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Écoulements densitaires

1. 0 Non 1 Lin aire 3 Schlum VDB 1 D riv e de la loi Densit Salinit si loi Lin aire Def 0 7 0 Masse de chaque Particule de Salinit si particules le 4 Variation moy de Salinit entre 2 it rat pour converg Transi R gime Transport Salinit 0 Transitoire 1 Permanent Nombre maxi possible de Particules MOC ou R W Def 30000 Dur e lt gt Permanent si transport MOC ou R W en Perma Def 0 Coefficient de retard Si pas ZNS Def 1 Temps de Demi D gradation unit de temps Def 0 e Oo Calcul de la Salinit Concen Dense Transport 6 2 4 R sultats de la mod lisation a Pas de temps n 1 t 0 5 mn Biseau sal Henry Maillage Fin Transport Transitoire Diffusion 6 6E 6 Calcul en Charges d eau douce R capitulation Couplage Variations la Premi re It ration lt Moyenne Mailles gt lt Valeur Maxi gt Num v_absol v alg br Cpl Q r sid Charge Salinit Salinit Charge Salinit Bil Mas 1 3 89 1 62E 6 0 515 0 375 4 29E 6 24 41 0 00 2 1 46E 2 2 50E 4 1 03E 2 4 30E 3 1 63E 2 1 26 0 00 3 15 85 1 18E 5 7 50E 4 1 53E 5 8 51E 4 0 140 0 00 4 4 33 1 77E 6 6 67E 5 3 25E 5 5 35E 5 1 03E 2 0 00 Bilan global pas de temps No 1 Rapport BRGM RP 55871 FR Rapport final 57 coulements densit variable BILAN EN UNITES DE DEBIT Pas de temps No 1 T 5 000E 01
2. Rapport BRGM RP 55871 FR Rapport final 37 coulements densit variable 5 1 3 Unit des masses Voir le rapport d crivant le transport de masse classique 5 2 POINT ORIGINE ET TAT DES DONN ES Point origine et tat des donn es REX R f rence des Charges Charges mod le Charges lues Ref R f rence du Substratum Substr mod le Substr lus Ref paisseur Tranche de coupe Unit de Coord de Mailles ou Deg tat initial lu 0 Charg 1 Press 2 Satur 3 NAQ 4 S_Liq 5 S_NAQ Pesanteur 0 0z gt Bas 1 0y gt Bas Coupe Vertic 2 0x Droite Angle correcteur Degr s de la Direction de la Pesanteur Effet Angle correcteur 0 Orthonorm 1 Escalier Cavali re Initialisation des Nombres Al atoires Particules Def 1789 G n rateur des Nombres Al atoires Def 0 Rapide 1 2 Autre Calcul sym trie Cylindrique Radial 0 Non 1 0ui Viscosit dynam de l Eau si Perm ab Intrins Def 1 002e 3 tat Ini 2 Mul_Phas 1 NAQ 2 AQU 3 Sat 4 S_Liq 5 S_NAQ Def 1 e O oO oO oO aag oO O O il Compressibilit de l Eau 1 m Def 5e 6 5 2 1 tat initial lu Les donn es lues sur les fichiers se rapportent e la salinit donc la masse volumique e la charge r elle e la pression tant donn qu il existe une relation entre ces 3 variables H z h p p il serait redondant de les calculer toutes les 3 Le mod le conserve la val
3. Mod lisation 3D des coulements densit variable avec le logiciel MARTHE version 6 9 Rapport final 1 7 BRGM RP 55871 FR TOD i S TA j octobre 2007 ne YA ET KR MP Gis imai 2014 RA A A d eif Ki hs 7 bra pour une Terre durable Mod lisation 3D des coulements densit variable avec le logiciel MARTHE version 6 9 Rapport final BRGM RP 55871 FR octobre 2007 r vis mai 2014 tude r alis e dans le cadre des projets de Recherches du BRGM 07EAU11 D Thi ry V rificateur Approbateur Nom M L NOYER Nom D PENNEQUIN Date Date Signature Signature En l absence de signature notamment pour les rapports diffus s en version num rique l original sign est disponible aux Archives du BRGM Le syst me de management de la qualit du BRGM est certifi AFAQ ISO 9001 2000 B bra pour une Terre durable Mots cl s Mod lisation Hydrodynamique Effets de densit Eau sal e Biseau sal Diff rences finies En bibliographie ce rapport sera cit de la fa on suivante Thi ry D 2007 Mod lisation 3D des coulements densit variable avec le logiciel MARTHE version 6 9 Rap BRGM RP 55871 FR 88 p 23 fig BRGM 2014 ce document ne peut tre reproduit en totalit ou en partie sans l autorisation expresse du BRGM coulements densit variable Synth se L a prise en compte des variations spatiales et temporelles de la densit
4. du fluide est n cessaire pour mod liser les coulements dans les aquif res situ s proximit de la mer dans les aquif res profonds contenant de l eau sal e fossile ou dans les aquif res pollu s par infiltration de saumures Dans ce but la prise en compte des variations de la densit du fluide a t introduite dans le mod le hydrodynamique MARTHE La salinit dont r sulte la densit du fluide peut tre impos e partir de mesures ou bien tre calcul e par le mod le Les calculs hydrodynamiques 2D ou 3D peuvent s effectuer en r gime permanent ou en r gime transitoire en nappe libre ou captive ou en Zone Non Satur e Ce rapport pr sente le principe des calculs ainsi que le mode d emploi d taill de cette fonctionnalit Un certain nombre d applications d crites en d tail servent d une part aider les utilisateurs dans la mise en uvre de la mod lisation et d autre part prouver que le mod le fonctionne bien et peut tre utilis en confiance dans une d marche d assurance qualit Rapport BRGM RP 55871 FR Rapport final 3 coulements densit variable Sommaire 1 Introductio M EEE nd ndan nannaa annaia inanin 11 2 NOTATIONS Sn E E EE EEE EEE E E E TT 13 3 D finition des grandeurs utilis es dans le mod le nnsssssnnnnnesnnnnnnnnnnnnnnne 17 341 MASSENOLOMIQUE nine darts se nel te E AEE 17 02 SADINIT S Sn rt An 2 ot cn Lt tr 17 3 3 DENSIT R LANIVE 32e nent ca Art nt r
5. 6 4 99 4 96E 06 1 26E 4 4 21E 5 2 16E 5 2 82E 3 0 00 7 5 12 2 43E 06 7 61E 5 4 85E 6 1 42E 5 2 23E 3 0 00 58 Rapport BRGM RP 55871 FR Rapport final coulements densit variable PERIO 0 6 0 7 0 4 0 6 1 2 MONOT ALTERN ALTERN Bilan global pas de temps No 15 BILAN EN UNITES DE DEBIT Pas de temps No 15 T 8 000E 01 DEBITS ENTRANT CHARG IMPOS 2 046E 2 DEBITS SORTANT CHARS IMPOS 8 645E 2 DEBITS ENTRANT DANS LES MAILL 6 621E 2 6 60E 2 IMPOS DEBITS SORTANT DES MAILLES 2 162E 0 BILAN DE CONTROLE 6 561E 2 Somme de tous les d bits DEBI RESID D ERR 4 342E 0 Somme Val absol d bits r sid DEBIT INTERNE SIGNIFIC 6 600E 2 0 000E 00 BILAN GLOBAL 2 779E 2 d o une converg interne 5 022E 1 d erreur d o une converg globale 3 214E 3 d erreur Les masses sont en 1073 kg et les temps sont en minutes Bilan en unit de Masse unit de Temps Pas de temps n 15 t 80 c est dire en 1 667E 05 kg s ENTRANT SORTANT NET PAR LES LIMITES 3 068E 1 2 055E 1 1 013E 1 MAILLES INTERNES RESI 7 049E 2 7 249E 2 2 004E 3 STOCKAGE 1 013E 1 2 453E 4 1 013E 1 BILAN DE CONTROLE 1 659E 3 Somme totale y compris r sidu SOMME RESIDUS INTERN 1 430E 1 Somme Val absolue r sidus Som val abs des r sid 1 430E 1 Plus grande composante 3 068E 1 d o converg intern 4 660E 1 d erreur Ecart de bilan global 1 660E 3 Entr es sorties d o converg glob
6. Param tres du mod le Couplage lt rations de couplage 1 Sous relaxation de couplage 1 M thode de r solution En charges d eau douce Hydrodynamique R gime Transitoire M thode Gradients Conjugu s Nombre maximal d it rations 50 it rations internes Permanent pour l tat Initial 20 it rations R gime transitoire suivant 3 it rations Transport R gime Transitoire M thode de calcul M thode MOC Masse d une particule 0 01 kg 6 7 4 R sultats de la mod lisation La figure 23 pr sente les isovaleurs de la salinit calcul e apr s 5000 mn Les isovaleurs sont exprim es en de la salinit maximale c est dire que l isovaleur 50 correspond une salinit de 100 kg m densit 0 9 Il appara t que l interface est abrupte comme le permet la m thode choisie On voit bien que le fluide l ger s coule en flottant la surface de la limite de saturation en eau de la nappe Rapport BRGM RP 55871 FR Rapport final 79 coulements densit variable Depth lm 0 10 20 30 40 50 X m Fig 23 pandage d un fluide l ger et percolation travers la Zone Non Satur e Salinit s calcul es apr s 5000 mn 6 8 EXEMPLE D APPLICATION N8 PRISE EN COMPTE DES EFFETS DE LA DENSITE SANS CALCUL DE LA SALINITE 6 8 1 But de l exemple n 8 Cet exemple en coupe verticale montre comment on peut prendre en compte les effets d un champ de salinit connu sans calcul de c
7. le ssh metenenenenanenttinese 75 6 6 4 R sultats de la mod lisation 76 6 7 EXEMPLE D APPLICATION N 7 FLUIDE L GER EN ZONE NON SAT REE e des pes te fe er a ns 77 6 7 1 But de l exemple n7 SSSR ne ee 77 6 7 2 Description de l exemple n 7 78 6 7 3 Param tres du mod le css semeerennmeineereeeanaeneenienninanne 79 6 7 4 R sultats de la mod lisation 79 6 8 EXEMPLE D APPLICATION N 8 PRISE EN COMPTE DES EFFETS DE LA DENSIT SANS CALCUL DE LA SALINIT ecrire 80 6 8 1 But de l exemple ne anne tam mers este ets Re 80 6 8 2 Description de l exemple n 8 80 6 8 3 Param tres du mod le iii 81 6 8 4 R sultats de la mod lisation Vu 82 T CONCIUSION 151 een ue nee nn ere do tuer eee ten tte lee niet ue 83 8 Index des t rme s 5ucticterisminnersene ertlinne dt octo serie tan er ages onto une dat aue he 85 9 BIDIOOPADAIR Serres ist sans sn anntienee 87 Liste des figures Fig 1 Masse volumique d une solution saline 15 en fonction de la salinit concentration volumique en sel ss 32 8 Rapport BRGM RP 55871 FR Rapport final coulements densit variable Fig 2 D riv e de la masse volumique par rapport la salinit concentration aK h EEEREN EE AA I EATE E AE E A TEE E E E AR AEEA E EEEE N 33 Fig 3 Masse volumique 15 C d une solution saline fortement con
8. tre d autant plus petit que e les variations de densit s sont grandes e les variations de charges sont petites En pratique en r gime permanent les coefficients de sous relaxation de couplage peuvent varier de 0 2 0 3 pour les sch mas stables 0 01 pour des syst mes peu stables lentille d eau douce en milieu poreux insulaire par exemple ou biseau sal avec fractures et tr s forts contrastes de perm abilit En r gime transitoire il peut tre plus efficace d utiliser un coefficient Rc gal 1 mais associ des pas de temps adapt s pour viter les instabilit s 4 5 4 R ajustement des charges et des pressions Apr s calcul des salinit s donc des densit s les pressions et les charges ne sont plus au pair Le mod le les r ajuste donc sion a choisi une r solution en charge les pressions sont recalcul es partir des charges et des nouvelles densit s si on a choisi une r solution en charge douce ou en pression les charges sont recalcul es partir des pressions et des nouvelles densit s 36 Rapport BRGM RP 55871 FR Rapport final coulements densit variable 5 Description d taill e des param tres relatifs la prise en compte des effets de la densit Le fichier des param tres est cr ou modifi avec le module PARAMART 5 1 UNIT S DES DONN ES xxx Unit s des donn es kkk cm s Unit des Perm abilit s des Aquif res en m s ou m2 le 5 Unit d
9. 5 409E 3 d erreur CUMUL DES MASSES CONCEN DENSE Cumul Dans le pas ENTRANT PAR LES LIMITES 3637 306 8 SORTANT PAR LES LIMITES 1217 205 5 STOCKAGE 2420 101 3 Rapport BRGM RP 55871 FR Rapport final 59 coulements densit variable STOCKAGE POSITIF ENTRANT 2427 101 3 STOCKAGE NEGATIF SORTANT 6 758 2 4527E 3 ECART DE BILAN CUMULE 4 1634E 2 1 6597E 2 1 1447E 3 5 4091E 3 c Dessins en coupe verticale La figure 9 pr sente les isosalinit s kg m3 calcul es la date 3 mn droite en traits interrompus et la date 80 mn en trait continus La figure 10 pr sente l volution au cours du temps calcul e pas de temps fin du pied de l interface Le pied de l interface est d fini ici comme le point ayant une salinit gale la moyenne entre l eau douce et l eau sal e Une comparaison avec des calculs r alis s par Frind 1982 et Galeati et al 1992 montre que les r sultats de MARTHE sont tout fait comparables ce qui constitue une v rification de cette fonctionnalit 20 Depth cm 40 60 80 100 Fig 9 Biseau sal de Henry en r gime transitoire salinit s calcul es apr s 3 mn et apr s 80 mn 60 Rapport BRGM RP 55871 FR Rapport final coulements densit variable 100 2 80 Per aa a QE 5 60 peT SR Z y0 TT v 20 o a 0 Lenps mnl Fig 10 Biseau sal de Henry en r gime transi
10. 5 m Un nouvel quilibre est alors progressivement atteint Les param tres hydrodynamiques sont les suivants Perm abilit K 1 0 10 83 m s Porosit Ww 10 Diffusion D 0 Dispersivit s 0 Hauteur de la colonne 100m Maillage Il est compos de 102 mailles de 1 m de haut except les 2 mailles de chaque extr mit qui ont pour dimension respectivement 0 1 m et 0 95 m Loi de densit Loi lin aire p 1000 1 C Conditions aux limites Limite Haut Salinit ext rieure 0 Charge impos e 0 5m Limite Bas Salinit ext rieure 25 kg m8 Charge impos e 0m Initialement l altitude de l interface ZIO est d finie par ZIO HO d 1 avec ds 1 025 soit ZI 80 m Puis progressivement l interface tend vers la nouvelle valeur Zl HO DH d 1 soit Zl 20 m Solution analytique On peut montrer facilement en crivant l quation de continuit du fluide que les charges r elles sont donn es par les expressions suivantes Rapport BRGM RP 55871 FR Rapport final 67 coulements densit variable L altitude ZI de l interface est donn e par Z1 ZI0 DH 1 exp t CT Ur exp t CT ds 1 ds 1 avec Et z K ds 1 L expression du d bit Q obtenue partir de la d riv e de ZI par rapport au temps s crit Q K ep t CT La charge H dans la zone o l eau est douce est donn e par H H0 DH ep t CT La charge H dan
11. 7 76 5 91E 5 1 41E 3 1 01E 5 2 29E 4 9 79E 3 0 00 20 6 72 4 13E 5 9 70E 4 7 49E 5 2 17E 4 8 56E 3 7 65E 3 21 6 17 2 39E 5 1 02E 3 1 21E 4 1 23E 4 1 29E 2 0 00 22 6 43 2 42E 5 8 18E 4 2 20E 5 1 10E 4 9 15E 3 0 00 23 6 15 7 23E 6 7 81E 4 1 55E 4 3 29E 5 1 25E 2 0 00 24 6 21 2 52E 5 8 02E 4 7 71E 6 1 14E 4 9 52E 3 0 00 25 5 95 1 34E 5 7 80E 4 4 62E 5 4 67E 5 1 04E 2 0 00 P rio Monot ET Bilan du Transport de la Salinit Bilan en unit de Masse unit de Temps Pas de temps n 0 t 0 c est dire en 1 667E 05 kg s Entrant Sortant Net Par les limites 1 827E 02 1 827E 02 1 985E 02 Mailles internes r si 6 392E 01 6 316E 01 7 652E 03 Bilan de contr le 1 985E 02 Somme totale y compris r sidus Somme r sidus intern 1 271E 00 Somme Val absolue r sidus Som val abs des r sid 1 271E 00 Plus grande composante 1 827E 2 d o converg int 6 956E 01 d erreur cart de bilan global 1 985E 02 Entr es sorties d o converg glob 1 087E 02 d erreur 54 Rapport BRGM RP 55871 FR Rapport final coulements densit variable 6 2 EXEMPLE D APPLICATION N 2 BISEAU SAL DE HENRY EN REGIME TRANSITOIRE 6 2 1 But de l exemple n 2 Cet exemple classique illustre le d roulement du calcul coupl en r gime transitoire en coupe verticale pour simuler un biseau sal 6 2 2 Description de l exemple n 2 Il s agit du m me syst m
12. DEBITS ENTRANT CHARG IMPOS 6 294E 2 DEBITS SORTANT CHARG IMPOS 1 289E 3 DEBITS ENTRANT DANS LES MAILL 6 619E 2 6 60E 2 IMPOS DEBITS SORTANT DES MAILLES 1 889E 0 BILAN DE CONTROLE 3 918E 2 Somme de tous les d bits DEBIT RESID D ERR 3 852E 0 Somme Val absol d bits r sid DEBIT INTERNE SIGNIFI 6 600E 2 0 000E 00 Bilan global 1 143E 2 Bilan du Transport de la Salinit Les masses sont en 1073 kg et les temps sont en minutes Bilan en unit de Masse unit de Temps Pas de temps n 1 t 0 5 c est dire en 1 667E 05 kg s ENTRANT SORTANT NET PAR LES LIMITES 9 442E 1 6 928E 0 8 749E 1 MAILLES INT S RESI 5 182E 3 7 198E 3 2 016E 3 STOCKAGE 1 001E 2 1 257E 1 8 749E 1 BILAN DE CONTROLE 1 976E 3 Somme totale y compris r sidus SOMME RESIDUS INTERN 1 238E 2 Somme Val absolue r sidus R capitulation Couplage Variations la Premi re It ration lt Moyenne Mailles gt lt Valeur Maxi gt Num v_absol v alg br Cpl Q r sid Charge Salinit Salinit Charge Salinit Bil_Mas 1 4 84 1 60E 06 0 134 0 134 8 58E 6 0 67 0 00 2 1 66E 02 2 99E 03 1 84E 2 1 20E 2 2 27E 2 0 351 0 00 3 28 79 3 63E 04 4 57E 3 2 43E 3 2 41E 3 6 97E 2 0 00 4 9 82 6 83E 05 1 24E 3 6 26E 4 3 93E 4 1 18E 2 0 00 5 5 78 1 56E 05 3 35E 4 1 49E 4 7 87E 5 6 02E 3 0 00
13. FR Rapport final coulements densit variable Si on d finit des zones quipotentielles la r solution impose un potentiel constant non sp cifi dans chacune de ces zones Si les calculs sont r alis s en charge r elle la charge donc le niveau de l eau sera uniforme dans chaque zone par exemple le niveau de l eau dans un drain une cavit Si la r solution est en charge d eau douce c est la charge d eau douce qui sera uniforme la pression sera alors uniforme uniquement si la zone quipotentielle est altitude constante Si les calculs sont r alis s en pression la pression sera uniforme dans chaque zone par exemple la pression atmosph rique dans une galerie ou une cavit 4 2 CONSERVATION DE LA MASSE DE SOLUT TRANSPORT 4 2 1 Mise en quation On admet une relation entre la masse volumique p du fluide sa concentration salinit C en un solut par exemple du sel NaCl et sa temp rature TEMPER p f C TEMPER O d f C TEMPER Po Par exemple temp rature constante on pourra choisir PpP Po a C Le calcul du champ de masse volumique ou de densit est obtenu par l quation de conservation de la masse du solut Cette quation de conservation de la masse correspond au transport par Convection et Dispersion de la salinit C L quation de conservation de la masse du solut quation du transport s crit alo C Z D w C alv c z QM 19 t ox
14. Finies 0 Complet 1 0miss Conc Temp r Non limit es par min max Def Limit 1 non Lim Nombre Maxi d It r pour Sorption Langmuir Freundlich Def 20 Coef de Relaxation pour Sorption Langmuir Freundlich Def 1 Sch ma TVD Complet 0 All g Standard Rapide 1 Complet Rapport Dispersiv Transv Vertic Dispersiv Transv Horiz O O O O O ORK PEBEOOOOOOOQOQ AOOO 5 3 1 Nombre maximal d it rations pour le couplage Ce param tre d finit le nombre maximal d it rations de couplage entre les calculs d hydraulique charges ou pressions et les calculs de transport Si on donne la valeur 0 ce param tre il n y aura pas de couplage donc pas de calcul de la salinit 0 Pas de couplage donc pas de calcul de la salinit N gt 0 Au maximum N cycles de calculs form s chacun d un calcul d hydraulique charges suivi d un calcul de transport de la salinit Le couplage se termine au plus tard apr s ces N it rations de couplage Il se termine avant si la variation de charge en d but de calcul des charges est inf rieure au seuil de convergence des charges En r gime permanent pour le calcul du transport le nombre d it rations de couplage peut tre assez grand 20 ou 100 surtout si le couplage est fort avec des calculs instables qui n cessitent un coefficient de sous relaxation RQ tr s inf rieur 1 Le nombre d it rations de couplage devra au moins tre gal Nc d fini par Nc 1 7 Logjo 1 R
15. Non Satur e ZNS Cet exemple ressemble un coulement diphasique mais il en diff re d une part puisque l eau et le fluide plus l ger ont les m mes perm abilit s d autre part parce qu il n y a pas de succion entre les 2 fluides pas de diff rence de pression Rapport BRGM RP 55871 FR Rapport final 77 coulements densit variable 6 7 2 Description de l exemple n 7 Il s agit d un syst me aqui f re peu profond de 50 m de large avec une zone non satur e de 0 5 0 8 m d paisseur Le syst me est mod lis en coupe verticale sur une paisseur de 1 m 18 m en aval de la limite ouest se produit un pandage d un fluide de densit 0 8 masse volumique 800 kg m Sous l effet de la succion de la ZNS ce fluide est entra n vers le bas ou il tend flotter la surface de la zone satur e c est dire la surface de la nappe Les param tres hydrodynamiques et hydrodispersifs sont les suivants Perm abilit saturation K 102 m s Diffusion D 0 Dispersivit s 0 Lois en Zone Non Satur e Porosit w 25 Teneur en eau r siduelle 0r 5 Loi de perm abilit K saturation de type Puissance exposant 4 Loi de r tention Loi Homographique exposant 0 25 Succion 1 2 saturation 0 3 m Maillage C est un maillage carr de 11 lignes de 0 1 m de haut et 21 colonnes de 2 5 m de large Les altitudes vont de 0 m 1 m Loi de densit Loi lin aire p
16. Unit de temps QMASS _CONC 16 Rapport BRGM RP 55871 FR Rapport final coulements densit variable 3 D finition des grandeurs utilis es dans le mod le 3 1 MASSE VOLUMIQUE C est la masse de fluide par unit de volume de fluide kg m3 Elle est not e p 3 2 SALINIT Le mod le MARTHE permet le transport de solut s faibles concentrations selon l hypoth se du traceur Dans le mod le ces concentrations sont d sign es par la variable CONCENTR d extension de fichier concel Il est possible d utiliser galement une autre concentration appel e ici salinit ou concentration dense C est la concentration volumique de solut sel responsable de la variation de masse volumique du fluide Dans le mod le MARTHE la salinit correspond la variable SALINITE d extension de fichier salini Dans ce rapport on utilisera indiff remment le terme salinit ou concentration dense La salinit est exprim e en kg de solut par m de fluide mais il est possible de d finir dans le mod le une unit utilisateur de salinit Le mod le MARTHE permet d avoir simultan ment des concentrations gt CONCENTR pour un probl me de transfert de pollution et des salinit s SALINITE dues par exemple la proximit de la mer autre solut autres conditions aux limites Par souci de concision bien que le terme ne soit pas correct les Entr es Sorties du mod le utilise
17. biseau sal avec une bande de m lange due la diffusion Les fl ches indiquent la direction et l intensit de la vitesse locale On voit que l eau douce provenant de la gauche tant plus l g re s coule en passant au dessus du biseau On voit appara tre un mouvement de circulation de l eau sal e qui rentre en bas droite et se m lange l eau douce La figure 6 pr sente les charges r elles en cm Elle montre nettement que les vitesses ne sont pas perpendiculaires aux isocharges La figure 7 pr sente les charges calcul es exprim es en hauteur d eau douce en cm Elle montre que les vitesses ne sont pas perpendiculaires aux isocharges en eau douce La figure 8 pr sente les pressions calcul es en cm Les isopressions sont quasi horizontales bien que l coulement soit lui aussi globalement horizontal 20 Depth lm NN NT 40 60 80 Pea 1 Peg A A Pa gt 100 Fig 5 Biseau sal de Henry mod lis en coupe salinit s calcul es kg m 50 Rapport BRGM RP 55871 FR Rapport final coulements densit variable em 20 Depth 40 Anr A AA A CA ie w L le o o 0 0 0 ajA LRU D Le se moe 2 7 LS a Let t p AN VS pe Zaen 0 20 yo 60 80 100 120 140 160 180 200 60 80 100 X cm Fig 6 Biseau sal de Henry mod lis en coupe charges r elles calcul es cm 20 Depth 4
18. calcul e par le mod le Les effets de la densit peuvent tre pris en compte en nappe libre captive ou en zone non satur e en coulement isotherme ou avec effets de temp rature Cette fonctionnalit dont le principe est d crit par Thi ry 1993b a t d velopp e et int gr e dans le logiciel MARTHE dans le cadre du plusieurs projets de recherche du BRGM en 1998 Elle compl te la fonctionnalit de transport de masse classique de MARTHE 5 4 Thi ry 1995a qu il est indispensable de conna tre pour lire avec profit le pr sent rapport La fonctionnalit de transport classique de MARTHE 5 4 concerne le transport de solutions peu concentr es dans lesquelles la masse volumique de la solution est ind pendante de sa concentration C est l hypoth se du traceur Avec la nouvelle version il est possible de faire un calcul de transport de masse classique polluant peu concentr et de prendre en compte en plus les effets de la densit dus par exemple la pr sence d un biseau sal La r alisation de ce rapport a t financ e par le projet HYDROCLIM du BRGM Rapport BRGM RP 55871 FR Rapport final 11 coulements densit variable 2 Notations a charge hydraulique distances altitude gt O vers le haut acc l ration de la pesanteur perm abilit intrins que viscosit dynamique de l eau masse volumique de l eau masse volumique de l eau douce pression pression en m tres d eau douce h
19. choisi une m thode it rative m thode de Picard a on part d un champ initial de salinit donc de densit b on calcule les charges ou les pressions puis les d bits d change en fonction de ces densit s par l quation de conservation des d bits conservation des volumes donc de la masse de fluide qui utilise la loi de Darcy c on calcule les salinit s par l quation de conservation de la masse de solut quation du transport de masse d on calcule le nouveau champ de densit s partir des salinit s On boucle alors sur les actions b c et d Dans le cas d un sch ma de transport faisant intervenir des particules M thode des caract ristiques MOC le mod le n utilise qu une seule it ration de couplage puisque qu apr s d placement les positions des particules ne peuvent tre recul es Il faut donc a priori utiliser des pas de temps plus petits dans ce dernier cas 34 Rapport BRGM RP 55871 FR Rapport final coulements densit variable 4 5 3 Stabilisation du couplage par sous relaxation Le couplage it ratif peut tre instable ou oscillant surtout en r gime permanent puisqu une faible variation de densit peut entra ner de grandes variations de gradient de charge qui vont entra ner leur tour de grandes variations de d bits donc de plus grandes variations de densit On introduit donc un coefficient de sous relaxation donc de ralentissement Rc qui s applique aux sali
20. coefficient de sous relaxation gal 0 5 Le tableau suivant montre alors une convergence r guli re Biseau Sal Henry Maillage Fin Permanent Diffusion 6 6E 6 Calcul en Charge d eau douce Masse volumique 1080 kg m3 Avec relaxation 0 50 R capitulation Couplage Variations la Premi re It ration lt Moyenne Mailles gt lt Valeur Maxi gt Num v_absol v_alg br Cpl Q r sid Charge Salinit Salinit Charge Salinit Bil_Mas 1 1 58E 5 4 66 8 76 6 37 7 38 78 41 0 00 2 7 00E 3 0 207 4 77 2 38 1 13 41 40 0 00 3 7 04E 3 0 234 3 63 0 336 0 967 24 99 0 00 4 6 48E 3 0 180 2 51 0 144 0 786 22 88 0 00 5 5 21E 3 7 72E 2 1 39 3 54E 2 0 499 15 24 0 00 Rapport BRGM RP 55871 FR Rapport final 53 coulements densit variable 6 3 43E 3 3 33E 2 0 755 2 26E 2 0 219 6 78 0 00 7 2 20E 3 2 57E 2 0 361 8 99E 3 0 123 3 64 0 00 8 1 04E 3 1 29E 2 0 216 4 12E 3 8 09E 2 2 68 0 00 9 5 96E 2 7 26E 3 0 142 1 49E 2 1 98E 2 0 951 0 00 10 4 03E 2 5 40E 3 7 85E 2 1 38E 3 2 33E 2 0 515 1 00 11 2 19E 2 3 17E 3 4 92E 2 5 21E 4 1 79E 2 0 495 0 00 12 1 29E 2 1 80E 3 3 73E 2 2 83E 3 6 49E 3 0 197 0 00 13 86 63 1 19E 3 1 94E 2 9 50E 5 4 91E 3 0 105 0 00 14 53 94 8 00E 4 1 38E 2 7 30E 5 3 96E 3 9 59E 2 0 00 15 34 36 4 66E 4 1 07E 2 4 51E 4 2 00E 3 5 78E 2 0 00 16 22 54 2 78E 4 5 61E 3 1 09E 4 1 17E 3 3 06E 2 0 00 17 15 37 1 97E 4 3 67E 3 1 33E 5 8 89E 4 2 18E 2 0 00 18 10 39 1 21E 4 2 41E 3 1 11E 4 5 38E 4 1 34E 2 0 00 19
21. de sel avec forte diffusion les salinit s calcul es avec le code MARTHE trait continu sont compar es celles obtenues traits interrompus par 11015 4 MES 1010 PR ei e E E E E 77 Fig 22 D me de sel avec faible dispersion les salinit s calcul es avec le code MARTHE trait continu sont compar es celles obtenues traits interrompus par Oldenburg et Pruess 1995 77 Fig 23 pandage d un fluide l ger et percolation travers la Zone Non Satur e Salinit s calcul es apr s 5000 mn 80 10 Rapport BRGM RP 55871 FR Rapport final coulements densit variable 1 Introduction Les mod les hydrodynamiques classiques d coulement en milieu poreux permettent le calcul des coulements de fluides incompressibles densit constante Cependant dans un certain nombre de cas la densit du fluide incompressible peut pr senter des variations spatiales ou temporelles Dans les aquif res profonds ou proximit de la mer l eau contenue dans les aquif res contient parfois du sel qui induit des variations spatiales de sa densit Les gradients g othermiques ou les stockages de chaleur ou de mati res d gageant de la chaleur induisent par ailleurs des variations de temp rature qui provoquent des variations de densit de l eau Le logiciel MARTHE 6 7 permet la prise en compte des variations de la densit du fluide Il fonctionne en r gime permanent ou transitoire et la densit peut tre impos e ou
22. en pr sence d un chenal Salinit calcul e sans effets de densit 66 Fig 15 Retour l quilibre dans un tube en U volution de la position de l interface Symboles solution analytique Trait continu MARTHE Diff rences FINS ESA Se Sd nan ee 71 Fig 16 Retour l quilibre dans un tube en U volution du d bit entrant en bas de la colonne et sortant par le haut Symboles solution analytique Trait continu MARTHE Diff rences Finies 71 Fig 17 Retour l quilibre dans un tube en U volution de la charge 38 5 m de profondeur Trait continu Solution analytique MARTHE M th d MO RS A den A rhn Cubes Aa Ne saute dede conte 72 Fig 18 Retour l quilibre dans un tube en U volution de la salinit 38 5 m de profondeur Trait continu Solution analytique MARTHE M thode MOC Jeran nt en E nt eaa e EEA e AE nd Et a ta 72 Fig 19 Retour l quilibre dans un tube en U volution de la charge 38 5 m de profondeur Trait continu Solution analytique MARTHE M ROde VPN UN r Re a A Nes Re Na te 73 Rapport BRGM RP 55871 FR Rapport final 9 coulements densit variable Fig 20 Retour l quilibre dans un tube en U volution de la salinit 38 5 m de profondeur Trait continu Solution analytique MARTHE M thode TMD dns Re Re ae tn Ce nn ne A E E a ar et 73 Fig 21 D me
23. f E 15 soit S A HH A HH B F E qui se r sout imm diatement et exactement par la m thode des gradients conjugu s On obtient alors HH d o le mod le d duit la charge H H HH d d tant connue H permet alors de tester l tat de saturation ou de d noiement dans chaque maille La seule l g re difficult pratique survient si la densit d n est pas connue mais doit tre calcul e par le logiciel En effet les conditions aux limites de l quation 15 conduisent imposer d H et non H II faut donc r actualiser d H chaque nouvelle estimation de d c R solution en charges d eau douce La charge d eau douce Hg est d finie par Hq h 2z L quation 6 donnant le d bit chang entre 2 mailles crite en Hg devient Qvc Tve Hdv Zv Hac Ze duc Zv Zc Qve Tve Hdv Hac vol 16 Rapport BRGM RP 55871 FR Rapport final 27 coulements densit variable avec fve dye 1 Zy Zo 17 L quation de conservation du d bit s crit alors 2 DH AFLE 0 DT fi E 18 soit D TH A H B F E Le syst me d quations se r sout imm diatement par la m thode des gradients conjugu s La r solution est identique la r solution en pression mais chaque quation est centr e par rapport z Le syst me est donc beaucoup mieux conditionn Les conditions aux limites se d duisent imm diatement des conditions aux limites en pression Il suff
24. faut 20 it rations 64 Rapport BRGM RP 55871 FR Rapport final coulements densit variable b Extrait du Fichier des Param tres du mod le On pr sente ci dessous un extrait du fichier des param tres de MARTHE coulement Monocouche Horizontal Transport Transitoire Diffusion 6 6E 6 Calcul en Charges d eau douce Point origine et tat des donn es Arr R f rence des Charges Charges mod le Charges lues Refer R f rence du Substratum Substr mod le Substr lus Refer paisseur Tranche de coupe Unit de Coord Mailles ou Degr s tat init lu 0 Charg l Press 2 Satur 3 NAQ 4 S_Liq 5 S_NAQ Pesanteur 0 0z gt Bas 1 0y gt Bas Coupe Vertic 2 0x Droite E e xxx Initialisation avant calculs kkk POROSITE SEMIS N 35 H_TOPOGR SEMIS N 0 H_SUBSTRAT SEMIS N 100 H_ SUBSTRAT MAILL C L 10 11 P 1v 200 CHARGE SEMIS N 0 SALINITE SEMIS N 0 SALIN_EXT MAILL C 1L p 1v 25 SALIN EXT MAILL C 411 p 1v 0 CHARGE SEMIS N 0 DEBIT MAILL C 1L p 1v 13 DEBIT MAILL C 1L 10 11 P 1v 26 DEBIT MAILL C 411 p 1v 9999 6 4 4 R sultats de la mod lisation Les figures 13 et 14 pr sentent les iso salinit kg m3 la date 80 mn avec et sans effets de densit On voit que sous l effet de la densit l eau sal e plus dense s accumule dans le chenal o elle se d place en priorit On observe donc une avanc e de la s
25. fort Cet exemple fait partie du test international HYDROCOIN Il est inspir du site de Gorleben situ en Allemagne Les r sultats du mod le MARTHE dans ce cas complexe sont compar s ceux obtenus par d autres laboratoires trangers 6 6 2 Description de l exemple n 6 Il s agit d un syst me aquif re de 900 m de large sur 300 m de profondeur mod lis en coupe verticale Au fond du syst me sur le tiers central x 300 x 600 se trouve un d me de sel qui engendre une saumure sursatur e de masse volumique impos e 1200 kg m8 densit 1 2 Les limites ouest et est son imperm ables Sur la limite sup rieure de l eau douce rentre sous l effet d une pression impos e variant lin airement de 10 Pa 10 19 m d eau l ouest jusqu 0 Pa l est Sous l effet de l coulement le fluide dense remonte et si la diffusion est forte on observe des courants de convection Deux variantes sont simul es une variante avec une forte diffusion et une variante avec une faible dispersion Les param tres hydrodynamiques et hydrodispersifs sont les suivants Perm abilit K 9 81 10 6 m s Porosit W 20 Exemple avec une forte diffusion Diffusion D 5106 m2 s soit D w 10 6 m2 s Dispersivit s 0 Exemple avec une faible dispersion Diffusion D 0 Dispersivit s aL 20m ay 2m Pas d entra nement de la salinit par convection sur la limite du bas Maillage Il est compos de 45 lignes de 45 colonn
26. on souhaite diter sur fichier l volution au cours du temps des salinit s variable SALINITE ou des salinit s sortantes SALINIT SORT Comme pour les historiques de concentration classique cette s lection s effectue dans le paragraphe historiques du fichier des param tres Les historiques des mailles s lectionn es sont dit s dans le fichier de nom historiq prn et historiq out habituel Rapport BRGM RP 55871 FR Rapport final 43 coulements densit variable 5 5 2 Champs grilles MARTHE des tats calcul s n importe quel pas de temps il est possible d diter les grilles MARTHE des salinit s calcul es La m thode de s lection est identique celle utilis e pour les autres variables ditables concentration par exemple e _Salinit et masse volumique on s lectionne l objet SALINITE puis l action DITION on choisit alors d diter les salinit s les variations de salinit depuis le d but de la simulation la masse volumique calcul e elle est exprim e en kg m8 Les valeurs calcul es des variables s lectionn es sont dit es sous forme de grilles MARTHE en format texte ou en binaire dans le fichier de nom chasim out En outre si le mod le est monodimensionnel les valeurs apparaissent en format libre dans le fichier s quentiel chasimsq out et chasimsq prn e D bits massiques de salinit on s lectionne l objet QAMASS SALIN pu
27. suivants Perm abilit K 1 0 1072 m s Porosit W 35 Diffusion D 6 6 1078 m2 s Dispersivit s 0 Maillage Il est compos de 41 colonnes et 20 lignes de mailles 5 cm x 5 cm de cot La colonne 41 la limite la mer a une largeur diff rente gale 0 1 cm Loi de densit Loi lin aire p 1000 1 C Conditions aux limites Limite ouest Salinit ext rieure 0 d bit d eau douce 33 1077 m3 s sur chaque maille Limite est Salinit ext rieure 25 kg m8 charge impos e 0 sur chaque maille tat initial Salinit Salinit 0 partout sauf 25 kg m sur la limite est Hydrodynamique Charges 0 partout Rapport BRGM RP 55871 FR Rapport final 45 coulements densit variable 6 1 3 Param tres du mod le a Description des param tres Couplage lt rations de couplage Sous relaxation de couplage Hydrodynamique R gime M thode Nombre maximal d it rations 25 Permanent Gradients Conjugu s en charge d eau douce 3 50it rations internes Transport R gime Permanent M thode de calcul Diff rences Finies Solveur Orthomin Nombre maximal d it rations d faut 20 it rations b Extrait du Fichier des Param tres du mod le On pr sente ci dessous un extrait du fichier des param tres de MARTHE Biseau Henry Maillage Fin Permanent Diffusion 6 6E 6 Calcul en Charges d eau douce Point origine et tat de
28. tres du modele ame ers men mess 61 6 3 4 R sultats de la mod lisation eeseeerrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrens 62 6 3 5 Variante Calcul du transport par la m thode TVD Total Variation Diminishing limiteur de flux nnsseeeseeennennneeessenrrrrnnersserrrrrrne 63 6 4 EXEMPLE D APPLICATION N 4 COULEMENT PLAN MONOCOUCHE EN PRESENCE D UN CHENAL REGIME TRANSITOIRE nneneannnnna 63 6 4 1 But de l exemple n 4 63 6 4 2 Description de l exemple n 4 64 6 4 3 Param tres du mod le 64 6 4 4 R sultats de la mod lisation eeeeeeererrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrens 65 Rapport BRGM RP 55871 FR Rapport final 7 coulements densit variable 6 5 EXEMPLE D APPLICATION N5 RETOUR L QUILIBRE DANS UN TUBE EN U EN R GIME TRANSITOIRE sisesiesieererrerrsreereren 66 6 5 1 But de l exemple n 5 encor neesertaneminne 66 6 5 2 Description de l exemple n 5 67 6 5 3 Param tres du mod le ssssneneeessseeenerrrrressrrrrnrrnnrrssrrrnrrrnnreseet 69 6 5 4 R sultats de la mod lisation sessosesnenneeesseennrrrnrrssrrrerrnnresee 70 6 6 EXEMPLE D APPLICATION N D ME DE SEL TEST INTERNATIONAL HAYDROCOIN ASS OR An nn de a a R 74 6 6 1 But d l exemple n 62 74 6 6 2 Description de l exemple n 6 74 6 6 3 Param tres du mod
29. utilisateurs dans la mise en uvre de la mod lisation et d autre part v rifier que le mod le fonctionne correctement Remerciements Nous tenons remercier M L Noyer pour sa relecture minutieuse du manuscrit de ce rapport et pour ses propositions d am lioration Rapport BRGM RP 55871 FR Rapport final 83 Calage automatique Charge r elle Charge d eau douce Choix du mode de r solution Coefficients de dispersion Convergence Couplage Conditions aux limites Densit relative tat initial Exemples d application Fichiers de r sultats Masse volumique Pression Recharge Relaxation Salinit Sous relaxation Stockage Termes source Unit s coulements densit variable 8 Index des termes Paragraphes 5 6 3 6 4 1 7 3 5 4 1 7 4 1 7 5 3 3 5 3 5 5 4 4 4 4 5 5 3 1 4 3 3 3 4 1 6 5 2 6 5 5 3 1 5 4 2 3 4 4 1 7 3 8 4 5 3 5 3 2 3 2 3 7 4 5 3 4 1 4 4 3 5 1 Rapport BRGM RP 55871 FR Rapport final 85 coulements densit variable 9 Bibliographie Bear J 1979 Hydraulics of Groundwater Mac Graw Hill New York Chiarelli A 1973 tude des nappes aquif res profondes Contribution de l hydrog ologie la connaissance d un bassin s dimentaire et l exploration p troli re Th se Sc Nat Bordeaux 187 64 p Elder J W 1967 Transient convection in a porous medium J Fluid Mech 27 3 609 623 Frind E O 1982 Simulation
30. 0 60 80 100 Fig 7 Biseau sal de Henry charge en eau douce calcul es cm Rapport BRGM RP 55871 FR Rapport final 51 coulements densit variable lem 20 Depth 30 A E 40 0 140 40 ae e ed ed ed A A AE A AA A 50 50 50 nn A A A A A A 2 60 80 60 60 nnan A aaa T o r e E E A A A A t 80 80 80 e E _ Sf P 30 1am 90 He TE R ee 0 AO A 100 L 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 X cm Fig 8 Biseau sal de Henry pressions calcul es cm 6 1 5 Variante avec une salinit plus forte On a r alis la m me simulation mais avec de l eau sal e de masse volumique 1080 kg m au lieu de 1025 donc avec un couplage plus fort Un calcul sans sous relaxation ne peut alors pas converger Le tableau suivant pr sente la r capitulation du couplage Biseau Sal Henry Maillage Fin Permanent Diffusion 6 6E 6 Calcul en Charge d eau douce Masse volumique 1080 kg m3 Sans relaxation R capitulation Couplage Variations la Premi re It ration lt Moyenne Mailles gt lt Valeur Maxi gt Num v_absol v_alg br Coupl Q r sid Charge Salinit Salinit Charge Salinit Bil Mas 1 1 58E 05 4 66 8 76 6 37 7 38 78 41 0 00 2 1 40E 04 0 405 7 44 1 27 2 17 53 77 0 00 3 1 37E 04 0 231 4 20 1 88 0 912 25 71
31. 0 00 4 1 36E 04 0 158 4 86 0 538 0 635 31 44 0 00 5 1 31E 04 0 175 4 51 0 436 0 976 28 52 0 00 6 1 37E 04 0 159 3 48 2 48E 2 0 610 19 94 0 00 7 1 26E 04 0 185 5 00 0 469 0 633 38 61 0 00 8 1 34E 04 0 212 3 71 0 552 0 762 25 14 0 00 9 1 34E 04 0 234 4 60 0 467 1 02 32 03 0 00 10 1 38E 04 0 205 4 12 0 738 0 978 29 02 51 94 11 1 36E 04 0 167 3 90 0 209 0 834 25 10 0 00 52 Rapport BRGM RP 55871 FR Rapport final coulements densit variable 26E 04 190 12 0 443 0 666 39 85 00 1 0 5 0 20 1 35E 04 0 217 3 66 0 552 0 772 24 50 29 85 21 1 33E 04 0 231 4 68 0 524 0 993 32 54 0 00 22 1 38E 04 0 202 4 02 0 789 0 950 27 73 0 00 23 1 36E 04 0 168 3 98 0 244 0 836 25 81 0 00 24 1 30E 04 0 176 5 03 3 41E 3 0 891 38 97 0 00 25 1 35E 04 0 195 3 38 0 244 0 638 18 28 0 00 P rio Monot migs Ehm RSS IST VSS Bilan en unit de Masse unit de Temps Pas de temps n 0 t 0 c est dire en 1 667E 05 kg s Entrant Sortant Net Par les limites 1 191E 02 1 981E 02 7 906E 01 Mailles internes r si 3 404E 02 2 613E 02 7 905E 01 Bilan de contr le 7 906E 01 Somme totale y compris r sidus Somme r sidus intern 6 017E 02 Somme Val absolue r sidus Som val abs des r sid 6 017E 02 Plus grande composante 1 981E 2 d o converg int 3 037E 02 d erreur cart de bilan global 7 906E 01 Entr es sorties d o converg glob 3 991E 01 d erreur On a alors refait ce m me calcul avec un
32. 1000 1 C Salinit inject e 200 kg m8 soit une densit de 0 8 Conditions aux limites Limite Gauche Charge impos e 0 5 m amont Limite Droite Charge impos e 0 8 m aval altitudes 0 8 m 1 m Surface de suintement au dessus Limite Bas Limite tanche Limite Haut Initialement tanche Apr s l initialisation en r gime permanent on impose une charge gale 0 55m et une salinit ext rieure de 200 kg m8 donc une densit de 0 8 78 Rapport BRGM RP 55871 FR Rapport final coulements densit variable Conditions initiales Le syst me a t initialis en r gime permanent avant injection de fluide La limite de saturation est alors situ e entre 0 5 m et 0 8 m de profondeur On a alors fix la succion 0 55 m dans la maille d injection ce qui correspond un d bit inject variable au cours du temps de l ordre de 2 10 m s par m tre de coupe verticale Le d bit amont est de l ordre 2 4 10 m s Les calculs sont r alis s en r gime transitoire transport en r gime transitoire et calculs hydrodynamiques en r gime permanent La simulation est r alis e sur une p riode totale de 5000 mn 3 5 jours environ Comme les calculs sont r alis s en Zone Non Satur e les pas de temps de calcul du code MARTHE sont calcul s automatiquement pour assurer une convergence hydrodynamique optimale Le pas de temps est contraint tre compris entre 0 05 mn et 1 mn 6 7 3
33. 126 0 106 11 05 0 00 5 9 76E 02 9 44E 03 0 846 0 259 9 36E 02 9 08 0 00 6 7 70E 02 4 31E 03 0 526 3 91E 02 3 75E 02 5 32 0 00 7 4 75E 02 3 30E 03 0 367 0 101 3 66E 02 3 28 0 00 8 3 58E 02 2 64E 03 0 226 7 06E 02 2 86E 02 1 96 0 00 9 2 24E 02 2 11E 03 0 151 7 06E 02 2 37E 02 1 58 0 00 10 1 56E 02 1 81E 03 0 109 4 51E 02 2 07E 02 1 10 0 711 11 1 17E 02 1 29E 03 9 24E 02 2 44E 02 1 33E 02 0 848 0 00 12 92 91 9 78E 04 8 42E 02 6 08E 03 7 89E 03 0 752 0 00 13 79 95 8 24E 04 7 07E 02 3 06E 03 8 36E 03 0 584 0 00 14 65 99 7 02E 04 5 63E 02 6 35E 03 7 50E 03 0 443 0 00 15 53 81 5 44E 04 4 25E 02 4 05E 03 5 85E 03 0 317 0 00 16 42 22 3 67E 04 3 10E 02 8 54E 04 3 83E 03 0 259 0 00 17 31 59 2 77E 04 2 29E 02 2 26E 03 2 24E 03 0 220 0 00 18 23 27 2 34E 04 1 81E 02 3 54E 03 2 50E 03 0 172 0 00 48 Rapport BRGM RP 55871 FR Rapport final coulements densit variable 19 17 82 1 99E 04 1 44E 02 3 43E 03 2 23E 03 0 128 0 00 20 14 33 1 53E 04 1 09E 02 2 21E 03 1 68E 03 8 92E 02 0 172 21 11 22 1 07E 04 8 34E 03 8 06E 04 1 08E 03 7 71E 02 0 00 22 8 69 8 23E 05 6 83E 03 2 30E 04 7 01E 04 6 44E 02 0 00 23 6 74 7 00E 05 5 76E 03 6 67E 04 7 48E 04 4 93E 02 0 00 24 5 50 5 89E 05 4 54E 03 5 68E 04 6 53E 04 3 67E 02 0 00 25 4 46 4 26E 05 3 52E 03 2 31E 04 4 78E 04 2 56E 02 0 00 P rio 3 1 3 1 3 1 2 3 Monot b Bilan des d bits du fluide Les d bits sont en 1077 m s Bilan en unit s de D bit Pas de temps n 0
34. 4 R sultats de la mod lisation a D roulement des calculs la date 3 mn 16 pas de calcul le champ de salinit est repr sent par 2800 particules A la date 80 mn pas de calcul n 60 il y a 31700 particules b Dessins en coupe verticale La figure 11 pr sente les isosalinit s kg m la date 3mn droite en traits interrompus et la date 80 mn en trait continus On voit nettement que le biseau est abrupt sans aucune dispersion num rique puisque la salinit passe de 0 25 kg m3 dans la largeur d une maille C est ce que permet la m thode MOC 0 mm mm A 20 Depth cm 40 60 80 100 X cm Fig 11 Biseau sal de Henry en r gime transitoire sans dispersion salinit calcul e par la m thode MOC apr s 3 mn et apr s 80 mn 62 Rapport BRGM RP 55871 FR Rapport final coulements densit variable 6 3 5 Variante Calcul du transport par la m thode TVD Total Variation Diminishing limiteur de flux Pour illustrer l int r t de la m thode TVD Total Variation Diminishing par le calcul du transport le m me calcul a t r alis avec cette m thode Pour ce calcul on a choisi de d couper les 15 pas de temps de mod le en 20 sous pas On a galement pris un maillage r gulier avec 40 colonnes gales de 5 cm au lieu de 41 colonnes avec la 41 colonne de 0 1 cm En effet la m thode TVD serait p nalis e par les tr s petites mailles Pour le co
35. 41 L 1P 19V 30 SALINITE MAILL C 26 41 L 1P 20V 30 CHARGE SEMIS N 0 DEBIT MAILL C 1L 1P XV 33 DEBIT MAILL C 41L 1P XV 9999 xkkk kkkxkx Fin d Initialisation 6 8 4 R sultats de la mod lisation Le calcul s effectue instantan ment titre de contr le on peut demander l dition du champ de masse volumique calcul non repr sent ici La masse volumique calcul e par la relation de Schlumberger correspondant la salinit de 30 kg m8 est gale 1020 72 kg m8 82 Rapport BRGM RP 55871 FR Rapport final coulements densit variable 7 Conclusion L a prise en compte des variations spatiales et temporelles de la densit du fluide est n cessaire pour mod liser les aquif res situ s proximit de la mer les aquif res profonds contenant de l eau sal e fossile ou les aquif res pollu s par infiltration de saumures Dans ce but la prise en compte de la densit a t introduite dans le mod le hydrodynamique MARTHE La salinit dont r sulte la densit du fluide peut tre impos e ou bien calcul e par le mod le partir de l quation de transport en r gime permanent ou en r gime transitoire Les calculs hydrodynamiques 2D ou 3D peuvent s effectuer en charge ou en pression en r gime permanent ou en r gime transitoire en nappe libre ou captive ou en Zone Non Satur e Un certain nombre d applications d crites en d tail permettront d une part aider les
36. EAU n R32210 Thi ry D 1993a R solution matricielle et nouvelles g om tries dans le logiciel MARTHE Rapport BRGM 4S EAU n R37762 Rapport BRGM RP 55871 FR Rapport final 87 coulements densit variable Thi ry D 1993b Mod lisation des aquif res complexes Prise en compte de la zone non satur e et de la salinit Calcul des intervalles de confiance Revue Hydrog ologie 1993 n 4 pp 325 336 Thi ry D 1994 Mod lisation 3D des coulements en Zone Non Satur e avec le logiciel MARTHE Version 5 4 Rapport BRGM n R38108 HYT DR 94 Thi ry D 1995a Mod lisation 3D du Transport de masse avec le logiciel MARTHE Version 5 4 Rapport BRGM n R38149 HYT DR 95 Thi ry D 1995b Mod lisation des coulements avec interactions chimiques avec le logiciel MARTHE Version 5 5 Rapport BRGM n R38463 HYT DR 95 Thi ry D Golaz C Azaroual M 2002 Mise en oeuvre et tests d application du code MARTHE PHREEQC Version 6 2 Rapport BRGM RP 51905 FR 67 pp Thi ry D Golaz C 2002 Consideration of vegetation effects in version 6 2 of the MARTHE model Consequences for water and mass uptake Rapport BRGMRP 51988 FR 48 pp Thi ry D 2004 Mod lisation 3D du transport de masse avec double porosit Logiciel MARTHE version 6 4 Rapp BRGM RP 52811 FR 39 pp Thi ry D 2005 Saltwater intrusion modelling with an efficient multiphase approach Theory and several field applic
37. MARTHE Biseau sal Henry Maillage Fin Transport Transitoire Diffusion 6 6E 6 Calcul en Charges d eau douce Contr le de la R solution Hydrodynamique KEk 3 0 Nombre max d It r pour le pas de temps n 0 Permanent Initial Nombre Max d It r par pas de temps Calcul suivant le Pas n 0 5e 6 Variation Moyenne de Charge entre 2 It rations pour Converg Coefficient de Relaxation des calculs Def 1 Pond r Perm a Vois 1 G om 3 Amont 4 Harmo 5 Arith Def 0pt Rapport pais mini D noy pais moy Couche Def 5e 3 Solveur 0 G Conj Chol 3 Poly 4 Mail 5 0rthom 6 Eisen 7 GMG 50 Nombre d It rations Internes pour le solveur Def 10 O O O 0 P riodicit des Calculs Hydrodynamiques Def Tous les pas Perman R gime Hydrodynamique 0 Transitoire 1 Permanent x Unit s des donn es kkk SEC Unit des Dur es Hydroclimatiques SEC MIN HEU JOU MOI ANN MIN Unit de Temps des Pas de mod le SEC MIN HEU JOU MOI ANN Unit des Coordonn es Horizontales des mailles en m Q 3 Coefficient d Anisotropie Verticale Kv Kh des Perm abilit s Coefficient d Anisotropie Horizontale Kx Ky des Perm abilit s Emmag Captif lus 0 Hydrog 1 Sp cif 2 Comprs 9999 Ttes ches Unit des Salinit s Concentr_Dense Eau Douce 0 en kg m3 Unit des Concentrations en kg m3 Unit des Porosit s Teneurs en Eau en le 2 si en Unit des Stocks d eau en m3 Unit des Mass
38. al une masse de solution de 1035 kg dans un volume de 1 0098 m3 d o une masse volumique gale 1035 1 0098 1025 kg m8 3 4 PRESSION Dans le mod le au lieu des pressions p dont l unit l gale est le Pascal Pa N m on utilise les pressions h exprim es en hauteur d eau douce quivalente la temp rature de r f rence variable PRESSION d extension de fichier press On utilise donc la relation h p Po 9 avec h Pression en hauteur d eau douce hors pression atmosph rique m p Pression r elle Pa Po Masse volumique de l eau douce la temp rature de r f rence 1000 kg m g Acc l ration de la pesanteur 9 81 m s Paris On a alors la relation num rique en unit s S I h 1 019 104 p Par souci de concision on utilise dans le mod le le mot pression pour d signer pression en m tres d eau douce L unit utilisateur de pression est l unit utilisateur de charge qui est aussi celle des altitudes 18 Rapport BRGM RP 55871 FR Rapport final coulements densit variable 3 5 CHARGE D EAU DOUCE C est l altitude Ha de l eau dans la colonne d eau douce qui quilibre la pression mesur e l altitude z C est l altitude de l eau douce qu on observerait dans un pi zom tre ponctuel cr pin l altitude z et rempli artificiellement par de l eau douce Hdg h z avec Hg Charge d eau douce m h Pression en m tre d eau douce m z Altitude o
39. alinit nettement plus rapide dans le chenal Rapport BRGM RP 55871 FR Rapport final 65 coulements densit variable Y im 0 20 yo 60 80 100 120 140 160 180 200 X Um Fig 13 coulement monocouche horizontal en pr sence d un chenal Salinit calcul e apr s 80 mn avec effets de densit Y m 20 yo 60 80 100 120 140 160 180 200 X im Fig 14 coulement monocouche horizontal en pr sence d un chenal Salinit calcul e sans effets de densit 6 5 EXEMPLE D APPLICATION N5 RETOUR L QUILIBRE DANS UN TUBE EN U EN REGIME TRANSITOIRE 6 5 1 But de l exemple n 5 Cet exemple monodimensionnel compare les r sultats du mod le MARTHE en r gime transitoire une solution analytique sans diffusion Henry 1962 cit e par Pinder et Cooper 1970 66 Rapport BRGM RP 55871 FR Rapport final coulements densit variable 6 5 2 Description de l exemple n 5 Il s agit d un tube en U vertical dont on ne mod lise qu une branche de 100 m de haut disons la branche de gauche La branche de droite est remplie d eau sal e jusqu son niveau sup rieur qui est l altitude O o la charge est impos e La branche de gauche celle qui est calcul e pr sente initialement une surcharge d eau douce HO de 2 m Le tube est en quilibre hydrostatique avec donc une interface entre l eau douce et l eau sal e situ e la cote ZI A l instant initial la surcharge d eau douce baisse de DH 1
40. anent 43 5 4 6 Calcul de la salinit transport 43 DITION DES R SULTATS es Re mn 43 5 5 1 Mailles hiSt rnIQUues fine ten te ete 43 Rapport BRGM RP 55871 FR Rapport final coulements densit variable 5 5 2 Champs grilles MARTHE des tats calcul s 44 5 6 CALAGE AUTOMATIQUE tr nano 44 6 V rification du mod le et exemples d applications 45 6 1 EXEMPLE D APPLICATION N 1 BISEAU SAL DE HENRY EN R GIME PERMANENTE se nan an Re A nn de na ans Set nets 45 6 1 1 But de l exemple n 1 2e ns 45 6 1 2 Description de l exemple n 1 45 6 1 3 Param tres du MOd lS 3sr imiiuss penseurs 46 6 1 4 R sultats de la mod lisation snnnseeesseeennnrnneneseerenerrnnrrssrrrrrrren 48 6 1 5 Variante avec une salinit plus forte 52 6 2 EXEMPLE D APPLICATION N 2 BISEAU SAL DE HENRY EN R GIME TRANSITOIRES SSSR USE Rte nr nd nn ru en ne 55 6 2 1 But de l exemple n 2 nine nina 55 6 2 2 Description de l exemple n 2 59 6 2 3 Param tres du mod le 55 6 2 4 R sultats de la mod lisation snnneeeessensnnerneeeserrnrrrnnressrrrrrrren 57 6 3 EXEMPLE D APPLICATION NS3 BISEAU SAL DE HENRY EN R GIME TRANSITOIRE SANS DISPERSION METHODE DES CARACT RISTIQUES 42 RS nue 61 6 3 1 But de l xemMmplens ss Mme R entrent edit 61 6 3 2 Description de l exemple n 3 61 6 3 3 Param
41. ations In Groundwater and saline intrusion 18 SWIM Carthagena 2004 Eds L Araguas E Custodio and M Manzano ISBN 84 7840 588 7 pp 97 110 Vandenbeusch M 1976 Essai et mise en production des aquif res profonds Rapport n 2 Correction de salinit pression et temp rature sur les mesures pi zom triques Rapport BRGM 76 SGN 482 AME 88 Rapport BRGM RP 55871 FR Rapport final hrar pour une Terre durable Centre scientifique et technique Service EAU 3 avenue Claude Guillemin BP 36009 45060 Orl ans Cedex 2 France T l 02 38 64 34 34
42. au cours du pas de temps on a une relation mixte qui d pend de Ss S H h et de la cote du toit de la nappe 4 1 5 Mise en quation En utilisant l expression 6 l quation 1 de conservation des d bits s crit 6 6 XT b h Q 3 T d z z d Vol dt 8 i 1 avec d Vol dt dx dy dz Ss hc hp dt en nappe captive dx dy dz Dimensions de la maille hp Pression au d but du pas de temps dt Dur e du pas de temps i Indice de la valeur pond r e dans la direction i 24 Rapport BRGM RP 55871 FR Rapport final coulements densit variable On obtient ainsi l quation A h A h B E F 9 quation classique terme compl mentaire en pression avec F YT d 7 et E S dx dy hp dt Ai et B tant des constantes avec S Ss dz si la nappe reste captive pendant le pas de temps dt SL dp si la nappe reste libre f Ss S dz dp si la nappe change d tat pendant dt 4 1 6 initialisation des Charges et Pressions Avant calcul on d finit dans le mod le e les salinit s initiales e les charges initiales e les pressions initiales La salinit d finit la densit du fluide Apr s avoir d fini cette densit il est redondant de fixer des valeurs initiales de charges et de pressions qui ne sont pas forc ment coh rentes Un param tre du mod le permet donc de d cider si les valeurs initiales retenir sont les charges initiales ou
43. centr e en fonction de la salinit EE tett 33 Fig 4 Variation de la masse volumique en fonction de la temp rature salinit s 0 35 100 et 200 kg ane nn An ne nr ans 34 Fig 5 Biseau sal de Henry mod lis en coupe salinit s calcul es kg m 50 Fig 6 Biseau sal de Henry mod lis en coupe charges r elles calcul es Cmjersesanir ma nn LA E ge a AA ee PR a ae ae ne R 51 Fig 7 Biseau sal de Henry charge en eau douce calcul es cm 51 Fig 8 Biseau sal de Henry pressions calcul es cm 52 Fig 9 Biseau sal de Henry en r gime transitoire salinit s calcul es apr s 3 mn etapr s 80 MNE RE Sr nn cn Eense reene 60 Fig 10 Biseau sal de Henry en r gime transitoire volution au cours du temps du pied de l interface Comparaison avec des calculs r alis s par Frind 1982 carr s et Galeati et al 1992 triangles 61 Fig 11 Biseau sal de Henry en r gime transitoire sans dispersion salinit calcul e par la m thode MOC apr s 3 mn et apr s 80 Mn sseeeneeeeeeeeeneneeeenenneeeenenn 62 Fig 12 Biseau sal de Henry en r gime transitoire sans dispersion salinit calcul e par la m thode TVD apr s 3 mn et apr s 80 mn 63 Fig 13 coulement monocouche horizontal en pr sence d un chenal Salinit calcul e apr s 80 mn avec effets de densit nnnnennnen rrenen nenene renren ennenen 66 Fig 14 coulement monocouche horizontal
44. d Initialisation xxx Fin du fichier des Param tres G n raux kkk Rapport BRGM RP 55871 FR Rapport final 47 coulements densit variable 6 1 4 R sultats de la mod lisation a R capitulation du couplage Ce tableau r sume la convergence des calculs au cours du couplage Il pr sente les informations suivantes e Col2 Somme des d bits r siduels avant calcul hydrodynamique e Col3 Variation moyenne en valeur absolue de charge e Col4 Variation moyenne en valeur absolue de la salinit e Col5 Variation alg brique moyenne de la salinit e Col6 Variation maximale de charge e Col7 Variation maximale de salinit e Col 8 cart de bilan massique global toutes les 10 it rations la fin de ce tableau appara t la p riode de d croissance pour les derni res it rations si elle est monotone Dans cet exemple on voit que la somme des d bits r siduels est divis e par 2 toutes les 4 7 it rations de couplage Biseau Sal Henry Maillage Fin Permanent Diffusion 6 6E 6 Calcul en Charges d eau douce R capitulation Couplage Variations la Premi re It ration lt Moyenne Mailles gt lt Valeur Maxi gt Num V_Absol V Alg br Cpl Q R si Charge Salinit Salinit Charge Salinit Bil Mas 1 4 97E 04 1 91 3 92 3 70 2 56 25 00 0 00 2 2 54E 03 4 78E 02 2 41 1 10 0 449 17 31 0 00 3 1 82E 03 1 57E 02 1 74 1 07 0 119 15 91 0 00 4 1 37E 03 8 80E 03 1 18 0
45. d p p g Grad z 2 u C est une expression vectorielle qui s applique chacune des 6 directions En utilisant la relation k K u p4 8 qui relie la perm abilit intrins que k la perm abilit l eau douce K appel e aussi conductivit hydraulique l eau douce la loi de Darcy s crit V ES Grad p p g Grad z 3 P 8 En faisant intervenir la pression h en hauteur d eau douce et la densit relative d on obtient K Gradh d Grad z 4 22 Rapport BRGM RP 55871 FR Rapport final coulements densit variable Soient 2 mailles adjacentes la maille de calcul indice c et la maille voisine indice v La vitesse de Darcy Vy et le d bit Qyo chang de la maille v vers la maille c s crivent Vy Kve hy he duc Zy Ze dXve 5 Qve Tyc hy he dvc Zv Zo 6 avec Kyo Perm abilit d change entre les 2 mailles Tyc Coefficient d change entre les 2 mailles dyc Densit relative moyenne entre des mailles dx Largeur de la maille centrale dxy Largeur de la maille voisine dxyc Distance entre les centres des mailles dx dxc 2 Coefficient d change pour le calcul du d bit chang entre 2 mailles Plusieurs choix de pond ration sont possibles pour le calcul du coefficient d change Tvc entre les 2 mailles une pond ration harmonique une pond ration g om trique ou une pond ration amont Par exemple soit une mail
46. de 200 cm au lieu de 100 cm Un d bit d eau sal e arrive par la gauche sur toute la largeur Ce d bit est gal 260 107 m s par m d ordonn e et par m tre d paisseur d aquif re soit un d bit total de 286 107 m s Les calculs sont r alis s en r gime transitoire le transport est calcul en r gime transitoire mais les calculs hydrodynamiques sont r alis s en r gime permanent La simulation est r alis e pendant 15 pas de temps de dur es croissantes qui repr sentent une dur e cumul e gale 80 minutes Les param tres hydrodynamiques et le maillage sont identiques ceux de l exemple 1 mais l aquif re est horizontal au lieu d tre en coupe verticale La condition limite est aval est charge impos e Sa salinit ext rieure est gale 0 mais cette salinit ne joue pas Le syst me est initialement rempli d eau douce salinit 0 L eau sal e inject e gauche se propage et tant plus dense s accumule dans le chenal 6 4 3 Param tres du mod le a Description des param tres Couplage lt rations de couplage 15 Sous relaxation de couplage 1 Hydrodynamique R gime Permanent M thode Gradients Conjugu s en charges d eau douce Nombre maximal d it rations 3 chaque pas de temps Nombre d it rations internes 50 Transport R gime Transitoire M thode de calcul Diff rences Finies R solution matricielle solveur Orthomin Nombre maximal d it rations Valeur par d
47. e Relaxation pour Sorption Langmuir Freundlich Def 1 Sch ma TVD Complet 0 All g Standard Rapide 1 Complet O O O O O O O O O O Rapport BRGM RP 55871 FR Rapport final 81 coulements densit variable 0 Rapport Dispersiv Transvers Vertic Dispersiv Transv Horiz x Densit kkk Douce Effet de la Densit 0 Non 1 Charge 2 Pression 3 Charge Douce Schlum Loi Densit Salinit 0 Non 1 Lin aire 3 Schlum VDB 0 D riv e de la loi Densit Salinit si loi Lin aire Def 0 7 0 Masse de chaque Particule de Salinit si particules 0 Variation moy de Salinit entre 2 it rat pour converg Transit R gime Transport Salinit 0 Transitoire 1 Permanent Nombre maxi possible de Particules MOC ou R W Def 30000 Dur e lt gt Permanent si transport MOC ou R W en Perma Def 0 Coefficient de retard Si pas ZNS Def 1 Temps de Demi D gradation unit de temps Def 0 O O O 0 Calcul de la Salinit Concen_Dense Transport x Initialisation avant calculs kF POROSITE SEMIS N 35 SALINITE SEMIS N 0 SALINITE MAILL C 39 41 L 1P 11V 30 SALINITE MAILL C 38 41 L 1P 12V 30 SALINITE MAILL C 37 41 L 1P 13V 30 SALINITE MAILL C 36 41 L 1P 14V 30 SALINITE MAILL C 35 41 L 1P 15V 30 SALINITE MAILL C 34 41 L 1P 16v 30 SALINITE MAILL C 33 41 L 1P 17V 30 SALINITE MAILL C 31 41 L 1P 18V 30 SALINITE MAILL C 29
48. e aquif re que pr c demment mais les calculs sont r alis s en r gime transitoire Le transport est calcul en r gime transitoire En revanche les calculs hydrodynamiques sont r alis s en r gime permanent puisque le syst me tant captif les coefficients d emmagasinement captifs sont n gligeables La simulation est r alis e pendant 15 pas de temps de dur es croissantes qui repr sentent une dur e cumul e gale 80 minutes Les param tres hydrodynamiques le maillage et les conditions aux limites sont identiques ceux de l exemple pr c dent Les conditions initiales sont identiques c est dire que le syst me est initialement rempli d eau douce Un biseau sal se d veloppe progressivement vers la gauche 6 2 3 Param tres du mod le a Description des param tres Couplage lt rations de couplage 15 Sous relaxation de couplage 1 Hydrodynamique R gime Permanent M thode Gradients Conjugu s en charges d eau douce Nombre maximal d it rations 3 chaque pas de temps Nombre d it rations internes 50 Rapport BRGM RP 55871 FR Rapport final 55 coulements densit variable Transport R gime Transitoire M thode de calcul Diff rences Finies R solution matricielle solveur Orthomin Nombre maximal d it rations valeur par d faut 20 it rations b Extrait du Fichier des Param tres du mod le On pr sente ci dessous un extrait du fichier des param tres de
49. e champ Dans un sch ma sans prise en compte du champ de salinit il n est pas possible avec le mod le MARTHE de fixer dans des conditions aux limites en pression Des conditions aux limites en pression pourraient cependant tre utiles par exemple dans un syst me de galeries la pression atmosph rique Un calcul hydrodynamique avec prise en compte des effets de la densit sans calcul de la salinit peut tre une mani re d tourn e d introduire des conditions initiales ou des conditions limites en pression 6 8 2 Description de l exemple n 8 Il s agit du m me syst me en coupe que dans l exemple n 1 le biseau sal de Henry en r gime permanent La salinit est suppos e connue On lui donne une r partition approximation triangulaire un peu similaire un biseau sal e Pour illustrer l utilisation d une autre loi c est la relation de Schlumberger qui a t choisie pour relier la densit la salinit Les param tres hydrodynamiques sont les suivants Loi de densit Relation de Schlumberger Vandenbeusch 1976 r vis e 80 Rapport BRGM RP 55871 FR Rapport final coulements densit variable Conditions aux limites Limite ouest D bit d eau douce 33 1077 m3 s sur chaque maille Limite est Charge impos e 0 sur chaque maille tat initial Salinit 0 partout sauf 30 kg m dans un triangle situ l est Hydrodynamique Charges 0 partout 6 8 3 Param tres du mod le a Desc
50. e en kg m8 d ion CI a sera de l ordre de 1 15 ou bien de 1 15 105 si la salinit est exprim e en mg l d ion CI Si on consid re un fluide plus l ger que l eau par exemple un fluide chaud on pourra avoir une d riv e a n gative par exemple a 2 p 1000 2 C gt p 800 kg m3 pour une salinit de 100 unit s de salinit 5 4 4 Variation moyenne de salinit entre 2 it rations pour accepter la convergence Voir le chapitre ou le rapport d crivant le transport de masse classique C est le crit re de convergence pour les calculs de salinit au sein d une it ration de couplage Un ordre de grandeur pour ce param tre est d environ 107 fois la salinit moyenne du champ tudi Par d faut ce param tre a pour valeur 1078 unit s de salinit N B Ce param tre n est pas utilis si on choisit un calcul de transport par la m thode Random Walk d conseill e 42 Rapport BRGM RP 55871 FR Rapport final coulements densit variable 5 4 5 R gime de transport de la salinit Transitoire ou Permanent Voir le chapitre ou le rapport d crivant le transport de masse classique Transit ou 0 Transport de la salinit en r gime Transitoire Perman ou1 Transport de la salinit en r gime Permanent Donc par d faut le transport se fait en r gime Transitoire 5 4 6 Calcul de la salinit transport C est ce param tre qui permet de demander un calcul de la salinit par r solution de l qua
51. ence Transit R gime Transport Salinit 0 Transitoire 1 Permanent P 0 Nombre maxi possible de Particules MOC ou R W Def 30000 P 0 Dur e lt gt Permanent si transport MOC ou R W en Perma Def 0 0 Coefficient de retard Si pas ZNS Def 1 0 Temps de Demi D gradation unit de temps Def 0 1 Calcul de la Salinit Concen_Dense Transport N B Les param tres marqu s P ne concernent que les sch mas de transport faisant intervenir des Particules MOC ou Random Walk 5 4 1 Effet de la densit Il faut donner ce param tre la valeur suivante O pas de prise en compte de la densit calcul standard des charges 1 prise en compte de la densit R solution en Charges r elles conseill 2 prise en compte de la densit R solution en Pression d conseill 3 prise en compte de la densit R solution en Charges d eau douce Il convient de noter que si on donne une valeur positive ce param tre il y aura prise en compte des effets de la densit r sultant de la salinit initiale lue par le mod le mais pas forc ment calcul de la salinit Le calcul de la salinit est choisi par le param tre n 11 de ce paragraphe de param tres 5 4 2 Loi reliant la masse volumique du fluide La salinit 0 1 Pas de d pendance D pendance lin aire p 1000 a C a est d fini par le param tre suivant 3 Relation Schlumberger Vandenbeusch 1976 r vis e valable j
52. ent Pr liminaire avant transitoire Def 0 Sauvegarde des positions de Particules en fin de calcul Lecture d un fichier de Position Initiales des Particules Nombre de Sous Pas pour les Particules R W Def 1 M thode de r flection des Particules R W 0 Non 1 Ito Affichage des Bilans Massiques Cumul s 0 Oui 1 Non Solveur pour calculs de Transport 1 Orthomin 2 It rat Omission des Termes Diago en Dif Finies 0 Complet 1 Omiss t kkk Douce Effet de la Densit 0 Non 1 Charge 2 Pression 3 Charge Douce 1 Loi Densit Salinit 0 Non 1 Lin aire 3 Schlum_VDB 1 D riv e de la loi Densit Salinit si loi Lin aire Def 0 7 0 Masse de chaque Particule de Salinit si particules le 4 Variation moy de Salinit entre 2 it rat pour converg Perman R gime Transport Salinit 0 Transitoire 1 Permanent 0 Nombre maxi possible de Particules MOC ou R W Def 30000 0 Dur e lt gt Permanent si transport MOC ou R W en Perma Def 0 0 Coefficient de retard Si pas ZNS Def 1 0 Temps de Demi D gradation unit de temps Def 0 1 Calcul de la Salinit Concen_Dense Transport Initialisation avant calculs E POROSITE SEMIS N 35 CHARGE SEMIS N 0 SALINITE MAILL C 41L 1P XV 25 SALIN EXT MAILL C 11L 1P XV 0 SALIN EXT MAILL C 41L 1P XV 25 CHARGE SEMIS N 0 DEBIT MAILL C 11L 1P XV 33 DEBIT MAILL C 41L 1P XV 9999 xkkkk xkkk Fin
53. ent des charges et des pressions 36 5 Description d taill e des param tres relatifs la prise en compte des effets de la densit Sair sienne a tenaient entente les le 37 5 1 UNIT S DES DONN ES Sense nu ti de 37 5144 Unit des SAINS Lannion 37 5 1 2 Unit des porosit s et teneurs en eau 37 5 1 3 Unit des masses 38 5 2 POINT ORIGINE ET TAT DES DONN ES rer 38 52 f gt dt INRA den ne drone 38 5 37 COUPLAGE ET FRANSPORT 2 Sn ne te 39 5 3 1 Nombre maximal d it rations pour le couplage ssssssesseeeeeeee 39 5 4 5 5 5 3 2 Coefficient de relaxation pour le couplage Densit Pression Chaleur40 5 3 3 Diffusion mol culaire 40 5 3 4 Dispersivit longitudinale 40 5 3 5 Dispersivit transversale ssssessesesseseeerrnerrsserrrrrnnrrssrrrrrrrnneeseet 40 DENSITE aa asr te de 41 5 4 1 Effet de la densit nnnnsneeneekrrrrttrrrtrrrrtrrtrttttttttttttttrttErrEErEE EEn 41 5 4 2 Loi reliant la masse volumique du fluide La salinit 0002 41 5 4 8 D riv e Masse Volumique du fluide Salinit 0000nnnnneeean 42 5 4 4 Variation moyenne de salinit entre 2 it rations pour accepter la CONVErdenCe sr igei rnea eei den ee need Pate nettes des 42 5 4 5 R gime de transport de la salinit Transitoire ou Perm
54. es Les colonnes ont toutes 20m de dimension Les lignes ont des hauteurs variables croissantes de 1m en haut et en bas jusqu 8 m pour les 27 lignes centrales 74 Rapport BRGM RP 55871 FR Rapport final coulements densit variable Loi de densit Loi lin aire p 1000 1 C Salinit maximale 200 kg m soit une densit de 1 2 Conditions aux limites Limite Haut Salinit ext rieure 0 Salinit 0 impos e de x 0 m x 200 m Pression impos e 10 5 Pa l Ouest gt 0 Pa l est Limite Bas Charges limite tanche Salinit impos e 200 kg m8 de x 300 x 600 Pour le sch ma avec faible dispersion on a divis par 100 les perm abilit s dans la zone salinit impos e pour ne pas avoir d entra nement par convection 6 6 3 Param tres du mod le Couplage e Forte diffusion lt rations de couplage 240 Sous relaxation de couplage 0 1 M thode de r solution En charges r elles e Faible dispersion lt rations de couplage 160 Sous relaxation de couplage 0 02 M thode de r solution En charges d eau douce N B On remarque un nombre d it rations de couplage beaucoup grands que dans les exemples pr c dents d une part puisque le calcul est en r gime permanent mais surtout parce que les densit s de 1 2 induisent un tr s fort couplage ce qui n tait pas le cas avec les densit s de 1 025 pour l eau de mer des autres exemples Hydrodynamique R g
55. es D bits en m3 s kg s si Gaz 0 Unit des Charges Altitudes enm 0 Unit des Emmagasinements Captifs en ou 1 m 0 Unit des Emmagasinements Libres en 0 Unit des Hauteurs Hydroclimat Pluie ETP Infiltrat en mm 0 Unit des Hauteurs d Exc dent Irrigation en mm MOI Unit des Dur es Hydroclimatiques SEC MIN HEU JOU MOI ANN JOU Unit de Temps des Pas de mod le SEC MIN HEU JOU MOI ANN Unit des Coordonn es Horizontales des mailles en m Coefficient d Anisotropie Verticale Kv Kh des Perm abilit s Coefficient d Anisotropie Horizontale Kx Ky des Perm abilit s Emm Captif lus 0 Hydrog 1 Sp cif 2 Comprs 9999 Ttes cches Unit des Salinit s Concentr Dense Eau Douce 0 en kg m3 Unit des Concentrations en kg m3 Unit des Porosit s Teneurs en Eau en le 2 si en Unit des Stocks d eau en m3 Unit des Masses en kg Type de Perm ab 0 Def Perm ab l eau 1 Perm ab intrins Unit des Volu pour Concen Chimiques Def 1 1000 litre l V O O O O O O O OOOO Type de D bits Mass et d nergie lus Def par maille m2 par m2 v On d crit ici uniquement les param tres n cessaires la prise en compte des effets de densit 5 1 1 Unit des salinit s C est l unit de concentration volumique de solut dense 5 1 2 Unit des porosit s et teneurs en eau Voir le rapport d crivant le transport de masse classique
56. es en kg Type de Perm ab 0 Def Perm ab l eau 1 Perm ab intrins O O Q O oOoOoOoOOO Unit des Volumes pour Concen Chimiques Def 1 1000 litre oO Type de D bits Mass et d nergie lus Def par maille m2 par m2 xxx Couplage et Transport Densit chaleur concentr x 15 Nombre maximal d It rations pour Couplage Densit Pression 0 Coef de Relaxation pour Couplage Densit Pression Def 1 0 Nombre max d It rat Transport Densit Chaleur Conc Def 20 DF Sch ma de Transport 0 D_Finies 1 Rand W 2 Caract MOC 3 TVD 56 Rapport BRGM RP 55871 FR Rapport final coulements densit variable 0 l M l O I Diffusion mol culaire m2 s Spatialis e Dispersivit Longitudinale m Spatialis e Dispersivit Transversale m Spatialis e Transport Permanent Pr liminaire avant transitoire Def 0 Sauvegarde des positions de Particules en fin de calcul Lecture d un fichier de Position Initiales des Particules Nombre de Sous Pas pour les Particules R W Def 1 M thode de r flection des Particules R W 0 Non 1 Ito Affichage des Bilans Massiques Cumul s 0 0ui 1 Non Eene O Solveur pour calculs de Transport 1 Orthomin 2 It rat 0 Omission des Termes Diago en Dif Finies 0 Complet 1 Omiss x Densit EER Douce Effet de la Densit 0 Non 1 Charge 2 Pression 3 Charge Douce Lin Loi Densit Salinit
57. eur de la salinit On lui indique donc par ce param tre s il faut retenir la charge r elle cas g n ral ou la pression en hauteur d eau douce 0 le mod le retient la charge r elle H Il en d duit la pression h 1 le mod le retient la pression h Il en d duit la charge r elle H chaque fois que c est possible il est conseill de choisir une initialisation en charge valeur par d faut 38 Rapport BRGM RP 55871 FR Rapport final coulements densit variable 5 3 COUPLAGE ET TRANSPORT Couplage et Transport Densit chaleur concentr gt 15 Nombre maximal d It rations pour Couplage Densit Pression Coef de Relaxation pour Couplage Densit Pression Def 1 Nbre max d It rat Transport Densit Chaleur Conc Def 20 Sch ma de Transport 0 D_Finies 1 Rand W 2 Carac MOC 3 TVD Diffusion mol culaire m2 s Spatialis e Dispersivit Longitudinale m Spatialis e Dispersivit Transversale m Spatialis e Transport Permanent Pr liminaire avant transitoire Def 0 dition des posit de Particules en fin de calcul 1 Bin Lecture d un fichier de Position Initiales des Particules Nombre de Sous Pas pour les Particules R W Def 1 M thode de r flection des Particules R W 0 Non 1 Ito Affichage des Bilans Massiques Cumul s 0 0ui 1 Non Solveur calcul de Transport 1 0ORTHOMIN 2 It r Def 1 Omission des Termes Diago en D
58. face sur 3 modules logarithmiques du temps La figure 16 pr sente l volution du d bit d eau sal e entrant en bas de la colonne et d eau douce sortant par le haut La comparaison avec la solution analytique de Henry 1962 symboles montre que la simulation avec le mod le MARTHE trait continu est extr mement pr cise La comparaison des profils de salinit non repr sent e montre une assez forte dispersion num rique ce qui est in vitable avec le sch ma de transport en diff rences finies amont sch ma donnor cell En effet le nombre de P clet est infini puisque la dispersion et la dispersivit s sont gales 0 Les figures 17 et 18 pr sentent les r sultats des calculs obtenus avec la m thode MOC La figure 17 pr sente l volution des charges la profondeur 38 5 m La figure 18 pr sente l volution de la salinit au m me point La comparaison avec la solution analytique trait continu montre que la simulation avec le mod le MARTHE trait interrompu est extr mement pr cise et ne pr sente absolument aucune dispersion num rique Dans cet exemple les calculs par la m thode MOC d butent avec 17000 particules et se terminent avec 66000 particules Si le nombre de particules est significativement r duit la simulation fait appara tre beaucoup plus de fluctuations autour de la solution analytique 70 Rapport BRGM RP 55871 FR Rapport final coulements densit variable Interface Altit
59. ificielle soit par des limites potentiel impos variable SALIN_ EXT d extension de fichier salext Il est ainsi possible de simuler une injection d un fluide plus dense que l eau pure eau sal e ou moins dense eau chaude par exemple 3 8 SALINIT DE LA RECHARGE C est la salinit kg m3 de la recharge de l aquif re variable SALIN RECH Dans le mod le elle ne concerne que la recharge par les pr cipitations Elle ne s applique pas aux flux d exc s d irrigation 20 Rapport BRGM RP 55871 FR Rapport final coulements densit variable 4 Principes des calculs Les lois de l hydrodynamique appliqu es un fluide incompressible consistent crire 2 lois de conservation e conservation du d bit de fluide de densit variable e conservation de la masse de solut quation du transport par Convection Dispersion Les calculs sont donc r alis s en 2 tapes successives Dans un premier temps on suppose qu on conna t en chaque point une premi re estimation de la salinit et donc de la masse volumique du fluide et on calcule les charges qui en r sultent partir des gradients de charge on d termine les vitesses d coulement A partir de ces vitesses on r sout l quation de Convection Dispersion pour obtenir une meilleure estimation des salinit s Et on it re sur et 4 1 CALCUL DES CHARGES HYDRAULIQUES On suppose qu ce stade on conna t en chaque point la masse vol
60. ime Permanent M thode Gradients Conjugu s Nombre maximal d it rations 3 chaque pas de temps Nombre d it rations internes 50 Rapport BRGM RP 55871 FR Rapport final 75 coulements densit variable Transport R gime Permanent M thode de calcul Diff rences Finies R solution matricielle solveur Orthomin Nombre maximal d it rations d faut 60 it rations 6 6 4 R sultats de la mod lisation e Forte diffusion Les calculs en r gime permanent convergent parfaitement le flux massique sortant du syst me est gal 4 66 1074 kg s par m de tranche de coupe e Faible dispersion Les calculs en r gime permanent convergent un peu plus difficilement Avec les param tres choisis le bilan global est obtenu 1 1 pr s Le flux massique sortant est gal 5 43 1074 kg s par m de tranche de coupe Les figures 21 et 22 pr sentent le profil de salinit calcul e Les isovaleurs sont norm es par rapport la salinit maximale c est dire que l isovaleur 0 2 correspond une salinit de 40 kg m La figure 21 correspond au sch ma avec une forte diffusion Les salinit s calcul es avec le code MARTHE trait continu sont compar es celles obtenues traits interrompus par Herbert 1988 avec une m thode totalement diff rente Il appara t que la correspondance entre les deux simulations est tr s bonne Cette figure montre que l coulement fait appara tre deux cellules de co
61. is l action DITION On obtient la grille des d bits massiques chang s par les limites ils correspondent ceux obtenus avec la variable QMASS CONC dans les calculs de transports classiques Ces d bits massiques sont dit s dans le fichier de nom debmas out Ils sont exprim s en unit de masse par unit de temps 5 6 CALAGE AUTOMATIQUE Il est possible de faire un calage automatique en utilisant des observations sous forme e de grilles MARTHE d observations de salinit e _d historiques d observations de salinit e _ d historiques d observations de salinit sortantes Tous les param tres qui ont une influence sur ces variables peuvent tre optimis s perm abilit s porosit s dispersivit s etc 44 Rapport BRGM RP 55871 FR Rapport final coulements densit variable 6 V rification du mod le et exemples d applications 6 1 EXEMPLE D APPLICATION N 1 BISEAU SAL DE HENRY EN REGIME PERMANENT 6 1 1 But de l exemple n 1 Cet exemple classique illustre le d roulement du calcul coupl en r gime permanent en coupe verticale pour simuler un biseau sal 6 1 2 Description de l exemple n 1 Il s agit d un syst me aquif re horizontal de 200 cm de large sur 100 cm de haut mod lis en coupe verticale La mer est situ e sur la limite droite et un d bit d eau douce de 660 10 7 m s par m d paisseur de coupe arrive par la limite gauche Les param tres hydrodynamiques sont les
62. isation par la m thode TVD adapt aux syst mes peu dispersifs Hydrodynamique R gime Permanent M thode Gradients Conjugu s en charge d eau douce Nombre maximal d it rations 3 chaque pas de temps Nombre d it rations internes 50 a Description des param tres Diff rences Finies Couplage lt rations de couplage Sous relaxation de couplage 0 6 Transport R gime Transitoire Nombre de sous pas de calcul 0 M thode de calcul Diff rences Finies R solution matricielle solveur Orthomin Nombre maximal d it rations d faut 20 it rations b Description des param tres M thode MOC Couplage lt rations de couplage 1 Il Sous relaxation de couplage Transport R gime Transitoire Nombre de sous pas de calcul 4 M thode MOC Masse d une particule 0 003 kg Rapport BRGM RP 55871 FR Rapport final 69 coulements densit variable c Description des param tres M thode TVD Couplage lt rations de couplage _ 5 Sous relaxation de couplage 1 Transport R gime Transitoire Nombre de sous pas de calcul 4 M thode de calcul TVD R solution matricielle solveur Orthomin Nombre maximal d it rations Valeur par d faut 20 it rations 6 5 4 R sultats de la mod lisation Les figures 15 et 16 pr sentent les r sultats des calculs obtenus avec la m thode des Diff rences Finies La figure 15 pr sente l volution de la position de l inter
63. it d ajouter l altitude aux pressions impos es pour obtenir les charges d eau douce impos es Apr s r solution on obtient le champ de charges d eau douces Hg que le mod le transforme en charges r elles H par H Hg d z 1 1 d Le mod le utilise alors ces charges H pour v rifier les d noyages et les d bordements C est ce sch ma de r solution qui est conseill Il peut toujours tre utilis sauf dans le cas d un syst me pr sentant en certaines mailles la condition limite suivante Charge r elle impos e mais salinit non impos e d Choix du mode de r solution Quel que soit le mode de r solution choisi les r sultats sont du m me ordre mais les r sultats obtenus par un calcul en charge ou en charge d eau douce sont plus pr cis En particulier les bilans de d bits chang s sont am lior s Il y a cependant quelques diff rences d interpr tation e _Potentiels impos s Selon le mode de r solution le potentiel correspondant charge charge d eau douce pression est impos dans les mailles potentiel impos Nous employons ici le terme de potentiel pour d signer la charge la charge d eau douce ou la pression bien qu il ne s agisse pas proprement parler d un potentiel d o d riveraient les vitesses En fait les mailles potentiel impos d signent les mailles dans lesquelles une charge ou une pression est impos e e Zone quipotentielles 28 Rapport BRGM RP 55871
64. kg m3 Masse volumique kg m3 Fig 1 Masse volumique d une solution saline 15 C en fonction de la salinit concentration volumique en sel 32 Rapport BRGM RP 55871 FR Rapport final coulements densit variable D riv e d_Rho d_Salinit 15 d_Rho d Salinit 20 30 Salinit kg m3 Fig 2 D riv e de la masse volumique par rapport la salinit concentration en sel Masse volumique 15 Masse volumique kg m3 100 150 200 Salinit kg NaCI m3 Fig 3 Masse volumique 15 d une solution saline fortement concentr e en fonction de la salinit Rapport BRGM RP 55871 FR Rapport final 33 coulements densit variable Masse volumique f Temp rature 1150 1125 1100 1075 1050 1025 1000 950 0 20 40 60 80 100 Masse volumique kg m3 Temp rature C Fig 4 Variation de la masse volumique en fonction de la temp rature salinit s 0 35 100 et 200 kg m 4 5 2 N cessit du couplage La salinit d o la masse volumique et la densit est calcul e par l quation du transfert de masse Cette quation 19 fait intervenir les d bits d changes Qi entre mailles Or ces d bits d changes sont calcul s par la loi de Darcy donn e par la relation 2 qui d pend elle m me des densit s Pour tenir compte de ce couplage on a
65. le voisine situ e l ouest de la maille de calcul En choisissant une pond ration harmonique et en prenant en compte les paisseurs mouill es dzy et dze dans chacune des mailles et la largeur dyc commune aux 2 mailles on obtient la transmissivit quivalente Tequiv entre les 2 mailles par la relation classique dx 2 dx dx dx _ 2dx K dz K dz e s c equiv Le coefficient d change Tyc Tequiv dYc dxyc est alors donn par Tve 2 dy Ko Kv dzc dzv Ke dxv dze Ky dx dzy 7 Densit moyenne pour le calcul du d bit chang entre 2 mailles On peut montrer facilement que pour respecter un quilibre hydrostatique sur la verticale la densit relative d prendre en compte pour les changes est la moyenne arithm tique pond r e des 2 densit s voisines dy et de Rapport BRGM RP 55871 FR Rapport final 23 coulements densit variable 4 1 4 Terme de stockage Il faut donc relier la variation de volume stock la variation de pression h Soit Vol le volume d eau dans une maille et Surf l aire horizontale de la maille En nappe captive on a d Vol _ S dh Vol avec S Coefficient d emmagasinement sp cifique m dh Variation de pression au cours du temps En nappe libre on a d Vol S dH Surf avec H Hauteur d eau r elle dans la maille charge r elle m S Coefficient d emmagasinement en nappe libre Si l tat de la nappe change
66. les pressions initiale La deuxi me variable pression si on a retenu la charge ou charge si on a retenu la pression est alors calcul e par H z h d ou h H z d Les charges et les pressions sont alors au pair compte tenu de la densit Quel que soit le mode de r solution le potentiel correspondant charge pression est impos dans les mailles potentiel impos et les r sultats obtenus ne d pendent pas de ce choix Il est conseill chaque fois que c est possible de choisir une initialisation en charge plut t qu en pression Rapport BRGM RP 55871 FR Rapport final 25 coulements densit variable 4 1 7 R solution du syst me d quations a R solution en pression Ce syst me d quations crit en pression se r sout facilement par la m thode des gradients conjugu s Ce syst me est cependant mal conditionn En cons quence sa r solution peut poser quelques probl mes num riques surtout dans une impl mentation en simple pr cision En effet dans un sch ma d coulement classique la charge est souvent quasi constante sur la verticale La pression en revanche cro t lin airement avec la profondeur Par exemple si on a une variation de 1 m de charge sur 1 000 m tres d paisseur d aquif re ce qui est r aliste une erreur relative de 10 sur la pression du fond soit une erreur 10 m tre induit une erreur de charge de 10 m tre qui est gale 10 de la diff rence de charge Une telle erre
67. mique en permanent compte tenu des faibles coefficients d emmagasinement captifs 4 5 COUPLAGE 4 5 1 Relation entre la salinit et la densit La densit du fluide est calcul e partir de la salinit C suivant une relation lin aire ou non p f C T avec Rapport BRGM RP 55871 FR Rapport final 31 coulements densit variable C Salinit concentration en solut en kg m8 kg de solut par m de solution p Masse volumique du fluide en kg m8 T Temp rature locale du fluide Parmi les lois classiques on admet g n ralement pour l eau sal e temp rature T constante une loi lin aire en fonction de la salinit p 1000 a c avec a 0 70 environ si C est exprim en kg m8 de NaCl Si C est exprim en kg m3 d ion CF a sera gal environ 1 15 Pour un fluide plus l ger que l eau a peut tre n gatif on peut aussi utiliser la relation Schlumberger d crite par Vandenbeusch 1976 r vis e valable jusqu une concentration en NaCI de plus de 250 kg m p 1000 1 C a C b avec a 0 5677 b 1341 3 Pour d autres solut s que le sel on pourrait avoir des lois du m me type mais avec d autres coefficients En cas de prise en compte des effets de la temp rature d autres lois de type p f C T sont disponibles voir les figures 1 4 Masse volumique 15 1035 1030 1025 1020 1015 1010 1005 1000 995 T T T 0 10 20 30 40 50 Salinit
68. n m lang La variable SALIN_ EXT correspond la variable CONCEN EXT concentration ext rieure du transport de masse classique e _ Salinit de l infiltration par les pr cipitations C est la salinit dans le flux d infiltration ou de recharge dans les zones o elle est positive Cette variable not e SALIN RECH correspond la variable CONCEN RECH concentration dans la pluie du transport de masse classique e Flux massique impos Variable QMASS _SALIN d extension de fichier qmas_s Cette variable correspond la variable QMASS CONC du transport de masse classique Le flux massique est exprim en masse par unit de temps M T Dans le code MARTHE il est donn par d faut en unit utilisateur de masse par unit utilisateur de temps est cependant possible par une option dans le paragraphe unit s de donner ce flux massique en unit de masse par unit de temps et par m tre carr de surface de maille perpendiculaire la pesanteur e Injection instantan e de masse dense Dirac C est un apport instantan de masse dense sous forme d un Dirac variable MASS_SALIN d extension de fichier msali Cette variable correspond la variable MASS CONCEN du transport de masse classique Dans le code MARTHE cette injection de masse est donn e en unit utilisateur de masse est cependant possible par une option dans le paragraphe 30 Rapport BRGM RP 55871 FR Rapport final coulemen
69. nit s donc indirectement aux densit s On utilise la relation Ck Ck 1 Ro C Ck 1 avec Ck4 Salinit l it ration pr c dente k 1 C Nouvelle salinit calcul e par l quation du transport de masse Ck Salinit actualis e l it ration k Rc Coefficient de relaxation sur le couplage lt 1 Les calculs sont d autant plus stabilis s et ralentis que Rc est petit si Re 1 il n y a aucune stabilisation si Re 0 les densit s ne sont plus actualis es Le nombre d it rations de couplage devra naturellement tre augment si on utilise un coefficient Rc tr s inf rieur 1 Le nombre d it rations de couplage devra au moins tre gal Nc d fini par Nc 1 7 Log40 1 Ro Ceci conduit aux valeurs suivantes Coefficient de Relaxation 0 7 0 5 0 3 0 1 0 05 0 01 Nombre min d it rations 3 6 11 37 76 390 La valeur du coefficient de relaxation de couplage choisir d pend de la sensibilit du syst me la densit En effet si on crit la loi de Darcy en fonction des charges quivalentes en eau douce Ha les relations 4 16 et 17 permettent d obtenir K Grad Hg z d Grad z soit sous forme adimensionnelle V K Grad Hg d 1 Grad z a a l vitesse due vitesse due au gradientde l effet de charge douce densit Rapport BRGM RP 55871 FR Rapport final 35 coulements densit variable Le coefficient de relaxation devra donc
70. nt parfois le terme de densit au lieu de salinit e La salinit de l eau pure est gale 0 e La salinit de l eau de mer est voisine de 35 kg m3 de NaCl dans l Atlantique et de l ordre de 10 kg m8 dans la mer Baltique Il est possible galement d utiliser comme salinit la concentration en un ion au lieu de la concentration en solut On pourra par exemple dans le cas d une eau sal e utiliser la concentration en Cl au lieu de la concentration en NaCl Il faudra alors en tenir compte pour le calcul de la masse volumique du fluide 3 3 DENSIT RELATIVE C est le rapport d de la masse volumique p du fluide la masse volumique p de l eau pure douce une temp rature de r f rence 15 C environ d p pQ sans dimension Rapport BRGM RP 55871 FR Rapport final 17 coulements densit variable Compte tenu de la masse atomique du NaCl de 58 45 g et du volume du sel NaCl dissout de l ordre de 16 3 cm mole on obtient g n ralement les valeurs suivantes dans l eau de mer Atlantique e Salinit 35 kg m3 e Masse volumique de l eau de mer 1 025 kg m8 e Densit relative 1 025 En effet consid rons un volume de 1 m3 d eau pure de masse 1000 kg On lui ajoute 35 kg de sel solide soit 35000 58 45 moles Le volume occup par le sel en solution ajout est gal environ 16 3 cm3 mole d o un volume total de 1 35000 58 45 x 16 3 10 m soit 1 0098 m3 On a donc au tot
71. nvection tournant en sens oppos s La figure 22 correspond au sch ma avec une faible dispersion Les salinit s calcul es avec le code MARTHE trait continu sont compar es celles obtenues traits interrompus par Oldenburg et Pruess 1995 en r gime transitoire avec le mod le TOUGH2 On note une bonne correspondance entre les deux simulations Cet coulement avec une faible dispersion ne fait pas appara tre de cellules de convection 76 Rapport BRGM RP 55871 FR Rapport final coulements densit variable r e Altit m X lim Fig 21 D me de sel avec forte diffusion les salinit s calcul es avec le code MARTHE trait continu sont compar es celles obtenues traits interrompus par Herbert 1988 Altit im 100 ARAR AURA 200 did d ddl ll EVA S SU LT IS 300 3 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 X lm Fig 22 D me de sel avec faible dispersion les salinit s calcul es avec le code MARTHE trait continu sont compar es celles obtenues traits interrompus par Oldenburg et Pruess 1995 6 7 EXEMPLE D APPLICATION N 7 FLUIDE L GER EN ZONE NON SATUREE 6 7 1 But de l exemple n7 Cet exemple en coupe verticale pr sente la mod lisation d un pandage d un fluide plus l ger que l eau la surface d un sol Non Satur situ au dessus d une nappe souterraine L int r t de cet exemple est de montrer comment mod liser un fluide l ger en Zone
72. o Ceci conduit aux valeurs suivantes Rapport BRGM RP 55871 FR Rapport final 39 coulements densit variable Coefficient de relaxation 0 7 0 5 0 3 0 1 0 05 0 01 Nombre min d it rations 3 6 11 37 76 390 En r gime transitoire avec de petits pas de temps seules quelques it rations de couplage sont n cessaires Dans le cas d un sch ma de transport faisant intervenir des particules M thode des caract ristiques MOC le mod le n utilise qu une seule it ration de couplage puisque qu apr s d placement les positions des particules ne peuvent tre recul es Le coefficient de sous relaxation doit alors tre gal 1 Il faut donc a priori utiliser des pas de temps plus petits dans ce dernier cas 5 3 2 Coefficient de relaxation pour le couplage Densit Pression Chaleur Ce param tre d finit le coefficient de sous relaxation pour le couplage entre les calculs d hydraulique charges et les calculs de transport salinit En r gime permanent pour le calcul du transport il peut tre n cessaire d utiliser un faible coefficient de sous relaxation de l ordre de 0 3 ou m me 0 1 ou 0 01 surtout si le couplage est fort avec des calculs instables Le nombre d it rations de couplage devra naturellement tre augment si on utilise un coefficient Rc tr s inf rieur 1 En r gime transitoire avec de petits pas de temps un coefficient de sous relaxation de 1
73. of long term transient density dependent transport in groundwater Adv Water Resources vol 5 pp 73 97 Galeati G Gambolati G Neuman S P 1992 Coupled and partially coupled Eulerian Lagrangian model of freshwater seawater mixing Water Resour Res vol 28 n 1 pp 149 165 Henry H R 1962 Transitory movements of the saltwater front in an extensive artesian aquifer Effects of dispersion on salt encroachment in coastal aquifers U S Geol Surv Prof Pap 450 B B87 B88 Henry H R 1964 Effects of dispersion on salt encroachment in coastal aquifers U S Geol Surv Water Supply Pap 1613 C pp C71 C84 Herbert A W Jackson C P Lever D A 1988 Coupled Groundwater Flow and Solute Transport with Fluid Density strongly dependent upon Concentration Water Resour Res vol 24 2 1781 1795 Marsily G de 1986 Quantitative Hydrogeology Groundwater hydrology for engineers Academic press Inc London Oldenburg C Pruess K 1995 Dispersive transport dynamics in a strongly coupled groundwater brine flow system Water Resources Res Vol 31 n 2 pp 289 302 Pinder G F Cooper H H 1970 A numerical technique for calculating the transient position of the saltwater front Water Resources Res Vol 6 n 3 pp 875 882 Thi ry D 1990 MARTHE Mod lisation d Aquif res par maillage Rectangulaire en r gime Transitoire pour le calcul Hydrodynamique des Ecoulements Version 4 3 Rapport BRGM 4S
74. ors pression atmosph rique perm abilit l eau vitesse de Darcy d bit transmissivit Rapport BRGM RP 55871 FR Rapport final 13 coulements densit variable hauteur mouill e temps coefficient d emmagasinement sp cifique coefficient d emmagasinement libre salinit concentration dense charge quivalente en eau douce porosit cin matique densit relative niveau pseudo pi zom trique Rapport BRGM RP 55871 FR Rapport final Variable SALINITE SALIN_EXT SALINIT_SORT SALIN_RECH MASS_SALIN QMASS_SALIN DIFFUS_MOLEC DISPER_LONGI DISPER_TRANSV coulements densit variable D finition Extension du fichier Salinit ou concentration dense salini Salinit ext rieure salext Salinit dans un d bit sortant Salinit dans les apports pluviom triques Apport de masse dense Dirac Flux massique de salinit Diffusion mol culaire Dispersion Longitudinale Dispersion Transversale Rapport BRGM RP 55871 FR Rapport final 15 coulements densit variable Par rapport aux variables se rapportant au transfert de masse classique on a la correspondance suivante Transport Variable Classique SALINITE Unit de salinit CONCENTR SALIN_EXT Unit de salinit CONCEN_EXT SALINIT_SORT Unit de salinit CONCEN_SORT SALIN_RECH Unit de salinit CONCEN_RECH MASS_SALIN Unit de masse MASS_CONCEN QMASS _SALIN Unit de masse
75. ox Q 19 avec D Coefficient de dispersion m s V Vitesse de Darcy m s QM Flux massique inject terme source kg s mi a Porosit cin matique m mS Rapport BRGM RP 55871 FR Rapport final 29 coulements densit variable 4 2 2 Discr tisation et r solution C est un probl me de transport absolument analogue au transport de masse classique du mod le MARTHE Un couplage it ratif entre le calcul des charges et le calcul des salinit s est cependant n cessaire puisque la salinit d pend du transport qui d pend du champ de vitesse qui d pend de la densit qui d pend de la salinit 4 3 CONDITIONS AUX LIMITES ET TERMES SOURCES 4 3 1 quation du transport Les conditions aux limites sont absolument identiques celles du transport classique dans le mod le MARTHE Thi ry 1995a e Salinit impos e On fixe la variable SALINIT du mod le la salinit souhait e et on indique que cette valeur est impos e en fixant la variable SALIN_EXT la valeur 9999 e Salinit ext rieure C est la salinit provenant de l ext rieur variable SALIN_EXT d extension de fichier salext C est la salinit du fluide qui rentre dans le mod le Si le fluide entre d bit gt 0 il entre avec cette salinit S il le fluide sort d bit lt 0 cette salinit n est pas prise en compte Cette condition limite correspond par exemple un aquif re bord par la mer ou par un lac bie
76. rient e vers le haut du point de mesure m L unit utilisateur de charge d eau douce est l unit utilisateur de charge Cette charge d eau douce H4 est parfois appel e niveau pseudo potentiom trique mais il vaut mieux viter ce terme La charge d eau douce qui est la pression corrig e de l altitude pourra tre utilis e dans le mod le au lieu d utiliser la pression 3 6 CHARGE R ELLE CHARGE D EAU SAL E Soit un point situ l altitude z ayant une pression h et une masse volumique p La charge r elle H est l altitude de la colonne de fluide dense de masse volumique p qui quilibre la pression h H z p pg soit H z h Po P C est l altitude de l eau qu on observerait dans un pi zom tre ponctuel cr pin l altitude z qui se remplirait naturellement avec l eau de la nappe cette altitude C est cette charge qui est utilis e dans le mod le pour v rifier dans chaque maille si la nappe est d noy e ou libre ou d borde En effet si la maille n est pas satur e d eau sa hauteur d eau saline est bien gale sa charge r elle Cette charge r elle est parfois appel e niveau pi zom trique Rapport BRGM RP 55871 FR Rapport final 19 coulements densit variable Dans le mod le le terme charge d signe toujours la charge r elle variable CHARGE 3 7 SALINIT EXT RIEURE C est la salinit kg m3 d un ventuel fluide entrant dans l aquif re soit par injection art
77. ription des param tres Couplage pas de couplage Hydrodynamique permanent identique l exemple n 1 Transport pas de transport b Extrait du Fichier des Param tres du mod le On pr sente ci dessous un extrait du fichier des param tres de MARTHE Prise en compte des Effets de la Densit sans calcul de la salinit Couplage et Transport Densit chaleur concentr 0 Nombre maximal d It rations pour Couplage Densit Pression 0 Coef de Relaxation pour Couplage Densit Pression Def 1 0 Nombre maxi d It rat Transport Densit Chaleur Concen Def 20 Sch ma de Transport 0 D Finies 1 Rand W 2 Caract MOC 3 TVD Diffusion mol culaire m2 s Spatialis e rj Dispersivit Longitudinale m Spatialis e Dispersivit Transversale m Spatialis e Transport Permanent Pr liminaire avant transitoire Def 0 dition des positions de Particules en fin de calcul 1 Binai Lecture d un fichier de Position Initiales des Particules Nombre de Sous Pas pour les Particules R W Def 1 M thode de r flection des Particules R W 0 Non 1 Ito Affichage des Bilans Massiques Cumul s 0 0ui 1 Non Solveur pour calculs du Transport 1 ORTHOMIN 2 It rat Def 1 Omission des Termes Diago en Diff Finies 0 Complet 1 0mission Concent Temp r Non limit es par mini maxi Def Limit 1 non Lim Nombre Maxi d It rat pour Sorption Langmuir Freundlich Def 20 Coef d
78. s donn es Ex 0 R f rence des Charges Charges mod le Charges lues Refer 0 R f rence du Substratum Substr mod le Substr lus Refer 100 paisseur Tranche de coupe Unit de Coord Mailles ou Degr s 0 tat init lu 0 Charg 1 Press 2 Satur 3 NAQ 4 S Liq 5 S NAQ 1 Pesanteur 0 0z gt Bas 1 0y gt Bas Coupe Vertic 2 0x Droite 0 Angle correcteur Degr s de la Direction de la Pesanteur 0 Effet Angle correcteur 0 Orthonorm 1 Escalier Cavali re 0 Initialisation des Nombres Al atoires Particules Def 1789 0 G n rateur des Nombres Al atoires Def 0 Rapide 1 2 Autre 0 Calcul sym trie Cylindrique Radial 0O Non 1 Oui 0 Viscosit dynamique de l Eau si Perm ab Intrins que 0 tat Initial 2 MultiPhas 1 NAQ 2 AQU 3 Satur 4 S _Liq 5 S NAQ x Couplage et Transport Densit chaleur concentr x 25 Nombre maximal d It rations pour Couplage Densit Pression 0 Coef de Relaxation pour Couplage Densit Pression Def 1 0 Nombre max d It rat Transport Densit Chaleur Conc Def 20 46 Rapport BRGM RP 55871 FR Rapport final DF 6 6e 6 BB hr O O O O OCoOo oo 0 XXx Densi coulements densit variable Sch ma de Transport 0 D Finies 1 Rand W 2 Caract MOC 3 TVD Diffusion mol culaire m2 s Spatialis e Dispersivit Longitudinale m Spatialis e Dispersivit Transversale m Spatialis e Transport Perman
79. s la zone o l eau est sal e est donn e par H ds z L PE ep t CT Conditions initiales Les salinit s initiales ont t fix es d apr s la position de l interface Initialement le syst me est en quilibre hydrostatique avec la surcharge d eau douce HO La charge est donc gale HO jusqu l interface c est dire jusqu la profondeur 80 m En dessous de cette profondeur la charge r elle est constante et gale 0 Pour la mod lisation on a d cal les altitudes et les charges de 2 m On obtient alors une charge constante gale 0 m au dessus de l interface et une charge constante gale 2 m en dessous de l interface A l instant initial la surcharge est diminu e brutalement de DH soit une charge H DH 1 5 dans la seule maille sup rieure ce qui provoque un choc brutal Les calculs sont r alis s en r gime transitoire transport en r gime transitoire et calculs hydrodynamiques en r gime permanent La dur e totale de simulation a t choisie gale 5 fois la constante de temps CT Cette dur e a t d coup e en 62 pas de temps de dur es croissantes de 6667 s 423000 s 68 Rapport BRGM RP 55871 FR Rapport final coulements densit variable 6 5 3 Param tres du mod le Trois mod lisations ont t r alis es une mod lisation en Diff rences Finies une mod lisation par la m thode des caract ristiques MOC adapt e une interface abrupte et une mod l
80. s tr 17 34 PRESSION EE ea ne AE AE Aet ire met ee 18 3 5 CHARGE D EAU DOUCE en Se Et ee 19 3 6 CHARGE R ELLE CHARGE D EAU SAL E 19 3 7 SALINIT EXT RIEURE 2 ne de none 20 3 8 SALINIT DE LA RECHARGE ire 20 4 Principes des CalCulS 2 11 280 nes Re ne A nn Pa es 21 4 1 CALCUL DES CHARGES HYDRAULIQUES 21 4 1 1 quation de conservation des d bits 21 4 12 Discr tisatiom iconen 22 4 1 3 changes entre 2 mailles 22 4 1 4 Terme de stockage sssssissessseseeerrrnrrsserrrrrrntrsserrrnnrnnrnsserrnnnr nn 24 4 1 5 Mise en talons niet tiens 24 4 1 6 Initialisation des Charges et Pressions 25 4 1 7 R solution du syst me d quations 26 4 2 CONSERVATION DE LA MASSE DE SOLUT TRANSPORT 29 4 2 1 Mise en QUANONE her nn etre rte ftu etetanaess 29 4 2 2 Discr tisation et r solution 30 4 3 CONDITIONS AUX LIMITES ET TERMES SOURCES oasian 30 4 3 1 quation du aAnSOns ee A mt nr en nr A vs 30 Rapport BRGM RP 55871 FR Rapport final 5 coulements densit variable 4 3 2 quation hydrodynamique en charge ou en pression s s s 31 4 4 R GIME TRANSITOIRE een 31 4 5 COUPLAGE nriran i r ner tetes 31 4 5 1 Relation entre la salinit et la densit 31 4 5 2 N cessit du COUpDlAQR etat metre ee mate 34 4 5 3 Stabilisation du couplage par sous relaxation sssssssseeeseeeeeeeeee 35 4 5 4 R ajustem
81. sultats des calculs obtenus avec la m thode TVD La figure 19 pr sente l volution des charges la profondeur 38 5 m La figure 20 pr sente l volution de la salinit au m me point La comparaison avec la solution analytique trait continu montre une simulation pr cise avec le mod le MARTHE par la m thode TVD trait interrompu avec peu dispersion num rique malgr un nombre de P clet infini 72 Rapport BRGM RP 55871 FR Rapport final coulements densit variable Charge z 38 5 cm Charge m 1 E 03 1 E 04 1 E 05 1 E 06 1 E 07 t s Fig 19 Retour l quilibre dans un tube en U volution de la charge 38 5 m de profondeur Trait continu Solution analytique MARTHE M thode TVD Salinit z 38 5 cm Salinit kg m3 amp Mod le _ 3 Analytique 1 E 08 1 E 04 1 E 05 1 E 06 1 E 07 t s Fig 20 Retour l quilibre dans un tube en U volution de la salinit 38 5 m de profondeur Trait continu Solution analytique MARTHE M thode TVD Rapport BRGM RP 55871 FR Rapport final 73 coulements densit variable 6 6 EXEMPLE D APPLICATION N6 D ME DE SEL TEST INTERNATIONAL HYDROCOIN 6 6 1 But de l exemple n 6 Cet exemple en coupe verticale pr sente la mod lisation des coulements au dessus d un d me de sel g n rant de tr s fortes densit s donc un couplage tr s
82. t 0 000 D bits Entrant Charges Impos 158 998 D bits Sortant Charges Impos 818 997 D bits Entrant dans les Mailles 660 159 660 00 Impos D bits Sortant des Mailles 0 1606 Bilan de Contr le 5 679E 11 Somme de tous les d bits D bit R siduel d Err 0 3240 Somme Val abs d bits r sid D bits Internes signif 660 004 0 000 Bilan Global 4 728E 03 D bit R siduel Max 4 091E 03 Col 28 Lig 1 Cou 19 soit un cart de Charge de 1 023E 06 Hauteur R si d Err Maximale 1 023E 06 Col 28 Lig 1 Cou 19 c Bilan Massique du solut Bilan du Transport de la Salinit Les masses sont en 1073 kg et les temps sont en minutes Bilan en unit de Masse unit de Temps Pas de temps n 0 t 0 c est dire en 1 667E 05 kg s Entrant Sortant Net par les Limites 23 850 23 859 9 813E 03 Mailles Internes R si 5 810E 02 4 829E 02 9 813E 03 Bilan de Contr le 1 618E 13 Somme totale y compris r sidus Rapport BRGM RP 55871 FR Rapport final 49 coulements densit variable Somme R sidus Intern 0 1064 Somme Val absol r sidus Somme val abs des r sidus 0 1064 Plus grande composante 23 859 gt Converg Interne Masse 0 4459 d erreur cart de bilan Masse global 9 813E 03 Entr es sorties gt Converg Masse globale 4 113E 02 d erreur d Dessins en coupe verticale La figure 5 pr sente les isosalinit s kg m3 qui forment un
83. tion de transport 0 Pas de calcul de la salinit Mais possibilit si on l a demand param tre n 1 d utiliser un champ de salinit initiale lue par le mod le L int r t de cette option est de permettre de faire un calcul rapide avec un champ de salinit estim e Cette option permet aussi de mani re un peu d tourn e de d finir des conditions limites en pression dans un coulement sans prise en compte de la salinit 1 Calcul de la salinit en r solvant l quation du transport par diff rences finies par la m thode MOC ou par RW L effet de la densit sera pris en compte dans le calcul hydrodynamique par une r solution en charge en charge d eau douce ou en pression selon le choix du param tre n 1 de ce paragraphe Par d faut si on avait laiss ce param tre n 1 gal 0 la r solution se ferait en Charge r elle d eau sal e Comme indiqu plus haut pour r aliser un calcul de la salinit il faut avoir fix dans le paragraphe Couplage un nombre maximal d it rations de couplage Rappelons que pour faire un calcul de transport il faut d finir un champ de porosit s cin matiques Ce champ est utilis explicitement si le transport se fait en r gime transitoire et dans tous les cas o on prend en compte des coefficients de dispersions 5 5 DITION DES R SULTATS 5 5 1 Mailles historiques Il est possible de s lectionner certaines mailles du mod le pour lesquelles
84. toire volution au cours du temps du pied de l interface Comparaison avec des calculs r alis s par Frind 1982 carr s et Galeati et al 1992 triangles 6 3 EXEMPLE D APPLICATION N 3 BISEAU SAL DE HENRY EN REGIME TRANSITOIRE SANS DISPERSION METHODE DES CARACTERISTIQUES 6 3 1 But de l exemplen3 Cet exemple illustre le d roulement du calcul coupl en r gime transitoire en coupe verticale pour simuler un biseau sal abrupt sans dispersion avec le sch ma de transport par la m thode des caract ristiques MOC 6 3 2 Description de l exemple n 3 Il s agit du m me syst me aquif re que pr c demment mais sans dispersion ni diffusion Les calculs de transport sont r alis s par la m thode des caract ristiques MOC au lieu de la m thode des diff rences finies 6 3 3 Param tres du mod le Diffusion D 0 Dispersivit s 0 Nombre de pas de temps 15 chacun d coup en 4 sous pas de mod le Couplage lt rations de couplage 1 valeur impos e pour la m thode MOC Rapport BRGM RP 55871 FR Rapport final 61 coulements densit variable Sous relaxation de couplage 1 N B il n y a qu une it ration de couplage mais les pas de calculs sont 4 fois plus petits que dans l exemple pr c dent car il y a 4 sous pas de mod le Hydrodynamique idem Transport R gime Transitoire M thode de calcul MOC Method Of Characteristics Masse d une particule 10 kg 6 3
85. ts densit variable unit s de donner cet apport de masse en unit de masse par m tre carr de surface de maille perpendiculaire la pesanteur 4 3 2 quation hydrodynamique en charge ou en pression Les conditions aux limites sont identiques celles du calcul des charges classiques e Potentiel impos Selon le type de r solution il est possible d imposer la charge ou la pression Il convient de remarquer que si la densit est impos e dans une maille il est quivalent d y imposer une charge ou une pression Si la densit est calcul e et r sulte du champ de charges ou de pression l imposition d une nouvelle charge produit une pression qui d pend de la densit R ciproquement l imposition d une pression produit une charge r elle qui d pend de la densit e D bit nul C est une limite tanche en d bit de fluide classique e D bit impos C est un terme source classique pompage ou injection de fluide Il s agit bien de d bits volumiques m s 4 4 R GIME TRANSITOIRE Le mod le MARTHE permet de calculer les charges ou les pressions en r gime permanent ou en r gime transitoire permet galement de calculer les salinit s en r gime permanent ou en r gime transitoire Dans le cas g n ral en r gime transitoire on aura l Hydrodynamique en transitoire et le Transport en transitoire Cependant pour les nappes captives on pourra parfois se contenter de calculer l hydrodyna
86. ude de l interface m 1 E 03 1 E 04 1 E 05 t s 1 E 06 1 E 07 Fig 15 Retour l quilibre dans un tube en U volution de la position de l interface Symboles solution analytique Trait continu MARTHE Diff rences Finies D bit 20 D bit 1 e 6 m3 s 3 a ol 1 1 E 03 1 E 04 1 E 05 t s 1 E 06 1 E 07 Fig 16 Retour l quilibre dans un tube en U volution du d bit entrant en bas de la colonne et sortant par le haut Symboles solution analytique Trait continu MARTHE Diff rences Finies Rapport BRGM RP 55871 FR Rapport final 71 coulements densit variable Charge z 38 5 cm 0 8 1 2 1 4 4 1 6 1 8 2 2 2 2 4 1 E 03 1 E 04 1 E 05 1 E 06 1 E 07 t s Analytique Charge m Fig 17 Retour l quilibre dans un tube en U volution de la charge 38 5 m de profondeur Trait continu Solution analytique MARTHE M thode MOC Salinit z 38 5 cm Analytique Salinit kg m3 a Mod le 2 T T T 1 1 E 03 1 E 04 1 E 05 1 E 06 1 E 07 t s Fig 18 Retour l quilibre dans un tube en U volution de la salinit 38 5 m de profondeur Trait continu Solution analytique MARTHE M thode MOC Les figures 19 et 20 pr sentent les r
87. umique p du fluide donc sa densit et on calcule les charges qui en r sultent Le fluide tant consid r comme incompressible on crit l quation de conservation des d bits 4 1 1 quation de conservation des d bits L quation de conservation des d bits s crit 6 De Qa Volume stock dt 1 isl avec i une des 6 directions Nord Sud Est Ouest Haut et Bas Qi d bit provenant de la direction i Qext d bit ext rieur positif s il est inject n gatif s il est pr lev Rapport BRGM RP 55871 FR Rapport final 21 coulements densit variable 4 1 2 Discr tisation Le mod le MARTHE est bas sur un sch ma volumes finis avec des mailles parall l pip diques qui se ram ne donc un sch ma diff rences finies Dans un tel sch ma chaque maille est caract ris e par une valeur des param tres suivants e K p p u constantes dans toute la maille k Perm abilit intrins que p Pression du fluide p Masse volumique du fluide u Viscosit dynamique du fluide e xX y Z coordonn es du centre de la maille e VN VS VE VW Vh VB 6 vitesses de Darcy travers chacune des 6 faces Les vitesses de Darcy sont en fait les d bits d change par unit de surface d change 4 1 3 changes entre 2 mailles La vitesse de Darcy V d rive du gradient de pression p Elle est donn e par la loi de Darcy qui s crit en omettant les fl ches sur les vecteurs V r Gra
88. uplage on a choisi 10 it rations de couplage avec un coefficient de sous relaxation gal 0 7 La figure 12 montre la position du biseau apr s 3 mn et apr s 80 mn Les isovaleurs trac es sont les isovaleurs de salinit 5 10 15 et 20 kg m Cette figure montre des r sultats proches de ceux obtenus avec la m thode MOC avec un front abrupt bien repr sent par la m thode TVD qui g n re extr mement peu de dispersion num rique 20 30 50 60 70 80 90 100 0 20 40 50 80 100 120 140 160 180 200 Fig 12 Biseau sal de Henry en r gime transitoire sans dispersion salinit calcul e par la m thode TVD apr s 3 mn et apr s 80 mn 6 4 EXEMPLE D APPLICATION N 4 COULEMENT PLAN MONOCOUCHE EN PRESENCE D UN CHENAL REGIME TRANSITOIRE 6 4 1 But de l exemple n 4 Cet exemple montre qu il est possible de faire un calcul en monocouche horizontal avec prise en compte des effets de densit condition que le syst me pr sente des variations lat rales d altitude Toit Substratum Cet exemple est trait en r gime transitoire Rapport BRGM RP 55871 FR Rapport final 63 coulements densit variable 6 4 2 Description de l exemple n 4 Il s agit d un syst me aquif re plan de 200 cm de long sur 100 cm de large et d paisseur 100 cm mi ordonn e du syst me un chenal de 10 cm de large parcourt le syst me d ouest en est sur toute la largeur Le substratum est alors une profondeur
89. ur n est pas acceptable Il vaut mieux alors r aliser les calculs en charges r elles ou en charges d eau douce b R solution en charges r elles tant donn que le mod le MARTHE est un mod le g n ral qui permet de simuler une nappe libre ventuellement localement d noy e il faut tre en mesure de conna tre le niveau r el de l eau dans chaque maille Dans chaque maille la charge r elle H est donn e par H z p pg 10 c est la hauteur du fluide de densit p et non po dans la maille On a donc H z h p p c est dire H z h d 11 L quation 6 donnant le d bit chang entre 2 mailles s crit Qu Te i h h d z Ze On en d duit en rempla ant hy et h par leur expression en fonction de H Que T a H d z 4 H d z d lt z An Q T d H d H d 2 d z d z 2 On d finit alors la nouvelle variable HH qui est parfois appel e niveau pseudo pi zom trique 26 Rapport BRGM RP 55871 FR Rapport final coulements densit variable HH d H c est dire en fait h d z 12 et on obtient Q T HH HA f 13 avec fue la Ze z d Zy d z z 14 La variable HH a bien la dimension d une charge Comme toute charge elle d pend g n ralement peu de z dans les sch mas d coulement classiques L quation de conservation du d bit s crit alors T HH T HH Qu T
90. usqu une concentration en NaCI de plus de 250 kg m p 1000 1 C 1341 3 0 5677 C Rapport BRGM RP 55871 FR Rapport final 41 coulements densit variable En cas de prise en compte des effets de la temp rature d autres lois de type p f C Temp r sont disponibles Ces lois qui sont choisies dans le paragraphe Temp rature du fichier des param tres seront d crites dans un rapport ult rieur relatif aux effets thermiques En particulier on peut utiliser la relation p f C Temp r de Schlumberger Vandenbeusch 1976 r vis e valable jusqu une concentration en NaCl de plus de 250 kg m et une temp rature de 102 C 5 4 3 D riv e Masse Volumique du fluide Salinit Ce param tre n est utilis que si on a choisi une d pendance lin aire C est le param tre a de la loi lin aire Si on a choisi une relation Schlumberger loi n 3 ce param tre n est pas utilis Par d faut la d riv e a est fix e 0 70 En effet on admet g n ralement pour l oc an Atlantique une salinit de 35 kg de NaCl par m3 de solution qui engendre une eau sal e de masse volumique de 1025 kg m8 On obtient ainsi une d riv e a 1025 1000 35 0 71 On peut cependant utiliser d autres valeurs de a et choisir par exemple Salinit de l eau de mer 25 kg m3 D riv e a 1 d o une masse volumique p 1000 1 C gt 1025 kg m pour l eau de mer Si la salinit est exprim
91. valeur par d faut peut convenir 5 3 3 Diffusion mol culaire Ce param tre d crit dans le rapport sur le transport de masse classique peut tre spatialis si on lui donne la valeur On peut alors d finir dans le fichier projet ou bien dans les modifications initiales gt la variable DIFFUS MOLEC d extension de fichier dimol 5 3 4 Dispersivit longitudinale Ce param tre d crit dans le rapport sur le transport de masse classique peut tre spatialis si on lui donne la valeur On peut alors d finir dans le fichier projet ou bien dans les modifications initiales la variable DISPER LONGI d extension de fichier alfal 5 3 5 Dispersivit transversale Ce param tre d crit dans le rapport sur le transport de masse classique peut tre spatialis si on lui donne la valeur On peut alors d finir dans le fichier 40 Rapport BRGM RP 55871 FR Rapport final coulements densit variable projet rma ou bien dans les modifications initiales la variable DISPER TRANSV d extension de fichier alfat 5 4 DENSIT x Densit sr Douce Effet de la Densit 0 Non 1 Charge 2 Pression 3 Charge Douce 1 Loi Densit Salinit 0 Non 1 Lin aire 3 Schlum VDB 1 D riv e de la loi Densit Salinit si loi Lin aire Def 0 7 P 0 Masse de chaque Particule de Salinit si particules le 4 Variation moy de Salinit entre 2 it rat pour converg

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