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Calcul formel et Mathématiques avec la HP40G

1. 1 COS 2 X On obtient apr s simplification TAN X On tape HALFTAN SIN X COS X Les expressions trigonom triques 87 On obtient SQ X X 2 TAN 1 sQ Tan eme z Ca On obtient apr s simplification 4 17 6 SINCOS SINCOS a comme argument une expression contenant des expo nentielles complexes SINCOS transforme cette expression en fonction de sin x et de cos x On tape SINCOS EXP i X On obtient COS X i SIN X 4 17 7 TAN2CS2 TAN2CS2 a comme argument une expression trigonom trique TAN2CS2 transforme cette expression en rempla ant 1 cos 2 x t E EA ante DRE sin 2 x On tape TAN2CS2 TAN X On obtient 1 COS 2 X SIN 2 X 4 17 8 TAN2SC TAN2SC a comme argument une expression trigonom trique TAN2SC transforme cette expression en rempla ant sin x cos x tan x par 88 Chapitre 4 Les fonctions de Calcul formel On tape TAN2SC TAN X On obtient SIN X COS X 4 17 9 TAN2SC2 TAN2SC2 a comme argument une expression trigonom trique TAN2SC2 transforme cette expression en rempla ant tan sin 2 x AN T par _ Be ise cos 2 x On tape TAN2SC2 TAN X On obtient SIN 2 X 1 COS 2 X 4 17 10 TCOLLECT TCOLLECT comme argument une expression trigonom trique TCOLLECT lin arise cette expression en fonction de sin n x et cos n x puis rassemble en mode r el les s
2. 116 6 6 1 Traduction en Algorithmique 116 6 6 2 Traduction HP40G 116 6 7 L instruction d affectation 116 6 7 1 Traduction en Algorithmique 116 6 7 2 Traduction HP40G 117 6 8 Les instructions conditionnelles 117 6 8 1 Traduction en Algorithmique 117 6 8 2 Traduction HP40G 117 6 9 Les instructions Pour 118 6 9 1 Traduction en Algorithmique 118 6 9 2 Traduction HP40G 118 6 10 L instruction Tant que 118 6 10 1 Traduction en Algorithmique 118 6 10 2 Traduction HP40G 118 6 11 Les expressions bool ennes 118 6 11 1 Traduction en Algorithmique 118 6 11 2 Traduction HP40G 118 6 12 Les op rateurs logiques 119 6 12 1 Traduction en Algorithmique 119 6 12 2 Traduction HP40G 119 6 13 Les list s kr en ane ee lek dome date Se Sears 119 6 13 1 Traduction en Algorithmique 119 6 13 2 Traduction HP40G 119 6 14 Un exemple le crible d Eratosth ne 120 6 14 1 Description 120 6 14 2 criture de l algorithme 120 6 14 3 Traduction HP40G 121 Programmes d arithm tique 123 7 1 Le PGCD et l algorithme d Euclide 123 7 1 1 Trad
3. 1 3 Exemples utilisant l Aplet Sequence 1 4 Les touches SYMB NUM PLOT 2 Le Clavier et le CAS 2 1 Quest ce que le CAS 2 2 La variable courante 2 3 Comment faire du calcul formel 24 Le CAS depuis l diteur d quations 2 5 Le clavier depuis l diteur d quations 2 5 1 La touche MATH 2 5 2 Les touches SHIFT MATH CMDS 2 5 3 La touche VARS 2 5 4 Les touches SHIFT 2 SYNTAX 2 5 5 La touche HOME 2 5 6 Les touches SHIFT SYMB 2 5 7 La touche SHIFT 2 5 8 La touche PLOT 2 5 9 La touche NUM 2 5 10 La touche VIEWS 2 5 11 Les raccourcis avec le clavier 2 6 Le CAS depuis HOME 22617 PUSH L 2 LE LL nd van 2 62 POP ls ii e ee rt ne 150 TABLE DES MATI RES 2 7 Le clavier depuis HOME 23 2 7 1 La touche MATH 23 2 7 2 La touche SHIFT F6 23 2 7 3 La touche SHIFT 2 SYNTAX 23 2 7 4 La touche SHIFT 1 PROGRAM 24 3 criture des expressions dans l diteur d quations 27 3 1 L diteur d quations 27 3 1 1 Acc s l diteur d quations 27 3 1 2 Comment s lectionner 28 3 1 3 Comment modifier une expression 32 3 1 4 Le mode curseur 32 3 1 5 Pour tout voir 33 3 2 La saisie des fonctions duCAS
4. oo oo s obtient alors en tapant E On trouve aussi oo dans le menu Constant de la touche MATH 4 11 10 LIMIT et f D terminer la limite quand a tend vers plus l infini de i CR a a 1 a 1 72 Chapitre 4 Les fonctions de Calcul formel On tape dans l diteur d quations Ne MENT ty dx ATTENTION 00 s obtient en tapant 2 co SHIFT 0 On obtient 7 LN 3 2 et apr s simplification 00 4 11 11 PREVAL PREVAL a trois param tres une expression F VX d pendant de la variable contenue dans VX et deux expressions A et B PREVAL F X A B renvoie F B F A PREVAL est utile pour calculer une int grale d finie partir d une primitive on value cette primitive entre les deux bornes de l int grale On tape PREVAL X X 2 3 On obtient 12 6 4 11 12 RISCH RISCH a deux param tres une expression et un nom de variable RISCH renvoie une primitive du premier param tre par rapport la variable sp cifi e en deuxi me param tre On tape RISCH 2 X 1 EXP X 1 X On obtient X EXP X 1 Remarque si le param tre de RISCH est le AND de deux l ments RISCH n agit que sur le deuxi me l ment du AND D veloppements limit s et asymptotiques 73 4 12 D veloppements limit s et asymptotiques Toutes les fonctions de ce paragraphe se trouve dans le menu DIFF du bandeau Il est d usage d crire le
5. ouvrir le catalogue de programmes SHIFT 1 PROGRAM appuyer sur F2 NEW et taper le nom du programme modifi puis F6 OK L diteur s ouvre on appuie alors sur VARS puis la lettre P pour met tre Program en surbrillance Avec les fl ches mettre le nom du programme modifier en surbril lance et appuyer sur F4 VALUE pour cocher VALUE du bandeau puis F6 OK Cela recopie le texte du programme dans l diteur 6 2 Les commentaires Il faut prendre l habitude de commenter ses programmes En algorithmique un commentaire commence par et se termine par un passage la ligne Pour la HP40G un commentaire commence par et se termine par un passage la ligne ou est entour de deux ATTENTION Ne pas oublier de mettre un espace apr s Le caract re est obtenu en tapant shift VAR CHARS puis on met ce caract re en surbrillance puis ECHO1 du bandeau Les variables 115 6 3 Les variables 6 3 1 Leurs noms Ce sont les endroits o l on peut stocker des valeurs des nombres des expressions des objets Avec la HP40G on n a droit en progammation qu aux 26 lettres de l alphabet pour stocker des nombres r els 6 3 2 Notion de variables locales Cette notion n existe pas pour la calculatrice HP40G On ne peut utiliser que des variables globales 6 3 3 Notion de param tres Quand on crit un programme sur la HP40G il n est pas possible de lui passer des param tres On ne peut donc p
6. calcul num rique c est celui que l on fait avec les fonctions du r pertoire MTH de la touche MATH dans l cran HOME ou depuis les Aplets ou en programmation On travaille alors en mode approximatif avec une pr cision de 10712 Exemple Si on est en Radians dans HOME ARG 1 i vaut 0 785398163397 alors que dans le CAS o on est toujours en Radians ARG 1 i vaut 7 2 2 La variable courante Lorsqu on utilise des fonctions de calcul formel on travaille avec des variables symboliques variables ne contenant aucune valeur Le nom de la variable symbolique contenu dans VX s appelle la varia ble courante c est le plus souvent X 15 16 Chapitre 2 Le Clavier et le CAS L action de certaines fonctions d pend de la variable courante par exemple la fonction DERVX effectue une d rivation par rapport la variable courante Ainsi DERVX 2 X Y 2 si VX X et DERVX 2 X Y 1 si VX Y 2 3 Comment faire du calcul formel La HP40G a t con ue pour utiliser les fonctions de calcul formel depuis l diteur d quations Pour ouvrir l diteur d quations appuyer sur CAS du bandeau de l cran HOME Pour sortir de l diteur d quations appuyer sur ON on revient ainsi l cran HOME On peut n ammoins faire du calcul formel depuis l cran HOME moyen nant quelques pr cautions cf 2 6 On se reportera aux chapitres suivants pour savoir utiliser les fonc tions du CAS 2 4 Le
7. EXP x x V20 Vous s lectionnez puis ENTER la r ponse est EXP 2 x V5 x T Les complexes 55 Si on applique la fonction XNUM du menu REWRITE la r ponse est 1263794 7537 Vous trouverez dans le menu Complex de la touche MATH les fonctions FLOOR et MOD expliqu es dans ce qui suit 4 7 1 FLOOR FLOOR a comme argument un nombre r el et renvoie sa partie enti re On tape FLOOR 3 53 On obtient 3 4 7 2 MOD MOD est une fonction infix e ayant comme argument deux nombres entiers MOD renvoie le reste de la division euclidienne des arguments On tape 3 MOD 2 On obtient 4 8 Les complexes Notation les complexes de la forme a b i avec a et b r els peuvent tre not s a b ou a b i Les op rations sont effectu es On tape 1 2 1 Vous s lectionnez puis ENTER Si on n est pas en mode complex la caculatrice demande changer de mode il faut alors r pondre yes pour obtenir la r ponse 3 4 i Il faut noter que cette expression ne sera pas simplifi e davatange les r sultats mettront toujours en vidence un nombre complexe de partie r elle positive en mode exact 56 Chapitre 4 Les fonctions de Calcul formel Vous trouverez dans le menu Complex de la touche MATH les fonctions suivantes ayant comme param tre une expression valeur complexe DROITE a comme param tre deux nombres complexes 21 22 DROITE renvoie alors l quation de la droite passant par
8. Xx 2AA 4 gt X 4 gt gt ce qui s lectionne SUBST X 4 X 4 puis ENTER donne le r sultat 4 4 Ce r sultat remplace la commande il est s lectionn enfin ENTER donne le r sultat simplifi 12 Bien s r SUBST X 4 X 4 4 4 et 12 se sont inscrits dans Vhistorique REMARQUE Quand on saisit une fonction du CAS avant ses arguments on peut la taper en mode Alpha avec ses parenth ses Deuxi me possibilit saisie apr s les arguments On tape d abord l expression que l on s lectionne avec les r gles de s lection vues pr c demment Ici on tape xx 2 gt 4 gt b puis on appelle FACTOR vous appuyez sur la touche qui active ALGB du bandeau et vous met tez en surbrillance FACTOR puis ENTER On obtient FACTOR X 4 puis ENTER donne le r sultat X 2 X 2 Ce r sultat remplace la commande et est s lectionn Bien s r FACTOR X 4 et X 2 X 2 se sont inscrits dans Vhistorique Les variables 37 Vous remarquez que le r sultat est s lectionn vous tes donc pr t appliquer une autre commande votre r sultat Vous pouvez donc appeller SUBST vous appuyez sur la touche qui active ALGB du bandeau et vous mettez en surbrillance SUBST puis ENTER SUBST X 2 X 2 4 s inscrit dans l diteur avec ses parenth ses avec votre expression comme premier argument et avec le curseur la place du deuxi me argument Il ne vous reste
9. quation On tape SOLVE X 1 3 X On obtient en mode r el X V2 OR x V2 On obtient en mode complexe X 2 OR X V2 OR X i V2 OR X iV2 4 15 Les syst mes lin aires Toutes les fonctions de ce paragraphe se trouve dans le menu SOLV du bandeau 4 15 1 LINSOLVE LINSOLVE permet de r soudre un syst me d quations lin aires On suppose les diff rentes quations crites sous la forme expression 0 LINSOLVE a deux arguments les premiers membres des diff rentes quations s par s par AND et les noms des diff rentes variables s par s par AND Exemple 1 On tape LINSOLVE X Y 3 AND X Y 1 X AND Y On obtient X 2 AND Y 1 On obtient si on est en mode pas pas CFG etc L2 L2 L1 1 1 3 1 11 ENTER L1 2L1 L2 1 1 3 0 2 2 Les syst mes lin aires 83 ENTER Reduction Result 2 0 4 E 2 il ENTER Il s crit alors dans l diteur Xx 2 AND Y 1 Exemple 2 On tape 2 X Y Z 1 AND X Y 2 Z 1 AND X 2 Y Z 4 puis on appelle LINSOLVE puis on tape les inconnues X AND Y AND Z et ENTER On obtient si on est en mode pas pas CFG etc L2 2L2 L1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 4 puis ok L3 2L3 L1 2 1 1 1 0 1 3 1 1 2 1 4 etc la fin Reduction Result 8 0 0 4 0 8 0 20 0 0 8 4 puis ENTER 1 5 1 X 5 AND Y 5 AND Z s crit da
10. 50 4 4 11 PREVPRIME 50 Le calcul modulaire 50 4 5 1 ADDTMOD 4 sut A mi Dan a ma 51 405 2 DENMOD e tii MAC ae dia ant 51 455 3 SEXPANDMOD n este da o Ma fs 51 4 5 4 FACTORMOD 222822 Line pod BS SEES 52 4 55 GCDMOD s Late Senn tales oo Bes 52 4 5 0 INVMOD oe ern es ae Ankita anse oe ee a 52 45st MODSTO 55 4 Lee oe we ee ee RE hs 52 455 8 MULTMOD 22 40 Que bia a dd 53 45 9 SPOWMDD id Se RU EE dia ans 53 4 59 10 SUBTMOD ia i eue de sortes ne Us 53 Les rationnels 53 416 1 PROPFRAG u See eee tates dr 54 Les r els ns yey ov Sg ee TER RE Lan h od Ge Secs 54 Af FEDOR 0 Lan a a SEM EEE RAS En 55 AD MOD ica ad Eat A 55 Ees complexes soa ead hk eee SA au die me dt 55 Al LARG caine a Gee de ER ae doute 56 48 2 CONT bo 2 LL LL LRU A a ORNE 56 48 93 DROITE aure a Men date a 2 M 57 Les expressions alg briques 57 LIL COLLECT o hat PAM MM ET ee par bus 58 4 9 2 EXPAND sa bs i US amp BES 58 4 9 3 FACTOR Lt hs a Re ee cas a ne An 58 gA Io anaa aia EN Cle ae dca Aidt 59 4 9 5 SUBST tt ke ler dade Mena EN etant A 59 Les polyn mes 21 24 ee ee a 59 410 1 DEGREE 2 atetan of A PR este doe Sire 60 4 10 2 EGCD pe vy La RR ew EE A 244 60 A A0 3 FACTOR Le 6 ce eee BL Ee 24080 60 AO AGED ar oa ae ay te a ae cae as Sm ne A 61 4 1025 HERMITE 33 3 3 2 2 see eee GR A a ae Li 61 ALTO LEN 2 Ba
11. ADDTMOD r alise une addition dans Z pZ X On tape ADDTMOD 11X 5 8X 6 On obtient 6X 2 4 5 2 DIVMOD Les arguments sont deux polyn mes A X et B X Le r sultat est la fraction rationnelle eS simplifi e dans Z pZ X On tape DIVMOD 2X 5 5X 2X 3 On obtient 5X 3 6X 6 4 5 3 EXPANDMOD EXPANDMOD a comme argument une expression polynomiale EXPANDMOD d veloppe cette expression dans Z pZ X On tape EXPANDMOD 2X 12 5X 4 On obtient 3X 5X 5X 4 52 Chapitre 4 Les fonctions de Calcul formel 4 5 4 FACTORMOD FACTORMOD a comme argument un polyn me FACTORMOD factorise ce polyn me dans Z pZ X condition que l on ait p lt 97 et p premier On tape FACTORMOD 3X 5X 5X 4 On obtient 3X 5 X 6 4 5 5 GCDMOD GCDMOD a deux polyn mes comme arguments GCDMOD calcule le PGCD des deux polyn mes dans Z pZ X On tape GCDMOD 2X 5 5X 2X 3 On obtient 4X 5 4 5 6 INVMOD INVMOD a comme argument un entier INVMOD calcule l inverse de cet entier dans Z pZ On tape INVMOD 5 On obtient car 5 x 5 25 1 mod 13 5 4 5 7 MODSTO On met dans la variable MODULO la valeur de p gr ce la com mande MODSTO ICI LES EXEMPLES SONT TRAIT S AVEC p 13 qui est la valeur par d faut sinon on suppose que l on a tap MODSTO 13 Les rationnels 53 4 5 8
12. TRIGCOS SIN X COS X 1 On obtient cos x cos x 2 4 17 15 TRIGSIN TRIGSIN a comme argument une expression trigonom trique TRIGSIN simplifie cette expression en privil giant les sinus l aide de sin x cos x 1 On tape TRIGSIN SIN X COS X 1 On obtient SIN X SIN X 2 Les expressions trigonom triques 91 4 17 16 TRIGTAN TRIGTAN a comme argument une expression trigonom trique TRIGTAN simplifie cette expression en privil giant les tangentes a l aide de sin x cos x 1 On tape TRIGTAN SIN X COS X 1 On obtient 2 TAN X 3 TAN X 2 TAN X 2 TAN X 1 Chapitre 5 Exercices trait s avec la HP40 5 1 Introduction Commencez par s lectionner le CAS pour cela appuyer sur F6 pour CAS du bandeau Les diff rentes commandes utilis es dans ce chapitre se trouvent dans les menus de l diteur d quations ALGB CFG DEF FACTOR SUBST TEXPAND DIFF DERIVX DERIV INTVX INT LIMIT TABVAR REWRITE DISTRIB LIN POWEXPAND XNUM SOLV LINSOLV et dans le menu de la touche MATH Complex DROITE RE IM Integer IEGCD ISPRIME PROPFRAC Puis mettre la calculatrice en mode alg brique r el exact pour cela appuyer sur ALG du bandeau et mettre en surbrillance CFG puis OK du bandeau Il suffit alors de choisir Default cfg puis OK du bandeau vous pou vez aussi choisir le mode Direct ou le mode pas pas Step Step puis quitter c
13. l ment 5 en plus des l ments de la liste L1 On peut aussi utiliser AUGMENT L1 5 qui d signe une liste ayant l l ment 5 en plus des l ments de la liste L1 120 Chapitre 6 Programmation SUB L2 L1 2 4 est une commande qui met dans L2 les l ments de Li ayant des indices allant de 2 4 ATTENTION la diff rence entre fonctions et commandes les fonctions renvoient une valeur elles ont des parenth ses et leurs arguments se situent dans les parenth ses et sont s par s par des virgules alors que les commandes ne renvoient pas de valeurs et leurs arguments s crivent apr s le nom de la commande et sont s par s par des points virgules 6 14 Un exemple le crible d Eratosthene 6 14 1 Description Pour trouver les nombres premiers inf rieurs ou gaux N 1 On crit les nombres de 1 N dans une liste 2 On barre 1 et on met 2 dans la case P Si P P lt N il faut traiter les l ments de P N 3 On barre tous les multiples de P partir de P P 4 On augmente P de 1 Si P P est inf rieur ou gal N il reste traiter les l ments non barr s de P N 5 On appelle P le plus petit l ment non barr de la liste 6 On refait les points 3 4 5 tant que P P reste inf rieur ou gal N 6 14 2 criture de Valgorithme Fonction crible N local TAB PREM I P TAB et PREM sont des listes gt TAB gt PREM pour I de 2 N faire TAB I gt TAB fpo
14. A 2 r ponse 399 B 2 r ponse 199 C 2 r ponse 201 A 3 r ponse 3999 B 3 r ponse 1999 C 3 r ponse 2001 b nombre de chiffres et divisibilit Ici la calculatrice n est l que pour faire des essais pour diff rentes valeurs de n On sait que les entiers n v rifiant 107 lt n lt 10 Exercices donn s au Bac 105 ont n 1 chiffres dans l criture d cimale Ona 3 10 lt an lt 4 10 10 lt b lt 2 10 2 10 lt cn lt 3 10 donc an bn Cn ont n 1 chiffres dans l criture d cimale De plus dy 10 1 est divisible par 9 car son criture d cimale ne comporte que des 9 On a An 3 10 dn et Cn 3 10 dn donc an et cn sont divisibles par 3 c bg est premier On tape ISPRIME B 3 On obtient ce qui veut dire vrai Pour montrer que b3 1999 est premier il suffit de tester si 1999 est divisible par tous les nombres premiers inf rieurs ou gaux 1999 Comme on a 1999 lt 2025 45 on teste la divisibilit de 1999 avec n 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 1999 n tant divisible par aucun de ces nombres on en d duit que 1999 est premier d an bn X Cn On tape B N C N On obtient 4 10 1 qui est bien la valeur de a D composition en facteur premier de ag On tape FACTOR A 6 On obtient 3 23 29 1999 106 Chapitre 5 Exercices trait s avec la HP40 e bn et
15. BEZOUT ou BEZOUR peut alors avoir comme param tres des polyn mes condition de remplacer les noms des variables A B R par E1 E2 E3 et de changer le test d arr t 7 3 D composition en facteurs premiers 7 3 1 Les algorithmes et leurs traductions Premier algorithme Soit N un entier On teste pour tous les nombres D de 2 N la divisibilit de N par D Si D divise N on cherche alors les diviseurs de N D etc N D joue le r le de N et on s arr te quand N 1 On met les diviseurs trouv s dans la liste FACT 132 fonction facprem N local D FACT 2 gt D gt FACT tant que N 1 faire si N mod D O alors FACT D gt FACT N D gt N sinon D 1 gt D fsi ftantque r sultat FACT ffonction Premi re am lioration Chapitre 7 Programmes d arithm tique On ne teste que les diviseurs D entre 2 et E VN En effet si N D1 x D2 alors on a soit D1 lt E VN soit D2 lt E VN car sinon on aurait D1 D2 gt E VN 1 gt N fonction facprem N local D FACT 2 gt D gt FACT tant que D D lt N faire si N mod D O alors FACT D gt FACT N D gt N sinon D 1 gt D fsi ftantque FACT N gt FACT r sultat FACT ffonction Deuxi me am lioration On cherche si 2 divise N puis on teste les diviseurs impairs D entre 3 et E VN Dans la liste FACT on fait suivre chaque diviseur par son exposant decomp 12 2 2 3 1 D com
16. X X 1 STORE on gaa X2 1 X 1 F DERVX F Les fonctions 67 ou si on a d fini F X l aide de DEF X X 1 DEF F X LN us ea DERVX F X On trouve une expression compliqu e que l on simplifie en faisant ENTER On obtient 3 X2 1 X4 2 X2 1 4 11 4 DERIV DERIV a deux arguments une expression ou une fonction et une variable DERIV renvoie la d riv e de 1 expression ou de la fonction par rap port la variable donn e comme deuxi me param tre utile pour calculer des d riv es partielles Exemple Soit calculer x y 23 x y Oz On tape DERIV X Y Z X Y Z On obtient 3 X Y 7 4 11 5 TABVAR TABVAR a comme param tre une expression ayant une deriv e ra tionnelle TABVAR renvoie le tableau de variations de l expression en fonction de la variable courante On tape TABVAR LN X X On obtient en mode pas pas F LN X X F 3 1 gt Xt ox Variation table 00 0 X 2 00 F 68 Chapitre 4 Les fonctions de Calcul formel 4 11 6 FOURIER FOURIER a deux param tres une expression f x et un entier n FOURIER renvoie le coefficient de Fourier c de f x consid r e comme une fonction d finie sur 0 T et p riodique de p riode T T tant gale au contenu de la variable PERIOD On a si f est continue par morceaux 00 f DI cer n 00 Exemple D terminer les coefficien
17. algorithme d Euclide est bas sur la d finition r cursive du PGCD PGCD A 0 A PGCD A B PGCD B A mod B siB 40 o A mod B d signe le reste de la division euclidienne de par B Voici la description de cet algorithme on effectue des divisions euclidiennes successives A BxQi R 0 lt B Ri x Q2 Ra 0 lt Ra lt Ry Ri RoxQ3 R3 0 lt Apr s un nombre fini d tapes il existe un entier n tel que R 0 on a alors PGCD A B PGCD B Ri PGCD Rn 1 Rn PGCD R 1 0 Rn 1 123 124 Chapitre 7 Programmes d arithm tique 7 1 1 Traduction algorithmique Version it rative Si B 0 on calcule R A mod B puis avec B dans le r le de A en mettant B dans A et R dans le r le de B en mettant R dans B on recommence jusqu a ce que B 0 le PGCD est alors A Fonction PGCD A B Local R tant que B 0 faire A mod B gt R B gt A R gt B ftantque r sultat A ffonction Version r cursive On crit simplement la d finition r cursive vue plus haut Fonction PGCD A B Si B 0 alors r sultat PGCD B A mod B sinon r sultat A fsi ffonction 7 1 2 Traduction HP40G Version it rative pour deux entiers On crit tout d abord le sous programme IN qui permet d entrer deux nombres A et B INPUT A A 1 INPUT B B 31 ERASE puis on crit le programme PGCD RUN IN DISP 3 PGCD A B WHILE B 4 O REPEAT Le PGCD et l algorithme d Euclide 125 A
18. c3 divise x 1000 Il existe donc k Z tel que x 1000 k x c3 et y 999 k x ba R ciproquement soit 1000 kx cg et y 999 kx b3 pour k Z Ona bz c3 y b3 x 1000 c3 x 999 1 La solution g n rale est donc pour tout k Z x 1000 kx cs y 999 kx bs 108 Chapitre 5 Exercices trait s avec la HP40 5 3 3 Exercice 2 pas de sp cialit V rifiez avant de commencer que vous tes bien en mode r el exact avec X comme variable courante sinon s lectionnez Default cfg de CFG On consid re la suite 2 22 3 2 un f E er du 0 x 2 1 a Variation de g x 5 pour x e 0 2 On tape 2X 3 DEF G X ea TS puis TABVAR G X On obtient 2 00 X 2 of 2 F La premi re ligne donne le signe de g x selon x et la deuxi me ligne les variations de g x On remarquera que pour TABVAR la fonction s appelle toujours F On en d duit donc que g x est croissante sur 0 2 Si on est en mode pas pas pour cela il faut valider Step Step avec OK du bandeau de CFG on obtient alors quoiqu il arrive la fonction est not e F 2 X 3 X 2 puis ENTER 2 X 2 2 X 3 rie SQ X 2 puis en se servant de la fl che Y pour faire d filer l cran 1 Li peine X 2 puis ENTER pour obtenir le tableau de variations Si on n est pas en mode pas pas on peut aussi demander le calcul
19. e dans la fonction Ri choisie et la variable courante sera trans form e en 0 lors de la recopie 2 5 9 La touche NUM Lorsqu on appuie sur NUM depuis l diteur d quations l expression mise en surbrillance est remplac e par une approximation num rique NUM fait passer en mode approximatif SHIFT NUM effectue l op ration inverse on passe en mode exact 2 5 10 La touche VIEWS Lorsqu on appuie sur VIEWS depuis l diteur d quations l expression mise en surbrillance peut tre vue enti rement en faisant bouger le curseur gr ce aux fl ches gt et lt Appuyer sur OK du bandeau pour revenir l diteur d quations 22 Chapitre 2 Le Clavier et le CAS 2 5 11 Les raccourcis avec le clavier Il faut noter que depuis l diteur d quations on a avec le clavier les raccourcis suivants SHIFT 0 pour oo SHIFT 1 pour SHIFT 3 pour SHIFT 5 pour SHIFT 6 pour SHIFT 8 pour SHIFT 9 pour VAV AA 2 6 Le CAS depuis HOME On peut utiliser certaines fonctions de calcul formel directement depuis l cran HOME moyennant quelques pr cautions utiliser les fonctions de calcul formel que l on trouve dans CAS du bandeau de la touche MATH press e depuis l cran HOME la variable courante est alors syst matiquement la variable S1 par exemple DERVX S1 4 x 82 2x S1 utiliser les variables S1 S2 S5 comme variables symboliques si vous voulez travailler avec des matrices symboli
20. joue le r le de CANCEL Pour teindre la calculatrice taper SHIFT puis sur ON OFF Si malgr plusieurs ON CANCEL la calculatrice ne repond pas ap puyer simultan ment sur ON et F3 pour la r initialiser 0 1 2 Que voit on De haut en bas 1 P cran de HOME l a l tat de la calculatrice 1 b un trait horizontal 1 c un bandeau contenant des commandes 2 le clavier 1 L cran 1 a L tat de la calculatrice d crit les modes mis en uvre dans l cran HOME RAD ou DEG ou GRD selon que l on travaille en radians ou en degr s ou en grades FUNCTION pour indiquer le nom de l Aplet s lectionn e ici VAplet Function a pour indiquer que la fl che vers le haut vous permet de re monter dans l historique 1 b Un trait horizontal au dessus de ce trait c est l historique des calculs faits dans l cran HOME Principe sur l cran le calcul demand s inscrit gauche et le r sultat s inscrit droite en dessous de ce trait c est la ligne d dition des commandes On peut gr ce la fl che vers le haut remonter dans l historique et recopier avec COPY du bandeau une commande ou un r sultat pr c dent dans la ligne de commande 1 c Le bandeau Les commandes du bandeau sont accessibles par les 6 touches grises sans nom que l on nommera ici Fi F2 F3 F4 F5 F6 Le bandeau peut contenir des r pertoires contenant un ensemble de commandes ils sont rep ra
21. vous pouvez utiliser toutes les fonctions du CAS et vous pouvez faire la saisie de diff rentes fa ons Principe g n ral Quand vous avez crit une expression dans l diteur d quations il suffit d appuyer sur ENTER pour valuer ce qui a t s lectionn ou pour valuer toute l expression si rien n a t s lectionn 3 2 1 Comment crire f et gt gt gt se trouvent sur le clavier il suffit de taper SHIFT X Le signe f se trouve aussi sur le clavier il suffit de taper SHIFT d dX Les symboles f et sont consid r s comme des fonctions pr fix es ayant plusieurs arguments f et Y se placent automatiquement devant fonctions pr fix es l l ment s lectionn si il y en a un Le curseur se place aux endroits voulus et se d place l aide de D lt 34 Chapitre 3 criture des expressions dans l diteur d quations Les expressions que l on rentre suivent la loi de la s lection expliqu e pr c demment mais il faut entrer dans le mode s lection avec A ATTENTION ne pas utiliser l indice pour d finir la somme car i d signe le nombre complexe solution de x 1 0 En mode num rique gt effectue des calculs approch s Par exemple 4 1 5 a 2 70833333334 k 0 7 alors que ips Pig ge O LUNDI 3l GEES Le symbole s obtient en tapant SHIFT x Il faut savoir que gt gt sait calculer symboliquement les sommes de frac tions rationnelles et les se
22. 33 3 2 1 Comment crire f et So ar ca tia 33 3 2 2 Comment crire les fonctions infix es 34 3 2 3 Comment crire les fonctions pr fix es 35 3 3 Les v riabl s 2 3 424 SA LA a a ua a aa ai 37 3 31 STOS RA s Pan araa a O a e e a a A 38 3 32 CSTORE ta Haine Get e D ra Re 38 3 3 3 Les variables pr d finies du CAS 39 4 Les fonctions de Calcul formel 41 4 1 Le bandeau du CAS 41 AL CEG 0 cial A lue gue MEN ts al ded 41 AV De A TOOL 2 PE N E E Pr moe NAS 42 AS EGB AAA Lot chs Be ch DR Ru 42 AVA DIFFEINT oi ne Bob eue amp 04 43 4 1 5 REWRITE u u at ak SE den ep AS 43 4116 SOLVE ss Se te nn eae ob ee 44 AIT CURDG ae aie an ate ee Bie BOE BO Ged DS Ans 44 4 1 8 La touche MATH 44 42 L pas Pass ans os ne den dde Da 45 4 3 Ecriture normale 45 LS DES og NS eM tt A D AE 45 4 4 Les entiers et les entiers de Gauss 46 AAW DIVISA Gol Nod cic Sh iu Te Re ee ie AA 47 LD SBUIGER 9s NES Ge ep Ge torte Se te ed 47 AA FACTOR LE LE WAS A a es 47 AAA GOD ai oe LR a ER dad 47 LAO TEGO ans sr see MR cle Gee as BA 48 LG TQUOT aaa aaa oe APR Oi 48 4 4 7 IREMAINDER MOD 49 LAS ISPRIME 22204 dicta dsc tr moe a anne 49 TABLE DES MATI RES 151 4 5 4 6 4 7 4 8 4 9 4 10 4 11 AMLO LOM 2 ee hed hh a ett a BD Geo 50 4 4 10 NEXTPRIME
23. 4 4 8 ISPRIME ISPRIME N renvoie 1 vrai si N est pseudo premier et renvoie O faux si N n est pas premier D finition Pour les nombres inf rieurs 1014 tre pseudo premier et premier c est la m me chose mais au del de 10 un nom bre pseudo premier est premier avec une probabilit tr s forte cf algorithme de Rabin section7 6 On tape ISPRIME 13 50 Chapitre 4 Les fonctions de Calcul formel On obtient 1 On tape ISPRIME 14 On obtient O 4 4 9 LCM LCM d signe le PPCM de deux entiers On tape LCM 18 15 On obtient 90 4 4 10 NEXTPRIME NEXTPRIME N d signe le premier nombre pseudo premier trouv apres N On tape NEXTPRIME 75 On obtient 79 4 4 11 PREVPRIME PREVPRIME N d signe le premier nombre pseudo premier trouv avant N On tape PREVPRIME 75 On obtient 73 4 5 Le calcul modulaire Toutes les fonctions de ce paragraphe se trouve dans le menu Modular de la touche MATH On peut faire des calculs modulo p c est dire dans Z pZ ou dans Z pZ X Le calcul modulaire 51 ATTENTION pour certaines commandes il faut choisir un nombre p premier DANS LA SUITE LES EXEMPLES SERONT TRAIT S AVEC p 13 On suppose donc que l on a tap MODSTO 13 ou que l on a chang MODULO dans la fen tre ouverte avec les touches SHIFT SYMB SETUP La repr sentation choisie est la repr sentation sym trique 1 au lieu de 6 modulo 7 4 5 1 ADDTMOD
24. CAS depuis l diteur d quations L diteur d quations va vous permettre d crire comme sur le papier les expressions que vous voulez simplifier factoriser d river int grer etc C est un diteur muni d un bandeau contenant des r pertoires 1 Le r pertoire TOOL contient les commandes Cursor mode Edit expr Change font Cut Copy Paste Cursor mode permet de passer en mode curseur cf 3 1 4 Edit expr permet d diter l expression mise en surbril lance ce qui permet de la modifier Change font permet de choisir d crire avec de gros ou de petits caract res on peut faire ce choix tous moments Cut recopie la s lection dans le buffer et l efface Le clavier depuis l diteur d quations 17 Copy recopie la s lection dans le buffer Paste recopie la s lection 1a o se trouve le curseur il faut avoir fait avant soit Copy soit Cut pour que la s lection soit dans le buffer 2 Le r pertoire ALGB contient des fonctions qui permettent de faire de l alg bre factorisation d veloppement simplification substitution 3 Le r pertoire DIFF amp INT contient des fonctions qui permettent de faire du calcul diff rentiel d rivation int gration d veloppement limit 4 Le r pertoire REWRITE contient des fonctions qui permettent de r crire une expression sous une autre forme 5 Le r pertoire TRIG contient des fonctions qui perm
25. Cn sont premiers entre eux Ici la calculatrice n est l que pour faire des essais pour diff rentes valeurs de n Pour montrer que cpn et bp sont premiers entre eux il suffit de remarquer que Cn bn 2 Ainsi les diviseurs communs c et b sont les diviseurs communs bn et 2 et sont aussi les diviseurs communs Cn et 2 b et 2 sont premiers entre eux car b est un nombre premier diff rent de 2 Donc PGCD cn bn PGCD c 2 PGCD b 2 1 2 On consid re l quation b3 a c3 y 1 a Il y a au moins une solution car il s agit de l identit de B zout En effet le th or me de B zout dit Si a et b sont premiers entre eux il existe x et y v rifiant a b y 1 Donc l quation b3 a c3 y 1l a au moins une solution b On tape IEGCD B 3 C 3 On obtient 1000 AND 999 1 ce qui veut dire que l on a bs x 1000 EXA 999 1 on a donc une solution particuli re x 1000 y 999 la main on crit C3 b3 2etb3 999 x 2 1 donc b3 999 x c3 b3 1 ainsi bs x 1000 c3 x 999 1 Exercices donn s au Bac 107 c Ici la calculatrice ne peut pas trouver la solution g n rale Ona b3 a c3 y 1 et bs x 1000 C3 X 999 i donc par soustraction on a ba x 1000 c3 y 999 0 ou encore bz x 1000 c3 y 999 D apr s le th or me de Gauss c3 est premier avec b3 donc
26. License is not limited to software manuals it can be used for any textual work regardless of subject matter or whether it is published as a printed book We recommend this License principally for works whose purpose is instruction or reference 1 APPLICABILITY AND DEFINITIONS This License applies to any manual or other work that contains a notice placed by the copyright holder saying it can be distributed under the terms of this License The Document below refers to any such manual or work Any member of the public is a licensee and is addressed as you A Modified Version of the Document means any work containing the Document or a portion of it either copied verbatim or with modifications and or translated into another language A Secondary Section is a named appendix or a front matter section of the Document that deals exclusively with the relationship of the publishers or authors of the Document to the Document s overall subject or to related matters and contains nothing that could fall directly within that overall subject For example if the Document is in part a textbook of mathematics a Secondary Section may not explain any mathematics The relationship could be a matter of historical connection with the subject or with related matters or of legal commercial philosophical ethical or political position regarding them The Invariant Sections are certain Secondary Sections whose titles are designated as bein
27. MULTMOD MULTMOD r alise une multiplication dans Z pZ X On tape MULTMOD 11X 5 8X 6 On obtient 3x 2x 4 4 5 9 POWMOD POWMOD A N calcule A la puissance N dans Z pZ et POWMOD A X N calcule A X la puissance N dans Z pZ X Le contenu p de MODULO doit tre un nombre premier inf rieur a 100 On tape POWMOD 11 195 On obtient 5 En effet 1112 1 mod 13 donc 11195 113 5 mod 13 On tape POWMOD 2X 1 5 On obtient 6 X 4 2 X 74 2 x94 x7 3X 1 car 10 3 mod 13 40 1 mod 13 80 2 mod 13 32 6 mod 13 4 5 10 SUBTMOD SUBTMOD r alise une soustraction dans Z pZ X On tape SUBTMOD 11X 5 8X 6 On obtient Sel 4 6 Les rationnels Essayez 123 57 7 2 54 Chapitre 4 Les fonctions de Calcul formel Vous s lectionnez puis ENTER la r ponse est 363 28 Si on applique la fonction XNUM du menu REWRITE ou si on appuie sur la touche NUM la r ponse est 12 9642857143 Si on m lange les deux repr sentations par exemple 1 0 5 27 la caculatrice demande passer en mode approx pour faire le calcul il faut alors r pondre yes pour obtenir 1 Revenez ensuite en mode exact CFG etc 4 6 1 PROPFRAC PROPFRAC se trouve dans le menu Polynom de la touche MATH PROPFRAC crit la fraction 4 sous la forme R 0 5 avec OS R lt B On tape 43 PROPFRAC 12 On obtient z 3 12 4 7 Les r els Essayez
28. TIME 1 gt I 1 gt P WHILE I lt 20 AND P 1 REPEAT FLOOR RANDOM N 2 2 gt K MODSTO N POWMOD K N 1 STO triangleright P 1 1 gt 1 END ERASE IF P 1 THEN DISP 3 PREMIER N ELSE DISP 3 NON PREMIER N END FREEZE Chapitre 8 GNU Free Documentation License Version 1 1 March 2000 Copyright C 2000 Free Software Foundation Inc 59 Temple Place Suite 330 Boston MA 02111 1307 USA Everyone is permitted to copy and distribute verbatim copies of this license document but changing it is not allowed 0 PREAMBLE The purpose of this License is to make a manual textbook or other written document free in the sense of freedom to assure everyone the effective freedom to copy and redistribute it with or without modifying it either commercially or noncommercially Secondarily this License preserves for the author and publisher a way to get credit for their work while not being considered responsible for modifications made by others This License is a kind of copyleft which means that derivative works of the document must themselves be free in the same sense It complements the GNU General Public License which is a copyleft license designed for free software We have designed this License in order to use it for manuals for free software because free software needs free documentation a free program should come with manuals providing the same freedoms that the software does But this
29. W 0 et X 1 Puis on fait voluer A B U V W X de fa on que les deux relations ci dessus soient toujours v rifi es Si A BxQ R 0 lt R lt B R A mod B et Q E A B On crit alors R A BxQ 4Ap x U WxQ Box V XxQ A0xS B9xT ave S U WxQ et T VW XxQ Il reste alors recommencer avec B dans le r le de A B gt A W gt U X gt V et R dans le r le de B R gt B S gt W T gt X d o l algorithme fonction Bezout A B local U V W X S T Q R 1 gt U 0 gt V O gt W 1 gt X tant que B 0 faire A mod B gt R E A B gt Q R A B Q U W Q gt S V Xx Q gt T 128 Chapitre 7 Programmes d arithm tique B gt A W gt U X gt V R gt B S gt W T gt X ftantque r sultat U V A ffonction 7 2 2 Version it rative avec les listes On peut simplifier l criture de l algorithme ci dessus en utilisant moins de variables pour cela on utilise des listes LA LB LR pour m moriser les triplets U V A W X B et S T R Ceci est tres commode car les calculatrices savent ajouter des listes de m me longueur en ajoutant les l ments de m me indice et savent aussi multiplier une liste par un nombre en multipliant chacun des l ments de la liste par ce nombre fonction Bezout A B local LA LB LR 1 0 A gt LA 0 1 B gt LB tant que LB 3 O faire LA LB E LA 3 LB 3 gt LR LB gt LA LR gt LB ftantque r sultat LA ffonction 7 2 3 Version r cursive avec les li
30. X X 1 INTVX LN Ga Ga ou si on a stock expression de f x dans F INTVX F 70 Chapitre 4 Les fonctions de Calcul formel ou si on a d fini F X l aide de DEF DEF F X 2 LN 2 1 INTVX F X On trouve X 1 3 3 X LN LN X 1 LN X 1 E n x 11 N x 4 Exercice 3 Calculer aa a dr z 2 4 7x2 On tape INTVX X6 2 X4 x2 On trouve 3 ATAN X X X2 1 Remarque On peut aussi taper i 2 X642 XFX qui donne le m me r sultat plus une constante gale 3 7 10 4 Exercice 4 Calculer Jacrses hi sin x sin 2 x On tape INTVX z SIN X SIN 2 X On trouve g LN COS X 1 LN COS X 1 2 LN 2 COS X 1 Remarque si le param tre de INTVX est le AND de deux l ments INTVX n agit que sur le deuxi me l ment du AND Les fonctions 71 4 11 9 LIMIT Trouver pour n gt 2 la limite quand x tend vers 0 de n x tan x tan n x x sin n x x n x sin x On utilise la commande LIMIT On tape me G TAN X TAN N X o SIN N X N SIN X On obtient 2 Trouver la limite quand x tend vers 00 de PHA OPA Vyr LIMIT 4 X yX VX VX 00 On obtient au bout d un moment 1 2 On tape ATTENTION oo peut s obtenir grace au raccourci clavier SHIFT 0 co s obtient alors en tapant
31. a pas On tape DISTRIB X 1 X 2 X 3 On obtient X X 2 X 3 1 X 2 X 3 4 13 2 EPSXO EPSXO a comme param tre une expression de X et renvoie l expression o les valeurs plus petites que EPS ont t remplac es par z ro On tape EPSX0 0 001 X On obtient avec EPS 0 01 O X On obtient avec EPS 0 0001 001 X 4 13 3 EXP2POW EXP2POW permet de transformer une expression de la forme exp n x In x en une puissance de x On tape EXP2POW EXP N LN X On obtient x Bien voir la diff rence avec LNCOLLECT ona LNCOLLECT EXP N LN X EXP N LN X LNCOLLECT EXP LN X 3 EXP LN X 3 EXP2POW EXP LN X 3 X3 78 Chapitre 4 Les fonctions de Calcul formel 4 13 4 EXPLN EXPLN a comme argument une expression trigonom trique EXPLN transforme les fonctions trigonom triques en exponentielles et logarithmes SANS lin ariser EXPLN fait passer en mode complexe On tape EXPLN SIN X On obtient EXP i X See 2 1 4 13 5 FDISTRIB FDISTRIB permet d effectuer la distributivit de la multiplication par rapport l addition en une seule fois On tape FDISTRIB X 1 X 2 X 3 On obtient X 6 X 4 11 X4 6 4 13 6 LIN LIN a comme argument une expression contenant des exponen tielles et des fonctions trigonom triques LIN lin arise cette expression l exprime en fonction de exp n x LIN fait passer en mode complexe
32. ca te Be eme a ee 5 Exercices trait s avec la HP40 5 1 Introdu tion ra ko al aiai AR 5 2 Exercices donn s au Brevet SAI Exercice l art a ee MERE en Ee tap D 2 27 Exercice 2 44 eee LR OE Note Seeded a es 5 23 Exercice 3 2a a a A mue a EE a MA 24 BK rcic A ss ie a oc ee ae Be cae ceed a 428 SA 5 29 y Exereice bia are as aan te oe me ce ee a 5 3 Exercices donn s au Bac 93 1 Ezercice Dba sus oe LS ante di rat 4 BA 5 3 2 Exercice 2 de sp cialit 5 3 3 Exercice 2 pas de sp cialit Dady V ONCIUSIONS ft vars a munie AURA UE Be SG RA Programmation 6 1 Impl mentation 6 1 1 Comment diter et sauver un programme 6 1 2 Comment corriger un programme 6 1 3 Comment ex cuter un programme 6 1 4 Comment modifier un programme 6 2 Les commentaires 6 3 Les variables 6 3 1 Leurs noms 6 3 2 Notion de variables locales 6 3 3 Notion de param tres 6 4 Les Entr es s amp 22422 hide ete A dog dre rte 6 4 1 Traduction en Algorithmique 6 4 2 Traduction HP40G 6 5 Le s Sorties o ica os a dd do ne 6 5 1 Traduction en Algorithmique 6 5 2 Traduction HP40G 154 TABLE DES MATI RES 6 6 La s quence d instructions ou action
33. dans une variable de HOME Les noms des variables num riques de HOME sont les 26 lettres de Valphabet et les noms des variables symboliques de HOME sont S1 S5 ATTENTION Les variables A Z sont toujours votre disposition et contiennent toujours une valeur r elle Par exemple en utilisant le STO gt du bandeau de HOME ou de l diteur de programme on tape 1 STOD A cela se traduit l cran par 1 gt A et a pour effet d craser la valeur pr c dente de A et de la rem placer par 1 A est valu et d signe le contenu de A REMARQUE La variable symbolique S1 de HOME sert de variable courante lorsqu on veut utiliser certaines fonctions du CAS depuis HOME Exemple m me si il y a X dans VX on crit dans HOME DERVX S1 2 x S1 pour obtenir 2 x S1 2 3 3 2 STORE Dans le CAS il faut utiliser la commande STORE pour stocker un objet dans une variable ou utiliser la touche VARS depuis l diteur d quations puis NEW ou EDIT du bandeau cf 2 5 3 On a droit n importe quel nom de variable STORE se trouve dans le menu ALGB du bandeau de l diteur d quations Exemple On tape STORE X 4 ABC ou on tape x 4 que l on s lectionne puis on appelle STORE puis on tape ABC ENTER valide la d finition de la variable ABC Pour d truire la variable il faut utiliser la touche VARS depuis l diteur d quations puis PURGE du bandeau cf 2 5 3 ou utiliser la commande UNASSIGN du m
34. de la licence existe dans la section intitul e GNU Free Documentation License chapitre 8 p 141 Pr face La HP40G va marquer une nouvelle tape dans la d mocratisation de l utilisation du calcul formel d une part par son prix tr s comp titif et d autre part par le nombre de possibilit s d ex cuter en pas pas les principaux algorithmes enseign s en math matiques au lyc e et dans les premi res ann es l Universit Mais encore fallait il lui adjoindre une documentation ad quate de pr f rence crite par un enseignant de math matiques C est ce que vous trouverez dans ce guide r alis par Ren e De Graeve maitre de conf rences l Universit de Grenoble I et animatrice PIREM de Grenoble Il contient bien s r une r f rence compl te des fonc tions de calcul formel mais montre aussi sur des exemples tir s du baccalaur at et du brevet comment tirer parti intelligemment de la puissance de calcul de la HP40G et se termine par deux chapitres con sacr s la programmation le premier pour apprendre program mer et le second qui illustre l algorithmique appliqu e au programme d arithm tique de sp cialit des Terminales Scientifiques Bernard Parisse Ma tre de Conf rences l Universit de Grenoble I Termes et conditions L utilisation du logiciel CAS implique des connaissances appropri es en math matiques Dans les limites pr vues par la l gislation ce logiciel
35. faible inf rieure 0 25 soit de l ordre de 10712 Bien s r cette m thode est employ e pour savoir si de grands nombres sont pseudo premiers 7 6 1 Traduction Algorithmique On suppose que Hasard N donne un nombre entier au hasard entre 0 et N 1 Le calcul de KN 1 mod N se fait gr ce l algorithme de la puissance rapide cf page 134 On notera puismod K P N la fonction qui calcule KP mod N Fonction estprem N local K I P 1 gt I 140 Chapitre 7 Programmes d arithm tique 1 gt P Tant que P 1 et I lt 20 faire hasard N 2 2 gt K puismod K N 1 N gt P 1 1 gt I ftantque Si P 1 alors resultat VRAI sinon resultat FAUX fsi ffonction 7 6 2 Traduction HP40G PROMPT N RANDSEED TIME 1 gt I 1 gt P WHILE I lt 20 AND P 1 REPEAT FLOOR RANDOM N 2 2 gt K N 1 gt M Calcul de K puissance M mod N dans P 1 gt P WHILE 0 lt M REPEAT IF M MOD 2 O THEN M 2 gt M K K MOD N gt K ELSE K P MOD N gt P M gt M END END P contient K puissance M mod N et M N 1 1 1 gt 1 END ERASE IF P 1 THEN DISP 3 PREMIER N ELSE DISP 3 NON PREMIER N END FREEZE M thode probabiliste de Mr Rabin 141 REMARQUE On peut aussi utiliser la fonction de calcul formel POWMOD et on crit alors MODSTO N POWMOD K N 1 STO gt P la place des instructions comprises entre les on obtient PROMPT N RANDSEED
36. les deux points d affixe 21 22 ARG pour d terminer l argument du param tre ABS pour d terminer le module du param tre CONJ pour d terminer le conjugu du param tre RE pour d terminer la partie r elle du param tre IM pour d terminer la partie imaginaire du param tre pour d terminer l oppos du param tre SIGN pour d terminer le quotient du param tre par son module 4 8 1 ARG On tape ARG 3 4 i On obtient car dans le CAS on est en Radians 4 ATAN e Remarque Vous pouvez faire le m me calcul dans HOME mais vous obtenez un r sultat num rique 0 64250 si vous tes en Radians Dans HOME il faut taper ARG XQ 3 4 i pour obtenir 4 ATAN Z 4 8 2 CONJ On tape CONJ 1 2 i On obtient 1 2 1 ATTENTION si vous choisissez Real vars dans le menu de configu ration CFG vous aurez CONJ Z Z et si vous choisissez Cmplx vars CONJ Z sera diff rent de Z condition que Z ne figure pas dans la Les expressions alg briques 57 liste que contient la variable REALASSUME Il est souvent pr f rable d crire l expression quot e QUOTE expression pour viter une r criture de cette expression par exemple si on a s l ctionn Real vars et si on tape SUBST QUOTE CONJ Z Z 1 i On obtient CONJ 1 i alors que SUBST CONJ Z Z 1 i donne 1 i Bien s r si on a s l ctionn Cmplx vars et que Z ne figure pas dans la liste que conti
37. plus qu a taper X 4 puis gt gt et ENTER On obtient 4 2 4 2 puis ENTER pour obtenir 12 Bien s r SUBST X 4 X 4 4 2 4 2 et 12 se sont inscrits dans l historique REMARQUE Au cours de l criture d une expression vous pouvez appeler une fonction du CAS cette fonction aura comme premier argument ce qui est s lectionn ou rien si rien n a t s lectionn le curseur se trouve au bon endroit pour compl ter les arguments 3 3 Les variables Vous pouvez stocker des objets dans des variables et les r utiliser en utilisant le nom de la variable ATTENTION 1 Les variables utilis es dans le CAS ne sont pas utilisables dans HOME et r ciproquement 2 On utilise STO gt pour stocker un objet dans une variable de HOME ou de l diteur de programme et on le note dans la suite STO gt ou D 3 Dans le CAS il faut utiliser la commande STORE cf 3 3 2 pour stocker des valeurs dans des variables 4 La touche VARS affiche un menu qui contient toutes les variables qui sont votre disposition Cette touche press e lorsque l on est dans HOME fait appara tre les noms des variables autoris es dans HOME et dans les Aplets Cette touche press e lorsque l on est dans l diteur d quations fait appara tre les noms des variables d finies dans le CAS 38 Chapitre 3 criture des expressions dans l diteur d quations 3 3 1 STO gt STO gt permet de stocker un objet
38. ponse 0 T Y ENTER 3 r ponse T Y 2 x 3 ENTER Exercices donn s au Bac 103 r ponse 3 8 r ponse 0 Pente des tangentes m OS On trouve les valeurs de a pour t 0 73 m en tapant successivement Y1 t LIMIT t 0 ENTER X1 t r ponse 0 Y1 t LIMIT t 7 3 ENTER X1 t r ponse 00 Y1 t LIMIT t 2x T 3 ENTER X1 t r ponse 0 Y1 t LIMIT t 7 ENTER X1 t r ponse 00 Voici les variations de x t et de y t 2 t 0 a FE T L t 0 0 0 1 3 I 3 x t noe l Eu T 4 5 vejo nl 72 0 y t 0 0 m 0 00 0 00 Courbe F On fait ensuite le trac de la courbe en param trique On tape X t i x Y t dans l diteur d quations puis ENTER On tape ensuite PLOT et on s lectionne Parametric l aide de la boite de dialogues et X1 Y1 comme destination Puis on quitte le CAS avec la touche ON CANCEL et pour faire le graphe de la courbe on lance l Aplet Parametric 104 Chapitre 5 Exercices trait s avec la HP40 5 3 2 Exercice 2 de sp cialit On d finit pour n entier naturel an 4 x 10 1 b 2x 10 1 et ce 2x 10 1 On tape donc DEF A N 4 10 1 DEF B N 2 10 1 DEF C N 2 10 1 1 a Calcul de a1 b1 C1 a2 b2 Co a3 b3 C3 Il suffit de taper A 1 r ponse 39 B 1 r ponse 19 c 1 r ponse 21
39. qui se trouve soit en bas soit en haut a de l cran Il faut alors se servir des fl ches vA pour faire d rouler l cran et voir ainsi ce qui manque Si on ne veut pas le d tail des calculs il faut choisir le mode Direct en abr g D 4 3 Ecriture normale La calculatrice peut g rer des nombres entiers en pr cision infinie essayez 100 Le symbole s obtient en tapant SHIFT x L criture d cimale de 100 tant tr s longue on peut voir le r sultat gr ce la touche VIEWS 4 3 1 DEF Soit l exercice suivant Calculer les six premiers nombres de Fermat Fk 22 1 pour k 1 6 et dire s ils sont premiers On tape l expression 2 41 On trouve 17 puis on lance la commande ISPRIME Cette com mande se trouve dans le menu Integer de la touche MATH La r ponse est 1 ce qui veut dire vrai Gr ce l historique touche HOME je recopie l expression 22 1 dans l diteur d quations et je la modifie en 2 44 46 Chapitre 4 Les fonctions de Calcul formel Ou bien et c est la meilleure m thode on d finit la fonction F K l aide de DEF du menu ALGB du bandeau en tapant DEF F K 22 1 La r ponse est 2 1 et F s inscrit parmi les variables appuyer sur VARS pour le v rifier Pour K 5 on tape F 5 On obtient 4294967297 On peut factoriser F5 avec FACTOR que l on trouve dans le menu ALGB du bandeau On tape FACTOR F 5 On obtient 641 67
40. utiliser la commande ASSUME X gt 1 pour que REALASSUME contienne X gt 1 La commande UNASSUME X enl vera toutes les hypoth ses faites sur X Pour voir ces variables et aussi celles que vous avez d finies dans le CAS il faut appuyer sur VARS depuis l diteur d quations cf 2 5 3 Chapitre 4 Les fonctions de Calcul formel 4 1 Le bandeau du CAS Seul le menu TOOL contient des commandes les autres menus per mettent la mise jour de la configuration et contiennent des fonctions alg briques que l on peut taper en mode Alpha 4 1 1 CFG Tous les menus sauf TOOL affichent l tat de votre configuration et vous avez la possibilit d en changer Par exemple vous voyez en premi re ligne d un menu CFG R XS cela veut dire que vous tes en mode r el exact et que X est la variable courante et que vous tes en mode pas pas S On met en surbrillance CFG et on appuie sur OK Il apparait un menu d en t te CFG R STEP X 13 cela veut dire que vous tes en mode r el exact que le mode pas pas est s lectionn que les polyn mes sont crits selon les puissances croissantes que X est la variable courante que les calculs modulaires se feront dans Z 13Z p 13 et que vous tes en mode rigourous on met des valeurs absolues 41 42 Chapitre 4 Les fonctions de Calcul formel Vous pouvez changer cette configuration en s lectionnant ce qui vous convient parmi Quit config l
41. voisinage de x 00 ou x 00 Exemple 1 Donner un d veloppement de arctan x l ordre 5 au voisinage de x 00 en prenant comme infiniment petit h H On tape SERIES ATAN X X 00 5 On obtient Ca e 2 BB pet X Exemple 2 Donner un d veloppement de 2x Lert l ordre 2 au voisi nage de x 0 en prenant comme infiniment petit h H On tape 1 SERIES 2X 1 EXP X 00 3 On obtient A 2 h 2h 12 Exemple 3 Donner un d veloppement de 2x 1 e l ordre 2 au voisi nage de x oo en prenant comme infiniment petit h On tape 1 SERIES 2X 1 EXP 3 X 00 3 D veloppements limit s et asymptotiques 75 On obtient 2 h 2h h h 2z d veloppement unidirectionnel Il faut utiliser pour l ordre un r el positif par exemple 4 pour faire un d veloppement au voisinage de x a avec x gt a et un r el n gatif par exemple 4 pour faire un d veloppement au voisinage de x a avec t lt a Exemple 1 Es Donner un d veloppement de CEA l ordre 2 au voisinage d a eX 0 On tape 1 1 X serres 0 x 9 X3 On obtient 2 e e h e Het Exemple 2 E Donner un d veloppement de EXT l ordre 2 au voisinage X eX 0 On tape 1 1 X serres EX x 25 X3 On obtient 2 e e h mee et Exemple 3 pil Donner un d veloppement de oe l ordre 2 au voisinage de X 0 a eX
42. 0 On tape 1 1 X x serres T X 2 x3 On obtient 2 e eh Saas eee 2 n9 76 Chapitre 4 Les fonctions de Calcul formel 4 12 4 TAYLORO TAYLORO a un seul argument la fonction de x a d velopper et renvoie son d veloppement limit a l ordre relatif 4 au voisinage de x 0 si x est la variable courante On tape TAN P X SIN P X TAYLORO gx SIN Q X On obtient p3 p Q2 P 5 gt AA Qs 4 93 ATTENTION l ordre 4 veut dire que l on d veloppe l ordre re latif 4 le num rateur et le d nominateur ici ordre absolu 5 pour le num rateur et le d nominateur ce qui donne en fin de compte un ordre 2 5 3 puisque la valuation du d nominateur est gale 3 4 12 5 TRUNC TRUNC permet de tronquer un polyn me un ordre donn utile quand on fait des d veloppements limit s TRUNC a deux arguments un polyn me et X TRUNC renvoie le polyn me tronqu l ordre n 1 on n a pas de termes de degr gt n On tape 1 3 TRUNC 1 X 57 Pee On obtient 9 2 3 1 3 X D 4 X 4 13 Les Fonctions de r criture Toutes les fonctions de ce paragraphe se trouvent dans le menu REWRITE du bandeau 4 13 1 DISTRIB DISTRIB permet d appliquer la distributivit de la multiplication par rapport l addition une fois Les Fonctions de r criture 77 DISTRIB permet quand on l applique plusieurs fois d effectuer la distributivit pas
43. 00417 Pour F 6 on trouve 18446744073709551617 On factorise avec FACTOR on trouve 274177 67280421310721 ATTENTION la diff rence entre 5 2 5 2 et 2 5 10 4 4 Les entiers et les entiers de Gauss Toutes les fonctions de ce paragraphe se trouve dans le menu Integer de la touche MATH Pour certaines fonctions on peut utiliser des entiers de Gauss nom bres de la forme a ib avec a et b entiers la place des entiers Les entiers et les entiers de Gauss 47 4 4 1 DIVIS DIVIS donne la liste des diviseurs d un entier On tape DIVIS 12 On obtient 12 OR 6 OR 3 OR 4 OR 2 OR 1 4 4 2 EULER EULER d signe l indicadrice d EULER d un entier EULER n est gale au cardinal de l ensemble des nombres inf rieurs n et premiers avec n On tape EULER 21 On obtient 12 En effet l ensemble E 2 4 5 7 8 10 11 13 15 16 17 19 correspond aux nombres plus pe tits que 21 premiers avec 21 et E a comme cardinal 12 4 4 3 FACTOR FACTOR d compose l entier en produit de facteurs premiers On tape FACTOR 90 On obtient PSE 4 4 4 GCD GCD d signe le PGCD de deux entiers On tape GCD 18 15 On obtient 3 En mode pas pas on tape GCD 78 24 48 Chapitre 4 Les fonctions de Calcul formel On obtient 78 mod 24 6 24 mod 6 0 Result 6 ENTER renvoie 6 dans l diteur d quations 4 4 5 IEGCD IEGCD A B d signe le PGCD tendu identit
44. 02 On obtient 2 1 4 9 5 SUBST SUBST a deux param tres une expression d pendant d un param tre et une galit param tre valeur de substitution SUBST effectue la substitution demand e dans l expression On tape SUBST A 1 A 2 On obtient 1 4 10 Les polynomes Toutes les fonctions de ce paragraphe se trouve dans le menu Polynom de la touche MATH 60 Chapitre 4 Les fonctions de Calcul formel 4 10 1 DEGREE DEGREE a comme argument un polyn me de la variable courante DEGREE renvoie le degr de ce polyn me ATTENTION le degr d un polyn me nul est gal 1 On tape DEGREE X X 1 On obtient 4 10 2 EGCD Il s agit de l identit de B zout Extended Greatest Common Divisor EGCD A X B X renvoie U X AND V X D X avec D U V v rifiant D X U X A X V X B X On tape EGCD X 2 X 1 X 1 On obtient 1 AND 1 2 X 2 On tape EGCD X 2 X 1 X 1 On obtient X 2 AND 1 3 X 3 4 10 3 FACTOR FACTOR a pour argument un polyn me FACTOR factorise ce polyn me On tape FACTOR X 2 On obtient X V2 x V2 On tape FACTOR X 2 X 1 On obtient X 1 On tape FACTOR X 2 X 1 Les polyn mes 61 On obtient x 1 x 1 On tape FACTOR X 2 X 1 On obtient X 1 2 X 1 V5 2 x 1 V5 4 4 10 4 GCD GCD d signe le PGCD plus grand commun divis
45. 3 X X 6 X 9 On trouve x3 3 cCO cC1 X cCO EXP 3 X cCO et cC1 sont les constantes d int gration y 0 cCO y 0 cC1 4 17 Les expressions trigonom triques Toutes les fonctions de ce paragraphe se trouve dans le menu TRIG du bandeau 4 17 1 ACOS2S ACOS2S a comme argument une expression trigonom trique ACOS2S transforme cette expression en rempla ant arccos x par 5 arcsin x On tape ACOS2S ACOS X ASIN X On obtient dd 2 4 17 2 ASIN2C ASIN2C a comme argument une expression trigonom trique ASIN2C transforme cette expression en remplacant T arcsin x par 37 arccos x On tape ASIN2C ACOS X ASIN X 86 Chapitre 4 Les fonctions de Calcul formel On obtient NIA 4 17 3 ASIN2T ASIN2T a comme argument une expression trigonom trique ASIN2T transforme cette expression en rempla ant x arcsin x par arctan 2 p Ga On tape ASIN2T ASIN X On obtient ATAN 1 1 X2 4 17 4 ATAN2S ATAN2S a comme argument une expression trigonom trique ATAN2S transforme cette expression en rempla ant x arctan x par arcsin 2 Fs On tape ATAN2S ATAN X On obtient X ASIN X2 1 4 17 5 HALFTAN HALFTAN a comme argument une expression trigonom trique HALFTAN transforme les sin x cos x et tan x contenus dans l expression en fonction de tan gt On tape SIN 2 X HALFTAN
46. 80 2 On va chercher D dans l historique touche HOME on met en sur brillance D puis on valide avec ENTER On appelle FACTOR et on obtient 3X 8 3X 10 On aurait pu aussi s lectionner 81 pour le factoriser en 34 et recon naitre la difference de deux carr s 3 On appelle la commande SOLVEVX puis ENTER renvoie X 5 o x gt 4 On va chercher D dans l historique touche HOME on met en sur brillance D puis on valide avec ENTER On appelle la fonction SUBST on compl te le deuxi me argument X 5 puis gt gt pour s lectionner le tout puis ENTER On obtient 3 5 1 81 puis ENTER donne le r sultat 175 Donc D 175 5 2 4 Exercice 4 Un confiseur pr pare deux sortes de boites contenant des tuiles et des macarons Dans le paquet de la premi re sorte il place 17 tuiles et 20 macarons Dans le paquet de la deuxi me sorte il place 10 tuiles et 25 macarons Ces paquets sont vendus 90F Calculer le prix d une tuile et celui d un macaron Soit x le prix en Francs d une tuile et y celui d un macaron On a r soudre 17x 20y 90 10x 25y 90 On tape dans l diteur d quations LINSOLVE 17 X 20 Y 90 AND 10 X 25 Y 90 X AND Y Si on est en mode pas pas on obtient Lo 17L2 10L 17 20 90 10 25 90 Li 45L 4L Exercices donn s au Brevet 97 17 20 90 0 225 630 Reduction Result 765 0 90 0 225 630 puis
47. AS VEIN cots 4 42 4 ee EEE ee Pe bus 78 413 7 LNCOLEECT ds meta eho e a 79 4 13 8 POWEXPAND ge eee ae tee eae ee a ca 79 ALSO SIMPETEY a at Satan ee Ga Ok Oh Oe ae or nel 79 ATS TO XNUM 2 22 4 242 nu LE Meee eB hg a 80 AP SALTER QE ough tect cic elas acts te toate Satan dat ty Rak et in nes 80 Equations a Me Ae ee Pa 80 AAT ISOLATE oa a EE ee ER RS 81 A AAD SOLVEVK e Le met RL hou Tu AROS 81 Al TAY 3 SOLVE a n e nee du ne An 81 Les syst mes lin aires 82 AT5 21 TENSOLVE i foo ous La Lo ee EE te Ut amp 82 Les quations diff rentielles 84 4 16 1 DESOLVE et SUBST 84 416 2 LDEC 4 ga ee UE TE OS 2 5 bal 85 Les expressions trigonom triques 85 ATRL ACOS2S ed ob ba ee bes dues La 85 ALA ESING a de DRE ea 85 ALES ASINOT Le td dd MR DURS dura ee 86 ATTA ATANDS toto a dant En ou Dont kn a 86 TABLE DES MATI RES 4 17 9 HALETAN 4 4 o L na a a Ra mu 4 17 6 SINCUS ae te EE a OEE date Be AM ALTIRO TANDCS2 ie ut ee dr ue Bake wee eS d NU ATE TAN2SC co y ER Ge 4e ALTO TANDSCO 2 2 i te ea A eB ae ATADO TCOLLECT seco ator dial genes oo de 4 hac aed ATT LLTEXPAND provi co asco hawt Rat Oe be ee RER A ATAD TEIN o voute a a a a at eet oe ale ARE ANT AS TRIG sie oc mure ati oan Ab ok ee a Ea 4 V7 TATRIGCOS a a bold 8 NS AAT VOTRIGSIN i eta os de Ger dt Dame d de a ALT ALAOTRIGTAD Let Ae te tte EE
48. Calcul formel et Math matiques avec la HP40G Ren e De Graeve Ma tre de Conf rence Grenoble I Version 1 0 Remerciements Tout le monde savait que c tait impossible d crire seul un logi ciel de calcul formel performant Seul un illumin Bernard Parisse ne le savait pas et il l a fait Voici son logiciel de calcul formel dit ERABLE implant pour la deuxi me fois sur une calculatrice HP Cela a amen Bernard Parisse modifier quelque peu son logiciel de fa on ce que les fonctions de calcul formel puissent tre dit es et avoir leurs r ponses dans l diteur d quations vous de d couvrir toutes les performances de cette calculatrice au fil des pages de ce livre Je remercie Bernard Parisse pour ses pr cieux conseils ses remarques sur ce texte sa relecture et pour sa facult d crire des fonctions la demande avec efficacit et gentillesse Jean Tavenas pour l int r t port l ach vement de ce guide Jean Yves Avenard pour avoir pris en compte nos suppliques et pour avoir gr ce son esprit prompt crit la commande PROMPT de fa on impromptue cf 6 4 2 2000 Hewlett Packard http www hp com calculators La reproduction la distribution et ou la modification de ce document sont autoris es conform ment aux termes de la GNU Free Documen tation License Version 1 1 ou ult rieure publi e par la Free Software Foundation Une copie
49. D and or processing tools are not generally available and the machine generated HTML produced by some word processors for output purposes only The Title Page means for a printed book the title page itself plus such following pages as are needed to hold legibly the material this License requires to appear in the title page For works in formats which do not have any title page as such Title Page means the text near the most prominent appearance of the work s title preceding the beginning of the body of the text 2 VERBATIM COPYING You may copy and distribute the Document in any medium either commercially or noncommercially provided that this License the copyright notices and the license notice saying this License applies to the Document are reproduced in all copies and that you add no other conditions whatsoever to those of this License You may not use technical measures to obstruct or control the reading or further copying of the copies you make or distribute However you may accept compensation in exchange for copies If you distribute a large enough number of copies you must also follow the conditions in section 3 You may also lend copies under the same conditions stated above and you may publiely display copies 3 COPYING IN QUANTITY If you publish printed copies of the Document numbering more than 100 and the Document s license notice requires Cover Texts you must enclose the copies in covers that carry clea
50. DISTRIB EPSXO EXPLN EXP2POW FDISTRIB LIN LNCOLLECT POWEXPAND SINCOS SIMPLIFY XNUM XQ 43 44 Chapitre 4 Les fonctions de Calcul formel 4 1 6 SOLVE DESOLVE ISOLATE LDEC LINSOLVE SOLVE SOLVEVX 4 1 7 TRIG ACOS25 ASIN2C ASIN2T ATAN2S FOURIER HALFTAN SINCOS TAN2CS2 TAN2SC TAN25C2 TCOLLECT TEXPAND TLIN TRIG TRIGCOS TRIGSIN TRIGTAN 4 1 8 La touche MATH En plus des r pertoires ci dessus ALGEBRA DIFF amp INT REWRITE TRIG SOLVE on trouve Complex i ABS ARG CONJ DROITE FLOOR IM MOD RE SIGN Constant e i pi Hyperb ACOSH ASINH ATANH COSH SINH TANH Integer DIVIS EULER FACTOR GCD IEGCD IQUOT IREMAINDER ISPRIME LCM NEXTPRIME PREVPRIME Modular ADDTMOD DIVMOD EXPANDMOD FACTORMOD GCDMOD INVMOD MODSTO MULTMOD POWMOD SUBTMOD Polynom EGCD FACTOR GCD HERMITE LCM LEGENDRE PARTFRAC PROPFRAC PTAYL QUOT REMAINDER TCHEBYCHEFF Tests ASSUME UNASSUME gt gt lt lt AND OR NOT IFTE Le pas pas 45 On pourra se reporter aux sections 2 4 et 2 5 1 pour avoir la descrip tion des diff rents r pertoires 4 2 Le pas pas Le mode pas pas Step Step ou en abr g S est choisi quand on veut avoir le d tail des calculs Le d tail des calculs s affiche sur un cran et il faut appuyer sur OK du bandeau pour avoir le pas suivant Mais quelquefois l cran n est pas assez grand pour afficher toutes les informations on le voit gr ce une fl che
51. Dedications preserve the section s title and preserve in the section all the substance and tone of each of the contributor acknowledgements and or dedications given therein L Preserve all the Invariant Sections of the Document unaltered in their text and in their titles Section numbers or the equivalent are not considered part of the section titles M Delete any section entitled Endorsements Such a section may not be included in the Modified Version N Do not retitle any existing section as Endorsements or to conflict in title with any Invariant Section If the Modified Version includes new front matter sections or appendices that qualify as Secondary Sections and contain no material copied from the Document you may at your option designate some or all of these sections as invariant To do this add their titles to the list of Invariant 145 Sections in the Modified Version s license notice These titles must be distinct from any other section titles You may add a section entitled Endorsements provided it contains nothing but endorsements of your Modified Version by various parties for example statements of peer review or that the text has been approved by an organization as the authoritative definition of a standard You may add a passage of up to five words as a Front Cover Text and a passage of up to 25 words as a Back Cover Text to the end of the list of Cover Texts in the Modified Version Only one
52. ENTER COS t 2 COS t On d veloppe l expression transformation de CDS 2 t on appelle TEXPAND TEXPAND COS t 2 COS t puis ENTER la r ponse est 2 COS t 1 COS t puis on factorise FACTOR 2 COS t 1 COS t puis ENTER la r ponse est COS t 1 2 COS t 1 102 Chapitre 5 Exercices trait s avec la HP40 On peut alors d finir la fonction y t on tape comme pour x t DEF Y1 t COS t 1 2 COS t 1 Variations de x t et de y t Pour cela on trace sur le m me graphique x t et y t On met t comme variable VX touches SHIFT SYMB SETUP puis on tape dans l diteur d quations X t puis ENTER On appuie alors sur la touche PLOT On s lectionne Function l aide de la boite de dialogues et F1 comme destination Puis on fait la m me chose avec Y t en chosissant F2 comme destination Puis on quitte le CAS avec la touche ON CANCEL pour faire le graphe des fonctions ainsi recopi es on se place dans l Aplet Function et on coche F1 et F2 Il faut r gler les param tres de la fen tre SHIFT PLOT puis PLOT pour avoir le graphique 6 Trac de la courber Valeurs de x t et de y t On trouve les valeurs de z t et de y t pour t 0 en tapant successivement T 27 130 307 X 0 ENTER r ponse x 5 ENTER r ponse X 2 x 5 ENTER r ponse X T ENTER r ponse 3 Y 0 ENTER r
53. ENTER donne le r sultat 14 X 2 AND Y 14 En mettant en surbrillance TA et en appuyant sur la touche NUM ou en appellant XNUM on obtient X 2 AND Y 2 8 ATTENTION vous tes passer en mode Approx repasser en mode Exact avec CFG Le prix d une tuile est donc de 2 francs et celui d un macaron de 2 80 francs 5 2 5 Exercice 5 Le plan muni d un rep re orthonormal O i j et l unit de longueur est le centim tre On appelle A et B les points dont les coordonn es sont A 1 3 et B 3 1 1 Calculer AB en donnant sa valeur exacte en centim tres 2 Determiner l quation de la droite AB Premi re fa on On tape STORE 1 3 A STORE 3 1 B Le vecteur AB a pour coordonn es B A 1 On tape ABS B On obient 2V5 2 On tape DROITE A B On obient y 2x 5 98 Chapitre 5 Exercices trait s avec la HP40 OU deuxi me fa on 1 On tape directement 3 1 1 3 On obient 2 4 i On tape ABS 2 4i On obient 2V5 2 On tape DROITE 1 3 3 1 On obient y 2 x 1 3 puis ENTER donne y 2x 5 5 3 Exercices donn s au Bac 5 3 1 Exercice 1 L objet de cet exercice est de tracer la courbe I d crite par M d affixe 4 22 z lorsque m d affixe z d crit le cercle C de centre O et de rayon 1 Soit t un r el de 7 7 et m le point de C d affixe z t 1 Calcul des coordonn es de
54. FACTOR sert factoriser et que cette fonction se trouve dans le menu ALGB Vous savez que SUBST sert substituer dans une expression une vari able par une valeur et que cette fonction se trouve dans le menu ALGB Premi re possibilit saisie avant les arguments Vous appuyez sur la touche F2 qui active ALGB du bandeau et vous mettez en surbrillance FACTOR puis ENTER FACTOR 4 s inscrit dans diteur avec le curseur entre les parenth ses Vous entrez votre expression avec les r gles de s lection vues pr c demment Xx 2 gt 4o ce qui s lectionne FACTOR X 4 puis ENTER donne le r sultat X 2 X 2 Le r sultat est s lectionn et remplace la commande On ne le voit pas mais apr s chaque ENTER il y a sauvegarde dans Phistorique ainsi FACTOR X 4 et X 2 X 2 se sont inscrits dans l historique Maintenant vous effacez le r sultat pr c dent avec ALPHA SHIFT DEL CLEAR car ce r sultat est s lectionn Vous appuyez sur la touche qui active ALGB du bandeau et vous mettez en surbrillance SUBST puis ENTER SUBST lt e s inscrit dans l diteur avec le curseur entre les parenth ses la place du premier argument 36 Chapitre 3 criture des expressions dans l diteur d quations Vous entrez votre expression avec les r gles de s lection vues pr c demment ATTENTION ici SUBST a deux arguments il faut donc entrer dans le mode s lection avec A
55. G on utilise l Aplet Sequence touche APLET puis on s lectionne Sequence puis START du bandeau Si l on veut d terminer le PGCD 78 56 on d finit la suite U1 1 78 U1 2 56 U1 N U1 N 2 MOD U1 N 1 On tape sur NUM pour avoir la liste num rique des U1 N c est dire la liste des restes des divisions successives Le dernier reste non nul est 2 donc le PGCD 78 56 2 REMARQUE On peut utiliser dans HOME les variables A et B pour stocker les deux nombres et mettre alors U1 1 A U1 2 B Il faut aussi remarquer que A MOD O A Le calcul des coefficients de l identit de B zout L algorithme d Euclide permet de trouver un couple U V v rifiant AxU BxV PGCD A B Avec les suites On va d finir la suites des restes R et deux suites U et V de fa on qu chaque tape on ait Ry Un x A V xB Puisque ona Rn Rn 2 Qn X Rn 1 Un et Vn vont v rifier la m me relation de recurrence Qn quotient entier de R 2 par Rn 1 On a au d but R AR2 B U 1 U2 0 puisque A 1 x A 0x B V 0 V 1 puisque B 0x A 1x B Avec la HP40G gr ce 1 Aplet Sequence on va d finir la suite U1 des restes et les suites U2 et U3 qui seront telles que pour tout N on ait U1 N AXU2 N BxU3 N Pour cela on a besoin de la suite des quotients que l on mettra en U4 Les suites U1 U2 U3 v rifient la m me relation de r currence Un Un 2 Qn X Un 1 avec Qn U4 N FL
56. L1 L2 FLOOR L1 3 L2 3 gt L3 L2 gt Li L3 gt L2 END DISP 4 U V PGCD Li FREEZE Version r cursive sans les listes On crit le programme BEZOUR gr ce aux commandes Merci Bernard PUSH PUSH A pour mettre le contenu de A sur une pile et POP pour r cup rer les valeurs mises sur la pile PROGRAM BEZOUR IF B 0 THEN PUSH FLOOR A B A MOD B gt T B gt A T gt B RUN BESOUR U V POP gt T V gt U T gt V ELSE 1 gt U 0 gt V A gt D END D composition en facteurs premiers 131 PUSH FLOOR A B a pour effet de mettre les diff rentes valeurs de FLOOR A B sur une pile et POP de les r cuperer T est une variable auxillaire BEZOUR prend comme entr e les valeurs des variables globales A et B et remplit les variables globales U et V de fa on que A U B V PGCD A B On crit ensuite le programme final BEZOURT permettant l entr e de A et B et la sortie de U V D PROGRAM BEZOURT PROMPT A PROMPT B RUN BEZOUR ERASE MSGBOX U V D REMARQUE Si on utilise la fonction de calcul symbolique IREMAINDER la place de MOD et IQUOT A B la place de FLOOR A B dans les programmes pr c dents BEZOUT ou BEZOUR peut alors avoir comme param tres des entiers de Gauss condition de remplacer les noms des variables A B R par Z1 Z2 Z3 REMARQUE Si on utilise la fonction du calcul symbolique REMAINDER la place de MOD dans les programmes pr c dents
57. LES with the Front Cover Texts being LIST and with the Back Cover Texts being LIST A copy of the license is included in the section entitled GNU Free Documentation License If you have no Invariant Sections write with no Invariant Sections instead of saying which ones are invariant If you have no Front Cover Texts write no Front Cover Texts instead of Front Cover Texts being LIST likewise for Back Cover Texts If your document contains nontrivial examples of program code we recommend releasing these exam ples in parallel under your choice of free software license such as the GNU General Public License to permit their use in free software Index lt 7 43 59 gt STO 7 44 56 A lt dbpy 7 ABS 44 56 ACOS2S 44 85 ADDTMOD 44 51 ARG 44 56 ASIN2C 44 85 ASIN2T 44 86 ASSUME 18 39 45 ATAN2S 44 86 CFG 41 Change font 16 42 COLELCT 42 COLLECT 58 CONJ 44 56 Copy 16 42 Cursor mode 16 42 Cut 16 42 DEF 42 45 65 DEGREE 60 DERIV 43 67 DERVX 43 66 DESOLVE 44 84 DISTRIB 43 76 DIVIS 44 47 DIVMOD 44 51 DIVPC 43 73 DROITE 44 56 57 97 Edit expr 16 42 EGCD 44 60 147 EPSXO 43 77 EULER 44 47 EXP2POW 43 77 EXPAND 42 58 EXPANDMOD 44 51 EXPLN 43 78 FACTOR 42 44 47 48 60 FACTORMOD 44 52 FDISTRIB 43 78 FLOOR 44 55 FOURIER 43 44 68 GCD 44 47 61 GCDMOD 44 52 HALFTAN 44 86 HE
58. LP 7 19 23 HERMITE 44 61 i 44 IBP 43 68 IEGCD 44 48 IFTE 18 45 66 IM 44 56 INTVX 43 69 INVMOD 44 52 IQUOT 44 48 IREMAINDER 44 49 ISOLATE 44 81 ISPRIME 44 45 49 LCM 44 50 62 LDEC 44 85 LEGENDRE 44 62 LIMIT 43 71 73 LIN 43 78 LINSOLVE 44 82 LNCOLLECT 43 79 MOD 44 49 55 MODSTO 39 44 52 MULTMOD 44 53 148 NEXTPRIME 44 50 PARTFRAC 42 44 62 Paste 16 42 POP 23 130 POWEXPAND 43 79 POWMOD 44 53 PREVAL 43 72 PREVPRIME 44 50 PROMPT 115 PROPFRAC 44 54 63 PTAYL 44 63 PUSH 22 130 QUOT 44 64 QUOTE 42 57 73 RE 44 56 REALASSUME 18 39 57 REMAINDER 44 64 RISCH 43 72 SERIES 43 SIGN 44 56 SIMPLIFY 43 79 SINCOS 43 44 87 SOLVE 44 81 SOLVEVX 44 81 STO 37 STORE 38 43 SUBST 43 59 84 SUBTMOD 53 SUDTMOD 44 TABVAR 43 67 TAN2CS2 44 87 TAN2SC 44 87 TAN2SC2 44 88 TAYLORO 43 76 TCHEBYCHEFF 44 64 TCOLLECT 44 88 TEXPAND 43 44 88 TLIN 44 89 TRIG 44 90 INDEX TRIGCOS 44 90 TRIGSIN 44 90 TRIGTAN 44 91 TRUNC 43 76 UNASSIGN 38 43 UNASSUME 18 39 45 XNUM 43 55 80 XQ 43 80 Table des mati res 0 1 Pr sentation g n rale 0 1 1 Mise en route 0 1 2 Que voit on 0 27 Notations 4 aa a a 0 3 L aideenligne 1 Les Aplets 1 1 La touche APLET 1 2 Les diff rentes Aplets
59. M On entre tout d abord l expression 4 22 z dans l diteur d quations On tape dans l diteur d quations ALPHA Z x 2 gt 2 gt ALPHAZ gt gt 2 L expression a Z est s lectionn e Puisque z e on appelle SUBST et on compl te le deuxi me argument 2 Z SUBST Z Z EXP i x t Exercices donn s au Bac 99 la r ponse est EXP i t a EXP i t On lin arise ensuite l expression avec l appel de LIN la r ponse est 1 z EXP 2 4 t 1 EXP i t Puis on appelle STORE que l on compl te pour avoir 1 y STORE gt EXP 2 i t 1 EXP i t M puis ENTER On cherche maintenant la partie r elle de cette expression avec l appel de RE la r ponse est COS t 2 2 COS t 2 On d finit alors la fonction z t on appelle DEF ATTENTION Il faut taper X t puis changer X t COS t 2 2 COS t E et l expression gos t 2 2 cos e en mettant en surbrillance X t avec gt puis en tapant SHIFT lt pour l change On obtient COS t 2 2 COS t DEF X t ee 5 puis ENTER On cherche ensuite la partie imaginaire on tape IM M la r ponse est SIN t 2 2 SIN t 2 On d finit alors la fonction y t de la m me fagon que a t _ SIN t 2 2 SIN t 7 2 DEF Y t puis ENTER 100 Chapitre 5 Exercices trait s avec la HP40 2 On cherche un axe de sym trie
60. MOD B gt R B gt A R gt B END DISP 4 PGCD A FREEZE Version r cursive pour deux entiers A et B Avec la HP40G on ne peut pas crire des programmes r cursifs mais on peut crire le programme PGCDR DISP 3 PGCD A B FREEZE IF B 0 THEN A MOD B gt R B gt A R gt B PGCDR ELSE DISP 3 PGCD A FREEZE END On stocke tout d abord les valeurs dans A et B Le programme PGCDR affiche le PGCD qu il est en train de calculer L appel r cursif PGCDR renvoie au programme PGCDR qu il faut faire ex cuter en appuyant sur RUN du bandeau Le programme PGCDR affiche ainsi les PGCD interm diaires cal cul s On peut aussi remplacer PGCDR dans le programme pr c dent par RUN PGCDR pour ne pas avoir appuyer sur RUN du bandeau et supprimer les affichages interm diaires pour utiliser ce programme dans un pro gramme effectuant les entr es et les sorties le programme r cursif PGCDR devient le programme r cursif PR IF B O THEN A MOD B gt R B gt A R gt B RUN PR END On ins re le programme PR dans un programme effectuant les entr es et les sorties 126 Chapitre 7 Programmes d arithm tique PROMPT A PROMPT B RUN PR ERASE MSGBOX A Version it rative pour deux complexes Si on utilise la fonction du calcul symbolique IREMAINDER la place de MOD dans les programmes pr c dents PGCD ou PR peut alors avoir comme param tres des entiers d
61. N CANCEL vous permet d en sortir C est un diteur tr s performant pour crire simplifier et transformer des expressions math matiques Lorsque l on est dans l diteur d quations on peut crire des ex pressions en sachant que l op rateur que l on est en train de taper porte toujours sur l expression adjacente ou sur l expression s lec tionn e On ne se pr occupe pas de mettre des parenth ses on s lectionnel Il faut voir les expressions math matiques comme un arbre pas for c ment binaire et comprendre que les quatre fl ches permettent de parcourir l arbre de fa on naturelle les fl ches droite et gauche permettent d aller d un sous arbre l autre les fl ches haut et bas de monter ou de descendre dans l arbre les fl ches droite et gauche shift es permettent diverses s lections cf page 29 l exemple 3 27 28 Chapitre 3 criture des expressions dans l diteur d quations 3 1 2 Comment s lectionner On peut entrer dans le mode s lection de deux fa ons La fl che vous fait entrer dans le mode s lection et s lectionne l l ment adjacent au curseur Exemple 14 24 3 4A s lectionne 4 puis A s lectionne l arbre tout entier 1 2 3 4 La fleche gt vous fait entrer dans le mode s lection et s lectionne le sous arbre adjacent au curseur Si vous appuyez nouveau sur gt vous augmentez votre s lection du sous arbre contig
62. OOR U1 N 2 U1 N 1 Les touches SYMB NUM PLOT 13 On d finit donc U1 1 1 N 2 UA N UL N 1 II II 2 N 2 UA N U2 N 1 II 3 N 2 U4 N U3 N 1 II Il oodnocor a ST TT ZE U4 N FLOOR U1 N 2 U1 N 1 Il faut remarquer que l on n utilise U4 N que pour N gt 2 ona donc d fini les deux premi res valeurs qui sont inutiles par z ro NUM va alors afficher les valeurs de ces diff rentes suites et sur la ligne du dernier reste non nul on pourra lire le pgcd et les coefficients de Videntit de B zout 1 4 Les touches SYMB NUM PLOT Une Aplet est visible en g n ral de trois fa ons diff rentes une vue symbolique qui correspond a la touche SYMB une vue num rique qui correspond la touche NUM une vue graphique qui correspond a la touche PLOT Quand ces touches sont shift es SETUP cela correspond au choix des diff rents param tres utilis s choix de l unit d angle des param tres de la fen tre graphique etc Chapitre 2 Le Clavier et le CAS 2 1 Qu est ce que le CAS Le CAS permet de faire du calcul formel ou symbolique CAS Computer Algebra System Il faut bien voir la diff rence entre calcul formel ou symbolique c est celui que l on fait avec les fonctions du CAS On travaille alors en mode exact en pr cision infinie et on a la possibilit de faire les calculs en pas pas
63. X i 4 10 9 PROPFRAC PROPFRAC a comme argument une fraction rationnelle PROPFRAC renvoie cette fraction rationnelle crite de mani re mettre en vidence sa partie enti re PROPFRAC A X B X crit la fraction rationnelle ae sous la forme RIX XI 2 avec R X 0 ou 0 lt deg R X lt deg B X On tape 5 X 3 X 1 PROPFRAC SESSION X 2 On obtient 5 X 12 l X 2 4 10 10 PTAYL Il s agit d crire un polyn me P X selon les puissances de X a PTAYL a deux param tres un polyn me P et un nombre a On tape PTAYL X 2 X 1 2 On obtient le polyn me Q X X2 6 Xx 9 ATTENTION ona 64 Chapitre 4 Les fonctions de Calcul formel 4 10 11 QUOT QUOT donne le quotient de deux polyn mes dans la division selon les puissances d croissantes On tape QUOT X 2 X 1 X On obtient X 2 4 10 12 REMAINDER REMAINDER donne le reste de la division de deux polyn mes divi sion selon les puissances d croissantes On tape REMAINDER X 1 X 1 On obtient X 1 4 10 13 TCHEBYCHEFF TCHEBYCHEFF a comme argument un entier n Si n gt 0 TCHEBYCHEFF renvoie le polyn me T tel que T 1 cos n arccos x Ona pour n gt 0 n 2 Talx Cra a k 0 pour n gt 0 1 2 T 0 xT 2 n T x 0 pour n gt 1 Tn41 2aT x Tn 1 x Sin lt 0 TCHEBYCHEFF renvoie le polyn me de Tchebycheff de seconde esp ce __ s
64. ape COS soit supprimer un op rateur binaire en ditant l expression on s lectionne Edit expr du menu TOOL du bandeau et on fait la correction soit recopier un l ment de l historique en tapant HOME La re copie se fait la place du curseur ou la place de la s lection lorsqu on appuie depuis l historique sur ENTER ou sur ECHO du bandeau Vous pouvez aussi utiliser les commandes Cut Copy Paste du menu TOOL du bandeau pour supprimer recopier dupliquer des expressions comme dans un traitement de texte cf 2 4 3 1 4 Le mode curseur Le mode curseur permet de s lectionner une grande expression rapidement Pour passer en mode curseur s lectionner La saisie des fonctions du CAS 33 Cursor mode du menu TOOL puis utiliser les fl ches pour inclure votre s lection dans une boite quand vous relachez la touche fl che l expression point e par le curseur est encadr e puis ENTER pour s lectionner le contenu de la boite 3 1 5 Pour tout voir En s lectionnant Change font du menu TOOL du bandeau on grossit ou on diminue la taille de l criture cela permet dans cer tains cas de voir en entier une grande expression Si cela est insuffisant il faut passer en mode curseur Cursor mode du menu TOOL puis utiliser la fl che gt ou encore utiliser la touche VIEWS puis utiliser la fl che gt 3 2 La saisie des fonctions du CAS Lorsque vous tes dans l diteur d quations
65. as crire de fonctions ayant des param tres avec le langage de programmation de la HP40G 6 4 Les Entr es 6 4 1 Traduction en Algorithmique Pour que l utilisateur puisse entrer une valeur dans la variable A au cours de l ex cution d un programme on crira en algorithmique saisir A Et pour entrer des valeurs dans A et B on crira saisir A B 6 4 2 Traduction HP40G INPUT A TITRE A 50 Si le fait d avoir crire tous ces points virgule dans INPUT vous re bute il est pr f rable d utiliser la commande PROMPT Merci Jean Yves PROMPT A ouvre une fen tre vous demandant d entrer la valeur de A 116 Chapitre 6 Programmation Dans ce qui suit les programmes crits avant l existence de PROMPT utilisent le sous programme IN qui permet d entrer deux valeurs dans A et B 6 5 Les Sorties 6 5 1 Traduction en Algorithmique En algorithmique on crit Afficher A A 6 5 2 Traduction HP40G DISP 3 A A 3 repr sente le num ro de la ligne o A sera affich ou MSGBOX A A 6 6 La s quence d instructions ou action Une action est une s quence d une ou plusieurs instructions 6 6 1 Traduction en Algorithmique En langage algorithmique on utilisera l espace ou le passage la ligne pour terminer une instruction 6 6 2 Traduction HP40G indique la fin d une instruction 6 7 L instruction d affectation L affectation est utilis e pour stocker une valeur o
66. bles par leur forme de valise Pour activer une commande du bandeau il suffit de taper sur la touche Fi correspondante Dans l cran HOME le bandeau poss de deux commandes STO gt qui permet de mettre une valeur dans une variable et CAS qui permet d ouvrir l diteur d quations pour faire du cal cul formel 2 Le clavier Vous avez d j rep r la touche ON pour la mise en route ou pour arr ter un calcul en cours et SHIFT ON pour teindre la calculatrice Il faut rep rer les quatres fl ches gauche droite haut bas qui permettent de d placer le curseur lorsqu on est dans l diteur d quations dans un menu etc la touche SHIFT qui permet une m me touche d avoir une autre fonction la touche ALPHA pour taper du texte en majuscules et les touches SHIFT puis ALPHA pour taper du texte en minuscules Pour rester en mode de saisie alphab tique il faut maintenir la touche ALPHA appuy e X T 0 permet de taper selon le contexte directement X T 6 N la touche ENTER sert valider une commande Notations 7 0 2 Notations Les quatre fl ches de direction du curseur sont ici repr sent es par les quatre triangles Adc y Le STO gt du bandeau de HOME est repr sent dans un programme par STO gt ou Dans l diteur d quations la position du curseur est repr sent e par lt 0 3 L aide en ligne Cette calculatrice possede une aide en ligne e
67. ces of the Document E Add an appropriate copyright notice for your modifications adjacent to the other copyright notices F Include immediately after the copyright notices a license notice giving the public permission to use the Modified Version under the terms of this License in the form shown in the Addendum below G Preserve in that license notice the full lists of Invariant Sections and required Cover Texts given in the Document s license notice H Include an unaltered copy of this License I Preserve the section entitled History and its title and add to it an item stating at least the title year new authors and publisher of the Modified Version as given on the Title Page If there is no section entitled History in the Document create one stating the title year authors and publisher of the Document as given on its Title Page then add an item describing the Modified Version as stated in the previous sentence J Preserve the network location if any given in the Document for public access to a Transparent copy of the Document and likewise the network locations given in the Document for previous versions it was based on These may be placed in the History section You may omit a network location for a work that was published at least four years before the Document itself or if the original publisher of the version it refers to gives permission K In any section entitled Acknowledgements or
68. d fees LL LE Se ee eh ee a WN 62 ALO LEGENDRE coo dis toy tay toy toy cd ae ad das A ee 62 ATOS GBARTERAC 2 chs NE M aA eed ee oo 62 A4 10 9 PROPFRAC cuca Pee Re eR RD d s 63 A LOTO PTA YE us cee eh GIS debe Du Le 63 A TOTV QUOT lt a E ie ses LE cleanin edd AIS 64 4 10 12REMAINDER 64 4 10 13 TCHEBYCHEFF 64 Les fonctions lt i ek rd tes m ne et en en 65 152 4 12 4 13 4 14 4 15 4 16 4 17 TABLE DES MATI RES AAV SDE RER 65 ATL DETERS so tate a eta Sag iu dra 8 0 MS 66 4113 DERVX ae fe SSG Acca ae eel a We a 66 AAV A DERIV caua n ne ww UNE HE DE d s 67 4 115 TABVAR i 0 Lune a Dan mm 67 4 1 1 6 FOURTER coi a0 gon oe ev he du die ab 68 LLC IBP A 68 AUS INTVE pesada 8 a a E A 69 4119 CIMT 8s 4 Gt Seng Me Hale 2 BS 71 AVE IO CIM eto ne re acid Sat 71 TILTPREVAL 25603 2 4 uw LUE Hu EE ds 72 TT T2RTSCH en 4 4e a Ede paa 72 D veloppements limit s et asymptotiques 73 AAD DIV E as 2 ee Ged in she eh us 73 A 122 LIMIT ct fe ke de LAS el hE a a MND 73 4 12 3 SERIES Lu GG Phe eee rate a HS 74 A ADA TAYEORO oie ens et A a A 76 AND 5 TRUNCA Bee ER d 76 Les Fonctions de r criture 76 4 TS L DISTRIB Sas es a ee oh amet 76 4 13 2 EPSXO Sa ges doe ee ee a a do nn 77 4 133 EXP2POW 2 420 da ee EE ale a A 77 413 4 EXPLN Cai Phere eee at ate WS 78 413 05 EDESTRIB 2 oy cs Gets a ds os ee ae 78 A
69. de B zout de deux entiers IEGCD A B renvoie U AND V D avec U V D v rifiant AU BV D et D PGCD A B On tape IEGCD 48 30 On obtient 2 AND 3 6 En effet 2 48 3 30 6 En mode pas a pas on obtient z u 48 v x30 48 1 0 30 0 1 1 18 1 1 1 12 1 2 1 6 2 31 2 Result 6 2 3 puis ENTER 2 AND 3 6 s crit dans l diteur d quations 4 4 6 IQUOT IQUOT d signe le quotient entier de la division euclidienne de deux entiers On tape IQUOT 148 5 On obtient 29 Les entiers et les entiers de Gauss 49 En mode pas pas la division se fait comme l cole 148 5 is oj SEE 3 29 OK pour ex cuter la division au pas pas puis ENTER et 29 s inscrit dans l diteur d quations 4 4 7 IREMAINDER MOD IREMAINDER d signe le reste entier de la division euclidienne de deux entiers IREMAINDER se trouve dans le menu Integer et MOD se trouve dans le menu Complex de la touche MATH On tape IREMAINDER 148 5 ou 148 MOD 5 On obtient 3 IREMAINDER travaille avec des entiers ou des entiers de Gauss c est ce qui le diff rencie de MOD Exemple IREMAINDER 2 3 i 1 i renvoie i MOD accepte des r els 7 5 mod 2 1 5 mais pas des entiers de Gauss Essayer IREMAINDER 148 5 2 s obtient avec SHIFT x En mode pas pas la division se fait comme l cole avec Valgorithme dit de la potence cf 4 4 6
70. de I pour cela on calcule t et y t en tapant X t ENTER la r ponse est COS t 2 2 COS t On a donc x t a t puis la r ponse est SIN t 2 2 SIN t 2 On a donc y t y t Si Mi x t y t est sur T Ma x t y t est aussi sur TP On vient de monter que M et M sont sym triques par rapport Ox donc on en d duit que l axe Ox est un axe de sym trie der Calcul de x t On tape DERIV X t t la r ponse est 2 2 SIN t 2 2 SIN t 4 apres simplification ENTER SIN t 2 SIN t On d veloppe l expression transformation de SIN 2 t on appelle TEXPAND et on obtient TEXPAND SIN t 2 SIN t puis ENTER la r ponse est SIN t 2 COS t SIN t puis on factorise on appelle FACTOR et on obtient FACTOR SIN t 2 COS t SIN t Exercices donn s au Bac 101 puis ENTER la r ponse est SIN t 2 COS t 1 On peut alors d finir la fonction x t en appelant DEF Il faut taper X1 t puis changer X1 t et l expression SIN t 2 COS t 1 en mettant en surbrillance X1 t gt puis taper SHIFT lt pour V change On obtient DEF X1 t SIN t 2 COS t 1 puis ENTER 4 Calcul de y t On tape DERIV Y t t la r ponse est 2 2 COS t 2 2 COS t 4 apr s simplification
71. de la d riv e en tapant DERVX G X Exercices donn s au Bac 109 ce qui donne le calcul ci dessus On calcule g 0 et g 2 pour cela on tape G 0 A 3 r ponse gt G 2 r ponse T d o l encadrement 3 7 2 lt g x lt q pourwe 0 2 b La la calculatrice ne peut rien il suffit de dire que en gt 0 pour x 0 2 pour montrer que pour x 0 2 ona I lt e c On int gre l in galit ci dessus on tape 2 x e dX 0 2 N e N On obtient On en d duit donc 3 7 ner n lt un lt zine n Pour justifier le calcul pr c dent il faut dire qu une prim itive de em est n er Si on ne le sait pas on peut toujours taper INTVX EXP L x la r ponse est N ew d On cherche la limite de ne n quand n 2 LIMIT N EXP N N 00 On obtient 110 Chapitre 5 Exercices trait s avec la HP40 ATTENTION La variable VX est maintenant gale N utiliser les touches SHIFT SYMB SETUP pour remettre VX X Pour justifier ce r sultat il faut dire que T er 1 lim 1 x gt 0 x et donc que eel Cm lim a 1 n 00 a n ou encore lim e 1 n 2 n 00 Si L existe en faisant tendre n vers 00 dans les in galit s de 1b on obtient E 2 ALN N a g x 2 et calcul de I k g x dx On tape PROPFRAC G X On obtient i X42 Pour le calcul de
72. e Premier algorithme On va crire un fonction bool enne de param tre N qui sera gale VRAI quand N est premier et FAUX sinon Pour cela on cherche si N poss de un diviseur 1 et lt E VN partie enti re de racine de N On traite le cas N 1 part On utilise une variable bool enne PREM qui est au d part a VRAI et qui passe FAUX d s que l on rencontre un diviseur de N Fonction estpremier N local PREM I J E VN gt J La fonction estpremier 137 Si N 1 alors FAUX gt PREM sinon VRAI gt PREM fsi 2 gt I tant que PREM et 1 lt J faire si N mod I O alors FAUX gt PREM sinon 1 1 gt I fsi ftantque r sultat PREM ffonction Premi re am lioration On peut remarquer que l on peut tester si N est pair et sinon regarder si N poss de un diviseur impair Fonction estpremier N local PREM I J E VN gt J Si N 1 ou N mod 2 0 et NZ2 alors FAUX gt PREM sinon VRAI gt PREM fsi 3 gt I tant que PREM et 1 lt J faire si N mod I O alors FAUX gt PREM sinon 1 2 gt I fsi ftantque r sultat PREM ffonction Deuxi me am lioration On regarde si N est divisible par 2 ou par 3 sinon on regarde si N poss de un diviseur de la forme 6 x k 1 ou 6x k 1 138 Chapitre 7 Programmes d arithm tique Fonction estpremier N local PREM I J E N gt J Si N 1 ou N mod 2 0 ou N mod 3 0 alors FAUX gt PREM sin
73. e Gauss condition de remplacer les noms des variables A B R par Z1 Z2 Z3 et de changer le test d arr t Voici la version it rative PROMPT Z1 PROMPT Z2 DISP 3 PGCD Z1 Z2 WHILE ABS Z2 4 0 REPEAT XNUM IREMAINDER XQ Z1 XQ Z2 gt Z3 Z2 gt Z1 Z3 gt Z2 END DISP 4 PGCD Zi FREEZE Version it rative pour deux polyn mes Les variables E1 E2 permettent de stocker des expressions c est ce qu il nous faut pour y mettre des polyn mes Si on utilise la fonction du calcul symbolique REMAINDER la place de MOD dans les programmes pr c dents PGCD ou PR peut alors avoir comme param tres des polyn mes condition de remplacer les noms des variables A B R par E1 E2 E3 et de changer le test d arr t PROMPT El PROMPT E2 WHILE DEGREE E2 1 REPEAT REMAINDER E1 E2 gt E3 E2 gt E1 E3 gt E2 END DISP 4 PGCD E1 FREEZE Identit de B zout 127 Vous entrez par exemple E1 81 1 et E2 S1 2 x S1 1 pour trouver le PGCD gal 2 S1 2 7 2 Identit de B zout Dans ce paragraphe la fonction Bezout A B renvoie la liste U V PGCD A B o U et V v rifient AxU BxV PGCD A B 7 2 1 Version it rative sans les listes L algorithme d Euclide permet de trouver un couple U et V v rifiant AxU BxV PGCD A B En effet si on note Ag et By les valeurs de A et de B du d but ona A AxU B x V avec U 1 et V 0 B AoxW BoxX ave
74. e de la com mande d un exemple et de sa r ponse Chaque exemple peut tre mis dans l diteur d quations avec ECHO du bandeau et tre trait tel quel ou modifi Il faut noter que dans les exemples de l aide on a choisi comme variable courante VX X Si ce n est pas le cas l exemple sera automa tiquement transform en tenant compte de votre VX lors du transfert par ECHO Vous avez aussi la possibilit d aller directement voir l aide d une commande signal e dans See avec SEE1 SEE2 du bandeau 2 5 5 La touche HOME La touche HOME press e depuis l diteur d quations permet un acc s l historique du CAS L historique des calculs faits dans le CAS et l historique des calculs faits dans HOME sont distincts Comme dans l historique de l cran HOME les calculs demand s sont inscrits gauche et les r sultats sont inscrits droite On peut grace la fl che vers le haut remonter dans l historique 20 Chapitre 2 Le Clavier et le CAS Vous pouvez gr ce ENTER ou ECHO du bandeau recopier un r sultat pr c dent ou une commande d j effectu e 2 5 6 Les touches SHIFT SYMB Lorsque que l on est dans l diteur d quations la combinaison des touches SHIFT SYMB SETUP est l analogue de CFG le premier choix des menus ALGB etc du bandeau cf 4 1 1 Cela vous permet de pr ciser le nom de la variable contenue dans VX en tapant son nom devant Indep var la val
75. e menu de configuration avec CANCEL du bandeau Apr s chaque commande il faut taper ENTER on oubliera souvent de le sp cifier Dans ce qui suit vous trouverez une partie de l preuve de math matiques 1999 du Brevet d Amiens et de l preuve de math matiques 1999 s rie S du Bac On a essay de faire faire le plus de choses possibles la HP40G 93 94 Chapitre 5 Exercices trait s avec la HP40 On remarquera qu il reste quand m me l l ve le soin de justifier les calculs et de connaitre la d marche suivre lorsqu il utilise le pas pas actif 5 2 Exercices donn s au Brevet 5 2 1 Exercice 1 On pose 3 571 I 3 1 Vous ferez appara tre chaque tape de calcul et vous donnerez le r sultat de sous la forme d une fraction irr ductible Dans l diteur d quations on entre la valeur de A on tape 3 2 gt 1Db gt i 1 gt s lectionne le d nominateur ENTER fait la simplification du d nominateur on obtient 3 ee NIW puis on s lectionne le num rateur avec lt ENTER fait la simplification du num rateur on obtient NIwW Ni A s lectionne la fraction enti re et ENTER fait la simplification de la fraction on obtient wje 5 2 2 Exercice 2 On consid re le nombre C C 2V45 3V12 V20 6V3 crire C sous la forme dy 5 o d est un nombre entier Exercices donn s au Brevet 95 Dans l diteur d quations on entre la valeur de C
76. e of the combined work In the combination you must combine any sections entitled History in the various original documents forming one section entitled History likewise combine any sections entitled Acknowledgements and any sections entitled Dedications You must delete all sections entitled Endorsements 6 COLLECTIONS OF DOCUMENTS You may make a collection consisting of the Document and other documents released under this License and replace the individual copies of this License in the various documents with a single copy that is included in the collection provided that you follow the rules of this License for verbatim copying of each of the documents in all other respects You may extract a single document from such a collection and distribute it individually under this License provided you insert a copy of this License into the extracted document and follow this License in all other respects regarding verbatim copying of that document 7 AGGREGATION WITH INDEPENDENT WORKS A compilation of the Document or its derivatives with other separate and independent documents or works in or on a volume of a storage or distribution medium does not as a whole count as a Modified Version of the Document provided no compilation copyright is claimed for the compilation Such a compilation is called an aggregate and this this License does not apply to the other self contained works thus compiled with the Docu
77. enant des fonctions qui permet tent de travailler avec des complexes le r pertoire Constant ei 7 le r pertoire Integer contenant des fonctions qui permet tent de faire de l arithm tique enti re le r pertoire Hyperb contenant les fonctions hyperboliques le r pertoire Modular contenant des fonctions qui permet tent de faire des calculs dans Z pZ ou dans Z pZ X p tant la valeur contenue dans la variable MODULO le r pertoire Polynom contenant des fonctions qui permet tent de faire des calculs avec des polyn mes le r pertoire Tests contenant ASSUME UNASSUME pour faire des hypoth ses sur les param tres et modifier ainsi la variable REALASSUME cf 3 3 3 gt gt lt lt AND OR NOT IFTE pour crire une fonction alg brique ayant le m me r sultat qu un IF THEN ELSE On se reportera la section 4 1 8 pour avoir la liste des fonctions se trouvant dans les diff rents r pertoires 2 5 2 Les touches SHIFT MATH CMDS La combinaison de ces touches ouvre le catalogue de toutes les fonctions de calcul formel utilisables depuis l diteur d quations Ainsi les fonctions qui ne sont pas pr sentes ailleurs pourront tre appel es depuis ce menu ce qui vous vite de les taper en mode Alpha 2 5 3 La touche VARS Cette touche press e lorsqu on est dans l diteur d quations fait apparaitre les noms des variables d finies dans le CAS On remarq
78. ent 7 1 1 12 2 5 F 2 2 et est s lectionn puis gt SHIFT gt s lectionne 1 4 1 2 5 On peut alors faire nouveau ENTER En r sum SHIFT gt permet de s lectionner l l ment s lectionn et son voisin de droite SHIFT lt permet d changer l l ment s lectionn avec son voisin de gauche L l ment s lectionn a chang de place mais il reste s lectionn 32 Chapitre 3 criture des expressions dans l diteur d quations 3 1 3 Comment modifier une expression Si vous tes en train de taper votre expression la touche DEL vous permet d effacer ce qui vient d tre tap Si vous tes en train d effectuer des s lections vous pouvez soit supprimer la s lection sans supprimer l expression en tapant DEL Le curseur se trouve alors la fin de l expression que l on vient de d s lectionner soit remplacer la s lection par une expression il suffit de taper expression voulue soit transformer l expression s lectionn e en lui appliquant une fonction du CAS on appelle alors la fonction depuis le menu d un des r pertoires du CAS soit supprimer l expression s lectionn e en tapant ALPHA SHIFT DEL ALPHA CLEAR soit supprimer un op rateur unaire sommet de l arbre s lectionn en tapant SHIFT DEL CLEAR Par exemple pour remplacer SIN expr par COS expr on efface SIN en s lectionnant SIN expr puis SHIFT DEL puis on t
79. ent la variable REALASSUME SUBST CONJ Z Z 1 i donne CONJ 1 i 4 8 3 DROITE On tape DROITE 1 2 0 1 ou On tape DROITE 1 2 i i On obtient y x 1 2 puis ENTER donne V x 1 4 9 Les expressions alg briques Toutes les fonctions de ce paragraphe se trouve dans le menu ALGB du bandeau 58 Chapitre 4 Les fonctions de Calcul formel 4 9 1 COLLECT COLLECT a comme param tre une expression COLLECT factorise cette expression sur les entiers Exemples Factoriser sur les entiers On tape COLLECT X 4 On trouve en mode r el X 2 X 2 Factoriser sur les entiers x 2 On tape COLLECT X 2 On trouve x 2 4 9 2 EXPAND EXPAND a comme param tre une expression EXPAND d veloppe et simplifie cette expression On tape EXPAND X V2 X 1 X V2 X 1 On obtient X 1 4 9 3 FACTOR FACTOR a comme param tre une expression FACTOR factorise cette expression Exemple Factoriser a 1 On tape FACTOR X 1 Les polyn mes 59 On trouve FACTOR dans le menu de ALGB On trouve en mode r el EVE Ss X ye Et On trouve en mode complexe pour cela utiliser CFG 2 X 1 i V2 2 X 1 i V2 J 16 2 X 4 i V2 2 x 1 1 42 16 4 9 4 est un op rateur infix utile pour remplacer une variable dans une expression un peu comme la fonction SUBST On tape X 1 x
80. enu ALGB on tape par exemple UNASSIGN ABC Les variables 39 3 3 3 Les variables pr d finies du CAS VX contient le nom de la variable symbolique courante C est en g n ral X il ne faut donc pas utiliser X comme nom de variable num rique ou effacer le contenu de X l aide de la commande UNASSIGN du menu ALGB avant de faire du calcul symbolique en tapant par exemple UNASSIGN X EPS contient la valeur de epsilon utilis dans la commande EPSXO cf 4 13 2 MODULO contient la valeur de p pour faire du calcul symbolique dans Z p Z On peut changer la valeur de p gr ce la commande MODSTO du menu MODULAR en tapant par exemple MODSTO 13 pour donner a p la valeur 13 ou utiliser CFG des menus du CAS PERIOD doit contenir la p riode de la fonction dont on veut les coef ficients de Fourier cf 4 11 6 PRIMIT contient la primitive de la derni re fonction int gr e REALASSUME contient la liste des noms des variables symboliques que l on consid re comme r elles lorsqu on a choisi dans le menu de con figuration CFG l option Cmplx vars ce sont par d faut X Y t S1 S2 et toutes les variables d int gration utilis es Bien s r si dans le menu de configuration CFG vous choisissez l option Real vars toutes les variables symboliques sont consid r es comme r elles cf 4 1 1 On peut aussi faire des suppositions sur le domaine de d finition d une variable comme par exemple X gt 1 Dans ce cas il faut
81. et s lectionn e Voici quelques choix possibles de la touche APLET Sequence Cette Aplet permet de d finir des suites ayant pour noms U1 U2 U9 UO On d finit U1 N soit en fonction de N soit en fonction de U1 N 1 soit en fonction de U1 N 1 et de U1 N 2 Chapitre 1 Les Aplets On d finit par exemple U1 N N N 1 et alors les valeurs de U1 1 et de U1 2 sont calcul es et mises automatiquement En cochant U1 puis en appuyant sur NUM les valeurs de U1 N s affichent On trouvera d autres exemples utilisant l Aplet Sequence au paragraphe suivant comme le calcul du PGCD de deux nombres cf 1 3 et le calcul des coefficients de l identit de B zout cf 1 3 Function Cette Aplet permet de d finir des fonctions ayant pour noms Fi X F2 X F9 X FO X On d finit F1 X soit par une expression fonction de X Par exemple la formule Fi X X LN X d finit la fonction f x x In x soit si la fonction est d finie par morceaux en utilisant les bool ens X gt 0 etc Par exemple une formule de la forme F1 X X X lt O 2 X X gt 0 d finit la fonction fi x zsix lt 0 et filz 2x six gt 0 Parametric pour tracer des courbes en coordon es param triques Polar pour tracer des courbes en coordon es polaires Solve pour r soudre des quations num riques Statistics pour faire des statistiques Inference pour faire des sta
82. ettent de transformer des expressions triogonom triques 6 Le r pertoire SOLVE contient des fonctions qui permettent de r soudre des quations des syst mes lin aires et des quations diff rentielles Vous trouverez dans le chapitre 3 comment crire une expression dans l diteur d quations comment s lectionner une sous expression et comment appeler les fonctions du CAS Vous trouverez dans le chapitre 4 toutes les fonctions de calcul formel contenues dans ces diff rents r pertoires avec un exemple d utilisation Vous pouvez consulter l aide en ligne avec SHIFT 2 SYNTAX cf 2 5 4 pour avoir l aide sur les autres fonctions disponibles et utiliser SHIFT MATH CMDS cf 2 5 2 pour les taper 2 5 Le clavier depuis l diteur d quations Les touches comment es dans ce paragraphe n ont pas la m me fonction selon qu on les utilise depuis l diteur d quations ou depuis l cran HOME Pour la fonctionnalit de ces touches en de hors de l diteur d quations on se reportera la section 2 7 ou et on consultera le manuel g n ral 18 Chapitre 2 Le Clavier et le CAS 2 5 1 La touche MATE La touche MATH press e depuis l diteur d quations affiche les fonctions utiles en calcul formel Ces fonctions sont contenues dans les r pertoires les cinq r pertoires pr c dents cf 2 4 ALGEBRA DIFF amp INT REWRITE TRIG SOLVE le r pertoire Complex cont
83. eur de deux polyn mes On tape GCD X 2 X 1 X 1 On obtient X 1 4 10 5 HERMITE HERMITE a comme argument un entier n HERMITE renvoie le polyn me de HERMITE de degr n Il s agit du polyn me H er 1 e2 ae n x 1 e TE Ona pour n gt 0 H 2 H 2 nH x et pour n gt 1 Hn41 x cH x nHy 1 x 0 1 H x nHn 2 On tape HERMITE 6 On obtient 64 X 480 X 720 X 120 62 Chapitre 4 Les fonctions de Calcul formel 4 10 6 LCM LCM d signe le PPCM plus petit commun multiple de deux poly nomes On tape LCM X 2 X 1 X 1 On obtient X 2 X 1 X 1 4 10 7 LEGENDRE LEGENDRE a comme argument un entier n LEGENDRE renvoie le polyn me non nul solution de l quation diff rentielle a 1 y 2 2 y n n 1 y 0 Ona pour n gt 0 la formule de Rodrigu s 1 d Lat a 1 OS ona oY et pour n gt 1 n DEny 2n 1 2L x nly_1 x On tape LEGENDRE 4 On obtient 35 X 30 X 3 8 4 10 8 PARTFRAC D composer en l ments simples la fraction rationnelle a 2xa 1 v4 2xa 34 2xa22 2xexr41 On utilise la commande PARTFRAC On tape x5 2 X841 PARTFRAC Ga 2 X84 2 X 2 2 X 1 Les polyn mes 63 On obtient en mode r el On obtient en mode complexe 1 3 i 1 1 3 i X 2 2 4 4 X i X 1
84. eur de MODULO en tapant sa valeur devant Modulo si vous voulez travailler en mode exact ou en mode approximatif si vous cochez Approx avec CHK du bandeau si vous voulez travailler en mode r el ou en mode complexe si vous cochez Complex avec CHK du bandeau si vous voulez travailler en mode Direct ou en mode Step Step si vous cochez Step Step avec CHK du bandeau si vos polyn mes sont crits selon les puissances d croissantes ou croissantes si vous cochez Incr Pow avec CHK du bandeau si vous interdisez des facteurs num riques ou autorisez des facteurs num riques si vous cochez Num Factor avec CHK du bandeau si vous voulez travailler en mode non rigoureux ouen mode rigou reux si vous cochez Rigourous avec CHK du bandeau pour ne pas n gliger les valeurs absolues On valide avec OK ou ENTER 2 5 7 La touche SHIFT Lorsque que l on est dans l diteur d quations les touches SHIFT MEMORY jouent le r le de undo Cela est tres utile quand on s est tromp car cela permet d annuler la derni re commande 2 5 8 La touche PLOT Lorsqu on appuie sur PLOT depuis l diteur d quations une boite de dialogues vous demande si vous voulez tracer une fonction une courbe en param trique ou une courbe en polaire Selon ce que vous s lectionnez l expression mise en surbrillance sera recopi e vers l aplet correspondante l endroit que vous sp cifiez comme destination Le clavie
85. g those of Invariant Sections in the notice that says that the Document is released under this License The Cover Texts are certain short passages of text that are listed as Front Cover Texts or Back Cover Texts in the notice that says that the Document is released under this License A Transparent copy of the Document means a machine readable copy represented in a format whose specification is available to the general public whose contents can be viewed and edited directly and straightforwardly with generic text editors or for images composed of pixels generic paint programs or for drawings some widely available drawing editor and that is suitable for input to text formatters or for automatic translation to a variety of formats suitable for input to text formatters A copy made in an otherwise Transparent file format whose markup has been designed to thwart or discourage subsequent modification by readers is not Transparent A copy that is not Transparent is called Opaque Examples of suitable formats for Transparent copies include plain ASCII without markup Texinfo input format LaTeX input format SGML or XML using a publicly available DTD and standard conforming simple HTML designed for human modification Opaque formats include 143 144 Chapitre 8 GNU Free Documentation License PostScript PDF proprietary formats that can be read and edited only by proprietary word processors SGML or XML for which the DT
86. in n arccos x AS Greta Les fonctions 65 On tape TCHEBYCHEFF 4 On obtient 8 X 8 x 1 en effet Ti cos x TCHEBYCHEFF 4 On obtient 8 x 4 X en effet sin 4 x sin x 8 cos x 4 cos x 4 11 Les fonctions Toutes les fonctions de ce paragraphe se trouve dans le menu DIFF du bandeau sauf DEF qui se trouve dans le menu ALGB et IFTE qui se trouve dans le menu Tests de la touche MATH 4 11 1 DEF DEF a comme argument une galit entre le nom d une fonction avec des parenth ses contenant le nom de la variable et une expression d finissant la fonction DEF d finit cette fonction et renvoie l galit On tape DEF U N 2 1 On obtient UN 2 1 Puis on tape U 3 On obtient 66 Chapitre 4 Les fonctions de Calcul formel 4 11 2 IFTE IFTE a trois arguments un bool en attention au pour le test et deux expressions exprl expr2 IFTE value le test renvoie expr1 si le test est vrai et renvoie expr2 si le test est faux On tape STORE 2 N N 1 IFTE N 0 1 On obtient 3 2 On peut bien s r d finir une fonction l aide de IFTE par exemple SIN X DEF F X IFTE X 0 1 d finit la fonction f par 4 11 3 DERVX Soit e x x l fa a Calculer la d riv e de f On tape X X 1 DERVX LN Ga Gi ou si on a stock expression de f x dans F c est dire si on a tap
87. inus et les cosinus de m me angle On tape TCOLLECT SIN X COS X On obtient V2 C0S X 4 17 11 TEXPAND TEXPAND a comme argument une expression trigonom trique TEXPAND d veloppe cette expression en fonction de sin x et cos x Exemple 1 On tape TEXPAND COS X Y Les expressions trigonom triques 89 On obtient COS Y COS X SIN Y SIN X Exemple 2 On tape TEXPAND COS 3 X On obtient 4 COS X 3 COS X Exemple 3 On tape SIN 3 X SIN 7 X TEXPAND NE On obtient apr s une simplification ENTER 4 cOS X 2 4 17 12 TLIN TLIN a comme argument une expression trigonom trique TLIN lin arise cette expression en fonction de sin n x et cos n x Exemple 1 On tape TLIN COS X COS Y On obtient 1 1 z COS X Y z COS X Y Exemple 2 On tape TLIN COS X On obtient 1 3 COS 3 X COS X 3 C0S 8 X COS X 90 Chapitre 4 Les fonctions de Calcul formel Exemple 3 On tape TLIN 4 COS X 2 On obtient 2 C0S 2 X 4 17 13 TRIG TRIG a comme argument une expression trigonom trique TRIG simplifie cette expression l aide de sin x cos x 1 On tape TRIG SIN X COS X 1 On obtient 4 17 14 TRIGCOS TRIGCOS a comme argument une expression trigonom trique TRIGCOS simplifie cette expression en privil giant les cosinus l aide de sin x cos x 1 On tape
88. ion cf 4 1 1 Chaque exemple peut tre mis dans l historique de l cran HOME avec ECHO du bandeau et donc tre trait tel quel ou modifi bien sir la variable X sera remplac e par 1 De plus on sera aussi quelquefois oblig de changer dans HOME les r els en entiers grace la fonction XQ Par exemple 43 PROPFRAC 3 5833 alors que PROPFRAC XQ 8 4 P 12 2 7 4 La touche SHIFT 1 PROGRAM La combinaison de ces touches press e lorsqu on est dans HOME ouvre l cran PROGRAM CATALOG On voit appara tre la liste des progammes que vous avez crits un bandeau contenant les commandes EDIT NEW RUN SEND RECV EDIT permet d diter le programme mis en surbrillance NEW permet de cr er un nouveau programme RUN permet d ex cuter le programme mis en surbrillance cf 6 1 SEND et RECV sont les fonctions qui permettent de faire dialoguer votre calculatrice avec votre ordinateur ou une autre calculatrice Par exemple Si on tape sur SEND du bandeau on vous demande HP40G ou Disk drive vous mettez en surbrillance HP40G pour envoyer un programme vers une autre HP40G ou vous mettez en surbrillance Disk drive pour envoyer un programme vers un ordinateur Puis OK du bandeau Par exemple voila comment on connecte un ordinateur sous Linux avec la HP40G en utilisant le programme C Kermit version 7 que l on trouve lURL www columbia edu kermit ou que l on peut t l charger par ftp anonyme s
89. iques class es par th mes car Voption MTH du bandeau touche F1 est coch e par d faut Si on coche CAS du bandeau de cette fen tre touche F3 on trouve les m mes r pertoires que lorsqu on appuie sur la touche MATH depuis l diteur d quations on a ainsi acc s aux fonctions de calcul formel class es par th mes et utilisables partir de cran HOME ne pas oublier que depuis l cran HOME les seules variables symboliques sont S1 82 S5 2 7 2 La touche SHIFT F6 La combinaison des touches SHIFT F6 SHIFT CAS du bandeau ouvre l cran de configuration du CAS ce qui permet de changer la configuration du CAS depuis l cran HOME cf 2 5 6 2 7 3 La touche SHIFT 2 SYNTAX La combinaison des touches SHIFT 2 SYNTAX place HELPWITH dans la ligne de commande Il suffit de compl ter cette ligne par le nom de la commade ou par le nom de la fonction du CAS pour laquelle vous voulez de l aide On peut rentrer le nom d une fonction du CAS avec MATH CAS mais il faut prendre garde enlever la parenth se Par exemple HELPWITH DERVX vous ouvre l aide du CAS la page DERVX 24 Chapitre 2 Le Clavier et le CAS Si on veut avoir l aide g n rale du CAS depuis l cran HOME il faut taper HELP puis ENTER on a ainsi l aide sur les fonctions du CAS utilisables depuis l cran HOME Pour avoir l aide en fran ais choisir Fran ais dans le menu du r pertoire CFG permettant de changer votre configurat
90. ire A PUIS mod N gt PUIS fpour resultat PUIS ffonction Deuxi me algorithme On utilise une seule variable locale PUI mais on fait varier P de fa on qu chaque tape de l it ration on ait resultat PUI x AP mod N fonction puismod A P N local PUI 1 gt PUI tant que P gt 0 faire A PUI mod N gt PUI P 1 gt P ftantque resultat PUI ffonction Troisieme algorithme On peut ais ment modifier ce programme en remarquant que APE AXA Donc quand P est pair on a la relation PUI x AP PUIx Ax A mod N et quand P est impair on a la relation PUI x AP PUI x Ax APT mod N On obtient alors un algorithme rapide de AP mod N fonction puismod A P N local PUI 1 gt PUI tant que P gt 0 faire si P mod 2 0 alors P 2 gt P A A mod N gt A sinon A PUI mod N gt PUI P 1 gt P fsi ftantque 136 Chapitre 7 Programmes d arithm tique resultat PUI ffonction On peut remarquer que si P est impair P 1 est pair On peut donc crire fonction puismod A P N local PUI 1 gt PUI tant que P gt 0 faire si P mod 2 1 alors A PUI mod N gt PUI P 1 gt P fsi P 2 gt P A A mod N gt A ftantque resultat PUI ffonction 7 4 2 Traduction HP40G Le calcul de A mod N est utilis dans le programme de la m thode probabiliste de Mr Rabin On se reportera donc a ce sous programme pour la traduction cf 7 6 7 5 La fonction estpremier 7 5 1 Traduction Algorithmiqu
91. l int grale J on tape seman LN 2 4 On obtient la main on a 22 3 2 x 2 1 donc 1 2 g x 2 On int gre ensuite terme terme entre 0 et 2 on obtient f o a de 2 In x 2 2 2 Conclusion 111 c est dire puisque In 4 21n2 2 7 g x dx 4 In2 0 z n b L la calculatrice ne peut rien il suffit de dire que e est croissante pour x 0 2 pour obtenir l in galit c Convergence de un On cherche la limite de e quand n 00 2 LIMIT EXP N 00 On obtient 1 2 n En effet 2 tend vers O lorsque n tend vers 00 donc e tend vers el 1 lorsque n tend vers 00 Lorsque n tend vers 00 Un reste compris entre J et une quantit qui tend vers I cf in galit s 2b Donc un converge et sa limite vaut I On a donc montr que L I 4 1In2 5 4 Conclusion On voit qu un bon maniement de la calculatrice HP40G permet de faire une bonne partie des questions Il faut cependant noter qu en arithm tique il faut faire plus de raison nements la calculatrice permet alors de faire des v rifications Chapitre 6 Programmation 6 1 Impl mentation 6 1 1 Comment diter et sauver un programme Pour avoir acc s au catalogue de programmes on appuie sur les touches SHIFT 1 PROGRAM Il apparait alors un cran contenant la liste des programmes disponi bles et un bandeau EDIT NEW SEND RECV RUN Pour taper un n
92. me 1 de 1 i 1 2 3 4 5 Ici le sommet de l arbre est un et il y a 4 sous arbres chacun de ces sous arbres a comme sommet un et poss de deux feuilles On tape sur CAS du bandeau pour ouvrir l diteur d quations puis on crit le premier sous arbre 1 2 30 Chapitre 3 criture des expressions dans l diteur d quations puis on s lectionne cet arbre avec gt puis on tape et le second sous arbre 1 3 puis on s lectionne cet arbre avec gt puis on tape et le troisieme sous arbre 1 4 puis on s lectionne cet arbre avec gt puis on tape et le quatri me sous arbre 1 5 puis on s lectionne cet arbre avec gt Maintenant l expression voulue 1 3 dt 2 4 5 se trouve crite dans l diteur d quations et 2 est s lectionn e Parcourez l arbre pour s lectionner Il faut taper lt lt L diteur d quations 31 pour s lectionner puis SHIFT gt permet de s lectionner deux sous arbres contigus le s lectionn et son voisin de droite ici Int r t On peut demander d effectuer le calcul de la partie s lectionn e en tapant ENTER On obtient RS 2 5 o la fraction est s lectionn e Si on veut effectuer maintenant le calcul partiel NI il faut tout d abord faire une permutation pour que et t soient c te c te en tapant SHIFT lt qui change l l ment s lectionn avec son voisin de gauche On obti
93. ment on account of their being thus compiled if they are not themselves derivative works of the Document If the Cover Text requirement of section 3 is applicable to these copies of the Document then if the Document is less than one quarter of the entire aggregate the Document s Cover Texts may be placed on covers that surround only the Document within the aggregate Otherwise they must appear on covers around the whole aggregate 8 TRANSLATION Translation is considered a kind of modification so you may distribute translations of the Document under the terms of section 4 Replacing Invariant Sections with translations requires special permission from their copyright holders but you may include translations of some or all Invariant Sections in addition to the original versions of these Invariant Sections You may include a translation of this License provided that you also include the original English version of this License In case of a disagreement between the translation and the original English version of this License the original English version will prevail 9 TERMINATION You may not copy modify sublicense or distribute the Document except as expressly provided for under this License Any other attempt to copy modify sublicense or distribute the Document is void and will automatically terminate your rights under this License However parties who have received copies or rights from you under this License will not have their licen
94. n francais ou en anglais cf 4 1 1 tr s pratique et performante On vous propose la liste par ordre alphab tique des fonctions de calcul formel Comme dans chaque menu d roulant vous pouvez en appuyant sur une lettre acc der aux fonctions commencant par cette lettre sans avoir besoin de taper sur ALPHA L aide consiste en une description succinte de la commande d un ex emple et de sa r ponse Chaque exemple peut tre test avec ECHO du bandeau et tre trait tel quel ou modifi On peut aussi aller voir Vaide des commandes proches grace aux SEE1 SEE2 du bandeau Pour plus de d tails se r f rer la description des touches SHIFT 2 SYNTAX sections 2 5 4 et 2 7 3 Chapitre 1 Les Aplets 1 1 La touche APLET La touche APLET donne acc s la liste des Aplets utilisables Cette calculatrice permet en effet de travailler avec des Aplets Mais qu est ce qu une Aplet Une Aplet est un logiciel int gr la machine qui permet facilement d obtenir 3 vues d un objet math matique une vue symbolique une vue num rique et une vue graphique et tout est d j pr programm Les diff rentes Aplets permettent de travailler avec des objets ma th matiques tels que fonctions suites s ries statistiques etc Certaines Aplets sont des logiciels illustrant des parties de cours 1 2 Les diff rentes Aplets Lorsque vous tes dans HOME vous pouvez savoir en regardant la ligne d tat le nom de l Apl
95. ne fait l objet d aucune garantie Sauf disposition contraire et expresse le d tenteur du copyright fournit le logiciel en l tat Le logiciel ne fait l objet d aucune garantie expresse ou implicite notamment et sans restric tions les garanties tacites en mati re de qualit marchande et d ad quation un usage particulier Hewlett Packard ne garantit ni la qualit ni les per formances du logiciel CAS S il s av re que ce logiciel pr sente des d fauts l utilisateur prend sa charge les co ts aff rents au support technique aux r parations et aux rectifications Sauf disposition contraire le d tenteur du copyright n est pas respon sible envers l utilisateur des ventuels dommages d coulant de l utilisation ou de l incapacit utiliser le manuel CAS y compris et sans limitation la p erte de donn es ou l inexactitude des donn es les ventuelles pertes subies par l utilisateur ou par des tiers ou l incompatibilit du logiciel avec d autres programmes quand bien m me lui ou des tiers auraient eu connaissance des risques encourus Si la l gislation le pr voit le montant maximal don t pourra tre redevable le d tenteur ne peut exc der la rede vance pay e par Hewlett Packard Pour commencer 0 1 Pr sentation g n rale 0 1 1 Mise en route Appuyer sur la touche ON Vous tes dans l cran HOME En cours de travail cette touche ON annule l op ration en cours elle
96. ns l diteur 84 Chapitre 4 Les fonctions de Calcul formel 4 16 Les quations diff rentielles Toutes les fonctions de ce paragraphe se trouve dans le menu SOLV du bandeau 4 16 1 DESOLVE et SUBST DESOLVE permet de r soudre d autres quations diff rentielles Les param tres sont l quation diff rentielle o y s crit d1Y X et l inconnue Y X Exemple 1 R soudre y y cos x y 0 co y 0 On tape DESOLVE d1d1Y X Y X COS X Y X On trouve X 2 cC1 Y X cCO COS X 5 SIN X cCO et cC1 sont les constantes d int gration y 0 cCO y 0 cC1 On peut ensuite donner une valeur aux constantes en utilisant la commande SUBST On crit si veut les solutions v rifiant y 0 1 X 2 cC1 SUBST Y X cCO COS X oe SIN X cCO 1 On obtient 2 COS X X 2 cC1 SIN X yay 2 COS X 2 001 SIM 2 Exemple 2 R soudre y 0 c1 on peut aussi taper directe y y cos x y 0 Pour avoir les solutions v rifiant y 0 ment 1 1 DESOLVE d1d1Y X Y X COS X AND Y 0 1 Y X On trouve alors X 2 cC1 Y X COS X E SIN X Les expressions trigonom triques 85 4 16 2 LDEC LDEC permet de r soudre directement les quations lin aires co efficients constants Les param tres sont le second membre et l quation caract ristique R soudre y 6y 9y re On tape LDEC X EXP
97. on VRAI gt PREM fsi si N 2 ou N 3 alors VRAI gt PREM fsi 5 gt I tant que PREM et I lt J faire si N mod I 0 ou N mod I 2 0 alors FAUX gt PREM sinon I 6 gt 1 fsi ftantque r sultat PREM ffonction 7 5 2 Traduction HP40G INPUT N N 31 IF N MOD 2 O OR N MOD 3 0 OR N 1 THEN O gt P ELSE 1 gt P END IF N 2 OR N 3 THEN 1 gt P END 5 gt 1 FLOOR VN gt J WHILE I lt J AND P REPEAT IF N MOD I 0 OR N MOD I 2 0 THEN O gt P ELSE M thode probabiliste de Mr Rabin 139 I 6 gt I END END CLEAR DISP 5 P FREEZE 7 6 M thode probabiliste de Mr Rabin Si N est premier alors tous les nombres K strictement inf rieurs a N sont premiers avec N donc d apr s le petit th or me de Fermat ona KN 1 1 mod N Si N n est pas premier les entiers K v rifiant KN 1 mod N sont tr s peu nombreux Plus pr cisement on peut montrer que si N gt 4 la probabilit d obtenir un tel nombre K est inf rieure 0 25 Un nombre N v rifiant KN 1 1 mod N pour 20 tirages de K est un nombre pseudo premier La m thode probabiliste de Rabin consiste tirer au hasard un nombre K 1 lt K lt N et calculer KN 1 mod N Si KN 1 1 mod N on refait un autre tirage et si KN 1 4 1 mod N on est s r que N n est pas premier Si on obtient KY 1 1 mod N pour 20 tirages de K on peut conclure que N est premier avec une probabilit d erreur tr s
98. on tape 2 45 gt D 38 12 gt D y 20 gt D 6 3 gt gt s lectionne 6v3 et lt s lectionne 20 VV s lectionne 20 On appelle la commande FACTOR qui se trouve dans le menu ALGB puis ENTER effectue la factorisation de 20 en 2 5 A s lectionne V2 5 et ENTER renvoie 2V5 gt s lectionne 25 SHIFT lt change 3 12 et 2 5 lt s lectionne 24 45 VV s lectionne 45 On appelle la commande FACTOR qui se trouve dans le menu ALGB puis ENTER effectue la factorisation de 45 en 3 5 A s lectionne v32 5 et ENTER remplace v32 5 par 35 A s lectionne 2 3 5 SHIFT gt s lectionne 2 3 5 et 2V5 puis ENTER effectue l op ration et on obtient 4v5 Il reste transformer 312 et voir que ce terme se simplifie avec 61 3 Donc C 4v5 5 2 3 Exercice 3 On consid re l expression D 3x 1 81 1 D velopper et r duire D 2 Factoriser D 3 R soudre l quation 3x 10 3x 8 0 4 Calculer D pour x 5 1 On crit D dans l diteur d quations On tape 3X 1 gt gt x 25 81 On s lectionne 3X 1 gt lt puis ENTER d veloppe cette expres sion On obtient 9X 6X 1 81 Pour faire du pas pas actif on applique POWEXPAND 3 X 1 puis on applique DISTRIB au r sultat obtenu pour obtenir 9X 6X 1 96 Chapitre 5 Exercices trait s avec la HP40 A s lectionne toute l expression et ENTER la r duit en 9X 6X
99. orsqu on a fini les changements Complex ou Real Approx ou Exact Direct ou Step Step si on veut tre en mode pas a pas 1 x x ou x x 1 pour l criture des polyn mes Sloopy ou Rigourous pour ne pas mettre les valeurs absolues Num factor ou Symb factor Cmplx vars ouReal vars pour que toutes les variables symboliques soient consid r es comme r elles cf 3 3 3 English ou Fran ais pour avoir l aide en ligne en fran ais Default cfg configuration R STEP X 13 Appuyer sur OK pour valider chacun de vos choix On sort du menu CFG en appuyant sur CANCEL ou en validant Quit config par OK Le nom de la variable courante contenu dans VX et la valeur de la variable MODULO peuvent se changer l aide des touches SHIFT SYMB SETUP ou l aide de la touche VARS cf 2 5 6 et 2 5 3 Remarque dans le CAS les angles sont toujours exprim s en radians Vous pouvez aussi changer votre configuration l aide des touches SHIFT SYMB SETUP se reporter pour cela la section 2 5 6 4 1 2 TOOL On se reportera la section 2 4 pour la description des fonctions qui se trouvent dans le r pertoire TOOL Cursor mode Edit expr Change font Cut Copy Paste 4 1 3 ALGB COLLECT DEF EXPAND FACTOR PARTFRAC QUOTE Le bandeau du CAS STORE SUBST TEXPAND UNASSIGN 4 1 4 DIFF amp INT DERIV DERVX DIVPC FOURIER IBP INTVX LIMIT PREVAL RISCH SERIES TABVAR TAYLORO TRUNC 4 1 5 REWRITE
100. ouveau programme on appuie sur F2 NEW On vous demande le nom du programme ATTENTION vous n tes pas en mode Alpha appuyer sur F4 A Z pour y trel Tapez son nom puis F6 OK Vous entrez votre programme et votre travail est automatiquement sauvegard lorsque vous sortez de l diteur en appuyant sur HOME ou sur SHIFT 1 PROGRAM 6 1 2 Comment corriger un programme Si la syntaxe est mauvaise la machine vous dit Invalid Syntax Edit program Vous r pondez F6 YES La machine vous met automatiquement le curseur l o le compila teur a d tect l erreur Il suffit donc de corriger 113 114 Chapitre 6 Programmation 6 1 3 Comment ex cuter un programme Pour ex cuter un programme on ouvre le catalogue de program mes en appuyant sur les touches SHIFT 1 PROGRAM Il apparait alors un cran contenant la liste des programmes disponi bles et le bandeau EDIT NEW SEND RECV RUN On met le nom du programme ex cuter en surbrillance et on appuie sur F6 RUN 6 1 4 Comment modifier un programme Pour modifier un programme sans vouloir garder l ancien on ou vre le catalogue de programmes en appuyant sur les touches SHIFT 1 PROGRAM Il apparait alors un cran contenant la liste des pro grammes disponibles et le bandeau EDIT NEW SEND RECV RUN On met le nom du programme modifier en surbrillance et on appuie sur Fi EDIT Si vous voulez avoir la fois l ancien et le nouveau programme il faut
101. passage of Front Cover Text and one of Back Cover Text may be added by or through arrangements made by any one entity If the Document already includes a cover text for the same cover previously added by you or by arrangement made by the same entity you are acting on behalf of you may not add another but you may replace the old one on explicit permission from the previous publisher that added the old one The author s and publisher s of the Document do not by this License give permission to use their names for publicity for or to assert or imply endorsement of any Modified Version 5 COMBINING DOCUMENTS You may combine the Document with other documents released under this License under the terms defined in section 4 above for modified versions provided that you include in the combination all of the Invariant Sections of all of the original documents unmodified and list them all as Invariant Sections of your combined work in its license notice The combined work need only contain one copy of this License and multiple identical Invariant Sections may be replaced with a single copy If there are multiple Invariant Sections with the same name but different contents make the title of each such section unique by adding at the end of it in parentheses the name of the original author or publisher of that section if known or else a unique number Make the same adjustment to the section titles in the list of Invariant Sections in the license notic
102. position en facteurs premiers 133 fonction facprem N local K D FACT gt FACT 0 gt K tant que N mod 2 O faire K 1 gt K N 2 gt N ftantque si K 40 alors FACT 2 K gt FACT fsi 3 gt D tant que D D lt N faire 0 gt K tant que N mod D O faire K 1 gt K N D gt N ftantque si K 40 alors FACT D K gt FACT fsi D 2 gt D ftantque si N 1 alors FACT N 1 gt FACT fsi r sultat FACT ffonction 7 3 2 Traduction HP40G On traduit le dernier algorithme La HP40G ne connait pas la liste donc pour initialiser L1 avec la liste vide on crit CLEAR L1 Voici le programme FACTPREM INPUT N N 1 ERASE 134 Chapitre 7 Programmes d arithm tique 0 gt K CLEAR L1 WHILE N MOD 2 O REPEAT 1 K gt K N 2 gt N END IF K 4 0 THEN 2 K gt L1 END 3 gt D WHILE DxD lt N REPEAT 0 gt K WHILE N MOD D O REPEAT K 1 gt K N D gt N END IF K 4 0 THEN CONCAT L1 D K gt L1 END 2 D gt D END IF N 1 THEN CONCAT L1 N 1 gt L1 END DISP 3 FACT L1 FREEZE 7 4 Calcul de A mod N 7 4 1 Traduction Algorithmique Premier algorithme On utilise deux variables locales PUIS et I On fait un programme it ratif de fa on qu chaque tape PUIS repr sente A mod N Calcul de AP mod N 135 fonction puismod A P N local PUIS I 1 gt PUIS pour I de 1 a P fa
103. quand il y a des fonctions trigonom triques Exemple 1 On tape LIN SIN X On obtient i i 5 EXP i X y EXP 4 X Exemple 2 On tape LIN COS X Les Fonctions de r criture 79 On obtient Le EXP 2 i X e EXP 2 1 X a 1 2 a 1 Exemple 3 On tape LIN EXP X 1 On obtient 3 EXP X 1 3 EXP 2 X EXP3 X 4 13 7 LNCOLLECT LNCOLLECT a comme argument une expression contenant des log arithmes LNCOLLECT regroupe les termes en logarithmes Il est donc pr f rable de Vutiliser sur une expression factoris e en utilisant FACTOR On tape LNCOLLECT LN X 1 LN X 1 On obtient LN X 1 X 1 4 13 8 POWEXPAND POWEXPAND crit une puissance sous la forme d un produit On tape POWEXPAND X 1 On obtient X 1 X 1 X 1 Cela permet ainsi de faire le d veloppement de x 1 en pas pas actif en appliquant DISTRIB plusieurs fois au r sultat pr c dent 4 13 9 SIMPLIFY SIMPLIFY simplifie l expression de fa on automatique Comme toute simplification automatique il ne faut pas s attendre a des miracles et pourtant 80 Chapitre 4 Les fonctions de Calcul formel On tape SIN 3 X SIN 7 X SIMPLIFY CHENE SIN 5 X On obtient apr s simplification 4 COS X 2 4 13 10 XNUM XNUM a comme param tre une expression XNUM fait passer en mode approximatif et renvoie la valeur num rique de l expre
104. que Pour exprimer une condition simple on utilise les op rateurs SES 6 11 2 Traduction HP40G ATTENTION pour la calculatrice HP40G l galit se traduit par sinon les autres op rateurs sont les m mes Les op rateurs logiques 119 6 12 Les op rateurs logiques 6 12 1 Traduction en Algorithmique Pour traduire des conditions complexes on utilise les op rateurs logiques ou et non 6 12 2 Traduction HP40G ou et non se traduisent sur la HP40G par OR AND NOT 6 13 Les listes 6 13 1 Traduction en Algorithmique En algorithmique on utilise les pour d limiter une liste Par exemple d signe la liste vide et 1 2 3 est une liste de 3 l ments Le sera utilis pour concat ner 2 listes ou une liste et un l ment ou un l ment et une liste 1 2 3 gt TAB TAB 4 gt TAB maintenant TAB d signe 1 2 3 4 TAB 2 d signe le deuxi me l ment de TAB ici 2 6 13 2 Traduction HP40G Les variables listes ont pour noms LO L1 L2 L9 On utilise les pour d limiter une liste Par exemple 1 2 3 est une liste de 3 l ments Mais ne d signe pas la liste vide il faut utiliser la commande CLEAR L1 pour initialiser la liste L1 vide Voici quelques commandes utiles MAKELIST I I I 1 10 2 d signe la liste des carr s des 5 pre miers entiers impairs 2 indique le pas de I L1 I d signe le I me l ment de la liste CONCAT L1 5 d signe une liste ayant l
105. ques il faut les stocker dans L1 L2 L9 LO car ces matrices seront interpr t es en tant que listes de listes alors que les matices num riques sont stock es dans M1 M2 M9 MO On crira par exemple S1 1 XQ 2 STO gt L1 ATTENTION certains calculs seront effectu s en mode approximatif en raison de l ambiguit entre r els et entiers dans HOME L utilisation de la commande XQ permet de convertir un argument approximatif en argument exact dans l exemple pr c dent vu au paragraphe 2 1 on depuis l cran HOME voir aussi 2 7 1 et 2 7 3 ARG XQ 1 i Vous pouvez aussi gr ce aux commandes PUSH et POP transf rer des expressions de l historique de l cran HOME dans l historique du CAS 2 6 1 PUSH Vous pouvez envoyer depuis l cran HOME des expressions dans l historique du CAS grace la commande PUSH Le clavier depuis HOME 23 On tape depuis l cran HOME PUSH S1 1 et S1 1 s inscrit dans l historique du CAS 2 6 2 POP Vous pouvez r cup rer depuis l cran HOME la derni re expression crite dans l historique du CAS gr ce la commande POP On tape depuis l cran HOME POP et par exemple S1 1 s inscrit dans l historique de l cran HOME 2 7 Le clavier depuis HOME 2 7 1 La touche MATH Cela ouvre le menu des fonctions math matiques Cette touche press e depuis l cran HOME ouvre une fen tre contenant des fonctions math matiques num r
106. r depuis l diteur d quations 21 P q ATTENTION cela suppose que la variable courante est aussi la varia ble de la fonction repr senter car lors de la recopie l expression est valu e et la variable courante celle contenue dans VX est chang e en X T ou 0 selon la nature du graphique ATTENTION si la fonction d pend d un param tre il est pr f rable de donner une valeur ce param tre avant d appuyer sur PLOT Si toutefois vous voulez que l expression param tr e soit recopi e avec son param tre le nom de ce param tre doit tre compos d une seule lettre diff rente de X T ou 0 pour qu il n y ait pas de confusion Si expression s lectionn e est valeurs r elles VAplet Function ou l Aplet Polar peut tre s lectionn e le graphe sera alors du type Function ou Polar Si expression s lectionn e est valeurs complexes l Aplet Parametric doit tre s lectionn e et le graphe sera du type Parametric Si vous choisissez l Aplet Function l expression mise en surbrillance sera re copi e dans la fonction Fi choisie et la variable courante sera transform e en X lors de la recopie l Aplet Parametric la partie r elle et la partie imaginaire de expression mise en surbrillance seront recopi es dans les fonc tions Xi Yi choisies et la variable courante sera transform e en T lors de la recopie l Aplet Polar l expression mise en surbrillance sera recopi
107. ries hyperg om triques qui admettent une primitive discr te Exemple On tape 1 gt K K 1 K 1 On s lectionne le tout ENTER et on obtient 1 3 2 2 Comment crire les fonctions infix es Ces fonctions s crivent entre leurs arguments par exemple AND MOD On peut soit les crire en mode Alpha pour AND MOD puis taper les arguments soit les appeler depuis le menu d un r pertoire du CAS ou a l aide d une touche du clavier condition d avoir crit et s lectionn le premier argument On passe d un argument l autre l aide des fl ches gt lt La virgule permet d crire un nombre complexe On crit 1 2 i ou 1 2 et les parenth ses se mettent automatique ment quand on tape la virgule Si vous voulez taper 1 2 il faut bien s r s lectionner 1 avant de taper la virgule La saisie des fonctions du CAS 35 3 2 3 Comment crire les fonctions pr fix es Ces fonctions s crivent avant leurs arguments c est le cas g n ral Dans ce cas tout est possible On peut taper le premier argument le s lectionner puis appeler la fonction l aide d un menu ou bien on peut appeler la fonction depuis un menu ou la taper en mode Alpha puis taper son ou ses arguments On va d tailler sur l exemple suivant les diff rentes saisies possibles Exemple Vous voulez factoriser l expression x 4 puis avoir sa valeur pour x 4 Vous savez que
108. rly and legibly all these Cover Texts Front Cover Texts on the front cover and Back Cover Texts on the back cover Both covers must also clearly and legibly identify you as the publisher of these copies The front cover must present the full title with all words of the title equally prominent and visible You may add other material on the covers in addition Copying with changes limited to the covers as long as they preserve the title of the Document and satisfy these conditions can be treated as verbatim copying in other respects If the required texts for either cover are too voluminous to fit legibly you should put the first ones listed as many as fit reasonably on the actual cover and continue the rest onto adjacent pages If you publish or distribute Opaque copies of the Document numbering more than 100 you must either include a machine readable Transparent copy along with each Opaque copy or state in or with each Opaque copy a publicly accessible computer network location containing a complete Transparent copy of the Document free of added material which the general network using public has access to download anonymously at no charge using public standard network protocols If you use the latter option you must take reasonably prudent steps when you begin distribution of Opaque copies in quantity to ensure that this Transparent copy will remain thus accessible at the stated location until at least one year after the last time you distrib
109. s d veloppements selon les puissances crois santes de la variable on fera donc le choix 1 x x dans CFG 4 12 1 DIVPC DIVPC a trois arguments deux polyn mes A X B X avec B 0 4 0 et un entier n DIVPC renvoie le quotient Q X de la division de A X par B X selon les puissances croissantes avec deg Q lt n ou Q 0 Q X est donc le d veloppement limit d ordre n de ae au voisinage de X 0 On tape DIVPC 1 X X 1 X 5 On obtient NS ES de la machine demande passer en puissances crois ATTENTION hine d d p p santes r pondre yes 4 12 2 LIMIT LIMIT a comme arguments une expression d pendant d une vari able et une galit variable la valeur o l on veut calculer la limite Il est souvent pr f rable d crire l expression quot e QUOTE expression pour viter une r criture de cette expression sous forme normale pour ne pas avoir une simplification rationnelle des arguments avant l ex cution de la commande LIMIT On tape par exemple LIMIT QUOTE 2X 1 EXP X 00 On obtient 00 74 Chapitre 4 Les fonctions de Calcul formel 4 12 3 SERIES d veloppement au voisinage de x a Exemple Donner un d veloppement limit l ordre 4 au voisinage de x de cos 2 x x On utilise la commande SERIES On tape SERIES COS 2 X X 4 T 6 On obtient 1 2 8V3 Ba V3h 2h er het 6 d veloppement au
110. ses terminated so long as such parties remain in full compliance 10 FUTURE REVISIONS OF THIS LICENSE The Free Software Foundation may publish new revised versions of the GNU Free Documentation License from time to time Such new versions will be similar in spirit to the present version but may differ in detail to address new problems or concerns See http www gnu org copyleft Each version of the License is given a distinguishing version number If the Document specifies that a particular numbered version of this License or any later version applies to it you have the option of following the terms and conditions either of that specified version or of any later version that has been published not as a draft by the Free Software Foundation If the Document does not specify a version number of this License you may choose any version ever published not as a draft by the Free Software Foundation How to use this License for your documents To use this License in a document you have written include a copy of the License in the document and put the following copyright and license notices just after the title page Copyright c YEAR YOUR NAME Permission is granted to copy distribute and or modify this document under the terms of the GNU Free Documentation License Version 1 1 or any later version published by the Free Software Foundation with the Invariant Sections being LIST THEIR 146 Chapitre 8 GNU Free Documentation License TIT
111. ssion On tape XNUM V2 On obtient 1 41421356237 4 13 11 XQ XQ a comme param tre une expression num rique r elle XQ fait passer en mode exact et donne une approximation rationnelle ou r elle de l expression On tape xQ 1 41422 On obtient 66441 46981 On tape XQ 1 414213562 On obtient V2 4 14 Equat ions Toutes les fonctions de ce paragraphe se trouve dans le menu SOLV du bandeau quations 81 4 14 1 ISOLATE ISOLATE isole une variable dans une expression ou une quation ISOLATE a deux param tres une expression ou une quation et le nom de la variable isoler ATTENTION ISOLATE ne renvoie qu une solution On tape ISOLATE X 1 3 X On obtient 4 14 2 SOLVEVX SOLVEVX a comme param tre une quation entre deux expressions de la variable contenue dans VX ou une expression 0 est alors sous entendu SOLVEVX r sout l quation Exemple 1 On tape SOLVEVX X 1 3 On obtient en mode r el x V2 OR x V2 On obtient en mode complexe X V2 OR X V2 OR X i V2 OR X iV2 Exemple 2 On tape SOLVEVX X 2 SIN X On obtient en mode r el X 2 7 n1 OR X 2 7 n1 OR X 2 4 14 3 SOLVE SOLVE comme arguments une quation entre deux expressions ou une expression 0 est alors sous entendu et le nom d une vari able 82 Chapitre 4 Les fonctions de Calcul formel SOLVE r sout l
112. stes On peut d finir r cursivement la fonction Bezout par Bezout A 0 1 0 A Si B 0 il faut d finir Bezout A B en fonction de Bezout B R lorsque R A BxQ et Q E A B Ona Bezout B R LT W X pgcd B R avec W x B X x R pgcd B R Identit de B zout 129 Donc WxB Xx A BxQ pgcd B R ou encore XxA W XxQ xB pgcd A B D o si B 0 et si Bezout B R LT ona Bezout A B LT 2 LT 1 LT 2 x Q LT 3 fonction Bezout A B local LT QR Si B 0 faire E A B gt Q A BxQ gt R Bezout B R gt LT R sultat LT 2 LT 1 LT 2 Q LT 3 sinon R sultat 11 0 A fsi ffonction 7 2 4 Version r cursive sans les listes Si on utilise des variables globales pour B D U V T on peut voir la fonction Bezout comme calculant partir de A B des valeurs qu elle met dans U V D AU BV D gr ce une variable locale Q On crit alors Programme Bezour local Q Si B 0 faire E A B gt Q A B Q gt T B gt A T gt B Bezour U V Q gt T V gt U T gt V sinon 1 gt U 0 gt V A gt D fsi 130 Chapitre 7 Programmes d arithm tique 7 2 5 Traduction HP40G Version it rative avec les listes On utilise ici aussi le programme IN qui permet de rentrer deux entiers A et B INPUT A A 1 INPUT B B 31 ERASE Puis on tape le programme BEZOUT RUN IN DISP 3 BEZOUT A B 1 0 A gt L1 0 1 B gt L2 WHILE L2 3 4 O REPEAT
113. tistiques inf rentielles Exemples utilisant l Aplet Sequence 11 1 3 Exemples utilisant l Aplet Sequence Ecriture en base b tant donn s a et b on veut obtenir la suite qn n gt 1 et rn n gt 2 des quotients et des restes de la division par b des q d finies par gd a q b g2 ra 0 lt ra lt b q2 0 93 r3 0 lt r3 lt b Qn 1 bn Tn 0 S Tp lt b On remarquera que si 7 1 0 le nombre r rp 1 rgr3 est l criture en base b de a lorsqu on suppose 2 lt b lt 10 On met dans B la valeur de la base par exemple 7 STOD B et dans A le nombre crire en base B par exemple 1789 STO gt A On d finit ensuite deux suites U1 1 A U1 2 FLOOR A B U1 N FLOOR U1 N 1 B puis U2 1 0 U2 2 A MOD B U2 N U1 N 1 MOD B Ainsi qn U1 N et r U2 N On trouve U2 2 4 U2 3 3 U2 4 1 U2 5 5 U2 6 0 donc l criture en base 7 de 1789 est 5134 Le calcul de PGCD Voici une mise en en uvre de l algorithme d Euclide avec la HP40G Voici la description de cet algorithme On effectue des divisions euclidiennes successives A BxQ kR 0 lt B RixQ2 R2 0 lt R lt R Ri Rx Q3 R3 0 lt Apr s un nombre fini d tapes au plus B il existe un entier n tel que Rn 0 12 Chapitre 1 Les Aplets On a alors PGCD A B PGCD B Ri PGCD Rn 1 Rn PGCD R 1 0 Rn 1 l aide des suites on crit la suite des restes Avec la HP40
114. ts de Fourier de la fonction f p riodique de p riode 2 7 et d finie sur 0 2 7 par f x x On tape STORE 2 7 PERIOD FOURIER X N On obtient apr s simplification 2 i N 7 2 N2 Donc sin 0 ona _ 2iN r 2 DEN Puis on tape FOURIER X 0 On obtient Doncsin 00na 4 11 7 IBP IBP a deux param tres une expression de la forme u x v x et v x IBP renvoie le AND de u x u x et de v x u 1 c est dire les termes que l on doit calculer quand on fait une int gration par parties Les fonctions 69 Il reste alors calculer l int grale du deuxi me terme du AND puis faire la somme avec le premier terme du AND pour obtenir une primitive de u x v x On tape IBP LN X X On obtient X LN X AND 1 On termine l int gration en appelant INTVX INTVX X LN X AND 1 on obtient alors X LN X X Remarque Si le premier param tre de IBP est le AND de deux l ments IBP n agit que sur le dernier l ment de AND et ajoute le terme int gr au premier l ment de AND de fa on pouvoir faire plusieurs IBP la suite 4 11 8 INTVX Exercice 1 Calculer une primitive de sin x x cos x On tape INTVX SIN X COS X On obtient en pas pas COS X SIN X Int lu F u with u SIN X puis OK et le r sultat s inscrit dans l diteur d quations SIN X 2 Exercice 2 Soit ds x x l Fa Calculer une primitive de f On tape
115. u gauche de votre s lection Exemple 1 2 3 4 gt s lectionne 3 4 puis gt s lectionne 2 3 4 puis gt s lectionne 1 2 3 4 ATTENTION si on est en train de taper une fonction ayant plusieurs arguments comme par exemple une J ou une f ou SUBST etc la fl che gt permet de progresser dans l criture en changeant le curseur d emplacement En effet ce sont les fl ches gt et lt qui permettent le passage d un argument l autre Il faut donc toujours dans ce cas s lectionner avec la fl che A cf 3 2 1 Exemples de fonctionnement de cet diteur On tape sur CAS du bandeau pour ouvrir l diteur d quations puis on entre les expressions des exemples Exemple 1 On tape 2 X x 3 X et on obtient 2 X 3 X gt gt gt pour s lectionner l expression puis ENTER donne le r sultat 2 2 X On tape 2 XDx3 X L diteur d quations 29 et on obtient 24 X 3 X gt gt pour s lectionner l expression puis ENTER donne le r sultat 6 2 X On tape 2 XD x3A4 X et on obtient 24 X 3 X gt gt gt pour s lectionner l expression puis ENTER donne le r sultat X X 6 Exemple 2 Si on veut taper x 3 X 1 On tape Xx 2 gt 3X 1 Si on veut taper X 3 X 1 On tape Xx 2 gt gt 3X 1 En effet il faut s lectionner X avant de taper la suite Exemple 3 Si on veut taper 1
116. u une expression dans une variable 6 7 1 Traduction en Algorithmique En algorithmique on crira par exemple 2 A gt B pour stocker 2 A dans B Les instructions conditionnelles 117 6 7 2 Traduction HP40G La fl che est obtenue l aide de la touche STO gt du bandeau On crira par exemple 2 ASTO gt B 6 8 Les instructions conditionnelles 6 8 1 Traduction en Algorithmique Si condition alors action fsi Si condition alors actioni sinon action2 fsi Exemple Si 10 ou lt B alors B A gt B sinon A B gt A fsi 6 8 2 Traduction HP40G IF condition THEN action END IF condition THEN actioni ELSE action2 END ATTENTION au pour traduire la condition d galit Exemple IF A 10 OR A lt B THEN B A STO gt B ELSE A BSTODA END 118 Chapitre 6 Programmation 6 9 Les instructions Pour 6 9 1 Traduction en Algorithmique Pour I de B faire action fpour Pour I de A B pas P faire action fpour 6 9 2 Traduction HP40G FOR I FOR I A TO B STEP 1 action END A TO B STEP P action END 6 10 L instruction Tant que 6 10 1 Traduction en Algorithmique Tant que condition faire action ftantque 6 10 2 Traduction HP40G WHILE condition REPEAT action END 6 11 Les expressions bool ennes Une condition est une fonction qui a comme valeur un bool en savoir elle est soit vraie soit fausse 6 11 1 Traduction en Algorithmi
117. uction algorithmique 124 7 1 2 Traduction HP40G 124 7 2 Identit de B zout 127 7 2 1 Version it rative sans les listes 127 7 2 2 Version it rative avec les listes 128 7 2 3 Version r cursive avec les listes 128 7 2 4 Version r cursive sans les listes 129 7 2 5 Traduction HP40G 130 7 3 D composition en facteurs premiers 131 7 3 1 Les algorithmes et leurs traductions 131 7 3 2 Traduction HP40G 133 7 4 Calcul de AP mod NS LEE Man dE NE we 134 7 4 1 Traduction Algorithmique 134 TABLE DES MATI RES 155 7 4 2 Traduction HP40G 136 7 5 La fonction estpremier 136 7 5 1 Traduction Algorithmique 136 7 5 2 Traduction HP40G 138 7 6 M thode probabiliste de Mr Rabin 139 7 6 1 Traduction Algorithmique 139 7 6 2 Traduction HP40G 140 8 GNU Free Documentation License 143
118. uera namVX qui contient le nom de la variable courante Pour voir le contenu d une variable il suffit de mettre son nom en surbrillance et d appuyer sur F2 pour VIEW du bandeau Le clavier depuis l diteur d quations 19 P q Pour modifier le contenu d une variable il suffit de mettre son nom en surbrillance et d appuyer sur F3 pour EDIT du bandeau On remarquera aussi dans le bandeau PURGE qui permet de d truire une variable existante RENAME qui permet de changer le nom d une variable existante NEW qui permet de d finir une nouvelle variable il suffit d entrer le contenu object puis son nom name Pour plus de d tails on se reportera la section 3 3 2 5 4 Les touches SHIFT 2 SYNTAX Lorsque que l on est dans l diteur d quations la combinaison des touches SHIFT 2 SYNTAX ouvre le menu CAS HELP ON Pour avoir laide en fran ais choisir Fran ais dans le menu du r pertoire CFG permettant de changer votre configuration cf 4 1 1 Si dans l diteur il n y a pas de fonction du CAS s l ctionn e ce menu propose la liste des fonctions utilisables depuis l diteur d qua tions Il suffit alors de mettre en surbrillance une fonction et de taper OK pour avoir de l aide sur cette fonction Si dans l diteur il y a une fonction du CAS s l ctionn e par exemple FACTOR 45 le menu CAS HELP ON ouvre directement l aide la page de FACTOR L aide consiste en une description succint
119. ur O TAB gt TAB 2 gt P Un exemple le crible d Eratosth ne 121 On a fait les points 1 et 2 barrer 1 a t r alis en le rempla ant par 0 TAB est la liste 0234 N tant que P P lt N faire pour I de P E N P faire E N P d signe la partie enti re de N P O gt TAB I P fpour On a barr tous les multiples de P partir de Px P P 1 gt P On cherche le plus petit nombre lt N non barr entre P et N tant que P P lt N et TAB P 0 faire P 1 gt P ftantque ftantque on crit le r sultat dans une liste PREM pour I de 2 N faire si TAB I 4 0 alors PREM I gt PREM fsi fpour r sultat PREM 6 14 3 Traduction HP40G Voici le programme CRIBLE L utilisateur doit entrer la valeur de N A la fin la liste L2 contient les nombres premiers inf rieurs ou gaux N INPUT N CRIBLE N 10 ERASE MAKELIST I I 1 N 1 gt L1 O gt L1 1 2 gt P WHILE P P lt N REPEAT 122 Chapitre 6 Programmation FOR I P TO INT N P STEP 1 O gt L1 I P END DISP 3 L1 P 1 gt P WHILE P P lt N AND L1 P O REPEAT P 1 gt P END END 2 gt L2 on sait que 2 est premier FOR I 3 TO N STEP 1 IF L1 1 O THEN CONCAT L2 I gt L2 END END DISP 3 PREM L2 FREEZE Chapitre 7 Programmes d arithm tique 7 1 Le PGCD et l algorithme d Euclide Soient A et B deux entiers positifs dont on cherche le PGCD L
120. ur le site kermit columbia edu Le clavier depuis HOME 25 On branche la calculatrice au cordon de transfert Sur l ordinateur on tape kermit set line dev ttyS0 ou S1 selon le num ro de votre port s rie set speed 9600 set carrier watch off serv Sur la HP40G on met en surbrillance le programme de nom NOM puis on appuie sur SEND du bandeau et on met en surbrillance Disk drive Puis OK du bandeau pour que le programme de nom NOM qui se trouve dans votre HP40G soit recopi sur votre ordinateur Ou Sur la HP40G on appuie sur RECV du bandeau et on met en surbrillance Disk drive Puis OK du bandeau la calculatrice affiche alors la liste des pro grammes qui sont sur votre ordinateur bien s r il faut avoir cr er un r pertoire sur votre ordinateur o des programmes de HP40G sont stock s On met alors en surbrillance PGCD pour que le programme de nom PGCD qui se trouve sur votre ordinateur soit recopi sur votre HP40G Pour les utilisateurs de Windows le logiciel de connexion se trouve sur le CD livr avec la HP40G Pour en savoir plus sur l utilisation de Kermit avec les calculatrices HP vous pouvez consulter l URL http www columbia edu kermit hp48 html Chapitre 3 Ecriture des expressions dans l diteur d quations 3 1 L diteur d quations 3 1 1 Acc s l diteur d quations La touche CAS du bandeau vous permet d entrer dans l diteur d quations et la touche O
121. ute an Opaque copy directly or through your agents or retailers of that edition to the public It is requested but not required that you contact the authors of the Document well before redistributing any large number of copies to give them a chance to provide you with an updated version of the Document 4 MODIFICATIONS You may copy and distribute a Modified Version of the Document under the conditions of sections 2 and 3 above provided that you release the Modified Version under precisely this License with the Modified Version filling the role of the Document thus licensing distribution and modification of the Modified Version to whoever possesses a copy of it In addition you must do these things in the Modified Version A Use in the Title Page and on the covers if any a title distinct from that of the Document and from those of previous versions which should if there were any be listed in the History section of the Document You may use the same title as a previous version if the original publisher of that version gives permission B List on the Title Page as authors one or more persons or entities responsible for authorship of the modifications in the Modified Version together with at least five of the principal authors of the Document all of its principal authors if it has less than five C State on the Title page the name of the publisher of the Modified Version as the publisher D Preserve all the copyright noti

Calcul formel et Mathématiques avec la HP40G

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