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Modules d`endo

1. Id SL2 F En d autres termes on a g g si et seulement si g Q Ainsi on a g Na P Par cons quent si g Na P et PN P F 1 alors 9PM P ne contient pas w et donc IPN P est d ordre 2 Par le lemme 5 2 4 IPA P est conjugu lt v gt R sumons la situation Soit p un nombre premier et P un p groupe fini Nous avons construit des groupes finis p nilpotents de la forme G Q x P o Q est un q groupe extrasp cial d ordre q ou q et d exposant q pour un nombre premier q v rifiant les conditions suivantes Si P est cyclique on a consid r q P 1 mod p P et Q d ordre q Si P est quaternionien on a construit deux groupes finis 2 nilpotents en choisissant deux nombres premiers q une fois q P 1 mod 2 P et lautre fois q IPI 1 mod P A chaque fois Q est d ordre q Si P est semidi dral on a consid r q Eal 1 mod P et Q d ordre q Le choix des congruences des nombres premiers q et des ordres des q groupes extrasp ciaux se justifie dans la section suivante o nous allons construire des modules simples pour ces groupes finis p nilpotents 5 3 Construction de modules simples Avant de construire des kG modules simples apportons quelques compl ments aux notions de base sur les repr sentations D finition et proposition 5 3 1 Soient p un nombre premier R K O k o K O k est un syst me p modulaire G un g
2. Ainsi pour tout groupe p nilpotent G que nous avons construit on consid re un kG module simple L de dimension q avec m 1 ou 2 et l action de G sur L est d termin e de mani re unique De plus comme p f dim L le kG module L est de vortex P cf proposition 1 2 5 Rappelons que l on veut d terminer la source de L Pour cela on va consid rer le kP module Lis et utiliser le th or me IX 4 1 de Fe rappel ci dessous Nous avons l g rement modifi l nonc originel en rempla ant lhypoth se F est un corps de rup ture pour G par celle plus contraignante F est alg briquement clos car nous n avons pas d fini la premi re notion et car la situation que nous consid rons satisfait les hypoth ses de cette version du th or me Th or me 5 3 7 Soient p un nombre premier F un corps alg briquement clos de caract ristique p et G un groupe fini p nilpotent de la forme H x P avec p H et P un p sous groupe de Sylow de G Soit V un FH module simple invariant par G Alors V s tend en un FG module W de mani re unique et W est un FP module d endo permutation Par suite ie est un 4 P module d endo permutation couvert A fortiori la source S de L est aussi un kP module d endo permutation couvert En effet par d finition S est un facteur direct de L Donc End S est un amp P module 5 3 CONSTRUCTION DE MODULES SIMPLES 105 de permutation car c est un facteur direct d un module de pe
3. La ligne B R est nulle Vl lt e lt r 1 et V r s lt e lt q ona B R B Re V r 1 lt e lt r s 1 la ligne B amp R a un unique terme Boe s e fer lonne B f _ correspondant la paire R 1 et c est l unique terme non nul de la co ss Re o 1 lt ler lt t Consid rons la ligne Bis Rr s et soit 1 lt fs lt F tel que B fs correspond la paire Ri Rr s pour un 1 lt is lt t f existe et BY f 1 par les points 2 et 4 Par le point 4 et par hypoth se de r currence tous les termes s s r s fs r s fs non nul De plus B en dessous de B et tous ceux au dessus de B sont nuls puisque Bas 0 V r 1 lt e lt r s 1 Utilisons B amp f pour annuler les coefficients BO g non nuls Y1 lt g lt F avec g fs sans modifier aucun co efficient d aucune autre ligne de B La matrice B obtenue est quivalente par colonnes B et Bt a les m mes lignes que B sauf B R 4s qui s s r s fs r s non nul de B f Au terme de notre r currence la matrice BI v rifie La ligne B 4r R est nulle V1l lt e lt r 1 ona B Re B R et Re g Qn V r l lt e lt qnn ona Re Qn et Bn Re a un unique terme Be non nul De plus pie 1 et c est l unique terme non nul de la co Re 1 lt ier lt t Consid rons maintenant les r 1 premi res lignes de Bd qui sont les m mes que
4. P De plus comme o est un homomorphisme de groupes o l est aussi et donc par d finition du produit semi direct on obtient un groupe p nilpotent G Q x P avec P comme p sous groupe de Sylow Le sous groupe 1 x P est normal dans G et le quotient G 1 x P est isomorphe G Soit alors L Inf L le kG module obtenu par inflation de G G cf section 1 5 Le kG module L est simple En effet si N est un sous module non nul de Z et si on identifie G au quotient G 1 x P alors on obtient un sous module N non nul de L Par simplicit de L on a N Let donc N L est un kG module simple de m me dimension que L Or L est de vortex P car sa dimension est premi re p cf proposition 1 2 5 et donc L est de vortex P Par hypoth se on a M L et donc Inf M Inf5 L 1 amp L S En d autres termes comme Inf M est un kP module d endo permutation ind composable cf proposition 3 17 de Dal Inf M est isomorphe la source du kG module simple L 5 5 Induction tensorielle Soient p un nombre premier P un p groupe fini C un sous groupe de P et M un kC module d endo permutation ind composable de vortex C tel que l on sait explicitement construire un kG module simple L de source M pour un groupe fini p nilpotent G de la forme Q x C avec C comme p sous groupe de Sylow et Q d ordre premier p Supposons galement que la restriction L est
5. et o oglg d signe la restriction de og Q pour g u v et i 1 et 2 Cette application est bien d finie et elle tend o et o En effet on a ou lo Cu lo Ou la a ur O 6 ur 8 o uv o u2 2 wv o u2 2 uv olu 1g u2 2 0 u et ox lo ou lo ou los olu o uv a uv 0 bo u o wv 20 00 u 10 G u On a aussi o Id et Ty o 1 car ou o uv et Tuco lo los a uv L application est donc un homomorphisme de groupe injectif et le sous groupe de Auto Q engendr par ou et oy est semi di dral d ordre 2 On peut ainsi construire un groupe fini 2 nilpotent G produit semi direct de P par Q De plus on a Co P lt Co lt w gt Q car 9w w si et seulement si wg g si et seulement si g Q cf lemme 5 2 1 Comme P agit trivialement sur Q on en tire que CQ P Q et donc le normalisateur NG P de P dans G est gal Q x P Le lemme suivant exhibe deux diff rences que l on constate par rapport aux constructions pr c dentes Lemme 5 2 4 P poss de deux classes de conjugaison de sous groupes cycliques d ordre 2 et P n est pas un sous groupe de G d intersection triviale Preuve L unique sous groupe cyclique lt w gt d ordre 2 de R est normal dans P puisqu il s agit du centre de P Il constitue donc une classe de conjugaison de taille 1 Observons que tous les l ments de P d ordre 2 non c
6. o on d finit conj g h 9h Vh Q et T 9 g7t4 g pour un repr sen tant g de g Vg Q Q et Y y Ker r Montrons que les applications conj et 7 sont bien d finies On a 9h Vh Q si et seulement si g7t Q i e l ap plication conj g ne d pend pas du choix de g dans g On a aussi 7 conj g h conj g h h h Yh Q Q i e conj g Ker r Vg Q Q Donc conj est bien d fini C est un homomorphisme de groupes car g gt conj g YJE Q en est un De plus conj g Auto Q car conj g o conj g Id et on a conj g z 2 YJEQ D autre part 7 est bien d fini En effet on a T y 9 Q car y Ker r i e g J Vg E Q et donc g _lyp g Q Vg Q De plus 7 y gh gh p gh h g e g e h 9 plg helh car g y g Q Par suite on a 7 y gh r p g r v h Yg h Q et donc T y est un homomorphisme de groupes pour tout y Ker r On a aussi r Y T y T w Vy Y Ker r En effet si g Q Q on a par d finition des produits dans Ker r lt Auto Q et dans Homr Q Q Q T po pD 9 y W g 9 d 9 d 9 9 9 T T YH Or y Ker z implique g g Il s ensuit que T p o Y T wW r v et donc 7 est un homomorphisme de groupes De plus si y Ker r alors 94 CHAPITRE 5 SOURCES DE MODULES SIMPLES g g Yg Q ie p Ido Donc 7 est un homomorphisme de groupes inj
7. tait encore qu une 43 conjecture et donc pour esp rer pouvoir classifier tous les modules d endo per mutation pour un p groupe fini P il nous fallait choisir une famille de groupes n ayant pas de section extrasp ciale d exposant p L id e pour le deuxi me exemple a t motiv e par le fait que parmi les 2 groupes quasi extrasp ciaux ce sont les seuls pour lesquels le sous groupe de torsion du groupe de Dade est trivial puisqu un tel 2 groupe P ne contient aucun sous groupe Q produisant une section de la forme Np Q Q qui soit un groupe cyclique d ordre 4 quaternionien ou semi di dral Ils apparaissent donc parmi les groupes quasi extrasp ciaux les plus faciles aborder 44 CHAPITRE 2 1978 2002 L ODYSS E DU GROUPE DE DADE Chapitre 3 Les p groupes m tacycliques 3 1 Structure des p groupes m tacycliques D finition 3 1 1 Un groupe G est dit m tacyclique si G est une extension d un groupe cyclique par un groupe cyclique En d autres termes on peut ins rer G dans une suite exacte courte 1 Gy G Cm 1 o Cn et Cm sont des groupes cycliques d ordre n gt 1 etm gt 1 respectivement Soient P un p groupe m tacyclique pour un nombre premier p impair et deux entiers n et m tels que la suite 1 Cpr P Cpm 1 est exacte Autrement dit selon les notations de Di on peut choisir u v P tels que u 1 uP lt u gt avec m 0 si P est cyclique e
8. un 1 situ dans la ligne B R 1 un c situ dans une des qn n derni res lignes de B car Rim Ain De plus comme R m min 4 le choix de l ordre sur implique que la ligne o appara t le coefficient c est n cessairement en dessous de la ligne B R 1 si j lt n ou bien en dessus de la ligne B R 1 si j n Par le corollaire 4 2 20 on sait que B est une matrice de rang q 1 Au trement dit B poss de exactement un diviseur l mentaire nul On va montrer que les q 1 diviseurs l mentaires non nuls de B valent 1 Comme toute matrice obtenue en effectuant des op rations l mentaires sur les lignes ou sur les colonnes de B poss de les m mes diviseurs l mentaires que B on va sim plifier B par des op rations l mentaires sur les lignes et sur les colonnes afin de faciliter nos calculs Soit r q dann 1 comme dans la preuve de l assertion 4 2 ci dessus et consid rons la ligne B R c est dire l expression de G Q dans F o R min Q L assertion 4 2 implique les deux faits suivants V1 lt f lt F tel que B 0 o la colonne B f correspond la paire Ri Rit avec 1 lt i lt t Rie Aij et 1 lt j lt n alors Br f c B R est l unique ligne de B ayant cette propri t En effet V1 lt s lt q avec s 1 il existe 1 lt f lt F et 1 lt i lt t tel que B f correspond la paire Ri Rs ic Rs Ar et R
9. Ni qn1 5 1 Notons lt l ordre total sur Apr induit par l ordre total lt d fini sur Q et appelons Ri les sous groupes de Ar o l indice parcourt les entiers entre 1 et dn 1 et tel que l on ait Ria lt Ruy sil lt l Par hypoth se de r currence on peut choisir arbitrairement un sous groupe Rim Qn 1 Ni tel que l ensemble F Qv m l m soit une base de E N V1 lt i lt t Autrement dit on choisit un sous groupe Rim dans Ain V1 lt i lt t Prenons m Qn 1 Qn 1n 1 1 afin que Rim soit l l ment minimal min A de l ensemble Ain V1 lt i lt t Ainsi t F JIA est une Z base de Il E N par hypoth se de r currence i 1 i 1 Posons r q qn n 1 On a R min Q et par d finition de l ordre sur Qn cela force R A1 ie Ry An car V1 lt i lt t l ensemble A n est pas vide De plus comme l ordre sur les ensembles Ar est induit par l ordre sur Q on a n cessairement R Rim pour tout 1 lt i lt t avec R Ar Montrons que R est le seul sous groupe de Q avec cette propri t Soit 1 lt s lt q tel que Rs Rim V1 lt i lt t tel que Rs Ap Par choix des sous groupes Rim on a Rs Qn ce qui implique r lt s lt q car R min Q Supposons par l absurde r lt s Soit e le plus petit entier tel que 1 lt e lt t et tel que Re lt p Rs Autrement dit e est tel que Y1 lt d lt e et VR Q avec Ra lt p R
10. Or un sous groupe E ab lien l mentaire de rang 2 poss de 3 l ments d ordre 2 et donc on a 3 2 6 syst mes de g n rateurs possibles pour E Autrement dit parmi les 36 sous groupes recens s on en a 36 6 distincts D o qq 6 et donc q 9 6 15 Pour tout Q Q le quotient Np Q Q est un groupe di dral d ordre 8 Ainsi par le th or me 4 2 12 on a E Np Q Q T Np Q Q lt OQy 5 Q1 In pay Rn gt Z pour un sous groupe ab lien l mentaire de rang 2 non normal dans Np Q et tel que Q lt R Exprimons l image de E par 8 matriciellement Pour ce faire on d finit un ordre total sur l ensemble Q afin d en d duire un ordre sur et sur une base du Z module d arriv e Ordonnons les l ments x 1 lt i lt 9 de Q selon l ordre dans lequel nous les avons crits plus haut et prolongeons cet ordre Q en posant L190 lt 85 U gt 11 lt 8 V gt T12 lt t u gt 13 lt t v gt 14 lt su tv gt et z 5 lt sv tu gt On ordonne ainsi les indices des l ments de E ce qui induit un ordre sur D autre part notons dr dr Ni Np a et N Ni xi et prenons 2s Quiz comme Z base de T N o on choisit le plus petit indice j avec 10 lt j lt 15 et tel que x lt x V1 lt i lt 9 Remarquons que le choix des j Q est rendu possible par notre choix de Q Explicitement on obtient Tio Uj Lis Tjs T11 Tj
11. REQ P REQn i n 1 Or Sc DD Npr wWn Cn Qp cn Oe i 0 REQn i P par d finition de wn et car wn 0 Par cons quent 0 5 ar Qpyr a Qp b cn Np a1 B cn Qe REQ P En particulier cette galit est v rifi e dans T P et T P lt Qp gt Z Par suite a b c ce qui termine la d monstration Remarque 4 2 19 S Bouc a d montr que pour tout sous groupe Q d un p groupe fini P on a l galit XO up U V IV P Ql Qu 0 cf Bot 6 1 1 et lemme 1 5 10 U VE sp U lt pV 80 CHAPITRE 4 GROUPES EXTRASPECIAUX Ecrivant cette relation successivement pour Q 1 et pour Q Z et faisant la diff rence les termes correspondant V D Z s annulent et il vient 1 D HPV 5 P V Gex 0 U VEQ U lt pV Comme D P est sans torsion cf corollaire 4 2 4 on peut diviser cette ex pression par SP Q o Q est un l ment maximal de Q On obtient alors la m me relation wn que dans la proposition ci dessus En effet dans les deux ex pressions Qp p a comme coefficient 1 pour tout sous groupe R maximal dans Q et donc par unicit de la relation wn multiple entier pr s ces deux expres sions coincident De plus pour tous U V Q on a up U V U V et donc on peut facilement expliciter les coefficients apparaissant dans la relation Nous avons ainsi prouv le quatri me point de notre plan Remarquons la cons quence suivante de la propositio
12. T3 Yi Y 1 Vis aly di VI lt i lt 2 v1 2 y1 2 zi y 1 Y1 StiFj lt 2 Notons Q lt z gt le centre de Q On a z y1 41 y2 2 On peut aussi consid rer Q comme le produit central de deux q groupes extrasp ciaux Q et Qz d ordre q d exposant q et de centre Q o Q est le sous groupe de Q engendr par x et y pour 1 et 2 D autre part P poss de un sous groupe quaternionien R engendr par u et uv d ordre 2 1 Par le paragraphe 5 1 R s identifie un sous groupe de Auto Q1 via une section de la suite exacte 5 2 Utilisons cette section pour identifier R un sous groupe de Auto Q2 comme suit Soit 0 l isomorphisme de Q vers Q2 envoyant x sur x2 et y sur yo et donc O z z et soit l automorphisme de R envoyant u sur u2 et uv sur u2 2 1 L application est un homomorphisme car 2 uv A uv A u A uv t u2 2 1 uv u fuv u2 69 Ge Nie Cd ME u et est bijectif car Id Ainsi si o R Auto Q u galu uv gt o uv est une section de la suite exacte courte 5 2 du paragraphe 5 1 alors on obtient un homomorphisme injectif a R Autg Q2 u gt Ga A u 0 1 Bo u 107 uv 60 A uv 87 bo u lo uvo Posons alors o P Auto Q UT Oy VE Ov o Culo F uv 9 ovla 9 ule o uv 0 7 et oslo O 5 2 CONSTRUCTION DE GROUPES FINIS P NILPOTENTS 97
13. Tje T12 Tja Vj T13 Vig et Z14 Lio On consid re la base ordonn e 1 F Os On Qs joj ee Dngyay de 79 i 1 Ecrivons la matrice B de l image par 8 de l ensemble E dans F et crivons ces images en ligne Autrement dit B Be f est une matrice 15 x 18 coefficients entiers o on d finit Be p comme suit Soit 1 lt e lt 15 74 CHAPITRE 4 GROUPES EXTRASP CIAUX Si 1 lt f lt 9 alors Be est la composante selon Ox de dr Qe Si 10 lt f lt 18 alors Be est la composante selon Q dr _9 Qryee Par le lemme 4 1 8 V1 lt f lt 9 et V1 lt e lt 15 on a selon la notation introduite apr s le corollaire 4 1 5 de Nf o j _o fite ae ja Qn pst si f IP Xe etolu u IYERE 0 sinon On en d duit imm diatement que Be f des VI lt e f lt 9 et que Bef 0 si ze et xf n ont pas le m me ordre i e si 1 lt e lt 9 et 10 lt f lt 18 ou bien sild lt e lt 15et1 lt f lt 9 Calculons les coefficients Bef avec 10 lt e lt 15 et 10 lt f lt 18 On a Bef A 0 si et seulement si xf_9 lt p Xe Supposons alors xf_9 lt p Ze et d terminons la valeur de Be f Par le corollaire 4 1 5 on a rf_9 lt p Te si et seulement si e lt Ny_ 9 De plus Ns_9 f 9 x Dg avec Dg lt 2j _ 2 gt pour un unique sous groupe x Qa et o x _ joue le r le du sous groupe lt s gt dans la premi re assertion du th or me 4 2 12 Ainsi le th or me 4 2
14. gt DRQ MF A 4 A2 Resg Dr P M gt Re 2 Inflation Soient Q un sous groupe normal de P M un R P Q module et A une P Q alg bre La restriction par le passage au quotient P P Q d finit un P RP module Inf a M et une P algebre Inf p QA Cette op ration est appel e inflation de P Q P Si M est d endo permutation couvert alors ints Q M aussi De m me si A Endpr M est une P Q alg bre de Dade alors inf p oA Endz Infp o M est une P alg bre de Dade Comme pour tous R P Q modules M et N les RP modules Inf b g M N et Infb g M Info N sont isomorphes on obtient des homomorphismes de groupes ab liens Info Dr P Q gt Dr P et Infpyg Dp P Q gt Dy P P P M mo M A hfp oAl 3 Isomorphisme Soient y Q P un isomorphisme de groupes M un RP module et une P alg bre Les restrictions Res M et Res A not es Is0 M 1 5 SYZYGIES MORPHISMES ET COMPOSITIONS 27 Q F et respectivement IsopA d finissent un RQ module et respectivement une Q alg bre Cette op ration est appel e isomorphisme de P Q Si M est d endo permutation couvert alors Is0 M aussi et si Endg M est une P alg bre de Dade alors Iot A Endp Iso M est une Q alg bre de Dade Comme pr c demment on obtient des homomorphismes de groupes ab liens n cessairement bijectifs Iso Dr P gt Dr Q et fsop D P gt DRQ IM lso2 M At ice isos Al Co
15. o S est un sous groupe ab lien l mentaire de P de rang 2 pour montrer que wn 0 Choisissons S Qs et calculons n Resg un 5 ci 5 Res Npr i 0 REQn P Par le lemme 1 5 7 et la formule de Mackey on a Res Qryr Nx o X ae SCR gE S P R 4 2 UN CAS PARTICULIER 79 On a trois possibilit s soit S lt p R soit IRN S lt 2 Vg P avec galit pour certains g P soit 9RNS 1 Vg P Donc les arguments de la preuve de la proposition 4 2 16 nous donnent Q i R P ousi RNS 1 YgEP Finalement n 1 Res un So ea J Res Qpr ens ci Isi P Qs 0 i 0 REQn i P par d finition des c Ainsi par injectivit de Res onawn 0 Vn gt 2 Montrons la seconde assertion de la proposition dans le cas o n gt 2 Suppo sons qu il existe des entiers ar non tous nuls tels que gt REQ P ar Qpyr 0 Alors il existe Q Qi P tel que ar Q lt p R 4 0 et on a a fortiori 0 dro 5 ar Npr gt aR Q R REQ P REQ Ph 1 selon les m mes notations que ci dessus et avec Q P _1 Q P 1 U Qo Ainsi par hypoth se de r currence il existe un entier non nul bQ tel que ar bg ci YRE Qn_ i P tel que Q lt p R et VO lt i lt n 1 Or bg ne d pend pas de Q En effet soit Q Qi P avec Q 4 Q et Q lt p R Alors ar boci bac et donc on peut poser b bg Ainsi on peut crire n 1 0 5 an I MbT a 5 Arr i 0 P
16. Cf th or me 5 1 2 de Bol Consid rons pr sent certaines compositions de ces diff rents morphismes Ce sujet est d velopp dans la section 3 de BoTh et n cessite une d finition pr alable que nous avons simplifi e afin de l adapter nos besoins D finition 1 5 11 Soit p un nombre premier et P un p groupe fini 1 Soit Perm P la cat gorie dont les objets sont les P ensembles finis et les morphismes m entre deux objets Y et X sont des matrices coefficients dans k index es par X xY et telles que Mgz gy Mge y Yg E P V0 Ee X et Vy EY 2 Soit q une puissance de p On d finit le foncteur yq de Perm P vers Perm P comme tant l identit sur les objets de Perm P et faisant correspondre un morphisme m Y X de Perm P le morphisme Yq m Y X donn par yam Mgr y YLE X et Vy EY Ce foncteur induit un endomorphisme toujours not y sur DR P cf section 3 de BoTh et celui ci est un automorphisme si k est un corps parfait 34 CHAPITRE 1 NOTIONS DE BASE puisque l endomorphisme de k qui consiste a lever a la puissance p est bijectif dans ce cas Ce foncteur intervient lorsqu on tudie la composition des op rations Def et Ten En effet la proposition 3 10 de BoTh d montre que si Q et R sont des sous groupes de P avec R normal dans P et q R QNA Ri alors les applications P P P R QR R Q Def p r O Teng et Yq Tengr r O Isog gnr O Defg a
17. Ci Co k 0 est une r solution projective minimale du kP module trivial k alors cm oc Cni oe so eee 0 6 3 est une r solution de permutation endo scind e de Q k pour tout en tier n positif En effet C est born et comme kP est une k alg bre sym trique et que les C sont projectifs ceux ci sont aussi libres et donc des amp P modules de permutation Par d finition d une r solution projective on a H C 0 VO lt i lt n x et par construction H C Q k cf section 1 2 De plus le complexe C C est scind car tous les termes sauf celui en degr 0 sont injectifs cf section 2D de CR Ainsi C est une r solution de permutation endo scind e de Q7 k Par sym trie pour un entier n n gatif on tronque une r solution injec tive minimale de k pour obtenir une r solution de permutation endo scin d e de Q k Que peut on dire de la d flation Soient M un kP module d endo permutation ayant une r solution de per mutation endo scind e C et Q un sous groupe normal de P On d finit le complexe C Q par C Q n Cn Q pour tout entier n et selon les notations du chapitre 1 concernant les quotients de Brauer Alors on a un isomorphisme de complexes C Q C Q C amp C Q et donc C Q est une r solution de permutation endo scind e d un R P Q module de la classe de Def p lM Terminons cette liste de propri t s avec une g n r
18. DRQ gt DRIP M N 4 AQ La proposition 28 3 de Th1 prouve que A 8x B Q A Q 2x B Q pour toutes P alg bres de Dade A et B et donc cela implique que ces deux applications sont des homomorphismes de groupes Remarque 1 5 2 Dans la section 2 de BoTh S Bouc et J Th venaz d fi nissent ces cing homomorphismes comme cing applications d un unique proc d fonctoriel Nous allons maintenant donner quelques propri t s de ces morphismes Etant donn que dans les chapitres suivants nous allons nous concentrer sur la struc ture de D P nous n noncons les r sultats que pour D P ou ventuellement aussi pour Do P laissant le soin au lecteur de les adapter D P respec tivement D amp P s il le souhaite En effet les divers r sultats que nous allons donner pour Dr P se traduisent plus ou moins ais ment en termes d alg bres Lemme 1 5 3 Tous ces morphismes sont transitifs On a par exemple Def po Def pho o Def p s pour tous sous groupes nor maux S et Q de P avec S lt Q Lemme 1 5 4 Soient S et Q deux sous groupes normaux de P Alors les ap plications Deff solnfho et Infphoso Depos de D P Q vers Dy P S sont gales Par suite la d flation est une r traction de l inflation et donc la d flation est surjective et l inflation est injective Preuve Soient M un k P Q module d endo permutation couvert et notons A End M la P Q alg bre de Dade correspondante Ometto
19. En 1986 parait un article de M Linckelmann dans lequel il d montre que les modules endo triviaux sont intimement li s aux quivalences stables induites par une quivalence d riv e cf Li Puis en 1997 M Harris et M Linckelmann publient un article commun cf HL dont on retiendra essentiellement le r le pr pond rant jou par les modules d endo permutation dans l analyse locale 40 CHAPITRE 2 1978 2002 L ODYSS E DU GROUPE DE DADE des blocs et dans les quivalences d riv es splendides introduites par J Rickard quelques ann es auparavant En parlant de J Rickard il nous faut mentionner son article de 1996 trai tant des quivalences d riv es splendides cf Ri puisqu il est l origine du jeu auquel nous nous sommes pr t s au chapitre 6 Dans cet article J Rickard remarque que certains modules d endo permutation ont une r solution de per mutation endo scind e et d montre en particulier que si P est ab lien alors tout module d endo permutation poss de une telle r solution L importance de l existence d une r solution de permutation endo scind e r side dans le fait qu on a alors un complexe basculant splendide qui induit une quivalence splendide entre deux blocs donn s et donc ceux ci ont la m me structure locale Beaucoup d articles sont parus depuis mettant en vidence l importance des modules d endo permutation et les quivalences stables et d riv es notammen
20. En effet application s _1 restreinte Im Q est une section de car par d finition on a 0 5 _10 0 Par suite on a D autre part on a aussi une suite exacte courte scind e T 0 Im d 41 gt Ker 0 gt H C 0 o o est l inclusion et 7 le passage au quotient En effet application 0 418 Ker 0 gt Im 0 1 est une r traction de T C est a dire que la composition 0 415 0 est Videntit sur Im 0 1 et ceci est vrai car 0 415 0 41 Oj41 par hypoth se On en d duit l isomorphisme suivant Finalement les relations 6 1 et 6 2 impliquent La d finition de r solution de permutation endo scind e est due a J Rickard Il constate en particulier que si G est un p groupe et M un RG module ayant une r solution de permutation endo scind e C 0 alors M est un RG module d endo permutation En effet on a alors par le th or me 10 30 de CR et le th or me de Kiinneth cf th or me 2 7 1 Be Or C C est born et scind Par le lemme pr c dent cela implique que Ho C C est un facteur direct de C C o et donc c est un module de permutation cf corollaire 27 2 de Th1 Cette remarque am ne J Rickard se demander si tous les RP modules d endo permutation pour un p goupe fini P poss dent une r solution de per mutation endo scind e et c est sur cette question que nous allons nous pencher pr sent Mentionnons quelques r sultats
21. Np Q lt P Preuve Par d finition on a x y Z Vx y P Autrement dit Vx yeP ona x rz ou bien J z Z tel que azet lt z gt Z 4 1 1 Supposons 1 lt Q P Si Q Z l assertion est v rifi e Si Q Z alors il existe x Q et y P qui ne commutent pas Or par hypoth se on a Yx EQ Vy EP et Vax Q et donc par 4 1 xz avec lt z gt Z Par suite z x71 Q car Qa P D o Z lt Q R ciproquement supposons Z lt Q Alors on a Q Z lt P Z car P Z est ab lien et donc Q lt P 2 Si Q 4 P alors Z Q Soient x Q et y Np Q Supposons x F x Alors par 4 1 il existe un g n rateur z de Z tel que xz Mais alors z x 1 Q car y Np Q D o Z lt Q Par cons quent on a n cessairement x Vx E Q et Vy E Np Q D o Np Q Cp Q Si Q n est pas ab lien alors il existe x et y dans Q tels que x y en gendre Z et donc Z lt Q ce qui contredit l hypoth se Q 4 P Or si Q est ab lien alors Q est ab lien l mentaire En effet si Q contient un l ment x d ordre p alors on a 1 2 P et amp P Z Donc x engendre Z 3 Ona Z lt Np Q VQ lt P et donc Np Q lt P par 1 Ce lemme nous permet de r partir les sous groupes non triviaux d un p groupe extrasp cial P dans deux classes Les sous groupes non triviaux normaux de P Autrement dit ceux qui contiennent Z Les sous groupe
22. P R sumons nous Pour un S Q fix on veut calculer Resg gt i peg ryr Vu les trois cas ci dessus on obtient Ress XC Orr gt gt Resg Qrr JO As 2 0 R R oa re SAN IRIS V gEP 4 2 UN CAS PARTICULIER 77 En effet on a Q2 6 et chaque S Q contient trois sous groupes d ordre 2 Autrement dit il existe trois sous groupes R dans Q pour lesquels il existe un g dans P tel que S N 9R 2 Ainsi il reste deux sous groupes T de Qz pour lesquels S N T 1 Vg E P On en d duit que Res Reo Qpyn 2 Qs Res 2 Qp et donc par injectivit de Resg on a Reg Qer 2 Np Remarquons que si dans cette preuve on avait consid r S avec Z lt S alors on aurait obtenu le m me r sultat bien entendu mais les calculs auraient t diff rents En effet si Z lt S alors S lt P et donc on a pour R Qo Soit 9RN S 1 Yg P D o Res Qp r Qs Soit 9RN S 2 Vg E P et il existe un unique Q Q satisfaisant les conditions S lt Q Z gt et Q lt p R On obtient alors Res Or Qs5 en utilisant les m mes arguments que dans la preuve Or pour un Q Q fix parmi les neuf de Q i e pour un S fix il y a exactement deux des six sous groupes R Q2 avec Q lt p R En effet un tel R contient trois sous groupes d ordre 2 et donc on conclut par un banal argument de comptage que l on peut sch matiser comme suit 6 R 3112 3 6
23. alors R lt R par d finition de l ordre lt On a 1 lt e sinon Rs Ar et donc Rs Rim Rr ce qui est impossible car R Rr par hypoth se Consid rons le sous groupe Cp Ri AO Rs de P Par le m me r sultat de Su que lon a utilis dans la preuve du corollaire 4 1 5 on a Cp R R x P 1 En particulier on en tire que Cp R1 2 et donc Cp R1 N R 2 gt 1 car R lt p R implique R lt Cp R1 Par suite il existe un entier 1 lt d lt t tel que Ra lt p Rs et tel que Ra lt Cp R1 Ainsi ona Ar et RaR est un sous groupe ab lien l mentaire de rang 2 de P et donc il est conjugu un l ment de Q2 car R4R1 ne contient pas Z Par un argument de r currence sur n l galit Cp Ri Ri x Pn 1 implique que chaque sous groupe de Q est contenu dans un conjugu d un sous groupe de Q et donc il existe R Q tel que RaR lt p R En particulier on en tire que R lt R car 1 lt e et Ry lt p R D autre part Ra lt p R implique que R lt R car comme R Ar on a Rs Ram par hypoth se sur Rs On aboutit ainsi une contradiction ce qui prouve qu un tel sous groupe Rs Q 4 2 UN CAS PARTICULIER 83 avec r lt s ne peut exister En r sum on a montr l affirmation souhait e R Rim pour tout 1 lt i lt t tel que R Ar 4 gt R R 4 2 Autrement dit R min A h V1 lt i lt t tel que RE Ar 4 gt R min Q Concentrons nous pr sent sur la mat
24. bre de Dade 3 Si A est une P alg bre de Dade alors A Q est une Np Q Q alg bre de Dade sur k VQ lt P et il existe un unique k Np Q Q module d endo permutation couvert M tel que A Q End M 4 Si A Endr M est une P alg bre de Dade telle que AP Endrp M est un anneau local alors M est un RP module d endo permutation cou vert ind composable et le rang de A sur R est congru 1 modulo p Par cons quent le rang de M sur R est congru 1 modulo p Preuve Cf paragraphe 28 de Th1 et proposition 2 5 5 de Ur Qu en est il de la relation d quivalence d finie sur l ensemble des RP modu les d endo permutation couverts en termes de P algebres Afin de r pondre a cette question nous introduisons les concepts suivants D finition 1 3 2 Soit A une P alg bre de Dade 1 On dit que A est neutre s il existe un RP module de permutation couvert M tel que A Endr M Autrement dit A est neutre si est l alg bre des endomorphismes d un RP module quivalent au RP module trivial 24 CHAPITRE 1 NOTIONS DE BASE 2 On dit que deux P alg bres de Dade A et B sont quivalentes et on le note A B s il existe deux P alg bres de Dade neutres S et T telles qu on ait un isomorphisme de P alg bres AQ S S BOT Par le lemme 28 5 de Thi A B si et seulement si AQ B est neutre o B est l alg bre oppos e de B i e le R module B muni de la multiplication oppos e a b ba V
25. comme lt z gt lt Np R lt Np Q l inclusion Np R lt Np Q est aussi stricte D o Q lt p R gt Q lt p R lt Np R lt Np Q lt Pet Np R Np Q P L implication r ciproque est vidente Prouvons pr sent la seconde affirmation Soient Q R Q et P Np Q un syst me de repr sentants des classes P Np Q Supposons Q lt p R Le groupe P agit transitivement par conjugaison sur l ensemble Conj Q des sous groupes conjugu s de Q Le stabilisateur d un l ment de Conj Q est Np Q et Np Q Cp Q et donc on a Conj Q 1 g P Np Q et Conj Q P NP Q Par hypoth se il existe au moins un g P Np Q avec 9Q lt R Soit alors h P Np Q satisfaisant Q lt R Comme R est ab lien et comme Q et sont des sous groupes de R l ensemble Q 9Q est aussi un sous groupe de R Montrons que si 9Q 4 Q alors Z lt Q 4Q Quitte conjuguer le tout par g on peut supposer g 1 et on veut donc montrer que si Q 4 Q alors Z lt Q Q Comme Q et Q ont m me ordre il existe x Q tel que x g Q Donc x Pr car Q Ainsi fx za ie z x x7 e Q Q pour un g n rateur z de Z et donc Z lt Q Q Par suite si Q lt R pour un g P Np Q alors Q R pour tout h P Np Q avec h g car Z amp R En r sum si Q lt p R alors il existe un unique g P Np Q tel que 9Q lt R De mani re quivalente on a ainsi montr que
26. comme pour p impair les coefficients binomiaux sont tous des multiples de p rP 1 on en d duit que p mod p Donc uw u2 t4 et ceci est gal 1 si et seulement si ap d est un multiple de p Or ap d 0 mod p si et seulement si a 3 mod p d m 1l et donc E lt u uT ru gt R ciproquement l argument pr c dent prouve que le groupe E d fini par cette formule est ab lien l mentaire de rang 2 Donc P a un unique sous groupe ab lien l mentaire de rang 2 Remarque 3 1 3 Le lemme ne se g n ralise pas pour p 2 En effet le groupe di dral d ordre 8 est m tacyclique non cyclique Mais il poss de 2 sous groupes ab liens l mentaires de rang 2 3 2 GROUPE DE DADE 47 Du lemme 3 1 2 d coule imm diatement une cons quence fondamentale pour la motivation de ce travail comme nous l avons mentionn au chapitre pr c dent Corollaire 3 1 4 Soit P un p groupe m tacyclique Alors P ne poss de aucune section extra sp ciale d exposant p Preuve Tout p groupe non trivial extra sp cial d exposant p poss de plu sieurs p sous groupes ab liens l mentaires de rang 2 Or toute section de P est un p groupe m tacyclique et ne peut donc pas tre extra sp ciale d exposant p Par ailleurs si P n est pas cyclique nous pouvons caract riser les sous groupes non cycliques de P par les propri t s suivantes Lemme 3 1
27. endo permutation couvert de chapeau M Preuve Cf section 3 de Da2 Ajoutons cette liste de propri t s le th or me de la classification des mo dules de permutation afin de d terminer quels sont les modules de permutation qui sont des modules d endo permutation couverts Th or me 1 2 7 Soit P un p groupe fini et M un RP module de permutation Alors M est ind composable si et seulement s il existe un sous groupe Q de P tel que M est isomorphe Ind R De plus dans ce cas M est de vortex Q et de source triviale R Par cons quent un RP module de permutation est couvert si et seulement s il poss de un facteur direct trivial Preuve Cf section 1 de Da2 Nous allons maintenant introduire des outils qui vont nous permettre de construire des modules d endo permutation couverts partir des exemples sus mentionn s Notations Soit G un groupe fini 1 Soient H et K deux sous groupes de G On pose H lt K respectivement H lt K si H est contenu respectivement contenu strictement dans K On pose H lt a K respectivement H lt g K si H est contenu respecti vement contenu strictement dans un conjugu de K On pose H lt K si H est un sous groupe normal de K 1 2 MODULES D ENDO PERMUTATION ET GROUPE DE DADE 19 2 Soient X un G ensemble x X et H un sous groupe de G Alors X est aussi un H ensemble et on note X la cardinalit de X XH xexX h x x Vh
28. endo permutation couverts de chapeaux Mo et No respectivement alors par la proposition 1 2 5 la relation binaire M N lt gt Mo No est une relation d quivalence Par la proposition 1 2 6 le RP module M amp N est encore d endo permu tation couvert Par suite l ensemble des classes d quivalence des RP modules d endo permutation couverts est stable pour l addition M N M 8 N VIMT N DR P Comme MONT N Met M N LTM N L pour tout RP module L cette loi de composition est associative et commutative 22 CHAPITRE 1 NOTIONS DE BASE Ona R M M pour tout RP module M et donc R est un l ment neutre pour l addition Or R est form e de tous les RP modules de permutation couverts cf lemme 2 5 1 Ur Par cons quent si M est d endo permutation couvert le RP module de permutation Endr M M M est couvert par la proposition 1 2 6 et donc M M R V M Dr P Ainsi Dr P est un groupe ab lien Si M et N sont deux RP modules endo triviaux alors par la proposi tion 1 2 6 M amp N et M sont aussi endo triviaux et tous ces modules sont d endo permutation couverts De plus comme R est endo trivial on en d duit que le sous ensemble Tp P de Dr P est un sous groupe de DR P Terminons cette section en donnant un crit re fort utile pour savoir si un module est endo trivial Lemme 1 2 11 Soit M un kP module Si M est un kE module endo trivial p
29. est pas scind Toutefois S Bouc d montre que si M Q R pour un Q ensemble fini X alors Teng 0 RX R 0 est une r solution de permutation endo scind e du RP module Teng Q R La preuve de cette assertion n est pas aussi ais e qu on pourrait le croire et nous renvoyons le lecteur sceptique au paragraphe 5 4 de Bol pour s en convaincre En fait S Bouc d montre ce fait dans la preuve de sa formule cf lemme 1 5 10 Or si on utilise celle ci c est pour remplacer les modules induits tensoriellement par des syzygies relatifs afin de travailler avec des modules de dimension plus petite par exemple qui eux poss dent une r solution de permutation endo scind e comme on vient de le montrer En r sum si l on assemble les morceaux du puzzle constitu s par les divers r sultats de J Rickard et de S Bouc on en d duit imm diatement la proposition suivante Proposition 6 2 3 Soit P un p groupe fini Si D P D P alors tout RP module d endo permutation couvert M a une r solution de permutation endo scind e Consid rons pr sent les r sultats obtenus dans la premi re partie et mon trons le th or me suivant Th or me 6 2 4 Soit P un p groupe m tacyclique si p est impair ou di dral quaternionien semi di dral ou extrasp cial du type DZ avec n gt 1 si p 2 Alors les seuls RP modules d endo permutation couverts qui n ont pas de r solution de perm
30. gt 1 dey yto 1 et yi Di Do Xsex TQ y T YF e z Ces deux applications sont des homomorphismes de RP modules et ils satisfont wow_1 Idp_ et Woy Idp Par suite D est scind et donc C est une r solution de permutation endo scind e de 94 R 130 CHAPITRE 6 EQUIVALENCES SPLENDIDES On constate en particulier que si un module a une r solution de permuta tion endo scind e alors celle ci se comporte bien par rapport aux op rations d inflation de produit tensoriel de restriction de d flation et bien entendu d isomorphisme On pourrait croire qu il en est de m me pour l induction tensorielle mais ca n est pas aussi simple En effet si Q est un sous groupe de P et si C est une r solution de permutation endo scind e d un RQ module d endo permu tation couvert M alors le complexe Teng C d fini dans la section 4 1 du deuxi me volume de Be n est pas scind en g n ral En effet consid rons le contre exemple suivant Soit k Fo soit P un groupe cyclique d ordre 2 et Q son sous groupe trivial Le complexe de kQ modules et homomorphismes de kQ modules C 0 kk 0 est scind Or le complexe Teng C est le complexe exact Teng C 0 k kP gt k 0 o par d finition de l induite tensorielle d un complexe on obtient que kP k est l augmentation et o k kP est la trace tr de Q P Par cons quent Teng C n
31. l mentaire de rang 2 A fortiori celui ci est normal dans P Preuve Soit E un sous groupe ab lien l mentaire de rang 2 d un p groupe m tacyclique non cyclique P lt u v gt Alors E N lt u gt 1 car le quotient E E N lt u gt est cyclique isomorphe au sous groupe non trivial E lt u gt lt u gt du groupe cyclique P lt u gt Donc E contient u L image de E dans P lt u gt n est pas triviale et donc E contient un l ment de la forme u wP En fait E lt u uw gt car lt u gt est un sous groupe propre du sous groupe lt u uw gt de E Posons w vw L action de w sur lt u gt est donn e par u u o r sp 1 pour un entier s gt 0 En particulier si w et u commutent on prend s p C est le cas si n 1 car cela force n 1 dans les notations de d but de section et donc P est ab lien Comme P est m tacyclique il existe un unique entier d tel que 0 lt d lt p et wP uf On a pid si et seulement si P n est pas cyclique En effet p et d sont premiers entre eux si et seulement s il existe un entier e avec de 1 mod p Mais alors on a u u wP lt v gt Par hypoth se P n est pas cyclique et donc d est un multiple de p et ona ut w P u u e i ua t te tet yor td Or pel _ n l p 1 p n 1 p 2 p n 1 D sp sp had sp at Comme sp 0 mod p m me si n 1 car on a alors s p et
32. on conclut comme souhait que S est isomorphe au kP module endo trivial 01 1 _ k de dimension Pl 1 P lt v gt Nous avons ainsi r alis explicitement quelques exemples de modules d endo permutation comme sources de modules simples pour des groupes finis p nilpo tents pr sent au lieu de continuer au cas par cas nous allons nous constituer 114 CHAPITRE 5 SOURCES DE MODULES SIMPLES une sorte de boite a outils qui nous permettra de r aliser beaucoup d autres modules comme sources partir de situations connues Commen ons par d crire Voutil induit par l op ration d inflation 5 4 Inflation Soient p un nombre premier P un p groupe fini et P un sous groupe normal de P Notons P le quotient P P Soit M un kP module d endo permutation ind composable couvert tel que l on sait construire un groupe fini p nilpotent G avec P comme p sous groupe de Sylow et un kG module simple L dont la source est isomorphe M Nous allons montrer qu on peut alors r aliser explicitement le kP module d endo permutation ind composable Inf M comme source d un kG module simple L pour un groupe fini p nilpotent G Par hypoth se G est de la forme Q x P pour un groupe fini Q d ordre premier p et on a un homomorphisme de groupes a P Aut Q Consid rons l application o P Aut Q ut a o d signe la classe de u dans P pour tout u P On a en particulier o u Ido Vu
33. q et donc les kH modules Res L2 et L sont isomorphes par le lemme 5 3 2 Par suite on a bile Resy L2 li S Res L2 2 car la restriction de p Rest Consid rons alors le diagramme commutatif de kR modules o les lignes sont exactes 0 OL kK kR k 0 Al Al Id 0 k ER k 0 On en d duit que Res Q k est isomorphe Q k et plus g n ralement que Res Q k est isomorphe Q k pour tout entier n et pour tout au tomorphisme de R Par cons quent on a Res L2 2 L172 Il s ensuit que LT Lol et donc S S2 En particulier on en d duit que 92 k est isomorphe un facteur direct de S S2 et donc on a 92 k XIS Ainsi X e Q2 k car X S est un kR module d endo permutation couvert En effet X 2 est un kP module d endo permutation par le th or me 5 3 7 et il est couvert car X est de vortex P De plus la restriction de P R induit un homomorphisme entre D P et D R cf section 1 5 R sumons la situation Comme S est un kP module d endo permutation couvert ind composable et comme S k F le lemme 5 3 12 implique que S est endo trivial De plus comme S IX LS le lemme 5 3 11 implique que SJ a un facteur direct trivial Ainsi S est un kP module endo trivial dont les restrictions aux sous groupes R et E de P sont dans les classes de Q k et k respectivement Par injectivit de la restriction T P T R T E cf th or me 1 5 5
34. que non cyclique Alors l application II Reso D P II D Q est injective 1 lt Q lt P 1 lt Q lt P Preuve Par la proposition 3 2 1 nous savons que Il Defres amp 0 D P II D Q amp Q 1 lt Q lt P 1 lt Q lt P est injective en fait nous savons m me que nous pouvons consid rer les sous groupes Q conjugaison pr s D autre part le th or me 1 5 5 implique que si Q est un sous groupe non cyclique de P alors la restriction I D rs22 D Q 8 Q I RSR amp Q lt R lt Q 8 Q lt R lt Q est injective pour tout sous groupe non cyclique Q de P En effet Q Q est ab lien l mentaire de rang 2 et les sous groupes propres de Q Q sont de la forme R Q pour des sous groupes R de P tels que Q lt R lt Q On obtient ainsi un diagramme commutatif de groupes ab liens et homo morphismes de groupes ab liens P a These D 5 Theger D Q 8 Q Terco L R 8 Q 4 ae P o les applications y3 Ils o lt r lt o Resse et p2 Ti cg lt p Defresg sq sont injectives par le th or me 1 5 5 et respectivement par la proposition pr c dente Par suite l application y1 lt S lt P Resg est injective Lemme 3 2 3 Soit P un p groupe m tacyclique L application Defres sco D P IT T C amp c CeC P Celc P est injective 50 CHAPITRE 3 LES P GROUPES METACYCLIQUES Preuve Cette application est bien d finie puisque C C est cyc
35. se pr senter par g n rateurs et relations comme suit Q lt z y z y 2 1 y z x 2 y z 1 gt L action de P sur Q qui va d finir le produit semi direct que nous allons 5 8 EXEMPLE 121 consid rer est induite par l inclusion a P gt SL F3 a as 1 1 1 1 PRE 0 l 1 0 On en d duit ainsi le groupe 2 nilpotent G Q x P d ordre 216 et o on a 1 W gyz z et way you lz z eo wyYz Construisons un kG module simple L de source M Consid rons le sous groupe ab lien l mentaire A lt x 2 gt de Q de rang 2 et la repr sentation di A k cr 1 zZ gt W Notons k le kQ module de dimension 1 correspondant et posons L k 7 amp On sait par les r sultats de ce chapitre que L est un kQ module simple de dimension 3 et qui s tend a G Explicitement on peut consid rer la k base B 1 1 y 1 y 81 de L dans laquelle x y et z agissent respectivement par les matrices 1 0 0 0 1 0 0 wt 0 0 0 1 et 0 0 1 0 0 0 0 w 0 0 w L extension L de L est d finie par les actions de u et v sur B par les matrices 1 1 1 1 w w U 1 1 0 et V wt 1 O 1 0 1 wt 0 1 respectivement On doit alors montrer que U et U sont semblables de m me que V et V En effet on a Lex M si et seulement si u et v agissent sur Ls et sur M de la m me mani re Autrement dit les divergences matricielles entre U et U et entre V et V provien
36. solution de permutation endo scind e de Q k ay kP 0 du complexe C v rifie C kP et OF 1 pep C est une r solution de permutation endo scind e de 951 k Consid rons le prolongement 02 0 kP kP kP LE 0 du complexe C o l on d finit 02 a y a u 1 y v 1 Va y E P C est une r solution de permutation endo scind e de Q k En effet soit D une r solution projective minimale de k Tous les termes de D tant libres leur dimension est divisible par 16 De plus on a dim QL k 15 et lt Q gt Z Supposons dim Dz 16 Cela implique dim Q2 k 1 et donc 02 k k Par cons quent on a lt QL gt Z 2Z D o une contradiction Il s ensuit qu on a dim D2 gt 32 Ainsi il nous suffit de v rifier que Im 02 Q k On sait que Qt k est engendr par u 1 et v 1 De plus on a u 1 1 0 et v 1 02 0 1 D o l galit voulue oi kP gt kP kP 0 du complexe o on a 83 x Dep x y y x Va P est une r solution de per mutation endo scind e de 0 k En effet par le th or me de K nneth cf section 2 7 du premier volume de Be le dual de C reste exact en kP et on a Im d5 Ker d2 Terminons cet exemple avec la remarque suivante concernant Q k Nous savons qu il existe un kP module L projectif et donc libre satisfaisant Q k BLS Qk OE K par d finition d
37. t publi cf th or me 8 39 et remarque 8 41 de Pul Il a montr que la source S de L est isomorphe au chapeau d un module de la forme SD Teng Info p Mo r 5 1 Q RET o Moyr est endo trivial tel que Moyr T Q R et les quotients Q R sont des sections de P appartenant la famille T des groupes finis cycliques di draux semidi draux ou quaternioniens En particulier cela implique que S est un l ment de torsion dans D P Dans ce chapitre nous allons explicitement r aliser les chapeaux de tous les modules d endo permutation de la forme 5 1 comme sources de modules simples Par cons quent compte tenu des derniers r sultats obtenus par J Carlson sur la structure du sous groupe de torsion du groupe des endo triviaux cela implique que les chapeaux de tous les l ments de torsion du groupe de Dade pour p impair sont des sources de modules simples Pour clore ce paragraphe introductif pr cisons que les m thodes que nous allons employer sont fortement inspir es de celles utilis es par Dade dans Da2 91 92 CHAPITRE 5 SOURCES DE MODULES SIMPLES Autrement dit nous allons nous donner un nombre premier p un syst me p modulaire K O k et un groupe P T Ensuite nous allons construire un groupe fini p nilpotent G et donc p r soluble qui admet P comme p sous groupe de Sylow et dont le plus grand sous groupe normal d ordre premier p est un q groupe extrasp cial pour un certain nombre
38. 0 Ve lt s et Ve tel que Re Qn UQ iii Si j n alors BY 0 Ve gt s et Ve tel que Re Q Les galit s ii et iii sont dues au choix de l ordre sur et au choix de Ri min A Par r currence sur r 1 q on va faire des op rations l mentaires sur les colonnes de B afin d obtenir une matrice B dont les qn n 1 derni res lignes contiennent exactement un terme non nul et tel que celui ci vaille 1 Consid rons la ligne B R 41 et la colonne B f1 correspondant une paire R R 41 F pour un 1 lt i lt t f existe par le point 2 On a ainsi Bo 1 Par le point 4 tous les coefficients de B f en dessous de Ba f t tous ceux au dessus de By sont nuls De plus BC 0 car B R est une ligne nulle Utilisons alors B f1 pour des op rations l mentaires sur les colonnes afin d annuler les coefficients BO g non nuls pour tout 1 lt g lt F avec g f sans modifier aucun coefficient d aucune autre ligne de B La matrice B obtenue est quivalente par colonnes B et poss de les m mes lignes que B sauf B R qui est nulle et B R41 qui Sie non nul De plus Bey 1 et c est l unique terme a un unique terme B non nul de B f o f correspond une paire Ri Rp41 avec 1 lt iy lt t Soit 2 lt s lt q et B 5 une matrice quivalente par colonnes B telle que 86 CHAPITRE 4 GROUPES EXTRASPECIAUX
39. 12 implique les galit s Bey 1 si e x _ et Beg 1 sinon En effet comme on a choisi les Tj dans Q et comme x Q on a soit e Ljp_g SO Le et Tj _o ne sont pas conjugu s Dans le premier cas on a u l et Te Tj D ou Defresy 9 2 sous groupe de Ny_9 et ona Defresy _ Q wp ite F Dans le second cas e est conjugu au Q Ong o s 9 Remarquons aussi que pour tout 1 lt f lt 9 on a exactement deux sous groupes e avec 10 lt e lt 15 et tels que xe lt Ny Donc on a exactement deux termes non nuls valant une fois 1 et une fois 1 dans chacune des colonnes 10 a 18 de B Il s ensuit que la matrice B est diagonale par blocs Nf 9 2js_o Te Nf o te B Ga a avec B Idg et on obtient par choix de F 0 Be 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 B 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 i 0 0 1 1 0 0 0 0 0 i 1 0 i En effectuant des op rations l mentaires sur les lignes et les colonnes de B on se r n Il s ensuit que le rang de 8 est exactement 14 et que les diviseurs l mentaires de B valent tous 1 Autrement dit Im 8 est un facteur direct du Z module libre A J Joco E Ne Q Q Z8 de rang 14 En effet le fait que les diviseurs l mentaires valent 1 implique qu il existe une Z base e1 e15 de E P et une Z base f1 fig de A telles que 8 ei fi V1 lt i lt 14 et B e15 0 voir aussi le th or me
40. 2 et choisissons un ordre Ri 1 lt lt Rt qn a Sur les sous groupes de Q satisfaisant la condition suivante Soient Ri Rj Q et d e les plus petits entiers entre 1 et t tels que Ra lt p Ri et Re lt p Rj Si Ra lt Re alors Ri lt Rj En d autres termes les plus petits sous groupes ab liens l mentaires de rang 2 de Q sont tous les sous groupes de Q qui contiennent R1 or donn s arbitrairement Ensuite on consid re les sous groupes de Q2 qui contiennent R2 mais pas Rj et ainsi de suite on compl te pas pas la liste ordonn e des sous groupes de Q en rajoutant les sous groupes de Q2 qui contiennent R mais aucun des Rj V2 lt j lt i lt t 4 On continue ainsi Soit 3 lt j lt n et notons a Sa qn On choisit un ordre Ro 41 lt lt Raj qn Sur les sous groupes de Qj satisfaisant la condition suivante Soient R R Qj et d e les plus petits entiers entre 1 et t tels que Ra lt p Ri et Re lt p R Si Rg lt Re alors R lt Rj Autrement dit on proc de exactement comme dans le cas o j 2 en compl tant la liste ordonn e des sous groupes de Q en rajoutant pas pas les sous groupes ab liens l mentaires de rang j de Q qui contiennent Rj puis ceux qui contiennent R mais aucun des R Vi lt l lt ict Finalement on a un ordre total Rj lt lt Rq sur Q qui prolonge l ordre partiel lt p induit par l inclusion des sous groupes conjugaison pr s De plus en posant O
41. 20 T P Mais Q F3 995 F3 n est pas endo trivial En effet il est de dimension 22 1 64 1 mod 27 On a donc un exemple d un module non endo trivial appartenant la classe d un module endo trivial Syzygies relatifs Par le corollaire 3 2 6 on sait que B Opn H P P U 9 Qp Qavs Qp Qpjags Opa Q pjaz Qpe forme un syst me de g n rateurs de cardinalit minimale du Z module D P Calculons alors dans les images des l ments de B 11000 1 0 01000 2 0 10111 0 1 ap 1 0011 0 0 10101 0 0 10110 0 0 00111 0 0 58 CHAPITRE 3 LES P GROUPES METACYCLIQUES Explicitons le calcul qui nous a donn ap Qp v g 2 Ona Res Qpyv Ox o X RespP V 515 ler v Le g E P V i 0 Par le lemme 1 5 8 on a 2 D Os gt Qy Qy i 0 O lt i lt j lt 2 o Yj E lt u iv gt x E lt uiv gt VO lt i lt j lt 2et Y io E lt u v gt Ainsi pour tous les indices i et j avec 0 lt i lt j lt 2 le E ensemble Y est isomorphe Hs iv gt x HZ gt je TE ys iv gt ee ae XX TE si E par la proposition 2 2 1 de Bo2 commun ment appel e formule de r cipro cit de Frobenius De m me on obtient Y E On en d duit 2 Ox SE Que 3Qn QD De i 0 O 0 pro Res Pour ce dernier calcul on a utilis l galit Q xj x Qx du lemme 1 5 7 Formule de Bouc et changement de base Terminons cet exe
42. 5 Supposons P non cyclique et soit H un sous groupe non cyclique de P 1 Alors H est d termin de mani re unique par H En d autres termes si H et K sont deux sous groupes non cycliques de P avec K H alors K H 2 On a Np H Np amp H Preuve 1 Consid rons N Np f Le quotient N est un p groupe m ta cyclique car c est une section d un p groupe m tacyclique et il est non cyclique car il contient H H qui est ab lien l mentaire de rang 2 car H n est pas cyclique Donc par le lemme 3 1 2 N amp H poss de un unique sous groupe ab lien l mentaire de rang 2 Autrement dit il existe un unique sous groupe de N contenant H et dont le quotient par H est ab lien l mentaire de rang 2 A fortiori H est cet unique sous groupe En effet s il existe un sous groupe K non cyclique de P avec K H alors de H K il s ensuit que K lt N et par unicit cela force K H 2 On a Np H lt Np amp H car H est un sous groupe caract ristique de H D autre part si u Np alors le sous groupe de Frattini de H est H H H On a donc H H par le point pr c dent Ainsi on a u Np H pour tout u N D o Np amp H Np 3 2 Groupe de Dade Soient p un nombre premier impair et P un p groupe m tacyclique Consid rons l homomorphisme de groupes ab liens QE X P QE X P 48 CHAPITRE 3
43. 5 auquel il faut ajouter la famille d tectrice les groupes extrasp ciaux d exposant p si p est impair ou quasi extrasp ciaux sauf Dg si p 2 cf th or me 2 7 CaTh1 En effet l assertion 2 du th or me 1 5 5 est la conjecture 2 6 de CaTh1 et celle ci a t d montr e depuis dans CaTh2 Dans CaTh1 J Carlson et J Th venaz d terminent aussi le groupe de Dade des 2 groupes di draux quaternioniens et semi di draux sur lesquels nous reviendrons plus en d tail dans le chapitre 5 Toujours durant cette prolifique ann e 2000 S Bouc a travaill sur les sy zygies relatifs cf Bol et a obtenu entre autres les r sultats que nous avons d ja mentionn s dans le chapitre pr c dent Il a galement d montr que le sous groupe D3 P Ko P du groupe de Dade engendr par les syzygies relatifs D amp P et le noyau des restrictions d flations aux sections ab liennes l mentaires Ko P est d indice fini dans Do P et l exposant du quotient divise l ordre de P Autrement dit un mul tiple de p pr s et un l ment de Ko P pr s les classes des modules d endo permutation sont des combinaisons lin aires des classes des syzygies relatifs Par ailleurs gr ce aux r sultats obtenus CaTh2 il s av re que Ko P est trivial si p est impair cf assertion 4 du th or me 1 5 5 Finalement il montre que si X est un P ensemble fini alors Qx est un l ment de torsion dans Do P si et s
44. 9 Tij 9 O 3 V9EQ VOSi J lt q En effet on a x1 Yi j w Ti 21 Yi j VO lt i j lt q et on v rifie de m me 9 Yi 5 g Yii Vg x2 m1 yo et VO lt i j lt q Par suite X est un kQ module OR car L est simple et X s tend en un kG module simple X avec k base isomorphe L et sur lequel l action de G est d finie de mani re unique Plus pr cis ment on peut d crire cette action a l aide de l action de G sur L comme suit 9 Yig o gi Vie LetVgeG Ainsi dor navant on identifiera X avec L en utilisant que l on n crira pas pour ne pas surcharger les notations Nous allons imm diatement justifier l introduction de X dans les calculs suivants o nous allons d terminer expli citement l action du sous groupe E sur X L avantage d utiliser X au lieu de L r side dans le fait que l on peut se ramener au cas d un groupe quaternionien pr c demment trait Rappelons que l on veut montrer moyennant l identification entre X et que X est un kE module endo trivial avec k X 15 ou E lt w v gt est l unique sous groupe ab lien l mentaire de P de rang 2 conjugaison pr s Pour ce faire nous allons proc der exactement comme dans le cas quaternionien afin de trouver l action de E sur X Autrement dit 1 On d finit une action de E sur X 2 On v rifie que est compatible avec l action de Q sur X c est dire g Y sx V
45. LES P GROUPES METACYCLIQUES o est l ensemble des sous groupes non triviaux de P et V P un syst me de repr sentants des classes de conjugaison par P des l ments de Notons S l ensemble des sous groupes non cycliques de P C l ensemble des sous groupes cycliques non triviaux de P et S P et C P pour les syst mes de repr sentants des classes de conjugaison par P correspondants Proposition 3 2 1 L application Vp d finie ci dessus est injective Preuve Nous savons que tout Q X P est un p groupe m tacyclique Ainsi on a Q Q Cp si Q est cyclique et Q Q Cp x Cp sinon D o respectivement D Q Q T Q Q Z 2Z si Q est cyclique D Q amp Q T Q R Ze Z 2Z P 1 si Q west pas cyclique REQ Par le th or me 1 5 5 l application Defressx D P D H K est injective H Kely P H Kely P o V P est un syst me de repr sentants des classes de conjugaison des sections de P qui sont des p groupes ab liens l mentaires de rang 1 ou 2 Raisonnons par r currence sur P Supposons P p On a alors S et C P et donc Yp Idp p est injective Supposons maintenant P gt p et Vg injective pour tout groupe Q d ordre strictement plus petit que celui de P Soit a Ker Wp Par le th or me 1 5 5 il suffit de prouver que Defres gla 0 pour toute section H K ab lienne l mentaire de rang 1 ou 2 On distingue deux cas P N H 1 Si H
46. Q lt P Par la remarque ci dessus on a Q NQ CRA Ne Q 0 4 gt Q lt ne R En particulier il s ensuit que Defres N 0 Q Nse r 0 i QPR Si Q lt p R alors X Pyv oy Ne 9F et ugn est Punique l ment g P Np Q tel que Q lt R par le corollaire 4 1 5 Par suite X Np Q 9R Np Q R gE P Ne Q ce qui d montre le lemme Nous allons pr sent tudier le groupe de Dade de P avec n gt 1 en consid rant le sous groupe E P de D P d fini comme suit D finition 4 1 10 Soient n un entier avec n gt 1 et P Pa On note E P le sous groupe Ker Defp z de D P et on pose E P E P N D P Le lemme 10 2 de CaTh1 d compose D G comme la somme directe de E G et de D G Z G pour un 2 groupe G di dral quaternionien ou semi di dral En fait ce r sultat est aussi valable dans notre situation Proposition 4 1 11 Soient n un entier avec n gt 1 et P P On a une suite exacte courte scind e de groupes ab liens Defp z 0 E P gt D P D P Z 0 o i est l inclusion et la section est Vhomomorphisme Inf pz Autrement dit on a un isomorphisme de groupes ab liens p D P D P Z E P Leo Defp z z Infp z Defp z x Preuve Par d finition de E P la suite est exacte en D P De plus par le lemme 1 5 4 la d flation est surjective et l inflation est une section de la d flation Donc la suite est exacte et scind e et
47. R Vn E Z 2 On note Defresoys la compos e Def s o Reso 3 On note Teninf js la compos e Teng olnf Js 4 On note D P le sous groupe de torsion de Dr P Th or me 1 5 5 Soient p un nombre premier et P un p groupe fini 1 Le sous groupe T P de Dk P coincide avec le sous groupe N Ker Defresyy q Q 1 lt Q lt P Par suite si M est un kP module d endo permutation couvert ind com posable alors M est endo trivial si et seulement si Defres y 0 0 M 0 dans Dy Np Q Q pour tout sous groupe non trivial Q de P 30 CHAPITRE 1 NOTIONS DE BASE Si P n est pas cyclique et d signe l ensemble des sous groupes de P qui sont des p groupes ab liens l mentaires de rang 2 ou aussi quaternioniens d ordre 8 si p 2 alors l application IL Rese P I est injective Sin est le nombre de classes de conjugaison de sous groupes ab liens l mentaires maximausz de rang 2 de P alors la dimension du Q espace vec toriel Q 8z T P vaut a 0 si P est cyclique b n si P west pas cyclique et si P ne contient aucun sous groupe ab lien l mentaire de rang 3 c n 1 sinon Soit Y l ensemble des sections de P qui sont des p groupes ab liens l mentaires de rang 1 ou 2 ou aussi cycliques d ordre ou quaternioniens d ordre 8 si p 2 L application II Defreso r Di P II Dx Q R est injective Q RE Y P Q RE Y P Soit S P un syst me de re
48. Tij Ti jti Consid rons les kQ modules simples L de dimension q construits selon la m thode employ e pour le cas d un 2 groupe quaternionien d ordre Pl avec q IF 1 mod P et partir de la m me racine q i me de l unit w que pour L pour 1 et 2 Formons le produit tensoriel X L Q L sur k et munissons ce k espace vectoriel de dimension q d une structure de kQ module comme suit Tout l ment de Q peut s crire gig2 avec gi Q et par d finition du produit central g192 h1h2 si et seulement s il existe un l ment central z Q tel que g h12 et go hgz Posons alors gg ib g hgh Vu EQi et VEL i 1 2 Cette d finition ne d pend pas de l criture gig En effet g1g2 h1h2 si et seulement s il existe un entier a tel que g h12 et g2 hoz On a alors g192 h lg 2 h Q hoz lg ww hi l Q ho l2 hiho l 8 le 110 CHAPITRE 5 SOURCES DE MODULES SIMPLES L galit suivante montre que X est un kQ module de dimension q 9192 hiho li la giga haha li l2 Va hi Qi Yli Li i 1 2 L ensemble Yj 0 lt i j lt q de X o Y j yj 1 y3 1 pour tous 0 lt i j lt q est une k base de X Posons 6 X L l isomorphisme de k espaces vectoriels d fini sur les bases 4 et L de X et de L respectivement par Yii Tij VO lt i j lt q En fait est un isomorphisme de kQ modules car b 9 Vis
49. a 1 possibilit pour x et 220 1 1 qn 1 1 possibilit s pour y En effet par d finition on a Z Z Ph 1 et Pn 1 2 est un F2 espace vectoriel de dimension 2 n 1 Par cons quent P _1 Z poss de 22 1 1 sous groupes cycliques avec chaque fois deux relev s conjugu s dont gn 1 1 se rel vent dans P _1 en sous groupes d ordre 2 par la remarque pr c dente D o en tout Gn 1 Qn 1 1 2 Gn 1 1 1 1 2 1 qu 11 2qn_1 1 220 0 41 e ae on 2 1 g2n 2 1 22n 14 gn 1 1 Poursuivons notre analyse du groupe de Dade et montrons que le sous groupe de torsion D P de D P est trivial en utilisant le r sultat suivant de la sec tion 12 de CaTh2 Th or me 4 2 3 Soit G un 2 groupe fini et notons Y un syst me de repr sen tants des classes de conjugaison des sous groupes H de G tels que le quo tient Na H H est un groupe cyclique d ordre au moins 4 ou quaternionien ou semidi dral Pour tout H Y notons pnoy D NG H H T Ne H H la projection canonique Alors l application II PNo H H o Defresk H D G pe II T Nc A H Hey Hey est injective Rappelons que si N est un 2 groupe cyclique d ordre 2 avec n gt 2 alors le th or me 2 0 13 implique D N 1 lt m lt a n I N M S Z 2Z 2 Si N est quaternionien ou semidi dral alors on a D N T N D N Z N par le lemme 10 2 de CaTh1 et T N est isomorphe
50. c dent D P s injecte dans Icer T C C par le produit des d flations restrictions c est dire par la restriction de ap D P Par hypoth se x Ker ap et donc x 0 Il s ensuit que ap est injective Il nous reste amp prouver que cette injection est un isomorphisme Pour y par venir nous allons exhiber un sous ensemble de D P qui est envoy par ap sur le syst me de g n rateurs E Qo a Q 4 P du groupe ab lien d arriv e En fait est la r union d une base du Z module libre 9 s p T Q Q et d une base du F2 espace vectoriel geje p T Q Q On fait de E une base ordonn e du groupe ab lien d arriv e pour l ordre sur 4 P d fini comme suit Consid rons s par ment les repr sentants des classes de conjugaison des sous groupes cycliques non triviaux et celles des sous groupes non cycliques respectivement C P et S P On a S f si et seulement si P est cyclique et C 0 VP I Sur chacun de ces ensembles il existe un ordre naturel induit par l inclu sion lt p que nous pouvons prolonger en un ordre total lt sur C P respecti vement sur S P Soient maintenant H et K deux l ments de 4 P Nous posons H lt K si exactement une des conditions suivantes est r alis e 1 H C P et K S P 2 H K C P et H lt K selon l ordre total sur C P 3 H K S P et H lt K selon l ordre total sur S P 52 CH
51. dans Roso Q X P L image sur chaque T Q Q pour Q S P est nulle puisque ceux ci sont des groupes sans torsion D autre part par le th or me 1 5 5 nous savons que Defres 0 Teninf amp o Rosso 6 c Qe ac o 6 est le symbole de Kronecker Autrement dit ap Teninf c Qosco c xxe xejx Py VC C P Passons maintenant aux l ments qui ne sont pas de torsion et supposons donc P non cyclique sinon S et prouvons que pour tous H K S P avec H lt Kona Defresk a K Qpem H KN njam La condition H lt K implique que K S par d finition de l ordre On veut exprimer Defresk e K rs Defit sax Rosk reun comme combinaison lin aire des Q9 g pour Q parcourant X P Rappelons d abord les deux cons quences du lemme 1 5 9 suivantes 3 2 GROUPE DE DADE 53 1 Si X est un P ensemble K et N des sous groupes de P avec N lt K on a Resk Qx Q D K o Z Resk X et 2 Def K N Qx Qy D K N o Y X est l ensemble des points fixes de X sous l action de N Rappelons galement que pour tout sous groupe K de P on a un isomorphisme de P ensembles Indi P K o x d signe un singleton i e un ensemble constitu d un point Consid rons alors X P H Inds n comme P ensemble On doit calculer sa restriction K puis d terminer les points fixes de X sous l action de i En appliquant la formule de Mackey on obti
52. de Bo3 on a L tp L Ainsi si on applique le lemme 9 9 et la remarque 9 10 de Bo3 on obtient le m me r sultat que nous avons prouv 5 6 PRODUIT TENSORIEL 117 dans cette section c est dire que L est un kG module simple de source iso morphe au chapeau de Ten L Remarquons que cette preuve ne n cessite aucun choix de repr sentants des classes et qu elle est bien plus l gante que celle que nous avons donn e Toutefois comme elle utilise un formalisme que nous n avons pas d fini pr c demment nous avons pr f r donner une preuve directe du r sultat 5 6 Produit tensoriel Soit C une famille finie d indices Supposons qu tout indice C C on associe un kP module d endo permutation ind composable Mc de vortex P tel qu on sait construire explicitement un groupe fini p nilpotent Gc Qc x P avec Qc d ordre premier p et un kGc module simple Lo de source MG On va d montrer le r sultat suivant Th or me 5 6 1 Si Lo es est un kQc module simple pour tout C C alors on peut expliciter un groupe fini p nilpotent G et un kG module simple L de vortex P et de source isomorphe au chapeau de cec Mc Preuve Posons G coee Qc x P pour l action diagonale de P sur eec Qo ie ho cec he cec Vu P V ho cec J Qc CEC Cette action est bien d finie En effet on a MV ro cee he cee he cee Y ho cee pour tous u u P et pour t
53. de D P Le fait que D P est engendr par les syzygies relatifs implique imm diate ment le corollaire suivant Corollaire 4 2 22 L homomorphisme q Do P D P induit par le passage au quotient modulo l id al maximal p de O cf section 1 4 est surjectif Autrement dit tout kP module d endo permutation couvert se rel ve en un OP module d endo permutation couvert et donc la r duction modulo l id al p induit un isomorphisme Do P D P De plus si R Qn alors l ensemble suivant est une Z base de DEP 2 s O S V RH U 97 0O Z lt S lt P P S 24 Nous avons ainsi atteint le but que nous nous tions fix s savoir d terminer le groupe de Dade d un 2 groupe extrasp cial du type Dg n gt 2 Comme nous l avons d j mentionn ce pas ne constitue qu un minuscule saut de puce sur la route menant la classification des modules d endo permutation 88 CHAPITRE 4 GROUPES EXTRASPECIAUX Remarquons tout de m me qu il nous a permis d exhiber certains outils qui se sont r v l s fort utiles pour l analyse de la structure du groupe de Dade et que ces outils peuvent probablement se g n raliser d autres familles de p groupes finis De plus comme dans le cas d un p groupe m tacyclique on constate qu au cun module d endo permutation exotique n est apparu et que tous les kP modules d endo permutation couverts son
54. de P respectivement T P le groupe des modules endo triviaux et nous noterons ces groupes D P respectivement T P On notera aussi D P au lieu de D P C est en effet sur les classes d quivalence des k P modules d endo permutation couverts que nous avons choi si de concentrer nos efforts Les deux raisons principales qui ont motiv cette d cision sont en premier lieu la n cessit d utiliser la d flation comme outil d analyse du groupe de Dade ce qui implique qu il nous faut travailler sur k au lieu de D ailleurs il va se r v ler plus ais de travailler sur k puis de relever les modules sur O que d essayer de d terminer directement Do P 1 5 SYZYGIES MORPHISMES ET COMPOSITIONS 35 En second lieu nous avons fait le choix de consid rer des modules au lieu d alg bres pour satisfaire une question de go t personnel Soulignons pour ter miner que ce choix ne nous a pas p nalis dans notre tude du groupe de Dade comme nous allons le constater par la suite 36 CHAPITRE 1 NOTIONS DE BASE Chapitre 2 1978 2002 L Odyss e du groupe de Dade Ce chapitre ne pr tend pas tre un expos exhaustif de tous les r sultats concernant le groupe de Dade d un p groupe fini depuis ses premiers balbutie ments Toutefois nous avons voulu retracer son histoire dans les grandes lignes pour justifier l int r t que nous lui avons port Commen ons avec la premi re apparition du terme endo
55. de V tel que gew E W VgeGetVweW On dit que p est irr ductible si p ne poss de pas de sous repr sentation propre non triviale c est dire si V n est pas nul et ne poss de pas de sous module propre non nul On dit alors que V est un RG module simple On dit qu une repr sentation p de G est ind composable si V est un RG module ind composable c est dire si V west pas nul et ne peut s exprimer comme la somme directe de deux RG sous modules propres En particulier une repr sentation irr ductible est ind composable Rappelons qu une somme M N de deux modules est directe et on note alors M N si tout l ment x de M N s crit de mani re unique sous la formex m n avecme M etneN D finition et proposition 1 1 2 Soient K un corps et G un groupe fini 2 On dit que K est suffisamment gros pour G si K poss de une racine n i me de l unit o n est l exposant de G On dit que KG est semi simple si toute repr sentation se d compose comme somme directe de repr sentations irr ductibles C est le cas si et seulement si la caract ristique de K ne divise pas l ordre de G Si de plus K est suffisamment gros pour G alors le nombre de repr sentations irr ductibles est gal au nombre de classes de conjugaison des l ments de G et donc on a un nombre fini de classes d isomorphisme de KG modules simples C est le cas en particulier si K C et on parle alors de repr sentations ordinair
56. de taille q x F ayant un unique terme non nul par ligne sauf la r i me qui est nulle et au plus un terme non nul par colonne celui ci valant 1 En particulier les q 1 diviseurs l mentaires non nuls de C valent 1 Comme C a t obtenue partir de B par des op rations 4 2 UN CAS PARTICULIER 87 l mentaires sur les lignes et sur les colonnes les diviseurs l mentaires de B sont gaux ceux de C Ainsi on a atteint notre but car on a montr que les q 1 diviseurs l mentaires non nuls de l application 8 valent 1 Par cons quent Im 3 est un facteur direct de _ E N de rang q 1 En effet par le m me raisonnement que pour la preuve de la proposition 4 2 13 cela implique que l on peut trouver des bases e1 eg de E P et fi fs de EW i 1 avec 5 t qi ei fi V1 lt i lt a 1 et Fey 0 Ainsi comme est aussi de rang q 1 et comme Im f C Im on a n cessairement l galit Im 6 Im B Le m me raisonnement que dans le corollaire 4 2 14 c est dire dans le cas o n 2 nous permet alors de conclure ESP E P et D P DP De plus la relation donn e par la proposition 4 2 18 nous permet d crire n 1 r c 5 gt pour un RE Qn j 0 SEQn SAR par exemple R min Q Par cons quent l ensemble E E Qp 2 est une Z base de E P et donc a fortiori l ensemble EU Qp5 Z lt S lt P P S gt 4 est une Z base
57. et la formule de Mackey cf proposition 3 3 3 et th or me 3 3 4 du premier volume de Be on a pour tous sous groupes H et K de P hie Okie hl O EES DO bles TR gE H P K D o dans a P k P K k P H N k P K nH 6 7 9 H P K 6 3 EXEMPLE 133 Si H K 1 alors on a k P K k P H P kP par la relation 6 7 Comme P est pair l assertion est v rifi e Si H gt 1 et H K alors H contient le centre Z P d ordre 2 car c est Tunique sous groupe de P d ordre 2 cf chapitre 5 Par suite 91M H contient toujours Z P pour tout g P et donc Z P agit trivialement sur ce module Il s ensuit par la relation 6 7 que k P H k P H n a aucun facteur direct libre de rang 1 Comme 0 est pair l assertion est v rifi e Finalement par distributivit dans a P on a k P H k P K k P H kP K 2 X k P KNH ni O_o u ay EC III Par les deux cas pr c dents I et IZ ont un nombre pair de facteurs directs libres de rang 1 Et il est clair que JIT a n cessairement un nombre pair de facteurs directs libres de rang 1 D o l assertion R sumons nous D une part on a x k es 1 kP dans a P par la relation 6 6 Comme 8 divise P le nombre PI 1 de facteurs directs libres de rang 1 de x est impair D autre part la relation 6 5 et l assertion ci dessus impliquent que x poss de un nombre pair de facteurs directs libres de rang 1 D ot une c
58. famille d tectrice d ter min e par J Carlson et J Th venaz dans leur article CaTh1 D sormais ils n en font plus partie cf CaTh2 N anmoins d terminer la structure du groupe de Dade de ces groupes constitue une tape successive naturelle quant a la classification des modules d endo permutation En effet les p groupes ex trasp ciaux sont proches des p groupes ab liens dans le sens que le quotient d un p groupe extrasp cial par son centre cyclique d ordre p est un p groupe ab lien et m me ab lien l mentaire Or rappelons le la classification est connue pour les p groupes ab liens depuis plus de vingt ans et le but du jeu consiste a r soudre la question pour un p groupe fini arbitraire Une fa on de parvenir a obtenir des r sultats est de compliquer petit petit les groupes consid r s C est ce que nous avons fait dans le chapitre pr c dent en traitant le cas des p groupes m tacycliques Dans ce chapitre nous allons donner quelques pro pri t s des groupes de Dade des p groupes extrasp ciaux et nous allons ensuite traiter en d tail le cas d un 2 groupe extrasp cial du type D pour n gt 2 4 1 G n ralit s sur les p groupes extrasp ciaux Notation Soit G un groupe On note Z G son centre G son sous groupe de Frattini et G son sous groupe des commutateurs D finition 4 1 1 Soient p un nombre premier et P un p groupe fini On dit que P est un p groupe extrasp c
59. lt P on a Resz a Ker Y y o Vy Heeros Defresg Q et o Xo est l ensemble des sous groupes non triviaux de Q En effet par transitivit de la restriction on a Defres amp 0 Defres 0 oResh VQ lt H lt P De plus si Q et IQ sont deux sous groupes de H conjugu s dans P alors ona Defres ig ja sQ conj g oDefres6 jg o conj g est la conjugaison par g Par suite Ker Defres 0 2Q Ker Defreso 5 0 Donc Res a 0 car par hypoth se de r currence Uy est injective Ainsi pour toute section ab lienne l mentaire H K de P de rang 1 ou 2 avec H lt P ona Defresp x a 0 2 Si H P alors on a deux sous cas traiter a Si K est un sous groupe normal d indice p dans P tel que le quotient est ab lien l mentaire de rang 2 alors K P puisque P P est unique quotient ab lien l mentaire de rang 2 de P Donc par hypoth se a Ker Defp amp p 3 2 GROUPE DE DADE 49 b Si K est un sous groupe normal d indice p dans P alors K est maxi mal dans P Donc P K est une section de P P car K contient P comme sous groupe a fortiori normal D ot par transitivit de la d flation et par hypoth se on a P P P P Def py a Def phi Def pyacr a Def pik 0 0 Les deux lemmes suivants vont nous permettre d am liorer ce r sultat d in jectivit Lemme 3 2 2 Soient p un nombre premier impair et P un p groupe m tacycli
60. lt m lt n Posons Z LL X et consid rons les m mes notations que dans la donn e Par le cas n 2 et associativit de la r union disjointe on a Qy Q Qx Qezxxny 32 CHAPITRE 1 NOTIONS DE BASE Or les P ensembles Z x Xn et Xi x Xn sont isomorphes cf sections 2 et 3 de Bo2 et par hypoth se de r currence on a n 1 Q DT D Faune s 1 1 lt i1 lt lt igsn 1 n 1 Qizxxn S 5 Qz ps oh s 1 1 lt i lt r lt i lt n 1 O Zi II Xi x Xn 1 lt j lt s Comme on a IEZ X x XA 4 0 gt EX 40 VQ lt Pet Y1 lt r lt n le lemme 1 5 7 implique l galit jra 1 lt j lt s Finalement on obtient n 1 M S CD SS 2 s 1 1 lt i1 lt lt is lt n n 1 HO DDC SE Qu exes s 1 Tiersen n 1l n 1 D Oy FM ADD D May ds s 1 1 lt i lt lt ig lt n s 1 L Zien CT oe i Zii X Xn En particulier la parit de s n est pas la parit j D o l galit cherch e Aaah Le lemme suivant d crit le comportement des classes d quivalence des syzy gies relatifs lorsqu on leur applique un des morphismes d finis pr c demment Lemme 1 5 9 Soient p Q P un homomorphisme de groupes et X un P ensemble fini Notons Resp Qx la classe de Res Q k et consid rons la convention Qa 0 dans Dr Q La restriction par p induit une structure de Q ensemble Res X sur X 1 On a Resp Qx Ores x dans Dr Q En particulier on a Reso Np No dans Dr Q 2 Sup
61. par la proposition 7 1 de Ri il nous suffit donc de montrer pour R k qu aucun de ces kP modules exceptionnels ne peut avoir une r solution de permutation endo scind e Le cas P Qs a t prouv par J Rickard et il en a fait part J Th venaz lors d un entretien priv au congr s d Oberwolfach en avril 1996 En fait sa preuve se g n ralise comme suit P Qan pour n gt 3 Soit M un kP module de dimension I I 1 et supposons que M poss de une r solution de permutation endo scind e C o Cn 2 a ees O A 2e 0 o m et n sont deux entiers positifs Comme les C sont des kP modules de permutation on a C C Par suite on peut identifier C au complexe ham OF m k an C 0 c n Cr is O a Oh 0 ou C C_i V m lt a lt n Soit Y C amp C et notons d la diff rentielle de ce complexe On a Y MD Gech PB Gec_ V m n lt i lt mtn i j l i j l Consid rons dans a P l l ment r DD 1 X CG C_ m n lt l lt m n i j l 132 CHAPITRE 6 EQUIVALENCES SPLENDIDES E Haec Cy cec m lt i j lt n m lt i j lt n par commutativit de l addition dans a P Dans Z 2Z za P c est dire en consid rant les coefficients modulo 2 dans l anneau de Green on obtient T 5 C 8 Ci 5 2 1 3 C Cj 5 C 6 5 m lt i lt n m lt i lt j lt n m lt i lt n En effet on a C18 Cj Cj C pour tous i et j et do
62. particulier de conna tre l ordre de leur classe d quivalence dans D P et nous permettent de d terminer un ensemble de modules dont les classes engendrent tout T P En effet isomorphisme pr s on a les deux modules endo triviaux ind composables Qt k et son dual Q k de dimension P 1 et d ordre 4 le module Q2 k auto dual de dimension P 1 et d ordre 2 deux modules de dimension Play et d ordre 2 un kP module endo trivial ind composable exceptionnel V et son dual les deux modules N V et son dual de dimension Pl 1 et d ordre 4 et bien entendu le module trivial de dimension 1 En comparant S aux modules de cette liste on tire les conclusions suivantes Pour q P 1 mod 2 P ona dim S P 1 Donc S est isomorphe soit Q1 k soit Q3 k et S est d ordre 4 dans D P Pour q IPI 1 mod P onadimS II 1 Donc S est isomorphe soit V soit son dual et S est d ordre 2 dans D P Remarque 5 3 10 On retiendra en particulier que les classes des deux mo dules r alis s engendrent tout T P cf section 6 de CaTh1 5 3 CONSTRUCTION DE MODULES SIMPLES 109 5 3 3 Cas d un groupe semidi dral K n 1 n 2 Soit P lt u v u v 1 u u d ordre 2 et notons w u le g n rateur du centre Z de P R lt u uv gt le sous groupe quaternionien d indice 2 dans P et E lt v w gt l unique sous g
63. permutation pour un p sous groupe de Sylow P de G 2 Soit C soso a nat un complere de RG modules Le dual de C 0 est le complexe C 0 o C n C_n Homr C n R cf chapitre 1 et O n po O_n4gi E C n 1 Vp E C n et Vn Z 3 Soient C 0 et D 0 deux complexes de RG modules On d finit le produit tensoriel C D d comme le complexe avec C D n Cy Dy et dn C 8 D n C 8 D n 1 tel que p q n dn x 8 y x 8 y 1 x y Vz y E Cp Q Do pour tous entiers p et q avecp q n et ce pour tout entier n n n r Os p 4 Soit C 0 Cais t On 0 8 Rue s un complexe born de RG modules On dit que c est une r solution de permutation endo scind e de M si les conditions suivantes sont v rifi es a Cn est un RG module de p permutation pour tout entier n J M sin 0 DOTE 0 sinon c Le complexe C C est scind Avant de poursuivre d montrons un r sultat bien connu en alg bre homo logique Lemme 6 2 2 Soit C 0 un complexe de RG modules born et scind Alors on a Preuve Soit s une section de C 0 et soient n et m les entiers tels que On On 1 Om 2 Om 1 C 0 0 Cn gt Chn 1 wee Cm 1 Cm 0 Pour tout indice avec n gt i gt m on a une suite exacte courte scind e S 0 gt Ker d 2C 24 Im o 6 2 RESOLUTIONS DE PERMUTATION ENDO SCINDEES 127 o g est l inclusion
64. permutation dans la litt rature Elle remonte 1978 lorsque E Dade motiv par l tude des extensions de modules simples pour des groupes finis p nilpotents a introduit le concept de module d endo permutation dans le domaine des repr sentations modulaires des groupes finis cf Da2 D embl e il est parvenu la classifica tion des modules d endo permutation couverts quivalence pr s dans le cas d un p groupe fini ab lien Voici dans les m mes notations qu au chapitre 1 ce qu il a d montr Th or me 2 0 13 Soit P un p groupe ab lien fini 1 Tr P est engendr par Qp Donc Tr P est trivial si P 2 cyclique d ordre 2 si P est cyclique d ordre gt 3 et cyclique infini sinon 2 DrR P est isomorphe la somme directe des groupes Tr P Q o Q parcourt l ensemble des sous groupes propres de P La premi re assertion est le th or me 10 1 de Da2 La seconde est le th or me 12 5 de ce m me article o E Dade prouve que si P est ab lien alors tout RP module d endo permutation couvert ind composable est le cha peau d un produit tensoriel M de modules d endo permutation couverts obtenus par inflation depuis des quotients de P et si R O d un unique OP module de rang 1 De plus il montre que la multiplicit du chapeau dans M vaut 1 A cette poque E Dade n tait pas le seul s int resser ces modules En effet pratiquement en m me temps et de mani re totalemen
65. que quaternionien P poss de un unique sous groupe cyclique d ordre p Soit w un g n rateur de celui ci Alors on peut choisir une section o P x P de la suite exacte courte 5 2 telle que w se rel ve en un automorphisme de Q d ordre p qui n a pas de point fire sur Q Q En d autres termes sig Q alors w et g commutent si et seulement sigE Q Preuve Supposons P cyclique et notons P lt u uP 1 gt Comme o est injectif o u Auto Q est d ordre P Ainsi o w o u est d ordre p Si o w poss de un point fixe sur Q Q alors 7 a w SL2 F poss de un vecteur propre pour la valeur propre 1 Donc m a w est semblable une l a 0 1 d terminant vaut 1 et 1 est une valeur propre Mais alors on a p a 0 car A Id et donc a 0 car p F D o A Id Ceci contredit le fait que A est d ordre p On en d duit que m a w n a pas de vecteur propre dans Q Q pour la valeur propre 1 i e o w n a pas de point fixe sur Q Q Supposons p 2 et P quaternionien Alors on a m o w Id i e lunique l ment d ordre 2 de SL2 F pour q impair et donc 1 n est pas une valeur propre de 7 a w Par cons quent o w n a pas de point fixe sur Q Q matrice A d ordre p de la forme A pour un a Fy puisque le Lemme 5 2 2 Le normalisateur N NG P de P dans G est Q x P Preuve Comme G est p nilpotent on a N CQ P x P Or Ca P Q En effe
66. si Q lt p R alors 4 1 GENERALITES SUR LES P GROUPES EXTRASPECIAUX 65 il existe un unique u P Np Q tel que Q lt R car g7 g P Np Q est aussi un syst me de repr sentants des classes P Np Q car Np Q lt P La seconde affirmation du lemme prouve en particulier le fait suivant et nous incite a introduire une notation suppl mentaire Remarque 4 1 6 Soient Q R Q avec Q lt p R et P Np Q un syst me de repr sentants des classes P Np Q Alors l ensemble u P Q lt R est gal exactement une des classes de P Np Q Ce fait nous permet de d finir la notation uo r pour Vunique l ment uo n P Np Q tel que Q lt FR Remarque 4 1 7 Soit P P et appliquons les r sultats des sections IT 9 et I1 13 de Hul notre situation Le groupe quotient P Z est un F espace symplectique non d g n r si p est impair respectivement orthogonal non d g n r si p 2 L image des l ments de Q par le passage au quotient m P P Z correspond l ensemble des sous espaces totalement isotropes de P Z si p est impair i e L ag m Q E r Q respectivement totalement singuliers si p 2 i e x 1 Vx Q En particu lier il r sulte que l image du normalisateur Np Q d un l ment Q Q est Vor thogonal de r Q car Np Q Cp Q Par suite pour tout sous groupe Q Q on a l galit Q Np Q P car Z lt Np Q et la for
67. un kQ module simple Dans ce paragraphe nous allons r aliser l unique facteur direct ind composable de vortex P de Teng M comme source d un module simple pour un groupe fini p nilpotent ayant P comme p sous groupe de Sylow 5 5 INDUCTION TENSORIELLE 115 Soit P C v0 Ur un syst me de repr sentants des classes gauche de P C avec r P C 1 Sans limiter la g n ralit on peut supposer vo 1 Pour tout 0 lt i lt r on d finit formellement un groupe Q g g Q o la loi de composition est donn e par gh i gh Vg h Q Posons H TE vQ On peut faire agir P sur H de la mani re suivante Soient h 7_ H et u P Comme la multiplication gauche par u agit par permutation sur P C il existe une unique permutation oy S 1 o Sp 1 agit sur l ensemble 0 r et il existe des l ments uniques c u i EC 0 lt i lt r tels que uv v i c u i On pose alors Sass a ho c u o Dhora Ona th h Yh H car lv v VO lt i lt r De m me on a l galit uu h wh Yh H Vu w P En effet par associativit dans P on a uu u u u v VO lt i lt r et donc Cunt OuOu et c uu i c u ow i e u i VO lt i lt r l vi r ul vifc u o _ CORDES CT On i 0 vy clues Oeu AI oz Z i hazon i 0 i C uuo 4 uuy vi r z il e 469 X hi 0 i 0 A l aide de cette action on constru
68. utiles obtenus par J Rickard cf Ri Propri t s Soit P un p groupe fini 1 Soit M un kP module d endo permutation ayant une r solution de per mutation endo scind e Alors M se rel ve en un OP module ayant une r solution de permutation endo scind e proposition 7 1 2 SiQ lt P et M est un R P Q module d endo permutation ayant une r so lution de permutation endo scind e alors le RP module Inf jo M a aussi une r solution de permutation endo scind e lemme 7 3 3 Si M et N sont deux RP modules d endo permutation ayant une r solu tion de permutation endo scind e C et respectivement D alors C amp D est une r solution de permutation endo scind e du RP module M amp N lemme 7 4 128 CHAPITRE 6 EQUIVALENCES SPLENDIDES Si M et N sont deux RP modules d endo permutation tels que M amp Na une r solution de permutation endo scind e alors M et N ont aussi une r solution de permutation endo scind e lemme 7 5 Soit M un kP module d endo permutation ayant une r solution de per mutation endo scind e Alors tout module qui est isomorphe une somme directe de modules de la forme Ind Res M pour des sous groupes Q de P a aussi une r solution de permutation endo scind e lemme 7 6 De ces quatre derni res assertions J Rickard d duit la proposition 7 2 suivante Si P est ab lien alors tout module d endo permutation a une r solution de permutation endo scind e SiC
69. v rifie que est compatible avec l action de Q sur L c est dire wx g E g w VEEL et YgJEQ Ainsi en d finissant gw g w VE Let Yg Q on obtient une action not e x du groupe Q x Z sur L Par unicit de l extension de l action d finissant la structure de k Q x Z module sur L cf lemme 5 3 4 l action que nous avons not e est cette unique action not e de Q x Z sur L Commen ons les calculs Comme ceux ci sont identiques pour les deux con gruences de q nous n avons pas besoin de distinguer les deux cas Par construction de G cf paragraphe 5 2 il existe deux entiers positifs a et b avec 0 lt a b lt q et tels que x x 24 et Yy yz De plus par construction de L on sait que yf 1 0 lt lt q est une k base de L Pour le point 1 posons wey 1 ge De ge amp 1 VO lt i lt g o l est l unique entier entre 0 et q 1 tel que 2l a mod q Ona uw xy l iy HD y ia 1 a ao ae OR Tiare gta bi 1 et donc w yf 1 y 1 VO lt i lt q par choix de l V rifions le point 2 Wy w x yt amp 1 r7tz w yt Q 1 gU Db a 1 Ge 1 Z wC Dorey i a Q x 1 ita 1 a hak ea 1 D autre part w x yt 1 wxy Q ez 1 wtw x y 1 Ww bi ia g 108 CHAPITRE 5 SOURCES DE MODULES SIMPLES UW Ainsi x w yf Q1 w x x yf 1 De m me on a wy w x y Q 1 ytz Gg Dee Q 1 ge
70. y est un isomorphisme 4 2 UN CAS PARTICULIER 67 Remarque 4 1 12 Le groupe T P des modules endo triviaux est un sous groupe de E P En effet par l assertion 1 du th or me 1 5 5 on a DE N Ker Derek coya lt Ker Defpyz E P 1 lt Q lt P 4 2 Un cas particulier Soient p 2 n gt 1 et posons P P Dans cette section nous allons d terminer D P et Do P Notation Pour tous entiers m et avec 1 lt i lt m posons qm i Q i Pm Notons qm ou simplement q la cardinalit de Q P Posons Z lt z gt et remarquons le fait suivant Remarque 4 2 1 Le nombre de sous groupes ab liens l mentaires de rang 2 contenant Z est gal dn1 Preuve Soient u v P avec u d ordre 2 et u z Alors wu u ou bien u uz Par suite tout sous groupe lt u gt Q Q poss de un unique conjugu a savoir lt uz gt et tous deux sont identifi s a lt u gt dans le quo tient P Z Or lt u gt se rel ve en lt u z gt lorsqu on consid re la bijection entre les sous groupes de P Z et ceux de P contenant Z Ainsi on a une bijection entre les classes de conjugaison des sous groupes cycliques d ordre 2 non cen traux i e les l ments de Q et les sous groupes ab liens l mentaires de rang 2 contenant Z Continuons avec un petit exercice de comptage Lemme 4 2 2 On a dni 2 1 2 71 1 27 1427 11 Preuve Prouvons le r sultat par r
71. 2 9 Q 9 Ainsi on obtient Ress X reo Qpyr 4 2 Qs 2 Ns comme souhait Introduisons quelques notations D finition 4 2 17 Soient n gt 2 et E Qo P 1 On pose Q Pa Q Pa U Qo o Qo 1 et 1 d signe le groupe trivial 2 On pose Ig i Pa R E Qn_i Pn ROE 1 Yg EP 3 On pose co 1 c 0 et on d finit r cursivement n 1 Cn X ci Meal Pa i 0 4 On pose we Yee gt GE feds i 0 REQn i Pn Remarquons que la valeur des cn est ind pendante du choix de E Q2 P De plus de la preuve de la proposition 4 2 16 on tire c2 2 En effet pour un E Qo P2 fix on a vu qu il existe exactement deux sous groupes dans Qo P avec IRN E 1 Vg P et donc C2 Co e o P2 2 Utilisons ces notations pour montrer la proposition suivante 78 CHAPITRE 4 GROUPES EXTRASPECIAUX Proposition 4 2 18 Soit n gt 2 et posons P P Alors on awn 0 De plus si REQ P aR p r 0 pour des entiers ar non tous nuls alors il existe un entier non nul b tel que ar b c VRE Qn i P et VO lt i lt n Preuve Prouvons la proposition par r currence sur n Si n 2 alors par la proposition 4 2 13 on sait que E P est un Z module libre de rang 14 engendr par l ensemble de cardinal 15 C est a dire qu il y a exactement une combinaison Z lin aire nulle non triviale liant les l ments de multiple entier pr s Par ailleurs la propo
72. 3 2 Groupe de Dade 45 3 3 Le plus petit exemple non ab lien 53 4 Groupes extrasp ciaux 59 4 1 G n ralit s sur les p groupes extrasp ciaux 59 472 Un cas particulier ac sn 6e Ua HA BOS dns E E 65 II Mode d emploi des modules d endo permutation 87 5 Sources de modules simples 89 5 1 Encore des g groupes extrasp ciaux 90 5 2 Construction de groupes finis p nilpotents 92 5 3 Construction de modules simples 96 5 3 1 Cas d un groupe cyclique 104 5 8 2 Cas d un groupe quaternionien 104 5 3 3 Cas d un groupe semidi dral 106 DA Inflation 92 35 led e eea arale amp AD pais ee A 111 4 TABLE DES MATIERES 5 5 Induction tensorielle 112 5 6 Produit tetisoriel i e604 4 44 0454 444 40 T as 115 Dir Morale is se uiva od ation he ee Pee Se Ru RE ed 116 5 8 Exempl ie 4 04 22S ee etek bb oe EEL anus at es 118 5 9 Un autre exemple 120 6 Equivalences splendides 121 Gil Introduction vs LUEUR he Ke DL ta dites 121 6 2 R solutions de permutation endo scind es 122 6 3 Exemple 2 sa bate aoe mea SA Eee biere 129 7 Conclusion 131 0 1 R sum Dans la th orie des repr sentations modulaires des groupes finis les modules d endo permutation occupent une place importante E
73. APITRE 3 LES P GROUPES METACYCLIQUES En d autres termes les sous groupes cycliques sont plus petits que les non cycliques et chaque cat gorie de sous groupes de P est elle m me totalement ordonn e On v rifie ais ment que cette relation est une relation d ordre total sur P Posons maintenant B Tenint ao Noe CE ePi U erste QE s Pi et ordonnons cet ensemble selon l ordre lt croissant des sous groupes C respec tivement Q apparaissant dans les indices Remarquons tout d abord que ces l ments sont bien dans D P En effet ceux du premier ensemble le sont par d finition de l application Teninf c D C C gt D P et par le fait que Qe s c T C C D C C pour tout C C P Quant a ceux du second ce sont les classes d quivalences des syzygies relatifs des P ensembles transitifs P Q o Q parcourt les sous groupes non cycliques de P conjugaison pr s Donc par la proposition 1 2 9 ces syzygies sont des modules d endo permutation couverts ind composables Montrons que B est une base du groupe de Dade D P dans le sens suivant 1 TeninfG oc Rcc C C P forme une base du F2 espace vectoriel D P de dimension C P 2 Orsa Q E S P forme une base d un sous module Z libre facteur direct de D P de rang S P D terminons les images des l ments de torsion Soit C C P et calculons les composantes de ap Teninf c Qosco
74. APITRE 3 LES P GROUPES METACYCLIQUES En r sum on a montr que Defresi ax Ops OH KOxy x Pour tous H K S P avec H lt K Par cons quent les images par ap des l ments de B exprim s dans la base E du groupe ab lien d arriv e forment une matrice triangulaire coefficients entiers et dont les l ments diagonaux valent 1 et donc une matrice inversible dans Z Autrement dit nous avons d montr le th or me suivant Th or me 3 2 5 Soient p un nombre premier impair et P un p groupe m ta cyclique Alors AP II PH oUH o Defres a z D P II T H amp H Helx P He X P est un isomorphisme de groupes ab liens En particulier tout l ment de D P s crit de mani re unique comme une combinaison lin aire coefficients entiers d l ments de l ensemble Qejaun H S P et une combinaison lin aire coefficients dans Z 2Z d l ments de l ensemble Teninf aou Quec H C P Corollaire 3 2 6 Soient p un nombre premier impair et P un p groupe m ta cyclique Alors D P D P et B 97n H E X P PHY 9 forme un syst me de g n rateurs de cardinalit minimale du Z module D P Preuve Par le lemme 1 5 10 tous les Teninfyy amp 4 Qus apparaissant dans B sont des combinaisons Z lin aires des classes des syzygies relatifs Q p o pour les sous groupes propres Q de P Si M est un Z module et X un sous ensemble de M notons vect X le sous module d
75. AT Uff Leen traits fl kiences LAUSANNE Universit de Lausanne INSTITUT DE MATHEMATIQUES MODULES D ENDO PERMUTATION These de doctorat pr sent e a la Facult des Sciences de l Universit de Lausanne par Nadia Mazza Diplom e en Math matiques Universit de Lausanne Jury M le Professeur Gervais Chapuis Pr sident M le Professeur Jacques Th venaz Directeur de th se M le Professeur Serge Bouc Expert M le Professeur Jon Carlson Expert Mme le Professeur Donna Testerman Expert Lausanne 2003 J tais assis un peu vot la t te basse seul en face de cette masse noire et noueuse enti rement brute et qui me faisait peur Et puis j ai eu cette illumination Jean Paul Sartre La naus e Table des mati res OA R SUM S foc me eh LI eens xo aia RRS See Le me ele a 5 0 2 ADStEAGt ited fut are ee San tale he ay Be tet A EE Sa og ean A 6 O23 T troduction s ssns us ag Boscia ee AR OE Be Beles 7 I Le groupe de Dade 11 1 Notions de base 13 1 1 Repr sentations des groupes finis 13 1 2 Modules d endo permutation et groupe de Dade 15 1 3 P alg bres de Dade et groupe de Dade 22 1 4 Changement de caract ristique 24 1 5 Syzygies morphismes et compositions 25 2 1978 2002 L Odyss e du groupe de Dade 35 3 Les p groupes m tacycliques 43 3 1 Structure des p groupes m tacycliques 43
76. EEX VsEeE et VyeQ On obtient alors une action de Q x E sur X donn e par gs g s f VEEX VsEE et VyeQ Par le lemme 5 3 4 l extension de l action d finissant la structure de k Q x E module de X est unique et donc et d signent la m me action d o le r sultat cherch savoir la description de l action de E sur X et donc sur L Posons U Eg Yi et wrx Yig PER ARTE yo lt i j lt q 5 3 CONSTRUCTION DE MODULES SIMPLES 111 o a b et l sont les entiers satisfaisant 0 lt a b l lt q Pen es wy y i 1 2 et 21 a mod q et les indices sont consid r s modulo q cf section 5 3 2 Rappelons encore que la d finition de la conjugaison par v dans G sur les g n rateurs de Q est donn e par z to 2 1 Y Y2 et Yo y V rifions pr sent le point 1 v KG U Yiu ys wlitita by x Yi a w Yi et Ux WX Yia GRO aia W U Figa VY EX V rifions le point 2 On a VY E X py v Y j 2 Von Hw e x1 Yig et Wry 3 w x Y Tr ee CP aja 2 watlitj ta b p1 LY writlititay i a j a a j a w tw x Y j w x1 Yiz De m me on v rifie ces galit s en rempla ant z par 2 par y et par y2 Donc le point 2 et satisfait et on en d duit que l action de Q x E sur X coincide avec l action cherch e Avant d tudier S on va utiliser les deux lemmes suivants pour montrer que S est un kP
77. On d finit la restriction par yp de M respectivement de A comme le RQ module Res M respectivement la Q alg bre Res comme suit 26 CHAPITRE 1 NOTIONS DE BASE 1 Res M est isomorphe M comme R module et l action de Q est donn e par u x plu x Vue PetVre M 2 Res A est isomorphe comme R alg bre et si Yp P Aut A est Vhomomorphisme de groupes d finissant la structure de P alg bre sur alors on pose po Q Aut Res A u yu Vue Q En consid rant les trois homomorphismes de groupes que sont l inclusion le passage au quotient par un sous groupe normal et un isomorphisme on obtient par restriction les trois homomorphismes de groupes ab liens suivants 1 Restriction Soient Q un sous groupe de P M un RP module et A une P alg bre L inclusion i Q gt P induit par restriction une structure de RQ module sur M respectivement de Q alg bre sur A On l appelle la restriction de P Q et on note Res M ou M respectivement Res A ou Al les objets restreints correspondants En particulier si M est d endo permutation couvert alors M aussi De m me si A Endr M est une P alg bre de Dade alors A g Endp M Z est une Q alg bre de Dade Ainsi comme les RQ modules M N et M NJ G sont isomorphes de m me que les Q alg bres Endr M N et Endr M Ende N pour tous RP modules M et N on a des homomorphismes de groupes ab liens Dr Q et Reso DR P
78. Par cons quent on peut consid rer l application bien d finie dro E P E Np Q Q t RO Defresy q Q 2 Notons dro la restriction de dro E P et posons b I are et B II arg QeQ1 QEQI Proposition 4 2 9 On a Ker Ker 8 T P lt Q gt Preuve Comme nous l avons d j remarqu ci dessus on a T P lt Qp gt par les assertions 2 et 3 du th or me 1 5 5 De plus par le lemme 1 5 9 on a N Deres raya e Dela og see Ona OVI OP Donc on a T P lt Ker B et T P lt Ker 8 car T P lt Q gt lt E P Comme E P lt E Pm Ym gt 1 on a Ker B lt Ker et donc il nous reste prouver l inclusion Ker B lt T P On va utiliser l galit T P N Ker Defresi q 1 lt Q lt P 4 2 UN CAS PARTICULIER 71 donn e par l assertion 1 du th or me 1 5 5 pour montrer cette inclusion En d autres termes on doit montrer que Defresyy Q Q 2 0 VzekKer f et VI lt Q lt P Par d finition de E P application Def a restreinte E P est nulle pour tout sous groupe Q contenant Z c est dire pour tout sous groupe normal non trivial Q Soit alors R Q un sous groupe non normal de P Comme pour tout 1 lt i lt n on peut toujours choisir l ensemble Q de telle sorte que chacun de ses l ments contienne au moins un l ment de Q comme sous groupe il existe Q Q tel que Q lt R D o Q lt R lt Np R lt Np Q par le corollaire 4 1 5
79. Posons P lt u u 1 gt k F3 i pour une racine quatri me primitive i de l unit avec donc i 1 et Q lt x ylr 1 y 2 x gt un groupe quaternion d ordre 8 Soit G le produit semi direct Q x P pour l action de P sur Q donn e par x yet y ry On a ainsi un groupe fini 3 nilpotent d ordre 24 On sait que Q poss de un kQ module simple L de dimension 2 En effet les l ments de Q forment cinq classes de conjugaison et donc on a cinq CQ modules simples dont la somme des carr s des dimensions vaut 8 Q Par choix de k on a galement cinq Q modules simples de m mes dimensions En utilisant la table des caract res par exemple on peut d terminer le caract re de L On obtient ainsi les actions de x et de y sur L qui peuvent s crire matriciellement dans une certaine base comme suit i 0 0 x agit par t 3 et y par fl a Or L s tend G en L En effet on peut consid rer l action suivante de u donn e matriciellement dans la m me base que ci dessus bet Ss et ce En effet on a ainsi UX Y YY XY et U Id 5 9 UN AUTRE EXEMPLE 123 En particulier il r sulte que Lie est un kP module de dimension 2 Or kP est unis riel et donc par le th or me de Krull Schmidt on a deux alternatives possibles pour un module M de dimension 2 1 M est ind composable et donc isomorphe 3 k Dans ce cas la ma trice U est semblable la matrice A Es fa
80. Z 4Z amp Z 2Z respective ment Z 2Z par les sections 6 respectivement 7 de CaTh1 Corollaire 4 2 4 Le sous groupe de torsion D P de D P est trivial Preuve Par le th or me 4 2 3 il suffit de montrer que P ne poss de aucun sous groupe Q tel que le quotient NP Q Q soit un groupe cyclique d ordre au moins 4 quaternionien ou semidi dral Soit 1 lt Q lt P et distinguons les deux cas suivants Si Z lt Q alors Q lt P par le lemme 4 1 4 et le quotient P Q est un 2 groupe ab lien l mentaire Par la remarque 4 1 7 si Z Z Q alors Np Q Qx Py_i o i est l entier compris entre 1 et n et tel que Q 2 avec la convention Pp Z Par suite on a Np Q Q P _ D o le corollaire 4 2 UN CAS PARTICULIER 69 Remarque 4 2 5 Le corollaire ci dessus constitue la raison principale qui nous a incit s tudier le groupe de Dade d un 2 groupe extrasp cial du type Dg En effet le fait que le groupe de Dade est sans torsion rend son analyse plus ais e Signalons galement que ce r sultat est d montr dans la section 12 de CaTh2 Toutefois nous avons tenu le red montrer ici car il nous permet de mettre en vidence d autres caract ristiques de ces 2 groupes Par la proposition 4 1 11 pour d terminer le groupe de Dade de P il suffit de d terminer E P En effet P Z est ab lien et donc D P Z est engendr par les syzygies relatifs Q o Q parcourt les sous groupes de P con
81. a b E B 3 On d finit le groupe DR P des P alg bres de Dade comme l en semble des classes d quivalence des P alg bres de Dade muni de la loi de composition A B 48 B VIA B DR P C est un groupe ab lien L l ment neutre est la classe des P alg bres de Dade neutres et l oppos de A est la classe A de l alg bre oppos e On a un homomorphisme surjectif de groupes ab liens ar Dr P D P M Endy M L homomorphisme az est bijectif Par contre si R O alors il existe plu sieurs O P modules correspondant la m me P alg bre Plus pr cis ment deux OP modules M et M produisent la m me P alg bre si et seulement s il existe un OP module N de rang 1 tel que M N M pour l action diagonale de P sur le membre de droite Il s ensuit qu on a un isomorphisme entre le noyau de ao et le groupe des OP modules de rang 1 cf paragraphe 2 5 de Ur 1 4 Changement de caract ristique Int ressons nous une question cruciale dans l tude des repr sentations mo dulaires savoir le passage des repr sentations en caract ristique premi re p sur k aux repr sentations en caract ristique 0 sur K Autrement dit exa minons les relations entre D P et Do P i e entre les kP et OP modules d endo permutation couverts et les relations entre D1 P et Db P i e entre les P algebres de Dade sur k et sur L objectif de cette analyse est de d
82. al L injectivit de application Res ci dessus i e l limination des groupes ex trasp ciaux de la famille d tectrice s av re capitale dans l tude du sous groupe de torsion du groupe de Dade d un p groupe fini quelconque En effet une des cons quences majeures de ceci est que le sous groupe de torsion D P de D P se d tecte l aide de l application Thheo lt p Defresv 0 Q pour les sections Np Q Q qui sont des groupes cycliques d ordre au moins 3 quaternioniens ou semi di draux Sans entrer dans les d tails et selon les notations pr c dentes l injectivit de l application Res entra ne aussi pour p impair Dt P D P et donc D P est un F2 espace vectoriel de dimension gale au nombre de classes de conjugaison de sous groupes cycliques non triviaux de P engendr par les classes des syzygies relatifs Nous allons maintenant apporter notre contribution ce travail autour du groupe de Dade en traitant deux exemples particuliers Le premier concerne un p groupe m tacyclique pour un nombre premier p impair et le second traite le cas d un 2 groupe extrasp cial du type Dg pour un entier n gt 1 La motivation d tudier le groupe de Dade d un p groupe m tacyclique pour un nombre premier p impair est due au fait qu un tel groupe ne poss de pas de section extrasp ciale d exposant p En effet au d but de ce travail de th se le dernier r sultat d montr par J Carlson et J Th venaz n
83. alisation de la pro pri t 7 due J Alperin cf preuve du th or me 1 de A13 et d montr e galement par S Bouc cf lemme 2 3 7 de Bo1 6 2 RESOLUTIONS DE PERMUTATION ENDO SCINDEES 129 9 Soit X un P ensemble fini Alors C 0 RX gt R 0 6 4 est une r solution de permutation endo scind e de Q R o Co RX et e X Art XO Av V DO RX zEeX zEeX TEX En particulier par les points 3 et 4 ci dessus cela entraine que tous les syzygies relatifs Q R ont une r solution de permutation endo scind e pour tout entier n et pour tout P ensemble fini X En effet Q R est le chapeau de QL R si n est positif sinon si n est n gatif alors 0 R est le chapeau de Q4 R O Preuve cf A13 On a C born et ses termes sont des RP modules de permutation De plus on a H C 0 sii 0 et Ho C Ker e Q4 R Par ailleurs C est isomorphe au complexe 0 R gt RX 0 ou C RX et o 1 Vex x Ainsi on obtient H C 0 si i 0 et Ho C RX Im o Q4 R Consid rons le complexe C QC 0 RX R RX RX G R OR RORX 0 C amp C est isomorphe au complexe D 0 RX gt RX RX RRX 0 o x a et Yo ie A i e x yt o 1 Vr ye X D est exact sauf en degr 0 o on a Ho D Ho C 8 Ho C 04 X SNL X Re L pour un RP module libre L car Q R est endo trivial Posons alors Yo Do _ D k A 4
84. as minimale en g n ral D o l existence d un RP module projectif L satisfaisant Q R 8 M Ker O _ 1 9 M Ker O _1 Q Id S Q M 6 L Pour n lt 0 on applique le m me raisonnement une r solution injective de M Il r sulte des deux derni res propositions que l on peut obtenir beaucoup de modules d endo permutation partir des exemples mentionn s Mais finale ment par le th or me de Krull Schmidt seuls les modules d endo permutation couverts ind composables nous int ressent vraiment On aboutit ainsi la d finition du groupe ab lien qu E Dade avait appel Cap RP et qu aujourd hui on appelle groupe de Dade cf Dal D finition et proposition 1 2 10 Dade Soient M et N deux RP modules d endo permutation couverts On dit que M et N sont quivalents si leurs chapeaux sont isomorphes et on note Dr P l ensemble des classes d quivalence Le produit tensoriel induit une structure de groupe ab lien sur DR P en posant M N M N V M N Dk P L l ment neutre est la classe du RP module trivial R et l oppos de la classe M de M est la classe du dual M V M Dr P On appelle Dr P le groupe de Dade de P Soit T P le sous ensemble de D P form des classes d quivalences conte nant un module endo trivial Alors T P est un sous groupe de Dr P appel le groupe des RP modules endo triviaux Preuve Si M et N sont deux RP modules d
85. at ee re 5 2 5 2 5 4 q dimX D o une galit de kE modules entre X et 14 2 k k E lt v gt 7 k E lt vw gt 7 KEY q2 En particulier on en d duit un isomorphisme X ISk CAES de kZ modules et donc on a SIST k F o Z lt w gt est le centre de P et F un kZ module libre Lemme 5 3 12 Soit P un 2 groupe semidi dral de centre Z et M un kP module d endo permutation ind composable de vortex P Supposons que la res triction M est un kZ module endo trivial Alors M est un kP module endo trivial Preuve Comme M est ind composable et couvert M est endo trivial si et seulement si Def Ka o Q Res Q M k pour tout sous groupe non trivial Q de P par le th or me 1 5 5 Soit Q un sous groupe non trivial de P alors soit Q contient Z soit Q ap partient l unique classe de conjugaison de sous groupes cycliques d ordre 2 non centraux de P Dans ce cas le normalisateur Np Q de Q est ab lien l mentaire d ordre 4 En effet on a Np Q Cp Q car Q est cyclique d ordre 2 et il d coule imm diatement des relations de P que Cp Q QZ Par cons quent Np Q Q est cyclique d ordre 2 et D Np Q Q k Il s ensuit que Def oa Res o M k Supposons que Q contient Z Alors Np Q Np Q Z P Z Def Nr Q 70 ReSNp Q Def yp Q yq RES Q yz D Pz Par hypoth se MI est isomorphe k F pour un kZ module libre F Donc si A End M alor
86. atibilit Il est alors en mesure de les recoller en une P alg bre de Dade telle que la d flation Def Q A soit quivalente Ag pour tout sous groupe Q cf Pu3 Ce petit jeu de recollement qui peut sembler anodin au premier abord se r v le en fait d une grande importance dans l analyse locale des blocs Et aujourd hui cela int resse galement les topologues qui tudient les syst mes de fusion Ceci constitue donc une motivation suppl mentaire pour parvenir une classification compl te des modules d endo permutation Les points de vue d E Dade et de L Puig sont tr s diff rents et cela peut pr ter a confusion C est probablement une des raisons qui a convaincu J Th venaz de reprendre leurs travaux afin de les pr senter en parall le dans les paragraphes 28 30 de son livre Th1 cr ant ainsi un dictionnaire entre les terminologies des P algebres de Dade et des RP modules d endo permutation Il red montre avec d autres arguments un certain nombre de r sultats connus Entre autres il donne une preuve du r sultat toujours non publi de L Puig affirmant que les sources de modules simples pour des groupes finis p r solubles sont des modules d endo permutation Les faits que nous souhaitons relever pr sent sans entrer dans les d tails concernent les occurrences des modules d endo permutation et endo triviaux dans les quivalences de cat gories stables et d riv es
87. au normalisateur Np Q de Q suivie de la d flation Np Q Q Finalement il a tudi l homomorphisme II Defresy Q D Q T II D Np Q Q 1 lt Q lt P 1 lt Q lt P Il a appel groupe des classes d quivalences des P alg bres de source quasi triviale le noyau de cette application et il a d montr qu il coincide avec le groupe T P des modules endo triviaux Il en a d duit en particulier qu un kP module d endo permutation couvert ind composable est endo trivial si et seulement si sa classe est dans le noyau de g lt p Defresyy Q cf Pul ou Vassertion 1 du th or me 1 5 5 Dans Pul L Puig a aussi montr que les sources de modules simples pour des groupes finis p r solubles sont des modules d endo permutation d une cer taine forme utilisant le produit tensoriel l induction tensorielle et l inflation de translat s de Heller Comme on reviendra sur ce sujet dans la deuxi me partie de ce travail nous n allons pas donner plus de d tails sur la structure de ces modules dans ce chapitre Ce qui r sulte des travaux pr sent s ci dessus c est qu on peut s parer les sujets d tude du groupe de Dade en deux parties D une part on s int resse la structure du groupe 1 Est il de type fini 2 Peut on trouver des g n rateurs aussi simplement que dans le cas ab lien 3 Que peut on dire de son sous groupe de torsion Du sous groupe des mo dules endo triviaux 4 Est ce
88. ble de vortex P du kP module d endo permutation couvert cece Mo 5 7 Morale Commencons par souligner une propri t des constructions que nous avons pr sent es dans ce chapitre ainsi qu un moyen de g n raliser les constructions des deux sections pr c dentes Remarque 5 7 1 Soient p un nombre premier P un p groupe fini G un groupe fini p nilpotent ayant P comme p sous groupe de Sylow et appelons Q le plus grand sous groupe normal de G d ordre premier a p Dans toutes les situations r alis es on a towours pu construire explicitement un kG module simple L en tendant un kQ module simple et donc tel que la restriction L est un kQ module simple satisfaisant ainsi les hypoth ses n cessaires aux constructions des deux sections pr c dentes Relevons le fait qu en g n ral si L est un kG module simple sa restriction kQ n est pas un module simple Cependant LIS est une somme directe finie i o T de modules simples conjugu s sans limiter la g n ralit supposons vo 1 ayant des sous groupes d inertie I conjugu s et a fortiori stric tement contenus dans G Rappelons que si T est un kQ module simple son sous groupe d inertie est le sous groupe I g G T T de G Par la th orie de Clifford cf paragraphe 11 de CR on sait que T s tend en un kI module T a fortiori simple et le kG module induit Ind T est simple De plus T et Ind T ont la m me source Par suite on ne peu
89. consid rant la famille des modules d endo permutation que l on d finit comme suit Etant donn un nombre premier p un p groupe fini P et un corps k assez gros et de caract ristique p on dit 8 TABLE DES MATIERES qu un kP module M est d endo permutation si son algebre d endomorphismes End M est un kP module de permutation Ces modules ont t introduits en 1978 par E Dade et on lui doit leur clas sification dans le cas o P est ab lien La m thode qu il a utilis e pour en faire la classification est la suivante Parmi tous les modules d endo permutation il suffit de regarder ceux qui ont un facteur direct ind composable de vortex P On dit qu ils sont couverts capped en anglais Comme chaque kP module d endo permutation couvert poss de un unique facteur direct ind composable de vortex P appel chapeau cap en anglais on peut d finir une relation d quivalence sur l ensemble de ces modules en consid rant les classes d isomor phismes des chapeaux L ensemble des classes d quivalence est stable pour le produit tensoriel sur k des modules et en fait cela induit une structure de groupe sur cet ensemble C est le groupe de Dade de P Ainsi la classification des kP modules d endo permutation se ram ne l tude du groupe de Dade de P Contrairement au cas ab lien r solu aussit t la notion de module d endo permutation d finie on essaie de r soudre le cas g
90. ctif o P Aut Q De plus on peut choisir o de telle sorte que sa restriction au centre Q est l identit 5 2 Construction de groupes finis p nilpotents Soient p un nombre premier n un entier strictement positif et P un p groupe cyclique d ordre p ou ventuellement quaternionien d ordre 2 si p 2 Choisissons un nombre premier impair q p 1 mod p l et consid rons un g groupe extrasp cial Q d ordre q et d exposant q Par choix de q on a p q 1 et donc par le lemme 5 1 1 P s identifie amp un sous groupe des automorphismes de Q qui fixe le centre Q En d autres termes on a un groupe fini p nilpotent G Q x P avec P comme p sous groupe de Sylow et tel que Q centralise P puisque P agit trivialement sur Q par construction Consid rons aussi la construction suivante Si p 2 et P est un groupe quaternionien d ordre 2 gt 8 et q 2 1 1 mod 2 on obtient encore un 5 2 CONSTRUCTION DE GROUPES FINIS P NILPOTENTS 95 groupe 2 nilpotent Q x P car P s identifie un 2 sous groupe de Sylow de SL2 F En effet on a q 1 2 mod 2 7 et g 1 2 1 mod 2 et donc q 1 2 mod 2 1 i e 2 divise l ordre de SL2 F et c est m me la plus grande puissance de 2 avec cette propri t Continuons maintenant avec quelques propri t s imm diates des groupes p nilpotents ainsi construits Lemme 5 2 1 Aussi bien dans le cas cyclique
91. currence sur n Si n 1 alors P Dg et Q Q est de cardinalit 2 D o l assertion car 2 2 1 24 1 1 Supposons n gt 1 et le r sultat prouv pour tout entier m avec 1 lt m lt n D terminons le nombre qn de sous groupes non centraux d ordre 2 On consid re le passage au quotient 7 P gt P Z Comme P Z est ab lien l mentaire de rang 2n c est un F2 espace vectoriel de dimension 2n et donc poss de 2 1 droites Celles ci sont les images par m de toutes les classes de conjugaison des sous groupes cycliques non centraux de P c est a dire les sous groupes de Q et les sous groupes cycliques d ordre 4 et normaux dans P car contenant Z Par ailleurs P s crit comme un produit central Dg Pa 1 Donc ses l ments d ordre 2 peuvent s crire comme un produit xy avec x Dg y E Pn_1et x et y sont des l ments d ordre au plus 2 ou bien tous deux d ordre 4 En effet par d finition du produit central x et y commutent et donc s ils sont tous deux d ordre 4 alors ry x y zz 1 i e leur produit est d ordre 2 Par r currence on obtient ainsi 68 CHAPITRE 4 GROUPES EXTRASPECIAUX Six 1 alors conjugaison pr s on a 1 possibilit pour x et Qn 1 1 possibilit s pour y Si x est d ordre 2 alors conjugaison pr s on a g11 2 possibilit s pour et Gn 1 1 1 possibilit s pour y Si x est d ordre 4 alors conjugaison pr s on
92. d endo permutation couvert et Teng AZ Endr TenQ M est une P alg bre de Dade cf lemme 2 1 de BoTh De plus pour tous RQ modules M et N par d finition de l action diago nale de P sur M N on a un isomorphisme Teng M N amp Teng M Ten N de RP modules Il s ensuit des homomorphismes de groupes ab liens Teng Dr Q gt DR P et Teng D Q DR P M Teng M A TengA 28 CHAPITRE 1 NOTIONS DE BASE 5 D flation Construisons maintenant une application allant dans le sens op pos de l inflation Contrairement aux quatre op rations pr c dentes d finies indiff remment pour les modules et pour les alg bres et aussi bien pour R O que pour R k l homomorphisme que nous allons consid rer n est d fini l origine du moins que pour les P alg bres et pour R k car il n cessite la construction de quotients de Brauer Soient Q un sous groupe normal de P et A une P alg bre La d flation de P P Q est la P Q alg bre Defp o A A Q Comme R k on a pA 0 et donc A Q est le quotient AST es A Par la proposition 1 3 1 si est une P alg bre de Dade alors A End M pour un kP module d endo permutation couvert M et A Q est une P Q alg bre de Dade De plus il existe un unique k P Q module d endo permu tation couvert N isomorphisme pr s tel que A Q End N On pose alors N Def gt QlM On d finit ainsi deux applications Defbig Dr Q Dr P et Depo
93. dans B Comme pour les qn n derni res lignes on va effectuer des op rations l mentaires sur les colonnes de B9 afin d obtenir une matrice qui n a plus qu un seul terme non nul par ligne sauf la r i me qui est nulle et au plus un terme non nul par colonne celui ci valant 1 On proc de cette fois par r currence descendante sur les entiers r 1 1 pour chelonner pas pas la matrice B 4 En effet le point 2 implique que B 4 r 1 poss de un co a un unique terme B non nul De plus B a 1 et c est l unique terme lonne Bln fe p correspondant la paire R des efficient pas gal 1 o f correspond une paire Ri Rr 1 Or R 1 Z Qn et l ventuel autre terme non nul de B 4 f se trouve dans les qn n derni res lignes mais les colonnes R R o ceux ci apparaissent v rifient R Qn Donc Bo est unique terme non nul de B f On peut ainsi utili ser B f afin d annuler par des op rations l mentaires sur les colonnes de Barr tous les coefficients pie YL lt g lt F avec g 4 f sans mo difier aucun coefficient d aucune autre ligne de B 4 Les arguments utilis s pour continuer chelonner Bl9 tant exactement pareils que ceux utilis s pour obtenir B 4r de B par des op rations l mentaires sur les colonnes nous ne les r p tons pas Nous nous contenterons de retenir le r sultat final de V chelonnement savoir une matrice C
94. des RG modules ind composables Th or me 1 1 3 Krull Schmidt Soit A une R alg bre de type fini comme R module o R est un anneau commutatif local complet et noeth rien par exemple R O ou R k et soit M un A module de type fini 1 Il existe une d composition M amp 7_ M o r est un entier positif et Mi est un A module ind composable pour tout 1 lt i lt r 2 Si M 3_ N est une autre telle d composition de M alors r s et il existe une permutation o S telle que M Ni VI lt i lt r o s d signe le groupe sym trique de degr r Dor navant p d signe un nombre premier et K O k un syst me p modu laire L int r t principal des syst mes p modulaires r side dans le fait que par l interm diaire des OG modules on peut passer des repr sentations modulaires en caract ristique p c est dire des kG modules aux repr sentations en ca ract ristique 0 c est dire aux KG modules Convention Comme la plupart des r sultats que nous allons obtenir dans ce chapitre sont valables aussi bien pour l anneau que pour k nous allons simplement noter R l anneau commutatif O ou k De plus nous allons supposer que tous les OG modules sont libres sur Terminons cette section en rappelant que pour tout groupe fini G l alg bre de groupe RG est sym trique et donc les notions de RG modules projectifs et injectifs coincident et si de plus G est un p groupe alors les RG modules projectifs et
95. des facteurs invariants cf th or me 4 14 de CR ram ne la matrice 4 2 UN CAS PARTICULIER 75 Par cons quent l inclusion Im lt Im B lt A et le fait que le rang de Im 6 est au plus 14 force l galit Im G Im D o la proposition Comme nous l avions annonc cette proposition entra ne le fait suivant Th or me 4 2 14 On a E P E P et donc a fortiori D P D P Preuve Par d finition on a l inclusion E P lt E P et 3 est la restriction de 3 E P R ciproquement si x E P alors il existe y E P tel que B x B y y car par la proposition on a Im B Im Il s ensuit qu il existe un entier n tel que x y nQp car on a x y Ker B T P lt Qp gt Comme 2 E P on a x E P D o l inclusion r ciproque Par la proposition 4 1 11 on a D P E P D P Z et comme P Z est ab lien on a D P Z D P Z D o la seconde affirmation Avant d exhiber une Z base de D P calculons son rang gal au nombre de classes de conjugaison des sous groupes non cycliques de P cf th or me 1 5 5 D terminons la main tous les sous groupes de P conjugaison pr s On obtient 1 sous groupe d ordre 32 savoir P 15 sous groupes d ordre 16 les centralisateurs des 9 sous groupes de Q isomorphes C2 x Dg les centralisateurs des 15 9 6 sous groupes cycliques d ordre 4
96. do scind e sont les modules exceptionnels apparaissant pour un 2 groupe de quaternions g n ralis s 6 TABLE DES MATIERES 0 2 Abstract This dissertation is concerned with the classification of endo permutation modules These modules were first introduced by E Dade in 1978 and their study is motivated by the important role they play in some areas of representa tion theory of finite groups For instance they appear as sources of simple modules for finite p solvable groups as it has been proved by L Puig They also occur in the local analysis of splendid derived equivalences between blocks Indeed J Rickard noticed that some of them have an endo split permutation resolution inducing this equiva lence At present it turns out that they are also of relevant importance in the study of fusion systems considered in topology as well as in group theory Let us give an outline of the situation Given a prime number p a finite p group P and an algebraically closed field k of characteristic p we say that a finitely generated module M is an endo permutation module if its endomorphism algebra End M is a permutation kP module We say that an endo permutation module is capped if it has an indecomposable direct summand with vertex P We can define an equivalence relation on the set of isomorphism classes of capped endo permutation kP modules and the set of all equivalence classes is a finitely generated abelian group for the associativ
97. donc injectifs sont libres 1 2 Modules d endo permutation et groupe de Dade D finition 1 2 1 Soient P un p groupe fini et M un RP module 16 CHAPITRE 1 NOTIONS DE BASE 1 Un ensemble X est un P ensemble s il existe une application PxX 3X uz ru s VuEP et VxeX appel e action de P sur X et satisfaisant l x x et uv x u v x VuveP et VreX 2 M est un RP module de permutation si M poss de une R base P invariante c est dire s il existe un P ensemble fini X C M tel que tout l ment de M s crive de mani re unique comme combinaison R lin aire d l ments de X i e X est une R base de M et tel que gx E X Vg EP et Vx Ee X i e X est P invariant En particulier RP est un RP module de permutation de base P et donc tout RP module libre est un module de permutation 3 M est un RP module d endo permutation si Endr M est un RP modu le de permutation pour l action de P suivante u f z u flu x VreM VueP et Vf eEndr M 4 M est un RP module endo trivial s il existe un RP module projectif et donc libre L tel que Endr M R L comme RP modules Exemples 1 Rest un RP module de permutation d endo permutation et endo trivial 2 RP est un RP module d endo permutation qui n est pas endo trivial 3 Tout module de permutation est d endo permutation 4 Tout module endo trivial est d endo permutation Lemme 1 2 2 Soient P un p groupe fini et M et N deux RP modules de permu
98. e CR on sait que poss de un unique facteur direct ind composable M de vortex P et donc S MI car S est de vortex P Comme M LIS on a dim M lt dim L q avec m 1 si P est cyclique ou quaternionien et m 2 si P est semidi dral D autre part on a aussi LI mass me MIN ka 5 3 s a g N G N g 1 1 Par construction de G les facteurs directs de 7 sont de vortex trivial et donc des kN modules projectifs ou ventuellement de vortex cyclique d ordre 2 et non normal dans P si P est semidi dral cf section 5 2 Rappelons que N Q x P Le lemme suivant montre que M est un kP module ind composable et donc isomorphe S Lemme 5 3 9 Soit N A x P un groupe fini o A est un groupe ab lien d ordre premier p et P un p groupe et soit V un kN module ind composable Alors VI est un kP module ind composable Preuve Comme A est un groupe d ordre premier p l alg bre de groupe kA est semi simple et poss de A modules simples S de dimension 1 puisque A est ab lien 106 CHAPITRE 5 SOURCES DE MODULES SIMPLES Al oni me On a donc un isomorphisme V TZ li Si pour des entiers positifs n et o S est appel e la composante isotypique de V correspondant au kA module simple pour tout i Comme dim S 1 la repr sentation associ e S est de degr 1 i e les l ments a de agissent par multiplication par un scalaire a sur Si Par ail
99. e H les points fixes de X par H H h H h x z le stabilisateur de x dans H pour tout x X D finition 1 2 8 Soit G un groupe fini 1 Un complexe de RG modules est une suite de RG modules et d homo morphismes de RG modules appel s diff rentielles Cos sos On es satisfaisant On On 1 0 Vn Z On pose simplement C au lieu de C 0 s il n y a aucune ambiguit sur les diff rentielles On dit que C est born si Cn 0 sauf pour un nombre fini d entiers n On dit que C est exact ou que C est une suite exacte si on a l galit Ker d Im 0n41 Vn eZ On dit que C est scind s il existe une section c est dire une famille sn n Z d homomorphismes de RG modules tels que Sn Cn Cni1 et On41 Sn Ont1 n41 YNEZ Pour tout entier n on d finit le n ieme groupe d homologie de C comme le groupe quotient H C Ker On Im n 1 Un complexe C est une r solution projective d un RG module M si tous les termes de C sont des RG modules projectifs tels que a Cy 0 Vn lt 0 et J M sin 0 0 H C E 0 sinon 2 Soient P un p groupe fini et X un P ensemble fini Alors RX est un RP module de permutation de m me que le RP module trivial R Le noyau QL R de Vhomomorphisme RX R x 1 Va X est un RP module appel syzygy relatif de R relativement X 3 Les translat s de Heller d un RG module M sont les RG modules ind comp
100. e M engendr par X Par le th or me 3 2 5 et par d finition de D P on ainsi D P vect B C vect B D P C D P Par suite D P D P et B est un syst me de g n rateurs du Z module D P Par ailleurs B et B ont le m me nombre d l ments et par le th or me 3 2 5 B est un syst me de g n rateurs de D P de cardinalit minimale Donc B aussi Nous avons ainsi d termin la structure du groupe de Dade sur k d un p groupe m tacyclique pour un nombre premier p impair On va maintenant r pondre aux questions suivantes avant de traiter un exemple 3 3 LE PLUS PETIT EXEMPLE NON ABELIEN 55 1 Quen est il de T P 2 Qu en est il de Do P Si P est ab lien les r ponses ces questions sont connues depuis plus de vingt ans et nous les avons d j rappel es cf Da2 ou chapitre 1 Pour le cas g n ral le corollaire suivant r pond ces questions Corollaire 3 2 7 Soient p un nombre premier impair et P un p groupe m ta cyclique 1 T P est cyclique engendr par Qp On a donc Z 2Z A si P est cyclique NES Z Sinon 2 Dans les notations de la section 1 4 la r duction q Do P D P modulo l id al p est un isomorphisme Preuve 1 Si P west pas cyclique alors par le th or me 1 5 5 et le lemme 3 1 2 on a que T P est cyclique infini engendr par Qp En effet il existe alors un unique sous groupe ab lien l mentaire de rang 2 a fortiori ma
101. e N par g C est l ensemble n N et on le munit d une structure de R 9H module pour l action de 9H donn e par h Mm Xh n Vh H et Vn N Parfois il convient de noter ce module g N auquel cas on note ses l ments g Q n au lieu de fn et l action de IH s crit alors Ih g n g h n 2 Le module induit IndG N de H G de N est le RG module RG Rn N L action de G est donn e par g h n gh n VyheGetVne N On note parfois NTS au lieu de IndG N 3 On dit que M est projectif relativement H s il existe un RH module L tel que M est isomorphe un facteur direct de Ind amp L Ouvrons une br ve parenth se historique afin de mentionner que la th orie des vortex et sources que nous abordons ci dessous t introduite et d velop p e par J A Green dans les ann es 50 D finition et proposition 1 2 5 Soient G un groupe fini et M un RG module ind composable 1 Soit S un p sous groupe de Sylow de G Alors M est projectif relativement S 2 Il existe un unique p sous groupe P de G conjugaison pr s et un unique RP module ind composable N conjugaison pr s tels que M est iso morphe un facteur direct de IndS N et M n est projectif relativement aucun p sous groupe ne contenant pas P ou un de ses conjugu s On dit alors que P est un vortex de M et N est une source de M 3 Si P est un vortex de M et S un p sous groupe de Sylow de G contenant P alors le rang sur R de M e
102. e eg Haat 1 et d autre part w y yf Q 1 w x yt 1 wht Dby t 1 4 amp 1 D o l galit Yy av x y 1 wx y y 1 et donc le point 2 est satisfait Comme rappel ci dessus il existe une unique extension Q x Z de l action de Q sur L et donc et d signent la m me action que nous allons dor navant noter Maintenant on peut ais ment expliciter S 7 Remarquons que w Y 91y 91 VO lt i lt g sit l t w y 1l y 1 Autrement dit il y a un vecteur de la k base y 1 0 lt i lt q de L fixe par Z c est dire un vecteur propre pour la valeur propre 1 gH consid rons les Pour tous les indices compris strictement entre l et 1 k sous espaces W k lt y 1 y 1 gt Ceux ci sont invariants par Z et Z agit librement sur chacun par d finition de l action de w sur L Ce sont donc des kZ sous modules libres de rang 1 Par suite leur somme W est directe et forme un kZ sous module libre facteur direct de L de codimension 1 De plus k lt y 1 gt est un suppl mentaire de W On en d duit que L se d compose comme somme directe k kZ Par cons quent comme S est de vortex P et S re on a par le th or me de Krull Schmidt S 2 k S pour un kZ module libre S de rang lt qt Par suite S est endo trivial Par la section 6 de CaTh on sait qu on a huit amp P modules endo triviaux ind composables de vortex P isomorphisme pr s Les dimensions de ceux ci permettent en
103. e implique T Ds E Ds Nous sommes maintenant pr ts pour montrer le premier point de notre plan Proposition 4 2 13 Supposons n 2 et notons P Pz Les assertions sui vantes sont v rifi es 1 q 15 2 Im Im 8 3 Im 8 est un Z module libre facteur direct de J Joco E NP Q Q de rang 14 Preuve Ecrivons P D x D avec D lt s t gt et D lt u v gt di draux d ordre 8 et notons z st wv le g n rateur de Z Rappelons que nous consid rons toujours les sous groupes et les l ments de P conjugaison pr s Par le lemme 4 2 2 on a qn 1 2 1 2 1 9 Plus pr cis ment on peut choisir Q lt s gt lt t gt lt u gt lt u gt lt su gt lt su gt lt tu gt lt tv gt lt stuv gt 4 2 UN CAS PARTICULIER 73 D terminons q2 Un sous groupe de Q2 est engendr par deux l ments non centraux x et y d ordre 2 Or x et y engendrent un groupe ab lien l mentaire si et seulement si x y 1 Sinon lt a y gt est di dral d ordre 8 Utilisons Q pour d nombrer ces sous groupes et commen ons avec x s Ona lt s y gt E Oo gt y E u v su sv et lt s y gt Ds lt gt y E t tu tv stuv Ainsi quatre l ments engendrent avec s un groupe ab lien l mentaire de rang 2 non normal dans P et les quatre autres un groupe di dral d ordre 8 Il en va de m me pour les huit autres l ments non centraux d ordre 2 D o 9 4 36 possibilit s
104. e la loi de composition dans le groupe de Dade Calculons la dimension de L On a dim Q2 k 32 15 17 et dim Qi k OL k 15 225 Par suite dim L 225 17 208 13 16 et donc L amp kP Y a t il des supersticieux dans l audience Chapitre 7 Conclusion Dans ces derni res lignes nous faisons une synth se du travail que nous avons accompli durant ces quatre ann es et que nous avons relat dans le pr sent ouvrage Nous faisons galement le point sur les questions encore ouvertes et les principales conjectures actuelles Dans la premi re partie nous nous sommes int ress s au groupe de Dade de certains p groupes finis Nous sommes parvenus d terminer le groupe de Dade de deux familles de groupes La famille des p groupes m tacycliques pour un nombre premier p impair La famille des 2 groupes extrasp ciaux de la forme D3 o n est un entier valant au moins 2 Dans la seconde partie nous avons focalis notre attention sur deux situa tions o les modules d endo permutation apparaissent et nous avons obtenu les r sultats suivants Nous avons explicitement r alis tous les modules d endo permutation qui peuvent tre des sources de modules simples pour des groupes finis p r solubles Nous avons constat que parmi tous les modules d endo permutation que Von connait actuellement les seuls qui n ont pas de r solution de permu tation endo scind e sont les modu
105. e law induced by the tensor product We call this group the Dade group of P Hence the question of the classification of all endo permutation amp P modules reduces to the computation of the Dade group of P In 1978 Dade solved this problem in case P is an abelian p group More than twenty years later the general case is still open and we only have some partial results on the group structure Our contribution to the classification of endo permutation modules consists in determining the Dade group of two families of finite p groups namely me tacyclic p groups for an odd prime number p and extraspecial 2 groups of the shape Dg for an integer n gt 2 We also consider some aspects of the theory where these modules occur More precisely we give an explicit realization of many endo permutation modules as sources of simple modules and following a recent result of J Carlson this proves that all torsion endo permutation modules effectively occur as sources of simple modules for an odd prime number p Finally using work of S Bouc and J Rickard we prove that among all endo permutation modules we know at present the only ones which don t have an endo split permutation resolution are the exceptional modules occuring for a generalized quaternion 2 group 0 3 Introduction Le sujet de ce travail de th se s inscrit dans le cadre de la th orie de la repr sentation des groupes finis Cette branche des math matiques d
106. ectif Par ailleurs Q est isomorphe F comme F espace vectoriel Ainsi on a un isomorphisme de F espaces vectoriels entre Homp Q Q Q et le dual de Q Q et donc entre Homr Q Q Q et Q Q En particulier on en tire que Ker z lt Q Q et par cons quent les injections conj et 7 sont des isomorphismes Par suite on a une suite exacte courte 0 Q Q Auto Q SL2 F 0 Si p est un nombre premier distinct de q et P est un p sous groupe de SL2 F on a une suite exacte courte obtenue par restriction 0 Q R a1 P P 0 5 2 Il d coule alors du th or me de Schur Zassenhaus cf corollaire 8 40 de CR que celle ci est scind e puisque Q Q et P sont d ordres premiers entre eux et Q Q est ab lien Autrement dit il existe un homomorphisme de groupes injectif a P Auto Q tel que ro Idp Rappelons encore que l ordre de SL2 F est q q 1 et que SL2 F poss de des 2 sous groupes de Sylow quaternioniens g n ralis s ainsi que des sous grou pes cycliques d ordre q 1 et q 1 cf th or me 2 8 3 de Go On en d duit imm diatement le lemme suivant Lemme 5 1 1 Soient p et q deux nombres premiers distincts P un p groupe fini cyclique ou si p 2 ventuellement quaternionien tel que P s identife un sous groupe de SL2 F et soit Q un q groupe extrasp cial d ordre q et d exposant q Alors il existe un homomorphisme de groupes inje
107. emble des sections isom triques de P est muni d une relation d quivalence En consid rant alors la somme directe F des groupes T U V o U V parcourt un systeme de repr sentants des classes d quivalences des sections isom triques de P S Bouc prouve que F s injecte dans le sous groupe de torsion D P du groupe de Dade et que cette injection donn e par Teninf a jv admet une r traction En d autres termes F est isomorphe un facteur direct de D P De plus S Bouc conjecture qu en fait cette injection est un isomorphisme C est en effet v rifi dans tous les cas connus et en particulier c est vrai pour tout nombre premier p impair en tenant compte du r sultat suivant Comme nous l avons d j mentionn J Carlson et J Th venaz ont d montr la conjecture 2 6 de CaTh1 Autrement dit si P est un p groupe fini alors Vapplication Res T P II T Q QEX o est l ensemble des sous groupes ab liens l mentaires de rang 2 ou aussi quaternioniens d ordre 8 si p 2 est injective cf CaTh2 En fait comme tient a le pr ciser J Th venaz la conjecture 2 6 pour p impair est due essentiellement a J Carlson qui a analys la vari t d un cer tain quotient d un hypoth tique module endo trivial de torsion pour aboutir a une contradiction et montrer ainsi que le sous groupe de torsion du groupe des modules endo triviaux pour un p groupe extrasp cial d exposant p est trivi
108. enant compte des progr s effectu s depuis leur parution cf chapitre 2 Comme la derni re assertion du th or me le laisse entrevoir les syzygies relatifs jouent un r le pr pond rant dans la structure du groupe de Dade Donnons en alors les propri t s qui vont nous tre utiles Lemme 1 5 6 Rel vements Pour tout P ensemble fini X et pour tout entier n on a Q3 k S k 80 Q3 0 i e Q3 0 rel ve Q3 k Preuve On a Q3 0 S Q2 O Q3 k o d signe le passage au quotient modulo lid al maximal de Lemme 1 5 7 Soient P un p groupe fini et X et Y deux P ensembles finis non vides Si pour tout sous groupe Q de P l ensemble X n est pas vide si et seulement si l ensemble Y n est pas vide alors Qy Qy dans DR P En particulier pour tout P ensemble fini X on a Qx x Qx Preuve Cf Lemme 3 2 7 de Bol Lemme 1 5 8 Lemme de Th venaz Soient P un p groupe fini et X et Y deux P ensembles finis On a uns Oxey Oy OY dans Dp P Plus g n ralement soient n gt 1 Xn X 1 lt i lt n une famille de P ensembles finis et Y Xi Alors on a dans Dr P Qy DO 5 Oa o ES 1 lt j lt s Preuve Le cas n 1 est banal et le cas n 2 est le lemme de Th venaz d montr dans Bol dans la preuve du th or me 5 1 2 Soit n gt 2 et supposons l assertion prouv e pour toute famille Xm de P ensembles finis avec 1
109. ent IB H Rese X tifret Res cineca J K Kn 9 K P H 9 K P H I koe III I Kn K P H K P H gEN 1 Y ggN II o N Np amp H Np H par le lemme 3 1 5 Distinguons les cas suivants 1 Supposons H K On veut montrer que Defres y 1 Open Que Clairement tous les l ments de J sont fixes par 6 H Par contre on n a aucun point fixe dans IT En effet on a H Hn H 40 d H lt HN A lt gt H H ge N D o Defresh a u Qran Qusan D H B H car Qyshk est un facteur direct du noyau de l application Beets k H amp H gt x par unicit c est donc le chapeau du noyau 2 Supposons H lt K Alors K H et donc X H Par suite on bien Defresi acc Opa 0 3 Il nous reste traiter le cas H lt K et H K En d autres termes H et K sont deux sous groupes de P de m me ordre non cycliques et non conjugu s dans P On a K car ils sont tous deux d indice p dans K respectivement H Ainsi XK 29e Jg P tel que K H Mais par le lemme 3 1 5 les sous groupes de Frattini de deux sous groupes non cycliques et non conjugu s de P sont eux aussi non conjugu s dans P En effet s il existe g P tel que K H alors K H puisque 9H H On en conclut donc comme ci dessus que XSH Ainsi Defresk o x 2r aun 0 dans D K K 54 CH
110. entraux peuvent s crire comme un produit u v pour un entier a avec 0 lt a lt 2 Or pour tout entier b on a b _on 3 wy u w bay e y2 2 day Donc tous les l ments de P d ordre 2 non centraux sont conjugu s par une puissance de u et donc P poss de 2 classes de conjugaison de sous groupes cycliques d ordre 2 une contenant le centre de P et l autre contenant tous les autres sous groupes d ordre 2 Consid rons maintenant la conjugaison par v dans G restreinte a Q i e Vautomorphisme o de Q d ordre 2 d fini ci dessus et observons que fixe des l ments de Q Q En effet on a a122 1 2 car z et 2 commutent Donc v 1 2PN P mais 17122 Ne P Q xP Lemme 5 2 5 Sig Z Na P v rifie IPA P 1 alors IPA P est conjugu lt u gt 98 CHAPITRE 5 SOURCES DE MODULES SIMPLES Preuve On a lt w gt lt IPA P si et seulement si g Nc P En effet si g N amp P alors 9P N P P gt lt w gt R ciproquement supposons qu il existe g Q satisfaisant w IPAP Alors il existe s P tel que s w Consid rons le commutateur g s On a l ws EP g s g g Q carQ4G et aussi g s Is s7 Il s ensuit que g s E Q N P 1 et donc g et s commutent Autrement dit on a w Is s i e g E Ca lt w gt Or 9w w gt g g et la conjugaison par w dans G restreinte Q correspond o w Auto Q qui correspond
111. er p p groups Illinois J of Math 2 1980 287 295 J Carlson R Rouquier Self equivalences of stable module categories Math Z 233 No 1 165 178 2000 J Carlson J Th venaz Torsion endo trivial modules Algebr Re present Theory 3 2000 303 335 J Carlson J Th venaz The classification of torsion endo trivial mo dules Preprint 2003 C W Curtis I Reiner Methods of representation theory with appli cations to finite groups and orders I Pure and applied mathematics John Wiley and Sons 1981 137 138 Dal Da2 DH Di Fe HL Hul Hu2 Is Li Mal Ma2 Pul Pu2 Pu3 Se Sul Th1 Th2 BIBLIOGRAPHIE E C Dade Blocks with cyclic defect groups I Ann Math 84 1966 20 48 E C Dade Endo permutation modules over p groups I I Ann Math 107 1978 459 494 108 1978 317 346 K Doerk T Hawkes Finite soluble groups Walter de Gruyter 1992 J Dietz Stable splittings of classifying spaces of metacyclic p groups p odd J Pure Appl Algebra 90 1993 115 136 W Feit The Representation Theory of Finite groups North Holland Publishing Company 1982 D Gorenstein Finite groups Harper and Row 1968 M E Harris M Linckelmann Splendid derived equivalences for blocks of finite p solvable groups J London Math Soc 2 62 2000 no 1 85 96 B Huppert Endliche Gruppen I Springer Verlag 1967 B Huppert Character the
112. es non centraux d ordre p et donc l hypoth se Q lt p R n est satisfaite que si Q est le groupe trivial auquel cas on a Np Q P gt Np R car R P Supposons n gt 1 et l assertion vraie pour les groupes Pm avec m lt n Quitte remplacer R par un de ses conjugu s on peut supposer Q lt R car comme Np R lt P ona NP R Np 9R Vg P Si Q est le groupe trivial alors on a Np Q P gt Np R car R P et donc l assertion est v rifi e dans ce cas Supposons Q R Q avec Q lt p R Soit x Q tel que x F 1 Dans la preuve du th or me de la classification des p groupes extrasp ciaux cf th or me 4 18 de Su M Suzuki d montre que si x P Z alors il existe y P tel que x y 4 1 et tel que le sous groupe E lt x y gt est extrasp cial d ordre p gt Il montre ensuite que P est gal au produit central E x CP E et que CP E est un p groupe extrasp cial d ordre El Il s ensuit que Cp lt x gt lt x gt x Cp F car x Cp E et x est d ordre p En particulier ceci est vrai pour x x et donc le groupe quotient CP lt x gt lt x gt est extrasp cial d ordre LL De plus les images Q de Q et R de R dans le groupe quotient P 1 Cp lt x gt lt x gt sont des sous groupes ne contenant pas le centre Z P _1 de Py_1 car Z Py_1 Z lt x gt lt x gt et Q R Z Z Ainsi par hypoth se de r currence l inclusion des images NP R lt Np Q est stricte A fortiori
113. es de G Soient p un nombre premier et O un anneau de valuation discr te et donc est un anneau local complet d unique id al maximal p tels que les deux conditions suivantes soient satisfaites a Le corps r siduel k O g est alg briquement clos et de caract ristique p b Le corps des fractions K de O est de caract ristique 0 et suffisamment gros pour tous les groupes que nous allons consid rer 1 2 MODULES D ENDO PERMUTATION ET GROUPE DE DADE 15 Un tel triple K O k existe pour tout nombre premier p et pour tout groupe fini G On Vappelle un syst me p modulaire suffisamment gros Comme tous les syst mes p modulaires que nous allons consid rer sont suppos s suffisamment gros nous allons simplement les appeler des syst mes p modulaires 4 On parle de repr sentations modulaires de G si on consid re les RG modules avec R ou bien k pour un syst me p modulaire K O k Si la caract ristique p de k divise l ordre de G alors une repr sentation ind composable n est pas n cessairement irr ductible De plus si un p sous groupe de Sylow de G n est pas cyclique on a une infinit de repr sentations et donc de classes d isomorphisme de RG modules ind com posables Le th or me de Krull Schmidt appel parfois le th or me de Krull Schmidt Azumaya ou encore le th or me de Krull Remak Schmidt ram ne dans notre contexte le probl me de la classification de tous les RG modules celle
114. est la R alg bre RG d finie comme suit RG X agg la E R Vg E G o on d finit gEG Zas Zu _ Der dot Saas Zir E Etat DT am a gEG heG gEGhEG gEG hEG pour tous gt eaagg9 et D gegbgg RG En g n ral RG est un anneau non commutatif 2 Soit n un entier avec n gt 1 Une repr sentation lin aire de G sur R de degr n est un homomorphisme de groupes p G gt Autr V o V est un R module libre de rang n et Autr V est le groupe des auto morphismes R lin aires de V Rappelons qu un R module V est dit libre 13 14 CHAPITRE 1 NOTIONS DE BASE si V poss de une R base i e s il existe un sous ensemble X de V tel que tout l ment de V s crive de mani re unique comme une combinaison R lin aire d l ments de X Dans cette situation on appelle rang de V la cardinalit de X La donn e d une repr sentation p de G sur R de degr n est quivalente a la donn e d un RG module V libre comme R module et de rang n sur R l action de G sur V tant donn e par g v p g v Vg EC G et VU EV Dor navant soit p G Autr V une repr sentation de G Le caract re de p est l application R lin aire X G gt R d finie par Xp g Tr p g Vg G o Tr p g est la trace de l homomor phisme p g Une sous repr sentation de p est la donn e d un homomorphisme de groupes p G Autr W o W est un RG sous module de V c est dire un R sous module
115. et 5 sont publi s cf Mal et Ma2 respectivement Terminons ce paragraphe introductif avec la remarque suivante Les diff rentes techniques d velopp es dans les r cents travaux de S Bouc d une part et de J Carlson et J Th venaz d autre part ont permis d obtenir des r sultats tr s prometteurs quant au succ s de la classification des modules d endo permu tation Les moyens mis en oeuvre par S Bouc donnent une vision fonctorielle du groupe de Dade alors que ceux utilis s par J Carlson et J Th venaz font intervenir entre autres la cohomologie des groupes 10 TABLE DES MATIERES Premiere partie Le groupe de Dade Chapitre 1 Notions de base 1 1 Repr sentations des groupes finis L objectif de ce premier chapitre est de d finir et donner les principales propri t s des objets que nous allons utiliser par la suite Sauf mention expresse les preuves des affirmations que nous avan ons dans cette section se trouvent dans CR Convention Si A est un anneau par exemple A R ou A RG dans la d finition suivante nous allons supposer que tous les A modules sont des A modules gauche de type fini De plus nous allons toujours consid rer les A modules isomorphisme pr s Autrement dit lorsque nous dirons qu un module est unique nous sous entendrons qu il est unique isomorphisme pr s D finition 1 1 1 Soient R un anneau commutatif et G un groupe fini 1 L algebre du groupe G
116. et donc DefresNp R R Defres Ne p p o Defresiy Q 1 En effet si A est une Np Q alg bre de Dade sur k et si on note la Np Q P R A D Ae ae Ae re S lt Q S lt Q restriction Res on a car Q agit trivialement Autrement dit on a dans D Np R Q Np R Np Q Np Q Q Np Q Defy R Q o Resy PCR Resy p o Def y P Q Q Par cons quent l application Defresyy R R Se factorise comme la composi tion Defres y A odro Or la restriction de dro Ker B est nulle et donc Defres R r restreinte Ker B est aussi nulle D o la proposition On en d duit imm diatement la cons quence suivante Corollaire 4 2 10 Les suites de groupes ab liens 0 T P 5 E P J E N Q Q Coker 0 et QEQ 0 T P EP E Nr Q Q 2 Coker 0 QEQ o i et i sont les inclusions et n et x les passages aux quotients sont exactes Comme Ker T P le rang de B c est dire le rang du Z module Im 3 vaut au plus q 1 et de m me pour son sous module Im 3 Nous allons montrer que cette borne maximale est atteinte et qu en fait l image de 8 est un facteur direct de rang q 1 de J Joco E Nr Q Q D finition 4 2 11 Posons E Qp g Q Q et E EU Q Ce sont des sous ensembles de E P de cardinal q et q 1 respectivement 72 CHAPITRE 4 GROUPES EXTRASPECIAUX Nous allons pr sent montrer que E es
117. eulement si Qy pour un sous groupe Q de P tel que le quotient est cyclique ou quaternionien et tel que Q contient le stabilisateur de tout x X avec galit pour certains x X Actuellement il est conjectur que les classes des syzygies relatifs engendrent toujours le groupe de Dade d un p groupe fini P except si p 2 et P poss de une section qui est un groupe quaternionien cf CaTh1 Si cette conjecture est vraie alors cela implique en particulier que tout module d endo permutation se rel ve en caract ristique 0 Maintenant nous allons bri vement exposer des r sultats qui ne sont pas encore publi s Commen ons avec ceux de S Bouc qui a obtenu un r sultat d injectivit concernant le sous groupe de torsion T P du groupe des modules endo triviaux Il a consid r les sections isom triques d un p groupe fini P c est dire les sections U V de P satisfaisant les conditions suivantes 1 le groupe U V est de p rang normal 1 i e U V est cyclique di dral d ordre au moins 16 quaternionien ou semi di dral 2 si M est l unique Q U V module simple fid le c est dire tel que le sous groupe i U V u x 2 Va M de U V est trivial alors le QP 42 CHAPITRE 2 1978 2002 L ODYSS E DU GROUPE DE DADE module induit M Ind Inf jvM v rifie un isomorphisme d alg bres entre Endgp M et Endgp M On dit alors que le QP module a fortiori simple M est de type U V L ens
118. he 5 3 3 D ot le th or me Le th or me 8 39 et la remarque 8 41 de Pul d crivent explicitement les kP modules qui peuvent tre des sources de modules simples pour des groupes finis p r solubles Ces modules sont ceux du th or me savoir les k P modules d endo permutation ind composables de torsion de vortex P qui sont des fac teurs directs d un kP module de la forme g pryer Teng Inf r Moy o Moyr est un k Q R module endo trivial de torsion et o T est une famille de sections de P qui sont des groupes cycliques quaternioniens ou semidi draux Il en d coule imm diatement la cons quence suivante Corollaire 5 7 4 Soient p un nombre premier P un p groupe fini et k un corps alg briquement clos de caract ristique p Alors tout kP module d endo permutation ind composable de vortex P qui peut tre une source d un module 120 CHAPITRE 5 SOURCES DE MODULES SIMPLES simple de vortex P pour un groupe fini p r soluble est explicitement r alisable comme source d un module simple de vortex P pour un groupe fini p nilpotent Pour terminer cette section consid rons ce dernier r sultat Corollaire 5 7 5 Soit p un nombre premier impair Alors tout kP module d endo permutation ind composable de torsion est la source d un module simple De plus on peut explicitement r aliser ces modules comme sources de modules simples pour des groupes finis p nilpotents Preuve Si p est impair alors t
119. ial si les conditions suivantes sont satisfaites 1 Les sous groupes Z P P et P coincident Notons Z ce sous groupe 2 Le groupe Z est cyclique d ordre p En particulier si P est un p groupe extrasp cial alors le groupe quotient P Z est ab lien l mentaire car Z P On dispose d un th or me de classification des p groupes extrasp ciaux qui les d crit en utilisant le produit central 61 62 CHAPITRE 4 GROUPES EXTRASPECIAUX D finition 4 1 2 Soient H K et M des groupes tels que M lt Z H et tel qu il existe un homomorphisme injectif 0 M Z K Alors si on identifie M avec son image 0 M il existe un groupe G de la forme G HK avec M HNK lt ZG et tel que H centralise K Un groupe G satisfaisant ces propri t s est appel le produit central de H et K et on le note G H x K En particulier si M 1 alors on a un produit direct de groupes cf th or me 2 5 3 de Go Notation Dans le cas particulier ot on consid re le produit central d un groupe G avec G lui m me on note simplement G au lieu de G G Plus g n ralement on note G le produit central de r copies du groupe G pour tout entier r gt 0 avec les conventions que G Z G et que G G Th or me 4 1 3 Soient p un nombre premier et P un p groupe extrasp cial 1 Sip 2 et P 8 alors soit P est isomorphe au groupe di dral Dg soit P est isomorphe au groupe quaternionien Qs 2 Sip est impair et P p al
120. iquement clos on a q 1 racines g i mes de l unit non triviales Or deux racines distinctes d finissent deux modules non isomorphes et donc on obtient q 1 modules simples non isomorphes de dimension q comme souhait 5 3 CONSTRUCTION DE MODULES SIMPLES 101 D autre part pour tout choix de 2m racines q iemes de l unit w et 0 pour 1 lt i lt m on obtient une repr sentation de degr 1 de Q en posant tu wi et y G VI lt i lt m Deux choix distincts donnent deux repr sentations distinctes et donc les deux modules associ s ne sont pas isomorphes Ainsi on obtient autant de kQ modules non isomorphes de dimension 1 que de choix possibles savoir q car k est alg briquement clos D o le r sultat annonc on a q 1 kQ modules simples de dimension q et on aq kQ modules simples de dimension 1 En caract ristique 0 i e sur K les relations d orthogonalit permettent de d terminer quand deux KQ modules simples sont isomorphes Dans notre cas m me si k n est pas de caract ristique nulle kQ est semi simple et l homomor phisme d de d composition induit un isomorphisme entre les kQ modules simples et les KQ modules simples cf Se Autrement dit on peut relever tout kQ module simple L en un unique KQ module simple Lx isomorphisme pr s On en d duit alors que pour tous kQ modules simples L et M se relevant en Lx et Mx respectivement on a Si M et L ne sont pa
121. isomorphes C4 Qs 35 sous groupes d ordre 8 savoir 18 di draux 2 quaternions 9 iso morphes C4 x C2 et 6 ab liens l mentaires de rang 3 21 sous groupes d ordre 4 a savoir 6 cycliques et 15 ab liens l mentaires de rang 2 dont 9 contenant Z 10 sous groupes d ordre 2 savoir les 9 de Q et le centre 1 sous groupe d ordre 1 Ainsi P poss de 1 15 35 15 66 classes de conjugaisons de sous groupes non cycliques dont 51 contiennent Z On en d duit la cons quence suivante Th or me 4 2 15 Le rang de D P vaut 66 celui de D P Z vaut 51 et celui de E P vaut 15 Nous allons maintenant montrer le troisi me point de notre plan sa voir d terminer l unique relation non triviale multiple entier pr s liant les l ments de afin de pouvoir extraire de l ensemble une Z base de E P On pourra alors aussi exhiber une Z base de D P et clore ainsi le cas n 2 En effet on sait d j que l ensemble 1022 0er et P Q gt 4 est une Z base de D P Z cf th or me 2 0 13 Remarquons que la somme des lignes de la matrice Bz qui appara t dans la preuve de la proposition 4 2 13 vaut 0 Autrement dit 5 Qpr Ker B T P et donc JaczZ avec D Qpyr a Q REQ REQ 76 CHAPITRE 4 GROUPES EXTRASPECIAUX Proposition 4 2 16 On a REO Opp 2 0 Preuve Comme T P lt Qp gt Z Vassertion 2 du th or me 1 5 5 im plique que la res
122. it re fort utile pour savoir sous quelles conditions on peut tendre un module d un sous groupe un sous groupe plus grand Mais en g n ral s il existe une extension alors celle ci n est pas unique moins de fixer la valeur du d terminant de la repr sentation associ e car on peut toujours consid rer le produit tensoriel avec un module de dimension 1 cf chapitre 1 Qu en est il des kG modules dans notre situation D finition 5 3 3 Soient H lt G et M un kH module On dit que M est inva riant par G si les kH modules 9M et M sont isomorphes Vg G Rappelons que 9M d signe le module conjugu M par g et l action de H sur 9M est donn e par h m 9h m V meM VhEH et VgeG Lemme 5 3 4 Soit G Q x P un groupe fini p nilpotent ou Q est d ordre pre mier ap et P est un p sous groupe de Sylow de G Soit L un kQ module simple invariant par G et notons p Q gt Aut L la repr sentation irr ductible as soci e Alors il existe une unique extension p G gt Aut L de p i e il existe une unique extension de l action de Q sur L G A fortiori isomorphisme pr s il existe un unique kG module L tel que Lge L Remarque 5 3 5 Dans les hypoth ses du lemme le th or me III 3 16 de Fe d montre l unicit isomorphisme pr s du module L Comme nous allons avoir besoin de l unicit de l extension de l action p d finissant la structure de kG module sur L ce r sultat west
123. it un groupe fini p nilpotent G H x P dans lequel les groupes Q VO lt i lt r sont des sous groupes conjugu s Par hypoth se pour tout 0 lt lt r le k Q module L est simple Consid rons le produit tensoriel externe L _ L S de ces modules Par le th or me 10 33 de CR L est un kH module simple car k est alg briquement clos Posons Vu PetVr x o x E L VO lt i lt r r UXT Q e u oz i Tozi i 0 pour l action d origine not e de Q sur L et o on crit UY Vo CU i VO lt i lt r comme auparavant Cette action de P tendue par k lin arit munit L d une structure de kP module En effet pour tous u u P et pour tout f_ Li L ona lxx xet Tr ux ul xx ux i c u ox i i 0 116 CHAPITRE 5 SOURCES DE MODULES SIMPLES II ACCRO CEAC D T Il 4 PTS nS Q ao g Q e jaa SEES z PREZ S S an RER S Q ja ITS gt Nr er q T V2 Il Pour tous h hi o H x f_0 x L et u P on d finit hu x h uxx Ainsi on munit L d une structure de kG module En effet le calcul suivant montre que les actions de P et de H sont compatibles uh ep th u x 2 i ours Op 149 J u x ar T II vif clu t i 1 7 Ge Oh ig i elu o 5 20 i 0 TA II elu oz Ch zezno ux h 2 i 0 Par ailleurs Die et Teng LLS so
124. kG modules lunicit de p implique l unicit isomorphisme pr s de l extension L de L D o la derni re affirmation du lemme Appliquons ces r sultats aux modules simples consid r s dans le cas des groupes p nilpotents G Q x P construits dans la section 5 2 avec P cyclique quaternionien ou semidi dral Soit m l entier tel que Q q et choisissons arbitrairement un kQ module simple L de dimension q Autrement dit 104 CHAPITRE 5 SOURCES DE MODULES SIMPLES dim L q si Q q et P est cyclique ou quaternionien et dim L q si Q q et P est semidi dral Notons w la racine g i me non triviale de l unit satisfaisant z l wl VIE L Lemme 5 3 6 Dans ces hypoth ses il existe une unique extension G de l action de Q sur L Par suite L s tend en un unique kG module simple L isomorphisme pr s Preuve Par le lemme 5 3 4 il suffit de montrer que L L Vu P Or Vu P les kQ modules L et L sont des modules simples de dimension q avec m 1 ou 2 D o L S L si et seulement si lt rl Lelo gt q par le lemme 5 3 2 Comme z l w l VIE L ona Tr z Lx qu VO Si lt q De plus z est central et donc 1 z 02 1 2 w VUE L Par suite Tr z Lx Tr z Lg qu VO lt i lt q D o q 1 La tel gt ge Se Lk T z Lk i 0 q 1 g D P Pu g i 0 Donc L est invariant par G ce qui prouve le lemme
125. la fronti re de la th orie de la repr sentation des groupes finis et envahit les champs d int r ts de certains de nos confr res topologues nul doute que les investigations autour des modules d endo permutation ont encore de beaux jours devant elles Bibliographie BoTh Br CaRo CaTh1 CaTh2 CR J L Alperin Invertible modules for groups Notices AMS vol 24 1977 J L Alperin Local representation theory Cambridge studies in ad vanced mathematics 11 Cambridge University Press 1986 J L Alperin A construction of endo permutation modules J Group Theory 4 2001 3 10 J L Alperin Lifting endo trivial modules J Group Theory 4 2001 1 2 D J Benson Representations and cohomology I IT Cambridge Stu dies in advanced Mathematics 30 Cambridge University Press 1991 S Bouc Tensor induction of relative syzygies J reine angew Math Crelle 523 2000 113 171 S Bouc Burnside Rings Handbook of Algebra 2 2000 739 804 S Bouc Non Additive Exact Functors and Tensor Induction for Mac key Functors AMS Memoirs 683 vol 144 2000 275 349 S Bouc and J Th venaz The group of endo permutation modules Invent Math 139 2000 275 349 M Brou Rickard equivalences and block theory Groups 93 Gal way St Andrews Vol 1 Galway 1993 58 79 London Math Soc Lecture Note Ser 211 Cambridge Univ Press Cambridge 1995 J Carlson Endo trivial modules ov
126. lassification dans le cas o P est ab lien La premi re partie de ce travail de th se est consacr e au probl me de la classification dans le cas g n ral et r soud la question dans le cas de deux familles de p groupes finis savoir celle des p groupes m tacycliques pour un nombre premier p impair et celle des 2 groupes extrasp ciaux de la forme Dg x Dg Ces deux choix ont t motiv s par le fait que ces groupes sont presque ab liens De plus certains r sultats sur la structure du groupe de Dade d un p groupe fini quelconque rendent le groupe de Dade des groupes de ces deux familles plus simple tudier Dans un deuxi me temps nous nous sommes int ress s deux occurrences de ces modules dans la th orie de la repr sentation des groupes finis c est a dire deux raisons qui motivent leur tude Ainsi nous avons r alis des modules d endo permutation comme sources de modules simples En particulier il s av re que dans le cas d un nombre premier p impair tout module d endo permutation ind composable dont la classe est un l ment de torsion dans le groupe de Dade est la source d un module simple Finalement nous avons d termin parmi tous les modules d endo permutation connus actuellement lesquels poss dent une r solution de permutation endo scind e Nous sommes arriv s la conclu sion que les seuls modules d endo permutation qui n ont pas de r solution de permutation en
127. le rang sans torsion du groupe de Dade d un p groupe fini P est gal au nombre de classes de conjugaison de sous groupes non cycliques de P th or me 4 1 de BoTh et assertion 5 du th or me 1 5 5 Ils obtiennent aussi des r sultats partiels concernant le sous groupe de tor sion Dt P de D P Ils d montrent que si p est un nombre premier impair alors un certain quotient D P de D P est un F2 espace vectoriel de base Teninf o C 6 C C C P o d C est le sous groupe de Frattini de C et C P un syst me de repr sentants des classes de conjugaison de sous groupes cycliques non triviaux de P Par la suite il va s av rer que Dt P est gal Dt P cf CaTh2 ou assertion 7 du th or me 1 5 5 41 Finalement ils d veloppent une approche fonctorielle du probl me concer nant D P en consid rant d une certaine mani re Q8zD et D comme des foncteurs Comme nous n avons pas utilis ce point de vue nous ne d veloppons pas plus cet aspect du groupe de Dade Encore en 2000 J Carlson et J Th venaz publient un article synonyme de nouvelle avanc e dans l analyse du groupe de Dade cf CaTh1 En effet ils parviennent a r duire la question concernant la structure du groupe des modules endo triviaux de n importe quel p groupe fini au groupe des modules endo tri viaux de p groupes finis appartenant une famille d tectrice C est le l asser tion 2 du th or me 1 5
128. les exceptionnels apparaissant pour les groupes quaternioniens Cette derni re affirmation soul ve la principale question encore ouverte Existe t il des modules d endo permutation dont la classe ne peut pas s exprimer comme combinaison lin aire des syzygies relatifs et des quelques exceptions qui interviennent dans le groupe de Dade des groupes quaternioniens On conjecture que la r ponse est n gative mais on ne peut encore le prouver Remarquons en particulier que si cette conjecture s av re exacte alors il s ensuivra que tout module d endo permutation de torsion ind composable est source d un module simple De plus nous aurons une r alisation explicite de 135 136 CHAPITRE 7 CONCLUSION chacun de ces modules comme source d un module simple pour un groupe fini p nilpotent Cela impliquera galement qu l exception des modules exceptionnels pour les groupes quaternioniens tous les modules d endo permutation ont une r so lution de permutation endo scind e Cependant m me si cette conjecture tait d montr e et de ce fait la classi fication des modules d endo permutation achev e le travail de recherche autour de ces modules ne serait pas encore termin En effet il resterait en suspens la question de recollement que nous avons mentionn e dans le chapitre 2 et que nous aurions pu aborder dans la seconde partie Etant donn que ce probl me s tend au del de
129. leurs le groupe N agit par permutation sur l ensemble S des com posantes isotypiques de V De plus cette action est transitive car V est ind composable Comme A agit trivialement sur S l action de P sur S est transitive Mais comme P centralise A l action de P sur S est triviale En effet on a a u s au s ua s u a s u X a s X a u s Va A et donc u s Si Vue Pet Vs S Par suite VIS S pour un kA module simple S et un entier n N Consid rons les kN modules ind composables V4 ky et Vp ky 1 V sur lesquels N agit comme suit Soit g N disons g au pour un a A et un u P Onag r x a r Vr Va et g rv g r g v x a r x a u v r Q u v Vr v Vp On remarque que P agit trivialement sur V4 car u r r Vue P Vr k De m me A agit trivialement sur Vp car a r amp v r amp v Va A Vr v E Vp De plus V V4 Vp comme kN modules car k ky k 1 est un isomorphisme de kN modules Ainsi VISE Val Vpl X k VpS Vpl Or Vp est un kN module ind composable car V l est par hypoth se et comme A agit trivialement sur Vp la restriction Vp est ind composable Par cons quent VI est ind composable Distinguons les cas suivant les diff rents p groupes consid r s 5 3 1 Cas d un groupe cyclique Supposons P cyclique Par le lemme 5 2 3 P est un sous groupe de G d inter section triviale et donc les facteurs directs appa
130. lique ordre p et donc D C C T C C VC EC Prouvons l assertion par r currence sur P et commen ons par supposer P p Alors on a T P D P et C P Par suite on a II Defres c Idr p Celc P est injective Supposons maintenant P gt p et le lemme v rifi pour tout p groupe m tacyclique d ordre strictement inf rieur P Distinguons deux cas 1 Si P est cyclique alors le lemme est la version cyclique de la proposi tion 3 2 1 et donc il n y a rien d montrer 2 Si P west pas cyclique alors par le lemme 3 2 2 et par hypoth se de r currence la composition Dp JT vey JI II reao 1 lt Q lt P 1 lt Q lt P CECQ Arte r x P est injective o a ycgep Reso 8 Thegep ceca Defres a o et Co est l ensemble des sous groupes cycliques non triviaux de Q pour tout sous groupe Q de P Or VC EC et YQ Q lt P tels que C Co N Co on a Defres 0 o Res Defres amp 0 Defres a o o Res De plus on a Ker Defres amp 0 Ker Defres tg 4 2Q pour tout sous groupe Q de P par un argument d j vu Par suite on peut se restreindre aux classes de conjugaison de sous groupes cycliques non triviaux sans perdre l injectivit de l application Ainsi Ieoeje p Defres a c D P Toejesp T C 2 C est injective Ce dernier r sultat nous donne une borne sup rieure en ce qui concerne le rang du sous groupe de torsion du gro
131. me symplectique si p est impair respectivement orthogonale si p 2 est non d g n r e De plus l argument de la preuve du th or me 4 18 de Su que nous avons utilis dans la preuve du corollaire pr c dent implique que si Q p pour un entier 1 lt i lt n alors Np Q est de la forme Q x P _ voir aussi la section 3 de CaTh2 eZ P Z y 2 1 Yy E Q VQEQ Le lemme suivant va nous tre fort utile pour les calculs de la prochaine section Lemme 4 1 8 Soient Q RE Q 1 Si Q p R alors Defres Np 0 Q Qpyr 0 2 Si Q lt p R alors Defreshy Q Opr np R O U Ug Avant de prouver ce r sultat rappelons un fait g n ral concernant les en sembles munis d une action de groupe Remarque 4 1 9 Soient G un groupe fini et H K lt G Consid rons le G ensemble transitif G H muni de Vaction de G induite par la multiplication gauche Alors G H 40 K lt GH En effet on a G H xH G H gx H xH Vg K Soient alors xH G H et g K Ona gtH cH g H 4 gt g H Donc G H 2H G H K lt H 66 CHAPITRE 4 GROUPES EXTRASPECIAUX Nous pouvons pr sent d montrer le lemme 4 1 8 Preuve Par le lemme 1 5 9 on a Defresiy Q Npr Nyo o X est le Np Q ensemble Resyy q P R 1 15 60 les P ensembles nous donne X Il one neo Il Np Q 9RN Np Q g Np Q P R g P RNp Q La formule de Mackey pour car Np
132. mme k espaces vectoriels sont identiques Ainsi p Q Aut V et p G Aut V sont les deux repr sentations irr ductibles associ es L et L respectivement et on a par hypoth se p p Soit p G gt Aut V une repr sentation irr ductible de G satisfaisant P S p et consid rons l application s G Autzo V g pl g alg Yg EG On a s g Aut V Vg G car f g P g Aut V Vg E G et donc s est bien d finie De plus s g est kQ lin aire car si h Q et v V alors on a pour tout gEG s g h v A g A g h v ADET hg A g v CIT hg Al v PACA w h s g v Par le lemme de Schur comme p est irr ductible et k est alg briquement clos Autko V est isomorphe au groupe multiplicatif ab lien k On a Yg h EG s gh AJAA 9 A g s h A g p 9 A g s h s g s h Ainsi s est un homomorphisme de groupes De plus pour tout g Q on a s g p g p g p g p g 1 et donc Q lt Ker s En identifiant Autko V k s induit Phomomorphisme de groupes suivant 5 G Q k gt s g Or G Q est un p groupe puisqu isomorphe P et k ne contient pas de racine p i me non triviale de l unit car XP 1 X 1 dans k X Par suite 5 ne peut tre que l homomorphisme trivial c est dire 1 3 3 s 9 g g T Yg ge G Q Par cons quent on a p et donc l extension p de p est unique En termes de
133. module endo trivial Lemme 5 3 11 xe est gal au K E module g 1 ke K E lt v gt k E lt vw gt F kB F Preuve Consid rons les k sous espaces vectoriels de X suivants o la nota tion a d signe la partie enti re d un nombre r el a 1 1 keV Wi ke map ii gt V lt i l lt 1 W RM ne VO lt i lt ae Gi State Due Wij k lt y Yogi Ve AN Verne SE VO lt i j lt q avec i j et 37 4 a On d nombre ainsi 1 sous espaces W et W distincts et sous espaces W distincts Ce sont des kE sous modules de permutation de X En effet k lt Y 1 gt est isomorphe au kE module trivial W est isomorphe k lt Y gt 17 k E lt v gt comme kE module car v agit trivialement sur W et w permute Yj et w Y _ 7 pour tout entier 7 tel que EB lt iFl lt ae De m me W est isomorphe comme amp E module k E lt vw gt pour tout 0 lt i lt T 112 CHAPITRE 5 SOURCES DE MODULES SIMPLES Wi est un kE module isomorphe k lt Y gt 77 et donc libre de rang 1 VO lt i j lt q aveci Aj et i 7 a Le kE sous module de X engendr par les sous modules k lt Y 1 gt Wi W et Wi est une somme directe En effet il poss de une k base obtenue en partitionnant selon les sous modules sus cit s une k base de X construite en modifiant les l ments de la base par des scalaires De plus la dimension de cette somme directe vaut 1 q 1
134. mple en ap pliquant la formule de Bouc cf lemme 1 5 10 aux l ments de torsion de B afin de comparer les deux syst mes de g n rateurs B et B de D P On a pour tout P ensemble fini X et pour tout sous groupe Q Teng x X pp S T a T P Q XT ZO 9ps S TE sp lt P o sp est l ensemble partiellement ordonn pour l inclusion lt p des classes de conjugaison des sous groupes de P Pour notre exemple sp contient 8 l ments repr sent s par 1 V Ap Ai A2 E et P o 1 d signe le groupe trivial Par suite on a 1 siS T ousi S T 1 E LM SUS aE et siT S S Cp PET 3 si S T 0 P 0 sinon On calcule ainsi Teng Qy 4Q gt Pale 20 pv ae pa Ten OQ 60 BQ pcs Teninf Na Moejen Qeya t Npe VOSI rj 3 3 LE PLUS PETIT EXEMPLE NON ABELIEN 59 On peut v rifier l exactitude de ces calculs en appliquant ap des deux c t s des galit s Les r sultats doivent co ncider dans D P isomorphe Z 2Z x Z Ce calcul montre par exemple que les chapeaux de Ten Q1 F3 et de 921 F3 QL F3 sont isomorphes Exprimons ceci matriciellement les lignes correspondant aux l ments de B exprim s dans B 4 2 0 1 1 1 0 6 3 00 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0010 0 0 0 60 CHAPITRE 3 LES P GROUPES METACYCLIQUES Chapitre 4 Groupes extrasp ciaux Les p groupes extrasp ciaux apparaissaient dans la
135. n ral depuis plus de vingt ans en vain Seuls des r sultats partiels ont t obtenus concernant la structure du groupe de Dade On sait en particulier que c est un groupe ab lien de type fini D crivons pr sent comment nous avons organis la pr sentation de notre travail La premi re partie de cet ouvrage est consacr e l tude du groupe de Dade Dans le premier chapitre nous exposons les notions de base dont nous avons besoin pour notre analyse Dans le deuxi me nous tra ons un bref historique du groupe de Dade Ensuite dans les deux chapitres suivants nous d terminons le groupe de Dade des p groupes m tacycliques pour un nombre premier p impair et le groupe de Dade des 2 groupes extrasp ciaux de la forme Dg pour un nombre entier n valant au moins 2 La seconde partie de l ouvrage est consacr e aux occurrences des modules d endo permutation dans la th orie de la repr sentation des groupes finis Dans le cinqui me chapitre nous r alisons les modules d endo permutation comme sources de modules simples Cette application est motiv e par un r sultat que L Puig a d montr dans les ann es 80 savoir que les sources de modules simples pour des groupes finis p r solubles sont des modules d endo permutation d une certaine forme Nous avons donc abord cette question sous un autre angle en nous demandant si chacun des modules de cette forme donn e apparaissait effectivement comme source d u
136. n 4 2 18 Corollaire 4 2 20 E P est un Z sous module libre de rang q de E P A fortiori le Z sous module libre Im G du Z module libre Im B est de rang gal g 1 Preuve Par la proposition 4 2 18 l ensemble E de cardinal q 1 en gendre un Z module libre de rang q Or engendre E P par d finition de E P Ainsi E P est un Z sous module libre de rang q de E P De plus comme Ker 3 Ker f T P est un Z module libre de rang 1 cf proposition 4 2 9 on a des isomorphismes de Z modules libres de rang q fini E P S T P Im p et E P ZT P Im 6 Par suite Im G E P est un Z sous module libre de Im 8 de m me rang q 1 D ot le corollaire Maintenant comme annonc on va montrer le cinqui me et dernier point de notre plan savoir que Im 3 est un facteur direct de Joco E N Q Q de rang q 1 Ceci impliquera D P D P Comme dans le cas o n 2 on va prolonger l ordre lt p lt p pour l inclusion stricte en un ordre total lt resp lt sur l ensemble Q P Soyons m thodique et d finissons cet ordre pas pas comme suit Pour simplifier les notations posons t qn 1 et Q Q P jusqu la fin du chapitre 1 Choisissons un ordre arbitraire Rj lt Ro lt lt F sur Q 2 V1 lt i lt tetV1 lt 3j lt n on d finit les ensembles Ar REQ R lt p R et Aij Ar N Qj 4 2 UN CAS PARTICULIER 81 3 Soit j
137. n effet c est le r le jou par ces modules dans l analyse de la structure de certains modules simples pour des groupes finis p nilpotents qui a amen E Dade en introduire le concept en 1978 Quelques ann es plus tard L Puig a d montr que la source de n importe quel module simple pour un groupe fini p r soluble quelconque est un module d endo permutation Plus r cemment on s est rendu compte que ces modules interviennent aussi dans l analyse locale des cat gories d riv es et dans l tude des syst mes de fusion La situation que l on consid re est la suivante On se donne un nombre pre mier p un p groupe fini P un corps alg briquement clos k de caract ristique p et on veut d terminer tous les kP modules d endo permutation couverts ind composables de type fini c est dire tous les k P modules ind composables de type fini tels que leur alg bre d endomorphismes est un kP module de permu tation ayant un facteur direct trivial On d finit une relation d quivalence sur l ensemble de ces kP modules et le produit tensoriel des modules induit une structure de groupe ab lien sur l ensemble des classes d quivalence On appelle ce groupe le groupe de Dade de P Ainsi classifier les modules d endo permu tation couverts revient a d terminer le groupe de Dade de P Le groupe de Dade d un p groupe fini arbitraire est encore inconnu bien quwE Dade en 1978 tait d j parvenu la c
138. n module simple Grace aux r cents r sultats de J Carlson et J Th venaz il s av re en par ticulier que pour p impair tous les modules ind composables dont la classe est un l ment de torsion dans le groupe de Dade sont des sources de modules simples Finalement nous avons fait un petit d tour du c t des quivalences d riv es et nous avons consid r une remarque de J Rickard Il a constat que si un module poss de une r solution de permutation endo scind e alors le module 0 3 INTRODUCTION 9 en question est d endo permutation Comme pour la question pr c dente nous avons regard le probl me d un autre point de vue en d terminant parmi tous les modules d endo permutation connus actuellement lesquels poss dent une r solution de permutation endo scind e En emboitant comme s il s agissait des pi ces d un puzzle les travaux de S Bouc et de J Rickard nous sommes arriv s la conclusion que les seuls modules d endo permutation qui n ont pas de r solu tion de permutation endo scind e sont les modules exceptionnels apparaissant pour un groupe quaternionien Ce travail de th se est loin de r soudre toutes les questions concernant la classification des modules d endo permutation Les r sultats qu il contient ne constituent en fait que quelques briques suppl mentaires pour l dification de cette classification Relevons galement le fait que les r sultats des chapitres 3
139. nc tous les termes C Cj avec i j apparaissent deux fois avec le m me coefficient dans l expression de x Par cons quent on a x Yo dans Z 2Z z a P D autre part par hypoth se Y d est scind et v rifie H End M kK OL sin 0 Mae 0 sinon pour un amp P module libre L De l galit dim M I I 1 s ensuit l galit dim End M dim M 1 P I 1 Donc L est libre de rang HI 1 Or par le lemme 6 2 2 on a Y H Y Im di4i1 Im d Vi Z Il s ensuit s So D D H Y H Y kL 6 6 m n lt l lt m n m n lt l lt m n Assertion Si C est un kP module de permutation alors dans la d composition de C amp C en somme directe de kP modules ind composables on a un nombre pair de facteurs libres de rang 1 N B par le th or me de Krull Schmidt une telle d composition de C amp C est unique isomorphisme et ordre des facteurs pr s ce qui justifie expression la d composition de C 8 C Preuve de l assertion Par le th or me de Krull Schmidt C est isomorphe une somme directe xk P H o H parcourt un ensemble de sous groupes de P et peut appara tre plusieurs fois dans la somme Chaque facteur k P H est un kP module ind composable et isomorphe au module induit kf cf paragraphe 27 de Th1 Regardons les diff rents facteurs qui peuvent appara tre dans C amp C Par la formule de r ciprocit de Frobenius
140. nel de dimension 3 n a pas de r solution de permutation endo scind e r pondant ainsi n gativement la question qu il se posait Nous avons d cid de poursuivre la recherche de modules d endo permu tation poss dant une r solution de permutation endo scind e en utilisant entres autres les r sultats obtenus dans la premi re partie A pr sent il conviendrait probablement d ouvrir une parenth se cat gorique et faire une br ve incursion dans l univers des quivalences d riv es et de la conjecture de Brou Cependant cela nous demanderait d introduire une grande quantit de nouvelles notions des cat gories d riv es de Grothendieck aux qui valences d riv es splendides de Rickard en passant par les isotypies de Brou Et finalement tout ceci ne nous concerne qu indirectement puisque pour atteindre notre objectif nous n avons besoin que de la d finition d une r solution de per mutation endo scind e d un module C est la raison pour laquelle nous allons nous contenter de d finir ce type de r solution en renvoyant le lecteur int ress aux articles Br et Ri pour de plus amples informations sur le sujet 125 126 CHAPITRE 6 EQUIVALENCES SPLENDIDES 6 2 R solutions de permutation endo scind es Soit G un groupe fini et consid rons les m mes notations et conventions que dans le chapitre 1 D finition 6 2 1 Soit M un RG module 1 M est dit de p permutation si MIS est un RP module de
141. nent d un changement de base Si on consid re la matrice inversible 010 S 0 0 1 onobtient U U et V V 1 0 1 D ot le r sultat 122 CHAPITRE 5 SOURCES DE MODULES SIMPLES Terminons cet exemple avec la remarque suivante Calculons les matrices W U et W U correspondant l action du centre Z P sur M respec tivement L 1 0 0 1 0 0 W 10 1 0 et W 10 0 1 1 0 1 0 1 0 On remarque que dans les deux cas on a un facteur direct trivial correspondant la deuxi me colonne de W respectivement la premi re de W Par cons quent on a bien que les restrictions L et M sont isomorphes k k Z P et donc ces deux modules sont endo triviaux par le th or me 1 5 5 5 9 Un autre exemple Explicitons pr sent un nouvel exemple qui illustre le fait que la m thode que nous avons donn e dans ce chapitre n est pas n cessairement la plus cono mique En effet consid rons un groupe cyclique P d ordre 3 et cherchons r aliser Q F3 Selon notre d marche on devrait trouver un nombre premier impair q congru 2 modulo 3 On peut prendre q 5 Mais alors le module simple L que l on construit est aussi de dimension 5 et donc pour d terminer sa source il va falloir d tecter un facteur direct libre dans la restriction de L P Or il y a une r alisation de QL F3 comme source bien plus facile expliciter et c est celle ci que nous allons d velopper dans cette section
142. nr de Di Q vers D P R coincident Or en ce qui nous concerne nous nous int ressons uniquement la com position correspondante pour les syzygies relatifs et ceux ci sont d finis sur le corps F qui est parfait En fait comme l vation la puissance p est liden tit sur Fp le morphisme induit par sur D P est l identit sur les syzygies relatifs cf exemple 3 3 de BoTh Ceci simplifie l expression ci dessus comme nous le mettons en vidence dans la seconde affirmation du lemme suivant la premi re galit correspondant la formule de Mackey dans le cas de l induction tensorielle Lemme 1 5 12 Soient S et Q deux sous groupes de P et X un Q ensemble fini Ona Res o Teng Qx ye Ten uQ o Ress uo olsog Qx dans Dr S we S P Q Si de plus S lt P alors on a dans D P S P S QS S o Def Defp s 0 TenG Qx Teng g 80g ons Jons 2x Preuve La premi re galit est d montr e dans la proposition 3 15 2 de Be et elle est valable pour tous les RP modules La seconde d coule de la proposi tion 3 10 de BoTh Nous allons clore ce premier chapitre en fixant quelques notations suppl mentaires Nous allons noter DY P le sous groupe de Dr P engendr par les syzygies relatifs c est dire le groupe constitu des combinaisons Z lin aires des l ments Q o X est un P ensemble fini De plus dor navant nous al lons appeler D P le groupe de Dade
143. ns d crire les 1 5 SYZYGIES MORPHISMES ET COMPOSITIONS 29 inflations pour all ger les notations Il suffit de montrer que les P QS ale bres A S et A QS sont isomorphes Remarquons tout d abord que AS A S car A A Ainsi on a des inclusions SARS SS AR c AP T lt S T lt QS Si T lt QS ona AT AST De plus rT est nulle si T lt QT i e si Q LT Dans ce cas on a tre trop tre 0 Si Q lt T alors T QT Par suite on a ier trop et pour calculer Aer on peut prendre QS QT S T N S comme syst me de repr sentants car QS QTS TS Comme T lt QS il s ensuit que TA S lt S et donc on a Ae Ae C Mires A Ainsi on a l galit cherch e gt D A 5 AQS et donc A QS A S T lt S T lt QS PJS mo id Donl En particulier si Q S on a Def p s o Infpys int o Def derni re affirmation du lemme La plupart des autres propri t s que nous allons utiliser ne se d montrent pas aussi ais ment Nous allons donc nous contenter de les noncer en mentionnant les r f rences des articles o elles sont prouv es Afin de simplifier l criture introduisons les notations suivantes Notations Soient Q et S deux sous groupes d un p groupe fini P avec S Q et X un P ensemble fini Rappelons que le quotient Q S est appel une section de P 1 Pour tout entier n on note Q la classe de Q R dans Dr P ou sim plement Nx sin 1 En particulier on a nQ Q
144. ns ordinaires d un groupe fini G c est dire les CG modules En effet par le th or me de Maschke on sait que toute repr sentation se d compose comme somme directe de repr sentations irr ductibles et celles ci sont en nombre fini et r sum es par leur table des caract res Celle ci nous fournit d ailleurs des informations fort int ressantes concernant le groupe G bien qu elle ne le caract rise pas car deux groupes distincts peuvent avoir la m me table des caract res Ce r sultat se g n ralise pour un corps K assez gros et dont la caract risti que ne divise pas l ordre du groupe G Par contre la situation devient plus chaotique lorsqu on quitte ce cadre idyllique pour consid rer un corps K dont la caract ristique n cessairement premi re divise l ordre de G Dans ce cas il n est plus vrai que toute repr sentation se d compose comme somme directe de repr sentations irr ductibles Par le th or me de Krull Schmidt on a alors un certain contr le de la situation si on remplace la notion d irr ductibilit par celle d ind composabilit Toutefois on n a pas un nombre fini de KG modules ind composables en g n ral et leur classification compl te se r v le passablement ardue pour ne pas dire impossible C est la raison pour laquelle il est pr f rable de focaliser notre attention sur des familles de modules satisfaisant certaines propri t s C est ce que nous avons fait en
145. nstruisons pr sent des homomorphismes de groupes allant dans le sens oppos des restrictions et des inflations d finies ci dessus 4 Induction tensorielle Soient Q un sous groupe de P M un RQ module et A une Q alg bre Une op ration naturelle qui permet de passer d un RQ module un RP module est l induction Or en g n ral l induction ordinaire d un RQ module d endo permutation n est pas un RP module d endo permutation et donc ce n est pas la bonne construction consid rer dans notre cas Par contre induction tensorielle de Q a P satisfait nos exigences En effet l induite tensorielle Teng M de M est le R module Q s8 M se P Q o P Q est un syst me de repr sentants des classes gauche de P Q et s M est le R Q module conjugu de M cf d finition 1 2 4 On munit Teng M d une structure de RP module comme suit Pour tout u P il existe une unique permutation o de P Q qui d pend de u et des l ments uniques vs E Q tels que us o s vs Vs P Q L action de P sur Teng M est alors donn e par u Q SQT Q S Ug 1 s Lo 1 s VUE P V Q SQLs Teng M se P Q se P Q se P Q De m me est un RQ module et on peut donc lui appliquer cette construction pour obtenir un RP module not Teng A qui est aussi une R alg bre Si M est un RQ module d endo permutation couvert et A Endr M la P alg bre de Dade correspondante alors Teng M est un RP module
146. nt isomorphes comme kP modules En ef fet par construction ce sont deux k espaces vectoriels isomorphes de dimension gale dim L De plus par d finition de l action de P sur L d une part et par d finition du module Ten L induit tensoriellement d autre part l action de P coincide sur ces deux kP modules Or Ten M est un facteur direct de Ten L En effet pour tout indice 0O lt i lt r le k C module M est un facteur direct de L Par cons quent on peut crire Teng M LIS De plus L est de vortex P car p dim L cf proposition 1 2 5 et Ten M est un kP module d endo permutation couvert On en d duit alors que la source de L est isomorphe au chapeau de Ten M Remarque 5 5 1 Si l on consid re l induction tensorielle selon le point de vue fonctoriel introduit par S Bouc dans Bo alors on vite le choix d un syst me de repr sentants des classes gauche de P C En effet le groupe H que nous avons d fini ci dessus est isomorphe au groupe Home P Q p P Q c u c glu Yc C Yu P des applications C quivariantes de P vers Q o on consid re P et Q comme des C ensembles pour la multiplication gauche par C dans P et respectivement pour l action de C sur Q par conjugaison dans G De m me le kH module L est isomorphe un quotient de k Home P L o L d signe L vu comme C ensemble Plus pr cis ment dans les notations de la section 9 4
147. o la base de Q k consid r e est u 1 u 1 2 M est isomorphe la somme directe k k Autrement dit u agit tri vialement sur M et donc U est la matrice identit ce qui n est pas le cas Par cons quent on a LISS Q2 k et la base dans laquelle est exprim e U est l ensemble u u 1 u 1 124 CHAPITRE 5 SOURCES DE MODULES SIMPLES Chapitre 6 Equivalences splendides 6 1 Introduction Nous allons maintenant consid rer les modules d endo permutation et leur r le dans l analyse locale des quivalences d riv es entre blocs Plus pr cis ment la situation qui nous int resse est la suivante Si K O k est un syst me p modulaire pour un nombre premier p si G est un groupe fini p nilpotent avec un p sous groupe de Sylow P alors J Rickard a remarqu que certains RP modules d endo permutation couverts ot R ou R k poss dent une r solution de permutation endo scind e C Par suite C induit une quivalence d riv e splendide entre un bloc B du groupe p nilpotent G et RP Ce type de ph nom ne rev t une grande importance dans l analyse de la structure locale des blocs et c est probablement ce qui a motiv J Rickard se demander si tout RP module d endo permutation couvert poss de une r solution de permu tation endo scind e pour tout p groupe fini P et pour tout nombre premier p En fait par la suite il a lui m me d montr que le RQs module exception
148. ona Vl lt i lt tetVl lt e lt gq _ J Oye si Re Ar dr Qp rp 0 Sin n Pour d terminer les coefficients Be correspondant cette image on doit crire dr Q pr dans la base F i e dans F Pour ce faire on utilise la relation liant les l ments de E N cf d finition 4 2 17 et proposition 4 2 18 n 1l 0 5 Cj Se rx ou les c sont des entiers j 0 REQn 1 5 Ni En particulier co 1 et R Qn 1 N RE Donc pour Rim on peut crire REA nj R Ri m n 1 ON Rim F X cj j 0 84 CHAPITRE 4 GROUPES EXTRASPECIAUX comme combinaison Z lin aire des l ments de F Par cons quent les coeffi cients Be de B sont donn s par les galit s suivantes Op si Re Ap et Re Rim 1 x Oyn TEjo 65 netyn Omn S Re Riy 0 sinon Il en r sulte que B est une matrice ayant au plus deux termes non nuls par colonne En effet consid rons la colonne B f correspondant la paire R R u oll lt f lt FL 1 lt i lt tet Ri E Ar On distingue trois cas d apr s les galit s ci dessus a Le coefficient Be vaut 1 si Re Ri b Le coefficient Be f vaut c si Re Rim c Le coefficient Be f est nul sinon Ainsi la colonne B f poss de un unique terme non nul valant 1 et apparaissant dans la ligne B R 1 si Ri Qh et si cj 0 par exemple si j 1 exactement deux termes non nuls si cj 4 0 savoir
149. ontradiction On en conclut que M ne peut pas avoir de r solution de permutation endo scind e et ceci termine la preuve du th or me 6 3 Exemple Consid rons un groupe semi di dral P d ordre 16 et k F2 Posons P lt u v u v 1 w ue gt et V lt v gt Nous allons exhiber des r solutions de permutation endo scind es de quelques kP modules endo triviaux On sait par le th or me 7 1 de CaTh1 que T P est engendr par Qp d ordre infini et Q Q k d ordre 2 Les assertions suivantes r sultent imm diatement des relations 6 3 et 6 4 1 Le complexe T 0 k 0 o To k est une r solution de permutation endo scind e du kP module trivial k 2 Le complexe R 0 k P V k 0 o Ri k P V et o O a 1 Va P V est une r solution de permutation endo scind e de 2 k Comme lt Q 0 k gt est cyclique d ordre 2 on a ainsi une r so lution de permutation endo scind e de chaque kP module endo trivial 134 Le complexe C 0 kP Le dual C 0 k Le dual C 0 k CHAPITRE 6 EQUIVALENCES SPLENDIDES ind composable de torsion toujours isomorphisme pr s Donc par le lemme 10 2 de CaTh1 on a exhib une r solution de permutation endo scind e de tout kP module d endo permutation ind composable de tor sion nr k 0 o C1 kP et o la diff rentielle est d finie par x 1 Va P est une r
150. or me 10 3 de CaTh1 En fait par la remarque pr cedant le lemme 1 5 12 si on a D P D P alors on peut prendre k Fy car les syzygies sont d finis sur le corps Fp Posons alors p 3 k F3 et P lt u v u v 1 u ut gt Autrement dit P est un 3 groupe m tacyclique d ordre 27 non ab lien et il s ins re dans une suite exacte courte scind e 1 lt u gt P lt u gt 1 o est l image de v dans le quotient P lt u gt Structure de P Le groupe P poss de 4 sous groupes maximaux d ordre 9 Plus pr cis ment on a un unique sous groupe ab lien l mentaire E lt u v gt de rang 2 et trois sous groupes cycliques A lt uv gt 0 lt i lt 2 d ordre 9 On a donc Ao FF Lu u fier u A 1 uv u v u utv ubv u u v u v A2 1 uv uv u3 utv u v u u v wv L intersection de ces sous groupes maximaux est le sous groupe de Frattini lt u gt de P Il est cyclique d ordre 3 et coincide avec le centre de P et avec le sous groupe des commutateurs de P De plus est aussi le sous groupe de Frattini de 0 lt i lt 2 Il y a trois autres sous groupes cycliques lt u gt lt u v gt et lt u v gt d ordre 3 et ils sont tous conjugu s En effet lt v gt lt ufv gt et lt u gt lt u3u gt Notons Q l image de Q dans le quotient P P pour tout sous groupe Q de P et identifions lt v gt avec lt v gt et E avec E Po
151. ors P est isomorphe l un des deux groupes suivants M lt a y z a y 2 1 z z ly 2 1 y x 2 gt 2 N lt x y lan y 1 x r gt Remarquons que M est d exposant p et de centre lt z gt et que N est d expo sant p et de centre lt x gt en fait N est aussi un p groupe m tacyclique 3 Si p 2 et P gt 8 alors il existe un entier r gt 1 tel que P est d ordre 2 1 et isomorphe l un des groupes Qs pee ou bien Dz De plus les groupes Qs Di 7 et D3 ne sont pas isomorphes Par contre sir est pair alors Dg Q3 4 Si p est impair et P gt p alors il existe un entier r gt 1 tel que P est d ordre p et isomorphe au groupe N M si P est d exposant p ou bien M si P est d exposant p De plus les groupes N x M et M ne sont pas isomorphes Preuve Cf th or mes 5 5 1 et 5 5 2 de Go Nous verrons certaines propri t s du groupe des automorphismes de ces groupes dans le chapitre 5 Pour l instant concentrons nous sur leur structure et donnons nous pour toute cette section un nombre premier p un entier n avec n gt 1 et un p groupe extrasp cial P d ordre p 2 Lemme 4 1 4 Soit Q un sous groupe de P Les assertions suivantes sont v rifi es 1 1 lt Q lt 4 P 4 gt Z lt Q 2 Q 4 P gt Np Q CP Q et Q est ab lien l mentaire de rang au plus n 4 1 GENERALITES SUR LES P GROUPES EXTRASPECIAUX 63 3
152. ory of finite groups Walter de Gruyter 1998 I M Isaacs Character theory of finite groups Acad Press 1976 M Linckelmann Stable equivalences of Morita type for self injective algebras and p groups Math Z 223 1996 87 100 N Mazza The Dade group of a metacyclic p group J Algebra paraitre N Mazza Endo permutation modules as sources of simple modules J Group Theory para tre L Puig Notes sur les P alg bres de Dade Preprint 1988 L Puig Affirmative answer to a question of Feit J Algebra 131 1990 513 526 L Puig Une correspondance de modules pour les blocs groupes de d faut ab liens Geom Dedic 37 1991 9 43 J Rickard Splendid equivalences derived categories and permutation modules Proc London math soc 3 1996 331 358 J P Serre Repr sentations lin aires des groupes finis Hermann 1978 M Suzuki Group theory IT Springer 1986 J Th venaz G algebras and modular representation theory Oxford 1995 J Th venaz Extension of group representations from a normal sub group Comm Algebra 11 1983 391 425 J M Urfer Groupe de Dade et modules endo triviaux Travail de Dipl me Universit de Lausanne 2002
153. osables Q M et Q M apparaissant dans les suites exactes courtes suivantes pour des RG modules projectifs L et L de rang sur R mini mal 0 2 M L M 0 et 0 ML Q t M 0 En it rant le proc d ci dessus on d finit pour tout entier n le n i me syzygy de M par a fF QQI M sin gt 0 SM O 1 Q 1 M sin lt 0 20 CHAPITRE 1 NOTIONS DE BASE Par cons quent si Oo Bt di Po M 0 On gt Py gt Phi est une r solution projective minimale de M i e les P sont projectifs et de rang minimal pour tout i alors 0 M Ker d _1 Yn gt 0 Si on supprime l hypoth se de minimalit alors il existe un RP module projectif L tel que Ker 0 _1 Q M L Par sym trie on obtient les n i mes syzygies de M pour n n gatif en consid rant une r solution injective minimale de M Ainsi si on d compose M en une somme directe M B M avec M projectif et M sans facteur direct projectif alors QU M est isomorphe Ms Proposition 1 2 9 Soit P un p groupe fini 1 Soit 0 N L M 0 une suite exacte courte de RP modules avec L projectif Alors M est d endo permutation resp endo permutation couvert si et seulement si N est d endo permutation resp endo permu tation couvert En particulier les syzygies d un RP module d endo permutation couvert sont aussi d endo permutation couverts 2 Pour tout P ensemble fini X le syzygy relatif Q R et ses syzygies sont d endo
154. our tout sous groupe ab lien l mentaire E de P alors M est un kP module endo trivial Preuve Cf lemme 2 9 de CaTh1 1 3 P alg bres de Dade et groupe de Dade Reprenant les travaux d E Dade L Puig a donn une d finition quivalente du groupe de Dade qui fait intervenir des alg bres au lieu de modules C est Vapproche que nous expliquons dans cette section La th orie concernant les G alg bres m riterait elle seule un chapitre entier que nous n allons pas lui conc der car nous n avons qu effleur ce point de vue pour notre travail per sonnel Nous allons donc nous limiter d finir les objets qui vont nous tre utiles par la suite et nous allons en donner les propri t s dont nous avons besoin pour tablir le lien avec les modules d endo permutation et le groupe de Dade ren voyant le lecteur int ress aux sections 7 10 11 13 21 28 et 29 de Th1 pour plus de d tails Soient G un groupe fini et A une R alg bre de type fini o R O ou k comme dans la section pr c dente 1 A est R simple s il existe un R module libre V tel que A Endg V Autrement dit A est isomorphe a l alg bre de matrices M R o n est le rang de V comme R module libre Par le lemme 7 1 de Th1 V est un A module projectif ind composable et c est l unique A module ind composable et libre comme R module 2 A est une G alg bre s il existe Y G Aut A un homomorphisme de grou
155. out ho cee J cee Qc Consid rons le k espace vectoriel L Qoee Lo1 produit tensoriel sur k C est un k ece Qel module pour l action suivante hc cec Qcec tc cec hc ro Vac Lol gs Vho Qc et VC EC Comme k est alg briquement clos L est un k cec Qc module simple cf th or me 10 33 de CR On peut tendre L en un kG module L a fortiori simple en faisant agir P diagonalement En effet posons u cec Lc cec u eo Vu P et d finissons Ro cec u cec tc hc cec u Scec tc Vu P V he cec II Qc CEC et Y cec Lo L Le calcul suivant montre que les actions de P et de Ieee Qc sont compatibles u ho cec Bcec tc ho u cec tc Bcec uho zro 118 CHAPITRE 5 SOURCES DE MODULES SIMPLES u cec ho tc u hc cec Qcec to Ainsi nous avons explicitement un groupe fini p nilpotent G avec P comme p sous groupe de Sylow et un kG module simple L de vortex P En effet chaque Lo est de dimension premi re p et la dimension de L est le produit des dimensions des Lo Par hypoth se Mc est un facteur direct de Lo VC C et donc cee Mc est un facteur direct de oee Lcl F De plus Date le et L sont isomorphes comme kP modules En effet ils sont gaux comme k espaces vectoriels et P agit diagonalement de la m me mani re sur chaque composante Par cons quent la source du kG module simple L est isomorphe a l unique facteur direct ind composa
156. out kP module d endo permutation couvert ind composable de torsion est le chapeau d un kP module d endo permutation de la forme g pyer Teng Mer Moy o Moyr est un k Q R module endo trivial de torsion et o T est une famille de sections cycliques de P par le point 7 du th or me 1 5 5 On conclut alors imm diatement par le th or me 5 7 2 5 8 Exemple Consid rons p 2 P lt u v uf 1 u v u u gt un groupe quaternion d ordre 8 et k F4 Nous voulons r aliser le kP module M de dimension 3 donn dans la section 6 de CaTh1 Autrement dit les actions de u et v sont donn es respectivement par les matrices 1 0 0 1 0 0 U 1 1 0 et V w 1 Oj 0 1 1 0 ce pour une racine cubique w de l unit non triviale i e w est une racine du polyn me t t 1 kft Par choix de k on sait qu un tel scalaire existe Si nous voulons r aliser un kP module endo trivial de dimension 3 comme source d un module simple il faut apporter quelques l g res modifications notre m thode puisque celle ci ne nous permet de construire directement qu un module de dimension 5 Avant de commencer les calculs mentionnons que J Th venaz est l origine de cet exemple Pour construire un groupe fini 2 nilpotent il nous faut trouver un nombre premier q congru la dimension de M modulo 8 Prenons q 3 et consid rons un 3 groupe extrasp cial Q d ordre 27 et d exposant 3 Autrement dit Q peut
157. pas suffisant Mentionnons aussi que pour la d monstration de l unicit nous utilisons les arguments de Th2 Preuve Prouvons l existence de l extension p de p en commen ant par mon trer l existence de l extension L de L Si H est un groupe fini on note Sx H respectivement Sx H l ensemble des classes d isomorphisme des K H respec tivement kH modules simples et dx Go KH Go kH Vhomomorphisme de d composition Comme p ne divise pas l ordre de Q kQ est semi simple et on a une bijection d Sk Q S Q induite par dg Soit Lx d L l unique KQ module isomorphisme pr s qui rel ve L en caract ristique 0 Alors Lx est invariant par G car comme L L ona Lx d_ 9L d L Lx Par suite on ILg Lx VgE G Puisque G Q et Q sont premiers entre eux Lx s tend G en un KG module Lx fortiori simple cf th or me 22 3 de Hu1 et il existe un OG module O libre Lo tel que Lx K o Lo Ainsi L Lo pLo est un kG module simple qui tend L car on a LISS Lol p Lol et K o Lolg Ll amp Lr D o Lise L i e L tend L Par cons quent la repr sentation associ e L v rifie p S p ce qui prouve l existence d une extension de p G 5 3 CONSTRUCTION DE MODULES SIMPLES 103 Prouvons l unicit de cette extension et pour viter toute confusion no tons V le k espace vectoriel sous jacent aux modules L et L car L et L vus co
158. permutation De plus QL R est ind composable si et seulement si aucune orbite de P sur X n est l image par un homomorphisme de P ensembles d une autre orbite de P sur X et Q R est couvert si et seulement si XP 1 3 Si X 1 alors Q R est un RP module de permutation non couvert 4 Pour tout RG module M il existe un RP module projectif L tel que QUR MEQ M 6L Ynez Preuve 1 Cf proposition 28 2 Th1 2 Cf th or me 2 A13 et section 3 2 de Bol 3 Si XF 1 on peut crire X comme une r union disjointe X Y de P ensembles avec Y 0 D o un isomorphisme de RP modules entre RX et R RY et donc la suite exacte 0 Q R RX R 0 est scind e Par suite Q R est un module de permutation car il est isomorphe au facteur direct RY de RX Mais RY n a pas de facteur direct trivial par hypoth se i e RY n est pas couvert 4 Si n 0 on peut d composer M en une somme directe Q M M avec M projectif cf d finition 1 2 8 On prend alors L M Prouvons l assertion pour n gt 0 Soit do On One 1 Or Ph Pasi Po R 0 1 2 MODULES D ENDO PERMUTATION ET GROUPE DE DADE 21 une r solution projective minimale de R et appliquons lui le foncteur exact covariant amp M On obtient ainsi une r solution projective de M o lm d signe l identit de M On 1 On 1 1 1 d 1 RM p er SS CEP GMT NP M 3 0 SS a SM Mais cette derni re n est p
159. pes On note w g a l action de g sur a Vg E Get Va A 3 A est une G alg bre int rieure s il existe un homomorphisme de groupes o G A o A est le groupe form des l ments inversibles de A On note g a g a l action de g sur a Vg E Get Ya E A 4 A est une G alg bre de permutation si A est une G alg bre qui est aussi un RG module de permutation 1 3 P ALGEBRES DE DADE ET GROUPE DE DADE 23 5 Soient K lt H lt Get A une G alg bre sur R La trace relative de H a K est l application R lin aire tres AK AH a nee K Va A o H K est un syst me de repr sentants des classes gauche de H K L image A de A est un id al bilat re de A 6 Soient P un p sous groupe de G et A une G alg bre sur R Le quotient de Brauer A P est la k alg bre quotient AP 5 Ab pA Q lt P La surjection canonique brp AP gt A P est appel e homomor phisme de Brauer 7 Si P est un p groupe fini et A une P alg bre on dit que A est une P alg bre de Dade si est une P alg bre R simple de permutation telle que A P 40 La relation entre les P algebres de Dade et les RP modules d endo permu tation est la suivante Proposition 1 3 1 Soient P un p groupe fini et R O ou R k 1 Endr M est une P alg bre de Dade si et seulement si M est un RP module d endo permutation couvert 2 Le produit tensoriel A amp B de deux P alg bres de Dade A et B est une P alg
160. posons Q lt P Alors Def b g Nx Axe dans D P Q En particulier on a Def po Qp 0 dans Dk P Q 1 5 SYZYGIES MORPHISMES ET COMPOSITIONS 33 Preuve Cf section 4 de Bol Pr cisons que pour les preuves des deux derni res galit s S Bouc a utilis la convention de son article qui consiste identifier la classe d un syzygy avec la classe de son alg bre d endomorphismes En effet on a un isomorphisme entre Teng Endr M et End r Teng M pour tout RQ module M et pour tout Q lt P cf lemme 2 1 de BoTh Autrement dit on peut identifier Qx dans Dpr P avec Endr 9x dans D p P car Teng Endr Qx Endp Teng Qx est alors identifi avec Teng Qx Contrairement aux quatre autres op rations linduction tensorielle d un sy zygy relatif Qx ne s exprime pas comme syzygy relatif d un ensemble d pendant de X Par contre on a le r sultat suivant d galement S Bouc Lemme 1 5 10 Formule de Bouc Soient Q un sous groupe de P et X un Q ensemble fini Alors Teng x XO wp U V l ae V P Q XV Z 0 Orv U V Elsp U lt pV o sp est un ensemble de repr sentants des classes de conjugaison des sous groupes de P et up U V la fonction de M bius de l ensemble partiellement ordonn sp d finie r cursivement comme suit Pour tous sous groupes U et S dans sp on pose up U U 1 pp U S 0 siU PS et up U 8 X up UT siU lt p S TeE sp U lt pT lt pS Preuve
161. pp lt Qpr si Ri lt R l ensemble E est totalement ordonn On peut pr sent d montrer le r sultat principal de ce chapitre Th or me 4 2 21 Soient n gt 2 et RE Qna Alors E P E P et l ensemble En E Qpr est une Z base de E P A fortiori on a D P D P et l ensemble En U rs Z lt S lt P P S gt 4 est une Z base de D P Preuve Prouvons le r sultat par r currence sur n Si n 2 alors l galit E P E P est v rifi e par la proposition 4 2 13 Soit x Q2 et consid rons les m mes notations que dans la proposition 4 2 18 On a 15 Qr 2 Ap Y 0 i 10 et donc l ensemble En E Q de cardinal 15 est une Z base de E P Remarquons de plus que l ordre z lt gt lt 215 satisfait la d finition de lt donn e ci dessus 82 CHAPITRE 4 GROUPES EXTRASPECIAUX Soit n gt 2 et supposons que les affirmations du th or me soient vraies pour les groupes Pm V2 lt m lt n Pour exprimer l image de consid rons la base ordonn e de E P et choisissons judicieusement une base F de Ji E Ni o N d signe le quotient Np R R V1 lt i lt t On sait que N est isomorphe au groupe P _ et on peut consid rer la bijection R gt R entre les sous groupes de A j et ceux de O 1 N VI lt j lt n et V1 lt i lt t comme dans la preuve de la proposition 4 2 18 Par suite V1 lt j lt netV1 lt i lt t ona Ar Q Ni qui et Aig Q
162. pr sentants des classes de conjugaison des sous groupes non cycliques de P Choisissons pour tout Q S P un sous groupe Qo lt Q tel que le p groupe Q Qo soit ab lien l mentaire de rang 2 Alors Vapplication II Id Defresg jo Q 8z Di P II Q amp z Dz Q Qo QE S P QE S P est un isomorphisme de groupes ab liens Si p est impair et P est un p groupe ab lien l mentaire de rang 2 alors II Res Di P II Dj R 1 lt R lt P 1 lt R lt P est une application injective Si p est impair et C P d signe un syst me de repr sentants des classes de conjugaison des sous groupes cycliques non triviaux de P alors l ap plication Defres yacc Di P J De C C Celc P Celc P o C est le sous groupe de Frattini de C est un isomorphisme de groupes De plus D P est un F2 espace vectoriel et on peut prendre Vensemble Teninf 6 c Qe C E C P comme base 1 5 SYZYGIES MORPHISMES ET COMPOSITIONS 31 Preuve La premi re affirmation est la proposition 2 1 2 de Pu2 Les points suivants sont obtenus en actualisant selon le th or me principal de CaTh2 respectivement le th or me 2 7 de CaTh1 le th or me 4 de A13 le th or me 10 1 de CaTh1 le th or me 4 1 de BoTh le lemme 6 1 de BoTh et le th or me 6 2 de BoTh Il convient de pr ciser que dans l nonc du th or me nous avons pris la li bert d actualiser les r sultats originaux en t
163. premier q judicieusement choisi Puis nous allons consid rer un kG module simple L lui aussi bien choisi et calculer sa source S Il r sultera la fin de cet exercice que toutes les sources S possibles sont obtenues l aide de ce proc d Commen ons par des pr liminaires sur les automorphismes des q groupes extrasp ciaux Cela va nous tre utile pour construire des groupes p nilpotents 5 1 Encore des g groupes extrasp ciaux Nous avons d j d fini ces groupes au chapitre 4 Dans cette section nous allons donc nous contenter d apporter quelques compl ments concernant leur groupe d automorphismes Soient q un nombre premier impair et Q un q groupe extrasp cial d ordre q et d exposant q Rappelons que son centre est cyclique d ordre q et co ncide avec le sous groupe Q des commutateurs En d autres termes Q est engendr par deux l ments x et y d ordre q satisfaisant la relation Yx aly x tels que le commutateur z y x yxy txt est d ordre q et engendre Q Le groupe quotient Q Q est un F espace symplectique de dimension 2 pour la forme symplectique not e et induite par les commutateurs Autrement dit la matrice de dans la base 7 de Q Q si g Q on note g sa classe 0 1 dans Q Q est 1 o Ainsi le groupe des automorphismes de l espace symplectique Q Q est le groupe symplectique Sp F qui est gal SL2 F cf Hilfsatz 9 12 Hul Noton
164. que tout kP module d endo permutation se rel ve en un O P modu le d endo permutation Etc Et d autre part on peut se demander quelles en sont les applications 1 Dans quelles circonstances dans la th orie des repr sentations voit on apparaitre des modules d endo permutation 39 2 Et des modules endo triviaux Nous avons d cid de suivre le m me principe pour pr senter notre travail et donc nous avons divis ce texte en deux la premi re partie est d di e l tude de la structure du groupe de Dade de certaines familles de p groupes finis et la seconde se concentre sur certaines occurrences de ces modules dans la th orie des repr sentations Pour l instant revenons en l exposition des principaux r sultats connus avant le d but de cette th se Dans Pu2 L Puig d montre que le noyau de la restriction Rese TIP JIT EEA EEA est fini o A est un syst me de repr sentants des classes de conjugaison des sous groupes ab liens l mentaires de P En particulier cela implique que le groupe des classes d quivalence des P alg bres de Dade d un p groupe fini P quelconque est de type fini et donc D P aussi Un an plus tard para t un nouvel article de L Puig concernant les P alg bres de Dade d un p groupe fini ab lien o il d montre le fait suivant Pour chaque sous groupe Q de P il se donne une P Q alg bre de Dade Ag satisfaisant certaines conditions de comp
165. r d Go KG Go kG M LZ On retiendra en particulier qu un tel L existe toujours mais L n est pas unique Par contre L est unique et donc cette application est bien d finie cf paragraphe 16 de CR Afin de construire des modules simples dans la situation qui nous int resse nous allons utiliser des kQ modules simples o Q est un g groupe extrasp cial d ordre q et d exposant q pour un nombre premier q distinct de la ca ract ristique p de k et m un entier strictement positif Commen ons alors par d crire les kQ modules simples Notons 21 m Y1 Ym les g n rateurs de Q satisfaisant les relations suivantes m y l Vaux y y x et zi zj ziy luiy l Vi lt i j lt m Notons z y1 x1 le g n rateur du centre de Q qui coincide avec le sous groupe Q des commutateurs cyclique d ordre q et A le sous groupe ab lien l mentaire engendr par z1 m et z On a A qt et A aQ Comme k est alg briquement clos le nombre de kQ modules simples est gal au nombre de classes de conjugaison des l ments de Q cf th or me 3 37 de CR Comptons les Si g Q Q alors g poss de Q No lt g gt q conjugu s distincts En effet No lt g gt est un produit direct lt g gt x H o H 100 CHAPITRE 5 SOURCES DE MODULES SIMPLES est un g groupe extrasp cial d ordre q et d exposant q cf chapitre 4 Ainsi les q q l ment
166. raissant dans 7 sont projectifs et de dimension divisible par P La relation 5 3 implique alors la congruence dim L dim M mod P Ainsi comme q 1 mod P le lemme 5 3 9 implique la congruence dim S 1 mod P Or QL k est l unique kP module ind composable de dimension congrue 1 modulo P On a donc dim S P 1 et S est isomorphe Q k 5 3 2 Cas d un groupe quaternionien Supposons que P est un 2 groupe quaternionien Par le lemme 5 2 3 P est un sous groupe de G d intersection triviale pour les deux groupes 2 nilpotents construits et donc les facteurs directs de I sont projectifs et de dimension 5 3 CONSTRUCTION DE MODULES SIMPLES 107 divisible par l ordre de P comme dans le cas cyclique De plus la relation 5 3 donne la congruence dim L dim M mod P On a ainsi Si q P 1 mod 2 P alors dim S 1 mod P Si q Pl 1 mod P alors dim S Fl 1 mod P Prouvons que S est endo trivial dans les deux cas Soit n gt 3 et posons P lt u v we a1 v u u gt et donc P 2 et w u le g n rateur du centre Z de P et unique l ment d ordre 2 de P Notons Q lt x y x1 y1 1 aly 2 gt et z y x g n rateur de Q Par le lemme 1 2 11 il suffit de montrer que S est endo trivial Pour ce faire nous allons proc der comme suit afin de d terminer l action de Z sur L 1 On d finit une action x de w sur L 2 On
167. rice B Be f de l application 8 exprim e selon les bases et F On d finit Be comme suit Soient 1 lt e lt q et Qx r le f i me l ment de F Alors Be est la composante de drj Qp n selon Qy z O rappelons le dr Defres E P E N Vi lt i lt t En d autres termes les images des l ments de par 8 sont exprim es dans F et rang es dans les lignes de B qui est ainsi de taille q x F Par ailleurs on peut identifier les indices des lignes de B avec les sous groupes de Q dans le sens suivant La e i me ligne de B est l image de Q et donc la e i me ligne de B correspond au sous groupe Re Q De m me les indices des colonnes de B correspondent aux l ments Q x F que l on identifie aux paires R Ri avec R Ar et 1 lt i lt t Par la suite moyennant ces correspondances on utilisera des sous groupes respectivement des paires de sous groupes comme indices des lignes respectivement des colonnes de B lorsque cela conviendra mieux pour nos propos Introduisons les notations suivantes pour toute ma trice M ayant la m me taille que B Si R Q disons R R pour un 1 lt s lt q on note M R la s i me ligne de M Sil lt f lt F on note M f la f i me colonne de M Le choix de la bijection R gt R que nous avons fait cf proposition 4 2 18 implique que si R Apr alors on a R Q N V1 lt lt t Ainsi par le lemme 4 1 8
168. rive de V tude des groupes finis et a pour objectif d obtenir des informations sur la structure d un groupe fini a partir de ses repr sentations Autrement dit elle a pour but de classifier les modules isomorphisme pr s sur des alg bres de groupes finis Les d buts de cette th orie se situent vers la fin du XIX si cle et on les associe surtout aux travaux de Frobenius et de Burnside Elle continue a se d velopper dans la premi re partie du XX gr ce notamment Schur et Brauer Ce dernier a r volutionn l approche des repr sentations d un groupe fini en quittant le corps des complexes pour consid rer des corps dont la ca ract ristique divise l ordre du groupe Il est l origine de ce que l on appelle aujourd hui la th orie des repr sentations modulaires En ce d but de XXI si cle cette ramification de la th orie des groupes finis continue occuper une place d honneur dans le domaine de la recherche en alg bre En fait elle a pris tellement d ampleur que depuis quelques ann es elle suscite galement l int r t de nos confr res topologues En effet de nos jours on utilise souvent des m thodes cohomologiques et donc issues de la topologie pour r soudre des probl mes concernant les groupes Et r ciproquement les topologues emploient des r sultats purement alg briques des repr sentations des groupes dans leurs travaux On connait depuis bien longtemps les repr sentatio
169. rmutation cf lemme 1 2 2 De plus LS est couvert car L est de vortex P et donc S est couvert Relevons aussi que l on avait d j montr la premi re partie du th or me Remarque 5 3 8 Le fait que la source de L soit un kP module d endo permu tation est connu comme nous l avons mentionn en d but de chapitre En effet dans le cadre plus g n ral des groupes finis p r solubles qui inclut la famille des groupes finis p nilpotents le th or me 30 5 de Th1 montre que la source d un kG module simple de vortex P est un kP module d endo permutation pour un p sous groupe P d un groupe fini p r soluble G De plus le th or me 8 39 et la remarque 8 41 de Pu1 d crivent plus pr cis ment ces sources savoir ce sont les chapeaux de kP modules de la forme Q oyr er Teng Inf p Mayr o Mgr est un k Q R module endo trivial de torsion et o T est une famille de sections de P qui sont des groupes cycliques quaternioniens ou semidi draua Ainsi pour d terminer la source de L on doit trouver un k P module d endo permutation couvert ind composable S tel que L soit isomorphe un facteur direct de ST et tel que S soit isomorphe au chapeau du kP module d endo permutation couvert L Notation On pose X Y si X et Y sont deux modules tels que X est isomorphe un facteur direct de Y Par transitivit de la restriction on a L S CLS N o N No P Par la correspondance de Green cf paragraphe 20A d
170. roupe ab lien l mentaire de rang 2 de P conjugaison pr s On a selon les notations de la section 5 2 un groupe fini 2 nilpotent G Q x P o Q est un q groupe extrasp cial d ordre q et d exposant q pour un nombre premier q tel que q P 1 mod P Par le lemme 5 2 4 P n est pas un sous groupe de G d intersection triviale car 9P N P peut tre cyclique d ordre 2 conjugu lt v gt Il s ensuit que les facteurs directs de 7 sont de vortex trivial ou cyclique d ordre 2 et donc de di mension divisible par IE D o dim L dim M mod Ply par la relation 5 3 Comme q 1 P mod 2 P ona dim S 1 mod 1 On va montrer que S est isomorphe au kP module V Q QE eas le paragraphe 7 de CaTh1 on sait que V est endo trivial de dimension Pl 1 et que ORR Vip et KIVIS Ainsi par l assertion 2 du th or me 1 5 5 il nous suffit de v rifier que 2 k SI et que S est un kE module endo trivial avec k S Commen ons par rap peler l action de Q sur L cf section 5 3 o Q est le produit central Q1 Qe et o Q est engendr par x et par y satisfaisant z y x pour i 1 et 2 z tant le g n rateur du centre Q de Q L ensemble 1 gt un groupe semidi dral k Par L T 0 lt i j lt q est une k base de L o T j yiyi 1 O lt i j lt q L action de Q sur L est alors donn e VO lt i j lt q par di Tij w Ti to Tij w Ts yi Tig Tipi et y2
171. roupe fini H lt G M et M des RG modules N un RH module et p H gt Aut N la repr sentation associ e N 1 On dit que N respectivement p s tend G s il existe un RG module L tel que L S amp N respectivement une repr sentation p G Aut N de G telle que S p 2 Soit g H La trace Tr g N de g sur N est la trace de l application k lin aire p g Aut N 5 3 CONSTRUCTION DE MODULES SIMPLES 99 3 Supposons R K On d finit le produit scalaire lt M M gt de M et M par lt M M gt S Tr g M Tr g 4 M gEG 4 Relations d orthogonalit Supposons R K Alors on a a M est un KG module simple si et seulement si lt M M gt 1 b Supposons de plus M et M simples Alors M M si et seulement si lt M M gt 1 Sinon on a lt M M gt 0 5 Le groupe de Grothendieck Go RG des RG modules est le groupe ab lien d fini par g n rateurs et relations comme suit Les g n rateurs sont les classes d isomorphisme M des RG modules M On associe toute suite exacte de RG modules 0 gt L M gt N 0 larelation M L N On note abusivement M la classe du RG module M dans Go RG 6 Supposons R K Comme O est un sous anneau de K on peut voir M comme un OG module Il existe alors un OG module O libre L qui v rifie MZ K Go L La r duction L L pL de L modulo p est un kG module On d finit ainsi l homomorphisme de d composition pa
172. s A Rim Dans ce cas on a By f 1 Comme R Q et co 1 la matrice r sultant de l op ration l mentaire suivante a les m mes diviseurs l mentaires que B car le coefficient de B R vaut 1 On remplace B R par la combinaison lin aire de lignes za SS sin REQn 4 2 UN CAS PARTICULIER 85 On produit ainsi une ligne nulle En effet 3 est un homomorphisme et donc cela revient remplacer 6 Qp z par Sel gt Sen zal gt Mtn REQ REQ B wn Cn Qp Cy B Qe 0 par d finition de wp et car wp 0 et Qp Ker Appelons B la matrice quivalente par lignes B r sultant de cette op ration Ainsi B est une matrice de taille q x F qui a les caract ristiques suivantes 1 La ligne B R est nulle 2 Pour tout 1 lt s lt q avec s r on a B R B R et donc BY R poss de au moins un terme qui vaut 1 3 Pour tout 1 lt f lt F la colonne BU f poss de au plus deux termes non nuls puisque l op ration l mentaire effectu e sur B n a fait qu annuler tous les coefficients non nuls de la ligne B R et puisque B f poss de au plus deux termes non nuls 4 Soient1 lt s lt gqg 1 lt i lt t 1 lt j lt net1 lt f lt F des entiers tels que Rs Aij Rs Z Rim et tels que BO f correspond la paire R Re Du calcul des coefficients de B il r sulte que gt 1 i Bo l ii Si j lt n alors Be
173. s A est isomorphe k F comme kZ module pour un kZ module libre F Par suite Defp A A7 A k End k et donc Def p z M k par d finition cf chapitre 1 A fortiori on a N Zz A D ae Res 1g Q Z Def jz M k Donc M est endo trivial Consid rons S Par transitivit de la restriction on a XIRS la a laS Lil Lol 2 5 3 CONSTRUCTION DE MODULES SIMPLES 113 Par le cas quaternionien pr c demment trait on sait que L est un kR module d endo permutation couvert dont le chapeau S est isomorphe Q k ou Q3 k pour i 1 et 2 Montrons que S1 S2 Dans la section 5 2 on avait consid r deux isomorphismes de groupes dont il convient pr sent de rappeler la d finition On avait appel 0 l isomorphisme de Q vers Q2 envoyant x sur 2 et y sur yz et donc A z z et A l auto morphisme de R envoyant u sur u2 et uv sur u2 2 1l uv Soit alors vy Visomorphisme de groupes de H vers H2 envoyant hs sur 6 h A s pour tout h Q et pour tout s R et notons Res Lz le kH module obtenu par res triction de Lz par y c est dire o g l est d fini comme l l ment y g 1 pour l action d origine de Hz sur Ly pour tout g Hi et pour tout Res Lo On a Tr z Resy L2 2 Tr y z Lol 3 Tr 24 Lol 2 qui Te z 4123 pour tout 0 lt i lt q 1 D ot lt Resy L2 151 Li Lae
174. s Auto Q le sous groupe de Aut Q form des automorphismes de Q dont la restriction Q est l identit On a un homomorphisme de groupes m Auto Q SLi F p o m y 9 plg Vge 3 Vge Q Q et Vy Auto Q Cette application 7 est bien d finie car si g alors il existe h Q tel que gk et on a 9 9 p g e h plg h g C est clairement un homomorphisme de groupes puisque y l est De plus m est surjectif En effet consid rons p Q QR y Q Q T xy et Ee 2 5 1 ENCORE DES Q GROUPES EXTRASPECIAUX 93 Les galit s suivantes prouvent que y et wv d finis sur les g n rateurs de Q pr servent les relations de Q plx p y 1 et W x y 1 ply p x z et v y Y x 2 y POo x pir z et YOY x yplr z Par suite y et 4 sont deux endomorphismes de groupes qui sont l identit sur Q De plus et sont surjectifs et donc des automorphismes puisque c pir e y tz dx et y ply px y Donc y w Auto Q Par le th or me 2 8 4 de Go on sait que SL2 F est engendr par aen La surjectivit de x est alors vidente puisque dans la base Z y de Q Q on a matriciellement 7 y e et m f D autre part le noyau Ker z de m s identifie Q Q Pour montrer cette assertion consid rons les deux applications suivantes conj Q Q Ker r et T Ker r Homr Q Q Q g conj 9 pr T P
175. s isomorphes on a lt Lx Mg gt 0 De la description des kQ modules simples on constate que si M est un kQ module de dimension 1 alors M PE k o k d signe le kQ module tri vial Par cons quent comme kQ est semi simple si M est un kQ module de dimension q alors soit M est simple et on a M 8 2 k pour une racine g i me de Vunit w non triviale et o k est le kQ module de dimension 1 d fini par z A WA VAEK soit M est somme directe de g modules de dimension 1 et M Lam ka D ot le lemme suivant Lemme 5 3 2 Soient L et M deux kQ modules de dimension q et Lx res pectivement Mx les KQ modules correspondants Supposons L simple Alors L et M sont isomorphes si et seulement si lt Lgl Mrklo gt ge Preuve Par hypoth se L est simple et donc il existe une racine q i me non triviale de l unit 0 telle que Lx 2 amp ko Si M n est pas simple alors M k1 et donc lt LkleMrle gt lt ke kT gt geeks k gt 0 Si M est simple il existe une racine q i me non triviale de l unit w telle que M 8 amp kw Ainsi on a lt Lele Mrle gt 0 lt ko ku gt Pou 102 CHAPITRE 5 SOURCES DE MODULES SIMPLES Donc lt Lxle Mgl gt q si et seulement si M et L sont isomorphes En th orie des repr sentations ordinaires i e sur C ou plus g n ralement sur un corps K assez gros et de caract ristique nulle on dispose d un cr
176. s non centraux dans Q sont r partis en classes de conjugaison de taille g Donc on a ona classes de conjugaison d l ments non centraux auxquelles s ajoutent les q classes de conjugaison de taille 1 des l ments de Q Ainsi on a en tout q 1 q classes de conjugaison i e q 1 q modules simples Montrons en les exhibant que l on a q 1 kQ modules simples de dimension q et q de dimension 1 On aura ainsi tabli la liste compl te des kQ modules simples Soit w k une racine q ieme de l unit avec w 1 Consid rons la repr sentation w de degr 1 suivante et notons ky son k A module associ de dimen sion 1 w A k zti ro ll lt i lt m ky est donc d fini par z w a A Yla Va E A VAEk Ona WAW Vg Z A En effet Y1 lt j lt m ona YW A k rti m Ye l gizi 1 w 1 lt i lt m z Yzg l z l w o d signe le symbole de Kronecker Donc ky y Vg A Par le th or me 11 11 de CR il s ensuit que le kQ module induit L ky T est simple de dimension q Explicitement l ensemble IL 1 0 lt i lt gqg V1 lt 3j lt m est une k base de L et l action de Q sur L est d finie sur les g n rateurs x et y de Q par m gi y 1 119 Mm 1 CLs aix 1 xti27 0 A m IT yj ew w w 1 m I 61 UL PAR 1 avec yf 1 sii q 1 j l En particulier on a z l a Vile L Comme k est alg br
177. s non normaux de P Autrement dit ceux non triviaux qui ne contiennent pas Z Examinons les sous groupes non normaux des deux types de p groupes ex trasp ciaux suivants Notations Soient p un nombre premier et n un entier avec n gt 0 1 Notons Ph ou simplement P un p groupe extrasp cial isomorphe M si p est impair ou isomorphe D3 si p 2 o M et Dg sont d finis comme dans le th or me pr c dent 2 On note Q P ou simplement Q un syst me de repr sentants des classes de conjugaison des sous groupes non normaux de Ph 3 Pour tout 1 lt i lt n on note Q P ou simplement Q le sous ensemble de Q form des sous groupes d ordre p Corollaire 4 1 5 Soient Q RE Q et P Pa pour un entier n gt 1 On a Q lt pR Q lt pR lt Np R lt Np Q lt P et Np R Ne Q lt P De plus si Q lt p R alors il existe un unique u P Np Q tel que Q lt R pour tout choix d un syst me de repr sentants P Np Q 64 CHAPITRE 4 GROUPES EXTRASPECIAUX Preuve Soient Q R Q et supposons Q lt p R Par le lemme 4 1 4 on a Cp S Np S lt P et Np S lt P VS Q Donc on a les inclu sions Np R lt Np Q lt P et on a aussi Np R Np Q lt P Soient Q R Q avec Q lt p R ou soient Q le groupe trivial et R Q V rifions par r currence sur n que l inclusion Np R lt Np Q est stricte Si n 1 alors l assertion est vraie car Q ne contient que des sous groupes cycliqu
178. sition 4 2 16 nous donne cette relation XO Qr 2 ie par d finition des c w2 XO Qryr 2Qp 0 REQ2 P REQ2 P Supposons n gt 2 et les deux assertions de la proposition v rifi es pour tout groupe Pm avec 2 lt m lt n Soit Q Q P et posons P 1 Np Q Q Consid rons la bijection entre les sous groupes R de Q P contenant un conju gu de Q et les sous groupes R de Qj 1 Ph 1 V1 lt j lt n donn e comme suit Si R Q P contient un conjugu de Q alors par le corollaire 4 1 5 et par la remarque 4 1 6 l ensemble u P Q lt R co ncide avec exactement une classe uNp Q P Np Q Par suite on a une bijection entre les classes de conjugaison dans P des sous groupes de P contenant un conjugu de Q et les classes de conjugaison dans Np Q des sous groupes contenant Q De plus comme on peut choisir P Np Q arbitrairement on prend P Np Q tel que l unique l ment uo r P Np Q v rifiant Vinclusion Q lt 28ER satisfasse 2 FR Q Q j_1 P 1 On consid re alors la bijection R gt R gt R o on a pos R 2 R Q pour all ger les notations Comme drg Qp Defresp _ Qe 0 ona drolwn y ci 5 dro sale i 0 i REQ i P n 1 a D Or un 0 i 0 REQn 1 i Pn 1 par le lemme 4 1 8 et par hypoth se de r currence Par cons quent on a wp Ker B T P lt Q gt Comme dans le cas o n 2 on utilise l isomorphisme Res T P T S
179. sons V lt v gt Ona S P E P C P Ao A1 Ao V B Teny Qv Teng Ne Teninff Na Teninfz Na Teninff Qa Yr Np et E Qy Os OQ Qais x Qe Os selon un ordre choisi satisfaisant les conditions de la section pr c dente Groupe de Dade D terminons le groupe de Dade de P et commen ons par le sous groupe des modules endo triviaux Par le corollaire 3 2 7 on sait que T P est cyclique infini engendr par Qp i e la classe du F3P module de dimension 26 d fini comme le noyau de l homomorphisme F3P gt F3 zr 1 VaeP 3 3 LE PLUS PETIT EXEMPLE NON ABELIEN 57 L isomorphisme ap de la section pr c dente donne 2 ap D P ST V x T x T x T E x T P Z 22 x 2 i 0 et consiste en l application 2 P P P P P Resy x Resg x II Defresz x Res x Defs i 0 Exprimons dans les images des l ments de B et crivons ces vecteurs en ligne dans une matrice 7 x 7 100000 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 ap 0 0 0 1 0 0 0 0000100 1100010 1011101 En particulier si l on cherche un syst me de g n rateurs de D P qui soit envoy canoniquement sur E alors on peut prendre l ensemble B e1 2 3 4 5 6 1 2 7 1 3 4 65 o e d signe le i eme l ment de B pour 1 lt i lt 7 Par ailleurs on v rifie ais ment que P P Detresy Q Q 20p y 2 Detresy Q Q Qryv 0 V1 lt Q lt Po D o
180. st divisible par Vindice de P dans S Preuve Cf respectivement proposition 19 5 alinea ix th or me 19 8 et proposition 19 13 et th or me 19 26 de CR Revenons en aux modules d endo permutation et exhibons leur principale caract ristique concernant la th orie des vortex et sources 18 CHAPITRE 1 NOTIONS DE BASE D finition et proposition 1 2 6 Soient P un p groupe M un RP module d endo permutation et M i o Mi une d composition de M en une somme directe de RP modules ind composables Sil existe un facteur direct M de vortex P alors tous les autres facteurs M de vortex P sont isomorphes a M En d autres termes si M n est pas somme directe de modules projectifs relativement a des sous groupes propres de P alors M poss de un unique facteur direct ind composable de vortex P Dans ce cas on dit que M est couvert capped en anglais et on appelle chapeau de M le cap en anglais l unique facteur direct ind composable de M de vortex P En particulier tout RP module endo trivial est un RP module d endo per mutation couvert De plus si M et N sont deux RP modules d endo permutation couverts de chapeaux Mo et No respectivement on a les propri t s suivantes 1 MN est d endo permutation si et seulement si Mo est isomorphe No Dans ce cas M B N est couvert de chapeau Mo 2 M N est un RP module d endo permutation couvert de chapeau gal au chapeau de Mo No 3 M est d
181. st un Z module libre de rang q Remarque 4 2 7 Il r sulte de la section 7 de Bol que le groupe quotient D P D P est fini Par suite comme D P S E P D P Z et comme D P Z D P Z on obtient un isomorphisme de groupes D P D P E P E P n D P E P E P 70 CHAPITRE 4 GROUPES EXTRASPECIAUX en identifiant D P Z un sous groupe de D P par inflation Il s ensuit que E P est un sous module libre de E P de m me rang Toutefois nous pr f rons donner ci dessous une preuve directe du fait que E P est un sous module libre de E P de m me rang ind pendamment des r sultats subtils de la section 7 de Bol Lemme 4 2 8 Soit Q Q Alors p o E P Preuve Soit Q Q On a Defp z Qe a Qx o X P Q 7 par le lemme 1 5 9 Or Z p Q implique P Q 7 0 par la remarque 4 1 9 Par suite Defp z Oro 9 0 Ce lemme nous incite nous demander si l ensemble Qr Q QYU 97 peut former un syst me de g n rateurs du Z module libre E P et si l on peut en extraire facilement une base En effet cet ensemble est contenu dans E P et il est de cardinal q 1 Afin de r pondre cette question nous d finissons l application 8 ci dessous Soit Q Q On a Np Q Q Pa_1 et donc Z Np Q Q ZQ Q SZ En identifiant Z avec Z Np Q Q on peut aussi identifier Np Q QZ avec Np Q Q Z NP Q Q et donc E Np Q Q avec Ker Def y 3 2
182. t Il serait pr tentieux de vouloir tous les exposer ici Nous allons donc conclure cette parenth se cat gorique en mentionnant encore le bon comportement des modules endo triviaux dans les quivalences stables Si on a une quivalence entre les sous cat gories paisses engendr es par le module trivial des cat gories stables de deux groupes alors cette quivalence fait correspondre un module endo trivial un module endo trivial Ce fait a t prouv par J Carlson et R Rouquier dans CaRo Venons en pr sent aux r sultats publi s apr s le d but de ce travail de th se c est dire parus ou para tre depuis septembre 1999 L ann e 2000 a t riche en publications concernant les modules d endo per mutation Commen ons par citer deux articles de J Alperin Dans le premier cf A13 il d montre que les syzygies relatifs sont des modules d endo permu tation il calcule leur image par l homomorphisme de d flation et il donne un crit re d ind composabilit de ces modules Il d termine galement le rang sans torsion du groupe des modules endo triviaux i e la dimension du Q espace vectoriel Q zTr P Nous avons explicit celui ci au point 3 du th or me 1 5 5 Dans l article suivant cf Al4 J Alperin d montre que tout kP module endo trivial se releve sur O pour tout p groupe fini P Poursuivons avec les travaux de S Bouc et J Th venaz Dans BoThl ils d montrent que
183. t quivalents un syzygy relatif Sur cette remarque nous mettons un terme la premi re partie de ce travail de th se que nous avons consacr e l tude de la structure du groupe de Dade Dans la seconde partie nous allons nous int resser certaines occurrences de ces modules dans la th orie de la repr sentation des groupes finis et justifier ainsi l int r t qu on leur porte Deuxieme partie Mode d emploi des modules d endo permutation Chapitre 5 Sources de modules simples Le premier theme que nous avons choisi d aborder pour commencer cette deuxieme partie concerne les modules d endo permutation comme source de modules simples Plus pr cis ment nous allons consid rer le contexte suivant On se donne un nombre premier p un groupe fini p r soluble G un corps k alg briquement clos de caract ristique p et un kG module simple L de vortex P ou P est un p sous groupe de Sylow de G Alors la source de L c est a dire Vunique kP module ind composable S de vortex P et isomorphe un facteur direct de Res L tel que L est un facteur direct de Ind S est un kP module d endo permutation couvert Cette propri t des modules d endo permutation est l objet du paragraphe 30 de Th1 et le r sultat ci dessus correspond au th or me 30 5 En fait comme nous l avons mentionn dans le chapitre 2 L Puig avait d j consid r ce fait et avait m me prouv un r sultat plus pr cis qui n a jamais
184. t on a Q lt Co P puisque Q centralise P R ciproquement si g Co P alors en particulier g et w commutent Par le lemme pr c dent on en d duit que g Q et donc Q Ca P Lemme 5 2 3 Le p sous groupe de Sylow P du groupe G construit est d inter section triviale En d autres termes Yg E G N PN P 1 Preuve Soit g G N Il existe d uniques l ments h Q et u P tels que g hu Or on a IP P RP Donc il suffit de prouver l assertion dans le cas o g Q Soient alors g Q et s IP A P Il existe s P tel que s On a alors g s 1 En effet g s 4s s 7 s s l P et g s g g Q car Q est normal dans G Donc g s PAQ 1 Donc g E Ca lt s gt 96 CHAPITRE 5 SOURCES DE MODULES SIMPLES Supposons s 1 et donc IP N P 1 Alors on a w lt s gt et par cons quent g Ca lt s gt lt Co lt w gt Q lt N Construisons pr sent un groupe fini 2 nilpotent ayant un 2 sous groupe de Sylow semidi dral P lt u v v2 v 1 u u gt d ordre 2 avec n gt 4 Consid rons un nombre premier q avec q 2 1 mod 2 et Q est un q groupe extrasp cial d ordre q d exposant q Autrement dit on peut d finir Q par g n rateurs et relations comme suit Q lt 21 T2 Y1 Y2 gt o T1 2 Y et y2 satisfont les relations q q q q TI
185. t u uP L pour un certain 0 lt l lt n le groupe P est ab lien si n En particulier P est d ordre p lt u gt Cy est un sous groupe normal dans P et tout l ment de P s crit de mani re unique u7v avec 0 lt a lt p et 0 lt b lt p Remarquons aussi que les sous groupes et les quotients de P sont eux aussi m tacycliques et donc toute section de P est un p groupe m tacyclique De plus on a lt u gt lt Z P En effet l action par conjugaison de v sur uP est un automorphisme de lt u gt d ordre une puissance de p car uP lt u gt Mais Aut lt u gt est cyclique d ordre p 1 Donc v agit trivialement sur uP i e v et uw commutent D autre part si P n est pas cyclique alors P contient au moins un sous groupe ab lien l mentaire de rang 2 car p est impair cf th or me 4 10 de Go Nous allons montrer qu en fait P poss de au plus un sous groupe ab lien l mentaire de rang 2 mais avant cela introduisons la convention et la notation suivante 45 46 CHAPITRE 3 LES P GROUPES METACYCLIQUES Convention Dor navant p d signe un nombre premier impair Notation On note G le sous groupe de Frattini d un groupe fini G Par d finition G est l intersection des sous groupes maximaux de G cf sec tion 5 1 de Gol Lemme 3 1 2 Soit P un p groupe m tacyclique non cyclique Alors il existe un unique sous groupe ab lien
186. t M existe t il un OP module d endo permutation couvert Mo qui rel ve M i e tel que Mo M Autrement dit est ce que l homomorphisme q est surjectif On ne connait pas la r ponse en toute g n ralit Cependant dans les cas que nous allons traiter par la suite nous allons pouvoir r pondre par l affirmative a cette question et si l on croit les conjectures actuelles alors il s ensuit que q est toujours surjective Cessons de sp culer et consid rons le point de vue des P alg bres Par le th or me 2 6 de Ur la r duction modulo g induit un homomorphisme de groupes q Do P D P injectif En effet on a un diagramme com mutatif de groupes ab liens et homomorphismes de groupes ab liens Do P gt D P al la DEP 2 D P L injectivit de q est alors imm diate car ax est un isomorphisme ao est surjectif et les noyaux de q et de ag coincident tous deux avec le groupe des OP modules de rang 1 1 5 Syzygies morphismes et compositions Dans les chapitres 3 et 4 nous allons d terminer la structure de Dr P et DR P pour certains p groupes finis P Pour arriver nos fins nous allons commencer par analyser D P en utilisant les homomorphismes de groupes que nous d finissons dans cette section Soit P un p groupe fini Commen ons par une d finition pr liminaire D finition 1 5 1 Soient Q un p groupe fini p Q P un homomorphisme de groupes M un RP module et une P alg bre
187. t ind pendante J Alperin et aussi J Carlson s taient pench s sur des probl mes semblables Plus exactement pr c dant les travaux d E Dade J Alperin avait d j consid r les 37 38 CHAPITRE 2 1978 2002 L ODYSS E DU GROUPE DE DADE modules endo triviaux qu il avait alors appel modules inversibles cf A11 De son c t J Carlson a d crit les k P modules endo triviaux pour un p groupe ab lien l mentaire de rang 2 prouvant d une autre mani re le th or me 2 0 13 dans ce cas particulier cf Ca et son article est paru deux ans apr s celui d E Dade Soulignons encore que J Carlson et E Dade taient au courant des travaux de J Alperin comme ils le mentionnent dans leurs articles Au d but des ann es 1980 L Puig a annonc des r sultats concernant le groupe de Dade d un p groupe fini arbitraire o le probl me majeur r side dans le fait que l argument utilis par E Dade ne s applique pas car en g n ral les sous groupes ne sont pas normaux Mais ce n est qu en 1990 qu il a publi une partie de ses recherches sur le groupe de Dade cf Pu2 introduisant ainsi officiellement la notion de P alg bre de Dade qu il avait d j utilis e dans ses notes non publi es de 1988 cf Pul D taillons sa d marche Comme l application de d flation de P P Q n a aucun sens pour un sous groupe Q non normal dans P L Puig a consid r la composition de la restriction
188. t pas appliquer directement les constructions des deux sections pr c dentes car l hypoth se L n est pas satisfaite mais on peut les adapter en consid rant le kG module simple Ind T au lieu de L R sumons nous Dans la section 5 3 nous avons explicitement r alis des mo dules d endo permutation comme sources de modules simples pour des groupes finis p nilpotents Puis dans les trois sections suivantes on s est constitu une boite a outils nous permettant de construire bien d autres modules d endo per mutation comme sources partir de situations connues Ainsi en combinant ces r sultats on en d duit la cons quence suivante 5 7 MORALE 119 Th or me 5 7 2 Soient p un nombre premier P un p groupe fini et k un corps alg briquement clos de caract ristique p Tous les kP modules d endo per mutation ind composables de torsion de vortex P qui sont les chapeaux d un kP module de la forme Qro mer Teng Inf Mayr o Mgr est un k Q R module endo trivial de torsion et o T est une famille de sections de P qui sont des groupes cycliques quaternioniens ou semidi draux sont explicitement r alisables comme sources de modules simples de vortex P pour des groupes finis p nilpotents Remarque 5 7 3 Dans l nonc du th or me l expression module de tor sion est un abus de langage pour module dont la classe dans le groupe de Dade est un l ment de torsion Preuve En utilisant les r s
189. t un syst me de g n rateurs du Z module libre E P et on va en extraire une base Rappelons que notre but est de d terminer D P Pour y parvenir on va proc der par r currence selon le plan suivant Plan 1 Soit P Py On montre que q 15 et que Im est un Z module libre facteur direct de rang 14 de J Joco E Np Q Q 2 On en d duit que engendre E P et que E P E P A fortiori cela implique D P D P 3 On exhibe l unique relation non triviale multiple entier pr s liant les l ments de On en d duit une Z base de E P 4 On suppose n gt 2 et on applique la r currence en commen ant par d terminer l unique relation non triviale multiple entier pr s liant les l ments de 5 On prouve que Im est un Z module libre facteur direct de rang q 1 de Ioco E Np Q Q pour P P et n gt 2 par r currence On en d duit le r sultat cherch savoir D P D P et en plus on va expliciter une base de ce Z module libre Avant de nous lancer dans cette d monstration il convient de rappeler quelques r sultats des sections 5 et 10 de CaTh1 concernant le groupe de Dade d un groupe di dral d ordre 8 Th or me 4 2 12 Soit Dg lt s t s t st 4 1 gt un groupe di dral d ordre 8 et notons Z lt st gt son centre 1 T D8 lt Qn es gt Z De plus Dons Qu i 2 D Ds T Ds D Ds Z amp Z8 En particulier ce th or m
190. tation 1 On a un isomorphisme de RP modules entre M et son dual Homr M R 2 Les RP modules MEN MQN Homr M N et tout facteur direct de M sont des modules de permutation Preuve Si X est une R base P invariante de M alors la base duale 1 siT 7y ilreX amp y dy Vy eX o Su 0 ae est une R base P invariante de Homr M R D o la premi re assertion La seconde est prouv e dans la section 1 de Da2 Pour des raisons qui seront motiv es par la suite nous allons focaliser notre attention sur une classe particuli re de modules d endo permutation Avant cela nous allons avoir besoin d introduire quelques d finitions suppl mentaires Notations Soient G un groupe fini H un sous groupe de G et g hE G 1 2 MODULES D ENDO PERMUTATION ET GROUPE DE DADE 17 1 On note l l ment ghg de G et 9H le sous groupe gHg de G 2 Si M est un RG module on note M Homr M R son dual 3 Le symbole d signe le produit tensoriel pr s il n y a aucune am biguit sur R Utilisons imm diatement ces notations dans le lemme suivant Lemme 1 2 3 Soient G un groupe fini et M et N deux RG modules Alors les RG modules Homr M N et M N sont isomorphes Preuve Cf proposition 10 30 de CR D finition 1 2 4 Soient G un groupe fini H un sous groupe de G M un RG module et N un RH module 1 Pour tout g G on d finit le module conjugu 9N d
191. tenant Z et d indice au moins 3 dans P cf th or me 2 0 13 Afin de d terminer E P on retiendra du corollaire 4 2 4 les deux cons quences suivantes 1 Le sous groupe E P de D P est sans torsion 2 T P lt Qp gt SZ sin gt 2 cf assertions 2 et 3 du th or me 1 5 5 Comme le groupe de Dade D Dg est connu cf th or me 10 3 de CaTh1 nous allons dor navant supposer n gt 2 Par le corollaire 4 2 4 E P est un Z module libre Calculons son rang rg Par la proposition 4 1 11 on a rg rp rpjz o rp et rpjz sont les rangs de D P et D P Z respectivement Par l assertion 5 du th or me 1 5 5 on sait que rp et rp z sont gaux au nombre de sous groupes non cycliques de P et respectivement P Z Consid rons les notations introduites en d but de section et notons c le nombre de sous groupes cycliques d ordre 4 et d le nombre de sous groupes normaux d ordre au moins 4 Le nombre de classes de conjugaisons des sous groupes non cycliques de P vaut rp d c q dna Qu en est il de rp z L ensemble des sous groupes cycliques de P Z est en bijection avec l ensemble constitu des sous groupes cycliques d ordre 4 et des sous groupes ab liens l mentaires de rang 2 contenant Z Ainsi par la remarque du d but de cette section le nombre de sous groupes non cycliques de P Z vaut rpyz d c qn1 etdonc re rp rpjz q Autrement dit on a montr le r sultat suivant Th or me 4 2 6 E P e
192. terminer dans quelle mesure on peut relever une repr sentation en caract ristique premi re p en une repr sentation en caract ristique 0 et si un tel relevement existe alors on peut se demander s il est unique Consid rons en premier lieu le point de vue des modules et utilisons les r sultats de la section 16 de CR et ceux de la section 4 de Da2 Si M est un OP module on note M M 6M son image par la r duction modulo p C est un 4 P module isomorphe k amp o M Si de plus M est un OP module d endo permutation couvert alors M est un kP module d endo permutation couvert et son chapeau est isomorphe k amp o Mo o Mo est le chapeau de M Par 1 5 SYZYGIES MORPHISMES ET COMPOSITIONS 25 cons quent on a un homomorphisme de groupes ab liens q Do P gt Dy P M M Y M Do P car M QN M N Le noyau de q est isomorphe au groupe form par les OP modules de rang 1 En d autres termes tant donn un kP module d endo permutation couvert M s il existe un OP module Mo d endo permutation couvert tel que Mo M alors un OP module M6 rel ve M si et seulement s il existe un OP module No de rang 1 sur O tel que MG No 80 Mo cf corollaire 2 4 3 et proposition 2 4 4 de Ur Ayant ainsi r pondu la question concernant l unicit du rel vement pen chons nous pr sent sur le probl me de l existence de celui ci Etant donn un kP module d endo permutation couver
193. triction Ress T P T S o S est un sous groupe ab lien l mentaire de P de rang 2 est un isomorphisme Supposons S Q et calculons Res amp Qpr pour un R Qo l aide du lemme 1 5 9 et de la formule de Mackey Res Npr x avec X Resg P R 222 Il H ae Sans Il S RNS g S P R gE S P R Distinguons les diff rents cas possibles pour les six sous groupes de Qo 1 Si S R alors on a X x Y car on peut choisir R P R avec 1 R P R Par cons quent Qx 0 par la proposition 1 2 9 2 Si S N IR 1 Vg E P alors X is r S et donc Qx Qs par le lemme 1 5 7 3 Sinon il existe un unique 1 lt Q lt S conjugaison pr s tel que Q est contenu dans un conjugu de R En effet si Q p Q satisfait les m mes conditions alors on a n cessairement S QQ De plus par le corollaire 4 1 5 et la description des sous groupes de P on a R lt CP Q NCP Q Sx Z En effet on a CP Q NCP Q Cp QQ Cp S S x Z Mais alors R lt S x Z avec R S Qo et donc R S ce qui contredit notre hypoth se Ainsi X I S II I S Q et donc par le lemme 1 5 8 F e x 04 08 Que Qs Oso Qsxs e 0 En effet S Q est d ordre 2 et donc 05 9 0 De la formule de Mackey et de la r ciprocit de Frobenius cf proposition 2 2 1 de Bo2 on tire Sx S Q S fF xt x Cite ITS S Q Par suite Qsys q sys Qs par le lemme 1 5 7 j
194. ultats pr c dents il suffit de v rifier que tout kP module endo trivial ind composable de torsion de vortex P est explicitement r alisable comme source d un module simple de vortex P pour un groupe fini p nilpotent pour un p groupe P cyclique quaternionien ou semidi dral Et en fait par d finition de la loi de groupe dans T P et dans D P et par le th or me 5 6 1 on n a besoin que des modules dont les classes engendrent le sous groupe de torsion de T P Si P est cyclique d ordre au moins 3 alors le sous groupe de torsion de T P est fini et engendr par la classe de 0 k que l on a r alis comme source d un module simple pour un groupe fini p nilpotent au paragraphe 5 3 1 Si P est quaternionien alors le sous groupe de torsion de T P est isomorphe Z 4Z x Z 2Z o Z 4Z est engendr par un kP module endo trivial de dimen sion P 1 i e par Q k ou Q3 k et Z 2Z est engendr par le kP module endo trivial exceptionnel ou son dual de dimension Fl 1 Les classes des deux modules r alis s comme sources de modules simples pour deux groupes finis 2 nilpotents au paragraphe 5 3 2 engendrent donc tout le sous groupe de torsion de T P cf remarque 5 3 10 Si P est semidi dral alors on a isomorphisme pr s un unique kP module endo trivial de torsion auto dual d ordre 2 et c est celui que l on a r alis comme source d un module simple pour un groupe fini 2 nilpotent au para grap
195. upe de Dade d un p groupe m tacyclique P pour p impair En effet nous savons d sormais qu il ne peut exc der le nombre de classes de conjugaison de sous groupes cycliques non triviaux de P Nous allons pr sent montrer que le rang en question est gal cette borne sup rieure Remarquons que nous pouvons encore am liorer ce r sultat d injectivit En effet pour toute section ab lienne l mentaire H de P de rang inf rieur ou gal 2 nous pouvons consid rer l application surjective py D H T H d finie comme la composition de l isomorphisme Dex D H gt T H K 1 lt K lt H 1 lt K lt H 3 2 GROUPE DE DADE 51 du th or me 1 2 10 dont l inverse est PK lt H nfk avec la projection sur la composante correspondant K 1 En particulier si H Cp alors py Id Consid rons l homomorphisme de groupes ab liens a Il pars SRE Qel PI Th or me 3 2 4 L application ap D P II T Q Q x II T C C est injective QE S P Celc P Preuve L gt homomorphisme injectif Y p de la proposition 3 2 1 compos avec Visomorphisme du th or me 2 0 13 donne un homomorphisme injectif Ver D P II Sa q lt r lt QT Q R x Il T C amp C QE S P Ce C P Soit x Ker ap Alors U x Q gelx P v rifie ro 0 si Q est cyclique ou o B amp o lt r lt QT Q R sinon D o 2x Ker Y Ker Y p et donc x D P par injectivit de Yp Par le lemme pr
196. utation endo scind e sont les RP modules exceptionnels de dimension Fl 1 pour le cas p 2 et P un groupe quaternionien 6 2 RESOLUTIONS DE PERMUTATION ENDO SCINDEES 131 Remarque 6 2 5 Pour la preuve de ce th or me nous allons utiliser l anneau de Green a P des RP modules On consid re le groupe ab lien a P d fini par g n rateurs et relations comme suit cf section 5 1 du premier volume de Be Les g n rateurs sont les classes d isomorphisme M des RP modules M de type fini Les relations sont donn es par les suites exactes courtes scind es Explicitement on pose M N L s il existe une suite exacte scind e 0 N M L 0 de RP modules En particulier l l ment neutre pour l addition dans a P est le RP module nul Remarquons aussi que le groupe de Grothendieck Go RP d fini dans la section 5 3 est un quotient de a P Posons M N M 8 N pour tous RP modules M N et L Cette mul tiplication munit a P d une structure d anneau commutatif et admet la classe du module trivial R comme l ment neutre Pour all ger les notations on crira simplement M la classe M d un RP module M Preuve du th or me 6 2 4 Dans tous les groupes consid r s tous les mo dules d endo permutation couverts sont dans la classe d un l ment de DS P sauf si P est un groupe quaternionien et M un RP module de dimension I I EL Par la proposition ci dessus et
197. ximal car un groupe m tacyclique ne peut pas avoir de sous groupe ab lien l mentaire de rang sup rieur 2 Par le lemme 1 5 6 Q 0 rel ve Q k Vn Z et pour tout P ensemble fini X Donc la r duction modulo lid al p induit un isomorphisme entre les groupes ab liens D3 P et D P Par le corollaire 3 2 6 on a D P D P Par suite dans le diagramme Do P 2o Db P al La D P D P de la section 1 4 l homomorphisme q Do P Dy P est surjectif A fortiori q l est aussi Comme qg est injectif q est un isomorphisme 3 3 Le plus petit exemple non ab lien Nous allons maintenant illustrer les r sultats de la section pr c dente avec un exemple de p groupe m tacyclique pour un nombre premier p impair Le cas que nous allons traiter est celui du plus petit de ces p groupes qui ne soit pas ab lien Autrement dit nous allons d terminer explicitement le groupe de Dade d un 3 groupe m tacyclique non ab lien d ordre 27 Avant de commencer les calculs remarquons que jusqu a pr sent nous avons suppos que k tait alg briquement clos Or le seul groupe de Dade connu 56 CHAPITRE 3 LES P GROUPES METACYCLIQUES actuellement qui d pend de k concerne p 2 et le groupe quaternion Qs d ordre 8 En effet si k poss de une racine cubique non triviale de l unit alors D Qs Z Z 4Z Z 2Z et dans le cas contraire par exemple si k F2 alors D Qs Z Z 4Z cf th

Modules d`endo

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