Variations sur la dérivation
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1. VARIATIONS SUR LA D RIVATION Avec un outil de calcul travaillant avec une pr cision de 10 on doit donc se limiter des pas h pour le calcul approch de la d riv e sup rieurs 10 Revenons au choix de la formule de d riv e sym trique concr tis e par les f x h f x h 2h approch Nous avons vu qu il tait pertinent puisque la pr cision sur le calcul de d riv e est de l ordre de h Mais ne pourrait on pas envisager d autres algorithmes qui permet tent une pr cision encore plus grande C est ce que nous allons examiner dans la derni re partie de cet article calculatrices pour ce calcul 3 Recherche d un quilibre entre efficacit pr cision et validit Une triple approche de la d rivation num rique cf sur ce point 6 On peut tenter de g n raliser ce qui a t fait pour l tude de la formule de d rivation sym trique Cette formule reposait sur l utilisation des points x h et x h On peut utiliser de la m me fa on x 2h et x 2h Soit une fonction que l on supposera d rivable cinq fois On obtient formule de Taylor On dispose alors de la formule de Taylor 2 3 AGE Rax h f QD Ex LE PI 5 he Dix a f B c o c e k x h f x h x h f i her RFO h pO be Xe o e x h x La soustraction de ces deux galit s donne 121 VARIATIONS SUR LA D RIVATION fx h f2. fx h 2h f x La d rivation par rapport la variable h donne f x h f x h 2f x c est dire 0 Feb Ta Ainsi f poss de la propri t du point milieu l image du milieu de deux points est le milieu des images de ces deux points Comme f est continue ainsi que l atteste l galit i on peut en d duire que f est la fois convexe et concave c est dire affine D o la propri t voulue f est un polyn me de degr au plus deux 119 VARIATIONS SUR LA D RIVATION Revenons au calcul pratique Peut on en math matique comme en physi que disposer de valeurs approch es de la d riv e aussi pr cises que l on veut Reprenons un calcul simple m me simpliste puisque la d riv e est ici assez simple calculer la d riv e de la fonction exponentielle en 0 Si on veut une pr cision gale il suffit cf supra de 2 choisir h tel que B Mss o repr sente le maximum de la d riv e troisi me de la fonction exponentielle sur h hI Il suffit donc de prendre h lt i Si on convient de 3 h th oriquement suffisant Pr cision voulue 120 R sultats REPERES IREM N 34 janvier 1999 prendre h dans 0 1 0 1 on aura M3 e La contrainte sur h devient alors plus simplement h lt V6 e DI Observons les r sultats que donne une TI 82 tableau ci dessous La question pos
3. Autrement dit partir d une certaine pr cision voulue pour le calcul de f le 118 REPERES IREM N 34 janvier 1999 choix de la formule d approche sym trique nous permettra de choisir un pas de calcul moins petit Ce gain sur h est tout fait utile car nous travaillons avec des instru ments qui disposent d une pr cision limit e On le voit cette id e de meilleure approche locale n est pas tr s simple pr ciser Revenons maintenant l interpr tation des formule d approximation de la d riv e Ces approches diff rentes en un point ont aussi un rapport avec interpo lation polynomiale des fonctions Les polyn mes de Lagrange permettent de construire l unique polyn me de degr au plus n dont le graphe passe par n 1 points d abscisses distinctes y y Ld X0 x h Figure 12 Si on consid re l approximation polyno miale Lagrange deux points xo et X1 X0 h h 0 d une fonction f ce polyn me peut s exprimer par X X1 X X L x0 XO X1 L1 x X1 1 C est l interpolation affine de f entre xo et x1 La d riv e de la fonction affine L en xo est alors la pente de la corde elle m me f xo h f xo nu REPERES IREM N 34 janvier 1999 Si on consid re maintenant fig 13 lapproximation polynomiale trois points X_1 X0 h xo et x1 xo h h z 0 de f ce polyn me pourra s
4. Une derni re comparaison fig 20 des approches sym triques 2 points 4 123 VARIATIONS SUR LA D RIVATION points d j faites et 10 points partir des coefficients ci dessus est instructive le gain en rapidit de convergence est consid rable Fi Yy F Y Y FM v En sstuplcen1 Header Pa 0421906 997253791 000000 1 0016675 9999966 Gi 1 0000167 FT undef _ 1 0000060211 1 0000167111 00166 79 9999966 1 52012 9624581 Figure 20 6 u undef 9 6 9 9 Ce qui est excessif est insignifiant On pourrait alors se poser encore na ve ment la question pourquoi ne pas avoir choisi une formule de calcul approch des d riv es encore plus efficace que la formule sym trique deux points On pourrait r pondre de fa on simpliste que l chelle de la pr cision est infinie et qu il faut bien se situer quelque part Mais plus profond ment il faut voquer ici trois raisons une raison li e l instrument la pr cision avec la d riv e sym trique deux points est de l ordre nous Pavons vu de h Si la pr cision de instrument est de 10 on ne pourra pas choisir un pas de h inf rieur 10 On disposera alors pour le calcul de la valeur approch e de la d riv e via nDeriv d une pr cision th orique de l ordre de 10 plus grande que ce que l instrument lui m me peut repr senter Il est donc vain de vouloir aller plus loin
5. gauche de 0 et x2 droite de 0 elle est bien d rivable en 0 Elle est m me d rivable 4 fois en ce point ce qui fait que les formules que nous avons tablies gr ce aux formules de Taylor pour le contr le de l cart entre les d riv es et ses diff rentes approches s appliquent bien cependant vu l aplatissement des fonctions puissances au voisinage de 0 implique que l approche de la d riv e en 0 droite sera incomparablement meilleure que l approche gauche pour h positif fh RO _ 19 h fCh _h h LEE EE 19 13 2 0 lt 3h lt h c est dire Yh 0 VT ef On aura alors 0 lt h lt d s que 117 VARIATIONS SUR LA D RIVATION ci dessous fig 11 en y2 l approche sym trique de f 0 et y3 l approche non sym trique bien meilleure droite de 0 5 0624990463 z i 0005 0000005 00990 1 Que signifie alors affirmation que l approche sym trique est localement meilleure Reprenons les deux formules de majora tion que nous avons tablies 0 E i lt me Max o M2 on 1 fx h fx h h de f IS Ms Max 3 iuh xih i o M3 Supposons que nous voulions b n ficier d une pr cision de pour le calcul de f x Il suffira pour cela de prendre avec la premi re formule h lt M2 avec la deuxi me formule h lt G On aura alors a lt VE d s que lt
6. D autant que le passage une formule quatre points se traduit par un alourdis sement des calculs donc une occupation suppl mentaire de la m moire de la calcu latrice et un temps de calcul plus long 124 REPERES IREM N 34 janvier 1999 une raison math matique si on veut contr ler la qualit de l approximation sym trique avec 2n points cela nous contraint contr ler la d riv e d ordre 2n 1 Il y a videmment un certain paradoxe devoir contr ler la d riv e 2n 1 pour disposer d une valeur approch e de la d riv e premi re Ce qui est simple dans le cas de fonctions l men taires mais dans ce cas on pourra disposer souvent des valeurs exactes de la d riv e devient beaucoup plus complexe dans le cas g n ral une raison physico math matique le physicien a souvent des contraintes plus fortes que le math maticien Le math ma ticien peut faire varier h comme il le veut dans la limite cependant de la pr cision des outils de calcul alors que le physicien est soumis en plus la pr cision des instru ments de mesure et aux ph nom nes eux m mes Si bien qu il disposera souvent d une s rie de mesures donn es intervalle de temps constant par exemple il ne pourra plus alors faire varier le pas h qui sera d s lors une donn e du syst me de mesures Il s agira alors plus d une approche globale que locale de la fonction Si on
7. e au d but de ce paragraphe tait bien s r faussement na ve Bien entendu la pr cision disponible partir de tout outil de calcul mest pas infinie Sur une calculatrice la pr cision est de Pordre de 10 toute exigence sup rieure n a pas de sens Ainsi le calcul de nDeriv pour un pas de h 2 10 0 d bouche sur un calcul quivalent D Commentaires Le r sultat pratique correspond au r sultat th orique attendu 75 i 1 pappGHAA1 La calculatrice ne d tecte plus ici de diff rence entre valeur approch e et valeur exacte Pour un pas h trop petit le r sultat affich est d lirant REPERES IREM N 34 janvier 1999 qui peut donner peu pr s n importe quel r sultat On peut l observer aussi sur le plan graphique fig 15 et 16 la repr sentation graphique de eh eh f h nDeriv e 0 h 2h E econ rracefResrapnnsinprak A xmin 0 xc 10344828 c 1 0017845 Figure 15 Sur des intervalles raisonnables du point de vue de la pr cision de l outil la convergence vers 1 est manifeste D s que l on approche des limites de la calculatrice la recherche de la limite de la fonction n a plus de sens des oscilla tions tranges apparaissent ue nat E 12 xscl Figure 16 Ces ph nom nes sont bien connus 3 4 Ils ont n cessairement des cons quences sur la construction des connais sances 5
8. cran fig 5 le montre bien Plus g n ralement d ailleurs pour toute fonction f paire nous disposerons de f h f h donc nDeriv f 0 h 0 sans que cela n implique n cessairement que f soit d rivable en 0 R ciproquement si f est d rivable en x nous pourrons crire f x h f x hf x he h avec lim e h 0 0 f x h fx hf x he h avec lim eh 0 h 0 Par soustraction nous obtenons nDeriv f x h Run f x h e h e h Ceci prouve bien que lim nDeriv f x h 0 G om triquement on peut d ailleurs constater que nDeriv f x h est l isobary VARIATIONS SUR LA D RIVATION centre de ftx h F9 mt et de Nr h o foo c est dire que lim nDeriv appara t h0 comme la moyenne arithm tique des d riv es gauche et droite de f Ceci explique que lim nDeriv existe et gale 0 h 0 lorsque la fonction n est pas d rivable en x mais que les d riv es gauche et droite existent A propos de processus d approches plus g n raux Ce que nous venons de voir s applique f x g h f x gh toute formule du type 2g o g est une fonction de h qui a pour limite 0 en 0 Nous en reparlerons d ailleurs dans la troisi me partie de cet article Peut on th ori quement envisager un r sultat encore plus g n ral en envisageant un processus d approche non sym trique gauche et droite de x
9. exprimer par Lo x mx a x 1 Xo x 1 x1 x x 1 x x1 xo x 1 x0 x1 x x 1 X0 x1 x 1 x1 x0 xo f x1 Xs h Figure 13 La d riv e de Le en xo est alors f xo h f x xo h 2h Mti consiste ainsi approcher f x par la d riv e en ce point de la fonction affine qui co ncide avec f en deux points x x h nDeriv f x h consiste approcher f x par la d riv e en ce point du polyn me de degr au plus deux qui co ncide avec f en trois points x x h x h Ceci peut aussi faire comprendre la meilleure qualit de lapproximation par cette deuxi me formule cf sur ce point 2 Remarque il est clair que pour les polyn mes de degr au plus deux nDeriv f x h donne la valeur exacte de la d riv e f x puisque dans ce cas l inter VARIATIONS SUR LA D RIVATION polation trois points de f donne f On a ainsi VxeR Vhe R fx h fx h a a f x G Graphiquement cela se traduit pour toute parabole par le parall lisme entre une tangente au point d abscisse a et toute corde reliant deux points d abscisses sym triques par rapport x cf illustra tion de la fig 14 PAE a Figure 14 On peut ce sujet se poser la question cette propri t est elle caract ristique des paraboles Elle Fest et la d monstration est assez simple L galit i ci dessus peut s crire f x h
10. matiques Au professeur la t che de calculer exactement l l ve la charge de comprendre les r ponses approxima tives des tranges lucarnes Les choses changent avec une volution lente des programmes Elles changent aussi du fait d une volution des mat riels eux m mes en particulier avec l irruption des calculatrices symboliques la coexistence sur ces m mes calcula trices du mode calcul exact et du mode calcul approch oblige les l ves consi d rer les diff rents r sultats passer d un mode l autre REPERES IREM N 34 janvier 1999 les critures symboliques peuvent d voiler on l a vu le contenu de certaines commandes comme nDeriv La bo te noire s claircit un peu Il y a l pour le professeur de math matiques un nouveau champ d activit qui s ouvre Dans ces activit s il posera n cessairement le probl me du contr le des calculs approch s de l efficacit de la validit du sens des algorithmes de calcul mis en place Il devra pr ciser le sens des approches locales et globales d une fonction Il pourra faire interagir des cadres g om triques les barycentres et analytiques Il trouvera aussi mati re discussion et pourquoi pas travail interdisci plinaire avec le professeur de physique BIBLIOGRAPHIE Merci Henri Lombardi qui m a transmis des notes de cours fort utiles pour la mise en forme de
11. 15067 395162582 1 0517092 1 001667 undef ___Jundef 1 0517092 95162582 1 001667 1 1070138 90634623 1 00668 8 8 6 1 906354625 1 1070138 1 00668 2 2 Pr cisons cependant la signification de la proposition approche sym tri f h f h 2h meilleure localement que l approche gar f x h f x que de f pa Cette signification n est pas la m me que pour la proposition la tangente est la droite qui approche le mieux une courbe au voisinage d un point cf l article de Marie Jeanne Perrin Glorian dans ce num ro de Rep res dans ce dernier cas la proposition VARIATIONS SUR LA D RIVATION signifie qu il existe effectivement un voisi nage de ce point o l approche de la courbe par la tangente est meilleure que l approche par n importe quelle autre droite il n en est pas de m me pour l approche de f par les deux formules de d rivation On ne peut pas affirmer qu il existera n cessairement un voisinage du point x sur lequel l approche sym trique de f x h f x h 2h qualit que l approche par sera de meilleure f x h f x TR Le f x par caract re isobarycentrique de la premi re formule peut nous aider trouver un contre exemple ad quat il suffit de trouver une fonction pour laquelle l approche du point droite et gauche diff rent sensiblement Prenons par exemple la fonction qui vaut x
12. 2 La d riv e sym trique quatre points est ainsi le barycentre des pentes des cordes x x h x x h x x 2h x x 2h affect es des coefficients 8 8 2 et 2 Ce r sultat fournit au passage une propri t caract ristique des polyn mes de degr au plus quatre Petite illustration fig 18 et 19 avec un polyn me de degr 4 la tangente horizon tale au point d abscisse 1 et les quatre cordes passant par ce point et les points d abscisses respectives 3 2 0 et 1 les deux derni res sont confondues Les coefficients de l criture barycen trique ne ressortent pas de vidence On peut cependant remarquer que dans la formule les cordes les plus proches sont affect es du plus grand coefficient en VARIATIONS SUR LA D RIVATION valeur absolue ce qui semble bien naturel 2PLOTS Plo t 1 Vyl xt 2 2 x Figure 19 On comprend bien que ce que nous avons fait avec 4 points pourrait tre tendu 2n points Il conviendrait alors d crire la formule de Taylor l ordre 2n 1 pour les points x kh et x kh k entier compris entre 1 et n Une strat gie d limination des termes interm diaires permettrait alors d obtenir la formule g n rale n 1 f x kh f x kh Ta n h Pour n 5 on trouverait par Siempie D gant 21 P n f x ak k 1 a2 D 504 5 6 a4 aj 50 cf sur ce point 7
13. REPERES IREM N 34 janvier 1999 VARIATIONS SUR LA D RIVATION Luc TROUCHE IREM de Montpellier Il tait vraiment possible que le d placement de la banquise ne f t qu apparent et qu au contraire l ile Victoria entra n e par le champ de glace d riv t vers le d troit Mais cette d rive si elle existait on ne pouvait la constater on ne pouvait l estimer on ne pouvait la relever ni en longitude ni en latitude Dans ce num ro de Rep res Jean Luc Gasser voque les probl mes pos s par la formule de calcul approch de la d riv e utilis e par les physiciens Surprenant en apparence c est la m me formule qui est implant e sur la plupart des calculatrices graphiques pour ce calcul Co ncidence fortuite ou manifestation d une conver gence plus profonde Introduction l instrument bo te outils bo te probl mes Sur la plupart des calculatrices graphi ques on trouve aujourd hui une commande nDeriv pour Texas Instruments par exemple qui permet d obtenir une valeur approch e du nombre d riv e d une fonction en un point o elle est d rivable Cette commande coexiste d ailleurs sur les Jules Verne le Pays des fourrures calculatrices symboliques avec une commande de calcul formel des d riv es et donc de calcul exact du nombre d riv Sur une calculatrice graphique ordinaire fig 1 l cran d une TI 82 on trouve la com mande nDeriv dans l
14. bn ___ W2 2nx Ainsi ES 1 1 2nx 2n7 2 An 207 on 5 2n Pour des raisons de rapport des termes de plus haut degr ce rapport tend vers 2 quand n tend vers Pour conclure fan flbn __2 lim ambn 0 9 2n bn Le lim ED FO 0 pour cause de d riv e h0 Pour cause d unicit de la limite on peut donc affirmer que lim Ne Nb b 0 0 a b pas pour plus d information sur cette fonction voir 1 n existe Ainsi si f est d rivable en x et f non continue en ce point l existence de lim Ka 10 n est pas garantie b 0 9 Pour r sumer cette premi re partie 115 VARIATIONS SUR LA D RIVATION si f est d rivable en x lim f x kh f x kh h 0 2kh si f est d rivable en x et f continue en x x lim 0 f t 0 0 a b 2 Efficacit de l approximation et contraintes de l instrument Comparons d abord l approche classique de f x et l approche par nDeriv On utilise pour cela la formule de Taylor g n ralisation du th or me des accroisse ments finis Nous supposerons pour simplifier les choses que f est d rivable autant que n cessaire 2 f x h f x h f x o o c e x x hl Ainsi 90 p x h c ce que nous pouvons crire EDR _ x lt M Max ifr o Mo Lx x 4h Pour l approche de nDeriv la soustrac tion des deux expressions nous autorise a
15. c est dire peut on affirmer que sifest d rivable en x lim a b f x Gh amp x a b on dira dans ce cas que la fonction f est strictement d rivable en x cf Particle de Henri Lombardi dans ce num ro de Rep res Pour cause d unicit on peut affirmer que si cette limite existe elle est gale n cessairement f x Mais est on s r que cette limite existe Examinons cela de plus pr s la forme m me de l expression invite utiliser le th or me des accroisse ments finis fe To f c avec c appartenant Ja b Si a et b tendent simultan ment vers xX va tendre aussi vers x Si la fonction f est continue en x on pourra alors 113 VARIATIONS SUR LA D RIVATION affirmer que f c tendra vers f x Conclu f a ja fb f x sion dans ce cas lim ab a b gt xx Mais que dire si f n est pas continue en x On peut examiner un exemple pour se faire une petite id e Trouver une fonction d riv e non continue n est pas simple une fonction d riv e v rifie la propri t des valeurs interm diaires d apr s le th or me de Darboux on sait aussi que si une fonction d rivable est convexe ou concave sur un intervalle alors sa d riv e est n cessairement conti nue Nous devons donc trouver un exemple de fonction que ne soit ni convexe ni concave au voisinage d un point c est dire qui oscille assez fr n tiquement On peu
16. cet article 1 RAMIS DESCHAMPS ODOUX 1985 Analyse 2 pp 145 146 Paris Masson 2 Bernard REN Christian FAURE Maryse NOGU S Yvon NOUAZ et Luc TROUCHE 1995 Des fonctions et des graphes Montpellier Irem Universit de Montpellier II 3 KUNTZ G rard 1993 L outil informatique ne peut donner que ce qu il a Rep res Irem n 11 pp 39 55 Pont Mousson Topiques ditions 4 TROUCHE Luc 1994 Calculatrices graphiques la grande illusion Rep res Irem n 14 pp 5 32 Pont Mousson Topiques ditions 5 TROUCHE Luc 1996 A propos de l apprentissage de la notion de limites dans un environnement calculatrice tude des rapports entre processus d instrumentation et processus de conceptualisation th se de doctorat Montpellier Irem Universit de Montpellier II 6 SIBONY Mo se et Jean Claude MARDON 1988 Analyse num rique II Approximations et quations diff rentielles Paris Hermann 7 LYGEROS Nyk Olivier MARGUIN et Michel M zony 1999 R flexions m thodologiques en calcul formel Rep res Irem n 34 Pont Mousson Topiques ditions 8 OVAERT Jean Louis et Jean Luc VERLEY 1981 Alg bre 1 pp 101 102 Paris Cedic Fernand Nathan 126
17. che par la formule quatre points Getuplce11Hester Del Rou Ins Rou 2o Do is CHER SRU APRES Figure 17 Les deux fonctions semblent bien converger vers 1 mais pas la m me allure Cette approche alg brique par la formule de Taylor correspond bien s r une strat gie d interpolation de la fonction f par un polyn me L unique polyn me P de degr 4 qui co ncide avec f aux points x x h x h x 2h et x 2h v rifiera P x f x il suffit de r crire l galit 3 ci dessus pour le polyn me P et de consid rer que bien s r pour un polyn me du quatri me degr la d riv e cinqui me est nulle Ainsi la formule d approche sym trique quatre points revient interpoler la REPERES IREM N 34 janvier 1999 fonction f par l unique polyn me P du quatri me degr passant par x x h x h x 2h x 2h et approcher f x par P x Peut on imaginer aussi une interpr tation barycentrique Elle est moins directe que pour la formule de d rivation sym trique deux points o on prenait l isobarycentre des s cantes gauche et droite Mais cette interpr tation est aussi possible Pour simplifier les critures on posera T f x h f ti f x ls h h 2M ina f x 2h f x E f x E 2h d h 7 2h Le lecteur pourra alors v rifier que Fon a 8 f x h f x h f x 2h x 2h 12h 8 t1 81 2t2 2
18. consid re par exemple ces 11 mesures fig 21 on peut d cider de mod liser le ph nom ne partir d un polyn me qui passe exactement par tous ces points On sait qu il est unique qu il est de degr au plus 10 on sait aussi l exprimer partir par exemple de la formule de Lagrange On obtient alors le polyn me dont le graphe est ci dessous fig 22 ses varia tions fortes ne sont pas tout fait une surprise vu le degr du polyn me Il faut imaginer alors que la formule de d rivation num rique 10 points revient justement prendre comme d riv e au point central la REPERES IREM N 34 janvier 1999 d riv e de ce polyn me On comprend alors que les variations fortes d un tel polyn me peuvent donner des r sultats parfois surprenants Figure 21 ERoonrracehRe raphiatnprauls A Figure 22 Au point central la fonction appara t fortement d croissante On peut remarquer aussi des effets de bord important ph nom nes de Runge cf 8 l interpolation fait appara tre aux deux extr mit s de l intervalle des varia tions encore plus brutales qu au centre Le choix de points de part et d autre du point approcher limite cet effet on est pour le calcul de la d riv e au centre de l inter valle d interpolation donc le plus loin des bords possible A la place d une strat gie d interpo lation on peut choisir une strat gie d approximation en rec
19. e Menu Math ms tique nDeriv sinx x 0 fournit une valeur approch e de la d riv e de la fonction sinx de variable x en 0 sans indication de pr cision cette commande fournit le r sultat de 0 999 999 833 3 fig 2 REPERES IREM N 34 janvier 1999 VARIATIONS SUR LA D RIVATION nDeriv sinx x 0 h donne une valeur approch e du m me nombre pour un pas de calcul de e nDeriv fCx x h a nleriv f x x h ci contre un pas ed de 10 donne comme Figure 3 aii r x j T05 x 1000 valeur approch e 1 a nDeriv ixi x x 0 nDeriv Cabs GO gt I gt CS Un peu moins que 1 d ailleurs examen Figure 5 du troisi me cran fig 3 indique que si Pon soustrait 1 au nombre d riv donn on k trouve une diff rence de 1 665 10 nDeriv fx x h donne la pente de la corde entre les points d abscisse L utilisateur ne conna t pas n cessai x h et x h rement le m canisme qu il met en uvre quand il actionne la commande nDeriv si la valeur de h n est pas mentionn e sauf s il regarde le mode d emploi avec 1 A beaucoup d attention la valeur 1000 est choisie par d faut la particularisation en un point L explicitation de cette commande est 1 x 0 veut dire sachant que x 0 par contre possible avec une calculatrice permet d obtenir une valeur approch e symbolique de la d riv e en un point Voici par exemple l c
20. herchant un polyn me de degr donn ici 4 approchant au mieux les points donn s par exemple VARIATIONS SUR LA D RIVATION par la m thode des moindres carr s fig 23 Cela donne une autre vision du ph nom ne donnant au cinqui me point de la s rie un caract re d exception cela peut aussi r v ler une erreur de mesure Figure 23 Au point central la fonction appara t quasi constante Les d riv es qui en d coulent sont aussi plus sages On peut enfin choisir entre l interpo lation ou l approximation globales une m thode interm diaire analyser les mesures par petits paquets pour en g rer chaque fois un petit nombre Si on en prend 3 par exemple on peut interpoler par un polyn me de degr au plus deux et on d bouche pour le calcul de la d riv e sur la formule des physiciens et des calculatrices 0 f x n i h Retour au point de d part On peut aussi constater que les paraboles qui sont derri re cette formule sont aussi derri re la formule de calcul approch des int grales par la m thode de Simpson o lon retrouve aussi un caract re barycentrique Le caract re difiant de la parabole est incontournable 125 VARIATIONS SUR LA D RIVATION La morale de la parabole La g n ralisation de calculatrices graphiques faisant du calcul approch avait curieusement rel gu au second plan le calcul num rique dans le cours de math
21. le c erri vers la recherche d un itin raire de R REPERES IREM N 34 janvier 1999 a b tend vers 0 0 avec W ne b tendant pas vers f 0 0 f a f b a b passant par les points d abscisse a et b Nous allons construire deux suites an et ba qui convergent vers 0 et examiner alors lim Kan fbn Ganba 0 0 an Pn deux suites on ne part pas tout fait au hasard A nouveau des consid rations sur les oscillations de la fonction f peuvent donner d utiles indications est la pente d une corde Pour construire ces Ci dessous fig 8 un aspect de la repr sen tation graphique de f sur l intervalle 0 0 1 encadr e par les fonctions x et x EM R cnfrraceResrernhathpraul 7 Figure 8 Si l on consid re la suite bn des points de contact entre la courbe de f et la parabole sup rieure et an la suite des points o la fonction sur ses intervalles de croissance s annule on peut imaginer que la pente de ces cordes ne tend pas vers 0 quand an et bn tendent vers 0 La v rification est ais e en x x si et seulement si sin Eia l VARIATIONS SUR LA D RIVATION f ER 1 c est dire x 2nn Tann ainsi bn m4 2ni Do f x 0 si et seulement si sin 4 0 cest l E dire x Taisi Pon veut en plus tre sur les intervalles de croissance de f cela ba 1 impose x ainsi an 2nx 2n7x nn S fan f
22. ller un rang plus loin dans l criture de la formule de Taylor h h Rath x h f x f x c o ce 1x x hf Hai a h hP D 1m LPC o c e x h x 116 REPERES IREM N 34 janvier 1999 Par soustraction on obtient T z 3 fethi pp ce f e ce qui peut s crire fx h fx h r h 2 f x I lt Ms Max i 3 o Mg x h x4h La comparaison des deux approches est clairante f x h fx h st l approche classique par contr l e par DM x h f x h ARpEOERS par nDeriv Oh 2 est contr l e par E M3 Localement la deuxi me approche est donc incontestablement meilleure Les professeurs de physique comme les concepteurs de calculatrices n ont pas fait des choix arbitraires Petite illustration de cette situation On se propose approcher ci dessous fig 9 la d riv e de la fonction exponen tielle en 0 par l approche classique droite l approche classique gauche l approche par nDeriv Le tableau de valeurs ci dessous fig 10 permet de comparer les trois approches La qualit sup rieure de lapproxi REPERES IREM N 34 Janvier 1999 Figure 9 mation par nDeriv appara t clairement ainsi que son caract re isobarycentrique par rapport aux deux approches pr c dentes wY F2 LA yi r8695868 1 297442 8241998811 229561 263935926l1 166196 1 0
23. ran d une TI 92 qui Cette commande de calcul approch fait appara tre dans le Menu Calcul de correspond donc la formule qu utilisent l application Derive les physiciens pour approcher les vitesses en un point FREE d IRET entiate On peut se poser propos de cette commande au moins trois questions une premi re question th orique le processus symbolis par nDeriv est il bien convergent autrement dit a t on lim nDeriv f x h f x 0 Figure 4 n une deuxi me question th orico une commande de calcul exact des pratique pourquoi avoir choisi une d riv es 1 diff rentiate approche de la d riv e sym trique par f x h fx h une commande de calcul approch A et pas par la formule nDeriv 2h plus classique dans le cours de math L appel de cette derni re commande fait f x h f x 5 appara tre son contenu matique 112 REPERES IREM N 34 janvier 1999 une troisi me question nouveau th orique pourrait on imaginer une approche encore meilleure de la d riv e par d autres formules 1 Un processus convergent sous conditions A propos d abord de nDeriv Soit donc nDeriv f x h Rad Ax a t on lim f x hk 0 Il est clair d abord que l existence de lim nDeriv n implique pas la d rivabilit h 0 de la fonction f en x L exemple de la fonction x IxI en 0 cf copie d
24. t penser aux fonctions trigonom triques Soit la fonction f d finie par f 0 0 et f x x sin 1 pour x 0 La pr sence du facteur x assure la continuit et la d riva bilit de f en 0 f 0 1 im 0 lim hsins 0 h 0 0 Cette contrainte impos e par le facteur x se retrouve aussi graphiquement cf fig 6 le graphe de la fonction f est LE eest aceleran ath prak 1 Figure 6 114 REPERES IREM N 34 janvier 1999 coinc e entre les graphes des fonctions XX etx x Par ailleurs pour x 0 f x 2xsin 1 1 ue eg cos z Le premier terme a pour limite 0 en 0 Le deuxi me terme n a pas de limite en ce point La fonction f mest donc pas continue en 0 C est bien le type de fonction que nous cherchions i Examinons donc maintenant a lim faf On peut commencer notre b 0 9 amp tude par une observation graphique en consid rant la fonction g de deux varia bles g gt g x y pei Ci contre fig 7 un point de vue sur la repr sentation graphique de la fonction g On a choisi pour x et y le m me intervalle de variation 0 1 0 1 que pour lobser vation de la fonction f une variable E Eoon tracefresrapnnatnorak Z xari de20 ymin ymax 1 Figure 7 La relative r gularit de la fonction f laisse ici la place un relatif d sordre apparent bien s r Nous nous orientons donc vers la recherche d un contre exemp
25. x h 2hf x 2 x 5 2A f EXe Pc galit 1 En rempla ant h par 2h on obtient 2 f x 2h x 2h f x nr x h3 4 5 8 TEO 160 x 32 E Fa o d x x 2h h h Ax 2h R hP 4 LR 8 Xx 4 5 162 40 z 322 a o d e x 2h xl La soustraction de ces deux galit s donne 3 f x 2h fx 2h 4h f x 16 x 5 3221 FO fX galit 2 Il est clair alors qu une combinaison lin aire des galit s 1 et 2 permet d exprimer f x en fonction des diff rences sym triques 8 f x h fx h f x 2h x 2h 5 12h f x H 12 Xe 12 Ne 32f P a 32f XP D o 8 f x h f x h f x 2h f x 2h 12h h 40M f x 51 12 Max Dh ie o IMI x 2h s 2h galit 3 On dispose ainsi d une approximation qualitativerment sup rieure l approche 122 REPERES IREM N 34 janvier 1999 sym trique en x h x h pr c dente Elle est d ordre h d sormais On peut observer par exemple les r sul tats compar s de l approche sym trique deux points et de l approche sym trique quatre points pour le calcul de la d riv e de la fonction exponentielle en 0 Dans la colonne x fig 17 se trouvent les diff rentes valeurs attribu es h dans la colonne y1 l approche de la d riv e par la formule sym trique deux points en y2 appro
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