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1. sontillustr s en rouge Les conformations E et E peuvent tre dessin de la pompe bien que naif reconnues gr ce la couleur du milieu qui baigne ces sites 76 Chapitre 1 Guide du d butant voque relativement bien les caract ristiques g om triques de cette derni re Voici les six tapes de transition illustr es sur la figure e Au cours de l tape 1 la pr sence d ATP li e la prot ine stabilise la conformation de cette derni re pendant que trois Na en provenance du cytosol rejoignent les trois sites de liaison qui ont une forte affinit pour le Na e La seconde tape est l hydrolyse de l ATP qui phosphoryle la prot ine La phospho rylation cause un l ger changement de conformation qui pi ge les ions ie les deux portes de la cavit sont ferm es On sp cifie cette occlusion des ions en utilisant les parenth ses pour d crire l tat soit Na E P e A la troisi me tape les fluctuations thermiques provoquent le passage de la conformation E la conformation E Ce changement met les sites de liaison en contact avec le milieu extracellulaire ie la porte ext rieure de la cavit est ouverte et en modifie subtilement la g om trie de sorte qu ils ont d sormais beaucoup plus d affinit pour le K que pour le Na En cons quence les Na sont lib r s hors de la cellule Cette lib ration suit une s quence le site III tant lib r en premier comme le laisse entendre notre d
2. 0 3177 videmment si on ne perturbe pas la membrane la valeur de ces quatre variables demeure constante Pour stimuler la membrane on peut modifier V de fa on discontinue en lui appliquant un gain V4 ce qui mod lise assez bien l augmentation brutale de V qui survient exp rimentalement quand on injecte de la charge dans l axone La figure 1 B3 12 illustre le r sultat d int grations num riques pour Vim 6 7 50 mV la stimulation tant appliqu e t 10 ms On y constate deux comportements D une part quand Vim lt 7 mV l int gration pr dit un retour imm diat vers V avec une oscillation tr s amortie C est un potentiel gradu pas assez de canaux Na se sont ouverts pour initier un potentiel d action D autre part quand 15 s0 mv Viim 7 MV l int gration num rique pr dit un potentiel d action Ces r sultats montrent que le mod le HH reproduit une caract ristique 55 fondamentale des membranes excitables l exi a stence d un seuil de stimulation voir sous 5 15 25 35 section 1 B1 Il pr dit aussi une seconde temps ms caract ristique fondamentale l aspect st r o Figure 1 83 12 Le mod le Hodgkin Huxley pr dit typ d un potentiel d action En effet bien que le l existence d un seuil d excitation courbes saut de tension utilis comme stimulation varie calcul es en int grant num riquement les par un facteur 7 l amplitude la forme et la dur e quations de la figure 1 B3 10 m thode RK
3. et du potassium il a t suppos que l quation J g V E pouvait leur tre appliqu e Ensuite les g ont t d termin s exp rimentalement pour une large plage de valeurs de V Hodgkin 1952e Il s agit donc bel et bien d une conductance moyenne et non de celle de l quation AppB 20 qui est valide quand V E AppB 3 Le potentiel de repos Au chapitre 1 nous avons fourni l quation 1 B2 11 qui permet d valuer le potentiel de repos quasi stationnaire ie en n gligeant la pr sence des pompes Pour obtenir cette quation nous avions additionn les courants de chaque esp ce ionique d crits avec l quation J g V E et suppos que le total est nul Nous allons revisiter ce r sultat en utilisant plut t l quation AppB 12 ci dessus pour d crire chaque courant ionique AppB 3 Le potentiel de repos 181 Afin de pouvoir comparer entre eux les courants de diff rentes esp ces ioniques on d bute en d finissant la perm abilit P de la membrane l esp ce ionique X Si la membrane est une bicouche pure alors P D L Si le milieu homog ne se limite aux passages hydrophiles form par les canaux ouverts alors l quation AppB 12 ne s applique qu la surface occup e par les canaux Pour que J devienne le courant par unit de surface de membrane il faut alors multiplier par la proportion a de la surface de la membrane qui est occup e par ces canaux L avantage de cette nouvelle d finition
4. o e k T This gives Ai er 7 oe Now since we have shown that o 10 nC cm we get AL 0 4 nm This is indeed the scale of the Debye screening length and is of course very small compared to the micrometer range of the axon diameter IV COMPUTATIONAL PROJECT We now present computational models allowing students to explore and visualize a correct picture of AP dynamics Project a straightforward implementation of the HH model will address MCs A1 A2 A3 and B by focusing on the time course and relative importance of V Vo Je Jks Jieak and fu dt during an AP while project II will address the remaining MCs This project allows students to explore the effect of parameters and can either be given as homework or used in classroom demonstration Introductory students could be supplied the code which is just a few lines long In this first model we consider a patch of membrane small enough to have a uniform V This patch is modeled as a capacitor charged by three independent ionic currents Na K and leaks see Fig 2 Those currents are given by Eq 1 where Ena Ex Eieak ANd gx take constant values while gya and 9 are time and V dependant but constrained by maximum values g and g which correspond to a situation where all VGCs would be open Table 1 conductances mS cm reversal potentials mV Que 120 gx 36 0 Jieak 0 3 Table 1 constant parameters for project To describe
5. un saut du potentiel de membrane sont attribu s au canal recherch 1 B3 1 Survol des m thodes exp rimentales 45 fragment de membrane li l ouverture de la micropipette L avantage est que le c t intracellulaire de la membrane devient expos a la solution exp rimentale ce qui permet d y introduire des ligands des inhibiteurs ou tout autre compos qui se lie du c t cytosolique des prot ines membranaires Enfin le mode ext rieur expos outside out s obtient partir du mode cellule enti re encore une fois en tirant d un coup sec sur la micropipette Cette op ration tire la membrane qui se referme spontan ment sur la micropipette au moment o elle se rompt un peu comme un film d eau savonneuse se referme spontan ment apr s qu on ait souffl dessus Cette fois le c t expos est le c t extracellulaire Il est noter que certains modes ont pour effet d tirer et d endommager la membrane qui est soumise la mesure alors que d autres non Nous reviendrons au chapitre 3 sur l effet des membranes endommag es sur le comportement des canaux mais soulignons d s a pr sent qu il faut prendre avec pr caution certains r sultats publi s en envisageant la possibilit que les dommages impos s aux membranes aient influenc les mesures ce dont les auteurs n taient pas toujours conscients Boucher 2011 Figure 3 22 Maintenant que nous avons pr sent les m thodes exp rimentales nous revenons
6. whole cell mode on commence par former le sceau gigohm et on applique ensuite une forte saccade de succions de fa on rompre la membrane L int rieur de la pipette est ainsi en contact avec le cytosol comme ce serait le cas si on avait utilis une micro lectrode comme la figure 1 B1 1 On profite toutefois d une lectrode de beaucoup plus gros diam tre donc de plus faible r sistance Une autre possibilit conduisant une configuration analogue est de perforer partiellement la membrane par des moyens chimiques ce patch clamp est dit en mode cellule perfor e perforated patch retrait CELLULE ENTI RE EXT RIEUR EXPOS ESES CP a Figure 1 B3 4 Les diff rents modes de Le mode int rieur expose inside out s obtient patch clamp permettent des mesures ou partir du mode cellule attach e en tirant d un coup des manipulations diff rentes Figure sec sur la micropipette afin d arracher de la cellule le inspir e de Hamill 1981 17 Pour s assurer d obtenir le type de canal qu on souhaite mesurer une technique exp rimentale consiste introduire l ADN codant pour ce canal dans une cellule o il n y a normalement pas de canaux tension d pendants par exemple un oeuf de grenouille ou une cellule embryonnaire de rein HEK cell En le faisant s exprimer massivement cet endroit et en inhibant les autre s canaux on est certain que les courants mesur s en r ponse
7. La premi re option qui vient en t te est de faire un chantillonnage quidistant par exemple en conservant un point sur 10000 Ceci remplit certes l objectif de r duire le nombre de points totaux a quelques dizaine de milliers mais ne convient pas puisque le mod le HH a deux chelles de temps conserver des points quidistants peut tronquer s rieusement des potentiels d action Une telle approche aboutirait des graphiques peu repr sentatifs du ph nom ne De plus le point maximum de chaque potentiel d action doit tre conserv puisque le temps des maximums est utilis pour comparer les trains d impulsions au chapitre 4 Tous les pts 1 pt par ms 1 pt par 3 ms Tous les pts extr et z ros de V et V 420 425 430 435 440 445 450 Apr s de nombreux essais il nous a paru que la tempsrhs meilleure m thode consistait conserver au Figure AppC 3 La s lection de 10 ou 30 points moins les points auxquels la fonction V t ou Sa quidistants repr sente mal la fonction et surtout d riv e pr sentent un z ro ou un extremum ses maximums haut alors que la s lection des comme l illustre la figure AppC 3 Par s ret z ros et des extremums de V et V produit un tr s nous avons aussi ajout au filtre la possibilit de hs ee AA Sue ee d tecter ur cart trop important entre deux plus de 31000 pour l intervalle de 30 ms choisi points et d ajouter des points additionnels quidistants N
8. Payeur Universit d Ottawa for fruitful discussions and J Laplante C gep de l Outaouais for inspiration This work was supported in part by a NSERC CREATE grant 4 Hodgkin and Huxley 1952 A quantitative description of membrane currents and its application to conduction and excitation in nerve Journal of physiology 117 500 544 2 Qualitative introductions to APs can be found in Simulations disproving misconceptions about action potentials 107 108 Zinke Allmang et al 2013 Physics for the Life Sciences chap 19 e Guyton amp Hall 2011 Textbook of Medical Physiology chap 5 e Lodish 2012 Molecular Cell Biology chap 22 Marieb amp Hoehn 2010 Human Anatomy and Physiology chap 11 the French translation was consulted Campbell amp Reece 2011 Biology Benjamin Cummings chap 48 the French translation was consulted Quantitative introductions to the HH model can be found in e Nelson 2008 Biological Physics chap 11 12 Dayan amp Abott 2001 Theoretical Neuroscience chap 5 Hille 2001 lon Channels of Excitable Membranes chap 2 Sterratt ef al 2011 Principles of Computational Modeling in Neurosciences chap 1 8 For an overview of common MCs found in high school biology textbooks see Odom 1993 Action potentials and biology textbooks accurate MCs or avoidance The American Biology Teacher 55 8 468 472 Despite our efforts we haven t found an equally s
9. axone standard de calmar Scott 2002 chap 4 Faisons de m me en consid rant une cellule particuli re pour laquelle on aurait un potentiel de repos V 64 mV des concentrations internes de 400 50 et 52 mmol L respectivement pour le potassium le sodium et le chlore ainsi que des concentrations externes de 20 440 et 560 mmol L pour les m mes esp ces ioniques Dans nos travaux de recherche nous utilisons un mod le o ces trois seuls ions sont suffisants pour d crire l excitabilit d un neurone les autres ions sont donc ignor s voir la sous section 1 B3 1 B2 5 Les mesures montrent qu une cellule r elle est hors d quilibre 35 Pour cette axone de calmar particulier on constate en utilisant l quation 1 B2 1 que E na 56 mV que E 77 mV et que E 61 mV la temp rature de la pi ce Or le potentiel de repos tant V 64 mV on en d duit que seul le chlore est approximativement l quilibre le sodium et le potassium tant fortement en d s quilibre Notons que ces deux d s quilibres ne sont pas quivalents puisque V est nettement plus loign de E que de E c est le sodium qui est en plus fort d s quilibre Cela correspond l anomalie que nous avons soulev plus haut Terminons en anticipant l g rement sur la sous section 1 B3 sila membrane tait capable d augmenter subitement sa perm abilit au sodium on assisterait un soudain courant de cette esp ce ionique ce qui mo
10. clater voir la section 1 A En cons quence aucune cellule vivante ne peut se trouver l quilibre de Donnan Pour viter l clatement la logique nous force a conclure qu elle doit forc ment maintenir ses concentrations ioniques internes hors d quilibre Comment fait elle Et dans quelle mesure a t il un impact sur le potentiel de membrane 1 B2 5 Les mesures montrent qu une cellule r elle est hors d quilibre Abandonnons nos membranes artificielles pour nous pencher sur une cellule r elle On peut facilement confirmer qu une telle cellule est effectivement hors d quilibre en comparant les concentrations internes et externes de chaque esp ce ionique Pour les mesurer il suffit d utiliser un milieu externe o l un des ions a t remplac par un isotope radioactif de demi vie lev e d attendre assez longtemps pour que la diffusion recycle compl tement les ions internes la cellule puis d ensuite mesurer le taux de radioactivit provenant du volume cellulaire L uger 1991 chap 5 La figure 1 B2 3 illustre le r sultat d une telle exp rience pour des cellules de mammif res et pour l axone dorsal g ant du calmar l esp ce animale sur laquelle porte les travaux historiques que nous allons pr senter la sous section 1 B3 D une esp ce animale l autre d un individu l autre et m me d un tissu biologique l autre au sein d un m me individu les concentrations ont une certaine variabilit comme presque
11. de membrane est Q CV 65 5 nC Elle correspond la charge de seulement 4x10 ions monovalents soit moins de 10 mol pour un centim tre carr de membrane Il s agit d une tr s faible proportion des ions contenus par la cellule ou par le compartiment extracellulaire soit environ le millioni me et ce quelle que soit la g om trie de la cellule La charge nette est localis e dans une fine couche Conclure qu il existe une charge nette accumul e de chaque c t de la membrane ne doit pas faire imaginer que la cellule est charg e dans l enti ret de son volume ce qui serait une grave erreur conceptuelle Essentiellement en raison de leur attraction mutuelle les charges nettes accumul es de part et d autre de la membrane demeurent proximit de cette derni re dans une fine couche dont l paisseur est de moins d un nanom tre Les physiciens reconnaitrons que l paisseur de la fine couche en question est la longueur de Debye Nelson 2008 chap 7 Au del de cette distance le cytosol et le liquide extracellulaire retrouvent leur neutralit lectrique L image du condensateur plan est donc tout fait valide Notons que le champ lectrique s il est maximum dans la membrane a quand m me une valeur non nulle dans la fine couche de charge nette accumul e c est donc aussi le cas du gradient de potentiel mesure qu on s loigne de la membrane le champ lectrique d cro t et n atteint une valeur nulle que lo
12. on constate aussi un changement dans la quantit de courant persistent celui qui correspond au mode oz d inactivation lent des canaux Na 1 6 ag noir avant traumatisme gris apr s traumatisme o a inactivation activation g 120 100 80 60 40 20 0 40 30 20 10 0 10 Pour caract riser les changements subis par les V mv V mV canaux les valeurs limites de l activation et de Figure 3 A 8 Traumatiser la membrane d cale vers l inactivation respectivement analogue m 3 et la gauche la valeur limite et la constante de temps de h d d le HH d A l l activation et de l inactivation tous de la m me o Gans l modele de meme que la valeur ici 18 mV Figure adapt e de Wang 2009 3 A 3 D calage cin tique coupl CLS des canaux Nay 119 constante de temps z ont t obtenues partir des mesures effectu es avant l application de la succion a des fins de r f rence un r sum du mod le HH est pr sent la section 3 B La proc dure a ensuite t r p t e pour les donn es apr s la succion Comme le montre la figure 3 A 8 ces donn es r v lent que toutes les courbes ont subi un d calage cin tique vers les potentiels plus hyperpolaris s c est dire un d calage vers la gauche sur la figure On note que la translation a la m me valeur pour l activation et l inactivation Les mesures sur une patch o la proportion de canaux en mode d inactivation lent tait i
13. partir de cette section nous respecterons l usage moderne des termes activation et inactivation en les utilisant pour d crire le comportement de canaux individuels et non comme a la section 1 B celui des conductances globales 1 C2 1 La structure des canaux tensiod pendants Fondamentalement un canal tensiod pendant doit comporter au moins trois parties fonctionnelles 1 un pore aqueux qui traverse la membrane et que les ions pourront emprunter en diffusant de fa on passive 2 un filtre de s lectivit qui favorise le passage de certains ions seulement 3 au moins une porte dont l ouverture est contr l e par un senseur de tension Ces caract ristiques distinguent un canal d une pompe laquelle doit comporter au moins deux portes qui ne sont jamais ouvertes simultan ment Gadsby 2009 De plus le d bit d un canal ouvert n est limit que par la capacit des ions de diffuser dans l troit filtre de s lectivit alors que le d bit d une pompe est limit par les d lais d ouverture et de fermeture des portes en alternance Sous unit s Les canaux K sont des t tram res c est dire que leur structure quaternaire est form e de quatre sous unit s a identiques et de quatre sous unit s f aussi identiques Il existe des dizaines d isoformes de la sous unit a num rot s de K 1 1 K 13 3 Ranjan 2013 Dans cette nomenclature introduite dans Chandy 1991 le premier nombre indique la famille g n tique et l
14. tre attribu e des proc d s d ajustements osmotiques destin s viter l clatement des cellules Bien que tous les canaux font partie de familles g n tiques dont l origine peut tre retrac e jusqu aux bact ries l volution a accord des r les ces canaux surtout dans le r gne animal Ces r les ne se limitent pas au fonctionnement de l influx nerveux Un r le fondamental jou par les canaux est la gestion des ions Ca un ion qui sert souvent de messager Dans les cellules musculaires la lib ration de calcium dans le cytoplasme d clenche le m canisme de contraction dans les boutons terminaux des neurones cette m me lib ration d clenche la lib ration de neurotransmetteurs hors de la cellule sous la membrane plasmique la pr sence localis e de ces m mes ions signale des enzymes qu il faut d truire le cytosquelette afin de permettre un remodelage de la forme de la cellule Et ce ne sont que quelques exemples Dans tous les cas la lib ration de calcium dans le cytoplasme est permise par l ouverture de canaux Ca Apparemment l volution de tous les canaux s est produite en coordination avec celle des m canismes activ s par la pr sence d ions Ca Ils jouent donc aujourd hui un r le cl dans de tr s nombreux processus cellulaires Guide de lecture 1 C Comme dans le cas des deux sections pr c dentes nous terminons avec quelques conseils de lecture pour le n ophyte Cette fois nous nous limitero
15. Charras 2008b Fackler 2008 Ridley 2011 Paluch 2013 Dans le cadre du ph nom ne de la migration cellulaire les cloques se distinguent des pseudopodes et des lamellipodes qui eux croissent en raison de filaments du cytosquelette qui poussent sur la membrane Notons que ce mode de d placement impliquant des cloques ne se limite pas des cellules saines mais est aussi employ par des cellules canc reuses 3 A 1 Membranes cloques normal ou pathologique 113 Figure 3 A 1 Dans des conditions non apoptotiques les cloques apparaissent et se r sorbent A une cellule dont le cytosquelette est d ficient en vert est recouverte de cloques ce que r v le l observation de la membrane en rouge B une cellule souche utilise une cloque pour se mouvoir C un virus induit une cloque au moment ou il p n tre dans la cellule Figures tir es respectivement de Charras 2008a Paluch 2013 et Mercer 2008 La figure 3 A 1 illustre des cloques qui correspondent aux conditions normales que nous venons d num rer Dans ces situations l apparition d une cloque est toujours suivie de sa r sorption la dur e de vie de la cloque tant de l ordre d une minute Charras 2008a La croissance initiale d une cloque survient d s que la membrane est d tach e du cortex d actine spectrine par quelque 100 nm Sheetz 2006 La r sorption elle survient apr s que l int rieur de la cloque ait t par un m canisme x 5 A filaments d act
16. Consid rons encore une membrane artificielle comme celle de la figure 1 B2 1 mais o nous apportons des changements qui la rendront plus proche d une cellule vivante 1 On ins re dans la bicouche les prot ines requises pour la rendre perm able aux ions Na K et CI 2 Plut t que la forme plane de la figure 1 B2 1 on utilise les techniques permettant de donner une membrane artificielle la forme d une v sicule imitant une cellule L uger 1991 3 On enferme dans ces v sicules un liquide riche en prot ines solubles ex de l albumine alors que le milieu externe est une solution aqueuse contenant du NaCl et du KCI On obtient ainsi une imitation rudimentaire d une cellule qui prend la forme d un sac plein d albumine baignant dans une imitation de milieu extracellulaire contenant des ions Na K et CI court terme on obtient une situation quasi stationnaire o V est non nul voir la figure 2 6 au prochain chapitre pour un cas semblable Mais on s int resse ici la valeur d quilibre que prend V long terme si on laisse tous les ions atteindre leur quilibre de Nernst une situation appel e quilibre de Donnan quilibre de Donnan Vo Ena Ek Ea quation 1 B2 5 1 B2 4 L quilibre de Donnan 33 La cl du raisonnement qui suit est qu toute valeur du pH qui est raisonnablement proche d un pH cellulaire une proportion des chaines lat rales acides et basiques des prot ines se dissocie et d
17. Gong H 2013 The mechanism of Na K selectivity in mammalian voltage gated sodium channels based on molecular dynamics simulation Biophysical Journal 104 pp 2401 2409 Xie W Strong JA Ye L Mao JX Zhang JM 2013 Knockdown of sodium channel Na 1 6 blocks mechanical pain and abnormal bursting activity of afferent neurons in inflamed sensory ganglia Pain 154 pp 1170 1180 Yaragatupalli S Olivera JF Gatto C Artigas P 2009 Altered Na transport after an intracellular a subunit deletion reveals strict external sequence release of Na from the Na K pump Proceedings of the National Academy of Sciences 106 36 pp 15507 15512 Yu FH amp Catterall WA 2003 Overview of the voltage gated sodium channel family Genome Biology 4 207 Yu N Morris CE Joos B Longtin A 2012 Spontaneous excitation patterns computed for axons with injury like impairments of sodium channels and Na K pumps PLoS Computational Biology 8 9 e1002664 Young RG Castelfranco AM Hartline DK 2013 The Lillie Transition models of the onset of saltatory conduction in myelinating axons Journal of Computational Neuroscience 34 3 pp 533 546 Zheng H Liu W Anderson LY Jiang QX 2011 Lipid dependent gating of a voltage gated potassium channel Nature Communications 2 250 Kennedy CA Carpenter MH Lewis RM 1999 Runge Kutta methods for linear ordinary differential equations Applied Numerical Mathematics 31 pp 227 2
18. Hi freq fn 400 gt 85 1 Hz E 83 3 Hz a 300 76 9 Hz g 71 4 Hz 200 66 7 Hz op 57 1 Hz 100 e 50 0 Hz 5 44 4 Hz a 0 40 0 Hz 0 4 isim 8 12 b steady state phase shift wn 0 LS 0 LS 9 5 mV g faim 85 1 Hz r 0 1050 1100 1150 1200 time ms Fig 3 The two effects contributing to output infidelity when fym gt fo a Settling time increases with LSand decreases with fym Note also that for fin lt fo settling time tends to infinity Procedures used to generate a are detailed in the SI b Voltage traces after settling time of intact and damaged LS 9 5 mV for which fo 80 4 Hz axons with same stimulation Note the phase shift Output infidelities modeled in mildly damaged axons When fiim lt fos retropropagation never stops and the damaged node dominates the axon s output This output at frequency fp shows no fam dependence Furthermore no anterograde AP originating in node 1 can reach node 10 since these collide and annihilate with retrograde APs from node 6 Fig 2a left part of green and dark red curves see also Fig 2c Note that 1 1 phase locking becomes unachievable if f exceeds the maximum propagation frequency frax of the axon LS gt 10 75 mV on Fig 2a When stimulating with fum gt fo fe does not instantaneously switch from fo to fi Rather a long settling time is required during which APs from node 1
19. N WD O9 N N NN N AA 0 cellule eucaryote anatomie d un neurone phospholipides bicouche pure membrane biologique et prot ines ench ss es enzyme et site actif polypeptide et lien peptidique structure secondaire d une prot ine hi rarchie des quatre niveaux de structure d une prot ine mod le Michaelis Menten potentiel de membrane r ponse au stimulus potentiel gradu et potentiel d action propagation le long d un axone quilibre de Nernst courants ioniques concentrations ioniques internes et externes dans diverses cellules mod les de membranes au repos instrumentation de Hodgkin Huxley Katz s paration du courant de sodium et de potassium technique du patch clamp mode cellule attach e variantes de la technique du patch clamp mod le lectrique d une membrane courant potassium lors d un saut de potentiel de membrane effet de l exposant sur les mod les du courant de potassium activation et disponibilit courbes exp rimentales de disponibilit r capitulation du mod le Hodgkin Huxley courant de fen tre du sodium r ponse l excitation pr dite par le mod le HH phase r fractaire pr dite par le mod le HH d roulement d un potentiel d action analys selon le mod le HH conductances et courants ioniques pendant un potentiel d action mod le de la conduction dans un axone uniforme mod le de la conduction dans un axone my linis structure de la pompe Na K sch me de Post Albers
20. SUFC 3 9 Traumaliser les celu es tal i entrer du Na par les canaux Nay Figure subsequent Comme le montre la figure 3 A 6 MOINS adapt e de Wang 2009 N O geen LAA a A A 0 5 10 15 20 25 30 temps post traumatisme mins oO intensit fluorescence du pigment sensible au Na variation 118 Chapitre 3 Membranes endommag es questions de recherche et construction du mod le de deux minutes apr s l tirement m canique un gain important de la fluorescence due au pigment tait observ ce qui signifie que les ions Na affluaient dans les cellules en cons quence directe de l tirement De plus en r p tant l exp rience en pr sence de TTX on mesurait que l afflux tait nettement moins important bien que non nul ce qui signifie que les ions sodium traversaient bel et bien par les canaux Na qui d sormais avaient des fuites en raison de l tirement m canique Dans Wang 2009 une seconde m thode exp rimentale a aussi t employ e pour traumatiser m caniquement les membranes cellulaires une succion excessive tait appliqu e avec une pipette de patch clamp afin de produire une cloque Plus pr cis ment le protocole consistait d abord appliquer une succion minimale pour former le sceau gigohm et mesurer la r ponse des canaux Na une famille de voltage clamp utilisant des sauts de tension diff rents puis ensuite appliquer la succion n cessaire endommager
21. a quation AppB 15 1 e et av i gv arx Cet Care TTX Jena Dit Cie ER 1 e quation AppB 16 1 e C est la somme de ces deux courants J qui est bel et bien une constante qui ne d pend pas de x On note que le courant de diffusion donn par l quation AppB 15 d pend bel et bien de V contrairement l hypoth se que nous avions faite au chapitre 1 pour obtenir l quation approximative J g V E AppB 2 Le courant d une esp ce ionique 179 Cas limites Nous allons maintenant tudier l quation AppB 12 dans trois limites quand V est tr s grand quand il est tr s faible et quand il est proche de Ey Dans le cas o V tend vers l infini n gatif les facteurs exponentiels dans l quation AppB 12 deviennent nuls et on obtient alors 2D lim Jy es V quation AppB 17 V 00 Qe kel Par contre quand V tend vers l infini positif c est plut t e l quation AppB 12 devient qui devient nul donc aV ce c 2p lim J ape et Tu quation AppB 18 Vo e TT 4 BT o le num rateur et le d nominateur de l quation AppB 12 ont tous deux t multipli s Qe Tee par On note que ces deux premiers cas limites ont une forme lin aire en V mais avec une pente diff rente Ceci signifie que la conductance d une esp ce ionique est meilleure dans un sens que dans l autre Ce comportement n est pas sans rappeler celui d une diode e semi conductrice puisqu il r v le une
22. br en particulier nous pr senterons l effet de la my linisation 1 B3 1 Survol des m thodes exp rimentales A la figure 1 B1 2 nous avons esquiss un potentiel d action tel qu on pourrait le mesurer gr ce une lectrode intracellulaire Avant l invention de cette technique on pensait qu il se produisait en raison d une baisse temporaire de l imperm abilit de la membrane Si c tait le cas toutefois toutes les conductances ioniques deviendraient de valeurs comparables et lev es Or dans un tel cas l quation 1 B2 10 indique que le potentiel de membrane tendrait essentiellement vers z ro et non vers une valeur d environ 40 mV C est gr ce l quipement lectronique perfectionn par Hodgkin Huxley et Katz Hodgkin 1952a l poque de la Seconde Guerre mondiale que l amplitude du potentiel d action a pu tre d termin e avec davantage de pr cision C est aussi cet quipement qui a permis de confirmer que son m canisme est attribu comme nous le verrons une entr e d ions Na suivie d une sortie d ions K Hodgkin 1952b Nous allons d abord pr senter cet quipement et la fa on dont il a pu tre utilis pour mesurer et distinguer les courants dus chaque esp ce ionique La conductance de la membrane r troaction n gative par l amplificateur peut tre d termin e en inversant l quation 1 B2 4 g Jy V Ey mais cela n cessite de connaitre simultan ment le courant J et le potentiel
23. butant comportement d un canal est stochastique En effet neuf r p titions du m me stimulus produisent neuf r ponses diff rentes chez un m me canal qui fluctue entre les tats ouvert et ferm Ce comportement stochastique s explique par le fait que l nergie requise pour d placer les senseurs de tension est du m me ordre de grandeur que l nergie thermique des mol cules environnantes Malgr tout la moyenne de 40 courbes bas de la figure 1 C2 4 donne la courbe continue mesur e exp rimentalement sur la population de canaux voir la figure 1 B3 2 ce qui montre bien que le changement de potentiel de membrane agit sur la probabilit d ouverture Dans certaines des simulations num riques dont les r sultats font l objet de l article pr sent au chapitre 4 nous avons tenu compte des fluctuations caus es par le comportement stochastique des canaux en ajoutant un courant de bruit Charge du senseur de tension Enfin on peut relier la probabilit d ouverture d un canal avec des l ments de sa structure Il suffit d appliquer la m canique statistique une population de canaux K ou Na suivant un raisonnement initialement pr sent dans Hodgkin 1952e pour lequel nous donnons une version plus moderne voir aussi Nelson 2008 chap 12 Tout d abord le ratio de canaux ouverts et ferm s l quilibre est donn par P ouvert aes P ferm quation 1 C2 1 o AG AF est la diff rence d nergi
24. c est dire qu elle prend toujours approximativement la m me forme atteint toujours approximativement le m me maximum et a toujours approximativement la m me dur e et ce quelle que soit l intensit la forme ou la dur e du stimulus l ayant initi e C est cette r action st r otyp e du potentiel de membrane qu on appelle un potentiel d action Le terme influx nerveux plus vague est aussi parfois utilis pour d signer un potentiel d action ou une succession de potentiels d action Dans la sous section 1 B3 nous verrons que cette r ponse st r otyp e est rendue possible par les canaux tensiod pendants qui r agissent la valeur de V en s ouvrant et en se fermant ce qui change la perm abilit de la membrane certains ions donc modifie la 8 On peut concevoir des exceptions par exemple les cellules pith liales n ont pas un milieu extracellulaire uniforme elles baignent dans le liquide interstitiel mais une de leurs faces donne sur un autre milieu par exemple la cavit intestinale la composition ionique de cet autre milieu tant diff rente de celle du liquide interstitiel le potentiel de membrane sur cette face peut donc diff rer de celui mesurable sur les faces en contact avec le liquide interstitiel II n en demeure pas moins que toute perturbation de ce potentiel de membrane cause une r ponse lin aire et localis e 1 B1 2 R actions du potentiel de membrane une perturbation 23 conductance lectrique
25. cules de sa membrane plasmique etc Deuxi mement la membrane plasmique contient aussi des prot ines de transport Certaines prot ines de transport sont simplement des canaux ouverts en permanence qui augmentent s lectivement la perm abilit de la membrane plasmique certaines mol cules qui les traversent en diffusant De tels canaux assurent notamment une petite perm abilit de la membrane aux principaux types d ions Goldstein 2001 Tremblay 2011 voir aussi Hille 2001 on les appelle alors des canaux de fuite Un tel canal est illustr la figure 1 A 5 D autres canaux peuvent s ouvrir ou se fermer en r action divers stimuli notamment les canaux tensiod pendants ceux qui s ouvrent en r ponse un changement de tension lectrique voir section 1 B Na et K respectivement canaux Na et canaux K jouent un r le cl dans la propagation de l influx nerveux Enfin les pompes ioniques sont des prot ines de transport qui d placent des ions en sens inverse de leur diffusion normale 4 L ATP est la monnaie nerg tique de la cellule son hydrolyse produit de l ADP et un phosphate inorganique P Apr s la digestion des aliments la grande majorit des mol cules que nous en tirons sont oxyd es en CO afin de permettre de synth tiser constamment des mol cules d ATP Ces derni res fournissent ensuite l nergie n cessaire des proc d s non spontan s ici le pompage La synth se d ATP partir
26. entre 50 mV et 35 mV Quand on perturbe le potentiel de membrane d un neurone au repos il existe deux cat gories de r ponses possibles le potentiel gradu etle potentiel d action respectivement produites selon que la perturbation am ne la valeur de V au dessus du seuil d excitation du neurone ou non Stimulus mV Potentiel de membrane mV seuil d excitation POTENTIELS GRADU S POTENTIEL D ACTION Figure 1 B1 2 Quand le stimulus fait monter le potentiel de membrane au dessus du seuil d excitation un potentiel d action est enclench sinon on obtient un potentiel gradu La figure 1 B1 2 compare ces deux types de r ponses en pr sentant les courbes V t mesur es en un unique endroit de la membrane Ainsi les stimulus hyperpolarisants ou les stimulus d polarisants trop faibles causent un potentiel gradu exactement comme dans les cellules non excitables Sous le seuil d excitation la membrane conserve donc approximativement son comportement lin aire En outre la r ponse est fonction de l intensit du stimulus En revanche quand un stimulus d polarisant est suffisamment important pour que V d passe le seuil d excitation sa valeur augmente ensuite drastiquement atteint un maximum typiquement situ aux environs de 40 mV l augmentation a en effet t suffisante pour inverser la polarit d croit ensuite rapidement jusqu d passer V puis remonte tr s lentement vers V Cette r action est st r otyp e
27. followed by V Quantitative description of the time course of gy and g will be given in part IV where the HH model is implemented but we give here what is required to understand material presented in part III e During phase 1 when Na VGCs open gx increases massively According to Eq 4 this increases V to E a large positive value 50 mV According to Eq 1 it also supplies an inward Jya current that allows V to quickly follow this increase Na VGCs start to inactivate before V can reach E e During phase 2 gya drops quickly as Na VGCs are inactivated and g increases quickly as K VGCs open According to Eq 4 this decreases V to E a large negative value 77 mV Accor ding to Eq 1 it also supplies an outward J current that quickly decreases V toward this new V e Phase 3 is more complicated hence the MCs as the K VGCs slowly close the reduction of gx contributes a gradual increase of V However V needs an inward current to be able to follow V and that cannot be J an outward current Both Jya and Jieak are inward during the recovery phase but J is orders of magnitude larger making Cl ions the key mechanism of V recovery e Only at the end of phase 3 does V remain constant at V Ves allowing V to finally reach it Ill COMMON MISCONCEPTIONS Students who first encounter APs find their mechanism complicated and often develop important MCs We will focus on three of such MCs la
28. gt fim for f fim all retropropagation has stopped Phase locking occurs above the blue curve only Thus high frequency AP trains propagate despite the ectopic site i J green stars correspond to ib and c b Wave front and time dependent frequencies f and f when LS 6 mV f 66 2 Hz and fim gt fo Note the settling time required for f to become equal to stim fim C Same as b with fim lt fo Note that f never changes after tym Inset nodes 1 3 show the interplay of input APs with retropropagated APs Note how some of the latter reach node 1 and cause a stimulation failure absence of AP fired in node 1 at the time of some stimulations as in Fig 1a node 6 in the unstimulated axon and f its frequency when stimulated When LS gt 3 75 mV Fig 2a blue curve ectopic firing occurs spontaneously and frequency f increases monotonically as a function of LS With no stimulation the ectopic APs originating in damaged node 6 propagate forward and backward see both Fig 2b and Fig 2c before stimulation begins With stimulation f can differ from its unstimulated value f as the two sources of APs nodes 1 and 6 compete to stimulate the other nodes When fi gt fo complex interplays take place in nodes 1 6 Eventually however retropropagation stops and 1 1 phase locking occurs with f fin Fig 2a right part of green and dark red curves see also Fig 2b a pattern settling time max 1 1 propagation
29. me nerveux dont les humains sont faits de nombreuses cellules eucaryotes c est mitochondrie membrane plasmique milieu extracellulaire Figure 1 A 1 Quelques organites et autres l ments d une cellule eucaryote 1 A 1 La cellule unit de la vie 1 a dire de cellules comportant diverses subdivisions internes dont le noyau cellulaire qui contient le mat riel g n tique sous forme de mol cules d ADN et plusieurs autres organites ayant diverses fonctions la figure 1 A 1 illustre quelques uns d entre eux Ces organites sont d limit s par une membrane parfois double ayant la m me structure que la membrane plasmique Campbell 2007 chap 6 Machinerie mol culaire Pour assurer la vie c est dire notamment sa capacit a s organiser contr ler sa composition et a se dupliquer la cellule doit g rer de nombreuses r actions chimiques et processus m caniques Elle y parvient en synth tisant diverses mol cules dont chacune joue un r le sp cialis Ces derni res sont souvent des polym res c est dire des macromol cules form es de la jonction d un grand nombre de mol cules l mentaires un peu la fa on d un collier de perles La plupart de ces macromol cules appartiennent la cat gorie des prot ines sur laquelle nous reviendrons d ici la fin de la section L information requise pour synth tiser chaque polym re qui compose une macromol cule est port e par un g ne c est dire un segm
30. mmol L 200 10 E x V x E x mV nm and V x mV 70 T 8 4 0 4 8 position nm Fig 9 Concentration profiles a and field profiles b in membrane at rest show a thin charged layer reveals its composition It should be noted that due to the thickness of the charged layer the electric field extends somewhat outside the membrane Thus negatively charged macromolecules contribute to the layer of net accumulated charge even though they cannot cross the membrane they experience the electric field Fig 9 also shows that the concentration profiles inside the pores of the VGCs are exponential as should be expected from the Boltzmann factor and the fact that the electric field is constant The same model can be used to counter MC Ad using time dependent a and a The simplest approach is for a to undergo a discontinuous increase by a factor 2000 mimicking phase 1 of the AP If MC A4 were right the Na ions entered after this discontinuity would have to stick around the internal side of the membrane for a delay longer than phase 1 and 2 combined and only then diffuse away What happens is far from that using a values from Table 2 Jy x settles to a quasi stationary situation on a nanosecond scale not shown Improvements to project Il This project can be modified in several ways In a course about numerical methods it would be interesting to improve the numerical scheme me
31. ne soient modifi es d un c t ou de l autre de la membrane Il en r sulte une perturbation de l tat de repos qui doit pouvoir se r sorber si la stimulation cesse pour que le syst me de contr le revienne son point de d part C est ce que permet de fa on efficace le choix E uites Vo 3 B 6 Stimulation et propagation dans le mod le d axone 135 dont chacun produit une r ponse imm diate En d autres termes il nous faut imiter l influx rapide et transitoire de charge qui arrive dans un noeud de Ranvier sous l effet d un potentiel d action incident Le meilleur mod le pour cela ne consiste pas ajouter un courant constant au membre de droite de l quation 3 B 2 mais plut t une somme de fonctions delta de Dirac AV m t tim chacune correspondant l instant o la d charge d un potentiel d action est souhait e L effet d une telle stimulation est de faire augmenter V d une fa on discontinue par un incr ment AV lequel est un param tre ajustable En pratique l augmentation se fait pendant la dur e d un pas temporel du sch me d int gration voir l appendice C Il reste donc ajuster le param tre AV im qui est proportionnel la quantit de charge incidente un noeud de Ranvier quand un potentiel d action arrive Une valeur trop faible ne serait pas suffisante pour exciter le noeud de Ranvier alors qu une valeur trop lev e aurait un effet d mesur par exemple un impact sur plusieurs noeuds de Ranvier con
32. quation 1 A 6 ge S 1 Selon cette quation le rythme de la r action augmente proportionnellement la concentration E ce qui est effectivement le comportement attendu quand l enzyme est suffisamment dilu En g n ral il est difficile de mesurer directement les constantes k4 k_ et k puisque les trois r actions qui figurent dans l quation 1 A 2 se produisent simultan ment On d finit donc les constantes Vmax k E et Ky k k k Ces constantes peuvent tre consid r es comme des param tres tir s directement et facilement de l exp rience Avec cette nouvelle notation l quation 1 A 6 devient enfin Mod le Michaelis Menten V V nax Dl quation 1 A 7 Ku S Selon cette quation la vitesse de la r action est nulle quand S 0 ce qui est videmment logique et tend vers v quand la concentration de substrat est extr mement lev e Dans ce dernier cas on dit que l enzyme est satur Comme le montre la figure 1 A 10 il faut une concentration importante en proportion de Ky pour saturer l enzyme La constante K a aussi une SVKy interpr tation vidente elle correspond a la concentration de substrat pour laquelle Figure 1 A 10 La concentration du substrat influence V Vinax 2 ce que montre aussi la figure la vitesse d une r action enzymatique mod le Michaelis Menten VIV max Notons qu en obtenant exp rimentalement un graphique comme celui de la figure 1 A
33. quation est une fusion des quations 1 B3 2 1 B3 4 et 1 B3 8 Les graphiques B et C repr sentent les quations 1 B3 7 1 B3 11 et 1 B3 12 en vert bleu et rouge respectivement Les param tres constants D sont tir s du texte Une formulation quivalente aurait t obtenue en formulant les taux de variation de m h et n en fonction des trois paires constantes cin tiques a et B qui auraient alors fait l objet des deux graphiques au lieu des trois paires valeur cible 7 56 Chapitre 1 Guide du d butant Potentiel de repos selon le mod le L int gration num rique des quations de la figure 1 B3 10 conduit spontan ment la membrane simul e un potentiel de repos On peut calculer ce dernier en utilisant l quation 1 B3 11 o les conductances g et gx d pendent de V En substituant les valeurs num riques de la figure 1 B3 10 l quation 1 B3 11 devient _ 60003 V h Vp 2772N2 Vy 16 32 _ Vo 3 4 120m V h V 36n V 0 3 quation 1 B3 13 En solutionnant num riquement cette quation on obtient V 65 0 mV Si on utilisait plut t gj ites 0 25 mS cm valeur utilis e dans notre mod le num rique on obtiendrait alors V 65 5 mV ce qui montre que les fuites ont effectivement une petite influence Notons qu au lieu de consid rer que V d pend des param tres illustr es a la figure 1 B3 10 on peut plut t consid rer que c est E qui est un param tre ajustable permettant de choi
34. quelques canaux tensiod pendants qui sont ouverts au repos Ce r le est jou aussi par de nombreux autres m canismes d autres types de pompes par exemple les changeurs Na Ca les cellules gliales voisines qui absorbent l exc s de K etc Tenir compte de tous ces effets dans notre mod le serait inutilement complexe nous souhaitons un mod le simple qui permet de mettre l accent sur les m canismes fondamentaux derri re les ph nom nes que nous observerons Dans le mod le HH de base pr sent la figure 3 B 1 il y a un seul degr de libert le choix de V d termine le choix de E uites Ici Ju One tuites t Ok tuites forment un groupe de trois param tres ajustables suppl mentaires alors que l quation 3 B 3 gal e z ro quand V V tant pour X Na que pour X K forme deux contraintes suppl mentaires En somme un degr de libert additionnel demeure 134 Chapitre 3 Membranes endommag es questions de recherche et construction du mod le Pour simplifier la mod lisation on fixe Eits Vo une valeur l g rement diff rente de celle du mod le HH de base voir la figure 1 B3 10 Les trois nouveaux param tres deviennent donc ind pendants de ceux du mod le de base On peut consid rer arbitrairement que le nouveau param tre libre est J Pour fixer ce dernier il nous faut d terminer un crit re ou une contrainte suppl mentaire Or une telle contrainte suppl mentaire qui n tait pas respect
35. qui d passent dans l eau de chaque c t de la bicouche de m me qu une partie hydrophobe en contact avec les queues des phospholipides Tant en raison de l interaction hydrophobe qui affecte leur partie non polaire qu en raison des ponts hydrog nes qui affectent leurs parties hydrophiles elles sont incapables de quitter leur membrane donc elles aussi incapables de quitter la cellule Fonctions des prot ines En g n ral la cellule utilise les prot ines pour de nombreuses fonctions Trois cat gories de fonctions en particulier sont pertinentes pour nos travaux la catalyse le transport et la structure Campbell 2007 chap 7 Ainsi premi rement certaines prot ines servent acc l rer s lectivement certaines r actions chimiques en se liant aux r actifs On dit qu elles les catalysent Les prot ines qui jouent un r le de catalyseur sont appel es des enzymes et leur nom se termine par ase Les enzymes ne peuvent catalyser que des r actions qui sont d j spontan es c est dire celles qui font d cro tre l nergie libre des r actifs toutefois une classe d enzymes les ATPases puisent de l nergie libre en rompant une mol cule d ad nosine triphosphate ATP afin de catalyser des r actions qui ne sont pas spontan es Ce couplage de r actions spontan es et non spontan es est ce qui permet notamment la cellule de synth tiser des mol cules complexes partir de mol cules simples d ordonner les mol
36. qui discr tise un syst me de N quations diff rentielles dy dt FY Yo dyi dt g ya Yi etc sous la forme Y Y T Y On consid re d abord que la valeur de Ya un temps t nh quelconque est entach e d une erreur 6 f Pour valuer l volution de d it ration en it ration il suffit d valuer la matrice jacobienne NxN donn e par OT oT Ya OYp T T J a quation AppC 13 Ye Yp t nh Pour que l algorithme soit stable on doit simplement v rifier que les valeurs propres de cette matrice jacobienne qu elles soient r elles ou complexes ont toutes une norme inf rieure l unit D s qu une seule des valeurs propres ne respecte pas cette condition le syst me est instable Quand le syst me est stable la pr sence d une ventuelle partie 190 Appendice C Consid rations informatiques imaginaire aux valeurs propres indique que y tend vers la solution exacte en oscillant son absence indiquant plut t que Y tend vers la solution exacte de fa on monotone Pour illustrer cette d marche prenons l exemple d un cas N 1 o on discr tise l quation diff rentielle dy dt Ay par la m thode d Euler d o y y hf y y 1 Ah Ona donc T y y 1 Ah De toute vidence le jacobien J est une matrice 1x1 dont l unique l ment est 1 Ah Pour cette quation diff rentielle l algorithme est donc stable quelle que soit la valeur de h pourv
37. r e comme suffisamment faible pour qu on puisse la n gliger et relier les dix noeuds de Ranvier directement par une r sistance lectrique de sorte que le mod le comporte dix compartiments en tout coupl s entre eux de fa on lin aire Chaque compartiment ie chaque noeud de Ranvier est un syst me de six variables V m h n Nal et K Les quatre premi res de ces variables sont d termin es tel que d crit la figure 3 B 1 l exception du fait que la premi re quation est remplac e par l quation 3 B 2 que nous introduirons au bloc 3 B 4 ci dessous et que Ewites Prend une valeur diff rente les deux autres sont d termin es par l quation 3 B 3 qui suivra elle aussi sous peu De m me la valeur au repos des quatre premi res variables est choisie comme dans le mod le HH V tant fix 65 5 mV comme dans Ochab Marcinek 2009 qui utilise un mod le semblable au n tre et d terminant Ms M Vo ho A Vo et n n V Les deux autres variables sont fix es Na 20 mM et K 6 MM Notons que Na Na est fix la valeur constante de 174 mM et K Kl 156 mM int ext int ext Le premier des dix compartiments sera stimul par une m thode que nous allons d tailler au bloc 3 B 6 et qui produira un effet similaire celui qu auraient des potentiels d action qui proviendrait de l aval de l axone Dans le syst me de contr le le syst me intact utilis comme point de comparaison l
38. si on pouvait une fois l quilibre atteint doubler le nombre de canaux ouverts permettant le passage des ions X les courants de diffusion et de conduction doubleraient tous les deux mais demeureraient oppos s et d gales grandeurs les ions X demeureraient donc l quilibre Selon l quation 1 B2 4 le potentiel de Nernst est la valeur de V pour laquelle J change de signe donc de sens C est pourquoi il est souvent appel potentiel d inversion comme 1 B2 2 Le courant d une esp ce ionique 31 nous l avons relev imm diatement sous l quation 1 B2 1 Ainsi quand V gt E un courant lectrique net s coule vers l ext rieur de la cellule ce qui correspond des ions positifs s coulant vers l ext rieur ou des ions n gatifs s coulant vers l int rieur Inversement quand V lt Ey le courant lectrique net est vers l int rieur La figure 1 B2 2 illustre les proportions relatives des courants de diffusion et de conduction dans ces deux situations Pour faciliter l illustration on a repr sent une situation qui a peu voir avec une cellule une paire de plaques isol es lectri quement tablissent un champ lectrique 4 L a NN uniforme dans une portion d un r cipient o a se trouve une solution contenant l ion X en np ae lt j bleu sur la figure 2 ZA SA lo O O maa E E Maintenant que nous savons d crire i quantitativement une situation o une esp ce io
39. t de fa on monotone quand h diminue il y a donc une valeur de h pour laquelle l erreur est minimale En g n ral cette valeur n est cependant pas la m me pour chaque estim y Pour illustrer ce concept nous avons simul un r els simple pr cision oscillateur harmonique simple qui pr sente l avantage d avoir une solution analytique connue avec les conditions initiales que nous avons utilis es x cos t La figure AppC 2 pr sente en fonction de h l erreur absolue qui affecte quatre r sultats soit x t 1 x t 107 x t 10 et 10 10 0 19 x t 10 Attention chaque courbe compare x au SN eae m me temps t nh et non la m me it ration n x t 1 x t 100 x t 10000 x t 1000000 erreur absolue adim r els a double pr cision x t 1 x t 100 107 x t 10000 107 x t 1000000 10710 1071 On note tout d abord que l erreur totale d cro t de fa on lin aire sur un graphique log log quand h d cro t partir de valeurs lev es Cette portion des graphiques correspond au second terme de l quation AppC 19 Pour des valeurs encore plus Liber E a faibles de h l erreur atteint ventuellement un pas d int gration hadi minimum et se met fluctuer avec ou sans tendance remonter cette portion des graphiques Figure AppC 2 Erreur absolue en fonction de se produit quand c est le premier terme de h L utilisation de r els double pr cision l
40. tape du mod le HH est de supposer que le courant qui traverse la membrane est une superposition de trois composantes ind pendantes ce qu exprime l quation 1 B3 1 L tape suivante est donc d lucider la fonction d crivant chaque courant 18 Attention dans ces articles les potentiels de membrane sont exprim s par rapport au repos V 0 et leur signe est invers 46 Chapitre 1 Guide du d butant D abord comme les ratios c c sont faibles on postule int que chaque courant est donn par l quation 1 B2 4 Cela A quivaut n gliger la rectification et faire l approximation e y y mey lin aire d crite la figure AppB 1 Gr ce cette approximation on peut repr senter la membrane meS v isopotentielle par le circuit de la figure 1 B3 5 o toute pompe est n glig e et o les gx ne sont pas constantes amp 7 amp Erna M Dans ce circuit chacune des trois branches de gauche d peint un courant ionique traversant la membrane sous _ Pre l effet de la force motrice V E Le circuit montre que Figure 1 B3 5 Mod le lectrique ts ont pour effet de charger la capacit lectri Sen ene FURAR oea LAUTAN p ger la Capaciie e ECI Hodgkin 19626 que C de la membrane Notez que E tant n gatif sa polarit est l inverse de celle illustr e de m me Jya s coule en sens inverse de la fl che ext Evidemment cette analogie en c
41. tgs Where tars is the instant when the first AP reaches node 10 in the control system 5 Finally the result of step 4 was found to be dependent on the phase of the ectopic node at the instant when stimulation begins remember since node 6 is ectopic it already fires at frequency f before stimulation begins To eliminate the influence of this factor steps 1 4 were repeated 5 times using equidistant phases obtained by changing t s The five results were then averaged to yield a point of Fig 3a VP metric output infidelity The Victor Purpura VP metric 9 allows to compare two spike trains S and S on Fig S4 by evaluating the a S ___ pt 1 Il S C ER I Il b WH w U U LG NH N gt ur N U NHN NH a o0 n ov Fig S4 VP metric a Two spike trains to be compared b An example series of steps transforming S into S as involved in the VP metric that we use to measure infidelity Modified from 9 150 minimal series of elementary steps required to transform one of these trains into the other Two elementary steps are possible a cost being associated to each adding removing a spike cost 1 or shifting a spike by At cost gAt where q is an arbitrary parameter All a effect of q parameter ere e q 0 00 ms 4 m g 0 05 ms 500 ms stim gt 90 q 0 20 ms r 0 2 e q 0 50 ms w e q 2 00 ms 60 q 3 00 ms
42. trique rapport du nombre de sites de liaison et le ratio de couplage rapport des courants de Na et de K r ellement mesur s Or dans des conditions physiologiques plusieurs exp riences ont mesur que le ratio de couplage s loigne tr s peu du rapport 3 2 Sen 1964 Cornelius 1990 voir aussi Lauger 1991 section 8 7 ce qui s explique notamment par la quasi absence des substituts du K dans le milieu extracellulaire En somme pour les fins de notre mod lisation au chapitre 3 on pourra consid rer que sous des conditions normales pour chaque ATP consomm la pompe transporte trois ions Na de l int rieur vers l ext rieur de la cellule alors que seulement deux ions K sont transport s vers l int rieur C est d ailleurs ce que nous avons fait en formulant l quation 1 B2 8 c est dire J 3J Napmp K pmp Propri t s lectrog nes de la pompe Puisque qu elle transporte un nombre in gal d ions dans les deux sens qu elle se trompe d ions ou non la pompe Na K est lectrog ne c est dire qu elle produit un courant lectrique net au travers de la membrane Ce courant 78 Chapitre 1 Guide du d butant a trois effets e Premi rement il a un effet hyperpolarisant qui r duit l g rement le potentiel de repos V du neurone e Deuxi mement ce m me effet hyperpolarisant augmente indirectement l intensit requise du stimulus permettant d atteindre le seuil d excitation e Troisiemement les prop
43. un peu comme dans cette seconde exp rience En revanche c est clairement l inverse soit l exp rience pr sent e la figure 1 B2 1 o les concentrations sont fixes et o la barri re d nergie s adapte qui correspond le mieux aux ph nom nes dans les cellules excitables que nous allons tudier la prochaine sous section 1 B2 2 Le courant d une esp ce ionique Maintenant que nous avons d crit la situation d quilibre nous allons nous attarder davantage la situation transitoire entre le d but de l exp rience et l atteinte de l quilibre Il s agit d un exemple de situation hors d quilibre Bien que la situation hors d quilibre soit ici tr s br ve elle rev t une grande importance pourles cellules vivantes o des situations hors d quilibre durent comme nous le verrons toute la vie de la cellule Une esp ce ionique est hors d quilibre quand son potentiel de Nernst d termin par son gradient de concentration ne correspond pas la valeur du potentiel de membrane V L appendice B d crit cette situation en d tail Ici nous privil gierons l hypoth se quasi ohmique une version moins physiquement r aliste mais plus simple ou on peut imaginer que les courants de conduction et de diffusion sont uniformes dans l paisseur de la membrane le premier ne d pendant que de V et le second ne d pendant que du gradient de concentration Dans cette optique simplifi e quand V change le courant de conduction chang
44. x N and AV were chosen to ensure this expected behavior Fig S1 stim Stimulation at the initial node of the axon To allow for the study of both periodic and aperiodic spike trains node 1 has to be stimulated with timed delta functions each causing an instantaneous AV discontinuity in V To select an appropriate value for AV we fed periodic stimulation of various heights AV and frequencies fym using r 0 and 0 and kept track of the ratio of firing frequency to fstim Fig Sla shows in green the range where this ratio is 1 1 and shows the value selected AV im 25 mV When r gt 0 is restored the system behaves normally for a prolonged stimulation period Fig S1b When propagation is restored x gt 0 the limit of the 1 1 zone slightly shifts towards lower frequencies see stim failure limit on Fig Sic Outside the green range on Fig Sla too large AV caused period doubling while too large stimulation frequencies caused partial response with or without phase locking other than 1 1 Interestingly partial responses involved a Farey sequence of phase locked zones surrounded by zones of aperiodic behavior much like what Feingold et al 8 obtained in an externally driven van der Pol oscillator Also the green zone boundaries were slightly dependent on Ey and E as shown by the curves in Fig Sla The tested values of Ey and Ex are typical of the depletion that occurs during a prolonged 300 ms sti
45. 1 B2 1 Typiquement on exprime ces courants en microamp res par centim tre carr de membrane UA cm La r sistance r est donc en microhms par centim tre carr uQ cm et la conductance gx en microsiemens par centim tre carr uS cm Techniquement J est une densit de courant mais pour all ger le texte on continuera d utiliser le terme courant Il est noter que gx est la conductance de la membrane l esp ce ionique X en g n ral la membrane a une conductance qui diff re d une esp ce ionique l autre Soustraire les quations 1 B2 2 et 1 B2 3 donne le courant net d une esp ce ionique Courant ionique approximation quasi ohmique Jy 9 V E quation 1 B2 4 Tel qu attendu on obtient que J 0 quand V E Notons encore ici que les courants positifs sont ceux dirig s du compartiment int rieur vers le compartiment ext rieur Encore une fois soulignons que cette quation correspond l approximation quasi ohmique voulant que J V E la sous section 1 B3 on consid rera que cette quation est toujours valide m me si g ne sera alors plus une constante Cette approximation est largement utilis e dans la litt rature et le sera aussi dans notre mod le num rique pr sent au chapitre 3 L appendice B en pr sente les limites Il est noter que la conductance gx a un effet sur le temps requis pour atteindre l quilibre mais pas sur la valeur de l quilibre V E En outre
46. 1 C il s agit d une prot ine appel e pompe Na K dont nous avons d j voqu plusieurs fois l existence dans la section 1 A et qui utilise l nergie tir e de l hydrolyse d une mol cule d ATP pour alimenter son action de pompage En revanche la pompe stocke de l nergie sous forme de gradients de concentrations Ces gradients sont d ailleurs la source d nergie n cessaire aux potentiels d action Nous discuterons plus amplement du fonctionnement et des effets de la pompe Na K dans la section 1 C Pour le moment il suffit de savoir qu chaque mol cule d ATP qu elle consomme une pompe Na K expulse normalement trois ions Na de la cellule et y fait entrer deux ions K voir la figure 1 C1 2 Des erreurs sont possibles mais tr s peu fr quentes dans des conditions physiologiques normales En cons quence la population de pompes situ e dans une membrane produit des courants dans le rapport suivant le signe n gatif indiquant les sens oppos s J 3J Napmp 2 K pmp quation 1 B2 8 36 Chapitre 1 Guide du d butant Cela signifie que le courant net J produit par la population de pompes Na K est positif c est dire qu il est dirig vers l ext rieur de la cellule Il a donc un effet hyperpolarisant Soulignons que l existence de cette pompe ucide maintenant compl tement l origine du potentiel de repos il est majoritairement attribuable aux d s quilibres caus s par l action de pompage de la pompe Na
47. 1 pour la rendre perm able aux ions CI en plus des ions Na on aboutirait rapidement une situation quasi stationnaire ou les deux courants sont gaux donc o Vest stable V mais o les ions du compartiment droit se d versent lentement dans le compartiment gauche On peut facilement v rifier qu on obtient V 0 seulement Si go 9na Vo gt O si ga lt gna t Vo lt O Si ga gt 9na En pratique si on r alisait l exp rience de la figure 1 B2 1 il serait impossible que g soit parfaitement nul quelle que soit la valeur n gligeable de J elle serait non nulle Apr s la p riode transitoire la figure 1 B2 1 d crirait donc en r alit une situation quasi stationnaire Enfin quand les concentrations ioniques sont constantes m me a tr s long terme malgr l coulement de courants nets de plusieurs esp ces ioniques la situation est stationnaire Puisqu elle conserve long terme le m me potentiel de repos et les m mes concentrations ioniques internes et externes une cellule non excitable r elle ne peut pas tre dans une situation quasi stationnaire Elle ne peut appartenir qu deux cat gories elle est soit l quilibre de Donnan soit dans une situation stationnaire Dans le prochain bloc nous allons nous employer liminer la premi re possibilit Dans les deux blocs suivants nous conclurons qu elle est dans une situation stationnaire caus e par les pompes Na K 1 B2 4 L quilibre de Donnan
48. Fig 5 shows the time course of currents and clearly demonstrates that 1 Jy is negligible during phase 3 especially at its beginning when m h 1077 this rules out MC A2 2 K ions indeed flow during the recovery phase and their current is significant however they can t cause a rise of V because they have the inappropriate sign 3 the leaks form the only significant current with the correct sign The dominant role of the leak current can be further illustrated by simulating non physiological situations where geak iS gradually decreased to zero Since removing ga from Eq 4 changes V and Ves the time course of V relative to Vis compared Fig 6 As leaks are removed the delay for full V recovery 0 03 mS cm 0 mS cm 0 1 mS cm V Vest MV gt Jieak 0 3 MS cm 0 20 40 60 Time since stimulus ms Fig 6 As geak is reduced V recovery takes more time despite the fact that the undershoot is diminished Chapitre 2 Article p dagogique cumulative charge transfered 4 Kt Na 0 10 20 30 Time since stimulus ms Fig 7 Total ions transferred through the membrane during an AP amounts to less than 10 mol cm increases by an order of magnitude despite the fact that the undershoot is significantly reduced Further the student can examine the rate of subthreshold relaxation to Ves which is far slower if V lt Ves than if V gt Ves not shown since J is far greater in magnitude
49. K En effet il serait nettement plus faible si la cellule pouvait tre l quilibre de Donnan environ 10 mV tel que calcul ci dessus au lieu des quelques 70 mV que nous observons Ceci peut tre confirm exp rimentalement de fa on directe en utilisant un inhibiteur qui bloque l action des pompes et en mesurant la d polarisation de la membrane qui s en suit Jacob 1987 1 B2 7 Les conductances de la membrane d terminent le potentiel de repos Maintenant que nous avons tabli qu il existe un lien entre le potentiel de repos les pompes et le d s quilibre des concentrations de Na et K nous allons terminer la sous section 1 B2 en tudiant quantitativement ce lien Plus pr cis ment nous souhaitons tudier divers mod les qui permettent d estimer la valeur du potentiel de repos si on conna t les concentrations ioniques et la conductance de la membrane chaque esp ce ionique Si la cellule tait l quilibre de Donnan la solution serait simple V correspondrait Ey et E Ce n est toutefois pas le cas dans une cellule r elle En revanche on sait qu une cellule r elle a un potentiel de repos constant Or si un courant total non nul traversait la membrane ce dernier aurait pour effet de charger ou de d charger sa capacit donc de modifier V En effet comme nous l avons soulev dans la sous section 1 B1 seulement un transfert net de 10 mol cm est requis pour produire changement de potentiel de mem
50. Les deux derniers facteurs du membre de droite entre parenth ses s valuent chacun entre 0 et 1 Leurs exposants apparaissent en raison du nombre de sites de liaison qu on consid re ici comme identiques entre eux utiliser ces exposants plut t que des coefficients de Hill est une approximation qui semble provenir initialement de Kager 2000 et est devenu un mod le standard elle a t reprise maintes fois depuis notamment dans Boucher 2012 et Yu 2012 mais aussi ailleurs que dans notre groupe de recherche voir notamment Borys 2013 Chander 2013 et Volman 2013 pour les utilisations les plus r centes Enfin Umar Kmk et Kuna Sont des param tres Ces trois constantes ont des valeurs qui varient largement d une source exp rimentale l autre donc aussi d un article de mod lisation l autre L importance de ce choix est toutefois limit e dans le cadre de nos travaux puisque la majorit des figures du chapitre 4 sont r alis es avec un courant de pompes constant seule la figure 4 2 pr sentant des changements temporels Et m me dans ce dernier cas le courant de pompes demeure du m me ordre de grandeur que le courant de fuites nettement inf rieur celui de Jya et J sa valeur exacte a donc une importante toute relative pourvu qu elle soit non nulle et augmente vers un plateau de saturation quand les gradients de concentrations ioniques diminuent Nous utiliserons donc Ky 3 5 MM et Kuna 10 mM comme l ont fait avant nou
51. Milton 1990 pour expliquer l effet d une cloque obtenue par inadvertance lors d un patch clamp ou qu elle augmentait uniform ment leur probabilit d ouverture Toutefois un tel sc nario aurait produit pour un m me saut de tension une trace J t de maximum plus grand mais non d activation et d inactivation plus rapide En somme le seul sc nario fonctionnel est celui retenu par les auteurs un d calage cin tique vers la gauche M canisme Pour expliquer le ph nom ne du d calage on proc de en deux temps Tout d abord une observation frappante est l galit du d calage vers la gauche applicable l activation et de celui applicable l inactivation Le mod le le plus simple pour expliquer qu ils soient identiques est de faire appel au couplage cin tique que nous avons d fini la section 1 C en d autres termes le plus probable est que le m canisme induit par le dommage ne d cale directement que l activation mais que le couplage troit de l inactivation fasse en sorte qu elle suive l activation C est d ailleurs pourquoi le ph nom ne a t baptis coupled left shift par les auteurs de Wang 2009 Nous traduirons cette appellation par d calage cin tique coupl mais utiliserons l acronyme anglais CLS Il ne reste donc qu expliquer comment l apparition d une cloque peut affecter l activation Pour ce faire les auteurs de Wang 2009 postulent que les canaux Na 1 6 sont normalement ins r s dans un rade
52. Na et de K qui suivent leurs sens normal de diffusion Un cycle normal de la pompe n est donc pas fait d exactement six transitions mais a plut t l allure d une marche al atoire biais e dans le sens indiqu par les fl ches sur la figure Ainsi par exemple la pompe peut osciller plusieurs fois entre les tats Na E P et E P avant de finalement lier les deux ions K qui stabilisent la conformation E Il s ensuit que chaque cycle est diff rent des cycles pr c dents et a notamment une dur e diff rente En d autres termes le courant lectrique net produit par la pompe n est pas constant dans le temps Dans notre article de recherche pr sent au chapitre 4 nous verrons que certaines de nos simulations tiendront compte des fluctuations statistiques en introduisant une composante de bruit 1 C1 4 La cin tique de la pompe Na K Dans une perspective de mod lisation une question que nous devrons nous poser au chapitre 3 est de savoir comment les courants Ja pmp ou Jkpmp peuvent tre calcul s Jusqu pr sent nous savons seulement avec quel ratio ces deux courants sont reli s La question qui demeure est donc de savoir combien de cycles complets par seconde une 2 ne faut pas confondre ce fonctionnement rebours d l inversion des gradients de concentration avec celui qui se produit sous des concentrations normales quand V lt 200 mV 1 C1 4 La cin tique de la pompe Na K 79 population de pompes Na K
53. a effet entre ce d calage cin tique et l apparition d activit ectopique est vident La conclusion principale de cette revue de litt rature est que les cloques caus s par un dommage aux cellules excitables et le d callage cin tique des canaux Na qui s y trouvent peuvent causer des ph nom nes comme l afflux interne de Na la d g n rescence secondaire et l activit ectopique Faire une quation entre cellule excitable endommag e et CLS des canaux Na est donc un mod le fonctionnel 128 Chapitre 3 Membranes endommag es questions de recherche et construction du mod le 3 B Questions de recherche et mod lisation Maintenant que nous avons revu la litt rature exp rimentale et clinique pertinente au sujet des cloques de la douleur neuropathique et du CLS des canaux Na montr les liens de cause a effet entre ces ph nom nes et revu les r sultats num riques fond s sur le mod le du CLS nous sommes d sormais en mesure d aborder nos propres questions de recherche et le mod le num rique que nous utiliserons pour y r pondre ce qui est l objet de cette section 3 B 3 B 1 Questions de recherche Les travaux publi s dans Boucher 2012 et Yu 2012 ont fait beaucoup pour accr diter la th se du CLS comme m canisme expliquant le comportement des cellules excitables endommag es mais ils ont laiss plusieurs questions en suspend En particulier nous ciblons notre int r t sur les neurones faiblement endommag s ceux que l
54. activation d pend aussi de V Plusieurs variantes du mod le de Armstrong et Bezanilla sont aujourd hui en usage Hille 2001 Certaines permettent ou non l inactivation de se produire sur un canal qui n est pas pr alablement activ Tous favorisent l inactivation des canaux qui sont d abord activ s on dit alors qu ils sont des mod les coupl s Ces id es sont aussi corrobor es par notre connaissance actuelle de la structure des canaux Na comme le montre la figure 1 C2 2 les charges port es par les h lices S4 expliquent facilement que leur mouvement qui entra ne l activation d pende de V Par contre la boucle du polypeptide situ e entre les domaines III et IV qui est responsable de l inactivation ne porte aucune charge nette et ne peut donc pas d pendre directement de V comme le supposait le mod le HH Les courants persistants Qu il soit activ d sactiv ou inactive tout canal tensiod pendant peut en tout temps commuter entre un mode actif o l activation et l inactivation sont rapides et un mode relax o ces m mes proc d s deviennent tr s lents Taddese 2002 Villalba Galea 2008 voir aussi Morris 2012a Cette commutation est ind pendante du potentiel de membrane En raison de la plus grande stabilit du mode relax c est probablement ce dernier qui est observ dans les structures cristallines que nous avons pr sent es Lors d un saut de voltage clamp les canaux en mode relax ne s a
55. allodynia in the absence of C fiber activation altered firing properties of DRG neurons following spinal nerve injury Pain 85 pp 503 521 Liu CN Devor M Waxman SG Kocsis JD 2002 Subthreshold oscillations induced by spinal nerve injury in dissociated muscle and cutaneous afferents of mouse DRG Journal of Neurophysiology 87 pp 2009 2017 Long SB Campbell EB MacKinnon R 2005 Crystal structure of a mammalian voltage dependent shaker family K channel Science 309 pp 897 903 Longtin A Bulsara A Moss F 1991 Time interval sequences in bistable systems and the noise induced transmission of information by sensory neurons Physical Review Letters 67 5 pp 656 659 Lundb k JA Birn P Hansen AJ S gaard R Nielsen C Girshman J Bruno MJ Tape SE Egebjerg J Greathouse DV Mattice GL Koeppe RE 2nd Andersen OS 2004 Regulation of sodium channel function by bilayer elasticity the importance of hydrophobic coupling Effects of micelle forming amphiphiles and cholesterol Journal of General Physiology 123 pp 599 621 Ma C amp LaMotte RH 2007 Multiple sites for generation of ectopic spontaneous activity in neurons of the chronically compressed dorsal root ganglion Journal of Neuroscience 27 51 pp 14059 14068 Maxwell WL 1996 Histopathological changes at central nodes of Ranvier after stretch injury Microscopy Research and Technique 34 6 pp 522 535 Mercer J amp Helenius A 2008 Vaccin
56. augmenter l erreur de troncature produite chacune d elles C est cette derni re option que nous avons privil gi e dans l article du chapitre 4 et que nous allons maintenant pr senter plus en d tails Pas temporel adaptatif En g n ral utiliser un pas adaptatif consiste a r duire h quand le membre de droite de l quation AppC 1 est grand et l augmenter sinon Les quations du mod le HH sont particuli rement appropri e pour une telle approche puisque le mod le HH a deux constantes de temps V volue rapidement pendant un potentiel d action lentement pendant la phase r fractaire Les m thodes pour ajuster h sont nombreuses Par exemple le code utilis pour produire les r sultats de Boucher 2012 d tectait les increments y et augmentait et diminuait h seulement par un facteur 10 Une approche plus optimale consiste valuer l erreur de troncature et ajuster pr cis ment h pour qu elle demeure toujours imm diatement sous un seuil pr alablement tabli Le nombre total d it rations est ainsi minimis au prix de l g rement plus de calcul Encore ici de nombreuses m thodes sont possibles Par exemple on peut r aliser chaque it ration parall lement avec une m thode d ordre 3 et une m thode d ordre 4 puis soustraire les deux r sultats obtenus On obtient ainsi un estim du terme d ordre 4 c est a dire le terme d ordre 4 additionn des termes d ordre sup rieurs Cette approche double approximativeme
57. aussi dite quasi ohmique par analogie avec un v ritable courant ohmique qui lui serait proportionnel V Dans une membrane lin aire on peut s attendre ce que la taille d une perturbation soit fonction du stimulus c est dire que sa taille augmente quand celle du stimulus augmente Une telle r ponse est dite un potentiel gradu Cellules excitables Dans les cellules non excitables les ph nom nes lectriques demeurent donc locaux Ainsi le potentiel de membrane de ces cellules demeure 7 Quandil est question de nombres n gatifs les mots augmenter ou diminuer peuvent porter confusion selon qu on d signe la valeur absolue ou qu on tient compte du signe Dans l enti ret de cette th se nous tenons compte du signe En d autres termes augmenter signifie devenir moins n gatif et non accro tre la valeur absolue Ce choix permet plus facilement de d crire un graphique o augmenter d signera toujours une pente positive que la courbe soit au dessus ou en dessous de l axe des abscisses 22 Chapitre 1 Guide du d butant relativement uniforme dans l espace et constant dans le temps Il en va autrement dans les cellules excitables ce qui d finit ces derni res est leur capacit a r pondre d une fa on non lin aire la perturbation de V Nelson 2008 chap 12 Ainsi la r ponse d un neurone est caract ris e par l existence d un seuil d excitation dont la valeur est typiquement situ
58. autres termes la conductance gna retrouve graduellement sa disponibilit Si on effectue ensuite le saut de V V on obtient le m me r sultat que si on avait d but avec cette manipulation d s le d part On constate nouveau l apparente ind pen Combinaison de l activation et de la disponibilit dance de l activation et de l inactivation simple ment en comparant les courbes g t obtenues pour diverses valeurs de V on y voit que les 975 phases d activation et d inactivation ont des constantes de temps diff rentes a 05 Conform ment ces derni res observations Hodgkin et Huxley ont choisi de mod liser la proportion P Jya Jna comme le produit de 0 wee 3 deux fonctions qui d pendent de V et du temps Figure 1 B3 8 Activation et disponibilit pour un mais seraient parfaitement ind pendantes l une saut de 60 mV a partir de V courbes th oriques de l autre soit p activation disponibilit leur produit p est proportionnel a la conductance comme le montre la figure 1 B3 8 Nous verrons a la section 1 C que l tude mol culaire 1 B3 2 Le mod le Hodgkin Huxley 51 du canal a sodium r v le que l activation correspond l ouverture du canal et l inactivation son obstruction subs quente par un segment l che de la prot ine qui bloque le passage des ions bien que le canal demeure dans sa conformation ouverte Nous verrons aussi qu en fait ces deux processus ne sont pas compl t
59. cas notamment du mod le Morris Lecar Morris 1981 qui est math matiquement un hybride entre le mod le HH on y trouve trois termes correspondant deux courants ioniques et un courant de fuite et le mod le FitzHugh Nagumo on y trouve un nullcline cubique notamment 1 B3 4 R ductions du mod le Hodgkin Huxley 67 1 B3 5 Extension aux axones my linis s des vert br s Jusqu pr sent il a t question du mod le Hodgkin Huxley qui a t d velopp a partir de mesures r alis es sur des nerfs de calmar Contrairement a ceux du calmar nous avons dit la section 1 A que presque tous les axones de vert br s sont majoritairement recouverts d intervalles de my line des structures semblables se retrouvant aussi chez quelques invert br s Hartline 2008 De plus contrairement aux axones g ants de calmars la distribution des canaux Na et K dans un axone my linis n est pas uniforme puisqu ils sont presque absents hors des noeuds de Ranvier en fait elle n est m me pas uniforme dans un noeud de Ranvier les canaux Na tant concentr s au centre du noeud et les K loin de part et d autre Rasband 2000 voir aussi Hille 2001 chap 3 Enfin rien n assure que ces canaux soient pr sents dans les m mes proportions que chez le calmar ou qu il n existe pas des canaux additionnels d terminants Pour ces trois raisons il est tout fait l gitime de se demander si le mod le HH peut bel et bien tre adapt la des
60. cause propagation failure as can be seen by comparing curves with without noise second spike from the left fails between nodes 8 and 9 Chapitre 4 Supporting information compared simply reduces the relative importance of the settling time thus deepening the minimum band corresponding to the propagation window Fig S5b Note that the g 0 curve on Fig S5a shows zero output infidelity in the propagation window meaning identical spike count The non zero infidelity seen for identical fum on Fig 4a where q gt 0 is therefore due only to timing differences which are in turn due to the settling time and to the phase shift that we described in Fig 3 Effect of local conductance While Fig 5 shows the effect of local swelling or shrinking when LS 4 mV Fig S6 shows the same for other values of LS Generation of jitter and noise To produce each of the jittered inputs we first generated a deterministic periodic spike train Then for each of the spikes in this input train we used a random number generator to select a displacement from a Gaussian distribution of fixed standard deviation stdev see legend on Fig 6a A total of 50 spike trains were thus obtained and saved each with random displacements a P e LS 3 mv free running concentrations 15 4 mV 40 e 15 7 mV gt LS 10 mV 5 30 4 LS 17 5 mV 2 z 20 500 ms stim 5 10 q 0 2 ms 2 r 0 05 cm L 2 0 0 25 50 75 fm
61. compte de la propagation le long de l axone Habituellement ces deux quations sont pr sent es sous la forme adimensionn e suivante a v tv w quation 1 B3 22 dw v a bw dt o le temps est mesur en unit s de C g On remarque que dans le cas particulier o a et b sont nuls les quations du mod le FitzHugh Nagumo se r duisent celles de l oscillateur de Van der Pol o le syst me poss de un unique cycle limite stable o la trajectoire saute entre les deux branches d un nullcline voir l appendice A de forme cubique qu elle longe lentement entre chaque saut produisant ainsi une fonction v t deux chelles de temps qualitativement tr s similaire une s rie p riodique de potentiels d action Strogatz 1994 chap 7 Le mod le de FitzHugh Nagumo reproduit de nombreuses propri t s typiques d une membrane excitable Par exemple si v est faiblement perturb la trajectoire reste dans le bassin d attraction d un point fixe et on obtient donc un potentiel gradu En revanche il existe un seuil d excitation qui s il est exc d fait bondir la trajectoire jusqu la branche loign e du nullcline V 0 On obtient alors une trajectoire dans le plan de phase dont la forme a peu voir avec le stimulus initial En terminant soulignons qu il existe d autres mod les permettant de repr senter qualitativement le fonctionnement d un potentiel d action avec seulement deux variables C estle
62. d une esp ce ionique approximation quasi ohmique potentiel d inversion potentiel de Nernst valeur cible pour V estimation de l paisseur de la couche de Debye quation diff rentielle pour V dans le mod le HH quation diff rentielle pour m h et n dans le mod le HH flux des ions dans le mod le de membrane champ lectrique dans le mod le de membrane quation diff rentielle pour c dans le mod le de membrane Liste des quations principales 40 41 43 47 49 49 50 50 53 53 54 53 54 54 54 64 65 66 67 87 100 100 101 103 103 103 105 105 106 xi Chapitre 3 Membranes endommag es questions de recherche et construction du mod le 3 B 1 3 B 2 3 B 3 3 B 4 mod le du courant de pompes quation diff rentielle pour V dans le mod le HH modifi avec pompes quation diff rentielle pour les concentrations ioniques fuites sp cifiques pepe 4 Article de recherche S3 S4 S5 S6 S7 S8 S9 S10 quation diff rentielle pour V courant de Na courant de K potentiel de Nernst quation diff rentielle pour m h et n coefficients du mod le HH courant des pompes Na K quation diff rentielle pour c courant de fuites non sp cifi es courant de fuites sp cifi es Appendice A Points cl de dynamique non lin aire AppA 1 AppA 2 AppA 4 quation diff rentielle lin aire exemple de bifurcation de Hopf exemple de verrouillage de phase Appendice B Courants ioni
63. de cette derni re et lui donne donc son comportement non lin aire Notons sur la figure 1 B1 2 que le potentiel d action d bute par une phase souvent appel pic impulsion ou d charge Il se termine par un lent retour V qu on appelle la r cup ration Pendant la majorit de cette derni re le neurone demeure incapable de r pondre un nouveau stimulus c est la phase r fractaire Sur le plan du vocabulaire il est noter que les stimulus hyperpolarisants et d polarisants sont souvent qualifi s respectivement de stimulus inhibiteurs et de stimulus excitateurs En effet le premier a tendance loigner V du seuil d excitation alors que le second l en approche Ces termes prennent encore plus de sens dans une situation in vivo o l excitation ou l inhibition d un interneurone ou d un neurone moteur est caus e par les tr s nombreuses synapses que portent ses dendrites La lib ration de neurotransmetteurs par chacune de ces synapses cause dans le neurone postsynaptique un potentiel gradu qui peut tre soit inhibiteur ou excitateur Typiquement il faut une combinaison de plusieurs de ces potentiels postsynaptiques excitateurs ou inhibiteurs abr g s PPSE et PPSI pour que le neurone ainsi stimul atteigne son seuil d excitation Hille 2001 chap 6 Toujours sur le plan du vocabulaire soulignons que l utilisation du mot potentiel dans potentiel gradu ou potentiel d action peut porter confusion contrair
64. de membrane V L inno vation technologique de l quipe de Hodgkin a t d ins rer a cette fin deux lectrodes dans un axone g ant de calmar dont la largeur est suffisante pour le permettre Courant requis pour maintenir constant Comme le montre la figure 1 B3 1 le potentiel de la premi re lectrode sert injecter le courant requis pour maintenir le Figure 1 B3 1 Electrodes utilis es par Hodgkin et Huxley pour potentiel de membrane une va r aliser leur voltage clamp et leur space clamp illustration leur d termin e par l exp rimenta conceptuelle de l effet de l amplificateur teur Cette technique o on impose la tension est dite voltage clamp dans la litt rature On vite d utiliser la m me lectrode aussi pour mesurer V car l injection de courant cause une chute de tension dans la r sistance de l axoplasme II ya donc une seconde lectrode 42 Chapitre 1 Guide du d butant qui sert a mesurer le potentiel de membrane La longueur de cette lectrode permet aussi de maintenir V uniforme le long de l axone Quand la membrane est ainsi isopotentielle on dit qu elle subit un space clamp L avantage de cette technique les mesures prises sur l axone entier deviennent quivalentes celles qu on obtiendrait sur une portion infinit simale d une membrane o V serait libre de d pendre de la position Isoler le courant de chaque esp ce ionique La technique de base utilis e dans Hodgkin 1952b consiste f
65. doit faire ce choix de h il faut distinguer deux possibilit s selon que l erreur minimale apparaissant sur un graphique comme celui de la figure AppC 2 est plus faible ou plus lev e que le seuil d erreur que nous sommes pr t tol rer Dans le premier cas il sera possible de choisir une valeur de h qui permet tous les points de notre simulation d tre affect e par une erreur inf rieure au seuil voulu En pratique il suffit de tester pour quelques temps f bien choisis un peu comme les quatre temps que nous avons illustr s la figure AppC 2 Il faut d abord r aliser un graphique comme celui de la figure AppC 2 Pour ce faire on doit estimer la solution analytique dont on ne dispose pas habituellement en effectuant un test de convergence Une valeur analytique laquelle on additionnerait les erreurs de la figure AppC 2 pr senterait des valeurs tr s diff rentes pour les h tr s lev s tout comme pour les h tr s faibles mais les valeurs seraient similaires entre elles quand l erreur est minimale En d autres termes quand on r duit h partir d une valeur lev e le r sultat obtenue pour un temps f semble converger vers une valeur limite qu on prend comme un estim de la valeur analytique Une fois cette valeur limite tablie on choisit la plus grande valeur de h qui ne fait en sorte que le r sultat ne s en loigne pas au del du seuil d erreur tol r Le test de convergence peut fonctionner uniquement si le p
66. e q 5 00 ms a 5 30 ts b 100ms stim 200ms stim 300ms stim 30 400ms stim Eg 500ms stim rl 600ms stim 20 g LS 4 0 mV q 0 2 ms 3 10 720 a 5 e 30 stim frequency Hz 60 90 Frnax Fig S5 Infidelity parameters q and total stimulus duration have no qualitative effect on results a LS 4 mV curve from Fig 4a recomputed for various q values Note that all curves q lt 5 ms show the propagation window b LS 4 mV curve from Fig 4a recomputed for a range of stimulus intervals Note that as the stim duration is increased settling time represents a smaller proportion of the comparison interval Chapitre 4 Article de recherche effect of local internodal conductance x 45 K X 0 80 K X 1 25 K X 1 50 LS 3 mV LS 4mV a LS 7 mV 5 30 LS 10 mv e sS 500 ms stim g 0 2 ms a 15 r 0 5 2 fo 0 0 30 60 90 0 30 60 90 0 30 60 90 stim frequency Hz Fig S6 Local increase decrease of internodal conductance as expected if the axon swells shrinks in reaction to injury reduces increases infidelity Figure is the same as Fig 5 except that LS takes different values possible ways to convert S into S using these steps are computed Fig S4 shows a single one of them and the minimal cost is considered a measure of the difference between S and S their VP distance Using the VP metric to evaluate output
67. e chez Boucher 2012 est d obtenir des noeuds de Ranvier dont l excitabilit est raisonnablement comparable l exp rience en particulier le courant de biais stimulus inject requis pour obtenir une r ponse imm diate devrait tre une fort petite proportion de l ordre de 1 du courant maximal pouvant traverser les canaux Na lors d un saut de voltage clamp tr s d polarisant CE Morris comm pers Nous avons donc soumis notre mod le num rique un saut de voltage clamp de V V V 10 mV et mesur que la r ponse J f obtenue avait un maximum d environ 1500 A cm Un stimulus exp rimentalement raisonnable pour un tel syst me devrait donc tre de l ordre de 15 A cm Ensuite nous avons test un intervalle de valeurs de J et choisi arbitrairement la valeur J 23 65 UAcm puisqu elle permettait d obtenir une r ponse imm diate avec un stimulus gt 15 HA cm Des valeurs plus lev es de J en raison de l effet hyperpolarisant des pompes rendaient n cessaire l utilisation d un stimulus d mesur Les conductances correspondantes pour les fuites sp cifiques sont donc gna tutes 0 0625 MA cm et gkituites 0 0205 mA cm Ces valeurs sont plus proches de celles utilis es par Kager 2000 que celles trouv es dans Boucher 2012 et Yu 2012 3 B 6 Stimulation et propagation dans le mod le d axone Quand une stimulation tait utilis e dans les travaux pr c dents il s agissait toujours de l inje
68. ectopically can be dominated by incoming high frequency impulse traffic enabling a propagation window of finite lifetime the faithful propagation of such impulse trains through a damaged zone is likely to complicate diagnosis Author contributions ML AL CEM NY and BJ designed research ML performed research ML analysed data ML AL CEM and BJ wrote the paper The authors declare no conflits of interest This article is a direct PNAS submission To whom correspondance should be addressed E mail alongtin uottawa ca This article contains supporting information online 141 30 mV for fixed Nernst potentials with constant current for stimulation Additionally modeling excitability in the context of white matter trauma Volman et al 32 incorporated Nav CLS and found alterations in AP amplitude and propagation speed Here we model mildly damaged axons mild Nav CLS the situation for incipient diffuse axonal injury With Na K pumps operational in all nodes Nernst potentials are dynamic during saltatory AP propagation We find that concentration changes too small to be of consequence in healthy neurons can have qualitatively important effects in damaged nodes Additionally by applying periodic or variously timed AP like spike input stimuli we examine effects of Nav CLS on AP propagation fidelity In the case of peripheral neuropathies these findings would apply to the early acute phase of injury and neuropathic
69. et r d pendent seulement du potentiel de membrane V En effet cette quation pr dit que p cro t quand il est inf rieur p et vice versa Quand V Vixe p et t sont alors des constantes et l quation 1 B3 3 pr dit donc que p tend exponentiellement de z0 p selon la fonction p p 1 e Malheureusement les courbes de la figure 1 B3 6 ne sont pas des exponentielles on 48 Chapitre 1 Guide du d butant constate que leur phase de croissance contient un point d inflexion Ce qui est encore plus surprenant est que la d sactivation elle est pourtant une d croissance exponentielle vers p 0 obtenue si on fait faire au potentiel de membrane le saut en sens inverse de Vixe a V L quation 1 B3 3 qui donne p pe dans l ventualit o p 0 semble donc fonctionner seulement pour la d sactivation et non pour l activation Au lieu de remplacer l quation 1 B3 3 par une effet de l exposant x sur le mod le de gy quation d un ordre plus lev inutilement plus 1 complexe Hodgkin et Huxley ont r alis qu une simplification importante pouvait tre obtenue si la proportion p tait exprim e comme p n o la 06 quantit n elle ob it l quation 1 B3 3 au lieu de p et o l exposant x demeure d terminer En effet une telle hypoth se donnerait une 22 courbe d activation de la forme p p 1 e j ce qui a la forme d une sigmo de donc pr sente 0 1 2 3 4 5 le point d inflexion voulu figu
70. et sont l quilibre gaux DqV k T c x C est leur somme J 0 qui est bel et bien une constante qui ne d pend pas de x AppB 2 Le courant d une esp ce ionique Au chapitre 1 nous avons fourni l quation J g V E c est dire l quation 1 B2 4 qui permet de calculer le courant d une esp ce ionique lorsque cette derni re n est pas l quilibre de Nernst Par contre nous avons alors fond cette quation sur l hypoth se grossi re voulant que j et Jeong taient uniformes dans le milieu homog ne alors que nous venons de montrer qu ils d pendent en fait de x Nous allons maintenant utiliser le formalisme introduit ci dessus pour revisiter cette quation et montrer qu elle n est valide qu au premier ordre Tout d abord nous consid rons que les quations AppB 1 et AppB 2 sont valides en g n ral On peut donc les additionner pour obtenir le courant lectrique net au point x du milieu homog ne Jy aoe E DqVc quation AppB 7 J D E qVc quation AppB 8 AppB 2 Le courant d une esp ce ionique 177 Puisque aucune charge ne peut s accumuler durablement en un point x du milieu homog ne il est clair que le courant net traversant la membrane devient rapidement le m me en chaque point x Il s en suit aussi que la concentration c x cesse rapidement d tre une fonction du temps Si on projette l quation AppB 8 sur l axe des x perpendiculaire la membrane elle devient ane dc Jy
71. experiments The Journal of General Physiology 70 5 pp 567 590 Arundine M Aarts M Lau A Tymianski M 2004 Vulnerability of central neurons to secondary insults after in vitro mechanical stretch Journal of Neuroscience 24 37 pp 8106 8123 Banerjee K Das B Gangopadhyay G 2013 On the estimation of cooperativity in ion channel kinetics Activation free energy and kinetic mechanism of Shaker K channel Journal of Chemical Physics 138 165102 Bibliographie 155 Bae JS Kim OK Kim JM 2011 Altered nerve excitability in subclinical early diabetic neuropathy Evidence for early neurovascular process in diabetes mellitus Diabetes Research and Clinical Practice 91 pp 183 189 Baron R Binder A Wasner G 2010 Neuropathic pain diagnosis pathophysiological mechanisms and treatment Lancet Neurology 9 8 pp 807 819 Basu S amp Sharma MM 1997 An improved space charge model for flow through charged microporous membranes Journal of membrane science 124 1 pp 77 91 Bean BP 2007 The action potential in mammalian central neurons Nature Reviews Neuroscience 8 6 pp 451 465 Bialer M 2012 Why are antiepileptic drugs used for nonepileptic conditions Epilepsia 53 s7 pp 26 33 Borys P 2013 The role of passive calcium influx through the cell membrane in galvanotaxis Cellular amp molecular biology letters pp 1 13 Boucher PA Joos B Morris CE 2012 Coupled left shift of Nav
72. extr mement lente et les macromol cules comportant des milliers d atomes comme l ADN les prot ines etc ne traversent pas du tout une bicouche pure Nous allons maintenant voir notamment comment une membrane biologique r elle dispose toutefois de moyens pour contr ler cette perm abilit 1 4 4 La membrane plasmique n est pas qu une bicouche Jusqu pr sent nous avons d crit les propri t s de bicouches pures en laboratoire on peut obtenir de telles bicouches pures partir de phospholipides dans l eau les mol cules y sont lat ralement tr s mobiles elle est pratiquement imperm able tout compos charg etc Une telle bicouche n est toutefois que l l ment de base partir desquelles les membranes biologiques r elles sont compos es La membrane plasmique d une cellule n a donc pas toutes les propri t s que nous venons d num rer Une membrane biologique est fluide mais structur e Entre une bicouche artificielle et une membrane biologique on note tout d abord une importante diff rence sur le plan de l organisation Une bicouche pure est d sorganis e par exemple si elle est compos e de deux types de mol cules amphipathiques la diffusion assure que ces derni res se retrouvent en concentration gales et uniformes dans toute la surface de la bicouche et dans ses deux feuillets Au contraire une membrane biologique est relativement organis e Tout d abord la composition des deux feuillets est diff
73. gy and g the HH model uses three gating variables m h and n each taking values between 0 and 1 such that m and n represent the proportion of activated Na and K VGCs respectively while h represents the proportion of Na VGCs that are not inactivated ie unblocked With these definitions Eq 3 becomes Ona MA V Epa dV 4 j gr n V E 8 ap ol KV Ex 8 Dieak V di Freak where the negative sign arises from a contradiction in the commonly used sign conventions according to which V gt 0 means Vm gt Vaa while J gt 0 means an outward current The gating variables are modeled using dx x V x dt z V x x m h n 9 That is each of them relaxes to a time dependent steady state value target value x with a time constant 7 However x andr are both V Simulations disproving misconceptions about action potentials 103 w target value 100 50 V mv 0 50 Fig 3 Target values a and time constants b of the gating variables m h and n See appendix for corresponding equations dependant Fig 3 In other words the target x is a moving one In a similar way V can be seen as following the target value V see Eq 4 although its time course is given by Eq 8 not Eq 9 In summary the HH system is entirely described by four variables V m h and n whose evolution is given by four first order differential equations Eqs 8 and
74. infidelity takes into account both settling time during which a number of spikes are added and phase shifts thus producing a reasonable measure of output infidelity In Fig SSa we show results for a range of q values As shown in 9 this VP distance matches all the mathematical conditions to qualify as a metric Therefore if one imagines an abstract space where each possible spike train is a point the cost obtained can be seen as a distance between these two points Effect of parameters on output infidelity Fig 4 used q 0 2 ms and 500 ms of stimulation comparison time Fig S5 shows that one of our main results namely the existence of a propagation window is independent of these two choices except for very large q values a propagation window is always observed Fig S5a Also increasing the duration of the stimulation during which the output trains are LS 3 mV stdev 4 ms sample with jitter fan 83 3 Hz stim r 0 a Vi voltages Vio 3 Q o 400 500 600 700 8 b no noise any sample with noise with coisa Lure Q 10 Vi S w Q 0 325 350 375 4 time ms Q o Fig S7 Sample time series with jitter or noise a This relatively important jitter stdev 33 of stimulation period is sufficient to cause stimulation failure compare times of stimulation indicated above node 1 with actual firing times of node 1 firings b This noise A 0 02 is sufficient to
75. la derni re des trois tapes peut tre consid r e comme irr versible En d autres termes la r action EP gt E P est extr mement plus probable que la r action EP lt E P ce qui permet d ignorer compl tement cette derni re Cette hypoth se est valable par exemple quand le produit P de la r action est imm diatement consomm par la cellule Elle est clairement valable aussi dans le cas de l enzyme qui nous int resse soit la pompe Na K comme nous le verrons la section 1 C quand elle lib re des ions d un c t de la membrane la pompe change de conformation ce qui fait que les sites actifs o se lient ce type d ion cessent rapidement d tre disponibles de ce c t de la membrane Dans tout enzyme la dissociation EP gt E P est tr s rapide en comparaison du passage ES EP qui requiert une certaine attente o les collisions thermiques doivent fournir l nergie permettant la r action d avoir lieu Par cons quent il n est pas n cessaire de distinguer les tats EP et E P et on peut consid rer qu il y a un passage direct entre l tat ES et l tat E P Ainsi et en tenant compte aussi de l hypoth se que nous avons formul e l quation 1 A 1 devient ky k2 E S ES gt E P quation 1 A 2 k ou nous avons ajout les constantes cin tiques k k_ et k qui caract risent le taux des trois tapes l mentaires En g n ral chacune de ces tapes a un taux proportionnel la concentrati
76. la figure 1 B3 11 Ce n est plus forc ment le cas si le neurone est endommag si les canaux Na subissent un d calage cin tique comme le voudra l hypoth se sur laquelle se fondera le mod le num rique de nos travaux de recherche introduits au chapitre 3 le point rouge de la figure 1 B3 11 peut alors tre d cal vers la droite donc vers la fen tre m me si V ne change pas significativement L influx de sodium est alors plus lev m me au repos ce qui entra ne une pl thore de ph nom nes 1 B3 2 Le mod le Hodgkin Huxley 57 Pr dictions du mod le gr ce l int gration num rique Nous allons maintenant voir comment le mod le HH pr dit le d roulement d un potentiel d action La figure 1 B3 10 montre que le mod le HH comprend quatre variables V m h et n et une quation diff rentielle de premier ordre qui permet de d crire l volution de chacune d elle dans le temps partir d une valeur initiale donn e Pour pr dire le d roulement d un potentiel d action on peut int grer num riquement ces quations l appendice C porte notamment sur les m thodes informatiques utilis es pour ce faire Notez qu on cesse pour la premi re fois ici de parler d une situation avec voltage clamp pour laisser plut t V voluer librement dans le temps L int gration num rique d bute toujours avec des conditions initiales qui correspondent au repos V V 65 0 mV m m V 0 05293 h h V 0 5961 et n n V
77. la figure AppA 1 devient celle de la figure AppA 2 Un r sultat similaire est obtenu en l absence de stimulation si le param tre E s approche de z ro voir la figure 4 51 au chapitre 4 Dans la figure 4 2 c est un for age externe qui r duit E jusqu ce que cette bifurcation se produise AppA 5 Verrouillage de phase Enfin un concept de la dynamique non lin aire qui joue un rdle central dans nos travaux est celui de verrouillage de phase Ce ph nom ne peut survenir quand deux oscillateurs sont reli s par un couplage non lin aire Sans ce couplage ils oscilleraient leurs fr quences respectives f et f mais en raison du couplage l une des fr quences ou les deux fr quences s ajustent de fa on former un ratio de petits nombres entiers Strogatz donne un exemple simple de verrouillage de phase o deux coureurs parcourent une piste circulaire en tentant d ajuster leur rythme l un l autre Leur position augulaire volue selon 6 a K sin 6 6 i quation AppA 3 0 K sin 6 Clairement si les couplage est nul K K 0 les deux coureurs ont des fr quences de r volution et ind pendante l une de l autre En revanche si K gt 0 le verrouillage de phase devient possible Pour le voir facilement on d finit la diff rence de phase 6 0 et on substitue l quation AppA 3 ce qui donne a K K sin quation AppA 4 Le membre de droite de
78. les poids sont les conductances de la membrane chaque type d ion Vo quation 1 B2 11 Nous avons d j soulign que l anomalie du sodium c est dire le fait que la diff rence V El est tr s lev e nettement sup rieure V E On en d duit maintenant que la conductance du potassium est sans doute nettement sup rieure a celle du sodium puisque V est nettement plus proche de E que de Ena ce qui implique que E doit tre multipli e par un poids important dans la moyenne pond r e de l quation 1 B2 11 Les mesures confirment cette id e dans leurs travaux pionniers Hodgkin et Katz ont d termin que dans un axone de calmar au repos Hodgkin 1949 table 7 voir aussi Nelson 2008 chap 11 Jk 259na 29 quation 1 B2 12 Ces valeurs sont valides quand V est au repos ou proximit du repos En utilisant l quation 1 B2 12 ainsi que les concentrations exp rimentales typiques donn es la figure 1 B2 3 on peut tester la validit de l quation 1 B2 11 sur le plan quantitatif dans le neurone de calmar particulier identifi sous la figure 1 B2 3 on avait Ena 56 mV Ek 77 mV et E 61 mV Par cons quent l quation 1 B2 11 donne Vopreat 68 mV On constate que cette valeur pr dite s approche de la valeur exp rimentale Vex 64 mV mesur e dans ce neurone particulier On pourrait penser que l cart entre les valeurs pr dite et mesur e de V d coule du fait qu on a n glig
79. lon Pumps Sinauer Associates Sunderland 313 p Lodish H 2000 Molecular Cell Biology W H Freeman New York Marieb EN amp Hoehn K 2010 Anatomie et physiologie humaines ERPI Montr al 1293 p Nelson P 2008 Biological Physics WH Freeman New York 630 p Press WH Teukolsky SA Vetterling WT Flannery BP 1992 Numerical Recipes in C Cambridge University Press Cambridge 994 p Scott A 2002 Neuroscience a Mathematical Primer Springer New York 352 p Sterratt D Graham B Gillies A Willshaw D 2011 Principles of Computational Modeling in Neuroscience Cambridge University Press Cambridge 390 p Strogatz SH 1994 Nonlinear dynamics and chaos with applications to physics biology chemistry and engineering Westview Press 498 p Zinke Allmang M Sills K Nejat R Galiano Riveros E 2013 Physics for the Life Sciences Nelson Toronto 677 p Articles Adrian ED amp Zotterman Y 1926 The impulses produced by sensory nerve endings Part 2 The response of a single end organ Journal of Physiology 61 pp 151 171 Albers RW 1967 Biochemical aspects of active transport Annual Review of Biochemistry 36 1 pp 727 756 Amir R Michaelis M Devor M 2002 Burst discharge in primary sensory neurons triggered by subthreshold oscillations maintained by depolarizing afterpotentials Journal of Neuroscience 22 3 pp 1187 1198 Armstrong CM amp Bezanilla F 1977 Inactivation of the sodium channel Gating current
80. lt x 0 peut tre converti en V x 0 et X V Au terme de cette op ration chaque axe de l espace de phase correspond une variable dynamique ici x et v dont l volution est d crite par une quation diff rentielle d ordre 1 Pour obtenir des trajectoires immobiles dans l espace de phase on s assure aussi que les membres de droite de ces quations diff rentielles ne contiennent aucune d pendance temporelle Si c est le cas on peut ajouter une quation additionnelle t 1 et consid rer le temps comme une variable dynamique identique aux autres Cela a pour cons quence qu une nomenclature l g rement diff rente est utilis e en dynamique non lin aire par exemple une quation diff rentielle non homog ne d ordre 2 comme un oscillateur harmonique forc par une fonction d pendante du temps sera convertie en un syst me dynamique d ordre 3 o les trois variables dynamiques seraient x v et f Une solution y t d crit une trajectoire dans l espace de phase et sa valeur un instant donn un point dans l espace de phase est dite point de phase En repr sentant plusieurs trajectoires c te c te on peut examiner visuellement et rapidement un grand nombre de solutions en accordant notre attention leur comportement qualitatif plut t qu aux valeurs exactes des points par lesquelles les trajectoires passent En terminant soulignons qu un outil utile particuli rement dans le plan de phase consiste tra
81. membrane cellulaire forme une cloque et le lien entre cloques traumatisme physique et douleurs neuropathiques Le troisi me bloc montrera que les canaux Na situ s dans une cloque pr sentent un d calage cin tique coupl de leur activation et de leur inactivation coupled left shift CLS et que ce ph nom ne est reli de nombreuses pathologies Enfin nous terminerons au dernier bloc en pr sentant l hypoth se de mod lisation des cellules excitables endommag es formul e par notre groupe de recherche le Nav CLS et les r sultats d j obtenus gr ce cette hypoth se 3 A 1 Membranes cloques normal ou pathologique On d finit une cloque bleb comme une excroissance de la membrane qui se produit lorsque cette derni re est d coupl e du cytosquelette et cro t sous l effet de la pression interne de la cellule Charras 2008a Tinevez 2009 La membrane peut cesser d tre soutenue par le cytosquelette plus pr cis ment le cortex d actine spectrine soit en raison d une d stabilisation ou d une d polym risation de ce dernier d un gain de pression interne ou d un d tachement m canique Les cloques apparaissent la fois dans des conditions physiologiques normales et dans des conditions pathologiques Conditions physiologiques normales Les situations normales o on rencontre des cloques incluent la division cellulaire Tokumitsu 1967 Hickson 2006 et la migration d une cellule notamment pendant l embryog n se
82. mesure alors que en r action une d polarisation ou une hyperpolarisation un courant lectrique net traverse localement la membrane La sous section 1 B2 d veloppera les quations permettant de calculer ce courant alors que la sous section 1 B3 pr sentera les m thodes de mesure pour les syst mes les plus complexes videmment un courant lectrique traversant la membrane a n cessairement lui aussi un effet sur V Nous utiliserons le symbole V pour d signer le potentiel de repos c est dire le potentiel non perturb et le distinguer du potentiel de membrane V qui est en g n ral une fonction de la position et du temps Dans le mod le num rique que nous pr senterons au chapitre 3 la valeur utilis e pour le potentiel de repos est de 65 5 mV C est d ailleurs la valeur que nous avons illustr e sur la figure 1 B1 1 Cellules non excitables Dans une cellule non excitable la perturbation de V en un point celui o la mesure est effectu e s estompe asymptotiquement jusqu ce que Vrevienne sa valeur de repos Nelson 2008 chap 11 12 Une telle d croissance essentiellement exponentielle est un comportement lin aire en effet le courant qui traverse la membrane est proportionnel l cart 0 V V Si on d signe par k la constante de proportionnalit on a alors effectivement d dt k donc 6 e Une membrane qui est travers e par un courant proportionnel la perturbation 6 de sa tension est
83. n tre r cup ration de l inactivation suit elle aussi une exponentielle 52 Chapitre 1 Guide du d butant Une fois que la courbe de disponibilit est connue on peut diviser la conductance par cette derni re afin d obtenir la courbe d activation On constate que cette derni re pr sente un point d inflexion comme c tait le cas pour l activation de g Ce point d inflexion se r percute d ailleurs sur la courbe de J t qui pr sente donc elle aussi un point d inflexion voir par exemple la figure 1 B3 2 Mod liser le courant de sodium Puisque l activation de gya pr sente un point d inflexion alors que son inactivation n en pr sente pas Hodgkin et Huxley ont mod lis la max proportion P gy 9n comme le produit p m h o n est l activation et o h est la disponibilit Comme ils l ont fait dans le cas du potassium ils ont d termin par essais et erreurs quel exposant y donnait la courbe d activation dont les proportions repr sentaient le mieux les donn es et d termin qu il s agissait de y 3 En cons quence ils ont postul que le courant du sodium est donn par Courant de sodium Jia gsm h V quation 1 B3 8 U1 JNa o dm m m a 2 __ quation 1 B3 9a dt Tm et dh h h 2 quation 1 B3 10a dt Ta o une temp rature fixe m h Tp et 7 ne d pendent que de V contrairement m et h ils adaptent imm diatement leur valeur si V change Comme le mod
84. nearly unchanged Therefore mildy damaged axons for which the settling time is the shortest have no trouble phase locking 1 1 However their ion gradients eventually deplete f increases the 1 1 phase locking condition is lost Therefore for the total stimulus duration 500 ms the propagation window is shallower Fig S8 shows this both with a time series and with an output infidelity diagram 6 Press WH Teukolsky SA Vetterling WT Flannery BP 1992 Numerical Recipes in C The Art of Scientific Computing Cambridge 7 Ochab Marcinek A Schmid G Goychuk Hanggi P 2009 Noise assisted spike propagation in myelinated neurons Physical Review E 79 1 011904 8 Feingold M Gonzalez DL Piro O Viturro H 1988 Phase locking period doubling and chaotic phenomena in externally driven excitable systems Physical Review A 37 10 4060 4063 9 Victor JD Purpura KP 1996 Nature and precision of temporal coding in visual cortex a metric space analysis Journal of Neurophysiology 76 2 1310 1326 Chapitre 4 Article de recherche Conclusion Apr s avoir rendu accessible dans les chapitres 1 et 2 une solide base pour les lecteurs qui d butent dans le domaine nous avons pr sent au chapitre 3 la litt rature sur les cloques qui se forment dans des membranes endommag es le d calage cin tique vers la gauche CLS qu elles causent dans les canaux Na et les cons quences de ce dernier notamment la d g n rescence
85. num rique Stabilit dynamique Stationnaire adj Stimulus excitateur Stimulus inhibiteur Structure primaire Structure secondaire Structure tertiaire Structure quaternaire Suite de Farey Superposable adi Synapse Syst me de contr le Syst me endommag Syst me nerveux central Syst me nerveux p riph rique Test de convergence T tra thylammonium TEA T tram re T trodotoxine TTX Tractus spino thalamique Train d impulsions Trajectoire homoclinique Transitoire adj Traumatisme cranien Trypsine Variabilit biologique Vari t stable Vari t instable Verrouillage de phase Vitesse de r action Voltage clamp 171 171 126 173 17 42 Appendice A points cle de dynamique non lin aire Dans cet appendice qui compl te le chapitre 1 nous d finissons quelques termes et quelques concepts de la dynamique non lin aire Notre objectif n est pas de fournir une introduction compl te ce tr s vaste sujet mais plut t un rappel concis assorti d exemples tires des neurosciences Le lecteur qui souhaite une introduction a la dynamique non lin aire pourra consulter Strogatz 1994 ou il trouvera tous les concepts pr sent s dans cet appendice mais sans la saveur de neurosciences AppA 1 Qu est ce que la dynamique non lin aire Les bacheliers en physique ont tous regu une formation de base pour solutionner des quations diff rentielles lin aires Une telle quation est dite lin aire quand elle a la fo
86. o E q 2 quation AppB 9 o nous laissons tomber l indice x d signant la composante vectorielle du membre de gauche On peut utiliser la technique de s paration des variables et int grer ext dc e X f cq dx I quation AppB 10 kgT Tx qD d o qE dx kgT kgT ext qD aE In JE Jx L quation AppB 11 kT int qD o on a suppos dans le membre de droite que l axe des x tait orient de l int rieur vers l ext rieur sinon on obtiendrait L Si on suppose que la membrane contient peu de charges alors E est une constante ind pendante de x et on peut le relier au potentiel de membrane V en crivant E VIL avec notre choix pour le sens de l axe x V et E sont effectivement de m me signe Or la membrane contient effectivement peu de charge quel que soit le cas de milieu homog ne consid r une bicouche pure contient fort peu d ions en solution les passages hydrophiles occupent fort peu de volume dans la membrane En substituant E V L et en isolant le courant constant J dans l quation AppB 11 on trouve un r sultat initialement d montr dans Goldman 1943 en utilisant essentiellement la m me m thode que nous avons utilis ci dessus voir aussi Hille 2001 chap 14 Courant de Goldman Hodgkin Katz av kgT i OV Cox Ce Jy LKT wv quation AppB 12 er 178 Appendice B courants ioniques potentiel de repos Avant de poursuivre so
87. objet d une bonne partie de nos travaux de recherche La figure AppA 2 illustre un cycle limite dans le mod le HH obtenu en injectant un courant de biais Cycle limite dans le mod le HH 80 V mV V mV 0 10 20 30 40 50 0 2 temps ms n Figure AppA 2 Le mod le HH pr sente un cycle limite notamment quand on y ajoute un courant de biais ici 15 pA cm Notez qu il est tr s attractif la trajectoire l atteint avant m me d avoir fait un tour complet autour 170 Appendice A points cl de dynamique non lin aire Un exemple de cycle limite stable dans un syst me forc est la trajectoire d crite par un pendule comme celui d une horloge grand p re en effet ce pendule est la fois amorti et forc p riodiquement de sorte que son mouvement est p riodique et reprend m me si on le perturbe En revanche un oscillateur harmonique simple ne d crit pas un cycle limite car une perturbation ne serait ni amortie ni amplifi e elle fixerait plut t une nouvelle amplitude au mouvement qui se maintiendrait par la suite Soulignons en terminant qu un cycle limite stable est un autre exemple d un attracteur Trajectoire homoclinique En plus du point fixe et du cycle limite un syst me dynamique au moins deux dimensions peut pr senter une trajectoire homoclinique c est dire une trajectoire ferm e mais non p riodique qui d bute et se termine un m me point fixe Au chapitre 1 nous avons mentionn
88. oscille en tournant autour du point fixe tout en s en approchant ou en s en loignant Cycle limite Les syst mes dynamiques d ordre 1 se distinguent essentiellement par la pr sence ou l absence de points fixes Consid rons maintenant un syst me dynamique f y qui est au moins d ordre 2 Un comportement suppl mentaire qui devient alors disponible est celui du cycle limite Un cycle limite est une trajectoire ferm e sur laquelle le point de phase se d place de fa on p riodique Par contre toute trajectoire p riodique ne constitue pas forc ment un cycle limite puisque ce dernier doit absolument tre attractif c est dire que toutes les trajectoires voisines y tendent quand t gt donc qu il est dynamiquement stable ou r pulsif c est dire que toutes les trajectoires voisines y tendent quand t Ainsi toute perturbation d une trajectoire situ e sur un cycle limite est soit amplifi e soit amortie Un cycle limite peut correspondre un syst me autonome mais aussi un syst me qui subi un for age externe p riodique Le mod le HH pr sente plusieurs exemples du premier cas D abord il comporte un cycle limite quand on lui ajoute un courant de biais constant C est aussi le cas en l absence de stimulation si on diminue significativement le gradient de concentration d ions K en approchant E de z ro voir la figure 4 S1 au chapitre 4 C est aussi le cas videmment si on applique un CLS ce qui est l
89. ou a et 2 sont des param tres d terminer empiriquement Et aN quation AppC 17 192 Appendice C Consid rations informatiques Notez que l erreur diminue lorsque N augmente car on suppose ici que la dur e totale T de la simulation est la m me Puisque le nombre de pas qui correspond a N est T h une augmentation de N correspond n cessairement une diminution du pas d int gration h donc une plus faible erreur de troncature En additionnant les quations AppC 16 et AppC 17 on obtient que l erreur totale accumul e sans tenir compte de son ventuelle attenuation par la propri t de stabilit de l algorithme est Ne aN quation AppC 18 o N N est un ratio constant et sup rieur 1 qui correspond au nombre d op rations arithm tiques par it ration de l algorithme Par exemple l utilisation de la m thode RK4 requiert d valuer quatre fois y par it ration puis d effectuer six multiplications et sept additions M me si y contient une seule op ration arithm tique on arrive donc N N 17 Dans le cas des quations du mod le HH on a N N 100 Si on consid re que ce ratio est int gr dans la constante empirique a on peut convertir l quation AppC 18 sous la forme e VNe aN quation AppC 19 o N peut repr senter aussi bien N que N L avantage l quation AppC 19 est de r v ler clairement que pr sente un minimum pour une valeur donn e de N Or N cro
90. ouverture d un canal individuel est donc n Selon cette interpr tation chaque particule d activation du mod le HH correspond au senseur de tension d une des quatre sous unit s du canal Ky videmment cette correspondance a plus l allure d une coincidence que celle d une pr monition d ailleurs Hodgkin et Huxley affirmaient eux m mes que l ajustement des courbes aux donn es exp rimentales pouvait tre encore meilleur si on utilisait un exposant plus lev que 4 Hodgkin 1952e De plus l interpr tation que nous venons de faire suppose que les quatre sous unit s du t tram re sont parfaitement ind pendantes les unes des autres ce qui n est pas le cas en r alit voir par exemple Banerjee 2013 La correspondance entre le facteur m et le fonctionnement d un canal Na est beaucoup moins vidente puisqu il y a encore quatre senseurs de tension voir notamment la figure 1 C2 2 La diff rence d exposant peut tre une cons quence d une coop rativit interaction allost rique plus grande que dans les canaux K N anmoins la pr sence d un exposant quel qu il soit r v le quand m me que plusieurs tapes doivent se produire pour que le canal s ouvre Rappelons que Hodgkin et Huxley avaient pr dit cette s quence en raison de la pr sence d un point d inflexion dans les courbes de J t et de J f A Univ 1 ot T T T w lo 10 20 30 Time ms 140 La question suivante qui se pose a propos d
91. pain before central and peripheral sensitization have time to occur What abnormalities in spike count and timing are to be expected What propagated patterns will result and can they explain the painful amplification of normally benign stimuli These are the research questions considered here Two main findings are reported 1 mildly damaged yet quiescent axons upon receiving normal AP traffic are triggered into an ectopic mode 2 although an ectopically firing site dominates axon behavior normal AP trains of sufficiently high frequency can propagate through this site with minimal alteration The first finding could explain some neuropathic pain phenomena The model is presented in Methods The Results begin with ectopicity triggering then show how high frequency spike trains propagate under various conditions Methods A myelinated axon is modeled as N 10 Hodgkin Huxley type 33 nodes of Ranvier each an isopotential compartment with membrane voltage V where i node number with adjacent nodes coupled by an internodal conductance see Table S1 In all simulations nodes reach an individual steady state before being connected together at t t and stimulation at node 1 if present begins at t tm see Table S1 Stimulation is applied at precise times periodically or not in the form of delta functions each causing a discontinuous AV change of V In the intact control model each delta function stimulus causes the first
92. particulier celles observ es des noeuds de Ranvier En particulier nous pr senterons une revue compl te d un article par Wang et al 2009 o les auteurs ont provoqu des cloques membranaires par succion avec une pipette et compar avant et apr s cette op ration le courant transmembranaire obtenu lors d un Introduction la th se de recherche 109 voltage clamp Ils ont montr de fa on tr s convaincante que les canaux Na situ s dans des cloques membranaires subissaient un d calage cin tique irr versible de leurs processus d activation et d inactivation En d autres termes tous les processus qui se d roulent normalement un potentiel de membrane V se d roulent d sormais un potentiel V d calage Ce d calage cin tique est une hypoth se tr s cr dible de m canisme expliquant l activit ectopique des axones endommag s comme nous le verrons au chapitre 3 ce d calage augmente la probabilit d ouverture des canaux Na quand le neurone est au repos Ainsi du courant sodique fuit vers l int rieur de la cellule d polarisant la membrane et l approchant du seuil d excitation Un d callage suffisant peut donc bel et bien rendre le comportement de l axone ectopique Dans nos travaux ce d calage cin tique est donc l hypoth se de base que nous utilisons pour repr senter un dommage affectant un axone Le chapitre 3 pr sentera ensuite une revue des r sultats obtenus lors d autres travaux de simulation
93. physique et la biologie Bien qu il s agisse d une revue avec comit de lecture American Journal of Physics a avant tout une vocation p dagogique L objet de l article est de confronter six conceptions erron es fr quemment d velopp es par les tudiants qui apprennent le fonctionnement du potentiel d action Comme de ces erreurs conceptuelles peuvent aussi se manifester chez le lecteur qui aborde le mod le Hodgkin Huxley pour la premi re fois en faire une lecture est donc appropri pour celui l De plus l article entend remplacer les conceptions erron es par une vision plus physiquement r aliste l aide de deux projets num riques qui sont pr sent s Bien qu ils soient rudimentaires il ne manqueront pas d int resser le lecteur qui d bute dans le domaine et pr voit entreprendre de la mod lisation num rique Notons que la premi re partie de l article reprend d une fa on succincte une partie du contenu de la section 1 B du chapitre pr c dent Simulations disproving misconceptions about action potentials 97 98 Cette page est intentionnellement blanche Chapitre 2 Article p dagogique Two computational models disprove common misconceptions about the physics of action potentials Mathieu Lachance D partement de physique C gep de l Outaouais Gatineau J8T 7J4 Qu bec and Institut de physique Ottawa Carleton Universit d Ottawa Ottawa K1N 6N5 Canada Action potentials APs are nonlinear electrical ph
94. potentielles douleurs neuropathiques En somme le CLS n est pas un m canisme qui peut d crire seulement le comportement de cellules traumatis es physiquement mais celui de toute cellule excitable malade Nos travaux de recherche pr sent s au chapitre 4 comme les autres travaux num riques ayant t r alis s depuis 2009 dans notre groupe de recherche Boucher 2012 Yu 2012 s inscrivent donc dans ce cadre g n ral o tout dommage subi par une cellule excitable peut tre mod lis par un CLS Ce postulat est tout fait raisonnable puisque quels que soient les autres dommages que la cellule ait pu subir et notamment les changements similaires qui affecteraient d autres prot ines situ es dans les cloques il est clair que l excitabilit de la cellule d pend au premier chef des canaux Na responsables de l initiation des potentiels d action Il est clair aussi que la r troactivation qui caract rise leur action plus de Na entrant favorise l ouverture de canaux suppl mentaires qui favorise encore plus de Na entrant etc amplifie l effet des changements qu ils ont subi et rend comparativement n gligeables les changements affectant d autres prot ines 122 Chapitre 3 Membranes endommag es questions de recherche et construction du mod le Depuis 2009 plusieurs tudes semblent d ailleurs soutenir notre postulat de base Par exemple Xie 2013 a montr que l inhibition des canaux Na fait cesser les rafales de potentiel
95. pr sent au chapitre 2 et la premi re version de l article de recherche pr sent au chapitre 4 Ce dernier a ensuite t retravaill surtout dans ses sections d introduction et de discussion avec trois des autres coauteurs Andr Longtin B la Joos et Catherine E Morris pour donner la version finale pr sent e ici Contribution au contenu des articles Dans le cas de l article p dagogique pr sent au chapitre 2 ma contribution est totale puisque j en suis le seul auteur J ai con u seul les deux projets le premier se fondant sur un mod le d j existant alors que le second est fond sur un mod le original de mon cru Dans le cas de l article de recherche pr sent au chapitre 4 ma contribution est majoritaire Notamment tous les r sultats pr sent s dans cet article ont t produits par mon propre programme cod en langage C J ai cependant b n fici de plusieurs contributions d abord le mod le s inscrit dans la lign e des travaux de Na Yu et de Pierre Alexandre Boucher et une partie de mon code a t inspir du leur ensuite les tapes de mod lisation ont t guid es par mes codirecteurs de th se Andr Longtin et B la Joos de m me que par des apports r guliers de Catherine E Morris enfin quelques discussions cl avec Andr Longtin et Richard Naud ont permis des d blocages diverses tapes des travaux de simulation D claration d originalit iii Remerciements Cette th se n
96. principaux ions ont tous une concentration interne ou extracellulaire de l ordre de 10 150 mmol L Sachant le rayon typique d un axone on peut calculer le volume d un axone dont la surface mesure 1 cm valeur pour laquelle nous avons obtenu une charge nette de l ordre 10 mol et en d duire que son contenu est de l ordre de 10 mol pour chaque esp ce ionique Cet argument est g n ralisable aux autres g om tries 1 B1 3 La membrane un condensateur charg 27 ionique distinguant le cas ou elle est l quilibre de celle ou elle ne l est pas Cela nous conduira introduire l quation de Nernst Ensuite on consid rera les cas o la membrane est perm able a plusieurs esp ces ioniques et peut se trouver dans une situation stationnaire ou quasi stationnaire bien que des esp ces ioniques soient hors d quilibre Cela nous conduira conclure qu une cellule vivante est n cessairement fortement hors d quilibre introduire la cause de ce d s quilibre soit la pompe Na K et conclure qu une cellule au repos est dans une situation stationnaire Pour aborder ces nombreux concepts nous utiliserons une s quence de situations concr tes dont la complexit sera croissante Il sera d abord question d une membrane non biologique artificielle ayant un comportement lin aire quasi ohmique et n tant perm able qu une esp ce ionique Dans un deuxi me temps nous consid rerons une membrane perm able trois esp ce
97. puisse un jour pr venir l apparition de douleurs neuropathiques ou la d g n rescence secondaire des axones l g rement touch s D j notre r sultat montrant que la stimulation peut faire bifurquer le comportement d un axone pourrait entra ner des recommandations faisant en sorte que tout stimulus de la zone endommag e soit vit De m me au plan pharmaceutique en contribuant lier les cloques le CLS qu elles entra nent dans les canaux Navet l effet de ce CLS sur l influx de calcium et sur l activit ectopique nous esp rons avoir contribu la reconnaissance d un besoin celui de cibler les canaux Navsitu s dans des cloques plut t que les canaux Nav en g n ral Conclusion 1 53 Cette page est intentionnellement blanche 1 54 Conclusion Bibliographie Livres Campbell Na Reece JB Lachaine R Bosset M 2007 Biologie ERPI Montr al 1334 p Dayan P Abott LF Abott L 2001 Theoretical Neuroscience MIT Press Cambridge 460 p Guyton AC amp Hall JE 2011 Textbook of Medical Physiology Saunders Elsevier Philadelphia 1091 p Hille B 2001 on Channels of Excitable Membranes Sinauer Associates Sunderland 814 p Hirsch C 2007 Numerical computation of internal and external flows The fundamentals of computational fluid dynamics Vol 1 Butterworth Heinemann Landau RH Paez MJ Bordeianu CC 2007 Computational Physics problem solving with computers Wiley Weinhelm 593 p Lauger P 1991 Electrogenic
98. quation AppC 19 qui est dominant diminue les erreurs d arrondis Notez les axes i i logarithmiques 10713 erreur absolue adim AppC 2 L accumulation et la gestion d erreurs 193 La forme de l quation AppC 19 ne pr voit pas explicitement ces fluctuations mais il faut rappeler deux aspects Premi rement la premier terme de l quation AppC 19 est valide dans un cas de stabilit marginale alors que notre algorithme est stable toute nouvelle erreur d arrondi qui est cr e s ajoute au total mais s estompe avec le temps Ensuite le premier terme de l quation AppC 19 est probabiliste m me dans un cas de stabilit marginale un unique essai comme celui de notre figure AppC 2 pr senterait des fluctuations Il faudrait r p ter le graphique avec des points voisins ou des conditions initiales diff rentes et faire la moyenne erreurs obtenues pour obtenir la forme N h pr vue l quation AppC 19 Enfin pr cisons que la figure AppC 2 montre bien que le minimum atteint par l erreur totale est nettement plus faible si on utilise des r els double pr cision plut t qu simple pr cision ce qui d coule de la diff rence de Strat gie pour choisir h Une fois que la stabilit de notre algorithme est assur e on veut g n ralement choisir la valeur la plus lev e possible de h qui conserve l erreur sous un seuil de tol rance choisi pour viter que le temps d ex cution ne soit prohibitif Quand on
99. que les solutions de l quation du c ble qui correspondent des potentiels d action doivent tre des trajectoires homocliniques En effet elles d butent et se terminent au m me point fixe l axone au repos Pour qu une trajectoire homoclinique puisse d buter et se terminer un point fixe ce dernier doit respecter une condition il doit comporter une vari t instable et une vari t stable On nomme ainsi les trajectoires 1D qui conduisent au point fixe respectivement quand t et quand t gt par opposition aux autres trajectoires tout point de phase qui d bute sur une des deux vari t s demeure sur la vari t Un point fixe qui comporte la fois une vari t stable et une vari t instable est dit point selle Pour v rifier si un point fixe est bel et bien un point selle on peut lin ariser le syst me dynamique proximit de lui Le syst me ainsi lin aris doit comporter un vecteur propre instable que la trajectoire homoclinique emprunte quand elle quitte et qui forme le d but de la vari t instable et un vecteur propre stable vers lequel la trajectoire homoclinique tend quand elle revient et qui forme la fin de la vari t stable L existence d un point selle est une condition n cessaire mais n est malheureusement pas une condition suffisante pour qu une trajectoire homoclinique existe L int gration num rique par exemple en utilisant la m thode du tir s av re alors un outil pr cieux qui n e
100. quilibre de Nernst 29 vers la membrane dans le compartiment droit et repouss s de cette derni re dans le compartiment gauche Comme nous l avons illustr les CI participent donc eux aussi la charge accumul e malgr l imperm abilit de la membrane leur gard Comme le montre Nelson 2008 chap 9 la distribution exacte des deux types d ions peut tre obtenue comme solution de l quation de Poisson Boltzmann et donne essentiellement une exponentielle Au chapitre suivant la figure 2 9 pr sentera une solution obtenue par une simulation Derni re remarque proc der comme nous l avons fait en fixant exp rimentalement Cin Cext et en attendant que l quilibre se forme par l ajustement de V est tr s rapide En effet comme nous l avons soulev dans la sous section 1 B1 une tr s faible quantit de charge est requise pour charger la capacit de la membrane En revanche on aurait pu aussi tenter une exp rience diff rente o on aurait fix V au lieu de fixer C C Pour ce faire on aurait plong des lectrodes dans chaque compartiment C est alors les concentrations qui auraient d s ajuster jusqu pr senter le ratio c c requis pour l quilibre Cela aurait t tr s lent puisqu une proportion significative des ions Na aurait d traverser la membrane Les physiciens sont habitu s de penser au facteur de Boltzmann en terme d une diff rence d nergie fixe laquelle doit s ajuster un ratio de population
101. squelette du polypeptide On peut aussi utiliser la repr sentation en boules et b tons comme la figure 1 1 6 qui pr sente l avantage d illustrer chaque atome Un logiciel comme RasMol permet de visualiser une m me prot ine en utilisant une diversit de repr sentations visuelles Notons que sur la figure 1 A 8 la repr sentation en ruban en bleu est superpos e la repr sentation des atomes De nombreuses interactions entre acides amin s favorisent leur positionnement dans l espace soit l tablissement de la structure tertiaire et ces interactions peuvent impliquer des cha nes lat rales qui ne sont pas forc ment voisines entre elles sur le polypeptide Il y a d abord videmment les interactions lectrostatiques entre les cha nes lat rales charg es ou les ponts hydrog ne entre les cha nes lat rales polaires Ensuite la cellule peut catalyser la formation d un lien covalent entre deux cha nes lat rales de cyst ine un des 20 acides amin s Un tel lien appel pont disulfure stabilise significativement la position relative des cha nes lat rales Enfin soulignons que les cha nes non polaires ont tendance se regrouper en amas de fa on minimiser leur interaction avec les mol cules d eau avec lesquelles elles ne peuvent former de ponts hydrog ne Ainsi bien qu elles n exercent aucune force l une sur l autre les cha nes lat rales non polaires semblent s attirer gr ce l interaction hydrophobe Enfin le
102. still collide with the retropropagating APs from node 6 Successive collisions occur further down the axon until the collision point reaches the damaged node which is thenceforth driven at fim Fig 2b Under those conditions the output frequency at node 10 is determined by the stimulus at node 1 as if it were an intact axon but with a phase shift The situation is entirely different when fim lt f the ectopic node fully dominates the output of the axon Fig 2c The firing frequency of node 6 does not change after stimulation begins while node 1 fires erratically This means that APs in nodes 7 to 10 originated in the damaged node and are completely independent from the stimulus at node 1 Sources of input output disruption under phase locking conditions When fium gt fg the steady state frequency is identical to the control system s but there are nevertheless differences between output spike trains in the control and damaged cases As seen in Fig 3a there is a non zero settling time during which output APs in the control and damaged systems differ Further there is a phase shift Fig 3b The combined effect of these two phenomena causes output infidelity which we define below Fig 3a shows that with increased LS and with reduced fim settling times become longer recall that increasing LS elevates fo The long settling times are linked to the more robust ectopic firing at such increased f The ectopic node thus gener
103. sujet du m canisme d un potentiel d action Certaines de ces erreurs ne sont faites que par les tudiants qui d butent mais d autres sont r pandues m me parmi des enseignants Elles sont de trois ordres e La plupart des manuels introductifs en biologie notamment Campbell 2007 et Marieb 2010 expliquent malheureusement le fonctionnement du potentiel d action en ayant recours seulement aux ions Na et K ce qui les force rester muets sur le m canisme de r cup ration Il y a pire beaucoup de mat riel didactique notamment des animations web et des cours web m me une qui est une production de l universit Harvard attribuent la r cup ration a des faux m canismes comme les pompes Na K dont le courant est pourtant hyperpolarisant Bohan 2005 Proulx 2011 Graven 2013 Okur 2013 etc le courant de potassium qui a lui aussi la polarit inverse de celle qui lui permettrait de jouer ce r le ou le courant de sodium pourtant quasi nul GeneEd Inc 2008 Campbell 2007 figure 48 11 voire la dispersion des ions qui viennent de traverser qui s effectue pourtant excessivement plus vite que la r cup ration e Les manuels introductifs en biologie r f rent souvent l influx de sodium qui initie le potentiel d action comme tant massif ou rapide ce qui laisse entendre que l enti ret des ions sodium ou une proportion significative p n tre dans l axone pendant le passage d un potentiel d action par exemple Camp
104. t la figure 3 A 13 cesse de cro tre mais les noeuds sains intacts g thas du m me axone ne sont plus en mesure de suivre montre que la proportion en question pr sente seule une proportion des potentiels d action sont des plateaux de verrouillage de phase qui alors transmis dans les deux sens en s loignant suivent une suite de Farey voir Feingold 1988 du noeud endommag Figure adapt e de o ce ph nom ne de l entra nement d un Boucher 2012 syst me excitable par un for age externe est tudi gr ce des oscillateurs Van der Pol voir aussi l appendice A Sur la figure les plateaux de verrouillage de phase 1 1 3 2 et 2 1 sont visibles et sont intercall s de l gers intervalles de comportement ap riodique O O Deuxi mement Boucher 2012 a tudi l effet d un stimulus sur l axone comportant un noeud de Ranvier endommag noeud 6 On note qu un verrouillage de phase 1 1 se produit pour une large plage d amplitudes de CLS comme le montre la figure 3 A 14 quand la fr quence 0 de d charge du noeud 1 exc de celle qu aurait le noeud endommag non stimul la fr quence 0 5 10 15 20 de ce dernier pouse alors celle du noeud 1 la amplitude du CLS mV phase n a pas t tudi e seule la fr quence Figure 3 A 14 gauche le noeud 1 impose sa En revanche si la fr quence du noeud 1 est fr quence au noeud 6 car ce dernier inf rieure celle du noeud endommag non d chargerait une
105. tant pas toujours tous pr sents simultan ment pr sentent des liens vidents Au prochain bloc nous pr senterons un m canisme qui relie causale ment l activit ectopique et la d g n rescence secondaire la pr sence de cloques 3 A 3 D calage cin tique coupl CLS des canaux Na Avant 2009 plusieurs indices semblaient impliquer les canaux Na dans le m canisme qui causait les diverses cons quences d une l sion axonale diffuse notamment l afflux interne d ions Nat la d g n rescence secondaire et l activit ectopique En particulier on observait qu en pr sence de t trodotoxine TTX l inhibiteur classique des canaux Na les d g ts taient limit s Wolf 2001 voir aussi Shankappara 2012 o on utilise un autre inhibiteur En 2009 l quipe du laboratoire de Catherine E Morris a mesur pour la premi re les cons quences directes sur les canaux Na d un traumatisme m canique subi par les membranes cellulaires Wang 2009 6 aucun TTX traumatisme O TTX traumatisme A aucun TTX aucun traumatisme A TTX aucun traumatisme dt 5 Q Oo A L une des m thodes utilis es dans cet article n cessitait de pr parer des cellules en les faisant ex primer des canaux Na 1 6 l isoforme pr sent dans les noeuds de Ranvier d y injecter un pigment qui r agit en pr sence de sodium de les tirer m caniquement rt re Re et de mesurer le changement de fluorescence
106. tenu des contraintes macroscopiques mesurables Dans le cas pr sent pour chaque position possible d une mol cule d eau il y a autant de micro tats qu il y a d orientations possibles pour cette mol cule Doubler le nombre d orientations possibles pour une seule mol cule d eau a donc pour effet de doubler le nombre total de micro tats accessibles au syst me 3 Plus pr cis ment il faut minimiser l nergie libre du syst me E TS et non uniquement maximiser son entropie En effet cr er et d truire des ponts hydrog nes entra ne un co t nerg tique qui s il est positif ne sera compens par un gain en entropie que si la temp rature est suffisante Formellement on utilise l nergie libre de Gibbs E pV TS mais les variations de l nergie libre de Helmholtz E TS sont quivalentes vu la constance du volume en milieu aqueux 6 Chapitre 1 Guide du d butant ph nom nes conduit donc un grand nombre de mol cules amphipathiques s organiser spontan ment adoptant une g om trie o leurs parties hydrophobes sont isol es de l eau alors que leur parties hydrophiles sont en contact avec l eau Nelson 2008 chap 7 Il existe plusieurs g om tries qui permettent aux mol cules amphipathiques en g n ral d ainsi se regrouper pour ne pr senter que leurs parties hydrophiles l eau ambiante La g om trie qui sera adopt e spontan ment d pend la fois de la concentration des mol cules amphipathiques et de leur g
107. than jna Now lets consider MC B according to which most ions permeate during an AP Computing the total transferred charge i J t dt for each ion species and following its time course shows how few ions cross the membrane during each phase of the AP Although theoretical calculations already gave the total amount of charge simulations allow to see the time course Fig 7 Improvements to project I This project can be modified in several ways which means that physics educators could present a basic version and assign advanced students with the task to code modifications A possible improvement involves replacing the Eq 1 by the Goldman Hodgkin Katz current equation allowing students to investigate the effect of rectification Project can also be modified to let Na and K concentrations change and implement Na K pumps thus allowing them to verify the experimental fact that hundreds of APs can be fired before the concentration gradients run out An efficient way to model pumps can be found in the literature V COMPUTATIONAL PROJECT II While project could address MCs A1 A2 A3 and B project II will focus on MC C according to which the cells are charged in most of their volume To counter this MC one needs to investigate how charged ions distribute when they diffuse under the influence of the mean electric field that they create This same approach could also oppose MC A4 but we will focus on the steady stat
108. that selectively allow Na and K ions respectively to cross the membrane thus charging or discharging its capacitance These VGCs are strongly influenced by the membrane electric field when V is increased by just a few millivolts their 3D conformation shape can switch from an deactivated closed to an activated open state When in the later each VGC forms a transmembrane aqueous pore which s radius and affinity allow a single ion species to permeate Although both VGCs activate when V is increased the Na VGCs react 5 20 times faster than the K VGCs a key point in AP dynamics In addition to their activated and deactivated states Na VGCs can also be inactivated or not when they activate the opening of the pore exposes a binding site to which another part of the macromolecule quickly attaches inactivating blocking the pore This obstacle remains attached until the channel deactivates again In other words KY VGCs only have one door while Na VGCs have two both needing to be open for ions to flow Stimulation to elicit APs When the membrane potential Vis perturbed by a stimulus the reaction of the neuron is characterized by a threshold when V stays below that threshold it then relaxes to Vest by showing a very overdamped oscillation that stays spatially localized in the cell when V gets above the threshold VGCs open and a nonlinear wave AP is fired it propagates along the entire axon without amplitude l
109. tiser le polypeptide qui correspond un g ne c est dire exprimer ce g ne elle rep re le d but du g ne qui est toujours marqu par la m me succession de trois monom res en fait une copie puis dirige cette copie vers un ribosome un organite sp cialis dans la synth se de prot ines Dans le g ne chaque acide amin est cod par un bloc de trois monom res appel codon Le ribosome lit donc chaque codon et y fait correspondre un acide amin qu il ajoute au polypeptide en cours de synth se 1 A 5 Structure et fonction des prot ines 13 ll existe deux situations particuli res illustr es a la figure 1 A 8 qui permettent la formation d un grand nombre de ponts hydrog ne entre des groupements NH et CO du squelette du polypeptide plut t qu avec les mol cules d eau Dans ces deux cas il ya une transition nette a une temp rature donn e ou tous les groupements d une longue portion du squelette remplacent presque simultan ment leurs ponts hydrog ne avec l eau par des ponts hydrog ne entre eux Sous la temp rature critique la statistique favorise de fa on crasante les liens avec l eau au un part asde o P dessus elle favorise de fa on y gion ge Ma AAMA crasante les liens internes on Ne NH ns ee a N HOR HR kon r a ot Seat D TS Quand la temp rature cro t au aes NH porn 9 En S S ie ngs un acide o c 0 C oN Poa N NA dela de la valeur critique on amine oo i fw
110. toujours e T e Par exemple c tait le cas pour la fonction dy dt Ay ci dessus Le raisonnement ayant conduit l quation AppC 15 se g n ralise facilement au cas N gt 1 la fonction T devient alors un vecteur de fonctions de etla d riv e d7 dy devient la matrice T oy c est dire la matrice jacobienne AppC 2 L accumulation et la gestion d erreurs 191 L accumulation d erreur La stabilit d un algorithme permet d assurer que l erreur Wf Wt sy inconnue inconnue pr sente a une seule it ration n est pas amplifi e par les it rations suivantes Cepen dant une nouvelle erreur est cr e chaque it ration et s accumule La figure AppC 1 illustre cela dans le cas de l erreur de troncature associ e la m thode d Euler gt x gt lt Dans un cas de stabilit marginale on consid re que l erreur de troncature sans ACCUMULATION AVEC ACCUMULATION s accumul e d une it ration l autre forme Figure AppC 1 Chaque it ration produit une erreur de l erreur accumul e E De m me l erreur troncature gauche Cependant chacune d bute non d arrondi accumul e est not e L erreur PaS avec un point sans erreur mais avec l estim produit par l it ration pr c dente Il y a donc totale accumul e est donc amp amp aecumulation d erreur Une fois que nous avons choisi une m thode dont la stabilit a t v rifi e encore faut il choisir un pa
111. un nerf tait touch tous les axones qu il contient seraient endommag s presque au m me point le long du nerf alors les modifications affectant le code de population seraient sans doute comparables celles que subiraient les trains d impulsions transmis par les neurones individuels En terminant soulignons que dans une population de neurones on rencontre fr quemment des individus qui d chargent de fa on synchronis es ou encore des oscillations dans les taux de d charge des neurones de la population Si l interpr tation du code repose sur la d tection de coincidences il est donc possible que l impact des modifications caus es par un axone endommag soit plus important 1 D 4 Application nos travaux de recherche Le neurone qui est repr sent dans notre mod le num rique est g n rique moyennant des modifications d chelle les r sultats qu il a produit pourraient s appliquer tant aux neurones sensitifs qu aux neurones moteurs ou aux interneurones II n y a donc pas une combinaison unique de schemes d encodage qui soit appropri e Pour cette raison nous 3 Selon Dayan 2001 cette ind pendance de la r action des neurones d une population demeure cependant controvers e 94 Chapitre 1 Guide du d butant avons choisi de caract riser les modifications induites par la zone endommag e d un axone en tenant compte a a fois des ajouts et des d calages temporels d impulsions comme nous le verrons lors de la pr sen
112. une prot ine enzymatique catalyse une r action chimique Au chapitre 3 ce mod le s av rera important pour d crire le courant lectrique caus par l action des pompes Na K Pour l obtenir nous suivons essentiellement le raisonnement pr sent dans Nelson 2008 section 10 4 1 Il importe toutefois de souligner que Nelson fonde le r sultat obtenu sur plusieurs hypoth ses dont plusieurs ne sont pas formellement n cessaires malgr leur int r t p dagogique Pour le moment consid rons une r action chimique simple comme celle illustr e la figure 1 1 6 o un substrat S se lie un enzyme E Il a ensuite une certaine probabilit de se dissocier mais s il reste li l enzyme jusqu au moment o les collision thermiques fournissent l nergie requise ce dernier en r organise les atomes afin de le transformer en un produit P qui est ensuite lib r de l enzyme ce qui permet au processus de recommencer E S ES EP E P quation 1 A 1 16 Chapitre 1 Guide du d butant Nous cherchons pr dire le taux auquel l enzyme permet la synth se du produit P Pour l obtenir il importe de distinguer les concentrations d enzyme dans l tat libre ou li que nous noterons respectivement cg et Ces de la concentration totale d enzyme E Cg Ces Nous allons maintenant faire la seule hypoth se qui est r ellement requise pour obtenir le mod le cin tique que nous recherchons dans la plupart des r actions enzymatiques
113. variation d un ou de plusieurs param tres fait appara tre ou dispara tre des points fixes ou des cycles limites ou encore qu elle en modifie la stabilit dynamique on dit qu il se produit une bifurcation Il existe un grand nombre de bifurcations dont nous allons citer un seul exemple pertinent pour nos travaux Il s agit de la bifurcation de Hopf au cours de laquelle un point fixe se transforme en cycle limite Un des cas les plus simples de syst mes qui pr sentent ce type de bifurcation est en coordonn es polaires t ur r r u r 4 quation AppA 2 0 1 o y est un param tre On voit facilement que pour p lt 0 dr dt est toujours n gatif donc que toute trajectoire tend vers l origine qui est alors un point fixe En revanche pour u gt 0 dr dt demeure n gatif si r est grand mais devient positif pour toute valeur de r lt u En somme toutes les trajectoires tendent vers une trajectoire circulaire de rayon y c est dire un cycle limite On dit qu une bifurcation de Hopf se produit quand p 0 Le mod le HH comporte de nombreux param tres qui peuvent ainsi modifier son comportement Par exemple un faible courant de biais ne fait que d placer le point fixe 172 Appendice A points cl de dynamique non lin aire mais l augmentation de ce courant de biais au del d un certain seuil provoque une bifurcation de Hopf le point fixe stable devient un cycle limite stable En d autres termes la situation de
114. vis e p dagogique Il apporte des pr cisions conceptuelles au sujet du fonctionnement Mode d emploi pour le lecteur xiii d un potentiel d action Il reprend l essentiel du fonctionnement d un neurone normal mais d une fa on nettement plus concise que dans le chapitre 1 Le lecteur d butant dont le temps est compt pourra en tirer avantage Les appendices A et B compl tent les chapitres 1 et 2 le premier en pr sentant des l ments de dynamique non lin aire et le second plus de d tails sur la th orie des courants transmembranaires Ces deux appendices ne contiennent aucun l ment de recherche Partie classique de la th se Le lecteur d j exp riment dans le domaine pourra sauter sans perte de continuit les chapitres 1 et 2 et passer directement la th se classique qui d bute avec l introduction qui pr c de le chapitre 3 Cette introduction annonce le contenu des deux derniers chapitres soit la partie classique de cette th se qui cible plus sp cifiquement mes travaux de recherche et les r sultats qu ils ont produit Essentiellement le chapitre 3 comporte la formulation du probl me de recherche et du mod le de m me qu une revue de la litt rature pertinente Contrairement au chapitre 1 qui ratisse large le chapitre 3 se veut succinct et centr sur le probl me de recherche Le chapitre 4 lui est un article soumis Proceedings ofthe National Academy of Science qui pr sente nos r sultats de
115. 10 on peut d terminer facilement Vmax et Ky Cette t che est encore plus facile si on trace le 18 Chapitre 1 Guide du d butant graphique de 1 ven fonction de 1 S qui a la forme d une droite dont l ordonn e l origine est 1 V 4 et la pente Ky Vinax Guide de lecture 1 A Nous terminons cette section avec quelques conseils de lecture La majorit de cette section ayant t d un niveau extr mement introductif nous privil gions ici des sources qui sont aussi d un tel niveau Les articles de recherche que nous avons cit s n en sont pas moins pertinents mais ils r pondent moins un besoin d introduction En plus des sources crites le lecteur avec ou sans bases en biologie aurait avantage pour visualiser la structure de prot ines a installer le logiciel RasMol ou sa version RasWin qui sont tous deux gratuits Le lecteur dont le niveau en biologie d passe d j celui de cette section 1 A aurait int r t consulter Hille 2001 l une des r f rences les plus reconnues au sujet des canaux ioniques et L uger 1991 qui malgr son ge contient une foule d information sur les pompes De plus nous traiterons plus sp cifiquement des canaux et des pompes la section 1 C Le reste de ce guide de lecture s adresse au lecteur qui a jug n cessaire de lire cette section 1 A en raison de trop faibles bases en biologie Bien que le contenu biologique de la section qui se termine suffise la lecture de la suite de cet
116. 12 Electrophysiological abnormalities in both axotomized and nonaxotomized pyramidal neurons following mild traumatic brain injury J Neurosci 32 19 6682 6687 4 Kocsis JD Devor M 2000 Altered excitability of large diameter cutaneous afferents following nerve injury consequences for chronic pain Progress in Pain Research and Management 16 119 136 5 Liu CN Wall PD Ben Dor E Michaelis M Amir R Devor M 2000 Tactile allodynia in the absence of C fiber activation altered firing properties of DRG neurons following spinal nerve injury Pain 85 3 503 521 6 Kajander KC Bennett GJ 1992 Onset of a painful peripheral neuropathy in rat a partial and differential deafferentation and spontaneous discharge in A beta and A delta primary afferent neurons J Neurophysiol 68 3 734 744 7 Sheen K Chung JM 1993 Signs of neuropathic pain depend on signals from injured nerve fibers in a rat model Brain Res 610 1 62 68 8 Tal M Wall PD Devor M 1999 Myelinated afferent fiber types that become spontaneously active and mechanosensitive following nerve transection in the rat Brain Res 824 2 218 223 9 Liu X Eschenfelder S Blenk KH Janig W Habler HJ 2000 Spontaneous activity of axotomized afferent neurons after L5 spinal nerve injury in rats Pain 84 2 309 318 10 Liu CN Michaelis M Amir R Devor M 2000 Spinal nerve injury enhances subthreshold membrane potential oscillations in DRG neurons relation to neuropathic pain J Neurophy
117. 13 a montr que la formation et le maintien de radeaux lipidiques n est possible qu en pr sence de filaments d actine et notamment que ces radeaux se d sorganisent bel et bien dans les cloques o les filaments d actine sont absents En somme les r sultats pr sent s dans ce bloc ont montr que l apparition de cloques cause un d calage des canaux Nay ce qui cause un influx d ions Na d clenchant la d g n rescence secondaire des axones Comme le montreront les donn es de simulation que nous pr senterons au bloc suivant ainsi que nos propres travaux pr sent s au chapitre 4 le d calage cin tique des canaux Na cause aussi de l activit ectopique li e aux douleurs neuropathiques En somme cloques d g n rescence secondaire et douleurs neuropathiques ne sont plus seulement corr l s il existe d sormais un lien de cause effet entre eux 3 A 4 Hypoth se de travail tout dommage une cellule excitable quivaut un CLS Jusqu pr sent il a surtout t question de l sion axonale diffuse d tirement de cellules et de succion arrachant des membranes leur cytosquelette c est dire de dommages m caniques Toutefois nous devons souligner que des cloques ou une d sorganisation similaire de la membrane apparaissent aussi en cas d isch mie d inflammation de chimioth rapie de maladies d g n ratives du syst me nerveux etc voir Morris 2012a pour une revue Tous ces ph nom nes sont aussi li s de
118. 38 Autres Bohan M 2005 outreach mcb harvard edu animations actionpotential_short swf Bibliographie 163 Boucher PA 2011 Stress driven changes in the kinetics of bilayer embedded proteins a membrane spandex and a voltage gated sodium channel th se de doctorat en physique universit d Ottawa 147 p Chander BS amp Chakravarthy VS 2013 A biophysical model of neuro glial vascular interactions in Advances in Cognitive Neurodynamics lll Springer Netherlands pp 69 75 Crippen DW 2012 Head trauma emedicine medscape com article 433855 French RJ 1974 Finite Difference Methods for the Numerical Solution of the Nernst Planck Poisson Equations in Mathematical Problems in Biology Springer Berlin Heidelberg pp 50 61 GeneEd Inc 2008 youtube com watch v nrTDY SzQ7E Graven L 2013 youtube com watch v b3297GG AM L Heureux I 2012 Notes du cours Physique num rique I Universit d Ottawa Loeser JD et a12011 International Association for the Study of Pain IASP Taxonomy www iasp pain org Content NavigationMenu GeneralResourceLinks PainDefinitions Morris CE 2012b Bleb injured membranes leaky Na channels conf rence projet e a Wright State University en novembre 2012 42 p Okur N et a 2013 dnatube com video 1 105 Understanding Action Potential and Nerve lmpulses Povlishock JT amp Pettus EH 1996 Traumatically induced axonal damage evidence for enduring changes in axolemmal permeability with associa
119. 4 des deux potentiels d action de la figure 1 B3 12 Pas d int gration 10 ms sont quasi identiques r ponses calcul es trois excitations 50 7 mV 20 4 6 mV V mV On peut observer une troisi me pr diction effet de la phase r fractaire importante du mod le HH si on stimule deux reprises le neurone et qu on observe sa r action 15 en fonction de l intervalle de temps qui s pare les deux stimulations Sur la figure 1 B3 13 le neurone a t stimul 10 ms et a re u par la 55 suite une stimulation identique une seconde fois Comme le montrent respectivement la trace 5 ie 2 a6 pe bleue et la trace rouge sur la figure stimuler le temps ms neurone 22 ms ou 27 ms n a pas pour effet Figure 1 B3 13 Le mod le HH pr dit l existence d une de provoquer un second potentiel d action il faut phase r fractaire m thodes voir figure 1 B3 12 20 4 V mV 90 58 Chapitre 1 Guide du d butant attendre t 28 ms trace verte pour ce soit nouveau possible avec ce stimulus En somme le mod le HH pr dit l existence d une phase r fractaire voir sous section 1 B1 D roulement d un potentiel d action Nous allons maintenant nous pencher sur les d tails du m canisme d un potentiel d action sous l effet d un space clamp dont chaque phase sera interpr t e la lumi re du mod le HH Pour ce faire la figure 1 B3 14 se penche sur l un des potentiels d action
120. 530 6540 Poulsen H Khandelia H Morth JP Bublitz M Mouritsen OG Egebjerg J Nissen P 2010 Model for ion transport by the Na K ATPase in a simplified Post Albers scheme Nature 467 pp 99 102 Rasband MN amp Shrager P 2000 lon channel sequestration in central nervous system axons The Journal of Physiology 525 pp 63 73 Ratheal IM Virgin GK Yu H Roux B Gatto C Artigas P 2010 Selectivity of externally facing ion binding sites in the Na K pump to alkali metals and organic cations PNAS 107 43 pp 18718 18723 Reves N amp Gadsby DC 2006 lon permeation through the Na K ATPase Nature 443 7110 pp 470 474 Ridley AJ 2011 Life at the leading edge Cell 145 7 pp 1012 1022 Rigoard P Chaillou M Fares M Sottejeau Y Giot JP Honfo Ga C Rohan J Lapierre F Maixent JM 2009 Applications nerg tiques Na K ATPase et transmission neuromusculaire Neurochirurgie 55S pp S92 S103 Robertson AM Bird CC Waddell AW Currie AR 1978 Morphological aspects of glucocorticoid induced cell death in human lymphoblastoid cells Journal of Pathology 126 3 pp 181 187 Ross SE 2011 Pain and itch insights into the neural circuits of aversive somatosensation in health and disease Current Opinion in Neurobiology 21 6 pp 880 887 Sachs JR 1991 Successes and failures of the Albers Post model in predicting ion flux kinetics Society of General Physiologists series 46 pp 249 266 Sa
121. 59na l quation 1 B2 15 donne V 73 mV pr dit 40 Chapitre 1 Guide du d butant Comme dans le cas de l quation 1 B2 11 l cart entre cette pr diction et la valeur mesur e de 64 mV est d l utilisation de l hypoth se quasi ohmique c est dire l quation 1 B2 4 pour d crire le courant de chaque esp ce ionique Si on utilise plut t l quation Goldman Hodgkin Katz pour les courants quation AppB 12 on obtient plut t que Potentiel de repos cas non ohmique stationnaire deux types d ions KT Six QC ER RE P RES quation 1 B2 16 Vo e 2 DkCintk INa int Na Avec le neurone de calmar habituel o gk 25g9 o les concentrations internes sont de 400 et 50 mmol L respectivement pour le potassium et le sodium et les concentrations externes de 20 et 440 mmol L pour les m mes esp ces ioniques cette quation donne Vo preait 64 MV ce qui correspond de pr s a la valeur exp rimentale La petite diff rence est due au fait que nous avons n glig les courants d ions autres que Na et K Conductance variables De toute la discussion sur la d termination de V retenons surtout l quation 1 B2 11 car elle fournit une intuition pr cieuse en g n ral V est plus proche du potentiel d inversion E correspondant l ion X pour lequel la membrane a la conductance la plus lev e En cons quence si la membrane pouvait subitement augmenter gna d une fa on substantielle son pote
122. 6 Q node of Ranvier are left shifted by the same LS value In some figures nodes Q 1 were also damaged with the same LS value as for node Q We do not consider situations where a distribution of LS values occurs at a same node even though we expect our results to be easily extended to those situations Parameter selection Unless stated otherwise all parameters in the above equations take the values listed in Table S1 Of those the classical parameters C gy 8x Were chosen identical to the ones in 7 The three parameters gx teaks 8k teak Nd Zmay needed to be chosen to cancel the total Na current and the total K currents in the resting state These two constraints for three unknowns left one degree of freedom The last constraint that we considered is qualitative the node should respond readily to a stimulation current which is a small fraction of the total Na current observed during an AP This consideration led us to select a reasonably small Finally three remaining parameters x N and the stimulation amplitude AV to be defined will now be discussed in greater detail Simulations with a damaged axon will be compared with identical simulations on an intact control axon This intact axon should behave normally each time it is stimulated it should fire an AP and each AP fired should be propagated faithfully in all nodes Also behavior should be independent of N the total number of nodes The last three parameters
123. 9 These equations can be numerically integrated using the standard 4 order Runge Kutta method with a 10 ms fixed timestep Initial conditions corresponding to the rest state are V 65 0 mV and the target values of m h and n for this voltage A single AP can be illicited by using a sufficiently higher initial value for V The interested reader can find an abundant literature discussing the HH model in further detail 4 To replace MCs A1 through A3 by a correct picture students should monitor the time course of V Vo 9x and J for a given set of parameters Typical results V mV and V mV 0 5 10 15 20 25 Time since stimulus ms Fig 4 Time course of the membrane potential and its target value during the recovery phase Stimulus at t 0 104 Currents during an AP uA cm 0 10 20 30 Time since stimulus ms Fig 5 Relative size of ionic currents during an AP show that the Jeax is the only significant inward current during V recovery Note that truncated J and J both reach an amplitude gt 800 pA cm are shown in Figs 4 6 V increases followed by V during the recovery period Fig 4 The time scale of this V increase is comparable to 7 and 7 both 6 7 ms when V 70 mV see Fig 3 which is consistent with the fact that V increases both because K VGCs close and Na VGCs recover from inactivation see Eq 4 The fact that V can actually follow V however requires an inward current
124. AppC 1 Le principe de base et les m thodes Le probl me que nous souhaitons r soudre est une quation diff rentielle de la forme d Y f y quation AppC 1 dt assortie d une condition initiale y 0 y Solutionner l quation AppC 1 num riquement consiste obtenir un estim de la solution y t qui d bute la condition initiale Cet estim prend la forme d un tableau de valeurs diff rents temps discrets Le probl me peut aussi tre un syst me de N quations ayant la forme de l quation AppC 1 soit dy dt f y y dy dt g y y etc d terminant N variables y y gt Yy partir de N conditions initiales Afin de simplifier la notation on note un tel syst me 7 f y quation AppC 2 Notez que dans l quation AppC 2 le membre de droite de chacune des N quations peut d pendre simultan ment de chacune des N variables Notez aussi que le membre de droite ne doit jamais d pendre explicitement du temps exactement comme l appendice A Dans l ventualit o ce serait le cas on peut se d barasser de cette d pendance en consid rant le temps comme une variable suppl mentaire Par exemple dy dt 2yt peut AppC 1 Le principe de base et les m thodes 185 devenir si on pose y t le syst me dy dt 2y y et dy dt 1 Nous poursuivrons la discussion en pr sentant des m thodes solutionnant l quation AppC 1 mais le lecteur peut garder en t te qu elles sont toutes g
125. B 25 Il ne reste donc plus qu isoler V Pour ce faire on note que l quation AppB 25 a la forme A Bexp BeV 0 et a donc pour solution V 1 Be In A B On obtient donc voir Sterratt 2011 section 2 4 Hille 2001 chap 14 Potentiel de repos de Goldman Hodgkin Katz gt PCT gt PC x ks T ions ions V jn positifs n gatifs l 07 S Pent X PCa quation AppB 26 int X ext X ions jons positifs n gatifs On note que l quation AppB 26 ne n cessite pas de conna tre chacune des perm abilit s P mais seulement leurs rapports On peut donc tout aussi bien utiliser cette quation avec les conductances lectriques gx proportionnelles aux perm abilit s correspondantes C est ce que nous avons fait dans le chapitre 1 o l quation AppB 26 devient l quation 1 B2 13 Notons aussi que la d monstration supposait quelques tapes que les concentrations taient exprim es en ions par m tre cube et non en moles d ions par m tre cube mais cela n a aucune importance dans l quation AppB 26 seuls les rapports tant importants AppB 3 Le potentiel de repos 183 Cette page est intentionnellement blanche 184 Appendice B courants ioniques potentiel de repos Appendice C Consid rations informatiques Nos travaux de recherche ont suppos de construire un mod le num rique c est dire un mod le th orique qui repr sente l volution d un axone par un syst me d quations diff rentielles dont la s
126. Boucher PA Joos B 2012a Left shifted Na channels ininjured bilayer primary targets for neuroprotective Na antagonists Frontiers in Pharmacology 3 article 19 M ller M Somjen GG 2000 Na and K concentrations extra and intracellular voltages and the effect of TTX in hypoxic rat hippocampal slices Journal of Neurophysiology 83 2 pp 735 745 Nagumo J Arimoto S Yoshizawa S 1962 An active pulse transmission line simulating nerve axon Proceedings of the IRE 50 pp 2061 2070 Nakao M amp Gadsby DC 1989 Na and K dependence of the Na K pump current voltage relationship in guinea pig ventricular myocytes Journal of General Physiology 94 3 pp 539 565 Neher E amp Sakmann B 1976 Single channel currents recorded from membrane of denervated from muscle fibres Nature 260 pp 799 802 Nickel FT Seifert F Lanz S Maihofner C 2012 Mechanisms of neuropathic pain European Neuropsychopharmacology 22 2 pp 81 91 Novak KR Nardelli P Cope TC Filatov G Glass JD Khan J Rich MM 2009 Inactivation of sodium channels underlies reversible neuropathy during critical illness in rats Journal of Clinical Investigation 119 5 pp 1150 Ochab Marcinek A Schmid G Goychuk I Hanggi P 2009 Noise assisted spike propagation in myelinated neurons Physical Review E 79 1 011904 Odom AL 1993 Action potentials and biology textbooks accurate misconceptions or avoidance The American Bi
127. C 2 minimum dans l erreur totale accumul e AppC 3 s lection des points pour la mise en graphique X Liste compl te des figures 169 170 174 181 192 193 198 Liste des equations principales Cette liste exclut les quations qui sont des tapes interm diaires Chapitre 1 Guide du d butant 1 A 7 1 B2 1 1 B2 4 1 B2 5 mod le Michaelis Menten potentiel d inversion potentiel de Nernst courant d une esp ce ionique approximation quasi ohmique potentiel de repos quilibre de Donnan ratio de couplage des courants de pompes potentiel de repos cas lin aire quasi stationnaire conductances d une membrane de neurone de calmar 18 29 31 33 36 38 38 potentiel de repos cas non ohmique quasi stationnaire quation GHK 39 potentiel de repos cas lin aire stationnaire potentiel de repos cas non ohmique stationnaire composantes ioniques du courant transmembranaire quation diff rentielle pour V dans le mod le HH courant de potassium dans le mod le HH quation diff rentielle pour n dans le mod le HH param tres a et B courant de sodium dans le mod le HH quation diff rentielle pour m dans le mod le HH quation diff rentielle pour h dans le mod le HH param tres a et m param tres a et B quation du c ble quation du c ble lin aire mod les du bord d attaque mod le de FitzHugh Nagumo mod le nerg tique de l activation Chapitre 2 Article p dagogique courant
128. D clenchement d activit ectopique et infid lit de la transmission dans un axone endommag une mod lisation fond e sur le d calage cin tique des canaux sodiques Mathieu Lachance B Sc Universit Laval 2003 th se soumise la Facult des tudes sup rieures et postdoctorales dans le cadre des exigences du programme de ma trise en physique Institut de physique Ottawa Carleton d partement de physique Universit d Ottawa gt II uOttawa Mathieu Lachance Ottawa Canada 2014 Sommaire Les neurones endommag s d veloppent de l activit ectopique c est dire qu ils d chargent en l absence de stimulus ce qui engendre ensuite des douleurs neuropathiques Des mesures exp rimentales ont li cette activit ectopique un d calage cin tique coupled left shift CLS des canaux sodiques tensiod pendants Nous avons donc construit un mod le num rique d axone o une portion endommag e subit un tel d calage Deux r sultats fondamentaux et nouveaux sont obtenus 1 En pr sence d activit ectopique une stimulation haute fr quence peut entra ner la zone ectopique de l axone d charger la m me fr quence que le stimulus La propagation est alors presque normale 2 Dans un axone faiblement endommag sans activit ectopique au d part un stimulus temporaire peut d clencher une activit ectopique qui perdure Ceci amplifie le stimulus et peut donc tre li aux sympt mes de douleur
129. EN ES 1 temps s temps s La majorit de Yu 2012 porte sur une interpr tation math matique utilisant les outils de la dynamique non lin aire voir appendice A du m canisme permettant les allers et retours entre les pisodes de STOs et ceux de rafales en traitant E et E comme des param tres les auteurs identifient une partie de l espace des param tres zone de bistabilit o un cycle limite stable cohabite avec un point fixe stable Pendant le syst me oscille proximit du point fixe STOs les pompes font graduellement cro tre Eya et le syst me quitte la zone de bistabilit le point fixe perd sa stabilit dans une bifurcation de Hopf Le seul attracteur devient donc le cycle limite l amplitude des STOs cro t jusqu ce que le cycle limite soit rejoint et une rafale d bute Pendant la rafale Ena diminue et le syst me revient dans la zone de bistabilit Au d part il demeure sur le cycle limite mais il rejoint ventuellement une zone de doublement de p riode voir l appendice A et finit donc par entrer plus ou moins au hasard dans le bassin d attraction du point fixe stable Les rafales cessent et des STOs d amplitude d croissantes apparaissent Le sc nario se r p te ensuite Principaux r sultats num riques propagation le long de l axone Dans notre groupe de recherche relativement peu de travaux ont t r alis s jusqu pr sent pour tudier l effet du CLS sur la propagati
130. L effet de la my line Avec le mod le de la figure 1 B3 17 la question de l applicabilit du mod le HH ne d pend plus que de la composition des membranes de chaque compartiment et devient enti rement ind pendante de la pr sence ou non de my line En effet le mod le HH sert d crire les courants traversant une membrane il ne suppose aucune hypoth se sur la nature la taille ou la forme des compartiments dont cette membrane fait partie Quel est donc l effet de la my line Cette derni re a une paisseur consid rable pouvant atteindre 2500 nm Sanders 1948 et elle est faite d un corps gras semblable de l huile voir section 1 A Par cons quent on peut la consid rer comme un tr s bon isolant lectrique ce qui a deux effets Premi rement le courant net qui traverse la membrane vers le milieu extracellulaire dans les compartiments my linis s est n gligeable comparativement celui qui traverse dans les compartiments non my linis s Dans le mod le HH ceci quivaut r duire toutes les conductances des compartiments my linis s par un facteur commun qui n affecte pas la validit du mod le et peut tre aussi lev que souhait en premi re approximation nous supposons que ce facteur est infini et qu aucun courant ne traverse Ainsi la composition des membranes dans les compartiments my linis s n a plus aucune importance Deuxi me effet consid rant l paisseur de la my line qui est 20 500 fois
131. Na proc de par un m canisme analogue celle des canaux K le mouvement des h lices S4 Par contre leur inactivation d pend d une portion de polypeptide que les Na n ont pas en commun avec les canaux K et qui peut boucher le pore Les portes d activation et d inactivation des canaux Na sont donc bel et bien distinguables comme le suppose le mod le HH Cependant ce mod le fait aussi l hypoth se que ces deux portes n ont aucun lien entre elles et d pendent chacune directement de V C est l que le b t blesse Aujourd hui on consid re que l inactivation doit attendre l activation pour se produire et que la d sactivation doit largement attendre la r cup ration de l inactivation pour se produire Selon l isoforme l inactivation d un canal ouvert peut tre un processus enti rement ind pendant de V il ne semble alors d pendre de V que parce qu il attend l ouverture du canal pour se produire et que cette derni re elle d pend de V Dans d autres cas l inactivation d pend aussi de V bien qu elle soit surtout coupl e l activation Un premier signe de ce lien entre l activation et l inactivation a t obtenu en mesurant le courant d au mouvement de la charge des senseurs de tension Armstrong 1977 Pour faire une telle mesure on effectue un premier voltage clamp qui fait passer le potentiel de membrane de V une valeur d polaris e suivi d un second saut provoquant un retour V Quand l activation et la d sacti
132. S 4 mV TD 500 ms stim E q 0 2 ms 20 70 no noise 2 10 A 0 00125 A 0 0025 0 e A 0 03 0 100 50 stim frequency Hz Fig 6 Effects of stochasticity a Indidelity as a function of fstim for increasing stimulation jitter at node 1 The Gaussian jitter has zero mean and standard deviations as listed b Infidelity as a function of fstim with dynamic current noise modeled as Gaussian white noises added independently in Eq S1 for all nodes see SI described in the SI Here LS 4 mV so that curves can be compared with the deterministic result green curve in Fig 4a reproduced here Examples of jittered and noisy time series are shown in Fig S7 As shown on Fig 6a the mildest jitter standard deviation 1 ms has a negligible effect on infidelity However increasing the jitter further increases infidelity in the propagation window eventually destroying the window completely Dynamic noise has richer effects while strong noise obliterates the propagation window weak noise A lt 0 015 two curves on Fig 6b does the opposite it improves the propagation band This is a novel instance of noise assisted propagation based on stochastic resonance 39 40 here in a pathological context lonic gradient depletion gives propagation window a finite lifetime Simulations in the ectopic regime reported in Figs 2 6 were run with E and Ex fixed at healthy values implemented by using a zer
133. Une autre possibilit est d utiliser la m thode du cell attached patch clamp voir sous section 1 B3 Il existe aussi des m thodes alternatives comme les teintures sensibles au voltage Lauger 1991 chap 5 1 B1 1 Le potentiel de membrane 21 equipement r el le milieu extracellulaire est souvent consid r comme mis a la terre donc on choisit son potentiel comme V 0 Ainsi par convention AV Vw Pour cette raison on peut r f rer cette derni re grandeur en l appelant indiff remment diff rence de potentiel de membrane AV ou potentiel de membrane V Nous privil gierons la seconde appellation Notez qu des fins de simplicit de la notation nous abandonnons l indice int et identifierons le potentiel de membrane par le symbole V 1 B1 2 R actions du potentiel de membrane une perturbation En utilisant diverses m thodes on peut perturber localement le potentiel de membrane d une cellule Par exemple en se servant d une lectrode du m me genre que celles sch matis es la figure 1 B1 1 on peut injecter une petite quantit de charge lectrique l int rieur de la cellule ce qui conduit une augmentation locale de V qui devient donc moins n gatif On dit que la membrane est d polaris e Au lieu d injecter une charge on peut aussi en retirer on assiste alors une diminution locale de V qui devient donc plus n gatif On dit que la membrane est hyperpolaris e Quelle que soit la cellule on
134. V and all faim gt 20 Hz this ectopicity triggering number of spikes depends on LS alone It appears to also depend on frequency but only when fum lt 20 Hz and LS is low because Na K pumps then have some time to partially replenish gradients between successive APs High frequency periodic stimulation can drive the ectopic node s We now consider axons where the damaged node s exhibits spontaneous ectopic firing 3 75 mV lt LS lt 10 75 mV We will show that propagation can still be achieved by overriding the ectopic site Stimulation is periodic unless otherwise specified Below f denotes the ectopic firing frequency or resonant frequency of damaged Chapitre 4 Article de recherche a phase locking of damaged node b with phase locking ftim 83 3 Hz gt fo a 2 mar prog B CCM 2 100 stim begins SS j phase no phase a 75 i after a settling time e node 1 A 8 e locking locking g node 6 is driven s node 6 E stim 80 0 Hz 0 200 400 time ms 600 800 1000 3 3 Sa c no phase locking iim 57 1 Hz lt fo oo sis 6 0 eur Grevivausennvanstres l ramon III IIA g 400 e ms 500 600 E 0 200 400 time ms 500 800 1000 Fig 2 Phase locking of damaged node a Steady state damaged node frequency as function of LS Blue ectopic frequency f without stim dark red and green frequency f with stim Note that f fim when fo lt fi Dut that f fg When fy
135. a ne une changement d nergie libre AG AG qVdd si le changement d environnement est en cause seul AG serait affect la membrane d sorganis e tant plus mince et plus fluide il para t raisonnable que AG diminue Or cette diminution est quivalente math matiquement remplacer V 5 Cette situation est distinguer des canaux dysfonctionnels channelopathies dus des malformations g n tiques par exemple 3 A 3 D calage cin tique coupl CLS des canaux Na 121 par V CLS comme l a lui aussi signal Boucher 2011 Autres confirmations Depuis 2009 de nombreux r sultats exp rimentaux ont t publi s et vont dans le sens du mod le expliquant le d calage cin tique coupl par l interaction entre les canaux Na et leur environnement lipidique d grad D abord nous savons main tenant que la structure des canaux est cruciforme et non cylindrique voir figure 1 C2 1 favorisant une forte interaction avec la bicouche Ensuite l effet qu ont les lipides adjacents a davantage t tudi notamment Zheng 2011 voir aussi Phillips 2009 Dart 2010 et Jiang 2012 pour des revues Morris 2011 pour une discussion ce qui confirme que des canaux Nay ainsi que de nombreux autres canaux sont ins r s dans des radeaux lipidiques et que leur interaction avec ces radeaux a un effet sur leur cin tique d activation Cependant aucun r sultat n est encore disponible pour l isoforme Na 1 6 pr cis ment Enfin Dinic 20
136. a m decine a espoir de sauvegarder chez les patients souffrant de diverses neuropathies Les questions de recherche qui nous guident peuvent tre group es en deux th mes que nous abordons dans l article pr sent au chapitre suivant e l effet du CLS sur la propagation e la pr diction d une amplification douloureuse des stimuli Le premier th me est stimul par le verrouillage de phase qui bien qu il n y tait pas discut pouvait tre d duit d une des figures de Boucher 2012 Supposons que des potentiels d action normaux arrivent au noeud endommag avec une fr quence fixe en provenance du d but de l axone on peut se demander dans quelle mesure le verrouillage de phase permettra de transmettre ces potentiels d action Quelle importance relative a la p riode transitoire entre la d but de la stimulation et l obtention du verrouillage Et une fois le verrouillage obtenu quelle importance a la diff rence de phase qui subsiste s il y a lieu Dans l article du chapitre 4 nous caract risons l effet de l amplitude du CLS et de la fr quence des potentiels d action incidents sur ces deux questions Nous testons aussi la transmission de trains complexes de potentiels d action o la fr quence n est pas constante et l effet du bruit provenant des pompes et des canaux Le second th me est plus exploratoire Boucher 2012 liait ses r sultats la perte de conscience imm diate qu on observe en cas de traumatisme cr nien al
137. abituellement un polypeptide ayant adopt sa conformation alors que le terme polypeptide d signe la 12 Chapitre 1 Guide du d butant seule structure primaire L information sur la s quence d acides amin s utiliser pour constituer la structure primaire est contenue dans un g ne du bagage g n tique En fait c est le seul niveau de structure qui est directement cod dans l ADN Cette information est utilis e par les ribosomes des organites sp cialis s dans la synth se des prot ines partir de l information g n tique Pour joindre ensemble les acides amin s et former le polypeptide un ribosome catalyse une r action chimique qui fusionne le groupement COOH d un acide amin avec le groupement NH de l acide amin suivant cette r action retire une mol cule H 0 et forme un nouveau lien covalent le lien peptidique entre les atomes N et C de ces deux groupements La figure 1 A 7 illustre ce proc d dans le cas d un court polypeptide qu on fait passer de deux trois acides amin s Selon les prot ines un polypeptide peut tre form de la juxtaposition d une centaine d acides amin s ou de plusieurs milliers d entre eux Le polypeptide a donc la forme r p titive CHR CO NH CHR CO NH CHR o les R d signent des cha nes lat rales qui sont en g n ral diff rentes Comme le montre la figure 1 A 7 cette cha ne peut tre vue comme un squelette form d une succession toujours identique de trois p
138. able car m 0 01 donc m h 1077 C est donc le courant de fuites qui est le principal responsable de l ajustement de V pendant la phase de r cup ration Pour le montrer nous avons calcul les conductances et les courants chacun des points du graphique V t de la figure 1 B3 12 le r sultat apparaissant la figure 1 B3 15 Figure 1 B3 15 L tude des conductances et des courants pendant un potentiel d action permet de __ d couper le m canisme de ce dernier en trois Sur cette figure on constate d abord qu au phases Notez l chelle logarithmique 30 temps ms 60 Chapitre 1 Guide du d butant repos avant la stimulation qui survient t 10 ms les conductances gk et g sont comparables alors que gna leur est nettement inf rieure Pendant la phase de r cup ration le courant de sodium est encore plus faible et le courant de fuites parvient peine contrecarrer le courant de potassium On pourrait tre tent d en conclure que cette comp tition explique que la remont e de V est tr s longue mais c est plut t le d lai de r action de g qui l explique Au chapitre 3 nous verrons que le d calage cin tique des canaux sodiques fait en sorte que la phase r fractaire est raccourcie et que la remont e de V vers V est plus rapide Quelques id es fausses viter Enfin l enseignant que nous sommes ne saurait terminer ce bloc sans souligner les erreurs conceptuelles fr quentes rencontr es au
139. activit ectopique un fort niveau d oscillations inf rieures au seuil une sensibilit accrue aux stimulus m caniques ou thermiques et une augmentation de l expression de canaux Na dans les nocicepteurs qui n taient pas initialement affect s Cette s quence de ph nom nes est un cas de sensibilisation p riph rique e Que ce soit sous l effet d une l sion directe ou en cons quence d une sensibilisation p riph rique les neurones du tractus spino thalamique peuvent augmenter leur activit d arri re plan background activity et augmenter leur taux de r ponse aux stimulus En particulier ils peuvent se mettre r pondre des stimulus normalement indolores Cette s quence de ph nom nes s appelle la sensibilisation centrale Encore ici l expression des canaux Na est impliqu e e Ensuite quand les neurones sensitifs initialement l s s finissent par mourir d autres changements l excitabilit du syst me nerveux central peuvent survenir Ces changements peuvent tre tr s intriqu s Par exemple un neurone m canosensible responsable d une sensation non douloureuse peut avoir pour effet d activer un interneurone qui inhibe les parcours de nociception En son absence ce dernier parcours devient plus sensible En somme nous avons montr que les cloques affectant la membrane d un axone l activit ectopique la d g n rescence secondaire et les douleurs neuropathiques sont des ph nom nes qui bien que n
140. aintien d amplitude n cessite l injection constante d nergie en effet la propagation du potentiel d action le long de l axone reposant in vitablement sur des mouvements de charge il y a forc ment dissipation d nergie dans la r sistance lectrique de l axoplasme en l absence d injection constante d nergie le potentiel d action perdrait donc de l amplitude Nelson 2008 chap 12 voir aussi Scott 2002 o ce th me est r current La sous section 1 B2 claircira l origine de cette nergie Cette capacit maintenir sa forme est ce qui permet au potentiel d action de se propager sur de longues distances c est dire toute la longueur des axones alors que les potentiels gradu s ont rarement de l influence au del de quelques millim tres Sterratt 2011 chap 2 4 8 Le potentiel d action est donc la fois un v nement qui se prolonge dans le temps mais aussi qui se prolonge dans l espace Il a certaines des caract ristiques d un soliton Scott 2002 chap 4 comme par exemple un tsunami et qu on peut donc en parler en employant le m me vocabulaire un m me tsunami progresse sur une longue distance et dure dans le temps De la m me fa on c est le m me potentiel d action qui circule d un bout l autre d un axone En revanche le potentiel d action se distingue des vagues ordinaires qui sont lin aires s estompent mesure que leur nergie se dissipe et peuvent se croiser sans alt rer leur forme Ces de
141. aire faire un saut brutal au potentiel de membrane V en modifiant la valeur cible de l amplificateur effectuant le voltage clamp et mesurer le courant de r ponse qui s en suit Ce courant de r ponse ressemble celui qui s coulerait pendant une tape donn e d un potentiel gradu ou d un potentiel d action selon l intensit du saut impos V En outre on observe qu il est nettement plus important que les petits courants de fuite de chaque esp ce ionique qui s coulent quand le neurone est au repos En vertu d exp riences pr c dentes Hodgkin 1949 Hodgkin et Huxley supposaient le sodium et le potassium taient les deux seules esp ces ioniques responsables de ce courant de r ponse du moins chez le calmar Le courant total traversant la membrane pouvait donc tre mod lis comme la somme de trois composantes celle du sodium celle du potassium et celle de toutes les autres esp ces ioniques confondues notamment Cl les courants de pompes tant n glig s L usage veut que ce courant des autres esp ces ioniques soit appel courant de fuite Jaits Si bien qu on crit Courants dans le mod le Hodgkin Huxley Jota Jna Fe Ed quation 1 B3 1 total fuites Consid rant l importante concentration d ions CI voir figure 1 B2 3 on peut consid rer que le courant de fuites est compos essentiellement de cette esp ce ionique L quipement de Hodgkin et Huxley ne leur permettait que de mesurer le courant tot
142. aires d atomes NH CH et CO squelette auquel se greffent les cha nes lat rales une chaque CH fi OH iii OH lien peptidique S S de SH de en CH CH2 de gt Ch CH Ge H H H H H H H it mas O N t eos fii I st o c c c c c H O H O x H O H O H O H O squelette r p titif Figure 1 A 7 Quand des acides amin s sont regroup s pour former un polypeptide ce dernier comporte un squelette r p titif en gris droite auquel sont greff es des cha nes lat rales en vert Figure adapt e de Campbell 2007 Structure secondaire des prot ines Deux polypeptides diff rent par la nature des cha nes lat rales des acides amin s qui les composent mais comportent n cessairement le m me squelette Or deux des trois groupements qui composent ce squelette NH et CO sont polaires et forment donc des ponts hydrog ne avec les omnipr sentes mol cules d eau Cependant des groupements NH et CO situ s quelques acides amin s d intervalle l un de l autre peuvent former des ponts hydrog ne entre eux plut t qu avec les mol cules d eau La croissance de l entropie surtout celle des mol cules d eau favorisera statistiquement une situation plut t que l autre notamment selon la temp rature ambiante 5 Un g ne est un segment d une mol cule d ADN Sauf quelques exceptions il existe une correspondance un g ne un polypeptide Quand la cellule re oit le stimulus qui la pousse synth
143. al qui traverse la membrane c est dire le membre de gauche de l quation 1 B3 1 Pour identifier s par ment le courant de sodium et le courant de potassium ils ont d abord suppos s que ces deux courants prennent pendant la r ponse une excitation une valeur nettement plus lev e que celle du courant de fuites Imm diatement apr s un saut brutal de V on peut donc estimer que Jeta Una Jk Hodgkin 1952b p 461 Ensuite ils ont r p t l exp rience en modifiant la concentration en sodium de la solution extracellulaire de fa on affecter la valeur de E Il devint donc possible de s parer le courant total en deux composantes l une qui d pend de la concentration externe de sodium et l autre qui n est pas affect e par elle En supposant que ces deux composantes 15 Lors d un saut de voltage clamp le courant total mesur comporte aussi un bref pic d au mouvement des ions qui doivent charger la capacit lectrique de la membrane son nouveau potentiel V Ce pic est ignor et retir dans la figure 1 B3 2 qui ne concerne que les courants traversant la membrane 1 Les ions sodium taient remplac s par une autre esp ce ionique la choline dont la taille est telle que la membrane y est compl tement imperm able Ce remplacement permettait cependant de conserver la pression osmotique Le potentiel de repos tait l g rement d cal avec la choline mais les valeurs utilis es pour les sauts du potentiel de membra
144. and its complications are under intense scrutiny A model of incipient mild nerve injury provides fertile ground to study a host of pain related phenomena including allodynia like amplification of normally benign stimuli Here we have studied the interaction of a stimulated node and a one or three node damaged zone in a mildly damaged axon Damage was modeled as an irreversible coupled left shift CLS of activation and inactivation processes in the Nav channels a form of Nav leak that a growing body of evidence links to mechanical or chemical injuries in various types of excitable cells 24 41 42 see also 43 Depending on the magnitude of LS two behaviors were observed either the unstimulated system settled to a fixed point or its damaged node immediately exhibited periodic ectopic firing There were no situations where it started firing ectopically only after a delay These two dynamical behaviors underlie our two main findings observed in the presence of pulsatile AP like stimulation Firstly we showed that a mildly damaged node of Ranvier below the range of LS values that lead to ectopic firing in the absence of stimulation can switch behavior and become an ectopic site once the K concentration gradient is sufficiently depleted Fig 1 This resembles an afterdischarge 44 but occurs before the end of the stimulus This result provides a mechanism by which a small stimulus normally causing 6 APs in the case illustrated on Fig 1a
145. ant des pompes Na K a un effet hyperpolarisant Tenir compte de ce courant suppl mentaire devrait donc rendre chacune de nos deux pr dictions plus n gative approchant celle de l quation 1 B2 11 de la valeur mesur e mais loignant celle de l quation 1 B2 9 Mod le de la membrane stationnaire deux types d ions Les quations 1 B2 11 et 1 B2 13 sont des mod les quasi stationnaires car la pr sence de courants ioniques m me si ces derniers s annulent entre eux de fa on former un courant total nul cause quand m me un tr s lent transfert de chaque esp ce ionique au travers de la membrane Ce transfert affecte surtout les ions Na et K qui ont les courants les plus lev s le courant J 0 car Vz Ex Dans les quations 1 B2 11 et 1 B2 13 ce lent transfert n est compens par aucun m canisme de pompage car on y a SUPPOS QUE Una pmp Yk pmp O 1 B2 7 Les conductances de la membrane d terminent le potentiel de repos 39 On peut am liorer notre pr diction fond e sur l quation 1 B2 11 en modifiant nos hypoth ses pour tenir compte aussi des effets tr s long terme Pour ce faire on doit non seulement respecter l quation 1 B2 10 mais aussi s assurer que les concentrations de Na et K sont stables de chaque c t de la membrane ce qui requiert Jya Jnapmp O et Jk Jk omp 0 c est dire Ona Vo Ena 0 gk Vo E jaa Na pmp 0 quation 1 B2 14 K pmp Cette fois notre h
146. applied to a single node will trigger ectopic activity or block propagation 27 In those computations LS was tested from zero to 30 mV as it increased the damaged node first became hypersensitive then spontaneously active ectopic at increasing frequencies until above a certain LS the adjacent healthy nodes were unable to follow Thereafter only a fraction of the APs was transmitted and plotted against LS this fraction showed a sequence of plateaus ie phase lockings interlaced with narrow ranges of aperiodic behavior When stimulated the damaged axon achieved faithful transmission for small CLS but showed phase locked propagation pattern with failures at higher LS values 27 These studies of saltatory conduction explored a wide range of LS values 0 Significance Propagating nerve impulses rely on Na K fluxes through axonal membranes The fluxes are mediated by voltage gated channels and restored by Na K pumps With Na channel leakiness typical of damaged membranes overstressing the pumps our model axons become vulnerable to further use dependent impairments This could explain baffling excitability dysfunctions of mildly injured excitable cells First mildly damaged but quiescent axons receiving normal impulse traffic from upstream neurons can abruptly switch to generating ectopic neuropathic pain like or epileptiform barrages of impulses Second and perhaps counter intuitively more intensely damaged sites firing
147. art of that syndrome 20 providing a plausible mechanistic explanation for Nav leak in sick excitable cells 24 26 Using recombinant Nav 1 6 node of Ranvier Nav isoform Wang et al 24 showed via Na dye and voltage clamp experiments that cellular trauma directly elicits TTX sensitive Na loading and that membrane aspiration which produces bleb damage progressively and irreversibly causes what now is termed Nav CLS or coupled left Output infidelities modeled in mildly damaged axons shift 27 With bleb damage Nav channel activation and inactivation availability undergo irreversible shifts in the hyperpolarizing direction left shift Given the tight kinetic coupling between fast activation and fast inactivation in Nav channels 28 29 their damage induced shifts will have the same magnitude LS 24 Because the steady state g V left shifts this corresponds to a Nav leak Thus for mild CLS which is what interests us here the steady state g V in the healthy V range will increase putting ion homeostasis under stress with the pumps continually overworked Previous node of Ranvier modeling established that when pumps are included in the system mild CLS alone induces action potential AP bursting 27 in conjunction with subthreshold oscillations STOs 30 Such ectopic activity is a feature of neuropathic pain and is also seen in epileptic discharge 2 31 With ion gradients held fixed a large CLS
148. as de risque de confusion nous utiliserons l indice pour d signer les grandeurs axoplasmiques et l indice m pour les grandeurs membranaires axolemmales D apr s la figure 1 B3 16 on pourrait penser que la conductance axoplasmique x est mesur e en siemens et qu elle quivaut a A pAx o A est la section de l axone et Ax la longueur du compartiment L quation 1 B3 14 contredit cette id e En effet les premiers termes de cette quation tir s de l quation 1 B3 2 sont des courants par unit de surface de membrane Comme le nouveau terme est lui aussi divis par C la capacit par unit de surface de membrane xa donc fait l objet d une conversion appropri e pour s exprimer elle aussi en mS cm de membrane elle quivaut donc x Ageetion PAX Ant rar 120A o r et Ax sont respectivement le rayon et la longueur du compartiment Limite analytique Dans une tude num rique comme la n tre l quation 1 B3 14 a d j la forme appropri e pour tre int gr e num riquement par un ordinateur l appendice C d bute avec les m thodes utilis es a cette fin II ne reste qu choisir la longueur des compartiments et ajuster x en cons quence Par contre si on souhaite faire une tude analytique on doit trouver une fa on de faire tendre Ax vers z ro On reconnait que le dernier terme de l quation 1 B3 14 a la forme d un sch me discret correspondant une d riv e seconde seule la division par Ax tant manq
149. as des pompes Na K l tude de la cin tique des canaux repose sur des dizaines d exp riences distinctes que nous n allons pas revoir ici Par contre du vocabulaire de base sur ces techniques peut tre requis au lecteur qui pr voit entreprendre une revue de litt rature pour la premi re fois Nous pr sentons donc nouveau une liste de quelques termes pertinents en plus de ceux d j utilis s ci dessus qui ne pr tend pas tre exhaustive e Comme dans le cas des pompes Na K on peut tudier les canaux l aide d inhibiteurs qui les bloquent de fa on r versibles Le t tra thylammonium TEA inhibe bien des isoformes des canaux K alors que la t trodotoxine TTX fait de m me pour les Nay Ainsi quand un article rapporte qu un courant ou une conductance est T TX sensitive cela r v le que les canaux Na sont impliqu s d une fa on ou d une autre e Les techniques de marquage pr sent es dans le contexte des pompes Na K s appliquent aussi dans le cas des canaux Il en va de m me du clivage d un enzyme e La nomenclature des canaux a volu et certains utilisent encore des noms historiques Par exemple les canaux de la famille K 1 sont encore appel s shaker channels une r f rence aux tremblements des drosophiles o elles ont t identifi es 90 Chapitre 1 Guide du d butant 1 C2 5 L volution et les fonctions des canaux Comme dans le cas des pompes Na K l origine des canaux peut raisonnablement
150. assiste une cascade de as feuillet B formation 7 de ponts f hydrog ne Figure 1 A 8 La structure secondaire est un agencement r p titif internes la fa on d une cha ne gq des ponts hydrog ne entre les atomes qui composent le de dominos squelette du polypeptide Figure banque ERPI Dans la premi re des deux configurations illustr es la figure 1 A 8 qu on appelle une h lice a chaque groupement NH forme un pont hydrog ne avec le groupement CO situ un intervalle de quatre acides amin s Ces nombreux ponts hydrog ne contraignent le squelette du polypeptide conserver une forme h lico dale qui donne son nom la structure obtenue Dans une seconde configuration qu on appelle feuillet B ou feuillet pliss B le squelette forme un coude a 180 plus ou moins serr non illustr de fa on a ce que deux tron ons antiparall les en soient plac s c te c te Dans cette configuration chaque groupement NH ou CO d un tron on forme un pont hydrog ne avec les groupements CO ou NH respectivement de l autre tron on Certains polypeptides peuvent se replier de fa on aligner plusieurs tron ons antiparall les deux deux tous c te c te o chaque tron on forme des ponts hydrog nes avec les tron ons situ s de chaque c t Il y a trois tron ons dans le cas illustr la figure 1 A 8 Les nombreux ponts hydrog ne contraignent les tron ons deux ou davantage rester rectilignes c te c te da
151. ated film produced by a Harvard outreach program All of these incorrect causes can be ruled out using simple theoretical arguments First consider MC A1 As said in part Il stoichiometric studies show that Na K pumps export 50 more Na ions than they import K ions thus causing an outward current Not only this cannot cause a Vincrease but it hinders it since an inward current is required Of course Na and K ions that crossed during an AP eventually need to be pumped back but given the relative intensity of pump currents this process is extremely slow orders of magnitude longer than the duration of an AP and therefore has little effect on V Identical arguments rule out MC A3 as mentioned in part Il the slow decrease in g during phase 3 contributes to a slow increase of V but in no way can an outward flow of K ions help V follow that increasing V an inward current is needed Sodium currents involved in MC A2 have the correct direction through the membrane Thus MC A2 can only be ruled out once quantitative simulations in project will have shown that Jy lt lt Jieak during phase 3 see part IV leak Finally consider MC A4 in which sodium ions entered during phase 1 and potassium ions leaving the cell during phase 2 are seen as taking much time to equilibrate with the volume they just entered which somehow would discharge the membrane capacitance Even though the sodium entering the cell during phas
152. ates more retropropagated APs that need to be annihilated by input APs before steady state 1 1 phase locking is achieved Further for a given LS the 143 a 1 damaged node Fa T 30 500 ms stim 2 q 0 2 ms 20 r 0 2 10 8 0 100 b 1S 3mV 40 LS 4mv Fa e S 7 mV an s 15 10mv 20 LS 17 5 mv 4 3 10 5 o 0 50 100 stim frequency Hz fim evaluated with q 0 2 ms for ti 310 8 810 8 ms i e interval between first and last spikes in the control system s output Note the wide minimum occurring in a band of large frequencies This propagation window corresponds to him gt fo cases b Same with CLS affecting nodes 5 7 instead of only node 6 Note that the propagation window still occurs even though it s less contrasted Both panels include non physiologically relevant points fj gt 85 1 Hz to show that ectopic node s dominates the axon again when propagation failure starts occurring Fig 4 Propagation window a Output infidelity as a function of f settling time decreases with increasing fim reaching its minimal value fOr fiim fax the maximum 1 1 propagation frequency see Fig 2 and Fig Slc Thus the settling time can never be zero During settling time output spike trains from control and damaged systems can differ significantly The phase difference between the outputs of the control and damaged systems also an increasing function of LS is mos
153. ations are a limiting behavior of our model not a feature of an entirely different model it also promotes comparability of the results Leak currents The sixth term in Eq S1 is the regular HH unspecified leak current of the HH model given by Drea Steak V Eear S9 However when pumps are added in the model specified leak currents Tx leak are also required indeed the total Na and K currents found between square brackets in Eq S8 need to both be zero when the node is at rest Since the pump current is never zero and since there is a window current involving Jya and J even at rest potential specified leak currents are needed to balance total Na and total K currents separately 2 They are given by Lx teak amp x teak V E X Na K S10 All equations were solved with RK4 method with variable timestep implemented on a PC using code in C language The variable timestep was adjusted as suggested in 6 the 5th order term was monitored and kept just below a 4x10 target This term was then added to the 4th order RK4 result 147 Damaged node s of Ranvier In our computational model irreversible CLS of activation and inactivation of the Nav channels is readily modeled by shifting the voltage dependence of a B and B by an amount LS i e replacing V by V LS in Eq S6 in the damaged node s only Individual channels are not modeled explicitly rather we assume all channels in the damaged i
154. att C Lesage F No l J Delmas P 2013 Kv1 1 Channels Act as Mechanical Brake in the Senses of Touch and Pain Neuron 77 5 899 914 49 Lisney SJW Devor M 1987 Afterdischarge and interactions among fibers in damaged peripheral nerve in the rat Brain Res 415 1 122 136 50 Vucic S Kiernan MC 2006 Novel threshold tracking techniques suggest that cortical hyperexcitability is an early feature of motor neuron disease Brain 129 9 2436 2446 51 Baron R Binder A Wasner G 2010 Neuropathic pain diagnosis pathophysiological mechanisms and treatment Lancet Neurol 9 8 807 819 Chapitre 4 Article de recherche Supporting information Lachance et al SI Methods Intact nodes of Ranvier Each of the N 10 nodes of Ranvier was modeled as an isopotential compartment with membrane voltage V given by cv t dt pump i t L Na leak i S1 t Tk iaki t Leak t KV t V 2V where i 1 Nis the node number The last term on the RHS is the inter compartment current and uses V V and V Vy boundary conditions The six first terms are transmembrane currents the two currents Na and K controlled by voltage gated channels VGC the currents mediated by the population of Na K pumps and three ohmic leak currents sodium potassium and unspecified VGC currents The voltage gated sodium and potassium currents were modeled using the equations of the Hodgkin Huxley HH model 1 with the usual k
155. au CLS chec de propagation dans un axone avec CLS fm fixe verrouillage de phase dans un axone avec CLS fim fixe r capitulation du mod le Hodgkin Huxley Chapitre 4 Article de recherche d clenchement d activit ectopique verrouillage de phase dans un axone avec CLS plusieurs fym impact sur le train d impulsions propag minimum dans l infid lit de la transmission concentrations fixes effet de l enflure et du ratatinement LS 4 mV effet des fluctuations de f et du bruit mise au point du mod le de contr le effet de Ena et E sur l activit ectopique valeur seuil de Epa et Ex m trique de Victor amp Purpura comme mesure de l infid lit effets des param tres sur l infid lit effet de l enflure et du ratatinement plusieurs LS exemples de s ries temporelles avec fluctuations de f ou avec bruit stim minimum dans l infid lit de la transmission concentrations variables Liste compl te des figures 100 101 104 104 104 104 105 105 107 114 114 115 116 117 118 119 119 120 124 124 125 126 126 130 Appendice A Points cl de dynamique non lin aire AppA 1 point fixe du mod le HH AppA 2 cycle limite dans le mod le HH AppA 3 verrouillage de phase et suite de Farey dans un oscillateur forc Appendice B Courants ioniques potentiel de repos AppB 1 approximation ohmique vs courant GHK Appendice C Consid rations informatiques AppC 1 concept d erreur accumul e App
156. au lipidique que la cr ation d une cloque d sorganise ce radeau et que dans un environnement lipidique diff rent les senseurs de tension du canal se d placent avec plus de facilit vers la position correspondant l ouverture Pour soutenir cette explication ils citent les travaux de simulation de Patra 2005 montrant que le profil des forces moyennes parall les la membrane exerc es sur une prot ine transmembranaire est compl tement diff rent selon que la membrane est compos e seulement de phospholipides ou d une quantit gale de phospholipides et de cholest rol comme dans un radeau lipidique Toujours pour soutenir cette explication le m me laboratoire a effectu des mesures sur des canaux Na 1 4 comparant le comportement des canaux d une m me patch des dommages de plus en plus importants Morris 2012b pp 25 28 les mesures obtenues montrent un CLS croissant graduellement chaque canal conform ment au sc nario voulant que la d gradation de la membrane soit graduelle Si le CLS tait caus par la dissociation du canal et d un partenaire lipidique par exemple la r ponse ne serait pas graduelle Il vaut aussi la peine de souligner que cette explication du d calage cin tique coupl e est coh rente avec le mod le nerg tique de l activation pr sent dans Hodgkin 1952e selon lequel l ouverture d un canal caus e par le mouvement d une large q par une distance dans une membrane d paisseur d entr
157. aux mesures historiques de Hodgkin et Huxley faites sur les axones de calmar mais gardons en t te qu il est aujourd hui possible la fois de les reproduire avec des techniques plus modernes et de les interpr ter en termes de canaux ioniques 1 B3 2 Le mod le Hodgkin Huxley partir de leurs mesures Hodgkin et Huxley ont construit un mod le expliquant quantitativement le m canisme d un potentiel d action dans l axone g ant du calmar Hodgkin 1952a b c d e Dans ce bloc nous pr sentons succinctement ce mod le qui porte aujourd hui leur nom une pr sentation plus d taill e pouvant tre trouv e dans une multitude de manuels notamment Scott 2002 Sterratt 2011 chap 3 ou Hille 2001 chap 2 de m me que dans les cinq articles originaux surtout le dernier Plus rigoureusement nous devrions sp cifier que le mod le Hodgkin Huxley mod le HH a t construit pour expliquer un potentiel d action dans une situation isopotentielle space clamped o tout effet d au d lai de propagation le long de l axone est limin Nous allons toutefois constater au bloc 1 B3 3 que le mod le HH peut quand m me tre utilis pour comprendre la propagation le long de l axone Ce que nous pr senterons dans ce bloc ci peut donc tre consid r comme un mod le de V t le potentiel de membrane tel qu il serait mesur en un point d un axone pendant le passage d un potentiel d action Ind pendance des courants La premi re
158. ax 100 stim frequency Hz b sample time series LS 4 mV Jstim 76 9 Hz intact r 0 05 cm L voltages 300 400 500 600 700 800 time ms Fig S8 Gradient depletion renders the propagation window transient a Same as Fig 4a but with r 0 05 cm L Note the high infidelity for LS 3 mV due to triggered ectopicity see Fig 1 and Fig S3 b Sample time series showing a settling time of 60 70 ms followed by about 300 ms of phase locking and then by a loss of phase locking If infidelity were evaluated for 350 ms of stimulus instead of 500 ms it would be smaller here 151 selected from the same Gaussian distribution Each of those 50 input trains was then fed both to the control and damaged axons producing each time two outputs that were compared using the usual VP metric to measure output infidelity This way compared outputs are always affected by the same random effects Finally the 50 infidelity values were averaged to produce one point on Fig 6a A similar procedure was used to produce Fig 6b for each node 50 lists of random numbers were selected from a Gaussian distribution with unit standard deviation 1 e they are the increments of a Wiener process AW At each time step n we added AvhAW to the voltage of the node where AW is the n number from that node s list A is the noise amplitude see legend on Fig 6b and A is the integration time step Note that when noise was present we turned off the ada
159. beled A B and C which are propagated by pedagogical material itself including textbooks web courses or web based animations often used in the classroom We will present each of them and show how they can be ruled out using physical arguments accessible to an undergraduate A The recovery mechanism Most introductory biology or physiology textbooks introduce AP dynamics using only Na and K ions as we summarized in part Il Even more advanced textbooks despite presenting the HH model often don t discuss the role of Jeax While this allows for a correct description of phases 1 and 2 of APs see Fig 1 it forces the authors to remain vague or silent about the recovery phase Often V recovery is even attributed to an incorrect Simulations disproving misconceptions about action potentials 101 cause Among these many webcourses or animated films and some textbooks explicitly pretend that the increase of V is due to current transported across the membrane by the Na K pumps We ll refer to this as MC A1 Others attribute it incorrectly to Na A2 or K A3 currents through the membrane or to recently crossed ions diffusing away from the membrane A4 It is expected that some advanced biophysics students even those familiar with the HH model will show a form or another of MC A As a proof it should be emphasized that MC A1 is very common and can be found in lots of reputable material we even found it in an anim
160. bell 2007 section 48 3 Le m me probl me s applique en sens inverse pour le potassium Or il n en est rien comme nous l avons calcul la sous section 1 B2 seul un transfert de 10 mol cm de sodium est suffisant pour effectuer toute la phase de mont e de V Cette quantit repr sente une fraction infime 10 des ions disponibles Il en va de m me pour le potassium Cette erreur conceptuelle est sous doute encourag e davantage par les illustrations de manuels m me avanc s de m me que la plupart des animations web qui repr sentent toujours un petit nombre d ions de chaque esp ce et sur repr sentent donc grandement la proportion de ceux qui traversent la membrane e Enfin sous l effet encore une fois des illustrations de nombreux tudiants ne r alisent pas que la charge nette accumul e de part et d autre de la membrane est situ e dans une tr s fine couche Pourtant sans m me avoir solutionner l quation de Poisson Boltzmann il devrait sembler claire que des charges nettes de signes oppos s devraient s attirer et donc se coller sur la membrane Les loigner l une de l autre requiert de faire un travail que seules les collisions thermiques peuvent faire 1 B3 2 Le mod le Hodgkin Huxley 61 L paisseur des fines couches de charge de part et d autre de la membrane ne saurait donc d passer celle permise par les fluctuations thermiques L article p dagogique que nous pr sentons au chapitre 2 a pour objectif
161. brane lin aire mais peut produire des variations nettement plus grandes que la perturbation dans le cas d une membrane non lin aire La dynamique non lin aire est simplement la branche des math matiques qui tudie les quations non lin aires Puisque ces derni res sont difficiles attaquer analytiquement la dynamique non lin aire s int resse davantage au comportement qualitatif des solutions tendre vers une limite osciller p riodiquement varier de fa on chaotique etc qu leur expression analytique Elle s int resse aussi l effet des param tres comme les fonctions a x dans l quation AppA 1 qui peuvent faire bifurquer le comportement de la solution entre plusieurs de ces possibilit s qualitatives AppA 1 Qu est ce que la dynamique non lin aire 167 AppA 2 Espace de phase Pour tudier les solutions de fa on qualitative la dynamique non lin aire a beaucoup recours la repr sentation dans l espace de phase aussi appel plan de phase s il y a seulement deux variables dynamiques D ailleurs cette repr sentation convient aussi pour les equations lin aires Pour repr senter une quation diff rentielle d ordre N dans un espace de phase on doit d abord appliquer une r duction d ordre En g n ral toute quation d ordre N peut tre convertie en N quations d ordre 1 de la forme y f y collectivement d crite par l quation vectorielle Y f y Par exemple l oscillateur harmonique simple X
162. brane de plusieurs dizaines de millivolts et cela est un processus rapide En cons quence on en d duit que le courant total doit tre parfaitement nul quand la membrane est au repos Le courant total est compos de la somme des courants ioniques passifs donn s par l quation 1 B2 4 et du courant de pompe J otal gt 9 V EY Jann T de quation 1 B2 9 X Au repos V V et l quation ci dessus devient DIV Ex Jnapmp Jkpmp 0 quation 1 B2 10 X Notre objectif tant d identifier les variables qui ont le plus d influence sur la valeur de V nous utilisons deux approches de mod lisation distinctes pour simplifier l quation 1 B2 10 la premi re est un cas quasi stationnaire et la seconde un cas stationnaire voir figure 1 B2 4 Mod les de la membrane quasi stationnaire Une premi re approche consiste tenir compte du r sultat exp rimental voulant que le courant de pompes soit nettement plus 1 B2 7 Les conductances de la membrane d terminent le potentiel de repos 37 faible que les courants ioniques et donc a n gliger les deux derniers termes du membre de gauche de l quation 1 B2 9 Cette derni re devient donc D ge E 0 En X isolant V on obtient Potentiel de repos cas lin aire quasi stationnaire DE _X gt 9x X Cette quation est particuli rement r v latrice elle montre que le potentiel de repos est une moyenne pond r e des potentiels d inversion dans laquelle
163. caract ristique qui distingue une membrane biologique d une membrane artificielle est la pr sence de tr s nombreuses mol cules enchass es Parmi ces nombreuses mol cules on retrouve des prot ines Elles ont notamment pour effet de modifier les propri t s physiques de la bicouche sa perm abilit s lective etc La figure 1 4 5 montre une illustration sch matique qui repr sente une membrane biologique o la bicouche est en jaune comme dans nos propres sch mas et o les prot ines membranaires sont illustr es en bleu p le Milieu extracellulaire Glucides Prot ine canal prot ine de transport Prot ine globulaire Glycoprot ine Bicouche phospholipidique Cholesterol Prot ine transmembranane Prot ine de surface structure globulaire a Prot ine transmeribranaire Prot ine p ripi fique structure en h lice alpha Filaments de cytosquelette Cha nes hydrophobes Cytoplasme Figure 1 A 5 Une membrane biologique est une bicouche de phospholipides o de nombreuses mol cules sont ench ss es notamment des prot ines Figure Ruiz 2007 Glycolipide Les prot ines ne sont pas dispers es au hasard dans la membrane certaines ne fonctionnement correctement que si elles sont associ es a des radeaux lipidiques avec lesquelles elles se d placent solidairement Des prot ines peuvent aussi tre ancr es au cytosquelette cellulaire ce qui limite leur mobilit et r gule leur fonctio
164. cause of neurological diseases ASN Neuro 5 3 pp 209 219 Taddese A amp Bean BP 2002 Subthreshold sodium current from rapidly inactivating sodium channels drives spontaneous firing of tuberomammillary neurons Neuron 33 4 pp 587 600 Tal M Wall PD Devor M 1999 Myelinated afferent fiber types that become spontaneously active and mechanosensitive following nerve transection in the rat Brain Research 824 pp 218 223 Tinevez JY Schulze U Salbreux G Roensch J Joanny JF Paluch E 2009 Role of cortical tension in bleb growth Proceedings of the National Academy of Sciences 106 44 pp 18581 18586 Tokumitsu T amp Maramorosch K 1967 Cytoplasmic protrusions in insect cells during mitosis in vitro Journal of Cell Biology 34 2 pp 677 683 Toyoshima C Kanai R Cornelius F 2011 First crystal structures of Na K ATPase New light on the oldest ion pump Structure 19 pp 1732 1838 Tremblay C Berret E Henry M Nehm B Nadeau L Mouginot D 2011 Neuronal sodium leak channels is responsible for the detection of sodium in the rat median preoptic nucleus Journal of Neurophysiology 105 pp 650 660 Truini A amp Cruccu G 2006 Pathophysiological mechanisms of neuropathic pain Neurological Science 27 pp S179 S182 Vasseur DA amp Fox JW 2009 Phase locking and environmental fluctuations generate synchrony in a predator prey community Nature 460 7258 pp 1007 1010 162 Bibliograph
165. celle d une membrane on s attend aussi ce que la couche de my line diminue substantiellement la capacit par unit de surface du compartiment qui est donn e par C lt A L donc est inversement proportionnelle l paisseur Les avantages de la my line Avant m me de nous pencher sur la nature des courants qui traversent la membrane aux noeuds de Ranvier on peut souligner une premi re pr diction importante pour un m me courant circulant entre deux compartiments adjacents les compartiments my linis s vont se charger des centaines de fois plus vite que ceux sans my line En effet leur capacit est nettement plus faible alors que la conductance x qui les relie est la m me le diam tre interne de l axone tant constant Leur constante de temps RC est donc d autant plus faible que la my line a diminu la capacit Ainsi un des principaux effets de la my line est de permettre l influx nerveux de voyager bien plus vite Dans un axone my linis il faut faire cro tre le rayon pour obtenir le m me r sultat Mais un vert br peut stocker des centaines d axones c te c te dans le m me espace que celui occup par un seul axone de calmar L avantage volutif de la my linisation est donc ind niable Plus pr cis ment la propagation de l influx nerveux se fait vitesse lev e seulement dans les portions my linis es alors qu elle conserve dans les noeuds de Ranvier la m me vitesse que dans un axone lis
166. cer les nullclines c est dire les courbes qui r unissent les points o l une des d riv es du syst me d quation est nulle Par exemple dans le cas d un oscillateur harmonique il y a deux nullclines la premi re le long de laquelle X 0 et la seconde le long de laquelle V 0 L utilit des nullclines est de subdiviser le plan de phase en zones l int rieur desquelles la d riv e de chaque variable a partout le m me signe AppA 3 Point fixe cycle limite ou autres Nous allons maintenant pr senter les comportements qualitatifs les plus fr quents que peut rencontrer un syst me d quations lin aires Point fixe Consid rons une quation y f y ou de fa on plus g n rale un syst me d quations f On appelle point fixe une valeur de la solution telle que 168 Appendice A points cl de dynamique non lin aire f y 0 Cela signifie que dans l espace de phase une trajectoire qui d bute en ce point demeure en ce point tout jamais Tous les syst mes dynamiques d ordre 1 ou plus peuvent comporter des points fixes Par d finition les points fixes sont des points o tous les nullclines se rencontrent Un oscillateur amorti poss de un unique point fixe c est dire l immobilit la position d quilibre Un pendule amorti form d une bille soud e une tige rigide poss de deux points fixes la tige est en effet l quilibre quand elle est verticale que la bille soit au point
167. cernent un point de d tail ou ont t cit s des fins historiques ou dans le but d accorder le m rite du travail ses auteurs Par contre certains d entre eux m ritent davantage une lecture Le processus de construction d un mod le peut tre abord par la lecture de Hodgkin 1952e Morris 1981 ou Schwarz 1995 De m me le lecteur int ress par les techniques exp rimentales peut consulter Hamill 1981 qui pr sente les diverses variantes de la technique du patch clamp 72 Chapitre 1 Guide du d butant ou Lauger 1991 qui consacre un chapitre entier aux m thodes exp rimentales permettant d tudier les pompes ioniques dont plusieurs sont des m thodes polyvalentes permettant aussi d tudier des canaux ioniques Les techniques exp rimentales pr sent es dans Hodgkin 1952a peuvent tre consult es pour leur int r t historique 1 B3 5 Extension aux axones my linis s des vert br s 73 1 C Biochimie des trois prot ines fondamentales Dans cette troisi me section nous profitons de ce qui a t pr sent dans la section 1 B pour approfondir la description des trois principales prot ines qui jouent un r le dans notre mod le num rique c est dire les pompes Na K les canaux tensiod pendants K et les canaux tensiod pendants a Na La pompe et les canaux font l objet de deux sous sections s par es 1 C1 Les pompes Na K Cette premi re sous section porte sur les Na K ATPases que nous rebaptisons plus s
168. channels modeling the Na loading and dysfunctional excitability of damaged axons Journal of Computational Neuroscience 33 2 pp 301 319 Bouhassira D Lant ri Minet M Attal N Laurent B Touboul C 2008 Prevalence of chronic pain with neuropathic characteristics in the general population Pain 136 3 pp 380 387 Butts DA Weng C Jin J Yeh Cl Lesica NA Alonso JM Stanley GB 2007 Temporal precision in the neural code and the timescales of natural vision Nature 449 pp 92 95 Censi MF Calcagnini G Lino S Seydnejad SR Kitney RI Cerutti S 2000 Transient phase locking patterns among respiration heart rate and blood pressure during cardiorespiratory synchronisation in humans Medical and Biological Engineering and Computing 38 4 pp 416 426 Chandy KG 1991 Simplified gene nomenclature Nature 352 6330 p 26 Charras GT 2008a A short history of blebbing Journal of Microscopy 231 3 pp 466 478 Charras G amp Paluch E 2008b Blebs lead the way how to migrate without lamellipodia Nature Reviews Molecular Cell Biology 9 9 pp 730 736 Chiu SY Ritchie JM Rogart RB Stagg D 1979 A quantitative description of membrane currents in rabbit myelinated nerve Journal of Physiology 292 pp 149 166 Coggan JS Ocker GK Sejnowski TJ Prescott SA 2011 Explaining pathological changes in axonal excitability through dynamical analysis of conductance based models Journal of Neural Engineeri
169. comme le montre la moiti gauche de la m me figure les auteurs de Boucher 2012 obtiennent que la fr quence de d charge avec ou sans stimulation cro t de fa on monotone quand l amplitude du CLS cro t et ce pour toute la plage ce telles valeurs pour laquelle elle est non nulle Cette observation est conforme nos attentes au sujet de la dur e de la phase r fractaire avec stimulus Figure 3 A 10 R gime a pas b _ sans stimulus T d activit spontan e hypersen sibilit au stimulus b activit spontan e hypersensibilit au stimulus c activit spontan e inexcitable d pas d activit spontan e inexcitable Figu re adapt e de Boucher 2012 w O 2 o N So a So amplitude du CLS mY 3 fr q de d charge Hz o 4 0 i 0 5 10 15 20 25 30 intact 0 0 25 0 5 0 75 1 intact amplitude du CLS m proportion des Nav affect s 100 des Nav affect s a E fuites et pompage Plus loin dans Boucher 2012 le mod le est modifi de fa on mini rafales permettre aux concentrations ioniques de fluctuer des d charges toniques pompes Na K tant ajout es Cependant seule l activit en MM raies p riodiques l absence de stimulation a t tudi e dans ce mod le La decnargss transitoires pr sence des pompes et leur action tr s lente sur les concentrations ioniques et donc sur Ena et Ex permet au syst me de modifier lentement son comportement Selo
170. conduction D autre part le champ lectrique exerce une force constante sur chaque ion Du point de vue microscopique d un ion une solution aqueuse est extr mement visqueuse Les physiciens comprendront que le nombre de Reynolds est infime Cela a deux cons quences premi rement on peut consid rer que la force de frottement visqueux tra n e subie par un nuage d ions est proportionnelle la vitesse de d rive de ce dernier frottement v Deuxi mement on peut consid rer qu un nuage AppB 1 D monstration alternative de l quation de Nernst 179 d ions a une inertie n gligeable ma 0 dans la seconde loi de Newton Ainsi un champ lectrique constant cause une d rive vitesse constante La seconde loi de Newton impose donc que la force de frottement soit gale la force externe exerc e par le champ d o v frottement qE En somme le courant de conduction est 1 cqv E er hong COV 7E quation AppB 2 Equation de Nernst l quilibre la somme de ces deux courants est nulle en chaque x d o TE DVc Cette quation peut se simplifier davantage si on tient compte de la relation d Einstein D KT elle devient tr I 1Vc En utilisant l axe des x parall le au champ lectrique la situation est unidimensionnelle et on obtient l quation diff rentielle gE kgT o aja glg quation AppB 3 Il s agit d une quation diff rentielle separable qu on soluti
171. cription de ces axones non uniformes et de quelle fa on Tout d abord quelles que soient les propri t s de la membrane d un axone my linis et sa composition en canaux ioniques on peut quand m me appliquer l approche de la figure 1 B3 16 o l axone a t subdivis en courts segments La diff rence cette fois ci est que les segments ne peuvent pas tre tous identiques puisqu ils se distinguent par leur membrane et selon qu il font partie du noeud de Ranvier sans my line ou de l internoeudi recouvert de my line Le mod le g om trique obtenu est pr sent la figure 1 B3 17 J 0 J 0 J 0 J 0 1 2 3 J J 7 K K K K K K 3 J v Hg RE portion my linis e noeud de Ranvier portion my linis e Figure 1 B3 17 Suivant la m me approche que dans un axone non my linis chaque portion my linis e et chaque noeud de Ranvier peuvent s par ment tre subdivis s en un nombre arbitraire de compartiments En g n ral la membrane de chaque compartiment peut contenir une distribution de canaux diff rente En nous guidant sur le mod le illustr la figure 1 B3 17 nous allons maintenant nous pencher sur les trois diff rences la pr sence de my line la non uniformit de la distribution des canaux et la possibilit de conductances potentiellement diff rentes qui pourraient remettre en question l utilisation du mod le HH pour repr senter un axone my linis 68 Chapitre 1 Guide du d butant
172. ction 1 C ont toutes des cin tiques et des courbes d activation et d inactivation relativement comparables Hille 2001 chap 3 Quelles cons quences ont ces diff rences du point de vue de l utilisation du mod le HH Clairement on peut s attendre ce que les similitudes des courants sodiques fassent en sorte que la dynamique du bord d attaque du potentiel d action domin e par le courant de Na demeure essentiellement la m me Les diff rences de courant de potassium elles peuvent entra ner des diff rences dans la dur e du potentiel d action ou dans la dur e de la phase r fractaire mais ne changent pas de fa on fondamentale le comportement de la membrane En somme les quations de Hodgkin et Huxley demeurent un excellent mod le pour repr senter la membrane des noeuds de Ranvier dans la mesure o on ne s attarde pas aux d tails quantitatifs de chaque potentiel d action La litt rature confirme cette conclusion En effet le mod le HH est largement utilis pour repr senter des axones my linis s bien qu on le trouve parfois sous une forme modifi e Par exemple Schwarz 1995 a mod lis ses r sultats sur des nerfs humains en utilisant des param tres diff rents et en ajoutant un second courant de potassium dit lent Il n en demeure pas moins que la structure de son mod le est fondamentalement celle du mod le HH et non celle d un mod le original En g n ral la litt rature montre que le mod le HH contin
173. ction d un courant de biais constant Boucher 2012 ou intermittent Volman 2013 Or un courant d amplitude constante permettrait dans notre mod le de g n rer un seul type de r ponse soit une production p riodique de potentiels d action Pour une m me amplitude de courant inject la fr quence des potentiels d action dans un axone intact est toujours la m me Exp rimentalement un courant d injection constant est la m thode de stimulation utilis e mais ce courant est inject dans le corps cellulaire et non dans l axone Or notre mod le repr sente un segment d axone et non un neurone complet De plus comme l noncent les questions de recherche nonc es au bloc 3 B 1 nous voulons caract riser globalement l effet sur la propagation d une zone endommag e de l axone Pour ce faire il nous faut y propager des potentiels d action p riodiques diff rentes fr quences et aussi y propager des trains ap riodiques de potentiels d action Utiliser un courant constant comme stimulus est donc hors de question Pour produire un train de potentiels d action se succ dant des intervalles de temps pr d finis il nous faut un train de stimulus appliqu es aux m mes intervalles pr d finis et 8 Cette valeur pr sente aussi un avantage pour la stabilit du mod le quand l un des compartiments est stimul par exemple en injectant un courant ou autrement le potentiel de membrane V change sans que les concentrations Na et K
174. ctivent pas comme ceux en mode rapide ce qui ne change rien sur les courbes J f En revanche les canaux activ s ouverts qui sont en mode relax s ne s inactivent que tr s lentement ce qui laisse cette fois une trace sur les courbes J t obtenues par voltage clamp Ces derni res ne retournent pas parfaitement z ro mais tendent plut t vers une valeur non nulle de Jya qu on appelle courant persistant On rencontre aussi les termes non inactivating ou slow inactivating dans la litt rature Il faut soulever que ce courant persistant ne doit pas tre confondu avec le courant de fen tre qui est une autre composante de Jya qui ne relaxe pas vers z ro bien que le courant de fen tre V V soit infime dans des conditions normales voir la figure 1 C2 3 L inactivation des NaV diff re des hypoth ses du mod le HH 89 1 B3 11 En particulier nous verrons au chapitre 3 que les dommages apport s a une membrane cellulaire qui contient des canaux Na a pour effet d augmenter significativement le courant de fen tre et de produire un influx durable de sodium Pour viter toute confusion nous ne qualifierons jamais ce dernier de persistant lroniquement Hodgkin et Huxley ont ignor le ph nom ne du courant sodique persistant alors qu il est particuli rement pr sent dans les membranes d axones g ants de calmar En cons quence leur mod le de J illustr la figure 1 B3 8 ou l inactivation fait d croitre le couran
175. d le HH d ja pr sent s a la figure 3 B 1 alors que le quatri me terme est tout simplement l quation 3 B 1 Les termes Jy et Ux iuitess AUSSI pr sents dans l quation 3 B 3 sont d finis par a fuites J x tuites Ix tuites V E X Na K quation 3 B 4 OU Ya fuites t Oxtuites SONt des param tres ajustables Ces deux termes appel s fuites sp cifiques apparaissent dans les quations 3 B 2 et 3 B 3 pour une raison technique que nous avons d j signal e au chapitre 2 quand V V les six variables du syst me les V m h et n du mod le HH en plus de Na et K d un c t ou de l autre de la membrane doivent tre constantes En d autres termes les quations diff rentielles qui les d terminent doivent alors tre ajust es pour que la d riv e de chacune des six variables soit nulle Or la stoechiom trie des pompes impose que Jrapmp Jkpm 3 2 donc en l absence des fuites sp cifiques Una tuites t Jkiutes il serait impossible que l quation 3 B 3 donne z ro la fois pour X Na et pour X K puisque Jy et Jk d termin s par l ouverture des canaux Na et K ne sont pas dans un rapport 1 5 et que Ji Est proportionnel V E is Les fuites sp cifiques ne correspondent pas directement un m canisme physiologique r el dans une cellule vivante la stabilit des concentrations de Na et de K au repos n est pas due un simple quilibre entre le courant des pompes et le courant traversant les
176. d outiller les enseignants afin de leur permettre de contrecarrer les erreurs conceptuelles que nous venons de pr senter En plus d utiliser des arguments th oriques pour falsifier ces conceptions erron es il utilise aussi des simulations num riques qui permettent de remplacer ces conceptions erron es par une repr sentation ad quate 1 B3 3 Le mod le HH explique aussi la conduction le long de l axone Le mod le HH que nous venons de pr senter a t d velopp avec un axone isopotentiel et d crit le d roulement V t d un potentiel d action qui y survient Par contre on peut supposer qu il s applique aussi une longueur infinit simale de l axone Cette id e est celle qui permettra d tendre le mod le HH la description de potentiels d action qui se propagent le long de l axone c est dire l obtention de V x t On commence par discr tiser l axone en le subdivisant en compartiments Pour le moment nous continuons de d crire un axone de calmar tel que ceux utilis s exp rimentalement par Hodgkin et Huxley de tels axones tant uniformes non my linis s tous les compartiments seront identiques videmment dans un axone r el les compartiments communiquent entre eux ce qui signifie qu ils peuvent s changer des ions par diffusion simple et par conduction Contrairement la membrane le cytosol a une conductance constante alors on peut mod liser le lien entre les compartiments par une r sistance lectrique si
177. de canaux tensiod pendants a Na d une part m repr sente la proportion des canaux Na qui sont activ s c est dire dans leur conformation ouverte au passage des ions et 1 m la proportion de ceux qui sont ferm s d autre part 1 h repr sente la proportion des canaux Nay qui sont inactiv s et h celle des canaux qui sont disponibles non inactiv s Nous verrons toutefois que cette correspondance du mod le avec le fonctionnement d un canal n est pas aussi bonne que dans le cas du potassium d abord l exposant 3 ne trouve pas de sens physique imm diat ensuite l inactivation n est pas le processus parfaitement ind pendant de l activation que Hodgkin et Huxley ont mod lis Pour compl ter la description du courant de sodium il ne manque que la d pendance en V des param tres a m a et B Les fonctions suivantes dont la forme est arbitraire forment une courbe de tendance qui repr sente bien les donn es exp rimentales voir dans Hodgkin 1952e les Fig 7 et 9 de m me que le texte s y rapportant V 40 dm 0 1 1 V 40 1 e quation 1 B3 11 _ 1 V 65 D 4e et 1 V 65 a 0 07e B 1 quation 1 B3 12 h 14 e 1 V 35 o V est en millivolts Encore une fois soulignons que les quations 1 B3 11 et 1 B3 12 54 Chapitre 1 Guide du d butant pourraient tre substitu es directement dans les quations 1 B3 9b et 1 B3 10b respectivement ce qui montre bien que m et h ne d pe
178. de la figure 1 B3 12 celui pour Vim 50 mV et identifie cing instants de son d roulement les points pertinents sur les courbes des valeurs cibles et des constantes de temps figure 1 B3 10b c Nous d crivons maintenant ces cinq tapes V mV A 75 E C Na h 0 B _ ss Th G Th A ee Na ee ee AN Ex lt gt 3ms lt lt i i 100 sw 2 Figure 1 B3 14 Les phases d un potentiel d action sont d termin es par les valeurs cibles et les constantes de temps des variables m h et n Voir la description dans le texte Point A La situation d bute au repos o V V 65 mV On a alors m h 8 8x10 et nf 0 010 peu de courant circule en particulier le courant de fen tre du sodium est n gligeable L un des principaux points cl est qu ce potentiel de membrane le d lai de r action de la variable m est 7 0 24 ms un ordre de grandeur de moins que 7 5 5 ms et que 7 8 4 ms mesure que V augmente cet cart se r tr cit mais la variable d activation m demeure toujours nettement plus rapide Point B Quand le potentiel de membrane augmente jusqu ce niveau m passe rapide ment de sa valeur de repos sa nouvelle valeur cible gt 0 9 alors que n et h ont peu le temps de changer Ainsi m h gt 0 3 mais n demeure de l ordre de 0 01 le courant de sodium domine largement La conductance gya dominant largement
179. des produits de la digestion a lieu dans toutes les cellules et se nomme respiration cellulaire Les autres mol cules issues des aliments servent de mati re premi re la synth se de nouveaux tissus une fonction tr s minoritaire 10 Chapitre 1 Guide du d butant ie les concentrent et consomment donc de l nergie cette fin En particulier la pompe Na K joue un r le important dans l influx nerveux voir les sections 1 B et 1 C et est a a fois une prot ine de transport ef un enzyme puisqu elle se procure l nergie n cessaire a son action de pompage en catalysant l hydrolyse de l ATP Troisi mement la cellule utilise des prot ines de structure pour former son cytosquelette ce qui lui permet de conserver sa forme ou m me dans le cas des cellules mobiles comme les globules blancs ou les organismes unicellulaires de modifier cette forme Les microtubules qui r sistent la compression les filaments d actine grossi rement sch matis s sur la figure 1 A 1 qui r sistent la tension de m me que des filaments interm diaires de diverses natures sont les principaux constituants du cytosquelette Des filaments d actine sont aussi repr sent s en gris la figure 1 A 5 contrairement aux autres prot ines sur cette figure ils ne sont pas color s car il ne font pas partie de la membrane plasmique Cependant il y a une composante du cytosquelette qui est plus pertinente pour nos travaux une bicouche tant flu
180. difierait rapidement le potentiel de membrane V de fa on l approcher de Ena C est une partie de ce qui se passe quand une cellule excitable produit un potentiel d action 1 B2 6 Les pompes Na K sont l origine principale du potentiel de repos Un peu comme la figure 1 B2 1 les diff rences de concentrations pr sent es la figure 1 B2 3 ont pour effet de charger la membrane et donc de causer le potentiel de repos En lucider l origine quivaut donc lucider celle du potentiel de repos Attelons nous cette t che Un premier constat doit sauter aux yeux l accumulation de sodium hors de la cellule ou de potassium dans la cellule peut tre vue comme une organisation de ces ions c est dire une diminution de leur entropie En d autres termes cette accumulation est d favoris e par la tendance naturelle la croissance de l entropie du syst me Elle ne peut donc se faire spontan ment et n cessite une d pense d nergie libre pour se produire In vitablement on doit conclure que la cellule dispose d un m canisme mol culaire de pompage permettant de faire traverser les ions Na et K au travers de la membrane en sens inverse de leur coulement spontan c est dire dans le sens contraire du courant donn par l quation 1 B2 4 Apr s que le d s quilibre du Na et du K ait conduit la postulation d un m canisme mol culaire de pompage ce dernier a t isol et tudi comme nous le verrons la section
181. e l interpr tation mol culaire du mod le HH concerne les courbes de conductance comme celles de la figure 1 B3 2 si on suppose que m h 0 5 ou que n 0 5 cela signifie t il que les canaux sont moiti ouverts ou que la moiti des canaux sont ouverts La technique du patch clamp permet de mesurer le courant qui traverse un canal individuel ou un petit nombre de canaux et favorise clairement le comportement tout ou rien caract ristique de la seconde option En d autres termes un canal individuel est toujours soit enti rement ouvert soit enti rement ferm N cessairement la signification de m h ou de n est s T donc une moyenne sur une population de canaux 25 0 k 20 Figure 1 C2 4 Le comportement d un canal est stochastique r p ter un m me voltage clamp haut produit chaque fois gt T T 30 Time ms 40 La population de canaux tant soumise au m me stimulus potentiel de membrane il peut paraitre surprenant que certains canaux soient ouverts alors que d autres soient ferm s pourquoi le m me stimulus produit il des r sultats diff rents La figure 1 C2 4 r pond a cette question en r v lant que le 86 une r action diff rente mesur e grace a un patch clamp centre La moyenne sur des dizaines de r p titions bas donne la courbe continue de la figure 1 B3 2 Le cas illustr est un canal Ky Figure Hille 2001 chap 3 Chapitre 1 Guide du d
182. e si la distance entre ce domino et le suivant est suffisamment courte la collision transf rera de l nergie vers le domino suivant S ils sont trop distants cela ne suffira pas causer la chute du domino suivant En pratique l volution a favoris des distances optimales entre les noeuds de Ranvier l chec de propagation est donc rare dans un neurone sain ne pouvant se produire qu des embranchements par exemple Toutefois nous verrons dans nos travaux de recherche qu il peut devenir chose courante dans un axone endommag La distribution des canaux Nous revenons maintenant la question de l applicabilit du mod le HH en nous penchant sur la seconde question que nous avons soulev e les canaux ne sont pas distribu s de fa on uniforme dans un noeud de Ranvier Dans un cas o il s agirait de la seule diff rence entre la membrane d un axone my linis et celle d un axone g ant de calmar on peut facilement d duire que le mod le HH demeurerait applicable En effet en supposant qu on veuille utiliser plusieurs compartiments par noeud de Ranvier il suffirait d augmenter la valeur maximale 9y au compartiment central et de faire de m me pour le potassium dans les compartiments p riph riques du noeud de Ranvier Une autre possibilit serait d utiliser un seul compartiment par noeud de Ranvier et de supposer que le potentiel de membrane est relativement uniforme dans l enti ret du noeud malgr la non uniformit de
183. e important sur lequel le champ lectrique exerce un moment de force L uger 1991 chap 3 La charge nette accumul e de part et d autre de la membrane est minuscule Pour valuer la charge accumul e localement de part et d autre de la membrane on peut consid rer cette derni re comme un condensateur plan dont l paisseur est 4 5 nm Puisque la portion hydrophobe de la membrane a des propri t s lectriques similaires celles de l huile v g tale on s attend ce qu elle soit un isolant lectrique pr sentant une permittivit relative d environ lt 5 On peut donc valuer sa capacit lectrique lt A d Conform ment l usage nous utiliserons le symbole C pour d signer la capacit par unit de surface c est dire C s d On obtient donc une capacit de l ordre de 2 C 1 uF cm II n est videmment pas question ici de champ lectrique induit mais exclusivement de champ lectrique coulombien D ailleurs la notion de potentiel ne serait pas pertinente si un champ induit tait pr sent 1 En pratique l effet du champ lectrique E est r duit par la polarisation du mat riau dielectrique constituant la membrane mais demeure n anmoins imposant 26 Chapitre 1 Guide du d butant Dans le mod le num rique que nous introduirons au chapitre 3 la valeur ci dessus est utilis e pour la capacit surfacique En raison de cette capacit la charge nette accumul e de part et d autre d un centim tre carr
184. e mais le courant de diffusion demeure essentiellement constant Le courant net que nous cherchons peut donc tre conceptualis comme un exc dant ou un d ficit de courant de conduction sur le courant de diffusion Pour l obtenir il suffit donc de soustraire ces deux courants Le premier des deux courants est le courant de conduction caus par la diff rence de potentiel V il est proportionnel cette derni re loi d Ohm et peut donc tre exprim 9 V quation 1 B2 2 30 Chapitre 1 Guide du d butant Puisque V est d fini comme Vw V une valeur positive de V cause un courant de conduction vers l ext rieur de la cellule puisque la charge lectrique nette s coule en suivant le champ lectrique qui est en sens inverse du gradient de potentiel L quation 1 B2 2 impose donc une convention selon laquelle es courants positifs sont ceux qui s coulent du compartiment int rieur vers le compartiment ext rieur Par d finition du potentiel de Nernst donn par l quation 1 B2 1 on sait que le courant net de l esp ce ionique X est nul quand V E Cela signifie que les courants de conduction et de diffusion consid r s comme constants sont alors gaux et en sens oppos s Le courant de diffusion est donc l inverse du courant de conduction l quilibre soit J itt QE quation 1 B2 3 Pour des concentrations donn es cette derni re quation repr sente une valeur constante en vertu de l quation
185. e 1 will indeed spread in the cell volume this occurs on a time scale much shorter than the duration of the recovery random walks of sodium ions follows the diffusion law where their diffusion coefficient is D 10 m s r 2D t 5 Therefore to spread past the Debye screening length that is on a nanometer scale they need less than ananosecond To spread to the entire cell they would still need less than a millisecond much less than the duration of the recovery from an AP B Amount of charge crossing the membrane Because the rate of change of V during phase 1 of an AP is very high qualitative descriptions often refer to massive large or quick sodium influx Similar wording is also used about phase 2 where it applies to the potassium current As aresult many introductory students develop MC B according to which all Na ions or a large portion of them rush inside the axon each time an AP is propagated This MC is also encouraged by schematic illustrations where only a few ions of each species are drawn on each side of the membrane and therefore the proportion being shown to cross is always exaggerated by many orders of magnitude Advanced students familiar with the HH model are less likely to show MC B since the use of constant Ey and FX reveals that ion gradients are not significantly affected by charge transfers occurring during a single AP see Eq 2 Ruling out MC B involves giving a theore
186. e appara tre des douleurs neuropathiques En g n ral ce qui d clenche leur apparition chez un sujet est toujours une l sion le long du parcours de la nociception ou du parcours des perceptions non douloureuses Coutaux 2005 Truini 2006 Fazen 2007 Costigan 2009 et Nickel 2012 proposent d excellentes revues des m canismes par lesquels cette l sion se transforme en sensation anormale de douleur m canismes que nous allons nous contenter de r sumer ici Tout d abord la l sion des neurones sensitifs d clenche dans les neurones l s s une intense activit ectopique laquelle peut durer tant que le neurone atteint n est pas encore mort Bien s r cette activit ectopique active tout le reste du parcours sensitif et cause une douleur imm diate comme si un stimulus particuli rement intense avait r ellement t pr sent Cependant cette phase aig e n est que le d but du ph nom ne quelques jours apr s la l sion cette activit inhabituelle et persistante provoque des changements en 3 A 2 Cloques neurotraumatismes et douleurs neuropathiques des ph nom nes reli s 117 aval dans le reste du parcours sensitif lesquels demeurent m me si on enl ve les neurones initialement atteints e Les neurones p riph riques tentent de se r g n rer de nouvelles fibres non my linis es croissant partir des neurones sectionn s ou endommag s Elles ont cependant un comportement anormal elles sont associ es davantage d
187. e de oscillations inf rieures au seuil rafales traces 1 et 2 B Agrandissements montrant que subthreshold oscillations STOs La les rafales sont entrecoup es d oscillations inf rieures au 3 i seuil Figure Liu 2002 figure 3 A 4 illustre un de ces cas M i TRNA RAI DLL i 500ms Smv Douleurs neuropathiques La pr sence d activit ectopique est fortement corr l e aux ph nom nes de douleur neuropathique un nom g n rique qu on donne a toute sensation douloureuse anormale br lures d mangeaisons sensations de d charges 116 Chapitre 3 Membranes endommag es questions de recherche et construction du mod le lectriques ou d aiguilles etc caus e par une l sion affectant le syst me nerveux p riph rique ou central par exemple une l sion axonale diffuse Ces sensations s accompagnent souvent d allodynie c est dire d une r action douloureuse caus e par un stimulus normalement indolore ex contact des v tements d hyperalg sie c est dire d une r action excessivement douloureuse un stimulus normalement peu douloureux ou de diverses composantes de sensations anormales Loeser 2011 Les sujets qui exp rimentent des douleurs neuropathiques souffrent d un d r glement du syst me de perception du toucher normalement douloureux ou non Les neurones sensitifs sp cialis s dans la perception de la douleur appel s nocicepteurs per oivent les d format
188. e donc quatre senseurs de tension notamment Une telle structure a pu voluer par l insertion accidentelle dans un m me g ne de quatre copies initialement identiques d un m me segment d ADN Un canal Nay est donc un pseudo t tram re qui comporte des segments fonctionnels analogues ceux d j d crits la figure 1 C2 1 Une fonctionnalit suppl mentaire l inactivation est assur e par un segment situ entre deux des quatre r p titions Ce segment comporte la s quence de trois acides amin s IFM qui peut entrer dans le pore ouvert et s y lier le bloquant par le fait m me IV porte d inactivation Figure 1 C2 2 La sous unit a d un canal Na comporte quatre r p titions internes num rot s de IV de segments homologues a une des sous unit s a d un canal Ky Entre les domaines Ill et IV se trouve un court segment qui est capable de s ins rer dans le pore ouvert et de s y lier de fa on r versible bloquant ainsi le passage des ions Na Ce segment est donc la porte d inactivation Comme la figure 1 C2 1 les quatre segments en rouge forment le filtre de s lectivit et les quatre h lices identifi es avec sont les senseurs de tension Figure d apr s Yu 2003 Pr cisions sur le filtre de s lectivit Au minimum un filtre de s lectivit agit en r tr cissant l ouverture du pore du canal ce qui vite aux grosses mol cules de passer et ne donne acc s qu aux petits ions De plus le filtre e
189. e initialement aucune activit ectopique la propagation de potentiels d action est au d part normale mais si elle est soutenue suffisamment longtemps peut d clencher l activit ectopique Cette trouvaille sugg re un m canisme par lequel des douleurs neuropathiques peuvent appara tre avant la sensibilisation des syst mes nerveux et pourrait avoir des cons quences th rapeutiques e Deuxi mement nous montrons qu un axone plus endommag qui pr sente d embl e une activit ectopique n est pas enti rement dysfonctionnel pour autant Au contraire quand la partie saine de l axone achemine des potentiels d action dans une certaine bande de haute fr quence que nous appellerons fen tre de propagation la fid lit de la transmission est alors maximale En effet nous montrerons qu il se produit alors un verrouillage de phase 1 1 entre les stimuli et la zone ectopique de l axone qui est donc entra n e la fr quence fix e par le traffic de potentiels d action incident sur elle En outre nous montrerons que ce r sultat est suffisamment robuste pour tre attendu dans des axones r els il r siste du bruit des fluctuations dans la p riodicit de la stimulation de m me qu des changements de couplage entre les noeuds de Ranvier Comme le lecteur le d couvrira ces r sultats accr ditent davantage l hypoth se que le dommage cellulaire responsable de l ectopicit des axones et de l apparition de douleurs neuropath
190. e libre du syst me entre la population d tats ouverts et celle d tats ferm s Puisque Pouver Prime 1 on obtient de fa on quivalente que e 46 keT quation 1 C2 2 z 1 ouvert 1 Une connaissance pr cise de AG impliquerait de faire des hypoth ses d taill es sur la structure du canal Ici il nous suffit de faire l hypoth se qu une partie de AG est due au mouvement de la charge q port e par le senseur de tension dans le champ lectrique E Vld de la membrane d paisseur d et que le reste de AG est ind pendant de ce champ On fait donc l hypoth se que l ouverture s accompagne d un changement d nergie libre AG AG gol quation 1 C2 3 o AG o L est la distance parcourue perpendiculairement la membrane par la charge q En substituant l quation 1 C2 3 dans l quation 1 C2 2 on obtient 1 ouvert 14 Ae T quation 1 C2 4 1 C2 2 Une interpr tation mol culaire du mod le HH 87 o A exp AG videmment le mod le que nous venons de pr senter est simpliste en particulier car il n glige le fait que la charge q se d place en plusieurs tapes N anmoins on remarque que l quation 1 C2 4 a une forme sigmoide et que la valeur de q L d peut tre extraite de la pente maximale de cette derni re permettant de fixer une borne inf rieure la valeur de q Ce qui nous int resse encore davantage est qu une modification de AG quivaut une translation horizontale de V sans modif
191. e neurone s appelle une synapse Sauf exception une synapse fonctionne par la lib ration dans un mince espace de liquide interstitiel qui s pare les deux cellules de marqueurs chimiques d tect s par la cellule postsynaptique et appel s neurotransmetteurs Fonctions des neurones On peut trier les neurones en trois grandes cat gories Campbell 2007 section 48 1 Marieb 2010 chap 11 Les neurones sensitifs dont les corps cellulaires sont situ s dans les ganglions spinaux situ s de part et d autre de la colonne vert bral permettent de percevoir les sensations et de les acheminer au syst me nerveux central Leurs dendrites sont donc stimul s par des d tecteurs sensoriels sp cialis s chacun sensible un stimulus sp cifique chaleur froid pression douleur etc Le bouton terminal d un neurone sensitif est typiquement reli un interneurone Les interneurones permettent d int grer l information et d entra ner s il y a lieu une r action appropri e Selon la nature du stimulus sensoriel ce dernier sera achemin seulement quelques interneurones comme dans le cas d un stimulus qui d clenche un r flexe ou des centaines de milliers d entre eux comme dans le cas d un stimulus complexe comme le langage dont l int gration requiert l interaction de plusieurs aires du cortex cervical Enfin les neurones moteurs aussi appel s neurones effecteurs sont ceux dont les boutons 1 A 2 L anatomie des neurones 3 termi
192. e saurait tre abord e sans que je prenne d abord le temps d exprimer ma gratitude un bon nombre de personnes qui ont rendu ce projet possible Tout d abord j aimerais remercier Andr Longtin d avoir cru en moi d s la toute premi re rencontre au moment o j ignorais tout du g n reux financement que j allais recevoir et esp rais poursuivre ma ma trise temps partiel Malgr les nombreux cueils qu aurait probablement rencontr ce projet sans ma lib ration d enseignement il m a recrut sans h sitation C est aussi lui qui a propos la codirection de B la Joos que j ai grandement appr ci e J aimerais aussi remercier Konstantin Popov Ivan L Heureux Andr Longtin et B la Joos pour les stimulants cours gradu s qu ils m ont enseign s et dont chacun a t pertinent la poursuite de ma recherche ou la r daction de cette th se Faire de la recherche n est pas un acte solitaire j ai souvent b n fici des discussions des conseils et des recommandations du dynamique Richard Naud et malgr la barri re de la langue de sa pr d cesseure Na Yu De m me bien que moins fr quents mes changes avec Pierre Alexandre Boucher ont toujours t instructifs Collaborer avec Cathy Morris a aussi t un plaisir de chaque instant la rencontre du th oricien et de l exp rimentatrice du physicien et de la biologiste mais surtout de deux passions pour la science J ai aussi appr ci les fascinants changes et d bats
193. e second l ordre de la d couverte Ces isoformes varient notamment par la cin tique de leur activation mais aussi par leur r ponse a divers traitements exp rimentaux Les quatre sous unit s a identiques contiennent tout le n cessaire pour former un canal K fonctionnel pore filtre de s lectivit et senseur de tension comme l illustre la figure 1 C2 1 mais les sous unit s B enti rement localis es du c t du cytosol ont un effet suppl mentaire sur la cin tique du canal aa vu de l ext rieur ext rieur int rieur int rieur C N N C Figure 1 C2 1 Un canal K est form de quatre sous unit s a identiques comportant six h lices a transmembranaires num rot es de S1 S6 illustr es ici de deux fa ons Elles suffisent pour expliquer les trois caract ristiques d un canal 1 Chacune emboit e avec leur voisine elles s assemblent pour former un pore entour d une large structure en forme de croix panneau de gauche 2 Elles comprennent chacune un segment qui ferme partiellement ce pore et forme le filtre de s lectivit du c t extracellulaire segment en rouge 3 Elles forment un senseur de tension gr ce leurs h lices S4 charg es positivement qui montent dans la membrane quand elle se d polarise et d clenchent ainsi un changement de conformation qui ouvre le pore la porte situ e du c t cytosolique a la forme d un iris qui s ouvre ou se ferme sous l effet du mouvement
194. e situation here There is an abundant literature concerning the diffusion of charges through a membrane where this phenomenon has both been studied theoretically and numerically using tools such as the Poisson Boltzmann equation or advection diffusion equations However these approaches are rarely accessible to the physics introductory student moreover the biology introductory student Hence we designed a novel model of this phenomenon having simplicity in mind only four equations will be needed x open VGCs aa i inside outside Fig 8 A small patch of membrane pierced with open VGCs pores is considered To make the model 1D a uniform diffusion constant trough the membrane is computed using a weighted average of the blue and yellow parts See weight a in the text The patch of membrane considered of uniform thickness L is small enough to reduce the problem to 1D Fig 8 This membrane is surrounded only by Na K and Cl ions for which the diffusion coefficient is D 10 m s and by negatively charged macromolecules mostly captive in the cell Draco 10 m s D is the same outside the membrane on both sides as well as in the VGC pores a reasonable assumption because these pores are aqueous Since there are no pores for macromolecules Cmacro 0 inside the membrane but Draco IS the same on both sides of it lons are subjected to a diffusion current as well as a conduction current Thus the
195. ectopic activity persists until dozens of APs have fired and gradient rundown renders the system unexcitable t 2000 ms Na K pumps then slowly bring it back to its initial quiescent state This onset of ectopicity can be understood from the fact that at a sufficiently high propagation frequency APs deplete ionic gradients faster than Na K pumps can restore them so all nodes run down at similar rates see Ey and Ex on Fig S1 Further with a diminished 142 a triggering of ectopicity ENR E 0 05 cm L MI EENNIENSENNESNNE SS UN US VUS RE VU We VON VV VE UW I I VE VIE NE AAA AAA AAA g A AA A LARALAANALARALAR y AAAA A A A A A A Sk EE LR LR ARR AR AAA AAA AAA Vig j JAN AAAAAAAALAAAAA s KAANAK eo eae aaa 200 400 600 800 time ms e 71 4 Hz lt 20 0 Hz e 13 3 Hz e 10 0 Hz o a D 20 R ectopic r 0 05 cm L node 6 damaged spikes required to trigger ectopicity LS mV Fig 1 Triggering of ectopic activity a Mildly damaged LS 3 mV node 6 remains non ectopic if 5 APs or less are propagated but becomes subtly but distinctly ectopic otherwise asterisks note the wave fronts shape change Stimulation is applied 10 times every 30 ms starting at tm 300 ms Wave fronts are drawn by connecting maxima of corresponding APs in adjacent nodes b Minimal number of APs required to trigger ectopicity Curves are notably fstim dependent
196. ects physiques ou math matiques s impose De nombreux choix s offrent alors au lecteur et la plupart d entre eux pr senteront l essentiel du contenu de notre section 1 B Sterratt 2011 propose une bonne pr sentation des propri t s des membranes suivie de la meilleure introduction exp rimentale au mod le HH laquelle a d ailleurs inspir la s quence du bloc 2 de notre troisi me sous section c est aussi un ouvrage ax sur la mod lisation visant des travaux num riques comme les n tres Nelson 2008 est simple lire et insiste sur la m canique mol culaire mais est incomplet s il est le seul aborder l quilibre de Donnan il est aussi le seul ne pas pr senter enti rement les quations du mod le HH Hille 2001 une source ax e surtout sur les canaux ioniques est aussi tr s abordable du moins dans sa premi re partie Le lecteur plus avanc devrait aborder Scott 2002 o les mod les sont syst matiquement abord s avec les outils de la dynamique non lin aire Il est recommand d tre d j familier avec ces outils un niveau qui d passe notre appendice A avant d aborder l ouvrage de Scott Sinon Strogatz 1994 pr sente une excellente introduction la dynamique non lin aire Scott 2002 et Sterratt 2001 abordent tous deux des r ductions du mod le HH le premier d un point de vue dynamique et le second d un point de vue num rique La plupart des articles qui ont t cit s dans cette section 1 B con
197. ed bilayer primary targets for neuroprotective Nav antagonists Frontiers Pharmacol 3 19 21 Wolf JA Stys PK Lusardi T Meaney D Smith DH 2001 Traumatic axonal injury induces calcium influx modulated by tetrodotoxin sensitive sodium channels J Neurosci 21 6 1923 1930 22 Schafer DP Jha S Liu F Akella T McCullough LD Rasband MN 2009 Disruption of the axon initial segment cytoskeleton is a new mechanism for neuronal injury J Neurosci 29 42 13242 13254 23 Dinic J Ashrafzadeh P Parmryd 2012 Actin filaments attachment at the plasma membrane in live cells cause the formation of ordered lipid domains Biochim Biophys Acta 1828 3 1102 1111 24 Wang JA Lin W Morris T Banderali U Juranka PF Morris CE 2009 Membrane trauma and Na leak from Nav1 6 channels Am J Physiol Cell Physiol 297 4 C823 C834 25 Phillips R Ursell T Wiggins P Sens P 2009 Emerging roles for lipids in shaping membrane protein function Nature 459 7245 379 385 26 Jiang QX Gonen T 2012 The influence of lipids on voltage gated ion channels Curr Opin Struct Biol 22 4 529 146 consecutive ectopic nodes Fig 4b it resists high levels of jitter in the incoming train Fig 6a and it is even fortified by mild levels of noise in the channel currents Fig 6b through a stochastic resonance effect In the presence of sustained high frequency input the 1 1 phase locking of the ectopic site can only be lost if E becomes strongl
198. effectue D abord pr sentons un ordre de grandeur dans des conditions physiologiques chaque pompe Na K transporte a peine quelques dizaines d ions par seconde M me dans des conditions id ales saturation d ATP et d ions transport s une pompe Na K n exc de pas un taux de 200 ions s Comme nous le verrons a la sous section 1 C2 ce taux est extr mement faible comparativement au d bit des ions qui traverse un canal ionique 10 10 ions s D ailleurs apr s le passage de quelques potentiels d action les pompes mettent plusieurs secondes bien plus longtemps que la dur e des potentiels d action a r tablir les concentrations initiales d ions Na et K Entre quelques dizaines et 200 ions s en moyenne pour chaque pompe quelle est l activit de la population de pompes dans des conditions donn es En g n ral elle d pend la fois des concentrations des substrats du potentiel de membrane et des taux de transition entre les tats possibles de la pompe Calculer le nombre moyen de cycles par seconde effectu s par les pompes implique donc de nous pencher sur la cin tique de toutes les transitions illustr es la figure 1 C1 2 Lauger 1991 section 8 5 pr sente avec soin une telle mod lisation d taill e il d bute en identifiant par une variable diff rente la proportion des pompes qui se trouvent un temps t dans chaque tat Ensuite il tablit les quations d crivant le taux de transition entre ces tat
199. embrane demeure applicable dansles cellules excitables Nous consid rerons qu elle est valide tant au repos que pendant un potentiel d action 14 Ce toujours n est valide que si les hypoth ses qui fondent l quation 1 B2 11 le sont aussi En r alit il existe des circonstances exceptionnelles o le courant de pompes peut momentan ment dominer les autres courants ex Florence 2009 son effet hyperpolarisant peut donc conduire V occuper temporairement une valeur inf rieure Ex 1 B2 7 Les conductances de la membrane d terminent le potentiel de repos 41 Dans cette sous section 1 B3 nous allons compl ter notre expos des outils permettant de comprendre le fonctionnement d un axone intact et fonctionnel Pour ce faire nous d buterons en pr sentant des mesures exp rimentales ayant historiquement permis de mod liser la fa on dont les conductances au sodium et au potassium d pendent du potentiel de membrane mais aussi du temps une poque o on ignorait tout de l existence de canaux tensiod pendants Cela nous conduira pr senter le mod le Hodgkin Huxley mod le HH qui d crit le m canisme du potentiel d action et que nous utilisons dans nos travaux de recherche Apr s l avoir compar quelques autres mod les nous conclurons en montrant comment le mod le HH d abord formul partir de mesures r alis es chez le calmar peut tre assez simplement adapt pour d crire un potentiel d action chez un vert
200. ement au potentiel de membrane une grandeur instantan e fonction du temps un potentiel gradu et un potentiel d action sont des v nements qui ont une dur e dans le temps La propagation dans l espace le long de l axolemme Le fait que le potentiel d action a une forme et une dur e ind pendantes du stimulus n est pas la seule caract ristique qui le distingue des potentiels gradu s Maintenant que nous avons tudi leur d pendance temporelle nous allons nous pencher sur la d pendance spatiale de ces deux cat gories de r ponses au stimulus UN POTENTIEL GRADU VA A B C gt a e ES As Ajustement _ Sn ss automatique pour injecter un courant pr s lectionn UN POTENTIEL D ACTION vA A B C gt t Figure 1 B1 3 Les potentiels gradu s s estompent rapidement quand ils se propagent le long d un axone alors que les potentiels d action maintiennent leur amplitude et leur forme malgr l in vitable dissipation d nergie due la r sistance lectrique de l axoplasme Pour tudier la d pendance spatiale des potentiels gradu s et des potentiels d action nous consid rons l axone illustr la moiti gauche de la figure 1 B1 3 lequel est stimul son 24 Chapitre 1 Guide du d butant extr mit gauche et le long duquel nous pouvons mesurer V t en plusieurs points bien s par s dans l espace Pour les fins de l illustration nous avons repr sent trois de ces points La moiti d
201. ement ind pendants malgr cette inexactitude le mod le HH d crit bien le cours d un potentiel d action et nous en poursuivons l expos Avant de poursuivre r capitulons les subtilit s du vocabulaire qui est utilis dans la litt rature contrairement aux canaux potassium qui ne pouvaient que s activer s ouvrir faire cro tre gx ou se d sactiver se fermer faire d croitre gx chaque canal a sodium peut se trouver dans quatre tats distincts selon qu il est activ ou d sactiv et qu il est inactiv ou non inactiv disponible Le passage entre l tat inactiv et l tat non inactiv est appel la r cup ration de l inactivation alors que les trois autres transitions portent le nom de l tat final par exemple l activation est le passage de l tat d sactiv l tat activ On peut grossi rement affirmer qu un courant de Na ne peut s couler que pendant la phase o Ona est d j activ e mais demeure encore disponible en pratique nous verrons que l activation et l inactivation sont toujours partielles Pour obtenir des courbes exp rimentales de la disponibilit et de l activation partir de mesures de J t des protocoles exp rimentaux suppl mentaires ont t n cessaires auxquels les auteurs du mod le consacrent deux articles entiers Hodgkin 1952c d La nouveaut de ces protocoles est d utiliser deux sauts du potentiel de membrane avant le saut vers V l axone est d abord conditio
202. emerciements d un projet de taille comparable la vie m a aussi fait cadeau de deux merveilleux enfants Aubert et Augustine que je remercie aussi pour leur patience Pour les mois venir mon temps avec vous trois sera maintenant moins mesur IV Remerciements Table des mati res Sommaire Summary D claration d originalit Remerciements Table des mati res Liste compl te des figures Liste des quations principales Mode d emploi pour le lecteur Chapitre 1 Guide du d butant 1 A Concepts de biologie cellulaire 1 A 1 La cellule unit de la vie 1 A 2 L anatomie des neurones 1 A 3 La membrane plasmique est surtout une bicouche 1 A 4 La membrane plasmique n est pas qu une bicouche 1 A 5 Structure et fonction des prot ines 1 A 6 Le mod le Michaelis Menten pour la cin tique enzymatique Guide de lecture 1 A 1 B Electrophysiologie 1 B1 Potentiel de repos et potentiel d action les observations cl 1 B1 1 Le potentiel de membrane 1 B1 2 R actions du potentiel de membrane une perturbation 1 B1 3 La membrane un condensateur charg 1 B2 Potentiel de repos dans les cellules non excitables 1 B2 1 L quilibre de Nernst 1 B2 2 Le courant d une esp ce ionique 1 B2 3 quilibre ou situation stationnaire 1 B2 4 L quilibre de Donnan 1 B2 5 Les mesures montrent qu une cellule r elle est hors d quilibre 1 B2 6 Les pompes Na K sont l origine principale du potentiel de repos 1 B2 7 Les conductances de la membra
203. endant une alternative puisqu on peut concevoir une m thode qui estime l quation AppC 8 par le polyn me suivant qui n utilise que la fonction f y et non ses d riv es Yna Yn hf y b hf y a hf y quation AppC 9 Pour fixer les coefficients b b et a on d veloppe fly a k en s rie de Taylor a deux variables on substitue dans l quation AppC 9 et on regroupe les termes obtenus afin de AppC 1 Le principe de base et les m thodes 187 pouvoir les comparer avec ceux de l quation AppC 8 On choisit alors les coefficients afin que ces deux quations soient gales l exception des termes n glig s O h qui peuvent tre diff rents Il s av re qu il demeure un degr de libert dans le choix des param tres l galit des quations AppC 8 et AppC 9 pouvant tre obtenue pour toute valeur de a avec b 1 2a et b 1 b Le choix le plus populaire est a 1 ce qui fixe b b 72 On obtient donc une des m thodes Runge Kutta d ordre 2 habituellement pr sent e sous la forme suivante qui simplifie la fois la lecture et les calculs Yna Yn OK Lk O h yY 7k 7k O h 7 quation AppC 10 ou k hf y k hf y ay k hf y k M thodes un pas d ordre sup rieur On peut g n raliser la m thode de Taylor et les m thodes Runge Kutta un ordre quelconque selon l erreur de troncature qu on souhaite vouloir faire Dans le cas de la m thode de Taylo
204. enomena involving the propagation of a wave of excitation along axons followed by a refractory tail Introductory biology material induces often explicitly three conceptual mistakes about the physics of APs A recovery of the membrane potential from the refractory phase of the AP is misattributed to Na K pumps potassium currents or other inaccurate causes B currents involved during an AP are seen as massive all or most of Na ions rushing in the cell during the rising phase of each AP C intracellular and extracellular compartments are seen as charged in most of their volume This article serves two purposes 1 provide a corrected view of the mechanism using both theory and numerical simulations and 2 suggest two computational projects of undergraduate difficulty level that could be used as pedagogical tools in computational physics or biophysics courses Keys words common misconceptions action potential Hodgkin Huxley model advection diffusion equations I INTRODUCTION An important component of c gep or freshman year undergraduate training in biology is the description of action potentials APs also called nerve impulses that propagate along axons the output projections of neurons Yet computational models giving a quantitatively accurate description of APs or of electrochemical diffusion through the cell membrane are deemed too mathematical to be taught in introductory biology textbooks or in physics for life sciences
205. ent d ADN Quand une cellule synth tise un polym re on dit qu elle exprime le g ne correspondant Taille des cellules Les cellules eucaryotes mesurent typiquement une dizaine de microm tres dix fois plus que les cellules procaryotes bien que certaines puissent exceptionnellement atteindre une taille de l ordre du millim tre Ces ordres de grandeur s appliquent aussi au diam tre des prolongements de cellules qui transportent l influx nerveux Fondamentalement la largeur d une cellule est limit e par le rythme auquel la diffusion peut assurer l entr e et la r partition volumique des mol cules requises pour les r actions chimiques effectu es par la cellule Nelson 2008 chap 4 Fluides interne et externe Les organites d une cellule eucaryote baignent dans un liquide interne la cellule le cytosol un gel aqueux qui contient des centaines de vari t s de mol cules organiques et de nombreux ions De plus toutes les cellules d un animal baignent dans un liquide externe la cellule le liquide interstitiel irrigu par les vaisseaux sanguins qui y diffusent des nutriments et de l oxyg ne tout en l en d barrassant des d chets Ce qui importera pour le fonctionnement des neurones est que ce milieu extracellulaire comporte de nombreux ions en solution dont la concentration est r gul e Marieb 2010 chap 26 Les ions Na et K nous int resserons tout particuli rement Pour nos travaux comprendre la structure de la membrane
206. er of nodes in model 10 1 in Fig S1a various axon in Fig 1c Simulation parameters Instant at which CLS is applied to damaged node s Instant at which nodes are 100 ms connected togheter Instant at which stimulation 300 ms starts Vi Amplitude of each stimulation 25 mV applied to node 1 hs Maximum 1 1 propagation 85 1 Hz frequency Stimulation frequency 0 lt beim lt Fray VP metric parameters Average over several equidistant values in Fig 3a Various in Fig Sta Chapitre 4 Article de recherche a AV tim effect on isolated node response 60 zone of 1 1 tne 6 Ena 51 9 40 response to stimulation Ex 813 Ep 47 4 5 selected value for AV Ex 69 1 a Se Ex 44 3 zone of partial response Ex 61 9 with or without phase mV i locking 0 0 50 100 150 stim frequency Hz b with selected AV im 25 mV value 60 20 v gt Ewa E 20 Ex gt 60 I stim at 75 Hz 100 0 300 600 900 1200 1500 time ms c xand N effect on AP transmission 0 45 lt 2 nodes 3 nodes x Tay 82 1 He 5 7 nodes g 10 15 nodes S 0 3 selected value for x 3 S zone of 1 1 ele oF node oO stim failure 2 propagation w 0 15 e o zone of stim failure i E propagation failure 0 0 40 80 stim frequency Hz 120 d with selected x 0 30 mS cm 2 N 10 values Vi gt Lu 3 LL A my ro il El TT 5 Lit lt 4 V
207. er tout ce qui est non polaire car cela r duit la surface de contact avec l eau et r duit donc le nombre de mol cules d eau dont l entropie est faible Ainsi l interaction hydrophobe est due des forces exerc es par les mol cules d eau et non une r elle interaction entre les entit s hydrophobes Organisation spontan e des phospholipides en bicouches Quelle est l importance des propri t s amphipathiques des phospholipides composantles membranes cellulaires De la m me fa on que l interaction hydrophobe correspond une attraction apparente des parties hydrophobes de ces mol cules par l huile ou par l air elle correspond galement une attraction des parties hydrophobes de phospholipides entre elles Ainsi si on place suffisamment de mol cules amphipathiques dans de l eau pure leurs parties non polaires ont tendance se regrouper spontan ment entre elles et s isoler de l eau Une fois que l interaction hydrophobe les a ainsi regroup es les parties non polaires commencent interagir entre elles par des forces de Van der Walls Une fois group es elles ont donc tendance le demeurer En parall le l attraction entre l eau et les parties hydrophiles des mol cules amphipathiques due aux ponts hydrog nes fait en sorte que ces parties hydrophiles ont tendance a rester en contact avec l eau La combinaison de ces deux Par d finition l entropie est S kg In Q o Q est le nombre de micro tats accessibles compte
208. erait s lectivement les canaux Na situ s dans les zones endommag es le temps que ces derni res se r parent Ainsi en plus de sauver les neurones endommager un tel inhibiteur minimiserait l effet de la m dication sur les neurones intacts Une telle approche serait plus praticable que les injections localis es pr sentement pr conis es voir par exemple Shankarappa 2012 o on montre que la sensibilisation centrale est pr venue par l utilisation locale de saxitoxine inject e sous forme encapsul e dans des liposomes Ace chapitre un aspect devrait tre mentionn nous avons soulev au premier bloc que la dur e de vie d une cloque mergeant dans un contexte normal est de l ordre d une minute Or les effets CLS mesur s par Wang 2009 taient irr versibles m me apr s une minute ou du moins leur dur e tait nettement plus longue que celle de l exp rience Nous ignorons cependant si cela signifie que les cloques caus es par un traumatisme sont incapables de se r sorber comme celles observ es pendant l apoptose ou si c est plut t la r organisation des radeaux lipidiques qui prend un temps consid rable apr s la r sorption de la cloque N anmoins ces aspects d passent la port e de nos travaux 3 A 4 Hypoth se de travail tout dommage une cellule excitable quivaut un CLS 127 Maintenant que nous avons fini de revoir les r sultats num riques fond s sur le mod le du CLS des canaux Nay le lien de cause
209. es normes qu on retrouve chez de rares invert br s dont le calmar La technique du patch clamp qui met fin cette limitation et est d usage aujourd hui a t invent e au d but des ann es 1970 Neher 1976 et perfectionn e par la suite Hamill 1981 La technique du patch clamp est un raffinement du voltage clamp o on utilise une micropipette dont l ouverture est d environ un microm tre non pas pour perforer la membrane mais pour gigohm l appuyer dessus en appliquant une faible succion comme le montre la figure 1 B3 3 En adh rant troitement a la micropipette un peu comme le ferait une bulle de savon la speso membrane forme un sceau dont la r sistance est de l ordre du gigohm GQ Le fragment de Figure 1 B3 3 Technique du patch clamp version membrane situ dans la pipette la patch qui cellule attach e le sceau gigohm form par donne son nom la technique est donc isol e l adh sion de la membrane la pipette isole le de l ext rieur Cette variante de patch clamp est fragment interne de membrane et permet de 7 mesurer le courant qui le traverse dite le mode cellule attach e milieu extracellulaire En mode cellule attach e la pr paration du fragment de membrane est compl te d s que 44 Chapitre 1 Guide du d butant le sceau gigohm s est form On peut ensuite en ins rant une lectrode dans la solution que contient la pipette faire des mesures du courant gui t
210. es courbes d activation et d inactivation d cal es vers la gauche comparativement celles publi es par les auteurs qui avaient utilis le mode cellule enti re Comme il est probable de traumatiser la membrane par inadvertance en utilisant le mode cellule attach e ces nombreuses mesures confirment qu un d calage cin tique se produit dans ce dernier cas Plusieurs possibilit s explicatives viennent en t te pour interpr ter les r sultats ci dessus D abord la cr ation de la cloque pourrait avoir s par les sous unit s prot iques qui composent le canal Na 1 6 les auteurs de Wang 2009 ont cart cette possibilit en r p tant les mesures sur les canaux compos s uniquement de la sous unit a et en montrant que l absence des autres sous unit s ne change rien au r sultat obtenu Il est clair aussi que les dommages dus aux prot ases activ es par les ions Ca n ont pas encore pu endommager les canaux Na qui manifestent des changements cin tiques en quelque 17 secondes alors que l influx de calcium prend quelque deux minutes se produire Wolf 2001 les changements cin tiques sont donc manifest s par des canaux 120 Chapitre 3 Membranes endommag es questions de recherche et construction du mod le Na intacts Ensuite la vue d un plus grand courant maximal sur la figure 3 A 7 aurait pu faire penser que la cr ation de la cloque augmentait le nombre de canaux dans la patch mesur e interpr tation utilis e dans
211. es ions et que 1 n est la proportion de ceux qui sont d sactiv s c est dire dans leur conformation ferm e Pour compl ter l quation 1 B3 5b il ne manque que la d pendance en V des param tres a et B Les fonctions suivantes dont la forme est arbitraire forment une courbe de tendance qui repr sente bien les donn es exp rimentales voir dans Hodgkin 1952e la Fig 4 et le texte s y rapportant V 55 1 V 55 s quation 1 B3 7 B 0 125e oY 0 01 ou Vest en millivolts On note que les mesures exp rimentales donnent n et 7 et qu on doit ensuite les convertir en a et B N anmoins l quivalent des quations 1 B3 7 pour n et 7 serait plus lourd ce qui n est sans doute pas tranger au fait que Hodgkin et Huxley ait pr f r la forme de l quation 1 B3 5b celle de l quation 1 B3 5a 50 Chapitre 1 Guide du d butant Soulignons aussi que les quations 1 B3 7 pourraient tre substitu es directement dans l quation 1 B3 5b ce qui montre bien que n ne d pend que du potentiel V et du temps t Observations d taill es sur le sodium Maintenant que nous avons compl t la mod lisation de la conductance au potassium nous entamons celle du sodium qui suivra des tapes analogues On d termine cette conductance de la m me fa on que pr c demment on isole le courant de sodium comme la figue B9 et on d duit ensuite Qna t en calculant gna Jna V Ena pour la courbe enti
212. es neuf autres noeuds de Ranvier doivent propager fid lement chaque potentiel d action d charg dans le premier noeud Dans le syst me endommag la seule diff rence est qu un CLS est appliqu un ou plusieurs des neuf noeuds de Ranvier sur lesquels aucune intervention externe n est appliqu e Dans la plupart de nos simulations ce sera le noeud 6 qui est au centre de cette portion de neuf noeuds Exceptionnellement ce sera les noeuds cons cutives 5 6 7 Pour appliquer le CLS on remplace tout simplement au x noeud s endommag s V par V CLS dans les quations pour m h et n de la figure 1 B3 10 3 B 3 Les concentrations ioniques constantes ou non Les travaux pr c dents ont d montr l importance de tenir compte des changements de concentrations ioniques en particulier sans elles aucune rafale n est pr dite Un de nos r sultats de recherche voir la figure 4 2 au prochain chapitre ne l aurait pas t non plus Par contre utiliser des concentrations non constantes implique aussi d ins rer des pompes Na K ce qui complexifie le mod le Un bon compromis est l id e utilis e dans Boucher 2012 cet article compare les r sultats obtenus avec ou sans la pr sence de pompes et de concentrations d pendantes du temps Tel quel ce choix nous para t cependant peu judicieux retirer les pompes du mod le quivaut faire dispara tre leur effet hyperpolarisant donc modifier l excitabilit de la membrane Nou
213. essin sur la figure e Ensuite deux ions K en provenance du milieu extracellulaire se lient aux sites qui viennent d tre lib r s e On observe que la liaison du K provoque ou permet la d phosphorylation de la pompe ce qui constitue la cinqui me tape Cette lib ration du phosphate cause un l ger changement de conformation qui pi ge les ions ie les deux portes sont nouveau ferm es e Enfin la liaison d ATP du c t cytosolique provoque le passage de la conformation E vers la conformation E ce qui met les sites de liaison en contact avec le cytosol ie la porte interne est ouverte et restitue leur affinit pour Na En cons quence les deux K sont lib r s dans le cytosol Sur le plan nerg tique il est int ressant de souligner que l apport d nergie par l hydrolyse de l ATP ne survient qu une seule des tapes du cycle l tape 2 Cela signifie que le syst me dans l tat Na E P doit contenir nettement plus d nergie libre que dans les autres tats cette nergie stock e est ensuite lib r e graduellement dans les autres tapes du cycle la majeure partie tant transf r e aux ions qui sont pomp s contre leur gradient lectrochimique Limites du sch me de Post Albers Le sch me de Post Albers illustr la figure 1 C1 2 est corrobor par la grande majorit des observations exp rimentales et explique le fonctionnement normal de la pompe Toutefois il existe des situations non physiolo
214. est videmment l un de ces r les mais l alimentation de processus de transport en est un autre contrairement la pompe Na K qui est aliment e directement par de l ATP bien d autres pompes tirent leur nergie m me le gradient de concentration de Na Pour comprendre physiquement en quoi un gradient de concentration peut alimenter nerg tiquement un processus quelconque il faut faire appel a la m canique statistique Puisque l accumulation de potassium dans la cellule ou de sodium hors de la cellule correspond a une diminution d entropie S comme nous l avons dit la section 1 B alors elle correspond aussi une accumulation d nergie libre Cette accumulation d nergie libre peut th oriquement tre utilis e pour alimenter n importe quel proc d pourvu qu un dispositif permette de l utiliser On peut donc dire que la membrane joue le r le d un accumulateur ou d une pile que la pompe Na K permet de maintenir constamment charg e Et comme les piles de notre quotidien celle ci peut tre utilis e bien des fins notamment le pompage d autres ions Un exemple d une pompe s alimentant de cette fa on est l changeur Na Ca dont le r le est de pomper les ions Ca vers l ext rieur de la cellule Chaque fois qu un ion Na traverse du c t o il est concentr vers celui ou il l est moins de l nergie libre est lib r e Chaque fois qu un Ca traverse vers le c t o il est le plus concentr de l nergie lib
215. est que l quation AppB 12 est maintenant identique pour les deux cas et devient ET 2y Cox Cine i CRA a r Jy F ET kT 1 me quation AppB 21 e B On peut donc maintenant d buter la d monstration en supposant que la somme de tous les courants ioniques passifs est nulle donc que V V axVo C e kgT 2 Jx m2 qxP a al 0 quation AppB 22 X q e Si on consid re seulement les ions monovalents comme Na K et Cl alors qx e dans chacun des cas On peut donc premi rement liminer g qui correspond e pour chaque terme Deuxi mement on peut aussi crire eo pa kgT Coxt X Cint xe m C5 C e 1 e t X t X o E i T w quation AppB 23 es KBT Te Cont xE Cint x _ eV qyx ee 1 eVo ce qui permet d liminer le d nominateur 1 e qui devient commun tous les termes si on inverse le signe du num rateur et du d nominateur dans le cas q e Avec ces deux simplifications l quation AppB 22 devient eVo eVo ea ker D P k ext X Cint xE 3 gt P e int X Coxe 0 ions jons positifs n gatifs quation AppB 24 182 Appendice B courants ioniques potentiel de repos En regroupant les termes qui sont multipli s ou non par le facteur exponentiel cette quation peut s crire Vo as gt Poeaax gt PyCintx e gt PyCin x gt Poeoe x 0 ions ions ions ions positifs n gatifs positifs n gatifs quation App
216. et donc d augmenter h ce qui r duit le nombre total de r p titions de l algorithme par l ordinateur Ce premier effet favorise donc les m thodes d ordre lev Cependant quand on augmente l ordre le nombre d op rations arithm tiques requises pour chaque it ration de l algorithme augmente En particulier l quation AppC 11 montre que chaque pas temporel d une m thode d ordre N requiert d valuer N fois la fonction f y Ce second effet favorise les m thodes d ordre faible Pour identifier la m thode qui minimise le temps d ex cution il faut donc valuer le nombre total d op rations arithm tiques Une des m thodes Runge Kutta d ordre 4 offre un choix optimal elle est tellement utilis e qu on l appelle souvent la m thode Runge Kutta classique la m thode RK4 ou encore la m thode Runge Kutta Yna Yn eth 2k 2k k ou k hf y i quation AppC 12 k hf y 4k k hf y 4k k hf y k La m thode RK4 est celle que nous avons utilis e dans le projet de l article du chapitre 2 et qui comme nous le verrons ci dessous forme la m thode de base de nos calculs de l article du chapitre 4 videmment le temps d ex cution n est pas le seul crit re qui a guid ce choix comme nous le verrons maintenant AppC 2 L accumulation et la gestion d erreurs Jusqu pr sent nous avons discut de la m thode RK4 qui optimise le temps d ex cution et avons introduit l erreur de troncature qui da
217. et n gliger l effet de la concentration d ATP typiquement abondante dans des conditions normales Quant aux concentrations ioniques nous choisissons de ne tenir compte que des Na internes et des K externes Bien que l activit de la population des pompes d pende aussi fortement des concentrations des Na externes et des K internes ces derniers ont une concentration beaucoup plus importante et donc plus constante par exemple le transfert de 1 mM de Na change de 5 la concentration interne ce qui risque de produire un effet cin tique mais n affecte que de 0 6 la concentration externe Enfin l effet des ions Na internes et des ions K externes est repr sent grace au mod le Michaelis Menten que nous avons pr sent la section 1 A ce qui quivaut traiter l action de pompage comme une r action chimique Le courant produit par la population 6 Notons que nous avons aussi n glig l effet de la temp rature sur les constantes de temps du mod le HH 27 Nos travaux portent sur des axones endommag s bien s r mais peu apr s l application du dommage l ATP demeure abondante 132 Chapitre 3 Membranes endommag es questions de recherche et construction du mod le de pompes est donc K Na Jomp Umax lex EE quation 3 B 1 K lx T Kuk Na lat Kine OU J m eSt le courant net de la population de pompes On a donc conform ment au ratio de couplage des pompes Uva omp SY pmp Et Jkpmp 2Jpmp
218. et par phosphate celle de leurs t tes toujours compos e d un u o ates glyc rol et d un ion phosphate mais auxquels SN ER ae peuvent s ajouter d autres groupements x apee gras IN O Campbell 2007 section 7 1 La figure 1 A 3 eee illustre en haut un exemple particulier de 9 phospholipide il s agit d une l cithine tr s RR pr sente dans les membranes plasmiques des cellules du syst me nerveux ainsi que en bas une repr sentation symbolique qui est r guli rement utilis e dans les manuels pour repr senter de fa on g n rique tout Figure 1 A 3 Un symbole permet de repr senter les phospholipide phospholipide dont un exemple est ici repr sent glyc rol queues t te non polaires polaire SYMBOLE Propri t s g n rales des mol cules amphipathiques En raison de leurs propri t s les mol cules amphipathiques phospholipides ou autres sontomnipr sentes dans l industrie elles composent le savon sont des mulsifiants stabilisant des solutions h t rog nes permettent de mettre en solution des mol cules polaires et non polaires qu on veut faire r agir ensemble etc Au chapitre 3 nous allons aussi discuter d inhibiteurs utilis s pour agir sur des membranes endommag es plusieurs desquels sont amphipathiques Avant de poursuivre notre expos sur les membranes pr sentons quelques propri t s de cette cat gorie de mol cules qui composent les membranes cellulaires Si on place des mol cule
219. ffet elle doit poss der un site lui permettant de lier l ATP et de catalyser sa rupture mais aussi des sites actifs permettant de lier les ions sp cifiques qu elle pompe au travers de la membrane plasmique De m me elle doit pouvoir changer de conformation pour lier les ions d un c t de la membrane mais les lib rer de l autre c t de la membrane plasmique ce qui correspond sa fonction de transport Nous verrons la section 1 B que c est le fait m me de lier une mol cule un site actif qui entra ne dans cette prot ine une s quence de changements de conformations L uger 1991 chap 2 8 un peu l image de l unique changement illustr la figure 1 A 6 Les conformations d une prot ine sont relativement stables dans une cellule mais sont sensibles des changements importants des propri t s de leur environnement Par exemple des changements brutaux de temp rature ou de pH peuvent d former compl tement une prot ine On dit alors qu elle est d natur e Ce processus peut tre r versible la condition que la prot ine d natur e demeure en solution et que les conditions lui permettant de reprendre sa forme soient restaur es Il est possible cependant que la d naturation soit irr versible Par exemple la cuisson d un blanc d oeuf d nature l albumine qui compose la majorit de sa masse s che ce qui le fait coaguler refroidir le blanc d oeuf ne restaure videmment pas sa forme initiale Une question
220. fibers in a rat model Brain Research 610 pp 62 68 Sheetz MP Sable JE Dobereiner HG 2006 Continuous membrane cytoskeleton adhesion requires continuous accommodation to lipid and cytoskeleton dynamics Annual Review of Biophysics and Biomolecular Structure 35 pp 417 434 Shirahata E Iwasaki H Takagi M Lin C Bennett V Okamura Y Hayasaka K 2006 Ankyrin G regulates inactivation gating of the neuronal sodium channel Nav1 6 Journal of Neurophysiology 96 pp 1347 1357 Simons K amp Ehehalt R 2002 Cholesterol lipid rafts and disease Journal of Clinical Investigation 110 5 pp 597 603 Skou JC 1957 The influence of some cations on an adenosine triphosphatase from peripheral nerves Biochimica et biophysica acta 23 pp 394 401 Skou JC 1974 The Na K activated enzyme system and its relationship to transport of sodium and potassium Quarterly Reviews of Biophysics 7 pp 401 434 Smith DH Hicks R Povlishock JT 2013 Therapy development for diffuse axonal injury Journal of Neurotrauma 30 5 pp 307 323 Stein RB Gossen ER Jones KE 2005 Neuronal variability noise or part of the signal Nature Reviews Neuroscience 6 pp 389 397 Sun GC Werkman TR Wadman WJ 2006 Kinetic changes and modulation by carbamazepine on voltage gated sodium channels in rat CA1 neurons after epilepsy Acta Pharmacologica Sinica 27 12 pp 1537 1546 Susuki K 2013 Node of Ranvier disruption as a
221. fions un param tre en cours de route Il peut alors se produire que Atenu est tr s important et donc que le ratio nu A un est immense S il exc de la valeur maximale pouvant tre stock e dans un r el de double pr cision ce dernier sera encod comme INF infini ou NaN not a number Toute op ration impliquant un NaN et d autres r els donne elle m me un NaN si bien que le prochain pas h recommand sera lui m me un NaN et que le reste de l int gration num rique chouera Pour viter cette ventualit il faut explicitement d tecter les NaN Or il est impossible de coder quelque chose comme if variable NaN puisque toute op ration de comparaison avec un NaN donne faux y compris la comparaison entre deux NaN La solution que nous avons imagin est de tirer profit de cette particularit en codant if variable variable En effet la seule ventualit o cette op ration sera valu e comme vraie est celle o la variable est un NaN AppC 3 Quelques autres aspects techniques 197 Choix des points pertinents pour la mise en graphique Un autre aspect technique qui n cessite mention est celui de l exportation des donn es qui en langage C doit tre cod e comme le reste Certaines simulations comprennent des milliards d it rations et il va sans dire que peu de logiciels de mise en graphique pourraient g rer un tableau qui les comporterait toutes sans parler de l espace disque qui serait utilis
222. flux J q of ion species X having concentration c x is given by Oc Z eE LD XX 10 ox KT ae ba Dx where z 1 is the sign of the charge of ion species X and E is the mean electric field produced by all ionic species at position x A plane element of volume located in the interval x x dx and containing net charge density o FQdx contributes o 2 to that field E x is therefore given by E x Ef Qax Ef Qax 11 Simulations disproving misconceptions about action potentials 105 where amp 80 for water has been used and where Q Cha Ck Ca Cmacro ON both sides of the membrane and Qy Cnat amp CK daCa inside it Note that F is Faraday constant charge of a mole of elementary charges Eq 10 is valid everywhere except at the membrane boundaries where ions have access to only a fraction a of the membrane area A ie the density of opened VGCs permeable to ion species X Therefore a fraction of the ionic flux given by Eq 10 permeates while the rest accumulates outside For example the rate of change of cx in infinitesimal volumes located at L 2 L 2 dx and L 2 dx L 2 would be respectively de amp L 2 9 L 2 dx dt dx and de amp L 2 dx a g L 2 dt dx 12 Outside the membrane however there is no a factor and Eq 10 becomes de _ Py X A X dx 13 dt dx Also since c is a point function it is the number of par
223. fonctionnement de la pompe Na K structure du canal K structure du canal Na filtre de s lectivit comportement stochastique des canaux tensiod pendants Liste compl te des figures Chapitre 2 Article p dagogique phases d un potentiel d action circuit du mod le HH valeurs cibles et constants de temps des variables du mod le HH potentiel de membrane et sa valeur cible pendant la phase r fractaire courants ioniques pendant un potentiel d action effet de la r duction de la conductance de fuite charge transf r e par chaque esp ce ionique sch ma du mod le de membrane distribution au repos des concentrations ioniques et du champ lectrique Chapitre 3 Membranes endommag es questions de recherche et construction du mod le 3 A 1 3 A 2 3 A 3 3 A 4 3 A 5 3 A 6 3 A 7 3 A 8 3 A 9 3 A 10 3 A 11 3 A 12 3 A 13 3 A 14 3 B 1 exemples de cloques cycle de vie d une cloque cloque a un noeud de Ranvier d un axone traumatis activit ectopique enregistr e dans un axone traumatis parcours normal de la perception de la douleur influx de sodium d au CLS des canaux Na situ s dans les cloques acc l ration de l activation et de l inactivation des canaux Nay illustration du CLS affectant les canaux Na situ s dans les cloques d calage du courant de fen tre en raison du CLS r action d une membrane au CLS sans pompes r action d une membrane au CLS avec pompes rafales de potentiels d action dues
224. fr quence plus faible en stimul ce dernier ne change pas sa fr quence absence de stimulus Par contre quand et domine le comportement de l axone en aval l amplitude du CLS cro t au del de 7 mV environ F i c est le noeud endommag qui domine l axone les fr quences de d charge sont identiques a Figure adapt e de Boucher 2012 50 fr q de d charge Hz 126 Chapitre 3 Membranes endommag es questions de recherche et construction du mod le celles illustr es a la figure 3 4 13 o aucune stimulation n tait pr sente Ces r sultats nous semblent prometteurs mais incomplets ils tiennent en un seul panneau de figure aucune trace temporelle n est illustr e dans l article le seul stimulus utilis est un courant constant inject au noeud 1 et ni pompes ni bruit n taient pr sents N anmoins ce panneau de figure de Boucher 2012 a inspir nos propres travaux pr sent s au chapitre 4 qui visent notamment combler les lacunes que nous venons d noncer Notons aussi qu un CLS tr s important zone d de la figure 3 A 10 a pour effet de bloquer compl tement la propagation comme le montre la portion droite du graphique de la figure 3 A 14 m me si un stimulus est appliqu au noeud 1 le noeud 10 ne d charge pas du tout De fa on ind pendante de nos travaux les auteurs de Volman 2013 ont tudi l effet du CLS sur la propagation le long d un axone Leur mod le comporte comme le n tre des c
225. giques par exemple l absence totale de Na ou de K o la pompe effectue des transitions qui n apparaissent pas sur cette figure Plesner 1985a b Sachs 1991 Glynn 2002 Monti 2013 voir aussi Lauger 1991 chap 8 Auger 1991 chap 2 sugg re un m canisme g om trique permettant d expliquer le changement d affinit des sites de liaison chaque site tant situ entre deux h lices a voir le panneau B de la figure 1 C1 1 on attribue la liaison des charges ou des groupements polaires que portent ces deux h lices et qui ceinturent les ions li s lors du changement entre les conformations E et E la rotation ou l loignement mutuel des deux h lices change la grosseur optimale de l ion pouvant interagir avec ces groupements 1 C1 2 Fonctionnement de la pompe Na K TT De plus la pompe peut d roger de son fonctionnement normal en effectuant divers gaspillages laisser passer un ion dans le sens de son gradient lectrochimique permettre la lib ration du phosphate li sans jamais passer par la configuration E permettant le pompage ie gaspillage d un ATP etc Plusieurs de ces gaspillages impliquent des conformations interm diaires qui n apparaissent pas sur la figure 1 01 2 Lauger 1991 chap 8 Enfin des tudes r centes indiquent que la liaison successive de chaque ion transport suit une s quence pr cise chaque liaison introduisant un l ger changement de conformation ces conformations sont des interm d
226. gle ion species X the current would flow until V reached Ex Therefore one can assert that each J tends to drive V towards its E As we will see shortly the combined effect of the three currents is to drive V towards the target value V in general different from Vest Thanks to Eq 1 a patch of membrane can be seen as a circuit where Jy Jk and Jieak flow in parallel branches Fig 2 that each contribute to a total current increasing or decreasing the charge held by the membrane capacitance C Since this charge is given by q CV the derivative of Vis determined by the total transmembrane current dv 1 dt C na H k t Jea 3 In this picture the small current caused by Na K pumps is neglected and amp and E are considered constant This last point should be stressed as it is a source of MCs charges transferred during a single AP have a large effect of V but a negligible effect on the concentration gradients simply because the concentration is distributed in the entire cell volume while the charge q CV is confined to the nanometer thick Debye layer adjacent to the membrane When the RHS of Eq 3 is positive V increases and vice versa This RHS is zero for a single voltage that constitutes the target value V given by Eva GE x Drea E g V Na leak 4 Ina Ox Deak If g and g are at their steady state value then V Ves But during an AP V transiently changes rest
227. her et al 2012 Coupled left shift of Nay channels modeling the Na loading and dysfunctional excitability of damaged axons Journal of Computational Neuroscience 33 2 301 319 Volman and Ng 2013 Computer modeling of mild axonal injury Implications for axonal signal transmission Neural Computation 25 10 pp 2646 2681 See for example e Offner 1970 Kinetics of Excitable Membranes Voltage amplification in a diffusion regime Journal of General Physiology 56 2 272 296 e French 1974 Finite Difference Methods for the Numerical Solution of the Nernst Planck Poisson Equations in Mathematical Problems in Biology Basu amp Sharma 1997 An improved space charge model for flow through charged microporous membranes Journal of membrane science 124 1 77 91 e Cruz Vilhena amp Cortez 2000 Solution of non linear Poisson Boltzmann equation for erythrocyte membrane Brazilian Journal of Physics 30 2 403 409 See also Nelson 2008 or Stein 1986 Transport and diffusion across cell membranes Hille 2001 One could also repeat the simulation using different diffusion coefficient for macromolecules inside and outside the cell to take into account that some are attached and cannot diffuse Hirsch 1990 Numerical Computation of Internal and External Flows The steady state being only determined by the ratio of a values this choice has no effect on results it only changes the delay re
228. homog ne dans lequel r gne un champ lectrique uniforme d au potentiel de membrane V Si la membrane comporte des prot ines de transport cr ant des passages hydrophiles permanents pour l esp ce ionique X alors on peut quand m me consid rer que la travers e se fait en empruntant un milieu homog ne l int rieur des passages dans lequel r gne un champ lectrique uniforme d au potentiel de membrane Dans ce qui suit on consid re donc un milieu homog ne pouvant tre l un ou l autre de ces deux cas De plus on choisit un axe des x parall le au champ lectrique Composante de diffusion Quelle que soit la distribution spatiale de l esp ce ionique consid r e son courant de diffusion en chaque point x du milieu homog ne est proportionnel au gradient de concentration en ce point et est dirig en sens inverse de ce gradient Selon la loi de Fick la constante de proportionnalit est le coefficient de diffusion D donc le courant de diffusion est donn par DVe Cependant la loi de Fick n exprime pas une densit de courant lectrique en unit s de charge par unit de surface et par seconde mais bien d une densit de courant de particules en nombre de particules par unit de surface et par seconde Pour obtenir le courant lectrique de diffusion il suffit de multiplier l quation par la charge q port e par l ion consid r On obtient alors gt kit DqVc quation AppB 1 Composante de
229. i permet d interagir avec les groupements ad nine et ribose de l ATP Ce site de liaison est form d acides amin s hydrophobes trouv es dans plusieurs portions non cons cutives du polypeptide dont deux sontidentifi es par des rectangles gris sur le panneau A de la figure ci dessus e Site de phosphorylation la pompe Na K est une pompe de type P ce qui signifie qu un des tats interm diaires de son cycle de fonctionnement est phosphoryl On dit qu une prot ine est phosphoryl e quand le groupement phosphate lib r par l hydrolyse de l ATP lui demeure li e de fa on covalente au lieu d tre lib r dans le cytosol sous forme d ion Ici le site de phosphorylation est un acide amin aspartate identifi P sur le premier panneau de la figure et qui appartient une s quence fortement conserv e du polypeptide a e Sites de liaison ionique la prot ine comporte trois sites de liaison capables de lier et d ensuite pi ger les ions Na ou K afin de les transporter d un c t de la membrane a l autre Les sites de liaison et Il identifi s sur le panneau B de la figure peuvent lier 2 Ce terme signifie que cette s quence du polypeptide est pr sente chez toutes les pompes de type P malgr les nombreuses variations introduites par l volution ailleurs dans le polypeptide 1 C1 1 La structure des pompes Na K 75 ces deux esp ces ioniques mais le site III ne peut lier que Na Cet aspect est le plus important la pom
230. i pour le lecteur Chapitre 1 Guide du d butant Dans ce chapitre nous introduisons les notions de base n cessaires a aborder le domaine La section 1 A pr sente des notions anatomiques et biochimiques l mentaires s adressant au lecteur qui n a jamais tudi la biologie La section 1 B introduit les ph nom nes lectriques qui sont la base du fonctionnement de l influx nerveux dans un axone sain et se termine avec le mod le Hodgkin Huxley que nous utilisons dans nos travaux de recherche L article p dagogique pr sent au chapitre 2 vise a compl ter cette section 1 B en insistant sur les difficult s conceptuelles La section 1 C pr sentera les trois prot ines cl du m canisme de l influx nerveux La section 1 D survolera les notions de base d encodage neuronal Chaque section est ind pendante des autres de sorte que le lecteur d butant peut puiser la pi ce ce qu il lui manque pour entreprendre la lecture des chapitres 3 et 4 1 A Concepts de biologie cellulaire Dans cette section nous survolons des notions de base en biologie en annon ant le contexte dans lequel elles seront pertinentes dans nos travaux et en apportant autant que possible une saveur biophysique Sont au menu les parties de la cellule et particuli rement des neurones la structure des membranes cellulaires le r le et la structure des prot ines et la cin tique de r actions enzymatiques La majorit du contenu de cette section est normalement acq
231. ia virus uses macropinocytosis and apoptotic mimicry to enter host cells Science 320 pp 531 535 Mills JC Stone NL Erhardt J Pittman RN 1998 Apoptotic membrane blebbing is regulated by myosin light chain phosphorylation Journal of Cell Biology 140 3 pp 627 636 Milton RL amp Caldwell JH 1990 Na current in membran blebs implications for channel mobility and patch clamp recording Journal of Neuroscience 10 3 pp 885 893 Mirollo RE amp Strogatz SH 1990 Synchronization of pulse coupled biological oscillators SIAM Journal on Applied Mathematics 50 6 pp 1645 1662 Bibliographie 159 Monti JL Montes MR Rossi RC 2013 Alternative cycling modes of the Na K ATPase in the presence of either Na or Rb Biochimica et Biophysica Acta BBA Biomembranes 1828 5 pp 1374 1383 Moore JW Joyner RW Brill MH Waxman SD Najar Joa M 1978 Simulations of conduction in uniform myelinated fibers relative sensitivity to changes in nodal and internodal parameters Biophysical Journal 21 pp 147 160 Morais Cabral JH Zhou Y MacKinnon R 2001 Energetic optimization of ion conduction rate by the K selectivity filter Nature 414 pp 37 42 Morris CE amp Lecar H 1981 Voltage oscillations in the barnacle giant muscle fiber Biophysical Journal 35 1 pp 193 213 Morris CE 2011 Voltage gated channel mechanosensitivity fact or friction Frontiers in physiology 2 article 25 Morris CE
232. iaires entre celles illustr es Yaragatupalli 2009 Poulsen 2010 Gadsby 2012 Holmgren 2000 1 C1 3 Les courants caus s par la pompe Na K Maintenant que nous avons pr sent la structure et le fonctionnement de la pompe Na K nous pouvons nous attarder aux courants qu elle produit Trois aspects sont pertinents pour nos travaux 1 la pompe produit un courant de Na environ 1 5 fois plus grand que son courant de K 2 ces courants ont un effet sur les propri t s de la membrane 3 ces courants fluctuent dans le temps Ratio de couplage Dans les conditions physiologiques normales les sites de liaison dans la conformation E doivent s lectionner les ions Na malgr la pr sence de nombreux autres ions dans le cytosol dont une concentration lev e de K De m me dans la conformation E ils doivent s lectionner les ions K malgr la pr sence d une forte concentration de Na Il appert que la liaison du Na est nettement plus s lective que celle des K auxquels peuvent se substituer avec une affinit comparable Rb Cs Li NH et m me des ions organiques Ratheal 2010 Notre pr sentation de la structure de la pompe et de ses sites de liaison a montr qu elle a un rapport stoechiom trique de 3Na 2K voir notamment la figure 1 C1 2 o ces sites sont illustr s Toutefois puisque la pompe peut se tromper d ions ou effectuer des transitions anormales entre deux tats il faut distinguer ce rapport stoechiom
233. iaison ou en devenant des senseurs de tension comme nous le verrons a la section 1 C Structure tertiaire des prot ines Les acides amin s utilis s pour synth tiser le polypeptide ont des propri t s diff rentes d termin es par leur cha ne lat rale Certains portent une cha ne lat rale basique ou acide qui se dissocie au pH ambiant et devient charg e D autres m me s ils restent lectriquement neutres portent une cha ne lat rale polaire Ceux qui restent portent une cha ne lat rale non polaire Ces diff rentes propri t s font en sorte que les acides amin s se placent g om triquement d une certaine fa on et m me que chacun des atomes qui les compose adopte une position pr cise dans l espace Ajoutons que la structure secondaire joue un r le d terminant en fonction des cha nes lat rales qu elles comportent les h lices a et les feuillets B ont eux aussi tendance a interagir entre eux comme des touts et s agglom rer selon certaines orientations On appelle structure tertiaire la structure tridimensionnelle d un polypeptide caus e surtout par les interactions entre les cha nes lat rales et d finie par la position de chacun de ses atomes dans l espace Il y a plusieurs fa ons l illustrer cette structure les repr sentations en ruban mettent l accent sur les positions relatives des h lices a des feuillets B et des autres portions du polypeptide en illustrant seulement la position dans l espace occup e par le
234. ication de la forme de la courbe P V Une telle translation correspond au d calage cin tique que nous allons introduire au chapitre 3 et qui est le m canisme au coeur de l hypoth se g n rale guidant les travaux de notre groupe de recherche 1 C2 3 L inactivation des Na diff re des hypoth ses du mod le HH En un demi si cle de mesures cin tiques quelques r sultats ont contredit les hypoth ses du mod le HH sans affecter sa validit descriptive Par exemple plusieurs isoformes des canaux K sont capables eux aussi de s inactiver mais le d lai d inactivation est tellement long qu il n a pas t observ par Hodgkin et Huxley Nous allons ici insister sur deux aspects qui sont pertinents pour aborder le chapitre 3 d abord nous discuterons la pr sence d un couplage cin tique entre l activation et l inactivation des canaux Na alors que le mod le HH consid re ces deux processus comme ind pendants et tensiod pendants Ensuite nous exposerons que les canaux Na sont capables d occuper une configuration o ils deviennent des canaux persistants c est dire d augmenter de beaucoup le d lai de leur inactivation L inactivation est troitement coupl e l activation Nous d butons d abord par une critique de l hypoth se HH voulant que l inactivation soit ind pendante de l activation Notre pr sentation suivra la s quence de celle faite par Hille 2001 chap 19 La figure 1 C2 2 montre que l activation des canaux
235. ide une cellule peut accro tre la rigidit de sa membrane plasmique gr ce des fibres de spectrine qui s attachent aux filaments d actine de fa on tisser une v ritable structure sous membranaire ayant l apparence d un filet le cortex d actine spectrine Plusieurs prot ines ench ss s dans la membrane plasmique sont pourvues d un site actif leur permettant de s attacher ce cortex gr ce une prot ine interm diaire l ankyrine ce qui limite leur mobilit et rigidifie la membrane Nous verrons au chapitre 3 les dommages qui se produisent quand la membrane plasmique est arrach e son cortex d actine spectrine ce qui jouera un r le important dans la base th orique de nos travaux Survol du fonctionnement d une prot ine Pour pouvoir jouer son r le de catalyse de transport ou m me de structure chaque prot ine doit adopter au moins une forme tridimensionnelle sp cifique qu on appelle une conformation En g n ral cette conformation permet aux prot ines d avoir un ou plusieurs sites actifs dont la forme g om trique pouse assez pr cis ment celle d une mol cule pour pouvoir s y lier sans se lier aux autres Par exemple un enzyme doit se lier s lectivement aux mol cules de r actifs dont elle catalyse une r action des prot ines de structure comme l actine doivent avoir une forme leur permettant de se lier les unes aux autres pour former un filament etc Campbell 2007 chap 5 8 Nelson 2008 chap 7 La figu
236. ie Victor JD amp Purpura KP 1996 Nature and precision of temporal coding in visual cortex a metric space analysis Journal of Neurophysiology 76 2 pp 1310 1326 Vik A Kvistad KA Skandsen T Ingebrigtsen T 2006 Diffuse axonal injury in traumatic brain injury Tidsskrift for den Norske Laegeforening 126 22 pp 2940 2944 seul l abr g est en anglais Villalba Galea CA Sandtner W Starace DM Bezanilla F 2008 S4 based voltage sensors have three major conformations Proceedings of the National Academy of Sciences 105 46 pp 17600 17607 Volman V Bazhenov M Sejnowski TJ 2012 Computational models of neuron astrocyte interaction in epilepsy Frontiers in computational neuroscience 6 p 58 Volman V amp Ng LJ 2013 Computer modeling of mild axonal injury Implications for axonal signal transmission Neural Computation 25 10 pp 2646 2681 Vucic S Kiernan MC 2006 Novel threshold tracking techniques suggest that cortical hyperexcitability is an early feature of motor neuron disease Brain 129 9 pp 2436 2446 Wang JA Lin W Morris T Banderali U Juranka PF Morris CE 2009 Membrane trauma and Na leak from Nav1 6 channels American Journal of Physiology 297 C823 Wolf JA Stys PK Lusardi T Meaney D Smith DH 2001 Traumatic axonal injury induces calcium influx modulated by tetrodotoxin sensitive sodium channels Journal of Neuroscience 21 pp 1923 1930 Xia M Liu H Li Y Yan N
237. ike received from another neuron otherwise the two spikes would be considered independent In extreme cases when q 0 the VP distance equals the difference in spike count while for large q it equals the sum of both spike counts This VP distance will hereafter be called output infidelity the higher it is the more different the two compared spike trains Note that its use is not restricted to periodic patterns 144 The effect of LS and faim on output infidelity was investigated Periodic stimulation was applied for t e 300 800 ms Since 1 2 ms per internode was allowed for propagation and there are 9 internodes output trains were compared for t 310 8 810 8 ms Thus the calculation of output infidelity includes the settling time but not ectopic spikes fired before after the stimulation period Figs 4 6 used 500 ms of stimulation and g 0 2 ms see Table S1 and results are independent of these choices Fig S5 Fig 4a plots output infidelity as a function of fin When LS 3 mV for which no ectopic firing occurs see Fig 2a output infidelity is nearly zero spike trains propagate faithfully regardless of their frequency Then over a range of LS values 3 75 mV lt LS lt 10 75 mV and fs gt fo there is still 1 1 phase locking after a settling time see Fig 2 and Fig 3 One therefore expects faithful propagation in a propagation window fo lt fstim lt fmax Fig 4a At the lowest end of the above LS
238. il fait d cro tre V Le courant de fuite participe faiblement cette d croissance de V Au point D le potentiel de membrane a retrouv sa valeur de repos Par contre ce n est pas le cas des variables m h et n Au contraire la phase de descente de V ayant dur environ 2 ms seule m a eu le temps de r agir h et n conservant environ les valeurs qu elles avaient au point C Pour cette raison J conserve une valeur plus lev e que celle de repos et V continue de d cro tre Le potentiel de repos est d pass par le bas Au point E le potentiel de membrane devient presque gal E et le courant de potassium devient donc tr s faible Le potentiel de membrane peut donc amorcer sa phase de r cup ration c est dire sa lente remont e vers V la lente r cup ration de l inactivation a d but environ au point D Notez sur l chelle verticale qu en tout temps Ex lt V lt Ena conform ment l quation 1 B2 11 conductances et courants pendant un potentiel d action Le retour de V vers V est entra n par le lent retour de g sa valeur de repos ce qui modifie 100 a la valeur cible donn e par l quation 1 B2 11 amp 1 Unies Toutefois il reste lucider quel courant circule k Fe F l pour faire tendre V vers cette valeur cible ce ao ne peut tre J puisque sa polarit est l inverse 0 001 de celle requise ce ne peut tre Jya puisque sa 0 00001 valeur est n glige
239. ile la phase d exploration de notre projet de recherche valuation de la m trique VP Pour mesurer l infid lit de la transmission au chapitre 4 nous avons utilis la m trique de Victor amp Purpura 1996 Th oriquement cette derni re n cessite d valuer toutes les fa ons de transformer un potentiel d action en un autre voir la figure 4 53 au chapitre 4 pour un exemple d une telle transformation Pour r aliser cette comparaison le code que nous avons adapt de celui des auteurs de la m trique utilise une m thode it rative qui r duit graduellement la taille des trains d impulsions comparer L id e ma tresse est que la premi re tape de la comparaison visant a transformer S en S ne peut qu tre l une des trois suivantes e effacer la premi re impulsion du train S pour obtenir S e d placer la premi re impulsion du train S au temps de la premi re impulsion de S ce qui produit S e ajouter une impulsion au train S au temps de la premi re impulsion de S ceci quivaut appliquer la premi re des trois possibilit s quand on transforme S en S On stocke donc le co t de chacune de ces trois op rations dans une matrice M respectivement dans l ments M M et M De fa on similaire on remplit le reste de la matrice par it ration Chaque l ment M est le co t minimal pour faire correspondre les i premi res impulsions de S avec les j premi res de S les autres tant ign
240. ime dependence Even though the activity of Na K pumps shows a small dependence on voltage in normal conditions it depends mostly on the concentration of the substrate 4 Therefore we model the pump current at each node using the Michaelis Menten enzyme kinetics model as was also done in 5 Na STI Lis Lee Ik I LR L Kux Na Kuna where the exponents show up because the pump exchanges three inner Na ions for each two outer K ions The point of introducing pump currents is to investigate time dependent ionic concentration changes Na and K concentrations at each node evolve according to d X d X i oo ae Lx Lrcqump Feat a oe Na K S8 where Le pump 3Zpump Lk pump 22 pumps Zx 18 the VGC current given by Eq S2 or S3 F Nye 96472 C mol is the Faraday constant r 0 05 cm L is the surface to volume ratio of the node of Ranvier and the inner and outer volumes are considered equal for simplicity Note that 0 05 is a rather high value for r chosen to shorten computation time without affecting phenomena qualitatively Concentration changes given by Eq S8 in turn affect the Nernst potential that appear in Eq S2 and S3 Since these concentration changes are orders of magnitude slower than HH kinetics they are neglected in some simulations We did so by setting r 0 in Eq S8 not by returning to a standard HH model with 2 0 and Zy x 0 This ensures that constant concentr
241. implement pompes Na K A la section 1 B nous avons d j pr sent le r le imm diat de ces pompes pr sentes dans la membrane plasmique de toute cellule animale c est dire de r guler le gradient de concentration des ions Na et K Ici nous pr sentons son fonctionnement mol culaire et laborons ensuite sur ses effets lectriques indirects 1 C1 1 La structure des pompes Na K Dans la section 1 B nous avons montr comment la simple mesure des concentrations internes et externes de diverses esp ces ioniques et l observation que leur potentiel de Nernst tait tr s loign du potentiel de repos de la membrane cellulaire avait suffit conclure que toute cellule animale devait disposer d un m canisme lui permettant de se maintenir ainsi tr s loin de l quilibre Plus particuli rement c est l anomalie du sodium et le d s quilibre du potassium qui sont les plus importants Ils ont donc conduit a l hypoth se qu il existait une pompe Na K Peu de temps apr s qu on ait ainsi postul son existence cet enzyme a t isol dans les ann es 1950 partir de membranes de nerfs de pattes de crabe homog n is es et centrifug es Skou 1957 Ces travaux initiaux n ont permis que de montrer que la pompe Na K est une ATPase ie elle hydrolyse de l ATP et que son activit enzymatique augmentait sous l effet de concentrations conjointes de Na et de K Toutefois cet enzyme a fait l objet de tr s nombreuses exp rience
242. ine RhoA toujours inconnu tapiss ezine Roce i de filaments d actine Hagmann 1999 Fackler 2008 La figure 3 A 2 steele cone illustre les tapes de la vie d une cloque Notons que S l apparition de cloques qui PC LS se r sorbent a aussi t ASA observ e pendant l infec ngue usne ST RS Ge tion d une cellule par un Figure 3 A 2 Dans un contexte de motilit cellulaire ou de mitose les virus illustr e la figu cloques se r sorbent apr s que leur int rieur ait t tapiss de filaments re 3 A 1 Mercer 2008 d actine Figure adapt e de Fackler 2008 Les cloques et l apoptose En plus des cas o les cloques apparaissent spontan ment jouent un r le et se r sorbent ensuite des cloques se produisent aussi dans le contexte de l apoptose c est dire la mort cellulaire programm e Robertson 1978 Mills 1998 Coleman 2001 Sebbagh 2001 Dans une telle situation elles ne se r sorbent pas apr s leur apparition et servent plut t fractionner le cytoplasme en petites bulles qui seront ensuite phagocyt es En raison de leur lien avec l apoptose les cloques ont longtemps t vues comme des manifestations de situations pathologiques Cloques artificielles En laboratoire on peut aussi reproduire des cloques notamment par un choc osmotique par la destruction au laser du cytosquelette etc Des cloques peuvent aussi se produire par inadvertance lorsqu une succion excessive est utilis e lors de la fo
243. inetics for the Na and K gating Li 8xam h V Ex I gen V Ex S2 S3 where m and h model the activation and inactivation availability of the Nav channels while ni is the Kv channel gating variable However in this work the HH model is augmented with time varying concentration dependent Nernst potentials Ey and E given by kT X In Te ji X Na K where the indexes o and i denote outer and inner concentrations respectively Time dependence of the concentrations is described below In the HH model the three gating variables evolve in time according to Fe a S5 dt x m h n The forward a and backward b rate functions are considered to be functions of the voltage V only that can be found in 1 an T B 4exp Rt a 0 07exp E A r l exp 3 5 0 1V B 0 125 exp S6 _ 001 V 55 Qn Texp 55 0 1V where the indexes i node number were dropped here and in all following equations to ease notation and to avoid confusion with i inner Previous work 2 argued that HH kinetics approximates results obtained with more evolved models eg 3 in which the kinetic coupling of activation and inactivation availability in Nav channels is represented using a many state allosteric Markov model The HH model however presents the advantage of using much less computational time Chapitre 4 Supporting information Pump currents and concentration t
244. int de d part un estim d un point de la courbe y t exception de la condition initiale y on n a aucune certitude que l estim se trouve effectivement sur la courbe y t Or le membre de droite de l quation AppC 1 f y n a en g n ral pas la m me valeur si l estim y diff re de la valeur exacte y t Ainsi m me dans la situation hypoth tique o l algorithme ne produirait aucune erreur de troncature et o les erreurs d arrondis seraient n gligeables il existe une possibilit qu une erreur pr sente un seul point soit amplifi e d it ration en it ration une situation qui doit absolument tre vit e Le choix de la m thode d int gration num rique joue un r le important dans le fait qu une petite erreur est amortie par les it rations suivantes ou au contraire amplifi e Il faut donc avant de choisir un algorithme donn tudier sa stabilit num rique pour l quation diff rentielle qu on souhaite int grer L algorithme est dit stable si une erreur pr sente une it ration donn e est amortie par les it rations suivantes Un algorithme instable doit tre purement et simplement remplac par un autre Pr cisons que la stabilit d un algorithme s value pour une quation diff rentielle donn e Pour tudier la stabilit d un algorithme on utilise une m thode similaire celle pr sent e l appendice A pour tudier la stabilit d un point fixe Supposons qu on dispose d un algorithme donn
245. interval this window is at its widest because f is the smallest and its deepest because the settling time is at its shortest In vivo stretched axons would incur damage over several nodes Fig 4b drawn with nodes 5 7 damaged shows that a propagation window should still be expected in such situations Note that replicating the damage over three nodes does not triple the infidelity in the propagation window but barely increases it Increased axoplasmic conductance counteracts ectopicity An axon traumatized in vivo is expected to swell in reaction to trauma and to shrink due to its secondary degeneration 36 38 We modeled swelling shrinking as a local x increase decrease affecting the internodes located each side of the damaged node Fig 5 shows results for LS 4 mV see Fig S6 for other LS values local swelling widens the propagation window at least for the mildest damages while local shrinking leads to opposite results These results follow from two mechanisms 1 the local x increase corresponds to an increased coupling between nodes 5 and 6 which reduces the phase shift described in Fig 3b 2 the settling time is also reduced The latter results from a new ectopic frequency jf which is reduced from f due to the local increase see red star on 150 curve in Fig 5 with propagation window fin 2 50 Hz fo while Fig 2a shows f 53 Hz for the same LS This change in fo occurs because a larger part of the cha
246. iodique Feingold 1988 a tudi ce ph nom ne dans le cas d oscillateurs de Van der Pol Les ratios de fr quence des deux oscillations pr sentent alors des 0 1 se nes om L points communs importants avec ceux 2 3 4 5 6 de deux oscillateurs coupl s figure Figure AppA 3 Un oscillateur de Van der Pol stimul avec AppA 3 la p riode T par une discontinuit d amplitude V pr sente i des verrouillages de phase suivant une suite de Farey Puisque le mod le HH est lui aussi un syst me excitable on obtient un diagramme tr s similaire celui de la figure AppA 3 quand on le stimule avec le m me mode de stimulation Les exemples biologiques de verrouillage de phase abondent qu on pense aux lucioles de l Asie du sud est qui s illuminent de fa on synchronis e et aux criquets qui chantent l unisson Mirollo 1990 la coordination des battements cardiaques de la pression sanguine et du rythme respiratoire Censi 2000 ou aux fluctuations de populations dans des syst mes proie pr dateur Vasseur 2009 Dans le cas de nos travaux le ph nom ne ne s arr te pas la r ponse du noeud 1 la stimulation dont nous avons d j parl il touche aussi le couplage entre les noeuds de notre mod le d axone un verrouillage 1 1 doit tre obtenu dans le syst me de contr le puisque ce dernier propage normalement aux autres noeuds tous les potentiels d action produits au noeud 1 de m me que le verrouillage ent
247. ion in a neuron model incorporating interstitial space and ion concentrations Journal of Neurophysiology 84 1 pp 495 512 158 Bibliographie Kajander KC amp Bennett GJ 1992 Onset of a painful peripheral neuropathy in rat a partial and differential deafferentation and spontaneous discharge in A beta and A delta primary afferent neurons Journal of Neurophysiology 68 pp 734 744 Kocsis JD amp Devor M 2000 Altered excitability of large diameter cutaneous afferents following nerve injury consequences for chronic pain Proceedings of the 9th World Congress on Pain Progress in Pain Research and Management Seattle 16 pp 119 135 Li Y Schmid G Hanggi P 2010 Noisy saltatory spike propagation the breakdown of signal transmission due to channel noise The European Physical Journal Special Topics 187 1 pp 171 177 Lisney SJW Devor M 1987 Afterdischarge and interactions among fibers in damaged peripheral nerve in the rat Brain Research 415 1 pp 122 136 Liu X Eschenfelder S Blenk KH Janig W Habler HJ 2000a Spontaneous activity of axotomized afferent neurons after L spinal nerve injury in rats Pain 84 pp 309 318 Liu CN Michaelis M Amir R Devor M 2000b Spinal nerve injury enhances subthreshold membrane potential oscillations in DRG neurons relation to neuropathic pain Journal of Neurophysiology 84 pp 205 215 Liu CN Wall PD Ben Dor E Michaelis M Amir R Devor M 2000c Tactile
248. ion dans un espace de phase est impossible Pour contrecarrer ces probl mes et permettre une analyse math matique pouss e 1 B3 4 R ductions du mod le Hodgkin Huxley 65 plusieurs mod les simplifies ont t imagin s Ces mod les poss dent au maximum deux dimensions trois si on tient compte de la propagation le long de l axone La pr sente th se ne visant pas une tude analytique nous allons nous contenter d voquer bri vement l existence de deux de ces mod les ceux du bord d attaque leading edge models et celui de FitzHugh et Nagumo Une pr sentation plus compl te peut tre trouv e dans Scott 2002 chap 5 6 Un des points cl de la r duction dimensionnelle est d observer que les quatre variables du mod le HH ont des constantes de temps tr s diff rentes V et m sont des variables rapides qui changent compl tement de moins d une milliseconde alors que h et n sont des variables 10 fois plus lentes Le mod le FitzHugh Nagumo et les mod les du bord d attaque sont tous deux construits sur cette observation Mod le du bord d attaque Une premi re m thode permettant de r duire le mod le HH est d estimer que m a un temps de r ponse nul plus rapide que V alors que n et h ont un temps de r ponse infini c est dire qu il ne r pondent pas du tout Ainsi on exprime n et h comme des constantes prenant leur valeur au repos et m comme une fonction de V seulement c est dire m V sa valeur cible q
249. ion des canaux Na y tant situ s r gion paranodale cortex d actine spectrine D g n rescence secondaire L influx d ions Na dans l axoplasme entra ne le ralentis sement puis l inversion des changeurs Na Ca ce qui cause une augmentation rapide de la concentration interne d ions Ca Wolf 2001 Or la fonction normale de ces derniers ions est d agir comme messagers un de leur r le tant d activer des enzymes prot olytiques Puisque ces enzymes clivent notamment la spectrine il s ensuit une 3 A 2 Cloques neurotraumatismes et douleurs neuropathiques des ph nom nes reli s 115 d sorganisation du cytosquelette qui cause davantage de cloques et donc une r troactivation du ph nom ne Une cascade de r actions biochimiques aboutit la d gradation des canaux Na lwata 2004 au d tachement de l axone et sa mort quelques heures ou jours apr s le traumatisme initial Wolf 2001 Arundine 2004 Dysfonction de l influx nerveux et activit ectopique Avant la mort cellulaire entra n e par une l sion axonale diffuse on observe de nombreux ph nom nes qui perturbent la transmission de l influx nerveux dans les axones dont la membrane a t endommag e Ici nous consid rerons les observations exp rimentales mais nous verrons plus loin tant au bloc 3 B 4 qu au prochain chapitre que l quivalent peut tre obtenu lors de simulations num riques fond es sur le m canisme que nous pr sente
250. ions m caniques les temp ratures excessives ou certains stimuli chimiques Ils sont distincts des autres neurones sensitifs m canosensibles ou thermosensibles impliqu s dans la sensation du toucher non douloureux Normalement les nocicepteurs ne produisent des potentiels d action Thalamus qu en pr sence de stimulus importants ce qui excite ensuite des interneurones de la moelle pini re Ces derniers lorsqu ils d chargent leur tour ont deux effets certains provoquent un r flexe de protection contre la douleur ils activent donc directement des neurones moteurs d autres acheminent les signaux l enc phale figure 3 A 5 le plus souvent en empruntant un faisceau d axones appel tractus spino thalamique ce qui aboutit entre autres la sensation de douleur sa composante 7 motionnelle etc Chez un sujet normal les Stimulus m canique ex piq re thermique chaleur ou neurones sensitifs responsables du toucher non froid excessif ou chimique ex r action inflammatoire douloureux n activent donc pas les neurones de ce Figure 3 A 5 Parcours normal de la perception de tractus la douleur Figure adapt e de Costigan 2009 Cortex re y Tronc c r bral Ganglion spinal Moelle pini re Nocicepteur M canismes de la douleur neuropathique Il a t d montr directement Shankarappa 2012 qu une dysfonction des canaux Na est une condition suffisante pour fair
251. iques est d un d calage cin tique coupl des canaux Na L acceptation de ce mod le permettra ultimement de mieux cibler la recherche visant le d veloppement de th rapies ad quates visant pr venir les douleurs neuropathiques et leurs complications Introduction la th se de recherche 111 Cette page est intentionnellement blanche 112 Introduction a la th se de recherche Chapitre 3 Membranes endommag es questions de recherche et construction du modele Avec ce chapitre d bute l tude de neurones endommag s qui est le sujet de nos travaux de recherche L objectif de ce troisi me chapitre est d introduire tous les l ments pertinents pour comprendre le contexte de l article de recherche pr sent au chapitre 4 et qui contient nos principaux r sultats La section 3 A pr sente une revue de litt rature et notamment justifie notre choix de mod liser le dommage subi par un axone exclusivement par un d calage cin tique coupl des canaux Na La section 3 B nonce les questions de recherche qui ont guid la production de l article du chapitre 4 ainsi que les choix de mod lisation cons quents 3 A Revue de litt rature sur les cellules excitables endommag es Cette premi re section sert situer le cadre de nos travaux en pr sentant ce qui a t fait avant nous Nous aborderons tant les chelles mol culaire cellulaire histologique et clinique Les deux premiers blocs d finirons les circonstances o une
252. ircuit a ses limites Par exemple il est impossible de brancher une lectrode entre la r sistance et la pile Sa fonction est exclusivement d illustrer l ind pendance des courants ioniques et d illustrer l quation suivante C EV m Jia Jk Jiuites E Ina V Eu 9 V E Ek Druites V Ee quation 1 B3 2 ou nous avons simplement d riv q CV et substitu le courant total la place de dg dt Le signe n gatif d coule d une incoh rence de conventions de signes malheureusement r pandue en lectophysiologie V est positif quand le potentiel interne est plus lev que le potentiel externe alors que les courants positifs sont ceux dirig s de l int rieur vers l ext rieur Ainsi un courant positif retire de la charge du c t interne et fait d croitre V Pour compl ter le mod le HH il ne reste donc plus qu d terminer la fa on dont chaque conductance g dans l quation 1 B3 2 d pend du potentiel de membrane et nous le verrons du temps Nous les consid rons maintenant une par une Observations d taill es sur le potassium Pour d terminer la fa on dont la conductance gk r agit un saut de la valeur du potentiel de membrane la m thode suivie dans Hodgkin 1952b e consiste r p ter la mesure de J t pr sent e la figure 1 B32 c est dire de d duire le courant de potassium qui s coule suite un saut du potentiel de membrane qui passe de V V Mais en utilisant chaque fo
253. is the amount of charge crossing the membrane during one AP is sufficient to change V suddenly but has negligible impact on the inner and outer concentrations of each ion species C Distribution of net charge Finally the common textbook description involving only positive ions Na and K doesn t allow to compare total positive and negative charges and to see that net charged volumes are only located in fine layers on both sides of the membrane Many students think that the region holding a net charge occupies a large portion of the cell volume This MC is again encouraged by schematic illustrations where subtle changes in concentration cannot be illustrated Theoretically ruling out MC C would involve understanding how a Debye screening length is evaluated and or solving the Poisson Boltzman equation Fortunately it can still be ruled out although less rigorously in a way accessible to a freshman undergrad one can argue that oppositely charged layers located on both sides of the membrane attract each other because of the o 2 electric field each of them produces The charges are not located in the membrane where amp 5 but in aqueous media located on both sides therefore 80 for water is used Increasing the distance between them by a distance AL requires doing the work per unit area o AL 2 against that field This work has to be supplied by the thermal energy per unit area of the ions forming the charged layer
254. is une diff rente valeur pour Vixe On d duit ensuite g partir de l quation 1 B2 4 donc en calculant gt t gx y V E pour la courbe Figure 1 B3 6 Croquis d une famille de courbes g qui seraient enti re La figure 1 B3 6 pr sente le obtenues lors de diff rents sauts de voltage clamp Les 2 renti courbes sont trac es sur la base des mesures r capitul es r sultat d une telle op ration dans Hodgkin 1952e Fig 3 Ix A Vixe 50 mV saut AV 1 B3 2 Le mod le Hodgkin Huxley 47 On constate sur la figure 1 B3 6 que la conductance g augmente quand V saute de V a Vixe une caract ristique qu on appelle son activation et qui n est pas instantan e un changement brutal de V ne produit pas un changement brutal de g il y a un d lai de r ponse Cela impose de mod liser g la fois comme une fonction du potentiel de membrane et du temps Toutefois on note que ce d lai de r ponse est une fonction de V sur les courbes illustr es plus Vx est lev et plus le d lai de r ponse est court Deuxi mement on note qu une fois le d lai de r ponse tout coul chaque courbe de g atteint une valeur cible g c est dire le plateau dont nous avons d j signal la pr sence la figure 1 B3 2 Ce plateau demeure tant que V Vix Si on restaure V V on assiste une d croissance exponentielle o g tend nouveau vers z ro c est la d sactivation non illustr e De plus on note que la
255. isante nos deux th mes de questions de recherche 3 B 6 Stimulation et propagation dans le mod le d axone 137 Cette page est intentionnellement blanche 138 Chapitre 3 Membranes endommag es questions de recherche et construction du mod le Chapitre 4 Article de recherche Pr sentation Ce quatri me chapitre fait suite au chapitre 3 en ce sens qu il int ressera au premier chef le lecteur averti Il est compos d un article r dig en anglais qui sera soumis en septembre 2013 a Proceedings of the National Academy of Sciences PNAS La longueur des articles soumis cette revue tant limit e une partie du contenu est pr sent la suite de l article dans la section Supporting information L objet de l article est de r pondre aux questions de recherche que nous avons pr sent es au d but de la section 3 B Notons que le d but de l article reprend d une fa on succincte une partie du contenu de cette section soit la fin du chapitre pr c dent Output infidelities modeled in mildly damaged axons 139 Cette page est intentionnellement blanche 140 Chapitre 4 Article de recherche Stimulation induced ectopicity and propagation windows in model damaged axons Mathieu Lachance Catherine E Morris Na Yu Andr Longtin B la Jods a D partement de physique C gep de l Outaouais 820 de la Gappe Gatineau Qu bec J8T 7T7 b Ottawa Carleton Physics Institute 150 Louis Pasteur Ottawa On
256. itairement d une bicouche notamment la s paration des deux couches apr s cryog nisation de l eau situ e de chaque c t Campbell 2007 section 7 1 L organisation g om trique de base d une bicouche ferm e sur elle m me se compare celle de la fine membrane qui compose une bulle d eau savonneuse La principale diff rence est que dans une telle bulle l eau est l int rieur plut t qu l ext rieur les mol cules amphipathiques qui composent le savon ont donc leur parties hydrophiles l int rieur plut t qu l ext rieur comme c est le cas la figure 1 A 4 Une seconde diff rence est aussi l paisseur la bulle d eau savonneuse contient de l eau alors que la bicouche n est compos e que des mol cules de phospholipides En cons quence la bulle a une paisseur de quelques centaines de nanom tres comme le montre d ailleurs son effet interf rentiel sur la lumi re visible alors que la bicouche ne mesure que 4 5 nm d paisseur en moyenne une paisseur qui ne peut que varier l g rement selon les phospholipides qui la composent et leur organisation subs quente par la cellule En somme une image grossi re serait d assimiler la bicouche une mince bulle faite surtout de lipides et situ e dans l eau plut t qu une bulle faite surtout d eau et situ e dans l air Les propri t s d une bicouche pure On peut concevoir une bicouche comme une mince strate non polaire s parant deux milieux polaires La strate n
257. itement imperm able cette esp ce ionique Quand une ou plusieurs esp ces ionique sont hors d quilibre et que la membrane leur est perm able il y a d abord un effet rapide sur V en un d lai de l ordre de la milliseconde les 10 mol cm requises pour charger ou d charger la capacit lectrique de la membrane ont t t fait de traverser C est ce qui s est produit dans le cas illustr la figure 1 B2 1 pendant le court d lai qui a s par l ajout des ions en solution et l atteinte de l quilibre des ions sodium Un effet rapide sur V est aussi ce qui se produit pendant le passage d un potentiel d action dans un axone De telles situations peuvent tre qualifi es de transitoires ou encore de non stationnaires 32 Chapitre 1 Guide du d butant Quand la valeur de V s est stabilis e les courants nets de chaque esp ce ionique se stabilisent aussi en vertu de l quation 1 B2 4 Le fait que la valeur de V s est stabilis e signifie n cessairement que le courant total de toutes les esp ces ioniques combin es est devenu nul Cela n exclut pas cependant qu plus long terme les courants ioniques individuels modifient les concentrations de chaque esp ce ionique de part et d autre de la membrane Une telle situation o il n y a aucun changement notable court terme mais o des changements se produisent tr s long terme est qualifi e de quasi stationnaire Par exemple si on modifiait la membrane de la figure 1 B2
258. l quation pr sente deux z ros si la condition lo lt K K est respect e L un de ces deux z ros est un point fixe stable vers lequel le systeme volue Quand il l a atteint les deux fr quences sont gales et la diff rence de phase non nulle est constante La seule possibilit de verrouillage de phase admise par l quation AppA 3 est cependant celle o les fr quences de r volution sont dans un ratio 1 1 Un cas plus riche pr sente au moins une portion d une suite de Farey Cette s quence est une suite de rapports de petits nombres entiers form e en ins rant un par un des termes de d nominateur plus lev tel que leur num rateur et leur d nominateur sont form s respectivement des sommes des num rateurs et des d nominateurs des voisins imm diats entre lesquels ils sont ins r s titre illustratif voici les suites de Farey d ordre 1 3 F1 0 1 et 1 1 F2 0 1 1 2 et 1 1 F3 0 1 1 3 1 2 2 3 et 1 1 AppA 5 Verrouillage de phase 173 En pratique plus les termes ont un d nominateur lev plus la portion de l espace des parametres ou leur observation est possible est restreinte I EE Period Doubling 12 On note que le ph nom ne de verrouillage de phase peut aussi se produire entre un oscillateur et un syst me excitable qui bien qu il n oscil 2 lerait pas en l absence de couplage est forc par l oscillateur auquel il est coupl d aqu rir un comportement p r
259. la composition de son axolemme C est cette derni re option que nous retiendrons au chapitre 3 o nous pr sentons la conception du mod le num rique utilis pour nos travaux de recherche Comparaison des conductances Ce qui pourrait rendre l application du mod le HH difficile cependant serait l ajout de conductances tensiod pendantes suppl mentaires ou encore des diff rences importantes dans la cin tique des conductances Nous nous penchons maintenant sur cette derni re question Diverses exp riences ont permis de comparer chez plusieurs esp ces de vert br s les conductances des membranes avec celles mesur es par Hodgkin et Huxley dans l axone g ant de calmar Frankenhaeuser a r ussi dans une s rie d exp riences utiliser la technique du voltage clamp sur des noeuds de Ranvier de neurones de grenouilles Frankenhaeuser 1958 Sa conclusion principale est que les courants de sodium et de potassium dominent le ph nom ne du potentiel d action dans ces axones my linis s tout 70 Chapitre 1 Guide du d butant comme ils le font dans les axones non my linis s du calmar Ces courants demeurent similaires ceux pr dits par le mod le HH bien qu il existe des diff rences quantitatives Ensuite Moore 1978 a utilis un mod le similaire a celui illustr la figure 1 B3 17 o chaque intervalle de my line tait mod lis grace a 10 compartiments et o les noeuds de Ranvier taient mod lis s gr ce aux qua
260. la membrane et recommencer les m mes mesures de voltage clamp toutes les secondes suivant le d but de l application de la succion L int r t de ce protocole est de permettre de comparer les m mes canaux avant et apr s le dommage La figure 3 A 7 montre superpos s les traces J t enregistr es suite des sauts identiques sauts de 110 mV 10 mV de V 110 mV V 10 mV r p t s toutes les secondes partir du d but de la succion Les 17 premi res traces sont diff rentes ce qui montre que la membrane met environ 17 secondes apr s la formation de la cloque pour changer de nature d une fa on qui affecte les canaux Na qu elle contient Par la suite les traces sont superpos es si on ignore le bruit De plus les changements enregistr s sont irr versibles une minute plus tard la trace enregistr e non illustr e est identique la trace 20 de la figure 3 A 7 non la trace 1 Figure 3 A 7 En moins de 20 secondes de succion le courant Jya enregistr pendant un La figure 3 A 7 montre de premi res cons m me saut de tension est modifi l activation et quences des dommages affectant la mem l inactivation sont devenus toutes deux plus i 7 rapides Figure adapt e de Wang 2009 brane Jya atteint son maximum plus t t et son amplitude d croit plus t t aussi En d autres termes l activation et l inactivation sont toutes deux devenues plus rapides l extr mit droite des traces J t
261. la position activ e pour que les ions puissent traverser La variable n repr sente alors la proportion des particules d activation qui est dans la position activ e Avec cette interpr tation physique il est utile de r crire l quation 1 B3 5a sous la forme dn ae a 1 n p n quation 1 B3 5b o on peut facilement v rifier que a n 7 et B 1 n 7 deviennent les deux variables qui d pendent instantan ment de V au lieu de n et 7 L avantage de cette forme alternative de l quation 1 B3 5a est d voquer la cin tique des transitions ayant lieu dans la r action suivante o a et B indiquent les taux de transition An s particule dans l tat activ o particule dans l tat d sactiv quation 1 B3 6 n Le premier terme dans le membre de droite de l quation 1 B3 5b exprime donc le rythme auquel les particules d activation quittent l tat d sactiv dont la population est 1 n alors que le second terme exprime le rythme auquel elles quittent l tat activ dont la population est n Comme nous le verrons la section 1 C cette interpr tation physique historiquement formul e par Hodgkin et Huxley correspond assez bien au fonctionnement mol culaire des canaux tensiod pendants K dont ils ne connaissaient pourtant pas l existence On peut aujourd hui consid rer que n est la proportion des canaux K qui sont activ s c est dire dans leur conformation ouverte au passage d
262. la r ponse moyenne de la population neuronale et on dit que le groupe de neurones en question encode l information en utilisant un encodage de population Le point faible de cet encodage est que l information ne peut tre retrouv e qu en interpr tant l activit de toute une population de neurones En revanche cet encodage pr sente deux avantages importants premi rement tous les effets de la variabilit des neurones individuels sont limin s quand on consid re la moyenne dans une population C est sans doute pourquoi un encodage de population est utilis pour enregistrer des informations continues comme la fr quence sonore avec une pr cision qui est nettement sup rieure ce que permettrait un neurone individuel consid rant la variabilit de ce dernier Deuxi me avantage l encodage de population pr sente la possibilit d une r ponse rapide alors que la r ponse d un neurone individuel est limit e par la dur e de l intervalle entre ses impulsions cons cutives Dans le contexte de nos travaux l effet que le dommage neuronal aurait sur un code de population d pendrait de la quantit de neurones qui sont endommag s dans la population et de la gravit des dommages Si une minorit de la population est touch e l usage d un code de population aurait pour effet d att nuer les effets du dommage En revanche sitous les neurones sont endommag s en des endroits comparables le long de leur axone comme a serait le cas si
263. la simulation ou un intervalle diff rent par exemple destin exclure une p riode transitoire Cette approche n est toutefois utilis e qu des fins essentiellement indicatives car elle ne dit rien des fluctuations de fr quence et ne permettrait pas par exemple de d tecter qu un verrouillage de phase a eu lieu e Ensuite on peut d tecter la fr quence en utilisant la r ciproque de l intervalle de temps entre chaque paire de potentiels d action L avantage de cette approche est de permettre de voir la fa on dont la fr quence varie avec le temps mais elle est extr mement sensible aux fluctuations En cons quence nous l avons utilis seulement dans tous les noeuds de Ranvier d chargeaient une fr quence constante ce qui exclut les cas o des fluctuations ou du bruit taient pr sents e __ Enfin on peut utiliser un kernel tel que d crit dans Dayan 2001 c est dire valuer la fr quence en un temps t comme la fr quence moyenne dans une fen tre qui contient ce temps t Nous avons r alis cette approche de deux fa ons d abord avec un kernel rectangulaire o tous les potentiels d action avaient la m me importance dans le calcul de la fr quence ensuite avec un kernel gaussien centr sur le temps f o l importance des potentiels d action diminue quand ils sont plus loins du temps f Bien qu elles n aient finalement pas t utilis es pour produire des figures au chapitre 4 ces deux approches ont t fort ut
264. la trajectoire et le point fixe est amplifi Le cas du mod le HH ou de l oscillateur amorti comprennent des points fixes stables alors que l exemple du pendule comporte la fois un point fixe stable l quilibre o la bille est en bas et un point fixe instable l quilibre o la bille est en haut Soulignons qu un point fixe stable est un exemple d attracteur Pour d terminer la stabilit d un point fixe une m thode indicative est de proc der l int gration num rique des quations voir l appendice C Cependant une int gration num rique n est pas une preuve Pour d montrer hors de tout doute qu un point fixe est AppA 3 Point fixe cycle limite ou autres 169 stable on peut lin ariser le systeme d quations a proximit du point fixe Pour ce faire on pose 7 on substitue dans le syst me d quations et en tenant compte du fait que l cart au point fixe est faible on n glige tous les termes o 77 est affect d un exposant sup rieur 1 On obtient ainsi un syst me d quations lin aires dont les valeurs propres indiquent le comportement long terme si les valeurs propres sont toutes n gatives ou que leurs parties r elles sont toutes n gatives alors 77 tend vers z ro et le point fixe est stable D s qu une des valeurs propres est positives a une partie r elle positive le point fixe est instable La pr sence ventuelle d une partie imaginaire signifie seulement que la solution
265. large decline of Ex should trigger ectopicity even in an intact axon as V depolarizes towards threshold see also 47 48 This occurs sooner in damaged nodes because threshold is hyperpolarized by the CLS induced window conductance shift Thus even though we are dealing with a sodium leak Eg plays a fundamental role in the excitability dysfunction Our second finding concerns the possibility of spike train propagation despite the presence of an ectopic site while the ectopic node of Ranvier sends APs in both directions in a non stimulated axon high frequency stimulation i e higher than the ectopic rate can enslave the ectopic site by causing it to become phase locked to the incoming signal a phenomenon similar to behaviors seen in damaged sciatic nerve 49 Once the short transient period necessary to overcome retropropagating APs passes the incoming spike train is transmitted with minimal alteration Note that this occurs in the same way regardless of whether the ectopicity was spontaneous or triggered by stimulation Interestingly these results imply that neurons that typically fire at high frequency should be less affected by CLS type 145 damage Additionally this faithful high frequency propagation could mask unhealthy dynamics emphasising the need to test the frequency dependence of excitability in neurodiagnostic techniques such as threshold tracking 50 It is important to note that our model as constructed notabl
266. lasmique On peut donc r crire l quation 1 B3 16 comme r Equation du c ble OV 1 OV Ja V t rc ox C quation 1 B3 17 On signale que cette quation n a pas la forme d une quation d onde mais plut t celle d une quation de diffusion o le facteur 1 rc joue le r le du coefficient de diffusion habituellement not D et o est ajout un terme source non lin aire J C g v C Ce terme source correspond au courant qui sort J gt 0 ou qui entre J lt 0 dans l axone On s attend ce que cette quation diff rentielle soit celle anticip e la sous section 1 B1 pour laquelle une famille de solutions correspondent au potentiel d action Pour le v rifier on suit un raisonnement pr sent dans Scott 2002 chap 4 et on cherche des solutions qui ont la forme d une onde progressive v x f f x ct il suffit de substituer x ct et l quation 1 B3 17 devient dv 1 dv IJa v 5 v d re d C quation 1 B3 18 qu on peut r crire comme deux quations diff rentielles de premier ordre dw Jeq F C W v d C dv W d Ces deux quations combin es aux quations 1 B3 5 1 B3 9 et 1 B3 10 qui d crivent l volution de m h et net d terminent donc g repr sentent un syst me de cinq quations diff rentielles du premier ordre o la variable ind pendante est quation 1 B3 19 64 Chapitre 1 Guide du d butant D
267. le HH n glige le courant de pompes Ena est consid r comme constant et prend une valeur typique voir la figure 1 B2 3 De plus partir de toutes les courbes de tendance des donn es exp rimentales la conductance maximale a t estim e Ces deux constantes sont E 50 mV One 120 mS cm Interpr tation physique Dans Hodgkin 1952e on donne a nouveau une interpr tation physique de la conductance en termes de particules d activation et de particules d inactivation la conductance au sodium est vue comme tant proportionnelle au nombre de sites dans la membrane ou trois particules d activation sont li es sans qu une particule d inactivation ne le soit La variable m repr sente alors la proportion des particules 1 B3 2 Le mod le Hodgkin Huxley 53 d activation qui sont li es alors que la variable h repr sente la proportion des particules d inactivation qui ne le sont pas Avec cette interpr tation physique il est utile comme nous l avons fait pour la variable n de r crire l quation 1 B3 9a et l quation 1 B3 10a sous une forme qui voque la cin tique d une r action de conversion entre les deux tats possibles de chaque particule m a 1 m Bam quation 1 B3 9b et a 1 h Bh quation 1 B3 10b Comme nous le verrons a la section 1 C on peut faire correspondre assez bien cette interpr tation physique initiale avec celle d aujourd hui qui repose sur l existence
268. le courant des pompes mais il n en est rien comme nous l avons annonc l effet lectrog ne des pompes est hyperpolarisant il s ensuit que son effet serait de faire baisser VW davantage l loignant encore plus de Vex On peut le v rifier facilement si on avait conserv le courant des pompes le num rateur de l quation Pour obtenir cette mesure Hodgkin et Katz ont isol chaque rapport dans l quation 1 B2 11 ce qui signifie que notre raisonnement semble cyclique N anmoins on peut mesurer les valeurs de g en utilisant de nombreuses autres m thodes par exemple on peut mesurer le taux d coulement d une esp ce ionique X en fonction de V Ex comme Hodgkin le fait dans un autre article Hodgkin 1952b On peut aussi mesurer directement le courant gr ce la technique du patch clamp voir sous section 1 B3 38 Chapitre 1 Guide du d butant 1 B2 11 deviendrait 2 9xEx J O Jpmp Jnapmp Jkpmp gt 0 Par cons quent pmp l erreur de pr diction P l quation 1 B2 11 est due l hypoth se voulant que les courants ioniques soient quasi ohmiques quation 1 B2 4 On peut v rifier cela en r p tant le raisonnement ci dessus en utilisant une quation non ohmique la place de l quation 1 B2 4 On obtient alors la place de l quation 1 B2 11 l quation suivante appel e quation de Goldman Hodgkin Katz voir l appendice B Potentiel de repos cas non ohmique quasi stationnaire gt I C
269. le plus bas ou qu elle soit au point le plus haut Point fixe dans le mod le HH 80 V mV 0 10 20 30 40 50 0 2 temps ms n Figure AppA 1 Avec les param tres habituels le mod le HH comporte un unique point fixe attractif l tat de repos Quelle que soit la condition initiale il y retourne La s rie temporelle gauche montre que le point fixe correspond a V 65 5 mV alors que le plan de phase correspondant droite montre aussi la valeur de repos pour n soit 0 3177 Dans le mod le HH les valeurs de repos de V m h et n constituent un point fixe du mod le En effet en l absence de stimulation de dommage CLS ou de diminution des ratios de concentrations ioniques le systeme retourne vers sa valeur de repos quelles que soient les conditions initiales La figure AppA 1 illustre ce point fixe grace a une s rie temporelle de l une des quatre variables du mod le soit V ainsi qu avec un plan de phase illustrant deux des variables V et n Dans la s rie temporelle le point fixe est une asymptote horizontale dans le plan de phase il est un point Stabilit dynamique Quand la trajectoire est sur le point fixe elle y demeure mais on peut se demander ce qui arrive si elle s en loigne l g rement On distingue alors deux cas dans celui d un point fixe qui est stable dynamiquement la trajectoire est nouveau attir e au point fixe en revanche dans le cas d un point fixe instable l cart entre
270. lectrique ne d pend que de la difference de potentiel membre de gauche de l quation Qualitativement l quation AppB 5 peut donc tre interpr t e comme exprimant la diff rence de potentiel requise pour contrecarrer le courant de diffusion ou encore comme le rapport de concentrations requis pour contrecarrer le courant de conduction On peut aussi interpr ter l quation AppB 5 d un point de vue nerg tique quand le potentiel de membrane V est gal au potentiel de Nernst donn par l quation AppB 5 les ions traversent le milieu homog ne avec des flux gaux dans les deux sens car ils n exp rimentent aucune variation d nergie libre en traversant la membrane par exemple si un ion positif traverse dans le sens de la diminution de V et de l augmentation de sa concentration la baisse d nergie potentielle lectrique due a V est contrebalanc e par un gain d nergie libre d la diminution d entropie D pendance en x Pour ce qui suivra il est utile de d crire plus en d tails la situation d quilibre d crite par l quation AppB 5 Si on change les bornes de l quation AppB 4 pour que l une d elle soit une position x quelconque situ e dans le milieu homog ne on obtient que la concentration d pend de x et est donn e par C X Cint EXP a x quation AppB 6 Par cons quent le courant de diffusion donn par l quation AppB 1 et le courant de conduction donn par l quation AppB 2 d pendent eux aussi de x
271. lectrique transmembranaire exerce son effet Ces processus d pendent aussi videmment des concentrations ioniques De plus le taux d activit de la pompe d pend de la temp rature notamment en raison de son effet sur les changements de conformation Enfin l action de la pompe d pend de la disponibilit d ATP En plus de ces nombreuses d pendances Huang 2009 met en vidence que chacune d elles conna t d importantes fluctuations locales par exemple l ouverture d un canal Na proximit d une pompe provoque un changement local de concentration une hausse ocale du potentiel de membrane et un gain local de temp rature Les courants g n r s par des pompes individuelles pr sentent donc des diff rences d une pompe l autre dans une m me membrane Devant autant de param tres une mod lisation num rique efficace requiert donc n cessairement de faire des approximations simplificatrices la section 1 C nous avons soulign que l interaction des ions Na et K avec les sites de liaison sont dans des conditions d abondance d ATP les deux tapes les plus limitantes pour la vitesse de la pompe L uger 1991 section 8 5 4 Nous allons donc n gliger l effet de la temp rature un choix raisonnable puisqu elle demeure raisonnablement constante n gliger l effet du potentiel de membrane chaque noeud de Ranvier intact ou non passant la grande majorit de son temps V V m me pendant une rafale de potentiels d action
272. les autres V tend vers Ex voir l quation 1 B2 11 En d autres termes le courant de Na tant un courant entrant n gatif il fait cro tre V spontan ment Soulignons que cela fait cro tre m encore 1 B3 2 Le mod le Hodgkin Huxley 59 davantage cette r troaction positive signifie que le seuil de non retour est franchi a cette tape retirer tout stimulus n emp cherait pas le potentiel d action de se produire Au point C les valeurs cibles et les constantes de temps ne sont pas tr s diff rentes de ce qu elles taient au point B Par contre entre ces deux points du temps s est coul ce qui a permis h et n de s approcher de leurs valeurs cibles Le courant de potassium commen ant circuler et la conductance du sodium commen ant tre inactiv e gya ne domine plus donc la croissance de V s interrompt avant que Ey n ait pu tre rejoint partir du point C gna est d croissant alors que g est croissant Entre C et D le courant de sodium continue sans cesse de d croitre en raison de l inactivation Tant que cette inactivation demeure la membrane est incapable de r pondre un nouveau stimulus c est le d but de la phase r fractaire l inverse de gya pendant la majorit du trajet entre C et D g continue de cro tre Ainsi gx domine et le potentiel de membrane tend donc de plus en plus vers E voir l quation 1 B2 11 En d autres termes le courant de K tant un courant sortant positif
273. ls and Na K pumps PLoS Comput Biol 8 9 e1002664 31 Volman V Bazhenov M Sejnowski TJ 2012 Computational models of neuron astrocyte interaction in epilepsy Frontiers in computational neuroscience 6 58 32 Volman V Ng LJ 2013 Computer Modeling of Mild Axonal Injury Implications for Axonal Signal Transmission Neural Comput 25 10 2646 2681 33 Hodgkin AL Huxley AF 1952 A quantitative description of membrane current and its application to conduction and excitation in nerve J Physiol 117 4 500 34 Fried K Sessle BJ Devor M 2011 The paradox of pain from the tooth pulp Low threshold algoneurons Pain 152 12 2685 2689 35 Victor JD Purpura KP 1996 Nature and precision of temporal coding in visual cortex a metric space analysis J Neurophysiol 76 2 1310 1326 36 Povlishock JT Pettus EH 1996 Traumatically induced axonal damage evidence for enduring changes in axolemmal permeability with associated cytoskeletal change in Mechanisms of Secondary Brain Damage in Cerebral Ischemia and Trauma pp 81 86 Springer Vienna 37 Greer JE McGinn MJ Povlishock JT 2011 Diffuse traumatic axonal injury in the mouse induces atrophy c Jun activation and axonal outgrowth in the axotomized neuronal population J Neurosci 31 13 5089 5105 38 Smith DH Hicks R Povlishock JT 2013 Therapy development for diffuse axonal injury J Neurotrauma 30 5 307 323 39 Longtin A Bulsara A Moss F 1991 Time interval sequences in bis
274. males on mesure une diff rence de potentiel lectrique AV Vm V entre les c t s interne et externe de la membrane plasmique Dans les cellules non excitables de m me que dans les cellules excitables au repos cette tension lectrique est typiquement entre 60 mV et 80 mV Comme d autres grandeurs cellulaires elle manifeste une variabilit membrane isolant comme de l huile 4 L existence de cette diff rence de potentiel a historiquement t d duite par des m thodes indirectes mais nous pouvons aujourd hui la mesurer directement l enregistrement de pe cette tension lectrique se fait en ins rant au travers de la membrane plasmique une lectrode intracellulairef en mettant une electrolyte conducieur seconde lectrode en contact avec le milieu Figure 1 B1 1 Dans toute cellule animale on mesure extracellulaire puis en mesurant la diff rence une diff rence de potentiel entre les c t s interne et de potentiel entre les deux Weckstr m 2010 externe de la membrane plasmique La figure 1 B1 1 repr sente une telle d marche avec un quipement de mesure na f que nous utilisons des fins illustratives En raison des tages d amplification utilis s dans un cytosol lectrolyte conducteur Tel qu voqu la figure 1 B1 1 on utilise typiquement un tube capillaire pointu rempli d un lectrolyte ex une solution concentr e de KCl et dans laquelle on ins re une lectrode
275. me int rieur Figure 1 B2 1 Peu d ions Na En raison de leur concentration diff rente les ions Na qui traversent la membrane car un ei sie quilibre est rapidement atteint bougent au hasard ont initialement une plus forte probabilit de pe plus la charge nette se d placer du c t droit vers le c t gauche qu en sens demeure localis e inverse Il appara t donc un courant net de Na vers la gauche Rapidement ce dernier fait appara tre une fine couche de charge nette accumul e de part et d autre de la membrane donc une diff rence de potentiel V Les ions Na suivants ne peuvent donc traverser qu en franchissant une barri re nerg tique qV Cette barri re nerg tique cro t mesure que la charge nette cro t donc la travers e nette d ions Na 28 Chapitre 1 Guide du d butant suppl mentaires devient de plus en plus lente et on atteint rapidement un quilibre de cette esp ce ionique appel quilibre de Nernst Le lecteur s attend certainement ce que une fois atteint l quilibre en question le ratio de concentration soit reli la valeur d quilibre V V par le facteur de Boltzmann soit Cin Cox EXP QV k 7 L usage en lectrophysiologie est d utiliser le symbole Eya pour d signer la valeur d quilibre V pour l esp ce ionique Na De plus il est aussi d usage d inverser cette quation qui devient l quation de Nernst Poten
276. mes nerveux p riph rique et central ces dommages axonaux laquelle n cessite un d lai pour s tablir et perdure ensuite durablement m me apr s la mort des neurones endommag s l ayant initialement caus e La pr valence de ces douleurs et leur persistance cause une pression vidente sur le syst me de sant Pourtant leur m canisme mol culaire demeure m connu ce qui stimula notre int r t et motiva les travaux qui suivent Le chapitre 3 tablira le contexte de recherche Nous y pr senterons la litt rature les questions de recherche et le design de notre mod le num rique les aspects plus techniques tant rel gu s l appendice C Le chapitre 4 lui reproduit un article qui pr sente nos principaux r sultats Plus pr cis ment le premier objectif du chapitre 3 sera de d crire ce qui est d j connu au sujet des douleurs neuropathiques et des dommages axonaux En particulier notre objectif sera de montrer les liens qui existent entre trois choses e les sympt mes de douleurs neuropathiques tels qu ils sont rapport s par des patients ou observ s dans des mod les animaux e l activit ectopique qu on observe dans les neurones qui ont t sectionn s m caniquement tir s ou encore compress s de fa on chroniques c est dire leur capacit initier des potentiels d action en l absence totale de stimulus e les cloques que forment les membranes de neurones qui ont t tir s m caniquement en
277. met de figer la pompe dans une de ses conformations Ainsi quand un article rapporte qu un courant ou une conductance est oubain sensitive cela r v le que les pompes Na K sont impliqu es d une fa on ou d une autre Plusieurs autres inhibiteurs moins fr quemment utilis s entra nent l utilisation d un vocabulaire similaire e Pour identifier au microscope des prot ines comme la pompe Na K on utilise la technique du marquage fluorescent fluorescent labelling Cette derni re consiste utiliser un pigment fluorescent appel fluorochrome qui r agit en se liant de fa on covalente un groupe fonctionnel de la prot ine tudi e e La comparaison de diff rents isoformes d une prot ine permet parfois d identifier une s quence d acides amin s qui est toujours parfaitement la m me Une telle s quence est dite hautement conserv e par l volution Il s agit d un indice r v lant que cette s quence est essentielle au bon fonctionnement de la prot ine e L tude de la structure peut b n ficier de l utilisation d enzymes digestifs comme la trypsine qui clivent les polypeptides seulement un faible nombre d endroits 1 C1 6 L volution et les r les biologiques de la pompe Na K Nous terminons cette sous section avec une ouverture sur l origine des pompes Na K dans l volution et sur les nombreux r les qu elles jouent aujourd hui Les pompes Na K sont pr sentes dans toutes les cellules animales et non les seuls neu
278. met la visualisation dans un plan de phase l analyse avec tous les outils de la dynamique non lin aire voir appendice A et m me l obtention de quelques r sultats analytiques Parmi ces r sultats analytiques soulignons celui voulant que a vitesse de propagation dans un axone uniforme non 66 Chapitre 1 Guide du d butant my linis soit proportionnelle la racine carr e du rayon de l axone C est ce qui explique que les invert br s capables de r actions rapides aient des axones aussi normes comme l axone g ant du calmar sur lequel Hodgkin et Huxley ont r alis leurs mesures historiques Mod le FitzHugh Nagumo Si les mod les du bord d attaque sont int ressants en raison de leur simplicit math matique il n en demeure pas moins qu il ne permettent pas de d crire un potentiel d action complet Pour conserver toutes les caract ristiques qualitatives du mod le HH il faut au moins int grer au mod le r duit un m canisme lent permettant le retour z ro du courant de sodium et l augmentation du courant de potassium Dans le mod le FitzHugh Nagumo FitzHugh 1961 Nagumo 1962 on consid re que n et 1 h sont des fonctions comparables voir la figure 1 B3 10c De m me n et h ont des temps de r ponse comparables voir la figure 1 B3 10b On peut donc les remplacer par une seule variable w On obtient ainsi un syst me deux variables et deux quations diff rentielles de premier ordre trois si on tient
279. mple x comme l illustre la figure 1 B3 16 comme dans le cas des courants traversant la membrane les effets de rectification sont ignor s voir l appendice B Les volumes extracellulaires sont eux aussi reli s entre eux dans un axone r el mais nous continuerons de supposer que l ensemble du volume extracellulaire est mis la terre les r sistances entre les volumes extracellulaires des compartiments tant donc consid r es comme nulles nous les omettons sur la figure C nh Ae i J a n ne K K K K K K Qu iQ ve dd Lis et ue td vd ve eg Vox 0 Vaxt 0 Figure 1 B3 16 Pour tudier la propagation un axone peut tre subdivis en un grand nombre de compartiments reli s par une r sistance le courant J traversant la membrane du compartiment en raison de son potentiel de membrane V tant d crit par le mod le HH Quand deux compartiments adjacents ont un potentiel de membrane diff rent ils ont donc un potentiel intracellulaire diff rent comme l indique la figure Par cons quent un courant 62 Chapitre 1 Guide du d butant ohmique s coulera entre les deux compartiments L volution du potentiel de membrane V est donc donn e par une version modifi e de l quation 1 B3 2 dV 1 gm PAV Ena Ge V Ex dt C Iruittes V E ne t K 2V V i1 quation 1 B3 14 Via Notons que le courant qui circule dans l axoplasme ne doit pas tre confondu avec le courant qui traverse la membrane En c
280. mportante a aussi montr que le d calage vers la gauche affectait galement les courants persistants Soulignons que le d calage vers la gauche effet du CLS sur le courant de fen tre s applique aussi au courant de fen tre des canaux Na En cons quence quand V V les canaux Na laissent passer un courant de repos bien plus important Comme le montre la figure 3 A 9 un CLS mod r 10 mV sur la figure cause un gain consid rable pr s de 1200 2 02 dans le cas illustr de ce courant sodique de rie ee ees cee Ge ee ea ee repos En d autres termes les canaux Na ont vas des fuites ce qui explique l afflux interne d ions Na dont nous avons d j discut Notons Figure 3 A 9 Un CLS m me mod r augmente qu une entr e aussi importante d ions Na est massivement le courant de fen tre pour V Vo interpr t par les canaux voisins de la cloque comme l arriv e d un potentiel d action On peut donc s attendre une dysfonction de l influx nerveux dans les cellules affect es 0 01 0 008 sans CLS 0 006 avec CLS 0 004 valeur cible Indirectement ces r sultats de Wang 2009 ont t confirm s par de nombreux auteurs En effet Boucher 2011 a compar les mesures des propri t s cin tiques des canaux Na 1 6 publi es par de nombreuses sources et montr que les auteurs ayant r alis leur patch clamp en mode cellule attach e ou sur des neurones traumatis s rapportaient typiquement d
281. mulation red and green curves on Fig S1b Propagation along the axon and length of the axon In Eq S1 the saltatory propagation along the computational axon was modeled by considering each internode as a single ohmic conductance linking two consecutive nodes of Ranvier This is equivalent to assuming that the myelinated internodes have negligible capacitance Consequently their RC charging time constant is so small compared to the node of 148 Table S1 Constant parameters Symbol Signification Other value Membrane properties Nodal capacity Nav channel max 120 mS cm conductance Kv channel max conductance 36 mS cm Po Licak ns peer leak 0 5 mS cm conductance Na specific leak conductance 0 0625 mS cm Ps K specific leak conductance 0 0205 mS cm Ex Unspecified leak reversal 65 4946 mV potential Rest potential 65 4946 mV 1 K pumps max current 23 6505 uA cm Kuna Na K pump Na Michaelis 10 mM Menten constant Ky K Na K pump K Michaelis Temperature 20 C Eq S5 given in 1 for squid axons at 6 3 C Menten constant Nodal surface to inner 0 05 cm L 0 cm L used in Figs 2 volume ratio 6 and Figs S5 S7 Axon properties Nodal inner to outer volume 1 ratio Scaled internodal 0 30 mS cm conductance Fig Sta uses 0 Fig 5 and Fig S6 both use 4 5 5 4 and 6 4 of this value for internodes 5 6 and 6 7 only Damaged node number Fig 4b and Fig S3b also have nodes Q 1 damaged N Numb
282. my line ce sont de petites portions de la membrane plasmique de l axone espac es de fa on r guli re en contact direct avec le liquide extracellulaire La gaine de my line est produite par des cellules de soutien qui s enroulent autour de l axone et peuvent produire jusqu 300 strates voir figure 1 A 2 Il s agit des cellules de Schwann dans le syst me nerveux p riph rique et des oligodendrocytes dans le syst me nerveux central Dans la section 1 B nous verrons que la my line joue un r le fondamental dans la vitesse de l influx nerveux Taille des axones Enfin soulignons que les axones chez les mammif res ont typiquement un diam tre d un quinze microm tres exceptionnellement davantage Ces diam tres correspondent grossi rement l chelle de grandeur g n rale des cellules eucaryotes que nous avons pr alablement nonc e De plus chez les esp ces o la my linisation n existe pas quelques axones peuvent atteindre un diam tre nettement plus lev afin de favoriser une circulation plus rapide de l influx nerveux Les axones les plus larges sont observ s chez les c phlopodes o ils peuvent atteindre un diam tre de l ordre de mille microm tres Parmi ces derniers les axones dorsaux du calmar ont jou un r le fondamental l aube de la recherche en neurosciences puisqu ils avaient une taille suffisante pour y ins rer aiguilles et lectrodes Variabilit biologique Comme nous l avons laiss transparai
283. n l amplitude du CLS on observe donc cinq comportements Faure 3 A 11 Dans l ordre du CLS croissant pour les plus faibles CLS le syst me d charge de fa on transitoire et revient au repos e ensuite on obtient des rafales bursts p riodiques ge ur 02 04 06 03 10 e ensuite on obtient une p riode transitoire suivie d une proportion des Nav affect s d charge tonique c est dire p riodique sans rafales Figure 3 4 11 Cinq comporte e enfin pour les CLS les plus lev s les fuites sont ments sont obtenus en l absence tellement importantes que le syst me ne d charge m me de stimulus selon l amplitude du pas les pompes sont alors hyperactives CLS qui affecte un syst me o une toute petite plage de l espace des param tres en haut 2S concentrations ioniques peu 3 vent fluctuer Figure adapt e de droite sur la figure 3 A 11 correspond des rafales de es j i 30 20 10 amplitude du CLS mW 124 Chapitre 3 Membranes endommag es questions de recherche et construction du mod le potentiels d action de particuli rement petite amplitude Yu 2012 a repris le mod le avec pompes tir de Boucher 2012 utilis une distribution plus complexe d amplitudes de CLS et montr que cela permet de produire des rafales p riodique comme celles de Boucher 2012 mais intercal es de plus videntes oscillations inf rieures au seuil STOs exactement comme celles observ es dans les mod les animaux de d
284. n ralisables l quation AppC 2 Obtenir la solution num rique de l quation AppC 1 ou AppC 2 commence par une discr tisation du temps La m thode la plus simple consiste valuer y t des points qui sont s par s par un petit intervalle de temps constant h Les temps en question sont donc ft 0 t h t 2h etc On appelle m thodes explicites a un pas les algorithmes qui solutionnent num riquement l quation AppC 1 en valuant y h a partir de y 0 puis y 2h a partir de l estim de y h puis y 3h a partir de l estim de y 2h et ainsi de suite Pour simplifier la notation on crira y pour d signer l estim de y t t nh Il existe aussi des m thodes plusieurs pas qui n cessitent de conna tre deux ou plusieurs points pr c dents pour calculer le point suivant de m me il y a des m thodes implicites o la fonction exprimant le point suivant d pend de ce dernier Nous ne discuterons pas de telles m thodes ici M thode d Euler Pour comprendre le principe des m thodes un pas nous pr sentons d abord la plus simple c est dire la m thode d Euler Cette derni re consiste utiliser la d finition fondamentale de la d riv e pour remplacer l quation AppC 1 par nat Yn f y quation AppC 3 h En isolant l inconnue on obtient Yn 5 Yn t hf y quation AppC 4 La programmation de l quation AppC 4 correspond au code C suivant tr s court define NB_PTS 10000 do
285. n we show become ectopic signal generators ectopic nodes because incoming APs stress Na K gradients thereby altering spike thresholds Comparable changes could contribute to acquired sodium channelopathies as diverse as epileptic phenomena and to the neuropathic amplification of normally benign sensory inputs Input spike patterns we found propagate with good fidelity through an ectopically firing site only when their frequencies exceed the ectopic frequency This propagation window is a robust phenomenon occurring despite noise large jitter and the presence of several consecutive ectopic nodes ectopicity onset phase locking neuropathic pain coupled left shift CLS Nav1 6 acquired channelopathies hether it originates from trauma ischemia degenerative disease sepsis chemical insults or other causes neuronal injuries lead to assorted acquired sodium channelopathies e g 1 2 The resulting sick excitable cells manifest diverse abnormalities such as hypersensitivity 3 5 ectopicity propagation anomalies 3 6 14 and neuropathic pain 15 19 Recently it has been emphasized 20 that a pathological feature of sick excitable cells with acquired sodium channelopathies is bleb type damage of the excitable Nav bearing membranes Vicious cycles involving Nav leak 21 Na K pump insufficiency and secondary Ca excitotoxicity 22 are a known pathological syndrome and bleb type 23 damage can be seen as p
286. n d autres termes la fr quence maximale de propagation du mod le est une fonction croissante de et cette fonction se confond avec la fr quence maximale de stimulation pour x gt 0 33 mS cm La cons quence de ces observations est claire il faut choisir 0 13 lt x lt 0 33 mS cm En effet une conductance gt 0 33 mS cm fait en sorte que le stimulus appliqu au noeud 1 influence directement les noeuds voisins puisqu on ne peut plus distinguer la fr quence maximale de stimulation et la fr quence maximale de propagation Par ailleurs distinguer ces deux fr quences deviendra important quand on ajoutera du CLS au mod le d axone sous l effet du dommage on s attend ce que l axone endommag manifeste des checs de propagation propagation failure un ph nom ne anormal dans un axone sain et uniforme Scott 2002 Or pour assurer qu on a affaire a un chec de propagation il faut pouvoir le distinguer d un chec de stimulation Nous avons donc arr t notre choix sur x 0 33 mS cm ce qui permet de maximiser la fr quence maximale transmissible 85 1 Hz tout en permettant de distinguer facilement les limites de stimulation et de propagation Ceci compl te notre revue de litt rature et la pr sentation des tapes de conception de notre mod le qui n ont pas ou peu pu tre explicit es dans l article pr sent au chapitre 4 Nous allons maintenant voir comment ce mod le a permis de r pondre de fa on satisfa
287. n estim de l erreur de troncature d ordre 5 A Vin Yon 30h E lt O h quation AppC 21 L objectif de l algorithme est d ajuster h afin que demeure imm diatement sous un certain seuil Si est plus lev que le seuil on rejette le r sultat on r duit h et on recommence l it ration s il est plus faible on conserve le pas mais on augmente h pour le pas suivant Parmi les diff rents algorithmes de pas adaptatif l approche que nous venons de d crire pr sente deux avantages Tout d abord si on avait utilis la m thode RK4 et une m thode d ordre 5 chaque it ration on aurait plus que doubl la quantit d op rations r aliser par it ration En revanche notre algorithme n augmente cette quantit que de 50 calculer y t 2h en utilisant un pas fixe requiert deux ex cutions de la m thode RK4 alors que notre algorithme en demande une seule de plus avec un unique pas 2h Deuxi mement l quation AppC 21 permet d isoler et d crire y t 2h y O h quation AppC 22 En plus de contr ler la taille du dernier terme de la s rie notre algorithme permet donc de porter le r sultat l ordre 5 et donc de r duire l erreur de troncature O h Si on se rapporte l quation AppC 18 notre algorithme a donc pour cons quence de r duire au maximum le premier terme moins d it rations au total mais aussi le second terme erreur par it ration d ordre 6 plut t que d ordre 5 chaq
288. n of loligo Journal of Physiology 116 pp 473 496 Hodgkin AL amp Huxley AF 1952d The dual effect of membrane potential on sodium conductance in the giant axon of loligo Journal of Physiology 116 pp 497 506 Hodgkin AL amp Huxley AF 1952e A quantitative description of membrane current and its application to conduction and excitation in nerve Journal of Physiology 117 pp 500 544 Hodgkin AL amp Katz B 1949 The effect of sodium ions on the electrical activity of the giant axon of the squid The Journal of Physiology 108 pp 37 77 Holmgren M Wagg J Bezanilla F Rakowski RF De Weer P Gadsby DC 2000 Three distinct and sequential steps in the release of sodium ions by the Na K ATPase Nature 403 pp 898 901 Iwata A Stys PK Wolf JA Chen XH Taylor AG Meaney DF Smith DH 2004 Traumatic axonal injury induces proteolytic cleavage of the voltage gated sodium channels modulated by tetrodotoxin and protease inhibitors Journal of Neuroscience 24 19 pp 4605 4613 Jacob R Lieberman M Murphy E Piwnica Worms D 1987 Effects of sodium potassium pump inhibition and low sodium on membrane potential in cultured embryonic chick heart cells Journal of Physiology 387 pp 549 566 Jiang QX amp Gonen T 2012 The influence of lipids on voltage gated ion channels Current opinion in structural biology 22 4 pp 529 536 Kager H Wadman WJ Somjen GG 2000 Simulated seizures and spreading depress
289. na tre l ordre de la m thode permet d valuer le gain obtenu en r duisant h Dans le cas de la m thode d Euler si h est r duit de moiti l erreur de troncature est r duite au quart puisqu elle est proportionnelle h Il faut donc utiliser un pas h extr mement petit donc faire un tr s grand nombre de pas pour esp rer produire un r sultat correct Nous verrons au prochain bloc que cela peut s av rer impossible m me si h 0 Puisqu un grand nombre de pas n cessite plus de temps d ex cution sur un ordinateur la m thode d Euler n est pas utilis e en recherche sauf peut tre pour obtenir rapidement des estim s grossiers Autres m thodes un pas d ordre 2 Pour r duire l erreur de troncature on peut obtenir une m thode d ordre 2 en valuant un terme suppl mentaire de l quation AppC 5 La premi re m thode consiste remplacer directement l quation AppC 1 dans ce terme suppl mentaire qui devient d y df y df y gh en Th dt dt dy 1 r 21 quation AppC 7 dt _ Yn o nous avons utilis la d riv e en cha ne df dt df dy dy dt et substitu l quation AppC 1 En ajoutant ce terme l quation AppC 4 nous obtenons la m thode de Taylor d ordre 2 Vou Y h y 4h y Ya O h quation AppC 8 y L inconv nient de la m thode de Taylor est qu elle requiert d valuer analytiquement la d riv e df dy et d en faire une fonction du programme Il existe cep
290. naux sont reli s a un organe ou encore a un muscle dont ils causent la contraction Globalement les interneurones forment le systeme nerveux central form du cerveau et de la moelle pini re alors que les neurones sensitifs ou moteurs forment le systeme nerveux p riph rique Au chapitre 3 nous discuterons plus sp cifiquement de la perception de la douleur et des dysfonctions qui entrainent des douleurs neuropathiques Description de l axone Les travaux de recherche que nous introduirons au chapitre 3 portent exclusivement sur l influx nerveux qui circule dans l axone Dans la section 1 B nous reviendrons largement sur la nature exacte de cet influx nerveux et verrons qu il prend la forme de potentiels d action Pour le moment approfondissons notre description de l axone Le long de ce prolongement la membrane plasmique est souvent appel e axolemme alors que le contenu de l axone form du cytosol et des organites est souvent appel axoplasme La conductance lectrique de l axoplasme est l une des propri t s qui d termine entre autres la vitesse de propagation de l influx nerveux Chezles vert br s et quelques invert br s la plupart des neurones n ont pas des axones lisses et uniformes Hartline 2008 Ces derniers sont plut t comme l illustre la figure 1 A 2 recouverts de gaines de my line des structures r p titives ayant presque toutes une longueur comparable Seuls les noeuds de Ranvier ne sont pas recouverts de
291. nce of phase locking zones When r gt 0 is restored the system behaves normally for a prolonged stimulation period Fig S1d It does so for all firing frequencies lt 85 1 Hz SI Results Onset of ectopic activity Fig S2 shows the limit between quiescent and ectopic behaviors as a function of Ey and E Diminishing Ex reduces the K driving force and increases the rest potential bringing it closer to firing threshold Diminishing Ey partially inverts that effect but occurs too slowly to prevent the onset of ectopicity Note that once ectopicity is triggered further decline of Ex increases fy see also Fig S8 Fig S3 shows how the propagation of normal APs i e those caused by a stimulation in node 1 can gradually diminish Ey and Ey until the boundary shown in Fig S2 is crossed The top panel of Fig S3a is a repetition of Fig 1b for comparison and the top panel of Fig S3b is the same obtained with nodes 5 7 damaged while the middle and lower panels are respectively the values of E and Ey at the time of the next stimulation following the onset of ectopic activity Note how ectopic activity is triggered when a limit value of Ey is reached whatever the value Ey reached at the same time this is mostly obvious on low fii Curves Evaluation of the settling time in Fig 3a To draw Fig 3a the following procedure was followed 1 Delays between the n output spike in control and damaged axons were computed 2 We te
292. ndaire re tertiaire structure quaternaire d une prot ine et la met en te tow i relation avec ses trois autres niveaux de structure wae fl oe ioe Certaines prot ines form es d une ou plusieurs sous unit s comportent aussi un groupement non to polypeptidique par exemple un glucide ou un ion qui Structure 4 leur est ajout C est le cas de l h moglobine qui doit ie P 2 comporter gi group meni appel see pour Sie su compl te les quatre niveaux de structure mesure de jouer son r le biologique lier l oxyg ne dune prot ine Figure banque ERPI C est le cas aussi de la pompe Na K qui comporte de tr s nombreux glucides sur sa face extracellulaire Les trois prot ines qui jouent un r le central dans nos travaux c est dire les pompes Na K les canaux Na tensiod pendants Na et les canaux K tensiod pendants K ont toutes trois une structure quaternaire les deux premi res sont form es de deux sous unit s diff rentes et la troisi me est assembl es partir de quatre sous unit s identiques 1 A 6 Le mod le Michaelis Menten pour la cin tique enzymatique Maintenant que nous avons tudi en d tail la structure d une prot ine tous les outils de base pertinents au sujet de la biologie cellulaire en g n ral sont introduits Avant de terminer la section 1 A il ne nous reste plus qu introduire un outil biochimique quantitatif un mod le permettant de d crire le faux auquel
293. ndent que du potentiel V et du temps t dans le mod le Hodgkin Huxley Mod liser le courant de fuites Pour compl ter le mod le HH il ne manque plus que le troisi me et dernier courant de l quation 1 B3 12 c est dire le courant de fuites un terme qui regroupe tous les courants autres que ceux d crits par les deux premiers termes Il est clairement entendu que ce courant de fuites est tr s faible son existence a d ailleurs t enti rement n glig e dans la proc dure exp rimentale permettant de s parer Jta en ses composantes Jya et J voir figure 1 B3 2 Toutefois quand V est proche de Vy Jna et Jk sont tous les deux assez faibles et le courant de fuites prend alors de l importance relative non seulement il a un impact sur la valeur du potentiel de repos mais en plus nous verrons sous peu qu il contribue fortement la phase de r cup ration du potentiel d action Comme l indique l quation 1 B3 12 Hodgkin et Huxley ont choisi d approcher ce courant de fuites par un courant quasi ohmique quation 1 B2 4 o la conductance gites est constante Ce mod le refl te toutefois peu de r alit physique le potentiel d inversion Eits ne peut pas tre d duit par l quation 1 B2 1 notamment En effet comme le sch matise la figure 1 B1 7 le courant de fuites regroupe de nombreux m canismes Hodgkin 1952c p 494 la membrane est faiblement perm able aux ions Cl elle comporte des pompes les ions Na et K peuven
294. nders FK 1948 The thickness of the myelin sheaths of normal and regenerating peripheral nerve fibres Proceedings of the Royal Society of London series B 135 880 pp 323 357 Schafer DP Jha S Liu F Akella T McCullough LD Rasband MN 2009 Disruption of the axon initial segment cytoskeleton is a new mechanism for neuronal injury Journal of Neuroscience 29 42 pp 13242 13254 Scheiner Bobis G 2002 The sodium pump it s molecular properties and mechanics of ion transport European Journal of Biochemistry 269 pp 2424 2433 Schwarz JR Reid G Bostock H 1995 Action potentials and membrane currents in the human node of Ranvier European Journal of Physiology 430 pp 283 292 Sebbagh M Renvoiz C Hamelin J Rich N Bertoglio J Br ard J 2001 Caspase 3 mediated cleavage of ROCK induces MLC phosphorylation and apoptotic membrane blebbing Nature Cell Biology 3 pp 346 352 Sen AK amp Post RL 1964 Stoichiometry and Localization of Adenosine Triphosphate dependent Sodium and Potassium Transport in the Erythrocyte Journal of Biological Chemistry 239 1 pp 345 352 Bibliographie 161 Shankarappa SA Tsui JH Kim KN Reznor G Dohlman JC Langer R Kohane DS 2012 Prolonged nerve blockade delays the onset of neuropathic pain Proceedings of the National Academy of Sciences 109 43 pp 17555 17560 Sheen K amp Chung JM 1993 Signs of neuropathic pain depend on signals from injured nerve
295. ne taient ajust es en cons quence 1 B3 1 Survol des m thodes exp rimentales 43 sont ind pendantes l une de l autre on d duit donc que la premi re correspond essentiellement a Jya et la seconde a Jk La figure 1 B3 2 pr sente un exemple de r sultat obtenu avec cette m thode On y constate d j deux observations fonda mentales qui seront cruciales lorsque nous mod liserons les deux courants dans les prochains blocs Premi rement on note une diff rence importante entre le courant de potassium qui augmente lentement vers un plateau alors que le courant de sodium atteint un sommet et redevient nul et ce m me si V ne change plus du tout r 4 5 ms A j Figure 1 B3 2 Exemple de courant de sodium et de Deuxi mement on constate d importantes potassium en r action un saut de voltage clamp diff rence de d lai de r ponse la crois Figure adapt e de Hodgkin 1952b Fig 5b sance initiale de Jya est environ 10 fois plus rapide que celle de J En revanche le retour z ro de Jy se produit a un rythme comparable celui de la croissance de J Ces comparaisons entre les constantes de temps permettront d importantes simplifications comme nous le verrons au bloc 1 B3 3 M thodes modernes La m thode d velopp e par Hodgkin et son quipe n cessite d ins rer deux lectrodes longues de plus de 30 mm l int rieur d un axone En pratique cette technique n est inapplicable qu aux axon
296. ne d terminent le potentiel de repos 1 B3 Potentiel de membrane dans les cellules excitables 1 B3 1 Survol des m thodes exp rimentales 1 B3 2 Le mod le Hodgkin Huxley 1 B3 3 Le mod le HH explique aussi la conduction le long de l axone 1 B3 4 R ductions du mod le Hodgkin Huxley 1 B3 5 Extension aux axones my linis s des vert br s Guide de lecture 1 B 1 C Biochimie des trois prot ines fondamentales 1 C1 Les pompes Na K 1 C1 1 La structure des pompes Na K 1 C1 2 Fonctionnement de la pompe Na K 1 C1 3 Les courants caus s par la pompe Na K 1 C1 4 La cin tique de la pompe Na K 1 C1 5 Un peu de vocabulaire exp rimental 1 C1 6 L volution et les r les biologiques de la pompe Na K 1 C2 Les canaux tensiod pendants 1 C2 1 La structure des canaux tensiod pendants 1 C2 2 Une interpr tation mol culaire du mod le HH 1 C2 3 L inactivation des Na diff re des hypoth ses du mod le HH 1 C2 4 Quelques techniques exp rimentales 1 C2 5 L volution et les fonctions des canaux Guide de lecture 1 C Table des mati res OO ND viii xi xiii 19 21 21 27 41 72 74 74 82 91 1 D Survol des notions d encodage neuronal 1 D 1 L encodage fr quentiel 1 D 2 L encodage temporel 1 D 3 L encodage de population 1 D 4 Application nos travaux de recherche Chapitre 2 Article p dagogique Pr sentation Two computational models disprove common misconceptions about the physics of action po
297. ne devrait franchir une barri re d nergie qV o V est le potentiel de membrane La largeur du vestibule fait en sorte que le champ lectrique qui y r gne est plus faible que dans la membrane donc que la barri re qV est r duite Reves 2006 1 C1 2 Fonctionnement de la pompe Na K Pour pomper les ions Na vers l ext rieur de la cellule et K en sens inverse la pompe Na K passe par une s quence cyclique de Na E P changements de conformations dont SEE chacune est induite par la liaison des ions la liaison de l ATP la phospho rylation de la prot ine ou les fluctu K E P v E P Py l O tape 4 ations thermiques De nombreuses oe ee exp riences ont permis d identifier a des tats interm diaires dans les ne o quels la pompe se trouve un Ej 4 M O i oa N moment ou un autre de son cycle ainsi que de caract riser des transi tions entre ces tats Assembler ces pi ces de casse t te a permis de construire un mod le du cycle qui porte le nom de sch me de Post Albers et selon lequel le cycle de pompage comporte six tapes Na E ATP E ATP K E initialement Albers 1967 Post Figure 1 01 2 La pompe Na K expulse le Na et importe le K 1972 Ces derni res sont sch n uN cycle de six tapes d crites dans le texte Les sites de matis es la figure 1 C1 2 o le liaison ionique et II situ s dans la portion transmembranaire
298. ng 8 6 p 065002 Coleman ML Sahai EA Yeo M Bosch M Dewar A Olson MF 2001 Membrane blebbing during apoptosis results from caspase mediated activation of ROCK I Nature Cell Biology 3 pp 339 345 Conti F Inoue I Kukita F Stuhmer W 1984 Pressure dependence of sodium gating currents in the squid giant axon European Biophysics Journal 11 2 pp 137 147 Cornelius F 1990 Variable stoichiometry in reconstituted shark Na K ATPase engaged in uncoupled efflux Biochimica et Biophysica Acta 1026 pp 147 152 Costigan M Scholz J Woolf CJ 2009 Neuropathic pain a maladaptive response of the nervous system to damage Annual review of neuroscience 32 pp 1 32 Coutaux A Adam F Willer JC Le Bars D 2005 Hyperalgesia and allodynia peripheral mechanisms Joint Bone Spine 72 5 pp 359 371 156 Bibliographie Cruz FAO Vilhena FSDS Cortez CM 2000 Solution of non linear Poisson Boltzmann equation for erythrocyte membrane Brazilian Journal of Physics 30 2 pp 403 409 Dart C 2010 Lipid microdomains and the regulation of ion channel function Journal of Physiology 588 pp 3169 3178 Dinic J Ashrafzadeh P Parmryd 1 2013 Actin filaments attachment at the plasma membrane in live cells cause the formation of ordered lipid domains Biochimica et Biophysica Acta 1828 pp 1102 1111 Doyle DA Cabral JM Pfuetzner RA Kuo A Gulbis JM Cohen SL Chait BT MacKinnon R 1998 The structure of the p
299. nique est l quilibre ou hors me quilibre nous POUVONS Nous attarder des Figure 1 B2 2 Le courant net est un exc s ou un cas plus complexes o la membrane est g ficit de courant de conduction par rapport au courant permeable a plus d une esp ce ionique de diffusion il devient nul l quilibre quand V E chacune avec une conductance en g n ral diff rente Cela nous conduira identifier la cause du potentiel de repos dans les cellules animales vivantes D butons par pr ciser le vocabulaire qui sera utilis 1 B2 3 Equilibre ou situation stationnaire Quand une membrane est perm able plusieurs esp ces ioniques il est possible que ces derni res soient toutes l quilibre qu aucune ne le soit ou encore que certaines le soient alors que d autres ne le sont pas Les situations hors d quilibre se distinguent aussi par leur effet sur V ou sur les concentrations ioniques de chaque c t de la membrane En g n ral nous utiliserons le terme quilibre pour d crire une membrane seulement si toutes les esp ces ioniques sont simultan ment l quilibre Il s agit de l quilibre de Donnan que nous allons tudier ci dessous et qui est nous le verrons un cas purement th orique Soulignons que la situation de la figure 1 B2 1 ne correspond pas cette d finition puisque le CI n est pas l quilibre le courant de chlore est nul seulement parce que nous supposons que la membrane est parfa
300. nn un potentiel de membrane Vond maintenu pendant une p riode donn e Aton L interpr tation de ces exp rience repose invariablement sur l hypoth se que la r ponse un saut du potentiel de membrane est beaucoup plus rapide dans le cas de l activation que dans celui de la disponibilit Dans une exp rience Vona et Vixe demeuraient les m mes mais Af variait dans une plage de valeurs pour lesquelles on pouvait consid rer que l activation avait atteint sa valeur cible le plateau de la courbe rouge la figure 1 B3 8 mais pas la disponibilit Ainsi 2 plus Atong est lev plus la disponibilit de gya a eu le temps de s approcher de sa valeur cible V Vion Quand Vixe est ensuite appliqu on mesure J f et on suppose que la disponibilit T3 n a pas vraiment le temps de changer avantque le courant devienne maximal Le maximum de JW t est donc consid r comme proportionnel la valeur atteinte par la disponibilit imm diatement avant le saut vers V Cette exp rience permet de d duire que l inactivation o s 10 15 20 25 msec est une exponentielle pas de point d inflexion Figure 1 B3 9 Courbes exp rimentales de et de d terminer sa constante de temps disponibilit notez l absence de point d inflexion figure 1 B3 9 Une variante de cette COQUE D NT eS a aus dans cet article V est exprim par rapport a V et exp rience a permis de montrer que la avec une convention de signe inverse la
301. nnement Ces deux m canismes affectent notamment des canaux tensiod pendants essentiels au fonctionne ment de l influx nerveux Dart 2010 voir aussi le chapitre 3 dont il sera question ci dessous Nous verrons au chapitre 3 que la d sorganisation des radeaux lipidiques a un effet sur ces prot ines Penchons nous pour le moment sur les prot ines en g n ral 1 A 5 Structure et fonction des prot ines En g n ral les prot ines sont des macromol cules normes qui comportent des milliers d atomes Du fait de leur taille mais aussi de leur nombre elles composent elles seules 1 A 5 Structure et fonction des prot ines 9 la majorit de la masse s che d une cellule puisqu on trouve des prot ines aussi bien dans les membranes qu en solution dans le cytosol Nous allons maintenant pr senter quelques propri t s des prot ines et quelques classes de prot ines qui seront pertinentes dans les travaux pr sent s dans les chapitres 3 et 4 Suivra ensuite un aper u de la fa on dont elles peuvent jouer leur r le de machine mol culaire un expos sur leur structure et un passage sur le rythme auquel certaines prot ines catalysent des r actions chimiques Captivit des prot ines Si elles sont en solution dans le cytosol les prot ines sont en raison de leur imposante taille n cessairement tenues captives par la membrane plasmique Quant aux prot ines ench ss es dans une membrane elles comportent deux parties hydrophiles
302. node to fire an action potential AP and each AP fired by that node propagates faithfully 1 1 to all other nodes up to a maximum 1 1 propagation frequency Snax In the damaged model node 6 or nodes 5 6 7 is traumatized by applying CLS Additional details on model design are given in the Supporting Information SI including explanations for choices of N AV im and values stim Results Ectopic activity can be triggered by stimulation Consider an axon unstimulated at first including a single mildly damaged node 6 0 lt LS lt 3 5 mV all simulations beginning with Ena Ex V m h and n at their LS 0 rest state For this LS range no ectopic activity occurs the CLS induced Nav channels leaks being small enough that pumps are able to keep up and the system simply settles to a new rest state slightly depolarized compared to the healthy axon s However stimulation can trigger ectopic behavior as seen in Fig la for LS 3 mV apart from a small increase in speed through node 6 the six first APs propagate normally If stimulation stopped after the fifth AP the system would return to quiescence but the sixth AP triggers ectopic behavior asterisks Fig 1a After this onset retropropagated APs initiated in node 6 collide with normal incoming APs and cancel them resulting in complex wave fronts in the first half of the axon and complete domination of the damaged node over the second half When stimulation ends
303. nons que le seuil Asuu doit tre fix de la m me fa on que h serait choisi dans le cas d un algorithme pas fixe AppC 3 Quelques autres aspects techniques Nous terminons cet appendice en citant des d tails techniques qui m ritent d tre mentionn s ou en pr cisant les algorithmes qui ont t utilis s dans le cas de quelques t ches simples ou moins simples et qui n ont pas t discut es ailleurs Forcer la valeur du pas Au chapitre 4 notre mod le requiert parfois d apporter un changement de param tre ou une stimulation un temps pr cis Dans ces circonstances il ne faut pas laisser l quation AppC 23 fixer h de fa on al atoire et plut t s assurer qu il arrive pile Une liste des temps qui doivent pr cis ment terminer une it ration et d buter la suivante est donc tablie en d but d ex cution et chaque it ration on s assure que la valeur de h calcul e pour la prochaine it ration ne d passe pas le temps suivant dans la liste le cas ch ant h est r duit pour aboutir pr cis ment au temps de la liste De fa on similaire notre code permet de d sactiver le pas adaptatif for ant ainsi l utilisation d un pas fixe ce que nous avons fait quand la simulation comportait du bruit D tection d un NaN L utilisation de l quation AppC 23 pose probl me si la solution num rique pr sente des discontinuit s ce qui est justement le cas au chapitre 4 quand nous stimulons le noeud de Ranvier 1 ou modi
304. nous pouvons r capituler le mod le HH Rappelons d abord que ce mod le d crit pour le moment un axone isopotentiel Nous allons revenir au bloc 1 B3 3 sur la propagation le long d un axone dans une situation physiologique Ensuite rappelons aussi que le mod le est quasi stationnaire au sens d fini dans la sous section 1 B2 puisque nous avons n glig l existence des pompes Cela signifie aussi que les concentrations interne et externe de chaque esp ce ionique sont consid r es comme stable dans le temps ce que refl te les valeurs fixes des potentiels d inversion Ena 50 mV et E 77 mV Nous allons maintenant voir en quoi le mod le HH permet de reconstruire le d roulement d un potentiel d action Pour se pr parer cette t che d butons en r capitulant les principales quations et en mettant en graphique les param tres ce qui est pr sent la figure 1 B3 10 A quations dV 1 max max on m h V EE Ox n V F Fies V 7 E ines d C dn _n n dh h h dm _m m dt a dt E dt a B Constantes de temps C Valeurs cibles T ms V mV V mV D Param tres constants gr 120 mS cm E 50 mV gk 36 mS cm E 77 mV C 1 wF cm Jr 0 3 MS cm E 54 4 mV fuites Figure 1 B3 10 R capitulation du mod le Hodgkin Huxley pour un potentiel d action spaced clamped tel que pr sent dans Hodgkin 1952e partie Il La premi re
305. ns deux manuels tout d abord Hille 2001 est une r f rence incontournable et mondialement reconnue au sujet des canaux ioniques couvre autant les aspects historiques qu il survole les techniques exp rimentales De m me La ger 1991 est une r f rence de grande qualit bien que vieillissante au sujet des pompes Chacun de ces deux manuels est crit par un biophysicien et vise un public multidisciplinaire Certes de nombreux articles ont t cit s dans cette section 1 C et ils ne sont pas d pourvus de m rite Par contre leur lecture ne saurait tre entreprise sans le portrait plus large obtenu en lisant Hille ou La ger Malheureusement l ge de ces deux manuels requiert l occasion de v rifier l tat plus r cent des connaissances cette fin nous recommandons notamment les articles issus du groupe de David C Gadsby pour les pompes et ceux issus du groupe de William A Catterall pour les canaux tensiod pendants ceux que nous avons cit tout comme les autres Tous deux sont des chefs de file dans leurs sujets respectifs 1 C2 5 L volution et les fonctions des canaux 91 1 D Survol des notions d encodage neuronal Les m thodes exp rimentales pr sent es la figure 1 B1 3 peuvent tre adapt es pour enregistrer in vivo la r action d un neurone un stimulus r el on n utilise alors pas d lectrode intracellulaires mais une lectrode extracellulaire qui ne d tecte que les changes ioniques corresp
306. ns le cas de la m thode RK4 est O h Apr s avoir pr senter une autre source d erreur pr sente dans toute m thode num rique nous montrerons comment ces deux types d erreurs s accumulent d it ration en it ration et ce qu on peut faire pour les contr ler L erreur d arrondi Toute solution num rique implique un grand nombre de calculs arithm tiques Or le r sultat de chacune de ces op rations est stock par l ordinateur dans un espace m moire de taille finie In vitablement le dernier chiffre en binaire ou en d cimal est arrondi M me une m thode num rique sans erreur de troncature est donc affect e au moins par cette erreur d arrondi En programmant on peut diminuer l erreur d arrondi en stockant chaque nombre r el dans un espace m moire de 64 bits plut t que 32 bits Ces deux formats sont respectivement AppC 2 L accumulation et la gestion d erreurs 189 appel s r els en double pr cision et en simple pr cision en langage C ils correspondent respectivement aux formats double et float Pour un unique calcul arithm tique l erreur relative caus e par l arrondissement est au maximum de l ordre de l epsilon machine lt c est dire la plus petite valeur non nulle que peut contenir un nombre r el en double pr cision soit 2 10 Stabilit num rique Si on examine les diff rentes m thodes un pas qui ont t pr sent es au bloc pr c dent on se rend compte que chaque it ration a pour po
307. ns un m me plan formant un feuillet qui donne son nom cette structure Un feuillet B peut aussi se former entre deux ou plusieurs tron ons parall les du polypeptide plut t qu entre des tron ons antiparall les Selon sa composition certains acides amin s permettent plus facilement que d autres au squelette de faire un coude 180 serr par exemple et selon l environnement en particulier la temp rature un polypeptide donn peut adopter spontan ment une configuration o les groupements CO et NH de son squelette formeront des ponts hydrog ne entre eux Les patterns r guliers dus des ponts hydrog ne dans le squelette du polypeptide sont d sign s comme sa structure secondaire C est le premier pas vers la forme tridimensionnelle compl te de la prot ine Les trois prot ines qui jouent un r le central dans nos travaux c est dire les pompes Na K les canaux Na et les canaux K ont toutes trois une structure secondaire qui comporte de nombreuses h lices a voir la section 1 C En particulier la portion qui traverse la membrane en est faite presque exclusivement ce qui lui conf re une grande stabilit les ponts hydrog ne de ces h lices sont difficiles briser ne pouvant tre remplac s dans le milieu hydrophobe de la membrane par des liens avec l eau Plusieurs h lices a jouent aussi un 14 Chapitre 1 Guide du d butant rdle dans la fonction de la prot ine par exemple en fournissant des sites de l
308. nt entre elles minimisant ainsi leur contact avec l eau par un effet entropique appel interaction hydrophobe y a donc apparence d attraction entre les entit s hydrophobes Cet effet affecte autant les parties non polaires des mol cules amphipathiques que les mol cules d huile elles m mes qui forment donc des gouttelettes au lieu de se m langer uniform ment l eau On peut expliquer cette interaction hydrophobe gr ce la m canique statistique Nelson 2008 chap 7 si on consid re les mol cules d eau en contact avec une mol cule ou partie de mol cule non polaire chacune d elles ne peut former de ponts hydrog ne avec l entit non polaire situ e devant elle et n en forme donc qu avec les autres mol cules d eau situ es derri re ou c t Ainsi pour maximiser le nombre de ponts hydrog ne cette mol cule d eau pointe n cessairement ses deux liens O H vers derri re ou vers le c t mais jamais vers devant Par cons quent le nombre de fa ons dont cette mol cule d eau peut se placer est consid rablement r duit En d autres termes l entropie des mol cules d eau en contact avec une entit non polaire est plus faible que celles des mol cules d eau qui ne sont en contact qu avec d autres mol cules polaires Comme le hasard des collisions dues l agitation thermique favorise statistiquement la croissance de l entropie du syst me il est donc probable qu elles aient tendance regroup
309. nt le nombre d op rations arithm tiques r alis es chaque it ration mais elle diminue le nombre total de pas de bien plus qu un facteur deux Dans le but de r duire les erreurs d arrondis en minimisant le nombre de pas c est une approche de ce genre que nous avons retenue pour int grer les quations du chapitre 4 Notre m thode qui estime plut t O h et garde ce terme sous un seuil choisi est voqu e dans Press 1992 mais malheureusement aucun code n y est fourni L id e de base qui la sous tend est de r aliser chaque it ration parall lement avec une m thode RK4 utilisant deux pas h successifs et une m thode RK4 utilisant d un seul coup un pas 2h La diff rence entre les deux estim s obtenus permet de calculer les termes tronqu s d ordre cinq et plus En effet les deux calculs RK4 doivent th oriquement donner le m me r sultat analytique y t 2h mais donnent y dans le cas utilisant deux pas h successifs et y dans le cas d un seul pas 2h Notez que l indice n ne permet plus de d terminer le temps puisque ce dernier n est plus t nh il indique seulement le num ro de l it ration On estime donc y t 2h y 2h O h 5 6 quation AppC 20 y t 2h y 2h 6 0O h AppC 2 L accumulation et la gestion d erreurs 195 Si on soustrait ces deux quations en y n gligeant les termes d ordre 6 et plus on obtient facilement que y Yo 2h 32h On consid re cette diff rence comme u
310. nt un domaine multidisciplinaire ou comme physicien nous avons d apprendre interagir avec des biologistes dans leur langage De plus a notre arriv e la ma trise l automne 2011 nous avons imm diatement trouv probablement comme bien des tudiants dipl m s qui d butent qu il tait difficile de rassembler de la documentation d un niveau introductif pour m attaquer au probl me que nous avions choisi la litt rature suppose presque toujours que les bases sont connues du lecteur Apr s dix ann es de carri re en enseignement nous ferions un bien pi tre p dagogue si nous laissions nos ventuels successeurs dans la m me situation C est pourquoi les deux premiers chapitres de cette th se se veulent une introduction aussi compl te que possible adress e quiconque poursuivrait un travail de recherche dans un domaine connexe au n tre c est dire la mod lisation d axones endommag s ou non Le lecteur acad mique jugera peut tre que ces deux chapitres divergent du format habituel d une th se mais nous avons insist pour les y inclure le lecteur d butant nous en sera nous l esp rons reconnaissant Le chapitre 1 est une introduction que nous avons intitul e guide du d butant compos e de quatre sections nous y traitons respectivement de notions l mentaires de biologie du fonctionnement d un potentiel d action dans un neurone sain de la structure des trois plus importantes prot ines qui expliquen
311. ntiel s quilibrerait une nouvelle valeur qui serait bien plus proche de Ena On assisterait donc une mont e rapide de V Comme nous le verrons la sous section 1 B3 qui d bute maintenant une telle augmentation de gya et la croissance rapide de V qui s en suit est ce qui initie un potentiel d action Notons que gy ne conserve pas sa valeur lev e suffisamment longtemps pour que V puisse atteindre l quilibre pr dit par l quation 1 B2 11 N anmoins on observe que la valeur instantan e V conserve toujours une valeur interm diaire entre E et E conform ment cette derni re quation 1 B3 Potentiel de membrane dans les cellules excitables Dans la sous section 1 B1 nous avons conceptualis la diff rence entre les membranes non excitables et les membranes qui comme celles des neurones sont excitables Ensuite dans la sous section 1 B2 nous avons d crit en d tail les membranes non excitables Cet exercice a t pertinent puisque les neurones au repos poss dent bien des caract ristiques d une cellule non excitable Par exemple on y trouve des pompes Na K et des gradients de concentrations ioniques ainsi qu un potentiel de repos qui est d termin par les conductances de la membrane au repos de la m me fa on que celui des cellules non excitables quation 1 B2 11 De plus l quation 1 B2 4 qui permet de calculer le courant d une esp ce ionique quand son potentiel d inversion diff re du potentiel de m
312. ntiels d action d charg s par le dernier noeud de l axone On obtient encore une fois une suite de Farey dont la figure 4 1C prochain chapitre illustre les plages de fr quence et de conductances pour lesquelles ces fr quences correspondent Quand on augmente le nombre de noeuds de Ranvier que contient l axone la fronti re de cette plage tend asymptotiquement vers une limite comme elle devient relativement immobile pour gt 10 noeuds nous avons choisi ce nombre de noeuds de Ranvier dans notre mod le Pour un axone dix noeuds on observe deux ph nom nes e Au fur et mesure que la conductance x augmente la fr quence maximale produite par le noeud 1 non isol diminue par rapport celle produite par le m me stimulus quand il tait isol C est normal puisqu une partie de la charge inject e dans le noeud 1 peut d sormais fuire vers les noeuds adjacents En d autres termes la fr quence 136 Chapitre 3 Membranes endommag es questions de recherche et construction du mod le maximale de stimulation du mod le est une fonction d croissante de x e Quand la conductance augmente les potentiels d action produits dans le noeud 1 sont de plus en plus transmis alors qu il n y a aucune transmission avec x lt 0 13 mS cm la fr quence maximale o les potentiels d action sont tous transmis cro t quand augmente et pour x gt 0 33 mS cm rejoint la fr quence maximale permettant une r ponse 1 1 dans le noeud 1 E
313. o surface to volume ratio r This simplification allowed for a steady state with a fixed f after a settling time letting us examine propagation fidelity as a function of parameters characterizing damaged axons However in reality the surface to volume ratio is non zero In Fig S8 the curves shown in Fig 4a for the output infidelity as a function of f are redrawn with r 0 05 cm liter a high value chosen specifically to illustrate in a reasonable simulation time the importance of finite volumes With this value the propagation window disappears within a few hundred ms This indicates that 1 1 phase locking has been lost This lost results from the gradual increase of f associated with the diminishing Ex values see Fig S2 with 1 1 phase locking being lost once the condition fim gt fo is no longer respected Since nothing stops fo from increasing beyond fna recurrent transitory propagation windows can be expected in real axons for the duration of time when the Na K pumps are unable to maintain Ex Thus the propagation window found under constant reversal potentials has a finite r dependent lifetime In other words only a stimulus of finite duration can be transmitted for ongoing stimulation the propagation window will appear and disappear via an interplay of stimulus and gradient depletion recovery time scales Output infidelities modeled in mildly damaged axons Discussion Nerve damage and its connection to neuropathic pain
314. o TM stim at 75 Hz a a a a 0 300 600 900 1200 1500 time ms Fig S1 Parameter tuning of the intact control system a In green range of stimulation strengths DV and stimulation stim frequencies for which the isolated first node fires each time it is stimulated The limit of the green zone bounded by the curves is recomputed for three fixed ENa and E values r 0 with k 0 Value selected and used throughout this article D Vim 25 mV b Typical response of isolated node k 0 to prolonged periodic stimulation denoted by black bar once r 0 05 cm L is restored D Vim 25 mV Note that this r value is chosen large to promote rapid depletion of the Nernst potentials c In green range of internode conductances k and stim frequencies for which APs fired in node 1 are faithfully propagated to all Nnodes Limit of green zone is recomputed for various axon lengths N with r 0 Values selected and used throughout this article N 10 nodes and k 0 30 mS cm Note that the control system behaves normally for all stim frequencies lt 85 1 Hz d Typical response to stimulation of the 10 node intact axon once r 0 05 cm L is restored stim as in b k 0 30 mS cm The top node i 1 is the one being stimulated Ranvier s that the nodes can be assumed to directly charge one another This approach was previously used in 7 and in a small portion of 2 although only constant current stimulation was u
315. ology Teacher 55 8 pp 468 472 Offner FF 1970 Kinetics of Excitable Membranes Voltage amplification in a diffusion regime Journal of General Physiology 56 2 pp 272 296 Paluch EK amp Raz E 2013 The role and regulation of blebs in cell migration Current Opinion in Cell Biology in press Park SB Lin CS Kiernan MC 2012 Nerve excitability assessment in chemotherapy induced neurotoxicity Journal of Visualized Experiments 62 e3439 Patlak JB amp Ortiz M 1986 Two modes of gating during late Na channel currents in frog sartorius muscle Journal of General Physiology 87 pp 305 326h Patra M 2005 Lateral pressure profiles in cholesterol DPPC bilayers European Biophysics Journal 35 pp 79 88 Phillips R Ursell T Wiggins P Sens P 2009 Emerging roles for lipids in shaping membrane protein function Nature 459 pp 379 385 160 Bibliographie Plesner L amp Plesner IW 1985a Kinetics of Na ATPase influence of Na and K on substrate binding and hydrolysis Biochimica et Biophysica Acta 818 pp 222 234 Plesner L amp Plesner IW 1985b Kinetics of Na ATPase analysis of the influence of Na and K by steady state kinetics Biochimica et Biophysica Acta 818 pp 235 250 Post RL Hegyvary C Kume S 1972 Activation by adenosine triphosphate in the phosphorylation kinetics of sodium and potassium ion transport adenosine triphosphatase Journal of Biological Chemistry 247 20 pp 6
316. olution est ensuite obtenue num riquement Dans cet appendice nous introduisons les m thodes qui sont utilis es pour obtenir de cette fa on la solution d une quation diff rentielle de premier ordre ou d un syst me de telles quations Nous pr sentons ensuite les divers types d erreurs qui d coulent de telles m thodes et les fa ons dont ces erreurs peuvent tre valu es et minimis es Enfin nous terminerons en pr sentant quelques aspects techniques suppl mentaires qui m ritent une br ve discussion Si le d but de cet appendice est introductif et fait suite au chapitre 1 la fin pr sente des tapes importantes de notre mod le de recherche et fait donc suite au chapitre 3 Puisque nos travaux de recherche chapitre 4 et le projet de notre article p dagogique chapitre 2 impliquent exclusivement des quations diff rentielles ordinaires de premier ordre nous nous concentrons ici sur les m thodes num riques permettant de solutionner ces derni res Le lecteur qui veut en savoir davantage sur les m thodes num riques aurait avantage consulter Landau 2007 Des codes cl en main sont disponibles dans l excellent Numerical Recipies in C Press 1992 ou dans les autres ditions du m me ouvrage qui ont t produites pour d autres langages de programmation Les tudiants de l Universit d Ottawa ont aussi acc s au mat riel du cours Physique num rique L Heureux 2012 qui constitue un excellent r sum introductif
317. om trie individuelle Par exemple elles peuvent former une sph re appel e micelle dont la surface est constitu e des parties hydrophiles et dont le volume est form des parties hydrophobes mais la condition que la taille des parties hydrophobes leur permette de tenir dans le volume en question Une telle g om trie est donc adopt e de fa on plus probable quand la partie hydrophobe est compos e d une unique cha ne hydrocarbon e En revanche les phospholipides ont une partie hydrophobe compos e de deux queues hydrocarbon es qui a donc peu de choses pr s la m me largeur que la partie hydrophile voir la figure 1 A 3 En cons quence une des g om tries les plus probables pour de telles mol cules est la bicouche illustr e la figure 1 A 4 o les phospholipides forment deux plans sym triques dont le c t hydrophile est tourn vers l ext rieur z l o l eau se trouve leur c t hydrophobe tant tourn vers l int rieur o des mol cules d eau se Figure 1 A 4 Dans l eau les phospholipides retrouvent rarement peuvent former spontan ment une bicouche Localement la bicouche a la forme d un plan mais plus grande chelle sa surface peut se courber moyennant un co t nerg tique faible lui permettant de se fermer sur elle m me et de devenir la structure de base d une membrane cellulaire Diverses exp riences ont pu confirmer qu une membrane plasmique r elle est effectivement compos e major
318. on de ses r actifs la constante de proportionnalit tant la constante k correspondante Ce que nous recherchons est la vitesse de r action c est dire le taux auquel le produit est cr qui est donc k Ces OU Ce est la concentration des mol cules d enzymes qui sont dans l tat li On peut exprimer Ces en fonction des trois constantes cin tiques et de la concentration S du substrat Pour ce faire il suffit de r aliser que Ces cro t au taux k c S quand la r action E S EP se produit d cro t au taux k c lt quand la r action inverse se produit et d croit aussi au taux k Cgs quand la r action ES E P se produit On a donc Ces k C S k_ k Ces quation 1 A 3 On peut simplifier le membre de droite en y substituant c E Ces d o Ces k E S K IS k_ k Ces quation 1 A 4 1 A 6 Le mod le Michaelis Menten pour la cin tique enzymatique 17 Quand une concentration E d enzyme est ajout e une solution qui contient le substrat Ces est initialement nul mais tend rapidement vers une valeur stationnaire Le taux de synth se du produit devient donc lui aussi stationnaire Puisque c ne varie plus le membre de gauche de l quation 1 A 4 devient alors nul En isolant alors Ces dans l quation 1 A 4 on obtient ____ KIES _ E S kI S k k Kathe 1S k quation 1 A 5 La vitesse de r action v k c est donc v k E k aoa _
319. on le long d un axone comportant ou non un m lange de noeuds 3 A 4 Hypoth se de travail tout dommage une cellule excitable quivaut un CLS 125 de Ranvier intacts et de noeuds de Ranvier endommag s Yu 2012 n aborde pas la question et Boucher 2012 y consacre environ 5 de son article Dans cette partie Boucher 2012 utilise comme nous un axone fait de dix compartiments successifs repr sentant chacun un noeud de Ranvier le sixi me d entre eux manifestant un CLS et les concentrations tant fixes aucune pompe pr sente non plus Les r sultats sont peu nombreux alors nous pourrons en fait une liste compl te Premi rement quand le CLS rend ectopique le N noeud endommag zone b de la figure 3 A 10 120 she GER il initie en l absence de stimulus des potentiels PAT d action anormaux qui parcourent l axone en amp 80 7 3 2 sens inverse du noeud 6 au noeud 1 Pa hk T mesure que l amplitude du CLS cro t la amp 40 fr quence de d charge du noeud ectopique bad 2A r augmente et les noeuds sains cessent 0 deren ventuellement de pouvoir suivre puisque leur p riode r fractaire est plus longue On assiste 0 5 10 15 20 alors la transmission d une proportion amplitude du CLS mV seulement des potentiels d action mis par le Figure 3 A 13 Quand l amplitude du CLS cro t la noeud 6 De fa on int ressante mesure que fr quence du noeud endommag avec CLS ne l amplitude du CLS cro
320. on polaire tant compos e des 1 A 3 La membrane plasmique est surtout une bicouche T queues hydrophobes de phospholipides eux m mes des acides gras plusieurs des propri t s physiques d une bicouche s approchent beaucoup de celles de l huile v g tale elle aussi compos e majoritairement d acides gras On s attend donc ce qu elle soit un isolant lectrique ce qui jouera un r le dans l influx nerveux voir la prochaine section Par ailleurs bien que nous l ayons compar une bulle de savon fragile face des forces macroscopiques une bicouche pure dispose n anmoins d une certaine lasticit malgr sa fluidit En particulier elle peut r sister une tension de surface de quelques millinewtons par metre Pour une cellule sph rique une telle tension correspond par exemple un exc s de pression interne de l ordre de 300 Pa Nelson 2008 pp 250 251 Sur le plan biologique la propri t la plus importante d une bicouche pure est sa perm abilit s lective Campbell 2007 section 7 2 pour pouvoir la traverser un compos en solution dans l eau doit pouvoir se solubiliser dans la strate non polaire diffuser au travers puis se resolubiliser dans l eau En g n ral les petites mol cules hydrophobes comme CO O traversent relativement facilement les petites mol cules hydrophiles notamment l eau traversent moins bien mais traversent tout de m me lentement les ions m me petits ne traversent que de fa on
321. oncentrations fluctuantes et des pompes Cependant au chapitre des r sultats ils ont tudi des aspects compl tement diff rents de nous ils se sont surtout attard s aux potentiels d action individuels soulignant que la pr sence d un faible CLS chaque noeud de Ranvier acc l rait leur propagation diminuait leur amplitude et alt rait leur forme En revanche un CLS trop important ralentissait ou bloquait la propagation Ils ont aussi le m rite d tre les premiers a avoir vari l amplitude de la stimulation mais utilisaient des impulsions carr es de sorte que leur fr quence tait toujours la m me Ils n ont donc pas tudi l effet de la fr quence de stimulation et pas pu remarquer le ph nom ne de verrouillage de phase qui est le point de d part de nos propres travaux Soulignons cependant que l existence d un article hors de notre groupe de recherche utilisant le mod le du CLS accr dite la validit de ce dernier Retomb es th rapeutiques Soulignons que l int r t des travaux num riques que nous venons de revoir s ils permettent d accr diter notre postulat fondamental voulant que le CLS soit l explication fondamentale du comportement anormal de toute cellule excitable endommag e est d ensuite pouvoir guider la recherche th rapeutique tel que d crit dans Morris 2012a on pourrait chercher concevoir un inhibiteur des canaux Na qui s accumulerait pr f rentiellement dans la membrane fluide des cloques et inhib
322. ondant un potentiel d action dans un axone situ proximit Avec de telles techniques on s aper oit que tous les neurones qu ils fassent partie du syst me nerveux p riph rique ou du syst me nerveux central encodent de l information sous la forme d un train de potentiels d actions souvent indiff remment appel train d impulsions Chaque potentiel d action tant consid r comme identique aux autres un train d impulsion peut se r duire une liste de temps ceux o surviennent les maximums de chacun des potentiels d action Pour traduire un stimulus qui d pend ou non du temps en un train d impulsions le neurone utilise un scheme d encodage Selon qu il s agit d un neurone sensitif moteur ou selon la partie du syst me nerveux central laquelle il appartient le sch me d encodage utilis n est pas le m me et plusieurs sch mes peuvent tre utilis s simultan ment Dayan 2001 chap 1 2 Bien que l encodage neuronal ne soit pas un des sujets centraux de nos travaux de recherche il en occupe la p riph rie les travaux que nous pr senterons dans l article du chapitre 4 montrerons que la pr sence d une zone endommag e le long d un axone a pour effet de modifier le train d impulsion qui atteint la fin de l axone par exemple en retardant des potentiels d action ou en ins rant des potentiels d action suppl mentaires Nos travaux ne sauraient d crire de telles modifications sans mettre en relief leurs cons quence
323. only for low fym and stim large number of APs because Na K pump action between spikes is then consequential Note that our model with r 0 05 cmlliter becomes ectopic even in the healthy control system if fim is sufficiently high See also Fig S2 and Fig S3 initial Ex Fig S2 the system shows periodic ectopic firing with no stimulation 30 For an intact postsynaptic neuron the consequence of stimulation triggered ectopicity in the pre synaptic neuron would be the arrival of 90 additional APs beyond the 6 delivered by an intact pre synaptic neuron in the illustrated case This induced ectopic behavior could thus amplify a stimulus occuring in an algoneuron the brain could interpret a minor stimulus as pain 34 The onset of ectopic activity due to normal AP traffic would take a long time for mildly damaged axons because the ectopicity triggering number of spikes only six in Fig 1a would then be high Fig 1b shows this number as a function of LS for a few stimulation frequencies The same occurs when three consecutive nodes 5 7 are damaged the graph is then qualitatively identical to Fig 1b apart from a small horizontal compression towards smaller LS values Fig S3 Ectopicity was detected when the total number of APs reaching node 10 at all gt tum was different in the control and damaged systems The number of spikes propagated is the main determinant for the onset of ectopicity for all LS gt 2 5 m
324. onne en multipliant par dx et en int grant ce qui donne 4 ME d int de aal x OX je quation AppB 4 Ici les bornes int et ext correspondent l int rieur et l ext rieur de la cellule respectivement mais pourraient techniquement repr senter n importe quel plan perpendiculaire au champ lectrique Dans le membre de gauche de l quation AppB 4 on reconna t l int grale de ligne du champ lectrique qui correspond l inverse de la diff rence de potentiel Vn Ve On obtient donc l quation de Nernst kT C SV Int E quation AppB 5 int ext ext Si on inverse cette quation elle devient Cim c exp qE k T o le lecteur reconnaitra le facteur de Boltzman que nous avons utilis au chapitre 1 comme point de d part attention de ne pas confondre le potentiel de Nersnt E et la composante x du champ lectrique dans le milieu homog ne E Rappelons que l quation AppB 5 d crit la situation seulement une fois que l quilibre est atteint Si le milieu homog ne d crit est une bicouche pure l atteinte de l quilibre peut tre excessivement long puisque tr s peu d ions parviennent se solubiliser dans un tel milieu Interpr tation L quation AppB 5 d crit la situation l quilibre Le courant de diffusion ne d pend que du gradient de concentration membre de droite de l quation alors que le 176 Appendice B courants ioniques potentiel de repos courant
325. onne typiquement aux prot ines une charge globalement n gative Or m me en l absence de prot ines de transport les petits ions H et OH finissent par diffuser hors de la v sicule en traversant la bicouche pure qui ne peut avoir une conductance parfaitement nulle En revanche cette derni re demeure parfaitement imperm able aux prot ines puisque ces derni res sont des macromol cules normes De toute vidence le volume interne de la cellule doit conserver sa neutralit lectrique Puisque les prot ines sont charg es n gativement il est donc n cessaire qu un plus grand nombre d ions positifs Na et K que d ions n gatifs CI p n trent dans la cellule Pour valuer la port e de ce constat utilisons des valeurs num riques typiques selon lesquelles le milieu extracellulaire contient 140 mmol L de NaCl et 10 mmol L de KCI alors que les prot ines dans la cellule portent 125 mmol L de charges l mentaires n gatives Nelson 2008 chap 11 voir aussi la figure 1 B2 3 La neutralit lectrique impose que les concentrations internes soient reli es par Cua Ck Ca 125 mmol L quation 1 B2 6 Par ailleurs l quilibre l quation 1 B2 1 doit tre respect e simultan ment pour chaque ion Comme il existe un seul potentiel de membrane V V ce dernier doit tre gal tous les potentiels de Nernst comme l affirme l quation 1 B2 5 Ces derniers sont donc tous gaux entre eux Eg Ek Ena En substi
326. ons aussi que nous avons permis aux concentrations Na et K d tre graduellement puis s apr s la propagation d un grand nombre de potentiels d action Les pompes Na K qui tentent de restaurer ces gradients de concentration sont aussi ajout es au mod le d une fa on que nous d crirons Enfin la fa on dont le mod le d axone est stimul devait tre con ue de toutes pi ces et sera d crite La simplicit du mod le qui 4 Un verrouillage de phase survient quand deux oscillateurs non lin aires en raison d un couplage entre eux ajustent leurs fr quences pour qu elles forment un rapport de petits entiers Par exemple nous verrons au chapitre 4 qu un verrouillage 1 1 fait en sorte que la zone endommag e de l axone d charge la m me fr quence que les potentiels d action incidents 11 0 Introduction a la th se de recherche resume la machinerie des membranes cellulaires a deux types de canaux tensiod pendants et un type de pompes permet de mettre l accent sur les m canismes qui sous tendent les ph nom nes observ s Les aspects purement algorithmiques qui correspondent ce mod le num rique sont pr sent s l appendice C R sultats Comme nous le verrons ensuite au chapitre 4 ce mod le a permis d obtenir deux r sultats enti rement nouveaux qui correspondent respectivement aux deux questions de recherche que nous venons d voquer e Premi rement dans un axone tr s faiblement endommag qui ne pr sent
327. ont pas num rot s et leur usage n est pas syst matique il peut arriver que certains blocs en contiennent d autres pas il peut aussi arriver comme c est d ailleurs le cas dans ce mode d emploi que des parties du texte d un bloc soit coiff e de titres en italique alors que le reste du m me bloc ne l est pas Il faut simplement consid rer les titres en italique comme des guides de lecture et non comme un moyen syst matique d hi rarchiser le texte Seules les sections et les blocs sont utilis s cette XIV Mode d emploi pour le lecteur derni re fin Soulignons que cette pr sentation ne s applique pas aux chapitres 2 et 4 En effet ces chapitres sont des manuscrits d articles et leur reproduction dans la pr sente th se est fid le la version soumise Num rotation des figures et des quations Pour identifier les figures et les quations nous proc dons de la m me fa on que les blocs c est dire avec le num ro du chapitre la lettre de la section et un num ro s quentiel Par exemple la premi re figure de la section du chapitre 3 est la figure 3 A 1 Encore ici on note que cette pr sentation ne s applique pas aux articles pr sent s aux chapitres 2 et 4 Dans les rares ventualit s o un autre chapitre r f re une figure de ces articles nous crivons par exemple la figure 2 du chapitre 4 Mode d emploi pour le lecteur XV Cette page est intentionnellement blanche xvi Mode d emplo
328. or s Par exemple les l ments diagonaux ne compare que des nombres gaux d impulsions alors que les l ments non diagonaux incluent n cessairement des co ts dus des ajouts ou des retraits d impulsions Au terme du processus le coin inf rieur droite de la matrice contient donc le co t recherch AppC 3 Quelques autres aspects techniques 199
329. ors que nous souhaiterions lier les n tres plus sp cifiquement aux douleurs neuropathiques Ces derni res sont elles n cessairement dues aux effets de r seau que nous avons revus la section 3 A ou peut on obtenir dans un axone unique un effet qui voque par exemple une amplification douloureuse d un stimulus normalement b nin En cas de dommage tr s l ger comme on en trouve certainement dans les l sions axonales diffuses ou en p riph rie d un traumatisme localis quel effet un noeud de Ranvier hyperexcitable mais non ectopique a t il sur le comportement de l axone Peut il initier des ph nom nes associ s aux douleurs neuropathiques m me si aucune ectopicit n est initialement pr sente Pour r pondre ces questions nous construisons sur la base du mod le HH tel que l ont aussi fait Boucher 2012 et Yu 2012 A titre de r f rence un r sum des principales 3 B 1 Questions de recherche 1 29 quations de ce mod le tir du chapitre 1 est pr sent nouveau la figure 3 B 1 D ici la fin de cette section nous apportons plusieurs pr cisions techniques et pr sentons des d cisions de mod lisation qui ne sont pas ou peu explicit es dans l article mais ont t prises en vue de r pondre aux questions de recherche ci dessus Les aspects trait s sont la forme g n ral du mod le l utilisation de concentrations non constantes la mod lisation des pompes l ajustement des param tres et enfin la mise au
330. ory gt I xCint x KT F one lons ositifs n gatifs V ns TAS quation 1 B2 13 gt gxC int x T gt 9xC ext X ions ions positifs n gatifs Consid rons a nouveau le cas du neurone de calmar particulier consid r sous la figure 1 B2 3 pour lequel on mesure des concentrations internes de 400 50 et 52 mmol L respectivement pour le potassium le sodium et le chlore ainsi que des concentrations externes de 20 440 et 560 mmol L pour les m mes esp ces ioniques Si gk 25gy 29c l quation 1 B2 13 pr dit que cette membrane a un potentiel de repos V 4 61 MV Cette fois le r sultat est sup rieur a la valeur exp rimentale de 64 mV au lieu d y tre inf rieur mais l cart demeure comparable Notons que les quations 1 B2 9 et 1 B2 11 permettent aussi de d crire le cas simple o une membrane artificielle n est perm able un seul type d ion Par exemple c tait le cas la figure 1 B2 1 o seule la conductance gya tait non nulle En posant g ga 0 l quation 1 B2 9 se r duit de fa on triviale V Ena De m me le membre de droite de l quation 1 B2 11 se r duit celui de l quation de Nernst quation 1 B2 1 qui donne aussi E Les quations 1 B2 9 et 1 B2 11 ont toutes deux produit des pr dictions qui s cartent de la valeur mesur e par le m me cart absolu Malgr les apparences la pr diction de l quation 1 B2 11 est meilleure que celle de l quation 1 B2 9 En effet le cour
331. ose moyennant un co t nerg tique lev entra n par un co t nerg tique que le filtre de s lectivit ja perte des mol cules d eau qui les hydratent compense en pr sentant des atomes d oxyg ne Figure Morais Cabral 2001 qui jouent le m me r le que ceux contenus dans les mol cules d eau Un ion plus petit que K ne peut traverser efficacement car il n est pas assez large pour interagir simultan ment avec les atomes d oxyg ne situ s de part et d autre Son co t nerg tique pour traverser est donc plus grand 00009 Quant aux canaux Nay ils peuvent eux aussi laisser passer une faible proportion d ions K La taille de leur pore n est donc pas suffisante pour expliquer que les ions K les traversent relativement peu comparativement aux Na Une tude r cente Xia 2013 a lucid le r le de trois acides amin s particuliers dont les cha nes lat rales favorisent nerg tiquement le passage des Na ils jouent donc un r le analogue aux atomes d oxyg ne de la figure 1 C1 5 1 C2 2 Une interpr tation mol culaire du mod le HH Lors de la formulation du mod le qui porte leur nom Hodgkin et Huxley ignoraient tout de l existence de canaux tensiod pendants Leur hypoth se de travail tait que les ions traversaient gr ce une sorte de navette ou de pompe Hodgkin 1949 Le d bit ionique lev le fait que les ions traversent toujours passivement et enfin les structures cristallographiques ont permis d
332. oss Fig 1 shows that an AP consists of distinct phases labeled 1 3 1 V rises quickly 2 V quickly drops and undershoots V 3 the axon re recovers from the AP with V slowing reaching Vest In introductory biology material phase 1 is associated with the fast activation of Na VGCs causing Na ions to rush in while phase 2 is associated with two slower reactions the inactivation of Na VGCs and the opening of K VGCs causing K ions to rush out We call phase 3 the recovery period and define recovery as the mechanism causing V to return to Ves as introductory material often only discuss the V mV 0 10 20 30 Time since stimulus ms Fig 1 Three phases of an AP Dashed line indicates Vest Stimulus is a sudden voltage step occurring at t 0 refractory period a short part of the recovery period during which the axon cannot respond to stimulation because Na VGCs are still inactivated The recovery mechanism is often unmentioned Asimple yet quantitatively accurate description of an AP is given by the HH model based on experiments published by Hodgkin and Huxley in 1952 that is still widely used in computational studies This model to be discussed here and in part IV describes the states of the Na and K VGCs using time and V dependant transmembrane conductances gya and gx Ohmic currents Hodgkin and Huxley experiments have shown that three currents are required to predict the time co
333. otassium channel molecular basis of K conduction and selectivity Science 280 5360 pp 69 77 Fackler OT amp Grosse R 2008 Cell motility through plasma membrane blebbing Journal of Cell Biology 181 pp 879 884 Fazen LE amp Ringkamp M 2007 The pathophysiology of neuropathic pain a review of current research and hypotheses Neurosurgery Quarterly 17 4 pp 245 262 Feingold M Gonzalez DL Piro O Viturro H 1988 Phase locking period doubling and chaotic phenomena in externally driven excitable systems Physical Review A 37 10 pp 4060 4063 Fiadeiro ME amp Veronis G 1977 On weighted mean schemes for the finite difference approximation to the advection diffusion equation Tellus 29 6 pp 512 522 FitzHugh R 1961 impulses and physiological states in theoretical models of nerve membrane Biophysical Journal 1 pp 445 466 Florence G Dahlem MA Almeida ACG Bassani JW Kurths J 2009 The role of extracellular potassium dynamics in the different stages of ictal bursting and spreading depression a computationnal study Journal of Theoretical Biology 258 219 228 Frankenhaeuser B amp Dodge FA 1958 Membrane currents in isolated from nerve fibre under voltage clamp conditions Journal of Physiology 143 pp 76 90 Fried K Sessle BJ Devor M 2011 The paradox of pain from tooth pulp low threshold algoneurons Pain 152 12 pp 2685 2689 Gadsby DC 2009 lon channels versus ion
334. otential field can be evaluated from E x x V xt f _E x t dx 16 where Vis non dimensional the voltage scale being kaTle 25 65 mV To replace MC C by a correct picture the student should set non equilibrium initial concentration fields with Dirichlet boundary conditions and watch them settle to a steady state We set boundaries at x 10 0 and used initial uniform concentrations on each side of the membrane Biological parameters are given in Table 2 Note that a ay and a Q 1 22 were calculated from Fig 3a while a was chosen arbitrarily Students are also encouraged to simulate other parameters notably a thicker L that could represent the effect of myelination channel densities x 10 outside concentrations dimensionless inside concentrations dimensionless Cya 50 Cx 400 Ca 45 c 405 Table 2 initial values and parameters for project II macro Steady state results are shown in Fig 9 A signi ficant net charge is only found in a nanometer scale region on each side of the membrane This corresponds to the Debye length and sets a picture much different from MC C Validity of the model is confirmed by the fact that V Vest Although the thickness of the Debye layer could be approximated by theoretical calculations project II 106 Chapitre 2 Article p dagogique es a Q oO J 400 Na K cr macro a 200 4 concentrations
335. otons que ce filtre doit valuer la d riv e Pour ce faire nous utilisons le sch me centr Va V V x n1 quation AppC 24 bai La et le comparons aux d riv es aux points voisins pour tablir s il est localement extr mal ou quasi nul Quand la valeur obtenue est plus lev e que celle obtenue aux deux points voisins ou plus faible que ces deux valeurs le point est conserv par le filtre Si le pas temporel h est fixe alors t t 2h et on peut montrer que l quation AppC 24 est valide au deuxi me ordre Nous avons toutefois utilis cette quation pour estimer la d riv e seconde aussi dans l ventualit o h n tait un pas adaptatif une approximation rendue valable par le fait que h change relativement lentement La seule cons quence observ e a t que plus de points sont s lectionn s par le filtre quand le pas est variable La figure AppC 3 montre que le r sultat obtenu est n anmoins satisfaisant 198 Appendice C Consid rations informatiques Evaluation de la fr quence Pour r aliser plusieurs figures du chapitre 4 il a fallu tre en mesure de d tecter la fr quence d un train d impulsions o chaque potentiel d action tait repr sent par le temps o son maximum survient Notre algorithme peut r aliser cette t che de plusieurs fa ons diff rentes e D abord il est possible d obtenir une fr quence globale en divisant le nombre total de potentiels d action par la dur e totale de
336. ouleurs neuropathiques dont nous avons parl plus haut Encore une fois le mod le avec pompes n a pas t tudi sous l effet d une stimulation Yu 2012 pr sente aussi un diagramme de phase similaire celui de la figure 3 A 11 mais o deux amplitudes de CLS sont utilis es au sein du m me noeud de Ranvier Ce diagramme permet d identifier essentiellement les m mes zones que celles de la figure 3 A 11 mais intercal es de zones de bistabilit voir appendice A Dans ces zones le syst me peut manifester deux comportements distincts selonles valeursinitiales utilis es Par exemple la zone de d charge tonique et celle de repos se superposent pour former une zone o les deux comportements sont possibles Une simulation utilisant un courant de bruit pour simuler les fluctuations des pompes et des canaux introduit juste assez de comportement stochastique pour faire sauter le syst me entre les deux comportements Par exemple dans la zone o d charge tonique et repos cohabitent la pr sence de bruit permet d obtenir des rafales induites par le bruit c est dire un passage ap riodique entre le repos et des rafales de potentiels d action figure 3 A 12 40 Figure 3 A 12 Quand les valeurs des param tres placent le syst li me dans une zone de bistabilit il du bruit permet de le faire passer i sll E P i iD d un attracteur l autre Figure si n adapt e de Yu 2012 50 lt D
337. pe peut lier trois ions sodium mais seulement deux ions potassium Les sites de liaison sont localis s a un endroit o des h lices a forment un l ger coude Comme toutes les pompes de type P la pompe Na K poss de deux conformations principales baptis es E et E pour lesquelles les sites de liaison ionique sont accessibles respectivement depuis le cytosol et depuis le milieu extracellulaire Les sites de liaison et Il ont une meilleure affinit pour le Na dans la conformation E mais une meilleure affinit pour le K dans la conformation E On peut repr senter cette situation par une image mentale simple Gadsby 2009 ou la pompe comporte une unique cavit de liaison localis e dans sa partie transmembranaire a laquelle deux portes situ es de part et d autre donnent acc s en alternance Pendant le changement entre la conformation E et la conformation E la prot ine passe par un tat interm diaire o les ions sont pi g s dans la cavit ie les deux portes sont simultan ment ferm es La cavit de liaison n occupe pas toute l paisseur de la membrane du c t extracellulaire la prot ine comporte un profond vestibule permettant aux ions d acc der la cavit et au fond duquel se trouvent des cha nes lat rales acides ne laissant passer que les ions positifs Ce profond vestibule a de l importance pour la cin tique de la pompe en son absence chaque ion de charge q transport au travers de la membra
338. plasmique et la structure g n rale et le r le des prot ines qui y sont ench ss es est dans une large mesure plus important que de conna tre le contenu de la cellule Nous allons donc laborer sur ces deux derniers aspects d s que nous nous serons pench sur la structure des neurones 1 A 2 L anatomie des neurones La majorit des tres vivants sont unicellulaires bact ries etc mais les animaux entre autres sont faits de cellules qui sont diff renci es c est dire de cellules qui se sp cialisent dans une t che particuli re bien qu elles poss dent toutes le m me bagage g n tique divers stimuli imposent une cellule donn e de n utiliser qu une partie de ce bagage celle pertinente sa sp cialisation En somme les cellules ayant des sp cialisations diff rentes expriment des g nes diff rents Chaque type de cellule synth tise donc une combinaison de prot ines propre au tissu biologique dont elle fait partie 2 Chapitre 1 Guide du d butant Parmi les cellules diff renci es les neurones sont celles qui se sp cialisent dans la transmission de l influx nerveux A cette fin les neurones font partie de la cat gorie des cellules excitables une caract ristique qu elles partagent avec les cellules musculaires et quelques autres cellules notamment des cellules glandulaires et ovules f cond s Nous reviendrons la section 1 B sur les ph nom nes lectriques qui distinguent les cellules excitables de
339. point de la m thode de stimulation Bien qu importants des aspects qui ne touchent pas la mod lisation et sont strictement li s aux m thodes num riques m thode d int gration pas temporel adaptatif stabilit et convergence de l algorithme m thodes de prises de mesure etc sont trait s dans l appendice C A quations dV 1 max max on m h V ES Ox n V E Es Druites V E Eh d C dn_n n dh_h h dm m m dt T dt an dt Tr B Constantes de temps C T ms V mV D Param tres constants o Ni 120 mS cm A 50 mV gk 36 mS cm E 77 mV C 1 uFicm Jiuites 0 3 mS cm E 54 4 mV fuites Figure 3 B 1 R capitulation du mod le Hodgkin Huxley pour un potentiel d action spaced clamped tel que pr sent dans Hodgkin 1952e partie Il 3 B 2 Un mod le d axone et non un mod le de membrane Pour tudier la propagation comme nous entendons le faire il est inutile de mod liser un neurone complet et nous nous sommes limit concevoir un mod le d une portion d axone Ce mod le num rique est fait comme celui de Boucher 2012 de dix compartiments repr sentant dix noeuds de Ranvier Ce choix est justifi par un 130 Chapitre 3 Membranes endommag es questions de recherche et construction du mod le comportement aux limites comme nous le verrons au bloc 3 B 6 La capacit lectrique de l internoeud my linis est consid
340. pos Le lecteur aura donc droit une r vision de thermo statistique appliqu e dans un contexte de biologie mol culaire chap 6 7 On y traite notamment de th mes que nous avons abord s comme l assemblage spontan des membranes cellulaires ou l apparition spontan e de la structure secondaire des prot ines chap 8 9 En fait tous les th mes abord s par Nelson m me ceux que nous avons choisi de ne pas 1 A 6 Le mod le Michaelis Menten pour la cin tique enzymatique 19 couvrir dans cette section 1 A sont pertinents pour qui souhaite d velopper une intuition g n rale au sujet des ph nom nes physiques qui se d roulent a l chelle mol culaire dans la cellule On y traite de diffusion chap 3 4 de l imposante viscosit qui domine tout mouvement l chelle cellulaire chap 5 de divers ph nom nes osmotiques et des interactions mol culaires qui en d coulent chap 7 etc 20 Chapitre 1 Guide du d butant 1 B Electrophysiologie Dans cette seconde section nous aborderons les ph nom nes lectriques qui se produisent dans les cellules en insistant sur ce qui est pertinent pour comprendre le fonctionnement de l influx nerveux Pour faciliter la lecture nous organisons le texte en trois parties Tout d abord la sous section 1 B1 fera un survol exp rimental g n ral au sujet du potentiel de membrane Les deux autres sous sections expliquent les m canismes physiologiques derri re ces ph nom nes en ayan
341. ptative time step and used h 0 001 ms As in Fig 6a the same lists were used both for the intact and damaged system The outputs were 1 Hodgkin AL Huxley AF 1952 A quantitative description of membrane current and its application to conduction and excitation in nerve The Journal of physiology 117 4 500 2 Boucher PA Jods B Morris CE 2012 Coupled left shift of Nav channels modeling the Na loading and dysfunctional excitability of damaged axons Journal of computational neuroscience 33 2 301 319 3 Taddese A amp Bean B P 2002 Subthreshold sodium current from rapidly inactivating sodium channels drives spontaneous firing of tuberomammillary neurons Neuron 33 4 587 600 4 Lauger P 1991 Electrogenic ion pumps Vol 5 Sunderland Sinauer Associates 5 Kager H Wadman WJ Somjen GG 2000 Simulated seizures and spreading depression in a neuron model incorporating interstitial space and ion concentrations Journal of neurophysiology 84 1 495 512 152 compared using the VP metric and the 50 output infidelities were averaged to produce a point on Fig 6b To help visualize the relative importance of jitter with respect to quasiperiod or the importance of noise relative to voltage excursions Fig S7 shows an example time series of each Output infidelity with free running ionic concentrations When r 0 05 cm L pumps cannot speed up enough to prevent Ey and Ex from declining At first the Nernst potentials are
342. pumps the principal difference in principle Nature Reviews Molecular Cell Biology 10 5 pp 344 252 Gadsby DC Bezanilla F Rakowski RF De Weer P Holmgren M 2012 The dynamic relationships between the three events that release inidividual Na ions from the Na K ATPase Nature Communications 3 669 Glynn IM 2002 A hundred years of sodium pumping Annual Review of Physiology 64 1 pp 1 18 Goldman DE 1943 Potential impedance and rectification in membranes The Journal of General Physiology 27 1 pp 37 60 Goldstein SA Bockenhauer D O Kelly I Zilberberg N 2001 Potassium leak channels and the KCNK family of two P domain subunits Nature Reviews Neuroscience 2 3 pp 175 184 Greer JE McGinn MJ Povlishock JT 2011 Diffuse traumatic axonal injury in the mouse induces atrophy c Jun activation and axonal outgrowth in the axotomized neuronal population Journal of Neuroscience 31 13 pp 5089 5105 Greer JE Povlishock JT Jacobs KM 2012 Electrophysiological abnormalities in both axotomized and nonaxotomized pyramidal neurons following mild traumatic brain injury Journal of Neuroscience 32 19 pp 6682 6687 Bibliographie 157 Hagmann J Burger MM Dagan D 1999 Regulation of plasma membrane blebbing by the cytoskeleton Journal of Cellular Biochemistry 73 pp 488 499 Hallermann S de Kock CP Stuart GJ Kole MH 2012 State and location dependence of action potential metabolic cos
343. qu ont suscit les autres tudiants de mon groupe de recherche notamment Alexandre Payeur Charles Garfinkle et Alexandre Melan on Enfin les partenaires de travail des nombreux cours gradu s que j ai suivis Jean Liu Shem Lau Chapdelaine Beno t Lecavalier Louis Jacques Charles Garfinkle et Julie Montgomery se sont av r s indispensables Faire une ma trise n cessite aussi de garder l quilibre et de s a rer r guli rement l esprit ce chapitre j ai d abord appr ci l amiti et les nombreuses discussions hors sujet des autres locataires du MCD118 Des remerciements sp ciaux vont Alexandre Payeur Dave Houtman Akio Yoshinawa et Jessica Lemieux pour m avoir permis de d crocher r guli rement C toyer quotidiennement dans ce nouveau contexte mes propres anciens tudiants Laurent Maude Julie et Alexandre a aussi t appr ci Enfin j adresse un merci sp cial des coll gues amis ou tudiants du c gep de l Outaouais qui m ont aid traverser des moments moins faciles l hiver 2013 certains leur insu Claude Desruisseaux Simon Lesp rance Vicky Jonathan M lodie Jean Maxime votre joie a su tre contagieuse En terminant j aimerais saluer la patience et le d vouement de ma douce et vivifiante Eliane qui conna t bien ma soif pour les ambitieux projets et m a soutenu tout au long de cet exaltant p riple Tu es la meilleure d entre toutes Depuis la derni re fois que j ai sign les r
344. ques potentiel de repos AppB 1 AppB 2 AppB 5 AppB 12 AppB 17 AppB 18 AppB 26 courant diffusif courant de conduction potentiel de Nernst courant GHK limite inf rieure du courant GHK limite sup rieure du courant GHK potentiel de repos GHK Appendice C Consid rations informatiques xii AppC 2 AppC 4 AppC 8 AppC 11 AppC 12 AppC 13 AppC 15 AppC 19 AppC 21 AppC 23 AppC 24 syst me d quations diff rentielle du premier ordre m thode d Euler m thode de Taylor d ordre 2 m thodes Runge Kutta d finition g n rale m thode RK4 matrice jacobienne analyse de stabilit erreur accumul e valuation du terme d ordre 5 projection du pas temporel estimation num rique de la d riv e Liste des quations principales 133 133 134 134 133 140 140 140 140 134 140 140 140 140 167 173 175 176 176 178 180 180 183 185 186 187 188 189 190 191 193 196 196 198 Mode d emploi pour le lecteur D une fa on peut tre peu conventionnelle cette th se se divise en deux parties une th se classique minimaliste form e des chapitres 3 et 4 et de l appendice C pr c d e d une partie plus longue adress e au lecteur qui d bute tout juste dans le domaine form e des chapitres 1 et 2 et des appendices A et B Ce mode d emploi pr sente ce que diff rentes cat gories de lecteurs doivent savoir pour naviguer dans cet ouvrage volumineux Les neurosciences so
345. qui demeure est donc de savoir comment une prot ine peut adopter une forme tridimensionnelle si pr cise tout en lui permettant de pouvoir changer dans certains cas au gr de stimuli externes Nous allons donc terminer notre expos sur les prot ines en survolant les quatre niveaux de structure d une prot ine Campbell 2007 chap 5 en pr cisant chaque fois les m canismes physiques qui lui permettent d adopter sa conformation Nelson 2008 chap 7 9 Structure primaire des prot ines Pour fabriquer une prot ine la cellule commence par synth tiser un polypeptide polym re d acides amin s c est dire un assemblage sous forme d une longue cha ne lin aire de petites mol cules similaires les acides amin s mises bout bout Chaque acide amin comporte un atome central de carbone auquel est fix 1 un groupement acide COOH 2 un groupement amine NH 3 un atome d hydrog ne H 4 une cha ne lat rale symbolis e par R et laquelle identifie l acide amine La formule g n rale d un acide amin est donc NH CHR COOH voir figure 1 A 7 Pour synth tiser leurs prot ines les animaux n utilisent qu une vingtaine d acides amin s diff rents ils diff rent par leur cha ne lat rale mais se servent videmment de plusieurs mol cules de chacune d entre elles La s quence avec laquelle les acides amin s sont agenc s forme la structure primaire de la future prot ine Soulignons que le terme prot ine d signe h
346. quired to reach the steady state Fiadeiro and Veronis On weighted mean schemes for the finite difference approximation to the advection diffusion equation Tellus 29 6 512 522 1977 Chapitre 2 Article p dagogique Introduction a la these de recherche Les deux pr c dents chapitres ont pr sent l attention de quelqu un qui en ignore tout le fonctionnement de neurones intacts Ici d bute la partie classique de la pr sente th se qui concerne nos travaux de recherche Cette partie comporte les chapitres 3 et 4 de m me qu une large partie de l appendice C Cette partie de la th se est autosuffisante toute r f rence aux chapitres 1 et 2 ayant t vit e Notamment un r sum du mod le Hodgkin Huxley HH abondamment introduit au chapitre 1 est pr sent dans le chapitre 3 Ainsi le lecteur d j exp riment en neurosciences peut d buter ici sa lecture sans perte de continuit en ignorant les deux premiers chapitres et les deux premiers appendices On estime que 2 3 de la population canadienne souffre de douleurs neuropathiques une pr valence qui cro t chez les personnes g es Ces douleurs d coulent de dommages axonaux pouvant tre caus s notamment par un accident traumatique une maladie d g n rative du syst me nerveux le diab te l pilepsie ou m me trop souvent par la chimioth rapie ou la chirurgie Chaque fois elles sont caus es par une r ponse maladaptative des syst
347. r cela requiert d valuer analytiquement les autres termes de l quation AppC 5 et de convertir toutes les d riv es par rapport t en d riv es par rapport y Quant aux m thodes Runge Kutta sur lesquelles nous nous attarderons davantage pour un ordre N donn elles ont la forme Ynn y bk O i1 o k hf y ak ii quation AppC 11 j 1 Dans l quation AppC 11 les coefficients doivent respecter diverses contraintes notamment gt 5 1 facilement obtenue si y t et les contraintes permettant l galit terme par terme des quations AppC 11 et de l quation AppC 5 Zingg 1999 Il faut aussi noter que d apr s l quation AppC 11 la m thode d Euler correspond une m thode Runge Kutta d ordre 1 Le choix pour une rapidit optimale la m thode RK4 Si le temps d ex cution sur un ordinateur est un crit re important choisir une m thode d un ordre donn n cessitent de faire un compromis entre deux effets qui s opposent Premi rement on note que plus l ordre de la m thode est lev plus l erreur de troncature est petite Par exemple r duire h de moiti dans le cas de la m thode d Euler r duit 25 de sa valeur l erreur de troncature O h En revanche r duire h de moiti dans le cas 188 Appendice C Consid rations informatiques d une m thode d ordre 4 r duit O h de 96 9 Pour une m me erreur de troncature utiliser une m thode d ordre plus lev perm
348. rane non excitable la seconde est le cas d une membrane excitable peu perturb e c est dire o V V donc v 0 en effet quand la membrane excitable est peu perturb e les canaux tensiod pendants demeurent tous essentiellement dans leur tat de repos Dans ces deux cas g demeure donc approximativement une constante qu on crira g L quation 1 B3 17 devient donc lin aire r Equation du c ble lin aire v 1 OV g e y quation 1 B3 20 t rc 0x C Contrairement l quation 1 B3 17 cette quation ne pr sente aucune solution ayant la forme d une onde progressive Ses solutions ont plut t une amplitude qui d cro t et une forme qui s estompe avec le temps Ce sont les potentiels gradu s Notons que ces derniers apparaissaient d j comme solution l quation 1 B3 17 On peut les obtenir analytiquement en posant u v exp g C l quation 1 B3 20 devient alors une quation de diffusion facilement soluble voir Nelson 2008 section 12 1 1 B3 4 R ductions du mod le Hodgkin Huxley Le mod le HH r capitul la figure 1 B3 10 est un syst me de quatre quations diff rentielles du premier ordre Quand on tient compte de la propagation le long de l axone on a m me un syst me de cinq quations du premier ordre comme nous l avons montr au bloc pr c dent Le niveau de d tail de ce mod le le rend donc difficile aborder d un point de vue math matique en particulier la visualisat
349. raverse ce seul fragment de membrane L avantage de cette technique est de pouvoir s lectionner une portion de membrane suffisamment petite pour qu il ne s y trouve que quelques canaux ioniques voire un seul d entre eux On peut alors mesurer directement le courant d une seule esp ce ionique en r action un saut du potentiel de membrane ce qui confirme les mesures pr sent es la figure 1 B3 2 Patlak 1986 voir aussi Hille 2001 Nous verrons la section 1 C que les canaux ont un comportement stochastique En cons quence pour obtenir une courbe comme celle de la figure 1 B3 2 gr ce a un patch clamp il faut faire la moyenne d un grand nombre d essais La technique du patch clamp en mode cellule attach e est aussi celle qui a t utilis e par Wang 2009 pour mesurer le d calage cin tique de canaux Na tensiod pendants au sodium dans une membrane endommag e r sultat exp rimental qui fonde l hypoth se g n rale des travaux de notre groupe de recherche voir le chapitre 3 Les variantes du patch clamp Dans trois variantes de la technique on peut appliquer de la succion ou tirer la micropipette apr s la formation du sceau mais avant de faire des mesures Selon la s quence de ces manipulations suppl mentaires on distingue les modes cellule enti re int rieur expos et ext rieur expos comme le montre la figure 1 B3 4 retrait CELLULE ATTACH E INT RIEUR EXPOS En mode cellule enti re
350. re Ces courbes r v lent une diff rence fondamentale entre les comportements manifest s par les conductances au sodium et au potassium suite un saut de V V V Vixe D une part l activation de g la fait cro tre vers un plateau gx dont la valeur ne d pend que de Vix 9x demeure ensuite ce plateau jusqu ce que V change nouveau D autre part gna N atteint pas un plateau apr s une rapide phase de croissance activation elle revient spontan ment vers z ro Cette d croissance rapide doit tre distingu e de la d sactivation de g puisqu elle survient m me si le potentiel demeure V Vix on l appelle donc plut t l inactivation Des observations suppl mentaires semblent indiquer que l activation et l inactivation sont des processus ind pendants Par exemple on observe qu une fois pleinement inactiv e la conductance gya n est plus disponible en d autres termes une fois que V a t maintenu constant suffisamment longtemps la valeur Vix tout saut suppl mentaire vers une nouvelle valeur V produit un courant de sodium plus faible que celui qu on aurait obtenu en sautant directement de V V En fait si Vix exc de environ 25 mV le saut de Vix V ne produit pratiquement aucun courant de sodium En revanche apr s avoir ainsi maintenu V Vix pendant une p riode prolong e si on restitue V V il s effectue en plus de la d sactivation une r cup ration de l inactivation En d
351. re est utilis e L changeur Na Ca effectue un cycle qui couple les deux proc d s Comme nous le verrons au chapitre 3 un chec du pompage des ions Ca dans un neurone est un probl me grave qui active des enzymes catalytiques et aboutit la mort rapide de la cellule Ainsi les pompes Na K sont d sormais essentielles la survie de toutes les cellules animales et ce pour une multitude de raisons 1 C2 Les canaux tensiod pendants la section 1 B nous avons voqu le r le primordial des canaux Nay et des canaux Ky dans le m canisme d un potentiel d action Contrairement aux pompes la d couverte de ce r le des canaux a t laborieuse plusieurs mod les concurrents ayant t propos s pour expliquer l origine des courants du mod le HH Hille 2001 chap 1 3 les canaux Na n ayant t isol s qu en 1981 Hartshorne 1981 Dans cette sous section nous allons d abord pr senter les l ments de structure qui permettent de qualifier une prot ine de canal Nous insisterons sur la structure des canaux Na et Ky Ensuite nous allons faire le lien entre le fonctionnement des canaux et les caract ristiques du mod le HH Enfin nous soul verons quelques contradictions entre ce nouveau portrait mol culaire et le mod le HH qui concernent l inactivation des canaux Nay Comme toujours nous 82 Chapitre 1 Guide du d butant soulignerons les aspects qui seront pertinents pour la lecture des chapitres 3 et 4 De plus
352. re 1 A 6 illustre la conformation et le site actif d un enzyme simple l hexokinase avec et sans substrat li Notez que la forme de la prot ine tout comme celle du substrat changent toutes les deux l g rement quand la liaison a lieu cette d formation du substrat en modifie les niveaux d nergie et rend si iaee ee eet sealing plus facile de le faire r agir c est un igure 1 A 6 Le substrat se lie l enzyme un site actif Pour f l l rendre cela possible la prot ine doit avoir une forme des m canismes de la catalyse tridimensionnelle pr cise sa conformation Campbell 2007 Substrat Site actif S Complexe Enzyme enzyme substrat De nombreuses prot ines ne sauraient jouer leur r le sans pouvoir adopter plusieurs conformations fonctionnelles diff rentes Par exemple un canal tensiod pendant doit 1 A 5 Structure et fonction des prot ines 11 poss der au moins une conformation ouverte et au moins une conformation ferm e En pratique de telles prot ines poss dent souvent des populations enti res de conformations ouvertes et ferm es et il faut donc tenir compte si on souhaite construire un mod le d crivant leur probabilit d ouverture non seulement des niveaux d nergie mais aussi de l entropie de chaque population Nelson 2008 chap 6 La pompe Na K quant elle est une prot ine qui poss de la fois plusieurs sites actifs et plusieurs conformations En e
353. re 1 B3 7 tout en a donnant une courbe d inactivation de la forme p Figure 1 B3 7 Effet de l exposant x sur la forme de ple pe qui est toujours la forme la courbe de courant du potassium exponentielle souhait e Hodgkin 1952e 0 8 04 Par essais et erreurs ils ont d termin que la puissance x 4 tait celle qui donnait une courbe dont les proportions correspondait le mieux celle de leurs donn es voir la figure 1 B3 7 si bien qu ils ont postul que le courant du potassium est donn par Courant de potassium Jk ge n V E quation 1 B3 4 9k et dn n n quation 1 B3 5a o une temp rature fixe n et t d pendent seulement du potentiel de membrane contrairement n ils changent instantan ment de valeur quand V change Comme le mod le HH n glige le courant de pompes E est consid r comme constant et prend la valeur typique suivante voir la figure 1 B2 3 E 77 mV Interpr tation physique Bien qu ils n avaient aucune id e de la composition mol culaire d une membrane les auteurs de Hodgkin 1952e soul vent que les deux quations ci dessus gagnent une interpr tation physique si on suppose que la travers e du potassium 1 B3 2 Le mod le Hodgkin Huxley 49 au travers de la membrane ne peut s effectuer que si des groupes de quatre particules d activation similaires agissent comme des interrupteurs ou des portes ind pendants qui doivent tre tous dans
354. re le noeud 1 et le noeud produisant de l activit ectopique quand il est pr sent un verrouillage 1 1 entre ces deux oscillateurs permet de minimiser l infid lit de la transmission voir chapitre 4 174 Appendice A points cl de dynamique non lin aire Appendice B courants ioniques potentiel de repos Dans cet appendice nous utilisons un mod le physique plus volu pour obtenir des versions alternatives des quations 1 B2 4 et 1 B2 10 pr sent es au chapitre 1 soit le courant d une esp ce ionique et la pr diction du potentiel de repos Nous d butons en utilisant ces outils diff rents pour d montrer l quation de Nernst qui donne le potentiel d inversion d une esp ce ionique Ces r sultats ne sont pas nouveaux mais pr sent s en compl ment de la mission introductive du chapitre 1 AppB 1 D monstration alternative de l quation de Nernst L quation de Nernst quation 1 B2 1 a t d montr e en employant le facteur de Boltzmann Nous d butons cet appendice en fournissant une d monstration alternative de cette quation Les quations sont tir es de Nelson 2008 chap 4 Consid rons une esp ce ionique X en particulier parmi celles qui sont pr sentes de part et d autre d une membrane La travers e de la membrane par un ion d pend de la nature de cette derni re Si la membrane est une bicouche pure l ion doit s y solubiliser pour traverser on peut donc consid rer cette bicouche comme un milieu
355. recherche Notons que l appendice C porte sur les diff rents aspects informatiques utilis s pour l implantation num rique Il contient certains compl ments au chapitre 1 mais surtout des aspects techniques de la mod lisation qui s inscrivent clairement dans la suite du chapitre 3 Hi rarchie des titres Comme le montre un bref coup d oeil la table des mati res les chapitres 1 et 3 de cette th se de m me que les appendices utilisent une hi rarchie des titres Nous avons donn des noms chaque niveau de titre et y r f rons l occasion dans le texte pour guider le lecteur qui a donc avantage les distinguer l exception de courts paragraphes introductif chaque mot de cette th se appartient d abord un bloc qui lui appartient une section laquelle appartient un chapitre Certaines sections tr s longues ont t subdivis es en sous sections Par exemple le premier chapitre comporte la section 1 A Anatomie et physiologie cellulaires ou la sous section 1 B2 Le potentiel de membrane dans les cellules non excitables Cette derni re sous section d bute avec le bloc 1 B2 1 L quilibre de Nernst De plus il peut arriver que nous guidions la lecture en utilisant un niveau de titre suppl mentaire inscrits en italique m me la ligne qui d bute le paragraphe comme nous l avons d ailleurs fait ci dessus lorsque nous avons annonc Hi rarchie des titres Les titres de ce dernier niveau ne s
356. rectification le courant s coule plus facilement dans un sens que l autre De plus entre ces deux situations extr mes il y a n cessairement une transition ou la courbe J V n est pas rectiligne Consid rons donc comme troisi me cas limite la situation interm diaire o V E lt lt 1 On v rifie par substitution directe au num rateur que l quation AppB 12 donne effectivement J 0 si 0 0 c est dire si V a exactement pour valeur le potentiel d inversion E donn par l quation 1 B2 1 ou l quation AppB 5 Toutefois nous nous int ressons au cas o V est l g rement sup rieur ou inf rieur E sans y tre n cessaire gal qv q qEx Avec la notation 6 V Ex le facteur T devient ee ou encore d apr s er es l quation AppB 5 e En substituant ceci dans l quation AppB 12 cette derni re quation devient PDV Cex Jy Der a 1 e quation AppB 19 1 e 8 Jusqu ici nous n avons fait aucune hypoth se suppl mentaire alors l quation AppB 19 est simplement une reformulation de l quation AppB 12 180 Appendice B courants ioniques potentiel de repos q8 Toutefois nous supposons maintenant que est petit ce qui signifie que 1 rA et que V E En substituant ces deux id es dans l quation AppB 19 on trouve notre troisi me cas limite qEx Dq kgf q z lim J Cu Ero quation AppB 20 VE e s 1 On note que ce r sultat e
357. remier terme de l quation AppC 19 demeure de taille n gligeable comparativement au second terme pourles temps f tudi s Cela est le cas pour les simulations du projet de l article du chapitre 2 mais pas si on simule un axone comme au chapitre 4 en utilisant un pas h fixe pendant plusieurs milliards de pas Quand le test de convergence choue il devient alors impossible de minimiser l erreur pour chaque point y On dispose alors de deux options La premi re option est de viser un compromis ou le seuil de tolerance est respect pour certaines valeurs de f souvent les plus faibles qui ont moins d erreur d arrondi accumul e mais pas les autres On trouve alors la valeur de la plus lev e possible qui permet d effectuer le test de convergence et on fixe h sur la base de ce f Par contre on doit accepter que les points pour t gt f sont affect s par davantage d erreur S ils repr sentent une minorit du temps de simulation cette option peut devenir acceptable 194 Appendice C Consid rations informatiques La seconde option quand le premier terme de l quation AppC 19 devient non n gligeable est de modifier l algorithme afin de diminuer le nombre d it rations Par exemple on peut alors remplacer la m thode Runge Kutta par une des nombreuses autres m thodes de solution d une quation diff rentielle On peut aussi utiliser une valeur non constante pour le pas temporel h afin de minimiser le nombre d it rations sans
358. rente les nouveaux phospholipides synth tis s par la cellule tant ins r s dans le feuillet interne et ensuite s lectivement chang s avec des mol cules du feuillet externe Lodish 2000 chap 11 Ensuite une membrane plasmique contient aussi des radeaux lipidiques lipid rafts qui composent jusqu au tiers de sa surface Ces radeaux sont des structures fluides mais plus compactes et ordonn es que le reste de la membrane riches en mol cules de cholest rol et dont la composition en phospholipides est diff rente Simons 2002 Dans un radeau lipidique les phospholipides des deux feuillets demeurent solidaires entre eux et se d placent comme un tout la fa on d un radeau qui flotterait sur le reste de la membrane d o leur nom 8 Chapitre 1 Guide du d butant La fluidit de la bicouche sugg re aussi une certaine mobilit Une membrane biologique r elle nous le verrons est toutefois rigidifi e par une structure cortex faite de prot ines et qu on appelle son cytosquelette La cellule maintient cette plus faible entropie de sa membrane au prix d une d pense d nergie Au chapitre 3 o nous introduirons notre mod le de recherche portant sur des cellules endommag es nous verrons que la d sorganisation et la fluidification de la membrane plasmique d un neurone par exemple a un noeud de Ranvier est au coeur des ph nom nes cl s que nous mod lisons Une membrane biologique contient des prot ines Une seconde
359. resque compl tement le temps exact o survient chaque impulsion L approche classique est de consid rer que c est le cas de tous les neurones une hypoth se qui a permis d obtenir de nombreux r sultats en th orie des r seaux neuronaux ce qui montre sa relativement bonne validit Dans la perspective de l encodage fr quentiel les cons quences les plus f cheuses des modifications introduites par la zone endommag e d un axone seraient les impulsions suppl mentaires Notons que les neurones qui utilisent exclusivement l encodage fr quentiel peuvent tre consid r es comme inefficaces ils gaspillent une partie importante de l information que peut potentiellement contenir un train d impulsion Par contre cette perte n est pas sans un avantage en ignorant toutes les informations autres que le nombre d impulsions ces neurones ignorent aussi l effet de la variabilit des neurones 1 D 2 L encodage temporel Malgr l importance indubitable de l encodage fr quentiel plusieurs exp riences montrent que des neurones interpr tent aussi certaines des informations ignor es par l approche de l encodage fr quentiel Stein 2005 Butts 2007 En outre les neurones peuvent d tecter avec une r solution de l ordre du milliseconde des v nements comme la synchronisation de potentiels d action arrivant de deux neurones pr synaptiques le d lai qui s pare le d but du stimulus de l mission du premier potentiel d action ou l intervalle en
360. rge leaking through Nav channels flows to neighboring nodes making it harder to reach threshold in the damaged node Propagation window affected oppositely by stimulation jitter and weak dynamic noise So far we used deterministic periodic stimulation We will now investigate two stochastic effects likely to appear in vivo jitter in the stimulation timing e g due to variability in AP generation upstream of the system s first node and noise in the transmembrane currents e g caused by stochastic behavior of the voltage gated channels The procedures used to simulate jitter and noise are 40 local internodal conductance x gt 30 LS 4 mV D 500 ms stim Z 0 2 E 204 ___ 150 a 0 imis nn 125 10 normal x value a 80 100 50 stim frequency Hz Fig 5 Local increase of internodal conductance reduces infidelity The LS 4 mV curve from Fig 4ais called normal here other curves use the same parameters except respectively 0 24 0 375 and 0 45 mS cm for the 3 new curves is used instead of between nodes 5 6 and 6 7 remains at 0 3 mS cm for all other internodes See also Fig S6 Chapitre 4 Article de recherche a 4 effect of jitter fg 30 LS 4mV v 500 ms stim 4 Sn Seer q 0 2 ms 20 no jitter SR Pz s 1 ms stdev N RS PA a e 2 ms stdev 2 5 10 3 ms stdev Ko a 9 e 4 ms stdev a 0 e 5 ms stdev b 40 2 30 L
361. rging Eqs 10 12 13 into an advection diffusion equation calls for the use of a semi implicit method Crank Nicolson The advection term could be coded using an upwind downwind scheme or perhaps a Fiadeiro Veronis interpolation More biophysically focused improvements are also possible instead of having constant or stepwize values ay and a could be time dependent and modeled using the Hodgkin Huxley model VI SUMMARY We have shown how biophysically relevant quantitative information can be obtained with two simple undergraduate level numerical simulations These simulations help students at getting a correct picture about APs three MCs having been disproved by theoretical arguments In one of the subcases namely the absence of contribution of Na VGCs to the recovery phase of the AP A2 the simulations were the only way to disprove the Mcs Both numerical projects were also designed to allow students to explore the effect of parameters APPENDIX Fig 3 shows target values and time constants to be used in Eq 9 To compute these two figures it s simpler to rewrite Eq 9 in the form Ox a 1 x Bx x m h n dt where an ogra NT Bn 4exp 452 a 0 07 exp 2 L 0 01V 55 Qn Texp 55 0 1V 17 1 Trexp 3 5 0 1V P 0 125exp 5 These functions are fits to experimental data found in Hodgkin amp Huxley 1952 ACKNOWLEDGMENTS The author wishes to thank I L Heureux and A
362. ri t s lectrog nes de la pompe causent un effet sur la cin tique de cette derni re en effet la charge q 4 qui traverse la membrane chaque cycle doit pour ce faire franchir une barri re nerg tique q V qui s ajoute la barri re d nergie libre due la baisse d entropie Si cette barri re q V cro t le cycle de la figure 1 C1 2 vu comme un tout est d favoris ralentit et peut m me s inverser On s attend donc ce que le courant net donc les deux composantes du courant pr sentes dans l quation 1 B2 8 d pendent de V On mesure d ailleurs qu une tension V 200 mV inverse le courant le pompage Une description d taill e de la cin tique de la pompe doit donc tenir compte de V Nous verrons toutefois que cet effet est n glig dans notre mod le La pompe est une machine stochastique Deux ph nom nes peuvent conduire des fluctuations des courants de Na et de K dans le temps malgr des conditions identiques La premi re correspond aux erreurs de s lectivit des sites de liaison que nous venons de d crire Une autre source de fluctuations d coule du fait que chaque tape de transition illustr e la figure 1 C1 2 peut aussi se produire en sens inverse bien qu avec une probabilit plus faible En fait dans des conditions non physiologiques o les gradients de concentration sont tous invers s la pompe peut effectuer le cycle complet l envers synth tisant de l ATP gr ce au passage de
363. rmation du seau gigohm d un patch clamp ce qui n est pas sans cons quence pour la validit des mesures Milton 1990 voir aussi Boucher 2011 section 3 7 Comme nous le verrons au bloc 3 A 3 c est cette m thode qui a t utilis e dans Wang 2009 pour produire 114 Chapitre 3 Membranes endommag es questions de recherche et construction du mod le volontairement des cloques et valuer leur effet sur la cin tique des canaux Na qui y sont localis s 3 A 2 Cloques neurotraumatismes et douleurs neuropathiques des ph nom nes reli s Bien que la membrane d un axone soit expos e au milieu extracellulaire aux noeuds de Ranvier il ne s y forme jamais de cloques dans des conditions normales Toutefois en cas de traumatisme cr nien des ondes de tension et de cisaillement parcourent les membranes cellulaires alors que les tissus se frottent les uns sur les autres Crippen 2012 En p riph rie de la zone d impact ces contraintes m caniques ne sectionnent pas les axones mais peuvent n anmoins avoir caus des dommages l chelle mol culaire Vik 2006 L quivalent peut se produire partout en cas de traumatisme l ger Alors tout ce qui repose sur des interactions mol culaires faibles est risque notamment l association des sous unit s d une prot ine l association entre la membrane et le cortex d actine spectrine etc L apparition de cloques est donc attendue Une confirmation directe que des cloques peuvent tre ca
364. rme F x a x y x a x lt x a x 770 quation AppA 1 Ses solutions y x ont alors la propri t remarquable d tre superposables si y x et y x sont toutes deux solutions de l quation AppA 1 alors k y x k y x est aussi une solution Cette propri t permet de fractionner des probl mes imposants en probl mes plus petits Par exemple une technique standard consiste d abord trouver une solution g n rale l quation AppA 1 quand F x 0 ensuite rechercher une solution particuli re qui tient compte de F x puis a additionner les deux Une autre propri t des quations diff rentielles lin aires est qu une petite perturbation par exemple a l une des fonction a x la fonction F x ou encore a la valeur initiale de y a pour effet de produire un petit changement dans la solution y x Toute quation qui n a pas la forme de l quation AppA 1 est dite non lin aire Ces quations sont souvent impossibles a solutionner analytiquement et leur solution est difficile obtenir quand elle peut l tre Leur comportement est cependant plus riche Nous avons d j dit au chapitre 1 qu une membrane non excitable a un potentiel de membrane V t d crit par une quation lin aire alors qu une membrane excitable a un comportement non lin aire C est un bel exemple de la richesse des quations non lin aires En outre une petite perturbation de V produit une r ponse proportionn e dans le cas d une mem
365. rni res se comparent plut t aux potentiels gradu s alors que le potentiel d action serait plut t une vague r g n ratrice Ainsi on s attend pouvoir d crire les potentiels d action et les potentiels gradu s gr ce des solutions progressives d une quation d onde ou d une quation diff rentielle apparent e On s attend aussi ce que l quation en question soit non lin aire bien qu elle puisse pr senter une limite lin aire qui corresponde au cas des potentiels gradu s Nous reviendrons ces aspects math matiques dans la sous section 1 B3 L appendice A pr sente quelques outils math matiques de base de la dynamique non lin aire 1 B1 2 R actions du potentiel de membrane une perturbation 29 1 B1 3 La membrane un condensateur charg Qu une cellule soit excitable ou non nous avons tabli qu on mesure une diff rence de potentiel entre les parois de sa membrane plasmique Or la diff rence de potentiel le champ lectrique et une s paration de charge sont trois concepts indissociables en lectrostatique En effet une s paration de charge produit un champ lectrique auquel est associ e la diff rence de potentiel dont le module du champ est le gradient Puisqu une diff rence de potentiel est mesur e aux bornes de la membrane il doit donc exister un champ lectrique dans la membrane et une charge nette accumul e localement de part et d autre de la membrane Le champ lectrique dans la membrane es
366. roite de la figure illustre deux graphiques celui du haut correspond aux enregistrements respectifs des trois voltm tres quand le stimulus cause un potentiel gradu celui du bas correspond aux m mes enregistrements lors d une seconde exp rience o le stimulus serait plus important suffisamment pour causer un potentiel d action Sur chacun de ces trois graphiques nous avons superpos les trois enregistrements mais les avons distingu par une couleur et une largeur de trait diff rents Comme le montre la figure 1 B1 3 le potentiel gradu ne fait pas que s estomper avec le temps il s estompe aussi dans l espace on constate que l intensit de la perturbation est d autant plus faible que le potentiel de membrane est mesur loin du point d injection de la charge stimulus de m me on remarque que la largeur de cette perturbation augmente mesure que son amplitude est plus faible Ceci correspond ce qu on attendrait d une simple diffusion des charges inject es leur distribution le long de la longueur de l axone aurait alors la forme d une gaussienne dont la largeur cro trait avec le temps Nelson 2008 section 12 1 En revanche la propagation le long de l axone d un potentiel d action diff re de celle du potentiel gradu par une caract ristique essentielle il se propage le long de la membrane sans perdre de son intensit et sans alt rer sa forme ou sa dur e En somme il conserve la m me forme st r otyp e Ce m
367. rones Clairement elles sont donc apparues au cours de l volution bien avant que ce ne soit le cas des ph nom nes nerveux Pourquoi En l absence de pompes les gradients de concentration s estomperaient en bonne partie et la membrane des cellules s approcherait de l quilibre de Donnan Or comme nous l avons calcul dans la section 1 B toute cellule animale mourrait bien avant d atteindre cet quilibre puisque la concentration ionique interne totale serait bien plus lev e que la concentration ionique externe totale causant un d s quilibre de pression osmotique qui ferait clater toute cellule Il est donc fort probable que les pompes ont initialement t favoris es par l volution afin 1 C1 6 L volution et les r les biologiques de la pompe Na K 81 de r gler ce probleme de d s quilibre de pression Cela explique leur ubiquit dans les cellules animales Les cellules v g tales elles ont trouv une autre solution au d s quilibre de pression s entourer d une paroi cellulosique rigide Selon cette interpr tation le potentiel de repos que g n rent les pompes a donc la saveur d un accident il n est pas leur raison d tre Des r les multiples M me si la pompe Na K ne servait initialement qu ce seul r le l volution a graduellement fait merger des fonctions de plus en plus nombreuses qui d pendent des d s quilibres de concentrations que cette pompe produit Le fonctionnement de l influx nerveux
368. rons au bloc 3 A 3 La plupart de la litt rature r f re des mesures effectu es sur des neurones du syst me nerveux p riph rique de souris ou de rats On y mesure que les neurones endommag s physiquement ont une excitabilit plus lev e quand on les stimule Greer 2012 Kocsis 2000 Liu 2000c De plus quand on ne les stimule pas on observe fr quemment de l activit spontan e c est dire que le neurone met des potentiels d action A comme il le ferait en pr sence de stimuli bien qu aucun stimulus ne soit pr sent L activit spontan e provient en partie des soma des neurones situ s dans les ganglions spinaux mais est plus souvent ectopique c est dire qu elle d bute un endroit anormal Le foyer ectopique est typiquement la zone endommag e de l axone et les potentiels d action qui y prennent naissance s en loignent dans les deux sens le long de l axone De l activit ectopique a t observ e dans des axones ayant subi une compression chronique ayant t sectionn s ou ayant subi une ligature Kajander 1992 Sheen 1993 Tal 1999 Liu 2000a b Han 2000 B Liu 2002 Amir 2002 Ma 2007 Greer 2012 Dans une partie de ces cas l activit ectopique prend la forme de 1 2 3 rafales bursts p riodiques de potentiels d action entrecoup es par des pisodes Figure 3 A 4 A L activit ectopique d un neurone endom o le potentiel de membrane d crit des mag peut tre tonique trace 3 ou prendre la form
369. rsque le milieu lectriquement neutre est atteint Le th or me de Gauss permet de comprendre l origine de ce r sultat Notons que cette l g re extension du champ lectrique hors de la membrane lui permet d attirer ou de repousser les ions qui se trouvent dans la fine couche charg e Comme nous le verrons la sous section 1 B3 les ordres de grandeur que nous venons d tablir sont important pour comprendre le fonctionnement d un potentiel d action En particulier un tr s petit transfert de charge modifie de fa on significative le potentiel de membrane sans modifier perceptiblement la concentration totale des ions de part et d autre de la membrane 1 B2 Potentiel de repos dans les cellules non excitables La sous section 1 B1 nous a permis d aborder l existence du potentiel de membrane dans toutes les cellules de distinguer la fa on dont il r agit aux stimulus dans les cellules non excitables et dans les cellules excitables puis de l interpr ter en terme de champ et de charges lectriques Maintenant que nous avons pr sent ces ph nom nes de base nous d butons notre tude des m canismes physiques qui les expliquent Dans cette seconde sous section nous nous int resserons particuli rement aux courants ioniques qui traversent la membrane sous l effet combin de la diff rence de potentiel V et du gradient de concentration Nous nous concentrerons d abord sur une unique esp ce 11 En effet nous verrons plus loin que les
370. rticulier est utilis par exemple des bandes lumineuses parall les d une certaine largeur ou d une certaine orientation leur activit d croit quand 92 Chapitre 1 Guide du d butant la largeur ou l orientation du stimulus visuel change Dayan 2001 chap 1 Dans de telles exp riences on value typiquement un faux de d charge moyen r en comptant le nombre total d impulsions et en divisant par la dur e de l exposition au stimulus typiquement de l ordre de 100 500 ms Il va de soi que le stimulus doit demeurer constant pour toute cette p riode Malgr tout on observe que chaque neurone pr sente une variabilit sa r ponse un m me stimulus n est pas la m me chaque fois On r p te donc l exp rience un grand nombre de fois et on consid re la moyenne des r sultats Quand le stimulus varie en fonction du temps le taux de d charge des neurones stimul s varie aussi en fonction du temps Par cons quent utiliser le taux de d charge moyen n est pas pertinent et on utilise plut t un taux de d charge d pendant du temps r t Il existe plusieurs fa ons de mesurer ce taux la plus simple tant de s parer la dur e de l exp rience en intervalles de temps At puis de diviser dans chaque intervalle le nombre d impulsions par At Dayan 2001 chap 1 Les r sultats de ces exp riences sugg rent que les neurones encodent la majorit de l information dans un encodage fr quentiel et ignorent compl tement ou p
371. s ce qui n cessite d interpr ter ces modifications la lumi re de diff rents sch mes d encodage Nous allons donc aborder bri vement les principaux sch mes en question Il faut aussi souligner que la question de l importance relative des diff rents sch mes est toujours un sujet de rude controverse en neuroscience 1 D 1 L encodage fr quentiel L exp rience montre que les fibres musculaires se contractent d autant plus fortement que le neurone moteur qui les stimule transmet un grand nombre de potentiels d action par unit de temps De fa on similaire on sait depuis longtemps Adrian 1926 que la majorit des syst mes sensitifs ont une fr quence de d charge d autant plus lev e que le stimulus per u est intense la relation exacte tant non lin aire Dans les deux cas les cellules postsynaptiques ne sont pas sensibles aux temps exacts auxquels surviennent les potentiels d action mais seulement au nombre total re u pendant la dur e de l exp rience Des r sultats similaires sont aussi obtenus pour des interneurones qui font partie du cortex cervical dans le cortex auditif certains neurones mettent des potentiels d action une fr quence qui est maximale quand on utilise un stimulus auditif qui contient un ton pur d une certaine hauteur leur activit d croit quand la hauteur du son change De m me certains neurones du cortex visuel r pondent en d chargeant une fr quence maximale quand un stimulus visuel pa
372. s cutifs Nous avons test pour un intervalle de fr quences l effet d un intervalle de valeurs AV im sur un noeud de Ranvier isol Cela nous a permis de produire un diagramme de phase similaire celui obtenu par Feingold 1988 dans le cas d oscillateurs de Van der Pol et dont la phase 1 1 sera explicit e la figure 4 1A au prochain chapitre La notation 1 1 signifie ici qu un potentiel d action est d charg pour un stimulus appliqu le diagramme complet pr senterait une suite de Farey compl te dont les phases les plus apparentes seraient dans l ordre 0 1 galit avec 1 1 suivie de 1 2 suivie de 1 3 et 2 3 suivies des autres phases de d nominateurs croissants voir l appendice A De toutes ces phases celle qui nous int resse physiologiquement est videmment 1 1 car elle correspond une r ponse au stimulus qui est fid le La valeur AV im 25 mV qui a ce comportement jusqu au moins 97 5 Hz a t s lectionn e Cette derni re fr quence devient donc la fr quence maximale de stimulation du mod le Pour s assurer que la m thode de stimulation est valide il faut aussi s assurer qu en reliant le noeud de Ranvier 1 ses voisins gr ce une conductance x les potentiels d action qu il d charge sont tous transmis du d but la fin du reste de l axone Pour un stimulus d amplitude AV 25 mV nous avons donc compar le nombre de potentiels d action d charg s par le noeud 1 avec le nombre de pote
373. s un peu comme nous l avons fait aux quations 1 A 2 1 A 4 chaque taux de transition est proportionnel la proportion des pompes dans l tat de d part de m me qu la concentration de la mol cule li e au cours de la transition s il y a lieu ATP ADP groupement phosphate ion transport Ensuite L uger tablit que ces taux de transition sont reli s entre eux puisque le processus est cyclique et que certaines tapes peuvent tre consid r es comme l quilibre Enfin il pr sente des mesures permettant d valuer les constantes de proportionnalit constantes cin tiques de chaque transition Rappelons aussi que nous avons tabli plus haut que les transitions qui ont pour effet de d placer de la charge perpendiculairement la membrane ont un taux qui doit d pendre du potentiel de membrane V Une telle approche d taill e n est pas viable dans une perspective de simulation num rique comme celle de nos travaux de recherche si on suppose qu on int gre num riquement les quations pendant 10 pas temporels il ne faut pas que chacune de ces it rations n cessite d valuer toutes ces transitions Clairement nous devons identifier les tapes les plus d terminantes pour simplifier le mod le cin tique de la pompe Heureusement une observation cl nous permettra de faire cela au chapitre 3 les mesures de constantes cin tiques pr sent es par Lauger lui font conclure qu en pr sence de conditions normales c es
374. s Kager 2000 Boucher 2012 et Yu 2012 notamment Ces choix permettent de reproduire avec un accord qualitatif raisonnable des r sultats exp rimentaux voir notamment Skou 1974 figure 1 Nakao 1989 figures 8 et 11 Il reste donc fixer J qui repr sente la densit de pompes dans la membrane mod lis e Dans Yu 2012 ce param tre a aussi t vu comme un facteur pouvant tre ajust la baisse pour tenter d illustrer les effets d un manque d ATP Ce dernier choix nous semble cependant peu judicieux si l ATP manque les concentrations ioniques ne dominent plus la cin tique des pompes La ger 1991 et l quation 3 B 1 perd beaucoup de sa validit Dans notre mod le le param tre J sera donc constant nous reviendrons sur sa valeur dans le bloc suivant 3 B 5 Les fuites et les fuites sp cifiques En ajoutant le courant de pompes l quation du mod le HH pour V voir figure 1 B3 10 devient d 1 2 SV 4l Jna F Jk J de nies TETN quation 3 B 2 fuites 3 B 5 Les fuites et les fuites sp cifiques 133 alors que les variations des concentrations sont d termin es par J tJ J d nt X pmp X fuites surf 7 a Xi F EE X Na K quation 3 B 3 aX ext ou nous supposons par simplicit que les volumes interne et externe sont gaux ce qui signifie que X IX constante Dans l quation 3 B 2 les trois premiers termes du membre de droite sont les termes habituels du mo
375. s Runge Kutta Mode cellule attach e Mode cellule enti re Mode cellule perfor e Mode int rieur expos Mode ext rieur expos Mod le coupl Mod le de FitzHugh Nagumo Mod le Michaelis Menten Mod les du bord d attaque My line NaN not a number Neurone Neurone sensitif Neurone moteur Neurotransmetteur 22 167 Nocicepteur Noeud de Ranvier Non lin aire adj Non stationnaire adj Noyau cellulaire Nullcline Oscillations inf rieures au seuil STOs Ouabaine Patch clamp Pas adaptatif Perm abilit s lective Phase aigtie Phase r fractaire Phospholipide Phosphoryl adj Point fixe Point selle Polym re Polypeptide Pompe ionique Pompe Na K Pont disulfure Pont hydrog ne Potentiel de membrane Potentiel d action Potentiel d inversion Potentiel de Goldman Hodgkin Katz Potentiel de Nernst Potentiel de repos Potentiel gradu Prot ine Prot ine de structure Prot ine de transport Pseudo t tram re Quasi ohmique adj Quasi stationnaire adj Radeau lipidique Rafale burst RasMol Ratio de couplage R actif mis en cage Rectification R cup ration de l inactivation Repr sentation en ruban Repr sentation en boules et b tons 166 Index Respiration cellulaire Ribosome Sch me d encodage Sch me de Post Albers Sensibilisation centrale Sensibilisation p riph rique Seuil d excitation Shaker Site actif Sous unit prot ique Space clamp Spectrine Stabilit
376. s affinit s pour l ATP ou pour les ions transport s La figure 1 C1 1 illustre de trois fagons la structure des deux sous unit s principales ADP Pi Figure 1 C1 1 A structure primaire des sous unit s a et B respectivement gauche et droite la premi re surtout situ e dans le cytosol a 8 portions transmembranaires alors que la seconde surtout situ e hors de la cellule en a une seule Le cercle rouge identifie le site de phosphorylation alors que les deux rectangles gris a sa droite identifient une partie des segments qui forment le site de liaison de l ATP B structure tertiaire des deux m mes sous unit s obtenues en faisant cristalliser les prot ines fig es dans leur conformation E par la liaison d un inhibiteur la ouabaine identifi e OBN sur la figure les ions K li s sont identifi s et II sur la figure et leur liaison est attribu e a un l ger coude dans les h lices a lequel expose des groupements polaires du squelette polypeptidique C sch ma montrant l assemblage des sous unit s Notez que les c t s interne et externe sont invers s sur le panneau B par rapport aux deux autres Figures adapt es respectivement de L uger 1991 Toyoshima 2011 et Rigoard 2009 Caract ristiques structurales Comme nous l avons aussi voqu dans la section 1 A la pompe Na K poss de plusieurs sites actifs e Site de liaison de l ATP on trouve du c t cytosolique de la pompe une poche hydrophobe qui lu
377. s amphipathiques dans de l eau pure elles y sont solubles en raison de leur partie polaire Cependant si elles ont acc s une interface entre l eau et un autre milieu on les retrouvera majoritairement cette interface leur partie polaire en contact avec l eau et leur partie non polaire hors de l eau Une telle interface se produit dans tout m lange h t rog ne par exemple un m lange d eau et de fine gouttelettes d huile mais aussi dans l eau pure par exemple si on retrouve une surface libre interface eau air Puisqu il est plus probable de trouver hors de l eau la partie non polaire d une mol cule amphipathique on la dit souvent hydrophobe Pour des raisons analogues la partie polaire est dite hydrophile 1 Rappelons que le pont hydrog ne est un type de liaison reliant un atome d hydrog ne et un atome assez lectron gatif comme l oxyg ne ou l azote C est une liaison 20 fois plus faible qu un lien covalent mais 10 fois plus forte que les liaisons de Van der Walls 1 A 3 La membrane plasmique est surtout une bicouche 5 Interaction hydrophobe Contrairement a la partie hydrophile d une mol cule amphipathique qui est effectivement attir e par les mol cules d eau en raison des ponts hydrog ne la partie hydrophobe n est pas attir e par l huile ou par l air bien que c est souvent ce que laissent entendre les manuels d introduction N anmoins les entit s non polaires hydrophobes plac es en milieu aqueux se regroupe
378. s autres cellules Prolongements d un neurone Contrairement aux autres cellules qui demeurent localis es les neurones comportent de longs prolongements filamenteux qui leur permettent de jouer leur r le de transmission Il y a deux types de prolongements ceux qui font entrer l information un neurone peut en compter des milliers formant une arborescence complexe et celui qui constitue la sortie chaque neurone en compte un et un seul La figure 1 A 2 illustre les se Noeud de parties d un neurone Les nombreux prolongements d entr es sont appel s dendrites et permettent au neurone de percevoir des stimuli Le neurone dont PT Se er Couches de my line y Axone des dendrites sont gt stimul s peut avoir deux I Noeuds de Ranvi x i Gaines de my line r actions possibles selon Figure 1 A 2 Anatomie d un neurone Celui illustr est un neurone moteur le nombre de stimuli leur Figure adapt e de Campbell 2007 synchronisation et la forme du neurone stimul ce dernier peut produire ou non un influx nerveux Quand c est le cas ce dernier chemine par le prolongement de sortie qui s appelle l axone et qui peut mesurer jusqu plus d un m tre de long l extr mit finale de l axone se trouvent un ou plusieurs boutons terminaux dont chacun stimule une autre cellule quand il re oit un influx nerveux Le lieu de l interaction avec la cellule stimul e et qui peut tre un autr
379. s cha nes lat rales non polaires situ es proximit l une de l autre peuvent interagir gr ce aux forces de Van der Walls Il importe de rappeler que la plupart des polypeptides adoptent leurs conformations secondaire et tertiaire de fa on spontan e Comme nous l avons d j soulign si on d nature la configuration d une prot ine en l exposant une temp rature lev ou un pH qui modifie les charges port es par ses cha ne lat rales on peut ensuite inverser le processus en restituant les caract ristiques du milieu original dans la mesure o le polypeptide d natur n a pas pr cipit ou ne s est pas scind En milieu cellulaire toutefois plusieurs polypeptides doivent interagir avec d autres prot ines pour adopter correctement leur conformation tridimensionnelle 1 A 5 Structure et fonction des prot ines 15 Structure quaternaire des prot ines Bien que ce ne primare soit pas toujours le cas certains polypeptides ayant 3 G acquis leur structure tertiaire doivent s assembler entre bec eux pour constituer une prot ine On dit qu une telle prot ine est constitu e de l assemblage de quelques 1 sous unit s prot iques Ces derni res peuvent tre FRR identiques par exemple l h moglobine est une lt prot ine form e de quatre sous unit s identiques ou diff rentes par exemple l insuline est form e de deux sous unit s diff rentes La figure 1 A 9 montre cette Structure Structure seco
380. s d action de m me que la douleur neuropathique Bae 2011 a conclut qu une neuropathie li e au diab te est due l isch mie qui peut d t riorer les membranes et causer un CLS et non a une hyperglyc mie etc ll importe de souligner que nous postulons que les canaux K eux ne sont pas affect s En effet ils sont situ s en p riph rie des noeuds de Ranvier la ou la membrane peut difficilement former une cloque en raison de la pr sence de my line Soulignons aussi que la cloque ne recouvrant que rarement l enti ret de la surface d un noeud de Ranvier il faut s attendre a trouver un m me noeud de Ranvier a la fois des canaux Na au comportement normal et des canaux Na ayant subi des CLS dont l amplitude pr sente une distribution continue Effets attendus Le CLS ayant pour effet de d caler l enti ret du courant de fen tre des canaux Nay on peut s attendre une vari t d effets Le premier d entre eux est l afflux interne de sodium dans les cellules au repos ce qui a d j t d montr par les tudes exp rimentales de Wang 2009 Mais on s attend aussi des changements d excitabilit puisque toute la cin tique des canaux Na subie un CES le seuil d excitabilit de la membrane cloque subi lui aussi un d calage vers la gauche En somme la diff rence entre le potentiel de repos et le seuil d excitabilit tant amoindrie un stimulus plus faible devrait tre requis pour exciter la cellule voire une ab
381. s d int gration h qui minimise l erreur totale accumul e Il faut donc valuer E amp Ce que nous ferons en commen ant par amp Si chaque arrondissement cause une erreur d arrondi relative amp on pourrait penser que N arrondissements causent une erreur relative d arrondi s N lt Ce n est toutefois pas le cas sauf si on a la certitude que tous les arrondissements se font dans le m me sens En g n ral on obtient un m lange al atoire d arrondissements vers le haut et d arrondissements vers le bas Apr s N arrondissements l erreur d arrondis accumul e est donc dans l intervalle Ne NEn avec une esp rance nulle Si on r p te cette op ration un grand nombre de fois chaque fois avec N op rations arithm tiques diff rentes la moyenne quadratique de l erreur accumul e apr s N op rations est Ne quation AppC 16 Nous prendrons donc ce dernier r sultat comme une estimation de l erreur d arrondi accumul e Notons que cela n est pas sans rappeler une marche al atoire une dimension o un marcheur quitterait l origine et apr s N pas de longueur b se situerait forc ment entre Nb et Nb mais o la distance moyenne parcourue apr s un grand nombre d essais de N pas serait VND D une fa on similaire les erreurs de troncature s accumulent d une it ration l autre voir figure AppC 1 Apr s N it rations d une m thode comme RK4 l erreur accumul e suit souvent la r gle suivante
382. s fond s sur la m me hypoth se trois articles ont repr sent un dommage axonal par un d calage cin tique des canaux Na soit Boucher 2012 Yu 2012 et Volman 2013 La majorit de ces travaux portent sur un noeud de Ranvier isol mais les auteurs de Boucher et al obtiennent un r sultat qui nous inspire savoir que des noeuds de Ranvier coupl s entre eux peuvent pr senter un verrouillage de phase Deux questions de recherche seront abondamment d crites au chapitre 3 mais peuvent tre synth tis es comme suit e Les axones trop faiblement endommag s pour adopter d embl e un comportement ectopique sont ils parfaitement fonctionnels Sinon comment r agissent ils un stimulus prolong e La propagation d un train de potentiel d action complexe non p riodique le long d un axone endommag n a jamais t tudi e Comment l ectopicit affecte t elle la sortie de l axone Comment la fr quence de stimulation et sa variabilit influencent elle l infid lit de cette sortie quand on la compare un neurone intact subissant le m me stimulus Le chapitre 3 se terminera en pr sentant avec plus de d tails que dans l article la fa on dont nous avons con u un mod le num rique permettant de r pondre ces questions Nous y verrons notamment que l axone y est repr sent par des compartiments coupl s chaque compartiment correspondant un noeud de Ranvier et tant d crit par le mod le HH Nous verr
383. s ioniques Enfin nous consid rerons un mod le d une membrane plasmique de cellule non excitable r elle Le cas des cellules excitables le plus complexe sera tudi la sous section suivante 1 B2 1 L quilibre de Nernst Dans un premier temps consid rons une situation simple o une membrane artificielle peut tre consid r e comme 50 mM perm able aux ions Na et imperm able toutes les autres Feel esp ces ioniques Une telle membrane simple peut tre obtenue artificiellement en laboratoire en fabriquant une bicouche et en y ins rant des prot ines choisies L uger 1991 qui seraient dans ce cas ci des prot ines de transport formant des canaux de fuites et ne laissant traverser s lectivement que les ions Na ext gt Cr Na concentrations Dans la situation illustr e a la figure 1 B2 1 la membrane que nous venons de d crire est utilis e pour s parer deux Na r servoirs dans lesquels on a mis en solution du NaCl Ce jer dernier est cependant en concentration trois fois plus lev e gt dans le compartiment illustr droite Cette situation a un LM poston certain lien avec une cellule r elle puisque comme nous le verrons les ions Na et CI y ont des concentrations internes et externes diff rentes Aux fins de la visualisation du potentiel de membrane V Vm Vo nous avons arbitrairement identifi sur la figure le cot gauche comme ext rieur et le c t droit com
384. s neuropathiques En plus de ces travaux de recherche cette th se propose une imposante section p dagogique adress au physicien qui d bute en neurosciences Sommaire l Summary Injured neurons exhibit ectopic activity e they fire without being stimulated leading to neuropathic pain Experiments have linked this ectopic activity to a kinetic shift coupled left shift CLS of the voltage gated sodium channels Therefore we have designed a computational model axon where a damaged zone is affected by such a left shift Two important novel results were obtained 1 In an ectopic axon high frequency stimulation can force the ectopic zone to phase lock to the stimulation frequency Propagation is then almost normal 2 In a weakly damaged axon without initial ectopic activity a short stimulus can trigger a long lasting ectopic activity This amplifies the stimulus and can thus be linked to neuropathic pain like symptoms In addition to this research work this thesis encompasses a large educational section addressed to physicists just starting in neuroscience ii Summary D claration d originalit Les travaux pr sent s dans cette th se sont ma connaissance enti rement nouveaux et originaux En plus des deux chapitres et des trois appendices de mon cru ils comprennent un article vocation p dagogique et un article de recherche Contribution la r daction des articles J ai r dig seul l article p dagogique
385. s pr sent es dans une imposante monographie sur les pompes ioniques L uger 1991 et dans plusieurs revues plus r centes notamment Scheiner Bobis 2002 Rigoard 2009 et Toyoshima 2011 la seconde tant en fran ais Nous allons maintenant donner un aper u de ces travaux en esquissant la structure de la pompe Na K Nous poursuivrons ensuite en abordant son fonctionnement videmment notre intention n est pas d tre exhaustif l objectif est d introduire les aspects qui permet tront ensuite de mod liser l effet lectrique des pompes dans un neurone Sous unit s Comme nous l avons voqu dans la section 1 A la pompe Na K est une pro t ine ayant une structure quaternaire faite de deux sous unit s prot iques essentielles son fonctionnement a et B elle comporte dans certains tissus biologiques une troisi me sous unit non essentielle appel e prot ine FXYD jouant un r le de r gulation Les sites actifs de la pompe sont tous localis s sur la sous unit a mais la sous unit B est requise pour que la prot ine adopte correctement sa conformation et s ins re dans la membrane Chez l humain il existe quatre isoformes ie variantes g n tiques de la sous unit a trois de la sous unit B et sept de la prot ine FXYD de plus la sous unit B comporte de nombreux groupements glucidiques Ceci conduit a de nombreuses variantes de la pompe 74 Chapitre 1 Guide du d butant Na K qui diff rent notamment par leur
386. s proc derons plut t en conservant toujours les pompes et les concentrations d pendantes du temps mais en fixant le volume contenant les ions une valeur infinie rendant de ce fait les concentrations ioniques constantes En d autres termes au lieu de comparer les r sultats obtenus avec et sans pompes nous les comparerons avec une r serve finie ou infinie d ions Cette approche permettra d identifier les observations qui d coulent directement de la fluctuation des concentrations sans avoir comparer deux syst mes dont l excitabilit est diff rente 3 B 3 Les concentrations ioniques constantes ou non 131 Une approche de mod lisation que nous avons cart e aurait consist a tenir compte des concentrations d pendantes du temps seulement aux noeuds de Ranvier endommag s un choix qui aurait t peu judicieux implanter des concentrations non constantes n cessitant d implanter aussi des pompes qui ont un effet hyperpolarisant dont nous avons d j discut les noeuds de Ranvier sans pompes auraient donc eu une excitabilit diff rente des autres ce qui aurait pu conduire des artefacts 3 B 4 La mod lisation des pompes Calculer le nombre d ions par seconde chang s par la population de pompes Na K est un sujet complexe d une part les taux des liaisons et des lib rations d ions d pendent du potentiel de membrane puisque les ions doivent p n trer jusqu aux sites de liaison en suivant un parcours o le champ
387. se des activit s ectopiques des oscillations inf rieures au seuil des rafales bursts de potentiels d action des ph nom ne qui voquent la douleur neuropathique etc C est pour cette raison que le groupe de recherche auquel nous appartenons a entrepris des travaux de simulations num riques visant tudier le comportement obtenu en cas de CLS des canaux Nay Nous allons maintenant revoir ces travaux num riques ainsi que les suites qu ils ont eu dans d autres groupes de recherche 3 A 4 Hypoth se de travail tout dommage une cellule excitable quivaut un CLS 123 Principaux r sultats num riques noeuds de Ranvier uniques Dans un premier article portant sur des simulations num riques avec CLS des canaux Na Boucher 2012 les auteurs ont d abord modifi le mod le HH pour introduire le CLS et simul un unique noeud de Ranvier Les r sultats obtenus confirment qu un neurone endommag non stimul peut rester au repos ou s il est affect par un CLS d amplitude interm diaire devenir ectopique De plus le neurone stimul avec ou sans comportement ectopique peut tre hyperexcitable d charger une fr quence plus lev e qu un neurone intact en presence de l injection d un courant constant de biais utilis comme stimulus ou quand le CLS est trop important inexcitable Ces deux paires de comportements d finissent quatre tats possibles comme le montre le diagramme droite de la figure 3 A 10 De plus
388. se du m me rayon En apparence l influx nerveux semble donc bondir d un noeud de Ranvier au suivant Ce ph nom ne a cons quemment t baptis conduction saltatoire par saut Un autre avantage de la my line en plus de la vitesse de conduction et de l conomie d espace est qu elle emp che le courant transmembranaire de traverser l o elle est pr sente Cela signifie que les pompes Na K n ont besoin de retransporter les ions qu aux noeuds de Ranvier ce qui repr sente une conomie d nergie consid rable Le r le des 1 B3 5 Extension aux axones my linis s des vert br s 69 noeuds de Ranvier est donc d injecter de la nouvelle nergie pour remplacer celle disparue en pertes ohmiques entre deux noeuds de Ranvier dans la puissance dissip e par x afin de soutenir le potentiel d action Plus pr cis ment quand un noeud de Ranvier d clenche un potentiel d action le courant initi dans la zone my linis doit tre suffisant pour malgr les pertes ohmiques charger la capacit de cette derni re charger la capacit du noeud suivant et faire atteindre ce dernier la tension qui correspond au seuil d excitation Des noeuds de Ranvier trop distants rendraient cela impossible ce qui produirait un chec de propagation En somme la conduction saltatoire ressemble qualitativement la chute d une file de dominos la chute de chaque domino convertit une quantit finie de l nergie potentielle en nergie cin tiqu
389. secondaire et l activit ectopique Le chapitre 4 a permis l obtention grace a notre mod le num rique d axone de deux pr dictions cl de ph nom nes se produisant dans des axones tr s faiblement endommag s la propagation de quelques potentiels d action peut rendre le comportement du syst me ectopique un peu comme le ferait une augmentation du niveau de dommage quand l axone comporte une portion au comportement ectopique toute incidence de potentiels d action une fr quence plus lev e que la fr quence d mission des influx ectopiques permet de dompter le noeud de Ranvier endommager et de propager le train d impulsions avec une alt ration minimale Des modifications pourraient tre apport es au mod le dans d ventuelles travaux suppl mentaires sur l effet du CLS afin d am liorer sa capacit pr dictive En particulier le compl ter afin qu il repr sente deux neurones complets et non un seul segment d axone serait une avenue prometteuse Ainsi le mod le inclurait au moins une synpase et on pourrait notamment tudier les effets court terme que produisent les trains d impulsions alt r s sur la stimulation du neurone postsynaptique surtout en tenant compte des effets de persistance et d accommodation ou encore les effets de plasticit synaptique qu ils produisent plus long terme L objectif ultime de travaux de recherche comme les n tres est de contribuer guider la recherche th rapeutique afin qu elle
390. sed To select an appropriate value for x we fed periodic stimulation AV aim 25 mV of various fim using r 0 to axons having a range stim tim Chapitre 4 Supporting information fc 42 He ectopic frequency 71 45 fa gt 48 Hz Ex mV depletion of Na gradients depletion of K gradients 75 85 46 55 51 65 normal E Ex mV Fig S2 Ectopic frequency as a function of Ey and E drawn for LS 3 mV r 0 ts 4 0and no stimulation White zone not ectopic Note that diminishing E brings the system into ectopicity while diminishing Ey does the opposite of values and kept track of the ratio f f of the firing frequencies of node N and node 1 Fig Slc shows in green the range where this ratio is 1 1 and the value selected 0 3 mS cm We separately tested that was still low enough to prevent subthreshold oscillations to be propagated For short axons the limit of the green zone on Fig Slc was found to be N dependent but not above N 10 the value we have thus chosen At the right of the stim failure line f lt fin zone of stim failure while at its left despite the fact that f fs there is a zone where f f green zone and another where fio lt fi zone of propagation failure Therefore at 0 3 mS cm propagation failure can be distinguished from stimulation failure As for stim failure propagation failure involves a Farey seque
391. sence de stimulus tout court C est pourquoi il est raisonnable de s attendre ce que le CLS cause des comportements ectopiques Un autre effet attendu concerne la dur e de la phase r fractaire dans un axone sain imm diatement apr s la phase d croissante d un potentiel d action quelque 90 des canaux Na sont inactiv s Si la courbe d inactivation est d cal e vers la gauche alors moins de canaux Na seront inactiv s l instant ou d bute la phase de r cup ration du potentiel d action De m me dans un neurone sain le courant Jya est pratiquement nul pendant cette derni re phase voir la figure 1 B3 15 au chapitre 1 alors que dans un neurone endommag il devient d autant plus grand que le CLS est important En plus d une faible inactivation ce courant entrant plus important favorise un retour plus rapide de Va V Pour ces deux raisons on s attend une phase r fractaire d autant plus courte que le CLS est important En particulier dans le cas d un neurone ayant subi un CLS suffisamment grand pour d charger de fa on ectopique la fr quence de r sonance fr quence d mission des potentiels d action devrait tre d autant plus importante que le CLS est important En fait si le CLS des canaux Na est r ellement l explication fondamentale du compo rtement anormal des neurones malades nous devrions tre en mesure de pr dire toutes les cat gories d observations d coulant de dommages comme une l sion axonale diffu
392. simultan des h lices a qui le compose Quand il est ouvert les ions s coulent en suivant leur gradient lectrochimique Notez que les segments terminaux chaque extr mit ont t raccourcis pour ne pas surcharger la figure Figure d apr s Long 2005 voir aussi Hille 2001 chap 3 1 C2 1 La structure des canaux tensiod pendants 83 Les canaux Na eux sont form s chacun d une seule sous unit a qui contient encore une fois toute la fonctionnalit et de deux sous unit s suppl mentaires B et f Contrairement aux canaux K la vari t des canaux Na est nettement moins manifeste la sous unit a pr sente seulement une douzaine d isoformes num rot s de Nay1 1 Na 3 1 Ranjan 2013 De plus les variations cin tiques entre ces isoformes sont nettement moins importantes alors que la constante de temps de l activation d un canal Ky peut varier d un facteur 1000 selon l isoforme elle ne varie que d un facteur 2 pour les Na Hille 2001 chap 3 Dans les noeuds de Ranvier des mammif res on trouve exclusivement l isoforme Na 1 6 Puisqu ils ne sont pas des t tram res on pourrait s attendre ce que la structure tridimensionnelle des canaux Nay diff re fortement de celles des canaux K mais il n en est rien En effet comme le montre la figure 1 C2 2 l unique sous unit a des canaux Na comporte quatre r p titions internes dont chacune est fortement homologue la sous unit a d un canal K Le canal comport
393. siol 84 1 205 215 11 Chul Han H Hyun Lee D Mo Chung J 2000 Characteristics of ectopic discharges in a rat neuropathic pain model Pain 84 2 253 261 12 Liu CN Devor M Waxman SG Kocsis JD 2002 Subthreshold oscillations induced by spinal nerve injury in dissociated muscle and cutaneous afferents of mouse DRG J Neurophysiol 87 4 2009 2017 13 Amir R Michaelis M Devor M 2002 Burst discharge in primary sensory neurons triggered by subthreshold oscillations maintained by depolarizing afterpotentials J Neurosci 22 3 1187 1198 14 Ma C LaMotte RH 2007 Multiple sites for generation of ectopic spontaneous activity in neurons of the chronically compressed dorsal root ganglion J Neurosci 27 51 14059 14068 15 Coutaux A Adam F Willer JC Le Bars D 2005 Hyperalgesia and allodynia peripheral mechanisms Joint Bone Spine 72 5 359 371 16 Truini A Cruccu G 2006 Pathophysiological mechanisms of neuropathic pain Neurol Sci 27 2 s179 s182 17 Fazen LE Ringkamp M 2007 The pathophysiology of neuropathic pain a review of current research and hypotheses Neurosurgery Quarterly 17 4 245 262 18 Costigan M Scholz J Woolf CJ 2009 Neuropathic pain a maladaptive response of the nervous system to damage Annu Rev Neurosci 32 1 19 Nickel FT Seifert F Lanz S Maih fner C 2012 Mechanisms of neuropathic pain Eur Neuropsychopharmacol 22 2 81 91 20 Morris CE Boucher PA Jods B 2012 Left shifted Nav channels in injur
394. sir le potentiel de repos souhait dans un mod le num rique Courant de fen tre L quation 1 B3 13 montre indirectement qu V V le courant de potassium et le courant de sodium sont tous deux non nuls Cela d coule simplement du fait que m h V et n V ont une valeur cible non nulle voir la figure 1 B3 10C Dans le cas du potassium la courbe n V est strictement croissante En cons quence tout ph nom ne qui aurait pour effet d augmenter V ferait cro tre le courant de potassium qui circule quand le neurone est au repos et vice versa Dans le cas du sodium la situation est plus valeur cible de mh subtile niles valeurs tr s lev es ni les valeurs tr s faibles de V ne permettent ce courant de s couler significativement en raison de la combinaison de la d sactivation et de l inacti vation Comme l illustre la figure 1 B3 11 il existe toutefois un intervalle de valeurs de Vo la valeur cible de m h poss de un maximum aoe re oe a Se relatif Cet intervalle de valeurs de V est une V mv fen tre qui permet au courant de sodium de s couler m me quand le neurone est au repos Figure 1 B3 11 Le sodium peut s couler m me Un tel courant est dit courant de fen tre au repos gr ce un courant de fen tre window current 0 01 0 008 0 006 0 004 valeur cible Heureusement dans un neurone normal V est en p riph rie de la fen tre comme l indique le point rouge sur
395. st cependant pas pertinent pour nos travaux Chaos Si le syst me dynamique comporte au moins trois dimensions un autre comportement devient disponible celui du chaos On appelle ainsi tout comportement ap riodique dont l volution est tr s sensible aux conditions initiales Quand on applique une membrane d crite par le mod le HH une stimulation p riodique une fr quence excessive cette membrane ne peut d charger chaque stimulation Augmenter la fr quence ou l amplitude de la stimulation peut produit un doublement de p riode c est dire que le syst me continue d avoir un comportement p riodique mais que ce dernier est compos de la r p tition d une s quence de deux potentiels d action successifs qui sont quantitativement diff rents Continuer d augmenter la fr quence et l amplitude de la stimulation produit une succession de tels doublements de p riode o un pattern de quatre potentiels d action diff rents est r p t puis huit puis seize jusqu ce que la p riode tende vers l infini et que le comportement du syst me devienne compl tement ap riodique C est ce qu on appelle la route du doublement de p riode vers le chaos AppA 3 Point fixe cycle limite ou autres 171 Il faut noter que le chaos n exclut pas l existence d un attracteur au contraire l volution d un syst me chaotique n est pas purement al atoire En effet partir de conditions initiales quelconques on observe que les trajectoires
396. st proportionnel a 6 V E comme c tait le cas dans l quation 1 B2 4 J g V E Cette derni re est donc valide au premier ordre sur une plage limit e de valeurs La figure AppB 1 compare ces trois limites en Mod les de courant Jya noir la courbe de l quation AppB 12 en rouge et illustre une m thode suppl mentaire permettant d tendre la validit de l quation lt gt Jy g V E elle consiste viter de S bo 100 150 200 choisir pour valeur de g la pente de l quation AppB 20 et a opter plut t pour une pente moyenne qui repr sente bien le comportement de l quation AppB 12 sur la plage de valeurs de V typiquement rencontr es dans une Sion biologique r elle donn e tout en Figure AppB 1 L approximation lin aire en bleu conservant un z ro V Ex Sterratt 2011 approche bien le courant GHK en rouge pour la section 2 4 Cette approximation lin aire est en plage de valeurs pertinentes pour une cellule bleu sur la figure excitables indiqu e par la double fl che En noir les limites donn es par les quations AppB 17 AppB 18 et AppB 20 V mV On peut d duire de leurs articles que c est cette derni re approche que Hodgkin et Huxley ont utilis pour mod liser chacun des courants dans le mod le qui porte leur nom Puisque les pentes des cas limites quations AppB 17 et AppB 18 ne sont pas excessivement loign es l une de l autre dans le cas du sodium
397. st typiquement fait d une portion de polypeptide charg e ou polaire ce qui repousse les ions dont la charge a le signe oppos celle des ions pouvant traverser Toutefois ces deux m canismes ne sont pas suffisants pour expliquer la grande qualit de la s lection En particulier dans des conditions comparables 84 Chapitre 1 Guide du d butant les canaux K ont une conductance aux 50 fois plus lev e aux ions K qu aux ions Na bien que l ion Na soit de m me signe et de plus petite taille Pour mieux comprendre le fonctionnement du 5 filtre de s lectivit on peut examiner un canal potassium plus simple qui n est pas tensio d pendant Ce canal appel KcsA est tir d une bact rie et comporte seulement deux h lices transmembranaires homologues aux h lices S5 et S6 des canaux K C est le premier canal qui a t cristallis et dont la structure tertiaire a donc pu tre lucid e par cristallographie aux rayons X Doyle 1998 Comme le montre la figure 1 C2 3 Figure 1 C2 3 Les atomes d oxyg ne en rouge le filtre de s lectivit en jaune est tellement du filtre de s lectivit en jaune sont situ s une troit que les ions Kt illustr s en vert doivent se distance appropri pour interagir pr f rentiel d barrasser des mol cules d eau qui les lement avec un ion d une taille pr cise Les ions hvdratent afin de voi r Cel plus petits ne peuvent donc traverser que y ee bg pauvo passe ca supp
398. sted if those delays converged towards a constant potentially non zero value a small fluctuation was tolerated If not the settling time is infinite longer than the simulation duration and procedure stops Otherwise 1 1 phase locking is considered detected 3 If phase locking is detected we found the instant tee when consecutive delays started differing by less than 0 5 ms we ensured that this difference didn t re increase later by conducting the search 149 1 damaged node f node 6 damaged o lt 60 40 ectopic spikes required to trigger ectopicity non ectopic ectopic E at onset D Le non ectopic non ectopic 43 Ey at onset ectopic 36 0 1 2 3 LS mV 71 4 Hz 20 0 Hz 13 3 Hz 10 0 Hz b 3 damaged nodes 60 r nodes 5 6 7 damaged 40 ectopic 20 non ectopic ectopic non ectopic non ectopic 43 ectopic 36 LS mV Fig S3 Triggered ectopicity a First panel repetition of Fig 1b Middle and lower panels corresponding E and Ey at the time of the next stimulation following the onset of ectopic activity b Same as a with nodes 5 7 damaged Note the change in horizontal scale with decreasing f Once this instant was located between two consecutive spikes we linearly interpolated the precise focx 4 The settling time was then equal to fock
399. t dire d une abondance d ATP et de gradients de concentration normaux pour Na et Kt l interaction des ions Na et K avec les sites de liaison sont les deux tapes les plus limitantes pour la vitesse de la pompe L uger 1991 section 8 5 4 1 C1 5 Un peu de vocabulaire exp rimental La construction du sch me de Post Albers ou l tude structurale de la pompe Na K reposent sur des dizaines d exp riences distinctes que nous n allons pas revoir ici Par contre du vocabulaire de base sur ces techniques peut tre requis au lecteur qui aborde 80 Chapitre 1 Guide du d butant la litt rature correspondante pour la premi re fois Voici quelques termes pertinents formant une liste qui est loin d tre exhaustive e Une fa on d tudier la cin tique d une transition consiste mesurer son activit transitoire en r ponse un changement brutal dans la concentration d un r actif Pour effectuer de tels changements brutaux on utilise des r actifs mis en cage caged reactives Mettre en cage une mol cule signifie lui ajouter un lourd groupement qui la rend incapable de se lier aux sites actifs de la mol cule tudi e On utilise ensuite un flash lumineux pour dissocier ces groupements ce qui lib re simultan ment toutes les mol cules qui taient mises en cage et provoque l effet recherch soit un gain tr s rapide de concentration e Comme le souligne la l gende de la figure 1 C1 1 la ouabaine est un inhibiteur qui per
400. t norme Les membranes biologiques ont une paisseur de seulement L 4 5 nm Un cart de potentiel V 70 mV entre les parois d une membrane aussi mince correspond un champ lectrique dont le module est E V L 1 5x10 V m ce qui est norme titre comparatif la tension de claquage de l air o un arc lectrique se produit correspond un champ de l ordre de 3 6x10 V m Cet imposant champ lectrique exerce une force significative sur les cha nes lat rales charg es qui font partie des prot ines ench ss es dans la membrane plasmique Il est vident qu il participe donc la d termination de leur conformation et que si le champ lectrique venait changer on puisse s attendre ce que les prot ines comportant des cha nes lat rales charg es dans la partie hydrophobe de la membrane changent drastiquement de conformation Nelson 2008 chap 12 Comme nous le verrons c est le m canisme de base expliquant le fonctionnement des canaux tensiod pendants que nous avons voqu plusieurs fois la section 1 A et sur lesquels nous reviendrons la sous section 1 B3 En fait m me les portions non charg es d une prot ine transmembranaire peuvent tre affect es directement par un changement de champ lectrique par exemple la disposition d une h lice a fait en sorte que les dip les lectriques des liens polaires r p titifs pr sents dans le squelette polypeptidique s additionnent et produisent un dipdl
401. t Jya vers z ro n est pas ad quat si on veut tenir compte des courants persistants Or il a t d montr qu en tenir compte est n cessaire pour comprendre certains ph nom nes notamment les neurones pace maker qui d chargent une fr quence de r sonance fixe Taddese amp Bean 2002 Certains mod les num riques choisissent donc d ajouter un terme persistant au mod le HH notamment Volman 2013 dont les travaux ont des points communs avec les n tres ce que nous ne ferons cependant pas dans nos travaux puisque nous mod lisons des neurones qui s ils sont sains demeurent au repos en l absence de stimulus De plus Morris 2012a d montre que le courant d aux canaux en mode rapide domine largement en pr sence de dommage aux membranes En terminant apportons une pr cision essentielle bien que les hypoth ses du mod le HH aient t partiellement contredites par les exp riences que nous venons de revoir ce mod le repr sente quand m me correctement les donn es dans un neurone normal qui demeure au repos en l absence de stimulus II peut donc tre utilis pour des simulations ce que nous ferons d ailleurs dans notre article de recherche chapitre 4 La seule cons quence r elle des discordances avec le mod le HH que nous venons de pr senter est que la courbe h V tir e du mod le HH ne doit pas tre interpr t e comme un m canisme physique r el 1 C2 4 Quelques techniques exp rimentales Comme dans le c
402. t ce fonctionnement et de concepts l mentaires d encodage neuronal Nous y utilisons un ton informel tr s explicatif notamment en introduisant des exemples et des commentaires ditoriaux L approche est d taill e plut t que concise un tr s grand nombre de notions de base tant introduites avec soin Les sujets couverts ne se limitent pas au strict n cessaire requis pour aborder nos travaux de recherche mais visent donner un aper u un peu plus large du domaine En somme un effort consid rable a t d ploy pour donner ce chapitre la saveur d un manuel introductif plut t que celle d un article scientifique Le nombre de pr alables requis pour la lecture de ce chapitre a t maintenue au minimum de sorte qu il soit envisageable qu un lecteur non physicien puisse aussi en suivre de larges pans Les principaux termes techniques de ce chapitre de m me que ceux du chapitre 3 et des appendices font aussi l objet d un index De plus la fin de chaque section du premier chapitre quelques r f rences sont comment es pour diriger une lecture introductive plus pouss e un ordre de lecture tant aussi recommand Pour ce premier chapitre et en particulier pour ces guides de lecture plusieurs r f rences ont t choisies d abord en fonction de leur qualit p dagogique plus que pour leur int r t dans un contexte de recherche Le chapitre 2 est un article ayant t soumis American Journal of Physics et qui a donc une
403. t comme la situation o le courant de diffusion contrecarre exactement le courant de conduction en chaque point de la membrane Le premier bloc de l appendice B pr sente un condens de cette d monstration Concluons maintenant avec deux remarques suppl mentaires qui portent sur la situation exp rimentale illustr e la figure 1 B2 1 Premi rement le champ lectrique qui correspond la diff rence de potentiel V n affecte pas que les ions Na Les ions CI ont eux aussi tendance a initier un courant de conduction sous l effet de V ce qui signifie qu ils sont attir s 12 Distinguer ces deux contributions au courant net n est pas sans m rite et fournit de nombreuses intuitions pr cieuses Par exemple on comprend que le courant de conduction dirig vers la droite est ce qui explique que les ions Na exc dentaires ayant diffus du c t gauche ne peuvent se r pandre dans tout le volume du compartiment de gauche et y r partir leur charge le champ lectrique les attire vers la droite De la m me fa on il emp che en les repoussant vers la droite les ions Na du compartiment de droite de diffuser vers la membrane pour liminer la baisse localis e de concentration qu on y trouve En somme c est le courant de conduction qui fait en sorte que les charges nettes demeurent localis es dans une fine couche dont l paisseur a l ordre de grandeur de la longueur de Debye comme nous l avons expos la sous section 1 B1 1 B2 1 L
404. t http youtube com watch v nrTDY SzQ7E gt consulted on June 26 2013 lt http outreach mcb harvard edu animations actionpotential_short swf gt For an exhaustive review see Lauger Electrogenic lon Pumps Sinauer Ass Sunderland 313 p 1991 For more recent reviews see Scheiner Bobis 2002 The sodium pump it s molecular properties and mechanics of ion transport 20 21 22 European Journal of Biochemistry 269 2424 2433 or Toyoshima et al First crystal structures of Na K ATPase New light on the oldest ion pump Structure 19 1732 1838 2011 Nelson 2008 chap 4 This is the case of all textbooks listed under qualitative introductions in note 2 Even Dayan amp Abott refer to a large influx The exponents in m and nf were chosen empirically but allow the time course of m and n to be determined by a first order differential equation In addition to the quantitative introductions listed in note 2 the mathematically inclined reader should see Scott 2002 Neuroscience a Mathematical Primer Hodgkin amp Katz 1949 The effect of sodium ions on the electrical activity of the giant axon of the squid Journal of Physiology 108 1 pp 37 77 see also Hille 2001 See for example e Kager et al 2000 Simulated seizures and spreading depression in a neuron model incorporating interstitial space and ion concentrations Journal of Neurophysiology 84 1 495 512 Bouc
405. t in cortical pyramidal neurons Nature neuroscience 15 7 pp 1007 1014 Hamill OP Marty A Neher E Sakmann B Sigworth FJ 1981 improved patch clamp techniques for high resolution current recording from cells and cell free membrane patches European Journal of Physiology 391 2 pp 85 100 Han Chul H Hyun Lee D Mo Chung J 2000 Characteristics of ectopic discharges in a rat neuropathic pain model Pain 84 pp 253 261 Hao J Padilla F Dandonneau M Lavebratt C Lesage F No l J Delmas P 2013 Kv1 1 Channels Act as Mechanical Brake in the Senses of Touch and Pain Neuron 77 5 pp 899 914 Hartline DK 2008 What is myelin Neuron Glia Biology 4 02 pp 153 163 Hartshorne RP amp Catterall WA 1981 Purification of the saxitoxin receptor of the sodium channel from rat brain Proceedings of the National Academy of Sciences 78 pp 4620 4624 Hickson GR Echard A O Farrell PH 2006 Rho kinase controls cell shape changes during cytokinesis Current Biology 16 4 pp 359 370 Hodgkin AL Huxley AF Katz B 1952a Measurement of current voltage relations in the membrane of the giant axon of loligo Journal of Physiology 116 pp 424 448 Hodgkin AL amp Huxley AF 1952b Currents carried by sodium and potassium ions through the membrane of the giant axon of oligo Journal of Physiology 116 pp 449 472 Hodgkin AL amp Huxley AF 1952c The components of membrane conductance in the giant axo
406. t recours des cas de complexit croissante la sous section 1 B2 s attardant aux membranes non excitables et la suivante aux membranes excitables Le texte est structur de telle fa on que chacun des concepts introduits dans une des sous sections demeure valide dans les sous sections suivantes 1 81 Potentiel de repos et potentiel d action les observations cl Dans cette premi re sous section nous abordons surtout les observations l mentaires au sujet des ph nom nes lectriques dans les cellules Ce contexte nous permettra de d finir la distinction entre les cellules non excitables et les cellules excitables Nous introduirons d abord le concept de potentiel de membrane puis verrons ensuite que ce dernier a un comportement plut t simple dans les cellules non excitables mais nettement plus labor dans les cellules excitables Il est notamment responsable de la propagation de l influx nerveux dans les neurones qui appartiennent cette derni re cat gorie de cellules Nous conclurons en interpr tant le potentiel de membrane en termes de champ lectrique et de charge lectrique nette accumul e de part et d autre de la membrane 1 B1 1 Le potentiel de membrane Comprendre le fonctionnement de l influx nerveux requiert tout d abord de ma triser les propri t s d un neurone au repos qui correspondent essentiellement aux propri t s d une cellule non excitable La premi re de ces propri t s dans toutes les cellules ani
407. t sans doute la traverser faiblement par des moyens autres que ceux d crits par les deux premiers termes de l quation 1 B3 2 etc Il faut donc d terminer guits et Etits Sans avoir en t te que le courant de fuites est transport par une esp ce ionique en particulier bien que le chlore en compose la plus grande partie Pour valuer ces param tres on a besoin de deux mesures de Juites des potentiels de membrane diff rents En substituant dans l quation 1 B2 4 on obtiendra ainsi deux quations O dis t Eire Seront les inconnues On r alise donc deux exp riences Dans la premi re on utilise un milieu extracellulaire sans sodium de sorte que Jya 0 on fixe V E de sorte que J 0 et on mesure le courant Jota J4 qui est alors uniquement compos de J Cela donne une premi re quation J Druites Ex F Ehuites Dans la seconde exp rience on fixe V V o V est une valeur tr s n gative par exemple 150 mV une telle valeur m et n deviennent extr mement proches de z ro de sorte que Jya 0 et que J 0 On mesure donc un courant Jota J qui est a nouveau uniquement compos de J Cela donne la seconde quation J ge Vo Eiiites Avec cette m thode Hodgkin et Huxley ont obtenu en moyenne les valeurs suivantes rites 0 3 MS cm E 54 4 mV fuites 1 B3 2 Le mod le Hodgkin Huxley 55 Le mod le isopotentiel complet Maintenant que nous avons mod lis chaque courant
408. table systems and the noise induced transmission of information by sensory neurons Phys Rev Lett 67 5 656 40 Ochab Marcinek A Schmid G Goychuk Hanggi P 2009 Noise assisted spike propagation in myelinated neurons Phys Rev E 79 1 011904 41 Sun GC Werkman TR Wadman WJ 2006 Kinetic changes and modulation by carbamazepine on voltage gated sodium channels in rat CA1 neurons after epilepsy Acta Pharmacol Sin 27 12 1537 1546 42 Park SB Lin CS Kiernan MC 2012 Nerve excitability assessment in chemotherapy induced neurotoxicity Journal of visualized experiments JoVE 62 3439 43 Susuki K 2013 Node of Ranvier disruption as a cause of neurological diseases ASN neuro 5 3 209 219 44 Coggan JS Ocker GK Sejnowski TJ Prescott SA 2011 Explaining pathological changes in axonal excitability through dynamical analysis of conductance based models J Neural Eng 8 6 065002 45 Shankarappa SA Tsui JH Kim KN Reznor G Dohlman JC Langer R Kohane DS 2012 Prolonged nerve blockade delays the onset of neuropathic pain Proc Nat Acad Sci USA 109 43 17555 17560 46 Ross SE 2011 Pain and itch insights into the neural circuits of aversive somatosensation in health and disease Curr Opin Neurobiol 21 6 880 887 47 M ller M Somjen GG 2000 Na and K concentrations extra and intracellular voltages and the effect of TTX in hypoxic rat hippocampal slices J Neurophysiol 83 2 735 745 48 Hao J Padilla F Dandonneau M Lavebr
409. tablir que les ions traversent la membrane en empruntant des canaux qui comportent des pores transmembranaires gard s par une porte Hille 2001 chap 1 3 Cette s quence historique soul ve une question vidente quels liens peut on faire entre les quations du mod le HH et le fonctionnement des canaux tensiod pendants Nous allons r pondre cette question en discutant quelques aspects Tout d abord rappelons que le mod le HH pr voit que la conductance du potassium est proportionnelle n et celle du sodium m h Ces deux expressions peuvent tre interpr t es comme un simple ajustement de courbe une s ries de donn es en ce sens le mod le HH serait un syst me d quations empiriques qui permet de pr dire les mesures sans faire d hypoth se sur les m canismes mol culaires Mais Hodgkin et Huxley qui 1 C2 2 Une interpr tation mol culaire du mod le HH 85 avaient en t te un faux m canisme baptisaient particules d activation les variables m et n Peut on aujourd hui formuler une interpr tation physique correcte de ces variables Dans le cas du canal K le lien est vident il y a quatre sous unit s a qui comportent chacune un senseur de tension Or les quatre senseur de tension doivent tre dans leur position favorable pour que les ions K puissent traverser En cons quence si on consid re que chaque senseur de tension a une probabilit n de se trouver dans la position favorable la probabilit d
410. talyseur Cellule Cellule eucaryote Cellule excitable Chaos Cloque bleb Codon Conduction saltatoire Conformation Cortex d actine spectrine Couplage cin tique Courant de conduction Courant de diffusion Courant de fen tre Courant de Goldman Hodgkin Katz Courant persistant Cycle limite Cytosol Cytosquelette D calage cin tique coupl CLS D g n rescence secondaire Dendrite D polarisation D sactivation Disponibilit Doublement de p riode Douleur neuropathique Dynamique non lin aire Echec de propagation Electrog ne adj Encodage de population Encodage fr quentiel 29 29 12 48 116 116 10 117 5 11 169 4 3 4 172 7 172 Encodage temporel Enzyme Epsilon machine Equation de Goldman Hodgkin Katz Equation de Nernst Equation du cable Equation du cable lin aire Equilibre de Donnan Equilibre de Nernst Erreur d arrondi Erreur de troncature Espace de phase Feuillet B Fr quence maximale de stimulation Fr quence maximale de propagation Fuites sp cifiques Fluorochrome Ganglion spinal G ne Hautement conserv adj H lice a Hyperalg sie Hyperpolarisation Inactivation Instabilit dynamique Interaction hydrophobe Interneurone Isoforme L sion axonale diffuse Lien peptidique Lin aire adi Lin arisation Liquide interstitiel Marquage fluorescent Membrane plasmique M thode de Taylor M thode d Euler M thode explicite un pas M thode RK4 M thode
411. tario K1N 6N5 c Ottawa Hospital Research Institute Ottawa Ontario K1H 8M5 Submitted to Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America Neural tissue injuries render voltage gated Na channels Nav leaky thereby altering excitability disrupting propagation and causing neuropathic pain related ectopic activity In both recombinant systems and native excitable membranes membrane damage causes the kinetically coupled activation and inactivation processes of Nav channels to undergo hyperpolarizing shifts This damage intensity dependent change called coupled left shift CLS yields a persistent or subthreshold Nav window conductance Nodes of Ranvier simulations involving various degrees of mild CLS showed that as the system s channel pump fluxes attempt to re establish ion homeostasis the CLS elicits hyperexcitability subthreshold oscillations and neuropathic type action potential AP bursts CLS induced intermittent propagation failure was studied in simulations of stimulated axons but pump contributions were ignored leaving open an important question does mild injury small CLS values pumps functioning well render propagation competent but still quiescent axons vulnerable to further impairments as the system attempts to cope with its normal excitatory inputs We probe this incipient diffuse axonal injury scenario using a 10 node myelinated axon model Fully restabilized nodes with mild damage ca
412. tation de nos r sultats l alt ration des trains d impulsions a t mesur e avec une m trique celle de Victor et Purpura 1996 qui tient compte la fois de l ajout d impulsions suppl mentaires et des diff rences de chronom trage de chaque impulsion Ce survol de l encodage neuronal met maintenant fin notre chapitre adress au d butant dans ce domaine de recherche Le lecteur dispose maintenant de tout le bagage requis pour comprendre la construction de notre mod le num rique pr sent e au chapitre 3 avec notre revue de litt rature ou pour passer directement l article de recherche pr sent au chapitre 4 S il en ressent le besoin le lecteur d butant peut aussi lire le chapitre 2 un article p dagogique portant sp cifiquement sur les erreurs conceptuelles fr quentes que rencontrent ceux qui abordent pour la premi re fois le mod le Hodgkin Huxley 1 D 4 Application nos travaux de recherche 95 96 Cette page est intentionnellement blanche Chapitre 1 Guide du d butant Chapitre 2 Article p dagogique Pr sentation Ce second chapitre fait suite au chapitre 1 en ce sens qu il int ressera davantage le lecteur qui d bute tout juste dans le domaine Il est compos d un article r dig en anglais qui a t soumis en juillet 2013 et resoumis avec r visions mineures en octobre 2013 American Journal of Physics pour un num ro sp cial pr vu au printemps 2014 portant sur l intersection entre la
413. te th se nous recommandons fortement au lecteur dont l intention serait d entreprendre des travaux de recherche en biophysique de s assurer au pr alable une ma trise de bases l mentaires en biologie C est une premi re tape essentielle Pour ce faire les premiers chapitres de Campbell 2007 un ouvrage introductif classique sont un excellent point de d part ils se lisent rapidement ne n cessitent absolument aucun pr alable et introduisent les fondements biochimiques de la biologie chap 2 5 les composantes de la cellule chap 6 et les membranes cellulaires chap 7 Le chapitre 48 porte plus sp cifiquement sur les syst mes nerveux Marieb 2010 survole les m mes notions dans ses chapitres 2 4 et est lui aussi disponible en fran ais Il a toutefois la saveur particuli re d tre un ouvrage introductif ax sur la physiologie de l tre humain et non sur l tude de l enti ret du monde vivant Le lecteur qui pr f re la langue de Shakespeare peut plut t consulter les ditions originales de Campbell et Marieb ou encore Lodish 2000 et y trouver un contenu quivalent Le physicien qui s y conna t minimalement en biologie mais pas forc ment en biophysique aurait int r t consulter Nelson 2008 qui documente les aspects physiques de la biologie mol culaire Ce manuel introduit partir d un niveau interm diaire toutes les notions de physique et en particulier de m canique statistique qui sont essentielles son ex
414. ted cytoskeletal change in Mechanisms of Secondary Brain Damage in Cerebral Ischemia and Trauma Springer Vienna pp 81 86 Proulx C 2011 youtube com watch v WjYiwVZBN8E Ranjan R Schuermann F Markram H et al 2013 channelpedia net Ruiz M 2007 commons wikimedia org wiki File Cell_membrane_detailed_diagram_fr svg Stein W 1986 Transport and diffusion across cell membranes en ligne via Elsevier Weckstrom M 2010 intracellular recording Scholarpedia 5 8 p 2224 Wikipedia 2013 Potentiel d action fr wikipedia org wiki Potentiel_d action 164 Bibliographie Index Cet index r pertorie les termes importants du chapitre 1 du chapitre 3 et des trois appendices Au moment ou ils sont introduits ou d finis dans le texte tous les termes techniques y apparaissent en gras ou servent de titre une quation Les num ros de page pr sent s ici sont seulement ceux correspondant ces endroits o le terme est introduit ou d fini Exceptionnellement quand un terme est d fini la fois dans un chapitre et dans un appendice deux num ros de page apparaissent Acide amin Activation Activit ectopique Activit spontan e Ad nosine triphosphate ATP Allodynie Amphipathique adj Ankyrine Attracteur Axolemme Axone Axoplasme Bassin d attraction Bicouche Bifurcation Bifurcation de Hopf Bistabilit Bouton terminal Canaux de fuites Canaux Ky Canaux Nay Canaux persistants Canaux tensiod pendants Ca
415. tendent vers un attracteur dit trange c est dire un objet qui a une dimension fractale En raison de la dimension fractale de cet attracteur une trajectoire peut demeurer ind finiment sur lui sans jamais devenir p riodique Bistabilit Enfin il faut noter que l espace de phase d un syst me dynamique peut contenir simultan ment plus d un attracteur C est le cas par exemple quand un cycle limite cohabite avec un point fixe et que tous deux sont dynamiquement stables Selon les conditions initiales une trajectoire va donc voluer vers l un ou vers l autres des deux attracteurs On est alors en pr sence de bistabilit ou de multistabilit Toutes les conditions initiales o d butent les trajectoires qui tendent vers un m me attracteur forment dans l espace de phase une zone bien d limit e qu on appelle un bassin d attraction La limite entre deux bassins d attraction peut tre par exemple la vari t stable d un point selle En pr sence de CLS d une amplitude bien choisie il a t montr dans Yu 2012 que le mod le HH six dimensions que nous utilisons au chapitre 4 pr sente une bistabilit l espace de phase est s par en deux bassins d attraction l un qui conduit le syst me vers son point fixe l autre qui le conduit vers un cycle limite AppA 4 Un mot sur les bifurcations Un large pan de la dynamique non lin aire est l tude de l effet des param tres sur la nature du comportement obtenu Quand la
416. tentials Abstract INTRODUCTION Il BIOPHYSICAL BACKGROUND II COMMON MISCONCEPTIONS IV COMPUTATIONAL PROJECT I V COMPUTATIONAL PROJECT II VI SUMMARY APPENDIX ACKNOWLEDGMENTS References Introduction a la these de recherche Chapitre 3 Membranes endommag es questions de recherche et construction du mod le 3 A Revue de litt rature sur les cellules excitables endommag es 3 A 1 Membranes cloques normal ou pathologique 3 A 2 Cloques neurotraumatismes et douleurs neuropathiques des ph nom nes reli s 3 A 3 D calage cin tique coupl CLS des canaux Na 3 A 4 Hypoth se de travail tout dommage une cellule excitable quivaut un CLS 3 B Questions de recherche et mod lisation 3 B 1 Questions de recherche 3 B 2 Un mod le d axone et non un mod le de membrane 3 B 3 Les concentrations ioniques constantes ou non 3 B 4 La mod lisation des pompes 3 B 5 Les fuites et les fuites sp cifiques 3 B 6 Stimulation et propagation dans le mod le d axone Chapitre 4 Article de recherche vi Pr sentation Stimulation induced ectopicity and propagation windows in model damaged axons Abstract amp introduction Significance statement Methods Results Ectopic activity can be triggered by stimulation High frequency periodic stimulation can drive the ectopic node s Sources of input outpur disruption under phase locking conditions A propagation window where output infidelity is minimal Increased a
417. textbooks Rather the simplified qualitative presentation found in those textbooks induces important misconceptions MCs both by explicitly teaching mistakes or by being silent about some key aspects of the phenomena This article lists three common MCs labeled A B and C the first one in multiple forms and gives theoretical arguments ruling them out part Ill It also suggests two computational projects designed to provide a comprehension of APs free of those MCs parts IV V The first project uses the Hodgkin Huxley HH model to explore the time course and relative importance of several dynamic variables during an AP while the second project is a novel version of existing models designed to be as simple as possible used to visualize the composition and size of the Debye screening sheets that appear on both sides of an axon membrane Projects consider unmyelinated squid axons and space clamped APs but the codes made available as online supplements could be easily extended Results from these projects were presented to 18 year old students taking mandatory introductory biology and physics at the C gep de l Outaouais equivalent to first year undergraduate and produced a noticeable reduction of the incidence of the three MCs These projects could be given as homework problems to undergraduate students either in a course about ordinary differential equations numerical methods in physics physics for life sciences or o
418. ther They could also serve the same purpose in an more advanced biophysics course although students already familiar with mathematical modeling of APs are more likely not to show all MCs ll BIOPHYSICAL BACKGROUND We begin by introducing important biophysical concepts covered in many classical textbooks Readers already familiar with the HH model and with membrane proteins can browse through this section quickly Rest potential As in all animal cells a potential difference is maintained across the membrane of neurons Let V denote the inside potential relative to the extracellular medium s ie V Vm Vex In unstimulated neurons V remains at the rest potential V 65 mV a voltage mostly maintained by the action of the Na K pump a protein disseminated in cell membranes that spends energy to export 3 Na ions and import 2 K ions per cycle To a physicist the resting membrane can therefore Simulations disproving misconceptions about action potentials 99 be seen as a charged parallel plate capacitor showing a local accumulation of net charge within a Debye screening length on both sides of the membrane Since the membrane is L 4 5 nm thick a strong electric field V L exists inside it and exerts forces on embedded proteins Voltage gated channels Axons don t always stay in their rest state What renders their membrane capable of firing APs are two proteins the Na and K voltage gated channels VGCs
419. tical estimate of the amount of charge crossing the membrane during phase 1 or phase 2 To do this we start by estimating the capacitance of the membrane Since it is very thin L 4 5 nm compared with the cell radius 10 nm it can be considered a parallel plate capacitor The bulk of a membrane is composed of fatty acid moieties therefore its dielectric constant should be close to that of oil amp 5 Using C amp A L amp amp AIL we find that C x 1 pF cm 6 Since phase 1 of an AP corresponds to a raise of V from 65 mV to about 40 mV see Fig 1 the capacitor charge per unit area q CV must change by about 10 nC cm during phase 1 This amount represents 6x10 ions cm or 10 mol cm of Na ions The same figure applies to the transfer of K ions during phase 2 This is small but how does it compare to the total stock of ions available The volume to surface ratio of a cylindrical axon is 1 2 Considering that the radius r can be as low as 1 um the inside volume of an axon having 1 cm of membrane surface could be as low as 10 cm The extracellular com 102 Chapitre 2 Article p dagogique partment is of comparable volume The measured outer concentration of Na and inner concentration of K are both 10 mmol L Therefore the available stock consists of a minimum of 10 mol ten thousand times what crosses the membrane during phase 1 or 2 of an AP even more for larger cells The bottom line
420. ticles per volume Adx outside the membrane and per volume Aadx in the pores Eq 13 is also valid for L 2 L 2 Note that Eq 13 is the continuity equation and Eqs 10 12 13 are equivalent to an advection diffusion equation where the diffusion coefficient is aD inside the membrane and D outside Before numerical integration Eqs 10 13 are first converted to dimensionless form using L 4 5 nm M 1 mmol L 1 mol m D 10 m s L D 20 25 ns kTleL 5 7 mV nm eML FIKT 7 63x10 F m and DMIL 0 2222 mol m s respectively for distance concentration diffusion coefficient time electric field electric permittivity and ionic flux scales Eqs 12 13 remain identical but Eq 10 becomes D x z D Ec 14 and Eq 11 becomes Ew f a dax f Q ax 15 where all quantities are now dimensionless and where we replaced E by E the x axis being chosen in the direction of the field In summary the system is entirely described by four concentration fields each determined by Eqs 12 13 To integrate these equations both space and time need to be discretized At each time step the four fluxes were evaluated at the x mid intervals using an upwind downwind scheme for the conduction term and centered differentiation for the diffusion term of Eq 14 Then the concentrations were calculated by evaluating Eqs 12 13 at the space interval boundaries again using centered differentiation Additionally the p
421. tiel d inversion KaT CS E Int quation 1 B2 1 q Cy ext o X est une esp ce ionique quelconque et o E est appel potentiel de Nernst ou potentiel d inversion si elles ne sont pas d j claires les raisons justifiant ce dernier terme le deviendront davantage apr s que nous ayons introduit l quation 1 B2 4 L quation 1 B2 1 m rite deux remarques importantes e Soulignons que le potentiel de Nernst a en g n ral une valeur diff rente pour chaque esp ce ionique Par exemple E et Eg auraient des signes oppos s dans la situation illustr e la figure 1 B2 1 De plus remarquez que l atteinte de l quilibre par une esp ce ionique ne signifie pas que toutes les autres esp ces sont elles aussi l quilibre la figure 1 B2 1 seul le sodium est l quilibre e Quand l quation 1 B2 1 est respect e il n y a aucun courant net de l esp ce ionique X mais cet quilibre ne signifie pas qu aucun ion X ne traverse la membrane il signifie plut t qu chaque unit de temps et en chaque point de la membrane des ions X y voyagent en nombre gal dans les deux sens En effet la diff rence de concentration continue de causer un courant de diffusion alors que le champ lectrique cause un courant de conduction ces deux courants tant gaux et en sens inverses D ailleurs une autre approche pour d montrer l quation 1 B2 1 utilis e par Nelson 2008 chap 4 consiste concevoir l quilibre de Nerns
422. tions du mod le HH pour produire une simulation num rique compl te Or ce mod le a pr dit moins de 5 d cart les vitesses de propagation observ es pour plusieurs ensembles de param tres mesur s exp rimen talement Pour obtenir ce r sultat Moore a augment toutes les conductances du mod le HH par un facteur 10 pour tenir compte de la forte concentration des canaux au noeud de Ranvier Malgr ces succ s chez certaines esp ces plusieurs exp riences ont montr chez d autres vert br s que le courant de potassium tensiod pendant tait tr s faible Ceci pourrait notamment tre d au fait que les canaux K sont situ s en p riph rie du noeud de Ranvier l ou la my line commence d j recouvrir la membrane Chez le lapin il a t mesur que la principale cause de la phase de repolarisation du potentiel d action n est pas le potassium qui traverse des canaux K mais plut t une forte composante de potassium dans les courants de fuites non tensiod pendants Chiu 1979 Un r sultat identique a par la suite t obtenu dans une exp rience portant sur des nerfs humains Schwarz 1995 Notons que ces articles ne reportent une diff rence notable qu propos du courant de potassium le courant de sodium lui conserve un comportement analogue celui observ chez le calmar Cette analogie d coule sans doute du fait que les diff rents variantes g n tiques de canaux Na sur lesquelles nous reviendrons dans la se
423. tly due to the altered excitability of node 6 resulting in locally accelerated propagation but it also results from the interplay occurring between nodes 1 and 6 Close inspection reveals that for the illustrated LS value the damaged node fires before the incoming AP reaches it Fig 3b This shows that the phase locking is not a local phenomenon it involves the interplay of all nodes up to the damaged one A propagation window where output infidelity is minimal A quantitative evaluation of output infidelity requires taking both settling time and phase shift into account To do so we generated output spike trains i e list of times when maxima of APs occur at node 10 for the damaged and control system fed the same input and we compared them using the VP distance i e the cost based metric introduced in 35 The VP distance is the minimal cost of transforming a spike train into another if adding or removing a spike is assigned an arbitrary unitary cost while shifting a spike by At costs qAt Details and an example are given in SI see Fig S4 Note how q an arbitrary parameter with units of cost per ms weighs the importance given to shifts in spike timings relative to changes in spike count Physiologically this g parameter could therefore indicate the resolution of a postsynaptic neuron acting as a coincidence detector when gA is very low a spike shifted by At could still be detected as coincident with a sp
424. toute mesure biologique Cependant on constate une anomalie qui est qualitativement universelle chez les animaux le sodium est fortement hors d quilibre sa concentration externe tant sup rieure d un ordre de grandeur sa concentration interne Le potassium est lui aussi hors d quilibre tant trop concentr l int rieur mais dans une moindre proportion concentration interne mmol L concentration externe mmol L concentration interne mmol L concentration externe mmol L 12 15 140 150 50 440 CELLULES DE MAMMIF RES AXONE G ANT DU CALMAR Na K A 100 138 lt lt 10 300 400 lt lt 10 milieu extracellulaire Figure 1 B2 3 D une esp ce l autre les concentrations ioniques internes et externes diff rent mais on note toujours que le sodium et le potassium sont tous deux hors d quilibre le premier tant nettement plus concentr hors de la cellule le second l int rieur Notez que A d signe les charges port es par les macromol cules Tableau de gauche adapt de Lodish 2000 chap 15 Marieb 2010 chap 11 et de Campbell 2007 chap 48 tableau de droite Lodish 2000 chap 15 et Nelson 2008 chap 11 Pour les fins de la discussion et de la comparaison il est souvent utile d liminer toute variabilit en consid rant le cas d une cellule en particulier C est ce qu on fait les premiers lectrophysiologistes en d finissant un
425. tre dans la discussion les axones ne sont pas identiques entre eux mais similaires leurs propri t s pr sentent une variabilit Cet aspect distingue la biologie d une science comme la physique qui traitent d objets tous identiques entre eux comme les lectrons les protons les mol cules d eau Ayant compl t notre description de la cellule nous pouvons approfondir tel qu annonc deux aspects centraux pour nos travaux la membrane plasmique et les prot ines 1 A 3 La membrane plasmique est surtout une bicouche La membrane qui compose la fronti re entre l int rieur et l ext rieur de la cellule est 4 Chapitre 1 Guide du d butant compos e de mol cules amphipathiques c est dire de mol cules comportant la fois une partie polaire capable d interagir avec les mol cules d eau en formant avec elles des ponts hydrog ne et d une partie non polaire incapable d ainsi interagir avec l eau Nelson 2008 sections 8 4 8 6 La grande majorit des mol cules amphipathiques qui composent les membranes cellulaires appartiennent la cat gorie des phospholipides ce qui signifie qu elles sont form es d une t te polaire comportant notamment un ion phosphate et de deux queues non polaires chacune faite partir d un acide gras cha ne hydrocarbon e termin e par un groupement COOH Les phospholipides peuvent varier entre eux par la composition de leurs queues longueur nombre et position des liens doubles
426. tre des impulsions cons cutives voire reconna tre un pattern sp cifique de potentiels d action On dit que ces neurones capables d interpr ter des informations ignor es dans le code fr quentiel utilisent des encodages temporels Dans un tel encodage un axone endommag qui n ajouterait aucun potentiel d action suppl mentaire mais d calerait dans le temps ceux qui sont propag s aurait des cons quences non moins f cheuses que si des impulsions avaient t ajout es Notons que le d calage int gral d un train d impulsion par un d lai constant m me s il ne change pas du tout le taux de d charge peut avoir un effet sur la d tection de synchronisations entre le neurone endommag et un autre neurone 1 D 2 L encodage temporel 93 1 D 3 L encodage de population On pourrait argumenter que l obtention de r t repr sente mal la r action d un neurone notamment parce que faire la moyenne sur un grand nombre d essais peut introduire des variations temporelles plus rapides que celles que peut produire un neurone individuel Par contre la d termination de r t gagne un sens physique si on change d interpr tation au lieu de la reponse d un m me neurone a plusieurs essais on Suppose qu un grand nombre de neurones sont simultan ment expos s au m me stimulus et que chacun produit ind pendamment des autres une r ponse qui ne diff re qu en raison du bruit introduit par la variabilit des neurones La fonction r t repr sente alors
427. triggers ectopicity and causes the axon to fire dozens of APs The postsynaptic neuron would respond as if the stimulus was much greater than it is in reality If such a phenomenon occurs in a sensory neuron it could be responsible for painful amplification of normally benign stimuli typical of clinically observed conditions like allodynia or hyperalgesia 18 This result is consistent with observations showing that changes in gene expression are insufficient to cause neuropathic pain that abberrant Nav activity alone can lead to allodynia and that blocking Nav channels in animal models is neuroprotective and delays the onset of neuropathic pain 45 Our model predicts that the onset of ectopicity can occur not long after the damage and still occur as long as the neuron lives Therefore it can be compared with observations done both before and after central sensitization takes place In the latter case it could explain why some patients tactile allodynia needs to be set off by scratching or some other stimuli 46 Extending the damage to three adjacent nodes shifts the onset of ectopicity towards lower LS values see Fig S3 an extension of Fig 1b It has no other noticeable effect on the phenomenon reported here which should therefore be expected in experiments despite the method used to damage the axon and the physical extent of the trauma produced as long as it remains mild enough We should also note that according to Fig 1b a
428. tuant l quation 1 B2 1 cela donne Ca _ Ck _ 150 140 10 Ca quation 1 B2 7 o les valeurs num riques sont en mmol L et o le troisi me membre est invers par rapport aux autres en raison du signe n gatif de q dans l quation 1 B2 1 pour les ions Cl En utilisant l quation 1 B2 7 pour exprimer toutes les concentrations en fonction d une seule on peut substituer dans l quation 1 B2 6 et ainsi obtenir qu l quilibre de Donnan les concentrations internes d ions Na K et CI sont respectivement de 210 15 et 100 mmol L et le potentiel de repos est V 10 mV L tude de cette situation a le m rite de nous faire r aliser qu il ne saurait y avoir de potentiel de membrane si la membrane n avait pas une perm abilit s lective De l conclure que nous venons d lucider la cause du potentiel de membrane il y a cependant un pas qu il ne faut surtout pas franchir En effet nous allons maintenant voir pourquoi notre v sicule et toute cellule r elle qui aurait une membrane similaire ne pourrait pas survivre l quilibre de Donnan que nous venons de d crire si on additionne les concentrations internes il y a 325 mmol L d ions alors qu il y a seulement 300 mmol L d ions l ext rieur Cette diff rence de concentration 34 Chapitre 1 Guide du d butant cause une pression osmotique p Nk T V ck T 61 7 kPa ce qui repr sente 200 fois les quelques 300 Pa que peut supporter une membrane r elle sans
429. u que A soit positif Le fondement th orique de cette m thode est simple Nous l illustrons avec l exemple d un cas N 1 g n rique dy dt f y discr tis par la fonction y T y Sila solution exacte aux temps t et t h est respectivement not e par y t et y t h alors les valeurs num riques utilis es par l ordinateur a ces deux temps sont respectivement y y t e et Yn y t h e Si on applique la fonction T y et qu on utilise un d veloppement de Taylor on obtient T Y T yth e T y t 3 O e y t h e 2 Rue O e7 n dy ene quation AppC 14 o on a utilis la seconde ligne le fait que la fonction T appliqu e la solution exacte y t donne la solution exacte au temps suivant y t h De m me le m me de gauche T y de l quation ci dessus donne par d finition y c est dire y y t h e Apr s limination des termes y t h de part et d autre on obtient donc dT Cnt n dy O e quation AppC 15 Y Yn Puisque les erreurs sont normalement petites on peut sans g ne n gliger les termes proportionnels a e On voit alors que e lt e la seule condition que la d riv e dT dy valu e au temps pr sent soit inf rieure 1 Cette d riv e est videmment le jacobien dans le cas N 1 Notons que dans l ventualit o T y est une fonction lin aire donc proportionnelle y l quation AppC 15 se r duit
430. uante Or x r 2pAx En faisant tendre Ax vers z ro l quation 1 B3 14 devient donc voir Hodgkin 1952e quation 29 gue mh V E aV r ev 1 _ at 2pC ax C x n V E i Druites V Es quation 1 B3 15 1 J GGoqlV ose ou rest le rayon de l axone et ou Jm Jea V Vo est le courant ionique total qui traverse la membrane o g est la somme des trois conductances et ou V est donn par l quation 1 B2 11 En effet estimer num riquement dV dx peut se faire en calculant V V Ax en vertu de la d finition fondamentale de la d riv e Si on fait un tel calcul en deux points et qu on divise par Ax la diff rence des deux r sultats on obtient cette fois un estim de la d riv e seconde V 2V V Ax 1 B3 3 Le mod le HH explique aussi la conduction le long de l axone 63 Pour simplifier l quation 1 B3 15 davantage on peut aussi poser v V V et elle devient OV r Ov ta 7 Jin quation 1 B3 16 a SS equation 1 ji at 2pcae C4 C L analyse dimensionnelle de cette quation r v le que le facteur r 2pC doit avoir des unit s de longueur temps Or on remarque qu il correspond l inverse du produit de la capacit axolemmale par unit de longueur de l axone c et de la r sistance axoplasmique par unit de longueur de l axone r Soulignons que ce produit est la constante de temps n cessaire pour charger une unit de longueur d axone l aide du courant axop
431. uble h y NB_PTS y ins rer la condition initiale ici h 0 001 for n n lt NB_PTS 1 n y n 1 y n f y n Erreur de troncature Nous venons de montrer que l avantage de la m thode d Euler est d tre rapide a programmer Par contre m me dans le cas o y est exact cette m thode fournit un estim peu pr cis de y Pour le comprendre on peut exprimer th oriquement Y 1 en utilisant sa s rie de Taylor d velopp e aux environs de f d y 4 ir Bass Y Yh quation AppC 5 aps dy 2 Th 3 dt a t Y Yn dy y h 7 You Yn dt Y Yn Y Yn Or l quation AppC 4 peut tre obtenue en ne conservant que les deux premiers membres de droite de l quation AppC 5 et en substituant l quation AppC 1 ce qui signifie que cette m thode ignore tous les autres termes Voil pourquoi l estim y est peu pr cis 186 Appendice C Consid rations informatiques Ce type d erreur faite en tronquant l quation AppC 5 est dite erreur de troncature On peut indiquer explicitement l existence de l erreur de troncature en r crivant l quation AppC 4 comme You Yn ag hf y O h quation AppC 6 Cette notation signifie que les termes proportionnels a h et aux puissances plus lev es de h sont ignor s On dit que la m thode d Euler est une m thode d ordre 1 puisque le dernier terme de l quation AppC 5 dont elle tient compte est le terme d ordre 1 Con
432. ue d tre utilis avec succ s pour repr senter la propagation dans un 1 B3 5 Extension aux axones my linis s des vert br s 71 axone my linis Ochab Marcinek 2009 Li 2010 Boucher 2012 Hallermann 2012 Young 2013 etc voir aussi Scott 2002 chap 7 Notons enfin une derni re nuance chez les vert br s les mesures montrent que la rectification est plus importante que celle des courants dans une membrane d axone g ant de calmar Plusieurs auteurs dont Schwarz 1995 ont donc jug bon de remplacer les courant quasi ohmiques par des courants GHK voir l appendice B quand ils utilisaient le mod le HH pour d crire un axone my linis voir Hille 2001 chap 14 pour de nombreuses r f rences ce sujet N anmoins la rectification mesur e demeure petite de sorte que l quation 1 B2 4 demeure utilisable en premi re approximation ce que nous ferons dans nos travaux de recherche Guide de lecture 1 B Nous terminons cette section avec quelques conseils de lecture pour le n ophyte Le lecteur qui n a aucune base en biologie b n ficierait de la base conceptuelle pouvant d abord tre acquise dans un manuel introductif en biologie Par exemple dans Campbell 2007 il pourra lire sur les propri t s lectriques des membranes chap 7 et rencontrer une description qualitative mais succincte du m canisme d un potentiel d action chap 48 Une fois cette tape franchie une lecture introductive plus ax e sur les asp
433. ue it ration notre algorithme doit ajuster h afin de maintenir A imm diatement sous sa valeur cible La proc dure suivie pour ce faire est la m me que l it ration pr c dente ait t conserv e h doit augmenter ou rejet e h doit diminuer et se sert du fait que A h 5 A bien h utilis A h voulu quation AppC 23 voulu Dans le cas o l quation AppC 1 est remplac e par l quation AppC 2 syst me d quations l quation AppC 23 doit tre appliqu e a chaque quation et le plus gros rapport est celui qui doit tre consid r pour l ensemble des quations Le terme d ordre 6 est le plus souvent inf rieur au terme d ordre 5 mais il y a toutefois des exceptions Par exemple les fonctions paires ont des termes d ordre 5 rigoureusement nuls donc inf rieurs ceux d ordre 6 Le cas qui nous occupe n tant toutefois pas une exception de ce genre on peut n gliger les termes d ordre 6 devant ceux d ordre 5 sans difficult C est d ailleurs ce que les auteurs de Numerical Recipies in C recommandent de faire pour le cas g n ral Press 1992 196 Appendice C Consid rations informatiques En pratique et tel que recommand par Press 1992 pour un autre algorithme de pas adaptatif nous avons jug que r duire de 10 la valeur de h projet e par l quation AppC 23 permettait de r duire pratiquement z ro le nombre d it rations rejet es et donc d optimiser le temps d ex cution Enfin soulig
434. ui est atteinte instantan ment quand le temps de r ponse est nul Un tel mod le ne permet videmment pas de d crire le potentiel d action complet avec son retour V V puisque le courant de potassium est consid r comme constant Toutefois on s attend ce qu il permette de d crire ad quatement le bord d attaque c est dire le d but du potentiel d action la phase o V cro t Si l inconv nient de ce mod le est qu il ne repr sente que le bord d attaque son avantage est ind niablement sa faible dimensionnalit notez en effet que nous avons limin trois variables et leurs quations diff rentielles associ es Avec les hypoth ses que nous venons de formuler l quation du c ble devient celle des mod les du bord d attaque 1 OV aV 3 A m V V E B V E quation 1 B3 21 FO ox at Na K fuites o A B et Ex tuits Peuvent tre obtenus simplement partir des param tres habituels et ou m V est la fonction illustr e aux figures 1 B3 10 et 1 B3 14 L quation 1 B3 21 peut tre simplifi e davantage si on remplace A m V f par une fonction plus simple par exemple a B V V Nelson 2008 chap 12 Le membre de droite de l quation 1 B3 21 devient donc une simple fonction cubique f V Une autre option consiste remplacer le membre de droite de l quation 1 B3 21 par une fonction lin aire par morceaux Dans les deux cas cette quation du c ble simplifi e per
435. uise dans le premier cours de biologie d un DEC en sciences de la nature ou d un programme universitaire ontarien n anmoins nous avons bonifi plusieurs notions par des pr cisions physiques d un niveau plus avanc qui correspondraient au niveau d un cours de physique biologique de derni re ann e de baccalaur at 1 A 1 La cellule unit de la vie La cellule est la biologie ce que l atome est la physique ou la chimie un atome peut tre subdivis mais demeure la plus petite unit possible d un l ment de la m me fa on la cellule comporte des parties mais est la plus petite unit qui puisse tre consid r e comme vivante les tres vivants les plus simples tant faits d une seule cellule Comme le montre le sch ma pr sent la figure 1 A 1 la cellule est d limit e par une membrane plasmique dont nous repr senterons toujours l int rieur en jaune ocre sur nos sch mas et qui comme nous le verrons g re les changes avec le milieu ext rieur filaments Parties pertinentes de la cellule On d actine distingue deux types de cellules Les microtubules cellules procaryotes tymologiquement avant le noyau ne comportent aucun compartiment interne et seuls des tres vivants comme les bact ries presque tous unicellulaires sont faits de telles cellules Dans le cadre de nos travaux ces cellules sont donc sans int r t En revanche tous les tres vivants multicellulaires comportant un syst
436. ulignons que cette quation est plus g n rale que l quation J 9 V E car elle est fond e sur moins d hypoth ses la plus importante tant que le milieu travers par les ions est homog ne et que le champ lectrique est uniforme dans la membrane L quation AppB 12 s applique raisonnablement bien aux membranes non excitables ou encore aux membranes excitables au repos Une discussion des d viations entre la r alit et cette quation peut tre trouv e dans Hille 2001 chap 15 elles d coulent pour la plupart du fait que les canaux ioniques ne sont pas un simple milieu homog ne et que les ions ne sont pas d pourvus d interactions entre eux D pendance en x Comme nous l avons fait pour le cas J 0 d crit par l quation AppB 5 nous pouvons obtenir c x dans le cas d crit par l quation AppB 12 Si on change les bornes de l quation AppB 10 pour que l une d elle soit une position x quelconque situ e dans le milieu homog ne on obtient que la concentration est donn e par qv UTX LkeT J ter c x Cint ener av PAU e quation AppB 13 Si on substitue l quation AppB 12 cette quation devient CLS wy Ca e V x c x Cint a me e quation AppB 14 e Par cons quent le courant de diffusion donn par l quation AppB 1 et le courant de conduction donn par l quation AppB 2 d pendent aussi de x Ils sont respectivement gaux x 2y X x C t C t Jat D i T ev
437. un point de vue dynamique voir appendice A ce syst me d quations pr sente un seul point fixe qui correspond au neurone au repos Puisqu un potentiel d action d bute au repos et revient au repos on s attend a ce qu il existe des trajectoires homocliniques ayant ce comportement elles quitteraient le point fixe et y reviendraient o ll existe effectivement deux trajectoires homocliniques qui solutionnent ce syst me de cinq quations l une est stable correspond a une fluctuation de v ayant une grande amplitude alors que l autre est instable et a une plus faible amplitude Scott 2002 chap 4 La trajectoire instable agit comme une fronti re entre les trajectoires qui retournent directement au point fixe potentiel gradu s et celles qui tendent vers l autre trajectoire homoclinique potentiels d action Cette trajectoire instable d termine donc le seuil d excitation Malheureusement il est impossible de visualiser ces trajectoires dans l espace de phase puisque ce dernier a cinq dimensions Au bloc suivant nous voquerons rapidement quelques simplifications du mod le HH qui permettent de r duire le nombre de dimensions sans perdre les caract ristiques essentielles du mod le Limite lin aire L quation du cable est non lin aire pour la seule raison que g est une fonction de v et de t Par contre il existe deux circonstances o ge est essentiellement une constante La premi re est le cas d une memb
438. urse of V during an AP The first two Jya and J are current densities flowing respec tively through Na and K VGCs The third is Jeax a small current including the flow of all ions crossing the membrane by means other than Na and K VGCs According to HH J is mostly due to CI ions never discussed in introductory biology material Each of these three currents can be modeled with the quasi ohmic approximation J 9 V E X Na K leak 1 where J gt 0 when the current flows outside the cell and where E and E are the reversal Nernst potential for Na and K ions given by kT C E Ine X Na K 2 Dr Na K 2 and where E is an empirical constant close to E chosen so that Jy Jk Jieak 0 when V Vest and where c denotes concentrations 100 Chapitre 2 Article p dagogique Ena Ex Eeak outside Jna gk Deak ZE inside Kang Au Ai Fig 2 Circuit model of an axon membrane patch Note that polarities and directions illustrated are positive In a real unmyelinated axon Ey 50 mV Ek 77 mV and E 60 mV while the HH model uses Esas 54 4 mV The Nernst potential of an ion species is the membrane potential at which this species current becomes zero Note that E is non zero because a conduction current caused by V is required to cancel the diffusion current due to the concentration gradient Note also that if the membrane were permeable to a sin
439. us es par des forces m ca niques externes l organisme a t apport e Si exp rimentalement Maxwell 1996 voir aussi SN Wang 2009 Pour ce faire des traumatismes 8 physiques ont t simul s en tirant m cani SN quement des neurones sans pour autant 4 atteindre le point de rupture La figure 3 A 3 illustre une cloque qui est alors apparue a un noeud de Ranvier Notons que la cloque affecte une proportion seulement de la surface ji S axolemmale du noeud de Ranvier extracellulaire va Cons quences L apparition de dommages aux po membranes de neurones qui ne sont pourtant r gion p pas sectionn s est reli e une condition clinique appel l sion axonale diffuse diffuse axonal injury au cours de laquelle on observe Figure 3 A 3 Cloque apparue a un noeud de une dysfonction de l influx nerveux l apparition Ranvier d un axone tir m caniquement en laboratoire La l gende color e que nous avons de douleurs neuropathiques en plus d ane trac e souligne que la membrane de la cloque se augmentation rapide de la concentration distingue par l absence de cortex d actine interne d ions Na laquelle d clenche une spectrine Photo Maxwell 1996 d g n rescence secondaire des neurones Nous allons maintenant d tailler ces trois cons quences puis au bloc 3 A 3 nous pr senterons un m canisme qui relie ces dommages la pr sence de cloques et plus pr cis ment l effet des cloques sur la fonct
440. valeur cible de l activation g est elle aussi une fonction de V sur les courbes illustr es plus Vix est lev et plus g est grand Pr cisons que g ne cro t pas ind finiment quand V augmente il s approche asymptotiquement d une valeur maximale Dans Hodgkin 1952e cette valeur maximale de X est estim e pour un axone de calmar moyen suivant les unit s d finies au bloc 1 B2 2 a gc 36 mS cm Par exemple si on utilisait V 100 mV ou Vix 200 mV au lieu des valeurs plus faibles ayant produit les r sultats illustr s la figure 1 B3 6 on obtiendrait essentiellement dans les deux cas une courbe de g t qui tend vers une valeur cible de gk 36 mS cm augmenter davantage V ne permet plus de faire cro tre gk perceptiblement Mod liser le courant de potassium Hodgkin et Huxley n avaient aucune id e de la composition d une membrane et ne pouvait donc pas relier leurs mesures un m canisme mol culaire autre que sp culatif Leur approche a donc t d obtenir un mod le math matique permettant de pr dire g et les autres courants Les mesures que nous venons de pr senter indiquent que la proportion p 9k l 9k tend vers une valeur cible p avec une constante de temps 7 Un mod le math matique s duisant et simple mais malheureusement faux consisterait faire ob ir p une quation diff rentielle du premier ordre ayant la forme dp _P P quation 1 B3 3 dt T et o p
441. vation se suivent dans un tr s faible intervalle de temps on mesure que la charge d plac e vers l ext rieur de la membrane pendant l activation est 88 Chapitre 1 Guide du d butant gale la charge d plac e vers l int rieur pendant la d sactivation Par contre quand l activation dure suffisamment longtemps pour que de l inactivation puisse se produire moins de charge se d place lors de la d sactivation en d autres termes cette derni re semble partiellement emp ch e La proportion de charge immobilis e cro t avec la dur e d activation et le fait avec une constante de temps identique la variable 7 du mod le HH En somme l inactivation immobilise une partie de la charge des senseurs de tension responsables de l activation et de la d sactivation Cette d couverte de Armstrong et Bezanilla montre que la d sactivation ne peut pas ou difficilement se produire normalement sans que la r cup ration de l inactivation ait d abord eu lieu En conclusion de leur article ces auteurs construisent un mod le montrant que la d pendance h V pr sent e dans le mod le HH n est qu apparence les mesures de Hodgkin et Huxley pouvant tre expliqu es par une inactivation rapide et ind pendante de V seule l activation tant r ellement d pendante de V d une fa on intrins que Ce mod le semble fonctionner parfaitement pour certains isoformes Na alors que d autres ont une inactivation qui bien que fortement d pendante de l
442. xoplasmic conductance counteracts ectopicity Propagation window affected oppositely by stimulation jitter and mild dynamic noise lonic gradient depletion gives propagation window a finite lifetime Discussion Acknowledgments References Supporting information Table des mati res 97 113 115 118 122 129 130 131 132 133 135 139 141 141 142 142 143 144 144 144 145 146 92 97 99 109 113 113 129 139 141 142 142 145 146 147 Conclusion Bibliographie Index Appendice A Points cl de dynamique non lin aire AppA 1 Qu est ce que la dynamique non lin aire AppA 2 Espace de phase AppA 3 Point fixe cycle limite ou autres AppA 4 Un mot sur les bifurcations AppA 5 Verrouillage de phase Appendice B Courants ioniques potentiel de repos AppB 1 D monstration alternative de l quation de Nernst AppB 2 Le courant d une esp ce ionique AppB 3 Le potentiel de repos Appendice C Consid rations informatiques AppC 1 Le principe de base et les m thodes AppC 2 L accumulation et la gestion d erreurs AppC 3 Quelques autres aspects techniques Table des mati res 167 168 168 172 173 175 177 181 172 176 184 153 155 165 167 175 172 vii Liste complete des figures Chapitre 1 Guide du d butant viii 1 A 1 1 A 2 1 A 3 1 A 4 1 A 5 1 A 6 1 A 7 1 A 8 1 A 9 gt oO X X O WV DR RSS a gt
443. y diminished Fig S9 This robust prediction can also lead to a reinterpretation of clinical observations that might have been overlooked One might conjecture that some behaviors eg frenetic scratching or other intense stimulus practiced by people with tactile allodynia elicit high frequency firing in affected neurons this firing phase locks 1 1 and produces an expected and thus normal feeling sensation We should finally stress that our results are expected to be generally applicable to all neurons All frequencies and results covered in this article are scalable if the model parameters are adjusted In other words onset of ectopicity or a propagation window should both be expected in all axons whatever their maximum frequencies are Acknowledgments ML thanks PA Boucher for useful discussions BJ and AL acknowledge NSERC Canada support and CEM from OHRI 536 27 Boucher PA Jods B Morris CE 2012 Coupled left shift of Nav channels modeling the Na loading and dysfunctional excitability of damaged axons J Comput Neurosci 33 2 301 319 28 Conti F Inoue Kukita F St hmer W 1984 Pressure dependence of sodium gating currents in the squid giant axon Eur Biophys J 11 2 137 147 29 Bean BP 2007 The action potential in mammalian central neurons Nat Rev Neurosci 8 6 451 465 30 Yu N Morris CE Jods B Longtin A 2012 Spontaneous excitation patterns computed for axons with injury like impairments of sodium channe
444. y with r 0 05 cm L will see its gradients depleted when firing occurs over an extended period of time whether in the healthy Fig Sid or damaged state Fig S9b as Fig 1b shows for LS 0 the healthy system becomes ectopic if fi 2 20 Hz revealing sufficient Ex depletion but keeps firing continuously with a steady state reversal potentials if fi lt 13 3 Hz Our results indicate that the propagation window will eventually disappear because of the depletion of the gradients this was done here in an exaggerated manner by choosing a large ratio r Nevertheless a stream of temporally segregated stimuli such as bursts generated at the soma would have a higher likelihood of propagation due the recovery of the gradients during the pauses One wonders whether there may be a link between these depletion recovery dynamics and the shooting pain type perception of neuropathic stimuli coming in waves eg 51 This frequency window of reliable propagation where ectopicity is overridden is a robust phenomenon that should be expected in experiments Indeed it still occurs when there are a few 1 Novak KR Nardelli P Cope TC Filatov G Glass JD Khan J Rich MM 2009 Inactivation of sodium channels underlies reversible neuropathy during critical illness in rats J Clin Invest 119 5 1150 2 Bialer M 2012 Why are antiepileptic drugs used for nonepileptic conditions Epilepsia 53 s7 26 33 3 Greer JE Povlishock JT Jacobs KM 20
445. ypoth se simplificatrice sera que tous les courants ioniques autres que ceux de Na et de K sont n gligeables notamment J 0 Dans une cellule r elle il y a de nombreux m canismes de transport qui r gulent les concentrations de ces autres ions Grace cette hypoth se les quations 1 B2 14 sont les seules conditions respecter pour que la membrane soit stationnaire La figure 1 B2 4 compare visuellement ces hypoth ses celles que nous avons utilis es pour obtenir les quations 1 B2 11 et 1 B2 13 Figure 1 B2 4 Dans tous les mod les de membrane au repos le courant total est nul Toutefois seuls les mod les stationnaires pr sentent un flux total nul pour chaque esp ce ionique Le fonctionnement mol culaire des canaux et des pompes Na K sera trait dans la section 1 C MOD LE QUASI STATIONNAIRE MOD LE STATIONNAIRE j E OS K pta ttd FUITE DE FUITE DE AUTRES FUITE DE FUITE DE POMPE SODIUM POTASSIUM FUITES SODIUM POTASSIUM Na K INT RIEUR H EXT RIEUR En substituant les quations 1 B2 14 dans l quation 1 B2 8 on obtient directement que 9na Vo Ena 2 9k V Ex donc que Potentiel de repos cas lin aire stationnaire deux types d ions FL 2 9E Ve Gnawa 2 9kEk quation 1 B2 15 3 Ina 3 9k On peut tester la validit de l quation 1 B2 15 sur le plan quantitatif avec les valeurs utilis es pour l quation 1 B2 11 soit Ey 56 mV Ek 77 mV et gk 2
446. ystematic work concerning undergraduate material However several assertions about common problems can be found in biophysics textbooks see for example Nelson 2008 chap 11 12 This is the case of all textbooks listed under qualitative introductions in note 2 Guyton amp Hall does mention that other ions may be relevant to AP dynamics but doesn t even mention the existence of an undershoot This is the case of all textbooks listed under quantitative introductions in note 2 Among the sources listed in note 2 Marieb amp Hoehn Guyton amp Hall and even Dayan amp Abott remain vague or silent about the mechanism causing V recovery describing only what happens to Na and K VGCs during phase 3 Carefully chosen words are used not to say that Jya or J causes V recovery while not presenting what causes it either Among the qualitative sources listed in note 2 this mistake can be found explicitly in Zinke Allmang et al It is also found abondantly in yet carefully designed web animations See for example Web pages were consulted on June 26 2013 lt http outreach mcb harvard edu animation s actionpotential_short swf gt lt http www youtube com watch v b32g7GG_A M gt lt http dnatube com video 1105 Understandi ng Action Potential and Nerve Impulses gt lt http youtube com watch v WjYiwVZBN8E gt or lt http fr wikipedia org wiki Potentiel_d action gt See for example Campbell amp Reece Fig 48 11 or l

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