Cours n°13: Diagrammes de Bode
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1. Exemple de fonctions PB1 PH1 PB2 PH2 PB CB pp H LL 1 R r alisation R C sortie Co sortie RL sortie R 1 jx RC L un passe bas d ordre 1 extrait la aleur moyenne et les composantes de basses fr quences pr sentes avant la coupure R ix ORSR 1 H d r alisation R C sortie R sortie RL sortie L PHI1 1 jx RC Un passe haut r alise l op ration compl mentaire et ne laisse passer que les HF J Q 1 1 H pp H R L CsortieR o Q IL pp 0 TE Fc RCo Un passe bande s lectionne une bande de fr quences autour de sa fr quence de r sonance et ceci de fa on d autant plus s lective que le facteur de qualit est grand 1 H pp H R L C sortie C ps Un PB2 est plus selectif qu un PB1 mais est susceptible de monter en plus de son caract re passe bas un caract re passe bande si Q gt 1 V2 y2 H a H R L C sortie L 1 12 l x2 Hog H R L C sortie L C compl menatire de R 1 347 un coupe bande ou r jecteur rejette une bande de fr squence 1l est le compl mentaire du passe bande et la sortie est prise sur le compl mentaire de R b D finition de l imp dance d entr e Z Z c D finition de l imp dance de sortie U S On lit dans un manuel le Vuibert la premi re d finition Ze 7 0 Avec une criture matricielle des imp dances et avec la convention i is l22. Remarque liant phase et amplitude sur les exemples des PB1 et PB2 une pente de 20 dB d cade est accompagn e d une diminution de phase de x 2 une pente de 40dB par d cade d une diminution de phase de x IV Gabarit Cahier des charges On va expliquer cette notion sur l exemple d un passe bas Un cahier des charges nous impose 4 quantit s Derni re fr quence passante fp 4000Hz gain minimum g1 3dB pour les fr quences passantes Premi re fr quence att nu e fa 14000Hz gain maximum pour ces fr quences g2 15dB Sur un diagramme de Bode de gain cela exclut deux zones rectangulaires infinies hachur es ci dessous f en chelle log Calcul de la pente minimale 12dB en 8000Hz soit en prenant une r f rence provisoire 1000Hz de log 04 log 014 Soit 0 54 soit 22dB d cade on doit choisir un PB2 pour satisfaire au cahier des charges Prenons le avec un facteur de qualit de 1 V2 il sera sous les asymptotes mais assez proche et on s en satisfera Il faut maintenant choisir la fr quence de coupure du passe bas d ordre 2 afin que l asymptote passe au plus loin des zones interdites hachur es g 20log b 20 logo 1 x2 asymptote HF lim g x 40log x 0 40 log f 40log fo les valeurs limite de fO correspondent aux passages par les deux points SI et S2 3 40 log 4000 40 log f fa 3365HZ 15 40 log 14000 40 log f f 5903 Attention dans un
3. 0 2 1 5 0 0 2 0 0 5 10 15 20 0 5 10 15 20 0 2 0 10 1 5 20 1 0 0 5 30 0 0 40 0 5 50 1 0 60 1 5 70 2 0 30 25 20 15 10 05 Q 0 5 1 0 1 5 23 0 25 20 15 10 05 00 0 5 1 0 1 5 Les diff rentes d cades intervalle de fr quence ou la fr quence se trouve multipli e par 10 ont un poids gal Montrons que les asymptotes dont on constate la pr sence sur le diagramme de Bode taient pr visibles J Q l PORI lt H avec H pour la r alisation R L C 0 l 2 1 jQ x Q x l l l l G A EE FRERE g 2010g G 20log are 10log 1a 2 l jJO x hi4 Q x hto X xX x g l0log or 20 log Q 20log x pente 20dB d cade X H pg limite basse fr quence x 0 limite haute fr quence x g gt 10log 2 x 2 J 20log Q 20log x pente 20dB d cade q 10 2 Lecture de diagrammes de Bode on suppose que l chelle horizontale est log x log v v avec v5 1kHz Sur les diagrammes de Bode suivants Reconnaitre le passe bande et estimer les facteurs de qualit extr mes du r seau de courbes Sur les PB2 PH2 appliquer la technique vue dans le cas des diagrammes lin aires pour estimer la fr quence propre et le facteur de qualit on rappelle que le diagramme de gain et de phase interviennent conjointement et on adaptera la mesure Quelle valeur doit avoir le facteur de qualit d un PB2 pour qu il s carte le mo
4. C la demande d Alexander Graham Bell En 1880 le gouvernement fran ais avait d cern le Prix Volta dot de 50 000 francs or Bell pour l invention du t l phone L inventeur am ricain les employa la construction de ce laboratoire Volta Ses collaborateurs Sumner Tainter et Chichester Bell s y consacraient l analyse sonore l enregistrement et la retransmission du son Bell r investit une part consid rable du produit de ces recherches l ducation ainsi qu la reconnaissance du handicap de surdit En 1884 l American Bell Telephone Company cr a son D partement de M canique partir du D partement de l lectricit et des Brevets form un an plus t t En 1925 les Laboratoires de recherche de Western Electric furent regroup s avec une partie du service d ing nierie d AT amp T pour former Bell Telephone Laboratories Inc en tant qu entit distincte Le premier pr sident de la recherche en fut Frank B Jewett qui demeura ce poste jusqu en 1940 Bell Laboratories tait d tenu parts gales par AT amp T et Western Electric Company Sa principale mission consistait concevoir et r parer les mat riels fabriqu s par Western Electric pour les compagnies d exploitation de Bell System y compris les commutateurs t l phoniques L assistance aux compagnies t l phoniques allait jusqu l dition des Bell System Practices BSP une collection compl te de manuels techniques Bell Labs agissai
5. diagramme o la pulsation de r f rence serait celle du filtre PB2 on aurait une droite qui passerait par l origine mais cause du fait que la r f rence est arbitrairement prise 1kHz la droite est affine ce qui est heureux pour r aliser le cahier des charges V Caract re int grateur ou d rivateur des filtres du Premier ordre PB1 calculs men s caract re d rivateur lien HF gt gt o T lt t 1 j l U U d pour le PB1 aa eA U jRC 1 U U JRCo U U r u u 2 E jJC o l U U Si RCo gt gt 1 soit t gt gt soit gt gt alors 1 gt x U amp on a un caract re int grateur T JRC U JRC d river c est multiplier par j dans la partie active du filtre pour les fr quences ou il att nue interessons nous maintenant l quation 2 du Tu Le temps carat ristique de variation de u et de uc est not T alors 7 est de l ordre de T et domine u si T gt gt T alors t d d re xu 2 soit r dt u 2 S xu u f u 0 lt a qui montre le caract re int grateur du filtre T 27 7 1 N noter encore que si on remarque que ra les deux conditions T gt gt T et gt gt sont clairement identiques T VI Probl mes de filtrage 1 Deux remarques en liaison avec la le on suivante a D formation Les fr quences qui sont filtr es sont att nu es et d phas es diff remment les unes des autres
6. interne et les sources de tension id ales pr sentes dans les repr sentation de Th venin des sources r elles sont remplac es par des court circuits on fait E 0 il reste la encore l imp dance interne de chaque source interne En pratique on n a pas n cessairement la possibilit d teindre les sources internes et une technique de mesure de l imp dance de sortie sera bas e sur la propri t op ratoire de l imp dance de sortie AU AI sources internes et d entr e teintes Z Sources teintes signifiant bien sur remplac es par leurs imp dances internes IHI Catalogue des filtres et de leur diagramme Dans un diagramme de Bode on trace le gain en d cibel d fini par g 20log 9G et la phase de la sortie par rapport l entr e en fonction de log x o x est la pulsation r duite ce qui impose d avoir fait le choix d une pulsation de r f rence 1 Comparaison Comparons un diagramme de Bode et un diagramme lin aire relatifs au m me filtre un passe bande import numpy as np import matplotlib pyplot as plt TO 1 0 Q 3 xfin numpoints 20 250 x np linspace 0 001 xfin numpoints plt plot x 1 1 Q Q x 1 x x 1 x 0 5 pit show plt plot x np arctan Q x 1 x pit show plt plot np log10 x 20 np log10 1 1 Q Q x 1 x x 1 x 0 5 pit show plt plot np log10 x np arctan Q x 1 x pit show 1 0 2 0 1 5 0 8 1 0 0 6 0 5 0 0 0 4 0 5 1 0
7. l1 U f U U Zi Zob U sM Ly U Zah Lot L da Us On lit dans d autres livres d di s l lectronique la seconde d finition incoh rente avec la premi re Le ia T E S Ue 0 L imp dance de sortie est alors l imp dance quivalente de la repr sentation de Th venin vu de la sortie quand la source id ale de tension d entr e est teinte soit que la tension d entr e U est prise nulle ou la source id ale de tension d entr e est remplac e par un fil U U Zi 2 1 0 Zi Z i Zi Z 5 A 1202 nn LE Non ee Dh Zi 7 47 U Zi Zi U Zi Zpt 1 Zi Z Z Zo Za 11 d Calcul de ces quantit s dans le cas des filtres en pont Z Ue Z gt U Zi Zi 2 Zn _ Z Z2 Z Es Za Z H Le Li Lo Zi Z Z Z selon la d finition 1 ZZ Bi ZZ Z Zs Z a F2 aZ Z I Z selon la d finition 2 E 11 Z Z Z Z Dans la d finition 1 on isole le filtre de son entr e du GBF que l on d connecte Dans la d finition 2 on remplace le GBF par un fil On peut d ailleurs comprendre le r sultat pour la d finition 2 comme ceci en faisant U 0 on met un fil entre l entr e et la masse Z et Z se retrouvent en La d finition 2 est celle qui est le plus commun ment admise Premi re remarque La d finition 2 suppose que la source qui alimente l entr e est une source id ale de tension sans r sistance interne teindre cette source re
8. si on a affaire un signal complexe somme de plusieurs signaux de fr quences diff rentes la partie filtr e est d form e pas seulement att nu e Ceci peut pr senter une utilit on en reparlera dans la le on suivante filtrage lin aire int gration ou d rivation d un signal autre que sinuso dal ou tre consid r comme un d faut sans importance puisque l on se cherche en g n ral se d barrasser de ses composantes Mais les composantes qui passent pr s de la coupure et qui ne devraient ne subir ni gain ni d phasage si le Bode tait identique ses asymptotes peuvent aussi tre abim es ceci peut tre pr judiciable les lectroniciens ont invent diff rents filtres qui vont privil gier des qualit s sur la phase ou le gain b Retard On a vu dans la le on pr c dente que d river tait quivalent prendre une avance de phase quadrature caract re pr dictif de la d rivation toutefois il ne faudrait pas croire qu un circuit retardateur est un simple circuit d phaseur ll faut une phase sp cifique pour chaque fr quence on en reparlera aussi dans la le on filtrage lin aire 2 Mise en cascade a Filtre charg La fonction de transfert est d finie vide si on veut mettre un filtre en cascade derri re un autre on ne pourra pas multiplier les fonctions de transfert Sauf si l imp dance d entr e du second filtre est infinie ou en pratique grande devant l imp dance de sortie du premier filtr
9. 1 1 10 100 Exemple d chelle logarithmique Puissance de 10 https Wwww voutube com watch v w6cvISYpiZw Papier semi logarithmique pour l chelle verticale on portera la phase ou bien 20 log 0G remarque pour ce dernier graphe on pourrait utiliser du papier bilogarithmique mais ce n est pas l usage 1000 100 oi 7 02 PL Fo pe log 0 1 0 l0g 0 2 0 30 l0g 0 3 0 48 log 0 4 0 60 10g 0 5 0 70 l0g 0 6 0 78 l10g 0 7 0 85 l0g 0 8 0 90 l0g 0 9 0 95 log 0 10 1 Quand a devient trop serr les sous divisions sont de 2 en 2 ou m me de 5en 5 On rappelle que le gain vrai G Usmax Uemax Nous d finissons le gain en d cibel g 20 logio G exemple si G 1 alors g 20decibel 2 bel Uz U consid rons une amplification de tension de 20dB soit g 20 log 7 20 soit log 7 soit U U US P P P on a alors 2 1010g U 20 10log 20 10log 20 log 7 2 Pulsation de coupure 3dB c est la fr quence laquelle le gain vaut Gmax V2 supposons Gmax 1 alors gmax 0 et on cherche la fr quence ou la pulsation telle que 20108 0 D 3 014dB x w 3dB 10 U II D finition de la fonction de transfert des imp dances d entr e et de sortie On s int resse ici a priori uniquement des filtres passifs a D finition de la fonction de transfert fonction complexe H module gain argument d phasage Elle est d finie vide sans charge SIS Is 0
10. Cours n 13 Diagrammes de Bode Les gains et d phasage des filtres tudi s dans la le on pr c dente ne sont pas bien repr sent s dans des graphes lin aires car les traitements asymptotiques r serv s aux fr quences filtr es n apparaissent pas clairement Les diagrammes logarithmiques de Bode qui donnent un poids gal chaque d cade ensemble de fr quences dans un rapport extr me de 10 montrent clairement ces comportements De plus vous utiliserez aussi ces diagrammes en SI pour quantifier la stabilit des syst mes La lecture du paragraphe I suivant nous renseignera sur l histoire de ces diagrammes et leur motivation gt ri JE VOUS DEMANDE VOTRE NOM bel feuilles parier plus i AN faut Je suis un peu dur d oreille Le Tr sor de Rackam le Rouge Les Aventures de Tintin Herg Casterman I Bell et Bode 1 Histoire Alexander Graham Bell 3 mars 1847 dimbourg en cosse 2 ao t 1922 Beinn Bhreagh au Canada est un scientifique un ing nieur et un inventeur britanno canadien qui est surtout connu pour l invention du t l phone pour laquelle l ant riorit d Antonio Meucci a depuis t officiellement reconnue le 11 juin 2002 par la Chambre des repr sentants des tats Unis Il a t laur at de la M daille Hughes en 1913 La m re et la femme Mabel Gardiner Hubbard d Alexander Bell taient sourdes ce qui a sans nul doute encourag Bell consacrer sa vie apprendre pa
11. e b Exemple d un filtre PB1 en cascade avec un filtre PH1 loi des n uds Voir TD c Solution suiveur l AO tant hors programme cette solution ne devrait apparaitre dans un probl me qu avec le mode d emploi l imp dance d entr e d un montage suiveur est quasi infinie son imp dance de sortie quasi nulle et son gain est gal 1
12. es informations radar sont utilis es pour fournir des donn es sur la position des appareils a riens ennemis lesquelles sont ensuite retransmises aux servom canismes de l artillerie anti a rienne permettant ainsi d am liorer le suivi balistique des cibles a riennes Autrement dit automatiser le tir anti a rien l aide d un radar Les servomoteurs utilis s sont la fois aliment s en nergie lectrique et hydraulique cette derni re tant principalement utilis e pour man uvrer l artillerie lourde Les Laboratoires Bell Bell Telephone Laboratories ou AT amp T Bell Laboratories plus connus sous l appellation de Bell Labs ou Les Bell Labs furent fond s en 1925 et implant s Murray Hill dans l tat am ricain du New Jersey En 2009 ils font partie du centre de recherche et d veloppement d Alcatel Lucent Bell Labs a d pos plus de 29 000 brevets et en d pose actuellement 3 nouveaux chaque jour Les recherches men es aux laboratoires Bell ont eu une importance capitale dans des domaines tels que les t l communications r seau t l phonique transmission t l visuelle communications satellite etc et l informatique transistor Unix C et C etc Ce sont des laboratoires Bell que proviennent aussi le transistor la cellule photo lectrique le laser et l extraordinaire d veloppement des communications par fibre optique Le Laboratoire A G Bell parfois appel le Volta Bureau a t difi Washington D
13. ins possible de ses asymptotes On remarque que selon la valeur du facteur de qualit la courbe se d veloppe au dessus ou en dessous de ses asymptotes Sur les diagrammes de Bode de Coupe Bande aussi appel r jecteur la phase a un comportement inhabituel lequel Suivent le diagramme d un PB 1 et le diagramme d un PB2 pour Q 1 V2 comment reconnaitre l un et 2 lautre 0 0 0 10 0 5 20 1 0 30 40 1 5 50 2 0 60 2 5 70 3 0 80 90 3 5 3 2 1 0 1 2 3 2 0 1 2 3 Marges Remarque en Sciences Industrielles vous apprendrez lire sur un diagramme de Bode des quantit s dites marge de phase et marge de gain quantit s qui seront en rapport avec la stabilit du montage 4 Diagrammes asymptotiques Les Diagrammes de Bode sont parfois qualifi s de diagramme asymptotiques auquel cas on ne trace pas les courbes mais seulement les asymptotes Ceci nous am ne aux questions suivantes les courbes s cartent elles beaucoup de leurs asymptotes pour le gain pour la phase Compte tenu de ce que l lectronique grand public utilise des composants 5 est ce tr s emb tant que la courbe s carte ponctuellement de ses asymptotes On montrera que l asymptote HF du PB2 a pour expression 40 log x soit une pente de 40dB par d cade 5 Catalogue Un catalogue c est pour faire son choix nature du filtre ordre du filtre 6 Evolution coupl es
14. n au z F 2 a SA z z i z z a Groupe de recherches math matiques des Laboratoires Bell o il se montre particuli rement dou dans ses recherches sur la th orie des r seaux lectroniques et ses applications aux t l communications Encourag par les Laboratoires Bell il int gre l Universit Columbia o il obtient un doctorat de physique en 1935 En 1938 il met au point les diagrammes de Bode Ses travaux sur les syst mes de r troaction ont conduit de nouvelles m thodes d analyse de la stabilit d un syst me Ces m thodes permettent aux ing nieurs d tudier la stabilit dans le domaine temporel en utilisant les concepts de gain et de d phasage dans le domaine fr quentiel l aide de ces diagrammes d sormais c l bres Ses m thodes d analyses dans le domaine fr quentiel sont bien plus simples et rapides que l tude dans le domaine temporel utilis e jusqu alors Ses travaux fournissent aux ing nieurs la fois une m thode d analyse de stabilit simple et intuitive et un outil de conception de syst mes qui est aujourd hui aussi populaire qu il tait r volutionnaire l poque l approche de la Seconde Guerre mondiale Bode oriente ses recherches vers des applications militaires un choix qui le suivra jusqu la fin de sa carri re Il s engage au service de son pays aupr s du National Defense Research Committee NDRC o son r le est de concevoir des syst mes de contr le anti a riens automatiques L
15. r rapide Dennis Ritchie Langage C Brian Kernighan Langage C awk Horst St rmer Directeur de laboratoire de physique Bjarne Stroustrup Langage C David Korn cr ateur du Korn shell Walter A Shewhart statistiques Harry Nyquist traitement du signal et th orie de l information Edward F Moore th orie des automates tats finis Willard Sterling Boyle Prix Nobel de physique 2009 pour l invention du capteur CCD base de semi conducteurs George Elwood Smith Prix Nobel de physique 2009 pour l invention du capteur CCD base de semi conducteurs Richard Hamming Prix Turing en 1968 John Chambers co concepteur du logiciel S et l un des principaux membre du projet GNU R 2 Echelle logarithmique Dans une chelle lin aire verticale 10 000 par rapport 1000 000 000 ne se verrait pas Echelle de pH log 0 H30 Diffusion du livre en Europe 6 si cle 18 si cle len nombre par si cle chelle logarithmique Source Buringh et al 2009 BManuscrits MLivres 6e 7e Be 9e 10e 11e 12e 13 l4e 15e 16e 17 18e e O Olivier Berruyer wwwles crises fr i xS R E NS Correspg dance a S Fo LE a P 16 l4 12 10 8 6 4 2 Echelle lin aire 10 10 10 10 10 10 10 l EE LS ES ES DL DE Echelle Jogarithmique l6 14 12 10 8 6 4 2 0 7 0 9 rT 70 3C p e y a a e a o aa a yy a a a 0 2 0 1 0 4 0 50 6 CA 2 3 4 5 6 a 20 30 40 50 60 ac 0
16. rler aux sourds Il tait professeur de diction l universit de Boston et un sp cialiste de l locution on dirait aujourd hui phonologue ou phoniatre Le p re le grand p re et le fr re de Bell se sont joints son travail sur l locution et la parole Ses recherches sur l audition et la parole l ont conduit construire des appareils auditifs dont le couronnement aurait t le premier brevet pour un t l phone en 1876 Bell consid ra par la suite son invention la plus connue comme une intrusion dans son travail de scientifique et refusa d avoir un t l phone dans son laboratoire Hendrik Wade Bode 24 d cembre 1905 22 juin 1982 est un ing nieur chercheur et inventeur am ricain d origine n erlandaise Pionnier de la r gulation moderne et des t l communications il a r volutionn ces domaines tant dans leurs contenus que dans leurs m thodes d application Ses recherches ont eu un impact sur de nombreux autres domaines de l ing nierie et ont pos les fondations d innovations r centes telles qu ordinateurs robots ou t l phones portables Reconnu depuis longtemps dans le monde scientifique il est plus particuli rement connu des tudiants pour avoir mis au point les diagrammes de Bode une m thode de repr sentation de l amplitude et de la phase d un syst me sa sortie de l universit il est recrut par les Laboratoires Bell New York o il d bute comme concepteur de filtres lectroniques En 1929 il est assig
17. t galement comme bureau d tudes obtenant l adjudication de contrats f d raux comme le Projet Nike et le programme Apollo Quelques collaborateurs taient affect s la recherche fondamentale ce qui n tait pas ordinaire d autant que plusieurs Prix Nobel furent issus de cette p pini re Quelques chercheurs ayant travaill pour les laboratoires Bell John R Carson inventeur de la modulation en bande lat rale unique et de la modulation de fr quence Karl Guthe Jansky d couvreur du premier signal radio extraterrestre Clinton Joseph Davisson Prix Nobel 1937 et Lester Germer d couverte de la diffraction des lectrons par les cristaux John Bardeen William Shockley et Walter Houser Brattain Prix Nobel 1956 pour l invention du transistor en 1947 Arno Allan Penzias et Robert W Wilson Prix Nobel de Physique 1978 pour la d couverte du fond diffus cosmologique Philip Warren Anderson Prix Nobel 1977 pour la localisation des lectrons dans les milieux d sordonn s Alan Turing en 1943 Il y rencontre Claude Shannon Claude Shannon th orie de l information de 1941 1972 Max Mathews MUSIC premier langage de programmation sonore crit en 1957 John Robinson Pierce Sergei Alexander Schelkunoff Harald T Friis Harold Stephen Black amplificateurs feedforward et Contre r action Kenneth Thompson Unix et Plan 9 Rob Pike Plan 9 et Inferno John Tukey statisticien co inventeur de la Transform e de Fourie
18. vient alors remplacer cette source par un fil Une d finition plus labor e encore tiendrait compte d un caract re r el du g n rateur de Th venin pr sent l entr e l teindre reviendrait alors le remplacer sa source id ale par un fil et donc le g n rateur de Th venin par son imp dance interne Zin l imp dance de sortie du quadrip le s en trouve modifi e dans le cas d un filtre passif en pont elle devient Z Z1 Z2 D finition 3 L imp dance de sortie est alors l imp dance quivalente de la repr sentation de Th venin vue de la sortie quand la source d entr e est teinte c est dire remplac e par son imp dance interne Second remarque Dans le cas d un filtre actif des sources de courants r elles et des sources de tension r elles sont pr sentes dans le filtre en plus d une source r elle pour l alimenter l entr e alors il convient encore de modifier la d finition de l imp dance de sortie D finition 4 L imp dance de sortie est l imp dance quivalente de la repr sentation de Th venin vue de la sortie quand la source d entr e est teinte c est dire remplac e par son imp dance interne et que les sources internes sont teintes c est dire que les sources id ales de courant pr sentes dans les repr sentations de Norton des sources r elles sont remplac es par des coupe circuits on fait n 0 il reste toujours l imp dance interne de chaque source
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