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Ecole Polytechnique de Louvain Conception d`un outil de

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1. Shapes D Electrode Edit Delete Rectangle Dimensions Center width height Y Conductivities x Y z Electrode Edit Delete Recess Dimensi width Ean Delete Add Shape Apply All Reset Add Shape Reset Welcome 59 Auto adjust Auto adjust Distribution avec une g om trie affich e FIG 4 4 Interface graphique finale avec la distribution des potentiels pour z 21000um Sur la droite de la figure une liste de boutons reprenant les diff rentes coordonn es z disponibles permet de naviguer dans la solution tridimensionnelle Des captures d crans pour d autres valeurs de z sont disponibles en annexe et permettent d observer la propagation longitudinale des potentiels dans la fibre Chapitre 5 Conclusion et perspectives Dans ce travail nous avons d velopp une interface graphique permettant des utilisateurs ne poss dant aucune connaissance particuli re en m thode num rique ni en langage de programmation d utiliser un programme de calcul de distribution de potentiels lors d une stimulation lectrique d un nerf Cet outil a t r alis de mani re pouvoir tre am lior et compl t facilement Ce travail s inspire principalement de la partie de calcul de distribution des potentiels lors d une stimulation lectrique nerveuse des travaux de Parrini S 3 de Potter d Indoye A 6 et de Ooze
2. Fic A 6 Ajout d un objet de type Recess Potential Distribution Distribution Save New Extrusion Conductivities number of layers ages layer 0 500 layer 1 400 layer 2 400 layer 3 300 layer 4 300 layer 5 300 layer 6 oo 0 0 6 layer 7 400 q layer 8 f400 layer 9 500 Number of layers updated Fic A 7 L onglet extrusion permet de sp cifier le nombre de reproductions de la section initiale et les espacements entre chacune des reproductions Quand le calcul est termin la distribution des potentiels de la section cen trale est affich e voir figure A 9 Sur la droite se trouve une liste de boutons permettant d afficher la solution aux diff rentes sections sp cifi es dans l onglet extrusion voir figure A 10 68 Shapes Edit Conductivities x Y Electrode Edit Delete Circle Dimensions radius length Center x Y z Conductivities x 0 0659 D Electrode Edit Delete RS Add Shape Apply All Reset Load Zoomin Zoom out Center Auto adjust Distribntion Shapes Circle Dimensions radius length Center x zi lt Conductivities x Y z Electrode Edit Delete Circle Dimensions radius length Center x 2 Conductivi
3. 1 Xy X5 nX3 3 1 7 o X X et X repr sentent les trois sommets de l l ments Qe On peut v rifier cette relation en rempla ant par les coordonn es d un des sommets de l l ment parent par exemple celles de Pz 1 0 1 10 x X 1 x X 0x X 1 0 X Il en est de m me pour les deux autres points donc la relation est bien v rifi e et on peut dire que P X Il faut maintenant choisir la fonction de forme pour chaque noeud qui vaut l unit sur ce dernier et qui est nulle sur les autres noeuds Le nombre de noeuds d termine le degr du ou des polyn mes que sont les fonctions de forme et invers ment Prenons comme exemple des polyn mes lin raires et choisissons comme noeuds les trois sommets de 2 les 3 fonctions de forme sont alors d l n 1 E n pa n 3 1 8 Pa n n c Les l ments quadrilat raux Pour un l ment quadrilat re les sommets de l l ment parent ont pour coordonn es P 1 1 P2 1 1 P3 1 1 et Py 1 1 La relation 3 1 7 devient d s lors x EM 3727 1 xe 26 NN M ye T 4 X3 4 Xi et les polyn mes de derg 1 deviennent 1 S m E n 4 Pa n 1 E n 4 Pa n E n 4 Pa m 1 6 1 n 4 On peut donc maintenant r crire l quation 3 1 3 autant pour des triangles que pour des quadrilat res comme suit p 1 u w DT U di
4. D polarisation r ponse passive car le potentiel seuil n est pas atteint Fic 2 6 R ponses de la membrane en fonction des diff rents courants appliqu s image issue du livre Neurosciences 7 o V d signe le voltage transmembranaire et P d signe la perm abilit de la membrane l ion consid r La valence n tant plus consid r e les concentra tions des ions charg s n gativement C17 ont donc t invers es dans l quation de Goldman par rapport celle de Nernst 2 3 1 Le potentiel de repos Le potentiel de repos d un neurone est d environ 70mV L ion responsable de cette diff rence de potentiel n gative avec le milieu ext rieur est le potassium Pour mieux en comprendre la raison prenons le cas simple o la membrane est perm able au potassium et o sa concentration est cent fois plus importante l int rieur de la cellule L quation devient alors temp rature ambiante 1 V 58log Tap 6mV Cet exemple nous montre que si la concentration en potassium est plus lev e l int rieur qu l ext rieur de la membrane le potentiel d quilibre est alors n gatif Pour le sodium si sa concentration est plus importante l ext rieur qu 13 l int rieur le potentiel est alors positif Et finalement avec les m mes concen trations et une certaine perm abilit aux deux ions le potentiel a une valeur interm diaire proche de 0 Le tableau 2 1 reprend l
5. Le second regroupe les potentiels enregistr s suite un stimulus externe tel que la lumi re la chaleur le bruit Ils sont appel s potentiels de r cepteur Le troisi me s observe au niveau des contacts synaptiques lors de la com munication entre neurones ce sont les potentiels synaptiques Ils servent 10 Cerveau Cervelet Moelle pini re SNC Fic 2 4 Le syst me nerveux peut tre divis en deux sous syst mes le syst me nerveux p riph rique gauche et le syst me nerveux central droite image adapdt e d une image r alis e par St phane Schmitt au transfert de l information d un neurone un autre C est par l inter m diaire de ces potentiels que le SNC et le SNP communiquent Le dernier et le plus important est le potentiel d action C est un si gnal lectrique produit par le syst me d amplifaction du neurone Ce type de potentiel est d clench lorsqu un courant lectrique passe travers la membrane Dans les conditions normales ce courant provient des poten tiels de r cepteur ou des potentiels synaptiques mais il peut galement tre induit par une micro lectrode par exemple dans le cas d une FES stimu lation lectrique foncitonnelle Il est important de noter que si le courant tend rendre le potentiel de membrane plus n gatif hyperpolarisation la membrane a une r ponse passive Mais dans le cas contraire d polarisa tion et se
6. Celles qui veulent utiliser l outil par exemple pour des recherches en neurologie Dans ce travail une personne appartenant ce groupe est nomm e utilisateur C est principalement ce groupe qu est destin e l interface graphique voir section 4 et le mode d emploi en annexe 1 2 Contribution L objectif de ce projet est donc de fournir un outil complet de mod lisation de stimulation lectrique artificielle nerveuse La conception de cet outil comprend les tapes suivantes Le design d une interface graphique ergonomique et facile d utilisation suivant une m thode inspir e de la m thode centr e utilisateur 5 Le calcul de distribution des potentiels le long de la fibre lorsqu un courant traverse des lectrodes de stimulation L impl mentation du mod le de membrane de la fibre nerveuse Ce m moire est limit l interface graphique et au calcul de la distribution des potentiels Les deux m thodes de calcul tudi es sont les suivantes celle propos e dans le travail de S Parrini 3 que l on appellera m thode par Fourier celle propos e dans le m moire de A de Potter d Indoye 6 et la th se de M Oozeer 4 que l on appellera m thode par extrusion Ce texte d crit la d marche suivie pour la r alisation de ces deux parties Il en explique autant les aspects th oriques que pratiques pour permettre d autres personnes de pouvoir modifier ce qui a d j t
7. pour m n m n m n JAint M J at sin ma pour m En et m 0 2a pourm n 0 sin m n a sin m n a m n J m n pour m n sin 2ma 2m a pour m n et m 0 IDint m sin 2ma S gt pour m n et m 0 0 pour m n Apportons maintenant quelques pr cisions quant au domaine Au niveau des dimensions en r et en z il est clair qu elles sont respectivement le diam tre du cylindre et la hauteur du cylindre En ce qui concerne la direction 0 le domaine s tend de 7z x et la conductivit k d pendante du mat riau est une fonction chelon selon 0 sur la sous couche de l lectrode alors que c est une constante sur les autres Nous pouvons donc d finir ginz Comme tant la fonction gint sur la couche de l lectrode et Gintne pour les autres Dans ce cas nous pouvons crire en rempla ant a par m pour les gintne m et par 8 et m B pour les Gint e m avec 8 la moiti de l angle d fini par l lectrode voir Fig 3 2 0 pour m n kgAint ne m 4 kr pour m n et m 0 2kr pour m n 0 31 Hs FIMTA sin m n x 6 y pour m n kgaint e m sin 2m sin 2m r k 8 EEA hs r 8 CCD 2m pour m n et m 0 2k B 2kiso a B pour m n 0 0 pour m n ka pour m n et m 0 kgpint ne m kr pour m n et m 0 0 pour m n 0 p sin m n B q sin m m 8 m n min
8. dif f rentes parties du corps par exemple dans le cas o le syst me nerveux a t endommag et n est plus capable de le faire lui m me Cette information est envoy e via les fibres nerveuses sous forme de signal lectrique 1 1 Besoins Il existe d j un certain nombre d outils de mod lisation tridimensionnelle de la stimulation lectrique nerveuse 1 2 et deux que nous tudions dans ce travail 3 et 4 Malheureusement ces outils sont peu modulables peu portables lourds l ex cution et surtout tr s difficilement utilisables pour des personnes qui ne poss dent pas les connaissances appropri es Les connaissances requises pour utiliser ce genre de mod les vont de la ma trise de la m thode des l ments finis et de Matlab jusqu celle de langages de programmation tels que C ou C Or une partie des personnes int ress es par ce genre d outils ne poss dent pas ces connaissances Il serait donc int ressant de leur fournir un outil qui n exigerait pas une ma trise de ces diff rents domaines Il serait galement int ressant que cet outil puisse voluer et tre am lior facilement Nous distinguons deux groupes de personnes int ress es par ce projet Celles qui veulent faire voluer et am liorer l outil C est principalement ce groupe qu est destin ce rapport dans le but de fournir toutes les informations n cessaires la compr hension du programme et sa modi fication
9. 1000 1000 1000 1000 1000 75 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 Number of short layers 3 2 3 15400 1 26600 2 42000 1 5 5 15400 1 20250 2 21750 5 26600 2 42000 1 6 5 15400 1 20600 2 21400 6 26600 2 42000 1 Output O default B 4 inputFEM txt Data 0 default Conductivities 7 color 1 2 0 2 0 2 0 color 2 1 0E 6 1 0E 6 1 0E 6 color 3 2 0 2 0 2 0 color 4 0 1 0 1 1 0 color 5 10000 10000 10000 color 6 2 0 2 0 2 0 color 7 0 0659 0 0659 0 0659 Dirichlet 3 boundary 1 O boundary 2 0 boundary 3 0 Stimulation 1 color 5 2 0e 010 Solve 0 Print 0 default 76 Annexe C GUI avec solution Sur la figure C 1 la propagation longitudinale des potentiels le long de la fibre peut tre observ e potential at z 19000 0 Fic C 1 Sur cette figure se trouvent quatre captures d crans de la GUI affichant la solution de l exemple de la section 3 5 pour diff rentes valeurs de z 77
10. Ils cr ent une perm abilit s lective en ne permettant seulement qu certains ions de franchir la membrane C est donc gr ce ces deux modes de transports des ions que les diff rents potentiels peuvent tre cr s Le potentiel d quilibre lectrochimique d un ion peut tre calcul gr ce l quation de Nernst _ ET Xl E lIn 2 3 1 ou Ey est le potentiel d quilibre pour Vion X R est la constante des gaz parfaits 8 3J T la temp rature absolue en degr Kelvin z la valence de Vion et F la constante de Faraday 96485 3 L Lorsque cette quation est appliqu e aux syst mes biologiques l ext rieur de la cellule le milieu 2 dans nos quations est pris par convention comme point de r f rence le potentiel z ro Cette quation n impliquant qu un seul type d ions il est vident qu elle ne convient pas parfaitement au cas d une cellule de l organisme L quation de Goldman prend en compte le gradient de plusieurs ions perm ants et galement leur perm abilit Elle s crit comme suit RT Pr K 2 a Pyna Nal2 En Poi Cli v l Flinl0 PiK Pno Na Poi Cl s 2 3 2 12 Courant mA Potentiels d action Insertion de la micro lectrode D polarisation R ponses passives Potentiel de membrane mV D polarisation d clenchement d un Hyperpolarisation r ponse potentiel d action passive de la membrane
11. alis s dans le but de d termi ner les avantages et les inconv nients de chacun La figure 4 1 montre les trois GUI La premi re a comme caract ristique principale de fonctionner exclusive ment avec des fen tres de type pop up A chaque action de l utilisateur une nouvelle fen tre s ouvre pour communiquer avec l utilisateur et le r sutlat de cette communication est affich dans la fen tre principale La deuxi me fonctionne avec des onglets Chaque onglet repr sente une sti mulation et un onglet sert comparer les r sultat obtenus Et enfin la troisi me rassemble les informations de plusieurs stimulations dans la fen tre principale Ces trois interfaces ont t pr sent es l utilisateur Voici les conclusions de cette rencontre Dans une fen tre ne doit se trouver qu une seule stimulation La solution est donn e sous forme de graphe et plusieurs solutions pr sent es dans une m me fen tre r duiraient la lisibilit de celles ci Plusieurs stimulations doivent pouvoir tre accessibles dans plusieurs fe n tres diff rentes de mani re pouvoir les comparer facilement Il doit tre possible d ouvrir une nouvelle fen tre de stimulation partir de n importe quelle autre fen tre d j existante Les onglets doivent tre utilis s pour classer les diff rents types de para m tres d une m me stimulation Les fen tres pop up ne doivent tre utilis es qu en cas d interven
12. d une lectrode Ce calcul n est cependant r solvable analytiquement que dans tr s peu de cas simples Pour des situations r elles il est n cessaire d avoir recours des m thodes num riques Plusieurs solutions ont d j t propos es allant des cas les plus simples jusqu aux cas les plus complexes 4 La plupart d entres elles utilisent la m thode des l ments finis en 3D La limitation de ce genre d approches vient de la difficult construire un maillage repr sentant de mani re pr cise la g om trie Par exemple dans le cas d un nerf entour d une lectrode de type cuff voir figure 3 1 l ordre de grandeur des tailles des diff rentes couches du do maine est tr s diff rent Certaines couches peuvent avoir une paisseur de quelques um et d autres de quelques cm Une des techniques pour pallier ce probl me est une extrusion d un maillage 2D avec ajout d l ments rectangulaires repr sen tant les couches de petites paisseurs 4 c est la m thode par extrusion Une autre propos e par S Parrini en 1999 3 utilise la m thode des l ments finis pour d terminer la solution en 2D et une d composition spectrale de Fourier pour obtenir la solution dans la direction azimutale c est la m thode par Fou rier Il a t montr plus tard 4 que des simplifications lors de l impl mentation de cette m thode avaient t faites amenant des solutions incoh rentes Ces deux m thode
13. en appliquant une d composition de Fourier avec M 6 voir quation 3 2 21 sur un maillage bidimensionnel constitu de 3000 noeuds dans sa th se Parrini pr sente un r sultat en utilisant M 6 et un maillage de 2295 noeuds 3 la matrice A contient plus d un milliard d l ments La matrice tant une matrice pleine il est impossible d uti 3 2 025x10 441x10 2 25x10 2500 Nombre d l ments de la matrice 2000 1500 1000 Nombre de noeuds 500 3 Mode Fic 3 15 Graphe repr sentant le nombre d l ments de la matrice A voir quation 3 2 21 en fonction du nombre de modes utils pour la d composition spectrale de Fourier et du nombre de noeuds du maillage bidimensionnel Le nombre d l ments ne pour un nombre de noeuds n 3000 est indiqu au bout de chaque ligne Les lignes repr sentent Nne en fonction de n pour un nombre de modes M constant liser cette m thode telle quelle Une approximation suppl mentaire doit tre faite Pratiquement la matrice A n est plus totalement remplie et le calcul de la solution U ne prend en compte que les modes j avec j lt i La solution U est ensuite utilis e pour calculer U et l erreur introduite par cette approximation est donc r percut e sur l ensemble des solutions Prenons comme exemple M 1 le syst me r soudre est le suivant Ay Ai Ais U B An A2 A3 Us Bo Az A32 A33 U3 B3 Alors que le syst m
14. est suivie de n lignes commen ant par color lui m me suivi du label de la source et pr cisant ensuite la valeur de la densit volumique de courant f Solve O cette ligne d clenche la r solution en elle m me Print O la ligne suivante contient le nom de la distribution utilis pour nommer les fichiers de sortie Table des noeuds Ce fichier contient les coordonn es des noeuds du maillage tri s par ordre croissant et occupant chacun une ligne diff rente Les coor donn es sont donn es pour chaque noeud dans l ordre suivant x y z Ce sont en r alit les lignes comprises entre COORDINATES et BOUN DARIES du fichier name_ dataExtrusion nom du fichier name_ Nodes Tables tat Potentiels Dans ce fichier se trouve la valeur du potentiel en chacun des noeuds Les noeuds sont tri s dans le m me ordre que dans le fichier name_ Nodes Tables txt et occupent aussi une ligne chacun nom du fichier name_ potential tat 3 4 Justification du choix de la m thode Apr s avoir tudi les deux m thodes d crites ci dessus il a fallu choisir laquelle utiliser Le choix s est port sur la m thode par extrusion et cette partie d crit la justification de ce choix Etudions les deux points principaux de comparaison entre les deux m thodes Configurations nerveuses possibles Les deux m thodes ont une limitation commune elles consid rent que les nerfs ne se d forment pas longitudi nalement Cependant la m thode par
15. 1 La g n ration du maillage bidimensionnel nom du programme mesh2D 2 L extrusion du maillage bidimensionnel et l obtention du maillage tridi mensionnel nom du programme extrusion 3 La r solution de l quation de Poisson sur ce maillage nom du programme fem Une bonne compr hension du fonctionnement de cette impl mentation peut permettre d en modifier une partie ind pendamment des autres Si l on sou haite ne modifier que l une des partie 1 2 ou 3 son entr e pourra galement tre modifi e les param tres donn s par l utilisateur ne seront peut tre plus indentiques Mais pour assurer la coh rence du programme il est videmment 41 ae Entr es Maillage 2d Entr es Extrusion Maillage 2D Distribution Fic 3 9 Graphe repr sentant la structure de l impl mentation de la m thode par extrusion important que son output reste identique Le but tant de rendre le programme modulable nous allons donc nous concentrer principalement aux entr es et aux sorties plut t qu l impl mentation elle m me Pr cisons d s pr sent que les fichiers d entr es doivent tre plac s dans des r pertoires bien pr cis Input de mesh2D input mesh2D Input de extrusion input extrusion Input de fem input fem Les sorties de mesh2D et de extrusion tant une partie de l entr e respec tivement de extrusion et fem elles doivent tre plac es dans le r pert
16. 2 StimuNerve GE Stimulation 0 Stimulation 1 Diam tre 4 0 My line 4 0 Ranvier 4 0 Electrode l 10 graphel Pattern 1 0 Dur e Activation 4 0 rte amplitude activation 4 0 Dur e Inactivation 4 0 graphes lampltude inactivation 4 0 Dur e Interm diaire 4 0 Potentiel 2 stimuler Modeles Nouvelle Stimulation Parametrer Save Load Fermer StimuNerve ox modele 1 mod le 2 Param tres Stimulation 0 Stimulation1 Stimulation Stimulation 3 Stimulation Stimulations Stimulation 6 Diam tre My line l N Ranvier Electrode pattern Dur e Activation Amplitude Activation Dur e inactivation Amplitude inactivation Dur e interm diaire Potentiel r sultant Pas calcul Pas calcul Pas calcul Pas calcul Pas calcul Pas calcul Pas calcul Vitesse r sultante Pas calcul Pas calcul Pas calcul Pas calcul Pas calcul Pas calcul Pas calcul stimuler uler stimuler uler stimuler stimuler stimuler Sauver Sauver Sauver Sauver Sauver Sauver Sauver Charger Charger Charger Charger Charger Charger Charger Bienvenue Fic 4 1 Captures d crans des trois premi res interfaces graphiques 58 Potential Distribution Add Shape Apply All 4 2 Interface graphique finale
17. Donc si la membrane a une grande perm abilit au Nat le potentiel transmembranaire est alors positif On peut donc expliquer le potentiel d action par un accroissement soudain de la perm abilit de la membrane au sodium Pour confirmer cette hypoth se Hodgkin et Katz ont diminu la concentration de Na dans le milieu extracellulaire Ils ont alors observ que la vitesse de mont e du potentiel et son amplitude s en voyaient r duites Par contre cette diminution de concentration n a que tr s peu d effet sur le potentiel de repos ce qui confirme que la perm abilit au Nat au repos est tr s faible Il n y a donc pas de transport passif des ions Nat Or la cellule doit recr er un gradient important pour tre pr te d clencher le potentiel d action suivant Au repos il y a donc un transport actif des ions de sodium vers le milieu extracellulaire pour cr er ce gradient important Lors du d clenchement d un potentiel d ac tion les canaux ioniques perm ables au sodium s ouvrent et entrainent une forte d polarisation de la membrane 2 3 3 Illustration chiffr e Les neurones utilisent le m canisme de potentiel d action pour transmettre Vinformation sous forme de signaux lectriques Ce m canisme est bas sur les 14 diff rences de concentrations entre le milieu intracellulaire et le milieu extracel lulaire Ces diff rences de concentration sont r gul es par la perm abilit de la membrane aux diff rents ions La fi
18. Fourier ajoute l hypoth se que le nerf a une configuration axisym trique par rapport l axe z Cela signifie que l erreur de la solution trouv e gr ce la m thode par Fourier pour un probl me non axisym trique est bien plus importante que celle de la solution trouv e gr ce la m thode par extrusion Ce point est donc un avantage pour la m thode par extrusion Pr cision Le probl me principal de la m thode par Fourier r side dans la pr cision de sa r ponse Deux op rations distinctes sont effectu es lors de cette m thode le calcul de la distribution des potentiels sur une sec tion longitudinale du nerf et la d composition spectrale de Fourier pour l interpolation de la solution tridimensionnelle Pour augmenter la pr cision de la premi re tape il faut augmenter le nombre de noeuds ce qui fera augmenter les complexit s spatiale et tem porelle de la m me mani re que si l on augmente le nombre de noeuds du maillage de la m thode par extrusion Le probl me vient de l augmentation de la pr cision de la d composition spectrale de Fourier pour laquelle il faut augmenter le nombre de modes Or en augmentant ce nombre on augmente galement le nombre d l ments de la matrice A voir quation 3 2 21 de mani re quadratique La figure 3 15 repr sente le nombre d l ments de la matrice A en fonction du 90 nombre de noeuds du maillage bidimensionnel et du nombre de modes On peut observer qu
19. K S Cole Membranes ions and impulses a chapter of classical biophy sics Univ of California Pr 1968 10 AL Hodgkin and AF Huxley Currents carried by sodium and potassium ions through the membrane of the giant axon of Loligo The Journal of physiology 116 4 449 1952 11 AL Hodgkin and AF Huxley The components of membrane conductance g in the giant axon of Loligo The Journal of physiology 116 4 473 1952 12 J W Moore M P Blaustein N C Anderson and T Narahashi Basis of tetrodotoxin s selectivity in blockage of squid axons Journal of General Physiology 50 5 1401 1967 ojz R Kralj and Tadej Bajd Functional electrical stimulation standing 13 Alojz R Kralj and Tadej Bajd F l el l l d and walking after spinal cord injury CRC Press Inc 1989 14 J Delbeke C Veraart M C Wanet Defalque A Vanlierde G Michaux S Parrini M Verleysen O Glineur C Trullemans and J Mortimer Se lective stimulation of human optic nerve Proc of the Int FES Soc 4th Ann Conf 57 59 1999 15 A L Hodgkin and A F Huxley A quantitative description of membrane current and its applications to conduction and excitation in nerve J Phy siol Lond 116 500 544 1952 62 16 WT Liberson HJ Holmquest D Scot and M Dow Functional electro therapy stimulation of the peroneal nerve synchronized with the swing phase of the gait of hemiplegic patients Archives of Physical Medicine and Rehabilitat
20. aura une longueur gale la longueur totale du domaine 2 Les coordonn es du centre rappelons que l axe z repr sente la direction longitudinale Si la coordonn e en z n est pas sp cifi e elle prend une valeur gale la moiti de la longueur totale du domaine 3 Les conductivit s dans les trois directions Apr s avoir sp cifi correctement les diff rents param tres il faut pousser sur le bouton Apply pour appliquer l objet Ce dernier appara t alors sur la pr visualisation de la g om trie et il faut ensuite pousser sur le bouton Edit pour pouvoir en modifier les param tres voir figure A 4 65 Potential Distribution Shapes Circle Dimensions radius jength Center x Conductivities x x Z Electrode Apply Delete Add Shape Apply All Circle added Fic A 3 Lorsqu un cercle est ajout une bo te de param tres s ajoute dans l onglet Shapes Potential Distribution Shapes Conduct Circle Dimensions radius length Center IX fi z Conductivities X Y O Electrode Edit Delete Add Shape Apply All Reset Zoomin zoomout center auto adjust Shape applied Fic A 4 Les objets appliqu s apparaissent sur la pr visualisation de la g o m trie Ils peuvent ensuite tre
21. choc du marteau tire le tendon qui son tour tire les r cepteurs sensoriels du muscle extenseur de la jambe 2A Le neurone sensitif fait synapse avec un motoneurone spinal et Vexcite 2B Le neurone sensitif excite galement un interneurone spinal 2C La synapse de l interneurone inhibe un motoneurone des muscles fl chisseurs 3A Un potentiel d action est transmis jusqu aux synapses avec les fibres du muscle extenseur et provoque sa contraction 3B Le muscle fl chisseur se rel che sous l effet de l inhibition de ses motoneurones 4 La jambe s tend directement stimul s pour provoquer une contraction musculaire Un description th orique de la propagation des potentiels d action a t don n e par le mod le de Hodgkin et Huxley 15 ensuite une nouvelle application pratique de l lectricit en m decine a t pr sent e par le pacemaker cardiaque artificiel Il existait d j une s rie de stimulateurs lectriques propos s par dif f rents chercheurs Dans les ann es 1950 le d veloppement de lectronique a finalement permis Wladimir Liberson 16 de cr er un stimulateur qui emp chait l effet de foot drop chez les patients h mipl giques Toutes ces innova tions ont men un nouveau champ de r habilitation moderne la stimulation lectrique fonctionnelle FES Elle fut d abord d finie comme la stimulation lectrique des muscles priv s de contr le nerveux dans le but de produi
22. e au label 2 et la troisi me s tend de 13500 20000 et est associ e galement au label 1 La ligne horizontale pointill e de la figure 3 8 peut par exemple tre repr sent e dans ce fichier par la troisi me couche mentionn e Output O la ligne suivante contient le nom de la distribution per mettant de cr er le fichier de sortie Maillage Ce fichier contient toutes les informations concernant le maillage tri dimensionnel g n r nom du fichier name_ dataEztrusion structure du fichier Le fichier a la structure suivante premi re ligne ELEMENTS ne avec ne gal au nombre d l ments prismatiques extrusion d l ments triangulaires ou hexa driques extrusion d l ments quadrilat res pr sents dans le maillage deuxi me ligne PRISMS np avec np gal au nombre d l ments prismatiques Np lignes p1 p2 p3 p4 p5 p6 color i avec pl p2 p3 p4 pd et p6 les indices des sommets du prisme et son label ligne suivant le dernier prisme HEXAS np avec np gal au nombre d l ments hexa driques np lignes p1 p2 p3 p4 p5 p6 p7 p8 color i avec pl p2 p3 p4 pd p6 p7 et p8 les indices des sommets de l hexa dre et son label ligne suivant le dernier hexa dre COORDINATES np avec ny le nombre de noeuds du maillage Np lignes x y z avec x son abscisse y son ordonn e et z sa coordonn e longitudinale le num ro des noeuds n est pas sp cif
23. expliquer comment un chan gement de potentiel active la perm abilit au sodium alors on peut expliquer comment sont produits les potentiels d action Pour prouver la d pendance au voltage des perm abilt s Hodgkin et Huxley 10 ont fix le potentiel trans membranaire premi rement 130mV hyperpolarisation et ensuite OmV d polarisation et mesur les courants ioniques transmembranaires Lors d une hyperpolarisation ils ont observ un courant capacitif presque instantan une fraction de milliseconde qui n est d qu la redistribution des charges Mais lors de la d polarisation apr s le courant capacitif l axone produit un courant ionique entrant croissance rapide entr e de cations ou sortie d anions et par cons quent entr e des charges positives dans la cellule qui fait place un cou rant sortant retard croissance lente Donc si une d polarisaiton produit des courants ioniques cela signifie que le voltage influence bien les perm abilit s membranaires des diff rents ions Il y a donc deux courants ioniques diff rents un courant entrant pr coce et un courant sortant retard Dans la partie pr c dente nous avons affirm que le courant entrant tait d aux ions Nat et le courant sortant aux ions de K Pour prouver la premi re affirmation Hodgkin et Huxley 10 ont premi rement d polaris la membrane jusqu une valeur de 55mV alors que selon l quation 2 3 1 Eya 58mV Rapp
24. gles suivantes et par ordre d croissant de taille Elle doit commencer par une ligne contenant loop i avec 0 n 1 n tant le nombre total d objets La num rotation doit commencer 0 et voluer de mani re incr mentale Elle doit ensuite contenir n lignes d finissant chacune un des n points de la discr tisation de l objet Chacune de ces lignes doit commencer par l abscisse du point suivi d un espace et terminer par l ordonn e du point Elle doit terminer par une ligne contenant end Elle doit tre suivie d une ligne vide m me la derni re boucle Voici un exemple d un fichier de description de g om trie contenant deux objets un rectangle contenu dans un cercle La figure 3 11 repr sente la g om trie d crite loop 0 100 0 1 2246467991473532E 14 50 00000000000002 86 60254037844385 49 999999999999986 86 6025403784439 100 0 2 4492935982947064E 14 50 000000000000036 86 60254037844383 49 99999999999994 86 60254037844392 end loop 1 TL un des objectifs de l interface graphique est d automatiser la cr ation de cette g om trie 43 25 0 10 0 25 0 10 0 25 0 10 0 25 0 10 0 end Fic 3 11 Exemple de g om trie Param tres Dans ce fichier se trouvent tous les param tres dont le programme mesh2D a besoin pour fonctionner nom du fichier inputMesh2D tat structure du fichier Le fichier a la structure suivante les lignes vides entre ch
25. le contact a t appliqu ainsi qu un cercle de rayon inf rieur la position du contact il est possible d ajouter un objet de type Recess toujours gr ce au bouton Add shape voir figure A 6 Il faut uniquement sp cifier sa largeur et sa longueur pour pouvoir l appliquer En effet sa position est relative celle du contact sa hauteur est d finie par l espace pr sent entre le contact et le cercle pr c demment cit et sa conductivit est la m me que celle de la couche inf rieure Il n est pas obligatoire de sp cifier les param tres concernant l extrusion Par d faut la section repr sent e sera reproduite dix fois tout les 100um Le bouton apply voir figure A 7 sert modifier le nombre de reproductions de la section par le nombre pr sent dans le champ number of layers Les espacements entre les sections seront quant eux appliqu s lors du calcul de la distribution Une fois que la g om trie est compl te il suffit de pousser sur le bouton Distribution pour lancer le calcul de distribution des potentiels voir figure A 8 67 Potential Distribution Shapes Conductivities Center x Conductivities x Y zZ O Electrode Edit Delete yY Conductivities x Y z Electrode Edit Delete Recess Dimensions width length Edit N Delete Add Shape Apply All Reset Recess applied
26. quel endroit du domaine d crivons pr sent l algorithme utilis pour impl menter cette m thode Pour chaque m 0 M Pour chaque n 0 M Calcul de l integrale de gm pour et pour B Pour chaque i_element 1 nombre d elements dans la maillage 2D Localisation de la couche dans laquelle se trouve l element Calcul de la densite de courant Pour chaque k 1 nombre de points d integration de Gauss Legendre Pour chaque 1 1 nombre de points d integration de Gauss Legendre Remplissage de la matrice et du vecteur B locaux Gauss Legendre Assemblage de la matrice partir des matrices locales Assemblage du vecteur B partir des vecteurs locaux Pour chaque i_bnd 1 nombre de lignes frontieres du maillage 2D Condition de Dirichlet Imposition d une valeur constante dans notre cas nulle Division matricielle U A B Pour chaque theta Pour chaque m 0 pi pi M Usolution theta Usolution theta U m m N cos m theta Usotution est donc une matrice qui contient un nombre de lignes gales au nombre de n uds du maillage 2D et un nombre de colonnes d pendant de la fr quence d chantillonage angulaire choisie 3 3 La m thode par extrusion Cette m thode se divise en trois parties bien disctinctes les unes des autres 1 La g n ration du maillage bidimensionnel 2 L extrusion du maillage bidimensionnel et donc la g n ration du maillage tridimensionnel 3 La r solution de l quation
27. rapport rz voir figure 3 2 Dans le cas d une fonction paire nous savons que les coefficients de Fourier U7 sont r els et que par cons quent seuls les cosinus sont n cessaires voir 18 p 256 259 D s lors nous pouvons crire en substituant l quation 3 2 14 dans 3 2 10 dP r 2 0 T r z cos m r 2 0 7 r z cos n0 3 2 15 28 Contact Isolant Saline Fibre H UL Fic 3 2 G om trie simplifi e d une fibre nerveuse entour e d une lectrode de type cuff La ligne rouge repr sente l axe central du contact qui est l axe de sym trie de la solution Nous pouvons maintenant substituer 3 2 15 dans 3 2 13 mn Qij mn tJ mn tJ mn tJ rTicos m0 T cos n Ja rk or or rTicos m0 57 cos n z z dricos m6 dri cos n9 4 Jdrdzd0 Ja rk cos mb cos n0 Zi 7 cos m cos n or ti Tir SmO Seos n 1 drdzdd 3 2 16 fo rk cos m cos nd Zi 7 cos m cos n i a TiTj sin mO sin nd drdzdo les rk cos m0 cos n0 Z on dr dT tiTj ZE sin m0 sin n9 drdzd9 29 ann k fos cos m cos n0 d0 Jo di ors t drdz 3 2 17 fo sin m0 sin n0 d6 fo Z TiTj drdz De la m me mani re nous pouvons r crire b bj riricos n0 drazao 3 2 18 Les termes en cosinus et sinus de l quation 3 2 17 peuvent tre calcul s analytiquement et pour ce nous consid
28. son cercle circonscrit voir le cercle bleu sur la fig 3 3 la triangulation de Delaunay est celle qui parmi toutes les triangulations maximise l angle minimum de tous les triangles voir agrandissement sur la figure 3 3 En d autres termes c est le recouvrement de l enveloppe convexe d un en semble de points P par des triangles qui ont comme sommets trois points de l ensemble P ne se chevauchent pas les uns les autres ont comme intersection maximum un point ou un c t complet se rapprochent le plus possible de triangles quilat raux La g n ration du maillage bidimensionnel sur la section d un nerf consiste en son recouvrement par une triangulation de Delaunay contrainte par la fronti re du domaine La donn e initiale de la g n ration de ce maillage est une discr ti sation des fronti res du domaine Cela nous permet de savoir que le programme de g n ration de maillage a comme entr es les coordonn es de l ensemble de points repr sentant la discr tisation de chaque fronti re du domaine Cette triangulation est obtenue gr ce l algorithme de Watson 20 Ce der nier est initialis par la cr ation d un super triangle englobant la totalit des points les sommets de ce triangle ne faisant pas obligatoirement partie de l en semble de points Ensuite les quatre tapes suivantes illustr es sur la figure 3 4 sont r p t es pour chaque point de l ensemble 1 Ajout d u
29. un exemple d un fichier d crivant un maillage compos d un seul triangle TRIANGLES 1 O 1 2 color i COORDINATES 3 000 101 210 G n ration du maillage tridimensionnel Cette partie est consacr e aux entr es et la sortie du programme d extru sion les boites vertes de la figure 3 9 reprises sur la figure 3 12 Entr es 2 Sortie 2 Parametres Maillage tridimensionnel Maillage bidimensionnel Fic 3 12 Graphe repr sentant la structure de l impl mentation de la g n ra tion du maillage tridimensionnel Param tres Dans ce fichier se trouvent tous les param tres dont le programme extrusion a besoin pour fonctionner nom du fichier inputEzxtrusion taxt structure du fichier Le fichier a la structure suivante Data 0 name_dataMesh Thicken 1 45 Thickness 10 Layer in 2 Layers out 1 1 New label 9 Extrusion 0 Number of sections 5 500 500 500 500 500 Number of short layers 4 2 3 6500 1 13500 2 20000 1 3 3 6500 1 13500 3 20000 1 7 5 6500 1 9775 2 10225 7 13500 2 20000 1 8 5 6500 1 9500 2 10500 8 13500 2 20000 1 Output O name D crivons chacun des champs Data 0 la ligne suivante contient le nom du fichier de donn es la description du maillage bidimensionnel Thicken 4 les lignes suivantes contiennent les param tres n cessaires pour l ajout de couches d l ments quadrilat raux Les lignes allant de Thicken jusque new la
30. 3876248843 1293 1275550434405 1472 0873339894883 1634 918616050266 1100 0000000000007 1905 2558883257643 679 8373876248844 2092 324335849338 229 96261918883908 2187 9481698102013 229 96261918883684 2187 9481698102013 679 8373876248842 2092 3243358493382 73 1099 9999999999989 1905 2558883257661 1472 0873339894874 1634 9186160502695 1779 837387624884 1293 1275550434414 2009 8000068137214 894 8206147667623 2151 924721614372 457 40571979907384 end loop 4 750 0 3125 0 250 0 3125 0 250 0 3125 0 750 0 3125 0 750 0 2875 0 400 0 2875 0 250 0 2875 0 250 0 2875 0 400 0 2875 0 750 0 2875 0 end loop 5 400 0 2875 0 250 0 2875 0 250 0 2875 0 400 0 2875 0 400 0 2569 0465157330254 271 77400449589896 2585 756927957511 271 77400449589925 2585 7569279575105 400 0 2569 0465157330254 end B 2 inputMesh2D txt Electrode type default Geometry default_geom Number of nodes 500 Number of objects 6 Quality O 50 0 color for object 1 1 color for object 2 2 color for object 3 3 74 color for object 4 4 color for object 5 5 color for object 6 6 B 3 inputExtrusion txt Data 0 default_dataMesh Thicken 1 Thickness 150 Layer in 4 Layers out 1 3 New label 7 Extrusion 0 Number of sections 42 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000
31. 41 957122256004 2601 0068891708793 1750 0000000000007 3031 0889132455345 1081 5594803123156 3328 6978070330374 365 84962143678746 3480 8266337889563 365 8496214367871 3480 8266337889568 1081 559480312316 3328 697807033038 1749 9999999999995 3031 088913245537 2341 957122256003 2601 006889170881 2831 5594803123163 2057 248383023657 3197 4091017491032 1423 5782507653032 3423 5166025683197 727 6909178621595 3500 0 8 572527594031472E 13 3423 5166025683197 727 6909178621548 3197 4091017491032 1423 578250765299 2831 5594803123163 2057 248383023655 2341 9571222560044 2601 006889170878 1750 0000000000011 3031 0889132455345 1081 559480312316 3328 6978070330374 365 84962143678945 3480 8266337889563 365 84962143678587 3480 8266337889568 1081 5594803123156 3328 697807033038 1749 999999999998 3031 0889132455372 2341 9571222560025 2601 0068891708834 2831 559480312316 2057 248383023657 3197 4091017491023 1423 5782507653037 3423 5166025683197 727 6909178621629 end loop 2 2600 0 3 1840816777831184E 13 2543 1837619078947 540 5703961261736 2375 2181898707618 1057 5152719970806 2103 444185374863 1528 2416559604299 1739 7395765330314 1932 1765462412245 1300 0000000000007 2251 66604983954 803 4441853748631 2472 7469423673992 400 0 2569 0465157330254 271 77400449589925 2585 7569279575105 271 77400449589896 2585 756927957511 72 400 0 2569 0465157330254 803 4441853748634 2472 7469423673992 1299 9
32. 999999999998 2251 6660498395413 1739 739576533031 1932 1765462412259 2103 4441853748635 1528 2416559604308 2375 218189870762 1057 5152719970824 2543 1837619078947 540 5703961261756 2600 0 6 368163355566237E 13 2543 1837619078947 540 5703961261721 2375 2181898707627 1057 5152719970793 2103 4441853748635 1528 2416559604296 1739 7395765330316 1932 1765462412236 1300 000000000001 2251 66604983954 803 4441853748634 2472 7469423673992 271 7740044959007 2585 7569279575105 271 7740044958981 2585 756927957511 803 4441853748631 2472 7469423673992 1299 9999999999986 2251 6660498395418 1739 7395765330305 1932 1765462412277 2103 444185374863 1528 2416559604308 2375 2181898707618 1057 5152719970827 2543 1837619078947 540 5703961261781 end loop 3 2200 0 2 6942229581241773E 13 2151 9247216143726 457 40571979906997 2009 8000068137217 894 8206147667605 1779 837387624884 1293 1275550434407 1472 0873339894881 1634 9186160502668 1100 0000000000005 1905 2558883257648 679 8373876248842 2092 324335849338 229 9626191888378 2187 9481698102013 229 9626191888376 2187 9481698102013 679 8373876248844 2092 3243358493382 1099 9999999999998 1905 255888325766 1472 0873339894877 1634 9186160502682 1779 8373876248843 1293 1275550434414 2009 800006813722 894 820614766762 2151 924721614372 457 40571979907173 2200 0 5 388445916248355E 13 2151 9247216143726 457 4057197990687 2009 8000068137221 894 8206147667594 1779 837
33. Fichier d entr es de l exemple de r sultat donn la section 3 9 B 1 loop 6000 5868 5481 4854 4014 3000 1854 627 627 1 1854 2999 4014 4854 5481 5868 6000 5868 5481 4854 4014 3000 1854 627 1 627 1854 2999 default _ geom 0 0 7 347880794884119E 13 885604402834 1247 4701449065544 272745855605 2440 419858454801 101966249684 3526 711513754838 7836381531492 4458 8689528643645 0000000000014 5196 152422706631 101966249684 5706 339097770921 1707796059213 5967 13137220964 707796059208 5967 13137220964 1019662496847 5706 339097770922 9999999999995 5196 152422706634 783638153148 4458 868952864367 101966249685 3526 7115137548403 2727458556055 2440 4198584548058 885604402833 1247 4701449065592 0 1 4695761589768238E 12 885604402834 1247 470144906551 2727458556055 2440 419858454798 101966249685 3526 7115137548376 78363815315 4458 868952864362 000000000002 5196 15242270663 1019662496847 5706 339097770921 707796059247 5967 13137220964 1707796059187 5967 13137220964 101966249684 5706 339097770922 999999999997 5196 152422706635 71 4014 7836381531474 4458 868952864372 4854 101966249684 3526 7115137548403 5481 272745855604 2440 419858454806 5868 885604402833 1247 470144906565 end loop 1 3500 0 4 286263797015736E 13 3423 5166025683197 727 6909178621568 3197 409101749103 1423 5782507653007 2831 559480312316 2057 2483830236556 23
34. UCL Universit catholique de Louvain 9a S go VNIVERSI7 S w 5 N JE ee JATEA Ecole Polytechnique de Louvain Conception d un outil de mod lisation de stimulation lectrique d une fibre nerveuse M moire pr sent en vue de l obtention du grade d ing nieur civil biom dical par Thibault Giard Promoteurs Dr Jean Delbeke Prof Philippe Lef vre Lecteurs Dr Mehdy Oozeer Dr Emilie Marchandise Louvain la neuve 5 janvier 2010 Je remercie mon promoteur le Dr J Delbeke pour m avoir orient et conseill tout au long de ce travail Il m a t d une grande aide autant au niveau de la th orie biologique qu au niveau de la mod lisation Je remercie mon second promoteur le Prof P Lef vre pour m avoir encadr et permis d avancer efficacement et de mani re structur e dans la r alisation de ce m moire Je remercie le Dr M Oozeer qui m a clair sur les travaux d j r alis s ce sujet Il m a permis de nombreuses fois de continuer avancer en m expliquant les diff rents concepts abord s et leurs impl mentations Je remercie Jorge Marin Millan pour m avoir aid la r alisation de lin terface graphique Les diverses entrevues que nous avons eu m ont permis de comprendre les besoins et de rep rer les avantages et les inconv nients de lin terface graphique chaque tape de sa r alisation Je remercie le Prof V Legat qui m a donn plus d ex
35. a avec Qe Uf les valeurs nodales locales inconnues a priori p le degr des polyn mes et f a les fonctions de formes 3 2 La m thode par Fourier Cette m thode d velopp e par S Parrini 3 sert calculer la distribution des potentiels lectriques g n r s par une lectrode de type cuff implant e au tour d un nerf axisym trique et inhomog ne Elle est bas e sur la m thode des l ments finis crois e avec une d composition spectrale de Fourier pour obte nir une approximation du comportement azimutal de la solution Cette section d taille l application de la th orie expliqu e dans la partie pr c dente Cette m thode a l avantage de ne n cessiter qu un maillage 2D 3 2 1 Th orie En supposant que les conditions de quasi staticit soient remplies le pro bl me peut tre formul en terme du potentiel lectrique u V K Vu f 0 3 2 9 avec K le tenseur de conductivit et f la densit de courant Dans ce d veloppement r z 9 repr sente la solution num rique du pro bl me Premi rement d finissons un maillage dans le plan r z comme un en semble de points P r z i 1 2 N Les fonctions de formes bidi mensionnelles associ es au maillage P sont not es 7 r z Et pour finir les Gm repr sentent un ensemble de fonctions p riodiques de p riode 27 avec m 0 1 M et permettent de d finir les fonctions de formes tridimen sionn
36. ape Apply Welcome Fic A 1 Au lancement du programme cet cran appara t La premi re op ration consiste 4 ajouter des objets en cliquant sur le bouton Add shape 64 Une bo te de dialogue s ouvre voir figure A 2 servant choisir entre un cercle repr sentant une couche du nerf et un rectangle repr sentant une lec trode A Potential Distribution Jb ew Distribution Shape Choice Choose a shape cirde Annuler Add Apply eset Welcome FIG A 2 Lorsque l on pousse sur le bouton Add shape une bo te de dialogue servant s lectionner le type d objet ajouter s ouvre Apr s avoir valid le choix d un cercle une bo te Circle s ajoute dans l on glet Shapes voir figure A 3 Pour pouvoir appliquer l objet tous les champs doivent tre remplis avec un nombre sauf le champ length et la coordonn e en z du centre qui peuvent soit tre remplis avec un nombre soit tre laiss s vides soit tre remplis avec le mot default Pr cisons galement que qu il est pr f rable pour la visualisation que les dimensions soient exprim es en um Trois types de param tres sont sp cifier 1 Les dimensions radius le rayon du cercle length la longueur de la couche Si ce champ est laiss blanc ou rempli avec le mot default la couche
37. aque champ sont obligatoires Electrode type name Geometry name_geom Number of nodes 500 Number of objects 2 Quality O 50 0 color for object 1 1 color for object 2 2 D crivons chacun des champs Electrode type nom de la distribution name Geometry nom du fichier contenant la g om trie Number of nodes nombre de noeuds d sir s dans le maillage Number of objects nombre d objets pr sents dans la g om trie Quality la qualit du maillage repr sente la qualit Q de son triangle le moins quilat ral selon Frey et Borouchaki 21 Q VAL avec L la longueur du plus grand c t du triangle p le rayon 44 de la sph re inscrite au triangle Pour augmenter la qualit d un maillage il faut augmenter son nombre de noeuds pour le rendre plus r gulier 22 color for object num ro du label de l object 7 Maillage bidimensionnel Ce fichier contient toutes les informations concer b nant le maillage g n r nom du fichier name_ dataMesh structure du fichier Le fichier a la structure suivante premi re ligne TRIANGLES n avec nz gal au nombre de triangles pr sents dans le maillage n lignes pl p2 p3 color i avec pl p2 et p3 les indices des sommets du triangle et son label ligne suivant le dernier triangle COORDINATES np avec nn le nombre de noeuds du maillage nn lignes j x y avec j le num ro du noeud x son abscisse et y son ordonn e Voici
38. avec pr cision Cela permet de pouvoir modifier une partie du calcul de distribution ou son ensemble sans devoir apporter de modifications majeures l interface graphique L outil est donc modulable L interface graphique tant d velopp e en Java et l impl mentation du calcul de distribution tant faite en C l outil est portable sur les syst mes d exploita 60 tion permettant d accueillir une machine virtuelle Java Windows Solaris Linus et OS X Une am lioration vidente de cet outil serait qu il puisse mod liser la r ponse d un nerf suite une impulsion lectrique Cette derni re utiliserait le calcul de distribution des potentiels d j disponible L ajout de cette nouvelle fonction l interface graphique peut se faire facilement en ajoutant un onglet au panel de gauche qui reprend les diff rents param tres pour l instant une description de la g om trie et les param tres de l extrusion La m thode de calcul de distribution utilis e impose la contrainte que le nerf ne se d forme pas longitudinalement Il pourrait tre int ressant de pouvoir don ner le choix l utilisateur entre plusieurs m thodes de calcul de distribution Prenons comme exemple la m thode par extrusion et une m thode utilisant un maillage tridimensionnel enti rement d crit par l utilisateur La premi re est plus contraignante mais plus rapide l ex cution et plus facile d utilisation que la seconde Final
39. bel dont r p t es 1 fois Thickness paisseur de la couche d l ments quadrilat raux Layer in label de la couche int rieure adjancente la nouvelle couche d l ments quadrilat raux Layers out 7 labels des j couches ext rieures adjancentes la nou velle couche d l ments quadrilat raux Les j labels doivent tre s par s par un espace New label label de la nouvelle couche Extrusion 0 les lignes suivantes contiennent les donn es concernant l extrusion proprement dite Number of sections nombre de sections n du maillage tridimen sionnel Cette ligne est suivie par n lignes contenant chacune l paisseur d une section Number of short layers nombre de couches ne qui n ont pas une conductivit longitudinale constante Cette ligne est suivie par nc paires de lignes La premi re ligne de chacune de ces paires sp cifie d abord le label de la couche consid r e et ensuite le nombre de zones de conductivit diff rente de cette couche La deuxi me 46 ligne sp cifie les dimensions des diff rentes zones et le label qu il faut leur attribuer Sur l exemple de fichier de param tres donn ci dessus il y a quatre couches qui n ont pas une conductivit longitudinale constante La premi re est celle qui a le label 2 et elle poss de trois zones de conductivit diff rente La premi re zone s tend de 0 6500 et est associ e au label 1 la deuxi me s tend de 6500 13500 et est associ
40. bidimensionnel L extrusion est une op ration assez simple qui consiste rajouter une troi si me coordonn e aux coordonn es des noeuds du maillage bidimensionnel et r p ter la section pr c demment g n r e diff rents niveaux de l axe lon gitudinal du nerf Pour cette op ration il faut d finir l paisseur e distance entre deux sections de chaque tranche cr er Il est n cessaire de pr ciser que cette op ration d extrusion et les param tres qui la d finissent sont surtout importants pour l application d un mod le complet Si comme dans le cadre de ce travail on se limite au calcul de la distribution le passage au tridimensionnel n est pas le plus important Cependant le r sultat de ce calcul de distribution ayant pour but de servir l application d un mod le de fibre nerveuse pour mod liser son comportement lors d une FES il faut donc rendre totalement pa ram trable cette op ration et surtout expliquer son importance de mani re claire Vutilisateur qui a priori pourrait n avoir aucune connaissance en m thodes num riques et plus particuli rement sur la m thode des l ments finis 38 Part o Pat o FIG 3 6 Cr ation des points servant former les quadrilat res du maillage des couches fines Etant donn que l on copie exactement le maillage d une section le long de l axe longitudinal cette extrusion repose sur l hypoth se que le nerf ne se d forme pa
41. bl me consid r Nous noterons gale ment que pour que ce probl me soit bien pos il doit satisfaire aux conditions suivantes la solution existe la solution est unique la solution d pend contin ment des donn es Rajoutons que ce n est pas parce que le probl me initial continu est bien pos que sa discr tisation l est galement Cette derni re pour tre bien pos e doit quant elle remplir les conditions suivantes le probl me continu doit tre bien pos la proc dure de discr tisation doit tre stable il doit fournir une solution proche de la solution exacte La d finition correcte des conditions aux limites est un l ment essentiel dans la m thode des l ments finis Il existe plusieurs sortes de conditions aux limites Dans notre cas nous n en utiliserons qu une la condition de Dirichlet u f En effet il a t montr 6 que lorsque la condition de Neumann est impos e aux bases du cylindre les diff rences d approximation trouv es sont n gligeables 3 1 1 L quation de Poisson La r solution de l quation de Poisson sur un domaine ouvert Q du plan x y peut servir mod liser beaucoup de probl mes de physique math matique 22 Par exemple la conduction de chaleur le transfert de masse et galement la distribution de potentiels dans un volume La formulation forte de cette quation est la suivante trouver u x tel que V aVu f 0 Vren
42. de Poisson sur ce maillage tridimensionnel 34 Dans cette partie nous expliquons premi rement la th orie de ces trois tapes et ensuite le fonctionnement des trois programmes correspondants impl ment s par A de Potter d Indoye lors de son travail de fin d tude 6 Attachons nous principalement d crire les entr es et sorties de chacun des trois programmes de mani re permettre n importe qui de remplacer l un des trois programmes sans devoir pour autant en comprendre le fonctionnement ni celui des deux autres 3 3 1 Th orie La premi re chose n cessaire avant m me de cr er le maillage bidimensionnel est une d finition claire de la g om trie Cette derni re n est d finie que sur une seule coupe du nerf dans le plan x y Une des contraintes de cette m thode est l hypoth se que les coupes du nerfs sont identiques Cela repr sente donc une des contraintes de cette m thode 5 D taillons maintenant les trois phases de la m thode a G n ration du maillage bidimensionnel La premi re tape de cette g n ration est la triangulation de Delaunay 19 Cette derni re est un recouvrement de l enveloppe convexe d un ensemble de points P par des triangles qui poss dent deux propri t s tous ces triangles respectent le crit re de Delaunnay un triangle de De launay est un triangle qui a comme sommet trois points de l ensemble P et qui ne contient aucun l ment de P l int rieur de
43. doplasmique Les cellules nerveuses sont sp cialis es dans la transmission de l information sous forme de signaux lectriques 4 longue distance et poss dent donc une ana tomie et des caract ristiques particuli res La synapse est une zone de contact fonctionnelle qui s tablit entre un neurone et une autre cellule neurone r cep teur sensoriel cellule musculaire Elle permet la communication interneuro nale Il existe des synapses chimiques ou des synapses lectriques Les premi res utilisent des neurotransmetteurs et les secondes transmettent le signal via des jonctions communicantes La figure 2 3 est un sch ma d une cellule nerveuse et de ses divers constituants Le corps cellulaire peut galement tre appel p ricaryon du grec autour du noyau ou soma C est dans cette zone que se trouvent les fonctions vitales du neurone L expression g n tique La production d nergie sous forme d ATP FIG 2 1 Les neurones peuvent avoir des formes extraordinairement complexes 2007 Paul De Koninck La synth tisation des l ments n cessaires au renouvellement cellulaire r gion trophique Il permet galement la r ception des stimuli car il poss de des synapses L axone est le segment de la cellule nerveuse sp cialis dans la conduction du signal jusqu au site suivant d interaction synaptique C est un prolon gement long mince et cylindrique du corps cellulaire qui peut s t
44. e gr ce des interviews Avec cette m thode de design on essaye d optimiser l interface par rapport ce que les utilisateurs connaissent veulent ou ont besoin pour travailler plut t que de les obliger changer leur mani re de travailler pour s adapter l approche du d veloppeur Dans le cadre de ce travail un utilisateur a t consult pour r unir les informations pr liminaires et valider chaque tape du design Les quatre l ments garder l esprit lors du d veloppement d une interface l aide de cette m thode sont les suivants La visibilit l utilsateur doit pouvoir en un coup d oeil d crire ce qu il pourra ou ne pourra pas faire avec l outil 56 L accessibilit l utilisateur doit pouvoir trouver de mani re ais e et rapide l information qu il recherche La lisibilit l utilisateur doit pouvoir lire le texte facilement La lisibilit peut tre augment e par exemple gr ce un bon choix de contraste entre le texte et le fond ou gr ce l utilisation de l criture italique ou grasse Le langage en fonction du contexte diff rents langages peuvent tre n ces saires Ils peuvent aller du simple texte une voix en passant par des bulles texte Le design a d but par une rencontre avec l utilisateur Les outils d j utilis s par celui ci ont t pr sent s Les informations mentionn es ci dessus ont t r colt es Ensuite trois types diff rents de GUI ont t r
45. e r ellement r solu est le suivant An 0 0 U B An Az 0 Us Bo A31 A3 A33 U3 Bs 8 A titre d exemple avec Matlab sous Windows XP 32 bits une matrice peut contenir maxi mum 155 x 106 l ments http www mathworks com support tech notes 1100 1110 html consult e le 19 12 2009 51 Ce qui donne U B1i A11 U2 B2 A21U1 A22 3 4 23 U3 B3 A21U1 A22U2 A22 Lorsque l on applique rigoureusement m thode par Fourier on se rend compte que sa complexit spatiale est en r alit tr s mauvaise et que l on est oblig de rajouter une simplification pour pouvoir l utiliser Cette simplication voqu e au d but du chapitre 3 introduit une erreur suppl mentaire et peut amener une solution incoh rente C est principalement cet argument qui justifie le choix de la m thode par extrusion pour la r alisation de ce projet M me si a priori le temps d ex cution de la m thode par Fourier est plus int ressant celui de la m thode par extrusion reste acceptable et ne limite pas son utilisation Donc vu les deux arguments d velopp s ci dessus le choix s est port sur la m thode par extrusion 3 5 Exemple de r sultat Prenons pr sent un exemple de g om trie et observons les r sultats obtenus apr s chaque tape Les fichiers d entr es utilis s pour cet exemple sont donn s en annexe Premi rement la g om trie qui se compose de cinq couches une fine consti t
46. e syst me nerveux p riph rique SNP Ces deux composantes interagissent entre elles via des r cepteurs et des effecteurs Les premiers ont pour r le de transmettre l information au SNC le r cepteur sensoriel musculaire r pond au coup de marteau partie verte de la figure 2 9 et les seconds de recevoir une commande du SNC partie jaune de la figure 2 9 et d effectuer l action associ e le muscle fl chisseur de la jambe est rel ch et le muscle extenseur est contract Apr s un traumatisme ou une maladie la communication entre le SNC et le SNP peut tre interrompue ce qui peut impliquer la perte ou le dysfonctionne ment de certaines fonctions de l organisme motrices sensorielles Par exemple chez une personne atteinte de r tinite pigmentaire la stimula tion visuelle la lumi re ne peut pas tre convertie en signaux lectriques car les photor cepteurs r tinaux sont ab m s Cependant la majorit des fibres du nerf optique est encore capable de transmettre l information et le cortex visuel de la traiter Une stimulation artificielle du nerf optique peut donc permettre une perception visuelle 14 Un autre exemple est celui d une l sion au niveau de la pini re L infor mation envoy e par le cerveau est alors bloqu e au niveau de la l sion alors que les nerfs p riph riques sont intacts Dans ce cas ces derniers peuvent tre 18 Fic 2 9 R flexe myotatique image issue de 7 1 Le
47. elles comme suit dY r 2 0 T r 2 9m 0 3 2 10 4Une transformation est consid r e comme quasi statique s il elle est constitu e d une suc cession d tats d quilibre 27 Nous recherchons une solution sur le domaine g n r par les fonctions 7 donc peut tre exprim comme une combinaison lin aire des ces fonctions de base dont seuls les coefficients ici not s U doivent tre calcul s M N r 2 0 Y Y UP 67 r 2 6 3 2 11 m M i 1 Le vecteur U est d termin par la m thode de Galerkin voir 3 1 3 qui conduit r soudre un syst me lin aire AU B de dimension 2M 1 N o les termes ajj de la matrice A et les termes b du vecteur B sont d finis par am fo R VEM Verda 3 2 12 bn f Forman D veloppons aj Effectuons le changement de variables en coordonn es cylin driques aj rk Vo Vb drdzd0 d taillons les gradients age fon SO Se PL g Sgt 897 1 Q ij r z 66 r r bz 60 A et finalement d veloppons le produit scalaire ar f ru SE Spr 6g 6g p 697 1 ii Jq Or r bz 62 60 60 r drdzd0 3 2 13 Contrairement une approche classique d l ments finis en trois dimensions nous n allons pas d finir un maillage selon 0 mais choisir gm comme tant f cos m pour m gt 0 Im 6 sin m pour m lt 0 3 2 14 Dans notre cas nous savons d ja que notre solution est paire par
48. elons que si le potentiel est proche de l quilibre lectrochimique d un ion celui ci ne produira pas de courant ionique m me si la membrane est hautement perm able cet ion Ils n ont alors observ aucun courant entrant Ils ont ensuite limin les Na du milieu externe de la cellule et dans ce cas le courant pr coce n est plus entrant mais sortant Ces deux exp riences prouvent que le courant entrant pr coce est port par une entr e de Nat dans l axone Il faut galement remarquer que la suppression du sodium dans le milieu externe n a aucun effet sur le courant sortant retard ce qui signifie que le sodium n est pas responsable de ce cou rant Hodgkin et Huxley 11 ont montr que ce courant tait d un flux de KT ce qui confirme la deuxi me affirmation Finalement il faut pr ciser que l amplitude du courant entrant n est pas d pendante du potentiel de membrane contrairement au courant sortant Lorsque l on fixe le potentiel de membrane plus grand que le potentiel de repos on produit donc deux effets repris dans le tableau 2 2 Les diff rences entre ces deux courants sugg rent que les courants ioniques sont dus deux m canismes diff rents de perm abilit ionique Une tude 12 pharmacologique d montre d une part que la t trodoxine bloque uniquement les courants de Nat et d autre part que les ions t ta thylamonium bloquent ceux 16 TAB 2 2 Caract ristiques des courants ioniques pr
49. ement la navigation dans la solution que ce soit la distribution des potentiels ou la r ponse du nerf pourrait tre am lior en proposant une repr sentation tridimensionnelle du volume consid r 61 Bibliographie 1 Z Lertmanorat and D M Durand Extracellular voltage profile for rever sing the recruitment order of peripheral nerve stimulation a simulation study Journal of Neural Engineering 1 202 211 2004 2 K E I Deurloo J Holsheimer and H B K Boom Transverse tripolar sti mulation of peripheral nerve a modelling study of spatial selectivity Me dical and Biological Engineering and Computing 36 1 66 74 1998 3 S Parrini Mathematical modelling and numerical simulation of artificial nerve fibres activation PhD thesis Universit catholique de Louvain 1996 4 M Oozeer Modelling the electrical stimulation of the optic nerve PhD thesis Universit catholique de Louvain 2006 5 C Abras D Maloney Krichmar and J Preece User centered design 2004 6 A de Potter d Indoye Mod lisation de la stimulation lectrique artificielle des nerfs p riph riques Master s thesis UcL 2002 2003 7 D Purves G J Augustine D Fitzpatrick W C Hall A S LaMantia and J O McNamara Neurosciences Sinauer Associates Inc 2005 8 AL Hodgkin and B Katz The effect of sodium ions on the electrical activity of the giant axon of the squid The Journal of physiology 108 1 37 1949 9
50. endre d une centaine de microns jusqu plus d un m tre Pour transmettre l in formation sur de si longues distances l axone utilise le m canisme de po tentiel d action voir section 2 3 Il s agit d une onde lectrique qui s auto r g n re et se propage le long de l axone depuis son lieu d origine le c ne axonique illustr sur la fig 2 2 ou l lectrode en cas de stimulation artifi cielle jusqu son extr mit o se font les contacts synaptiques Les dendrites sont la cible principale des aff rences synaptiques issues d autres neurones Ils se distinguent par une abondance de ribosomes ainsi que par des prot ines sp cifiques du cytosquelette refl tant leur r le dans la r cep tion et l int gration des informations venues d autres neurones Elles se situent l extr mit oppos e l axone du neurone 2 2 Les circuits neuraux Les circuits neuraux sont des ensembles de neurones Ces derniers ne fonc tionnent jamais seuls et s organisent en ensembles adoptant des dispositions tr s vari es selon les fonctions qu ils sous tendent Les circuits assurant des fonctions similaires constituent des syst mes neuraux intervenant dans des domaines com portementaux relativement vastes Une premi re fa on de diviser les syst mes neuraux est de les distinguer par rapport leur fonction Le syst me nerveux se s pare en trois cat gories de sous syst mes Les syst mes sensoriels captent et
51. er M 4 La m thode par extrusion d crite par de Potter d Indoye et Oozeer est utilis e dans l outil d velopp car elle peut tre appliqu e un plus grand nombre de g om tries que la m thode par Fourier d crite par Parrini De plus des simplifications dans l impl mentation de cette derni re sont n cessaires et entra nent une perte de pr cision pouvant amener des solutions incoh rentes Les th ories de ces deux m thodes sont rassembl es dans ce texte pour donner une vue d ensemble des informations consult es Une interface graphique intuitive a t d velopp e Elle g n re automati quement le fichier de description de la g om trie et les fichiers de param tres n cessaires aux programmes C impl mentant la m thode par extrusion Apr s avoir ex cut les trois modules maillage bidimensionnel extrusion et r solution de l quation de Poisson elle affiche une repr sentation graphique de la solution obtenue avec la possibilit de naviguer facilement parmi les diff rentes sections transversales du nerf L utilisation de cet outil ne requiert aucune connaissance sur la m thode des l ments finis utilis e pour calculer la distribution ni sur un langage de programmation quel qu il soit Un mode d emploi est bien s r n cessaire mais l interface graphique est simple et intuitive Les entr es et les sorties des diff rents modules de l impl mentation de la m thode choisie sont d finies
52. es La troisi me tape de la g n ration du maillage bidimensionnel est le remplacement des l ments triangulaires se situant dans les couches fines par des l ments quadrilat raux Cette modification a l avantage de diminuer de moiti le nombre d l ments dans ces parties du maillage Cette perte de qualit est compens e lors de l int gration num rique effectu e dans la r solution de l quation de Poisson En effet lors de l extrusion d un l ment quadrilat ral un l ment hexa drique est obtenu 4 la place d un l ment prismatique pour un triangle Un l ment hexa drique permet d effectuer une int gration num rique sur huit points au lieu de six pour les prismatiques Cette diff rence fournit donc une meilleure approximation de la solution exacte Expliquons maintenant comment effectuer cette modification Parmi les segments formant les l ments consituant deux couches adja centes les segments se situant sur la fronti re sont d tect s Cette d tection se fait grace au label Un segment est toujours adjacent 4 deux triangles diff rents Or chaque triangle poss de un label Si le label du premier triangle est diff rent du label du deuxi me triangle le segment commun aux deux triangles se trouve sur la fronti re Il faut ensuite d finir les nouveaux points qui vont former les quadrilat res Pour ce faire l ensemble des points P avec i 1 n pour n tant gal au nombre de poi
53. es concentrations au repos des diff rents ions pr sents dans les cellules nerveuses On peut remarquer que la TAB 2 1 Concentrations ioniques intracellulaires et extracellulaires chez les mammif res Ion Concentration mM Intracellulaire Extracellulaire Potassium KT 140 5 Sodium Nat 5 15 145 Chlorure C17 4 30 110 Calcium Ca 1074 1 2 concentration de potassium est bien plus importante l int rieur qu l ext rieur de la cellule Ce fait est v rifi chez la plupart des esp ces animales Lorsque le potentiel de repos mesur l aide d une lectrode et le potentiel d quilibre de Vion K calcul l aide de l quation 2 3 2 sont compar s on remarque qu ils sont fort proches environ 65mV Cela signifie que la perm abilit du potas sium au repos est plus importante que celle des autres ions Donc le potassium est en effet responsable du potentiel de repos des cellules Cette d duction a t confirm e par une exp rience r alis e par Hodgkin et Katz 8 qui consis tait augmenter la concentration externe en potassium Ils ont observ que le potentiel de repos de la membrane devenait moins n gatif 2 3 2 Le potentiel d action Comme nous l avons d j mentionn le potentiel d action est un change ment soudain de la polarit de la membrane du n gatif vers le positif Or si l on se r f re au tableau 2 1 le potentiel d quilibre du sodium a une valeur positive
54. eux conductances subissent une activation Celle du sodium arrive rapi dement 4 son maximum et subit ensuite une inactivation rapide Celle du potassium est quant elle activ e plus lentement Les vitesses d activation et d inactivation sont proportionnelles l amplitude de la d polarisation Les conductances sont d pendantes du voltage Les conductances maxi mums du sodium et du potassium augmentent avec l amplitude de la d polarisation La figure 2 8 nous montre le comportement des conductances potassique et sodique lors d un potentiel d action Pour r sumer les courants ioniques traversant la membrane du neurone lors d une d polarisation sont dus trois processus diff rents l activation de gna l activation de gk Vinactivation de gna 17 N DA i ___ Potentiel d action IN A j I g H Na Potentiel mV Conductance mmho cm Temps ms Fic 2 8 Variation des conductances potassique et sodique durant un potentiel d action image issue du livre Neurosciences 7 2 5 Principe de la stimulation lectrique nerveuse fonctionnelle La technique de la stimulation lectrique nerveuse fonctionnelle 13 permet de restaurer des fonctions perdues ou de corriger des dysfonctionnements de l organisme l aide d impulsions lectriques Le syst me nerveux humain se divise en deux composantes voir section 2 2 le syst me nerveux central SNC et l
55. gure 2 7 repr sente le potentiel transmem branaire au cours du temps lors d un potentiel d action Au repos la membrane 60 Faible S forte Inversion de Perm abilit ps E 40 potentiel 2 20 Phase ascendante 5 0 E Phase descendante E 20 n Cc D ae 5 40 Hyperpolarisation Go cons cutive T 60 w rar Forte 80 Falble rae i Falble to 4 2 3 4 Temps ms Stimulation Fic 2 7 Courbe repr sentant le potentiel transmembranaire au cours du temps et les modifications des perm abilit s de K et de Nat lors d un potentiel d action est tr s perm able au potassium et selon l quation 2 3 2 c est la proportion cu qui fixe le potentiel de repos environ 65mV Lorsque que le neurone est soumis une stimulation d polarisante suffisante pour amener le potentiel transmembranaire jusqu au potentiel seuil 50mV il d clenche un potentiel d action La perm abilit du potassium chute et celle du sodium monte su bitement gr ce l ouverture des canaux ioniques sodiques Le potentiel trans membranaire tend donc se rapprocher du potentiel d quilibre lectrochimique du sodium 58mV Ensuite la cellule retrouve tr s rapidement un potentiel proche de celui de repos et rentre dans une phase d hyperpolarisation cons cu tive due la fermeture des canaux de Nat et l ouverture de ceux de KT Finalement la membrane retrouve son potentiel de repos en att nuant l aug menta
56. i mais ceux ci sont d crits dans l ordre croissant ligne suivant le dernier noeud BOUNDARIES ng avec ny le nombre de fronti res diff rentes ligne suivante n naturels repr sentant le nombre de noeuds de chaque fronti re n lignes contenant le num ro des noeuds de chaque fronti re Voici le fichier d crivant le maillage de la figure 3 13 ELEMENTS 6 PRISMS 4 126 7 8 12 color 1 1665 7 12 11 color 1 7 8 12 13 14 18 color 1 7 12 11 13 18 17 color 1 HEXAS 2 2345 8 9 10 11 color 2 8 9 10 11 14 15 16 17 color 2 COORDINATES 18 47 Fic 3 13 Exemple d un maillage tridimensionnel obtenu par extrusion d un maillage bidimensionnel compos de deux triangles et d un quadrilat re FOONNRFRRFPFOONNFRFROONNEF FOORrNRFRFPFOORNFRF OOF N D OO OO O OO UW 1 6 BOUNDARIES 3 665 123456 13 14 15 16 17 18 789 10 11 c R solution de l quation de Poisson Cette partie est consacr e aux entr es et aux sorties du programme de r so lution de l quation de Poisson les bo tes bleues de la figure 3 9 reprises sur la figure 3 14 48 Le sch ma de cette derni re tape est repr sent par la figure 3 14 Entr es 3 Sorties 3 Table des noeuds Param tres Potentiels Maillage tridimensionnel Fic 3 14 Graphe repr sentant la structure de l impl mentation de la r solution de l quation de Poisson sur le maillage tridimensi
57. i re locale dans les diff rents circuits neuraux La figure 2 5 est un r sum du fonctionnement et des diff rents circuits du syst me nerveux celllaire Axone Fic 2 3 Le neurone est compos de trois parties principales le corps cellulaire Vaxone et les dendrites image r alis e par Rougier N 2 3 La propagation de l information dans une fibre nerveuse Comme nous l avons dit plus haut les neurones ne sont pas intrins quement de bons conducteurs lectriques Cependant ils utilisent un m canisme d mis sion de signaux lectriques perfectionn pour transmettre l information Ce m canisme appel potentiel d action est fond sur les flux d ions au travers de la membrane plasmique Il rend pendant un moment le potentiel transmembra naire c est dire le potentiel intra cellulaire par rapport au milieu ext rieur positif alors que d ordinaire il est n gatif Lorsque l on utilise une micro lectrode intracellulaire pour enregistrer le po tentiel existant entre les deux c t s de la membrane plasmique du neurone on peut observer quatre types de potentiels caract ristiques Le premier est un potentiel n gatif enregistr au repos Cela signifie que le neurone a les moyens de cr er une diff rence de potentiel entre les deux faces de sa membrane Cette diff rence de potentiel est appel e potentiel de repos de la membrane Typiquement il a une valeur comprise entre 40 et 90mV
58. i m me sont d crites dans le chapitre 5 En annexe se trouvent les fichiers d entr es et de sorties du r sultat pr sent dans la section 3 5 et un mode d emploi Chapitre 2 Introduction biologique Ce chapitre est un r sum du premier chapitre du livre Neurosciences de Purves D 7 Le syst me nerveux comme tous les autres syst mes de l organisme est constitu de cellules dont font partie les neurones Ces derniers s organisent en r seaux pour former des circuits neuraux qui ont pour but de faire communiquer n importe quelle partie du corps avec une autre Il existe deux circuits neuraux principaux le syst me nerveux central et le syst me nerveux p riph rique Bien que les neurones ne soient pas de bons conducteurs l information au sein du sys t me nerveux est transmise par des signaux lectriques gr ce des ph nom nes chimiques et la modification de la perm abilit de la membrane Dans cette partie nous d taillons ces diff rents m canismes de mani re bien ma triser le contexte biologique avant de d crire le mod le 2 1 Le neurone Bien que les neurones poss dent des formes extraordinairement complexes voir fig 2 1 et que leurs ramifications tendent masquer leur ressemblance avec les cellules des autres tissus ils poss dent bel et bien les m mes organites que ces derni res La figure 2 2 nous montre le noyau l appareil de Golgi les ribosomes les mitochondries et le r ticulum en
59. i minimise l expression suivante Trouver u x tel que J u minya lz Vo aVv dQ 3 1 4 nan f v g ds Tn Ces deux notations s appellent respectivement la m thode de Galerkin et la m thode de Ritz mais sont totalement quivalentes Cette formulation d crit donc un syst me de n quations n inconnues Pour le d veloppement suivant nous n gligerons l int grale le long de l y car nous savons que dans notre cas nous n en aurons pas d utilit Substituons u dans l quation 3 1 4 J u 5 So Vut aVu dQ Jolu f dQ J u 5 Join Vi V Ti Di Usa Vr dQ fol Xi Viti f dQ J u gt D Di UU SQ V Ti aV7 dQ Sy U Jo T f dQ 3 1 5 A pr sent en d finissant 24 B afat Q on peut crire que J u N Y Y UU Aig U B i 1 j 1 i 1 Le minimum de cette fonction est obtenue lorsque h a l YXj 1AijU _Bi 0 Vielln 3 1 6 Ce qui revient r soudre le syst me de n quations n inconnues V AGU B j 1 3 1 4 Le maillage Comme expliqu ci dessus la m thode des l ments finis consiste trouver une approximation de la solution d un probl me continu en r solvant une dis cr tisation du probl me sur un maillage Ce dernier est constitu des l ments finis et est g n ralement une deux voire trois dimensions A une dimension il permet par exemple de repr senter une poutre Dans notre cas n
60. illage tri dimensionnel L extrusion consiste copier le maillage bidimensionnel en vert diff rents endroits de l axe longitunal z du volume consid r en fonction de l paisseur d sir e pour chaque tranche il y a cependant des exceptions En effet bien que l hypoth se que le nerf ne se d forme pas ait t faite l lectrode n est pas pr sente tout le long du nerf La conductivit des couches repr sentant l lectrode est donc une combinaison de fonctions chelons en z Les dimensions longitudinales de ces diff rentes couches et les labels correspondants aux diff rentes zones doivent donc tre donn s Sur la figure 3 8 la ligne horizontale pointill e est une ligne sur la quelle la conductivit varie longitudinalement Elle passe du milieu ext rieur au contact m tallique en traversant l isolant de l lectrode les trois milieux ayant des conductivit s fort diff rentes c R solution de l quation de Poisson Comme pour la m thode par Fourier l approximation u x s obtient par la r solution de Poisson sur le maillage tridimensionnel obtenu pr c demment Rappelons cette quation avec quelques pr cisions li es 4 cette m thode Ui Uj Vx dY N Q 3 22 ky Sui pu Va N N D eae u 0 Vx E Tp avec f repr sentant la densit volumique de courant u l approximation et k la conductivit Cette derni re est li e au label des diff rentes couches Notons que
61. ion 42 101 1961 17 V Legat Introduction aux l ments finis notes du cours meca2120 2004 18 S Haykin and B Van Veen Signals and Systems John Wiley amp Sons Inc 2003 19 L E E D T G Delaunay Triangulation for Plannar Graphs Discrete and Computational Geometry 44 1 29 1988 20 DF Watson Computing the n dimensional delaunay tessellation with ap plication to voronoi polytopes The computer journal 24 2 167 1981 21 P J Frey and H Borouchaki Surface mesh evaluation In 6th International Meshing Roundtable pages 363 373 1997 22 A Andrien Mod lisation de la stimulation du nerf optique par lectrode pos e sur la paupi re Master s thesis UcL 1999 23 K Vredenburg J Y Mao P W Smith and T Carey A survey of user centered design practice In Proceedings of the SIGCHI conference on Hu man factors in computing systems Changing our world changing our selves pages 471 478 ACM New York NY USA 2002 63 Annexe A Mode d emploi Apr s avoir ex cut le fichier java l cran repr sent sur la figure A 1 ap para t Sur la gauche se trouve le panneau reprenant les diff rents param tres Ces derniers concernent la g om trie d finie dans l onglet Shapes et l extru sion d finie dans l onglet Extrusion La premi re tape consiste ajouter les diff rents objets de la g om trie gr ce au bouton Add shape Potential Distribution Add Sh
62. ions de formes Les fonctions de formes sont choisies a priori et de telle mani re qu aucune ne puisse tre obtenue par combinaison li naire des autres En g n ral et plus particuli rement dans notre cas nous choisissons ces fonctions de formes comme tant associ es un point sp cifique de l espace X ensemble des noeuds et respectant la propri t suivante T X 0 si Z j ce qui quivaut dire en utilisant le symbole de Kronecker que 7 X j On en d duit donc que les valeurs nodales sont les valeurs de l approximation en X En effet si on repart de l quation 3 1 3 appliqu e un noeud particulier u Xi D Ujr Xi 2Ces fonctions de formes sont g n ralement d finies gr ce un isomorphisme entre un l ment quelconque et un l ment parent d fini a priori 23 et qu on y remplace 7 X par 6 on obtient n u Xi 5 Uj ij U j l avec u X repr sentant la valeur de l approximation au point X et U la valeur nodale 3 1 3 Une m thode variationnelle La formulation discr te peut tre exprim e de deux mani res Premi rement grace l quation 3 1 2 Trouver u x tel que ove aVu dQ fanaa a g ds v e x Q Q TN en pr cisant que x est l ensemble des solutions de l approximation qui est un sous ensemble de l ensemble des solutions que nous appellerons x et deuxi me ment gr ce une minimisation recherche du v x qu
63. kisol sin m n n 8 sin nta n 8 pour m n k p PCM kisO r 6 SACRED kgpint e m pour m n et m 0 pe B Ki ey x B 2m 2m pour m n et m 40 0 pourm n 0 avec ke la conductivit du contact et kiso la conductivit de l isolant Nous pouvons maintenant effectuer la m me op ration sur l quation 3 2 18 et calculer analytiquement Jos cos n d mais dans ce cas tant donn que la conductivit n intervient pas les bornes de l int grale sont bien 7 et r sin 0 a cos n0 0 el 0 T n J 1d0 9 27 Te sin 0 32 Ensuite nous pouvons r crire les quations 3 2 17 et 3 2 18 a kgaint Jo r i di ori 57 drdz 3 2 19 9Dint Jo merits 27 Jon r fr drdz pour n 0 ai 3 2 20 0 pour n 40 5 T in y Put r Hi 274 4 u tT V dr dz nous utilisons la m thode d crite sr r bz bz dans 17 p 60 64 et technique d int gration num rique de Gauss Legendre d crite galement dans 17 p 64 66 L int grale 3 2 20 est galement valu e gr ce la m thode de Gauss Legendre Pour calculer fi a Int ressons nous maintenant la structure de la matrice et du vecteur B A est une matrice carr e de dimension 2M 1 N remplie avec les termes aj d crit par 3 2 19 Le et le j repr sentent les indices des n uds du maillage et le m et le n repr sentent les modes utilis s
64. l de la saline en vert de l isolant en rouge le recess en gris galement de la saline l lectrode en jaune et nouveau de la saline en bleu fonc 53 Malago 24200 pm Mailage z 16800 um y url om sono xim Mallage z 21000 pm Zoom sur la couche de quadrilat res y urr 1000 s00 600 400 20 0 200 400 600 800 1000 x urn Fic 3 17 Trois sections du maillage tridimensionnel diff rentes valeurs de z et en bas droite un agrandissement du maillage pour z 21000um c est dire au niveau de l lectrode sur lequel peut se voir la couche d l ments quadrilat raux Sur la section pour z 4200um on peut voir que les couches letrode recess et isolant ont le m me label que la saline ext rieure Sur la section z 16800um un nouveau label repr sentant l isolant appara t Finalement sur la section z 21000um Visolant l lectrode et le recess sont pr sents 54 y um Champ de potentiel V V 6035 132 5000 F 4000F 3000 F 2000 F 1000 F 1000 F 2000 F 3000 F 4000 F 5000 F 1 1 1 f 1 1 6000 4000 2000 0 2000 4000 6000 x um 0 1000 2000 o 3000 5000 4000 6000 Fic 3 18 Distribution des potentiels pour z 21000um 55 Chapitre 4 Design de l interface graphique Un des trois modules de l outil est l interface utilisateur elle est d nomm e GUI dans cette partie p
65. la densit volumique de courant est une fonction nulle sur la totalit du 40 Contact Exemple de m tallique changement de conductivit Nerf Isolant Recess Fic 3 8 Configuration sch matique du nerf entour par une lectrode de type cuff Cette figure illustre le changement longitudinal de milieu et donc de conductivit hors du nerf Sur la ligne horizontale pointill e les changements de couleur et de taille des tirets repr sentent ces changements de milieu domaine except sur le contact m tallique o elle prend une valeur constante f LIA Le programme a donc besoin comme entr e du label associ au contact m tallique Cette quation est ensuite r solue par la m thode des l ments finis intro duite pr c demment voir section 3 1 Il faut galement noter que le calcul de distribution se fait toujours avec une seule lectrode car pour obtenir la distribution des potentiels due une configuration comprenant plusieurs lectrodes il suffit de sommer la solution de chacune des lectrodes s par ment Ce calcul peut toujours tre fait avec un courant unitaire car la solution est directement proportionnelle ce courant 6 3 3 2 Fonctionnement du programme Comme nous l avons expliqu ci dessus le calcul de la distribution de po tentiel dans une fibre nerveuse par la m thode par extrusion se divise en trois tapes bien distinctes repr sent es par le num ro correspondant sur la figure 3 9
66. ma des diff rents modules de l outil 1 Calcul de la distribution des potentiels le long de la fibre Entr es G om trie du syst me et intensit du courant unitaire Sortie Distribution des potentiels le long de la fibre des l ments finis 2 Calcul des potentiels des membranes actives via un mod ele de fibre Entr es Distribution des potentiels le long de la fibre et impulsion lec trique Sortie Potentiels des membranes actives 3 Interface graphique Entr es G om trie du syst me et impulsion lectrique Sortie Potentiels des membranes actives Chacun de ces trois blocs sera donc rempla able l aide d interfaces bien d finies 1 3 Plan Tout d abord le cadre biologique est pos chapitre 2 suivi d une explica tion sur le calcul de la distribution des potentiels dans un volume chapitre 3 Cette deuxi me partie est la plus importante et d bute par une introduction th orique sur la m thode des l ments finis section 3 1 Elle est suivie par la description de la m thode par Fourier section 3 2 et de la m thode par extru sion section 3 3 Ensuite le choix de l utilisation de cette derni re est justifi section 3 4 et un exemple de r sultat est donn section 3 5 Dans le chapitre 4 la m thode de design de l interface graphique de l outil est abord e Pour conclure les perspectives les am liorations apporter autant l outil et son impl mentation qu au mod le en lu
67. modifi s gr ce au bouton Edit ou supprim s gr ce au bouton Delete Un rectangle peut tre ajout de la m me mani re qu un cercle en pous sant sur Add shape et ensuite en s lectionnant Rectangle Les param tres 66 concernant le centre et la conductivit sont les m mes que pour un cercle ceux concernant les dimensions sont quant eux diff rents voir figure A 5 width la largeur du rectangle sa dimension selon l axe x height la hauteur du rectangle sa dimension selon l axe y length idem que pour le cercle Chaque bo te repr sentant un objet comporte un bouton Electrode qui n est disponible que si l objet a d j t appliqu Il faut s lectionner l objet repr sentant le contact en cochant ce bouton avant de pouvoir lancer le calcul de distribution Potential Distribution ES Conductivities Distribution Dimensions radius length Center X Y z Conductivities x Y O Electrode Edit Delete Rectangle imensions idth height length Center x 2 Conductiitiss Y z Electrode Edit Delete Add Shape Apply All Reset Zoomin zoomout center Auto adjust Shape applied Fic A 5 Un rectangle peut tre ajout et d fini de la m me mani re qu un cercle S il repr sente le contact il faut cocher le bouton Electrode Une fois que
68. n aVu g Vx eryn 3 1 1 u t V Tp La formulation faible quant a elle s exprime comme suit wa aVu dQ uf g ds Vue X 3 1 2 Q Q TN Dans le cas d une distribution de potentiels dans une fibre nerveuse le a repr sente la conductivit du milieu le u repr sente le potentiel le f repr sente la source de courant Iy repr sente la fronti re sur laquelle la condition de Neumann est impos e et Ip repr sente la fronti re sur laquelle la condition de Dirichlet est impos e est une fonciton s annulant sur T y et est l ensemble de fonctions Nous pouvons d j pr ciser que la condition de Dirichlet impos e sur les bords oblige u prendre une valeur nulle en d autres termes t 0 ou encore u X conditions homog nes de Dirichlet Pour la formulation faible le x repr sente d s lors un espace ne contenant que des fonctions qui s annulent sur Ty 3 1 2 La m thode en th orie La plupart du temps trouver une solution exacte un probl me de ce genre est impossible sauf dans certains cas particuliers mais pas dans celui du calcul de la distribution des potentiels dans un volume C est pourquoi il convient d utiliser une m thode num rique pour obtenir une approximation u de la solution exacte u La m thode des l ments finis consiste r crire le probl me sous la forme suivante u gt Ujr 3 1 3 o U sont les valeurs nodales et 7 sont les fonct
69. n des potentiels dans la fibre nerveuse 3 1 3 2 3 3 3 4 3 5 M thode des l ments finis 3 1 1 L quation de Poisson 3 1 2 La m thode en th orie 3 1 3 Une m thode variationnelle 3 14 Lemaillage 3 37 3 bees 18535 8 18 sab 2 B 8 ot Daa us La m thode par Fourier 9211 Th orie 4 4 4 4 ESS A dk i AM Bee ER 3 2 2 Algorithme rr ee Mo ane AU ANNE Te es TIKA ae 4 La m thode par extrusion 3 3 1 Th ri oae 44 44 L ELA eo etaient a 4 19 bl Seed 3 3 2 Fonctionnement du programme Justification du choix de la m thode Exemple de r sultat 4 Design de l interface graphique 4 1 D marche centr e utilisateur 5 Conclusion et perspectives A Mode d emploi oer BRP I 10 13 14 14 16 18 B Fichier d entr es de l exemple de r sultat donn la section 3 5 71 B 1 default geom 4 sus eee au ae 4 4 we ot 71 B 2 inputMesh2D Axis 1 BE MAR RANE AA ER a a ee Va 74 B 3 inputExtrusion txt 75 BA npt FEM ax uns a ai hie ag a 8 30 ea Me 2e AY Bae amp 76 C GUI avec solution 77 Chapitre 1 Contexte et besoins De nos jours la stimulation lctrique nerveuse fonctionnelle FES est une technique extr mement utilis e Elle permet d envoyer des informations
70. n point P de l ensemble de points 5Rappelons que pour la m thode par Fourier cette contrainte est galement pr sente mais qu en plus le nerf doit tre axisym trique 35 Us angles N minimums AA FIG 3 3 Le graphe de gauche nous montre un exemple de triangulation de De launay et l agrandissement modifi se trouvant droite nous montre un exemple de triangulation qui ne respecte pas la deuxi me propri t cit e ci dessus En effet on peut facilement remarquer que les angles minimums des triangles adjan cents la ligne rouge sur l agrandissement ont des angles minimums plus petits que tous les angles des triangles adjacents la ligne verte sur la triangulation de Delaunay Par ailleurs le cercle bleu est un exemple de cercle circonscrit un des triangles et illustre la premi re propri t En effet aucun autre sommet ne se situe l int rieur de ce cercle 2 Suppression des triangles desquels le cercle circonscrit contient le point P 3 Liaison des sommets des triangles supprim s avec le point P 4 Basculement si n cessaire des ar tes pour que tous les triangles respectent le crit re de Delaunay et retour l tape 1 Une fois tous les points ajout s le super triangle est supprim ainsi que tous les segments dont l une des extr mit s est un de ses sommets Nous avons d j abord l importance de la taille des l ments du maillage et l importance d av
71. nts de la fronti re se trouvant sur la fronti re est parcouru A partir de chacun de ces points un nouveau point Pi est cr Il est _ gt plac sur la r sultante de la normale P Pf au segment P P _1 et de la normale P P H au segment P P 1 une distance d valant l paisseur de la couche fine consid r e cette d marche est illustr e sur la 37 taille des segments taille des segments distance radiale distance radiale D ttt Fic 3 5 Ces graphes sont deux exemples de fonctions repr sentant la taille des l ments du maillage par rapport leur distance radiale Au plus cette taille est petite au plus la densit est importante figure 3 6 Finalement il faut v rifier que le nouveau point pi se trouve du bon c t de la fronti re gr ce au label Si ce n est pas le cas il faut d placer le point pf sur le point Pf l oppos du point P en modifiant ses coordonn es comme suit x P a P a P 2 P 2z P PS y Pi y P UPP yY P 2y P PF Cette modification du maillage des couches fines rajoute la contrainte suivante l paisseur des couches fines doit tre inf rieure la longueur des c t s des tri angles adjacents pour que le maillage reste r gulier Le r sultat de ces trois tapes est donc un maillage bidimensionnel compos d l ments triangulaires et quadrilat raux b Extrusion du maillage
72. oir des l ments plus petits aux endroits o la fonction varie rapidement I est donc n cessaire de savoir comment faire pour affiner le maillage aux endroits d int r t La premi re mani re utilise le fait que la triangulation prend comme entr e l ensemble de points qui repr sente la discr tisation des fronti res de chaque couche biologique du nerf On peut donc tre certain que tous les points se trouvant dans cet ensemble se retrouvent dans le maillage Il suffit d augmenter le nombre de points formant les fronti res des couches biologiques qui se trouvent aux endroits forte variation La deuxi me mani re est de donner une fonction de densit Cette fonction prend des valeurs plus importantes aux endroits o l on d sire une information d taill e et invers ment Dans le travail de A de Potter d Indoye 6 cette fonc tion de densit d pend de la position par rapport au centre de la section du nerf voir figure 3 5 Ce choix a t fait car dans le cas tudi les informations recherch es se trouvent plus au centre tant donn que la p riph rie du volume est g n ralement constitu d isolant La deuxi me tape assez triviale consiste attribuer un label chaque l ment pour pr ciser quelle couche biologique il appartient et pour pouvoir 36 AS WW Fic 3 4 Les quatre tapes de l algorithme de Watson par exemple a posteriori d terminer les fronti res des diff rentes couch
73. oire appropri Les fichiers de sorties de fem doivent tre plac s dans le r pertoire dis tribution Tous les fichiers contiennent le nom de la distribution soit dans leur nom soit dans leur contenu Dans cette partie appelons la distribution name Notons que les labels voqu s dans la partie pr c dente sont impl ment s par le mot color dans la totalit du programme 6 Jusqu pr sent ces placements doivent tre faits manuellement par l utilisateur mais cette op ration est automatis e grace l interface graphique voir chapitre 4 42 a G n ration du maillage bidimensionnel Cette partie est consacr e aux entr es et la sortie du programme de g n ration du maillage 2D les bo tes rouges de la figure 3 9 reprises sur la figure 3 10 Entr es 1 Sortie 1 Param tres Maillage G om trie Creme Maillage 2D bidimensionnel Fic 3 10 Graphe repr sentant la structure de l impl mentation de la g n ra tion du maillage bidimensionnel G om trie L utilisateur doit tout d abord fournir la g om trie du domaine sur lequel la distribution va tre calcul e Rappelons que cette g om trie repr sente une discr tisation des fronti res des diff rentes couches biolo giques nom du fichier name_ geom structure du fichier Le fichier contient plusieurs boucles qui repr sentent chaque objet pr sent dans la g om trie Chaque boucle doit tre d crite selon les r
74. onnel Param tres Dans ce fichier se trouvent tous les param tres dont le programme fem a besoin pour fonctionner nom du fichier inputFEM txt structure du fichier Le fichier a la structure suivante Data 0 name Conductivities 4 color 1 1 0e 006 1 0e 006 1 0e 006 color 2 1 0e 006 1 0e 006 1 0e 006 color 3 8 8 0 5 color 4 1 0e 004 1 0e 004 1 0e 004 Dirichlet 3 boundary 1 0 boundary 2 0 boundary 3 0 Stimulation 1 color 4 2 0e 010 Solve 0 Print 0 name D crivons chacun des champs Data 0 la ligne suivante contient le nom de la distribution Conductivities ne le nombre n de milieux diff rents Cette ligne est suivie de ne lignes d butant par color suivi du num ro du label du milieu et se terminant par la valeur de la conductivit du milieu dans les trois directions dans l ordre x y z Dirichlet ng le nombre ng de fronti res sur lesquelles est impos e la condition de Dirichlet Cette ligne est suivie de n4 lignes servant pr ciser quelle est la valeur impos e sur ces fronti res a priori 0 tant donn que nous imposons une condition homog ne de Dirichlet Stimulation n le nombre n de milieux qui sont des sources les contacts m talliques Comme nous l avons pr cis plus haut n importe quelle ditribution peut tre obtenue par combinaison 49 lin aire de ditributions obtenues sur des configurations simples ne poss dant qu un seul contact donc a priori n 1 Cette ligne
75. our Graphic User Interface Bien que ce module ne repr sente pas la partie la plus techniquement complexe elle n en est pas moins importante Il est indispensable que l utilisateur puisse employer l application de mani re intuitive et ne doive pas consulter le mode d emploi chaque utilisation C est aux utilisateurs potentiels de d cider si la GUI leur para t ergonomique et compl te et non au d veloppeur Dans le cadre de ce travail la GUI a t con ue suivant une d marche centr e utilisateur 5 23 Elle permet l utilsateur de cr er le fichier d crivant la g om trie automatiquement ainsi que tous les fichiers de param tres Elle ex cute ensuite les programmes C un par un et affiche la solution avec la possibilit de changer de coordonn e z facilement 4 1 D marche centr e utilisateur La d marche centr e utilisateur est un processus de design d une interface graphique dans lequel les besoins les envies et les limitations de l utilisateur final sont pris en compte chaque tape Cette m thode est caract ris e par une validation de l analyse du probl me du d veloppeur par un utilisateur r el Il est donc important de conna tre a priori les attentes et les priorit s de l utilisateur mais galement ses connaissances techniques ses aptitudes informatiques les applications habituelles etc Ces informations peuvent tre r colt es l aide d un quesitonnaire soumis plusieurs utilisateurs potentiels ou encor
76. ous utilisons un maillage deux dimensions pour repr senter une section du nerf et une extrusion de ce maillage donc un maillage trois dimensions pour repr senter le morceau du nerf consid r La d finition du maillage est une partie tr s importante de la m thode En effet il convient par exemple de choisir des l ments plus petits aux endroits du domaine o la solution varie rapidement Le cas tudi dans ce travail est un bon exemple de l importance du choix de la taille des l ments aux diff rents endroits du domaine l lectrode et certaines couches du nerf ayant une paisseur tr s petite par rapport la taille totale du domaine De plus les informations ces en droits sont recherch es Il est donc n cessaire de choisir la taille de leurs l ments comme tant plus petite que leur propre paisseur Cependant il est inutile de placer des l ments d aussi petite taille proche de la fronti re du domaine qui est en g n ral constitu e d isolant et o l information n est pas primordiale Dans cette partie nous abordons les maillages bidimensionnels constitu s d l ments triangulaires ou quadrilat raux a Les maillages bidimensionnels Les l ments d un maillage bidimensionnel doivent respecter une r gle im portante deux l ments ne peuvent avoir comme intersection qu un sommet ou un c t entier Le maillage en lui m me est d fini par deux tableaux 3Par inutile on entend
77. ovoqu s par une d polari sation de la membrane Ion Sens du flux Instant Dur e Amplitude par rapport 4 Vin Nat entrant pr coce transitoire ind pendante Kt sortant retard e longue d pendant de K Ceci d montre bien que ces deux ions empruntent des canaux ioniques de perm abilit s ind pendantes Pour le mod le nous allons avoir besoin de d crire math matiquement ces changements de perm abilit Dans notre cas nous allons assimiler la perm abilit la conductance membranaire g Cette derni re ob it la loi d Ohm Lion Gion Vn Eion 2 4 3 o Lion est le courant ionique Vm est le potentiel transmembranaire et Eion est le potentiel d quilibre de lion La diff rence Vm Eion repr sente donc le gradient lectrochimique agissant sur lion Au vu des ces trois points le potentiel transmembranaire pouvant tre fix gr ce la m thode du voltage impos Ex et Eya pouvant tre calcul s d apr s les concentrations ioniques du tableau 2 1 les courants Iya et Ig pouvant tre d termin s l un et l autre d apr s les enregistrements des courants membranaires r sultants de la d polarisaiton en mesurant la diff rence entre les courants enregistr s en pr sence et en absence de Nat externe il est possible de calculer gx et gna Deux conclusions peuvent d s lors tre tir es de ce calcul Les conductances potassique et sodique varient en fonction du temps Les d
78. plications sur la m thode des l ments finis et qui m a permis d orienter correctement mon tude Je remercie tout particuli rement Joachim Giard qui m a soutenu tout au long de la r alisation de ce travail en m aidant comprendre les diff rents su jets abord s et les programmes utilis s et qui a t pr sent chaque difficult rencontr e Je le remercie galement norm ment pour l aide qu il m a apport e tout au long de mes tudes Je remercie ma maman pour les longues heures pass es relire ce travail et pour son soutien et sa pr sence lors de sa r daction Et je remercie finalement mon papa pour sa collaboration la relecture et ses encouragements Table des mati res 1 Contexte et besoins 1 1 1 2 1 3 BESOIN S 4552 feces es Chis dae ee era en en Let a er es ect dd Contributions LEE T AS N 38 ie reines D ee Seta PIAN S nn Le Ze Cenk Ge re Bs Se Unb Ue Silene SD DAT 2 3 126 Oy ME 2 Introduction biologique 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 L neurone aioe 2 da WER ee eee a NE Her 304 Les circuits neuraUx 2 2 3 2 44 etats Ge Pda ae AE La propagation de l information dans une fibre nerveuse 2 8 1 Le potentiel de repos 2 3 2 Le potentiel d action 2 8 3 Illustration chiffr e La perm abilit de la membrane d pendante du voltage Principe de la stimulation lectrique nerveuse fonctionnelle 3 Distributio
79. pour la d composition spectrale de Fourier La matrice A est donc une matrice carr e de dimension 2M 1 constitu e de sous matrices carr es de dimension N Au A12 A 2M 1 2M 1 ari a Aij a i j INN B quant lui est un vecteur de longueur 2M 1 N ou encore un vecteur de longueur 2M 1 constitu de sous vecteurs de longueur N B B By Beams B bi bb bi Par cons quent la r solution du syst me U A B donnera un vecteur ver tical de longueur 2M 1 N Maintenant que nous savons comment obtenir le vecteur de coefficient revenons l quation 3 2 11 u r z 0 X Loren ao M i 1 qui peut tre r crite comme suit M N u r 2 0 re Y UI Ti r z cos m M i 1 33 Rappelons que la fonction de forme bidimensionnelle 7 vaut 1 sur le n ud 7 et 0 ailleurs donc l quation pr c dente est quivalente M u r z 0 5 U r z cos m m M ce qui signifie que pour obtenir la solution sur un n ud il faut sommer la mul tiplication des coefficients par un cosinus pour m allant de M M Ces coeffi cients sont obtenus par la r solution du syst me lin aire d crit ci dessus Cette op ration nous permet donc de repasser du domaine fr quentiel au domaine spatial et les U sont les coefficients de Fourier permettant de reconstruire la fonction 3 2 2 Algorithme Nous avons donc d crit la m thode compl te permettant de calculer la so lution n importe
80. que cela augmenterait consid rablement le temps de calcul et la taille des donn es pour obtenir une haute r solution un endroit o l information a peu d int r t 25 le tableau de coordonn es des sommets le tableau d appartenance des sommets aux l ments chaque ligne de ce tableau d butant par le num ro de l l ment suivi par les num ros des sommets qui en font partie Il est donc important de num roter les sommets et les l ments de mani re unique La taille du maillage quant elle est d termin e par trois nombres le nombre de sommets le nombre de c t s le nombre d l ments Il est important de noter que l approximation est calcul e sur les noeuds et non sur les sommets Par d finition un sommet est l intersection entre plusieurs c t s d un ou plusieurs l ments tandis qu un noeud est un point o est calcul e une valeur discr te Les noeuds et les sommets peuvent donc se trouver aux m mes endroits dans le domaine mais sont deux concepts distincts b Les l ments triangulaires La diff rence fondamentale entre les diff rents types d l ments est le choix des fonctions de forme Pour obtenir les fonctions de forme nous effectuons un isomorphisme entre un l ment quelconque Qe et un l ment parent Q d fini dans le plan 7 et dont les sommets ont pour coordonn es P 0 0 P 1 0 et Ps 0 1 La relation entre cet Qe et Qp est donc aw
81. r alis et d avancer efficacement dans le projet global Un outil modulable La stimulation lectrique fonctionnelle tant un domaine en pleine croissance il est important que l outil propos puisse subir des am liorations de mani re r guli re Par exemple la m thode par extrusion est constitu e de trois parties la conception du maillage 2D l extrusion pour obtenir un maillage 3D et enfin la r solution de l quation de Poisson par la m thode des l ments finis Chacune de ces parties est donc un module aux entr es et sorties bien d finies qui peut tre remplac ind pendamment des deux autres De la m me mani re le calcul de distribution peut tre remplac enti rement tout en conservant l interface graphique Il est donc essentiel de sp cifier avec pr cision les entr es et sorties de chaque module de sorte qu il soit rempla able ais ment par n importe qui Sur la figure 1 1 sont repr sent s les diff rents blocs de l application finale avec leurs entr es et leurs sorties Les parties qui sont r alis es et tudi es en profondeur dans ce m moire sont en pointill rouge Calcul de Distribution x distribution des potentiels de des potentiels Z oe Impulsion Potentiels des ae membranes Intensit de actives l impuslion Interface Graphique L G om trie Potentiels des membranes Impulsion actives Utilisateur Fic 1 1 Sch
82. re une contraction musculaire et un mouvement fonctionnel utile De nos jours en plus de ces applications m caniques battements cardiaques mouvement la FES est galement utilis e pour r duire la douleur aider contr ler le flux urinaire r duire les crises d pilepsie emp cher l avancement d une scoliose am liorer la circulation sanguine influencer le nerf auditif ou m me le cortex visuel etc Dans tous les cas cit s ci dessus une action pr cise est attendue suite la stimulation lectrique artificielle Il est donc important de pouvoir pr dire la r ponse de la fibre nerveuse lors de sa stimulation Cette r ponse d pendra principalement de deux param tres la g om trie du syst me diam tre de la fibre configuration de l lectrode et la forme de l impuslion lectrique La 19 mod lisation va donc pouvoir fournir cette pr diction en fonction de ces deux param tres et ainsi viter la r alisation de certaines exp riences beaucoup plus co teuses Elle permettra galement de mieux distinguer le r le de chacun des param tres 20 Chapitre 3 Distribution des potentiels dans la fibre nerveuse La distribution des potentiels lectriques est une des deux entr es principales des mod les d crivant la r ponse des fibres nerveuse Son calcul est donc une tape indispensable dans la mod lisation d une FES Elle peut galement tre utilis e lors de l valuation de l efficacit
83. rons que le domaine s tend de a et sur le diam tre de la fibre nerveuse dans les directions r et z Ja cos m0 cos n9 d 2 Jo cos m cos n9 d Je sin mO sin n0 d0 2 f sin m6 sin n0 d6 si m EN 2 Je cos m cos n d ie cos m n 0 cos m n 0 d0 ER TTO rer L 0 m n m n sin m n a sin m n a m n m n 3 I En et m 0 2 f cos m0 cos n0 d9 fJ 1 cos 2m0 d0 2m sin 2ma 2m si m n 2 fS cos m cos n9 d0 2 fS 1d9 2a sim EN Jo sin m sin nd dd fj cos m n 0 cos m n 0 d0 aie sin Cm a 0 m n m n sin m n a sin m n a m n m n si m n et m 0 Jo sin m0 sin n0 d9 fY 1 cos 2m d 0 z sin 2m0 a _ sin 2ma 2m 30 sim n et m 0 So sin m0 sin n0 d0 STO iy 2m sim n 0 Jo sin m0 sin n0 d0 0 A ce stade du d veloppement il est bon de rappeler que les fonctions de formes sont choisies de mani re ce qu elles ne puissent tre obtenues par com binaisons lin aires des autres Il est donc clair que le terme 7 7 n est diff rent de 0 que lorsque et j sont gaux c est dire lorsqu un seul n ud du maillage est consid r sur la diagonale de et dans ce cas il est gal 1 Par la suite nous notons 1 cos m cos n0 d0 gAint m 0 Qo 1 sin m0 sin n0 d0 gpint m 0 Qo Nous pouvons donc r sumer par sin m n a a sin m n a
84. s le long de cet axe et qu il conserve toujours exactement la m me g om trie Comme l objectif final est de pr dire la r ponse de fibres nerveuses my linis es une stimulation lectrique l paisseur des tranches doit valoir au maximum la distance L entre deux noeuds de Ranvier qui est proportionnelle au diam tre D de la fibre nerveuse L 100 La premi re tape consiste en la cr ation des nouveaux noeuds Connaissant les coordonn es en x et en y de chaque noeud les deux seules op rations effectuer sont la num rotation et le calcul de la coordonn e en z n no s N Ni No x N0 y gt Zs avec n le num ro du nouveau noeud no le num ro du noeud correspondant sur la section originale s le num ro de la section sur laquelle se trouve n N le nombre de noeuds sur une section Nos Nno y les coordonn es en x et en y du point no et z la coordonn e en z de la section s Le programme d tecte ensuite les noeuds se trouvant aux fronti res du do maine pour leur imposer la condition homog me de Dirichlet Pour ce faire il recherche les noeuds des segments n appartenant qu un seul l ment Notons que cette tape ne n cessite pas d information suppl mentaire Finalement bien qu il soit logique que les l ments des nouvelles sections cr es aient le m me label que l l ment correspondant sur la section initiale 39 Fic 3 7 Extrusion du maillage bidimensionnel pour obtenir un ma
85. s utilisent la m thode des l ments finis pour r soudre l quation de Poisson sur le maillage Cette partie d bute avec une introduction th orique sur la m thode des l ments finis Ensuite la m thode par Fourier est d taill e ainsi que la m thode par extrusion d o d coule l explication du programme Vimpl mentant Finalement le choix de la seconde m thode est justifi Le choix de ces deux noms m thode par extrusion et m thode par Fourier vient du fait que la diff rence principale entre les deux est la mani re de passer du bidimensionnel au tridimensionnel 21 Fic 3 1 Electrode de type cuff 3 1 M thode des l ments finis La majorit de la th orie abord e dans cette partie provient du syllabus du cours d introduction aux l ments finis du professeur V Legat 17 La m thode des l ments finis est une m thode num rique permettant de r soudre des quations aux d riv es partielles aux conditions limites Elle consiste en la r solution d un probl me quivalent au probl me r el Le probl me est pos sur une g om trie approch e par un domaine Q polygonal aux dimensions finies Un espace d approximation est ensuite d fini par un maillage du domaine dont les mailles sont les l ments finis sur lesquels est r solue l quation aux d riv es partielles En bref il s agit donc de la discr tisation d un probl me permettant d obtenir une solution approch e du pro
86. ties x Ds z Electrode Edit Delete Circle Dimensions z Add Shape Apply All Reset Load Zoomin Zoom out Center Auto adjust Distribution 0 0 4200 0 8400 0 12600 0 16800 0 21000 0 25200 0 29400 0 33600 0 37800 0 42000 0 Fic A 9 Affichage du r sultat sur la section centrale Enfin il sera possible de sauvegarder une solution de charger une solution pr c demment calcul e ou encore d ouvrir une nouvelle fen tre pour calculer une nouvelle distribution sans pour autant effacer la pr c dente mais ces trois fonctions ne sont pas encore impl ment es Le bouton Reset se trouvant en bas de l onglet Shapes permet d effacer tous les objets pour recr er une nouvelle g om trie 69 Sav Load New Distribution Shapes Circle x Dimensions radius length Center x VE Z Conductivities IX Yi Zr 0 0 X 4200 0 Electrode 8400 0 Edit Delete 12600 0 Circle Dimensions 158209 9 radius lenath 21000 0 Center 25200 0 pe a 29400 0 Conductivities 33600 0 x Y ies 37800 0 Electrode 42000 0 Edit Delete Circle Dimensions z Add Shape Apply All Reset Zoom in Zoom out Center Auto adjust pote ala 8400 0 Fic A 10 La liste de boutons sur la droite permet de pouvoir visualiser la solution pour diff rentes valeurs de z 70 Annexe B
87. tion obligatoire de l utilisateur Par exemple si le programme a besoin d un certain param tre pour continuer En consid rant ces conclusions et avec une bonne compr hension du fonc tionnement des programmes C l interface graphique pr sent e sur la figure 4 2 a t con ue Elle permet de r aliser de mani re intuitive les diff rentes tapes d crites pr c demment sans n cessairement avoir besoin de comprendre le fonctionnement de la r solution du probl me en lui m me Gr ce la GUI l utilisateur passe directement de la g om trie qu il cr e figure 4 3 l affichage de la distribution des potentiels dans le volume d crit figure 4 4 Cette interface graphique a t valid e par une derni re entrevue avec l uti lisateur 97 GUI 1 gt StimuNerve EEF Param tres R sultats Diam tre 784 0 Potentiel de membrane 487 0 My line Vitesse de propagation 2 9232640476E13 Ranvier 45 0 Electrode 1 0 Pattern 1 0 Dur e activation 5 0 Amplitude Activation 45 0 Dur e Inactivation 7 StimuNerve Param tres de la stimulation BE Amplitude Inactivation Diam tre 45 0 Dur e Interm diaire New Reprendre Load save maillage Mod les comparer G om trie A Entrez la longueur des gaines de my lines a oK Annuler Modifier un param tre Annuler stimuler GUI
88. tion de la perm abilti de K Pour expliquer la valeur du potentiel de repos et du pic du potentiel d action fixons dans le premier cas Px 2 et Pya 0 1 et dans le deuxi me cas Px 0 1 et Pya 2 et utilisons les valeurs du tableau 2 1 une temp rature de 37 C Vrepos 266 107 4n a 5 E 65 20mV 2x 145 0 1 x5 2 x 10 0 1 x 140 Ces valeurs sont donn es titre d illustration car les perm abilt s ont t fix es de mani re arbitraire La partie suivante aura pour but d expliquer le compor tement de ces perm abilit s en fonction du voltage VoicpA 266 107 In 57 33mV 15 2 4 La perm abilit de la membrane d pendante du voltage Les connaissances actuelles sur la perm abilit membranaire se fondent sur des donn es obtenues par la technique du voltage impos ou voltage clamp 9 La cin tique et les changements en fonction du voltage de perm abilit des ions potassium et sodium permettent d expliquer compl tement l mission de potentiel d action Nous avons vu dans la partie pr c dente que c est un accrois sement transitoire de la perm abilt membranaire au Nat qui est responsable du d clenchement d un potentiel d action Cet accroissement transitoire n a ce pendant lieu que si le potentiel transmembranaire atteint une certaine valeur seuil Cela signifie que le m canisme r gulant la perm abilit du sodium est lui m me d pendant du voltage Donc si l on peut
89. traitent les informations de l environne ment Les syst mes moteurs permettent de r pondre aux informations par des mou vements ou autres comportements Fic 2 2 Les neurones poss dent les m mes organites que les autres cellules image adapt e du livre Neuroscience 7 Les syst mes associatifs se situent entre les deux autres cat gories et prennent en charge les fonctions c r brales les plus complexes et les moins bien d finies Une deuxi me mani re de distinguer les diff rents syst mes est d effectuer une division anatomique Le syst me nerveux est constitu de deux composantes anatomiques voir fig 2 4 Le syst me nerveux central SNC comprenant l enc phale cerveau cer velet et tronc c r bral et la moelle pini re Le syst me nerveux p riph rique SNP comprenant les neurones sensi tifs connectant les r cepteurs sensoriels aux circuits de traitement du SNC le contingent moteur somatique axones moteurs reliant l enc phale et la moelle aux muscles et le contingent moteur v g tatif neurones et axones innervant les muscles lisses le muscle cardiaque et les glandes Il est galement important de faire une distinction entre les diff rents circuits en fonction de leur caract re aff rent ils transportent l information vers le SNC ou leur caract re eff rent ils v hiculent l information manant du SNC Il existe galement des interneurones qui n interviennent que de man
90. u e d l ments quadrilat res les quatre autres tant constitu es d l ments tri angulaires du contact et du recess est d taill e dans le tableau 3 1 TAB 3 1 D finition des dimensions de la g om trie L ordre des couches est donn en partant du centre vers la p riph rie Label type paisseur um longueur conductivit 4 fibre 2200 42000 0 1 en x et y 1 en z 7 tissu conjonctif 150 42000 0 0659 3 saline 250 42000 2 2 isolant 900 11200 1076 6 recess 290 800 2 5 contact 250 1500 104 1 saline 2500 42000 2 Sur la figure 3 16 se trouve le maillage bidimensionnel obtenu gr ce au pro gramme Mesh2D La couche 7 n est pas encore pr sente car elle est compos e d l ments quadrilat raux ajout s dans le programme Extrusion Sur la figure 3 5 se trouve le r sultat de l extrusion On peut observer la dif f rence de labels des couches qui sont plus courtes que le domaine en z lisolant le contact et le recess diff rentes valeurs de z Et finalement sur la figure 3 18 est repr sent e la distribution des potentiels obtenue au niveau de l lectrode 92 Maillage surfacique 500 noeuds 968 l ments 5000 4000 3000 2000 1000 F Y um 1000 F 2000 3000 4000 F 5000 1 M L 6000 4000 2000 o 2000 4000 6000 X um Fic 3 16 Sortie du programme Mesh2D En partant du centre vers la p ri ph rie la fibre en bleu cie
91. ulement si le potentiel de membrane atteint le potentiel seuil le neurone d clenche un potentiel d action voir fig 2 6 Il se traduit par un changement rapide lms du potentiel transmembranaire du n gatif vers le positif C est un ph nom ne de tout ou rien cela signifie que l ampli tude du potentiel d action est ind pendante de l intensit du courant qui le d clenche L intensit ou la dur e du courant va donc d terminer si un ou plusieurs potentiels d action sont d clench s et quelle vitesse mais pas son amplitude 11 Caract re eff rent Effecteurs _ Syst mes associatifs Contingent v g tatif Enc phale Moelle pini re Muscles lisses Muscles stri s Milieu int rieur et ext rieur Caract re aff rent Fic 2 5 Le syst me nerveux est constitu de diff rents circuits aff rents ou eff rents regroup s en syst mes fonctionnels ou anatomiques Deux sortes de prot ines pr sentes dans la membrane cellulaire ont pour r le de r guler la perm abilit de la membrane donc la concentration ionique des deux c t s et finalement le potentiel transmembranaire Les transporteurs actifs se chargent de faire passer les ions d un c t l autre l encontre du gradient de concentration et modifient donc ce dernier en change d nergie Les canaux ioniques permettent la diffusion des ions dans le sens du gradient de concentration

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