Méthode d`Euler appliquée à la chute d`un corps avec frottements
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1. M thode d Euler appliqu e la chute d un corps avec frottements 1 Exp rience chute d un ensemble de ballons dans l air Un l ve l che un ensemble de 4 ballons lest s Volume total V 2 x2 2 x0 6 5 2 L et la masse total m 22 2 g On filme la chute des ballons l aide d une webcam R glages camera Philips ToUcam Pro video format 320 x 240 video source r glage enti rement automatique temps 5 secondes vitesse d obturation 1 250 de seconde r gler le gain afin que l image soit claire Donn es Masse volumique de Pair u 1 3 kg m Intensit de la pesanteur g 10 m s Mise en vidence de l volution de la vitesse au cours du temps On pointe la position d un point du syst me par exemple le centre de l un des ballons avec le logiciel Avimeca2 On calcule la vitesse des ballons l aide du logiciel Regressi Ontrace le graphe v ff l aide du logiciel Excel Les modes d emploi de ces diff rents logiciels sont donn s dans la partie TP On obtient le graphe suivant v f t 3 2 5 e eee 2 T g 15 a gt 1 0 5 0 T T T T T i 0 0 2 0 4 0 6 0 8 1 1 2 14 1 6 temps s On constate que la vitesse atteint une vitesse limite Viim 2 45 m s Nous allons tablir deux mod les l aide d quations diff rentielles et discuter de la validit de ces mod les par rappor2. Le pas de calcul est choisi tel que Af 0 02 s Tableau de calculs it ratifs Le remplissage des cases s effectuent en suivant les fl ches 16 an 6 95 284 x vn ms OTOA a e e Etc Ces calculs sont videmment beaucoup rapides r aliser sur un tableur Utilisation d un tableur le mode d emploi du tableur est vu en TP BE C1 0 02 6 95 2 84 B2 B1 B2 C2 0 02 6 95 2 84 B3 B3 C3 0 02 6 95 2 84 B4 A DE HE Graphe obtenu vitesse en fonction du temps f kv 2 5 l 000000000000004000040004000000000000060020002020002004 400000022922 00062022 Ro 2 t t jk v a E g 1 5 a lt 2 E K 1 0 5 0 amp T T T T 0 0 5 1 1 5 2 temps s 3 2 R solution pour l hypoth se f K 5 L quation diff rentielle s crit Zefi kv dt m m Que l on peut crire sous la forme 1 0 ou a 4 0 D termination de et C 4 2 3 4 101 Le 22 2x10 A 6 95 RS dv Quand la vitesse atteint sa valeur limite on viim cste alors Pr 0 dv Ci 0 dt soit C Es Vlim Graphiquement on peut d terminer la valeur de la vitesse limite viim 2 45 m s 6 95 2 45 C 1 16 Enonc du principe de la m thode d Euler L acc l ration varie en fonction de la vitesse E 2 dan CVa la vitesse varie en
3. fonction de l acc l ration Vn 1 Vn AAt At est le pas du calcul Application de la m thode d Euler Pas de calcul Af 20 0 02 s 100 R ponse an 6 95 1 16 x vn ms 0 06 0 278 6 86 x 0 02 0 415 6 95 1 16 x 0 415 6 75 Etc Ces calculs sont videmment beaucoup rapides r aliser sur un tableur Utilisation d un tableur le mode d emploi du tableur est vu en TP EE A BR S s C1 0 02 6 95 1 16 B2 2 A B1 0 04 B2 C2 0 02 6 95 1 16 B3 2 pale B3 300 695 116 8472 Graphe obtenu vitesse m s Vitesse en fonction du temps f kv2 2 5 0 5 0 T T T T 3 0 05 1 15 2 25 temps s 3 3 De quel mod le l exp rience r alis e en classe se rapproche telle le plus Voici repr sent sur une m me feuille les 3 graphes obtenus vitesse m s kv2 Vitesse en fonction du temps 25 PR RAT RU IREM ENNERErEr gosses l 0 02 O4 06 08 1 12 14 16 18 2 temps s exp rience kv au d but la courbe repr sentant la chute de l exp rience se rapproche de la courbe kv au milieu aucun mod le ne correspond au r sultat exp rimental la fin la courbe repr sentant la chute de l exp rience se rapproche de la courbe kv conclusion l exp rience r alis e n est pas vraiment mod lisable avec les mod les propos s
4. r p tition Euler Math maticien et physicien du 18 si cle a qui ont doit des travaux l astronomie orbites plan taires trajectoires des com tes les sciences physiques champs magn tiques hydrodynamique optique nature ondulatoire de la lumi re les math matiques o il met au premier plan le concept de fonction gt gt 3 1 R solution pour l hypoth se f k v dt m m aa Zoi kv Que l on peut crire sous la forme CES ES ou a Bv dt Les 3 tapes pour r soudre cette quation d terminer et B noncer le principe de la m thode Euler appliquer la m thode d Euler D termination de et B A di 2 m 3 4 101 aaao 22 2x10 7 A 6 95 Su k E e Pour trouver B on peut crire que B mais on ne conna t pas k alors on utilise une autre m thode m ne dv Quand la vitesse atteint sa valeur limite on viim cste alors Ae 0 a BVim 0 dt A soit 8 Vlim Graphiquement on peut d terminer la valeur de la vitesse limite viim 2 45 m s 008 2 45 B 2 84 Enonc du principe de la m thode Euler L acc l ration varie en fonction de la vitesse an A Bva la vitesse varie en fonction de l acc l ration Vn 1 Vn AAt At est appel pas du calcul Application de la m thode d Euler Choix du pas de calcul dur e pour atteindre la vitesse limite _ 2 0 100 100
5. t la courbe exp rimentale trouv e ci dessus 2 Equations diff rentielles du mouvement Deux quations diff rentielles peuvent tre tablies selon l expression des forces de frottement gt gt gt f kv cas d une vitesse faible du mobile ou f k y cas d une vitesse lev e du mobile gt gt Etablissement de l quation diff rentielle pour l hypoth se f k v Syst me ensemble des ballons lest s R f rentiel terrestre suppos galil en Bilan des forces ext rieures appliqu es au syst me 5 o Poids P mg gt gt o Pouss e d Archim de 7 pV g 5 o Force de frottement fluide f k v Application de le deuxi me loi de Newton Feu a mac _ gt gt gt Fea Pat f mac hg SNJ Dy Par projection sur l axe z z P 7 f mac mg pVg kv mac PEER m m Soit ag g f PRE dv Expression de l quation diff rentielle en fonction de v et de T EL PE dt m m dv _ efi er kv dt m m 5 Etablissement de l quation diff rentielle pour l hypoth se f K 5 V y Par le m me raisonnement on obtient ac LE 4 m m Re dv Expression de l quation diff rentielle en fonction de v et de dv pVg kv dt amp m m dy efi er kv dt m m 3 R solution de l quation diff rentielle par une m thode it rative la m thode d Euler It rative par
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