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Optique quantique 1 : Lasers

1. 3A 5 Exemple Cavit de grande finesse 3A 6 Cavit laser lin aire 22204 san Re ln ARTS Entente d ni te Compl ment 3B Faisceaux gaussiens Modes transverses d un laser 3B 1 Fai s ga ssi n L c se socedi bte JS s EE dE Su ie 4 3B 2 Mode gaussien fondamental d une cavit stable 3B 3 Modes gaussiens ss Ste EL se Mode RU SnS NS RU 0 a 3B 4 Modes longitudinaux et transverses d un laser Compl ment 3C Le laser source d nergie 3C 1 Effets de l irradiation laser sur la mati re 3C 1 1 Couplage laser mat riau 228 5 ans ent and a do nee ce arriva de 3C 1 2 Transfert thermique due a du Ann ad ANR EAU ge nat ACL Effet m canigue i e ire a a a e i a RE NA ane are Ne 3C 1 4 Effets photochimiques photoablation 3C 2 Usinage et traitement de surface des mat riaux 302 1 Effets thermiques corina meta als isa saute Le 3C 2 2 Transfert de mati re 25 des dar Ra NS ana o avant 3C 2 3 Effets photochimiques photoablation 3C 3 Application m dicales ES NL SR DS et RS Ne 3C 4 Application militaires 0 de Cat Ms Hd main c 2 30 5 FUSION inertielle e g ra da a eaha e aana e ANS 0 4 Le dans Compl ment 3D Le laser source de lumi re coh rente 3D 1 Les atouts du laser oaoa RAA RS SA RNA 2 Rats 3D 1 1 Propri t s g om trique
2. A lt 0 gt 0 ka Ebt 4 B Ept 4 D T i I i lt 09 0 l gt 00 l w h0 o VAVA ho nn h00 VA fa m n 1 i gt D i de 2 1 se 1 br L 7 li t a niveaux Ea a niveaux Ea T d plac s non d plac s iveaux non d plac s _ d plac s FIG 2 10 D placements lumineux dans un atome deux niveaux coupl s par un laser de fr quence w Le signe des d placements d pend du signe du d saccord Depuis l av nement des lasers les d placements lumineux jouent un r le tr s important dans tout le domaine de l interaction atome laser C est ainsi qu il est indispensable d en tenir compte dans les exp riences de spectroscopie de haute r solution cf Compl ment 3E Ils sont galement la base de plusieurs m canismes de refroidissement d atomes par laser 12A Aspect et J Dalibard La Recherche Janvier 1994 C Cohen Tannoudji in Syst mes fonda mentaux en optique quantique dit par J Dalibard J M Raimond et J Zinn Justin North Holland 1992 Actes de l cole d t Les Houches 1990 2 4 ABSORPTION ENTRE DEUX NIVEAUX DE DUR E DE VIE FINIE 97 Remarques i Les formules ci dessus tablies dans le cas de niveaux de dur e de vie infinie restent va lables tant que le d saccord est grand devant la largeur I des niveaux coupl s Le r sultat C 44 a donc en fait un domaine d application tr s vaste
3. pr sent r v l s sans port e au niveau des applications Par ailleurs d autres processus de gain peuvent tre compris en terme d effets macrosco piques sans invoquer n cessairement le ph nom ne d inversion de population Il existe ainsi un syst me int ressant le laser lectrons libres o le processus d amplification r sulte du groupement de paquets ordonn s d lectrons rayonnant en phase voir remarque du 3 2 5 b HVoir par exemple O Kocharovskaya Phys Rep 219 175 1992 M O Scully ibid p 191 W Gawlik Comm At Mol Phys 29 189 1993 P Mandel Contemporary Physics 34 235 1993 3 2 DESCRIPTION DES MILIEUX AMPLIFICATEURS 221 3 2 2 Inversion de population dans les syst mes quatre niveaux a Principe Le mod le simple d amplificateur du chapitre 2 supposait l existence d au moins trois niveaux un niveau fondamental et deux niveaux excit s b et a entre lesquels on induisait une inversion de population Dans la pratique il est apparu que de tr s nombreux syst mes lasers n cessitaient au moins un niveau suppl mentaire de sorte que les syst mes quatre niveaux sont maintenant consid r s comme les syst mes mod les pour la mise au point de lasers Nous en d crirons bri vement plusieurs exemples le laser n odyme le laser h lium n on et plus g n ralement les lasers gaz rares les lasers accordables colorant ou saphir dop au titane et les lasers mol
4. x 3B 6 u a 22 3B 6a R z amp z 3B 6b On a alors un faisceau divergent partir du point x y z 0 voir figure 3B 1b 4 limit par un c ne de demi angle au sommet Twg qui vaut respectivement 2 x 107 et 2 x 107 dans les exemples ci dessus Cette divergence qui r sulte simplement de la diffraction est d autant plus grande que la taille est petite C est pourquoi la taille des faisceaux doit tre augment e pour diminuer leur divergence dans certaines applications voir compl ment 3D 3D 1 1 La figure 3B 1 donne une repr sentation sch matique d un faisceau gaussien La formule 3B 4 montre que le champ subit une variation de phase de x 2 7 2 lorsque z varie entre c et 00 Ce d phasage appel d phasage de Gouy appara t de part et d autre de la r gion focale pour un faisceau focalis cet effet connu en optique classique est parfois appel variation de m au passage par un foyer Il est possible de relier la puissance amp transport e dans londe et la section du faisceau w puisque cette puissance est gale au flux du vecteur de Poynting travers n importe quel plan d abscisse z De la relation Eoc 2 _ a J dzdy E x y z t 3B 7 on d duit 1 4 Eo z Neue 3B 8 qui montre que Eo et w sont bien reli s par l quation 3B 2b 3B 2 Mode gaussien fondamental d une cavit stable Consid rons une cavit r sonnante lin aire
5. tat excit b Remarques i La caract risation de l mission spontan e par un taux de transition cf 1 3 du cha pitre 1 est li e au fait qu il s agit en th orie quantique d une transition vers un continuum l ensemble des tats ayant toutes les directions polarisations et fr quences possibles pour le photon mis ii Si l on voulait donner une repr sentation du rayonnement mis dans une direction donn e en terme de champ classique on pourrait le d crire approximativement comme un train d onde amorti d amplitude E r t Eo r H t r c exp 5e r o cos wo t r c 2 5 formule dans laquelle H u est la fonction de Heaviside qui vaut z ro pour u n gatif et 1 pour u positif et o est une phase al atoire En prenant le carr du module de la transform e de Fourier de cette expression on obtient la densit spectrale de puissance du rayonnement mis qui a une forme Lorentzienne de largeur mi hauteur r p wo A w wo nie 2 6 PT de pw Le point retenir ici est que le rayonnement mis a une r partition spectrale de forme Lorentzienne de largeur gale l inverse de la dur e de vie du niveau excit 1 Aw T 2 7 T i La loi Lorentzienne 2 6 d crit galement le comportement r sonnant des sections effi caces d absorption et d mission induite lorsque la seule cause d largissement de la transition est l instabilit radiativ
6. tat propre i de Ho l amplitude de proba bilit de le trouver dans l tat k l instant T se calcule partir de 1 22 et vaut Skil T R 1 31 ki T ih i E E h PR Nous en d duisons la probabilit de transition P x T Wl gt Pix T a gr Ex Ei 1 32 o sin ET 2f PT l est la fonction repr sent e sur la figure 1 3 6Ce calcul s applique aussi au cas d un hamiltonien Ho W ind pendant du temps mais o le syst me est pr par et d tect dans un tat propre de Ho 1 2 TRANSITION ENTRE NIVEAUX DISCRETS 25 8AE T FIG 1 3 Allure de la fonction gr E Ce graphe montre qu une interaction de dur e T permet d d atteindre pr f rentiellement les tats dont l nergie est gale celle de l tat initial rh T pr s Les caract ristiques essentielles de cette fonction sont les suivantes elle est maximum en E 0 o sa valeur est T sa largeur est de l ordre de 2rh T sa surface est proportionnelle T plus pr cis ment 00 i dE gr E 2rhT 1 34 valeur qui n est autre que le demi produit de sa hauteur par la distance entre ses deux premiers z ros comme si la fonction gr tait triangulaire Nous poserons __ gr E _ 2ksin ET 2f QAT mT E2 r E 1 35 La fonction r E est piqu e en 0 de surface unit de hauteur T 2r de largeur 2r T Elle constitue lorsque T est suffisamment grand une appro
7. 4 Ert li FIG 2 9 Transition deux photons de i vers k La fr quence de Ponde w est voisine de Wki 2 mais notablement diff rente de wji Le niveau j s appelle un niveau relais pour le processus deux photons Le processus d crit ici est un processus non lin aire d ordre 2 En effet chacun des l ments de matrice Wp et W est proportionnel au champ lectrique de l onde lumineuse quation 2 59b et la probabilit de transition 2 88 est proportionnelle au carr de l intensit lumineuse On peut naturellement g n raliser le r sultat ci dessus en consid rant des ordres plus lev s de la th orie des perturbations Par exemple si w Ex E 3h on pourra avoir une transition 3 photons cf Figure 2 5 de probabilit proportionnelle au cube de l intensit lumineuse Remarque Dans un atome un l ment de matrice dipolaire lectrique n est diff rent de z ro qu entre deux niveaux de parit s oppos es cf q 2A 3 du compl ment 2A Une transition dipolaire lectrique deux photons n est donc possible qu entre niveaux de m me parit pour lesquels une transition directe un photon est impossible b Ordre de grandeur Il est facile de comparer la probabilit de transition deux photons quasi r sonnante 2 88 la probabilit de transition un photon 2 58a On constate en prenant W4 IWxl W qu r sonance le rapport des deux quantit s
8. Pa To 2 AQD Ge ita 2C 29c 4Le domaine d application de la th orie pr sent e dans ce compl ment est en fait limit des fr quences bien inf rieures c ro Par exemple les effets quantiques relativistes imposent une limite Q mc h ac ro o a 1 137 est la constante de structure fine 2C 4 R ACTION DE RAYONNEMENT AMORTISSEMENT RADIATIF 179 Le mouvement de l lectron est donc finalement un mouvement oscillant amorti r Spexp l at 2 cos wot 2C 30a avec 2ro gt 4T To d w w 2C 30b T3e dd sh l formule dans laquelle nous avons introduit la longueur d onde Ao 27c wo La puissance rayonn e est donc amortie avec la constante de temps r3 que l on appelle dur e de vie radiative classique Il est int ressant de calculer la valeur de pour des fr quences wo 27 correspondant de la lumi re visible Pour le milieu du domaine visible 5 x 1014 Hz soit une longueur d onde o 0 6 um on trouve une dur e de vie radiative r3 16 ns o 0 6um Dans le domaine des rayons X on trouve des dur es de vie beaucoup plus courts puisque l a varie comme Notons n anmoins que m me dans ce domaine le facteur de qualit wo Ta de la r sonance qui caract rise le nombre de p riodes mises par l lectron avant que son mouvement ne soit notablement amorti reste extr mement grand devant 1 Le r sultat obtenu partir du mod le classique peut tre uti
9. Remarques i L op rateur p est galement un op rateur impair car chacune des composantes cart siennes de l op rateur gradient v rifie 2A 4 Comme on pouvait s y attendre une transition interdite par couplage dipolaire lectrique est galement interdite par couplage A p ii Rappelons que lorsque le couplage dipolaire entre deux tats est nul il ne faut pas en conclure que toute absorption ou mission de lumi re par l atome est strictement impossible On sait que le terme d interaction dipolaire lectrique ou le terme quivalent A p n est que le terme pr pond rant d un d veloppement en s rie de l hamiltonien d interaction 2 2 4 Il arrive fr quemment qu une transition interdite en couplage dipolaire lectrique soit permise en couplage dipolaire magn tique 2 2 5 ou quadrupolaire lectrique ou par transition multiphotonique cf 2 1 5 et 2 3 3 Mais les l ments de matrice correspondants sont plus petits par plusieurs ordres de grandeur et nous n gligeons ces ph nom nes chaque fois que la transition dipolaire lectrique est autoris e ii Si le noyau est la position ro et non l origine des coordonn es les raisonnements ci dessus restent bien entendu valables en rempla ant dans l quation 2A 3 r par r ro L quation 2A 4 devient alors r O t 7 0 d to 1 aR Nous allons voir dans ce compl ment d autres r gles de s lection qui restrei
10. des microprocesseurs per age des t tines de biberons d coupe des tableaux de bord des automobiles gr ce un syst me de bras articul permettant d atteindre des endroits d acc s difficile d coupe sur mesure et sans effilochage de tissu pour la confection de v tements 282 COMPL MENT 3C 3C 2 2 Transfert de mati re Il est possible de tirer profit de l jection de mati re qui se produit lorsqu une surface est illumin e par un faisceau laser intense La m thode permet en effet de vaporiser de mani re contr lable des mat riaux ventuellement tr s r fractaires qui se d posent ensuite sur une autre surface plac e proximit de la surface irradi e C est de cette mani re par exemple que l on d pose des couches minces de c ramiques supraconductrices de type Y Ba Cu 0 Ces couches ont une excellente qualit cristalline comme l atteste la valeur lev e du courant critique que l on mesure dans de tels dispositifs 3C 2 3 Effets photochimiques photoablation Il existe une application int ressante des effets photochimiques li s l irradiation laser appel e st r olithographie Elle permet de fabriquer des prototypes de pi ces de formes compliqu es con ues sur ordinateur la surface d une cuve contenant une r sine acrylique liquide photopolym risable est clair e par un faisceau laser pilot par ordinateur La r sine durcit au point d irradiation et le faisceau est balay
11. la base du fonctionnement des lasers et montrer comment ils ont t mis en pratique Notre exp rience est que ces principes nous ont toujours permis de comprendre le fonctionnement des nouveaux lasers que nous avons vu appara tre au fil des ann es Les id es physiques permettant de comprendre le fonctionnement des lasers appa ra tront souvent extr mement simples Cette impression tient au fait que les concepts essentiels sont d sormais bien d gag s et que les d tails accessoires et les errements des raisonnements incorrects ou incomplets sont pass s sous silence Il est cependant in t ressant de constater combien l mergence de ces id es a t laborieuse On consid re g n ralement que la pr histoire du laser commence en 1917 lorsque Albert Einstein in troduit la notion d mission induite encore appel e mission stimul e En effet en tudiant l quilibre thermodynamique entre le rayonnement lectromagn tique et des atomes la temp rature T Einstein montre que l on ne peut retrouver la formule de Planck pour le rayonnement du corps noir qu la condition d introduire en plus de l absorption et de l mission spontan e un nouveau processus l mission induite Apr s les articles d Einstein sur ce sujet de nombreux physiciens s int ress rent ce probl me tant du point de vue th orique que du point de vue exp rimental Cet int r t fut concr tis par la mise en vidence exp rimentale de
12. mission induite de haut en bas 132 COMPL MENT 2A FIG 2A 2 Transitions lignes continues sous l effet d une lumi re polaris e circu laire droite relativement l axe de quantification ayant permis de d finir le nombre quantique m Ces r gles de s lection s appliquent l absorption et l mission induite De fa on analogue les lignes pointill es correspondent aux transitions o_ permises sous l effet d une polarisation circulaire gauche Remarques i L ensemble des consid rations relatives la polarisation o se transpose directement au cas de la lumi re polaris e circulairement o_ dont le vecteur polarisation est d fini en 2A 22c Le champ lectrique correspondant s crit E E ez cos wt p ey sin wt p 2A 31a V2 E Re e_Ee vitv 2A 31b On obtient alors les r gles de s lection pour une transition induite par o_ entre des tats i et k tels que l nergie de k soit sup rieure celle de i absorption f Ex gt Ei ES le li 1 2 32 polarisation o_ Mk Mi 1 Une telle transition se repr sente par une ligne oblique montant vers la gauche voir Figure 2A 2 ii Pour un atome plusieurs lectrons o les nombres J et my associ s au moment cin tique total J sont des bons nombres quantiques les r gles de s lection pour la lumi re polaris e circulairement o ou o_ autour de l axe de quantification Oz sont Ex gt E s
13. nergie d ionisation r De plus l absorption proche du seuil c est dire pour hw Er est donn e par Gify hw Er quand hw amp Er Un deuxi me caract ristique est le caract re quasi r sonnant de la transition proche du seuil de photo ionisation quasi r sonnance due la diminution conjointe de la densit d tat en ka et du moment dipolaire 2 en en k7 ce qui conduit Gifoo quand hw gt Er 1 hw En Toutes ces expressions rendent raisonnablement bien compte du comportement spec tral des d tecteurs puits quantiques R f rences 1 E Rosencher et B Vinter Optoelectronique Masson 1998 2 B F Levine J Appl Phys 74 R1 R81 1993 208 COMPL MENT 2E 12x10 Taux de transition s 5 0 5 10 15 20 Energie des photons normalis e E FIG 2E 6 Taux d ionisation par seconde d un puits quantique en fonction de l nergie normalis e l nergie d ionisation Er Chapitre 3 Les lasers Nous exposons dans ce chapitre une vue d ensemble de la physique des lasers per mettant de comprendre leurs principales caract ristiques et nous donnons un bref aper u sur les propri t s de la lumi re mise par ces sources Notre but n est pas de fournir un catalogue exhaustif des lasers existant aujourd hui Nous nous servirons plut t d exemples concrets choisis parmi les lasers les plus courants actuellement pour pr senter les principes g n raux
14. une telle inversion de population peut tre obtenue soit en pompant le niveau sup rieur plus nergiquement que le niveau inf rieur soit en utilisant une transition pour la quelle le niveau inf rieur a une dur e de vie tr s courte 2B 4 Conclusion Les quations de Bloch optiques constituent un outil fondamental de l interaction atome rayonnement Dans le cadre de l approximation r sonnante qui correspond un 2B 4 CONCLUSION 167 grand nombre de situations exp rimentales importantes ce sont des quations exactes qui d crivent quantiquement l volution atomique tout en permettant de prendre en compte les ph nom nes de relaxation mission spontan e collisions Par rapport des traitements approch s plus simples elles ont l avantage de d crire correctement deux types de ph nom nes essentiels dans l interaction atome laser Il s agit d une part des effets d ordre sup rieur apparaissant forte intensit comme la saturation ou plus g n ralement les effets non lin aires D autre part elles permettent de traiter cor rectement les coh rences entre niveaux atomiques qui sont responsables de tr s nombreux effets Ce sont notamment ces coh rences qui d terminent la fr quence et la phase du di p le lectrique atomique induit par le rayonnement incident sur l atome cf quation 2B 25 Comme le champ r mis est directement reli ce dip le on peut ainsi pr voir les caract
15. 1 3a Cette quantit est la probabilit de transition de l tat W 0 vers l tat p entre les instants 0 et t Pio o t ly 1 3b Dans le cas particulier o le syst me est l instant initial dans un tat propre n de He il est d crit tout instant t par le vecteur d tat Ie en 1 4a La probabilit de le trouver dans un autre tat propre m de Ho m n est donc nulle Prom lt KyO 0 1 4b Par exemple un lectron d un atome d hydrog ne initialement dans un tat n l m pour rait subsister ind finiment dans cet tat si l atome n tait pas coupl au monde ext rieur 1Dans toute la suite de cet ouvrage nous distinguerons les op rateurs de la th orie quantique par le symbole 2Voir par exemple BD Chapitre III ou CDL Chapitre IIL D 2 1 2 TRANSITION ENTRE NIVEAUX DISCRETS 17 En fait il subit des transitions vers d autres niveaux sous l effet d interactions ext rieures de diverses origines collisions contre des ions lectrons ou atomes pr sents dans len vironnement champs lectromagn tiques oscillants ext rieurs etc Le couplage avec le champ lectromagn tique quantifi est aussi responsable de transitions spontan es d un niveau excit n l m vers des niveaux d nergie inf rieure avec mission de rayonnement c est le ph nom ne d mission spontan e Dans tous ces exemples les interactions viennent rajouter l hamiltonien du Sys t
16. 2 81 gt Pialta t ln t l b to t olt Q 62 2 Aux notations pr s cette expression est identique celle de l quation 1 50 tablie dans le cas d une interaction constante et non pas oscillante comme ici Comme on le voit sur la figure 2 7 la probabilit de transition oscille la pulsation de Rabi g n ralis e Q y9 92 q 2 77b entre la valeur 0 et une valeur maximale Q2 PRE 2 82 a b 2 62 max La probabilit maximale de transition P7 a un comportement r sonnant lorsque la fr quence d excitation w varie autour de la fr quence de Bohr w La loi de variation cor respondante Fig 2 8 est une loi Lorentzienne de largeur mi hauteur 2Q On constate que la largeur de la courbe de r sonance est proportionnelle l amplitude du champ lectrique pa 0 FIG 2 8 Probabilit maximale P X de trouver l atome dans l tat sup rieur de la transition au cours de l oscillation de Rabi en fonction du d saccord r sonance On a une variation r sonnante de type Lorentzien de largeur proportionnelle la racine carr e de l intensit de londe r sonance il est possible de transf rer la totalit de la population du niveau a vers le niveau b Notons que si on se place r sonance la valeur maximale PF vaut 1 Il est donc possible de transf rer la totalit des atomes du niveau a vers le niveau b en choisissant une dur e d interaction
17. 255 De m me les relations entre les champs s crivent au niveau du miroir M E DE exp ikLo 3A 6 E l r exp 2ikLo avec r2 et t2 r els et tels que ritt R T 1 3A T Ici encore la conservation des flux est assur e E E E ou El JEL El Dans la formule 3A 6 Lo est la distance entre les deux miroirs Remarque Le signe de r2 dans la seconde quation 3A 6 n est pas arbitraire Ce signe oppos celui consid r dans l quation 3A 4 pour le champ se propageant dans la m me direction Oz est li au fait que la face r fl chissante des miroirs est toujours positionn e vers l int rieur de la cavit 3A 2 Facteur de transmission et de r flexion de la Ca vit R sonances Les quations 3A 4 et 3A 6 donnent imm diatement en introduisant la longueur de rebouclage L 219 E tito exp ik Lo 2 3A 8 E 1 rir2exp ikL l d o l on d duit El TT Ta E I a 3A 9 Ei 1 RR 24 R Ro cos k L l La formule 3A 9 montre que T passe par un maximum chaque fois que kL 2pr voir figure 3A 2 c est dire pour wW Wp p re avec p entier 3A 10 Le facteur de transmission vaut alors TT 1 VR1R2 Si R Rz nous trouvons Tmax 1 m me si 11 T2 est arbitrairement proche de z ro La cavit transmet alors la totalit du champ incident Dans la pratique les imperfections des miroirs limiteront la valeur de Tmax f
18. Asat Asp Isat E00 Eoc Eoc 2A 48b Il est possible de relier d et l l aide de la formule VI C 21 c qui donne 2 d RLp TEO TS 2A 48c 0 En reportant dans 2A 48b et en introduisant la longueur d onde o 27c wo on obtient 2A ATc ii La formule 2A 46 peut s exprimer en fonction de la pulsation de Rabi Q d une tran sition de force gale 1 sous la forme D To 4 2 ie p2 2A 49 2A 3 POMPAGE OPTIQUE 145 Supposons que la polarisation de l onde incidente couple les sous niveaux et j Le taux de d part de vers j vaut alors ASC 2A 50 Comme les coefficients C donnent les taux de d sexcitation partir des sous niveaux excit s 2A 44 on peut en combinant 2A 44 et 2A 50 obtenir des taux de transfert entre sous niveaux fondamentaux sous l effet de l irradiation r sonnante Par exemple le taux de transfert entre a et as sous l effet d une onde couplant a b s crit simplement Toja lis Cs 2A 51 On peut crire des taux de transfert de ce type entre tous les sous niveaux fondamentaux En admettant qu il est possible de faire un simple bilan additif entre les divers termes de d part et d alimentation pour chaque sous niveau on obtient des quations de pompage A titre d exemple nous crirons ces quations lorsque la transition Ja 1 gt J 2 est soumise une lumi re polaris e lin airement de sorte que seules les excit
19. cet effet correctif et ce d autant plus que le noyau est plus gros donc plus lourd Pour l Uranium l tat S fondamental subit un d placement d environ 10 GHz entre les isotopes 235 et 238 Toutes les transitions optiques partant de ce niveau seront d cal es de cette grandeur entre les deux isotopes c Effet magn tique Les diff rents isotopes d un l ment ont en g n ral des spins nucl aires I diff rents et donc des moments magn tiques diff rents Il en r sulte que leur structure hyperfine est diff rente En particulier l uranium 238 a un spin Z 0 donc pas de structure hyperfine tandis que l uranium 235 de spin 7 7 2 voit son niveau fondamental d compos en plusieurs sous niveaux 3D 5 2 Spectre de Uranium cause de la pr sence de 92 lectrons le spectre de l uranium est beaucoup plus compliqu que celui de l atome d hydrog ne On a pu ainsi y r pertorier pr s de 300 000 raies La figure 3D 17 a montre une petite partie de ce spectre mesur avec une r solution spectrale moyenne cette chelle les spectres des deux isotopes ne montrent aucune diff rence Il en va tout autrement si l on effectue une spectroscopie haute r solution d une petite partie du spectre pr c dent Figure 3D 17 b on observe une raie unique pour l isotope 238 s par e d environ 0 01 nm de l ensemble des raies hyperfines de l isotope 235 On voit donc qu il est possible avec un laser de fr que
20. clairement maximal d une surface 344 3G 3 clairement maximal avec la lumi re laser 346 3G 4 Nombre de photons par mode 44521 LAB MILS SRE NES dde a 346 3G 4 1 Rayonnement thermique dans une cavit 346 SGA CNIL NS i a o ER ue ee SH EN a a Rae 348 3G 5 Nombre de photons par mode pour un faisceau libre 348 3G 5 1 Mode libre propagatif us 200 Lans autel tenu Eau 348 3G 5 2 Pinceau de rayonnement thermique 350 3G 5 3 Faisceau mis par un laser ooo Sous in Bei 350 SCO CONUS Ona aee a aaa a EE a a ON a a a a A A 351 Chapitre 1 volution des syst mes quantiques probabilit s de transition Dans ce cours nous allons nous int resser l interaction entre la mati re et la lumi re Ce sujet fait largement appel la m canique quantique Une description quantique de la mati re est en effet indispensable si l on veut comprendre l chelle microscopique les divers processus d interaction qui peuvent se produire entre celle ci et le champ lectro magn tique Dans le chapitre 2 nous nous poserons par exemple la question suivante tant donn un atome mis l instant initial dans un tat d termin et soumis partir de cet instant un rayonnement lectromagn tique que deviennent l atome et le champ lec tromagn tique tout instant ult rieur Pour pouvoir y r pondre il nous faut conna tre les m thod
21. d Ore i y A eileva 2 74b dt 2 pour l volution des coefficients introduits en 2 72 Pour r soudre ce syst me introduisons le d saccord r sonance w w cf q 2 58d et effectuons le changement de variable Va a EXP 31 2 75a gt Yb w exp 2 75b Le syst me 2 74 se transforme en un syst me d quations coupl es coefficients constants d L Qer m lo da 2 etes M 2 76a d Qe 7p a 2 76b H 9 Ya gb 76 Un tel syst me admet deux solutions propres oscillantes de la forme H exp 1 2 77a prenant l une des deux valeurs EQ VQ 6 2 77b auxquelles correspondent deux solutions pour le rapport 5 ch E n 2 77c La grandeur Q d finie en 2 77b s appelle pulsation de Rabi g n ralis e La solution g n rale du syst me 2 76 est donc de la forme Zea er Q Que Q Ja K g5 XP 51 L 015 exp 51 2 78 88 CHAPITRE 2 ATOMES EN INTERACTION AVEC UNE ONDE Cherchons la solution qui correspond aux conditions initiales Jalto 1 2 79a A to 0 2 79b c est dire un atome dans l tat inf rieur a l instant t t La solution de 2 76 est dans ce cas a Q Q Yalt cos PAL to ig sin PAL to 2 80a Cher Q wlt i sin t to 2 80b En rempla ant Q par sa valeur y9 6 d finie en 2 77b les formu
22. dire la conservation du volume dans l espace des phases lors d une volution hamil tonienne ii Les propri t s vues ci dessus ne sont plus valables si les milieux travers s ont un compor tement non lin aire Remarquons par exemple que dans ce cas on peut avoir des changements de fr quence et qu il n y a plus ind pendance entre les l ments spectraux 3G 2 Eclairement maximal d une surface avec une source incoh rente L clairement d une surface est la puissance re ue par unit de surface E 3G 9 Lorsqu on dispose d une source incoh rente de luminance L quelle est l clairement maxi mal que l on peut obtenir Consid rons d abord le cas de la figure 3G 1 o la surface clair e dS est directement en vue de la source En utilisant 3G 3 et 3G 5 on voit que l clairement d l l ment de source dS vu sous l angle solide dQ vaut dE Lcos0 dQ 3G 10 En int grant sur toute la source on trouve l clairement total Si la source est tr s grande compar e la distance MM l angle solide total est quasiment gal 27 mais dans l int gration le terme cos 0 donne un facteur 1 2 On trouve finalement gt ES rD 3G 11 l galit tant obtenue si la source est vue depuis M sous un angle solide de 27 Peut on l aide d un instrument d optique augmenter cette valeur limite sup rieure de l clairement La r ponse est non car en ve
23. et op rateur densit La probabilit de trouver le syst me dans un tat i est gale on il6li Cette propri t g n rale est manifestement vraie pour un cas pur La probabilit de trouver le syst me dans un tat quelconque de l espace tant normalis e 1 ceci entra ne que L l ment diagonal c s appelle population de l tat i Pour un cas pur on v rifie ais ment qu une observable O du syst me a pour valeur moyenne Tr 2B 3 Cette propri t reste vraie dans le cas g n ral L volution de la matrice densit d un syst me A isol initialement dans un cas pur peut se d duire de l quation de Schr dinger 2B 1a Elle est d crite par l quation d l gt H 2B 4 qui fait intervenir le commutateur entre l hamiltonien du syst me et la matrice densit Cette quation d volution est galement valable pour un syst me d crit initialement par une matrice densit quelconque et qui est soumis des interactions descriptibles par un hamiltonien ou qui reste isol Supposons que le syst me A subisse de surcro t des instants al atoires mais fr quents de nombreuses collisions br ves et peu intenses avec des syst mes B C X L effet moyen des collisions peut tre d crit au moyen d un op rateur de relaxation que l on rajoutera l quation 2B 4 Les termes de relaxation relatifs aux populations Gi s crivent
24. gale m Qi cf figure 2 7 Une impulsion ayant cette dur e s appelle impulsion r c Exemples L oscillation de Rabi est elle observable dans le domaine des ondes lumineuses G n ralisant la discussion du paragraphe 2 3 1c nous admettrons que le calcul ci dessus n est valable que si la dur e d interaction consid r e est plus courte que la dur e de vie 90 CHAPITRE 2 ATOMES EN INTERACTION AVEC UNE ONDE des niveaux a et b Par ailleurs pour observer l oscillation de Rabi il faut une dur e d interaction au moins gale une p riode d oscillation Les deux conditions sont com patibles condition d avoir une pulsation de Rabi assez grande de l ordre de 10 s71 ce qui s obtient avec un faisceau laser de quelques dizaines de milliwatts concentr sur un millim tre carr L observation peut alors se faire en clairant les atomes avec une impulsion lumineuse de dur e t t contr l e dans la gamme de quelques nanosecondes et en observant la fluorescence qui suit proportionnelle au nombre d atomes qui ont t port s dans l tat excit Une telle exp rience est possible mais elle pr sente de s rieuses difficult s techniques et l oscillation de Rabi n est observable dans le domaine des ondes lumineuses que si on s est plac dans des conditions particuli rement favorables Dans le domaine des radiofr quences nous savons 2 2 5 qu il est possible de provo quer des transitions
25. hamiltonien atomique au sous espace a b s crit r 2 69 0 wo Nous prenons l hamiltonien d interaction dipolaire lectrique C 3 et nous crivons l l ment de matrice Wa cf q 2 59b sous la forme Woa b E ro la RQ 2 70 qui d finit la pulsation de Rabi Q4 Rappelons que les termes de phase arbitraires sur a et b ont t choisis de sorte rendre Q4 r el et positif L hamiltonien atomique total est donc 2 71 A m h 0 mn Q cos wt p Wo Pour d crire l volution de l atome nous d veloppons comme au chapitre 1 partie 1 2 son tat sur la base a b sous la forme DCE Ya t la yolt e 10 2 72 qui permet gr ce au facteur e7 0t de s parer l volution libre L quation de Schr dinger conduit alors aux quations volution d LUE iout UE iloto SA i KARES m KAROS W 2 73 FA 5 e Ya 5 e Yo a do o DE un q UE iuoruy EE i w wo ta ilvoto ta 2 73b i T nka y Ce syst me se simplifie consid rablement si on fait l approximation r sonnante condi tion que w wo soit petit devant w wo les termes en exp i w wo t qui oscillent 2 3 TRANSITION ENTRE DEUX NIVEAUX ATOMIQUES 87 tr s vite donnent des contributions n gligeables et on peut les supprimer comme nous l avons d j vu au paragraphe 1 2 4 d dans le cas perturbatif On obtient alors d Qer ine etlo 2 74a
26. intro 99 60 CHAPITRE 2 ATOMES EN INTERACTION AVEC UNE ONDE duire de fa on ph nom nologique la dur e de vie des niveaux atomiques et le formalisme semi classique est alors capable de rendre compte de fa on simple d un tr s grand nombre d aspects de l interaction atome rayonnement y compris ceux la base de l effet laser Ce chapitre est donc tr s important m me si certains effets associ s l mission spon tan e ainsi que les domaines nouveaux des tats non classiques de la lumi re et de l lectrodynamique quantique en cavit chappent au traitement semi classique Apr s avoir pr sent qualitativement dans la partie 2 1 divers processus d interaction entre mati re et rayonnement absorption mission spontan e mission induite diffu sion processus multiphotoniques nous mettons le formalisme en place dans la partie 2 2 en justifiant le choix de l hamiltonien dipolaire lectrique pour d crire l interaction entre un atome et la lumi re consid r e comme un champ lectromagn tique classique Nous introduisons galement la fin de cette partie l interaction dipolaire magn tique qui est g n ralement le terme dominant de l interaction entre un atome et une onde radio fr quence Dans la partie 2 3 nous calculons les probabilit s de transition sous l effet du rayonnement entre deux tats atomiques discrets de dur e de vie infinie Apr s une pre mi re approche
27. jusqu mat rialisation com pl te d une tranche de la pi ce cr er On l ve alors de 0 1 mm environ le niveau du liquide et on recommence l op ration pour la couche imm diatement sup rieure Il faut entre 4 et 30 heures pour fabriquer ainsi une pi ce d une dizaine de cm mais le proces sus est compl tement automatique et il peut tre dans certains cas moins co teux qu un usinage classique D autre part les propri t s sp cifiques de la photoablation commencent tre utili s es dans un certain nombre d applications en d pit du co t plus lev des lasers UV per age de pr cision dans des films de polym res confection de masques pour la micro lectronique d nudage de fils lectriques de tr s faible diam tre 3C 3 Application m dicales Dans la plupart des applications m dicales il s agit comme dans le paragraphe pr c dent d apporter de l nergie sous forme control e Il y a tout de m me des diff rences li es au fait que le mat riau traiter ici est vivant L nergie n cessaire au traitement est beaucoup plus faible et ne n cessite pas de lasers de forte puissance Il faut limiter la zone malade la zone d interaction par diffusion thermique Pour cela l utilisation d impulsions br ves est indispensable La profondeur de p n tration est plus importante que dans le cas des m taux Elle d pend de la longueur d onde utilis e 50 um pour u
28. les lasers colorant dans les domaines de longueur d onde qu il permet de couvrir e Lasers mol culaires Le laser dioxyde de carbone appel laser CO3 se rapproche des lasers gaz du 3 2 2 c puisque l excitation est aussi une d charge lectrique Mais il s agit ici de lasers pouvant tre tr s puissants 10 kW ou plus aux applications industrielles et mi litaires nombreuses La transition laser a lieu entre deux tats mol culaires vibrationnels distinctsl dans l infrarouge lointain 10 6um Il existe de tr s nombreux autres lasers mol culaires mettant dans l infrarouge Pour certains d entre eux lasers chimiques la mol cule est cr e directement par une r action chimique dans un tat excit ce qui assure automatiquement l existence d une inversion 16C est dire deux tats d excitation diff rents pour le mouvement relatif des centres de masse des atomes constituant la mol cule 228 CHAPITRE 3 LES LASERS l T A F a Se re ve seuil courbe de gain de l amplificateur l Transmission VO apr s filtre et amplificateur FIG 3 12 S lection d une longueur d onde au moyen d un filtre La transmission du filtre est plus troite que la largeur de la courbe de gain et est voisine de 1 son maximum La transmission de la lumi re apr s passage dans le milieu amplificateur et le filtre est le produit du coefficient d amplification par la transm
29. mission spontan e dans le mode laser rajoute un champ de module Esp et de phase al atoire volution AA L amplitude du champ est corrig e par le ph nom ne de saturation du gain mais la phase a vari d une quantit y de l ordre de Esp Er Ce processus est la base de la diffusion de la phase dans le laser En liminant l a entre les quations 3F 6 et 3F 7 nous trouvons N 1 2 N Na hw N2 PEG AwsT amp Il est possible de transformer cette expression en remarquant que la puissance de sortie est reli e au nombre de photons du mode laser M dans la cavit Pour une cavit lin aire avec un miroir de sortie partiellement r fl chissant nous d duisons de l quation 35 du compl ment 3A Net 3F 9 AWeav o Aweav est la largeur mi hauteur d un mode de la cavit laser voir Compl ment 3A q 21 Ceci donne finalement pour largeur de raie Ne hw Awsr S Awa S Ns Na Ps 3F 10 P Np AWeav f AMN N Ce r sultat co ncide un facteur num rique pr s avec la formule plus rigoureuse tablie par Shawlow et Townes N fu e EE 2 AWST MN E Na AWcav 3F 11 338 COMPL MENT 3F Cette formule fait intervenir la puissance extraite du laser puissance de sortie la largeur Aweay d un mode de la cavit laser et un facteur d pendant des populations M et Na des niveaux extr mes de la transition ce facteur est une fonction d croissant
30. presque compl tement aban donn e cause de probl mes li s aux vibrations du dispositif tournant et aux difficult s de synchronisation entre la lampe flash et la rotation du miroir On utilise plut t aujourd hui des obturateurs lectro optiques ouverture en 10 nanosecondes ou acousto optiques ouverture en 1 microseconde 32Voir N B Abraham P Mandel and L M Narducci Prog Optics XXV 1 1988 et r f rences incluses 250 CHAPITRE 3 LES LASERS Une autre m thode m rite une mention particuli re c est le d clenchement passif induit par la pr sence d un absorbant saturable dans la cavit Tant que l inversion de population est faible l intensit circulant dans la cavit n est pas suffisante pour compenser les pertes de l absorbant saturable En revanche lorsque l inversion de population atteint son maximum le d marrage de l oscillation laser s accompagne d une forte d croissance des pertes dues l absorbant saturable et une impulsion g ante est alors mise Dans ce cas c est l amor age spontan du laser qui provoque louverture de l obturateur constitu par l absorbant saturable Il n y a plus de probl mes de synchronisation Les lasers d clench s amplificateur solide rubis ou n odyme sont utilis s couramment dans deux types d applications i les situations o on a besoin de puissances cr tes lev es avec une puissance moyenne mod r e certains effets d
31. sa ressemblance avec le mod le utilis dans les parties 2 4 et 2 5 du chapitre 2 des niveaux a et b ne sont pas gaux D autre part on consid re ici un terme de relaxation interne de b vers a Dans cette situation beaucoup plus g n rale le recours au formalisme des quations de Bloch optiques est indispensable ii Le syst me deux niveaux ferm appara t comme un cas particulier du syst me deux niveaux ouvert o l on fait ra T 0 et Aa Ap 0 6Les taux d alimentation et introduits ici sont relatifs un seul atome Ils sont reli s aux taux d alimentation A relatifs une assembl e de N atomes utilis s au chapitre 2 Eq 2 4 2 par A NA 156 COMPL MENT 2B 2B 2 Traitement perturbatif 2B 2 1 R solution par it ration de l quation d volution de la matrice densit a Pr sentation du probl me Le but de cette partie est de g n raliser au formalisme de la matrice densit la m thode des perturbations d pendant du temps tablie dans le chapitre 1 pour l volution des vecteurs d tat Comme au chapitre 1 nous supposons que l hamiltonien se d compose en un terme principal o et un hamiltonien de perturbation A t L hamiltonien o ind pendant du temps a pour tats propres les tats n d nergie En Pour faire ressortir les diff rents ordres du d veloppement en s rie de perturbations le terme de perturbation t sera crit comme dans la formule 1 10
32. ur les sous marins en plong e long terme plusieurs mois in gal e et sont toujours utilis s pour les sous marins en plong e 306 COMPL MENT 3D 3D 4 1 Lecture et reproduction Nous avons indiqu dans le paragraphe 3D 1 3 comment on pouvait d fl chir et modu ler un faisceau laser Ce dernier peut donc tre utilis de la m me mani re que le faisceau lectronique d un tube cathodique Compar cette technique largement r pandue il a certains avantages il fournit une meilleure image cause d un rapport signal sur bruit sup rieur sur l intensit du faisceau et surtout cause d une bien meilleure r solution on peut focaliser le faisceau laser sur une surface bien plus petite qu un faisceau d lectrons il se propage dans l air et non pas dans le vide En revanche il a l inconv nient d un prix de revient plus lev surtout si on veut rendre les couleurs car on a alors besoin de 3 lasers de couleurs diff rentes Rouge Vert Bleu LASER F1G 3D 14 Sch ma d une imprimante laser le faisceau laser modul par l acousto optique AO est balay par le miroir tournant M sur le tambour photoconducteur T L image latente est r v l e par la poudre de carbone C et transf r e sur la feuille de papier P En ce qui concerne la reproduction de documents nous citerons l imprimante laser qui est un produit de grande diffusion Son principe est sch matis sur la figure 3D 14 Le faisc
33. wov u c o c est la vitesse de la lumi re effet Doppler cause de la distribution maxwellienne des vitesses des atomes dans un gaz un observateur enregistre donc une raie de forme gaussienne dont la largeur est bien plus grande que la largeur naturelle Dans le domaine optique la largeur due l effet Doppler de l ordre de wy0 c o est la vitesse quadratique moyenne des atomes dans une direction donn e U k T M o M est la masse de l atome et T la temp rature du gaz est plus grande que la largeur naturelle de la transition typiquement par un facteur de l ordre de 100 temp rature ambiante Il s ensuit que la pr cision sur la mesure de la fr quence de la transition est affect e par cet largissement Doppler et que d autre part les structures atomiques qui sont plus grandes que la largeur naturelle mais plus petites que la largeur Doppler sont masqu es par cet largissement Un largissement analogue des raies spectrales existe pour des ions plac s dans un verre ou dans une matrice cristalline Dans ce cas les ions sont certes immobiles il n y a donc pas d largissement Doppler mais ils sont dispos s au hasard de sorte que les d placements Stark des niveaux d nergie de l ion dus au champ lectrique cr par les ions voisins varient d un site l autre Il s ensuit que la fr quence de la transition pour un ion dans le cristal diff re de la fr quence obtenue pour un ion isol et q
34. y r sulte de l interf rence entre les champs provenant de tous les points x y au tour pr c dent Ceci fixe la phase relative du champ entre deux points du plan perpendiculaire la propagation et est l origine de la coh rence spatiale de l onde laser Cette propri t de coh rence diff rencie la lumi re mise par un laser de celle issue de sources classiques qui sont des sources tendues pour lesquelles la phase relative du champ entre deux points distants du plan transverse est une variable al atoire De m me que la distribution transverse de la phase la distribution transverse d amplitude est galement fix e voir le cas typique des modes gaussiens dans le compl ment 3B b Intensit stationnaire du laser D apr s 3 9a et 3 10 la condition sur l intensit s crit R 1 A G T 1 3 11 5Nous supposons pour simplifier que les indices et par cons quent la longueur optique sont ind pendants de l intensit circulant dans la cavit pour les effets associ s une ventuelle d pendance de l indice avec l intensit voir le compl ment 3E 6Ce dernier effet est g n ralement connu sous le nom de d phasage de m au foyer La phase de Gouy pr sent e dans le compl ment 3B permet de trouver ce r sultat TVoir plus pr cis ment la th orie de Kirchhoff de la diffraction M Born and E Wolf Principles of Optics 8 2 et 8 3 J P Jackson Classical Electrodynamic
35. y prira et par sa direction 0 Pour pouvoir appliquer le formalisme du paragraphe 1 3 du chapitre 1 et en particulier la r gle d or de Fermi il faut conna tre la densit d tats du quasi continuum Nous avons ici des tats d g n r s en nergie et il faut faire appara tre explicitement la densit d tats sous la forme p 8 E introduite au paragraphe 1 3 3c du chapitre 1 Notons d abord que la densit d tats dans l espace r ciproque est uniforme et vaut L 2 ke 2D 8 pk 5 2D 8 puisque chaque tat est associ une maille cubique de volume 27 L voir Figure 2D 2 Pour faire appara tre l nergie nous rep rerons un vecteur d onde lectronique ke par son module qui est reli l nergie l aide de l quation 2D 5c et par sa direction 0 Le volume l mentaire de l espace r ciproque est alors l intersection d un l ment d angle solide dQ et d une coquille situ e entre les sph res de rayon ke et ke dke Il a pour mesure dk k dkedQ 2D 9a Le nombre d d tats contenus dans ce volume est L L N k dkdQ V2E m3dE dQ 2D 9b 27 27h La densit d tats ionis s associ e Ee Q s crit donc finalement dN L y Ee vV2Eem 2D 1 PE 6 0 TEAN x i zz R Cu C est cette expression qui sera utilis e pour valuer la probabilit d jecter un photo lec tron d ne
36. 2 8 Po E E 1A 1 2T A o W est le terme de couplage entre les deux particules p la densit d tats finaux prise pour une nergie gale celle de l tat initial 2E3 et o l nergie est gale 2E E Pour calculer li nous avons besoin de conna tre la forme des fonctions d onde du quasi continuum l l ment de matrice d interaction et la densit d tat p correspondante Nous allons les calculer en d tail dans les trois paragraphes suivants 50 COMPL MENT 1A 1A 1 Fonctions d onde du quasi continuum Le syst me atomique une dimension est enferm dans une bo te fictive une dimen sion de longueur L voir paragraphe 1 3 2 a Si nous supposons pour simplifier que les tats du quasi continuum auxquels nous nous int ressons ont une nergie suffisamment lev e pour que le puits de potentiel W n exerce qu une faible influence sur la forme de la fonction d onde les fonctions d onde 4 x du quasi continuum sont celles d une particule dans un puits infini et s crivent donc ynl Es e 1A 2 ne 2mL Notons que les fonctions d onde x ont pour parit 1 En particulier celles correspondant n 2p sont impaires et s annulent l origine Elles ont pour nergie n entier strictement positif 1A 3 1A 2 l ment de matrice de l hamiltonien d interaction Appelons v x et x les fonctions d onde des tats li s du puits de poten
37. 27rc A nous trouvons 1 R L T 3A 25 TR x Ve cause du facteur L qui d passe couramment 10 pour des longueurs d onde optiques et pour et R proche de 1 le champ intracavit effectue de nombreuses oscillations avant de s amortir 3A 5 Exemple Cavit de grande finesse Il est int ressant de consid rer le cas o les miroirs ont des coefficients de r flexion lev s Des d veloppements limit s en T et T sont alors possibles Ils conduisent 27 x A 2 Ti T2 iacaa Q pe 3A 26b 260 COMPL MENT 3A On sait couramment faire des miroirs sans absorption de coefficient de transmission de l ordre de 1 ce qui donne des finesses sup rieures 100 Il est possible d atteindre des valeurs sup rieures 10 avec des couches di lectriques de tr s haute qualit Dans cette limite R et R voisins de 1 l quation 3A 12 donnant l intensit du champ dans la cavit s crit en utilisant 3A 18 3A 19 et 3A 20 2 AT SE e 3A 27 E z T T 1 4 sin Ei Donnons pour conclure quelques chiffres relatifs une cavit lin aire de longueur Lo 5 cm et de finesse F 300 obtenue pour Ti To 1 l intervalle spectral libre cart entre deux modes successifs vaut c L 3 GHz la largeur d une r sonance vaut Aweav 27 10 MHz dans le visible 0 5um le facteur de qualit vaut Q 6 x 107 Une telle cavit peut tre utilis e com
38. MENT 2B D finissons le taux de relaxation moyen T des populations 2 1 1 SPEE 2B 52 r Ta a Ts l Avec ces notations la solution stationnaire des quations de Bloch pour les populations s crit a ERPE TE A E 2B 53 Obb O Do P QD Tbb Oaa Po Pa f M 2B 54 2 o u i G Remarquons d abord que dans le cas particulier y l T les formules 2B 53 et 2B 54 co ncident avec celles obtenues dans le mod le simple du chapitre 2 Notons ensuite la non conservation de C Caa li e au caract re ouvert du syst me De la valeur stationnaire de la coh rence 91 Po Pa ly ilw w0 iut p 2B 55 2 Wu 7 04 FN nous d duisons le dip le atomique et donc les susceptibilit s y et x pour une vapeur comportant N V atomes par unit de volume NO NO d2 yaa e E o S 2B 56a n N NO 2 x Ra ee d a 2B 56b V ei uw 7 2 o NO pN et NO paN sont les nombres d atomes dans les niveaux b et a en l absence du champ oscillant de pulsation w Les formules 2B 56 g n ralisent les r sul tats 2 120 et 2 148 du chapitre 2 obtenus partir du mod le simple o les taux de relaxation des deux niveaux sont gaux Elles montrent qu un milieu est amplificateur si la population stationnaire au seuil NO du niveau sup rieur de la transition est plus grande que la population stationnaire au seuil N du niveau inf rieur D apr s 2B 51
39. N Se EE A p p 1 Fr quence 27 x A N I fr quences d oscillation FIG 3 21 Effet de la saturation du gain pour un largissement inhomog ne il y a creusement de trous dans la courbe de gain hole burning seulement aux fr quences d oscillation laser plusieurs modes peuvent ainsi coexister simultan ment Ces consid rations sur largeur homog ne et inhomog ne s appliquent par exemple la tran sition 10 6um du laser CO La largeur naturelle de cette transition est extr mement faible bien inf rieure 1 MHz mais du fait de l agitation des mol cules dans le gaz on a un largisse ment de la raie par effet Doppler 50 MHz environ temp rature ambiante Cet largissement est inhomog ne car ce ne sont pas les m mes mol cules qui participent l aile haute fr quence de la raie elles se d placent en sens contraire du faisceau laser ou l aile basse fr quence elles 3 3 PROPRI T S SPECTRALES DES LASERS 239 se d placent dans le m me sens Si maintenant on consid re du dioxyde de carbone pression lev e ce sont les collisions qui deviennent la cause pr dominante d largissement de la raie Ce nouvel largissement est homog ne car toutes les mol cules subissent en moyenne les m mes oscillations et voient donc leurs fr quences de transition affect es de fa on identique Gain Gain non satur Seuil 7 ENEE nr ne Gain satur p
40. TRAITEMENT NON PERTURBATIF 161 m et q tant la masse et la charge de l lectron Nous obtenons ainsi 0 0 D is CE Er 2B 32 j gt k MEg 5 W En particulier dans la situation habituelle o le seul niveau peupl est le niveau fonda mental que nous appelons ici a nous pouvons remplacer tous les N par 0 sauf N 0 qui est gal N La susceptibilit est alors gale N faj SN 2B 33 K V meo w w l La formule 2B 33 appara t comme l quivalent quantique du r sultat obtenu classique ment en utilisant le mod le de l lectron lastiquement li L Ne 1 V meo w w Dans cette expression w est la pulsation de l oscillation libre de l lectron L analogie entre les formules 2B 33 et 2B 34 est d autant plus frappante que les forces d oscillateur v rifient la relation suivante appel e relation de Reiche Thomas Kuhn D fj 1 2B 35 Le r sultat 2B 33 correspond en quelque sorte une situation o l oscillateur classique aurait plusieurs fr quences de r sonance chacune ayant un poids faj En fait les formules 2B 33 et 2B 35 ont t introduites empiriquement partir des r sultats exp rimen taux avant l av nement de la m canique quantique Ce fut d ailleurs un des premiers succ s de cette th orie d expliquer rigoureusement l origine de ces formules 2B 3 Atome deux niveaux Traitement non perturbatif par quations de B
41. canismes conduisant des probabilit s faibles et donc des dur es de vie tr s longues 224 CHAPITRE 3 LES LASERS Transitions non radiatives Transition laser 1 06 um Pompage 1 Transition nonradiative FIG 3 7 Sch ma des niveaux et bandes d nergie de lion n odyme Nd dans un solide cristal YAG ou verre Les longueurs d onde utiles pour le pompage sont situ es au voisinage de 0 5um et de 0 8um L mission laser a lieu 1 06um l h lium La figure 3 9 montre que ces niveaux excit s du n on sont les niveaux sup rieurs des raies laser 3 39um 1 15um ainsi que de la c l bre raie rouge 633um La figure 3 9 pr sente un sch ma possible de construction de laser h lium n on On remarque que le gaz est enferm dans un tube ferm par des fen tres inclin es l angle de Brewster qui ne provoquent aucune perte par r flexion pour la polarisation dans le plan de la figure La polarisation orthogonale subissant des pertes le seuil d oscillation est tr s diff rent pour les deux polarisations ce qui entra ne que la lumi re laser ainsi obtenue est polaris e La transition laser est s lectionn e par les miroirs qui n ont une bonne r flectivit que pour la longueur d onde que l on veut favoriser La puissance d un laser h lium n on est typiquement de l ordre de quelques mW Dans certaines versions industrielles les miroirs sont l int rieur du tu
42. cart entre les niveaux 28 2 et 2P j2 est appel le d placement de Lamb La valeur num rique du d placement de Lamb est en unit de fr quence 1 057 GHz La valeur de l cart de structure fine entre les niveaux 2P j et 2P3 2 est de 9 912 GHz L origine de la d viation par rapport la formule de Dirac est li e au couplage de l lectron avec le champ lectromagn tique En th orie quantique du rayonnement voir chapitre 6 ce couplage m me en l absence de tout champ appliqu de l ext rieur est res ponsable de la d sexcitation par mission spontan e des niveaux excit s de l atome Mais il a un autre effet l lectron de l atome d hydrog ne est toujours susceptible d mettre puis de r absorber virtuellement des photons De tels processus conduisent de faibles d placements des niveaux d nergie diff rents pour les niveaux 25 2 et 2P 2 Ils permettent donc de comprendre l origine du d placement de Lamb La mesure de plus en plus pr cise de ces d placements permet de confronter la valeur exp rimentale avec les pr dictions th oriques de l lectrodynamique quantique suscitant un effort parall le des th oriciens pour raffiner les calculs dont la difficult augmente avec la pr cision recherch e En 1994 il y a accord entre th orie et exp rience avec une pr cision relative voisine de 107 sur la valeur des fr quences de transition dans le domaine optique 3E 4 3 Mesure de la constante de
43. clateur se d chargeaient lorsqu elles taient clair es par un rayonnement ultraviolet l effet photo lectrique appara t aussi dans le cas d atomes ou de mol cules isol s qui peuvent tre ionis s par un rayonnement ultraviolet ou X L existence d une fr quence seuil ws en dessous de laquelle le rayonnement est in capable de provoquer l jection d un lectron est une caract ristique de l effet photo lectrique que la physique classique plus pr cis ment l lectrodynamique classique ne pouvait expliquer C est ce qui conduisit Einstein postuler en 1905 qu un rayonnement monochromatique de fr quence w contient des grains de lumi re que l on appella plus tard des photons ayant chacun une nergie toiss w 2D 1 Einstein interpr te alors l effet photo lectrique comme une collision entre un lectron li et un photon qui dispara t c dant toute son nergie l lectron Si on appelle Fy l nergie d ionisation c est dire l nergie qu il faut communiquer l lectron pour l arracher son atome ou le travail de sortie hors d un m tal l quation d Einstein relie l nergie cin tique de l lectron ject la fr quence du rayonnement Fig 2D 1 E fw Er 2D 2a Cette nergie cin tique tant n cessairement positive la fr quence du rayonnement doit tre sup rieure la fr quence seuil Ei Le 2D 2b 2D 2b 1A Einstei
44. comme plus haut de remplacer les potentiels associ s au rayonnement ext rieur par leur valeur la position r du noyau On remplace donc dans 2 47 A t par A ro t Mais d apr s 2 44a A ro t 0 2 48 de sorte que 2 47 prend la forme 2 49a 78 CHAPITRE 2 ATOMES EN INTERACTION AVEC UNE ONDE o l on a comme en 2 40 A2 A z Ho 2m F Vooul 2 49b qui est l hamiltonien atomique habituel Quant l hamiltonien d interaction D E ro t 2 49c il porte le nom d hamiltonien dipolaire lectrique Cet hamiltonien rappelle l expres sion classique de l nergie d interaction entre un champ lectrique ext rieur E r t et un dip le lectrique classique D situ au point ro Remarques i Nous avons consid r ici le cas simple de l atome d hydrog ne Pour un atome quelconque on peut toujours d finir un op rateur dip le lectrique et l hamiltonien d interaction ci dessus garde la m me forme i Nous aurons besoin par la suite de conna tre la valeur num rique des l ments de matrice de l op rateur dip le lectrique pour des transitions optiques On peut les calculer si on conna t les fonctions d onde des tats atomiques entre lesquels se produit la transition Pour l atome d hydrog ne un bon ordre de grandeur est donn par le produit de la charge lectrique de l lectron 1 6 x 101 C par le rayon de Bohr ao 0 53 x 10 1
45. de celle de l onde incidente On peut consid rer que l atome passe virtuellement dans le niveau excit l atome met une onde sph rique de fr quence exactement gale la fr quence w de londe incidente avec une phase bien d finie par rapport celle de l onde incidente L interpr tation la plus simple du processus de diffusion lastique repose sur l exci tation forc e sous l effet du champ incident d un dip le atomique induit oscillant la fr quence w cf 2 4 3 a Ce dip le rayonne lui m me dans tout l espace un champ fr quence w que l on peut calculer par les m thodes de l lectrodynamique classique Un tel calcul permet de pr ciser la r partition angulaire et l efficacit du processus de diffusion Anticipant sur la description quantique du rayonnement on peut galement proposer une interpr tation en deux tapes i absorption d un photon d nergie hw portant virtuellement l atome dans le niveau excit pendant un intervalle de temps tr s court de l ordre de 1 w wo compatible avec la relation de dispersion temps nergie AE At gt h ii d sexcitation de l atome et mission d un photon d nergie fw dans une direction diff rente de celle de l onde incidente L galit entre les fr quences des ondes incidente et diffus e s interpr te alors simplement comme la conservation de l nergie L efficacit de la diffusion lastique varie fortement avec la
46. du chapitre 1 sous la forme A t le param tre r el tant suppos tr s petit alors que t est de l ordre de o L quation d volution de la matrice densit qui se substitue l quation de Schr din ger quation 1 11 du chapitre 1 est de la forme d 1l lo t E 2B 12 dt Le premier terme est le commutateur 2B 4 traduisant l volution hamiltonienne Le terme 2 est la somme des termes de relaxation et de pompage relatifs aux populations et aux coh rences Utilisons la notation t A t dans l quation 2B 12 d 1 d N Ho H t 2B 13 hloat LT ZO 2B 13 et introduisons le d veloppement suivant de 6 60 160 22650 2B 14 qui g n ralise le d veloppement 1 16 du chapitre 1 En reportant 2B 14 dans 2B 13 et en identifiant les termes de m me ordre en nous trouvons l ordre 0 d 1 4 y 60 l ordre 1 do 1 gt d fia DE oa LE a 2B 15b l ordre r d 1 4 d Lux j 80 Hi t 602 2B 1 dt A 07 dt 10t 5c 2B 2 TRAITEMENT PERTURBATIF 157 b Solution l ordre 0 l ordre 0 et dans la base des tats propres de Ho les quations 2B 15a pour les po pulations JA se ram nent aux quations de relaxation 2B 5a Les solutions stationnaires de ces quations donnent les populations des divers tats en l absence de perturbatio
47. e est un ph nom ne qui est fondamentalement li la quantification du champ lectromagn tique Si nous le pr sentons dans ce chapitre c est cause de son importance physique Mais la diff rence de l absorption et de l mission induite l mission spontan e ne peut tre d duite du formalisme semi classique utilis ici Remarquons en effet qu un atome isol dans l tat b est dans un tat stationnaire tat propre de l hamiltonien atomique Les th or mes l mentaires de la m canique quantique nous indiquent alors que l atome reste ind finiment dans cet tat Ce n est qu en consid rant un syst me quantique plus grand l atome en interaction avec tous les modes du champ lectroma gn tique quantifi que l on peut voir appara tre naturellement l mission spontan e Dans ce chapitre nous nous contenterons de savoir que le ph nom ne d mission spon tan e existe et si n cessaire nous pourrons l introduire de fa on ph nom nologique en utilisant la notion de dur e de vie radiative d un tat Nous admettrons que la probabilit par unit de temps de d sexcitation par mission spontan e partir de l tat b vaut T Si l atome est dans l tat b l instant t 0 la probabilit P de le trouver encore dans b l instant t est donc P e e 2 4 2 1 PROCESSUS D INTERACTION ATOME CHAMP 65 La quantit r ll est la dur e de vie radiative de l
48. e montre le d marrage parabolique ind pendant de Ey E Il est clair que le r sultat de la figure 1 4 n est valable que si W4 amp E Eil ce qui est pr cis ment la condition de validit a priori du traitement perturbatif cf 1 2 3 note 5 On peut pourtant se demander ce que donne P _4 T au voisinage de T 0 lorsque E E tend vers 0 On constate alors que la probabilit de transition d marre quadratiquement suivant une loi ind pendante de E Eil 2 Wu ge 1 39 h PT i l m T La validit de cette formule est videmment limit e aux valeurs de T plus petites que Wpi Notons que le membre de droite de 1 39 co ncide aussi avec la valeur de P T autour de T 0 pour E E 0 1 2 TRANSITION ENTRE NIVEAUX DISCRETS 27 Remarque Le probl me que nous venons de traiter ici recouvre en fait deux situations physiques dif f rentes en fonction du comportement de la perturbation apr s l instant T ou bien W est interrompu l instant T et le syst me n volue plus ult rieurement perturbation en cr neau de type collisionnel ou bien W reste constant perturbation en marche de trottoir mais on s int resse l tat du syst me l instant T par exemple en effectuant une mesure l instant T d Cas d une perturbation sinuso dale Nous avons vu dans le paragraphe 2 a que dans le cas de l interaction atome rayonnement qua
49. est il possible de r aliser un ordinateur tout optique dans lequel les photons remplaceraient les lectrons Le traitement optique de l information a un grand avantage potentiel la facilit de r aliser des architectures massivement parall les la diff rence des courants lectriques les faisceaux lumineux n ont pas forc ment besoin de fils pour se propager et de plus ils n interagissent pas entre eux lorsqu ils se croisent Il est alors possible d envisager des adressages bi dimensionnels entre un r seau plan de diodes lasers et un r seau plan de photod tecteurs par des techniques d imagerie optique holographiques en particulier De tels dispositifs sont appel s r volutionner de nombreux concepts en informatique qui s est pour l instant d velopp e partir d un traitement l mentaire de l information de type s quentiel impos par la technologie m me des composants lectroniques D autre part il est possible de r aliser des portes logiques purement optiques gr ce des techniques d optique non lin aire comme la bistabilit optique voir compl ment 3F 2 En l tat actuel de la technologie leur fonctionnement consomme une nergie non n gligeable ce qui rend prohibitif le fonctionnement en parall le d un tr s grand nombre de ces dispositifs Les d monstrations en laboratoire d ordinateurs optiques ont ainsi mis en jeu jusqu pr sent un tr s faible nombre de porte
50. et non par rapport la direction de propagation 02 2C 4 R action de rayonnement Amortissement radia tif Moment cin tique de la lumi re a R action de rayonnement Par suite de la conservation de l nergie l nergie lectromagn tique rayonn e par l lectron doit tre pr lev e sur son nergie m canique Il doit donc exister une interaction entre l lectron et le champ qu il met en son propre emplacement On peut effectivement montrer qu il existe une force de ce type appel e r action de rayonnement Cette force comporte un terme proportionnel que l on peut interpr ter comme une correction de la masse de l lectron et un terme proportionnel t qui s crit Deer __ 2mro FERR 2C 25a R GTE0C 3c On a introduit la quantit ro homog ne une longueur et appel e rayon classique de 2Voir CDG 1 p 70 ou J D Jackson Classical Electrodynamics chapitre 17 Wiley 1975 3Comme dans ce paragraphe on ne s int resse qu au mouvement de l lectron on notera pour simplifier r et non re la position de l lectron 178 COMPL MENT 2C l lectron gt Nous ne chercherons pas tablir l expression 2C 25a mais nous allons par contre v rifier qu elle est compatible avec les r sultats tablis au 2 Calculons pour cela la puissance moyenne fournies par cette force un lectron oscillant sinuso dalement avec une amplitude a
51. fusion inertielle r soudront nos probl mes d approvisionnement nerg tiquel Pour plus de d tails on consultera par exemple Physics Today 45 pp 32 et 42 1992 COMPL MENT 3D 291 Compl ment 3D Le laser source de lumi re coh rente Dans les applications du compl ment pr c dent on utilisait uniquement l nergie du faisceau laser Ces applications ne sont pas les seules possibles Le pr sent compl ment montre comment on peut tirer profit des propri t s de coh rence spatiale ou temporelle du rayonnement mis par un laser 3D 1 Les atouts du laser 3D 1 1 Propri t s g om triques Comme nous l avons expliqu dans le compl ment 3B la coh rence spatiale d un fais ceau laser lui assure une grande directivit Il est de ce fait une excellente approximation du rayon lumineux de l optique g om trique et mat rialise la droite ou bien focalis l aide d une lentille le point Nous verrons dans le paragraphe suivant tout le parti que l on peut tirer de cette propri t Bien entendu cause des lois de la diffraction il ne s agit pas vraiment de droite ou de point au sens math matique le faisceau lumineux diverge n cessairement et le point lumineux a une extension minimale non nulle Plus pr cis ment si le faisceau issu du laser est gaussien voir Compl ment 3B caract ris par son rayon au col wo son demi angle de divergence a est donn par a Two 3D 1 o
52. ii Pour observer les d placements lumineux des niveaux a ou b de la figure 2 10 il faut disposer d un deuxi me faisceau laser laser sonde de fr quence variable et d intensit plus faible que celle du laser quasi r sonnant sur la transition a b de sorte que l on puisse n gliger les d placements lumineux dus ce deuxi me faisceau On peut alors mesurer l absorption de ce faisceau sonde par exemple au voisinage d une transition vers un troisi me niveau c soit depuis a soit depuis b et constater que la fr quence de r sonance d pend de l intensit et de la fr quence du premier laser suivant les relations 2 97 2 4 Absorption entre deux niveaux de dur e de vie finie 2 4 1 Pr sentation du mod le utilis Dans la partie 2 3 nous avons vu comment un atome ou une mol cule soumis un champ lectromagn tique quasi r sonnant entre deux niveaux d nergie est susceptible de passer d un niveau l autre par absorption ou mission induite Nous avons indiqu que notre traitement n tait valable que dans la mesure o les niveaux consid r s avaient une dur e de vie tr s longue En fait on a tr s souvent consid rer des transitions entre niveaux dont l un au moins a une dur e de vie courte Par exemple dans le domaine optique le niveau sup rieur de la transition se d sexcite par mission spontan e Il peut en tre de m me du niveau inf rieur s il ne s agit pas d un niveau fond
53. implique donc que le second terme de 1 41 appel anti r sonnant peut tre n glig devant le premier On a TRappelons que pour des radiations visibles la fr quence w 2r est de l ordre de quelques 1014 Hz SII faut cependant souligner qu on peut atteindre des valeurs de ce rapport qui sont proches de 1 voir m me sup rieures si l on utilise des lasers mettant des impulsions dont la dur e est de quelques dizaines de femtosecondes voir chapitre 3 paragraphe 3 4 1 Pour des raisons historiques cette approximation est parfois appel e approximation du champ tournant en anglais rotating wave approximation En effet elle a t introduite dans le domaine des radiofr quences R sonance Magn tique Nucl aire par exemple o cette approximation est quivalente remplacer un champ magn tique oscillant le long d un axe par sa composante circulaire r sonnante En optique l appellation approximation quasi r sonnante traduit plus fid lement la situation physique 28 CHAPITRE 1 PROBABILIT S DE TRANSITION alors une expression simple de la probabilit de transition Whi 2 42 Par TEAL SR E hw 1 45 Dans ces formules gr E et r E sont les fonctions introduites au paragraphe pr c dent quations 1 33 et 1 35 et T t to est la dur e de l interaction Dans le cas o wp est n gatif tat final d nergie inf rieure celle de l tat initi
54. maximum la zone d chauffement puisque la diffusion en profondeur de la chaleur en Vrt n a pas eu le temps de se produire 3C 1 3 Effet m canique Lorsque la temp rature de vaporisation du mat riau est d pass e l irradiation laser produit un effet nouveau il y a mise en mouvement de mati re Des fragments solides ou vaporis s ou encore des ions dans le cas de la formation de plasma s loignent de la surface avec des vitesses tr s importantes Si l jection se produit une vitesse sup rieure celle du son dans le milieu il y a cr ation d une onde de choc d tonation qui peut se r v ler extr mement utile pour nettoyer gt compl tement la zone chauff e de ses diff rentes impuret s Enfin par conservation de l impulsion dans le processus le substrat non vapor subit une force normale la surface qui peut tre consid rable puisqu il y a jection de mati re dans un temps extr mement court Cette force est bien sup rieure celle due la simple pression de radiation Nous verrons dans le paragraphe E de ce compl ment que l on peut tirer profit de cet effet inertiel 3C 1 4 Effets photochimiques photoablation Le laser peut aussi produire des effets de nature chimique et aboutir la photodisso ciation ou la photofragmentation des mol cules composant le mat riau Les lasers de courte longueur d onde pour lesquels le quantum d nergie disponible est plus grand se ront l
55. me quation scalaire pour E L expression 3B 14 prend en compte la variation rapide de la phase due la propagation le long de l axe Oz et le fait que les surfaces d onde sont tangentes des sph res centr es sur l axe Oz cause de la sym trie du probl me Les facteurs de phase d pendant de x et y d une part et de z d autre part tant int gr s dans les deux exponentielles de 3B 14 la fonction u est r elle Comme nous le montrons ci dessous les lois de variations de R z et p z sont donn es par les quations 3B 3 et 3B 21 et les fonctions u x y z sont de la forme tend Eeo E a 2A 2A ua w 2 w z w z Dans cette expression w z est donn par l quation 3B 2a C est une constante de normalisation H et Hm sont les polyn mes d Hermite de degr s n et m respectivement n et m sont des entiers positifs ou nuls Pour obtenir la solution 3B 15 nous utilisons l analogie math matique avec le probl me de l oscillateur harmonique en M canique Quantique Portons l expression de E donn e en 3B 14 dans l quation scalaire d duite de 3B 13 Nous n gligeons dans l expression du laplacien les termes du type d u dz2 d y dz dp dz u 0z ou dR dz devant ceux en ik u z ou ik dp dz puisque les fonctions u R et doivent varier lentement l chelle de la longueur d onde cette simplification est connue sous le nom de l approximation de l enveloppe lentement variable Nous
56. me isol un terme W En g n ral l tat n n est pas un tat propre de l hamiltonien total Ho W et l tat du syst me volue de fa on non triviale La probabilit de trouver le syst me au bout d un certain temps dans un autre tat propre m de o n est pas nulle on dit que le syst me a effectu une transition de n vers m Dans certains cas le syst me volue sous l effet d un hamiltonien W d pendant du temps la d pendance est sinuso dale dans le cas du champ lectromagn tique impul sionnelle dans le cas de collisions En g n ral on ne peut pas calculer exactement le vecteur d tat tout instant Le paragraphe suivant montre qu on peut cependant gr ce une approche perturbative obtenir la probabilit de transition sous la forme d un d veloppement en s rie Un probl me formellement semblable que nous rencontrerons galement est celui o l hamiltonien total Ho W est ind pendant du temps mais o le syst me est pr par l instant t 0 dans un tat propre de Ho et d tect l instant t dans un autre tat propre de Ho Les probabilit s de transition se calculent l aide des m mes m thodes puisque ce probl me est math matiquement identique celui o on appliquerait le couplage W de fa on transitoire pendant un intervalle de temps 0 t 1 2 Transition entre niveaux discrets sous l effet d une perturbation d pendant du temps 1 2 1 Pr sentation du
57. mes dont on dira quelques mots en fin du chapitre 7 pr sentent de fortes analogies avec les lasers et on parle aujourd hui de Lasers Atomes On ne pouvait r ver de meilleure conclusion pour ce cours Le tome I du cours polycopi Optique quantique 1 Lasers est bas sur un tra vail collectif de longue haleine avec Gilbert Grynberg et Claude Fabre et enrichi d un compl ment 2E r dig par Emmanuel Rosencher qui nous fait profiter de ses immenses connaissances en optique quantique des semi conducteurs Quant au tome II r dig plus r cemment ses imperfections sont dues moi seul Je ne saurais terminer cet avant propos sans voquer la m moire de Gilbert Grynberg qui nous a quitt s au d but de 2003 nous laissant avec une grande peine et un grand vide C est lui qui a cr cet enseignement d Optique Quantique Il avait d abord introduit au sein du tronc commun de m canique quantique des exemples puis s dans ce domaine une poque o l optique n tait pas encore redevenue une discipline incontournable Son succ s l avait conduit cr er un cours d optique quantique lors de la r forme ayant introduit les majeures C est dans ce cadre que j ai eu la chance de travailler avec lui d couvrant sa conception originale de l enseignement de l optique quantique bas e sur une exp rience de recherche de tr s haut niveau et sur une r flexion personnelle profonde Cette conception sous
58. n D T dk COS 9 2E 14 et k est le vecteur d onde correspondant l nergie E h k E hw Er 2E 15 PERDS On reporte ensuite l expression de z f dans 2E 11 On constate ainsi que la lar geur de la bo te fictive L qui appara t au d nominateur de l l ment de transition et au num rateur de la densit d tat se simplifie comme annonc En termes plus physiques plus la longueur du pseudo puits quantique L est grande plus la densit d tat final est lev e mais corr lativement plus la probabilit de pr sence de l lectron au dessus du puits quantique d paisseur d est dissoute dans L Prenant en compte le fait que la densit d tats finaux n est que la moiti de ce que l on a trouv en 2E 8 puisque les fonctions d onde paires ne participent pas aux transitions on trouve alors la probabilit de transition de l tat initial dans le continuum Vm hu Er h S2 hw Er Gis hw P F g 2E 16 Le comportement du syst me est donc bien ind pendant de la taille de la bo te fictive d o le nom de pseudo quantification il ne s agit que d un interm diaire de calcul mais n anmoins tr s puissant La figure 2E 6 montre la variation du taux de transition en fonction de la fr quence de l excitation w On constate ainsi l existence d un seuil d ionisation pour la probabilit de transition l nergie de coupure des photons d tect s est bien l
59. nombre moyen de photons du mode laser dans la cavit alors que l nergie d un photon spontan est w 0E5 V 2 Il s ensuit que la formule 3F 3 peut encore s crire Nsp 2N 3F 4 En appelant Imoa la probabilit par unit de temps pour qu un atome dans l tat sup rieur b mette un photon spontan dans le mode laser et N le nombre d atomes dans l tat b on trouve que le nombre de photons spontan s mis pendant T dans le mode laser est Nap x Paire 3F 5 En combinant les quations 3F 1 3F 4 et 3F 5 on obtient une premi re expression pour la largeur de raie A on Il est d autre part possible de relier le taux d mission spontan e dans le mode laser Imoa la puissance de sortie du laser En effet on montre que le taux d mission stimul par atome dans l tat b tout comme le taux d absorption par atome dans l tat a est gal Tmoa MV W tant rappelons le le nombre de photons dans le mode laser suppos grand devant 1 Quand le laser fonctionne tr s au dessus du seuil la perte d nergie due l mission spontan e est n gligeable et toute l nergie r sultant de la comp tition entre les processus d mission stimul e et d absorption se retrouve dans l nergie mise par le laser De ce bilan d nergie nous d duisons donc D moa N Ny Nain 3F 7 3F 6 COMPL MENT 3F 337 FIG 3F 1 Diagramme de Fresnel du champ laser Er Chaque
60. o t 0 2B 18 A l ordre 1 les populations n voluent pas Consid rons maintenant les coh rences En utilisant les quations 2B 15b et 2B 5b et compte tenu de la nullit des coh rences l ordre 0 nous trouvons d ao 1 1 l A 0 0 TIR Tiwa ok EG OR o 2B 19 158 COMPL MENT 2B La solution de cette quation v rifiant la condition initiale F to 0 est 1 o g t iw t t 1 1 ope 2 e Gent il A kydt 2B 20 0 Rappelons que le terme d ordre 1 de la s rie de perturbations 2B 14 est 6U Les corrections au premier ordre la matrice densit sont donc of t 0 2B 21a i 20 g t 1 O a Je er Canton G Rd 2B 21b 0 d Perturbation aux ordres sup rieurs Pour obtenir les termes suivants du d veloppement 2B 14 il suffit de r soudre suc cessivement les quations 2B 15c pour des r croissants Ainsi partant des valeurs au premier ordre 2B 18 pour les populations et 2B 20 pour les coh rences nous obtenons les populations et les coh rences au second ordre Partant de ces valeurs l ordre 2 il est possible de trouver les termes d ordre 3 etc Remarque Aux ordres sup rieurs 1 les termes relatifs aux populations et aux coh rences sont en g n ral simultan ment non nuls 2B 2 2 Atome interagissant avec un champ oscillant r ponse lin aire a Perturbation sinusoidale Nous reprenons dans cette partie l tude d un atome
61. om trique a les positions O1 et O2 de l objet donnent des images D et D dans le plan focal de la lentille L b la lumi re en D passe par un maximum lorsque l objet est dans le plan de focalisation de la lentille L On obtient donc L par la formule pet SE n 3D 7 F1G 3D 6 Mesure de distance par modulation on mesure le d phasage Av entre la phase de l oscillation imprim e par le modulateur M sur le faisceau laser et celle du signal r trodiffus par l objet On d termine n en faisant deux mesures successives deux fr quences de modulation 298 COMPL MENT 3D diff rentes La pr cision d une mesure de phase tant excellente meilleure que le millira dian de tels appareils atteignent des pr cisions de l ordre de quelques mm par km pour des fr quences de modulation typiques de 10 MHz Il est enfin possible d utiliser des m thodes impulsionnelles dans lesquelles on mesure le temps d aller retour d une impulsion laser tr s br ve lt 10 ns qui a t r trodiffus e par l objet dont on veut conna tre la distance Par rapport au radar habituel bas sur le m me principe mais utilisant des microondes la t l m trie laser utilise un metteur de taille plus r duite pour une pr cision identique ce qui int resse notamment les militaires pour conna tre la position de cibles pr cision de l ordre de 10 m quelques kilom tres D autre part la divergence du faisceau tant b
62. puis la susceptibilit du milieu Nous utiliserons pour ce calcul les r sultats exacts non perturbatifs tablis au paragraphe 2 3 2 2 4 ABSORPTION ENTRE DEUX NIVEAUX DE DUR E DE VIE FINIE 103 FIG 2 14 Ph nom ne de saturation La fonction E est quivalente s pour s amp 1 s r gime lin aire puis elle sature pour s Z 1 a Valeur moyenne du dip le lectrique induit Calculons d abord la valeur moyenne quantique du dip le lectrique d un atome Pour un tat atomique on sait que D Dl 2 111 Nous avons calcul au paragraphe 2 3 2 l tat d un atome deux niveaux soumis un champ E t Eo cos wt p E0 cos wt p 2 112 entre les instants to et t sachant qu il tait dans l tat a l instant 5 Nous avons trouv Eqs C 27 VCE Yalt la yolt e 10 2 113a Yalt feos Sa to i sin Sq to exp 31 2 113b mlt i E sin Sq to exp i 5 o 4 2 113c et Q VV w up 2 113d 104 CHAPITRE 2 ATOMES EN INTERACTION AVEC UNE ONDE On peut alors calculer la valeur moyenne l instant t de la composante D i x y z du dip le d un atome apparu dans l tat a l instant t On obtient Di to t dame cc 2 114 o d est l l ment de matrice a b Cet atome ayant une probabilit de survie e7 to cf q 2 103b on obtient le dip le total de l chantillon par un
63. rigueur le couplage avec les niveaux du quasi continuum entra ne g n ralement un d pla cement des niveaux d nergie et le centre de la lorentzienne est g n ralement l g rement d plac par rapport la position du niveau discret E Dans le cas du mod le simple du 8C 2 ce d placement est nul parce que les contributions de deux niveaux k sym triques par rapport i ont des signes oppos s 1 3 6 Cas d une perturbation sinuso dale Nous pouvons utiliser les r sultats du paragraphe 1 2 4 d pour g n raliser la r gle d or de Fermi au cas d une perturbation sinuso dale t W cos wt p 1 97 46 CHAPITRE 1 PROBABILIT S DE TRANSITION Il suffit pour cela d utiliser la formule 1 45 pour la probabilit P T au lieu de la formule 1 36 On obtiendra de la m me mani re une variation lin aire en T de P T permettant de d finir une probabilit de transition par unit de temps l qui vaut main tenant 27 1 r 271 h 4 les tats f et f du quasi continuum ayant respectivement les nergies E hw et E w et Wp et Wr tant les l ments de matrice correspondants 7 On voit ainsi appara tre les taux de transition I et I WP 0 Er Ei hw WP Ep E hw 1 98 l issue du processus seront peupl s par le couplage sinuso dal les niveaux du quasi continuum dont l nergie vaut E hw AI ou AI pr s voir Figure 1 13 Comme dans le paragraphe 1
64. ro d nergie s crit alors si E est pris parall le Oz 0 0 han 1 qZab Eo COS wt i 3 2C 52 avec Zab a 2 b suppos r el R crivons H en fonction de la matrice identit Z et des matrices de Pauli 6 y et 07 Pak a aT aa a 1 i aal l e 2C 53 8Voir par exemple J Jackson Classical Electrodynamics 9 14 Wiley New York 1975 ou A Messiah M canique Quantique XIX 31 Dunod Paris 1964 9Voir par exemple JLB Chapitre VI 1 A T 2C 7 LIEN ENTRE LE MOD LE CLASSIQUE DE L LECTRON LASTIQUEMENT LI ET LE On obtient A w H SVN z qZabz Eo cos wt 2C 54 Rappelons les relations de commutation des matrices de Pauli qui s obtiennent par per mutation circulaire partir de l n y 216 2C 55 Pour comparer avec le calcul classique il nous faut d terminer l quation qui r git l volution de la valeur moyenne de la position de l lectron atomique et plus pr cis ment de la coordonn e Nous allons pour cela utiliser le th or me d Ehrenfest d A 1 Na Za A 2 DE z2 D I 2C 56 i de 6l wozal 3o 9 x 0 2 WO lt ab Vy On en d duit la d riv e seconde de 2 par rapport au temps ds do MWOZab a mg MAO Lab Ou SE ey H1 2C 57 Compte tenu de l expression 2C 54 de le commutateur pr sente deux termes non nuls qei MWoZa wo A migle TE
65. section efficace de pho toionisation 2D 2 1 Taux de photoionisation Comme on l a vu au paragraphe 1 3 du chapitre 1 le traitement perturbatif du couplage entre un niveau discret et un quasi continuum conduit apr s une int gration sur les tats finaux accessibles une probabilit de transition croissant lin airement avec le temps On peut alors d finir un taux de transition par unit de temps proportionnel au carr du module de l l ment de matrice de l hamiltonien de couplage pris entre l tat discret initial et les tats du quasi continuum pour lesquels il y a r sonance Il s agit ici d tats d nergie donn e par la relation 2D 14 Pour calculer la valeur pr cise du taux de photoionisation il suffit d utiliser la r gle d or de Fermi Plus pr cis ment nous nous r f rons l expression 1 93 du chapitre 1 relative un continuum d g n r et tendue au cas d une perturbation sinuso dale ce qui conduit introduire un facteur 1 4 cf q 1 98 Le taux de photoionisation par l ment d angle solide s crit alors dr T dQ 57 Weol PE 0 9 2D 21 formule dans laquelle l l ment de matrice Weg 2D 16a et la densit tats finaux 2D 10 sont pris pour une nergie finale ou pour la valeur correspondante de ke donn e par la relation 2D 14 hek E 2m Ee fw Es w E w ws 2D 22 2D 2 TAUX DE PHOTOIONISATION SECTION EFFICACE DE PHOTOI
66. sonance 3A 10 est v rifi e La largeur de la r sonance peut tre caract ris e en cherchant les valeurs de kL telles que 1 D soit gal la moiti de sa valeur maximum on trouve ainsi pour m gt 1 k z pr 9 p ES 3A 5 EXEMPLE CAVIT DE GRANDE FINESSE 259 On d finit la finesses gt F comme le rapport entre l intervalle de fr quence entre deux pics et la largeur des r sonances m R Ro F TV pR 3A 20 2 1 vyv Riko Si on balaie la fr quence de l onde incidente les pics de r sonance ont une largeur Aw 1c 3A 21 27 FL l Il est clair que le syst me pr sente des r sonances d autant plus fines que F est plus grand Une fa on habituelle de caract riser un syst me r sonnant en lectricit ou en m ca nique est d tudier la fa on dont il s amortit lorsque l excitation cesse L nergie stock e dans une cavit lin aire de surface transverse S est L W aE S 3A 22 o IL et II sont les flux circulants dans la cavit lin aire respectivement dans la direction des z croissants et d croissants voir figure 3A 1 La puissance perdue aux extr mit s est d En tenant compte de Il RIT on obtient d To TR C W lt 3A 23b dt 1 R Lo l Pour un syst me r sonnant de fr quence propre w on d finit le facteur de qualit Q par dW w W 3A 24 T O En comparant les quations 3A 23a et 3A 24 et en utilisant w
67. tant aliment Sous l effet de londe lectromagn tique de pulsation w un certain nombre d atomes vont passer dans le niveau b il s agit du processus d absorption Nous nous proposons de d crire la situation obtenue en r gime stationnaire Nous calculerons d une part le nombre MN d atomes port s dans le niveau excit et d autre part l effet de ces transitions sur une onde lectromagn tique dont nous verrons qu elle est att nu e lors de la propagation 2 4 2 Population excit e a Principe du calcul Lorsque seul le niveau a est aliment et en l absence de champ lectromagn tique 15Nous donnons au paragraphe 2 4 5 quelques indications sur le cas tr s important d une transition ferm e entre un niveau inf rieur stable et un niveau sup rieur instable 100 CHAPITRE 2 ATOMES EN INTERACTION AVEC UNE ONDE b EH b NID 7 X hw 1 APAJA TENA NAN EL la N MD FIG 2 12 Absorption par des atomes 2 niveaux de dur e de vie finie o seul le niveau a est aliment Sous l effet du rayonnement un certain nombre d atomes passent dans le niveau b Le rayonnement est donc absorb les populations stationnaires sont CAES Fe 2 101 NO 0 Si maintenant on applique un champ lectromagn tique quasi r sonnant une fraction des atomes va passer dans l tat excit mais en vertu de 2 100 on aura toujours Aa Na M N 2 102 Tp En r gime perturbatif seule u
68. w UE i Op 0A 2B 45d On peut en d duire la coh rence gi l ordre 1 de l interaction lin aire en Q4 En utilisant l ordre 1 de 2B 45c et en reportant dans 2B 42a on trouve 1 a Q op eit 2B 46 n 27 i wo w Ce r sultat co ncide bien avec 2B 23a puisque o 0 o 1 et Wya Q aa Mais l int r t des formules 2B 45a 2B 45d est qu elles sont valables pour de grandes valeurs du champ incident Elles permettent donc de d crire correctement les effets de saturation qui apparaissent par la pr sence du terme en Q proportionnel l intensit au d nominateur Ainsi 2B 45a montre que la population du niveau sup rieur de la transition passe de 0 1 2 quand l intensit et donc Q2 cro t Elle reste donc toujours inf rieure ou au plus gale la population du niveau fondamental Pour un syst me deux niveaux ferm il n est donc pas possible d obtenir en r gime permanent une inversion de population entre le niveau fondamental et le niveau excit sous l action d un champ lectromagn tique Cette remarque est essentielle pour la recherche de milieux amplificateurs laser cf Chapitre 3 De m me en utilisant 2B 45c et 2B 42a et en reportant dans l expression 2B 25 on obtient la valeur moyenne du dip le atomique Dyal 9 i w wo iwt Pour un milieu contenant N V atomes par unit de volume le dip le moyen par unit
69. 0 FIG 3 19 Sch ma des niveaux d nergie dans un laser Raman Les populations sont sch matis es par les disques La transition Raman stimul e se produit d un niveau vibrationnel plus peupl vers un niveau vibrationnel moins peupl l quilibre thermodynamique le laser Raman a donc une fr quence w inf rieure celle w du laser incident Remarque Le laser lectrons libres peut tre d crit par un groupement des lectrons en paquets comme mentionn dans la remarque ii du 3 2 1 Il est cependant possible d en avoir une autre description se rapprochant des lasers Raman en raisonnant dans l espace des impul sions de l lectron Consid rons un ensemble d lectrons dont les vitesses sont l quilibre thermodynamique interagissant avec une onde de fr quence w Un processus de diffusion stimul e avec absorption d un photon de fr quence w mission d un photon w et mo dification de l impulsion de l lectron est susceptible d amplifier un faisceau de fr quence w se propageant en sens oppos au faisceau de fr quence w Ce processus sch matis sur la figure 3 20 est plus probable que le processus inverse absorption de w mission de w lorsque le niveau initial correspondant une impulsion nulle sur la figure est plus peu pl que le niveau final du processus lectron ayant une impulsion A k k provenant de l change d impulsion entre champ lectromagn tiqu
70. 1 Cp p 1 Fr quence 27 A 27 l Fr quence d oscillation FIG 3 22 Saturation du gain pour un largissement homog ne toute la courbe de gain est att nu e par la saturation et un seul mode peut osciller en r gime permanent celui qui est le plus proche du maximum de la courbe du gain La distinction entre largeur homog ne et inhomog ne est fondamentale pour d termi ner le nombre de modes oscillants Rappelons d abord que le comportement stationnaire du laser est d termin par la saturation du gain qui impose en r gime permanent l galit entre le gain satur et les pertes voir 3 1 2 Dans le cas d un largissement inhomog ne Figure 3 21 la saturation de l amplification c est dire la diminution du gain lorsque l intensit lumineuse augmente n affecte que les mol cules ou les atomes du milieu am plificateur dont la fr quence est accord e sur la fr quence lumineuse active l effet laser une fr quence donn e n affecte pas le gain une autre fr quence On observera alors l oscillation simultan e de tous les modes autoris s par la condition de seuil Cette situa tion est celle du laser h lium n on o l largissement est essentiellement inhomog ne il est d l effet Doppler Consid rons pr sent un laser pour lequel la courbe de gain a un largissement homo g ne Figure 3 22 Dans ce cas la r ponse de chaque atome est affect e de la m me fa on par la saturation du
71. 102 on obtient N R 2 106b 2 w w T5 Nous trouvons donc que la fraction d atomes port s dans le niveau sup rieur est propor tionnelle l intensit de londe lectromagn tique terme Qf De plus si on fait varier la fr quence du laser on un comportement r sonnant autour de la fr quence wo suivant une loi Lorentzienne de largeur 21 Figure 2 13 N N 2 FIG 2 13 Variation r sonnante de la population du niveau b en fonction de la fr quence du champ incident Dans le cas non perturbatif cette courbe est largie par saturation et sa largeur devient 27 py 1 Q T3 Le calcul ci dessus utilise l expression perturbative de la probabilit de transition P to t Il n est l gitime que si la fraction d atomes M N dans l tat b reste pe tite devant 1 c est dire si Q4 reste petit devant Ip ou devant le d saccord w wo Nous allons maintenant donner l expression non perturbative de M 102 CHAPITRE 2 ATOMES EN INTERACTION AVEC UNE ONDE c R sultat non perturbatif Utilisons maintenant l expression non perturbative 2 81 de la probabilit de transi tion P w to t et portons la dans 2 104 ce qui donne Q2 po QT N A f dT sine rer 2 107 avec cf q 2 77b Q 9 w wo L int gration se fait comme ci dessus et on obtient N o2 gt N OE E 2 108 la limite des basses intensit s Q2 T3 w
72. 18 FIG 3C 1 Ventes annuelles de lasers sur le march mondial en 1996 en valeur marchande A traitement des mat riaux B m decine C t l communications D m moires optiques E recherche d veloppement F instrumentation G imprimantes H LIDAR I spectacles J mesure contr le K lecture codes barre La figure 3C 1 donne un aper u de l importance relative des diff rentes applications mesur e par leur chiffres de vente respectifs On constate l importance des applications industrielles de traitement de mat riaux ainsi que des applications m dicales La large partie des ventes consacr e la recherche et au d veloppement d montre la jeunesse du domaine qui est loin d avoir atteint un r gime de croisi re De nouvelles applications sont 276 COMPL MENT 3C d couvertes chaque ann e dont certaines susceptibles d avoir de profondes implications sur la vie economique Il n est pas possible ici de faire une description exhaustive de ces applications Nous nous contenterons de quelques exemples significatifs choisis dans diff rents domaines Le pr sent chapitre est consacr aux applications dans lesquelles c est uniquement l nergie apport e par le faisccau laser qui est utilis e Le compl ment 3D donnera des exemples o d autres propri t s comme la directivit ou la monochromaticit sont plus sp cifique ment mises profit Enfin le compl ment 3E est consacr aux applicatio
73. 1962 Reproduit dans C Cohen Tannoudji Atoms in Electromagnetic fields World Scientific 1994 COMPL MENT 2C 169 Compl ment 2C Mod le de l lectron lastiquement li Nous nous proposons dans ce compl ment de calculer dans le cadre de l lectrody namique classique le champ lectromagn tique rayonn par une charge mobile rappel e vers une position d quilibre par une force proportionnelle la distance Dans le cas o la charge n est soumise aucune autre force oscillations libres nous verrons que son mouvement d oscillation est amorti puisque l nergie mise sous forme de rayonnement lectromagn tique est pr lev e sur l nergie m canique Dans le cas o la charge est sou mise aussi l action d un champ lectromagn tique ext rieur oscillant une fr quence w nous calculerons les caract ristiques du champ qu elle rayonne dans tout l espace en r gime d oscillations forc es Le probl me trait est alors celui de la diffusion d une onde lectromagn tique On distinguera les r gimes de diffusion Rayleigh Thomson ou r son nante selon que la pulsation w du rayonnement incident est inf rieure sup rieure ou voisine de la pulsation propre w du mouvement de la charge lastiquement li e Le probl me abord ici est enti rement classique et constitue donc une sorte d tape 0 dans l tude de l interaction mati re rayonnement l tape 1 tant le t
74. 2 17 A4 0 A 40 2 133 2 5 AMPLIFICATION LASER 111 Nous pouvons reprendre les calculs de la partie 2 4 en partant d atomes initialement dans le niveau b et en calculant en r gime stationnaire les populations N et Na et la susceptibilit x A b P o Ag NTD ae asete a NAlD FIG 2 17 mission induite pour des atomes 2 niveaux de dur e de vie finie lorsque seul le niveau sup rieur est aliment Sous l effet du rayonnement un certain nombre d atomes passent de b la et le rayonnement est amplifi a Population transf r e par mission induite En l absence de champ lectromagn tique tous les atomes sont dans le niveau sup rieur A MO N T 2 134a CAES 2 134b Sous l effet du champ des atomes passent dans le niveau du bas c est le ph nom ne d mission induite En r gime perturbatif la population stationnaire dans a prend une forme analogue 2 106b N 2 135 N Q N 2 w wo 75 2 Dans le cas g n ral non perturbatif la population stationnaire dans le niveau non aliment prend la valeur analogue 2 110 5 2 136 o Qi w wo T5 est le param tre de saturation d fini par 2 109 Notons que quelle que soit la valeur de s la population N du niveau du bas reste toujours inf rieure celle du niveau du haut Ny raae 112 CHAPITRE 2 ATOMES EN INTERACTION AVEC UNE ONDE b Susceptibilit
75. 2 4 d l interpr tation de la formule 1 98 en termes d absorption ou d mission d un quantum d nergie w s introduit ici naturellement bien que nous n ayons pas introduit la quantification du champ qui provoque la transition dP dE lt AI E w E E w E FIG 1 13 Distribution en nergie des tats finaux l issue du processus de couplage entre le niveau discret et le quasi continuum par une perturbation sinuso dale Les hauteurs des deux pics sont proportionnelles aux premier et deuxi me termes de la relation 1 98 On peut interpr ter ce r sultat en termes d mission ou d absorption de quanta d nergie hw par le syst me Les largeurs mi hauteur AI et fl de ces deux Lorentziennes sont donn es par les deux termes de la formule 1 98 Remarque Apr s l tude du couplage entre deux niveaux discrets puis entre un niveau discret et un continuum on pourrait continuer l tude de situations plus compliqu es dans lesquelles le syst me est initialement dans un ensemble de niveaux discrets ou dans un continuum d tats Si le syst me part d un niveau du continuum pour aboutir un autre niveau du continuum c est par exemple le cas pour la diffusion d un lectron libre par un potentiel on peut encore appliquer la formule 1 93 donnant la probabilit de transition par unit de temps Cependant l tat i appartenant un continuum sa fonction d ond
76. Ea Ej w 2920 Il suffit alors de r soudre le syst me d quations diff rentielles coupl es du premier ordre par exemple en suivant une d marche analogue celle du 2 3 2 pour obtenir Qef 2 Qef Pa clto t i sin Se gt 1o 2 93a Voir G Grynberg B Cagnac et F Biraben 1980 Coherent Nonlinear Optics p 111 dit par M S Feld et V S Letokhov Springer Verlag Berlin 1980 10La d nomination Hamiltonien effectif s utilise dans une tr s grande vari t de situations et pas seulement pour le probl me trait ici Sa signification peut donc diff rer suivant le contexte 2 3 TRANSITION ENTRE DEUX NIVEAUX ATOMIQUES 95 formule dans laquelle la pulsation de Rabi g n ralis e effective Qf est d finie par Ee wef o Ea n wef 2 SeT e E a 2 93b F Qf 7 a _9 On trouve donc une oscillation de Rabi entre les niveaux a et c sous l influence du couplage quasi r sonnant deux photons L ensemble des commentaires faits au 2 3 2 s applique ici directement Mais on peut faire quelques remarques suppl mentaires Notons tout d abord q 2 93a que l atome peut passer totalement dans l tat c alors que les coefficients f ont tous un module petit devant 1 et donc que la probabilit de trouver l atome dans un niveau relais reste donc toujours n gligeable Ceci est naturellement d au fait que la transition deux photons entre a et c est r so
77. He Ne 1 2 GHz 500 MHz Inhomog ne RS a Art 12 GHz 90 MHz 1 Inhomog ne RS E CO haute 0 5 GHz 100 MHz Homog ne N odyme 120 GHz 300 MHz 4 Homog ne CSS RS a Colorant 25 THz 250 MHz 1 Homog ne Rhodamine 6G Saphir dop 100 THz 250 MHz 4x 10 Homog ne Dee a a a Semi 1 THz 100 GHz 1 Homog ne conducteur a a a Tableau 1 Caract ristiques importantes de lasers fonctionnant en r gime continu Ordre de grandeur typique pour le nombre de modes longitudinaux 3 40 5 00 05 0 3 3 2 Fonctionnement monomode longitudinal Pour de nombreuses applications spectroscopie holographie m trologie on sou haite avoir une source laser aussi monochromatique que possible Il faut donc obtenir un laser oscillant sur un seul mode longitudinal fonctionnement monomode longitudinal Nous venons de voir qu un tel r gime peut tre atteint spontan ment dans le cas d une 23Voir compl ment 3E 3 3 PROPRI T S SPECTRALES DES LASERS 241 raie largie de fa on purement homog ne mais cette situation reste exceptionnelle et il faut en g n ral intervenir pour rendre le laser monomode Une m thode particuli rement simple consiste utiliser une cavit assez courte pour que l intervalle entre modes c Les soit de l ordre de la largeur de la courbe de gain c est le cas des lasers h lium n on tr s courts C Leay 1 GHz pour Leavy 0 3 m ou de certains lasers semi conducteurs c L 1000 GHz Cette m thode n est
78. Il le coefficient de proportionnalit qui a les dimensions d une surface s appelle section efficace d interaction encore appel e dans ce contexte section efficace laser On la note z et en suivant Einstein on admet qu elle a la m me valeur pour l absorption et l mission stimul e Si N atomes sont dans l tat a le nombre de processus d absorption par seconde vaut Naaz Il et les taux de variation de populations correspondantes s crivent une ai abs IT A ZA SeN ope 2 165 dt dt PE l a w De m me si on a M atomes dans l tat b les processus d mission stimul e sont d crits par des taux de variation dN dNa IT Pb iea a er 2 165b a dt k dr CL sti Ces taux de variation ont la m me forme que les expressions 2 160 En rempla ant s par son expression en fonction du vecteur de Poynting on peut trouver la valeur de la section efficace oz Ainsi pour le mod le simple tudi plus haut on trouve z d IT pw hege w wo T2 OL 2 166 Dans le cas d une transition laser quelconque on peut le plus souvent crire des qua tions de taux dans lesquels les termes d absorption et d mission stimul e sont encore 120 CHAPITRE 2 ATOMES EN INTERACTION AVEC UNE ONDE d crits par les quations 2 165 la section efficace laser tant une donn e empirique qui pr sente une variation r sonnante autour de wo et dont on mesure exp rimentalement la valeur r so
79. MENT 3D a FIG 3D 17 Spectre de l uranium a faible r solution b haute r solution On remarque la pr sence de nombreuses raies de structure hyperfine pour l isotope 235 LASER OI x ETAT FONDAMENTAL FIG 3D 18 lonisation s lective en trois chelons de l atome d uranium Les trois chelons sont assur s par des lasers accordables colorant en impulsion voir chapitre 3 3 2 2 d de largeur spectrale voisine de 1 GHz pomp s par des lasers en impulsion vapeur de cuivre dont les raies 530 nm et 570 nm sont bien adapt es au pompage des colorants de puissance moyenne de l ordre de 100 W qui pr sentent l avantage d avoir un taux de r p tition lev et un excellent rendement Les faisceaux de ces trois lasers rendus colin aires excitent transversalement un jet atomique d uranium voir Figure 3D 19 cr par la vaporisation par bombardement lectronique d un lingot d uranium Les atomes d uranium 238 se propagent en ligne droite et sont recueillis sur le collecteur tandis que les atomes d uranium 235 ionis s 3D 5 S PARATION ISOTOPIQUE PAR LASER 315 F1G 3D 19 Sch ma du dispositif de s paration isotopique par laser uranium 238 se d pose sur le collecteur et l uranium 235 est attir sur l lectrode B sont d vi s par un champ lectrique et recueillis par la cathode B L ensemble est port une temp rature de 3000 K sup rieure la temp ratu
80. Remarque L nergie emport e par le rayonnement est videmment pr lev e sur l nergie atomique de sorte que la probabilit de pr sence dans le niveau sup rieur d cro ft au cours du temps contrairement ce que pourrait laisser penser la formule 2 85 La raison est que la for mule 2 85 a t tablie en n gligeant toute interaction entre les atomes et le champ qu ils rayonnent C est en fait la r action du champ mis sur les atomes metteurs qui entra ne une d croissance de t avec le temps Dans le domaine des radiofr quences et pour des transitions entre niveaux de tr s longues dur es de vie les impulsions 7 2 sont couramment utilis es pour mettre un sys t me en oscillation libre la pulsation w avec une phase contr l e par londe excitatrice Les m thodes de r sonance magn tique nucl aire en impulsion en font un tr s large usage C est aussi une technique de base pour les horloges atomiques et plus g n ralement pour de nombreuses m thodes utilisant des franges de Ramsey Remarque Il ne faut pas croire qu il soit essentiel dans ces exp riences de r aliser une impulsion dont la dur e soit tr s exactement celle d une impulsion 7 2 Le point important est de pr parer l atome dans un tat superposition lin aire de a et b avec des poids du m me ordre de sorte que l oscillation du dip le 2 87 ait une grande amplitude 2 3 3 Transitions multiphotoniques a Traitement per
81. Rydberg La spectroscopie de l atome d hydrog ne permet de confronter th orie et exp rience en ce qui concerne le d tail des carts nerg tiques entre sous niveaux Mais elle per met aussi une d termination extr mement pr cise de la constante de Rydberg elle m me 332 COMPL MENT 3E 1930 1950 1970 1990 FIG 3E 10 volution de la pr cision sur la mesure de la constante de Rydberg La rupture de pente apr s 1970 est due l apparition de la spectroscopie laser figure extraite de la r f rence de la note 8 c est dire d une certaine combinaison des quantit s q m h q 3E 21 D autres me sures m trologiques fournissent une valeur pour d autres combinaisons de ces quantit s La confrontation de tous ces r sultats permet en d finitive d attribuer des valeurs extr mement pr cises aux constantes fondamentales de la physique telles que la masse ou la charge de l lectron Pour d terminer la constante de Rydberg la proc dure utilis e en 1994 consiste corriger la mesure faite sur une transition nlj n l j de l atome d hydrog ne des effets li s la masse du noyau des effets relativistes et de ceux de l lectrodynamique quantique calcul s th oriquement et d en d duire une mesure de la constante de Rydberg R appa raissant dans l expression non relativiste 3E 20 des niveaux d nergie La coh rence de la th orie doit tre assur e par le fait que la mesure de R doit
82. Un laser utilisant le colorant rhodamine 6G par exemple pomp par la raie verte 226 CHAPITRE 3 LES LASERS nt um Niveaux 4p m tastables TE 4s 633 nm ANY Transfert 1 15 um 3p collisionnel 4 N desexitation Niveau 3s radiative de Excitation 600 nm Leu par d charge lectrique Relaxation Niveau Niveau fondamental He Ne fondamental FIG 3 9 Niveaux de l h lium et du n on impliqu s dans les transitions du laser H lium N on L excitation lectronique de l h lium dans un niveau m tastable est transf r e aux niveaux d nergie voisine du n on lors des collisions entre atomes Miroirs de la cavit D charge dans slange He Ne le M Cathode Faisceau M laser Anode FIG 3 10 Sch ma d un laser H lium N on conduisant une mission laser polaris e du laser argon ionis constitue une source accordable sur la plage 565 nm 595 nm soit une plage de 25 000 GHz en fr quence ce qui est consid rable par rapport la pr cision de 1 MHz ou mieux avec laquelle on peut choisir la fr quence lumineuse Pour une puissance de pompe de 8 W la puissance mise par le laser rhodamine 6G est de 1 W environ En changeant de colorant il est possible de couvrir toute la gamme visible Ces lasers sont chers et compliqu s mais ils sont parfois indispensables Dans les ann es 1980 est apparu un milieu amplific
83. analogue que les valeurs N et Mp obtenues pour les populations des niveaux a et b peuvent s interpr ter en consid rant la comp tition entre les divers processus l uvre absorption mission induite relaxation On peut rendre compte de cette comp tition en introduisant des quations cin tiques encore appel es quations de pompage ou quations de taux rate equations en anglais qui sont en fait de simples quations de bilan entre taux de d part et d arriv e que nous crirons dN s S p N Ti N r DM 2 1 di D3 DS Ds Ab 2 159a N A Do SNa TM ToN A 2 159b Des quations de ce type ont t crites pour la premi re fois par Einstein qui a introduit la notion d mission induite et qui a montr que les coefficients associ s l absorption S nn A S terme l h N et l mission induite terme lh N sont n cessairement gaux La validit de telles quations n est pas facile tablir partir des premiers principes Ici nous nous contenterons de v rifier qu elles conduisent des r sultats en accord avec ceux obtenus plus haut dans un cadre plus rigoureux Leur int r t est qu elles permettent une interpr tation tr s simple Fig 2 18 et qu elles se g n ralisent ais ment La structure des quations 2 159a et 2 159b est claire Le taux de variation de chaque population Na et N est la somme des taux associ s chaque pro
84. atome et rayonnement cor respondent souvent des situations o la longueur d onde du rayonnement est tr s grande devant les dimensions atomiques Par exemple pour l atome d hydrog ne les raies d mission ou d absorption ont des longueurs d onde de l ordre de 100 nm ou plus tandis que les dimensions atomiques sont de l ordre du rayon de Bohr ap 0 053 nm Dans ces conditions le champ ext rieur est quasiment constant sur l tendue de l atome et on remplacera A f t par sa valeur A ro t la position r du noyau effectuant ainsi l approrimation des grandes longueurs d onde L hamiltonien d interaction 2 40c s crit alors A 2 ss A ro t T A2 rot Hy Hp 2 41 m 2m Cette expression est beaucoup plus simple que 2 40c puisque l op rateur de position f relatif l lectron ne figure pas dans 2 41 Notons en particulier que le deuxi me terme de 2 41 correspondant nv est un scalaire dont les l ments de matrice entre deux tats atomiques diff rents sont nuls il ne peut donc pas provoquer de transitions En d finitive l approtimation des grandes longueurs d onde on pourra calculer les transitions induites par un champ ext rieur entre deux niveaux atomiques en utilisant l hamiltonien d interaction He 2p Ai rot 2 42 Dans cet hamiltonien souvent appel hamiltonien A p le champ ext rieur intervient par le potentiel vecteur
85. aurait pu s obtenir directement partir des r sultats du paragraphe 2A 2 en choisissant l axe Ox comme axe de quantification Il est important de noter que cette d composition d une onde polaris e lin airement en deux ondes polaris es circulairement n est pas qu un exercice acad mique Il est souvent int ressant de prendre comme axe de quantification la direction de propagation de l onde et une polarisation lin aire est alors n cessairement et non m 2A 1 4 Emission spontan e L mission spontan e ne peut tre trait e correctement que dans le cadre d une th orie quantique du rayonnement Nous nous contentons ici de donner les r gles de s lection et les caract ristiques des diagrammes d mission correspondants Nous consid rons d embl e le cas d un atome plusieurs lectrons o les nombres J et my associ s au moment cin tique total J sont de bons nombres quantiques Un atome dans un tat excit k de moment cin tique Jk mx Mg est le nombre quantique associ la composante J de J peut se d sexciter spontan ment vers un tat li d nergie inf rieure caract ris par un moment cin tique J m tel que Feet 2A 36a et Mi Mk transition 7 Mi Mp 1 transition o4 2A 36b mi mx 1 transition o_ Ces r gles se repr sentent graphiquement par la r union des figures 2A 1 et 2A 2 La distribution de la lumi re mise en fonction de la direction d mission est c
86. calcul analogue mais plus d taill effectu dans le cas particulier de l interaction d un syst me deux niveaux avec un champ lectromagn tique quasi r sonnant 30 CHAPITRE 1 PROBABILIT S DE TRANSITION On obtient un comportement oscillant de la probabilit de transition repr sent sur la figure 1 5 et appel oscillation de Rabi La pulsation caract ristique de cette oscillation est appel e pulsation de Rabi Lorsque les deux niveaux ont m me nergie Ea Ex la probabilit atteint p rio diquement la valeur 1 transfert total de a vers b et ce quelle que soit la valeur du couplage Wap entre les deux niveaux La pulsation de Rabi correspondante W h est proportionnelle au couplage entre les deux niveaux Lorsque Wa est tr s petit la pro babilit maximale est toujours gale un mais le temps mis pour l atteindre devient de plus en plus long Lorsque les deux niveaux n ont pas la m me nergie l oscillation est plus rapide mais le transfert de a vers b n est en revanche jamais total aussi grande que soit la force de l interaction Wab FIG 1 5 volution temporelle de la probabilit de transition de a vers b pour des niveaux de m me nergie trait plein ou d nergies diff rentes traits tiret s Ea Ep 2 Wa b pointill s Ea Ep A Wabl Remarque L oscillation de Rabi entre les deux tats a et b pr sente de nombreuses analogies avec
87. caract ris e par deux param tres la largeur d du puits quantique et la hauteur de barri re AE entre les bandes de conduction des deux semiconducteurs et qui d pend plus ou moins lin airement de la concentration x en Al Si la taille du puits de potentiel est suffisamment petite le mouvement des lectrons perpendiculairement aux interfaces est quantifi c est dire que l cart entre les deux premiers niveaux quantifi s est sup rieur KT soit 25 meV l ambiante on parle alors de puits quantiques Cette composante se calcule en utilisant l quation de Schr dinger R g 2m dz o est la constante de Planck V z est la forme du puits de potentiel et m est la masse effective de l lectron dans le compos qui d crit les interactions complexes de cet lectron avec le r seau cristallin h te 2 est la fonction d onde de l lectron La r solution de l quation d onde 1 est tr s simple et montre que l nergie ne peut prendre que des valeurs discr tes E pour des nergies inf rieures la discontinuit de bande AE Les transitions optiques entre ces diff rents niveaux quantiques sont nomm es transitions inter sousbande D 2 V 2 E d 0 2E 1 La figure 2E 3 montre une abaque o sont repr sent es les diff rences d nergie Fa E entre les deux premiers niveaux quantifi s pour le syst me GaAs AlGaAs On se limite aux compositions en aluminium variant de 0 40 pour
88. cas pratique sch matisant le probl me de l autoionisation La formule 1 90 est la g n ralisation naturelle de 1 73 puisque nous savons qu au bout d un temps T seuls les niveaux situ s dans un domaine d nergie de largeur A T autour de peuvent tre peupl s si A T est petit devant l chelle de variation de p E et de Wig la distribution des niveaux d nergie du quasi continuum coupl s l tat initial co ncide localement avec celle du mod le simple tudi pr c demment qui peut alors tre utilis si p E varie lentement au voisinage de E La formule 1 90 se d montre partir de l expression 1 36 Pour trouver P T il suffit en effet de conna tre les probabilit s de transition P _ 4 T vers tous les niveaux k possibles Do TWl2 r Er E 1 91 44 CHAPITRE 1 PROBABILIT S DE TRANSITION Si Wx est une fonction lentement variable de k sur la largeur A T de la fonction r on peut remplacer la somme discr te par une int grale en introduisant la densit d tats p E 2 P T 1 TI dExp E WP Sr Ex E 1 92 Si son tour p Ep varie lentement on peut assimiler r une distribution de Dirac et aboutir aux formules 1 89 et 1 90 c R gle d or de Fermi pour un continuum d g n r La formule 1 90 suppose implicitement que les tats du continuum ne sont pas d g n r s c est dire que la donn e de E suffit d finir enti rement un tat du
89. ce qui prouve l galit des probabilit s de transition r sonance Lorsqu on n est pas exactement r sonance il semble que les probabilit s de transition ne sont pas rigoureusement gales En fait la diff rence est du m me ordre de grandeur que les termes n glig s dans l approximation r sonnante et elle n est donc pas significative dans le contexte de ce paragraphe Un calcul plus pr cis permet de montrer qu en fait il y a galit parfaite entre les probabilit s de transition valu es dans les deux points de vue m me quand l excitation n est pas exactement r sonnante 86 CHAPITRE 2 ATOMES EN INTERACTION AVEC UNE ONDE 2 3 2 Oscillation de Rabi a Solution non perturbative de l quation d volution Nous nous proposons maintenant d aller au del du traitement perturbatif pr sent ci dessus et de calculer exactement la probabilit de transition d un niveau atomique li vers un niveau atomique k sous l effet d une onde quasi r sonnante de pulsation w proche de la pulsation de Bohr Ep E h dans le cas o cette probabilit n est pas petite devant 1 Dans cette situation r sonnante nous ferons l approximation de l atome deux niveaux et nous noterons respectivement a et b les tats d nergie inf rieur et sup rieur Nous prendrons nulle l nergie Ea de l tat inf rieur et nous noterons wo la pulsation de Bohr E E fur 2 68 de sorte que la restriction de l
90. cependant possible que dans des cas favorables Le moyen le plus s r pour rendre un laser monomode consiste introduire l int rieur de la cavit un filtre c est dire un l ment s lectif en fr quence dont la courbe de transmission est assez fine pour que le gain effectif gain de l amplificateur multipli par la transmission du filtre voir figure 3 12 ne d passe le seuil laser que pour un seul mode longitudinal La transmission maximale du filtre doit tre aussi voisine de 1 que possible pour ne pas introduire de pertes suppl mentaires la fr quence laser La fr quence de ce maximum doit tre exactement ajust e sur un mode de la cavit laser de pr f rence celui qui est le plus proche du maximum de la courbe de gain et l ajustement doit tre assur en permanence gr ce un syst me d asservissement lectronique Remarques i Le syst me de s lection de fr quence se complique encore lorsqu il faut utiliser plusieurs l ments s lectifs en cascade de largeur de filtrage de plus en plus troite et dont les maxi mums doivent co ncider exactement c est ainsi qu un laser colorant courbe de gain de 25 THz de large comporte un triple filtre bir fringent s lectionnant une bande de 300 GHz un interf rom tre de Fabry Perot mince 1 mm s lectionnant une bande de 3 GHz et un Fabry Perot pais 5 mm s lectionnant un seul mode de la cavit Un tel ensemble requiert des asservi
91. champs sont appliqu s de l ext rieur et ne d pendent pas du mouvement des particules charg es du probl me Dans ce cas les seules variables dynamiques du probl me sont celles qui d crivent le mou vement des particules et il suffit de quantifier ces variables pour obtenir une description quantique du probl me Une situation de ce type est pr cis ment celle qui se pr sente lorsqu un atome est soumis un rayonnement lectromagn tique classique mis par une source ext rieure Il suffira alors de consid rer le mouvement des lectrons atomiques pla c s dans le champ lectromagn tique ext rieur constitu d une part du champ coulombien du noyau et d autre part du rayonnement lectromagn tique appliqu C est ce cas que nous traitons dans la suite 2 2 2 Hamiltonien d une particule dans un champ lectromagn tique classique ext rieur a Forme de l hamiltonien Nous nous proposons de d crire l interaction entre un champ lectromagn tique clas sique et l atome le plus simple constitu d un lectron dans le champ coulombien d un noyau suppos immobile Nous nous int ressons donc la dynamique d un lectron dont le mouvement est trait par la m canique quantique et qui est plong dans un champ lectromagn tique classique Ce champ est compl tement caract ris par les potentiels A r t et U r t qui prennent en compte aussi bien le champ coulombien du noyau que les champs ext rieurs
92. chapitre 3 doit donc tre g n ralis e pour tenir compte des degr s de libert suppl mentaires introduits par les modes transverses priori divers modes trans verse correspondant des valeurs diff rentes de n et m peuvent osciller simultan ment Cette oscillation simultan e est g nante d abord parce que le laser n est pas monofr quence mais aussi parce que la r partition transversale d clairement est accident e cause des ph nom nes d interf rence entre plusieurs modes transverses alors qu un clai rement aussi uniforme que possible est souvent souhaitable En pratique le mode TEMoo est automatiquement privil gi condition que le laser soit bien align Il est en effet clair sur la figure 3B 3 que ce mode est le plus concentr transversalement Or la cavit laser est toujours diaphragm e ne serait ce que par le diam tre limit des miroirs ou du milieu amplificateur ce qui provoque des pertes d autant plus importantes que le mode est plus tal Pour un gain faible seul le mode TEM5 pourra osciller Si le gain est plus fort plusieurs modes tranverses vont osciller Lorsqu un fonctionnement monomode transverse est difficile obtenir il faut ajouter un diaphragme l int rieur de la cavit Celui ci introduit alors des pertes suppl mentaires favorisant le mode fondamental mais fait baisser la puissance de sortie Le compromis entre qualit de faisceau et puissance d pend de l applica
93. cin tiques pour le pompage des lasers trois niveaux sont les suivantes d Ne N Na Ne j T W 3 30a d NM M Ng 3 30b dt Te Th Na N tN N 3 30c o w d crit le taux de pompage du niveau a au niveau e Ces quations qui n gligent l absorption et l mission stimul e sont valables en r gime non satur Dans la limite r alis e en pratique o WpTe lt amp 1 le rapport des populations en r gime permanent c est dire lorsque les d riv es par rapport au temps sont nulles dans les quations 3 30a 3 30b 3 30c est N Tb 1 3 31 noor 3 31a Ne N WpTe 1 3 31b L inversion de population est donn e par NN Wp 3 32 N WpTb 1 Ce r sultat peut tre compar celui obtenu pour la laser quatre niveaux formule 3 27 Alors que l inversion de population est obtenue tr s facilement pour un laser quatre niveaux il faut dans le cas du laser trois niveaux que le pompage soit suffisam ment intense pour atteindre 1 Wp gt 3 33 Tb Cette n cessit d avoir de forts taux de pompage est un premier inconv nient des lasers trois niveaux Un second inconv nient est associ la difficult de faire fonctionner certains de ces lasers en r gime continu En effet d s que l mission laser se produit il faut rajouter dans les quations cin tiques le terme d mission stimul e de b vers a qui va conduire un r
94. communications fibre optique stimulent fortement la production des lasers semi conducteurs encore ap pel s diodes laser 1 3um et 1 5um zones de dispersion minimale et de transparence maximale des fibres optiques voir 3D 3 du compl ment 3D L mission de lumi re se produit dans la zone de jonction d une diode semi conducteurs form e de mat riaux fortement dop s et polaris e dans le sens passant Figure 3 14 La recombinaison lectron trou peut se faire avec lib ration de l nergie sous forme d un photon d nergie hw E o E est l nergie s parant le haut de la bande de valence du bas de la bande de conduction intervalle ou gap de l ordre de 1 4 eV pour lAr s niure de Gallium AsGa soit une longueur d onde entre 0 8um et 0 9um En r gime d mission spontan e on a une diode lectroluminescente LED en anglais composant de base de nombreux afficheurs Mais si le courant inject dans la jonction augmente on peut atteindre le r gime o l mission stimul e est pr dominante le syst me devient alors un amplificateur optique de tr s grand gain Les premiers lasers de ce type fonctionn rent d s 1962 mais leur emploi tait r serv des laboratoires sp cialis s il fallait les maintenir basse temp rature 77 K temp rature de l azote 230 CHAPITRE 3 LES LASERS Energie lectronique Bande de conduction Transition gap Laser Bande de tro
95. continuum que nous allons envisager maintenant 1 3 2 Niveau discret coupl un quasi continuum Mod le sim plifi Dans l exemple que nous venons de pr senter l tat final comporte un lectron non li qui s loigne ind finiment de l atome On voit ainsi appara tre un comportement irr versible qualitativement diff rent de l oscillation de Rabi entre deux niveaux discrets C est ce comportement que nous nous proposons de traiter quantitativement maintenant a Notion de quasi continuum Au lieu de traiter le probl me du couplage entre un niveau discret et un continum nous allons consid rer un probl me proche mais plus simple Les tats propres appartenant un continuum sont en effet d un traitement math matique d licat en particulier parce qu ils ne sont pas normalisables Il s av re alors plus pratique de faire les calculs dans le cas d un ensemble de niveaux discrets tr s serr s appel quasi continuum puis de passer la limite du spectre continu sur le r sultat final Pour cela nous allons consid rer que les particules sont enferm es dans une bo te fictive de grande dimension qui introduit de nouvelles conditions aux limites Les tats d nergie positive sont alors des tats li s donc discrets de la bo te fictive Ils sont d autant plus serr s que la bo te est plus grande Il nous suffira de faire tendre les dimensions de la bo te vers l infini la fin du calcul pour obtenir
96. culaires Le sch ma des niveaux d nergie d un laser quatre niveaux est pr sent sur la figure 3 6 Un m canisme de pompage pompage optique sous l effet de la lumi re mise par une lampe ou par un autre laser excitation par une d charge lectrique etc fait passer les atomes de leur niveau fondamental f vers un niveau excit e Un ph nom ne de relaxation rapide transf re alors les atomes de ce niveau e au niveau b niveau sup rieur de la tran sition laser La transition radiative spontan e couplant b a en l absence d mission laser est lente compar e la relaxation de e vers b Enfin les atomes dans le niveau inf rieur a de la transition laser sont ramen s vers le niveau fondamental f par un processus de relaxation rapide Les temps caract ristiques des divers processus de d sexcitation sont not s Te Th Ta t les hypoth ses pr c dentes correspondent aux conditions Te Ta amp Tp Le pompage du niveau e se fait avec un taux Wp l aide de ces taux on peut crire des quations cin tiques voir 2 5 6 ou 2 3 2 du compl ment 2A pour les popula tions des divers niveaux et calculer la diff rence de populations Np Na qui conditionne l amplification e relaxation rapide b ompage transition PST laser relaxation rapide f FIG 3 6 Sch ma du laser 4 niveaux La transition laser se fait sur la transition b a Les niveaux e et a se d sexcitent rapidement vers les ni
97. d Au 5 Tis Oii 5 F0 2B 5a relax jAi j i Cette quation exprime que la population o de l tat diminue par suite des transferts vers les autres tats j et cro t par suite des transitions effectu es des autres tats j vers l tat i On notera que cette quation assure la conservation de la population totale 5 Ci 2Pour approfondir la th orie de la relaxation voir par exemple CDG 2 Chapitre IV Des quations de la forme 2B 5 peuvent en particulier tre obetenues si le syst me volue peu pendant la dur e d une collision 152 COMPL MENT 2B Pour les l ments non diagonaux 0 il j que l on appelle coh rences car ils prennent en compte la phase relative des composantes relatives aux deux tats i et j on crit les termes de relaxation suivants d au _ 2 EPR Notons que si les coefficients l _ sont r els et positifs rien n emp che les coefficients 7 d tre complexes ils v rifient n anmoins la relation yi 7 Les coefficients I gt et peuvent tre calcul s lorsque l hamiltonien d interaction entre le syst me et son environ nement est connu Ici nous les consid rerons comme des coefficients ph nom nologiques qu il est possible de d terminer exp rimentalement Remarque L quation de relaxation des coh rences 2B 5b suppose implicitement que toutes les fr quences de Bohr du syst me sont diff rentes Dans le cas o deux ou plusieurs fr
98. d abord que l nergie de l tat final tant sup rieure celle de l tat initial seul le terme en exp iwt de 2D 13 est susceptible de provoquer une transition r sonnante en donnant une amplitude de transition non n gligeable pour un tat final d nergie Fe E hoa E fiw E 2D 14 cf B 4 d du chapitre 1 L approximation r sonnante consiste ne garder que le premier terme du second membre de 2D 13 Elle est valable d s que le temps d interaction est tr s sup rieur 1 w soit 107165 pour une photoionisation partir de l tat fondamental de l atome d hydrog ne On crit donc e Weg 2D 15a N el Ang Fe 2D 1 MOD LE UTILIS 193 avec Weg 2 Ao elp ce i g 2D 15b L approximation o l tat excit est une onde plane lectronique d crite par la fonction d onde 2D 5a permet de transformer simplement 2D 15b Wes Aoh kee L f dreige 2D 16a 1 pr ue D ke k m On a introduit dans l expression ci dessus la transform e de Fourier d a de la fonction d onde y r d a t 1 dre tar 2D 16b On prendra garde ne pas faire de confusion entre le vecteur q de l espace r ciproque intervenant dans les transform es de Fourier et la charge q de l lectron qui appara t dans le terme de couplage de l hamiltonien d interaction ou dans le rayon de Bohr C est un facteur A pr s la fonction d onde en repr se
99. d une onde incidente et d en d duire le rayonnement diffus 2C 5 DIFFUSION RAYLEIGH DIFFUSION THOMSON DIFFUSION R SONNANTEI81 Supposons donc que l on a un rayonnement incident E t Eo cos wt 2C 37a Si on n glige l effet du champ magn tique dont l effet est en v c par rapport l effet du champ lectrique lamplitude du mouvement forc s obtient en r solvant une quation diff rentielle dont le membre de gauche co ncide avec celui de l quation 2C 27 et le membre de droite est qE t On obtient en notation complexe et en utilisant la d finition 2C 30b qEo 1 eu a 2C 37b 3 m w w il qu wg d o une puissance diffus e Pq quation 2C 20 qui vaut 412 4 p al z 2C 37c 1 Dreom w w Twig On rappelle qu il est possible de d finir la section efficace totale de diffusion o w par le rapport de la puissance totale diffus e au flux incident par unit de surface Pa o w 2C 38a d sae m formule dans laquelle 4 est plus pr cis ment la puissance moyenne incidente par unit de surface c est dire d 1 E r eea 2 qg IE 5606 2C 38b On en d duit 8T gt wt i Consid rons tout d abord le r gime w wo diffusion Rayleigh La section efficace vaut alors ST 2 Ww 4 gt olw amp 7 0 2 2C 40 Elle cro t tr s rapidement avec la fr quence du rayonnement incident C est le cas de la diffusion de la lumi re solaire vi
100. d crit par un hamiltonien o ind pendant du temps et interagissant avec le champ lectrique oscillant d une onde lectromagn tique L hamiltonien d interaction 1 t est de la forme W coswt avec W D E voir formules 1 7 et 1 8 du chapitre 1 En portant cette expression dans la formule 2B 21b nous trouvons en r gime permanent c est dire pour t to gt 1 7 x i g o er ivt eiet aok CE Wa eaea 2B 22 2ih wir w Yir wir w Yik Dans le cas d une excitation quasi r sonnante voir Chapitre I B 4 d un des d nomi nateurs d nergie est beaucoup plus petit que l autre Pla ons nous par exemple dans le cas o wjp est positif niveau j au dessus de k et supposons que lux w xl K lwir w 2B 23a 2B 2 TRAITEMENT PERTURBATIF 159 Il est alors possible de n gliger le terme anti r sonnant de la formule 2B 22 qui prend la forme simplifi e D out A0 D amp r Gi 6 2ih Pa wir w 2B 23b Les expressions 2B 22 et 2B 23b l ordre 1 en W 4 qui est proportionnel au champ lectrique donnent la r ponse lin aire de l atome b Valeur moyenne du dip le lectrique Susceptibilit lin aire La connaissance de la matrice densit permet de calculer la valeur moyenne du dip le lectrique D Tr 6D 2B 24 Pour un atome isol les l ments de matrice diagonaux D sont nuls cause de l inva riance de l hamiltonien Ho par r fl
101. d pend beaucoup des condi tions m t orologiques et pour les faisceaux de tr s grandes densit s de puissance effets d optique non lin aire comme l autod focalisation voir compl ment 3F 4 1 Le laser utiliser doit mettre des puissances consid rables avec un bon rendement et un taux de r p tition important Il doit aussi tre autonome fiable et facile mettre en op ration m me dans des conditions difficiles Enfin le syst me form des lasers et de leurs miroirs de renvoi doit tre le plus possible invuln rable vis vis des contre mesures de l adversaire De nombreuses recherches sont actuellement consacr es au d veloppement de lasers chi miques comme le laser HF voir chapitre 3 3 2 2e qui peuvent produire des puissances moyennes tr s importantes sup rieures 100 kW sans aucun apport ext rieur d nergie sous forme lectrique et peuvent par exemple fonctionner dans l espace Ils pr sentent par contre l inconv nient de produire un rayonnement infrarouge qui nous le savons est fortement r fl chi par les mat riaux usuels D autres types de laser sont aussi tudi s l heure actuelle dans le m me but comme les lasers excim res ou les lasers lectrons libres Les probl mes techniques sont donc loin d tre tous r solus l heure actuelle C est la raison pour laquelle l int r t strat gique de l arme laser reste encore d montrer Le laser est en revanche couram
102. d2 Eve costly d 2C 58 A 2m 02 2 0 lt ab MW Zab Oz 2 7 qEo coswt o Cette quation s exprime finalement en fonction de la force d oscillateur fa de la transition la b donn e par l expression 2C 48b de ce compl ment et de la force classique Fa qE cos wt agissant sur l lectron d mzz mwil 2 fal Fa 2C 59 Cette quation co ncide avec l quation fondamentale de la dynamique classique pour la position moyenne de l lectron avec la force de rappel harmonique mwg 2 deux diff rences pr s la pr sence de la force d oscillateur gt fab qui corrige la force classique d un facteur sans dimension d pendant de la transition consid r e Pour la raie de r sonance d atomes alcalins comme le sodium par exemple cette force d oscillateur est peu diff rente de un la pr sence du facteur 6 qui est proportionnel P P P et P tant les probabilit s pour l atome d tre respectivement dans l tat a ou b 186 COMPL MENT 2C Si le rayonnement incident sur l atome est peu intense on a P 1 et P 0 et on retrouve donc exactement l quation de la dynamique classique Comme nous l avions annonc le mod le de l lectron lastiquement li est dans ce cas quivalent au traitement semi classique dans lequel l atome est quantifi tant qu on ne s int resse qu des quantit s qui d pendent de la valeur moyenne
103. dW dt 2 452 q wta Fer ri 2C 26 RAT 12T 0 c l On trouve une puissance re ue par l lectron n gative exactement oppos e la puissance moyenne rayonn e par l lectron Eq 2C 20 ce qui assure que le choix de FRR pr sent en 2C 25a est coh rent avec la conservation de l nergie l nergie emport e sous forme de rayonnement lectromagn tique est pr lev e l nergie m canique de l lectron qui est frein Cette force de freinage Frr n est autre que la contrepartie du point de vue du mouvement de l lectron de son rayonnement b Amortissement radiatif d un lectron lastiquement li Pour valuer l effet de ce freinage revenons notre mod le d lectron lastiquement li rappel vers l origine par une force mw r Il ob it l quation du mouvement 2 in m MWIT Ea r 0 2C 27 c Cherchons une solution s crivant en notation complexe So e La pulsation Q est alors donn e par Q wi i 0 2C 28 On n envisage ici que des fr quences Q tr s inf rieures c ro amp 10 s71 et le terme imaginaire de 2C 28 est petit devant le terme r el On peut alors chercher les solutions de 2C 28 sous forme d un d veloppement perturbatif Q wo AN AND 2C 29a Le terme du premier ordre donne 2 2w AQO ui 2C 29b c On obtient ainsi la solution au premier ordre en ro c que l on crit sous la forme 0
104. de l lectron lastiquement li 169 2C 1 Notations et hypoth ses simplificatrices 170 2C 2 Rayonnement dipolaire lectrique 171 2C 3 Dip le oscillant sinuso dalement Polarisation 173 2C 4 R action de rayonnement Amortissement radiatif 177 2C 5 Diffusion Rayleigh diffusion Thomson diffusion r sonnante 180 206 SusceptiBilit da Re T aade Ne ina E at ie Dana 183 2C 7 Lien entre le mod le classique de l lectron lastiquement li et le mod le quantique de l atome deux niveaux 184 Compl ment 2D Effet photo lectrique 187 2D 1 Mod le utilis a Se SL NS MoN SANS Amadeus 189 2D 1 1 Etat atomique li a aaa ah bete s buse 0 LUE d Li 189 2D 1 2 Etats ionis s Densit tats Lip tar tante 189 2D 1 3 Hamiltonien d interaction aooaa LAM ELARS 192 2D 2 Taux de photoionisation section efficace de photoionisation 194 2D 2 1 Taux de photoionisation des le ue d tente MR ANA ANS 194 2D 2 2 Section efficace de photoionisation 196 2D 2 3 Comportement aux temps longs 196 2D 3 Application Photoionisation de l atome d hydrog ne 197 Compl ment 2E D tecteurs infrarouge multipuits quantiques 201 3 Les lasers 209 3 1 Conditions oscillation aude D ia rl en ete NS Mia 4 D
105. de l onde Ce terme peut galement induire des transitions la fr quence de l onde lectromagn tique Le poids respectif de ces divers termes est en d finitive contr l par les sym tries des tats atomiques et par l amplitude des l ments de matrice non nuls 2 3 Transition entre deux niveaux atomiques sous l ef fet d un champ lectromagn tique oscillant Munis d un hamiltonien d interaction nous pouvons maintenant tudier comment un atome passe d un tat i un tat k sous l effet d une onde lectromagn tique sinuso dale Nous le ferons d abord dans l hypoth se d un couplage faible en utilisant le premier ordre de la th orie des perturbations Pour aborder les cas o la probabilit de transition n est pas tr s petite devant 1 nous pr senterons au paragraphe 2 3 3 un calcul plus exact dans le cadre du mod le de l atome deux niveaux et de l approximation r sonnante On trouve alors l oscillation de Rabi ph nom ne physique d une importance consi d rable Dans les paragraphe 2 3 3 et 2 3 4 nous aborderons la question des transitions multiphotoniques et des d placements lumineux 2 3 TRANSITION ENTRE DEUX NIVEAUX ATOMIQUES 81 2 3 1 Probabilit de transition au premier ordre de la th orie des perturbations a Absorption et mission induite On consid re un syst me atomique d crit par un hamiltonien o dont les tats propres In ont des nergies E l i
106. de ph nom nes de dilatation par exemple Il s ensuit que le laser peut osciller certains instants sur deux modes et d autres instants sur trois Le comportement du laser h lium n on pour lequel tous les modes susceptibles d oscil ler apparaissent simultan ment dans l mission laser n est cependant pas universel Pour d autres lasers comme par exemple le laser n odyme YAG le nombre de modes oscillant r ellement est tr s inf rieur au nombre de modes pouvant appara tre d apr s l analyse pr c dente Dans certains cas il n y a m me qu un seul mode le laser est alors dit mono mode La diff rence de comportement est directement li e la nature de l largissement de la courbe de gain l largissement est dit inhomog ne dans le cas du laser h lium n on alors qu il est essentiellement homog ne pour le laser n odyme YAG Une raie spectrale est inhomog ne si deux fr quences diff rentes dans le profil spectral proviennent de l mission de deux atomes plac s dans des conditions diff rentes alors qu une raie est homog ne si la forme de la distribution spectrale est la m me pour tous les atomes metteurs Une raie inhomog ne est en fait la superposition de plusieurs raies homog nes troites juxtapos es et correspondant diverses valeurs d un param tre ext rieur dont d pend la fr quence d mission Gain Gain non satur Fa Gain satur PE Z N
107. de sorte que Leav 2Lo si l on peut identifier longueur g om trique et longueur optique Dans ce cas l intervalle entre modes d une cavit lin aire est donc c 2Lo 3 2 Description des milieux amplificateurs 3 2 1 N cessit d une inversion de population Nous avons pr sent au chapitre 2 Partie 2 5 un premier exemple de milieu suscep tible de r aliser l amplification d une onde lumineuse il s agit d un ensemble d atomes dont on a consid r deux niveaux particuliers b et a d nergies Fp et Ea et tels que l on excite pr f rentiellement le niveau d nergie le plus lev b Dans ces conditions l mis sion induite ou mission stimul e est le processus dominant compar l absorption ce qui permet l amplification Nous nous proposons ici de g n raliser ces r sultats des syst mes plus compliqu s mais plus r alistes Pour ces syst mes la plupart des r sultats obtenus dans le chapitre 2 restent valables et notamment les comportements sym triques de l absorption et de l mission induite Si on consid re un milieu d paisseur dz avec une densit l N VA d atomes ou de mol cules dans le niveau inf rieur et N VA dans le niveau excit une onde de fr quence w se propageant vers les z positifs voit son intensit z modifi e suivant la loi 1 dI z EE pop 3 17 I z dz GEN l absorption ou le gain par unit de longueur 2k tant proportionnelle la diff ren
108. des notions plus avanc es mais elles ne sont pas indispensables pour comprendre l essentiel de cette partie 2 2 1 lectrodynamique classique quations de Maxwell Lorentz Les quations fondamentales de l lectrodynamique classique d crivent l volution d un syst me de particules charg es et de champs en interaction Les quations de Maxwell relient les champs lectrique Er t et magn tique B r t aux densit s de charge p r t 70 CHAPITRE 2 ATOMES EN INTERACTION AVEC UNE ONDE et de courant j r t V E r t pr t 2 12a 0 V B r 5 0 2 19b V x E r t Bt t 2 12c EE bedar ae 2 12d E T 0e ue On sait que les deux quations 2 12b et 2 12c entra nent l existence de potentiels vecteur et scalaire A r t et U r t qui caract risent compl tement les champs Ces derniers s en d duisent en effet de fa on univoque par les relations B r t V x A r t 2 13a o Elr t H A r t VU r t 2 13b Il existe en revanche une infinit de couples A r t U r t associ s au m me champ lectromagn tique E r t B r t On passe de l un de ces couples l autre par une transformation de jauge A r t Al r t VF r t 2 14a F r t 2 14b Ft 2 14b F r t tant un champ scalaire arbitraire Il est possible de tirer parti de cet arbitraire pour fixer des potentiels adapt s au probl me consid r en imposant une condition sup pl mentaire
109. du Pa l 4 2 19 dt Comme commute avec U f t on obtient Dr EE qAr P t 2 20 ET in De 2 19 et 2 20 nous d duisons dt m ce qui d apr s 2 18 sugg re l expression suivante pour l op rateur vitesse p mi qA t nn 2 22 A Notons que v diff re de a m quations du mouvement Pour trouver les quations du mouvement nous aurons besoin des relations de commutation entre les composantes de l op rateur vitesse Consid rons par exemple le commutateur vz vy En partant de 2 22 on trouve e GA q ia l r dy a Pe Ay t Ar f t y 2 23 2Voir par exemple CDG1 Chapitre IV 3Voir BD Chapitre VIII 3 2 2 HAMILTONIEN D INTERACTION 73 Or quelle que soit la fonction f f le commutateur p f r est gal iht de sorte que n s 01 Lac r 2 A t 2 24 En utilisant la relation 2 13a entre le champ magn tique et le potentiel vecteur nous obtenons les relations dont nous aurons besoin n y ih B f t 2 25a m RA sad K y de ih zBPel t 2 25b z x it By t 2 25c Nous nous proposons maintenant de calculer l volution de la valeur moyenne de l op rateur vitesse Appliquons nouveau le th or me d Ehrenfest L toa Elle A Lan 2 26 En utilisant la d finition 2 22 de l op rateur vitesse qui d pend explicitement du temps par l interm diaire de A
110. du mode transverse Unm et p est associ la condi tion debouclage sur un tour de cavit Plus pr cis ment la phase devant se reproduire identiquement elle m me apr s un aller retour on en d duit la condition suivante qui g n ralise l quation 3 13 du chapitre 3 np pma Lo Pra 0 297 3B 24 avec L 2Lo Au terme wmnpL c d j rencontr dans le chapitre 3 se rajoute en plus le d phasage de l onde transverse entre les extr mit s de la cavit de la figure 2 ce d phasage tant multipli par deux puisque la lumi re effectue un aller retour En utilisant l quation 3B 21 adapt e au cas de la cavit plan concave la section du faisceau est minimum au niveau du miroir plan nous pouvons r crire l quation 3B 24 sous la forme L op 2 2pr 2 n m 1 tan 3B 25 L ZR soit en utilisant la valeur de z donn e par l quation 10 Wmnp c 1 i L p n 1 1 3B 26 LL LE Le a qui ne d pend que de la longueur de la cavit Lo L 2 et du rayon de courbure R2 du miroir concave L quation 3B 26 montre que les modes transverses correspondant des valeurs diff rentes de m n oscillent en g n ral des fr quences diff rentes TPour plus de d tails voir par exemple A E Siegman Lasers University Science Books ou H Kogelnik et T Li Applied Optics 5 1550 1966 3B 4 MODES LONGITUDINAUX ET TRANSVERSES D UN LASER 273 La discussion du
111. dues par exemple l interaction de Van der Waals Ce n est pas le cas pour les niveaux lectroniques s par s de plus de 1014 Hz En revanche si le projectile incident est un lectron d nergie 50 eV dont la vitesse est de l ordre de 5 x 105 m s une collision avec un param tre d impact de 5 nm a une dur e b V de l ordre de 101 s elle peut provoquer une transition vers des tats lectroniques lev s susceptibles de se d sexciter en mettant de la lumi re visible la lumi re orang e de longueur d onde 0 6 microm tres a une fr quence de 5 x 104 Hz C est ce qui se passe dans une lampe d charge Remarque Le raisonnement ci dessus ne prend pas en compte les questions de conservation de l nergie Il faut v rifier que l nergie du projectile est sup rieure l nergie n cessaire pour exciter la cible car sinon l hypoth se d une vitesse constante du projectile n est pas valable Dans les exemples ci dessus il n y a pas de probl me c Cas d une perturbation constante branch e partir d un instant d ter min Il arrive souvent qu un syst me soit brusquement mis en contact partir d un instant initial t 0 avec une perturbation W qui est ensuite constantef Nous allons donner l ex pression de la probabilit de transition au premier ordre dans ce cas important expression qui nous sera utile dans la suite de ce chapitre Si l instant t 0 le syst me est dans l
112. e Partie 3E 2 et les transitions deux photons Partie 3E 3 Nous discutons enfin les progr s faits sur la connaissance du spectre de l atome d hydrog ne qui est un des probl mes les plus fondamentaux de la physique atomique en utilisant ces m thodes de spectroscopie sans largissement Doppler Partie 3E 4 3E 1 Largeur homog ne et inhomog ne L tude exp rimentale de la largeur spectrale d une raie mise par un atome ou un ion montre que cette largeur est presque toujours plus grande que la largeur pr visible partir Signalons aussi qu en utilisant des impulsions laser on peut r aliser une excitation percussionnelle du syst me que l on veut tudier atome mol cule solide En sondant le syst me au bout d un temps d termin on peut alors avoir acc s la dynamique de son volution Nous n aborderons pas ici ce domaine de la spectroscopie r solue en temps 318 COMPL MENT 3E des premiers principes Pour un atome isol la th orie pr voit une raie Lorentzienne dont la largeur est d termin e par la dur e de vie des niveaux consid r s voir Compl ment 2B Eq 2B 29 En fait les largeurs mesur es exp rimentalement sont g n ralement bien plus grandes Cela tient souvent au fait que les atomes sont anim s d un mouvement d sordonn lorsque l atome a une vitesse v la fr quence de la lumi re mise dans la direction u est d cal e de la fr quence naturelle w d une quantit gale
113. est d abord de mettre en relief la comp tition entre les termes d absorption et d mission induite comp tition qui est responsable du ph nom ne de saturation de l inversion de population Un autre int r t des quations cin tiques est de se g n raliser sans difficult des cas plus complexes temps de relaxation in gaux pour les niveaux a et b prise en compte d une relaxation de b vers a Il reste g n ralement ais d crire et de r soudre les quations cin tiques alors que les quations de Bloch optiques deviennent rapidement inextricables Il faut n anmoins ne pas perdre de vue que les quations cin tiques ne constituent qu un traitement approch qui n est en g n ral justifi que lorsque le temps de relaxation des dip les atomiques est court par rapport aux temps caract ristiques de variation des populations atomiques De plus les quations cin tiques sont incapables de fournir la valeur des dip les atomiques qui ne peuvent tre d crits que par un formalisme prenant en compte les relations de phase entre les coefficients Ya et 7 du d veloppement 2 72 de l tat atomique Ainsi dans l expression 2 148 de la susceptibilit que nous pouvons r crire c Na Me d wp w il p n 2 163 V Eo LE w wo i l X les quations cin tiques peuvent fournir le facteur Na Np mais les autres termes ne a b peuvent a priori tre obtenus que par un traitement
114. est de l ordre de We W SES LE 2 90 c est dire le produit des pulsations de Rabi des transitions un photon divis par le carr du d saccord dans l tat interm diaire l exception de cas tr s particuliers o le niveau relais j est au milieu des niveaux i et k le d saccord dans l tat interm diaire est beaucoup plus grand que la pulsation de Rabi de chaque transition un photon Les transitions plusieurs photons sont donc en g n ral beaucoup moins probables que les transitions un photon Elles n ont une probabilit notable que si les intensit s lumineuses sont suffisamment grandes ce qui explique qu on n observe facilement ces effets qu en 94 CHAPITRE 2 ATOMES EN INTERACTION AVEC UNE ONDE utilisant des lasers tr s focalis s ou des lasers en impulsion Remarque Le calcul ci dessus n a un sens que pour des dur es d interaction petites devant la dur e de vie des niveaux i et k Il faut galement que le d saccord dans l tat interm diaire w E E h soit grand devant l inverse de la dur e de vie de l tat interm diaire j et devant la pulsation de Rabi W f car sinon la transition un photon de i vers j serait pratiquement r sonnante et le probl me ne pourrait pas tre trait aussi simplement c Hamiltonien effectif d une transition deux photons Lorsque l intensit de londe est suffisamment grande et que la transition deux
115. et qui remplissent le niveau a Les d couvertes de m thodes permettant de surmonter ces difficult s et d obtenir l inversion de population ont jalonn les progr s de lasers Nous pr sentons dans la suite de ce paragraphe quelques syst mes caract ristiques Remarques i Parmi les processus de relaxation n fastes mission spontan e de b vers a joue un r le part par son caract re in vitable Or on sait depuis Einstein que l mission spontan e est d autant plus intense compar e l mission stimul e que la fr quence est plus lev e Cela explique qu il soit relativement facile d obtenir l effet laser dans l infrarouge tr s difficile dans l ultraviolet et que le laser rayons X ait d attendre pr s de quatre d cennies pour faire ses d buts ii Dans l approche utilis e ci dessus l existence d une inversion de population est une condi tion n cessaire l amplification de la lumi re Des physiciens se sont demand s si tous les processus d amplification de la lumi re impliquent n cessairement une inversion de popula tion En fait il existe quelques processus exotiques pour lesquels une inversion de population n est pas n cessaire mais il faut alors pr parer le syst me metteur dans une superposition lin aire d tats on dit que l on a cr des coh rences t Bien qu ayant un grand int r t th orique les tr s rares syst mes de ce type ayant r ellement fonctionn se sont jusqu
116. f t nous pouvons exprimer le dernier terme de 2 26 q o Tp L quation 2 22 nous permet aussi d exprimer l hamiltonien 2 17 en fonction de l op rateur vitesse il H PAA qU t 2 28 et le commutateur de 2 26 se transforme en e Fle 03 F l a 02 ale UE 0 2 29 D veloppons les deux premiers termes de 2 29 en tenant compte de 2 25 et en prenant garde que et B t ne commutent pas On trouve Be 62 dyl e yl lz duo i 0y Beh t BL 8 t y 2 30a et de m me e 02 in 6e By t Byl Do 2 30b Le dernier terme de 2 29 se d veloppe ais ment en remarquant que U f t et A f t com mutent 1 ih r U t m r U t Ut 2 31 74 CHAPITRE 2 ATOMES EN INTERACTION AVEC UNE ONDE Finalement en reportant les r sultats interm diaires 2 27 2 31 dans 2 26 on obtient d de Re Le tite A q OU f t 04 f t q z Ov Bz By Bz y By z se 2 32 x ot Nous reconnaissons dans le premier terme la composante suivant x de l op rateur sym tris associ la force de Lorentz qv x B Le deuxi me terme fait appara tre la force lectrique puisqu on reconna t le champ lectrique q 2 13b En d finitive on obtient l quation vecto rielle d vVxB t B f t x v gt de 2 T qE t 2 33 qui est l analogue quantique de l quation classique de Newton Loren
117. form e d un miroir plan M et d un miroir concave M de rayon de courbure R distants de Lo Fig 3B 4 S il existe un faisceau gaussien dont les surfaces d onde co ncident exactement avec chaque miroir ce faisceau est un mode stable de la cavit Un tel faisceau aura donc son col sur le miroir plan et il sera tel que d o l on d duit l aide de 3B 3 ZR R Lo Lo 3B 10 3B 3 MODES GAUSSIENS 267 FIG 3B 2 Cavit stable compos e d un miroir de rayon de courbure R et d un miroir plan s par par une distance Lo inf rieure R2 Mode gaussien fondamental de cette cavit L quation 3B 10 n a de solution que si R gt Lo 3B 11 La relation 3B 11 est la condition de stabilit de la cavit repr sent e sur la figure 3B 4 Si elle est v rifi e il existe un mode gaussien dont les rayons de courbure sont adapt s aux deux miroirs de la cavit Notons en outre que la relation 3B 10 jointe l quation 3B 5 permet de d terminer la taille w du faisceau en fonction de Rs et de Lo Le raisonnement ci dessus se g n ralise directement toute cavit lin aire de longueur Lo ferm e par deux miroirs concaves de rayons de courbure R et R La condition de stabilit s crit alors Lo Lo O lt f1 1 lt 1 3B 12 E T T E l Le param tre zg ou wo caract risant le mode s obtient de fa on univoque en imposant R 0 aux surfaces d onde de co ncider exacteme
118. forme 1 55 de l hamiltonien t nous trouvons partir de 1 54 l amplitude de transition S4 T pour passer de l tat i un instant to lt 0 quelconque avant le branchement l tat k l instant T SulT 7 ES WoWa dt a ae E PAPA E EERE E Ta 1 60 J k i Modifions l int grale sur t en proc dant une int gration par parties e EE J eitEs Ei t h t oil Ej E t dt e EN e f c f d 1 61 i E E R 1 I E Ei h Les hypoth ses 1 56 sur la forme de f t nous permettent de majorer f t par 1 0 voir Figure 1 6 b Le second terme du second membre de 1 61 est donc plus petit que le premier par un facteur de l ordre de 0 E E que l on a suppos petit devant 1 En n gligeant ce terme 1 60 devient FE 4 1 i Er Ei t h y2 Sri T E DE dt ek F 1 62a que l on transforme en FE 1 iEr Ei t h Sri T amp ZE DE dt ek 1 62b L galit entre 1 62a et 1 62b est vraie des termes d ordre 0 T pr s Le carr de l int grale apparais sant dans 1 62b est gal la fonction gr Ep E introduite en 1 33 pour le calcul au premier ordre La formule 1 57 est donc bien tablie 1 3 Cas d un niveau discret coupl un continuum R gle d or de Fermi Apr s avoir tudi le cas d un niveau isol coupl un autre niveau isol nous allons maintenant consid rer une situation radicalement diff rente o le niveau initial i e
119. gain La courbe de gain va donc subir en bloc l effet de la saturation 2La distinction entre largeur homog ne et largeur inhomog ne est galement discut e dans le com pl ment 3E consacr la spectroscopie laser Cette distinction joue alors un r le fondamental puisque la spectroscopie laser peut permettre d obtenir des signaux r sonnants ayant la largeur homog ne m me quand l largissement inhomog ne est dominant 240 CHAPITRE 3 LES LASERS et la condition d galit entre le gain satur et les pertes n est r alis e que pour un seul mode voir figure 3 22 L oscillation sur ce mode emp che donc l mission laser sur les autres modes Remarque Cette derni re situation est celle du laser n odyme YAG o l largissement est d aux vibrations des atomes de la matrice du solide qui modulent l environnement de l atome metteur et donc ses niveaux d nergie comme dans une collision on parle alors de collision avec les phonons En pratique il est exceptionnel qu un largissement soit purement homog ne ou pu rement inhomog ne Pour les lasers fonctionnant en r gime continu mentionn s dans le tableau 1 un des types d largissement est dominant mais dans de nombreux autres cas les largeurs homog nes et inhomog nes peuvent avoir des valeurs comparables Largeur de la Intervalle Nombre de Nature de courbe de gain typique entre modes l largissement modes longitudinaux dominant possibles
120. grande nergie La cible est ionis e superficiel lement et s entoure d une couronne de plasma o le rayonnement est absorb L nergie laser d pos e chauffe en surface la cible et en volatilise les couches superficielles Le mi lieu est alors soumis une force tr s intense dirig e vers le centre par l effet m canique de r action dont nous avons parl au d but de ce chapitre paragraphe Il est fortement comprim et un point chaud est cr au centre o des r actions de fusion commencent se produire Celles ci servant en quelque sorte d allumette produisent des particules a nerg tiques qui vont initier les r actions de fusion dans le reste de la cible et conduire son inflammation Le terme inertiel qui qualifie cette technique fait r f rence au fait que c est l inertie m canique qui maintient la cible comprim e avant qu elle n explose pendant un temps de confinement T satisfaisant au crit re de Lawson Pendant la r action des neutrons nerg tiques s chappent du milieu et fournissent aux parois de l enceinte sous forme thermique l nergie utilisable Pour r aliser une centrale lectrique fusion thermonucl aire il faut pouvoir disposer 9Cette partie s inspire troitement d un texte r dig par A Migus du laboratoire LULI de l cole polytechnique 3C 5 FUSION INERTIELLE 287 d un laser fournissant 10 fois par seconde des impulsions dont l nergie
121. il puisse tre possible de compenser cette divergence qui provoque des pertes en utilisant des miroirs convergents mais le traitement th orique par ondes planes est alors inadapt Une description plus correcte du champ dans la cavit consiste partir d une distribu tion transversale non uniforme pour l onde et se poser le probl me de la stabilit d une telle distribution lorsque le faisceau s est propag sur un tour de cavit La description de cette propagation doit naturellement prendre en compte les ph nom nes de diffraction ainsi que la r flexion sur les miroirs Une telle structure stable si elle existe s appelle un monde transverse de la cavit La recherche des modes transverses d une cavit est un probl me en g n ral tr s com pliqu Heureusement pour les cavit s habituellement utilis es dans les lasers et plus particuli rement dans le cas d une cavit lin aire form e de deux miroirs concaves il existe une classe de solutions simples les modes transverses gaussiens qui sont une ex cellente approximation pour la plupart des lasers continus 264 COMPL MENT 3B 3B 1 Faisceau gaussien Consid rons le champ lectrique suivant dont on montrera dans le paragraphe 3B 3 qu il est une solution approch e de l quation de propagation dans le vide correspondant une onde de pulsation w se propageant dans la direction Oz E r t e r t 3B 1a avec De 21 2 E r t
122. inhomog ne voir 3 3 1 Dans le cas d un largissement inhomog ne les divers modes oscillent naturellement et le seul but du modulateur est de coupler leurs phases Dans le cas d un largissement homog ne le modulateur provoque en outre l apparition de modes qui en son absence n oscilleraient pas spontan ment Il est galement possible de synchroniser les modes en pla ant dans la cavit un ab sorbant saturable Celui ci est un milieu dont l absorption diminue et la transmission augmente lorsque l intensit augmente forte intensit il est transparent Dans un laser multimode o l on ins re un absorbant saturable les pertes de celui ci emp chent toute oscillation incorr l e et seules les fortes impulsions associ es une synchronisation des modes peuvent circuler dans la cavit 3 4 2 Laser d clench La figure 3 18 montre l volution temporelle de l intensit lumineuse mise par un laser rubis lorsque le cristal est excit par une lampe flash On a un train d impulsions de largeur 0 1us s par es de quelques microsecondes Pour une nergie typique de 1 Joule dans le train d impulsions on voit que la puissance moyenne est de l ordre du kilowatt mais que la puissance cr te est d un ordre de grandeur plus lev Ce fonctionnement s interpr te comme une oscillation de relaxation voir 3 2 4 la dynamique de ces os cillations d pendant des divers temps caract risti
123. l lectron consid r fait partie d un ensemble neutre dont le barycentre de toutes les charges autres que l lectron se trouve en O Rappelons que le dip le r el est D t Re Do e 2C 1d Pour calculer le rayonnement de ce dip le nous nous placerons dans le cadre d hypo th ses simplificatrices i approximation dipolaire lectrique on se limite au cas o les charges restent locali s es dans un volume nettement plus petit que la longueur d onde du rayonnement mis ISo lt 2C 2 Notons que cette hypoth se implique que la vitesse de l lectron qui est de l ordre de w so reste petite devant la vitesse de la lumi re c 2C 2 RAYONNEMENT DIPOLAIRE LECTRIQUE 171 champ grande distance on se contentera de calculer les champs rayonn s des distances grandes devant la longueur d onde I gt 2C 3 Dans le cas g n ral le champ rayonn se met sous la forme d un d veloppement en puissances de r l approximation faite ici consiste ne garder que le premier terme Si le mouvement de l lectron n est pas purement sinuso dal les deux hypoth ses que nous venons d noncer devront tre v rifi es pour toutes les composantes de Fourier de D t 2C 2 Rayonnement dipolaire lectrique a Potentiels retard s La formulation de l lectromagn tisme la mieux adapt e ce probl me c est dire celle qui permet de faire intervenir le plus ra
124. l mission induite dans une d charge de lPour en savoir plus sur la chronologie des id es on pourra consulter M Bertolotti Masers and Lasers An Historical Approach Hilger 1983 C H Townes dans les Centennial Papers LE E E Journal of Quantum Electronics 20 pp 545 615 1984 ou J Hecht Laser Pioneers Academic Press 1992 On lira aussi avec profit les conf rences Nobel 1964 de C H Townes N G Basov et A M Prokhorov in Nobel Lectures Physics 1963 1970 Elsevier disponibles sur www nobel se physics 2Ces processus s imposaient empiriquement sans toutefois s inscrire dans un cadre th orique global bien d fini 209 210 CHAPITRE 3 LES LASERS n on par Ladenburg et Kopferman en 1928 Assez curieusement l int r t pour l mission induite d crut ensuite En fait les physiciens ne voyaient aucune application possible ce ph nom ne parce qu ils ne croyaient pas qu un syst me puisse s loigner suffisamment de l quilibre thermodynamique pour qu un gain notable puisse tre obtenu En outre peu d entre eux taient familiers avec l lectronique et en particulier avec les m canismes de r action conduisant l oscillation d un syst me qui pr sente du gain En d autres termes on n imaginait des applications l mission induite que dans des conditions de tr s grande amplification c est dire lorsque le gain de l amplificateur est tr s grand devant 1 conditions qui a
125. l a Pour de la lumi re visible le facteur de qualit de la r sonance wo Ta est de l ordre de 108 Ces r sultats restent qualitativement corrects en th orie quantique En reportant la d finition 2C 30b de ro on trouve la forme remarquable _ 36 Par 2C 43 27 w wo T2 4 l gt o w La section efficace a un comportement r sonnant de forme Lorentzienne autour de wo La figure 2C 4 montre l allure de la r sonance de largeur mi hauteur Fa Notons que SEn vertu de l hypoth se ii le mod le est limit Faw w 1 ce qui permet de n gliger le second terme du d nominateur w Ta 10 s7 dans le domaine optique 2C 6 SUSCEPTIBILIT 183 la section efficace r sonance 32 27 a pour ordre de grandeur le carr de la longueur d onde du rayonnement r sonance Elle est consid rablement plus lev e que la section efficace Thomson par 18 ordres de grandeur dans le domaine visible il s agit d une r sonance exceptionnellement aigu Le calcul quantique donne des r sultats analogues on trouve en particulier que dans les deux cas extr mes des diffusions Rayleigh et Thomson Equations 2C 40 et 2C 41 les expressions des sections efficaces sont pratiquement inchang es Quant la section efficace r sonnante elle garde la forme 2C 42 condition de remplacer l a par la largeur naturelle F de la transition consid r e Notons que la valeur r sona
126. la condition de jauge Pour calculer les champs cr s par un ensemble de particules ponctuelles de charges qa localis es aux points r et de vitesses Va on exprime les densit s de charge et de courant qui apparaissent dans les quations de Maxwell 2 12a et 2 124 l aide de fonctions de Dirac p r t D qa r ra t 2 15a j r t X qaVa lr ra t 2 15b 2 2 HAMILTONIEN D INTERACTION 71 Par ailleurs les quations classiques de Newton Lorentz d crivent la dynamique de chaque particule de masse ma sous l effet des forces lectriques et magn tiques exerc es par les champs dVa gt Man dalE ra t t va x B ra t t 2 16 Lorqu on a un syst me isol de particules charg es en interactions l ensemble des quations 2 12 2 15 et 2 16 constitue un syst me ferm d quations coupl es Les champs d pendent du mouvement des particules et le mouvement des particules d pend en retour des champs partir de ces quations on peut obtenir la totalit des r sultats de l lectrodynamique classique th orie dans laquelle ni les champs ni les mouvements des particules ne sont quantifi s Nous verrons au chapitre 5 comment il est possible de quantifier un tel probl me et d obtenir ainsi l lectrodynamique quantique th orie dans laquelle les champs et les mouvements des particules sont quantifi s Il existe n anmoins des situations plus simples dans lequel les
127. la fibre pr sentent un gain optique allant jusqu 10 la longueur d onde de 1 5um L utilisation d impulsions solitons qui pr sentent l avantage de ne pas s largir lors qu elles se propagent La tendance l largissement par dispersion chromatique est en effet contrebalanc e par l effet non lin aire d automodulation de phase voir Compl ment 3F 8Dans l tat actuel de la technologie les impulsions de codage n ont pas une dur e At suffisamment br ve et une largeur spectrale Av suffisamment faible pour atteindre la limite de Fourier AvAt x 1 3D 5 S PARATION ISOTOPIQUE PAR LASER 311 D une mani re plus g n rale tous les d veloppements r cents de l optique non lin aire et de l optique quantique voir Compl ments 3F 3G 6 1 et Chapitre 5 trouvent des applications naturelles dans le domaine des t l communications optiques De nombreux laboratoires de recherche dans le monde consacrent d importants efforts l tude de ces applications On a annonc en 1999 des d bits de 1 Terahertz 10 bits s sur une distance de 1000 km On se rapproche ainsi de la limite th orique de l ordre de la fr quence de la porteuse 2 x 10 Hz 3D 4 4 Vers l ordinateur optique Nous venons de voir que le laser apporte des solutions int ressantes aux probl mes de stockage et de transmission de l information On peut alors se poser la question du traitement optique de l information
128. laser et inversion de population Le raisonnement du paragraphe 2 5 2 se g n ralise la situation du paragraphe 2 5 3 dans le cadre de l approximation de l enveloppe lentement variable si le param tre de saturation n est pas petit devant 1 On constate sur l expression 2 148 que la partie imaginaire y de la susceptibilit prend des valeurs n gatives si M gt Na On aura alors une amplification de la lumi re par effet laser La situation o un niveau d nergie lev e est plus peupl qu un niveau d nergie moins lev e est manifestement hors d quilibre thermodynamique Pour cette raison on dit qu il y a inversion de population En raisonnant comme au paragraphe 2 5 2 on peut d finir le gain par unit de longueur 1dI w M N g E E N E 2 14 TU d aN 1 5 Re o on a introduit le gain non satur l s amp 1 0 o 2y Vo Na 0 2 150 c Ki N Ces formules montrent clairement que le gain laser est li l inversion de population De plus elles font appara tre le ph nom ne de saturation du gain le gain d cro t vers 0 lorsque l intensit du rayonnement d cro t Ces r sultats peuvent manifestement s interpr ter en consid rant la comp tition entre l mission induite qui permet l amplification et l absorption qui s y oppose Le premier ph nom ne est li la population du niveau b tandis que le deuxi me est li celle du niveau a Nous allons maintenant d velop
129. le concept de photon est une commodit pas une n cessit Remarque L approximation quasi r sonnante implique en plus de la condition 1 43 ou 1 46 que Wy fw soit tr s petit devant 1 ce qui est g n ralement bien v rifi dans le domaine optique En revanche pour les champs ayant une fr quence w beaucoup plus petite domaine des champs radiofr quence o w 2r est de l ordre de 10 Hz il est possible d atteindre des intensit s pour lesquelles Wp w est voisin de 1 et parfois sup rieur Dans ces conditions il n est plus possible de n gliger le terme anti r sonnant Sa contribution premi re est de d placer la position du centre de la r sonance d une quantit de l ordre de W2 R w effet Bloch Siegert 10Voir par exemple CDG 2 Compl ment Av 1 2 TRANSITION ENTRE NIVEAUX DISCRETS 29 1 2 5 Comparaison avec la solution exacte dans le cas d un sys t me deux niveaux oscillations de Rabi Il peut tre int ressant de comparer la solution perturbative au premier ordre du paragraphe 1 2 4 avec une solution exacte tous les ordres Cette solution exacte existe pour le syst me quantique le plus simple en l occurrence le syst me deux niveaux soumis une interaction constante appliqu e brusquement partir de t 0 a Quelques formules utiles Consid rons un hamiltonien o d fini sur un espace de Hilbert de dimension 2 qui a pour tats propres les tats a et b
130. lesquels AE varie de 0 320 meV Une ligne continue s pare deux parties du graphe Au dessus de cette ligne partie incolore le puits quantique est suffisamment large pour accueillir deux niveaux quantiques Les deux niveaux sont localis s c est dire que leurs fonctions d onde leur probabilit de pr sence sont non nulles seulement pr s du puits Les lectrons sur ces COMPL MENT 2E 203 niveaux sont pi g s et ne peuvent conduire l lectricit Une transition optique entre ces deux niveaux est dite de type li li et ne peut donner lieu de la photoconduction En dessous de la ligne continue partie verte le puits quantique est trop troit pour accueillir deux niveaux quantiques les seuls tats excit s accessibles une excitation optique sont ceux du continuum d nergie tats d localis s Les lectrons dans ce continuum sont libres de se d placer dans la structure Cette transition optique est dite de type li libre La ligne continue entre ces deux r gions repr sente les couples largeur de puits composition x pour lesquels le niveau Es est en r sonance avec le bas de la bande de conduction de la barri re il s agit d un tat quasi li ez INTERSOUSBANDE ei INTERBANDE hh hh FIG 2E 2 Transition interbande et transitions intersousbande dans les puits quantiques On voit qu en faisant varier les param tres paisseur du puits d et composition x dans des limites m tallurgiques
131. nul entre deux tats l hamiltonien d interaction dipolaire lectrique ne peut provoquer de transition entre les deux tats Ceci est le cas si les deux tats atomiques consid r s ont la m me parit puisque l op rateur dipolaire lectrique est impair c est dire qu il est transform en son oppos dans une sym trie par rapport l origine Compl ment 2A Cette situation se rencontre par exemple lorsqu on consid re deux sous niveaux hyperfins d un m me niveau atomique qui ont les m mes nombres quantiques principal et azimuthal n et l Or on sait qu il existe pourtant des transitions tombant dans la bande des radiofr quences ou des hyperfr quences entre de tels niveaux Citons par exemple la raie 1420 MHz de l hydrog ne raie de 21 cm entre les sous niveaux F 0 et F 1 du niveau fondamental importante en radio astronomie ou encore la transition 9192 MHz entre les sous niveaux F 3 et F 4 du niveau fondamental du c sium 133 transition d horloge qui sert d finir la seconde Pour trouver le terme d interaction responsable des telles transitions il faut pousser le d veloppement multipolaire l ordre suivant et aussi tenir compte du couplage entre le champ lectromagn tique incident et les moments magn tiques de spin des particules composant l atome On obtient alors un terme d interaction qui s interpr te naturellement comme le couplage dipolaire magn tique entre le c
132. objet dont on veut d terminer la distance figure 3D 5 a On peut aussi utiliser un faisceau laser focalis sur l objet mesurer On d tecte la lumi re r trodiffus e qui passe par un maximum lorsque l objet est exactement dans le plan focal de la lentille figure 3D 5 b Ce type d appareillage pr sente l avantage d tre simple rapide et de ne pas n cessiter de contacts avec l objet vitant ainsi toute d formation ou contrainte Pour des distances plus importantes de l ordre du kilom tre on utilise couramment des m thodes de modulation Ce proc d sch matis sur la figure 3D 6 consiste diriger vers l objet le faisceau d un laser continu dont l intensit est modul e sinuso dalement et comparer les phases des modulations des faisceaux aller et retour Si l intensit 7 de l onde mise est de la forme I Io 1 a cos Qt 3D 4 le photod tecteur re oit un signal T gal 1 acosQ t 2L c 3D 5 o L est la distance mesurer Un comparateur de phase mesure la diff rence de phase Av entre les modulations de T et T Ay 2LQ c 2nr n nombre entier 3D 6 3Ces m thodes ne sont en d finitive qu une mesure du temps d aller retour de la lumi re Il s agit de versions modernes de la roue dent e de Foucault 3D 2 MESURES PAR LASER 297 I LASER re a l DETECTEUR LASER 4 F1G 3D 5 Mesure de distance par optique g
133. obtenons alors les deux quations suivantes relatives aux composantes en phase et en quadrature de ou encore aux parties r elle et imaginaire de l amplitude complexe 1J k2 1 LE y e 3 HA ut ae ue e u 1 u u u tata ET pen L quation 3B 16 est en chaque point z une quation aux valeurs propres analogue une quation de Schr dinger ind pendante du temps pour un oscillateur harmonique isotrope deux dimensions rappelons que u doit tre une fonction d croissante de x et de y Le r le de la fonction d onde est tenu par u et l nergie est proportionnelle kd y dz En appliquant les 2Cette composante E n est pas en toute rigueur nulle En effet l quation de Maxwell AE 0 entraine 0E 0z 0E 0x pour un champ dont la composante sur Oy est nulle Pour un champ de la forme 3B 1b E est environ wo fois plus petit que Ez 3B 3 MODES GAUSSIENS 269 r sultats bien connus de M canique Quantique nous trouvons que les solutions de 3B 16 sont donn es par des fonctions de la forme 3B 15 o w z est d fini par la relation 1 k 1 dE 3B 18 wt 4R De mani re analogue au r sultat quantique la valeur propre de l quation de Schr dinger associ e Unm est proponionnelle n 1 2 m 1 2 On en d duit que la phase Ynm associ e Unm V rife l quation ku nn 1 B 1 Sr n m 3B 19 En utilisant 3B 18 ainsi que l quation
134. on peut crire dN Na A STnot es F Pn dz 577 01 Ilphot 2 172 2 5 AMPLIFICATION LASER 121 d o la relation remarquable de simplicit all hot Na T b a 5 He 2 173a que l on crit habituellement en introduisant la densit na N V des atomes absorbants dIl ho Te 0q Na Tphot 2 173b dz abs Si on a uniquement des absorbeurs avec une densit n uniforme on retrouve la d crois sance exponentielle habituelle loi de Beer Lambert caract ris e par la longueur de d croissance 1 e 1 OLNa L 2 174 Dans le cas o on a uniquement des atomes dans l tat sup rieur b un raisonnement analogue conduit dIlphot M gt gt qz l OL phot OL Ny I phot 2 175 avec n N V la densit volumique des atomes dans l tat b Malgr sa similarit avec le raisonnement relatif l absorption il faut se rendre compte que le raisonnement conduisant 2 175 implique une hypoth se forte savoir que les photons mis par mission stimul e viennent se rajouter au faisceau incident avec la m me direction de propagation la m me fr quence la m me polarisation et la m me phase que les photons incidents Cette propri t des photons obtenus par mission stimul e est un r sultat fondamental du traitement compl tement quantique de l interaction mati re rayonnement Ici nous consid rerons qu elle est justifi e par le fait que nous obtenons un r
135. optique non lin aire ii les situations o on a besoin d une impulsion unique par exemple les mesures de distance d objets susceptibles de diffuser la lumi re laser dispositif LIDAR ou radar lumineux on peut ainsi d terminer la distance terre lune 10 centim tres pr s ou valuer la d rive des continents par des mesures de temps d aller retour de la lumi re via un satellite voir B 2 du compl ment 3D 3 5 sp cificit de la lumi re laser Au d but des ann es 2000 un laser argon ionis de 15 watts co tait environ 50 000 euros et une lampe incandescence de 150 watts un euro Quel est donc l avantage de la lumi re laser C est que l nergie de la lumi re laser peut tre concentr e sur des domaines extr mement troits de longueur d onde d espace de temps On obtient ainsi des densit s d nergie incomparablement plus lev es qu partir d une source ordinaire Pour comprendre pleinement la diff rence entre la lumi re laser et la lumi re mise par une source classique incoh rente lampe incandescence soleil lampe d charge il faut revenir aux lois de la photom trie classique voir le compl ment 3G Loin d tre circonstancielles ces lois qui s appliquent toute source incoh rente et en particulier au rayonnement thermique d coulent des deux principes de la thermodynamique Le r sultat essentiel reli la non d croissance de l entropie d un sys
136. ouvert Pour finir nous consid rons le cas d un syst me ouvert ce qui permet de faire le lien avec le mod le simple du chapitre 2 qui avait la particularit de pouvoir tre trait sans le formalisme de la matrice densit Ce cas est particuli rement important car il constitue une description r aliste de nombreuses transitions utilis es dans les amplificateurs laser Nous crirons les termes de pompage et de relaxation en supposant que la retomb e du niveau b au niveau a est n gligeable T _ lt Te de sorte que nous prendrons Tea nul dans l quation 2B 8b En utilisant les quations C 3 et C 4 nous trouvons les quations de Bloch pour un syst me ouvert d ho 7 r i e Oa eo Dbw Ap dOaa Q 3 ue ets eo Laaa Aa 2B 49a dt 2 dO ab Q iW00 0 ie ous Oaa YCab 2B 50 dt Tout comme dans le cas pr c dent ce syst me se r sout en faisant le changement de variable C 7 de fa on rendre le deuxi me membre des quations ind pendant du temps Il est commode d introduire les quantit s p et pa qui dans le cas du pompage faible lt Ty Aa K Ta Sinterpr tent comme les probabilit s stationnaires de trouver l atome dans les niveaux b et a en absence de champ incident et Pa 2B 51 T gt 2B 51 Pb AE Q 12L Allen et J H Eberly Optical Resonance and Two Level Atoms Wiley Interscience New York 1975 166 COMPL
137. p E valait 1 2 Dans le cas du quasi continuum une dimension introduit au paragraphe 1 3 2 les niveaux d nergie sont donn s par la formule 1 66 et la densit p E vaut E EG 1 88 Par ailleurs dans un mod le r aliste l l ment de matrice n est pas n cessairement constant Nous supposerons n anmoins que k W i est une fonction lentement variable de k p E 1 87 b R gle d or de Fermi pour un continuum non d g n r Supposons le syst me initialement dans le niveau i On peut g n raliser les r sultats du paragraphe 1 3 3 et calculer par la th orie des perturbations au premier ordre la pro babilit P T de trouver le syst me dans l tat i pour des temps T suffisamment courts On trouve une d pendance lin aire en T P T 1 TIT 1 89 La probabilit de transition par unit de temps I est donn e par la formule importante suivante souvent utilis e dans les applications de la m canique quantique et qualifi e par Fermi de r gle d or de la physique quantique d o son nom consacr de r gle d or de Fermi 27 l z Wal PEs E 1 90 Dans cette formule f est le niveau du quasi continuum qui a m me nergie que l tat discret i et Wy et p E sont respectivement l l ment de matrice de couplage et la densit d tats calcul s pour cet tat On montre dans le compl ment 1A de ce chapitre comment on peut appliquer cette formule un
138. perturbative nous tudions le tr s important ph nom ne de l oscillation de Rabi Nous traitons galement dans cette partie les transitions multiphotoniques et les d placements lumineux Dans la partie 2 4 nous reprenons la question d une transition quasi r sonnante entre deux niveaux en introduisant ph nom nologiquement la dur e de vie des niveaux concern s Afin de conserver un traitement simple nous nous limitons au cas particulier d une transition entre deux niveaux ayant des dur es de vie gales Nous obtenons alors une expression r aliste de la r ponse d une assembl e d atomes soumis une onde lumineuse r ponse caract ris e par une susceptibilit di lectrique Dans la par tie 2 5 nous exploitons ce mod le pour montrer comment un tel milieu convenablement excit peut donner une amplification de l onde incidente on a alors un milieu susceptible de donner lieu l amplification laser Ce chapitre est suivi de cinq compl ments Le compl ment 2A est consacr au pompage optique m thode invent e et d velopp e par A Kastler et J Brossel gr ce laquelle il est possible de pr parer une assembl e d atomes dans des sous niveaux Zeeman pr cis en utilisant la s lectivit des transitions provoqu es par de la lumi re polaris e r gles de s lection Le com pl ment 2B pr sente le formalisme de la matrice densit qui permet d crire les quations de Bloch optiques gr ce auxquelles il
139. peuvent donc tre facilement adapt s aux cavit s en anneau en faisant R 1 En particulier les ph nom nes de r sonance sont identiques et se produisent pour les m mes valeurs de la pulsation donn es par l quation 3A 10 3A 16 En ce qui concerne le champ r fl chi nous trouvons en combinant les quations 3A 14b et 3A 14c avec 3A 15 Er 1 riexp ikL kL A 1 Ei 1 r exp ik L PUS PA ce qui implique que le le coefficient de r flexion E E est gal 1 quelque soit la longueur de la cavit Dans la cavit en anneau de la figure 3A 2 toute l intensit incidente se retrouve n cessairement en l absence de pertes dans la cavit dans le faisceau r fl chi Ceci ne veut pas dire pour autant que les r sonances de la cavit ne se manifestent pas sur le champ r fl chi mais les r sonances apparaissent uniquement sur sa phase 3A 4 Finesse Facteur de qualit Il est int ressant et traditionnel de transformer le d nominateur r sonnant D des formules 3A 9 et 3A 12 de la fa on suivante L D 1 RiR 2V Rio cos kL 1 Ri R 2y R1Ro 4y Rio sin k7 3A 18 L 1 y RiR msin 45 o nous avons introduit le param tre m 4AVRiR mer nnno 3A 19 1 V R Ro La valeur maximale de 1 D est d autant plus grande que R R est plus proche de 1 Par ailleurs 1 D varie avec le d phasage kL et est maximum lorsque la condition de r
140. photons est quasi r sonnante on peut donner un traitement plus exact de l volution du syst me Pour rendre les notations plus claires nous noterons a et c les deux niveaux connect s par la transition deux photons wo Ee E h voisin de 2w et j les niveaux relais dont nous supposerons qu aucun n est r sonnant Nous d veloppons t sur a c et sur les tats j de fa on analogue 2 72 en introduisant des coefficients Ya t Ye t y t L quation de Schr dinger s crit alors sous une forme analogue 2 73 On peut ainsi calculer les y sous forme perturbative aucun niveau j n tant r sonnant En supposant que l onde est branch e lentement on se d barrasse des constantes d int gration cf 1 2 6 du chapitre 1 et on trouve SE o i Ej Ea w t h _ gt i E Ea w t h 2 91 termes analogues avec a c Si on reporte ces expressions dans les quations d volution de yalt et ye t on trouve que tout se passe comme si on avait un syst me deux niveaux a c soumis un hamiltonien effectif 1 d l ments de matrice non diagonaux e Wej Wija i 2w w nQ i 2w w n es A E m hu te Es Ho FE j ac et d l ments de matrice diagonaux 1 Wa A eff NET aaa a A WwW 2 2 2 92b FF 4 Ee Ej w 2 Ec Ej w 2025 1 Wal A eff eo eral s N AA KAEA A E WE gt X A 2 92 4 4 Za Ea Ej w
141. pour les corps opaques comme les m taux qui absorbent le rayonnement sur une paisseur de moins d un microm tre Il joue par contre un r le crucial dans l interaction avec les mat riaux biologiques pour lesquels la profondeur de p n tration peut tre de l ordre du centim tre Ces consid rations ne sont en fait valables que pour la phase initiale d chauffement car le couplage au rayonnement varie en fonction de l tat atteint par le mat riau Lorsque celui ci se trouve au voisinage de son point de fusion il se comporte approximativement comme un corps noir ayant un coefficient d absorption proche de 1 Le transfert nerg tique devient alors beaucoup plus efficace et ind pendant du mat riau Lorsque la surface du corps est compl tement ionis e c est le plasma r sultant en expansion au dessus de la r gion de focalisation qui va absorber le rayonnement incident Les charges lib r es en particulier les lectrons vont se mettre osciller sous l effet du champ lectromagn tique de l onde laser et rayonner leur tour Ce processus peut conduire une r flexion totale du rayonnement laser si la densit lectronique N d passe une valeur seuil N pour laquelle la fr quence propre d oscillation plasma w Nq meo est gale la fr quence du laser Cette densit vaut donc N 4r egmc q X Il faut donc viter tout prix la formation de cette barri re plasma qui diminue fortement l interac
142. q 1 A 1 P no zoe 2D 35 4 Areo c aome 137 04 On constate que la section efficace de photoionisation est nettement plus petite que la surface ras d un disque de rayon gal au rayon de Bohr Remarques i Si l atome est initialement dans un tat li excit on peut utiliser expression 2D 18b de la transform e de Fourier de cet tat pour obtenir 1 Oni 0 73 7n 1 1 0 2D 36 On constate donc que lorsque le niveau de d part est plus lev c est dire que l lectron est moins li la section efficace de photoionisation d cro t Elle tend vers 0 la limite n c est dire lorsque l lectron est de moins en moins li Ce comportement paradoxal peut tre interpr t en remarquant que la collision in lastique photon lectron libre lectron libre est impossible car une collision entre une particule massive et une particule de masse nulle ne peut conserver la fois l nergie et l impulsion relativistes En revanche si elle met en jeu un troisi me corps susceptible d emporter l impulsion n cessaire le noyau dans le cas d un lectron li la collision photon lectron noyau lectron noyau est possible ii Ayant obtenu des valeurs num riques nous pouvons revenir sur la question de la validit du traitement du B Nous savons que l approximation r sonnante est valable si t gt w 2D 37 Par ailleurs la condition de probabilit de photoionisation p
143. qu en rappelant quelques notions de photom trie que nous pr sentons dans la partie 1 de ce compl ment Nous montrons dans la partie 2 qu elles limitent dramatiquement la densit d nergie que l on peut obtenir avec une source classique la diff rence de la lumi re laser partie 3 Loin d tre circonstancielles les lois de la photom trie des sources classiques sont de nature fondamentale puisqu on peut les d duire des principes de la thermodynamique Une autre fa on de relier ces propri t s de la lumi re aux concepts fondamentaux de la physique est de les examiner dans le cadre de la physique statistique des photons comme nous le verrons dans les parties 4 et 5 3G 1 Conservation de la luminance pour une source classique incoh rente 3G 1 1 tendue g om trique luminance Une source incoh rente est constitu e d un grand nombre de sources l mentaires ind pendantes mettant des ondes lectromagn tiques ayant des phases al atoires non corr l es Elle met de la lumi re dans toutes les directions Un faisceau lumineux issu de cette source peut tre d compos en pinceaux l mentaires la lumi re tant incoh rente la puissance totale transport e par le faisceau est la somme des puissances transport es par les pinceaux l mentaires Un pinceau l mentaire est d fini par l l ment de source dS sur lequel il s appuie et Voir par exemple Reiff 342 COMPL MENT 3G FIG 3G 1 Pin
144. quasi continuum On rencontre souvent des probl mes plus complexes o l on a besoin d autres param tres que nous regroupons sous la notation condens e 8 pour d finir les tats du quasi continuum not s 5 Dans l exemple de l autoionisation introduit dans le para graphe 1 3 1 b le quasi continuum est celui d un lectron libre enferm dans une bo te de dimensions grandes devant celles de l atome Un tat du quasi continuum 0 p est par exemple d fini par la donn e de l nergie cin tique de l lectron mais aussi par les deux angles 0 4 pr cisant la direction dans laquelle se d place l lectron ject f Cherchons alors la probabilit diff rentielle dP T df de trouver le syst me dans un tat du continuum E 5 dont le param tre 8 est compris entre B et 5 45 Un raisonnement analogue celui de la remarque pr c dente permet de montrer que celle ci cro t lin aire ment avec T On peut donc d finir une probabilit de transition diff rentielle par unit de temps dr 1dP T 2 dB T dB R La probabilit P T de trouver le syst me dans l tat initial l instant T a toujours la d pendance lin aire de la formule 1 89 avec I donn par dT e EE Jo 1 94 Es BIW i lo 8 E E 1 93 Cette formule s interpr te facilement on obtient l en sommant les probabilit s sur toutes les transitions possibles puisqu elles aboutissent des tats finaux distincts
145. quence vue par l atome est d plac e par l effet Doppler Awp K Vat Ce ph nom ne joue un r le important en spectroscopie cf Compl ment 3E 2 1 2 mission induite Si nous consid rons maintenant un atome dans le niveau excit b irradi par une onde lectromagn tique de fr quence w il peut se d sexciter vers le niveau a sous l effet de londe qui sera alors amplifi e Figure 2 2 Ce processus appel mission induite 2 1 PROCESSUS D INTERACTION ATOME CHAMP 63 ou mission stimul e a t introduit par Einstein en 1916 pour des raisons th oriques Comme l absorption dont il est le sym trique ce processus n est important que si londe est quasi r sonnante avec la fr quence atomique w ce qui sugg re ici l image de l mission induite d un photon d nergie hw venant s ajouter londe incidente Pour rendre compte du fait que le rayonnement incident voit son amplitude augment e on peut dire que le rayonnement induit poss de la m me fr quence la m me direction de propagation et une phase bien d finie par rapport au rayonnement incident avec lequel il interf re constructivement E 4 Est oib pa o 0 AAA AJOUT re E N ja FIG 2 2 mission induite L atome se d sexcite sous l effet de l onde incidente dont l ampli tude augmente L effet n est important que si la fr quence de l onde incidente est quasi r sonnante avec la fr quence
146. r sonnante lin aire monolithique longueur typique 400um Enfin un 3 2 DESCRIPTION DES MILIEUX AMPLIFICATEURS 231 confinement lat ral largeur de l ordre de 10um permet d abaisser encore le courant n cessaire l obtention de l inversion de population Fig 3 15 Le rendement de ces lasers tant typiquement de l ordre de 1 Watt de puissance lumineuse mise pour un 1 Amp re de courant on dispose de lasers commerciaux aliment s par des courants de l ordre de l amp re fournissant en continu quelques centaines de milliwatts temp rature ambiante at UT PA electrodes l su bag faisceau de fome elliptique FIG 3 16 L mission du laser semi conducteur se fait par les facettes dont les dimensions sont de l ordre de 1um x 5um Le faisceau mis est elliptique avec une divergence verticale de l ordre de 30 et une divergence lat rale inf rieure 10 Du fait de la diffraction le faisceau obtenu est divergent et elliptique voir figure 3 16 on doit le remettre en forme avec une optique labor e Ces lasers n en restent pas moins extraordi nairement int ressants par leur simplicit de mise en uvre et leur rendement sup rieur 50 Les progr s dans les performances sont constants avec les tendances suivantes raccourcissement des longueurs d onde de l infrarouge vers le bleu gr ce des compositions judicieuses des semi conducteurs augmentation d
147. raisonnables on peut synth tiser un mat riau artificiel pr sentant des nergies et des types li li li libre de transitions optiques quasiment arbitraires entre 5 et 50 um La meilleur situation pour un d tecteur infrarouge est celle de la transition li e quasili e on profite de la forte force d oscillateur due au caract re quasiment li du niveau excit d o une forte absorption et en m me temps de la d localisation de ce niveau d o la possibilit de photoconduction La figure 2E 4 repr sente le sch ma de principe d un d tecteur multipuits quantique MPQ La structure est faite d un em pilement de couches de GaAs prises en sandwich entre des couches barri re d AlGaAs typiquement entre 20 et 50 couches Le couple d x est choisi de telle sorte que la transition optique soit du type li quasili pour la longueur d onde d tecter Des couches de GaAs tr s fortement dop es assurent de chaque c t de la structure des contacts ohmiques qui permettront d injecter des lectrons et donc de mesurer le photocourant Les puits quantiques sont dop s lors de la croissance temp rature suffisamment basse ces lec trons issus du dopage sont pi g s dans les puits quantiques et la structure est id alement isolante Sous clairement les lectrons sont excit s dans la bande de conduction de la 204 COMPL MENT 2E Al Ga AS GaAs FIG 2E 3 Diff rence d nergie entre les deux pre
148. recours un quasi continuum Remarque Deux conditions doivent tre satisfaites pour pouvoir utiliser les formules 1 72 et 1 73 Elles imposent deux limites sup rieures au temps d interaction T T K 2r je et T amp T e 2rw La premi re est n cessaire pour pouvoir remplacer la somme par une int grale dans 1 69 et elle peut toujours tre satisfaite en prenant L suffisamment grand La seconde assure la validit du calcul de perturbation au premier ordre P T 1 D autre part dans les cas r alistes le quasi continuum ne s tend pas sur un domaine d nergie infini mais a une largeur A cf compl ment 1B Il faut alors rajouter une condition suppl mentaire sur T n cessaire pour donner la valeur 1 l int grale f dE r E figurant dans 1 71 calcul e maintenant sur un domaine d int gration de largeur A T5 h A Ces conditions sont compatibles a condition que F A b Comportement aux temps longs d croissance exponentielle Pour tudier l volution sur des temps pouvant tre longs devant r il faut renoncer l approche perturbative La m thode de r solution de ce type de probl me a t introduite en 1930 par Weisskopiff et Wigner Ce paragraphe en donne une pr sentation simplifi e Le vecteur d tat du syst me donn par 1 12 s crit dans notre cas oo WEA DU week 1 74 k c et l quation de Schr dinger 1 15 est quivalente au syst me suivant d
149. rents d volution temporelle selon que le niveau discret initial est coupl un niveau final isol ou un ensemble de niveaux tr s serr s formant un quasi continuum Nous allons dans ce compl ment pr ciser dans le cadre d un mod le simple comment s effectue la transition entre ces r gimes extr mes en tudiant le comportement d un niveau discret i coupl un quasi continuum ayant une largeur variable A 1B 1 Pr sentation du mod le Nous reprenons le mod le simplifi de quasi continuum introduit dans le paragraphe 1 3 2 b Il s agit d tats k quidistants d nergie Ep ke avec k entier variant de oo 00 nous supposons maintenant que les l ments de matrice de l hamiltonien W qui couple l tat discret au continuum ne sont pas constants Ils sont gaux PE w 1 1B 1 kIW1k 0 GED illi 0 Le carr de l l ment de matrice de couplage a donc une d pendance lorentzienne en fonction de l nergie Vu du niveau i initial le quasi continuum a ainsi une largeur en nergie de l ordre de A puisque les niveaux k d nergie notablement sup rieure en valeur absolue cette valeur ne sont que tr s faiblement coupl s l tat initial Nous supposons de plus que w et A sont grands devant L int r t de la forme 1B 1 du couplage est qu il permet la r solution des quations d volution pour toutes les valeurs de la largeur du continuum A 56
150. rons en effet un mode particulier de fr quence wp dont l amplitude est modul e la fr quence A E E l mcos At Le champ lectrique correspondant s crit E t Eo 1 m cos At cos wyt pk soit encore en transformant cette expression pour faire appara tre les fr quences wp A et wk A des deux modes voisins du mode wp E t Eo cos wxt x Z cos wk Ajt x T cos wp At px 3 47 30Pour cela on utilise par exemple un modulateur lectrooptique ou acoustooptique 248 CHAPITRE 3 LES LASERS La modulation du mode k cr e des composantes aux fr quences de modes k 1 et k 1 Si certaines conditions sont r unies ces composantes qui sont en phase avec le mode k vont verrouiller la phase des modes k 1 et k 1 sur celle du mode k Le processus s tend de proche en proche tous les modes qui sont ainsi synchronis s Remarques i Une analyse temporelle peut tre substitu e cette analyse spectrale Consid rons une impulsion circulant dans le laser le gain pour cette impulsion sera maximum si elle passe dans le modulateur au moment o celui ci a le minimum de pertes La p riode de modulation doit donc tre exactement gale la p riode de rotation de l impulsion dans la cavit donn par la condition 3 43 ii Le r le du modulateur n est pas totalement identique selon que l amplificateur a une courbe de gain pr sentant un largissement homog ne ou
151. s appelle une tran sition m On la repr sente souvent par une ligne verticale dans un diagramme o les sous niveaux Zeeman de m me nombre quantique m sont dessin s sur une m me verti cale Figure 2A 1 Remarques i Les nombres quantiques magn tiques m et mx caract risent la composante L du moment cin tique atomique par rapport l axe Oz de quantification La r gle de s lection 2A 17 ne s applique que si l axe de quantification est pris suivant la polarisation de la lumi re Si la polarisation tait suivant un axe O la r gle de s lection s appliquerait entre sous niveaux Zeeman relatifs laxe OE c est dire entre tats propres de l op rateur Le L es 2A 18 o eg est le vecteur unitaire de O 3On appelle niveau un ensemble d tats de m me nergie Si n et l sont fix s les 21 1 tats n l m avec l lt m lt l ont la m me nergie et on les appelle sous niveaux Zeeman Ce nom rappelle que leur d g n rescence en nergie est lev e sous l action d un champ magn tique effet Zeeman 2A 1 R GLES DE S LECTION ET POLARISATION 129 ii Une onde polaris e lin airement suivant Oz se propage n cessairement suivant un axe perpendiculaire Oz ii Pour un atome plusieurs lectrons les tats atomiques sont caract ris s par des nombres quantiques J et my associ s aux valeurs propres des op rateurs de moment ci n tique total J et J Il est possible de m
152. s d tats une dimension On se fixe un intervalle de vecteurs d onde dk Les tats sont s par s en vecteur d onde de m L Sans tenir compte des probl mes de spin le nombre d tats dans cet intervalle est donc clairement L dn dk 2E 6 T La densit d tat dn dk est alors dn L k 2E 7 PE 2 2F 7 Dans ce m me intervalle comme l indique la diff rentiation de 2E 3 l nergie a vari de 1 V2m dE 2E dk de 2E 8 La densit nerg tique d tats dn dE est donc finalement L 2m 1 PE 2E 9 2x7 h VE On constate que lorsque L tend vers l infini p E tend vers l infini Ceci est normal puisqu on entasse de plus en plus d tats dans le m me espace nerg tique Nous calculons maintenant la probabilit de transition entre l tat quantifi initial i et le continuum sous l effet d une perturbation dipolaire sinuso dale W 2 t qFz cos wt 2E 10 D apr s la r gle d or de Fermi la probabilit de transition s crit es Gie w je Pplfu E E 2E 11 L l ment de transition z n est non nul que pour les fonctions d ondes finales impaires et est donn par d 2 2 lasl Kalza i Sno s z sin kyz 2d2 2E 12 soit Izisl 4VLP E 2E 13 COMPL MENT 2E 207 o f E est la partie sans dimension de l int grale dans l quation 2E 11 soit T E kd 4k sd ksd Er m2 Pk s
153. sans doute la plus pr cise l lectrodynamique quantique Ce bref r sum montre clairement que l atome d hydrog ne a jou un r le essentiel dans le d veloppement de la physique Tout progr s exp rimental permettant d am liorer la pr cision avec laquelle sont connus les niveaux de l atome d hydrog ne est imm diatement susceptible d tre confront avec la th orie et ainsi la confirmer un degr de pr cision sup rieure ou comme cela a t plusieurs fois le cas dans le pass de lui imposer une brutale remise en question cet gard les exp riences de spectroscopie non lin aire sans largissement Doppler men es depuis 1970 sur l hydrog ne pr sentent une grande importance elles ont en effet permis d am liorer la pr cision avec laquelle est connu le spectre de l atome d hydrog ne dans le domaine optique par plus de trois ordres de Pour plus de d tails sur les transitions plusieurs photons et sur l limination de l largissement Doppler dans ces processus on pourra consulter le chapitre Multiphoton Resonant Processes in Atoms par G Grynberg B Cagnac et F Biraben dans Coherent Non Linear Optics Recent Advances dit par M S Feld et V S Letokhov Springer Verlag Berlin 1980 330 COMPL MENT 3E grandeur Notons galement que la d termination du spectre de l antihydrog ne form d un positron et d un antiproton permettrait de tester avec une grande pr cisi
154. seulement quelques grandeurs moyennes comme J NO mare 2A 58 h 2A 3 POMPAGE OPTIQUE 147 qui est appel e orientation ou encore f2 1442 CE A NO mtm Le at 2A 59 qui est appel e alignement En l absence de pompage optique quand tous les sous niveaux Zeeman sont galement peu pl s l orientation aussi bien que l alignement sont nuls le syt me a une sym trie sph rique L effet du pompage optique est de rendre ce type de grandeur non nulle on brise alors la sym trie sph rique COMPL MENT 2B 149 Compl ment 2B Matrice densit et quations de Bloch optiques Les d veloppements du chapitre 2 ainsi que des chapitres ult rieurs reposent sur le formalisme du vecteur d tat et l quation de Schr dinger Une telle approche est mal adapt e aux situations o le couplage entre l atome et son environnement collisions avec d autres atomes mission spontan e de photons dans des modes initialement vides ne peut pas tre n glig Si on ne s int resse pas aux corr lations apparaissant entre l atome et son environnement par suite de ces interactions mais seulement l volution de l atome il existe un formalisme quantique bien adapt celui de la matrice densit Ce formalisme permet de d crire chaque instant l tat de l atome dans une situation o il n existe pas de vecteur d tat pour l atome seul Dans la partie 2B 1 nous pr sentons succinc
155. sultat identique celui du traitement semi classique pr sent plus haut Dans le cas g n ral d un milieu laser o les densit s volumiques des atomes dans l tat inf rieur a et l tat sup rieur b sont respectivement na et ny on a l quation cin tique globale dIlphot q 7 nb Na 02 Hprot 2 176a z ou encore en multipliant par fw dII Ti q T T 2 176b z Le gain par unit de longueur est donc O 1d PT Nne Na OL 2 177 122 CHAPITRE 2 ATOMES EN INTERACTION AVEC UNE ONDE absorption mission stimul e a FIG 2 19 Description par quations cin tiques des processus d absorption et d mis sion stimul e Dans la tranche d paisseur dz le faisceau de section S interagit avec Na S dz atomes dans l tat a et ny S dz dans l tat b Pour chaque atome dans l tat a respective ment b le taux d absorption respectivement d mission stimul e est ozr Hphot O Hphot est le nombre de photons par unit de temps et de surface Les processus d absorption liminent les photons de faisceau tandis que les processus d mission stimul e rajoutent des photons au faisceau incident Cette formule g n ralise la formule 2 149 que nous avions obtenu dans le cadre de notre mod le simple C est une formule fondamentale dans la mod lisation des lasers En effet pour chaque transition laser on trouve des donn es sur la section efficace r sonance oz w9 a
156. temporelle o oo LRU AO nie Ah 56 2 Atomes en interaction avec une onde 59 2 1 Processus d interaction atome champ aoaaa aa a a isa 61 PAL PABSOEPHON aare Bainte p a aaa aa a E a E aA Y 61 2 1 2 mission induite oo aaa mNaTiN Nine 62 2 1 3 mission spontan e ooo s SM oO DE 64 10 TABLE DES MATI RES 2 1 4 Diffusion lastique sie NS NE VINS SSH ISSS LT US 65 2 1 5 Processus non lin aires SA 6 ave aaa D Lee rat HS 67 2 2 Hamiltonien d d interaction Fous aa dm ae Bd RUE M A ns LS 69 2 2 1 lectrodynamique classique quations de Maxwell Lorentz 69 2 2 2 Hamiltonien d une particule dans un champ lectromagn tique clas sique ER T TISURS 81 22000 l be Un ere ten ee RE pe 71 2 2 3 Hamiltonien d interaction en jauge de Coulomb 74 2 2 4 Hamiltonien dipolaire lectrique 77 2 2 5 Hamiltonien dipolaire magn tique 79 2 3 Transition entre deux niveaux atomiques 80 2 3 1 Probabilit de transition au premier ordre de la th orie des pertur BONSE SA nan sr ns Lu a a rs mine 81 2322 Os illation de Rabi Due het sas nn asset Eine et tete 86 2 3 3 Transitions multiphotoniques x d etre tiens AU 92 2 3 4 D placements lumineux sua m 2 ea ds ae dote ae 95 2 4 Absorption entre deux niveaux de dur e de vie finie 97 2 4 1 Pr sentation du mod le utilis 97 2 4 2
157. tend le cours que vous allez recevoir Elle consiste vous montrer que si l on veut comprendre en profondeur les ph nom nes afin de pouvoir ensuite devenir cr atif il ne faut pas tre dogmatique et savoir jongler avec des approches tr s diff rentes permettant de voir les ph nom nes sous des angles vari s de se les repr senter avec des images diverses de les traiter avec plusieurs formalismes Gilbert n avait pas son pareil pour sauter du mod le classique de l lectron li lastiquement au mod le compl tement quantique de l atome habill en passant par le mod le semi classique de l interaction lumi re mati re Il voulait faire partager aux polytechniciens cette exp rience intellec tuelle dont il pensait qu elle avait une valeur g n rale bien au del de notre discipline Son influence nous a marqu s si fortement que son esprit vit toujours au travers de ce cours Alain Aspect Septembre 2007 Mode d emploi Cet enseignement s inscrit naturellement dans le prolongement du cours de M canique Quantique et ce polycopi fera souvent r f rence au remarquable cours de Jean Louis Basdevant et Jean Dalibard d sign sous le signe BD Parmi les autres ouvrages de M canique Quantique nous citons sous le sigle CDL le livre de Claude Cohen Tannoudji Bernard Diu et Franck Lalo Le tome I de ce polycopi est le r sultat d un travail collectif de longue haleine o Gilbert Grynberg et Clau
158. tisation des nergies et des impulsions Au lieu de la condition physique associ e un v ritable puits de potentiel d r nulle sur les faces du cube on adoptera la condition aux limites p riodiques qui est quivalente mais qui conduit des calculs plus commodes pour la suite On crit donc Ve r Lez ver 2D 6 et de m me suivant les autres axes Les valeurs de k possibles sont alors 2 ke L Naer nyey nez 2D 7a avec Ng Ny Nz entiers relatifs 2D 7b On peut repr senter dans l espace des vecteurs d onde espace r ciproque les vecteurs d onde k donn s par la condition A 5 Leurs extr mit s forment un r seau cubique de pas 2r L Figure 2D 2 La proc dure de discr tisation ci dessus aboutit donc transformer le continuum des tats libres en quasi continuum les carts d nergie entre les tats tendent vers 0 quand la longueur L tend vers l infini En fait la grandeur L est arbitraire et les r sultats physiques ne doivent pas en d pendre 4Voir Compl ment 1A 4 2D 1 MOD LE UTILIS 191 FIG 2D 2 Repr sentation des vecteurs d onde des lectrons libres dans l espace r ciproque Compte tenu des conditions aux limites p riodiques p riode L leurs extr mit s forment un r seau cubique d ar te 2x L titre d exemple on a repr sent le vecteur d onde ke associ n 2 n 3 n 2 Ce vecteur d onde peut aussi tre rep r par son module k T
159. tre des comportements r sonnants particulier qui donnent des informations pr cises sur la structure de l tat excit en la valeur du facteur de Land Remarque 2A 3 Comme l effet Hanle la m thode de la double r sonance pr sente l avantage d tre quasiment insensible l effet Doppler d au mouvement des atomes En effet pour une onde radiofr quence dont la fr quence w 27 est typiquement de 100 MHz et un atome se d pla ant v 300 m s le d calage Doppler vaut Awp w V ce qui est n gligeable devant les structures tudier de quelques MHz Le m me calcul effectu pour une onde lumineuse donnerait un d calage Doppler typique de 500 MHz grand devant les carts entre sous niveaux Zeeman provoqu s par un champ de quelques milliteslas On comprend donc que le peuplement s lectif du niveau my 0 figure 2A 7 repose bien sur les r gles de s lection li es la polarisation de la lumi re excitatrice et non sur une r sonance en fr quence qui ne saurait discriminer entre les divers sous niveaux excit s dont l cartement est tr s inf rieur l largissement Doppler Pompage optique L id e de base du pompage optique imagin par Kastler en 1949 est d tendre aux niveaux fondamentaux l utilisation des r gles de s lection associ es la polarisation afin 140 COMPL MENT 2A de contr ler la distribution des population des divers sous niveaux fondamentaux Le nombre d applicatio
160. unit de temps est donc d 1 mro 20 L Q 2C 34 dt 3 c l En rempla ant ro par sa d finition Eq 2C 25b on trouve d qua L 2C 35 dt 12TE0c l La comparaison de cette formule et de l quation 2C 26 montre que les pertes par rayon nement de moment cin tique et d nergie sont dans un rapport constant dL 1dW d w dt 2C 36a Lorsque le mouvement de l lectron est totalement amorti l nergie W et le moment cin tique L du champ rayonn au cours du mouvement sont li s par la relation d duite de 2C 36a par int gration temporelle L 2C 36b W w Cette relation obtenue par un calcul purement classique est interpr table dans un cadre quantique si l tat initial du syst me est un atome excit unique l nergie totale rayonn e W est gale hw et donc le moment cin tique du photon o ainsi mis a une composante L le long de Oz gale Le m me raisonnement fait avec une rotation de l lectron dans le sens oppos o_ conduirait une galit analogue 2C 36b mais avec un signe oppos et donc un moment cin tique le long de Oz gal h pour un photon o_ 2C 5 Diffusion Rayleigh diffusion Thomson diffusion r sonnante Le mod le de l lectron lastiquement li se pr te tr s bien l tude de la diffusion d une onde lectromagn tique Il suffit en effet de d terminer le mouvement forc de l lectron sous l effet
161. volume L une dimension et L 3 dimensions de la portion d espace utilis e pour d finir le quasi continuum En raison de la sym trie sph rique du probl me la densit est dans ce cas particulier ind pendante des param tres suppl mentaires 0 et y et donc de la direction de propagation de l lectron Dans le cas g n ral la densit tats du quasi continuum est une fonction des variables suppl mentaires 8 d Comportement aux temps longs La solution non perturbative aux temps longs calcul e par la m thode de Wigner Weisskopff paragraphe 1 3 2 d se g n ralise un quasi continuum quelconque On ob tient une d croissance exponentielle de la population du niveau i formule 1 82 avec T donn maintenant par la formule 1 90 ou 1 94 Cette formule n est toutefois valable que si le continuum s tend sur un domaine d nergie suffisamment grand Plus pr cis ment AI tant la largeur du niveau initial induite par le couplage avec le continuum on aura une d croissance exponentielle de la probabilit lorsque la quantit W p E varie peu dans un intervalle de largeur Al autour de E Nous verrons dans le compl ment 1B ce qui peut se produire lorsque cette condition n est pas r alis e Remarque La distribution en nergie des tats finaux du processus est ici aussi donn e par une courbe lorentzienne de largeur AT I tant d termin par 1 90 ou 1 94 Toutefois en toute
162. wp cette expression co ncide avec le r sultat perturbatif 2 106b la population M cro t lin airement avec Q c est dire avec l intensit de londe lectromagn tique En revanche haute intensit la fraction d atomes dans le niveau sup rieur b cro t de moins en moins vite avec Q pour tendre vers la valeur asymptotique 1 2 On dit qu il y a saturation de l excitation Par ailleurs la formule 2 108 montre que la largeur de la r sonance augmente avec l intensit et devient 24 1 Q largissement par saturation L effet de saturation appara t de fa on particuli rement claire en introduisant le para m tre de saturation s qui pour une transition entre deux niveaux de m me dur e de vie DA s crit Qi z 2 109 s nT 2 109 La formule 2 108 peut alors se r crire N s N 2 110 21 s PU S La fonction T quivalente s lorsque s est petit devant 1 et tendant asymptoti S quement vers 1 lorsque s est grand devant 1 caract rise de fa on g n rale le ph nom ne de saturation Figure 2 14 2 4 3 Susceptibilit di lectrique Nous nous proposons maintenant de d terminer la r ponse di lectrique de l assembl e d atomes du 2 4 2 lorsqu elle est soumise un champ lectromagn tique couplant le niveau aliment a au niveau sup rieur de la transition b qui n est pas aliment de l ext rieur Nous calculerons d abord le dip le lectrique induit
163. y Yi 0 p 2A 26 Le calcul explicite de Wya fait alors intervenir l int grale angulaire Lmg f f sin 6d deY 0 p Y 0 9 n mi 2A 27 et on obtient finalement a Eo Wia rinm l drr R r Ru r 24 28 qui ressemble troitement 2A 15b La diff rence essentielle est que les seuls tats excit s coupl s 1 0 0 par polarisation o ont un nombre quantique magn tique m 1 lb In 1 m 1 2A 29 alors que ce nombre valait m 0 pour une polarisation m On peut g n raliser les r sultats ci dessus en cherchant les r gles de s lection pour les transitions par absorption depuis un tat i vers un tat k d nergie sup rieure On trouve polarisation o4 Me m 1 Si r ciproquement on tudie la possibilit d une transition par mission induite d un tat k vers un tat j d nergie inf rieure sous l effet d un rayonnement polaris circulaire ment o4 on trouve que le nombre quantique m doit diminuer d une unit l variant d une unit En d finitive avec les notations choisies les r gles de s lection relatives l mission induite prennent la m me forme que celles relatives l absorption et elles restent donn es par les relations 2A 30 Habituellement une transition g se repr sente par une ligne oblique montante vers la droite dans un diagramme o apparaissent les sous niveaux Zeeman Figure 2A 2 l absorption se produisant de bas en haut et l
164. 0 m qui fixe l chelle de la distance entre le proton et l lectron c Discussion Nous avons t amen s d crire le m me syst me dynamique un atome en interac tion avec un champ lectromagn tique ext rieur par deux hamiltoniens diff rents Cela peut sembler inqui tant quant l unicit des r sultats physiques En fait il n y a aucun probl me tant que l on utilise les formes exactes et que l on effectue des calculs sans ap proximation les transformations de jauge laissent les champs invariants et les r sultats physiques ne d pendent que des champs On peut ainsi affirmer que les deux hamilto niens d interaction p et D E conduisent aux m mes probabilit s de transition Ceci reste vrai l approximation des grandes longueurs d onde En revanche lorsque l on fait des approximations plus fortes les r sultats peuvent d pendre du type d hamiltonien utilis et ce d une mani re subtile Par exemple si on remplace la fonction d onde atomique initiale ou finale par le m me d veloppement approch on peut aboutir des r sultats diff rents suivant l hamiltonien choisi On montre ainsi qu un calcul approch donne g n ralement des r sultats plus pr cis avec l hamiltonien dipolaire lectrique lorsque l on traite une transition entre deux niveaux discrets alors que l hamiltonien A p donne de meilleurs r sultats dans le cas d une transition vers un conti
165. 0 vaut E 0e cos wt p e sin wt 2A 21 V2 ce qui s crit encore E Re 8 Ege tte 2A 22a 130 COMPL MENT 2A avec er tey V2 Ce champ lectrique tourne la vitesse angulaire w autour de Oz dans le sens direct Il s agit de lumi re polaris e circulairement dans le plan xOy appel e polarisation o relativement Oz Sue 2A 22b La polarisation circulaire dans xOy tournant dans le sens r trograde autour de Oz s appelle lumi re polaris e o_ Elle peut se d finir en rempla ant dans 2A 22a le vecteur polarisation complexe par le vecteur z 2 tey 2A 22c V2 Remarques i Le champ 2A 22a correspond une onde se propageant le long de Oz Dans le cas o la propagation s effectue vers les z positifs on a une h licit droite alors que pour une propagation vers les z n gatifs l h licit est gauche Mais quel que soit le sens de propagation la polarisation est circulaire vis vis de Oz orient Il ne faut pas confondre circularit et h licit ii Les vecteurs unitaires et amp _ qui caract risent les polarisations circulaires o et o_ sont d finis une constante multiplicative de module 1 pr s Les choix faits en 2A 22b et 2A 22c correspondent la d finition des composantes standard d un op rateur vectoriel Ce choix facilite l utilisation de th or mes g n raux comme le th or me de Wigner Eckart b R gles de s lection Pour l
166. 2 ATOMES EN INTERACTION AVEC UNE ONDE Il se trouve pourtant qu un certain nombre de r sultats int ressants peuvent tre ob tenus partir de l quation de Schr dinger en consid rant un mod le particulier o les deux tats atomiques a et b coupl s par une onde lectromagn tique quasi r sonnante ont la m me dur e de vie Tp Figure 2 11 En appelant N et M les nombres d atomes dans les tats a ou b pr sents dans le volume d interaction V un instant donn on admet donc que les vitesses de d part s crivent AN Sen 2 98a L dt J depart AN 2 Tp 2 98b L dt J depart ce qui entra ne que le nombre total d atomes dans le volume V N Na M 2 98c ob it la m me quation p TN 2 98d dt depart Une telle situation peut se rencontrer dans le cas de deux niveaux excit s instables ayant le m me taux d mission spontan e par exemple deux sous niveaux d un m me niveau lectronique Il peut aussi s agir de niveaux intrins quement stables mais dans une situa tion o les atomes passent seulement un temps de l ordre de r5 dans la zone d interaction avec l onde lectromagn tique atomes traversant un faisceau laser par exemple Si nous voulons obtenir un r gime stationnaire il faut alimenter ces niveaux ce qui peut par exemple se faire par excitation collisionnelle avec des particules charg es d charge lectrique ou neutres ou par pompa
167. 2 4 du chapitre 2 condition d interpr ter l h comme l inverse du temps moyen de s jour des atomes dans la cavit r sonnante La figure 3 17 a pr sente un sch ma de syst me trois niveaux pouvant comme nous le montrons dans la suite conduire une mission laser sur la transition joignant le niveau interm diaire b au niveau fondamental a Le pompage se fait du niveau a vers un niveau excit e qui se vide rapidement avec une constante de temps 7 vers le niveau b La d sexcitation radiative spontan e du niveau b vers le niveau a est en l absence d mission stimul e beaucoup plus lente les constantes de temps v rifient Te 7 a a e Transitions a c non radiatives T rapide rapides Transition Pompage non radiative Pompage b 980 nm Pompage ransition laser Transition 420 et 694 nm laser 1530 550 nm 1560 nm a FIG 3 17 Sch ma de principe des niveaux d nergie pour un laser trois niveaux a et sa r alisation b dans le cas de lion Crt dans un cristal de rubis c et de lion Er Dans le cas du laser rubis l l ment actif est lion Cr situ en substitution de lion Al t dans une matrice d alumine La figure 3 17 b montre les niveaux d nergie de lion Cr t dans le cristal On note l existence de deux bandes d absorption pouvant tre excit es par absorption de la lumi re mise par une lampe flash Dans le premier laser r alis par Maiman les faces du barre
168. 3B 17 appliqu e la solution 3B 15 on peut re trouver les quations 3B 2 et 3B 3 donnant respectivement la taille et le rayon de courbure du faisceau et montrer de surcroit que les fonctions w z et R z sont ind pendantes de n et m Nous savons notamment par le cours de M canique Quantique que l ensemble des solutions Unm de l quation de Schr dinger 4 forme une base de l espace des tats De la m me fa on pour le probl me de la distribution transverse du champ nous venons de montrer que pour des ondes transverses crites sous la forme 3B 14 une base naturelle est donn e par les fonctions Unm chaque vecteur de base Unm est associ une phase nm de la m me fa on qu une nergie quantifi e est associ e chaque tat propre de l oscillateur harmonique en M canique Quantique Cette phase Ynm est d apr s les quations 3B 2 et 3B 19 solution de l quation dPnm on m 1 3B 20 La solution de l quation 3B 20 est ES D 3B 21 ZR formule qui g n ralise un mode transverse quelconque l quation 3B 4 valable pour le mode gaussien fondamental En r sum nous avons trouv un ensemble orthonorm de solutions donn es par l quation 3B 15 de quation d onde l approximation paraxiale Ces solutions sont appel es modes gaussiens et not es TEM m Les quantit s R z et w z voluent en fonction de z comme le mode fondamental qui n est autre que le mode T
169. 54 4 eV Il y a de plus les tats ionis s d nergie positive o l lectron peut s loigner linfini Les nergies Ep de ces tats k ne sont pas quantifi es elles forment un continuum figure 1 7 E 1 el libre El SSE 0 3 Es n 2 E Fi n i FIG 1 7 Niveaux d nergie d un lectron dans un potentiel coulombien Les niveaux li s d nergie n gative forment une suite discr te Les niveaux ionis s d nergie positive en tiret forment un continuum Dans le mod le des deux lectrons ind pendants chaque lectron peut tre dans un quelconque des tats du syst me hydrog no de dont les nergies sont repr sent es sur la figure 1 7 Parmi tous ces tats 1 3 CAS D UN NIVEAU DISCRET COUPL UN CONTINUUM 35 nous consid rons d abord la s rie 1 n o l un des lectrons est dans l tat n 1 tandis que l autre est dans un tat quelconque L nergie d un tel tat vaut 1 Ein E En E 1 m Z i 1 64 n On a repr sent la suite de ces nergies sur la figure 1 8a Le niveau fondamental 1 1 a une nergie 2 Fy puis on a une suite de niveaux discrets d nergie comprise entre 2Ey et Er Pour des nergies entre Er et 0 on a des tats 1 k o le second lectron est libre les niveaux d nergie forment un continuum E 2 el libres Eii 2E 1 1 C1 C231 a s rie 1 n b s rie 2 n FIG 1 8 Niveaux d
170. 54 COMPL MENT 3A est par exemple gal voir q II C 8 c E El EoC 2 EoC 9 3A 2 On se propose de calculer les coefficients de transmission T et de r flexion R de la cavit pour ces flux 3A 3 ed 0 hist See N at tt ty A a Pata te 00 2 ss se Res 33 y 4 ERETT lt sta See gt eter tas SS ce ONN yi ey RS ss tee tits 44 Se S26 DCS ge O x es ts So AA amp FIG 3A 1 Les amplitudes des champs lectriques ondes polaris es lin airement E Ep Ec et E sont consid r s en M et E en Mb En choisissant convenablement les origines des phases on peut crire les relations entre champs incident et mergent sur le miroir M sous la forme Er t rie 3A 4 E ri i LE avec r et t r els et ob issant la relation Remarquons que le signe de la premi re relation 3A 4 garantit que la matrice de transformation des champs est unitaire ce qui assure la conservation des flux d nergie c est dire E E E E ou encore El lPour viter d alourdir le texte nous omettons de pr ciser par unit de surface quand il n y a pas ambiguit 3A 2 FACTEUR DE TRANSMISSION ET DE R FLEXION DE LA CAVIT
171. 9 a R b De Dirac Lamb 10Un expos tr s complet sur nos connaissances actuelles de l atome d hydrog ne tant au niveau th o rique qu exp rimental est donn dans le livre The Spectrum of Atomic Hydrogen Advances dit par G W Series World Scientific Singapour 1988 Pour une revue des exp riences plus r centes on pourra consulter l article de B Cagnac M Plimmer L Julien et F Biraben Rep Prog Phys 57 853 1994 1lRappelons que la d g n rescence en est sp cifique au potentiel coulombien 12La constante de Rydberg R correspond un noyau infiniment lourd C est la limite de l quation 3D 17 du compl ment pr c dent pour M o Attention la confusion entre m masse de l lectron et m nombre quantique magn tique 13Voir par exemple le livre Quantum mechanics of one and two electron atoms de H A Bethe et E E Salpeter Plenum New York 1977 3E 4 SPECTROSCOPIE DE L ATOME D HYDROG NE 331 En fait les exp riences men es par Lamb et Retherford ont montr que les niveaux 25172 et 2P 72 n ont pas exactement la m me nergie Figure 3E 9b L quation de Dirac n est donc pas la description ultime de l atome d hydrog ne 2 Pan 2 Pan Structure fine 25S x j 112 1 Pin a 2 P Lamb shift A a b FIG 3E 9 Structure de la multiplicit n 2 de l atome d hydrog ne d apr s l quation de Dirac a et dans la r alit b L
172. B 6a d crit bien la d croissance exponentielle de la population du niveau excit avec une dur e de vie Po 3Voir CDG 2 Compl ment B IV 3 4R P Feynmann R Sands and R Leighton Lectures on Physics Vol III Chap 11 Voir aussi CDL 1 Chapitre IV 2B 1 FONCTION D ONDE ET MATRICE DENSIT 153 E Et lb 0 Ip Eal la FIG 2B 1 Syst me deux niveaux ferm La relaxation du niveau b aboutit n cessairement au niveau inf rieur a La somme des populations des deux niveaux est constante L quation 2B 6b montre que tout atome quittant le niveau b aboutit n cessairement dans le niveau a La somme des populations est donc constante vis vis de la relaxation ce syst me deux niveaux est ferm En ce qui concerne la coh rence Ca la relaxation s crit dOba ra a 2B l dt A ag l o avec y Isp 2 lorsque la relaxation est due exclusivement l mission spontan e Remarques i Cet exemple illustre la d marche conduisant l utilisation du formalisme de la matrice densit L espace des tats o volue le syst me global form de l atome et du photon spon tan mis fait intervenir les degr s de libert du rayonnement mettant en jeu un tr s grand espace En fait les quations 2B 6a r sultent d une trace partielle sur les variables du rayonnement ce qui permet de se ramener un espace de dimension deux atome L in conv nient de c
173. COMPL MENT 1B 1B 2 volution temporelle Pour obtenir l volution temporelle du syst me nous suivrons une proc dure analogue celle du paragraphe 1 3 2 d en crivant la fonction d onde solution sous la forme WO MON S ne 1B 2 L quation de Schr dinger est alors quivalente au syst me suivant d quations diff ren tielles d 1 amp iket 0 F XO wy tje k c 1B 3 Sne E eitea nn dt ih L int gration formelle de la deuxi me quation voir quation 1 76 permet d obtenir l quation suivante pour qy t Lt a dt y t 3 Wk ike t h 1B 4 dt 0 0 L intervalle tant tr s petit on peut apr s avoir utilis 1B 1 remplacer la somme entre crochets par l int grale dE w 1 EU TA J w AEU V TO Alt tlh 1B 5 Le e F1 R Introduisant la notation habituelle Ir 27 A w probabilit de transition par unit de temps donn e par la r gle d or de Fermi on aboutit ainsi l quation int gro diff rentielle suivante pour 7 d TA ft 1 a Sp h dt 1B 6 ou de mani re quivalente en d rivant cette quation par rapport t l quation diff rentielle du deuxi me ordre d d TrA yilt l 0 1B 7 m r ET 1B 7 Cette quation diff rentielle peut se r soudre simplement cause de la forme particuli re de couplage au continuum que nous avons choisie au moyen de l quation 1B 1 S
174. Dans le cas du mod le simple d autoionisation la formule 1 93 permet de calculer la probabilit dl dQ de trouver l lectron ject dans une direction 5 0 4 donn e Il faut ensuite sommer sur toutes les directions possibles pour calculer la probabilit globale d autoionisation ce qui donne dr dr pae Jr ls Od de 1 95 Le calcul effectif de l conduit un r sultat ind pendant de la taille L de la bo te fictive voir compl ments 1A et 2C Remarques 160n utilise ici les notations habituelles pour les coordonn es sph riques voir Compl ment 2C Fig 2 1 3 CAS D UN NIVEAU DISCRET COUPL UN CONTINUUM 45 i On rencontre galement la situation o les tats du continuum s crivent E m o m est un indice prenant des valeurs discr tes et non pas continues Une formule analogue 1 93 permet de d terminer la probabilit partielle de transition I m vers les tats E m pour m fix Il suffit ensuite de sommer I m sur toutes les valeurs possibles de m pour trouver la probabilit de transition totale T ii Donnons l expression de la densit d tats du quasi continuum des tats d un lectron libre se propageant dans la direction 0 y avec l nergie E l int rieur d une bo te cubique de volume L voir compl ment 2C 3 pa E 8 9 2 Cm 1 96 On constate sur les expressions 1 88 et 1 96 que la densit d tats croit proportionnel lement au
175. E WOLF Optical coherence and quantum optics Cambridge University Press C COHEN TANNOUDJI J DUPONT ROC G GRYNBERG e Introduction l lectrodynamique quantique e Processus d interaction entre photons et atomes ditions du CNRS M SARGENT M O SCULLY W E LAMB Laser Physics Addison Wesley H HAKEN Laser theory Springer Verlag C COHEN TANNOUDJI Atoms in electromagnetic fields World Scientific C FABRE et J P POCHOLLE diteurs scientifiques Les lasers et leurs applications scientifiques et m dicales ditions de Physique D DANGOISSE D HENNEQUIN et V ZEHNL DHAOUI Les lasers Dunod A YARIV Quantum Electronics third edition Wiley B E A SALEH M C TEICH Fundamentals of Photonics Wiley C H TOWNES Production of coherent radiation by atoms and molecules in Nobel Lec tures Physics 1963 1970 Elsevier Disponible sur le web http www nobel se physics On pourra galement lire dans le m me ouvrage les deux autres conf rences du prix Nobel de Physique 1964 N G BASOV Semiconductor lasers et A M PROKHOROV Quantum electronics 1964 4Ces deux ouvrages sont appel s CDG1 et CDG2 dans ce cours Table des mati res 1 Probabilit s de transition 15 1 1 Probabilit de transition 0 ne 9 Los dun Bees hate f 4 dipus 16 1 2 Transition entre niveaux discrets o um hede hu de ag lee di BU 17 1 2 1 Pr sentation du probl me 4 m4 14 a es sn
176. E 7b un atome de vitesse v interagit avec deux ondes de pulsation w l atome voit dans son r f rentiel propre deux ondes dont les pulsations w et wz ont t d plac es par effet Doppler figure 3E 7c Ces pulsations valent dans le cas o ul amp c ci w 1 3E 14a Ux ur w 1 3E 14b 326 COMPL MENT 3E FIG 3E 6 Transition deux photons entre les niveaux a et b L amplitude de transition est la somme de deux termes l un correspondant l absorption du photon w suivi de l absorption du photon w2 l autre correspondant l ordre inverse Les deux termes sont r sonnants pour la m me condition 3E 13 tudions la condition d absorption par l atome de deux photons se propageant en sens oppos En utilisant les relations 3E 13 et 3E 14 nous trouvons Ur B E fw 1 hw 1 2 3E 15 C soit By E 2 w 3E 16 Nous voyons que les termes d pendant de la vitesse disparaissent dans cette condition de r sonance Il s ensuit que tous les atomes sont susceptibles d tre port s dans le niveau excit quand la condition 3E 16 est r alis e Il est important de noter que cette condition n est obtenue que dans la g om trie o deux ondes de m me fr quence se propagent en sens oppos s Si nous ne consid rons qu une seule onde progressive la condition d absorption de deux photons dans cette onde E Ea 3E 17 W Wha d pend de la val
177. EMoo La diff rence essentielle avec le mode fondamental est donc la d pendance transversale de l amplitude des modes qui est le produit d une gaussienne par des polyn mes d Hermite La cons quence physique est que l clairement dans un plan orthogonal au faisceau au lieu 3Voir CDL Compl ment BV ou A Messiah chapitre XII Dunod Paris 4Le champ lectromagn tique dans cette partie est classique et non quantique L analogie avec l qua tion de Schr dinger est rappelons le purement math matique 270 COMPL MENT 3B d tre uniform ment d croissant du centre vers les bords poss de ici des lignes nodales et qu il d croit en moyenne moins vite En utilisant les expressions des polyn mes d Hermite il est possible de tracer les variations transverses d intensit pour les modes TEM Par exemple partant de Hitr 1 H x 2x H z 4z 2 nous avons sch matis sur la figure 3 l allure du profil d intensit d un faisceau laser dans quelques modes gaussiens d ordre peu lev 5Voir A Messiah Appendice B Dunod Paris ou CDL Compl ment BV 3B 3 MODES GAUSSIENS 271 FIG 3B 3 Distribution transversale d intensit pour quelques modes gaussiens On a repr sent l intensit du faisceau en fonction de x et de y pour w lt x lt w et w lt y lt w Alors que le mode TEMoo est pratiquement enti rement contenu dans cette portion du plan le mode TEM est bien plus t
178. G Series dans Scientific American Vol 240 Mars 1979 p 72 ou le livre de V Lethokov et V Chebotayev Non Linear Laser Spectroscopy Springer 1977 320 COMPL MENT 3E d galiser les populations entre le niveau fondamental et le niveau excit voir chapitre 11 formule D 10 pour les ions situ s sur les sites j tels que Wj w 3E 3 Lorsqu on balaie la pulsation w de la source faible faisceau sonde l absorption est identique celle obtenue en l absence de source E sauf lorque w w puisqu alors les deux faisceaux interagissent avec les m mes ions et que l action du faisceau E saturant a diminu le nombre d ions dans le niveau fondamental sur les sites j La forme de la raie d absorption obtenue dans ces conditions est repr sent e sur la figure 1 b La largeur de la courbe fine ainsi obtenue est de l ordre de 24 7 9 y Tsp o 27 est la largeur naturelle de la transition largeur de type homog ne Isp l inverse de la dur e de vie du niveau excit et Q dE h la pulsation de Rabi r sonnante pour londe E q 2B 24 b du Compl ment 2B E amp ANransmission a chantillon 0 ST j Nransmission 9 b chantillon 6 FIG 3E 1 Absorption d un faisceau sonde de faible intensit et de pulsation w La courbe d absorption mesur e avec ce faisceau seul a permet de d terminer l largissement inhomog ne de la transition La m me exp rience faite en pr sence d un f
179. L nergie du rayonnement thermique enferm dans une cavit par exemple un cube d ar te L est proportionnelle au volume L du cube Ainsi la loi de Planck nous donne 3G 4 NOMBRE DE PHOTONS PAR MODE 347 l nergie comprise dans la bande de fr quence dw autour de w dw 3G 12 Dans une telle cavit on peut d finir des modes discrets caract ris s par un vecteur d onde k ou par une fr quence w ck et une direction de propagation k k et une polarisation La densit de modes dans l espace des k est elle aussi proportionnelle au volume L et le nombre de modes de fr quence comprise dans la bande dw autour de w vaut Net 3G 13 du En divisant dE par hw dN on trouve que le nombre de photons dans un mode de fr quence w est donn par la distribution de Bose Einstein 1 exp 1 N w 3G 14 Ce nombre de photons par modes ind pendant du volume et de la forme de la cavit s appelle le param tre de d g n rescence des photons consid r s comme des bosons in discernables puisque les photons dans un m me mode ne peuvent tre distingu s ni par leur fr quence ni par leur direction de propagation ni par leur polarisation Pour une source thermique 3000 K le nombre N w de photons par mode est tr s inf rieur 1 de l ordre de 3 x 1074 au milieu du spectre visible 5 x 1014 Hz soit 0 6um Pour la lumi re solaire temp rature de 5 800 K W w est de l ordre de 107 au milieu
180. Le calcul donne ici un r sultat analogue celui du paragraphe 2 4 3 voir quation 2 120 mais avec un signe invers N d wo w ilp 1 r 2 137 X V co w wo 75 1 5 l En r gime perturbatif faible saturation nous avons donc VERRA 2 138 o y est la susceptibilit lin aire d finie pour des atomes dans l tat fondamental qua tion 2 119a Rappelons que cette quantit x est de la forme obtenue avec le mod le classique de l lectron lastiquement li et qu elle est associ e au comportement observ habituellement absorption dispersion normale Nous allons voir que le changement de signe entra ne des cons quences remarquables 2 5 2 Propagation amplifi e effet laser Reprenons le calcul du paragraphe 2 4 4 dans la situation o seul le niveau du haut est aliment Dans un milieu de susceptibilit lin aire complexe x x x7 une onde lectromagn tique monochromatique a un vecteur d one complexe k e k ik 2 139 Le vecteur unitaire ex caract rise la direction de propagation Dans le cas usuel o Dal lt 1 ona wat A LA GIE 2 140 L expression ci dessus met en vidence la relation entre les signes de k et k Si nous prenons la propagation suivant Oz nous trouvons un champ de la forme 2 124 E z t mo exp i kz wt c c 2 141 Ep e cos wt kz Mais comme y est maintenant n gatif quation 2 137 l qua
181. N P T 1 69 k c o P _ amp T probabilit de transition entre deux niveaux discrets sous l effet d une perturbation constante branch e entre t 0 et t T est donn e au premier ordre par l expression 1 36 FENG TT 6r ke 1 70 Pla ons nous dans le cas o l cart entre deux niveaux est tr s petit devant la largeur 2rh T de r La fonction r ke varie alors lentement avec k et on peut remplacer la somme discr te dans 1 69 par 1 3 CAS D UN NIVEAU DISCRET COUPL UN CONTINUUM 39 l int grale correspondante On trouve 00 P D 1 T ut EE M Jo 1 71 2rw 1 T he 4 car l aire totale de la fonction r vaut 1 Nous obtenons donc dans le cadre du pr sent mod le de niveaux tr s serr s une volution lin aire en T et non pas quadratique comme dans le cas de deux niveaux discrets quation 1 51 On peut donc d finir une probabilit de d part par unit de temps T r nn 1 72 qui vaut 2m 1 r Su 1 73 La quantit I homog ne l inverse d un temps est aussi appel e probabilit de transition vers le quasi continuum par unit de temps ou encore taux de transition La quantit w e ne d pend pas de L pour l exemple pr sent ci dessus en effet e varie comme L7 et w est proportionnel l amplitude de la fonction d onde du quasi continuum en L712 C est cette propri t v rifier syst matiquement la fin des calculs qui valide le
182. NANCE 343 o l tendue g om trique U est une quantit purement g om trique obtenue par double int gration de 3G 3 Les d finitions et propri t s ci dessus ont t implicitement donn es pour un faisceau monochromatique Si on a une source polychromatique on d finit une luminance spectrale diff rentielle L w et il est entendu que les propri t s ci dessus s appliquent chaque l ment spectral dw caract ris par la luminance w dw On crira donc pour l l ment spectral dw et un pinceau d tendue dU d L w dw dU 3G 6 Les divers l ments spectraux d une source incoh rente tant ind pendants leurs contri butions s ajoutent au niveau des grandeurs nerg tiques et l expression 3G 6 peut tre int gr e sur la variable w Nous aurons besoin de faire appara tre le lien entre l tendue dU d un pinceau et les l ments diff rentiels dx dy et dkz dk dans l espace direct et dans l espace r ciproque espace des vecteurs d onde k En coordonn es cart siennes et pour une direction de propagation voisine de l axe Oz on a en effet o1 2 C zz dka dky dk dky 3G 7 dQ Pour un l ment de surface dS dx dy perpendiculaire Oz on a donc 2 C dU de dka dy dky 3G 8 3G 1 2 Conservation de la luminance Si un faisceau lumineux se propage dans un milieu non absorbant et que les dioptres qu il rencontre ont re u un traitement antir fl chissant la puiss
183. NAS EX 17 122 Exemples ss hi es HUM a sur atlas sea HAT 18 1 2 3 D veloppement de la fonction d onde en s rie de perturbation 19 1 2 4 Th orie au premier ordres suis ous te Monts Dur EE 21 1 2 5 Comparaison avec la solution exacte dans le cas d un syst me deux niveaux oscillations de Rabi 29 1 2 6 Calculs au second ordre effets non lin aires 31 1 3 Cas d un niveau discret coupl un continuum 33 1 3 1 Exemple auto ionisation de l h lium 34 1 3 2 Niveau discret coupl un quasi continuum Mod le simplifi 36 1 3 3 volution du syst me ee a Re LUE M Ne ds gi 38 1 3 4 tat final du processus Largeur d un niveau instable 40 1 3 5 R gle d or de Fete tu ses ete ss ana dia ti Era 42 1 3 6 Cas d une perturbation sinuso dale 45 14 Conclusion i Ted EUR SAME Ne VEN fe D Jul path 2e 47 Compl ment 1A Exemple d utilisation de la r gle de Fermi dans le pro bl me de l autoionisation A9 1A 1 Fonctions d onde du quasi continuum 50 1A 2 l ment de matrice de l hamiltonien d interaction 50 1A 3 Densit des tats coupl s au niveau discret 51 1A 4 Autre approche possible du quasi continuum 52 Compl ment 1B Continuum de largeur variable 55 1B 1 Pr sentation du mod le aoaaa a a 55 1B 2 volution
184. NIVEAUX TRAITEMENT NON PERTURBATIF 163 doa Qi r 1W00 ab ie Tbb Caa 2B 39a dOba Qi i z WW00ba ie ou Caa 2B 39b En ce qui concerne les termes de relaxation nous les introduirons s par ment pour le syst me ferm et le syst me ouvert 2B 3 2 Syst me ferm Dans le cas du syst me ferm voir A 3 a les quations A 6 jointes aux quations C 3 et C 4 conduisent aux quations d OU e i CR eo T spat 2B 40a d na Q a Az pt te e Ta Tepa 2B 40b dt 2 dOa Qi T iWoTab ie on Oaa YCab 2B 41a dt 2 Oia Cab 2B 41b Nous supposons y r el Pour r soudre ce syst me il est possible d liminer la d pendance temporelle rapide en faisant le changement de variables iwt Ge os 2B 42a Tlp e Tab 2B 42b Orp Obb 2B 42c O E Tia 2B 42d Avec ces nouvelles variables les quations C 5 et C 6 deviennent do Zh i CE A 2B 43a dola Q do Q RE fwo w ahg i 0h Oha Vis 2B 44 164 COMPL MENT 2B La solution stationnaire est obtenue en annulant les d riv es par rapport au temps dans les quations C 8 et 2B 44 et en utilisant ol ap 1 conservation de la population totale En r gime permanent nous trouvons donc va 1 1T a 2B 45 Obb 2 wo w 7 NiE a ola l oip 2B 45b KO y ilw wo 1 atr eT Se 2B 45 Tab t79 y wo
185. ONISATION195 Comme attendu L s limine de l expression finale et on obtient le taux de photo jection d un lectron dans une direction ue dr no AEk pe aa ue np e8 by kee k 2D 23 En int grant sur toutes les directions d mission possible on obtient le taux global de photoionisation partir de l tat g r pe Tee fao u 2 l ke k 2D 24 Les formules ci dessus rendent parfaitement compte de toutes les observations relatives l effet photo lectrique Tout d abord l quation 2D 22 qui donne la valeur de l nergie cin tique de l lectron mis n est autre que l quation d Einstein en parfait accord avec les mesures de Millikan Mais notons que cette valeur de l nergie finale n est pas obtenue par un argument de conservation de l nergie a priori comme dans le raisonnement d Einstein Ici la conservation de l nergie appara t comme une cons quence de la r sonance de l amplitude de transition lorsque les nergies initiale et finale sont li es par l quation 2D 14 Par ailleurs on trouve bien un taux de transition proportionnel au carr de l amplitude de l onde lectromagn tique c est dire l clairement 2D 19 On remarque galement que le taux de photoionisation dans une direction ue donn e varie comme u c est dire comme le carr du cosinus de l angle entre le champ lectrique de l onde et la direction d jecti
186. Population excit e 2 den Amar nent der Has 99 243 Susceptibilit di lectrique sante eo D Lake La tend es 102 2 4 4 Propagation d une onde lectromagn tique absorption et dispersion 106 2 4 5 Cas d un syst me ferm deux niveaux 108 2 5 Amplification laser SES ome NS DS RS DS LU sat arr 110 2 5 1 Alimentation du niveau sup rieur mission induite 110 2 5 2 Propagation amplifi e effet laser 112 2 5 3 G n ralisation alimentation des deux niveaux et saturation 113 2 5 4 Gain laser et inversion de population 114 2 5 5 Bilan nerg tique au cours de la propagation absorption et mis SION RONDES s sestre Ne e a NE A Le Ne ee 115 2 5 6 quations cin tiques pour les atomes 116 2 5 7 Interaction atomes photons Section efficace laser 119 2 5 8 quations cin tiques pour les photons Gain laser 120 2 6 Conclusion mod le semi classique ou quations cin tiques 122 Compl ment 2A Polarisation du rayonnement et transitions dipolaires lectriques 125 2A 1 R gles de s lection et polarisation 125 2A 1 1 Transition dipolaire lectrique interdite 125 2A 1 2 Lumi re polaris e lin airement 127 2A 1 3 Lumi re polaris e circulairement 129 2A 1 4 Emiss
187. Promotion 2010 Ann e 3 P riode 1 PASS LA PROGRAMME D APPROFONDISSEMENT DE PHYSIQUE Optique quantique 1 Lasers Tome I Alain Aspect Claude Fabre Gilbert Grynberg dition 2006 R impression 2012 Avant Propos La d couverte des lasers en 1960 a compl tement renouvel l optique Au niveau fon damental comme dans le domaine des applications des possibilit s radicalement nouvelles ont t offertes au physicien et l ing nieur par la directivit la monochromaticit la puissance de la lumi re laser Certaines applications comme les t l communications par fibre optique pr sentent des enjeux conomiques consid rables Des progr s r cents en re cherche fondamentale comme le refroidissement d atomes par laser ou le d veloppement des peignes optiques de fr quences offrent des perspectives remarquables d am lio ration des horloges atomiques dont la pr cision et l exactitude pourraient d passer les 10715 soit une seconde d incertitude en trente millions d ann es permettant alors une augmentation spectaculaire de la pr cision de la localisation par satellite un meilleur contr le des flux de donn es ou de nouveaux tests de la relativit g n rale Ce cours a pour but de pr senter les notions de base de la partie de l optique quantique consacr e aux lasers et leurs applications Notre premier objectif est de pr senter une th orie des lasers simple mais puissante et g n r
188. Re z exp n exp a ni expli kz wt o 3B 1b Dans l quation 3B 1b l amplitude du champ p la taille du faisceau w le rayon de courbure R et la phase du champ 4 sont des fonctions r elles de z Le vecteur unitaire perpendiculaire Oz est la polarisation de l onde L amplitude du champ a une sym trie cylindrique autour de Oz et son extension transverse est de l ordre de w Il est facile de montrer que la seconde exponentielle de la formule 3B 1b d crit une variation transverse de phase caract ristique pour les petites valeurs de x et y d une onde sph rique de rayon de courbure R Pour une propagation vers les z positifs l onde est divergente si R est positif comme on peut le constater en consid rant les surfaces o la phase est constante Elle est convergente dans le cas contraire R lt 0 En prenant pour origine de laxe Oz le point o la taille du faisceau est minimum ce point de focalisation ou d tranglement est appel col du faisceau ou waist en anglais on trouve cela sera d montr au paragraphe 3B 3 w z wog 1 3B 2a ZR Eo z o TE 3B 2b R z z 3B 3 p tan 3B 4 ZR Le rayon au col w caract rise la dimension transversale du faisceau dans le plan z amp 0 La longueur de Rayleigh zp gale 2 Spa B Rar 3B 5 caract rise l chelle longitudinale de la variation de la section En effet la dimension transversale du faisceau
189. Si le syst me est compos de deux sous syt mes et B dont les tats l instant t 0 sont respectivement Ya et 8 la r solution de l quation de Schr dinger avec la condition initiale 4 0 Y4 0 amp 1 2 0 donne g n ralement un tat d t qu il n est pas possible de factoriser en un produit de deux tats correspondant aux sous syst mes et B WE Yat 8 lbet L interaction entre les syst mes A et B a cr des corr lations quantiques qui vont subsister m me en l absence d interaction ult rieure entre A et B Si l on doit ensuite tudier l interaction entre le syst me A et un autre syst me il n est plus possible de postuler que l tat initial du syst me est de la forme d Wc et il est en toute rigueur n cessaire de travailler dans l espace produit tensoriel des tats relatifs aux syst mes B et C Lorsque le syst me interagit ainsi successivement avec plusieurs syst mes B C D X l espace consid rer cro t chaque tape par suite des corr lations quantiques accumul es lors de chacune des interactions Ainsi pour un atome A subissant des collisions avec d autres atomes au rythme d une collision toutes les microsecondes la fonction d onde d crivant l atome au bout d une seconde doit galement prendre en compte l tat du million d atomes qu il a rencontr s Dans cette situation l ambition de d crire l tat d un syst me au moye
190. UR E 323 D tecteur S paratrice FIG 3E 3 Sch ma d une exp rience d absorption satur e Un faisceau incident est divis en deux faisceaux au moyen d une lame s paratrice L intensit du faisceau le plus faible F est mesur e en fonction de la pulsation w apr s travers e dans le gaz L angle entre les deux faisceaux est dans la pratique beaucoup plus petit que l angle repr sent sur la figure Le faisceau F interagit avec les classes de vitesse d termin es par la condition 3E 9 Le faisceau F qui se propage en sens oppos et dont la phase est donc de la forme wt k r excite les atomes dont la vitesse v v rifie la relation w k v hwo 3E 10 soit encore das 0 3E 11 wW La comparaison des formules 3E 11 et 3E 9 montre que les deux ondes F et F interagissent avec des classes de vitesses diff rentes et ont donc une absorption ind pen dante de leur pr sence simultan e dans le gaz tant que w est diff rent de w En revanche pour w wo les deux ondes interagissent avec la m me classe de vitesse vs 0 voir figure 3E 4 Il s ensuit que si l onde F sature la transition a b la transmission de londe F sera augment e lorsque w amp wo La courbe d absorption figure 3E 5 de l onde faible pr sente donc une raie large correspondant la largeur Doppler sur laquelle se superpose en n gatif une courbe troite correspondant l excitation simultan e de
191. X DE DUR E DE VIE FINIE 107 a b FIG 2 15 Absorption et dispersion autour d une r sonance de largeur Aw i _ 0 a Profil Lorentzien x w ED b Profil de dispersion x w UD EE b Dispersion Comme le montre l quation 2 122c la partie r elle de la susceptibilit lin aire x est reli e la partie r elle de l indice de r fraction qui caract rise la vitesse de phase d une onde lectromagn tique dans la vapeur L expression 2 119b nous donne la variation de x4 avec la fr quence repr sent e sur la figure 2 15 b Il s agit d un comportement dispersif typique dans les ailes de la raie l indice de r fraction cro t avec la fr quence dispersion normale alors qu la travers e de la r sonance le sens de variation s inverse dispersion anormale Notons qu grand d saccord w wo gt Aw les effets de dispersion d croissent en 6 7t beaucoup moins vite que les effets d absorption qui d croissent en Une Ici encore on peut remarquer que dans le r gime lin aire les effets dispersifs sont exactement ceux pr vus par un mod le d lectron classique lastiquement li c Propagation en r gime satur Lorsque le param tre de saturation s quation 2 109 n est pas petit devant 1 la polarisation di lectrique n est pas proportionnelle au champ lectrique appliqu et la question de la propagation d une onde lectromagn tique dans un tel mil
192. a 212 dl Seuil d oscillation Le 4 00 2 atsaa te dre matin ans 212 3 1 2 R gime stationnaire Intensit et fr quence de londe laser 214 3 2 Description des milieux amplificateurs amp 4244 4 ab a ue due 219 3 2 1 N cessit d une inversion de population 219 12 TABLE DES MATI RES 3 2 2 Inversion de population dans les syst mes quatre niveaux 3 2 3 Lasers semi conducteurs 3 2 4 Transition laser aboutissant sur le niveau fondamental syst mes L O TIME ARR A ANS ee O A en a a A AN a ns nm 32 90 Lasers Ramain Siy ut o aca a d a een APR ARS RE Sens 3 3 Propri t s spectrales des lasers n s dau sion n e diet mi 3 3 1 Modes Tone tUdinaRes us ses ns ta ea Rens db 3 3 2 Fonctionnement monomode longitudinal 3 3 3 Largeur de raie laser 2 24 4 0e bu ae eue Be pu A au 3 4 L sers ew Impulsion NES ee 2 LU ans i ARR ne ANR es se er a 3 4 1 Laser modes synchronis s 3 4 2 Laser d clench oiris SE at de ce en e ef ea af ee qe av ait 3 5 Sp cificit de la lumi re laser 44e da ben DA ae EE ts D ER Compl ment 3A Cavit r sonnante Fabry Perot 3A 1 Position du probl me Cavit lin aire 3A 2 Facteur de transmission et de r flexion de la Cavit 3A 3 Cavit en anneau un seul miroir de couplage 3A 4 Finesse Facteur de qualit
193. a courbe de gain de cet amplificateur On se propose donc dans ce compl ment d valuer la largeur spectrale ultime d un laser tr s au dessus du seuil par une m thode heuristique L id e de base est que le milieu amplificateur plac dans la cavit laser met de temps en temps des photons spontan s dans le mode laser Le champ correspondant un photon spontan d amplitude Esp et de phase al atoire vient s ajouter au champ laser Ez qui subit alors une fluctuation d amplitude et de phase La variation d amplitude est corrig e par le gain qui en raison du m canisme de saturation agit comme une force de rappel En revanche l absence de force de rappel sur la phase permet aux variations de phase de persister et s accumuler Ainsi lors des missions spontan es successives la phase subit une diffusion al atoire et au bout d un temps 7 temps de corr lation le champ laser a perdu la m moire de sa phase initiale la phase du champ ne peut donc pas tre pr dite sur une dur e sup rieure T et la fr quence qui est la d riv e de la phase par rapport au temps ne peut tre d finie mieux que 1 r La largeur de la raie laser auquel conduit ce processus est donc de l ordre de 3F 1 1 AwsT SR C Pour valuer le temps de corr lation Te nous allons utiliser la repr sentation du champ ILe traitement rigoureux d passe le cadre de ce compl ment N anmoins les id es physiques de base sont correc
194. accourcissement de la dur e de vie du niveau b De ce fait inversion de population donn e par 3 32 va diminuer jusqu au moment o le gain ne sera plus suffisant pour assurer l oscillation laser qui va s arr ter Le processus de pompage peut 3 2 DESCRIPTION DES MILIEUX AMPLIFICATEURS 235 Intensit de pompage flash Puissance 30045 laser I FIG 3 18 Repr sentation sch matique de l volution temporelle du pompage par lampe flash a et de la puissance de sortie du laser rubis b alors accumuler nouveau des atomes dans le niveau b ce qui conduit l mission d un train d impulsions oscillations de relaxation par le laser voir figure 3 18 et 3 4 2 Remarque Il existe un autre syst me laser trois niveaux mais dans lequel l mission laser n aboutit pas sur le niveau fondamental Il s agit du syst me tudi dans le chapitre 2 Partie 2 5 lorsque le niveau sup rieur de la transition laser b est aliment directement par pompage partir du niveau fondamental Un certain nombre de lasers dans l infra rouge fonctionnent selon ce principe le pompage tant effectu sur une transition r sonnante l aide d un laser de plus petite longueur d onde 3 2 5 Lasers Raman Les spectres optiques des mol cules poss dent des s ries de raies associ es des chan gements de niveaux de vibration ou de rotation de la mol cule Si un gaz constitu de telles mol cules est soumis
195. aisceau intense de pulsation w constante b conduit une courbe identique sauf au voisinage de w w o une diminution de l absorption due la saturation par l onde intense est observ e La largeur de la courbe troite permet de remonter la largeur homog ne Il appara t clairement sur la figure 3E 1b que c est la saturation de la transition due londe intense E qui permet d observer une courbe troite sur l absorption de Ponde F En diminuant la pulsation de Rabi Q4 la largeur de la courbe troite diminue et tend vers la largeur naturelle de la transition Cette m thode permet donc d obtenir des raies plus fines que la largeur inhomog ne de la transition Elle pr sente cependant l inconv nient que le centre de la raie troite est d termin par la pulsation du faisceau w et non par une valeur sp cifiquement li e aux niveaux d nergie de l ion Nous montrons dans le paragraphe suivant qu il est possible de surmonter ce probl me dans le cas de l largissement Doppler 3E 2 SPECTROSCOPIE D ABSORPTION SATUR E 321 et de d terminer avec une grande pr cision les nergies atomiques en utilisant la saturation de l absorption 3E 2 2 Absorption satur e dans un gaz a Distribution maxwellienne des vitesses Consid rons un gaz constitu d atomes deux niveaux niveau excit b niveau fon damental a Ep E fiwo l quilibre thermique la temp rature T les atomes sont dans leur i
196. al la condition d excitation quasi r sonnante est remplie lorsque lus w Kw 1 46 C est alors le premier terme de Spi qui est n gligeable et on obtient l expression de P _x en rempla ant w par w dans 1 44 ou 1 45 Les expressions finales de la probabilit de transition sont donc analogues 1 32 et 1 36 un facteur 1 4 pr s lorsqu on remplace Ep E par Ep E fw Les conclusions du paragraphe c se transposent alors ais ment au cas de la perturbation sinuso dale les niveaux k qui vont tre peupl s de mani re efficace au bout d un temps d interaction T sont ceux dont l nergie est telle que a 1 47 E w lt Ep lt Bi w Lu Roi si Pour des temps d interaction suffisamment longs il n y a de transition possible que vers des niveaux k distants nerg tiquement de li de la quantit hw les variations d nergie de l atome se font uniquement par absorption ou mission de quanta d nergie hw Nous retrouvons ici la r gle que Bohr avait introduite empiriquement aux premiers temps de la m canique quantique En anticipant sur la quantification du rayonnement et dans le cas de l interaction mati re rayonnement cette r gle a une interpr tation naturelle en termes de photons d nergie hw absorb s ou mis lors de la transition Notons cependant qu elle a t tablie sans qu on ait eu besoin d introduire a priori cette notion ce niveau
197. al comme le montre la section du profil d intensit dans les plans x w et y Ew Remarque En M canique Quantique il est bien connu que les tats propres de l oscillateur harmonique deux dimensions peuvent s exprimer simplement aussi bien en coordonn es cart siennes qu en coordonn es cylindriques cause de la d g n rescence en n m des niveaux d ner gie De la m me fa on il est possible de r soudre l quation 3B 16 en coordonn es cylin driques r 0 On obtient alors des solutions uy p entier positif et l entier relatif de la 6Voir CDL Compl ment D VI 272 COMPL MENT 3B forme 7 rv2 y A 2r r f Ut r 0 2 L Eo exp l er exp il 3B 22 y o Lp est un polyn me de Laguerre g n ralis L volution de la phase 64 1 est donn e par la formule suivante rempla ant 3B 21 Pene p I 1 tant Z 3B 23 3B 4 Modes longitudinaux et transverses d un laser Consid rons une cavit lin aire stable par exemple la cavit plan concave de la figure Nous avons vu dans le chapitre 3 3 1 2 que le laser est susceptible d osciller sur toute fr quence propre de la cavit situ e dans la partie de la courbe de gain o l amplification l emporte sur les pertes Nous tendons pr sent aux modes transverses la discussion du paragraphe 3 1 2 Le mode oscillant est priori caract ris par trois entiers m et n sont relatifs la d termination
198. ale 1 25 m s dans le cas du disque compact Le d bit brut obtenu est de 4 2 Mbit s Un tel syst me ne permet que la lecture de l information stock e au pr alable sur le disque ROM Read Only Memory Il existe aussi des syst mes WORM Write Once Read Many dans lesquels l information est inscrite sur le disque gr ce au laser lui m me par ablation d une mince couche superficielle par exemple Des disques WMRM Write Many Read Many sont maintenant commercialis s par diff rents constructeurs Ils sont bas s sur l utilisation d effets magn to optiques pour crire l information le laser provoque localement une transition du mat riau magn tique au dessus de son point de Curie ce qui permet lors du refroidissement dans un champ magn tique ext rieur d inverser l aimantation de cette r gion bit 1 Pour effacer il suffit de changer le sens du champ magn tique et de maintenir constante l intensit du laser Quant la lecture elle est assur e par la mesure de la rotation de la polarisation de la lumi re r fl chie par le mat riau aimant effet Kerr magn to optique en utilisant pour la lecture un faisceau laser polaris moins puissant que le faisceau laser d criture Cette rotation est tr s faible de l ordre de 1 Elle peut n anmoins tre rep r e avec un excellent rapport signal sur bruit qui permet d avoir un taux d erreur de lecture probabilit de mesurer un bit 0 al
199. ale Elle donne une compr hension unifi e applicable la grande vari t des lasers dont nous disposons aujourd hui et sans doute ceux qui ne manqueront pas d appara tre dans le futur Nous essaierons ensuite de d gager les pro pri t s sp cifiques de la lumi re laser qui la rendent apte des applications inconcevables avec les sources traditionnelles Pour comprendre le principe des lasers nous devrons d abord tudier l interaction lumi re mati re dont l exemple le plus simple est l interaction atome rayonnement Les processus en jeu ne peuvent se d crire que dans le cadre quantique et nous utiliserons donc les connaissances acquises dans le tronc commun que nous compl terons par l tude des transitions d un syst me quantique entre deux tats ou entre un tat discret et un conti nuum chapitre 1 En fait on utilise la m canique quantique pour traiter les atomes mais on d crit la lumi re laser comme un champ lectromagn tique classique Cette th orie semi classique de l interaction atome rayonnement universellement utilis e en phy sique des lasers permet de rendre compte de fa on quantitative d un tr s grand nombre de ph nom nes tout en donnant des images simples et f condes Elle permet aussi de d crire en d tail l amplification de lumi re par mission stimul e la base de tous les lasers chapitre 2 On peut se demander pourquoi ne pas utiliser une th orie compl te me
200. amental Bien d autres processus peuvent tre l origine d une dur e de vie finie C est le cas des collisions avec d autres atomes ou avec les parois de la cellule contenant une vapeur atomique ou avec des phonons pour un ion dans une matrice solide Signalons aussi que lorsque le mouvement des atomes les fait sortir du volume d interaction avec londe lectromagn tique tout se passe comme si les atomes eux m mes avaient une dur e de vie finie et disparaissaient Nous souhaitons donc prendre en compte la dur e de vie des niveaux atomiques Malheureusement le traitement g n ral de l interaction entre une onde lectromagn tique et un atome ayant des niveaux de dur e de vie finie n cessite des outils plus sophistiqu s que ceux dont nous disposons dans ce chapitre Il faut en effet faire appel au formalisme de la matrice densit et utiliser les quations de Bloch optiques cf Compl ment 2B Le probl me est que les processus qui rendent un niveau d nergie instable mission spon tan e ou collisions avec d autres atomes provoquent un couplage avec l ext rieur du syst me atome onde lectromagn tique ce qui se traduit par une dissipation non conservation de l nergie du syst me Ils ne peuvent donc tre trait s par l quation de Schr dinger qui n est applicable qu des processus conservatifs descriptibles par un hamiltonien comme l absorption ou l mission induite 98 CHAPITRE
201. amps forts param tre de saturation de 10 pour notre exemple Dans le domaine temporel la technique de synchronisation des modes pr sent e au paragraphe 3 4 1 permet de concentrer la puissance laser dans le temps sous forme d impul sions pouvant tre aussi courtes que 10 fs 10714 s r p t es toutes les 10 ns La puissance maximale est 10 fois plus grande que la puissance moyenne et atteint 10 W cm Dans ces conditions le champ lectrique de l onde lectromagn tique est sup rieur au champ de Coulomb exerc par le proton sur l lectron d un atome d hydrog ne dans son tat fondamental On acc de ainsi une nouvelle chelle d nergie dans l interaction entre la lumi re et la mati re On constate que ce qui caract rise la lumi re laser c est la possibilit d tre concentr e dans l espace et dans le temps ou dans le spectre offrant ainsi la possibilit d obtenir des densit s d nergie normes la base de tr s nombreuses appli cations des lasers Cette possibilit est reli e au fait qu un mode laser contient un tr s grand nombre de photons indiscernables alors que dans le cas du rayonnement thermique le nombre de photons par mode l mentaire du rayonnement est inf rieur 1 Nous al lons pr ciser ce point d abord pour les modes d une cavit puis pour des faisceaux se propageant librement 3G 4 Nombre de photons par mode 3G 4 1 Rayonnement thermique dans une cavit
202. ance est conserv e On montre de plus que pour un syst me optique parfait stigmatique l tendue g om trique est conserv e au cours de la propagation La formule 3G 5 montre alors qu il y a conser vation de la luminance au cours de la propagation le faisceau reste caract ris par une luminance inchang e ce qui permet de calculer ais ment les grandeurs photom triques dont on a besoin apr s un instrument d optique comme on va le voir ci dessous Notons que si le faisceau rencontre des milieux absorbants ou des surfaces partielle ment r fl chissantes la luminance va d cro tre m me si le syst me optique est stigmatique De plus si le syst me n est pas stigmatique l tendue g om trique ne peut que cro tre et ceci conduit galement a une diminution de la luminance En d finitive on retiendra qu au cours de la propagation d un faisceau issu d une source incoh rente la luminance est conserv e si les syst mes optiques travers s sont parfaits sinon elle ne peut que d cro tre 344 COMPL MENT 3G Remarques i Cette propri t est troitement li e au deuxi me principe de la thermodynamique qui serait viol si on pouvait augmenter la luminance au cours de la propagation Il y a aussi un lien avec la m canique statistique qui appara t clairement si on remarque que la conserva tion de l tendue g om trique n est pas autre chose que l analogue du th or me de Liouville c est
203. and que 1 T il existe une bande de fr quence limit e w w voir figure 3 4 pour laquelle la condition de d marrage 3 5 est v rifi e 8Les lasers semiconducteurs voir 3 2 3 font exception cause de la tr s petite taille de leurs cavit s 9Pour viter d alourdir le texte et pour nous conformer un usage qui n est pas sans danger nous d signons parfois w sous le terme fr quence alors qu il s agit d une pulsation ayant pour unit le rad s7 la fr quence au sens propre est gale w 2r et a pour unit le Hz 218 CHAPITRE 3 LES LASERS En fait le laser n met pas de la lumi re dans toute la plage w w Parmi toutes les fr quences comprises dans l intervalle w w seules celles dont les valeurs sont donn es par l quation 3 16 sont susceptibles d tre mises par le laser voir figure 3 5 Ces fr quences wp discr tes sont r p r es par l indice p et correspondent ce qu on appelle les modes longitudinaux d oscillation L cart en fr quence entre deux modes cons cutifs est gal c Lea Il vaut typiquement 5 x 108 Hz pour une cavit de longueur Lea 0 6 m cet intervalle est donc tr s petit devant la fr quence de la lumi re qui est pour le visible de l ordre de 5 x 101 Hz Le nombre de modes longitudinaux pour lesquels la condition d oscillation 3 5 est v rifi e peut varier entre 1 et 10 selon la nature du milieu amplificateur Nous revie
204. ar la mati re par exemple sa polarisation sont tr s faciles visualiser dans le cadre de l mission par un lectron lastiquement li Or elles sont strictement identiques celles que l on obtient dans le cadre semi classique ou totalement quantique pour le cas d une transition entre niveaux atomiques de moments cin tiques J 0 et J 1 voir le compl ment 3A partie 1 Avoir bien assimil la correspondance entre les divers mod les dans ce cas simple peut constituer un moyen utile d aborder les cas plus complexes ou le formalisme quantique est indispensable 2C 1 Notations et hypoth ses simplificatrices Consid rons un lectron de charge q q 1 6 x 107 C oscillant autour du point O la pulsation w On d crira le mouvement de l lectron de position re par l amplitude complexe amp re Re S 2C la S Soe 2C 1b Cette notation permet de traiter aussi bien le cas d un mouvement lin aire que celui d un mouvement circulaire ou elliptique Par exemple un lectron oscillant lin airement le long de OZ correspond So ae et un lectron ayant une trajectoire circulaire dans le plan xOy correspond So a ex iey V2 a est un nombre complexe quelconque et ez y et e sont les vecteurs unitaires des axes Or Oy et Oz On notera D la quantit D qs Do e 2C 1c qui a les dimensions d un dip le lectrique et qui peut tre interpr t e comme telle dans le cas o
205. ar unit de surface et par unit de bande spectrale elle vaut environ 107 W cm Hz dans notre exemple Pour comprendre l int r t de cette grandeur supposons par exemple que nous voulions exciter une transition atomique seule une bande de fr quence de l ordre de la largeur naturelle de la transition atomique soit quelques MHz sera utilis e et l clairement utile est de l ordre de 1075 W cm Un tel clairement est 346 COMPL MENT 3G beaucoup trop faible pour atteindre le r gime des champs forts et m me insuffi sant pour saturer une transition atomique les intensit s de saturation conduisant un param tre de saturation r sonance s de l ordre de 1 sont plut t de l ordre de 10 W cm 3G 3 Eclairement maximal d une surface avec de la lu mi re laser Consid rons maintenant un faisceau laser de 10 Watts tant spatialement coh rent il peut comme nous le montrons dans le Compl ment 3B tre focalis sur une tache de diffraction l mentaire dont la dimension est de l ordre de la longueur d onde soit une surface inf rieure 1um Nous disposons donc maintenant de 10 W cm au lieu des quelques 10 W cm maximum obtenus partir d une lampe arc De plus cette puissance est fournie dans une bande spectrale qui peut tre inf rieure au MHz Si on souhaite exciter une transition atomique troite la puissance est utilisable en totalit et permet d atteindre le r gime des ch
206. arac t ris e par un diagramme de rayonnement identique celui du dip le oscillant classique correspondant compl ment 2C Cette r gle de correspondance illustr e ci dessous donne aussi la polarisation de la lumi re mise dans la direction consid r e 134 COMPL MENT 2A FIG 2A 3 mission spontan e pour une transition 7 Les caract ristiques sont analogues celles du rayonnement mis par un dip le classique oscillant suivant Oz L mission a lieu pr f rentiellement dans les directions perpendiculaires Oz avec une polarisation lin aire dans le plan contenant Oz et la direction d mission Appliquons les r gles ci dessus au cas d une transition n Figure 3 Le dip le classique correspondant oscille suivant Oz Le diagramme de rayonnement varie donc en sin 0 il pr sente un minimum nul suivant Oz et un maximum dans toute direction perpendiculaire Oz La lumi re mise est polaris e lin airement suivant la projection de Oz sur un plan perpendiculaire la direction de propagation On retrouve ce r sultat dans un traitement quantique de l mission spontan e Az polarisation circulaire 0 Q 0 gt y polarisation x lin aire FIG 2A 4 mission spontan e c Les caract ristiques sont analogues celles d un rayon nement mis par un dip le classique tournant dans le plan xOy Pour une observation suivant Oz la polarisation est circulaire Pour une observation
207. aradoxe 116 CHAPITRE 2 ATOMES EN INTERACTION AVEC UNE ONDE consid rer que pendant ce temps At l tat atomique a une nergie diff rente de p par AE h At relation temps nergie de Heisenberg Notons par contre que si on consid re l tat final du syst me atome rayonnement lorsque l atome est pass du niveau b un autre niveau suppos stable on doit avoir conservation exacte de l nergie Par exemple dans le cas d un cycle de fluorescence o un atome deux niveaux ferm s 2 2 4 5 pr l ve un photon du rayonnement incident et le diffuse dans une direction diff rente en se retrouvant dans l tat initial a le rayonnement diffus a une fr quence strictement gale celle du rayonnement incident b Emission induite Consid rons maintenant le cas o les atomes sont inject s dans le niveau b et pla ons nous encore en r gime perturbatif cf 8 2 5 2 On sait qu il y a amplification du rayonne ment par effet laser Un calcul analogue au calcul ci dessus montre alors que la puissance gagn e par le rayonnement dans la tranche dz peut s crire dP s A de huTp 2 156 Ce r sultat s interpr te videmment de fa on analogue La quantit Tp Na Adz V est le nombre d atomes dans le niveau a qui disparaissent de la tranche dz par unit de temps Comme ils ont t inject s dans le niveau b chacun a c d une nergie fw au rayonnement L quation 2 156 exprime ici enco
208. aser peut d livrer de 1 100 W dans l infrarouge Il consomme de 0 1 10 kW lectriques b Laser N odyme YAG pomp par un laser semi conducteur Un tel laser peut avoir un rendement de l ordre de 50 Tous ces lasers ont une courbe de gain tr s troite dont la largeur est de l ordre de quelques gigahertz Il est hors de question d ajuster la longueur d onde mise dans une large plage le visible s tend sur 3 x 10 Hz C est pour r pondre au besoin d accorda bilit sur une plage tendue de longueur d onde qu ont t invent s les lasers accordables d Lasers accordables Ces lasers offrent la possibilit de choisir la longueur d onde de fonctionnement dans une plage relativement vaste Cette accordabilit est li e la grande largeur de la courbe de gain qui r sulte du fait que le niveau inf rieur de la transition laser appartient un continuum ou un quasi continuum dense de niveaux Un exemple typique de laser accordable est le laser colorant dont le milieu actif est constitu de mol cules de colorant Fig 3 11 en phase liquide Ces lasers sont en g n ral pomp s optiquement par lampe ou mieux par un laser intense mais non accordable comme le laser n odyme YAG ou le laser Argon ionis L accord en longueur d onde se fait en ins rant dans la cavit des l ments s lectifs filtres r glables qui favorisent une longueur d onde au d triment des autres voir figure 3 12
209. ateur dont les niveaux d nergie 3 2 DESCRIPTION DES MILIEUX AMPLIFICATEURS 227 Niveau electronique Relaxation excit bandes non radiative de vibration rapide rotation p Transition PIRPRER laser Niveau Relaxation electronique non radiative fondamental rapide FIG 3 11 Sch ma du m canisme de pompage d un laser colorant Les niveaux d ner gie d une mol cule de colorant forment des bandes de niveaux d nergie correspondant la vibra tion et la rotation de la mol cule La relaxation dans une bande donn e se fait vers les niveaux de bas de bande par des processus non radiatifs rapides temps typique 1 ps Deux bandes sont s par es par une nergie lectronique La gamme d accordabilit du laser est d termin e par la largeur de la bande inf rieure sont tr s analogues ceux pr sent s sur la figure 3 11 il s agit d ions titane dans une matrice de saphir Ce milieu donne une amplification entre 0 7um et 1 Lum lorsqu il est pomp par un laser argon ionis Un tel laser peut d livrer en continu une puissance de plusieurs watts ce qui combin avec l existence d excellents doubleurs de fr quence dans cette gamme permet d obtenir des sources accordables continues de puissance sup rieure 100 mW dans le violet et le proche ultra violet cause de sa plus grande fiabilit et de sa relative simplicit d utilisation le laser titane saphir a au d but des ann es 1990 d tr n
210. ations correspondant des lignes verticales de la figure 12 peuvent se produire En utilisant les coefficients 2A 44 on obtient les quations d volution des populations des sous niveaux fondamentaux ra JE r_1C_1 1C0 1 ToCooC 10 2A 52a p l d rg ToCo0 C 10 Cio T_1C_1 1Co 1 TC Coi 2A 52b p 1 d rat n1C11C01 ToCo0C10 2A 52c P Compte tenu des valeurs num riques des coefficients 2A 44 ces quations s crivent 1 d 1 1 i ra 2A Pa 1 1 17970 2A 53a 1 d 2 1 1 ns To T_1 2A 53b T dE T0 RTE STE 1 d 1 1 Re ee 2A T g 4 970 2A 53c Il est facile de r soudre ces quations partir de conditions initiales quelconques en tenant compte de la condition n To m 1 2A 54 146 COMPL MENT 2A La solution stationnaire s obtient imm diatement partir des quations C 12 et 2A 54 dans lesquelles le premier membre est pris gal z ro On trouve 4 ro mil T 2A 55a r e 2 2A 55b Le r gime transitoire n est gu re plus difficile obtenir C est une combinaison d exponentielles amorties dont les inverses des constantes de temps s obtiennent en diagonalisant la matrice associ e aux deuxi mes membres de C 12 1 1 0 4 9 RTE 2A 56 4 9 4 0 1 1 9 4 ce qui donne pe 0 Ir 0 10T 2A 57 IT OUT L existence d une valeur propre nulle refl te simplement l existence d une constante du mouv
211. ature plac e dans une enceinte vide isol e des vibrations On obtient alors une largeur de raie qui peut approcher 1 Hz court terme mais on ne peut malheureusement pas emp cher les d rives lentes vieillissement des mat riaux dont la structure microscopique volue Le contr le long terme de la fr quence laser repose sur la comparaison avec une raie atomique ou mol culaire qui constitue une r f rence absolue Encore faut il trouver une raie assez fine et liminer toutes les causes d largissement effet Doppler voir compl ment 3E champ lectrique ou magn tique parasite Une stabilit de l ordre de 0 1 Hz sur des raies optiques ce qui correspond une pr cision de 10716 soit environ 1 minute sur l ge de lunivers est d j r alis e au laboratoire f b Limite fondamentale Largeur de Schawlow Townes Supposons que toutes les causes d origine technique soient corrig es et que la longueur Leay de la cavit laser soit rigoureusement constante Quelle est alors la largeur de la raie laser C est Schawlow et Townes que l on doit l identification du m canisme fondamental qui emp che la raie d tre infiniment troite il s agit de l mission spontan e ins parable de l mission stimul e dans les processus d interaction entre mati re et photons En effet lorsqu une mission spontan e a lieu dans le mode de la cavit correspondant l oscillation laser on rajoute au cham
212. au de rubis taient polies parall lement l une l autre et munies d une argenture semi r fl chissante de fa on constituer une cavit laser lin aire Un autre laser dont le sch ma de principe est identique celui pr sent sur la figure 3 17 a est le laser erbium voir Fig 3 17 c Ce laser dont la longueur d onde d mission est 1 5um a donn une nouvelle jeunesse aux sch mas trois niveaux L int r t essentiel de ce laser est que sa longueur d onde se situe exactement au minimum d absorption des fibres optiques et il pr sente donc un avantage vident pour les t l communications optiques voir Compl ment 3D De plus les ions d erbium peuvent tre ins r s dans la silice pour obtenir des fibres optiques dop es l erbium Sous l action d un faisceau obtenu par exemple partir d un laser semi conducteur ces fibres constituent de remarquables amplificateurs de lumi re permettant de compenser intervalles r guliers les pertes des impulsions lumineuses se propageant dans les fibres et transportant l information De tels 234 CHAPITRE 3 LES LASERS syst mes fonctionnent entre autres sur des cables t l phoniques transoc aniques fibre optique Remarque Une oscillation laser peut galement tre obtenue avec une fibre dop e l erbium en pla ant la fibre entre deux miroirs Ces miroirs peuvent d ailleurs tre int gr s aux extr mit s de la fibre Les quations
213. aux a et b sont simultan ment aliment s taux et Ab Comment les r sultats pr c dents sont ils modifi s En fait le traitement reste simple Comme les entr es d atomes dans les niveaux a ou b sont des v nements ind pendants on pourra g n raliser les calculs des paragraphes 2 4 2 et 2 5 1 en ajoutant ind pendamment les contributions des atomes inject s en la et celles des atomes inject s en b On trouve ainsi pour les populations A 1 s A Aa Na M 2 144 rp 21 s rp l a Ao 1 S Aa Ao N 2 144b rp 21 s rp l En notant comme pr c demment Aa N 2 145a lp A O 2 145b Dh les populations stationnaires obtenues en l absence de rayonnement s 0 ces quations se r crivent sous la forme plus g n rale s 1 s 8 Na Na O M No 2 146a N Np 3 N N 2 146b NI Nj 1 s 114 CHAPITRE 2 ATOMES EN INTERACTION AVEC UNE ONDE On notera alors la relation importante pour la suite N N 0 1 s La diff rence des populations diminue et tend vers 0 par saturation N N 2 147 Le calcul de la susceptibilit s effectue de la m me fa on en g n ralisant l quation 2 117 En notant x la susceptibilit lin aire quations D 22 avec N Na o No o on obtient o NM N x Na Ny X N N O 1 s Na NOY on a utilis la relation 2 113 2 148 2 5 4 Gain
214. aux de transition par unit de temps Nous r capitulons en conclusion les diff rents r gimes d volution temporelle susceptibles de se produire 15 16 CHAPITRE 1 PROBABILIT S DE TRANSITION Ce chapitre se prolonge par deux compl ments Le compl ment 1A constitue un exemple d application de la r gle d or de Fermi au probl me de l autoionisation effet Auger c est dire de l jection d un lectron par un atome doublement excit Le compl ment 1B d crit un mod le simple permettant de comprendre le passage continu entre les deux situations limites vues dans les parties 1 2 et 1 3 transition entre deux niveaux discrets transition entre un niveau discret et un continuum Signalons galement que les compl ments 2D et 2E d crivant des processus de photod tection constituent d int ressantes applications de la r gle d or de Fermi 1 1 Probabilit de transition Rappelons tout d abord quelques r sultats importants relatifs un syst me quantique d crit par un hamiltonien o ind pendant du temps Nous d signerons par In et E les vecteurs propres et valeurs propres de o Supposons l instant initial t 0 le syst me dans l tat le plus g n ral p 0 X ln 1 1 En utilisant l quation de Schr dinger on montre que le syst me se trouve un instant t ult rieur dans l tat OS S a Nn 1 2 La probabilit de trouver le syst me dans l tat vaut P t lht
215. be laser et sont orthogonaux l axe du tube il s ensuit que le faisceau laser n est pas polaris Dans les lasers argon ionis ou a krypton ionis l inversion de population est di rectement obtenue par une d charge lectrique intense 10 A cm On peut obtenir une puissance de sortie sup rieure 10 W continus sur la raie verte de l argon 514 5 nm quelques watts sur sa raie bleue un peu moins dans l ultra violet Le laser krypton ionis peut pour sa part fournir des puissances du m me ordre respectivement dans le rouge le jaune ou le violet Ces lasers ont un rendement extr mement faible quelques watts de lumi re pour des dizaines de kilowatts lectriques ils sont chers et leur fiabilit n est pas toujours exemplaire Ils constituent pourtant des outils encore difficilement rempla ables dans de nombreuses applications scientifiques ou m dicales Les discoth ques sont aussi d excellents clients pour ce type de laser light show 3 2 DESCRIPTION DES MILIEUX AMPLIFICATEURS 225 a Lampe arc R flecteur Amplificateur elliptique YAG Chemise de refroidissement eau Frise NE TEA a b Faisceau mis Laser Amplificateur semi conducteur Miroir AG Miroir cavit pompage cavit FIG 3 8 a Section de la zone d amplification d un laser N odyme YAG pompage par lampe arc La lampe et l amplificateur sont situ s aux deux foyers d une ellipse Un tel l
216. bi Q1 cette condition est v rifi e quelle que soit la dur e d interaction T et la probabilit de transition oscille en fonction de T la fr quence il s agit du cas perturbatif de l oscillation de Rabi que nous verrons de fa on plus exacte au paragraphe 2 3 2 dans le cas d un atome 2 niveaux La valeur maximale Q 6 de la probabilit de transition pr sente le caract re r sonnant autour de 0 d j mentionn mais le traitement perturbatif ne nous permet pas de conna tre les caract ristiques de l oscillation de Rabi lorsque devient gal ou inf rieur Q La formule 2 60 nous montre cependant que le d marrage quadratique en T partir de T 0 pr sente le m me caract re r sonnant autour de 0 Nous donnerons au paragraphe 2 3 2 un traitement valable quelle que soit la valeur du rapport Q4 Une autre limitation de ce calcul est la non prise en compte de l mission sponta n e 2 1 3 ou plus g n ralement de la possibilit pour les niveaux atomiques d tre instables avec une dur e de vie T7 Nous admettrons que le r sultat 2 60 est qualita tivement valable pour des temps d interaction T plus petits que 1 Pour des transitions dans le visible la dur e de vie radiative c est dire due l mis sion spontan e des niveaux excit s peut valoir de 1 nanoseconde 1 microseconde Avec des lasers la pulsation de Rabi Q atteint couramment des valeurs plus grandes q
217. bre de photons N dans la cavit laser Pour un laser h lium n on on obtient typiquement Awsr 27 107 Hz tandis que pour un laser semi conducteur mettant 1 mW on trouve Awsr 27 1 MHz Par suite du petit nombre de photons pr sents dans le petit volume de la cavit la limite de Schawlow Townes est accessible l exp rience dans ce dernier cas alors que les causes d largissement technique sont encore largement dominantes pour le laser h lium n on 3 4 Lasers en impulsion La possibilit offerte par les lasers de fournir l nergie lumineuse sous forme d impul sions br ves tout en conservant une puissance moyenne peu pr s constante permet d at teindre des puissances instantan es tr s lev es et donc de tr s grands champs lectriques donnant acc s une physique nouvelle optique non lin aire ionisation multiphotonique cr ation de plasmas laser etc En fait certains lasers comme le laser rubis de Mai man fonctionnent spontan ment en impulsion cause des oscillations de relaxation dues la structure trois niveaux du milieu amplificateur voir 3 2 4 et figure 3 18 Nous montrons aux paragraphes 3 4 2 et 3 de cette partie comment il est possible d obtenir des impulsions g antes en contr lant ce ph nom ne fonctionnement d clench Auparavant nous pr sentons dans le 1 la m thode de synchronisation des modes mode locking en anglais qui permet d obtenir une suite
218. calculant les dip les atomiques et prenant en compte leur interaction avec le rayonnement En fait nous allons voir que les 2 5 AMPLIFICATION LASER 119 quations cin tiques sont plus puissantes condition de leur associer un mod le micro scopique de l interaction entre atomes et photons qui va permettre d crire des quations cin tiques pour les photons 2 5 7 Interaction atomes photons Section efficace laser La description par les quations cin tiques 2 160 des processus d absorption et d mission stimul e sch matis e sur la figure 2 18 sugg re l existence de processus l mentaires d absorption ou d mission stimul e dans lesquels l atome change de niveau tandis qu un photon est absorb ou au contraire est ajout au rayonnement Si cette description ne peut tre justifi e que dans le cadre d un traitement o le rayonnement est quantifi elle est pourtant tellement pratique et fructueuse que nous la pr sentons ici Nous admettons qu une onde lumineuse progressive monochromatique pulsation w transportant un flux de puissance par unit de surface II vecteur de Poynting cf qua tion 2 61c correspond un flux de photons par unit de surface c est dire un nombre de photons passant par unit de temps dans une surface unit Il Iphot 7e 2 164 Nous admettons alors que la probabilit par unit de temps qu un atome interagisse avec le rayonnement est proportionnelle
219. cas de la v locim trie Doppler paragraphe 3D 2 3 celle ci est gale la somme des intensit s des deux champs plus un terme de battement la fr quence w fr quence qui peut tre mesur e lectroniquement avec une tr s bonne pr cision On obtient ainsi un gyroscope enti rement optique De tels dispositifs sont fabriqu s industriellement et quipent un certain nombre d avions fus es ou missiles Par rapport aux centrales inertie classiques utilisant des gyroscopes m caniques ils pr sentent l avantage de ne comporter aucune pi ce m canique donc d tre insensibles tout probl me de frottement et d acc l ration d avoir une grande dynamique de mesure 3D 4 LE LASER PORTEUR D INFORMATION 305 et une bonne pr cision dans la d termination de Q En effet celle ci n est limit e que par les fluctuations intrins ques affectant la grandeur w les ph nom nes de vibration de dilatation ou autres qui modifient la longueur L du laser affectent de mani re identique les fr quences d mission w et w2 En d finitive la pr cision de la mesure n est limit e que par la largeur ultime de la raie laser largeur Schawlow Townes voir compl ment 3 9 La pr cision de mesure peut ainsi atteindre le MHz rendant possible une pr cision de d termination de Q meilleure que 107 A O zone aveugle F1G 3D 13 Variation de la fr quence du battement w en fonction de la vitesse de rotation Q aux fa
220. ce des populations Na Ne de oL w 3 18 Cette quation r sulte du bilan des processus d absorption et d mission induite l absorp tion tant proportionnelle N et l mission induite Np La section efficace d absorption et d mission stimul e oz w est un nombre positif ayant la dimension d une surface qui a g n ralement un caract re r sonnant c est dire qu elle passe par un maximum pour une certaine fr quence wm 100n pourra consid rer Va comme le volume commun au milieu amplificateur et la cavit 220 CHAPITRE 3 LES LASERS Pour un milieu homog ne et non satur k est ind pendant de l intensit Celle ci varie donc suivant la loi I z 1 0 exp 2k 2 3 19 Si k est n gatif onde est amplifi e l mission stimul e l emporte sur l absorption C est videmment ce cas qui est int ressant pour les lasers Il se produit lorsqu il y a inversion de population c est dire pour N gt N 3 20 Une telle situation est oppos e la situation d quilibre thermodynamique caract ris e par la loi de Boltzmann exp 3 21 q th kgT La r alisation d un tat hors d quilibre ne peut tre obtenue qu en jouant sur la cin tique Le cas id al est celui o l on alimente nergiquement le niveau sup rieur b et o le niveau inf rieur a se vide rapidement On se heurte bien s r aux processus de relaxa tion qui vident le niveau b
221. ce qui se produit lorsqu on couple deux oscillateurs en m canique classique On trouve en effet dans ce cas que l nergie passe p riodiquement d un oscillateur l autre avec une fr quence d oscillation qui d pend lin airement de la valeur du couplage entre les deux oscillateurs c Comparaison avec la th orie des perturbations Envisageons d abord la limite des temps courts La probabilit de transition 1 50 a alors la valeur approch e suivante correspondant au d marrage de la pr cession de Rabi 2 PaT amp En 1 51 1 2 TRANSITION ENTRE NIVEAUX DISCRETS 31 On a donc une loi en T qui co ncide avec les pr dictions de la th orie des perturbations au premier ordre voir quations 1 32 et 1 33 galement la limite des temps courts Notons que ce r sultat a t obtenu la limite o sinx x ce qui implique que x amp 1 donc que P _ T est dans ce cas tr s petit devant 1 Que donne cette comparaison pour des temps d interaction plus longs Pla ons nous dans la situation o les niveaux a et b ne sont pas d g n r s et de plus Wal lt Ea El 1 52 Dans ce cas la formule 1 50 devient l ordre le plus bas 4W2 Ea Ep P T S ERF S n Sa 1 53 Cette expression approch e du r sultat exact est identique au r sultat 1 38 de la th orie perturbative La th orie des perturbations donne donc une excellente approximation de l amplitude et de la fr quence de l
222. ceaux et faisceaux lumineux Les deux l ments de surface dS et dS d ter minent un pinceau lumineux ensemble des rayons passant dans dS et dS Les vecteurs unitaires n et n sont normaux aux l ments de surface dS et dS L ensemble des pinceaux passant dans S et S constituent un faisceau un deuxi me l ment de surface dS Fig 3G 1 L tendue g om trique du pinceau est dS cos 0 dS cos 0 o 0 et 0 sont les angles entre la direction moyenne MM du pinceau et les normales n et n aux l ments de surface On peut videmment introduire les angles solides dS cos 0 et dS cos et r crire dU dS cos 0 dQ dS cos 0 d 3G 3 Le flux nerg tique d du rayonnement transport dans ce pinceau c est dire sa puissance s exprime par la formule d L M 6 dU 3G 4 o L M 0 est par d finition la luminance au point M Pour de nombreuses sources et en particulier le corps noir une temp rature homog ne la luminance ne d pend ni du point M ni de la direction 0 et nous nous pla ons dans ce cas pour ne pas alourdir les notations Un faisceau lumineux s appuie sur deux diaphragmes dont l un peut tre confondu avec la source et la puissance qu il transporte est videmment la somme des puis sances d des pinceaux l mentaires qui le composent Si la luminance L est homog ne et ind pendante de la direction on a alors LU 3G 5 3G 1 CONSERVATION DE LA LUMI
223. ceptible de tourner autour du faisceau initial on peut mat rialiser non plus une droite mais un plan Ce type d appareillage est utilis en construction navale par exemple pour le contr le des cuves de m thanier 3D 2 2 Mesure de distances Les m thodes sont ici tr s vari es en fonction de l ordre de grandeur de la distance de l objet l observateur et de la pr cision exig e pour la mesure Elles permettent de mesurer cette distance ou bien des d placements de l objet 296 COMPL MENT 3D DETECTEUR FIG 3D 4 Mesure interf rom trique de d placements le d tecteur compte les franges d inter f rence li es au d placenzent Z du miroir Pour la d termination de faibles d placements avec une tr s grande pr cision les tech niques interf rom triques sont sans rivales L objet dont on veut mesurer le d placement porte un miroir qui ferme un des deux bras d un interf rom tre de Michelson voir figure 3D 4 On compte ensuite le nombres de franges qui d filent sur le d tecteur D Sur les machines outil utilis es en m canique de pr cision on peut ainsi contr ler les d place ments de l outil 0 3um pr s sur des distances de quelques dizaines de centim tres Si on demande une pr cision moindre toujours sur de faibles distances on peut faire appel l optique g om trique On peut par exemple d terminer par triangulation la posi tion de la tache lumineuse qu un laser cr e sur l
224. cessus physique identifi sur la figure 2 18 On reconna t ainsi les termes d alimentation A et Ap et les termes de relaxation T pa et I pN De plus les processus d absorption et d mission induite sont d crits par les taux dNa dN S aaee sapa N 2 160 dt L dt J abs 72 l a et dN dN S T N 2 160b dt L dt d sti E l Le r gime stationnaire s obtient imm diatement en annulant le premier membre des quations 2 159a et 2 159b On en d duit par addition que le nombre total d atomes N vaut A A N NENetE x 2 161 Tp Tp ce que l on avait obtenu en 2 100 Par ailleurs l inversion de population stationnaire s obtient par diff rence et elle vaut Ap Aa tioy aa N N PA S 2 162 MeN e AU a Pas Ep3 AtA IFS IFs 118 CHAPITRE 2 ATOMES EN INTERACTION AVEC UNE ONDE b i o NaTp NTp a Aa NaI D FIG 2 18 Taux intervenant dans les quations cin tiques d crivant lalimentation Aa s et A la relaxation vers lext rieur NaI p et Nil p l absorption Nar D3 l mission induite S NT D5 On constate que l on retrouve bien le r sultat 2 147 qui avait t obtenu partir d une m thode plus rigoureuse Ce calcul donne aussi les populations stationnaires Na et Mp que l on trouve identiques au r sultat 2 144a et 2 144b du calcul plus rigoureux L int r t des quations cin tiques pour les populations atomiques
225. compl ment 1B de ce chapitre montre le passage continu entre ces deux r gimes extr mes On s y int resse l volution d un niveau discret coupl un quasi continuum de largeur A variable On trouve le r gime d oscillations a si la largeur A est tr s petite devant T et le r gime d volution monotone b pour les tr s grandes valeurs de A Remarque Nous avons consid r jusqu ici uniquement des cas o la perturbation t tait parfai tement d termin e Il arrive aussi dans des cas concrets que celle ci pr sente un aspect al atoire C est le cas de l exemple du paragraphe 1 2 2 b relatif aux collisions o l instant de collision la vitesse et le param tre d impact pr sentent des fluctuations statistiques Il faut alors moyenner les expressions des probabilit s de transition sur toutes les r alisations possibles Dans ce cas il est facile de voir que les oscillations de Rabi 1 50 qui ont des phases diff rentes selon les r alisations vont avoir tendance se brouiller au bout d un temps plus ou moins long La probabilit de transition moyenn e ne pr sentera plus d oscillations et atteint alors un r gime stationnaire En revanche le comportement exponentiel se r v le beaucoup plus r sistant ce type de moyenne statistique Nous en verrons un exemple dans le chapitre 2 paragraphe 2 4 2 lorsque nous tudierons l absorption et l mission induite le pompage et la relaxation des deux ni
226. compte du fait qu il y a maintenant deux tats pour chaque valeur de l nergie En correspondant n positif ou n gatif c est dire des ondes se propageant vers les x positifs ou n gatifs La densit d tats p E est donc gale au double de celle que l on d duit de 1A 13 Elle est donc identique la densit totale p des tats du puits de potentiel avec parois donn e par l expression 1A 7 On d duit de 1A 11 et 1A 13 la nouvelle expression de la probabilit de d sint gration par unit de temps obtenue la limite L infini 2 m D 1 MV2E 2 00 00 dx dx exp iksti ba x2 W lai t2l be xi Vs x2 1A 14 1A 4 AUTRE APPROCHE POSSIBLE DU QUASI CONTINUUM 93 Si l on d compose l exponentielle en sinus et cosinus et qu on tient compte des propri t s de sym trie de alx x et W dans la r flexion d espace on montre facilement que cette expression co ncide exactement avec celle trouv e en 1A 9 On retrouvera cette technique de d composition en s rie de Fourier dans de nombreux probl mes La relation 1A 10 impliquant que l extension de f tout l axe r el est p riodique de p riode L mais pas n cessairement continue en x L 2 cette technique est connue sous le nom de condition aux limites p riodiques COMPL MENT 1B 55 Compl ment 1B Continuum de largeur variable Dans le chapitre 1 nous avons vu deux types bien diff
227. correspondant de l espace des phases vaut ATAkr min AyAky min A2Akz min 27 3G 24 Remarque Dans le cas d une particule mat rielle l espace des phases est le produit direct de l espace des positions par celui des quantit s de mouvement et la cellule l mentaire a pour volume h le cube de la constante de Planck En utilisant la relation p hk 2r pour le photon on retrouve 3G 24 350 COMPL MENT 3G 3G 5 2 Pinceau de rayonnement thermique La luminance spectrale w du corps noir ou encore d un trou perc dans la paroi d une enceinte contenant du rayonnement thermique est gale c 1 dE 2 w 4r L3 dw aa la densit volumique d nergie du rayonnement AE tant donn e par la loi de Planck 3G 12 L nergie contenue dans un mode caract ris par 3G 16 et 3G 20 vaut 1 Pad z dUminl AwAt min 5 3G 26 C 4r LE w Le facteur z rend compte de l existence de deux polarisations orthogonales et donc deux modes distinguables pour un paquet d onde minimal En utilisant 3G 25 et 3G 12 on trouve so Ma exp 2 1 c est dire que le nombre de photons par mode libre du rayonnement du corps noir est encore donn par la distribution de Bose Einstein 3G 13 Emode 3G 27 3G 5 3 Faisceau mis par un laser La divergence d un faisceau laser monomode transverse n est due qu la diffraction C est donc un pinceau minimal pour les coor
228. couplant le niveau fondamental d un atome un niveau excit et que l on peut trouver dans les tables de donn es atomiques L quation 2 127 s crit alors N q fab 1 a e 2 128b y 2mEpwo wo w Cette expression peut encore tre transform e en introduisant l inverse du temps d amortissement classique d un lectron li lastiquement 2 2 gd wo ra 2 129 cl GT Eo mo ce qui conduit 2 130a 110 CHAPITRE 2 ATOMES EN INTERACTION AVEC UNE ONDE ou encore en fonction de la longueur d onde o 27c wo 3 NX Fa 2 130b 8r V wp w 1 X1 On peut montrer que pour un atome deux niveaux la quantit fala est gale au taux Psp d amortissement par mission spontan e du niveau excit quantit que l on trouve galement dans les tables de donn es On obtient ainsi la formule utile 3 NA Tep 8r V wgo w x 2 130c Cette expression permet de comprendre les ordres de grandeur de l indice de r fraction des vapeurs ou des solides transparents En effet loin des zones d absorption le d saccord w wol est tr s grand devant le taux d mission spontan e Tsp et il faut une densit atomique N V beaucoup plus grande que 1 X pour obtenir une susceptibilit qui ne soit pas tr s petite devant 1 On comprend ainsi que l indice de r fraction d une vapeur atomique ou mol culaire qui est li x4 voir le paragraphe 2 4 4 ci dessous diff re tr s peu d
229. ctif plong dans une bo te carr e de taille L 2 On a des niveaux discrets m me pour les tats d nergie positive mais si L est suffisamment grand ils sont tr s serr s on a un quasi Continuum Nous admettons de plus que les tats d nergie positive sont peu diff rents de ceux associ s un potentiel nul l int rieur de la bo te cette approximation est raisonnable lorsque la taille de la bo te L est suffisamment grande et pour des nergies E pas trop proches de 0 Les niveaux d nergie sont alors ceux du puits de potentiel carr Rer Ex k 1 66 F7 mL 586 L intervalle entre deux niveaux successifs peut s crire 2rh VE Exy1 Ek 1 67 k 1 k om D On constate bien que l cart entre niveaux varie en 1 L nergie donn e Notons que l amplitude des fonctions d onde correspondantes qui r sulte d une normalisation dans la bo te de taille L varie en L712 Nous ferons appel ce r sultat dans la suite b Mod le simple de quasi continuum Revenons au probl me g n ral d un niveau discret coupl un quasi continuum Nous allons le traiter tout d abord dans un cadre extr mement simplifi qui nous permettra d obtenir les r sultats essentiels en vitant des calculs compliqu s Consid rons un hamiltonien Ho dont les tats propres sont d une part le 38 CHAPITRE 1 PROBABILIT S DE TRANSITION niveau initial i nous prendrons F 0 et d autre part un e
230. ctro optique qui est efficace jusqu une dizaine de GHz Ces dispositifs sont susceptibles de modifier volont les diff rents param tres de l onde laser direction ou intensit mais aussi phase ou polarisation Ils sont le compl ment indispensable du laser dans la plupart des dispositifs que nous allons d crire ci apr s Il faut enfin signaler que dans le cas particulier des lasers semi conducteur il est possible de moduler l intensit de sortie m me des fr quences tr s lev es simplement en faisant varier le courant d alimentation de la diode La grande commodit de cette m thode est un avantage suppl mentaire des diodes lasers extr mement pr cieux par exemple dans le cas des t l communications voir paragraphe 3D 4 3 3D 1 4 Conclusion Nous avons tent de donner dans ce premier paragraphe quelques indications sur les atouts du laser afin que le lecteur puisse lui m me replacer dans ce contexte les diverses applications dont il pourra avoir connaissance En ce sens les quelques exemples qui suivent ne doivent tre consid r s que comme des illustrations Il semble clair que les applications utilisant les propri t s g om triques et spectrales des faisceaux laser et leur facilit de manipulation vont continuer se d velopper dans une gamme allant des tech 3D 2 MESURES PAR LASER 295 niques les plus rudimentaires aux plus sophistiqu es Signalons par exemple que le projet VIRGO de d tect
231. d impulsions extr mement br ves partir d un laser pr sentant une large courbe de gain et pomp de mani re continue C est en raffinant cette technique que des impulsions de quelques femtosecondes ne contenant donc qu un tr s petit nombre de p riodes d oscillation ont t obtenues pour des impulsions visibles Ces impulsions ont permis des avanc es remarquables dans l tude des ph nom nes ultra rapides 3 4 1 Laser modes synchronis s La synchronisation des modes est un moyen l gant pour produire des impulsions br ves Pour en comprendre le principe consid rons d abord un laser continu multimode La lumi re mise comporte plusieurs composantes monochromatiques correspondant aux 2TRappelons que Aweav et le temps Tav mis par l nergie lectromagn tique pour dispara tre de la cavit sont reli s par une relation de la forme AwcayTeav 1 voir Compl ment 3A 28T existe d autres causes d largissement dans les lasers semi conducteur C est pourquoi la largeur de raie laser y est g n ralement sup rieure la largeur Schawlow Townes typiquement par un facteur de l ordre de 10 facteur de Henry 29Un tel laser est souvent baptis modes bloqu s traduction approximative de l anglais mode locked dont le sens pr cis est modes verrouill s en phase 3 4 LASERS EN IMPULSION 245 divers modes et dont les phases sont a priori incorr l es Le champ lect
232. d nergie Ea et D une mani re identique celle du paragraphe 1 2 4 c on applique partir de l instant 0 une interaction W qui est par la suite constante Nous supposerons pour simplifier que les l ments de matrice diagonaux Wa et Wp sont nuls et que Wap est r el Supposons que le syst me est initialement dans l tat a et calculons la probabilit de transition P _L T Pour r soudre ce probl me il nous faut conna tre les tats propres l1 et 92 et les nergies F et Ez de l hamiltonien total o W On montre que les tats propres sont donn s par y Go Ola sin 8 b 1 48a 2 sin a cos b langle 0 tant d termin par tan 20 2Wb Ea Et i 1 48b Les nergies correspondantes valent E E b volution temporelle Ea Eb y Ea E 4WA 1 49 ERIE N OR 4W2 2 nie Nle L tat du syst me l instant t est obtenu en d composant l tat initial a sur les tats propres 1 et y2 et en multipliant les coefficients relatifs ces deux tats par les facteurs de phase exp i E1t et exp iEot h Un calcul sans difficult permet de calculer le vecteur d tat du syst me l instant T et donc la probabilit de transition P T qui vaut AW PaT he _ T Ea Ep 4W2 T sin Ea Ep 4W2 2 1 50 HVoir CDL compl ment Brv 12On trouvera dans le chapitre 2 paragraphe 2 3 2 un
233. de mutations cellulaires dans les tissus environnants 3C 4 APPLICATION MILITAIRES 285 t me de tir est n gligeable compar e un syst me classique canon ou missile De plus le projectile se d place la vitesse de la lumi re L erreur de pointage et donc la pro babilit de manquer la cible peut donc tre rendue tr s faible m me pour des distances tr s importantes C est la raison pour laquelle des recherches intensives ont t consacr es l arme laser qui peut avoir des utilisations aussi bien tactiques que strat giques on sait que dans les ann es 80 les superpuissances ont consacr de gigantesques efforts au projet dit de guerre des toiles qui devait notamment conduire d velopper un syst me de destruction par laser des missiles balistiques adverses l aide d un r seau de satellites Ces recherches se heurtent cependant un grand nombre de probl mes difficiles r soudre En effet pour obtenir un effet destructeur partir d un rayonnement lumineux il faut apporter sur l objet endommager un flux de quelques kW cm pendant un temps de l ordre de la seconde La focalisation du faisceau sur la cible et le suivi de son pointage pendant le temps nocessaire la destruction doivent donc tre r alis s avec une grande pr cision De plus le faisceau subit de nombreux effets perturbateurs sur son trajet att nuation et diffusion par l atmosph re d une mani re qui
234. de volume vaut P D En utilisant les d finitions 2 118a et 2 118b du chapitre 2 et en posant Da d nous trouvons la partie r elle dispersion et imaginaire absorption de la susceptibilit N d wo w a 2B 48 X V o wo w 0 a N 2 ia Na 1 2B 48b FT Ve u UT 2B 3 ATOME DEUX NIVEAUX TRAITEMENT NON PERTURBATIF 165 Ces expressions non perturbatives de la susceptibilit d une assembl e d atomes sont tr s utiles dans de nombreux probl mes d optique non lin aire Elles permettent de d crire les ph nom nes haute intensit tout en prenant correctement en compte la relaxation dans un syst me ferm Dans le cas o la seule cause de relaxation est l mission spontan e on a y Tsp 2 et on trouve ainsi la formule 2 125 donn e sans justification au chapitre 2 Rappelons que les formules 2B 48a et 2B 48b sont associ es au r gime stationnaire Il est clair qu il existe d autres solutions int ressantes des quations de Bloch dans le r gime transitoire Par exemple lorsque le champ lectromagn tique est appliqu brusque ment tous les atomes sont l instant initial dans le niveau fondamental La solution des quations de Bloch permet alors de d terminer le r gime transitoire Cette solution tran sitoire est en fait une oscillation de Rabi amortie par la relaxation On l appelle un transi toire coh rent cf Chapitre 2 C 2 d 2B 3 3 Syst me
235. de Bohr w de la transition Longtemps consid r e comme une curiosit th orique car elle jouait peu de r le dans les sources de lumi re traditionnelles l mission induite est en fait un ph nom ne tr s important qui permet l amplification des ondes lumineuses Nous verrons qu elle est la base du fonctionnement des lasers Remarques i On peut se demander avec quelle pr cision la fr quence de l onde incidente doit co ncider avec la fr quence atomique wo pour que l mission induite ou l absorption soit un ph nom ne important Nous verrons dans les parties 2 3 et 2 4 qu faible intensit la r sonance suit une loi Lorentzienne dont la largeur est de l ordre soit de l inverse du temps d inter action soit de l inverse de la dur e de vie des niveaux atomiques c est la plus grande des deux largeurs qui compte forte intensit la largeur de la r sonance devient plus grande que la largeur pr c dente et elle cro t comme l amplitude du champ c est dire comme la racine carr e de l clairement de l onde puissance par unit de surface ii On consid re souvent que l apport majeur de l article d Einstein de 1916 est la pr diction du ph nom ne d mission induite ce qui est exact sur le plan historique Sur un plan conceptuel et avec un recul de plus de cinquante ans on peut avoir un point de vue diff rent dans lequel absorption et mission induite sont deux pr
236. de Fabre ont jou un r le majeur Son volume montre qu il va tr s au del de ce qui sera enseign Le programme d enseignement stricto sensu ne comprend que les chapitres en laissant de c t certains d veloppements souvent en petites lettres C est en fait le contenu des amphis qui fait foi Les compl ments ne font pas partie du cours mais certains seront abord s en petite classe Le fait que ce document aille au del du contenu de l enseignement repr sente une petite difficult qui ne devrait pas tre insurmontable pour un polytechnicien L avan tage est qu il y trouvera des informations utiles pour les modules d enseignement plus sp cialis s les stages d option ou pour simplement satisfaire sa curiosit et largir ses connaissances ceux que cette ambition habite je ne saurais trop recommander d ap prendre consulter les ouvrages dont une liste est donn e ci contre Ils y trouveront non seulement des informations compl mentaires mais aussi des points de vue diff rents qui leur permettront de d velopper leur propre compr hension 2Claude Cohen Tannoudji Bernard Diu et Franck Lalo M canique Quantique Hermann Paris 3G Grynberg A Aspect C Fabre Introduction aux lasers et l optique quantique Cours de l cole polytechnique Ellipses 1995 Bibliographie sommaire A E SIEGMAN Lasers University Science Books O SVELTO Principles of lasers Plenum L MANDEL et
237. de incidente ce qui n cessitera une nouvelle approche COMPL MENT 2E 201 Compl ment 2E D tecteurs infrarouge multipuits quantiques Les d tecteurs infrarouges sont utilis s pour r aliser des images dans les gammes de longueurs d ondes comprises entre 3 et 20 um Les gammes 3 5 um et 8 12 um sont particuli rement int ressantes car elles correspondent deux fen tres de transparence atmosph rique Les domaines d applications en sont la vision nocturne longue port e la surveillance de points chauds la vision travers des milieux tr s diffusants La proc dure d acquisition des images est obtenue en projetant l image d tecter sur une matrice ou mosa que de d tecteurs situ e au point focal d un syst me de vision i Cdys Mnys Te c Par a Fea ZnTe 2 CdSe AISb m ENERGY GAP AT 4 2K IN eV 5 4 5 6 58 6 0 6 2 6 4 6 6 LATTICE CONSTANT IN A FIG 2E 1 Largeur de la bande interdite en fonction de la dimension de la maille cristalline dans les principaux semiconducteurs Les colonnes d finissent les familles de semiconducteurs qui pr sentent des accords pitactiques possibles 202 COMPL MENT 2E L existence des puits quantiques est li e la vari t des semiconducteurs compos s II V ainsi d sign s parce qu ils sont obtenus partir des l ments de la colonne III Al Ga In et de la colonne V As P N du tableau de Mendeleev Ces compos s ont pour la plupar
238. diats et nous avons vu que l on pouvait arriver de fa on beaucoup plus simple au r sultat en d crivant l interaction atome rayonnement par des quations cin tiques Il s agit d quations de bilan des pro cessus microscopiques d absorption et d mission stimul e dans lesquels l atome change de niveau en enlevant ou en rajoutant un photon l onde consid r e comme un cou rant de photons Ce point de vue est particuli rement utile car il permet d crire des quations tr s simples utilisant des param tres connus des transitions laser leur sec tion efficace r sonance oz wo leur largeur de raie gt leur intensit de saturation Il Cette simplicit ne doit pas nous faire oublier que ce r sultat n est valable que moyennant un certain nombre d hypoth ses en fait souvent v rifi es De plus ce mod le bas sur des quations cin tiques avec des photons fait perdre de vue que nous avons une onde lectromagn tique avec une fr quence et une phase bien d termin es caract ristiques es sentielles des faisceaux laser dont la coh rence est une propri t cruciale L avantage du mod le semi classique qui d crit le rayonnement par une onde est de mettre l accent sur ces caract ristiques Si l on veut d crire de fa on synth tique les aspects ondulatoires et corpusculaires de la lumi re il faudra recourir un mod le quantique du rayonnement Mais ce formalisme est nettement plus difficile mettre e
239. dier les processus de relaxation collisions champs magn tiques Mais il s agit ici de relaxation dans l tat fondamental et non dans l tat excit La dur e de vie d un sous niveau Zeeman de l tat fondamental tant tr s longue on con oit que l on peut acc der des effets tr s petits ce qui donne aux m thodes de pompage optique une tr s grande sensibilit Citons par exemple les magn tom tres pompage optique capables de mesurer des champs magn tiques de 107 Tesla soit 107 fois le champ terrestre Remarques i Le raisonnement ci dessus se transpose directement au cas d une polarisation circulaire Par exemple si la lumi re incidente est polaris e o4 le sous niveau fondamental Mma 1 compt suivant un axe de quantification Oz parall le la direction de propagation de la lumi re est vid par pompage optique Figure 2A 11 et la vapeur devient transparente la lumi re polaris e o au bout de quelques temps de pompage Tp ii Les populations des sous niveaux Zeeman r sultent en pratique d un quilibre entre les effets de pompage optique qui tendent carter le syst me de l quilibre thermodynamique et les effets de relaxation qui l y ram nent par exemple les collisions Il s ensuit que ces populations et par cons quent la transmission du faisceau de pompage d pendent de lin tensit de l onde incidente en pr sence de relaxation il faudrait une intensit infin
240. donc att nu Figure 2 1 Comme on l a vu au chapitre 1 1 2 4 d ce processus n est important que si londe lectromagn tique est quasi r sonnante c est dire si sa fr quence est tr s proche d une fr quence de Bohr atomique par exemple Er E Ea d CE 2 2 Pour w voisin de wya on pourra en premi re approximation n gliger les autres niveaux atomiques et utiliser le mod le simplifi de atome deux niveaux a et b C est ce mod le que nous utiliserons dans tout ce chapitre chaque fois que nous aurons affaire des processus quasi r sonnants Nous noterons alors la fr quence de r sonance wo La condition de r sonance sugg re naturellement d interpr ter le processus ci dessus comme l absorption dans l onde incidente d un photon d nergie hw faisant passer l atome du niveau d nergie Fa au niveau d nergie F4 Il s agit d une image commode et souvent 62 CHAPITRE 2 ATOMES EN INTERACTION AVEC UNE ONDE EE Ooa FIG 2 1 Processus d absorption L excitation de l atome de l tat fondamental a vers b s accompagne d une diminution de l amplitude de londe incidente de pulsation l tat excit w L effet ne se produit que si l onde est quasi r sonnante avec la fr quence de Bohr wba que nous noterons w pour le mod le de l atome deux niveaux fructueuse Il convient n anmoins de remarquer qu une telle interpr tation n est en rien justifi e par le fo
241. donn es transverses En ce qui concerne les coordonn es longitudinales on consid re comme ci dessus un paquet d onde de dur e minimale compatible avec la largeur de raie Aw suivant la relation 27 At 52 t N 3G 28 Le nombre de photons par mode libre est donc 2r aser Z 3G 29 M w Aw l La largeur de raie Aw est souvent tr s inf rieure 2rc Leav et en comparant 3G 29 3G 16 on voit que le nombre de photons par mode dans un faisceau laser est tr s grand devant 1 Si on prend pour largeur de raie la limite de Schawlow Townes cf 3 3 3 b et compl ment 3F qui vaut typiquement 1073 Hz le nombre de photons par mode peut d passer 10 pour un laser de quelques mW M me si on prend des largeurs de raies plus 3G 6 CONCLUSION 351 r alistes de l ordre du MHz on trouve des nombres sup rieurs 10 photons par mode pour des cavit s dont la longueur est de l ordre du m tre Nous retrouvons dans le cas des faisceaux libres le fait qu un faisceau laser un nombre de photons par mode tr s grand devant 1 par opposition un faisceau issu d une source thermique 3G 6 Conclusion Nous avons vu que la lumi re laser offre la possibilit d tre concentr e aussi bien dans l espace que dans le temps ou de fa on compl mentaire angulairement faisceau tr s collimat et dans le spectre faisceau tr s monochromatique Ces possibilit s sont fondamentalement reli es au fait que tous
242. du spectre visible Dans les deux cas il y a beaucoup moins d un photon par mode M gt Amplificateur laser Ms CRE p FIG 3G 3 Mode laser dans une cavit de longueur Leay Le miroir de sortie a un coefficient de transmissions T et la puissance sortante est proportionnelle l nergie stock e dans le mode 4Le calcul peut tre fait comme au paragraphe 2C 2 du compl ment 2C en n oubliant pas de multiplier le r sultat par 2 pour tenir compte des 2 polarisations associ es chaque k 5Ce r sultat bien connu s interpr te en consid rant le rayonnement thermique dans chaque mode comme un ensemble de bosons l quilibre thermodynamique voir par exemple ref phys stat Huang 348 COMPL MENT 3G 3G 4 2 Cavit laser Consid rons un laser mono mode mettant une puissance Si le miroir de sortie a un coefficient de transmission T et la cavit une longueur totale Leay Figure 3G 3 le nombre de photons contenus dans la cavit laser vaut BTE Nes OT c 3G 15 Prenons l exemple d un laser H lium N on d livrant 1 mW avec une cavit de longueur 1 m et un coefficient T de 107 La formule 3G 15 montre qu il y a environ 2 x 10 photons dans le mode de la cavit laser Cette d g n rescence tr s lev e est une caract ristique essentielle de la lumi re laser Elle est intimement li e la possibilit d obtenir des densit s de puissance consid rablement plus lev e que pour le ra
243. du dip le lectrique atomique On comprend aussi les succ s de ce mod le pour d crire l interaction mati re lumi re domin e par l interaction dipolaire lectrique Lorsque le rayonnement incident est suffisamment intense pour que la population P de l tat excit ne soit pas n gligeable on voit que tout se passe comme si la force appliqu e tant r duite par le facteur P P 1 2P Il s agit en fait du terme de saturation 1 1 s qui vient simplement r duire la r ponse lin aire caract ris e par la susceptibilit lin aire de x Nous avons donc justifi l affirmation suivant laquelle la r ponse lin aire de la mati re est correctement d crite par un mod le enti rement classique mais le ph nom ne de saturation est caract ristique du mod le quantique de syst me 2 niveaux que l on a vu appara tre dans le chapitre 2 par exemple 2 2 121 ou 2 2 148 et Remarque On peut construire des mod les classiques de la mati re faisant appara tre des non lin arit s par exemple en prenant un lectron dans un potentiel enharmonique Mais il n existe pas de mod le classique simple pour le ph nom ne de saturation COMPL MENT 2D 187 Compl ment 2D Effet photo lectrique L effet photo lectrique est le ph nom ne d jection d lectrons hors de la mati re sous l effet d un rayonnement incident D abord observ par Hertz dans le cas d un m tal les lectrodes de son
244. e De m me l holographie imagin e en 1948 par D Gabor ne s est vraiment d velopp e qu apr s l av nement du laser Un hologramme permet de stocker la fois les informations de phase et d intensit de londe lumineuse voir figure 3D 2 Il est obtenu par enregis trement photographique de la figure d interf rence r sultant de la superposition de Vonde diffus e par un objet et d une onde de r f rence ER Lorsqu on claire l hologramme par un faisceau identique l onde de r f rence l onde diffract e par l hologramme est iden tique en amplitude et en phase l onde initiale qui provenait de l objet lui m me On obtient ainsi une reproduction en trois dimensions de l objet initial L holographie laser a de multiples applications dont nous mentionnerons quelques unes dans la suite de ce compl ment OBJET FIG 3D 2 Enregistrement d un hologramme la plaque H photographique est illumin e la fois par l onde de r f rence ER et la lumi re diffus e par l objet qui produisent un syst me d interf rences La puret spectrale du laser a de nombreuses applications directes soit pour discri 294 COMPL MENT 3D miner deux syst mes dont les fr quences d absorption sont tr s proches l une de l autre comme dans la s paration isotopique par laser 8 3D 4 soit pour mesurer un ph nom ne li la variation de fr quence de l onde v locim trie Doppler 3D 2 3 gyro
245. e polarisation o T Mmk Mi 1 2A 33a comparer 2A 30 ainsi que Ex gt Ei 4 Jk Ji 1 ou 0 2A 33b polarisation o_ Mk Mi 1 Pour un atome de moment cin tique total F I J les r gles de s lection s crivent de fa on analogue avec les nombres quantiques F et mp Ces r gles peuvent s interpr ter comme la conservation du moment cin tique lors de l ab sorption d un photon polaris circulairement c dont la projection du moment cin tique le long de l axe de quantification vaut A suivant le sens de la polarisation circulaire iii Une onde polaris e lin airement suivant une direction perpendiculaire Oz par exemple suivant Ox est dite polaris e lin aire On peut la consid rer comme la superposition 2A 1 R GLES DE S LECTION ET POLARISATION 133 d une onde polaris e circulairement o et d une onde polaris e circulairement o_ ce que traduit l quation 2A 34 cf Equations 2A 22b et 2A 22c Par absorption depuis a 1 0 0 une telle polari sation excite l atome dans une superposition d tats reproduisant la superposition 2A 34 des polarisations o4 et o 1 b Ari 1 m 1 n l 1 m 1 2A 35a On peut v rifier qu il s agit en fait de l tat lb In 1 ms 0 2A 35b c est dire de l tat propre associ la valeur propre Ms 0 de la composante du moment cin tique Ce r sultat
246. e ment savoir la somme des populations des sous niveaux fondamentaux Equation 2A 54 L exemple ci dessus nous a montr comment les quations de pompage permettent d obtenir simplement la valeur des populations au cours du temps Il se g n ralise ais ment de nombreuses situations Remarques i Les quations de pompage ne sont justifi es que lorsque la polarisation de londe est telle qu elle couple un sous niveau fondamental un seul sous niveau excit Par ailleurs rappelons qu il est n cessaire d tre dans un cas o l intensit lumineuse est non saturante ii Le traitement ci dessus met en vidence le fait que l on peut avoir des constantes de temps d volution tr s longues devant Ep si Z est tr s petit devant Tsat iii Si on crit les quations de pompage pour la situation de la figure 2A 9 on trouve comme solution stationnaire mo o0 0 ce qu on avait devin intuitivement De m me l excitation de la transition Ja 1 J 2 de la figure 2A 12 par une lumi re polaris e circulaire g aboutit l accumulation de toute la population dans le sous niveau Ma 1 de sorte que l on doit trouver m 00 1 Il est fr quent de pouvoir deviner ainsi par des arguments simples l tat stationnaire d une situation de pompage optique iv Dans de nombreuses situations les quantit s importantes pour lexp rience ne sont pas les populations des diff rents sous niveaux Zeeman mais
247. e 1 dans les zones de transparence par exemple n 1 vaut environ 3 x 1074 dans le cas de l air pour de la lumi re visible En revanche pour des solides tels que le verre ou plus g n ralement les di lectriques la densit atomique est beaucoup plus grande que 1 A8 typiquement 102 m compar s 101 m pour des longueurs d onde visibles et on a des mat riaux r fringents bien que transparents Remarque Nous verrons dans la partie 2 5 que l absorption peut s exprimer en r gime lin aire l aide d une section efficace Cabs reli e la partie imaginaire de la susceptibilit par la relation Zx T Cabs 2 131 rappelons que nous sommes ici dans le cas o on n alimente que le niveau du bas et en r gime lin aire N amp Na Pour un atome deux niveaux ferm s et lorsque la relaxation du niveau b vers le niveau a est uniquement due l mission spontan e la section efficace d absorption prend la forme remarquable ns 2 132 o o est la longueur d onde r sonance 10 27 c wo On retiendra qu r sonance exacte la section efficace d absorption est de l ordre du carr de la longueur d onde 2 5 Amplification laser 2 5 1 Alimentation du niveau sup rieur mission induite Nous consid rons nouveau le mod le pr sent au paragraphe 2 4 1 Figure 2 11 mais nous supposons maintenant que c est le niveau sup rieur de la transition qui est aliment figure
248. e compl mentarit est que globalement les atomes acqui rent une vitesse moyenne non nulle le long de l axe Ox Dans l exemple discut ci dessus cette vitesse moyenne a un signe oppos vo Le d placement d un gaz d cet effet appel effet de piston optique a t observ dans plusieurs laboratoires Il convient de noter que pour cet exemple le mouvement n est pas d un effet m canique de la lumi re li par exemple un transfert d impulsion lors de l absorption d un photon par un atome pression de radiation Le d pla cement peut d ailleurs se produire dans le sens oppos celui de la propagation de l onde si le laser est d saccord vers les fr quences lev es Signalons toutefois qu il existe des situations exp rimentales diff rentes o l effet de pression de radiation est pr dominant c Principe de la spectroscopie d absorption satur e Supposons que le faisceau incident de pulsation w soit divis l aide d une lame s paratrice en deux faisceaux un faisceau intense not F et un faisceau sonde faible not F voir figure 3E 3 Ces deux faisceaux sont envoy s selon deux directions pratiquement oppos es dans le gaz leur direction faisant un tr s petit angle juste suffisant pour pouvoir placer un d tecteur sur le faisccau F sans occulter le faisccau F 6Voir par exemple L Moi La Recherche n 207 F vrier 1989 p 260 3E 2 SPECTROSCOPIE D ABSORPTION SAT
249. e d intensit J On d finit 144 COMPL MENT 2A d abord un taux de pompage global HE Po 2 La 1 42 sp 2A 46 qui fait intervenir l cart r sonance ainsi que l intensit lumineuse incidente normalis e par l intensit de saturation Cette formule n est valable que si le param tre de saturation de la transition I 1 Isat 1 4 2A 47a est petit devant 1 soit Tp Tsp En pratique on utilise souvent les clairements puis sance lumineuse par unit de surface c est dire vecteur de Poynting IT et on crit I Il es 2A 47b Ps LL l L clairement de saturation Isat her The Sr 2A A7 t T c parfois appel intensit de saturation est typiquement de quelques milliwatts par centim tres carr s Remarques i Pour justifier les formules ci dessus consid rons la transition o connectant le sous niveau Ma 1 au sous niveau m 2 Comme le montre la figure 2A 12 la force du couplage vaut alors 1 Or un tel syst me constitue un syst me deux niveaux pour lequel les r sultats du chapitre 2 sont applicables L clairement de saturation correspond une situation o l largissement par saturation est gal la largeur naturelle ou encore un param tre de saturation r sonance gal 1 D apr s l quation 2 126 cette situation est r alis e pour une pulsation de Rabi T2 Osat Ze 2A 48a L clairement de saturation vaut donc E
250. e de l inversion de population qui vaut 1 pour une inversion totale c est dire pour Na 0 Remarquons que la formule 3F 11 jointe l quation 3F 9 permet d valuer le rapport entre la largeur ultime de la raie laser et la largeur d un mode de la cavit nr Ne 3F 12 Nes N N Na Comme le nombre de photons M est tr s grand devant 1 et que le facteur d inversion est de l ordre de l unit cette formule montre que dans la limite Schawlow Townes la raie laser est beaucoup plus fine qu un mode de la cavit qui est pourtant d j tr s troit On comprend galement que plus M est grand plus l oscillation laser est stable vis vis des fluctuations Enfin la pr sence du facteur N N Na traduit le fait que l absorption de photons de l onde laser est une cause de fluctuation d autant plus faible que l inversion de population est meilleure Pour les applications num riques utilisant la formule 3F 11 il faut estimer Away Cela peut tre fait au moyen des formules 21 et 30 du compl ment 3A qui conduisent c as L 3F 13 L o L 2 est la distance s parant les deux miroirs de la cavit lin aire Par exemple pour un laser H lium N on mettant une puissance Ps 1mW ayant des miroirs s par s de 1m soit L 2m et avec un miroir de sortie de transmisssion T gal 2 on a A 5 x 10 Hz SES amp 107 Hz T AW cav Un laser ayant une raie aussi troite constituerait u
251. e de son niveau sup rieur iv On conna t en lectrodynamique classique le mod le de l lectron lastiquement li qui permet de donner une image compl tement classique des processus voqu s dans ce para graphe Ce mod le donne en particulier les quations 2 5 et 2 6 v Il existe une autre cause d largissement homog ne c est dire identique pour tous les atomes des raies spectrales il s agit des collisions avec d autres atomes qui provoquent des sauts brutaux et al atoires de la phase de l onde mise cf quation 2 5 On peut montrer que si T gt est l intervalle de temps moyen entre deux collisions d phasantes la forme de raie reste Lorentzienne mais avec une largeur de raie 1 1 2 1 4 Diffusion lastique Consid rons nouveau un atome deux niveaux initialement dans son tat fondamen tal la et soumis une onde incidente de fr quence w pouvant tre tr s diff rente de la fr quence de r sonance atomique w Dans cette situation une fraction de l onde incidente est diffus e amplitude de l onde transmise est inf rieure celle de l onde incidente et 66 CHAPITRE 2 ATOMES EN INTERACTION AVEC UNE ONDE E Et lb i AN 7 0 0 Ta WU LT k E la FIG 2 4 Processus de diffusion lastique L amplitude de l onde incidente diminue tandis qu il y a apparition de lumi re la fr quence de l onde incidente dans des directions diff rentes
252. e en rempla ant l hamiltonien par un hamiltonien effectif Weg dont l l ment de matrice entre les tats i et k vaut KWID GWI kald Z Tr i j j ki 1 58 Cet l ment de matrice et donc la probabilit de transition P _ sont d autant plus importants qu il existe un ou plusieurs niveaux relais j dont l nergie est proche de l nergie de l tat initial i On constate de plus que la probabilit de transition est d ordre 1 3 CAS D UN NIVEAU DISCRET COUPL UN CONTINUUM 33 4 vis vis de W et non d ordre 2 comme au paragraphe pr c dent Dans le cas d une interaction avec la lumi re W est proportionnel au champ lectrique voir le paragraphe 1 2 2a et le processus est proportionnel au carr de l intensit lumineuse on entre dans le domaine de l optique non lin aire Remarque On peut aussi montrer que la perturbation t provoque des d placements des niveaux d nergie gaux aux l ments diagonaux du hamiltonien effectif Weg voir par exemple le paragraphe 2 3 4 du chapitre 2 Ainsi le d placement du niveau i vaut Geli gt UND 1 59 j i i la limite des tr s longs temps d interaction il ne peut y avoir de transitions qu entre niveaux dont les nergies d plac es sont identiques Donnons une d monstration relativement rudimentaire de la formule 1 57 on trouvera dans CDG 1 Compl ment Bry une d monstration plus labor e En utilisant la
253. e est monochromatique la fr quence de l onde incidente avec laquelle elle a une relation de phase constante M me si en th orie quantique certains processus de diffusion peuvent tre d crits en terme d absorption suivie d mission spontan e on ne peut pas s parer les deux tapes et faire le calcul comme s il s agissait de deux processus successifs ind pendants ii Il est int ressant de noter qu ici aussi le mod le compl tement classique de l lectron lastiquement li pr dit correctement la forme des lois de diffusion En particulier on trouve ainsi les valeurs des sections efficaces de diffusion Rayleigh et Thomson 2 1 5 Processus non lin aires Les effets d absorption et d mission induite d crits ci dessus apparaissent au premier ordre du traitement perturbatif de l interaction atome champ des ordres plus lev s on pr voit l existence de transitions lorsque la fr quence du champ est un sous multiple d une fr quence de Bohr atomique W 2 9 o p est un entier Ces transitions associ es des termes non lin aires de degr p du champ dans l hamiltonien effectif d interaction voir 2 3 3 peuvent naturellement s in terpr ter comme une absorption de p photons d nergie hw Figure 2 5 On les appelle aussi processus multiphotoniques E Ef 4 Ib E h0 ko ORA t i i i O o si OR NS ja FIG 2 5 Processus non lin aire d ordre 3 r sonnant lors
254. e et lectron Notons qu ici encore le faisceau amplifi a une fr quence plus petite que le faisceau incident la diff rence de fr quences se retrouvent sous forme d nergie cin tique de l lectron En fait dans le laser 20Ce processus est appel diffusion Compton stimul e Il s apparente la diffusion Raman stimul e tudi e dans le paragraphe 2 1 5 du chapitre 2 la diff rence essentielle tant que les niveaux initial et final sont discrets dans la diffusion Raman et continus l tat de l lectron tant d fini par son impulsion dans la diffusion Compton 3 3 PROPRI T S SPECTRALES DES LASERS 237 lectrons libres les lectrons ne sont pas soumis un champ lectromagn tique incident On envoie un faisceau d lectrons rapides dans une structure magn tique modul e spatialement onduleur qui donne par passage dans le r f rentiel propre de l lectron le champ de fr quence w induisant le processus de diffusion stimul e La fr quence de l onde susceptible d tre amplifi e est obtenue dans le r f rentiel du laboratoire par une transformation de Lorentz Une cavit r sonnante accord e cette fr quence entoure l onduleur de fa on pouvoir obtenir une oscillation AA y 0 FIG 3 20 Laser lectrons libres Sch ma d un processus Compton stimul conduisant un processus de gain pour une onde lectromagn tique de fr quence w inf rieure
255. e et donc la formule 1 93 d pendent de la dimension de la bo te fictive dans lequel est enferm le syst me La quantit physiquement significative parce qu ind pendante de la dimension de la bo te fic tive est la section efficace diff rentielle qui est le rapport de la probabilit de transition par 17 i le continuum ne s tend pas aux r gions d nergie voisines de E fw ou E hw la probabilit de transition correspondante est videmment nulle puisque la densit d tat correspondante p E ou p Eypr est nulle 1 4 CONCLUSION 47 unit de temps au flux des particules Si le syst me est initialement dans une superposition incoh rente c est dire un m lange statistique d tats discrets ou appartenant un continuum il suffit de moyenner les pro babilit s P _ entre niveaux discrets expression B 19 sur l ensemble des niveaux initiaux possibles et de sommer le r sultat sur l ensemble des tats finaux possibles 1 4 Conclusion Ce chapitre nous a permis de passer en revue quelques aspects essentiels du com portement dynamique des syst mes non dissipatifs en m canique quantique syst mes ob issant une quation de Schr dinger Dans le cas de couplages simples constants ou sinuso daux on a pu ainsi d gager deux grands types de variation de la population P t d un tat initialement peupl voir figure 1 14 a une volution en t aux temps courts sinuso dale aux
256. e forme que le r sultat d un calcul classique d cri vant le milieu ou se propage la lumi re comme un ensemble d lectrons lastiquement li cf le compl ment 2C Il en est de m me pour tout mod le quantique tant que l on reste en r gime perturbatif voir le paragraphe 2B 2 du compl ment 2B Avant l invention des lasers l intensit de la lumi re tait toujours trop faible pour que l on sorte du r gime perturbatif ce qui explique le succ s de la description des propri t s optiques des milieux mat riels par le mod le de l lectron lastiquement li c Saturation Utilisons maintenant l expression exacte 2 117 pour calculer la valeur de la suscep tibilit di lectrique d finie par 2 118 On obtient N d wo w ilp 2 120 V Eoh T2 9 w wo l X On constate que y d cro t avec NF et donc avec l intensit lorsque celle ci cro t suffisam ment En utilisant le param tre de saturation s Equation 2 109 on obtient la formule remarquable N E 2 121 o x est la susceptibilit lin aire quation 2 119a La susceptibilit tend vers 0 haute intensit sous l effet de la saturation de la transition 106 CHAPITRE 2 ATOMES EN INTERACTION AVEC UNE ONDE 2 4 4 Propagation d une onde lectromagn tique absorption et dispersion a Propagation att nu e absorption On sait que dans un milieu de susceptibilit lin aire y1 w peuvent se propager des ondes lec
257. e interne sont les valeurs propres de l hamiltonien Ho et supposons qu une autre particule B passe au voisinage de A figure 1 1 Appelons le potentiel d interaction entre l atome et la particule incidente qui peut tre par exemple une interaction dip le dip le proportionnelle 1 R de type Van der Waals si la particule B est elle m me un atome ou une interaction en 1 Rf si la particule incidente est charg e Pour l atome A cette interaction est un op rateur agissant dans l espace des tats de A Ses l ments de matrice sont fonction de la distance R entre A et B et tendent rapidement vers 0 lorsque R est tr s grand Puisque varie avec le temps l hamiltonien d interaction d pend lui aussi du temps Si avant la collision quand les particules A et B sont loign es l une de l autre l atome A est dans l tat n il va pouvoir se trouver l issue de la collision dans un autre tat m La collision est lastique si les nergies initiales et finales des tats m et n sont gales ou in lastique si elles sont diff rentes Ce type de transition induite par collision est par exemple responsable de l excitation des atomes dans une lampe d charge un tube au n on par exemple ou comme nous le verrons dans le chapitre 3 dans certains types de laser doo A FIG 1 1 Interaction collisionnelle entre un atome A et une particule incidente B La distance b s appelle le param tre d im
258. e la transform e de Fourier appliqu es la formule 1 23 nous allons montrer dans ce paragraphe qu on peut pr voir dans quel domaine d nergie des niveaux atomiques peuvent tre excit s au cours d une collision Supposons pour simplifier que le terme d interaction H 1 t soit de la forme Aie W f 1 25 o W est un op rateur agissant sur les variables atomiques et f t est une fonction r elle du temps qui tend vers 0 quand t o et atteint sa valeur maximale en t 0 voir figure 1 2 Nous supposons qu avant la collision t c le syst me est dans l tat li L amplitude de probabilit pour trouver le syst me dans l tat k apr s la collision to 00 a pour valeur Wpi gt gt Ski a dt f e EUR 1 26 1 2 TRANSITION ENTRE NIVEAUX DISCRETS 23 o Wp est l l ment de matrice Introduisons la transform e de Fourier f E de la fonction f t 1 00 P dt Feni 1 27 FE ro 1 27 Nous obtenons alors pour la probabilit de transition P _ l expression suivante 2T Pix y Wail f Er FEN 1 28 qui d pend de la valeur de f E prise en E Ep E Utilisons maintenant une propri t connue des largeurs de transform es de Fourier voir figure 1 2 si la largeur de la fonction f t est At la largeur de sa transform e de Fourier f E est de l ordre de At L expression 1 28 montre alors que si la dur e de l interaction est de l ordre de At seuls les niveau
259. e laser rubis fut suivi de pr s par le laser m lange gazeux h lium n on mis au point par Javan puis par le laser dioxyde de carbone r alis par Patel Parmi les progr s marquants qui ont suivi il faut mentionner la mise au point des lasers de grande puissance comme le laser n odyme le d veloppement des lasers accordables colorant ou amplificateur solide saphir dop au titane La r volution des lasers semi conducteur de caract ristiques remarquables au niveau prix de revient encombrement et rendement global a permis d introduire les lasers dans de nombreux syst mes y compris dans des produits de grande diffusion lecteurs de disques de codes barres imprimantes etc Nous avons vu dans le chapitre pr c dent qu il est possible d obtenir des amplificateurs de lumi re en utilisant des milieux dans lesquels une inversion de population a t r a lis e Nous montrons dans la partie 3 1 comment transformer un amplificateur de lumi re en g n rateur de lumi re en pla ant le milieu amplificateur dans une cavit servant r injecter le faisceau dans cet amplificateur et nous tudions l influence de cette cavit sur les caract ristiques de la lumi re mise Dans la partie 3 2 nous pr sentons quelques 3En fait ces auteurs n ont pas observ l amplification du champ incident mais la modification de l indice en fonction de la diff rence de population entre les niveaux extr mes de la tran
260. e le couvrir en un seul chapitre Nous nous proposons ici de pr senter quelques l ments de base sur l interaction entre les atomes trait s quantiquement et un champ lectromagn tique classique c est dire une onde lectromagn tique constitu e de champs lectriques et magn tiques r els ob issant aux quations de Maxwell Une description rigoureuse devrait prendre en compte la nature quantique de la lu mi re Il s av re n anmoins que de nombreux r sultats importants peuvent tre obtenus dans le point de vue semi classique adopt ici qu il serait sans doute plus logique d ap peler semi quantique On peut d ailleurs d montrer dans le cadre de l optique quantique que ce traitement semi classique est pour l essentiel quivalent au traitement quantique si londe lumineuse interagissant avec l atome a t mise par un laser tr s au dessus du seuil ou par une source classique lampe d charge ou incandescence Il en est de m me pour un champ radiofr quence produit par les techniques habituelles de l lectronique oscillateurs klystrons Il faut n anmoins savoir que l approche semi classique est incapable de traiter de fa on rigoureuse un ph nom ne aussi important que l mission spontan e que l on ne peut d duire des premiers principes que dans le cadre d une th orie quantique du rayonnement il en est de m me de certains processus de diffusion Cependant il est possible d
261. e le dip le oscille la fr quence de Bohr w Dans le cas d une transition optique ceci se traduit par une mission de lumi re cette fr quence Bien qu mise la fr quence wo cette lumi re a des propri t s diff rentes de la lumi re de fluorescence produite par mission spontan e Ces propri t s particuli res sont li es la coh rence de l mission La formule 2 87 montre en effet que l oscillation du dip le se produit avec une phase reli e de fa on univoque celle de l onde excitatrice Si on a une assembl e d atomes pr par s par la m me impulsion 7 2 ils vont donc tous mettre avec la m me phase la diff rence d une assembl e d atomes mettant par mission spontan e avec des phases al atoires Il est possible d observer les cons quences exp rimentales de ces propri t s de coh rence directivit de l mission apparition d un battement entre la lumi re de fluorescence et un faisceau coh rent avec le laser d excitation De tels compor tements appel s transitoires coh rents s observent sur une chelle de temps plus courte que l mission spontan e 8Ces ph nom nes ont donn lieu de tr s belles exp riences Voir par exemple R G Brewer page 341 in Aux fronti res de la spectroscopie laser Les Houches Session XXVII dit par R Balian S Haroche et S Liberman North Holland 1977 92 CHAPITRE 2 ATOMES EN INTERACTION AVEC UNE ONDE
262. e matrice permettant la transition et E E w BE 2 58d est le d saccord du champ lectromagn tique par rapport la r sonance atomique la valeur absolue dans 2 58d permet de traiter simultan ment l absorption et l mission induite Il est utile d expliciter l l ment de matrice W Introduisons le vecteur unitaire parall le au champ lectrique E ro qui d crit donc la polarisation lin aire de londe E ro EE ro 2 59a L hamiltonien d interaction 2 56b conduit alors Wpi k D li E ro d E ro 2 59b 2 3 TRANSITION ENTRE DEUX NIVEAUX ATOMIQUES 83 formule dans laquelle on a introduit l l ment de matrice d de la composante de D suivant la polarisation du champ lectrique Notons qu il est toujours possible en choisissant judicieusement la phase relative des tats i et k de rendre cet l ment de matrice r el n gatif Il est alors habituel de poser gt gt Wa d E ro hQ a 2 59c ce qui d finit la pulsation de Rabi Q la justification de ce nom appara tra clairement au paragraphe 2 3 2 Avec ces notations la probabilit de transition s crit TC OC Remarques i Le choix Q positif a pour simple but d viter d alourdir les expressions Le lecteur v rifiera sans peine que les r sultats tablis ici se g n ralisent de fa on naturelle si Q est complexe Par exemple dans 2 60 on remplacera 9 par Q1 ii Da
263. e peut atteindre des valeurs consid rables 101 photons par mode est courant Ainsi au niveau le plus fondamental on peut dire que ce qui caract rise la lumi re laser compar e la lumi re ordinaire c est que le nombre de photons par mode est tr s sup rieur 1 35Cette possibilit d accumuler tous les photons dans un seul mode est videmment li e leur nature bosonique et on peut dans une certaine mesure consid rer un faisceau de lumi re laser comme un conden sat de Bose Einstein de photons temp rature nulle On comprend alors qu il soit possible d utiliser la lumi re laser pour refroidir des atomes des temp ratures tr s basses proches du z ro absolu chapitre 7 COMPL MENT 3A 253 Compl ment 3A Cavit r sonnante Fabry Perot Les interf rom tres de Fabry et Perot ont une longue et riche histoire Invent s pour r aliser des mesures spectroscopiques de haute pr cision ils se sont r v l s tre un outil essentiel de la physique des lasers Un laser n est souvent en effet qu un milieu amplifi cateur enferm dans une cavit r sonnante Fabry Perot Cette cavit assure d une part le rebouclage de la lumi re issue de l amplificateur sur celui ci et elle permet d autre part de r aliser une s lection de longueur d onde dans la courbe de gain de l amplificateur modes de la cavit Le r le des cavit s Fabry Perot ne s arr te cependant pas l on peut en ins r
264. e pour un milieu dilu k amp w c En pr sence de l onde E r t la r partition en fonction de v des atomes dans le niveau fondamental pr sente un trou autour de la vitesse v rifiant la condition 3E 9 En revanche les atomes port s dans le niveau excit b ont une vitesse bien d finie voir figure 3E 2 Pour des atomes deux niveaux la figure 3E 2b correspondant aux atomes excit s est g n ralement compl mentaire de la figure 3E 2a correspondant aux atomes dans le niveau fondamental Remarque La compl mentarit des figures 3E 2a et 3E 2b peut ne plus tre respect e lorsque les atomes subissent des collisions En effet les collisions modifient les vitesses et ont donc ten dance taler le trou de la figure 3E 2a et le pic de la figure 3E 2b Cependant comme les sections efficaces de collision sont g n ralement diff rentes dans le niveau fondamental et dans le niveau excit les d formations du trou et du pic ne sont g n ralement pas identiques Supposons par exemple que la section efficace de collision avec un gaz tampon introduit dans la cellule soit beaucoup plus grande dans le niveau excit que dans le niveau fonda mental Il s ensuit qu un trou au voisinage de vo subsistera sur la distribution fa Vs des atomes dans le niveau fondamental alors que la distribution f v sera rapidement ther malis e et retrouvera une forme Maxwellienne centr e en v 0 Une cons quence de cette absence d
265. e proc dure analogue celle du paragraphe 2 4 2 ci dessus on somme sur to les contributions 2 114 pond r es par le terme de survie En introduisant le volume V de l chantillon et en appelant P la polarisation di lectrique dip le par unit de volume on crit donc sa composante P Aa fe P Dit eE He Cette expression se calcule en utilisant les r sultats ci dessus et on obtient Ndi w wo ilp 0 V 2 T3 w eote 4 ec 2 116 Si l chantillon atomique est totalement isotrope la polarisation di lectrique P est n ces sairement parall le au champ lectrique de l onde incidente En appelant d l l ment de matrice de la composante du dip le suivant cet axe et en se souvenant que AQ dEo on trouve finalement N g wo w ilp Eo i APP rs 2 11 V h T w w 2 mer RE gt Remarque Lorsque l hypoth se d isotropie de la vapeur n est pas v rifi e la relation entre le champ lec trique incident et la polarisation di lectrique r sultante est tensorielle et non pas scalaire comme en 2 117 La vapeur atomique est alors bir fringente Cette situation peut se pro duire par exemple si l tat a est un sous niveau Zeeman particulier d un niveau atomique de moment cin tique diff rent de z ro et si alimentation anisotrope peuple s lectivement ce sous niveau Cependant l hypoth se d isotropie est souvent v rifi e par sui
266. e qui donne N wy w ie E0 4 w wo La similarit de cette formule avec la formule 2 120 donne beaucoup d int r t au mod le plus simple tudi dans cette partie 2 4 dont les r sultats restent g n ralement valables avec les substitutions indiqu es ci dessus La similitude est encore plus frappante si on introduit un param tre de saturation s valant ici 97 2 o 2 126 Les expressions 2 110 et 2 121 restent alors formellement valables Comme la suscep tibilit lin aire x est identique celle obtenue dans le mod le classique de l lectron lastiquement li on comprend les succ s de ce mod le classique dans l interpr tation des ph nom nes optiques en r gime non saturant s 1 qui tait le seul r gime observable avant l invention des lasers En fait les expressions obtenues avec notre mod le simple sont souvent valables sans au cune modification Par exemple dans la limite tr s non r sonnante la partie imaginaire de la susceptibilit devient n gligeable tandis qu une bonne approximation de sa partie r elle est cf quation 2 119b za Nde i AIR ASF V o wo w 2 127 Cette expression valable pour toute transition peut tre valu e num riquement en introduisant la force d oscillateur fap de la transition d finie par 2mwod fa Th 2 128a C est un nombre sans dimension souvent voisin de 1 pour les transitions de r sonance
267. eau d une diode laser modul en intensit par un syst me acousto optique AO et balay par un miroir polygonal tournant M est focalis sur un tambour photoconducteur T L irradiation laser donne naissance par un processus de photoconduction une modification de la charge lectrique du tambour sur une surface de 100um de diam tre environ On cr e ainsi point par point et sous forme lectrostatique une image latente sur le tambour T Le reste du processus est commun avec les photocopieuses ordinaires pour lesquelles l image latente est cr e par imagerie ordinaire partir du document reproduire l image est r v l e par une poudre de carbone C attir e par les zones charg es puis transf r e sur du papier P et fix e Ces imprimantes sont maintenant universellement adopt es en raison de leur rapidit jusqu 4 000 lignes balay es par 3D 4 LE LASER PORTEUR D INFORMATION 307 seconde et de leur excellente r solution qui leur permet d imprimer la fois des textes avec une grande vari t de polices de caract res des graphismes et des images En ce qui concerne les op rations de lecture il faut d abord citer la lecture des codes barre Un faisceau laser est balay grande vitesse 2m s sur l tiquette et la lumi re r trodiffus e mesur e sur un photod tecteur fournit une succession de niveaux haut et bas qui constitue un code permettant d identifier le produit C
268. eaucoup plus faible voir quation 3D 1 on peut mesurer des distances beaucoup plus importantes L exemple extr me est fourni par la mesure de la distance terre lune On envoie le faisceau d un laser Nd YAG en impulsion dans un t lescope astronomique utilis l envers c est dire par son oculaire Le faisceau laser sortant par louverture du t lescope a alors un diam tre de l ordre du m tre et en vertu de 3D 1 il illumine sur la lune une r gion dont le diam tre n est que de l ordre de la centaine de m tres La lumi re renvoy e sur le t lescope par des r tror flecteurs install s sur la lune lors de diff rentes missions spatiales est tr s faible moins de un photon par impulsion mais d tectable La pr cision de la d termination de la distance est de quelques dizaines de centim tres La prise en compte d un grand nombre d impulsions au cours des ann es permet de moyenner une valeur tr s faible l effet des turbulences atmosph riques et donc d augmenter la pr cision de la mesure On a pu ainsi d terminer que la lune s loignait actuellement de la terre la vitesse de 3 2 cm par an 3D 2 3 Mesure de vitesses NI A D FIG 3D 7 V locim trie laser le laser cr e un r seau lumineux au foyer de la lentille Le d tecteur D mesure la fr quence du clignotement de la lumi re diffus e par l objet de vitesse v Pour mesurer des vitesses perpendiculaires la ligne de vis e
269. eloppant 2 i 2 A2 f t A P LAG at p ED m 2m Voou 2 38 Les deux termes p A et A p sont gaux car P A A A t ihV A t 0 2 39 et A f t ob it 2 34 En d finitive l hamiltonien de l lectron s crit o 2 40a avec p gt o 2 Vou l 2 40b 2m et 2 A2 t E EE a e 2 40c 76 CHAPITRE 2 ATOMES EN INTERACTION AVEC UNE ONDE L criture ci dessus fait d abord appara tre l hamiltonien atomique habituel o il s agit de l hamiltonien d crivant une particule soumise un potentiel coulombien c est dire l hamiltonien de l atome d hydrog ne Le terme d interaction 1 fait intervenir la fois les variables quantifi es p et f d crivant le mouvement de l lectron et le champ appliqu ext rieur compl tement caract ris par le potentiel vecteur en jauge de Coulomb A f t Il d crit l interaction entre l atome d hydrog ne et le champ ext rieur appliqu L hamiltonien d interaction A appara t comme la somme de deux contributions fn et Hy respectivement lin aire et quadratique en fonction du potentiel vecteur Hi AEON 2 40d mMm q A3 C t 2 40 A 2 40e Les processus lin aires en fonction du champ incident pourront tre d crits l aide de Phamiltonien Hy seul c Approximation des grandes longueurs d onde En optique quantique les ph nom nes d interaction entre
270. ement suivant Oz on excite s lectivement le sous niveau my 0 et la lumi re de fluorescence r mise dans la direction Ox est polaris e lin airement suivant Oz Il est cependant possible d induire des transi tions entre les sous niveaux excit s en appliquant une onde radiofr quence qui interagit par couplage dipolaire magn tique cf 8 IL B 5 d crit par un hamiltonien d interaction AY 9B J cos Qt 2A 40 m B tant l amplitude du champ magn tique de londe radiofr quence suppos parall le Ox et Q tant sa fr quence Ces transferts se produiront pour la condition de r sonance Ils se manifesteront par l apparition d une polarisation J dans la lumi re de fluorescence 2A 3 POMPAGE OPTIQUE 139 FIG 2A 8 magn tique AE mp 1 4Q Ep 0 Es j TT Ea O Ma 1 gt Bo Niveaux d nergie dans une exp rience de double r sonance Le champ Bo parall le Oz provoque une lev e de d g n rescence des sous niveaux Zeeman de l tat excit La lumi re excitatrice polaris e suivant Oz peuple exclusivement le sous niveau my 0 Par application d un champ radiofr quence r sonnant on peut induire des transferts vers My 1 1 d tectables par observation de la polarisation de la lumi re de fluorescence Si on balaie le champ magn tique Bo ou la fr quence Q de la radiofr quence l analyse de la polarisation de la lumi re de fluorescence fait donc appara
271. en jauge de Coulomb pris la position du noyau 2 2 HAMILTONIEN D INTERACTION T7 2 2 4 Hamiltonien dipolaire lectrique a Jauge de G ppert Mayer Nous introduisons maintenant une deuxi me jauge tr s utilis e pour la description de l interaction atome rayonnement car elle conduit une forme de l hamiltonien d interac tion particuli rement suggestive Il s agit de la jauge de G ppert Mayer qui se d duit de la jauge de Coulomb par la transformation de jauge 2 14a et 2 14b dans laquelle on prend F r t r ro A rot 2 43 Cette transformation privil gie la position r du noyau Elle donne les potentiels de G ppert Mayer A r t A r t Ai ro t 2 44a U r t Ucou r r ro Au rot 2 44b Avec ces potentiels l hamiltonien 2 17 s crit 5 1 o H P qA t Voou l ro A ro t 2 45 aP qA F t Voou q ro Di 1 ro t 2 45 En se souvenant que le champ lectrique associ au rayonnement appliqu vaut d apr s l quation 2 36 o E r t A t r 3t 1 r et en introduisant l op rateur moment dipolaire lectrique de l atome A D q o ro 2 46 l hamiltonien 2 45 s crit finalement 2 1 X N D qA t Vou lf D ro t 2 47 b Approximation des grandes longueurs d onde Faisons maintenant l approximation des grandes longueurs d onde qui nous permet
272. entre sous niveaux atomiques fondamentaux de dur e de vie infinie par couplage dipolaire magn tique C est par exemple le cas de la transition d horloge 9 192631770 GHz entre les niveaux hyperfins F 3 et F 4 de l tat fondamental 6 S de l atome de C sium Avec une intensit de quelques watts par centim tre carr on peut produire des fr quences de Rabi Q 27 de l ordre d une centaine de kilohertz Comme on sait mesurer la population atomique dans chaque niveau hyperfin on a pu v rifier ainsi toutes les caract ristiques de l oscillation de Rabi pr sent es au paragraphe pr c dent notamment le caract re r sonnant Notons que l on utilise couramment des impulsions m pour transf rer tous les atomes d un niveau hyperfin l autre Un autre exemple tr s important est celui d un spin 1 2 plong dans un champ magn tique statique Il s agit ici encore d un syst me deux niveaux dont l cart nerg tique est proportionnel au champ magn tique appliqu Ce syst me pourra interagir avec un champ lectromagn tique par couplage dipolaire magn tique Dans la r sonance magn tique nucl aire il s agit le plus souvent des spins 1 2 des noyaux d hydrog ne qui plong s dans un champ magn tique intense de quelques teslas r sonnent lorsqu ils sont soumis une onde radiofr quence quelques centaines de MHz La valeur pr cise de la fr quence de r sonance donne des renseignements sur l envir
273. er l int rieur de la cavit laser o elles permettent de filtrer une gamme spectrale d termin e dans la courbe de gain Dans la cavit de certains lasers accordables il est fr quent de trouver en s rie plusieurs filtres de ce type de largeurs spectrales de plus en plus troites Enfin on trouve aussi l ext rieur du laser des cavit s Fabry Perot qui servent de r f rence de longueur d onde pour l oscillateur laser 3A 1 Position du probl me Cavit lin aire Consid rons deux miroirs plans M et M sans absorption partiellement r fl chissants leurs coefficients de r flexion et de transmission en amplitude sont respectivement 71 72 et t1 t2 parall les entre eux L ensemble de ces deux miroirs constitue comme nous le verrons une cavit r sonnante pour la lumi re Une onde lectromagn tique E r t de polarisation se propage suivant la direction Oz perpendiculaire aux miroirs E r t Ee cos wt kz y i eRe Es Emen 3A 1 E et E sont respectivement les amplitudes r elle et complexe du champ lectrique inci dent On notera de la m me fa on les amplitudes des champs r fl chis transmis et se propageant entre les deux miroirs Ee et E Ces diverses ondes sont repr sent es sur la figure 3A 1 Plut t que l amplitude des champs on utilisera souvent les flux lumineux IT par unit de surface qui sont gaux la valeur moyenne du vecteur de Poynting Le flux incident 2
274. er de l tude pr c dente dans une situation o les taux de relaxation sont gaux T Ik Yk T et o la retomb e est n gligeable Tj 0 Le formalisme d velopp ici a donc une port e beaucoup plus vaste que le mod le simple du chapitre 2 Par exemple comme nous le verrons au chapitre 3 l obtention d une inversion de population dans de nombreux milieux amplificateurs repose souvent sur une diff rence entre taux de relaxation et le traitement th orique de ces situations rel ve du formalisme pr sent ici c Lien avec la th orie classique Les r sultats ci dessus ont un quivalent en physique classique autour d une r sonance w r les formules 2B 28 et 2B 29 sont l analogue des formules relatives un lectron lastiquement li cf compl ment 2B 4 de fr quence de r sonance gale wiy Loin de r sonance il faut revenir au r sultat 2B 27 mettant en jeu toutes les tran sitions atomiques Mais il est alors possible de n gliger yj devant w wjp et w w xl de sorte que la partie imaginaire de la susceptibilit x est n gligeable et que sa partie r elle y vaut 0 0 NP N Din Zu X PACE Es V coh w3 w 2B 30 Ce r sultat peut tre r exprim l aide des forces d oscillateur fg qui sont des quantit s sans dimension _ 2mw r fi TPour plus de d tails voir CDG 2 Compl ment B VI D k 2B 31 2B 3 ATOME DEUX NIVEAUX
275. ergie en un ensemble discret donc plus facile manipuler qu un ensemble continu nous avons rajout des parois gt mat rielles infranchissables en x L 2 On peut utiliser une deuxi me approche elle consiste conserver le potentiel initial consid r sur la figure 1 7 mais restreindre l espace des fonctions d onde solutions Plus pr cis ment on ne consid re que les solutions d finies dans un intervalle L 2 L 2 autour de l origine avec L suffisamment grand Or on sait qu il est possible de d composer toute fonction f x de cet intervalle en s rie de Fourier 00 f x D cnpn x 1A 10 n o0 avec 1A 11 Ces fonctions Yn forment donc une base qui est de plus orthonorm e de l espace de Hilbert correspondant Elles correspondent des ondes progressives se propageant dans le sens positif ou n gatif de l axe des x selon le signe de n de la particule libre la diff rence des ondes stationnaires 4 x introduites pr c demment quation 1A 2 Ce sont des fonctions propres de l hamiltonien d une particule libre avec pour nergie 2 2 De 1A 12 Ces fonctions n ont pas une parit d finie Elles sont donc toutes coupl es l tat initial par le terme d interaction W la diff rence des fonctions x L intervalle entre deux valeurs de cons cutives vaut alors dE AK 9rh 2E dn mI E m 1A 13 Il faut maintenant tenir
276. es c bles coaxiaux classiques Les techniques sont en d veloppement rapide et le record de capacit des liaisons optiques exp rimentales est battu r guli rement Diverses voies sont explor es Le multiplexage spectral permet l injection sur une m me fibre de signaux des longueurs d onde distinctes L utilisation de diodes lasers monomodes ventuellement asservies sur des cavit s ext rieures permet de r aliser des d bits de plusieurs Gbit s sans tre g n s par la dispersion De telles sources extr mement monochromatiques rendent aussi possibles des techniques de transmission coh rentes dans lesquelles l information est cod e sur la phase de l onde mise et non l intensit La lecture de l information est assur e en m langeant le signal avec le faisceau d un autre laser qui joue le r le d oscillateur local d tection homodyne ou h t rodyne On gagne ainsi un facteur 100 sur la capacit au prix d une complication importante des dispositifs d mission et de r ception La g n ralisation de l utilisation de r p teurs purement optiques en remplacement des r p teurs classiques qui comprennent une photodiode un amplificateur lectronique et une diode laser On utilise pour cela le ph nom ne d amplification optique par mission stimul e Des amplificateurs fibre dop e l Erbium voir chapitre 3 3 2 4 pomp s par un rayonnement 950 nm inject dans
277. es atomes et des mol cules le niveau fondamental aussi bien que les niveaux excit s poss dent une structure hyperfine comprenant plusieurs niveaux hyperfins Le signal obtenu par le dispositif de la figure 3E 3 est alors complexe Il est souvent tr s utile car il fournit une grille de fr quences absolues d finies avec une pr cision limit e seulement par la largeur naturelle des transitions permettant par exemple de choisir dans une certaine mesure la fr quenc sur laquelle le laser est asservi Notons enfin que l effet crois entre les deux faisceaux peut avoir d autres origines que la saturation Il peut tre li par exemple un cffet de pompage optique entre les sous niveaux a et a voir Compl ment 2A 3E 3 Spectroscopie d absorption deux photons sans largissement doppler 3E 3 1 Transition deux photons Nous avons vu au chapitre 2 paragraphe 2 3 3 qu un atome interagissant avec deux ondes de pulsations w et wg peut passer du niveau fondamental a un niveau excit b en absorbant deux photons un de pulsation w1 l autre de pulsation w voir figure 3E 6 La condition de r sonance pour ce processus est E Ea wi wo 3E 13 3E 3 2 limination de l largissement Doppler Consid rons des atomes dans un gaz interagissant avec deux ondes progressives F F de m me pulsation w et se propageant dans des sens oppos s figure 3E 7a Si dans le r f rentiel du laboratoire figure 3
278. es aux oscillations de Rabi mais qui s amortissent sur un temps de l ordre de h A Aux temps courts lorsque cet amortissement est n gligeable tout se passe donc comme si le niveau initial tait coupl un niveau final unique avec un l ment de matrice gal w rA e 2 Dans ce mod le la valeur particuli re A 2A marque la fronti re entre le r gime d croissance monotone et le r gime pour lequel des oscillations analogues aux oscillations de Rabi commencent appara tre La figure 2B 1 donne l volution de P t ul pour diverses valeurs du param tre p 2AT A On y voit comment s op re le passage continu du r gime oscillant au r gime exponentiel 58 COMPL MENT 1B Si la forme pr cise de P t d pend videmment du mod le particulier choisi ici son allure g n rale n en d pend pas il faut en particulier retenir que la transition du r gime exponentiel au r gime oscillant se fait lorsque la probabilit de transition par unit de temps I calcul e par la r gle d or de Fermi est de l ordre de grandeur de la largeur du continuum Il faut aussi noter que m me dans le r gime oscillant on aura toujours une d croissance globale de l amplitude de l oscillation sur des temps de l ordre de divis par la largeur du continuum Remarques i Notons que dans le mod le tudi dans ce compl ment la largeur du continuum est en toute rigueur infinie puisque la densit d tats est co
279. es avantages sont la plus grande 310 COMPL MENT 3D fr quence de la porteuse qui permet de lui faire transporter beaucoup plus de canaux ou d en augmenter la bande passante et l insensibilit de la liaison aux perturbations ext rieures et aux parasites d origines diverses l heure actuelle toutes les liaisons mises en service sont bas es sur un codage en amplitude de l information par exemple le bit 1 gt correspond une intensit donn e et le bit 0 une intensit nulle Le d bit de l information li l intervalle de temps minimum entre bits successifs est limit par la dispersion chromatique de la fibre En effet la source lumineuse mettrice n tant pas rigoureusement monochromatique ses diff rentes composantes spectrales se propagent des vitesses diff rentes ce qui entra ne un largissement temporel des impulsions Pour minimiser cet effet il faut ou bien se placer dans la r gion spectrale o la dispersion chromatique de la silice est minimale c est dire 1 34m ou bien utiliser une source extr mement monochromatiquef titre d exemple la liaison optique sous marine transatlantique install e en Mars 1992 utilise des diodes lasers 1 55um a un d bit d information par fibre de 560 Mbit s 7680 voies t l phoniques La puissance initiale de la source de 1 mW et la faible absorption de la fibre permettent une port e de propagation sans r p teur de 130 km 1 5 km avec l
280. es plus efficaces pour produire de tels effets avec des flux nerg tiques relativement modestes Dans d autres circonstances un flux lumineux de puissance mod r e pourra induire des r actions entre plusieurs mol cules pr sentes sur la surface par exemple des r actions de polym risation 5Ces deux exemples correspondent des cas limites id alis s Dans la pratique les faisceaux des lasers ne peuvent tre aussi fortement focalis s le coefficient d absorption d pend de l tat de surface du mat riau et les puissances n cessaires pour atteindre le point de fusion sont nettement sup rieures tout en restant accessibles aux lasers usuels 280 COMPL MENT 3C Un autre effet apparent aux effets photochimiques et appel photoablation a t observ dans l interaction entre le rayonnement ultraviolet produit par exemple par les lasers excim re et certains mat riaux comme les cha nes polym ris es on a constat que si l nergie d pos e par unit de surface d passe une valeur seuil de l ordre de 100 mJ em il y a ablation du mat riau sur la surface illumin e sur une paisseur bien d finie 0 3 um environ La figure 3 montre titre d exemple des trous de 300 um de diam tre perc s dans un substrat de polyamide l aide d un laser Nd YAG 1 06 um a un laser CO 10 6 um b et un laser excim re KrF 0 248 um c On constate dans le cas c correspondant la photoab
281. es pose des probl mes d utilisation car on souhaite souvent disposer d une impulsion unique On peut ins rer dans la cavit laser un disposi tif lectro optique rapide permettant d extraire s lectivement une seule impulsion Il est beaucoup plus astucieux d utiliser un syst me obturateur rapide Q switch ou commu tation des pertes qui ferm emp che le laser d osciller pendant la phase d augmentation de l inversion de population puis qui s ouvre brutalement toute l nergie accumul e peut alors tre mise en une seule impulsion g ante figure 3 25 La puissance cr te est accrue d un deux ordres de grandeur et des puissances bien sup rieures au m gawatt peuvent ainsi tre obtenues dans ce fonctionnement appel d clench Pertes dans la cavit ntensit laser D but de pompage ouverture de l obturateur FIG 3 25 Fonctionnement d un laser d clench Les pertes dans la cavit sont maintenues une valeur lev e pendant la phase de pompage puis elles sont brutalement diminu es Q switch Toute l nergie est alors d livr e en une seule impulsion La puissance cr te peut atteindre 107W Les dispositifs de d clenchement utilis s en pratique sont tr s vari s Les premiers utilisaient simplement un miroir tournant l une des deux extr mit s de la cavit laser qui n tait donc ferm e que pendant une dur e tr s courte Cette m thode a t
282. es puissances disponibles 1 W continu 0 8um avec un courant de quelques amp res puret spectrale am lior e gr ce aux lasers monomodes r action r partie Distributed FeedBack et aux lasers miroir de Bragg incorpor Distributed Bragg Reflector encore appel laser mission surfacique Remarque Suivant une r gle fr quente dans l industrie des semi conducteurs l investissement initial pour la mise au point d un laser de type donn une longueur d onde sp cifi e est tr s lev Ce n est donc que pour les longueurs d onde associ es un march important que l on trouve des lasers semi conducteurs de faible co t 3 2 4 Transition laser aboutissant sur le niveau fondamental sys t mes trois niveaux Pour la plupart des lasers le niveau inf rieur de la transition ne co ncide pas avec le niveau fondamental Il est en effet difficile d obtenir une population plus lev e dans un niveau excit que dans le niveau fondamental Par un curieux hasard de l histoire 232 CHAPITRE 3 LES LASERS il se trouve pourtant que le premier laser avoir fonctionn laser rubis d roge la r gle commune Plus r cemment un autre syst me trois niveaux a pris une importance consid rable dans les amplificateurs fibre optique utilis s en t l communications il s agit de lion erbium dans une matrice de silice Nous nous proposons donc d tudier la r partition des populati
283. es qui permettent de calculer l volution temporelle d un syst me quantique dans un certain nombre de situations typiques C est l objet de ce premier chapitre qui rappelle quelques r sultats de m canique quantique relatifs l volution des syst mes Cette volution est fonction de la variation temporelle du rayonnement incident qui peut tre appliqu partir d un instant donn puis rester d intensit constante ou bien ne durer qu un intervalle de temps bref on parlera dans ce dernier cas de processus impulsionnel L volution d pend aussi de la structure du spectre nerg tique du syst me consid r qui peut tre un ensemble de niveaux discrets bien s par s ou bien un continuum Ce chapitre d bute par un rappel de m canique quantique l mentaire qui nous permet de d finir la notion de probabilit de transition partie 1 1 La partie 1 2 utilise une m thode perturbative pour calculer la probabilit de transition d un syst me quantique entre un tat initial et un tat final donn s sous l effet d une interaction Enfin dans la partie 1 3 nous tudions le cas o l tat initial est coupl un tr s grand nombre d tats finaux tr s serr s en nergie on parle de quasi continuum d tats Nous aboutissons une expression particuli rement importante de la probabilit de transition connue sous le nom de r gle d or de Fermi qui permet de d terminer un t
284. ession 1 82 redonne bien l expression 1 71 obtenue gr ce la m thode perturbative 1 3 4 tat final du processus Largeur d un niveau instable la diff rence du probl me du couplage entre niveaux discrets tudi pr c demment expression 1 50 le syst me atteint aux temps longs un tat stationnaire dans lequel la probabilit de pr sence dans l tat initial est nulle La question se pose alors de savoir quels sont les tats finaux possibles pour le syst me t 00 Il nous faut donc calculer les coefficients y t 00 Pour cela reportons la solution 1 81 dans l quation 1 76 Le calcul de l int grale est l mentaire et donne 1 eUke h T 2 t t w 1 83 RO SU TS GES La probabilit de pr sence du syst me dans l tat k l issue du processus t 00 vaut donc 2 P ai 1 84 ke R2T2 4 1 3 CAS D UN NIVEAU DISCRET COUPL UN CONTINUUM 41 La probabilit dP E de trouver le syst me dans l un quelconque des tats k du quasi continuum dont l nergie est comprise entre E et E dE est gale dP E p2 1 85 puisque dE e repr sente le nombre d tats du quasi continuum dans l intervalle d nergie dE En utilisant 1 73 et 1 84 nous trouvons dP A 1 dE mAT rop La distribution en nergie des tats finaux du processus dans le quasi continuum est donc une Lorentzienne centr e sur l nergie E 0 de l tat discret initial sa largeur mi
285. essions explicites N an moins dans le but de discuter plus simplement les questions attach es au quasi continuum nous nous int resserons uniquement aux tats non li s de grande nergie qui sont tr s peu affect s par le potentiel attractif coulombien du noyau de sorte qu ils peuvent tre d crits par des ondes planes de de Broglie Pelr Q exp ike r 2D 5a 3Voir par exemple H A Bethe et E E Salpeter Quantum Mechanics of one and two electron atoms Plenum Rosetta New York 1977 190 COMPL MENT 2D Ce sont donc des tats propres de l op rateur impulsion Pliye fike te 2D 5b Leur nergie vaut Kk Ee 2D 2m Gp m tant la masse de l lectron Pour faire des calculs explicites il faut que les fonctions d ondes soient normalis es ce qui n est a priori pas le cas des ondes planes 2D 5a Nous adopterons alors une d marche analogue celle du paragraphe 1 3 2a du chapitre 1 consistant admettre que l lectron est confin dans un cube d ar te L tr s grande devant les dimensions atomiques et dont les faces sont perpendiculaires aux vecteurs unitaires e y z des trois axes La fonction d onde Pelr tant nulle hors du cube on en d duit la condition de normalisation 1 lal Par simplicit on prendra r el positif On sait que les fonctions d ondes doivent respecter des conditions aux limites sur les faces du cube ce qui conduit la discr
286. est la base de nombreuses applications des lasers o on recherche des densit s d nergie lev es compl ment 3C Une autre fa on de comprendre le r sultat ci dessus est de remarquer que les 15 Watts du faisceau laser sont mis dans un faisceau tr s peu divergent 107 radians pour un diam tre de 1 millim tre soit un angle solide de m x 10 steradians la diff rence de la source classique incoh rente qui rayonne dans un demi espace 27 steradians Cette propri t est mise a profit lorsque l on cherche mat rialiser une droite par exemple pour le guidage des engins de chantier en particulier des tunneliers On peut r duire encore la divergence en faisant passer le faisceau laser dans un t lescope en sens inverse du sens habituel de l oculaire vers le miroir de sortie Pour un miroir de un m tre de diam tre la divergence n est plus que de 10 radians On peut en fait exploiter la coh rence suivant la troisi me dimension longitudinale du faisceau par exemple en r alisant des impulsions tr s br ves La puissance instan tan e maximale peut alors tre ph nom nale Ainsi un laser 10 modes verrouill s en phase donne une puissance cr te 10 fois plus lev e que la puissance moyenne soit apr s focalisation 1014 W cm Par passage d une seule impulsion dans un amplificateur laser on peut encore gagner plusieurs ordres de grandeur avec des syst mes accessibles de petits laboratoires O
287. est d une dizaine de M gajoules et la dur e 10 ns environ Dans ces conditions l inflammation de la cible doit lib rer chaque impulsion du laser une nergie de l ordre de 1 GJ soit un gain de 100 environ qui est ensuite convertie en chaleur puis en lectricit Ce dispositif conduit une production d nergie utile de 100 MJ chaque impulsion du laser permettant de fournir en continu 1 GW de puissance lectrique Pour que la description pr c dente soit autre chose qu un sc nario de science fiction il faut r soudre un certain nombre de probl mes physiques et technologiques d licats Tout d abord le couplage avec la cible doit tre le plus efficace possible Il s av re que l essentiel de l nergie du laser est absorb par le plasma cr lorsqu il a une densit l g rement inf rieure la densit critique N voir paragraphe 3 1 1 Le couplage est donc meilleur avec des lasers de courte longueur d onde comme nous l avons vu au d but de ce chapitre Il peut atteindre des valeurs de 90 vers 300 nm Il faut ensuite viter que l nergie c d e la cible se couple aux modes d oscillation du plasma ce qui conduirait un chauffage pr matur du centre de la cible et donc une diminution de l effet de com pression La cible doit avoir une structure en couches tr s tudi e et l impulsion laser une d pendance temporelle appropri e de mani re maximiser le rendement de comp
288. est la longueur d onde du laser Donnons quelques ordres de grandeur pour fixer les id es un laser H lium N on standard souvent utilis dans ce genre d application wo amp 2 mm 0 6u m a une divergence de l ordre de 4 x 1074 radians Cette valeur peut para tre faible mais elle donne tout de m me une tache de 20 cm de diam tre au bout d une distance de 300 m ce qui est insuffisant pour certaines applications On voit sur la lEn fait ces diverses propri t s de la lumi re laser ne sont pas ind pendantes Comme on l a montr dans la partie 3 5 du chapitre 3 la possibilit de concentrer l nergie d un faisceau laser est li e la coh rence 292 COMPL MENT 3D formule 3D 1 que pour r duire la divergence il faut utiliser soit un laser de plus courte longueur d onde soit un faisceau de plus grand diam tre Le rayon w est initialement impos par la g om trie de la cavit laser mais on peut ensuite le modifier par un syst me optique par exemple un syst me afocal compos de deux lentilles de distances focales f et f2 ayant un foyer commun F Figure 3D 1 Le diam tre du faisceau est multipli par le rapport f2 f1 Pour des valeurs de ce rapport de l ordre de 10 25 on obtient des faisceaux bien collimat s utilisables jusqu des distances exc dant le kilom tre Sur de telles distances d autres facteurs commencent entrer en jeu li s la variation de l indice de l air c
289. est multipli e par V2 entre z 0 et z z formule 3B 2a 1On emploie parfois aussi la d nomination rayon 1 e ce qui fait r f rence l intensit 3B 1 FAISCEAU GAUSSIEN 265 Pour des distances z l origine petites devant zp le faisceau lumineux a une section pratiquement constante comme le montre la formule 3B 2a Comme par ailleurs le rayon de courbure formule 3B 3 est pratiquement infini dans cette zone on peut consid rer que l on a un faisceau cylindrique de rayons lumineux parall les l axe Oz dans un domaine de longueur z de part et d autre du col a intensit au col b F1G 3B 1 a Variation de l intensit d un faisceau gaussien dans Ia direction de propagation z et dans une direction transverse x b volution d un faisceau gaussien On a repr sent sch matiquement le profil Autour du col l onde est proche d un faisceau cylindrique Au del de la zone de Rayleigh le profil est divergent avec des surfaces d onde sph riques centr es sur le col Conform ment aux lois de la diffraction le domaine o le faisceau est pratiquement cylindrique est d autant plus petit que le rayon au col du faisceau l origine est petit puisque z est proportionnel w formule 3B 5 Ainsi pour 0 633 um on a z 5m pour wo 1 mm mais seulement zR 0 5 mm pour wo 0 01 mm 266 COMPL MENT 3B des distances du col grandes devant zpr nous trouvons
290. est possible de traiter de fa on g n rale le probl me de l interaction d une onde lectromagn tique et d un atome pour une transition entre niveaux de dur e de vie quelconque Ce formalisme difficile justifier au niveau de cet ouvrage n est g n ralement abord que dans des cours de troisi me cycle mais il est d une telle importance pour l interaction lumi re mati re qu il nous a paru difficile de le passer sous silence Le compl ment 2C pr sente le mod le de l lectron lastiquement li Dans ce mod le compl tement clas sique ni la mati re ni le rayonnement ne sont quantifi s Ce mod le permet pourtant d obtenir de nombreux r sultats int ressants qu il sera instructif de comparer aux r sultats quantiques De plus il fournit des images simples notamment en ce qui concerne la polarisation du rayonnement mis par un atome Le compl ment 2D portant sur l effet photo lectrique peut tre consi d r comme un exercice corrig pr sentant un effet physique int ressant l origine de l optique quantique puisque c est pour l interpr ter qu Einstein introduisit la notion de photon il s agit de l jection d un lectron hors de la mati re sous l effet d un rayonnement incident Cet effet est le 2 1 PROCESSUS D INTERACTION ATOME CHAMP 61 m canisme la base du fonctionnement de certains d tecteurs photo lectriques comme les pho tomultiplicateurs Le compl ment 2E pr sen
291. etite devant 1 s crit IT ot 1 2D 38 F0 2D 38 On peut majorer en utilisant l expression 2D 34 o rai amp 107 m 2D 39 et la condition 2D 38 donne compte tenu de w gt ws t lt MLAN 2D 40 Cette relation est compatible avec 2D 37 si I K 10w 2D 41 soit en prenant w 10 ws I 10W m 2D 42 Pour la tr s grande majorit des sources X disponibles cette condition est toujours remplie Les sources de rayonnement synchrotron peuvent fournir des intensit s cr te de l ordre de 10 3W m des longueurs d onde de l ordre de 10 nm Les plasmas obtenus par irradiation laser intense mettent jusqu 10 5W m Par g n ration d harmonique tr s lev es d ordre 2D 3 APPLICATION PHOTOIONISATION DE L ATOME D HYDROG NE 199 sup rieur 100 partir d un laser infrarouge on obtient des faisceaux X mous longueur d onde de l ordre de 10 nm coh rents et pouvant donc tre focalis s On obtient ainsi des intensit s encore plus grandes mais encore inf rieures la limite 2D 42 Les premiers lasers rayons X ont fonctionn en 1993 dans le domaine des X mous Lorsque ces sources deviendront utilisables on peut s attendre ce que les propri t s de coh rence des faisceaux permettent d aller au del de la limite 2D 42 On abordera alors un r gime nouveau de l interaction mati re rayonnement o le temps de photoionisation sera inf rieur une p riode de l on
292. ette application simple du laser lui fournit un de ses march s les plus importants 150 000 lasers H lium N on taient utilis s en 1990 dans de tels syst mes Ceux ci sont progressivement remplac s par des diodes lasers fonctionnant dans le visible Le laser permet de lire un support particulier le disque optique qui est capable de stocker un grand nombre d informations dans un petit volume Nous consacrons le paragraphe suivant une description plus d taill e de cette application importante 3D 4 2 M moires optiques FIG 3D 15 Image de la surface d un disque compact au microscope balayage La tache circulaire repr sente la tache focale du faisceau laser Comme il a t expliqu dans le paragraphe 3D 1 1 le faisceau d un laser peut tre focalis sur une surface dont la dimension est de l ordre du microm tre De plus comme nous le verrons plus loin la lecture de l information se fait par un syst me optique ca pable de suivre avec une grande pr cision les pistes qui peuvent donc tre tr s resserr es On obtient ainsi un moyen de stocker l information avec une tr s grande densit jusqu 100 Mbit cm comparer avec la densit de 1 Mbit em obtenue sur le disque dur 308 COMPL MENT 3D magn tique des micro ordinateurs 1 86 Mbit cm pour les meilleurs syst mes magn tiques au d but des ann es 90 Les disques optiques commerciaux ont une densit de 53 Mbit cm et peuvent c
293. ette d marche est de faire dispara tre du formalisme les corr lations pouvant exister entre l atome et les photons spontan s mis il existe en fait des m thodes permettant de remonter certaines corr lations ii Il arrive souvent que l mission spontan e ne soit pas la cause unique de relaxation Nous avons d j cit un autre ph nom ne rencontr dans les vapeurs atomiques la relaxa tion collisionnelle Consid rons des atomes deux niveaux interagissant avec des atomes perturbateurs Il peut arriver que les collisions induisent des transferts de population b vers a x quenching ou de a vers b excitation collisionnelle mais ces processus sont fr quem ment n gligeables devant l mission spontan e de sorte que la relaxation des populations reste correctement d crite par les quations 2B 6a et 2B 6b En revanche l volution des coh rences peut tre fortement perturb e parce que durant chaque collision la fr quence de Bohr wba Change par suite de l effet du potentiel d interaction entre l atome et le pertur bateur Ces collisions appel es collisions d phasantes conduisent un terme suppl mentaire dans le taux de relaxation de la coh rence qui s crit Ts LF Ycoll 2B 7a 5Voir CDG 2 Chapitre IV Parties A et E 154 COMPL MENT 2B Le premier terme l 2 est relatif l mission spontan e tandis que on est associ la re laxation collisionnelle Ce dernier terme est prop
294. eur correspond A lt O Il est alors possible d obtenir Tmax Ce qui signifie qu une onde peut tre mise par le laser en absence d onde incidente 3A 6 CAVIT LASER LIN AIRE 261 3A 6 Cavit laser lin aire L analyse pr c dente peut tre appliqu e une cavit laser lin aire en faisant T gt 0 R 1 ce qui correspondrait un faisceau laser mis dans la direction des z d croissants sur la figure 3A 1 Dans ce cas la transmission est bien s r nulle pour la cavit T 0 mais on peut v rifier que les formules 3A 12 et suivantes restent valables En particulier la r sonance pour la puissance circulant dans la cavit subsiste La finesse vaut cas o 71 amp 1 et T2 0 27 P 3A 30 Les flux circulant dans la cavit IT et I et le flux incident sont reli s par Il Il 3A 31a IL 2F M r0 si E RTE L nergie stock e dans la cavit est d apr s les quations 3A 22 et 3A 31a gale L W ILS 3A 32 soit en utilisant les quations 3A 21 et 3A 31a AIT PE Ann Gi sr 3 33 ce qui montre qu r sonance l nergie dans la cavit est d autant plus grande que la largeur est troite flux incident constant Remarque i Dans le cas d un laser la situation est diff rente dans la mesure o il n y a pas de faisceau incident Il 0 mais il y a cependant de l nergie dans la cavit IIe 0 cause de la pr sence du milie
295. eur de la vitesse Pour une valeur de donn e une seule classe de vitesse celle v rifiant l quation 3E 17 est susceptible de conduire une absorption deux photons Dans ce cas la largeur de la raie est d termin e par l effet Doppler Comme en g n ral l atome est susceptible d absorber aussi bien deux photons se propageant en sens oppos que deux photons se propageant dans le m me sens cela entra ne que la forme de raie est la superposition d une raie large due l absorption de 3E 3 SPECTROSCOPIE D ABSORPTION DEUX PHOTONS 327 Gaz bd E gt W I v c a whl c c F lt r FIG 3E 7 a Sch ma de l limination de l largissement Doppler dans une transition deux photons b Dans le r f rentiel du laboratoire l atome de vitesse v interagit avec deux ondes de m me pulsation c Dans son r f rentiel propre l atome interagit avec deux ondes dont les fr quences ont t d plac es de fa on sym trique par effet Doppler deux photons se propageant dans le m me sens et d une raie troite li e l absorption de deux photons se propagennt en sens oppos Figure 3E 8 Si les faisceaux F et F sont d intensit s comparables les surfaces des raies large et troite sont semblables puisqv elles font toutes deux intervenir toutes les classes de vitesse Remarque La possibilit d liminer l largissement Doppler dans les transitions deux photons peut s
296. exion d espace voir le compl ment 2 6 de sorte que seules les coh rences oj apparaissent dans le d veloppement 2B 24 D X oxDx 2B 25 j k Comme le premier terme non nul de la s rie de perturbations pour les coh rences est d ordre 1 nous en d duisons que le dip le lectrique l ordre le plus bas est D et qu il est lin aire en champ E Il est gal LOUE YS 0 Dij 2B 26 j k Nous supposons pr sent pour simplifier que le champ E est parall le Oz et que l tat initial et donc a est invariant par rotation Pour des raisons de sym trie le dip le atomique induit est parall le Oz Nous omettrons d sormais la notation vectorielle sachant que les r sultats sont relatifs la composante de D le long de laxe Oz En 1 regroupant les termes relatifs o nous trouvons partir de 2B 22 et 2B 26 et en supposant pour simplifier les taux de relaxation 7 4 r els oO _ 0 DO nor DjxE Dk j gt k W Wjk W F Wjk Yjk YVjk A l cs wt tM sinvwt SE a o Ww w 7 2B 27 Remarques i Nous avons suppos que 7 4 est r el pour crire la formule 2B 27 Si yj a une compo sante r elle et une composante imaginaire i 4 il faut dans la formule 2B 27 remplacer Yjk par Yik et Wjk par Wjk Vik Le centre de la r sonance est dans ce cas d plac par les interactions provoquant la relaxation ii L criture de la for
297. f rentiel en rotation Par exemple dans le cas des figures 3D 10 et 3D 12 l cran et le photod tecteur sont solidaires de l interf rom tre On obtient dans cette limite t 4AN e 3D 14 puisque rR ce qui redonne bien l expression 3D 11 On obtient un effet propor tionnel la vitesse angulaire dont on peut montrer qu il est ind pendant de la forme de l anneau et de la position du centre de rotation Il en r sulte un d placement de frange gal c t Pour une surface A de 1m une longueur d onde de 1ym la rotation terrestre 15 h donne lieu un d placement relatif de frange de l ordre de 107 Pour mesurer une vitesse de rotation aussi faible on peut augmenter la surface par exemple en utilisant une fibre optique bobin e sur un grand nombre de tours Mais on peut aussi utiliser un syst me actif le gyrolaser 3D 3 2 Le gyrolaser Il s agit d un laser ayant une cavit en anneau dans lequel l oscillation se produit en m me temps sur deux modes 1 et 2 tournant dans la cavit dans des sens oppos s voir figure 3D 12 On superpose les deux faisceaux de sortie sur un m me photod tecteur SPour les effets relativistes voir par exemple W Schleich and M O Scully General Relativity and Modern Optics dans New Trends in Atomic Physics Les Houches XXXVIII dit par G Grynberg et R Stora North Holland Amsterdam 1984 6Pour plus de d tails sur les gyrolasers
298. fr quence w de londe in cidente Si w est petit devant la fr quence de r sonance wo la puissance diffus e varie suivant une loi en wt et on parle alors de diffusion Rayleigh la diffusion de la lumi re solaire par les mol cules atmosph riques dont les r sonances lectroniques sont dans l ul traviolet suit une loi de ce type qui favorise les courtes longueurs d onde ce qui explique la couleur bleue du ciel Si au contraire w est tr s grand devant la fr quence de r so nance w diffusion de rayons X l efficacit du processus est constante il s agit de la diffusion Thomson Enfin autour de w le comportement est r sonnant suivant une loi Lorentzienne analogue celle d crivant l absorption ou l mission induite 2 1 PROCESSUS D INTERACTION ATOME CHAMP 67 Remarques i Lorsque la seule cause d largissement de la transition est l mission spontan e depuis l tat excit la largeur de la r sonance est l inverse T de la dur e de vie de cet tat cf 2 1 3 Cette d pendance spectrale pourrait inciter interpr ter la diffusion lastique r sonnante comme r sultant de deux processus ind pendants non corr l s une absorption portant l atome dans l tat excit puis une mission spontan e partir du niveau excit Figure 2 3 Une telle image risque de conduire la conclusion erron e que la lumi re diffu s e a une largeur spectrale let une phase al atoire alors qu ell
299. ge W4 est une fonction du niveau k et la diff rence d nergie Ep E _ entre niveaux cons cutifs dans le quasi continuum d pend aussi du niveau k consid r Nous ne trai terons pas ici le cas g n ral et nous nous bornerons donner sans d monstration le r sultat exact en mentionnant les similitudes et les diff rences avec le cas simple que nous venons d tudier a Pr sentation d un quasi continuum plus r aliste notion de densit d tats k gt FIG 1 12 Couplage entre un niveau discret et un quasi continuum dans lequel l espa cement entre niveaux est une fonction de l nergie Consid rons donc la situation g n rale o les niveaux k du quasi continuum ne sont pas r partis de fa on r guli re la diff rence d nergie E E _ est une fonction de k et de plus les niveaux du quasi continuum ne s tendent pas forc ment de o 00 et peuvent tre limit s une certaine plage d nergie Figure 1 12 Nous pouvons alors d finir une densit d tats p E qui est gale au nombre de niveaux dN du quasi continuum dans 15Voir CDLII Chapitre XIII 1 3 CAS D UN NIVEAU DISCRET COUPL UN CONTINUUM 43 l intervalle d nergie comprise entre E et E dE divis par la largeur dE de cet intervalle aN E dE La valeur de p E d pend du syst me quantique consid r Dans le mod le simplifi pr c dent
300. ge optiquel On peut aussi avoir des atomes qui p n trent dans le volume d interaction Dans tous ces cas nous introduisons des vi tesses d alimentation AN Z 2 99 L dt J alim l z dN 2 99b L dt J alim l qui sont a priori diff rentes 13En fait Na et Np doivent tre compris comme des valeurs moyennes au sens statistique l instant t Nous supposons que ces nombres sont suffisamment grands pour qu il n y ait pas lieu de se pr occuper des fluctuations statistiques Voir Chapitre 3 Partie 3 2 et Compl ment 2A 2 4 ABSORPTION ENTRE DEUX NIVEAUX DE DUR E DE VIE FINIE 99 Es L l gt RER ee FIG 2 11 Mod le d atome o les deux tats coupl s par l onde lectromagn tique ont la m me dur e de vie Dph Les deux tats sont aliment s avec des taux Aa et Ap En r gime stationnaire il y a compensation entre l alimentation totale et le d part total et le nombre total d atome est donc _ A N lo 2 100 Notons que cette quation est vraie quels que soient les transferts de population qui se produisent entre a et b sous l effet de l onde lectromagn tique La simplicit de cette quation qui d coule de 2 98d est due l galit des dur es de vie des deux niveaux elle est sp cifique de notre mod le particulier Nous consid rons dans cette partie 2 4 le cas o A est nul seul le niveau inf rieur a
301. gence angulaire due la diffraction A VS et son tendue g om trique vaut c dU mini X 4r 3G 16 w Compte tenu de 3G 8 cette formule d crivant le ph nom ne de diffraction peut tre consid r e comme la cons quence des relations Az Akg gt 27 3G 17 Ay Aky gt 2r 3G 18 qui contraignent les dispersions des variables conjugu es position vecteur d onde En ce qui concerne la direction de propagation z longitudinale nous consid rerons les variables conjugu es temps fr quence et nous nous int resserons un paquet d onde de dur e At Sa largeur spectrale ob it alors la relation At Aw gt 2rT 3G 19 et pour un paquet d onde minimal on a At Aw min 27 3G 20 la dispersion Aw est associ e une dispersion A pe 3G 21 c de la composante k du vecteur d onde tandis qu la dur e At on associe videmment lextension longitudinale Az du paquet d onde Az cAt 3G 22 On en d duit alors la relation analogue 3G 17 3G 18 Az Ak gt 27 3G 23 l galit tant obtenue pour un paquet d onde minimal Un mode de l espace libre est donc caract ris par une extension minimale dans l espace des phases produit direct de l espace r el par l espace des vecteurs d onde que l on appelle cellule l mentaire de l espace des phases Il est impossible de mieux pr ciser en position et en vecteur d onde un paquet d onde lectro magn tique Le volume
302. gnent les transitions possibles entre sous niveaux de moment cin tique d termin en fonction de la polarisation de la lumi re Les techniques d analyse et de production de lumi re polaris e tant tr s labor es ces r gles de s lection ont permis de d velopper des m thodes exp rimentales la fois subtiles et puissantes dans lesquelles se sont en particulier illustr s les physiciens fran ais Jean Brossel et Alfred Kastler La r sonance optique donne des informations sur les atomes par analyse de la lumi re de fluorescence qu ils r mettent la suite d une excitation par de la lumi re quasi r sonnante Le pompage optique per met de porter une assembl e d atomes hors d quilibre thermodynamique on peut ainsi obtenir une inversion de population entre deux niveaux d nergies voisines D velopp e initialement pour le niveau fondamental des atomes la m thode du pompage optique a pu tre g n ralis e au cas de niveaux d nergies tr s diff rentes permettant d obtenir une amplification laser cf Chapitre 3 Nous nous limiterons dans ce compl ment au cas d un atome un seul lectron o les r gles de s lection sont faciles tablir Mais il faut savoir que les r sultats obtenus sont d une port e beaucoup plus g n rale car on peut les tablir par des arguments de sym trie ind pendants du mod le particulier utilis icit 1A Messiah M canique Quantique Dunod Paris 1964 nouve
303. hamp magn tique B de l onde et le moment dipolaire magn tique M de l atome gt M B ro t 2 50 Pour l lectron de l atome d hydrog ne Ma pour origine non seulement le moment cin tique L associ au mouvement orbital de lectron mais aussi le spin de l lectron A gt M 28 2 51 6CDG 1 Compl ment Crv TCDL 2 Compl ment AxIII 80 CHAPITRE 2 ATOMES EN INTERACTION AVEC UNE ONDE Il est facile de comparer l ordre de grandeur de ce couplage celui du couplage dipolaire lectrique Pour un lectron atomique les l ments de matrice de M sont de l ordre du magn ton de Bohr u 2 52 2 52 HB q tant la charge de l lectron Par ailleurs pour une onde lectromagn tique progressive dans le vide B est gal E c En adoptant l ordre de grandeur gas pour un dipole lectrique cf Remarque ii 2 2 4 b on a donc A gt Te TER 2 53 Hi mcao a tant la constante de structure fine a 1 137 On voit que l amplitude d un couplage dipolaire magn tique typique est deux ordres de grandeur plus faible qu un couplage dipolaire lectrique typique Les couplages dipolaires magn tiques donnent n anmoins lieu de nombreux effets observables Remarque Au m me ordre de d veloppement de l hamiltonien 2 17 on a un terme d interaction entre le moment quadrupolaire lectrique de l atome et le gradient de champ lectrique
304. hauteur est gale AI voir figure 1 11 dP dE AE RT 0 E FIG 1 11 Distribution en nergie des tats finaux l issue d un processus couplant un niveau discret un quasi continuum par une perturbation constante La largeur de cette distri bution vaut AE AT Le niveau initial discret se vide donc dans des tats du quasi continuum distribu s sur une largeur Al autour de l nergie initiale Comme a priori il y a conservation de l nergie dans le processus de transition on peut interpr ter ce r sultat en consid rant que l tat initial a une ind termination en nergie AT li e sa dur e de vie finie T7 Ce r sultat a une port e extr mement g n rale Par exemple il existe des particules l mentaires dont la dur e de vie est extr mement br ve de l ordre de 107 s pour le m son rho Leur masse proportionnelle leur nergie n est alors pas d termin e mieux que Am fi rc 150 MeV c pour le m son rho ce qui est beaucoup plus que la masse de l lectron qui vaut environ 1 MeV c Remarque Une caract ristique frappante de cette volution en e l compar e l oscillation de Rabi est son caract re monotone la probabilit de pr sence dans l tat initial d cro t toujours On pourrait tre tent d y voir un comportement irr versible Le probl me est en fait plus subtil n importe quel moment t de son volution le syst me se
305. ible ce qui n cessite souvent l utilisation de techniques d extraction de bruit La courbe troite est donc centr e sur la r sonance atomique et peut avoir une lar geur proche de la largeur naturelle On comprend que cette m thode pr sente un int r t spectroscopique consid rable Elle est notamment tr s utilis e pour obtenir une r f rence de fr quence absolue sur laquelle asservir la fr quence d un laser Remarque Lorsque l atome poss de plusieurs sous niveaux dans a ou dans b on peut voir appara tre d autres signaux r sonnants troits appel s r sonances de croisement de niveau Prenons par exemple un mod le o l atome a deux sous niveaux a et a dans le niveau fondamental 3E 3 SPECTROSCOPIE D ABSORPTION DEUX PHOTONS 325 dont la s paration est inf rieure la largeur Doppler et un seul niveau excit b Si le faisceau intense est r sonnant sur la transition a b il modifie fortement la population du niveau b et perturbe aussi bien l absorption du faisceau sonde sur la transition a b que sur la transition a b Dans la configuration de la figure 3E 3 on obtiendra une variation r sonnante de l absorption lorsque la m me classe de vitesse interagira avec les deux faisceaux sur l une quelconque des deux transitions On montre ais ment que cela se produit pour trois fr quences w du champ gales w Wap Wap War b 2 War 3E 12 Pour la plupart d
306. ibles vitesses de rotation L utilisation du gyrolaser est cependant contrari e par un ph nom ne qui l emp che de mesurer les tr s faibles vitesses de rotation il s agit du verrouillage de fr quence entre les modes tournant en sens oppos s dans la cavit cause de l existence d une tr s faible r trodiffusion de la lumi re sur les miroirs de la cavit il existe un couplage mutuel entre les deux modes qui peuvent se verrouiller l un sur l autre et osciller la m me fr quence voir figure 3D 13 Il existe donc une zone aveugle dans laquelle w reste nul m me si Q n est pas nul Une solution ce probl me consiste moduler Q par exemple en faisant vibrer le support du laser de mani re que le gyrolaser passe un temps minimum dans la zone aveugle On arrive ainsi mesurer des rotations inf rieures 107 h permettant d utiliser le gyrolaser pour la navigation inertielle en a ronautique 3D 4 Le laser porteur d information On peut utiliser le laser comme moyen de transport d une information qui est co d e en modulant un param tre du faisceau son intensit la plupart du temps Comme nous allons le voir par la suite gr ce aux lasers on peut lire crire ou transporter de l information voire m me traiter cette information TNotons cependant qu la fin des ann es 90 les gyroscopes m caniques ont encore une stabilit tr s ng term usieurs mois in gal e nt toujours utilis
307. ie finale Ep K k 2m est d termin e par la conservation de l nergie Es 2E Ea Il est important de noter que F ne d pend pas de la dimension L de la bo te le terme lin aire en L de la densit d tats tant compens par celui prove nant du carr de l l ment de matrice Remarques i Nous n avons envisag ici que le cas o la particule num rot e 1 est libre l issue du processus Pour obtenir la probabilit totale de d sexcitation il faut rajouter 4 le terme T2 obtenu en changeant les r les des indices 1 et 2 W tant invariant dans cet change T et l 2 et sont gaux Il faut donc doubler le r sultat 1A 9 pour obtenir la probabilit totale d autoionisation TI ii Les particules 1 et 2 tant identiques elles sont indiscernables et il faut en toute rigueur sym triser dans le cas de bosons les fonctions d onde utiliser Il est facile de se convaincre qu on aboutit dans ce cas la m me valeur pour la probabilit d autoionisation Dans le cas de fermions il n est pas possible de mettre deux particules dans l tat 8 sauf rajouter un degr de libert suppl mentaire comme le spin 2Voir par exemple BD Chapitre XIV ou CDL 2 Chapitre XIV 52 COMPL MENT 1A 1A 4 Autre approche possible du quasi continuum condition aux limites p riodiques Reprenons le potentiel repr sent sur la figure 1 11 du chapitre 1 Pour transformer le continuum de niveaux d n
308. ie pour atteindre les valeurs asymptotiques C 2 L intensit transmise d pend donc de fa on non 142 COMPL MENT 2A lin aire de l intensit incidente Cette propri t est exploit e dans de nombreuses exp riences d optique non lin aire FIG 2A 11 Pompage optique pour une transition Ja 1 J 0 excit e en polarisation circulaire o4 Le sous niveau fondamental Ma 1 est vid au bout de quelques cycles de pompage 2A 3 2 quations de pompage Il est possible de trouver les populations stationnaires des divers sous niveaux en pr sence de rayonnement et d mission spontan e Le principe du calcul est d crire des quations de pompage encore appel es quations cin tiques ou rate equations en anglais qui ont une structure simple et d en chercher les solutions Si la justification rigoureuse des quations de pompage est g n ralement d licate on peut en revanche sou vent les crire facilement car ce sont des quations cin tiques qui ont une interpr tation physique simple Nous allons illustrer cette proc dure sur un exemple concret Consid rons une transition entre deux niveaux a et b ayant chacun des sous niveaux Pour fixer les id es nous choisirons une transition Ja 1 gt J 2 Lorsque cette transition est soumise une excitation par de la lumi re quasi r sonnante de polarisation d termin e les populations des divers sous niveaux voluent vers une nouve
309. iendra sur le mat riau irradi diff rents effets qui sont dans l ordre croissant T lt Tiwion traitement de surface Il peut tre de nature chimique c mentation c est dire alliage avec un autre m tal d pos sur la surface ou bien structu relle trempe ou vitrification de surface On obtient un mat riau qui r siste mieux aux chocs aux agressions thermiques et chimiques Ce type de traitement est par exemple utilis dans l industrie automobile pour augmenter la r sistance de la sur face des pistons des soupapes ou des vilebrequins Tusion lt T lt T aporisation soudage Il se fait sans apport de m tal ext rieur sans contact direct avec la pi ce et jusque dans des endroits difficilement accessibles des chalumeaux classiques int rieurs de tuyaux Un laser CO de 10 kW par exemple est capable de souder des t les d acier de 1 cm d paisseur la vitesse de 1 m mn T gt Taporisation gravure per age d coupage en fonction de la profondeur et de l extension lat rale plus ou moins grande sur laquelle le mat riau est volatilis Il est possible en particulier d usiner des mat riaux r fractaires haut point de fusion c ramiques rubis Les exemples d utilisation sont innombrables et le pilotage par ordinateur joue un r le essentiel gravure de logos de marques sur divers substrats m taux ou polym res modification ou r paration de pistes sur les puces
310. ier la mati re que la lumi re puisque l atome de Bohr date de 1913 Mais il est int ressant de noter que les r sultats que nous tablirons ici sont parfaitement exacts m me s il est plus l gant et plus coh rent de traiter l effet photo lectrique dans le cadre de la th orie compl tement quantique de l interaction mati re rayonnement Ce compl ment permet de rendre concr te la question du couplage entre un niveau discret et un quasi continuum sous l effet d une perturbation d pendant sinuso dalement du temps cf C 4 du chapitre 1 En ce sens il peut tre consid r comme un exercice corrig permettant d expliciter les calculs et d obtenir des r sultats quantitatifs 2De nombreuses citations attestent que Milikan s attendait infirmer cette quation Comme la majo rit des physiciens de son poque il jugeait l hypoth se d Einstein incompatible avec toutes les propri t s ondulatoires connues de la lumi re interf rences diffraction Voir par exemple A Pais Albert Einstein La vie et l uvre Chap 18 Intereditions Paris 1993 2D 1 MOD LE UTILIS 189 2D 1 Mod le utilis 2D 1 1 Etat atomique li On consid re un lectron atomique dans un niveau li g C est par exemple l lectron de l atome d hydrog ne ou l lectron de valence d un alcalin dans son tat fondamental ou dans un tat excit li Cela peut tre aussi un lectron d une couche prof
311. ieu est en g n ral tr s complexe Le probl me se simplifie beaucoup si on se place dans le cadre de l approtimation de l enveloppe lentement variable o le module de l amplitude com plexe du champ lectrique varie lentement l chelle de la longueur d onde Il en est alors de m me de l intensit lumineuse et donc du param tre de saturation s qui peut tre consid r comme constant dans une tranche dz grande devant la longueur d onde lumi neuse Les r sultats ci dessus se g n ralisent alors sans difficult en rempla ant x par X1 1 s cf quation 2 121 L effet de la saturation est donc de r duire l absorption 108 CHAPITRE 2 ATOMES EN INTERACTION AVEC UNE ONDE 1 ainsi que l cart entre la vitesse de phase c 1 et la vitesse de la lumi re dans le vide c Remarque Lorsque l absorption et l indice de r fraction d pendent de l intensit lumineuse par exemple cause de la saturation on voit appara tre des effets d optique et de spectroscopie non lin aires voir compl ment 3E 2 4 5 Cas d un syst me ferm deux niveaux De nombreux r sultats obtenus ci dessus partir de notre mod le particulier se g n ralisent au cas o les deux niveaux a et b n ont pas la m me dur e de vie Un cas important est celui du syst me ferm deux niveaux o le niveau du bas a est stable du r e de vie infinie tandis que celui du haut ne peut se d sexciter
312. ines 3A 11 256 COMPL MENT 3A P p l kL 2T FIG 3A 2 Transmission de la cavit Des r sonances tr s marqu es apparaissent lorsque le d phasage au bout d un aller retour kL est gal un nombre entier de fois 2r la courbe ci dessus est obtenue pour R R 0 8 Les fr quences wp d finies par l quation 3A 10 correspondent des r sonances de la cavit En effet puisque 1 T2 Ee nous trouvons en utilisant 3A 9 2 Ti 1 RiR 2VR1R cos k L Ec 3A 12 4 12 ce qui montre que pour un champ incident E donn la puissance circulant dans la cavit est maximale pour w wp c est dire kL 2pr Par exemple pour une cavit sym trique l intensit circulant dans la cavit est alors plus grande que l intensit incidente par le facteur 1 72 Ce facteur peut tre tr s grand devant 1 si 72 est petit Notons enfin que le coefficient de r flexion de la cavit peut tre d duit de la valeur 3A 9 de T 2 R saen 3A 13 Il passe par un minimum r sonance En particulier dans le cas d une cavit sym trique R R nous trouvons R 0 le coefficient de r flexion passe par 0 pour les fr quences de r sonance Remarque i Pour trouver la relation 3A 9 on peut au lieu de simplement crire les relations de passage globales 3A 4 et 3A 6 sur les deux miroirs crire les s ries d ondes transmises et r fl chies ce qui met l accent
313. insi que sur la largeur de raie laser Ts et on peut en d duire oz w toute fr quence par la formule 2 167 Par ailleurs il est g n ralement assez facile d crire des quations cin tiques permettant de calculer l inversion de population ne na En r gime stationnaire on obtient alors une expression de la forme 2 168 o le param tre de saturation peut se mettre sous la forme 2 169 dans laquelle l intensit de saturation IL qui a la dimension d une puissance par unit de surface est une autre donn e empirique caract risant la transition laser 2 6 Conclusion mod le semi classique ou quations ci n tiques Dans ce chapitre nous avons d abord pr sent le mod le semi classique de l interaction mati re rayonnement o l atome est quantifi et le champ classique Gr ce un mod le deux niveaux dont les dur es de vie sont gales il nous a t possible de prendre en compte les ph nom nes de relaxation sans avoir recours au formalisme labor de la matrice densit compl ment 2B En nous int ressant la propagation d une onde lectromagn tique dans un milieu comportant un grand nombre de ces syst mes deux niveaux nous avons vu appara tre le ph nom ne d amplification laser condition que le syst me pr sente une inversion de population 2 6 CONCLUSION MOD LE SEMI CLASSIQUE OU QUATIONS CIN TIQUES 123 Les calculs aboutissant ce r sultat sont loin d tre imm
314. interpr ter en termes de conservation de l impulsion et de l nergie Consid rons un atome de masse M et de vitesse v dans le r f rentiel du laboratoire L impulsion et l nergie des photons est dans ce m me r f rentiel hk hw pour une onde et Ak w pour l autre onde La conservation de l impulsion l issue du processus d absorption de deux photons se pro pageant en sens oppos implique Mv Mv ik ik 3E 18a o v est la vitesse de l atome apr s absorption L quation 3E 18 a montre que la vitesse ne change pas v v dans ce processus La conservation de l nergie entra ne 1 1 E 5 Mv Ea SM 2 w 3E 18b Puisque v v on retrouve la condition de r sonance 3E 16 Notons que cette d monstra tion montre de surcro t l absence de recul de l atome quand celui ci absorbe deux photons se propageant cn sens oppos s 8Cette possibilit d liminer l largissement Doppler dans une excitation deux photons a t propos e d abord par Vasilenko Chebotayev et Shishaev en 1970 Les premi res observations exp rimentales datent des ann es 1973 74 et ont t obtenues Paris Biraben Cagnac Grynberg et Harvard Bloembergen et Levenson avec des lasers en impulsion puis Stanford Hansch et Schawlow avec des lasers continus Les extensions de la m thode et la g n ralisation aux processus plus de deux photons discut e dans la remarque sont pr sen
315. ion naire dans lequel la puissance d pos e sur la surface du mat riau par le laser quilibre le flux de chaleur diffus La temp rature d quilibre est gale Teg Ao 27 Kw Par exemple la temp rature de fusion de l acier 1430 C est atteinte avec une puissance de 100 W environ avec un laser CO 10 6 um A 107 focalis au maximum w et une puissance de 1W environ si l on utilise un laser Nd YAG 1 06 um 4L impulsion laser sera qualifi de courte si la chaleur n a pas le temps de diffuser sur une distance sup rieure la taille du faisccau pendant la dur e de l impulsion 3C 1 EFFETS DE L IRRADIATION LASER SUR LA MATI RE 279 A 1071 Pour ces deux exemples le temps mis pour atteindre le r gime d quilibre est respectivement de 5 us et 500 us En revanche aux temps courts la formule 3C 3 montre que la temp rature de surface cro t extr mement rapidement avant d atteindre le r gime d quilibre L accroissement initial de temp rature en vt est proportionnel au flux instantan absorb par la surface A rw Dans les conditions de focalisation pr c dentes un laser CO de 1 kW porte l acier son point de fusion en 300 ns On peut ainsi utiliser des impulsions extr mement br ves et d nergie relativement faible pour porter localement un m tal sa temp rature de fusion L utilisation d impulsions br ves pr sente en outre l avantage de limiter au
316. ion des ondes gravitationnelles par un interf rom tre optique de plu sieurs kilom tres de long emploie les lasers non seulement dans son principe m me mais pour de nombreuses taches annexes allant du contr le des optiques en cours de fabrication leur positionnement 3D 2 Mesures par laser 3D 2 1 Mesure de position Les lasers d alignement principalement des lasers H lium N on sont utilis s dans de nombreuses applications La m thode la plus simple consiste s aligner de visu sur le faisceau lumineux ventuellement largi pour en r duire la divergence comme indiqu dans le paragraphe 3D 1 1 La pr cision du point est consid rablement augment e si l on utilise un photod tecteur quadrants voir figure 3D 3 qui permet de d terminer le centre de la tache lumineuse 10um pr s On peut ainsi asservir la position d une machine sur le centre du faisceau Cette technique est id ale pour les travaux publics per age de tunnels construction d autoroutes o elle assure une conduite automatique des engins sur des distances de l ordre de la dizaine de kilom tres en ligne droite videmment mais aussi selon un trac l g rement courbe en d pla ant progressivement le point d impact du faisceau sur la machine D N UON LASER K D Di FIG 3D 3 D tecteur quadrants le faisceau est centr lorsque les signaux D1 D2 D3 et D4 sont gaux En utilisant un miroir de renvoi 90 sus
317. ion spontan e LE ooo a Dim ee DR P in aatg 133 2A 2 R sonance optique SU MN NME AE etat es 135 2A 2 1 Principe de l exp rience 135 2A 2 2 Transfert de population dans l tat excit collisions et effet Hanle 136 2A 2 3 Double r sonance 4 et ang D ve a Re 138 2 Pompase OPUS as np Serre Lite Mets de VE DRE DE 139 TABLE DES MATI RES 11 2A 3 1 Transition J 1 J 0 excit e en polarisation lin aire 140 2A 3 2 quations de pompage 2 are ne ce dx cena se L 142 Compl ment 2B Matrice densit et quations de Bloch optiques 149 2B 1 Fonction d onde et matrice densit 150 2B 1 1 Syst me isol et syst me en interaction 150 2B 1 2 Description en terme de matrice densit 150 2B 1 3 Syst mes deux niveaux 152 2B 2 Traitement perturbatif 515 4e Uk ons bus es et anse Bibaus 47h alerts 156 2B 2 1 R solution par it ration de l quation d volution de la matrice densit 156 2B 2 2 Atome interagissant avec un champ oscillant r ponse lin aire 158 2B 3 Atome deux niveaux Traitement non perturbatif 161 ABS TL TOdCUIONM Sr Deer M SN LENS de Med ie a A e ss 161 28 32 Systeme Tete LS BLEUE ANR Ras RE Lois a hot Era af 163 2B 3 3 Syst me ouvert 58 a Ju beau De l ger nl es A 165 2BA Conclusion SSSR NS Se NS a a G A N 166 Compl ment 2C Mod le
318. ir que si tous les modes interf raient constructivement les pics d intensit seraient encore plus intenses Comme l intensit moyenne est toujours donn e par la formule 3 38 le second terme du membre de droite de 3 37 est de valeur moyenne nulle quelles que soient les hypoth ses sur px les pics d intensit seraient alors extr mement brefs Pour traduire math matiquement ces consid rations qualitatives tudions pr sent ce qu il advient lorsque les phases 44 sont corr l es Pour simplifier nous les supposons toutes gales Pk P 246 CHAPITRE 3 LES LASERS nd FIG 3 23 Variation de l intensit d un laser multimode en fonction du temps Les phases des divers modes sont des variables al atoires ind pendantes L intensit fluctue autour de sa valeur moyenne correspondant la droite horizontale En r crivant l intensit lumineuse donn e en 3 37 sous la forme N 1 2 k 0 ra 3 40 nous trouvons pour x Q soit en utilisant 3 36 N 1 2 sl Nous en d duisons l expression suivante pour l intensit lumineuse 7 3 41 sin NA i sin A Eo 1 3 42 La figure 3 24 montre l allure de I t Le laser met des impulsions lumineuses dont la p riode de r p tition T est 2m L gt T gay 3 43 NT 3 43 c est dire le temps de rebouclage ou d aller retour dans la cavit Ceci signifie qu il n y a qu
319. ission du filtre L oscillation laser est possible quand ce produit est sup rieur la valeur seuil de population Ainsi pour le laser HF on a les r actions H F2 gt HF F et H F HF H Un tel laser peut produire des impulsions g antes 4 kJ en 20 ns soit une puissance cr te de 200 GW Notons que l nergie tant stock e sous forme chimique il n est pas n cessaire de se connecter une ligne lectrique de puissance il suffit de disposer de cartouches de gaz r actifs Si la transition laser a lieu entre niveaux mol culaires lectroniques distincts la lon gueur d onde de l mission laser est souvent dans l ultra violet ce qui conf re un int r t certain ces sources Les lasers les plus utilis s sont les laser excim res 8 comme ArF ou KrF qui mettent dans l ultra violet respectivement 195 nm et 248 nm Dans ces derniers lasers le niveau inf rieur de la transition Fig 3 13 est instable parce qu il n existe pas d tat li de l argon et du fluor par exemple dans le niveau fondamental il en existe en revanche dans les niveaux excit s On obtient ainsi de fa on l gante un d peuplement efficace du niveau inf rieur de la transition puisque la mol cule dans cet tat disparait tr s rapidement en lib rant les deux atomes 17Une faible source d nergie peut tre requise pour initialiser la r action chimique c est dire produire les atomes libres permettant la
320. l onde incidente est d cal e dans ce rep re par effet Doppler d une quantit w qui vaut w k v 3D 9 o k est le vecteur d onde de la lumi re incidente Revenant au rep re fixe de l observateur on constate que la lumi re diffus e vers l arri re voit sa pulsation d cal e une deuxi me fois de la m me quantit Le photod tecteur P re oit en m me temps cette lumi re r tro diffus e ER cos w 20w t 4 et une partie du faisceau initial Eo cos wt 4 Il produit un signal lectrique proportionnel l intensit totale 7 du champ lectromagn tique incident I Eo cos wt p Er cos w 20w t w 3D 10 la barre sup rieure d notant la moyenne temporelle sur quelques p riodes optiques Dans ce signal les termes oscillant des fr quences optiques sont moyenn s par le d tecteur et le terme de battement Eo Er cos 20wt p p oscille une fr quence suffisamment basse pour tomber dans la bande passante du d tecteur 26w 2r 10 MHz pour v 6 m s si on utilise un laser H lium N on La mesure de cette fr quence permet donc partir de 3D 9 de d terminer la valeur de la projection de la vitesse de l objet sur la ligne de vis e Cette technique n cessite un laser monomode et sera d autant plus pr cise que les fluctuations de phase du laser seront plus r duites Elle est utilis e notamment en m decine pour d terminer la vitesse de d placement des globules sanguins Nous
321. l expression 2D 17b du rayon de Bohr ao Revenant au taux de photoionisation dans une direction donn e 2D 23 on peut d finir la section efficace diff rentielle de photoionisation dans la direction ue dog qo ue 2rrok u e ke k 2D 27 2D 2 3 Comportement aux temps longs A l issue de ce calcul il convient naturellement de v rifier que les approximations qui ont t faites sont valables En particulier il faut s assurer qu il existe une chelle de temps assez longs pour que l approximation r sonnante soit valide cf A 3 et assez courts pour que la probabilit It d ionisation par atome reste petite devant 1 Ceci impose une limite sup rieure l intensit de l onde incidente Les valeurs tr s lev es d passant cette limite ne pourraient en pratique tre obtenues qu avec des lasers extr mement intenses 2D 3 APPLICATION PHOTOIONISATION DE L ATOME D HYDROG NE 197 Cette condition tant v rifi e on peut n anmoins se demander ce qui se passe lorsque le temps d interaction augmente au del du domaine de validit du traitement perturbatif Par un traitement analogue celui du paragraphe 1 3 2d du chapitre 1 m thode de Weisskopf et Wigner on montre que la probabilit de trouver l atome dans l tat initial g d cro t exponentiellement suivant la loi Poe 2D 28 2D 3 Application Photoionisation de l atome d hydro g ne En utilisant les expressions connues des fo
322. la fr quence incidente w La courbe repr sente la relation entre nergie et impulsion de l lectron l qui libre thermodynamique les tats les plus peupl s correspondent aux nergies les plus basses La transition stimul e se fait donc du niveau le plus peupl p 0 vers le niveau le moins peupl qui appartient ici un continuum d tats 3 3 Propri t s spectrales des lasers 3 3 1 Modes longitudinaux Nous avons montr au 3 1 2 que la condition d oscillation gain non satur plus que suffisant pour compenser les pertes pouvait tre v rifi e par plusieurs modes longitudi naux du laser Le nombre de modes susceptibles d osciller est associ au rapport entre la largeur de la courbe de gain et l intervalle c L Av entre modes longitudinaux Leav est rappelons le la longueur optique parcourue par la lumi re sur un tour de cavit Par exemple pour la raie rouge du laser h lium n on la largeur de la courbe de gain est 1 2 GHz Si Leavy 0 6 m la distance entre modes est 0 5 GHz et le laser h lium n on pourra osciller sur 2 ou 3 modes Il faut noter que la courbe de gain est fixe en fr quence alors que le peigne de modes de fr quence wp se d place quand la longueur L varie par 21D A G Deacon L R Elias J M J Madey G J Ramian H A Schwettman et T I Smith Phys Rev Lett 38 892 1977 Voir galement Yariv Quantuum Electronics 374 ed p 277 Wiley 238 CHAPITRE 3 LES LASERS suite
323. la m me classe de vitesse v 0 par les deux ondes Dans le cadre du mod le consid r ici la largeur de la courbe troite est de l ordre de 24 7 Q 7 T sp o Q est la pulsation de Rabi associ e l onde saturante F On con oit donc qu en diminuant les intensit s des ondes on puisse d terminer la largeur naturelle de la transition comme valeur asymptotique T forte intensit de Ponde F les populations des niveaux a et b sont galis es On pourrait donc s attendre ce que l absorption de l onde faible F soit pratiquement nulle lorque w w En fait ce n est pas le cas un calcul plus pr cis tenant compte notamment des d placements des niveaux d nergie dans un champ intense montre que l absorption tout en tant consid rablement diminu e ne tend pas vers 0 pour plus de d tails voir S Haroche F Hartmann Phys Rev A6 1280 1972 ou CDG 2 Exercice 20 324 COMPL MENT 3E Falvx 0 v i v 0 v Vr fala b 0 0 Vy FIG 3E 4 Distribution de vitesse dans le niveau fondamental a Lorsque w 7 wo les faisceaux F et F excitent des classes de vitesse sym triques v et v b Lorsque w w les faisccaux F et F interagissent avec la m me classe de vitesse vx 0 Transmission 1 Q O FIG 3E 5 Forme de raie d absorption satur e dans une vapeur atomique transmission du faisceau faible en fonction de la pulsation w en pratique le signal troit est beaucoup plus fa
324. lation l extr me nettet de la d coupe due l effet de seuil et l absence de dommage sur les bords des zones d coup es indiquant qu la diff rence des cas a et b il n y a pratiquement pas d effets thermiques FIG 3C 3 Trous de 300 um de diam tre perc s dans une feuille de polyamide de 75 um d pais seur l aide de diff rents lasers a Nd YAG 1 06 um b CO2 10 6 um c excim tre KrF 248 nm On remarque dans le cas c la nettet des bords du trou perc par effet de photoablation On peut donner de ce ph nom ne l explication simplifi e suivante les photons ul traviolets du faisceau brisent de nombreuses liaisons chimiques dans les polym res du mat riau irradi Les monom res et les produits de dissociation ainsi form s occupant un volume plus grand que le polym re original il y a explosion locale avec expulsion ra pide des produits de r action L nergie apport e par le laser ayant principalement servi dissocier les polym res diffuse tr s peu dans le substrat dont la temp rature ne va rie pratiquement pas pendant l irradiation C est ce qui explique l absence de traces de br lure sur le mat riau qui n a pas t enlev 3C 2 USINAGE ET TRAITEMENT DE SURFACE DES MAT RIAUX 281 3C 2 Usinage et traitement de surface des mat riaux 3C 2 1 Effets thermiques Le paragraphe pr c dent nous a montr qu en jouant sur la longueur d onde l inte
325. le r sultat relatif au spectre continu 1C est par commodit de calcul que les quasi continuums sont introduits ici Mais il existe galement des situations naturelles de quasi continuum Par exemple les tats excit s de vibration rotation d une mol cule grand nombre d atomes forment un ensemble dense de niveaux d nergie ayant les propri t s d un quasi continuum Cette propri t est exploit e dans la photodissociation des mol cules voir N Bloembergen et E Yablonovitch Physics Today 31 5 23 1978 ou dans les lasers accordables colorants voir 3 2 2 d 1 3 CAS D UN NIVEAU DISCRET COUPL UN CONTINUUM 37 Illustrons cette d marche sur l exemple du paragraphe 1 3 1a L introduction de la bo te fictive consiste ajouter au potentiel coulombien dans lequel sont plong s les lectrons un potentiel nul l int rieur de la bo te par exemple un cube dont les faces sont en x L 2 y L 2 z L 2 et infini hors de la bo te Les solutions stationnaires correspondant ce potentiel sont exclusivement des tats li es formant une suite discr te m me pour des valeurs positives de l nergie Pour illustrer la situation sans compliquer la pr sentation nous consid rons le probl me 1 dimension d un potentiel attractif au milieu d une bo te carr e figure 1 9 E FIG 1 9 lectron dans un potentiel attra
326. les 2 80 fournissent directement les probabilit s de pr sence dans les tats a ou b de l atome Elles per mettent galement en revenant aux coefficients yalt et w t q 2 75 de calculer la valeur moyenne de n importe quelle observable atomique C est ainsi qu au paragraphe 2 4 3 nous calculerons la valeur moyenne D t du dipole atomique la notation rappelle que la valeur moyenne quantique D y t D y t volue avec le temps cf 2 87 Remarque La solution C 27 du syst me C 23 est la solution particuli re associ e la condition initiale C 26 Pour chaque condition initiale il faut recalculer la solution correspondante Il existe des situations o cette solution est tr s sensible aux conditions initiales par exemple dans ce que l on appelle la m thode des champs s par s de Ramsey qui est utilis e en spectroscopie de haute r solution et en particulier dans les horloges atomiques C sium P a b to FIG 2 7 Oscillation de Rabi dans le cas exactement r sonnant trait plein pour un d saccord Q tirets et 8 20 pointill s b Oscillation de Rabi La solution 2 80 nous permet de calculer la probabilit P to t qu un atome ini tialement dans l tat a soit pass l instant t dans l tat b sous l effet de l onde lec 2 3 TRANSITION ENTRE DEUX NIVEAUX ATOMIQUES 89 tromagn tique quasi r sonnante R Q 2 L sin t to
327. les photons sont dans le m me mode tant des bosons indiscernables ils sont coh rents spatialement et temporellement et on peut les concentrer sur les tailles minimales autoris es par la relation taille x divergence dif fraction et par la relation temps x fr quence Ainsi on peut dire que ce qui caract rise le plus fondamentalement la lumi re laser compar e la lumi re ordinaire c est un nombre de photons par mode tr s sup rieur 1 POLYTECHNIQUE DITION 2006 Achev d imprimer le 25 septembre 2006 sur les presses du Centre Poly M dia de l cole Polytechnique D p t l gal 3 trimestre 2006 N ISBN 2 7302 1358 9 TOME I IMPRIM EN FRANCE
328. lis dans le cas d un atome excit dans un tat b et se d sexcitant par mission spontan e vers un tat a en mettant un rayonnement de pulsation w La probabilit de trouver l atome dans l tat b d cro t exponentiellement au cours du temps la dur e de vie radiative r caract risant cette d croissance tant de l ordre de la valeur donn e par la formule 2C 30b Les valeurs calcul es ci dessus donnent donc g n ralement un bon ordre de grandeur pour les dur es de vie radiatives atomiques Mais un calcul exact requiert un traitement compl tement quantique c Moment cin tique de la lumi re polaris e circulairement Consid rons un lectron tournant dans le plan rOy dans le sens direct cas o la fr quence w Un tel lectron perd de l nergie comme le montre la formule 2C 26 qui est valable galement pour un mouvement circulaire de rayon a V2 mais galement du moment cin tique Calculons la variation de moment cin tique par unit de temps dL dt De la relation fondamentale de la dynamique on d duit dL TE r x FRR 2C 31 Les coordonn es de l lectron l instant t sont a T COS wt 2C 32a D y sin wt 2C 32b V2 5Voir le cours de majeure 2 PHY5597 180 COMPL MENT 2C et les projections Fy et Fy de Frr sont d apr s 2C 25a et 2C 32 gales 2 Pps mna a sin wt 2C 33a 2 F 0 78 sin wt 2C 33b 3e 7 La variation du moment cin tique par
329. lision grand param tre d impact pour lesquelles la m thode est valable Explicitons l quation de Schr dinger d A A il lU E Ho AH WE 1 11 en utilisant le d veloppement de d t sur la base des tats propres de Po gt WE E t n 1 12 Nous avons crit le coefficient du ket n comme un produit de deux termes 7 t et exp iEnt Cette s paration permet de tenir compte de l volution naturelle du sys t me sous l influence de o seul si i t est nul les sont constants en vertu de l quation 1 2 Elle simplifie les d veloppements ult rieurs Projetons l quation 1 11 sur un tat propre k de in HUE k Hoyt Akl AICE 1 13 E k y t PRAD KLAO n aly A On a utilis la relation de fermeture Xn n n I En utilisant le d veloppement 1 12 de t nous r crivons 1 13 sous la forme 4 d 1 Erye t igalt e Ert h 2 the Et 4 gt kE bn te E 1 14 Les termes proportionnels Ex dans les membres de gauche et de droite se simplifient et nous obtenons d ihg A k ir En t 1 15 qui est un syst me ventuellement infini d quations diff rentielles Ce syst me est exact aucune approximation n ayant t faite jusqu ici 1 2 TRANSITION ENTRE NIVEAUX DISCRETS 21 Les coefficients y t d pendent de La m thode des perturbations consiste d ve lopper y t en s rie enti re de qui e
330. lle dition 1995 Traduction anglaise Quantum Mechanics North Holland Amsterdam 1962 Wiley New York 2A 1 R GLES DE S LECTION ET POLARISATION 127 2A 1 2 Lumi re polaris e lin airement Consid rons un atome un seul lectron atome d hydrog ne dont nous prendrons le noyau l origine des coordonn es Nous supposons que cet atome interagit avec de la lumi re polaris e lin airement suivant Oz dont le champ lectrique en r 0 vaut E 0 t e Eo cos wt 2A 6 e tant le vecteur unitaire de Oz L hamiltonien d interaction se met donc sous la forme f t W cos wt p 2A 7a avec W qEot e qE02 D e Eo 2A 7b tudions les transitions possibles partir du niveau fondamental de l atome la n 1 4 0 m 0 2A 8 n tant le nombre quantique principal le nombre quantique orbital et m le nombre quantique magn tique Pour un tat excit quelconque rep r par les nombres quantiques n l m lb In l m 2A 9 l l ment de matrice de transition s crit Wia ja q o bl la 2A 10 Rappelons l expression des fonctions d onde d un atome un seul lectron en coordonn es sph riques Ynrim r 0 p z Ralr Y 0 p 2A 11 Cette expression fait appara tre les harmoniques sph riques Y 0 4 L l ment de ma trice 2A 10 prend la forme Wie qEo r sin 0 drdodo Ry r Yi 0 9 z Raor YOC 6 2A 12 En coordonn e
331. lle situation hors d quilibre thermique que nous nous proposons de d terminer Si l intensit lumineuse est assez faible on peut donner de ce probl me un traitement bas sur des quations de pompage analogues aux quations pr sent es dans le paragraphe 2 4 5 du chapitre 2 ou dans la partie 3 2 du chapitre 3 Le principe en est le suivant Il est possible de d finir pour la transition a b une matrice T qui caract rise la force des couplages entre divers sous niveaux Par exemple pour la transition 6Cette tape est importante dans la mesure o toutes les situations ne rel vent pas d quations de pompage optique Un traitement exact doit tre bas sur des Equations de Bloch Optiques cf Com pl ment 2B On peut en fait montrer que les quations de pompage sont valables dans le cas d une excitation en raie large ou plus g n ralement lorsque le taux de relaxation des coh rences est beaucoup plus grand que celui des populations 2A 3 POMPAGE OPTIQUE 143 Ja 1 amp J 2 consid r e on crit une matrice dont les colonnes correspondant aux cinq sous niveaux M 2 2 et les lignes sont relatives Mma 1 0 1 1 0 0 2 6 1 2 1 r RAC EE Ne TRE 2A 44 BERG S amp 0 0 0 1 6 2 Dans cette expression l est l inverse de la dur e de vie radiative de l tat excit et les coefficients C peuvent s obtenir partir du th or me de Wigner Eckart qui g n ralise les
332. loch optiques 2B 3 1 Introduction Consid rons un atome deux niveaux a et b soumis un champ lectromagn tique quasi r sonnant Nous allons voir qu il est possible de donner un traitement non perturbatif de ce probl me comme on a su le faire en l absence de relaxation cf 2 3 2 En fait l interaction d un atome deux niveaux avec un champ lectrique oscillant a la m me forme math matique que l interaction entre un champ magn tique oscillant et un spin 1 2 8A Sommerfeld Optics Academic Press New York 1954 162 COMPL MENT 2B plong dans un champ magn tique statique qui l ve la d g n rescence entre les niveaux m 1 2 Ce dernier probl me qui est celui de la r sonance magn tique nucl aire a t tudi notamment par Bloch Sa transposition au domaine optique conduit aux quations de Bloch optiques outil de base de l optique quantique Nous en pr sentons bri vement les grandes lignes Consid rons d abord les termes hamiltoniens provenant de l quation 2B 4 L hamil tonien est la somme de l hamiltonien atomique o wolb b l origine des nergies est choisie au niveau a et de l hamiltonien dipolaire lectrique Hi t DE coswt Nous trouvons ainsi d e iQ coswt opa Cab 2B 36a dO aa aF iQ coswt opa Cab 2B 36b dO ob 9 a 1WOO ab iQ cos wt 0y Caa 2B 37a Oba 7 7 iW00pa 11 cos wt Obp Caa 2B 37b Nous avo
333. m trie 8 3D 3 La monochromaticit est enfin utilis e en spectroscopie voir Compl ment 3E Le laser peut aussi fonctionner en mode impulsionnel voir Chapitre 3 4 et produire des impulsions tr s courtes jusqu la dizaine de femtosecondes On dispose ainsi de tops extr mement pr cis utilisables pour mesurer des intervalles de temps tr s courts ou bien pour transporter des bits gt d information avec des d bits tr s importants 3D 1 3 Manipulation du faisceau cause de son petit diam tre et de sa bonne collimation un faisceau laser peut ais ment tre manipul Cet avantage m me s il est moins fondamental que les pr c dents est cependant l origine d un grand nombre d applications commencer par les spectacles lasers pour un m me clairement on peut utiliser des manipulateurs de taille plus faible qu avec des sources classiques Les syst mes m caniques comme les miroirs mobiles ou tournants sont la fois les plus simples et les plus lents fr quences caract ristiques jusqu au kiloHertz On peut aussi faire diffracter le faisceau laser sur un r seau de phase cr par une onde acoustique se propageant dans un cristal transparent Ce sont les syst mes acousto optiques qui agissent sur le faisceau jusqu des fr quences de plusieurs centaines de MHz On peut enfin utiliser la modification de l indice d un cristal sous l effet d un champ lectrique oscillant effet le
334. me ou une assembl e d atomes mettant de la lumi re en passant d un niveau b un niveau a s par s par l cart en nergie Ep Ea hwo Le champ rayonn par ce syst me s obtient en faisant un calcul quantique de la valeur moyenne du dip le atomique D t d D y t et en portant cette valeur dans les formules 2C 17 et 2C 18 On obtient les m mes diagrammes de rayonnement que ceux d crits dans ce compl ment plus pr cis ment si la transition a lieu entre niveaux ayant le m me nombre quantique magn tique suivant Oz transition Am 0 selon Oz on a un diagramme de rayonnement du type m voir le Compl ment 2A si la transition fait varier m d une unit Am 1 on a un diagramme de rayonnement de type o ou o_ relativement Oz Notons enfin que l l ment de matrice dipolaire lectrique est nul si Am gt 1 r gles de s lection des transitions dipolaires lectriques voir le Compl ment 2A et qu il n y a alors pas de rayonnement dipolaire lectrique mis dans ce cas 2C 4 R ACTION DE RAYONNEMENT AMORTISSEMENT RADIATIF 177 Ur O FIG 2C 3 Emission dipolaire o Pour un dip le tournant en O la lumi re mise suivant Oz est polaris e circulairement elle est polaris e lin airement pour une mission dans le plan xOy du dip le tournant et elliptiquement dans une direction quelconque Notons que le sens de rotation o4 est d fini par rapport l orientation de l axe Oz
335. me stationnaire stable est atteint lorsque le champ se reproduit identiquement lui m me apr s chaque tour de cavit Notons Ealt Eo cos wt p 3 8 l amplitude du champ laser au point A de la figure 3 2 Apr s propagation sur un tour ce champ devient Elt VR 1 A G T Eo cos wt 4 4 3 9a avec I E 2 Le facteur pr c dant Eo dans 3 9a rend compte des ph nom nes de r flexion att nuation et amplification subis par l onde lors de sa propagation sur un tour Le d phasage accumul par le champ sur un tour est not W Il est gal Leav pour un champ dont la longueur d onde dans le vide est 2rc w et pour une cavit de longueur optique gale Leavy En r gime stationnaire le champ doit se reproduire identiquement lui m me au bout d un tour On a donc pour tout t E t Ealt 3 10 d 2r 3 9b 3 1 CONDITIONS D OSCILLATION 215 Cette condition implique l identit de l amplitude et de la phase des champs E4 t et Eh t Nous examinons successivement les cons quences de ces deux galit s dans les paragraphes suivants Remarques i La longueur optique Lea de la cavit qui intervient dans la formule 3 9b diff re de sa longueur g om trique pour plusieurs raisons D abord les indices de r fraction du milieu amplificateur et des l ments optiques ventuellement pr sents dans la cavit sont g n ra lement diff rents de 1 D autre part on i
336. me un spectrom tre de tr s haute r solution si on modifie sa longueur L les fr quences susceptibles d tre transmises changent En modifiant Lo de X 2 on balaie un intervalle spectral libre de 3 GHz compte tenu de la petite valeur de Awcav on peut ainsi analyser la structure de la raie mise par un laser H lium N on 3 modes s par s de 500 MHz Remarque i Les pertes par transmission ne sont pas les seules pertes d une cavit Fabry Perot Il faut aussi tenir compte des pertes des miroirs et eventuellement des pertes dues l absorption ou la diffusion lorsque un milieu mat riel est plac l int rieur de la cavit Consid rons la cavit lin aire de la Figure 1 et supposons que les pertes en intensit pour une propagation d un miroir l autre soient gales A1 de sorte que les quations 3A 6 deviennent E t2Ee V 1 Ai exp ikLo 3A 28a E r2Ee 1 A exp 2ikLo 3A 28b alors que les quations 3A 4 restent inchang es Les d veloppements pr c dents peuvent tre facilement adapt s pour inclure ce terme suppl mentaire On trouve par exemple que dans la limite T1 T2 A1 1 les coefficients de transmission et de r flexion r sonance et la finesse sont respectivement gaux AT To La sr e A 2 4 T T2 3 9a _ 4 T T2 Ries TER T5 3A 29b 27 o 2A correspond aux pertes sur un aller retour ii Le cas d un laser milieu amplificat
337. ment utilis l heure actuelle pour neutraliser par blouissement les syst mes de visualisation adverses ce qui n cessite videmment des flux lumineux beaucoup plus faibles La majeure partie des applications militaires actuelles des lasers concerne en fait des domaines que nous allons traiter dans le Compl ment 3D la dis tance de cibles est couramment d termin e par t l m trie laser impulsionnelle paragraphe 3 2 2 et leur vitesse par v locim trie Doppler paragraphe 3 2 3 Enfin la directivit du laser est utilis e pour la d signation d objectifs le projectile est guid sur la tache lumi neuse diffus e par la cible que l on a illumin e par un faisceau laser 8Voir Review of Modern Physics 59 pp S1 S201 Juillet 1987 286 COMPL MENT 3C 3C 5 Fusion inertielle Les recherches concernant la fusion thermonucl aire contr l e par laser sont activement poursuivies dans le monde entier M me si en 1995 on n a pas d montr la validit de cette technique nous la d crivons ici en raison de son importance potentielle Elle est bas e sur l utilisation de la r action de fusion entre noyaux de deut rium et tritium qui produit une particule a et un neutron n de grande nergie D T He 3 5MeV n 14 1MeV Le deut rium se trouve en abondance dans l eau de mer et le tritium se fabrique partir de neutrons thermiques et de lithium provenant aussi de l eau de mer L humanit dispose d
338. miers niveaux quantif s dans un puits quan tique en fonction de la largeur du puits et pour diff rentes concentrations d aluminium dans la barri re L chelle de droite indique les longueurs d onde de coupure correspondantes La partie claire indique les transitions li li et la partie verte les transitions li libre barri re AlGaAs et balay s par le champ lectrique appliqu la structure Ils vont in duire un photocourant qui sera d tect gr ce aux contacts ohmiques L nergie minimale des photons d tect s c est dire l nergie de photoionisation AE F est la longueur d onde de coupure du photod tecteur Nous montrons maintenant comment la th orie de la photo mission appliqu e ce cas unidimensionnel permet de d crire simplement l absorption de la lumi re infrarouge par les transitions li libre dans ces puits quantiques J FIG 2E 4 Une vision simplifi e d un photodecteur multipuits quantique On consid re le puits quantique simplifi de largeur d repr sent en figure 2E 5 Ce puits quantique admet un niveau quantifi i d crit par une fonction d onde 2 de carr sommable et d nergie quantifi e E7 l indice 7 d signant le terme d ionisation On fait l hypoth se que ce puits est suffisamment profond pour que 6 2 soit consid r e comme COMPL MENT 2E 205 la fonction d onde du niveau fondamental du puits quantique infini soit 2E 2 E
339. mmense majorit dans le niveau fondamental Ces atomes de masse M sont anim s de mouvements rectilignes uniformes dans le gaz et la probabilit que la compo sante v de la vitesse d un atome soit comprise entre Vy et Vs dv est d termin e par la distribution de Maxwell Boltzmann 1 v Ve exp 3E 4 fu GE avec U er vitesse quadratique moyenne une dimension b Excitation d une classe de vitesse a faa v b fax 0 i 0 Vo 0 Vz FIG 3E 2 Proportion d atomes de vitessse donn e distribution de vitesse dans le niveau fondamental a et dans le niveau excit b lorsque les atomes sont soumis une onde incidente progressive de pulsation w se propageant selon Ox La vitesse est d termin e par la condition 3E 7 Supposons que ces atomes interagissent avec une onde monochromatique incidente R r t Ecos wt k r 3E 5 Un atome de vitesse v et d crivant une trajectoire r ro vt 3E 6 399 COMPL MENT 3E voit dans son r f rentiel propre une onde E cos w k v t k ro 3E 7 dont la fr quence est d plac e par effet Doppler Pour une pulsation incidente w donn e seuls les atomes de vitesse v tels que h w k v wo 3E 8 peuvent absorber le rayonnement incident Si l onde se propage dans la direction Ox les atomes excit s auront donc une composante vo de la vitesse le long de l axe Ox gale wW w vo 2e 3E 9 w puisqu
340. mp est I4 au point A elle est gale GI apr s un tour et juste avant la r flexion sur Ms Apr s r flexion sur Ms l intensit du faisceau est gale RGI1 Pour qu une oscillation s tablisse dans la cavit il faut que le champ apr s un tour soit plus grand que le champ initial Pour une onde de faible intensit la condition de d marrage de l oscillation est RGO gt 1 3 3 soit encore G T gt 1 3 4 3 1 CONDITIONS D OSCILLATION 213 amplificateur Miroir de sortie FIG 3 1 Laser en anneau Le miroir de sortie Ms semi transparent renvoie une partie de la lumi re vers l entr e de l amplificateur via les miroirs totalement r fl chissant M et M Si le gain de l amplificateur est suffisant pour compenser les pertes un faisceau lumineux s tablit dans la cavit On d signe par I l intensit dans la cavit avant le miroir de sortie coefficients de r flexion et de transmission R et T Le laser met vers l ext rieur un faisceau d intensit TI La longueur optique pour un tour de cavit est Leay La longueur du milieu amplificateur est La amplificateur GI A M p AN Miroir de sortie G coefficient d amplification FIG 3 2 Valeurs successives de l intensit au cours de la propagation dans une cavit en anneau En pratique il faut ajouter aux pertes par transmission qui sont les pertes utiles puis qu elles correspondent au faisceau disponible pa
341. mpe voir exercice E 3 et conduisant des quations cin tiques pour les populations et un pompage r alis par une source coh rente Dans le premier cas il n y a jamais inversion de population pour le syst me deux niveaux comme le montre l quation 3 29 Dans le second cas l volution obtenue en r solvant l quation de Schr dinger ou l quation d volution de la matrice densit voir Compl ment 2B peut conduire pour des temps d interaction d termin s une inversion de population ii Dans les masers NH3 ou hydrog ne la transition sur laquelle se produit l effet maser s apparente un syst me deux niveaux Dans ces dispositifs on pr pare un jet d atomes dans le niveau excit de la transition maser par une m thode du type Stern Gerlach Ce jet d atomes traverse ensuite une cavit r sonnante analogue la cavit optique du laser Une fraction importante d atomes est alors transf r e vers le niveau fondamental cause Voir BD VI 5 ou C Townes et A L Schawlow Microwave Spectroscopy 15 10 et 17 7 Mc Graw Hill 3 2 DESCRIPTION DES MILIEUX AMPLIFICATEURS 233 du processus d mission stimul e Les atomes sortent ensuite de la cavit Les atomes dans le niveau inf rieur de la transition sont donc m caniquement extraits de la cavit ce qui maintient automatiquement l inversion de population Un tel syst me est en fait bien d crit par les quations de la partie
342. mule 2B 27 suppose implicitement que la relaxation peut tre d crite par les m mes coefficients y 4 quel que soit l cart r sonance Ceci implique que les courbes 160 COMPL MENT 2B relatives la composante en quadrature du dip le lectrique terme en sinwt dans 2B 27 sont des lorentziennes pour toute valeur de wjk w ce qui n est pas vrai en toute g n ralit La forme lorentzienne est exacte dans un certain domaine au voisinage de la r sonance g n ralement tr s grand compar yjk mais n anmoins limit un intervalle plus ou moins vaste selon le m canisme de relaxation En utilisant la d finition 2 118a 2 118b 2 118c du chapitre 2 il est possible d exprimer le r sultat de la formule 2B 27 en faisant appara tre les parties r elle y et imaginaire x de la susceptibilit Nous noterons N V le nombre total d atomes par unit de volume et NO N 50 le nombre d atomes par unit de volume dans l tat k en absence de champ lectromagn tique Dans le cas d une excitation quasi r sonnante w voisin de w cf Eq 2B 23a on trouve 0 0 NO NO Da wjr w 2B 28 V Eoh wir w Yik 0 0 NON Dal V5k EE 2B 29 V Eoh wir w Vik Il appara t clairement que les formules 2B 28 et 2B 29 g n ralisent les formules 2 119b 2 119c tablies dans le chapitre 2 En fait l tude du chapitre 2 appara t comme un cas particuli
343. n En particulier pour un syst me l quilibre thermodynamique les coefficients T sont tels que les populations 4 correspondent une distribution de Boltzmann Quant la coh rence gi elle est d apr s 2B 15a et 2B 5b solution de l quation Eo iopo typot 0 2B 16 o on a introduit la fr quence de Bohr pour la transition j k wik Ej Ex h Si toutes les coh rences os t sont nulles l instant initial elles le restent au cours du temps Si ce n est pas le cas elles pr sentent des oscillations amorties avec des constantes de temps gales Re 4 T 9 o Re signifie partie r elle de Nous supposerons dans la suite que 60 a atteint le r gime stationnaire avant l applica tion de t de sorte que les seuls termes non nuls de 6 sont les populations Go L tat initial du syst me est d termin par la donn e de ces populations que nous supposerons connues c Solution l ordre 1 Appliquons d abord l quation 2B 15b au cas des populations Il vient d do 1 pee Sn ge EE z DIRAO oge UEO 2B 17 Le terme relatif l j dans le second membre de 2B 17 est nul les deux termes se compensant Les autres termes sont galement nuls puisque toutes les coh rences d ordre 0 of sont nulles Le second membre de l quation 2B 17 est donc nul Il s ensuit qu en r gime permanent la solution de l quation 2B 17 est simplement
344. n uvre et la mod lisation des lasers est le plus souvent faite avec les outils d velopp s dans ce chapitre La pratique de ces outils montre qu en fait les ph nom nes de propagation interf rence diffraction se d crivent simplement dans le point de vue de l lectromagn tisme classique En revanche l interaction mati re rayonnement est plus facilement d crite par les quations cin tiques qui mettent l accent sur l aspect quantique des ph nom nes et qui permettent ais ment d obtenir les expressions du gain des ondes lectromagn tiques en fonction de l inversion de population Cette inversion de population atomique et sa sa turation quand l intensit de londe augmente peut elle aussi s obtenir facilement partir des quations cin tiques Cela ne doit pas nous surprendre dans la mesure o ces deux ph nom nes sont troitement li s la nature quantique de la mati re et sans quivalent classique simple l issue de ce survol nous comprenons donc tout l int r t conceptuel du mod le semi classique qui met l accent sur la coh rence des ondes sans occulter l aspect quantique de la mati re Mais d un point de vue pragmatique l introduction de la notion de photon entrant en collision avec les atomes permet d crire des quations cin tiques remarquables de simplicit et l interpr tation limpide COMPL MENT 2A 125 Compl ment 2A Polarisation du rayonnement et transitions di
345. n Annalen der Physik 17 132 1905 Traduction fran aise dans A Einstein uvres choisies Tome I Quanta Seuil CNRS Paris 1993 Notons que l hypoth se d Einstein est beaucoup plus radicale que celle faite par Planck en 1900 pour interpr ter le spectre du corps noir Ce cernier supposait en effet seulement que les changes d nergie entre mati re et rayonnement sont quantifi s 188 COMPL MENT 2D Apr s la confirmation exp rimentale indubitable par Millikan en 1915 de la validit de l quation 2D 2 Einstein allait recevoir en 1921 le prix Nobel pour ses services rendus la physique th orique et particuli rement pour sa d couverte de la loi de l effet photo lectrique tats libres tat li FIG 2D 1 Interpr tation d Einstein de l effet photo lectrique L lectron li d nergie n gative E Er peut tre port dans un tat libre par un photon d nergie w sup rieure Er Dans ce compl ment nous allons pourtant tudier l effet photo lectrique partir d un mod le semi classique dans lequel la lumi re n est pas quantifi e On sait en effet aujour d hui que l effet photo lectrique s interpr te tr s bien sans photons condition de traiter la mati re l atome comme un objet quantique Cela n enl ve naturellement rien au g nie d Einstein qui avait reconnu la n cessit d une quantification en 1905 on ne sa vait pas plus quantif
346. n Ox on la trouve polaris e lin airement suivant Oz ce qui est facile v rifier avec pr cision en constatant l annulation de l intensit transmise travers un polariseur lin aire crois avec Oz c est dire teignant la lumi re polaris e suivant Oz Toute modification de la polarisation de la lumi re de fluoresence pourra donc tre observ e avec une grande sensibilit puisqu elle se traduira par la r apparition de lumi re transmise par le polariseur crois Nous allons donner quelques exemples d effets que l on peut tudier ainsi lt a 0 1 FIG 21 6 Absorption et mission spontan e pour un atome isol excit par de la lumi re polaris e m 2A 2 2 Transfert de population dans l tat excit collisions et effet Hanle Supposons qu un processus physique fasse passer certains atomes excit s du sous niveau Zeeman m 0 un autre sous niveau de l tat excit my 1 Figure 2A 7 On peut alors avoir une d sexcitation spontan e o4 ou o_ ce qui s observe par le fait que la lumi re de fluorescence mise dans la direction Ox poss de une composante de polarisation suivant Oy lin aire observable travers le polariseur crois avec Oz On peut galement noter l apparition de lumi re de fluorescence mise dans la direction Oz dans laquelle une transition m n met rien Les collisions sont susceptibles d induire de tels transferts de population dans l
347. n atteint aussi le r gime o le champ lectrique de l onde lumineuse est sup rieur au champ de Coulomb exerc par le noyau de l atome d hydrog ne dans son tat fondamental On acc de ainsi un nouveau r gime de l interaction entre lumi re et mati re avec des syst mes de taille modeste tenant sur une table quelques dizaines de m tres carr s Ici encore on peut choisir de concentrer non pas dans le temps mais dans sa grandeur conjugu e la fr quence On peut ainsi d livrer plusieurs Watts de lumi re laser parfai tement monochromatique avec une largeur de raie inf rieure au kiloHertz L clairement continu par unit de bande spectrale peut alors atteindre 106 W cm Hz valeur dont on ne r alise l normit qu en la comparant ce qui peut tre obtenu partir du soleil ou m me d une lampe arc toujours inf rieur 1071 W cm Hz le spectre de la lumi re solaire s tend sur pr s de 101 Hz 33Le faisceau correspondant a un rayon de seulement 300 m tres lorsqu il est projet sur la lune l clairement est assez intense pour que l on puisse capter sur terre les quelques photons r fl chis par un syst me catadioptrique d pos par une mission Apollo et mesurer ainsi la distance terre lune par d termination du temps d aller retour de la lumi re 34Les tr s grandes installations laser destin es cr er des milieux thermonucl aires ne cherchent pas obtenir des densit s plus le
348. n d un vecteur d tat va se trouver tr s rapidement limit e par des probl mes vidents d encombrement 2B 1 2 Description en terme de matrice densit En pratique pour la plupart des probl mes l information contenue dans la fonction d onde globale d crivant le syst me et son environnement est surdimensionn e pour les pr visions physiques relatives au seul syst me Plut t que de d crire chaque interaction on se contente alors de d crire leur effet moyen sur le syst me Une telle approche statistique n cessite l emploi de l op rateur densit G plut t qu un vecteur d tat pour d crire le syst me A Nous pr sentons bri vement quelques propri t s de l op rateur densit lPour plus de d tails voir le cours de Physique de Roger Balian Chapitre 2 ou CDL I Chapitre III Compl ment E 2B 1 FONCTION D ONDE ET MATRICE DENSIT 151 Dans le cas appel cas pur o l tat du syst me A peut tre d crit au moyen d un vecteur d tat d1 son op rateur densit est le projecteur amp d4 dal L objet math matique 6 est un op rateur hermitien agissant dans l espace des tats du syst me A Cette propri t reste vraie dans le cas g n ral o l op rateur densit n est plus un projecteur Dans chaque base l op rateur densit s exprime sous forme de matrice la ma trice densit par abus de langage on emploie souvent indiff remment les noms matrice densit
349. n est la base du fonctionnement du laser mais la lumi re laser a en retour profond ment renouvel la physique atomique conduisant l invention de nouvelles m thodes qui ont d bouch sur des applications spectaculaires Ainsi les physiciens ont appris utiliser les lasers pour contr ler le mouvement des atomes que l on sait refroidir ainsi au nanokelvin et dont on peut contr ler le mouvement jusqu au point o ils se comportent comme des ondes de mati re Cette possibilit de manipulation et refroidissement des atomes par laser constituera notre dernier exemple d application de la th orie de l interaction lumi re mati re il est pr sent au chapitre 7 Ces m thodes ont d ores et d j des applications pratiques aussi bien dans le domaine des horloges atomiques que dans le d veloppement de nouveaux senseurs inertiels et gravitationnels bas s sur des interf rom tres atomiques AVANT PROPOS 5 Il n est pas insignifiant de remarquer que le contenu du chapitre 7 correspond un champ de recherche qui a d marr dans la deuxi me moiti des ann es 80 et qui a conduit en 1997 l attribution du prix Nobel de physique Claude Cohen Tannoudji Steven Chu et Bill Phillips Depuis ce domaine a d bouch sur une nouvelle d couverte majeure celle des condensats de Bose Einstein d atomes en milieu dilu elle aussi r compens e par un prix Nobel en 2001 E Cornell C Wieman W Ketterle Ces syst
350. n extraordinairement fructueuse entre th orie et exp rience Ainsi c est l tude la fin du XIX me si cle du spectre de l atome d hydrog ne conduisant la formule empirique de Balmer qui a t un des catalyseurs de l mergence de la th orie quantique Le succ s majeur du mod le de Bohr d abord de l quation de Schr dinger ensuite a t l explication th orique de la formule de Balmer qui tait incompr hensible dans le cadre de la m canique classique L am lioration des techniques de la spectroscopie optique au d but du si cle a rapidement montr que les raies de l hydrog ne pr sentaient une structure fine L interpr tation de ce type de structure a conduit l introduction du spin de l lectron d abord d crit de fa on ph nom nologique Uhlenbeck et Goudsmit puis interpr t e dans un cadre th orique nouveau celui de la m canique quantique relativiste quation de Dirac Plus tard la fin des ann es 40 Lamb et Retherford ont montr en utilisant la spectroscopie radiofr quence que les niveaux 251 2 et 2P172 n taient pas d g n r s en nergie contrairement aux pr dictions de la th orie de Dirac L interpr tation et le calcul de cette petite diff rence d nergie moins de 10 en valeur relative ont impliqu de nombreux th oriciens Bethe Dyson Feynmann Schwinger Tomonaga Weisskopf Ils ont permis d aboutir une des th ories physiques les plus sophistiqu es et
351. n laser CO3 800 um pour un 6Voir par exemple J M Brunetaud Les applications m dicales du laser dans Les lasers et leurs applications Cours de l Ecole d t de la SFO Cargese 1994 Les ditions de Physique Paris 1996 3C 3 APPLICATION M DICALES 283 laser YAG 200 um pour un laser Argon ionis 0 514 um Cette profondeur reste toujours faible ce qui limite l usage du laser des traitements de tissus dans un volume restreint et pouvant tre atteint par le faisceau laser Nous verrons plus loin que cette caract ristique ne pr sente pas que des d savantages Le tissu trait est vivant et il r agit au traumatisme subi d une mani re qui peut annuler l effet recherch Il faut donc limiter au maximum ce traumatisme L effet obtenu d pend ici aussi de la temp rature maximale atteinte Si celle ci est tr s grande on volatilise localement le tissu ce qui permet de r aliser des coupes ou incisions ou de d truire des cellules malades Si celle ci est comprise entre la temp rature de coagu lation et la temp rature de carbonisation on obtient un effet de photocoagulation locale tr s utile en chirurgie Enfin la technique de photoablation voir B 3 rend possible une limination des tissus tr s propre et tr s pr cise en raison de la nettet de bords des zones enlev es et de l absence de n crose des tissus environnants Ces propri t s permettent de comprendre l int r t de l utilisati
352. n oscillateur de facteur de qualit extraordinaire En fait la valeur de la largeur donn e par la formule de Schawlow Townes est tr s inf rieure aux fluctuations techniques de fr quence ayant leur origine dans les variations de longueur optique de la cavit laser L am lioration de la puret est donc possible en augmentant la stabilit de la cavit C est une d marche de ce type qui est mise en pratique en m trologie de haute pr cision Un deuxi me exemple int ressant est celui d une diode laser mettant 1 mW La cavit est ici tr s courte et de petite finesse Dans ce cas les grandeurs typiques sont A cav A em 2 x 101 Hz Li 1 En pratique on observe des largeurs de raies sup rieures cette derni re valeur d environ un ordre de grandeur 10 30 MHz Il semble donc que les possibilit s de r duire la SL origine de cet largissement suppl mentaire est bien identifi il s agit des fluctuations d indice de r fraction induites par les fluctuations d intensit de la diode qui provoquent des variations de la longueur optique de la diode COMPL MENT 3F 339 largeur soient faibles puisque le laser est proche de la limite de Schawlow Townes On peut cependant d passer cette limite c est dire obtenir une raie plus fine en couplant une telle diode une cavit Fabry Perot externe voir Figure 3F 2 et ainsi atteindre des largeurs de raies inf rieures au kHz Le fait que l
353. n peut r crire cette expression en utilisant l expression 2 106b de la population ato mique dans le niveau b On obtient alors L dlane de hot D 2 155 Cette expression s interpr te tr s simplement si on remarque que l A dz N V est le nombre d atomes dans le niveau b qui disparaissent du volume dz par unit de temps Comme les atomes ont t inject s dans l tat a ils ont absorb une nergie hw pour tre port s dans l tat sup rieur et l quation ci dessus exprime simplement le bilan ner g tique de ce transfert de l onde lectromagn tique vers les atomes Remarque Il peut sembler paradoxal que le transfert des atomes du niveau a au niveau b soit associ une nergie absorb e w et non fwo Ep Ea Une analyse d taill e montre que pour chaque processus l mentaire c est bien un quantum d nergie fw qui est pr lev sur le rayonnement ce qui s interpr te naturellement dans un mod le totalement quantique o le rayonnement est d crit comme un ensemble de photons d nergie hw Mais on peut alors s interroger sur la conservation de l nergie lors du passage de l atome de a b En fait l atome ne va rester qu un temps fini At dans l tat atteint apr s l absorption d un photon ce temps tant de l ordre de la dur e de vie T de l tat b dans le cas d une diffusion exactement r sonnante et de w wo 7 hors de r sonance Il n y a aucun p
354. nance oz wo et la largeur de raie l2 Elle s crit alors 1 n wW Wo 1 T7 Connaissant la structure des niveaux et la fa on dont ils sont aliment s on peut crire un syst me d quations cin tiques pour les populations N et Mp et chercher sa solution sta tionnaire On trouve alors en g n ral une inversion de population stationnaire pr sentant le ph nom ne de saturation c est dire se mettant sous la forme OL w orL wo 2 167 N N 0 Ny Na 1 s 2 168 avec II 1 Heat 1 wW Wo a 2 2 Pour notre mod le on v rifie ais ment que l intensit de saturation s exprime en fonction de la section efficace r sonance oz wo et de la constante de d part Ip par la relation s 2 169 Ip w Hya a a t 2or wo 2 170 Dans les syst mes r els l intensit de saturation est une grandeur empirique d termin e exp rimentalement 2 5 8 quations cin tiques pour les photons Gain laser Si on consid re maintenant les processus d absorption du point de vue des photons chaque processus d absorption supprime un photon du faisceau Un faisceau de section S se propageant dans une tranche d paisseur dz figure 2 19 interagit avec dz S Na V atomes dans l tat a et le nombre de photons absorb s par unit de temps vaut dN Na T Fa d2 7 01 Ii 2 171 Cette quantit repr sente la variation du flux de photons S IL lors de la travers e de la tranche dz et
355. nce 34 27 est exactement la m me 2C 6 Susceptibilit Nous nous proposons d tablir l expression de la susceptibilit d un milieu constitu d atomes classiques comprenant chacun un lectron lastiquement li avec une densit atomique gale N V D apr s 2C 37b la polarisation du milieu est gale N g Eve 1 P t Re 2C 44 mu w ilawo En utilisant la d finition IL D 21b de la susceptibilit en notation complexe nous trou vons donc N 1 E A 2C 45 V meg w w il qu wg soit pour les parties r elle et imaginaire de la susceptibilit N q Wa w 0 2C 46 Ey meo w w Taw w N 2 Te 3 2 ta e _ lu gt 2C 47 V meg lwg w laws w Au voisinage de la r sonance c est dire lorsque la amp w wo amp wo la partie r elle de la susceptibilit prend la forme simple N 1 7 18 X g ____ 2C 48a V 2meo wolwo w fab o Xg d signe la partie r elle de la susceptibilit lin aire obtenue dans le cadre de la th orie quantique faible intensit et l approximation r sonnante quation II D 22b Le facteur sans dimension fa est appel force d oscillateur de la transition Il vaut 2MWo 22 h TCours PHY557 de majeure 2 Optique quantique 2 fa 2C 48b 184 COMPL MENT 2C Par ailleurs en utilisant 2C 25b et 2C 30b on peut transformer l expre
356. nce judicieusement choisie et dont la largeur spectrale n exc de pas quelques GHz de porter s lectivement un isotope dans un tat excit l autre restant dans l tat fondamental La s lectivit est ici de 100 et non pas quelques comme pour les autres effets physiques utilis s pour la s paration isotopique 3D 5 3 M thode de s paration Elle est bas e sur l ionisation s lective par chelons de l atome d Uranium voir fi gure 3D 18 La premi re tape est l excitation s lective d crite pr c demment Elle porte uniquement l isotope 235 dans l tat excit a La deuxi me tape porte l atome dans un niveau b plus proche de la limite d ionisation La troisi me tape permet de franchir cette limite et d ioniser l isotope choisi Les deux premiers chelons ayant un caract re r son nant ont une tr s forte section efficace de l ordre du carr de la longueur d onde utilis e soit 10714 cm voir Compl ment 4A et demandent une faible puissance lumineuse La troisi me n a pas de caract re r sonnant elle est donc nettement moins efficace 10718 em voir Compl ment 2C mais son rendement peut tre nettement augment 10715 cm si l on choisit la longueur d onde du laser de fa on que l tat final soit un niveau autoionisant voir Compl ment 1A qui conserve de nombreuses caract ristiques d un tat li 10Voir par exemple BD Chapitre XIII ou CDL Chapitre XII 314 COMPL
357. ncevoir bien s r des cavit s en anneau ayant plus de trois miroirs Il n est pas rare de trouver des cavit s quatre ou cinq miroirs iv Beaucoup de lasers utilisent des cavit s lin aires Fig A 3 plut t que des cavit s en anneau Si l on consid re une cavit compos e d un miroir totalement refl chissant M et d un miroir partiellement transparent Ms il y aura deux travers es du milieu amplificateur une fois de Ms vers Mi une autre fois de M vers Ms pour une r flexion sur le miroir Ms de sorte que la condition 3 12 doit a priori tre remplac e par 1 mue 3 13 En fait la situation est g n ralement plus subtile Ainsi si la polarisation est identique l aller et au retour on a une onde stationnaire avec une intensit modul e spatialement La modulation spatiale du gain qui en d coule du fait de la saturation est responsable de comportements subtils des lasers cavit lin aire Quant la longueur optique pour un tour de cavit elle est de l ordre de deux fois la distance Lo entre miroirs la valeur exacte d pend de l indice de r fraction du milieu amplificateur et de d phasage sur les miroirs c Condition sur la phase L quation pour la phase r sultant de la condition de stationnarit 3 10 s crit d 2pr 3 14 3 1 CONDITIONS D OSCILLATION 217 amplificateur coefficient d amplification G FIG 3 3 Laser cavit lin aire La longueur o
358. nclut dans cette longueur optique les d phasages caus s par la r flexion du faisceau sur les miroirs de la cavit ainsi que les variations de phase autour des points de focalisation dans la cavit S ii Nous avons implicitement suppos que les champs dans la cavit sont des ondes planes de sorte que leurs amplitudes et leurs phases ne varient pas dans le plan perpendiculaire la direction de propagation Dans la pratique les champs ont toujours une extension spatiale finie et il faudrait tenir compte de la distribution transverse du champ Ce probl me est tudi dans le Compl ment 3B Notons cependant que ces effets peuvent tre d crits par la m me approche que celle conduisant l quation 3 10 Supposons que le champ au point A soit EA x y t o x et y sont les coordonn es dans le plan perpendiculaire la propagation Apr s un tour dans la cavit le champ est gal E x y t La condition de stationnarit impose que l on ait E x y t Ea x y t pour tout x et y Puisqu une onde limit e spatialement tend s taler cause des effets de diffraction la condition pr c dente ne peut tre satisfaite que si des l ments focalisants lentilles miroirs sph riques sont plac s dans la cavit pour compenser les effets de la diffraction La diffraction est aussi l origine de la coh rence spatiale de l onde laser En effet d apr s le principe de Huyghens Fresnel le champ en un point x
359. nctions d onde hydrog no des il est possible de calculer compl tement les valeurs des sections efficaces de photoionisation qui peuvent ainsi tre compar es aux r sultats exp rimentaux Comme nous avons fait l approximation de l onde plane lectronique pour les tats ionis s 2D 5a nous nous restreindrons au cas o l nergie de l lectron ject est tr s grande c est dire que la fr quence du rayonne ment incident est tr s sup rieure la fr quence seuil C est le cas pour l hydrog ne soumis un rayonnement X On a alors 2muw 2muw ke x 1 gt 2D 29 7 7 Pour l tat fondamental de l atome d hydrog ne la fr quence seuil est o Er g 1 h i 2D 30 BEE TE0 2aofi _ 2ma on a utilis l expression 2D 17b du rayon de Bohr ao La relation 2D 29 nous montre alors que keao gt 1 2D 31 Par ailleurs tant que hw amp me 2D 32 c est dire que l on reste dans le domaine o il ne peut y avoir de cr ation de paires lectron positron fw 0 5MeV on a d apr s 2D 29 et 2D 32 2 2 k a Z ai 2D 33 Dans ces conditions en utilisant la forme asymptotique 2D 18b de la transform e de Fourier de la fonction d onde de l tat fondamental et en rempla ant k k par ke l expression 2D 26a 2D 26b 2D 26c conduit z 7 2 256 z 7 2 On_11 0 644 fiean aa 2D 34 198 COMPL MENT 2D a tant la constante de structure fine
360. ndrons sur ce point dans la partie 3 3 et nous discuterons galement le comportement relatif des divers modes oscillent ils simultan ment ou y a t il comp tition entre eux Go 1 Gain maine d oscillation T A Fr quence w 2T wm 2T w 27 w 2r FIG 3 4 Courbe d amplification en fonction de la fr quence Le laser est susceptible d osciller sur la plage w w pour laquelle le gain non satur est plus grand que les pertes f domaine d oscillation T A modes longitudinaux Frequence ES or amp 27 FIG 3 5 Fr quences d oscillation du laser Le laser peut osciller sur les modes longitudinaux de la cavit tombant dans le domaine de fr quence w w o le gain non satur est sup rieur aux pertes 3 2 DESCRIPTION DES MILIEUX AMPLIFICATEURS 219 Remarques i La longueur optique de la cavit Leavy d pend des indices du milieu amplificateur et des l ments optiques Si ces indices sont pratiquement constants dans la gamme w w Leav est le m me pour toute fr quence La distance entre deux modes longitudinaux d oscillation donn e par 3 16 est alors ind pendante de la longueur d onde ii L intervalle entre modes est c Lcav O Leav est la longueur parcourue par la lumi re sur un tour de cavit Dans le cas d une cavit lin aire de longueur Lo figure 3 3 le trajet est boucl quand la lumi re a parcouru un aller retour
361. ne figure d interf rence entre londe diffus e par l objet r el et Vonde diffract e par l hologramme qui reproduit londe diffus e par l objet dans son tat ant rieur Des variations de g om trie de l ordre de la longueur d onde sont ainsi ais ment d tectables On contr le par cette m thode des pneumatiques des structures d avion des maquettes d l ments de construction dans les ponts et chauss es 3D 3 LE GYROSCOPE LASER O GYROLASER 301 3D 2 5 Analyse chimique En utilisant des lasers accordables mettant certaines fr quences d absorption sp cifiques de diff rentes mol cules on peut faire distance des mesures de composition chimique Une m thode couramment utilis e consiste faire de l absorption diff ren tielle c est dire comparer les intensit s de deux faisceaux lasers L et L transmis travers un chantillon Les fr quences l g rement diff rentes v et v des faisceaux L et L sont choisies de telle sorte que est une fr quence d absorption de la mol cule que l on cherche doser et v est en dehors de la zone d absorption Une autre m thode consiste analyser la fluorescence du milieu en fonction de la fr quence de l onde incidente Compte tenu de la sp cificit des raies atomiques et mol culaires et de leur faible largeur spectrale dans le cas des atomes et des petites mol cules il est possible de d tecter des l ments l ta
362. ne petite fraction des atomes est excit e de telle sorte que N est petit devant Na qui reste donc lui m me voisin de N valuons la probabilit qu un atome qui est apparu l instant t dans le niveau a soit dans le niveau b l instant t Cette probabilit est le produit de deux termes d une part P toit 2 103a qui est la probabilit d excitation d un atome de a vers b sous l effet du champ lectro magn tique d autre part e Fott to 2 103b qui est la probabilit de survie soit dans a soit dans b Le nombre total d atomes dans le niveau b l instant t s obtient en sommant les contributions ci dessus pour tous les instants t ant rieurs Sachant que Aadto atomes sont apparus dans le niveau a entre les instants to et to dto nous trouvons t Nit dto Aa Palto t e TP to 2 104 2 4 ABSORPTION ENTRE DEUX NIVEAUX DE DUR E DE VIE FINIE 101 b R sultat perturbatif La probabilit P _ to t a t calcul e plus haut et elle est donn e en r gime per turbatif par les formules 2 58a et 2 58b En substituant dans 2 104 et en posant t to T on obtient rime eee ToT N Aa 1R I dT Koem e 3 2 105 L int gration se fait en d veloppant le sinus en exponentielles complexes et elle donne A Woa 1 PT TS ar Um LL 2 106a En rempla ant Wa par la pulsation de Rabi Q4 et en rempla ant A T p le nombre total d atomes N quation 2
363. nergie Position FIG 2E 5 Puits quantique utilis pour le calcul de photo mission Ce puits admet aussi des tats d localis s les lectrons pouvant prendre toute nergie positive dans la bande de conduction de la barri re d AlGaAs Nous n gligerons l influence du puits sur les lectrons libres c est dire que nous consid rons que ces lectrons libres sont soumis un potentiel nul une fois dans le continuum N anmoins afin de s affranchir des probl mes de normalisation de ces fonctions d onde on introduit une bo te de potentiel fictive de longueur L dans laquelle ces lectrons sont pi g s Les nergies et fonctions d onde des tats libres sont alors En n 0 2 T sinnkzz sin pair 2E 3 2 PROE Pnl A nkgz sin impair RoS 3 PE RG x Le Il eo est l nergie de confinement du puits donn e par R 7 o a 2E 4 avec le vecteur d onde kz T Il est clair que si L est centim trique eo est de l ordre de 107 eV et la bo te est bien fictive dans le sens o l cart nerg tique entre les niveaux de la bo te est infinit simal en comparaison avec les nergies quantiques ou thermiques typiques quelques dizaines de meV au moins Les nergies donn es en quation 2E 3 sont tellement rapproch es qu il 206 COMPL MENT 2E est inutile de chercher les distinguer On va plut t chercher les compter la pelle c est dire chercher des densit
364. nergie de deux lectrons ind pendants dans un potentiel coulombien comparer la figure 1 7 a S rie 1 n o un lectron reste dans l tat n 1 Pour une nergie E gt Ei on a un continuum d tats 1 k o le deuxi me lectron est libre l h lium est ionis une fois b S rie 2 n o un lectron reste dans n 2 l autre tant dans n gt 2 On constate que le niveau discret 2 2 a une nergie sup rieure l nergie Fi o de la premi re limite d ionisation de la s rie 1 n Il est donc susceptible d voluer vers l tat ionis 1 ko de m me nergie ou vers les tats ionis s d nergie voisine Consid rons maintenant la s rie 2 n o l un des lectrons est dans l tat n 2 et l autre est dans un tat n gt 2 figure 1 8b On voit appara tre la limite d ionisation E2 au dessus de laquelle on a un ion He dans un tat excit Mais le point qui nous int resse ici est que le niveau discret 2 2 a une nergie sup rieure la limite d ionisation de la s rie 1 n Il lui est donc nerg tiquement permis l atome dans l tat li 2 2 de passer dans l tat 1 ko voir la figure et donc de s ioniser s il existe un processus d interaction permettant cette transition 36 CHAPITRE 1 PROBABILIT S DE TRANSITION b Autoionisation Jusqu pr sent nous avons ignor l interaction coulombienne entre les deux lectrons Nous allons maintenant la prendre en c
365. nnante alors que les transitions un photon vers les niveaux relais j sont non r sonnantes Une autre nouveaut du r sultat 2 93b est le r le des termes diagonaux du hamiltonien effectif qui donnent lieu aux d placements lumineux Ce ph nom ne important est tudi un peu plus en d tail dans le prochain paragraphe 2 3 4 D placements lumineux Les formules 2 93 montrent que la transition deux photons est r sonnante pour _E W E W Too Kn noo o o Tout se passe comme si les deux niveaux a et c avaient t d plac s respectivement de Wet WSF En revenant aux expressions 2 92 on constate que ces d placements sont proportionnels au carr du couplage entre a ou c et les niveaux relais j sous l effet de londe On les appelle d placements lumineux light shift en anglais ou encore effet Stark dynamique Ces d placements sont proportionnels l intensit de l onde et inversement proportionnels au d saccord par rapport au niveau relais le sens du d placement tant indiqu sur la figure 2 10 2w 2 94 Les d placements lumineux n apparaissent pas seulement dans le cas des transitions deux photons Il s agit d un ph nom ne tout fait g n ral que nous allons retrouver dans le cas d une transition dipolaire lectrique entre deux niveaux atomiques Repartant de 2 73 on peut dans le cas non r sonnant effectuer une r solution perturbative analogue celle pr sent e au
366. ns de cette id e est consid rable et nous nous contentons ici de pr senter quelques exemples simples 2A 3 1 Transition J 1 J 0 excit e en polarisation lin aire Consid rons une transition atomique entre un niveau fondamental de moment cin tique total Ja 1 et un tat excit de moment cin tique total J 0 Figure 2A 9 En l absence d onde lumineuse les trois sous niveaux Zeeman fondamentaux qui ont la m me nergie sont quipeupl s 1 3 des atomes sont dans chaque tat Mma 1 0 1 1 Ti To T1 3 2A 42 O T mo NO y 4 X 1 0 1 FIG 2A 9 Pompage optique pour une transition Ja 1 J 0 excit e en polarisa tion lin aire Le sous niveau fondamental Mma 0 est vid apr s quelques cycles de fluorescence A l instant t 0 on envoie sur la vapeur atomique un faisceau de lumi re polaris e lin airement suivant Oz dont on va mesurer l intensit transmise La lumi re polaris e lin airement interagit avec les atomes dans le sous niveau fondamental ma 0 en prenant comme axe de quantification la direction Oz de polarisation et on observe donc une absorption Les atomes Ma 0 sont port s dans l tat excit d o ils se d sexcitent par mission spontan e Pour une transition 1 0 les probabilit s d mission spontan e vers les trois sous niveaux fondamentaux sont gales et seulement 1 3 des atomes excit s retombent dans le sous niveau Mma 0 A
367. ns des lasers en spectroscopie 3C 1 Effets de l irradiation laser sur la mati re FIG 3C 2 Un syst me optique focalise le faisceau d un laser de puissance sur une surface de mat riau d aire S Consid rons le dispositif de la figure 3C 2 qui est commun un grand nombre d appli cations une impulsion laser d nergie W de longueur d onde et de dur e 7 est focalis e l aide d une lentille sur la surface d un mat riau On obtient ainsi une irradiation locali s e qui affecte une surface S de petites dimensions Le flux lumineux par unit de surface Io Wo TS peut tre tr s lev et l amplitude locale du champ lectromagn tique at teint alors des valeurs consid rables ce qui peut conduire de profondes modifications du mat riau chauffement liqu faction vaporisation voire ionisation compl te et cr ation de plasma Ces diff rentes phases d pendent videmment de mani re compliqu e de la na ture du mat riau et des caract ristiques de l impulsion laser On peut n anmoins d gager un certain nombre d id es g n rales communes l ensemble de ces processus d interaction mati re rayonnement Nous noterons x et y les coordonn es de la surface du mat riau et z la coordonn e caract risant la profondeur de p n tration lPour une revue sur ce sujet voir par exemple J L Bouinois Travail des mat riaux par laser dans Le laser principes et techniques d applica
368. ns introduit ici la pulsation de Rabi r sonance gale Q DyE h voir Chapitre 2 q 2 70 On remarquera que ces quations ne sont pas totalement ind pendantes D une part L aa t0 0 ce qui correspond au fait que Tr Oaa 0 1 pour un syst me ferm D autre part les quations 2B 37a et 2B 37b sont complexes conjugu es car la matrice densit est hermitienne et 0 Oba A l approximation quasi r sonnante seule une des composantes exponentielles du coswt contribue de fa on significative l volution Par exemple si Q tend vers 0 Cab varie en exp iwot comme le montre 2B 37a On transforme donc les quations C 1 et C 2 en ne gardant que les termes oscillant le plus lentement qui donneront les termes pr dominants apr s int gration Apr s cette simplification les quations pr c dentes de viennent do Q f B 1 et ia e iwt Tab 2 38a do aa 19 i y i toa e te 2B 38b L quivalence entre un syst me deux niveaux quelconque et un spin 1 2 a t soulign e par Feyn mann Lectures on Physics Vol IT Chap 11 Voir aussi CDL 1 Compl ment C IV 10Voir par exemple A Abragam Les Principes du Magn tisme Nucl aire Presses universitaires de France Paris 1961 Pour plus de d tails voir par exemple CDG 2 Chapitre V ou L Allen et J H Eberly Optical Resonance and Two Level Atoms Wiley Interscience New York 1975 2B 3 ATOME DEUX
369. ns le cas d une polarisation circulaire on peut introduire un vecteur polarisation complexe voir Compl ment 2A 3 L quation 2 55 est alors remplac e par E ro t E ro exp i wt y ro c c La suite des calculs se m ne sans difficult en faisant l approximation r sonnante On peut en particulier crire 2 59b sans modification et d finir la pulsation de Rabi par 2 59c L expression 2 60 montre que la probabilit de transition est proportionnelle au carr du module de la pulsation de Rabi ou encore au carr de l amplitude du champ lectrique Pour caract riser cette grandeur nous d finirons l intensit I ro de londe lectromagn tique au point r comme la valeur moyenne du carr du champ lectrique 1 t 0 E I ro E ro t dt AC 2 61a 0 Je 2 l intervalle 0 tant long devant la p riode d oscillation 27 w On crira alors d 2 Q 2 5 I ro 2 61b Remarques i Dans le cas d une onde progressive l intensit est uniforme et proportionnelle la puis sance incidente par unit de surface aussi appel e clairement en optique qui est gale la norme de la valeur moyenne II du vecteur de Poynting E0C TE Eol cocI 2 61c C est pourquoi on exprime souvent l intensit en W m par un abus de langage qui se r v le commode car faisant r f rence une grandeur mesurable exp rimentalement Il est alors entendu que le nombre en question doit
370. nsemble d tats k que nous supposerons r guli rement espac s d nergie Ep ke k entier variant de o 00 La distance entre deux niveaux cons cutifs sera suppos e tr s petite nous pr ciserons cette hypoth se par la suite de sorte que les niveaux k forment un quasi continuum Figure 1 10 k FIG 1 10 Niveaux d d nergie d un syst me comprenant un niveau isol i coupl une infinit d tats k r guli rement espac s formant un quasi continuum Si le syst me est initialement dans li le couplage le fait passer vers le quasi continuum de fa on irr versible la limite 0 La deuxi me simplification consiste supposer que le niveau i est coupl aux niveaux k par un terme de couplage W dont les l ments de matrice s crivent kW i w k Ik 0 1 68 Gli 0 L interaction W ne couple donc pas deux tats diff rents du continuum L l ment de matrice w est pris ind pendant de k et r el pour simplifier 1 3 3 volution du syst me a Comportement aux temps courts probabilit de transition par unit de temps Calculons la probabilit P T pour qu un syst me initialement dans l tat i soit encore dans cet tat l instant T Les divers tats du continuum sont distincts orthogonaux entre eux et on doit donc sommer les probabilit s relatives aux divers tats finaux possibles La probabilit P T s crit alors 00 P T 1
371. nsid r lorsque le moment cin tique total est une combinaison des moments orbital et de spin Cet hamiltonien Zeeman poss de des l ments de matrice non diagonaux par exemple w B h 1 m HE 1 m 0 Pe 2A 38a expression dans laquelle appara t la pulsation de Larmor E 97 Bo 2A 38b Il est utile de savoir que D vaut environ 14 MHz mT Tant que l mission spontan e ne se produit pas la population des niveaux excit s oscille p riodiquement entre my 0 et my 1 On peut alors voir appara tre dans la lumi re de fluorescence une polarisation suivant Oy Mais si l mission spontan e se produit avant que le transfert entre sous niveaux ait eu lieu la lumi re de fluorescence reste polaris e suivant Oz Le param tre pertinent est donc le rapport wg Tsp Il peut tre ais ment contr l en choisissant la valeur B du champ magn tique appliqu et on peut ainsi observer l apparition d une composante J dans la lumi re de fluorescence lorsque Bo cro t 5Voir CDL 2 Compl ment D 3 ou Ex Gx 138 COMPL MENT 2A Ce ph nom ne est l effet Hanle observ pour la premi re fois en 1923 avant l la boration d une th orie quantique coh rente Les exp riences de Hanle semblent avoir eu une influence consid rable sur la pens e de Heisenberg qui tait en train de d velopper la m canique des matrices L effet Hanle est toujours tr s largement utilis sous de multiples va
372. nsit la dur e la focalisation d un faisceau laser on est en mesure de porter avec une assez bonne pr cision une r gion de surface et de profondeur d finies une temp rature lev e d termin e L effet est donc comparable celui d un chalumeau mais il a l avantage sur ce dernier de n affecter pratiquement pas les r gions avoisinantes ce qui limite l nergie totale consomm e et vite les co teux r usinages de pi ces apr s traitement Signalons aussi que le faisceau laser est transport l aide de simples miroirs que l on peut facilement positionner de mani re automatique un syst me laser se pr te particuli rement bien une gestion assist e par ordinateur Bien s r dans le choix d un syst me de traitement industriel les consid rations de co t et de rendement sont primordiales En particulier le rendement du laser employ sa facilit d emploi et son co t d entretien entrent en ligne de compte Malheureusement les lasers qui ont les meilleurs rendements mettent le plus souvent dans l infrarouge o le couplage mat riau rayonnement est peu efficace Par exemple pour le traitement de l acier il tait en 1994 plus int ressant d utiliser un laser CO d excellent rendement mais mettant dans l infra rouge lointain 10 6 um plut t qu un laser YAG 1 06 um dont le rayonnement est pourtant dix fois mieux absorb En fonction de la temp rature T localement atteinte on obt
373. nstant initial l atome est dans l tat propre i de Ho et on le soumet un champ lectromagn tique incident de fr quence w Nous cherchons la probabilit de trouver l atome dans un autre tat propre k de Ho un instant ult rieur t Nous admettons que les r sultats tablis dans la partie 2 2 en ce qui concerne l hamiltonien d interaction d un atome d hydrog ne restent vrais quel que soit l atome En particulier l approximation des grandes longueurs d ondes on pourra utiliser un hamiltonien d interaction AIt D E rot 2 54 o le champ lectrique E ro t est valu la position r du noyau de l atome et o D est un op rateur atomique dip le lectrique ayant des l ments de matrice non nuls entre les tats propres de Ho consid r s crivant le champ lectrique E ro t E ro cos wt p ro 2 55 nous mettons lhamiltonien d interaction sous la forme rencontr e au chapitre 1 q 1 40 du chapitre 1 Arlt W cos wt 2 56a avec W D E ro 2 56b Remarque Comme nous l avons vu plus haut dans le cas o D a des l ments de matrice nuls entre les tats i et k il peut y avoir couplage dipolaire magn tique 2 2 5 entre le champ magn tique de l onde et le moment dipolaire magn tique de l atome L hamiltonien d interaction se met alors sous la forme 2 56a mais avec un terme de couplage W M Bo ro 2 56c Les r sultats ob
374. nstante et gal 1 e Ce qui compte en d finitive est une largeur effective associ e la d croissance avec k de l l ment de matrice de couplage voir quation 1 D une mani re g n rale la largeur effective du continuum sera associ e la variation avec k de la quantit p E k W i ii Pour le cas de continuums plus complexes on pourra consulter CDG 2 Compl ment Cut P r FIG 1B 1 volution temporelle de la probabilit de rester dans le niveau initial pour diff rentes valeurs du param tre p AT A correspondant des continuums de plus en plus troits A tant maintenu constant a p 0 5 b p 2 c p 100 Le temps t varie de 0 5 A A Chapitre 2 Atomes en interaction avec une onde lectromagn tique classique Amplification laser Nous abordons dans ce chapitre le probl me g n ral de l interaction entre un ensemble d atomes ou de mol cules et un champ lectromagn tique Son importance tient d abord au fait qu une grande partie de notre connaissance des atomes est obtenue par l tude du rayonnement lectromagn tique absorb et mis par les atomes nous consid rons aussi bien la lumi re que les champs radiofr quence ou le rayonnement X R ciproquement la mati re modifie la propagation des ondes lectromagn tiques notamment par les effets d absorption de r fraction et de diffusion Le domaine concern est immense et il est hors de question d
375. nt avec les miroirs 3B 3 Modes gaussiens La solution donn e par les quations 3B 1 et 3B 2 est une solution particuli re des quations de Maxwell pour le champ lectromagn tique entre les deux miroirs de la cavit Nous nous proposons maintenant de trouver un ensemble de solutions respec tant les m mes conditions aux limites L quation de propagation du champ lectrique dans le vide se d duit des quations de Maxwell pr sent es dans le chapitre 2 quations 2 12a 2 12b 2 12c 2 12d 1 E E 0 3B 13 2e ot Nous nous pla ons dans l approximation paraxiale c est dire que nous supposons que londe lectromagn tique se propage approximativement suivant Oz les normales aux 268 COMPL MENT 3B surfaces d onde forment un angle petit avec Oz et son amplitude n est notable qu au voisinage de l axe Oz des distances petites compar es au rayon de courbure de la surface d onde mais grandes par rapport la longueur d onde La condition de transversalit du champ electrique permet alors de n gliger la composante de E le long de Oz L quation 3B 13 se d compose alors en deux quations de propagation ind pendantes pour chaque polarisation lin aire ey et e et on peut chercher des solutions de la forme k x y Elr t E r t e Re UE y z EPR expi kz wt w z e 3B 14 o est la polarisation dans le plan xOy Pour toute polarisation on se ram ne ainsi la m
376. nt les courtes longueurs d onde sont mieux adapt es l interaction avec la cible Les diff rents faisceaux dont le diam tre pour Nova ou Ph bus est alors de 70 cm sont concentr s dans une enceinte vide et focalis s sur la cible de quelques centaines de microns de diam tre Ces dispositifs permettent d obtenir des ner gies par impulsion consid rables Pour Nova 100 kJ en 1 ns dans l infrarouge 40 kJ pour l harmonique 3 dans l ultra violet Les r sultats obtenus sont encourageants puisque des neutrons thermonucl aires ont t obtenus dans des cibles comprim es et que la physique associ e commence tre bien ma tris e On a maintenant la quasi certitude qu un laser 10Soit une puissance cr te de 1000 TW sup rieure la puissance lectrique consomm e en moyenne dans le monde mais une puissance moyenne de 100 MW 288 COMPL MENT 3C couronne en d tente zone d absorption coeur comprim faisceaux laser FIG 3C 4 Compression inertielle la bille contenant le combustible est irradi e par des faisceaux lasers convergents qui en volatilisent la couche superficielle La compression r sultante porte le c ur des temp ratures et des densit s tr s lev es de 10 MJ d nergie devrait induire un gain convenable pour un r acteur Les probl mes r soudre sont donc essentiellement d ordre technologique et cono mique La technologie actuelle des lasers verre N odyme qui devrait
377. nt quantique o la lumi re aussi est quantifi e On peut en fait montrer en utilisant une telle th orie que la description d un faisceau laser par une onde lectromagn tique Voir le cours Optique Quantique 2 de la majeure de physique 2 4 AVANT PROPOS classique est particuli rement judicieuse et commode notamment pour rendre compte des propri t s de coh rence Arm s de ce mod le de l interaction mati re rayonnement nous pourrons donner une escription g n rale du fonctionnement des lasers et de quelques propri t s essentielles d t le du fonct t des 1 etd l t tielles qui seront pr sent es sur des exemples repr sentatifs de divers types de lasers tr s r pandus chapitre 3 Dans les chapitres 4 et 5 nous approfondirons l tude du fonctionnement des lasers soit en r gime stationnaire soit au contraire en r gime transitoire Nous verrons ainsi appara tre des comportements caract ristiques de deux grandes cat gories de laser les lasers continus d une part pouvant tre ultra stables et souvent de faible puissance les lasers en impulsion d autre part qui permettent de d livrer en des temps incroyablement brefs jusqu 1075 s c est dire une femtoseconde et m me moins puisqu on a atteint en 2004 l chelle des attosecondes 10718 s des nergies correspondant des puissances cr tes qui se comptent en milliers voire en millions de gigawatts Pour d crire ces diff rents r gimes nou
378. nt vu par la tranche En un point M qui n est ni sur l axe Oz ni dans le plan xOy le rayonnement mis est polaris elliptiquement et le diagramme de rayonnement a une sym trie cylindrique Bien que ce diagramme de rayonnement soit diff rent de celui du dip le lin aire la puissance totale mise dans tout l espace est la m me Eq 2C 20 Ceci peut se d montrer en int grant l quation 2C 18 sur toutes les directions d mission Plus simplement on peut remarquer que les champs mis par les composantes du dip le suivant Ox et Oy sont en tout point en quadrature les puissances moyennes rayonn es par chacune d elles s ajoutent sans terme crois Le cas d un dip le tournant dans le sens r trograde cas o_ caract ris par Do do avec E _ 2C 24 Le es 1e v2 conduit de m me un rayonnement polaris circulairement o_ pour une mission dans la direction Oz et un rayonnement polaris lin airement pour une mission dans le plan xOy Remarque Un dip le lin aire oscillant suivant Ox peut tre consid r comme la superposition d un dip le tournant et d un dip le tournant o Il est facile de v rifier que le champ rayonn obtenu par addition des deux champs c et o est identique au rayonnement 7 par rapport l axe Ox C est donc un rayonnement polaris lin airement parfois appel lin aire c Cas de l atome quantifi Consid rons un ato
379. ntation d impulsion Par ailleurs on a not u 2D 16c le vecteur unitaire colin aire la direction d jection de l lectron Dans le cas de l atome d hydrog ne on conna t les transform es de Fourier q des tats li s Pour l tat fondamental on a P 2V2 1 3 ns 2D 17 n 11 0 4 m qa 1 ai a a tant le rayon de Bohr Areo A ao Z2 2 0 53 x 10710 m 2D 17b e m Les transform es de Fourier des tats li s excit s s expriment l aide de fonctions sp ciales ayant les valeurs asymptotiques suivantes pour les tats de sym trie sph rique 0 ni T n i o q 0 1 2D 18a et pour n qlao gt 1 bot 22 2 2D 18b n qlao 194 COMPL MENT 2D Ces expressions nous permettront de calculer explicitement l l ment de matrice 2D 15b pourvu que l amplitude de l onde soit connue Pour une onde incidente progressive transportant une puissance par unit de surface clairement IT on sait que 2 A2 w A I c L 2D 19 puisque lamplitude du champ lectrique est gale wAo cf q 2 61c Dans le cadre de l interpr tation d Einstein de l effet photo lectrique il est utile d introduire le flux de photons par unit de surface et de temps IT w A2 Iphot S EE 2D 20 Nous connaissons maintenant toutes les grandeurs n cessaires au calcul de la probabilit de photoionisation 2D 2 Taux de photoionisation
380. nuum d tats Dans le cadre de l approximation des grandes longueurs d onde un avantage de la jauge de G ppert Mayer est que les diverses quantit s math matiques y ont g n ralement une interpr tation physique simple Par exemple la vitesse de l lectron co ncide avec 4Voir CDG 1 Chapitre IV B 2 a D et Compl ment Brv 5CDG 1 Compl ment Ery Exercice 2 2 2 HAMILTONIEN D INTERACTION 79 l op rateur p m quation 2 22 en tenant compte de 2 48 Ceci implique que l hamil tonien o 2 49b co ncide dans cette jauge avec la somme de l nergie cin tique et de l nergie coulombienne de l lectron De m me nous avons d j indiqu que l hamiltonien d interaction co ncide avec l nergie dipolaire lectrique habituelle Lorsque l approximation des grandes longueurs d onde n est plus valable il n est pas possible d utiliser l hamiltonien dipolaire lectrique Il faut alors soit revenir l hamil tonien exact en jauge de Coulomb soit am liorer le changement de jauge de fa on obtenir les termes suivants du d veloppement multipolaire interaction dipolaire magn tique interaction quadrupolaire lectrique Ces termes jouent un r le particuli rement important quand pour des raisons de sym trie le terme dipolaire lectrique est nul cf Compl ment 2A 2 2 5 Hamiltonien dipolaire magn tique Si l l ment de matrice de l op rateur dipolaire lectrique est
381. o gt B r t x E r t A C ettaro 2C 17b mt E x ER ES 2C 17b et le vecteur de Poynting moyenn sur une p riode optique vaut donc 4 xD 2 Hu a 2C 18 3272 0 C r5 174 COMPL MENT 2C b Polarisation Nous allons maintenant tudier successivement deux cas particuliers importants tout d abord celui d un dip le oscillant suivant Oz cas appel 7m puis celui d un dip le polaris circulairement dont l extr mit d crit la vitesse angulaire w un cercle dans le plan xOy cas appel o ou o_ suivant le sens de rotation i Dans le cas de la polarisation 7 on a Do doe 2C 19a En introduisant les coordonn es sph riques r 0 p et en posant k w c on obtient voir figure 2C 1 w do sinb _ E lr t Are a EJ HE p 2C 19b do sin _ Brie ue a erime 2C 19c 42 n2 m0 0e 2C 19d 32720 r FIG 2C 1 Coordonn es sph riques Un dip le lin aire met donc pr f rentiellement dans un plan perpendiculaire son axe de vibration 0 x 2 Le champ lectrique est polaris lin airement dans le plan contenant le dip le et la direction de propagation figure 2C 2 La puissance totale 2C 3 DIP LE OSCILLANT SINUSO DALEMENT POLARISATION 175 rayonn e travers une surface ferm e entourant le dip le s obtient en int grant 2C 19d On trouve un r sultat ind pendant de r 41 2 wdi gt 12TE0 c 2C 20 ii Con
382. ocessus totalement sym triques descriptibles avec des champs classiques L originalit de la contribution d Einstein est alors la n cessit de l existence de l mission spontan e et la pr diction quantitative de ses propri t s par exemple sa variation avec la fr quence 64 CHAPITRE 2 ATOMES EN INTERACTION AVEC UNE ONDE 2 1 3 mission spontan e Si l atome est initialement dans l tat excit b il peut se d sexciter vers l tat fonda mental a m me en l absence de tout rayonnement incident ce ph nom ne est l mission spontan e Le rayonnement mis a une fr quence gale la fr quence de Bohr wo Sa direction de propagation aussi bien que sa phase ont un caract re al atoire E El o 2 5 LD Ea Ex La FIG 2 3 mission spontan e L atome initialement dans l tat excit b se d sexcite en mettant un rayonnement de fr quence gale la fr quence de Bohr atomique wo Ce processus qui se produit m me en l absence de rayonnement incident cr e un rayonnement dont la direction de propagation aussi bien que la phase ont un caract re al atoire Ici encore on peut donner une image suggestive de ce processus en terme de photon mis une mission spontan e donne lieu l mission d un photon d nergie fwo de direction de phase et de polarisation al atoires En fait c est m me la seule image simple possible car l mission spontan
383. od le pr c dent et l inversion de population n est atteinte que si le taux de pompage est suffisant Les syst mes quatre niveaux restent cependant privil gi s pour l obtention d une inversion de population 12Dans le cas o le pompage est d la lumi re ces quations d coulent des quations de la matrice densit pr sent es dans le compl ment 2B la limite o l volution des coh rences se fait sur une chelle de temps bien plus courte que l volution des populations c est le cas lorsque le temps de relaxation des coh rences est tr s petit devant le temps de relaxation des populations Cette situation se rencontre fr quemment parce que les coh rences sont plus fragiles que les populations et donc plus sensibles aux perturbations Lorsque le pompage se fait par collisions isotropes comme dans une d charge lectrique il s agit d un processus incoh rent donnant directement des quations cin tiques du type 3 22a 3 2 DESCRIPTION DES MILIEUX AMPLIFICATEURS 223 b Laser n odyme La figure 3 7 montre les niveaux d nergie de l ion Nd pr sent sous une faible concen tration dans un verre verre dop au n odyme ou dans un cristal Y3Al5012 appel YAG dans la litt rature pour Yttrium Aluminium Garnet en anglais c est dire grenat d yttrium aluminium Le pompage se fait par une source ext rieure de lumi re lampe arc ou diode laser qui permet d exciter les ions dans de
384. ompte de fa on perturbative en rajoutant l hamiltonien d crivant le syst me 2 lectrons un terme 1 a lt 4TE0 i 2 1 65 Ce terme a pour premier effet de modifier la valeur pr cise des nergies des divers tats que nous avons consid r s Mais on peut continuer distinguer les s ries 1 n 2 n et le niveau discret 2 2 a toujours une nergie sup rieure la limite d ionisation de la s rie 1 n il existe donc un tat ionis 1 ko de m me nergie que 2 2 Or l hamiltonien a un l ment de matrice non nul entre les tats 2 2 et l tat 1 ko vers lequel il peut provoquer une transition l tat 2 2 est un tat susceptible de s ioniser spontan ment Ce ph nom ne d autoionisation s observe effectivement lorqu on porte l atome d h lium dans l tat 2 2 c Couplage au continuum 1 k En fait le terme de couplage Hi a galement des l ments de matrice non nuls vers d autres tats du continuum 1 k et en particulier vers les tats d nergie voisine de 1 ko Or on sait que la transition est possible m me s il n y a pas galit parfaite entre les nergies initiale et finale Pour traiter le probl me de l autoionisation il faut donc prendre en compte le couplage du niveau discret 2 2 l ensemble des tats 1 k qui forment un continuum C est ce probl me g n ral du couplage d un niveau discret un
385. on or on observe effectivement que l lectron est ject pr f rentiellement suivant la direction du champ lectrique Ainsi sans introduire la notion de photon nous pouvons rendre compte des caract ristiques essentielles de l effet photo lectrique Le traitement pr sent ici permet en fait bien d autres pr dictions dont nous donnons quelques exemples dans la suite Remarque On dit quelque fois que l observation de photo lectrons imm diatement apr s le d but de lillumination m me dans le cas d un clairement tr s faible est en d saccord avec le traite ment pr sent ici L argument serait que le flux du vecteur de Poynting travers une surface de l ordre de la taille atomique est trop faible pour fournir l nergie de l lectron en un temps aussi court Cette observation imposerait donc d introduire la notion du photon En fait les taux de transition calcul s ici ne sont autres que des probabilit s quantiques et il faut se souvenir qu une probabilit faible ne veut pas dire qu un v nement ne se produit pas cela veut dire que l v nement ne se produit que pour une faible fraction des cas Si on r p te un grand nombre de fois l exp rience d illumination soudaine de l chantillon et que l on construit l histogramme des instants de d tection des lectrons en prenant comme origine l instant d illumination on trouve un histogramme plat en accord avec l quation 2D 23 o
386. on 1A 3 deux niveaux cons cutifs du quasi continuum sont s par s par un intervalle nerg tique valant dE Kr rh 2E un me LVm Qu Dans l intervalle d nergie dE autour de En il y a dn dE e tats Nous en d duisons que la densit d tats p E dn dE n est autre que l inverse de l expression 1A 6 1 fm rh 2E Il faut cependant prendre garde que la densit d tats totale pe n est pas forc ment celle qu il faut utiliser dans l expression 1A 1 de la r gle d or de Fermi Pour tablir cette formule nous avons en effet suppos que les l ments de matrice de couplage variaient lentement en fonction de l nergie Ce n est pas le cas ici puisque pour les raisons de Pe E IA 7 sym trie expliqu es dans le pr c dent paragraphe un l ment de matrice sur deux est nul Il faut en fait consid rer la densit des tats coupl s l tat initial i qui ont pour nergie 2 2 E ET op po 1A 8 Pour ce sous ensemble d tats les l ments de matrice 1A 5 varient lentement avec l nergie et on peut utiliser la r gle d or de Fermi Leur densit p E est gale la moiti de la densit totale pe donn e en 1A 7 Nous aboutissons ainsi l expression finale de la probabilit d autoionisation par unit de temps l dans le cadre de ce mod le simple O0 ee A r aE dx dx2 cos kfx1 Paltz W z1 z2 Yalz Vs x2 1A 9 o l nerg
387. on la sym trie des lois de la physique vis vis de l change mati re anti mati re 3E 4 2 L atome d hydrog ne a De Balmer Dirac La th orie non relativiste de l atome d hydrog ne pr sent e dans les cours de M canique Quantique l mentaire montre que les niveaux d nergie d un lectron dans un potentiel coulombien peuvent tre rep r s par trois nombres quantiques n et m et que l nergie ne d pend en fait que de n Cr 3E 20 n2 o R est la constante de Rydberg qui s exprime en fonction de la charge q et de la masse m de l lectron sous la formel mq 3E 21 3272ei L quation de base de la th orie quantique relativiste est l quation de Dirac Cette quation permet d introduire naturellement le spin s de l lectron Comme le spin s et le moment cin tique orbital sont coupl s par l interaction spin orbite les niveaux d nergie s expriment en fonction du moment cin tique total j j 1 s La r solution de l qua tion de Dirac pour l atome d hydrog ne conduit la formule suivante pour les niveaux d nergie i a 1 3 n j 1 2 An Un des r sultats remarquables de l quation de Dirac est que dans une multiplicit de n donn deux sous niveaux de m me valeur de j mais de diff rent auront m me nergie Ainsi dans la multiplicit n 2 le niveau 2S 4 0 j 1 2 et le niveau 2P 4 1 j 1 2 sont d g n r s voir figure
388. on du bistouri laser en chirurgie et en odontologie En d pit de ses avantages caut risation st rilit le d veloppement du bistouri laser est ralenti par des probl mes d encombrement et de maintenance La dermatologie a t un des premiers champs d application du laser en m decine il permet en principe de traiter d innombrables affections cutan es tels que les angiomes les taches de vin Signalons aussi titre d exemple les applications en ophtalmologie o la longueur d onde du laser utilis joue un r le d terminant les d collements de r tine sont trait s par un laser Art mettant un faisceau de lumi re visible qui n est absorb qu au niveau de la r tine On fait galement des recherches pour traiter la myopie l aide de lasers UV dont le rayonnement absorb au niveau de la surface du cristallin cr e de tr s fines incisions qui en modifient le rayon de courbure Le compl ment naturel du laser en m decine est l endoscope tube flexible que l on peut introduire l int rieur du corps humain tube digestif vaisseaux sanguins et qui contient une fibre optique d illumination un syst me optique d inspection visuelle l en doscope proprement dit la fibre optique transportant le faisceau laser et un canal auxi liaire permettant d injecter diff rents produits au niveau de l extr mit ou d aspirer les d bris des tissus d truits Cet ensemble permet de r aliser des inter
389. on gaussienne d intensit Ce compl ment est particuli rement utile pour comprendre les propri t s de coh rence spatiale de la lumi re mise par un laser Les compl ments 3C 3E sont consacr s diverses applications des lasers Les deux premiers d crivent des applications dans les domaines industriel m dical et militaire Le compl ment 3E d crit les avanc es spectaculaires que le laser a permis en spectroscopie Nous revenons dans le compl ment 3F sur le probl me de la largeur de raie d un laser et nous montrons qu il existe une limite inf rieure fondamentale appel e largeur de Schawlow Townes li e la diffusion al atoire de la phase lors du processus d mission spontan e Enfin le compl ment 3G donne quelques l ments sur la photom trie des sources incoh rentes et sur la notion de mode l mentaire du champ lectromagn tique Ces notions sont essentielles pour comprendre en profondeur la diff rence entre faisceau de lumi re incoh rente et faisceau laser 212 CHAPITRE 3 LES LASERS 3 1 Conditions d oscillation 3 1 1 Seuil d oscillation Le laser comme les oscillateurs d velopp s en lectronique repose sur l application d une boucle de r action un syst me amplificateur Pour le laser le syst me amplificateur de lumi re est un milieu dans lequel on a r alis une inversion de population voir la partie 2 5 Le coefficient d amplification en intensit G pour un faisceau lumineu
390. on obtienne ainsi des diodes laser de puret spectrale meilleures que la limite de Schawlow Townes est un des nombreux exemples de la prudence avec laquelle il faut utiliser les concepts de limite fondamentale et de l esprit critique qu il faut avoir leur gard La limite de Schawlow Townes est incontestablement une limite fondamentale et le raisonnement qui y conduit est parfaitement correct Mais une telle limite peut tre contourn e si on se place dans une situation n ob issant pas aux hypoth ses du raisonnement ce qui est le cas lorsque la cavit est coupl e une deuxi me cavit beaucoup plus longue Faisceau utile Cavit Fabry Perot C ramique piezoelectrique T Photodiode FIG 3F 2 Diode laser coupl e une cavit ext rieure Si la longueur de cette cavit Laser semiconducteur est telle qu un de ses modes co ncide avec un mode de la diode laser un grand nombre de photons peut tre stock dans la cavit externe ce qui permet d affiner consid rablement la largeur spectrale de la diode laser 4Le champ de la cavit est coupl au champ stock dans la cavit externe ce qui contribue augmenter son inertie COMPL MENT 3G 341 Compl ment 3G Diff rence entre lumi re laser et lumi re incoh rente densit d nergie nombre de photons par mode La diff rence entre la lumi re laser et la lumi re mise par une source incoh rente ne peut tre pleinement appr ci e
391. on utilise le dispositif de la figure 3D 7 Le faisceau d un laser est s par en deux parties puis recombin l aide d une lentille dans la r gion o se d place l objet de petites dimensions dont on veut d terminer la vitesse Dans la r gion de recouvrement des deux faisceaux on obtient une figure d interf rences form e de zones alternativement sombres et clair es parall les l axe de la lentille Une particule traversant ce r seau va diffuser la lumi re laser de mani re 3D 2 MESURES PAR LASER 299 p riodique On d termine la vitesse Vperp perpendiculaire aux plans d interf rence partir de la fr quence ve de ce clignotement et de la valeur d de l interfrange Uperp dve 3D 8 lt l qi gt U es p W F p F1G 3D 8 V locim trie Doppler le photod tecteur P enregistre le battement entre londe directe Fo et londe ER r trodiffus e par l objet de vitesse v On mesure ainsi la composante de la vitesse suivant la ligne de vis e Les vitesses parall les l axe de vis e peuvent tre d termin es par v locim trie Dop pler voir figure 3D 8 On utilise le fait que la lumi re diffus e par un objet fixe a la m me fr quence que la lumi re incidente diffusion lastique voir Chapitre 2 2 1 4 et Chapitre 6 4 Si l objet est anim d une vitesse v par rapport la source la diffusion est lastique dans le rep re li l objet La pulsation de
392. onc de l ensemble des fr quences de transition que l on peut crire sous la forme suivante sachant que m M lt 1 Av Aup mAM Vv u TMM 3D 19 Ainsi lorsqu on passe de l hydrog ne au deut rium la variation relative des fr quences de transition est de 2 x 1074 ce qui est loin d tre n gligeable Pour les atomes plusieurs lectrons et en particulier pour l uranium l effet isotopique de masse est beaucoup plus compliqu mais l ordre de grandeur donn par la formule pr c dente demeure Cette formule indique que la variation relative des fr quences de transition d cro t rapidement avec la masse du noyau pour l uranium cette contribution au d placement isotopique est n gligeable devant l effet de volume b Effet de volume Dans un atome ce n est qu en premi re approximation que le noyau peut tre consid r comme ponctuel Son volume non nul influe en fait l g rement sur la position des niveaux d nergie cause du th or me de Gauss cette non ponctualit ne modifie la valeur du champ par rapport au champ Coulombien qu l int rieur du volume du noyau Seuls les tats stationnaires de l atome dont la probabilit de pr sence sur le noyau est importante Voir par exemple BD Chapitre X ou CDL Compl ment A VIL L effet de masse r duite existe aussi en m canique classique 3D 5 S PARATION ISOTOPIQUE PAR LASER 313 c est dire les tats S seront sensibles
393. onc en principe d un norme gisement d nergie Le probl me est que pour r aliser la r action de fusion il faut tre capable de porter les noyaux de deut rium et de tritium une temp rature suffisante pour leur faire franchir la barri re de r pulsion lectrostatique Celle ci est de l ordre de 10 keV soit environ 108K Il faut aussi que le nombre de chocs entre ces noyaux soit suffisamment grand pour que la combustion puisse s entretenir On montre qu il faut pour cela que le produit de la densit N par le temps de confinement 7 soit au moins de l ordre de 104 particules em x s Deux m thodes concurrentes pour obtenir ces conditions extr mes sont l heure actuelle tudi es grande chelle le confinement magn tique dans les tokamaks pour lequel 7 est de l ordre de la seconde et le confinement inertiel par laser ou par faisceaux d ions lourds pour lequel T est beaucoup plus court de l ordre de la nanoseconde Pour que la r action s amorce il faut dans ce dernier cas une densit beaucoup plus lev e quivalente 1000 fois celle du solide c est dire des conditions de temp rature et de densit proches de celles de l int rieur des toiles ou des engins thermonucl aires Le principe de la fusion inertielle est le suivant Figure 3C 4 une cible sph rique de quelques millim tres de diam tre contenant un m lange deut rium tritium est illumin e par des faisceaux lasers convergents de tr s
394. onde lectromagn tique classique incidente dont le champ lectrique au point o est situ l atome est de la forme E t E cos wt 6 1 7 Nous verrons dans le chapitre 2 que l interaction entre l atome et le champ peut une bonne approximation s crire sous la forme d un terme d nergie dipolaire lectrique i t D E 1 8 o D est le moment dipolaire lectrique de l atome A D qi 1 9 q est la charge lectrique de l lectron et r le rayon vecteur reliant le noyau l lectron Sous l action de H1 t un lectron initialement dans un tat propre de n m de o va pouvoir tre port dans un autre tat In l m Si l nergie de ce dernier tat est plus lev e que l nergie initiale l nergie n cessaire pour exciter l atome est prise au champ lectromagn tique il y a absorption Si au contraire l nergie de l tat final est inf rieure l nergie de l tat initial il y a transfert d nergie de l atome vers le champ lectromagn tique il s agit de l mission induite Nous reviendrons dans le chapitre 2 sur l ensemble de ces ph nom nes et leurs cons quences 3Voir par exemple CDL Chapitre XIII Pour simplifier nous prendrons un atome un lectron et plus pr cis ment l atome d hydrog ne 1 2 TRANSITION ENTRE NIVEAUX DISCRETS 19 b Processus collisionnels Consid rons un atome A immobile dont les niveaux d nergi
395. onde d un atome plusieurs lectrons En prenant comme origine des nergies l nergie potentielle de l lectron loin du noyau l nergie de l tat E est n gative E Ei 2D 3 Fi tant l nergie d ionisation Pour fixer les id es donnons quelques ordres de grandeur L tat fondamental de l atome d hydrog ne a une nergie d ionisation de 13 6 eV La fr quence seuil associ e est Ws Fi 15 PS 1 H 2D 4 Mr 3 3 x 10 Hz ce qui correspond une longueur d onde dans l ultraviolet lointain As 91 nm Les tats excit s de l atome d hydrog ne ont des nergies d ionisation plus faibles En revanche les lectrons internes des atomes lourds de num ro atomique lev ont des nergies d ionisation beaucoup plus grandes pouvant d passer le keV ce qui correspond des longueurs d onde seuil inf rieures au nanom tre rayons X Lorsque nous aurons besoin d expressions explicites pour la fonction d onde de l lec tron li ou sa transform e de Fourier nous utiliserons les fonctions d onde de l atome d hydrog ne qui sont connues 2D 1 2 Etats ionis s Densit d tats Les tats finaux du processus de photoionisation sont des tats d nergie positive correspondant un tat non li de l lectron qui peut s loigner librement du noyau ce sont les tats ionis s de l atome Dans le cas de l atome d hydrog ne ces tats ont des expr
396. onde polaris e circulairement o donn e par l expression 2A 22a l hamilto nien d interaction dipolaire lectrique 2A 2 s crit E H T0 cos wt p sin wt p 2A 23 v2 On peut identifier dans 2A 23 la partie r sonnante en e en e en crivant iot et la partie antir sonnante A lens sr e ee R 2A 24a avec a E W 2 V2 Notons le parall lisme troit entre les quations A 24 et les quations A 7 la diff rence tant enti rement contenue dans le vecteur polarisation qui est complexe alors que e ne l tait pas Ici W n est plus un op rateur autoadijoint et on doit donc faire appara tre son conjugu hermitien W amp i q Ef D 2 Eo 2A 24b 4A Messiah cf Ref 1 Voir aussi par exemple CDL 2 Exercice X 8 2A 1 R GLES DE S LECTION ET POLARISATION 131 Les r gles de s lection pour la polarisation o vont s obtenir en tudiant l l ment de matrice de transition associ au terme r sonnant de A 24 dE V2 Comme au paragraphe 2A 2 nous chercherons les transitions de l atome d hydrog ne possibles partir du niveau fondamental a 1 0 0 vers un tat excit quelconque lb n l m La d marche est analogue les fonctions d onde Ya et Y sont exprim es en fonction des harmoniques sph riques et on utilise la relation Waa bW la E bl i la 2 25 T iy Fe gt AT ae V2 sin Qe a
397. onnement des noyaux d hydrog ne Ce ph nom ne a des applications tr s importantes en analyse chimique ou en imagerie m dicale d Impulsion 7 2 Transitoires coh rents Reprenons la situation tudi e au paragraphe 2 3 2 a dans le cas d une excitation exactement r sonnante 0 et supposons que l on cesse d appliquer le champ lectro magn tique l instant T ti t 2 83 1 o 30 Ce cr neau de champ s appelle une impulsion 7 2 Nous nous int ressons l volution ult rieure de l atome Son tat l instant t est 2 3 TRANSITION ENTRE DEUX NIVEAUX ATOMIQUES 91 alors donn par 2 80 alt alt 7 2 842 wlt ft ed 2 84b D apr s 2 72 l volution libre ult rieure est d crite par 1 t la e ioitv p 2 85 lyt 3 N b 2 85 ce qui implique que la probabilit de pr sence dans chacun des tats a ou b n volue plus Il ne faut pourtant pas en conclure que le syst me est fig Pour nous en convaincre choisissons une observable ayant des l ments de matrice entre a et b Par exemple dans le cas o D a des l ments de matrice non nuls consid rons la composante D D e de l op rateur dipolaire lectrique repr sent e dans la base a b par A 0 d D 0 2 86 et calculons la valeur moyenne de D dans l tat 2 85 On obtient DAE WOLDE dsin wot p 2 87 On constate donc qu
398. ons dans les syst mes deux et trois niveaux et d valuer dans quelles conditions une mission laser aboutissant dans le niveau fondamental peut tre obtenue Montrons d abord que dans un syst me deux niveaux ferm s a tant le niveau inf rieur et b le niveau sup rieur il n est pas possible de cr er une inversion permanente de population par un m canisme de pompage pouvant tre d crit par des quations cin tiques d une forme analogue 3 22a d Np M w N Np 2 dt b W N b T 3 28a d Na No 0 3 28b En r gime permanent on trouve d apr s 3 28a Np WTp 3 29 N 1 wT ce qui montre que la population du niveau excit est toujours plus petite que la population du niveau fondamental Remarques i Nous avons vu au chapitre pr c dent 2 3 2 que lorsqu une onde monochromatique coh rente et r sonnante interagit avec un syst me deux niveaux initialement dans l tat fondamental il est possible au bout d un certain temps de trouver avec certitude le syst me dans l tat excit pr cession de Rabi On r alise ainsi de fa on transitoire une inversion de population Cependant cette inversion n cessite l existence pr alable d une onde coh rente identique celle que l on veut cr er par mission laser Cet exemple montre par ailleurs la diff rence existant entre un pompage incoh rent r a lis par exemple au moyen d une la
399. ontenir l quivalent de 130 000 pages de texte ou 54 000 images de t l vision De plus gr ce la faible inertie du syst me de lecture la lecture optique de cette information peut se faire avec des temps d acc s tr s courts Sur les disques compacts actuellement commercialis s l information est stock e sous la forme de cuvettes de largeur 0 6um de profondeur 0 1um avec un espace interspire de 1 6um Figure 3D 15 Pour la lecture de l information on utilise le faisceau d une diode laser focalis sur la surface du disque l aide d une lentille de tr s courte focale On mesure sur une photodiode l intensit r fl chie par la surface du disque Figure 3D 16 La profondeur de champ au foyer de la lentille tant de l ordre de 2um cette intensit varie fortement lorsque le faisceau laser arrive sur le bord d une cuvette creus e dans le disque C est cette variation brutale sur le bord des cuvettes qui fournit le bit 1 alors qu un niveau constant d intensit r fl chie correspond au bit 0 F1G 3D 16 Sch ma du syst me optique d un lecteur de compact disque 1 Diode laser 2 Lame s paratrice 3 4 Lentilles de focalisation 5 Syst me de d placement de la tache focale 6 Disque optique 7 Syst me optique astigmatique 8 Photo d tecteur quadrant Pour obtenir une lecture fiable de l information le positionnement du syst me optique par rapport au disque doit tre
400. ontrer que les r gles de s lection pour de la lumi re polaris e lin airement suivant Oz sont f polarisation lin raire Jr Ji 1 ou 0 2A 19 suivant l axe de quantification Mk Mi Ces r gles peuvent s interpr ter en termes de conservation du moment cin tique total lors de l absorption ou de l mission du rayonnement On est ainsi amen attribuer la valeur m 0 2A 20 la projection sur Oz du moment cin tique du photon d une onde polaris e lin airement suivant Oz une telle onde se propage perpendiculairement Oz Si l atome poss de un spin nucl aire I les r gles de s lection 2A 19 se g n ralisent en introduisant le moment cin tique total F J et sa composante 2 1 0 1 2 7 i F l 2 T T T 1 0 1 FIG 2A 1 Transitions x entre un niveau l 1 et un niveau l 2 Sous l effet d une lumi re polaris e lin airement suivant l axe de quantification seules les transitions indiqu es sont possibles Pour un atome plusieurs lectrons on remplace l et my par les nombres quantiques J et my du moment cin tique total J et de sa composante J suivant la direction de polarisation de la lumi re Si l atome poss de un spin nucl aire 1 c est le moment cin tique total F I qui remplace L et qui remplace L 2A 1 3 Lumi re polaris e circulairement a D finition Consid rons maintenant une onde lumineuse dont le champ lectrique en r
401. ors qu un bit 1 avait t inscrit sur le disque extr mement faible Un tel syst me marie la souplesse d utilisation des syst mes magn tiques avec la grande capacit potentielle des syst mes optiques 4 Gbits environ soit 400 M gaoctets sur un disque de 5 1 4 3D 4 3 T l communications Les t l communications par voie optique sont bas es sur l utilisation de quatre com posants essentiels le laser semi conducteur d crit dans le chapitre 3 3 2 3 qui produit un rayon nement de faible largeur spectrale qui peut tre facilement modul en intensit par une simple variation du courant d alimentation la fibre optique en silice faible taux d absorption inf rieur 0 2 dB soit 5 par kilom tre de fibre aux alentours de 1 5um de longueur d onde qui peut tre produite en tron ons de tr s grande longueur plusieurs kilom tres et plus l amplificateur tout optique qui permet de r g n rer le signal affaibli par les pertes au cours de sa propagation la photodiode silicium ou germanium qui transforme les photons incidents en paires lectrons trous donc en courant lectrique et cela avec un excellent rende ment et un bruit de fond minime La mise au point de ces l ments produits faible co t et en grande quantit a permis le d veloppement rapide de ce type de communication Par rapport aux syst mes classiques de transmission c ble ou faisceau hertzien l
402. ortement thermique du mat riau appel diffusivit thermique k K pC k vaut 0 05 cm s pour l acier 1 em s pour le cuivre Envisageons le cas d un mat riau s tendant dans tout le demi espace des z positifs irradi par une br ve impulsion de forme gaussienne de diam tre w distribution d nergie en exp x y w et d nergie totale W La solution de l quation 3C 1 s crit dans ce cas AW z x y T z y z t ex 3C 2 rnat rnpC VTkt Art w PU xt Akt w l Cette expression montre que la chaleur diffuse aussi bien en profondeur que lat ralement sur une distance de l ordre de y kt caract ristique d un ph nom ne de marche au hasard La diffusivit qui intervient dans cette distance caract rise donc la capacit du mat riau vacuer l nergie introduite localement La d pendance spatiale et temporelle de la temp rature du mat riau pendant la dur e de l irradiation laser prend en g n ral des formes compliqu es On obtient cependant un r sultat simple pour la temp rature T x 0 y 0 z 0 t la surface du mat riau et au centre de la tache gaussienne dans le cas o la puissance instantan e du laser est suppos e constante pendant toute la dur e de l impulsion A 2 V m tan r32 Kw w T x 0 y 0 z 0 t 3C 3 La formule 3C 3 montre qu aux temps longs T gt w 4K on atteint un r gime stat
403. ortionnel au nombre d atomes perturbateur par unit de volume X et leur vitesse v N Ycoll y Ieou v 2B 7b Pour un potentiel d interaction donn la section efficace de collisions d phasantes ccol ne pas faire de confusion avec un l ment de la matrice densit ne d pend que de la temp rature et le taux de relaxation collisionnelle varie donc proportionnellement la pression temp rature fix e b Syst me ouvert Supposons pr sent que les deux niveaux b et a sont deux niveaux excit s le niveau a ayant une nergie inf rieure au niveau b La relaxation des populations de ces niveaux Ann s crit d au Loop loa 2B 8a d Au Taaa Tear 2B 8b dt relax Dans ces quations l et T d crivent la relaxation vers l ext rieur et l_ d crit la retomb e du niveau b au niveau a qui peut tre due l mission spontan e L volution de la coh rence 04 s crit d E aa T B avec dans le cas d une relaxation due exclusivement l mission spontan e TSP TSP 2 2 2B 9b y 2 Contrairement aux quations A 6 qui conservent la population globale et qui sont donc compatibles avec la condition Tr 1 les quations 2B 8a conduisent une variation de la population totale des niveaux a et b avec le temps Un tel syst me physique appara t donc comme un sous syst me d un ensemble plus vaste d o le nom de syst me ouvert Ainsi nous po
404. oscillation de Rabi dans le cas non d g n r et lorsque le couplage est faible quation 1 52 En revanche la th orie des perturbations ne peut pr dire l oscillation de Rabi qui appara t dans le cas exactement d g n r o la probabilit de transition atteint la valeur de 1 1 2 6 Calculs au second ordre effets non lin aires Dans de nombreuses situations l tat initial i et l tat final k ne sont pas coupl s directement par l hamiltonien de perturbation t on a i H t k 0 La probabilit de transition 1 23 est donc nulle au premier ordre En revanche i et k tant coupl s par Hi t de m mes tats j lil A1 t j 0 et j Hi t k Z 0 nous allons montrer que la probabilit de transition au second ordre est susceptible d tre non nulle On peut se repr senter cette situation en disant que le syst me passe interm diairement de li j puis de j k Des exemples de telles situations se rencontrent fr quemment dans les probl mes d interaction atome rayonnement et nous aurons l occasion d utiliser les r sultats de ce paragraphe dans les chapitres suivants voir figure 2 9 du chapitre 2 Dans l hypoth se o k t i est nul il faut calculer les 7j D t t avec j diff rent de k et reporter leurs REE donn es par des expressions analogues 1 2 1 dans l expression 1 19 pour calculer y Dq t L amplitude de transition de i k entre 0 et T es
405. otons qu il n y a rien de paradoxal contr ler la position d un miroir objet macroscopique mieux que la taille caract ristique des mol cules de silice qui constituent le miroir la position macroscopique d un miroir est associ un concept de surface moyenne 3 3 PROPRI T S SPECTRALES DES LASERS 243 L ensemble de ces ph nom nes entra ne une modulation plus ou moins al atoire de la fr quence laser que l on appelle jitter gigue en fran ais En fonctionnement libre la largeur de raie court terme peut difficilement tre inf rieure quelques MHz long terme plus d une minute les d rives thermiques provoquent en plus des d placements au moins gaux l intervalle entre modes et la fr quence n est pas d finie mieux que C Lcav Pour de nombreuses applications une telle situation n est pas satisfaisante Ici encore la solution r side dans l utilisation d asservissements on va comparer la fr quence du laser une fr quence de r f rence et modifier la longueur Leay de la cavit laser de fa on minimiser la diff rence entre la fr quence du laser et la r f rence La stabilit obtenue d pend de la stabilit de la r f rence et du rapport signal sur bruit dans l obtention du signal d erreur mieux la diff rence est mesur e et meilleure sera la correction Cette r f rence peut tre un mode d une cavit Fabry Perot voir Compl ment 3A stabilis e en temp r
406. oulomb est E A sin wt k r 2 36a w 2 2 HAMILTONIEN D INTERACTION 75 tandis que le potentiel scalaire associ est nul U r t 0 2 36b Il est facile de v rifier que l quation 2 34 est satisfaite et que les potentiels 2 36 redonnent bien les champs 2 35 en utilisant les formules 2 13 En particulier le champ lectrique 2 35a de londe lectromagn tique libre s crit E r t TA t 2 36c b Hamiltonien atomique et hamiltonien d interaction Pla ons nous donc en jauge de Coulomb pour traiter le probl me d crit par l hamil tonien 2 17 de l interaction entre un champ lectromagn tique ext rieur et un atome constitu d un lectron soumis au potentiel coulombien du noyau Un grand avantage de cette jauge pour ce probl me est de permettre une s paration claire entre le champ coulombien statique cr par le noyau atomique et le rayonnement lectromagn tique ext rieur appliqu sur le syst me Prenons en effet comme champ ext rieur l onde plane monochromatique caract ris e par les potentiels 2 36 en jauge de Coulomb En ce qui concerne le champ lectrostatique cr par le noyau sur l lectron le potentiel vecteur associ est nul tandis que le potentiel scalaire est tout simplement le potentiel coulombien habituel Usou lr L hamiltonien total 2 17 s crit alors en posant Wou r qUeou lT x 1 4y E H z GAL E HVE 2 37 soit encore en d v
407. ourbure sous l effet d un gradient d indice ou bien diffusion par les turbulences atmosph riques R ciproquement lorsque le faisceau laser suppos parall le est focalis l aide d une lentille de distance focale f le rayon au col w du faisceau focalis est donn par l expres a 5 sion wo f rw 3D 2 En utilisant des lentilles d pourvues d aberration et de grande ouverture num rique comme par exemple les objectifs de microscope clair es sur toute leur surface utile par un faisceau laser largi on obtiendra une tache focale qui aura des dimensions voisines de la longueur d onde Ceci n est vrai que pour des lasers fonctionnant sur le mode transverse fondamental TEM4 ce qui n est pas toujours facile obtenir surtout avec des lasers en impulsion fi h lt gt LASER F F1G 3D 1 Syst me afocal de r duction de la divergence du faisceau par exemple il peut consister en un t lescope habituel utilis l envers 3D 1 2 Propri t s spectrales et temporelles Dans le chapitre 3 nous avons montr qu un laser monomode est une source de rayon nement extr mement monochromatique On dit aussi qu il a une grande coh rence tem porelle Le rayon laser est donc aussi la r alisation la plus parfaite de l onde lumineuse monochromatique de l optique ondulatoire On peut crire tout champ lectrique monochromatique Er t sous la forme E r t Eo r cos wt
408. p lectromagn tique d j pr sent oscillation laser une petite contribution ayant une phase al atoire Ceci provoque donc une variation d amplitude et de phase du champ dans la cavit La variation d amplitude va tre automatiquement corrig e par le ph nom ne de saturation du gain En revanche le fonctionnement du laser n impose aucune contrainte sur la phase Contrairement l amplitude la phase n est pas rappel e vers une valeur d termin e elle volue donc sous l effet de l mission spontan e selon un processus de diffusion ou de marche au hasard Cette diffusion de la phase entra ne un largissement spectral de la raie Awsr de l ordre de l inverse du temps de corr lation de la phase temps au bout duquel la m moire de la phase initiale a t perdue 26Un tel laser pourrait constituer un talon de temps 10 fois plus pr cis que les horloges atomiques C sium actuelles dont la pr cision est utilis e couramment pour certaines applications multiplexages dans les t l communications rep rage par satellite GPS etc et dont on peut pr voir qu elles se r v leront bient t insuffisamment pr cise 244 CHAPITRE 3 LES LASERS Un calcul simplifi de ce processus est fait dans le compl ment 3F Qualitativement la largeur Awsr obtenue pour un laser tr s au dessus du seuil est de l ordre de la largeur d un mode de la cavit Aweay en l absence de processus de gain divis e par le nom
409. pact La donn e de la trajectoire R t de la particule B permet de d terminer la variation temporelle du terme d interaction H1 t R t 1 2 3 D veloppement de la fonction d onde en s rie de perturba tion Pour conna tre l volution du syst me sous l effet de l hamiltonien donn par l qua tion 1 5 il faut r soudre l quation de Schr dinger cette fin nous allons utiliser une m thode de r solution approch e de type perturbatif qui repose sur l hypoth se que les l ments de matrice de 1 t sont petits devant ceux de Ho Pour mieux identifier les 5Plus pr cis ment dans la base n des tats propres de Ho les l ments de matrice non diagonaux n H m sont petits devant les diff rences d nergie correspondantes En Eml 20 CHAPITRE 1 PROBABILIT S DE TRANSITION ordres successifs de perturbation r crivons 1 t sous la forme AA MA D 1 10 o i t a des l ments de matrice du m me ordre de grandeur que ceux de et o est un param tre r el sans dimension tr s petit devant 1 qui caract rise la force relative de l interaction 1 t Dans le premier exemple du paragraphe 1 2 2 est proportion nel l amplitude du champ incident Dans le deuxi me exemple est une fonction d croissante du param tre d impact b Dans chacun des cas on pourra donc trouver des conditions exp rimentales onde lectromagn tique suffisamment faible col
410. par laser semi conducteur voir paragraphe 3 2 3 ci dessous au voisinage de 0 8um Ces derniers dispositifs sont extr mement int ressants car ils permettent d avoir des sources compactes d excellent rendement et de co t mod r c Lasers gaz rares L anc tre toujours en activit des lasers gaz rares est le laser h lium n on au sch ma de pompage tr s astucieux Une d charge lectrique continue dans un m lange d h lium et de n on excite l h lium dans des niveaux m tastables Lors des collisions entre h lium m tastable et n on dans l tat fondamental l nergie interne des atomes d h lium m tastables peut tre communiqu e aux atomes de n on qui se trouvent port s dans des niveaux excit s dont l nergie est voisine de celle des niveaux m tastables de BT utilisation du verre dop au n odyme ou du cristal n odyme YAG d pend des applications Par exemple les impulsions tr s nerg tiques des tr s gros lasers utilis s dans la fusion par confinement inertiel voir Compl ment 3C sont obtenues avec des verres dont on fabrique plus facilement des disques de grands diam tres Ce processus est d au couplage avec les vibrations du mat riau N impliquant pas d mission de lumi re il est appel non radiatif 15Un niveau m tastable est un niveau excit qui n est pas coupl au niveau fondamental par l hamilto nien dipolaire lectrique Sa d sexcitation fait appel d autres m
411. paragraphe 2 3 3 c ci dessus et obtenir on prend 0 OA er w wo t ew wo t t 4 alt 2 95 OES E 2 95 Les d placements lumineux ont t pr dits et observ s pour la premi re fois par C Cohen Tannoudji En utilisant des lampes spectrales et les techniques du pompage optique il a pu mettre en vidence un d placement de 1Hz seulement C Cohen Tannoudji et A Kastler 1966 Progress in Optics Vol V p 1 dit par E Wolf North Holland Amsterdam 1966 De nos jours avec des lasers on observe des d placements sup rieurs au m gahertz voire au gigahertz 96 CHAPITRE 2 ATOMES EN INTERACTION AVEC UNE ONDE Lorsqu on reporte dans 2 73a on obtient quatre termes dont deux non oscillants termes s culaires qui donnent donc la contribution dominante En ne gardant que le plus grand on trouve dya Q 1 i 2 96 dt 4 w wo l Yalt Tout se passe comme si l nergie du niveau a qui valait initialement E 0 avait t d plac e de la quantit o _ W WE pal O i A w wo 4 w E Ea i 2 97a qui est analogue 2 92c en ne gardant que le terme dominant pour le cas j b Le d placement lumineux du niveau b s obtient de fa on analogue Il vaut CRE 2 97b On retrouve donc que les niveaux a et b s loignent l un de l autre pour un d saccord n gatif et se rapprochent pour un d saccord positif Fig 2 10
412. pectroscopie deux photons sans lar gissement Doppler La spectroscopie deux photons permet d obtenir des raies ayant une largeur gale la largeur naturelle Il s agit donc d une m thode extr mement puissante dont les propri t s sont compl mentaires de celles de l absorption satur e puisqu elle permet d atteindre des niveaux de m me parit que le niveau fondamental alors que l absorption satur e permet d tudier des transitions reliant le niveau fondamental un niveau de parit oppos cf Compl ment 2A On pourrait craindre qu une transition deux photons n cessite des sources intenses occasionnant d importants d placements lumineux voir chapitre 2 paragraphe 2 3 3c ce 3E 4 SPECTROSCOPIE DE L ATOME D HYDROG NE 329 qui ferait perdre beaucoup d int r t cette m thode pour la spectroscopie de haute r so lution Souvent ce n est pas le cas En particulier le fait que tous les atomes contribuent la r sonance alors que seule la classe de vitesse v 0 contribue dans la spectrosco pie d absorption satur e permet de compenser au moins partiellement la faiblesse des probabilit s d absorption deux photons par rapport l absorption un photon 3E 4 Spectroscopie de l atome d hydrog ne 3E 4 1 Le r le de l atome d hydrog ne L atome d hydrog ne constitu d un proton et d un lectron est l atome le plus simple Cette simplicit a permis une confrontatio
413. per cette interpr tation d abord en faisant un bilan nerg tique lors de la propagation puis en crivant des quations cin tiques tant pour le rayonnement que pour les atomes 1611 ne faut pas confondre l indice 0 qui dans le cas du gain g ou des populations N 0 et N 0 fait r f rence une situation non satur e s 1 avec la notation wo qui d signe la fr quence de r sonance Pour viter les confusions nous noterons parfois g wpm la valeur du gain non satur la fr quence de r sonance wM wo 2 5 AMPLIFICATION LASER 115 2 5 5 Bilan nerg tique au cours de la propagation absorption et mission induite a Absorption Consid rons d abord une onde plane se propageant suivant les z positifs dans un milieu o les atomes sont inject s dans l tat a cf 82 4 et o l intensit est suffisamment faible pour se contenter du traitement perturbatif Il est instructif de calculer la puissance dissip e par absorption dans une tranche d paisseur dz et de section perpendiculaire Oz Le vecteur de Poynting moyen dans le plan d abcisse z est dirig suivant Oz et il a pour norme E2 2k z ponn 2 151 2 La puissance absorb e dans la tranche dz est donc ddl ATI z H z dz AdzeoclE 2 k 2 152 avec E 2 Epe 2 153 En utilisant 2 123c et en rempla ant x par sa valeur 2 119c on trouve N wd E z T dd aps de BW 2 154 V 2 T w wo O
414. permettre de pro duire une telle nergie par impulsion ne permet toutefois pas de d passer une cadence de tir d un coup toutes les heures et a un rendement extr mement faible Le pompage par lasers semi conducteurs de grande puissance devrait permettre d am liorer le rende ment et les performances du laser verre N odyme D autres lasers sont tudi s comme le laser KrF excim re qui a l avantage d mettre directement dans UV et qui a un bon rendement long terme le remplacement des lasers par des faisceaux d ions semble une approche prometteuse Signalons aussi un autre int r t de ce type d installations il permet de recr er les conditions physiques existant au coeur d une bombe thermonucl aire et donc de r aliser des tests qui ne pr sentent pas les m mes inconv nients que les essais thermonucl aires en vraie grandeur C est la raison pour laquelle les USA puis la France ont programm la construction de lasers M gajoules L installation fran aise pr vue dans la r gion de Bordeaux et comprenant plus de 250 faisceaux devrait fournir vers 2010 une puissance de 2 MJ environ dans l UV Ce type d installation devrait permettre de r aliser moyen terme la premi re exp rience d ignition de la cible puis la d monstration d un gain intrins que sup rieur 1 Il faudra donc encore plusieurs d cennies de recherche avant de savoir si 3C 5 FUSION INERTIELLE 289 les centrales lectriques
415. perpendiculaire Oz la polarisation est lin aire dans le plan xOy perpendiculaire Oz polarisation appel e lin aire o Pour une direction d observation quelconque la polarisation est elliptique Dans le cas d une transition ou le dip le classique correspondant est un dip le tournant dans le plan xOy le sens de rotation tant direct par rapport Oz pour une transition o4 et r trograde pour o_ Pour une observation dans la direction Oz la 2A 2 R SONANCE OPTIQUE 135 lumi re est polaris e circulairement dans le sens correspondant la rotation du dip le Pour une observation perpendiculaire Oz la polarisation est lin aire perpendiculaire Oz et la direction d observation Pour une direction d observation quelconque on a une polarisation elliptique dont les caract ristiques sont donn es par la projection du dip le tournant sur le plan perpendiculaire la direction d observation Ces diverses caract ristiques de l mission spontan e et en particulier la fa on dont la polarisation de la lumi re mise est reli e la variation Amy du nombre quantique magn tique donnent des informations tr s riches sur le comportement des atomes Les parties 2B et 2C de ce compl ment en donnent des exemples 2A 2 R sonance optique 2A 2 1 Principe de l exp rience On dispose d une cellule contenant une vapeur atomique clair e par un faisceau lumineux dont la fr quence est quasi r
416. pidement les hypoth ses simplificatrices est celle des potentiels retard s en jauge de Lorentz Nous utiliserons donc l expression du potentiel vecteur retard ln v Ar r t 1 orn rVe 2C 4 Areo r r Pour calculer le rayonnement du dip le nous ferons la simplification r r a r r 2C 5 en vertu des hypoth ses i et ii ci dessus Il nous reste d terminer l expression de la densit de courant associ e l lectron en mouvement En toute rigueur on a jt g r rolt Jiet 2C 6a puisqu on a une charge ponctuelle de vitesse te situ e au point re Utilisant nouveau les hypoth ses i et ii nous prendrons un courant localis en O c est dire j t g6 r i t 2C 6b En reportant cette expression dans 2C 4 nous trouvons l expression suivante du poten tiel vecteur retard E T Dl r o 20 7 TE0 C r Voir par exemple le paragraphe 1 3 6 du cours PHY557A Optique quantique 2 photons 172 COMPL MENT 2C La condition de Lorentz nous permet d obtenir le potentiel scalaire associ Uz r t OU r t OUr rt CV Az r t L a l 2C 8 Iroa s cD t r c rD t r c Pour obtenir ce r sultat on a utilis r zx or y r z 2C r r SOI r gt amp r ee formules tr s utiles dans tout ce calcul En int grant par rapport au temps et en ignorant le terme lectrostatique qui ne joue aucun r le dan
417. polaires lectriques Application la r sonance optique et au pompage optique 2A 1 R gles de s lection et polarisation 2A 1 1 Transition dipolaire lectrique interdite Comme on l a vu dans le chapitre 2 le rayonnement ne peut provoquer une transition entre deux tats atomiques a et b au premier ordre de la th orie des perturbations que dans la mesure o l hamiltonien d interaction r entre l atome et le rayonnement a un l ment de matrice non nul entre les tats a et b l ila Z 0 2A 1 Lorsque cet l ment de matrice est nul c est en g n ral pour des raisons de sym trie fondamentales Par exemple deux tats atomiques de m me parit ne sont pas coupl s par l hamiltonien dipolaire lectrique qui est impair On le v rifie ais ment dans le cas d un atome un seul lectron de position r pour lequel l hamiltonien dipolaire lectrique vaut i D E 0 t q E 0 t 2A 2 En effet en remarquant que la fonction Y r pa r est une fonction paire si Ya et Y ont la m me parit on trouve b fila bD E 0 t a qE 0 t rrol Ya r 0 2A 3 puisqu on int gre une fonction impaire sur tout l espace On dit que la transition entre deux niveaux de m me parit est interdite vis vis du couplage dipolaire lectrique qui 126 COMPL MENT 2A ne pourra provoquer ni absorption ni mission de lumi re Ce r sultat s appelle une r gle de s lection
418. pparaissaient impossible remplir Il fallut attendre 1954 et la r alisation du maser ammoniac par Townes et ses collaborateurs Gordon et Zeiger pour que la situation change L id e novatrice de Townes est que si on place le milieu amplificateur dans une cavit r sonnante une oscillation peut se produire m me pour un gain faible le point fondamental tant que le gain par mission induite soit suffisant pour compenser les pertes tr s petites de la cavit Le passage du maser 4 microwave amplification by stimulated emission of radia tion au laser light amplification by stimulated emission of radiation c est dire le passage du domaine microonde au domaine visible n a pas t imm diat et a galement donn lieu des controverses Ce n est qu en 1958 que Schawlow et Townes publi rent l id e fondamentale que dans le domaine optique un syst me de deux miroirs se faisant face pouvait jouer le r le de la cavit r sonnante Leur article d clencha un intense effort exp rimental qui fut concr tis dans la r alisation du premier laser par Maiman en 1960 Assez curieusement ce laser utilisait le rubis comme milieu amplificateur alors que cer tains avaient cru d montrer qu un tel mat riau ne pourrait pas conduire une oscillation laser Nous verrons en effet que le m canisme de l amplification dans un syst me trois niveaux comme le rubis est relativement particulier et peu intuitif L
419. pr ciserons d aboutir un hamiltonien d interaction ne mettant en jeu que le champ lectrique c est l hamiltonien dipolaire lectrique dont la forme tr s natu relle rappelle l expression de l nergie d interaction entre un dip le lectrique classique et un champ lectrique Dans le cas o l hamiltonien dipolaire lectrique ne peut donner lieu des transitions parce que les l ments de matrice correspondant sont nuls il existe d autres termes d interaction que l on trouve en conservant des termes d ordre sup rieur dans les approxi mations Le plus important pour nous est l hamiltonien d interaction dipolaire magn tique qui d crit en particulier les transitions entre sous niveaux d un m me niveau lectronique atomique par exemple sous niveaux Zeeman ou niveaux de structure fine ou hyper fine Le couplage dipolaire lectrique est alors nul mais le couplage entre le champ magn tique d une onde radiofr quence et le dip le magn tique atomique va permettre aux transitions de se produire On aborde ici le domaine de la spectroscopie des radiofr quences dont les applications sont extr mement importantes telle l horloge atomique C sium qui constitue l talon de temps actuel Cette partie 2 2 fait appel des notions de base en lectromagn tisme qui sont sup pos es connues et que l on rappelle simplement pour m moire dans le paragraphe 2 2 1 Occasionnellement on fera r f rence
420. probl me Envisageons un syst me dont l volution se d duit d un hamiltonien o t 1 5 Le premier terme fo est ind pendant du temps ses vecteurs propres et valeurs propres sont not s n et En Holn Euln 1 6 Le terme t est un terme d interaction dont les l ments de matrice sont suppos s petits devant les carts nerg tiques En E entre tats propres diff rents de Ho Il 18 CHAPITRE 1 PROBABILIT S DE TRANSITION peut d pendre explicitement du temps ou bien tre constant entre les temps 0 et t et nul l ext rieur de cet intervalle perturbation en cr neau Le couplage 1 t va pouvoir induire des transitions entre deux tats propres n et Im de Po qui ne sont pas tats propres de l hamiltonien total Nous nous proposons de calculer la probabilit P _ t de telles transitions en supposant pour simplifier que les niveaux sont non d g n r s On trouvera des expos s plus complets de la question dans des ouvrages g n raux de m canique quantique 1 2 2 Exemples Avant d tudier les d veloppements math matiques il peut tre utile de pr senter deux exemples de situations physiques correspondant au mod le d velopp Ces exemples nous serviront dans la suite pour illustrer les r sultats obtenus a Interaction avec un champ lectromagn tique classique Consid rons un atome d crit par un hamiltonien ind pendant du temps o qui in teragit avec une
421. propri t s des lasers en impulsion Ces derniers n mettent pas la lumi re de mani re continue mais par im pulsions de faible dur e l chelle sera la nanoseconde 10 s la picoseconde 107 s voire la femtoseconde 1071 s et m me moins Ces impulsions ont des puissances ins tantan es tr s lev es l unit sera ici le terawatt 10 W voire le petawatt 107 W Dans la conclusion nous insistons sur les propri t s importantes de la lumi re laser et nous indiquons en quoi elle diff re fondamentalement de la lumi re mise par une lampe classique incoh rente Ceci permet de mieux comprendre les applications des lasers et en particulier celles qui sont pr sent es dans les compl ments de ce chapitre Le compl ment 3A rappelle les propri t s essentielles des cavit s de Fabry Perot qui ont t d abord un outil important en spectroscopie haute r solution avant d tre utilis es pour assurer la r injection du champ dans le milieu amplificateur d un laser Les d veloppements math matiques dans le corps de ce chapitre et du compl ment 3A sont pour l essentiel faits en supposant que les champs lectromagn tiques peuvent tre d crits par des ondes planes En fait les faisceaux lasers ont une distribution transversale non uniforme d in tensit Nous introduisons ce sujet dans le compl ment 3B et nous insistons plus particuli rement sur le mode transverse fondamental qui correspond une distributi
422. ptique pour un tour Lex est de l ordre de 2Lo o p est un entier Cette condition s exprime encore d apr s 3 9b sous la forme Leay p 3 15 ou puisque 2rc w wW c EN wi 3 16 27 PT La condition 3 15 exprime que la longueur optique de la cavit doit tre un multiple entier de la longueur d onde ce multiple tant en g n ral tr s grand de l ordre de 10 pour des cavit s typiquement de l ordre du m tre et des longueurs d onde voisines du micron Remarque La condition de stationnarit 3 10 n impose aucune contrainte sur la phase y du champ laser qui peut donc prendre n importe quelle valeur Le compl ment 3F montre que cette propri t permet le ph nom ne de diffusion de la phase lui m me responsable d une largeur spectrale finie souvent faible de l mission laser Il importe de bien noter la diff rence entre la phase absolue du champ qui n est pas d ter min e par la condition de stationnarit et la fr quence qui est la d riv e de la phase et qui est soumise la contrainte 3 16 d Fr quence d oscillation Le coefficient d amplification non satur GO exp g 0 LA est une fonction de la fr quence que l on peut souvent repr senter par une courbe en cloche pr sentant un maximum pour w wy Il varie g n ralement comme la section efficace laser voir par exemple la loi Lorentzienne 2 2 167 Si l on suppose que G 0 valu en w wy est plus gr
423. quations diff rentielles 00 d ihyi t w ye t e OU qe 1 75 40 CHAPITRE 1 PROBABILIT S DE TRANSITION Le syst me tant initialement dans l tat i on a y 0 0 et donc y t peut s crire t w gt 1 wO I dt yilt Jeth 1 76 En portant ce r sultat dans la premi re quation 1 75 et en utilisant l expression 1 73 de I on obtient l quation exacte suivante d rT f TON MEN gOS dyt XO eet AR 1 77 k Nous supposons toujours le continuum suffisamment serr pour que h T On peut alors remplacer la somme sur k entre crochets par l int grale suivante 00 a dE ePC OR 2 2rh t 1 78 Posons 7 t t On peut alors r crire l quation 1 77 sous la forme d 0 Lt T dre 7 1 79 L int grale figurant dans 1 79 vaut 7 t 2 puisque la fonction est paire et que pour tout t gt 0 dr r yi t T yi t dr r yilt 1 80 Le t L quation 1 79 est alors tr s simple et sa solution est yilt exp rt 2 1 81 On en d duit la probabilit P T y T P T exp IT 1 82 La probabilit de trouver le syst me dans l tat initial d cro t exponentiellement avec le temps et tend vers 0 aux temps tr s longs comme dans un processus de d sint gration radioactive En d autres termes 1 82 exprime qu un syst me pr par dans l tat i a une dur e de vie gale 1 Notons enfin qu aux temps courts l expr
424. que vers celui du bas La population totale est alors conserv e en l absence d alimentation ext rieure Cette situa tion se rencontre chaque fois que l on a un ensemble d atomes dans leur tat fondamental vapeur temp rature mod r e en interaction avec un rayonnement quasi r sonnant sur une transition connectant ce niveau fondamental un niveau excit qui peut se d sexci ter par mission spontan e dur e de vie radiative rz Un tel mod le rend galement bien compte de nombreuses propri t s optiques des di lectriques dans le visible lorsque les premi res transitions r sonnantes lectroniques sont des fr quences ultraviolettes de fr quences sup rieures w Il suffit dans ce cas de consid rer la limite w wo des r sultats obtenus A Ebt Ib ho NA Lsp 0 ATAJA i Eat la FIG 2 16 Syst me ferm deux niveaux Le champ lectromagn tique quasi r sonnant w voisin de w Ep E h couple les deux niveaux a et b qui ne sont pas aliment s de ext rieur Le niveau a est stable et le niveau b ne peut se d sexciter spontan ment que vers a Pour traiter ce probl me il faut utiliser les quations de Bloch optiques voir Compl ment 2B 2B 3 2 On trouve une susceptibilit ayant la m me forme que celle obtenue en 2 120 au remplacement pr s de Ip par Isp 2 et de Q par Q 2 voir Compl ment 2 4 ABSORPTION ENTRE DEUX NIVEAUX DE DUR E DE VIE FINIE 109 2B c
425. que w w o 3 et qui peut tre interpr t comme l absorption de trois photons d nergie hw 68 CHAPITRE 2 ATOMES EN INTERACTION AVEC UNE ONDE Dans le cas o le champ lectromagn tique incident comporte deux fr quences w1 et w2 les termes non lin aires font appara tre des combinaisons lin aires de ces deux fr quences et il existe des effets r sonnants lorsque Piwi pow wo 2 10 p et p tant des entiers ventuellement n gatifs On voit appara tre ici le domaine tr s riche de la spectroscopie non lin aire cf Compl ment 3E titre d exemple la figure 2 6 illustre l effet Raman stimul qui est r sonnant pour un champ incident comportant deux fr quences w et w2 telles que Wy W2 Wo 2 11 Ce processus donne lieu l att nuation du champ la fr quence w et l amplification de celui fr quence ws Il peut s interpr ter comme une transition de a vers b accompagn e de l absorption d un photon fw imm diatement suivie de l mission stimul e d un photon hws o ko Ept D Es FIG 2 6 Effet Raman stimul On peut avoir une transition de a vers b sous l effet des ondes de fr quences w et wa condition que wi w2 wo Si l atome est initialement dans l tat b le processus inverse peut se produire Remarque M me si l onde la fr quence w2 est absente un processus analogue celui de la Figure 2 6 peut se p
426. quences de Bohr co ncideraient il peut tre n cessaire de rajouter 2B 5b des termes couplant les coh rences associ es ces fr quences Ces termes de transfert de coh rence sont importants chaque fois qu une sym trie de l hamiltonien entra ne l galit exacte de plusieurs fr quences de Bohr Un exemple frappant est celui de l oscillateur harmonique o les transferts de co h rence sous l effet de la relaxation jouent un r le essentiel dans la dynamique 2B 1 3 Syst mes deux niveaux Beaucoup de situations physiques peuvent tre mod lis es par un syst me quantique deux niveaux Il est donc essentiel de savoir crire l effet de la relaxation dans un tel syst me Nous d crirons successivement le cas d un syst me ferm qui correspond une situation o le niveau d nergie le plus bas est le niveau fondamental stable et le cas d un syst me ouvert qui correspond une situation o les deux niveaux sont des niveaux excit s instables et qui d crit la plupart des transitions laser a Syst me ferm Consid rons un atome deux niveaux le niveau fondamental tant appel a et le niveau excit b Dans la cas o la seule cause de relaxation est l mission spontan e voir le chapitre 2 pour une pr sentation ph nom nologique les quations 2B 5a s crivent d 5o LspO bb 2B 6a d om Ispa 2B 6b o T33 est la dur e de vie radiative du niveau excit L quation 2
427. ques du probl me temps de relaxation atomique temps d amortissement de la cavit Dans le cas d un syst me trois niveaux un tel fonctionnement est tr s fr quent puisque le niveau inf rieur de la transition laser niveau a ne peut pas se vider vers un autre niveau Remarque Les syst mes quatre niveaux atteignent au contraire en g n ral un r gime de fonctionne ment stationnaire Cependant certains de ces lasers peuvent aussi pr senter des oscillations Une des raisons fondamentales l existence de ces oscillations est que le laser est un syst me non lin aire parce que les quations couplant les atomes au rayonnement dans la cavit sont des quations diff rentielles non lin aires Or il est connu que de telles quations peuvent 31Un ensemble d atomes deux niveaux poss de cette propri t voir chapitre 2 2 4 3 et peut donc tre utilis comme mod le l mentaire d absorbant saturable 3 4 LASERS EN IMPULSION 249 conduire des instabilit s voire un chaos d terministe Dans le cadre d un mod le simpli fi il est possible de montrer que ces instabilit s apparaissent lorsque le temps de relaxation de l nergie dans la cavit est inf rieur aux temps de relaxation atomique cette condition correspond ce qui est appel une mauvaise cavit Une mission laser relax e sous forme d un train d impulsions s par e par des inter valles de temps plus ou moins al atoir
428. qui interagissent avec l atome Nous admettrons que la dynamique de cet lectron est d termin e par l hamiltonien A 1 ILe cas ch ant on prend aussi en compte l volution du spin des particules qui est par d finition une variable quantique 72 CHAPITRE 2 ATOMES EN INTERACTION AVEC UNE ONDE o f est l op rateur position de l lectron tandis que p est l op rateur ihV notons que A f t et U f t sont des op rateurs en tant que fonctions d op rateurs Des justifica tions rigoureuses de cet hamiltonien bas es sur le formalisme lagrangien peuvent tre trouv es dans des ouvrages plus avanc s Ici nous nous contenterons de prouver que cet hamiltonien est plausible en montrant qu il conduit aux quations classiques du mou vement rappel es au 2 2 1 lorsque l on s int resse l volution des valeurs moyennes quantiques des op rateurs position et vitesse b Op rateur vitesse Pour justifier l emploi de l hamiltonien 2 17 nous allons tablir les quations d vo lution des valeurs moyennes de la position et de la vitesse de l lectron atomique en utilisant le th or me d Ehrenfest Nous devons donc d abord pr ciser quel est l op rateur qui repr sente la vitesse lorsqu on utilise l hamiltonien 2 17 A priori la valeur moyenne de cet op rateur doit tre telle que d v f 2 1 gt 0 E 2 18 Or d apr s le th or me qd Ehrenfest des
429. r o t 3D 3 2Cette expression n est valable que si f est plus grand que la longueur de Rayleigh rw X du faisceau initial Pour les formules exactes de focalisation d un faisceau Gaussien voir par exemple A Siegman Gaussien voir par exemple A Siegman Lasers p 675 Oxford University Press 1986 3D 1 LES ATOUTS DU LASER 293 dans lequel r caract rise la d pendance spatiale du front d onde r k r pour une onde plane par exemple Pour une source lumineuse quelconque la phase y t varie de mani re al atoire et ne reste constante que sur un temps 7 caract ristique de la coh rence temporelle de la source qui a pour ordre de grandeur l inverse de la largeur spectrale du rayonnement Pour des sources lumineuses classiques ce temps 7 est tr s court Pour les lasers il peut atteindre la microseconde ou plus Les trains d onde issus d un laser peuvent ainsi avoir une longueur de coh rence tr s sup rieure au kilom tre En cons quence il va tre extr mement facile avec des lasers d observer des ph nom nes d optique ondulatoire interf rences ou figures de diffraction m me sur de grandes surfaces ou avec de grandes diff rences de marche On reconnait ais ment un faisceau laser aux granulations tavelures que l on observe lorsqu il claire une surface quelconque et qui ne sont autres que la figure d interf rence entre les diff rents rayons diffus s par les irr gularit s de la surfac
430. r action de d marrer 18Ce nom provient d une abr viation de l anglais excited dimers Les lasers exciplexes dont l origine est l anglais excited complex sont tr s voisins des lasers exim res 3 2 DESCRIPTION DES MILIEUX AMPLIFICATEURS 229 Etat lectronique excit Ro SUR Es N i AN _ _zZ Niveaux li s Ja 77 Transition laser Etat lectronique fondamental FIG 3 13 Sch ma des niveaux d nergie pour un laser excim re On repr sente l nergie d interaction entre les deux atomes de l excim re en fonction de leur distance r et cela pour deux niveaux d excitation lectronique Dans le niveau sup rieur le potentiel d interaction pr sente un minimum dans lequel des niveaux li s de vibration rotation peuvent tre trouv s Une d charge dans un m lange contenant un gaz rare et un halog ne par exemple Ar et F conduit la cr ation de mol cules ArF stables dans l tat excit Le niveau sup rieur de la transition est ainsi un tat li de ArF Le niveau inf rieur de la transition est un niveau o la mol cule se dissocie spontan ment en ses deux l ments Ar et F 3 2 3 Lasers semi conducteurs Il s agit des lasers de tr s loin les moins chers et les plus r pandus en 1995 Leur do maine spectral se situe essentiellement dans le rouge et l infrarouge Chaque lecteur de disque compact en contient plusieurs mission vers 0 8um et les t l
431. r alis avec une pr cision de 0 2um ce qui exclut tout dispositif m canique passif m me de grande pr cision On utilise donc un syst me lectronique actif qui gr ce des miroirs mont s sur des lectroaimants asservit les trois coordonn es du point de focalisation du laser En ce qui concerne la distance syst me optique surface du disque on utilise une lentille cylindrique qui rend le syst me astigmatique c est dire que la forme de la tache focale n est pas circulaire et varie tr s rapidement en fonction de cette distance La lumi re r fl chie est alors collect e par un photod tecteur quadrants analogue celui d crit dans le paragraphe 3D 2 1 qui est sensible cette variation de forme et fournit le signal d erreur n cessaire l asservissement L asservissement radial sur le sillon gt du disque est souvent 3D 4 LE LASER PORTEUR D INFORMATION 309 assur gr ce l adjonction de deux pinceaux de lumi re lat raux La mesure diff rentielle des signaux r trodiffus s partir de ces derniers fournit le signal d erreur permettant de centrer le pinceau principal avec la pr cision requise Quant au positionnement tangentiel il est obtenu par asservissement de la vitesse de rotation du disque sur les tops de synchronisation du signal enregistr s sur le disque C est donc la vitesse lin aire de d filement et non la vitesse angulaire de rotation du disque qui est maintenue constante et g
432. r gles de s lection les C sont en fait des carr s de coefficients de Clebsch Gordan On les a repr sent s sur la figure 2A 12 1 1 2 2 1 1 TR a EX 2 Y 2 X 2 1 ne JEN 3 j 1 a 4 A rA PES ue Var 6 7 FIG 2A 12 Repr sentation des forces relatives des diverses transitions entre sous niveaux Zeeman pour deux niveau Ja 1 e J 2 voir 2A 44 Chaque coefficient l donne le taux de d sexcitation spontan e du sous niveau su p rieur j vers le sous niveau inf rieur i Dans le cas particulier d une transition Ja Je Ja 1 consid r ici les sous niveaux sup rieurs extr mes m 2 ne peuvent se d sexciter que vers un seul sous niveau inf rieur cause des r gles de s lection A 36 En revanche un sous niveau tel que m 0 peut se d sexciter soit vers Ma 0 transition T avec une probabilit 2 3 soit vers Ma 1 transitions o4 avec une probabilit 1 6 Dans ce cas le taux de d sexcitation du sous niveau j est la somme de tous les taux de d sexcitation T j On peut alors v rifier sur 2A 44 que 3 Ty Top 2A 45 1 3 ce qui montre que tous les sous niveaux d un m me niveau excit ont la m me dur e de vie radiative Les coefficients T permettent galement de calculer les taux de d part de chaque sous niveau fondamental sous l effet d une onde quasi r sonnant
433. r l utilisateur des pertes suppl mentaires dues l absorption ou la diffusion l int rieur de la cavit et sur les miroirs Nous repr senterons globalement ces pertes suppl mentaires par un coefficient d absorption A La condition 3 4 est alors remplac e par Cons 214 CHAPITRE 3 LES LASERS ou encore 1 GO gt A 0 A 3 5 Cette quation constitue la condition de d marrage au seuil Elle s crit encore dans la limite A T 1 limite rencontr e fr quemment en pratique G O 1 gt T A 3 6 Cette in galit signifie que le gain non satur de l amplificateur G 1 doit tre sup rieur aux pertes totale pour que l oscillation laser d marre Il est important de noter que dans un tel syst me il n y a pas de champ incident sur la cavit L oscillation s amorce partir du bruit lectromagn tique celui ci tant g n ralement d l amission spontan e dans l amplificateur 3 1 2 R gime stationnaire Intensit et fr quence de l onde laser a Stationnarit du champ La puissance lumineuse circulant dans la cavit ne peut pas augmenter ind finiment chaque tour de cavit En effet le gain est presque toujours une fonction d croissante de l intensit 1 de londe lumineuse circulant dans la cavit cause des effets de saturation se produisant haute intensit voir le paragraphe 2 5 7 Il s ensuit que G est plus petit que GO G T lt G 3 7 Un r gi
434. r profit de l absorption s lective en longueur d onde de cer taines substances Des recherches sont actuellement en cours sur l utilisation de plusieurs mol cules et en particulier des d riv s de l h matoporphyrine Ces mol cules pr sentent la particularit de se fixer pr f rentiellement dans les cellules canc reuses et ath roma teuses Si l on irradie les tissus par un faisceau laser de longueur d onde correspondant un pic d absorption de cette mol cule 635 nm on la d compose en produisant in situ un poison qui tue uniquement la cellule malade Cette technique a priori tr s s duisante pr sente neanmoins des inconv nients importants l ingestion de ce produit provoque une photosensibilisation globale du malade et la faiblesse de la profondeur de p n tration du rayonnement lumineux limite le volume de cellules malades d truites Le bilan de l utilisation des lasers en m decine et en chirurgie doit pour l instant tre relativement nuanc Apr s une phase de tr s forte expansion le d but de la d cennie 90 a vu une stabilisation parfois une r gression de l emploi des lasers Si pour certaines indications en ophtalmologie par exemple l utilisation des lasers semble d sormais in contournable dans d autres cas le laser a t v cu comme une mode parfois discutable utilisation du soft laser source laser continue de quelques mW pour soigner les processus inflammatoires des sportif
435. raitement semi classique pr sent dans le chapitre 2 de ce cours tandis que l tape 2 le traitement compl tement quantique de l atome et du rayonnement ne sera vue que dans le cadre du cours d Optique Quantique 2 Ce traitement classique de la mati re semble a priori peu adapt pour d crire le cas o la charge mobile est un lectron l int rieur d un atome syst me li microscopique dans lequel l aspect quantique est d terminant Nous montrerons cependant dans ce compl ment que si l on prend comme fr quence propre de l lectron lastiquement li la fr quence de Bohr atomique wo Ep E h les r sultats du mod le de l lectron lastiquement li sont en accord avec les r sultats quantiques que l on obtient pour le syst me deux niveaux a et b en interaction avec un champ lectromagn tique classique de fr quence w mod le d velopp dans ce chapitre dans le cas o le champ lectromagn tique est assez faible pour que le ph nom ne de saturation soit n gligeable r gime lin aire On justifie ainsi que de tr s nombreuses propri t s de la propagation des ondes lectromagn tiques dans les di lectriques se d crivent tr s bien en repr sentant le di lectrique par un ensemble d lectrons lastiquement li s le mod le de 170 COMPL MENT 2C Sellmeier de l indice de r fraction repose sur cette approche De plus un certain nombre de propri t s du rayonnement mis p
436. ration sinus d a ous die Gun 4 313 3D 5 4 Int r t de la m thode uses aaa aa ee avbigt Marbr 315 Compl ment 3E Spectroscopie non lin aire 317 3E 1 Largeur homog ne et inhomog ne 317 3E 2 Spectroscopie d absorption satur e 319 3E 2 1 Trous dans une distribution de population 319 3E 2 2 Absorption satur e dans un gaz 321 3E 3 Spectroscopie d absorption deux photons 329 3E 3 1 Transition deux photons 206 0 A domi ts An 4e te 329 3E 3 2 limination de l largissement Doppler 325 3E 3 3 Propri t s de la spectroscopie deux photons sans largissement Popper rs ses era Rhone nas aA 328 3E 4 Spectroscopie de l atome d hydrog ne 329 3E 4 1 Le r le de l atome d hydrog ne 329 3E 4 2 D atome d hydrog ne 2 6 4 fra de as th anal te die Et dE 330 3E 4 3 Mesure de la constante de Rydberg 331 Compl ment 3F Largeur spectrale des lasers formule de Schawlow Townes 335 Compl ment 3G Diff rence entre lumi re laser et lumi re incoh rente densit d nergie nombre de photons par mode 341 3G 1 Conservation de la luminance oaoa aaa Ek DNS SaNhEtr s 341 3G 1 1 tendue g om trique luminance 341 3G 1 2 Conservation de la luminance oaa a a a a a a a a aa 343 14 TABLE DES MATI RES 3G 2
437. re de fusion de l uranium pour que les isotopes ainsi d pos s puissent s couler 3D 5 4 Int r t de la m thode La technique classique de s paration par diffusion gazeuse pr sente quelques d savan tages elle est ch re 10 du prix du kWh et grande consommatrice d nergie il faut fournir 02 x 105 eV pour chaque atome d uranium 238 s par soit 3 5 de l nergie ult rieurement produite Dans la S paration Isotopique par Laser sur Vapeur Atomique proc d SILVA il ne faut en principe fournir que l nergie d ionisation soit 6 eV pour s parer un atome d Uranium 238 En pratique si l on tient compte du rendement du laser de l efficacit du processus d ionisation et de l efficacit de collection le bilan s l ve 5 x 10 eV par atome ce qui donne un avantage la technique laser Les tudes de laboratoire relatives cette technique ont permis de d montrer sa faisabilit Le passage l chelle industrielle n cessite de progresser dans la r solution des probl mes de fiabilit et de maintenance des dispositifs lasers ainsi que dans des probl mes plus fondamentaux li s la propagation des faisceaux en milieux absorbants inhomog nes Pour plus de d tails sur ce sujet voir par exemple M Clerc P Rigny et O de Witte S paration isotopique par laser dans Le laser Principes et techniques d application p 201 dit par H Mallet Technique et documentation Lavoi
438. re un bilan nerg tique c Cas g n ral On peut g n raliser les calculs ci dessus dans le cas non perturbatif et lorsque les deux niveaux sont aliment s En utilisant l expression 2 148 de la susceptibilit on trouve que la puissance gagn e par le rayonnement dans la tranche dz pour un faisceau de section A vaut Ap Aal 1 d dz 2 157 9 4 V 21 s s En utilisant l expression 2 146b de la population N on peut crire Ap Aa 1 Tp Ne 2 158 b D IVe 5 IFs Or le premier membre ci dessus n est autre que le nombre d atomes qui chaque seconde sont pass de b a puisqu il s agit de la diff rence entre le taux entrant A et le taux de disparition lp N dans l tat b En multipliant ce nombre par w on obtient la puissance c d e par les atomes au rayonnement et l quation 2 157 repr sente bien le bilan d nergie chang e entre atomes et rayonnement dans le volume A dz 2 5 6 quations cin tiques pour les atomes Nous avons vu au paragraphe pr c dent que l absorption ou l amplification de l onde peuvent se comprendre en faisant le bilan des changes d nergie entre les atomes et 2 5 AMPLIFICATION LASER 117 le rayonnement la puissance gagn e par le rayonnement r sulte de la diff rence entre l nergie apport e par les processus d mission induite et celle pr lev e par les processus d absorption Nous allons voir ici de fa on
439. ression Il faut aussi veiller l uniformit de l clairement afin d viter l apparition d instabilit s hydrodynamiques pour cela on utilise un grand nombre de faisccaux convergents tr s bien quilibr s D autres sch mas sont aussi envisag s o les phases de compression et d allumage seraient d coupl es Les lasers ayant la fois les performances requises en nergie dur e d impulsion en taux de r p tition et en rendement ne sont pr ts ni technologiquement ni surtout co nomiquement De gros efforts sont engag s pour atteindre ce but Les concepts physiques et les techniques du proc d ont t tudi s l aide d normes installations comme Nova Livermore aux USA Gekko XII Osaka au Japon et Ph bus Limeil en France mais aussi gr ce des installations plus petites du type LULI l cole Polytechnique Tous sont insuffisants pour permettre l inflammation de la cible Les syst mes laser les plus im portants ont la taille d un immeuble Ils utilisent un laser au N odyme 1 06 um dont le faisceau de sortie est subdivis en plusieurs sous faisceaux 10 dans le cas de Nova Ceux ci sont ensuite amplifi s par toute une s rie de disques de verre au N odyme de section croissante pomp s par des batteries de lampes flash de grande puissance Des cristaux de KDP de grandes dimensions produisent par effet d optique non lin aire voir compl ment 3G 8 2 1 les harmoniques 2 ou 3 do
440. retrouverons dans le paragraphe consacr au gyrolaser un sch ma de d tection analogue pour d terminer des vitesses angulaires et non plus lin aires 300 COMPL MENT 3D 3D 2 4 Contr le non destructif F1G 3D 9 Mesure de d formation par holographie on observe travers l hologramme H l interf rence entre l objet O d form et l enregistrement holographique du m me objet non d form Outre les positions et les vitesses la mesure de la lumi re diffus e par un objet illumin par un laser permet de remonter un grand nombre de param tres int ressants et cela de mani re non destructive et non perturbatrice de l objet Ce type de mesure est utilis sur un grand nombre de cha nes de fabrication papeteries sid rurgie pour contr ler en ligne la qualit de fabrication Citons par exemple le contr le de l tat de surface par inspection de la lumi re diffus e ou diffract e la d termination de la dimension de grains granulom trie par analyse de la figure de diffraction Il est aussi possible de mettre en vidence en temps r el des d formations ou des contraintes par interf rom trie holographique le proc d est sch matis sur la figure 3D 9 On enregistre l hologramme H d un objet O hors contraintes On reproduit ensuite exac tement le montage qui a permis cet enregistrement faisceau laser objet hologramme Toute d formation de l objet O donne alors naissance u
441. rgie donn e dans un l ment d angle solide dQ autour d une direction d termi n e 192 COMPL MENT 2D Remarque Si au lieu de caract riser l l ment d angle solide par sa mesure dQ on utilisait les l ments serait obtenue en multipliant d angle d0 et dy la densit d tats correspondante DT l expression 2D 10 de la densit d tats par sin 0 2D 1 3 Hamiltonien d interaction L atome est irradi par une onde lectromagn tique d crite en jauge de Coulomb par les potentiels A r t E4 cos wt kr oi 2D 11 L interaction entre l atome et le champ sera d crite l ordre le plus bas par l hamiltonien cf quation 2 40d du chapitre 2 A n Lp A i t 2D 12 m q tant la charge de l lectron Notons que nous ne faisons pas l approximation des grandes longueurs d onde Notre traitement sera donc valable pour des rayons X dont la longueur d onde n est pas grande devant les dimensions atomiques Il s appliquera galement la photoionisation partir d tats atomiques tr s excit s dont les dimensions sont beaucoup plus grandes que les dimensions atomiques habituelles Nous allons chercher calculer l l ment de matrice e Hy1 g responsable des transi tions entre l tat li g et un tat ionis Je el nlg el A 19 q iwt Im 0 elp ee Te 7 2D 13 l9 gp 40e elp Ee Ig ik f Notons
442. riantes Il permet notamment de d terminer la dur e de vie des tats excit s puisque la mesure du taux de polarisation de la lumi re de fluorescence est reli e wp lp et que la pulsation de Larmor wg est connue en fonction du champ magn tique appliqu Remarque Au del de sa simplicit technique elle permet de d terminer des dur es de vie de quelques dizaines de nanosecondes sans aucun appareil de d tection rapide cette m thode de mesure de Psp a l avantage d tre insensible l effet Doppler li au mouvement des atomes et de donner ainsi acc s la largeur naturelle de la raie Il s agit d un avantage d cisif sur les m thodes de spectroscopie ordinaires dont la r solution ultime est limit e par l largissement Doppler des raies atomiques 2A 2 3 Double r sonance Dans cette m thode sophistiqu e invent e par J Brossel et F Bitter en 1949 on reprend le sch ma de la Figure 2A 5 et on applique en plus un champ magn tique statique Bo suivant Oz La d g n rescence entre les sous niveaux excit s est lev e par effet Zeeman puisqu on doit rajouter l hamiltonien un terme Fee GB T 2A 39a 2m Ce terme est diagonal dans la base J 1 my 1 0 1 et il provoque donc un d placement des sous niveaux Zeeman excit s AEn MA 2A 39b wp tant la pulsation de Larmor 2A 38b La situation est repr sent e sur la figure 2A 8 Si on claire les atomes par de la lumi re polaris e lin air
443. rique la sortie d un tel laser est gal E t gt Eo cos wyt pk 3 35 k 0 o N est le nombre de modes oscillants et les w sont des variables al atoires incorr l es Nous avons suppos pour simplifier que tous les modes ont m me amplitude La fr quence w de chaque mode est de la forme Wk wo kA 3 36 o A 27r c Lea intervalle entre modes voir 3 3 2c et wo est la fr quence du mode k 0 L intensit lumineuse moyenn e sur un temps long devant la p riode optique mais court devant 1 NA ce qui est en pratique le signal auquel on peut avoir acc s avec les photod tecteurs les plus rapides dont le temps de r ponse est sup rieur 10 ps est gale NE T I t Eg gt cosf w wjt 45 pr 3 37 j gt k C est la somme d une intensit moyenne NE T 3 38 2 et de fluctuation dont l cart type AT y I t T pour des variables al atoires incor r l es 44 est calculable partir de 3 37 et est gale dans la limite N gt 1 Al T 3 39 La variation de l intensit d un laser multimode en fonction du temps pr sente donc des fluctuations importantes de l ordre de T comme le sch matise la figure 3 23 Quelle est l origine physique des pics d intensit observ s sur la figure 3 23 Ceux ci r sultent du fait qu certains instants plusieurs modes du champ de la somme 3 35 in terf rent constructivement Il est cla
444. ristiques les plus fines du rayonnement diffus par un atome soumis un champ incident quelconque Les quations de Bloch optiques se g n ralisent naturellement aux syst mes compor tant plus de deux niveaux Mais elles conduisent souvent des syst mes d quations inextricables d s que l on doit consid rer plus de trois niveaux atomiques Il faut alors revenir des m thodes approch es plus simples faible intensit la m thode des pertur bations donne la r ponse lin aire forte intensit on peut avoir recours des quations de pompage Chapitre 2 2 5 6 et compl ment 2A qui d crivent correctement les ph nom nes non lin aires tels que la saturation mais qui prennent tr s mal en compte les ph nom nes li s aux coh rences En fait l emploi de telle ou telle approximation se fait souvent de fa on heuristique en s appuyant sur l exp rience acquise en appliquant les quations de Bloch optiques aux syst mes deux et trois niveaux 13CDG 2 Chapitre V Notons que dans ce cas la d termination des termes de relaxation est loin d tre vidente Il existe par exemple des transferts de coh rence par mission spontan e entre sous niveaux excit s et sous niveaux fondamentaux Les r gles qui gouvernent ces transferts ont une tr s grande importance dans de nombreux ph nom nes Elles ont t tablies et explicit es dans C Cohen Tannoudji Th se Annales de Physique Paris 7 423
445. rmalisme de ce chapitre o la lumi re n est pas quantifi e Comme on l a montr au chapitre 1 et comme nous le reverrons au paragraphe 2 3 cette condition de r sonance provient de l application de la th orie des perturbations au cas d une interaction modul e sinuso dalement Nous nous permettrons n anmoins d utiliser ce type d image quand nous le jugerons utile la compr hension des ph nom nes Remarques i Le mod le de l atome deux niveaux pourrait sembler sans int r t lorsque plusieurs niveaux atomiques sont d g n r s en nergie la condition de r sonance n est alors plus suf fisante pour isoler deux niveaux particuliers En fait si on utilise de la lumi re polaris e le rayonnement n interagit qu avec certains sous niveaux r gles de s lection cf Compl ment 1A La port e du mod le est donc beaucoup plus grande qu on ne pourrait le penser a priori ii C est pour simplifier les notations que nous avons consid r un atome l origine des coordonn es mais cette hypoth se n a rien d essentiel Il est facile et parfois n cessaire d introduire dans le formalisme la position ro du centre de masse Par exemple dans le cas d un atome en mouvement uniforme dans une onde progressive on introduit explicitement une position To Vatt d pendant du temps et le champ lectrique sur l atome s crit E Eo cos wt k ro Eo cos w k vat t 2 3 On constate que la fr
446. roduire un photon hw est absorb dans londe incidente et un photon w est mis spontan ment avec une phase et une direction quelconques Ce ph nom ne s appelle diffusion Raman spontan e Il ne peut tre d crit quantitativement que dans le cadre d une th orie quantique du rayonnement 2 2 HAMILTONIEN D INTERACTION 69 2 2 Hamiltonien d interaction Nous allons mettre en place dans cette partie le formalisme permettant de d crire l interaction entre un champ lectromagn tique classique et un atome trait comme un objet quantique L l ment central du formalisme est l hamiltonien d interaction dont les l ments de matrice non diagonaux entre deux tats atomiques sont responsables des transitions entre ces deux tats Contrairement ce que l on pourrait penser a priori cet hamiltonien n est pas d termin de fa on univoque Il s exprime en effet en fonction des potentiels lectromagn tiques et on peut par des transformations de jauge en donner plusieurs formes quivalentes Cette libert au niveau du choix de la jauge et donc de l ha miltonien d interaction ne remet videmment pas en cause l unicit des pr dictions physiques Il est donc possible de choisir la jauge qui conduit l hamiltonien d interac tion le plus commode pour l tude du processus physique consid r En particulier nous montrerons que la transformation de Goppert Mayer permet au prix d approximations que nous
447. rtu de la conservation de la luminance la formule 3G 10 reste vraie m me si le pinceau lumineux est pass travers un instrument parfait Lorsqu on int gre cette formule les bornes de l int grale font appara tre l angle sous lequel est vue la pupille de sortie de l instrument L clairement d pend donc uni quement de l ouverture de l instrument et il est d autant plus grand que cette ouverture est grande sans pouvoir d passer la valeur limite 3G 11 2A Kastler Thermodynamique Masson 1968 160 3Ref 3G 2 CLAIREMENT MAXIMAL D UNE SURFACE 345 Ainsi quel que soit l instrument utilis la luminance fixe l ordre de grandeur de l clai rement maximal que l on peut obtenir partir d une source donn e c est dire en d fi nitive le champ lectrique maximal ce qui est la quantit importante pour l interaction atome rayonnement Remarques i Avec des syst mes miroirs elliptiques ou paraboliques on peut clairer le point M sous un angle solide sup rieur 27 Dans ce cas la limite 3G 11 doit tre multipli e par 2 ii Les consid rations ci dessus permettent de comprendre comment on peut avec une loupe qui concentre la lumi re du soleil enflammer des brindilles on augmente le diam tre apparent qui passe de 2a moins de 107 radians 2u qui peut atteindre ais ment 60 soit 1 radian Figure 3G 2 L clairement est alors au facteur cos 0 pr s mul
448. s aoaaa ASS de MA a D 3D 1 2 Propri t s spectrales et temporelles 253 253 255 257 258 259 261 263 264 266 267 272 275 276 277 278 279 279 281 281 282 282 282 284 286 TABLE DES MATI RES 13 3D 1 3 Manipulation du faisceau 2 4e is des aires A 294 DL CONCIS oN e spas Lars ane E e u dia 294 3D 2 Mesures par laser oaoa aaa E MANIERE Lis eus K 295 3D 2 1 Mesure de position oa aaa a d nedgiae des 295 3D 2 2 Mesure de distances a ao a a a ti da te Are des es 295 3D 2 3 Mesure de vitesses 2 44 44 3 AU Tu RAS ana Au 298 3D 2 4 Contr le non destructif 4 ut ne RS dede BUS De du r 300 3D 2 5 Analyse chimique Los pen PNR EN Sa D ed 301 3D 3 Le gyroscope laser ou gyrolaser gt 301 SDL Effet SAGE De AR AN 2 SAN see MP ail 301 AD L Si TOI s est nn Te ape ce Doha ne salue 303 3D 4 Le laser porteur d information Les na ME ah te EU NNE AURA 305 3D 4 1 Lecture et reproduction 5 2 au em tan den M de as SU ae dan dd 306 3D 4 2 M moires optiques amp LS 2 62 Days 2 nu RMS s ARN 307 3D 4 3 T l communications ri 5 el amas nn nus at dE EE d ha 309 3D 4 4 Vers l ordinateur optique 311 3D 5 S paration isotopique par laser 311 3D 5 1 Effets isotopiques sur les niveaux atomiques 312 3D 5 2 Specirerde UPS coi dee u ee re a an ae E GA a A 313 3D 5 3 M thode de s pa
449. s 9 8 Wiley 216 CHAPITRE 3 LES LASERS ou bien 1 ou 3 12 L intensit du champ circulant dans la cavit s ajuste une valeur telle que le gain de l amplificateur compense exactement les pertes de la cavit Notons que l qua tion 3 12 d termine l intensit du champ circulant dans la cavit puisque G est une fonction de l intensit Remarques i Le gain de l amplificateur r sulte de la diff rence entre l mission stimul e partir du niveau sup rieur et de l absorption partir du niveau inf rieur de la transition amplifiante Dans les formules 3 5 3 6 ou 3 12 tout comme dans les formules donnant le coefficient d amplification dans le chapitre 2 et le compl ment 2B les pertes dues l absorption dans le milieu amplificateur sont incluses dans la valeur du gain plus pr cis ment elles sont res ponsables du terme de saturation inf rieur 1 ii Dans la cavit en anneau de la figure 3 1 on a consid r que la lumi re tourne dans la cavit selon une certaine direction Ms MM2 dans le cas de la figure 3 1 La propagation dans l autre sens de rotation est galement possible Pour viter une comp tition entre les deux sens de rotation on ajoute g n ralement dans la cavit un l ment non r ciproque introduisant des pertes diff rentes selon le sens de rotation Le seuil est ainsi plus bas pour un sens de rotation qui se trouve favoris ii On peut co
450. s bandes d nergie lev es d o ils retombent vers le niveau sup rieur de la transition laser par un processus de relaxation rapidel L mission laser se produit essentiellement sur la transition 1 06um dans l infrarouge d autres transitions sont susceptibles de donner lieu un effet laser mais l mission tant moins intense elles sont moins utilis es En fonctionnement impulsionnel les nergies obtenues peuvent atteindre quelques Joules pour des impulsions de l ordre de 1 ps ou 1 ns En fonctionnement continu on obtient des puissances qui peuvent d passer 100 W Pour de nombreuses applications on place un cristal non lin aire la sortie du laser de fa on obtenir un faisceau coh rent dans le vert 532 nm deuxi me harmonique ou dans l ultraviolet 355 nm troisi me harmonique Les lasers n odyme sont tr s efficaces le rendement est de l ordre de 1 pour un pompage par lampe et peut atteindre 50 pour un pompage par laser semiconducteur et ils ont une gamme tr s vaste d applications En raison de leur tr s forte puissance en impulsion ils sont utilis s pomp s par des lampes flash dans des exp riences visant r aliser la fusion thermonucl aire voir Compl ment 3C 3C 5 Ils servent souvent aussi de pompes pour les lasers accordables voir paragraphe d ci dessous Les lasers n odyme sont aussi utilis s en r gime continu On peut utiliser un pompage par lampe arc ou
451. s l interf rom tre l instant 0 au point C symbolisant la lame s paratrice de la figure 3D 10 Il se s pare en deux parties lune 1 tournant dans le sens direct l autre 2 dans le sens r trograde Au bout d un tour ces faisceaux sortent en des points respectivement appel s C et C diff rents pour l obser vateur immobile puisque l anneau et donc la lame s paratrice a tourn pendant le temps de propagation Si R est le rayon du cercle on peut exprimer de deux mani res diff rentes les temps de r volution t et t2 des deux faisceaux avant leur sortie de l interf rom tre 3D 12 t 2rR CC c CC RQ t 2rR CC Je CC RQ En liminant les valeurs des arcs de cercle CC et COC entre ces relations on obtient la diff rence t2 t t des temps de propagation des deux faisceaux 1 et 2 mesur e dans le rep re d inertie t 4r R Q e _ R9 3D 13 3D 3 LE GYROSCOPE LASER O GYROLASER 303 FIG 3D 11 Lors de la rotation vitesse Q de l interf rom tre la lumi re est r fl chie par la lame s paratrice en des points C et C diff rents selon que la lumi re et l interf rom tre tournent dans le m me sens ou dans des sens oppos s l approximation non relativiste les intervalles de temps sont les m mes pour le r f rentiel en rotation et le r f rentiel fixe il faut remarquer que la mesure se fait g n ralement dans le r
452. s la suite on obtient Te Dire Dre TEo r3 cr gt Ur r t 2C 10 expression dans laquelle le dernier terme est pr dominant compte tenu de l hypoth se ii Remarque Le passage de 2C 6a 2C 6b n est valable que parce que la vitesse de l lectron reste petite devant celle de la lumi re compte tenu de l hypoth se ii Dans le cas relativiste le champ d une charge en mouvement serait donn par les potentiels de Lienard et Wiechert voir par exemple Feynman Leighton Sands Lectures in Physics Vol 2 Chapitre 21 21 5 b Champ rayonn grande distance par une charge acc l r e Le champ magn tique s obtient ais ment en prenant le rotationnel de Az quation 2C 7 et en utilisant les r sultats interm diaires 1 r 1 K V x D t r c r x Dft r c 2C 11b re On trouve r Dt r c D t r c B M 2C 12 rt ATE C2 r3 T cr CS expression dont on ne gardera que le dernier terme en vertu de l hypoth se ii 1 D t r c B A 2C 12 r t EE 3 xr 2C 12b Le champ lectrique s obtient partir de OA Bane Leyo 2C 13 2C 3 DIP LE OSCILLANT SINUSO DALEMENT POLARISATION 173 Le calcul g n ral est fastidieux grande distance on se limite aux termes de degr le plus bas en 1 r ce qui donne 1 D t r o pi D o E r t TEo C r r3 gt 2C 14 1 THERE X Ir x D r c En comparant cette expression du champ lec
453. s le solide mais vibrent sous l effet de l agitation thermique avec une amplitude petite devant la longueur d onde optique Ce mouvement n entra ne pas d largissement Doppler effet Lamb Dicke voir par exemple CDG 2 ex II 4Orrit et al 3E 2 SPECTROSCOPIE D ABSORPTION SATUR E 319 champ lectromagn tique quantifi Il existe d autres causes d largissement homog ne Par exemple on peut montrer que l largissement d une transition due aux collisions que subit un atome dans un gaz est un largissement homog ne c est dire qu il est le m me pour tous les atomes Comme pour l mission spontan e cet largissement est associ un profil Lorentzien 3E 2 Spectroscopie d absorption satur e Peu de temps apr s l av nement des lasers est apparue la premi re m thode de spec troscopie sub Doppler c est dire permettant de r soudre des structures inf rieures la largeur inhomog ne Cette m thode appel e absorption satur e a r volutionn la spectroscopie et elle est tr s largement utilis e l heure actuelle Nous en expliquons le principe dans les paragraphes suivants 3E 2 1 Trous dans une distribution de population Consid rons des ions dans un r seau cristallin cause des inhomog n it s du champ lectrique dans le cristal la diff rence d nergie entre le niveau excit et le niveau fonda mental de lion d pend du site o se trouve lion Il est po
454. s logiques De plus le gain en temps de commutation donc en vitesse de calcul n est pas consid rable par rapport aux composants purement lectroniques les plus performants L ordinateur purement optique aura donc du mal s imposer court terme Par contre les interconnexions optiques dans l ordinateur semblent une voie prometteuse 3D 5 S paration isotopique par laser En raison de sa grande monochromaticit le laser apporte une solution l gante au probl me de la s paration isotopique essentiellement celle de Uranium 235 et de l Ura nium 238 Pour comprendre cette technologie il faut tout d abord expliquer comment 312 COMPL MENT 3D la nature isotopique d un noyau influe sur la position des raies spectrales de l l ment correspondant 3D 5 1 Effets isotopiques sur les niveaux atomiques Ils ont trois origines diff rentes que nous allons d crire successivement a Effet de masse Consid rons tout d abord le cas simple de l atome d hydrog ne comportant un noyau de masse M et un lectron de masse m Le probl me est trait dans la plupart des ouvrages de M canique Quantique Les niveaux d nergie s expriment en fonction de la constante de Rydberg Ry donn e par 4 Hq Ru gt 3D 17 M 32mh l o u est la masse r duite d finie par Mm 3D 18 vante Lorsqu on passe d un isotope un autre la masse M varie Il en r sulte une variation de la constante de Rydberg et d
455. s par exemple Cette pause probablement salutaire devrait permettre de mieux d finir les sources n cessaires de fa on adapter les lasers la m decine plut t que de suivre la strat gie inverse plus long terme il ne fait gu re de doutes que la miniaturisation des sources lasers l augmentation de leur fiabilit la possibilit de d livrer des impulsions dont la forme spatiale et temporelle et l intensit peuvent tre programm es tout comme les progr s dans le domaine des fibres optiques conduiront de nouveaux d veloppements positifs Anticipant quelque peu sur le compl ment suivant il nous faut signaler enfin que le champ des applications du laser en m decine comprend le traitement mais aussi le diag nostic des maladies contr le de l coulement sanguin par v locim trie Doppler 3C 2 3 dosage de prot ines dans le sang ou bien d termination de la dimension de cellules par diffractom trie 8 3C 4 Application militaires Dans les dessins anim s les films de science fiction et dans l inconscient collectif l image commun ment associ e au laser est celle de rayon de la mort Cet aspect des applications du laser n a pas chapp aux militaires L arme laser pr sente en effet de grands avantages potentiels le faisceau tant dirig l aide de miroirs l inertie du sys TLa photoablation tant faite avec des lasers UV il faut toutefois s assurer qu ils n induisent pas
456. s partirons d quations apparemment tr s simples mais qui comportent des termes non lin aires l origine d une tr s grande vari t de ph nom nes importants comp tition entre modes impulsions de relaxation d clenchement passif par absorbant saturable L int r t de ces ph nom nes va bien au del de la physique des lasers car on ne saurait surestimer l importance des effets non lin aires dans la physique moderne et plus g n ralement dans toute la science et la technique Dans ce domaine le laser nous offre des exemples concrets relativement faciles mod liser et tudier exp rimentalement permettant de se familiariser avec les ph nom nes non lin aires La lumi re laser est en g n ral extraordinairement plus monochromatique que celle fournie par les sources traditionnelles Pourtant on ne peut se borner la d crire par une onde monochromatique id ale Ce probl me nous conduira introduire au chapitre 6 des l ments d optique statistique n cessaires pour donner un sens la notion de largeur de raie laser de coh rence temporelle Il s agit en fait d un exemple important de l utilisation des concepts statistiques en physique o nous retrouvons le nom d Albert Einstein qui traita brillamment le probl me du mouvement Brownien avant d introduire le concept d mission stimul e la base de l effet laser Ce cours est tr s centr sur l interaction laser atome Cette interactio
457. s r sultats plus g n raux au 2 3 2 dans le cas non perturbatif pour des niveaux de dur e de vie infinie et dans la partie 2 4 lorsqu on prend en compte la dur e de vie finie des niveaux d quivalence des points de vue A p et D E Consid rons le cas d une transition dipolaire lectrique Si au lieu de l hamiltonien dipolaire lectrique C 3 nous avions utilis l hamiltonien A p nous aurions obtenu un r sultat analogue en rempla ant W par W Ai ro t 2 62 Nous nous proposons de d montrer qu r sonance les probabilit s de transition sont les m mes c est dire que les l ments de matrice W et Wp ont le m me module Rappelons d abord la relation entre l amplitude du champ lectrique et le potentiel vecteur en jauge de Coulomb cf q 2 36a A ro t zo cos ut ro n 2 63 Il nous faut par ailleurs comparer k D i et k pli Int ressons nous par exemple la composante suivant Oz de p En partant de la forme 2 40b de l hamiltonien atomique Ho et en utilisant la relation de commutation on obtient sans difficult gt Dz Ho ih 2 65 p2 fio in 265 En projetant l quation 2 65 gauche sur k et droite sur i on trouve k 2li E Ea elpali 2 66 Finalement en se souvenant que D q pour un atome un lectron et en se restreignant aux termes r sonnants on trouve 1 W 2 67 ve 2 67 W 2
458. s sph riques z s crit 4 z rcos0 r4 VI 8 p 2A 13a et par ailleurs Yo 0 p 2A 13b 2Voir par exemple BD Chapitre XI ou CDL 1 Chapitres VI et VII 128 COMPL MENT 2A ce qui permet d isoler dans l int grale 2A 12 une partie angulaire Iang f f sin 6d0 do Y 8 0 6 6 2A 14 qui est tout simplement le produit hilbertien des deux harmoniques sph riques Compte tenu des relations d orthonormalisation des harmoniques sph riques on a donc Tang t mo 2A 15a et E CO 0 bn no 1 dr r R r Rao r 2A 15b Nous trouvons donc que seuls les tats lb n eme 2A 16 sont susceptibles d tre excit s depuis l tat fondamental 1 0 0 par de la lumi re po laris e lin airement De m me les seuls tats excit s susceptibles de se d sexciter vers l tat fondamental 1 0 0 sous l effet d une onde polaris e lin airement suivant Oz sont de la forme 2A 16 Les m mes r gles de s lection s appliquent donc l absorption et l mission induite Si au lieu de partir de l tat fondamental on tait parti d un tat i quelconque on aurait pu d montrer en utilisant les propri t s des harmoniques sph riques les r gles de s lection suivantes pour une transition de i vers k l polarisation lin raire l l l 1 2A 17 suivant l axe de quantification My M Une telle transition provoqu e par la lumi re polaris e lin airement
459. seul sens En effet l onde laser est alors une onde progressive dont l intensit est constante Ceci permet de comprendre pourquoi un laser colorant dont l largissement est essentiellement homog ne fonctionne spontan ment en r gime monomode avec une cavit en anneau et en r gime multimode avec une cavit lin aire Le laser tant monomode il est g n ralement souhaitable de contr ler la fr quence mise avec une pr cision bien meilleure que l intervalle entre modes c Leav La fr quence du 24Voir Compl ment 3A 242 CHAPITRE 3 LES LASERS mode p voir quation 3 16 est donn e par De ME Im PP Elle varie lorsque la longueur Leay de la cavit change Un changement de fr quence gal un intervalle entre modes 2rc Leay est obtenu par un changement de longueur gal une longueur d onde optique Fes Lev gt 3 34 7 3 34 Pour obtenir une mission dont la largeur en fr quence est inf rieure l intervalle spectral libre la longueur de cavit doit donc tre contr l e beaucoup mieux qu une longueur d onde optique On y parvient en montant un des miroirs de renvoi sur un transducteur pi zo lectrique ce qui permet des d placements ma tris s mieux que 0 1 nm pr s Remarques i Dans le cas des lasers semi conducteurs c est la temp rature qui permet de contr ler la longueur optique de la cavit ainsi que le courant qui agit sur l indice de r frac
460. sible par les mol cules de l atmosph re dont les transitions lectroniques sont dans lultraviolet La partie haute fr quence du spectre visible de la lumi re solaire est donc la plus diffus e Le ciel appara t cependant bleu et non violet l il humain d une part parce que l il est plus sensible dans le bleu que dans le violet et d autre part cause de la d croissance du spectre de la lumi re solaire du bleu au violet 182 COMPL MENT 2C ii l oppos le r gime de la diffusion Thomson est celui des fr quences tr s sup rieures la fr quence de r sonance w gt wo La formule 2C 39 montre qu alors la section efficace de diffusion tend vers une constante qui vaut 8 o w x Er 6 5 x 107 m 2C 41 Ce r gime est celui de la diffusion des rayons X par la mati re Cette formule a jou un r le important dans la d termination au d but du XX si cle du nombre d lectrons de certains atomes partir de mesures d absorption de rayons X iii Consid rons enfin le cas de fr quences voisines de la fr quence d oscillation propre de l lectron w amp wo diffusion r sonnante En ne gardant que les termes d ordre le plus bas en w wo et en se souvenant que l A est petit devant wo on obtient BT 9 wa 10 3 0 A wg w T cl 2C 42 Pa gt Wo wW FIG 2C 4 Section efficace de diffusion r sonnante On a une variation Lorentzienne de largeur mi hauteur
461. sid rons maintenant le cas d un dip le tournant dans le sens direct cas o Do do E avec es iez 2C 21 E V2 La polarisation du rayonnement mis suivant une direction OM quelconque est en g n ral elliptique Il existe cependant des directions particuli res o elle est simple Consid rons tout d abord le champ en un point M situ sur l axe Oz w dyp E re t SAN a 2C 22 Areoc r Le champ lectrique est polaris circulairement dans le m me sens que le dip le il en est naturellement de m me du champ magn tique B qui reste perpendiculaire tout instant C est ce qui caract rise un champ polaris circulairement dans le sens positif FIG 2C 2 Rayonnement mis par un dip le oscillant suivant Oz Le champ lectrique en M est polaris lin airement perpendiculairement OM dans le plan Oz OM L mission est nulle suivant Oz et maximale dans le plan xOy Consid rons maintenant toujours pour le dip le o le champ en un point M situ 176 COMPL MENT 2C dans le plan rOy dans une direction e caract ris e par langle y Alors e x e x Do 3 edo p 2C 23a i n w 1 Emt T e ere 2C 23b Le champ lectrique est polaris lin airement suivant le vecteur ep perpendiculaire la fois la direction de propagation OM et l axe de rotation du dip le et il oscille dans le plan xOy Ceci est assez intuitif le dip le tournant ta
462. sier Paris 1990 COMPL MENT 3E 317 Compl ment 3E Spectroscopie non lin aire Les sources laser ont compl tement boulevers les m thodes et les possibilit s de la spectroscopie Leur tr s grande monochromaticit permet en effet de r soudre des struc tures tr s fines qu il aurait t difficile de d tecter par les m thodes ant rieures mais plus encore leur densit spectrale de puissance a permis d imaginer de nouvelles m thodes de spectroscopie bien plus performantes que les techniques classiques Ces m thodes sont bas es sur le fait que la r ponse d un atome une source lumineuse intense n est pas lin aire Ce sont quelques unes de ces m thodes de spectroscopie non lin aire que nous d crivons succintement ici Nous expliquons d abord pourquoi la largeur des transitions atomiques observ es ex p rimentalement appara t plus grande que celle que l on peut calculer pour un atome isol au repos Ceci nous permet d introduire dans la partie 3E 1 les notions de largeur homag ne et de largeur inhomog ne Nous expliquons ensuite pourquoi il est possible de se d barrasser de l largissement inhomog ne en utilisant des m thodes de spectroscopie non lin aire Nous nous int ressons plus sp cifiquement l largissement Doppler qui est l largissement inhomog ne le plus tudi et nous pr sentons deux m thodes permettant de s affranchir de cet largissement la spectroscopie d absorption satur
463. sition ce qui est une preuve indirecte de l existence de l mission induite cf Chapitre 2 2 5 2 remarque 4Le maser fut d couvert ind pendamment par les physiciens russes Basov et Prokhorov 211 m canismes g n raux pour obtenir une inversion de population dans un milieu et obte nir ainsi une amplification de la lumi re Ces m canismes sont tablis sur des syst mes mod les syst mes quatre niveaux syst mes trois niveaux et illustr s par quelques exemples portant sur des lasers ayant ou ayant eu une grande importance Parmi les lasers ainsi bri vement d crits citons les lasers n odyme le laser h lium n on le laser colorant le laser semiconducteur le laser erbium et enfin pour son importance his torique le laser rubis Dans la partie 3 3 nous tudions les propri t s spectrales de la lumi re mise par un laser Nous montrons que selon les caract ristiques de la cavit et de la largeur de la courbe de gain la lumi re mise par un laser peut avoir une fr quence bien d finie fonctionnement monomode ou tre la superposition de plusieurs ondes ayant des fr quence diff rentes fonctionnement multimode Dans ce dernier cas nous expliquons comment s lectionner une seule fr quence et obtenir ainsi un fonctionnement monomode et nous donnons quelques indications sur la largeur en fr quence ou puret spectrale de la lumi re ainsi mise Dans la partie 3 4 nous pr sentons quelques
464. sonnante avec une transition connectant le niveau fondamental que nous supposons de moment cin tique nul Ja 0 un niveau excit de moment cin tique J 1 Sous l effet de l onde incidente les atomes sont port s dans le niveau excit d o ils retombent par mission spontan e r sonance exacte on peut observer une forte illumination de la cellule ph nom ne appel fluorescence de r sonance Il est d au processus de diffusion r sonnante pr sent au paragraphe 2A 4 auquel nous pouvons appliquer les r gles de s lection ci dessus en le consid rant comme un processus comportant une tape d absorption et une tape d mission spontan e voir la figure 2A 3 et la remarque i du paragraphe 2A 4 Z Lumi re de fluorescence Lumi re incidente mT FIG 2A 5 R sonance optique La cellule en verre contenant une vapeur atomique est clair e par de la lumi re r sonnante avec une transition atomique partant du niveau fondamental On observe une r mission de lumi re de fluorescence dans toutes les directions Supposons que la lumi re incidente se propageant suivant Oy soit polaris e suivant Oz Fig 2A 5 Il s agit d une excitation m par rapport l axe Oz qui porte les atomes 136 COMPL MENT 2A dans l tat m 0 vis vis de cet axe Figure 2A 6 La transition spontan e qui suit est galement de type x et si on observe la lumi re de fluorescence suivant la directio
465. ssements imbriqu s assez d licats r gler ii Il est en g n ral plus difficile de tendre de rendre monomode longitudinal un laser ca vit lin aire Figure 3 3 qu un laser en anneau Dans une cavit lin aire l onde laser est une onde stationnaire qui poss de donc des n uds et des ventres altern s d cal s d un quart de longueur d onde optique Aux ventres l intensit lumineuse est maximale et le ph nom ne de saturation diminue le gain En revanche l intensit est nulle aux n uds et le gain y est donc potentiellement beaucoup plus grand gain non satur La situation est donc tout fait favorable l tablissement de l effet laser pour une deuxi me onde stationnaire dont les ventres co ncideraient avec les n uds de la premi re Si le milieu amplificateur est au milieu de la cavit lin aire il est facile de v rifier que deux modes voisins wp et w 1 sont pr cis ment dans cette situation ce qui explique la tendance de tels lasers osciller sur deux modes en l absence d l ments s lectifs efficaces Ce comportement est donc rapprocher de celui mentionn pr c demment dans le cas de la saturation inhomog ne du gain Fig 3 21 mais les trous cr s dans la courbe de gain se situent maintenant dans l espace r el et non plus dans l espace des fr quences Le ph nom ne de modulation longitudinale du gain n existe pas pour un laser en anneau dans lequel la lumi re se propage dans un
466. ssible d crire la fr quence de r sonance pour l ion situ sur le site sous la forme Wi Wo Wi 3E 1 o w est la fr quence de r sonance pour un ion isol et w est le d placement de fr quence pour l ion situ sur le site i Supposons que ces ions sont soumis un faisceau laser incident d amplitude E et de pulsation w dont on mesure l absorption Seuls les ions situ s sur les sites tels que contribueront au signal En balayant la fr quence du laser on explore les diff rentes fr quences d absorption w La forme et la largeur de la raie d absorption sont donc d ter min es par la distribution des atomes sur les diff rents sites largissement inhomog ne voir figure 3E la Un second faisceau laser de pulsation w d amplitude beaucoup plus grande que F et capable de saturer la transition est maintenant envoy sur l chantillon Il a pour effet 5Le ph nom ne d absorption satur e a d abord t observ dans la courbe de gain d un laser gaz cavit lin aire o existe un creux troit situ la fr quence de r sonance Lamb dip gt La m thode de spectroscopie d absorption satur e a t ensuite mise au point par C Bord et T Hansch Cette technique a volu et s est affin e en incluant d autres degr s de libert comme ceux li s la polarisation des faisceaux Pour plus de d tails on pourra consulter l article de T Hansch A Schawlow et
467. ssion don nant la partie imaginaire de la susceptibilit pour trouver N c I 0 w 2C 49 x Lot 20 49 o la section efficace o w est donn e par l expression 2C 39 L quation 2C 49 montre la relation troite existant entre le coefficient d absorption de l onde incidente proportion nel x et la section efficace de diffusion o w On retrouve ainsi dans ce cas particulier un r sultat tr s g n ral connu sous le nom de th or me optique 2C 7 Lien entre le mod le classique de l lectron las tiquement li et le mod le quantique de l atome deux niveaux Nous allons montrer que les r sultats que nous venons d obtenir dans le cadre du mod le de l lectron classique lastiquement li de fr quence caract ristique wo se trans posent au cas d un atome ou d une assembl e d atomes trait de fa on quantique l approximation du syst me deux niveaux a et b s par s par l cart en nergie E Ea wo 2C 50 condition que le syst me reste peu excit loin de la saturation Utilisons pour cela l approche semi classique d velopp e dans le chapitre 2 l ap proximation dipolaire lectrique L hamiltonien du syst me vaut alors o q Eo cos wt 2C 51 o o est l hamiltonien de l atome La restriction de cet hamiltonien l espace sous tendu par les deux niveaux a et b o a est le niveau fondamental pris comme z
468. st coupl un ensemble de 34 CHAPITRE 1 PROBABILIT S DE TRANSITION niveaux k faisant partie d un continuum Nous allons voir que dans ce cas l volution du syst me pr sente de notables diff rences avec la situation pr c dente Apr s avoir donn un exemple de telles situations fr quentes en m canique quantique nous calculerons cette volution et aboutirons la r gle d or de Fermi Signalons que le compl ment I 2 montre comment on peut passer contin ment du couplage avec un niveau discret au couplage avec un continuum 1 3 1 Exemple auto ionisation de l h lium a Mod le des particules ind pendantes L h lium poss de deux lectrons plong s dans le potentiel coulombien du noyau doublement charg He On peut donner un mod le grossier de ce syst me en ignorant l interaction entre ces lectrons Chacun de ces lectrons est donc consid r comme plong dans un potentiel Coulombien Les tats propres d un tel syst me hydrog no de sont bien connus ils sont analogues ceux de l atome d hydrog ne un facteur pr s correspondant la charge double du noyau On a d abord une suite discr te d tats li s Si on ignore le spin de l lectron et le moment magn tique associ ainsi que les effets relativistes l nergie de ces tats n s crit Er n2 En 1 63 o n est un entier non nul et l nergie d ionisation Ey vaut 4 fois celle de l atome d hydrog ne Er
469. st rappelons le un param tre r el petit devant 1 MO 00 00 220 0 1 16 En reportant ces d veloppements dans l quation 1 15 nous pouvons identifier les termes de m me puissance en Nous obtenons ainsi l ordre 0 ne O 4 0 1 17 l ordre 1 EPO DERO mE ENO 1 18 l ordre r REPO DERO nPE 1 19 n Ce syst me est susceptible d tre r solu par it ration En effet les termes d ordre z ro O t sont connus il s agit de constantes d termin es par l tat initial du syst me En portant ces termes dans 1 18 on peut trouver les termes d ordre 1 P t qui eux m mes permettent d acc der aux termes d ordre 2 yP t et ainsi de suite Il est donc possible en principe de d terminer successivement tous les termes du d veloppement 1 16 1 2 4 Th orie au premier ordre a Probabilit de transition Supposons qu l instant initial to le syst me se trouve dans un tat propre i de Ho Il s ensuit que tous les 7 t sont nuls l exception de 7 t9 qui est gal 1 La solution de 1 17 est donc AD 8 On 1 20 Consid rons pr sent les transitions vers les niveaux k diff rents de l tat initial k En portant le r sultat 1 20 dans l quation 1 18 et en int grant sur le temps nous trouvons P t 1 t TI alle Er E t WPO farce FE 1 21 22 CHAPITRE 1 PROBABILIT S DE TRANSITION L ampli
470. sur le fait qu il s agit d un ph nom ne d interf rence ondes multiples Le traitement pr sent ici est plus simple et tout aussi rigoureux ii De nombreuses exp riences de spectroscopie ou d optique non lin aire comme les transi tions deux photons Compl ment 3E ou le doublage de fr quence Compl ment 3G sont 2On peut aussi l obtenir directement partir des quations 3A 4 et 3A 6 3A 3 CAVIT EN ANNEAU UN SEUL MIROIR DE COUPLAGE 257 r alis es avec des lasers continus de puissance mod r e l int rieur d une cavit Fabry Perot parce que l intensit lumineuse peut y tre bien plus grande que l intensit incidente Selon les applications il pourra tre plus habile d utiliser une cavit en anneau pour n avoir qu une onde progressive ou une cavit lin aire iii Dans ce compl ment on suppose implicitement que l espace entre les deux miroirs est vide de sorte qu il y a co ncidence entre longueur optique et longueur g om trique pour la propagation de la lumi re entre les deux miroirs En fait les r sultats ne d pendent que du d phasage Si la cavit est remplie avec un milieu d indice n le d phasage d la propagation est gal nw c Lo o Lo est la longueur g om trique de la cavit On pourra crire ce d phasage sous la forme w c nLo o l on a fait appara tre la longueur optique nLo s parant les deux miroirs De mani re g n rale les r sulta
471. t un facteur de phase pr s gale Si T X T 1 a r A Fie PS Ani _E t i E E t f sqa h h YBO E E EAE EE 154 j Notons que la somme porte sur les tats j diff rents de et k puisque nous avons suppos k Ei 0 32 CHAPITRE 1 PROBABILIT S DE TRANSITION Consid rons pr sent le cas particulier important o H 1 t est de la forme A t W f 1 55 o W est un op rateur et f t une fonction de branchement de temps caract ristique 0 voir figure 1 6 a Plus pr cis ment nous supposons que la dur e de l interaction T est grande devant ce temps de branchement 0 et que 0 est lui m me tr s long devant les temps d volution caract ristiques du syst me atomique libre de la forme h E E o j est l un des niveaux interm diaires de la transition reliant i k T gt 0 gt FE 1 56 i j 1 a fa 0 T lt 0 ft CR o 0 t FIG 1 6 a Allure de la fonction de branchement f t pr sentant une variation continue de 0 1 se produisant sur un temps 0 b allure de la d riv e de f t Nous montrons la fin de ce paragraphe que la probabilit de transition P _ peut se mettre sous la forme 7 STE kW IWI 2x Pek SE irl Er Ei 1 57 k EST z rE Ei 1 57 o r E est la fonction de largeur 27h T introduite en 1 35 La comparaison avec la formule 1 36 montre que l on peut transposer au deuxi me ordre les r sultats du premier ordr
472. t es dans l article de G Grynberg et B Cagnac Rep Prog Phys 40 791 1977 o l on trouvera galement une revue des premi res exp riences 328 COMPL MENT 3E Absorption E E 2h o FIG 3E 8 Variation de l absorption en fonction de la pulsation En pratique la raie troite a une hauteur plus grande que la raie large dans un rapport largeur Doppler largeur naturelle puisque les deux courbes ont des surfaces voisines Ce rapport tant fr quemment de l ordre de 100 on observera essentiellement la raie troite dans les spectres exp rimentaux L approche pr sent e ici peut ais ment tre g n ralis e des transitions multiphotoniques d ordre plus lev Consid rons titre d exemple l absorption de trois photons issus de faisceaux de vecteurs d onde k k2 et kg et de pulsation w1 w2 et w3 dans le r f rentiel du laboratoire Si les faisceaux sont dispos s dans des directions telles que la somme des impulsions des photons soit nulle S_fk 0 3E 19a l impulsion de l atome sera le m me avant et apr s absorption et son nergie cin tique ne sera pas modifi e par le processus d absorption Il s ensuit que la condition de r sonance 3 Er Ea X hwi 3E 19b i 1 sera la m me pour tous les atomes ind pendamment de leur vitesse En balayant la pulsation de l un des faisceaux on obtient alors une raie qui n est pas largie par l effet Doppler 3E 3 3 Propri t s de la s
473. t me isol est que la luminance d un faisceau ne peut augmenter lors de la propagation travers un instrument d optique En cons quence partir d une source dont la luminance L est donn e il s agit de la puissance mise par unit de surface et d angle solide on ne pourra en aucun cas quel que soit l instrument d optique utilis obtenir une puissance par unit de surface l clairement nerg tique sup rieure TL E lt 7TL 3 48 Sachant qu un filament de lampe incandescence 3000 K poss de une luminance d en viron 150 W cm sr on ne pourra obtenir au mieux qu un clairement de l ordre de 500 W cm et cela condition d utiliser une optique de tr s grande ouverture sans aber ration par exemple un miroir elliptique Avec une lampe d charge de type arc haute pression ou partir du soleil on peut au mieux obtenir dix fois plus soit 5 kW cm 3 5 SP CIFICIT DE LA LUMI RE LASER 251 Consid rons maintenant un faisceau laser de 15 Watts tant spatialement coh rent il peut comme nous le montrons dans le compl ment 3B tre focalis sur une tache de diffraction l mentaire dont la dimension est de l ordre de la longueur d onde soit une surface inf rieure 1um Nous disposons donc maintenant de 10 W em soit un clai rement nerg tique 10 106 fois plus lev qu avec la plus intense des sources classiques Cette propri t
474. t de traces Ce type de technique spectro m trique est utilis en usine pour le contr le de fabrication mais aussi l ext rieur sous le nom de LIDAR Light Detection And Ranging pour faire de la t l d tection dans l atmosph re Le laser utilis est en impulsion et la mesure du temps d aller retour des impulsions permet de mesurer la distance des mol cules qui ont r trodiffus s lectivement la lumi re laser On peut ainsi mesurer des concentrations de mol cules inf rieures 1078 sur une ligne de vis e d 1 km En d pla ant le faisceau et en utilisant plusieurs couples de fr quence on peut ainsi faire la carte de la r partition de diff rentes esp ces chimiques H20 SO Os O3 dans une zone donn e Le dispositif complet laser et son alimen tation t lescope de vis e et de d tection traitement du signal r trodiffus peut tre install bord d un camion et ainsi tre compl tement autonome Il permet de r aliser in situ de pr cieuses tudes de pollution Par une analyse plus fine de la position et de la forme des raies de diffusion on peut aussi d terminer la temp rature locale et la vitesse de d placement des nuages mol culaires On a ainsi acc s des param tres atmosph riques importants pour les tudes m t orologiques ou climatiques 3D 3 Le gyroscope laser ou gyrolaser Nous d crivons plus en d tail dans ce paragraphe une mesure laser particuli re Il s agit de la mes
475. t la m me structure cristalline dite de type blende de zinc qui est carac t ris e par une seule grandeur la dimension de la maille l mentaire du r seau cristallin variant entr e 5 5 et 6 5 angstr ms Comme il appara t sur la figure 2E 1 des compos s diff rents peuvent pr senter le m me param tre de maille c est le cas pour GaAs AlAs mais aussi InP InGaAs Il est alors possible d effectuer partir d un substrat semi conducteur GaAs InP la croissance de couche cristalline de composition diff rente mais de structure parfaitement compatible cette op ration est appel e pitaxie L ac cord pitactique est primordial les propri t s semiconductrices de ces mat riaux tant en effet d truites par la pr sence de densit infime de d fauts cristallins Les progr s des techniques de croissance pitactique en ultra vide notamment permettent de contr ler les paisseurs des couches d pos es une couche atomique pr s ceci est un l ment clef de l ing nierie quantique des mat riaux Comme l indique la figure 2E 1 les compos s II V ont des largeurs de bande interdite ou gap diff rentes suivant leur composition En intercalant des couches de faible gap par exemple GaAs entre des couches de gap plus grand par exemple Al Ga _ As on peut cr er des puits de potentiel artificiels dans la mati re pour les lectrons et les trous voir figure 2E 2 La forme de ce puits de potentiel est
476. tat ex cit On observe effectivement que le rapport entre les intensit s I et I des composantes de polarisation de la lumi re de fluorescence suivant Ox ou Oy cro t avec la pression dans la cellule de r sonance Sans rentrer dans les d tails du traitement quantitatif indiquons que le param tre important est le nombre de collisions qu un atome excit subit pendant une dur e de vie radiative Le de l tat excit Le taux de d polarisation 1 1 augmente avec ce param tre On obtient ainsi des informations importantes sur les potentiels d in teraction interatomiques mis en jeu lors des collisions 2A 2 R SONANCE OPTIQUE 137 FIG 2A 7 Transfert de population dans l tat excit Bien que l excitation m ne peuple que m 0 un processus collision champ magn tique susceptible de provoquer un transfert de population vers my 1 conduit une mission spontan e o ou o_ ce qui modifie la polarisation de la lumi re mise Un champ magn tique perpendiculaire Oz peut galement provoquer des transitions entre les sous niveaux de l tat excit Par exemple un champ magn tique statique Bo parall le Ox induit des transitions entre my 0 et my 1 Elles sont dues au terme suppl mentaire qui appara t dans l hamiltonien atomique terme Zeeman fZ g Bo 2A 37 2m g est le facteur de Land qui vaut 1 pour un moment cin tique purement orbital et dont la valeur d pend de l tat co
477. te d effets de moyenne et nous nous limiterons dans la suite des situations de ce type o le formalisme est beaucoup plus simple b Susceptibilit lin aire Nous venons de calculer la polarisation di lectrique P de l chantillon soumis au champ lectrique Ey cos wt et nous avons trouv qu elle oscille la fr quence w de ce champ On en d duit la susceptibilit di lectrique complexe x X ix 2 118a d finie par Eo i wt p gt P EoX Fret 2 118b soit encore P coly Eo cos wt p x Eosin wt 4 2 118c 2 4 ABSORPTION ENTRE DEUX NIVEAUX DE DUR E DE VIE FINIE 105 la limite des faibles intensit s nous pouvons n gliger le terme 92 au d nominateur de l quation 2 117 et nous obtenons la susceptibilit di lectrique lin aire N Owp w ilp s5 2 119 V Eo T w wo a gt X1 L indice 1 rappelle qu il s agit de la r ponse au premier ordre en champ On en tire les expressions explicites des parties r elle et imaginaire de la susceptibilit dont nous verrons qu elles caract risent respectivement la dispersion et l absorption de la vapeur atomique N wo w Re En a 2 119b V co T w wo i l 1 Yi NE Ti s 2 119 L V Eo T w wo L X Remarque L expression 2 119 de la susceptibilit lin aire obtenue en r gime perturbatif partir de notre mod le quantique simple a la m m
478. te un effet analogue dans des h t rostructures semi conductrices la base de d tecteurs de rayonnement infrarouge 2 1 Processus d interaction atome champ lectroma gn tique Cette premi re partie est destin e pr senter qualitativement les ph nom nes les plus importants qui peuvent se produire dans l interaction entre une onde lectromagn tique et un atome Il s agit ici de permettre au lecteur de se familiariser avec ces processus qui reviendront tout au long de l ouvrage et d insister sur un certain nombre de leurs caract ristiques essentielles Cette partie d passe donc le cadre du chapitre 2 et il ne faut pas s tonner d y voir mentionn es des notions comme celle de photon qui font partie de la culture de base en optique moderne 2 1 1 Absorption Consid rons un atome dont le centre de masse est situ l origine des coordonn es et dont l hamiltonien interne o admet des tats propres atomiques a b c d nergies Ea Ea Ec le niveau a correspondant la plus petite des nergies est le niveau fondamental Cet atome est soumis une onde lectromagn tique incidente monochro matique dont le champ lectrique s crit E r t Eo cos wt v r 2 1 Sous l action de cette onde lectromagn tique l atome initialement dans l tat a peut tre port vers un tat b ou c d nergie plus lev e tout en pr levant cette nergie sur le champ qui est
479. tement le formalisme de la matrice densit et nous montrons comment on rend compte des effets de l environnement sur l atome en introduisant des termes de relaxation dans les quations d volution Dans la partie 2B 2 nous montrons comment la th orie des perturbations introduite dans le chapitre 1 pour l quation de Schr dinger peut tre g n ralis e au cas de la matrice densit Nous trai tons dans ce cadre l interaction d un atome avec un champ lectromagn tique d intensit mod r e ce qui permet d obtenir les susceptibilit s lin aires pour une vapeur atomique Il existe un autre cas o les quations d volution de la matrice densit sont suffisament simples pour donner des r sultats analytiques utilisables c est celui o deux niveaux ato miques seulement jouent un r le dans l interaction avec le rayonnement Partie 2B 3 On obtient alors un ensemble d quations non perturbatives appel es quations de Bloch optiques qui sont exactement solubles m me lorsque le rayonnement est tr s intense et qui permettent de d crire une grande vari t de ph nom nes physiques 150 COMPL MENT 2B 2B 1 Fonction d onde et matrice densit 2B 1 1 Syst me isol et syst me en interaction L volution d un syst me isol dont l tat l instant t 0 est Y0 est d termin e par l quation de Schr dinger d i YV H y t 2B 1a avec comme condition initiale 0 2B 1b
480. temps longs dans le cas o le niveau initial est coupl un niveau final isol b une volution d croissante monotone lin aire en t aux temps courts exponentielle aux temps longs dans le cas o le niveau initial est coupl un ensemble de niveaux tr s serr s formant un quasi continuum suffisamment large TP FIG 1 14 Variation de la population P d un tat discret initialement peupl et coupl par une perturbation constante a un autre niveau discret b un quasi continuum 18Le comportement dynamique des syst mes dissipatifs coupl s l environnement ext rieur donne lieu des comportements beaucoup plus riches voir par exemple le compl ment 2B On y retrouve cependant les deux comportements typiques vus dans ce chapitre dans les situations limites 48 CHAPITRE 1 PROBABILIT S DE TRANSITION Dans l interaction atome rayonnement on rencontre des situations correspondant ces deux cas couplage entre un atome deux niveaux et une onde monochromatique pour le cas a d sexcitation spontan e d un atome isol pr par dans un tat excit pour le cas b Ces deux comportements sont fondamentalement diff rents puisque dans le cas a le syst me se retrouve p riodiquement dans un tat identique l tat initial alors que dans le cas b il atteint aux temps longs un tat stationnaire diff rent de l tat initial Ils correspondent en fait deux cas limites extr mes Le
481. tenus dans la suite de cette partie se transposent ais ment une telle situa tion Nous pouvons utiliser les r sultats obtenus au I 1 2 4 d dans le cadre d un calcul perturbatif au premier ordre On sait que la probabilit de transition n est notable que pour des situations quasi r sonnantes c est dire dans le cas o l nergie de l tat final E est gale soit 82 CHAPITRE 2 ATOMES EN INTERACTION AVEC UNE ONDE soit gt E E w 2 57b l galit tant v rifi e Aw pr s avec 2 57c o T est la dur e de l interaction L atome est donc susceptible de passer du niveau i au niveau k condition que la fr quence de londe soit r sonnante avec la fr quence de Bohr de la transition Dans le cas 2 57a o le niveau k a son nergie plus lev e que celle du niveau Ji on a absorption 2 1 1 Dans le cas oppos 2 57b on a mission induite 2 1 2 Nous traitons maintenant ces ph nom nes de fa on plus quantitative b Probabilit de transition Dans le cadre d un calcul perturbatif au premier ordre la probabilit de transition de li vers k apr s une dur e d interaction T est donn e par l quation 1 B 40 Wr dans laquelle sin T 2 gr T S2 E 2 58b est une fonction troite de de hauteur T et de demi largeur r T piqu e autour de z ro Figure 1 3 du chapitre 1 La quantit Wp kW l 2 58c est l l ment d
482. tes 2Ce raisonnement peut tre rendu quantitatif partir du th or me de Wiener Khintchine qui relie le spectre de puissance ici le spectre optique habituel la fonction d autocorr lation de la grandeur al atoire ici le champ laser 336 COMPL MENT 3F laser par son vecteur de Fresnel Ez voir Figure 3F 1 Chaque mission spontan e est repr sent e par un vecteur Esp de longueur constante Esp et de direction al atoire que l on ajoute au champ laser Les ph nom nes de saturation ram nent l amplitude du champ laser sa valeur moyenne Ez mais pas sa phase Le processus se r p tant l extr mit du vecteur de Fresnel du champ Ez effectue une marche au hasard avec un pas de longueur Es et d crit donc un cercle de rayon Ez Au bout de Nsp missions spontan es l extr mit du vecteur de Fresnel s est donc d plac e en moyenne d un angle Av avec 2 Ag Np 3F 2 Av Nozy 2 Le facteur 2 au d nominateur de l quation 3F 2 rappelle que l mission spontan e contribue la diffusion de la phase seulement par la composante de Esp tangentielle au cercle de rayon Ez Le temps de corr lation T est celui au bout duquel Av est de l ordre de 1 car la phase aura alors diffus d environ un radian Ce temps correspond un nombre d missions spontan es na EN Nip Z 2 3F 3 p 3F 3 Sp L nergie dans la cavit laser de volume V est gale co E V 2 N w N tant le
483. tiel de la figure 1 7 du chapitre 1 de profondeur V5 L l ment de matrice que nous devons valuer s crit alors L 2 L 2 cri f de fi detale an Wile savaba A4 o W est une fonction de la distance x1 z2 entre les deux particules Les fonctions d onde des deux premiers tats li s Ya x et Yg x et du puits de potentiel de profondeur Vo sont r elles et respectivement paires et impaires vis vis du changement de signe de la coordonn e x On en d duit que l expression sous le signe somme dans l expression 1A 4 a la parit de Yn x L l ment de matrice n est donc diff rent de 0 que pour les valeurs impaires de n n 2p 1 On peut l crire dans ce cas T D pL 2 L 2 ei f2 PT de f dre cos kyr re Ir oleole AA _L 2 L 2 o kp est gal 2p 1 r L La valeur exacte de kIW i d pend alors de la forme exacte du terme d interaction W que nous ne pr ciserons pas ici Enfin nous pouvons tendre dans 1A 5 les bornes d int gration co et oo En effet les fonctions x et d x et sont localis es essentiellement dans l intervalle a a elles d croissent exponentiellement pour x gt a Elles sont donc n gligeables au del de L 2 pour des valeurs de L suffisamment grandes Voir par exemple BD Chapitre III ou CDL Compl ment H 1A 3 DENSIT DES TATS COUPL S AU NIVEAU DISCRET 51 1A 3 Densit des tats coupl s au niveau discret D apr s l expressi
484. tion ii Dans certains lasers semi conducteurs le caract re monomode de l oscillation est assur par le m canisme de contre r action r partie Les propri t s du guide d onde optique sont modul es longitudinalement avec une p riode gale un multiple de la demi longueur d onde favoriser on s lectionne ainsi un seul mode longitudinal du laser semi conducteur 3 3 3 Largeur de raie laser Un laser fonctionnant en r gime monomode on peut se demander avec quelle pr cision sa fr quence est d finie En d autres termes quelle est la largeur de la courbe caract risant sa densit spectrale de puissance Cette largeur d pend de plusieurs causes que nous discutons maintenant a largissement technique Nous avons vu ci dessus que tout changement de longueur de cavit provoque une mo dification de la fr quence wp du mode p s lectionn Pour une cavit typique Lea 1 m un d placement d un miroir de 600 1 nanom tre pour un laser mettant dans le jaune entra ne une variation de fr quence de 1 MHz Les causes de si faibles changements de longueur ne manquent pas dilatations 2 x 107 degr s suffisent pour une structure en quartz dont le coefficient de dilatation est pourtant particuli rement faible variations de pression atmosph rique ou provoqu e par une onde acoustique entra nant un chan gement de l indice de r fraction de lair et donc un changement de longueur optique etc 25N
485. tion p 107 dit par H Maillet Technique et documentation Lavoisier Paris 1990 ou bien M Bass Laser material interactions dans Encyclopedia of lasers and optical technology Academic Press San Diego 1991 3C 1 EFFETS DE L IRRADIATION LASER SUR LA MATI RE 277 3C 1 1 Couplage laser mat riau L nergie du faisceau incident sur la surface peut tre s par e en trois parties une fraction R est r fl chie ou plus g n ralement diffus e vers l arri re une fraction T est transmise ou diffus e dans les zones plus profondes du mat riau la fraction restante A 1 R T tant absorb e la surface du mat riau Les deux premi res fractions ne contribuent videmment pas au couplage avec le mat riau et doivent tre minimis es Les coefficients R et T varient consid rablement en fonction du mat riau de son tat de surface et de la longueur d onde du rayonnement utilis Pour les grandes longueurs d onde les m taux sont des conducteurs pratiquement parfaits Ils r fl chissent donc une grande partie du rayonnement dans le domaine infrarouge et micro onde Le coefficient R est sup rieur 90 lorsque gt 1 um pour la plupart des m taux Il diminue ensuite et devient inf rieur 50 dans le visible et l ultraviolet En revanche des mat riaux non m talliques organiques ou non absorbent fortement le rayonnement laser toute longueur d onde Le coefficient de transmission T est n gligeable
486. tion 1 8 on avait souvent affaire des perturbations sinuso dales c est dire de la forme t W cos wt p 1 40 L amplitude de transition pour passer de i k calcul e par l expression 1 22 vaut alors Wi etwri w t ip _ bi wri w to ip ewritw ttip _ bi wri w to ip _ R 1 41 E E k 2h Wki W Wki FW la quantit wp tant la fr quence de Bohr associ e la transition de i k L amplitude Ski appara t comme la somme de deux termes dont les d nominateurs respec tifs sont wy w et wki tw Pour avoir une amplitude de transition relativement importante il faut se placer dans des conditions o l un de ces d nominateurs devient tr s petit Le terme correspondant dans 1 41 est alors tr s grand devant l autre Dans le cas o wx gt 0 tat final d nergie sup rieure celle de l tat initial cette r sonance se produit lorsque lwi w K w 1 43 condition d excitation quasi r sonnante Cette condition est en fait n cessaire pour avoir une probabilit d excitation d celable En effet en prenant l exemple de l interaction d un atome avec un champ lectromagn tique du domaine visible W fw exc de rarement 1076 m me avec une source laser usuelle Pour avoir une amplitude de transition re lativement importante il faut que le d nominateur wy w soit bien plus petit que w Comme wki w est plus grand que w la condition 1 43
487. tion 2 140 montre que k et k ont des signes oppos s c est dire que l amplitude du champ cro t suivant la direction de propagation L onde lectromagn tique est donc amplifi e Le ph nom ne la base de cette amplification est videmment l mission induite qui est le ph nom ne majoritaire dans la situation o M est tr s grand devant Na L amplification d une onde lumineuse gr ce l mission induite est l effet LASER Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation On le caract rise par un 2 5 AMPLIFICATION LASER 113 gain par unit de longueur g caract risant la croissance de l intensit lumineuse T z proportionnelle au carr de l amplitude du champ d1I 2 dz Dans le r gime perturbatif consid r ici les quations 2 138 2 140 et 2 141 nous donnent le gain par unit de longueur g I z 2 142 jatak Sy 2 143 Remarque L inversion du signe de la partie r elle x de la susceptibilit se traduit galement par un 1 comportement inhabituel de l indice de r fraction n 1 i d cro t avec la fr quence dans les zones de transparence et cro t dans les raies d absorption D observation d une telle dispersion invers e parfois appel e anormale est une indication exp rimentale de la possibilit d obtenir une amplification 2 5 3 G n ralisation alimentation des deux niveaux et satura tion Supposons maintenant que les deux nive
488. tion du mat riau avec le champ laser et peut m me dans certaines circonstances la supprimer compl tement L expression de N montre qu on a int r t utiliser des lasers de courte longueur d onde qui assurent une valeur plus grande la densit seuil 2Voir par exemple R P Feynman R B Leighton et M Sands The Feynman lectures on physics Vol II 32 7 3Parmi les premiers E Fabre et ses collaborateurs du Laboratoire pour l Utilisation des Lasers Intenses de l cole Polytechnique ont tudi les possibilit s offertes par les lasers tr s intenses de courte longueur d onde pour cr er des plasmas lasers tr s chauds en particulier en vue d applications la fusion inertielle voir partie 3 5 278 COMPL MENT 3C 3C 1 2 Transfert thermique La puissance Amo x y d pos e par le laser au niveau de la t che focale en un point de coordonn es x y de la surface du mat riau provoque une variation de la temp rature T x y z t du mat riau Dans le cas o la profondeur d absorption de la lumi re laser est extr mement faible l quation de diffusion de la chaleur dans le mat riau irradi s crit CT KAT AIT x y 2 3C 1 o p est la densit du mat riau C sa capacit calorifique et K sa conductivit thermique La solution de cette quation d pend de la g om trie du mat riau des caract ristiques spatiales et temporelles de Pi x y t et d un param tre caract ristique du comp
489. tion envisag e Remarque Les solutions d crites ci dessus modes gaussiens sont celles qui sont g n ralement ren contr es Ces formes de faisceau sont associ es aux modes d une cavit vide ferm e par des miroirs sph riques L addition de masques dans la cavit en pr sence du milieu ampli ficateur qui par ses propri t s non lin aires peut coupler des modes gaussiens diff rents peut permettre l oscillation de modes ayant une structure spatiale tr s diff rente des modes gaussien 8Voir B Colombeau M Vampouille V Kermene A Desfarges et C Froehly Pure Appl Opt 3 757 1994 COMPL MENT 3C 275 Compl ment 3C Le laser source d nergie Nous avons vu que le laser est une source lumineuse dont les propri t s sont radi calement diff rentes de celles des sources classiques C est la raison pour laquelle d s sa d couverte dans les ann es 60 on a cherch tirer profit de ce nouvel outil Le laser est ainsi tr s rapidement sorti des laboratoires de recherche pour entrer dans le domaine de la production industrielle et de l activit conomique De nos jours ses applications sont innombrables et concernent des domaines aussi vari s que la m decine la m tallurgie les t l communications etc Le laser fait partie de la vie quotidienne avec les lecteurs de disques compacts les lecteurs de code barre ou encore les imprimantes laser H Il JK 2 2 1 1 G 3 37
490. tipli par 2 plus de 104 dans notre exemple Le m me principe est l uvre dans les fours solaires plac s au sommet d une tour en vue d un grand nombre de miroirs qui r fl chissent les rayons solaires sur la cible La temp rature obtenue peut atteindre plusieurs milliers de Kelvins sans d passer la temp rature de surface du soleil 5000 K FIG 3G 2 Obtention de hautes temp ratures par concentration de la lumi re solaire L clairement donn par un instrument stigmatique et parfaitement transparent d ouverture 2u est plus grand que l clairement direct du soleil par un facteur u a o 2a est le diam tre angulaire du soleil 2a 30 8 x 107 rad On peut ainsi enflammer des brindilles l aide d une loupe Ordres de grandeurs D apr s la loi de Planck un corps noir 3000 K met environ 500 W cm dans un demi espace sur une bande spectrale s tendant de l infrarouge 1 54m au vert 0 5um soit de 4 x 1014 Hz C est peu pr s ce que fournit le filament d une lampe incandescence La luminance est m fois moins grande et l clairement maximal que l on pourra obtenir est donc de l ordre de 500 W cm Une lampe arc haute pression ou le soleil donneront au mieux 10 fois plus c est dire 5 KW em L clairement maximal cit ici est la densit de puissance totale re ue par unit de surface Une autre quantit importante est la densit de puissance p
491. tre divis par eoc Si l intensit n est pas uniforme on pourra continuer l exprimer dans la m me unit avec la convention ci dessus 84 CHAPITRE 2 ATOMES EN INTERACTION AVEC UNE ONDE ii On trouve dans d autres ouvrages des d finitions diff rentes de l intensit Le point important est sa proportionnalit au carr de la pulsation de Rabi iii Lorsque le champ lectromagn tique n est pas monochromatique on applique la d fini tion 2 61a en prenant la moyenne temporelle sur une dur e 0 grande devant les p riodes lumineuses mais courte devant les temps de r ponse des instruments d observation Pour de la lumi re visible on prendra par exemple 0 de l ordre de 10 1s On a alors une intensit susceptible de d pendre du temps iv Il est int ressant de conna tre un ordre de grandeur typique de Q4 Pour un faisceau laser de puissance 1 milliwatt et de section 1 mm l clairement I vaut 10 W m Prenant d de l ordre de qao 107 Cm on trouve Q4 de l ordre de 108 s71 Nous constatons alors qu r sonance la probabilit de transition atteint des valeurs notables en quelques nanosecondes c Discussion La formule 2 60 met en vidence plusieurs caract ristiques importantes des processus d absorption et d mission induite bien qu elle ne soit valable que si la probabilit de transition P _ 4 T reste petite devant 1 Dans le cas o le d saccord est grand devant la pulsation de Ra
492. tre ind pendante de la transition consid r e Nous avons repr sent sur la figure 10 la variation avec le temps de la pr cision sur la mesure de la constante de Rydberg La rupture de pente apparaissant apr s 1970 est due aux d veloppements des m thodes de spectroscopie laser non lin aire expos es dans ce compl ment qui ont donc permis de passer d une pr cision de l ordre de 1077 une 3E 4 SPECTROSCOPIE DE L ATOME D HYDROG NE 333 pr cision de l ordre de 1074 La valeur admise en 1994 est R 109 737 315 683 4 0 000 002 4 cm soit une pr cision relative de 2 1071 Elle a t obtenue gr ce des exp riences sur diff rentes transitions 2 photons et elle est bien s r encore susceptible d am liorations Pour plus de d tails on pourra consulter B Cagnac M Plimmer L Julien F Biraben Rep Prog Physics 57 853 1994 COMPL MENT 3F 335 Compl ment 3F Largeur spectrale des lasers formule de Schawlow Townes La largeur spectrale de la plupart des lasers monomode est li e des probl mes tech niques de stabilit de longueur optique de la cavit laser voir Chapitre 3 3 3 3 a Il est n anmoins important d identifier les facteurs ultimes limitant la puret spectrale d un laser Il est galement important de comprendre pourquoi la distribution spectrale du rayonnement d un laser est bien plus fine que la bande passante de la cavit contenant le milieu amplificateur et que l
493. trique avec l quation 2C 12b on voit que B r t x E r t 2C 15 re Les champs E et B sont donc tous deux orthogonaux r Ils sont de surcro t en phase On constate par ailleurs que le champ lectromagn tique rayonn grande distance est pro portionnel D c est dire l acc l ration de la charge qui rayonne mais avec un retard r c correspondant au temps de propagation Dans une direction r r donn e le champ lectromagn tique ou magn tique d cro t en 1 r et non pas en 1 r ou en 1 r comme en lectrostatique et en magn tostatique Il s agit d une onde sph rique non uniforme qui se propage partir de l origine Le champ lectromagn tique au point M a donc localement la m me structure qu une onde plane progressive se propageant suivant r Le vecteur de Poynting IT au point M s crit 1 rie x D t r c P 2 gt gt 7 75 2C 16 La puissance rayonn e d cro t suivant une loi en 1 r Dans une direction donn e elle est proportionnelle au carr de l acc l ration de la charge 2C 3 Dip le oscillant sinuso dalement Polarisation a Champ rayonn Revenons maintenant au cas d un dip le oscillant sinuso dalement quation 2C 1b En notation complexe le champ lectromagn tique rayonn grande distance de pulsa tion w s obtient partir de 2C 12b et 2C 14 2 rx rxD w r r 0 eie t r e gt cire 2C 17 rt TE0 C r3 l a Ir w rxD
494. tromagn tiques de vecteur d onde k k ep avec k n 2 122a c l indice de r fraction n tant reli la susceptibilit par gt n 1 xi w 2 122b Si la susceptibilit a une partie imaginaire diff rente de z ro il en est de m me de l indice Pour un milieu atomique dilu x est petit devant 1 et on peut crire X1 X RE ee 21226 Le vecteur d onde complexe s crit alors k k ik 2 123a avec X1 w k 1 2 123b 3 2 193b et I 1 I aa X1 W Z k X1 w comme x est positif on note que k a le m me signe que k Une onde de vecteur d onde k dirig suivant Oz a pour expression Eo i kz wt k z 1 E z t e c c Epe cos wt k z 2 124 2 Comme k et k ont le m me signe on constate que l amplitude du champ d cro t expo nentiellement suivant la direction de propagation On a une propagation att nu e La partie imaginaire x de la susceptibilit di lectrique lin aire d un milieu caract rise donc l absorption L expression 2 119c montre que l absorption lin aire est proportion nelle la densit atomique N V nombre d atomes par unit de volume Elle montre galement un comportement r sonnant Lorentzien avec la fr quence voir Fig 2 15 a Ces caract ristiques de l absorption peuvent tre obtenues partir du mod le d lectron lastiquement li cf la remarque apr s les formules 2 119 2 4 ABSORPTION ENTRE DEUX NIVEAU
495. trouve en effet dans un tat parfaitement d termin Y to qui s exprime partir des coefficients yx to donn s par les relations 1 83 Faisons agir sur cet tat l op rateur de renversement du sens du temps K qui revient prendre le complexe conjugu de sa fonction d ondel cet op rateur est l quivalent quantique de l inversion des vitesses instantan es en M canique classique Si le Voir par exemple Messiah Tome 2 Chapitre XV 42 CHAPITRE 1 PROBABILIT S DE TRANSITION syst me volue partir de ce nouvel tat initial X t0 sous l effet du m me hamiltonien il est facile de montrer qu au bout du temps to il se retrouvera exactement dans l tat initial ji C est la manifestation dans ce cas particulier de la r versibilit de la dynamique r sultant de l quation de Schr dinger Il faut cependant noter que d un point de vue pratique il est infiniment plus facile de pr parer le syst me dans l tat propre i de Ho que dans l tat fH to avec les valeurs exactes des amplitudes et les phases relatives n cessaires pour que le syst me se concentre ult rieurement dans l tat i L volution inverse de 1 81 est donc possible mais tr s peu probable C est ce niveau statistique que s introduit l irr versibilit dans ce type de processus 1 3 5 R gle d or de Fermi Le cas consid r ci dessus est tr s sch matique Dans la pratique l intensit du cou pla
496. ts de ce compl ment peuvent tre g n ralis s en consid rant L comme la longueur optique de rebouclage et en posant k w c 3A 3 Cavit en anneau un seul miroir de couplage La plupart des r sultats d montr s pour une cavit lin aire peuvent tre tendus au cas d une cavit en anneau Consid rons l anneau repr sent sur la figure 3A 3 Il consiste en un miroir M partiellement transparent coefficients r1 t1 et deux miroirs totalement r fl chissants FIG 3A 3 Cavit de Fabry Perot en anneau Les champs E Ep Ec et E sont valu s sur le miroir M partiellement transparent La longueur de l anneau est L Les relations entre le champ incident E le champ r fl chi et le champ dans la cavit Ee sont analogues aux quations 3A 4 Ea t TE 3A 14a E TL i tE 3A 14b E l Ec explik L 3A 14c o L est la longueur de l anneau En combinant la premi re et la derni re des quations nous trouvons tE a 1 rexp ikL 3A 15 258 COMPL MENT 3A soit 2 Ec Ei T 1 Ri 2VR cos k L L quation 3A 6 co ncide avec l quation 3A 12 lorsque l on pose R 1 La valeur de l intensit l int rieur de la cavit en anneau un seul miroir de couplage est donc identique celle obtenue dans une cavit lin aire pour lequel un des miroirs a un coef ficient de r flexion gal 100 Les r sultats tablis pour les cavit s lin aires
497. tude de probabilit de trouver le syst me dans l tat k l instant t est d apr s 1 12 et 1 16 gale un facteur de phase pr s 9 t y t Pour un tat k diff rent de i le terme d ordre 0 est nul Nous en d duisons en utilisant 1 21 que l amplitude de transition de i vers k l ordre 1 est un facteur de phase pr s gale 1 ft a Sri MP D dt k t ijet EEA 1 22 to puisque d apr s 1 10 A t est gal A t La probabilit de trouver le syst me dans l tat k est gale au carr du module de 1 22 c est dire 1 pi sa 7 dt k tji et ETE 1 23 l to Les formules 1 22 et 1 23 constituent les r sultats essentiels de la th orie des perturba tions d pendant du temps au premier ordre Ce sont ces formules que nous exploiterons par la suite Notons que l approche perturbative n est valable que si C est en effet dans le cas o l interaction induit de faibles effets l ordre le plus bas du calcul perturbatif que la s rie de perturbation 1 16 a de bonnes chances de converger rapidement La condition 1 24 n est d ailleurs qu une condition n cessaire et non pas suffisante pour que la th orie des perturbations au premier ordre puisse tre appliqu e b Exemple de processus collisionnel tude qualitative du domaine d nergie accessible En utilisant simplement les propri t s d
498. turbatif Consid rons la situation repr sent e sur la figure 2 9 dans laquelle un atome initia lement dans un tat i est soumis une onde lectromagn tique de fr quence w voi sine de la moiti de la fr quence de Bohr atomique associ e la transition entre li et Comme aucun niveau atomique n a une nergie voisine de E fw un calcul perturbatif au premier ordre donne une probabilit tr s faible que l atome effectue une transition vers un autre niveau En revanche en poussant le calcul perturbatif au deuxi me ordre calcul du 1 2 6 g n ralis au cas d une perturbation sinuso dale on trouve la limite quasi r sonnante une probabilit de transition apr s un temps d interaction T 2 2x 1 W W PT TEEN 22 67 Ex E 2 w 2 88 T h A Eh r Ek Ge Ici encore on voit appara tre la fonction r E piqu e autour de 0 de demi largeur rh T et de hauteur T 2rh de surface unit Elle traduit la condition de r sonance Comme le sugg re la figure 2 9 un tel processus peut s interpr ter comme une absorption deux photons portant l atome de l tat i l tat k Si l atome avait t initialement dans l tat k il aurait videmment pu passer dans l tat i d nergie inf rieure sous l effet de la m me onde ce processus inverse est l mission stimul e deux photons 2 3 TRANSITION ENTRE DEUX NIVEAUX ATOMIQUES 93 Ex k Ej EAn ki o ANN
499. tz 2 16 Nous avons donc montr que le choix de l hamiltonien 2 17 conduit la d finition 2 22 de l op rateur vitesse et une quation d volution 2 33 de la valeur moyenne de cet op rateur vitesse qui est la g n ralisation naturelle de l quation classique 2 16 correspondante R p tons qu il ne s agit pas d une d monstration rigoureuse de la validit de l hamiltonien 2 17 mais plut t d un argument de plausibilit montrant la coh rence de ce choix 2 2 3 Hamiltonien d interaction en jauge de Coulomb a Jauge de Coulomb Nous savons qu il existe une infinit de couples de potentiels A r t U r t cor respondant au m me champ lectromagn tique On passe d un couple l autre par la transformation de jauge 2 1 4 On peut mettre profit cet arbitraire pour imposer une condition suppl mentaire sur les potentiels ce qui revient choisir une jauge particuli re Parmi les diverses jauges possibles l une est bien adapt e aux probl mes de l optique quantique c est la jauge de Coulomb d finie par la condition de jauge V Al r t 0 2 34 Ce choix correspond une valeur particuli re du potentiel vecteur not e A r t et appel e transverse Donnons l exemple utile pour la suite d une onde plane lec tromagn tique E Eo cos wt k r 2 35a kxE pooo cos wt k r 2 35b Eo k 0 2 350 Le potentiel vecteur correspondant en jauge de C
500. u 2D 24 En fait on peut interpr ter la photoionisation temps court comme une cons quence de la nature quantique de l atome et ici encore la quantification du rayonnement ne s impose pas 196 COMPL MENT 2D 2D 2 2 Section efficace de photoionisation M me si elle n est pas strictement impos e sur le plan logique ce niveau l interpr tation de la photoionisation comme une collision entre un photon incident et l atome est l gante et commode Il est donc judicieux d introduire la quantit obtenue en divisant le taux de photoionisation 2D 23 ou 2D 24 par le flux de photons par unit de surface et de temps Equation 2D 20 Cette quantit a les dimensions d une surface c est la section efficace de photoionisation og Le taux de photoionisation prend alors la forme suggestive Il P o Tphot 2D 25 Sg 1 hw o le nombre de photoionisations par unit de temps appara t comme le produit de la section efficace totale de photoionisation par le flux de photons par unit de surface et de temps En utilisant 2D 24 on obtient 2 _ _q 21 7 2 k dQ ue ke k 2D 26 oy TEK f due slt 0 2D 26a qui s crit encore Sy 270 dN ue 0 ke k 2D 26b Dans l quation ci dessus on a introduit la longueur d onde du rayonnement incident et le rayon classique de l lectron ge 1 h2 To EES 15 ane ame Rm 2D 26c on a utilis
501. u amplificateur Pour cette situation l quation 3A 32 reste valable et le flux lumineux II mis par le laser est gal IL Ti 3A 34 soit en utilisant les quations 3A 21 3A 31 et 3A 32 IT E AVeavS 3A 35 formule qui permet de relier la puissance de sortie l nergie dans la cavit ii Les r sultats d montr s dans ce paragraphe 3A 6 sont imm diatement applicables au cas d une cavit en anneau cause de la similitude entre une cavit lin aire dont le miroir Mz a un coefficient de r flexion gal 1 et une cavit en anneau voir paragraphe 3A 3 COMPL MENT 3B 263 Compl ment 3B Faisceaux gaussiens Modes transverses d un laser La description l mentaire du fonctionnement d un laser pr sent e dans la partie 3 1 du chapitre 3 repose sur l hypoth se implicite que l onde lumineuse circulant dans la cavit laser est une onde plane homog ne illimit e dans la direction perpendiculaire sa direction de propagation Cette hypoth se est manifestement irr aliste les divers composants d un laser miroirs milieu amplificateur ont des dimensions transverses li mit es souvent petites de l ordre du centim tre Si l onde laser tait r ellement plane et uniforme la diffraction au niveau de l un de ces composants suffirait provoquer une divergence de l onde l emp chant de revenir identique elle m me au bout d un tour de cavit On con oit qu
502. u bout d un cycle de fluorescence la fraction des atomes dans le sous niveau fondamental Mma 0 est donc pass e de To 3 To E Le processus continuant on tend rapidement vers la situation stationnaire To oo 0 2A 43a 2A 43b milo T 1 00 Z Dans cette situation la lumi re polaris e lin airement n interagit pas avec les atomes et elle cesse donc d tre absorb e par la vapeur atomique En r sum partir de l instant 2A 3 POMPAGE OPTIQUE 141 d application du faisceau lumineux polaris sur la vapeur atomique l intensit lumineuse transmise montre d abord une absorption puis elle augmente et tend vers sa valeur in cidente avec une constante de temps 7 Fig 2A 10 On d finit le taux de pompage T comme l inverse de 7p DA I inc H FIG 2A 10 volution de l intensit lumineuse transmise pour une onde lumineuse pola ris e t envoy e t 0 sur une vapeur atomique poss dant une transition Ja 1 Jy 0 r son nante La vapeur initialement absorbante devient transparente au bout de quelques constantes de temps de pompage Tp La situation C 2 obtenue comme r sultat du pompage optique est une situation hors d quilibre thermodynamique Tout processus de relaxation va provoquer un retour l quilibre qui se traduit par une augmentation de l absorption Comme la r sonance optique les m thodes du pompage optique permettent donc d tu
503. ue ces va leurs de I cf Remarque iv du paragraphe 2 3 1 b et la probabilit de transition 2 60 peut voluer en un temps assez petit pour respecter la condition ci dessus En revanche si l onde lumineuse est produite par une source traditionnelle lampe incandescence lampe d charge la largeur spectrale Aw de la lumi re qui joue un r le analogue I est typiquement plus grande que l par plusieurs ordres de grandeurs alors que les pulsa tions de Rabi sont plus faibles au mieux inchang es Cette situation d excitation par spectre large n est donc pas correctement d crite par l quation 2 60 et on n observe pas l oscillation de Rabi l oppos les transitions radiofr quence peuvent se produire entre des niveaux stables de dur es de vie quasiment infinies sous niveaux atomiques fondamentaux par exemple ou niveaux mol culaires non excit s lectroniquement L quation 2 60 d crit alors tr s bien la situation tant que la probabilit de transition reste petite devant 1 2 3 TRANSITION ENTRE DEUX NIVEAUX ATOMIQUES 85 En conclusion le calcul perturbatif a fait appara tre quelques caract ristiques essen tielles de la probabilit de transition sous l effet d une onde lectromagn tique caract re r sonnant proportionalit l intensit de l onde possibilit d une oscillation de Rabi Ce calcul reste n anmoins d une port e relativement limit e et nous tablirons de
504. ue la raie associ e l ensemble des ions s tale sur une large plage correspondant aux divers environnements possibles Le type d largissement d crit plus haut largeur Doppler largeur due au champ cris tallin ne correspond pas une limite ultime puisque des largeurs bien plus fines seraient obtenues s il tait possible d tudier l mission d un seul atome ou plus exactement d une seule classe d atomes atomes ayant une vitesse donn e ou bien plac s dans un site de type donn Ce ph nom ne parasite d aux conditions exp rimentales est responsable de la largeur inhomog ne de la raie Nous verrons dans les parties 3E 2 et 3E 3 que les m thodes de la spectroscopie non lin aire permettent d liminer certains de ces largisse ments inhomog nes Au contraire la largeur homog ne correspond la largeur de la transition que l on est susceptible d observer si l on tudie un atome unique de l chantillont La largeur li e la dur e de vie finie des niveaux atomiques excit s est un exemple de largeur ho mog ne Cette largeur li e l mission spontan e est la plus petite largeur susceptible d tre obtenue pour une transition donn e d un atome isol de toute perturbation La valeur de cette largeur est calculable dans le cadre de l interaction entre un atome et le 2Voir par exemple R Balian M canique Statistique Chapitre 6 6 2 3En fait les atomes ne sont pas immobiles dan
505. un laser incident de fr quence w non n cessairement r son nant il y a une possibilit d obtenir du gain par effet Raman stimul Chapitre 2 8 2 1 5 pour une onde de fr quence w telle que w w co ncide avec une fr quence de vibration ou de rotation de la mol cule Consid rons par exemple les transitions vibrationnelles l quilibre thermodynamique le niveau vibrationnel le plus profond correspondant au nombre quantique n 0 tant le plus peupl parce qu il correspond au minimum d ner gie voir figure 3 19 la transition Raman allant de n 0 n 1 est plus probable que la transition Raman inverse allant de n 1 n 0 L amplification du faisceau 236 CHAPITRE 3 LES LASERS de fr quence w peut donner lieu une oscillation laser si les mol cules sont enferm es dans une cavit r sonnante pour la fr quence w On obtient ainsi un laser Raman dont la longueur d onde est d cal e vers le rouge par rapport la longueur d onde du laser incident Ce m canisme est notamment utilis pour obtenir des lasers dans l infra rouge On peut utiliser plusieurs lasers Raman en cascade fonctionnant ventuellement avec des mol cules diff rentes pour acc der l infra rouge lointain On r alise dans le domaine millim trique la jonction avec les fr quences produites par des oscillateurs lectroniques klystrons carcinotrons diodes Gunn etc laser incident Raman n 2 n 1 n
506. une seule impulsion circulant dans la cavit Par ailleurs l intensit de chaque impulsion est gale N E ee Z 3 44 3 4 LASERS EN IMPULSION 247 ou encore en utilisant 3 38 Imax NT 3 45 La largeur temporelle de chaque impulsion est 27 T NA N Les impulsions sont d autant plus intenses et plus courtes que le nombre de modes os cillant N est lev Comme nous l avons vu dans le 3 1 2 d ce nombre de modes est proportionnel la largeur spectrale de la courbe de gain Pour avoir des impulsions tr s courtes il faut que cette largeur soit tr s grande gt 3 46 I NI i gt 0 27 A to FIG 3 24 Intensit d un laser modes synchronis s en fonction du temps La courbe ci dessus repr sente l intensit r sultant de l addition coh rente des champs de N modes lasers de m me amplitude et quidistants s paration entre modes A Avec cette m thode on peut obtenir partir d un laser argon ionis commercial des impulsions de dur e 80 ps r p t es toutes les 12 ns cf le tableau du 3 3 1 avec un laser colorant ou un laser saphir dop au titane des impulsions plus courtes que 100 fs sont ais ment obtenues Ce sont ces impulsions qui amplifi es et convenablement trait es permettent d obtenir des impulsions de quelques femtosecondes Pour synchroniser les modes d un laser on peut par exemple moduler les pertes de la cavit la fr quence A Consid
507. upposons que le syst me se trouve l instant initial dans le niveau i Les conditions initiales sont donc y 0 1 7 0 0 d o 4 0 0 en vertu de 1B 3 La solution correspondante de 1B 7 s crit alors 1B 2 VOLUTION TEMPORELLE 97 e Dans le cas o gt 2AT AT A t 2AT f 7At 2h RS ni at msi yilt e cosh SE A sinh Fe avec A A 1 A 1B 8 e Dans le cas o lt 2h A t A A t 2h At 2 ME su 1 2 RARES yilt e cos GE NET J avec A A 1 1B 9 Consid rons alors les deux cas extr mes pour la largeur du continuum e Si AT A 1 continuum large voir la courbe a sur la figure 1 y t s crit au premier ordre de perturbation en Al A AT AT i yilt ee T NE 1B 10 Pour des temps longs devant l inverse de la largeur du continuum A A la contri bution de la deuxi me exponentielle est n gligeable et on retrouve la d croissance exponentielle habituelle quation C 17 Le deuxi me terme joue par contre un r le important aux temps courts t lt A A o il assure le d marrage en t et non pas en t de y t En effet au voisinage de t 0 et au premier ordre en A A qilt s crit Ye Tes te 1B 11 nt 1 2 1B 11 e Si AT A gt 1 continuum troit courbe c la solution approch e de 1B 7 s crit l ordre le plus bas TA qilt e72 cos DE 1B 12 On obtient des oscillations de pulsation TAN wra x us analogu
508. ure des rotations par rapport un r f rentiel d inertie 3D 3 1 Effet Sagnac Cet effet d couvert par Sagnac en 1914 permet de mesurer par une m thode d in terf rom trie optique la rotation d un r f rentiel par rapport tout r f rentiel d inertie Pour plus de d tails voir A Briand B Fleurot P Mauchien C Moulin et B Remy Ann Physique Colloque 2 Vol 16 pp 63 68 1991 ou M L Chanin Les lasers et leurs applications scientifiques et m dicales p 507 Les ditions de Physique 1996 302 COMPL MENT 3D SEPARATRICE F1G 3D 10 Interf rom tre de Sagnac Consid rons l interf rom tre en anneau de la figure 3D 10 Lorsqu il est anim d un mou vement de rotation de vitesse angulaire Q par rapport un r f rentiel d inertie il existe une diff rence de marche x entre les deux faisceaux se propageant dans des sens oppos s dans l interf rom tre qui vaut x c t 4AQ c 3D 11 o t est la diff rence entre les temps de propagation de l onde dans les deux sens de rotation et la surface sous tendue par le trajet des faisceaux lumineux dans l inter f rom tre Donnons de cette formule g n rale une d monstration simplifi e dans le cas d un interf rom tre de forme circulaire anim d un mouvement de rotation autour de son centre voir figure 3D 11 Un tel dispositif peut tre r alis avec une fibre optique Consid rons un rayon lumineux entrant dan
509. us valence FIG 3 14 Sch ma des niveaux d nergie d un laser semiconducteur en fonction de la position L mission de lumi re est associ e la recombinaison lectron trou induite lorsqu on applique une tension positive entre la zone p et la zone n liquide pour limiter les relaxations non radiatives la densit de courant n cessaire pour d passer le seuil laser tait tr s lev e 5 x 103A cm 77 K Dans les ann es 70 les technologies des composants semi conducteurs comme l ars niure de gallium et les produits d riv s ont connu des progr s consid rables Il est devenu possible avec des structures plusieurs couches de composition diff rente h t rostructures voir Fig 3 15 de confiner la zone de recombinaison une paisseur de 0 1um Le seuil laser est alors atteint avec des courants beaucoup plus faibles pt GaAlAs p GaAlAs D GaAs _ gt NS n GaAlAs KE FIG 3 15 Sch ma de la structure des couches dans un laser semi conducteur h t rostructure Plusieurs couches pr sentant des gaps diff rents sont superpos es L mission stimul e se produit dans la mince couche active au sein de laquelle les ondes lumineuses sont guid es comme dans une fibre optique l indice de r fraction y est plus lev On clive deux facettes perpendiculaires cette nappe et parall les entre elles elles servent de miroirs pour une cavit
510. uvons consid rer que les niveaux excit s a et b se vident vers un niveau fondamental f partir duquel ils peuvent aussi tre aliment s par un m canisme de pompage Nous supposerons que ce pompage qui peut tre produit par un bombardement lectronique par une source lumineuse annexe ou tout autre m canisme voir Chapitre 3 partie 3 2 est d crit par les quations d alimentation suivantes d ao E Moo gf 2B 10a 2B 1 FONCTION D ONDE ET MATRICE DENSIT 155 b Ebt P T Ab To ho Iba TG a Ja Aa Ta FIG 2B 2 Syst me deux niveaux ouvert Les deux niveaux a et b peuvent se d sexciter vers un ou plusieurs niveaux d nergie inf rieure Ils peuvent galement tre aliment s partir de l ext rieur La somme des populations des deux niveaux a et b n est pas constante d BA 7 Vaa 2B 1 dt 7 alim TH l z Dans la pratique les taux d alimentation et Ap sont g n ralement petits devant Pa et l y de sorte que les populations dans les niveaux excit s restent tr s petites devant la population du niveau fondamental On a donc ops amp 1 ce qui permet de remplacer les quations 2B 10a par les expressions approch es d 7 TONELS Se d 2B 11 dt Sua alim l 3 En revanche le pompage ne cr e g n ralement pas de coh rence entre deux niveaux lec troniques diff rents de sorte qu il n y a pas pour o de terme source d au pompage Remarques i Malgr
511. v es mais elles visent des dur es d impulsion plus longues des microsecondes au lieu de picosecondes ou femtosecondes et des volumes d irradiation plus grands des millim tres cube au lieu de microm tres cube 252 CHAPITRE 3 LES LASERS Ainsi ce qu apporte la lumi re laser c est la possibilit d tre concentr e gr ce ses propri t s de coh rence coh rence temporelle qui permet une concentration d nergie dans le temps ou en fr quence coh rence spatiale permettant soit de focaliser tr s fortement l nergie soit de r aliser des faisceaux extraordinairement bien collimat s Ce sont ces propri t s qui sont exploit es dans les applications des lasers Nous avons d j indiqu que la diff rence entre lumi re classique et lumi re laser est de nature fondamentale et que la thermodynamique en donne une explication profonde On peut aller plus loin et analyser cette diff rence dans le cadre de la physique statis tique des photons Il est alors frappant de constater voir le compl ment 3G que les photons mis par une source classique sont distribu s dans un tr s grand nombre de cel lules l mentaires de l espace des phases ou modes du champ lectromagn tique et que le nombre moyen de photon par mode est tr s inf rieur 1 Au contraire tous les photons d un laser tant mis dans le m me mode ou dans un petit nombre de modes du champ lectromagn tique le nombre de photons par mod
512. veaux b et f respectivement Un m canisme de pompage peuple e partir de f Quand l effet laser est suffisamment faible pour pouvoir n gliger l mission stimul e ou l absorption sur la transition b a c est dire en r gime non satur les quations 222 CHAPITRE 3 LES LASERS de pompage s crivent d Ne EE NE Ne 3 22 EN W N Ne E 3 2 NM N CL A 3 22b dt Ta Th E E EL 3 220 dt Th Ta Ces quations assurent la conservation de la population totale N N N N N 3 23 En r gime stationnaire dN dt 0 avec i f a b e on d duit de 3 22c Np Tb 3 24 Na Ta ce qui compte tenu des diff rences d ordre de grandeur entre les divers taux Te Ta K Th 3 25 montre que M gt Na Dans un syst me quatre niveaux pour lequel la condition 3 25 est v rifi e l inversion de population est automatiquement r alis e Dans l hypoth se g n ralement correcte d un pompage faible WT 1 3 26 et en l absence d mission laser la fraction des atomes participant l inversion de popu lation est gale NM Na Wh 3 27 N 1 w l Cette fraction peut tre importante si le niveau b a une longue dur e de vie Un tel syst me quatre niveaux est donc bien adapt la r alisation d amplificateurs laser comme nous le montrons dans les paragraphes ci dessous Remarque En pratique il existe des pertes suppl mentaires non incluses dans le m
513. veaux int ress s par la transition introduisent une moyenne sur les oscillations de Rabi commen ant des instants diff rents et entra nent le brouillage de ces oscillations COMPL MENT 1A 49 Compl ment 1A Exemple d utilisation de la r gle de Fermi dans le probl me de l autoionisation Dans ce compl ment nous allons d tailler le calcul d une probabilit de transition l aide de la r gle d or de Fermi dans le cadre d un probl me donn en l occurrence celui de l autoionisation d un syst me deux particules pr sent dans le paragraphe 1 3 1 Il s agit ici uniquement de comprendre comment appliquer cette r gle et non pas d tudier en d tail le probl me physique r el de l autoionisation d un atome ce calcul techniquement d licat sortant du cadre de cet ouvrage Nous nous contenterons donc de calculer la probabilit de transition pour le mod le simplifi une dimension avec un puits de potentiel en cr neau introduit dans le paragraphe 1 3 1 a Nous verrons en particulier comment on calcule concr tement la densit d tats p E et introduirons les conditions aux limites p riodiques qui permettent souvent de simplifier les calculs de densit d tats La probabilit de d sexcitation par unit de temps de l tat doublement excit li 1 8 2 B vers les tats k 1 E 2 a est donn e par la r gle d or de Fermi formule 1 90 D E 2 alWl1 8
514. ventions extr mement localis es l int rieur du corps humain au prix d un traumatisme de l organisme nette ment inf rieur celui r sultant d une op ration chirurgicale classique Le co t plus lev de l quipement laser peut dans certains cas tre largement compens par la r duction des d penses d hospitalisation Un exemple particuli rement m diatique est fourni par les recherches actuelles de traitement laser de certaines obstructions coronariennes an gioplastie la fibre est introduite dans l art re coronaire jusqu au niveau de l ath rome responsable du r tr cissement ou de l occlusion du vaisseau Celui ci est alors d truit gr ce au laser par effet thermique ou mieux par photoablation Ce type de traitement n est ce pendant pas d nu d effets secondaires Les effets thermiques par exemple conduisent ainsi souvent des complications s rieuses br lure des tissus proches ou r occlusion pr coce Ce traitement n est donc pas pour l instant la panac e N anmoins les pro 284 COMPL MENT 3C gr s offerts par la photoablation tout comme une meilleure int gration des lasers dans la panoplie de soins des maladies art rielles offrent un espoir raisonnable terme Les effets thermiques ou de photoablation pr sentent le d savantage d tre non s lectifs m dicalement parlant puisqu ils s attaquent aussi bien aux tissus malades qu aux parties saines Il est possible de tire
515. voir par exemple W W Chow J Gea Banacloche L M Pedrotti V E Sanders W Schleich et M O Scully Rev Mod Phys 57 61 1985 304 COMPL MENT 3D MILIEU AMPLIFICATEUR N D PHOTODETECTEUR FIG 3D 12 Sch ma de gyrolaser La fr quence d mission d un laser tant un nombre entier de fois c L et la longueur effective L diff rant selon le sens de la rotation de la quantit c t calcul e pr c demment la diff rence de fr quence w entre les deux faisceaux 1 et 2 est telle que w w c t L 3D 15 D o w 4A 52 3D 16 La fr quence de battement est proportionnelle la vitesse de rotation Q et le facteur de proportionnalit ne d pend que des caract ristiques g om triques de la cavit laser surface A et p rim tre L La quantit 4A LA est appel e facteur d chelle Son ordre de grandeur est environ L A En prenant une cavit de l ordre de 1 m on trouve ainsi que w 2r est plus grand que Q par un facteur de l ordre de 106 C est ce facteur multiplicatif qui permet de mesurer les tr s faibles vitesses de rotation Ainsi pour un gyrolaser carr de 1 m de c t fonctionnant 0 6 um la rotation terrestre provoque un cart en fr quence d environ 100 Hz La mesure est effectu e par un photod tecteur qui mesure l intensit lumineuse totale E t E2 t obtenue par combinaison sur la s paratrice S des deux ondes mises par le laser voir figure 3D 12 Comme dans le
516. x d nergie pour lesquels h Eg E lt 1 29 B E 1 29 auront une probabilit appr ciable d tre peupl s fo KE a b At AE 0 t 0 E FIG 1 2 La transform e de Fourier de la fonction f t centr e l origine et de largeur At fig B 2 a est une fonction de E centr e l origine et de largeur AE h At fig B 2 b Prenons le cas d une collision dans laquelle l interaction est une fonction d croissante de la distance R entre partenaires de la collision voir Figure 1 1 Sa dur e mi hauteur est de l ordre de b V o b est le param tre d impact valeur minimale de R pendant la collision et V la vitesse relative des particules L in galit 1 29 implique que seuls les niveaux d nergie k tels que hV E Ei lt T 1 30 seront peupl s de mani re appr ciable l issue de la collision 24 CHAPITRE 1 PROBABILIT S DE TRANSITION titre d exemple consid rons une collision avec un param tre d impact b 5 nm soit 100 fois de rayon de Bohr ao par un atome ayant une vitesse de 500 m s Une telle collision est susceptible de provoquer une transition vers des niveaux s par s de moins de AV b 1072 J soit encore Ep E h lt 104 Hz Ce calcul simple montre que la thermalisation des populations des sous niveaux hyperfins atomiques dont les s parations sont au plus de quelques GHz peut se r aliser sous l effet de collisions grand param tre d impact
517. x traversant un milieu amplificateur de longueur LA vaut i ze L G Jsortie _ exp y i de 3 1 I entr e 24 o g z est le gain par unit de longueur dans la tranche d abscisses z cf quation 2 177 Si l intensit lumineuse circulant dans l amplificateur laser est petite devant l intensit de saturation Isat cf 2 5 7 le gain par unit de longueur est maximal en tout point Il en est videmment de m me du coefficient d amplification qui prend alors sa valeur non satur e G Pour un milieu amplificateur homog ne et un gain G 1 petit devant 1 le gain non satur s crit de fa on approch e Get QUITA 3 2 o g est le gain non satur par unit de longueur L amplificateur laser est plac dans une boucle de r action g n ralement assur e par un ensemble de miroirs r alisant une cavit laser La cavit laser repr sent e sur la figure 3 1 est constitu e par trois miroirs permettant un pinceau de rayons parall les de suivre une trajectoire ferm e par r flexion sur ces miroirs Nous supposons que deux de ces miroirs sont totalement r fl chissants et que le troisi me appel miroir de sortie a des coefficients de r flexion et de transmission en intensit respectivement gaux R et T avec R T 1 pour un miroir sans pertes Consid rons un pinceau lumineux circulant dans la cavit en anneau partir du point A situ juste apr s le miroir Ms Fig 3 2 Si l intensit du cha
518. ximation de la fonction de Dirac et on montre que in r E E Nous pouvons crire 1 32 sous la forme 2T Nous retrouvons dans ce cas particulier le r sultat du paragraphe pr c dent Un couplage de dur e T n est efficace qu entre tats d nergies voisines On trouve plus pr cis ment ici rh Ex El 1 37 Les r sultats 1 36 et 1 37 seront utilis s dans la partie 1 3 o le couplage peut induire des transitions vers un ensemble de niveaux k tr s serr s La distribution des tats finaux 26 CHAPITRE 1 PROBABILIT S DE TRANSITION atteints apr s une interaction de dur e T est centr e sur l nergie initiale F et sa largeur d cro t avec T Dans le cas o on s int resse la probabilit de transition entre 2 niveaux sp cifiques i et k non d g n r s EF Ep les expressions 1 32 et 1 33 montrent que la probabilit de transition oscille avec le temps d interaction AW a Er Ei P T T 1 38 Comme le montre la figure 1 4 la fr quence de l oscillation augmente avec l cart en nergie tandis que la valeur maximale de la probabilit de transition d cro t comme Ex E Nous retrouverons de fa on plus rigoureuse ce r sultat oscillation de Rabi par un traitement non perturbatif au paragraphe 1 2 5 b Ny 0 h E E l FIG 1 4 Probabilit de transition entre 2 niveaux discrets en fonction de temps d interaction T La courbe tiret
519. yonnement thermique o le param tre de d g n rescence est inf rieur 1 pour les temp ratures accessibles en pratique 3G 5 Nombre de photons par mode pour un faisceau libre 3G 5 1 Mode libre propagatif Au paragraphe pr c dent nous avons utilis la notion de mode du rayonnement en ferm dans une cavit La d finition d un mode l mentaire du rayonnement est un peu plus d licate dans le cas de faisceaux se propageant librement Consid rons un pinceau lumineux mis dans l espace libre par exemple partir d un petit trou perc dans la paroi d une enceinte rayonnement du corps noir Figure 3G 4 Comment g n raliser la notion de mode dans ce cas alors qu on n a plus de condition aux limites pour discr tiser le probl me FIG 3G 4 Pinceau de rayonnement thermique obtenu en per ant un petit trou de surface dS dans une cavit contenant du rayonnement temp rature T et en se limitant un angle solide dQ La luminance est celle du corps noir temp rature T Un mode libre est associ un pinceau minimal tel que dU dSdQ A A 2rc w et un paquet d onde minimal de dur e At 2r Aw 3G 5 NOMBRE DE PHOTONS PAR MODE POUR UN FAISCEAU LIBRE 349 Nous d finirons un mode libre en consid rant d abord un pinceau d tendue minimale compatible avec la nature ondulatoire du rayonnement Un tel pinceau l mentaire de longueur d onde moyenne 2rc w de section dS a une diver

Optique quantique 1 : Lasers

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