Sujet 12
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1. 1l notera ses observations Cependant ce n est pas cet exercice que je choisirais comme d couverte avec des l ves de coll ge en raison des difficult s que pr sente la situation pour une premi re approche Je pr f rerais un exercice o le lieu soit plus apparent mais si possible o un cas d exclusion ou de limitation type cercle priv d un point ou segment d une droite valorise l tude d une r ciproque G Julia 2012 2013 pa Epreuve sur Dossier CAPES Math matiques Phase 1 Consigne Proposer le texte de l exercice tel qu il est r dig mais sans l indication du sym trique de par rapport O Chaque groupe construit la figure un cercle C de centre O dont on notera r le rayon gj2013 le point M est d fini comme tant un point sur le cercle et M est construit l aide de l outil Transformations sym trie On indique oralement qu il faut construire les images d au moins cinq points de C Les l ves sont invit s d placer l un quelconque de ces points et observer ce qu il se passe On peut ventuellement proc der un bref sondage d opinion dont on n attend pas n cessairement des conjectures tr s labor es M bouge quand M bouge L id e de cercle peut merger mais ce n est pas certain Faire activer la Trace g om trique du point M et d placer le point M Si les l ves n ont pas enco2. classe concern e devra un jour ou l autre proposer un exercice de lieu g om trique o des cas d exclusion ou de limitation apparaissent 2 Dans l hypoth se o les l ves connaissent d j l outil lieu g om trique de leur logiciel il n y a aucune raison de s en priver Les l ves peuvent alors employer cet outil d s le d but ce qui revient passer directement la phase 2 L investigation consistera identifier le lieu g om trique en tant que cercle dont il s agira de construire le centre A comme ci dessus et comparer le rayon celui de C Au lieu de faire bouger le point M ce sera le point que l on d placera comment volue A et le cercle C dont on modifiera le rayon que fait celui de C Le sc nario de la s ance en est videmment raccourci Au candidat de choisir sa voie 3 La m me situation pourra tre revisit e plus tard au lyc e avec l outil des transformations une homoth tie en l occurrence L tude d une r ciproque s av rera alors inutile M d crivant C en entier le point M d crira l image de C en entier
3. d gager des propri t s concernant M et permettant de le situer sur une ligne g om trique C La phase 4 traite le probl me rebours quand on part d un point de C pour savoir si tout point de C est bien un point M Variante Comme le sous entend l exercice propos on peut commencer par demander aux l ves de construire la figure sur leur brouillon la main et placer M pour quatre ou cinq positions de M r parties leur guise sur le cercle de fa on ce que ceux ci s approprient mieux la situation On effectue alors des allers retours entre l cran et la figure sur papier phase 2 sur papier notamment G Julia 2012 2013 3 Epreuve sur Dossier CAPES Math matiques 2 Correction On consid re lorsqu il est non aplati le triangle AA M Les points A et M tant les sym triques de A respectivement par rapport O et par rapport M le point O est le milieu du c t AA et le point M est le milieu du c t AM D apr s le th or me des milieux A M 2AM Puisque M appartient au cercle C A M 2r ce qui tablit que le point M appartient toujours au cercle C de centre A et de rayon 2r Puis on traite les cas d aplatissement qui sont de deux sortes e Le cas o A O plus facile que le cas g n ral car alors OM 2 0M 2r M est toujours sur le cercle de centre O de rayon 2r ce qui reste dans la g n ralit puisque A A 0O e Les cas d
4. Epreuve sur Dossier CAPES Math matiques ESD 2012 12 G om trie plane 1 Le sujet A L exercice propos au candidat Tracer un cercle de centre O et placer un point l int rieur du disque ainsi d fini Choisir un point M sur le cercle et construire le sym trique M de par rapport M Recommencer avec d autres points du cercle Que fait M quand M parcourt le cercle On pourra construire le sym trique de par rapport O B Un extrait du pr ambule des programmes de coll ge 1 Divers aspects d une d marche d investigation Cette d marche s appuie sur le questionnement des l ves sur le monde r el en sciences exp rimentales et en technologie et sur la r solution de probl mes en math matiques Les investigations r alis es avec l aide du professeur l laboration de r ponses et la recherche d explications ou de justifications d bouchent sur l acquisition de connaissances de comp tences m thodologiques et sur la mise au point de savoir faire techniques Une s ance d investigation doit tre conclue par des activit s de synth se et de structuration organis es par lenseignant partir des travaux effectu s par la classe Celles ci portent non seulement sur les quelques notions d finitions r sultats et outils de base mis en vidence que les l ves doivent conna tre et peuvent d sormais utiliser mais elles sont aussi l occasion de d gager et d expliciter les m
5. es intersections 7 et J de OA avec C dans l ordre d alignement Z O A J qui implique l ordre d alignement F L A O A J J On v rifie que A l A A AT 20A 2Al 20A 2 r OA 2r et l rentre donc la g n ralit idem gilbertjulia 2013 pour J R ciproquement si U est un point de C donc si A U 2r alors si U l ou J c est r gl et sinon Si on consid re le milieu M du segment AU O et M sont les milieux respectifs de deux c t s du triangle 1 AA U et donc d apr s le th or me des milieux OM Fab r le point M est un point de C dont U est le point M par cons quent tous les points de C sont des points M Le lieu g om trique de M est le cercle C en entier 3 Le sujet g om trie plane est vaste A titre d exemple les probl mes de construction dont la probl matique suit celle des lieux g om triques ou bien les probl mes de longueur minimum ou d aire maximum se pr tent bien une d marche d investigation Voir entre autres sources REDCM pages 20 22 puis de la page 49 la page 67 3 Remarques 1 Nous avons d velopp l occasion de cet exercice une m thode de double inclusion voir REDCM pages 62 64 Cependant les l ves peuvent rester sceptiques propos de l utilit de la partie r ciproque parce que justement le lieu de M est la totalit de C sans restriction Le professeur de la
6. onsigne Justifiez vos conjectures R digez sur votre fiche votre r ponse Pour vous aider vous pouvez compl ter la figure par de nouveaux trac s ou de nouvelles constructions Il faut que le point A sym trique de A par rapport O apparaisse sur la figure ainsi que au minimum le segment AM Les l ves ont maintenant les cartes en mains pour analyser la figure et r diger leur d monstration Mise en commun on attend la conclusion Quel que soit le point M sur le cercle C A M 2AM 2r M appartient toujours gj2013 au cercle C de centre A et de rayon 2r Phase 4 Etude d une r ciproque Consigne Placez un point U sur C V rifiez si on peut lui associer un point M sur C dont U est le point M On attend que les l ves consid rent le milieu de AU et justifient que ce point est bien un point M de C dont U est le point M Phase 5 Structuration On assemble les diff rents l ments de la correction de l exercice issus des phases 3 et 4 On d finit la notion de lieu g om trique ce qui pr cise ce qui tait r ellement attendu en demandant que fait M D outil lieu g om trique du logiciel est activ mais seulement maintenant dans la s ance c est l occasion d en d couvrir le mode d emplot On peut enfin pr ciser le r le de chaque phase de la s ance mission de conjectures d monstrations La phase 3 a pour objectif de
7. re utilis cet outil on peut leur expliquer que la Trace g om trique va laisser sur l cran l empreinte du passage du point M Mise en commun et conjectures Le fait que M se trouve toujours sur un cercle plus grand que C et d centr devrait merger Il reste pr ciser quel est ce cercle Phase 2 Consigne D terminez le cercle sur lequel semble toujours se trouver M Vous devez en placer le centre et en d terminer le rayon On peut aider les l ves en demandant de combien de points M a t on besoin pour pouvoir obtenir le centre du cercle passant par tous ces points Ou bien y a t il sur le cercle de centre O des points M dont il serait int ressant de construire l image M Les l ves peuvent utiliser trois points et construire le centre du cercle circonscrit au triangle obtenu les l ves peuvent v rifier si ce cercle semble passer aussi par les autres points M Ils peuvent aussi utiliser les images des deux points intersections de la droite OA avec C sils conjecturent qu il s agit l d un diam tre du cercle On attend essentiellement la conjecture Il semble que le centre du cercle sur lequel semble se trouver M soit le sym trique de A par rapport O et une conjecture comparant les rayons des deux cercles G Julia 2012 2013 2 Epreuve sur Dossier CAPES Math matiques Phase 3 D monstration des conjectures C
8. thodes que n cessite leur mise en uvre C Le travail exposer devant le jury 1 Proposez le sc nario d une s ance permettant d engager les l ves dans une d marche d investigation prenant appui sur l exercice 2 Exposez une correction de l exercice comme vous le feriez devant une classe de coll ge 3 Pr sentez deux ou trois exercices sur le th me g om trie plane dont l un au moins peut tre le support d une d marche d investigation 2 El ments de correction Cet exercice a pour objectif la recherche d un lieu g om trique La situation se pr te une d marche d investigation d une part par la tournure de l nonc que fait M est volontairement tr s vasif sur le type de r ponse attendue et d autre part parce que le lieu g om trique en question oppose quelques difficult s il n est pas directement apparent il s agit d un cercle dont le centre n est pas sur la figure initiale et dont le rayon est diff rent du rayon du cercle initial 1 Sc nario propos Je me place d lib r ment dans le cas o les l ves n ont pas encore trait de probl me de lieu g om trique 1 pour d velopper cette occasion un sc nario de d couverte de la notion de lieu g om trique Les l ves sont par groupes de deux chaque groupe dispose d un ordinateur quip d un logiciel de g om trie dynamique Chaque groupe se munit aussi d une fiche sur laquelle
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