Chapitre 09_Correction_exercices
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1. P A U H 1 0 94 0 06 AUV 1 P AUV 1 0 69 0 31 E VNANH d o P E 0 25 F ANHAV d o P F 0 14 G ANV NH d o P G 0 08 ie Exercices corrig s dans le livre conseill s pour la pr paration du contr le n 29 p 304 n 35 p 305 109 N 2p 296 On lance quatre fois une pi ce de monnaie quilibr e N est la variable al atoire donnant le nombre de face obtenu D terminez la loi de probabilit de N Corrig du N 2p 296 1 On code 1 la sortie Face et 0 la sortie Pile L univers est l ensemble des quadruplets liste de 4 nombres dans laquelle l ordre compte form s de 0 et de 1 toutes les issues sont quiprobables On peut dessiner un arbre de probabilit s Lancer 1 Lancer 2 Lancer 3 Lancer 4 e eO NANANA O N prend les valeurs 0 1 2 3 4 Le nombre de sorties face associ une issue est le nombre de 1 dans l criture du quadruplet Par exemple si l on a obtenu Pile Face Face Face le quadruplet est 0 1 1 1 et dans ce cas N prend la valeur 3 car il le chiffre 1 est crite 3 fois dans le quadruplet On obtient ainsi la loi de N Jolie 8 a Ni LL IL 1 P N ni 110 N 3p 296 Un mobile se d place sur les c t s d un triangle quilat ral ABC A chaque sommet il choisit sa direction au hasard Parti de il effectue quatre d placements On no2. 31 ont souscrit uniquement une assurance Habitation 14 ont souscrit uniquement une assurance Auto Tous les clients ont souscrit au moins un contrat parmi les trois cit s ci dessus 1 Sur un diagramme analogue au diagramme ci contre indiquez les diff rents pourcentages dans les zones qui A conviennent 2 La compagnie envoie un courrier un assur choisi au hasard On appelle H l v nement l assur a souscrit une assurance Habitation V l assur a souscrit une assurance Vie et A l assur a souscrit une assurance Auto Identifiez sur le diagramme les v nements suivants et calculez leur probabilit a ANVNH AQV AUH b HAA HAV c AUH AUV 3 D crivez laide des lettres A V et H les v nements suivants puis calculez leur probabilit SN gt 22 1 1 z q 5 b il H bi A 2 E D assur n a pas souscrit d assurance Vie mais il a souscrit une assurance Habitation et une assurance Auto F D assur a souscrit uniquement une assurance Auto G D assur a souscrit exclusivement une assurance Auto et une assurance Vie Corrig du N 37p 306 1 Diagramme 0 08 2 L univers est l ensemble des assur s Il y a quiprobabilit 2 a P ANV NH 0 07 P ANV 0 07 0 08 0 15 P AU H 0 31 0 25 0 07 0 09 0 14 0 08 0 94 2 b P H NA 0 08 0 14 0 22 P H AV 0 14 2 c P AU H 1
3. des cases grises Compl tez ce tableau 1 b noncez l v nement BN S et donnez sa probabilit 2 Lors d une sortie en mer le p cheur se trouve dans l une des situations ci dessous Situation 1 un banc est pr sent et le sonar le d tecte le filet est lanc et la p che est fructueuse dans ce cas le gain est estim 2000 Situation 2 il n y a pas de banc de poissons mais le sonar en signale un Le filet est lanc pour rien Dans ce cas on estime la perte 400 Situation 3 Le sonar ne d tecte rien Le bateau rentre quai et on estime la perte 150 X est la variable al atoire donnant le gain alg brique positif ou n gatif pour une sortie en mer a Donnez la loi de probabilit de X b Patrick effectue de nombreuses sorties quel gain moyen peut il esp rer par sortie Corrig du N 47p 307 1 tableau de POP Gus on je loose os os Tours 1 2 BNS signifie il n y a pas sur zone de banc de poissons mais le sonar en a d tect un P BNS 0 015 3 a Loi de probabilit de X ma o 3 A i _ on par rue a E X 1050 25e Exercices corrig s dans le livre conseill s pour la pr paration du contr le n 43 p 306 n 46 p 307 114 N 7p 298 Une salle de spectacles propose pour la saison une carte d adh rent au prix de 100 Elle donne alors droit un tarif unique de 15 pour chacun de ses spectacles U
4. x 4 120 tirages possibles tous les tirages sont quiprobables Une issue favorable A est du type NNN Il y a 4 choix pour la premi re boule noire 3 choix pour la deuxi me et 2 choix pour la troisi me P A Une issue favorable B est du type BNN ou NBN ou NNB Il y a 2 choix possibles pour la boule blanche 4 choix pour la premi re boule noire et 3 choix pour la deuxi me P B 8x 2x4x3 _ 3 En 6X5X4 5 Une issue favorable C est du type BBN ou BNB ou NBB Il y a 2 choix pour la premi re boule blanche et 1 choix pour la deuxi me enfin 4 choix pour la boule noire P C 3x 2x1x4 _ 1 4x3x2 _ 1 6x5x4 5 6x5x4 5 2 a Dans le cas d un tirage avec remise l univers contient 6 x 6 x 6 216 issues toutes quiprobables __ 43 __ 8 P B Ce P C 3x 27 x4 E 6 2 b P A P B P C Cette somme est diff rente de 1 Lors d un tirage avec remise il peut aussi se produire l ventualit D Le tirage contient trois boules blanches avec P D 2 Alors P A P B P C P D 1 OIN ole 108 N 37p 306 Une compagnie d assurance analyse les contrats souscrits par ses clients Voici les r sultats 72 ont souscrit une assurance Habitation 54 ont souscrit une assurance Auto 30 ont souscrit une assurance Vie 7 ont souscrit les trois types d assurance 25 ont souscrit exactement une assurance Auto et une assurance Habitation
5. 4 Exercices et corrig s N 28p 304 Dans une classe de 35 l ves le club th tre T compte 10 l ves et la chorale C 12 l ves Dix huit l ves ne participent aucune de ces activit s On interroge au hasard un l ve de cette classe Quelle est la probabilit que cet l ve a appartienne au club th tre ou la chorale b appartienne au club th tre et la chorale Corrig du N 28p 304 L univers est l ensemble E des l ves de la classe Il y a quiprobabilit a L v nement T U C s nonce l l ve n appartient ni au club th tre ni la chorale il contient 18 l ves Donc l v nement contraire T U C contient 35 18 17 donc P T UC H b On a la formule vue en seconde P T U C P T P C P T A C Il vient P TNC P T P C P TUC 5 1 __ 10 12 17 PTHC AS eo Ao an N 30p 304 Une urne contient deux boules blanches et quatre boules noires toutes indiscernables au toucher 1 On tire successivement au hasard trois boules sans remise Quelles sont les probabilit s des v nements A Le tirage ne contient aucune boule blanche B le tirage contient une seule boule blanche C Le tirage contient deux boules blanches 2 a M me question dans le cas d un tirage avec remise 2 b A t on P A P B P C 1 Pourquoi Corrig du N 30p 304 1 D univers contient 6 x 5
6. ain alg brique en euros du joueur pour une partie 1 Trouvez la loi de probabilit de X 2 a Calculez a pour que le jeu soit quitable 2 b Comment l exploitant a t il int r t fixer la valeur a du jeton Corrig du N 48p 308 Loi de X MODE _ ne Ft Le pas le co t du jeton des gains ou pertes ventuels car le jeton est donn par l exploitant il ne co te donc rien au joueur 2 a E X 12 6a E X 0 amp a 2 Ainsi le jeu est quitable lorsque la valeur du jeton est 2 2 b L exploitant a int r t fixer a gt 2 ainsi E X lt 0 et le jeu lui sera favorable 115 N 50p 308 Une marque de t l phone portable propose deux options sur ses appareils le GPS not G et le wifi not W Sur l ensemble de sa gamme 40 des t l phones poss dent l option G 70 l option W et 24 les deux la fois On choisit au hasard un t l phone portable de cette marque On suppose que tous les appareils ont la m me probabilit d tre choisis 1 a Calculez P G U W 1 b D duisez en la probabilit qu un t l phone n ait aucune des deux options 2 Pour le fabricant le co t de revient par t l phone de l option G est de 12 et celle de l option W de 6 On note X la variable al atoire qui indique ce co t par appareil 2 a D terminez la loi de probabilit de X 2 b Calculez E X 2 c D duisez en une estimation du co t de revient total de l quipement
7. de 200 000 appareils dans les m mes conditions Corrig du N 50p 308 1 a Sch ma de la situation 0 14 T P GUW P G P W P GA W P GUW 0 4 0 7 0 24 0 86 1 b Le t l phone n a aucune des deux options est l v nement G U W et P GU W 0 14 2 a Loi de X a o ejr is P X x 0 14 0 46 2 c On note Y la variable al atoire qui donne le co t total d quipement Y 200 000 X D o E Y 200 000 x E X 1 800 000 Ainsi en moyenne le co t de revient total peut tre estim 1 8 million d euros Exercice corrig dans le livre conseill pour la pr paration du contr le n 52 p 309 116
8. iffre 2 est correct Il y a 9 possibilit s pour chaque case car il y a 9 nombres qui ne sont pas le bon nombre pour les autres chiffres de la combinaison Il y a donc 9 x 9 x 9 729 issues favorables cet v nement L v nement X 2 contient des issues du type X 1 choix 9 choix 9 choix 9 choix 7 choix t 9 choix 9 choix 7 choix Il y a donc 243 issues favorables cet v nement L v nement X 3 contient des issues du type 1 choix 1 choix de e 1 choix 9 choix 1 choix e ie e 9 choix Z choix 1 choix Il y a donc 27 issues favorables cet v nement La loi de X est donc 2 E X 1 3 et o X 0 52 112 N 41p 306 Dans une enveloppe on place cinq jetons indiscernables portant les num ros 2 1 0 1 2 On tire au hasard un jeton A chaque jeton on associe le carr du num ro tir On d finit ainsi une variable al atoire C 1 Quelle est la loi de probabilit de C 2 Calculez l esp rance et la variance de C Corrig du N 41p 306 1 L univers est 2 1 0 1 2 Toutes les issues sont quiprobables N 44p 307 La production journali re de tiges filet es d un atelier de m canique est indiqu e dans le tableau ci dessous o l d signe la longueur et d d signe le diam tre exprim s en mm M MEITIETES 86 12 7 6 12 77 On choisit au hasard une tige pour effectuer un tes
9. ne tude statistique a montr que parmi les abonn s 9 ont assist quatre spectacles 12 cinq 36 six 18 sept et le reste huit spectacles On interroge au hasard un abonn sur le nombre de spectacles N auquel il a assist 1 Donnez la loi de probabilit de la variable al atoire N puis calculez E N 2 On note S la variable al atoire indiquant la somme d bours e par un abonn par saison a Quelle relation lie S et N b Sur quelle d pense moyenne par abonn peut compter le directeur de la salle Corrig du N 7p 298 1 L univers est l ensemble des abonn s Il y a quiprobabilit Loi N Da o FR 8 en et le oaa 1 de la somme des autres probabilit s E N 6 38 2 a S 15N 100 2 b La d pense moyenne par abonn attendue est E S E S E 15N 100 15E S 100 195 70 N 48p 308 Un jeu de hasard est constitu d un dispositif allumant de fa on al atoire une case et une seule d un tableau lumineux dont les ampoules sont rouges R vertes V bleues B ou violettes I L ampoule rouge est allum e L exploitant donne au client un jeton servant actionner le m canisme dont il peut fixer sa guise la valeur a en euros Le joueur gagne 80 si le rouge clignote 50 si c est le vert rien du tout s il s agit du violet et perd 10 fois la valeur du jeton si c est le bleu X est la variable al atoire donnant le g
10. t de conformit L est la variable al atoire qui indique la longueur de la tige et D celle qui indique son diam tre 1 Donnez la loi de probabilit de D 2 Donnez la loi de probabilit de L 3 La tige est usin e de nouveau v nements not U si l v nement lt L gt 85 5 et D gt 16 gt est r alis La tige est envoy e au rebut v nement not R si l v nement D gt 15 9 ou L gt 84 5 gt n est pas r alis Calculez P U et P R Corrig du N 44p 307 1 L univers est l ensemble de la production des tiges filet es Toutes les issues sont quiprobables Loi de D 113 N 47p 307 Patrick patron d un chalutier fait une sortie sur sa zone de p che Le chalutier est quip d un sonar pour d tecter la pr sence d un banc de poissons On note B et S les v nements suivants B lt Ilya un banc de poissons sur sa zone gt S Le sonar d tecte la pr sence de poissons gt Une tude statistique sur les sorties dans cette zone et sur la fiabilit du sonar a permis d tablir que P B 0 7 P S 0 575 P BNS 0 56 1 a dans le tableau de probabilit s ci contre La probabilit de B est indiqu e en bout de ligne La probabilit de S est indiqu e en bas de colonne l intersection de la ligne B et de la colonne S on indique la probabilit de BN S Pour chaque ligne et chaque colonne la case blanche est la somme
11. te X la variable al atoire donnant le nombre de passages en d part non compris d terminez la loi de probabilit de X a A B D part Corrig du N 3p 296 1 On peut faire un arbre de probabilit s Toutes les issues chemins sont quiprobables O AAA co DPEN o D part eoe oJ De A A AAA J X prend les valeurs 0 1 2 La loi de X est 111 On pourra s aider pour les exercices suivants du mode d emploi des calculatrices fourni la page 302 du livre N 6p 297 Aymeric a oubli le code du cadenas de son ordinateur Ce code est constitu de quatre chiffres entre 0 et 9 Il ne se souvient que du premier 2 Il essaie au hasard une combinaison commen ant par 2 X d signe la variable al atoire indiquant le nombre de chiffres bien plac s premier chiffre compris 1 Quelle est la loi de probabilit de X 2 Calculez E X et V X Corrig du N 6p 297 1 Une issue est un quadruplet de chiffres dont le premier est 2 Voici l allure d une issue 10 choix 10 choix 10 choix L univers contient donc 10 x 10 x 10 1000 issues quiprobables X prend les valeurs 1 2 3 4 le premier chiffre de la combinaison est connu donc il est toujours bien plac L v nement X 4 contient une seule issue c est la bonne combinaison L v nement X 1 contient des issues du type 9 choix 9 choix 9 choix Dans ce cas seul le ch
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