 pp 1627 1630 1996 7 B J Eggleton C M de Sterke and R E Slusher Nonlinear pulse propagation in Bragg gratings J Opt Soc Amer B vol 14 pp 2980 2993 1997 8 D Taverner N G R Broderick D J Richardson M Ibsen and R I Laming All optical and gate based on coupled gap soliton formation in a fiber Bragg grating Opt Lett vol 23 pp 259 261 1998 9 D Taverner N G R Broderick D J Richardson R I Laming and M Ibsen Nonlinear self switching and multiple gap soliton formation in a fiber Bragg grating Opt Lett vol 23 pp 328 330 1998 10 N G R Broderick D Taverner and D J Richardson Nonlinear switching in fiber Bragg grating Opt Express vol 3 pp 447 453 1998 11 N G R Broderick D Taverner D J Richa
167. u 2 2 E zr sin 6 exp io sec o d 4 27 E ie sin Sexpliosech 0 15 27 1 v 2 Avec 0 Ky sind z Wr 4 28 y i 429 vag 4 30 1 T 1 ojpi 4 31 et 5 ey 4 31 Et 27 v ONE exp 20 exp io ar ter e 4 32 exp 20 exp i Dans les quations 4 27 le param tre v peut prend toutes les valeurs de rang I et d termine la vitesse d ensemble du soliton Le param tre 6 est aussi un param tre libre peut prend toutes les valeurs compris s dans la plage 0 lt 6 lt z il d termine l amplitude et la largeur du soliton la fr quence temporaire dans la zone interdite photonic band gap est donn e cos vi v pour l intensit maximum d un soliton foo sin 4 33 mech 2 par Q de plus nous pouvons galement trouver l expression explicite 00 gt Et par l int gration dans tout l espace du syst me ak E 7 on obtient l intensit totale comme 108 Chapitre 4 Th orie des solitons dans les r seaux de Bragg fibr s _8Vl v 6 Wl 5 mo dus X 4 34 D autre part la largeur mi hauteur full width at half maximum FWHM est 0 25 0 25 02 02 D 15 0 15 0 1 0 7 005 7 005 s 5 w w f uj 0 05 uj 0 05 0 1 0 0 15 0 15 02 702 0 25 0 25 1 8 6 4 2 0 2 4 B 6 10 1 8 Position a u Position a u a 6 0 17 v 0 0 b 2 0 17 v 0 95 E E au 10 8 6 4 2 0 2 E e B 10 10 8 4 n
168. ubique quinitique de Ginzburg Landau CGLE 48 qui sous sa forme normalis e se pr sente comme suit D i v iyw w ivy w oy Bv e v uyl v 3 8 V 2 O 446 y D vet e sont des constantes r elles et y est le champ complexe La signification physique de chaque terme d pend du probl me particulier tudi En optique cette quation d crit les syst mes lasers 49 les lignes de transmissions de solitons avec r g n ration les cavit s non lin aires avec une pompe externe et les oscillateurs param triques Il existe une diff rence significative entre les solitons dissipatifs et ceux des syst mes conservatifs Pour les syst mes conservatifs nous avons vu pr c demment que les solitons ne r sultent que de l quilibre entre la dispersion diffraction et la non lin arit Le seul quilibre entre les deux permet la formation d une solution stationnaire qui est d habitude une famille de solitons un ou plusieurs param tres En ce qui concerne les syst mes avec gains et pertes syst me dissipatif pour avoir des solitons dissipatifs stationnaires il faut en plus du premier quilibre un 91 Chapitre 3 Th orie des ondes solitaires et solitons optiques x i I l e 5 wa i Mas ii p bn 25 0 i im T 20 j 1 ip Ni UO WAAR 2s Ep oc i Figure 3 9 Evolution d un soliton dissipatif oscillant pour les param tres du milieu suivants u 0 1 8 0 1
169. ue J aE aveca V ens l indice de r fraction peut tre r crit de la facon suivante n o I 7 ny o nil 1 16 avec n LA Pour une fibre standard T l com n vaut typiquement de 2 3 2 7 x 1020m2 W 1 3 6 Pour une intensit incidente de 1GW cm Any vaudra donc environ 2 5 x 107 ce qui reste beaucoup plus faible devant n 1 45 pour la silice fondue L effet Kerr optique ou la d pendance de l indice de r fraction vis vis de l intensit est finalement responsable de bon nombre d effets que nous d taillerons par la suite comme l auto modulation de phase la modulation de phase crois e le m lange 14 Chapitre 1 Propagation de la lumi re dans les fibres optiques quatre ondes l instabilit modulationnelle ou encore l existence d impulsions solitoniques 2 3 I 3 Propagation non lin aire dans les fibres optiques Dans cette section nous allons montrer comment partir des quations de Maxwell il est possible d tablir les quations de propagation utiles l tude des ph nom nes non lin aires vectoriels dans les fibres optiques les quations de Schr dinger non lin aires coupl es Nous nous attacherons en particulier d tailler les hypoth ses qui pr sident de tels d veloppements en soulignant les raisons ph nom nologiques et les implications physiques Notre but n est cependant pas de donner une d rivation compl te et rigoureuse de ces quations comme on peut
170. ulateur seen 67 Laser Raman fibre 1480 nm en utilisant des r seaux de Bragg en cascade 68 a Interaction oblique entre deux solitons hydrodynamiques en eau peu profonde b Propagation d un train d onde soliton hydrodynamique en eau profonde L observation a rienne d note la stabilit de ces ondes 75 Sch ma de principe de la propagation des solitons dans les fibres La non lin arit de la fibre produit une d rive de fr quences qui compense exactement celle produite par la dispersion L impulsion soliton se propage alors sans d formation 80 Propagation d un soliton temporel dans une fibre optique pour le cas de N 1 82 Propagation d un faisceau en r gime lin aire a non lin aire b la variation induite de l indice de r fraction est approxim e un guide saut d Indice erect tre tu eue ee ed vto y rsen entree ULT eden de dr va CR ce rptu nen E A PUER Che ES REA a RETIA 84 Repr sentation qualitative de la formation d un soliton spatial 84 Exemple de soliton spatial deux dimensions 86 Illustration du concept de la balle de lumi re a en r gime lin aire b en r gime non lin aire sess 87 Evolution d un soliton dissipatif oscillant pour les param tres du milieu suivants u2 0 82 0 1 y 2D 2Lv 0 08 et 20 725 se 92 Relation de dispersion montrant une bande PBG
171. usceptibilit microscopiques d ordre 2 sont dirig s al atoirement et se compensent en moyenne ce qui annule le tenseur de susceptibilit macroscopique 7 Finalement dans une fibre optique homog ne le tenseur de susceptibilit d ordre 3 y sera a l origine des effets non lin aires de plus petit ordre Afin de mettre en vidence les parties lin aires et non lin aires de la relation 1 9 transformons celle ci sous la forme suivante P sly ey 1 10 avec 3 Ev MEP 1 11 Sachant que la polarisation et l indice de r fraction sont troitement li s par la relation de Maxwell suivante 13 Chapitre 1 Propagation de la lumi re dans les fibres optiques D nE 6 E P 1 12 Nous en d duisons qu une pulsation donn e l indice de r fraction n est donn par n 214 y 4e ny Any Y End 4 2n Any 1 13 En posantn 1 y l vient finalement qu une pulsation donn e 8 15 nlo E n 0 n JEP 1 14 O n repr sente le coefficient d indice de r fraction non lin aire donn par E 0 1 15 E 8n Nous pouvons clairement voir dans l quation 1 14 que la partie lin aire de la polarisation est responsable de la d pendance de l indice de r fraction vis vis de la fr quence tandis que la partie non lin aire engendre une d pendance de l indice vis vis de l intensit I ph nom ne connu sous le nom d effet Kerr optique 2 3 Sachant q
172. vitesse de groupe en fonction des fr quences qui constituent l impulsion temporelle telle que Re On On v 00 c c da a 3 1 O vg est la vitesse de groupe n est l indice effectif du mode et w la fr quence de l onde Ce coefficient peut tre soit positif dispersion normale soit n gatif dispersion anormale Les cons quences physiques sur l impulsion sont donc diff rentes dans les deux cas e Si 0 alors les fr quences lev es voyagent plus vite que les fr quences basses e Sip lt 0 on observe l inverse Dans les deux cas ce ph nom ne naturel donne naissance un largissement des impulsions temporelles au cours de la propagation En pr sence d une non lin arit de type Kerr d indice non lin aire nz une impulsion subit un d phasage nonlin aire Ag k n 1 L apr s une propagation sur une longueur L Ce d phasage d pend de l intensit lumineuse 7 et est donc plus important au centre qu l avant et l arri re de l impulsion Par d finition la d riv e de ce MER d d phasage donne la variation de la fr quence instantan e A o due la non t lin arit et donc le d calage de fr quence Il est donc possible d obtenir une impulsion soliton si le d calage nonlin aire de fr quence compense exactement la dispersion chromatique Il y a donc deux cas o l on peut observer des solitons temporels En r gime de dispersion anormale 5 lt 0 en pr senc
173. ysis to derive a perturbed one dimensional NLS for the amplitude of the gap solitons Therefore we reduce the NLCM equations into a well known PNLS equation that describes the nonlinear pulse propagation at the edges of the PBG structure Now we present solitary wave solutions for the PNLS equation describing propa gation of femtosecond light pulses in fiber Bragg grating As we will show unlike the reported solitary wave solutions of the PNLS equation the novel ones can describe both bright and dark solitary wave properties in the same expressions and their amplitudes do not approach zero when the time variable approaches infinity Furthermore we have also cal culated the important and interesting physical parameters such as power and pulse width for both bright and dark Bragg solitons 2 Theoretical background and modeling The refractive index varies along the grating length periodically except for a phase shift occurring in the middle of the grating The index variation can be written as n z n m z cos P ae nj E z f 1 where F z is the electric field 7 is the average refractive index change of the fiber mode n z is the amplitude of peri odic index change n is the nonlinear Kerr coefficient A is the Bragg period and z describes the phase shift The electric field inside the grating can be written as E z t A z t exp ikgz A_ z t exp ikgz exp ioot 2 where kg is the Bragg wave number A z t J

Etude et caractérisation des réseaux de Bragg fibrés « Fiber Bragg

Contents

Download Pdf Manuals

Related Search

Related Contents

Etude et caract&eacute;risation des r&eacute;seaux de Bragg fibr&eacute;s &laquo; Fiber Bragg

Contents

Download Pdf Manuals

Related Search

Related Contents

Etude et caractérisation des réseaux de Bragg fibrés « Fiber Bragg