Table des matières
Contents
1. 378 8 2 2 Transitions optiques 381 8 3 La mol cule d hydrog ne ionis e H 387 8 3 1 Hamiltonin see su Ban 4 Us a E EE ee 387 8 3 2 Approximation des combinaisons lin aires d orbitales ato miques ou approximation CLOA 388 8 3 3 Approximation des liaisons fortes 389 8 34 L nergie o on cirer cutet van teed 389 8 3 5 Fonction d onde et probabilit de pr sence 392 8 4 La mol cule d hydrog ne H 394 8 4 1 L approximation des combinaisons lin aires d orbitales atomiques 24 0 207 ae ne 8 a de da ni ca nt 394 8 4 2 Orbitales atomiques et mol culaires dans l approxima tion de Hartree 44 d e d e e uma 396 81 3 Notations e aa a ae RUN Se da de Si foie 397 8 4 4 nergie directe et nergie d change 398 8 4 5 Approximation de Heitler London orbitales atomiques avec Chanpe uen huh nue per ame D 4 sen a 399 8 4 6 Approximation de Hund Milliken orbitales mol culaires avec change iis ana made nette Aa qu dus a di neue 402 8 4 7 Critiques et am liorations 402 8 5 Extension aux autres mol cules 403 8 A Appendice Hamiltonien d Heisenberg 405 Exciton 407 9 1 Correspondance trou lectron 408 gT D finition se ea e sets A ne An ele MoN 408 9 1 2 nergie ATOME Le a UNS SR LR nie 409 9 1 3 V2. 14 3 2 Mobilit des lectrons de conduction 544 14 3 3 Mobilit des trous de la bande de valence F8 545 14 A Appendice R sultats utiles 547 14 A 1 Quelques r sultats math matiques 547 14 A 2 Quelques valeurs num riques 548 15 Interaction lectron phonon 549 15 1 Pr liminaires 4 44 400004 mom e EE ee E Loue cs mous 549 15 1 1 L oscillateur harmonique 549 15 12 SOMIMES 8e Le Pr T p ni eh LE anne 550 15 2 Hamiltonien des phonons acoustiques 551 15 3 Potentiel de d formation 557 15 4 Temps de relaxation 559 15 4 1 Semi conducteur massif trois dimensions 559 Table des mati res 15 42 Semi conducteur deux dimensions 15 5 Semi conducteur polaire 16 Transport dans les semi conducteurs deux dimensions T61 Pr liminaire sea iua ena hole aaue dd ma ts tte LOL LNOtATIONS 28 ue Lo ne Dh de Nasa ss 16 1 2 Transfouri es deux dimensions 16 1 3 Une autre criture de la fonction de Fermi Dirac 16 1 4 Densit d lectrons en fonction de la temp rature 16 1 5 Coefficients de transmission 16 2 crantage et constante di lectrique 16 2 1 Semi conducteur trois dimensions 16 2 2 Semi conducteur deux dimensions 16 2
3. 3 Constante di lectrique temp rature finie 16 3 Transport horizontal diffusion par des impuret s ionis es 16 4 Transport vertical courant tunnel 16 4 1 Courant travers une barri re 16 4 2 Courant trois dimensions 16 4 3 Transport travers une double barri re IV Annexes A Notations et relations utiles A 1 Notations g n rales A 2 Atome d hydrog ne A 3 Hamiltoniens dans les semi conducteurs A 4 Repr sentations irr ductibles A 5 Fonctions de base A 6 l ments de matrice Lu ALL Gun n auras A 7 Hamiltonien sans spin A 8 Hamiltonien avec spin A 9 Relations entre les param tres de Luttinger et les param tres de Pidgeon Brown A 10 Liens entre les param tres de Luttinger et les param tres de Dresselhaus Kip Kittel A 11 Relations li es au spin A 12 L interaction d change lectron trou A 13 Conjugu e de Kramers ATAL Optiques 4 4804 ent eean e a a ut a E LUE Nas 565 565 565 565 566 567 568 571 571 572 575 576 578 578 582 583 587 589 Table des mati res Seconde quantification B l Notation ir sou 20 A LME da
4. de Luttinger Kohn et Kane Table des mati res 1 8 4 Fonction d onde de trou 56 1 9 Lexique de th orie des groupes 57 1 9 1 Groupe simple sans spin 57 1 9 2 Groupe double avec spin 58 1 10 Semi conducteur 60 FIL Denning des enter Le Aie 60 1 10 2 Semi conducteur bande interdite directe 61 1 10 3 Semi conducteur bande interdite indirecte 61 1 10 4 Semi conducteur bande interdite nulle 62 1 10 5 Pr sentation g n rale des semi conducteurs 64 1 11 Semi m tal 242 4 ara La at Bas ue o Mes M RS 71 1 11 1 Semi m tal strictement compens 71 1 11 2 Semi m tal usuel 72 1 A Appendice Fonctions et th or me de Bloch 73 JATL Propri t s 2 Ma MR RES use a das 73 1 A 2 Zone de Brillouin 75 1 A 3 Doublement de maille 76 1 B Appendice Renversement du temps et Parit de En k 78 1 B 1 Conjugaison de Kramers 78 1 B 2 D g n rescence de spin et d g n rescence de Kramers 79 1 B 3 P nte de En E n paa Qu a a 2 nas pans 81 1 C Appendice Couplage spin orbite dans les solides 81 1 C 1 Id e g n rale 81 1 C 2 Description pr cise 82 Principe de la th orie kp 85 2 1 Th orie d
5. de la quantit de mouvement 657 H Courant de probabilit et masse effective 661 H 1 Fonction de conduction sans spin 662 H 1 1 Masse effective et fonction d onde 662 H 1 2 Courant de probabilit 662 H 2 Fonction de conduction avec spin 663 H 2 1 Masse effective et fonction d onde 663 H 2 2 Courant de probabilit 664 H 3 Conclusion s ai dar une te ut Ame ne A nent a 665 I La matrice 30 x 30 667 I 1 Fonctions de base 667 I 2 l ments de matrice et notations 668 Es La matrice 30 30 dupe sa da dE Te sign 668 J Quelques coefficients de Clebsch Gordan 681 J 1 Table de compatibilit 682 J 2 Table de multiplication 684 J 3 Mode d emploi 685 J 4 Tables de coefficients de Clebsch Gordan 686 K Constantes 693 KATONENE supnss y maoe E e E sum 2 Pa Et Ra mue 693 K 2 Constantes de base 693 K 3 Constantes utiles dans les semi conducteurs 694 K 4 Equations aux dimensions 695 Bibliographie 697 Table des mati res Index 709
6. du plan quantique 449 10 42 Absorption 450 10 5 Forces d oscillateur 451 11 nergie d change lectron trou et polariton excitonique 455 11 1 L origine de l interaction d change lectron trou 457 11 2 nergie d change dans les excitons de Wannier 461 11 2 1 nergie d change d exciton et nergie d change atomique461 11 2 2 Cas o il n y pas de couplage spin orbite 463 11 2 3 Cas o le couplage spin orbite joue un r le 463 11 3 Compl ment sur les fonctions d onde des excitons libres 467 11 4 La s paration longitudinal transverse des excitons 468 11 4 1 Sommes dipolaires 468 11 4 2 Aper u sur la th orie d Hopfield 471 11 5 Forces d oscillateur 472 11 5 1 Exemples ss ete Los Las ate Rte sumeb a tas A 472 11 5 2 Semi conducteur sous contrainte 473 11 5 3 Polariton avec une seule masse de trou 476 11 5 4 Polaritons lourds et l gers 481 II Transport 485 12 La Loi de Newton des solides cristallins 487 12 1 Ondes planes et fonctions de Bloch 487 12 2 Moment cristallin ooa a 488 Table des mati res T23 Vitesse Be LA AE dogs du Ron ET OS out es 488 12 4 Acc l ration loi de Newton 489 12 5 Band
7. interdite directe 237 4 7 2 Bande interdite indirecte 243 4 8 Description en masse effective d un accepteur 244 49 Hamiltonien effectif 245 4 10 La wurtzite GaN CdS CdSe 251 4 10 1 Description quasi cubique 251 4 10 2 La wurtzite Groupe CGy 254 4 11 Onde vanescente 259 4 11 1 Hamiltonien k p non hermitique 259 4 11 2 Une description simple 260 4 11 3 Utilisation de la matrice Pidgeon Brown 261 4 A Appendice Termes impairs en k 263 4 A 1 Notations li es au couplage spin orbite 263 4 A 2 Termes lin aires en k dans la bande de valence lg 264 4A 3 Absence de termes lin aires en k dans la bande de conduc tion Te de la blende de zinc 265 AAA Termes en k Luis et un nm ades DRE Bird 266 4 B Appendice La matrice 14 x 14 ou hamiltonien Hi4 269 4 C Appendice Remarque sur la fonction enveloppe 276 4 D Appendice Th orie k p au point L du germanium 276 4E Appendice Transformation de Bro ido Sham 279 Land et Landau 283 5 1 Effet Zeeman et facteur de Land 284 5 1 1 Hamiltonien de conduction en pr sence d un champ ma BR TIQUE Han die 2er MUST NE Qu der due He A As 284 5 1 2 Facteur de Land de
8. 2 D composition de l hamiltonien de Luttinger 4 2 1 Id e g n rale 4 2 2 Matrices utiles 4 2 3 Liens entre les param tres de Luttinger et les param tres de Dresselhaus Kip Kittel l approximation sph rique Fonctions d onde de l hamiltonien de Luttinger Kohn Influence de l absence de centre d inversion 174 178 183 188 190 190 190 191 193 193 197 198 198 199 203 203 206 Table des mati res 4 4 1 L hamiltonien de Kane 211 4 4 2 Perturbations venant des autres bandes 214 4 5 Les semi conducteurs bande interdite nulle 220 4 6 Hamiltonien de contrainte 222 4 6 1 Nomenclature 222 4 6 2 G n ralit s 222 46 3 Notations eede ega a a e e Les ou ARE ur 224 4 6 4 D hamiltonien de Bir Pikus 227 4 6 5 L hamiltonien de Bir Pikus Pidgeon Brown 229 4 6 6 Cas des ellipso des 232 4 6 7 Influence d une contrainte uniaxiale sur les dispersions en nergie en Tsor inou eie fente gae os D bas brins 232 4 6 8 Cas o k 0 0 kz 234 4 6 9 Influence d une contrainte biaxiale sur les dispersions en nergie en lg 235 4 7 Description en masse effective d un donneur 237 4 7 1 Bande
9. Table des mati res Avant propos Introduction I Structure lectronique 1 Sym trie et fonctions d onde 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 Les atomes des semi conducteurs Fonctions de cristal p riodique 1 2 1 Fonctions de Bloch 1 2 2 Largeur de la zone de Brillouin 1 2 3 Normalisation des fonctions de Bloch 1 2 4 D veloppement de Unx r en fonction des Uno r 1 2 5 Fonctions de Luttinger Kohn Bande interdite et masse effective Une description simpliste ou pourquoi le silicium est un semi conductei eaae bem tan a e Nhe a a G dE en ana Structure cristalline et zone de Brillouin Combinaison lin aire d orbitales atomiques 1 6 1 Id e directrice 1 6 2 Les liaisons fortes 1 6 3 quation s culaire 242222 de d ou notre nn e 1 6 4 Structure de bande 1 6 5 Caract re s et p des fonctions d onde Sym trie des fonctions d onde et l ments de matrice 1 7 1 Fonctions d onde orbitales 1 7 2 Fonctions d onde m lang es de spin Fonctions d onde du centre de zone 1 8 1 Les fonctions sph riques 1 8 2 Les fonctions cubiques 1 8 3 Utilit des notations
10. bite 323 6 A 4 Hamiltonien tenant compte du couplage spin orbite 327 6 B Appendice Bande de valence dans un puits infini 332 6 B 1 Calculs pr liminaires 332 6 B 2 Calcul des masses planaires 334 6 C Appendice Au del de la masse effective et du puits infini 335 6 C 1 Un puits fini peut il tre consid r comme infini 335 6 C 2 Variation de l nergie en fonction de la largeur du puits 336 6 C 3 Remarque sur la fonction d onde dans un puits infini 336 II Optique et excitons 337 7 Quelques propri t s optiques des solides 339 7 1 Syst me d unit s 340 7 2 Origine de l indice optique 340 7 2 1 Cas d une fr quence de couplage 342 7 2 2 Cas de plusieurs fr quences de couplage 349 7 2 3 Influence du champ local 353 Table des mati res 7 2 4 Courbe de dispersion des phonons 356 7 2 5 Loi de Snell Descartes 359 7 3 Constante di lectrique et indice complexes 359 7 4 Absorption dispersion et r flectivit 363 7 A Appendice Relations de Kramers Kronig 370 Mol cule d hydrog ne amp nergie d change lectron lectron 373 8 1 L atome d hydrog ne 374 8 2 Autres atomes 378 8 2 1 Les fonctions d onde
11. e pleine et trou 491 12 6 Masses effectives oaoa e 493 12 6 1 Masse effective de densit tats 493 12 6 2 Masse effective de mobilit 496 13 Influence d un champ magn tique 503 TIA Effet Hall Si ess ne Ma nt on a a a e A RA 504 13 1 1 Principe de l effet Hall 504 13 1 2 Effet Hall deux types de porteurs 507 13 1 3 R le du temps de relaxation de la quantit de mouvement et magn to r sistance 909 13 1 4 Tenseur de conductivit 512 13 2 R sonance cyclotron 913 13 2 1 Principe sue es me Rogue 4 pes JE Re ee 513 13 2 2 Cas d une masse anisotrope 513 13 2 3 R le du temps de collision 519 13 A Appendice Masse cyclotron de la bande de valence 522 14 quation de Boltzmann 525 14 1 Pr liminaire section efficace temps de relaxation libre parcours MOYEN aan DnA a n eA A E E S E E E an a 525 14 2 quation de Boltzmann monobande 528 14 2 1 Pr sentation g n rale 528 14 2 2 Calcul du temps de relaxation dans le cas lastique 536 14 2 3 Exemple ensemble de potentiels d corr l s d impuret s 1OMIS ES o ne bee de nt Mme d JE RUE D anges ve ce 537 14 3 quation de Boltzmann multibande Th orie de Siggia Kwok 540 14 3 1 Exemple cas de 2 bandes o oaaae 544
12. ecteur d onde du trou 410 9 2 L exciton dans un mod le simple 412 9 21 Btats i s M EE e ET ES da DUNEN E E 414 0 2 2 Btats Hon li s o at amn da aa eaa e e a aE 419 9 3 L exciton dans les semi conducteurs r els ooa aa 419 9 4 Exciton deux dimensions 421 9 A Appendice Exciton pi g 422 Table des mati res 10 Absorption 425 10 1 G n ralit s 425 10 1 1 Optique 2 a ea R M ne 2 pt nel in r 425 10 1 2 Hamiltomien seins Rens gts te pub a tas 426 10 1 3 Probabilit de transition 427 10 1 4 D finition du coefficient d absorption 428 10 2 Semi conducteur massif absorption bande bande 429 10 2 1 l ment de matrices ve 44 4 eds HG do 429 10 2 2 Coefficient d absorption 430 10 2 3 Transition directe interdite 438 10 2 4 Transition indirecte 439 10 2 5 Transition pseudo directe 442 10 3 Semi conducteur massif absorption des excitons 442 10 3 1 Description des excitons 442 10 3 2 l ment de matrice birudi ess mers 443 10 3 3 Cas des excitons libres 445 10 3 4 Cas des excitons pi g s 448 10 4 Semi conducteur deux dimensions plan quantique 449 10 4 1 Description
13. es perturbations 86 2 1 1 Hamiltonien de d part 87 2 1 2 Cas d un niveau non d g n r 87 2 1 3 Cas d un niveau d g n r renormalisation de L wdin 88 2 1 4 Cas de niveaux quasi d g n r s renormalisation de Luttinger Kohn Las nk aire een NUS te EE SPL MR es 89 2 2 L hamiltonien k p 92 2 21 Point ded pa t 4 2 ss pus a d aus han aS 92 22 21 Principes citerne ak een Pa AR RUN AS a 92 2 2 3 Premier cas un seul tat est important 94 2 2 4 Deuxi me cas deux tats sont importants 95 2 A Appendice Th orie des perturbations de Luttinger Kohn 106 2 A 1 Rappel de la th orie usuelle des perturbations 106 2 A 2 Objet de l tude 107 2 4 3 D monstration 107 Table des mati res 3 Structure de bande I 3 1 3 2 3 3 3 A 3 B 3 C 3 D 3 E 3 F 4 1 4 2 4 3 4 4 Sch mas de principe Hamiltonien sans couplage spin orbite 3 2 1 Ce qui est suppos connu 3 2 2 Hamiltonien l int rieur de T1 F5 3 2 3 Hamiltonien l int rieur de T5c T5 3 2 4 Hamiltonien l int rieur de Isc F1 F5 3 2 5 Hamiltonien projet sur I l hamiltonien de Dresselhaus Kip Kitelie Tenkanen ee ee te R Muse Hamiltonien avec co
14. on E 1 2 Les diff rents types d interaction E 2 Processus de relaxation E 2 1 Relaxation due la collision E 2 2 Relaxation entre les collisions E 2 3 Relaxation dans la bande de valence R sistance tunnel F 1 D finition de la r sistance tunnel F2 Temps tunnel 2 rin LA Les Le cf DE E Re F21 Introduction iA ainar aee ese e ge 2 RAIDE Sue F 2 2 Fonction d onde d un puits quantique Table des mati res F 2 3 Calcul de dE a ones guet LE RS RE bo uns 646 F2 4 Temps tunnel e 24 414 44448 4e da ie ur A4 a 647 F 3 R sistance tunnel 8 RUE e 648 F 3 1 Densit d tats une dimension 648 F 3 2 Lien entre le temps tunnel et la diff rence de potentiel 648 F 3 3 Transmission quantique 650 F 3 4 Explicitation du temps tunnel 650 F 3 5 Calcul de la r sistance tunnel 651 G Fonction d autocorr lation et approximation de Born 653 G 1 D fauts de surface 654 G 2 Fonction d autocorr lation et approximation de Born 654 G 2 1 Fonction d autocorr lation 654 G 2 2 Relation avec l approximation de Born 655 G 3 Surface rugueuse 656 G 3 1 Description de la surface 656 G 3 2 Temps de relaxation
15. s lectrons de conduction 286 5 1 3 Effet Zeeman de la bande de valence un aper u 287 Table des mati res 5 2 Niveaux de Landau 288 5 2 1 Niveaux de Landau d une particule de charge e et de Masse MMA DU Le ele pr dede e ROLLER AE med GES 289 5 2 2 Bande de conduction 290 5 2 3 Bande de valence 291 6 H t rostructures 299 6 1 La probl matique Harrison BenDaniel Duke 301 6 1 1 L article de Harrison 301 6 1 2 L article BenDaniel Duke 302 6 2 Puits Catr see i enient beeke nl Phi tulhins mets 303 6 2 1 D finition serit 4 M LE AS cu nana A EP 303 6 2 2 Puits fini masse constante 303 6 3 L approximation clef 305 6 4 Bande de conduction 305 6 4 1 Cas du puits infini 305 6 42 Cas du puits fini 307 6 4 3 Cas o la masse est anisotrope 309 6 5 Bande de valence 310 6 5 1 Cas du puits infini 310 6 5 2 Cas du puits fini 316 6 6 Densit d tats 318 6 A Appendice L hamiltonien de Burt Foreman 320 GAL Rappels ss ane south DS AE TANT uns 320 6 A 2 Point de d part 321 6 A 3 Hamiltonien sans couplage spin or
16. te Ga Haute du da B 2 Cas des fermions B2 1 D finitions Vu Lun se koi te pes ns mt B 2 2 Op rateur une particule B 2 3 Op rateurs de destruction et de cr ation B 2 4 Op rateurs deux particules B 2 5 Hamiltonien en seconde quantification B 2 6 Op rateurs de champ B 3 Cas des bosons 2 40 pelan e 44 ne URL apn e B 3 1 D finitions B 3 2 Op rateurs de destruction et de cr ation B 3 3 Op rateurs de champ BA Er brefs aosa 4 UM LIL AAA ei amp SUMMER a B 5 Exemples 4 A aie a RE nn y le net mn nt B 5 1 Op rateur nombre de particules B 5 2 Op rateur densit de particules B 5 3 Potentiel de Coulomb B 5 4 Op rateur courant B 5 5 volution du nombre d occupation et du moment total Transform e de Fourier en physique du solide C 1 Nomenclature C 2 Cas g n ral o o docir ereak sueur isaesan C 3 En physique du solide C 4 Cas particuliers 2 28 cu g eo BU D me 8 dpi en de AR d re C 5 Transfouri e temporelle Constante di lectrique de Thomas Fermi et Debye H ckel Relaxation de spin E 1 G n ralit s sur la relaxation de spin E 1 1 Les deux types de collisi
17. uplage spin orbite 3 3 1 Ce qui est suppos connu 3 3 2 L hamiltonien l int rieur de T6 I8 l7 ou hamil tonien de Kane 3 3 3 Hamiltonien l int rieur de Isc Irve Le Le 7 3 3 4 L hamiltonien projet sur T6 Le r7 l hamiltonien Hg de Pidgeon Brown 151 154 162 3 3 5 L hamiltonien projet sur Ig l hamiltonien H4 de Luttinger Kolin L LEE LE UE BE a af NE ete AN Ce 3 3 6 L hamiltonien projet sur Is r7 l hamiltonien 6 x 6 de Luttinger Kohn ou hamiltonien He Appendice Les coefficients F G H H de Dresselhaus Kip Kittel rtf d Eden RE A te re Appendice Relations entre les param tres de Luttinger et de Dresselhaus Kip Kittel Appendice Relations entre les param tres de Luttinger et les param tres de Pidgeon Brown Appendice Couplage spin orbite dans les semi conducteurs 3 D 1 En th orie des groupes 3 D 2 Calcul des l ments de matrice Appendice L hamiltonien de Kane grand k Appendice Passage d une matrice sans spin une matrice avec STORE a NE SEE NN M NT RE Structure de bande II Bande de valence et effet Zeeman l article de Luttinger 4 1 1 Hamiltonien relatif au niveau ls dit L 1 4 1 2 Hamiltonien relatif au niveau le dit J 3
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