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Probabilités, mode d`emploi

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1. Nombre de fois obtenu Fraction Pourcentage __ PILE 2 FACE 2 Exp rience 2 Nombre de lancers 10 Lance 10 fois la pi ce et note les r sultats dans le tableau suivant Nombre de fois obtenu Fraction Pourcentage __ PILE 10 FACE 10 Exp rience 3 Nombre de lancers 20 Lance 20 fois la pi ce et note les r sultats dans le tableau suivant Nombre de fois obtenu Fraction Pourcentage __ PILE 20 FACE 20 Exp rience 4 Nombre de lancers 100 Par groupe de 5 l ves r unissez vos r sultats et additionnez les r sultats obtenus lors de l exp rience 3 Nombre de fois obtenu Fraction Pourcentage __ PILE 100 FACE 100 CONCLUSION SC R N CNDP Cr en 2010 Tous droits r serv s Limitation l usage non commercial priv ou scolaire Introduction aux probabilit s fiche l ve 2 PILE ou FACE Premi re s rie d exp riences Exp rience 1 Nombre de lancers 5 Lance 5 fois la pi ce et note les r sultats dans le tableau suivant Nombre de fois obtenu Fraction Pourcentage __ PILE 5 FACE 5 Exp rience 2 Nombre de lancers 10 Lance 10 fois la pi ce et note les r sultats dans le tableau suivant Nombre de fois obtenu Fraction Pourcentage __ PILE 10 FACE 10 Exp rience 3 Nombre de lancers 20 Lance 20 fo
2. SC R N CNDP Cr en 2010 Tous droits r serv s Limitation l usage non commercial priv ou scolaire Fiche l ve 3 questionnaire de synth se Synth se Lancer de d Avec les lancers de d individuels 1 Qu as tu constat gr ce aux lancers que tu as fais seul 2 D apr s tes r sultats personnels la fr quence d apparition du 6 pile est inf rieure la fr quence d apparition des autres faces gale la fr quence d apparition des autres faces sup rieure la fr quence d apparition des autres faces Avec les r sultats du groupe 3 Pourquoi a t on d cid de regrouper les r sultats de plusieurs l ves 4 D apr s les r sultats du groupe la fr quence d apparition du 6 pile est inf rieure la fr quence d apparition des autres faces gale la fr quence d apparition des autres faces sup rieure la fr quence d apparition des autres faces 5 On te repose la question du mini questionnaire D apr s toi lorsqu on jette un d quel nombre entre un et six obtient on le plus facilement Explique ta r ponse Que r ponds tu maintenant 6 Y a t il des questions que tu n as pas pos es lors de la s ance en classe SC R N CNDP Cr en 2010 Tous droits r serv s Limitation l usage non commercial priv ou scolaire Fiche l ve 3 questionnaire de synth se Exemples de r ponses d l ves Synth se Lancer de d e Avec les l
3. Additionner l ensemble des lancers ayant obtenu Pile et le diviser par le total des lancers Le nombre de lancers tant tr s grand nous devrions obtenir un nombre d cimal proche de 0 5 les r sultats de toutes les exp riences de la s ance pour tous les l ves Les l ves crivent sur la fiche l ve 3 comportant les droites gradu es le nombre de Pile obtenus sur l ensemble des lancers et placent ce nombre sur les 2 droites l ves rempliront toutes les exp riences pour 5 10 et 20 lancers puis celles pour 3 7 13 et 18 Situation probl me comment disposer les r sultats sur les droites gradu es Les l ves exposent leur probl me et Disposer au moment opportun une calculette 3 Mise en commun des r sultats et d bat cherchent en commun des solutions sur le bureau ou jouer avec de mani re provoquer la r action d un l ve utiliser la Lorsque l id e d utiliser la calculette a merg faire r aliser par un l ve la division et Distribution des calculettes et mise en calculette pour diviser 4 par 7 par exemple le laisser placer le nombre sur la droite gradu e d cimale dessin e au tableau application 7 Remarque soulever le probl me des nombres d cimaux incommensurables leur S assurer que tous les l ves ont bien compris la proposer de s arr ter 2 chiffres apr s la virgule sans trop l expliciter signaler que le m thode nombre obtenu peut tre encadr par 2 n
4. l alcool auraient pu qu on attend pour punir les 2 3 de conducteurs sobres responsables de la majorit des tre vit s jeun les autres ceux qui ont accidents eu lieu jeun auraient s rement t encore plus graves avec des conducteurs Remarque les l ves ne connaissent pas tous Coluche ils ne l identifient pas alcooliques toujours en tant que comique et peuvent prouver des difficult s commenter ses affirmations Selon le groupe l enseignant pourra pr f rer un autre exemple SC R N CNDP Cr en 2010 Tous droits r serv s Limitation l usage non commercial priv ou scolaire 2 Phase 2 r alisation de lancers individuels et expression en pourcentage Retour sur l exp rience r alis e en s ance 1 Nombre de lancers 5 10 et 20 1 s rie d exp riences Pour 5 lancers les possibles sont 0 20 40 60 80 et 100 Pour 10 lancers 0 10 20 80 90 et 100 Pour 20 lancers 0 5 10 15 85 90 95 100 Les l ves r alisent individuellement leurs exp riences Sur la fiche l ve 2 ils remplissent les tableaux de la premi re s rie d exp riences puis placent les nombres obtenus sur la fiche l ve 3 qui comportent les droites gradu es Il est alors facile de positionner les nombres sur les 2 droites pourcentages et d cimaux Mise en commun des r sultats Un l ve vient crire ses r sultats au tableau et place les nombres s
5. 1860 1934 portant sur le d terminisme et le hasard lls sont reproduits dans le Th m doc Le chaos d terministe tude de texte l ve Th m doc Les probabilit s SC R N CNDP 2010 EN PRATIQUE cole Les probabilit s ne font pas partie des programmes officiels de l cole primaire En revanche r aliser une approche des probabilit s dans le cadre de l tude et du sens de l criture fractionnelle et sa traduction en nombre d cimal nous para t pertinent I ne s agit donc ici que d une sensibilisation aux probabilit s Voici les diff rents objectifs de la s quence en termes d apprentissages math matiques R aliser qu une donn e statistique est d autant plus pertinente que le nombre d essais auquel elle s applique est grand la probabilit qu un v nement arrive tend vers quelque chose et cette tendance est d autant plus juste que le nombre d essais sur lequel elle s applique est grand Concr tement le fait d obtenir pile ou face sur une pi ce 50 de chance est d autant plus vrai que le nombre de lancers est grand resentatic des es ats Remplir un tableau et le lire Il para t important que les l ves comprennent qu en math matiques une donn e peut s crire de multiples mani res qu une donn e change de costume et qu il s agit de reconna tre cette donn e sous ses divers d guisements Le tableau est un excellent outil d quivalence num rique comme
6. Droite gradu e 1 R sultats exprim s en pourcentage 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Droite gradu e 2 R sultats exprim s en nombres d cimaux 0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 1 SC R N CNDP Cr en 2010 Tous droits r serv s Limitation l usage non commercial priv ou scolaire Mini Questionnaire 1 Qu voquent pour toi les mots Hasard Chance Al atoire Probabilit 2 D apr s toi lorsqu on joue pile ou face avec une pi ce de monnaie qu obtient on le plus facilement pile ou face Explique ta r ponse 3 D apr s toi lorsqu on jette un d quel nombre entre un et six obtient on le plus facilement Explique ta r ponse 4 Une femme dont on ne sait rien vient de donner naissance un enfant Quelle chance a t elle que ce soit un gar on Explique ta r ponse SC R N CNDP Cr en 2010 Tous droits r serv s Limitation l usage non commercial priv ou scolaire Fiche l ve 1 travail individuel Lancer de d 1 Lance 50 fois un d et note chaque fois le num ro inscrit sur la face sup rieure Ecris les r ponses dans leur ordre d apparition 2 Utilise les 50 lancers r alis s pour compl ter le tableau suivant face sup rieure 1 3 Penses tu que les r sultats effectifs et fr quences soient les m mes pour deux l ves diff rents SC R N CNDP
7. dans la vie courante les raisonnements probabilistes surtout implicites sont l gion Sont galement l gion les fautes de raisonnement De fa on g n rale chez les l ves voire chez les enseignants la culture en mati re de probabilit s est faible ce qui est bien dommage eu gard leur utilit sociale Chez les Anciens la probabilit d signait la vraisemblance d une opinion Il faudra attendre Blaise Pascal 1623 1662 puis Laplace 1749 1827 pour que les probabilit s se math matisent puis qu une th orie moderne puisse tre d velopp e par Kolmogorov 1903 1987 L objectif de cette initiation aux probabilit s est d apprendre aux l ves utiliser et se m fier des statistiques et du bon sens Pour ce faire il faut 1 comprendre ce qu est une probabilit et arriver la quantifier 2 voir les liens entre probabilit et ignorance des causes ou manque d information 8 distinguer causalit et corr lation On vitera au maximum calculs ou formules math matiques Que les pr tendus nuls en maths ne soient pas effarouch s ce sera surtout une initiation au raisonnement un peu comme dans un cours de fran ais La collaboration avec l enseignant de fran ais voire de philo pour les terminales est hautement souhaitable On fera largement appel aux exemples et l intuition L id e est de structurer le cours ainsi un examen avec un il neuf de cas connus de la vie courante avec ses
8. Ce dossier a t r alis par le Service national des productions imprim es et num riques du SCEREN CNDP Directeur de publication Patrick Dion directeur g n ral Auteurs Hubert Krivine ma tre de conf rences honoraire l universit Pierre et Marie Curie recherche en physique statistique au laboratoire de physique th orique et mod les statistiques universit Paris Sud Guilhem Alm ras professeur des coles l cole publique de Langou t Florian Paulou enseignant de math matiques au coll ge Roger Martin du Gard Epinay sur Seine Expertise p dagogique Pauline Alm ras professeure agr g e de SVT acad mie de Cr teil chef de projet CNDP expertise p dagogique et suivi ditorial Christian Vincent professeur agr g de math matiques acad mie de Cr teil chef de projet CNDP expertise p dagogique et cr ation des applets Illustration du dossier Jacques Auclerc Galland CNDP Int gration technique Fran ois Thibaud Int gration ditoriale Fanny Dieumegard SC R N CNDP 2010 20 Th m doc Les probabilit s SC R N CNDP 2010 Annexes introduction aux probabilit s fiche professeur 1 introduction aux probabilit s fiche professeur 2 introduction aux probabilit s fiche l ve 1 introduction aux probabilit s fiche l ve 2 Introduction aux probabilit s fiche l ve 3 Mini Questionnaire Fiche l ve 1 travail
9. Cr en 2010 Tous droits r serv s Limitation l usage non commercial priv ou scolaire Fiche l ve 1 travail individuel Exemples de r ponses d l ves 1 Lance 50 fois un d et note chaque fois le num ro inscrit sur la face sup rieure Ecris les r ponses dans leur ordre d apparition l AS Qa ON 2 Utilise les 50 lancers r alis s pour compl ter le tableau suivant Num r la m ro da Effectifs Fr quences face sup rieure RNA SC R N CNDP Cr en 2010 Tous droits r serv s Limitation l usage non commercial priv ou scolaire Lance 50 fois un d et note chaque fois le num ro inscrit sur la face sup rieure Ecris les r ponses dans leur ordre d apparition _ SC R N CNDP Cr en 2010 Tous droits r serv s Limitation l usage non commercial priv ou scolaire Fiche l ve 2 travail de groupe Mise en commun du travail du groupe Regrouper les effectifs de 4 l ves Num ro de la El ve 1 El ve 2 El ve 3 El ve 4 Effectifs Effectifs Effectifs Effectifs face sup rieure Easo sert Basanan Miei 1 Quelle tait la fr quence d apparition du 6 pour les 50 lancers d un seul l ve 2 Quelle est la fr quence d apparition du 6 pour les 50 x 4 lancers de quatre l ves
10. Limitation l usage non commercial priv ou scolaire 2 Phase 2 r alisation de la 1 exp rience de lancers individuel et expression en pourcentage L enseignant propose aux l ves d essayer eux m mes approbation garantie Distribution de la fiche l ve 1 Illustration de la m thode en pr cisant aux l ves qu ils vont pouvoir compter le nombre d occurrences sur leur cahier de brouillon une barre dans la colonne Pile ou Face Bien expliciter les deux c t s de la pi ce laquelle est pile laquelle est face Expliciter galement le protocole de lancer de la pi ce ex lancer avec la pi ce sur le pouce de la main droite celle ci doit tournoyer et r ception main gauche 1 exp rience 2 lancers les possibles sont 0 50 et 100 Les l ves r alisent individuellement leur exp rience et remplissent dans la fiche l ve 1 le tableau de l exp rience 1 Mise en commun des r sultats Remplir le tableau commun et dessiner des croix sur la droite ayant pour extr mit s 0 et 100 noter galement les quivalents 100 1 cela servira pour la s ance 2 o les l ves devront eux m mes r aliser la droite et y noter leurs r sultats Distribuer les pi ces Une par l ve Illustrer au tableau noir la mani re de remplir les tableaux de la fiche Si j obtiens pile au 1er lancer je note au brouillon 1 barre dans la colonne des Pile Au table
11. entre eux un chromosome X et pour l autre moiti un chromosome Y Le r sultat Les cellules de l embryon qui proviennent de la rencontre entre un spermatozo de et un ovule portent avec la m me probabilit XX ou XY Il y a donc en moyenne autant de gar ons que de filles la naissance Bien s r deux enfants d une famille ne sont pas n cessairement gar on et fille Pour tre significative d une probabilit la moyenne statistique doit tre prise sur toute une populationi Lancer la simulation Si on fait calculer la classe sa moyenne en gar ons et filles puis les moyennes en ajoutant tous les fr res et s urs on obtient alors un r sultat plus significatif Et le nombre de ma tres et de ma tresses dans l cole La moyenne est elle significative Si oui que conclure du point de vue sociologique En d autres termes avant de se livrer des conclusions sociologiques ici f minisation des professions il faut viter les biais d une statistique insuffisante Voir dans la fiche En Pratique Lyc e le c l bre exemple des trois portes Th m doc Les probabilit s SC R N CNDP 2010 Voir les liens entre probabilit et ignorance des causes ou manque d information De m me qu au jeu de pile ou face il y a en moyenne dans une population et sur de grands tirages autant de gar ons que de filles Pour un tre humain pris au hasard on dira donc qu il y a une probabilit 2 50 d tre un gar on
12. l h pital la probabilit de mourir dans un lit d h pital est 10 fois plus grande que dans son lit la maison 2 Voir Ma lettre ouverte l AFP du 11 juillet 2008 in www eteissier com revue revue asp Mais on peut aussi en annon ant ce qui semblait une banalit bien probable se tromper sur le site de E Teissier www eteissier com le 15 juin 2008 17h on peut lire la proph tie Le ciel de Raymond Domenech compar celui de la Finale de l Euro 2008 m a frapp e Ce Verseau Asc Vierge vit un moment unique dans sa vie l instar d Alain Prost en 1985 lorsqu il devint champion du monde Pluton lui fait passer une vitesse Jupiter lui promet chance et gloire Faut il conclure que la France sera en finale Cela semble acquis pour le reste croisons les doigts pas analys tous les pays Las Le 17 juin l quipe de France tait limin e sans gloire ds r 5 sue Sie M me le croupier au casino est incapable de r p ter son lancer l identique Th m doc Les probabilit s SC R N CNDP 2010 Ou bien 1 3 des accidents de la route tant dus des conducteurs alcooliques qu est ce qu on attend pour punir les 2 3 de conducteurs sobres responsables de la majorit des accidents Plus s rieusement maintenant 1 Une tude anglaise a prouv que les gens habitant pr s de pyl nes haute tension taient significativement plus souvent malades que le reste de la po
13. Cr en 2010 Tous droits r serv s Limitation l usage non commercial priv ou scolaire 2 Prolongements possibles de l activit sex ratio Voici quelques prolongements de cette activit mis en uvre en math matiques et dans d autres disciplines qui permettront aux l ves d explorer le th me de convergence L importance du mode de pens e statistique dans le regard scientifique sur le monde En math matiques Question de recherche donn e en devoir la maison Dans la ville d Ulfa en Russie une tude a montr qu en 2002 sur 227 naissances il y avait eu 91 gar ons et 136 filles soit une fr quence observ e de 40 de gar ons Gr ce au travail men en classe quelle d marche statistique pouvez vous adopter pour savoir si ces observations peuvent raisonnablement tre attribu es au hasard D crivez rapidement 1 page maximum votre d marche e Pr cisez les outils que vous voudriez utilisez pi ces tableur pourquoi l un plut t que l autre ou les deux e Formulez une r ponse la question pos e en vous inspirant du travail fait en classe e Renseignez vous ensuite sur l Internet si vous tes curieux De nombreux l ves ont rapidement remarqu qu une exp rimentation manuelle n tait pas pertinente en raison des 227 lancers r aliser En SVT Un retour sur l influence des polluants alt rations g n tiques cancers sexe des enfants a eu lieu en cours
14. Nous allons montrer sur un exemple les rapports entre probabilit et information De tr s loin vous voyez une silhouette Vous distinguez peine et donc vous ne pourrez rien dire de plus Mais 50 m tres il vous semble que c est plut t une fille la probabilit n est alors plus de V2 et 10 m tres vous tes certain du r sultat c est une fille On voit qu avec une information croissante ici la probabilit passe de 2 1 Attention ce n est pas parce qu on on ignore si un v nement va ou non se produire qu on peut conclure qu il a une chance sur deux de se produire c est dire que sa probabilit est de 1 2 En fait on est conditionn par le jeu de pile ou face avec pi ce non truqu e qui n est qu un cas particulier Par exemple o Au jeu de d s l as peut ou non sortir Ce n est pas avec une probabilit de 1 2 mais de 1 6 o En avion on peut ou pas avoir un accident ce n est pas non plus avec une probabilit de 1 2 o Un bon l ve peut ou pas avoir son bac un mauvais galement les probabilit s ne sont pas les m mes Examinons alors l affirmation suivante d lisabeth Teissier astrologue de son tat Selon une tude men e par des journalistes al maniques 80 de mes pronostics astrologiques s av rent exacts Visiblement seuls les 20 restants sont l objet de toutes les critiques Pourquoi deux poids deux mesures On parle rarement il est vrai des tr
15. SVT il avait t indiqu que sur un grand nombre de naissances on avait 50 de gar ons Ce n tait pas la probl matique ici mais si cela s tait pr sent cela aurait t abord et pourrait constituer un prolongement Florian Paulou enseignant de math matiques au coll ge Roger Martin du Gard pinay Sur Seine Lancers de d s Cette s ance est centr e sur l approche fr quentiste de la notion de probabilit Il s agit de travailler sur le lancer de d s pour infl chir les id es re ues L exp rimentation la main est un passage oblig pour confronter les l ves avec les issues des tirages al atoires et pour confirmer ou infirmer leurs id es pr alables Ici le cumul des effectifs sans simulation permet de constater la stabilisation vers la fr quence th orique Points d appui de la s ance calcul de fr quences partir des effectifs Objectif de la s ance aboutir la notion de probabilit comme fr quence limite sur un grand nombre d exp riences identiques Capacit s et attitudes mises en jeu o S investir dans une d marche exp rimentale o Communiquer l crit et l oral en utilisant un langage math matique adapt o Travailler en groupe Tol rer les erreurs ou les impr cisions des autres Difficult s pr visibles pour les l ves o Erreur de comptage permettant d obtenir l effectif d apparition de chaque face o Calcul des fr quences d apparition si effectifs f
16. activit sex ratio Du c t des l ves Le bilan l ve a t tabli partir du questionnaire suivant Questionnaire Bilan 1 As tu appr ci cette activit sur les statistiques de naissances 2 Liste les points positifs et les points n gatifs 3 Quelle partie a t la plus int ressante Enqu te sur les familles Analyse de cas particuliers Chine Canada Simulation Et la moins int ressante Pourquoi 4 Que retiens tu de l utilisation du tableur en statistique 5 Que retiens tu de l analyse de donn es statistiques 6 Qu aurais tu aim faire en plus dans le cadre de cette activit Voici quelques r ponses comment es Question 1 as tu appr ci cette activit sur les statistiques de naissances Oui j ai appr ci cette exp rience sur les statistiques de naissance J ai trouv a innovateur et a change Par contre je n ai pas trop aim la partie sur l ordinateur car Younes et moi n arrivions pas Oui j ai appr ci parce que je trouve que c tait int ressant et que c est moins ennuyant que les maths Oui j ai appr ci cette activit sur les statistiques de naissance car on a appris des choses sur le monde mais aussi pour le B2i Oui beaucoup a reste des maths mais a parle aussi de l actualit enfin du monde Les l ves ont appr ci de faire des maths diff remment de fa on plus pratique avec davantage d ac
17. de SVT et des l ves ont pr sent des expos s En Histoire G ographie et en Education civique Suite la question d une l ve sur la politique de l enfant unique en Chine et pour traiter des in galit s Monde urbain Monde rural les l ves chercheront savoir si les statistiques dans les grandes m tropoles chinoises sont comparables celles observ es Xicun Enfin le d bat men sur l avortement s est prolong en ducation civique et les conditions du vote de cette loi en France ont fait l objet d un expos SC R N CNDP Cr en 2010 Tous droits r serv s Limitation l usage non commercial priv ou scolaire
18. des chiens immuniserait en quelque sorte les enfants Nous ne savons pas si ce m canisme existe mais le raisonnement l tablissant ici est manifestement erron pour la raison suivante les familles qui coexistent avec enfant s et chien s sont biais es c est dire non repr sentatives de toutes les familles En effet toutes celles qui avaient eu des enfants allergiques ont limin soit le chien soit plus rarement l enfant Ces familles sont donc a priori compos es d enfants moins allergiques Il est noter que le texte 2 est un peu plus prudent La phrase l effet protecteur n a pas t observ chez les enfants en contact r gulier avec des chiens mais qui n en poss daient pas chez eux met d j la puce l oreille Enfin la mise en garde les chercheurs estiment qu il est trop t t pour tirer cette conclusion dans la mesure o ils n ont pas tabli clairement le m canisme qui permettrait d expliquer leurs r sultats est essentielle mais perdue dans le corps de l article 16 Th m doc Les probabilit s SC R N CNDP 2010 Ce genre d analyse est donc bien la Coluche il tend prendre les causes pour des cons quences ne pas aller l h pital en cas de maladie car on y meurt davantage Eventuellement m me la conclusion pourrait tre l oppos de ce qu il faut faire adopter un chien contre l allergie ne pas aller l h pital quand on est malade etc Lyc e Lyc e Inf
19. et de sa conclusion Quand on dit qu il y a une Se rem morer la s ance pr c dente vue Insister sur l id e fausse du d but de la s ance 1 2 chance sur deux qu un v nement se produise cela n est vrai que si l v nement se 2 semaines avant qui nous avait pouss s r aliser les produit un grand nombre de fois Exemple de la pi ce plus le nombre de lancers est exp riences si le premier lancer donne pile grand plus le nombre de fois o la pi ce retombe sur pile ou face est proche de le deuxi me donnera logiquement face 50 donc de une chance sur deux Profiter du rappel de cette logique erron e vue en d but de s ance 1 pour aiguiser Les l ves doivent raisonner de mani re de mani re ludique le sens critique des l ves ins rer la donn e brute dans un contexte Critiquer l affirmation suivante de Coluche R ponses attendues Demander aux l ves s ils savent qui est 2 1 Quand on est malade il ne faut surtout pas aller l h pital la probabilit de 1 Lorsque l on va l h pital c est que l on Coluche Ils doivent avant de commencer la mourir dans un lit d h pital est 10 fois plus grande que dans son lit la maison est d j en mauvaise sant s ance savoir qu il s agit d un comique et que ses affirmations sont probablement erron es 2 2 1 3 des accidents de la route tant dus des conducteurs alcooliques qu est ce 2 Les accidents dus
20. gagnants dans l ordre au tierc etc peut soit se produire soit ne pas se produire chaque essai on marque 1 en cas de r ussite et 0 sinon La moyenne statistique est la somme des 7 ou leur nombre divis e par le nombre d essais elle tend quand le nombre d essais augmente vers la probabilit Il est alors clair que la moyenne statistique donc la probabilit est toujours comprise entre 0 et1 En effet il y a n cessairement moins ou autant d v nements qui r ussissent que d v nements totaux or le quotient d un nombre par un nombre plus grand ou gal est plus petit que 7 ou gal Si p est voisin de 1 presque tous les v nements sont r ussis On dira que l v nement est presque certain Si p est voisin de 0 presque aucun ne r ussit on dira qu il est presque impossible m a Oi On a vu au jeu de pile et face que la moyenne statistique variait avec le nombre d essais D s que le nombre d essais est suffisamment grand cette moyenne tend se fixer et c est seulement alors qu elle peut d finir la probabilit Si le nombre d essais est trop petit on dit que la statistique est non significative On dit qu elle ne prouve rien Prenons un exemple en biologie Quand la paire de chromosomes sexuels XX pour les femmes XY pour les hommes se scinde dans les cellules germinales les femmes produisent toujours des ovules comportant un chromosome X et les hommes des spermatozo des comportant pour la moiti d
21. la probabilit qu un v nement arrive est d autant plus correcte quand celui ci s applique un grand nombre d essais et n a pas valeur de v rit si le nombre d essais est restreint Comp tences des instructions officielles o Utiliser dans des cas simples des fractions ou des sommes d entiers et de fractions pour coder des r sultats o Nommer les fractions en utilisant le vocabulaire dixi me centi me milli me o Situer exactement ou approximativement des nombres d cimaux sur une droite gradu e de 1 en 1 ou de 0 1 en 0 1 La s quence propos e ici se d compose en deux s ances T l charger les fiches professeur Fiche professeur 1 s ance 1 PDF 62 Ko Fiche professeur 2 s ance 2 PDF 71 Ko T l charger les fiches l ves Fiche l ve 1 s ance 1 PDF 32 Ko Fiche l ve 2 s ance 2 PDF 36 Ko Fiche l ve 3 droites gradu es PDF 36 Ko Visualiser les photos de la s ance cliquer sur les images pour les agrandir S quence r alis e pour le CNDP Guilhem Alm ras professeur des coles l cole primaire publique de Langou t Coll ge Introduction aux probabilit s au coll ge Les activit s pr sent es ici sont destin es aux l ves de classe de troisi me Th m doc Les probabilit s SC R N CNDP 2010 Avant d entamer le travail sur les probabilit s il semble pertinent de proposer aux l ves un questionnaire pour tablir un ta
22. ou scolaire Pile ou face manuel production d un l ve _ un s a sultur de a chase LS Rs f 10 CE de pie ru Grasgen 3 40 7e sp9 gaS AG 3o 60 Vo None 52 4 10 TX loo re Rantde or t re e o 20 gov TA nerian de lamas 3S US face f P 6 5 A o CSA 60 S0 50 ss l 40 ne l SS 0 ssh 6 S 3S SC R N CNDP Cr en 2010 Tous droits r serv s Limitation l usage non commercial priv ou scolaire Pile ou face avec tableur pr paration de la feuille de calcul K Microsoft Excel Simulation Pile Face El ve DPR Bea Toe er EA zio ja sl samle ih A23 z amp A22 U GO SE COR DR S E PR LR E E E RE Exp rience 1 Exp nonce 2 Exp rience 3 Eup ri j Exp rionce 5 Exp rience T Exp riance 8 Exp rience 9 Exp rience 1i SC R N CNDP Cr en 2010 Tous droits r serv s Limitation l usage non commercial priv ou scolaire Pile ou face avec tableur exemple de r sultat obtenu SC R N CNDP Ei Microsoft Excel Simulation EM Face DES Es Cire inmsee x z EN 4 au e HD es FE Zone de traga oY MER F E JE TRE E E E 1 Esp rance 1 Esp rance 2 Exp rience 2 Exp rience 4 Exp rience S Exp rence 6 Exp nance T Exp rience Exp iance 3 Exp r d Fara Faca Faca Fila Faca Pila Fila_ Pila Face File jp IPN Pile Pile Faca Face Face Facai Face File 4 Pila Pite Fila Faca Faca Faca Fila Pile Faca Face File File P
23. pr jug s puis l examen critique de situations nouvelles pour l l ve Th m doc Les probabilit s SC R N CNDP 2010 REP RES Comprendre ce qu est une probabilit et la quantifier Au jeu de pile ou face on dit couramment une chance sur deux de faire pile ou m me un coup sur deux on fait pile mais cela ne signifie pas bien s r qu en deux coups on fasse n cessairement une fois pile Quel en est alors le sens Prenons l exemple de tirages pile ou face La moyenne statistique est ici le nombre de piles obtenu divis par le nombre de lancers La probabilit correspond la tendance de cette moyenne statistique quand le nombre de lancers augmente ind finiment Dire que la probabilit d obtenir un pile est de 2 signifie que la moyenne statistique oscille autour de 1 2 et qu elle en est d autant plus proche que le nombre de lancers est grand c est la loi des grands nombres Lancer la simulation Si on refait l exp rience avec le tirage d un as le un au jeu de d s cette fois ci la moyenne de tirage d un as oscille autour de 1 6 Voir l animation Lancer d un d C est ainsi que seront d finies les probabilit s on constate que lorsque le nombre de tirages devient de plus en plus grand les moyennes statistiques se stabilisent autour d une valeur limite Cette valeur limite est la probabilit p G n ralisons quand un v nement tirer pile tirer les trois chevaux
24. tous les l ves de l quivalence 1 chance sur 2 50 de chance 5 3 5 SC R N CNDP Cr en 2010 Tous droits r serv s Limitation l usage non commercial priv ou scolaire R alisation de l exp rience N 4 et conclusion Les l ves vont cette fois se mettre par groupes de 5 et additionner le r sultat de leur exp rience 4 afin d obtenir l quivalent de 100 lancers Mise en commun Analyse des r sultats et observation des graphiques Conclusion crire individuellement sur sa fiche Quand on dit qu il y a une chance sur deux qu un v nement se produise cela n est vrai que si l v nement se produit un grand nombre de fois Exemple de la pi ce plus le nombre de lancers est grand plus le nombre de fois o la pi ce retombe sur pile ou face est proche de 50 donc de une chance sur deux Travail en groupe L enseignant remplit le tableau et dispose des croix sur la droite afin de faire visualiser aux l ves que plus le nombre d exp riences est grand plus les croix se rapprochent globalement des 50 10 10 SC R N CNDP Cr en 2010 Tous droits r serv s Limitation l usage non commercial priv ou scolaire Introduction aux probabilit s fiche l ve 1 PILE ou FACE Exp rience 1 Nombre de lancers 2 Lance 2 fois la pi ce et note les r sultats dans le tableau suivant
25. ves sur la notion particuli re de preuve statistique est n cessaire On peut souligner que cette tude posait probl me et qu il n y avait pas de certitudes mais des pr somptions La statistique ne donne pas les causes mais donne l alerte ce qui incite donc enqu ter T l charger le bilan des l ves et du professeur pour cette activit PDF 54 Ko T l charger les prolongements possibles cette activit PDF 39 Ko Florian Paulou enseignant de math matiques au coll ge Roger Martin du Gard pinay Sur Seine Sur l inversion possible causes cons quences Voici un exemple de raisonnement la Coluche pris dans les m dias Il aidera en outre la prise de distance n cessaire par rapport cet outil extraordinairement utile et dangereux qu est le Web Les deux articles suivants traitent de l effet de l exposition des enfants aux animaux domestiques sur le d veloppement des allergies o Sur le site de Dog Story www dogstory net allergieenfant htm o Sur le site de TF1 LCI article du 28 04 2008 http lci tf1 fr science sante 2008 04 chien maison contre allergies respiratoires 5519455 html Il est int ressant de faire comparer ces deux articles aux l ves afin de leur faire identifier l erreur de raisonnement qu on trouve dans chacun d eux On pourra au passage faire remarquer les nombreuses fautes d orthographe que comporte le premier article L id e g n rale est que la pr sence pr coce
26. Effectifs totaux 3 Quelle devrait tre la fr quence d apparition du 6 pour les 50 x 24 lancers de tous les l ves de la classe 4 A quoi correspond ce nombre SC R N CNDP Cr en 2010 Tous droits r serv s Limitation l usage non commercial priv ou scolaire Fiche l ve 2 travail de groupe Exemple de r ponses d un groupe Mise en commun du travail du groupe Regrouper les effectifs de 4 l ves Num ro daia El ve 1 El ve 2 El ve 3 El ve 4 face s p rie re Effectifs Effectifs Effectifs Effectifs Effectifs totaux Fr quences P ersonnels ersonnels personnels personnels 1 AA 10 T AO 38 49 7e A 4 20 AS 9 a 7 33 165 G 3 ZA 4S 526 AO 6 8 3 AS ST e 40O A2 2 JB ST 1 Quelle tait la fr quence d apparition du 6 pour les 50 lancers d un seul l ve Faultime 183 valembm 2U o Donia AZ Yo Aanika 20 2 Quelle est la fr quence d apparition du 6 pour les 50 x 4 lancers de quatre l ves s Tatal 185 s 3 Quelle devrait tre la fr quence d apparition du 6 pour les 50 x 24 lancers de tous les l ves de la classe C aE 16 F peub pm l SC R N CNDP Cr en 2010 Tous droits r serv s Limitation l usage non commercial priv ou scolaire Utilisation d un tableur Par la suite on peut galement projeter la classe la feuille de calcul suivante en la comment
27. N I PAMPU et I MINZAT Initiation aux probabilit s l cole l mentaire Springer Netherlands revue Educational Studies in Mathematics n 1 vol 2 p 16 31 juillet 1969 Sur le Web Documents historiques Sur le d terminisme et la pr diction Deux extraits de textes de Poincar et Laplace www cndp fr Journal lectronique d Histoire des Probabilit s et de la Statistique Publication d articles et de documents exceptionnels notamment caract re historique concernant les probabilit s et statistiques www jehps net Nous vous conseillons plus particuli rement les textes suivants o Le rapport de Poincar au proc s en Cassation de l Affaire Dreyfus de 1904 o Antoine Augustin COURNOT De la th orie des probabilit s consid r e comme la mati re d un enseignement 1828 o Norbert MEUSNIER Sur l histoire de l enseignement des probabilit s et des statistiques o Bernard COURTEBRAS Probabilit s et Statistiques dans l enseignement secondaire de l Occupation la Lib ration D veloppement de l esprit critique inconditionnel des probabilit s conditionnelles Ce dossier de l Observatoire z t tique aborde des erreurs fr quentes d interpr tation des probabilit s www observatoire zetetique org 18 Th m doc Les probabilit s SC R N CNDP 2010 La n cessit du hasard Ce dossier de l Observatoire z t tique reprend l id e que l homme est un tr s mauvais g n rateur al
28. Probabilit s mode d emploi COLE COLL GE LYC E PR SENTATION ne umo mm anneau 2 R P RES nement 3 Comprendre ce qu est une probabilit et la quantifier sssnsssnsnnsssssenrnsrssssnserennnssssrsennnsnsssssrennnne 3 Voir les liens entre probabilit et ignorance des causes ou manque d information 4 Distinguer causalit et corr lation iii 4 EN PRATIQUE ssssssssssrssssssssssssensensssstessnsnenenenninssnnnnene seit ennnene E genes tunes ess 7 Lee CE E E 7 O0 A E E E S T E EE 8 Introduction aux probabilit s au coll ge ss 8 Lancers d d s 3 248850e names NN nant teen PM Ne intel nn arte 11 L SeXrAtIO D rss ends E reel E N der AA de een res cine ee een tue 12 Sur l inversion possible causes cons quences ss 16 Lyc e Influence de l information sur la probabilit snnnsnssssesennissssesesenresssssseresnrssssrsereennsseseene 17 POINT D 0 RSR toart R EES Sanne sEss sou osua u Nista kiris pusemu rssi k sas onakan 18 Bibliographie epn e a a Ea nt 18 OVA JES orn a EEE EEE E E 18 Article de T ISFeNOe se na EE EE EEE 18 S r le We Dran en dat nine ea ea EAE EEE 18 VTEC 1o eA EE E A AE EE 20 ANNEXES oise iseoeee eino orsess sesane d eo sp nisaran aas rnb osadena nan Orrien ES arD Soues ra s nnneneredespos sens ane ed eat 21 N z CNDP CRDP Th m doc Les probabilit s SC R N CNDP 2010 PR SENTATION Qu on s en rende compte ou non les probabilit s sont partout pr sentes
29. a m me chose au calculateur on obtiendra T2 Th m doc Les probabilit s SC R N CNDP 2010 T Le a o 0 e a a E T s oe e eoe z Tirages de 12 points au hasard T1 tirage humain T2 tirage la machine La diff rence saute aux yeux Le tirage humain est beaucoup plus r gulier presque quir parti Tout se passe comme si le tireur apr s avoir tir un point d cr tait une zone d vitement autour de ce point pour les tirages suivants Comme il sait qu avec un nombre suffisamment grand de points le segment de droite sera uniform ment rempli il anticipe pour ainsi dire en ne laissant aucun trou En fait les tirages deviennent alors corr l s ils ne sont plus ind pendants La machine qui n a pas de psychologie n anticipe pas Elle permet des accumulations et donc des vides de points Conclusion si vraiment les accidents arrivent par hasard T2 on voit alors qu on peut avoir 3 accidents en un mois pr cis ment parce qu il n y a pas de loi C est pour avoir la distribution T1 qu il en faudrait une Le hasard en une dimension lancer la simulation Et en deux dimensions lancer la simulation Nous avons voulu crire un texte de rep re tr s g n ral de l cole au lyc e Bien entendu pour les l ves de terminale scientifique ou pas on doit multiplier les probl mes et surtout faire comparer deux tr s beaux textes classiques de Laplace 1749 1827 et Poincar
30. ains qui arrivent l heure C est une escroquerie intellectuelle fond e sur l id e fausse qu un v nement possible a une chance sur deux d arriver Exemple imaginable de pr vision astrologique sans risque telle personnalit g e de 75 ans aura des probl mes de sant cette ann e Bien s r c est assez vraisemblable II n est alors pas difficile d avoir 80 de r ussite Au jeu de pile ou face en principe les lois de la physique devraient pr dire le r sultat du lancer Mais encore faudrait il conna tre exactement la vitesse et la position de la pi ce au d part les courants d air etc C est dire disposer d une information compl te Comme tous ces facteurs qui changent chaque tirage ne favorisent pas plus pile que face la probabilit de faire pile ou face est de 50 Les r sultats seraient diff rents avec une machine lancer automatique donc bien r guli re et sans vent elle donnerait toujours la m me r ponse Distinguer causalit et corr lation Sur la confusion corr lation causalit l humoriste Coluche est une source in puisable de raisonnements fantaisistes Se faire les dents avec ses blagues est un excellent exercice on les retrouve sous la plume de gens qui sont loin d tre des humoristes volontaires voir la fiche En Pratique Coll ge Causes ou cons quences On peut ainsi discuter les affirmations suivantes Quand on est malade il ne faut surtout pas aller
31. ancers de d individuels Qu as tu constat gr ce aux lancers que tu as ie seul bee E WA A 44 2 D apr s uat r sultats ue la fr quence d mo du 6 pile est O est inf rieure la fr quence d apparition des autres faces O est gale la fr quence d apparition des autres faces K est sup rieure la fr quence d apparition des autres faces e Avec les r sultats du groupe 3 Pourquoi a t on d cid de regrouper les r sultats de plusieurs l ves J y me M Rare Ta Aa somme db 4 D apr s les r sultats du groupe ap fr quence d apparition du 6 pile est Zi N O est inf rieure la fr quence d apparition des autres faces LA X est gale la fr quence d apparition des autres faces O est sup rieure la fr quence d apparition des autre faces 5 On te repose la question du mini questionnaire D apr s toi lorsqu on jette un d quel nombre entre un et six obtient on le plus EE CI ta r ponse Que r ponds tu maintenant b Jugunor pa fp 5 pe Lu k mk a 1400 dans ll pA gt ua dbo aa E a t il des questions que tu n as pas A lors de la s ance en classe Ne tre SC R N CNDP Cr en 2010 Tous droits r serv s Limitation l usage non commercial priv ou scolaire Synth se Lancer de d e Avec les lancers de d individuels 1 Qu as tu constat gr ce aux lancers que tu as fait seul Jai censtat que plio on bome de
32. ant Leg x 4x E E mn D E F G B i _1 Nombre de lancers 10 20 30 40 50 60 70 80 30 100 no 120 130 140 2 aal 2 2 6 1 si 1 4 5 4 4 5 H 4 3 4 2 5 3 5 4i 1 2 4 1 4 2 6 2 5 EA 2 1 4 1 si 4 2 3 6 2 2 2i 6 5 6 5 3 5 5 5 4 6 3 4 1 3 3 2 4 7 5 5 1 2 2 1 5 6 5 3 1 1 2 2 el 2 4 6 2 2i 2 6 2 4 G 2 i 4 eai G 6 2 3 4i 2 4 1 4 1 G 1i 4 1 10 3 5 1 1 1 1 1 5 1 3 6 3 5 G 2 1 5 3 3 5 6 5 3 2 4 2 6 1 ral 1 2 2 1 1i 4 6 3 5 2 4 2i 6 2 8 _1 Apparition de la face 1 1 3 5 3 ni 15 16 17 19 21 22 24 24 26 5 i i 16 Fr quence cumul e H _17_ d apparition du 1 010 015 017 0 23 0 22 0 25 0 23 0 21 021 021 0 20 0 20 018 0119 0 50 A 0 48 1 0 46 l 0 44 H 0 42 0 40 f 0 38 i 0 36 0 34 i 0 32 H 0 30 628 C a L 0 22 H 0 20 f 0 18 0 16 h 0 14 i 0112 0 10 H 0 08 0 06 0 04 H 0 02 0 00 500 1000 1500 2000 2500 43 i 44 i ad M 4 gt m Face1 la GIE Avec la simulation de 2500 lancers il s agit de pr senter la stabilisation des fr quences cumul es selon le nombre de lancers vers le nombre qu on appelle probabilit Ce type de document sera tr s utile pour aborder la d termination d une probabilit dans les cas o il n y pas a priori de consid rations de sym trie comme l exemple du segment al atoire propos dans le document d accompagnement sur les probabilit s au coll ge consulter ce document en ligne sur duscol
33. atoire et explore des cons quences possibles de ce ph nom ne www observatoire zetetique org Statistiques et ph nom nes extraordinaires Poster permettant de discuter des conditions requises pour qu un ph nom ne soit dit extraordinaire www observatoire zetetique org L enseignement des probabilit s chez nos voisins Programme de formation de l cole qu b coise Savoirs essentiels math matiques 1er cycle du secondaire http recitmst qc ca 19 Th m doc Les probabilit s SC R N CNDP 2010 PROPOS Ce dossier pr sente dans la collection Th m doc un ensemble de r f rences et de pistes de travail pour r pondre aux besoins des programmes de coll ge lyc e et classes pr paratoires en physique chimie en sciences de la vie et de la Terre en math matiques en philosophie et en anglais Les caract ristiques essentielles que nous souhaitons promouvoir travers lui tirent parti des potentialit s de l Internet o l est volutif o il est mutualiste changes et capitalisation des donn es et des m thodes d enseignement sur ce th me o il instaure des liens avec un monde en constante mutation o il est le plus objectif possible avec des donn es chiffr es issues de sources les plus r centes Les conditions d usage de Th m doc pr cisent l exploitation de ces dossiers ainsi que les clauses l gales relatives la collection et chacun des dossiers
34. au dessiner tableau 3 colonnes nombre de pile 0 nombre de pile 50 nombre de pile 100 Noter dans chaque case le nombre d l ves correspondant ces 3 configurations possibles Dessiner galement une droite ayant pour extr mit s 0 et 100 3 6 SC R N CNDP Cr en 2010 Tous droits r serv s Limitation l usage non commercial priv ou scolaire Phase 3 exp riences 2 et 3 R alisation de l exp rience 2 Mise en commun des r sultats pendant leur exp rience l enseignant dessine au tableau un tableau comprenant l ensemble des cas possibles 0 10 1 10 2 10 3 10 etc Seront not s dans ce tableau les groupes ayant obtenu tel ou tel r sultat Discussion autour du nombre d enfants ayant bien obtenu 50 R alisation de l exp rience 3 Les l ves font nouveau 10 lancers qu ils ajouteront aux 10 pr c dents ceux de l exp rience 2 Puis m me d marche remplissage d un nouveau tableau 1 20 2 20 etc et discussion autour du nombre d enfants ayant obtenu 50 Les l ves lancent 10 fois la pi ce et notent leur r sultats d abord au brouillon puis sur la fiche l ve 1 Les l ves viennent crire au tableau l quivalence 4 10 40 etc Expliciter le passage de la notation en fraction la notation en multiplier par 10 le num rateur et le d nominateur S assurer de la bonne compr hension par
35. aux causes mais pointent plut t le caract re rare et exceptionnel de ces statistiques T l charger les questionnaires de synth se PDF 34 Ko T l charger des exemples de r ponses d l ves ce questionnaire PDF 53 Ko 15 Th m doc Les probabilit s SC R N CNDP 2010 Un court d bat sur les causes possibles a eu lieu en fin de s ance avec pour objectif d tablir une conclusion de ces statistiques Dans le questionnaire sur Xicun une seule l ve a voqu la politique du pays sur les naissances et a nuanc cela en pr cisant que c est un village de montagne et pas une ville Au cours de l change oral les l ves ont clairement point que l avortement des f tus de sexe f minin devait tre en cause Pour Aamijiwnaag plusieurs l ves ont fait le lien entre le sex ratio et les industries chimiques On peut enfin communiquer aux l ves les sources de l activit Pour le cas de Xicun la cause probable est l acquisition dans ce village en 1999 d une machine ultra sons permettant aux m decins de d terminer le sexe du f tus source Washington Postdu 29 mai 2001 Dans le cas d Aamjiwnaag une enqu te sanitaire est men e On conna t en effet depuis Seveso le r le de certains polluants sur les d s quilibres du sex ratio sources Science et Vie f vrier 2006 Environmental Health Perspectives octobre 2005 article en ligne Pour conclure un retour avec les l
36. aux ou si erreur de proc dure pour calculer la fr quence D roulement o Installation de la classe en groupes h t rog nes o Retour sur le Mini questionnaire pr sent en introduction projection d un choix de r ponses sur le lancer de d s et d bat o Emergence de trois pistes de travail confronter avec l exp rimentation o La face 6 appara t moins souvent que les autres faces o Cette id e vient de l association entre la face 6 et le fait de gagner lorsqu on joue avec des d s o La face 3 est celle qui appara t le plus fr quemment o Parce que c est le milieu entre 1 et 6 o On a autant de chance d obtenir le 1 que le 2 Exp rimentation individuelle 50 lancers T l charger la fiche l ve 1 travail individuel PDF 60 Ko T l charger un exemple de cette fiche compl t e par deux l ves PDF 667 Ko Mise en commun des exp riences au sein des groupes 200 lancers OG G Q 11 Th m doc Les probabilit s SC R N CNDP 2010 T l charger la fiche l ve 2 travail de groupe PDF 62 Ko T l charger un exemple de cette fiche compl t e par un groupe PDF 652 Ko Mise en commun des r sultats des 6 groupes 1 200 lancers On recueille les donn es au tableau pour chaque face On aboutit alors la validation de la 3 piste de travail On a autant de chance d obtenir le 1 que le 2 La probabilit est donc vue comme la fr quen
37. ce limite sur un grand nombre d exp riences O O O O O identiques Il est possible pour l enseignant de s appuyer sur l utilisation d un tableur Voir un exemple PDF 38 Ko Pour prolonger le travail fait en classe un questionnaire de synth se est donn aux l ves pour v rifier ensuite qu ils ont bien saisi les enjeux de la s ance T l charger la fiche l ve 3 questionnaire de synth se PDF 67 Ko T l charger un exemple de cette fiche compl t e par deux l ves PDF 1 12 Mo Visualiser les photos de la s ance cliquer sur les images pour les agrandir Florian Paulou enseignant de math matiques au coll ge Roger Martin du Gard pinay Sur Seine Sex ratio La probl matique du sex ratio est un fil rouge qui permet de mener sur l ann e en classe de troisi me une s quence autour des probabilit s et des statistiques Le point de d part est le document suivant Statistiques de naissances On a relev les donn es statistiques suivantes en 2000 dans le village de Xicun montagnes du sud de la province de Guangxi en Chine il est n 20 enfants parmi lesquels 16 gar ons en 2001 Louvres Val d Oise il est n 70 filles et 82 gar ons dans la r serve indienne d Aamjiwnaag situ e au Canada proximit d industries chimiques il est n entre 1999 et 2003 132 enfants dont 46 gar ons Ces observations sont elles le fruit du hasard Le travail demand po
38. di plu en a de chame di tomber sur un m me member Mn a une chame sur 6 2 D apr s tes r sultats personnels la fr quence d apparition du 6 pile est D est inf rieure la fr quence d apparition des autres faces O est gale la fr quence d apparition des autres faces O est sup rieure la fr quence d apparition des autres faces Avec les r sultats du groupe 3 Pourquoi a t on d cid de regrouper les r sultats de plusieurs l ves Pur migu constat de mme chame suk six 4 D apr s les r sultats du groupe la fr quence d apparition du 6 pile est est inf rieure la fr quence d apparition des autres faces X est gale la fr quence d apparition des autres faces est sup rieure la fr quence d apparition des autre faces 5 On te repose la question du mini questionnaire D apr s toi lorsqu on jette un d quel nombre entre un et six obtient on le plus facilement Explique ta r ponse Que r ponds tu maintenant piu m lana fh di plu m a de chama dx Hour m me momba Qua se soh mimpte qua membte On chosit LR A Aur AADO Janan la pipuma de Janam a rapprochent de 46 6 done de 4 C est Le probabi Qi cafe du 4 cor g d Qon roe 6 Y a t il des questions que tu n as pas pos es lors de la s ance en cl sse ho aus fas si l di mMm st pan pua SC R N CNDP Cr en 2010 Tous droits r serv s Limitation l usage non commercial priv
39. e une pi ce de sa poche et explique Attendu Ce n est pas juste Etc etc vocabulaire chance hasard qu il va d cider du sort de chacun en jouant pile ou face une chance sur deux Demander aux l ves de pr ciser ce que veut dire une chance sur deux et l illustrer gt Les l ves devraient r pondre oui en toute Clarifier la situation par l exemple noter au tableau deux colonnes pile et face Leur logique demander si au 1er lancer j ai bien une chance sur deux d obtenir pile ou face R aliser le lancer et noter le r sultat au tableau ex lancer 1 pile Dire alors aux l ves qu en toute logique puisque j avais une chance sur 2 au prochain gt Les r actions devraient tre partag es mais la lancer on devrait obtenir face plupart des l ves r pondront certainement que 2 oui il est logique d obtenir au 2 lancer face puisque pile a t obtenu au 1er Effectuer le deuxi me lancer obtenir de nouveau pile lancer truqu si l enseignant sait le faire sinon lancer la pi ce et affirmer simplement en la regardant qu il s agit bien de pile Remarque tout ceci correspond une logique fauss e n ayant pour but que d intriguer les l ves et de leur donner envie de r aliser eux m mes les essais en r alit au 2 lancer j ai encore une chance sur deux de faire pile ou face SC R N CNDP Cr en 2010 Tous droits r serv s
40. es r sultats sont bizarres et exceptionnels car nous ne sommes jamais tomb s sur le m me r sultat que Xicun Exemples de r ponses pour Aamjiwnaag Question 1 Pourquoi l exp rimentation manuelle avec des pi ces est elle peu adapt e dans le cas d Aamijiwnaag Cette exp rience est peu adapt e car il y a 132 naissances et que c tait trop long la main Question 2 Pourquoi a t on choisi de simuler les naissances d Aamjiwnaag avec le tableur Parce que a va beaucoup plus vite Question 4 Que peut on d duire de ces observations propos des naissances Aamjiwnaag On peut en d duire qu il y a plus de filles que de gar ons Aamjiwnaag Et que ce n est pas le hasard C est bizarre car m me en utilisant 100 exp riences gr ce au tableur on ne trouve pas 35 de pile On peut en d duire que ce n tait pas du hasard mais cause des entreprises chimiques Aamjiwnaag Et aussi que le pourcentage tait de 34 8 est donc c tait pas dans la moyenne qui est entre 0 4 et 0 6 Ici on peut noter que l expression c tait pas dans la moyenne qui est entre 0 4 et 0 6 rel ve d une utilisation non math matique du mot moyenne qui signifie dans ce contexte l immense majorit plus de 95 SC R N CNDP Cr en 2010 Tous droits r serv s Limitation l usage non commercial priv ou scolaire Bilan des l ves et du professeur sur l
41. ile Mat riel pour chaque l ve Une pi ce de monnaie Un tableau remplir fiche l ve 1 Organisation Travailindividuel Travail en groupe 4 ou 5 Mise en commun en grand groupe SC R N CNDP Cr en 2010 Tous droits r serv s Limitation l usage non commercial priv ou scolaire Introduction aux probabilit s fiche professeur 2 S ance n 2 Comprendre l int r t de la notation d cimale pour exprimer et introduites lors de la s ance 1 crire une fraction sous forme d cimale comparer des fractions Objectifs Type Dur e R investir et consolider les notions le vocabulaire et les notations Construction 60 T che des l ves Lancer une pi ce un certain nombre de fois et remplir un tableau des r sultats Utiliser une calculatrice Placer des fractions d cimales puis des nombres d cimaux sur une droite gradu e Organisation Travail individuel Mise en commun en grand groupe Mat riel pour chaque l ve Une pi ce de monnaie Une fiche de tableaux remplir fiche l ve 2 Une fiche droites gradu es fiche l ve 3 Une calculette SC R N CNDP Cr en 2010 Tous droits r serv s Limitation l usage non commercial priv ou scolaire D roulement T che des l ves R le du ma tre Temps Phase 1 introduction Rappel de la s ance pr c dente
42. ile Pile Fila File Face Pila Face Pile C Fars FAE A y ij a file one de graphique ce wa ja E D us di L da ay E LL 4 6q 00 chantillons Cr en 2010 Tous droits r serv s Limitation l usage non commercial priv ou scolaire Simulation du cas d Aamjiwnaag exemples de r sultats obtenus Pr sentation des r sultats sous forme de nuage de points Aamjiwnaag S riel Fr quences observ es 0 20 40 60 80 100 100 chantillons Pr sentation des r sultats sous forme de courbe a EL CCCCCCCCCCCCCCCCCCOC cece 0000000000000 DTRIT Tel TUE TE EE ap Pe N 100 chantillons HITITITITIT A E SC R N CNDP Cr en 2010 Tous droits r serv s Limitation l usage non commercial priv ou scolaire Questionnaires de synth se sur le sex ratio Xicun Avec les lancers la main Qu a t on constat gr ce aux exp riences faites la main par toute la classe Comment peut on utiliser ces exp riences pour commenter les statistiques de Xicun Observations avec le tableur Pourquoi a t on aussi simul cette exp rience avec le tableur D apr s les observations une fr quence de pile gale ou sup rieure 80 ne se produit jamais se produit environ 20 fois sur 100 se produit environ 10 fois sur 100 se produit environ 1 fois sur 100 Que peut on d duire de ces ob
43. individuel Lancer de d Fiche l ve 1 travail individuel Exemples de r ponses d l ves Fiche l ve 2 travail de groupe Fiche l ve 2 travail de groupe Exemple de r ponses d un groupe Utilisation d un tableur Fiche l ve 3 questionnaire de synth se Fiche l ve 3 questionnaire de synth se Exemples de r ponses d l ves Pile ou face manuel production d un l ve Pile ou face avec tableur pr paration de la feuille de calcul Pile ou face avec tableur exemple de r sultat obtenu Simulation du cas d Aamjiwnaag exemples de r sultats obtenus Questionnaires de synth se sur le sex ratio Exemples de r ponses d l ves aux questionnaires de synth se sur le sexratio Bilan des l ves et du professeur sur l activit sex ratio Prolongements possibles de l activit sex ratio Th m doc Les probabilit s SC R N CNDP 2010 Introduction aux probabilit s fiche professeur 1 S ance n 1 Objectifs Aborder les statistiques par la pratique Traduire une fraction d cimale ou non en pourcentage Type Dur e Construction 40 min statistique Entra nement de la fraction au T ches des l ves Lancer une pi ce un certain nombre de fois et remplir un tableau des r sultats Comparer l observation effective d une exp rience et le r sultat th orique une chance sur deux d obtenir p
44. is la pi ce et note les r sultats dans le tableau suivant Nombre de fois obtenu Fraction Pourcentage __ PILE 20 FACE 20 SC R N CNDP Cr en 2010 Tous droits r serv s Limitation l usage non commercial priv ou scolaire Deuxi me s rie d exp riences Exp rience 4 Nombre de lancers 3 Lance 3 fois la pi ce et note les r sultats dans le tableau suivant Nombre de fois obtenu Fraction Pourcentage __ PILE 3 FACE 3 Exp rience 5 Nombre de lancers 7 Lance 7 fois la pi ce et note les r sultats dans le tableau suivant Nombre de fois obtenu Fraction Pourcentage __ PILE 7 FACE 7 Exp rience 6 Nombre de lancers 13 Lance 13 fois la pi ce et note les r sultats dans le tableau suivant Nombre de fois obtenu Fraction Pourcentage __ PILE 13 FACE 13 Exp rience 7 Nombre de lancers 18 Lance 18 fois la pi ce et note les r sultats dans le tableau suivant Nombre de fois obtenu Fraction Pourcentage __ PILE 18 FACE 18 CONCLUSION SC R N CNDP Cr en 2010 Tous droits r serv s Limitation l usage non commercial priv ou scolaire Introduction aux probabilit s fiche l ve 3 Consigne Place le r sultat de chaque exp rience sur les diff rentes droites gradu es Rappel 1 100 100 0 1 10 10 100 100
45. l ves ont choisi de relier les points ce qui permet une autre visualisation des fluctuations La simulation pour Aamjiwnaag et l exploitation de celle concernant Xicun seront les objectifs de la s ance suivante S ance 3 Le cas d Aamjiwnaag les limites de l exp rimentation La s ance d une dur e de cinquante minutes a lieu en salle informatique Tout d abord la classe s interroge sur la d marche adopter pour tablir des exp riences comparables Les l ves pensent rapidement aux 132 lancers de pi ce faire et choisissent donc de se diriger vers les ordinateurs pour simuler 100 fois les 132 lancers Les l ves reprennent les m mes places et les m mes postes Ils travaillent partir de la deuxi me page de la feuille de calcul Les l ves doivent cette fois entrer les formules de simulation de comptage et de calcul de fr quence en utilisant bien s r la premi re page Puis ils compl tent la feuille de calcul et construisent le nuage de points ou une courbe reliant les points T l charger un exemple de r sultats obtenus PDF 93 Ko Gr ce la ligne 23 de la feuille et au graphique nous tablissons un constat sur la classe aucun groupe ne trouve de fr quence de pile gale ou inf rieure 34 8 celle d Aamijiwnaag On propose deux questionnaires compl t s en classe les r ponses sont souvent tr s tranch es et tr s affirmatives Il faut souligner que peu d l ves s attachent
46. le 6 au fait de gagner Selon ce mod le on perd donc plus souvent qu on ne gagne Ils en d duisent que les faces d un d n apparaissent pas avec la m me probabilit Pour vaincre cette id e il faut se pr ter au jeu voir la fiche En Pratique Coll ge Lancers de d s Question sur les naissances une femme dont on ne sait rien vient de donner naissance un enfant Quelle chance a t elle que ce soit un gar on Explique ta r ponse R ponses d l ves On a appris en SVT que normalement on a autant de chance d avoir un gar on ou une fille mais pas sur 2 familles Plus l chantillon de personnes est grand plus on arrive pile 50 10 Th m doc Les probabilit s SC R N CNDP 2010 La femme a 50 de chance d avoir une fille car il y a 1 chance sur 2 que les cellules sexuelles m les du p re s expriment chez l enfant Elle a 50 d obtenir un gar on mais j ai vu la t l qu une femme qui fait des r gimes qui surveille son alimentation a plus de chance d avoir une fille La r ponse 50 50 revient majoritairement avec des explications de g n tique et de transmission des chromosomes X et Y Les l ves crivent qu ils l ont d j appris en SVT La question de la proportion r currente de 51 2 de gar ons sur de tr s gros chantillons donn es annuelles des naissances en France par exemple n a pas t soulev e au cours de l activit Au contraire en
47. le montre l exemple ci dessous Les diff rentes fa ons d crire la m me chose ou les diff rents d guisements d un nombre Fraction Pa Donn e Fraction n Pourcentage D cimal d cimale X 6 20 3 10 30 0 3 Traduire un nombre de lancers en fraction d cimale en fraction en pourcentage puis les traduire en nombres d cimaux et les placer sur une droite afin de mieux les comparer Les l ves ont d j eu des cours sur les fractions les fractions d cimales les pourcentages comme cas particulier de fractions et les d cimaux Il s agit donc d entra nement technique porteur de sens et non de d couverte de ces notions cela dit rien n emp che en l am nageant quelque peu de se servir de cette s quence comme support la d couverte de ces diverses notions Discipline math matiques Champ d activit les probabilit s les fractions d cimales les nombres d cimaux Cycle 3 Niveau CM1 et CM2 Date P riode 5 Th m doc Les probabilit s SC R N CNDP 2010 Objectifs o Donner du sens aux mots dixi me centi me milli me et aux critures 1 10 1 100 1 1000 0 1 0 01 0 001 o Donner du sens aux fractions d cimales et aux critures virgule o Conna tre pour un nombre d cimal diff rentes d signations orales diff rentes critures fractionnaires son criture virgule et savoir passer d une d signation l autre o Prendre conscience que
48. lle de calcul Simulation Pile Face l ve pr sent e ci apr s et l installation du fichier correspondant sur les postes de la salle Premi re phase pile ou face la main et exploitation quinze minutes Nous convenons qu obtenir pile repr sentera la naissance d un gar on Chaque l ve dispose d une pi ce de 50 centimes et d une feuille de format A4 pour noter ses r sultats Une fois l exp rience faite les r sultats des l ves sont list s au tableau puis not s par les l ves sur leur feuille d exp rience 13 Th m doc Les probabilit s SC R N CNDP 2010 PDF 72 Ko Le constat est g n ral personne n a obtenu 80 de pile Une l ve a fait remarquer que a aurait pu arriver s il y avait eu plus d l ves dans la classe pour tester Ce qu on peut traduire par si on avait r p t plus de fois l exp rience La question est donc de trouver comment r p ter l exp rience un grand nombre de fois Si aucun l ve ne trouve d outil efficace on peut soumettre l id e du tableur et d une simulation 14 Th m doc Les probabilit s SC R N CNDP 2010 En premier lieu on pr sente pendant cinq minutes avec le vid o projecteur la feuille de calcul que les l ves vont devoir utiliser Le simulateur est d j implant en cellule A2 Il s agit de la formule SI ENT ALEA 0 5 1 Pile Face On peut choisir de ne pas donner de pr cision su
49. luence de l information sur la probabilit Derri re 3 portes ferm es A B et C il y a une voiture Si on devine o elle est on a gagn QUESTION Quelle est en l absence de toute information la probabilit de gagner ou de perdre ce jeu REPONSE C est manifestement 1 3 pour gagner et 2 3 pour perdre On suppose maintenant que votre choix tant fait on d couvre une des deux autres portes et que la voiture n y est pas Vous avez maintenant la possibilit de changer de choix QUESTION Avez vous int r t le faire Pourquoi REPONSE Oui Si vous ne changez pas la probabilit de gagner reste de 1 3 Si vous modifiez votre choix elle devient de 2 3 ce qui est une norme am lioration puisqu elle double En effet avec la strat gie je change si vous aviez fait le bon choix initial c est dire la porte avec la voiture vous perdez videmment et vous perdez avec une probabilit de 1 3 Maintenant si votre choix initial tait mauvais pas de voiture derri re la porte vous gagnez coup s r apr s changement puisque la voiture ne peut pas tre derri re la porte d j ouverte et vide Mais la probabilit de ce mauvais choix initial est de 2 3 comme on a vu Ce probl me classique fait toujours jaser Les gens interrog s y compris pas mal de scientifiques se trompent cause du raisonnement faux suivant puisque je ne sais toujours pas m me apr s l ouverture de la porte vide o e
50. n jeu vid o l al atoire c est l ordinateur qui choisi au hasard un personnage Choix fait par un ordinateur Pour moi c est le d sordre La culture jeu vid o change un peu la donne sur le mot al atoire Les l ves ont d j un v cu de simulation du hasard Probabilit R ponses d l ves Fait que quelque chose soit probable Synonyme possibilit Quelque chose de probable Th m doc Les probabilit s SC R N CNDP 2010 C est le nombre de chance que l on a Pourcentage de chances Commentaire m me si l association probabilit probable est rest e minoritaire il faut veiller ce qu elle ne fausse pas le dialogue avec certains l ves L aussi la distinction entre langue fran aise et langage math matique est un l ment important de l change avec les l ves Pile ou face d apr s toi lorsqu on joue pile ou face avec une pi ce de monnaie qu obtient on le plus facilement pile ou face Explique ta r ponse R ponses d l ves Nous avons autant de chance de tomber sur pile que sur face On a plus de chance d obtenir face car c est le c t le plus lourd Cela d pend des pi ces Si ceci est une pi ce de 1 centime alors elle tombera sur pile et si ceci est une pi ce de 20 centimes alors elle tombera sur face La r ponse 50 50 revient majoritairement La phrase a peut varier on
51. ombres virgule en s arr tant au centi me 4 7 0 5714285 0 57 lt 4 7 lt 0 58 Conclusion crire sur la fiche 7 Pour comparer deux fractions il est souvent plus facile de les traduire en nombres d cimaux Exemple il n est pas vident de savoir entre 4 7 et 7 13 lequel est le plus grand 4 7 est presque gal 0 57 7 13 est presque gal 0 53 donc 4 7 gt 7 13 Phase 4 retour sur la conclusion de la s ance 1 Travail en groupe classe Les l ves auront priori obtenu des r sultats assez loign s globalement de 50 Un ou deux l ves au tableau rel ve nt Dessiner un tableau au tableau noir que 2 10 SC R N CNDP Cr en 2010 Tous droits r serv s Limitation l usage non commercial priv ou scolaire D roulement T che des l ves R le du ma tre Temps Phase 1 introduction gt phase adapter en fonction de l enseignant et de son groupe classe Il s agit 2 simplement d introduire la s quence de mani re ludique et de provoquer un int r t chez l l ve On pourrait par exemple opter pour une attitude un peu provocante le ma tre pose de gt Cela va d clencher une r action indign e de la Pousser les r actions jusqu 2 mani re ostensible les dossiers de passage en classe sup rieur des l ves sur le bureau et part des l ves obtention de propos tels que le affirme devoir les remplir imm diatement Il sort ensuit
52. oncentration de gaz carbonique dans l atmosph re Mais on ne peut faire l conomie de comprendre par la th orie si c est le r chauffement qui cr e l exc s de gaz carbonique ou l inverse 3 enfin m me si la moyenne est significative son exploitation peut tre d licate La connaissance de la moyenne est importante mais tout aussi important est de savoir si les r sultats seront souvent loin ou proches de cette moyenne Dire par exemple qu avec tel cancer on a en moyenne 5 ann es vivre ne suffit pas il faut encore conna tre la dispersion savoir si beaucoup de gens d passeront cette moyenne videmment d autres alors mourront plus t t Il en va de m me du revenu moyen des individus d un pays il peut y avoir beaucoup de pauvres et quelques individus colossalement riches assurant un revenu moyen finalement raisonnable dans un pays globalement mis rable Terminons par une remarque sur la trop fameuse loi des s ries Elle n existe tout simplement pas Souvent invoqu e en cas de catastrophes quasi simultan es accidents d avions crimes etc elle a pour origine la croyance que s il se produit par exemple en moyenne 12 crashs a riens par an il s en produira globalement un par mois Il y aurait alors besoin d une loi pour expliquer pourquoi il n en n a pas t ainsi Si on demande de dessiner 12 dates d accident au hasard la grande majorit des gens dessinera quelque chose comme T1 Demandons l
53. ont saisis du probl me et ont manifest une r elle motivation pendant les diff rentes s ances recherche des outils les plus adapt s pour mod liser ou simuler une situation travail partir d un fichier projet participation l laboration de la feuille de calcul puis travail sur poste Les l ves les plus en difficult ont particip activement et ont montr une r elle pertinence dans l analyse de cette tude statistique et des conclusions qu on pouvait en tirer En pratiquant une d marche scientifique les l ves ont compris la nature et la validit d un r sultat statistique Ils ont su formuler une conjecture la valider ou l invalider exploiter des r sultats et confronter ces r sultats au r sultat attendu Par ailleurs le travail sur tableur a permis la validation des comp tences 3 4 3 5 et m me 3 6 du paragraphe Cr er produire et exploiter des donn es du B2i Dans le cadre de la simulation il faut veiller soulever fr quemment la distinction entre le virtuel et le r el pour aboutir une ma trise coh rente des TICE De plus les questionnaires et les d bats sollicitent la capacit des l ves communiquer l crit comme l oral et participent donc tayer leur ma trise de la langue fran aise Les l ves ont mobilis leurs connaissances pour donner du sens l activit et ont su faire preuve d esprit critique lors des phases de synth se SC R N CNDP
54. peut obtenir plus de pile que de face accompagne parfois la r ponse 50 50 On trouve galement des r ponses qui indiquent que si le nombre inscrit sur une face a deux chiffres alors cette face sera plus lourde et d s quilibrera la pi ce Il faut l aussi pr ciser l quilibre des pi ces de monnaie ind pendamment de la valeur frapp e Lancer de d d apr s toi lorsqu on jette un d quel nombre entre un et six obtient on le plus facilement Explique ta r ponse R ponses d l ves Cela d pend du d si un c t du d est plus grand que les autres c t s on a plus de chance de tomber sur ce c t Mais si les c t s sont de m me gabarit on a autant de chance de tomber sur le 1 le 2 le 3 le 4 le 5 ou le 6 Le plus souvent on obtient ce que l on ne veut pas En jouant au Monopoly je tombais souvent sur le 1 ou le 3 mais jamais sur le 6 mon avis on obtient plus facilement un 1 car c est le c t qui doit tre le plus lourd On obtient plus facilement trois car 3 est le milieu de 1 et 6 Les r ponses sont caract ristiques de l aspect passionnel des relations avec le hasard une affectivit qui fausse l approche scientifique ou plus simplement rend souvent notre intuition dans ce domaine assez trompeuse Il faut d construire certaines id es re ues et d autres tablies la suite d un raisonnement labor Par exemple les l ves associent souvent
55. pulation Est ce la faute du courant lectrique Ce n est pas vident parce qu une autre tude a r v l que les habitants sous les pyl nes taient en moyenne plus pauvres et on sait les liens sant pauvret A elle seule cette tude ne permet pas de conclure 2 Les assurances ont tabli que 50 des accidents arrivaient sur un trajet de moins de 30 km On en a conclu un peu vite que l habitude des courts trajets pour aller travailler favorisait le manque d attention des conducteurs Il est possible que ce soit vrai mais la d monstration est fausse la plupart des trajets font moins de 30 km 3 Le conseil de l Ordre des m decins a publi une tude prouvant que ceux qui pratiquaient r guli rement le jogging l ge de 60 ans avaient une probabilit de se trouver en bonne sant l ge de 70 ans plus grande que la population normale Conclusion de l Ordre le jogging est une bonne pratique Il est encore possible que ce soit vrai mais ce n est pas une d monstration la population qui pratique le jogging 60 ans concentre ceux qui sont d j en bonne sant On a donc seulement prouv que ceux qui sont en bonne sant 60 ans ont plus de chance de l tre encore 10 ans plus tard On conclura donc que deux v nements peuvent tre corr l s reli s sans pour autant avoir des rapports de cause effet Par exemple on ne meurt pas plus parce qu on est dans un lit d h pital mais on y est parce q
56. r cette formule pendant cette s ance Il faut montrer aux l ves que l appui sur la touche F9 g n re une nouvelle simulation de lancer Visualiser la pr paration de la feuille de calcul PDF 70 Ko Les l ves doivent utiliser la poign e de recopie verticalement pour effectuer les 20 lancers puis horizontalement pour r p ter l exp rience 100 fois Deux lignes essentielles doivent faire l objet de remarques Que lit on la ligne 22 C est le compteur du nombre de piles pour chaque tirage Que lit on la ligne 23 C est le calcul de la fr quence de piles pour le tirage Le travail sur poste d une dur e de vingt cinq minutes peut alors commencer Les l ves deux par poste utilisent la feuille de calcul d j install e et la compl tent En lisant les cent fr quences sur la ligne 23 nous tablissons un constat sur la classe une fr quence sup rieure ou gale 80 appara t une fois sur cent et seulement chez trois groupes sur les dix Une repr sentation graphique permettant de mieux visualiser les r sultats le choix du nuage de points est impos mais les l ves le r alisent en autonomie Les titres du graphique et des axes ainsi que les r glages des chelles des axes sont accessibles gr ce la feuille de calcul vid o projet e T l charger un exemple de r sultat obtenu avec le tableur PDF 70 Ko En plus de la r alisation du nuage de points certains
57. servations propos des naissances Xicun en 2000 Aamijiwnaag Phase pr liminaire Pourquoi l exp rimentation manuelle avec des pi ces est elle peu adapt e dans le cas d Aamjiwnaag Pourquoi a t on choisi de simuler les naissances d Aamjiwnaag avec le tableur Observations avec le tableur D apr s les observations et d apr s le graphique donner deux valeurs qui encadrent la grande majorit des r sultats Que peut on d duire de ces observations propos des naissances Aamjiwnaag SC R N CNDP Cr en 2010 Tous droits r serv s Limitation l usage non commercial priv ou scolaire Exemples de r ponses d l ves aux questionnaires de synth se sur le sex ratio Exemples de r ponses pour Xicun Question 3 Pourquoi a t on simul cette exp rience avec le tableur Pour pouvoir faire plus d exp riences pour peut tre tomber sur 80 Question 5 Que peut on d duire de ces observations propos des naissances Xicun en 2000 Ce pourcentage tait donc exceptionnel puisque l on tombe qu une fois sur 100 sur 80 On peut en d duire que les naissances Xicun en 2000 n est pas le hasard Donc le nombre de naissance de gar ons d pend du lieu On peut en d duire que ces observations propos des naissances Xicun en 2000 sont exceptionnelles et que ces observations ne sont pas le hasard On peut en d duire que c
58. st la voiture j ai maintenant une chance sur deux en changeant et autant en ne changeant pas Mais comme on l a d j dit quand un v nement peut ou non se produire ce n est pas n cessairement avec une probabilit de 2 En fait ils identifient tort ce probl me celui de la roulette au casino quand on a tir un bon num ro il est effectivement na f de croire qu on a int r t changer parce que le fait d avoir tir un bon num ro ne donne aucune information Ce n est pas le cas ici Le mieux pour convaincre est peut tre de simuler ce jeu de faire les moyennes statistiques et d valuer la probabilit de gagner avec les deux strat gies On peut le faire soit l aide de l ordinateur soit en y jouant vraiment Simulation du jeu sans changement de choix Simulation du jeu avec changement de choix syst matique Hubert Krivine ma tre de conf rences honoraire l universit Pierre et Marie Curie 17 Th m doc Les probabilit s SC R N CNDP 2010 POINT DOC Bibliographie Ouvrages GAUVRIT Nicolas Statistiques M fiez vous Ellipses 2007 Collectif IREM de Grenoble Pratiques de la statistique Exp rimenter mod liser et simuler Vu ibert sup rieur Scolaire Universitaire broch 2006 Collectif IREM de Lorraine L enseignement des probabilit s au coll ge et au lyc e exemples europ ens et propositions IREM de Lorraine 2001 Article de r f rence E FISCHBEI
59. t des lieux de leurs a priori et de leurs conceptions pr alables sur le hasard et sur les probabilit s notamment partir de situations issues de la vie courante T l charger le questionnaire PDF 22 Ko Voici quelques r ponses d l ves accompagn es de commentaires Hasard R ponses d l ves C est ce qui arrive qu on ne peut pas pr voir et qui nous surprend C est quelque chose d impr visible Le hasard est le contraire de la logique Ce sont des v nements impr visibles pour certains et pour d autres c est de la logique Jeu de d s loto PMU Morpion Millionnaire gt On pourrait choisir ici de souligner avec les l ves le paradoxe qu implique la loi des grands nombres et qui permet la pr vision l o on l attend le moins Chance R ponses d l ves C est un v nement qui est impr vu mais que l on d sire C est se tirer tr s bien d une situation compliqu La chance est lorsque quelque chose de bien nous arrive Une chance c est une possibilit de se racheter d avoir une nouvelle vie Les r ponses traduisent clairement que le mot chance a plusieurs sens dans la langue fran aise Il faut pr ciser son sens dans le langage math matique pour lever les ambigu t s possibles Al atoire R ponses d l ves Quelque chose de variable C est quelque chose qui n arrive pas de fa on r guli re Dans u
60. tivit s manuelles Ils n ont pas eu l impression de faire des maths Cette activit est certainement tr s loign e de leur repr sentation traditionnelle des math matiques qui leur paraissent souvent techniques et assez d tach es de leur quotidien Ils soulignent galement l int r t de l ouverture des maths sur le monde et les autres disciplines Question 4 que retiens tu de l utilisation du tableur en statistique C est un moyen plus rapide de faire des exp riences al atoires C tait ludique Question 6 qu aurais tu aim faire en plus dans le cadre de cette activit Faire des recherches sur le net J aurais aim que des fois on fasse plus de cours sur des sujets comme celui ci qu on sorte un peu plus de l aspect Maths Aller sur l Internet pour rechercher les taux de natalit gar ons filles de certains pays Tout m a plu dans cette activit mais j aurais voulu faire plus de manipulations sur l ordinateur SC R N CNDP Cr en 2010 Tous droits r serv s Limitation l usage non commercial priv ou scolaire 1 M me si certains pointent les difficult s rencontr es avec le tableur la majorit des l ves auraient voulu faire davantage de manipulations sur l ordinateur faire des recherches sur d autres pays ou une enqu te sur la population du coll ge Du c t du professeur Le bilan d ensemble est tr s positif Les l ves se s
61. u on est malade et quand on est malade la probabilit de mourir est plus grande Il en va ainsi des corr lations d linquance et origine ethnique m me supposer qu elles soient vraies elles ne d montrent pas le rapport de cause effet il peut se faire que la pauvret voire la d tresse soient li es des discriminations ethniques c est alors cette mis re qui est une cause possible de d linquance D montrer une th orie avec seulement des statistiques peut tre trompeur Souvent la th orie pr existe et les chiffres sont ensuite utilis s pour la conforter scientifiquement Trois mises en garde s imposent 1 il faut toujours v rifier que les donn es sont significatives En nombre comme on l a vu c est vident mais aussi en qualit Par exemple l affirmation suivante est stupide les employ s sont paresseux car les demandes de cong maladie concernent prioritairement en moyenne les jours de week end la veille ou le lendemain En effet si on suppose les demandes quir parties donc sans volont de triche celles qui tombent dans la fourchette critiqu e sont au nombre de quatre vendredi samedi dimanche lundi ce qui fait d j une probabilit de 4 7 2 la th orie doit avoir un pouvoir explicatif ne serait ce que pour savoir dans quel sens lire les corr lations Il est par exemple maintenant bien tabli qu historiquement les variations de temp rature sont troitement li es aux variations de c
62. ur la s ance suivante pour cette activit s est r sum deux questions Que penser de ce document Comment r pondre la question pos e 12 Th m doc Les probabilit s SC R N CNDP 2010 S ance 1 Au c ur du probl me des sex ratios tonnants Les objectifs de cette s ance de quinze minutes sont de recueillir les r actions des l ves et leurs d marches pour r pondre la question Face ce document qui appara t comme le r sultat de trois enqu tes la r action de la classe est unanime et p remptoire I y a deux cas bizarres Certains l ves ont m me fait le calcul de la fr quence de gar ons et de filles Xicun et Aamjiwnaag et ont conclu qu on tait tr s loin du 50 50 Reste savoir comment tester si ces situations rel vent ou non raisonnablement du hasard Le d bat s oriente alors vers la recherche de m thodes et d outils qui permettraient de recr er des sex ratios dans la salle de classe La comparaison avec le pile ou face pour simuler des sex ratios est arriv e rapidement Pour le cas de Xicun un l ve conclut qu on va lancer 20 fois une pi ce et on va compter les piles et les faces Le lancer de pi ces est donc l objectif de la s ance suivante S ance 2 Le cas de Xicun du pile ou face au tableur La s ance d une dur e de cinquante minutes a lieu en salle informatique et n cessite la pr paration de la feui
63. ur les droites gradu es Faire remarquer l analogie entre les deux droites et ventuellement se servir de celle exprimant des pourcentages pour placer ensuite les m mes nombres sur celle repr sentant des nombres d cimaux Distribuer les pi ces Une par l ve Jouer pile ou face et remplir les tableaux Placer les nombres obtenus sur les droites gradu es Rappel des proc dures de la premi re s ance L enseignant passe de table en table v rifier le d roulement des exp riences Dessiner au tableau les 2 droites gradu es comme sur la fiche l ve 3 10 Phase 3 2 s rie d exp riences Nombre de lancers 3 7 13 et 18 M me proc dure que pr c demment Cette fois les l ves devraient se rendre compte des difficult s au moment de la transcription des fractions obtenues en pourcentage Probl me comment traduire 4 7 en pourcentage Lorsque les l ves butent sur le probl me leur dire de continuer sans remplir la case Les l ves reprennent leurs exp riences avec la fiche l ve 2 partie deuxi me s rie d exp riences SC R N CNDP Cr en 2010 Tous droits r serv s Limitation l usage non commercial priv ou scolaire dans leurs diverses exp riences Prendre quelques droites d l ves et en discuter avec le groupe classe insister sur le fait qu on est assez loin d une chance sur deux pour la plupart des exp riences

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