Mode d`emploi du simulateur d`urne
Contents
1. Avec remise f Sans remise Sans num ro Avec num ro ordre de sortie S lectionnez un nombre min de boules de chaque couleur et appuyez sur OK anmaon kean d FIGURE 6 Modification de la condition d arr t dans un tirage avec condition d arr t 4 R aliser 1000 simulations Le bouton Animation gt permet de visualiser des exp riences al atoires une par une Cependant le bouton vert 1000 simulations gt permet lui de r aliser 1000 tirages ind pendants dans les conditions en cours du simulateur composition de l urne type de tirage simple ou avec condition d arr t option de remise avec ou sans remise nombre de boules tirer cas d un tirage simple condition d arr t cas du tirage avec condition d arr t Pour cela cliquez sur ce bouton vert Une fen tre s ouvre alors vous indiquant le nom du fichier txt dans lequel sont enregistr s les r sultats Le fichier est enregistr dans le r pertoire o se trouve l application X Information Gi Le tableau des simulations est sauvegard dans le fichier simuUrne txt FIGURE 7 Fen tre indiquant la fin des simulations et le nom du fichier de sauvegarde des r sultats lt PGurne jar gt et peut tre lu l aide de n importe quel diteur de texte ou tableur Il se pr sente sous la forme suivante cas d un tirage avec condition d arr t Code de2. avec ou sans A 2 1 Tirages avec remise Rang de la premi re boule d une couleur donn e On suppose que lurne comprend m boules dont mpg boules bleues peu importe la couleur des autres On appelle R le rang de la premi re boule bleue c est dire le nombre de tirages n cessaires pour obtenir une boule bleue pour la premi re fois La variable al atoire R1 suit la loi g om trique de param tre T not e G TE Plus pr cis ment appelons Bpk l v nement lt le k tirage donne une boule bleue gt Ces v nements sont ind pendants si les tirages se font avec remise La calculatrice donne les r sultats suivants Piest Pa Tz P R1 2 PnP PBe S E ME hel OE j 1 P R k P Bin Br 10 B 1 gt 1 10 Rang de la deuxi me boule d une couleur donn e On s int resse maintenant au rang de la deuxi me boule de couleur bleue not R On peut calculer la loi de R de la mani re suivante 3 mp P R2 2 P B1NB2 Ce PR P Bi N B2 N B3 P B1 N Ba 0 Bs 2 1 TETE k 1 ne _ P R k P B Nn N B N Bk 0 Bk 2 1 kag 2 k gt 2 R2 k 2 Bi j N Bin N Bk 20 CS Z Cette loi est appel e la loi binomiale n gative ou loi de Pascal ou loi de Polya de param tres 2 et TE Rang de la n boule d une couleur donn e On peut g n raliser ces calculs au rang de la n boule de couleur bleue not Rn MB PCR P B1 N B2N N BB CE 7 z MB MB n P Ra n 1 D T
3. kB gt 2 kr gt 1 kg kr k 2 On se ram ne donc au calcul de la loi multinomiale D autre part P B Z et si la derni re boule tir e est rouge c est qu on a obtenu au moins deux boules bleues au moins 1 verte et aucune rouge dans les k 1 tirages pr c dents La probabilit de cet v nement est donc Pr P X8 gt 2 Xv gt 1 Xr 0 P R De plus P X8 gt 2 Xv gt 1 Xr 0 gt P X8 kg Xv ky Xr 0 kp kv lkB22 kv2 gt 1 kp ky k 2 On se ram ne donc au calcul de la loi multinomiale D autre part P R TE On obtient P N k en sommant ces trois probabilit s 11 A 2 2 Tirages sans remise Rang de la premi re boule d une couleur donn e On suppose que l urne comprend m boules dont mpg boules bleues peu importe la couleur des autres On appelle R le rang de la premi re boule bleue c est dire le nombre de tirages n cessaires pour obtenir une boule bleue pour la premi re fois Ce nombre peut varier entre 1 et m mpg 1 Appelons Bk l v nement lt le 4 tirage donne une boule bleue gt Ces v nements ne sont plus ind pendants car les tirages se font sans remise La loi de R s obtient en conditionnant par les v nements pass s mB P 1 P B Ra 1 Bye 2 m m P R 2 P B N B2 P B1 P B B1 1 he E PRISE P B N Bk 1 O Bk P B1 P B2 B1 P B B1 O B2 N By_1 mB mp mB mp ne lt k lt m GG IS RE mm 1
4. s sont d taill s en Annexe A Pour calculer la probabilit d une configuration particuli re il suffit de cliquer sur le bouton jaune lt Calcul Proba gt Une fen tre apparait alors voir Figure 8 j IREM de Grenoble 2013 Calcul de Probabilit s Tirage simple Tirage avec condition d arr t i m On effectue un tirage de v boules e avec remise lt sans remise Quelle est la probabilit d obtenir exactement ho o ag Calculer Prob FIGURE 8 Fen tre de la calculatrice pour un tirage simple Cette fen tre pr sente deux onglets l un pour les tirages simples l autre pour les tirages avec condition d arr t 5 1 Tirages simples Dans cet onglet un bandeau bleu rappelle la composition en cours de l urne Il est n anmoins possible de la changer en utilisant les menus d roulants On rappelle ensuite le nombre de boules tirer qui peut lui aussi tre modifi On retrouve les deux puces lt avec remise gt ou sans remise gt On choisit ensuite la configuration dont on veut calculer la probabilit en utilisant les menus d roulants La somme des effectifs de la configuration propos e doit tre gale au nombre de tirage sinon un message d erreur est affich Alerte C Erreur la somme des effectifs doit tre gale 20 FIGURE 9 Message d erreur si la somme des effectifs de la configuration d
5. modifier ces param tres 3 1 Modification de la composition de l urne Pour modifier la composition de l urne cliquez sur le bouton Modifier l urne gt en haut gauche Des compteurs de chaque couleur de boules apparaissent alors dans le bandeau rose en haut gauche voir Figure 4 Il suffit alors de choisir dans chaque menu d roulant pour chaque couleur le nombre de boules souhait es et de valider en cliquant sur le bouton Valider gt Le nombre maximal de boules par couleur est fix j Jeu de l urne em Modifier l urne Masquer contenu de l ur Modifier le Nb de boules tirer L 1000 Simulations CalculProbabiit s Sole Eden ae TERAN SOME CONOR d arr t Tirage de 10 boule s Sans num ro Avec num ro ordre de sortie Cliquez sur Animation pour lancer le tirage des boules gt anima FIGURE 2 Fen tre d accueil avec composition de lurne j Jeu de l urne crima Modifier l urne Masquer contenu de l ur Modifier le Nb de boules tirer 4000 Simulations Calcul Probabilit s ii Sane esni avec condition d arr t Avec remise f Sans remise Tirage de 10 boule s 60 00 8812 3 9 9 5 5 5 5 5 Sans num ro Avec num ro ordre de sortie Cliquez sur Animation pour lancer le tirage des boules gt amman FIGURE 3 Tirage de 10 bo
6. on a obtenu au moins deux boules bleues au moins 1 verte et aucune rouge dans les k 1 tirages pr c dents La probabilit de cet v nement est donc Pr P XB gt 2 Xv gt 1 Xr 0 P Rk XB gt 2 Xv gt 1 Xr 0 La premi re probabilit peut se calculer ainsi P X8 gt 2 Xy gt 1 XR 0 gt P X8 1 Xv ky XR kp kv kr lky gt 1 kRr gt 1 ky kr k 2 De plus 2 P Ri XB gt 2 Xyv gt 1 Xr 0 R XB gt 2 Xv gt 1 Xr ee On obtient finalement P N k Pg Py Pr 13
7. EE a a n MB k n MB n PCR mI l k gt n Cette loi est appel e la loi binomiale n gative ou loi de Pascal ou loi de Polya de param tres n et TE Conditions d arr t portant sur plusieurs couleurs Exemple L urne contient 5 boules bleues 3 vertes et 2 rouges On tire des boules avec remise dans cette urne jusqu obtenir au moins 2 boules bleues une boule verte et une boule rouge Quelle est la loi du nombre N de tirages n cessaires On raisonne partir de la couleur de la derni re boule tir e si on a obtenu la configuration souhait e au bout de k lancers et si la derni re boule tir e est bleue c est qu on a obtenu exactement une boule bleue au moins 1 verte et au moins une rouge dans les k 1 tirages pr c dents La probabilit de cet v nement est donc Pg P Xg 1 Xv gt 1 Xr 2 1 P B amp o Xg Xv Xr suit la loi multinomiale M k 1 7c De plus P Xg 1 Xv 2 1 Xp gt 1 gt S P X8 1 Xv kv XR kr kv kr lkv gt 1 kr gt 1 kv kr k 2 On se ram ne donc au calcul de la loi multinomiale D autre part P B T Si la derni re boule tir e est verte c est qu on a obtenu au moins deux boules bleues aucune verte et au moins une rouge dans les k 1 tirages pr c dents La probabilit de cet v nement est donc Py P XB 2 2 Xv 0 XR gt 1 P Bx De plus P Xg gt 2 Xvy 0 XR gt 1 gt P XB kp Xv 0 Xr kp kgB kr
8. Mode d emploi du simulateur d urne IREM de Grenoble 21 octobre 2013 Table des mati res 1 Installation 1 2 Utilisation 2 3 Modification des param tres du simulateur 2 3 1 Modification de la composition de lurne 2 3 2 Modification du nombre de boules tirer dans un tirage simple 4 3 3 Modification de la condition d arr t dans un tirage avec condition d arr t 4 4 R aliser 1000 simulations 6 5 Mode calculatrice 6 S1 Tirages simples 4 45 Tandem Lits Te al as ts ont nu dun rha Due aie 7 5 2 Tirages avec condition d arr t 7 A Annexe calcul des probabilit s 9 AV Mirages Simplese anne ue dat ds OR ras ds a a O e Get ne Moine A ne 9 ATE Tirages avee remises a Torne ae naea on tte gere Te a a a ap nu ae 9 A 1 2 Tirages Sans T mis 2 410 2 8 he tar e ee e a gta a a da Mt 4 e ud ane a i 4 9 A 2 Tirages avec condition d arr t 10 A 2 1 Tirages avec remise 10 A 2 2 Tirages sans remise 12 Ce document a pour but de vous aider installer et utiliser l urne lectronique Cette urne a t con ue dans un premier temps par un tudiant de la Licence 3 Math matiques Informatique de l UJF en stage l IREM de Grenoble et am lior par Philippe Garat ma tre de conf rences en statistique au D part
9. Rang de la deuxi me boule d une couleur donn e On s int resse maintenant au rang de la deuxi me boule de couleur bleue not R2 On peut calculer la loi de R2 en conditionnant par la valeur de Ri mg MB 1 P R 2 P B A B2 m m i P R 3 P R 3N R 1 P R2 3N R 2 k 1 k 1 P Ri k P R2 RO Ra 3j S P Ro k Ri j P R 5 2 lt k lt m mp 2 j 1 j 1 On remarque ensuite que la loi de R2 sachant R j est la m me que celle de R dans une urne qui contiendrait m j boules dont mp 1 boules bleues On est donc ramen aux calculs de probabilit s sur Ri Rang de la n boule d une couleur donn e On peut g n raliser ces calculs au rang de la n boule de couleur bleue avec n lt mp not R en raisonnant par rapport la position de la n 1 boule bleue mpg MB 1 mp k 1 m m 1 m k 1 RB n 1NRni n 1 P Ri n 1NRn_1 n Rn n 1 Rn 1 n 1 P Rn 1 n 1 P Rn n 1 Rn 1 n0 P Rn 1 n 1 Pin P B N B2N N Bn P Rna n 1 P P k PURE Si PCR j n 1 k 1 E a a E a j n 1 On calcule ensuite par r currence en remarquant que la loi de Rp sachant R _1 J est la loi de R dans une urne qui contiendrait m j boules dont mp n 1 boules bleues Conditions d arr t portant sur plusieurs couleurs Exemple L urne contient 5 boules bleues 3 vertes et 2 rouges On tire des boules sans remise dans cet
10. ant le nombre de boules bleues tir es parmi les n X suit une loi binomiale B n E La calculatrice donne les probabilit s que X prenne une valeur fix e particuli re P X k C el 1 ME ke finm Trois couleurs de boules On suppose que l urne comprend m boules dont mg boules bleues my boules vertes et mr boules rouges m mp my mr On tire n boules avec remise dans lurne Soit Xg Xv Xp les variables al atoires repr sentant les nombres de boules de couleur bleue verte et rouge tir es parmi les n Ces trois variables al atoires ne sont pas ind pendantes puisque par construction n Xg Xv Xr Le vecteur Xg Xv Xp suit une loi multinomiale M n TE 4 2 La calculatrice donne les probabilit s que le vecteur Xg Xv Xr prenne la valeur kg ky kr telle que kg ky kr n P X8 kg Xv kv Xr kr a y Er Exemple L urne contient 5 boules bleues 3 vertes et 2 rouges On tire 4 boules avec remise dans cette urne La probabilit d obtenir 2 boules bleues une boule verte et une boule rouge est Air FENTE Pan P XB 2 Xv LAR 1 z 5 5 5 C couleurs de boules C gt 3 Plus g n ralement si l urne comprend m boules dont me boules de couleur cod e c 1 lt c lt C m Da me la probabilit que le vecteur X1 Xc prenne la valeur k1 ka telle que Su ke n est donn e par n mi k mc kc P X k Xc k m 0 G G ko k l kol m m Il s agit d
11. ations Calcul Probabiit s Trago smpe lt Tirana avet condition DE ei Avec remise f Sans remise Tirage de 10 boule s Sans num ro Avec num ro ordre de sortie Cliquez sur Animation pour lancer le tirage des boules gt anmaton FIGURE 1 Fen tre d accueil de lurne lectronique aux tirages en haut et en bas de boutons et puces en bas d un message en bleu Suivons dans un premier temps ce message lt Cliquez sur Animation pour lancer le tirage des boules gt On voit alors des boules bleues et ou vertes apparaitre se d placer de gauche droite puis venir se ranger par piles de couleurs ce qui permet ais ment de les compter Ce tirage est par d faut le tirage de 10 boules avec remise dans une urne compos e de 10 boules bleues et de 10 boules vertes Il est d ailleurs possible de faire apparaitre la composition de l urne en cliquant sur le bouton lt Afficher contenu de lurne gt voir Figure 2 Il est galement possible de faire apparaitre sur les boules leur ordre d apparition pendant le tirage voir Figure 3 en cliquant la puce Avec num ro ordre de sortie gt 3 Modification des param tres du simulateur Par d faut la composition de lurne le type de tirage le nombre de boules tirer en cas d un tirage simple la condition d arr t en cas de tirage avec condition d arr t ont t fix s Il est cependant possible de
12. e avec condition d arr t Si la condition d arr t est inaccessible partir de la composition de l urne par exemple si la condition d arr t porte sur une couleur absente de l urne ou si on demande un nombre de boules d une certaine couleur sup rieur au nombre de boules de m me couleur dans l urne dans un tirage sans remise la probabilit retourn e est gale 0 A Annexe calcul des probabilit s Cette annexe a pour but de pr senter les calculs ex cut s par la calculatrice A 1 Tirages simples Dans cette premi re partie on s int resse aux tirages simples c est dire qu on fixe l avance le nombre n de tirages que l on va faire On s int resse aux probabilit s de certaines configurations selon l option de remise avec ou sans et selon la composition de l urne notamment selon le nombre de couleurs diff rentes dans l urne A 1 1 Tirages avec remise Dans cette sous partie on ne fait que des tirages avec remise La composition de l urne est donc la m me pour chaque tirage La probabilit de tirer une boule d une couleur donn e reste la m me chaque tirage gale Fe o Me est le nombre de boules de couleur c dans lurne et m est le nombre total de boules dans l urne Deux couleurs de boules On suppose que lurne comprend m boules dont mg boules bleues et my boules vertes m mp my On tire n boules avec remise dans l urne Soit X la variable al atoire repr sent
13. e bouton lt Ok gt le message lt Tirage de n boule s gt est modifi 3 3 Modification de la condition d arr t dans un tirage avec condition d arr t Dans ce type de tirage on tire des boules jusqu ce qu une certaine condition d arr t soit remplie Une condition d arr t est la donn e du nombre minimal de boules de chaque couleur obtenir par exemple on tire des boules jusqu obtenir au moins une bleue ET une verte La taille du tirage est donc al atoire Pour choisir la condition d arr t cliquez d abord sur Tirage avec condition d arr t gt puis sur le bouton Modifier la condition d arr t gt voir Figure 6 Le nombre maximal de chaque couleur de boules est fix 2 Bien entendu dans le cas d un tirage sans remise il doit tre inf rieur ou gal au nombre de boules de m me couleur dans l urne Jeu de l urne Modifier l urne Masquer contenu de l ur Modifier le Nb de boules tirer Avec remise Sans remise Nb de boules tirer 20 Ok 5 5 0 0 0 Sans num ro Avec num ro ordre de sortie Indiquez le nombre de boules tirer ou validez la valeur actuelle FIGURE 5 Modification du nombre de boules tir es dans un tirage simple Jeu de l urne Se Modifier l urne Masquer contenu de l ur Modifier la condition d arr t 0 1000Simutons CakeuiPronabim s Se
14. e la loi multinomiale M n c Il est noter que les lois marginales de cette loi sont des lois binomiales Xe B n c 1 C A 1 2 Tirages sans remise Dans cette deuxi me sous partie on fait maintenant des tirages sans remise La composition de l urne varie donc d un tirage l autre Deux couleurs de boules On suppose que l urne comprend m boules dont mg boules bleues et my boules vertes m mp my On tire n lt m boules sans remise dans l urne Soit X la variable al atoire repr sentant le nombre de boules bleues tir es parmi les n X suit une loi hyperg om trique H m mpg n La calculatrice donne les probabilit s que X prenne une valeur fix e particuli re m mB Cm k n k P X k CnsC k 0 min n mp On rappelle que quand le nombre de boules de l urne tend vers l infini avec des proportions de boules des deux couleurs restant constantes m mpg n pp la loi hyperg om trique peut tre approch e par la loi binomiale B n TE Trois couleurs de boules On suppose que l urne comprend m boules dont mg boules bleues my boules vertes et mr boules rouges m mp my mr On tire n lt m boules sans remise dans lurne Soit Xp Xv Xp les variables al atoires repr sentant les nombres de boules de couleur bleue verte et rouge tir es parmi les n Ces trois variables al atoires ne sont pas toujours pas ind pendantes puisqu on a toujours n Xp Xy Xr Le
15. emand e n est pas gale au nombre de tirage 5 2 Tirages avec condition d arr t Dans cet onglet le bandeau qui rappelle la composition en cours de l urne est jaune Il est toujours possible de changer la composition de l urne Le tirage peut tre fait avec ou sans remise La condition d arr t par d faut est celle en cours on peut la changer en utilisant les menus d roulants Les conditions d arr t utilis s peuvent porter sur les 5 couleurs mais ne peuvent concerner que 2 boules de chaque couleur au maximum La calculatrice donne des probabilit s portant sur la variable al atoire X repr sentant le nombre mini mal de boules qu il faut tirer pour obtenir la configuration demand e Par exemple supposons que l urne contienne 10 boules bleues et 10 boules vertes On tire des boules avec remise jusqu obtenir au moins 2 boules bleues et 2 boules vertes On appelle X le nombre de boules tir es quand on a obtenu ces 2 boules bleues et 2 boules vertes La probabilit d obtenir au moins 2 boules bleues et 2 boules vertes en exactement 4 tirages est de 0 375 voir exemple Figure 10 Lj IREM de Grenoble 2013 Calcul de Probabilit s Tirage simple Tirage avec condition d arr t Le tirage est avec remise sans remise On tire X boules jusqu obtenir au moins EE Prob X 4 0 37500000 Calculer Prob FIGURE 10 Fen tre de la calculatrice pour un tirag
16. ement Statistique et Informatique D cisionnelle http stid grenoble xtek fr de l TUT2 de Grenoble Elle est encore en rodage Si vous d tectez un probl me ou si vous avez une suggestion d am lioration merci de bien vouloir contacter Philippe Garat iut2 upmf grenoble fr Les erreurs de calculs de notations ou de frappes sont elles signaler Frederique Letue iut2 upmf grenoble fr Les t moignages d utilisation de l outil en classe sont galement les bienvenus 1 Installation Votre ordinateur doit tre quip de Java Standard Edition la version JRE 6 convient L ensemble des fichiers n cessaires au bon fonctionnement de l urne sont contenus dans un fichier com press nomm PGurnel 07 zip gt Dans un premier temps vous devez ouvrir ce fichier avec un outil ap propri par exemple IZArc sous Windows et en extraire les fichiers Vous devez alors obtenir un r pertoire contenant les fichiers suivants PGurne version 1 07 jar de type Executable Jar File urnel png de type Fichier png urne2 png de type Fichier png 2 Utilisation Pour lancer l urne double cliquez sur le fichier PGurne version 1 07 jar Une fen tre apparait alors voir Figure 1 La fen tre est compos e d un panneau gauche concernant l urne d un panneau droite d di j Jeu de l urne x Modifier l urne Afficher contenu de l urne Modifier le Nb de boules tirer 1o00 Simul
17. s couleurs R B J V N Contenu de l urne 5 5 5 5 5 Le nombre de simulations est 1000 Tirage de boules jusqu obtenir au moins 2R 2N RJ RNN N B R V NNV V JVR N N R R B N V J V V V V RBJIJINJVBR B N R N B J JJNJJR JJ V JRVRYVRJBYVNBJIJIVRJBYVRBBJBRN R R BVNRVRRBBYV VBN V J R V BYVNJNR J N N B J NNB V V JNRBR N J RJV JNV NBBJJJJR B V V N V V V JVRRRRN J N R B V BJNJNNBR JVRNJJRB J N Un pr ambule rappelle les conditions en cours du simulateur composition de l urne type de tirage simple ou avec condition d arr t option de remise avec ou sans remise nombre de boules tirer cas d un tirage simple condition d arr t cas du tirage avec condition d arr t Ensuite chaque ligne contient les codes couleur des boules tir es dans l ordre o elles se sont pr sent es Dans l exemple ci dessus les lignes sont de longueur variable car il s agit d un tirage avec condition d arr t Il est possible ensuite de r cup rer ce fichier dans un tableur et d effectuer des traitements informatiques et ou statistiques par exemple calculer la taille de chaque tirage le nombre de passages dans une case donn e estimer la probabilit de gagner etc 5 Mode calculatrice L application propose galement une fonctionnalit lt calculatrice gt qui permet de calculer pour les conditions en cours du simulateur la probabilit d obtenir telle ou telle configuration Les calculs impl ment
18. te urne jusqu obtenir au moins 2 boules bleues une boule verte et une boule rouge Quelle est la loi du nombre N de tirages n cessaires On raisonne partir de la couleur de la derni re boule tir e si on a obtenu la configuration souhait e au bout de k lancers et si la derni re boule tir e est bleue c est qu on a obtenu exactement une boule bleue au moins 1 verte et au moins une rouge dans les k 1 tirages pr c dents La probabilit de cet v nement est donc PB P Xg 1 Xv gt 1 Xr 2 1 P B XsB 1 Xv gt 1 XRr2 gt 1 12 o Xp Xv Xr suit la loi hyperg om trique g n ralis e HG 5 3 2 k 1 La premi re probabilit peut se calculer ainsi P X8 1 Xy gt 1 Xr gt 1 D P X8 1 Xv kv XR kr kv kr lkv gt 1 kr gt 1 kv kr k 2 La seconde est 5 1 m k 1 Si la derni re boule tir e est verte c est qu on a obtenu au moins deux boules bleues aucune verte et au moins une rouge dans les k 1 tirages pr c dents La probabilit de cet v nement est donc P B Xg 1 Xv gt 1 XRr2 gt 1 Py P Xg gt 2 Xv 0 XR gt 1 P BlXB gt 2 Xv 0 Xg gt 1 La premi re probabilit peut se calculer ainsi P XB gt 2 Xy 0 XR gt 1 D P XpB kp Xv 0 Xr kp kB kr kB gt 2 kr21 kpg kr k 2 De plus 3 P Bk XB gt 2 Xv 0 Xr gt 1 Br XB 2 2 Xv ARANE eT et si la derni re boule tir e est rouge c est qu
19. ules avec affichage de l ordre de sortie LS Jeu de l une c Modifier l urne Afficher contenu de l urne 1 aa 0E UE Valider Tirage de 10 boule s Modifier le Nb de boules tirer L Sans num ro Avec num ro ordre de sortie S lectionnez le nombre de boules de chaque couleur et appuyez sur Valider animation FIGURE 4 Modification de la composition de l urne 10 Apr s avoir valid la nouvelle composition de l urne est affich e Elle peut nouveau tre cach e en cliquant sur Cacher contenu de l urne gt 3 2 Modification du nombre de boules tirer dans un tirage simple On entend ici par tirage simple un tirage d un nombre fix de boules choisi par l utilisateur Ce tirage peut se faire avec ou sans remise Pour changer de type de tirage il suffit de cliquer sur la bonne puce dans le bandeau bleu en haut droite Par d faut le nombre de tirage est fix 10 On peut changer ce param tre en cliquant sur le bouton Modifier le Nb de boules tirer gt en haut droite En haut de la fen tre de droite apparait une case o l utilisateur peut entrer au clavier le nombre choisi Ce nombre doit tre un entier entre 1 et 30 sinon un message d erreur apparait Si le tirage est sans remise le nombre de boules tir es doit tre inf rieur au nombre de boules dans l urne Apr s avoir cliqu sur l
20. vecteur Xp Xv Xr suit une loi hyperg om trique g n ralis e HG mpg my mpr n ou loi polyhyperg om trique La calculatrice donne les probabilit s que le vecteur Xg Xv Xr prenne la valeur kg kv kr telle que kg ky kr n Ce Ckv CER P X8 kp Xv kv Xr kp e Exemple L urne contient 5 boules bleues 3 vertes et 2 rouges On tire 4 boules sans remise dans cette urne La probabilit d obtenir 2 boules bleues une boule verte et une boule rouge est CCC PRE 2 Xv 1 Xg 1 Cho C couleurs de boules C gt 3 Plus g n ralement si l urne comprend m boules dont me boules de couleur cod e c 1 lt c lt C m D me la probabilit que le vecteur X1 Xc prenne la valeur k1 ka telle que y ke n est donn e par C i CE P X ki Xe kco on m Il s agit de la loi hyperg om trique g n ralis e HG mpg my mpr n Il est noter que les lois marginales de cette loi sont des lois hyperg om triques Xe H m m me n c 1 C A 2 Tirages avec condition d arr t Dans cette partie le nombre de tirages n est pas fix l avance mais on arr te de tirer des boules quand on a atteint une certaine configuration du type lt au moins tant de boules de telle couleur gt On s int resse alors au nombre de tirages n cessaires pour obtenir cette configuration en fonction de la composition de lurne de la condition d arr t et de l option de remise
Download Pdf Manuals
Related Search