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Mode d`emploi de la théorie constructive des champs bosoniques

1. Les param tres d affaiblissement sont not s ici S pour ne pas les confondre avec les param tres s du d veloppement en clusters horizontal Le lecteur v rifiera facilement que mettre des param tres S 0 quivaut autoriser deux polym res se chevaucher libre ment alors que d river par rapport un param tre S implique que les polym res ont au moins un cube en commun Dans le deuxi me cas le cube en commun attache les deux polym res l un l autre supprimant la libert de d placement horizontal de l un par rapport l autre l arbre de polym res ainsi cr se borne alors comme un polym re simple puisqu il a t rendu connexe cf 83 2 Dans le premier cas les contributions des deux polym res se multiplient permettant la resommation en exponentielle Si ces polym res poss dent des champs externes il faut n anmoins les consid rer comme des polym res color s de couleurs diff rentes puisqu ils ont t rendus totalement ind pendants l un par rapport l autre It rant le d veloppement chaque chelle on voit qu il faut donc tra vailler de mani re g n rale avec des champs color s di RP x couleurs gt C Les corrections aux bornes gaussiennes du 83 2 sont mineures cf 51 pour les d tails 1240004 14 Mode D emploi de la Th orie Constructive des Champs Bosoniques Lemme 2 2 Soit NonOverlap P Py Ie r 1p P non j overlapping t NonOver
2. gt MP 1240004 7 J Unterberger 2 Posons CG FE X E FCs E Alors y a la m me loi que la s rie de champs gaussiens ind pendants j Wi si y a pour covariance CG La troncature ultra violette d chelle p du champ w est y D0 j lt W de covariance Cy gt lt p Cp Le cas typique est celui d un champ gaussien multi chelles de dimension p pour lequel FCy amp EDF et aI x y lt Cae pour tout r gt 1 les exposants D 26 et 28 se correspondant par transformation de Fourier cf 50 La d finition de la dimension suit la d finition usuelle des physiciens en ce sens que x se comporte comme une nergie ou inverse de distance la puissance B En particulier les champs de dimension d chelle 3 gt 0 sont divergents dans Vultra violet ISp D finition 1 2 champs en interaction Soit A Ai A C7 un ensem ble de param tres et P1 P q gt 1 des polyn mes homog nes sur R x R4 Alors la th orie en interaction avec lagrangien d interaction Lint x p 1 Ap Pp V x Vu x est si elle existe la limite faible Pa dy des mesures de Gibbs 1 A V p Py v p dy ede eda ably 1 1 quand le volume V et l chelle de cut off ultra violet p tendent vers linfini o V CR est compact du est la mesure gaussienne correspondant au champ r gularis restreint au volume fini V Zx v est une constante de normalisatio
3. et bien d autres encore Des raisons existent cela de bonnes et de mauvaises Passons sur le fait que les applications d essence combinatoire ou formelle en somme la majorit des appli cations aux math matiques lorsqu on laisse de c t l analyse et les probabilit s ne s int ressent par d finition qu aux d veloppements asymptotiques sans se soucier de leur convergence La principale et plus s rieuse est sans doute la limitation qu on peut esp rer provisoire du champ d application des m thodes constructives aux th ories qui sont des perturbations de th ories gaussiennes Les th ories physiques sous jacentes s crivent en termes d un lagrangien d interaction Lint coupl un param tre gt 0 appel constante de couplage la th orie est gaussienne la limite 0 Comme nous l expliquons plus loin cf Secs 1 et 2 la renormalisa tion perturbative comme constructive repose sur une int gration successive sur les degr s de libert de la th orie en commen ant par les chelles d nergies ou moments de Fourier les plus hautes ce que les physiciens appellent la zone ultra violette et en descendant jusqu aux nergies les plus basses dans l infra rouge Ce faisant les param tres de la th orie notamment sont renormalis s et deviennent d pendants de l chelle La th orie effective l chelle 7 donnant le comportement des fonctions n points d x1 x av
4. Lint x Lint W 1 x Mais en g n ral la renormali sation induit un flot du param tre A tant la constante de couplage effective relative l chelle j Cette constante effective s obtient en pratique en sommant les contre termes de toutes les chelles gt j Autrement dit le contre terme d chelle X 1 A compense les divergences de la th orie dues aux sous diagrammes dont l chelle la plus basse est pr cis ment gale j La formule 2 10 se r crit l aide des contre termes d chelle j en faisant une resommation d Abel I L Gt D O2 Da DIT 1 p lt p 1 p lt p i 1 o l on a pos APT 0 et teH 0 Dans le cas des chemins rugueux renormalis s la mise en ordre normal de Fourier fait appara tre un lagrangien d interaction d compos en chelles Pour un lagrangien du type Lin x Ye KO Ma Yt x la formule d habillage se g n ralise ainsi I Lehtla A yo AGIT O lt i i lt 1 lt P i 1 I 4 5y APH te y KO T7 Yy a P Sp 0 lt ji i lt r lt p 1 i 1 2 12 hPlus pr cis ment 77 est gale la somme des contributions des parties locales des polym res dont l chelle la plus basse est gale j cf infra 1240004 16 Mode D emploi de la Th orie Constructive des Champs Bosoniques o TP f x tete titli x p gt j est la composante d chelle j de Py a Nous pouvons maintenant introduire le d ve
5. donne une multitude d int grales it r es possibles correspondant des choix essentiellement arbitraires de champs singuliers la construction physique quant elle donne une famille un param tre d int grales it r es construites par un proc d naturel en th orie des champs pouvant de plus s interpr ter comme ajout d une d rive drift singuli re dans une quation diff rentielle stochastique 52 et permettant de d finir une int gration stochastique avec de bonnes propri t s adapt e par exemple la r solution d quations diff rentielles stochastiques Les termes fran ais suivis d une ast risque sont retraduits en anglais dans le lexique final afin de permettre au lecteur anglophone de comprendre ais ment et au lecteur francophone de se r f rer aux articles originaux La th orie construc tive n ayant jamais t crite en fran ais leur traduction fran aise a t obtenue en suivant les traditions orales pour lesquelles l auteur remercie chaleureusement Jacques Magnen sans qui plus g n ralement tout ce travail de transcription de la th orie constructive n aurait pas t possible 1 Comptage de Puissance Pour les Diagrammes de Feynman Multi chelles Curieusement les trait s classiques sur la th orie quantique des champs qu ils introduisent l algorithme de Bogoliubov Parasiuk Hepp Zimmermann ou qu ils en restent des d veloppement 1 ou 2 boucles n utili
6. eme 3N le 3 6 k lt k Av gcpi gt k o AF gt AF est unique cube d chelle k lt k contenant AF La somme sur k lt k permet d explorer tout le polym re partir de l chelle p la restriction du polym re aux plus hautes chelles comme nous l avons d j signal pouvant tre connect par en bas i e par les lignes les plus basses Exactement de la m me mani re que les lignes externes des diagrammes de Feyn man multi chelles quasi locaux de la Sec 1 contribuaient un facteur de ressort MP assurant la convergence globale du diagramme renormalis chaque champ de bas moment 7 produit l chelle k cf 83 1 apporte un facteur de ressort M 8 5 ou plus g n ralement M 9 une fois d falqu s les champs moyenn s ventuels de sorte que la contribution du terme entre crochets dans 3 6 est 1240004 24 Mode D emploi de la Th orie Constructive des Champs Bosoniques de l ordre de k A ti 1 1 MTP i yg Bar i ee x gt 1 dk A A r k j A EDK k 1 L 1 bu k 3 pep T M D 1 d AF A y 3 7 kaj A EDk La premi re somme sur les cubes d chelle k Y Arep PAT est d ordre 1 elle provient du d veloppement en clusters horizontal d chelle k La deuxi me sur les cubes d chelle k lt k X Arep arn ae est d ordre MP elle provient des champs de bas moment d chelle j p
7. lectrodynamique ou la chromodynamique quantique les mod les de physique statistique sur r sau les marches al atoires auto vitantes 54 D autres r gimes avec une singularit non plus ponctuelle dans la limite co en moments de Fourier mais au voisinage d une surface interpr t e comme surface de Fermi ont galement t tudi s avec des applications la localisation d Anderson et des mod les de fermions non relativistes en interaction tels que le mod le de Luttinger 7 en dimension un ou le mod le du jellium en dimension deux 23 en relation avec la th orie de Bardeen Cooper Schrieffer BCS sur la supraconductivit En g n ral les th ories fermioniques peuvent tre trait es sans introduire tout le lourd appareillage des d veloppements en clusters multi chelles 4 Malgr les avanc es conceptuelles de la derni re d cennie l avis personnel de l auteur est que le cadre g n ral pour ces d veloppements en clusters tel qu on le trouve dans l article 22 crit il y a plus de vingt ans tait le plus appropri la fois par sa g n ralit et son usage parcimonieux d identit s combinatoires et d alg bre au profit de d veloppements en arbres somme toute intuitifs et faciles visualiser dans lesquels apparaissent clairement les id es essentielles Le d faut majeur mais partag dans une large mesure par les autres approches est la technicit assez redoutable des b
8. navant a lt 1 4 Pour aller plus loin il est naturel de consid rer les wavy lines ext rieures comme propagateurs d un champ gaussien o o4 0o deux composantes ind pendantes qu on choisit de covariance Fourier 64 w par homog n it On est donc conduit a introduire le lagrangien d interaction Lint x iA OAT x o4 x OA x o_ x 4 11 Les dimensions des champs sont a pour 2a pour a et la constante de cou plage R A 0 est sans dimension de sorte que la th orie est a priori juste renormalisable Les conditions tr s particuli res sur les chelles dans les vertex le champ d riv 0 tant de bas moment par rapport au champ impliquent que A west pas renormalis e Le comptage de puissance et les sym tries de la th orie montrent que seuls les diagrammes 2n propagateurs externes o et 0 propagateur externe sont potentiellement divergents de degr s de divergence wo 1 Ana Pour a 1 4 1 8 hypoth se laquelle nous nous tenons par la suite seul le propagateur du champ correspondant n 1 doit tre renormalis Fig 3 Diagramme bulle En effet les diagrammes de Feynman avec trois propagateurs externes 0 0 ne peuvent tre des diagrammes dangereux au sens de la Sec 1 1240004 30 Mode D emploi de la Th orie Constructive des Champs Bosoniques Des arguments perturbatifs naifs font bien comprendre ce qui se pas
9. pour contr ler la limite en volume infini L cole romaine 6 se rendit alors compte que cette analyse de l espace des phases tait en un certain sens une version spatiale continue du d veloppement en blocs de spins ou block spin expansion crite en premier par Kadanoff pour le mod le d Ising et devenue ult rieurement un outil majeur la fois en physique des particules de haute nergie et en physique statistique gr ce aux travaux de K Wilson sur le groupe de renormalisation 73 74 L outil du d veloppement multi chelles fut d velopp dans les ann es 80 afin de donner une version rigoureuse de groupe de renormalisation de Wilson en introduisant notamment le flot des param tres effectifs ou renormalis s cf 28 pour l approche la fa on blocs de spins et 22 pour la version continue appel e d veloppement en clusters multi chelle ou multi scale cluster expansion Cette derni re approche a t poursuivie durant les trente derni res ann es conduisant la fois des avanc es conceptuelles 1 3 49 et des applications des mod les de la th orie quantique des champs avec un comportement asymptotique non trivial soit dans la limite ultra violette ou des hautes nergies ou encore petite distance ou infra rouge ou des basses nergies ou grande distance on peut citer 1240004 4 Mode D emploi de la Th orie Constructive des Champs Bosoniques p le m le le mod le l
10. r es du brownien fractionnaire en termes plus g om triques comme chemin rugueux au dessus du brownien Nous insistons sur l id e qu il s agit de substituts A Lejay 44 45 a bien fait voir comment on peut modifier loisir les int grales it r es d un chemin en ins rant tout le long des bulles microscopiques invisibles l oeil nu Les travaux de l auteur 67 70 50 51 ont montr en fait que lesdites int grales it r es s expriment en termes de champs singuliers dits ordonn s en Fourier qui peuvent tre r gularis s par l ajout d un terme d interaction dans le lagrangien sans mod ifier les trajectoires du champ r gulier d sous jacent Ce miracle s explique par le Rappelons qu un chemin continu X 0 T R est a H lder a 0 1 si SUP 4e 0 7 Lorel lt oo Les trajectoires Browniennes sont a H lder pour tout a lt 1 2 elles ont une variation quadra tique finie presque s rement en raison de compensations al atoires Ils s obtiennent en effet comme d riv e ou int grale fractionnaire suivant la valeur de a du Brownien 1240004 6 Mode D emploi de la Th orie Constructive des Champs Bosoniques flot quasi trivial du groupe de renormalisation une it ration suffisant pour cranter totalement l interaction On obtient ainsi toute une classe de processus gaussiens g n ralis s qu on pourrait appeler champs quasi gaussiens La th orie g n rale 19
11. Les m thodes constructives sont en g n ral m connues du grand public int ress la th orie des champs sous ses divers aspects s entend et r put es r serv es une poign e d experts Il y a la un paradoxe compte tenu du succ s extraordinaire de la th orie des champs et des th ories de renormalisation Celles ci sont devenues incontournables en physique des particules de haute nergie comme en physique de la mati re condens e depuis les travaux de K Wilson dans les ann es 70 Par all lement le champ de leurs applications math matiques n a cess de s tendre ces vingt derni res ann es on pourrait citer en suivant approximativement l ordre chronologique les invariants de Donaldson pour les vari t s de dimension 4 et la th orie de Seiberg Witten 55 les int grales matricielles et leurs applications la combinatoire 41 la th orie des noeuds et la topologie en basse dimension 5 la quantification par d formation des vari t s de Poisson par M Kontsevich 39 la d monstration constructive du th or me de Kolmogorov Arnold Moser KAM 26 9 les travaux fondateurs d A Connes et D Kreimer portant sur la refor mulation alg brique de l algorithme de renormalisation de Bogolioubov Parasiuk Hepp et Zimmermann BPHZ l origine d une multitude de d veloppements plus formels avec des applications notamment aux sch mas num riques d int gration des quations diff rentielles 14 10
12. carr usuel sur Z contract ou dilat d un facteur M De mani re g n rale A x RP ny lt Mix lt nj 1 pour certains entiers n1 np Les diff rents A donnent une partition de l espace R Les liens relient deux cubes not s Ay et A Si x R on note AJ le cube d chelle j contenant x 1240004 12 Mode D emploi de la Th orie Constructive des Champs Bosoniques Consid rons la fonction de partition d un mod le de th orie des champs restreinte une chelle j donn e gi I e7 Em df 2 5 A un choix de param tres d affaiblissement z donn not s dans ce cas par ticulier sg ou SA A correspondent un noyau de covariance affaibli C x x Saj ai C x x et la mesure gaussienne associ e ps Une g n ralisation en dimension infinie de la formule suivante pour un vecteur gaussien bidimensionnel X X X2 de matrice de covariance C C 1 1 sC 1 2 sC 1 2 C 2 2 obtenue par transformation de Fourier FCO 2I f x 2ry det Cs exp 5 C ta dr 2I f n exp 5 Cen n dn C 1 2 Ox Ox F X s 2 6 donne la formule suivante 1 Ti 5 II dur f de dry C ae x 0 Ar FIEFI LEL Fi x djta w Y Hor e7 FEC 4ey 2 7 o Hor Teer Go wc sera appel op rateur de d veloppement hori zontal Regardons maintenant comment cette formule s applique dans un con texte multi chelles Le d veloppement l chelle p s applique la fonct
13. dans F de oz vers of F tant la for t obtenue partir de F en fusionnant toutes les racines de F en un seul sommet En pratique Zo Zo 1 Zo 1 1 est une fonctionnelle donn e au d part d pendant de l ensemble ainsi qu implicitement de param tres ext rieurs comme des constantes de couplage des champs ext rieurs d une grande complexit com binatoire c est dire sans pr tendre une d finition pr cise ne pouvant s obtenir partir de fonctionnelles sur des sous ensembles de Dans les deux cas que nous allons voir il existe une fa on naturelle d associer Zo une fonctionnelle Zo z rer o de sorte que Zo z se factorise sur les composantes connexes du graphe obtenu en supprimant les ar tes Z telles que zg 0 Plus pr cis ment la contribution d une for t F de composantes connexes T T7 au membre de droite de 2 2 se r crit comme le produit I 1 I I fame I x elovchi tE ea i 1 zeL T 7 LEL T Le d veloppement restreint 2 3 vite de tester ou affaiblir les liens entre deux objets de type 2 lorsque cela est inutile ou dangereux cf application au d veloppement de Mayer ci dessous Premi re application d veloppement en clusters horizontal Soit D l ensemble des cubes AJ d une chelle j donn e En dimension D 1 il s agit simplement des intervalles iM i 1 M Z En dimension 2 les carr s AJ s obtiennent comme faces du r seau
14. et peuvent tre reproduits partout l identique Dans les faits le choix des dimensions des champs et de l interaction ainsi que le flot du groupe de renormalisation cr ent des situations tr s diff rentes les unes des autres se refl tant notamment dans la r solution des quations implicites donnant les param tres renormalis s et dans la m thode de domination Nous avons donc choisi de pr senter un mod le classique le mod le infra rouge non massif en dimension 4 ainsi que le cas des chemins rugueux pour donner au lecteur une vision moins exclusivement technique de la th orie constructive 1240004 25 J Unterberger 4 1 Th orie de masse nulle On consid re ici le champ bosonique libre non massif avec une interaction dt en dimension 4 c est ce qu on appelle habituellement la th orie Il est bien connu que la constante de couplage diverge logarithmiquement dans la limite ultra violette La divergence ultra violette de ce mod le est similaire celle de l lectrodynamique quantique d o son utilisation fr quente comme mod le jouet toy model pour comprendre les difficult s de la renormalisation en physique des hautes nergies Au contraire la classification par Landau et Ginzburg des transitions de phases du second ordre 43 sugg re que le mod le infra rouge et le mod le d Ising sont dans la m me classe d universalit la masse du champ bosonique est proportion nelle l
15. gt j multipli par une somme sur des polym res en fait sur des arbres de polym res d chelle la plus basse gt j sans overlap l chelle J i e co N 1 ee 3 Le 214 N 1 non j overlapping P1 Pn EPIS n 1 obtenue apr s les d veloppements horizontal H et vertical V P chelle j 1 Si le polym re P poss de lt Next max Champs externes on met de c t sa partie locale obtenue en d pla ant tous les champs externes au m me point Ce qui reste est consid r artificiellement pour la coh rence du sch ma comme un polym re avec gt Next max Champs externes puisqu il est convergent 2 On applique le d veloppement de Mayer l chelle j l expression 2 14 3 On resomme les polym res du vide en une exponentielle e lVIM 7 et les parties locales des polym res divergents avec un nombre de champs externes compris entre 1 et Next max 1 donc en un contre terme d chelle j qu on remet dans le lagrangien 3 Bornes Constructives On retrouve ici le comptage de puissance de la Sec 1 mais avec l obligation de savoir sommer sur tous les graphes simultan ment qui complique singuli rement le probl me Le principe g n ral est que le d veloppement multi chelles a produit une somme de termes du type Lez J duas YI CIGI eT S EmA Ede abr g s en CiGie J Fine o si th sont les param tres des d veloppements en cluster hor izontaux et verticaux CJ est un produit de pro
16. l origine de la solution que nous avons apport e au probl me de la d finition de l aire de L vy du Brownien fractionnaire Le lecteur int ress pourra se r f rer 69 68 67 19 Les constructions explicites de chemins rugueux que nous avons introduites reposent toutes sur des m thodes multi chelles et plus particuli rement sur la mise en ordre normal de Fourier des int grales squelette D finissons bri vement ces notions dans le cas du Brownien fractionnaire et des int grales it r es d ordre 2 On consid re un champ stationnaire gaussien 1 2 sur R ici D 1 deux composantes ind pendantes de covariance Fourier 4 ETF o a 0 est l indice de Hurst du Brownien fractionnaire Ce champ poss de une divergence infra rouge due la non int grabilit de ce noyau en 0 le Brownien fractionnaire B t t 0 est bien d fini en revanche De mani re g n rale les divergences infra rouge qui apparaissent dans les calculs interm diaires disparaissent lorsqu on consid re des incr ments ce qui est le cas de toutes les quantit s construites partir du Brownien fractionnaire et on n y fera plus attention On d compose le champ en chelles comme pr c demment Contrairement au cas de la th orie infra rouge abord e dans le paragraphe pr c dent c est le comportement ultra violet aux grandes chelles j gt 0 7 00 qui demande une attention particuli re R
17. les MP3 cubes d chelle k contenus dans A Rappelons que ces champs de haut moment sont un sous produit de la m thode constructive ils n apparaissent pas quand on tudie un diagramme de Feynman multi chelle donn 1240004 20 Mode D emploi de la Th orie Constructive des Champs Bosoniques iii des champs de bas moment Y x x AJ h lt j produits par les m mes d veloppements Comme dans le comptage de puissance des diagrammes de Feynman multi chelle on fait comme si Y tait d chelle j Autrement le facteur MF apport par la composante y est d compos en M95 M 8G Si l on est tout a fait pr cis ces champs de bas moment ont non pas deux chelles mais trois chelles en raison du fait qu ils peuvent tre red riv s a plusieurs chelles successives Soit k l chelle de production correspon dant la premi re d rivation Wan ou a ayant fait sortir le champ Th ED x PEU x th Mp x A l chelle suivante k 1 la d rivation a peut agir son tour sur Ty k 1 x produisant le champ Tw et ainsi de suite jusqu une chelle j poussant le champ de bas moment initial Tw vers le bas puisque ses chelles les plus hautes sont rabot es au fur et a mesure Par hypothese le champ Th UTD x n est pas touch par les ventuelles d rivations set Tl faut bien tenir compte dans les facteurs combinatoires de l ventuelle possibilit qu il
18. les param tres t 0 1 ci dessous jouent un r le tr s similaire aux param tres d affaiblissement s ou S des paragraphes pr c dents La terminologie n est pas fix e on parle soit de d veloppement en cluster vertical soit plus justement peut tre de momentum decoupling expansion ou d veloppement sur le couplage entre chelles D finition 2 3 param tres verticaux On note un ensemble de param tres ths j Z A DY associ chacun un cube donn De mani re quivalente rh ti t ot AZ est l unique cube d chelle j contenant un point x d finit j une fonction localement constante dans chaque cube 1240004 15 J Unterberger Voici une premi re d finition possible D finition 2 4 Lagrangien habill Soit I 1 Pile x un mon me contenu dans le lagrangien d interaction et Lipe Y x VIT Y x sa troncature ultra violette coupl e une constante de couplage Alors le lagrangien habill associ est I CRED T I Soret 8 Pei a 2 10 lt p i 1 o Tw est le champ habill d fini par la formule de r currence Tw 7 x YP x 22 TY e a Lorsque la constante de couplage n est pas renormalis e la formule se simpli fie la constante tant en facteur la fois dans Lint w et dans Lint Y t comme pour les d veloppements en cluster on retrouve alors la th orie initiale lorsque t 1 autrement dit
19. me point Le graphe tant quasi local c est dire quasi ponctuel du point de vue de l chelle de ses lignes externes on comprend que cette op ration donne la contribution principale du graphe La soustraction est quivalente du point de vue du comp tage de puissance remplacer w T par w T w T 7 1 Pour T La formule des arbres de Zimmermann ou algorithme de renormalisation de BPHZ se r crit dans ce langage multi chelles faisant appara tre essentiellement des soustractions de contre termes associ s des for ts de diagrammes dangereux et rendant quasi imm diate la preuve de la finitude des graphes renormalis s cf 71 1 3 3 1240004 9 J Unterberger suffisamment grand T 2 pour la th orie 4 en dimension 4 T 0 pour le mod le de chemins rugueux w I lt 0 ce qui permet de sommer sur les chelles 2 D veloppement en Clusters Les d veloppements en clusters proviennent de l tude de mod les sur r seau ou de gaz dilu s haute temp rature 37 62 Dans tous les cas l id e est d valuer une fonction de partition portant sur un grand nombre de degr s de libert coupl s avec une interaction a courte port e en la r crivant comme somme sur des amas finis clusters enti rement d coupl s Les d veloppements en clusters de la th orie des champs sont fond es sur une d composition en ondelettes simplifi e di d un champ gaussien o j est
20. orie constructive des champs sont galement perturbatifs leur mani re puisqu ils ne sont bien d finis comme nous venons de l expliquer que lorsque les param tres renormalis s restent petits toutes les chelles La cl r side dans un d veloppement perturbatif contr l une sorte de d veloppement de Taylor avec reste int gral au lieu d un d veloppement en s rie permettant d exprimer la fonction de partition ou plut t son logarithme l nergie libre comme bLa chromodynamique quantique est asymptotiquement libre dans l ultra violet 43 au contraire le mod le non massif en dimension 4 tudi ici est asymptotiquement libre dans l infra rouge COn peut citer la th orie non massive en dimension 2 et 3 associ au mod le d Ising la temp rature critique 1240004 3 J Unterberger la limite d une s rie de fonctions f analytiques en yoo f A portant sur les chelles d nergies de lultra violet j 00 jusqu l infra rouge j co Formellement le d veloppement en s rie divergent nouveau des f A permet de retrouver la s rie des diagrammes de Feynman les d veloppements perturbatifs de la th orie constructive peuvent donc se voir comme une resommation partielle astucieuse de cette m me s rie La correspondance entre la s rie divergente des dia grammes de Feynman et la s rie convergente de la th orie constructive est en fait plus pr cise que cela
21. quand K est choisie de sorte que les facteurs K X X soient de l ordre de 1 2 Bornes mono chelle On fixe une chelle j et on consid re uniquement les champs X x ins r s dans les propagateurs CJ provenant du d veloppement cluster horizontal l chelle j Na vement on pourrait penser que le lemme de Wick est inutile puisqu il suffit de majorer le produit de propagateurs En fait en utilisant la factorisation sur les for ts l on doit sommer sur tous les arbres possibles ce qui revient approxi mativement majorer des expressions du type y Xn o IT d crit l ensemble des pairings d un nombre arbitraire de champs Y x i 1 2 2N 7 A les cubes A n tant pas n cessairement distincts avec trois contraintes unique ment i II relie tous les cubes A autrement dit les liens entre les cubes dans lesquels se situent les champs forment un graphe connexe ii le nombre Ni A de champs x contenus dans un cube fix A est born par Cn A o ni A est le degr de connectivit du cube A autrement dit un plus le nom bre de cubes connect s A iii un certain cube fix A appartient au graphe de cubes Ces contraintes sont faciles comprendre i provient de la factorisation de la fonction de partition sur les arbres ou composantes connexes du d veloppement en cluster horizontal ii les champs proviennent des op rateurs de d rivation Hor et Vert il y a e
22. rateur de d rivation horizontal ou vertical Hor ou Vert sur un vertex f 4 x dx Trois sur quatre tout au plus de ces champs prennent l ascenseur ensemble et descen dent s par ment ou pas des tages j qui sont autant d chelles de lachage On peut accompagner chacun d un facteur o 1 4 lt s lt 1 3 de sorte que les autres champs du vertex laiss s la porte de l ascenseur puissent se partager un petit facteur X k gt 0 servant aux bornes gaussiennes Consid rons tous les champs moyenn s de bas moment A J A J l ch s dans un cube A On fait 1240004 28 Mode D emploi de la Th orie Constructive des Champs Bosoniques maintenant la remarque simple suivante refl tant la stricte positivit du lagrangien cf remarque dans l introduction la Sec 3 xr 1 4 XP AT exp f 7 ade lt a 4 7 Ai AT cons quence de l in galit triviale x e 4 4A 1 A xle Al l lt A71 En v rit il faudrait tenir compte des deux faits suivants i les champs champs moyenn s comme ceux pr sents dans l interaction sont d cor s de t facteurs 1 ty ou 1 tx Gi le cube peut contenir jusqu a O n A champs moyenn s n A tant le degr de connectivit de A77 On montre facilement qu ils ne changent rien au calcul pr c dent 4 2 Chemins rugueux Ce n est pas le lieu d expliquer en d tails la th orie des chemins rugueux ainsi que
23. une chelle de Fourier verticale comme pr c demment et AJ un cube horizontal i e relatif l espace direct RP et non l espace de Fourier de taille M7 autour du centre de la composante ondelette Chaque wh peut tre vu comme un degr de libert de la th orie ces diff rents degr s de lib ert tant relativement ind pendants les uns des autres de sorte que l interaction int gr e f Lint dx peut se r crire comme une double s rie horizontale et ver ticale divergente horizontalement en raison de l invariance par translation de la th orie et verticalement sauf si la th orie ne n cessite pas de renormalisation Les d veloppements en clusters horizontaux H et verticaux V permettent de r crire la fonction de partition Z 7 sur un volume fini avec chelle de troncature ultra violette p comme une somme ne 5 Fy Pi Fav Pa 2 1 n n P1 Pn non overlapping o P P sont des polym res disjoints i e des ensembles de cubes A reli s par des liens horizontaux et verticaux pendant les d veloppements en clusters la mesure gaussienne a t modifi e de sorte que les composantes des champs appartenant des polym res diff rents sont devenues ind pendantes EFnv P P P1 P est l valuation fav P d une fonction fay d pendant uniquement des composantes situ es dans le support de P Les faits fondamentaux sont les suivants i la fonction d valuation du p
24. 0 1 lt 0 dans chaque cube de T Alors tous les termes t Ty gt Y x dans G ont t mis z ro L expression r sultante ne contient donc pas de sources ou champs externes de moment lt p 1 c est une constante qu on appelle polym re du vide En d veloppant en s rie e Jre Lint x dx exponentielle dans laquelle tous les champs de bas moment ont t mis z ro on retrouverait la somme formelle des diagrammes du vide d chelle p de la th orie perturbative Mais en th orie perturbative les dia grammes du vide ne sont pas consid r s en effet leur resommation conduit une exponentielle qui change simplement le facteur de normalisation de la mesure et ne modifie donc pas les fonctions n points Les contraintes de non overlap entre polym res ne permettent pas une resommation exponen tielle directe en th orie constructive mais le d veloppement de Mayer permet i Autrement dit Tw x gt T r i x cf q 2 10 I lt 1240004 17 J Unterberger de lever ces contraintes de non overlap faisant appara tre un facteur exponen tiel gal elVIM o ff converge quand V oo vers l nergie libre par degr de libert d chelle p not e f et d ordre O A ii A l autre extr me supposons que le reste int gral ait t choisi pour au moins l un des cubes dans T Le polym re poss de donc au moins Next max champs externes Le comptage de puissance expliqu en
25. 2010 G Gallavotti Invariant tori A field theoretic point of view on Eliasson s work in Advances in Dynamical Systems and Quantum Physics d R Figari World Scientific 1995 pp 117 132 G Gallavotti and K Nicol Renormalization theory in 4 dimensional scalar fields Commun Math Phys 100 1985 545 590 101 1985 247 282 K Gawedzki and A Kupiainen Massless lattice pi theory Rigorous control of a renormalizable asymptotically free model Commun Math Phys 99 1985 197 252 1240004 32 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 A1 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 Mode D emploi de la Th orie Constructive des Champs Bosoniques J Glimm and A Jaffe Quantum Physics A Functionnal Point of View Springer 1987 J Glimm and A Jaffe Positivity of the ys Hamiltonian Fortschr Phys 21 1973 327 376 J Glimm A Jaffe and T Spencer The particle structure of the weakly coupled P p 2 model and other applications of high temperature expansions Part II The cluster expansion in Constructive Quantum Field Theory Erice 1973 op cit 17 N Goldenfeld Lectures on Phase Transitions and the Renormalization Group Addison Wesley 1992 M Gubinelli Controlling rough paths J Funct Anal 216 2004 86 140 R Gurau J Magnen and V Rivasseau Tree quantum field theory arXiv 0807 4122 B Hambly and T Lyons Stochastic ar
26. Aoe 7 O A un grand facteur au lieu du petit facteur souhait Afin de r soudre ce probl me on est amen rajouter un terme de bord dans l interaction qu on peut choisir gal Lig M2 0 x Le pr facteur M70201 a t choisi de mani re ce que l int grale de M 24 1 2 5P 6 sur un intervalle A soit de Pordre de 1 Comme 12a 1 gt 0 ce terme est en fait vanescent toutes les chelles 7 lt p A ces chelles la domination par le contre terme 7bo produit un facteur 1 multipli par un petit facteur M34 44 0 5 d b MO t Si au contraire j p chelles de bord ce facteur vaut peu pr s 1 et on domine alors par le terme de bord 12 Sch matiquement Aoje M7 0 O A5 que multiplie AU2 D 0 5 6 En choissant assez petit on arrive obtenir un petit facteur toutes les chelles Il faut encore v rifier qu on peut dominer les champs o moyenn s de bas moment issus de L12 par 12 lui m me Les d tails peuvent tre trouv s dans 51 References 1 A Abdesselam Explicit constructive renormalization Ph D Thesis 1997 2 A Abdesselam and V Rivasseau Trees Forests and Jungles A Botanical Garden for Cluster Expansions Lecture Notes in Physics Vol 446 Springer 1995 3 A Abdesselam and V Rivasseau An explicit large versus small field multiscale cluster expansion Rev Math Phys 9 1997 123 199 4 A Abdesselam and V Rivasseau Explicit fermionic tr
27. L nergie libre est typiquement analytique l int rieur d un petit disque A C A Ao lt Ao Ao gt 0 inclu dans le demi plan Re gt 0 et des estim es permettent de montrer qu elle est gale la somme de Borel de son d veloppement en s rie en 0 donn par les diagrammes de Feynman Apr s ces pr cautions d usage nous pouvons maintenant tenter de r sumer les succ s porter au cr dit de la th orie constructive on pourra se reporter la monographie de V Rivasseau 60 la th se de A Abdesselam 1 ou aux livres de V Mastropietro et de M Salmhofer 53 63 qui s int ressent plus sp cifiquement aux th ories fermioniques La th orie constructive des champs est un programme lanc l origine dans les ann es 60 par A S Wightman 72 dont le but tait de donner des exemples explicites de th ories des champs avec une interaction non triviale cf 29 et les r f rences donn es dans l article pour une bibliographie plus tendue E Nelson donna la premi re contribution au programme en 1965 en introduisant une analyse multi chelles 56 afin de contr ler la divergence du mod le en deux dimensions dont la seule divergence provient de l ordre de Wick J Glimm et A Jaffe introduisirent l analyse g n rale sur l espace des phases 30 pour des mod les avec un nombre fini de graphes divergents Le d veloppement en clusters fut invent par J Glimm A Jaffe et T Spencer 31
28. S World Scientific Scientific Confluentes Mathematici Vol 4 No 1 2012 1240004 34 pages Yo www worldscientific com World Scientific Publishing Company DOI 10 1142 S179374421240004X MODE D EMPLOI DE LA TH ORIE CONSTRUCTIVE DES CHAMPS BOSONIQUES avec une application aux chemins rugueux J R MIE UNTERBERGER Institut Elie Cartan Universit Henri Poincar BP 239 54506 Vandoeuvre les Nancy cedex France jeremie unterberger iecn u nancy fr Received 22 February 2011 Revised 30 October 2011 Published 23 April 2012 Nous d veloppons dans cet article les principaux arguments constructifs utilis s en th orie quantique des champs en nous cantonnant aux th ories bosoniques pour lesquelles il n existe pas de pr sentation g n rale r cente L article s adresse d abord et avant tout des math maticiens ou physiciens math maticiens connaissant les argu ments de base de la th orie perturbative des champs et souhaitant conna tre un cadre g n ral dans lequel ils peuvent tre rendus rigoureux Il fournit galement un aper u d une s rie d articles r cents 50 51 visant donner une d finition constructive des chemins rugueux et du calcul stochastique fractionnaire We develop in this article the principal constructive arguments used in quantum field theory limiting us to bosonic theories for which there does not exist any recent gen eral presentation The article is primarily written for mathemat
29. Sec 1 montre que les diagrammes de Feynman poss dant suffisamment de pattes externes sont superficiellement convergents On d finit alors Noxt max 1 comme le nombre maximum de pattes externes d un diagramme de Feynman superficiellement divergent iii Les cas interm diaires se rangent plut t dans la premi re ou deuxi me cat gorie suivant le nombre de champs externes Si celui ci est lt Noxt max on retire ce polym re sa partie locale ou valuation moments externes nuls Graphiquement l valuation moments externes nuls est quivalente d placer tous les champs externes au m me point 71 Apr s le d veloppement de Mayer cette extraction de parties locales s av re quivalente une renor malisation des param tres Au contraire s il est gt Next max on ne fait rien le polym re est consid r comme superficiellement convergent 2 3 D veloppement en clusters multi chelles En th orie perturbative des champs un comptage de puissance na f mono chelle permet de rep rer les structures externes possibles des graphes superficielle ment divergents Le d but de leur d veloppement de Taylor moments externes nuls appel partie locale dans le language de la th orie constructive est mis part et resomm Leur contribution s obtient de mani re quivalente en rajoutant un contre terme au lagrangien ou encore en rempla ant les param tres nus par les param tres renormalis
30. aire on peut mettre sans dommage des param tres d affaiblissement s entre tous les cubes d chelle j Deuxi me application d veloppement de Mayer Ce d veloppement permet de s parer la contribution des polym res du vide l nergie libre comme nous l expliquons ci dessous et de resommer les parties locales des polym res divergents en vue de la renormalisation Contentons nous ici de montrer comment effectuer ce d veloppement l aide de la formule de Brydges Kennedy Abdesselam Rivasseau Un polym re P multi chelle d chelle minimale j est un ensemble connexe de cubes d chelles k j 7 1 p reli s par des liens horizontaux entre cubes de m me chelle ou verticaux encore dits liens d inclusion reliant A k gt j l unique cube A d chelle k 1 con tenant A Deux polym res ee pi sont dits non j overlapping sans recouvre ment l chelle j si P et P n ont pas de cube en commun l chelle j autrement dit si P ND N P ND Les objets sont cette fois ci des polymeres et les liens des liens de non overlap qu on souhaite supprimer La for mule de BKAR permet de ne garder des liens de non overlap qu entre les cubes appartenant un m me arbre de polym res Le d veloppement fait appara tre de mani re g n rale des for ts de polym res une sorte de superstructure arbores cente si l on pense que les polym res sont eux m mes des arbres
31. aire os 0 d objets distincts L ensemble des liens de est not L O on peut le voir comme l ensemble des ar tes du graphe total sur Si F est une for t autrement dit une r union disjointe d arbres reliant les objets de l ensemble O on note L F L O l ensemble de ses ar tes D finition 2 1 formule de Brydges Kennedy Abdesselam Rivasseau Soit Zo 0 112 R une fonction Z Z z ser 0 d pendant d un ensemble de param tres 24 0 1 plac s sur les liens 0 0 reliant deux deux les objets d un ensemble abstrait fini Alors 1 formule BKAR1 o Zo X II dwe Il zz Z Cw 2 2 FEF 0 LeL r 0 EL F o F O est l ensemble des for ts non ordonn es reliant les objets de O ze w L L O est le minimum des param tres wy pour l parcourant l unique 1240004 11 J Unterberger chemin de o vers o si og et o sont connect s par les liens de F et ze w 0 sinon 2 formule BKAR2 On suppose O1 IL O2 Soit Fyes O l ensemble des for ts F restreintes sur O c est dire des for ts dont chaque composante connexe est i soit un arbre d objets de type 1 appel arbre non enracin soit ii un arbre enracin contenant un seul sommet de type 2 consid r comme sa racine Alors I f aw I ler es FEFres O LEL F LEL F o ze w L O est le minimum des param tres w pour parcourant l unique chemin
32. algebras renormalization and noncommutative geometry Commun Math Phys 199 1998 203 242 L Coutin and Z Qian Stochastic analysis rough path analysis and fractional Brow nian motions Probab Th Relat Fields 122 2002 108 140 B Duplantier and S Sheffield Liouville quantum gravity and KPZ arXiv 0808 1560 Constructive Quantum Field Theory Proc of the 1973 Erice Summer School eds G Velo and A Wightman Lecture Notes in Physics Vol 25 Springer 1973 G Falkovich K Gawedzki and M Vergassola Particles and fields in fluid turbulence L Foissy and J Unterberger Ordered forests permutations and iterated integrals arXiv 1004 5208 J Feldman J Magnen V Rivasseau and R S n or Bounds on completely convergent Euclidean Feynman graphs Commun Math Phys 98 1985 273 288 J Feldman J Magnen V Rivasseau and R S n or Bounds on renormalized Feyn man graphs Commun Math Phys 100 1985 23 55 J Feldman J Magnen V Rivasseau and R S n or Construction and Borel summa bility of infrared di by a phase space expansion Commun Math Phys 109 1987 437 480 J Feldman V Rivasseau J Magnen and E Trubowitz An infinite volume expansion for many Fermions Green s functions Helv Phys Acta 65 1992 679 U Frisch Turbulence The Legacy of A N Kolmogorov Cambridge Univ Press 1995 P Friz and N Victoir Multidimensional Dimensional Processes Seen as Rough Paths Cambridge Univ Press
33. arXiv 0706 2457 J Magnen and J Unterberger From constructive theory to fractional stochastic cal culus I An introduction Rough path theory and perturbative heuristics Ann Henri Poincar 12 2011 1199 1226 J Magnen and J Unterberger From constructive theory to fractional stochastic cal culus II The rough path for lt 0 lt 4 Constructive proof of convergence para tre Ann Henri Poincar arXiv 1103 1750 J Magnen and J Unterberger Renormalized rough paths A stochastic differential equation approach in preparation V Mastropietro Non Perturbative Renormalization World Scientific 2008 J Magnen and D lagolnitzer Weakly self avoiding polymers in four dimensions Commun Math Phys 162 1994 85 121 J Moore Lectures on Seiberg Witten Invariants Lecture Notes in Mathematics Vol 1629 Springer 1996 E Nelson A quartic interaction in two dimensions in Mathematical Theory of Ele mentary Particles eds R Goodman and I Segal MIT Press 1966 1240004 33 J Unterberger 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 D Nualart Stochastic calculus with respect to the fractional Brownian motion and applications Contemp Math 336 2003 3 39 R Peltier and J L vy V hel Multifractional Brownian motion Definition and pre liminary results INRIA research report RR 2645 1995 M Peskine and D S
34. cart de la temp rature la temp rature critique et le champ non mas sif refl te donc le mod le d Ising pr cis ment la temp rature critique Du c t infra rouge au contraire la th orie devient asymptotiquement libre la constante de couplage ayant une d croissance logarithmique on prouve en fait que les fonctions n points sont celles de la th orie libre non massive des corrections logarithmiques pr s Rentrons maintenant dans les d tails Le lagrangien d interaction nu de ce mod le s crit Lint o A d7 x o pr Dj est un champ gaussien sur Rf de covariance x y FX x y correspon dant approximativement la troncature ultra violette l chelle 7 0 d une mesure gaussienne qu on pourrait crire de mani re impropre e723 Jea IVAP de Dg m Les d veloppements en clusters conduisent un lagrangien habill Lahe ANCA e DC APT HE NE a p lt 0 dLmasse t Londe P t x 4 1 o SLenaswe Pit a 2 da THE a 4 2 est le contre terme de ad 5Lonae t x D 623 1 H PIIV T4 Y Pa 4 3 p lt 0 le contre terme de fonction d onde Au risque de nous r p ter Lint 1 Lint est le lagrangien initial de la th orie et l habillage avec les param tres t resp kNotons n anmoins que le boson de Higgs massif cl de vo te du mod le standard mais non encore observ rentre dans le cadre de la th orie 4 La fonctio
35. chr der An Introduction to Quantum Field Theory Addison Wesley 1995 V Rivasseau From Perturbative to Constructive Renormalization Princeton Univ Press 1991 V Rivasseau F Vignes Tourneret and R Wulkenhaar Renormalization of noncom mutative 4 theory by multi scale analysis Commun Math Phys 262 2006 565 594 D Ruelle Statistical Mechanics Rigorous Results Benjamin 1969 M Salmhofer Renormalization An Introduction Springer 1999 H Triebel Spaces of Besov Hardy Sobolev Type Teubner 1978 J Unterberger Stochastic calculus for fractional Brownian motion with Hurst param eter H gt 1 4 A rough path method by analytic extension Ann Probab 37 2009 565 614 J Unterberger A central limit theorem for the rescaled L vy area of two dimensional fractional Brownian motion with Hurst index H lt 1 4 arXiv 0808 3458 J Unterberger A renormalized rough path over fractional Brownian motion arXiv 1006 5604 J Unterberger A rough path over multidimensional fractional Brownian motion with arbitrary Hurst index by Fourier normal ordering Stoch Proc Appl 120 2010 1444 1472 J Unterberger Holder continuous paths by Fourier normal ordering Commun Math Phys 298 2010 1 36 J Unterberger A L vy area by Fourier normal ordering for multidimensional frac tional Brownian motion with small Hurst index arXiv 0906 1416 F Vignes Tourneret Renormalisation des th ories de champs non commutative
36. de la mati re ces m mes d veloppements perturbatifs en diagrammes de Feynmann sugg rent que la con stante de couplage effective cro t sans limite dans la limite ultra violette et donc que le mod le est intrins quement mal d fini aux nergies les plus hautes Mal heureusement ces mod les sont parmi les plus fondamentaux en physique de la mati re condens e comme en physique des particules de haute nergie La majorit des physiciens s est donc tourn e vers la recherche de nouveaux mod les comme la grande unification ou la th orie des cordes ou des mod les int grables comme c est le cas du mod le d Ising et de nombre d autres mod les de physique statis tique en dimension 2 ou encore a abandonn l id e de d veloppements pertur batifs rigoureux se contentant de d veloppements perturbatifs en diagrammes de Feynman Un point de terminologie important s impose ici avant de poursuivre on appelle d ordinaire th orie perturbative des champs un d veloppement en diagrammes de Feynman Le d veloppement asymptotique g n ral de la fonction de partition ou des fonctions n points ou corr lations de la th orie fait appara tre une s rie enti re en ou en fh notoirement divergente dans toutes les th ories connues plus pr cis ment le coefficient de ou somme des diagrammes de Feynman N boucles diverge comme une factorielle N une certaine puissance Pourtant les mod les explor s en th
37. e Celle de Stratonovich est sans doute celle qui correspond le plus a l intuition puisqu elle s obtient comme limite de l int grale de Riemann usuelle contre de bonnes approximations C par morceaux des trajectoires browniennes notamment les classiques interpolations lin aires par morceaux et qu elle v rifie la formule fondamentale du calcul infinit simal a savoir F B t F B s fi F B u d B u pour toute fonction r guli re F valu e le long d une trajectoire brownienne B t cf 75 cit dans 38 85 2 D 1240004 5 J Unterberger Cette approche choue lorsqu on consid re des processus stochastiques d indice de r gularit H lder a lt 1 2 4 Le champ d applications est immense et mal d fini allant des diffusions sur des fractals 35 aux sous diffusions en milieu poreux 32 42 des processus multi fractionnaires et leurs proches parents les marches al atoires multi fractales ou martingales multiplicatives 12 avec leurs applications en gravit quantique de Liouville 16 ou pour mod liser la turbulence 24 18 40 aux bruits color s utilis s de mani re ph nomonologique dans nombre d applications en par ticulier en synth se d images Ce sont ces derniers qui nous int resseront ici en raison de leur caract re gaussien qui les apparente aux mod les usuels de la th orie quantique des champs L exemple le plus l mentaire de ces processus gaussiens est appel habituellement br
38. e on dessine l ensemble des lignes d chelle gt j not 17 Soit jy gt j7 1 gt la liste d croissante des chelles du diagramme On construit un arbre couvrant de T en extrayant du graphe GiJ un arbre couvrant puis en le compl tant en un arbre couvrant de GJJ 1 et ainsi de suite jusqu puisement des chelles On int gre successivement sur les sommets de l arbre couvrant en partant des chelles les plus hautes La d croissance scal e des propagateurs montre que chaque vertex contribue un facteur de l ordre de 1 pour une th orie juste renormalisable bien entendu En int grant sur tous les sommets sauf un d un diagramme quasi local connexe g C G i on trouve une contribution totale major e par Mis 9 Mrts 9 yes 9 Si tous les degr s de divergence superficiels w g de tous les sous diagrammes quasi locaux sont lt 0 les facteurs de ressort M t 9 permettent de sommer sur les diff rences d chelle ji ji 1 alors que les termes M s 9 sont gard s en r serve pour les chelles inf rieures et garantissent que les vertex des diagrammes quasi locaux d chelle e sont encore neutres La renormalisation consiste soustraire l valuation des sous diagrammes quasi locaux superficiellement divergents moments externes nuls ou mieux encore son d veloppement de Taylor l ordre T autour des moments externes nuls ce qui est quivalent d placer toutes les lignes externes au m
39. e si j j 2 CZ 623 77 623 7 amp ez A 7 io yt 4 6 Au lieu d une condition initiale l chelle 0 on fixe une condition terminale m 0 d crivant un champ non massif cf note i en bas de p 26 et de m me 673 0 On trouve alors imm diatement m O M j et 8Z3 O 1 j fini gr ce la convergence de la s rie 5 51 Ces r sultats sont confirm s par les bornes constructives de la section pr c dente en rempla ant les sommes formelles sur les diagrammes 1 P I par la somme con vergente chaque chelle sur les polym res d chelle minimum j deux ou qua tre propagateurs externes Comme dans la th orie perturbative les parties locales des polym res divergents sont resomm es en les termes suppl mentaires dans le lagrangien Le champ est de dimension d chelle D 2 1 1 l hypoth se high momentum fields cf Eq 3 8 est donc v rifi e En revanche 1 lt D 2 2 ce qui impose cf 3 1 de s parer les champs moyenn s de bas moment A Cette s paration fait que ceux ci ne sont plus compens s par les contre termes on doit donc s parer les termes analogues dans les contre termes galement Tous ces ter mes doivent tre domin s par l exponentielle de l interaction Celle ci est inf rieure exp X f T x dr Z pco ATH t2 4 TH CD a dz Les champs moyenn s de bas moment sont produits en faisant agir un op
40. ea for Brownian motion on the Sierpinski gasket Ann Probab 26 1998 132 148 K Hepp Proof of the Bogoliubov Parasiuk theorem on renormalization Commun Math Phys 2 1966 301 326 C Itzykson and J M Drouffe Statistical Field Theory Cambridge Univ Press 1989 I Karatzas and S Shreve Brownian Motion and Stochastic Calculus Springer 1991 M Kontsevich Deformation quantization of Poisson manifolds Lett Math Phys 66 2003 157 216 A Kupiainen and P Muratore Ginanneschi Scaling renormalization and statistical conservation laws in the Kraichnan model of turbulent advection S Lando and A Zvonkin Graphs on Surfaces and Their Applications Springer 2003 M Lagu s and A Lesne Invariance d chelle Des changements d tat a la turbulence Belin 2003 M Le Bellac Quantum and Statistical Field Theory Oxford Univ Press 1991 A Lejay An Introduction to Rough Paths S minaire de Probabilit s XX XVII 1 59 Lecture Notes in Math Vol 1832 Springer 2003 A Lejay Yet another introduction to rough paths S m Probab 1979 2009 1 101 T Lyons Differential equations driven by rough signals Rev Mat Ibro 14 1998 215 310 T Lyons and Z Qian System Control and Rough Paths Oxford Univ Press 2002 T Lyons and N Victoir An extension theorem to rough paths Ann Inst H Poincar Anal Non Lin aire 24 2007 835 847 J Magnen and V Rivasseau Constructive theory without tears
41. ec log x zy 7 se calcule alors a Ou encore notant pf les fluctuations gaussiennes du champ w sur une distance typique de l ordre de 271 des fonctions J 1 YI an sans restriction sur les x 1240004 2 Mode D emploi de la Th orie Constructive des Champs Bosoniques comme une perturbation finie de la th orie gaussienne avec les parametres effectifs l chelle j Tout le probleme de la renormalisation provient de ce que le flot du groupe de renormalisation associ sauf dans les th ories dites asymptotiquement libres pour lesquelles la constante de couplage effective tend vers 0 et dans cer taines th ories avec des sym tries particuli res pour lesquelles le flot est trivial 61 fait cro tre le param tre au del de la zone o les perturbations sont permises Dans certains cas des d veloppements perturbatifs en diagrammes de Feynman 2 ou 3 boucles au del l utilisation de l ordinateur devient indispensable sem blent indiquer l existence d un point fixe non trivial autrement dit d une valeur limite non nulle du param tre renormalis aux nergies les plus basses signature d un comportement effectif non gaussien de la th orie l chelle macroscopique Dans d autres de mani re encore plus critique comme l lectrodynamique quan tique en dimension 4 suppos e d crire l interaction des lectrons avec le champ lectromagn tique autrement dit de la lumi re et
42. ee expansions Lett Math Phys 44 1998 77 88 1240004 31 J Unterberger 10 11 12 13 14 15 16 1 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 J Baez and J Muniain Gauge Fields Knots and Gravity Series on Knots and Every thing Vol 4 World Scientific 1994 G Benfatto M Cassandro G Gallavotti F Nicolo E Olivieri E Pressutti and E Scacciatelli On the ultraviolet stability in the Euclidean scalar field theories Com mun Math Phys 71 1980 95 130 G Benfatto G Gallavotti and V Mastropietro Renormalization group and the Fermi surface in the Luttinger model Phys Rev B 45 1992 5468 5480 D Bernard K Gawedzki and A Kupiainen Anomalous scaling in the N point func tion of passive scalar J Bricmont K Gawedzki and A Kupiainen KAM theorem and quantum field theory Commun Math Phys 201 1999 699 727 C Brouder Runge Kutta methods and renormalization Euro Phys J C 12 2000 521 534 D C Brydges and T Kennedy Mayer expansion of the Hamilton Jacobi equation J Stat Phys 49 1987 19 49 E Bacry and J F Muzy Log infinitely divisible multifractal processes Commun Math Phys 236 2003 449 475 P Cartier and C DeWitt Morette Brydges operator in renormalization theory in Mathematical Physics and Stochastic Analysis eds S Albeverio et al World Scien tific 2000 pp 165 168 A Connes and D Kreimer Hopf
43. emarquons tout d abord que l aire de L vy de B A s t i dB t1 J gt dBo t2 se d compose successivement en somme de plusieurs termes A s t P A s t P A s t 4 8 o le projecteur de Fourier P envoie 1 Q 2 sur DD H Dp Der pi ok puis P A s 1 Pt f dBy ty Bolt P f Bit dBolts 4 9 Sa covariance dans l espace direct s crit Bs Bt 3 2 s 2 t s 2 1240004 29 J Unterberger les int grales f ou f tant des int grales squelette donn es formellement 1 par la multiplication par ig en Fourier On montre que le deuxi me terme Pt fi dBi t1 f dB2 t2 P 1 t 1 s 2 s est 2a e H lder pour tout e gt 0 La partie singuli re de l aire de L vy singuli re pour a lt 1 4 en tout cas est donc donn e par les incr ments de deux fonctions A de d riv e OA PT Od t pa t 2 TAOVAD D7 Ad1 1 5 2 4 10 j lt k et similairement pour AT en changeant les indices de sorte que l chelle du champ d riv 06 soit inf rieure celle du champ non d riv On v rifie facilement que la transform e de Fourier de la fonction deux points 0A s 0A t est donn e par le diagramme de Feynman bulle amput de la Fig 3 gal a peu de choses pres a Sielce Erna z a a et diverge donc si et seulement sia lt 1 4 On retrouve ainsi rapidement les r sultats classiques de L Coutin et Z Qian 15 Supposons dor
44. gt j La fonction B A ae calcul e constante nue fix e donnant le flot de la constante de couplage est approch e ici par le flot discret ATIT ATI G A 4 La contribution princi pale la fonction 8 provient du diagramme bulle de la Fig 1 valu e moments externes nuls avec la contrainte que l un au moins des propagateurs donc les deux par conservation des moments soit d chelle j ce qui donne j D 1 52 d j 3 AUS D 1617 PONA O 7 4 4 o c gt 0 est une constante Le syst me dynamique discret ATIT ATI c A 4 se comporte asymp totiquement comme le syst me dynamique continu ci avec s In donnant A qT io 2 Les contre termes 5m et 5Z3 4 se cal culent de la m me mani re en consid rant le d veloppement de Taylor l ordre 2 du diagramme t tard tadpole d ordre qui contribue uniquement au contre terme de masse et du diagramme deux boucles d ordre cf Fig 2 On trouve Fig 1 Diagramme bulle 1240004 27 J Unterberger Fig 2 De gauche droite diagramme tadpole t tard diagramme deux boucles pour le diagramme tadpole d Om m wwf a M i icl l lt M i yy Mi Cm IM 2j Tj oo cj 4 5 et pour l autre diagramme une nouvelle contribution 6m 71 5m de l ordre de A 4 M J ainsi qu
45. icians or mathematical physicists knowing the basic arguments of quantum field theory and desiring to discover a general framework in which they can be made rigorous It also provides a glimpse of a recent series of articles 50 51 whose aim is to give a constructive definition of rough paths and fractionary stochastic calculus Keywords Constructive field theory renormalization cluster expansions fractionary Brownian motion fractionary stochastic calculus rough paths AMS Subject Classification 60F05 60G15 60G18 60H05 81T08 81T18 0 Introduction Cet article est n d un expos inachev fait au s minaire de physique math matique de l Universit de Lyon en f vrier 2011 L auteur de ces lignes voulait raconter bri vement ses travaux r cents sur les chemins rugueux et sur le calcul stochastique fractionnaire 50 51 avant d en venir l objet essentiel de sa conf rence celui pour lequel il avait t mandat pourrait on dire savoir des explications d taill es concernant les m thodes constructives en th orie des champs sur lesquelles reposent 1240004 1 J Unterberger de mani re essentielle ses r sultats ainsi que plus g n ralement la validit des calculs perturbatifs tournant autour de la renormalisation De fil en aigu ille d explication en explication et faute de combattants pourtant tr s patients l expos a d s interrompre au bout de presque trois heures
46. ion fe Sy Eim Y7 Ede dy4 4 P dans laquelle les champs de bas moment 7 sont consid r s comme des sources Le produit de ce d veloppement est une somme de produit de termes factoris s sur chaque arbre T provenant de la formule de Brydges Kennedy Abdesselam Rivasseau Chaque terme factoris est une somme de termes du type C G e Jre Lim b w de o CP est un produit de propagateurs CP xe p d chelle p G est un produit fini de champs w En r alit ce d veloppement s applique non pas la fonction de partition Z7 mais la fonction Z7 t o les coefficients we j Z AI DI multipliant diverse ment les diff rentes chelles des champs sont introduits en vue du d veloppement multi chelles cf 2 2 La d composition pr c dente reste n anmoins valable on obtient des termes du type C G e Jre Lim Y st x dx o la d pendance en les param tres t est cach e dans le mon me G 1240004 13 J Unterberger Les d veloppements aux diff rentes chelles s obtiennent de la m me mani re D un point de vue logique apr s avoir compl t les d veloppements en clusters aux chelles p 7 1 et obtenu des polym res il suffirait d affaiblir par des param tres s les liens entre cubes d chelle 7 situ s la base de polym res distincts En pratique cette proc dure n est pas d nu e d ambiguit et plut t que de d finir une proc dure pr cise relativement arbitr
47. lap P4 Pw S Il G Sp P SPa P En 2 8 Pn Pa Alors NonOverlap P1 Px _ 5 Il f w Il a NonOverlap S W FeF P1 Py LEL F 79 LEL F 2 9 o F P1 Pn est l ensemble des for ts reliant les polym res P Pn En pratique on distinguera entre les polym res de type 1 poss dant lt Noxt max champs externes et ceux de type 2 poss dant gt Next max Champs externes puisque le d veloppement de Mayer sert en principe resommer les parties locales des polym res divergents et on n affaiblira la condition de non overlap qu entre les cubes dans lesquels aucun champ externe n est situ ceci afin d viter l accumulation de champs externes dans le m me cube que pourraient cr er les S d rivations autrement et on appliquera la 2 me formule de Brydges Kennedy Abdesselam Rivasseau au lieu de la 1 re Nous n crirons pas la formule explicitement 2 2 D veloppement en clusters vertical Ce d veloppement est en r alit un d veloppement de Taylor partiel dans chaque cube d une chelle donn e En ce sens ce n est pas r ellement un d veloppement en cluster et la formule de Brydges Kennedy Abdesselam Rivasseau ne s applique pas N anmoins comme nous allons voir il conduit une s paration effective de l ensemble des cubes 1 D en morceaux disjoints appel s polym res qu on peut voir comme des clusters ou amas multi chelles et
48. libre log Z7 est une somme sur chaque chelle de quantit s extensives d pendant de l chelle consid r e ie log Zy V Vic MPi fi o fi qu on peut voir comme une nergie libre par cube d chelle j converge quand V oo vers une quantit finie de l ordre de O A On retrouve l id e que chaque cube d chelle j contient un degr de libert Alter ene oe peut approcher cette d composition par une somme ele fy x dx o fI est une densit volumique d nergie libre d chelle j de l ordre de M A Finalement les fonctions a n points se calculent de la m me mani re en incorporant des champs externes d une chelle donn e et en sommant sur les chelles de ces champs 2 1 Formule de Brydges Kennedy A bdesselam Rivasseau Voyons maintenant comment concr tiser ces id es La tres jolie formule ci dessous obtenue dans une premi re version par Brydges et Kennedy 11 cf toutefois 17 pour des versions encore ant rieures puis am lior e et syst matis e par A Abdes selam et V Rivasseau 2 3 fascine les math maticiens 13 Elle permet de traiter le d veloppement en clusters horizontal ainsi que le d veloppement de Mayer dans le premier cas les objets sont des cubes d une chelle donn e dans le deuxi me cas des polym res multi tages Cette formule s nonce de mani re abstraite sur un ensemble fini d objets quel conque Un lien de l ensemble O est une p
49. loppement vertical De la m me mani re que le d veloppement horizontal s obtient par un d veloppement de Taylor habile en les variables sA1 A autour de la valeur s 0 le d veloppement vertical s obtient par un simple d veloppement de Taylor l ordre Noxt max en les variables ta On peut formaliser ainsi ce d veloppement D finition 2 5 op rateurs de d veloppement vertical Soit 7 Z et T un arbre reliant des cubes d chelle 7 on note Vertr l op ration de d veloppement de Taylor l ordre Next max dans chacun des cubes de T Vert f t A T Il f O ee gMNextimax 1 t 0 j Ai Is J a AJETI Arg 2 tas 0 fa C Net geet ax th A ecTi 2 13 i ee je CU CP La formule de Taylor avec reste int gral donne f 1 Vert f Appliqu e a l chelle p a la trace sur un arbre T du d veloppement en cluster hori zontal l chelle p elle produit une somme de produits de termes du type G t Avere jem fre Fine Ys tae arcre x 4e multipli s par un produit de propaga teurs d chelle p S parons les champs Ty x apparaissant dans G en Y x te Ty x et voyons le r sultat sur le support de l arbre T de l action des diff rents termes dans les op rateurs de d veloppement vertical Vert Le principe g n ral est que chaque d rivation Oye produit un champ de bas moment Ty CD On trouve les diff rents cas suivants i Choisissons le terme de degr
50. n appel e fonction de partition En d veloppant l exponentielle de l interaction en s rie et en utilisant la for mule de Wick bien connue rappel e en 3 2 on peut exprimer les fonctions a n points ou corr lations de la th orie Yi 1 Vi n x comme une somme formelle de diagrammes de Feynman x Xr A T o I parcourt l ensemble des diagrammes avec n lignes externes 4 1 Wi n et A T C est l valuation du diagramme correspondant les fonctions n points connexes s obtiennent alors comme somme sur les diagrammes connexes sans la constante de renormalisation E Si l on choisit une chelle pour chaque ligne int rieure ou ext rieure du graphe on obtient ce qu on peut appeler un diagramme de Feynman multi chelles Dans toute la suite on supposera pour simplifier le comptage de puissances que la th orie est juste renormalisable autrement dit les constantes de couplage sont sans dimension ou encore chaque terme dans l interaction feo Vi Yir x dx est de dimension bi bi D 0 On d montre alors facilement qu un dia gramme mono chelle l dont toutes les lignes int rieures et ext rieures sont d une m me chelle fix e j est d ordre MJ o w T D Frera Pa Lext T fLa convention dans 50 est d appeler dimension d chelle 68 gal la r gularit H lder des trajectoires 1240004 8 Mode D emploi de la Th orie Constructive de
51. n a au plus Ini A resp I Next max par cube o J est le degr de Vinteraction Lint iii s obtient en fixant un cube op ration n cessaire en raison de Vinvariance globale par translation en d autres termes de l extensivit de l nergie libre On obtient alors cf 51 Eq 5 5 en choisissant un arbre couvrant le graphe de cubes et en explorant les sommets un un en partant du cube fix i Ao 3N EG vita turn s 14 sp D sup wowe 35 T A AEDI Noms TEA WEA L insertion du facteur 1 N A permet de sommer sur tous les champs contenus dans un cube donn priori il sort du chapeau et sans ce facteur on obtient ce qu on a appel historiquement des factorielles locales du type N A Ce genre de facteurs sort de mani re r p t e dans les bornes constructives et se contr le tr s facilement par la d croissance polynomiale des corr lations En effet JLes N pairings produisent a priori un facteur global la puissance N Le choix de l arbre couvrant et le processus d exploration conduisent au terme V peut tre non optimal dans lEq 3 5 1240004 23 J Unterberger on voit facilement qu un cube A de degr de connectivit n A est connect au moins n A 2 cubes A distance di A A gt C ni A4 en raison du fait que les cubes forment un pavage r gulier de RP Une partie du facteur de d croissance polynomiale en ahaa peut tre utilis e et produi
52. n de Green G x y de op rateur m se comportant comme e7 lz vl grande distance 1 m joue le r le d une longueur de corr lation infinie la temp rature critique Dans l interpr tation de ce mod le en physique statistique ce cut off ultra violet revient con sid rer le mod le d Ising sur un r seau de maille de longueur a 1 dans les unit s choisies 1240004 26 Mode D emploi de la Th orie Constructive des Champs Bosoniques les contre termes Od Lmasse et O Londe ne proviennent que de d veloppements d ordre combinatoire et de resommations partielles de l interaction il ne s agit donc pas de termes suppl mentaires rajout s la main pour supprimer les divergences comme on l entend dire parfois Des calculs perturbatifs initiaux donnent une bonne id e du flot de la constante de couplage et des contre termes 6m 5Z3 On s inspirera ici des quations de Callan Symanzik donnant le flot du groupe de renormalisation telles que d crites dans le Chapitre 7 du livre de M Le Bellac 43 La constante de couplage flottante A E y est d finie comme la somme des contributions de tous les diagrammes one particle irreducible 1 P I avec 4 propagateurs externes de moments d ordre de grandeur cf 43 q 7 1 3c Avec notre d coupage en chelles il est naturel ici de remplacer M par qui est formellement la somme sur tous les dia grammes de lignes internes d chelles
53. olym re Fay P est d autant plus petite que le polym re est grand en raison de la d croissance polynomiale ou exponentielle grandes distances pour la direc tion horizontale et par des arguments de comptage de puissance pour la direc tion verticale ce qui conduit l image d ilots horizontaux maintenus ensemble par des ressorts verticaux ii les liens horizontaux et verticaux dans P une fois qu un cube appartenant P a t fix suppriment l invariance par trans lation responsable de la divergence lorsque V oo Une astuce combinatoire classique appel e d veloppement de Mayer un d veloppement en clusters d un type particulier en fait permet de r crire l q 2 1 comme une somme similaire sur des arbres de polym res parfois appel s Mayer extended polymers polym res 1240004 10 Mode D emploi de la Th orie Constructive des Champs Bosoniques tendus la Mayer et not s P eux aussi par abus de notation mais sans con trainte de non overlap Zy gt gt a DU P F P F P o F Fyy m est une nouvelle fonction d valuation de polym re tenant compte du d veloppement de Mayer de sorte que log Zy 5 F P appara t comme une quantit exten sive puisqu invariante par translation Les choses sont en fait plus compliqu es que cela les consid rations pr c dentes ne valant que pour une chelle donn e Au total on trouve que dans la limite V p oo l nergie
54. ommaire montre les dangers possibles de cette accumulation La formule de Wick donne EX 1 3 n 1 Fra x Vn n pair pour une variable gaussienne standard X autrement dit un fac teur de l ordre de n par variable Le facteur de d croissance polyn mial tant ici de l ordre de 1 puisque tous les champs 4 sont dans le m me cube d chelle h on a un facteur de l ordre de VM G par champ multipli par le facteur de ressort M G au total un facteur lt 1 condition que 3 gt D 2 Dans le cas contraire 8 lt D 2 on retire au champ 7 x sa moyenne sur le cube 1240004 21 J Unterberger YA o il a t l ch Le r sultat 1 dy x y A Jas w x dax 3 1 appel champ secondaire est d un ordre inf rieur au champ p au sens o le facteur de ressort n est plus M 80 mais MEO avec B B 1 Parfois comme dans le cas de la th orie non massive avec cut off ultra violet 22 il arrive qu il faille utiliser une proc dure de soustraction de moyenne un peu plus astucieuse de sorte que 3 2 Dans tous les cas une proc dure ou une autre permet d obtenir un exposant 3 diff rant de 8 par un entier positif tel que 8 gt D 2 On peut poser B B si 8 gt D 2 d s le d part auquel cas le champ secondaire est gal au champ initial 4 de fa on regrouper tous les cas Dans la suite on appellera champ moyenn de bas moment la diff rence w F x s x
55. ornes finales celle ci n est pas apparente dans l article bien qu il contienne tous les arguments majeurs mais r elle Nous esp rons que cet article peut servir de compagnon l article 51 dans lequel le lecteur pourra trouver tous les d tails dans une pr sentation nouvelle Pr sentons maintenant bri vement le long chemin qui partant de probl mes fondamentaux concernant la d finition m me du calcul stochastique fractionnaire nous a conduits chercher des r ponses en th orie des champs et plus pr cis ment en th orie constructive des champs puisqu il s agit ici d analyse et de probabilit s L tude des quations diff rentielles stochastiques dirig es par le brownien ou via la formule d It ou celle de Feynman Kac des quations de diffusion est un des th mes essentiels de la th orie des probabilit s depuis les premiers travaux d Einstein et Smoluchowski L int r t port cette th orie tient ce qu elle se con fond dans une large mesure avec celle des processus de Markov continus L outil technique essentiel pour le calcul stochastique est la th orie des semi martingales qui repose elle m me sur le caract re Markovien du processus ainsi que sur la notion de variation quadratique des trajectoires finie lorsque celles ci sont de r gularit Holder d indice gt 1 2 Il est bien connu que deux th ories d int gration celle d It et celle de Stratonovich sont en concurrenc
56. ownien fractionnaire par les probabilistes il s agit en fait d une famille de processus index e par un param tre a correspondant l indice de r gularit H lder des trajectoires 58 57 Or les travaux de L Coutin et Z Qian 15 ont montr que l int grale stochastique non triviale la plus l mentaire con struite partir du brownien fractionnaire bidimensionnel 1 t pa t avec ses deux composantes ind pendantes et de m me loi savoir ti S Als i d tr J te ba u 2 s ddx u 0 1 une int grale it r e d ordre 2 d finie comme limite des int grales it r es des inter polations lin aires par morceaux des trajectoires diverge quand a lt 1 4 Des travaux ult rieurs reposant sur des m thodes diff rentes 15 57 65 66 ont confirm Vexistence de cette barri re apparemment infranchissable en a 1 4 Et pourtant la th orie des chemins rugueux ou rough paths une th orie d int gration adapt e aux chemins irr guliers introduite par T Lyons la fin des ann es 90 46 47 et devenue un outil essentiel en calcul stochastique 46 47 33 44 45 25 pr dit malheureusement par des arguments g om triques non constructifs l existence d approximations C par morceaux autres que l interpolation lin aire par morceaux dont les int grales it r es de tous ordres con vergent vers des quantit s finies s interpr tant comme substituts d int grales it
57. pagateurs d chelle j G est un produit de champs d chelle j produits par des d veloppements en cluster d chelle arbitraire et Lixt d t est un lagrangien multi chelle avec des param tres renor malis s qu on d termine de mani re r cursive Il faut donc commencer par estimer ces param tres renormalis s qu on obtient comme solution d quations implicites On peut alors calculer l nergie libre ou les fonctions n points Tous ces calculs reposent sur les m mes principes i on borne l exponentielle e J int vit r de gi possible mais pas toujours par 1 ou en tout cas une constante par cube et on se ram ne par l in galit de Cauchy Schwarz calculer J ez J dies 7 C7 G ii on utilise la formule de Wick en consid rant toutes les contractions possibles ce qui produit des sommes de diagrammes de Feynman multi chelles avec des con traintes de non overlap iii on somme sur toutes les for ts de cluster et for ts de polym res de Mayer possibles bornes gaussiennes en tenant compte des facteurs combinatoires de la formule de Leibniz donnant la d riv e d un produit chaque d rivation 7 6 6 y agissant comme r agissant sur un pr it BF cans gissant co Tolan E OU mar giss ur un produ de champs Si l on avait d velopp l exponentielle en s rie cette somme diverg erait en raison de facteurs exponentiels d s l accumulation de champs d chelle j dans
58. roduits aux chelles k gt k gt j Un bref calcul montre que la double somme converge si B Bir D lt 0 condition r alis e puisque 3 gt D 2 par d finition Il reste sommer sur les champs de haut moment puis sommer sur les diff rents choix possibles de l ensemble A La meilleure image possible de la proc dure est celle que donnent les jeux de construction en bois ou en plastique pour les jeunes enfants consistant 4 mettre les petits cubes dans les grands Par exemple la contribution d un champ 7 de haut moment produit l chelle h lt j se calcule en consid rant sa restriction Res x 1peas YI x aux petits cubes A A comme en 3 1 2 Le volume d int gration d un champ restreint vaut M 0 M P d o un fac teur de ressort M G En consid rant les diff rentes d compositions y re i A possibles d un vertex en chelles j lt lt jr on montre que la resommation des petits cubes dans les grands n est possible que si Biz Biz Biz_ys bir t at Ba lt D 3 8 condition quivalente l hypoth se high momentum fields de 51 autrement dit si les champs en jeu ne sont pas trop divergents dans l ultra violet dans le cas contraire la th orie est totalement instable aux hautes nergies Les d tails peuvent tre trouv s dans 51 4 Deux Mod les Les sections pr c dentes donnent l illusion que les arguments constructifs sont totalement g n raux
59. s L id e est exactement la m me en th orie constructive ceci pr s que les diagrammes de Feynman sont remplac s par des polym res multi tages la resom mation des parties locales ne peut se faire qu apr s avoir lev la contrainte de non overlap entre les polym res d veloppement de Mayer La proc dure pr cise est facile comprendre mais les notations pr cises sont lourdes et le d veloppement de Mayer complique de mani re inessentielle les bornes constructives de la section suiv ante puisqu il impose de sommer sur des arbres de polym res au lieu de polym res Nous nous contenterons donc de pr senter ici les arguments essentiels en all geant les notations Le d veloppement se fait par r currence en partant de l chelle la plus haute p suivant le sch ma Hor Vert Hor Vert o Hor resp Vert symbolise le d veloppement en clusters horizontal resp verti cal l chelle j Chaque fl che interm diaire gt recouvre en fait trois op rations l mentaires successives Pla ons nous l chelle j c est dire juste apr s le d veloppement vertical d chelle 7 On suppose hypoth se de r currence que we a Tae DR k5p la fonction de partition a t r crite comme un produit JJ jq elVIM F7 1240004 18 Mode D emploi de la Th orie Constructive des Champs Bosoniques contribution la fonction de partition des degr s de libert d chelles
60. s Th se de doctorat de l Universit Paris 11 arXiv math ph 0612014 A S Wightman Remarks on the present state of affairs in the quantum theory of ele mentary particles in Mathematical Theory of Elementary Particles eds R Goodman and I Segal MIT Press 1966 K G Wilson Renormalization group and critical phenomena I Renormalization group and the Kadanoff scaling picture Phys Rev B 4 1971 3174 3184 K G Wilson and J Kogut The renormalization group and the expansion Phys Rep 12 1974 75 200 E Wong and M Zakai On the convergence of ordinary integrals to stochastic inte grals Ann Math Statist 36 1965 1560 1564 1240004 34
61. s Champs Bosoniques d signant l ensemble des lignes externes est le degr de divergence superficielle du graphe Pour la th orie en 4 dimensions par exemple le champ est de dimen sion 3 4 1 1 et le degr de divergence superficielle d un graphe connexe n lignes externes est 4 n cf 43 6 1 2 Un diagramme mono chelle est bien entendu convergent Les divergences en th orie quantique des champs proviennent des diagrammes quasi locaux c est dire des diagrammes multi chelles dont les lignes internes sont toutes de plus haute nergie que les lignes externes on note ip V chelle minimum des lignes internes et er l chelle maximum des lignes externes de sorte que la hauteur htr ip er d un diagramme quasi local I est positive En raison de la d croissance polynomiale ou exponentielle scal e de la covariance Ci a y YI x y n gligeable sur des distances y gt M l ordre de grandeur de l valuation A T d un diagramme quasi local s obtient en int grant sur des vertex int rieurs distance lt M les uns des autres inf rieure la distance a priori comparable MT des vertex ext rieurs d o le nom quasi local Dans la terminologie de 60 71 les diagrammes quasi locaux divergents sont dits dia grammes dangereux Pour valuer un diagramme multi chelles on r alise une sorte d corch pour chaque chelle 7 des lignes du diagramm
62. se Le dia gramme bulle diverge comme i M 4 pour un cut off ultraviolet de l ordre de MP La s rie g om trique associ e ce diagramme 1 P I donne pour le propa gateur renormalis du champ o ea MPG 4a E 1 jejte Ep 4e mare Eta A2 MPU tendant exponentiellement vite vers 0 quand p oo Le champ o acquiert donc une masse 6m de l ordre de MPU 44 Autrement dit l interaction dispara t toutes les chelles lorsqu on supprime le cut off Le champ reste donc gaussien avec exactement la m me fonction de covariance initiale Cependant la m me s rie donne 5 N ge l 4e une covariance renormalis e FOAt finie gale TEE p00 1 4a L l yz et redonnant apr s transformation de Fourier inverse une aire de L vy de r gularit Holder 2a Les arguments constructifs font appara tre une subtilit insoup onnable avec des arguments purement perturbatifs li e au probl me de la domination des champs o moyenn s de bas moment Soit b 6m J 5m X le contre terme de masse d chelle j divis par le carr de la constante de couplage Par un raisonnement similaire celui utilis pour la th orie chaque champ o de bas moment produit partir du vertex en 0A o peut prendre l ascenseur accom pagn d un petit facteur O A o k lt 1 A priori il ne peut tre domin que par le contre terme de masse en X2b o2 Sch matiquement
63. sent pas la notion du comptage de puissance ni de diagramme de Feynman multi chelles C est pourtant et les sp cialistes le savent bien depuis longtemps 20 21 27 de loin le moyen le plus simple de montrer qu on peut renormaliser les diagrammes de Feynman de fa on produire des quantit s finies et aussi de borner ces diagrammes Nous renvoyons ici au livre de V Rivasseau 60 ou la th se r cente de F Vignes Tourneret 71 o ces estim es classiques sont red montr es en d tails de mani re tr s p dagogique Le point de d part est une th orie gaussienne Soit donc w R Rd un champ gaussien stationnaire sur RP d composantes de noyau de covariance Cy x y Cy x y Dans toute la suite on choisit une d composition en chelles M adique du champ o M est une constante gt 1 fix e D finition 1 1 1 Soit x R R une fonction gt 0 support compact telle que x 0 dans un voisinage de 0 et x 1 dans un voisinage du bord de Vhypercube d fini par sup _1 np 1 Cette fonction peut tre choisie de sorte que X ez avec x y M d finissent une partition de l unit i e jez x 1 Soit p Z Alors la troncature ultra violette l chelle p d une fonction f RP R est fr FHE gt X lt x OF F E o F d signe la transformation de Fourier En termes simples la troncature ultra violette coupe toutes les composantes Fourier de moment tel que
64. si 8 lt D 2 et on la notera A 3 2 Bornes gaussiennes Ces bornes permettent de traiter les propagateurs les champs de haut moment et les champs secondaires de bas moment mais pas les champs moyenn s de bas moment d accumulation dangereuse qui seront trait s s par ment dans le paragraphe sur la domination Ces bornes sont essentiellement ind pendantes du mod le ceci pr s qu elles d pendent bien entendu du flot du groupe de renormalisation qui modifie les con stantes Elles ne pr sentent pas de difficult particuli re Comme dans la Sec 6 de 51 on va montrer comment les obtenir par tapes en partant de la formule de Wick 1 Formule de Wick Rappelons que si X1 X2n sont des variables gaussiennes X1 Xen 5 Xn 3 2 pairings II o II i1 i2 i2 1 i2 varie dans l ensemble des pairings appariements des variables X et Xn Xi Xi Xizn iizn On en d duit facilement en consid rant successivement les diff rents pairings possibles de Xj puis de X2 etc 2N 1 Xa Xew l lt 1 9 Kx 3 3 i 1 j gt i ou encore par un rescaling vident des variables X 2N 1 Xa Xen SK JT K KX 3 4 i 1 j gt i 1240004 22 Mode D emploi de la Th orie Constructive des Champs Bosoniques pour toute constante K gt 0 Supposant que les covariances X X soient toutes du m me ordre de grandeur cette derni re borne est optimale
65. soit red riv a des chelles inf rieures mais c est un probleme d ordre diff rent plus simple peut tre que nous passerons sous silence Pour les bornes gaussiennes on d compose le champ TY Y x en ses diff rentes chelles h lt j Les composantes r sultantes w x ont donc une chelle de production k une chelle de derni re t d rivation cons cutive j et une chelle propre h L image employ e dans 51 est celle d un ascenseur emmenant le champ Ty jusqu l chelle j puis le laissant tomber en chute libre et clater en ses diff rentes composantes y h lt j D o les ter mes imag s de dropping scale chelle de l chage au lieu de l appellation pr cise mais imprononcable d chelle de derni re t d rivation cons cutive et d chelle de chute libre free falling scale en concurrence avec chelle propre Il faut donc crire en fait M MF M783 MPU Jes deux fac teurs de ressort MPE et M 8G tant utilis s s par ment dans deux contextes diff rents on ne s int ressera ici qu au deuxi me facteur MPG h En clatant en leurs diff rentes composantes les champs de bas moment l ch s l chelle j produisent potentiellement une accumulation de composantes y champs d chelle propre h dans un seul et m me cube A leur nombre max imum est de l ordre de M 4 gal au nombre de cubes d chelle j contenus dans A Un calcul un peu s
66. t l inverse d une factorielle locale Si r peut tre choisi assez grand les factorielles locales disparaissent 3 Bornes multi chelles Venons en maintenant aux vraies bornes les pr c dentes n ayant qu un objectif p dagogique On fixe une chelle de r f rence jmin A priori il faudrait consid rer une somme sur tous les polym res possibles d chelles p p 1 jmin et con tenant au moins un cube l chelle j Mais le calcul se fait comme dans la Sec 1 en partant de l chelle p et en descendant au fur et mesure dans les chelles et la restriction du polym re aux chelles sup rieures une chelle donn e n est pas n cessairement connexe En pratique on d compose le calcul comme suit On fixe un ensemble fini de cubes A de diverses chelles et on somme sur toutes les for ts de cluster dont tous les cubes sont connect s par un ensemble de liens horizontaux et verticaux au moins l un des cubes de l ensemble A Les com posantes des champs des diverses chelles tant mutuellement ind pendantes on se ram ne calculer la contribution la fonction de partition des composantes d une chelle 7 donn e en consid rant les diff rentes attributions d chelles pos sibles pour chaque champ de chaque vertex fa Lint W x dx produit par une d rivation horizontale ou verticale o Lint w x IL wi x Le r sultat est le suivant S_Xnl lt 1 max sup Xar Xa Il EZI AKEDE
67. ticles complets Nous ne discutons pas ici la dom ination pr f rant l introduire dans la section suivante sur des mod les concrets 3 1 Comptage de puissance constructif Rappelons que la covariance de la composante d chelle j d un champ de dimension B est born e par 4 x y lt Omar Si l on oublie la d croissance spatiale chaque composante de champ 47 contribue un facteur M explicite dans le comptage de puissance des diagrammes multi chelles cf Sec 1 Voyons les diff rents champs produits par les d veloppements en cluster horizon taux et verticaux on obtient pour la commodit de la lecture les indices d chelles h j k sont syst matiquement class s par ordre croissant h lt j lt k i des propagateurs CI x y Yi x pI y produits par le d veloppement hor izontal d ordre de grandeur M2 ii des champs de haut moment produits par les d veloppements horizon 5 taux comme verticaux les op rateurs horizontaux THEN ou verticaux a Adj appliqu s l exponentielle e J ou un produit de champs G provenant des d veloppements en cluster des chelles sup rieures peuvent faire sor tir en particulier des champs x x A d chelle k gt j On distingue alors l chelle de production j de ces champs de leur chelle propre k Pour les bornes gaussiennes on s pare en pratique x x AJ en somme de champs restreints Res YF x leary x o AF d crit
68. une zone de taille de l ordre de M1 Il faut v rifier que les d veloppements 1240004 19 J Unterberger en cluster vitent l apparition de ces facteurs exponentiels En pratique des facto rielles apparaissent si l on n y prend garde en raison de l accumulation de champs moyenn s de bas moment cf explications ci dessous ces champs moyenn s doivent tre domin s directement par une exponentielle d croissante provenant de l action e7 J Lint dit dx Contrairement aux bornes gaussiennes et aux facteurs combi natoires essentiellement universels la domination d pend fortement du mod le consid r en particulier des dimensions d chelle des champs elle n est possible que sous des hypoth ses de stricte positivit du lagrangien proches dans l esprit d hypotheses de convexit Bien entendu toutes les bornes d pendent de mani re essentielle du flot du groupe de renormalisation Tous ces probl mes combin s contribuent rendre les bornes constructives illisibles Malgr de nombreux efforts de simplification de syst matisation ou de r criture alg brique 1 34 49 il semble qu un principe de non r duction des difficult s op re ici N anmoins dans le cadre de ce mode d emploi on peut pr senter les arguments essentiels revenant de mani re r currente dans tous les mod les bosoniques consid r s en esp rant que les lignes qui suivent permettront au lecteur de s orienter dans les ar

Mode d`emploi de la théorie constructive des champs bosoniques

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