• Fiche de repérage • Fiche élève • Scénario d`usage • Fiche
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1. SFODEM a ROGO Concephoncolaborativederessources SOUS TANGENTE la courbe de l exponentielle SUIVI DE FORMATION A DISTANCE POUR LES ENSEIGNANTS DE MATHEMATIQUES Fiche de rep rage e Fiche l ve e Sc nario d usage e Une trace de travaux d l ves la construction g om trique attendue la question 1 b de la fiche l ve e Fiche technique IREM de Montpellier Page 1 SF OD ES SOUS TANGENTE la courbe de l exponentielle e 2 Fiche de rep rage SUIVI DE FORMATION A DISTANCE POUR LES ENSEIGNANTS DE MATHEMATIQUES Montpellier Niveau Terminale S Domaine Equation diff rentielle exponentielle tangente d riv e Pr sentation Il s agit de motiver la recherche de fonctions d rivables sur IR telles que f K f e La premi re question de l exercice pr sent dans la fiche l ve am ne par le calcul constater que la sous tangente l exponentielle est constante e La pr sentation en vid oprojection du fichier St 1 e fig confirme le r sultat tabli l exploration de quelques uns des fichiers disponibles St xx fig montre que la sous tangente aux courbes des fonctions affines carr racine carr e sinus cube inverse n est pas constante un d bat entre les l ves peut amener au cours de l observation des repr sentations graphiques 7 de quelques fonctions de r f rence conjecturer une expression de la fonction sous tangente 7 utili2. b de la fiche l ve En d duire une construction de l axe des ordonn es sur le graphique Voici celle propos e par un l ve directement sur la fiche l ve Le graphique ci dessous montre une partie de la courbe repr sentative de la fonction exponentielle x dans un rep re orthonormal dont seul appara t l axe des abscisses x x l a Pour tout point M d abscisse appartenant on consid re le point P de coordonn es t 0 et le point N point d intersection de la tangente en M avecil axe des abscisses Montrer que la distance PN est constante b En d duire une construction de l axe des ordonn es sur le graphique ci dessous LE iia Y 2 Dans la suite de l exercice f d signe une fonction d finie sur R strictement positive d rivable et dont la d riv e est strictement positive Pour tout point M d abscisse t appartenant la courbe repr sentative de f on consid re le point P de coordonn es t 0 et le point N point d intersection de la tangente en M la courbe repr sentative de f avec laxe des abscisses a Calculer la distance PN en fonction de f t etde f t b Montrer que la distance PN est constante si et seulement si f est solution d une quation diff rentielle de la forme y k y c En d duire les fonctions f pour lesquelles la distance PN est constante Acc s au sommaire IREM de Montpellier Page 5 SFOD ES SOUS TANGENTE la c
3. et le point N point d intersection de la tangente en M 7 avec l axe des abscisses Montrer que la distance PN est constante b En d duire une construction de l axe des ordonn es sur le graphique ci dessous 2 Dans la suite de l exercice f d signe une fonction d finie sur IR strictement positive d rivable et dont la d riv e est strictement positive Pour tout point M d abscisse t appartenant la courbe repr sentative de f on consid re le point P de coordonn es t 0 et le point N point d intersection de la tangente en M la courbe repr sentative de f avec l axe des abscisses a Calculer la distance PN en fonction de f t etde f t b Montrer que la distance PN est constante s1 et seulement si f est solution d une quation diff rentielle de la forme y k y c En d duire les fonctions f pour lesquelles la distance PN est constante Acc s au sommaire IREM de Montpellier Page 3 SFOD ES SOUS TANGENTE la courbe de l exponentielle Sc nario d usage SUIVI DE FORMATION A DISTANCE POUR Montpellier LES ENSEIGNANTS DE MATHEMATIQUES Sc nario Description de la t che Situation Outils et supports D couverte et lecture Pe Les l ves n E j individuelle fiche l ve 3 min compl te de l nonc os Question 1 a de l exercice _ i ion Ne Travail papier Noter au moins une action adadale pap r aliser pour r pondre la question crayon
4. Proposer un plan de solution Les l ves 5 min Le professeur et D bat sur le plan de solution collective 5 min la classe R alisation du plan de individuelle Travail papier 8 10 Les l ves a j solution issu du d bat crayon min Travail papier Les l ves Question 1 b individuelle crayon faire ou 2 min finir la maison faisant ressortir si n cessaire crayon Reconna tre graphiquement le Fichiers r sultat la sous tangente l exponentielle est constante St 1 e fig Le professeur et En est il de m me pour d autres St 2 a fig 10 12 La cl fonctions usuelles affine carr collective St 3 c fig he racine carr e sinus et St 4 rc fig nn ventuellement cube et inverse et St 5 s fig sinon quel mod le la sous tangente St cu fig suit elle dans chaque cas St 1 fig P i ice re Travail papier l Les l ves Questions 2 a de l SE individuelle Pep 10 min m me plan de solution qu au 1 crayon Questions 2 b et 2 c mise en quation recherche parmi Les l ves les divers mod les connus en individuelle PIANOS PARIET 10 min ey u e Acc s au sommaire Cette dur e est donn e titre indicatif et pr visionnel IREM de Montpellier Page 4 SOUS TANGENTE la courbe de l exponentielle Trace de travaux d l ves SUIVI DE FORMATION A DISTANCE POUR LES ENSEIGNANTS DE MATHEMATIQUES La question 1
5. ourbe de l exponentielle SUIVI DE FORMATION A DISTANCE POUR LES ENSEIGNANTS DE MATHEMATIQUES Nom des fichiers Logiciel utilis Description et mode d emploi IREM de Montpellier Fiche technique Montpellier St 1 e fig sous tangente la courbe de la fonction exponentielle St 2 a fig idem pour une fonction affine St 3 ca fig pour la fonction carr St 4 re fig racine carr e St 5 s fig Sinus St cu fig cube Stii inverse Cabri II Utilisation en r troprojection classe enti re curseur en position gauche le d placement de M sur la courbe permet d observer la sous tangente la fonction repr sent e longueur du segment PN curseur en position droite un nouveau curseur renvoie verticalement le segment PN en pla ant en mode trace l extr mit autre que P de ce segment vertical on peut reconna tre le mod le de la sous tangente la fonction repr sent e Acc s au sommaire Page 6
6. sant f et sa d riv e e La deuxi me question de l exercice am ne d terminer toutes les fonctions sous tangente constante compos es d une fonction affine par l exponentielle Ce germe de ressource peut tre propos comme application la question de cours sur la r solution de l quation diff rentielle y k y ou bien comme introduction cette m me question de cours dans ce cas la question 2 c de l activit sur la fiche l ve devrait tre modifi e par exemple Trouver des fonctions f pour lesquelles la distance PN est constante la r solution en classe de l quation diff rentielle y k y permet alors d obtenir toutes les fonctions f pour lesquelles la distance PN est constante Origine Sous tangente fiche l ve document l ve r dig partir de l exercice 2 du recueil d exemples d exercices du baccalaur at s rie S diffus en 2003 par l Inspection G n rale Acc s au sommaire IREM de Montpellier Page 2 SFOD ES SOUS TANGENTE la courbe de l exponentielle SUIVI DE FORMATION A DISTANCE POUR Fiche l ve Montpellier LES ENSEIGNANTS DE MATHEMATIQUES Le graphique ci dessous montre une partie de la courbe repr sentative de la fonction exponentielle x e dans un rep re orthonormal dont seul appara t l axe des abscisses x x 1 a Pour tout point M d abscisse t appartenant 7 on consid re le point P de coordonn es t O
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