Méthodes de géométrie analytique et différentielle - Jean
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1. 1 8 5 1 5 5 2j 2 5 55 332 59 2 55 332 59 2 5j 3 J j3 2 E j 2 A R G 5 5 2 B spP 2 5J 37 5 2 55 3 0 j 2 i 5 G 1 G 5 5 55 352 59 2 5j 3j2 59 2 55 352 55 2 La commande evala crit tout l ment de C R j sous la forme aj b On l applique tous les l ments de la matrice B et on obtient Lan 3 23 i i 16 10 1 2 0 Brr Exemple 7 Exemple de repr sentation d une courbe param trique gt M vector t 1 t 1 1 074 1 gt T map normal map diff evalm M t 6 4 g Et pour tudier la branche infinie quand t 1 Tejt gt DL map series evalm M t 1 3 Si 1 0 t 1 D o asymptote d quation 8 y x 4 0 avec la position Page 10 62 JP Barani 17 d cembre 2008 2 3 La fonction solve Il est fortement conseill d eviter l assignation des r sultats retourn s par un appel solve car cela rend les variables irr cup rables La r gle d or est solve s utilise avec subs Si par exemple on veut r cup rer les solutions d une quation obtenues apr s une invocation du genre gt sols solve eq x y Maple retourne un r sultat de la forme sols y On peut reporter les valeurs de droite dans une expression expr qui contient x et y via une ligne de code du style gt subs sols expr La substitution x et y de leurs valeurs calcul es aura alors une port e2. 17 d cembre 2008 Exercice 1 Cen 2001 Traiter par les deux m thodes pr c dentes l exer cice suivant Soit un point fixe d une parabole P On m ne de A deux droites orthogonales qui recoupent P en P et Q Quel est le lieu du milieu du segment P Q quand les deux droites varient 6 3 Lien entre les deux m thodes l limination vs le param trage Exemple 14 Ccp 06 et 07 com paraison des deux m thodes Soit P une parabole de foyer F et de sommet O Une droite variable passant par F recoupe P en deux points M et M Quel est le lieu du centre du cercle circonscrit au tri angle OMM Exemple 15 Passage param trique cart sien Exemple 16 quation bifocale d une ellipse Exemple 17 Exemple de pa ram trage d une relation Deux points et B d crivent deux droites concourantes et distinctes de sorte que AB soit constant Quel est le lieu du milieu de AB Troisi me partie Exemple 18 Berlingots de lait Deux points et B d crivent deux droites orthogonales de sorte que AB soit constant Quel est la surface ba lay e par le segment AB Volume in t rieur Aire Exercice 2 Mines Soient D y a 0 8 Ca x y 2x a 9 Quel est le lieu T des points M tels que le point P intersection de la parall le Ox men e de M et du cercle C auquel M appartient soit sur D P a o LT ne N f X 0
3. B y les perpen diculaires BC CA AB qui contiennent les points d inter section respectifs de ces droites avec Ox Montrer que 8 y concourent en un point T En rempla ant Ox par Oy on obtient de m me un point T 3 Calculer les produits scalaires AAL BiB Giot Page 31 62 JP Barani 10 Probl mes d angles et de distances 10 1 Lignes trigonom triques d un angle Proposition 4 Soient et deux vecteurs non nuls d un plan vectoriel euclidien orient E2 Une mesure 0 de langle modulo 2r est d termin e par la connaissance des deux lignes trigonom triques cos 0 et sin ou ce qui revient au m me par la connaissance de e Il vient alors cos Iv sin 0 Det v V EE EE On rappelle que la notation Det v d signe le d terminant du syst me de vecteurs 7T dans une quelconque base orthonorm e directe de Ez D monstration Normalement vu en premi re ann e Exemple 25 Soient B C trois points non align s d un plan affine eu clidien E dont la direction est not e Ev Il existe une orientation de telle que sin AB A gt 0 sin B B gt 0 sin C T gt 0 Donc en notant B les mesures appartenant 0 7 des angles aux sommets du triangle ABC il vient pour l orientation ci dessus AB A mod2r BG B B mod 2 C C mod 2 On en d duit OaE X A B C 7 Page 32 62
4. Exercice 97 Cen Soit C un cercle de centre O et de rayon a A un point fixe de C et M un point variable de C Soit A la tangente C en A et I le point d intersection de A et de la bissectrice de l angle O OM Page 55 62 JP Barani 17 d cembre 2008 1 D terminer une quation po laire du lieu T du sym trique J de I par rapport la droite OM 2 Tracer T 3 Calculer son aire 4 Calculer son rayon de courbure en Exercice 98 Mines 2003 Soit C une courbe d finie par une qua tion polaire p r 0 aussi r guli re que n cessaire On note H la pro jection orthogonale de son centre de courbure au point A 0 sur le rayon vecteur correspondant Calculer HM Exercice 99 Centrale 2001 Tra cer la courbe C d finie en rep re or thonorm par x 2arctant n 4 a 15 tudier le lieu des centres de courbure aux points de C Exercice 100 Mines 2006 Tra cer la courbe T y asm a Lieu du centre de courbure au point courant de la courbe Exercice 101 Le plan affine eucli dien orient Ez est muni d un rep re orthonorm 0 j a 0 o 1 tudier la courbe C d qua tions param triques p aln tan acost y asint 2 Calculer le rayon de courbure R de Ca au point de param tre t 3 On d finit le centre de courbure de Ca au point M t comme tant le point 7 tel que MI RN Qu
5. X a AO CyT D zc s0 ysin0 H p 0 gt D monstration Posons u 6 cos i sino 7 Si M x y est un point quelconque de E dont K est la projection orthogonale sur la droite affine O Vect u il vient OK UOM x cos 0 ysin or M D si et seulement si K H ie x cos ysin0 OK OH p ce qu on voulait 10 2 3 Mode d emploi L quation normale d une droite D porte toutes les informations m triques relatives la droite D en particulier Angle de D avec une autre droite A donn e sous la m me forme Distance d un point M la droite D Pour ces raisons dans tout probl me de g om trie faisant intervenir des donn es m triques relatives une droite il est imp ratif de se donner une quation d icelle sous forme normale A titre d exemple traitons le probl me des podaires lieu des projections d un point sur les tangentes une courbe Page 35 62 JP Barani 17 d cembre 2008 Exemple 26 Le plan affine euclidien orient 2 est muni d unrep re or thonorm direct R 0 F On demande de trouver le lieu L des projections de O sur les tangentes la spirale logarithmique S d quation tr s p ae aZ 0 1Z0 D monstration La M thode consiste trouver une quation normale de la tangente S sous la forme x cos D ysin p D apr s l tude ci dessus un cou
6. Les commandes Maple est un langage fonctionnel Il est souvent pr f rable de programmer en composant les diff rentes fonctions de biblio th que Exemple 1 Un exemple de d veloppement trigonom trique gt factor expand cos 5 theta cos 16 cos 0 20 cos 0 5 On voit que le polyn me 16 X 20 X 5 est bicarr probablement irr ductible sur Q On va d signer par a une de ses racines gt alias alpha RootOf 16 z 4 20 z 2 5 2z La commande alias sert comme son nom l indique remplacer l cri ture indigeste RootO f 16x_Z4 20 x_72 5 _7Z par la lettre chaque fois qu elle se pr sentera Maple liste alors les alias existants savoir I et a Si le polyn me est r ductible sur Q Maple le signale et refuse l alias On peut supprimer l alias via la commande unalias Voila un exemple de programmation par compositions des commandes Le r sultat est la factorisation de l expression alg brique donnant cos 50 en fonction de cos dans l extension Qfa gt expr subs x cos theta factor subs cos theta x expand cos 5 theta alpha expr 16 cos 0 cos 8 a cos 0 3 4a cos 0 3a 4a cos 6 Les expressions et les fonctions Une expression peut tre consid r e comme un arbre au sens informatique du terme Une fonction prend un argument en param tre et retourne une expression Lorsqu on utilise Page 4 62 JP Barani 17 d cembre
7. Les points d affixes 21 z2 z3 sont align s si et seulement si A Z 2 22 Z3 23 1 1 0 1 D monstration Il suffit de se limiter au cas o les z sont distincts En re tranchant la troisi me ligne aux deux autres le d terminant s crit 21 233 1 2 0 Z2 23 Z2 Z3 0 23 Sa nullit quivaut 21 23 22 23 Zo 1l 21 23 22 23 Page 29 62 JP Barani 17 d cembre 2008 Soit encore me R ce qui traduit bien l alignement de ces trois points On se borne un exemple Exemple 23 Lieu des points M d affixe z tels que les points d affixes 1 z 2 soient align s Exercice 10 Concours g n ral 1999 Montrer que les sym triques des som mets d un triangle par rapport aux cot s oppos s sont align s si et seulement si la distance de l orthocentre au centre du cercle circonscrit est gale son diam tre On pourra par exemple repr senter le cercle circonscrit au triangle par le cercle unit U du plan complexe et observer que si z U Z 1 2 9 parall lisme et concours 9 1 parall lisme Exercice 11 Cen 2003 1 Tracer la courbe C d quation polaire p a 1 cos 0 2 On oriente C et l on note T 8 le premier vecteur du rep re de Fr net au point M 0 D terminer une mesure de l angle ut T 3 Montrer qu existent en g n ral trois points de C o la tangente est parall le une direct
8. O j par rapport auquel sont consid r s les affixes des points et des vecteurs Si A a B b C c sont trois points distincts alors GBA am it AC AB c a b a Exemple 29 Avec les notations ci dessus un triangle ABC est quilat ral direct si et seulement si a bj cj 0 avec j 7 3 Il est quilat ral de sens quelconque si ba ca cb a b e 0 D monstration ABC est quilat ral direct si et seulement si AC i et A AC AB mod 27 Ce qui se traduit en complexes par 1 are Ces deux derni res relations se traduisent en une seule C a z mod 27 b a 3 c a b a amp T 3 soit compte tenu de la relation 1 j j 0 c a b a 0 ie c j b ja 0 quivalente la relation cherch e par multiplication par j La suite en Maple Page 43 62 JP Barani 17 d cembre 2008 gt alias j Root0f x 2 x 1 x gt evala expand a b j c j 2 a b j 2 c j L3 ba ca cb a Exercice 29 Classique Soit ABC D un quadrilat re convexe on construi sur les cot s AB BC CD DA et ext rieurement des carr s de centres res pectifs P Q R S Montrer que les segments PR et QS sont orthogonaux et de m me longueur Exercice 30 X et Centrale 2002 Dans un plan affine euclidien rap port un rep re orthonorm d terminer le lieu des centre
9. L intervalle r duit est 0 x 2 et il y a une asymptote verticale Pour tracer l int gralit de la courbe il suffira de prendre 0 x 2 x 2 puisque r 0 x r 8 En revanche pour que Maple puisse faire un dessin non crabouill il convient de prendre un intervalle de trac o r ne de vienne pas trop grand mais suffisamment pour qu on ait une id e de la courbe Apr s quelques essais on a choisi 9r 25 97 25 C x 2 x 2 gt with plots gt rho subs a 2 x sqrt 2 1 rho gt interv 9xPi 25 9xPi 25 1 2V2 2 cos 26 2 cos 0 V2 1 9 9 interu Wauza 25 25 gt courbe plot rho theta theta interv coords polar gt asymptote plot 1 t t 2 2 gt res display courbe asymptote scaling constrained gt res Strophode droite 2 TT s d Aae 5a gae f aei N J Page 40 62 JP Barani 17 d cembre 2008 Cette courbe est appel e stropho de droite Exercice 19 Mines 98 Soient B et F deux points distincts du plan D terminer l ensemble L des sommets des paraboles de foyer F passant par B Le tracer Exercice 20 Centrale 2001 Dans un plan affine euclidien on consid re un point et un cercle C 1 D terminer l ensemble des projections orthogonales de A 10 3 Cercles 10 3 1 quation de cercle cf cours de premi re ann e Exercice 22 CCP 2001 Calcu ler le centre et le rayon du cercle de
10. at yt bt Donner les conditions sur a et b pour que la courbe admette un point double Exercice 39 Ccp 98 tudier lorsque t est au voisinage de 0 la courbe P p 2 3 Exercice 40 Ccp 2000 M me question que le pr c dent avec r a cost t t p sint g e II Page 47 62 JP Barani 17 d cembre 2008 Exercice 41 Ccp 2001 tude et trac de la courbe 1 1 J D z t t t 1 1 E e y t tI Exercice 42 Centrale 2004 Etude et trac de la courbe r t e 1 yt 2t Points singuliers Asymptotes Points doubles Exercice 43 Ccp 2004 tude et trac de la courbe x t 245 yt He Exercice 44 Ccp 98 Tracer la courbe 11 1 2 Polaires Exercice 45 Ccp 98 tudier les asymptotes de Exercice 46 Tpe 2000 tudier la courbe 1 sin 20 Exercice 47 Centrale 2004 Etudier la courbe en polaire __ sin 36 sing Pr cisez les points tangente hori zontale Exercice 48 Centrale 2004 Etudier la courbe en polaire sin 0 1 tan0 Pr cisez les branches infinies Exercice 49 Centrale 2004 Etude de la courbe polaire 2 1 V24 2 1 cos 6 P r on pr cisera les tangentes en 0 7 4 T 2 et 37 2 le comportement en 7 3 ZT Le l allure de la courbe et les points 1 4 doubles o Exercice 50 TPE 2001 Tracer Y 1 2 la courbe d quation polaire p sin 2 0 Page 48 62 JP
11. duire le lieu des centres des cercles tangents l axe Oz et P Voyons maintenant un exemple de calcul en complexes Exemple 30 On se donne trois points distincts O A B non align s dans un plan affine euclidien orient 2 trouver le lieu S des points M E tels que l une des bissectrices de l angle MA MB passe par O D monstration On choisit un rep re R O i 1 tel que l axe Or soit la bissectrice de l angle de demi droites O OB On note a riei et b r2e i les affixes de a et b On pose aussi p ab r1T0 s a b re Soit M z2 un point diff rent de O B La condition voulue s crit M M M M mod r qui se traduit en complexes par aus Ei Arg mod m a 2 2 Arg E 0 mod Soit encore 22 17 d cembre 2008 Page 45 62 JP Barani Cette derni re condition est quivalente la r alit du complexe EE ce qui s crit z a z b z a z2 b 22 z N Soit encore PP sz p 2 7 57 p 0 zzZ sz sZ p z Z z z 0 u Posons z pe La relation ci dessus s crit encore p 2i Im 3z 4i p Im z Re z 0 Soit encore Im r 0 2 2p p sinb cos8 0 P pr sin 0 psin 20 0 Ce qui donne finalement en rajoutant le point O S psin 20 TE qui est une quation polaire de S La figure ci dessous est obt
12. C circle 1 1 sqrt 10 Voici l affichage simultan des deux dessins en rep re orthonorm gr ce la fonction display de la biblioth que plots gt display ploth C title Figure 1 scaling constrained Page 12 62 JP Barani 17 d cembre 2008 Figure 1 On pourrait raffiner l affichage et nommer les sommets du triangle qui lat ral mais comme chacun sait le mammouth est un animal paresseux 3 Montrons que le triangle est quilat ral Comme les points du tri angle sont sur un cercle connu la strat gie pour montrer qu il est qui lat ral peut par exemple consister calculer les angles au centre des trois sommets Pour cela il convient de param trer le cercle avec l angle au centre correspondant son point courant L abscisse du centre du cercle est 2a a 2 a 2 Notons b son ordonn e Le param trage du cercle est alors donn par gt u a 2 rxcos t v b r sin t Le cercle passe par A ce qui conduit l ignoble relation 3a 2 b r qu il est pr f rable de param trer en crivant qu il existe une valeur de t soit pour laquelle u a v 0 ce qui conduit gt a 2 r xcos phi 3 b r sin phi L quation en t aux intersections du cercle et de l hyperbole s crit alors gt eq subs x u y v H a Page 13 62 JP Barani 17 d cembre 2008 1 2 9 3rcos d r cos t 3 rsin r sin t 4 r co
13. JP Barani 17 d cembre 2008 D monstration Choisissons d abord une orientation arbitraire c est dire 7 d cr t e directe de E2 Comme B C sont non align s sin AB AC 0 Si ce r el est n gatif on choisit l orientation oppos e de F gt c est dire qu on d cr te que les bases directe seront les bases Fi une base orthonormale orthonormales de m me sens que 7 i On dispose ainsi d une orientation de F telle que sin A AC gt 0 ie Det AB A gt 0 Or Det BC B Det B AG B Det AG B Det AB AC gt 0 On en d duit que sin B 3 B gt 0 manipulation analogue pour tablir que sin C C gt 0 Posons alors a A AG mod 2r B B mod 2r y C C mod 27 Il vient puisque les mesures B sont d termin es par leurs cosinus cos cosa cos cosf cosC cosy Comme C appartiennent 0 x et que les sinus de a 8 y sont positifs il vient i r sin sina sinB sinf sinC siny et donc a mod2r B mod 2r7 y mod 2r On en d duit E 2 gt gt AB AC BG B C C mod 2r gt Comme CA C AC BC mod 27 la relation de Chasles pour les angles orient s assure que AB B r mod 2r Donc il existe k Z tel que B r 2kr et 0 lt B lt 3r donc cette somme vaut bien x Page 33 62 JP
14. cir conscrit au triangle ABO Si M est un point de I la droite OM coupe l asymptote en Q et le cercle en P Montrer que P OM En d duire un pro c d simple pour la construc tion de T Exercice 76 CCP 97 Cen 2000 et 2001 Etudier la courbe C r 3 y 2 Axes de sym trie Points r guliers Trouver le lieu des points M d o l on Page 52 62 JP Barani 17 d cembre 2008 peut mener deux tangentes C per pendiculaires entre elles D terminer les droites la fois tangentes et nor males C Exercice 77 Cen 99 Soit ABC un triangle quilat ral du plan af fine euclidien orient On s int resse l ensemble T des points du plan tels que MA MB MC R R gt 0 1 Montrer qu on peut se limiter au car R 1 2 En choisissant un rep re conve nable montrer que T est len semble des points M z tels que 23 1 1 3 Montrer qu une quation po laire de T est p 2 cos 30 4 tudier et tracer T Exercice 78 Cen 2002 Dans un plan affine euclidien on consid re un triangle OAB Une droite variable D pivote autour de O et l on note A et B les projet s orthogonaux de et B sur D crire l quation du cercle de diam tre A B quelle condition sur le triangle ce cercle passe t il par un point fixe Exercice 79 Mines 2004 Soit pen une EU E l ellipse d quation 7 y 1 1 Param trage de et in
15. du point P 0 intersection de la tan gente en M 8 T et de la droite D faisant avec l axe Ox l angle 6 Trouver les courbes T telles que l aire du triangle OMP soit constante Exercice 109 Trouver les courbes Page 57 62 JP Barani 17 d cembre 2008 telles que PU sin V O R d signe le rayon de courbure p le rayon vecteur V langle de la tangente avec le premier vecteur du rep re local en coordonn es polaires Cas particulier a 1 aR Exercice 110 Trouver les courbes telles que R 2a s a gt 0 Exercice 111 Trouver les courbes telles que R es a a gt 0 e El Exercice 112 X 98 Trouver les courbes C du plan affine euclidien tangentes en O Or telles que l abs cisse de l intersection avec Ox de la tangente en un point M de C soit celle du barycentre G de l arc OM Exercice 113 Centrale 98 Trou ver les courbes du plan affine eucli dien orient telles que 2V 4 0 tudier la courbure en un point d une telle courbe Exercice 114 X 98 Soit H une hyperbole quilat re La normale en un point M de H recoupe l autre branche de H en un point N Si C est le centre de courbure de H en MC MN Exercice 115 X 2000 On consi d re l quation diff rentielle M tudier le rapport y 2 y yy 0 tudier cette quation en interpr tant le premier membre l aide de la courbure d une courbe plane Exercic
16. l espace affine euclidien d fini par r 2x y 2 4y 62 5 2r y 2z 2 0 10 3 2 Arc capable cf cours de premi re ann e 10 3 3 Cercle d Apolonius sur les tangentes C 2 Tracer avec lordinateur 3 Calculer la longueur de Exercice 21 Dans un plan affine eu clidien E2 muni d un rep re ortho norm R O 7 trouver le lieu des foyers des paraboles passant par le point A 2 3 et tangentes aux axes de coordonn es Exercice 23 Cen 99 et Ccp 2006 Une droite passant par le foyer d une parabole de sommet S la grecoupe en M et N Lieu du centre du cercle circonscrit au triangle SMN cf cours de premi re ann e N est plus au programme PC 10 3 4 Cocyclicit analytique de quatre points dont trois ne sont pas align s On se borne un exemple et deux applications Page 41 62 JP Barani 17 d cembre 2008 Exemple 28 Dans un plan affine euclidien on se donne trois points Mises avec Mi xi yi d montrer que le point M x y appartient au cercle circonscrit ces trois points si et seulement si D TITY L1 Yi 2 Ta Y2 T2 Y2 2 T3 T Y3 T3 Y3 HY y m bkb h II Exercice 24 Mines 99 Soit ABC un triangle quilat ral Etudier les va leurs prises par l expression PA PB PC lorsque P d crit le cercle inscrit ce triangle Exercice 25 Centrale 2000 2001 2003 1 Soit un triangle
17. locale et non globale Exemple 8 Intersection de deux droites affines On crit une fonction qui prend en argument deux quations de droites D et D2 de la forme az by cet qui retourne leur point d intersection sous forme d un vecteur gt inters proc D1 D2 subs solve D1 D2 x y evalm vector x yl1 end gt inters 2 xx 3 y 1 x y 1 lt L int r t de cette m thode est que les variables x et y restent libres pour d autres utilisations Page 11 62 JP Barani 17 d cembre 2008 2 4 Un exercice complet Exemple 9 Soit H l hyperbole d quation 2 2 z CAE A a 3a en rep re orthonorm Montrer qu un cercle passant par A a 0 et le foyer F c 0 recoupe H en les sommets d un triangle quilat ral D monstration Calculons d abord c Pour l hyperbole H a 3a 4a donc c 2a Traitons l exercice en Maple 1 quation de l hyperbole dans le but de travailler avec diff rentes valeurs de a en particulier pour le dessin on introduira une fonction de a qui permettra un peu plus de souplesse gt with plots with plottools PHs a 5 2 8 2 y 2 8xa 2 1 2 Dessin de l hyperbole et du cercle pour a 2 On stocke le des sin de l hyperbole et du cercle dans des expressions de type plot qu on termine avec sous peine de voir s afficher toute la structure On choisit a 2 pour le dessin gt ploth implicitplot H 2 x 38 5 y 2 6 gt
18. n 0 6 0 8 se E pe pog Supposons qu on veuille tracer simultan ment plusieurs courbes gt f proc a 3 cos theta a theta theta Pi Pi end gt polarplot seq f n n 1 5 scaling constrained Page 6 62 JP Barani 17 d cembre 2008 Pour ma part je pr f re utiliser display qui fournit de moins belles couleurs mais qui permet de tracer des familles de courbes d origines h t rog nes On le verra plus loin 2 Les commandes Maple Il ne s agit pas ici d tre exhaustif mais de pr ciser certains outils extr mements importants 2 1 La biblioth que linalg Les fonctions de cette biblioth que sont utilisables partir de la com mande gt with linalg Remarque 1 Si l on remplace les par un on obtient une liste de toute les fonctions de la biblioth que Page 7 62 JP Barani 17 d cembre 2008 L outil essentiel permettant de travailler avec des vecteurs et des points et la commande vector qui est analogue une liste mais supporte les op rations alg briques et est compatible avec le type matrice Exemple 3 Calcul d un barycentre gt A vector 1 0 cl gt B vector a 1 bl gt M evalm 2 A 3 B 5 Remarque 2 La commande evalm Un vecteur ou une matrice est g n ralement valu en son nom Si on veut acc der tous ses coefficients il faut utiliser la commande evalm Exemple 4 Un exemple de changement d
19. type x y 1 0 0 0 or 1 1 1 2 1 1 3 1 3 2 donc les droites sont non concourantes L quation de la hauteur cherch e est de la forme a D M bD M 0 a b 0 0 Un vecteur orthogonal cette droite est Li a 2b a b Elle est orthogonale D3 si et seulement si a 2b 3 a b 0 ie 2a 5b 0 Le couple a b est d termin un facteur multiplicatif pr s on peut prendre D o une quation cherch e 5D M 2D M 0 ie 3x y 1 0 A titre d exercice d entra nement les lecteurs pourront chercher les coordon n es de l orthocentre de ce triangle 17 d cembre 2008 7 4 Partage d un segment Proposition 2 Dans le plan affine Ez muni d un rep re cart sien R er ps 3 7 O j on consid re une droite affine D d quation ax by c 0 a b 0 0 Pour M 5 posons D M ax by c Soient A et B deux points distincts de Ez On suppose que D coupe la droite AB en M B Page 25 62 JP Barani alors MA MB DA D B D monstration notons D l application lin aire du plan vectoriel dans R associ e l application affine D Si Pr PYT BV ax by de sorte que pour tout couple M M de points de on ait D M D M D M M de Posons alors MA MB or D M 0 d o D A AD B ce qu on voulait Exercice 5 Centrale 2003 Soit A le point d intersecti
20. 17 d cembre 2008 M thodes de g om trie analytique et diff rentielle PC 17 d cembre 2008 Table des mati res I Sur l utilisation de Maple 3 1 Conseils m thodologiques 3 2 Les commandes Maple 7 2 1 La biblioth que inal 7 2 La DOUBLE 2 AE en Lo et ne M ue 9 23 Lafonen SOVE 2 4 4 Le de renra ee x aina Sn 11 24 Un ex r ice complet 4 4 2 408 4 dus ad pause sh ka be 12 IT M thodes g n rales pour aborder un probl me de g om trie analytique 14 3 Notations 15 4 Deux exemples de mise en quation 16 5 Utilisation de la sym trie 16 6 M thode g n rale de recherche de lieu g om trique 16 61 La m thode cart sienne 4 4 4 4 a e e ds te 16 Page 1 62 JP Barani 17 d cembre 2008 6 2 La m thode param trique 6 3 Lien entre les deux m thodes l limination vs le param trage III G om trie plane 7 quations d une droite affine fil Param triques ea 4 Pa ba shine db ain a de TA CAT SIENN S 28 4 burn ue Mines M a tete 7 2 1 Convention de notation 1 3 Faisceaux de droites 4 4 44 cu dus du ua dau Tal Mode d emploi lt a osse 4 4434 hu ue tom TA Partage d un segmente cocoa de 4 6 peus DE 8 Alignement de trois points 8 1 l aide des coordonn es cart siennes 8 2 En complexes 4 La d s dun eh the sas ae name 9 parall lisme et concours 9 1 paralelisme s
21. 2008 les fonctions il y lieu d tre attentif la port e locale des identifica teurs Voici un exemple de fonction cens e prendre en argument un r el 0 et retourner le vecteur p cos 8 psin 8 avec p cos 8 gt with linalg gt rho cos theta gt f proc theta evalm vector rho xcos theta rho sin theta end L appel de f 0 retourne cos 0 cos 0 sin 0 Ca semble bon premi re vue mais si on appelle f 0 x 2 on obtient cos sin 8 cos 0 Si l on veut le bon r sultat il faut proc der autrement gt g proc theta local rho rho cos theta evalm vector rho xcos theta rho sin theta end gt g theta Pi 2 sin 8 cos sin 0 L explication sommaire est que dans la premi re version le 0 qui intervient dans p n est pas le m me que celui qui intervient dans la fonction Pour ma part je pr f re programmer avec des expressions j utilise les fonctions quand il faut faire varier un param tre Exemple 2 Trac d une famille de courbe Voici d abord une fonction qui permet de tracer le lima on p cos 0 a pour des valeurs de a entr es par l utilisateur gt with plots gt des proc a polarplot cos theta a theta theta Pi Pil scaling constrained end gt des 1 2 On obtient la courbe Page 5 62 JP Barani 17 d cembre 2008 0 8 A LL 0 61 S 04 02 1 K o4 06 o8 1 12 14 021 e J
22. 5 K 7 05 i 15 i las j TK Pa S e Page 19 62 JP Barani G om trie plane 7 quations d une droite affine Sauf n mention contraire le plan affine est muni d un rep re affine R O j On tudie les diverses formes d quation d une droite D Page 20 62 JP Barani 17 d cembre 2008 7 1 Param triques On se donne un point Mo 0 Yo D et un vecteur V a B directeur de D donc D A RV Un syst me d quations param triques de D est donc ZT To ta y Y tb 7 2 Cart siennes gt Le point M x y appartient D si et seulement si MM Vect V ie gt deto gt V MM 0 ce qui s crit a To B yY R ciproquement toute quation de la forme ax by c 0 avec a b 0 0 repr sente une droite de vecteur directeur T b a Les autres quations cart siennes de cette droite sont proportionnelles celle ci Exemple 19 Tangente en un point r gulier d un arc param tr Remarque 3 Droite joignant deux points sur les ares Il peut tre utile de savoir qu une quation de la droite joignant le point A a 0 au point B 0 b avec ab 0 est Exemple 20 Prouvons analytiquement le concours des hauteurs d un tri angle ABC du plan affine euclidien 2 Page 21 62 JP Barani 17 d cembre 2008 D monstration On choisit BC comme axe Ox et la hauteur issue de A comme axe O
23. Barani 17 d cembre 2008 Exercice 17 Centrale 2007 On consid re un triangle quilat ral ABC du plan euclidien Si M est un point du plan on note P Q R ses projections orthogonales sur les c t s AB AC BC 1 Calculer MP MQ MR si M est int rieur au triangle 2 Comment volue cette somme si M n est plus int rieur au triangle 10 2 Distance d un point une droite 10 2 1 Expression de la distance Dans un plan affine euclidien E2 muni d un rep re orthonorm lexpres sion de la distance du point M x y la droite D d quation ax by c 0 a b 0 0 est donn e par _ axz by c Jere Exercice 18 Centrale 2005 Pour t r el on consid re la droite D d quation cart sienne 1 t 2t y 2 4t d 1 Montrer qu il existe un point Q quidistant de toutes les droites D4 t r el 2 Interpr tation g om trique 10 2 2 quation normale Soit un plan affine euclidien orient muni d un rep re orthonorm direct R 0 ra F Soit D une droite de ce plan Notons p 0 un couple de coordonn es polaires de la projection H du point O sur D Une quation de D dans R est donn e par cos 0 ysin 0 p 0 Une telle quation est appel e quation normale de la droite D 2Vifs remerciements Alain Chill s pour le dessin qui suit Page 34 62 JP Barani 17 d cembre 2008 yY D X ya
24. Barani 17 d cembre 2008 Exercice 51 X 1996 tudier la courbe d finie en coordonn es po laires par 1 2cos p 8 7 1 2sin0 Exercice 52 Mines 1998 tu dier la courbe d finie en coordonn es polaires par p 8 cos 0 cos 20 Exercice 53 Centrale 99 Trac et points doubles de Exercice 54 Centrale 98 Don ner l allure de la courbe p 0 cos Exercice 55 Mines 2001 Tracer l allure de la courbe d quation po laire 1 p 4 cos 0 Exercice 56 Mines 2005 Tracer la courbe d quation polaire o 1 7 4 cos 30 et calculer aire encercl e par la boucle Exercice 57 Centrale 2005 Tra cer la courbe d quation polaire p ten s p 11 2 Propri t s g om triques des courbes planes Exercice 58 Cen 2000 et 2001 On consid re la courbe d quations param triques t 1 t G DEF2 Points doubles asymptotes Donner une condition n cessaire et suffisante pour que trois points de param tres t t2 t3 soient align s Points d inflexion Exercice 59 Cen Condition n cessaire et suffisante sur t t2 t3 pour 3 A que les normales x y t 2p soient concourantes Exercice 60 Ccp 2007 Dans le plan euclidien orient rapport un rep re orthonorm direct O i j on d finit u 6 cos8 sin 7 M 0 0 u 0 O k R donn Soit C la courbe 0 gt M 0 Page 49 62 J
25. Exercice 90 Ccp 2000 Tracer la courbe 2 cost cos 2t 1 y 2sint sin2t et calculer sa longueur Exercice 91 Tpe 98 tudier la courbe t a I th udu 0 t shu y a z du o ch u D terminer une abscisse curviligne sur cette courbe 8 Il Exercice 92 Centrale 2006 On consid re l arc param tr I d fini par y 2 et0 lt r lt l1 Calculer la longueur de IF et sa cour bure au point courant Exercice 93 Centrale 2007 On consid re l arc param tr C d fini en rep re orthonorm par I f etym 1 D terminer le centre de cour bure K sic au point courant M de C 2 V rifier que OK OM 2OM En d duire une construction g om trique de K Exercice 94 On consid re la courbe C d quation polaire p y cos 20 1 Tracer C 2 Calculer la courbure en un point de C et d terminer Exercice 95 Cen 2003 Ez est un plan affine euclidien Soit C la pa rabole d quation y 2px en rep re orthonorm d terminer les applica tions affines de 2 telles que pour tout M de C Mf M soit normal C en M Existe t il une telle ap plication qui soit une isom trie Exercice 96 Centrale 1998 On consid re la courbe C du plan affine euclidien orient d finie en rep re or thonorm par x 2acost y asint 1 Trouver le rep re de Frenet 2 Courbure et rayon de courbure 3 D velopp e hors programme
26. P Barani 17 d cembre 2008 1 Donner un vecteur unitaire qui dirige la tangente 79 C en M 6 puis une quation cart sienne de cette tangente 2 L me question pour la normale not e No 3 On veut que No Ti a Montrer que n cessaire ment 8 s r b Donner une condition n cessaire et suffisante pour que No et T soient confondues Exercice 61 Centrale 2006 Dans le plan affine euclidien orient rapport un rep re orthonorm di rect O j on consid re le point A a 0 o a gt 0 est fix On consi d re le cercle C centr en un point P de Oy et qui passe par O La droite AP coupe le cercle en deux points M et N 1 quation cart sienne de T courbe d crite par M et N lorsque P se d place sur Oy 2 Param trer T en polaires Exercice 62 Centrale 2005 Une droite variable passant par le centre O du rep re orthonorm foyer d une conique C recoupe C en A et B 1 D terminer le lieu du milieu 7 de AB 2 D terminer le lieu du point P d intersection des tangentes C en A et B 3 I et P sont ils align s avec un point fixe Exercice 63 Centrale 2004 On se place dans le plan affine euclidien P muni du rep re R Cr orthonorm Soit Fc 0 et F c 0 avec c gt 0 sous entendu 1 Donner une quation cart sienne g n rale d une ellipse de foyers F et F 2 De m me pour une coniq
27. avoir qu on part d un point M x y h du plan II et qu on recherche un syst me de conditions n cessaires et suffisantes portant sur x y pour que le point M appartienne au lieu C convoit Pour cela on va crire les quations param triques de la droite AM et on cherchera une condition n cessaire et suffisante pour qu elle soit tangente S a quations param triques de AM SiP X BE Z est le point cou rant de AM de param tre t il vient A tAM ie X a t z a 3 Y ty 4 Z c t h c 5 b Tangence de AM et S Il suffit d crire que l quation en t aux intersections de S et AM poss de une racine double Cette qua tion s crit E a t z a ty e t h c R 0 On va faire la suite des calculs en Maple gt e a t x a 2 t y 2 c t h c 2 R 2 gt T collect e t gt d discrim T t e a t x a Ey Hleri R T amp a h c ty E Hal a 2elh etia Re Page 17 62 JP Barani 17 d cembre 2008 g 4x 4 R 8 hexa 8xR a 4a h 8 R hc 4Ry 4 c y 4 Ra 4 R h 4 R c 4 ay Pour y voir plus clair on ordonne ce polyn me suivant les puis sances de x et y gt collect d x y 4e 4R g 8 hca E 8 R a r4 4 iR 4a y 4 R 8 Rhe 4 R 4R a 4 Rh qui est l quation d une conique d axe focal Ox 6 2 La m thode param trique On choisit un ou plusieurs pa
28. c a V2 On traite l exercice en Maple gt MF2 x r cos theta 2 y r sin theta 2 MF2 z r cos 0 y r sin 6 gt MH2 x cos theta y sin theta p 2 MHZ x cos 0 y sin 0 p gt eq MF2 2 MH2 eq x r cos 0 y r sin 0 2 x cos 0 ysin 0 p L quation eq 0 est celle d une hyperbole quilat re de foyer F et de directrice D O est sur l axe focal Ecrivons que c en est un sommet gt condi simplify subs x 0 y 0 eq trig condi r 2 p Page 38 62 JP Barani 17 d cembre 2008 Comme F et le pied de D sur la droite OF sont de part est d autre de O on choisit gt eqi subs p r sqrt 2 eq L eq1 x r cos 0 y r sin 0 2 x cos ysin 3 V2 crivons maintenant que H passe par A a 0 gt cond subs x a y 0 eq1 1 cond a r cos 0 r sin 0 2 a cos a V2 L quation polaire du lieu cherch est donc cond 0 Essayons de sim plifier cond gt cond2 simplify cond trig cond2 a 2r cos a 2 a cos 0 2r cos 0 a V2 gt cond3 combine cond2 trig cond3 2r cos a cos 2 0 a 2r cos 0 a V2 On voit que r va s exprimer simplement en fonction de gt rho subs r solve cond3 r r 1 acos 26 2 cos V2 1 d 17 d cembre 2008 Page 39 62 JP Barani On choisit une valeur simple de a
29. ce est rapport un rep re ortho norm D est la droite d quations 4x y 2z 0 2x 3y 5z 4 A est le point de coordonn es 1 1 1 D terminer les plans qui contiennent D et dont la distance A vaut 1 13 1 Distance d un point une droite Voir cours de premi re ann e deux exercices de r vision 13 2 Perpendiculaire commune deux droites Voir cours de premi re ann e Exercice 129 Centrale Trou ver la perpendiculaire commune aux deux droites D1 et D2 de l espace d finies par z y z 1 0 A ne Il 5 xz 2y 3z 1 TAR 2 y 2 1 14 Courbes param triques dans l espace Exercice 130 Cen 2007 Dans l espace affine muni d un rep re or thonorm on consid re la courbe C d quations param triques 1 r I o Y BI t Z FI Page 61 62 JP Barani 17 d cembre 2008 1 Montrer que C est une courbe plane 2 tudier les projections de C sur le plan xOy 3 Centres et axes de sym trie de C Exercice 131 Cen 99 Dans les pace affine euclidien muni d un rep re orthonorm on consid re la courbe T d quations param triques r 5 1 y RE 1 2 tudier les projections de T sur les plans xOy et yOz Le plan osculateur sic en M to T la recoupe en M t1 et M t2 Trouver une relation entre to Lt tz Exercice 132 Cen 2002 Dans l espace affine e
30. e 116 Mines 2001 Soit C une courbe de R et un point A n appartenant pas C Soit T le point d intersection de la tangente en M C avec la droite passant par A et perpendiculaire AM Caract riser et tudier C sachant que AT est constante Exercice 117 X 2001 Soit C le centre de courbure en un point M d une courbe plane T et H le pro jet orthogonal de C sur OM o O est un point fixe du plan Trouver les courbes T telles que O soit le mi lieu de HM Donner l allure de ces courbes Exercice 118 X 2001 On consi d re une courbe plane C dont les tangentes ne sont parall les aucun axe du rep re orthonorm Soit M un point de C On note resp B l intersection de la normale resp de la tangente en M avec Ox resp Oy Trouver les courbes C pour lesquelles AB Cte en choisissant comme param tre l angle a que fait la tangente C en M avec Oz Exercice 119 Mines Trouver les courbes planes v rifiant y a 3 o s d signe l abscisse curviligne et a gt 0 Page 58 62 JP Barani 17 d cembre 2008 Exercice 120 Centrale 97 Cher cher les arcs bir guliers passant par A et tels que la mesure de l arc orient AM soit proportionnelle langle Quatri me partie O OM Exercice 121 Voir galement les exercices 11 page 30 G om trie spatiale 12 quations de plans et de droites cf cours de premi re ann e Exercice 122 Ccp Dans un
31. e rep re On d finit un rep re R A U V W par ses coordonn es dans le rep re canonique de R3 On en d duit d abord la matrice de passage de la base canonique de R la base U V W gt A vector 1 0 1 gt U vector 2 1 3 gt V vector 1 1 01 gt W vector 4 1 2 gt P transpose matrix U V W ho so Le produit matriciel est not amp x Si X Y Z sont les coordonn es d un point M dans R ses coordonn es dans le rep re canonique de R sont donn es par gt A P amp xvector X Y Z Page 8 62 JP Barani 17 d cembre 2008 Mais ici Maple ne fait que r p ter la commande Si on veut une va luation effective du r sultat il faut taper gt evalm A P amp xvector X Y Z1 qui retourne HER PFIARAGT S ia 22 2 2 La fonction map La fonction map est l une des plus importantes de Maple elle permet d appliquer une fonction tous les l ments d une expression Exemple 5 Effet de map sur une int grale inerte gt J Int 1 x 1 3 x 2 x 2 x gt map convert J parfrac x fe 7 dx x 1 x2 x 2 IE 1 3 1 n9 1 I 2 5 T d 1 x 1 16 1 6e rtrt Exemple 6 Effet de map sur une matrice gt alias j Root0f x 2 x 1 x gt A matrix 3 3 1 j 1 1 j 0 j j 2 1 j 11 gt B evalm A 1 gt C map evala B ig l isg A 0 j 2 Io g al Page 9 62 JP Barani 17 d cembre 2008
32. elle est la courbe d crite par I t 4 Soit P le point d intersection de la tangente C en M t avec Ox Calculer MP et trou ver toutes les courbes planes bi r guli res ayant la m me pro pri t g om trique Exercice 102 Cen 2003 Calculer le rayon de courbure au point courant d une ellipse Exercice 103 Hypocyclo de trois rebroussement Le plan af fine euclidien orient E est muni d un rep re orthonorm 0 j On fait rouler un cercle C de rayon r l int rieur d un cercle Tr de rayon R 3r Le rep re est choisi de sorte qu initialement les deux cercles soient tangents au point d abscisse R 1 Ecrire en fonction d un para m tre convenable t l affixe du point M li C qui co n cide initialement avec A On note H3 la courbe d crite par M t Page 56 62 JP Barani 17 d cembre 2008 2 Pr ciser des transformations g om triques laissant H3 glo balement invariantes Tracer H3 3 Calculer le rayon de courbure au point courant de H3 4 Ecrire sous forme normale la tangente H3 En d duire une quation polaire de la courbe y d crite par les projections de 0 sur les tangentes H3 5 Calculer le rayon de courbure au point courant de y 6 Quel est le lieu des points d o Von peut mener H3 deux tangentes orthogonales Exercice 104 Mines 2006 2008 Soit y un arc param tr suffisamment r gulier La
33. enue en Maple pour 7 3 p r Il s agit d une stropho de oblique que les lecteurs tudieront en d tail Strophoide oblique 4 3 2 1 3 2 A 1 2 3 Page 46 62 JP Barani 17 d cembre 2008 Exercice 32 Le plan affine euclidien orient est muni d un rep re ortho norm direct de centre O Quels sont les complexes z tels que le cercle ins crit au triangle dont les sommets ont pour affixes z z 2 admette O pour centre Exercice 33 CCP 2002 D ter miner le lieu des points du plan affine euclidien dont l affixe z en rep re or thonorm v rifie 2i 3 DRE iR z 2i Exercice 34 Mines 2000 Trou ver limage de l ensemble des points du plan complexe d fini par 1 lt z lt 2 par la transformation z 1 1 2 2 Exercice 35 Ccp Image du demi plan y gt 0 par la transformation g o m trique dont la forme complexe est z 2i z z i Exercice 36 Ccp 99 Soit z un complexe tel que z 1 2 lt 1 2 Montrer que z 1 3 lt 1 3 Exercice 37 Centrale 2003 Condition sur z C pour que les points d affixes 1 z z z7 forment un carr 11 Courbes planes 11 1 tudes de courbes 11 1 1 Param triques Sauf mention du contraire on se place dans un plan affine euclidien muni d un rep re orthonorm R Exercice 38 Ccp 2008 On se donne la courbe param tr e d qua tions E
34. ers a2 b3 a3 b2 a2 ai b2 b1 b2 bi a2 a1 1 a2 b2 a1 b1 a2 b2 a1 b1 A 22a b3 b1 b3 b1 a3 a1 4 r a3 b3 a1 b1 a3 b3 a1 b1 a3 a2 b3 b2 b3 b2 a3 a2 a3 b3 a2 b2 a3 b3 a2 b2 gt det A 0 Page 28 62 JP Barani 17 d cembre 2008 Exercice 7 Montrer que les milieux des segments qui joignent les trois points d intersection d une droite avec les trois cot s d un triangle aux sommets respectivement oppos s sont align s Exercice 8 Dans un plan affine eu clidien E2 on consid re un triangle ABC dont les cot s AB BC CA sont coup s par une droite A res pectivement en D E F Prouver que les orthocentres des triangles ABC BDE EFC sont align s on pourra prendre un rep re orthonorm dont les axes sont la droite BC et la hau teur issue de Question subsidiaire tr s difficile trouver une preuve g o m trique de ce r sultat Une bouteille de champagne qui trouve la pre 8 2 En complexes mi re fois Exercice 9 Cen 99 On consid re larc param tr plan C d fini en re p re orthonorm par 1 8 T 1 t y tr 1 Tracer C 2 Soient t t2 t3 trois r els dis tincts Trouver une condition n cessaire et suffisante sur les t pour que les trois points M t soient align s 3 Soit A 1 0 Une droite qui passe par coupe C en M et M Montrer que le cercle de diam tre MM est tangent Ox en O
35. es pace affine de dimension 3 on se donne un t tra dre OABC Un plan P est parall le au plan ABC et ne contient pas O On note 4 B C les milieux de BC CA AB et A B C les intersections avec P de OA OB OC Montrer qu en g n ral les droites 4 4 B B C C concourent Exercice 123 Ccp 2000 Dans un espace affine E on consid re trois quadruplets de points align s OA14243 OB B2B3 OCiCiC3 On suppose de plus que les trois plans A B C 1 lt i lt 3 sont pa rall les entre eux On pose I B1CNB2C J ACN AC K A Bz N AB Montrer que les droites 143 JB3 KC3 sont concourantes ou parall les Exercice 124 Centrale 2007 Soient a b c trois r els Dans l es pace affine euclidien R on consid re les quatre points a 0 0 A 1 0 B b C 0 0 0 c a 2 D b 2 c 2 1 Calculer AZ BZ CZ 2 On suppose que les r els a b c sont les racines du polyn me X pX q Exprimer le rayon du cercle circonscrit au triangle ABC en fonction de p et q Page 59 62 JP Barani 17 d cembre 2008 Exercice 125 Dans l espace affine euclidien on se donne les quatre plans d quations z y 1 0 y z 1 0 z z 1 0 xr 3y z 0 Trouver les valeurs de a telles que les sym triques du point M 1 1 a par rapport ces quatre plans soient coplanaires tudier l ensemble des points M x y z dont les sym triques par rapport aux quatre plans son
36. esura a a dec gas n one ut dun md 9 2 Concours de trois droites 10 Probl mes d angles et de distances 10 1 Lignes trigonom triques d un angle 10 2 Distance d un point une droite 0 2 1 Expression de la distance 10 2 2 quation NOMA e 2 san de a le ins ME 4 le 10 2 3 Mode d emploi saa sda 44 us s usa den 0 2 4 Application l quation d une conique 10 3 Cercles o 2 die LL e D ALL Lee debut 10 3 1 quation d c rel LL goiti Lutin at a a die 1032 AG CADADLE 2 4 des depa De pog aa pus be 0 3 3 Cercle d Apolonius 0 3 4 Cocyclicit analytique de quatre points dont trois ne SONT Das alisn s sa es au a dune ua da 10 4 Utilisation des complexes i 4 4 44 ss sas e a 0 4 1 G n ralit s 10 42 Bissectrice s d un angle e ccsa ia a ina 4 sx 20 20 21 21 23 23 24 26 Page 2 62 JP Barani 17 d cembre 2008 11 Courbes planes 47 11 1 Etudes de courbes as cui su acera raoa tF A7 11 11 P ram triqu s 44 2408 6 sua sen peu d me 47 E Polare e o een a ae aa B d ae e a AAIE a e a LS 48 11 2 Propri t s g om triques des courbes planes 49 11 3 Propri t s m triques des courbes planes courbure 54 IV G om trie spatiale 59 12 quations de plans et de droites 59 13 Faisceaux de plans 60 13 1 Di
37. ion polaire p a 1 sin a gt 0 2 Soit M un point de C mon trer l existence de deux autres points M et M2 de C en les quels les tangentes sont paral l les la tangente en M 3 Lieu du milieu de M Mo lorsque M varie sur C 4 Lieu du sym trique de O par rapport une tangente variable C Exercice 70 Mines 2004 Soit un cercle C de centre O de rayon R Soit G un cercle tangent en un point fixe C ext rieur C de rayon r Soient M et M les points d intersection de G et des tangentes communes C et G Etudier les lieux de M et M lorsque r varie Exercice 71 Mines 2006 Soient O et A deux points fixes d un plan affine euclidien orient D terminer le lieu du centre d un cercle passant par A d o l on peut mener du point O deux tangentes faisant entre elles un angle de 27 3 Exercice 72 Mines 2006 on consid re p C R R Soit Do la droite d quation x cos 8 ysin 4 p 8 0 trouver les arcs param tr s r guliers y 0 M 0 tels que i VO M 0 De ii Quel que soit 0 Do constitue une tangente y au point M 0 Page 51 62 JP Barani 17 d cembre 2008 Exercice 73 Mines 2004 On se place dans un plan affine euclidien orient muni d un rep re orthonorm d axes Ox Oy 1 Soit A une droite et H le projet orthogonal de O sur A D terminer une quation de A en fonction d un c
38. ion donn e Que dire de leur isobarycentre 9 2 Concours de trois droites Exemple 24 Ccp 98 Dans un plan affine on consid re les milieux A B C des cot s BC CA AB d un triangle ABC Les sym triques d un point M par rapport 4 B C sont not s A B C V rifier que les droites AA BB CC sont concourantes ou parall les D monstration C est un probl me affine On peut le traiter dans un rep re cart sien quelconque Prenons R A A A Il vient A 1 2 1 2 B 0 1 2 C 1 2 0 d o si M x y A 1 x l 7y B x 1 y C 1 x y Page 30 62 JP Barani 17 d cembre 2008 AA 1 y X 1 x Y 0 BB y 1 X 1 1 x Y 0 CC y 1 X 1 x Y 1 0 Il s agit de droites si x y 1 1 x y 1 1 x y 1 1 ce qui sera suppos dans la suite On regarde le d terminant form des coefficients de ces quations de droites y 1 I 0 17 d cembre 2008 4 Soit O le sym trique de lor thocentre du triangle ABC par rapport O Montrer que A B C O sont cocycliques Exercice 16 X 2000 Soit ABC un triangle quilat ral du plan affine euclidien On note I J K les milieux respectifs de AB BC CA On d fi nit respectivement sur les c t s AB BC CA trois points M N P par IM x JN y KP 2 Montrer qu il existe un point O du plan dont les projections orthog
39. ir former l quation d une conique dont l axe focal ie la droite qui passe par un foyer orthogonale la directrice n est pas parall le l un des axes de coordonn es Si F a b est un foyer D la directrice associ e e gt 0 l excentricit la conique C est alors l ensemble des points M x y tels que MF eMH MF MH avec MH d M D Il y a donc tout int r t se donner l quation de D sous forme normale cos 0 ysin 0 p 0 puisqu lors MH x cos 0 ysin 0 p L quation de C prend alors la forme x a y b e z cos 0 ysin 0 p avec Fg D ie acos0 bsin0 pZ 0 Traitons un exemple Page 37 62 JP Barani 17 d cembre 2008 Exemple 27 Trouver le lieu d un foyer F d une hyperbole quilat re H qui passe par deux points fixes dont l un est le sommet relatif F D monstration On choisit comme origine O le sommet fixe et comme axe Ox la droite qui joint les deux points fixes de sorte que l autre point fixe a pour coordonn es a 0 On se donne le foyer F cherch par un syst me de coordonn es polaires r 0 Comme la droite OF est perpendiculaire la directrice D celle ci a une quation normale de la forme cos 0 ysin 0 p 0 Enfin on observera qu une hyperbole est quilat re si et seulement si son excentricit vaut v2 car avec les notations habituelles e a 9 donca be
40. num rique V2 2 Exercice 85 Cen Tracer la courbe T D terminer le lieu des centres des cercles passant par 0 et tangents D Exercice 86 Centrale 2001 On rappelle qu une hyperbole quilat re est une hyperbole dont les asymptotes sont orthogonales 1 Que vaut l excentricit d une telle hyperbole 2 On consid re une droite D du plan A D et H une hy perbole quilat re passant par A et dont D est une asymp tote a Lieu des foyers de H b Lieu des centres de H c Lieu des sommets de H Exercice 87 Centrale 2002 Le M me que le pr c dent en rempla ant asymptote par directrice Exercice 88 Centrale 2007 Dans un plan affine euclidien rap port un rep re orthonorm on consid re un cercle C4 de centre A et Cp de centre B o a et b sont des r els strictement positifs Trouver le lieu des points d intersec tion de ces deux cercles lorsque ceux ci varient en restant tangents une droite horizontale variable Exercice 89 Voir galement les exercices 1 page 20 3 page 22 4 page 22 23 page 41 11 3 Propri t s m triques des courbes planes cour bure On pourra tre amen faire toutes les hypoth ses n cessaires sur les conditions de r gularit et les propri t s g om triques des courbes recherch es si l nonc ne les pr cise pas suffisamment Page 54 62 JP Barani 17 d cembre 2008
41. on avec le cot BC de la bissectrice int rieure du tri angle ABC relative au sommet A En utilisant un rep re cart sien judi cieux montrer que AB AB AC AC Si vous avez du temps perdre es sayez de retrouver cette relation g o m triquement Prouver une relation analogue avec la bissecrice ext rieure et retrouver ainsi le cercle d Appolo nius Exercice 6 Quadrilat re com plet deuxi me m thode On consid re dans le plan affine 6 points distincts B C D E E F tels que i les triplets A C E A B D B C F D E F sont constitu s de points align s ii Les droites CD et BE se coupent en G Page 26 62 JP Barani 17 d cembre 2008 iii La droite FG recoupe AB en H On pourra d abord montrer et AC en I qu ezistent des quations D 1 lt i lt 4 des droites AB AC BC DE telles 4 FHE GA que Z Pie i 1 Prouver la relation F GI 8 Alignement de trois points 8 1 l aide des coordonn es cart siennes Proposition 3 Le plan affine Ez est muni d un rep re cart sien R O i T Trois points Mi x1 Y1 M2 2 Y2 M3 3 ya sont align s si et seulement si z y 1 T2 Y2 1 0 z3 yz 1 D monstration Supposons les trois points align s soit ax by c 0 avec a b 0 0 l quation d une droite qui les contient il vient z Yi 1 a 0 To Y2 1 b l 10 z3 Y3 1 0 D o la nullit du d terminan
42. onales sur les trois c t s sont M N P si et seulement si x y z 0 D y 1 1 z 1 y y 1 zx x 1 On v rifie ais ment que D 0 Donc les trois droites forment un faisceau Les lecteurs tudieront eux m mes les cas pour lesquels ces droites sont parall les Exercice 12 M me exercice que le pr c dent en supposant le plan eucli dien le triangle ABC quilat ral et en prenant les sym triques de M par rapport aux cot s d icelui On peut tenter d utiliser les complexes cf su praj Exercice 13 Centrale 2007 Dans le plan affine on consid re deux droites de D et D s cantes en O Soit A D et A D Pour tout point M du plan on d finit N resp N comme le point d intersection de D et de la parall le D passant par M resp le point d intersection de D et de la parall le D passant par M Soit P le point d intersection de AN et A N montrer que les droites MP passent par un point fixe Exercice 14 Montrer que l isobary centre des pieds de trois normales une parabole qui sont concourantes est sur l axe de la parabole Exercice 15 Cen 99 2001 Le plan affine euclidien est rapport un rep re orthonorm d axes Ox Oy Soient trois points B C d abcisses respectives a b c appartenant l hy perbole H d quation zy 1 1 Montrer que l orthocentre du triangle ABC appartient H 2 Soient
43. ons n cessaires et suffisantes pour que le point M appartienne l ensemble cher ch qui aboutissent une repr sentation cart sienne de cet ensemble sous la forme f x y 0 Exemple 12 On se donne une sph re S un plan II et un point A strictement ext rieur S et non situ sur IT Quel est le lieu C des points d intersection avec II des droites tangentes S et passant par A D monstration Les tapes de r solution de ce probl me sont les suivantes 1 On commence par identifier le contexte Il y a une sph re c est donc un probl me m trique 2 On essaie d identifier les sym tries de la figure La droite A or thogonale II qui passe par le centre de S est un axe de r volution de S U IT car toute rotation d axe A stabilise S et II 3 On choisit alors un rep re judicieux On choisira A comme axe Oz et O sera le centre de S Quitte faire tourner le rep re autours de A on pourra aussi supposer que appartient lun des plans de coordonn es par exemple au plan xOz Page 16 62 JP Barani 17 d cembre 2008 4 On met les diff rents l ments de la figure en quation La sph re S r y R 1 Le plan Il z h 2 Le point aura alors des coordonn es du type a 0 c avec les condi tions e gt o et ch 5 On choisit un mode de traitement du probl me On va choisir ici une m thode cart sienne de recherche du lieu s
44. otions affines Le th or me de Thal s Les probl mes courants de barycentres Le concours des m dianes d un triangle Les probl mes m triques ou euclidiens qui auront pour cadre un plan resp un espace euclidien E resp un espace affine euclidien Ez dont l es pace vectoriel associ Fo resp E3 sera toujours suppos muni d un pro duit scalaire Les rep res consid r s seront toujours suppos orthonor m s Ce type de probl me concerne les distances les angles dans ce dernier cas il conviendra si n cessaire d orienter l espace vectoriel as soci et de choisir des rep res directs par exemple si interviennent des produits vectoriels Quelques exemples Le concours des hauteurs d un triangle perpendicularit Le concours des m diatrices d un triangle distance Le concours des bissectrices int rieures d un triangle angles Page 15 62 JP Barani 17 d cembre 2008 4 Deux exemples de mise en quation Exemple 10 Quadrilat re complet premi re m thode Exemple 11 Th or me de Feuerbach 5 Utilisation de la sym trie 6 M thode g n rale de recherche de lieu g o m trique Il s agit de trouver analytiquement l ensemble des points M du plan o de l espace satisfaisant une propri t donn e Il y a deux fa ons d aborder un tel probl me 6 1 La m thode cart sienne Elle consiste partir du point M y et d crire un syst me de conditi
45. ouple de coordonn es polaires de H 2 On d finit un deuxi me rep re MXY avec M a b fixe Le point d intersection de Oy avec MY est appel Q et celui de Ox avec MX s appelle P On ap pelle A la droite PQ et H le projet de O sur A Lieu de H quand le second rep re tourne autour de M Exercice 74 Centrale 2002 Soit C la courbe dont une quation en re p re orthonorm est r y 3azxy 0 a gt 0 1 C admet elle un axe de sym trie 2 Param trer C en la coupant par la droite d quation y tx tudier et tracer C 3 Conditions sur les param tres de trois points distincts de C pour qu ils soient align s 4 Montrer que la tangente en un point de C recoupe g n rale ment C en un point Prouver alors qu trois points align s correspondent trois points ali gn s Exercice 75 Centrale 2001 Le plan affine euclidien orient est porte ni un rep re orthonorm 0 F On note O u 6 0 6 v 8 rep re Fee associ l angle o 0 R On consid re la courbe I dont une quation polaire dans R est z a y x y 0 1 Tracer I en passant en polaires 2 Soit D la droite affine O Rv 8 et W la normale T en un de ses points M On pose N D A W Donner l quation de MN dans le re p re O u 6 v 8 et d termi ner ON 3 Les tangentes au point double O coupent l asymptote de I en A et B Soit C le cercle
46. ple de coordonn es polaires de la projection H de O sur cette tangente est p d ce qui fournit une quation tr s de L Tangente dans le rep re local dans le rep re O uO v 6 un vecteur directeur de la tangente 9 au point M 0 est d ut pO ae xu 0 06 On peut donc prendre comme vecteur directeur de la tangente u 6 xu 6 v 6 C est un vecteur dont les coordonn es dans le rep re local sont fixes On peut le normer w VIF X cos V u 0 sin v u 6 VIF XATO O l on a pos 1 COS V sin V V1 A V1 A L angle V est constant et mesure modulo 27 l angle u 8 T 0 Donc a 0 V T T L quation de la tangente S au point M 0 est dans R sina x pcos 0 cos y psin 0 0 Page 36 62 JP Barani 17 d cembre 2008 soit cos a 7 2 x sin a x 2 y pcos a 8 0 cos a T 2 x sin a 7 2 y ae cos V 0 Posons a x 2 L quation d une tangente quelconque 5 se param tre l aide de sous la forme normale cos y sing p p 0 avec p o a cos V eX V 7 2 k e avec k a cos Ve V r 2 Z 0 Le lieu L a pour quation polaire dans R r ke C est une spirale logarithmique homoth tique 5 10 2 4 Application l quation d une conique Dans certains probl mes de g om trie il peut tre utile de savo
47. ram tre qui a une signification g om trique et on essaie d exprimer le point courant de l ensemble cherch en fonction de ce ces param tre Exemple 13 Soient et F deux points distincts d un plan affine euclidien Ez Lieu des sommets des paraboles de foyer F passant par A D monstration On choisit F comme origine O et la droite OA comme axe Ox On note a 0 a 0 les coordonn es de A On travaille en coordonn es polaires L quation polaire g n rale d une parabole de foyer O qui se d duit d une parabole d axe Ox par une rotation d angle R est P ie 1 cos 0 Le sommet S est le point de coordonn es polaires p 2 d Le point est sur la parabole si et seulement si au moins un couple de coordonn es polaires de A en satisfait l quation ce qui s crit Pp P a O a 1 cos 1 cos Page 18 62 JP Barani 17 d cembre 2008 Le lieu cherch est donc r union des deux courbes d quations polaires Tr SU cos 6 pus z cos 0 6 7 mais si le point M poss de un couple r 0 de coordonn es polaires qui v ri fi nt 7 alors le couple r 0 7 qui repr sente le m me point v rifie 6 Une quation polaire du lieu cherch est donc r SU cos 0 Il s agit d une cardio de repr sent e ci apr s pour a 2 en Maple gt dom t 0 2 Pi gt opts coords polar scaling constrained gt plot 1 cos t dom opts
48. s 4 r cos 1 eq Reste arranger cette quation gt eqi normal eq 3 cos 2 cos cos t 3 cos t sin p 2 sin sin t sin t 4 cos eql La commande combine avec l option trig permet la lin arisation de lexpression trigonom trique qui simplifie g n ralement les calculs gt eqg2 combine eqi trig 3 cos p t 3cos 2t cos 2 D 1 eg Le num rateur se factorise la main sous la forme 6si 3t 0 t 6sin 3 Jan 5 Les angles t correspondant l intersection cherch e sont donc t p 2kr qui correspondent ou t 3 2kr 3 qui correspondent bien aux trois sommets d un triangle quilat ral Page 14 62 JP Barani 17 d cembre 2008 Deuxi me partie M thodes g n rales pour aborder un probl me de g om trie analytique 3 Notations On distinguera dans ce qui suit deux types de probl mes Les probl mes affines qui seront trait s dans un plan affine E gt resp un es gt 53 espace affine E3 muni d un rep re cart sien R O j d axes Ox Oy resp 0 T F K d axes Ox Oy Oz ce type de pro bl me fait intervenir uniquement les notions d alignement de concours et de parall lisme l exclusion de toute notion de longueur ou d angle le rep re R est donc absolument quel conque et surtout pas orthonorm Quelques exemples simples de n
49. s des triangles quilat raux inscrits dans la parabole d quation y 2pr On sugg re de consid rer l intersection du cercle circonscrit un tel triangle avec la para bole On pourra param trer ce cercle sous la forme R 1 R 1 t Ttot5 ut t Y Yy s u 2 u 2i u O R est un r el et u un complexe de module 1 10 4 2 Bissectrice s d un angle Proposition 5 Soient trois points B C distinct d un plan affine eucli dien orient Ez L ensemble des points M A tels que AB AM AM AC mod 2r Est constitu d une droite D priv e de qui s appele bissectrice de langle des demi droites ou des vecteurs AB A L ensemble des points M Z A tels que AB AM AM A mod 7 Est constitu de l union de deux droites orthogonales D et priv es de qui s appelent les bissectrices de l angle des droites AB AC Page 44 62 JP Barani 17 d cembre 2008 D monstration Compte tenu de la relation de Chasles pour les angles orien t s de vecteurs il vient en notant 0 une mesure de l angle AB AC A AM AM AC 2kr AB AM kr Dans le deuxi me cas A AM AM AC kr amp AB AM m Exercice 31 Cen 99 Soit P la parabole d quation y 2px en rep re orthonorm On la param tre l aide de t y et on note D la tangente P au point M t Donner l quation des bissectrices de Ox et D En d
50. stance d un point une droites cs s 4 4 44 earste ti 61 13 2 Perpendiculaire commune deux droites 61 14 Courbes param triques dans l espace 61 Premi re partie Sur l utilisation de Maple T 1 Conseils m thodologiques Les calculs Donner un nom a tout r sultat d un calcul pour qu il soit r utilisable Comme pour les calculs la main il est souvent pr f rable d utiliser des expressions interm diaires qui accroissent la lisibilit et limitent la propagation des erreurs Enfin Maple sait tr s bien calcu ler avec des polyn mes plusieurs variables auxquels il est pr f rable de se ramener chaque fois que c est possible par exemple en utilisant des param trages par des fractions rationnelles viter d introduire une 1Des nouvelles technologies du XXI me si cle moins que ce ne soit du troisi me mill naire l aube duquel il est d ailleurs inconcevable que bla bla bla la suite tous les jours du XXI eme si cle dans votre journal ou sur votre cha ne de radio ou de t l favorite Page 3 62 JP Barani 17 d cembre 2008 quation du type expr a qui ne sera pas alg briquement manipulable par Maple alors qu on peut travailler directement avec expr qui l est Les jockers viter l utilisation des jokers pour les versions ul t rieures 5 0 Ces caract res d signent toujours le dernier r sultat calcul ce qui rend le retour en arri re difficile
51. t co planaires Exercice 126 Maple obligatoire On rapporte l espace un tri dre or thonorm Oxyz On consid re deux points distincts diff rents de O A et A sur Oz resp B et B2 sur Oy resp C et Ca sur Oz Montrer que les or thocentres des huits triangles 4 B C sont sur une m me sph re 13 Faisceaux de plans On utilisera dans la suite les notions de g om trie affine et euclidienne vues en premi re ann e et la notion de faisceau de plans dans un espace affine E3 muni d un rep re cart sien R si P1 et P2 sont deux plans non parall les d quations respectives P M 0 et P2 M 0 avec M x y z et pour 4 1 2 PM ax biy ciz d 0 et a b c 0 0 0 a b a az bz est de rang 2 puisque P et P2 sont non parall les et si D P4 A Pz les plans P contenant D sont ceux susceptibles d une quation de la forme La matrice XMP M XP2 M 0 avec M 2 4 0 0 On peut aussi crire un tel plan sous la forme P AP mais on perd ainsi le plan P2 la preuve est identique celle faite propos des droites et constitue un bon exercice Page 60 62 JP Barani 17 d cembre 2008 Exercice 127 Ccp 99 Dans les pace affine euclidien rapport un rep re orthonorm d terminer le sy m trique du plan d quation x 2y 3z 4 par rapport au plan d quation z y z l Exercice 128 Mines 2002 L es pa
52. t propos R ciproquement supposons la nullit du d terminant il existe a b c 0 0 0 tel que t Y 1 a 0 T2 Y2 1 b 0 z3 Y3 1 c 0 Or a b 0 0 car sinon c le serait aussi La droite d quation az by c 0 contient donc les trois points Exemple 22 Avec Maple Dans un plan affine on consid re trois points distincts A1 A2 A3 appartenant une droite D et trois points distincts B1 B2 B3 appartenant une droite A D On pose si 4 3 k 1 2 3 Ci A Bk N A Bj Page 27 62 JP Barani 17 d cembre 2008 en supposant que ces droites et ces points sont d finis Montrer que C1 C2 C3 sont align s D monstration Les lecteurs tudieront le cas o D et A sont parall les l aide d homoth ties convenables On suppose que D et A se coupent en O et on choisit un rep re cart sien d origine O tel que dirige D et j dirige A On note alors a l abscisse de et b ordonn e de B L quation de A B est alors T y 1 0 Gi bj On fait le reste en Maple On trouve d abord une formule g n rale pour le point d intersection de deux droites gt inters proc a b c d local q in s x y eq x a y b 1 x c y d 1 incs x y subs solve eq incs vector x y 1 1 end On d finit alors la matrice dont la nullit du d terminant prouvera l ali gnement des C gt A matrix inters ai b2 a2 b1 inters ai b3 a3 b1 int
53. tangente en M gamma coupe laxe Oy en P Soit C lin tersection de la normale en M et de la parall le Ox passant par P quelle condition sur y le point C est il le centre de courbure y en M L xaminateur demande de chercher y sous la forme y f x Exercice 105 Mines 2006 Soit y un arc param tr suffisamment r gulier P la projection sur OM du centre de courbure C en un point M de y D terminer y de sorte que OP 2PM Exercice 106 Un point M d crit un arc y de classe C bir gulier On note H la projection d un point fixe O sur la tangente en M y et Q le sym trique de relativement cette tangente D montrer que la tangente la courbe d crite par H est ortho gonale QM On travaillera dans le rep re de Frenet en choisissant un bon param tre Exercice 107 Le plan affine eucli dien orient E est muni d un rep re orthonorm 0 j a 0 00 on note le point de Ox d abscisse A 1 Ecrire l quation d une para bole de sommet O dont on se donnera le foyer en coordonn es polaires et la directrice sous forme normale 2 Quel est la courbe d crite par le foyer d une parabole de sommet O qui passe par Calculer son rayon de courbure en son point courant Exercice 108 Mines 99 Soit une courbe T d finie en polaires par 0 p suppos e aussi r guli re que possible Trouver les coordonn es dans le rep re local O u 0 v 0
54. tel que son centre de gravit soit confondu avec le centre du cercle circons crit ce triangle Montrez que ce triangle est quilateral 2 Soit H une hyperbole quila t re centr e en O Soient P et Q deux points de H sym triques par rapport a O On consid re le cercle C de centre P et de rayon PQ Il recoupe H en trois points M M M3 Mon trez que le triangle M MM3 est quilateral et de centre P Exercice 26 Centrale 1 Soient deux droites D et A qui se coupent orthogonalement en O A A deux points sur D B B deux points sur A Montrer que A B B sont cocycliques si et seulement si OA OA 0B OB 2 D terminer le lieu des points d o on peut mener une ellipse deux tangentes qui coupent les axes en quatre points cocy cliques Exercice 27 Maple obligatoire Th or me de Feuerbach Dans un tri angle le cercle d Euler cercle circons crit au triangle constitu par les pieds des hauteurs qui contient galement les milieux des c t s est tangent au cercle inscrit et aux trois cercles exinscrits Exercice 28 Ens Trouver len semble des isom tries du plan qui conservent la r union de deux cercles dont les centres sont non confondus et les rayons diff rents Page 42 62 JP Barani 17 d cembre 2008 10 4 Utilisation des complexes 10 4 1 G n ralit s Le plan affine euclidien orient est muni d unrep re orthonorm direct R
55. ter pr tation g om trique du para m tre 2 Condition n cessaire et suffi sante pour que la droite D d quation uz vy w 0 soit tangente E 3 Lieu des points d o l on peut mener E deux tangentes or thogonales Exercice 80 Ccp 2006 1 Lieu des points d o l on peut mener deux tangentes orthogo nales une parabole 2 Calculer explicitement ce lieu pour la parabole d quation 6y x 12 0 Exercice 81 Centrale 99 D ter miner les tangentes communes y 2pr et x 2py Exercice 82 X98 On consid re larc param tr y d fini par x 3 y 21 quel est le nombre de droites normales et tangentes y Exercice 83 Cen 2007 1 Tracer la courbe T d quation polaire p 1 cos 0 2 Lieu des sym triques de O par rapport aux tangentes T Page 53 62 JP Barani 17 d cembre 2008 3 Une droite passant par coupe g n ralement T en deux points M et M Si est le point de coordonn es 2 0 d terminer le lieu du centre de gravit du triangle AM M quand la droite varie 4 Lieu du point P d intersection des normales T en M et M3 Exercice 84 Cen Soit E une el lipse d excentricit e et de foyers F et F Lieu des orthocentres du triangle MFF lorsque M d crit E Repr sentation param trique et cart sienne de la courbe C obtenue Tracer C avec l ordinateur Application
56. uclidien rapport un rep re orthonorm on consid re la courbe C d quations param triques E E y Z 1 tudier les projections de C sur les plans de coordonn es 2 Condition sur quatre para m tres distincts t lt i lt 4 pour que les points M t soient co planaires Exercice 133 Centrale 99 Dans un espace affine euclidien de dimen sion 3 rapport un rep re or thonorm on se donne les points A 0 1 1 et B 0 0 1 Soit P un point qui d crit le cercle de centre O et de rayon 1 dans le plan xOy Don ner les coordonn es de M projection orthogonale de A sur la droite BP et d crire la courbe d crite par M en la projetant sur des plans convenables Exercice 134 Centrale 99 Que dire des tangentes l image d un arc C1 trac dans un espace affine de di mension 3 par une transformation af fine d icelui Page 62 62 JP Barani
57. ue g n rale de foyers F et F 3 Trouver le lieu des points M ap partenant une ellipse de foyers F et F tels que la tangente cette ellipse en M ait une pente gale 1 Exercice 64 Mines 98 premier th or me de Poncelet Montrer que la tangente une ellipse de foyers F et F en un point M est bissectrice n ext rieure de langle MF MF Exercice 65 Deuxi me th o r me de Poncelet Soit une ellipse de foyer F Deux tangentes E en M et M se coupent en P Prouver que les droites FM et FM sont sym triques relativement FP Exercice 66 CCP 2007 Soit C la courbe d finie en rep re ortho norm direct par r cost y sint Page 50 62 JP Barani 17 d cembre 2008 1 tude et trac de C 2 Montrer que la tangente C au point de param tre t a pour quation x cost ysint sintcost 0 3 Trouver le lieu des points M qui appartiennent deux tangentes de C qui se coupent orthogo nalement en M En donner une quation polaire Exercice 67 Cen Maple tude de la courbe E 2 cost y t tcost sint o t 2r 27 La tracer l ordina teur Prouver que les tangentes aux points singuliers passent par 0 Exercice 68 Cen Allure de la courbe C p Montrer que les points tels que la normale C passe par O sont sur un m me cercle Exercice 69 Centrale 2002 1 Tracer la courbe C d quat
58. ui passe par A Prouvons lexis tence d un couple a a 0 0 telqu une quation de A soit a D a D Soit B A un point diff rent de A donc D B D B 0 0 En vertu de l tude directe l quation D M 0 avec D D B D D B D est celle d une droite D qui passe par mais on v rifie que D B D B D B D B D B 0 Donc D contient A et B c est donc A Remarque 6 En pratique on prend D AD A R mais on perd ainsi la droite D 7 3 1 Mode d emploi La technique des faisceaux de droites est extr mement puissante et l gante pour crire des quations de droites rapidement sans calcul de point d intersection Exemple 21 Dans le plan euclidien muni d un rep re orthonorm R on consid re les trois droites d quation D1 r y 1 0 D2 2r y 1 0 D3 z 3y 2 0 V rifier qu elles forment un triangle et crire une quation de la hauteur de ce triangle issue du point d intersection de D1 et D2 Page 24 62 JP Barani 17 d cembre 2008 D monstration Soit v un vecteur directeur de D On peut prendre qui sont deux deux lin airement ind pendants Les droites sont donc deux deux non parall les Prouvons qu elles ne peuvent tre concourantes Si c tait le cas le syst me lin aire d inconnues x y z T Yy 2 0 2 y z 0 3y 2z 0 aurait une solution du
59. ux autres normales is sues de M lorsque celui ci varie sur No Page 22 62 JP Barani 17 d cembre 2008 7 2 1 Convention de notation Soit D une droite dont une quation cart sienne dans le rep re Rest ax by c 0 avec a b 0 0 On conviendra de noter pour tout point M de coordonn es x y dans R et pour tout vecteur V de composantes 3 n dans la base i j de Ez D M ar by te L D V a bn de sorte que pour tout couple M M de points de Ez D M D M L D MM 7 3 Faisceaux de droites Proposition 1 Soient D et D deux droites non parall les de E2 A leur point d intersection On appelle faisceau de droites de base D D l ensemble des droites qui passent par A Une telle droite poss de dans R une quation de la forme A aD a D avec aa 0 0 o D resp D est dans R une quation de D resp de D D monstration Notons D M ax by ce D M ax by c Pour M de coordonn es x y dans R Le non parall lisme de D et D se traduit par g 70 Soit a 0 0 Posons a aa aa b ab ab ac ac donc 5 OR 6 0 Page 23 62 JP Barani 17 d cembre 2008 puisque i J est inversible et a 0 0 Donc en posant D M x b y c a D M a D M l quation D M 0 est une quation de droite qui contient A puisque D A D A 0 R ciproquement soit A une droite q
60. y Les coordonn es des points A B C dans un rep re R orthonorm associ ce choix d axes sont du type A 0 a B b 0 C c 0 a 4 0 car amp BC Ecrivons une quation de la hauteur Hp issue de B c est la droite qui passe par B b 0 et qui est orthogonale AG c a ie Hp c x b ay 0 Le point d intersection de Hp et de Oy a donc pour ordonn e y be a Comme cette expression est sym trique en b et c c est le point de concours des trois hauteurs du triangle L orthocentre H a donc pour coordonn es 0 bc a Remarque 4 C est l utilisation de bonnes notations qui permet d ex ploiter la sym trie du probl me en B et C C est souvent le cas en g om trie Remarque 5 V rifier l homog n it au sens de la physique des calculs pr c dents Exercice 3 Mines 2003 Soit f une application de classe C d un in tervalle 7 dans R et C la courbe d quation y f x en rep re ortho norm o ta dont le point cou rant sera not M x La normale en M x C recoupe l axe Ox en P et la perpendiculaire men e de P Ox recoupe la tangente en M x en Q D terminer les intervalles 7 maxi maux et les fonctions f telles que l or donn e de Q soit constante Exercice 4 Cen 99 et 2002 Dans le plan affine euclidien un point M d crit une normale fixe Mo une parabole D terminer le lieu du milieu des pieds des de
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