PETIT GUIDE DE SIMPLIFICATION EN MAPLE La résolution de
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1. combine trig combine exp combine 1ln simplify trig simplify exp simplify 1ln ou expand simplify power simplify power symbolic ou combine power convert exp convert trig convert 1ln sin a b sin a cos b cos a sin b cos a b gt cos a cos b sin a sin b idem pour les fonctions hyperboliques b etb o gt ete cos a cos b gt cos a b 2 cos a b 2 cos a sin b sin a b 2 sin a b 2 sin a sin b cos a b 2 cos a b 2 idem pour les fonctions hyperboliques ete s e b ea e2 ettnhb gt pet o n est entier ninb In b o n est entier na lnb In ab sin x cos x 1 cosh x sinh x 1 elb pa m b alnb In ab Ina lnb ax ES gotb a LS ac Ve a cos x ei e it 2 cosh x e e 2 et cos r isin x e cosh x sinh x arccos im x iv1 x arctanh x In 1 x In 1 x 2 TAB 6 Principales op rations sur les fonctions Expression R sultat f la fonction elle m me diff f x d riv e par rapport x int f x primitive par rapport x eval subs x a f limit f x a series f x a asympt f x plot f x a b f a limite de f x lorsque x a d veloppement limit en x a d veloppement asymptotique lorsque x la courbe y f x pour x a b 10 PETIT GUIDE DE2. 3 EXPRESSIONS COMPLEXES ET SIMPLIFICATION Les classes d expressions pr sent es jusqu ici partagent la propri t d avoir une proc dure de d cision pour la nullit C est dire que pour toutes ces classes un programme peut d terminer si une expression donn e est nulle ou non Dans de nombreux cas cette d cision se fait par r duction la forme normale expression est nulle si et seulement si sa forme normale est le symbole 0 Malheureusement toutes les classes d expressions n admettent pas une forme normale Pire encore pour certaines classes il est impossible de prouver la nullit d une expression en temps fini Un exemple d une telle classe est fourni par les expressions compos es partir des rationnels des nombres m et log2 et d une variable par utilisation r p t e de l addition de la soustraction du produit de lexponentielle et du sinus Bien s r une utilisation r p t e de evalf en augmentant la pr cision permet souvent de savoir si une expression particuli re est nulle ou non mais RICHARDSON a montr qu il est impossible d crire un programme prenant en argument une expression de cette classe et donnant au bout d un temps fini le r sultat vrai si celle ci est nulle et faux sinon PETIT GUIDE DE SIMPLIFICATION EN MAPLE 7 C est dans ces classes que se pose avec le plus d acuit le probl me de la simplifi cation Sans forme normale les syst mes ne peuvent que donner un certain
3. Ce tableau est tr s incomplet puisque les fonctions qui utilisent signum fonction signe pour les expressions r elles ou complexes par exemple tiennent galement compte de ces propri t s 12 PETIT GUIDE DE SIMPLIFICATION EN MAPLE TAB 8 Principales propri t s reconnues par Maple D claration Fonctions l exploitant assume x lt gt 0 signum assume x gt 0 signum abs csgn int assume x lt 0 signum abs csgn int assume x gt 0 signum abs csgn int assume x lt 0 signum abs csgn int assume x integer floor frac round trunc assume x real signum abs Re Im 5 OBJETS COMPOS S Maple g re des suites d expressions des ensembles et des listes Le tableau 9 d crit les caract ristiques et diff rences de ces objets Un dernier type d objet com pos est la table mais les r gles d valuation des tables rendent leur utilisation un peu d licate et sort de ce petit guide TAB 9 Listes ensembles et suites d expressions Objet Caract ristiques liste type list syntaxe a b c ordonn a b c b a c l ments r p t s a a c gt a a c plusieurs niveaux 1 b c l a l d l a b c d liste vide ensemble type set syntaxe a b c non ordonn a b c b a c pas d l ments r p t s a a c a c plusieurs niveaux 1 b c a l d a b c d ensemble vide suite type exprseq d expressions syntaxe a b c ordonn a b c
4. b a c l ments r p t s a a c gt a a c un seul niveau 1 b c a l d gt a b c d suite vide NULL 6 OP RATEURS FONCTIONNELS Une technique courante pour donner une valeur une expression consiste utiliser la fonction eval Une autre fa on de r aliser cette op ration est utiliser un op rateur fonctionnel En Maple la notation fl che gt cr e une fonction de z ro ou plusieurs arguments PETIT GUIDE DE SIMPLIFICATION EN MAPLE 13 Exemple 14 Voici comment d finir une fonction f qui x y associe l expres sion x y 1 f x y gt x 2 y 2 1 f ay 2 y 1 f 1 a a La fonction f s value alors comme n importe quelle fonction Maple Inversement partir d une expression alg brique on peut obtenir une fonction Pour cela on utilise la fonction unapply quivalent de l abstraction du calcul En Maple on peut m me composer ou d river les op rateurs fonctionnels l aide de l op rateur de composition et de l op rateur de d rivation D L op rateur 00 est l op ration de composition it r e Ainsi f fOOf et F00003 repr sentent tous deux la troisi me it r e de f Exemple 15 TE X gt XX f x r CF x z z7 D C00O2 FOCF x ue fntee 1324 CI at amp n a 1 lt 2 In x 1 o 1 Malgr toutes ces possibilit s offertes par les op rateurs fonctionnels nous conseillons de tr
5. aux classes pr sent es jusqu ici il n y a pas une bonne repr sentation des polyn mes Les fonctions permettant de r crire un polyn me sous diverses formes sont r sum es au tableau 2 Le tableau 3 r sume celles concernant les fractions rationnelles Le dernier argument de collect est une proc dure qui est appliqu e chacun des coefficients ce qui peut tre tr s utile La commande convert parfrac effectue la d composition en l ments simples 2 3 D veloppements limit s Comme les matrices et les flottants les d veloppements limit s ont une forme normale mais celle ci n est pas produite automatiquement La commande de r duction est series Comme pour evalf l ordre des d veloppements est sp cifi soit en donnant un argument suppl mentaire series soit en modifiant la variable globale Order qui vaut 6 par d faut Exemple 8 PETIT GUIDE DE SIMPLIFICATION EN MAPLE 5 TAB 3 R critures de fractions rationnelles Fraction f Op ration R sultat z 3x 22 yx 3yx 2y x yr r y x3 yr 2x2 2y normal y factor f EH 3 2 2 2 3 2 g 3x 2x yr 3yx 2 x 3x 2 3 2 ERREUR collect f y Gi 2x2 5 F z AET 3 collect f y normal Cty CH 2 2 3 2 3 gt a expand f PFI T I T en 322 y 3 y2 1 1 18y 1 6y E convert f parfrac x 3y ICT Wer series x 2 x x 2 0 X 2 ae 4 37 z7 T 8 T O x s seri
6. est pas tou jours la forme normale Dans le cas des polyn mes par exemple la repr sentation d velopp e est une forme normale mais la repr sentation factoris e permet des cal culs de pgcd bien plus rapides Ce genre d exemple am ne Maple un compromis Un certain nombre de simplifications basiques comme la r duction des rationnels ou la multiplication par z ro sont effectu es automatiquement les autres r critures sont laiss es l initiative de l utilisateur auquel des commandes sp cialis es sont propos es Les principales fonctions permettant de r crire des expressions sont normal expand combine collect et simplify Pour bien utiliser ces fonctions il faut savoir quel type de transformations elles effectuent et quelle classe d expressions ces transformations s appliquent Ainsi usage aveugle de la fonction simplify tait tr s dangereux dans le pass et pouvait conduire des r sultats faux La si tuation s est beaucoup am lior e dans les versions r centes Un second argument de simplify permet par ailleurs de pr ciser la simplification effectuer Dans ce petit guide nous allons passer en revue les principales classes d expres sions communes en Maple et les fonctions de manipulation correspondantes Nous insisterons sur les fonctions de r criture c est dire celles qui modifient la forme d une expression sans changer sa signification math matique Un premier aper u est donn par le table
7. les autres expressions la fonction de base pour ces calculs est evalf qui value num riquement une expression tous les nombres sont transform s en flot tants Un argument optionnel permet de pr ciser le nombre de chiffres significatifs utilis s lors du calcul Exemple 5 Voici m avec 50 chiffres significatifs evalf Pi 50 3 14159265358979323841626433832795028841971693993751 La pr cision peut galement tre r gl e par la variable globale Digits qui vaut 10 par d faut Les flottants en Maple sont li s leur pr cision ainsi la valeur pr c dente est diff rente syntaxiquement de la valeur de m calcul e avec dix chiffres significatifs Compte tenu de cette restriction les flottants renvoy s par evalf sont sous forme normale 1 4 Bool ens Les expressions bool ennes forment aussi une classe l mentaire Les deux formes normales sont true et false Les autres expressions s y r duisent par la commande evalb Exemple 6 a 0 b 2 c 83 evalb a 1 or b 2 and c 3 true 1 5 Classes issues de l arithm tique Les autres constantes formant une classe l mentaire munie d une forme normale sont les r sidus modulo p avec pour fonc tion de r duction mod et les nombres p adiques mis sous forme normale par la fonction padic evalp 4 PETIT GUIDE DE SIMPLIFICATION EN MAPLE TAB 2 R critures de polyn mes Polyn me p 22 x y lax 2by zy y collect p x z 1 2
8. nombre de fonctions de r criture avec lesquelles l utilisateur doit jongler pour parvenir un r sultat Pour y voir plus clair dans cette jungle il faut l encore distinguer plu sieurs sous classes savoir quelles fonctions s appliquent et quelles transformations sont effectu es 3 1 Constantes Comme dit pr c demment les calculs se font avec des nombres entiers ou rationnels exacts et avec des constantes math matiques vraies qui ne sont pas des repr sentations flottantes Les constantes les plus simples sont les rationnels le nombre m not Pi la base e des logarithmes n p riens not e E le nombre imaginaire i not I et la constante d EULER y not e gamma Ces constantes sont relativement bien connues du syst me Une exception est la constante E peu utilis e par Maple laquelle il faut pr f rer exp 1 Pour la classe simple des polyn mes en 7 et e aucun algorithme de d cision n est connu ce jour on ignore s il existe un tel polyn me non trivial qui vaille z ro En utilisation interactive une bonne fa on de traiter ces constantes dans des simplifications compliqu es est de les remplacer toutes sauf par des variables et d utiliser les proc dures de forme normale des fractions rationnelles Ceci revient faire l hypoth se que toutes ces constantes sont alg briquement ind pendantes Cette remarque se g n ralise des constantes plus complexes comme In 2 exp r log 3 mais il faut a
9. respec tivement la partie r elle la partie imaginaire le module et l argument 8 PETIT GUIDE DE SIMPLIFICATION EN MAPLE z atl b Re z Im z abs z argument z R a S b Sa R b a Tb argument a Tb Un appel evalc simplifie en supposant a et b r els evalc Re z evalc Im z evalc abs z evalc argument z a b V a b arctan b a 3 3 Fonctions La plupart des fonctions math matiques usuelles se retrouvent en Maple en particulier les fonctions trigonom triques le logarithme et l exponen tielle La simplification de telles fonctions est cruciale Le tableau 5 p 9 d crit les commandes de base r alisant ces simplifications Tout ce qui concerne le classique tableau de variation de la fonction calcul des d riv es des asymptotes des extremums recherche des z ros et trac de la courbe peut tre facilement r alis Les principales op rations Maple qui s appliquent une fonction sont r sum es au tableau 6 p 9 3 4 quations Un principe important du calcul formel est la manipulation d ob jets d finis par des quations sans passer par la r solution de celles ci Ainsi une fonction d finie par une quation diff rentielle lin aire et des condi tions initiales est parfaitement pr cis e L ensemble des solutions d quations diff rentielles lin aires est clos par addition et produit entre autres et forme ainsi une impor tante classe o l on peut d cider d
10. PETIT GUIDE DE SIMPLIFICATION EN MAPLE Version l g rement mise jour d un chapitre de l ouvrage d sormais indis ponible Calcul formel mode d emploi de Claude Gomez Bruno Salvy Paul Zimmermann Masson 1995 Certains commentaires sont devenus obsol tes dans les versions r centes de Maple La r solution de probl mes concrets passe par l emploi de nombreuses fonctions solve subs normal simplify eval fsolve plot Outre la ma trise de l aide en ligne il faut apprendre raisonner en termes de classes d expressions Chaque fonction Maple s applique et produit une classe bien d finie d expressions Re conna tre qu une expression appartient telle ou telle classe permet du m me coup de savoir quelles fonctions on peut lui appliquer Un probl me pour lequel cette reconnaissance est essentielle est celui de la simpli fication d expressions C est autour de ce probl me que sont d finies les principales classes d expressions en Maple En effet d s qu il est possible de d terminer si une expression appartenant une classe est nulle ou non il est possible d effectuer des divisions dans cette classe Autrement tous les calculs qui demandent une division deviennent hasardeux Dans les classes les plus simples il existe une forme normale Sous cette forme deux expressions repr sentent le m me objet math matique si et seulement si elles sont identiques Cependant la repr sentation id ale n
11. SIMPLIFICATION EN MAPLE TAB 7 Calcul avec des formes inertes Forme inerte Fonctions qui s y appliquent Int diff evalf series sum diff evalf Product diff evalf mod RootOf evala sum factor allvalues testeq solve evalf product diff evalc series DESol diff series Diff diff D liesymm expand Limit evalf Re Im evalc Eigenvals Svd evalf que le syst me ne cherche pas calculer contrairement int Ainsi la diff rence entre evalf Int f x a b et evalf int f x a b est que dans le premier cas la routine d valuation num rique d int grale est imm diatement appel e alors que dans le second cas le syst me cherche d abord une forme sym bolique S il en trouve une par exemple lorsque f cos x elle est employ e sinon la routine d valuation num rique est appel e Par exemple lorsque f cos sin x apr s avoir perdu du temps chercher en vain une solution symbolique le syst me r alise l valuation num rique La fonction Sum joue le m me r le pour les sommes Lorsqu une expression contient des formes inertes la proc dure value les rend ac tives afin de calculer la valeur de l expression Pour RootOf la commande allvalues joue partiellement ce r le Les principales formes inertes peuvent tre r crites par combine expand simplify et certaines commandes du package student Le tableau 7 montre les autres fonc tions qui prennent en compte les formes inertes La form
12. TIT GUIDE DE SIMPLIFICATION EN MAPLE a3 a8 3a 1 TRSA 34 11 11 4 4 34 a a a 4af 07 Q 5 5 5 5 5 5 5 Il faut noter que l expression RootOf x 7 3 x 2 1 x que nous avons fait af ficher pour une meilleure lisibilit l aide de la commande alias repr sente l une quelconque des sept racines du polyn me x 3x 1 Par contre l identit prouv e par evala n est vraie que si les diff rentes occurrences du symbole a sont remplac es par la m me racine 2 5 Racines carr es Pour simplifier des fractions rationnelles dont le d nominateur comprend des racines carr es la m thode classique de multiplication par l expres sion conjugu e est r alis e par la commande rationalize rationalize 1 1 sqrt 2 sqrt 3 I V3 V2 1 V3 Pour obtenir une forme normale il faut d velopper le r sultat donn par la com mande rationalize les facteurs obtenus au num rateur d pendent en effet de l ordre d limination des racines carr es expand BE i AA Nous aurions pu obtenir le m me r sultat mais plus laborieusement l aide de RootOf et evala en substituant RootOf x 2 n sqrt n puis en appliquant evala et en effectuant la substitution inverse La commande rationalize accepte galement des expressions contenant des racines imbriqu es ou des variables rationalize 1 sqrt x sqrt y sqrt z t Vert Ve Va e t 2 V7 22 2tz 2x2 t 2tx x y
13. appara t lors de leur impression Mais on continue les utiliser normalement en entr e Exemple 12 assume R1 gt 0 assume R2 gt 0 about R1 Originally R1 renamed R1 is assumed to be RealRange Open 0 infinity Avec ces hypoth ses sur R et R des simplifications sont r alis es automatique ment qui ne l auraient pas t sinon A normal R1 2 arccos c1 s1 c1 R2 2 arccos c2 s2 c2 12R1 R2 1 A arccos GA R1 5R2 VARIT R2 2 R1 1 R27 R2 arccos G r Le seul moyen de supprimer les hypoth ses faites sur une variable est de lui donner une valeur qui peut tre son nom Par ailleurs les nouvelles hypoth ses n ont pas d effet r troactif et il faut ventuellement refaire des calculs Exemple 13 La variable e garde sa valeur obtenue pour a gt 0 m me apr s avoir sp cifi que a est n gatif assume a gt 0 e 1 sqrt a 2 e 1 a assume a lt 0 e 1 a e 1 sqrt a 2 e l a Pour r sumer voici les principales fonctions manipulant des hypoth ses assume d clare une hypoth se additionally rajoute une hypoth se une variable isgiven teste si une hypoth se a t d clar e is teste si une hypoth se se d duit de celles qui ont t d clar es about liste les hypoth ses faites sur une variable Dans le tableau 8 nous indiquons les principales propri t s utilisables et une partie des fonctions qui en tiennent compte
14. au 1 Date Version du 28 f vrier 2008 2 PETIT GUIDE DE SIMPLIFICATION EN MAPLE 1 CLASSES L MENTAIRES Les classes l mentaires sont form es d expressions sans variable c est dire de constantes entiers rationnels nombres flottants bool ens r sidus modulo p et nombres p adiques 1 1 Entiers En Maple les op rations sur des nombres entiers ou rationnels sont exactes Exemple 1 Un calcul typique d entier est celui de factorielle 100 100 93326215443944152681699238856266700490715968264381621 46859296389521759999322991560894146397615651828625369 7920827223758251185210916864000000000000000000000000 De nombreuses fonctions s appliquent aux entiers ppuq Exemple 2 FERMAT avait conjectur que tous les nombres de la forme 2 1 taient premiers Voici le premier exemple qui invalide sa conjecture ifactor 2 2 5 1 641 6700417 Du point de vue de la simplification tous les entiers sont repr sent s en base dix ou deux ou une puissance de deux ce qui constitue une forme normale D galit d entiers est donc facile tester en Maple le test d galit syntaxique se fait en temps constant ind pendamment de la taille des objets Toute op ration sur des entiers est imm diatement effectu e par exemple 2 n est pas repr sentable en Maple il est imm diatement transform en 4 Cela signifie aussi qu un nombre facto ris ne peut pas tre repr sent comme un enti
15. availler plut t sur des expressions pour manipuler des fonctions avec eval ou subs pour donner des valeurs aux param tres Bien que l valuation soit un peu moins naturelle pour un math maticien les expressions se pr tent des op rations plus nombreuses Par exemple Maple sait calculer une primitive d une expression mais ne peut le faire pour un op rateur fonctionnel Il en va de m me pour de nombreuses commandes dont l argument doit tre une expression 7 EXERCICES Ces exercices visent essentiellement faire ex cuter des calculs simples en appre nant progressivement se d brouiller l aide de la documentation en ligne Pour chaque exercice sont indiqu s entre crochets les items de la documentation en ligne consulter 1 Calculer la valeur num rique de ef V165 262537412640768744 avec succes sivement 10 20 30 40 et 50 chiffres significatifs Commentaires evalf 2 Montrer que z 1 2 z 3 1 2 1 52 1 522 o j est une racine cubique de l unit Pour cela on d finira j comme un nombre alg brique RootOf evala alias 3 Retrouver les formules d velopp es de sin 3x cos 3x et ch 5x expand inifcns
16. by x y ax 2y b zy y x a collect p lx yl 2 1 2by x y ax 2y b z 1 y x a collect p x y distributed z 1 r 20yx y az 2y b z 1 y x a expand p zz x z a 2x by y as 2y b zy y factor p x y ax z 1 2by 2 CLASSES FORME NORMALE partir de constantes bien d finies des classes d objets symboliques faisant intervenir des variables et admettant une forme normale peuvent tre construites Les plus importantes sont les matrices les polyn mes et fractions rationnelles les d veloppements limit s et les nombres alg briques Pour chacune de ces classes nous indiquons les principales fonctions de r criture 2 1 Matrices La forme normale d une matrice est obtenue lorsque tous ses coef ficients sont eux m mes sous forme normale Il y a plusieurs types de matrices en Maple Pour le type Matrix qui est pr f rer les simplifications sont automatiques Il faut cependant penser utiliser et non pour la multiplication seul le premier garantissant la non commutativit Exemple 7 a Matrix 1 2 31 2 4 81 13 9 271 1 2 3 a 2 4 8 3 9 27 a 2 1 a 1 5 13 2 7 3 7 1 25 3 2 19 2 27 2 2 Polyn mes et fractions rationnelles Les calculs sur les polyn mes et les fractions rationnelles une ou plusieurs ind termin es sont les op rations de base d un syst me de calcul formel Contrairement
17. e inerte la mieux connue du syst me est RootOf Son argument n est pas forc ment un polyn me les commandes evalf et series savent aussi traiter des quations plus g n rales Voici par exemple une fa on de trouver num riquement une racine de l quation z cos z 2 evalf RootOf z cos z 2 2 988268926 et voici comment obtenir un d veloppement limit l origine de la fonction y x d finie implicitement par yexp x y ln 1 x series RootOUf y xexp x y 5 1n 1 x y x 2 43 4 209 x t For T 5 6 2 3 pp TOE 4 HYPOTH SES SUR LES VARIABLES Les variables non affect es posent probl me lors des calculs Par exemple que vaut Vx Si x est r el positif on voudrait obtenir x si x est r el n gatif on voudrait obtenir x et si x est un nombre complexe quelconque on doit choisir PETIT GUIDE DE SIMPLIFICATION EN MAPLE 11 parmi deux racines complexes oppos es Ce probl me du type de la variable se pose dans bien d autres cas Dans certains cas le probl me peut tre r gl par l emploi de l option symbolic de la fonction simplify qui permet de r aliser les simplifications sans se poser de question Dans le cas g n ral la bonne solution consiste utiliser la fonction assume qui permet de pr ciser les propri t s d une variable La fonction about indique les hypoth ses faites sur une variable Apr s l appel de assume les variables sont automatiquement renomm es et un tilde
18. e la nullit En revanche si l on r sout une telle quation la solution priv e de son quation de d finition tombe dans une classe plus grande o bien peu est d cidable Cependant dans certains cas surtout en utilisation interactive il est utile de chercher une solution explicite par exemple pour passer une application num rique Les principales fonctions de r solution sont r sum es au tableau 4 TAB 4 R solution d quations Commande Usage fsolve solutions flottantes isolve solutions enti res msolve solutions modulaires linsolve solutions d quations lin aires dsolve solutions d quations diff rentielles rsolve solutions de r currences solve r solveur symbolique g n ral 3 5 Formes inertes en Maple Dans l exemple 10 p 5 nous avons repr sent les racines du polyn me x 3x 1 l aide de RootOf Cette fonction ne fait aucun calcul elle sert uniquement repr senter l une des solutions d une quation De telles fonctions qui ne font rien sont appel es des fonctions inertes Leur r le est d tre reconnues par les fonctions du syst me qui effectuent des calculs RootOf n est pas la seule fonction inerte de Maple La fonction DESol repr sente les solutions d une quation diff rentielle La fonction Int repr sente une int grale PETIT GUIDE DE SIMPLIFICATION EN MAPLE TAB 5 Simplifications des fonctions l mentaires Commande R sultat expand
19. er puisqu alors il serait imm diatement d velopp Dans l exemple pr c dent le r sultat est en r alit un produit de fonc tions TAB 1 Principaux simplificateurs Classe d expressions Fonction entiers simplification automatique rationnels simplification automatique flottants evalf bool ens evalb r sidus mod p mod nombres p adiques padic evalp matrices evalm fractions rationnelles normal d veloppements limit s series nombres alg briques evala racines carr es rationalize nombres complexes evalc fonction f simplify f PETIT GUIDE DE SIMPLIFICATION EN MAPLE 3 1 2 Rationnels La propri t de forme normale s tend aux nombres rationnels Non seulement les additions multiplications et quotients sont imm diatement ex cut s mais en plus les fractions rationnelles sont toutes r duites Exemple 3 Dans cet exemple les factorielles sont d abord valu es puis le ra tionnel obtenu est simplifi 991 100 1 50 1 100 1 3 Flottants Les r gles de simplification automatique sont moins syst matiques pour les nombres approch s num riquement appel s aussi nombres en virgule flot tante ou plus simplement flottants Lorsqu ils interviennent dans une somme un produit ou un quotient faisant intervenir par ailleurs des rationnels ils sont conta gieux c est dire que toute l expression devient un nombre flottant Exemple 4 72 53 5 3 2 7 3 141509435 Pour
20. es exp sin log 1 x x 1 s l x se TA 3 O x series s 2 x 3 x 4 2 1 92r r 37 O x Il est important de noter que si les coefficients des d veloppements limit s sont dans une classe d expressions n admettant pas de forme normale alors les r sultats renvoy s par series peuvent tre faux Exemple 9 Une des fa ons les plus simples de d guiser 0 consiste l crire exp 1 exp 1 1 Ceci conduit une erreur de series f 1 z z exp z exp 1 2z R z ze e series f z 1 2 1 1 3ee7 1 ee l ge ee 1 1 ee z Le premier terme est en r alit infini series devrait rep rer un p le simple et pro duire 1 2 71 2 0 1 ce que l on obtient en appliquant series combine f exp cf tab 5 p 9 1 O 2 1 2 4 Nombres alg briques Un nombre alg brique est d fini comme racine d un polyn me Lorsque le degr du polyn me est plus grand que 4 il n est pas possible de le r soudre explicitement en g n ral Cependant de nombreux calculs sur ses racines peuvent tre men s bien sans autre information que le polyn me lui m me Les nombres alg briques sont repr sent s en Maple par l op rateur RootOf qui prend en argument le polyn me Les fractions rationnelles en un nombre alg brique admettent une forme normale calcul e par evala Exemple 10 alias alpha RootOf x 7 3 x 2 1 x alpha 3 alpha 8 3 alpha 2 1 6 PE
21. lors tre s r que celles ci ne sont pas trivialement d pendantes 3 2 Nombres complexes En Maple on note I le nombre imaginaire i La fonction de base pour les calculs sur les nombres complexes est evalc Elle met une expression sous la forme a ib o a et b sont r els Comme la nullit n est pas en g n ral d cidable il en va de m me de la r alit Cependant d s que a et b sont dans des classes forme normale evalc fournit une forme normale pour les complexes associ s Exemple 11 On peut par exemple calculer 14 1 7 1 2 1 14 evalc 1 1 ayy z172 Le r sultat de ce calcul pose le probl me de la d termination des racines L imagi naire a deux racines alors que evalc n en donne qu une Dans le cas d expressions plus compliqu es les choix multiples de racines carr es ou cubiques peuvent rendre la reconnaissance de 0 difficile surtout si ces choix doivent tre faits de mani re coh rente dans l expression Le m me type de probl me se pose avec toutes les fonctions multiformes comme le logarithme ou les fonctions hyperg om triques Le syst me fournit alors peu d assistance pour les simplifications Par ailleurs dans un calcul avec des expressions complexes evalc suppose que les variables qui interviennent sont r elles Tout ceci entra ne qu il faut tre tr s prudent avec la manipulation de nombres complexes Les autres commandes principales sont Re Im abs et argument donnant
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