4e partie
Contents
1. 3 Planches correspondantes http books google fr books id EA8PAAAAQAAJ amp pg PT62 F i g u r e Cadrans article I 2 Volvelle d Apian II Cadran de l an 2000 II Capucin III Cadran universel d Apian III I 3 I 4 Cadran particulier de Lambert II Cadran universel de Lambert II Cadran d Eble II Cadran universel de Regiomontanus III Cadran ligne circulaire de Lambert IV I 5 1er cadran d azimut de Lambert IV 2i me cadran d azimut de Lambert IV Cadran d azimut universel de Lambert IV Boussole solaire universelle IV2. mut trouv sur la graduation des latitudes nord si l a zimut est du c t est le matin sud s il est du c t ouest l apr s midi L e G n o m o n i s t L e G n o m o n i s t ee 26 Volume XVI num ro 1 mars 2009 Sud utilisation l apr s midi Fig 11 Apr s la mesure de l azimut la boussole est pos e plat pour indiquer le sud Conclusion Au terme de ces 4 articles et l heure de la conclusion pr cisons tout d abord que nous n avons consid r que les cadrans compos s de courbes g om triques l mentaires droites et arc de cercles ou d ellipses Ceux ci ne concernent qu une partie de la famille des cadrans de hauteur qui est particuli rement vari e ca dran de berger anneau solaire quarts de cercle ou qua drants etc Le tableau suivant r capitule les cadrans qui ont fait l objet de notre attention Except le cadran de Regiomontanus qui a aussi la par ticularit d tre le plus ancien instrument de cette liste on peut remarquer que les applications qui d coulent des Fig I 4 et I 5 ne sont apparues que tardivement dans l histoire de la gnomonique Trop tard peut tre car hor mis le cadran de M Eble ils n ont visiblement jamais fait l objet de r alisation pratique On peut aussi noter que le nom de Lambert occupe une place pr pond rante dans cette liste Il est associ pres que la moiti des cadrans consid r s ce qui montre si cela tait e
3. le cadran pr c dent les lignes de cons truction n cessaires pour obtenir le centre des cercles sont repr sent es sur la figure initiale D autre part la surcharge montre le lien de ce cadran avec la Fig I 4 et comment on peut justifier l emploi des cercles par l angle droit entre le rayon OS et la corde Z2Z 2 Le 2e cadran d azimut Laissons encore J de Castillon le soin de faire la transition vers ce nouveau cadran Mais les instruments faits d une plaque enti re amp non perc e jour sont incommodes amp embarrassants quand ils sont un peu grands amp ne sont pas exacts quand ils sont petits c est pourquoi M Lambert a song au secteur repr sent dans la Fig 7 Il est constitu de 1 Un secteur principal comportant les graduations d azimut de 0 en bas 180 en haut 2 Un secteur secondaire comportant un calendrier zodiacal fix sur le secteur principal et mobile autour de l axe O 3 Une r glette de vis e fix e sur le secteur se condaire et articul e autour de l axe P 2 P2 P 1 P1 P 2 O 90 d 90 90 h S Z V 1 2 3 P Fig 7 Le 2e cadran d azimut de Lambert Figure extraite de Beytr ge zum Gebrauche L instrument de la Fig 7 est con u pour la latitude de 52 Berlin Sa r glette est r gl e pour une d clinai son de 15 ce qui correspond au 1er mai ou au 12 ao t elle rel ve une hauteur du sol
4. mais en dirigeant dans sa direction non pas le point O mais le point Z De ce fait le fil plomb balaye alors le quart 2 et il suffit de reporter les cercles d azimut du quart 3 dans le quart 2 par sym trie autour de l axe OZ Cette sym trie fait correspondre nous l avons vu les cercles d azimut Az aux cercles d azimut 180 Az Il suffit donc de prolonger les cercles du quart 1 vers le quart 2 o ils seront param tr s avec le suppl ment de l azimut On obtient ainsi le cadran de la figure sui vante qui est trac e pour la latitude de 52 latitude correspondante la ville de Berlin Les cercles de d clinaison sont trac s pour des longitudes du soleil de 10 en 10 L utilisation de cet instrument se passe de commen taire quand on conna t le sens de vis e Si on l a oubli on peut le retrouver facilement en remarquant que l chelle des azimuts est plus tendue dans le quart 1 en comparaison de la partie 2 Le quart 1 est donc utili s quand les jours sont plus longs que les nuits tandis que la partie 2 s utilise dans le cas contraire Sur la Vis e au printemps t Vis e en automne hiver 1 2 Fig 2 Le 1er cadran d azimut de Lambert Figure extraite du Suppl ment l Encyclop die Diderot gravure on peut aussi remarquer du c t droit la construction permettant d obtenir le centre des cercles d azimut C est comme nous l avons vu
5. positions que le point I peut occuper Ce point est l intersection du rayon OS et de la corde P2P 2 segments qui d coulent des angles h et d et forment entre eux un angle droit De ce fait la g om trie nous apprend que le lieu des points I est un cercle de diam tre OP en rouge sur la figure que nous appellerons cercle d azimut On remarquera aussi que ce cercle passe par le point R pour la m me rai son le rayon OZ et la corde P1P 1 font entre eux un angle droit En prenant plusieurs positions de P correspondant autant d azimut Az on peut tracer un ensemble de cer cles passant tous par O et R Les centres de ces cercles sont donc situ s sur la m diatrice du segment OR droite parall le P1P 1 passant par le milieu de OR On comprendra aussi qu il y a une sym trie par rapport l axe OZ entre chaque cercle d azimut Az et le cercle de son suppl ment 180 Az Voir Le Gnomoniste Volume XIII 4 d cembre 2006 pages 10 14 Volume XIV 2 juin 2007 pages 23 28 et Volume XV 3 septembre 2008 pages 4 13 Yvon Mass Imaginons d autre part que du centre O on trace des cercles concentriques de rayon OI pour diff rentes va leurs de d clinaison d c est dire des cercles de rayon r avec r OP2 cos 90 d RV sin d RV tant le rayon du cercle V Si on place maintenant ces trac s verticalement et qu on dirige comme sur la figure le rayon OZ dans la direction du
6. L e G n o m o n i s t L e G n o m o n i s t ee 19 Volume XVI num ro 1 mars 2009 De la r solution du triangle sph rique de position par l analemme diff rents cadrans de hauteurs 4e partie par Yvon Mass Dans la derni re partie de cette s rie d articles nous aborderons principalement des cadrans de hauteur qui au lieu de donner l heure donneront l azimut du soleil Ces instruments furent con us pour la plus grande par tie par J H Lambert dans la seconde moiti du XVIIIe si cle Leurs descriptions se trouvent dans son remarquable ouvrage Beytr ge zum Gebrauche der Mathematik und deren Anwendung contributions l usage des math matiques et leur application 1 el les furent ensuite reprises et traduites par J de Castil lon dans le Suppl ment de l Encyclop die Diderot 2 aux entr es Azimut 1 et Cadrans solaires 2 voir ce sujet l article II dans Le Gnomoniste XIV 2 Ces cadrans n ont priori jamais t r alis s et ont t tr s peu comment s c est pourquoi nous d velop perons ici quelques aspects th oriques notamment la d marche utilis e par Lambert pour parvenir ces ins truments Le 1er cadran d azimut Reproduisons ci dessous la Fig I 5 Fig 5 du premier article en la faisant tourner de telle fa on que le rayon OS soit vertical Pour un point P donn corres pondant une latitude et un azimut donn s int res sons nous l ensemble des
7. ane et sph rique C est du moins la d mar che qu il a d velopp e dans son ouvrage Elle consiste associer au triangle de position P le Z nith Soleil voir la Fig I 1 un triangle rectiligne qui s av re tre le triangle OIR de notre Fig 1 Pour cela il a recher ch l identit de 2 relations chacune tant propre un triangle Concernant le triangle rectiligne la relation est peu connue mais nous la retrouverons l aide de la loi des sinus en utilisant pour viter les renvois inuti les les notations de la Fig 1 que nous reporterons la Fig 3 Yvon Mass L e G n o m o n i s t L e G n o m o n i s t ee 21 Volume XVI num ro 1 mars 2009 Ce qui donne au final D autre part l angle R tant droit le segment OP est par cons quent le diam tre du cercle son centre se trouve donc au milieu de OP De l J H Lambert re constituera progressivement tous les trac s de son ca dran Terminons avec cet instrument par l illustration d une curiosit de la gnomonique la r trogradation de l om bre 3 4 Ce ph nom ne se produit pour des lieux situ s dans la zone inter tropicale quand la d clinaison du soleil est de m me signe que la latitude et de plus qu elle lui est sup rieure en valeur absolue La Fig 4 montre un cadran destin la latitude de 18 nord o les cercles d azimut sont trac s de 15 en 15 degr s Re marquons que le point R se retrouve dans la par
8. bert de l acad mie royale des sciences amp belles lettres de Berlin est d autant plus estimable qu on a longtemps cherch un cadran qui r unit l avantage d avoir les azimuts marqu s par des arcs de cercle amp celui d indiquer l heure C est l effet que fait cet instrument avec une l g re addition En effet en comparant la relation suivante issue de 1 sin d sin sin h cos cos h cos 180 Az avec la formule bien connue des gnomonistes sin h sin sin d cos cos d cos Ah on peut se convaincre facilement qu en rempla ant la d clinaison d du soleil par sa hauteur h et vice versa on obtient l angle horaire Ah la place du suppl ment de l azimut G om triquement cette transformation revient passer de la Fig I 5 la Fig I 4 Dernier petit d tail r gler obtenir le sinus de la hau teur du soleil L encore Lambert n est pas court de ressources et il propose d utiliser le cercle de midi en prenant pour axe de vis e son diam tre qui par ail leurs est le rayon du grand cercle de base que nous prendrons pour unit De ce fait comme on peut le voir sur la Fig 5 le sinus de la hauteur correspond la longueur du fil comprise entre son point de suspension et son intersection avec l arc de cercle de midi Fig 5 Mani re d obtenir le sinus de la hauteur du soleil O h OI OZ 1 sin h Z 1 I On o
9. btient alors le cadran de la figure suivante qui s u tilise ainsi Placer le plan du cadran verticalement et l orien ter au soleil en laissant pendre le fil lest muni d une perle coulissante Dans cette position r gler la perle coulissante l intersection du cercle de midi Porter le fil tendu sur la d clinaison du soleil au jour de l observation en utilisant les graduations inscrites le long du cercle de midi Lire l heure l endroit de la perle sur le r seau de cercles horaires S P Q O Z1 Z2 Z 2 Z Z 1 90 H 90 d Yvon Mass Fig 6 Le cadran horaire de Lambert constitu d arcs de cercle Figure extraite du Suppl ment l Encyclop die L e G n o m o n i s t L e G n o m o n i s t ee 23 Volume XVI num ro 1 mars 2009 Dans le cas de la Fig 6 le cadran est trac pour la lati tude de 52 soit celle de Berlin La hauteur du soleil relev e est de 27 En d pla ant ensuite le fil l entr e du Taureau qui correspond la date du 20 avril et une d clinaison du soleil de 11 5 on peut lire l em placement de la perle qu il est 8 h du matin ou 4 h de l apr s midi Certes ce cadran n est pas des plus pratiques ni des plus pr cis notamment pour la p riode du solstice d hiver mais il pr sente la curiosit et l originalit de n tre trac qu avec des droites et des arcs de cercle Comme pour
10. de vis e 0 0 180 45 A B C 1 2 Fig 4 Cadran d azimut pour la latitude de 18 Enfin lorsque la d clinaison du soleil est sup rieure 18 il faut alors lire l azimut sur un arc de cercle de Il y a visiblement une coquille cet endroit dans le trait de Lambert o c est l quivalent de l angle O qui est d sign pour tre droit Cette petite erreur a toutefois chapp Castillon qui insiste particuli rement dans sa traduction en pr cisant que l angle O est droit quand le soleil est sur l horizon L explication du Suppl ment d j difficile suivre devient ici particuli rement obscure La distance RP s obtient directement par la relation 2 L e G n o m o n i s t L e G n o m o n i s t ee 22 Volume XVI num ro 1 mars 2009 type C On peut voir dans ce cas que l azimut du soleil son lever diminue comme pr c demment pour pas ser sous la valeur de 105 mais qu il augmente ensuite pour repasser au dessus de cette valeur et atteindre son apog e l azimut de 180 C est en quelque sorte dans ce changement de cap pour passer c t nord Az 180 que se produit la r trogradation Adaptation pour donner l heure Laissons ici la place J de Castillon pour faire la tran sition du cadran pr c dent un cadran similaire indi quant l heure Cet instrument qui est de l invention de M Lam
11. ectangulaire 1 Le ch ssis comporte l axe de rotation O pour le secteur secondaire 2 et la r glette 4 est r glable en fonction du lieu d observation de telle fa on qu elle soit vue depuis O sous l angle double du compl ment de la lati tude La g om trie du secteur secondaire ne change pas par rapport l instrument pr c dent c est unique ment la position de son axe de rotation qui s adapte ici encore en fonction de la latitude de fa on que l axe de rotation de la r glette de vis e 3 puisse passer par les deux extr mit s de l chelle des azimuts Yvon Mass C est par une d marche analogue qu il obtiendra le ca dran horaire particulier pr sent dans le second article 2 4 1 O 3 Fig 9 La g n ralisation du 2e cadran d azimut de Lambert Figure extraite du Suppl ment l Encyclop die Diderot Apr s que l instrument soit configur pour la latitude d utilisation son mode d emploi est en tout point iden tique au cadran pr c dent Autre g n ralisation la boussole solaire universelle En utilisant la transformation qui a fait passer du ca dran horaire universel de Lambert au cadran d Eble ou du cadran de l an 2000 la volvelle d Apian voir arti cle II on peut imaginer partir de la g n ralisation pr c dente un nouveau cadran d azimut universel Au lieu de conserver la graduation des azimuts constante on peut t
12. eil de 30 L azimut correspondant est de 75 est si l observation est faite le matin ouest le soir On peut voir que cet instrument est une application di recte de la Fig I 5 qu il est possible de superposer di rectement sur l instrument En effet on peut ais ment associer l chelle des azimuts la corde P1P 1 et la r glette de vis e P2P 2 En tra ant les rayons OZ et OS perpendiculaires ces cordes on retrouve alors facile ment les angles 90 90 h et 90 d dans l ordre de la Fig I 5 Pour parvenir cet instrument J H Lambert n a tou tefois pas utilis cette d marche Voici en quelques mots comment il a proc d Il consid re le triangle sph rique situ sous l ho rizon et form par l quateur le plan perpendi culaire la direction du soleil horizon du soleil et l horizon lui m me Il comprend les angles indiqu s sur la Fig 8 Lambert s int resse ensuite la projection st r ographique du triangle ACE sur le plan tan gent la sph re en E ce plan est parall le au vertical du soleil La projection de EC et EA sont des segments de droite qui correspondront respectivement P P1 et P P 2 celle de AC don nera l arc de cercle reliant P1 P 2 Yvon Mass Son utilisation est la suivante R gler la r glette de vis e la date de l observa tion sur la graduation du secteur secondaire 2 Mainteni
13. la latitude correspond la corde P1P 1 L orientation du disque permet de disposer le rayon OZ suivant l angle 90 h par rapport au rayon fictif OS qui est horizon tal Le fil de lecture vertical correspond la corde P2P 2 qui est d finie par l angle de 90 d partir du rayon OS La boussole solaire est facilement r alisable avec des mat riaux courants ainsi qu on peut le voir sur la pho tographie suivante Fig 10 La boussole solaire universelle 70 20 40 50 30 60 80 90 100 110 120 130 20 1 2 3 O V P1 P 1 P2 P 2 S Z 90 d 90 h 90 T P 70 60 40 30 10 10 0 20 30 40 50 60 70 80 90 Son utilisation est la suivante On r gle le fil de lecture 3 la date de l obser vation La boussole est suspendue et orient e dans la direction du soleil On fait tourner le disque 2 pour que l ombre de l axe O recouvre la ligne de l quateur L azimut se lit l intersection du fil 3 et du segment correspondant la latitude du lieu Yvon Mass Photo 1 Exemple de r alisation en carton fort Apr s avoir mesur l azimut du soleil et afin de justi fier le nom de cet instrument on peut le mettre l ho rizontale et orienter de nouveau le disque 2 au soleil On trouve ainsi la direction du sud en reportant l azi
14. ncore n cessaire toute la valeur de son talent et la grandeur de son g nie On peut toutefois s tonner que cet habile g om tre qui l on doit plusieurs trait s de perspective n ait eu aussi peu recours la g om trie pour introduire voire imaginer ses nouveaux instru ments Notons pour terminer que la Fig I 3 n a pas trouv d application Resterait il de nouveaux instruments d couvrir Yvon Mass Bibliographie 1 J H LAMBERT Beytr ge zum Gebrauche der Ma thematik und deren Anwendung Anmerkungen und Zus tze zur Gnomonic Volume II Berlin 1770 2 Encyclop die DIDEROT et d ALEMBERT Suppl ment au dictionnaire des sciences des arts et des m tiers 1776 1777 Azimut Volume I Cadran solaire Volume II 3 J OZANAM J E MONTUCLA R cr ations ma th matiques et physiques Volume III Septi me par tie Gnomonique Probl me XXXII Comment l om bre d un style peut r trograder sur un cadran solaire sans miracle 1778 4 C FLAMARION E GUILLEMIN Le cadran so laire r trogradation L Astronomie Septembre 1885 Sur Internet On peut retrouver les textes de J de Castillon dans la r di tion suisse in 8 de l Encyclop die Diderot num ris e par Google dition de 1781 1782 1 Azimut http books google fr books id ORkPAAAAQAAJ amp pg PA155 2 Cadran solaire http books google fr books id dBkPAAAAQAAJ amp pg PA727
15. r le secteur principal 1 dans le plan vertical et de telle fa on que la graduation d azi mut soit aussi verticale En faisant tourner le secteur secondaire autour de l axe O amener la r glette de vis e 3 dans l axe du soleil Lire l azimut du soleil l intersection de la gra duation et de la r glette de vis e L e G n o m o n i s t L e G n o m o n i s t ee 24 Volume XVI num ro 1 mars 2009 En recherchant par des moyens mi g om triques mi alg briques le centre de l arc de cercle et les propri t s de la projection obtenue Lambert re constitue successivement tous les l ments de son instrument Az 90 d 90 90 h Horizon Equateur Horizon du soleil Ah E C A Fig 8 Triangle sph rique initial utilis par J H Lambert pour obtenir son 2e cadran d azimut Ici encore J H Lambert ne semble pas avoir utilis la d marche qui semble la plus simple mais c est oublier que les chemins qui m nent une d couverte sont sou vent des plus inattendus Sa g n ralisation Pour g n raliser son instrument toutes les latitudes d observation Lambert a eu recours au m me principe que pour son cadran horaire particulier voir article II On peut voir sur la Fig 9 en remarquant qu elle pro vient de la Fig 7 apr s inversion droite gauche qu il a imagin de placer l chelle des azimuts sur une r glette 4 mobile dans un ch ssis r
16. racer diff rentes chelles d azimut sur un dis que et relier les graduations de m me azimut par des courbes qui s av rent tre des ellipses D un autre c t la volont de simplifier le syst me de r glage en d clinaison le besoin de ne pas masquer la table de lecture et la n cessit de disposer de la verti cale ont conduit une configuration diff rente Elle consiste utiliser l orientation des chelles d azimut comme axe de vis e On parvient ainsi l instrument de la Fig 10 qui est constitu 1 D une plaque support suspendue au point T et comportant un axe de rotation O 2 D un disque recevant un r seau de segments pa rall les gradu s en latitude et d ellipses gradu es en azimut Il tourne autour de l axe O qui se prolonge vers l avant de la boussole afin porter une ombre sur le disque lui m me L e G n o m o n i s t L e G n o m o n i s t ee 25 Volume XVI num ro 1 mars 2009 3 D un fil de lecture r glable dans les fentes de la plaque support la date de l observation Ce r glage est tel que le fil reste toujours parall le l axe de la plaque support Sur la figure le soleil est une hauteur de 36 alors qu il entre dans le Taureau 20 avril A la latitude de 50 on peut lire que son azimut est de 60 cot est le matin ouest l apr s midi La superposition de la Fig I 5 sur la Fig 10 permet de valider le principe de cet instrument Le segment de
17. soleil on peut alors lire sur le r seau des cercles d azimut l inter section de la verticale du point O et du cercle de d cli naison correspondant la date de l observation l azi mut de la direction du soleil Int ressons nous la partie utile de la figure elle est bien s r limit e au cercle de d clinaison d 23 5 en vert mais on doit aussi consid rer que la hauteur du soleil ne varie que de 0 90 Partageons la figure en 4 parties gales partir du rayon OZ et num rotons les de 1 4 On comprend que c est seulement le quart 1 qui est utilis quand la d clinaison est comme sur Az Z S P O P P1 P2 P 1 P 2 90 90 d 90 h V I R 3 4 1 2 Fig 1 Les cercles du cadran d azimut L e G n o m o n i s t L e G n o m o n i s t ee 20 Volume XVI num ro 1 mars 2009 la figure positive Quand elle est n gative c est sur le quart 3 qu il faut faire la lecture on doit alors consi d rer la verticale au sens large c est dire la droite qui passe par les points O et S En pratique pour obtenir cette verticale le plus simple est de suspendre un fil plomb au point O mais on n a dans ce cas que la verticale dans la partie basse de la figure J H Lambert a eu l id e pour pouvoir utili ser ce fil plomb m me pour les d clinaisons n gati ves de pointer le soleil toujours avec l axe OZ
18. tie utile du cadran Lorsque la d clinaison du soleil est n gative ou inf rieure la valeur de 18 le cercle de d clinaison uti liser est un cercle de type A pour lequel dans la partie 1 comme dans la 2 on peut voir que l azimut d cro t quand le soleil s l ve Comme sous les latitudes temp r es de l h misph re nord quand il culmine l a zimut s annule c est dire qu il passe plein sud Lors que la d clinaison du soleil est de 18 l azimut se lit sur le quart de cercle B Le soleil s l ve jusqu au z nith point de la sph re c leste qui comprend tous les azimuts et qui correspond au point R de notre instru ment Yvon Mass Ce que Lambert fit correspondre la formule fonda mentale de la trigonom trie sph rique appliqu e au triangle de position soit Il fut amen poser Et enfin pour obtenir l quivalence parfaite O 90 h I R I I P cos 90 cos 90 d Fig 3 Triangle rectiligne utilis par Lambert pour intro duire son 1er cadran d azimut Ensuite en ne consid rant que l angle et le cot OR qui restent constants aussi longtemps que les angles et Az sont constants il fit remarquer que l ensemble des points I possibles est un arc de cercle Pour le tra cer il proposa de prendre l angle R droit le point I correspond alors au point P de la Fig 1 60 R O 90 105 75 75 Axe
19. une droite perpendiculaire l axe de vis e Remarquons que le double param trage de tous les cercles d azimut comme ex cut sur la gravure n est pas n cessaire Seuls les arcs trac s la fois sur les parties 1 et 2 c est dire les arcs de 100 80 110 70 et 120 60 degr s d azimut doivent recevoir ces 2 graduations Les autres arcs peuvent ne recevoir qu une seule valeur d azimut ce qui permet d viter toute confusion Pour faciliter encore la lecture on peut aussi suppl er aux cercles de d clinaison par l uti lisation d une perle glissante le long du fil lest Dans le cas de la Fig 2 la hauteur du soleil relev e est de 20 Pour une longitude du soleil de 70 soit 10 dans les G meaux ce qui correspond au 31 mai la d clinaison du soleil fait 22 et l azimut relev est de 100 L utilisation de ce cadran est toutefois sujette de grandes impr cisions pour les d clinaisons faibles soit pour les p riodes proches des quinoxes l quinoxe m me la mesure reste th oriquement possible mais elle est d autant plus d licate qu elle consiste trouver le cercle d azimut dont la tangente est verticale au point de suspension du fil Au terme de la d monstration relativement complexe que nous avons employ e pour introduire ce cadran on ne peut qu admirer J H Lambert qui est parvenu cet instrument en n utilisant principalement que la trigo nom trie pl
Download Pdf Manuals
Related Search